'ill
i

п
Уг-
<•/11
о<1
АА
Jo'i
Къ 200 лѣтнему юбилею закона большихъ чиселъ.
У. .хѴ. Маркову.
ТРЕТЬЕ ИЗДАНІЕ,
пеі^ес-мотрЬішое и значительно допо.иіенное.
Съ псртре^ом^ъ Якова Бернулли.
, Iим
САНЕТПЕТЕРБУРГЪ.
ТППОГРАФІЯ ИМПЕРАТОРСКОЙ АІІАДЕМІИ НАУКЪ.
В; с. Ост;і„ 0 ліш., Л 12.
1913.

Предисловіе 3-го изданія,
Третье изданіе моей книги отличается отъ второго некото-
рыми, болѣе или ыенѣе важными, добавленіями.
Во-первыхъ, я счелъ полезнымъ сдѣлать рядъ новыхъ замѣ-
чаній въ первой главѣ, для лучшаго выясненія основаній исчи-
сленія вѣроятностей. Затѣмъ, въ третьей главѣ, посвященной
закону большихъ чиселъ, я не ограничиваюсь теперь случаями
Чебышева, но въ особомъ параграфѣ показываю возможность
дальнѣйшихъ обобщеній.
Новый параграФъ введенъ также въ шестой главѣ, при чемъ
я имѣлъ въ виду пояснить способъ наиімеиьшихъ квадратовъ, при-
кладывая его къ важному вопросу объ опредѣленіи вероятности
по наблюденіямъ, и, кстати, на частномъ примѣрѣ показать, какъ
и почему намъ приходится для одного и того же событія разсма-
тривать нѣсколько разлпчныхъ вѣроятностей, при одинаковыхъ,
повидимому, условіяхъ.
Но главное добавленіе помѣщено въ кондѣ кипги п соста-
вляем особое приложеніе къ ней. Въ немъ я обстоятельно и по
возможности просто излагаю основанія метода математическихъ
ожиданій и прилагаю ихъ къ доказательству теоремы о предѣлѣ
вероятностей во многихъ случаяхъ, какъ для величпнъ незавпси-
мыхъ, такъ и для связанныхъ.
На это добавленіе я особенно обращаю вниманіе читателей,
такъ какъ оно существенно отличаетъ новое изданіе моей книги

отъ другихъ сочиненій, посвященныхъ систематическому изло-
женію исчисленія вѣроятностей.
Въ заключеніе замѣчу, что въ 1913 году исполняется двѣсти
лѣтъ со времени появленія въ свѣтъ труда «Ars conjectandi»,
гдѣ впервые была опубликована и строго доказана знаменитая
теорема Якова Бернулли, положившая начало закону большихъ
чиселъ; поэтому я разсматриваю свою книгу какъ юбилейное
изданіе и прикладываю къ ней портретъ Якова Бернулли, вос-
произведенный по ФотограФІи съ портрета масляными красками,
находящегося въ Базелѣ. Эта фотографія прислана мнѣ библіо-
текой Базельскаго Университета, за что я выражаю ей глубо-
чайшую признательность въ лпцѣ ея оберъ-библіотекаря доктора
Карла ХристоФа Бернулли.
1913 года.
А. Марковъ.

Предисловіе 2-го изданія.
Въ этой книгѣ я излагаю исчисленіе вѣроятностей какъ одинъ
изъ отдѣловъ математики, не занимаясь подробнымъ разсмотрѣ-
ніемъ всѣхъ возможныхъ, болѣе или менѣе важныхъ, прило-
жеиій его.
Не вдаваясь въ длинныя разсужденія объ основаніяхъ исчп-
сленія вѣроятностей, я стараюсь ясно поставить положенія, необ-
ходимыя для построенія извѣстныхъ теорій, прпводящихъ къ
вопросамъ чистаго анализа, которымъ и посвящена моя книга.
Вмѣстѣ съ тѣмъ я, по возможности, избѣгаю излишнихъ по-
ложеній, хотя бы и общепринятыхъ; пзбѣгаю я также сомни-
тельныхъ разсужденій, въ особенности облеченпыхъ въ Форму
ыатематическихъ доказательствъ, ставя на нервомъ планѣ воз-
можную точность и строгость выводовъ и заключеній.
Важную роль въ исчисленіи вѣроятностей, какъ и въ дру-
гихъ отдѣлахъ математики, играютъ приближенныя Формулы.
Къ такимъ Формуламъ приходится прибѣгать не только въ тѣхъ
случаяхъ, когда выводъ точныхъ Формулъ представляетъ чрез-
мѣрныя затрудненія или сами эти Формулы отличаются чрезвы-
чайною сложностью, но и въ тѣхъ случаяхъ, когда вычпслепія
но точнымъ Формуламъ требуютъ хотя бы и простыхъ, но крайне
продолжительныхъ вычисленій.
Для правильнаго прпмѣненія приближенной Формулы ваніпо
имѣть надлежащую оцѣнку ея ногрѣшности.

Однако, пмѣя въ виду цѣли прикладной математики, нельзя
совершенно отказаться и отъ приближенныхъ Формулъ, остаю-
щихся, по той ИЛИ ИНОЙ причинѣ, безъ оцѣнки ихъ погрѣшности.
Подобныя Формулы встрѣчаются и въ моей шшгѣ.
Слѣдуетъ замѣтить, что въ приложеніяхъ къ изслѣдованіямъ
природы вопросъ о погрѣшпости Формулъ получаетъ особый
характеръ; ибо эти пзслѣдованія относятся къ величинамъ, кото-
рый неизбѣжно остаются не вполнѣ определенными, и потому
исчезаетъ возможность математической точности.
Второе изданіе нѣсколько отличается отъ перваго. Мною
сдѣланы нѣкоторыя измѣненія и дополпенія въ текстѣ; вмѣстѣ
съ тѣмъ я расширилъ указанія литературы, не задаваясь однако
цѣлью дать полный списокъ трудовъ по исчисленію вѣроятностей.
Я счелъ не лишнимъ также помѣстить въ кондѣ книги шести-
О (•£'
12
значную таблицу значеній пзвѣстнаго интеграла —=
е dt,
Утг -'о
который играетъ важиую роль въ исчисленіи вѣроятностей.
Эта таблица взята пзъ моей «Table des valeurs de l'integrale
[^е-^ dt», гдѣ значенія послѣдняго интеграла, безъ множи-
Jх
2
теля
даны съ 11ью
десятичными зиаками и указаны раз-
личные способы для вычислепія его, которыми я пользовался.
Не ограничиваясь простой перепечаткой прежней таблицы, я
сравнилъ ее съ таблицей Jas. Burgess «On the Definite Integrale
Оrt£2
—= J e dt, with Extended Tables of Yalues» (Transactions of
the Royal Society of Edinburgh. Vol. XXXIX) и въ случаяхъ
разногласія чиселъ обращался къ своей 11TM значпой таблпцѣ.
Такимъ образомъ я убѣдился въ необходимости измѣнить, па
одну единицу послѣдняго знака, нѣкоторыя изъ чиселъ прежней
2
(2
шестизначной таблицы значеній -7=
е
dt, что и сдѣлано
УТГJО
въ новой табдицѣ.
А. Марковъ.

ГЛАВА I.
Оеновныя понятія и теоремы.
§ 1. Понятіе о вѣроятности связано съ тѣми вопросами, на
которые мы*) можемъ отвѣчать только такъ: должно быть
либо А, либо В, либо С,...., либо F, либо G.
Для однообразія и краткости условимся называть
А,Б,СF, G,
появляющаяся въ огвѣтѣ на какой-нибудь вопросъ, событгями
или случаями, независимо отъ содержанія вопроса. Совокупность
же условій, при которыхъ вопросъ получаетъ опредѣіенное
рѣшеніе, будемъ называть испытаніемъ.
Если бы эта совокупность была извѣстна, то было бы из-
вѣстно, какое именно пзъ событій
А,Б,С,
F,G
имѣетъ мѣсто. Но вмѣсто нея извѣстны только нѣкоторыя
условія испыташя.
Замѣтимъ, что извѣстныя условія часто можно разсматри-
вать какъ постоянный для многихъ испытапій, а неизвѣстныя
какъ перемѣнныя, отличающія испытапія другъ отъ друга. Тогда
*) Слово «мы» общеупотребительно въ математикѣ и не сообщаетъ нечи-
сленно вѣроятностей никакой особой субъективности.

наши сужденія, основанный только на извѣстныхъ условіяхъ,
будутъ одинаково относиться къ каждому изъ этнхъ испытаніп,
которыя могутъ сопровождаться совершенно различными ре-
зультатами.
Событія
А,В,С,
F,G
мы называемъ единственно возможными, если одно изъ нихъ на-
вѣрно должно быть. Соблюдете этого условія, конечно, необхо-
димо для того, чтобы пашъ отвѣтъ, состояіцій въ перечисленіи
событій, можно было признать правилыіымъ.
Мы будемъ называть событія
Л,Б,С,
F,G
несовмѣстимыми, если каждое изъ нихъ исключаетъ остальпыя,
такъ что невозможно одновременное существованіе какихъ бы
то ни было двухъ изъ этихъ событій.
Эти термины не возбуждаютъ никакихъ сомнѣпій, хотя мы
не имѣемъ вѣрныхъ способовъ для рѣшенія вопроса о совмести-
мости или несовмѣстимости событій во всѣхъ случаяхъ.
Для установленія понятія о вѣроятности, какъ о числѣ, не-
обходимъ еще одинъ терминъ, который не возбуждаетъ сомнѣ-
нія только въ чисто теоретических!, вопросахъ.
Два событія мы называемъ равновозможными,
если нѣтъ
никакихъ основаній ожидать одного изъ нихъ предпочтительно
передъ другимъ. Ііѣсколько событій мы называемъ равновоз-
можными, если каждыя два изъ нихъ равновозможпы *).
Въ извѣстныхъ теоретическихъ вопросахъ равновозмож-
ность разсматриваемыхъ событій представляется нашему уму
внолнѣ ясно; въ другихъ мы условливаемся, какія именно собы-
тія считаемъ равновозможными. Въ практическихъ же вопросахъ
*) По моему мнѣнію различный понятія опредѣляются но столько словами,
.каждое изъ которыхъ можетъ пъ свою очередь потребовать опредѣленія, какъ
нашимъ отношеніемъ къ нимъ, которое выясняется постепенно.

о
мы можемъ быть вынуждены считать равновозможньши и такія
событія, равновозможность которыхъ весьма сомнительна.
Положимъ теперь, что событія
А,В,С,
,F,G
единственно возможны, песовмѣстимы и равновозможны. Тогда
вѣроятностью каждаго изъ этихъ событій называется дробь, чи-
слитель которой равенъ едипицѣ, а знаменатель числу ихъ.
Отъ этого простѣйшаго случая перейдемъ къ болѣе сложному.
Положимъ, что единственно возможный и несовмѣстимыя
событія
А, В, (7,....,
F',
G
не равновозможны, но могутъ быть разбиты на равновозмож-
пыя, представляющія частные виды ихъ. Пусть
ах, а2,.
.
.
., йа частные виды событія А,
Ъг, Ъ2,. . . ., bp частные виды событія В,
9ц
• • • ч 9ы частные виды событія G\
такъ что при существовали А должно быть одно п только одно
изъ событій
ап а21••••>аа>
при существованіи В должно быть одно и только одно изъ со-
бытій
КК—
ъ?
ИТ. д.
Событія
®Ц ••••Jйа' ^і) ••••)
• • • • 5 9\192)•"*"> 9иі
конечно, несовместимы; кромѣ того мы предполагаемъ ихъ, какъ
было уже сказано, равновозможными.
При такихъ предположеніяхъ мы назовемъ вѣроятностями
событій
А, В, с;....,
G

соогвѣтственно дробп
«
Р
5
<•>
Условимся называть событія
аі1а2>••••> йа)
при которыхъ имѣетъ мѣсто А, блаюпргятными для А, событія
КК.
—
> ь|з
благопріятными для В п т. д ;• всѣ ;ке равновозможныя событія
аі: а2,
, аа,
,
дг, дя,
,ды
«будемъ называть событіями или случаями, соотвѣтствующимп
вопросу. Устаповивъ эти назваиія, мы можемъ Формулировать
данное нами опредѣленіе вѣроятности слѣдующимъ образомъ.
Вѣроятностью событгя называется дробь, числитель кото-
рой представляешь
число равновозмооюныхъ случаевъ,
благопргят-
ныхъ этому событію, а знаменатель число всѣхъ
равновозмож-
ныхъ случаевъ, соотвѣтствующихъ
вопросу.
На этомъ опредѣлепіи вероятности и будутъ основаны даль-
нѣйшіе выводы. Прпведеніе событій къ равповозможньшъ не
иредставляетъ, конечно, вполнѣ опредѣлеиной операціи, но, на-
противъ, допускаетъ значительное разнообразіе, такъ какъ мы
можемъ увеличивать число равиовозможныхъ случаевъ, разби-
вая ихъ на болѣе частные виды, и можемъ уменьшать число
равновозмояиіыхъ случаевъ, соединяя по нѣсколько случаевъ въ
одинъ. Поэтому для одного и того же событія мы можемъ полу-
чить нѣсколько выражепій вѣроятности его. Чтобы всѣ эти вы-
ражепія приводились къ одному числу, важно строго соблюдать
слѣдующія основныя положенія.
Два событія равновозможны,
если они разбиваются
на оди-
наковое число равновозмооюныхъ событгй; два событгя неравно-
возможны, если они разбиваются
па неодинаковое число равио-
возможныхъ случаевъ: при а. =
[3 событгя А и В равновозможны,
сі при а >- (3 гі при а < (3 неравновозмоэісны.
II наоборотъ если

два равновозможныхо событія разбиваются на неодинаковое
число различныхъ событгй, то эти послѣднія не могутъ быть
равновозможными.
Всякую замѣпу однихъ равновозможныхъ случаевъ другими,
неудовлетворяющую этому условію, необходимо рассматривать
какъ измѣненіс даиныхъ.
И соотвѣтственно этому можно признать теоретически пра-
вильно поставленными только тѣ вопросы исчпсленія вѣроятно-
стей, которые, не оставляя искомыхъ вѣроятностей неопредѣлен-
иыми, не допускаютъ измѣиенія ихъ безъ яснаго указанія на
измѣненіе данпыхъ.
Неправильно ноставленныя задачи, часто весьма интересный
и важныя, съ практической точки зрѣнія, не могутъ быть, ко-
нечно, предметомъ строгаго математическаго анализа, пока тѣми
или иными добавочными данными опѣ не превращены въ пра-
вильно поставленный.
По установленному нами опредѣленію вѣроятпость предста-
вляется раціональнымъ числомъ, лежащимъ между нулемъ и еди-
ницей. Онредѣляя гке вѣроятпости нѣкоторыхъ событій, какъ
предѣлы вѣроятностей другнхъ событій, мы введемъ ирраціо-
нальныя числа. О введеніи въ исчисленіе вѣроятностей ирраціо-
нальныхъ чиселъ мы будемъ говорить подробнее впослѣдствіи.
Предѣльными величинами вѣроятности различныхъ событій
служатъ единица и нуль. Вероятность достигаетъ единицы для
событій достовѣрпыхъ, которымъ благопріятствуютъ всѣ случаи,
и обращается въ нуль для событій иевозмогкныхъ, которымъ не
благопріятствуетъ ни одинъ случай.
И мы можемъ утверждать, что вѣроятность единица указы-
ваетъ на достовѣрность событія, а вероятность нуль на невоз-
можность его, по крайней мѣрѣ тогда, когда эта вѣроятность
установлена прямымъ счетомъ равновозможпыхъ случаевъ.
§ 2. Для выяснеиія понятія о вѣроятности, какъ о чпслѣ,
обратимся къ слѣдующему примѣру, которымъ будемъ пользо-
ваться и далѣе.

Пусть взятъ сосудъ, содержащій а бѣлыхъ шаровъ съ No 1,
Ъ бѣлыхъ шаровъ съ JV» 2, с черныхъ шаровъ съ JVs 1, д чер-
ныхъ шаровъ съ No 2 и не содержащій никакихъ другихъ шаровъ.
Изъ этого сосуда вынутъ одинъ шаръ, п поставдеиъ вопросъ
о цвѣтѣ, пли о нумерѣ его, или наконецъ о цвѣтѣ и нумерѣ.
Въ данномъ случаѣ испытаніе состонтъ въ томъ, что изъ со-
суда вынимаютъ нѣкоторый опредѣленный шаръ.
Если мы видѣли зтотъ шаръ, то можемъ дать на поставлен-
ный вопросъ опредѣлеііный отвѣтъ. Если же вынутаго шара мы
не видѣли и извѣстны намъ только вышеуказанный обстоятель-
ства, то на вопросъ о цвѣтѣ шара мы отвѣтимъ:
либо бѣлый, либо черный,
указывая такимъ образомъ два возможныхъ событія; на вопросъ
о нумерѣ шара неречислимъ также два событія:
No1 и Л»2j
наконецъ, нашъ отвѣгъ о цвѣтѣ и иумерѣ шара будетъ состоять
въ перечисленіи четырехъ событій:
бѣлый съ No 1, бѣлый съ No 2, черный съ JV° 1, черный съ ЛѴя 2.
Останавливаясь на послѣднемъ вопросѣ, предположить сна-
чала, что всѣ наши дапныя состоятъ только въ томъ, что сосудъ,
изъ котораго вынуть шаръ, пе содержитъ другихъ шаровъ,
кромѣ бѣлыхъ и черныхъ съ нумерами 1 и 2.
Тогда перечисленный нами четыре несовмѣстимыхъ событія,
бѣлый съ N°1, бѣлый съ No2, черный съ ЛѴя1, черный съ No2,
будутъ пе только единственно возіюяшыми,но и равповозможными,
и соотвѣтственно этому вѣроятность каждаго изъ нихъ будетъ
выражаться дробью — и остаиется этою дробью до тѣхъ поръ.
пока нѣтъ никакихъ указаній на ихъ неравновозмояшость.
При тѣхъ же данпыхъ вѣроятность, что шаръ бѣлый, бу-
детъ -S -, такъ какъ появленіе бѣлаго шара и появленіе чернаго

шара будутъ также событіями несовмѣстиыми, единственно воз-
можными и равновозможными.
Положимъ теперь, что намъ извѣствы неравенства
а>Ъ>с>д.
Въ такомъ случаѣ, придавая значеніе указанію на эти нера-
венства, мы имѣемъ основаніе ожидать бѣлаго шара съ No 1,
предпочтительно передъ бѣлымъ шаромъ съ А1? 2; мы имѣемъ
также основапіе ожидать бѣлаго шара съ No. 2, предпочтительно
передъ чернымъ шаромъ съ Л'; 1.
Поэтому, если извѣстны неравенства
а>Ъ>с>д,
то четыре событія,
бѣлый съ No. 1, бѣлый съ
2, черный съ No 1, черный съ N° 2,
перестаютъ быть равновозможными.
И мы лишены возможности разбить ихъ на равновозможныя,
если только намъ ничего неизвѣстно кромѣ перавенствъ
а>Ь>с>д.
При такихъ условіяхъ мы вынуждены отказаться отъ пред-
ставления вѣроятностей нашихъ событій опредѣленными числами.
Пусть, наконецъ, намъ извѣстны числа
а,Ъ,с,д.
Тогда для полученія равновозможныхъ событій мы можемъ
разбить разсматриваемыя четыре событія на болѣе частныя.
Съ этою цѣлью отличимъ мысленно всѣ шары другъ отъ
друга какими-нибудь значками, напримѣръ, новыми нумерами.
Итакъ, вообразимъ, что бѣлые шары съ N° 1 отличаются
другъ отъ друга и отъ прочихъ шаровъ нумерами
1,2,3,.. ..,
а,

бѣлые шары съ No 2 отличаются нумерами
а-1- 1, ая- 2,....,
а -+-Ъ,
черные съ Л». 1 отличаются нумерами
оя-Ь -t-l, й + 5 + 2,....,
ая-Ь-нс
и, наконецъ, черные съ N° 2 отличаются нумерами
(и-Ь+с+1,в+5+с+2,....
a -t-b
-+-си-с).
Различивъ всѣ шары другъ отъ друга, мы можемъ разбить
разсматриваемыя четыре событія на
й+ Ь+ c-bd
событій, каждое изъ которыхъ состоитъ въ ноявленіи шара съ
опредѣленнымъ нуыеромъ
1, 2, 3,....,
я
&-нс-н d.
Эти новыя событія равновозмояіны, такъ какъ въ сосудѣ
находится по одному шару съ каждьшъ нумеромъ
1, 2,....,
ач-b -t -c-
і-д,
и потому нѣтъ никакихъ основаній ожидать появлеиія одного
изъ этихъ нумеровъ предпочтительно передъ какимъ-либо дру-
гимъ изъ иихъ.
Изъ нихъ а событій, состоящія въ появленіи нумеровъ
1, 2, 3,....,
а,
благопріятствуютъ появленію бѣлаго шара съ JV?. 1, такъ какъ
они представляютъ частные случаи послѣдняго событія,
Поэтому, согласно опредѣлепію, вѣроятность появленія бѣ-
лаго шара съ No 1 выразится дробью
а
e+ b+ c-t-й

jfa томъ же оспованіи дробь
ь
и,-+-ЬН-С
-+- д
будетъ^выражать вѣроятность выхода бѣлаго шара съ j\<: 2, дробь
с
((+ Ь+ с-1-d
будетъ выражать вѣроятность выхода чернаго шара съ JVs 1 н,
наконецъ, дробь
а+і)+с+д
будетъ вѣроятностыо выхода чернаго шара съ Л1?. 2.
Если же вмѣсто четырехъ событій мы различимъ только
два, изъ которыхъ одно состоитъ въ появлепіи бѣлаго шара, а
другое въ появленіи чернаго шара, то пхъ вѣроятности соотвѣт-
ственно выразятся дробями
а-н Ь
c-t-d
сі-і -Ьч-сч-д
ач-Ъ -+-с -+-д
Положимъ теперь, что къ указапнымъ прежде даннымъ при-
бавлено еще одно; именно, стало извѣстныиъ, какой изъ двухъ
нумеровъ, 1 и 2, стоить на вынутомъ шарѣ.
Это новое данное пзмѣняетъ величину вѣроятности выну-
тому шару быть бѣлымъ. Именно, если извѣстно, что на выну-
томъ шарѣ стоитъ Л1?. 1, то на основаніи соображеній, подобныхъ
преяшимъ, мы должны выразить вероятность, что этотъ шаръ
бѣлый, дробью
а вѣроятность, что онъ черный, дробью
с
а-+-с
Если же пзвѣстно, что на вынутомъ шарѣ стоитъ JV° 2, то
вѣроятность, что онъ бѣлый, выразится дробью
ь
Ь-і-д

и вѣроятность, что оиъ черный, — дробью
д
ъ+ д'
Приведенный иами примѣръ можетъ служить для поясненія
слѣдующей аксіомы*). Если при гізвѣстныхъ данныхъ событія
р,q,г,
,и,ѵ
равновозмооісны
и дѣлятся по отношенію къ событгю А на бла-
гопріятныя и неблагопріятныя
ему, то по присоединены
къ
эпгимъ даннымъ указангя на появленге событгя А тѣ изъ событій
р,з,г,
,и,ѵ,
которыя не благопріятствуютъ
событгю А, становятся
невоз-
можными иу слѣдовательно, отпадаютъ, осталъныя оке изъ нихъ
остаются попрежнему
равновозмоэюнъши.
Приведенный нами нримѣръ показалъ также, что далеко не
во всѣхъ случаяхъ можно разсматривагь вѣроятность, какъ оііре-
дѣленное число.
Не останавливаясь на другихъ примѣрахъ несуществованія
вѣроятности, какъ опредѣлениаго числа, замѣтимъ, что не одно
нсчисленіе вѣроятностей, но и другія науки занимаются гіриближен-
нымъ разысканіемъ такихъ чиселъ, существованіе которыхъ не
установлено и не можетъ быть установлено съ математическою
строгостью. Науки, основанныя на опытахъ, стремятся, конечно,
къ возмояшой степени строгости, но не могутъ іімѣть въ виду
математическую строгость.
Опытнымъ наукамъ слѣдуетъ уподобить и нѣкоторые отдѣлы
исчисленія вѣроятностей, непосредственно гіереходяідіе въ ея при-
ложенія къ практике. Но въ теоретическихъ, правильно поста-
вленныхъ, вопросахъ исчисленіе вероятностей прямо примы-
каетъ къ алгебрѣ.
*) Аксіомой мы называемъ такое поло;кеніе, которое устанавливается безъ
доказательства какъ основаніе нашихъ разсужденій.

§ 3. Оспованіеыъ исчислееія вѣроятностей служитъ идея о
равновозмоясныхъ случаяхъ; однако это исчисленіе не суще-
ствовало бы, какъ особая дисциплина, еслибы во всѣхъ вопро-
сахъ необходимо было достигать таквхъ случаевъ и заниматься
счетомъ ихъ.
Необходимость, въ каждомъ частномъ случаѣ, обращаться
для опредѣленія вѣроятностей къ счету равновозможныхъ слу-
чаевъ устраняется основными теоремами исчислеиія вероятностей,
которыя извѣстны подъ названіемъ теоремы слооісенгя и теоремы
умнооюенія вѣроятностей.
Доказательство этихъ теоремъ не представляетъ затрудненій,
но соединено съ упомянутымъ выше допущеніемъ, что всѣ со-
бытія можно приводить къ равновозмоншымъ.
Теорема слошенія вѣроятностей.
Бѣроятность случиться одному изъ несовмѣстимыхъ собы-
тгй, безъ указанія, какому именно, равна суммѣ вѣроятностей
этихъ событій.
Доказательство.
Пусть будутъ
щ,••••,
Ек
несовмѣстимыя событія. Пусть далѣе
G1,C2,....,
Gn
означаюгъ случаи единственно возможные, несовмѣстимые и
равновозможные, изъ которыхъ тх случаевъ благопріятствуютъ
событію Е1, остальные же не благопріятствуютъ ему, т2 слу-
чаевъ благопріятствуютъ событію Е2, остальные же не благо-
пріятствуютъ ему и т. д.,
наконецъ, т/с случаевъ благопріят-
ствуютъ событію Ek, а остальные не благойріятствуютъ ему.
При такихъ предположеніяхъ вѣроятности событій
Ех,
E2,.
...,
Eh
выражаются, согласно опредѣленію, дробями
то
т/.
п'я'
п

Въ виду несовмѣстимости событій
Elf Ea,.
.
..,
Ek
всѣ случаи, благопріятпые для опредѣлепнаго изъ ппхъ, пе бла-
гопріятствуютъ остальнымъ изъ этихъ событій.
Поэтому, если къ т1 случаямъ, благопріятпымъ для Ег,
мы
присоедннимъ т2 случаевъ, благопріятныхъ для Е„, т3 случаевъ,
благопріятпыхъ для Е3 п т. д., наконецъ, тк случаевъ, благо-
пріятныхъ для Е,., то среди нолученныхъ нами такпмъ образомъ
т1 н- т2 -+-....
и- тк
случаевъ не будетъ одинаковыхъ.
Эти различные между собою случаи, число которьтхъ равно
т1 -+- т2 -+-....-+- т.,
благопріятсгвуютъ появленію того или
другого изъ событій
ЕЕ
Е
\J2j••'*J^k1
остальные же изъ разсматриваемыхъ нами п случаевъ
Cj,С2,, ...,
Сп
не благопріятствуютъ ни одному изъ событій
Е„ Я,,....
Ек.
Слѣдовагельно, вѣроятность появленія одного изъ событій
ЕЕ
Е
-
Cjl) 2>*" '*1J-'U1
безъ указанія, какого именно, выразится, согласно опредѣленію,
дробью
т1 -+- т2 -+-....
-+- т/с
п
Остается замѣтить, что послѣдняя дробь равна суммѣ
нm
п
71
U
и теорема доказана.

Дримѣчанге. Разсуждая подобно предыдущему, не трудно
замѣтить, что сумма вѣроятностей событій совмѣстимыхъ пред-
ставляетъ величину большую, чѣмъ вѣроятность случиться одному
изъ иихъ.
Разсматривая событія
Е1} JSa,
Ек,
какъ различные виды одного собыгія Е, мы можемъ выразить
теорему сложенія вероятностей еще слѣдующимъ образомъ:
Если нѣкоторое событіе Е разбивается
на нѣсколъко несо-
вмѣстимыхъ видовъ, то ею вѣроятностъ равна суммѣ вѣроятно-
стей всѣхъ этихъ видовъ.
Для ноясненія теоремы сложенія вѣроятностей обратимся къ
прежнему примѣру.
Вѣроя гности появленія бѣлаго шара съ No 1, бѣлаго съ N 2,
чернаго съ No 1 и чернаго съ X?. 2 выражались у насъ соотвѣт-
ственно дробями
а
Ь
с
д
ач- b ч-с -<Э'
а-+-bч-с -+-д1 о+і+ с+й'а-+-bч-с -+-д
Складывая первыя двѣ изъ этихъ дробей, получаемъ въ
суммѣ дробь
ач- b
-+-с•+•д'
равную вероятности появленія бѣлаго шара съ No 1 пли бѣлаго
же съ No 2, т.-е. вѣроягность, что вынутъ шаръ бѣлаго цвѣта.
Подобнымъ же образомъ сумма
а
с
ач-с
о+ Ъ-і-сч-д
ач- bч-с-t-д
ач- bч-сч-д
представляетъ вѣроятяость, что па вынутомъ шарѣ стоитъ No 1.
Одиимъ изъ слѣдствій теоремы сложенія вѣроятностей можно
считать такое ноложеніе:
Сумма вероятностей
событій единственно
возможныхъ и
несовмѣстимыхо равна единицѣ.

Въ справедливости этого положеиія можно убѣднться непо-
средственно; для вывода же его изъ теоремы сложенія вѣроят-
ностей достаточно замѣтить, что появленіе одного изъ единственно
возможныхъ событій представляетъ ісобытіе достовѣрное, веро-
ятность котораго равна единицѣ.
Особенно важепъ случай двухъ единственно возможныхъ п
несовмѣстимыхъ событій; такія событія мы будемъ называть
противоположными.
Каждому событію соотвѣтствуетъ противоположное, со-
стоящее въ непоявленіи перваго.
Въ прежнемъ примѣрѣ бѣлый и черный цвѣтъ вынутаго
шара будутъ два протпвоположпыхъ событія. Для иоявлепія же
бѣлаго шара съ JV? 1 противоположпымъ событіемъ будетъ по-
явленіе чернаго шара или бѣлаго съ No 2.
Сумма вѣроятностей двухъ противоположныхъ событій со-
ставляетъ единицу; поэтому, имѣя вѣроятность^ одного изъ нихъ,
мы получимъ вероятность q другого, вычтя первую вѣроятность
пзъ единицы:
Р-Н2=1,2=1—р,р=1—q.
Если событіс А достоверно, то противоположное ему невоз-
можно; тогда вѣроятность событія А равна едииицѣ, а вѣроят-
ность противоположнаTM ему равна нулю. Если же событіе А
невозможно, то противоположное ему достовѣрно; тогда вѣро-
ятность событія А равна нулю, а вероятность противоположнаTM
равна единицѣ.
Чѣмъ ближе вѣроятность событія къ единицѣ, тѣмъ больше
имѣемъ мы основаній ожидать появленія такого событія и не
ожидать противополояпіаго событія.
Въ вопросахъ ate практическая характера мы можемъ быть
вынуждены разсматривать событія, вѣроятность которыхъ бо-
лѣе или менѣе близка къ единицѣ, какъ достовѣрныя, и событія,
вѣроятность которыхъ мала, какъ невозможный.
Соотвѣтственио этому, одна изъ важнѣйшихъ задачъ исчисле-

нія вероятностей состоитъ въ разысканіи такихъ событій, ве-
роятности которыхъ близки къ единицѣ или къ нулю.
§ 4. Теорема умношенія вѣроятностей.
Вероятность
случиться двумъ событіямъ вмѣстѣ равна
произведению вѣроятности одного изъ иихъ на вероятность дру-
гого, вычисленную въ предположение
что первое гшѣетъ мѣсто.
Доказательство.
Пусть изъ п единственно возможныхъ, несовмѣстимыхъ и
равновозмояшыхъ случаевъ
Cj, С„,. . . ., Ст, Сщ-і-1,....,
Gml , Сццч-1...... Сп
благонріятствуютъ некоторому событію А первые т1 слу-
чаевъ
СцС2,. ..., Сщ,Ст-.
...
, Сщ1,
остальные же ему не благопріятствуютъ.
Пусть далѣе изъ случаевъ
Сг, С„,....,
Сщ, Ст-і-1,. . . ., Сщ1
первые т случаевъ
С,, СуСщ
благопріятствуютъ другому событію В, остальные же ему не
бл аго п ріятству ютъ.
При такихъ условіяхъ вѣроятность событія А выражается
дробью
HOI.
п
Вѣроятность же событіп В, когда извѣстно существованіе
событія А, выражается дробью
т
щ>
такъ какъ при существованіи событія А случаи
CWj+i! Сщ-і -о,. . . .,
Сп

невозможны, а случаи
Cj, С2,. ..., С'щ
остаются попрежнему равновозможными.
Наконецъ, вероятность появленія обоихъ событій А и В вы-
ражается дробью
т
—
>
и
такъ какъ оба событія А и В появляются только при случаяхъ
Ct, С2,....,
с,п.
Замѣчая, что дробь
т
п
равна произведенію
т1т
п
Ші'
мы можемъ признать теорему умноженія вѣроятностей доказан-
ною.
Для поясненія ея можетъ служить прежній нримѣръ.
Въ этомъ примѣрѣ рѣчь шла о шарѣ, вынутомъ изъ со-
суда, который содержитъ а бѣлыхъ шаровъ съ No 1, Ь бѣ-
лыхъ съJ»2,счерныхъсъNo1,дчерныхъсъЛя2инесо-
держитъ никакихъ другихъ шаровъ.
Предполагая а, Ъ, с, д числамп данными, мы установили для
вѣроятности выхода бѣлаго шара величину
ач-Ъ
а+б+с+й
Затѣмъ вѣроятность выхода шара съ No 1 выражается
дробью
«+с
«н-^+с+й1
вероятность же выхода шара съ Л1» 1, когда извѣстно; что онъ
бѣлый, выражается дробью
а
а-и-b

Помножая послѣднюю дробь на
получаемъ вели-
чину
а ч-Ъ
сі
а
а-+-Ъч-сч- д ач-Ъ
о+6+с+й'
равную вѣроятности, что вынутый шаръ бѣлый и съ No 1.
Ту же величину
д мы получимъ, если помножимъ
дробь
ач-с
січ-Ьч-с
-+- д'
равную вѣроятности выхода шара съ No. ], на дробь
а
•
•>
ач-с
которая выражаетъ вероятность, что вынутый шаръ бѣлаго
цвѣта, когда извѣстно, что на немъ стоитъ Л1» 1.
Считаемъ не лишнимъ выразить теорему умноженія вѣроят-
ностей Формулою:
(2)
(АВ) = (А)(В, А) =
(В)(А,В),
гдѣ (АВ) означаетъ вѣроятность ноявленія двухъ событій An В
вмѣстѣ, (А) и (В) означаютъ соотвѣтственно вѣроятностп собы-
тій А и В, наконецъ, (В, А) означаетъ вѣроятность событія В,
когда извѣстно существованіе А, и (А, В) означаетъ вероят-
ность событія А, когда извѣстно существовапіе В.
Теорема умноженія вѣроятностей можетъ быть слѣдующимъ
образомъ распространена на случай многихъ событій:
Если, расположивъ
нѣсколько событій въ любомъ порядкѣ,
мы возьмемъ вѣроятность тждаго изъ нихъ въ
предположены,
что предыдущая гшѣютъ мѣсто, то произведете
всѣхъ этихъ
вѣроятностей будешь выражать вероятность
случиться всѣмъ
разсматр иваемымъ событіямъ вмѣстѣ.
Соответственно этому можемъ написать Формулу
(ОД....
ЯА) = (Д) (Е2, Б,) (Е3, ОД).... (Ек,
ОД.... Ек_г),

гдѣ (Е1Е„.
• • . Eh) означаетъ вероятность случиться всѣмъ
событіямъ Е1, Е2. . . . Ек вмѣстѣ, символъ (Д) означаетъ вѣ-
роятность событія Е1, и наконецъ нодъ (Еѵ Е1 Е„.
.
.
.
при г— 2, 3... . к, мы подразумѣваемъ вѣроятность событія
Е(, когда извѣстно существованіе событій
Е2,...
.
Е{_г.
Къ указанному обобщенію теоремы умноженія вероятностей
мы можемъ придти, переходя послѣдователыю отъ случая двухъ
событій къ случаю трехъ, отъ случая трехъ къ случаю четырехъ
событій и т. д.
Для выясненія хода разсужденій достаточно показать, какимъ
образомъ случай трехъ событій сводится къ случаю двухъ со-
бытий, такъ какъ подобнымъ же путемъ случай четырехъ собы-
тій сводится къ случаю трехъ событіи и т. д.
Для того, чтобы существовали три событія
ЕЕЕ
необходимо существованіе двухъ изъ нихъ.
Если разсматривать затѣмъ существованіе двухъ событій
Ег и Е2, какъ одно событіе Е, то существованіе трехъ событій
Еѵ Е2, Е3 будетъ тождественно существованію двухъ событій
FnE3.
Поэтому, примѣняя два раза теорему умнояіенія вероятно-
стей для разсмотрѣннаго уже случая двухъ событій, можемъ
установить два равенства
(Е1Е2Е3) = (Е1Е2) (Е3,
Е,Е2)
(Е1Е2) =
(Е1)(Е2,Е1),
изъ которыхъ тотчасъ выводимъ
(Е1Е2Е3) = (Е1) (Е2, Д) (Еа,
ЕгЕ2).
Теорема умноженія вѣроятностей упрощается въ одыомъ
важномъ случаѣ, когда дѣло идетъ о событіяхъ
пезависимыхг.
Нѣсколько событій
Ег,
Е2,..
.
Ек

мы называемъ независимыми другъ отъ друга, если вероятность
каждаго изъ нихъ не зависитъ отъ существованія или песуще-
ствованія остальныхъ, такъ что никакое указаніе на существо-
вате или несуществованіе какихъ-ппбудь изъ событій
ЕЕ
Е
не мѣияетъ вѣроятностей прочихъ.
Если событія
ЕѵД,,....,
Ек
не зависятъ другъ отъ друга, то вероятность каждаго изъ нихъ
при существованіи предыдущихъ, разсматриваемая въ теоремѣ,
совпадаетъ съ вѣроятностью того же событія, опредѣленною не-
зависимо отъ существованія или несуществованія другихъ.
Соответственно этому, примѣпяя теорему умноженія веро-
ятностей къ независимымъ событіямъ, мы можемъ придать ей
слѣдующее болѣе простое выраженіе: вѣроятностъ
случиться
нѣсколъкимъ независимымъ событіямъ вмѣстѣ равна произведенгю
ихъ вѣроятностей.
Примѣчаиіе 1. Попятіе о незавнсимыхъ событіяхъ можно
считать вполне яснымъ въ извѣстныхъ теоретнческихъ вопро-
сахъ; въ другихъ же вопросахъ это понятіе, конечно, можетъ
совершенно затемняться вмѣстѣ съ затемненіемъ основного по-
пятія о вѣроятности.
Пргшѣчанге 2. Во многихъ случаяхъ зависимость или неза-
висимость сббытій другъ отъ друга можетъ обусловливаться не
только сущностью этихъ событій, но и данными, прп которыхъ
разсматриваются ихъ вѣроятности.
Такіе случаи будутъ приведены въ шестой главѣ.
Теоремы о сложеніи и умножевін вероятностей, въ связи съ
вышеуказанной аксіомой, служатъ незыблимымъ основаніемъ для
исчисленія вероятностей, какъ отдела чистой математики.
Въ однихъ случаяхъ one даютъ намъ искомыя вероятности
непосредственно; въ другихъ же случаяхъ доставляютъ урав-
2*

неиіл для разысканія вероятностей, существовать которыхъ,
какъ неизвѣстныхъ величинъ, мы доляшы предварительно до-
пустить.
Литература.
Laplace. Theorie analytique des probabilites. 1812. 1886.
Lacroix. Traite elementaire du calcul des probabilites. 1808.
Poisson. Recherches sur la probabilite des jiigements, en
matiere criminelle et en inatiere civile. 1837.
Буняковскій. Основанія математической теоріи вѣроятно-
стей. 1846.
Bertrand. Calcul des probabilites. 1889.
Poincare. Calcul des probabilites. 1896. 1912.
Kries. Die Principien der Wahrscheinlichkeitsrecknung. Eine
logische Untersuchung. Freiburg, 1896.
Stumpf. Ueber den Begriff der mathematischen Wahrschein-
lichkeit. (Berichte der bayrischen Akademie. 1892).
Goldschmidt. Die Wabrscheinlichkeitsreclmung. Yersuch
einer Kritik. 1897.
Czuber. Die Entwicklung der Walirsclieinlicbkeitstheorie
und ihrer Anwendungeu. 1899.
Czuber. Wakrscheinlichkeitsrechnung und ilire Anwendung
auf Felilerausgleichung, Statistik und Lebensversiclierung. 2te Auf-
lage. 1910.
Bruns. Wahrscheinliclikeitsreclmung und Kollektivmasslehre
1906.
А. А. Чупровъ. Очерки по теоріи статистики. 1910.
М. Волковъ. Ученіе о вѣроятностяхъ. 1913.

ПАВА II.
О повторѳніи иепытаній.
§ 5. Одна изъ важныхъ задачъ псчисленія вероятностей со-
стоитъ въ разсмотрѣніи возможныхъ результатовъ нѣсколькихъ
испытаній, при каждомъ изъ которыхъ можетъ случиться неко-
торое событіе Е.
Условимся отличать эти испытанія другъ отъ друга нуме-
рами
1
0
„
1,
о,
....
п будемъ обозначать буквою F, для каждаго изъ пихъ, событіе,
противоположное событію Е.
Останавливаясь сначала на двухъ испытаніяхъ, мы можемъ
различить четыре случая:
ЕЕ, EF, FE, ЕЕ.
Первый изъ этпхъ случаевъ состоитъ въ появленіи событія
Е при обоихъ нспытаніяхъ; второй — въ появленіи Е при пер-
вомъ испытаніи и непоявленіи Е при второмъ испытанін и т. д.
Прежде чемъ приступить къ разсмотренію вероятностей
указаиныхъ нами четырехъ случаевъ, установимъ понятіе о не-
завнсимыхъ испытапіяхъ, которыми и будемъ исключительно за-
ниматься.
Несколько испытаній мы называемъ независимыми по отно-
шение къ событію Е, если вероятность событія Е при каждомъ
изъ нихъ не зависитъ отъ результатов!, прочпхъ; эти вероят-
ности мы предполагаемъ, конечно, установленными соответ-
ственно некоторьшъ даннымъ, остающимся неизменными.

Въ противномъ случае мы назовемъ испытаиія связанными.
Предполагая разсматрпваемыя два испытанія независимыми,
обозначимъ черезъ рх вероятность событія Е при первомъ испы-
тании, а черезъ р2 вѣроятпость событія Е при второмъ пспы-
таніи.
Тогда вероятность F при первомъ испытапіп будетъ выра-
жаться разностью 1 —рх, которую мы обозначимъ черезъ д,; ве-
роятность же событія F при второмъ испытаніи выразится
разностью 1—р2, которую мы обозначимъ черезъ q2.
При такпхъ предположеніяхъ и обозиаченіяхъ, пользуясь
теоремой умноженія вѣроятностей, находимъ для вышеупомяну-
тыхъ четырехъ случаевъ
ЕЕ, EF, FE, FF
соответственно слѣдуюіція вероятности
PiPz, Р1І2, <hVv
Разсматривая затѣмъ второй и третій случаи какъ частные
виды одного событія, состоящаго въ однократиомъ появленіи
событія Е, заключаемъ, что вероятность однократнаго появле-
нія событія Е, при разсматриваемыхъ нами двухъ испытаніяхъ,
выражается суммою
Итакъ, различая при двухъ испытаніяхъ три случая, изъ
которыхъ первый состоитъ въ двукратномъ появленіи событія Е,
второй въ однократномъ его появлепіи и третій въ совершеппомъ
непоявленіи событія Е, мы находимъ для этихъ случаевъ такія
вероятности:
РіР 2» ft іРя> (h (h-
Заметимъ, что эти три числа представляютъ соответственно
коеФФиціенты при Н2, \ и
въ разложеніи ироизведенія
(ft \ -+- 2i) (ft -+- 9Я)
по степенямъ произвольпаго числа

Не трудно также видѣть, что сумма найдепныхъ нами вѣро-
ятностей
РхР» VAt + hlh, h
составляетъ единицу, какъ и должно быть для вѣроятностей
единственно возмоя;ныхъ и несовмѣстимыхъ событій.
Обращаясь къ тремъ испытаніямъ, мы можемъ различить
восемь случаевъ, которые, подобно прежнимъ четыремъ, пред-
ставимъ такъ:
ЕЕЕ, EEF, ЕЕЕ, FEE, EFF, FEF, FEE, FFF.
Предполагая три нспытанія независимыми, присоединимъ къ
прежнимъ обозначеніямъ
Р\1Я.11 Р2J Я.21
которыя относятся къ первымъ двумъ испытаніямъ, соотвѣтствен-
ныя обозначенія
Ра, 2з
для вѣроятностей событія Е и событія F при третьемъ пспы-
таніи.
При такнхъ условіяхъ вѣроятности вышеуказапныхъ восьми
случаевъ выраяіаются, на основаніи теоремы умноженія вероят-
ностей, произведеніями
РМ3> Р1Р2Ѣ, РіЪѴз, йМѵ РіШ, QMs,
ЧіЪРь,
ЧіШ-
Загѣмъ мы можемъ разсматривать случаи 2°
а
, З1'1 и 4ЫЙ какъ
частные виды одного событія, состоящаго въ двукратномъ по-
явленіи событія Е\ мы можемъ также разсматривать случаи 5ыЯ
,
6ойи7°
а
какъ частные виды другого событія, состоящаго въ
одпократпомъ появленіи событія Е.
Тогда при помощи теоремы сложенія вѣроятностей найдемъ,
что при трехъ испытаніяхъ вѣроятность событію Е случиться
два раза, а противополояшому одинъ, представляется суммою
PiPiq3 -ь Pi?2Рз"+- (h РгРг;
вѣроятпость же событію Е случиться одинъ разъ, а противопо-

—
24—
ложному два раза, представляется суммою
lh(h2з•+•2ilhЯі-+-Si%lh•
Итакъ, разлпчивъ при трехъ пспытапіяхъ четыре случая,
изъ которыхъ первый состоитъ въ трехкратномъ появленіи со-
бытія Д второй въ двукратномъ, третій въ однократномъ его
появленіи и, наконецъ, четвертый въ непоявленіи того же собы-
тія Д мы находимъ для этихъ четырехъ случаевъ соответственно
слѣдующія вѣроятности:
Pilhlh>lhlhЬ•+-lh(hPs-+" lh lh>
Замѣтимъ, что полученпыя нами четыре числа равны КОЭФ-
Фііціептамъ при і;3, S;3, <;, S;0 въ разложеніи произведенія
Оі S-+" ?і) (ft -
У (ft--+-?в)
по степенямъ произволыіаго числа
сумма же ихъ составляетъ
единицу.
Прежде чѣмъ перейти къ обіцимъ Формуламъ для любого
числа независимыхъ пспытаній, пояснимъ частнымъ примѣромъ
разнпцу менаду независимыми и связанными иснытаніями.
Полояшмъ, что мы выпимаемъ послѣдовательно нѣсколько
шаровъ изъ сосуда, содержаіцаго а бѣлыхъ и Ъ черныхъ шаровъ
п не содержащего никакихъ другихъ шаровъ.
Разсматривая затѣмъ вынимапіе каждаго шара, какъ отдѣль-
ное иснытаніе, различимъ столько испыганій, сколько мы выпемъ
шаровъ. Каждое испытаніе приводить къ появлепію одного шара
опредѣлепнаго цвѣта; бѣлый цвѣтъ шара мы назовемъ собыгіемъ
Д а черный событіемъ F.
Различимъ теперь два нредположенія.
Сначала, чтобы пмѣть примѣръ независимымъ испытаній,
полоячимъ, что каждый вынутый шаръ тотчасъ возвращается
обратно въ сосудъ для сохрапенія неизмѣнпымъ какъ числа бѣ-
лыхъ, такъ и числа черныхъ шаровъ въ сосудѣ.

Тогда вероятность событія Е сохраняетъ для каждаго испы-
танія одну и ту же величину
а
й+ й'
независимо отъ результатовъ прочихъ испытаній; такъ какъ
каждый шаръ мы вынимаемъ изъ сосуда, содержащаго а бѣлыхъ
и Ь черныхъ шаровъ.
Перейдемъ къ другому предположенію, при которомъ раз-
сматриваемыя нами иснытанія будутъ уже связанными, именно,
ноложимъ, что вынутые шары не возвращаются обратно въ
сосудъ. При такомъ предиоложеніи вероятность событія Е для
каждаго испытанія сохраняетъ прежнюю величину
а
ач- Ь
до тѣхъ поръ, пока результаты прочихъ остаются неопределен-
ными. И не трудно опредѣлить, какъ изменяется эта вероятность
по мбре выясненія результатовъ некоторыхъ испытаній.
Напримеръ, если известно, что вынутъ одинъ белый шаръ,
то вероятность вынуть другой белый шаръ выразится дробью
а—1
а-+- b— 1»
такъ какъ этотъ другой шаръ долженъ принадлежать къ совокуп-
ности а + 5 — 1 шаровъ, содержащей а—1 бЬлыхъ п Ъ черныхъ
шаровъ. Если же известно, что вынутъ одинъ черный шаръ, то
вероятность, что какой-нибудь другой изъ вынутыхъ нами ша-
ровъ белый, выразится дробью
а
а ч-Ь
—
1'
такъ какъ этотъ другой шаръ долженъ принадлежать къ
совокупности а н- Ъ
—
1 шаровъ, содержащей а бЬлыхъ и Ъ — 1
черныхъ шаровъ.
И вообще, - если среди вынутыхт, нами шаровъ известно
а белыхъ и (3 черныхъ, то для каждаго изъ остальныхъ вероят-

—
26
—
ность, что опъ бѣлый, выразится дробью
а—а
о-і-Ъ
—
а—р»
такъ какъ этотъ шаръ должеиъ принадлежать къ совокупности
ач-Ъ— а.—[3 шаровъ, содержащей а — а бѣлыхъ и Ъ — [3 чер-
ныхъ шаровъ.
§ 6. Обратимся къ общимъ Формуламъ.
Теорема. Если для п независимыхъ испытаны, которыя мы
отличимо другъ отъ друга нумерами
1,2,3
п,
вероятности
событія Е выражаются соотвѣтственно
числами
Рі> ft>
.
ft,
то вероятность,
что событіе Е появится въ эти п испыта-
ны ровно т разъ, можетъ быть определена, какъ коэффицгентъ
при
въ разложеніи
произведенія
Ор1 I ч- 2l) (р2 l4-q2)
(pnZ-i -qn)
по степенямъ произвольная
числа
при чемъ
?1= 1
—
ft,За= 1
— ft)
» (ln=l
—ft-
Для ознакомленія съ пріемами исчисленія вероятностей мы
дадимъ два доказательства этой теоремы
Первое доказательство.
Событіе, вероятность котораго мы ищемъ и которое состо-
ять въ появленіи Е ровно т разъ при п испытаніяхъ, можпо
разбить на несколько несовместимыхъ видовъ. Каждый изъ этихъ
видовъ состоитъ въ появленіи событія Е при т определенныхъ
испытаніяхъ и непоявленіи Е при осталыіыхъ п—т испытаиіяхъ.
Вероятность, что событіе Е появится при т определенныхъ
пспытаніяхъ и не появится при остальныхъ п—т испытаніяхъ,
определяется по теореме умноженія вероятностей.
Именно, въ силу этой теоремы вероятность, что событіе Е

появится при испытаніяхъ, обозначенныхъ нумерами
«2,
,
«т,
и не появится при остальныхъ п — т испытаніяхъ, выражается
произведеніемъ
j»«S
%n~W
гдѣ
Pi>Pa>•••*> Рм—m
нумера остальныхъ испытаній. Замѣтимъ, что произведепіе
рчр*2
2Ра
%п-т
можно получить изъ произведенія
2.2а-•••%
черезъ замѣну множителей
2ац 1гн ;••••> 2«т
множителями
І>«1» Ра2,
, ІЧг
Опредѣливъ вѣроятпости каждаго изъ упомянутыхъ нами
видовъ и сложивъ ихъ, согласно теоремѣ сложенія вѣроятностей
получимъ искомую вѣроятиость событію Е появиться ровно
т разъ.
Итакъ, вероятность, что въ разсматриваемыя нами п испы-
таній событіе Е появится ровно т разъ, выражается суммою
всѣхъ произведеній, которыя можно получить изъ одного
ffl 2а ?8
2»
черезъ замѣну въ т мѣстахъ буквы q буквою p.
Тою же суммою, какъ известно, выражается коэФФиціентъ
при
въ разложеніи произведенія
(Р1I-+-2і)(Р*5-+"22)
О» ^•+•2„)
но стененямъ произвольнаго числа
Такимъ образомъ теорема доказана.

Второе доказательство.
Подразумѣвая подъ буквою к любое изъ чиселъ
1, 2,
,п,
а подъ буквою г любое изъ чпселъ
О, 1, 2,....,
к,
обозначимъ спмволомъ
вероятность, что въ к пспытаній, отмѣченныхъ нумерами
1, 2,....,
к,
событіе Е появится ровно і разъ.
Затѣмъ, вводя произвольное число і;, ноложимъ
и раземотримъ рядъ Функцій
?!
<h
?„_х
?„
Первая изъ нихъ <рх (£), очевидно, равна
Рі\+
Остальныя же мояіно опредѣлить последовательно на осно-
ваніи такой общей Формулы
которую мы сейчасъ установимъ.
Для памѣченной цѣли выяснимъ связь между
Р{
иРі.k И
Pi-l,k
при
ОС гС A;-f-1
и обратимъ вииманіе на равенства
Р/СЧ-1, /сч-1
~
Р/іЧ-1 Р/с, к
П
Ро, ІіЧ-1
—
Чк-( -1 Ро, k'
При
О<і<к-+•1

событіе, вѣроятность котораго обозначена символомъ
р
і, 7;н-1'
можно разбить на два вида въ зависимости отъ результата /м-1
го
испытанія, которое можетъ сопровождаться появленіемъ или не-
появлеиіемъ событія Е.
Если при йч-І3"" испытаніи событіе Е имѣетъ мѣсто, то для
того, чтобы общее число его появленій при Тс -+- 1 испытаніяхъ,
обозначенныхъ нумерами
1,2,...., к, Тс-л-1,
равнялось і, это событіе Е должно появиться при к испытаніяхъ,
обозначенпыхъ пумерами
1, 2,...., Тс,
ровно і — 1 разъ. Если же при йн-І3TM испытаніи событіе Е не
имѣетъ мѣста, то для того, чтобы общее число его появленій
при к -+ -1 испытаніяхъ, обозначенныхъ пумерами
1, 2,....,
к,
кч-1,
равнялось і, это событіе должно появиться при к испытаніяхъ,
обозначенныхъ нумерами
1, 2,...., Тс,
ровно г разъ.
По теоремѣ умноженія вероятностей вѣроятность перваго
вида выражается произведеніемъ
Pk-l -l
,/;)
а вѣроятность второго — произведеніемъ
Якч-1 РІ,ІГ
Слѣдовательно, въ силу теоремы сложенія вѣроятностей,
имѣемъ
k-t-l
~Рк-\ -\ Рі—1, к 3/г-н1
к•
Что касается равепствъ
^А-М, /,-1-1 —Рк-4 -1 Pj;, к И Го, кч-1
—
Як-f -l Ро, /г»

то для пхъ вывода достаточно одной теоремы умноженія веро-
ятностей.
Действительно, появленіе событія Е при первыхъ
пспытаніяхъ к -н1 разъ можно разсматривать, какъ существо-
вате двухъ событій, изъ которыхъ одно состоитъ въ появленіи
Е при
испытаніи и имѣетъ вероятность^/. ^, а другое
состоитъ въ появленіи Е при первыхъ к испытаиіяхъ к разъ и
пмѣетъ вероятность Pkjk.
Поэтому произведеніе
Ры-1 Рк, и
должно выражать вероятность событію Е случиться въ первыя
кн-1
испытаній к -+ -1 разъ, которая обозначена символомъ
-^А-Ы,
Произведете же
Як-t-i Ро,к
выражаетъ вероятность, что событіе Е не имѣетъ места при
к-+-1
ыъ
испытаніи и не появляется ни разу при первыхъ к испы-
таніяхъ; а эта вероятность совпадаетъ съ вероятностью Р0
что въ первыя 7<;-н1 испытаній событіе Е вовсе не появится.
Применяя указанный нами Формулы къ каждому изъ КОЭФ-
фиціентовъ выражеиія
получаемъ
_
I^Ѵ^+і ph'<
Pk, к5*
?,І+І
~I
- Рк^к
^--^Рк^к ^Рк-^к
^
откуда тотчасъ выводимъ
?і-н © = (flWi+Pk-,i 9(Po,кч- Ph к
••••- Рк,к**)>
что даетъ намъ вышеуказанную Формулу
(?) = (Ркч-г % "+" 96+1) 9t
такъ какъ, согласно прииятымъ обозначеніямъ, имеемъ
P0,k + Phk Z+
?+•••
-ч -Рк]Гі

Полагая 7с послѣдовательно равнымъ
1,2,3,...
я —1,
получаемъ рядъ равенствъ
Та® = (Ря?-+-%) ?і(?)= (Ра?-+"?я)(Рі% 2і),
?8 $)=(рЛ-*-Я3)
?S (§»
откуда посредствомъ умноженія плп простыхъ послѣдователь-
ныхъ подстановокъ выводимъ Формулу
(3)
?„ ® = & 5-»-ffl) о2 5н- <?2).... (рп 5 -+- д„),
равносильную теоремѣ.
§ 7. Остановимся на важномъ частпомъ случаѣ доказанной
нами теоремы; именно, на томъ случаѣ, когда извѣстныя намъ
условія для всѣхъ испытаній одинаковы и когда соотвѣтственно
этому всѣ вѣроятпости
Pi, Pa,
,Рп
имѣютъ одну и ту же величину, которую мы обозначить просто
буквою р. Тогда произведете
Оі5-+-гО(р2I-+-g2)— (Ря
In)
обращается въ степень двучлена
(pl-^чГ,
гдѣ
q=1—p.
И, въ силу извѣстной Формулы Ньютона, имѣемъ
(4)
Р=
1-2- -- -»
тпт
ѵ
>
т,«
1.2.... т. 1.2
п— т*
Такъ выражается
вѣроятностъ, что въ п независимыхъ
испытаны событіе Е появится ровно т разъ, если для каок-
даго испытанія, въ отдѣлъиости, вѣроятностъ этого событія
равна р.

Выраженіе Р„ь„; определенное Формулою (4), мы будемъ
разсматривать при всѣхъ возможныхъ значепіяхъ т.
Такимъ образомъ получимъ рядъ чиселъ
-^о,n—2 j
1
'
1.2
^
1
'
которыя последовательно представляютъ вероятности, что число
появленій событія Е, при и испытаніяхъ, имеетъ значенія
О, 1, 2,....,
п.
При произвольно заданныхъ величипахъ р и п поставпмъ
себе целью найти, для какого значенія т выраженіе
р
1.2.... п
т п—т
т,"
1.2
от.1.2
[п—т)1 %
достигаешь своей наибольшей величины?
Это значеніе т мы назовемъ наивѣроятнѣйшимъ
числомъ
появленій событія Е, такъ какъ ему соответствуем наибольшая
вероятность
Рт-п -
Для разысканія наивероятнейшаго числа появленій событія
Е сравнимъ между собою каждые два смежныхъ члена ряда
Р
Р
Р
Р
разсматривая ихъ отношеніе другъ къ другу.
Простое деленіе даетъ намъ равенство
Joth-1, п
п—тр
Рт,п
»»+іг'
которое показываетъ, что отношеніе
Рціч-l, n
-^иг, п
убываетъ при возрастаніи числа т; отсюда вытекаютъ нера-
венства
-Pi, п
Рг,re^
^
Рп—1, п
Рп, п
г
0,П
п
'
Рп —2,П
-^п—1) ге
Выделимъ теперь два частныхъ предположенія. Пусть сначала

Тогда въ силу указанныхъ нами неравенствъ каждая изъ
дробей
п РЯ,п
Рп,п
•Рі ,п J?2,n
Рп 1,11
меньше единицы, и потому
Р
V-ъ-V
~->Р
Р
м
0,
п^
2,П
••••^J-n—1,п^
п, п'
Съ другой стороны не трудно замѣтить, что неравенство
п
равносильно неравенству
р
<!
•М),П =
1=
'
а это последнее приводится къ неравенству
п-+-1< —
=
р
посредствомъ простой замѣны числа q разностью 1 —р.
Таішмъ образомъ мы убѣядаемся, что при
п-+-1 < —
р
наивѣроятнѣйшимъ числомъ появленій событія Е, для разсма-
триваемыхъ нами п пспытаній, будетъ 0. Если же
,
1
п -1-1
=
—;
р
то для разсматриваемыхъ нами п испытаній наивѣроятнѣйшимъ
числомъ появленій событія Е будетъ не только 0, но и 1, такъ
какъ въ этомъ случаѣ имѣемъ
Р0,п—Pj,П^А,П^••••^ Р,
Подобнымъ же образомъ, предполагая
(п-ні)а<і,

нриходимъ къ неравенству
•^п—1, n
а загѣмъ выводимъ рядъ неравенствъ
РCP
СРС
Р
CP
Этотъ рядъ неравенствъ показываетъ, что прп
п-і-1< -
наивѣроятнѣйшимъ чпсломъ появленій событія Е, для разсматри-
ваемыхъ нами п испытаній, будетъ п. Если же
я-н1= |,
то наивѣроятнѣйшпмъ чпсломъ появленій событія
будетъ не
только и, но я и — 1, такъ какъ въ этомъ случаѣ имѣемъ
Po,n<Phn<----<P~
"n—ljn
n,n'
Исключая указанный два предположенія, положимъ теперь
Тогда
й+1>—
и
Й-НІ >
V
1,aj,
<1,
О,n
1 n—i,n
и следовательно рядъ убывающихъ дробей
-^І, П
Я
"Рп, П
-Ро, п
-Рі, п
Рп—1, п
содержитъ какъ числа большія единицы, такъ и числа меныпія
единицы. Отмѣчая переходъ отъ чиселъ большихъ единицы къ
Fhn^
Рігі"^
- Р[л,п
Р
Р,С''''СТ>,
1
-
1о,п
п
х
(л—1, п
.
П
п
Рп,п
I/
г;
,> т;
^
"
"
/рГ
(Л, п
1 U.H-I, n
J И—1,

Эти неравенства равносильны слѣдующимъ:
«,а
чі!,п
чі2,п
ч
•'•
1(л—l,n^
х
Iх,п
И
Р>Р
->Р
->
->Р
х
ц,и= 4|і-ы,п^ ± ц-»-2,п
•••• ^
м
п,п>
который обнарузкиваютъ, что введенное нами число [л предста-
вляетъ наивѣроятнѣйшее число ноявленій событія Е при разсма-
триваемыхъ нами п иснытаніяхъ.
Наивѣроятнѣйшимъ числомъ появленій событія Е можетъ,
кромѣ [л, быть и [л н- 1, такъ какъ возможно равенство
Р
=Р
Ц,П
(JLH-l,n"
Для опредѣленія числа [л имѣемъ неравенства
-Рц,И
И— [Л-»-1 Р^
Рц—1 ,п
И
1
и
п_ п-Ѵ-
^
J
•Р|л, п
Ц12=
'
изъ которыхъ ВЫВОДИМЪ
(п-цч-
1)р>[ід,
(п 1)р> (А(р-+-q) =
и
(я —{i)j»<(|A-bl)2, пр —
=
слѣдовательно
пр-±-р >
—
д.
Числа пр-л-р
и пр — <і отличаются другъ отъ друга только
на одну единицу. Поэтому, если пр -+-р число дробное, то пр—q
также число дробное и въ промежуткѣ
отъпр—2Д° пр-*-р
заключается только одно цѣлое число.
Тогда наивѣроятнѣйшимъ числомъ появленій событія Е бу-
детъ одно число, р., опредѣляемое неравенствами
пр-+-р>и.> пр—q,

какъ цѣлое число, лежащее въ промежуткѣ
отъ пр — q до пр-л~р.
Если же пр-+ -р> число цѣлое, то пр — q также число цѣлое,
и нѣтъ никакого цѣлаго числа р, которое удовлетворяло бы не-
равенствамъ
пр-+-р>р>пр—q.
Слѣдовательно въ этомъ случаѣ мы должны положить
{х= пр—q,
и напвѣроятнѣйшимъ числомъ появленій событія Е будетъ, кромѣ
р, также и число р -+ -1, равное пр-+ -р, такъ какъ при существо-
вании равенства
р= пр—q
должно быть
V
—V
(Л, п
(JH-1 п •
Для примѣра полояшмъ
2
и дади.мъ п послѣдовательно два значенія:
п=4,п=5.
При п = 4 сумма пр-л-р
обращается въ цѣлое число 2, и
потому мы должны имѣть не одно паивѣроятнѣйшее число по-
явленій событія Е, а два такпхъ числа, одинаково вѣроятныя:
пр -+-р
=
2 и пр — 2 —1; действительно имѣемъ
81
т,
ті
216
-г,
р
625'
i,і
625"
т>
р
р
tm
р
j^L
р
^ 0,4 620'
М
V
'
с
2
При п — 5 сумма прч-р принимаешь дробное значеніе 2-ну>
п дѣлое число р, опредѣляемое неравенствами
пр-+-р
=
2-+-£•>
р>пр
—
2=2—у,
равно 2. Соответственно этому наивѣроятнѣйшимъ числомъ по-

явлеыій событія Еищ п = 5 должно быть 2; действительно имѣемъ
Р
243_
J
р
1080
р
_720_
0,5 — 3125'
^1,5
3125'
2,5 3125'
3,5
3125'
р
240
р
32
4,5 3125'
5,5
' 3125*
§ 8. Въ дальнѣйшихъ выводахъ мы будемъ предполагать
число р постояннымъ, а п перемѣннымъ, которое можно увели-
чивать безпредѣльно.
И преяіде всего замѣтимъ, что при такомъ предположеніи
отношеніе наивѣроятнѣйшаго числа появленій событія Е къ со-
ответствующему числу испытаній должно приближаться къ пре-
делу^, когда число испытаній п возрастаетъ безпредельпо.
Въ самомъ деле, наивероятнейшее число появленій собы-
тія Е при п пспытаніяхъ, по доказанному, не меньше пр— g я
не больше пр-+-р. Поэтому его отношеніе къ числу испытаній
не меньше р — — и не больше ян-—-
Числа же
^
п
п
Ч„
V
р
И J0-+-
—
-Г
п
-г
п
оба приближаются къ одному и тому же пределу р, когда п
возрастаетъ безпредельпо.
Следовательно, при безпредельномъ возрастаніп числа испы-
таній, огношеніе наивЬроятнейшаго числа появленій событія Е
къ числу испытаній должно приближаться къ тому же предЬлу р.
Полученный нами выводъ относительно напвероятнейшаго
числа появленій событія Е не можетъ служить, отдельно взя-
тый, оспованіемъ для серьезныхъ заключеній о томъ, чего дол-
жно ожидать при многократномъ повтореніп испытаній, такъ
какъ вероятность, что число появленій событія Е точно равно
своей наивероятнейшей величине [л или
приближается къ
пределу нуль, когда число испытаний возрастаетъ безпредЬльно.
Разсматривая же вместе съ наивероятнейшимъ и смежный
зпачепія числа появленій событія Е и пзслѣдуя ихъ вероятности,
мы установимъ весьма важную теорему Якова Бернулли.

Теорема Бернулли.
Если имѣемъ неограниченный рядъ независимыхъ испытангй
и для всѣхъ ихъ, въ отдѣльностгі, вѣроятность нѣкотораго
собьітія Е одинакова, то при достаточно большомъ числѣ
этихъ испытангй будетъ сколь угодно близка къ достовѣрности,
т. е. къ едшшцѣ, вѣроятностъ, что отношеніе числа появленій
событія Е къ числу испытангй сколь угодно мало отличается отъ
вѣроятности событгя Е для каждаго изъ нихъ въ отдѣлъности.
Иначе сказать, если р означаетъ вѣроятность событгя Е
для каждаго испытангя, п число ихъ и т число появленій собы-
тгя Е, то при достаточно болъгиихъ значеніяхъ п вѣроятность
неравенствъ
т
—
е<
р< Н-£
^
га
х
^
будетъ больше 1—г,, каковы бы ни были данныя положитель-
ныя числа £ и Г;.
Извѣстно нѣсколько доказательствъ теоремы Бернулли.
Одно изъ ппхъ принадлежитъ самому Якову Бернулли и
изложено въ его сочпненіи «Ars conjectandi», которое нздано въ
1713 г., нослѣ смерти Якова Бернулли, его племянникомъ Нпко-
лаемъ Бернулли. Мы не остановимся на этомъ замѣчательномъ
элемеятарномъ, но довольно сложномъ, доказательствѣ и нри-
ведемъ здѣсь, съ небольшими измѣненіями, доказательство Ла-
пласа, которое соединено съ выводомъ весьма употребительной
приблпяіенной Формулы.
Выводя эту приближенную Формулу, мы установимъ теорему
о предѣлѣ вѣроятностей, которую назовемъ теоремой
Лапласа.
§ 9. Теорема Лапласа.
Пусть п означаетъ число независимыхъ испытангй, р вѣро-
ятность событгя Е для каждаго изъ нихъ, q = 1 —р вѣроят-
ность противоположнаго событгя, т—число появленігі событгя
Е при всѣхъ этихъ испытаніяхъ, наконецъ tx и t2 — какія-нгібудь
два числа, при чемъ для опредѣленности положимъ t2~^>t1.
Если р, tx и t2 остаются безъ измѣненгя, а п возрастаетъ

безпредѣльно, то вероятность выполненія неравенствъ
пр-+-11У2npq< т<<пр-+-t2У2npq
приближается къ предѣлу
-у= I* e-<4t.
Y-к J
Доказательство теоремы Лапласа.
Вѣроятиость выполненія неравенствъ
пр-+-11У2npq< т< пр-+-t2 y2npq
ничто иное какъ вероятность, что число появленій событія .Еимеетъ
одно изъ значеній, лежащихъ въ промежутке
отъ пр -+ -11 У2прд до пр -+ -У 2npq.
Поэтому ея вычисленіе, въ силу теоремы сложенія вероятно-
стей, сводится къ определению всехъ возможныхъ значеній п,е~
лаго числа от, лежащихъ въ указанномъ промежутке, затемъ къ
вычисленію для каждаго изъ этихъ значеній от соответствующей
вероятности, что число появленій событія Е mrberb именно та-
кое значеніе, и наконецъ къ сложенію всехъ этихъ вероятностей.
Съ другой стороны мы знаемъ, что вероятность каждаго
определеннаго значенія от выражается, согласно Формуле (4),
произведеніемъ
1.2.3 ... . п
т п—т
1—т)" "
1.2
те.1.2
(п—т}'
Следовательно, обозначивъ вероятность неравенствъ
пр-+-t1y2npq< т< пр-+-t2У2npq
символомъ
имеемъ
Пр -»- <2
Щ
Q
пр -+- ti Vinpq
пр -+-12 V2 npq
Q =SP
,
*
m,n'
np-t -tj V2npq

а суммированіе S распространяется на всѣ значенія цѣлаго
числа т, удовлетворяющія неравенствамъ
пр-+-txV2npq < т< прн-t2У2npq.
Приступая къ разсмотрѣнію суммы
n>
ПОЛОЖИМЪ
т= пр-+-г У'2прс[
и такимъ образомъ введемъ вмѣсто цѣлаго числа т новое нере-
мѣнное z, которое ограничено неравенствами
t,<z<t2
и условіемъ, что np-t -z
У 2npq должно быть числомъ цѣлымъ.
При безпредѣльномъ возрастании п всѣ значенія т, на кото-
рый распространяется разсматриваемая нами сумма, возрастаютъ
безпредѣльно вмѣстѣ съ соотвѣтствующими величинами
п—m
—
nq— г V2npq.
Поэтому при отысканіи предѣла суммы
2Р
?)?, п
мы можемъ къ каждому изъ трехъ произведены
1.2....»,
1.2
....
от, 1.2
.
.
.
.
(п— т)
прпмѣнить извѣстную Формулу Стпрлинга, въ силу которой
имѣемъ
.
2
х
предѣлъ I —"'' — -
=1.
[У2тіхXхе Х)х = оо
Замѣняя въ выраяіеиіи

произведенія
1.2 .... п, 1.2.
...
т,
1.2 .... (и —
согласно Формулѣ Стирлинга, произведепіями
т „—п+т
У2тУ2тштте
-т
,
У2тс(и—т) (п—ш)«-
получаемъ новое выраженіе
,
/
2тт
^
«г, п
у2-кт .27t(га—т)тте
т
(га — т)п
—
т
е — п-і-т
п—т
га/пр\т/ nq\п
у2-кт(га—т)\т) \га—то/
и такимъ образомъ приходимъ къ новой суммѣ
т, п>
которая распространяется на тѣ же зпаченія т, какъ и сумма
т,п
При достаточно болынихъ значеніяхъ п, всѣ отношенія сла-
гаемыхъ Рт „ одной суммы къ соотвѣтствующимъ слагаемымъ
Р'т, п другой будутъ сколь угодно близки къ единицѣ. Поэтому
предѣлъ (у р'"'
п
)
=
1
\-'-
r
m,n/n = со
и слѣдовательно
предѣлъ S Р = предѣлъ 2 Р'
п,
П= со
п= оо
если только можно установить существованіе предѣла одной изъ
этихъ суммъ, что и будетъ нами выполнено относительно hP'm^n.
Выраженіе Р'т п можно разсматривать, какъ произведете
двухъ множителей
1/
п
(щЛт/щ\п~
т
У2-кт(га—т)
\т) \п—т)
Останавливаясь сначала на второмъ изъ этихъ множителей,

положимъ
/»Ѵ» /и — »t\w
—
т
- ррг
\«Р/\«3/
и разсмотримъ log Ж съ цѣлыо доказать равенство
преділъ (log W—г2) = 0.
п=ОО
Въ силу равенствъ
«г= пр-+-гУ2npq и п—т = ng—#1^2npq
имѣемъ
£_ I/2д и
—
'"_
j £_ v/IE.
яр
У1ГГР
щ
Y~nV1
Подставляя въ W эти выраженія — и
w
~
m
черезъ г и
1
пр1Щ1
принимая во вниманіе, что при достаточно большихъ значеніяхъ
п всѣ значенія произведеній
•Лl/M и
Yп TP
у11У 2
будутъ сколь угодно малыми, послѣдовательно получаемъ
=
гУ2npq—qz2-+-2qz2 -ь
—zУ2npq—pz2-+-
2pz2 —I —....
и наконецъ
&
Yи
n
Yn3
'
такъ какъ
—
2+ 2g-—pи-2p= q
=
1.

