АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Институт
истории естествознания и техники
*
А. Т. ГРИГОРЬЯН, Б. Н. ФРАДЛИН
ИСТОРИЯ
МЕХАНИКИ
ТВЕРДОГО
ТЕЛА
*
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Москва 1982 .

УДК 531
Григорьян А. Т., Фрадлин Б. Н. История механики
твердого тела. М.: Наука, 1982.
Книга представляет собой историю развития механики
твердого тела с момента ее зарождения до наших дней.
Абсолютно твердое (неизменяемое) тело — весьма
распространенная модель реального физического тела. Поэтому она
занимает основополагающее место в цикле дисциплин,
составляющих механику, и представляет большой интерес как для
специалистов, так и для широкого круга читателей. Особый
интерес предлагаемая книга имеет для преподавателей
теоретической механики.
Ил. 11. Библиогр. 3023 назв.
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук, профессор
А. А. КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ
1703010000-285
1 055 (02)-82 Ь87_ЬД кн- Z
© Издательство «Наука», 1982 г.

ОТ АВТОРОВ
Настоящая монография посвящена истории развития
классической механики абсолютно твердого тела, которая завоевала
прочное место в механике и имеет обширные и
многочисленные приложения в различных областях точного
естествознания и современной техники.
Так, исследование движения гироскопических систем,
машин и механизмов, транспортных средств, земных и
космических кораблей, устройств, имитирующих живые организмы,
и многого другого возможно только на основе глубокого
изучения и применения механики твердого тела. Она имеет
фундаментальное значение для построения аксиоматики
классической механики, механики деформируемого континуума,
теоретической физики, небесной механики, теории поля.
Вместе с тем в историко-научной литературе история
развития этой столь важной области механики представлена
весьма поверхностно, схематично и неполно. Без преувеличения
можно сказать, что история механики твердого тела на общем
фоне исследований по истории механики представляет собой
белое пятно. При этом следует заметить, что построение
аксиоматики классической механики в целом и механики
твердого тела в частности (т. е. составной части шестой
проблемы Гильберта) в настоящее время развито недостаточно
основательно. Изложение истории развития аксиоматики
ньютоновской механики, в особенности ее современного
состояния, почти отсутствует в историко-научной литературе.
Предлагаемая монография в определенной степени
восполняет этот пробел. Она состоит из четырех частей. В первой
рассказывается о формировании оснований классической
механики. Вторая представляет собой историю механики
твердого тела в XVIII в. и содержит обзор и характеристику
основных исследований в этом направлении. Третья часть
посвящена истории механики твердого тела в XIX в. В чет-
3

вертой речь идет о развитии некоторых направлений механики
твердого тела в XX в. /
К сожалению, ограниченный объем книги не позволил
авторам подробно остановиться на развитии механики
твердого тела в нашем столетии. В частности, не освещены
следующие вопросы: теория колебаний твердых тел и теория
автоматического управления, движение и равновесие
твердых тел при наличии трения, теория удара, механика тел
переменной массы и многие другие. Эта работа будет
продолжена в дальнейшем.
Предлагаемая библиография не претендует на полноту,
но охватывает большую часть основной литературы в области,
которой посвящено данное исследование.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВАНИЯ
КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ СИСТЕМЫ
И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ДОНЬЮТОНОВСКАЯ МЕХАНИКА
# Механика в античный период
С очень давних времен (по крайней мере не позднее V в. до н. э.)
в связи с широко проводившимися строительными и
ирригационными работами появились различные вспомогательные
технические средства, такие, как колесо, рычаг, наклонная плоскость,
клин, качалка, пресс, ворот, блок, полиспаст, винт, насос и т. п.
Появляются руль и паруса, тараны и катапульты, весы и другие
простые машины иИ механизмы, которые применялись в
строительстве, ремесленном производстве, сельском хозяйстве, военном и
морском деле, торговле. К этому времени и можно отнести начало
предыстории механики как совокупности результатов
накопленного практического опыта, еще не подвергнутых теоретической
обработке.
Уже на ранних стадиях развития античной науки можно
обнаружить зачатки двух различных механических концепций —
кинетической и динамической. Основные положения динамической коьь
цепции сводились к следующему: материи чуждо самодвижение,
сама по себе она может находиться лишь в состоянии покоя.
Только при воздействии на материю извне не зависящих от нее
активных движущих начал (сил) она приводится в движение
(Эмпедокл, 490—430 гг. до и. э.). Согласно кинетической
концепции в природе не существует никаких независимых от материи
источников движения: материи свойственно самодвижение (Лев-
кипп, 500-440; Демокрит, 460-370; Эпикур, 341-270; Лукреций,
УЗ—55 гг. до н. э.). Принцип механического самодвижения
материи в общей форме выражен в учении кинетистов о ыесоздавае-
мости и неразрушимости материи и движения. Согласно этому
учению природа не содержит ничего, кроме движущейся в пустом
пространстве материи. Яркое выражение идея вечности и
неуничтожимое™! движения нашла у Гераклита (530—470 гг. до н. э.),
который утверждал, что все в природе возникает из вечно
движущегося огня. Этот огонь следует понимать не как пламя в обы-
5

денном смысле, а как некую огнеподобную первооснову вещей.
Мир как совокупность вещей представляет собой вечно #швой
огонь. Напротив, представители элейской школы (Парменид, Зе-
нон) утверждали, что истинное бытие неподвижно и находится
вне времени и пространства, а наши представления о
пространстве, времени и движении противоречивы и сложны. Это учение
выражено наиболее отчетливо в парадоксах (апориях) Зенона.
Исключительно большое влияние на дальнейшее развитие
механических идей оказал Аристотель (384—322 гг. до н. э.). В его
сочинениях «Физика», «О небе», «О возникновении и
уничтожении», «О метеорах», «Метафизика» содержится изложение общих
понятий механики, а также некоторые соображения о равновесии
простых машин. Движение Аристотель понимает в широком
смысле, как изменение вообще, различая изменения количественные и
качественные, изменения в сущности и изменения в пространстве.
Механическое двия^епие, по Аристотелю, представляет собой
частный случай движения вообще. Он различает четыре причины
образования вещей: материальную (изменение материальной
сущности) , действующую (движение), формальную (начала вещей —
в идеях) и финальную (цель). На этом основании Аристотель
решает вопрос об источнике движения. Сама по себе материя
является началом пассивным и низшим по отношению к форме (ей
чуждо самодвижение). В природе существуют движимые и
движущие тела. Источник движения может быть расположен либо
внутри данного тела (в случае одушевленных тел), либо вне его.
Аристотель выделяет движения прямолинейные (ограниченные)
и круговые (неограниченные). Круговые движения (совершенные)
свойственны небесным телам. Все движения он подразделяет на
два вида: естественные (которые совершаются без внешнего
вмешательства, сами по себе) и насильственные, которые требуют
для своего осуществления внешней причины. Естественное
движение небесных тел — это совершенное круговое движение,
естественное движение земных тел — это прямолинейное движение в
направлении естественного центра (например, для тяжелых тел
естественный центр — центр Вселенной, т. е. центр неподвижной
Земли). Насильственное движение вызывается наличием силы,
которая должна непрерывно поддерживать это движение. В отличие от
элеатов Аристотель считает движение вечным. Различая
движимое и движущее и отрицая самодвижение материи, Аристотель
расходится во мнении и с древними атомистами. Исходя из
вечности движения, он утверждает существование первичного
неподвижного двигателя, первых начал движения, неподвижных и
вечных по своей природе. Вечными движениями Аристотель считает
вращательные движения небесных сфер. Движения на
поверхности Земли, согласно Аристотелю, подчиняются принципу
формальной логики: «с прекращением причины прекращается и ее
следствие». Поэтому он строго разграничивает движения небесных и
земных тел, а также состояния движения и покоя. Аристотель
высказывает соображения по количественному определению силы.
6

Бели воспользоваться современным языком, его рассуждения
сводятся к утверждению, что приложенная к телу сила
пропорциональна произведению его веса на среднюю скорость его движения.
Он рассматривает также движение тела в сопротивляющейся
среде и приходит к выводу, что для возможности такого движения
необходимо, чтобы активная сила превосходила силу сопротивления.
Аристотель в отличие от атомистов отвергает существование
пустого пространства, замечая, что в пустоте движение должно было
бы происходить мгновенно и все тела имели бы одинаковые
скорости, что невозможно. Пространство Аристотеля — физическое
пространство, сущность которого связана с физическим
существованием материи. Поэтому место, занимаемое телом в пространстве,
он определяет не как его вместилище и не как его объем, а как
границу объемлющего тела. С точки зрения Аристотеля, пустое
пространство атомистов является лишь абстракцией чисто
геометрических свойств реального физического пространства.
Аристотель отвергает и существование «чистого» (не зависящего от
движения тел) времени, утверждая, что время есть мера движения.
К эпохе античности относится выделение статики в особое
учение, которое развивалось в двух направлениях — кинематическом
и геометрическом. Начало кинематического направления восходит
ко времени появления книги «Механические проблемы», а
геометрического— к творчеству Архимеда (287—212 гг. до н. э.).
«Механические проблемы» — самое давнее дошедшее до нашего
времени античное сочинение по механике. Долгое время оно
приписывалось Аристотелю. В настоящее время доказано, что автор не
он. Существует предположение, что сочинение было написано в
III в. до н. э. последователем Аристотеля Стратоном Лампсакским.
Согласно другой гипотезе трактат написан в I в. н. э. в
эллинистическом Египте. Трактат состоит из 36 глав и содержит
перечисление и описание некоторых простых машин и их комбинаций
(рычага, колодезного журавля с противовесом, клещей, клина,
топора, кривошипа, колеса, катка, полиспаста, гончарного круга,
руля и т. д.). Задачи и их решения даются в форме вопросов,
т. е. лишь намечаются или указываются предположительно.
Принцип рычага автор «Механических проблем» считает
универсальным принципом статики и поэтому описывает главным
образом различные его модификации. Устанавливается, что равновесие
рычага связано не только с величинами грузов, помещенных в его
концах, но и с длиной его плеч, причем отношение грузов равно
обратному отношению плеч. По-видимому, принцип рычага был
практически осознан прежде всего при взвешивании грузов на ко-
ромысловых весах. Весы автор рассматривает как прямой
равноплечий рычаг первого рода. Принцип рычага применяется к
решению разнообразных технических задач: определению условий
равновесия гребного весла и руля, колес тачки и колесницы, военных
метательных машин, одноопорной балки и т. д. Наконец, заметим,
™ псевДо-Аристотель уже владел правилом параллелограмма
м ижений (перемещений) или скоростей.
7

В сочинениях Архимеда значительное место уделено теории
равновесия рычага, учению о центре тяжести одного тела д
системы тел и учению о равновесии тел, плавающих в жидкости.
Таким образом, Архимеда можно считать одним из
основоположников статики: он ввел понятие центра тяжести, указал
некоторые методы его определения и нашел центр тяжести тел
простейшей формы. Он подошел вплотную к понятию момента силы
относительно точки, сформулировал ряд аксиом о равновесии рычага,
т. е. сделал первую попытку аксиоматизации механики;
установил свой знаменитый закон о подъемной силе, с которой жидкость
действует на погруженное в него твердое тело (закон Архимеда);
исследовал вопросы равновесия и устойчивости плавающих тел;
сконструировал целый ряд механизмов, применяемых в военном
деле и сельском хозяйстве.
Из античных ученых начала новой эры особо следует отметить
Герона Александрийского (I в.) и К. Птолемея (II в.). Герои,
развивая идеи Архимеда, излагает теорию равновесия простых
машин, а также рассматривает кинематику передачи движения с
помощью зацепленных кругов, сложение движений по правилу
параллелограмма, распределение нагрузки между опорами
покоящейся балки и определяет центры тяжести фигур простейшей
формы.
Птолемей, автор знаменитого сочинения «Альмагест»,
является создателем геоцентрической системы мира, согласно которой
все небесные светила обращаются вокруг неподвижной Земли.
Основываясь на этом, он разработал теорию движения Солнца, Луны
и планет. Видимые движения небесных тел очень сложны, и
Птолемею понадобились весьма громоздкие геометрические
конструкции, для того чтобы теоретические результаты вычисления
координат светил на небесной сфере (в особенности планет)
совпадали с результатами наблюдений. Система Птолемея надолго
завоевала прочное место в астрономии и лишь в XVI в. была
заменена гелиоцентрической системой Коперника. Представляет
большой интерес идея Птолемея о том, что объяснить суточное
движение небесных тел можно как в предположении о вращении
Земли, так и в предположении о вращении всего «мира».
Птолемей положил в основу своей теории первый из этих двух
вариантов, Коперник же был убежден в правильности второй точки
зрения.
* Механика в средние века
В результате римского мирового владычества в переходный
период от рабовладельческого строя к феодальному наблюдается
«всеобщее обнищание, упадок торговли, ремесла и искусства,
сокращение населения, запустение городов, возврат земледелия к
более низкому уровню...» *. Обособленность феодальных хозяйств,
натуральный характер производства способствовали техническому
1 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 21, с. 148.
8

упадку, застою культуры и науки. Единственными центрами
образования в этот период были монастыри. «Отсюда,— пишет
Энгельс,— само собой вытекало, что церковная догма являлась
исходным пунктом и основой всякого мышления. Юриспруденция,
естествознание, философия — все содержание этих наук
приводилось в соответствие с учением церкви» 2.
В VI в. после закрытия языческих школ многие греческие
ученые эмигрировали в Иран. Это содействовало распространению
накопленных в античную эпоху знаний на Ближнем Востоке.
IX—XII вв.— период наибольшего подъема развития науки в
странах средневекового Востока. В итоге переводческой и
комментаторской деятельности ученых средневекового Востока уже к
IX в. сложилась своеобразная научная традиция, в которой
греческие методы применялись к решению широкого круга
теоретических и практических проблем.
Сдвиги в науке и технике Запада начались несколько позднее,
чем на Востоке, с конца XI в. Они были вызваны серьезными
изменениями в экономике. К этому времени становится более
продуктивным сельское хозяйство, развивается торговля и денежное
обращение. Усиливается рост городов. Заметными становятся и
успехи техники. Большое распространение получают водяные
мельницы, несколько позже — ветряные. Появляются
механические часы. Немаловажное значение для накопления знаний о
законах природы имели изготовление военного снаряжения,
кораблестроение, градостроительство, строительство гидротехнических
сооружений. Развитие ремесел и повышение общего культурного
уровня вызвали потребность в подготовке специалистов. Возникли
светские школы, а в XIII в. были учреждены университеты в
Болонье, Париже, Падуе, Неаполе, Оксфорде, в XIV в.— в Пизе,
Павии, Кракове, Вене, Гейдельберге, Ферраре и в других городах.
Преподавание велось на латинском языке. Одновременно
возрастало и могущество церкви. В середине XIV в.
естественнонаучные взгляды Аристотеля были догматизированы и всякие
возражения против них объявлялись церковью еретическими
учениями. В этих сложных условиях происходило развитие
естественных наук, в частности механики.
Сочинения по механике этого периода относятся к статике,
кинематике и проблемам, связанным с падением тел. Теоретические
исследования в области статики были дальнейшим развитием
кинематического направления, восходящего к псевдо-Аристотелю.
Основное значение в разработке этого направления имели труды
Иордана Неморария (XII в.), посвященные проблеме равновесия
рычага под действием грузов, расположенных на различных
расстояниях от опоры. Эти исследования можно рассматривать как
некоторый шаг на пути установления принципа возможных работ.
Средневековые ученые (Герард Брюссельский, XII—XIII вв.;
ьрадвардин, XIV в., В. Хейтесбери, Р. Суисет, Н. Орем, Дж. Ка-
2 Там же, с. 495.
9

зале, Биаджо, Пелакани XIV в. и др.) уже имеют представление
о различии между равномерным и неравномерным (в частности,
равномерно-переменным) движениями, о таких кинематических
понятиях, как мгновенная и средняя скорости, ускоренное и
замедленное движения.
К XIII—XIV вв. относится появление теории импетуса
(П. И. Оливи, Ф. Маркиа, Ж. Буридан, Н. Орем и др.) в
качестве объяснения механизма передачи движения от одного тела
(движимого) к другому (движущемуся).
Импетус нельзя отождествлять с каким-либо современным
понятием. Этот термин трактовали по-разному: в некоторых случаях
он означал движущую силу, в других — причину продолжения
движения, в третьих — его рассматривали как физическую
величину, эквивалентную импульсу силы. Исторически теория
импетуса скорее была заключительным этапом в развитии
теоретических построений, связанных с критикой аристотелизма, чем
началом новой линии развития, ведущей к классической механике.
Она не привела, да и не могла привести, к установлению
понятия инерции движения, хотя и содержит некоторые зачатки идеи
самодвижения. Значение теории импетуса состояло в том, что она
объединяла движение земных и небесных тел в единую систему,
освобождала учение о движении от телеологии, допускала
возможность рассмотрения движения в пустоте. Однако с помощью
теории импетуса средневековые ученые не смогли разрешить вопрос
о причине ускорения тел при падении в пустоте и определить это
ускорение. В этом вопросе они впадали в ту же ошибку, что и
аристотелианцы, считая скорость падения пропорциональной весу
тела.
Эпоха Возрождения (XV—XVI вв.) характеризуется
глубокими прогрессивными социально-экономическими сдвигами — в это
время начинает разлагаться феодально-крепостническая форма
сельского хозяйства, происходит рост городов, существенно
увеличивается роль городского производства и в результате этого бурно
развивается техника, расширяется международная торговля,
совершаются великие географические открытия, жизненно
необходимым становится прогресс науки, в особенности механики, в
развитии которой нуждались астрономия, военное дело,
гидротехника, строительство, архитектура. Наиболее крупный вклад в
механику эпохи Возрождения внесли Николай Кузанский (1401—
1464), Леонардо да Винчи (1452—1519), Симон Стевин (1548—
1620), Николай Коперник (1473—1543), Николо Тарталья (1499—
1557), Джовани Бенедетти (1530—1590), Джироламо Кардано
(1501-1576) и др.
Николай Кузанский был весьма универсален в своих научных
интересах, занимаясь философией, математикой, астрономией и
другими науками. Большое значение для дальнейшего развития
представлений о системе мира имеют его идеи о единстве и
бесконечности Вселенной, о бесконечности процесса познания, о
вращении Земли и отрицании ее привилегированного положения сре-
10