Не составляя коэффиціентовъ
а,[3,у
намѣченнаго нами разлояіенія
log W— s2
въ рядъ по степенямъ —L=, мы по одному виду ряда можемъ
У11
заключить, что сумма его
UZ3
'(Zs
Y~rt
п
Уф~
должна приближаться къ нредѣлу пуль, когда п возрастаетъ без-
предѣльно, а в остается въ данномъ промежуткѣ.
Итакъ, при безпредѣлыюмъ возрастаніи п разность
log W— z2
дѣйствительно приближается къ предѣлу нуль, и потому отно-
шеніе
~W
приближается къ предѣлу единица.
Обращаясь къ другому множителю выраженія Р'т п,
замѣ-
тимъ, что разность каждыхъ двухъ смежныхъ значеній в имѣетъ
одну и ту же величину, и условимся обозначать ее символомъ Дв.
Величина Ав опредѣляется тѣмъ соображеніемъ, что смеяч-
нымъ значеніямъ z доля^ны соотвѣтствовать смежныя же значе-
вія т, которыя отличаются другъ отъ друга на единицу.
Соотвѣтственио этому имѣемъ
т—пр-+-вУ2npq,
т-+-1
—
пр -+- (в -+- Дв)У 2npq,
т—1= прн-(z—As)У2п}Щ,
и отсюда выводишь
У 2npq

Разсматрнвая затѣмъ отпошеніе
Дг
~\/
п
уТ къ
ѵ
последовательно получаемъ
ДгА0 .
-J/
п
I/т
Yтг
р
(и—»і)
ГпР щ
н отсюда заключаемъ, что при достаточно большихъ значепіяхъ
w это отношеніе будетъ сколь угодно близко къ единице, при
всѣхъ разсматриваемыхъ нами величинахъ г.
Изъ доказаннаго нами слѣдуетъ, что при разысканіи пре-
дела суммы
SP'
т,п
мы можемъ вместо
л/
п
и
(пр\т/ Щ V"
\2лиг(•» —иг)
\ИІ/ \И—Т)
соответственно взять
1
W
Дг
„2
ие".
У7Г
Мы получимъ такпмъ образомъ вместо Р'НІ п новое выра-
іе
отношеиіе котораго къ Р'т п,
при достаточно большихъ зпаче-
ніяхъ п, будетъ сколь угодно близко къ единице для всехъ раз-
сматриваемыхъ нами значеній г. И подобно равенству
пределъSР п =
гіределъ 2 Р'
п
П=со
'
п=со
'
можемъ установить другое
пределъ SP'
=
пределъ SP"
,
п= со
'
п= со

при чемъ всѣ суммированія распространяются на одни и тѣ же
значенія z. Обращаясь къ суммѣ
ѵр"
1-4
т, п'
положимъ, что наименьшимъ возможнымъ значеніемъ z будетъ zl,
а наибольшиыъ г2. Тогда должно быть
г1—Az<
< z1,
z2<t2<_z2-h-
Az,
и совокупность разсматриваемыхъ нами значеній z представится
арифметическою прогрессіею
glt z1 -+ -Дз,
-4-2Дг,. . . .,
z2—Az,z2.
При безпредѣльномъ возрастаніи и разность
Дг=
.
1
;
У2NPQ
каждыхъ двухъ смежныхъ значеній приближается къ предѣлу
нуль, равно какъ и разности
г
\
И
Ч
)
которыя меньше, чѣмъ As, такъ что
предѣлъ Az = 0,
предѣлъ z1 — tl,
предѣлъ z2 =
t2.
п=со
«=со
«=со
На этомъ основаніи, въ силу извѣстныхъ предложеній объ
опредѣленныхъ интегралахъ, пе трудно заключить, что при без-
предѣлыюмъ возрастапіи п сумма
ур"
равная
-^L [е- *і2 -+- е~
+ Дг) -+- е- (*і -+"2Лг)2 -н
-не- *22],
>тс
приблигкается къ предѣлу
УтгJ.
h

а вмѣстѣ съ нею къ тому же предѣлу должны приближаться и
другія двѣ суммы:
т,п 11
т, г»"
Такимъ образомъ теорема Лапласа доказана.
Принимая же предѣлъ вѣроятности за приближенную ея ве-
личину, получаемъ приближенную Формулу
np-t-t2 Yinpq
1
t2
(5)
<?.
*y=J
«—&*).
пр -+- ti V2npq
h
Въ частности при
имѣемъ
«у -t-t V2npq
9
J
(6)
Q ФуL[e~"d*.
np—tV2npq
®
Примѣчаніе. Вмѣсто Формулы (6) Лапласъ въ своемъ извѣст-
номъ сочиненіи «Theorie analytique des probabilites» устано-
вилъ другую приближенную Формулу. Мы не станемъ выводить
здѣсь Формулы Лапласа, хотя въ извѣстныхъ случаяхъ она даетъ
возможность вычислить вѣроятность значительно точнѣе, чѣмъ то
можно сдѣлать по Формуламъ (5) и (6). Мы не станемъ также за-
ниматься оценкою погрѣшпостп приближенныхъ Формулъ (5) и (6).
§ 10. Доказательство теоремы Бернулли.
Задавъ по произволу два ноложительныхъ числа ей rj, по-
кажемъ, что при достаточно болынихъ значеніяхъ п вѣроятность
неравенствъ
.
т
-
больше 1 — YJ. Для этой цѣли станемъ, при нѣкоторой величинѣ t,
разсматривать вероятность неравенствъ
пр — t V2npq < т <^np-t-t
V2npq,
*) Для отличія приближенныхъ равенствъ отъ точныхъ мы перечерки-
ваемъ обыкновенный знакъ равенства.

равносильныхъ неравенствамъ
tYZpg ^ т__
- t Ѵ2рд_
Y~n
п
1
Yn
ГІо доказанному эта вѣроятность
пр -+- t Yinpq
Q_
пр—tV2npq
должна приближаться къ предѣлу
~
f е~*2 ds,
v
-
Jo
если t остается безъ измѣненія, а п возрастаетъ безпредѣльно.
Съ другой стороны извѣстно равенство
ГѴ-Л^,
Jo
2
которое показываетъ, что при достаточно большихъ значеніяхъ
t разность
1—4=(
е-^йг
Yr. JQ
будетъ сколь угодно мала. Поэтому, разбивъ і\ на два положи-
тельныхъ слагаемыхъ yj' и ц", т. е. положивъ
•*]= vj—•—ѵ)
при ѵ)>0 и ѵ)>О,
мы можемъ распорядиться числомъ t такъ, что будетъ
-L(
e-*dz=\—r[
У* J0
и затѣмъ назначить число п0 настолько большимъ, чтобы для
всѣхъ значеній п, удовлетворяющихъ неравенству

разность
t
прч-t У2npq
2 Г er-*d0—
Q
'i J.
i-—
У~
np—tУЧпрч
была меньше •/)".
Прпдавъ такнмъ образомъ числу t опредѣленное значеніе,
установимъ кромѣ неравенства п >• пй еще слѣдующее
fi>
Тогда вѣроятность неравенствъ
то
Р< -+-£
п
будетъ больше вѣроятности неравенствъ
У~п
п
F^
Уп'
такъ какъ
t У2рд
^ У~п
и потому всѣ значенія т, удовлетворяющія неравенствамъ
t У2р<1
^*УЩ
удовлетворяютъ и неравенствамъ
Вероятность же неравенствъ
Уп^-п
L^
У»"
'
обозначенная символомъ
np-+-t У2ппс[
Q',
пр—tУ2прц

больше
Т
'
"
1
1—7]—7]=1
—
Y1.
Слѣдовательно, при всѣхъ значеніяхъ п, превосходящихъ
вероятность иеравенствъ
1 —VI-
Такимъ образомъ теорема Бернулли доказана.
Примѣчанге. Изложенное нами доказательство теоремы Бер-
нулли основано, между прочимъ, на существовали такого числа
п0, что при всѣхъ, превосходящихъ его, значеніяхъ п разность
меньше выбраннаго нами числа •/]".
Существованіе числа п0 установлено теоремою Лапласа о пре-
дѣлѣ вѣроятностп. Но мы не можемъ придать этому числу опре-
деленнаTM значенія, пока погрѣшность приближенныхъ Формулъ
(5) и (6) остается пеизслѣдованной.
§ 11. Изъ теоремы Бернулли обыкновенно заключаютъ, что
при безпредѣльномъ возрастаніи числа испытаній отношеніе числа
появленій событія къ числу испытапій приблняіается къ вѣроят-
ности событія при отдѣльныхъ испытаніяхъ. Подобное заключе-
ніе нельзя однако признать безусловно правильнымъ не только
для тѣхъ случаевъ, когда условія теоремы Берпулли не выпол-
нены, но и для тѣхъ случаевъ, къ которымъ эта теорема
вполпѣ примѣнима.
Условія теоремы Бернулли состоять въ независимости исны-
таній и въ ностоянствѣ величины вероятности событія.
.то
.
больше
Оrf
тИe
~
tdt
ѵрч-t У 2npq

При этихъ условіяхъ, теорема Бернулли обнаруживаешь не-
,
....
т
ВЕРОЯТНОСТЬ значптельныхъ отклоненш отношешя — отъ р, при
болынихъ п. Но она не устраняешь окончательно возможности
такихъ отклоненій; и эти иевѣроятныя отклоненія могутъ ока-
заться дѣпствительными.
Считаемъ полезнымъ замѣтить также, что изъ теоремы Бер-
нулли нельзя выводить необходимости компенсаціи резѵльтатовъ
однихъ испытаний результатами другихъ.
Именно, если для наблюденныхъ нами испытапій отношеніе
числа появленій событія къ числу испытаній значительно откло-
няется отъ величины вѣроятности событія, то отсюда нельзя за-
ключать, что для послѣдующихъ исгіытаній подобное же отно-
шеніе отклонится отъ той же вѣроятности въ другую сторону.
Такое заключеніе противорѣчило бы предположенію о не-
зависимости испытаній другъ отъ друга.
Въ силу этой независимости, каковы бы ни были извѣстные
намъ результаты однихъ испытаній, они не могутъ измѣнить на-
шихъ заключеній о возможныхъ результатахъ другихъ испы-
таній. Нанримѣръ, если вѣроятность событія равна ~ и при двад-
цати испытаніяхъ оно не появилось ни разу, то при двадцать
первомъ испытаніи мы имѣемъ одинаковое основаніе какъ ОЯІИ-
дать такъ и не ожидать появленія этого событія до тѣхъ поръ,
пока нѣтъ сомнѣнія въ независимости этихъ испытаній и въ
правильности принятой нами величины вероятности у
Литература.
Jacob Bernoulli. Ars Conjectandi. 1713.
Чебышевъ. Элементарное доказательство одного общаго
предложенія теоріи вѣроятности. (Сочиненія П. Л. Чебышева.
Т. I).

ГІАВА III.
Законъ болыпихъ чиеелъ.
§ 12. Приступая къ важнымъ обобщеніямъ предыдущихъ
выводовъ, мы должны ввести новыя опредѣленія и понятія.
Положимъ, что значеніе нѣкоторой величины X совпадаетъ
съ однимъ изъ чиеелъ опредѣленной системы и что каждому числу
этой системы соотвѣтствуетъ опредѣленная вѣроятность совпа-
денія съ нимъ значенія X. Пусть
Х25••••'
>••••'
всѣ возможный значенія X и
Vі, ft,
,
ft,
,
ft
ихъ вѣроятности; такъ что рх представляетъ вероятность, что X
имѣетъ значеніе хх.
При такихъ предположеніяхъ и обозначеніяхъ мы будемъ
называть матетатическимъ ожидангемъ величины X сумму
(7)
ft^-i -ft^-» -
- ьр^-ь
H-j),a?r
Втакъ, математическимъ ооюиданіемъ величины мы назы-
ваемъ сумму произведены каждаго изъ возможныхъ ея значены
на соответствующую
вероятность.
При установленіи этого опредѣленія можно предполагать,
что всѣ возможный значенія X различны другъ отъ друга.
4*

Нетрудно однако замѣтить, что такое предположеніе можетъ
быть замѣнено другпмъ болѣе общаго характера; такъ какъ ни-
что не мѣшаетъ намъ каждый случай, которому соотвѣтствуетъ
то или другое опредѣленпое значеніс X, разбить на нѣсколько
несовмѣстимыхъ между собой случаевъ, отличающихся другъ отъ
друга не величиною X, а другими обстоятельствами.
Поэтому, опредѣляя математическое ожиданіе X какъ сумму
произведен^ каждаго изъ возможныхъ значеиій X па его вѣро-
ятность, мы должны предполагать только, что эти значенія опре-
дѣляются единственно возможными и несовмѣстимыми случаями;
такъ что каждому числу хх системы
ж15 х2,
,хѵ
хг
соотвѣтствуетъ свой особый случай, вѣроятность котораго рх
мы называемъ вероятностью значенія хх. Это простое замѣчаніе
послужить впослѣдствіи для сокращепія вычисленій.
Для примѣра положпмъ, что мы бросаемъ на горизонтальную
плоскость двѣ обыкновенныя шестигранпыя игральныя кости,
на граняхъ которыхъ поставлены нумера 1, 2, 3, 4, 5, 6, п
разсматриваемъ сумму вскрывшихся нумеровъ. Назвавъ одну
кость первою, а другую второю и обозпачивъ буквою Гвскрыв-
шіпся нумеръ первой кости, буквою Z вскрывшійся нумеръ вто-
рой кости п буквою X разсматриваемую нами сумму Гн-Z, мы
можемъ различить 36 единственно возможныхъ и несовмѣстимыхъ
случаевъ, которые ясно представлены въ таблицѣ:
2=1+1=2,2=1+2=3,2=1+3=4,2=1+4= 5,2=1+5= 6,2=1+6= 7,
2=2+1=3,2=2+2=4,2=2+3=5,2=2+4= 6,2=2+5= 7,2=2+6= 8,
2=3+2=5, 2=3+3=6,2=3+4= 7,2=3+5= 8,2=3+6= 9,
2=4+1=5,2=4+2=6,2=4+3=7,2=4+4= 8,2=4+5= 9,2=4+6=10,
2=5+1=6, 2=5+2=7, 2=5+3=8,2=5+4= 9,2=5+5=10,2=5+6=1 1,'
2=6+1=7, 2=6+2=8, 2=6+3=9,2=6+4=10,2=6+5=11,2=6+6=12!
Такъ какъ всѣ эти случаи равновозможны, то вѣроятность
каждаго изъ нихъ равна і и математическое ожиданіе разсма-

триваемой суммы Ун- Z выражается, согласно опредѣленію,
суммою
АААААА
36
36
36
86
36
36
•А
ААAАА
Н"36Н_36"Ь36~Н36"Ь 36^36
АААААА
~
,
~36~І
~86~*~В6~#
~В6'
+
~86Н~86
5
6
7
8
9
10
—і111і1
36
36
36
36
36
36
678ААА
^Зб^Зб^М^Зб^Зб^Зб
Т_ _8
_9_
10
11
12
36
36 -1- 36
36
36
36'
которая равна 7. Вмѣсто 36 равновозможныхъ случаевъ мы
можемъ различить, по величинѣ суммы X, 11 случаевъ:
Х=2,
3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,
которымъ соотвѣтствуютъ такія вѣроятности
ААААААААААА
36' Зб' Зб' 36' 36' 36' 36' 36' 36' 36' 36*
Опредѣляя па зтомъ основаніи математическое ожиданіе X,
получаемъ то же число 7 подъ видомъ суммы
АА3
5-8
А!_ Н£ ALL 1В
36"НЬ6"
+
~Ь6Н_36"Н36"Н36~
,
"ЗЧ_Н36"Н
"зіГ н
"Зб" Зб'
Намъ придется разсматривать не одну величину X, а не-
сколько подобныхъ величинъ, при чемъ для большей ясности мы
будемъ предполагать, что для каждой изъ нихъ совокупность
возможныхъ ея значеній состоитъ изъ конечнаго числа различ-
ныхъ чиселъ. Подобно тому, какъ раньше важно было установить
понятіе о независимыхъ событіяхъ и независимыхъиспытаніяхъ,
такъ теперь ваяшо установить попятіе о независимыхъ
вели-
чинах?!.
Нѣсколько величинъ
X, Y, Z,....
W

мы будемъ называть независимыми,
если для каждой изъ нихъ
вероятность имѣть каждое определенное значеніе не зависитъ
отъ значенія прочихъ величинъ. Въ противномъ случае мы бу-
демъ называть величины связанными.
Останавливаясь на случае двухъ величинъ, положимъ, что
ЛГ /у
rr
Т
•"і1 2>••••>
'• •••'
I
всѣ возможный, различныя между собой, значенія X, а
УііУ21••••1У^і••••іУm
всѣ возможный, различныя между собой, значенія Y.
Если величины X и Y не зависятъ другъ отъ друга, то каж-
дому числу ж, системы
Х1>Х2)'''• 1
''••')
должно соответствовать опредѣлепное число
представляющее
вѣроятность, что X равно хх,
каково бы ни было извѣстное или
неизвѣстное значеніе Y, и каждому числу у системы
г*1
У11У21•••*IУm
должно соответствовать определенное число q , представляющее
вероятность, что У равно у , каково бы ни было известное или
неизвестное значеніе X.
Лримѣчанге 1. Во избежаніе недоразумепій заметимъ, что
изъ независимости величинъ X и Y не вытекаетъ независимость
X и какой нибудь Функціи обеихъ величинъ X и Y, напрпмеръ
1+ Y.
Для поясненія положимъ, что каждая изъ независимыхъ ве-
личинъ X и Y можетъ иметь два равиовероятныхъ значенія:
—
1и +1.
Тогда сумма
1+Y
можетъ иметь три различныхъ значенія:
—
оо
+о
~>
^
-1
вероятности которыхъ представляются дробями

lll
Т'¥'Т'
пока зиаченія X и Y остаются неизвѣстными.
• Если же при неизвѣстыомъ зпаченіи Y дано значеніе X, то
изъ трехъ значепій суммы 1 + 7 остаются только два и эти
два равновѣроятны. При X =
-+- 1 сумма Х+Г не можетъ
имѣть значенія —2, другія же два возможный ея значенія,
О и -+- 2, равновероятны; а при Х =
—
1суммаX-+-Yне
можетъ имѣть значенія -+ - 2, другія же два возможный ея зна-
ченія, — 2 и 0, равновероятны.
Примѣчанге 2. Замѣтимъ также, что независимость вели-
чинъ можетъ быть обусловлена теми данными, при которыхъ
разсматриваются вероятности ихъ возможныхъ значеній; такъ
что при измененіи данныхъ зависимыя величины могутъ сде-
латься независимыми и обратно.
Для поясненія этого замечанія приведемъ примѣръ, который
покажетъ также, что независимость ыесколькихъ величинъ не
равносильна независимости каждыхъ двухъ изъ нихъ.
Пусть будутъ
XY,Z
три числа, связанныя равенствомъ
XY— Z.
Положимъ далее, что
XиY
не зависятъ другъ отъ друга, пока Z остается неопределенным^
и что для каждой изъ этихъ величинъ представляется два и
только два равновозможныхъ значенія: -+ -1 и — І.
Въ этомъ случае независимыя величины X п Y перестанутъ
быть независимыми, какъ только будетъ определено значеніе Z:
при Z=-+ -1
должно быть Х= Y, а при^= — 1 должно быть
1+ Y— 0. Нетрудно видеть также, что прн неопределенномъ
значепіп X величины Y ѵі Z будутъ независимыми, а при не-
определенномъ значеніи Y будутъ независимыми X n Z.

Итакъ, если ии одна изъ величинъ
X,Y,Z
не определена, то каждый двѣ пзъ нихъ пе завпсятъ другъ отъ
друга; разсматриваемыя же вмѣстѣ
X,Y,Z
не нредставляютъ трехъ независимыхъ величинъ, такъ какъ онѣ
связаны равенствомъ
^
^у
§ 13. Важное значеніе математпческаго ояшданія обнару-
жится при разсмотрѣніи суммы многихъ независимыхъ величинъ.
Предварительно мы докаясемъ нѣсколько простыхъ предло-
жепій.
Теорема. Математическое ожиданіе суммы равно суммгь
математическихъ ожиданій слагаемыхъ.
Эта теорема относится къ какимъ угодно веаичинамъ, какъ
къ независимымъ, такъ п къ связаннымъ.
Для доказательства ея положимъ, что зпаченія какихъ-нп -
будь величинъ
XYZ
W
опредѣляются единственно возможными и несовместимыми слу-
чаяіш
ЕЕ
Е
1)
I5•
J-^п•
Пусть вѣроятности этихъ случаевъ соотвѣтствепно будутъ
Рі>
і Рп'
пусть наконецъ система
ХкіУюglii-••
-1 Wk
представляетъ значенія X, Y, Z,....,
W для случая Ek,
такъ
что X, Y, Z,....,
W принимаютъ соотвѣтственно значеиія
>У\1z\>••••)
w
\i
если появляется Ех, значенія

^2' У2> '
-
"'''
W21
если появляется Е2,— и т. д.
При такихъ условіяхъ и обозначеніяхъ математическія ожи-
данія величинъ X, Y,....,
W выражаются соотвѣтственно
суммами
Pi хі
-+-....
- +-Рпхп,
1\ у1 +р2у2
-+-.
..
.~+~РпУп1
,
ft
••
Затѣмъ относительно суммы
I+7+Z+
-+- ТГ
замѣчаемъ, что сообразно появленію событій
ЕЕ
Е
она принимаешь значенія
Поэтому ея математическое ожиданіе выражается суммою
Рі(%і
+
-+-
н-Уя -+-
+ »>)+
-+-
+
+'•••-
4-
которая, очевидно, равна суммѣ
(Pi
+
-*-Рп ®я) -+- (Pi Уг +Р2 У2-+-
+Рп
-t-
- +-(Pl Wl-^p2w2-i -
+рп Wn).
Итакъ, математическое ожиданіе суммы
І+Г+2+
-+- W
равно суммѣ математическихъ ожидапій слагаемыхъ
X, Y, Z,....,
W.
Употребляя для обозначенія математическаго ожиданія
буквы м. о., можемъ выразить установленную теорему Формулою
(8) м. о (Z-f-Гн-....ТГ)—м. о. X-t-м. о. Гч-....-+-м. о. W.
Примѣръ примѣненія этой теоремы можетъ доставить раз-

смотренная раньше сумма
J-hZ
вскрывшихся нумеровъ двухъ, брошенныхъ на удачу, шести-
гранныхъ костей съ нумерами
1,2,3,4,5,6.
Въ данномъ случаѣ математическое ожпданіе каждой изъ ве-
личинъ Y п Z равно
,1
01
о
1л1
к
1
ѵ
и потому математическое ожиданіе ихъ суммы Y-+ -Z доляшо
приводиться къ 7, какъ и было найдено раньше.
Теорема. Математическое ожиданіе произведете независи-
мыхъ величинъ равно произведенгю ихъ математическихъ ожи-
даній.
Эта теорема относится къ произведенію любого числа неза-
впсимыхъ величинъ. Мы ограничимся разсмотрѣніемъ произве-
денія двухъ множителей, такъ какъ отъ произведенія двухъ
множителей нетрудно перейти къ произведенію любого числа
множителей, посредствомъ послѣдовательнаго прибавленія одного
множителя за другимъ. Пусть система
/У1 /у
/у
/у
1,Ла>•'••'
*•"''
I
представляетъ всѣ возможный различныя значенія величины X,
а система
У\іУ2,••••,
,••••,Ут
представляетъ всѣ ВОЗМОЯІНЬІЯ различныя значенія величины Y.
Если I и Г, какъ мы предполагаем^ не зависятъ другъ отъ
друга, то должны быть еще двѣ опредѣленныя системы чиеелъ
ft,
ft,
,
ft,
ft
и
2и <?2>
>V
, Чті
гдѣ вообще рх представляетъ вѣроятность величинѣ X имѣть
значеніе хх, какъ при извѣстномъ, такъ и при неизвѣстномъ зна-

чепіи Y, число же д^ представляетъ вѣроятность величинѣ Y
имѣть зиачеиіе ytl. какъ при извѣстномъ, такъ и при неизвѣстпомъ
значен! и X. Затѣмъ сумма
р^+р^ч-
- *-рх хх -+-
- +-pL х1
будетъ математическимъ ояшданіемъ X, а сумма
?!
••
••+ ЧтУт
будетъ математическимъ ожидапіемъ Y.
Приступая же къ опредѣленію математическаго ожидаиія
XY, мы можемъ различить Іт единственно возмояіныхъ и не-
совмѣстимыхъ случаевъ, ішкдый изъ которыхъ опредѣляется со-
вокупностью значеній обѣихъ величинъ X и Y. Слѣдующая таблица
представляетъ наглядное перечисленіе этихъ случаевъ:
Х=хх,
Y=yx
Х=хх,
Y=y2
Х=х2,
Y=yx
Х=х2,
Y=y2
Х=хѵ
Y—yx
Х=хх,
Y~y2
•••
Х=хр
Y=yx
X=xt,
Y=y2
Х=х„
Х=х2,
Y=y; Х=х„
Y=yix ... X=xr
Y=yix
Х=*г,
Y=ym Х=я2.
Y=ym X=x„Y=ym
••• X=xv
Y=ym.
Возьмемъ любой изъ этихъ случаевъ:
Х= х„
Г=Ѵ
Его вѣроятность равна
ѴіV
по теоремѣ умноженія вѣроятностей; произведеніе же
XY
пришшаетъ въ этомъ слѵчаѣ значеніе
V
Поэтому, согласно опредѣленію, математическое ояшданіе

произведенія .XT' можетъ быть выражеио суммою всѣхъ про-
изведена
lh%НV
гдѣ
л = 1, 2,....;
I п fx= 1, 2,....,
т.
Соединяя въ этой суммѣ тѣ слагаемый, гдѣ X имѣетъ одно
и то же значеніе, можемъ разбить ее на I отдѣльныхъ суммъ
вида
lhhххУх lh%ххУ*-+"••••-+"JPx%ьххУт'
для полученія которыхъ надо давать \ значенія
1,2,....,
I.
Сумма же
Р\ (h хі Ух -+-Р-,
(к хі
-^Ih йт хі Ут,
очевидно, равна нроизведенію рх хх на сумму
9іУх ?2 "+"•••
Ут,
представляющую математическое ожиданіе Т. Слѣдовательно
разсматриваемое нами математическое ожидапіе равно суммѣ
Рх Хх (?і Ух-^%
-+-Чт Ут)
-+-р2 Х2 (9і Уі -+- Ч2 У2 -+-
-+-Чт УJ
-*-Pl Х1(2іУх-+- Ч*% •+-
-+- Чт Уш\
которая тотчасъ приводится къ произведепію двухъ суммъ
Рх*х+Ѵ2Х2
+
ч
~Рі Хі
и
ЧхУі
У,-» -
- + -ЧтУт,
соотвѣтственно равныхъ математическому ожиданію X и мате-
матическому ожиданію Г. Итакъ, математическое ожиданіе про-
изведенія двухъ независимыхъ величинъ равно произведенію ихъ
математическихъ ожидаиій:
(9)
м. о. XY=
м.о.Xхм.о.Y.
Отсюда уже не трудно заключить для любого числа незави-
симыхъ величинъ, что математическое ожиданіе ихъ произведенія
равно произведепію математическихъ ожиданій этихъ величинъ.

Въ частности, математическое ожиданіе произведенія неза-
висимыхъ величинъ должно приводиться къ нулю, если равно
пулю математическое ожиданіе одной или иѣкоторыхъ изъ пихъ.
Лемма. Если А означаетъ математическое
ожиданге
вели-
чины U, всѣ значенія которой числа положительный *), a t число
произвольное, то вѣроятность
неравенства
U<At2
больше
Доказательство.
Пусть два ряда чиеелъ
U11и2}•'••,
г,
а)'•'">Us
представляютъ, соотвѣтственно, совокупность всѣхъ возможныхъ
значеній TJ и вѣроятности этихъ значеній, такъ что вѣроятность
величинѣ U имѣть значеніе м0 равна сос. Одни изъ чиеелъ
М1> «2,
,
Us
больше At2, другія меньше At2 или равны этому числу.
Для опредѣленности положимъ, что числа
мп U2,....,
и.
не больше At2, остальныя же
ѴМ'
и
г-і -2 )••••) Us
больше At2. Тогда вѣроятность неравенства
U<At2
выразится суммою
ых -+- ы2 н-.
.
.
. -ь со(.,
согласно теоремѣ сложенія вѣроятностей, такъ какъ событіе,
вьтраніаемое этимъ неравенствомъ, моягао разбить па несо-
*) Мьі не разематриваемъ мниыыхъ чиеелъ.

вмѣстимые виды, выражаемые равенствами
U=
и=ия,
,
U=v..
Согласно той же теоремѣ сдоженія вѣроятносгей сумма
нредставптъ вѣроятность неравенства
U>At\
Вмѣстѣ съ тѣмъ имѣемъ
А= (Ojиги-ы2ѵ2-+-
со. и. -+-
им
-+-
-+- с^ us
и
1= Ші-+-СО, -+-
- HCO.-f -CO^H-
H-COs,
такъ какъ, во первыхъ, буквою А мы обозначили математи-
ческое ожиданіе величины Z7 и, во вторыхъ, сумма вѣроятностей
событій, единственно возможныхъ и несовмѣстпмыхъ, должна при-
водиться къ единицѣ. Принимая же во вниманіе, что между зна-
ченіями U, какъ и между числами
Юц СО,,
, СО,,
нѣтъ отрицательныхъ чиеелъ, согласно одному изъ условій леммы,
и что всѣ числа
>ui+2>- •••>Vs
больше At2, изъ равенства
А—(о1Mjн-со2и2-+-.
.
.
.
выводимъ последовательно неравенства
А>
ими-шм им -+-
со, us,
А>At2(сомч- шм
-+-
со,;
А—сох«1-+-со2и2-+-.
..
. -+- С04. и. -+- coibl иіч1 + ..,. + (Os«4
и наконедъ
Т2>Шгч-ХЧ~Ыг+2-+-
- +-COs.
Послѣднее неравенство показываетъ, что вѣроятность нера-
венства
U> At2,

выражаемая суммою
J l-l-l
'
2
меньше
Слѣдовательно вѣроятность неравенства
U<At2
больше
^
1 —72'
ибо эта последняя вѣроятность выражается суммою
COj -+- со., -+-.
.
.
. -+- со.,
которая равна
1—Нн-1
Wi-4 -2
-+"
-+"
Основываясь на доказанной леммѣ, нетрудно установить слѣ-
дующее замечательное неравенство.
Неравенство Бьенэме — Чебышева.
Если для какихъ нибудь независимыхъ величинъ
X, Т, Z,.
..w
мы обозначимъ, соотвѣтственно, ихъ математическія ооісиданія
буквами
,
,
(lyи^Cj••... Ь
и математическая ожиданія ихъ квадратовъ тѣми оке буквами
со значкомъ ,, т. е. символами
а
\і
с
і)••••>hг
то при произволъномъ значены числа t
'разность
і-І
будетъ меньше вѣроятности, что сумма
Z-.-
г+z-i-
ч-w
не выходитъ изъ предѣловъ
ан-& -нс-н
....
-+-1—t У ах—а?-+-\—Ь2-^с1—с2-н
- н^—I2
и*
а-±-Ъ -+-с -+-....
- +-l-t -tVa1—а3-»-^—Ъ2ч~с1—с2н-,...—12.

Доказательство.
Полагая
[^(І+Г+ZH-
-+- W
—
а—Ь
—
с
—
If
п обозначивъ буквою А математическое ожидаіііе С, мы можемъ
на осиованіи только что доказанной леммы, заключить, что при
любомъ значеніи числа t разпость
меньше вѣроятности неравенства
(1+ F+Z+.. . . -н W—а
—
Ь—с
—.
.
.
.—
lf<At\
которое равносильно совокупности двухъ неревенствъ
—tУА<Х-Н
Г-HZH....-H W— а —Ъ—с
—
— l<Ct ѴЛ.
Съ другой стороны имѣемъ
U = (X— а)2-н(Г — Ъ)г
-*-(г— с)2-н.
.
.
.-н(Ж— о3
н-2(X—а) (Г—Ъ)-н2(X—a)(Z—с)ч-
,
откуда выводишь
м. о. U=A=w.
о. (X—а)2-нм. о. (Г—&)2-н....-нм. о. (Ж-—/)2
н-2 м. о. (X—а) (У—Ь)-н2 м. о. (Х—а)$—с)-н..,.
Разсматривая же въ отдѣлыюсти слагаемый последней
суммы, получаемъ
м. о. (X—я)2=м. о. (X2—-2аХ-ьа2) = м. о. X2—2а-м. о. Х+а2
—
ах — 2аа -на2 = аг-—-а?
м.о.(Г—Ъу=Ъ1—Ь2,
, м.о.(W—lf —l-L
—
Р,
м. о. (X—а) (Г—Ь) = и. о. (Х-й)хм. о. (Y— Ь) = О,
м. о. (X—а) (Z—е) =м. о. (X — а)хм. о. (Z—с) — О,
такъ какъ величины
X —a, Y—Ь, Z—c,
,
W—I

не зависятъ другъ отъ друга и математическія ожиданія ихъ
равны нулю. И на этомъ основаніи находимъ
А—-а. о. U =а1
—
a2-h-Ьх— Ъ2-+-сх— с2-+-
—
I2.
Наконецъ по замѣнѣ А суммою
ах— а2-л-Ъх— Ъ2-+-сх— с2-+-.
.
.
. -+-
—
I2
легко обнаружить, что неравенства
—
tV2<X-+-
Y+Z-*-....-*-
W—а
—
Ъ — е....—
I< tVA
выполняются въ тѣхъ и только въ тѣхъ случаяхъ, когда
1+ F+Z+
-+- W
заключается между
(Я-&Н-С-+-.
.
.
,-л-І
—
t ~Ѵал — а2 -+- Ъх —Ь2-л-.
.
.
. -л-І^—I2
и
а+і+ с+ ...,-t-l-t-t
Vax — а2 -+- bx—Ь2н-.
.
.
.
- ч-Іх—I2.
Слѣдовательно вѣроятносгь, что сумма
Х-ь Y-\ -Z+
-+- W
заключается въ указанныхъ нами предѣлахъ
a-i -b-t-c-+-
-l
—
tVa1 — a2-+-b1—b2-t -
- t -l^—l2
и
a-+-b
-+- с ни ....
-ч -Z
-+-1 ~Vax — a2-+-bx
—
b2 -+-....
—I2,
равна вероятности неравенства
(X-+-7-.-Z+....н-Ж-я-Ь-с-....—lf<t2
(а.-а^Ъ-Ъ2-*-....+1-Р)
и больше чѣмъ
Такимъ образомъ неравенство Бьенэме—Чебышева доказано.
Мы соединяемъ съ этимъ замѣчательпымъ, простымъ, не-
равенствомъ два имени Бьенэме и Чебышева по той прпчинѣ,
5

что OLIO впервые ясно высказано п доказано Чебышевымъ, по
основная идея доказательства была значительно раньше указана
Бьенэме, въ мемуарѣ котораго «Considerations a l'appui de la
decouverte de Laplace sur la loi de probability dans la methode
des moindres carres» (Compt. Rend, ХХХУІІ, 1853. Jour, de
Liouv. 2 serie, XII, 1867) можно найти и самое неравенство,
обставленное только нѣкоторьши частными предполояіеиіяыи.
§ 14. Обобщенная теорема Бернулли. Случаи Чебышева.
Если математическія ожиданія
квадратовъ
независимыхъ
величинъ
X, Y, Z,....,
W,
число которыхъ можно увеличивает безпредѣльно, всѣ пе пре-
восходятъ одного и того оісе числа; то при, достаточно боль-
ше мъ числѣ этихъ величинъ будетъ сколь угодно близкою къ до-
стовѣрности вѣроятностъ, что ихъ средняя
арифметическая
отличается произвольно мало отъ средней арифметической ихъ
математическихъ
ожиданій.
Доказательство.
Сохраняя для математическихъ ожиданій величинъ
X,Y,Z,
,
W
н для математическихъ ояшданій ихъ квадратовъ
X2,
Г3, Z2,.
...,
w
прежнія обозначенія
а, Ъ, с,....,
I
и
йі,
"и
с
\і••••1 hi
пазовемъ число величинъ
X, Y, Z,.
...,
W
буквою S-,
такъ что ихъ средняя арифметическая выразится
дробью
1
Y+ 2+
...-t-W

средняя же арифметическая ихъ математическихъ ожиданій вы-
разится дробью
я+ь +
е+„.,+;
S
Затѣмъ обозначимъ буквою L то число, котораго не
превосходятъ математическія ожиданія квадратовъ величинъ
X, Y, Z,....,
W, такъ что
аг < L, bl<.L,
сх< L,.
.
..,
lx<Lx.
Взявъ наконедъ любыя два положительиыхъ числа
£
И
У),
покажемъ, что при достаточно большихъ значеніяхъ S вѣроят-
ность неравенствъ
, X -t- У-t- Z-+-...
.-н W ®+6 + с+....+
І^
—
£<
д
g
<Е
будетъ больше
1—У].
Для этой цѣли намъ послужитъ только. что установленное
неравенство Чебышева. При
'1
неравенство Чебышева показываетъ, что разность
1—4
меньше вѣроятности неравенствъ
—
]/f
а—
Ъ—с—....—1<л/~
равносильныхъ неравенствамъ
—1 -ж/~л ^х-+- гz -t -...
.-t- w
Д + 6-Ю+..
1Га
Y~s У
—
s
s
^ КSr
гдѣ
A= аг— a2-+-bL—V
-+-с,— c2-+-
н-\
—
P.
Но каждая изъ разностей
йг — ft2, \—Ь2, Cj — с3,....,
Zj—Z2

не превосходить числа L, поэтому и отношеніе
л
s
не превосходить того же числа L, произведете же
-LWZ
Y~S У S-q
не можетъ превосходить
Y*
Слѣдовательно, если распорядимся числомъ S такъ, чтобы
было
,-j -
то числа
—
л/—
1 -./'•
ѵ~в У s-n
будутъ заключаться между
и потому во всѣхъ случаяхъ, когда оправдываются неравенства
1 -,/~А
^Х-
- +-W
ач-Ъч-сч- .
•.,ч-1^ 1
- ,/~А
Ѵ~8УSr,^
S
S
Ь/іМч'
будутъ имѣть мѣсто и неравенства
+
ч-W
ач-Ъч-сч-
- i-Z
.
—
£<
5
s
<-»-Е
-
При такихъ условіяхъ вѣроятность неравенствъ
.
Хч- Y4-Z4- .
...4-W
ач-Ъч-сч- . ..
.ч -І
.
—
£<
8
8
<Н- £
будетъ, конечно, пе меньше вѣроятности неравепствъ
1л
^Хч-Тч-
Z4-
ч-W
ач-Ъч-сч - ..
:.ч-1 ^ 1
- ,/ЗГ
V~SУ-Ь'—
S
S
<yj
которая по доказанному больше чѣмъ 1 —yj.
Итакъ, вѣроятность неравепствъ

+
ч-W
я+-Ь+с+,...+!>
-S<
G
£
будетъ больше чѣмъ 1 —yj при всѣхъ значеніяхъ S, удовлетво-
ряющихъ неравенству
т. е. при
Доказавъ такимъ образомъ обобщенную теорему Бериулли,
обратимъ внйманіе на одно важное слѣдствіе ея.
Если математическая ооюиданія квадратовъ независимыхъ
величинъ
л, X, z,..
..,
w,
число которыхъ молено увеличивать безпредѣлъно, всѣ не больше
одного и того оке числа, а математичеекгя оокиданія самихъ
величинъ
„
,г
„
ТгГ
Л,X,А,....,
W,
напропгивг, всіь не меньше одного и того оісе полооісительнаго
числа, то при достаточно большомъ числѣ этихъ величинъ, съ вѣ-
роятностыо сколь угодно близкою къ достоверности, мы должны
ожидать, что сумма ихъ
1+ Y-+- Zн-
-+-W
превзойдетъ любое данное число.
Пусть, въ самомъ дѣлѣ, кромѣ прежнихъ неравенствъ
Йх<£, Ъх < L, Cj<L,.
.
..,^<L
имѣемъ
а>С,Ь>G,с> С,
,1>С, С> 0.
По доказанному, какія бы два положительныхъ числа Б И Г,
мы ни взяли, при
L
S—5
вЬроятпость неравенстъ
ач-Ъч-сч- . .
. .ч-І
.
X4-Y4-Z4- . .
. .ч-W
-
ач-Ъч-сч- . ..
. ч-І
S
5
<
8
Ь£

будетъ больше 1 — ѵ;. Вмѣстѣ съ тѣмъ, конечно, будетъ
больше 1 — у] п вѣроятность одного неравенства
•а-+-Ъ
-+- с
-+-...
.-+-1
.
X -»- Y-+- Z•-+- W
s
~
£<
S
'
которое вполнѣ равносильно слѣдующему
1+ T-v-Z -ь -
+^>ян-г» + с +
-i-i
—
Sz.
Въ силу неравенствъ
а>С,Ь>С,с>С,
,/>С
сумма
а-+-Ь
-+- с
- +-.
.
..н-Z
больше SG и потому во всѣхъ случаяхъ, когда оправдывается
неравенство
I+7+Z +
+F>o+b+c+
-t -l— Si
должно быть также
Х-+- Гч-Z-H
н-
W>S(C—i).
Слѣдовательно вероятность послѣдняго неравенства также
больше 1 — у). Остается принять во вниманіе, что при
£<С
и при достаточно больщихъ значеніяхъ S произведете
8(C—t)
будетъ больше любого числа, и мы тотчасъ придемъ къ слѣд-
ствію обобщенной теоремы Бернулли, высказанному выше.
§ 15. Нетрудно показать, что установленная ранѣе теорема
Бернулли представляетъ частный случай обобщенной.
Желая предварительно вывести предложеніе извѣстное нодъ
именемъ теоремы Пуассона или закона болъшихъ чиселъ *), поло-
жимъ, что разсматривается неограниченный рядъ независимыхъ
*) По моему мнѣнію законом болъшихъ чиселъ слѣдуетъ называть сово-
купность всѣхъ обобщеній теоремы Бернулли (см. § 16).

нспытаній, обозиаченныхъ нумерами
1, 2, 3,....,
и что вероятности событія Е при этихъ испытаніяхъ соотвѣт-
ственпо имѣютъ зиачепія
Pi>Р%'Pi' • • • •
Далѣе свяжемъ съ разсматриваемыми испытаніями количе-
ства
ууу
ЛП As> А8І
такъ, чтобы сумма
І1+і +І3+....+І11
при всякомъ п выражала число появленій событія Е, при испы-
таніяхъ съ нумерами 193
п
Для этого, очеридно, слѣдуетъ для всякаго числа 1с системы
натуральныхъ чиселъ
1
_
„
J-!
-> о,.
.
.
.
положить
ѵ
л
к—
1І
если при испытаніи съ нумеромъ h появляется событіе Е, и
Хк=0
въ противномъ случаѣ. При такихъ условіяхъ отношеніе
Xj -ь X2 -+-—
?
11
представляющее среднюю арифметическую величинъ
•ѵ
V
~Ѵ~
-^і > 2 >••••> -^п'
будетъ совпадать съ отношеніемъ числа появленій событія Е,
при испытаніяхъ съ нумерами
1,2,3,....,
п,
къ числу этихъ испытаній. Съ другой стороны нетрудно видѣть,
что математическія ожиданія
их;

имѣютъ одпо и то же значеніе
рк.
1 н-(1
—pj.0=pt,
которое не больше едпппцы для всѣхъ значеній h.
Поэтому мы можемъ приложить къ величпнамъ
Хг,
X,,.
.
.
Хп
обобщенную теорему Бернулли, замѣняя ихъ среднюю арифме-
тическую равною ей величиною отношенія числа появленій со-
бытія Е къ числу испытаній. Принимая накопецъ во вниманіе,
что средняя арифметическая математическихъ ожидаиій величинъ
YY
Y
Y
1'2'3)
П
равна средней арифметической соотвѣтственныхъ вѣроятпостей
событія Е, прпходимъ къ упомянутой нами теоремѣ
Пауссона,
пначе называемой закономъ болъшихъ чиселъ.
При достаточно болъшомъ числѣ независимыхъ
испытаны
слѣдуетъ, съ вѣроятностью сколь угодно близкою къ достовѣр-
ности, ожидать, что отиогиеніе числа появленій событія къ
числу испытангй будетъ сколь угодно близко къ средней
арифме-
тической вѣроятностей
событгя.
И неравенство Чебышева обнаруживает^ что при
.
1
П> -s-
7)
вероятность неравенствъ
,^т
Ѵ\ Н-Р2-» -
-f-Pn ^ £
с
»
п
будетъ больше
1—Ѣ
гдѣ т означаетъ число появленій событія Е при разсматри-
ваемыхъ п испытаніяхъ, а г п •/) любыя два нолояіительныхъ
числа. Указанный нами предѣлъ для п можно уменьшить еще въ
четыре раза, если принять во вниманіе, что ни одна изъ разно-
стей
О
о
„
Pi—Pi 'V2—Pi\
,Рп—Рп

не больше
Въ частеомъ случаѣ, когда всѣ вѣроятности
Pi, lh,Pz,
имѣютъ одну и ту же величину р, законъ большихъ чиселъ обра-
щается въ теорему Бериулли.
Получивъ такимъ образомъ теорему Бериулли какъ частный
случай другихъ, мы вмѣстѣ съ тѣмъ можемъ установить ниже-
слѣдующее простое неравенство. Если п означаетъ число неза-
висимыхъ испытаній, р вѣроятность событія Е для каждаго
пспытаиія и т число появленій событія Е, то вѣроятность не-
равенствъ
т
—
£<
—
—
у<
£
it1
будетъ больше
1—Y)
при всѣхъ значеніяхъ п превосходящихъ
р—р"
р{\—р)
е2 7)
£2 YJ
каковы бы ни были положительный числа г и •/]. Взявъ, напри-
МѢрЪ'
3
1
nnm
^=
£==50' 4=0,001,
находимъ, что при
J3
\50/ 1000
п> -•5а \
=
600000
вѣроятность неравенствъ
]
50
п~~5^50
1.т
3.1
^~т
ft" fif
будетъ навѣрно больше
Q 999
Найденное пами число
600000,
конечно, слишкомъ велико; въ действительности же вѣроятность
неравенствъ
50
11550

превосходить 0,999 при велнчинахъ п во много разъ менынихъ
чѣмъ 600000.
Яковъ Берн}'лли, разсматривая въ Ars conjectandi тотъ же
примѣръ, получилъ вмѣсто 600000 число 25550. Выводъ Бер-
нулли соединенъ съ предположеніемъ, что п дѣлится на 50; не
трудно однако устранить это предположеніе, и небольшое видо-
измѣненіе вычисленій Бернулли даетъ возможность не только
сохранить число 25550 для всѣхъ значеній п, но и несколько
уменьшить его. Если же мы будемъ считать за истинную вели-
чину вероятности ея приближенное значеніе, определенное по
Формулѣ (6), то для разысканія тѣхъ значеній п, при которыхъ
вѣроятность неравенствъ
больше 0,999 надо будетъ поступать слѣдующимъ образомъ.
Посредствомъ таблицы значеній интеграла
которая приложена въ концѣ книги, находимъ t по условію
50
1Г
"б" ^
50
это значеніе t будетъ
съ точностью до
10000'
1
2,3268
Затѣмъ разсматриваемъ неравенство
и отсюда получаемъ
п > =qL ф 1200 X (2,3268)2 ф 6497.
Этотъ результата не даетъ намъ права утверждать, что при
«> 6497

вѣроятность неравенствъ
1.m
.
\
50
И
Р^50
будетъ навѣрно больше 0,999. Но онъ можетъ служить указа-
ніемъ, что разсматриваемая нами вѣроятность иеравенствъ
1.т
.
1
'50^Ті &^50
будетъ больше 0,999 уже при величинахъ п незначительно пре-
восходящихъ 6497. Напримѣръ, при
п= 6520
вѣроятность неравенствъ
_
J_
.
tn 3_
50
п
5
50
дѣйствительно превосходить 0,999 (см. § 26).
§ 16. Возможность дальнѣйшихъ обобщеній.
Условія, которыми мы обставили, по примѣру Чебышева,
обобщенную теорему Бернулли, называемую нами закономъ боль-
гаихъ чиселъ, достаточны для ея существованія но не необходимы.
Разысканіе необходимыхъ и достаточныхъ условій, въ дан-
иомъ случаѣ, какъ и во многихъ другихъ, едва ли можетъ увѣн-
чаться успѣхомъ. Но я считаю важнымъ вполнѣ выяснить воз-
можность распространенія закона большихъ чиселъ на многіе
ряды величинъ
&
пеудовлетворяющіе тому иди другому изъ вышенриведениыхъ
условій Чебышева. Законъ этотъ гласитъ: при безпредѣлъпомъ
возраспганіи числа величинъ
х, г,....,
W
вѣрояпіность, что отклоненіе средняго
арифметическаго
Т+
....ч-W
5
'
величинъ X, Y,. . . ., W, отъ средняго
арифметическаго

ихъ математическихъ ожиданій, меньше любого даннаго поло-
жительнаго числа, приближается къ предѣлу, равному единицѣ.
И прежде всего не трудно видѣть, что опъ ныѣетъ ыѣсто для
всякаго неограннченнаго ряда величинъ
X,Y,Z,....,
удовлетворяющая условію
мат. ож. (Х+Г+
-I -1F— а
—
Ъ—.
..—
IP
„
пред.
і
^
L= о.
5=оо
Въ самоыъ дѣлѣ, если для достаточно большихъ значеній
имѣемъ
< со2
лат. ож. (Хч- Гн- ..
.
-i- W
—
а—Ь
—
—
п число ш можемъ брать сколь угодно малымъ, то вѣроятность
неравенствъ
_
^ Хч- Г-Н.
...Ч-W
ач-Ъч-. . . . ч-1
Z<
s
s
<-+-£
будетъ, при тѣхъ же значеніяхъ S, больше
1
0)2
1 —is'
въ силу леммы § 13, и вмѣстѣ съ тѣмъ мы можемъ приравнять
со
3
произведенію
2
£ 'П.
какъ бы малы ни были данныя положительный числа г н -і\.
Такимъ образомъ мы легко выясняемъ, что для достаточно
большихъ зпаченій S вѣроятность неравенствъ
.
Хч-Тч-.
. ..-t-W
ач-Ьч-
ч-І
.
—
г<
g
5
<-не,
прп вышеприведенномъ условіи, будетъ больше
1 V],
какъ бы малы ни были заданный положительный числа ЕЙ У).
Въ этомъ и состоитъ законъ большихъ чиеелъ, приложимость

котораго къ разсматриваемому нами ряду величинъ
X, Y,
Z,....
мы желали установить.
Если рядъ
1
X, Y, Z,.
...
состоитъ изъ независимыхъ величинъ, то
мат. ож. (X Y-ь
ч-W—а
—
Ь—
—
If,
какъ извѣстно, приводится къ суммѣ
м. ож. (X —а)2-+-м. ож. (Y— bf -+-
+ м. ож. (Ж—If.
Отношеніе же последней суммы къ S2 имѣетъ предѣломъ
нуль во всѣхъ случаяхъ, указапныхъ Чебышевымъ, для кото-
рыхъ въ ряду
м.о.(X—af, м.о.(Г—Ъ)\ м.о.{Z—cf,
нѣтъ произвольно болынихъ чиселъ. Но не только въ этихъ
случаяхъ, а и во многихъ другихъ; папримѣръ, если нѣтъ про-
извольно болыпихъ чиселъ въ ряду
м.ож.(X—af,
{Т~Ъ)2,
мож
-
ѵ
/!
21—3
31—'3
гдѣ 8 какое иибудь положительное число, меньшее единицы.
Дѣйствптельно, если при неизмѣнпомъ А имѣемъ
м.ож.(X—af<А
м. ож. (Y—bf<A.
21-5
м. ож. (W—If < AS1-6
,
то
м. о. (X —й)2н-м. о. (Г— bf-Н....-НМ.О.
(W—If < AS2
и слѣдовательно
м. о. (X — а)2-н....н-м. o.(W— П2
.
А
п
пред.
!
1р
1
1 <пред.-^ =
0.
S—oo
S=oo
°
Если же рядъ'
ІД
X, Y, Z,....

не еостоитъ исключительно изъ независимыхъ величинъ, то
м. о. (І+Г+
-н W—а
—
Ъ—
—
If,
вообще говоря, не приводится къ суммѣ S слагаемыхъ
м.о.(X—af-I-м.о.(Y—bfн-
-+-м. о. (W—lf
S(S— 1)
но разнится отъ нея суммою ——— -
члеиовъ
2м.о.(Х — a)(Y— Ъ)-+ -
-+-2М.0 .(X-a)(W—l)-t -
,
къ которымъ нельзя примѣпять теорему о равенствѣ математп-
ческаго ожиданія произведенія нроизведеиію математическихъ
ожпданій, установленную только для независимыхъ величинъ.
Поэтому отношеніе
мат. ож. (У+Г +
-+ -1Ѵ
—
а—Ь
—
—
?)2
Р
можетъ не приближаться къ предѣлу пуль, при безпредѣльномъ
возрастаніи S, даже въ гЬхъ случаяхъ, когда числовыя величины
всѣхъ разностей
Х—а, Y—Ь, Z—с,
не превосходятъ одного и того лее постояниаго числа и, следо-
вательно, математическія ожиданія всѣхъ выраженій
(X — af, (X-a)(Y—b),
(Г—bf,(X—a)(Z- с),. ...
ue превосходятъ квадрата того же числа. Къ такимъ случаямъ
закоиъ бо'льшихъ чиселъ не примѣияется. Въ самомъ дѣлѣ, если
для всѣхъ S отношеніе
мат. ож. (Х-*- У-н...
W—а
—
Ъ —...
,— ?)2
остается больше одиого и того же положительнаго числа G,
числовыя же величины разностей
Х—а,
Y—Ь, Z—c,
не превосходятъ другого положителыіаго числа II, то, обозначивъ

буквою р вероятность выполненія неравенства
-»,, ,2
•>с)
[І+У+ . .
+W
1
8
S
J
для любого даннаго числа г, мы легко можемъ установить нера-
венство
G<t? + H*p.
Отсюда гке, при
г2< G,
слѣдуетъ, что вѣроятность невынолненія неравепствъ
^Хч-Тч-
ч-W
ач-Ь-t -
ч-l
.
—
£<
7s-
д
<-нг
всегда ойается больше положительнаго числа
а—&
и потому не можетъ быть сколь угодно малою.
Отмѣтивъ такимъ образомъ существованіе рядовъ связап-
пыхъ величинъ
ѵ
„
„
А,X,Zj,...
.,
къ которымъ законъ большихъ чиселъ не примѣняется, мы не
станемъ на нихъ останавливаться, а перейдемъ къ указанію дру-
гихъ рядовъ, къ которымъ онъ, напротивъ, применяется.
Мы можемъ указать здѣсь три-категоріи подобпыхъ рядовъ.
Первую категорію мы образуемъ изъ рядовъ, каждый членъ
которыхъ связанъ только съ оиредѣлениымъ, повсюду одпимъ и
тѣмъ ate, числомъ блпжайшихъ членовъ, такъ что любые два
члена представляютъ независимыя величины, если они стоятъ,
въ ряду, достаточно далеко другъ отъ друга. Для рядовъ, при-
иадлежащихъ къ этой категоріи, большая часть слагаемыхъ
суммы
2 м. о. (І-в)(Г-Ь) + ....+ 2н. о. (X — a)(W—l) +
....
приводится къ нулю и отношеніе • числа слагаемыхъ ея, отлпч-
пыхъ отъ нуля, къ S должно оставаться конечиымъ.
Поэтому достаточно всѣмъ математическимъ ожиданіямъ

квадратовъ разностей
X—a, Y—Ь,Z—c,
п пропзведеній тѣхъ же разностей, взятыхъ по двѣ, быть мень-
шими одного неизмѣннаго числа, чтобы отношепіе
мат. ож. (Х-н Гч-
-t- W—a
—
Ъ—
—
7)2
S2
стремилось къ предѣлу нуль, вмѣстѣ съ
и примѣнимость закона
большихъ чиеелъ къ разематриваемому ряду величинъ
X,Y,Z,....
не подлежала сомнѣнію.
Приведемъ простой примѣръ. Положимъ, что производится
неограниченный рядъ пспытаній, независимыхъ по отпошенію
къ нѣкоторому событію Е; пусть вѣроятность Е при первомъ
испытапіи равна рг,
при второмъ р2,
при третьемъ р3 п т. д.:
рядъ чиеелъ
ft, Ра,
данъ. Пусть, наконедъ, число X связано съ результатами первыхъ
двухъ испытаній такъ, что
Х=1,
если оба эти испытанія сопровояедаются появлепіемъ событія Е, и
въ противномъ случаѣ, когда по крайней мѣрѣ одно изъ первыхъ
двухъ испытаній не сопровождается появленіемъ событія Е\
также связано число Y со вторымъ и третьимъ испытаніемъ,
число Z съ третьимъ и четвертымъ и т. д.
Иначе сказать, сумма
І+Г+....+ W
выражаетъ у иасъ число комбинацій
ЕЕ,
появляющихся при S-+-1 послѣдовательныхъ испытаній.

Въ даиномъ случаѣ каждый члееъ ряда
X, Y, Z....
связанъ только съ непосредственно смежными: X только съ Y,
У только съ X и Z и т. д. Соотвѣтственно этому въ суммѣ
2 м. о.(Х-й)(7-5)+....+ 2м. о. (X— a)(W— Q-н....,
S(S—1)
О,
состоящей изъ ——— -
слагаемыхъ, только о — 1 слагаемыхъ не
равны нулю.
Для вычисленія этихъ S — 1 слагаемыхъ и ихъ суммы,
останавливаемся на первомъ изъ нихъ
2 м. о. (X — a)(Y—Ъ).
На основаніи простого тождества
(X—a)(Y— Ъ)= XY— aY— ЪХ-+-аЪ
имѣемъ
м. о. (X — a){Y—V) = м. о. XY—ab;
это равенство относится ко всякимъ величинамъ Іи 7,
Принимая же во вниманіе, что разсматриваемыя нами теперь
величины
„
XиY
не имѣютъ другихъ значеній, кромѣ единицы и нуля, и что ра-
венства
ЛГ1
т^
X=1
и
1=1
соотвѣтствуютъ появленію комбинаціи
ЕЕ
въ результатѣ первой пары и второй пары испытапій, а равенство
XY= 1
соотвѣтствуетъ результату
ЕЕЕ
первыхъ трехъ испытаній, находимъ
а—м.о.X=2\2hi Ь= м.о.
Y=p2p3
м. о.
XY=p1p2p.i.

Слѣдовательно
и. о. (Х — а)(Г—Ъ) = р1р2р3( 1
—ра)=рград2рз
п на основаніи этого результата мы можемъ заключить, что
разсматриваемая нами сумма
2 м.о.(Х— «)(Т—Ъ) -+ -
+2н.о.(2-в)( W—-1) -+-
выражается суммою первыхъ S — 1 члеиовъ ряда
ІРхРМз,
ЯРяРяЯаРі,
^РЗРІЯіРЪ'
и потому не можетъ превосходить
Что же касается суммы
м. о. (I-fl)s +
»i. о. (Г— Ъ)2 -н
-ни. о. (W—1)2,
то, какъ не трудно видѣть, она выражается суммою первыхъ
S членовъ ряда
Р1Р2 (1 —Р1Р2), РзРз (1 —Р* Рз\
и не можетъ превосходить
Такимъ образомъ мы убѣждаемся, что къ данному ряду
X,Г,Z,
законъ большихъ чиселъ примѣпяется, хотя этотъ рядъ не со-
стоитъ исключительно изъ независимыхъ величинъ. Въ частности,
если всѣ числа
Р\) JPo> Рзі
равны одному числу р,
можно написать для нашего примѣра
такую простую Формулу
м. о. (X -+- Гч-....-+-
W— Sp2f = Sp2( 1 —р2)
I)p3q.
Вторую категорію мы образуемъ изъ тѣхъ рядовъ
X,Г,Z,
,
V,
W,....,

для которыхъ математическія ожиданія всѣхъ произведены
XT, XZ, TZ,
или только математическія ожиданія произведеній
XT, (z-f -Y)Z,..
.
.,
(І+Г+.. ..и-F)Ж,. ...
меньше соотвѣтствующихъ произведеній математическихъ ожи-
даиій. Въ этихъ случаяхъ
м. о. (І+Г+
-+-W—
а—Ъ
—
—
If
меньше суммы
и. о. (X — а)2-*-м. о. (Г—Ь)"-і-
-4-м. о.
(W—lf
и потому для применимости къ нимъ закона болыппхъ чиселъ
достаточно, чтобы отношеніе
и.о.{Х — а)2-+-м. о. (Г— Ь)2-н. ...н-м. о. (W— ?)2
£2
стремилось къ предѣлу нуль при безпредѣльномъ возрастапіи
числа S.
Но наиболѣе заслуживаюсь вниманія ряды, которые мы
причисляемъ къ третьей категоріи и характеризуемъ слѣдующимъ
свойствомъ: съ увеличеніемъ разстояпія между величинами ряда
связь ихъ, не прекращаясь совершенно, быстро убываешь, такъ
что сумма S слагаемыхъ
м. о. (W-1) (ТГ-г)ч-....-нм. о. (РР-г)(Г-&)-нм. о. (W-l){X-a),
при безпредѣльпомъ возрастаиіи числа S, не можетъ становиться
произвольно болыпимъ положительнымъ числомъ, хотя бы число
положительныхъ слагаемыхъ возрастало въ ней безпредѣльно
вмѣстѣ съ S. Сюда принадлежать, между прочимъ, ряды назы-
ваемые мною связанными въ цѣпъ, которымъ посвящено нѣсколько
моихъ статей.
Законъ большихъ чиселъ можетъ имѣть мѣсто и въ тѣхъ
случаяхъ, когда отношеніе
мат. ож. (Х+ Т-1- .. .
.-і- W
—
а—Ъ
—
.... — 7)2
S2
С*

не стремится къ нулю, при безпредѣльпомъ возрастаніи числа S,
и даже когда
мат. ож. (Х-+ - І
г
н~....-нW—а
—
Ъ—.
...—
If
оказывается безконечнымъ, при конечныхъ значеніяхъ S.
Для выясненія этого положенія остановимся на случаѣ не-
зависимыхъ величинъ, которыя для удобства разсуждепій будемъ
отличать другъ отъ друга не буквами, а нумерами.
Итакъ пусть будетъ
Хѵ Х2,...
.,
Хк,.
,..,
Хп,.
..
.
неограниченный рядъ независимыхъ величипъ. Введемъ такія
обозначенія
м.о.Хк =
а,.,
Хк—ак=
Zk,
численное значеніе Zk — (Zk).
Положимъ затѣмъ, что для нѣкотораго положительнаго
чнсла о, меньшаго единицы, сѵществуютъ математическія ожи-
данія величинъ
и что всѣ эти математическія ожиданія меньше одного и того же
числа с. Установивъ такія условія и введя два произвольно за-
данныхъ положительныхъ числа
£ ИУ),
мы докажемъ, что вѣроятность неравенствъ
равносильныхъ неравенству
будетъ больше
1 —Ч,
при достаточно большихъ значейіяхъ п.
Для этой цѣли введемъ еще слѣдующія обозначенія. Раз-
личныя зпаченія Zk будемъ обозначать символомъ zk) числовыя

ихъ величины символомъ (я7.), а вѣроятность равенства
Zk=h
символомъ рк,
вѣроятиость же совокупности равенствъ
Z1= 21> Z2=g2>
>Zn=0u
равную произведенію рх р2. . . ,рп одною буквою Р.
Наконецъ намъ придется различать суммы, распространенныя
на всѣ значенія
z
\1g2'••••J
s
m
отъ суммъ, распространенныхъ только на значенія тѣхъ же ко-
личеству ограниченный нѣкоторыми добавочными условіями.
Употребляя для обозначенія всѣхъ этихъ суммъ одну и туже
букву S, мы въ необходимыхъ случаяхъ будемъ указывать надъ
ней ограничивающія условія, причемъ для краткости совокупность
неравенствъ
^<Ѵ2,
022 < V2,
,
2*<V2
будемъ изображать такъ
••••V-•••<ѵ2>
требованіе же нарушенія, по крайней мѣрѣ, одного изъ этихъ
неравенствъ условимся представлять такъ
(....Z*. . . .)>ѵ2.
При такихъ обозначеніяхъ имѣемъ
гк2<ѵ2
g/2гѵ2
<V2
gѴ2
W""8
W1"3
'
гдѣ v вспомогательное число, которое мы будемъ увеличивать
безпредѣльно вмѣстѣ съ п.

Захѣмъ не трудно установить рядъ простыхъ неравенствъ
•2р
< 2-^-+-2 а
Z/2> ѵ2
г/Л' > ѵ2
гА2<Ѵ2
<у2
< ѵ1-52лw"
-8<сѵ1
~
8
гА2<ѵ 2
числ. знач.2л,г
7< = числ. знач. ^N
откуда выводимъ, что сумма
... .г А2,...< �2
не превосходящая
гх2<ѵ2
г22< ѵ2
%2с ѵ2
2ft
-2 ft ^22
••• •-+2л^»2
•j2СV2 г22<ѵ2
•2 числ. вн. 2А'1-2А
меньше
!_S И2c2
wcv
—
t
—
—^
Следовательно вероятность выполненія неравенства
(Z.H-^H-
вместе съ совокупностью неравенствъ
Z><A
< ѵ2,
,
z„2<v2,
выражаемая суммою соответствующихъ значеній Р, меньше
СУ1~8
с2
ч-
т2
ѵ2<5 е2
А такъ какъ, съ другой стороны, изъ приведенныхъ нами
неравенствъ видно, что вероятность нарушенія, по крайней мере,

одного изъ неравенствъ
^СЛ
Z/<vV...,
Z*<V2
меньше
ПС
ѵін-5'
то мы можемъ заключить, что вѣроятность одного неравенства
безъ обязательности неравенствъ
^2<ѵ2,
Z22<v2,....,
Z„2<v2,
меньше суммы
е3
ПС
Я£2
ѵ2°
vl-1
"
6"
ГІослѣдняя же сумма будетъ меньше любого даннаго числа т],
при достаточно большихъ значеніяхъ п, если только мы распо-
рядимся вспомогательнымъ числомъ ѵ такъ, чтобъ оба отношенія
V
п
—
И—
п
V
не превосходили заданной величины.
Полагая, напримѣръ,
V =11
находимъ, что вѣроятиость неравенства
должна быть меньше ѵ) для всѣхъ значеній п, удовлетворяющихъ
неравенству
с
с2
.
,
Такимъ образомъ нами доказано, что къ разсматриваемому
сейчасъ ряду величинъ
Х1У Х2,.
...,Хп,.
...
законъ большихъ чиеелъ примѣпяется, хотя бы математическое
ожиданіе извѣстнаго квадрата
±(X, Х2-+-
-+-Хп— ал—Й„
—
anf

имѣло произвольно большія значенія или даже обращалось въ
безконечность при конечпыхъ значеніяхъ п.
§ 17. Возвращаясь къ суммѣ
I+J+Z+
-+- W
какихъ нибудь независимыхъ величинъ
X,У,Z,
,
W,
займемся выводомъ приближеннаго выраженія для вѣроятности,
что эта сумма заключается въ предѣлахъ
й + Ь-ьс+....+ І -+-£1У2(я1 — a2-t -b1~
Ъ2
—
I2)
и
a + in-c-к...н- Z-ь Іt2
гдѣ
а, Ъ, с,.
.
.
., I и ax, Ьх, Cj,...., lx
имѣютъ тотъ же смыслъ какъ и прежде, a tx и t2 два произволь-
ныхъ числа, при чемъ t2 > tx. Это замѣчательное выраженіе
~
(2 е-*2 dz
V7СJ.
h
нами было уже указано при доказательств^ теоремы Бериулли.
Тогда оно было получено для частнаго случая, соотвѣтствую-
щаго теоремѣ Бернулли; а теперь мы выведемъ то же прибли-
женное выраженіе вѣроятности для всѣхъ случаевъ.
Обозначимъ для краткости:
всѣ возможный различныя значенія X одною буквою х,
У
у,
£
г,
W
w,
а вѣроятности этихъ значеній буквами
р, (Т, Т,
, со.

Затѣмъ условимся обозначать буквою Б такія суммы, кото-
рый распространяются на всѣ значенія
и соотвѣтствующія имъ величины
р, о-, т,
, со;
для обозначенія же одной суммы, распространенной не на всѣ
значенія
х,у,е,
, го,
употребимъ символъ 2'. При такихъ условіяхъ имѣемъ
Ер=2с= 2т=
.
.
.
.=
2co= 1,
Spa; = a, Z<jy = b, 2тя = c,.....,
2cow = I,
2рж2 = ar, Иіу2=Ъ1,
.
.
.
.,
Zu>w2—lv
и для каждой возможной системы чиселъ
х,у,г,
,w
соотвѣтствующее произведете
рст. ... со
будетъ выражать вѣроятность совокупности равенствъ
Х—х,Т—у,Z=г,. ...,W=w,
въ силу теоремы умноженія вероятностей, примѣненной къ не-
зависимымъ событіямъ. А изъ теоремы сложенія вѣроятностей
нетрудно заключить, что вѣроятность неравенствъ
У 2А <Г+....Ч-
W<У2А,
гдѣ
А= аг— а2ч-\
—
Ъ2-+-с, — с2-+-
-+-
—1'\
представится суммою
2 рат. ... со,
распространенною на тѣ значенія
X,у,3,
,W,

который удовлетворяют неравенствамъ
\~VlA
+
...ч-гѵ
—
а—Ъ
—
с—.
..
. — К. і2У2А,
илп, что все равно, неравенствамъ
Ьф У2А <х+у+....+гѵ-а -Ъ-....-1- -^У~2А
2А.
При помощи замѣчательнаго мнояіителя Дирихле мы све-
демъ эту сумму
S'p(rr....со
къ другой, которая распространяется уже на всѣ значенія
х,у,г,
, го.
Для полученія множителя Дирихле прежде всего замѣтимъ,
что интегралъ
—со
'
гдѣ а число постоянное, пмѣетъ значеніе -t-1 при и > 0, значе-
ніе- —
1приос< 0,изначеніе0приа= 0.
Поэтому простое равенство
Г"1
"
00SinЗІCostldrr _
J^00 Sin ((ЗН-Y) i; ^
P^00 Sin(3
—^
J—oo
?
^
2 •'—со
5
^
2 J—со
§
обнаруяшваетъ, что интегралъ
v 00 Sin М-Созт? ж
1J
Sin РЕ-Соз-уЕ^
—
CO
гдѣ p и у числа постоянный и (3 > 0, имѣетъ значеніе 1, если
—
P<Y<P,
значеніе 0, если у лежитъ внѣ предѣловъ
—
(3 и -ь(3,
п наконецъ значеніе у, если у совпадаетъ съ однимъ изъ чи-
еелъ — (3 и -+- (3. Въ силу же равенствъ
„-ЬОО
Sin р; Sin
_
Qи
_
Cos у<; -f- г Sin yij,
—со

гдѣі= У—1,имѣемъ
1_ г-"-
00 SinpS.CogTS dr _ J_ Г
нсо
SinP| -tH „
*J-oo
^
«'-co
5
Слѣдовательно при (3 > О должно быть:
если
—
3<у<[3,
—ООi
-
Г°°
е^ d?= 0,
еслиу<—рилиу>р,
71
—СО £
1 (•H~°°Sin|i$ iv?
1
0
Г.
—
I—~
е1т;
=
еслиу=
—
(3илиу=И.
71
—ОО 4
Принявъ это во вниманіе, прибавимъ къ каждому произве-
денію рсгт. ... со соответственный множитель
.
„-і-со Sin (5;
'•е^сГс,
гдѣ
и разсмотримъ сумму
ІіЫра^. ... со.
Если ни одно изъ двухъ чиселъ
a-j -&-+-c-t -
.
.
.
. -»-l -v-tx У2А и йн-йн-сн-.
.
.
.
- +-1-* -^У2А
не принадлежишь къ числу значеній
ж-н^ + г-н
н-иі,
то множитель II будетъ нулемъ для всѣхъ членовъ суммы
SZ/po-т.
...
со
кромѣ тѣхъ, которымъ соотвѣтствуютъ неравенства
У2А
. . . . -t-iv—a—Ъ—с—.
. . . —l<.t2У2A.
Для этихъ послѣднихъ
Н= 1,

и потому сумма
ЕіГра-т.
...
со
приводится къ той именно суммѣ
Е'рстт. ... со,
которая выражаетъ вѣроятность неравенствъ
t, УЙ<І+Г+г+....+ Г-а -5-с-....-г<<2
VTA.
Если же сумма
х-л-у -і-£н-.
.
.
.-і-гѵ
можетъ равняться
a-t-&-»-c -+-.
.
.
.
У2А или я-ь&н-с -»-
.
.
.
.
то множитель Н можетъ получать значеніе у •
Тогда, какъ нетрудно видѣть, сумма
SSpo-т.
...
со
будетъ среднею арифметическою двухъ суммъ, изъ которыхъ
одна выражаетъ вѣроятность неравенствъ
а другая вѣроятность тѣхъ же неравенствъ съ присоединеніемъ
случаевъ равенства
X-t- 7+Z+
-+-W—а
—
Ъ—с
—
—
1=\У2А
и
I+J+Z+
н- W— а-—
Ь—с
—
—і
=
і2У2А.
Другими словами, сумма
ЕіГрат. ... со
отличается отъ
£'р<ги. ... со
только половиною вѣроятности вьшолненія одного изъ равенствъ
I+7+Z+
-i-W—a
—
Ъ—с
—
—
l= tx У2А

и
Хн- Г-HZH-
+W~a
—
h—c
—
—
l=
t2V2l.
Слѣдователыіо, если пренебречь вѣроятностью послѣднихъ
равенствъ, считая ихъ невозможными или маловѣроятными, то
можно разсматривать сумму
Ейрат. ... со
какъ вѣроятность, что
І+Г+2+
-+- W
лежитъ въ предѣлахъ
a-h-b -+-c-+ -.
.
.
,-t-l -iѴ2Л
и
.
.
.
.-ъ -І -ь-і^ѴіА.
Обращаясь къ суммѣ
ИЯрст. ... со
и замѣняя въ ней Н соотвѣтствующимъ выраженіемъ
•
z
e
2
d\
получаемъ
ЕЯрат
со ==M
Q
^
e
2
d\,
J—CO
гдѣ
О = Spo-т.
.
.
/+
=={Spe*(»-")?} {Sare*(s/-*>)?}. . . . {2сое»(
м
—
Относительно суммъ
Spe»(® —«)?, Sae'(2/—
ь
). . . Есое«(ю
—
прежде всего замѣтимъ, что ихъ модули, вообще говоря, меньше
единицы:
мод. £рег (
ж
-
°)s< S мод.рег
—
й)?= 2р= 1,
мод. Есоег
'(!0 ?< S мод.сое»(« 5= £со= 1.