ди других планет. Он был одним из предшественников
Коперника в создании гелиоцентрической системы мира.
Леонардо да Винчи — гениальный художник, ученый и
инженер. Источник достоверного знания Леонардо видел в опыте.
Математические науки он рассматривал как образец научной
доказательности, а механику считал «раем математических наук».
Многогранность его как ученого беспредельна: математику и механику,
физику и астрономию, геологию и ботанику, анатомию и
физиологию и множество других наук затронул Леонардо в своих
исследованиях. Будучи блестящим инженером, проводя
систематические эксперименты и наблюдения над различными явлениями
природы в области механики, Леонардо создает теорию трения,
скольжения и теорию удара, исследует сопротивление различных
материалов, изучает траектории движения тела, брошенного под
углом к горизонту, находит центры тяжести тел простейшей
формы, изучает равновесие жидкостей в сообщающихся сосудах,
исследует полет птиц. Свои научные изыскания он сочетает с
инженерно-конструкторской деятельностью по созданию летательных
аппаратов, геликоптера, парашюта. Леонардо размышляет над
большими гидротехническими проектами, разрабатывает
различные варианты металлургических печей, строит ткацкий и
винторезный станки, машины для ворсования тканей, землеройные
машины для рытья каналов, приборы и устройства для шлифовки
стекол, занимается получением и обработкой сплавов и т. д.
Исследования Симона Стевина сыграли завершающую роль в
развитии геометрического направления элементарной статики и
гидростатики эпохи Возрождения. Свою статику Стевин строит
аксиоматически. Вначале дается серия определений, в основу
которых положены основные постулаты геометрической статики
Архимеда. Опираясь на архимедовский закон равновесия рычага,
состоящий (если пользоваться современной терминологией) в
равенстве абсолютных значений моментов грузов, подвешенных к
нему по разные стороны точки опоры, относительно этой точки,
а также на дополнительный принцип, который может быть назван
принципом невозможности вечного движения, Стевин выводит
условия равновесия в более сложных случаях, в частности когда
груз расположен на наклонной плоскости, а также в случаях, в
которых теория наклонной плоскости сочетается с теорией
«веревочных» машин (блоков, полиспастов и др.). Стевину принадлежит
введение понятия силового треугольника, теорема о трех
непараллельных силах, правило о сложении сил, направленных под прямым
углом друг к другу, правило параллелограмма движений. Стевин
сыграл определенную роль и в развитии гидростатики, а также
принципа «отвердения», состоящего в том, что давление на
поверхность частичного объема жидкости не зависит от рода этой
жидкости. Принцип отвердения Стевин использует для вывода закона
гиДростатического давления, определения давления жидкости на
Дно сосуда произвольной формы и вывода условий равновесия
°ДЬ1 в сообщающихся сосудах.
11

В 1543 г. было опубликовапо сочинение «Об обращениях
небесных сфер», в котором геоцентрическая система мира Птолемея
полностью отвергалась и вместо нее утверждалась
гелиоцентрическая система мира. Автором этого сочинения, изменившего
представление о движении небесных тел на прямо противоположное,
был Николай Коперник. Ему удалось обосновать движение Земли
и других планет вокруг Солнца и вокруг собственной оси и,
таким образом, перейти от изучения их видимого движения к
исследованию истинного движения. Коперник показал, что все
известные в то время явления, вызванные суточным движением
небесной сферы и движением планет, объясняются с помощью его
системы, притом с большей точностью, чем по теории Птолемея.
Многие эмпирические зависимости между различными
движениями планет и Солнца в рамках гелиоцентрической теории впервые
получили теоретическое объяснение. Гелиоцентрическая система
нанесла первый сильнейший удар по теологии, утвердила
единство окружающего нас мира, связав в единое целое движение всех
небесных тел и лишив Землю ее привилегированного положения.
Именно от Коперника «начинает свое летосчисление
освобождение естествознания от теологии»3. Крестовый поход,
объявленный римской церковью против учения Коперника, был
официально прекращен лишь спустя два с лишним столетия, но к этому
времени гелиоцентрическая теория стала уже почти
общепризнанной.
Основным достижением Николо Тартальи на пути создания
новой механики является анализ введенных Аристотелем понятий
естественного и насильственного движений, соображения об их
симметрии и сочетании. Однако он не смог полностью преодолеть
противопоставление этих движений друг другу и сделать вывод об
их единстве. Тарталья известен своими сочинениями по
баллистике. Он показал, в частности, что траектория полета снаряда на
всем ее протяжении есть кривая линия и что наибольшая
дальность полета снаряда соответствует углу наклона в 45°.
Решительный удар по аристотелевской теории
противопоставления естественного и насильственного движений нанес ученик
Тартальи Джамбатиста Бенедетти. В противоположность
Аристотелю Бенедетти характеризует падение тел с помощью разности
весов, а не с помощью их отношения. Он четко формулирует
прямую зависимость между скоростью падающего тела и его
расстоянием от начальной точки движения. В этих вопросах Бенедетти
был прямым предшественником Галилея на пути преодоления
неправильных представлений античных ученых. Развивая идеи Лео^
нардо да Винчи о «потенциальном» плече в вопросе о равновесии
весомого рычага и сравнивая моменты сил, он получает
окончательное решение поставленной еще Аристотелем задачи об
устойчивости Т-образных весов в прямом и перевернутом положениях.
Джироламо Кардано (как и Тарталья и Бенедетти) был про-
3 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 20, с. 347.
12

должателем Леонардо да Винчи в области механики. Он занимался
теорией равновесия рычагов и весов, будучи сторонником
кинематического направления в статике. Кардано принадлежит
механическое устройство, позволяющее сохранять неизменным
положение тела при любых поворотах шарнирной кинематической
системы, именуемой карданным механизмом и предназначенной
для передачи вращения между пересекающимися осями.
# Научная революция XVII века
Бурный процесс перехода от устаревшего общественного строя,
феодализма, к новому, капиталистическому, естественно,
сопровождался развитием производительных сил и научно-технической
революцией того времени: борьба за рынки сбыта pi расширение
торговых связей требовали новых сухопутных и морских путей
и строительства различного рода сооружений (мостов, каналов,
шлюзов и т. п.). Развитие промышленности находилось в прямой
зависимости от создания и эксплуатации машин,
гидротехнических сооружений, шахт, вентиляционных систем и т. д.
Усовершенствование военного дела было связано с необходимостью
изобретать новые образцы огнестрельного оружия, строительства
мощных крепостей и надежных кораблей с высокой
грузоподъемностью, хорошей управляемостью и способностью к лавированию,
знания удобных и надежных способов ориентировки в море,
средств определения координат, магнитного склонения, времени
приливов и отливов и т. п. Практические нужды общества,
формировавшиеся новые производственные отношения вызвали
интенсивное развитие науки, и в первую очередь астрономии,
механики, оптики и математики. С другой стороны, дальнейшее
развитие точного естествознания стимулировалось всем
предшествующим ходом развития науки, уже достигнутыми ранее
результатами. Характеризуя этот период, Энгельс писал: «Это был
величайший прогрессивный переворот из всех пережитых до того
времени человечеством, эпоха, которая нуждалась в титанах и
которая породила титанов по силе мысли, страсти и характеру, по
многосторонности и учености» 4. Такими титанами мысли в
области механики в XVII в. были Галилео Галилей (1564—1642),
Иоганн Кеплер (1571—1630), Рене Декарт (1596—1650),Христиан
Гюйгенс (1629—1695), Готфрид Лейбниц (1646—1716) и Исаак
Ньютон (1643-1727).
* Механика Галилея
Важную роль в создании механической картины мира сыграл
Галилей. Изобретенный им телескоп позволил в несколько десятков
Раз расширить видимый человеком мир Вселенной и открыть
новые факты и явления в движении и структуре небесных тел
(вращение Солнца вокруг своей оси и пятна на его поверхности,
шероховатость поверхности Венеры и ее фазы, либрацию Луны, спут-
4 там же, т. 20, с. 346.
13

ники Юпитера, огромное число видимых на небе звезд pi др.) г
представляющие не только огромную конкретную ценность сами
по себе, по и свидетельствующие о правильности
гелиоцентрической системы Коперника, о равноправности всех тел солнечной
системы, о бесконечности Вселенной, о непрерывном движении
материи.
Основные теоретические идеи Галилея по механике изложены
в двух его книгах: «Диалог о двух главнейших системах мира,
птолемеевой и коперниковой» (1632) и «Беседы и математические
доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки...» (1638).
Галилей во всех своих выводах опирался на эксперимент и был
очень осторожен в обобщении и экстраполяции. Он
экспериментально доказал закон падения тел в пустоте, исследовал
движение снаряда без учета сил сопротивления, установил закон
пропорциональности между весом тела и его массой (хотя понятие
массы в представлении Галилея выглядело еще нечетко и
неоднозначно) .
Галилей впервые в истории науки отчетливо сформулировал
принцип относительности классической механики, а также
высказал мысль о непрерывности движения тел в пространстве и
времени — важный шаг в инфинитезималыюм подходе к исследованию
механического движения. Галилей преодолел трудности, связанные
с метафизической ограниченностью Зенона (в так называемых
апориях Зенона), который рассматривал движение как простую
сумму положений покоя, неподвижных положений тела в пространстве,
тем самым отрицая существование движения материи.
Противоречивость категории движения Зенон трактовал как отсутствие
его объективности. Галилею принадлежат и исследования по
теории движения математического маятника. Он более отчетливо по
сравнению со своими предшественниками владел
кинематическими понятиями скорости и ускорения, систематически пользовался
понятием силы как причины механического движения тел.
Галилей впервые формулирует закон инерции (в задаче о
свободном падении тел), а также закон сложения сил применительно
к задаче о движении снаряда. Галилей разбил представления
перипатетиков о существовании абсолютно легких тел (огня и
воздуха), стремящихся к своим «естественным местам». Он показал,
в частности, что воздух весом, и определил его удельный вес по
отношению к воде. Согласно Галилею, мир существует
объективно, вне и независимо от человека, движение материи представляет
собой единое универсальное механическое перемещение, все в
природе подчиняется строгой механической причинности, мир
бесконечен, материя вечна. Он был сторонником атомистической
концепции структуры материи, во многом сходной с представлениями
Демокрита и Эпикура. В своих исследованиях но теории
равновесия простых машин Галилей в известной степени предвосхищает
идею принципа возможных перемещений. Творчество Галилея
сыграло решающую роль в становлении ньютоновской механики.
Вместе с тем, как указывает сам Галилей, все открытые им по-
14

нятия и положения механики относятся исключительно к весьма
малым областям пространства у поверхности Земли. Это
обстоятельство ограничивает полученные им результаты.
Непосредственным преемником учения Галилея был его
ученик Эванджелиста Торричелли (1608—1647). Он исследовал
скорость истечения жидкостей из сосудов, широко использовал
кинематические представления (в частности, закон о сложении
движений) в своих математических работах, определил центры тяжести
различных тел вращения. Ему принадлежит закон сохранения
положения центра тяжести системы связанных между собой грузов
в случае их равновесия. Этот закон в дальнейшем получил
обобщение в исследованиях Гюйгенса.
* Механика Кеплера
Исключительно большая заслуга в утверждении теории
Коперника принадлежит Кеплеру. На основании данных Тихо Браге
(1546—1601) о движении Марса и своих собственных
наблюдений Кеплер установил два первых закона движения планет
(первый и второй законы Кеплера), выполнив почти необозримый
объем вычислений. Сформулировав эти законы сначала для
Марса («Новая астрономия», 1609), Кеплер обобщил их на движение
всех планет в трехтомном трактате «Сокращение коперниковой
астрономии» (1618—1622). В этом трактате содержится и третий
закон движения планет (третий закон Кеплера), который автор
применяет к открытым в 1610 г. Галилеем (с помощью
построенного им телескопа) четырем спутникам планеты Юпитер.
Несколько ранее Кеплер изложил третий закон движения
планет в «Гармонии мира» (1619).
В 1627 г. Кеплер опубликовал последнюю работу — «Рудоль-
фовы таблицы», позволяющую в эффективной форме для любого
момента предвычислять положения планет с возможной для того
времени высокой степенью точности. Законы Кеплера носят
кинематический интегральный характер. Трудно переоценить значение
этих законов для утверждения гелиоцентрической системы мира,
объединяющей теорию движения всех планет солнечной системы
в единое стройное целое и убедительно демонстрирующей
неправильность античных представлений о равномерных круговых
движениях небесных тел. За свои «еретические» убеждения Кеплер
подвергся усиленным преследованиям со стороны католической
церкви, его сочинения были внесены Ватиканом в список
запрещенных книг.
* Механика Декарта
Yvtt°^ °Т ^алилея Д° Ньютона в развитии научной революции
АVII в. в области механики в значительной степени
ознаменовался деятельностью Декарта.
Ь оценке роли Декарта в истории механики необходимо иметь
виду его философскую позицию. Декарт отождествлял материю
ространство и считал, что все процессы в природе сводятся к
15

непрерывному механическому движению тел, в котором основное
значение имеет круговое движение (теория вихрей). Главнре
свойство материи он видел в ее протяженности. С другой бтороны,
Декарт признавал божественное начало в сотворении материи и
наделении ее движением. Таким образом, натурфилософская
система Декарта дуалистична.
Уделяя большое внимание обоснованию основных принципов
механики, Декарт близко подошел к правильной формулировке
закона инерции. Если Галилей считал возможным рассматривать
круговое движение материальной точки как инерциальное, то
Декарт в качестве движения по инерции признавал лишь движение
прямолинейное. Как и Галилей, Декарт еще не имеет четкого
представления об основных кинематических и динамических
величинах (скорости и ускорении, массе и силе). Скорость он
трактовал не как векторную, а как скалярную величину. Однако большой
заслугой Декарта является введение в механику количества
движения материальной точки как меры ее механического движения.
Ограниченность Декарта в толковании меры механического
движения привела его к построению неправильной теории удара и
ошибочному утверждению об универсальности закона сохранения
количества движения в масштабе Вселенной.
* Механика Гюйгенса
Научные интересы X. Гюйгенса в области механики были
сосредоточены в основном на двух проблемах — теории удара и теории
маятниковых часов. Решение этих, казалось бы чисто
практических, задач привело к результатам, которые, несомненно, имели
большое значение в процессе формирования ньютоновской
механики. Гюйгенс решил ряд задач о движении простого и сложного
физических маятников, ввел понятие о центре качания маятника.
Это, по сути дела, первые задачи по динамике твердого тела и
системы материальных точек. Он впервые использовал в
динамике осевые моменты инерции материальной системы и доказал
теорему о моментах инерции тела относительно параллельных осей.
Решая задачу о движении математического маятника, Гюйгенс
пришел к чрезвычайно важным для динамики понятиям
центростремительной и центробежной сил, которые в дальнейшем
послужили отправным пунктом для Ньютона при построении теории
гравитации. Ему принадлежит формула для вычисления
нормального ускорения точки в криволинейном движении. Гюйгенс
первый обратил внимание на векторный характер величины ту, хотя,
как и Галилей и Декарт, еще не сумел четко сформулировать
понятие массы. Его теория удара5 в противовес теории Декарта
(в частности, закон сохранения количества движения при ударе)
уже носит правильный характер. Особо следует подчеркнуть, что
в теории удара, построенной Гюйгенсом, встречаются понятия
5 Одновременно с Гюйгенсом, в 60-х годах XVII в., проблема упругого и
неупругого ударов изучалась Дж. Валлисом (1616—1703), X. Вреном
(1632—1723), а еще раньше (1644) — Э. Торричелли.
16

кинетической энергии и работы, а также теорема об изменении
кинетической энергии (впервые в истории науки!), однако
Гюйгенс не разглядел в этой теореме общую теорему динамики, а в
величине кинетической энергии материальной точки mv2/2 не
увидел вторую (скалярную) меру ее механического движения
наряду с векторной мерой mv. Он не придал значения понятию
работы, хотя в этом вопросе мог опираться на золотое правило
механики, известное еще со времен Архимеда, Леонардо да Винчи и
Галилея. Рассматривая упругий удар двух тел, Гюйгенс не
заметил существующей в этом случае взаимосвязи между законами
сохранения кинетической энергии и количества движения
системы. Вместе с тем Гюйгенсу принадлежит заслуга открытия
принципа движения центра тяжести системы тел, согласно
которому центр тяжести не может подняться выше первоначального
уровня (по существу, это своеобразное выражение закона
сохранения механической энергии). Кроме того, Гюйгенс установил
взаимосвязь между законом сохранения количества движения и
скоростью центра инерции в частном случае упругого удара двух
тел.
Ж Механика Лейбница
В истории механики XVII в. Лейбниц занимает одно из первых
мест, хотя многие из высказанных им идей, относящихся к
механике, не выдержали дальнейшего испытания временем. В основе
мироздания Лейбниц поставил некую «духовную субстанцию» —
монаду. Монада — это одухотворенный атом, обладающий особой
индивидуальностью, движением, активностью и духовными
качествами (представлениями). Материя, по Лейбницу, есть инобытие
души, осуществляющее телесную связь между монадами, так что
во Вселенной существует абсолютная непрерывность. Отсюда он
делает заключение, что бог в своих действиях следует
установленным им самим естественным законам природы.
Телесную субстанцию Лейбниц понимал не только как
протяженное тело, приводимое в движение извне, но и как нечто,
включающее в себя внутреннюю деятельность, силу.
В динамике Лейбниц считал себя открывателем двух основных
законов природы: закона непрерывности и закона сохранения
силы. Опираясь на свой закон непрерывности, он отрицал
возможность существования абсолютно твердых тел и неизменяемых
атомов, утверждал, что покой есть частный случай движения
и т. д. Второй закон Лейбница, естественно, не носил еще того
конкретного и однозначного характера, который он принял в
физике XIX в., поскольку тогда еще отсутствовало представление об
энергии и ее превращениях. Тем не менее он сыграл
значительную роль в развитии учения о сохранении энергии. Сила у
Лейбница прочно связана с движением, но просто причиной изменения
Движения он ее не считает.
Ь отличие от Ньютона Лейбниц считал, что в природе не
существует абсолютного покоя. Лейбниц и Декарт сходились на том,
17

что движение не исчезает и не увеличивается в природе.
Различие во взглядах начиналось у них с вопроса о том, какрй мерой
измерить величину движения. Лейбниц исходил из того; что
причина всегда количественно равна действию, которое она вызывает.
Поэтому, как бы ни видоизменялись движения в природе, их
общая итоговая мера должна быть неизменной, ведь движение имеет
свою причину в самом себе. Эту меру Лейбниц назвал живой
силой еще до того, как было получено ее математическое
выражение. Живая сила у Лейбница имела и другие названия: сила
движения, движущая сила, потенция. Принцип равенства причины и
действия привел его к принципу сохранения живой силы, или к
принципу сохранения силы. Согласно Лейбницу, это не
математическая теорема, а философское положение, высший постулат
разума, без которого мы должны были бы признать беспорядок, хаос
во Вселенной. После того как был установлен в качестве
непререкаемой истины этот постулат, следовало выяснить, как
математически правильнее выразить меру движения, чтобы указанная
«высшая истина» смогла быть выражена в виде уравнения, в левой
части которого стояла бы функция от величин, характеризующих
движущееся тело, а справа — некоторая постоянная. Бывшая в
употреблении еще до Лейбница формула Декарта mv = const не
отвечала тому смыслу, который придавал понятию силы Лейбниц.
Правда, эта формула успешно применялась при изучении явления
удара, когда механическое движение передается от одного тела к
другому в качестве механического же движения. Но стоит только,
рассуждал Лейбниц, взять простейшее явление, где механическое
движение переходит в другую форму движения материи
(например, когда живая сила переходит в энергию натянутой пружины
или в потенциальную энергию положения), как предположение о
сохранении количества движения приводит к нелепому выводу о
возможности «вечности механического движения», т. е. к
возможности получения движения из ничего. Поэтому Лейбниц
утверждал, что Декарт ошибается, когда, признавая, что сила движения
сохраняется, отождествлял ее с величиной количества движения
mv, тогда как в действительности сила движения вовсе не
выражается через mv, Лейбниц приводит целый ряд аргументов,
поясняющих и доказывающих это положение: здесь и галилеев закон
падения, и невозможность вечного механического движения и т. д.
Полемика с картезианцами облегчалась еще тем, что Декарт под
количеством движения всегда понимал положительное число
независимо от направления движения. В пользу концепции Декарта
говорили даже не столько сформулированные им правила удара
(истинные правила удара указывают на векторый характер
количества движения), сколько общепризнанное тогда правило
статики — золотое правило механики, согласно которому величины
грузов при равновесии рычага обратно пропорциональны их
возможным перемещениям или скоростям точек конечного расположения
этих грузов. Так как в этот период ученые еще не видели
различия между весом и массой, то эта пропорциональность означала
18