На этоыъ основаніи, при болыиомъ числѣ величинъ
X, T,Z,....,
w,
мы будемъ считать модуль О такимъ малымъ числомъ, которымъ
можно пренебречь для всѣхъ значеній \ кромѣ смежныхъ съ ну-
лемъ. Разсматривая разложеніе О въ рядъ по возрастающимъ
степенямъ \ и ограничиваясь первыми членами этого ряда, мы
замѣнимъ Гі болѣе простымъ выраяіеніемъ, которое также
близко къ нулю при всѣхъ значеніяхъ \ кромѣ смежныхъ съ
нулемъ, и даетъ, при разложеніи по возрастающимъ степенямъ Н,
тѣ же первые члены. Для указанной цѣли разлагаемъ въ рядъ,
по извѣстной Формулѣ, каждое изъ выраженій
еі{х —а)£} ег[у —Ь)5}. . .
gt(го —1)1
и подставляемъ эти разложенія въ суммы
Spe»'
—
а
) Еа-е»(У—
ь
) ...., £сие1'(
w
—
l)\
Такимъ образомъ получаемъ
Spe»'(®-«)5 = Sp -+-^2р(ж —а)— у Sp (ж — а)2 -+-.
.
.
.
я
і—«2С2,
—
і
2
-і-
.
.
.
.,
=
1—Ц^2
и-....,
и затѣмъ посредствомъ умноженія рядовъ находимъ
о—1
£і н-
2
'
гдѣ 4 имѣетъ прежнее значеніе:
А = а1 — а?-+-Ъ1 — Ъ2-+-с1—с
>
+ ....чн^ —Z2.
Тѣми же членами
1 —-Е2
1
2

начинается и разложеніе въ рядъ, по степенямъ
показатель-
ной Функцш
л
которая при всѣхъ значеніяхъ
кромѣ смежныхъ съ нулемъ, ч
близка къ нулю, если А число большое. Подставляя эту Функцію
на мѣсто О, получаемъ для вѣроятности неравенствъ
t1-V2A<X-+-Y-*-Z-i -....+W—
а—Ъ—с—....—
l<t2V2A
приближенную величину въ видѣ интеграла
е
2
2
dl,
который равенъ
jt
00-±jfa
г
е2
d\
о
s
и легко приводится къ разности
-I Г°°
е-Т^2к_JLГадГ'ТРdl,
71JО Ч
TTJQI,
'
если положить
2Д2
=
Съ другой стороны нетрудно доказать, что интегралъ
гдѣ t не зависитъ отъ
равенъ
e~*dt.
Vic Jo
Дѣйствительно, ПОЛОНІИВЪ ДЛЯ краткости
irj0 С

и разсматривая V какъ Функцію перемѣнеаго числа t, посред-
ствомъ диФФерендированія подъ зиакомъ интеграла получаемъ
аѵ
2 г00
--к2,
dt=
-f
е ^ Cost'Cd'C
^ Jг1
Второе же диФФеренцированіе даетъ
'=
—
-Се
Sin t'C
=
—
Sin t'C d( e~
J(1
11Jn
v
dt2—
* J(>
,rjo
—
-
j,
откуда посредствомъ пнтегрированія по частямъ выводимъ
«г03
—
і?2^
,у ,Y
п,аѵ
=
—
Ч10 е
4
CostCdC =
2t-^
и затѣмъ
Слѣдовательно
гдѣ Е означаетъ число постоянное, и
Ѵ=Е?
e~t2dt,
Jo
ибо при t = О должно быть
V— О.
Остается опредѣлить постоянное Е. Число Е совпадаетъ со
dv
dt
ГИТТ/ЭО Qrinnpnift
dt
значеніемъ производной ^
при t = 0. Давая же t значеніе О,
находимъ, что соотвѣтствующее значеніе ~ выражается инте-
граломъ
„со
ff0
<
который равенъ
Итакъ
2
ѴЧ'

и пакопецъ
1 Г Щ^е-^К
-
і-Г
^=
1(>
dL
71О
?
~
J0
^
^
Ч
Изложенный памп выводъ приближенной величины вѣроят-
ностп неравенствъ
t1V2l< X+Y+Z+
-н W-a-Ъ-с-
~l<t2V2А
не даетъ никакихъ указаній относительно размѣра погрешности
этой приближенной величины. И только по аналогіи съ тѣыъ,
что было установлено при доказательстве теоремы Бернулли,
можно догадываться, что интегралъ
1No
e-^clt
будетъ при нѣкоторыхъ условіяхъ предѣломъ вѣроятности вы-
шеприведенныхъ неравенствъ, что я называю теоремой о пре-
дѣлѣ вероятности.
Этой теоремѣ посвящено особое приложеніе,
въ концѣ книги, а здѣсь мы пзложимъ только простое доказа-
тельство пижеслѣдующей теоремы о математическихъ ожида-
ніяхъ, которая можетъ служить для вывода нредложенія о пре-
дѣлѣ вѣроятности при опредѣлениыхъ условіяхъ,
§ 18. Теорема о математическихъ ожиданіяхъ.
Если для неограниченнаго ряда независимыхъ
величинъ
Yу
Y
имѣемъ
м.о.Хк —ак, м.о.(Хк —а,.)2= с,., чис.знач.м.о.(Хк —а/;)а
=
с^
и числа ск, с,М удовлетворяютъ условію, что оба отношения
Cl^H-C2(
g
)-H....-t-Cn(
a
)
Cj»—I с2
1
Н-...с„
а
—1
("1 +С8+
-+" С») '
при
3, 4, 5,....,
стремятся къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ —, то
математическое
п'

ожиданіе
степени
(ЗГх -і - зг2
••
Хп—
а
і—
'
—•
—
оп)
т
I
Ѵ2 (cj-t -Csj-i -
-+-с„)
I
показатель т которой любое цѣлое положительное
число,
при-
ближается къ предѣлу
1 л-1 -00
-Ы
tme~#dt,
У-
—оо
когда п возрастаете
безпредѣлъно.
Доказательство.
Согласно извѣстному обобщенію Формулы Ньютона имѣемъ
гдѣ S*'означаетъ симметрическую Функцію разностей
Xj
au Xa—
a2,....,
Xn—
an,
для опредѣленія которой можетъ служить одинъ ея членъ
(Х1-а1Т(Х,-а/....(Хі-аг)\
и суммированіе, обозначенное символомъ Е, должно быть распро-
странено на всѣ совокупности цѣлыхъ положительпыхъ чиселъ
к,[3,...
X, удовлетворяющія условію
а+ |3+ ....—1—X=Ш.
Отсюда въ силу установленныхъ ранѣе теоремъ о матема-
тическихъ ожиданіяхъ суммъ и произведены выводимъ
гдѣ G'
x
'
озпачаетъ математическое ожиданіе суммы Sa
'
и получается изъ этой суммы черезъ замѣну степеней разностей
Хх—
аг,
Х2 — а2,....,
Хп—ап
математическими ожиданіями тѣхъ же степеней. И такъ какъ
математическія ожиданія первыхъ степеней разностей
Х1 — а1, Х2 — а2,....,
Хп—ап

—
99—
равны нулю, то изъ выраженій
только тѣ могутъ быть отличными отъ нуля, для которыхъ
каждое изъ чиеелъ
Р
X
больше единицы.
Вмѣетѣ съ тѣмъ мы безъ большого труда можемъ устано-
вить неравенство
чис. зн.ffy->Р.--»*
Сі(а>с„(«) СХ(Р)Сд(Р)
с:(Л)+....+С„(
х
)
т_
<
а_'
Т"
(Сі+Сг+....-l -С„)2 (Сі -К...+ С„) 2 faС„)
2
(с: -К...+ С„) 2
А это неравенство обнаруживает^ что при условіяхъ тео-
ремы отношеніе
2»'
(Сі-+-са -+-.... Н-0П) 2
й -і- (3 -+-.
.
.
.н-X=«г,
должно приближаться къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ~,
если только
среди чиеелъ а, (3,. . .
X встрѣчаются отличныя отъ 2.
При т нечетномъ числа а, (3,...., А, сумма которыхъ равна
?п, не могутъ быть всѣ равными 2 и потому для всѣхъ возмож-
ныхъ совокупностей ос, (3,. . . ., л отношеніе
ga> Р.--Л
т
(Ci + Cj+
+ C„)2
должно приближаться къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ
При четномъ же т существуетъ одна и только одна совокуп-
ность чиеелъ а, (3,. . . ., А, для которой отношеніе
т
{C1-+-C2-t - . .. .- * -Cnj2"
можетъ не приближаться къ пулю вмѣстѣ съ
эта единствен-
ная совокупность состоитъ пзъ ~ чиеелъ равныхъ 2.

Слѣдовательно при т нечетномъ долишо быть
(Хі -+- Х9 -І-. ...
-+-Х„ — ал— а9—....
—
а„)
т
А
пред. м. о.
—
"
1
2
=
О
\
У2 (cj -+- с2 Н-... .ч- Сп)
)п=со
-ноо
=
4=[
tme-*dt-
Ѵъ ОО
а при т четномъ къ предѣлу нуль должна приближаться разность
fZx +
+....+Хп - а, - аа—..-
т!
САѴ-,2
М-0,І
Ѵ2(О1+О2+...-<-Сп)
) -г»;
J1
(Cj Н- C2 +....+ Cn) 2
гдѣ G2'2
'""''
означаетъ симметрическую Функдію величинъ
°1JС2)••••)С„!
которая вполнѣ опредѣляется однимъ своимъ члепомъ
Cjс„. ... ст .
Съ другой стороны, согласно той же Формулѣ Ньютона, при
т четномъ пмѣемъ
т
(с.+сан-....
+оз
=У
- г-Д -—г
я1"' Ѵ,
-Л
^і
2
^вш ц! ѵ!... .ш!
'
гдѣ
означаетъ симметрическую Функцію величисъ
сп с2,. . . ., сп, которая опредѣляется однимъ ея члепомъ
г
�
гш
а суммированіе, обозначенное буквою S, распространяется на
всѣ совокупности цѣлыхъ полоягителыіыхъ чиселъ (А, Ѵ, . . . ., СО,
удовлетворяющая условію
т
FJLН-V
-»- .
.
.
. -4-СО=
У
И нетрудно установить неравенство
я»1w <
.^ѴСОѴ-^.-НО.
которое обнаруиіиваетъ, что при нашихъ предполояіеніяхъ отно-
шеніе
V,.... ш
(Cj -Н с2 -»-....
-+- с„)

должно приближаться къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ —, если только
не всѣ числа р., ѵ,. . . ., со равны единицѣ.
На этомъ основаніи заключаемъ, что разность
т
!сх-*-еа-и.... н-с„\2 IтЛ
<У2>2>—>2
\Сх н- с3 н-... .-+- сп)
\2'/
(Сі + ej+....+ g!
должна приближаться къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ
Сопоставляя ліе этотъ результата съ найденнымъ выше,
заключаемъ, что при безцредѣльномъ возрастанін числа п мате-
матическое ожиданіе степени
(Xt-f-Х2-и.. • .-нХп -
-
а2 -.
••.- ап\т
\
Ѵ2(с1ч-С2Ч-....-І-Сп)
і'
гдѣ т четное пололсительное число, приближается къ предѣлу
равному числу
ш!
=
і.з.5....(,»-р
от(Ліі\
Л
\2'/
22
которому равенъ и интегралъ
1 с"*-00
4=
tme~*dt.
У* —оо
Такимъ образомъ теорема о математическихъ ожиданіяхъ
доказана вполиѣ.
Примѣчаиіе. При Формулировкѣ теоремы можно не упоми-
пать о второмъ изъ приведеиныхъ нами двухъ отношеній
frW + c8W + ....+ c,|(11)
Cla
~' -I- c2g—'
-+-....
-и-
1
(CJ-HCG-H .
..•+«,)2
такъ какъ въ сплу неравенства
сГ1 <
доказательство котораго не представляетъ большихъ затрудпепій,
оно доллшо стремиться къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ —, если къ
такому предѣлу стремится первое отношеніе, при всѣхъ указан-

ныхъ нами значеиіяхъ а. Съ другой стороны, изъ приведеннаго
нами доказательства можно заключить, что теорема о математи-
ческихъ ожиданіяхъ не нриложима къ тѣмъ случаямъ, когда
отношенія
„
,
_
.
Сіа 1 н- С2 -*-. .. .-Н спа—1
(сі-і-сг-і-
ьс„)
а
—1
стремятся къ нулю вмѣстѣ съ
а отношенія
СхИ -'- CgW н-....
-і- cnW
а
(С! -нс2 -+-....
не приближаются къ нулю.
§ 19. Остановимся теперь на приложеніи исчисленія вероят-
ностей, вообще, и обобщенной теоремы Бериулли, въ частности,
къ вопросу о выгодности и невыгодности болѣе или менѣе ри-
скованныхъ предпріятій.
Предполагая, что всѣ капиталы можпо выразить числами при
одной опредѣленной едпницѣ мѣры, мы будемъ разсматривать
каждое предпріятіе только съ точки зрѣнія увеличенія или умень-
шенія капиталовъ разпыхъ лицъ. Попятіе о выгодности пли не-
выгодности нредпріятія для даннаго лица представляется внолнѣ
яснымъ только въ тѣхъ случаяхъ, когда нѣтъ сомнѣнія въ томъ,
должно ли это предпріятіе увеличить каппталъ лица пли иапро-
тивъ уменьшить: выгодны всѣ предпріятія, которыя несомнѣнпо
увеличиваютъ капиталъ, и не выгодны всѣ, которыя несомненно
уменьшаютъ каниталъ. Совершенно иначе представляется дѣло
для предпріятій рискованныхъ, т. е. для такихъ, которыя могутъ
какъ увеличить, такъ и уменьшить капиталы участвующихъ
лицъ. Замѣтимъ, что съ математической точки зрѣнія едва ли не
всѣ предпріятія слѣдуетъ признать болѣе или менѣе рискован-
ными. Для рискованныхъ предпріятій понятіе о выгодности пли
невыгодности ихъ не имѣетъ уже вполиѣ опредѣлеинаго смысла.
Можно, конечно, сказать, что выгодны всѣ преднріятія, отъ
которыхъ съ большою вѣроятностью слѣдуетъ ожидать значи-
тельная приращенія капитала, если притомъ возможный убы-

токъ представляется пе только маловѣроятнымъ, по и незначи-
телыіымъ. Едва ли кто нибудь станетъ спорить иротивъ подоб-
наго утвержденія. Но по своей неопредѣленности оно не можетъ
служить общимъ основаніемъ для различія выгодныхъ пред-
пріятій отъ убыточныхъ. Сверхъ того условіе незначительности
возможнаго убытка напрасно исключаетъ изъ числа выгодныхъ
предпріятій мпогократпое повтореніе одного и того же пред-
пріятія, какимъ бы выгодиымъ ни представлялось это иред-
пріягіе.
Стараясь провести границу между выгодными и невыгод-
ными предпріятіями, мы вынуждены причислить къ выгоднымъ
и такія предпріятія, которыя съ обыденной точки зрѣнія едва ли
можно считать выгодными, въ виду сопряженнаго съ ними риска.
Для предпріятій, которыя допускаютъ перечисленіе всѣхъ воз-
можныхъ результатовъ съ указаніемъ ихъ вероятностей, осно-
ваніемъ дѣленія на выгодныя и невыгодныя намъ послужить
математическое ожиданіе приращенія капитала.
Именно мы назовемъ предпріятіе выгоднымъ, убыточнымъ,
или неопредѣленнымъ, смотря по тому, будетъ ли математиче-
ское ожиданіе прпращенія капитала, отъ этого предпріятія,
числомъ положйтельнымъ, отрицательнымъ или нулемъ.
Такое дѣленіе оправдывается ссылкой на обобщенную тео-
рему Бернулли, если допустить возможность повторенія каждаго
предпріятія неограниченное число разъ.
Въ силу обобщенной теоремы Бернулли отъ повторенія пред-
пріятія достаточно большое число разъ слѣдуетъ, съ вероятностью
сколь угодно близкою къ достовѣрности, ояшдать произвольно
большой выгоды, если для этого предпріятія математическое
ояіиданіе приращенія капитала выражается положйтельнымъ
числомъ. Напротивъ, если для нѣкотораго предпріятія матема-
тическое оншданіе приращенія капитала выраягается отрица-
тельнымъ числомъ, то отъ его повторенія достаточно большое
число разъ слѣдуетъ, съ вѣроятностыо сколь угодпо близкою къ
достовѣрности, ояшдать уменьшенія капитала.

Наконецъ въ третьемъ случаѣ, когда математическое ожи-
даніе прирагцепія капитала равпо нулю, обобщенная теорема
Бернулли указываетъ только на большую вѣроятность малыхъ
значеній отношенія измѣненія капитала къ числу разъ выпол-
ненія предпріятія, если это число достаточно велико. Но остается
вполнѣ неопредѣленнымъ, будетъ ли это измѣненіе состоять въ
увеличеніи пли напротивъ въ уменьшеніи капитала: въ силу тео-
ремы о предѣлѣ вѣроятностей разность вероятностей увеличеиія
и уменьшенія капитала будетъ произвольно мала, если пред-
пріятіе повторится достаточное число разъ.
Замѣтимъ, что вопросъ о выгодности пли невыгодности пред-
нріятія должно разсматривать для каждаго изъ его участниковъ
отдѣльно, такъ какъ интересы различпыхъ участниковъ могутъ
быть и часто бываютъ совершенно противоположными.
Разсмотрѣніе выгодности или невыгодности предпріятія, въ
устаиовленномъ нами смыслѣ, представляетъ одно изъ руководя-
щихъ основаній для рѣшенія вопроса о томъ, слѣдуетъ ли уча-
ствовать въ иредпріятіп или нѣтъ, такъ какъ это разсмотрѣніе
даетъ возможность судить о вѣроятныхъ результатахъ много-
кратнаго повторенія предпріятія.
Хотя это руководящее основаніе не можетъ быть признано
едпнственнымъ, но другого столь же опредѣленнаго нѣтъ.
Какъ при выгодныхъ, такъ и при невыгодныхъ предпріятіяхъ
должно пмѣть въ виду не только вѣроятпый результата ихъ
мпогократнаго повторенія, но и возможные результаты ихъ по-
вторенія различное число разъ. При повтореніи выгоднаго пред-
пріятія неограниченное число разъ обогащеніе становится крайне
вѣроятнымъ; но такое повторепіе можетъ встрѣтить разнообраз-
ныя препятствія, изъ которыхъ одно состоитъ въ разореиін раз-
сматриваемаго лица. Поэтому важно определить вѣроятность
предположенія, что при повторепіп предпріятія, различное число
разъ, убытокъ не превзойдетъ данной величины.
Здѣсь можетъ быть полезпымъ приближенное выражепіе
вероятности въ видѣ оиредѣлениаго интеграла

у= ]>-'"<»•
г
1
указанное нами какъ нредѣлъ вѣроятности. Окончательное рѣ-
шепіе вопроса о томъ, слѣдуетъ или не слѣдуетъ участвовать въ
предпріятіи, зависитъ отъ чисто субъективная поиятія о допу-
стимой степени риска. Теорія моя^етъ только предлагать тѣ
пли другія мѣры риска, но она не можетъ установить, какую
степень риска должно признавать допустимою. Подобный же
яамѣчанія относятся и къ невыгоднымъ предпріятіямъ.
Всѣ проекты вѣрнаго обогащепія посредствомъ иевыгодныхъ
предпріятій основаны па заблужденіи. Однако выполненіе невы-
годнаго предпріятія иногда можно считать благоразумнымъ;
именно въ тѣхъ случаяхъ, когда это невыгодное предпріятіе
уменынаетъ вероятность болыпихъ потерь, грозящихъ разоре-
піемъ.
Пояснпмъ сказанное частными примерами. ПОЛОЯІИМЪ, что
пѣкоторое предпріятіе можетъ представить только два случая,
изъ которыхъ одинъ даетъ увелпченіе нашего капитала на десять
рублей, а другой, папротивъ, умепыпеніе на тысячу двѣсти руб-
лей. Пусть далѣе вероятность перваго случая равна 0,99, а
вероятность второго 0,01. Математическое ожиданіе нашей вы-
годы отъ этого предпріятія выражается, въ рубляхъ, отрица-
тельиымъ числомъ
0,99X10—0,01X1200=
—
2,1.
что указываетъ на невыгодность предпріятія. Выполняя его
одинъ разъ, мы моя?емъ расчитывать, съ довольно большою
вѣроятностью (0,99), пріобрѣсть незначительную сумму (10 руб.),
по рискуемъ потерять гораздо большую сумму (1200 руб.), хотя
и съ малою вѣроятпостыо (0,01). Если же въ видахъ возмож-
ная обогащепія мы стапемъ повторять это преднріятіе неогра-
ниченное число разъ, то вѣроятнымъ результатом'!, такого по-
вторенія будетъ не' обогащеніе, а разореніе. Такъ уже при
стократпомъ повторепіи предпріятія вѣроятность прибыли оказы-

вается значительно меньше вероятности убытка; именно вѣроят-
ность прибыли при стократномъ повторепіи нредпріятія выра-
жается чпсломъ
(0)99ГФ 0,36608
и потому вѣроятпость убытка равна
1 —(0,99)100 ф 0,63397.
Между тѣмъ такое стократное повтореиіе предпріятія не до-
водить возможную прибыль даже до величины возможнаго убытка
одного предпріятія. Прп повтореиіп предпріятія 10000 разъ
возможная прибыль достигаетъ до 100000 рублей, но вероят-
ность такой прибыли выражается весьма малымъ числомъ
(0,99Г°°фЦ.
И не только вѣроятность получить прибыль въ 100000 руб.,
но п вероятность получить прибыль, вообще, оказывается до-
вольно малою, прп новтореніи предпріятія 10000 разъ.
Действительно, вероятность получить, при повтореніи пред-
пріятія 10000 разъ, какую нпбудь прибыль выражается сум-
мою восьмидесяти трехъ членовъ
(0,9 9)10000 -н 10000 (0,9 9)0099 (0,01) -н
-+-
^і.2!:2:кі2100099ів(0>99г8(о,оіл
изъ которыхъ послѣдпій
г(0,99)0918 (0,0 l)s
1-2.3. .. .10000
(П ОСП0918,
1.2
82.12.. . .9918
меньше числа
І/
10000
/Э900\ТО18/100\82_
У 2*.82.9918І99І8) {82 J ~ 0>00773....
Отношепіе же этой суммы къ ея последнему члену, какъ пе
трудно убѣдиться, меньше
1
9919
82.99
1801
'
9919
5,5. .

Такъ какъ пропзведеніе чиселъ
0,00773
и 5,5
меньше 0,05, то и разсматриваемая нами вероятность прибыли,
при повторенін предпріятія 10000 разъ, меньше 0,05.
Наконецъ, при повтореніи предпріятія 1000000 разъ ока-
зывается весьма малою не только вѣроятность избѣжать убытка,
но іі вероятность, что убытокъ будетъ меньше крупной суммы
100000 руб. Прибѣгая къ приблпженнымъ вычисленіямъ, мы
можемъ за послѣднюю вѣроятность принять
YItJt
2
Уя J0
гдѣ t опредѣляется уравненіемъ
(пр-+-1У 2npq)A— (щ—tУ2прд) Б=
— 100000
при
п = 1000000, р= 0,99, q — 0,01, А—10, В= 1200.
Указанное уравненіе даетъ для t величину
2000000
,
1210-/19800
'
при которой величина интеграла
1 г00
-Lf
e-*dt
У-h
"меньше —Мы
пользуемся здѣсь извѣстнымъ иеравенствомъ
л00
которое нетрудно установить при помощи интегрированія по
частямъ.
Чтобы пмѣть затѣмъ прпмѣръ выгоднаго нредпріятія, со-
хранимъ всѣ условія только что разсмотрѣпнаго примѣра, кромѣ
одного: именно, за величину возможной прибыли будемъ считать

не 10, а 20 рублей. Тогда математическое ожпданіе прибыли
выразится, въ рубляхъ, положйтельнымъ числомъ
'
20 х 0,99 — 1200 X 0,01 —7,8,
что и указываетъ на выгодность иредпріятія.
Однократное выполпепіе такого предпріятія представляетъ,
какъ п въ предыдущемъ примѣрѣ, незначительную прибыль
(20 руб.), соединенную съ рискомъ потерять гораздо большую
сумму (1200 руб.). Прп стократпомъ повтореніп нредпріятія
вѣроятность убытка перестаетъ уже быть очень малою величи-
ною: она выражается тогда разностью
1 —(0,99)100 |і н-^І
равною
0,2642
1
СЪ ТОЧПОСТЬЮ ДО ѴЦІІ-
Если же мы имѣемъ возможность повторить это предпріятіе
произвольное число разъ, то можемъ разсчнтывать обогатиться
съ вѣроятностью сколь угодно близкою къ достовѣрности; впро-
чемъ не устранена, окончательно, п возможность разоренія.
При повтореніи предпріятія 10000 разъ вероятность убытка
выразптся суммою
1.2..:ЛЬ5л!Г.а835(°."Г5(0,01Г-
и будетъ меньше
И
10000 /9900\0836/100\ш
2и. 164.9836 ^9836/ \164j "
165.99
послѣднее же пропзведеиіе меньше
Наконецъ при повтореиіи предпріятія 1000000 разъ стано-
вится весьма близкою къ едиипцѣ вероятность получить прибыль
пе меньше 1000000. Именно, нрибѣгая къ приблшкенпымъ вы-

численіямъ, ыы можемъ Зсі последнюю вѣроятность принять
,
.00
,
,
t
IP00
-Lf
=
г!!Й=1~
e-^dt,
УTVJt
2
TяJ0
Yx Jt
гдѣ t опредѣляется уравненіемъ
{пр — t V2npq) A — (nq -+-1У 2npq) В = 1000000
прп
n—1000000,p =0,99,q=0,01,A= 20,£=1200.
Указанное уравненіе даетъ для t величину
6800000
1220У10800
прп которой разность
>30,
1 г00
1---М
c-Vdt
YnJt
отличается отъ единицы на величину меньшую
е—ООО
оо
Изъ второго прпмѣра мы иолучпмъ третій, переставпвъ при-
быль съ убыткомъ. Предпріятіе, дающее прибыль 1200 рублей
съ вѣроятностыо 0,01 н убытокъ 20 рублей съ вѣроятностыо
0,99, не выгодно, такъ какъ математическое ожиданіе соотвѣт-
ствующей прибыли выраяіаегся, въ рубляхъ, отрпцательиымъ
числомъ
1200х0;01_20х0)99__7)8>
Поэтому нельзя рекомендовать многократное новторепіе
одного этого преднріятія съ цѣлыо обогащенія. Но повтореиіе
его небольшое чпсло разъ можетъ быть допущено въ виду незна-
чительности убытка. Можно также признать благоразумным?,
присоедпненіе этого предпріятія къ другпмъ выгоднымъ, по ри-
сковапнымъ предпріятіямъ.
ПОЛОЯІИМЪ напримѣръ, что иѣкоторое предпріятіе предста-
вляетъ убытокъ 1100 рублей и прибыль въ 120 рублей соотвѣг-
ственно въ тѣхъ ' случаяхъ, когда только что разсмотрѣнное
нредпріятіе даетъ прибыль 1200 рублей и убытокъ 20 рублей.

Тогда, присоединяя къ этому новому выгодному, по рискован-
ному предпріятію разсмотрѣнное нами невыгодное предпріятіе,
мы обезпечпваемъ себѣ вѣрную выгоду 100 рублей. На подоб-
ныхъ началахъ основаны различные виды страхованія.
§ 20. Съ понятіемъ о выгодныхъ и невыгодпыхъ пред-
пріятіяхъ тѣсно связано понятіе о безобидныхъ и небезобидныхъ
играхо. Игрою мы называемъ здѣсь не развлеченіе, а всякое
предпріятіе, которое представляетъ возмояшость различныхъ из-
мѣненій капитала каяедаго участника въ отдельности, по пе пз-
мѣняетъ общаго ихъ капитала.
Притомъ, подобно прежнему, мы будемъ предполагать, что
молено перечислить для каждаго участника всѣ возможный измѣ-
ненія его капитала и указать пхъ вѣроятностп. Участниковъ
игры мы будемъ называть игроками, н въ случаѣ надобности
будемъ отличать пхъ другъ отъ друга нумерами 1, 2, 3. . . .,
илибуквамиЛ,В,С. ...Пусть
XXX
^i-j,^і-д) зг•••
представляютъ, соотвѣтственно, для игроковъ
1, 2, 3,....
прпращенія пхъ капиталовъ, происходящія отъ игры.
Такъ какъ игра не измѣняетъ общей суммы капиталовъ
всѣхъ игроковъ, то сумма
-^і-^з
••• •
приращеній капиталовъ всѣхъ игроковъ должна приводиться къ
нулю. Поэтому должна равняться нулю и сумма математическихъ
ожпданій тѣхъ лее приращеній:
м. о.
+ м.о.І2+ м,о.І3+ ....=
0.
И следовательно, если для нѣкоторыхъ пзъ игроковъ мате-
матическія ожиданія приращеній ихъ капиталовъ отъ игры вы-
ражаются числами положительными, то должны быть и такіе
игроки, для которыхъ математическія олеидаиія приращеній ихъ

капиталовъ отъ той же пгры выражаются отрицательными чи-
слами. Тогда для однихъ игроковъ игра будетъ выгоднымъ пред-
нріятіемъ, а для другихъ невыгоднымъ; и при повторенін ея не-
ограниченное число разъ тѣ игроки, для которыхъ игра выгодна,
могутъ расчитывать почти навѣрияка обыграть другихъ, для
которыхъ игра невыгодна.
Отсюда вытекаетъ такое условіе безобидности игръ: мате-
матическое ожиданіе приращенія капитала для каждаго игрока
должно приводгітъся къ нулю.
Для игръ не безобидиыхъ можно, почти съ увѣренностью,
предсказывать, кто изъ игроковъ обогатится и кто разорится,
при повтореніи игры неограниченное число разъ.
Относительно же безобидныхъ игръ нельзя сдѣлать подоб-
наго предсказанія. Вмѣстѣ съ тѣмъ однако нельзя полагать, чтобы
безобидныя игры прп миогократномъ ихъ повтореніп не про-
изводили значительныхъ измѣненій въ каппталахъ игроковъ и
не разоряли никого изъ нихъ. Изъ доказанныхъ нами теоремъ
этого не слѣдуетъ п не можетъ слѣдовать.
Обобщенная теорема Бернулли указываешь только на боль-
шую вѣроятпость, что будутъ малыми отношенія измѣненій ка-
питаловъ игроковъ къ числу повтореній безобидной игры; по при
малыхъ величпнахъ этихъ отношеній сами пзмѣненія могутъ
быть значительными. А теорема о предѣлѣ вероятности обна-
руживаешь малость вѣроятпости, что измѣпенія капиталовъ игро-
ковъ останутся малыми прп миогократномъ повторены безо-
бидной пгры. Изъ той же теоремы о предѣлѣ вероятности слѣ-
дуетъ, что для каждаго игрока вѣроятность получить произвольно
большую прибыль и вѣроятиость получить произвольно большой
убытокъ стремятся къ одному и толу же предѣлу ф, когда число
повторепій безобидной пгры увеличивается безпредѣльно.
Услоиіе безобидности игръ должно служить руководящимъ
оспованіемъ денежныхъ расчетовъ мея?ду участниками такпхъ
предпріятій, которыя подходятъ подъ установленное нами иопя-
тіе пгры. Часто допускаются, однако, отступлепія ошь этого

условія, результата которыхъ выражается въ обогащеніи однихъ
лицъ иа счета другпхъ. Это бываетъ въ тѣхъ случаяхъ, когда
игра организована, съ цѣлыо болѣе или менѣе вѣрной наяіивы,
одними участниками такъ, чтобы ее можно было повторять не-
ограниченное число разъ прп измѣненіи другпхъ участниковъ.
Если организаторы игры сохранили бы условіе безобидности
относительно прочпхъ участниковъ, то ихъ цѣль не была бы
достигнута п они подвергались бы большому риску разоренія.
Что же касается ирочихъ участниковъ, изъ которыхъ каж-
дый ѵчаствуетъ въ игрѣ только сравнительно небольшое число
разъ, то они могутъ считать свое участіе въ пей благоразум-
нымъ даже и прп нѣкоторомъ, не слишкомъ большомъ, паруше-
ніи условія безобидности, если это предпріятіе предохраняетъ
пхъ отъ другого риска, какъ было уже пояснено на частяомъ
прпмѣрѣ прп разсмотрѣпіи выгодныхъ и невыгодныхъ предпріятій.
Здѣсь можетъ возникнуть вопросъ о допустимой степени на-
рушенія условія безобидности пгръ. Но на этотъ вопросъ нельзя
дать опредѣленпаго отвѣта; подобно тому, какъ раньше, мы от-
казались установить допустимую степень риска.
Замѣтимъ еще, что практическія. нриложенія условія без-
обидности пгръ обыкновенно затрудняются двумя обстоятель-
ствами: невозможностью точно установить вѣроятностп различ-
ныхъ предположены п нарушеніемъ условія пеизмѣшюстп общей
суммы капиталовъ.
Литература.
П. Чебышевъ. Сочиненія. Томъ I, О среднихъ величинахъ.
Томъ II, О двухъ теоремахъ относительно вероятностей.
А. Марко въ. Распространеніе закона болынихъ чиселъ иа
величины зависящія другъ отъ друга (Изв. Физ.-мат. общ. прп
Казанскомъ унив. 2 серія, XV, No 4).
A. Liapounoff. Sur une proposition de la theorie des pro-
babilites (Bull, de l'Acad. de St. Petersb. Y serie, XIII).

ПАВА IV.
Примѣры различныхъ пріемовъ вычи-
сления вѣроятноетѳй.
§ 21. Задача 1ая
.
Изъ сосуда, содержащего а бѣлыхъ п Ъ
черныхъ шаровъ и никакихъ другпхъ, вынимаютъ одновре-
менно или последовательно а. ч- (3 шаровъ, при чемъ, въ случае
послѣдовательнаго выниманія, ни одинъ изъ вынутыхъ шаровъ
не возвращаютъ обратно въ сосудъ и новыхъ туда также не
подкладываютъ.
Требуется определить вероятность, что между вынутыми
такимъ образомъ шарами будетъ а бЁлыхъ и [3 черныхъ.
Первое рѣшеніе. Положимъ, что все шары въ сосуде от-
личены другъ отъ друга нумерами, иритомъ такимъ образомъ,
что на бЬлыхъ стоягъ нумера
123
а на черныхъ нумера
й+1,
а-1-2,
Нумера вынутыхъ шаровъ должны образовать некоторую
•совокупность ач- j3.нумеровъ изъ всЬхъ а ч-Ъ нумеровъ
1, 2, 3,....,
а ч-Ъ.

Число различныхъ совокупностей а -+ (3 нумеровъ, которыя
можно образовать изъ ci-t-b нумеровъ, равно
(ач-Ъ)(ач- Ъ
—
1)(ач- Ъ
—
2) (а-+-Ь
—
а—р
-і- 1)
1.2.3
(а-+-Р)
Соотвѣтствепно этому мы можемъ различить
(g + b)(g-bii-l)
(ан-Ъ
—
а—gн-1)
1.2.3
(а-н р)
равновозможныхъ случаевъ, каждый изъ которыхъ состоитъ въ
появленіи опредѣленныхъ ан-(3 нумеровъ.
Изъ всѣхъ этихъ случаевъ, единственно возможныхъ и не-
совмѣстимыхъ, благопріятствуютъ появленію а бѣлыхъ и [3 чер-
ныхъ шаровъ тѣ и только тѣ, при которыхъ появляется какая
нибудь совокупность а нумеровъ изъ группы
1,2,3,....,
а
вмѣстѣ съ какою яибудь совокупностью (3 нумеровъ изъ группы
йн-1,0+2,...
йя-5.
Число различныхъ совокупностей а нумеровъ, которыя
можно образовать изъ а нумеровъ, равно
а(а—1)....(а—аи-1)
1.2
а
'
и число различныхъ совокупностей (3 нумеровъ, которыя можно-
образовать изъ Ъ нумеровъ, равно
Ъ(Ъ — 1)....(Ь— &Н-1)
1.2 ... .р
Поэтому число различныхъ совокупностей а -н (3 нумеровъ,
которыя получаются отъ соединенія каждой совокупности а ну-
меровъ изъ группы
1, 2,....,
а
съ каждою совокупностью [3 нумеровъ изъ группы
а+1, й + 2,,...,
а-ѵ-Ъ,
выразится произведеніемъ
а(а—1)....(а—а+ 1) Ъ(Ь—1)....(Ь—рч-1)
1.2
а
'
1.2
р

Итакъ, число разсматриваемыхъ нами случаевъ, которые
благо пріятствуютъ иоявленію а бѣлыхъ и (3 черныхъ шаровъ,
выражается только что указаннымъ произведеніемъ. И следо-
вательно искомая нами вероятность, что среди вынутыхъ а -+- (3
шаровъ будетъ а бЬлыхъ и (3 черныхъ, выразится отношеніемъ
а(а—1) (а—a -і-1) 6(6—1) (6—Р-4-1)
1.2
а
1.2
|5
(ач-Ь)(ач-6 —1)(ач-6 —2) (a+ ii-a-p + l)
'
1.2.3 (оГйнР)
которое после простыхъ преобразованій приводится къ
1.2.3....(«-+-0) а(а—1)....(а— ан- 1)6(Ь—1)....(6—3
-4- 1)
1.2
а.1.2
р (ач-Ь)(ач-6
—
1) (ач-b
—
а—(3-+-1)
Числовойпримѣръ:а—3,Ъ—4,а= 2,[3= 2.
Предполагаемъ, что на белыхъ шарахъ поставлены нумера
1, 2, 3 и на черныхъ нумера 4, 5, 6, 7. Нумера на вынутыхъ
четырехъ шарахъ могутъ представлять любую изъ следующихъ
7.6.5.4
1.2.3.4" 35
совокупностей:
1,2,з,4 1,2з,5 1,2,з,61,03,71,9
J4,51,94,61,2,4,7
1,2,S,61,2, 71,96,71,з;4,51,з,4,61,з,4,7
з,5,6
1,з,5,71,з,6,7 1,4,5,61,4,б,7 1,4,6,7 1,5,6,79з,4,5
2,з,4,6 о-jз,4,72,з,5,62,з,5,72,з,6,72,4,5,62,4,5,7
2,4,6,72,5,6,7 з,4,5,6 з,4,5,73,4,6,7 з,5,6,74,5,6,7
Если же вынуты 2 бЬлыхъ и 2 черныхъ шара, то ихъ ну-
мера образуютъ одну изъ следующихъ
1.2Х1.2
—
совокупностей:
1,
о
4,5 1,о4,6 1,2
j4,7 1,2
15,61,2,5,71,2,6,7
1,3,4,б1,з,4,61,3,4,71>3,5,61,з,5,7 1,з,6,7
2,3,4,52,3,4,6 О3,4,723,5,62з,5,72,з,6,7.
Такимъ образомъ мы имеемъ 35 равновозможныхъ слу-
чаевъ, изъ которыхъ 18 благопріятствуютъ разсматриваемому

событію; следовательно искомая вероятность, что между выну-
тыми четырьмя шарами бѣлыхъ и черныхъ будетъ по два,
18
равна gg.
Второе рѣгиеніе. Для отличія вынутыхъ шаровъ другъ отъ
друга положимъ, что независимо отъ цвѣта они размѣщены въ
какомъ нибудь порядкѣ и соответственно этому припишемъ имъ
НуЫ6Ра
1, 2,....,
а+ |3.
Наши нумера могутъ указывать порядокъ появленія шаровъ,
если шары вынуты изъ сосуда последовательно. После этого
для определенія вероятности разсматриваемаго событія, которое
состоитъ въ появленіи а. белыхъ и (3 черныхъ шаровъ, мы мо-
жемъ разбить его на отдельные виды, отличающіеся другъ отъ
друга порядкомъ белыхъ и черныхъ шаровъ. Число видовъ равно
1.2.3....(а+В)
1.2.... а. 1.2.... Р
и каждый изъ нихъ состоитъ въ беломъ дветЬ а шаровъ, отме-
ченныхъ определенными нумерами, и въ черномъ цвете осталь-
ныхъ вынутыхъ шаровъ. Останавливаясь на любомъ изъ этихъ
видовъ, заметимъ, что онъ приводится къ одновременному суще-
ствованію а -+- [3 событій
Ех,
Е3,.
.
..,
Ек,.
.
.
.,
-Бкн_р,
где Ек означаетъ определенный цветъ, белый или черный, шара
съ нумеромъ 7г. Вероятность же одновременнаго существованія
всехъ событій
Ех,
Е2,
Ек,
,
Е^
выражается, согласно теореме умноженія вероятностей, произ-
веденіемъ
(А)
Ех Еѵ...
Ек_,)....(Е,^
Еі
Яг-К^-і),
где
(Ек, Ех Е2....
Ек_х)
представляетъ вероятность событія Ек,
когда известно суще-

ствованіе событій
тр. ji]
ъ]
Чтобы определить послѣднюю вѣроятность, надо сосчитать,
сколько разъ среди событій
Ех, Е2,
, Ек_х
встрѣчается бѣлый цвѣтъ шара и сколько разъ черный.
Если среди событій
1
Е
ЕЕ
)2?"•'')/с—1
бѣлый цвѣтъ встрѣчается і разъ, а черный j разъ, при чемъ
i -t-j
=
к— 1; то прп несомнѣниомъ ихъ существованіи шаръ съ
нумеромъ к можетъ быть только однимъ изъ
а-і -Ъ
—
k-t- 1
шаровъ, среди которыхъ а — і бѣлыхъ и Ъ—j черныхъ.
И потому вѣроятность, что шаръ съ нумеромъ к бѣлый, вы-
разится при такихъ данныхъ дробью
a-t-Ъ
—
к-+-1'
а вѣроятность, что онъ черный, при тѣхъ же данныхъ выра-
зится дробью
ь
.
а-нb—k-t-1
Такимъ образомъ получаемъ
гдѣ
.
(тк= а—гили
=
b —j,
смотря по тому, означаегъ ли Ек бѣлый или черный цвѣтъ шара
съ нумеромъ к; числа же і и j, сообразно сказанному нами, по-
казываюсь соответственно, сколько разъ встрѣчается бѣлый
цвѣтъ шара и сколько разъ встречается черный цвѣтъ шара
среди событій
рр
7Р
А)
к—1"
Определяя по указанному правилу каждую изъ вѣроятностей
(El, Щ, (Щ, Д Е2),.
...,
^, ЕхЕ2
Е^_х)

и замѣчая, что
(Е) —
—^-р
ѵ
1'
ач-Ь
гдѣ
ul—аили
=
Ъ,
находимъ для вѣроятности появленія всѣхъ событій
такое выраженіе
^2
Ga-i -(3
(я+ і))(а+ і)-1) (ач- b
—
a—fi-+-1)
Числитель
^а-ыЗ
этого выраженія состоитъ изъ а. множителей вида а — і и р
множителей вида Ъ —j] ибо среди всѣхъ событій
бѣлый цвѣгъ встрѣчается сс разъ, а черный (3 разъ.
Вмѣстѣ съ тѣмъ нетрудно видѣть, что какъ г въ разности
а— г, такъ иj въразностиЪ—j,
означаешь число тѣхъ мно-
жителей произведенія
S
.
которые предшествуютъ этой разности и имѣютъ одинаковый
съ нею видъ. Слѣдовательно произведете
а
іст
2 ffa-»-P
состоитъ изъ множителей
а, а — 1,....,
а — а-н-1
и изъ множителей
ъ;ъ—і,
, ь —р-4-і,
и потому оно равно
а(а—1)
(а — а-+- 1)Ь(&— 1)
(Ь— р-н 1).
Итакъ вѣроятность любого изъ указанныхъ нами видовъ
появленія, среди вынутыхъ a -+- р шаровъ, a бѣлыхъ и р чер-
ныхъ шаровъ, имѣетъ одну и ту же величину
а(а—1) (а—и.ч-\)Ъ(Ъ—1) (Ь—р-н1)
(ач-Ь)(.ач-Ь
—
1) (а-нЪ—a
—
(Jч- 1)

Остается вспомнить, что число этихъ видовъ равно
1.2.3 (*-»-&)
1.2.3
а.1 .2
р'
и теорема сложенія вероятностей тотчасъ даетъ намъ для иско-
мой вѣроятности, что среди вынутыхъ а -+ - р шаровъ будетъ
а бѣлыхъ и р черныхъ шаровъ, прежнюю величину
1.2
(«-»-Р)
я(а—1)....(а—ан-1)Ь(Ь—1)
(Ъ— 3
-«- 1)
1.2
а.1.2
р' (о-+-Ь)(а-+•Ь—1)
(а-+-Ь
—
а—р
- +-1)
Числовойпримѣръ:а= 3,Ъ=4,а= 2,р= 2.
Обращая внпманіе на норядокъ вынутыхъ шаровъ, мы мо-
жемъ разбить событіе, вероятность котораго ищемъ, на такіе
виды :
ббчч, бчбч, бччб, чббч, чочб, ччбо,
где буква б указываешь на бѣлый цветъ, а буква ч на чер-
ный цветъ шара. Число этихъ видовъ разематриваемаго событія
РаВН0
1.2.3.4
„
1.2.1.2
'
а вероятности ихъ, согласно теореме умноженія вероятностей,
выражаются произведеніями
324334283432
7604;765'4
'
7654
4о2343324332
7654;7654J7654
которыя приводятся къ одной и той же дроби
35'
Следовательно искомая вероятность, что между вынутыми
18
35'
четырьмя шарами бѣлыхъ и черныхъ будетъ по два, равна
какъ было найдено и другимъ путемъ.
Задача 2а*.
Изъ сосуда, содержащаго п билетовъ съ нуме-
рами
1,2,3,....,»
и никакихъ другихъ, вынимаютъ одновременно или последова-

тельно т билетовъ, при чемъ, въ случаѣ послѣдовательнаго вы-
ииманія, ни одинъ изъ вынутыхъ билетовъ не возвращаютъ
обратно въ сосудъ и новыхъ туда также не подкладываютъ.
Требуется опредѣлить вѣроятность, что между нумерами
вынутыхъ билетовъ появится і нумеровъ, указанныхъ заранѣе,
напр. 1, 2,
3і.
Ріъшеміе. Эту задачу можно разсматривать какъ тотъ част-
ный случай предыдущей, когда а = а. Именно можно г билетовъ,
нумера которыхъ указаны заранѣе, уподобить бѣлымъ шарамъ,
а остальные билеты уподобить чернымъ шарамъ. Такое уподо-
бленіе тотчасъ обнаруживаетъ, что рѣшеніе поставленной задачи
получится изъ рѣшенія предыдущей черезъ замѣну всѣхъ чпселъ
а,Ъ,ос,р
соотвѣтственно числами
і,п—г,г,т—г.
Обращаясь на этомъ основаніи къ найденному раньше выра-
женію
1.2 .3••••(а-+-Р) а(а—1).••.(а—а
-+-1)Ъ(Ъ—1).•••(Ь—Р
- +-1)
1.2
а. 1.2
р (a+ l))(a+ 6-l) (а•+-Ъ
—
а—3
-t- 1)
и дѣлая въ немъ указанную замѣну, получаемъ величину искомой
вѣроятности въ видѣ произведенія
1.2.
...m
'
i(i — 1).... 1 {n — i)(n — i—l)....(ra — m-t -1)
1.2
i.1.2 (от—i)
n(n—1) (n—inи-1)
'
которое послѣ сокращенія приводится къ
т(т—1)....(т—г-н 1)
11(п—1)....(и—і
-+- 1)
Итакъ искомая вѣроятность, что среди вынутыхъ т нуме-
ровъ окажутся всѣ указанные напередъ г нумеровъ, выражается
ДР°бьЮ
w(m-l)....(M-i -H)
п(п—1) (п— 1)
Другое рѣгиенге. Положимъ, что на билетахъ ставятся новые

нумера: на вынутыхъ
1,2,3,
,
т
а на оставшихся въ сосудѣ
«г-н 1, «г-н 2,. .
п.
Тогда для указанныхъ напередъ г билетовъ новые ихъ ну-
мера образуюсь какую иибудь совокупность г нумеровъ пзъ
всѣхъ п нумеровъ. На этомъ основаніи мы можемъ различать
равновозможныхъ случаевъ, каждому изъ которыхъ соотвѣт-
ствуетъ опредѣленная совокупность новыхъ нумеровъ на ука-
занныхъ напередъ г билетахъ. Изъ всѣхъ этихъ случаевъ, един-
ственно ВОЗМОЯІНЫХЪ и несовмѣстимыхъ, благопріятствуютъ по-
явление всѣхъ указанныхъ напередъ % билетовъ тѣ и только тѣ,
при которыхъ вся совокупность новыхъ нумеровъ на этихъ би-
летахъ составлена изъ чиселъ
1, 2, 3,....,
т.
Число же различныхъ совокупностей г нумеровъ, которыя
можно составить изъ т нумеровъ, равно
т (т — 1).... (то — іч-1)
1.2 ....»
"
Итакъ число всѣхъ равновозможныхъ случаевъ равно
я(я—1)....(я—і
-+- 1)
1.2
г
'
а число благопріятствующихъ событію равно
т(т—1)....(т—г
-н 1).
1.2
і
'
и слѣдовательно искомая вѣроятность, что среди вынутыхъ т
билетовъ будутъ всѣ указанные напередъ г билетовъ, выра-
11(п—1)....(я—г•+•1)
'
1.2
г
1.2
жается дробью
т(т— 1)
(т— г
-+-1)
я(я—1)....(и—(+ 1)'
согласно прежнему выводу.

Для приыѣра остановимся на Генуэзской лотереѣ, которая
въ нрежнее время разыгрывалась во Франціи и во многихъ
Германскпхъ областяхъ*). Она состояла изъ 90 нумеровъ, и при
каждомъ ея розыгрышѣ выходило по 5 нумеровъ. По условію
лотереи можно было ставпть ту или другую сумму на любой ну-
меръ, или на любую совокупность двухъ, трехъ, четырехъ, или
наконецъ пяти нумеровъ, что называлось, соответственно, про-
стой одиночкой (l'extrait simple), амбо (l'arabe), тернъ (le terne),
катернъ (le quaterne) и кинъ (le quine). Если въ числе вышед-
шпхъ пяти нумеровъ находилась совокупность тѣхъ, на которые
игрокъ поставилъ сумму, то админпстрація лотереи выдавала
этому игроку условленную сумму, находящуюся въ опредѣлен-
номъ отношеніи къ величинѣ ставки. Это отношеніе
Для вычисленія вероятностей появленія простой одиночки,
амбо, тернъ, катернъ и кинъ слЬдуетъ въ найденномъ нами вы-
для простой одиночки равнялось
15,
270,
5500,
75000,
1000000.
для амбо.
для тернъ
для катернъ
для кинъ. . .
раженіи
т(m — 1).... (т — і+1)
п(п — 1).... (и — i+i)
•00
5.4
is
2
S01
амбо
90.89
*) Подобная лотерея до сихъ поръ процвѣтаетъ въ Италіи.

ТѲРНЪ
90.89.88
=
ГТ71
катернъ
5.4.3.2
—
р
90.89.88.87 5110
КИНЪ
1
1
1
511038 86
43У49268
Поэтому, если ставка игрока равна Ж, то математическое
ожидаиіе его прибыли отъ участія въ лотереѣ выражается:
въ случаѣ простой одиночки числомъ
—lj М=—
~
Ж,
въ случаѣ амбо
—
1jЖ—— ^ М,
въ случаѣ тернъ
—
1)Ж——
Ж
ит.д.
Во всѣхъ случаяхъ, какъ мы видимъ, это математическое
ожпданіе число отрицательное; следовательно лотерея, о которой
идетъ рѣчь, представляетъ игру далеко не безобидную.
Этому выводу соотвѣтствуетъ тотъ Фактъ, что лотерея при-
носила и продолжаетъ приносить значительную выгоду устрои-
телямъ ея.
§ 22. Задача Зья
.
Изъ сосуда, содержащаго п билетовъ съ
нумерами
и никакихъ другихъ, вынимаютъ одновременно т билетовъ, что
мы назовемъ первымъ тиражемъ. Затѣмъ вынутые билеты воз-
вращаютъ въ сосудъ и производятъ подобный лее второй тиражъ
т билетовъ. По окончаніи второго тиража вынутые билеты воз-
вращаютъ также въ сосудъ и производятъ третій тиражъ и т. д.
Требуется при к такихъ тиражахъ определить:
1) вѣроятность, что і опредѣленныхъ нумеровъ не появятся;
2) вѣроятность, что і опредѣленныхъ нумеровъ не появятся,
а другіе I опредѣленныхъ нумеровъ появятся;
3) вѣроятность, что I опредѣленныхъ нумеровъ появятся;

4) вѣроятность, что появятся только I опредѣленныхъ ну-
ыеровъ; 5) вѣроятность, что появятся всѣ нумера.
Рѣшеніе. Положимъ для краткости
р(р—1)
(р— тч-Щк _
^
1.2....m
j
/>'
каково бы ни было число р.
Прп каждомъ тиражѣ нумера вынутыхъ билетовъ могутъ
представлять любую совокупность т чиселъ изъ всѣхъ п чиселъ
1,2,....,
я.
Соответственно этому при одномъ тиражѣ различимъ
я(п—1)...(я—т
-+ -1)
1.2
т
—
'
равновозможныхъ случаевъ, а при всѣхъ к тиражахъ различимъ
11(п—1)....(п—тч- 1)1/с
у
1.2
т
jп
равновозможныхъ случаевъ.
Каждый изъ послѣднихъ случаевъ, единственно возможныхъ
и несовмѣстимыхъ, состоптъ въ появленіи к опредѣленныхъ со-
вокупностей т нумеровъ, при разсматриваемыхъ памп к тира-
жахъ. Установивъ такимъ образомъ тѣ случаи, которые мы бу-
демъ разсматривать, и указавъ общее число ихъ, займемся для
опредѣленія вѣроятностей событій, упомянутыхъ въ задачѣ,
счетомъ числа благопріятствующихъ имъ случаевъ.
Если і опредѣленныхъ нумеровъ
ах, а2,
,
а.
не появляются, то для одного тиража вмѣсто
и(п—1).... (п—тч-1)
1.2
т
остается
(и—г)(п—і
—
1)....(я—г
—
тч-1)
1.2.... т
случаевъ, а для к тирая?ей вмѣсто
я(я—1)....(я—тч-1)1Iе у

имѣемъ
,,
...
.
.
I(n—г)(1І—i
—
1)....(я—г —
у
1.2.... т
j
п—і
случаевъ. Следовательно вероятность, что при 1с разсматривае-
мыхъ нами тиражахъ г опредѣленныхъ нумеровъ не появятся,
выражается дробью
Zn { l(n—i)(ii—t
—
1) (и—i
— m-+-1)1 к
Zn
\
n(n—l)....(n — m-t - 1)
)
Затѣмъ число случаевъ, при которыхъ не появляются і опре-
дѣленныхъ нумеровъ
и появляется одинъ также опредѣленпый нумеръ (Зі; можно вы-
разить разностью
=
Zn-i
~
Zn-i -1
'
гдѣ Zn_ i, согласно только что сказанному, представляетъ чи-
сло всѣхъ случаевъ, при которыхъ не появляются нумера
«1, <*2>
Йі,
a Zn_i _1
число тѣхъ изъ этихъ случаевъ, при которыхъ кромѣ
нумеровъ
«1, «2,
I
не появляется такя?е и нумеръ
Подобнымъ же образомъ число
•случаевъ, при которыхъ не появляются гопредѣленныхъ нумеровъ
и появляются два опредѣлениыхъ нумера, можно выразить вто-
рою разностью
А2
=
-
,._2,
гдѣ \Zn__i __1 представляетъ число всѣхъ случаевъ, при которыхъ
появляется нумеръ (Зх и не появляются нумера
а,, а2,
, а.,
а Д__3
число тѣхъ изъ этихъ случаевъ, при которыхъ
кромѣ нумеровъ
а,,
,а.

ые появляется также нумеръ (32. Въ виду возможности продол-
женія подобныхъ разсужденій не трудно заключить, что, вообще,
число случаевъ, при которыхъ не появляются г опредѣленныхъ
нумеровъ и появляются другіе I опредѣленныхъ нумеровъ, можно
представить разностью V порядка
аЧ-і-Р
которая равна
Zn-i
—
у Zn-i -11
\ .21)zn—i-2
~
—
Zn-i -l
•
Итакъ вѣроятность, что при 1с разсматриваемыхъ нами ти-
ражахъ і опредѣленныхъ нумеровъ не появятся, а другіе I опре-
дѣленныхъ нумеровъ появятся, равна
Zn
Прочія вероятности, упомянутыя въ задачѣ, представляютъ
три частныхъ случая только что найденной вероятности и по-
тому могутъ быть получены изъ выраженія
zn
при частныхъ нредноложеніяхъ относительно г и I:
1)г= 0, 2)і—п
—
1,3)г= О,1= п.
Полагая г = 0, получаемъ нижеслѣдующее выраженіе вѣ~
роятности ноявленія I опредѣленныхъ нумеровъ:
Дг Z„_i
,_
J_In—т\Ь 1(1—1)Iп—тѴ'In—от—1
_
Zn
~
1{n)
1.2{n)[n-1/
Полагаяжqi—n
—
l, находимъ, что вѣроятность появленія
I опредѣленныхъ нумеровъ и не появленія остальныхъ равна
Д__Zi j_1
l(i-1)__
Zn
Zn
1zn
1.2
Zn
In—m\k/n—m
—
1\л
~)
\»-l I
Наконецъ вѣроятность появленія всѣхъ и нумеровъ равна
A" Z0
.
пIn—т\к га (га—1)/га—ягѴ£/п—т
—
1\й
zn
1.2
{n-i )——
П-m-t-1\* .
I I—m\*
)
Ur NT
+
-
-

Останавливаясь на послѣдней Формулѣ и замѣчая, что при
болыпихъ значеніяхъ п она требуетъ утомительныхъ вычисленій,
выведемъ изъ нея двѣ приближенныхъ Формулы. Для полученія
первой приближенной Формулы положимъ, что всѣ числа
і—In— т
—
(п — т—1\'
г
/га— т
—
2\«
{п—1)'Vя—2)'
равны числу
'i—т\к
которое для краткости обозначимъ буквою t.
При такомъ допущеніи указанная Формула тотчасъ даетъ
-(Г,
гдѣt=
Для второго приближенія замѣтимъ, что при неболынихъ
значеніяхъ і отношеніе
i—m
—1\Л In — m\k
(n—m
—
i\« /га — my*
равное
(^
im
)
|
(га—i)(n—m)f'
мало отличается отъ
.
кіт
га(га— т)
и произведете
Ъп
\ и(га—т)
мало отличается отъ
К^
2Ъп \
Л
ікт \
га(га—т))'''\
и(га—т))
Ъп(1-+-2 -ь.
..
,+і) ^
kmi(i-t -l)
я(я—т)
2га(п — т)
На этомъ основаніи за приближенную величину каждаго
произведенія
ч,,
,
.
.
In—тучп—т
—
1уі
In—т
—
г\';
\га/\га—1)'''\п—г )
мы примемъ
,
,
^•-ніЛ Ь»г(г-4 -1)\
\
2п(га— т))
Подставляя въ Формулу это приближенное выраженіе вмѣ-

сто точнаго, получаемъ
+
f)
of,,.-ml (1—0
Ф(1— Г) 1
о-
'
Zn
1
2(п—т)ѵ
'
"Т"^
^
Г
2)'
такъ какъ числа
п—1
И(1-tf
мы иредаолагаемъ близкими къ едипицѣ.
Приложимъ наши приближенныя Формулы къ разысканію
числа тиражей по условію, чтобы вероятность появленія всѣхъ
нумеровъ была приблизительно равпа данному числу
Первая приближенная Формула даетъ:
откуда выводимъ
иlog(1—і)Ф—ntФ —logС;
н0
и потому
log*==fclog(l-.?) +
-£.
Сопоставляя же приближенныя равенства
ntф —logС и logі!ф —
находимъ
J. і П (log»—log log С')
•
т
Въ дальнѣйшихъ вычисленіяхъ положимъ
logС_ £
И
И(logи—loglogС) Jc .
и
0
т
0'
такъ что t0 и к0 будутъ приближенными значеніями чиселъ t и к.
Второе приближенное выраяіепіе вѣроятности даетъ
С
откуда, производя приближенныя вычисленія, выводимъ
и<2 Ьі«2 .
,
(n + lc0m)t02
logGф «г -н
—
-н
—
Ф nt-+
->
.
, logC Г.
__
(п ч- иг) »02-|
^
wL
2logС J

и затѣмъ
•logtф logn- loglogC-H
Съ другой стороны пмѣемъ
о
2и2
Приравнивая наконецъ одно приближенное выраженіе log ^
Другому, приходимъ къ такому приближенному равенству
km
каяг2 .
,
,
„
(»+
иг) log С
+
—
loglog(7н
IJ
изъ котораго легко выводимъ
к
=*=i {los
п
—
1о§1о£ 0-+ -
(los G—
к
Ф {(logи— loglogС)(«+ {logС—у)-+-уlogС)•
Для примѣра положимъ
w=90,т—5,С—2.
Тогда
logи=
4,4998
,
log (7= 0,69314
log log О——0,3665
, п-+- у logС—у
=
87,84657
и, произведя простыя выкладки, по послѣдней приближенной Фор-
мулѣ получаемъ
j. J 4,8663 X 87,8466 н- 0.346 gg д
Соотвѣтственно этому результату мояшо убѣднться, что
вѣроятность появленія всѣхъ 90 нумеровъ при 85 тиражахъ
нѣсколько меньше половины, а прп 86 тиражахъ уже больше
половины.
§ 23. Задача 4"".
Два игрока, которыхъ мы иазовемъ L и
Ж, играютъ въ нѣкоторую игру, состоящую изъ послѣдователь-
ныхъ партій. Каждая отдѣльная партія должна окончиться для
одного изъ двухъ игроковъ L и М выигрышемъ ея, а для дру-

гого проигрышемъ, при чемъ вероятность выиграть ее для L
равная, а для Ж равна q— 1—р, независимо отъ результатовъ
другихъ партій. Вся игра окончится, когда L выиграетъ I партій
пли Ж выиграетъ т партій: въ первомъ случаѣ игру выиграетъ
L, а во второмъ Ж. Требуется опредѣлить вѣроятности выиграть
игру для игрока L и для игрока Ж, которыя мы обозначимъ
символами (L) и (Ж).
Примѣчаніе. Эта задача извѣстна съ половины семнадцатаго
столѣтія и заслужпваетъ особаго вниманія, такъ какъ въ раз-
личныхъ пріемахъ, гіредложенныхъ Паскалемъ и Ферматомъ для
ея рѣшенія, можно впдѣть начало исчислепія вѣроятносгей. Пер-
воначальная постановка задачи состояла въ томъ, какъ слѣдуетъ
раздѣлить общую ставку игроковъ, если имъ приходится прервать
игру до окончанія ея. Вопросъ о раздѣленіи ставки останавли-
валъ вниманіе ученыхъ и значительно раньше, чѣмъ Паскаль и
Ферматъ рѣшили его согласно съ условіемъ безобидности игръ.
Морицъ Канторъ въ своихъ «Vorlesungen liber Geschichte der
Mathematik» упоминаетъ, что Люка Пачіоло считалъ правиль-
нымъ дѣлить ставку пропорціонально числамъ выигранныхъ nap-
Tin, а Карданъ предложилъ болѣе сложное правило.
Первое рѣшеніе. Прежде всего замѣтимъ, что игра можетъ
быть выиграна игрокомъ L въ различное число партій, не
меньшее I и не большее 1-+-т
—
1.
Поэтому, въ силу теоремы сложепія вероятностей, мы мо-
жемъ представить искомую вѣроятность (L) въ впдѣ суммы
(L\ ч-
-ь....
-4- Щм
-4 -....
-н (і.);н_„!_1,
гдѣ {L)M означаетъ вообще вероятность, что игра окончится
въ I -+- і партій выигрышемъ игрока L.
А для того, чтобы игра была выиграна игрокомъ Ъъъіч-і
партій, этотъ игрокъ долженъ выиграть l-t -iую партію и изъ
предыдущихъ I -+- г
—
1 партій долженъ выиграть ровно I — 1
партій. Слѣдовательно, по теоремѣ умноженія вѣроятностей, вели-
чина {L)l_} _i. должна равняться произведенію вероятности игроку

L выиграть I -+- і
,ю
партію на вѣроятность выиграть, тому же
игроку L, изъ 1-і-і — 1 партій ровно I— 1 партій.
Послѣдняя вероятность, очевидно, совпадаетъ съ вѣроят-
ностью, что въ 1-л -г—1 независимыхъ нспытаній появится ровно
I—1 разъ такое событіе, вероятность котораго для каждаго
испытапія равна р. Вероятность же игроку L выиграть I н- гую
партію, какъ вѣроятность выиграть ему любую партію, равна р.
Итакъ
/Т\ _
1.2.. . . (/ -і- г 1) ,_х і_ЦІ+1)....(1 + і-1) J j
—Р
1.2.... і. 1.2.... (і — 1)Р 1 —
ОТ—г
Р9
и наконецъ
(L>— P 11н
- Тв"І
""Т2~2
1.2....(m-1) 2
Г
Подобнымъ же образомъ найдемъ
Достаточно, впрочемъ, вычислить одну изъ этихъ величинъ,
такъ какъ сумма ихъ
/тл
flirs
{Ц -+- (Ж)
должна приводиться къ единицѣ.
Второе рѣшенге. Замѣчая, что для окончанія игры тре-
буется не болѣе 1-л-т
— • 1 партій, положимъ, что игроки не
прекращаютъ ее тотчасъ по достиженін однпмъ изъ нихъ над-
лежащая числа выигранныхъ партій, а продолжаютъ играть
до тѣхъ поръ, пока не будетъ сыграно ровно l-t-m
—
1 партій.
При такомъ предположены вѣроятность выиграть игру для
игрока L равняется вѣроятностн выиграть, тому же игроку X,
изъ всѣхъ 1-+-т
—
1 партій не менѣе I партій.
Въ самомъ дѣлѣ, если игра выиграна игрокомъ L, то число
выигранныхъ имъ партій достигаетъ величины I и послѣдуюіція
загЬмъ партіи могутъ только увеличить это число, или оставить
его безъ измѣненія. И обратно, если изъ I -+ - т
—
1 партій иг-
рокъ L вьшграетъ не мепѣе I партій, то число партій, выигран-
ныхъ игрокомъ Ж, будетъ меньше ш; откуда слѣдуетъ, что въ

этомъ случаѣ игрокъ L выиграетъ I партій, прежде чѣмъ игрокъ
М успѣетъ выиграть т партій, и такимъ образомъ игра будетъ
выиграна игрокомъ L.
Съ другой стороны, вѣроятность игроку L выиграть изъ
1-і -т—1 партій не менѣе I партій совпадаешь съ вероятностью,
что въ 1-+ -т—1
независимыхъ испытаній появится не менѣе
I разъ такое событіе, вероятность котораго прн каждомъ испы-
таніи равна р. Посл едняя же в ероятность выражается пзвѣстпою
суммою произведены
1.2. ...p+m-1)
і-і-і т—г—1
1.2 (Z і) 1.2
(т—г—
*
'
гдѣ
І=0,1,2,...., т—1.
Итакъ
/т\ (l-t-m—1) m i т—1 f1 от—1 р
т—1 от—2 р"
)
W —'—1.2....г
совершенно такъ же найдемъ
4
'
1.2....Ш
*
-
1 (. rn-j-1 р
т-1 -1 m-t-2 р"
}
Не трудно убѣдиться, что эти новыя выраженія (L) и (Ж)
равны найденнымъ прежде.
Численные примѣры.
1)2)=q=Y>I—!>т= 2.
2)Р=
2= |> 1=2,
т= 3.
(Ж)= д»{1н-3*} = 4д»р
=
g-
Задача 5"
я
.
Три игрока
L,И,N
играютъ въ игру, состоящую изъ послѣдовательпыхъ партій.

Каждая партія должна окончиться для одного изъ нихъ вы-
игрышемъ, а для двухъ остальныхъ проигрышемъ, при чемъ ве-
роятности выиграть ее для
L,М,N
соответственно равны
Р,Q;г,
независимо отъ результатовъ другихъ наргій. Вся игра оканчи-
вается выигрышемъ одного изъ игроковъ: именно, игру выигры-
ваетъ тотъ, кто прежде другихъ выиграетъ назначенное для
пего число партій. Опредѣлить вѣроятность выиграть игру для
каждаго изъ игроковъ, если для выигрыша игры L долженъ
выиграть I партій, Ж долясенъ выиграть т иартій и N долженъ
выиграть п партій.
Эта задача представляетъ распространеніе предыдущей на
случай трехъ игроковъ.
Рѣшеніе. Разсматривая различныя стадіи игры, обозначимъ
символомъ
Т
х,У,*
вѣроятность, что игру выиграетъ L, когда пгрокамъ
L,Ж,N
для выигрыша игры остается выиграть соответственно
я»У,z
партій. Пока игра не окончена, ни одно изъ чиселъ х, у, z не
нуль. Обращеніе же одного изъ нихъ въ нуль указываетъ на
окоичаніе игры: прп х — 0 игра выиграна игрокомъ L и тогда
вероятность выигрыша игры для L равна 1; если же у = 0 пли
z — 0, то игра выиграна однимъ изъ двухъ другихъ игроковъ и
вероятность выиграть ее для L равна 0.
Соответственно этому тгЁемъ
А),у,2—h Lx, о,г—
X)у,0— °>
где подъ х, у, z мьі подразумеваемъ числа неравный нулю, такъ
какъ выраженія
Т
о,о,г'
г/,о>ЬХ,о,0)

не имѣющія смысла, не встрѣчаются въ нашихъ вычисле-
ніяхъ. Предполагая всѣ три числа х, у, г отличными отъ нуля,
установимъ тенерь простую связь между величинами
^х, у, 2' ^x'-l, у, 2)
у—1, г' ^х, у,2—1>
которая даетъ возможность найти
^ 2, когда зиаченія
Ас—1, у, 2> ^Х, У—з, 2
И
-^Х, у, 2—1
уже извѣстны. Для намѣчениой цѣли разсмотримъ возможные
результаты одной партіи, которая непосредственно слѣдуетъ за
тѣмъ положеніемъ нгры, когда игрокамъ
L,М,N
для выигрыша игры остается выиграть соотвѣтственпо
У,*
партій. Если эта партія будетъ выиграна игрокомъ L, вѣро-
ятность чего равна р, то непосредственно по окончаніи ея веро-
ятность выиграть игру игроку L обратится въ
Lx-i, у,
если же эта партія будетъ выиграна игрокомъ Ж, вѣроят-
ность чего равна q, то по окончаиіи ея вѣроятность выиграть
игру игроку L обратится въ
LX, У
1, 2'
и наконедъ, если эта партія будетъ выиграна игрокомъ N, веро-
ятность чего равна г, то по окончаиіи ея вѣроятность выиграть
игру игроку L будетъ равна
^Х, у, 2—1-
Поэтому, выпгрышъ игры игрокомъ L, когда для окоичанія
игры игрокамъ
^
^
^т
остается выиграть соответственно
ж,у,Z

партій, мы можемъ разбить на три вида, которые отличаются
другъ отъ друга результатомъ одной партіи и вѣроятности ко-
торыхъ равны произведеніямъ
•^Аг—1
,
2/, г) ЗАг, у—і, г'
г
Ат,у,г—1'
Слѣдователыю въ силу теоремы сложенія вероятностей
имеемъ
Lx, у, * =PLx-<,
у, , "+" йАг, „_,,
,
rLx, у, z-l •
Подобиымъ ate образомъ не трудно установить равенства
где
ж,
ж.У, *
X,г/, г
Д,, г/) -
=
0,
2/, г
=
0, IV
=
1
г/, 0
>
Ж,„„„
ііN„„
х,у,г
х,у,s
означаютъ вероятности выиграть игру игрокамъ Ж и IV, когда
для окончаиія игры игрокамъ L, Ж, N остается выиграть соот-
ветственно х, у, г иартій.
Не останавливаясь затѣмъ на составлены общихъ Формулъ
для выраженія пскомыхъ вероятностей
А, т,я> Щ,т,пі
при пропзволыіыхъ значеніяхъ Z, т, п, заметимъ только, что
указанный нами равенства даютъ возможность найти эти веро-
ятности для любой данной системы чиселъ I, т, п. Действительно,
при помощи этихъ равенствъ, последовательно находимъ
А,і,і =Р>
^1,1,1 = 2.
=
г
А,1,2 =PLО,1,2 -+"ЗА,О,2 -+- »'А,1,1 = JP"«-
А,2,1
А,і,і=г
Ж
2,1,1 = 2 -+-JP2, ^1,2;1 =
Г
/
^1,1,2= Л
Л7М,1=
>,
-
4-Г>

А,1,3 = PL0,1,3-»-йА,О,3+ ?A,,,2 = P+ Г(P-+"»3>)
=
р{1 +Г + »-2)
A,2,2=
2,2"+" 2A, i, 2"+- ''A, 2, i =p-* -q(p-+-rp)-i-r(p4-q2))
=jp (1 -t-q-t-r
2 qr)
A,1,2 = PL1, 1,2+2A,0,2-*-'
г
А, I, I=P {p+rp)+fr•=_p2(l
-+ -2r)
Ai,i=i>A,
?A,o,i -+-
r
A, i, о=F'
Ж,2,1 = 22 (1 2р), Ж,1,2 = 2(1
•+•
2jpr).
1,1 = 2(1 -+-Р -+-Р*)
^3,1,1
=
г
(1 H-JPH-iJ3)
А,2,3
2,3 2А.1,3
'А,2,2
=
Р-+-5?'(1-+->' -+->'3)-і-гр(1-+-д
-нг-н2дг)
=j>(1 2-+-І' -+-г2-і-2дг-н-Здг2)
ИТ.Д.
Примѣръ.I=1,т—2,п=3,р=q—г=
—
•
Вѣроятность выиграть игру для игрока L равна
Т
iі
JL^J__AіЛ
^.
2,3
3{
3
9
9
9/
27'
затѣмъ вѣроятиость выиграть ее для игрока Ж равпа
Ж., 2, 3 = 2^,1,3-*-'>^1,2,2
/1.1
.
і\
1
.
2\
11ГН
27/
І¥н 27/
и паконецъ для третьяго игрока вѣроятность выиграть игру

Ограничиваясь частнымъ случаемъ, приведемъ другой вы-
водъ искомыхъ вѣроятностей. Именно, прежде всего замѣтимъ,
что для окончанія игры, при
1=1,т=2,п=3,
потребуется не болѣе четырехъ нартііі, и затѣмъ для установле-
нія равновозмояшыхъ случаевъ положимъ, что игроки сыгра-
ютъ четыре партіи, хотя бы игра и была уже выиграна раньше
тѣмъ или другимъ изъ нихъ. Тогда, имѣя въ виду порядокъ этпхъ
гіартій и три возмояшыхъ результата каждой партіи, состоящіе
въ выигрышѣ ея однимъ изъ трехъ игроковъ, мы можемъ разли-
чить З4 = 81 равновозмояшыхъ случаевъ.
Изъ этихъ 81 случаевъ благопріятствуютъ выигрышу игры
игрокомъ L тѣ, въ которыхъ онъ вьшгрываетъ одну партію,
прежде чѣмъ Ж вьшгрываетъ двѣ партіи и прежде чѣмъ N
вьшгрываетъ три партіп.
Прямой счетъ числа такихъ случаевъ не представляетъ за-
труднены; но еще скорѣе можно сосчитать число остальныхъ
случаевъ, неблагопріятствующихъ выигрышу игры игрокомъ L.
Именно, не благопріятствѵютъ выигрышу игры игрокомъ L,
кромѣ 24 = 16 случаевъ, въ которыхъ онъ не вьшгрываетъ ни
одной партій, только слѣдующіе 8 случаевъ:
NNNL, MMML, MMNL, ЖNЖL,
NMML, MMLN, MMLM, M31LL,
въ которыхъ игрокъ L вьшгрываетъ первую партію уже послѣ
выигрыша игры однимъ изъ своихъ протпвниковъ.
Отсюда тотчасъ заключаемъ, что вѣроятность выиграть
игру для игрока L равна
81—24 57 19
81—8127'
Затѣмъ не трудно видѣть, что игрокъ N вьшгрываетъ игру
въ шести случаяхъ:
NNNN, NNNL, NNNM, NNMN, NMNN, MNNK;

п потому остальные
24—6 =18
случаевъ должны благопріятствовать выигрышу пгры игро-
комъ Ж. Слѣдовательно вѣроятиости выиграть игру для игро-
ковъ Ж и N соотвѣтственно равны
1R
6^L
81 УИ8І27'
согласно прежнему выводу.
Интересно замѣтпть, что ложныя рѣшенія этой старинной
задачи встрѣчаются въ книгахъ XIX и XX столѣтій. Мы нахо-
димъ, нанримѣръ, въ книгѣ Ліагра (J. В. J. Liagre) «Calcul des
probabilit6s», 1879-го года, указаніе на невѣрное рѣшевіе за-
дачи, для только что разсмотрѣннаго частнаго случая, въ мате-
матическомъ лексикопѣ МонФерье, гдѣ принято, будто бы игра
должна окончиться въ 3 партіи. Но это справедливое замѣчаніе
сопровождается новой ошибкой: изъ вышеперечисленныхъ восьми
случаевъ забыть послѣдній
MMLL,
въ силу чего вмѣсто правильныхъ чиселъ 57 и 18 нолучено
5S и 17. А въ XX столѣтіи астрономъ Брунсъ на 51 страницѣ
упомянутой мною книги «"Wabrscheinlichkeitsrechnung und Kol-
lektivmasslehre», отнесясь слишкомъ легко къ этой задачѣ, даетъ
ошибочное общее рѣшеніе ея: а именно, онъ прямо переносптъ
на случай многихъ игроковъ то рѣшеніе, которое у пасъ названо
вторымъ.
§ 24. Задача 6ая
.
Двое
LиЖ
играютъ въ игру, состоящую изъ послѣдователыіыхъ партій.
Каждая партія должна окончиться для одного изъ нихъ
выигрышемъ, а для другого проигрышемъ, при чемъ вѣроятно-
сти выиграть ее для L и Ж соотвѣгственно равпы р и 2=1—- р.
Конецъ игры определяется разностью между числомъ пар-
ий, выигранныхъ однимъ игрокомъ, и числомъ партій, выигран-

ныхъ другимъ игрокомъ. Именно, игру выиграетъ L, какъ только
число выиграиныхъ имъ партій превысить число нартій, вы-
игранныхъ игрокомъ Ж, на а единицъ; напротивъ, игру вы-
играетъ Ж, какъ только число выигранныхъ имъ партій превы-
сить число паргій, выигранныхъ игрокомъ L, на Ъ единицъ. Тре-
буется вычислить вѣроятности выиграть игру для L и для Ж.
Примѣчаніе.
Прежде чѣмъ приступить къ рѣшенію поста-
вленной задачи, представимъ условіе окончапія игры въ другой
Формѣ. Пусть капиталы L и Ж выражаются соответственно
числами Ъ и а; пусть вмѣстѣ съ тѣмъ за каждую партію вы-
игравшій ее получаетъ отъ проигравшаго одну единицу капитала.
Тогда окончаніе игры обусловливается разореніемъ одного
изъ игроковъ, и выигрываешь ее тотъ, кому удастся разорить
противника. Действительно, если будетъ сыграно г ч\-j нартій и
изъ нихъ будетъ выиграно і партій игрокомъ L и j партій игро-
комъ Ж, то въ силу устаиовленнаго нами условія капиталы L
и Ж обратятся соответственно В7.
Ъ+«—j па-+-j
—
г
единицъ капитала. И, если эти г -+ -j партій приведутъ игру къ
концу, то должно быть
г—j
—
а,
илиj—г=Ь
и соответственно
a -i-j
—
і—0,
пли
Ъчг-і —j = 0.
Рѣгиенге. Разсматривая различпыя стадіи игры и пмѣя въ
виду вторую Форму условія окончанія ея, обозначимъ символомъ
ух вероятность *) выиграть игру для игрока L въ то время, когда
его каниталъ выражается числомъ х. Число х, въ теченіи игры,
можетъ принимать только такія значенія
О, 1, 2о-нЬ;
*) Въ данномъ случаѣ, какъ и во многихъ другихъ, находя искомую вѣ-
роятность изъ уравненія, мы прежде всего должны прпзнать несомнѣннымъ ея
существованіе, какъ вполнѣ опредѣленной, хотя и непзвѣстноіі намъ величины.

а въ началѣ игры х равпо Ъ, и потому искомая нами вѣроятиость
выиграть игру игроку L, пока не сыграно ни одной партіи,
представляется при установлепномъ нами обозначены символомъ
Уь-
Замѣтимъ, что игра оканчивается при ж = 0и при
х=ач-Ъ
и что у0 равно нулю, а уач_ь
равно едпницѣ, такъ какъ обра-
щеніе капитала L въ нуль указываете на проигрышъ имъ игры,
соединеніе же у игрока L капиталовъ обоихъ игроковъ влечетъ
за собою выигрышъ имъ игры.
Предполагая затѣмъ х отличнымъ отъ 0 и отъ а ч-Ъ, уста-
новимъ простую связь между величинами
У^ Усс+1 и Ух-1-
Для этой цѣли разсмотримъ возможные результаты одной
партіи, которая непосредственно слѣдуетъ за тЬмъ положеніемъ
игры, когда капиталъ L выражается числомъ х.
Если эта партія будетъ выиграна игрокомъ L, вѣроятпость
чего равна р, то непосредственно по окончаніи ея вѣроятность
выпграть игру игроку L обратится въ
если же эта пар-
тія будетъ выиграна игрокомъ Ж, вѣроятность чего равна q,
то по окончаніи ея вероятность выиграть игру игроку L обра-
тится въ ух_1.
Отсюда не трудно заключить, что въ силу тео-
ремъ сложенія и умноженія вѣроятпостей доляшо быть
Ух = РУх+і + (ІУх-і -
Такимъ образомъ разысканіе ух сводится къ рѣшенію ли-
нейнаго уравненія
УХ=ѴУХ^
+ 4УХ-1
при условіяхъ
tt>=0и2^=
1.
Рѣшеніе подобныхъ уравненій излагается въ исчисленіи ко-
нечныхъ разностей. Согласно выводамъ исчисленія конечныхъ
разностей, общее рѣшеніе уравненія

опредѣляется корнями обыкновенная уравненія второй степени
при чемъ слѣдуетъ различить два случая.
Въ силу равенства
р-+-q = 1
одинъ изъ корней уравненія
l=p\2-i -q
равенъ единицѣ, а другой
Если р не равно q, то числа
1и
±
Р
различны между собой и на основаніи выводовъ псчпсленія ко-
нечныхъ разпостей должно быть
гдѣ С и J) числа ПОСТОЯННЫЙ.
Для онредѣленія постоянныхъ имѣемъ два уравненія
Уо=0и
=
1,
изъ которыхъ выводимъ
С—
—
I)-
1
pO-t -b
-до
Итакъ
ач-b
. рач-Ь
^ач-Ь
pU-t-b —х ^х
дХ)
Ух
рач-b
И
=
i>a(pb—q.b)
Jb
pCi-t -b да
~
І~І>
еслитолькоpнеравноq.Еслижер—q,то
ух=А+Вх,
гдѣ А ж В числа постоянныя. Для опредѣленія постоянныхъ
имѣемъ нопрежнему два уравненія
2/о= 0 11Уа+ь= 1>

пзъ которыхъ выводимъ
А=0и
ач- о
Итакъ прп p — q находимъ
х
Ь
Ух—^Гь и Уь— ^ч-Ѵ
Подобнымъ же образомъ найдемъ, что для игрока Ж веро-
ятность выиграть игру, пока не сыграно ни одной партіи, равна
дь (да—ра)
дь(ра — да)
qa-t -b
pa-+ -b
роч-b
д^ч-Ь'
если только р не равпо q, и обращается въ
а
аb
при p = q. Сумма вѣроятностей выиграть игру тому п другому
игроку составляетъ единицу, какъ п слѣдовало ожидать, такъ
какъ по предположенію игра продолжается до тѣхъ поръ, пока
одинъ изъ игроковъ не выиграетъ ея. Однако въ данномъ случаѣ
вѣроятность равная единицѣ не указываешь на достовѣрность
выигрыша игры тѣмъ или другимъ изъ игроковъ, такъ какъ
игра можетъ продолжаться безъ конца.
Каждая партія въ отдѣльности представляетъ безобидную
игру при p = q и не безобидную въ противномъ случаѣ, когда
р не равно q. Сообразно этому, найденное нами выраженіе уь
при р — q приводить къ слѣдуюіцему заключенію.
Если нѣкто рѣшилъ повторять безобидную игру до пріобрѣ-
тенія назначенной напередъ суммы или до своего разоренія и
если къ такому повторенію нѣтъ препятствій, то вѣроятности
пріобрѣтенія имъ назначенной суммы и его разоренія обратно
пропорціональны величинѣ этой суммы и его капиталу.
Это заключеніе, выведенное нами изъ разсмотрѣнія одного
частнаго случая, относится ко всѣмъ безобидпымъ играмъ.
Въ самомъ дѣлѣ, если капиталъ игрока выражается числомъ
а, сумма же, пріобрѣтеніе которой составляетъ цѣль многократ-

наго повторенія имъ игры, выражается числомъ Ъ, то при сдѣ-
ланныхъ нами предположеніяхъ многократное повтореніе игры
должно дать игроку прибыль, выражаемую числомъ Ъ, или убы-
токъ, величина котораго выражается числомъ а.
И потому математическое ожиданіе прибыли игрока отъ та-
кого повторенія игры выразится разностью
ХЪ—Fa,
гдѣ X вѣроятность пріобрѣтенія назначенной суммы, Y вероят-
ность разоренія игрока. Но повтореніе безобидной игры само
должно представлять также игру безобидную; следовательно
ХЪ—Гя= 0,
откуда находимъ
х
у
^
у
г
a
b ач-b (і+6
Въ гізхъ случаяхъ, когда сумма, по пріобретеніп которой
игрокъ решилъ прекратить игру, велика по сравненію съ его
капиталомъ, вероятность разоренія игрока близка къ единице.
Въ предельномъ же случае, когда игрокъ не довольствуется
никакою суммою, должно положить Ь = оо и вероятность разо-
ренія обращается въ единицу. Итакъ, если повтореніе безобид-
ной игры ограничено только разореніемъ игрока, то но найденной
нами Формуле вероятность разоренія равна единице, хотя это
разореніе можетъ никогда не наступить.
Устраняя вечную игру, ограничимъ теперь число играе-
мыхъ партій; мы преобразуемъ такимъ образомъ задачу 6ую въ
следующую.
Задача 7ая
.
При соблюденія всехъ условій задачи 6 ой
, тре-
буется вычислить вероятность, что игра будетъ выиграна игро-
комъ L пе позже, какъ въ п партій. Другими словами, требуется
вычислить вероятность разоренія игрока Ж при условіи, что
общее число партій не превзойдешь п.
Рѣшеніе. Обозначпмъ символомъ
У,,,

вѣроятность выиграть игру игроку L въ томъ случаѣ, когда ка-
питалъ Ж выражается числомъ t и нельзя сыграть болѣе s партій.
При такцхъ обозначеніяхъ искомая нами вѣроятность разоре-
нія игрока Ж представится символомъ
Уа, п'
вмѣстѣ съ тѣмъ имѣемъ
Уо,.
=
1'
.W,s =
°
и
Уч0=0»
гдѣ
_
s>Оиг!>0.
Съ другой стороны, разсматривая, подобно прежнему, воз-
можные результаты одной партіи, легко приходимъ къ уравненію
гдѣ
_
s>1и0
Остается рѣшить это уравненіе при вышеуказанныхъ усло-
віяхъ
=
У,, 0=°-
Пользуясь сиособомъ Лапласа, мы сведемъ разысканіе у^ s
къ разложенію нѣкоторой Функціи вспомогательнаго перемѣн-
наго \ по степенямъ этого перемѣпнаго. Пусть
Тогда
?(-Ь1 Ф
=
Ум, О -»-
1, 1 5 -»-....
Ум
-+-....
и
?t-l & = Vt-1, 0 -+- 0,-1, 1 H -»-••••
-+-
s—1
и въ силу уравненія
пмѣемъ
?r (5)
© — Й*?,-.-!(5) =
о=0,
при
_
На этомъ основаніп, согласно общимъ выводамъ исчисленія

конечныхъ разностей, можемъ положить
<?,(!;) =
г/е'+ру,
гдѣ II и V Функціи одного числа не зависящія отъ t, величины
же Ѳ и ѵ) опредѣляются равенствами
ft 1-t-Yl —4pq&
l — Vl—4pqgz
"=
ТГ~і
И71=
pr-г
5
2qi
1
2з;
какъ два корня одного и того же уравненія
р—р\—
=
второй степени относительно пеизвѣстнаго числа р.
Давая затѣмъ t значенія 0 и ач~Ъ, получаемъ два равенства
~
=
U-\-V,О= та+ь
-+ - F/ia+b
,
изъ которыхъ выводимъ
ѵ=
(ja-t-b
-^а-нй1—\
Qa-t-b !
Qa-i-b ra-t-b 1— \
п па этомъ основаніи находимъ
,С\ (0-1)' [Ьа+Ъ
-
1 — ^a-i-b—t] !
?f(У —
~
гдѣ
(jCl-i -b Tjl-н''
1—$
•0«
\0/
г'1—
—( -^з
—t)
1—? 1
^ У, ja-нб
1—5 1
—
а0-1
"
6 7)2 (в-нй) '
"
і>'
Итакъ искомая нами вѣроятность, обозначенная символомъ
уа п, можетъ быть определена какъ коэФФИціептъ при
въ
разложеніи по степенямъ % выраяіенія
ТчЛу
1—5 ! _ аа-нй Г(2 (a-t-fc)
Разложеніе я?е полученпаго выраженія оа(%) въ рядъ по
10

степенямъ \ сводится къ разложенію различныхъ степеней ѵ) въ
подобные же ряды, такъ какъ простое дѣленіе даетъ для сра(?)
такой рядъ: •
_
(Г\
1 („а
Ь ач-2Ь , „ач-Ь .аач-2Ь
„ач-lh за-ыЬ , )
=
а
У
а
—а
>1
-•-...4
Наконецъ для разложенія различныхъ степеней ѵ; въ ряды
можно воспользоваться извѣстной Формулой Лагранжа:
F(l) = F(a) и- со*" (в)
н- £ dF'^
a)f(a)
ПРИ
C = o-W(Q.
Въ данномъ случаѣ имѣемъ
Соответственно этому, полагая въ Формулѣ Лагранжа
C=
а=р,No =q¥,(о=Ъ2и
=
находимъ
TO(m-t-ft-t-l)(m-t-fc-4-2)
(тч-2к—1) к кр к
)
1.2.3. ...7с
У Ч.Ь
Отсюда слѣдуетъ, что коэФФпціентъ при £п въ разложеніи
по степенямъ \ выраженія
и потому
ш
равенъ произведение р на сумму
-,
т(т-+- 3) „ „
т(т -І-І -+ -1).... (m-t-2t—1) ; і
1 -t-wpg-fr-
ѵ
ь2 Уа3-+-
И
1.2.8. ...<
Ѵq•
гдѣ
м—т
11—т
—
1
»=-2- ИЛИ
2
Сопоставляя этотъ результатъ съ указаннымъ выше разло-
женіемъ (1—Е)<ра(Н) въ рядъ но степенямъ y), нетрудно уже

получить общую Формулу для вычисленія искомой вѣроятностн
Уа, и
при любыхъ значеніяхъ
а,Ъ,п,р.
Остановимся на томъ случаѣ, когда каждая партія въ от-
дельности представляеіъ игру безобидную, а капиталъ игрока L
настолько великъ, что для разоренія L необходимо болѣе ѣ
иартій. Тогда
х
p=q=Y
и искомая нами вѣроятность разоренія игрока Ж, не позже какъ
въ п партій, представится суммою
1
а
а(ач- 3)
а(а -+-і •+• 1)... .(а н- 2і—1)
2a~i
~2cT+5~t
~
2а^.1.2
••••4
2а-*~
гг
Л .2.3
і'
гдѣ
Въ виду интереса, который представляетъ вопросъ о разо-
рены участниковъ безобидныхъ игръ, укажемъ еще прибли-
женныя Формулы для вычисленія той же вѣроятности разоренія
Ж при болынихъ значеніяхъ п, когда прямое вычисленіе суммы
1
а
а(а-+ - 3)
а(ач-іч-\)
(ач-2і—1)
2® 2a~'~
z
2ач
-і 1.2
_t
~'
'"'
Н
2ан_21
'1.2
і
весьма затруднительно. Для приближенная вычисленія этой
суммы, равной уа п, замѣтимъ, что безконечная сумма
1
а
а(ач- 3)
(і(»+ 4)(а+ б)
2<і 2ач
~
2
2ан
~4 1.2
2а
~*~6 1.2.3
'''
''
представляющая вѣроятность разоренія игрока Ж безъ ограни-
ченія числа партій п капитала игрока L, равна едипицѣ и что
слѣдовательно
.
а(ач-іч-
2) (ач-2гч-1) а (ач-гч -3)
(ач-2гч-3) ^
Уа,п
х,2
(i-t-1)
2a_|
-
2'"1
"'
1 1.2
(г-н2)
Общій членъ этой суммы
a(a-h кч- 1) (ач-2к — 1)
оа-^гА-1.2... 1с

мы обозначимъ символомъ zk. Обращаясь затѣмъ къ Формулѣ
Стерлинга и принимая во вниманіе равенство
.
а
1.2.3. . • (а-*-21с)
Zk~~
2а-*-ік [а-л-2к) ' 1.2....
к Л .2.... (а -л-1с)"1
находимъ два выраженія
*'к —
а
^2т.к [а Л)к)(и ч-2к)\2ач-2к)
\2к)
/ _ г' е12(а-t-2к) 12к 12(й-ь
изъ которыхъ первое z'k больше zk, а второе z"к меньше zk.
Нетрудно также убѣдиться, что при к > і оправдываются
неравенства
1
J^ ^ к (а-і -к) (а+2к)
і(ач-і)(ач-2і)
Т^
(а ч- 2Л)з
>
(а-+-2if '
1
1
1_
1
1
1
іл'
12 (а -+- 2к)
12к
12(а-*- к)^ 12(ач- 2і)
12г
12{ан-г)
V 27с j \2a-t-2k) ^ V 2г / \2п-+ -2г)
«2
/ ач-2к\к (а-• - 27J
2 (а-Ь27С)
V2fcJ\2« 2fcj
^e
Следовательно, если ПОЛОЯІИМЪ
«2
ft4-2г
о
2(я + 2і)
*
rtja
+ i) /2- (a -+- 27c)3
A
У2тт (a -+- 27,-)3 V 2г ) \2a
-
2i
У2-(a-+-2S)8\ 2г /
\2а+2і]
при
1
1
1
H=e
то всѣ слагаемый суммы
12(ан-2г)
12і
12(а-нг)
?
равной 1 —«/
, удовлетворять неравенствамъ
X>
>h

и потому
>1—
Уо,п>
Съ другой стороны, пмѣемъ
1
1
Y(a н-2 І-+- 2)3 Y(a -л -2г-н 4)3
.
.
.
•>
Ya -+- 2i 2 /(fit -+- 2i)S
-
oo
«2
«2
2(a-H2i-»- 2) e 2(a-+- 2i-+- 4)
/(а -н 2j -+- 2)3
У(a -t-2i-t- 4)3
-+-
.
.
.
.
(/to)3 '
a
по крайней мѣрѣ при достаточно большихъ значеніяхъ г, когда
ян-2і> "
a2
Наконецъ простая подстановка преобразуетъ интегралъ
-
со
а-
іх dx
(YTxf
а
въ
гдѣ
Y~2Г г27
—
e—'clz,
аК
Итакъ прп
2
+±
Й>-Г+1
—
о
искомая нами вѣроятность разоренія пгрока М, не позже какъ
въ п партій, больше
а-+- 2і
1
и меньше
Yi(ан-г)т:Jg
=f
ЙТТJ,
_
ГГ _2т /а -+- 2А' /я + 2і_\<н-і /
1\
2і ) \2а-н2г)
\1
2(ян-2»)/'

гдѣ
п—a
ii—а
—
1
а
г——^—
пли
т
?т=
jA-f-
ѵ
12(а-+-2і) 12і 12(«+ <)
Id= е
Соотвѣтственно этом}- можемъ установить приблияеенпую
Формулу
II—1
—
ѴъJ
Jain
Ytz j„
гдѣ т имѣетъ вышеуказанное значеніе.
Для примѣра положимъ
а=100 и и= 200000.
Тогда
ач-2і= 200000, і = 99950, о-ні= 100050,
100
У0,025 =0,15811. . .
2 У100000
и
-1= f 6-^
=
0,17693
,
Утг J0
вычитая же число 0,17693.... изъ единицы, получпмъ для
вѣроятности разоренія игрока Ж такое приближенное значеніе
0,82306.
И достаточно уменьшить на одну единицу послѣднюю циФру
найденной приближенной величины вѣроятности, чтобы имѣть
0,82305,
меньшее этой вѣроятности; ибо въ данномъ случаѣ
а-л-2і
2 < 1,0000002.
2Уг(а-+-г)
Для опредѣленія другого предѣла той же вероятности, обра-

щаемся къ таблицамъ логариФмовъ*) и посредствомъ ихъ находимъ
Log (ЙЯ-2І)Ф 5,3010299956 Log (2а-+ -2г)ф5,3012470886
Log 2і
ф5,3008127941 Log (а +2г)ф5,3010299956
0,0002172015
0,0002170930
X99950
X100050
21,72015
21,70929
21,70930
-0,01086 —21,72015
+0,01085
21,70929
1,98914
21,72015
Log2т= 1,5
LogH>=i
J_ Loo-
—
=b 1 75142
Lo°-(l
—1 >—
1,98914
1,24056 фЬодО,17400
и наконецъ
Уа,п<
1 -0,1739 = 0,8261.
Итакъ, если число нартій ограничено 200000, то вероят-
ность разоренія игрока Ж, каниталъ котораго составляетъ
только сто ставокъ каждой партіи, не достигаешь
0,83.
Если увеличимъ затѣмъ п въ сто разъ, то число т умень-
шится въ десять разъ и вмѣстѣ съ тѣмъ уменьшатся, прибли-
зительно, въ десять разъ и найденные нами предѣлы разности
1 —уа в; такъ что при
п = 20000000
вѣроятность разоренія того же игрока Ж будетъ довольно
близка къ
1-0,017 = 0,983,
но меньше этого числа. Если же, увеличивая п въ сто разъ, мы
*) A. Steinhauser. Hilfstafeln zur praoisen Berechnung zwanzigstelliger Lo^
garithmen.... Wien. 1880.

вмѣстѣ съ тѣыъ увелпчимъ капиталъ Ж въ десять разъ, то т
останется безъ измѣненія и вероятность разоренія игрока Ж по
прежнему будетъ меньше 0,83.
Замѣтимъ, что вѣроятность разоренія игрока Ж оставалась
бы меньше ~ при всякомъ числѣ партій, если бы окончательный
расчетъ былъ отложенъ до того момента, пока не будетъ сы-
грано это число партій. Требовапіе немедленной расплаты за
каждую партію приближаетъ эту вероятность къ едпницѣ, такъ
что прп достаточно болыномъ числѣ партій разореніе игрока Ж
становится весьма вѣроятнымъ.
Скажемъ еще несколько словъ о тѣхъ случаяхъ, когда
каждая партія въ отдѣльности представляешь игру не безобид-
ную, прп чемъ различимъ два предположенія:
1)р>q и2)р<q.
При р > q отдѣльпыя партіи невыгодны для Ж и къ преж-
нему заключенію можно добавить, что отсрочка окончательнаго
расчета не устраняетъ большой вероятности разоренія Ж.
Прп р <Cq отдѣльныя партіи выгодны для Ж и приведен-
ный выше Формулы показываютъ, что вероятность разоренія
игрока Ж всегда меньше (yj" и можетъ быть сдѣлана сколь
угодно близкою къ
посредствомъ увеличенія капитала L и
числа допускаемыхъ партій п. И здѣсь слѣдуетъ помнить, что
разсматриваемая пами величина вероятности разоренія игрока Ж
обусловлена требованіемъ немедленной расплаты за каждую
партію; такъ какъ, согласно выводамъ 2° и 3я главъ, вероятность
разоренія Ж сдѣлалась бы сколь угодно малою, если бы было
назначено напередъ достаточно большое число партій и оконча-
тельный расчетъ былъ отложенъ до тѣхъ поръ, пока не будетъ
сыграно это число паргій.
§ 25. Задача 8"
л
.
Пусть
XX
X
1'
••••1
п

будутъ п независимыхъ величинъ и пусть совокупность чиселъ
1, 2, 3,....,
т
представляетъ всѣ возможный, и при томъ равновозможныя,
значенія каледой изъ нихъ. Требуется найти вѣроятность,что сумма
будетъ равна данному числу.
Рѣшеніе. Полагая последовательно
п=1,2,3,....,
гіриходимъ къ заключенію, что при любомъ значеніи п вероят-
ность равенства
+
+ !=«,
где а число данное, можетъ быть определена какъ коэФФИціентъ
при f' въ разложеніи выраженія
\t4-t%4-
по степенямъ пропзвольнаго чнсла t. Съ другой стороны имѣемъ
t ч-tf ... .ч-t
m
y
tn(1—t
m
)n
_
'
"
m" (1—t)n
=
5
[і-пГн-fcD[]
nt -+-
t2•
1.2
^ п(пч~ 1) Ira
ii(n-I-1)(n•+• 2)...
~1
ГТО
Г'-»"-.
J-
Поэтому, обозначивъ вероятность равенства
+
+
+
=
к
спмволомъ Ра, можемъ установить Формулу
пр
п(ігч- 1). ... (а — 1) га_
га(га-ні) (а — т — 1)
<*•
1.2.... (а —я)
1
1.2.... (а — и
— го)
я(п — 1) га(ге-ь 1).... (а — 2т—1)
1.2
1.2
(а—11
—
2т)
"'"''
которая представляетъ удобное средство для вычисленія Ра при
небольшихъ значеніяхъ а. Нетрудно также доказать равенство
р
р
а
п(тч-і)—а'

которое позволяешь замѣнить число а разностью п (т -+-1) — а
и такимъ образомъ даетъ возможность уменьшить а, если
а>и(
я>
-* -1)^ Напрнмѣръ, при т = 6 ил = В находимъ
216Р18= 216Р3= 1,216Р17= 216Р4= 3,
216Ple =
216P5 = ^
=
6, 216Р15 = 216Р0 =
^|=10,
216PU=216P7 =
J£§£=16,
216P13 = 216Ps =
f^|g = 21
216P13 = 216P9 = ^g|-3
=
25,
216Pn =
216P10 = ^|fbg-3.3
=
27.
Для осуществленія этого нримѣра могутъ служить три обы-
кновенный шестигранныя кости, на граняхъ которыхъ стоять
нумера 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если такія три кости брошены на
плоскость и если Хг,
Х2, Xs означаютъ нумера на верхнихъ
ихъ граняхъ, то единственно возможными и притомъ равновоз-
можными значеніями, какъ для Хг,
такъ для Х2 и Х3, будутъ
1,2,3,4,5,6.
Соотвѣтственно этому найденныя нами числа
РРР
Р
^31 »
••••>-L18
представляютъ вероятности различныхъ предположеній о суммѣ
нумеровъ, вскрывшихся на трехъ обыкповенныхъ игральныхъ
костяхъ. И равенство
Р3Н-Р4 + Р5-Ь -....Н-Р10 = Рп-ьР12-НР13 -»-....
Н-Р18
указываетъ на одинаковую вероятность предположенія, что эта
сумма не превосходить 10, и противоположнаго предположенія,
что она больше десяти.
При большихъ значеніяхъ п точное вычисленіе Ра требуетъ
утомительныхъ выкладокъ и едва ли можетъ представлять боль-
шой интересъ. Тогда возникаешь вопросъ о разысканіи прибли-

женныхъ выраженій вѣроятности, по возможности простыхъ и
близкихъ къ точному. Предполагая большимъ только и, а не т,
и разсматривая не вѣроятности отдѣльныхъ значеній суммы
.
..+!„,
а вѣроятность, что эта сумма лежитъ въ данпыхъ предѣлахъ,
мы можемъ обратиться къ общимъ приближеннымъ вычисленіямъ
ЗеЯ главы. Для иримѣненія ихъ слѣдуетъ найти математическія
ожиданія первыхъ и вгорыхъ степеней разсматриваемыхъ ве-
личинъ. Такъ какъ математическое ожиданіе любой изъ величинъ
X,,Х2,....,
Xn
равно
1 -I- 2 -+-.... -4-т
т -+-1
_
_
2!
а математическое ожиданіе ея квадрата равно
12-+-23-І-
(то-1-1) (2т ч-l)
т
6
'
то разность между математическимъ ожиданіемъ квадрата этой
величины и квадратомъ ея математическаго ожиданія приво-
дится къ
(в+ 1)(2д|+ 1) /тон-1\а
»t2 —1
6
V2/~12
и потому выводы третьей главы даютъ для вероятности нера-
венствъ
т-ні
-/
то2—1
^
.
то-ні
-/ то2— 1
П-2
•zyn — <Х1-нХ2н-.... -нХп<й — ч-tyn
-g-
приближенное выраженіе въ впдѣ извѣстнаго интеграла
е-*2 dz.
У*у
Воспользуемся частнымъ примѣромъ для указанія другого
вывода того же приближеннаго вырая?енія вѣроятности, кото-
рый можно применить и въ общемъ случаѣ. И прежде всего за-
мѣтимъ, что въ разложении любой цѣлой Функціи F(t) по степе-
нямъ t коэФФИціенгъ при f можетъ быть представленъ въ видѣ

интеграла
пбо
^ f~* F(в?
1)
i7-1 dz;
I cfo= 2n:
—я
и для любого цѣлаго числа к, отлнчнаго отъ нуля, имѣемъ
сц_о.
Поэтому
_
1 Г " е(»-а)?/-1 (!_em?y-J)»
(2ф
2~
1
2т.
e'
'
\c2
—
e
j
mnle2
do
(No^-a)9/Zi /Smf
,m Sin
Cos (11 "'
1— aIФ
/Sf "*
о
mSin—
dz
Обращаясь къ приближенпымъ вычислещямъ и положивъ
1
о
1 т^ГЛ
>ѵ— '••—ѵI/И——
—
a=
р=у}
замѣнимъ
показательною Функціею
•и-
т
\
Sin—ф>
Іт Sin---
m2-l
•>і
92
на основаиіи соображеиій, указанныхъ въ Зеіі главѣ, а за верхній
предѣлъ интеграла возьмемъ оо вмѣсто тт.

Мы получимъ такимъ образомъ приближенную Формулу
Ш2—\
1 г03
—
п
„4
92
Р ,пн_х
Ф-
Cos [Зэ. е
-
йср,
правая часть которой, какъ извѣстно, равна
6g2
-L|/
°
ё
ni„,a-l) ,J_ /
—
ѴТрП[т2—1)
уТГГ «С"2
—
1)
Согласно этому вѣроятность неравенствъ
?«-і -1
1/те2 —1
.ѵ
-гГ
.
ш-4 -1
/ пг2—1
п-у
w -у- <Хя-+-....н-Ав<л —
-t-iy и ——
приближенно представится суммою всѣхъ произведены
у^-у п(т»-1)с
'
для которыхъ у удовлетворяешь неравенствамъ
—
т<у<-ьт
и обращаетъ выраженіе
т-+-1
ч/ иг2—1
»-2
уу П—0—
въ цѣлое число.
Всѣ члены указанной суммы содержать множитель
л/
в
У11(т2—1)
который равенъ разности каждыхъ двухъ смежныхъ значепій у
и будетъ сколь угодно малъ при достаточно болыпихъ п.
Замѣнивъ на этомъ основаніи сумму интеграломъ, получаемъ
для вѣроятности неравенствъ
тч-1
.
/ ш2—1
-
Лг
-іг
л-
^
тч-1
,/т2—1
п-2
ту п—g - <А1-нАан-....-ьЛп<?г —
-нту » —g—
прежнее приближенное выраженіе
Yтг J0
1

§ 26. Вернемся къ важному вопросу о повтореніи независи-
мыхъ испытаній, которымъ мы занимались во второй главѣ.
Обозначивъ число испытаній буквою и и предноложивъ, что
при каждомъ изъ нихъ вѣроятность событія Е равна р, мы
нашли, что вѣроятность появленія событія Е ровно т разъ при
этихъ п испытаніяхъ выражается произведепіемъ
1 2.3....»
т „п—т
ZT^P Ч
»
1.2
ѵі. 1.2
(п—т)
гдѣ
q=l—p.
Поэтому вѣроятность, что событіе Е появится при разсма-
триваемыхъ п испытаніяхъ болѣе I разъ, представится суммою
1.2
ир1-» -» д"—1
1.2
npl4~2qn
—
1—2
1.2
(Гьі) 1.2
(11— 1
—
1)
1.2
(l-*-2)1.2
(n — l—2)
•
•
•
•У
которая приводится къ произведенію выраженія
р
1.2. .. .П
Z-Н,
п-І -1
1.2....(«-+-1)1.2. ...(п — I —
*
на сумму
—
1
п-г-1 р
(п-1 -1)(11-1 -2)/ру
г-н2 <г
(!+ 2)(г+ 3)
Ѵз/
Для приближеннаго вычисленія Р при большихъ значеніяхъ
n,l-+-1
и п — I — 1 моя?етъ служить Формула Стирлинга, до-
ставляющая рядъ перавенствъ, изъ которыхъ мы укажемъ здѣсь
только два простѣйшихъ
р^ р --у/
"
(пр\і-* -ч
щ
\n-l-l
Гг
у2тс(г-н1)(п—I
—
1)\1-н1/ \п—I
—
1
1
1
—
^>Н=е12п
12 (г-н і) і2(п—і
—
і),
-Рі
Обращаясь къ суммѣ S, мы покажемъ теперь, что для ея
вычисленія можно съ успѣхомъ воспользоваться разложеніемъ
въ непрерывную дробь, которое вытекаетъ какъ частный слу-
чай изъ Формулы Гаусса

J7>, p + l,r + i,ii).
p,
bx
ож
dx
гдѣF(a,p,у,ж) иJ?(a,[3—1, y+ 1,x) означаютъ
гипер-
геометрическіе ряды
l.r
1.2т(1 + 1)
П
1,
, «(a+l)No-H)(g + 2) .
^і.Іт + іГ"1
"
і.8(т+і)(т + а)
-+ -••••,
коэФФиціенты же
а,Ъ,с,
d,....
опредѣляются равенствами
g(r-P)
7_ (P+l)(lf+l У.)
T(T-bl)
'
U
(T+l)(T + 2) '
(K-H-l)(T-f-l-P) j (3-f- 2)(y-t- 2 — a)
(T+ !)(T+ >) '
(T+3)(r+ 4) '
Относительно вывода Формулы Гаусса замѣтимъ, что она
вытекаетъ изъ слѣдующихъ нростыхъ связей между различными
гипергеометрическими рядами:
-F(a -«- 1, [J-+-1, у -+- 2,
—
F(a, р-+-1,ун- I,ж)
=
bxF(a ч-1, рн- 2,Y -+-3,ж),
F(a-+-1,р-ч-2,y-+-3,ж)—F(a-+-1,р-+-1,у-+-2,ж)
=
сжР(а-+-2,р-+-2,у -+-4,ж),
Для примѣненія Формулы Гаусса къ разложенію S въ не-
прерывную дробь слѣдуетъ положить
К=
—
ЙН-І+ 1, Р = 0, Y==Z-4-1, Ж =
—

что даетъ намъ такое равенство
1
S-
1
*
1ч--*
1—
1—
гдѣ вообще
(п—It—I)(I-*- к)p ,
Jc(nч- 7c)p
°k (J-t -2fc —l)(«4-2fc)g' к (l + 2k)(l + 2k + l)q
Мы имѣемъ здѣсь не безконечную, а конечную непрерывную
дробь, послѣднимъ звеномъ которой будетъ
dn—l—1
—I—'
такъ какъ сп__1 = 0. Нетрудно также убѣдвться, что каждое изъ
чиеелъ ск меньше единицы, если только
п—г
—
ір
1+2 а^
'
какъ мы и будемъ предполагать въ дальнѣйшихъ разеужде-
ніяхъ. Поэтому, обозначивъ для краткости непрерывную дробь
ѵ.._
dk
1
gft-j-1
символомъ со,, имѣемъ
0О
к<ск
и затЬмъ можемъ установить рядъ неравенствъ
S = т—^— <^—ч
S>—
1—C0j^1—Cl
^
.
Cj
1ч-
*
1
1—
с
2
s<
-
1—21
ІЧ-^-

Остается сопоставить послѣднія неравенства съ тѣми, кото-
рымъ удовлетворяетъ Р и которыя были указаны выше; и мы
будемъ имѣть ВОЗМОЯІНОСТЬ образовать рядъ приближенныхъ
значеній вѣроятпости появленія событія Е, въ разсматриваемыя
п испытаній, болѣе I разъ, нрп чемъ о каждомъ изъ этихъ при-
ближенныхъ значепій будемъ знать, превосходитъ ли оно вѣ-
роятность или, напротивъ, меньше ея.
На основаніи тѣхъ же неравенствъ, переставивъ^ съ q и за-
мѣнивъ I на п—1', пайдемъ рядъ приближенныхъ значеній вѣро-
ятности появленія событія Е, въ разсматриваемыя п испытавій,
менѣе I' разъ, при чемъ о каждомъ изъ полученныхъ нами при-
ближенныхъ значеній этой новой вероятности также будемъ знать,
превосходитъ ли оно вероятность или меньше ея.
А по приближепнымъ величпнамъ вѣроятности появленія
событія Е болѣе I разъ и вѣроятіюсти появленія событія Е ме-
нѣе /'разъ нетрудно, при
получить и приближенную вели-
чину вероятности появленія событія Е не болѣе I разъ и не ме-
нее I' разъ, такъ какъ сумма всѣхъ этихъ трехъ вѣроятностей
должна составлять единицу.
Для гіримѣра положимъ (см. § 15)
з
9
q——,
п= 6520
и будемъ искать вѣроятпость, что отпошеніе числа появленій со-
бытія Е къ числу пспытаній будетъ отличаться отъ у менѣе
чѣмъ на
Иначе сказать, будемъ искать вероятность, что со-
•бытіе Е появится не болѣе 4042 разъ, а противоположное ему
событіе пе болѣе 2738 разъ.
Согласно только что сдѣланному замечапію, вычисленіе
искомой вѣроятности сводится къ вычисление вѣроятности, что
событіе Е появится болѣе 4042, и вѣроятности, что противо-
полояшое событіе появится болѣе 2738 разъ.
Обращаясь къ вероятности, что событіе Е появится болѣе
4042 разъ, мы должны положить, въ вышеуказаппыхъ Форму-
U

лахъ и неравенствахъ
р——,
q= i-,
п—6520, I= 4042.
Тогда
VI 3260
4043.2477 \4043/
1
1
/З912\4043 /2608\24'7
1,2477j '
Я=е12'6520
12.4043 12.2477
и носредствомъ логариФмическихъ таблицъ находимъ
Log 4043 +3, 6067037413
Log 2608+3,4163075871
Log 3912+3,5923988461
Log 2477фЗ,3939260066
143048952
X 4043
57,2195808
5721958
429147
57,8346913
—
55,4391749
2,3955164
у Log 4043 + 1,8033519
у Log 2477+1,6969630
-Logn
+0,2485749
1
0,0223815805
X 2477
44,7631610
8,9526322
1,5667106
1566711
55,4391749
у Log 3260+1,7566088
—6,1444062
6,1444062
5,6122026-10
Log IV >—0,00002
0,00004094<Р<0,00004095.
Съ другой стороны имѣемъ
_
2477
1 4044* 2
7431
'8088'
6521
19563
4044.4045 2
__
2476.4044 _3_
2
4045.4046' 2
7509708
d.
6522 3
'32715960'
3261
8183035' 2 4046.4047'
2475.4045 3
' 4047.4048' ~2
_
Л
2 \7425
\ 4047/8096

и, производя простыл выкладки, послѣдовательно получаемъ
Сз < 0,9167, ^
< „gL^ < 0,01435,
0,918 >С2>со2>^> 0,9047,
°'
0074>о-^>гі2>о7&> 0,00626,
°'
912<да<ыі<»<
0,9131
11'36<о^88<^<ода< 11,508;
слѣдовательно
SP<°S?< 0,0004713, по SP>°-^>
0,000465.
Переходя къ вѣроятности, что событіе противоположное Е
появится болѣе 2738 разъ, мы должны положить
2=
«= 6520, 1= 2738.
При такихъ значеніяхъ р, q, п, I получаемъ
р _-і/ 3260
/2608\2'38 /3012\3'81
1
у -К.2739.3781 1^2739/ \378lJ '
jy_ . gl2.6520
12.2739
12.3781
и посредствомъ логариФмпческихъ таблицъ находимъ
Log 2739ф3,4375920323
Log 3912ф3,5923988461
Log 2608ф^4163075871
Log3781+3,577G066774
212844452.
147921687
X 2739
X 3781
42,5688904
44,3765061
14,8991116
10,3545181
6385334
1,1833735
1915600
147922
58,2980954
55,9291899
—55,9291899
2,3689055
и*

2,3689055
-Log 2739 + 1,7187960
у Log3260+l,7566088
-iLog 3781 + 1,7888033
— 6,1250797
i-Logu
+0,2485749
5,6315291—10
Log #> —0,00002
6,1250797
0,00004280<P<0,00004281.
Вмѣстѣ съ тѣмъ имѣемъ
с
3781 _ _2_ 3781 ^
6521 2
6521
1 2740 3 4110 1 2740.2741 3
11265510'
37S0.2740 2 420 2740 ,
2.6522 2
4348
ОІOU. Л! 4
ttu J
C2 ~~ 2741.2742 ' ¥
~~ 457 ' 2741' 2 2742T2743 ' T ~ 3760653 '
3779.2741 2_ _ Л
2_\ 7558
Cs
2743.2744' 3
2743/8232'
откуда последовательно выводимъ неравенства
0,9176, ^
<_«« _<
0,01402,
0,919> с2> со2>
> 0,9059,
°>0072 > о^І > Г^ > от > О'00615'
°'
913<Т^72<м1<щкі5<°>9144,
следовательно
0,0005002,
Н0
0 408
6Р>^> 0,000491.
Итакъ вѣроятность, что въ разсматриваемыя нами 6520
испытаній событіе Е появится болѣе 4042 разъ, заключается
между
0,0004713 и 0,000465,
а вѣроятиость, что въ тЬже испытанія событіе Е появится ме-

нѣе 3782 разъ, заключается между
0,0005002 и 0,000491.
И потому вероятность, что событіе Е появится въ эти испы-
танія не менѣе 3782 разъ и не болѣе 4042 разъ, леяытъ
между
1 — 0,000972 = 0,999028
1 — 0,000956 = 0,999044.
§ 27. Въ заключепіе главы остановимся на одномъ обобще-
ны задачи о разореніи игроковъ (задача No. 6), которымъ зани-
мались Ж. Бертранъ и Е. Руше.
Выводы этихъ ученыхъ нельзя призиать совершенно правиль-
ными, такъ какъ они разсматривали трехчленное уравпеніе
высшаго порядка, какъ уравненіе второго порядка.
На возмояшость нѣкоторой неточности ихъ выводовъ указалъ
и самъ Бертранъ въ § 91 своей книгѣ «Calcul des probability»,
но не выяснилъ во всей полпотѣ сущности этой неточности.
Интересно замѣтить, что въ данномъ случаѣ допущеніе не-
которой неправильности при рѣшеніи уравненія оказалось по-
лезнымъ, такъ какъ оно дало возможность весьма просто придти
къ нриближеннымъ Формуламъ, которыя тѣмъ ближе къ истин-
нымъ, чѣмъ меньше ставки игроковъ по сравпенію съ ихъ капи-
талами; точное же рѣшеніе задачъ Бертрана и Руше сложно и
едва ли монштъ представлять большой интересъ.
Мы дополнимъ выводы Бертрана и Руше доказательствомъ
нѣкоторыхъ неравенствъ.
Измѣненіе, внесенное Бертраномъ и Руше въ извѣстную
задачу о разорены игроковъ, состоитъ въ томъ, что ставки игро-
ковъ они не предполагают одинаковыми для обоихъ игроковъ.
Внося такое измѣненіе въ задачу No6, положимъ, что игрокъ
L за каждую выигранную партію получаетъ а единицъ капитала
отъ М, а за каждую проигранную партію отдаетъ ему (3 еди-
ницъ. Числа аи[3 мы будемъ считать цѣлымст, подобно чпсламъ
а и Ъ, предполагая единицу капитала достаточно малою.

Чтобы измѣненная задача была вполнѣ оиредѣленною, необ-
ходимо точно установить, когда тотъ пли другой изъ игроковъ
будетъ прпзнанъ разорившимся; другими словами, мы должны
установить, при какихъ условіяхъ оканчивается игра.
Въ задачѣ Ля 6, которою мы запинались въ § 24, разореніе
игрока выражается приведеніемъ его капитала къ нулю и игра
продолжается безпрепятственно, пока капиталы обоихъ игроковъ
отличны отъ нуля. Въ измѣнепной же задачѣ препятствіемъ къ
продолженію игры можетъ служить не обращеніе капитала одного
изъ игроковъ въ нуль, а невозможность, для одного изъ нихъ,
уплатить полностью послѣдній проигрышъ или невозможность
поставить полную ставку.
Мы остановимся на предположены, что игра прекращается,
какъ только одинъ изъ игроковъ не можетъ поставить полной
ставки предстоящей партіи, и соотвѣтственно этому будемъ счи-
тать игрока L выпгравшимъ игру, а игрока М разорившимся,
какъ только каппталъ послѣдняго сдѣлается меньше а; если яіе
капиталъ игрока L станетъ меньше (3, то по нашимъ условіямъ
L должепъ быть признанъ проигравшимъ игру и разорившимся.
Внеся указанное измѣнепіе въ задачу Ля 6 и сохраняя преж-
нія обозначенія, мы тѣмъ же путемъ, который раньше привелъ
къ уравненію второго порядка
УХ=РУХ^1^(1УХ-1,
приходимъ къ линейному уравненію
ух =рух+,
•+•
порядка а
р.
Общее рѣшеніе этого поваго линейнаго уравненія связано съ
рѣшеніемъ алгебрапческаго уравненія
и заключаете а -+- (3 ироизвольныхъ постоянныхъ.
Изъ общаго рѣшенія мы получимъ искомое выраженіе ух,
давая этимъ постояннымъ такія значенія, при которыхъ выпол-

вяются условія
Уач-Ь
=
Уач-Ь—1 =
•••• =
Уа+Ъ—я.4-1
^
У0= Уі=
=
Ур_!
=
0,
при чемъ условія первой строки указываютъ на разореніе игрока
М, когда его капиталъ меньше a, a условія второй строки ука-
зываютъ на разореніе L, когда капиталъ послѣдняго меньше (3.
Наша цѣль состоитъ, какъ было уже намѣчено, въ указаніи
двухъ предѣловъ, между которыми должно заключаться уь и
которые при болынихъ зиаченіяхъ а и Ъ, сравнительно съ а и [3,
немного разпятся другъ отъ друга.
Для этой цѣли установимъ относительно нашего уравненія
Ух == РУхч-х
1Ух—Р '
что удовлетворяющее ему выраженіе ух при разсматриваемыхъ
нами значеніяхъ х, т. е. при
х= О,1,2,...
а-і -Ъ,
не можетъ быть отрицательнымъ числомъ, если среди а. -+- (3 чи-
селъ
У01Уи ••••)У§—\1Уач-ы Уач-Ь—1' • •• •) Уач-Ь—ан-1
нѣтъ отрицательныхъ; при чемъ воспользуемся свойствомъ вѣро-
ятности оставаться всегда числомъ положительнымъ.
Прежде всего остановимся на тѣхъ а -+- (3 рѣшепіяхъ раз-
сматриваемаго нами липейнаго уравненія, для которыхъ одно
изъ чиселъ
Уйі У\1• • • • > У$—1, Уач-Ь 1 Уач-Ь—1># • ' •» Уач-Ь—а-+-1
равно единицѣ, а остальныя — нулю.
Эти а -*- j3 рѣшеній даютъ а -н(3 вероятностей, что капиталъ
игрока L изъ величипы х превратится, при окончаніи игры, въ
одно опредѣлепное число совокупности а -+- {3 чиселъ
О, 1, 2,...., (3 — 1, а-л-Ъ, ач-Ъ
—
1,...., й+J—а+ 1,
и потому они не могутъ давать для ух отрицательныхъ значепій,

пп при одномъ изъ разсматриваемыхъ нами значеній х, ибо ве-
роятность можетъ быть только числомъ положительнымъ или
нулемъ. Обращаясь къ другимъ рѣшеніямъ уравненія
замѣчаемъ, что любое изъ нихъ можно составить линейнымъ об-
разомъ изъ упомянутыхъ сейчасъ а -н (3 рѣшеній, и иа этомъ
оспованіи легко убѣждаемся въ правильности высказаинаго нами
положенія, что при
х= 0, 1,2,....,
ач-Ь
должно быть
ух> О.
если такое неравенство имѣетъ мѣсто при
я= 0,1,2,.. . ., (3—1,а-i-b, a-t-b— 1,. . . .,
a-t -b—ач-1.
Отсюда затѣмъ слѣдуетъ, что два рѣшенія
t
н
Ух'
Ух
нашего линейнаго уравненія навѣрпо удовлетворяютъ неравенству
Ух^У X
при всѣхъ разсматриваемыхъ нами значеніяхъ х, если такое не-
равенство оправдывается при
х= 0,I,2,. . . ., (3—1,a-t-b, а-л-b
—
!,....,«•+•&
—
к+1.
Установивъ это, назовемъ буквою \ вещественный положи-
тельный корень уравненія
pin
5-1
'
Если \ не = 1, паше уравненіе
Ух = РУан-ь + ЯУа-ь
допускаетъ рѣшеніе
(гх
Ух=
С2$ >
содержащее два произвольпыхъ постоянпыхъ числа С, и С3,
распоряжаясь которыми, мы можемъ удовлетворить двумъ урав-

неніямъ. И въ силу указаннаго нами неравенства можно утвер-
ждать, что выраженіе
Сгч-С2\х
будетъ больше искомой вѣроятности ух,
если числа Сг и С2 мы
опредѣлимъ уравненіями
Gx4r-G2la+b~M
=
\иCj-t-С2= О,
при соблюденіи которыхъ имѣемъ
Gxн-G2
>• I при х — ач-Ъ, ач-Ъ — I,....,
ач-Ъ —хч-2
С1-+-С/сх>
0прпх= 1,2,
,[3—1.
Наоборотъ паше, выраженіе
будетъ меньше искомой вѣроятносги у , если числа Gx и С2 мы
опредѣлимъ уравненіями
С1ч-СаЪ*+*=
1 и q-нС^-^О,
при соблюденіи которыхъ имѣемъ
б^-+-62Ij®< 1 прп х — ач-Ъ —1,
ач-Ъ — 2,....,
ач-Ъ —осч-1
Схч-С21х<
Оприя=0, 1,2,
,[3— 2.
Такимъ образомъ приходимъ къ неравенствамъ
Ро-ні- а-и
i^Jx^
^
и затѣмъ
E»-P+l_i
2J
">> у
_J
_.
Fa-t-6 —a-ні _ 1 ^ Jb
_
j
Бертрапъ, оставляя безъ вниманія всѣ отрицательные и
мнимые корни уравненія
беретъ вышеприведенное частное рѣшеніе, съ двумя произволь-
ными постоянными, вмѣсто общаго, которое должно содержать

а-н|3 пронзвольныхъ постояноыхъ, и соотвѣтственно этому до-
пускаетъ, что искомая вѣроятность ух опредѣляется Формулой
Ух=
с, + С7аГ,
коэФФпціенты которой Сг и С2 находятся изъ уравненій
y0= G\+
G2=0.
Такимъ образомъ онъ нолучаетъ для уь приближенную вели-
чину
у_х
которая лежитъ въ указанныхъ нами границахъ
gb-p -t-i
_
i
jja-t-J —a-i-i J П jja-t -i—p -t -i i
и потому при большихъ значеніяхъ а и Ъ, по сравненію съ а и [В,
немного отклоняется отъ точной величины уь.
При X = 1 наше уравненіе
допускаетъ рѣшеніе
.
,
Ух=
Сн-Сх,
сравнивая которое, при различныхъ значеніяхъ С' и С", съ иско-
мою вероятностью ух, мы можемъ, пользуясь прежними сообра-
женіями, установить для искомой вероятности уь неравенства
ъ
.
^
Ь —Р-+ -1
a+6-a+l Уь^а-нЪ—(і-ь1'
которыя можно вывесть также изъ ранѣе установленныхъ по-
средствомъ приближенія \ къ предѣлу 1; для этого случая Бер-
транъ нолучаетъ такое приближенное равенство
ъ
Уь
а-нЬ
Кромѣ вѣроятности разоренія игроковъ, Бертранъ и Руше
занимались математическимъ ожидапісмъ числа партій, приводя-
щихъ къ разоренію. Необходимый донолненія ихъ нестрогихъ
выводовъ можно найти въ моей замѣткѣ «Къ вопросу о разо-
рены игроковъ» (Изв. Физ.-мат. общ. при Каз. уиив. 1903 г.).

Литература.
Ferraat. Oeuvres completes publiees par Tannery et Henry.
Т. II. Pascal. Oeuvres. Т. IY, У (изданіе 1779 года).
Huygens. De Ratiociniis in Ludo Aleae (Schooten. Exercita-
tiones Mathematicae) 1657.
Montmort. Essay d'analysesurles jeuxdehazard. 2 ed. 1713.
Moivre. The doctrine of chance. 1718.
Bernoulli, Daniel. Specimen Theoriae Novae de Mensura
Sortis (Comm. Ac. Petrop. V, 1738).
Euler. Calcul de la probabilite dans le jeu de rencontre.
(Hist, de 1'Acad. r. des sc. et bel. let. Berlin Т. VII, 1751).
Euler. Solutio quarundam quaestionum difficiliorum in cal-
culo probabilium (Opuscula analytica II).
Lagrange. Мбтоіге sur l'utilite de la methode de prendre
le milieu entre les resultats de plusieurs observations, dans lequel
on examine les avantages de cette m£thode par le calcul des proba-
bility, et ой l'on resout diffiirents problemes relatifs a cette ma-
tiere (Oeuvres de Lagrange. Т. II).
Lagrange. Recherches sur les suites r6currentes dont les
termes varient de plusieurs manieres differentes, ou sur l'inte-
gration des equations lin6aires aux differences fiuies et partielles;
et sur l'usage de ces equations dans la theorie des hasards.
(Oeuvres Т. IV).
В. П. Ермаковъ. Теорія вероятностей. 1879.
Eggenberger. Beitrage zur Darstellung des Bernoulli'schen
Theorems, der Gammafunction und des Laplace'schen Integrals,
2 Aufl. Jena. 1906.
А. Марковъ. Объ пспытаніяхъ связанныхъ въ цѣпь нена-
блюдаемыми событиями (Изв. Акад. Наукъ 1912).
Broden. Wahrscheinlichkeitsbestimmungen bei der gewohn-
lichen Kettenbruchentwickelung reeller Zahlen (Ofversigt af Kongl.
Vetenskaps-Akad. Forhandliugar 57, 239—266).
A. Wiman. Ueber eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe bei Ketten-
bruchentwickelungen (Тамъ-же 829—841).

ГЛАВА У.
Предѣлы, ирраціональныя числа и не-
прерывный величины въ иечиелѳніи
вѣроятноетей.
§ 28. Не устанавливая одного общаго опредѣленія, мы бу-
демъ называть нѣкоторыя событія предѣлъными для другихъ
событій, подобно тому какъ касательная называется предѣль-
нымъ положеніемъ сѣкущей. Называя, на какихъ либо основа-
ніяхъ, событіе Е предѣльнымъ для ряда событій
ЕЕ
Е
вѣроятности которыхъ образуютъ рядъ чиселъ
РиР»
,Р„,
,
мы вмѣстѣ съ тѣмъ опредѣлимъ вѣроятиость событія Е какъ
предѣлъ, къ которому стремится рп при безпредѣльномъ возра-
станіи значка п.
Примѣры предѣльныхъ событій можно найти въ 60і1 и 7°'"'
задачѣ предыдущей главы. Но мы не станемъ возвращаться къ
разобраннымъ уже вопросамъ, а займемся новыми.
Преяаде чѣмъ перейти къ частнымъ вопросамъ, замѣтимъ,
что при всѣхъ обобщеніяхъ попятія о вѣроятности какъ о числѣ
мы имѣемъ въ виду сохраненіе теоремъ сложенія и умиоженія
вѣроятпостей.
Первый интересный примѣръ предѣльныхъ событій, на ко-
торомъ мы остановимся, доставитъ намъ задача Чебышева; та-

кое названіе мы придаемъ следующей задачѣ *), заимствованной
изъ лекцій Чебышева:
Определить вероятность несократимости раціональной
дроби, числитель и знаменатель которой написаны наудачу.
Эта замечательная задача, подобно многимъ другимъ, ста-
петъ опредѣленною и получитъ определенное решеніе только
после ряда условій, выясияющихъ смыслъ указанія, что числи-
тель и знаменатель дроби написаны наудачу.
Приступая къ изследованію поставленная вопроса, займемся
сначала более простымъ вопросомъ о сократимости и несокра-
тимости дроби на данное число а.
Относительно числителя дроби мы мояіемъ различить а слу-
чаевъ по величине остатка отъ обыкновенная деленія его на а;
именно возможными величинами остатка бѵдутъ
О,1,2,
а —1.
И въ силу указанія, что числитель написанъ наудачу, мы
будсмъ считать все эти а случаевъ равновозможными.
Такъ какъ числитель дЬлится на а только въ одномъ изъ
установлепныхъ нами случаевъ, то вероятность делимости его
па а выразится дробью
На подобныхъ я<е основаніяхъ ве-
роятность делимости знаменателя дроби на а будетъ также
равна —.
Следовательно вероятность, что дробь можно сократить
на а выразится произведеніемъ
_і j_
аа
а"
и потому вероятность, что сокращеніе дроби на а невозможно,
представится разностью
1
1~
^
Далее важно установить, что вероятность несократимости
*) Рѣшеніе этой задачи ложно найти также въ «Vorlesungen iiber Ма-
thematik von Leopold Kronecker» (Zweiter Teil, erster Abschnitt, ersterBand,
24 Yorl.), гдѣ упомянуто, что ту же задачу разсматрпвалъ Дирихле.

дроби па а сохраняетъ величину
и въ тонъ случаѣ, когда извѣстна несократимость дроби на ка-
кія либо числа простыя съ а, такъ какъ и въ этомъ случаѣ
возможными остатками отъ дѣленія числителя и знаменателя
дроби на а будутъ по преяшему
О,1,2,
й— 1.
Установивъ это, возьмемъ рядъ послѣдовательныхъ простыхъ
чиеелъ
«і= 2, а2= 3, а3=5, а4= 7, а5=11,
,
и назовемъ собьггіемъ Еп несократимость дроби на
а1? а3,
ап.
Вѣроятность такого событія Еп представится на основаніи
теоремы умноженія вѣроятностей произведеніемъ
Разсматривая наконецъ несократимость дроби, ни на какое
число, какъ предѣльное событіе для ряда событій
ЕЕ
Е
выразимъ вѣроятность этой несократимости безконечнымъ вро-
изведеніемъ
которое равно
какъ мы сейчасъ поканіемъ.
Для доказательства, что полученное нами безконечное про»
изведеніе равно
обозначимъ его буквою Ри раземотримъ -р-.

Примѣняя къ каждой изъ дробей
Г'
—Т'
—Г'
1
,
—
1
1
22
32
52
извѣстную Формулу
1
1-х
получаемъ *)
=
1н- х
-+• х2 н-.
I-=
S A--S
—-Е-
=
S-
P
22* З^ 52V
(2* З^ 5V.... )2
гдѣ подъ
A, {A, V,
мы подразумѣваемъ каждое изъ чиселъ
О, 1, 2, 3,....
Каждое произведете
2хЗ1*5Ѵ....
равно цѣлому числу; съ другой стороны извѣстно, что всѣ це-
лый числа можно представить подобными произведениями и что
каждому цѣлому числу соотвѣтствуетъ только одна система чи-
селъ
А, [А, ѵ,
,
при которой произведете
2хЗ^5\...
равно этому числу. Поэтому полученная нами сумма
2-Г -1
(2* ЗІЛ5Ѵ....)2
приводится къ извѣстной суммѣ
,11111
I —I—
.—.
—I
1
1
-1
1-
x
22
32
42
52
Q2 ••••
равной
б"
Итакъ, по вышепрлведеннымъ соображепіямъ, вероятность
*) Euler. Introductio in analysin infinitorum. Т. I, 1748.

несократимости раціональпой дроби, числитель и знаменатель
которой написаны наудачу, выразится ирраціональнымъ чп-
сломъ
6
7С2'
Несократимость раціональной дроби можно также разсма-
тривать какъ предѣльное событіе для другого ряда событій
Е' Е'
Е'
х
-' 2»
3>''''»
п'
"
*"'
гдѣ Е' означаетъ несократимость такой дроби, числитель и
знаменатель которой взяты на удачу изъ совокупности п чиселъ
1,2,3,. ..., и.
Не останавливаясь на этомъ новомъ толкованіи задачи, за-
мѣтимъ, что оно не измѣнптъ найденной пами величины вѣроят-
ности
6
7Г2 '
если вѣроятность событія Е'п мы выразпмъ отношеніемъ
т
м»'
гдѣ т означаетъ число несократимыхъ дробей, числители и зна-
менатели которыхъ взяты изъ совокупности
1,2,3
п.
Другой примѣръ предѣльиыхъ событій доставить намъ слѣ-
дующая задача.
Прямая линія АВ раздѣлена точкою С на две определен-
ный части. Затѣмъ та оісе прямая разделена на три части
двумя точками Р и Q, изъ которыхъ первая поставлена на
удачу на АС, а вторая поставлена также наудачу на СВ.
А
Р
С
Q
В
Требуется определить вероятность, что
АР, PQ, QB
могутъ быть сторонами одного трехугольника. Иначе сказать,

требуется опредѣлитъ вѣроятностъ, что каждая изъ трехъ
длит
АР, PQ, QB
меньше суммы двухъ осталъныхъ.
Чтобы придать поставленному вопросу опредѣленный смыслъ,
прежде всего положимъ, что прямая АВ раздѣлена 2и — 1
точками
л
л
л
на 2п равныхъ частей
ADX, Х>г2>„
D2n_xB,
общую длину которыхъ обозначпмъ буквою г. Пусть вмѣстѣ съ
тѣмъ цѣлыя числа h и I определяются неравенствами
и
такъ что
и потому
Ы<АС<(к+\)і
(l-\)t<BC<k,
(к-* -1—1)г<АВ
=
2т<(к+1-+-\)і
U= 2п,
при чемъ для сокращенія разсужденій мы не останавливаемся
на тѣхъ случаяхъ, когда одна изъ точекъ D1} D2,...-Da„_1
совпадаетъ съ С.
Ограничимъ затѣмъ положеніе точекъ Р и Q условіемъ, что
онѣ пе могутъ совпадать съ другими точками прямой АВ, кромѣ
указанныхъ нами 2п—1 точекъ Т)х, Z>2i>2ri
х.
При
такихъ условіяхъ для АР возможны только слѣдующія значенія
г, 2е,
, lit,
а для BQ возможны только слѣдующія значенія
г, 2s,
,
(i-1)6.
Соединяя каждое возможное значеніе АР съ каждымъ воз-
можнымъ зпачепіемъ BQ, получаемъ
k(l— 1)

случаевъ, которые мы будемъ считать ие только единственно
возможными, но и равновозможными.
Переходя къ счету тѣхъ случаевъ, когда
АР, PQ, QB
могутъ быть сторонами одного трехугольника, для онредѣлен-
ности положимъ
АС< СВ.
Случаи, къ счету которыхъ мы переходимъ, опредѣдяются
неравенствами
АР < РВ, PQ<AP+BQ,
AQ> BQ.
Первое изъ этихъ неравенствъ выполняется при всѣхъ воз-
можныхъ положеніяхъ точки Р, ибо
АР<АС<
СВ<РВ,
а остальныя два приведутся къ слѣдующимъ
Х-і-у>п>у,
AP= xz,BQ=yi.
если положимъ
Совокупность всѣхъ случаевъ, удовлетворяющихъ этимъ
условіямъ, не трудно расположить въ таблицу:
х=2
я=3
х—4
х=Тс
У=11— 1 У=п— 1
у=п—2
у=п
1
у=п—2
у=п—3
У—П—1
у=п—2
У=11— 1 У=п— 1
у=п—2
у=п
1
у=п—2
у=п—3
У=11— 1 У=п— 1
у=п—2
у=п
1
у=п—2
у=п—3
у=11—&-I-1
Изъ таблицы видно, что число разсматриваемыхъ нами
случаевъ, въ которыхъ АР, PQ и QB могутъ быть сторонами
одного трехугольника, равно
к(к- і)

Раздѣливъ это число на общее число
Jc(l— 1)
допускаемыхъ нами случаевъ, находимъ, что при сдѣланныхъ
нами предположеніяхъ вероятность возможности составить изъ
АР, PQ, QB
трехугольникъ выражается дробью
к—1
2(1-1)"
Наконецъ, для устраненія ограничены, въ силу которыхъ
точки Р п Q могутъ совпадать только съ определенными точками
отрѣзковъ АС и СВ, станемъ увеличивать п безпредѣльно.
Такъ какъ при безпредѣльномъ возрастаніи числа п дробь
к—
1
приближается къ предѣлу
|'
Т гс'
то на основаніи вышеизложенныхъ соображеній мы можемъ
принять
^
дс
2ВС
за искомую вѣроятность, что АР, PQ, QB могутъ быть сторо-
нами одного треугольника.
Надо однако помнить, что для искомой вероятности мы могли бы
получить совершенно иныя величины, если бы заменили другими
некоторый изъ предположены, введенныхъ нами въ решеніе
задачи, но не высказанныхъ при ея постановке. Къ такимъ пред-
положеніимъ, обусловливающимъ нашъ выводъ, принадлежишь,
напримеръ, равновозможность установленныхъ нами к(1—1)
случаевъ.
Подобнымъ образомъ можно было бы разсмотреть разно-
образные частные вопросы; но такой разборъ отдельныхъ во-
просовъ былъ бы слишкомъ долгимъ и не доставилъ бы намъ
определенныхъ правилъ для решенія другихъ вопросовъ въ виду
12*

—
ISO —
того, что онъ требуетъ особыхъ соображепій для каждаго част-
паго случая и заставляетъ кромѣ искомой вѣроятпостп вычислять
другія вѣроятности, для которыхъ искомая служить предѣломъ.
Для сокраіценія выводовъ и для сообщеиія имъ большей
ясности и опредѣленпости, во многихъ случаяхъ, можно съ успѣ-
хомъ воспользоваться расширепіемъ понятія о вероятности, чѣмъ
мы и займемся въ слѣдующихъ параграч>ахъ.
Замѣтимъ, что разобранный сеичасъ вопросъ о возможности
образовать трехугольннкъ прпнадлежитъ къ числу многихъ слу-
чаевъ, о которыхъ будетъ идти рѣчь; а задачу Чебышева и ей
подобный нельзя причислять къ нимъ.
§ 29. Положимъ, что совокупность возможныхъ значеній X
состоитъ не нзъ конечнаго числа различныхъ чиселъ, а пзъ всѣхъ
чиселъ, лежащихъ между данными предѣлами
Положимъ далѣе, что о вѣроятпостп отдѣльныхъ значеній
X нѣтъ уже рѣчп п вмѣсто того возникаетъ вопросъ о веро-
ятности, что X лежитъ въ какомъ нибудь данномъ промежутке.
Въ этомъ случаѣ, уподобляя вѣроятность массѣ и вводя по-
нятіе о плотности вѣроятности, аналогичное понятію о плот-
ности массы, мы будемъ вероятность каждой изъ четырехъ сп-
стемъ неравенствъ
1) а<Х<Ь,
2)а<Х<Ъ, 3)а<Х<Ь,
4)
а<Х<Ь
выражать однимъ и тѣмъ же иитеграломъ
Функцію f(x), которая стоить подъ знакомь интеграла, мы
назовемъ плотностью вѣроятностп и будемъ устанавливать, въ
каждомъ частномъ случаѣ, болѣе или менѣе произвольно, соблю-
дая слѣдующія условія:
АвВ.
(10)
а
1) f(x)< 0 при
А<х<В,

2)f(x)=0прпх<Аипрпх>В,
ев
3) f(x)dx=
1.
іл
Первое изъ этихъ трехъ условій вызывается тѣмъ сообра-
женіемъ, что вѣроятность должна оставаться всегда числомъ по-
ложительнымъ, или нулемъ; а второе п третье тѣмъ, что X, по
предиоложенію, лежптъ между А и В и не можетъ пмѣть зна-
чены, выходящихъ изъ этихъ предЬловъ.
Простейшее предположеніе о Функціи f(x), которое мы обык-
новенно будемъ дѣлать, выражается равенствомъ
f(x) = пост, прп А<.х<.В,
при чемъ постоянное значеніе f(x) равно
1
Т
въ силу условія
7;
Г f{x) dx= 1.
При такомъ предположены, для каждыхъ двухъ равныхъ
промежутковъ, заключающихся между А и В, вероятности, что
X лежитъ въ этихъ промежуткахъ, выражаются равными чи-
слами, и соответственно этому можно сказать, что всѣ возмож-
ный значенія X представляются намъ равповозможными.
Другое замѣчательное предположеніе о f(x) относится къ
тому случаю, когда малымъ велпчинамъ X2 мы придаемъ зна-
чительно большую вероятность чЬмъ болынимъ, но не находимъ
возможнымъ ограничить значенія X какимъ пибудь определен-
пымъ промежуткомъ. Это второе предположеніе, часто прини-
маемое, выражается равепствами
А=
—
оо,
В=-і-сю
f(x) = Се-
к
**\
где С и к числа постоянный, которыя въ силу условія
ffix)dx= 1
3A

--- --
182
—
должны быть связаны уравненіемъ
такъ какъ
YV
—со
Л
Расширивъ такпмъ образомъ понятіе о вѣроятности, мы
вмѣстѣ съ тѣмъ расширимъ и нонятіе о математпческомъ ожи-
даніи. Именно, математическими ожиданіями
X,X2,X
s
,.
..
.
мы назовемъ соответственно интегралы
гв
в
в
xf(x) dx,
x2f(x)dx,
x3f(x)dx,....
JA
JA
'A
й вообще математическимъ ожиданіемъ Ф(Х) МЫ назовемъ ин-
тегралъ
СБ
(11)
J o(x)f(x)dx.
Напримѣръ, при
т=в~А
математическое ожиданіе X равно
Г
23
a:dx
Д+і
:ЛВ-А - 2
'
а математическое ожиданіе X2 равно
СВ x"-d
J аЛ-
х2 dx
А2 -+- АВ
-+- Б2
-В
бслп же
л
-D
яг\
Ъ —7с2
А=
—
оо,
В=
-+-со и f(x)=
е
,
то математическое ожиданіе X равно нулю, а математическое
ожиданіе X2 равно
7.
^00
1
l^TJ-oo

Разсматривая двѣ или нѣсколько величинъ, подобныхъ X,
мы прежде всего выдѣлимъ случай независимыхъ величинъ, какъ
простѣйшій. Двѣ величины X и Y, возможный значенія которыхъ
состоятъ изъ всѣхъ чиеелъ, лежащихъ въ данныхъ предѣлахъ,
мы называемъ независимыми другъ отъ друга, если для любыхъ
двухъ чиеелъ
^^
и для двухъ другихъ любыхъ чиеелъ
с,д
мы можемъ выразить вѣроятность неравенствъ
а<Х<Ъ
интеграломъ
J f(x)dx,
а
а вѣроятность неравенствъ
c<Y<d
интеграломъ
д
f W)d>J,
Jс
гдѣ f(x) сохраняетъ одинаковую величину какъ при неизвѣст-
номъ значеніи Y, такъ и при всякомъ данномъ значеніи Y. а
fx (у) сохраняетъ одинаковую величину какъ при неизвѣетномъ
значеніи X, такъ и при всякомъ данномъ значеніи X.
Для такихъ величинъ X и Умы можемъ вѣроятность вы-
полнены неравенствъ
а<X<&
вмѣстѣ съ неравенствами
c<Y<d
представить двукратнымъ интеграломъ
гд гь
гь
гд
! f(x) f\(у) liy= I f{x)dx\ fj{y)dy,
сa
a
'с
сохраняя теорему умноженія вѣроятпостей. И вообще интегралъ
JJf(x) fi (у) dy,

распространенный на всѣ значенія х и у, которыя удовлетво-
ряют тѣмъ пли другимъ перавенствамъ, будетъ выражать у
насъ вероятность, что X и Y удовлетворяют нодобньшъ же не-
равенствами
Переходя отъ случая независимыхъ величинъ къ общему,
мы должны вмѣсто пропзведепія fix) fx (у) ввести некоторую
Функцію ср (х, у) и можемъ вѣроятность, что X и Y удовлетво-
ряютъ опредѣленнымъ неравенствам^ выраяіать двукратнымъ
интеграломъ
(12)
J jo(x,y)dxdy,
распространенным^ конечно, на значепія х и у, которыя удо-
влетворяют такимъ же перавенствамъ.
При этомъ Функцію ср (х, у), двухъ чиселъ х п у, мы назо-
вемъ также плотностью вѣроятности и будемъ устанавливать ее
болѣе или менѣе произвольно, наблюдая однако, чтобы она не
получала отрицательныхъ значеній и чтобы интегралъ
J/ср(ж, y)dxdy
приводился къ единицѣ, прп распространен^ его па всѣ возмож-
ный значенія х и у.
Простѣйшее предположеніе о Фупкціи ср (%,у) состоитъ въ
томъ, что она сохраняетъ постоянную величину для значеній х
и у, удовлетворяющихъ извѣствымъ неравенствамъ, и обра-
щается въ нуль для прочихъ значеній х и у. При такомъ пред-
положен^, обращаясь къ геометрическимъ соображеніямъ и раз-
сматривая X и Г какъ обыкновенный координаты точки на
плоскости, мы легко приходпмъ къ слѣдующему заключенію.
Если <р (ж, у) мы разсматриваемъ какъ Функцію координатъ
х и у различныхъ точекъ плоскости, и если S означаетъ вели-
чину всей площади, внутри которой ср (х, у) сохраняетъ постоян-
ное значеніе, отличное отъ пуля, a s означаетъ величину какой-
нибудь площади, составляющей часть первой, то отношеніе

выразитъ величину вѣроятности, что точка, опредѣленпая ко-
ординатами X и Y, леяытъ внутри послѣдней площади, вели-
чина которой равна s.
Расширенію понятія о вѣроятпости соотвѣтствуетъ и расши-
реніе понятія о математическомъ ожиданіи; именно, математи-
ческимъ ояшданіемъ ф (х, у) мы назовемъ интегралъ
(13)
{x,y)dxdy,
распространенный па всѣ зпаченія х и у.
Сказанное нами о двухъ величинахъ X и Y легко распро-
странить па любое число подобныхъ величинъ, на чемъ мы не-
считаемъ нужнымъ останавливаться.
Приложимъ указанпыя нами основанія къ ряду задачъ, на-
чиная съ той, которую мы разсматривали въ предыдущемъ па-
раграфе, на другихъ основаніяхъ.
§ 30. Задача 1"".
Прямая лпнія АВ раздѣлена точкою С на
двѣ опредѣленныя части. Затѣмъ тая;е прямая раздѣлена на три
части двумя точками Р и Q, изъ которыхъ первая поставлена
наудачу на АС, а вторая поставлена также наудачу на СВ.
PC
О
А
-
В
Требуется определить вѣроятность, что
АР, PQ, QB
могутъ быть сторонами одного треугольника.
Рѣгиеніе. Обращаясь къ геометрическимъ соображеніямъ,
будемъ разсматривать длины АР и BQ какъ обыкновенный пря-
молинейныя прямоугольпыя координаты
X,Г
нѣкоторой точки Ж на плоскости.
На приложепномъ чсртежѣ
OB=АС,ОЕ= СБ>AC, OG= OK=
^
OYjlOX, GH И EF II OX, 1)H\\ OY.

Разсматриваемая точка Ж во всѣхъ случаяхъ лежитъ внутри
прямоугольника
OEFB.
Въ тѣхъ же случаяхъ, когда
JT
&
о
F
Я
F
Я
\
F
Я
I
о
АР, PQ, QB
могутъ быть сторонами одного
трехугольника, координаты точки
Ж должны удовлетворять нера-
венствамъ
прп выполпеніи которыхъ точка
Ж лежитъ внутри трехугольника GHI. Поэтому искомая вѣро-
ятность, что
pQ, QB
могутъ быть сторонами одного трехугольника, выразится отпо-
шеніемъ площади трехугольника GHI къ площади прямоуголь-
ника OEFB,
если только мы будемъ считать всѣ положенія
точки Ж внутри прямоугольника OEFB равновозможными, т. е.
будемъ считать плотность вѣроятности 9 (ж, у) числомъ постоян-
нымъ внутри прямоугольника OEFD.
Замѣчая наконецъ, что отношеніе площади трехугольника
GHI къ площади прямоугольника OEFB равно
АС
2 ВС'
приходимъ къ тому же выраженію искомой вѣроятности, кото-
рое было выведено раньше другимъ путемъ.
При другихъ предположен іяхъ о плотности вероятности при-
демъ, конечно, къ инымъ выводамъ. Напримѣръ, если плотность
вѣроятности для различныхъ положепій точки Ж будемъ считать
пропорціональною произведепію координатъ ея, то разсматри-
ваемая нами вѣроятность выразится отношеніемъ иптеграловъ

а-ьЬ
гх=а
у=——
—«• г-Ъ
•Jо J...
хуdydx
„ j ft-I-ъ
x=0y=—
X
«x=a „2f—b
xydxdy
J x=0 y=0
гдѣ буквой а мы обозначили длину АС и буквой Ъ длину ВС.
Такъ какъ
х=а
гу=
a -t-b
~~2
.х—а
хуdydx =
х2(січ~Ь — х) п аЗ(4Ь-+-<?)
2
аХ
—
~24
„,
а-л -Ъ
.
х=0 у=
—-
х
* х=0
и
х=а у=Ъ
а2&2
xydydx =
—,
х=0 'у=0
4
то при новомъ предноложеніи разсматриваемая нами вѣроятность
оказывается равною
г
а
4Ъч_а
ТТ"зь
и потому отличается отъ полученной прежде множителемъ
4b-+-а
~ЗЬ
Въ частномъ случаѣ, когда
АС=ВС,
вѣроятпость, что
АР, PQ, QB
1
могутъ быть сторонами одного трехугольника, равна у при
5
первомъ предположены и у при второмъ.
Задача 2. На прямой линіи АВ поставлены наудачу двѣ
точки, изъ которыхъ ближайшую къ А мы обозначимъ буквою Р,
л ближайшую къ В обозначимъ буквою Q.
АР
Q
В

Требуется опредѣлить вѣроятыость, что
АР, PQ, QB
могутъ быть сторонами одного трехугольника.
Ріыиеніе. Разсматрпвая по прежнему
АРпQB
какъ обыкновенный координаты
X,Y
нѣкоторон точки Ж на плоскости, имѣемъ
Х>0, Г>0, 1+ Z< АВ.
Отсюда слѣдуетъ, что точка Ж лежитъ внутри трехугольника
EOF, ограниченнаго осями коордннатъ OX, OYn прямою EF,
которая отсѣкаетъ отъ координатныхъ осей отрѣзки
ОЕ, OF,
равные АВ. Для всѣхъ положеній точки Ж, внутри трехуголь-
ника EOF,
мы будемъ считать плотность вѣроятности одинако-
вою, и соотвѣтственно этому скажемъ, что всѣ случаи дѣленія
прямой АВ, двумя точ-
ками Ри Q, на три час-
ти представляются намъ
равновозможными.
При такихъ усло-
віяхъ разысканіе иско-
мой вѣроятности сво-
дится къ вычисленію ве-
личины площади, внутри
которой лежитъ точкаМ
вътѣхъ и только вътѣхъ
случаяхъ, когда
АР,PQиQB

могутъ быть сторонами одного трехугольника: отношеніе этой
площади къ площади трехугольника EOF выразить искомую вѣ-
роятпость. Съ другой стороны мы знаемъ, что
АР=Х,
PQ= АВ —X
—
Y, QB—Y
могутъ быть сторонами одпого трехугольника тогда и только
тогда, когда
лт,
,п
.т.
При выполненіи этихъ неравепствъ точка М лежитъ внутри
трехугольника HGK,
ограничеиеаго прямыми HG, GK, ВК,
которыя соедиияютъ средины прямыхъ ОЕ, EF и OF; и обратно
для всѣхъ полоясеніп точки М внутри трехугольника HGK эти
неравенства выполнены. Отсюда уже нетрудно заключить, что
искомая вѣроятпость выражается отношеніемъ
A HGK
&OEF'
1
которое равно —
Итакъ, если всѣ случаи дѣленія прямой АВ на три части
АР, PQ, QB
мы признаемъ равновозможными, въ объяснепномъ выше смыслѣ,
то вѣроятпость, что изъ этихъ трехъ частей можно образовать
1
трехуголыіикъ, равна — •
§ 31. Задача 3"' (Бюффона). На плоскость, покрытую ря-
домъ параллельныхъ полосъ одной и той же ширины 1і, брошена
наудачу безконечно тонкая игла, длина которой I меньше ширипы
полосъ 7г. Найти вѣроятность, что эта игла не помѣстптся вся
въ одной полосѣ, а пересѣчетъ одну изъ прямыхъ, отдѣляющихъ
двѣ смежныя полосы.
Ріъгиеніе. Разсматривая различпыя возможный положепія
иглы на плоскости, назовемъ буквою х разстоянія средины иглы
до блюкайшей изъ параллельныхъ прямыхъ, образующихъ выше-
упомянутый полосы; а буквою ср назовемъ величину остраго
угла, который образуетъ игла съ перпепдикуляромъ къ па-

правлевію полосъ. Всѣ возможный значенія х заключаются между
О и -і 7г; мы будемъ считать ихъ равновозможными. Точно такъ же
мы будемъ считать равновозмояшыми и всѣ возможный значенія <р,
которыя заключаются между 0 и
Затѣмъ для большей наглядности выводовъ возьмемъ произ-
вольную длину за единицу мѣры и будемъ разсматривать ж и ср
какъ обыкновенный прямолинейныя прямоугольный координаты
нѣкоторой точки Ж плоскости.
В
/\/X
1м
\/г JST \/
А
BN'=
DN=
-
CN= x
Z ACN= ср
AG= CB=
~
Изъ чертежа видно, что игла не помѣщается внутри одной
полосы въ тѣхъ и только тѣхъ случаяхъ, когда
х<~Cosср.
0Е=4г,
0G=
~:
ЬЖ= X
0L= ср
Обращаясь ко второму чертежу, замѣчаемъ, что положенія
точки Ж, соотвѣтствующія только что указаннымъ случаямъ,

отдѣляются отъ остальныхъ возможныхъ ея положеній кривою
лппіею EKFG,
которая опредѣляется уравненіемъ
х=4-Cosо,
и заполняютъ площадь OEKFGO,
ограниченную осями коорди-
натъ и кривою EKFG. Слѣдовательно, при сдѣланныхъ предпо-
ложеніяхъ, искомая вѣроятность, что игла не помѣстится въ
одной полосѣ, выразится отношеніемъ площади OEKFGO къ пло-
щади прямоугольника OHIG, которое равно
.тг
I —Cosоd<p
"о
_2[
Эта замѣчательная задача поставлена БЮФФОНОМЪ какъ пер-
вый прпмѣръ исчисленія вѣроятностей, требующій геометриче-
скихъ соображеній. Краткое указаніе на нее можно найти въ
Histoire de l'Academie Royale des Sciences, за 1733 годъ; а ея
рѣшеніе, согласное съ выше приведеннымъ, дано въ сочиненіи
БюФФОна «Essai d'arithmetique morale», которое появилось въ
1777 году какъ добавленіе къ естественной исторіи БюФФОна.
По поводу задачи БюФФОна можно упомянуть о Цюрихскомъ
ироФессорѣ астрономѣ Р. ВОЛЬФѢ, который въ теченіе многихъ
лѣтъ производилъ рядъ опытовъ *) для выясненія вопроса о при-
ложимости выводовъ исчисленія вѣроятности къ дѣйствитель-
ности, на основаніи теоремы Бернуллп. Мы приведемъ резуль-
таты только тѣхъ опытовъ Р. ВольФа, которые относятся къ
задачѣ БюФФОна. Въ опытахъ Р. ВольФа ширина полосъ была
45 миллиметровъ, а длина бросаемой иглы 36 миллиметровъ, и
потому вѣроятность непомѣщенія иглы въ одной полосѣ, на
*) Е. Wolf. Versuche zur Vergleichung der Erfahrungswahrscheinlichkeit
mit der mathematischen Wahrscheinlichkeit (Mitth. der Natur. Ges. in Bern 1849—•
1853). Результаты дальнѣйшихъ опытовъ P. ВольФа опубликованы въ Viertel-
jahrsschrift der natur. Ges. in Zurich за 1881, 1882, 1883 и 1893 года.