равенство тех произведений, которые Декарт называл количеством
дВИ>кетшя. Лейбниц указывает, что это равенство носит
случайный характер, что вообще должно соблюдаться равенство грузов
и их высот перемещений, но здесь, в частном случае, высоты
пропорциональны скоростям. А так как высоты (по закону Галилея)
пропорциональны квадратам скоростей, достигнутых при падении
тела (или начальных скоростей при его подъеме), то меру
движения должно считать пропорциональной квадрату скорости.
Рассматривая Лейбницев закон сохранения энергии с точки зрения
современной науки, можно видеть, что его формулировка при
строгом подходе к ней оказывается не совсем ясной, расплывчатой. Но
иначе и быть не могло. Закон сохранения энергии можно
сформулировать со всей строгостью и в соответствии с реальной
действительностью только в связи с понятием превращения энергии.
Объективный закон 22? = const включает в себя большое
количество слагаемых (видов энергии), из которых во времена Лейбница
были известны только кинетическая энергия, потенциальная
энергия положения относительно Земли и энергия натянутой
пружины. Только работы ученых XIX в. расширили и уточнили
понятие энергии, и тогда был сформулирован истинный закон
сохранения и превращения энергии в природе.
ГЛАВА ВТОРАЯ
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
И ОБЩИЕ ЗАКОНЫ
НЬЮТОНОВСКОЙ МЕХАНИКИ.
«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАЧАЛА
НАТУРАЛЬНОЙ ФИЛОСОФИИ»
Как известно, основоположником классической механии является
Ньютон. В своем гениальном трактате «Математические начала
натуральной философии» [20] он сформулировал основные
понятия классической механики, аксиоматику, ряд фундаментальных
теорем и важных ее приложений, относящихся к небесной меха-,
пике, баллистике, теории механического подобия и т. д.
Нак же Ньютон трактовал понятия материи, движения,
пространства и времени? Ньютон исходил из атомистической модели
структуры материи. Он считал, что материя состоит из неизменных
атомов, которые беспорядочно движутся в пустом пространстве и в
различных сочетаниях образуют тела микромира. Атомы — абсо-
потио непроницаемые элементарные частицы, обладающие
свойствами протяженности и инертности.
л соответствии с атомистическим представлением о строении
ерии Ньютон определяет пространство, время и движение. Он
19
2*

ввел понятия абсолютного и относительного пространств.
Абсолютное пространство, согласно Ньютону,— это вместилище
/физических тел. Оно бесконечно, одинаково во всех своих частйх
(однородно и изотропно), неподвижно и непрерывно. Абсолютное
пространство имеет три измерения, его свойства подчиняются
геометрии Евклида. С абсолютным пространством Ньютон неизменно
связывает систему отсчета, к которой и относит движение тел.
Такое движение он называет абсолютным. Поскольку абсолютное
пространство неизмеримо и непознаваемо, Ньютон вводит понятие
относительного пространства как меру абсолютного пространства,
определяемую нашими органами чувств по положению одного тела
относительно других. «По виду и величине,— писал Ньютон,—
абсолютное и относительное пространства одинаковы, но
численно не всегда остаются одинаковыми» [20, с. 30]. Ньютоново
абсолютное пространство — это бесконечное, непрерывное,
неизменяемое тело, неподвижное и абсолютно проницаемое.
Познаваемым же являются лишь пространственные отношения между
телами — относительное пространство. Ньютон признает объективное
существование абсолютного пространства и постулирует
существование неподвижной системы отсчета. Однако он отрывает
пространство от материи, считая свойства пространства
независимыми от изменений, которые претерпевает материя в этом
пространстве.
Ньютон ввел также понятия абсолютного и относительного
времени. Абсолютное время — это некое вместилище событий,
процессов, происходящих во Вселенной. Оно представляет собой
однонаправленную «чистую длительность», не зависящую от
материальных процессов, протекающих во времени, не зависящую от
свойств абсолютного пространства, в котором эти процессы
происходят, текущую равномерно, непрерывно. Абсолютное время
бесконечно, одномерно и однородно (одинаково во всех точках
абсолютного пространства и во все свои моменты). Так как
абсолютное время неизмеримо и непознаваемо, Ньютон вводит понятие
относительного времени как меру абсолютного времени,
определяемую нашими органами чувств по отношению одного события к
другим. «Относительное, кажущееся или обыденное время,—
писал Ньютон,— есть или точная, или изменчивая, постигаемая
чувствами, внешняя, совершаемая при посредстве какого-либо
движения мера продолжительности, употребляемая в обыденной
жизни вместо истинного математического времени, как то: час,
день, месяц, год» [20, с. 30]. Идея объективного существования
абсолютного времени Ньютоном была высказана впервые. С
абсолютным временем Ньютон связывает систему отсчета времени.
Однако практически, при решении конкретных задач механики,—
и это Ньютон хорошо понимал — системы отсчета расстояний и
длительности следует связывать с понятиями относительного
пространства (т. е. с совокупностью неподвижных друг относительно
друга абсолютно твердых тел) и относительного времени (т. е. с
базисным, равномерно текущим процессом).
20

Исаак Ньютон
Исходя из введенных им понятий абсолютного и
относительного пространств и времени, Ньютон вводит далее понятия
абсолютного и относительного движения тел в природе, которые
кладет в основу своего построения картины мира. Абсолютное
движение — это движение в абсолютном пространстве при
абсолютном течении времени, т. е. механическое перемещение тела из
одного положения в абсолютном пространстве в другое за какой-
нибудь промежуток абсолютного времени. Так как абсолютное
движение неизмеримо и непознаваемо, Ньютон вводит в рассмотрение
понятие относительного механического движения как меру
абсолютного движения, определяемую нашими органами чувств при
перемещении тела из одного положения в относительном
пространстве (положения относительно какого-либо другого базисного
тела) в другое с течением относительного времени. При этом
21

Ньютон утверждал, что изменение абсолютного движения (или
покоя) возможно лишь при воздействии на данное тело ка^ой-либо
внешней силы, а изменение относительного движения (или покоя)
данного тела возможно также и при воздействии внешней силы на
базисное тело.
Открытие дифференциального исчисления дало ему
возможность разработать кинематические характеристики движения
точки. Рассматривая первую и вторую производные от радиуса-
вектора точки в абсолютном пространстве и времени, он получает
соответственно абсолютные скорость и ускорение точки.
Аналогичным образом, вычисляя производные в относительном
пространстве и времени, Ньютон находит относительные скорость и
ускорение движущейся точки. Относительные кинематические
характеристики, таким образом, суть меры соответствующих абсолютных
величин.
Все механики до Ньютона в той или другой мере уже
пользовались понятием веса. Но именно Ньютон внес значительный
прогресс в объяснение понятия силы тяжести (веса) [20]
благодаря открытию им закона всемирного тяготения. Этот закон
позволил четко сформулировать понятие веса тела на поверхности
Земли как силы притяжения его к центру Земли, как частный
случай силы всемирного тяготения. Вот что пишет об этом сам
Ньютон: «Поэтому близ поверхности Земли, где ускоряющая сила
тяжести для всех тел одна и та же, движущая сила тяжести
или вес пропорциональна массе тела. Если подняться в такие
области, где ускоряющая сила тяжести будет меньше, то и вес
пропорционально уменьшится; вообще вес будет постоянно
пропорционален массе тела и ускоряющей силе тяжести» [20, с. 29].
«Сила, которою Луна удерживается на своей орбите, направлена
к Земле и обратно пропорциональна квадратам расстояний мест
от центра Земли ... сила, которою Луна удерживается на своей
орбите, если ее опустить до поверхности Земли, становится равной
силе тяжести у нас, поэтому... она и есть та самая сила, которую
мы называем тяжестью или тяготением» [20, с. 512]. «Все тела
вообще, находящиеся около Земли, тяготеют к Земле, и веса всех
тел, равноудаленных от центра Земли, пропорциональны их
массам. Это свойство принадлежит всем телам, над которыми можно
производить испытания; поэтому по правилу III его должно
приписать всем телам вообще» [20, с. 517].
Следует отметить, что Ньютон впервые трактует понятие веса
в универсальном смысле, как силу тяжести по отношению к
любому центральному телу, возникающую на основании всеобщего
закона гравитации — одного из основных законов, характеризующих
его «систему мира»: «... На основании этого могут быть найдены и
сравниваемы между собой веса тел на различных планетах. Ибо
веса тел равных масс, обращающихся вокруг планет по кругам...
прямо пропорциональны диаметрам кругов и обратно —
квадратам времен обращений, веса же на поверхностях планет или в
каких-либо иных от центра удаленных... больше или меньше в об-
22

атном отношении квадратов расстояний. Так... с помощью рас-
?ета я нашел, что веса равных тел, находящихся в равных
удалениях от центра Солнца, Юпитера, Сатурна и Земли, относятся
между собой соответственно как числа 1, 1/1067, 1/3021, 1/169282.
При увеличении или уменьшении расстояний веса эти
уменьшатся щи увеличатся в отношении квадратов расстояний» [20,
с. 519-520].
Следует также заметить, что при решении задачи об
определении фигуры Земли Ньютон вынужден учитывать вращательные
движения Земли вокруг своей оси, и вследствие этого под весом
тела он понимает уже равнодействующую силы притяжения этого
тела к центру Земли (в соответствии с законом всемирного
тяготения) и центробежной силы, вызванной суточным вращением
Земли. Таким образом, считая по-прежнему термины «вес» и «сила
тяжести» эквивалентными, Ньютон сам нарушает здесь
однозначность в своей трактовке понятия веса.
Параллельно с понятием веса тела в механике возникло и
развивалось понятие массы. Ни Декарт, ни Гюйгенс, ни Лейбниц не
внесли в этом смысле ничего нового. Четкая научная
формулировка этого понятия принадлежит Ньютону. Отношение
плотностей двух тел в смысле Ньютона означает отношение «количеств
абсолютно плотного» в них, а в силу одинаковой плотности
атомов и отношение их общих объемов. При этом разнородность тел
не имеет значения, поскольку под количеством материи Ньютон
понимает количество твердого (плотного) вещества [447].
Ньютоновское определение массы — «количество материи (масса) есть
мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и
объему ее» [20, с. 23]—не является логическим кругом, так как
установленная им пропорциональность плотности и веса тела
позволяет рассматривать плотность как первичную величину,
измеряемую, как было указано выше, отношением весов одинаковых
объемов тела и воды. Понятия плотности и удельного веса,
которые в механике Ньютона получили однозначное отчетливое
толкование, были известны в механике еще до введения понятия массы.
Это позволяет вполне корректно количественно определить массу
через объем тела и его плотность. Следует иметь в виду
следующее замечание Ньютона: «Я называю телами одинаковой плотности
ТопИ'е тела' для к°торых сила инерции пропорциональна объему»
1^0, с. 23]. Следовательно, Ньютон предлагает определять
плотность тела по степени его инертности, т. е. по ускорению,
получаемому от одной и той же силы.
Приведенное выше ньютоновское определение массы
(определение I) сопровождается следующим пояснением: «Определяется
iacca по весу тела, ибо она пропорциональна весу, что мной най-
зоН° ?9п-1ТаМИ Над маятниками1 произведенными точнейшим обра-
ма ^ ■"■ ^казанные здесь опыты показали, что отношение длин
мая1Ш1К0В К квадРатам их периодов есть величина постоянная для
Чт ТШ1К°в, сделанных из различных материалов. Отсюда следует,
тношение весов к количествам материи, т. е. ускорение силы
23

тяжести для данного места, есть величина постоянная. Этот же
результат Ньютон получил и на основании других произведенных
им опытов по падению различных тел в трубке, из которой
выкачан воздух [20]. Оказалось, что падение всех тяжелых тел на
Землю с одинаковой высоты совершается в одно и то же время.
Таким образом, Ньютон подтвердил результат Галилея о
равномерно ускоренном движении свободно падающих тел в
безвоздушном пространстве. Это позволило ему утверждать, что инертная
масса тела пропорциональна его весу (или наоборот). Таким
образом, у Ньютона принцип эквивалентности инертной и
гравитационной масс вытекает из того, что масса определяется как
количество вещества в теле.
Исторически сложилось представление о силе как мере
мускульных усилий человека, когда он поднимает груз, толкает
тележку, бросает камень, производит удар копьем и т. д.
Первоначально это представление было непосредственно связано с
действиями самого человека, а в дальнейшем стало выражать источник
или причину любого перехода из состояния покоя в состояние
движения, из одного состояния движения в другое состояние
движения или покоя. Постепенное обобщение этого понятия привело
к представлению о некоей общей причине движений —
божественном начале, перводвигателе, который существует вечно и
является источником непрерывных изменений в природе. Одновременно
с этим развивалось и конкретное представление о силе как
причине стремления тела к естественному месту1, насильственного
движения тел (Аристотель), столкновения атомов (Демокрит)
и т. д.
Вполне законченное однозначное толкование понятия силы
получило лишь в сочинениях Ньютона. Сила, по Ньютону,— это
мера механического взаимодействия между телами, отклоняющая
данное тело от состояния покоя или равномерного и
прямолинейного движения: «Приложенная сила есть действие, производимое
над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения» — и далее: «Сила проявляется
единственно только в действии и по прекращении действия в теле не
остается. Тело продолжает потом удерживать свое новое
состояние вследствие одной только инерции. Происхождение силы может
быть различно: от удара, от давления, от центростремительной
силы» [20].
Как отмечает А. Н. Крылов (переводчик «Начал» на русский
язык), ньютоновское определение понятия силы носит
динамический характер. Однако силу можно измерять и с помощью
динамометра, рассматривая ее статистическое действие, например,
в случаях давления, натяжения, деформации тела.
Силы, которые были известны Ньютону, можно разделить на
две группы: силы, возникающие при контакте двух тел (силы
трения, силы упругости, силы соударения), и силы, действующие при
1 Правда, по мнению Аристотеля, естественное движение не требует
дополнительной причины.
24

утствии контакта между телами (сила всемирного тяготения).
Вопрос о физической природе сил в механике Ньютон не
рассматривал 2.
Следует иметь в виду, что сила может быть измерена и
определена независимо от массы и ускорения, независимо от характера
движения, а именно статическим способом, как указано выше.
Заметим, что Ньютон относил движение к неподвижной системе
координат, связанной с абсолютным пространством, поскольку в
такой системе координат ускорение данного тела обусловлено
действием на него других тел. Однако в силу принципа
относительности Галилея — Ньютона таким же свойством обладает любая
система координат, которая движется поступательно, равномерно и
прямолинейно относительно неподвижной системы координат [20].
Поэтому классическая механика Ньютона может оперировать с
произвольной инерциальной системой координат, частным
случаем которой является неподвижная система координат. С
достаточной степенью точности можно в большинстве случаев систему
координат, связанную с поверхностью Земли, считать инерциальной,
так как ускорения точек на поверхности Земли, обусловленные ее
суточным и годовым вращением, весьма малы, т. е. скорости
движения точек рассматриваемой системы координат изменяются
очень медленно как по величине, так и по направлению. Однако
эти соображения для Ньютона могли быть в значительной степени
лишь умозрительными. Они были обоснованы значительно
позднее в связи с известным опытом Фуко и специальной теорией
относительности Эйнштейна.
Остановимся на роли Ньютона в окончательном оформлении
и систематизации закона инерции (этот закон в современной
литературе именуется первым законом Ньютона). Ньютон
различает приложенную силу (силу в обычном смысле) и врожденную
силу материи, заключающейся в ней. Приложенная сила
представляет собой «действие, производимое над телом, чтобы изменить его
состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения»
[20, с. 26]. «Врожденная сила материи есть присущая ей
способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело,
поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое
состояние покоя или равномерного прямолинейного движения» [20,
с 25]. Эту силу Ньютон называет также инерцией материи,
являющейся причиной того, что «всякое тело лишь с трудом
выводится из своего покоя и движения». «Эта сила всегда
пропорциональна массе» и «если отличается от инерции массы, то разве
илы, возникающие при непосредственном соприкосновении тел, могут
этиИСе^Ь °Т хаРактеРа деформации, от скорости относительного действия
силь тел,..повеРхностей и т. д. Силы всемирного тяготения, как и другие
телн*1 деи5твУЮ1Цие при отсутствии непосредственного контакта между
Поэто*1' ° условлены наличием силовых полей. Но этого Ньютон не знал.
ыикно*1^ °Н иолностью исключил из своего рассмотрения причину воз-
Разл1гчеНИЯ гРавитаЦИ0ННЫХ сил- Физическая природа сил исследуется в
и др ч НЬ1Х областях физики (электродинамике, физике твердого тела
25

только воззрением на нее». Закон инерции Ньютон формулирует
следующим образом: «Всякое тело продолжает удерживаться в
своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного
движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными
силами изменять это состояние» [20, с. 39]. Вслед за этой
формулировкой он приводит следующие примеры: «Брошенные тела
сохраняют свое движение, но сопротивление воздуха замедляет, а сила
тяжести влечет к Земле. Волчок, части которого в силу
сцепления уклоняются от прямолинейного движения, перестает
вертеться только потому, что его постепенно останавливает сопротивление
воздуха. Планеты и кометы, массы которых весьма велики,
сохраняют дольше свое прогрессивное и круговое движение, так как
движутся в пространствах, представляющих меньшее
сопротивление» [20].
Закон инерции характеризует свойство инерции, органически
присущее материи независимо от того, под действием каких сил
рассматриваемое тело находится, с какими другими телами оно
находится во взаимодействии. Он представляет собой простейший
закон сохранения и как таковой сыграл большую роль в
становлении самой идеи существования законов сохранения, имеющих,
как известно, огромное значение в механике и физике. Закон
инерции исторически предшествовал второму закону Ньютона и
явился основанием для его постановки и открытия. Вместе со
вторым законом Ньютона он составляет единое целое и выражает
отсутствие внутренних противоречий в аксиоматическом
построении механики Ньютона.
В законе инерции речь идет о состоянии покоя или
равномерного прямолинейного движения материальной точки. Однако
возникает вопрос: относительно какой системы координат нужно
рассматривать это состояние. Как уже указывалось выше, Ньютон
относит это состояние материальной точки к неподвижной системе
координат, неизменно связанной с абсолютным пространством.
Но мерой абсолютного движения, по Ньютону, является движение
относительное. Каким же должно быть это относительное движение,
чтобы в полной степени отобразить абсолютное движение и
сохранить инвариантными законы механики? На этот вопрос отвечает
принцип относительности Ньютона. Он пишет: «Движение тел,
заключенных в данном пространстве, друг относительно друга
одни и те же, покоится ли это пространство или движется
равномерно и прямолинейно без вращения» [20, с. 49].
Установление второго закона движения в полном объеме в
современной формулировке также принадлежит Ньютону:
«Изменение количества движения пропорционально приложенной
движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой
эта сила действует» [20, с. 30]. Здесь устанавливается
количественное соотношение между тремя физическими величинами:
силой, массой и ускорением движущейся материальной точки.
Пропорциональность силы тяжести (веса) и массы является
следствием второго закона Ньютона. Этот закон дает возможность решать
26