основаиіи Формулы БЮФФОІІЭ, выражалась числомъ
£ ф 0,5093.
Игла была брошена на плоскость 5000 разъ, при чемъ 2468
разъ она помѣстилась вся внутри одной полосы, а 2532 раза от-
части въ одной, отчасти въ другой полосѣ; такъ что отношеніе
числа бросаній, при которыхъ игла не иомѣстилась внутри одной
полосы, къ числу всѣхъ бросаній равно
и довольно близко подходитъ къ указанной выше вѣроятностп
непомѣщенія иглы въ одной полосѣ.
Въ этомъ результатѣ можно усмотрѣть пѣкоторое подтвер-
ждепіе теоремы Бернулли опытомъ. Интересно замѣтить, что ре-
зультатомъ опытовъ Р. ВольФа можно было бы воспользоваться
и для вычисленія числа и; стоитъ только, на основании теоремы
Бернулли, допустить приближенное равенство
72 , 2532
45тг ^
5000'
Такимъ образомъ находимъ для тг величину
3,159
,
которая отличается отъ истинной мснѣе чѣмъ на
0,02.
§ 31. Задача 4ая
.
(Обобіценіе задачи БюФФОна). На плос-
кость, покрытую попреяшему рядомъ параллельныхъ полосъ
одной и той же ширины /г, брошена па удачу площадка, ограни-
ченная выпуклымъ контуромъ и настолько малая, что ни въ ка-
комъ случаѣ она не можетъ лечь сразу въ трехъ полосахъ, а
должна помѣстпться вся въ одной полосѣ, или отчасти въ одной,
отчасти въ другой полосѣ. Найти вѣроятность, что эта площадка
не помѣстится вся въ одной полосѣ.
Ріыиеніе. Начнемъ съ предположенія, что площадка, бро-

шенная ва плоскость, ограничена выпуклымъ многоугольнпкомъ,
и для определенности остановимся на случаѣ пятиугольника. Сто-
роны этого пятиугольника мы отличимъ другъ отъ друга буквами
а, Ъ, с, д, е, которыми будемъ обозначать соотвѣтственнымъ обра-
зомъ и длины стороаъ. Затѣмь, чтобы привести новую задачу къ
прежней, замѣтимъ, что во всѣхъ случаяхъ, когда площадка не
помѣстится внутри одной полосы, двѣ стороны контура будутъ
пересѣчены одною изъ прямыхъ, разграничпвающихъ полосы.
На основапіи этого замѣчанія мы разобьемъ событіе, вѣро-
ятиость котораго требуется найти, па 10 видовъ
ab, ас, ад, ав, Ъс, Ъд, Ъе, сд, се, де:
видъ аЪ состоишь въ пересѣчепіп сгоронъ а п Ъ одною изъ пря-
мыхъ, разгранпчивающпхъ полосы; видъ ас состоптъ въ пере-
сѣченіи сторонъ а и с одною изъ тѣхъ же прямыхъ п т. д.
Указанные 10 видовъ мы будемъ разсматрнвать какъ не-
совмѣстимые, приписывая вероятность нуль всѣмъ случаямъ,
когда одна изъ вершинъ пятиугольника лежитъ, какъ разъ, на
границѣ двухъ полосъ. Обозначпвъ вероятности событіп
аЪ, ас, ад, ае, be, Ьд, be, сд, се, де
символами
(ой), (ас), (ад), (ае), (be), (Ьд),
,
а искомую вѣроятность, что площадка ляжетъ отчасти въ одной,
отчасти въ другой полосѣ, буквою Р, мы на основаніи теоремы
сложепія вероятностей установимъ равенство
Р= (аЪ) ч-(ас) -+- (ад)
ч-(ае)ч-фс)ч-(Ъд)ч-(Ъе)ч-(сд)ч-(се)ч-(де).
Въ силу той же теоремы сложенія вероятностей пмѣемъ
(a) = (ab) ч- (ас) -+- (ад) н- (ае),
(b) = (ab) -н (be) -н (Ъд) ч- (be),
(c) = (ас) -+- (be) -+- (сд) (се),
(д) = (ад) ч- (Ьд) ч- (сд) ч- (де),
(е) = (ае) ч- (Ъе) ч- (се) ч- (де),

гдѣ (д) означаешь вѣроятыость, что сторопа а пройдетъ изъ одной
полосы въ другую, (Ъ) означаетъ подобную же вѣроятность для
стороны & и т. д. Послѣднія вѣроятности иа основапіи выше
указаннаго рѣшенія задачи БюФФОна опредѣляются равенствами
,ч
2а /гл
2Ъ,,
2с ,-)Ч
2д,,
2е
(а)== ^, (Ь)=
(с) =
_ ,(<?) =
(е) =
—
Изъ вышеприведенныхъ равенствъ находимъ, что сумма
равна какъ числу
r
J
2(я + Ьн-с + йн-«)
ы
'
такъ и удвоенной суммѣ
(аЪ) -+- (ас) -+- (ад) (ае) -+- (Ъс) -+- (Ьд)-+- (Ьё)н- (сд)-і- (се) -+- (дё)т
которая выражаетъ искомую вѣроятяость Р. Слѣдовательно
2 -р 2(а+Ь + в+ін-е)
h-
п потому искомая вѣроятность Р равна огношенію
hit
длины контура къ произведенTM ширины нолосъ на число тт.
И не трудно понять, что этотъ выводъ относится не только
къ пятиугольнику, но и къ любому выпуклому, достаточно ма-
лому многоугольнику. А затѣмъ, по способу предѣловъ, можно
распространить тотъ же выводъ и на криволинейные контуры.
Итакъ искомая нами вѣроятность, что брошенная площадка
не помѣстится вся внутри одной полосы, вырая?ается отноше-
ніемъ длины контура площадки къ пропзведенію ширины полосъ
на число тс.
§ 33. Задача 5"".
На плоскость, покрытую с'Ьтыо равныхъ
трехугольниковъ, брошена безконечно тонкая игла, длина которой
I меньше каждой изъ высотъ трехугольниковъ. Найти вѣроят-
ность, что эта игла помѣстится вся внутри одного трехугольника.
Рѣшенге. Пусть АБС будетъ тотъ изъ трехугольниковъ
сѣти, внутрь котораго попала средина иглы; величины угловъ

его обозначимъ буквами А, Б, О, а величины сторонъ малыми
буквами а, Ь, с.
Всѣ положеиія средины иглы будемъ считать равновоз-
можными при всякомъ паправленіи иглы.
Предполагая затѣмъ, что игла пмѣетъ какое нибудь данное
направленіе, проведемъ черезъ вершины трехугольника
АБС,
параллельно направленно иглы, ирямыя
LAL',
МБМ',
NGN',
которыя въ точкахъ А, Б, С дѣлятся пополамъ и имѣютъ туже
длину I, какъ и игла. Если концы этихъ прямыхъ соединить над-
лежащимъ образомъ прямыми параллельными сторонамъ трех-
угольника АБС, то получится внутри трехугольника АБС другой
трехугольннкъ А'Б'С',
отдѣляющій для даннаго направленія пглы
тѣ положенія средины ея, при которыхъ она леяштъ вся внутри
АБС, отъ остальныхъ возможныхъ ноложеній средины иглы;
такъ что въ тѣхъ случаяхъ, когда игла имѣетъ разсматриваемое
направленіе, средина ея должна лежать внутри А'Б'С' для того,
чтобы вся игла помещалась внутри АБС.
Построеніе трехугольника А'Б'С' видно изъ чертежей; изъ
пихъ видно также, что нанравленіе пглы можно опредѣлять угломъ
о = ALAC,
который въ случаѣ перваго чертенка лежитъ между 0 и А, въ
случаѣ второго чертежа меяау Іиі + S и наконецъ въ слу-
чаѣ третьяго чертежа между І +
+
=
уголъ
ь
sr
Кромѣ ш полезно разсматривать въ случаѣ второго чертежа,
ф= ШВА
=
со—А,

и въ случаѣ третьяго чертежа уголъ
to= /-N'CB = <р—А
—
Б.
Всѣ направленія иглы мы будемъ считать равповозмояінымп
въ томъ смыслѣ, что всѣ величины ср отъ 0 до я будемъ разсма-
тривать какъ равновозможиыя. Прп такихъ условіяхъ искомая
вероятность, что вся игла помѣстится внутри одного трехуголь-
ника разсматрпваемой сѣти, выразится интеграломъ
г'1\л'в'с' <h
J0АЛВС'-
'
который равенъ суммѣ
Г4АА'В'С' d?
АА'В' С
_
Г6' A^L' В' С' йш
J0ЛАВС'-к4J0AABC'-
~
+
J(-)
ААВС'зг'
Обращаясь къ интегралу
I
,А
АА'В'С'do
0
\АВС т: '
замѣчаемъ, что отношеніе площадей трехугольниковъ
А'В'С'
и
АБС
равно квадрату отношепія ихъ соотвѣтсгвенныхъ сторонъ, и изъ
перваго чертежа находимъ
Sin с
Следовательно
АА'В'С'
(А'С'\2
fj
ISin (С-+- 9)}2
АЛВС
\ACJ
t
bSinС
21Sin(Сн- с?) РSin2 (С•+- у)
---
1
и потому
„А
bSinС
NoSin2 С
21Sin(С-+-<р) Р[1—Соз2(С-нфЩ
bSinС
Н
2b2 Sin2 С
J
АА'В'С'do
АЛ
Z2 a2,
2la (Cos В -+- Соз С)
J0 AABC —
x y-1
2 Ql)
Qr.
72 <fi (Sin 2B -i- Sin 2C)
-j

гдѣ Q означаетъ удвоенную площадь трехугольника ABG, т. е.
Равно
аЪSinС= асSinВ = ЪсSinА.
Подобньшъ же образомъ, при помощп второго и третьяго
чертежа, находимъ
СВ АА'В' С йф
ВЛ
VЬЛ
21Ъ(CosА н- CosС)
Г АЛИUаф
л/.
J0 ~ЛАЖГ1Г — ѵі1
2QV
Q*
РЬ2(Sin2А -+•Sin2С)
4 Q'^r.
П
С
° АЛ/В'С'сЫ
С/,
Ь2\
27с(CosВ н-CosЛ)
Г
ДС rfai С/'
J0 —ДТЕВО"
ТІ/
2QV
Q-
72 С2 (Sill 2-В
-+- Sin 2Л)
Остается сложить найденный величины трехъ интеграловъ,
и мы получимъ выраженіе искомой вѣроятности въ видѣ алге-
браической суммы
р АсР+въі-л-Сс"»
27 g(Co9i?-4-CosC)-H7)(Co3^1-HCos6')-<-c(Cos^. - t-Cos Д)
2тг
§2
7Г
§
?2 д2 (Sin 2Д -<- Sin 2С) -+- Ь2 (Sin 2^.
Sin 2С) -4- с2 (Sin 2А -+- Sin 2В)
«2
Для унрощенія полученнаго выраженія обратимъ вниманіе
на простыя равенства
aCosВ -t-ЪCosА= с,
а2 Sin 2£ -ч-
Sin2А= 2Q,
aCosС-и-сCos.4 = Ъ, а2Sin2(7-t-с2Sin24= 2б,
&CosС-+-сCos5 = а, Ъ2Sin2С+ с2Sin2B = 2Q,
въ силу которыхъ должно быть
a (Cos В -+- Cos С) -+- & (Cos А -+- Cos C)-t-c (Cos .4-*-Cos В) = а+Ъ-і-с
и
я2 (Sin 25-bSin 2C)+b2(Sin 24.4-Sin 2C)-bC2(Sin 2J.-*-Sin 2B)=6Q.
Пользуясь этими равенствами, находпмъ, что искомая веро-
ятность можетъ быть.представлена алгебраическою суммою
72 (Аа2
ВЪ* -+-Сс2) I(4ач-4Ьч-4с—37)
2тг02
27Г О

Въ частпомъ случаѣ, когда сѣть состоишь изъ равносторон-
нпхъ трехугольнпковъ. имѣемъ
«УТ
А = В=С—^г,
а=Ъ=с,Q=a?
2
тогда найденное нами выраженіе вѣроятности, что игла поме-
стится вся внутри одного трехугольника, приводится къ следую-
щему
1
У———(4
-V
3\аI
т-а\
аI
Этотъ частный случай задачи былъ разсмотрѣнъ Буняков-
скимъ въ мемуарѣ «О приложеніи анализа вѣроятностей къ опре-
дѣленію приближенныхъ величинъ трансцендептныхъ чиселъ»*) п
въ сочиненіи «Основанія математической теоріи вѣроятностей».
Но благодаря неудачному выбору порядка интегрированія
вычпсленія Буняковскаго отличаются значительною сложностью,
которой и слѣдуетъ приписать погрѣшность, вкравшуюся въ
окончательный результата этихъ вычпсленій.
Полагая для примѣра I
нолучпмъ для искомой вѣро-
ятности величину
1 -+-4
—
-(4 —
-L)=#0,1328.
9
*V
Уз/'
§ 34. Задача 6ия
.
О суммѣ независимыхъ векторовъ. Огра-
ничиваясь векторами па плоскости, положимъ, что они опредѣ-
ляются двумя системами обыкновенныхъ чиселъ
X,Г,Z,...
W,
Г, Г, Z',....,
W',
равносильными одной спстемѣ комплекспыхъ чиселъ
Х + 1'i, Y-i -Y'i,
,
W+W'i]
сумма разсматриваемыхъ векторовъ опредѣляется двумя обык-
*) Memoires do l'Academie Ішрёгіаіе des Sciences de St.- Petersbourg, VI
Serie, Sciences Mathem. et Pliys. Т. I. (Ill) 1837.

новенными числами
x + Y-t-z -н-
-+ -w
и і'+г+г' +
-+-w'.
Называя разсматрпваемые векторы независимыми, мы пред-
полагаемъ, что въ системѣ
X, X',
Y Y',
,
TV, W'
могутъ быть связанными только числа, обозначенный нами оди-
наковыми буквами. Обозначимъ, подобно тому какъвъ § 17, бук-
вами р, ст, т,. . . ., со вѣроятности равенствъ
Х-ь -Х' i=x-t-x' і, Y-+ - Y'i — y-t-y'i,....,
W-i -W'i
=
iv-+- w i,
такъ что
Sp= Scr= ST=
.
.
.
.=
Sco= 1.
Затѣмъ положимъ
Spa/ = a, S07/ = &,....,
Scой = I,
-p(x
'—
a
)2=
a
\iZ?(y—bf=\,
Sco(w— If—
,
Spa;' — а, ST?/ = &',....,
Scow' =
/',
So(ж' — а)2 = аг,
So-(у—b'f —b\,
, Sco(w—I'f =l\,
Sp (ж - a) [x-a')=a,
Scr (y- 5) (y - &')=?,••••> Sco О - /) (и>- Z')=A;
эти числа мы будемъ считать данными. Наша задача состоптъ
въ приблияіенномъ вычислепіп вѣроятности, что суммы
І+Г+
ч-W, X'+Г +
ч-W'
удовлетворяютъ нѣкоторымъ неравенствамъ, при чемъ для воз-
можной простоты изслѣдованія мы остановимся на такихъ нера-
венств ахъ
tx< X-t-Г
-+-
-+- W
—
а—Ь
—
—
l<t
t\< X-t -Г'-н-
-+- И7"— a'— 6'—
—
Г< I,
гдѣ
t, t\, t' мы считаемъ числами данными.
Рѣшеніе. Пользуясь, подобно прежнему, множителемъ Ди-
рихле, представляемъ искомую вероятность въ видѣ двукратнаго

9
2
2
г.
интеграла
-ноо ч-со
-
8,г
,
I
I
Sin Sin —
_
_
,
t_
-Qe
сТфг\,
J —СОJ ОО
ЬІ
гдѣ
z= t—tlt 3'=t'
—
t\,s=t+t1,8=t'
+t\
И
v
і(хч-. . . .- +-гѵ—
a—.... —
a'—.... — l')-r\
s.1
-
.... сое
t
v.J(«—«)s•+-»
—
a
') '1Yr-j(2/—Ь)?-ьi(2/' — Ь') -1
WJD
JО
....
1
Разлагая затѣмъ суммы
ѵ5е*(® —«06-* -*(*' —
а
0ч ^^(у — Ь)?-+-»(«/'— ь')-о^ _
въ ряды по возрастающимъ степенямъ £ и ѵ), получаемъ
ѵ
г(я—а)I-+-г(х' — а')ѵ)
,
Оі -+- 2а£ѵ| -+- a\ vj2
I
о
*
.. ..
Ь)5x
Ь1;2-» -2&^-+ -Ь'1ѵі2 L
Icoe
=
1
2
«-....,
откуда посредствомъ умноженія выводимъ
2
••••
гдѣ
Изъ указаннаго разложенія Q по возрастающимъ степенямъ
\ и ѵ) заключаемъ, что эта Функція мало отличается отъ показа-
тельной
АІ* -и 2Д;Г| -I - с-/)2
2
е
Замѣняя на этомъ основапіи Q показательной Функціей, по-
лучаемъ для искомой вѣроятиости приближенное выраженіе въ
видѣ двукратнаго интеграла
ч-со
-ьсо
-
8,
М2
с02
si?
«ч
Гj
^^^
,
который мы для краткости обозначимъ одною буквою Р.

Для исключенія введенпыхъ нами вспомогательныхъ чиселъ
; и 7] разсматрпваемъ Р какъ Функцію перемѣнныхъ t и t' и
составляемъ производныя
dP
dtp
dt'
dtdt''
Мы моя^емъ такимъ образомъ установить Формулы
и
г
іj1
dt dt
L
2-+• 0,2
•i .H-00
—
—
_L1
Г*
dt dt'
x
. .- «-co +co
—
itl-it'-n
Что же касается нослѣдняго двукратиаго интеграла, то, при-
меняя къ нему, два раза, извѣстиую Формулу
<72
J
-
Ур
гдѣ р вещественное положительное число, а с[ любое комплексное
число, безъ большого труда находимъ
No — 2Bit' -I- At'2
d2P __
1
2 (AC— B2)
dt dt'
27iVAC— B2
Такимъ образомъ для искомой вѣроягности неравенствъ
^<1+1+
-+- W
—
а—Ъ
—.
t\<
T-t-
-+- IF— а
—
V—
—
V< t'
мы получаемъ довольно простое приближенное выраженіе
Ct2 — 2Btt' -4- Лі'2
,-і-ffе
dtdt'.
Принимая же во впиманіе, что всякую площадь можно раз-
сматрпвать какъ предѣлъ суммы площадей прямоуголышковъ,
стороны которыхъ сохраняютъ два опредѣлепныхъ направленія,
заключаемъ, что п вообще двукратный интегралъ
С<2 — 2Bit: -+- At'2
2- VAC — в2ffe
dtdt',

распространенный на всѣ значенія t n t', удовлетворяющія какимъ
либо опредѣленнымъ неравенствамъ, представляетъ приблшкен-
нымъ образомъ вероятность, что такимъ неравенствамъ удовле-
творяюсь величины
г=І+Г+
-н W—а
—
Ъ—
—
I
t'=
Х'ч- Г'н-
н-W'— а
—
&'—....
—
V.
Вопросъ о погрѣшностп этого нриближеннаго вывода остается
открытымъ.
Литература.
A. Bravais. Analyse mathematique sur les probabilites des
erreurs de situation d'un point (Mem. presentes par div. sav. a
l'Acad. Roy. des Sciences de l'lnst. de France. Т. IX, 1846).
W. Crofton. On the Theory of Local Probability, ap-
plied to Straight Lines drawn at random in a plane, the method
used being also extended to the proof of certain new Theorems in
the Integral Calculus (Philos. Trans. London. CLVIII, 1868).
Ch. M. Schols. Theorie des erreurs dans le plan et dans
l'espace (Ann. de l'Ecole polyt. de Delft. Т. II, 1886).
Ch. M. Schols. Demonstration directe de la loi limite pour
les erreurs dans le plan et dans l'espace (Ann. de l'Ec. pol. de
Delft. Т. Ill, 1887).
E. Czuber. Geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mit-
telwerte. 1884.
Karl Pearson. Mathematical Contributions to the Theory
of Evolution (Philos. Trans. London. Vol. 187 A, 1896).
G. Udny Yule. An Introduction to the Theory of Statistics.
1912.
E. Слуцкій. Теорія коррелядія и элементы ученія о крпвыхъ
распредѣлепія. Кіевъ. 1912.

ГЛАВА VI.
Вѣроятноети гипотѳзъ и будущихъ
еобытій.
§ 35. Въ этой главѣ мы займемся разсмотрѣніемъряда вопро-
совъ объ измѣненіи вѣроятиости съ пзмѣненіемъ данныхъ. Наши
выводы будутъ основаны на слѣдующей теоремѣ, которая пред-
ставляетъ прямое слѣдствіе теоремы умноженія вѣроятностей
и можетъ быть названа теоремой дѣленія вѣроятностей.
Теорема. Бѣроятность
событія В, когда известно
суще-
ствование событія А, равна отногиенгю вероятности
появленгя
обоихъ событій А и В, вмѣстѣ, къ вероятности
событія А.
Эта теорема выраяіается Формулою
(14)
(В,А) = (^,
которая вытекаетъ изъ установленнаго ранѣе равенства
(АВ) = (А)(В,А).
Теорему дѣленія вѣроятностей мы примѣнпмъ прежде всего
къ рѣшепію такой задачи.
Задача 1"
я
.
Пусть, при существовании событія А, событія
Вц В2
^і!
ВП
едгшственно возмооісны и несовместимы.
Пусть далгье
(ВО, (В2),....,
(В.),....,
(Вп)

означаютъ шъ вероятности, пока сугцествованіе или, несуще-
ствование событгя А остается неизвестными; а символа
(Л, Bt)
означаешь вероятность событгя А, когда установлено существо-
вате событгя Bt; пусть наконецъ символъ
(Б�А)
означаешь вероятность событгя В{, когда установлено уже су-
гцествованге событгя А. По даннымъ
(В,),
(В2),....,(Вп),
(А,ВХ), (А,В,),....,
(А,Вя)
требуется вычислить
(В1,А),(В2,А),....,(Вп,А).
Тешете.
Согласно теоремѣ дѣленія вѣроятностей пмѣемъ
Съ другой стороны, по теоремѣ уыпоженія вѣроятностей на-
Х0ДИМЪ
(АВ{) = (В{)(А,Вг).
Разбивая наконецъ событіе А на виды
ДВ„АВ2
,АВп,
въ силу теоремы сложепія вѣроятностей получаеыъ
(А) = (ABJ ч- (АВ2) н-
....м-(ABJ.
Слѣдовательпо имѣемъ
(А) = (В,) (А, ВJ -ь- (В2) (А,
(Вп) (A, BJ
и наконецъ
(15) [Ві, А) = (jSi) {А) jbj^bJ^bjJI . ,ч-(Вп) (А, вп)"
Разсматривая событія
Вг, В2,
,Вп

какъ гипотезы, нридуманныя для объяспепія появившагося со-
бытія А, мы можемъ назвать послѣднюю Формулу, въ отличіе
отъ другихъ, формулою для определены
вероятностей
гипо-
теза. Она извѣстпа также подъ именемъ формулы
Байеса.
Прнсоедшшмъ теперь къ событіяыъ
А, Вг,
В2,....,
Вп
новое событіе С и поставимъ следующую задачу.
Задача 2"
я
.
По даннымъ
{В,(Вп\
(А, В,), (А, В,),..
.
.,
(А,В„),
(С,АВХ),
{С,АВ2),....,(С,АВп)
найти (С, А), т. е. определить
вероятность
событгя С, когда
существованге
событгя А установлено.
Рѣгиеніе. По условіямъ вопроса, событія
Вѵ В2,
,Вп
должны быть единственно возможными и несовмѣстимыми прп
существовали событія А. Поэтому при существовали событія.4
мы можемъ разбить собыгіе С на несовместимые впды
СВХ, СВ2,.
.
.
.,
СВп
и въ силу теоремы сложенія вѣроятносгей пмѣемъ
(С,Л) = (СВ1,А)-+-(СВ2,А)ч-..
.
. -+- {СВп,
А).
Примѣняя затѣмъ къ слагаемымъ послѣдней суммы теорему
умпоженія вероятностей, получаемъ
(СВІ,А) =
(ВІ,А)(С,АВІУ,
наконедъ для выражепія (В0 А) нами была уже установлена
Формула
(Щ{АБі]
Кі'
'
(Ві) (Л, В^-н....-+-
(£„) (А, В„)'
которая рѣшаетъ предыдущую задачу. Слѣдовательно
(CB.,J) =
JBj) (A, Bj) (С, АВ;)
(В!) (А, В1)ч-. . .. -л -(Вп)(А,
Вп)

и
(16) (С, Л)
(В,) (А. В,) (С, АВ,)+
(Вп) (А, В„) (С, ЛВп)
No) {Л, В1)+....+
(Вп)(А, Вп)
Рассматривая событіе А какъ случившееся, а С какъ воз-
можное будущее событіе, мы можемъ назвать послѣднюю Фор-
мулу, въ отличіе отъ другпхъ, формулою для выраоюенгя
веро-
ятностей будущихъ событій.
Важно отмѣтпть одно унрощеніе этой Формулы. Событія С
п А, конечно, предполагаются зависящими другъ отъ друга, но
они могутъ становиться независимыми по выясиеніп, какое
именно пзъ событій
т> г>
т>
ЪП 2)**'•5
ь
п
пмѣетъ мѣсто. Если событія С и А не зависятъ другъ отъ друга,
когда выяснено, какое именно пзъ событій
которыя входятъ въ разсматриваемую нами Формулу, совпадаетъ
съ соответствующею вероятностью
быть событію С при существованіп Бі. Тогда найденная выше
Формула принимаете болѣе простой видъ
Для пояспенія установлепныхъ Формулъ разсмотримъ рядъ
простыхъ частныхъ примѣровъ.
Первый примѣръ. Взятъ одинъ изъ 14 сосудовъ, о которыхъ
извѣстно, что 9 изъ нихъ содеряіатъ по 5 бѣлыхъ и по 8 чер-
ныхъ шаровъ, а остальные 5 содержатъ по 11 бѣлыхъ и по
2 черныхъ шара, и что ни одинъ пзъ нихъ не содержитъ иныхъ
шаровъ кромѣ бѣлыхъ и черныхъ. Изъ этого сосуда вынутъ
одинъ шаръ и оказался бѣлымъ.
(С, Д.)
(17) (С, А)
(В,) (А, В,) (С, В,)
. . •ч-(Вп)(А,Вп)(С,Вп)
(В1)(А,В1)+....
+ (Вп)(А, Вп)

Спрашивается, какъ велика, при такихъ данныхъ, вероят-
ность, что взятъ былъ одинъ изъ девяти сосудовъ, содержащихъ
по 5 бѣлыхъ и по 8 черныхъ шаровъ?
Затѣмъ требуется опредѣлить вѣроятность, что второй шаръ,
вынутый изъ того же сосуда, будетъ также бѣлымъ.
Лримѣненіе формула. Пусть событіе Вг состоитъ въ томъ,
что взятый сосудъ содеря^алъ 5 бѣлыхъ и 8 черныхъ шаровъ,
а событіе В2 въ томъ, что взятый сосудъ содержалъ 11 бѣлыхъ
н 2 черныхъ шара. Пусть далѣе событіе А состоитъ въ бѣломъ
цвѣтѣ нерваго вынутаго шара, а событіе С въ бѣломъ цвѣтѣ
втораго вынутаго шара. Тогда, нрндеряшваясь установленныхъ
обозначеній, имѣемъ
0
5
No)= ТІ' (^й)= Іі'
(А,В1) = ^, (А,В2) = £,
а искомыми величинами будутъ
(В,,А) и (С,А).
Первая изъ нихъ представляетъ вѣроятность, что бѣлый
шаръ былъ вынутъ пзъ сосуда, содержащаго 9 бѣлыхъ и 5 чер-
ныхъ шаровъ.
Опредѣляя ее по вышеуказанной Формулѣ, находимъ
(В,, А)-.
£А
14'13
_У_
Ь_U 20'
u' із Ті'Та
подобнымъ же ооразомъ получимъ
(В2,А) =
о_И
14*13
11
НА
А11 20
II'isн
~ П'Тз
Интересно замѣтить, что
(£,)>No,),' а
(ВиА)<(В„А).
Переходпмъ къ величннѣ
(С, А),

которая представляетъ вероятность, что второй вынутый шаръ
будетъ бѣлыыъ, какъ и первый. Для вычпсленія ея по Формулѣ
(г .г, __ (Вд) (Л, Вг) (С, ЛВі) - (В2) (А, В2) (С, AJBS)
{,)
(В1)(А,В1) + (В3)(А,В2)
мы должны установить величины
(С^ЛВ,) и (С,ЛВ2).
Величина
(С\ЛВ,)
представляетъ вѣроятность вынуть послѣ одного бѣлаго шара
второй бѣлый шаръ изъ сосуда, который до начала этпхъ выни-
маній содержалъ 5 бѣлыхъ и 8 черныхъ шаровъ.
Предполагая, что первый вынутый шаръ не былъ возвра-
щенъ назадъ въ сосудъ, пмѣемъ
12
такъ какъ второй вынутый шаръ долженъ принадлежать къ
числу двѣнадцати шаровъ, среди которыхъ 4 бѣлыхъ и 8 чер-
ныхъ. На подобныхъ же основаніяхъ имѣемъ
Слѣдовательно
AAA
_5_п10
,п
t\ 14'ТЙ°12 ~14
' ІЗ'12
73
(О,А)— AA А11
120'
14'13
14'13
такъ определяется вѣроятность бѣлаго цвѣта втораго шара,
когда пзвѣстенъ бѣлый цвѣтъ перваго шара.
До тѣхъ же поръ, пока цвѣтъ перваго шара остается не
опредѣленнымъ, вѣроятность бѣлаго цвѣта второго шара равна
,АЛ
95
511
100
50
(Оj—(Л)—14•Із
П•18- 1S2—91"
\7 Второй примѣръ. Изъ сосуда, содержаіцаго 3 бѣлыхъ и
5 черныхъ шаровъ и не содержащаго пикакихъ другихъ шаровъ,
вынуто и переложено въ другой пустой сосудъ четыре шара.
Затѣмъ изъ этого второго сосуда, содержащаго только четыре

шара перваго сосуда, вынуто два шара, которые оказались оба
бѣлыни. Наконецъ изъ того же втораго сосуда вынутъ еще
одинъ шаръ.
Спрашивается, какъ велика вѣроятность, что этотъ послѣд-
ній шаръ также бѣлый?
Лримѣненіе формулъ. Зпая, что нзъ второго сосуда вынуто два
бѣлыхъ шара, мы можемъ относительно цвѣта шаровъ, перело-
женныхъ изъ перваго сосуда во второй, сдѣлать двѣ гипотезы:
1) два бѣлыхъ и два черныхъ, 2) три бѣлыхъ и одинъ черный.
Назвавъ эти гипотезы событіями
В1иВ2,
бѣлый цвѣтъ выиутыхъ двухъ шаровъ событіемъ А и бѣлый
цвѣтъ послѣдняго шара событіемъ С, имѣемъ (см. § 21)
1.2.3.4 3.2 .5.4
3
ѵV
1.2 .1.2' 8.7 .(3.5
У'
1.2.3.4 3.2.1.5
_1_
^ 2' ~~ 1.2.3.1 ' 8.7.6.5
14'
(C,ABj) = О, (С\АВ2) = \-
и потому искомая вероятность равна
ill
14'2'Т
_1_
1Г~Т
1ГТГ'
Т'Т
14' Т
Этотъ выводъ вполнѣ согласенъ съ тѣмъ обстоятельствомъ,
что разсматрпваемый шаръ долженъ принадлежать къ числу
шести шаровъ, среди которыхъ находится только одинъ бѣлый.
I /Третій примѣръ. Оставимъ всѣ условія и обозначенія вто-
раго примѣра съ тою только разницею, что послѣдній шаръ, не-
извѣстнаго цвѣта, будемъ считать вынутымъ не изъ втораго со-
суда, а изъ перваго.
При такомъ предположены имѣемъ
(С, ABj) =
~
=
(CJQ (С,АВ2) = (С,В2) = О

п потому вѣроятность, что послѣдній шаръ бѣлый, равна
A_L
_1
7'н
'Т
1
Т-Т
Т-Т
"У
У "о"
14' У
какъ и должно быть, такъ какъ и этотъ шаръ прииадлежнтъ
къ чпслу шести шаровъ, среди которыхъ находится только одинъ
бѣлый.
Четвертый примѣръ. Имѣемъ два сосуда L и Ж; сосудъ L
содержитъ три шара, нзъ которыхъ одинъ черный и два бѣлыхъ,
а сосудъ Ж содержитъ шесть шаровъ, изъ которыхъ одинъ
бѣльщ и пять черныхъ. Переложивъ изъ L въ Ж одинъ шаръ и
вынѵвъ затѣмъ изъ Ж одинъ шаръ, мы замѣтили, что этотъ
послѣдній шаръ бѣлаго цвѣта.
При такихъ условіяхъ требуется опредѣлить вѣроятность,
что шаръ, переложенный изъ L въ Ж, былъ чернаго цвѣта.
Отвѣтъ. Искомая вероятность равна
з'7
__
1
2
J_J_ 6-
Т'У^Т" 7
§ 36. Воспользуемся установленными Формулами для рѣше-
нія двухъ задачъ, предѣльный случай которыхъ, прп одномъ
частномъ предположеніи, встрѣчаетъ практическія примѣненія.
Задача Зья
.
Разсматривается неограниченный рядъ испыта-
ны при иижеуказанныхъ данныхъ. По выясненги пѣкоторыхъ
обстоятельствъ эти испытанія становятся, относительно со-
бытія JE, независимыми другъ отъ друга, и для всѣхъ ихъ вѣро-
ятность событія Е становгтся равною одному и тому оісе
числу а. Ъышеупомянутыя обстоятельства не выяснены и
число а остается не вполнѣ извѣстнымъ. Относительно вели-
чины а можно сдѣлать п, и только п,
предположены:
а=
а„а=а2,
=
,а=ап,
вѣроятности которыхъ, соотвѣтственно гімѣющимся даннымъ,

представляются
числами
рг,р2,
,Ѵѵ
, Рп-
Требуется определить,
какъ изменятся
вероятности
раз-
личныхъ предположены
о величине
а въ томъ случае,
когда
сверхъ данныхъ, по которымъ установлены
эти
выраженія
Pi1Рі1••••'Рп>
будетъ гізвестно,
что при тч-I испытаніяхъ событіе Е появи-
лось т разъ и противополооюное
ему I разъ.
Иначе сказать, по даннымъ
«II
1аѴ
'
йп>
Pi,Pa,
,Рѵ
» Рп,
требуется вычислить вѣроятность каждаго изъ предположеній
0£ = а1, а==а2,
а=
послѣ того, какъ будетъ извѣстно, что при т ч-1 пспытаніяхъ
событіе Е появилось ровно т разъ.
Решете.
Обозначимъ буквою А наблюденный резѵльтатъ
т -+-1 испытанін,гсостоящій въ появленіи т разъ событія Е и I
разъ противоположная событія. Затѣыъ вышеуказанный пред-
положенія о величинѣ числа а назовемъ событіями
такъ что событіе В.,
по существу дѣла, равносильно равенству
«= «,.
Тогда искомыми величинами будутъ
(В,, А), (В2,А),.
.
.
.,
(Вп,А),
вѣроятности событій
Вг,
В2,
,
Вп
прп существованіи А. Чтобы воспользоваться для опредѣленія
этихъ вѣроятностей Формулою
(Ві)(А,Ві)
{В,, А)
(•®і) (А,
В{]ч-....ч-{Вп)(А,Вп)'

надо найти только значенія
(Л, В,), (Л,В2),
,(A,BJ,
такъ какъ числа
(В1)=р1,
(BJ=pa,.
••
(Вп)=Р„
даны.
Обращаясь къ вычисленію
U, В,), (Л,В2),
(А, Вп),
замѣчаемъ, что
(А, В,)
представляетъ вѣроятность появленія событія Е ровно т разъ
при т-+-1 независимыхъ испытаніяхъ, для каждаго изъ которыхъ
вѣроятность событія Е равна а... Подобная вѣроятность нахо-
дится по извѣстной Формулѣ, въ силу которой имѣемъ
,лт>\
1-2
(m-+-l) щ/-,
\1
Полагая і последовательно равнымъ
12
п
находимъ такимъ образомъ величины
(A)B1),(A,B2\....,(A,Bj.
Остается только подставить эти величины въ указанную
выше Формулу и по сокращеыіи на
12 (т-нI)
1.2
т. 1.2...
получпмъ
тЛ
(В,, А) =
Рі-іП-ч)
ѵі,.
d
То/.
Л
тd
РіЧ (!—
a
l)
(!—
а
2> -+-
^-Рпап (1 —«п)
Найдя вѣроятность каждаго значенія числа а въ отдѣльно-
сти, мы легко можемъ онредѣлить и вѣроятность, что а лежитъ
въ заданныхъ предѣлахъ, такъ какъ послѣдняя вѣроятпость
равна суммѣ вѣроятностей тѣхъ значеній числа ос, которыя ле-
жать въ заданныхъ предѣлахъ. Следовательно, послѣ того какъ
стало извѣстнымъ, что при т -і-1 испытапіяхъ событіе Е слу-

чилось ровно т разъ, вѣроятность неравенствъ
а <а<а
выражается дробью
р_а _т(1 _
^
S^a^l-a/
гдѣ сумма S распространяется на всѣ возможный значенія г,
сумма же £' только на тѣ, при которыхъ выполняются неравен-
ства
/.
.
„
а<
и.<
а.
г
Задача 4ая
.
При сохраненги осѣхъ условій и данныхъ третьей
задачи, требуется вычислить вероятность,
чтовът1-+-Іхбу-
дущихъ испытангй,
изъ разсматриваемаго
нами ряда,
событіе
Е появится ровно тх разъ, когда известно,
что въ т-л -1 испы-
тангй оно появилось ровно т разъ.
ІІримечаніе.
Мы назвали тхч-1х
испытаній будущими для
отличія ихъ отъ наблюденныхъ; но въ нашихъ выводахъ время
не играетъ никакой роли, и потому эти тх н- Іх испытаній мо-
гутъ быть также прошедшими или современными.
Рѣшеніе. Если буквою С обозначить появленіе событія Е
ровно тх разъ при тх-+ -Іх испытаніяхъ, то искомая нами вѣроят-
ность, согласно нринятымъ обозначепіямъ, будетъ
(С, Л)
п определится по Формулѣ
при
"
і=1, 2,
,n.
Вмѣстѣ съ тѣмъ нмѣемъ
=ІѴ (А, Б.)
=
rfe^
«Гd -
и наконецъ
If,r>\
1.2
(mi-+-?i)
mln
sj
пбо (С, _Bf) отличается отъ (А, Б{) только числами тх и Іх, замѣ-
няющими соответственно т и I. Подставляя этп выражепія
(Б,), (А,Б{) и (С, Б.)

въ приведенную выше Формулу, по сокращены на
1.2 (т-*-1)
1.2....от.1.2
г'
получаемъ
(С Л\=г
1-2••'-
fmi
—
h)
~
.
1.2....от1.1.2....г1
2wajm(1_a.)i '
такъ определяется вѣроятность (С, J.) событію Е появиться въ
т1-*-11 пспытаній ровно т1 разъ, когда извѣстно, что въ т -+-1
исгіытаній это событіе появилось ровно да разъ.
Для лучшаго выяснепія послѣднихъ двухъ задачъ можетъ
служить слѣдующій частный ихъ случай. Имѣемъ п категорій
сосудовъ съ бѣлыми и иными шарами. Отношеніе числа бѣлыхъ
шаровъ къ числу всѣхъ шаровъ, находящихся въ сосудѣ, равно
аг для каждаго сосуда первой категоріи, равно ѵ.2 для каждаго
сосуда второй категоріп и т. д. Пусть наконецъ числа
Р21"'"''Рп
представляютъ соотвѣтственно отношенія числа сосудовъ кате-
горій
2 ой 20ІІ
«°
а
къ числу всѣхъ сосудовъ.
Всѣ эти сосуды перемѣшаны и изъ нихъ взять наудачу
одинъ, съ которымъ и производится рядъ испытаній. Каяідое
испытаніе состоитъ въ извлечены одного шара, который затѣмъ
возвращается обратно въ сосудъ для поддержанія постоянпаго
отношенія чпсла бѣлыхъ шаровъ къ числу всѣхъ шаровъ сосуда.
Придан-? такихъ испытаны бѣлый шаръ появился ровно да
разъ. Требуется опредѣлить вероятность, что для испытуемаго
сосуда отношеніе числа содержащихся въ немъ бѣлыхъ шаровъ
къ числу всѣхъ его шаровъ имѣетъ данное значеніе а...
До наблюденія эта вероятность равна рг, послѣ лее наблю-
денія она выражается, согласно Формулѣ, дробью
(! — «<)'
Pi «Га - «і)г
4"(1 - ч)1
.ч-Рп «п (1 -««)'
Затѣмъ требуется опредѣлить вероятность, что при да, -ь Іх

псиытаиіяхъ, произведенныхъ съ тѣмъ ?ке сосудомъ послѣ на-
блюденныхъ т-+-1 испытаній, бѣлый шаръ появится равно тг
разъ. Если бы результата наблюденныхъ m-t -l испытаній не былъ
извѣстенъ, то эта послѣдняя вѣроятпость выражалась бы суммою
^у
ра*>п
>
і'
'
гдѣ
і—1,2,....п;
при извѣстности же результата т -+ - I пспытаній она, согласно
Формулѣ, равна
1.2. .
.
(»>! -I- Ц)
y.j"'-' -'». (1 — o.j)Mi
1.2....т1.1.2...Л1
2y,-ai"l(l — atf
'
гдѣ
i— 1,2,....
ii.
Переходя къ упомянутому выше предѣльному случаю, по-
пмъ
j
к
.
±_
А
у
±
у
1
"1
п'
п
~і
п
'П
"
и будемъ увеличивать п безпредѣльно.
Тогда разсматриваемыя нами суммы.
будутъ стремиться, какъ нетрудно видѣть, къ предѣламъ
с<
Г ос'1 (I—a)1 doc,
fост(1—4 da,
Ja'
-
0
(
(I—yf-^dx.
Jn
Выводы, къ которымъ мы приходимъ такимъ образомъ, за-
ключаются въ рѣшеніи задачъ 5°
а
и6°
а
.
Задача 5ая
.
Разсматривается
неограниченный рядъ
гіспы-
таній, относительно
которыхъ известно,
что по
выяснены
нѣкоторыхъ
обстоятелъствъ
они становятся
независимыми

другъ отъ друга. Далее предполагается извѣстнымъ, что веро-
ятность событія Е при всѣхъ этихъ испытангяхъ должна
имѣть одну и ту же велгічину х, если только будутъ выяснены
вышеупомянутые обстоятельства. Но эти обстоятельства
остаются невыясненными, и потому число а остается негіз-
вестнымъ и всѣ возможны я для него значенія, меоюду 0 и 1,
представляются равновозможными; такъ что віьроятность не-
равенствъ
,^
^„
а<а<а,
при 0 < а' < а" <; 1, выражается гінтеграломъ
а"
Idx=а"— а'.
а'
Спрашивается, какъ измѣнятся вероятности различныхъ
предположены о величине а въ томъ случае, когда будетъ из-
вестно, что при т-+-1 испытангяхъ событіе Е появилось тразъ,
а противоположное ему I разъ?
Ответь. Вѣроятность неравенствъ
а'<1и<Са"
будетъ выражаться дробью
f , а'» (1—a)1dа
Jа.
(18)
da
нначе сказать, плотность вѣроятности для различпыхъ значеній
а будетъ иропорціональна произведепію
т
a ;i —a)'.
Задача 6"". При сохраненіи всехъ условгй и данныхъ предъ-
гідущей задачи, требуется найти вероятность, что въ гп1 -+- Іх
будущихъ испытаны, изъ разсматриваемаго нами ряда, событге
Е появится ровно тг разъ, когда известно, что въ т и-1 испы-
таны оно появилось ровно т разъ.

Отвѣтъ.
Искомая вѣроятиость равна
-1 m-ып, ^
1.2.3. .. .(»Bj -ь?,) jQa
'(1-a)"'da
1.2.. ..fiii .1.2 U
Лm
Г
J1 IIV
I
0*
da
Послѣднія двѣ задачи отлично иллюстрируются посредствомъ
неисчернаемаго сосуда, въ которомъ находятся шары бѣлаго н
иного цвѣта, при чемъ отношеніе числа бѣлыхъ шаровъ къ числу
всѣхъ шаровъ сохраняетъ неизвѣстиую намъ постоянную вели-
чину, сколько бы шаровъ мы ни выпулп изъ сосуда.
Формулы, представляющія отвѣтъ па задачи 5ую и б5TM, при-
мѣняются къ онредѣленію вѣроятностей по наблюденіямъ, а poste-
riori. При этомъ, изъ выраженія вѣроятности неравенствъ
>^
*tt
a<.a<.a
въ впдѣ отношепія
У.
Г am(1—а)гda.
Ja.
ГХат(1 — a)lda.
J0
можно заключить о малой вероятности большихъ отклоненій у.
отъ —если число наблюденныхъ испытаній т -+- I значп-
m-t -l
тельно; н потому можно положить
.
т
аф
,•
в
1TI /
Затѣмъ изъ отвѣта на шестую задачу можно вывесть, что
при большомъ числѣ наблюденныхъ испытаній и сравнительно
маломъ числѣ будущихъ испытаній вѣроятности различныхъ пред-
ноложеній о числѣ появленій событія Е, при этихъ послѣднихъ
испытаніяхъ, мало отличаются отъ тѣхъ, которыя получатся, если
при всѣхъ будущихъ испытаніяхъ мы будемъ считать вѣроят-
ность событія Е равною
Напримѣръ, для одного будущаго испытанія вѣроятность по-

явленія событія Е равна
т -+-1'
т
а для двухъ будущихъ испытаній вѣроятность ноявленія событія
Е два раза равна
Изъ Формулъ (18) и (19) можно, при помощи Формулы
Стерлинга и измѣненія подъинтегральной Функціи, вывесть при-
ближенныя Формулы, подобный Формулѣ (6), на чемъ однако мы
не остановимся.
Относительно всѣхъ выводовъ, основанныхъ на указанномъ
нами прпмѣненіи Формулъ (18) и (19), слѣдуетъ замѣтить, что
пмъ нельзя придавать большого значенія. Дѣло въ томъ, что
прежде, чѣмъ примѣнять ту или другую Формулу и дѣлать изъ
нея различные выводы, необходимо выяснить условія ея суще-
ствованія и убѣдиться, моя«ю ли считать ихъ выполненными въ
тѣхъ случаяхъ, къ которымъ мы желаемъ примѣнять Формулу.
Формулы, представляющія отвѣтъ на задачи 5уІ° и 6ую
,
об-
ставлены слѣдующими условіями:
1) независимость испытангй,
по выясненіи нѣкоторыхъ об-
стоятельство;
2) постоянство
неизвестной намъ вероятности
событія Е
по выясненіи выше упомянутыхъ
обстоятелъствъ;
Б) равновозмооісность
всехъ значеній этой вероятности,
до
наблюденія.
Примѣняются же эти Формулы въ такихъ случаяхъ, гдѣ о
выполненіи указанныхъ условій едва ли можно говорить.
Одинъ изъ важныхъ примѣровъ вѣроятностей, опредѣляе-
мыхъ по паблюденіямъ, представляетъ вѣроятность лицу даннаго
возраста прожить данный срокъ, напримѣръ одинъ годъ. Объ
и вѣроятность появлепія его только одинъ разъ равна
Гт 11П-л-Т\
«>
7.

этой вероятности говорить очень часто въ виду важныхъ ея
прилоядаіій. Многіе занимались разработкою пріемовъ прибли-
женная вычисленія ея на основаніи наблюденій и составили раз-
личныя таблицы смертности, изъ которыхъ нетрудно вы весть ея
приближенную величину для различныхъ возрастовъ и сроковъ.
Мы не станемъ разбирать подробностей и тонкостей этихъ
пріемовъ, а остановимся только па выясненіп ихъ основаній.
Положимъ, что п лицъ, имѣющихъ одинъ и тотъ же данный
возрастъ, поступили подъ наше наблюдепіе и что мы не терялн
ихъ изъ вида въ теченіе даннаго срока. Положимъ далѣе, что т
пзъ нихъ прожили данный срокъ, а п — т умерли въ теченіе
его. Тогда, разсматривая безразлично одно пзъ этихъ лицъ, мы
можемъ дробь
т
п
назвать вероятностью прожить данный срокъ лицу даннаго
возраста, взятому изъ числа вышеуказанныхъ п лицъ.
Установленная такимъ образомъ вѣроятность относится
только къ прошедшему времени и къ данной группѣ лицъ; но
практическія цѣли заставляютъ насъ переносить выводы про-
шлая на будущее. Такой переносъ оправдывается предположе-
ніемъ, что для другой группы людей, болѣе пли менѣе похожей
,
тг
на прежнюю, отношеиіе аналогичное дроби — оудетъ мало отли-
то
.
ѵ
чаться отъ —; а это предположена основывается на замѣченномъ
съ давнпхъ временъ повтореніи различныхъ явленій, изъ кото-
рая вытекаетъ представленіе о неизмѣнныхъ законахъ природы.
Примѣняя затѣмъ къ данному случаю задачи 5TM и 6TM, мы
должны вообразить или предположить, что существуетъ какая
то неизвѣстная величина
которая представляетъ вѣроятность лицу даннаго возраста про-
жить данный срокъ и приближенно равна
т
и

Но нѣтъ никакихъ средствъ убѣдиться въ правильности та-
кого предположепія п ихъ нельзя, конечно, извлечь изъ Формулъ
(18) и (19), основанныхъ на томъ же предположены. Напротивъ,
при всей вѣрѣ въ существованіе неизмѣнпыхъ законовъ природы,
мы имѣемъ основанія отрицать существованіе постояннаго
числа а, такъ какъ съ теченіемъ времени условія яшзни людей
могутъ измѣнягься весьма значительно, а при измѣненіи условій
жпзни едва ли можетъ оставаться неизмѣнною смертность*)
людей. Сверхъ того весьма естественно предположеніе о раз-
личной смертности различныхъ категорій людей, одновременно
обитающпхъ на землѣ, но отличающихся другъ отъ друга мѣ-
стомъ жительства, родомъ занятій, тѣлосложеніемъ и т. д.
Поэтому, если допустить, что постоянное число а опредѣ-
ляется общими условіями жизни всѣхъ людей, то опредѣленіе
такого числа по наблюденіямъ надъ одной группой лицъ трудно
признать правильнымъ, какими бы Формулами ни подкрѣплялось
это опредѣленіе, такъ какъ должны проявиться индивидуальныя
особенности группы. Указанное обстоятельство не устранится и
въ томъ случаѣ, если мы будемъ рассматривать не совокупность
всѣхъ людей вообще, а нѣкоторую часть ея, при чемъ встрѣтптея
еще новое затрудненіе, состоящее въ необходимости точно опре-
дѣлить разсматриваемую часть.
Итакъ, признавая пользу таблицъ смертности для практн-
ческихъ цѣлей, мы считаемъ певозможнымъ доказывать закон-
ность ихъ примѣнепій ссылками на вышеприведенныя Формулы
исчисленія вѣроятностей.
§ 37. Въ заключепіе главы остановимся па вопросѣ о веро-
ятности свидѣтельскихъ показаній, къ которому также можно
приложить Формулу Байеса. Съ практической точки зрѣнія этотъ
вопросъ можетъ представляться весьма важнымъ; но значеніе
его рѣшенія сильно уменьшается необходимостью многихъ про-
извольныхъ предположены.
*) Мы пользуемся этниъ словомъ какъ общеупотребительнымъ, не оста-
навливаясь на вопросѣ, можно ли ему придать вполнѣ опредѣленныіі смыслъ.

Для упрощепія вопроса мы будемъ считать всѣхъ свидѣте-
лей вполнѣ освѣдомленными о предметѣ ихъ показанія, но спо-
собными сообщать завѣдомо ложныя свѣдѣнія; а показанія
ихъ будемъ считать независимыми другъ отъ друга и соглас-
ными. Всѣмъ свидѣтелямъ мы припишемъ одинаковую склонность
къ цравдѣ и будемъ измѣрять ее какимъ пибудь числомъ а, ле-
жащимъ между нулемъ и единицей: число « мы будемъ разсма-
•гривать какъ вѣроятиость, что свидѣтель говорить правду, и
соотвѣтственно этому разность 1 — а будетъ представлять вѣ-
роятиость, что свидѣтель говоритъ неправду.
Число свидѣтелей обозначимъ буквою п.
ГІоложимъ, что согласныя ихъ показанія относятся къ нзвѣст-
ному всѣмъ имъ результату испытанія; пусть, именно, всѣ п
свидетелей заявляютъ, что прп испытаніи появилось событіе Е,
вѣроятность когораго до свидѣтельскихъ показаній равна р.
Наконецъ мы введемъ еще величину (3, которая будетъ вы-
ражать вѣроятность для свидѣтеля, говорящаго неправду, оста-
новиться именно на событіи Е, а не па какомъ нибудь другомъ
возможномъ результатѣ того же испытанія.
Прп такихъ условіяхъ мы выразимъ произведеніемъ
ро.
п
вѣроятность появленія событія Е и согласнаго заявленія свидѣ-
телей объ этомъ появленін, пока свидѣтели не высказались; при
тѣхъ я^е условіяхъ вѣроятность непоявленія событія Е и со-
гласнаго заявленія свидѣтелей о его появленіи мы представпмъ
произведеніемъ
(1_р)(1
_
Соотвѣтственно этому сумма
будетъ выражать вероятность согласнаго заявленія свидетелей
о появленіи событія Е, пока свидѣтели не высказались.
Отсюда, на основаніи Формулы Байеса, мы заключаемъ, что

послѣ согласнаго показанія свидѣтелей вѣроятность появленія
событія Е становится равною
(20)
ру.
п
ч-(\ — jp)(X — а)"
Найденное простое выраженіе вѣроятности мы примѣнимъ
къ одной интересной задачѣ, которую разсиатривалъ Буняковскій
въ вышеупомянутомъ сочпненіи «Основанія математической те-
оріи вѣроятностей».
Задача Буняковскаго. Изъ полной русской азбуки выдернули
шесть буквъ наудачу, которыя по мѣрѣ ихъ вскрытія ставили
одну возлѣ другой. Два очевидца утверждаютъ, что вынутыя
буквы составили слово Москва. Спрашивается, какъ велика вѣ-
роятность, что показаніе двухъ свидѣтелей справедливо?
При этомъ предполагается, что полная русская азбука со-
держишь 36 буквъ и что склонность свидѣтелей къ правдѣ вы-
ражается дробью — •
Рѣгиеніе. Обращаясь къ общему выраяіенію в ероятности въ
видѣ дроби
рап
рх
п
ч-(1—р)(1—
<*)»&"'
замѣчаемъ, что въ данномъ случаѣ
о
э
»=
2,а=
—
и на основанін теоремы умноженія вѣроятпостей
&
36'35'34*33'32'31'
число же [В остается неопредѣленнымъ.
Для устранения неопределенности числа (3 обратимся къ пред-
положенTM, которое сдѣлано Буняковскимъ при рѣшеніи задачи.
Оно заключается въ томъ, что въ рѵсскомъ языкѣ имѣется
50000 словъ, состоящихъ изъ шести различныхъ буквъ, и что
прп ложномъ показаніи свидѣтель долженъ остановиться на од-
номъ изъ этихъ словъ. Считая всѣ эти ложныя показанія равно-

возможными и, въ виду малости разности
1
1
50000
49999'
не обращая вниманія на уменыненіе числа ихъ на одну единицу
въ случаѣ, когда выпутыя буквы составили одно изъ словъ, мы
положимъ
,
8=
—•
'
50000
При такихъ предположеніяхъ искомая вѣроятность выра-
зится дробью
1(ю)
2
ё)
2^
И
236.35 .34.33.32.31 — 1
ё)
2^
И
(50000)2
которая послѣ простыхъ сокращеній приводится къ
SI X(625р
^АПП.
81X(625)2219126,5. .. .
а по вычисленіямъ Бѵняковскаго искомая вѣроятность близка къ
81
28129
Разногласіе двухъ выводовъ, получепныхъ при однихъ и
тѣхъ же предположеніяхъ, объясняется тѣмъ обстоятельствомъ,
что Буняковскій свелъ единогласное показаніе свидѣтелей о появ-
леніи опредѣленнаго слова Москва къ простому указанію каждаго
пзъ свидѣтелей на появленіе одного изъ словъ русскаго языка и
соотвѣтствепно этому выразплъ искомую вѣроятность дробью
ра?
_ра2-н(1 —р)( 1 — а)2'
полагая
г
50000
а
10ИР
36.35.34.33 .32.31'
Принятая нами величина (3 едва ли не должна быть признана
слишкомъ малою; ибо число русскихъ словъ, составленныхъ изъ
шести различныхъ буквъ, конечно значительно меньше 50000, п
кромѣ того естественно предполагать, что слово Москва можетъ
быть выбрано для ложнаго показанія предпочтительно передъ

многими другими. Увеличивая въ виду этого обстоятельства
число р, положимъ
1
^=
200'
тогда искомая нами вѣроятность, что показаніе двухъ свидѣте-
лей справедливо, выразится уже довольно малымъ числомъ
1
(0\2
(То)
ш |!-НѴіо)
236.35.34.33.32.31 — 1
(200)2
Приведеппый примѣръ, по нашему мнѣпію, достаточно вы-
ясняешь неизбежность многпхъ произвольныхъ предположеній
при рѣшепіи вопросовъ подобпыхъ разобранному нами, которые
по существу дѣла имѣютъ весьма неопредѣленный характеръ.
Разсмотрѣнный вопросъ приметь еще болѣе неопределенный
характеръ, если допустпмъ, что свидѣтели могутъ ошибаться и
устранимъ независимость ихъ показаній.
Не составляя выраженія вероятности свидѣтельскихъ пока-
заній при различныхъ предположепіяхъ, считаемъ нелишнимъ
добавить къ вышесказанному только рядъ простыхъ замѣчаній.
Во первыхъ, если событіе невозможно, то никакія свидѣтель-
скія показанія не могутъ сообщить ему даже малой вѣроятности.
Мало вѣроятное событіе мояіетъ отъ согласиыхъ показаній
многихъ свидетелей превратиться въ весьма вѣроятиое, если сов-
паденіе ложныхъ показапій представляется еще менѣе вѣроят-
нымъ. Но мало вѣроятпое событіе не станетъ весьма вѣроят-
нымъ отъ согласнаго показанія такпхъ свидетелей, которые сго-
ворились другъ съ другомъ, или имѣютъ одинаковыя не вполнѣ
точныя свѣдѣнія о нредметѣ ихъ показаній. Какъ бы ни былъ
добросовѣстенъ очевидецъ событія, по сомнѣніе въ томъ, что
онъ способенъ былъ правильно попять совершившееся, можетъ,
въ известныхъ случаяхъ, лишить его показаніе всякаго значенія.
Наконецъ сообщеніе о событіи можетъ доходить къ намъ
не отъ очевидцевъ, а черезъ последовательный рядъ свидѣтелей,
которые передаютъ то, что опи слышали отъ другихъ. Въ этомъ

случаѣ удлинненіе цѣпи свидѣтелей, конечно, затемняетъ совер-
шившееся. Независимо отъ математическихъ Формулъ, на кото-
рыхъ мы не остановимся, пе придавая имъ большого значенія,
ясно, что къ разсказамъ о невѣроятныхъ событіяхъ, будто бы
происшедшпхъ въ давно минувшее время, слѣдуетъ относиться
съ крайнимъ сомнѣпіемъ.
И мы никакъ не можемъ согласиться съ Буняковскимъ,
что необходимо выдѣлить извѣстный классъ разсказовъ, сомнѣ-
ваться въ которыхъ онъ счптаетъ нредосудительнымъ *).
Въ данномъ случаѣ мое разногласіе съ Буняковскпмъ выхо-
дитъ уже пзъ области математики и касается шаткой области
желаній и личныхъ интересовъ людей. Не вдаваясь въ эту об-
ласть, приведемъ здѣсь замѣчаніе Лапласа, по поводу одного пара-
докса Паскаля, которое можно найти въ статьѣ «De la probabi-
lity des temoignages», помѣщенной во введеиіи къ его классиче-
скому труду «Тііёогіе analytique des probability ». Тотъ, кто
обѣщаетъ за довѣріе къ своимъ утвержденіямъ награду а за
недовѣріе наказаціе, не увеличиваетъ такимъ обѣщаніемъ а
уменьшаетъ степень довѣрія къ себѣ; если же размѣръ обѣ-
щаній становится безграничнымъ, то степень довѣрія, какого
они заслуяіиваютъ, падаетъ до нуля.
*) Нѣкоторые ФИЛОСОФЫ, въ вндахъ предосудительныхъ, пытались при-
менять Формулы, относящаяся къ ослабленію вѣроятности свидѣтельствъ и
преданііг къ вѣрованіямъ религіознымъ и тѣмъ поколебать ихъ. Для опровер-
жения ихъ выводовъ, стоитъ только принять въ соображеніе, что всякое слѣд-
ствіе, выводимое изъ аналитической Формулы, не можетъ быть инымъ чѣмъ,
какъ только развитіемъ перпоначальнаго предиоложенія, на которомъ Формула
основана. Если предположеніе ложно, то и слѣдствія анализа будутъ оши-
бочный. Поэтому, прежде всего, должно разобрать основательно предположеніе,
служащее точкою исхода. Когда этотъ разборъ прпведетъ насъ къ заклю-
ченно, что въ духовномъ мірѣ есть такіе Факты, которые не подчинены ФИЗИ-
ческимъ законамъ, тогда всѣ злонамѣренныя у.чствованія лжефилософовъ
рушатся сами. Въ статьѣ Certitude (Eucyclopedie ou Dictiounaire гаізоппё des
Sciences, Tome VI) читатели наидутъ прпмѣчательную выписку пзъ сочиненія
Аббата Прадъ: Sur la verite de la religion. Въ этой выпискѣ съ необыкно-
венною силою ума и съ убѣднтельнылъ краснорѣчіемъ разсиотрѣнъ подробно
вопросъ, котораго мы здѣсь только коснулись. (Осн. мат. теоріи вѣроят.,
стр. 326).

Литература.
Bayes. An Essay toward solving a Problem in the Doctrine
of Chances. A Demonstration of the second Rule in the Essay
towards the Solution of a Problem in the Doctrine of Chances
(Lond. Phil. Trans., 1764, 1765).
Condorcet. Memoire sur le calcul des probabilites (Hist, de
lAcad. des sciences de Paris, 1781 —1784).
Condorcet. Essai sur ['application de Г Analyse a la proba-
bility des decisions rendues a la pluralite des vois. 1785.
Cournot. Exposition de la theorie des chances et des proba-
bilites. 1843.
Quetelet. Lettres sur la theorie des probabilites appliquee
aux sciences morales et politiques. 1846.
W. Lexis. Zur Theorie der Massenerscheinungen in der
menschlichen Gesellschaft. 1877.
E. Catalan. Problemes et theoremes de probabilites (Mem.
de l'Acad. de Belgique. T. XLYI, 1886).
L. Bortkiewicz. Gesetz der kleinen Zahlen. Leipzig, 189S.
M. Тихомандрпцкій. Курсъ теоріи вѣроятностей. 1898.
А. Марковъ. О вѣроятностп a posteriori (Сообіц. Харьк.
мат. общ. 2 сер., Т. УІІ, 1900).
L. Bortkewitsch. Kritische Betrachtungen zur theoreti-
schen Statistik (Jahrbiicher fiir Nationalokonomie und Statistik.
Bd. LXIII, LXV, LXVI).
L. Bortkiewicz. Anwendungen der Wahrscheinlichkeits-
rechung auf Statistik (Math. Enzyklopadie ID. 4a. Leipzig, 1900).

ГЛАВА VII.
Споеобъ наимѳньшихъ квадратовъ.
§ 38. Способомъ наименьшихъ квадратовъ называется обще-
употребительный пріемъ полученія приближенныхъ результатовъ
изъ многихъ наблюденій, съ оцѣнкою достоинства этихъ резуль-
татовъ *). Чтобы обосновать его на соображеніяхъ, относящихся
къ исчисленію вероятностей, мы должны установить рядъ предпо-
ложеній и условій; и прежде всего необходимо допустить суіце-
ствованіе чиселъ, приближенныя величины которыхъ доставля-
ются наблюдепіями.
Каждое наблюденіе, дающее то или другое число, мы будемъ
разсматривать какъ частный случай многихъ наблюденій; и со-
отвѣтственпо этому мы будемъ разсматривать, рядомъ съ дѣй-
ствительнымъ результатомъ наблюденія, воображаемый нами
возможный результата наблюдепія. Считая данное наблюденіе
частнымъ случаемъ мпогихъ наблюденій, мы будемъ предпо-
лагать, что условія наблюденія дѣлятся надвѣ категоріп: условія
постоянныя, сохраняющіяся безъ измѣпенія при всѣхъ вышеупо-
*) Мой взглядъ на различныя попытки теоретическаго обоснованія спо-
соба наименьшихъ квадратовъ изложенъ въ статьѣ «Законъ большихъ чиселъ
и способъ наименьшихъ квадратовъ» (Изв. Физ.- мат. общ. Каз. Унив. 2 -ая с.
Т. "VIII).

мянутыхъ паблюденіяхъ, частнымъ случаемъ которыхъ является
давное, и условія перемѣнныя, плп случайный, мѣняющіяся отъ
одного наблюденія до другого. Вмѣстѣ съ тѣмъ допустишь, что
каждому опредѣленному предноложенію о велпчинѣ возможнаго
результата наблюденія будетъ соответствовать опредѣлеипая вѣ-
роятность въ томъ случаѣ, когда постоянный условія наблюденія,
намъ неизвѣстныя, станутъ пзвѣстпыми.
Пусть а означаетъ неизвѣстное число, приближеипую вели-
чину котораго х мы получаемъ изъ наблюденія; пусть далѣе х
означаетъ возможный результата наблюденія, и различными зна-
ченіями числа х будутъ
I"т
х,х,х
....;
пусть наконецъ
q, q",
q"\....
соотвѣтственно означаютъ вероятности этихъ значеній х, когда
постоянныя условія наблюденія извѣстпы.
Изъ всѣхъ упомянутыхъ здѣсь чиеелъ намъ извѣстно только
одно х. Неизвѣстная величина разности
а—х
представляетъ дѣйствительную погрѣшность, или ошибку на-
блюдепія; разность же
(I—ОС
мы будемъ называть возможною погрѣшностью наблюденія, а
математическое ожиданіе ея
'/
'Г/
Ч\ Ч!/
Ч'\
q{а—x)-t-q (а—
(а—х
)н-....,
равное
1
,/'//</
/і/ щ
.
а—{qх-t-g х н-q х
н-....),
назовемъ постоянною
погрешностью.
Величина постоянной погрѣшности намъ, конечно, неизвѣстна;
однако въ дальнѣйшихъ разсужденіяхъ мы будемъ считать
ее равною нулю. Соотвѣтственно этому мы будемъ говорить,
что въ приближенномъ равенствѣ
афх

нѣтъ постоянной погрѣшности. Заключеніе объ отсутствіи по-
стоянной погрѣшностп часто выводятъ пзъ предноложенія, что
каждыя двѣ величины возможной погрешности, дающія въ суммѣ
нуль, равновероятны; по въ послѣднемъ предположеніи нѣтъ на-
добности для предстоящихъ разсужденій.
Предположеніе объ отсутствіи постоянной погрешности,
какъ и приведенное сейчасъ предположеніе, находится въ нѣко-
торомъ противорѣчіи съ тѣмъ Фактомъ, что разлпчныя причины
постоянныхъ погрешностей открываются постепенно. Однако въ
теоретическихъ разсуждепіяхъ мы принимаемъ это предполо-
женіе, какъ необходимое.
Если бы съ числомъ а не было связано болѣе или менѣе
опредѣленнаго представленія. то предположеніе объ отсутствіи
постоянной погрѣшности мы могли бы сдѣлать несомнѣннымъ,
опредѣляя чпсло а равенствомъ
'
/
<t 'г
чгт
а=qхч-д х-+-qх
-!-....
Въ дальпѣйшихъ разсужденіяхъ намъ понадобптся также
математическое ожиданіе квадрата возможной погрѣшности
равное суммѣ
q (х — я)2-+-д"(х" —
а)2 — q"(х"
—
а)2-+-....;
корень квадратный изъ этой, неизвѣстной намъ, суммы назы-
вается средней квадратичной
ошибкой наблюденія, или прибли-
женнаго равенства
,
афх.
Разсматривая результаты различныхъ наблюденій, мы бу-
демъ предполагать извѣстными отношенія математическихъ ожи-
даній квадратовъ ихъ погрешностей другъ къ другу.
Соотвѣтственно этому, вводя для нѣсколькихъ наблюденій
одно и то же непзвѣстное число k, мы будемъ математическое
ожпданіе квадрата возможной погрешности даннаго наблюдепія
представлять въ видѣ дроби
Л/
F

съ опредѣленнымъ знаменателемъ Р, который мы будемъ назы-
вать вѣсомъ наблюденія или вѣсомъ соотвѣтствующаго равенства
аФ х.
Вѣса наблюдеаій устанавливаются на разпыхъ соображе-
ніяхъ, болѣе или менѣе произвольно. На первомъ планѣ приведемъ
простѣйшее сообраяіеніе. Именно, если всѣ извѣстныя условія
какихъ нпбудь наблюденій, дающихъ приблпяіенныя значенія
одного и того же числа а, одинаковы, то обыкновенно предпола-
гаютъ, что вѣса этихъ наблюденій одинаковы.
Кромѣ приближенныхъ равенствъ, доставляемыхъ непосред-
ственно наблюденіями, мы будемъ разсматривать и другія прп-
ближенныя равенства, которыя будемъ выводить изъ совокуп-
ности многихъ наблюденій. Пусть
U' фО
означаетъ одно изъ такихъ равенствъ. Выраженіе U'- составлено
опредѣленнымъ образомъ изъ искомыхъ чиселъ, подобныхъ
числу а, и изъ чиселъ, доставленныхъ наблюденіями.
Замѣняя числа, доставленный наблюденіями, воображаемыми
возможными результатами наблюденій, получаемъ вмѣсто V' но-
вое выраженіе U, которое назовемъ возмояшою погрѣшностыо
нриблпженнаго равенства
^
А математическое ожиданіе U назовемъ постоянною погреш-
ностью приближеннаго равенства
U'Ф 0.
"Мы будемъ разсматривать только такія приближениыя ра-
венства установленнаго вида, о которыхъ на основаніи нашихъ
данныхъ и предположеній можно утверждать, что ихъ постоян-
ныя погрѣшности равны нулю.
Затѣмъ какъ для равенствъ, доставляемыхъ непосредственно
наблюденіями, такъ и для выводпыхъ равенствъ мы будемъ оцѣ-
нивать ихъ достоинство вѣсомъ, представляя математическое

ожиданіе квадрата возможной погрѣшности въ видѣ дроби
к
Т'
гдѣ по прежнему Jc означаетъ число неизвѣстное, а Р вѣсъ со-
отвѣтствующаго приблшкеннаго равенства. Если наблюденія
даютъ возмояшость для какого нибудь непзвѣстнаго числа а со-
ставить нѣсколько приближенныхъ равенствъ вида
гдѣ X' означаетъ число вполнѣ опредѣляемое результатами на-
блюдены, то мы будемъ выбирать изъ этихъ равенствъ, какъ
наилучшее для опредѣленія числа а, равенство, вѣсъ котораго
наиболыпій.
§ 39. Случай одного неизвѣстнаго.
Пусть для опредѣленія неизвѣстпаго числа а произведено п
наблюденій, которыя дали для а приближенныя значенія
а, а",. ...,
а^'.
Согласно приведеннымъ выше объясненіямъ рядомъ съ дей-
ствительно полученными числами
'
"
fnl
а,«,....,
а1>
мы будемъ разсматрпвать возможные результаты наблюденій,
которые пусть будутъ
,
„
.
.
и, и ,...., гѵ-
такъ что и' представляетъ возможный результата перваго на-
блюденія, давшаго число а, и возможный результата второго
наблюденія и т. д. Наши наблюденія мы предполагаемъ свобод-
ными отъ постоянной погрѣшности и независимыми другъ отъ
друга, придавая послѣднему условію тотъ смыслъ, что величины
'
"
Гпі
и, It ,....,
нК'
не зависятъ другъ отъ друга.
Разсматриваемыя нами наблюденія даютъ для опредѣленія
числа а рядъ приближенныхъ равенствъ
а фа, аф а",....,
аФа!-
п
\

которыя согласно нашимъ допущеніямъ и опредѣленіямъ не со-
держать постоянной погрѣшностп.
Этимъ равенствамъ мы приписываемъ опредѣлепные вѣса
р, р",
, р(п\
полагая
м.о.(а- и')2= у, м.о.(а- и")3= А,.... м. о.(а- u^n)f =J^ •
Пользуясь затѣмъ результатами всѣхъ наблюденій, составимъ
пзъ приведенныхъ выше п прибднженныхъ равенствъ слѣдующее
афХ'о' + ХѴ-ь..
.
.-ьХС)а«
гдѣ выборъ коэФФпціентовъ
находится въ нашемъ распоряженіи. Мы подчинимъ КОЭФФИ-
ціенты
л',
Г,....,Х(")
двумъ условіямъ, согласно ранѣе высказаннымъ положеніямъ.
Во первыхъ мы потребуемъ, чтобы приближенное равенство
афХѴн-ХѴн-..
.
.-нХВД
было свободно отъ постоянной погрѣшности. Это условіе, оче-
видно, выражается равенствомъ
такъ какъ математическое ожиданіе суммы
при любой опредѣлениой системѣ чиеелъ
А', А",
раВН
°
(X'
л" -н-
Во вторыхъ мы потребуемъ, чтобы вѣсъ приближеннаго
равенства
дф
__
уа»
х« вм
былъ наибольшимъ. Это требованіе вызывается тѣмъ обстоя-

тельствомъ, что достоинство каждаго приближеннаго равенства
мы оцѣниваемъ его вѣсомъ, какъ было выше установлено.
Такимъ образомъ, установивъ рядъ предположеній и усло-
вій, мы превращаемъ въ опредѣленпую математическую задачу
вопросъ, лишенный математическаго смысла, о томъ, какъ по
возможности лучше воспользоваться результатами многпхъ на-
блюденій.
Примѣчаніе. Мы ограничились равенствами вида
не только ради ихъ особой простоты, но и по той причинѣ, что
ни о какомъ другомъ равенствѣ нельзя, на основании нашихъ
условій, утверждать, чтобы оно доставляло приближенную ве-
личину а безъ постоянной погрѣшности. Нагіримѣръ, если бы мы
положили
п
афУаа.... d
n
\
или
.
! /а' а' -+- a" a" -t-...
.-і- а(") а(п)
«
'
то возможность постоянной погрѣшности не была бы устранена.
Для опредѣленія вѣса приближеннаго равенства
вфХ'о'+ ХѴ+ ....H-X«aW
составляемъ математическое ожиданіе квадрата разности
a_ (Ѵи'и-X"и"и-....
-f- л(") и^).
Въ силу условія
зтотъ квадратъ равенъ
{X'(и — а)-+-X"(и" _
а) -+-....
-к Х(") («("> — а)}2 =
=
X'X'(и — а)2-#-.X"X"(и" -й)2 + .... + Х(")Х(")(»(") — а)2
-і- 2а'Х"(«' — а) (и" — а)
-+-....

и математическое ожидаше его приводится къ
Iг)/у X"X"
х(") xfoh _
Lѵ'
ѵ"
'
'
'
'
ѵ(") J'
р'
р"
''
''
р(») J'
ибо математическія ожиданія квадратовъ
(и- of,(и—af,
,
—
af,
по предположенію, равны
/С 1і
Jc
р''р"'
'
а математпческія ожиданія произведеній
(и—а)(Іи"— а),. ..., (и"— а)
—
а),. ...,
различныхъ множителей, приводятся къ нулю, въ силу незави-
симости величинъ и, и",. . .
Представляя величину
въ видѣ дроби
^
заключаемъ, что вѣсъ Р разсматриваемаго нами приближеннаго
равенства
fl
+},а>Г-н
Х(">а<")
опредѣляется Формулою
Р
X'X' X"X"
х(") х(")
1
і-.
.
.
.
-
р'
р'
р[п)
И слѣдовательно этотъ вѣсъ достигнетъ своей наибольшей
величины въ томъ случаѣ, когда сумма
Х'Х' Х"Х"
х(") ХNo
V"
''''
р(п)
достигнетъ своей наименьшей величины, при соблюденіи,
ко-
нечно, уСЛОВІЯ
ѵ
.
(„1
,
A—I-AH— ....
-4-
'
=
1.
Съ другой стороны нетрудно установить тожество

—
235
(a'V
л" X"
р"
гдѣ г означаетъ каждое пзъ чиселъ 2, 3,. . .
п,ajозна-
чаетъ каждое изъ чиселъ 1, 2, 3,...., г— 1.
Приведенное нами тожество показываетъ, что сумма
Л')/
А" }/'
л(») л(")
1
Н....Н
;
р'
р"
PW
достигаетъ своего наименьшая значенія въ томъ случаѣ, когда
ВСѣ раЗНОСТИ
- А(г)
- л(уі
p(J)
обращаются въ нуль. Полагая соотвѣтственио этому
,
Г
У^
Я")
а'+
У+,.,.Н.А(«)
р' р"
р(п) р'Ч-р" Ч-. . . ,-і-р(")
получаемъ для опредѣленія коэФФИціентовъ
А', Г,....,Х<">
слѣдующую общую Формулу
р'ч-р"-*-
-+- р(п)
При величпнахъ л', л",. . . .,
Л^"', которыя даетъ указан-
ная нами Формула, сумма
УГ л"л"
л(«)л(")
1
и.... -!
—-
j/
р"
р-
п
)
достигаетъ своей наименьшей величины
1
а вѣсъ приближенная равенства
аф1'а'
+ л"а" -+-.
..
.-ч-л WaW
достигаетъ своей наибольшей величины
-+ -.
.
.
.

Въ виду изложенныхъ соображеній изъ различныхъ прибли-
женныхъ равенствъ, которыя можно установить на основаніи
вышеприведенныхъ результатовъ паблюденій, мы выбираемъ,
какъ наилучшее для опредѣленія числа а, такое
(21)
аф
П/г
ра-А-ра
-р[») а(«)
-р"
+р(п)
п замѣчаемъ, что его вѣсъ Р равенъ суммѣ вѣсовъ первоначаль-
ныхъ равенствъ
яфа',
аФа",....,
афaSn\
доставленныхъ непосредственно наблюденіями:
(22)
Р=р'ч-р"-+-
-+-р(п\
Въ простѣйшемъ случаѣ, когда всѣмъ наблюденіямъ мы
приписываемъ одинъ и тотъ же вѣсъ, приближенная величина я>
опредѣляемая Формулой (21), представляетъ среднюю арифмети-
ческую изъ величинъ, доставляемыхъ непосредственно наблюде-
ніями; а вѣсъ приближеннаго равенства
»' + »"+....+ »(»)
аф-
п
будетъ равенъ числу наблюденій, если за вѣсъ каждаго наблю-
денія мы примемъ единицу.
Положимъ теперь, что кромѣ п наблюденій, доставившихъ
приближенныя равенства
аф а, аф а",....,
аф а^
одипаковаго достоинства, произведено еще т наблюденій, до-
ставившихъ приближенныя равенства
аф
аф а(пч
~
2\аф
a!,wn)
также одинаковаго достоинства но, быть можетъ, неравнаго до-
стоинства съ прежними. Приписывая нриближеннымъ равен-
ствамъ
афа,афа",..:.,афа^
одинаковое достоинство, мы приравняемъ математическія ожи-

данія квадратовъ ихъ погрѣшностей одному п тому же неизвѣст-
ному числу fejj а математическія ожиданія квадратовъ погрѣш-
ностей равенствъ
аф«М, афa(n
-
2),
, афа<"+
т
'>
приравняемъ другому иеизвѣстному числу /с2.
Затѣмъ изъ совокупности равепствъ
а фа,
аФа",
йф а'
п)
мы можемъ вывесть равенство
(,' + »" + ....+ а(")
аФ
,
п
для котораго математическое ожиданіе квадрата погрѣшности
равно
п'
а равенствами
аф а(пч
~
1\аф
аф а<п
^'
п
>
можемъ воспользоваться для образовапія другого приближеннаго
равенства
,
+в(п+т)
«Ф
—
>
т
математическое ожиданіе квадрата погрѣшности котораго равно
h.
т
Если же, съ цѣлью лучшаго опредѣлепія числа а, мы по-
желаемъ воспользоваться всѣми п -+ - т равенствами
а ф а, а фа",....,
а ф а<">, афа^1),....,
#в!м);
то должны будемъ, такъ или иначе, установить величину отноше-
лія
Начиная съ простѣйшаго предноложенія, положимъ
\~К•
Тогда совокупность всѣхъ п н- т равенствъ
аФа',аФа",. ...,
а ф eftn-t-m)

доставить намъ такое равенство
п'-на"-н
+»(»+»')
йф
'
П-+- т
для котораго математическое ожиданіе квадрата иогрѣшпости
будетъ выражаться дробью
^2
іі-нт
п-+-т
Замѣтимъ, что равенство
o' + e'V-.+
aM
яф:
п-нт
можетъ быть получено какъ слѣдствіе двухъ равенствъ
а! -н а" -н...
.-н а(»)
, а(»ч-0
-н....-« - аіп-нт)
аФ
иаф
>
іъ
т
вѣса которыхъ пропорціональны числамъ и и иг; такъ какъ
а'-на"-*-
-н аМ
а(^1) -н....ч- afnr*-m)
п—і
т
а' -н а" -Н....-Н а(п
-*-
т
)
П
т
п-нт
и-нт
Въ томъ же случаѣ, когда мы имѣемъ основанія сомнѣ-
ваться въ правильности допущенія
\—К,
возникаетъ вопросъ о прпближенномъ вычисленіи чиеелъ \ и 1с2.
Мы установимъ общую Формулу для приближеннаго вычи-
сленія величинъ подобныхъ кг и к2.
Въ примѣненіи къ разематриваемому случаю эта Формула
даетъ два приближенныхъ равенства
\фк\
и
\ф1с2,
на основаніи которыхъ мы будемъ считать отношеніе
не-
fto
Jcf
извѣстныхъ чиеелъ к, и к2, равнымъ отношенію гт> извѣстныхъ
А
л:2
чиеелъ к\ и к'2. Приписавъ отношенію
опредѣленную вели-
чину Y2> мы можемъ уже воспользоваться совокупностью всѣхъ

n-t-m равенствъ
а фа',
а фа",.
...,
афаУ^
для вывода новой приближенной величины а. И если математи-
ческія ожиданія квадратовъ погрѣшностей различныхъ прибли-
женныхъ равенствъ мы станемъ выражать дробями съ однимъ и
тѣмъ же числителемъ 1су, то можемъ вѣсъ каждаго изъ равенствъ
афа,
аф а",. ...,
йфа'
п
)
считать равнымъ единицѣ, а вѣсъ каждаго изъ равенствъ
аф
аф
....,
аф а(п1
-'
п
)
считать равнымъ отношенію
въ силу тожества
к—
'"Ш
При такихъ условіяхъ изъ совокупности п -+ - т равенствъ
афа,
афа!',
,
вфаС^
мы выведемъ новое равенство
а' н- а" -+-.... ч- а(") -+- («С"-*-*) -+-.... -+- аС1"1
- '"))
п-л -т
—
вѣсъ котораго равенъ
к1
мн-туг•
К2
Послѣднее равенство можетъ быть выведено также изъ двухъ
равенствъ
а'+ а"+ ....+а(»)
, аС""1
"
1)
СІф
Иаф
)
т
вѣса которыхъ пропордіональны числамъ
к\
пи
т~
Ко
Намѣтивъ цѣль дальнѣйшихъ вычисленій, возвратимся къ
общему случаю и соответственно приближенному равенству
, р'а' -+-р'а" -и.... н-рС)aW
а=
*=
да'н-р"
-і-
-+ -»(»)

положимъ
,,
„„
,,ln
p a -t-p a -+-...
.-ь p\n) ay1*
П
v.
p'u' -+-p"u" -t-
- +- p(n) u(n)
У -+- p"-+-...
. +p(n)
Лримѣчанге. Если мы будемъ разсматривать суммы
s/> („С
-
)_If=р'(и'_
If -+-р' (и"—If
и-рМ («С) —
и
(аС')_а0)2 = у (a— a0f +р" (a"— a0f -+-....
(«(")—я,)!
какъ Функдіи перемѣнныхъ £ и а0, считая всѣ остальныя вели-
чины, входящія въ эти суммы, числами данными, то установлен-
ный нами Формулы оиредѣлятъ значенія \ и а0, которымъ со-
отвѣтствуютъ наименьшія величины разсматриваемыхъ суммъ.
Слѣдовательно величина а0, которую мы принимаемъ за но-
вое приближенное значеніе а, сообщаетъ наименьшую величину
суммѣ квадратовъ
2{ѴрЮ(а«-а0)}»;
отсюда и происходитъ названіе «способъ иаименьшихъ квадра-
товъ».
Мы докажемъ, что математическое ожиданіе суммы
равно
(и — \)к.
Для этого на основаніи равенствъ
2р(і) (и(і) —
«)=
(?—
«)
и
v/)(M(f)_H) = o,
послѣдователыю получаемъ
Ѵр(0(МЮ_ If= 2/>(и(і>—й(м(і)— а
—
?-4-а)
=
(м!<)
—
I)(и(і) - а)—(Н— а)2р(<)(м« — Р)
S/> (и^ _
=
s/> (и{і) -а
—
іч-а) (#' — а)
=
Spw (и'8
'»— «)2— (Е—а)s/>(«« _
а)
=
(міг
'>—а)2— (5—а)3
;

и затѣмъ, принимая во вниманіе, что математическія ожиданія
произведен»
рИ) {ud) _
af
и
равны 7с, изъ равенства
2/>(uNo_ If=
(у<)_ ау __(£_ of S/>
выводимъ
м. о. ZP{I)(U{<)
—
£)2 =
м.о.SpNo(И(І)— Й)2—
м. о.
—
Й)2 2/'
=
wft— к = (іі— 1)к.
Итакъ
(23)
м. о. S/>
—
Е)2 == (п— 1)ft.
Равенствомъ (23) пользуются для приближеннаго вычисленія
числа ft, замѣняя въ лѣвой его части математическое ожиданіе
суммы
Б/Ѵ^-іі)2
тѣмъ частнымъ значеніемъ ея, которое соотвѣтствуетъ резуль-
татамъ наблюденій. Такимъ образомъ получается равенство
j.
_ф_
(а(') — а0)2 ^
И—X
свободное отъ постоянной погрешности. Раздѣляя число
^(t) (g(0 — д0)2
11—1
на вѣса приближенныхъ равенствъ, получимъ приближенныя
величины математическихъ ожиданій квадратовъ пхъ погрѣш-
ностей. Напримѣръ
(аNo _ ао)2
(п -1) 2р(«')
будетъ приближенною величиною математическаго ожиданія
квадрата погрѣшности равенства
,
+
ч-
а(")
Въ частномъ случаѣ, когда всѣмъ равенствамъ
йфа, афЙ",
.
.
.
.,
Йфй^

мы приппсываемъ одинаковый вѣсъ, имѣемъ
«о=
11
и для математическаго ожиданія квадрата погрѣшпостп каждаго
пзъ данныхъ равенствъ
аФа,аФа",....,
аф а^
получаемъ приближенную величину
к\=
1
Подобнымъ же образомъ, разсматривая рядъ другпхъ ра-
венствъ
афat"-
1),аф
.
.
.
.,
аф a(n
-
m
),
которымъ мы также прпписываемъ одинаковый вѣсъ, для мате-
матическаго ожиданія квадрата погрешности каждаго пзъ нихъ
получаемъ приближенную величину
к',
гдѣ
я(п-»-і) н- а(пч-2) .
a(?n-mh 2
т
I
2
т—1
j= п-+-1, й+ 2
п-*-т.
Такимъ образомъ мы установили основные элементы способа
наименыпихъ квадратовъ для случая одного неизвѣстнаго.
Сверхъ того часто разсматриваютъ вѣроятности различныхъ
предположеній о величинѣ погрешности получаемыхъ прибли-
женныхъ равенствъ. Но это разсмотрѣніе соединено съ особымъ
предположеніемъ, въ которомъ раньше мы не имѣли надобности.
Пусть будетъ Д неизвѣстная намъ иогрѣшность одного изъ ра-
венствъ, подобныхъ равенству
а фа'
или
афа0,
и пусть вычислена приближенная величина математическаго ожи-
данія квадрата Д по указанному выше способу, или ипымъ пу-
темъ. Обозначимъ найденное нами математическое ожиданіе Д2

буквою h п допустимъ, что вѣроятность неравенствъ
с<А<д,
при любыхъ значеніяхъ вид, вырая;ается интеграломъ
-ЦЖ2
JАе
сіх,
гдѣ А и [х чпсла ПОСТОЯННЫЙ (СМ. § 29).
Тогда постоянный А п р. опредѣлятся двумя равенствами
I" Аё~]1Х%dx—l иГ Ах2е~''
хх2dx= /г,
•'—со
—со
которыя приводятся къ слѣдующпмъ
А _1_
_А_
_27г_
У^Г УтГ У(І8 УтГ
откуда находимъ
1
UL=^гги.4=
•
Соотвѣтственно этому за вѣроятность неравенствъ
с<Д<д
принимаютъ интегралъ
д
1
f e~^dx,
V2k~
который приводится къ
д
1 (Ѵ» -*3
в
«0,
^
jj^
V2h
посредствомъ подстановки
х2
2
Затѣмъ, чтобы оправдать указанное выраженіе вѣроятности,
разсматриваютъ погрѣшность Д какъ сумму многихъ независи-
мыхъ погрѣшностей и ссылаются на приближенное выраженіе
вѣроятности, что сумма многихъ независимыхъ величинъ лежптъ
въ данныхъ предѣлахъ, приведенное нами въ третьей главѣ.
Другое оправданіе того же выраженія вѣроятности основано
на согласіи его съ наблюденіями. Для разъясненія, въ чемъ
10*

усматрпваютъ это согласіе, положимъ, что п наблюденііі одинако-
вая достоинства дали для пепзвѣстнаго числа а значенія
а"....,
а'
(П)
При большихъ величинахъ п за истинную величину а прп-
ИПМаЮТЪ
я'-на"-+- ....-<»(»>
п
и соответственно этому считаютъ разности
(Л а' -+- а" -+-....
-+ - а(п)
.
,
„
сѵ>—
?приг=1,2... .п.
п
погрѣшностями наблюденій. Далѣе полагаютъ
ll
ii
ll—1
п считаютъ двоякимъ образомъ число погрѣшностей, лежащихъ
въ данныхъ предѣлахъ. Именно, съ одной стороны, считаютъ
число разностей
,
а„ __
aW
ау>
)
п
которыя лежатъ въ данныхъ предѣлахъ; а, съ другой стороны,
на основапіп теоремы Бернулли и указаннаго выше выраженія
вѣроятностп неравенствъ с
д
^
допускаютъ, что число погрѣшностей, лежащихъ между с и д,
РаВН
°
Й-/2Л
—=.
е
dz.
^
\-.YTh •
Опубликовано нѣсколько примѣровъ, въ которыхъ такіе два
счета даютъ для числа погрѣшностей одинаковыя или близкія
величины. По этому поводу считаю не лишнимъ привести неболь-
шую выдержку изъ сочпнепія Пуанкаре «La Science et l'Hypo-
these». «Un physicien eminent me disait un jour a propos de la
loi des erreurs. Tout le monde у croit fermement parce que les
mathematiciens s'imaginent que c'est un fait d'observation, et
les observateurs que c'est un theoreme de mathematiques».

Внрочемъ, если вышеприведенное, обычное, выраженіе вѣ-
роятности не примѣнимо къ отдѣльнымъ наблюденіямъ, то мы
всетаки имѣемъ основаніе допустить его, для среднихъ выводовъ
изъ многихъ наблюденій, какъ приближенное.
Вмѣсто математическаго ожиданія квадрата погрѣшности
часто разсматриваютъ среднюю квадратичную
ошибку и веро-
ятную ошибку. Средняя квадратичная ошибка, равная корню
квадратному изъ математическаго ожиданія квадрата погрѣш-
ности, при сдѣланномъ нами нредноложеніи приведется къ V 1г.
А вѣроятпая ошибка опредѣляегся условіемъ одинаковой ве-
роятности предположенія, что числовая величина погрѣшности
меньше вѣроятной ошибки, и иредположенія, что числовая вели-
чина погрѣшиости больше вѣроятпой ошибки.
Если по прежнему допустить, что вероятность неравенствъ
при любыхъ значеніяхъ с и д, выражается выше приведеннымъ
интеграломъ, то вѣроятная ошибка выразится произведеніемъ
Въ виду такихъ опредѣленныхъ соотношеній между матема-
тическим!, ожпданіемъ квадрата погрешности, среднею квадра-
тичною ошибкою и вѣроятною ошибкою, въ каждомъ частпомъ
случаѣ достаточно разсматривать одну изъ этихъ трехъ величинъ.
§ 40. Определение вероятностей по наблюденгямъ.
Остановимся на приложеніи только что изложенныхъ раз-
сужденій п вычисленій къ важному вопросу объ опредѣленіп
вѣроятностей по наблюденіямъ, который мы разсматрпвалп въ
предыдущей главѣ, съ другой точки зрѣнія.
с<А<д,
откуда находимъ
4= = 0,47693
и р = 0.67448..
1/о
1
>

Пусть, по прежнему, существуем пепзвѣстпая намъ по-
стоянная вѣроятность а появленія нѣкотораго событія Е прп
повторяемыхъ пезавпспмыхъ иснытаніяхъ, какъ въ Звй
,4
ой
,5
ой
,
п 6ой задачахъ предыдущей главы. Положимъ, что намъ извѣстенъ
результата s испытаній: событіе
появилось а разъ.
Остальныя условія задачъ предыдущей главы мы отбрасы-
ваемъ и вовсе не будемъ разсматривать вѣроятностей, которыя
относятся къ разлнчнымъ предположепіямъ о величипѣ и п опре-
деляются нашими данными; мы ихъ теперь пе вводимъ и ихъ у
насъ нѣтъ. Задача наша состоптъ теперь не въ разысканіи вѣ-
роятностей различныхъ предполоя;еній о величпнѣ а, а въ прп-
ближенномъ вычисленіи этой величины, согласно только что из-
ложеннымъ припцппамъ.
Такимъ образомъ характеръ вопроса существенно измѣненъ,
на что необходимо обратить впимаиіе.
Разсматривая каждое пзъ произведенныхъ s испытаній, въ
отдѣльности, п принимая во вниманіе ихъ результаты, мы можемъ
установить а приближенныхъ равенствъ
аф1
и s — а приблшкенныхъ равенствъ
афО.
Этимъ равенствамъ соотвѣтствуютъ s величинъ
ty
/у*
121**'*5 s'
представляющпхъ, согласно вышеприведенпымъ объясненіямъ,
возможные рез}'льтаты испытаній:
1 съ вероятностью а, 0 съ вѣроятностью 1 — а.
Математпческія ожиданія всѣхъ этихъ ж, очевидно, равны
числу а; поэтому въ нашихъ
аравепствахъаф1пs—tfравенствахъ аФО
нѣтъ постоянныхъ погрѣшпостей.

Что касается математическихъ ожиданій квадратовъ по-
грѣшностей:
(®і —
а
)2,
—а)2,
, (ж, —а)2;
то они всѣ равны одному н тому же неизвѣстному числу
«(1-е).
Слѣдовательно, въ данномъ случаѣ, вѣса всѣхъ равенствъ
одинаковы и должны быть приравнены единицѣ, если за число к,
общихъ разсуждепій, мы возьмемъ теперь
а (1 —а).
А прп равенствѣ вѣсовъ снособъ наименьшихъ квадратовъ
даетъ намъ такое новое приближенное равенство
й
+7'
вѣсъ котораго, согласно общей теоремѣ, равенъ s.
Вмѣстѣ съ тѣмъ, примѣняя къ данному примѣру Формулу (23),
получаемъ для приближеннаго вычпслепія числа к равенство
7_і_G(s—(г)2-н(s—с)и2
G(S — <т)
^
S2(S—1)
S(S— 1)'
не содержащее постоянной погрешности.
Интересно замѣтить, что приближенную величину к мы
могли бы, въ данномъ случаѣ, вывесть изъ сопоставленія точ-
наго равенства
,
,,
,
А = а(1—а.)
съ вышеуказаннымъ приближеннымъ
такое соноставленіе даетъ для к величину
G(S О)
S—1
_
отличающуюся отъ вышеприведенной множителемъ ——,
олпз-
кимъ къ единицѣ. Надо однако помнить, что равенство

которое немного проще вышеприведепнаго, не вполнѣ свободно
отъ постоянной погрешности; пбо математическое ожиданіе вы-
раженія
(д1 +
а;2 +
.,.. +a;J(s — XX
—
XT— ..
..
—
xs)
s2
равно —j^k, a ne k.
Пойдемъ далѣе, расширяя нашу задачу. А именно, предпо-
ложить теперь, что неизвестная постоянная вѣроятность а опре-
деляется не одною, a нѣсколькими серіями пспытаній.
Пусть эти серіп состоятъ пзъ
s,s,....,s<>
пспытаній и сопровождаются появленіемъ разсматриваемаго
событія соответственно
'
"
(Ю
С7, <7,
,СГ
разъ. При такихъ предноложепіяхъ получаемъ, согласно выше-
приведенному, п приближенныхъ равенствъ
+
Я^
j~
у,
а
=Fp>••••)к
=F ^п)
вѣса которыхъ, соответственно, выражаются числами
sя"
s("'
а, а ,....,
а,
если к сохраняете прежнее значеніе
а(1—«).
Применяя къ этой совокупности равенствъ, свободиыхъ отъ
постоянныхъ погрешностей, способъ наименьшихъ квадратовъ,
получаемъ результатъ
а
аф—;
•
s
где
(Г=
5'Н-Т"Н_.
.
.
.H_FF(")ПJ=J+ S"+
..
.
.
W";
нашъ результатъ свободеиъ отъ постоянной погрешности, а вѣсъ
его равенъ s.
Что же касается числа к, то согласно Формуле (23) имѣемъ

Съ другой стороны на основавіи точнаго равенства
&= «(! —а)
можно положить
положить
Послѣдпее равенство не свободно отъ постоянной погреш-
ности; но свободно отъ иея равенство
мало отъ него отличающееся, при s болыпомъ.
Какъ видно, въ данномъ случаѣ мы получаемъ для к два
различныхъ прпблпжеипыхъ равенства, которыя оба не содер-
жать постоянной погрѣшности.
Это обстоятельство можетъ для каждой данной совокупности
ЧИС6ЛЪ
а',
8', а",
S",....,
а<»>, *«<>
служить, до извѣстной степени, для подкрѣпленія или опровержепія
нашпхъ основпыхъ предположеній о независимости пспытаній
и постоянстве вѣроятности, смотря по тому, окажутся ли зна-
ченія к, доставляемый различными равенствами, близкими другъ
къ другу, или напротивъ они будутъ сильно расходиться.
Закончимъ наши разсужденія объ опредѣленіп вероятностей
по наблюденіямъ численнымъ прпмѣромъ, который возьмемъ
изъ одной статьи *) Пирсона, но разсмотримъ пе по Пирсону.
Дѣло пдетъ объ опытахъ профессора Вельдопа съ 12ЬІ° обык-
новенными игральными костями. Каждый опытъ состоялъ въ
одповременномъ бросаніп всѣхъ 12 костей, при чемъ считалось
общее число появленій нумеровъ 5 и 6. Число опытовъ было
26306; результаты ихъ представлены въ слѣдуюіцей таб-
личке
*) Karl Pearson. On the Criterion that a given System of Deviations from
the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it can
be reasonably supposed to have arisen from Eandom Sampling. (Philosophical
Magazine and Journal of Science. Vol. L . July — December 1900.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
185 1149 3.265 5475 6114 5194 3067 1331 403
105
14
4
0
Здѣсь въ верхней строкѣ приведены всѣ возможный зна-
ченія числа появленій нумеровъ 5 и 6, при отдѣльномъ опытѣ;
п подъ каждымъ пзъ этихъ 13 зпачепій указано, въ нижней
строкѣ, чпсло опытовъ, давшихъ его. Мы имѣемъ
12 x26306 = 315672
бросаній по одной кости, которыя дали слѣдующее число но-
явленій нумеровъ 5 п 6:
1149+3.5475+5.5194-+-7.1331+9.105
|
J = 106602.
+2.3265+4.6114+6.3067+8.403 +10.14+1 1.4j
ІІрпступимъ къ разсуладеніямъ п соотвѣтствующимъ вычи-
сленіямъ. Если даннымъ считать только <і>акгь, что кость пмѣетъ
6 граней, на которыхъ стоятъ пумера 1, 2, 3, 4, 5, 6, то
вероятность появленія нумеровъ 5 и 6, иначе сказать нено-
явленія нумеровъ 1, 2, 3, 4, для каждаго бросанія кости, въ
отдѣльности, будетъ равна у. Если же исходить только пзъ
Факта, что совокупность 315672 бросаній дала 106602 появленій
нумеровъ 5 п 6, то для бросанія, взятаго пзъ этой совокушютси, вѣ-
J
-
106602 . „ г, О-г-Л
роятность ТБХЪ же нумеровъ выразиться дрооью 315(і70 ф0,33 / 70.
Первая величина вѣроятности опредѣлена только па осно-
ваніи принадлежности нумеровъ 5 п 6 къ группѣ шести нуме-
ровъ, состоящей ихъ этихъ двухъ нумеровъ и изъ четырехъ
другихъ; вторая же величина вероятности установлена только
на основаніи принадлеяиюсти бросанія къ группѣ 315672, пзъ
которыхъ 106602 сопровождались появленіемъ нумеровъ 5 и 6.
Обѣ величины точно соотвѣтствуютъ своимъ даннымъ; онѣ
пе совпадаютъ, въ виду различія данныхъ. Въ исчислепіи ве-
роятностей нѣтъ Формулы для соедипенія первыхъ данныхъ со

вторыми въ одну совокупность; по есть Формула, которая, до
извѣстной степени, позволяет!, судить о степени ихъ согласован-
ности. Эта Формула опредѣляетъ вероятность, что отклоненіе
числа появленій событія отъ произведенія вѣроятпости его на
число испыганій превзойдетъ данную величину.
Для намѣченной цѣли, полагаемъ вѣроятность событія рав-
ною у, а число испытаній равнымъ 315672 и ищемъ вѣроят-
иость, что разность между числомъ появленій событій и чи-
сломъ 105224, составляющимъ у числа испытаній, достигнетъ
106602 — 105224 = 1378,
пли превзойдетъ это число.
Полагая соотвѣтственио этому въ известной Формулѣ (6)
Лапласа
р=
п— 315672, t=
Ф 3,67,
*
3'
"/4.315672
'
'
находимъ, что вѣроятность такихъ болынихъ отклоненій, при-
близительно равна
о г3'07
1
^Г
е~
г
dt = 0,0000002.
У-о
Столь малая вѣроятность, конечно, не свидѣтельствуетъ о
согласін результатовъ произведенныхъ испытаній съ тѣмъ, что
вѣроятность появленія одного изъ нумеровъ 5 и 6, для каждаго
бросанія кости, равна у-
Чтобы приложить затѣмъ къ нашему примѣру разсужденія
предыдущей главы п способъ наименьшихъ квадратовъ, какъ
онъ у насъ пзложенъ, мы должны допустить, кромѣ указанныхъ
двухъ вполнѣ опредѣленныхъ вѣроятностей, существованіе
третьей неизвѣстной намъ вѣроятности а, которая и должна
остаться для насъ неизвѣстпой, такъ какъ она опредѣляется не-
известными намъ постоянными условіями испытаиій.
Принимая всѣ условія, указанныя въ задачѣ 50і шестой
главы, мы можемъ- по данному числу испытаній (и =
315672)
и по данному числу ноявленій событія (т — 106602) найти вѣ-

роятность, что а лежптъ между какими нибудь данными числами
а' и а" (0 < а' < а" < 1), подставляя данпыя величины т, п,
и, а." въ общее выраженіе (18)
Г а."
Г xm(l—ir)n
—
m
dx
-' а'
.
Г1хт (1— x)n
—
m
dx
J0ѵ
чѣмъ мы и воспользуемся для приближенная вычислепія вѣ-
106602
ѵ
роятности, что а. отклоняется отъ 315672 меньше, чѣмъ на разность
106602
1
1378
315672
3
315672
Но предварительно надо вывесть изъ точнаго выражепія ве-
роятности приближенное, удобное для вычисленія. Чтобы придти къ
такому выражепію, дѣлимъ подъпнтегральную Функцію хт(1-х)п
~
т
въ обопхъ интегралахъ
f xm(l—x)"-
m
dx
п fV(l
—xf~
m
dx,
я!
J0
•
[т\т/и—т\п т
па ея наиоольшее зпаченіе 1 — 1 (—— I
, которая она до-
стигаетъ прп х =
~.
Затѣмъ вводимъ повое перемѣнпое z, свя-
зывая его съ х липейпымъ равепствомъ
т
-»
/2т(га— т)
«3
.
/пх\т /п(1 — х)\п
~
т
и разлагаемъ логариФМъ произведенія I —I ( п_ ^)
въ
рядъ по степенямъ г, на основапіи простыхъ Формулъ:
,
(пх\т
1/.
, /2In—?п)\ ,/2от(и—т) п—т
logl —)
=mlog( 1 +01'- —
М—
-ѴІ/—i
'
lm(n— m)
m„
—
z2•

Мы приходимъ такимъ образомъ къ приближенному равенству
°\т/\я—m]
1
'
отбрасывая всѣ члены съ высшими степенями z.
Замѣняя на этомъ основаніи произведена 1 — 1 I п_т)
>
въ обоихъ пнтегралахъ, показательною Функціею е—и при-
нимая за предѣлы для я, во второмъ интегралѣ — оо и -+- оо,
немедленно получаемъ общеупотребительное приближенное вы-
раженіе
s»
-Lf
e~
z2dz
у-к ѵ
для вѣроятности, что к лежитъ въ предѣлахъ
т
і, /2т (п— т)
т
и /2тЫ—т)
п4-"]/
ГП
У—*
Обращаясь къ нашему числовому прпмѣру, находимъ
-/
= z"= 1378 /2,106TM09070 Ф 3,67
и потому
„
4=( Гг2йгф0,9999998;
Ѵі: Jz'
106602
слѣдовательно вѣроятность, что отклопеше числа а отъ 315672
достигаете величины
, соотвѣтствующей а =
, или больше
ея, оказывается, при нашихъ данныхъ, весьма малою и прибли-
зительно равна ранѣе полученному числу 0,0000002.
Этотъ результатъ подобенъ прежнему, но съ нимъ не совпа-
даете: хотя неравенства, вѣроятностями которыхъ мы занима-
лись, имѣютъ одинаковый видъ въ обѣихъ задачахъ:
/7)І
\
1378
ЧИС. 8Н.( -—
0)^315672'
но въ первой задачѣ вѣроятность событія (а) была даннымъ
числомъ, а число появленій его (т) неопредѣленнымъ, а во вто-
рой, наоборотъ, число появлепій событія (т) было даннымъ, а
вѣроятность его (ос) неопредѣленпымъ числомъ.

Примѣняя, наконецъ, къ данному примѣру способъ паимень-
шихъ квадратовъ, мы также донускаемъ существованіе неиз-
вестной постоянной вѣроятности а, для которой получаемъ на
основаніп результатовъ опытовъ приближенное равенство
Неизвѣстному числу а. мы не нриписываемъ теперь различ-
ныхъ значеній, а потому у насъ пЬтъ и вероятностей ихъ; зато
дробь
съ неизмѣннымъ зпамепателемъ s ==315672, мы раз-
сматриваемъ какъ способную получать, кроме паблюденнаго,
много другихъ значеній. Согласно установленпымъ положеніямъ
, 106602
,
„
,
наше равенство а Ф 315679 свободно отъ постоянной погрешности;
вѣсъ его равенъ 315672, а математическое ояшдапіе квадрата
погрешности выражается въ виде дроби „,
оіОО/А
Что касается числа к, то для приближеннаго вычпсленія его
мы имѣемъ две Формулы. Одна пзъ ппхъ даетъ
,
106602 ^09070
316672 3l5672 +
U'^db'
Другая Формула даетъ
26305&Ф Ѵ^іѵДА — а0)2,
где
а0=
=з1ЗЯ + 0'33770'
- А7о = 185, JVi=1149 и т. д.
Наши вычисленія указаны въ таблице. Получился результатъ
близкій къ найденному раньше, по более простой Формуле.
Отношеніе
0,2247
0,2236
двухъ приближенныхъ значеній числа к отличается отъ единицы
менее чемъ на

Въ концѣ книги приведены два другихъ примѣра вычи-
слена подобпаго отиошенія, которое я называю
коэффиціентомъ
дисперсш, хотя обычпо такое назваміе присвоено корню квадрат-
ному изъ указаинаго отношенія.
<
Ni
—
а.0
12
GW
/'г
\2)
0 •185
-0,33770
0,11404
21,1
1
1149
-0,25437
0,06470
74,3
2
3265
-0,17103
0,02925
95,5
3
5475
-0,08770
0,00769
42,1
4
6114
-0,00437
0,00002
0,1
5
5194
+ 0,07897
0,00624
32,4
6
3067
+ 0,16230
0,02634
80,8
7
1331
+0,24563
0,06033
80,3
8
403
+ 0,32897
0,10822
43,6
9
105
+ 0,41230
0,16999
17,8
10
14
+ 0,49563
0,24565
3,4
11
4
+ 0,57897
•
0,33521
1,3
492,7.

§ 41. Случай многихъ неизвѣстныхъ.
Переходя къ случаю многихъ неизвѣстныхъ, положимъ, что
требуется найти т чиселъ
«1> «2,
1ат
н что наблюденія дали приближенныя значенія
Ъ\ Ь",
, U")
выраженій
,
,
,
А,
-+- Л2 а2 -+-
- +-Атат,
л"
л"
л''
А1а1ч-А2а2ч-
~нАтат,
линейныхъ относительно искомыхъ чиселъ. КоэФФИціепты А
этихъ п выраженій мы предполагаемъ числами данными.
Каждое наблюденіе мы будемъ попрежнему разсматрпвать
какъ частный случай многихъ наблюденій. Соответственно этому
рядомъ съ каждымъ числомъ Ьи\ которое доставлено наблюде-
ніемъ и представляетъ приближенное значепіе суммы
Д'Ч-нД'Чн-.
.
.
.+
А%ат,
мы будемъ разсматривать возможный результата uij) того же
наблюденія.
Вмѣстѣ съ тѣмъ мы будемъ предполагать, что равенство
А? а, -+- Af а2 -+-...
атФV»
свободно отъ постоянной погрешности; другими словами будемъ
считать математическое ояшданіе числа ии) равнымъ сумме
Степень достоинства приближенныхъ равенствъ
А[а!-+-А2а2-t-
-нА^атФЪ',
А1 аг -+- А'2'а2 ч-
-»-А'татФЬ",
А<раі + Афа2+. . . . ч-А%ат Ф Ь('°

мы будемъ одѣнивать пхъ вѣсами
р, р",
, р(п\
полагая
при
С(л
=
Af а, -+- Л<і> а2 -+-.
.
. ,+ A(J>ат.
Наблюденія мы будемъ предполагать независимыми для того,
чтобы математическія ожидапія произведепій каждыхъ двухъ
различныхъ множителей, изъ совокупности
и—с, и" — с",....,
и0,)
—
с(и)
,
приводились къ нулю.
Затѣмъ мы разсмотримъ отдѣльно два нредположенія.
Начнемъ съ предположенія, что намъ неизвѣстно никакихъ
соогношеній между искомыми числами
Пусть а[ означаетъ одно изъ искомыхъ чиселъ.
Для вывода, изъ вышеприведеппыхъ равенствъ, приближен-
ной величины а1 вводимъ вспомогательные множители
А, А",....,
Х<«>
п нолагаемъ
йгФ АЪ' -НА"Ъ"Х<"> Ѵ"К
КоэФФИціенты
„
X,А,....,
Х(,,)
мы подчинимъ такимъ же двумъ условіямъ, какъ и въ случаѣ
одного неизвѣстнаго.
Первое условіе состоитъ въ томъ, чтобы изъ установленныхъ
положеній несомнѣнно слѣдовало, что равенство
aLф X'V -н X"Ь" -+-.
.
.
. -+- Х("> 6<">
свободно отъ постоянной погрѣшности. Въ силу этого условія мы
разсматриваемъ только такія совокупности чиселъ
X',
X",....,
Х<">,

для каждой пзъ которыхъ выполняется равенство
м. о. (X' и ч- XV ч-....ч- Х(я) м(">) = а,
при произвольныхъ значеніяхъ
Но
я,,
,
м. о. (X' ич-к" и"ч-....
ч-\TM »<")) == X' с н-Х" с"-+ -.
сш
=
.4'/'% -нЛ? а2
-+-
^^
поэтому равенство
м.о.(X'w -+-X"и"
приводится къ слѣдующему
.
- +-Х(Н) с(л>
А^) а2
і=аѵ
ости чиеелъ
которое въ виду неонредѣленш
разбивается на «г равенствъ; а именно, должно быть
.
.
.
. -+- А{"] Х(,
°=
1]
А'^'ч-А'.'Гч-...
п
г
а;Уч-а'/Гч-.
...ч-Л('!'Х("> = о j
гдѣ г означаетъ любое изъ чиеелъ
1, 2,....,
иг,
кромѣ L
Второе условіе состоитъ въ томъ, чтобы вѣсъ нашего ра-
венства
^фX'Vч- X"Ъ"ч-.
Х<">Ь(и)
былъ наибольшимъ. Мы иайдемъ этогъ вѣсъ, разематривая ма-

тематическое ожидаше квадрата разности
гдѣ
\— аѵ
Что же касается разности
Іг—а„
то она равна
X'(и — с) ч-X"(и" — с)н-.
. . . -+-Х(п)(tt<">—d
n));
Пб°
ch= X'с'и- X"с"н-....
н- Х('° с<">.
Поэтому
(?_No/)2=А'Л' (м'_С'/н-Х"Х"(М"— С")2Н-....Н-Х(и) Х{,!) (И(">— С(,!))2
-+- 2Х' X" («' — с') (к" — с") ч-....
X" X"
1
1.
Х(п) х(TM)|
U'1
1..
р"
'"
1
р(п) 1
следовательно вѣсъ разсматриваемаго приближеннаго равенства
выражается дробью
ГУ X"X"
Х'")Х(")'
і)' 4
р(п)
какъ и въ случаѣ одного неизвѣстнаго, и достигаетъ своего наи-
большая значенія тогда, когда сумма
X'X' X"X"
х(п) х(»)
1
-+-....
ч
р'
р"
pW
достигаетъ своего наименынаго значенія.
Мы пришли такимъ образомъ къ слѣдующей задачѣ.
Изъ различныхъ совокупностей коэФФиціентовъ
X', X",....,
Х<">,
удовлетворяющихъ условіямъ (*), найти ту, для которой сумма
X'У X"у
х(") хс»)
"
"
р(п)
достигаетъ своей наименьшей величины.

Чтобы примѣнить къ этой задачѣ извѣстный способъ вспо-
могательныхъ .множителей, составляемъ выраженіе
гдѣ
~lJ'm )
УV
V'V
л(") No)
р'
р"
р(п)
г, =Л'1Уч-
А" X" -+-....
- +- А(і'} л'"',
Т ==А' А-+ -А" Х"н-.
..
.-wl^X'",
m
ж
in
m>
коэФФИціенты же
Ра,
, р-т
представляютъ вспомогательныя неизвѣстныя. Считая числа
f*2)
i P-m
постоянными, а
-/ 'У
(я)
А, А ,....,
А
неремѣнными, согласно извѣстному правилу приравниваемъ нулю
производныя отъ S по каждому нзъ этихъ неремѣнныхъ.
Мы получаемъ систему п уравненій
IхmАі>
X"
Лп
I"
i"
-jr = piA -+-FaA -+-
—
-+-V'mAn>
которая вмѣстѣ съ прежнею системою га уравненій (*) должна
служить для опредѣленія те и- га чиселъ
Х',Х",
, Х(">, и.]., I
, (Лт.
Для рѣшенія составленныхъ нами уравненій подставляемъ
въ уравненія (*) выраженія
А, А ,...., А

черезъ вспомогательные множители
М-П Н'21 > Р"т>
доставляемый уравненіямп (**-).
Такая подстановка приводить къ системѣ т уравненій
Gi,i
+
hn:=0>
іИ-і
Gi-1
ОТ.m 0,
P-i -»-
P-m
=1,
^H-l
2a2и-.
.
.
•
Gl4-ЬОТK
'
OT 0,
Gm,1 Гі+ в-'
ОТ,2 i'
a
«г, roim
u..„ =
0
коэФФнціенты которой опредѣляются по Формулѣ
Замѣтимъ, что определитель
C1
"l,2'•••
G1,OT
=
**
n
>
Ж
Gr n,
m, 1'
с
•
'
"иг,m
составленный изъ всѣхъ этихъ коэФФиціентовъ, долженъ, на
основаніи теоремы умпоженія опредѣлителей, быть равнымъ
суммѣ квадратовъ опредѣлителей всѣхъ системъ т? элементовъ,
которыя получаются пзъ системы
AѴр,АIѵ,4"
....,
Ур(п)
АУУ,АУрг
,
А'УІГ,Д10
4W,
^Ур^')
(А

посредствомъ вычеркнванія п — т столбцовъ, если только
и> «г;
если же п < т, то опредѣлитель А равеиъ нулю. Поэтому для
существованія одного и только одного рѣшенія ноставленныхъ
нами уравненій надо исключить изъ разсмотрѣнія какъ случаи,
когда п < т, такъ и случаи, когда при п > т обращаются въ
н}гль опредѣлители всѣхъ системъ т2 элементовъ, которыя по-
лучаются пзъ (А) посредствомъ вычеркиванія п — т столбцовъ.
Необходимость псключенія такихъ случаевъ можетъ быть
установлена независимо отъ излагаемыхъ нами пріемовъ.
Она вытекаетъ изъ того обстоятельства, что въ исключае-
мыхъ нами случаяхъ по даннымъ величинамъ суммъ
А[«!+4«2 +
-+-А'а ,
І?'Й1+І<»)Й2+.... +д<;;чг,
нельзя определить искомыхъ чиселъ аг,
а2). ...,
ап
Изъ вспомогательныхъ множителей
М-і>
\J-m
особое значеніе имѣетъ
такъ какъ дробь
1
\>-і
выражаетъ вѣсъ приближеннаго равенства
если коэФФиціенты
A, A",....,
А^
опредѣлены выше установленными уравненіями.
При другихъ Hte значеніяхъ
А', А",...., А("),

удовлетворяющпхъ только уравненіямъ (*), вѣсъ равенства
Й(Фл6' + А"і" +
.
.
.
.-+->>) Г)
будетъ меньше
какъ мы сейчасъ докажемъ.
іхі
Пусть, въ самомъ дѣлѣ, совокупность чиеелъ
Н"1>[м2і••••,
будетъ рѣшеніемъ системы уравненій С***).
Подразумѣвая затѣмъ подъ
УУ
У")
A,A,....,К>
перемѣнныя числа, обозначимъ символами
7, У,....,
значенія этихъ перемѣнныхъ, опредѣляемыя уравненіями (**);
иначе сказать, положимъ
при
г = 1, 2,....,
п.
При такихъ условіяхъ выраженіе
можетъ быть представлено нодъ видомъ алгебраической суммы
(X'—Tjg (ѵ-1")2
()-(")— Wif
2р'
2р"
2р(")
у~ ~~
~)Tw
1p' 2р"
2 р(п)
Съ другой стороны имѣемъ
8=
/л'X' X"X"
ѴУ
р"
х(") XW
2Vда''
»"
)
во всѣхъ случаяхъ, когда числа

—
2G4 —
л',л",....AW
удовлетворяюсь выпіеустановленнымъ уравненіямъ (*).
Слѣдовательно для всякой системы чиселъ
X', X",. . . ., Х<"),
которая удовлетворяем уравиеніямъ (#), должно быть
Х'Х' Х"Х"
Х(П)Х(") (Г — X7)2
(х(«) —х(«))2
1
j
1
—
L.н
1-ь
———
-+- а.
2р' 2р"
2р(")
2р'
2р(п)
11
УХ7
Х("> XI")
откуда при
выводимъ
2р'
2р"
2рР
Х'=Т, X" =
X7',. . .
X(n) = XW
УХ'
гх^
.
х(») х(")
р'
р"
*
W=
Отсюда нетрудно также заключить, что \іч представляетъ
наименьшую величину, которой можетъ достигать сумма
Х'У X" X"
_
х(") xw
р'
р"
pW
при соблюденіи уравненій (*-); ибо сумма
УУ
F'X7'
х(») х(»)
1
1
1
_
р'
р"
р(")
равна u.t по доказанному, сумма же
(X'—х7)2
_
_
_
(х(») — xw)2
2р'
2р(п)
не можетъ быть числомъ отрпцательнымъ.
Итакъ изъ всѣхъ равенствъ
Ф XУ-+-X"Ь"-+-.
.
.
. н- х(") &("),
о которыхъ на основаніи нашихъ данныхъ и условій можно утвер-
ждать, что они свободны отъ постоянной погрешности, наиболь-

шимъ вѣсомъ отличается то, коэФФиціеиты котораго
опредѣляются уравненіями (**) и (***); и этотъ наибольшій вѣсъ
равенъ дроби
г
ін'
Послѣднюю же дробь, знаменатель которой опредѣляется
изъ системы уравненіп (***), можно при помощи обозначеній
теоріи опредѣлителей представить отношеніемъ
д
Gi,l—i
' G\, іч-і
ГДѢ
\«
=
Gt,i >•
Gi—l, 11 •
о,
Gт,1 '• '
Gl—1,1—11 Gl—1, M-l > • • • • l Gl—\,m
СП
С
г-»-і,г—11 /-ы,г-ні1••••1
z-f -i, m
С
С
С
^т, I—l
'
m, г-нl >••••» ""«г, m
Въ дальнѣйшихъ выводахъ памъ потребуются и другіе ми-
норы, перваго порядка, опредѣлителя Д. Припомнимъ, что при
помощи своихъ мпноровъ опредѣлитель Д выражается суммами:
=в01д„
-GА-
W2,2^2,2
~
G2, т Д2,rn= G 1,2 Д1,2-^ -^2,2
А»),2
гдѣ вообще Д{. . означаетъ произведете (—на
опредѣли-
тель, получаемый изъ Д посредствомъ вычеркиваиія столбца
G2.j
и строки
G
»>,j
G
i,1
G
i,21
> Gi,l

Припомнимъ также, что каждая сумма
Gl,іД1 +G2,г\jЧ-••••
G,n,г\п,j ,
гдѣ г и j два различныхъ числа изъ совокупности чиселъ
1,2,3,
т,
обращается въ нуль, равно какъ и сумма
Наконецъ нетрудно установить равенства
Д..=
Д.
hJ
J>»'
какъ слѣдствіе симметричности опредѣлителя Д.
Итакъ, полагая
и опредѣляя коэффпціенты
А,Л",••••,Х«
уравненіями («) и (**.,.) при различныхъ значеніяхъ I, мы мо-
жемъ получить приближенныя величины
для всѣхъ искомыхъ чиселъ
ап
«2>
,
ат-
Тѣ же самыя прпближенньш величины могутъ быть опредѣ-
лены одною довольно простою системою уравненій.
§ 42. Имѣя въ виду придти къ этой системѣ, составимъ вы-
раженія
W=Ър(Л-Л2 н-
....-н
лтІт-
j;
первое пзъ которыхъ означаетъ сумму

второе же получается изъ перваго черезъ соотвѣтственную за-
МѢИУ
??
Iг/
и"
«(-)
числами
,
,,
"І I "'2!••••у иті
и
1ѵт•••1и •
Мы будемъ разсматривать выраженіе W какъ Функцію пе-
ремѣнныхъ
г
г
р
1?2)'' •
-
> S)l)
а выраженіе W° какъ Функцію перемѣнныхъ
1) 2)****) )
считая постоянными пе только данныя числа
У, р",....,р{"\
Ъ', Ъ",....,
Ып\
но и неонредѣленныя числа
При такихъ условіяхъ не трудно установить, что W дости-
гаете своей наименьшей величины для тѣхъ значеній
Г
У
Y
сг
Г
•1: -2)••••> •т'
которыя опредѣляются Формулою
11=
К'»+«' +
.
.
.
.н-XWw W
и уравненіями (**) и („.*,.) при Z= 1, 2,. . . .т; и потому Ж0
достигаете своей наименьшей величины для тѣхъ значеній
eg
<,
которыя опредѣляются уравненіями (*•*)> (***) и Формулой
о°=
Х'й'-і -Х"й"-+ -
- t -XNo>.
Для доказательства приравниваемъ нулю производныя вы-
ражепія Who
*
г
х.
41)?2'••••'SJI>
что даетъ намъ систему уравнепій

—
268 —
гдѣ G. j по прежнему означаетъ сумму
pAAA A;h-
....
41'-
Такою системою опредѣляются тѣ значенія
5
£
для которыхъ выраженіе IF достигаетъ своей наименьшей ве-
личины. Придавая затѣмъ буквѣ Z прежнее значепіе, можемъ
изъ системы уравненій (24) исключить всѣ неизвѣстныя
кромѣ
при помощи тѣхъ же множителей
lh' Р-2)
> ft»»
которыми мы пользовались раньше. Дѣйствителыю изъ урав-
неній (24) легко вытекаетъ уравненіе
ft (<ѵ
^ft (Gl,2
Gm,
51>
1~т'1
2W 1=
jj, (4 p'n-t
/А' ''
J !j-2(ЛI5 »
-..н-4")^")
+ ft» (Gh,Jl4'-
5\
т~т'J
H
mP
которое въ силу уравненій (**:i:) даетъ
г
(м;
- +-^4
ft»
4J
Сравнивая последнее выраженіе
съ выраженіемъ
опре-
дѣленнымъ Формулою
^1,1 п"
(24)
?.
2 "»1

и равенствами (*-* -), тотчасъ убѣждаемся въ тожественности этихъ
двухъ выраженій \ѵ Итакъ установленный раньше Формулы и
уравненія опредѣляютъ тѣ Hte величины
?Р
?
-з'•'••'
~-т >
какъ и система (24). Нашъ выводъ сохраняегъ силу, каковы бы
ни были значенія чиселъ
и', и",. ..., и(п\
Въ частномъ случаѣ, когда
и'=
Ъ',и"=
Ъ",. . ..,
uW = tin\
отсюда слѣдуетъ, что выражевіе W° дѣйствптельно достигаетъ
своей наименьшей величины при тѣхъ значеніяхъ
(7°
<7°
1;"
"т1
опредѣленіемъ которыхъ мы занимались въ предыдущемъ пара-
графѣ. Этимъ обстоятельствомъ объясняется пазваніе способе
наименьшая
квадратовъ;
ибо W0 представляетъ сумму квадра-
товъ выраженій вида
VJ(Аа*н-Л2
-н.
.
.
. н-Лт<
-
Ь).
Итакъ всѣ искомыя числа
а\,
а°т,
служащія приближенными величинами для неизвѣстныхъ
аі>й2>•••-
' 1П'
могѵтъ быть найдены изъ одной системы уравненій
(25)
«Oh-....h-G,,))2 a°m =
j;

Величины же
5?
5
-j,
-2,....,
,ні,
связанный съ величинами
=
+
..
.H-W)
)
j
Формулой
-•I
и уравненіями (**) и (***), удовлетворяютъ системѣ уравненій
(24). Разсматривая наконецъ вмѣсто
/rr
(п\УУ
у
и,и,
, W>,спЕ2,
,
разности
и'_
с'=
w"_
с"=
.
.
.
.,
«(") _
сС0 =«,(»)
г
г
_
у
41 а1
"І17 -=2
"І2'••
-
''
®т
1„г,
можемъ установить уравненія
Gi, i
"+" ^2,1
-/І2-+-••••
-+- Gm, i
=
W1>
G1, 2 "ll
G2, 2 'І2
H"
2=C02-
^i, m "ll "+" ГЛ,Ш "І2-+-
-+- ^m, m "1ffl. =
>
гдѣ вообще
ы.=
УІ;р'ѵ -+ -^іУ»"-+-.
...-* -лѵрМѵ(п)
.
Эти уравненія послужатъ намъ для вторичнаго опредѣленія
вѣсовъ приближенныхъ равенствъ
«2Ф«2°>
> «НгФ<,
иначе сказать, для опредѣленія отношеній неизвѣстнаго числа к
къ математическимъ ожиданіямъ величинъ
При помощи тѣхъ же уравненій мы покажемъ, что матема-
тическое ожиданіе выраженія W равно
(w—т)к,

если
5Р
Р
-1)43)••••>ь„і
связаны съ
,
„
..
м, и ,....,
г^'
уравненіямп (24), какъ мы п предполагаема Для намѣченной
цѣли изъ установленпыхъ уравненій выводимъ
=
Аі,і
ш
ті
Чп = АШ,1
ы
і-+"Ат,2W2
-+- \г,« <•>,„,
гдѣ Д и Д.^. пмѣютъ вышеустаиовленный смыслъ.
ГІомножпвъ затѣмъ обѣ части равенства
АгЧ = Д/,1С°1
Д/, 2
ы
2 ••••-+-Д/,„г
w
m
па со. и ѵ)г., получаемъ два равенства
Дсо,ц - А/;, и,со, -+-
2 со, со2 -+-.
.
.
. н- Д^т со,со.„г
ДѴ)г 7], =
Д7)!СО, •/),. н- Дл2со27).+
....+Д(] m COm У).,
которыя даютъ возможность свести разысканіе математическихъ
ожиданій произведеній
къ разысканію математическихъ ожиданій произведеиій вида
А нроизведеніе со,, со,, равпое
(А^Уѵч-.
. . .-t-A^p^vW) (Ajp'v'-t-.
.
..ч-А^р^Ы"),
приводится къ суммѣ
А'{Aj(pvj -+-A-Aj(p"vf
+ 4") A<f> () г/"))2
ii такихъ произведеній, каиедое изъ которыхъ содержитъ, кромѣ
постоянныхъ, два различныхъ количества системы
ѵ, ѵ",....,
ѵ(п)
.
Поэтому математическое ожидаиіе произведепія со. со, оди-

наково съ математическимъ ожиданіемъ суммы
Л^ Aj (р v'J -+- А[ (jo" v")2 -+-...
..
+
нослѣднее же, какъ нетрудно видѣть, равно произведенію числа
Jc на сумму
которую мы обозначаемъ снмволомъ
Слѣдовательно
н потому равенство
м. о. со.со. =
JcG, ,
1
J
Дсо,.-/]г =
\1со,
н- Д^8ша -+-....
-ь \m (О. С0)(і
j
даетъ
Д(И. о. сojѵ)г)=Д7)а(И. о. со,to,) -+-
-+-Д?іm (м.о.со.соJ
—
/ІIG,,Д,.н-<?,.„Д,„-+-.
.
.
. -+-G, ,„Д, „„j.
I J,i l,i
J,2 /,2
7,m /, ml
Отсюда заключаемъ, что математическія ожиданія произве-
дены
«1 "Id
У]2,
, ш.т vjm
равны Jc, математическія же ожиданія другихъ произведены
w
j
гдѣ j отлично отъ I, равны пулю; пбо
Ql,i\i-*-Gl,a\i-*- -
•••+Gl,m\m =A
И
GJ,i\і+ Gj,2\2 •••• Gj,т\*=
°>
если j не равно I. На этомъ основаніи изъ Формулы
ДК], 7]. =
Д,}jСО, •/). Д/;2С02Y). -+-
И-\ т
V].
выводимъ
Д (м. о. ч, •/).) = Д;>1 (м. о. со, •/].) -+- ....-+- Д/)М (м. о. сою -щ)

и въ частности
д,i
(2 6)
м. о. Y]zѴ)г =
м. о.
—
а,У = к-д-
Игакъ математическое ожиданіе квадрата погрешности при-
блигкениаго равенства
.
„
выражается произведеніемъ
иначе сказать, вѣсъ равенства
выражается дробью
V
что было пайдено и другимъ путемъ.
Обращаясь къ выраженію
W= Ър(Л\-+-Л
и-.
.
..
-
«)»,
прежде всего распространимъ принятое нами обозначеніе на
другія суммы, аналогичный W; именно сумму
f(p',
А>->
Ат> "'> C')+f(p",
К,-•»
Л'»> М"> С")-<-
будемъ для краткости изображать такъ
Zf(p, А1У Л2,
, Лт,
и, с)
для любой функціи
f(p, Л1} Л2,
,Ат, г/,с)
неремѣиныхъ
р, Аѵ Л2,
,Ат, и,с,
при чемъ
г
Л)
f'i>
•••'>am
могутъ играть роль постоянныхъ.
Далѣе замѣтимъ, что въ силу равенства

должно быть
4й\
7], Ч-.. ..-Ь^?У)и — іЯ
Поэтому. W совпадаетъ съ суммою
ZP(АЩ-+-Л
-+-
-+- ДВ1 Чю — «О2.
Съ другой стороны, простыя выкладки даютъ
(АѴЗі+ +
А»*!»» —
=
А (А ч+Аъ-*-
—
-+-А»% —
-+-
•+-....-*- ч»spА»(Ачі-*-• • • ••+•А, ч»—
—
S^v(Аѵ^н-
н-А„Чт —
ѵ
)
=
—
(А1 У)1 -f- А "І2
А»
—
=
Zpv2 — 4l ZpA1 v — Yja A t>—... .—•/),„ S^A» V
=
Zpv2—YJ,CO,— Т)2ы2—
—
Y]m C0m;
ибо каждая изъ суммъ
ЪрАх(А,Чі -н Ауі2-+-
-+-А»"Іш—
ѵ
)>
2рА2 (А, ^ч~А2п2ч-
н-A,tlm —«0>
!
s
MHl(A'ii+ЛЧ. + " • •-+- А,ѵт —
ѵ
)
равна нулю. Следовательно
—
У)!Wj— v]2w8—
....
—
чж com
и
М.0.TF=SМ.0.pv2
М.О.7],Wj М.О.Ѵ)2М2 ....
М.0.Ч]тШт
=
(п — т)к,
такъ какъ математическое ояшданіе каждаго изъ произведеній
pv'v,
, jWM"),
-/]2w2,
, 7]т(от
равно числу к. Формула
(27)
м.о.W=(n—т)к

служить основаніемъ для приближеннаго равенства
•
п—т
она показываетъ, что это приближенное равенство свободно отъ
постоянной погрешности, при чемъ W0 по прежнему означаетъ
сумму
р(А[ аІ+Л'2 а°-н..-* -Л'т
а?т — b'f-i -p" (Аa°m-b"f
(J;) в; ч-....
ч-4;)< -
иу.
Выраженіе W° содержитъ кромѣ данныхъ элементовъ только
количества
оо
о
аѵаѵ••••'аті
которыя могутъ быть найдены изъ уравненій (25).
Следовательно величину W0 можно вычислить въ каждомъ
частиомъ случаѣ и потому, пользуясь равенствомъ
1 п—т
мы имѣемъ возможность найти приближенную величину к; и за-
тѣмъ по Формулѣ (26) можемъ найти приближенныя значенія
математическихъ ояоданій квадратовъ погрѣшностей равенствъ
ФаЬ
а
2Ф
атфа°т,
доставленныхъ способомъ паименьшпхъ квадратовъ.
Наконецъ, если въ томъ встрѣчается надобность, можемъ
разсматривать и вѣроятности различныхъ предположеній о вели-
чинѣ погрѣшностп любого изъ равенствъ
«іФ<.
«2Ф«2°,
, %гФ«С
на основаніи соображеній, установленныхъ нами выше, когда
рѣчь шла о случаѣ одного неизвѣстнаго.
§ 43. Положимъ теперь, что сверхъ данныхъ и условій, до-
пуіценныхъ въ § 41, намъ пзвѣстно несколько зависимостей
между «х, а2,. . . .,• ат.
И подобно тому какъ раньше мы пред-
полагали линейными, относительно аг,а2,...., ат, тѣ выраже-
18*

нія, приближенныя величины которыхъ доставлены паблюденіями,
будемъ предполагать линейными, относительно
а2,....,
ат,
и тѣ выраженія, точныя величины которыхъ намъ извѣстны
помимо наблюденій.
Такое предположеніе обыкновенно оправдываютъ тѣмъ со-
ображеніемъ, что способъ напменыпихъ квадратовъ употребляется
для разысканія малыхъ поправокъ въ найденныхъ, такъ или
иначе, приближепныхъ величинахъ непзвѣстпыхъ. Въ виду пред-
полагаемой малости чиселъ
а2,.
.
.
., ат пренебрегаютъ ихъ
степенями выше первой, равио какъ и произведеніями ихъ, и та-
кимъ образомъ всѣ выраженія, содержащая эти числа, сводятъ
къ линейнымъ.
Не настаивая на законности приведеннаго соображенія, за-
мѣтимъ, что предноложеніе о линейномъ видѣ всѣхъ выраженій,
величины которыхъ доставляются наблюденіями пли пзвѣстпы
помимо наблюденій, принадлежитъ къ числу основныхъ, и нару-
шеніе его лишило бы насъ возможности обосновать способъ нап-
меныпихъ квадратовъ на вышеѵказанныхъ началахъ.
Пусть, кромѣ приблияіенныхъ равенствъ
А[а,н-А'2а2
А'татфЬ\
а; а^А';
а2-н..
.-+- А'т ат фЪ",
iW«1 + 4\+....+i:)affi + J(")
мы имѣемъ ѵ вполнѣ точныхъ равенствъ
І>; ft, 1)'2 а2ч-....ч-
D'mат= д',
Ка1 К «2-+-••••-+- к ат =
о",
гдѣ D И д, съ разными значками, числа данныя.
Вмѣстѣ съ тѣмъ положимъ, что на основаніи послѣднихъ

равенствъ количества
«п «2>
>«V
можно выразить черезъ
«ѵ+17 Йѵн-21• • • •) ат•
Тогда, пользуясь выражеиіемъ одиихъ количесгвъ черезъ
другія и исключая на этомъ основаніи
а
іJа21••••1av!
мы можемъ уменьшить число неизвѣстныхъ.
Такимъ образомъ каждая изъ суммъ
преобразуется въ равную ей сумму вида
41!х «,„ -ь I>L
+
-
гдѣ коэффициенты
»(*)
nW
rW R(«')
v-t-i' y+2' ' ' •
-"m» ^
вполнѣ опредѣляются нашими данными. Вмѣстѣ съ тѣмъ разы-
сканіе приблшкенныхъ зпаченій т неизвѣстныхъ
«і,
с-т
будетъ сведено къ разысканію приближенныхъ значеній т — ѵ
количествъ
Йѵ-Ы) ®Ѵ-Ь2>' • • • >®ш>
изъ 11 приближенныхъ уравненій
«ѵ+1
ВтатфЪ'
-В',
В'а+.... +
В''афЪ''-B",
v-t-i ѵ-ы
'•
•
hi LVm ^J
1J•
И мы можемъ обратиться къ разсужденіямъ предыдущихъ
параграфовъ, если только указанными уравненіями исчерпы-
ваются всѣ пзвѣстныя намъ соотношенія между неизвестными
«а»«2,.••
ат,

такъ какъ въ этомъ случаѣ между числами
ачч-1' йѵ-* -2)••••> ат
не будетъ никакихъ пзвѣстныхъ намъ соотношеній.
Послѣ такого уменьшенія числа неизвѣстныхъ мы найдемъ.
по пзложеннымъ выше способамъ, для непзвѣстныхъ
ffv-t-l>й'ѵ-i-2'• •• •> ат
приближенныя величины
ѵ+11"ѵ+21•••'>
1)1 '
которымъ будетъ соотвѣтствовать наименьшая величина суммы
(Л+1
<+і
-+-
«°ѵ+2+
bf,
равной
Для остальныхъ же неизвѣстныхъ
, а2,.
.
.
а^
мы найдемъ ихъ приближенныя величины
а\ій2>••••>аЪ
подставляя въ выраженія этихъ иеизвѣстныхъ черезъ
Яѵ-Ы' йѵ-+-2 )••••) ат
вмѣсто послѣднихъ чиселъ ихъ приблияіенныя величины
а
ѵ+і' йѵ+2'••••>ат-
Найденная такимъ образомъ система приближенныхъ зна-
чены неизвѣстныхъ
А\JА2>••••) АТ
удовлетворитъ всѣмъ уравнепіямъ

Но для всякой системы чиселъ
а
%
С
которая удовлетворяетъ этимъ уравненіямъ должно быть
-*- 44=^
«°ѵ+1
л£< -ь pw
и потому сумма
одинакова съ суммою
Zp(Aial +Ay2 + ....-+-Ama°m
Ь)2.
Отсюда нетрудно заключить, что найденная нами система
чиселъ
оо
о
а
Ъ<
>
представляющихъ нриближенныя величины аг, а.,,.
.
.
.
а,от-
личается отъ всякой другой системы чиселъ
аѵ а2'••••'
ат,1
которая удовлетворяетъ извѣстнымъ намъ уравненіямъ, наимень-
шею величиною суммы
Ър{А1а\ + АіаІч-....
+
Ата!>т-ЪГ.
Для лучшаго выясненія изложенныхъ нами пріемовъ разсмо-
тримъ слѣдующій вопросъ практической геометріи.
Въ прямолипейномъ трехугольникѣ EFG нѣсколько разъ
измѣрены всѣ его углы, и получено для угла Е, въ градусахъ,
г приближенныхъ значеній
Е\ Е",.
...,
Е{г\
для угла F, въ градусахъ, s приблпженпыхъ значеній
F',
F"......
F®

и для угла G, въ градусахъ, t приближенныхъ значеній
G\ G",....,
в®.
Всѣ измѣренія мы предполагаемъ независимыми и свобод-
ными отъ постоянныхъ ошибокъ. Придавая сверхъ того одина-
ковый вѣсъ всѣмъ измѣреніямъ одного и того же угла, мы полу-
чпмъ согласно изложенному способу для Е, F, G слѣдующія
приближенныя величины
Е'+Е"-І-....
+ Шг) F'-t -F"-H....-*-F(.
s
) ff'-bff"-»-....-+-GC)
7
'
7
'
1
'
если только оставимъ въ сторонѣ соотношеніе
E-*-F+G = 180.
Если же желаемъ принять во внпманіе это соотношеніе, то
найденныя нами числа
Е'ч- Е"ч- ....и- ж(г
'1 F'-+- F"-*- ,... + F(s) (?'-+- (?"-+-.... -+- <?(')
Г
'
7
'
t
'
которыя условимся обозначать для краткости символами
ДF,G,
должно, въ силу изложенныхъ нами правилъ, замѣнить другими.
Эти другія приближенныя зпачепія чиселъ Е, F, G обозна-
чимъ символами
q0_
разности же
_
_
Е°—Е,F°—F,G°—G
назовемъ поправками первыхъ приближенныхъ значеній и обо-
значимъ символами
*/тт>
Ъ(Е), 8(F), 8(G).
Числа
Е°, F°,
G0
вмѣстѣ съ поправками
8(23), 4F), 8 (О)
получатъ опредѣленный смыслъ только послѣ того, какъ мы
установимъ опредѣленныя отношенія между вѣсами измѣрепій,
относящихся къ различнымъ угламъ Е, F, G.

Устанавливая различнымъ образомъ эти отношенія, мы, есте-
ственно, моя^емъ получить совершенно различные результаты.
Здѣсь мы приведемъ двѣ системы поправокъ
8(E), 2(F), §((?).
Для получепія первой системы припишемъ всѣмъ измѣре-
ніямъ одинаковый вѣсъ.
При такомъ условіи искомая нами система чиселъ
Е°, F°, G°
должна отличаться отъ всѣхъ другихъ системъ чиселъ
Е°,
F°,
G\
удовлетворяющихъ уравненію
E°4-F°-i-G0=
180,
наименьшею величиною суммы
(Е°—Е')2и-(Е°—Е")2-+-
- t~{Е°—E^f
-t-(F° — F'J -+- (F° — F")2 и-
—
F^f
-+-(G°— G')2-+-(G°— GJ -+-
. .. .4-(G°
—
G[l)f.
Это требованіе выражается системой уравненій
Е°н-F°-+-G°=
180
гЕ°—E'—E"..—E(r)
=sFq—F'—F"..
—
F®=tG°-G'-G"..-G{t),
откуда безъ большого труда выводимъ
до—IT FO—j? GO—G 180—
1
1
1
1
1
1'
—
—.
—
1
1- .—
r
s
t
r
s
t
или, что все равно,
S(Е) __ О{F) _ ОJG) __ ISO—(ІГ-+- F-NFF)
i.
—
J_
~~
jl _L
r
s
«
r
s
t
Итакъ, если всѣмъ измѣрепіямъ угловъ
Е,F,G

мы приписываемъ одинъ и тотъ же вѣсъ, то поправки
ЦЕ), HF), ЦѲ)
первыхъ приближенныхъ величинъ
Ѣ=
-
,t=
'G=
—
этихъ угловъ представляютъ трп части разности
180 — (Ё-+-
F+G)
обратно пропорціональныя чпсламъ
г,s,t.
Въ частности при
имѣемъ
<———
8 (Е) = 8 (F) = £(&') = 1SQ ~No3+f+fi).
Прежде чѣмъ заняться другой системой поправокъ, примѣ-
нимъ Формулы предыдущаго параграфа къ одѣнкѣ достоинства
приближенныхъ равенствъ
ЕфЕ°,
GфG0.
Для этой цѣли исключимъ число G, замѣнивъ его разностью
180 — (Еч-F)-,
такъ что измѣренія угла G будутъ доставлять намъ прибли-
женныя величины разности
180 — {E+F).
Въ данномъ случаѣ выраженіе W° предыдущаго параграфа
приводится къ суммѣ
(Е°—EJ [Е°—Е"У-н-
-+-(W— Е^у
-+- (F° — F'f
-ь (F° — F")2 -t-
-н (F° — FW)8
и-
F0 — 180-+- Gj....-+-
F° — 18 О-+ - G{t))2,
если одинаковые, по предположенію, вѣса измѣреній мы при-
равняемъ единицѣ. Соотвѣтственно этому система (2 5) приведется

Д=
къ двумъ уравненіямъ
,,
(г ч~г)Е°ч-
tF° = гЖч- t(l80 — G),
+
+
F°=
sF-Ht(l80 —G),
и количества
A,AI;1и Av
опредѣлятся равенствами
r-+ -t, t
=
rsH—rt -t-st, Ajj= s -+-1, Д„2 = r -+-1.
t,S
-i-t
Отсюда слѣдуетъ, что вѣсъ равенства
Еф Е°
выражается дробью
rs-4-rtH-St
s+i
'
a вѣсъ равенства
выражается дробью
rs -+- rt -+- st_
r+f '
п по апалогіи не трудно заключить, что вѣсъ равенства
долженъ выразиться дробью
rs•+-rt-+-st
г+s
Въ частномъ случаѣ, когда
r=s—t,
вѣса всѣхъ равенствъ
Еф Е°, ЕфЕ°,
бфС1
оказываются равными
3j
У
т. е. половинѣ числа всѣхъ пзмѣреній.
Наконецъ число к, выражающее математическое ожиданіе
квадрата погрѣшности каждаго изъ начальныхъ равенствъ
ЕфЕ',....,
ЕфЕ<-
г
\ F=t=F',....,
РфРѴ,
вфѲ',....,
ѲфО®,

(r-bs-н^—2) к ф
вычисляется, съ неизвѣстною погрѣшностыо, изъ равенства
(E°—E'f4-(Ea—E"f4-....
+
(Е°—E^f
. (F°— F'f-v -
F"f
-+-...
.H-(JP—IW)2
• (G°—G)24-(G')
—
G"f+....+(G0—GVf.
Другая система поправокъ
o(E), Z(F),
ад,
которую мы сейчасъ укажемъ, относится къ тому случаю, когда
возникаетъ сомнѣніе, не слѣдуетъ ли измѣрепіямъ различныхъ
угловъ приписывать различные вѣса.
Тогда для сравнительной оцѣнки достоинствъ различныхъ из-
мѣреній угловъ мы можемъ попробовать найти для каждаго угла,
въ отдѣльности, приближенную величину математическаго ожида-
нія квадрата погрѣшности его измѣреній. А именно, согласно
приведеннымъ выше объясненіямъ, мы можемъ признать число
,
__
(Е-Е')2ч-(Ё-
Е"Тч- . ..
.- «-(Ж- ЕІГ))2
1
г—1
за приближенную величину математическаго ожиданія квадрата
погрѣшности каждаго изъ измѣреній угла Е, число
(F-F'f-t -iF-F'02-ь. ..
.- * -( .¥- F(s))2
k2
s—1
за приближенную величину математическаго ожиданія квадрата
погрѣшности каждаго изъ пзмѣреній угла F, и наконецъ число
/с3—
t-1
за приближенную величину математическаго ожиданія квадрата
погрѣшности каждаго изъ измѣреній угла G.
Если числа
к2, к3 мало отличаются другъ отъ друга, то
ихъ разсмотрѣніе можетъ служить нѣкоторымъ подтвержденіемъ
прежняго предположенія, согласно которому всѣмъ измѣреніямъ
мы приписывали одинаковый вѣсъ. Если нее числа кг, Jcs, к3 зна-
чительно разнятся другъ отъ друга, то вмѣсто предположенія

равенства вѣсовъ всѣхъ измѣреній можно признать болѣе пра-
вильпымъ предположеніе, что числа
Іс2, к3 служатъ вѣрною
мѣрою вышеупомянутыхъ математическихъ ожиданій.
При такомъ предположеніи вѣса измѣреній угловъ Е, F, G
можно соотвѣтствепно приравнять дробямъ
-LJLJL
А
'
2kg
Тогда искомая система чиеелъ Е°, F°, G0 будетъ отличаться
отъ всякой другой системы чиеелъ Е°, F°, G°, которая удовле-
творяете уравненію
Е° -+-F° G° =
180,
наименьшпмъ значеніемъ суммы
-+- ~
(F°—F^f-t- уз (G°—G'f
-н....-+- у
(GG®f.
Это требоваиіе выражается уравненіями
_
sF<>—F'—F"- . .. .- F(s)_tG°—G'—G"—
к,
к2
к3
изъ которыхъ, въ связи съ уравненіемъ
<3° =
180,
безъ труда выводимъ
Ъ(Е) S(F)
8jff) 180 -(Дч-F+g)
кі
къ
ка
кх^к2
к3
г
s
t
г
s
t
Пользуясь затѣмъ для опредѣленія вѣсовъ равенствъ
ЕфЕ°,
F=t=F°,
G=£G°
тѣмъ же пріемомъ, какой мы примѣнили раньше, найдемъ, что
теперь эти вѣса соотвѣтственио равны
rskg -+- rtk2 -+- stki rsk3 -t - rtk2 -+- stki rsk3 -+- rtk2 -+- stki
ki (sk3 -+• tk2)
'
k2 (rka -+• tt\) ' ks (rk2 •+• ski)

Литература.
Gauss. Methode des moindres carres, traduit par J. Ber-
trand.
Encke. Ueber die Methode der kleinsten Quadrate (Berl.
Astr. Jahrbuch. 1834, 1835, 1836).
Bienayme. Sur la probabilite des erreurs d'apres la methode
des moindres carr6s (Jour, de Liouville, Т. XVII, 1852).
Glaisher. On the law of facility of errors of observations
and on the method of least squares (Mem. of the R. Astr. Soc.,
XXXIX).
P. Pizzetti. I Fondamenti Matematici per la critica dei resul-
tati sperimentali. Genova 1892.
M. Маіевскій. Изложеніе способа наименьшихъ квадра-
товъ и примѣненія его преимущественно къ изслѣдованію резуль-
татовъ стрѣльбы.
И. Слешинскій. Къ теоріи способа наименьшихъ квадра-
товъ. Одесса. 1892.
Н. Цпнгеръ. Курсъ астрономіи (часть теоретическая).
Helmert. Ausgleichungs-rechnung nach der Methode der
kleinsten Quadrate. 2 Aufl. 1907.
S. Wellisch. Theorie und Praxis der Ausgleichuugsrechnung.
1909.
R. Suppantschitsch. Zur Axiomatik der Methode der
kleinsten Quadrate (Sitzungsberichte der kais. Akad. d. Wis. in
Wien. Math.-nat. Kl.; Bd. CXXII, Abt. Ha. 1913).