оСновные задачи динамики материальной точки: по известным
Яв точки и ее кинематическим уравнениям движения найти
масодействующую приложенных к точке сил и по известным мас-
^ точки, приложенным к ней силам и начальным условиям
движения найти кинематические уравнения движения данной точки.
Яти задачи были сформулированы еще Ньютоном. Он показал,
что при постоянной силе движение точки в зависимости от
начальных данных происходит либо по прямой, либо по параболе. При
шобой центральной силе справедлив закон площадей. Если
траекторией точки является коническое сечение — эллипс, парабола или
гипербола, то она находится под действием центральной силы,
направленной к одному из фокусов конического сечения. Величина
этой силы пропорциональна квадрату расстояния между точкой
и фокусом. Ньютон доказал также, что справедлива обратная
теорема и в зависимости от начальных условий движения точка, на
которую действует центральная сила, движется по тому или
другому типу конического сечения.
Из второго закона Ньютона при нулевой силе (как частный
случай) вытекает первый закон Ньютона. Но это отнюдь не
означает, как было указано выше, что на закон инерции нужно
смотреть только как на частный случай второго основного закона
движения. Его содержание значительно шире. Движение
материальной точки при рассмотрении как второго закона, так и первого
Ньютон относил к неподвижной или инерциальной системе отсчета.
По-видимому, предшественниками Ньютона в установлении
закона о взаимодействии двух тел следует считать, с одной стороны,
И. Кеплера, а с другой — Хр. Врена, Дж. Валлиса и Хр.
Гюйгенса. Кеплер утверждал, что Луна и Земля взаимно притягиваются
друг к другу, а в теориях соударений твердых тел, построенных
Валлисом, Вреном и Гюйгенсом, был использован закон
сохранения количества движения, который является следствием закона
равенства действия и противодействия в случае удара. Однако
истинным автором этого закона является Ньютон. В «Началах»
Ньютона III закон формулируется следующим образом: «Действию
всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе —
взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и
направлены в противоположные стороны» [20, с. 41].
Если первый и второй законы движения относятся к одной
материальной точке, то третий закон Ньютона касается уже
системы двух точек, и, следовательно, с его помощью может быть
построена механика материальной системы.
оакон независимости действия сил впервые сформулирован
ьютоном следующим образом: «При силах совокупных тело опи-
сто аеТ Д11аг011аль параллелограмма в то же самое время, как его
п роны ~~ пРи раздельных» [20, с. 41]. Это — известное правило
вня ллелогРамма сил. В дальнейшем закон независимости дейст-
в 0 Сил вместе с первыми тремя законами Ньютона был положен
он нч°В^ постРоения классической механики. В некоторых книгах
азывается четвертым законом Ньютона.
27

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
РАЗВИТИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ
И ЗАКОНОВ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
ПОСЛЕ НЬЮТОНА.
РЕТРОСПЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА
НЬЮТОНОВСКОЙ МЕХАНИКИ
* Основные понятия классической механики
XVIII век ознаменовался значительным развитием основных
понятий и законов ньютоновской механики в исследованиях Эйлера,
Д'Аламбера и Лагранжа.
Леонард Эйлер воспринял идеи выдающихся ученых XVII в.,
находясь под влиянием Декарта и Ньютона. Следуя Декарту,
Эйлер признавал реальность окружающего нас мира, дуализм
материи и духа, потенциальную бесконечную делимость материи,
механическую концепцию взаимодействия тел путем соприкосновения
и соударения. Подобно Декарту и Ньютону он считал материю
инертной, приводимой в движение извне. Как и Ньютон, Эйлер —
яркий представитель механистического материализма. Как и
Ньютон, силу он считал основным понятием механики. В борьбе
между картезианцами и ныотонианцами, начавшейся в середине
XVII и продолжавшейся до конца XVIII столетия, Эйлер занял
особую позицию. Он разошелся с Ньютоном в истолковании
природы света, но разделял его точку зрения по поводу абсолютного
и относительного пространств, времени и движения.
«Место,— утверждает Эйлер,—есть часть неизмеримого или
бесконечного пространства, в котором находится весь мир.
Взятое в этом смысле место обычно называют абсолютным, чтобы
отличить его от места относительного... Мы не утверждаем, что
существует подобного рода бесконечное пространство ... Удобнее
всего будет в конце концов договориться так, чтобы,
абстрагируясь от окружающего места, мы представили себе бесконечное
и пустое пространство и допустили, что в нем содержатся тела.
Но поскольку мы не можем выработать верное представление об
этом неизмеримом пространстве и о его границах... то вместо этого
неизмеримого пространства и его границ обычно принимают во
внимание конечное пространство и телесные границы, исходя из
которых мы и будем судить о движении и покое тел. Если брать
вышеуказанные термины в указанном значении, то обычно
движение и покой называют абсолютным движением и покоем. И эти
определения целиком верны и естественны, они и применены к
тем законам движения, которые будут изложены далее» [510,
с. 41-43].
Место, пространство и протяженность в понимании Эйлера
имеют различные значения. «Место, которое занимает тело,— го-
28

он,— существенно отлично от его протяженности, посколь-
В° протяженность принадлежит телу, и во время движения пере-
К^т с телом из одного места в другое, в то время, когда места
«пространстве не движутся» [48].
Эйлер полностью принял концепцию Ньютона о понятии вре-
рни «Мы... встречаемся... с понятием времени,— пишет он,—
которое вшхючается в понятие покоя и движения. Действительно,
ели покоем называют постоянное пребывание на одном и том же
месте, то эти выражения «постоянно» и «пребывает» нельзя
понять без представления о времени». И далее: «Время проходит
независимо от движения», «Если бы не было никакого движения, то
не было бы и времени», «Не следует думать, что время само по
себе есть не что иное, как наше восприятие» [510, с. 278—279].
«Деление времени на части не есть чисто разумная операция, как
утвеждают те, кто вмещает время только в нашем сознании, не
отделяя понятие времени от самого времени» [510, с. 284].
Эйлер высказывает и соображения относительно самой
операции измерения времени: «Если бы вне нашего сознания не
существовало бы никаких методов для измерения времени, то нам бы
ничего не помешало во время какого угодно движения считать
равными те части времени, на протяжении которых проходятся
равные отрезки пути... Следовательно, мы могли бы с одинаковым
основанием рассматривать любое движение как равномерное.
Однако сама природа вещей достаточно убедительно свидетельствует,
что равномерное движение существенно отличается от
неравномерного; таким образом, равенство промежутков времени, на
котором это основывается, есть нечто большее, нежели смысл наших
понятий. В силу этого следует сделать вывод, что равенство
времени имеет под собой определенное основание, которое находится
вне нашего сознания, и, по-видимому, мы скорее познаем его
внешне, наблюдая равномерное движение» [510, с. 284—285].
Говоря о механическом движении и покое, Эйлер считает
необходимым указать систему отсчета, к которой относятся эти
понятия. «Так как мы отвергаем сомнительные отвлеченности,—
читаем мы в «Механике»,— то мы должны это дело рассудить
так, как оно непосредственно воспринимается чувствами» [510,
с ^66]. И далее: «Движение отличается от покоя не более, чем
одно движение от другого». Таким образом, Эйлер хорошо
понимает, что можно говорить только об относительном положении, об
относительном покое и движении, и это показывает, что
указанные понятия связаны не только с пространством, но и со време-
ем, что тело находится в состоянии движения или покоя [788].
со ° в отличие от Ньютона Эйлер рассматривает понятия аб-
лютного движения и покоя лишь в связи с понятиями материи,
сохг)ТРаНСТВа И вРемени- Эйлер, как и Ньютон, считал, что тела
инеп НЯЮт свое состояние неизменным благодаря инерции. «Сила
во все И'~~\пиш^т °н,— это свойственное всем телам (заложенное
мерно Тела' св°йство или пребывать в состоянии покоя, или равно-
о продолжать движение по прямой» [510, с. 76]. Он замечает,
29

что этот термин ввел в рассмотрение Кеплер для обозначения
«той силы, которая есть во всех телах и которая противодействует
всему тому, что стремится изменить их состояние». Термин «сила
инерции», считает Эйлер, больше соответствует понятию
противодействия, чем понятию косности, а поэтому последнее лучше
обозначать просто словом «инерция», поскольку «выявление инерции
высшей мерой отличается от того, что свойственно... обычным
силам» [510, с. 337]. Согласно Эйлеру, инерция — это физическая
величина, связанная с количеством материи в теле, с массой тела.
Эйлер не признавал ни спиритуалистического, ни физического
атомизма, он выступал и против монад Лейбница, и против
материальных атомов Ньютона. Следуя Декарту, Эйлер считал, что
материальные тела состоят из делимых частиц, которые обладают
свойством инерции. Однако в отличие от Декарта он полагал, что
инерция зависит исключительно от количества частиц в теле.
Декарт же считал, что инерция связана с характером поверхности
тела и его скоростью. Эйлер пишет: «Количество материи
каждого тела с необходимостью нужно будет измерять числом точек,
из которых оно составлено» [510, с. 116]. Только это не атомы
Ньютона, а маленькие «тельца». Но, как и Ньютон, он считает,
что сила тяжести, или вес тела, пропорциональна количеству
материи, т. е. массе.
Понятия силы и массы Эйлер считает первичными понятиями
механики. «Сила есть то усилие,— говорит он,— которое
переводит тело из состояния покоя в состояние движения или изменяет
характер его движения» [510, с. 92]. В отношении источника
происхождения сил Эйлер склоняется на сторону картезианцев,
считая, что они «могут иметь свое начало в упругих телах и в
вихрях» [510, с. 93]. Силу следует считать причиной неравномерного
и криволинейного движения тела. «Все то, что может вывести тело
из его состояния, мы называем силой» [510], и далее: «Силы есть
внешние причины изменения движения» [510, с. 354].
Понятие силы Эйлер связывает с понятиями инерции и
непроницаемости материи. Согласно Эйлеру, понятие инерции имеет два
значения (положительное и отрицательное). Положительная
сущность этого понятия состоит в активном противодействии
материальных тел получаемым ими ускорениям. Но инерция тела может
быть и причиной изменения состояния других тел. «...Именно из
этой способности отдельных тел сохранять свое состояние,—
говорит Эйлер,— вытекает, что в них должны содержаться силы,
которые могут изменять состояние других тел» [510, с. 357]. Кроме
инерции, тела обладают еще свойством непроницаемости. Исходя
из свойств инерции и непроницаемости материи, Эйлер пытается
истолковать силы различной природы: силы, действующие при
соприкосновении тел, и силы, действующие на расстоянии.
Эйлер внес значительный вклад в истолкование понятия веса.
Приливообразующую силу Луны (или других небесных тел) он
раскладывает на две компоненты, направленные соответственно
по прямой, соединяющей центр массы Земли с данным телом.
30

перпендикулярно к этой прямой. Приливообразующую силу
тг ны (или Солнца) Эйлер рассматривает как составляющую веса
ла Однако в других сочинениях [66, 510] понятие веса он
Тб ктует как силу притяжения тела Землей в смысле Ньютона.
ТР р£аК известно, одним из основных принципов, положенных
Яьютоном в ОСНову механики, является пропорциональность
межмассой тела и его весом. Этот принцип сформулирован еще
Гаяилеем, а со времени Ньютона нашел свое подтверждение в
многочисленных экспериментах.
jVi. В. Ломоносов подверг критике этот принцип. Попытка
Ломоносова пояснить пропорциональность массы и веса исходя из
атомистической теории строения вещества подводит его к мысли
о сложном внутреннем строении атомов. Об этом говорится в его
письме к Эйлеру [43, с. 169]. Хорошо сознавая трудность
поставленной проблемы об эквивалентности инертной и гравитационной
масс Эйлер в ответном письме к Ломоносову высказывает
мнение, что в ближайшем будущем он не видит возможности
решения этой проблемы. Эйлер оказался прав, ибо только спустя
полтора века благодаря теории относительности Эйнштейна
появилась такая возможность.
Ломоносов близко подошел и к истолкованию понятия силы
как меры взаимодействия между телами, возникающего в
результате переноса движения с одного тела на другое. Независимо от
Эйлера он высказал мысль о зависимости веса тел от действия
на него и на Землю Луны и Солнца *.
Дальнейшее развитие понятия силы принадлежит Д'Аламбе-
ру, который высказал мысль о равноправности активных сил и
реакций связей (т. е. сил, обуславливающих ускоренные
движения точек материальной системы и возникающих в результате
взаимодействия каждой из этих точек и окружающих ее тел) и
сил инерции (т. е. сил, проистекающих от ускоренных движений
точек системы) [36]. В этом смысле движение можно формально
рассматривать как определенную разновидность равновесия и
задачи динамики сводить к задачам статики. Эта идея Д'Аламбера
получила широкое признание и распространение и в настоящее
время служит основой кинетостатики. Заметим также, что
независимо от Эйлера и Ломоносова Д'Аламбер утверждал, что вес
тела должен включать в качестве одной из компонент
приливообразующую силу Луны, Солнца и других небесных тел [42].
По-видимому, Эйлер и Д'Аламбер владели понятием связи
есколько позже Лаплас [83] показал, что сила тяжести тела
относительно равномерно вращающейся планеты складывается из силы притя-
ние*ИЯ ЭТ0Г0 тела планетой, центробежной силы, обусловленной враще-
телМттЛаПеТЬ1' и пРИЛИВ0°бразующей силы от действия других небесных
носов В1г?ИМ0Му' непосРеДственным предшественником Эйлера, Ломо-
котот)8 "* Лапласа в этой экспликации понятия веса был Мопертюи [32],
>кесть И °л?ТаЛ понятия веса (тяжести) и тяготения различными. Тя-
тРобежП°" Юи' 03Ha4aeT равнодействующую силы тяжести и цен-
об чтл и силы, вызванной вращением Земли. Первые соображения
ом с°Держатся еще в его трактате 1732 г. [31].
31

как тела, ограничивающего состояние покоя или движения точек
материальной системы. Однако четкую формулировку этого
понятия впервые дал Лагранж. «...Если природа системы такова, что
тела при своих движениях подчинены особым условиям,—
говорит он,— следует сначала эти условия выразить с помощью
аналитических уравнений, которые назовем условными
уравнениями,— что всегда можно выполнить» [79, с. 34]. Лагранж
пользовался понятиями стационарных, голономных, двусторонних и
идеальных связей, но имел также представление и о
нестационарных и линейных неголономных связях первого порядка.
Вершиной механики XVIII в. является трактат Лагранжа
«Аналитическая механика» (1788) [79]. Здесь, в частности, впервые было
введено оказавшееся впоследствии очень плодотворным понятие
обобщенных координат, скоростей, ускорений и сил. Это
позволило построить аналитическую механику XVIII в., которая в
значительной степени раздвинула масштабы классической
механики XVII в. и открыла для ее дальнейшего развития почти не
ограниченные возможности представления механической
картины мира с единой точки зрения.
В XIX — начале XX в. было сделано много попыток ревизии
основных положений ньютоновской механики. В результате
выдающихся исследований ряда ученых была показана
ограниченность классической механики, что в итоге привело к открытию
релятивистской механики Эйнштейна2.
В середине XVIII в. появилось учение И. Канта о
пространстве и времени. Согласно Канту, пространство и время
представляют собой не объективную реальность, а субъективные формы
восприятия человеком трансцендентной действительности, «вещей
в себе». Их свойства полностью определяются геометрией
Евклида и механикой Ньютона3.
В 1829 г. Н. И. Лобачевский поставил вопрос о построении
механики в неевклидовом пространстве. Дальнейшие
исследования показали, что можно построить внутренне непротиворечивые
неевклидовы механики и что в ряде случаев они с большей
степенью точности описывают строение окружающего нас
физического мира, чем классическая механика Ньютона.
Введя в рассмотрение инерциальное движение, Ньютон с
помощью часов установил способ измерения времени, характер его
течения. В абсолютном пространстве Ньютона движение
материальных тел происходит во времени. Софус Ли противопоставил
концепции Ньютона другую концепцию, в которой он исходил из
принципа двойственности. В качестве инерциальных С. Ли
предложил считать все возможные движения. Это значит, что в его
2 См., например: Спасский Б. И. Очерк возникновения и развития теории
относительности.— В кн.: История и методология естественных наук. М.,
1960, вып. 1, с. 5—60.
3 Кант И. О форме и принципах чувственно воспринимаемого и
умопостигаемого мира. М.: Мысль, 1964, т. 2, с. 400, 404—405, 418 и др.;
Метафизические начала естествознания, т. 6, с. 104.
32

анике все тела движутся равномерно по геодезическим ли-
ме Тогда вместо бесконечного множества движений появляет-
П бесконечное множество пространств [788, с. 29].
С В механике Гамильтона-Якоби-Остроградского с особой
отчетностью выяснилась тесная связь между кинетической энергией
истемы и элементом длины многомерного пространства, а тем
-амым — наличие взаимосвязи между материей, пространством,
временем и движением.
Во второй половине XIX в. были предложены различные
новые толкования понятия абсолютного пространства Ньютона.
К Нейман [189] ввел в рассмотрение так называемое «тело
альфа» расположенное где-то во Вселенной. Это тело является
неподвижным, с ним можно связать неизменную абсолютную
систему отсчета и относить к ней всю совокупность движений
материальных тел (как инерциальных, так и ускоренных). Здесь
следует вспомнить следующие высказывания Ньютона в
«Началах»: «Может оказаться, что в действительности не существует
покоящегося тела, к которому можно было бы относить места и
движения прочих» [20, с. 32]. Однако Ньютон все же считал
возможным построить учение о механическом движении по
отношению к абсолютному пространству, которое, возможно, и не
связано ни с какими материальными телами. Это была для пего
единственная, как замечает Эйнштейн, возможность построения
модели механической картины мира (пусть только в первом
приближении, что было выяснено в теории относительности в XX в.).
С резкой критикой понятий абсолютного пространства и времени,
фигурирующих в ньютоновской механике, в конце XIX в.
выступил Э. Мах, который вообще отрицал объективность
существования пространства и времени, рассматривая эти понятия как
«особые ряды ощущений», «функциональные зависимости друг
от друга элементов, охарактеризованных чувственными
ощущениями, хорошо упорядоченные системы рядов ощущений» [227,
с. 427]. Эти лженаучные идеи Маха были подвергнуты
уничтожающей критике со стороны В. И. Ленина в «Материализме и
эмпириокритицизме ».
В конце XIX в. в связи с открытием электромагнитного поля
возродился интерес к теории эфира, которая, как известно была
предложена еще в XVII в. Декартом и Ньютоном. Исходя из
концепции механического эфира делались попытки построения
основных понятий электромагнитных и гравитационных полей
\Дж. Максвелл, Г. А. Лоренц и др.). Эфир рассматривался как
особая неподвижная среда. Казалось, с этой средой можно свя-
ать неподвижную систему отсчета и обосновать существование
солютного ньютоновского пространства и абсолютного движе-
лаЯ* Однако теория относительности Эйнштейна
опровергла концепцию эфира. Согласно современным представлениям пе-
смаЧа взаимоДеиствий происходит с помощью поля, которое рас-
С0гТРИВаеТСЯ Как осо^ая Ф°Рма материи наряду с веществом,
асно релятивистской механике нужно говорить не об отдель-
3 Заказ jsr» 1377 og