ГІАБА УШ.
О страхованіи жизни.
§ 44. Расчеты стоимостей различныхъ видовъ страхованія
жизни основаны на нормѣ роста капитала и на таблицахъ смерт-
ности, служащихъ для исчисленія вѣроятностей тѣхъ или иныхъ
предположены о н?изни и смерти людей; ибо эти расчеты связаны
съ разсмотрѣніемъ суммъ, которыя должны быть выданы или
получены въ различныя эпохи времени, въ зависимости отъ
жизни или смерти опредѣленныхъ лицъ.
Посредствомъ извѣстнаго множителя, выражающаго ростъ
капитала во времени, подобныя суммы приводятся къ одной
эпохѣ, которую мы пазовемъ основпымъ моментомъ времени.
Относя всѣ капиталы къ основному моменту, превращаюгь
капиталъ А въ
L
(1 4-t)n
'
если полученіе или выдача капитала А послѣдуетъ черезъ и лѣтъ
послѣ основного момента времени, при чемъ t означаетъ число
постоянное и измѣряетъ годовой ростъ капитала.
Если яіе капиталъ А долженъ быть выдашь или полученъ за
п лѣтъ до основного момента времени, то его превращаютъ въ
А(1

Такое приведете капиталовъ вытекаетъ изъ указаній прак-
тики; мы будемъ его придерживаться и при разсмотрѣніи мате-
матическихъ ожиданій прибыли, или убытка, предпріятій въ
тѣхъ случаяхъ, когда убытки и прибыли предпріятій могутъ
быть въ различные моменты времени. На этомъ основаніи не-
трудно составить попятіе о математическомъ ожиданіи прибыли
предпріятія, приведенной къ данному момепту времени. Послѣднее
математическое ожидапіе, которое можно назвать стоимостью
предпріятія, служить для рѣшенія вопроса о выгодности или не-
выгодности предпріятія, при разнообразіи моментовъ прибыли и
убытка. Вмѣстѣ съ тѣмъ установленное раньше условіе безобид-
ности игръ превращается въ требованіе, чтобы для каждаго
игрока математическое ожиданіе прибыли, приведенной къ одному
моменту времени, было нулемъ.
Вѣроятности, которыя намъ придется разсматривать, опре-
дѣляются посредствомъ таблицъ смертности.
Изъ таблицъ смертности получается рядъ чиселъ
NN
N
гдѣ
показываетъ, какое число лицъ дожпваетъ до воз-
раста а -+- і
-+ -1 лѣтъ изъ Na4_{ лицъ, пмѣющихъ возрастъ a -+ - г
лѣтъ. Сообразно этому дробь
•^ач-г -4-1
Na+i
будетъ вероятностью лицу возраста а + і лѣтъ дожить до
a-t-i -i - 1 лѣтъ, а дробь
выразить вѣроятность тому же лицу, возраста a-t -i лѣтъ, уме-
реть въ теченіи одного года. Далѣе не трудно заключить, что
дробь
N
а-і-»-+-п
п-І-і
представить вѣроятность лицу возраста Й + І лѣтъ дожить до

й+ г+ плѣтъ, дробиже
•^ач-і
^n-f -i-4 -1
— Ng-t-i -t-2
1ѵд-і -і -і -2—ivg-t-t-ьз
AT•
'
ЛГ
•
'
7ГI
'*'''
-"а-+ -г
- "a-t -г
- "a-t -i
представляютъ соотвѣтственно вероятности лицу возраста а -+- г
лѣтъ умереть въ возрастѣ
отъ а-+-і до а-ѵ-г-ѵ-1 лѣтъ, отъ я-+-г-»-1 до ан-г-н2 лѣтъ, и т. д.
По числамъ
-^а'
-^а-Ы' ^а-і-2) • • • •
составляется другой важный рядъ чиселъ
Л__
Na
Q_
^ач-І
/л
^ач-і
^а
(1 ч-()<о
(1 ty'
'
~~ (1ч-f)o>4-i' ' ' ' '
гдѣ со означаетъ нѣкоторое постоянное, напримѣръ а. Рядъ
Qa, Qa+V
Qач-2j••••
состоитъ изъ конечнаго числа членовъ; складывая ихъ съ того
или другого члена до послѣдняго, образуемъ третій рядъ чиселъ
8а
=
Qa-, -1
-+- Qa+2 + Qa-i-8
8а-л-2
=
••••
Приведенными числами можно воспользоваться для рѣшенія
слѣдующихъ задачъ, относящихся къ страхованію одного лица.
Задача
Тя
.
Опредѣлипгь стоимость единицы
капитала,
уплачиваемой
лицу возраста
с лѣтъ по дошиженіи
имъ воз-
раста д лгътъ, при чемъ эта стоимость должна быть отнесена
къ тому моменту времени, когда вышеупомянутое
лицо имѣетъ
возрастъ с лѣтъ.
Искомая стоимость, какъ пе трудно догадаться, выражается
произведеніемъ
N
i
Ж' (i + ty-c'
которое равно отношенію
Уд
Qo'

Если найдется Nc лнцъ, возраста с лѣтъ, и каждое изъ нихъ
внесетъ въ общую кассу капиталъ
3
і_
Nc
"(1+ ty-c'
то составится сумма
(1 ty-c'
которая черезъ д — с лѣтъ превратится въ
N„,
если сохранится принятый нами размѣръ роста капитала.
Съ другой стороны, если эти N лицъ будутъ вымирать со-
гласно принятой нами таблпцѣ смертности, то къ моменту рас-
платы изъ нихъ останется въ ЖІІВЫХЪ Nd лицъ, которыя и мо-
гутъ получить по одной единпцѣ капитала изъ общей кассы, со-
держащей Nd единицъ капитала. Это разсужденіе подтверждаетъ
вѣрность найденпаго нами числа
1
Qd
Nc
'
Q0'
Задача 2ая
.
Лицо возраста с лѣтъ окелаетъ получать еже-
годную постоянную пенсію А, начиная съ момента достижения
имъ возраста c-t -i лѣтъ до смерти.
Определить, какою суммою X оценивается
эта пенсія въ
моментъ, когда вышеуказанное лицо имеешь с летъ.
Предположимъ, что ежегодная пенсія А не распределяется
по частямъ года, а выдается вся цѣлпкомъ, и сообразно этому
отнесемъ ежегодпую пенсію А къ тѣмъ моментамъ времени,
когда разсматриваемое лицо будетъ послѣдовательно достигать
возрастовъ
с+ ілѣтъ, с-+-гн-1 лѣтъ, сн-і
- +- 2 лѣтъ,....
Прп такомъ предположеніи получимъ, на основаніи рѣшенія
предыдущей задачи, рядъ послѣдовательныхъ стоимостей
Qc-i-г л
д Яеч-іч-і Д
Qcл
'
Qc
'
Qo
''"'•'

сумма которыхъ
0*±± -+- Qe-t -i -Hl Qc-<-i -\-2
-+-••••А
Qc
Л
выразить искомую величину X; слѣдовательно
—
=
Se->-i —l
Qc
Найденная нами величина X можетъ быть разсматриваема
какъ нормальная сумма, которую должно потребовать страховое
учрежденіе отъ лица возраста с за предоставленіе ему права на
ежегодную пенсію А, если выдача пенсіи начинается съ момента
достиженія вышеупомянутымъ лидомъ возраста с + ги продол-
жается до смерти этого лица.
Задача Зья
.
Найти, какую сумму Y должно
потребовать
страховое учрежденіе за предоставленіе,
наслѣдникамъ
лица
возраста с, права получить сумму А въ моментъ смерти этою
лица. Другими словами, требуется определить стоимость этого
права, когда застрахованное
лицо находится въ живыхъ и име-
ешь возрастъ с летъ.
Для упрощепія вопроса пріурочимъ предстоящую смерть за-
страхованнаго лица къ тѣмъ моменгамъ, когда оно достигаетъ
возрастовъ
с лѣтъ, сн-1 лѣтъ, сч~ 2 лѣтъ, и т. д.,
считая, что въ случаѣ, если смерть лпца послѣдуетъ между воз-
растомъ сн-гпс + і + 1 лѣтъ, его наслѣдникп получать сумму
А уже въ тотъ моментъ, когда возрастъ этого лпца будетъ ра-
венъ с -+- г годамъ. Такое предположеніе, значительно упрощаю-
щее расчетъ, преувелпчиваетъ, до нѣкоторой степени, искомую
стоимость. Чтобы получить затѣмъ величину меньшую, чѣмъ
искомая стоимость, достаточно подвинуть на годъ всѣ моменты
послѣдовательныхъ выдачъ, что введетъ только простой дѣлнтель
1 -+-t.
Останавливаясь на вышеуказанпомъ предположепіи, станемъ
разсматривать пожизненное страхованіе лица какъ совокупность
19*

годовыхъ страхованій:
на случай смерти въ возрастѣ отъ с до с -+ -1 лѣтъ,
на случай смерти въ возрастѣ отъ с -+-1 до с -+- 2 лѣтъ, и т. д.
Стоимости этихъ годовыхъ страхованій, отиесенныя къ мо-
менту времени, когда застрахованное лицо имѣетъ возрастъ с,
выразятся произведеніями
Уд—Усн-і л ^с-і-і-Уе-4 -2
^
Уд+г-^Усн-з
^
лг„
'
^с
'!+<'
JVe
•(І-ьі)8'""
Отсюда заключаемъ, что искомая величина Y, нѣсколько
преувеличенная, можетъ быть представлена въ видѣ суммы
-^с—^сч-і л . ^е-і-і—Уе-і-2
^
-^сч-2 —•^с-4 -s
^
.
2ѴС
JVC
' 1-ч-і
ІѴС
'(1-btj®
'
которая легко приводится къ
^ (?c-t -i-*- Qc-ні-+ - Ясч'Я-*-— А = А t — А
Qc
Qc
Этотъ результатъ, на основаніи рѣшенія предыдущей за-
дачи, можетъ быть истолкованъ въ томъ смыслѣ, что наслѣдннкп,
получая капиталъ А только послѣ смертп застрахованнаго лица,
лишаются, во все время его жизни, процентовъ съ этого капи-
тала. Если раздѣлимъ найденную величину
A'-'i)
на 1 -t -t, то получимъ величину
которая, согласно выше сказанному, будетъ меньше искомой
стоимости Y. Наконецъ для достиженія большей точности можно
пріурочить смерть застрахованнаго лица къ тѣмъ моментамъ,
когда оно достигаете возрастовъ
с -+-у лѣтъ, с-ну лѣтъ, c-t -y лѣтъ, и т. д.;
тогда получится для искомой стоимости Y третье значеніе
і'і+А
Qd

о которомъ уже нельзя будетъ сказать, превосходить ли оно Y
или нѣтъ. Замѣтпмъ, что мы имѣемъ здѣсь одинъ изъ тѣхъ важ-
ныхъ для практики случаевъ, когда существованіе искомой вели-
чины, въ строгомъ математическомъ смыслѣ, не можетъ быть
установлено; поэтому въ данномъ случаѣ не можетъ быть и рѣчи
о точной Формулѣ. Усложняя выводы, можно создать иллюзію
точности; но для устранепія этой иллюзіи, въ данномъ случаѣ,
достаточно замѣтить, что таблицы смертности не принадлежатъ
къ числу настоящихъ математическихъ таблицъ.
Задача 4ая
.
Лицо возраста
с уплачиваешь
страховому
учреоюденгю ежегодно сумму х, начиная сь момента достиженія
возраста с до своей смерти, съ тѣмъ условгемъ, чтобы наслѣд-
никамъ этого лица была выдана сумма А тотчасъ послѣ ею
смерти. Определить нормальную величину отногиенія
Согласно рѣшенію задачи 20fl стоимость всѣхъ суммъ, кото-
рыя уплатитъ застрахованное лицо страховому учрежденію, при-
водится для начала страхованія къ
Съ другой стороны на основаніи рѣшенія задачи 3TM можно
признать, что для того же момента времени стоимость суммы А,
которую страховое учрежденіе должно будетъ уплатить наслѣд-
никамъ лица, приводится къ
Поэтому, на основаніп условія безобидности пгръ, имѣемъ
откуда выводимъ
х
А Ѵіч-t
Уі-ьі' Qe+ s0 '
Qc
1 t°C
J:
Qc_
1 Qc~ tSe

§ 45. Переходя къ такимъ страхованіямъ, которыя обуслов-
лены жизнью и смертью двухъ лицъ, ноложпмъ для большей
общности, что этп два лица принадлежать къ различнымъ кате-
горіямъ людей, и что потому къ нимъ слѣдуетъ прпмѣнять раз-
лпчныя таблицы смертности.
Сохранпмъ для одного лпца преяшій рядъ чиселъ
NN
N
N
а' 1 а-Ы'
а-« -2'
"^а-нз' ••" '
въ выше разъясненномъ смыслѣ; а для другого лица будемъ упо-
треблять, въ томъ же смыслѣ, новый рядъ чиселъ
N' N'
N'
N'
ху а'
х
а.ч-1'
а-+-2 >
а-нЗ>••••
Тогда, если первое лицо пмѣетъ возрастъ с лѣтъ, а второе
возрастъ д лѣтъ, то вероятность ітрожпть имъ обоимъ г лѣтъ
выразится произведеніемъ
•^с-ні d-t-i
'
К
Прп тѣхъ же условіяхъ вѣроятность, что первое лицо ум-
ретъ въ теченіе г лѣтъ, а второе останется въ жнвыхъ, пред-
ставится пропзведепіемъ
jVg ^С-І -І f)-l-»' .
Nc
'
К'
п вѣроятность, что второе лицо умретъ въ теченіе г лѣтъ, а пер-
вое останется въ ЯІИВЫХЪ, представится произведеніемъ
Nc-Hi
K-rt+г
Наконецъ произведеніе
Fc-Nc+i
JVa'-yj-M
No'
К
выразитъ вѣроятность, что оба лица умрутъ въ теченіе г лѣтъ.
Для рѣшенія нижеслѣдуюіцихъ задачъ полезно ввести три
системы чиселъ:
у
JL jA'c-f-l
,
^е-і -2
,
,
)

Y'
J_
.
Кч-2
.
К-1-Я
.
I
д~ Щ U-t-i (l-+ -«)2 (І-НІ)З-1-
'•••f
(1 -b<) Ar
c N'd
{\-* -t?NcN'd
'
гдѣ подъ буквами end мы подразумѣваемъ любое изъ чиселъ
а,а
а ч- 2, а-+- 3,....
Число
представляетъ, на основаніп рѣшенія задачи 2°
а
, стоимость еди-
ницы капитала, уплачиваемой ежегодно первому лицу, или пер-
вымъ лицомъ, съ момента достиженія пмъ возраста с до смерти,
при чемъ эта стоимость отнесена къ моменту первой уплаты,
когда вышеупомянутое лицо пмѣетъ возрастъ с лѣтъ.
Подобный же смыслъ имѣетъ для второго лица число
і+і;
Что же касается числа
1Хсд,
то оно выражаетъ, какъ нетрудно убѣдиться, стоимость ежегод-
ныхъ уплатъ единицы капитала, производимыхъ при условіп су-
ществовапія въ живыхъ обопхъ разсматриваемыхъ нами лицъ,
при чемъ эта стоимость, подобно предыдущимъ, относится къ
моменту первой уплаты, который совпадаетъ съ моментами до-
стиніенія вышеупомянутыми лицами возрастовъ с лѣтъ и д лѣтъ.
Задача 5"
я
.
Лицо возраста с лѣтъ желаете, чтобы тотчасъ
послѣ его смерти страховое учрежденге выдало другому лицу,
возраста д лѣтъ, капиталъ А, если смерть перваго лица послѣ-
дуетъ въ тотъ промежутокъ времени, когда его возрастъ будетъ
заключаться между сч-і и сч-іч-1
годами. Опредіьлгіть сто-
имость этого капитала, приведенную къ моменту, когда первое
лицо имѣетъ возрастъ с лѣтъ, а второе д лѣтъ.
Если бы уплата капитала А не была обусловлена жизнью
второго лица, то искомую стоимость можно было бы предста-

впть произведеніемъ
і+і
(1ч-ti •
на основаніи сказаннаго нами при рѣшеніп задачи 3е2
.
Теперь же мы должны прибавить еще одинъ множитель,
выражающій вѣроятность, что въ моментъ смерти перваго лица
второе окажется въ жпвыхъ. Этотъ мнояштель леяіитъ между
„
^бЧ-ІЧЛ
.
д
ибо въ разсматриваемый моментъ смерти перваго лица возрастъ
второго лица заключается между д-і -іидч-і-+-1
годами.
Допуская же, что въ моментъ смерти перваго лица возрастъ
^
.
1
второго равенъ он-і + уі мы за вышеупомянутый множитель
можемъ принять
;
/
щ
Итакъ за величину искомой стоимости можно считать про-
изведете
,
,
Nc-, -і
—
£с±±±1 Nj-t -i
-+- ^дч-гч-і
1
2N'
,
.+'
ЭТОТЪ результатъ послужитъ основаніемъ для дальнѣйшихъ
нашихъ выводовъ.
Задача 6"".
Лицо возраста
с вносить въ страховое учреэю-
денге капиталь Y съ тѣмъ условіемъ, чтобы тотчасъ по смерти
этого лица былъ выданъ капиталь А другому лицу возраста д.
Найти нормальную величину отногиенія
Т
а'
Страхованіе, о которомъ идетъ рѣчь, можно разсматривать
какъ совокупность годовыхъ страхованій, стоимость которыхъ
мы только что опредѣлили. На этомъ основаніи нетрудно устано-
вить равенство
Z
V ^сч-і
—
^сч-іч-І
Кч-гч-1
1
А
N,
'
2Ж
'
c
"
(1-ні)

гдѣ
;= о, і, 2, з,....
Затѣмъ посредствомъ простыхъ преобразованій выводимъ
I УГ=мtxj -^(1 + хс+1, „)
Задача 7"
я
.
Лицо возраста с и другое лицо возраста д вно-
сятъ въ страховое учрежденіе капиталъ Z съ тѣмъ условіемъ,
чтобы тотчасъ по смерти кого нибудь изъ иихъ былъ выданъ ка-
пгіталъ А оставгиемуся въ эюивыхъ. Найтгі нормальную величину
отногиенгя
z
1'
На основаніи рѣшенія задачи б011 произведете
А
выражается суммою
|(1- tXc>d) -^(1+ хс+1, ,) -4-^(1-4-
Хс< д+1)
Н-1 (1 — txei
X.
-н
(1-н Хс+1, „),
д
С
которая приводится къ 1 — tXcd.
Этотъ результата можно вывести изъ того соображенія, что
два лица, получая капиталъ А только послѣ смерти одного изъ
нихъ, лишаются процентовъ съ капитала А во все время, пока
они оба живы.
Задача 8"". Лицо возраста с и другое лгщо возраста д вно-
сятъ ежегодно въ страховое учреоюденіе капиталъ х, пока оба
жгівы, съ тѣмъ условгемъ, чтобіь тотчасъ по смертгі кого нибудь
изъ нихъ оставгиемуся въ живыхъ былъ выданъ капиталъ А.
Найтгі нормальную величину отногиенгя
А'
На основаніи рѣшенія предыдущей задачи получаемъ
х_
1—tXc,д
1
Л
l-t -Xc.d Ѵіч-1

еслп первая уплата капитала х происходить въ тотъ моментъ,
когда вышеупомянутый лпца имѣютъ возрасты с лѣтъ п д лѣтъ.
Задача 9"
я
.
Лицо возраста
с вносить въ страховое
учреж-
денге капиталъ Z съ тѣмъ, чтобы другому лицу возраста д была
обезпечена ежегодная
пожгізненная
пенсія А съ момента
смерти
перваго лица. Определить
нормальную величгіну отношенія
~
Для упрощения расчета пріурочимъ всѣ выдачи пенсіи къ
тѣыъ моментамъ, когда второе лицо достигаетъ возраста
д-+-1лѣтъ,д-+-2лѣтъ,д-ь3лѣтъит.д.
Далѣе условія задачи пстолкуемъ такимъ образомъ, что прп
достижепіп возрастовъ
д-+-1 лѣтъ, д-+-2лѣтъ, д-+-3лѣтъит.д.
второе лицо во всякомъ случаѣ получаетъ пенсію А, которую
однако оно тотчасъ возвращаетъ страховому учрежденію, еслп
и первое лицо оказывается живымъ.
При такомъ толкованіп вопроса легко получается Формула
z
у
X
л
і"~
л
і, д-
Желающимъ ознакомиться подробнѣе съ различными вопро-
сами страхованія жизни п пріемамп ихъ рѣшенія укажемъ ка-
питальное сочиненіе Б. Ф. Малешевскаго «Теорія и практика
пенсіонныхъ кассъ»; оно содержитъ также пзложепіе пріемовъ
составленія таблицъ смертности.
Литература.
Е. Dormoy. Theorie mathematique des assurances sur la vie
1878.
U. Broggi. Traite des assurances sur la vie avec developpe-
ments sur le calcul des probabilites. Traduit tie l'italien par
S. Lattes. 1907.
G. Bohlmann. Lebensversicherungs - Matliematik (Matli.
Enzyklopadie I D 4 b).
С. E. Савичъ. Элементарная теорія страхованія жизни и
трудоспособности.

МЕТОДА МАТЕМАТЙЧЕСКИХЪ ОЖИДАНІЙ
—
МЕТОДА
МОМЕНТОВЪ-
КЪ ВЫВОДУ ВТОРОЙ ГІРЕДѢІЬНОЙ ТЕОРЕМЫ
ИСЧИСЛЕНІЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ,

Неравенства Чебышева
и
основная теорема.
§ 1. Для приложенія метода Бьенэме-Чебышева (метода мо-
шентовъ) къ доказательству второй предѣльной теоремы исчи-
сленія вѣроятностей мы должны разсматрпвать непрерывныя
дроби вида
гдѣ число г неремѣнное, а остальныя буквы означаютъ числа
постоянный или перемѣнныя, не зависящія отъ г. Какъ рядъ
такъ и непрерывная дробь будутъ у насъ безконечными; но мы
не имѣемъ надобности предполагать ихъ сходящимися, ибо рядъ
служить намъ только для образованія конечныхъ суммъ
z-+-Ъ
'1
въ связи съ рядами вида
8О 7"
г2
82 ІЗ
^Т
2
съ произвольнымъ чпсломъ слагаемыхъ. а непрерывная дробь

нужна только ради ея подходящихъ дрооеи
ФтИ
.
ш
тМ'
«2
z-+-b О —
.
прп чемъ цѣлыя Функціп
<М*),
Фз (*),-•••
и
ш
і(*)>
0), со3(г),
последовательно опредѣляются Формулами
Фі(*) =
«і,
ф2(г) =
ах (* -+- Ьа),
cot(g)= я -+- 6,, со2(г) = (*-+-
(г-+-Ъ2)— ая,
Фт(*)=(*~ЬU
0)—%Фт_а («)>
Шт(*)=
+
&J
(«) — «т Wm-2 («)•
Числа
^О» J
S„,.
.
.
.
мы должны ограничить условіемъ, что среди опредѣлителей
S0, St,
S2
£>n,
ti,
S01
Slf S2
Ss
S31
нѣтъ равныхъ нулю. Такое условіе необходимо и достаточно,
чтобы можно было связать рядъ съ непрерывною дробью общимъ
равенствомъ
которое имѣетъ слѣдующій смыслъ: если множить цѣлую Функ-
дію шт (г) по обычпымъ правиламъ на безконечную сумму
&
•8
i-
2г*

го въ получаемомъ такимъ образомъ произведеніи должны при-
водиться къ нулю коэффиціенты прп
_L
_L
J_
г' га' г»'
zm
'
цѣлая же часть этого пройзведенія образуетъ Функцію '\>т (г).
Полагая
с+
и- Хт_1
-f-
мы получаемъ отсюда систему уравнеиій
Я0 ioH-Sj А-1
-
- +-н-8Я
=0,
Si L0 -+-8aL,-* -
-+-
Sm im_1
-и
=
0,
s
,n-i L0 -+-
Zr, -+-....
-+ - S'2m_2 im_1
-+ - 52m_1
-
0,
которая дѣйствительно опредѣляетъ коэффиціенты
ZR0, Z-,,.
...,
Lm_1
цѣлой Функціи ыт (.г), еслп только, согласно вышеупомянутому
условію, опредѣлитель
So,
•
> ^т-і
Cf
•'
2m—2
не равенъ нулю.
Обозначая затѣмъ для любой цѣлой Функціп
9 (г)=С0-+-С,г -нGW-+-
-+-Скz
символомъ
[?(*)]
сумму
б'о Со."
4-
Cj-н 52Са -ь
....-+-S,.Ск
мы можемъ представить вышеприведенную систему уравненій

такъ:
К,(я)] = 0,
0г)]= О
[ж'"-
1 со,,, (ж)] = О,
п можемъ замѣнпть ее даже однимъ равенствомъ
[Ѳ (х) со.Ні (ж)] — О,
если иодъ Ѳ (z) будемъ подразумѣвать всѣ цѣлыя функціи т—1°2
степени.
Введенный нами спмволъ [о (ж)] удовлетворяетъ, очевидно,
простой теоремѣ сложенія
[?(*) + />)] = [?(*)] + [/>)].
На этомъ основаніи не трудно провѣрить, что Функціи
связаны между собой уравненіемъ вида
(*) = (*-+- bj
(*) — ат сот_2 (z).
Въ самомъ дѣлѣ, каковы бы ни были постоянное число Ът
и цѣлая Функція Ѳ (г), m — Зей степени, имѣемъ
[Ѳ(ж)со,»] = 0
и [{х -+- Ът) со,п_1 (х) 0 (as)] = О,
и потому разность
согласно вышеприведенной теоремѣ сложенія, должна удовлетво-
рять уравненію
[Ѳ(х) {соот (х) (ж -f- Ът) ют_1 (ж)j] = 0,
гдѣ Ѳ (z) также произвольная цѣлая Фупкція т— 30ІІ степени; а
при нѣкоторомъ опредѣленпомъ зпаченіи коэФФиціента Ът эта
разность приводится къ цѣлой Фупкціи т — 20ІІ степенп и тогда
она можетъ отличаться только постояннымъ множителемъ отъ
функціи сom_a(g), которая какъ разъ опредѣляется ѵравненіемъ
[Ѳ(ж)со.т_2(ж)] = 0,
гдѣ степень произвольной цѣлой Функціи b(z) равна т— 3.

Что касается цѣлой Функціи
(г), то прп помощп введен-
наго нами символа она моя<етъ быть опредѣлена Формулой
М ГштW—
ш
>п
Іт Ѵ->
—
[_
a;—e
J"
Послѣдняя Формула представляетъ сокращенное выраженіе
слѣдующей
ФTMЮ=80
+ (S0 Lm_,
-ь SJ
-+- (S0 Lm_, н- S, Lm_x н- S2)
я»'"3
-....
Слѣдуетъ замѣтить такя*е, что неравенство опредѣлителя
50,
(Sj,. . .
•> Sm-1
Вг,
s2,...
•>
Sm
8т-1> Sm,- •
о
•'
2m—2
нулю указываетъ на невозможность удовлетворить системѣ ура-
вненій
[о(х)-\ = О, [я?(х)] = 0,. .. ., [хш
~
1тр(ж)]=О
никакою цѣлою Функціею <р(У), которая пе равна тожественно
нулю и пмѣетъ степень мепыную т. И наоборотъ, если только
что приведенной системѣ уравненій нельзя удовлетворить цѣлою
функціею <р (z) степени ниже те, не приравнивая всѣхъ ея КОЭФ-
Фиціентовъ нулю, то нашъ опредѣлпгель
S0,
•>
Sm-1
Si,
S2,. ..
•ISm
S,n-l' Sm, • •
Q
•J
2M—2
не равенъ нулю.
На эгомъ основапіи мы можемъ для тѣхъ рядовъ

которыми спеціальыо будемъ заниматься, заключать о существо-
ваніи соотвѣтствующей непрерывной дроби
z-+-Ьл—
«2
.
ъ2-
а3
z-+-Ь,—
.
безъ вычпсленія опредѣлителей
80,
Sj
8X, S2
S0, Sx,
S2
8ц
$3
<53, Si
He дѣлая пока ппкакихъ особыхъ предположеній, обратимъ
вниманіе на то, что коэФФИціенты цѣлыхъ Функцій
ш
т(*)
п
Фт<»
представляютъ нѣкоторыя радіональныя Функціи чиселъ
^О)8цS2,Ss,....,
'S'2m—J.
Следовательно корни уравненія
ш
т
—
®
алгебраическія Функціи тѣхъ же чиселъ и потому, при непрерыв-
номъ измѣненіи послѣднихъ, они также должны измѣняться не-
прерывно.
Если же для нѣкоторой совокупности чиселъ
S0,
,....,
S2m__2,
o2m_j
всѣ эти корни различны, то мы можемъ установить равенство
Фт(*) __V Р
um(z)
^JZ-V
гдѣ суммированіе, обозначенное символомъ £, распространяется

на всѣ корни уравненія
а зыаченія р определяются Формулой
„_
Фmj|).
и обѣ Формулы
ФтМ __ X1
=
Фт©
?
сохранять свою силу прп достаточныхъ малыхъ измѣненіяхъ
ЧИСѲЛЪ
CFОТО
О
О
Оо, Oj, о2,
.
.
.
. , 02т_2
, Ош_г
,
непрерывными Функціямп которыхъ будутъ всѣ р подобно
Положимъ теперь, что мы имѣемъ нѣкоторую совокупность
вещественныхъ чиселъ, общій членъ которой обозначимъ бук-
вою ж; положимъ также, что каждому изъ зтихъ х соотвѣтствуетъ
свое определенное положительное число р.
Наконецъ положимъ, что имѣютъ смыслъ суммы
У^р,
—
XXX
X
распространенный на всю нашу совокупность чиселъ х, и этимъ
суммамъ приравняемъ, соотвѣтственнымъ образомъ коэФФиціенты
вышеприведеннаго ряда
г
1г2
2гз
такъ что, вообще, будетъ
sk
X
При такихъ предположеніяхъ, на которыхъ мы спеціально
остановимся, введенный нами символъ
[<р(*)]
обращается въ сумму

А система уравненій, которой подчинены коэФФпціенты ФунК-
ціп oim(z), можетъ быть выражена равенствомъ
ч ,2>Ь(х)шт(х) = 0,
гдѣ Ѳ(У), по прежнему, произвольная цѣлая Функція т — 1
оП
степени.
Вмѣстѣ съ тѣмъ нетрудно впдѣть, что сумма
"V pro (х) ср (х)
X
можетъ быть нулемъ только для такпхъ вещественныхъ цѣлыхъ
функцій ш (s), которыя сами обращаются въ нудь, коль скоро z
равняется любому изъ чиеелъ х нашей совокупности. А отсюда
слѣдуетъ, что требованію, выражаемому равенствомъ
У р6(ж)9(ж)= О,
X
гдѣ Ѳ (z) произвольная цѣлая Функція т — 1
о1 степени, не можетъ
удовлетворить никакая цѣлая Функція <p(V), т—1
ой
степени,
если совокупность х содержитъ болѣе т — 1 чиеелъ.
Поэтому, если наша совокупность х содержитъ болѣе т — 1
чиеелъ, то существованіе вышеуказанныхъ дробей
Ф2 (г)
_
Фот (s)
опредѣляемыхъ первыми 2т членами ряда
Sn ——t-S.Л- -+-Sq—
- +-....
0z
1г2
2z°
не подлежптъ сомнѣнію. При томъ же предположены нетрудно
убѣдиться, что число веществеппыхъ, различныхъ, корней ура-
вненія
,
ы
т(*)=О
должно быть равнымъ т, а не меньше т.

Въ самомъ дѣлѣ, если различными вещественными корнями,
нечетной кратности, для уравненія
будутъ к и только к чиселъ
Cj,с2,. ...,
ск,
то произведете
О —с,)(г —с2)
(г — с1)ыт (г),
прп всѣхъ веществепныхъ значеніяхъ z, будетъ числомъ поло-
жительнымъ и будетъ нулемъ только вмѣстѣ съ ыт (г), и потому,
еслик< т, тосумма
^р(х — сх)(х — с2)
(ж —сд.) шж(®),
х
содержащая не менѣе т слагаемыхъ и среди нихъ не болѣе
7
т—1;
т—fc
кн
5—=
т
—
нулей, пе можетъ быть нулемъ, между тѣмъ какъ она прп к < т
должна быть нулемъ, въ силу общаго равенства
^РѲ (*) %,(*) = О,
опредѣляющаго Функцію шт (г).
Итакъ к — т, и соотвѣтствепно этому шт (z) должна разла-
гаться на т различныхъ, веществепныхъ, множителей первой
степени
„
ш
т(*) =0 —?,)(«—У- •••(*— ;,„)•
Такимъ образомъ мы прпходимъ къ слѣдующимъ выводамъ,
на которыхъ будутъ основаны дальнѣйшія паши заключенія.
Если совокупность веществепныхъ чиселъ х содержитъ не
менѣе [л членовъ и если соотвѣтствующія имъ числа р положи-
тельны, то для
,
_
о
'
•т=1,2,3,....,
а
существуетъ цѣлая ФѴНКЦІЯ Сom(z), тоП степени, опредѣляемая

системой уравненія
XX
x
п условіемъ, что у ней коэФФПціентъ прп zm равенъ единицѣ.
Эта Функдія разлагается на т различныхъ, веіцественпыхъ.
множителей первой степени
(2)
=
(,-
у.
Полагая затѣмъ
(3)
ф
X
можемъ, при тѣхъ же условіяхъ на счетъ х пр, установить Формулы
КЛ£)=
У1р
<от (г)
^LiZ —%
(4)
д==ФшЙ)
гдѣ
S 4J>J••••)-т1
п общее равенство
(5)
Е
®
для любой цѣлой Функціи О (г), степень которой не выше
2т—1.
Въ самомъ дѣлѣ, если степень цѣлой Функціи SI (я) не пре-
восходить 2т— 1, то мы можемъ установить равенства
•ГГ (г
~
Ушт(?)
гдѣ степень цѣлой Функціи 0 (z) не превосходить т— 1.
Вмѣстѣ съ тѣмъ имѣемъ

ш
т(aQ—»я(?)
УpQJx)=УQ(Z)Ур-
_^
ar
5
ж
5 J 0>'я» (?)
слѣдовательно
2РО(х)= ^
"о(®)=2 РQ®>
X
что п выражается равенствомъ (5).
Наконецъ, разсматривая два ряда цѣлыхъ Функцій
со0(*)=1, ш,(«), ы2(г),. . . .,
wjz)
Фо (*) = <>, Фі(*), &(*)»••••,
мы убѣждаемся, что каждыя трп смежныхъ Функціи этихъ ря-
довъ связаны между собой линейными Формулами
Шт(*)=(*-+-К)Ыш-1(«)—
а
т шт-2 00»
(6)
(«)=(«
ЙJ 'К-1 (*) —
а
т Фш-2 (*),
коэФФиціенты которыхъ ат п Ът можно онредѣлить равенствами
(7)
Ь
V® шт—1 И «иг—1 И
х
т
\ Р^т—1 (х) И»і-1 (ж)
ж
(8)
l(®) <->,„_! (Я)
а:
23<0»n—2 (®) шт—:2 (г)
X
прпт> 2.
Для полнаго опредѣленія Функцій
со
ф»,
w
2<»> <!>«(*),•• ••>
«к»

слѣдуетъ присоединить еще четыре равенства
cuj (*) =
*-!-&„
•!,(«) = а,
и
•
_
рх
X
^Р
X
Изъ Формулъ (6) и (8) вытекаетъ ваншое для насъ простое
равенство
(9)
(«)ыт-1 (*) — Фш-1(*)шт (г) = XѴ Шш-1 (ж)
(ж)>
х
въ силу котораго можно замѣнить вторую изъ Формулъ (4) такою
Ршт-1 («) шт—1(«)
Если совокупность чиеелъ х со своими положительными чи-
слами р измѣняется, но суммы
(11) sa=~Sp,
=
S2m_=^px"
XX
X
сохраняюсь непзмѣнныя величины, то Функціи
остаются также неизмѣнными и вмѣстѣ съ тѣмъ, конечно, со-
храняютъ свои значенія связанный съ ними числа \ и р.
Если же, съ измѣненіемъ чиеелъ х и р, измѣняются и
суммы (11), то мы можемъ, все-таки, утверждать, что при
достаточно маломъ измѣнепіи этихъ суммъ Фупкціи
м
ш0) П
Ѣ»
опредѣляемыя уравнеиіемъ (1) и Формулой (3) не перестанутъ
существовать и всѣ корни уравпенія
%,(*) = О

останутся вещественными и различными, равно какъ останутся
вещественными и числа р, опредѣляемыя Формулой (4), пли
равносильною ей Формулою (10).
Согласно вышесказанному эти чпсла \ и р должны быть
непрерывными Функціями суммъ
"VГ)Чпг
Ч Ѵ)т}т
~
1
XX
X
Сохраняя предположепіе, что числа
ООО
о
°0> X'
22Ш—1
задаются Формулой
8к=У.рхк
х
и разсматривая только такія совокупности вещественныхъ чи-
еелъ х и положительныхъ чиеелъ
для которыхъ существуютъ
наши Функціи
и
Ы*)
и уравненіе
ь>т(г) =
°
не имѣетъ ни мнимыхъ ни кратныхъ корней, мы установимъ
замѣчательныя неравенства, на которыя впервые было обра-
щено вниманіе Чебышевымъ въ краткой замѣткѣ «Sur les va-
leni'S limites des integrates», помѣщенной въ журналѣ Ліувилля
за 1874.
Эти неравенства мы представпмъ въ немного измѣненномъ
видѣ; что же касается ихъ доказательства, то оно, впервые,
было дано въ статьѣ*) моей «Доказательства нѣкоторыхъ не-
равенствъ П. Л. Чебышева», откуда мы его и возьмемъ.
Неравенства Чебышева.
Пусть а бзгдетъ какое нибудь вещественное число, а
и с,"
два блпжайшихъ къ нему корня уравненія
»ЯЮ=0,
*) Сообщенія Харьковскаго Математическаго Общества за 1883 годъ.

такъ что
Еслп
х«у.
x-ga.
Ъ<1"
2-Р'
означаютъ соотвѣтственно суммы всѣхъ значеній р
для ж<а
п для
п суммы всѣхъ значеній р
ДЛЯI<
П•ДЛЯН<Г;
то должно быть
(12)
и
Примѣчанге. Если а не превосходить наименьшаго изъ
корней уравненія
«V(в)= О,
то первое изъ неравенствъ (12) надо замѣипть очевиднымъ
ж<а
Подобнымъ же образомъ, если а. не меньше наиболынаго
изъ корней уравненія
10
т(*)
=
°>
то второе изъ неравенствъ (12) слѣдуетъ замѣнить также оче-
виднымъ
2><2?=І>
5
X
Доказательство.
Останавливаясь на доказательствѣ перваго
неравенства, образуемъ цѣлую Функцію
2т — 2°2 степени, согласно условіямъ:

1) Q(£)= 1
при
2) Q(£)= 0
при \>%,
3) Q'(5)= 0
при \не =
гдѣ с; означаетъ, подобно прежнему, всѣ корни уравненія
=
о.
Для этой дѣли полагаемъ
Q(г) —Q0(z)-+-шт (0)Ц (z),
а цѣлыя Функціи
O0(Y), т— 1°
а
степени, и i\(z), т — 2°3 степени,
составляемъ, но извѣстной Формулѣ Лагранжа, согласно опре-
дѣляющимъ ихъ условіямъ
Q0(5)= 1
при
О0®=0
прп Н>Г,
u'm®Ql® =
—
Cl'0®
при ?не=Г-
Установивъ существованіе нужной для насъ ФУНКЦІИ С1(г),
замѣчаемъ, что ея производная О' (z) обращается въ нуль
т — 1 разъ, прп всѣхъ корняхъ уравненія
«»(«) = О,
за исключеніемъ
и еще т—2 раза во всѣхъ промежуткахъ
менаду смежными корнями этого уравиепія, за псключеніемъ
промежутка отъ
до смежнаго корня, меньшаго
Этотъ смеж-
ный съ <;' корень на нашемъ схематическомъ чертежѣ, показы-
вающемъ ходъ Функціи О (г), обозначенъ спмволомъ Н°.

А такъ какъ степень П'(г) равна 2т— 3, то указанными
нами исчерпываются всѣ корни уравнения
а'0) = о.
Отсюда слѣдуетъ, что въ промежуткѣ отъ z —
дог= X
постоянно должно быть
a (z)< о.
И затѣмъ, согласно приведенному схематическому чертея;у,
мы легко убѣждаемся въ вѣрности неравенства
Q0)<i
при
z<i'
и неравенства
Q(*)<0
при
следовательно
х<ѵ
Q(х)<^р<^р-
X
Съ другой стороны имѣемъ
IT
і
с
s
въ силу условій, опредѣляющихъ Функцію (г), и общаго ра-
венства (5).
Остается сопоставить послѣднія равенства съ только что
установленнымъ неравенствомъ
х<х
X
и мы тотчасъ придемъ къ первому изъ неравенствъ (12)
Подобнымъ же образомъ нетрудно доказать и второе нера-
венство. Надо только немного измѣнить условія, опредѣляющіц

вспомогательную Функцію О (я); а именно, теперь слѣдуетъ по-
ложить
!) Q(?)= 1
при ?<Г
2) О(*)=0
при 5>Г
3) О'(Н)= 0
приНне=Г.
Для опредѣленной такими равенствами цѣлой Функціп О (г),
2»г — 2°2 степени, имѣемъ
X
п вмѣстѣ съ тѣмъ
я
%
откуда тотчасъ вытекаетъ второе неравенство
х^а.
£<?"
Займемся теперь примѣнепіемъ нашихъ общихъ выводовъ къ
замѣчательному ряду п соотв етствующей ему непрерывной дроби;
мы придемъ такимъ образомъ къ предложенію, которое служить
основапіемъ для доказательства теоремы о предѣлѣ вѣроятности,
по способу Чебышева. Предварительно однако сдѣлаемъ еще
общее замѣчаніе о возможности замѣнить суммы
—
интегралами
гь
гь
л
f(x)dx,
xf(x)dx,
x2f(x)dx
a
Ja
Ja
гдѣ a vi Ъ означаютъ любыя вещественный числа, или — оо
п -+ - оо, а вещественная Функція f(x) удовлетворяетъ неравенству
f(x)t
Нетрудно понять, что такая замѣна суммъ интегралами не
нарушаетъ ни нашихъ Формудъ, ни нашихъ заключеній, если
только интегралы пмѣютъ смыслъ.

—
318 —
Установивъ это, мы возьмемъ рядъ
S0Т•+•
S1 js
-+-
,
коэФФпціенты котораго опредѣляются одною Формулою
(13)
S.=
4= f°° е~
ж2 хк dx,
А
У я •'—оо
или, что все равно, совокупностью двухъ Формулъ
г
__2
2к у"
и
„-+ -СО
гдѣ к означаетъ цѣлое положительное число или нуль.
Для такого ряда Функція шт (г) определяется Формулою
ег2
^т е—г2
ибо изъ Формулы (14) слѣдуетъ:
1 л-1 -00
-t-оэ
,т —х
г
,
,+оо
(_ і)»г
й'" е
-
,
1Г
dm Ѳ(х) ,
=
-—т=
6fa),т
dx—
т=
e~
x
, „;'dxy
2mVic J—oo
dx
2'"/it J_oo
dx
какова бы нн была цѣлая Функція Ѳ (z), и потому
1 г"1
"
00
e-
x
*0(x)com(x)dx
=
0,
'
71 —оо
коль скоро степень дѣлой Функціи 0 (z) меньше т.
Отсюда вытекаетъ также важное для насъ равенство
°°е-2 шт(х)шт(х)dx= 1ЛЛ
--
М,
'
7С
—m

въ силу которой Формула (10) приводится въ данпомъ случаѣ къ
ТаК0Й
1.2.3....(„,-!)
С —2т-і ш'т(\)шт_г (?)
Съ другой стороны изъ Формулы (14) нетрудно вывесть
рядъ простыхъ соотношеній
г, z2
-.т
—г2
z2
м(
і,ч
2zе
dе
в
а V—2ze
)
ш
тѵѵ
(_ 2)"
г
dг7"
(— 2)т
'
dzm
г2
jm-1
—z2
те
d
е
(_2)иі—і dznl
~
l
т
г2
7m—1С п
:
d
—
2ze
J
«и<%_і(«)>
(— 2)m
dzm
~
l
гг
,m-l
—г2
,
^ z2 jm-2
—г
я
гe
d
e
(m—1)e d "e
r\ m—1
/s
=
—
сош_2(г)
гг,ч
1"г\
=
і%(2)-mW-
Равенствомъ
,
со (г) = mcom_1 (я)
мы воспользуемся, прежде всего, для преобразованія вышепри-
веденнаго выраікенія р къ слѣдующему виду
1.2 .3
т
(15)
2"
г
1 co'm(<j) ш'т (;)
Послѣднее выраженіе р нослужитъ намъ для вывода замѣ-
чательнаго, простого, неравенства, изъ котораго вытекаетъ
важное для пасъ предложеніе:
пред.р=0.
т=со
Это неравенство и его выводъ мы заимствуемъ пзъ статьи *)
академика Н. Я. Сонина «О точности опредѣленія предѣльныхъ
Записки Академіи Наукъ. Томъ 69, кн. I, 1892.

величинъ пнтеграловъ», не передавая однако буквально ея со-
держапія.
Начнемъ съ того, что замѣнимъ квадратъ
ш
'»и(
входящій въ знаменатель разсматриваемаго выраженія р равною
емѵ суммою
,
„
,
„
подбирая вспомогательный коэФФиціентъ В такъ, чтобы произ-
водная. ПО Z, цѣлой функціп
+
(г)
дѣлилась на квадратъ
,
На первую степень ш'т (з) производная, составленной намп
цѣлой Функдіи, равная
2»«WK«W-^"«Wl.
дѣлптся при всякомъ В; иа квадратъ же
она будетъ дѣлптся прп
В= 2т,
ибо согласно вышеприведенному соотношенію между
имѣемъ
„
,
со т (г) -+- 2?»со (г) = 2гсо (г).
Мы приходимъ такимъ образомъ къ равенству
Wm(*)ш
'т
+ 2»«м„, (*) («)}' =
WM (z) w'm (z)
которое показываетъ, что сумма
ы
'т (*) <•>',„ {Z) -Н 2т шт (е) шш (г)
достигаетъ своего паимепьшаго значенія при z = 0.

—
321 —
Отсюда тотчасъ выводишь неравенство
^
1.2 .3
т
р< 2т 1{ш'т (0)ш'т (0)-н2тшт(0)<от(0)}'
разборомъ и упрощеніемъ котораго мы займемся.
Для этого обращаемся къ равенствамъ
COj (*) =
*,
W2(2)= Z2—
~
Шт(*) =
гш
т-1(*)— ^
2 (*),
которыя могутъ служить для опредѣленія всѣхъ Функцій ыт(V),
и принимаешь во внимаиіе Формулу
\(*) =
я
ѵ
Л*)-
Мы видимъ, что при т четпомъ ы'т (0) приводится къ нулю
вмѣстѣ съ
(0), значеніе же со))} (0) опредѣляется изъ ряда
нослѣдовательныхъ равенствъ
ы
2 (°)
=
—
у>
»*(0) =
— |соя(0) = і-4,
сос (0) =
|ш4(0) =
144,
и оказывается равнымъ
ж
,
..Ті.8.6
(»н—1)
\/
«I
2Т
Напротивъ при т нечетномъ
«ж(0) = 0
^(0) = ты?н_1(0) = (-1) 2

Слѣдовательно, при т четномъ имѣемъ
.
2.4.6.... (т— 2)
Р ^ 3.5.7.
...
(т—1)
а при т нечетномъ
2.4.6.
...
(иг — 1)_
3.5.7. .. . «г
'
другими словами, при
т=2Іч-1
и т=21ч- 2,
гдѣ I любое цѣлое положительное число, имѣемъ
2.4.6
21
Р 3.5.7.... (2І -t-1)'
Чтобы придти къ еще болѣе простому неравенству, замѣ-
чаемъ, что квадратъ выраженія
2.4.6
21
3.5.7.... (21 -f- 1)
можно представить въ видѣ произведенія дроби
на
из
~
вѣстное выраженіе
ААА.А
21
21
которое, при возрастаніи I, постоянно возрастаетъ и, согласно
Формулѣ Валлиса, стремится къ предѣлу у, когда I возрастаетъ
безпредѣльно. Это выраженіе, конечно, меньше своего предѣла.
Изъ нашего замѣчанія вытекаетъ, такимъ образомъ, неравенство
2~
1
р <Т-2ГГТ'
или, что все равно,
(16)
Р<)ЛгЬ'
при
т—21ч-\
ит=21ч-2.
Немного усложняя выводъ, мы могли бы замѣнить 41 ч- 2
числомъ 41ч-3,
которое указано Н. А. Сонинымъ; но для па-
шихъ заключеній такая замѣна не имѣетъ значенія.

Теперь уже нетрудно установить вышеупомянутое предло-
женіе, которое составляете, главную цѣль этой статьи.
Теорема*). Если совокупность вещественныхъ чиселъ х, со
своими положительными числами р, измѣняется такъ, что суммы
'
2>3'—
XXX
X
приближаются соответственно къ предѣламъ
e~
x2dx,
e-x-xdx,
e~
x2x2dx,
,
/тс
У7t
Y- J_oo
то для любого даннаго числа а обѣ суммы
И
У^Р
приближаются къ предѣлу
4=Г
е
~
х2 dx.
Доказательство.
Положимъ для наглядности, что нослѣдо-
вательность измѣненій х и р определяется цѣлымъ числомъ и,
возрастающимъ безпредѣльно. При помощи этого вспомогатель-
ная числа мы можемъ выразить основное условіе теоремы
такъ: для любого даннаго положительнаго числа г и для сколь
угодно малаго неизмѣннаго положительнаго числа X должно
быть такое число ѵ, что неравенства
—
X< "Vрхк
—
~
Г"00 е-*2 хк dx<~k
'
1~
—ОО
X
обязательно имѣютъ мѣсто
прик=0,1,2,....,іип>ѵ.
2а с~
*) A. Markoff. Sur les racines de l'equation ex
—^JJ—— 0 (Bull.de
l'Acad. de St. Petersbourg. 1898).

Намъ надо доказать, что при такомъ условіи численныя зна-
ченія обѣихъ разностей
х<а.
.
х<а.
У р—e~
x
"dx
и Ур—y=f
e~
x2dx
будутъ меньше любого даннаго положительная числа £, при
всѣхъ достаточно болынихъ значеніяхъ п.
Для этой цѣли разбиваемъ число г на два слагаемыхъ, также
положптельныхъ и опредѣленпыхъ:
'
иі
//^
п
£= £-Н£, £>0, £ >0,
напримѣръ
іji1
Затѣмъ беремъ цѣлое число I настолько болынпмъ, чтобы
было
,— -—
У41-t-2^ Т
и полагаемъ
т = 2/-4-1 или 21-л-2.
Дальнѣйшія наши разсужденія, въ которыхъ lam будутъ
предполагаться неизмѣнными, можно провести какъ при т—21-*-\,
такъ и при т = 21 -+ - 2. Этою двойственностью числа т мы
воспользуемся, чтобы для упрощенія разсужденій устранить изъ
разсмотрѣнія случаи, когда уравненіе
т—г
зія
dz'"
допускаетъ корень
з—сс.
Возможность устраненія такихъ случаевъ вытекаетъ пзъ
того, что уравненіе
т
dzm
не можетъ допускать одинаковыхъ корней при двухъ смежныхъ
значеніяхъ т:
прит—21-+-1 иприт=
2І-л -2.
;2

Итакъ, приравнивая т одному пзъ двухъ чиеелъ
2?-1-1
и
2Z-+ -2,
мы будемъ предполагать, что ни одинъ изъ корней уравненія
,m —z2
„2а с
eS
dzm
—
°>
которые мы обозначимъ символомъ
не еовпадаетъ съ а..
Сохраняя установленный ранѣе обозначенія
ШН10)> Н, р
для перемѣнной совокупности чиеелъ х и р, мы для только что
разсмотрѣннаго спеціальнаго случая, который сейчасъ будетъ
играть роль предѣльнаго, замѣняемъ эти обозначенія такими
Соотвѣтственно этому и неравенство (16) мы замѣнимъ
слѣдующпмъ
откуда выводимъ
_
Р<Т'
для всѣхъ разсматриваемыхъ намп величинъ р.
Пусть далѣе
5'
и
V
будутъ два смежныхъ корня уравнеиія
щ
т. е. уравиенія
т —z*
j"1
~~
между которыми лежитъ число а, такъ что
Т<*<Т.

Примѣняя къ нашему снеціалыюму случаю неравенства
Чебышева (12), находимъ
'
!<F_
e
T<F_
п отсюда выводимъ неравенства
Т<¥_
y?>~f
e~*2dx — z
п
5<5"
принимая во вниманіе, что разность
T<F
T<F
равна суммѣ двухъ значеній р, соотвѣтствующпхъ
~?==Грг Ц Т~ ~77Г
Съ другой стороны, въ силу указанной нами непрерывности
корней уравненія
и соотвѣтствующихъ пмъ количествъ р, можемъ утверждать,
что коль скоро числовыя величины разностей
2Рх
'
:
—
4=f
c~*2xk dx,
Т
І7;--со
при
к= О,1,2,3,
,2т—1,
всѣ будутъ
меньше нѣкотораго достаточно малаго числа А, бу-
дутъ имѣть мѣсто слѣдующія обстоятельства:
1) ни одно изъ чиселъ
т. е. ни одинъ изъ корней уравненія
««,(*) = О,

не будетъ совпадать съ чпсломъ а, такъ что среди нихъ най-
дутся два смежныхъ числа
рг"
удовлетворяющія неравеиствамъ
Г'^
f"
2) числовыя величины обѣихъ разностей
2р—
и
2Р—2?
будутъ меньше даннаго чпсла г".
Пусть л настолько мало, что указанный обстоятельства
имѣютъ мѣсто, коль скоро выполняются неравенства
—
А<2РХк
-= J"1
"
00 е-*3 xk
dx<\
X
00
при
h—О,1,2,3,
,2т—1.
Предполагая введенный нами числа
'
"
7
1
£,£,£,<, ж, А
неизмѣнными, будемъ увеличивать число те.
Согласно основному условію теоремы, при достаточно боль-
шпхъ значеніяхъ те, т. е. при всѣхъ те, превосходящихъ нѣ-
которое опредѣленпое число ѵ, только что приведенныя нера-
венства обязательно будутъ выполняться.
И для всѣхъ этихъ значеній те обѣ суммы
Х<&
xgtt.
п
будутъ отличаться отъ
f е-^2 tto
I7- J
-oo
менѣе чѣмъ на £,

Въ самомъ дѣлѣ, въ силу неравенствъ Чебышева (12) имѣемъ
а-<га
х<а.
Вмѣстѣ съ тѣыъ, прп
п>V,
должно быть
„
_
_
X1
^Х~
"
X1
^Х—
"
2jр<>jр£ •
Присоединяя же къ этпмъ неравенствамъ установленный
раньше
_
_
У?<J^f"
е-*2 dx
легко убѣждаемся, что обѣ суммы
2Рп2?>
при п > ѵ, разнятся отъ
~
Г
Аг
ч
„г
J_
менѣе чѣмъ на
/
п
£-+-£
=
£.
А отсюда тотчасъ слѣдуетъ, что и обѣ суммы
x<
r
J.
х<г
2?н2?'
лежащш между

при выполпепіи указанныхъ условій, т. е. при всѣхъ достаточао
большихъ значеніяхъ п, будутъ разнится отъ
1са
-Lf
e-^dx
У*
—со
менѣе чѣмъ па е.
Теорема паша, такимъ образомъ, доказана. А изъ нея вы-
текаетъ слѣдствіе, которьшъ мы будемъ пользоваться.
Слѣдствіе. Каковы бы ни были данный числа іг и t2, второе
изъ которыхъ больше перваго, при соблюдены условій выше-
приведенной теоремы, четыре суммы
tx<x<t2
ti<x<t2
hfsxtsh
распространенныя на всѣ значенія х, которыя удовлетворяютъ
неравенствамъ
tx<x< t2,
съ присоедпненіемъ, или исключепіемъ, значеній
СО——t^ П СС— j
стремятся къ одному предѣлу
е-*2
dx.
У7ГJ^
Разсматривая наконецъ положительный числа р какъ ве-
роятности соотвѣтствующихъ значеній х, мы можемъ предста-
вить это слѣдствіе въ видѣ теоремы, относящейся къ исчисленію
вѣроятиостей, чѣмъ мы и закончимъ статью.
Заключительная теорема. Если совокупность всехъ
возможныха
значеній некоторой вещественной
величины х, вмѣстѣ съ ихъ
вероятностями,
изменяется
такъ, что для всякаго
даннаго
цѣлаго положительнаго
числа т математическое
ожиданіе хт
стремится къ пределу
1 с-*"00
4=
e-x*xmdx,
У-
—со

то вероятность выполнения
неравенство
tY<x<t2,
съ присоединеніемъ или безъ присоединенія
крайнихъ
значены
каковы бы ни были данныя числа t1 и t2
t1.
Если сопоставить эту теорему съ доказанной въ главѣ III
(§ 18) теоремой о математическихъ ожиданіяхъ, то получится
теорема о предѣлѣ вѣроятности, при тѣхъ предположепіяхъ,
которыя были приняты въ теоремѣ главы III. Но мы на этомъ
не остановимся, такъ какъ предложеніе, которое мы могли бы
сейчасъ установить, нредставляетъ только частный случай того,
которое будетъ предметомъ слѣдующей статьи.
Stieltjes, Т. J. Quelques recherches sur la theorie des
quadratures dites mecaniques (Ann. de l'Ec. nor. 3 s6r. I, 1884).
Posse, C. Sur quelques applications des fractions continues
algebriques. St. Petersbourg 1886.
Stieltjes, T. J. Recherches sur les fractions continues (Ann.
de la Fac. de Toulouse VII). Paris 1902.
А. Марковъ. Исчислепіе конечныхъ разностей. 2-ое изд.
0С>t^пси—)
должна стремиться къ пределу
Литература
1911.

Теорема о предѣлѣ вѣроятноети для
случаевъ академика А. М. Ляпунова.
Приближенное выраженіе вѣроятности въ видѣ интеграла,
указанное нами въ § 17, было извѣстно давно и, по справедли-
вости, должно быть связано съ именемъ Лапласа.
Но теорема, что зтотъ интегралъ представляетъ предѣлъ
вѣроятности, была, за исключеніемъ случая Бернулли*), впервые
высказана и доказана для опредѣленныхъ случаевъ Чебышевымъ
въ мемуарѣ**) «Sur deux theoremes relatifs jaux probabilites».
Въ этомъ замѣчателыюмъ мемуарѣ, ясно показавшемъ зна-
ченіе метода математическихъ ожиданій, оставались нѣкоторые
пробѣлы, какъ въ Формулировкѣ такъ и въ доказательствѣ тео-
ремы; они пополнены мною въ статьяхъ «Законъ большпхъ
чиселъ и способъ наименынихъ квадратовъ» ***) и «Sur les racines
лт —х
2
de l'equation
a
—
0».
Такимъ образомъ были установлены условія, при соблю-
деніи которыхъ теорема о предѣлѣ вѣроятностн несомнѣнно
доляша имѣть мѣсто; этихъ условій достаточно для существо-
*) Для этого случая доказательство ея, названное мною доказательствомъ
Лапласа, было уже нанѣчено Моавромъ въ Miscellanea analytica (1730 г.).
**) Сочнненія П. Л. Чебышева. Томъ И, 481—491.
***) Изв. Физ. - мат. общества при Казанскомъ унпвер. 2 серія. Т. VIII, 1898.

ванія теоремы п оіш являлись необходимыми, чтобы можно было
придти къ ней путемъ извѣстныхъ простыхъ разсужденій.
Впослѣдствіп академикъ А. М. Ляпуновъ поставилъ себѣ
дѣлью придти къ теоремѣ о предѣлѣ вѣроятности инымъ путемъ,
дополняя надлежащимъ образомъ обычный выводъ приближенной
Формулы, и вмѣстѣ съ тѣмъ установить эту теорему для воз-
можно болыпаго числа случаевъ, что и сдѣлано имъ въ мемуа-
рахъ*) «Sur une proposition de la theorie des probabilites» и
«Nouvelle forme du theoreme sur la limite de probabilite».
Общность выводовъ въ послѣдпей работѣ А. М. Ляпунова
далеко превзошла ту, которая была достигнута методомъ мате-
матическпхъ ожиданій. Достигнуть столь общпхъ выводовъ, ме-
тодомъ математическихъ ожиданій, казалось даже певозмож-
нымъ, ибо онъ основанъ на разсмотрѣніи такихъ математическихъ
ожиданій, въ неограниченномъ числѣ, сушествованія которыхъ
въ случаяхъ А. М. Ляпунова не предполагается.
Для возстановленія поколебленпаго такимъ образомъ зна-
ченія метода математическихъ ожиданій необходимо было вы-
яснить, что вышеупомянутыми работами онъ далеко не исчерпанъ
до конца. Объ этой задачѣ я думалъ довольно долго, и мнѣ
удалось рѣшить ее, можно сказать, въ двухъ направленіяхъ.
Съ одной стороны, я нашелъ, какъ надо дополнить методъ матема-
тическихъ ожиданій, чтобы охватить всѣ случаи А. М. Ляпу-
нова; а съ другой стороны, рядъ моихъ работъ показалъ, что
тотъ же методъ даетъ довольно легкое средство для распростра-
ненія предѣльной теоремы на связанный величины. Изъ послѣд-
нихъ работъ я изложу здѣсь, въ пзмѣненномъ видѣ, только одну;
но сначала мы займемся доказательствомъ предѣльной теоремы
для случаевъ А. М. Ляпунова.
Пусть будетъ
Zx, Zi,. . . ., Zt.,.
...,Zn,....
*) Bull, de l'Acad. des sciences de St. PetOrsb. V serie, Т. XIII. Mem. de
l'Acad. de St. Petersb. VIII serie, Т. XII.

неограниченный рядъ независимыхъ величинъ; пусть вмѣстѣ съ
тѣмъ, при всякомъ к, существуютъ
ак=
м. о. Z,.,
Ък— м.о.(Zk— а^
=
ак\2-
"к>
-о
гдѣ о нѣкоторое положительное число, а символъ | Ѵ\ для любого
количества V означаетъ абсолютную его величину.
Положимъ, наконецъ, что отношеніе
(Ьх-4-Ь2-+-.. • .-t-Ь„)
приближается къ предѣлу нуль, когда п безпредѣльно возра-
стаетъ.
Таковы условія А. М. Ляпунова. Намъ надо доказать, что
при соблюденіи пхъ оправдывается теорема о предѣлѣ вѣроят-
ностп: для любыхъ данныхъ чиселъ t1 и t2, изъ которыхъ второе
больше перваго, вероятность
неравенствъ
£
-
і?! -і- Zr, -4-..
•.-+-Zn —Пх—а2—.
.
•.—
п„
.
^
1
/2
fo-t-fta-« -.... -t -b„)
2
стремится къ пределу
-LfV^,
когда п возрастаетъ
безпределъно.
Для этой цѣлн введемъ вспомогательное число N, которое
будемъ увеличивать безпредѣльно вмѣстѣ съ п и совокупность
всѣхъ возможныхъ значеній каждой разности
z
k—
a
k
разобьемъ па двѣ совокупности, одну изъ которыхъ пусть со-
ставить числа Хк,
лежащія между —N и -+- N, а другую —
числа Тк, лежашія внѣ этихъ предѣловъ. Предполагая, что
ГА. =
0 при
—
N<Zk
—
ak<-t -N

Хк=
ОприZk—ак< —NиприZk—ак> N,
мы можемъ положить
Zk—ak=Xk+7k'>
вмѣетѣ съ тѣмъ нетрудно установить равенства
м.о.(Zk—ah)= 0 = м.о.Хк -+-м.о. Yk,
Ък= м.о.X* -+-м.о.Yk2,
^2-2) = и. о. IХк j2""3
-+-м.о.IYkI2"4
"
5.
Математическихъ ожиданій другихъ степеней
Zk—I
Zk
I'YkПIYkl
при условіяхъ А. М. Ляпунова, мы не должны разсматривать.
Но какъ бы велико ни было введенное нами число N, мы можемъ
разсматривать математическія ожиданія любыхъ положительныхъ
степеней Хк и | Хк |. Введемъ слѣдующія обозначенія
|M.o .X,| = |M.o.RFT| = CW JM.о.XK I = CK^
при a = 2, 3,4,... . Вмѣстѣ съ тѣмъ обозначимъ символомъ рк
вѣроятность равенства
Zk—Ч = Хк
равносильнаго неравенствамъ
-N£Zk-ak<N,
и символомъ qk вѣроятность противоположнаго равенства
z
k—
а
к=7к.
ПРИ тк не= О,
иначе сказать вѣроятность неравенства
(Zk —
akY>N>;

такъ что
Рк+
Як^1-
Вспомогательное число N, возрастающее безпредѣльно вмѣстѣ
съ п, мы подчииимъ двумъ условіямъ. И прежде всего поста-
раемся распорядиться числомъ N такъ, чтобы разность между
вероятностью неравенствъ
,
. Х1 +1;+..,.+
хп
.
,
^
<
<^
и вѣроятностью неравенствъ
,
-
Zl -+- Zn -I-.
. • •-+-Zn—ах—а2—.
•.•—ап
^,
^
<
<^
приближалась къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ
Такъ какъ первыя неравенства равносильны вторымъ во
всѣхъ случаяхъ, когда
Y=Y
=
=
Ѵ=О
•Ll
.
"
то числовая величина разности между вероятностями ихъ не
можетъ превзойти вѣроятности нарушенія по крайней мѣрѣ одного
изъ равенствъ
Г1=
0,У2= О,
Г„=
0;
а эта послѣдняя вероятность, какъ нетрудно видѣть, не больше
суммы
-+-ІП-
Обращаясь къ суммѣ
и принимая во вниманіе равенство
=
м.о.IХкI2"1
"
5н-м.о.IYk|2_,
"
s
,
устанавливаемъ неравенство

и отсюда выводимъ
2і -+"
-* -9„<
Сообразно этому мы подчииимъ число ІѴ условно, чтобы дробь
К
приближалась къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ —.
При соблюденіп
такого условія разность между вѣроятностью неравенствъ
.
,
Z24-
Zn—ах—а2—..
..
—
а„
.
Ч<
и вѣроятностью неравенствъ
,
Xjч-Хп-+-
-+- Хп
.
,
ѵЩ
должна, согласно вышеириведеннымъ объясненіямъ, приближаться
къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ —; и слѣдовательно, при разысканіп
предѣла вѣроятности первыхъ неравенствъ мы можемъ замѣнить
пхъ вторыми.
Обращаясь къ разысканію предѣла вѣроятности этихъ вто-
рыхъ неравенствъ
,
..
Хх ч- Х2 -+-....
ч- Хп
.
,
h<
ѴЩ
мы подчинимъ N другому условію, при соблюденіп котораго,
вмѣстѣ съ первымъ, нетрудно для всякаго положительнаго
числа т установить Формулу
пред. м.
=
что, въ силу заключительной теоремы предыдущей статьи, не-
медленно приведетъ насъ къ цѣли.
При разсмотрѣніи математическаго ожиданія степени
У2Вп
)
намъ придется повторить вычисленія главы III, § 18.

Согласно обобщенной Формулѣ Ньютона имѣемъ
а!(М
X!'
'
I
Ѵ2 В~
)~
—
(- Вп)
2
гдѣ а, (3,. . . ., X цЬлын ноложительныя числа (не нули), удовле-
творяющая условію
а-+-р
-+-.
...-+-X=т
и S'J
- >$>—означаетъ
симметрическую Функцію величинъ
Хѵ Х2,.
...,
Хп,
которая опредѣляется одиимъ ея членомъ
X'Xl...
х).
Отсюда, въ силу теоремъ о математическихъ ожпданіяхъ
суммъ и произведеній, выводимъ
(Хд -н Х,-* -..Хп}>»
X1
иг!
(?»,
M'°'l
/2~В~п
J
eip! X!* (У2В~п)
т
'
гдѣ 6ra> &>•••• * означаетъ математическое ожиданіе суммы S"
x
> Р>--» *
и получается изъ нея черезъ замѣиу степеней величинъ
Z,, Х2,
Хп
математическими ожиданіями тѣхъ же степеней.
Относительно выраженія
ІУЩГ
мы докажемъ, что при надлежащемъ выборѣ числа N оно будетъ
приближаться къ предѣлу пуль вмѣстѣ съ
для всякой воз-
можной системы чиселъ а, [3,... . X, кромѣ одиой
а=р=
.
.
.
.=
Х= 2,
которая возможна только при т четномъ.
Для намѣченпой дѣли обратпмъ вниманіе на простое нера-
22

венство
|g«, Р
ЛI Cl{*)+ .... + cnW
фч-....ч-e^)
J2
Л
'
А
'
Р'г?
Вп*
вп2
правая часть котораго составлена изъ множителей вида
Cl(e) -н с2(е>-*-.... -« -с,,(
е
)
гдѣ е можетъ получать значенія 1, 2, 3,. . . .
Въ силу приведеннаго неравенства можно утверяедать, что
для всякой совокупности чпселъ
а, р,
X,
не состоящей изъ однихъ только двоекъ, отношеніе
w
Вп2
будетъ, навѣрно, стремиться къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ
если
мы распорядимся числомъ N такъ, чтобы было
пред.
—
=
О
П=СО
Т) ~2
при
е=1,
3,4,5,
Относительно выраженія
Cl(a)-W;a(a)-t-....-t -enf2)
В„
легко убѣдиться, что при значеніяхъ N, удовлетворяющихъ
выше установленному условію, оно должно стремиться къ пре-
дѣлу 1, когда п возрастаетъ безпредѣльно. Въ самомъ дѣлѣ, со-
поставляя равенство
cW+ и.о.Г/=Ък
съ неравенствомъ
»о
y^bj^)

въ справедливости котораго нетрудно убѣдиться, находимъ
JS"
откуда посредствомъ сложены выводимъ
J^
Сі(г)-не3Мн-.. ..+ сп(2)
1
В^
BnN9
Что же касается выраженія
Впп
то его можно представить въ видѣ произведенія двухъ множи-
телей
_2_
I д/, \2+*
_
/К
\2+8
И
которые при нашихъ условіяхъ оба стремятся къ предѣлу нуль
вмѣстѣ съ —.
п
Нетрудно также убѣдиться, что условія, которому мы под-
чинили уже число N, достаточно для того, чтобы отношеніе
CjCD-t -c2W-+ -.... -t -cnd)
приближалось къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ
это вытекаетъ пзъ
простыхъ неравенствъ
cftW<M.o.|rj
и
{2 И. о. IYk|}2< (2ін- д, -.
.
.
.н-
м.0.Г/<
Обращаясь къ отношеніямъ
в
при е = 3, 4, 5,...., принимаемъ во вниманіе неравенство
с1?) < N°-*bk

—
340 -
п на основаніи его находимъ
сІ(в) + с8(е) + ....+ с„И
<(S)!
Отсюда слѣдуетъ, что всѣ разсматриваемыя нами отношенія
вф
будутъ навѣрно стремиться къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ —, если
число N мы подчинимъ условію, чтобы отношеніе
ДГ2
Вп
стремилось къ нредѣлу нуль вмѣстѣ съ
Это новое условіе мо-
жетъ быть выполнено одновременно съ ранѣе установленным^
которое выражается равенствомъ
в'
А
пред.^
=
0.
и=со 1
Дѣйствительно, если положимъ
то обѣ дроби
•А72 _
в'
и
и
вп
к^в
приведутся къ одному и тому же выраженію
2
В,', \ 4+3
>
которое, въ силу одного изъ принятыхъ нами условій А. М.
Ляпунова, должно стремиться къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ
Итакъ, положивъ
1
N=(BnB'nr\
мы можемъ утверндать, что разность между вѣроятностью не-

равенствъ
,
Zx•+•Z2-+-. •. .-<-Zn—%
—
ci2—••••—an^ ^
1
УЩь
2
и вѣроятностью неравенствъ
1
/2 Вп
2
будетъ приближаться къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ —, что отно-
ШеН1Ѳ
еІ(8)-»-^а)ч-.... -ьеа(«)
Вп
будетъ въ то же время приближаться къ предѣлу единица и что,
наконецъ, въ суммѣ
иг!
(У0^
>Х
У,
_
otI3! •••X!
TM
(2В„)2
равной математическому ожиданію
I
I
будутъ стремиться къ предѣлу нуль, вмѣстѣ съ —, всѣ слагаемый
ея кромѣ одного, которое опредѣляется равенствами
и входптъ въ составъ этой суммы только при т четномъ.
Принимая же во внимапіе простое неравенство
(с^Г < N2*~2ck®
при
а = 2, 3, 4,....,
легко можемъ установить неравенство
BJ-
\Вп)
'
которое показываетъ, что прп нашихъ условіяхъ приближаются
къ предѣлу нуль, вмѣстѣ съ —, и всѣ отношенія вида
(C1(8))tt -+ -
- 4 - (Сп(2))я

Отсюда слѣдуетъ, что прп указанныхъ памп условіяхъ мате-
матическое ожидапіе любой положительной нечетной степени от-
ношепія
Аі -+- Аѵ -+-. ...-+- Д„
У2 Вп
должно приближаться къ предѣлу нуль вмѣстѣ съ —.
Если же т число четное, то къ предѣлу нуль должны стре-
миться двѣ разности *)
М.О.\
,
>
1
/2 В„
I
TM
22
(2 Вп)2
И
т
/0^(2) -+ - С2(2) -> -... ,-н С„(2)\ 2 /т.\
\
2Вп
) \2•)
ш•
(2 Вп)2
для второй разностп это заключеніе основано на тождествѣ
т
т_
:j(2) -+ - С2(2) -Н
+(„(!)) 2
2'
l>
{
2Вп
/ ^ (j,!ѵ!
ы!-
TM
(2В„)2
п на неравенств^
j(c(2)f
н_ (с(2.^} ....
-ь...
(<£>)
гдѣ Я11'
ѵ
означаетъ симметрическую функцію величинъ
с<2), cf,. . . ., С, которая опредѣляется однимъ оя членомъ
(effigy.. . . {cfT.
Итакъ. прп т нечетномъ
пред. м. о.
=
0=
і
е_<2рпdtj
n= QO
1 2Вп
I
1 71 J—оо
а прп т четномъ
пред. м. о.
=
—=
JL f°° e-t2 tm dt:
„Loo
1
У2Вп
I
2т(~\)
Уъ'—оо
*) Глава III, § 18.

что немедленно доставляетъ намъ вышеприведенную предѣльную
теорему.
ГІодобнымъ же способомъ можно установить ее и въ нѣкото-
рыхъ другихъ случаяхъ.
Замѣтимъ, по примѣру А. М. Ляпунова, что его условія вы-
полняются, если числовыя величины всѣхъ разностей Zk — ак не
превосходятъ одного и того-же неизмѣннаго числа и, вмѣстѣ съ
тѣмъ, сумма
+ Ъп,
обозначенная снмволомъ Вп,
возрастаетъ безпредѣльно вмѣстѣ
съ п. Дѣйствительно, если при всѣхъ к выполняются неравенства
—
L<Z,—ak<L,
гдѣ L постоянное положительное число; то для любого положи-
тельная числа о имѣемъ
7(2+S)
,„
,2-4-3
_
т37
Ьк
—
м. о.IZk—акI
<,LЬк
и ПОТОМУ
К^
—m
^
Вп~*~ 2
Вп2
откуда тотчасъ слѣдуетъ
К
л
пред. —=
О,
п=:со
вп
2
если только Вп возрастаетъ безпредѣлыю вмѣстѣ съ п.
И не трудно впдѣть, что вышеизложенное доказательство
теоремы о предѣлѣ вѣроятпости, для этихъ послѣднпхъ слу-
чаевъ, значительно упрощается, такъ какъ исчезаетъ надобность
вводить вспомогательное число N и разбивать всѣ значенія
Zk — ак на двѣ совокупности.
Если яіе числовыя величины разностей
Zk~
a
k
могутъ быть произвольно большими, то для существованія

теоремы о предѣлѣ вѣроятностей недостаточно одного безпре-
дѣльнаго возрастанія суммы
какъ показываетъ мой прилѣръ.
Примѣрг. Пусть Zk, при достаточно большихъ значеніяхъ к,
можетъ имѣть три значенія
О, (log&f,
— (logif,
вѣроятности которыхъ соотвѣтственно равны
1
2
1
1
k(logky' к (log
к (log kf'
гдѣ [j. и v данный положительный числа п
2(t-v + l> О;
для прочпхъ же величинъ к пусть Zk~
0, такъ что въ суммѣ
Zl-i -Z2-i~.
..
.4-Zn
отпадаетъ опредѣленное число к0 первыхъ членовъ.
Въ этомъ случаѣ имѣемъ:
ак=
0 при всѣхъ значеніяхъ к
м.о.IZkI*= 0 прик<.к0
М. о.
=
при к
ж
и вообще
I~ ,,•
2 (log
'1
7^7
м.о.JZhI=
1
при
к>к0,
для любого положительнаго числа і.
Слѣдовательно для нашего пришѣра
р
2 {log (кр -+ -1)}2'1
-
1' ''
2 {log
n
i-j+1
''•
n
И
-p' 2 {log^o-bD^ZH-^iJ.—;
2 {logwjC^f^l!
A-o-t-1
n

Сравнивая послѣднія суммы съ соотвѣтствующими интегра-
лами, легко усматриваемъ, что отношенія
—и.—4
(logn)2^—(logn)(2"
,
-
s
).
u
- —'»-| -1
не могутъ возрастать безпредѣлыю и не могутъ становиться
произвольно малыми. Поэтому и произведете
гЧ-Oogn)
равное
(log и)(2-*-<5) jA—V -f -l ^(logn)21A—Ѵ-t -l/
)
также не можетъ ни безпредѣлыю возрастать ни становиться
произвольно малымъ.
Отсюда тотчасъ заключаемъ, что прп ѵ < 1 условіе А. М.
Ляпунова
,
в/
пред. (
2-г\=О
п=ОО\т> 1-
выполнено и, слѣдовательно, теорема о нредѣлѣ вѣроятностп
имѣетъ мѣсто.
Напротивъ, при ѵ>1 условіе А. М. Ляпунова, очевидно,
не выполняется, что однако не доказываете еще неприменимости
къ данному случаю предѣльной теоремы, ибо это условіе устано-
влено какъ достаточное, но не какъ необходимое.
При ѵ>1 и достаточно большихъ велпчинахъ к0, мы легко
можемъ обнаружить эту неприменимость, разсматривая вѣроят-
ность, что сумма
A А-*--
-
••
точно равна нулю. Если бы теорема о предѣлѣ вероятности, въ
данномъ случаѣ, имѣла мѣсто, то вѣроятность равенства
Zi+Z2+....+Zn=
0
приближалась бы къ предѣлу пуль, при безпредѣльномъ возра-
станіи п.

Между тѣмъ нетрудно впдѣть, что вероятность нарушенія
этого равенства не больше суммы вероятностей равенствъ
^он-і = ± (log (к0 -+-
.
.
.
.,
zn=±(log nf,
которая составляетъ часть безконечной суммы
2
2
(1-0+1) {log
• • --^(коч-г) {log (Д-о
4'
и потому должна оставаться меньше
2
(V—i)(iogfc0)v
-i'
какъ бы велико ни было число п. Поэтому, взявъ к0 настолько
болынимъ, чтобы дробь
0
(v-l)(logfc0)4-1
была меньше единицы, мы можемъ утверяідать, что вероятность
равенства
н-.
.
.
.-ьZ„=
О
постоянно остается больше положительнаго числа
2
(ѵ-1) (log
п слѣдовательно не стремится къ предѣлу нуль.
Напримѣръ, при
ѵ=2
и7.
=10
вероятность равенства
Z14-Z2-+- —+г„= о
постоянно больше
1
log 10 ^S
Такимъ образомъ неприменимость теоремы о предѣлѣ вероят-
ности къ указаннымъ сейчасъ случаямъ, при ѵ > 1, выяснена,
прп чемъ въ силу неравенства
2[л—ѵ+ 1>О
сумма
Ъ1+Ъя+ ....+Ъп=
Вп
возрастаетъ у насъ безпредѣльно вмѣстѣ съ п.

Замѣчатѳльный случай иепытаній
евязанныхъ въ цѣпь.
Въ этой статьѣ мы будемъ разсматривать неограниченный
рядъ послѣдователыіыхъ испытаній, которыя отмѣтимъ, по по-
рядку, пумерами
1,2,3,. ..., к,к-+-1,
Наши пспытанія будутъ связаны, относительно нѣкотораго
событія Е, въ простую цѣпъ, которая немедленно раздѣляется
на двѣ части, какъ только для одного изъ испытаній установлено,
появилось ли при пемъ событіе Е или нѣтъ: слѣдующія за нпмъ
испытапія становятся независимыми отъ предшествующихъ ему.
Останавливаясь здѣсь только на замѣчательномъ частномъ
случаѣ такой цѣпи, который соотвѣтсгвуетъ случаю Бернулли
для независимыхъ испытапій, мы будемъ считать установленными
для всей цѣпи одни и тѣ яіе два числа
Рі,
вмѣсто одного числа р случая Бернулли.
Число рх означаетъ вѣроятность событія Е прп к-+ - 1ЫЪ
нспытаніи, если дано, что Е появилось прп к?ъ пспытаніи, а
результаты слѣдующихъ за нпмъ псгіытаній остаются неопредѣ-
ленными. Число р2 означаетъ также вѣроятность событія Е прп
к
1МЪ испытаніп, пока результаты пспытаиій съ нумерами
к-л-1, кн-2,/;н-3,

остаются неопределенными, но только при заданіи, что к00 испы-
таніе привело къ появленію не ссбытія Е, а противополояшаго
ему событія F. Согласно вышеприведенному объясиенію связи
испытаній въ простую цѣпъ, указанаыя вѣроятности событія Е,
прик-+-1
мъ
испытаніи, устанавливаются совершенно независимо
отъ результатовъ первыхъ к — 1 испытаиіи и, при полномъ или
частномъ выяснепіп этихъ результатовъ, должны оставаться не-
измѣнными.
Чтобы сообщить нашимъ выводамъ полную опредѣленность,
слѣдуетъ ввести еще число р, представляющее вѣроятность со-
бытія Е при первомъ испытаніп, пока ихъ результаты, вообще,
остаются неопредѣленными. Однако въ окопчательныхъ нашихъ
выводахъ послѣднее число не играетъ никакой роли.
Вмѣстѣ съ числами
,
Рі, Ра, Р
мы введемъ въ наши вычисленія, для сокращенія письма и для
симметріи Формулъ, ихъ дополненія до единицы
?1=1— Pit ?2 =1
—Р*,
4=1
—P>
представляющія вѣроятности событія F, противоположнаго Е.
Наше изслѣдованіе начнемъ съ разсмотрѣнія ряда чиеелъ
Р\ Р", Р'",....,
Р{"\
соотвѣтственно представляющихъ вѣроятпости событія Е при
испытаніяхъ
1,2,3,...
к,кч-1,..
пока результаты ихъ, вообще, остаются неопределенными.
На основаніи теоремъ сложенія и умноженія вѣроятностей
находимъ
„
,
р =р Рі-+- 0- —p)Pt I
In ГГ
,л
ГГ.
р =р рх -t-(1—р )р2
и вообще

Этому общему уравненію можно придать такой видъ
если 8 и р опредѣлить равенствами
Ъ=рг—р2,
ft=jp(l—8), •
при чемъ мы исключаемъ случай о = 1, не представляющій инте-
реса. Не представляетъ интереса и случай 8 =
—
1, который
мы тоже исключпмъ; такъ что у насъ будетъ
—
1<8< -+-1.
Введя числа
-
Р, 2=1
—Р иЬ,
мы можемъ выразить посредствомъ ихъ числа рг,
р2, qx,
q2
простыми Формулами
+
2і= 2 —8а,
(!)
р2=р
—
ор, qt=q + Sp,
а изъ уравненія, связывающаго
съ р(к\ находимъ общую
Формулу
+
откуда видно, что р служить предѣломъ, къ которому стре-
мится р{к\ когда /с возрастаетъ безпредѣльно.
Переходимъ къ разсмотрѣнію вѣроятностей различныхъ пред-
положеній о числѣ появленій Е прп п послѣдовательныхъ пспы-
таній съ нумерами
п
0
0
1, 2, о,....,
п.
При одномъ первомъ испытапіп это число, которое вообще
мы будемъ обозначать буквою т, можетъ имѣть два значенія
1иО,
вѣроятности которыхъ, согласно вышеустановленному, равны
Риq.

При и — 2 имѣемъ три предположенія
т—2,т=1,т—О,
и пхъ вѣроятности, соотвѣтственно, равны
р'рг, РЬ-* -4Р»
qq2-
#
При и — 3 для четырехъ возможпыхъ случаевъ
т=3,т—2,т=1,ш=0
находииъ такія вѣроятностп
p'PiPi, p'PiSi-* -P9iPi-*-QPaPi, p'SiSa+ZPaii+iiaPa,
4(h%-
Для общихъ выводовъ введемъ новыя обозиаченія. Пусть
р
т,к
означаетъ вѣроятность, что въ первыя к испытаній событіе Е
появится ровно т разъ; пусть далѣе
An,ки
к
означаютъ такія же вѣроятности какъ и Рт к, по при добавоч-
номъ требовапіи, которое для Ат к состоитъ въ появленіи Е
прп&мъ испытаніи, а для В к—въ
появлепіи Е при киъ
испытаніп;
такъ что
(2)
Рш, к
=
An, к
к•
Введемъ загЬмъ произвольное число £ и станемъ разсматри-
вать его Функціи трехъ видовъ
(3) ?к=%А,ьГ,
Ф/£=2Х*Г,
сок=%рщкГ,
которыя очевидно связаны простою Формулою
(4)
w
k = ?k4~'Pk-
При такихъ обозначеніяхъ, переходя отъ к испытаній къ
к -+-1 испытаніямъ, мы можемъ установить, на основаніи теоремъ

сложенія п умноженія вѣроятеостей, слѣдующія Формулы
^Т, />-Ы
1, А ~+~Р2 ®JB—1,Й>
'И, к-i -l
=
А-~
Н
^ш, ft>
въ силу которыхъ имѣемъ
(6)
Изъ уравиеиій (6), посредствомъ исключенія Функцій ф или о,
нетрудно получить для Функцій обопхъ впдовъ совершенно оди-
наковыя уравненія
2— (Pi- "+" Я3)Ьч-1
(PI"FT)5<?4=
О,
Фа+2
Я*)
-+-ІРі—Ps)ІФ* = О,
изъ которыхъ посредствомъ сложенія выводимъ такое же ура-
вненіе и для Функдій третьяго вида
(7)
соАн_2
—
(р1?-t-д2)со^ н-(рх
—
р2) \соА =
0.
Слѣдовательно, если мы введемъ новое произвольное число t
и положимъ
(8)
t)=
ы0-н coj^и- со2if2—і—cogй3—.
.
.
опредѣляя w0 равенствомъ
(9)
w2—
q2)сох -+-(рг —рп) \ш0^ О,
то должно быть
р(?Л
Х0
Х11
__
A>= <°o>Li = tai
—
Съ другой стороны, имѣемъ
«1=Р'Ь Я,
=
РPiI2 -+-О'
-+-ЯР3)I-+-q q2

п изъ уравненія (9) находимъ
со0= 1,
откуда выводиыъ
Подставляя эти величины L0 и Lx въ указанное выраженіе
Q(lj,
и принимая во внимапіе Формулы (1), мы приходимъ на-
конецъ къ равенству
/іт
пСР А
^-« -{(Р'— Pijjj+Y —
которое можетъ служить для опредѣленія всѣхъ Функцій con.
Мы имъ воспользуемся для вывода теоремы о предѣлѣ ве-
роятностей, соответствующей нашей цепи испытаній.
Нашъ выводъ начнемъ съ разсмотренія математическихъ ожи-
даній различныхъ целыхъ положительныхъ степеней разности
т—пр,
где т означаетъ число появленій событія Е при п пспытаніяхъ,
отмеченныхъ нумерами
1,2,3,....,
п.
Нетрудно заметить, что математическое ожиданіе выраяіенія
(т — пр)1, равное сумме
2
п(* -
«р?=Т\ „ (- npf+І\па-
npf-+-....,
т
можно, для любого цѣлаго положптельнаго числа і, получить слѣ-
дующимъ образомъ, если шѣеыъ ып: вводимъ повое число и,
связанное съ \ уравненіемъ
YU
>
ч—
с
)
составляемъ производную
сіЧе~"Р1\о»)
du*
и наконецъ, положивъ въ ней и = 0, получаемъ въ результате
разсматриваемое математическое ожиданіе (т — пр)\

Отсюда, принимая во вниманіе Формулу (8), которая связы-
ваетъ Функціи соп съ Q (<;, f), заключаемъ, что
м.о.(т— пр)г
можно огіредѣлить какъ коэФФиціентъ прп tn въ разложеніи, по
возрастающимъ степенямъ t, слѣдующаго выраженія
fd* Q (eu, te—P»)|
^ 1С—о
du*
къ изслѣдованію котораго мы и приступимъ.
Въ силу Формулы (10) это выражепіе приводится къ ра-
циональной Функціп числа t, знаменатель которой не можетъ со-
держать пныхъ простыхъ множителей, кромѣ дѣлителей выра-
11 — {Ср-*-
-+- іг Щ t -+- ^2}|=і>
которое равно
1—(1-+-o)t-+-or
и разлагается на два множителя
(1—0(1—Щ-
Слѣдовательно наша раціональная Функція числа t разла-
гается на простѣйшія дроби двухъ впдовъ
G
н
и
(1
(1-5 І)1
Для дробей перваго вида имѣемъ
-±-.
=
1)^1)^
+ 1)^4-.
...+ѴН-.
..
.,
(И)
л
г(»-! -1)(» -+- 2)....(» ->-?
—
!)
^п—^
1.2.3.... (j — 1)
и потому
<12>
EtbSs}-®.
гдѣ £ любое непзмѣнное полояіительное число, для дробей второго
23

вида имѣемъ
в
(i—ве)'
—
ш
"
1°J
-п
7г(п-нХ){п^-1)....(п-нІ— 1Ь„
=
й
і.а.8....(г-і)
°
и потому
(14)
пред. Вп =
О.
Мы имѣемъ въ впду доказать, что при безпредѣльномъ воз-
растаніи числа п отыошеніе
м.о.(иг—прУ
стремится къ предѣлу равному
1 — /-+00
1 С2J
e~t2fdt
-со
У71
гдѣ
G=2pq1r^.
Для этой цѣли намъ послужитъ намѣченное разложение ра-
пюнальнои Функвди
jd£Q(e", te—Pu))
1
dul
)и=0
на простѣйшія дроби и указанный разложенія послѣдпихъ въ
ряды по возрастающимъ степенямъ t.
Изъ Формулы (14) ясно, что дробями вида
н
(1—of/
намъ не надо заниматься, ибо онѣ даютъ въ выраженіи
м.о.(т—пр)г
~Т
'
п2
при переходѣ къ предѣлу, псчезающіе члены.

Въ силу же Формулъ (12) отпадаютъ и всѣ дроби вида
G
+1
•
при j<~-
(1- ty
Остается только выяснить, что j не можетъ быть больше
-» -1 и что въ случаѣ
.
г-
^
возможиомъ только при і четномъ, должно быть
1.2.3....
1—г
Ѵ~•J_c
Для этой цѣли обращаемся къ общимъ Формуламъ, посред-
ствомъ которыхъ находятся производныя дробпыхъ Функцій:
(15)
к
'
du{\V/
dul \VJ
1
dut—i\F,
и
(16) dall\=
s
? a!p!
2
•'\6/
^
'
dua \ V) jZlV?4-1
Al'
[A!
V!
""'
гдѣ суммированіе 2 надо распространить на всѣ возможный
совокупности цѣлыхъ чиселъ
(3, X, а, ѵ,....,
удовлетворяющія двумъ уравненіямъ
A-f -u.-1-ѵн-.
.
.
.=
3
(17)
Ан- 2іл -+ - Зѵ-н.
.
.
.=
а
и неравенствамъ
0< (3<а, Х>0, |л>0, ѵ> 0,
Чтобы получить
•dl О (е", и—Р'1))
dti'
J„=0

мы должны въ Формулахъ (15) н (16) положить
U= 1ч-{(р-Л)
-н (q- q2)е~**\t
(18)
F= 1 — \(j)-л-Sg)e5"+ (g+ op)e~pu\ t
"t*
и по выполненіп всѣхъ диФФеренцированій приравнять число и
нулю.
Разсматривая отдѣльные члены правой части Формулы (15)
при Uи F, опредѣляемыхъ равенствами (18), видимъ, что произ-
ведете
.,
ч
U
du«- \ V)
даетъ намъ при и = 0, такую раціональную Функцію числа t,
знаменатель которой можетъ содержать множитель 1 — t только
въ той же степени, какъ и знаменатель Функціп
илп въ низшей степени. Переходя къ Формулѣ (16), мы прежде
всего, на основаніи второго пзъ равенствъ (18), находимъ
Ѵ'=
—
{О -+- oq)qe'lu — {q-+-op)pe~pu\
t-* -l(q—p)"t2
K=o
=
4p—
q)t(l~t),
чѣмъ обнаруживается дѣлимость цѣлой ФѴНКЦІИ
Vг и=0
на1—t.
Отсюда слѣдуетъ, что знаменатель общаго члена
а!Р! (- F
,
)'A| {~~2Ѵ")
(~1Г F" )
FP-^1'
X!'
(j.!
'
v!
Формулы (16), при u=О, можетъ содержать, послѣ надлежащихъ
сокращеній, множитель 1 — t въ степени не большей числа
Р-+- 1
-
X

Съ другой стороны изъ условій, ограничивающихъ величины
Р»Ъ
ѵ
>
.
нетрудно вывесть неравенство
Х;>2(3 —к,
которое ограничиваете значенія X при 2(3 >• а.
Пока 2(3 < ос, число р-н 1 —X остается, очевидно, меньше
-^ - -+ -1, ибо Х>0; то же число (3-»-1
—
X остается меньше
•^--+ -1 и прп 2(3 > а, ибо тогда Х>2(3— а. И только прп
В=
, если такое значеніе (3 возможно, и при Х = 0 важное
для насъ число
(Зн-1
—
X
достигаетъ значенія
-ь 1.
Останавливаясь на предположеніп
а= 2(3,Х=О,
которое возможно только прп а четномъ, находимъ, что этому
предположенію соотвѣтствуетъ только одинъ членъ Формулы (16)
а
1.2.3.
...
а _(— У")2
а
ах
2Т
yJ
Слѣдовательно, если г нечетное, то ни одно изъ нашихъ
произведена
п(і-а)^/±\
и
(ЬРуѵ)'
при и = 0, не можетъ содержать въ знаменателѣ множитель
г-+-1
1 •— t въ степени большей —,
и потому, согласно вышепри-
веденнымъ объясненіямъ, должно быть
м.о.(т—пр)г п
пред.
L-— —
=0.
п=со
ПТ

Если же г число четное, то въ разложеніи
\ д} Q (eil, te—P»)}
I
du{
/м=0
на простѣйшія дроби, два вида которыхъ
G
Н
и
(1 —ty
(і—Ц1
нами установлены, число j не превосходить -^-н -1.
И соотвѣтствующая этому случаю дробь
G
--+-1
(1
- *-1
прямо получается изъ подобнаго же разложенія на простѣйшія
дроби пропзведенія
X.2.3. .. .
г (Vs
• З.... І(Ц\
/—F"\2
1
Ае=01Vu=
22
такъ что коэФФИЦІентъ ея G опредѣляется равенствомъ
і
(У Fyg"
<ZF Г
~df/
при
м= 0, 2=1.
Производя наконецъ указанный вычисленія, находимъ
(^L0) t=1 =
-
22(P к) -f (2+ op) о(2-р)2 =
-п(1О)
ПЗаТѢЫЪ
„
1.2.3..
..
г f 1--ЛТ
22
чѣмъ и доказывается Формула
t
(У
1/
^-t-CO
1.2.3....4-
У

которую мы желали установить, какъ указано выше; ибо
T^J-oo
4-
22
Такимъ образомъ мы обнарулшли, что, какъ при г нечетномъ
такъ и нри г четиомъ, должно быть
і
м.о .(m — npY
1 (п 1+8|ТГ+»
пАл.
пред.
S-j—— =
рМт
е~1tdt]
11=00
-j
Y71 ѵ
—оо
112
иначе сказать
пред. м. о.
А отсюда, какъ мы знаемъ, немедленно вытекаетъ теорема:
При безпредѣльномъ возрастаніи
числа
разсматриваемыхъ
испытангй п, вероятность
неравенствъ
,
.
т—пр
^
.
< / 1н.8<
должна приближаться
къ пределу
-4=/ в"* Я,
Утг
каковы бы ни были дапныя числа tx и ^ >
^.
Закончимъ статью и всю книгу поучительнымъ примѣромъ
связанныхъ испытаній, совокупность которыхъ, съ нѣкоторымъ
приближеніемъ, можно разсматривать какъ простую цѣпь. Этотъ
примѣръ выясняетъ, что суммы многихъ связанныхъ величинъ
могутъ образовать (почти) независимыя величины.
Примѣръ нашъ не требуетъ ничего, кромѣ какой нибудь
книги, и потому легко можетъ быть повторенъ каждымъ, въ
большемъ или меныпемъ размѣрѣ. Мы беремъ послѣдователь-
ность 20000 буквъ въ ромаиѣ Пушкина «Евгеній Онѣгинъ», не
*
I VI—пр 11
1Г e~t2 fdt.
CO

—
3G0 —
считая ъ и ь; эта послѣдователыюсть обнимаетъ всю первую
главу и шестнадцать строФъ второй. Она доставляетъ намъ
20000 связанныхъ пспытаній, каждое изъ которыхъ даетъ
гласную или согласную букву. Соотвѣтствеппо этому мы допу-
скаемъ существованіе неизвѣстной постоянной вѣроятностп р
буквѣ быть гласной и приближенную величину числа р ищемъ
пзъ наблюденій, считая число появившихся гласныхъ и соглас-
ныхъ буквъ. Кромѣ числам мы найдемъ, также изъ паблюденій,
приближенныя величины двухъ другихъ чиселъ рх ир2, пред-
ставляющпхъ вѣроятности:
первое, р1,—
гласной буквѣ слѣдовать за гласной,
второе, р2, — гласной буквѣ слѣдовать за согласной.
Противоположный вѣроятности, буквѣ быть согласной, обо-
значимъ, какъ въ только что произведенномъ изслѣдованіи:
Разыскивая число р, мы находимъ для него сначала 200 при-
ближенныхъ величинъ, изъ которыхъ затѣмъ выводимъ среднюю
арифметическую. А именно, мы разбиваемъ всю послѣдователь-
ность 20000 буквъ на 200 послѣдовательностей по 100 буквъ
и считаемъ сколько гласныхъ въ каждой сотнѣ буквъ: мы полу-
чаемъ 200 чиселъ, которыя по раздѣленіи на 100, даютъ двѣсти
приближенныхъ величинъ р.
При счетѣ числа гласныхъ мы имѣемъ въ виду сохранить
возможность образовать другія соединенія по 100 буквъ, не
пересматривая всей совокупности 20000 буквъ. Съ этой цѣльто
мы располагаемъ каждую изъ разсматриваемыхъ сотенъ буквъ
въ квадратъ, по десяти строкъ и десяти столбцовъ, сохраняя
порядокъ буквъ
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,
91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100;

считаемъ, сколько гласныхъ въ каждомъ столбцѣ, въ отдель-
ности, и соединяешь числа по два:
1ое
иб00,200и7м
,
3м п 8°°,
40Ѳи900,5
ое
и 10м
.
Мы получаемъ такимъ образомъ для каждой сотни буквъ
пять чиеелъ, обозначаемыхъ нами символами
(1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10);
сумма ихъ
(1, 6)-+-(2, 7)-ИЗ, 8)-н(4, 9)-н(5, Ю)
равна числу гласныхъ этой сотни.
Соединяя же по 500 буквъ вмѣстѣ, мы можемъ образовать
новыя пять сотенъ буквъ: первую—изъ первыхъ и шестыхъ
столбцовъ, вторую — пзъ вторыхъ п седьмыхъ столбцовъ и т. д.
Число гласныхъ въ этихъ новыхъ сотняхъ опредѣляется суммами
2(1,6), 2(2,7), 2(3,8), 2(4,9), 2(5,10),
состоящими изъ соотвѣтствующихъ пяти слагаемыхъ.
Результаты нашего счета приведены въ сорока табличкахъ,
каждая изъ которыхъ содержитъ: въ первой строкѣ — пять чи-
еелъ (1, 6) и ихъ сумму, во второй строкѣ — пять чиеелъ (2, 7)
и ихъ сумму и т. д., а въ послѣдней строкѣ — число гласныхъ
въ первой сотнѣ, во второй сотнѣ и т. д. и наконецъ число
гласныхъ во всѣхъ пяти сотняхъ, уменьшенное для сбереженія
мѣста на 200.
6 811111340
121177542
GG671338
810119442
1011о10844
424640444315
10666735
912156951
93610937
91185639
9101010948
464245374010
161198751
4S9111042
99971044
129610744
3S108938
444543444319
57871040
10998844
8988841
10 613 61247
812513644
444343424416
141273642
5 511 91141
810610741
1111831043
441114841
4242433942 S
1111S7744
9610111147
12995641
1086111146
7689838
494041434316
5111061042
128811746
771210945
81279945
128109S47
444647454325
11101012649
4497933
1113691049
67118638
861071243
404046434312

1298101049
31012 91041
11116111049
10S11б.742
6879636
424044454320
74115734
11149И 954
769S939
109810542
1110891149
464345434118
4111012 542
149S71452
4S98433
8141112 651
116741442
414845434320
11G89539
610681343
1051111 G43
912681045
711 9101047
434440464417
58135S42
910 714949
91168741
79126943
109912949
434747454224
1213591150
77105837
77914744
1213 7S1050
441211940
424443474521
56871443
814138447
124691142
68910841
GS118639
404047424312
479111041
10794939
8139121052
75771238
1310109 547
424244434617
8995S39
79911743
10G69940
'
7815G945
117 6111045
433945424312
5575931
12G1010846
81411111054
4395930
1314 911 754
424246424315
51110G537
8 98101045
88G9940
10697638
1198101250
424341424210
101047940
11101313956
10759G37
10 5 8101043
613105640
474540444016
12712 51248
1085134411
1013S7947
9412G940
41299842
454446404217
5118121046
12898G43
81198743
85711839
111110G846
444643453917
7986737
9S6101144
10 910S1047
8749432
11810S946
4541384141 6
10878740
1081110746
G1111101048
12876538
5 911121148
434447464020
7777937
913GS440
9 711121453
711S9742
S101011948
404842474320
5G5141144
812107441
810981449
9599638
8131151047
414644434519
441011534
G12981045
134108G41
7107121147
91381839
3943444040 6
10878841
699S739
15 91113957
51054731
891012948
44454245401G
101476G43
4G8101442
13G128544
713581043
8 51510947
424447424419
91110G1349
9S68637
771210945
1212G8846
57911436
424543434013
911118S47
108591042
GS16121153
121157843
65910838
434346464523
121011 4 542
5 910111146
1081071348
118811543
48891140
424347424519
1277GS40
6S710S39
910108744
9567734
711913747
4341394437 4
1091361250
8889538
1010891047
791071043
9S311738
44444242441G
131113101057
7109G234
S8781243
911910645
G379934
434345433913
1031113542
711971044
101047738
7 71413748
1199G1550
454047464422
9G710537
111078945
1010 9 91048
S 612101046
911S51144
474343424520
59710G37
109117744
11111110S51
7 75101039
138981048
464443454119
5743726
141013 9 551
7868938
71095940
9101116 753
4245434137 8
1213 G61047
631010433
1111971452
58S9939
11 61112 747
454144444418

Остановимся на совокупности чиеелъ
42, 46, 40, 44, 43, 44, 45, 43,
,
стоящихъ въ гюслѣднпхъ строкахъ нашихъ 40 табличекъ и по-
казывающихъ сколько находится гласныхъ въ нослѣдователь-
ныхъ сотняхъ текста:
1) мой дядя самых честных правил когда не в шутку
12
34
5G
7
S
910
111213
14 15
занемог он уважат себя заставил и лучше выдумат не мог его
161718 19 202122
2324 25 2027 2829 30313233
34 35 3837
примѣр другим па (42 гласныхъ)
38 39
40 41
42
2) ука но боясе мой какая скука с болиым сидѣт и ден и ноч
12
34567
8910 Іі12
13 14
1510171S1920
не отходя ни шагу проч какое низкое коварство полѵяшваго
2122 2324 25
26 27
28
293031 32 3334 3536
37 3839404142
забавлят ем (46 гласныхъ)
43444546
ИТ.Д.
Считая сколько разъ въ этой совокупности 200 чиеелъ встре-
чается каждое число составляемъ новую небольшую таблицу
37383940414243444546474849
3
1
6
18123143292517122
1
Здѣсь въ первой строкѣ приведены всѣ числа, входящія въ
нашу совокупность, а подъ ними, во второй строкѣ, указано,
сколько разъ они встречаются.
При помощи этой таблицы легко находимъ ихъ среднее ариф-
метическое
29-1-25.2-1-17.3-1-12• 4--І-2.5-HG—31—12.2 —1S.3 —6 .4—5 —3 .6
л0
.,п
и отсюда выводимъ
р Ф 0,4319 ф 0,432.

Вычисляешь сумму квадратовъ ихъ отклоненій отъ 43,2;
она оказывается равною
1022,8,
что по раздѣленіи на 200 даетъ намъ число
5,114,
которое можно принять за приближенную величину математиче-
скаго ожнданія квадрата отклоненія любого изъ нашихъ 200 чи-
еелъ отъ ихъ общаго математическаго ожиданія, приблизительно
равнаго 43,2. Наконецъ число
представляетъ приближенную величину математическаго ожп-
данія квадрата погрѣшностп въ опредѣленіи 100j) равенствомъ
lOOj? Ф 43,2.
Такое заключеніе соединено съ обычнымъ предположеніемъ
способа наименыпихъ квадратовъ, что мы имѣемъ дѣло съ не-
зависимыми величинами. Это предположепіе, въ данномъ случаѣ,
оправдывается не хуже, чѣмъ во многихъ другихъ, ибо связь
между числами, по способу ихъ полученія, весьма слаба. Неза-
висимости нашихъ величинъ соотвѣтствуетъ тотъ Факта, что,
соединяя ихъ по двѣ, по четыре и по пяти п вычисляя для этихъ
100, 50 и 40 комбпнацій суммы квадратовъ ихъ отклоненій отъ
86,4, 172,8
и
216,
мы получаемъ числа
827,6 975,2
п
1004,
которыя не очень сильно отличаются отъ рапѣе пайденнаго числа
1022,8.
Можно подмѣтить также некоторую согласованность нашихъ
результатовъ съ извѣстнымъ закономъ погрешностей, указан-

нымъ въ коыцѣ § 39 и связанпымъ съ именами Гаусса и Лапласа;
напримѣръ, величина называемая вѣроятною погрѣшностью, у
насъ приблизительно равна
0,67 У 5,11 Ф 1,5
п соотвѣтственно этому между
43,2 — 1,5 = 41,7 и 43,2-t-1,5 = 44,7
находится 103 числа, т. е. около половины ихъ: 31 разъ
число 42, 43 раза число 43 и 29 разъ число 44.
Переходя отъ сотенъ пспытаній къ отдѣльнымъ испыта-
ніямъ, замѣчаемъ, что число
5,114
іоо :
сильно отличается отъ
0,05114
0,432x0,568 = 0,245376:
коэФФИціептъ дисперсіи, который въ случаѣ § 40 былъ весьма
блпзокъ къ единицѣ, здѣсь оказывается равнымъ
0,208,
245376 '
'
'
т. е. составляетъ около у, что прекрасно объясняется связан-
ностью нашихъ иснытаній. Для выясненія этой связи, хотя бы
и неполиаго, намъ можетъ послужить вычнсленіе вышеупомяну-
тыхъ вѣроятностей
и р2.
Просматривая весь текстъ изъ 20000 буквъ, мы считаемъ,
сколько въ немъ всгрѣчается послѣдовательностей
гласная, гласная;
получаемъ число 1104, которое по раздѣленіи на число всѣхъ
гласныхъ въ текстѣ даетъ для р1 приближенную величину

Подобнымъ же образомъ ечптая число последовательностей
согласная, согласная
и дѣля его на 11362 мы могли бы найти приближенное зна-
ченіе q2 и затѣмъ р2=1
—q2. Но можно замѣнить утомительный
прямой счетъ слѣдующимъ, очень краткимъ. А именно, нетрудно
замѣтить, что разность
8638 —1104 = 7534
равна числу последовательностей
согласная, гласная,
или превосходить его на единицу; отсюда тотчасъ получаемъ
для р2 такую приближенную величину
SS+0'663-
Мы видимъ, что вероятность букве быть гласной значи-
тельно изменяется, въ зависимости отъ того, предшествуетъ ей
гласная или согласная; разность
—р2, обозначаемая нами
буквою о, оказывается приблизительно равною
0,128 — 0,663 =
—
0,535.
Если допустить теперь, что наша последовательность 20000
буквъ образуетъ простую цепь, въ вышеобъясненномъ смысле,
ТО при
*
л-ок
*
0=
—
0,э35
за теоретически! коэффиціентъ дисперсіи можно принять, со-
гласно нашему изследованію, число
1-*-°
465
_J_ло.
1-3
—
1535 ^
конечно, это число не вполне совнадаетъ съ полученнымъ раньше
0,208,
но, во всякомъ случае, подходить къ нему ближе чемъ число
единица, соответствующее случаю независимыхъ испытаній.

Можно было бы еще ближе подойти къ числу 0,208 при
помощи выводовъ моего пзслѣдованія*) «Объ одномъ случаѣ
испытаній связанныхъ въ сложную цѣпь»; тогда пришлось бы
считать различныя послѣдовательности изъ трехъ буквъ, при
чемъ прямой счетъ необходимо было бы выполнить для двухъ
послѣдовательиостей:
гласная, гласная, гласная
и
согласная, согласная, согласная.
Слѣдуетъ однако помнить, что полнаго совпаденія чиселъ въ
подобпыхъ изслѣдованіяхъ, гдѣ теорія соединена съ опытомъ,
нельзя требовать.
Переходимъ къ другому указанному нами распредѣлеиію
20000 буквъ на сотни. Составляем!) для него таблицу повто-
ряемости различныхъ чиселъ, подобную прежней.
26272S29303132333435363738394041
10001213512913121311
42434445464748495051525354555657
1716151010161010551333012
Среднее арифметическое изъ этихъ повыхъ 200 чиселъ
равно прежнему числу
43,19.
Сумма же квадратовъ ихъ отклоненій отъ 43,2 значительно
больше прежней; а именно она равна
5788,8.
*) Изв. Академіи Ыаукъ. 1911.
ѵ

Здѣсь слѣдуетъ остановиться на условіи независимости вели-
чинъ, обычно соединяемомъ со способомъ наимепынпхъ квадра-
товъ (сл. главу УІІ); вспомнимъ, для чего нужно это условіе.
Оно является необходимымъ при разысканіи вѣса окончатель-
наTM результата, выражаемаго равенствомъ (21), п прп вычи-
сленіи математическаго ожиданія W, которое даетъ памъ при-
ближенную величину 1с. Но это условіе окажется лпшнимъ, если
мы, во первыхъ, оставимъ въ сторопѣ вопросъ о вѣсѣ равен-
ства (21) и во вторыхъ замѣнимъ \ въ выраженіи W числомъ а,
которое нотомъ будемъ считать равнымъ а0, пренебрегая раз-
ностью а — а0. Тогда въ основу нашихъ сужденій лягутъ два
равенства
м. о.
-5
-
-
—
а
р -*-р'! ч-
- *-р(пІ
р' (х' — af ч-р" (х" — а)!+....
+ рNo) (х(») — а)2
7
М. 0.
1
=
к
11
не требующія независимости величинъ
СС,(С,*..., ОС
На основаніи такихъ равенствъ, онпраясь на законъ боль-
шихъ чиселъ мы полагаемъ
.
SgWgffl
,Ч=
(а(<)
~
а)2 +
^^-«оГ-
'
о
.
п
=F
Отпадаетъ только теорема о вѣсѣ окончательнаTM результата,
выражаемая извѣстнымъ равенствомъ (22): вѣсъ результата
равенъ суммѣ вѣсовъ составляющихъ.
Въ данномъ случаѣ, каждое изъ нашихъ 200 чиселъ пред-
ставляетъ сумму почти независимыхъ величинъ; но зато сами
суммы связаны по пяти.
Мы имѣемъ 40 группъ по 500 бѵквъ; въ каждой сотнѣ
нѣтъ смеяшыхъ буквъ текста, чѣмъ обусловливается независи-
мость слагаемыхъ; зато въ каждой группѣ смежны буквы пер-
вой сотни съ буквами второй сотни, буквы второй сотни съ бук-

вами первой и третьей и т. д., въ силу чего наши числа связаны
ио пяти, какъ сказано выше.
Вмѣсто 200 независимыхъ чиселъ у насъ оказывается те-
перь 5 связанныхъ группъ, каждая изъ которыхъ содержитъ
40 независимыхъ чиселъ.
Эго не мѣшаетъ намъ, согласно приведеннымъ объясне-
ніямъ, разсматривать число
578S.8
200
=
28,944
какъ приближенную величину математическаго ожиданія ква-
драта отклоненія нашихъ новыхъ 200 чиселъ
49, 42, 38, 42, 44. 51, 42, 44.
отъ ихъ математическаго ожпданія. приблизительно равнаго 43.2.
И переходя отъ сотенъ буквъ (иснытаній) къ отдѣльнымъ бук-
вамъ, мы замѣчаемъ, что число
0.28944
не очень сильно отличается отъ
0,432x0,568 = 0,245376:
коэФФИціентъ дисперсіи оказывается равнымъ
гаФіДЗ.
24оЗ/Ь 1
'
Если же мы обратимся къ окончательному результату
43,19,
то математическое ояшданіе квадрата его погрѣшности нельзя
уже выражать числомъ
=
0 14470
200
ѵ.і
въ виду связи нашихъ чиселъ
49. 42. 38. 42, 44,
;

ііапротпвъ мы имѣемъ основаніе приравнивать это математи-
ческое ожиданіе числу
найденному при прежнемъ распредѣленіп буквъ на сотни.
Упомянутая сейчасъ связь чиселъ проявляется прп соеди-
неніи пхъ въ суммы по два, по четыре и, въ особенности, по
пяти. Вычисляя для этихъ 100, 50, п 40 комбипацій суммы
квадратовъ ихъ отклоненій отъ
86,4, 172,8
и
216,
мы получаемъ вмѣсто числа
5788,8
такія
3551,6 3089,2
и
1004,
послѣднее изъ которыхъ почти въ шесть разъ меньше 5788.8.
Во время печатанія этой книги я выиолнилъ изслѣдованіе, по-
добное предыдущему, падъ пропзведепіемъ другого автора (С. Т.
Аксаковъ, Дѣтскіе годы Багрова-внука). Результаты послѣдняго
изслѣдованія, обнимающаго совокупность 100000 буквъ*), при-
ведены въ слѣдующихъ табличкахъ, изъ которыхъ можно видѣть,
какъ и въ какой мѣрѣ проявляются въ действительности предѣль-
ныя теоремы исчпслепія вероятностей.
Распредѣленіе тысячъ буквъ (сотенъ десятковъ) по числу де-
сятковъ, содержащихъ одинаковое число гласныхъ.
Число гласныхъ въ десяткѣ указано въ первомъ столбцѣ, а
число десятковъ въ первой строкѣ. Таблицы даютъ соотвѣт-
*) ІІзслѣдованіе произведено надъ нереписаннымъ мною текстомъ, ко-
торый нѣсколько отличается отъ оригинала, благодаря вкравшимся при пере-
шіскѣ ошибкамъ; но, въ виду немногочнсленнностн и неумышленпости ошибокъ,
онѣ не должны существенно вліять на выводы. Въ первомъ изслѣдованііі я
употребилъ много времени и труда на исключеніе такихъ ошибокъ. Вычисленія
выполнены въ обоихъ случаяхъ съ одинаковою тщательностью.

ствующія числа сотенъ десятковъ. Отсюда выведены вѣроятности,
что число гласныхъ въ десяткѣ равно 2, 3, 4, 5, 6, 7 (другія
числа не встрѣчалпсь). Этп вероятности приведены въ пред-
послѣднемъ столбцѣ, въ послѣдиемъ же столбце даны для нихъ
коэффиціепты дисперсіи.
0123456N
і
89
111
101112
11
131415
1
161,7 18 Вѣр. К. д.
284151
0,0017 —
30015679и1015121253111100,OS351,19
6000368520121810922300110,08271,04
773207
0,0034 —
3233«3536-3839404142І43
1
444546474849505152 5455Вѣр. к.д.
402332661082577495835310010,42761,02
5256531086871176606110020000,40110,82
КоэФФИціентовъ дисперсіи для 2 и 7 я не привожу (вычи-
слить ихъ ие трз'дно), такъ какъ для столь редкпхъ событій
они ни о чемъ не свидетельствуютъ.
Распредѣленіе десятковъ по числу гласныхъ въ нихъ.
23
4
5
6 7 Вѣр.глас.К.д.
17 S35 4276 4011 827 34 0,44898 0,25
Это распределепіе вытекаетъ пзъ предыдуіцихъ табличекъ и
даетъ намъ среднюю вероятность гласной, пли число гласныхъ
въ 100000 буквъ и соответствующій коэффиціецтъ дпсперсіи.
Последовательностей, состоящихъ изъ двухъ гласныхъ, ока-
24*

—
372 —
залось, но моему счету, 6588; поэтому
l'.#S + 0'147
'
^=
§=
-0,548, ЙФ0,29.
Измѣненное и теоретическое (внизу) распрсдѣленге
десятковъ
по числу гласныхъ.
012
3
5
6
7 8 910Вѣр.глас.К.д.
26 233 793 1699 2320 2319 1548 740 261 59 2 0,44898 1,05
26 210 771 1675 2389 2335 1586 738 226 41 3
йзмѣнепіе порядка буквъ произведено по тому же способу,
какъ и въ первомъизслѣдовапіи (безъ образованія новыхъ сотенъ):
въ новые десяткп соединены буквы, отдѣляемыя въ текстѣ, другъ
отъ друга, девятью промежуточными буквами.
Теоретическое распредѣленіе десятковъ получено по Фор-
мулѣ (4), относящейся къ независимымъ испытаніямъ, при
р = 0,44898, 2 = 0,55102,
«=10,
съ присоединеніемъ, конечно, множителя 10000.
Распредѣленіе тысячъ буквъ по числу гласныхъ.
Въ первой строкѣ указаны отклоненія (сначала отрицательный,
а потомъ положительиыя) числа гласныхъ отъ 449, а во второй
соотвѣтствующее число тысячъ буквъ
-19 17
I
16 15
1
1311109876
11
5,4.3 2
1[
1 0-t-l
1
23
1
45
11
678
11
9101112
1
13 16
1
18К.д.
1111
1
1213355Д
11
7j3171 7
111
463'5
1
11
0223531ЗІІ
1
1 0,225
Распредѣленге сотенъ буквъ по числу гласныхъ.
37383940414243444546474849505152
125213369123163196171109503510102

Среднія величины
с®,
с®, с® степеней
отклоненій
отъ средняго числа гласныхъ въ сотнѣ буквъ;
коэффиціентъ
дисперсги и другія отношенія.
с(2)=С
с(з)
сШ
e(s)
с(б) К. д. с(і):с2 с(в): с3
4,986 0,230 83,39 11,29 2291 0,202 3,35 18,4
Эта табличка получена по числамъ предыдущей, при чемъ
сначала взяты были отклоненія отъ 45, а затѣмъ произведена
соотвѣтствующая поправка.
Распредѣленіе
сотенъ буквъ по числу гласныхъ, при счетѣ
черезъ одну букву
При этомъ счетѣ буквы, стоящія въ текстѣ рядомъ, иопадаютъ
въ различныя сотни, а буквы, отдѣленныя въ текстѣ одною
буквою, становятся рядомъ.
26272829303132
1
33,34 35
!1
36:37 38 39
1
404142
11
43 44І45
1
10212668!8
1
19
!1
222545
11
426547
1
48
11
61171 67
11
46 47 ІІІІ
4849505152
мм
53
!s
545556575859606162
I
63646566
6261 MM
5938533842
1111
28
j1
24,IS1 5
11
73813111
1
01
Среднія величины
с® гі
коэффицгентъ дисперсги и
отногиеніе cW; с2 для послѣдняго
счета.
c(2)=c
o(3)
К. д. fi(4):C2
35,896 17,47 3833,5 1,45 2,97
КоэФФпціентъ дисперсіи оказался здѣсь замѣтно больше еди-
ницы. Этотъ Фактъ, хотя и нерѣзко выраженный, соотвѣтствуегъ

теоретпческимъ соображеніямъ о простой цѣпи, ради которыхъ
п былъ предпринять послѣдній счетъ.
Вероятности 2\ п Р2 Для этого новаго распредѣленія буквъ
я вычпслнлъ сперва только по первому десятку тысячъ буквъ.
Гласныхъ среди нихъ было 4462; послѣдовательпостей же двухъ
гласныхъ, раздѣляемыхъ въ текстѣ одною буквою, оказалось
2470. Поэтому, при счетѣ черезъ одну букву, имѣемъ
.
2470 ,
пкк
,
1992 .
„„„
J.
n
-.„
l-i-o
.
,
к
^1+4462 + 0'55
'
^2 + 5538=#°>36. О = И-0,19, j^gф 1,5.
ЗатЬмъ я подсчпталъ такія последовательности и для всего
текста: пхъ оказалось 24773; откуда иаходимъ
Р1Ф^ф 0,552,Лф|Цф0,365,§ф0,187,^ф1,46.
Литература.
А. Марковъ. Распространеиіе предѣлыіыхъ теоремъ псчи-
сленія вѣроятностей на сумму величинъ связанныхъ въ цѣпь.
(Зап. Акад. Наукъ, VIII серія, т. XXII).
А. Марковъ. Изслѣдовапіе общаго случая испыганій свя-
занныхъ въ цѣпь. (Зап. Акад. Наукъ. VIII серія, т. XXV).
А. Марковъ. Объ нспытаніяхъ связанныхъ въ цѣпь не
наблюдаемыми событіямп. (Изв. Акад. Наукъ. 1912).
А. Марковъ. Прпмѣръ статистпческаго изслѣдоваиія, надъ
текстомъ романа Пушкина «Евгеній Онѣгипъ», иллюстрирующій
связь испытапій въ цѣпь. (Изв. Акад. Наукъ. 1913).

Таблица значѳній
-ДгѴ^.
ѵ-Л
X
0
1
2
ОО
4
5
6
7
8
9
0.00
0,00 0000 1128 2257 3385 4513 5642 6770 7899 9027 0155 0.01
0.01
0,01 12S3 2412 3540 4668 5796 6924 8053 9181 0309 1437 0.02
0,02
0,02 2565 3692 4820 5948 7076 8204 9331 0459 1586 2714 0.03
0,03
0,03 3S41 4969 6096 7223 8350 9477 0604 1731 2858 3984 0.04
0,04
0,04 5111 6238 7364 S490 9617 0743 1S69 2995 4121 5246 0.05
0,05
0.05 6372 7497 S623 9748 0S73 1998 3123 4248 5373 6497 0.06
0.06
0.06 7622 8746 9870 0994 2118 3241 4365 5488 6612 7735 0.07
0.07
0,07 8S58 9981 1103 2226 3348 4470 5592 6714 7835 8957 0.08
0.08
0,09 0078 1199 2320 3441 4561 5682 6802 7922 9042 0161 0.10
0,09
0,10 1281 2400 3519 463S 5756 6874 7993 9110 022S 1346 0.11
0,10
0,11 2463 3580 4697 5813 6930 8046 9162 0277 1393 250S 0.12
0,11
0,12 3623 4738 5852 6966 8080 9194 0307 1420 2533 3646 0.13
0,12
0.13 475S 5870 6982 S094 9205 0316 1427 2537 3648 4758 0.14
0.13
0,14 5867 6976 8085 9194 0303 1411 2519 3626 4733 5S40 0.15
0.14
0.15 6947 8053 9159 0265 1370 2476 3580 4685 5789 6S93 0.16
0.15
0.16 7996 9099 0202 1304 2406 350S 4610 5711 6811 7912 0.17
0.16
0,17 9012 0111 1211 2310 340S 4507 5605 6702 7799 8896 0.1S
0.17
0.18 9992 1089 2184 3279 4374 5469 6563 7657 8750 9843 0.19
0,18
0.20 0936 2028 3120 4211" 5302 6393 7483 S573 9662 0751 0.21
0,19
0,21 1840 2928 4016 5103 6190 7277 8363 944S 0533 1616 0.22
0.20
0,22 2703 37S7 4870 5953 7036 8118 9200 0281 1362 2442 0.23
0,21
0.23 3522 4601 56S0 6759 7837 8915 9992 1069 2145 3221 0.24
•0.22
0,24 4296 5371 6445 7519 8592 9665 0738 1810 28S1 3952 0.25
0.23
0,25 5023 6093 7162 S231 9300 0368 1435 2502 3569 4635 0.26
0,24
0,26 5700 6765 7829 8893 9957 1020 2082 3144 4205 5266 0.27
0.25
0,27 6326 7386 8445 9504 0562 1620 2677 3733 4789 5845 0.28
0.26
0,28 6900 7954 9008 0061 1114 2166 3218 4269 5319 6369 0.29
0.27
0,29 741S S467 9515 0563 1610 2656 3702 4748 5792 6836 0.30
0,2S
0,30 7880 8923 9965 1007 2049 3089 4129 5169 G208 7246 0,31
0,29
0,31 8283 9321 0357 1393 242S 3463 4497 5530 6563 7595 0.32

X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.30 0.32 S627 9658 0688 1718 2747 3775 4803 5830 6857 7883 0.33
0.31 0.33 8908 9933 0957 1980 3003 4025 5047 6067 708S 8107 0.34
0.32 0.34 9126 0144 1162 2179 3195 4211 5226 6240 7253 8266 0.35
0,33 0,35 9279 0290 1301 2312 3321 4330 533S 6346 7353 8359 0.36
0.34 0.36 9365 0369 1374 2377 3380 4382 5383 6384 7384 8383 0,37
0.35 0,37 9382 0380 1377 2374 3370 4365 5359 6353 7346 8338 0.38
0.36 0.3S 9330 0321 1311 2300 3289 4277 5264 6251 7237 8222 0,39
0.37 0.39 9206 0190 1173 2155 3136 4117 5097 6076 7055 8032 0,40
0.3S 0.40 9009 9986 0961 1936 2910 3883 4856 5828 6799 7769 0.41
0.39 0,41 8739 9707 0676 1643 2609 3575 4540 5504 6468 7430 0.42
0.40 0.42 8392 9354 0314 1274 2232 3190 4148 5104 6060 7015 0,43
0.41 0.43 7969 8922 9875 0827 1778 2728 3678 4626 5574 6521 0,44
0.42 0,44 7468 8413 9358 0302 1245 2187 3129 4069 5009 5948 0.45
0.43 0.45 6887 7S24 8761 9697 0632 1566 2500 3432 4364 5295 0,46
0.44 0.46 6225 7154 8083 9011 993S 0864 1789 2713 3637 4560 0.47
0.45 0,47 54S2 6403 7323 8243 9161 0079 0996 1912 2827 3742 0.48
0,46 0.48 4655 5568 6480 7391 8301 9211 0119 1027 1934 2840 0.49
0.47 0.49 3745 4649 5553 6455 7357 825S 9158 0057 0956 1853 0,50
0.48 - 0,50 2750 3645 4540 5434 6327 7220 8111 9002 9891 0780 0,51
0,49 0,51 1668 2555 3442 4327 5211 6095 6978 7860 8741 9621 0,51
0.50 0.52 0500 1378 2256 3132 4008 4883 5757 6630 7502 8373 0,52
0,51 0.52 9244 0113 0982 1S49 2716 3582 4447 5311 6175 7037 0.53
0,52 0.53 7899 S759 9619 0478 1336 2193 3049 3904 4758 5612 0.54
0.53 0,54 6464 7316 8166 9016 9865 0713 1560 2406 3251 4096 0.55
0,54 0.55 4939 57S2 6623 7464 8304 9143 9981 0818 1654 2489 0,56
0,55 0,56 3323 4157 4989 5821 6651 7481 8310 9138 9965 0791 0,57
0.56 0,57 1616 2440. 3263 40S6 4907 5727 6547 7366 8183 9000 0,57
0,57 0,57 9816 0631 1445 225S 3070 3S81 4691 5501 6309 7116 0,58
0.53 0.58 7923 8728 9533 0337 1140 1941 2742 3542 4341 5139 0,59
0,59 0,59 .5936 6733 7528 8322 9116 9908 0700 1490 2280 3068 0.60
0,60 0,60 3856 4643 5429 6214 6998 7780 8563 9344 0124 0903 0.61
0.61 0,61 1681 2459 3235 4010 4785 5558 6331 7102 7873 8643 0.61
0,62 0,61 9411 0179 0946 1712 2477 3241 4004 4766 5527 6287 0.62
0,63 0,62 7046 7805 . 8562 9318 0074 0828 1582 2334 3086 3836 0.63
0,64 0,63 45S6 5334 6082 GS29 7575 8320 9063 9806 0548 1289 0,64
0,65 0,64 2029 2768 3506 4244 4980 5715 6449 7183 7915 8646 0,64
0,66 0,64 9377 0106 0835 1562 2289 3014 3739 4463 5185 5907 0,65
0,67 0,65 6628 7347 8066 87S4 9501 0217 0932 1646 2359 3071 0,66
0,6S 0,66 3782 4492 52C2 5910 6617 7323 8029 8733 9436 0139 0.67
0,69 0,67 0840 1541 2240 2939 3636 4333 502S 5723 6417 7109 0,67

X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,70 0,67 7801 8492 9182 9871 0559 1245 1931 2616 3300 3983 0.68
0,71 0,68 4666 5347 6027 6706 7384 8061 8738 9413 0087 0761 0,69
0,72' 0,69 1433 2105 2775 3445 4113 4781 5447 6113 6778 7441 0,69
0,73 0,69 8104 8766 9427 0086 0745 1403 2060 2716 3371 4025 0,70
0,74 0,70 4678 5330 5981 6631 7281 7929 8576 9222 9868 0512 0.71
0,75 0,71 1156 1798 2440 3080 3720 4358 4996 5633 6268 6903 0,71
0,76 0,71 7537 8170 8801 9432 0062 0691 1319 1946 2572 3197 0.72
0,77 0,72 3822 4445 5067 5688 6309 692S 7546 8164 87S0 9396 0,72
0,78 0,73 0010 0624 1237 1848 2459 3069 3678 4286 4892 5498 0,73
0,79 0,73 6103 6707 7311 7913 8514 9114 9713 0312 0909 1506 0.74
0,S0 0,74 2101 2695 3289 38S2 4473 5064 5654 6243 6830 7417 0,74
0,81 0,74 8003 8588 9172 9755 0338 0919 1499 207S 2657 3234 0.75
0,82 0,75 3811 4386 4961 5535 6107 6679 7250 7820 S389 8957 0,75
0,83 0,75 9524 0090 0655 1219 1783 2345 2906 3467 4026 4585 0.76
0,84 0,76 5143 5699 6255 6810 7364 7917 8469 9020 9570 0120 0.77
0,85 0,77 0668 1215 1762 2307 2S52 3396 3939 4480 5021 5561 0,77
0,S6 0,77 6100 6638 7176 7712 8247 8782 9315 9848 0379 0910 0.7S
0,87 0,78 1440 1969 2497 3024 3550 4075 4599 5123 5645 6167 0,7S
o,ss 0,78 6687 7207 7726 8244 S7G1 9277 9792 0306 0819 1332 0.79
0,89 0,79 1843 2354 2863 3372 38S0 4387 4893 539S 5902 6406 0,79
0,90 0,79 690S 7410 7910 8410 S909 9407 9904 0400 0895 1389 0,80
0,91 0,80 1883 2375 2S67 335S 3848 4336 4824 5312 5798 6283 0,S0
0,92 0,S0 676S 7251 7734 8216 8697 9177 9656 0134 0611 1088 0,81
0,93 0,81 1564 2038 2512 2985 3457 3928 4399 4868 5337 5804 0,S1
0,94 0,81 6271 6737 7202 7666 8129 8592 9053 9514 9974 0433 0,82
0,95 0,82 0891 1348 1804 2260 2714 316S 3621 4073 4524 4974 0,82
0,96 0,82 5424 5S72 6320 6767 7213 7658 8102 8545 898S 9429 0,S2
0,97 0,82 9870 0310 0749 1188 1625 2062 2497 2932 3366 3799 0.S3
0,98 0,83 4232 4663 5094 5523 5952 6380 6S08 7234 7659 80S4 0,83
0,99 0,83 ' S508 8931 9353 9775 0195 0615 1034 1452 1869 2285 0.84
1,00 0,84 2701 3115 3529 3942 4355 4766 5177 5586 5995 6403 0,84
1,01 0,84 6810 7217 7623 8027 8431 S834 9237 9638 0039 0439 0.85
1.02 0,S5 0838 1236 1634 2030 2426 2821 3215 3609 4001 4393 0,85
1,03 0,85 4784 5174 5564 5952 6340 6727 7113 7499 7883 8267 0,85
1,04 0,85 8650 9032 9414 9794 0174 0553 0931 1309 16S5 2061 0,86
1,05 0,86 2436 2810 3184 3557 3928 4300 4676 5040 5408 5776 0,86
1,06 0,86 6144 6510 6876 7241 7605 7968 8331 8692 9054 9414 0,86
1,07 0,86 9773 0132 0490 0847 1204 1559 1914 2268 2622 2974 0,87
1,08 0,87 3326 3677 4028 4377 4726 5074 5421 5768 6114 6459 0,87
1,09 0,87 6803 7147 7489 7832 8173 8513 8853 9192 9331 9868 0,S7

X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1,10 o,ss 0205 0541 0877 1211 1545 1S78 2211 2542 2873 3204 0,88
1,11 0.S8 3533 3862 4190 4517 4844 5170 5495 5S19 6143 6466 0,88
1,12 0,88 6788 7109 7430 7750 8070 838S 8706 9023 9340 9656 o,ss
1,13 0.88 9971 0285 0599 0912 1224 1535 1846 2156 2466 2774 0.S9
1,14 0,S9 30S2 3390 3696 4002 4307 4612 4916 5219 5521 5S23 0,S9
1,15 0,89 6124 6424 6724 7023 7321 7619 7915 8212 8507 SS02 0,89
1,16 0;S9 9096 9390 96S2 9975 0266 0557 0S47 1136 1425 1713 0.90
1,17 0,90 2000 22S7 2573 2859 3143 3427 3711 3993 4275 4557 0,90
1,18 0,90 4837 5117 5397 5676 5954 6231 650S 6784 7059 7334 0,90
1,19 0,90 760S 7882 8155 8427 869S 8969 9239 9509 9778 0046 0.91
1,20 0,91 0314 0581 0S47 1113 1378 1643 1907 2170 2432 2694 0,91
1,21 0,91 2956 3216 3476 3736 3994 4253 4510 4767 5023 5279 0,91
1,22 0,91 5534 578S 6042 6295 6548 6800 7051 7302 7552 7801 0,91
1,23 0,91 8050 S29S 8546 8793 9039 9285 9530 9775 0019 0262 0.92
1,24 0,92 0505 0747 0989 1230 1470 1710 1949 218S 2426 2663 0,92
1,25 0,92 2900 3136 3372 3607 3S41 4075 4309 4541 4773 5005 0,92
1,26 0,92 5236 5466 5696 5925 6154 6382 6609 6836 7063 728S 0,92
1,27 0,92 7514 7738 7962 81S6 8409 8631 8853 9074 9295 9515 0,92
1,28 0,92 9734 9953 0172 0389 0607 0823 1040 1255 1470 1685 0.93
1,29 0,93 1899 2112 2325 2537 2749 2960 3171 3381 3590 3799 0,93
1,30 0,93 4008 4216 4423 4630 4836 5042 5247 5452 5656 5860 0,93
1.31 0,93 6063 6266 646S 6669 6S70 7071 7271 7470 7669 7867 0.93
1,32 0,93 8065 8262 8459 8656 8851 9047 9241 9435 9629 9822 0,93
1,33 0,94 0015 0207 0399 0590 0781 0971 1160 1349 1538 1726 0,94
1,34 0,94 1914 2101 2287 2473 2659 2844 3029 3213 3396 3580 0,94
1,35 0,94 3762 3944 4126 4307 4488 4668 4S48 5027 5205 5384 0,94
1,36 0,94 5561 5739 5915 6092 6268 6443 6618 6792 6966 7139 0,94
1,37 0,94 7312 7485 7657 782S 7999 S170 8340 8510 8679 SS4S 0,94
1,38 0,94 9016 9184 9351 951S 9684 9850 0016 0181 0346 0510 0,95
1,39 0,95 0673 0837 0999 1162 1323 1485 1646 1806 1966 2126 0,95
1,40 0,95 22S5 2444 2602 2760 2917 3074 3231 3387 3542 3698 0,95
1,41 0,95 3852 4007 4161 4314 4467 4620 4772 4924 5075 5226 0,95
1,42 0,95 5376 5526 5676 5825 5974 6122 6270 64-17 6564 6711 0,95
1,43 0,95 6857 7003 7148 7293 7438 7582 7726 7869 8012 8154 0,95
1,44 0,95 8297 8438 8580 8720 8861 9001 9140 9280 9419 9557 0,95
1,45 0,95 9695 9833 9970 0107 0243 0379 0515 0650 0785 0919 0,96
1,46 0,96 1054 11S7 1320 1453 15S6 1718 1850 1981 2112 2243 0,96
1,47 0,96 2373 2503 2632 2761 2890 3018 3146 3274 3401 3528 0,96
1,48 0,96 3654 3780 3906 4031 4156 42S1 4405 4529 4652 4-775 0,96
1,49 0,96 4898 5020 5142 5264 5385 5506 5627 5747 5S67 5986 0,96

X
0
1
2
3
4
5
6
7
S
9
1,50 0,96 6105 6224 6342 6460 6578 6695 6812 6929 7045 7161 0,96
1,51 0,96 7277 7392 7507 7621 7736 7849 7963 8076 8189 8301 0,96
1,52 0,96 8413 8525 8637 8748 885.9 8969 9079 91S9 929S 9407 0,96
1,53 0,96 9516 9625 9733 9841 994S 0055 0162 026S 0374 0480 0,97
1,54 0,97 0586 0691 0796 0900 1004 1108 1212 1315 1418 1520 0,97
1,55 0,97 1623 1725 1826 1928 2029 2129 2230 2330 2430 2529 0,97
1,56 0,97 2628 2727 2825 2924 3022 3119 3216 3313 3410 3507 0,97
1,57 0,97 3603 369S 3794 3889 3984 4079 4173 4267 4361 4454 0,97
1,58 0,97 4547 4640 4732 4825 4916 5008 5099 5191 5281 5372 0,97
1,59 0,97 5462 5552 5642 5731 5820 5909 5997 6085 6173 6261 0,97
1,60 0,97 6348 G435 6522 6609 6695 67S1 6867 6952 7037 7122 0,97
1,61 0,97 7207 7291 7375 7459 7543 7626 7709 7792 7874 7956 0,97
1,62 0,97 8038 8120 8201 8282 8363 8444 8524 8604 8684 8764 0,97
1,63
•0,97 8843 8922 9001 9079 9157 9235 9313 9391 9468 9545 0,97
1,64 0,97 9622 9698 9775 9851 9926 0002 0077 0152 0227 0301 0.98
1,65 0,98 0376 0450 0523 0597 0670 0743 0816 0889 0961 1033 0,98
1,66 0,98 1105 1177 1248 1319 1390 1461 1531 1601 1671 1741 0,98
1,67 0.9S 1S10 18S0 1949 201S 2086 2154 2223 2290 235S 2426 0,98
1,68 0,98 2493 2560 2627 2693 2759 2S25 2891 2957 3022 308S 0,98
1,69 0,98 3153 3217 3282 3346 3410 3474 3538 3601 3665 3728 0,98
1,70 0,98 3790 3853 3915 397S 4040 4101 4163 4224 4285 4346 0,98
1,71 0,9S 4407 446S 4528 45S8 4648 4707 4767 4826 4885 4944 0,98
1,72 0,98 5003 5061 5120 5178 5235 5293 5351 5408 5465 5522 0,98
1,73 0,98 5578 5635 5691 5747 5803 5859 5914 5970 6025 60S0 0,98
1,74 0,98 6135 6189 6244 629S 6352 6405 6459 6513 6566 6619 0,9S
1,75 0,9S 6672 6724 6777 6829 6881 6933 69S5 7037 7088 7139 0,98
1,76 0,98 7190 7241 7292 7342 7393 7443 7493 7543 7592 7642 0,9S
1,77 0,98 7691 7740 7789 7S3S 7886 7935 79S3 S031 8079 8127 0,9S
1,78 0.9S 8174 8222 S269 S316 8363 S409 8456 8502 8549 S595 0,9S
1,79 0,98 8641 S686 8732 8777 8822 8868 8912 8957 9002 9046 0.9S
1,80 0.9S 9091 9135 9179 9222 9266 9309 9353 9396 9439 9482 0.9S
1,81 0,9S 9525 9567 9609 9G52 9694 9736 9778 9S19 9S61 9902 0,98
1,82 0,98 9943 9984 0025 0066 0106 0147 01S7 0227 0267 0307 0.99
1,83 0,99 0347 0386 0426 0465 0504 0543 0582 0621 0659 0698 0,99
1,84 0,99 0736 0774 0812 0850 0888 0925 0963 1000 1037 1074 0,99
1,85 0,99 1111 1148 11S4 1221 1257 1293 1330 1365 1401 1437 0,99
1,S6 0,99 1472 1508 1543 157S 1613 164S 16S3 171S 1752 1787 0,99
1,87 0,99 1821 1855 1S89 1923 1956 1990 2024 2057 2090 2123 0,99
1,88 0,99 2156 2189 2222 2254 2287 2319 2352 2384 2416 2448 0,99
1,89 0,99 2479 2511 2542 2574 2605 2636 2667 2698 2729 2760 0,99

X
0
1
2
о
4
5
6
7
8
9
1.90 0.99 2790 2821 2851 28S1 2912 2942 2972 3001 3031 3061 0,99
1,91 0,99 3090 3119 3143 317S 3207 3235 3264 3293 3321 3350 0,99
1,92 0,99 3378 3406 3435 3463 3490 351S 3546 3574 3601 3628 0,99
1.9S 0.99 3656 3683 3710 3737 3764 3790 3817 3844 3870 3896 0,99
1.91 0,99 3923 3949 3975 4001 4026 4052 4078 4103 4І29 4154 0,99
1,95 0,99 4179 4204 4229 4254 4279 4304 4329 4353 4378 4402 0,99
1,96 0,99 4426 4450 4475 4498 4522 4546 4570 4593 4617 4640 0,99
1.97 0,99 4664 4687 4710 4733 4756 4779 4802 4824 4S47 4870 0,99
1,93 0,99 4892 4914 4937 4959 4981 5003 5025 5047 506S 5090 0,99
1,99 0,99 5111 5133 5154 5176 5197 5218 5239 5260 5281 5302 0,99
2,00 0,99 5322 5343 5363 5384 5404 5425 5445 5465 5485 5505 0,99
2,01 0.99 5525 5545 5564 5584 5604 5623 5643 5662 5681 5700 0,99
2,02 0,99 5719 5738 5757 5776 5795 5814 5832 5851 5870 5838 0,9»
2,03 0,99 5906 3925 5943 5961 5979 5997 6015 6033 6050 6063 0,99
2,01 0,99 6086 6103 6121 6138 6156 6173 6190 6207 6224 6241 0,99
2.05 0,99 6258 6275 6292 6308 6325 6342 6358 6375 6391 6407 0,99
2,06 0,99 6423 6440 6456 6472 6488 6504 6519 6535 6551 6567 0,99
2,07 0,99 6582 6598 6613 6628 6644 6659 6674 66S9 6704 С719 0,99
2,03 0,99 6734 6749 6764 6779 6794 680S 6823 6837 6852 6S66 0,99
2,09 0,99 68S0 6895 6909 6923 6937 6951 6965 6979 6993 7007 0,99
2,10 0,99 7021 7034 7048 7061 7075 7088 7102 7115 7128 7142 0,99
2,11 0,99 7155 7168 7181 7194 7207 7220 7233 7246 7258 7271 0,09
2,12 0,99 7284 7296 7309 7321 7334 7346 7358 7371 7383 7395 0,99
2,13 0,99 7407 7419 7431 7443 7455 7467 7479 7490 7502 7514 0,99
2,14 0,99 7525 7537 7548 7560 7571 7583 7594 7605 7616 7627 0,99
2,15 0.99 7639 7650 7661 7672 7683 7693 7704 7715 7726 7737 0,99
2,16 0,99 7747 7758 7768 7779 7789 7800 7810 7820 7831 7841 0,09
2,17 0,99 7851 7861 7871 7881 7891 7901 7911 7921 7931 7941 0,99
2,18 0,99 7951 7960 • 7970 79S0 7989 7999 S008 801S 8027 8037 0,99
2,19 0,99 8046 8055 S065 8074 8083 8092 8101 8110 8119 8128 0,99
2,20 0,99 S137 8146 8155 8164 8173 8181 8190 8199 8207 8216 0,99
2,21 0.99 8224 8233 S241 8250 8258 8267 8275 32S3 8292 8300 0.99
2.22 0,99 8308 8316 8324 8332 8340 8348 8356 8364 8372 8380 0,99
2.23 0,99 8388 8396 8403 8411 8419 8426 8434 8442 8449 8457 0,99
2 24 0,99 8464 S472 8479 8486 8494 S501 8508 8516 8523 8530 0,99
2,25 0,99 8537 8544 8552 8559 8566 8573 85S0 8586 8593 8600 0,99
2,26 0,99 8607 8614 S621 8627 8634 8641 8648 8634 8661 8667 0,99
2.27 0,99 8674 8680 8687 8693 8700 8706 8712 8719 8725 8731 0,99
2,28 0,99 8738 8744 S750 8756 S762 8768 S775 8781 3787 8793 0,09
2,29 0.99 8799 8805 S810 8816 8822 8823 8834 8840 8345 8S51 0,09

а:
О
о
4
5
G
8
2.30 0 .99 8S57 SS62 8868 8874 8S79 8885 8890 8896 8902 8907
2.31 0,99 8912 8918 8923 8929 S934 8939 8945 8950 8955 89G0
2.32 0,99 8966 8971 897G 8981 89SG 8991 8996 9001 9006 9011
2.33 0,99 9016 9021 9026 9031 9036 9041 9045 9050 9055 9060
2.34 . 0,99 9065 9069 9074 9079 90-3 9088 9093 9097 9102 910G
2.35 0,99 9111 9115 9120 9124 9129 9133 9137 9142 9146 9150
2.36 0,99 9155 9159 9163 9168 9172 9176 9180 9184 9189 9193
2.37 0,99 9197 9201 9205 9209 9213 9217 9221 9225 9229 9233
2,3S 0,99 9237 9241 9245 9249 9252 9256 9260 9264 9268 9271
2.39 0,99 9275 9279 9282 9286 9290 9293 9297 9301 9304 9308
2.40 0,99 9311 9315 9319 9322 9326 9329 9333 9336 9339 9343
2.41 0,99 9346 9350 9353 9356 9360 9363 9366 9370 9373 9376
2.42 0,99 9379 9383 93S6 9389 9392 9395 9398 9402 9405 9408
2.43 0,99 9411 9414 9417 9420 9423 9426 9429 9432 9435 9438
2.44 0,99 9441 9444 9447 9450 9452 9455 9458 9461 9464 9467
2.45 0,99 9469 9472 9475 9478 94S0 94S3 9486 9489 9491 9494
2.46 0,99 9497 9499 9502 9505 9507 9510 9512 9515 9517 9520
2.47 0,99 9523 9525 9528 9530 9533 9535 9538 9540 9542 9545
2.48 0,99 9547 9550 9552 9554 9557 9559 9561 9564 9566 9568
2.49 0,99 9571 9573 9575 9578 9580 9582 95S4 9586 9589 9591
2.5 0,999 5930 6143 6345 6537 6720 6893 7058 7215 7364 7505
2.6 0,999 7640 7767 7888 S003 8112 8215 8313 8406 8494 8578
2.7 0,999 8657 8732 S803 8870 S934 8994 9051 9105 9156 9204
2.8 0,999 9250 9293 9334 9373 9409 9443 9476 9507 9536 9563
2.9 0,999 9589 9613 9636 9658 9079 9G98 971G 9733 9750 9765
3.0 0,999 9779 9793 9805 9817 9829 9S39 9849 9859 9867 9876
3.1 0,999 98S4 9891 9898 9904 9910 9916 9921 9926 9931 9336
3.2 0,999 9940 9944 9947 9951 9954 9957 9960 99G2 9965 9967
3.3 0,999 9969 9971 9973 9975 9977 9978 9980 9981 9932 9984
3.4 0,999 9985 9986 99S7 998S 9989 9989 9990 9991 9991 9992
3.5 0,999 9993 9993 9994 9994 9994 9995 9995 9996 9996 999G
3.6 0,999 9996 9997 9997 9997 9997 9998 9998 9998 9998 9998
3.7 0,999 9998 9998 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999
Примѣры. выясняющіе составъ таблицъ.
У-
2
о
'
У~ Л)
>,212
о
. 0,293
e~t2dt = 0,23 5GS0; —=
c~t2 dt = 0,321393.

ОГІАВІЕНІЕ.
ІІредпсловіе третьяго пзданія
I— II
Предпсловіе второго пзданія
III— ІУ
Глава
I. Основныя поиятія и теоремы
1— 20
Глава
II. О повторепін испытаній
21— 50
Глава Ш. Законъ большихъ чиселъ
51—112
Глава IV. Примѣры различныхъ пріемовъ вычи-
слеиія вѣроятностей .
113—171
Глава
V. Предѣлы, ирраціопалыіыя числа и не-
прерывный величины въ псчисленіи
вѣроятностей
172—202
Глава VI. Вѣроятности гппотезъ п б}-дущихъ со-
бытий
203—226
Глава Ѵіі. Способъ наименьшпхъ квадратовъ. . . .
227—28-1
Глава ѴШ. О страхованіи жизни
285—2У8
Приложеніе метода
математиче-
скихъ ожиданій — метода мо-
ментовъ—къ выводу второй пре-
дѣльной теоремы иечисленія вѣ-
роятноетей
301—374
Неравенства Чебышева и основная теорема
301—330
Теорема о предѣлѣ вероятности для случаевъ ака-
демика А. М. Ляпунова
331 — 346
Замѣчательный случай испытаиіп связапныхъ въ
цѣпь
347—374
2гх
Таблица значеній —=
c~iZdt
375 — 381
У77J0