ных понятиях пространства и времени, а о едином понятии
многообразия пространства — времени как форме существования
материи. Только пространственно-временные отношения носят
абсолютный характер, отдельно же взятые пространственные или
временные отношения следует определять в зависимости от
выбранной инерциальной системы отсчета. В общей теории
относительности постулируется принцип эквивалентности между
инертной и гравитационной массами, что вполне созвучно и
классической механике Ньютона. В рамках классической механики, как
известно, принимается, что все локальные механические процессы
в неинерциальной равноускоренной системе координат
происходят так же, как и в инерциальной системе, в которой действует
соответствующее однородное поле тяготения. А. Эйнштейн
обобщил этот принцип инерции на все физические процессы.
На протяжении последних 100 лет в многочисленных
исследованиях ученых разных стран подверглось глубокому осмыслению
понятие массы в рамках классической механики.
Для определения массы различные авторы предлагали
исходить либо из понятия количества материи, либо из понятия силы
или веса, либо из понятия энергии. Понятие массы как меры
количества материи в конце XIX в. отстаивал Е. Дюринг [194,
с. 174]. Он исходил из свойства аддитивности и считал, что без
такого предварительного определения этого понятия формализм
вычисления массы потерял бы смысл. По-видимому, точка зрения
Дюринга утвердилась в литературе более позднего времени
[766, с. 148]. В более поздних исследованиях обсуждается
корректность классического определения массы как количества
материи. Наконец, в XX в. были сделаны попытки построить
понятие массы в аксиоматике механики, основываясь на теории
множеств [513, 523, 637, 713]. Однако эти попытки не привели
к какому-либо эффективному результату.
* Законы Ньютона с позиции науки XVIII—XX вв.
Преемники Ньютона
Следуя Ньютону, Эйлер формулирует закон инерции в двух
предложениях. «Первое предложение: тело, если оно было в
состоянии покоя, вечно будет в этом состоянии, когда не будет
приведено в движение с помощью какой-нибудь внешней или
посторонней причины. Второе предложение: тело, один раз
приведенное в движение, будет вечно двигаться в том же направлении и
с той же скоростью, или его движение будет равномерным и
прямолинейным, если оно не будет нарушено некоторой внешней или
посторонней причиной. На этих двух утверждениях,— говорит
Эйлер,— основывается все учение о движении, которое именуют
механикой» [69].
В качестве основных законов механики Эйлер принимает
первый и второй законы Ньютона, относя движение к неподвижной
системе отсчета, т. е. рассматривая лишь абсолютное движение,
К формулировке второго закона он подходит, замечая, что под
34

Чствием силы тело отклоняется от инерциального движения и
^иобретает ускорение. Третьего закона Ньютона в механике
Эйлера нет.
Как известно, Ньютон считал основные законы механики ак-
тгомами, подтверждаемыми наблюдениями и опытами. Однако
которые уЧеные XVIII и XIX вв., принимая в качестве
акустического положения первую часть закона инерции, отно-
щу10Ся к сохранению состояния покоя, считали необходимым
обосновать его вторую часть, касающуюся сохранения состояния
прямолинейного равномерного движения. Так поступают,
например П. С. Лаплас и С. Пуассон, пользуясь при этом принципом
достаточного основания.
Эйлер считал, что с помощью принципа достаточного
основания можно доказать закон инерции в полном объеме. «Мы
привыкли,— говорит Эйлер,— свойство инерции приписывать
всем телам без исключения, и это настолько очевидно, что не
нуждается в доказательстве. Но дабы глубже понять смысл этого
принципа, рассмотрим только одну точку или элемент тела; если
он находится в покое, то и должен в нем пребывать. Так как в
нем самом нет основания, почему он скорее должен двигаться в
одном направлении, чем в другом, и так как все внешние
причины устранены, то движение не начнется ни по какому
направлению. Эту истину мы должны считать необходимой как
основанную на принципе достаточного основания» [510, с. 263].
Однако против достоверности рассуждений, основанных на
принципе достаточного основания, выступили многие ученые
после Эйлера. Е. Дюринг, например, принимает за очевидное лишь
первую часть закона инерции. Что же касается его второй части,
то он считает, что она «есть настолько не самоочевидная
аксиома, насколько она противоречит всем обычным представлениям.
Неограниченно сохраняющееся движение по прямой линии и с
постоянной скоростью есть процесс, парадоксальность которого
долго мешала его открытию» [194, с. 31].
Поскольку в формулировке закона инерции фигурирует
понятие равномерного движения, необходимо остановиться на
вопросе об измерении времени. Первоначальное представление о
понятии равномерного движения, по сути дела, сводится к
тавтологии. Действительно, равномерное движение материальной
точки есть такое движение, когда за равные промежутки време-
и точка проходит одинаковые отрезки траектории. Между тем
равными являются такие отрезки времени, за которые
изолировал материальная точка проходит равные отрезки траектории.
Г 361 аК Ж6 пРеоД°леть ЭТУ логическую трудность? Д'Аламбер
дв ■■ считал, что простейшую меру времени дает равномерное
в ение, когда движущееся тело проходит равные пространства
ся т ЫЫе вРемена- Равными же временами, говорит он, называют-
Пр0 ' в течение которых совершаются одни и те же действия,
менае^яемые с помощью повторяющихся опытов, например вре-
» в течение которых опорожняются водяные часы.
35
3*

Эту же идею мы находим в «Механике» Пуассона [97]. Мера
длины, говорит Пуассон, может быть определена без труда
методом наложения. Несколько труднее определить меру времени.
Но это возможно сделать следующим образом. Пусть одинаковые
тела движутся друг за другом и в каждый момент времени
находятся в одинаковых состояниях. Тогда движения этих тел будут
происходить в равные времена, а пройденные ими пути можно
принять за меру времени.
Очевидно, что этот метод измерения времени с помощью
одинаковых действий, вызываемых одинаковыми причинами,
основан на принципе детерминизма. Таким образом, закон инерции,
как и другие законы Ньютона, можно рассматривать как
самостоятельные положения, многократно проверяемые опытным
путем, независимые от методики измерения времени. Очевидно,
метод измерения времени можно установить не только при
равномерном поступательном движении твердого тела (или
движения материальной точки), но и при равномерном вращательном
движении твердого тела вокруг неподвижной оси. Так, в
трактате по механике В. Томсона и П. Тэта [185] можно прочитать:
«Равные времена — это такие времена, в течение которых Земля
поворачивается на равные углы».
При рассмотрении первого закона Ньютона встает вопрос о
необходимых и достаточных условиях инерциальности заданной
системы отсчета.
В XX столетии была установлена тесная связь между
свойствами симметрии и различными физическими и механическими
теориями и законами. Некоторые свойства симметрии отметил в
конце XIX в. Пьер Кюри. Одно из этих свойств — «элементы
симметрии достаточной причины являются элементами симметрии и
ее следствия» —имеет название «принципа симметрии».
Оказалось, что фундаментальные в классической механике законы
Ньютона могут быть однозначно получены из принципа
симметрии и ряда других общих принципов физики — относительности,
однородности и изотропности пространства, суперпозиции и др.
* Теория гравитации в ньютоновской механике
XVIII-XX вв.
Открытие закона всемирного тяготения в «Началах» Ньютона
было подготовлено всем ходом предшествующего развития
исследований силы тяжести, законами Кеплера о движении планет,
учением Гюйгенса о центробежных силах и, конечно,
гелиоцентрической моделью мира. Ньютон доказал единство явлений
притяжения расположенных вблизи поверхности Земли тел к ее
центру и притяжения Луны к центру Земли. Он показал
тождественность законов тяготения во всех этих явлениях взаимного
притяжения тел, выдвинул идею об универсальности закона
тяготения, сделав экстраполяцию на все тела Вселенной. Ньютон
связал законы Кеплера с законом всемирного тяготения, показав,
что из законов Кеплера следует закон всемирного тяготения,
36

братно — из закона всемирного тяготения следуют законы
S °лера. При этом он указал на некоторые поправки к законам
т£ плера. Ньютон установил эквивалентность тяжелой и инертной
ее пропорциональность между массой и весом. Размышляя
Мадгое время над природой тяготения и не решив эту проблему,
Ньютон неоднократно заявлял, что он не выдвигает никаких ги-
тез по этому вопросу и занимается исключительно математи-
Т скими исследованиями, связанными с уже установленными
законами тяготения. Однако он утверждал, что в природе имеет
^есто не дальнодействие (действие на расстоянии), а близкодей-
гтвие но механизм его ему не известен. Тем не менее некоторые
ученые, объявившие себя учениками Ньютона и получившие в
истории физики имя ныотонианцев, использовали закон
всемирного тяготения для утверждения божественной воли, которая
якобы проявляется в действии на расстоянии, без
промежуточной среды.
Выход в свет «Начал» в 1686 г. произвел ошеломляющее
впечатление на современников Ньютона и вызвал реакцию двоякого
рода. С одной стороны, глубина и количество содержащихся в
них мыслей изумили ученый мир, а с другой — некоторые
оригинальные теории Ньютона, не созвучные с распространенными в
то время представлениями Декарта и его теорией вихрей, были
встречены враждебно, и создалась некая оппозиция его
механической картине мира. Сразу же после издания трактата Ньютона
на протяжении 25 лет некоторые французские ученые (П. Ва-
риньон, Н. Мальбранш и др.) предприняли неудачные попытки
привести ныотоиианскую космологию в соответствие с
картезианской. Критикуя Ньютона, Гюйгенс [483] утверждал, что
нельзя обнаружить притяжение мелких частиц материи и,
следовательно, закон Ньютона должен быть ограничен только пределами
взаимодействия небесных тел. Он выступил со своеобразным
кинетическим, в духе Декарта, объяснением природы тяготения.
Однако в 30-х годах XVIII в. картезианские идеи, согласно
которым Земля должна быть вытянута вдоль своей оси, потерпели
крах. В результате работ экспедиции Парижской академии наук
по измерению длины дуги меридиана в 1° (1735—1742) было
показано, что справедлив основанный на законе всемирного
тяготения вывод Ньютона о сплюснутости Земли у полюсов. В
результате многочисленных исследований (Г. Кавендиша, 1798;
Д. Пойнтиига, 1893; К. Брауна, 1897 и др.) была установлена
величИна постоянной гравитации.
1редставление согласно ньютоновской теории гравитации о
спраХ тяготения' передающихся мгновенно между телами без по-
ны\ДСТВа пРомежУточн°й среды, было воспринято многими
ученей И КаК УнивеРсальная теория, на основе которой можно объ-
твепТЬ Многие астрономические и физические явления, например
^твет)°СТЬ' упРугость> сцепление между частицами тела и т. д.
ствет ^ению и распространению теории дальнодействия
способен работы Р. Бошковича, С. Пуассона, О. Коши, П. С. Лап-
37

ласа, К. Ф. Гаусса, К. Неймана и др., которые сводили все виды
взаимодействия материи к действию единой универсальной силы,
проявляющей себя либо как сила притяжения, либо йак сила
отталкивания [63, 76]. Однако уже в середине XVIII в. некоторые
ученые критически относятся к представлению о действии на
расстоянии. Против этой теории выступают Л. Эйлер, П. С.
Лаплас, М. В. Ломоносов, Ж.-Л. Лагранж, А. К. Клеро,
Ж. Л. Д'Аламбер. Но, считая, как и Ньютон, что объяснение
действия гравитационных сил следует искать в наличии
промежуточной среды, они не смогли еще подняться до постижения
характера и особенностей этой среды [40, 47, 52, 74, 83, 104,
585].
Ньютоновская теория гравитации достигла вершины в
фундаментальных исследованиях Лапласа по небесной механике в
первой половине XIX в. Во второй половине XIX в. появляются
попытки получить физическое истолкование сущности теории
гравитации, а в отдельных случаях — внести некоторые поправки в
закон тяготения. Открытие закона сохранения и превращения
энергии в трудах Ю. Майера и Д. Джоуля оказалось
несовместимым с представлением о различных носителях физических
явлений. Надо было объяснить все физические явления и
взаимодействия с помощью представления о единой материи,
находящейся в непрерывном движении. «Хорошо известная теперь
кинетическая теория газов,— писал В. Томсон в 1884 г.,—
представляет собой столь важный шаг на пути к объяснению с помощью
движения таких свойств тел, которые представляются нам
статическими, что едва ли можно удержаться от мысли, что в
будущем появится полная теория материи, в которой все свойства
последней будут рассматриваться лишь как атрибуты движения»
[231, с. 110]. В формировании новых представлений о сущности
силы как проявления движения материи огромное значение
имели работы М. Фарадея и Дж. К. Максвелла, утвердившие
понятие поля, а также экспериментальное открытие электромагнитных
волн Г. Герцем [785]. Поиск ответов на основные загадки
тяготения происходил в нескольких направлениях: 1) открытие
закона сохранения и превращения энергии привело к мысли: нельзя
ли все явления природы свести к механическим. Авторы
механических трактовок гравитации широко использовали различные
механические свойства газов, жидкостей и твердых тел, теорию
теплоты и кинетическую теорию газов, акустический характер
притяжения и отталкивания, волновые представления и т. д.
Возник обширный класс механических гипотез тяготения —
эфирно-ударных, волновых, пульсационных; 2) успехи теории
электромагнетизма вызвали желание истолковать тяготение по
аналогии с электрическими взаимодействиями. Возникли гипотезы
тяготения, сводившие это явление к электрическим
взаимодействиям^) некоторые новые открытия, в том числе открытие аномалии
в движении перигелия Меркурия (У. Леверрье, 1845 г.), породили
попытки внести коррективы в ньютоновский закон тяготения. По-
38

лний класс работ оказался наиболее плодотворным, поскольку
СЛ привел к созданию релятивистской теории тяготения — общей
Теории относительности.
Современная теория гравитации выходит далеко за пределы
ассической механики, а поэтому не может лежать в основе
механической картины мира.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ И ТЕОРЕМЫ
НЬЮТОНОВСКОЙ МЕХАНИКИ
И ЕЕ ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ
-#■ Аксиома о параллелограмме сил
Возникновение идеи о сложении двух сил, действующих на одну
и ту же материальную точку, следует искать в представлениях о
сложении двух направленных отрезков (векторов) любой
физической природы, и в первую очередь о сложении скоростей или
элементарных перемещений точки.
Различные движения одного и того же тела можно было
изображать перемещениями, которые это тело получало за один и
тот же определенный промежуток времени. При этом действие на
тело любой силы характеризуется величиной перемещения тела
за этот промежуток времени. Но тогда сложение сил,
приложенных к одному и тому же телу, сводится к сложению
соответствующих скоростей. А закон сложения скоростей в виде
параллелограмма скоростей был известен еще Аристотелю, который
рассматривал его как легко проверяемый закон природы. Это и
привело к закону параллелограмма сил. Трудно определенно
утверждать, кто первым установил этот закон. Это мог быть и
Дж. Валлис (1606—1675), рассмотревший параллелепипед сил,
и Ж. П. Роберваль, применявший сложение и разложение сил по
закону параллелограмма. Ньютон в «Началах» следующим
образом формулирует аксиому о параллелограмме сил: «При силах
совокупных тело описывает диагональ параллелограмма в то же
самое время, как его стороны — при раздельных» [20, с. 41].
днако до 1687 года,— пишет Лагранж,— когда появились
«Математические начала» Ньютона и «Проект новой механики» Ва-
1iiiboHa, еще никто не думал о том, чтобы при сложении дви-
и 11Ии поставить на место движений силы, способные их вызвать,
д опРеДслить сложную силу, являющуюся равнодействующей
сое заданных сил> аналогично тому, как определяют движение,
ДвцжВЛе^Н°е И3 ДВУХ заДанных прямолинейных и равномерных
Двня/1111^' ^ Далее: «Во втором дополнении к третьему закону
3аК01еНИЯ ^ьютон в немногих словах показывает, каким образом
ы Равновесия могут быть легко выведены из сложения и
39

разложения сил, если диагональ параллелограмма принять в
качестве силы, составленной из двух сил, выражаемых ег/)
сторонами» [79, с. 32]. Таким образом, динамика и статика'впервые
объединяются у Ньютона в единое целое, и не делается никакого
различия между понятиями силы в случаях равновесия и
движения. В такой же четкой форме у Ньютона представлен закон
независимости действия сил, так же как до него — закон
независимости действия движений у Декарта. Этот закон представляет
собой непосредственное следствие из правила параллелограмма.
Правило параллелограмма сил на основании второго закона
Ньютона немедленно приводит к правилу параллелограмма
ускорений. Единый закон сложения скоростей, ускорений и сил привел
к представлению о сложении по правилу параллелограмма
векторных величин любой физической природы. Однако во времена
Ньютона эта идея, которая в настоящее время нам
представляется тривиальной, еще не нашла отчетливого выражения.
«Проект новой механики» Вариньона в 1725 г. (посмертно)
был издан в расширенном виде под названием «Новая механика
или статика». В этом трактате впервые построена статика
твердого тела на плоскости, основанная на правиле параллелограмма
сил. Введя в рассмотрение наряду с силами моменты этих сил, Ва-
риньои построил теорию силового и веревочного
многоугольников, которые позволшш ему в дальнейшем сформулировать все
необходимые теоремы статики твердого тела на плоскости.
Таким образом, к концу XVII в. правило параллелограмма
сил становится общепризнанной аксиомой классической
механики. После работ Ньютона и Вариньона в XVIII в. появились
труды других ученых, в которых также излагается правило
параллелограмма сил. В 1728 г. было опубликовано исследование
Д. Бернулли [30], в котором дается чисто геометрическое
доказательство правила параллелограмма сил независимо от принципа
рычага. Это доказательство опирается на следующие
положения: 1) равнодействующая двух действующих на одну
материальную точку сил направлена внутрь меньшего угла,
образуемого силами; 2) она равна сумме их, если этот угол нулевой,
и разности, если он равен 180°; 3) если силы пропорциональны
заданным при неизменном угле между ними, то и их
равнодействующая пропорциональна первоначальной равнодействующей.
Д. Бернулли, ссылаясь на исследование Гвидо Убальдо
(относящееся к теории рычага), предложил в 1753 г. новое
доказательство правила параллелограмма сил, связанное с принципом
ломаного рычага, содержащее как синтетические, так и
аналитические элементы. Оригинальное доказательство правила
параллелограмма сил опубликовал в 1770 г. И. Ламберт [67]. Его
доказательство носит почти полностью аналитический характер и
в некотором отношении дополняет доказательство Д. Бернулли.
Первые чисто аналитические варианты доказательства
правила параллелограмма сил принадлежат Д'Аламберу, который
опубликовал на эту тему тррг мемуара, содержащие разные дока-
40

тельства [65, 68, 78]. Ссылаясь на Д. Бернулли и пользуясь
за тИ теми же рассуждениями, что и он, Д'Аламбер полностью
11 казал правило параллелограмма сил.
^ Б 1799 г. был издан первый том знаменитого пятитомного
трактата Лапласа по небесной механике [83], в котором опубли-
овано новое доказательство правила параллелограмма сил.
В начале XIX в. были предложены два новых оригинальных
доказательства. Одно из них принадлежит Дюшайла [85],
другое—Пуассону [92]. Доказательство Дюшайла около 50 лет
воспроизводилось во многих учебниках Западной Европы, в том
числе в распространенных в то время руководствах Франкера [96],
Брикса [119], Моселея [126], Эрнсгофа [148] и др.
Доказательство Пуассона сразу же после его опубликования было
воспринято с большим интересом, и многие авторы учебников по
теоретической механике помещали его в своих книгах как
наилучшее в методическом отношении, в особенности когда Пуассон
несколько упростил его и в таком виде изложил в своем
знаменитом трактате [97]. Это доказательство без изменения
приведено, например, в книгах Г. Монжа [109], Барга [152], а также
в некоторых современных учебниках (в учебнике Л. Г. Лойцян-
ского и А. И. Лурье [564] и др.).
Новые доказательства правила параллелограмма сил в XIX в.
дали: О. Коши [108], М. В. Остроградский [548], А. Фосс [332],
А. Мебиус [243], Л. Пуансо [87].
В 1841 г. Пуассон совместно с К. Л. Навье [142]
опубликовал еще один вариант доказательства правила параллелограмма
сил, который в позднейшей литературе более известен как
доказательство Навье.
Существенный интерес представляет посвященный
доказательству правила параллелограмма сил мемуар Ж. Дарбу [204,
229], который содержит анализ основных положений, лежащих
в основе этого правила. Дарбу отмечает, что доказательство
Д. Бернулли, модифицированное Д'Аламбером,— наилучшее из
известных ему как с точки зрения наименьшего числа
допущенных гипотез, так и в связи с тем, что в нем рассматриваются
только построения в одной плоскости.
Два новых варианта аналитического доказательства правила
параллелограмма сил предложили в 1889 г. В. Г. Имшенецкий
трд л ^" Головин [254]. В отличие от доказательств
А Аламбера, Лапласа и Остроградского они не пользуются
дифференциальным исчислением. Оригинальная часть, по существу,
Десь относится лишь к правилу прямоугольника сил, поскольку
реход от прямоугольника к параллелограмму общеизвестен.
Исследования, относящиеся к правилу параллелограмма сил,
Р Должались и в XX в. Из работ, заслуживающих внимания,
Г- г м на тРУДы Н. Е. Жуковского [566], Ф. Шура [346],
• а амеля [345], А. А. Фридмана [423] и др.
Св Тот кРаткий обзор работ по правилу параллелограмма сил
Детельствует, что оно породило многочисленные исследования
41

ряда ученых XVII—XX вв. В результате этих исследований
правило параллелограмма сил было сведено к комплексу простейших
постулатов (постулатов Дарбу). Удалось выяснить необходимость
и достаточность этого комплекса постулатов, исследовать вопрос
об их независимости друг от друга и с этой точки зрения оценить
все предложенные в разное время доказательства правила
параллелограмма сил. Было установлено, что имеется связь между
правилом параллелограмма сил и проективной геометрией, а также
теорией непрерывных групп преобразований Софуса Ли.
Все работы, касающиеся правила параллелограмма сил,
имеют большое значение для аксиоматизации механики и понимания
сущности тех первичных постулатов, которые лежат в ее основе.
К сожалению, проблема аксиоматизации механики значительно
сложнее проблемы аксиоматизации геометрии, и на пути ее
решения стоят много пока еще не разрешенных трудностей.
* Аксиомы о твердом теле и связях
Как известно, аксиома о твердом теле заключается в том, что
две силы, действующие на абсолютно твердое тело, находятся в
равновесии тогда и только тогда, когда они равны по модулю и
действуют по одной прямой в противоположные стороны. Эта
аксиома впервые была сформулирована Вариньоном в 1687 г. в его
трактате «Проект новой механики». Разумеется, это не могло
быть сделано без влияния третьего закона Ньютона.
После Вариньона Эйлер [510] доказал в 1765 г. теорему о
приведении любой пространственной системы сил, действующих
на твердое тело, к двум, в общем случае скрещивающимся
силам. Для доказательства этой теоремы достаточно
воспользоваться элементарными операциями над силами, в частности
возможностью произвольно переносить силу, приложенную к твердому
телу, вдоль ее линии действия [286].
По-видимому, Эйлер имел представление о связях,
наложенных на материальную систему и ограничивающих ее состояние
равновесия или движения. Однако четкое определение этого
понятия впервые дал Лагранж [79]. Лагранж считал возможным
применять аксиому об освобождаемое™ от связей и в случае
движения несвободной материальной системы. По этому поводу
Ж. Бертран сделал следующее примечание: «Это важное
положение обладает такой же общностью, как и принцип
виртуальных скоростей, а для применения оно зачастую бывает даже
более удобным» [79]. Следует отметить, что аксиома об
освобождаемое™ от связей утвердилась также благодаря работам
Пуассона [97]. Его двутомный трактат содержит полное изложение
механики начала XIX в. Первый том его посвящен статике,
второй — динамике. Пуассон применяет аксиому об освобождаемо-
сти от связей к решению задачи о поступательном движении
твердого тела по наклонной плоскости при наличии одной точки
контакта. Чтобы в дальнейшем применить для решения этой
задачи принцип Д'Аламбера, он находит равнодействующую всех
42

терянных сил, которая оказывается нормальной к плоскости.
П° Аксиома об освобождаемости от связей представляет собой
фундаментальное положение механики, позволяющее формально
менить любую заданную несвободную материальную систему
3 тстемой свободной и, таким образом, использовать формализм
с ь10Тоновской механики. В случае равновесия системы такая за-
гена воспринимается сравнительно естественно. Но для движения
несвободной системы аксиома об освобождаемости от связей
приводит к новой (свободной) материальной системе, динамически
эквивалентной заданной (несвободной), но кинематически ей
неэквивалентной (в смысле различных чисел степеней свободы).
Аксиома об освобождаемости, введенная в механику Лагранжем,
вошла в основы классической механики несвободных
материальных систем и твердых тел, практически не претерпев почти
никаких изменений в трактовке.
# Основные теоремы и законы сохранения
Теоремы о движении центра инерции, об изменении количества
движения и кинетического момента материальной системы и
соответствующие интегралы содержатся уже в «Началах»
Ньютона. Современный вид эти теоремы получили в исследованиях
Эйлера по динамике твердого тела. Теорема об изменении
кинетической энергии и закон сохранения механической энергии
(интеграл энергии) были установлены в результате трудов Галилея,
Гюйгенса, Ньютона, Лейбница, И. Бернулли и Д. Бернулли. В
сочинениях Эйлера и Лагранжа излагаются эти теоремы и
соответствующие им десять классических интегралов [812].
ГЛАВА ПЯТАЯ
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
* Введение
Общие принципы механики подразделяются на
дифференциальные и интегральные в зависимости от того, справедливы ли они
Для данного момента времени (бесконечно малого, элементарно-
го промежутка времени) или для произвольного конечного интер-
ала. Дифференциальные и интегральные принципы механики
1 огут быть вариационными или невариационными. Если принцип
сит вариационный характер, то его можно рассматривать как
^ритерий, позволяющий отличить истинное движение от движе-
т ** ^инематически возможных при тех же условиях. Этот кри-
Toi) устоит в том, что только для истинного движения
некоих ФУнкЦия координат точек данной механической системы и
лш гР0изв°ДНЬ1х по времени обладает экстремальными свойства-
олучение динамических уравнений движения из вариацион-
43

ных принципов механики сводится, таким образом, к решению
определенной вариационной задачи при некоторых
дополнительных условиях. Любые общие принципы механики, в том числе
и принципы, не являющиеся вариационными, могут быть
положены в основу получения динамических уравнений механики и
других ее положений. Общие принципы механики отличаются
друг от друга не только своим характером (дифференциальные
или интегральные, вариационные или не вариационные), но и
степенью общности, которая определяет границы применимости
как самого принципа, так и всех следствий, выводимых из него.
Поэтому можно говорить об эквивалентных и неэквивалентных
между собой принципах механики. Различают также статические
и динамические принципы, смотря по тому, характеризуют ли
они условия равновесия или движения механической системы или
твердого тела.
В настоящее время общие принципы механики столь
разработаны, что составляют самостоятельный, специальный раздел этой
науки. К общим принципам механики принадлежат: принцип
возможных перемещений (принцип Лагранжа), принцип Д'Аламбера,
принцип Д'Аламбера — Лагранжа, принцип наименьшего
принуждения Гаусса, принцип прямейшего пути Герца, принцип Журде-
на (дифференциальные принципы); принцип наименьшего
действия (Мопертюи, Эйлер, Лагранж, Пуассон, Якоби), принцип
Гамильтона — Остроградского, принцип Гельдера — Фосса
(интегральные принципы). Рассмотрим историю возникновения и
развития этих общих принципов классической механики.
* Дифференциальные принципы
Принцип возможных перемещений представляет собой
вариационный дифференциальный принцип классической статики. Его
можно сформулировать следующим образом: положение
равновесия механической системы, ограниченной идеальными связями,
отличается от совместимых с ними смежных положений тем, что
лишь для положения равновесия сумма работ, приложенных к
точкам системы активных сил на любом возможном их
перемещении, не положительна.
К принципу возможных перемещений непосредственно
примыкают принципы рычага и наклонной плоскости. Автор принципа
рычага — Архимед. Закон рычага состоит в том, что
прямолинейный горизонтальный рычаг, подверженный действию двух грузов
по разные стороны точки опоры, находится в равновесии только
в том случае, если отношение этих грузов обратно
пропорционально их расстояниям до точки опоры. При этом Архимед
исходит из аксиомы о справедливости этого принципа в случае равных
грузов. Он доказывает принцип рычага в полном объеме сначала
в случае соизмеримых, а затем несоизмеримых между собой
грузов. Если грузы соизмеримы, их можно разделить на равные
части и эти части разместить на соответствующих плечах на
равных расстояниях от точки опоры рычага. В случае несоизмеримых
44

ов Архимед применял метод исчерпывания для обоснования
принципа рычага.
По поводу метода Архимеда Лагранж заметил, что в этом до-
•< зательстве допускается равенство между суммой неравных гру-
Ь в и нагрузкой на точку опоры. Лагранж устранил этот пробел,
3 ^пользовавшись идеей Гюйгенса о замене равновесного рычага
в новеСной горизонтальной плоскостью, опирающейся на этот
рычаг.
Доказательство для прямолинеинего горизонтального рычага
помощью принципа суперпозиции можно обобщить на любой
коленчатый рычаг с точкой опоры в его вершине и силами,
действующими нормально к его плечам в противоположных
направлениях. От принципа равновесия коленчатого рычага (пользуясь
возможностью переносить приложенную к твердому телу силу
вдоль ее линии действия) можно перейти к условию равновесия
двух сил, расположенных как угодно на плоскости, закрепленной
в одной точке (принцип моментов).
Принцип наклонной плоскости можно сформулировать в
следующем виде: на наклонных плоскостях равной высоты действия
равных грузов обратно пропорциональны длинам этих плоскостей.
Отсюда следует, что отношение силы, удерживающей груз на
наклонной плоскости, к весу этого груза равно отношению
высоты плоскости к ее длине.
Впервые принцип наклонной плоскости установил Симон Сте-
вин (1605), который рассуждал следующим образом. Пусть
замкнутая цепь с равномерно закрепленными на ней 14 шарами
равного веса огибает расположенный в вертикальной плоскости
треугольник так, чтобы, например, на боковых сторонах треугольника
разместились соответственно 2 и 4 шара, а остальная часть цепи
с 8 шарами висела свободно под его основанием. При этих
условиях цепь будет находиться в равновесии, ибо, допустив
противное, мы придем в противоречие с законом о невозможности
существования вечного двигателя. Исходя из принципа наклонной
плоскости, Стевин далее формулирует геометрическое условие
равновесия системы трех сходящихся сил в виде замкнутости
силового треугольника. Правда, он ограничивается случаем
прямоугольного треугольника, что значительно сужает теорему о трех
силах.
Принципы рычага и наклонной плоскости — это частные
принципы статики. Их появление можно рассматривать как
определенные этапы в зарождении принципа возможных перемете -
Ии наиболее общего статического принципа классической
медники. Сравнительная простота и единство принципа возмож-
ых перемещений были замечены не сразу (сначала это было
т^Новлено в применении к некоторым простым машинам и их
^вдинациям: рычагу, блоку, полиспасту и др.). Затем область
о применения постепенно расширялась. При этом не вводились
ест аКИе пРеДваРительные условия об идеальности связей, что,
ественно, затрудняло рассмотрение вопроса в каждом отдель-
45

ном случае. Зародыш принципа возможных перемещений можно
усмотреть в рассуждениях Леонардо да Винчи. Его можно
считать предшественником Гвидо Убальдо (1545—1667) —старшего
современника Галилея, который при построении теории рычага
пользовался правилом обратной пропорциональной зависимости
между приложенными грузами в положениях равновесия и
возможными скоростями точек их приложения. Убальдо утверждал,
что это правило применимо и к другим простым машинам.
Почти одновременно с Гвидо Убальдо при исследовании
равновесия блоков и полиспастов к этому правилу пришел и Стевин
[3, 7]. Рассматривая полиспаст Архимеда, для равновесия
которого (если пренебречь трением и весами блоков) необходимо
восьмикратное соотношение грузов, Стевин замечает, что при
равновесии сумма произведений этих грузов на их перемещения
равна нулю.
Прообраз принципа возможных перемещений можно найти и
у Галилея (1634). Он исследовал движение по наклонной
плоскости и установил для нее известное со времен Архимеда золотое
правило механики: что выигрывается в силе, то теряется в
скорости. Галилей даже сделал попытку [474, 479] применить это
правило к равновесию жидкости, утверждая, что путь, проходимый
призмой, погружаемой в жидкость, заключенную в
призматический сосуд, и перемещение поднимающейся жидкости обратно
пропорциональны площадям поперечных сечений призмы и
сосуда. Эту мысль Галилея развил впоследствии Паскаль [13],
который рассматривал жидкость, находящуюся в сосуде, как машину,
регулирующую, подобно рычагу, действие приложенной к ней
силы.
Примерно в таком же виде правило Галилея сформулировал
в своем письме к Мерсенну Декарт [12]: «Для равновесия двух
сил пройденные пути обратно пропорциональны силам». Декарт
доказывал его на примере полиспаста. Декарт первым пришел к
выводу, что, применяя это правило, надо пользоваться не
конечными, а бесконечно малыми перемещениями грузов. Э. Торричел-
ли, применяя правило своего учителя Галилея, именно таким
путем получил условие равновесия системы в виде требования
наиболее низкого положения ее центра тяжести [14]. Теорией
равновесия машин занимался и Дж. Валлис [17], который,
следуя Галилею, пользовался понятием импетуса 1 и утверждал, что
в случае равновесия импетусы двух сил, приводящих машину в
движение в противоположных направлениях, должны быть равны
между собой. При этом импетус понимался как величина,
пропорциональная произведению силы на возможную скорость точки ее
приложения.
1 Понятие импетуса, разработанное парижским номиналистом Ж. Бурида-
ном (XIV в.) для объяснения свободного падения, движения
«брошенного» тела и механизма передачи движения, исходило из представления о
некой «силе», которая исходит от двигателя и «запечатлевается в
движимом теле». В некоторых случаях импетус можно считать
эквивалентным импульсу.
46

Таким образом, к концу XVII в. идея принципа возможных
пемешений вполне созрела. Однако потребовалось еще несколь-
11 десятилетий, чтобы этот основополагающий принцип был
полостью осознан. На этом пути были три основные трудности.
Яо-первых, надо было понять, что при исследовании движения и
вяовесия правомерно применять единый прием (рассмотрение
Р03можных перемещений при изучении состояния равновесия
3истемы многим казалось неестественным и даже неприемлемым).
Во-вторых, не до конца была ясна природа возможного переме-
шения, его отличие от действительного перемещения,
необходимость рассмотрения бесконечно малых возможных перемещений,,
а не конечных. И, наконец, в-третьих, принцип возможных
перемещений вначале применялся только к силам, аналогичным силе
тяжести.
Кроме того, в XVII в., естественно, не могла еще идти речь а
характере наложенных на систему связей, при котором этот
принцип справедлив. Вот почему, говоря о принципе возможных
перемещений в трудах ученых XVII в., можно судить лишь о его
генезисе, о начальной стадии его осмысления. По-видимому, даже
Ньютон не сумел подняться над этим ограниченным уровнем
трактовки принципа возможных перемещений. Действительно,
упоминая о нем во введении к «Началам», Ньютон рассматривает
его только применительно к простым машинам для случая
действия двух сил, когда направления возможных перемещений точек
их приложения совпадают с направлениями сил.
Подлинную историю возникновения принципа возможных
перемещений, по существу, следует начать с 1717 г., когда Иоганн
Бернулли в письме к Вариньону сформулировал «закон
виртуальных скоростей» как общий закон равновесия [29]. Лангранж
[79] считает, что И. Бернулли первым понял большую общность
принципа возможных перемещений и успешно применил его к
решению задач статики. Лагранж пошел значительно дальше
Бернулли. Ему принадлежит первая попытка обоснования принципа
возможных перемещений [81].
Обратимся к его рассуждениям. Лагранж формулирует
принцип возможных перемещений следующим образом: «Если какая-
либо система любого числа тел или точек, на каждую из которых
действуют любые силы, находится в равновесии, и если этой
системе сообщить любое малое движение, в результате которого
ка>кдая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий
е виртуальную скорость, то сумма сил, помноженных каждая
ответственно на путь, проходимый по направлению силы точ-
и> к которой она приложена, будет всегда равна нулю, если
НьЛые пУти, проходимые в направлении сил, считать положитель-
0 и' а проходимые в противоположном направлении считать
^^рицательными» [79, с. 42]. Лагранж, как и многие его последо-
рая»ЛИ 'в т°м числе и М. В. Остроградский), пользуется для вы-
вРемНИЯ Ра^оты силы термином «момент силы» (в настоящее
я этот термин имеет совершенно другой смысл), Ш. Кулон —
47

термином «количество действия», Л. Карно — термином
«механическая мощность», «динамический эффект» и т. д. [4^1].
Для обоснования сформулированного им принципа возможных
перемещений Лагранж обращается к теории полиспастов,
называя используемый им первоначальный принцип «принципом
блоков». Что же касается понятия виртуальной скорости
(перемещения), то Лагранж понимает его в смысле действительной
скорости (перемещения), получаемой механической системой при
нарушении условий равновесия2. Лагранж рассматривает
комбинацию двух полиспастов — подвижного и неподвижного,
охваченных одной и той же нитью, один конец которой закреплен
неподвижно, а другой находится под действием некоторой силы,
отношение которой к весу груза, висящего на подвижном
полиспасте, равно отношению единицы к числу витков нити,
накручивающихся на него. Предполагается, что все витки параллельны
и лишены трения и жесткости, т. е. связи идеальные. Поскольку
натяжение нити по всей длине одинаково, то груз
поддерживается силой, равной произведению силы натяжения нити на число
ее витков, если принять, что диаметры блоков бесконечно малы.
Это рассуждение можно применить к любому числу подвижных
и неподвижных полиспастов, охваченных одной и той же нитью,
а для простоты упомянутую выше силу заменить грузом и через
неподвижный блок перебросить последний виток нити,
поддерживающей единичный груз. Кроме того, различные подвижные
полиспасты можно прикрепить к телам, рассматриваемым в качестве
точек и размещенным таким образом, чтобы они образовали
любую заданную механическую систему, ограниченную
двусторонними идеальными стационарными голономными связями.
Очевидно, что один и тот же груз при посредстве нити, охватывающей
все полиспасты, будет вызывать различные силы, приложенные
к различным точкам рассматриваемой материальной системы,
каждая из которых будет действовать по направлению нитей,
обвивающих полиспаст, прикрепленный к соответствующей точке,
и равна произведению веса груза на число витков нити. Для
сохранения равновесия системы необходимо, чтобы при любом ее
элементарном перемещении груз не опускался. Действительно,
пишет Лагранж, груз всегда стремится упасть, поэтому, если
имеет место такое перемещение системы, которое допускает его
падение, он необходимо сам опустится и вызовет в системе
данное перемещение.
Анализируя доказательство принципа возможных
перемещений, данное Лагранжем, следует заметить, что его допущение о
нерастяйшмости нити и отсутствии трения соответствует идеаль-
2 «Под виртуальной скоростью,— пишет Лагранж [79],— следует понимать
скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять v
тот момент, когда равновесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тело
фактически получило бы в первое мгновение своего движения». Такая
трактовка может быть оправдана только в случае стационарных связей,
которые Лагранж и рассматривает.
48

У характеру связей. Что же касается соизмеримости или несо-
П меримости сил, то это несущественно (как указывает сам ав-
^о) ибо эти силы всегда можно представить в форме, соответ-
Т яующей числу витков, с любой степенью точности. В учебнике
с теоретической механике Т. Леви-Чивита и У. Амальди [434]
рсколько уточняется доказательство Лагранжа достаточности
Условия равновесия системы, выраженного общим уравнением
статики. Следуя П. Аппелю, можно допустить, что система под
пействием единичного груза начинает двигаться из состояния
покоя. Тогда по крайней мере в ближайшем интервале нить будет
направлена по общей касательной неподвижного блока и
соответствующего ему подвижного. Следовательно, существует
действительное перемещение (а при стационарных связях это
перемещение является одним из возможных), для которого нарушается
общее уравнение статики вопреки предположению о его
справедливости.
Хотя доказательство Лагранжа носит интуитивный характер,
В. Л. Кирпичев [584] считает его наилучшим и наиболее
убедительным из всех существующих. В этом доказательстве, по
мнению Кирпичева, с полной отчетливостью и ясностью выступают
все основные черты принципа — его сущность, значение понятия
возможного перемещения системы для изучения ее равновесия,
исключение реакций идеальных связей, методика применения
принципа в частных случаях.
Доказательство Лагранжа представляет большой интерес с
точки зрения применения принципа возможных перемещений к
исследованию равновесия машин и механизмов. И это
естественно, потому что принцип возможных перемещений впервые
сформулирован при изучении равновесия простых машин, и поэтому
первые доказательства говорят о его происхождении.
В 1806 г. в журнале Парижской политехнической школы были
опубликованы еще два варианта доказательства принципа
возможных перемещений, принадлежащие Пуансо [89] и Амперу [88].
Они существенно отличаются от доказательств Лагранжа и уже
весьма близки к тем вариантам обоснования принципа, которые
встречаются в современных учебниках. Пуансо и Ампер исходят
из условий равновесия сил, приложенных в одной точке, т. е.,
в сущности, опираются на аксиому о параллелограмме сил.
Можно отделить друг от друга точки, составляющие систему, т. е.
мысленно устранить связи системы, заменив их силовыми экви-
алентами — активными силами, геометрически равными
реакциям связей, иначе говоря, ввести в рассмотрение аксиому об
свобождешш от связей. Тогда можно изучать равновесие каждой
чки в отдельности, приравняв к нулю равнодействующую всех
^иствующих на нее сил. Но тогда и работа этой
равнодействующи силы на любом возможном перемещении рассматриваемой
1г 1Кц системы будет равна нулю. Следовательно, будет равна
д К) сумма работ составляющих сил. Написав такие уравнения
всех точек системы, сложив эти уравнения и приняв во
За«аз Кя 1377
49

внимание идеальный характер связей, можно получить искомое
общее уравнение статики. Таким образом, в доказательствах ц
Пуансо, и Ампера используется аксиома о параллелограмме сил.
В этих доказательствах можно усмотреть и ссылку на аксиому
о наложении новых связей, в частности на аксиому о
затвердевании системы. Явное или неявное использование этих аксиом
мы находим и в других доказательствах принципа возможных
перемещений, предложенных различными учеными XVIII—-
XIX вв.
Ж. Б. Фурье [80] в 1798 г. обобщил принцип возможных
перемещений на случай односторонних связей. М. В. Остроградский
[137] расширил границы применимости этого принципа,
рассмотрев необходимые и достаточные условия равновесия системы,
ограниченной односторонними и двусторонними линейными него-
лономными связями первого порядка.
Известные доказательства принципа возможных перемещений
относятся к дискретным системам материальных точек. Чтобы
применить этот принцип к сплошной среде, его следует
рассматривать как первоначальное аксиоматическое положение, которое
нуждается в согласовании с опытом. В этом смысле и нужно
понимать решение некоторых задач, в которых Лагранж [79] и
Остроградский [137] применяют этот принцип к исследованию
равновесия жидкостей.
Остановимся вкратце на принципе Д'Аламбера. Этот принцип
занимает в динамике такое же основополагающее место, как
принцип возможных перемещений (или, как его позднее начали
называть, принцип Лагранжа) в статике [79, 491, 501, 593, 670, 685,
776,885,894].
Начальный этап исследований в этом направлении связан с
работами Я. Бернулли [25], Я. Германа [27] и Л. Эйлера [34].
Якоб Бернулли на основе трудов своих предшественников Р.
Декарта, Ж. Роберваля и Ж. Ф. Лопиталя, а также своих
собственных исследований 1684, 1686 и 1691 гг. пришел к мысли о том,
что можно действительно рассматривать реальные движения тел,
составляющих маятник, как сложные движения. Они состоят из
движений, сообщаемых силой тяжести, и взаимно
уничтожающихся «потерянных» движений, причина которых — наличие
связей. Таким образом, задача динамики была сведена к статике.
В этой идее Я. Бернулли Лагранж усматривал зерно будущего
принципа Д'Аламбера [79].
В своей «Форономии» [27] (1716) ученик Я. Бернулли
Герман, решая ту же задачу об определении центра качаний
сложного физического маятника, высказал мысль о том, что движущиг
силы, действующие на образующие маятник тела, эквивалентны
силам, которые вызывает сила тяжести [79].
Эйлеру (1743—1746) принадлежит заслуга обобщения идеи
Германа при исследовании движения различного рода
несвободных механических систем (колебания упругих тел, движения
систем при наличии жестких и гибких связей, движения связанных
50

рдЬ1Х тел, движения жидкости по подвижным трубам и т. д.).
Таким образом, Эйлер придал этой идее характер общего
принципа механики.
Принцип Германа—Эйлера (или «Петербургский» принцип,
к ег0 иногда называют) можно рассматривать как объединение
Ь сиомы об освобождаемое™ от связей со вторым законом Иьюто-
га Этот принцип в динамике несвободных систем имеет такой
же общий основополагающий характер, как и второй закон
Ньютона в динамике свободной материальной точки.
Наконец, в 1743 г. Д'Аламбер [36] опубликовал общий
принцип механики, который в настоящее время излагается во всей
учебной литературе по механике.
Принцип Д'Аламбера состоит в том, что если несвободной
системе тел сообщить «потерянные» движения, то эти движения
взаимно уничтожаются и состояние равновесия тел при этом не
изменится. Само собой разумеется, что для применения принципа
Д'Аламбера к решению конкретных задач динамики системы или
твердого тела к нему необходимо присоединить какой-либо
статический принцип или условия равновесия рассматриваемого
материального объекта.
Во второй половине XIX столетия в формулировку принципа
Д'Аламбера вводится известное со времен Кеплера и Ньютона
понятие силы инерции [163, 201].
Объединив принцип Д'Аламбера с принципом возможных
перемещений, Лагранж [79] получил повый общий динамический
принцип механики, который он представил в обобщенных
координатах (теперь этот принцип называется принципом
Д'Аламбера—Лагранжа). В случае двусторонних идеальных связей это
соотношение переходит в «общее уравнение динамики». Лагранжу
принадлежит формулировка этого принципа, как и принципа
возможных перемещений, только для систем с двусторонними
стационарными голономными идеальными связями. Для систем
с односторонними, нестационарными и линейными неголономными
связями первого порядка принцип Д'Аламбера—Лагранжа
обобщил Остроградский [137]. При этом он пользовался
дифференциалами неголономных координат. Таким образом, понятие
квазикоординат, введенное в механику Эйлером, занимает в
исследованиях Остроградского прочное место.
В 1829 г. К. Ф. Гаусс [114] установил новый общий
дифференциальный принцип механики, отличный от принципа Д'Алам-
ера—Лагранжа. Исходя из принципа Д'Аламбера—Лагранжа,
Рассматривая систему, ограниченную двусторонними (или одно-
°ронними) голономными стационарными идеальными связями,
аУсс дал обоснование установленного им нового принципа наи-
ньглего принуждения. Из принципа Гаусса могут быть выведе-
ло ВСе 0СН0В1Ше теоремы статики, в частности правило паралле-
грамма сил. Как и принцип Д'Аламбера—Лагранжа, принцип
р ^Сса можно выразить в обобщенных координатах. Принцип
Усса может быть получен из принципа Д'Аламбера—Лагранжа,
51
4*

если принять особое правило варьирования (варьирование ь
смысле Гаусса), и эквивалентен последнему в теории ^линейной
неголономной механики первого порядка. В 1875 г. принцип
наименьшего принуждения Гаусса был распространен И. И.
Рахманиновым на случай нестационарных связей [214].
На применимость принципа Гаусса к неголономным системам
с линейными и нелинейными связями впервые обратил внимание
П. Аппель (1899, 1911 — 1912) [762]. Таким образом, возникла
проблема обобщения понятия возможного перемещения в
принципе Д'Аламбера—Лагранжа с тем, чтобы дифференциальные
принципы Д'Аламбера—Лагранжа и Гаусса в области нелинейной
неголономной механики первого порядка были эквивалентны.
В 1899 г. независимо друг от друга оригинальную
модификацию принципа Гаусса установили Аппель [305] и Майер [306]
(принцип Аппеля—Майера). В некоторых случаях эта форма
принципа Гаусса может оказаться более эффективной, чем
обычная. Другую, чрезвычайно полезную для исследований по
аналитической динамике голономной и неголономной систем
модификацию принципа Гаусса в 1879 г. получил Гиббс [256] (принцип
Гаусса—Гиббса).
Исходя из принципа наименьшего принуждения Гаусса, Герп
[273] установил еще одну модификацию этого принципа, которую
в современной литературе называют принципом Герца (или
принципом Гаусса—Герца). Он состоит в том, что среди всех
кинематически возможных траекторий действительная траектория
обладает наименьшей кривизной.
В 1916 г. принцип Гаусса получил обобщение в исследованиях
Е. А. Болотова [419], который доказал обобщенный принцип
Гаусса (принцип Маха—Болотова) для двусторонних и
односторонних линейных неголоиомыых связей первого порядка. Ему же
принадлежит решение вопроса об определении условий
освобождения от односторонних связей.
Рассматривая параметрическое освобождение системы от
связей, в которой параметры при освобождении могут менять свои
геометрический смысл, Н. Г. Четаев [469] в 1932 г. доказал, что
принцип Маха—Болотова остается справедливым и в случае,
если система стеснена нелинейными неголопомными связями
первого порядка при надлежащем обобщении понятия возможных
перемещений (так называемые системы Четаева). В 1945 г.
Н. Е. Кочин [540] предложил новый способ освобождения
системы от связей, позволяющий сохранить геометрический смысл
обобщенных координат и рассматривать возможные перемещения
данной несвободной системы как подмножество возможных
перемещений системы, полностью или частично освобожденных от
связей. Исследование Кочина также посвящено нелинейным
неголономным системам первого порядка типа Четаева.
Выше было указано, что при переходе от линейных неголо-
номных связей первого порядка к нелинейным теряет силу
основной принцип аналитической механики — принцип Д'Аламбера--
52

т гранта, но продолжает быть правомерным принцип наимень-
рго принуждения Гаусса. Оказывается, что при надлежащем
^общении понятия возмЬжных перемещений, соответствующем
°°стемам типа Четаева, указанные дифференциальные принципы
С рханики становятся эквивалентными в пределах нелинейной ые-
олономной механики первого порядка. Решение этой проблемы,
Скрывшей перспективу дальнейшего развития динамики неголо-
томных систем с нелинейными связями первого порядка,
принадлежит Н. Г. Четаеву [469] и А. Пшеборскому [471] (1932).
Поэтому соответствующий класс связей называют связями типа
Четаева—Пшеборского.
В 1938 г. Г. Гамель [512] показал, как следует обобщить
понятие возможных перемещений, чтобы принципы Д'Аламбера—
Лагранжа и Гаусса были эквивалентны между собой и
правомерны в пределах динамики механических систем с неголономными
связями второго порядка, нелинейными относительно скоростей
и линейными относительно ускорений.
В 1953 г. И. Цеыов [607], пользуясь полученными им
оригинальными динамическими уравнениями движения линейных него-
лономных систем первого порядка, получил своеобразную
модификацию принципа Аппеля—Майера. В 1958 г. А. Д. Билимович
[695] сформулировал новый дифференциальный принцип,
эквивалентный принципу Д'Аламбера—Лагранжа.
* Интегральные принципы
Интегральные принципы в классической механике [492, 710, 727,
895, 919, 920] появились на основе оптико-механической аналогии,
которая в своей зародышевой форме была интуитивно
воспринята учеными еще в конце XVII в. В этом отношении характерно
следующее высказывание Пьера Ферма: «Подобно тому как
Галилей, когда рассматривал движение тяжелых тел в природе,
измерял отношения этого движения не столько расстоянием,
сколько временем, мы также рассматриваем не кратчайшие
расстояния или линии, а те, которые могут быть пройдены легче,
Удобнее и за более короткое время» [264]. Здесь речь идет о
принципе кратчайшего времени, который Ферма положил в
основу своего исследования закона преломления света. Аналогичную
3^дачу в механике сформулировал Ньютон: какую форму надо
придать твердому телу вращения, движущемуся вокруг оси, для
того, чтобы испытываемое им сопротивление было
наименьшим. [20]. Он же дал и решение этой задачи. Несколько позже
• ьернулли [23] предложил свою знаменитую задачу о брахи-
°хроне: найти вид кривой наибыстрейшего спуска тяжелой ча-
ицы из одной точки к другой, если эти точки расположены в
ртикальной плоскости на разных высотах. Эту задачу решили
• Ьернушш^ Лейбниц, Ньютон, Я. Бернулли и Лопиталь. В про-
д Ссе ее решения выявилась оптико-механическая аналогия меж-
бпя кРИвизн°й луча света в непрерывно изменяющейся среде и
^хистохронной кривой.
53

Трудность создания интегральных вариационных принципов
состоит в определении «действия», т. е. величины, которая в
рассматриваемом процессе должна принимать экстремальное
значение. Очень близко к установлению интегрального принципа
механики подошел Лейбниц [895], однако впервые принцип
наименьшего действия сформулировал П. Л. Мопертюи [38] в 1744 г.
Мопертюи считал его универсальным законом природы [35].
Согласно этому принципу всякое движение происходит таким
образом, что «количество действия» (произведение количества
движения mv на проходимой частицей путь s) сохраняет минимальную
величину. Этот принцип в равной степени относится к
геометрической оптике и к механике. Мопертюи обосновал его с помощью
метафизических и теологических доводов и пытался найти в нем
новые аргументы в пользу существования бога как творца
целесообразных законов природы. Это вызвало возражения со стороны
Д'Аламбера, Вольтера и др., которые считали допустимым в
науке исходить исключительно из причинной обусловленности
явлений природы, а не из соображений теологии.
Под влиянием своего учителя И. Бернулли Эйлер в 1728 г.
нашел общее решение задачи об определении кратчайшей кривой
между двумя заданными точками на произвольной поверхности,
а в дальнейшем (1732, 1736) опубликовал ряд работ,
относящихся к исследованию и решению изометрической задачи. В 1744 г.
Эйлер публикует «Метод нахождения кривых линий, обладающих
свойствами максимума или минимума, или решение изоперимет-
рической задачи, взятой в самом широком смысле» [37]. В ней
подведены итоги его многолетних исследований в этой области.
В приложении к этой книге Эйлер установил принцип
наименьшего действия для движущейся материальной точки, состоящий
в том, что для действительной ее траектории в отличие от всех
кривых, заключающихся между теми же пределами, интегралы
вида (действия)
s2 U
5 mvds = 2 \Т dt (1)
будут иметь наименьшее значение. В этой же работе Эйлер
обобщил этот принцип на свободную материальную систему,
движущуюся под действием центральных сил. В работе Эйлера
фигурируют оба указанных варианта принципа, в которых действие
соответственно содержит суммирование по дугам траекторий точек
системы и по времени (обычно Эйлеру приписывают только
первый вариант).
Эта работа Эйлера имеет чрезвычайно важное значение в
истории механики. Установив независимо от Мопертюи принцип
наименьшего действия, он придал ему правильную аналитическую
форму, рассматривая не конечные (как Мопертюи), а бесконечно
малые перемещения. Поэтому в литературе по механике и физике
этот принцип называется принципом Эйлера—Мопертюи.
54

Дальнейшее развитие вариационного исчисления вообще и
пиационных принципов механики в частности принадлежит
ТГагРаН>кУ [64]. Лагранж обобщил принцип Эйлера на случай
консервативных систем с двусторонними стационарными связями.
Ьат0Т принцип,— говорит Лагранж,— будучи соединен с
принципом живых сил и развит по правилам вариационного исчисления,
лает тотчас же все уравнения, необходимые для разрешения
каждой проблемы» [79]. Таким образом, значение его Лагранж
усматривает лишь в возможности использования как метода
составления уравнений механики, считая его следствием других
принципов механики. В этом смысле Лагранж сужает значимость
иринцида наименьшего действия, отрицая его фундаментальный
характер и подчеркивая формализм его аналитической структуры.
Этой точки зрения после Лагранжа придерживались также
Лаплас, Л. Карно и Пуассон. Лаплас (1809) использовал принцип
Эйлера—Лагранжа для решения задачи о двойном преломлении
света, Л. Карно (1803) с его помощью построил теорию удара,
а Пуассон (1837) установил связь с этим принципом некоторых
полученных им результатов на основании метода вариации
произвольных постоянных [727]. В 1815 г. О. Родригес [727] показал,
как из принципа наименьшего действия можно получить
динамические уравнения Лагранжа второго рода, пользуясь при этом
методом неопределенных множителей.
Выше было отмечено, что при формулировке своего принципа
Лагранж считал приложенные к точкам системы силы
консервативными. Это значит, что при движении системы имеет место
закон сохранения механической энергии. Поэтому принцип
Эйлера—Лагранжа можно выразить в форме равенства нулю изоэнер-
гетической вариации от действия (1) по Лагранжу. Принцип
Эйлера—Лагранжа фактически является принципом не
наименьшего, а стационарного действия, поскольку обращение в ноль
первой вариации означает лишь необходимое, но не достаточное
условие экстремума соответствующего интеграла. Действие по
Эйлеру—Лагранжу принимает именно минимальное значение,
если конечная точка интервала лежит на траектории перед
кинетическим фокусом начальной точки. Если же фокус начальной
точки лежит перед конечной точкой интервала, то действие не
оудет ни максимальным, ни минимальным.
XIX столетие своим вкладом в развитие классической
механики не уступает своему предшественнику — XVIII столетию.
Характеризуя аналитическую механику XIX в., следует прежде
?£его назвать С. Пуассона, У. Гамильтона, К. Якоби и
• В. Остроградского, которые существенно обобщили идеи своих
редщественников XVIII в. и заложили фундамент новой
механики - механики XIX в.
В первые десятилетия XIX в. появились важные исследования,
та °?дЩ;иеся к интегральным принципам. У. Гамильтон в рабо-
По ^~~"1830 гг. построил волновую теорию света, которая, как
3}^е он установил (1834—1835), тесно связана с динамикой.
55

Это позволило ему сформулировать новый общий интегральный
принцип механики (принцип Гамильтона). Этот принцип, как и
канонические уравнения динамики (уравнения Гамильтона), он
получил для свободной материальной системы, подверженной
действию консервативных сил.
Новый этап в развитии аналитической механики составляют
исследования Якоби. Результаты этих исследований в
систематическом виде изложены в «Лекциях по динамике», которые Якоби
прочитал в Кенигсбергском университете в 1842 г., но которые
были изданы лишь в 1866 г., после его смерти. Якоби обобщил
принцип Гамильтона
и
d^Ldt=0
h
на случай систем с двусторонними идеальными голономными
связями при наличии силовой функции £/, явно зависящей от
времени. При формулировке принципа Гамильтона следует иметь в
виду, что в нем рассматривается не изоэнергетическая вариация,
как в принципе Эйлера—Лагранжа, а изохронная вариация.
Однако, как и в принципе стационарного действия
Эйлера—Лагранжа, варьирование должно производиться при фиксированных
граничных положениях системы. Вместо удвоенной кинетической
энергии системы в выражение действия, по Гамильтону, входит
функция Лагранжа L = T+U (кинетический потенциал системы).
Якоби указал новый вывод уравнений Гамильтона,
распространив их на любые несвободные материальные системы указанного
вида, а также на случай неконсервативных сил. Ему
принадлежит ряд теорем, относящихся к характеристической функции; он
рассмотрел случай наличия циклических координат в
канонических уравнениях динамики и показал, что при этом появляется
возможность понижения порядка системы. Независимо от
Пуассона он доказал теорему о возможности получения нового первого
интеграла механических задач с помощью скобок Пуассона над
двумя другими первыми интегралами. Ему принадлежит
знаменитая теорема об эквивалентности канонической системы
уравнений динамики одному определенному уравнению в частных
производных первого порядка. Впервые в истории механики он
поставил вопрос о классификации интегралов канонической системы.
Это привело Якоби к идее аналитического описания общих
интегралов задач динамики, соответствующих законам сохранения.
Он построил новую теорию возмущений, опираясь на
разработанный им метод решения канонических уравнений путем
нахождения полного интеграла уравнения Якоби в частных
производных.
Указанные Гамильтоном условия для определения главной
функции очень сложны. В мемуаре 1848 г. «Об интегралах общих
уравнений динамики» [155], рассматривая движения несвободной
системы с голономными идеальными двусторонними и нестацио-
56

парными (реономными) связями при наличии консервативных
нестационарных сил, Остроградский доказал фундаментальную
теорему об определении общего интеграла канонических уравнений
Гамильтона при помощи дифференцирования полного интеграла
известного уравнения в частных производных первого порядка,
полученного Гамильтоном в 1835 г. В этой же работе Остроград-
ский дал вывод канонических уравнений для несвободной
системы при наличии идеальных нестационарных голоыомных
двусторонних связей и силовой функции, явно зависящей от времени.
Так возникла новая существенная страница в аналитической
механике Эйлера—Лагранжа, связанная с каноническими
уравнениями динамики и методами их интегрирования [812].
Основы этой новой механики, которая в зарубежной
литературе именуется гамильтоновой, создали Гамильтон, Якоби и Остро-
градский. В работе Остроградского «Мемуар о дифференциальных
уравнениях, относящихся к изопериметрической проблеме» (1848),
мы находим обобщение указанных ранее результатов. Он показал,
что дифференциальные уравнения любой вариационной задачи с
одной независимой переменной и функционалом, содержащим
произвольное число функций и их производные какого угодно
порядка, могут быть приведены к канонической форме. Тем самым
гамильтонова механика включает как частный случай любую изо-
периметрическую проблему, содержащую динамические задачи.
В этой же работе Остроградский изложил метод вариации
произвольных постоянных в применении к теории возмущений.
Представляет также интерес начатая Остроградским и продолженная
его учениками (Ф. А. Слудским, 1867; И. Д. Соколовым, 1870;
О. И. Сомовым, 1870; Д. К. Бобылевым, 1889; В. П. Ермаковым,
1891 ; Г. К. Сусловым, 1891 и др.) критика Лагранжа по поводу
установленного им интегрального принципа стационарного
действия, известного в литературе под названием интегрального
принципа Лагранжа. Дискуссия оказалась весьма полезной:
выяснилось, что в основе интегральных принципов Лагранжа и
Гамильтона лежат, как указано выше, различные законы варьирования
соответствующих функций. Остроградскому и Якоби принадлежит
обобщение принципа Гамильтона на случай нестационарных
связей и неконсервативных сил. Однако при таком обобщении
теряется вариационный характер этого принципа.
Выше указывалось, что принципы Эйлера—Лагранжа и
Гамильтона—Остроградского к концу XIX в. были обоснованы
исключительно в применении к голономным системам. Неправомер-
^сть применения интегральных принципов механики, в частности
пРинципа Гамильтона—Остроградского, выраженных в классиче-
кои форме, к неголономным системам впервые отметил в 1894 г.
• *еРЦ [273]. В результате его исследований выяснилось, что в
Учае неголономных механических систем кривые сравнения не
°гут служить кинематически возможными траекториями. В ка-
стве примера Герц приводит движение шара, который катится
Инерции без скольжения по твердой горизонтальной плоскости.
57

и показывает, что при таком движении принцип Гамильтона—
Остроградского несостоятелен. /
Желая подчеркнуть своеобразный характер материальных
систем, подчиненных неинтегрируемым дифференциальным
уравнениям, Герц ввел специальные термины «голономные» и
«неголономные» связи, «голономные» и «неголономные» системы. «Это
название означает,— писал он,— что система должна
подчиняться интегральным законам, в то время как вообще материальная
система подчиняется только дифференциальным законам» [273,
с. 95].
Итак, по мнению Герца, интегральные вариационные
принципы, в частности принцип Гамильтона—Остроградского,
примененные к решению задач о чистом качении твердого тела,
приводят к неверным фактическим результатам. С другой стороны,
если рассматривать вопрос о применимости принципа
Гамильтона — Остроградского к задаче о качении шара без скольжения по
неподвижной плоскости, появляется противоречие. Это
противоречие состоит в том, что шар в соответствии с указанным
принципом может переместиться из одного заданного положения в
другое по инерции, а в действительности такой переход невозможен.
Как уже указывалось, Герц заметил, что это противоречие, быть
может, объясняется отсутствием, строго говоря, в природе
чистого качения. Однако он хорошо понимал, что это не противоречие
между теорией и экспериментом, а что оно вытекает из
противоречивых следствий из различных положений самой теории.
Поэтому Герца не могла удовлетворить ссылка на опыт. В конечном
счете Герц пришел к выводу, что принцип
Гамильтона—Остроградского в классической трактовке неприемлем для случая него-
лономных систем.
Глубокое исследование вопроса о применимости интегральных
вариационных принципов механики к неголономным системам
принадлежит О. Гельдеру [288]. Гельдер подверг критике
позицию Герца и показал ее ограниченность. Он указал, что
интегральные вариационные принципы механики эквивалентны
принципу Д'Аламбера—Лагранжа, и если принцип Д'Аламбера—
Лагранжа применим к неголономным системам, то такое же
всеобщее значение должны иметь интегральные вариационные
принципы механики. Обобщая понятие варьированного движения,
он установил обобщенный интегральный вариационный принцип
механики (принцип Гельдера) в виде:
и
$[2Г<Ш + (6Г + 8A)dt]= 0.
to
Из него при специализированных способах варьирования
(изохронном и изоэнергетическом) как частные случаи вытекают
принцип Гамильтона—Остроградского и две формы (обычная и
расширенная) принципа наименьшего действия Лагранжа. Под
расширенной формой принципа Лагранжа Гельдер понимает та-
58

-ой ег0 ваРиант> когда разность между величинами кинетических
ь ерГИй системы для соответствующих состояний сравнимых
движений равна сумме работ активных сил на соответствующем воз-
ю^яом перемещении. В смысле применимости к неголономным
\стемам принципы Гельдера, Гамильтона—Остроградского и
Яагранжа (в расширенной форме) эквивалентны принципу
тгДламбера—Лагранжа. Однако переход от принципа
Гамильтона —Остроградского к принципу Лагранжа невозможен, так как
ахим принципам соответствуют различные специализированные
системы варьирования.
При классической трактовке понятия вариации в смысле
Лагранжа варьированное движение является кинетически возможным
движением. Для стационарных голономных систем такой подход
к выбору кривых сравнения допустим, ибо в этом случае всегда
можно осуществить взаимно-однозначное соответствие между
множеством варьированных конфигураций системы и
множеством возможных перемещений из данного положения. Однако для
неголономных систем такое соответствие, существенно
необходимое для получения интегральных вариационных принципов
механики, осуществить нельзя, так как в этом случае возможных
смежных положений много больше, чем возможных перемещений.
Чтобы выйти из создавшегося тупика, Гельдер (в
противоположность Герцу) не отказался от интегральных вариационных
принципов в неголономной механике, а пошел по пути обобщения
понятия вариации.-Он утверждал, что в случае голономных связей
смежная кривая может и не быть отрезком траектории системы,
а в случае неголономных связей она вообще является
кинематически невозможной траекторией. Итак, при возникшей после
исследований Герца альтернативе — либо отказаться вообще от
применения интегральных вариационных принципов в
неголономных системах (как это сделал Герц), либо построить
соответствующим образом обобщенные интегральные принципы
механики — Гельдер пошел по второму пути. Он показал, что если
отказаться от требования, чтобы смежные кривые были
кинематически возможными, и принять как обычно условие неварьи-
руемости начального и конечного положений системы, а
перемещения из каждого положения действительного движения считать
виртуальными, то имеет место указанный выше общий
интегральна вариационный принцип механики (принцип Гельдера). Этот
принцип справедлив как для голономных, так и для линейных
Неголономных связей первого порядка (склерономных и реоном-
Ь1хг однородных и неоднородных). Если дополнительно потребо-
ать, чтобы вариации были изохронными или изоэнергетическимиу
0 принцип Гельдера соответственно преобразуется в
обобщение принципы Гамильтона—Остроградского и Лагранжа, которые,
ак и принцип Гельдера, применимы как для голономных, так и
^я Неголономных систем. Эти две различные интерпретации по-
р тия варьированного движения, которыми пользовались Герц и
ЛьДер (мы их будем называть классической и неклассической),
59

в сущности, и определили дальнейший ход развития интеграла
ных принципов неголономной механики. /
Из числа пропагандистов точки зрения Герца прежде всего
следует назвать А. Пуанкаре и П. Аппеля. Пуанкаре [293] дал
оригинальное доказательство неголономного характера задачл
Герца о качении шара по неподвижной плоскости без
скольжения, показав, что варьированная кривая, совместимая с неголо-
номными связями, не является кинематически возможной
траекторией шара. Вслед за этим, трактуя понятие вариации в
классическом смысле, он исключил принцип
Гамильтона—Остроградского из неголономной механики.
Аппель [299], доказав эквивалентность принципа
Гамильтона—Остроградского и уравнений Лагранжа второго рода и указав,
что они неприменимы в динамике неголономных систем, также
подтвердил классическую точку зрения.
В дальнейшем в пределах концепции Герца, естественно,
возникла проблема сохранения интегральных принципов в
аналитической механике неголономных систем. Эту проблему в начале
XX в. успешно решили П. В. Воронец, Г. К. Суслов, С. А.
Чаплыгин и др.
В направлении неклассической концепции Гельдера
интегральные принципы неголономной механики получили свое
дальнейшее развитие в исследованиях А. Фосса [322], Г. Маджи [330],
М. Рети [352], Ф. Журдена [350], Г. Брелля [409], Г. Гамеля
[348,349] и др.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕХАНИКИ
* Уравнения Лагранжа второго рода
Новый этап в развитии механики связан с именем Лагранжа,
который вывел динамические уравнения движения материальной
системы первого и второго рода1. Уравнения Лагранжа первого
рода содержат множители связей и могут быть составлены как
для голономной, так и для неголономной систем. Особое
значение имеют уравнения второго рода. Эти уравнения в общем
случае голономной материальной системы с п степенями свободы,
1 Эти уравнения Лагранж впервые поместил в своей работе [64] в 1760 г.
В первом издании (1788) «Аналитической механики» [79] имеется
полный вывод уравнений Лагранжа первого и второго рода, которым оп
придал почти современный вид.
60

оаничениой двусторонними идеальными связями, можно
напить в виде
Lj{T) = Qj, Ь,= ±±-± а=1,2 Л). (1)
Существенное достоинство этих уравнений заключается в том,
чТ0 они составлены в обобщенных координатах. Это позволяет
решить две задачи: определить закон движения голономной
системы (с ограниченным числом степеней свободы) и определить
реакции идеальных двусторонних связей. При этом обобщенные
силы Qj характеризуют действующие на точки системы
активные силы, a Lj(T) —силы инерции, где Т — кинетическая
энергия системы. В случае нестационарных связей кинетическая
энергия системы может быть представлена в виде трех
слагаемых — однородных функций обобщенных скоростей соответственно
нулевой, первой и второй степеней с коэффициентами,
зависящими явно от времени, и обобщенных координат. При
стационарных связях кинетическая энергия Т сводится к своей
квадратичной части с коэффициентами, зависящими только от
обобщенных координат. Динамику, опирающуюся на уравнения Лагранжа
второго рода, иногда называют лагранжевой динамикой, а
обобщенные координаты и обобщенные скорости — переменными
Лагранжа.
Если приложенные к системе активные силы консервативны,
вводят в рассмотрение так называемый кинетический потенциал
или функцию Лагранжа L, равную сумме кинетической энергии и
силовой функции. При этом запись уравнений (1) упрощается,
выражая равенство нулю операторов Лагранжа Lh выполненных
над функцией Лагранжа. По отношению к обобщенным скоростям
кинетический потенциал представляет целую рациональную
квадратичную функцию. В отличие от динамических систем иногда
рассматривают обобщенные лагранжевы системы, которые также
описываются уравнениями, выражающими обращение в ноль
операторов Lj. Но в этих уравнениях кинетический потенциал
является не квадратичной, а произвольной функцией обобщенных
скоростей qj при условии отличного от нуля гессиана (такая
система называется нормальной).
При решении динамических задач часто сталкиваются со
случаями, когда функция Лагранжа не содержит явно некоторых
координат ?г(г=1, 2,..., к) (эти координаты называются
циклическими). Очевидно, что в этих случаях система уравнений
Д£)=0 допускает первые интегралы dL/dqr = cr. В 1877 г.
• Раус показал [213, 230, 185], что на основании этих первых
Ш1тегралов, вводя функцию R = L—qrdL/dqr (эта функция по-
* ЧИла в дальнейшем наименование функции Рауса), можно по-
*анть порядок системы на к единиц, в результате чего мы по-
^УЧ1щ систему п—к дифференциальных уравнений, выражающих
Ращение в ноль оператора Лагранжа Lh выполненного над
функцией Рауса. В отличие от системы Ь,{Ь) =0, в которой кн-
61

нетический потенциал состоит из двух частей, соответствующих
кинетической и потенциальной энергиям, функция Paycsj, уже ]ц>
обладает этим свойством. В нее входят линейные относительно
обобщенных скоростей члены. Благодаря преобразованию Раусц
задача об определении координат системы как функции времен ц
разбивается на две самостоятельные задачи. Сначала путем
интегрирования системы Lj(R)=0 находят нециклические
координаты, а затем циклические интегралы определяют из
соответствующих первых интегралов посредством квадратур2.
В 1900 г. Уиттекер [323] заметил, что интеграл энергии,
допускаемый системой Z/j(L)=0, дает возможность понизить число
степеней свободы системы п на одну единицу. Если
преобразованная таким образом система п—1 порядка имеет одну
циклическую координату, то этот порядок можно понизить еще на одну
единицу. Таким образом, если система имеет п—1 циклических
координат, то задача может быть решена в квадратурах.
В 1906 г. П. В. Воронец [366, 812] установил значительно
более общее по сравнению с преобразованием Рауса преобразование
системы уравнений Lj(L)=0. Преобразование Воронца можно
применить в том случае, когда дифференциальные уравнения
движения допускают к линейных относительно обобщенных скоростей
интегралов общего вида с коэффициентами, произвольно
зависящими от времени и обобщенных координат. Характерным для
этого преобразования является интерпретация интегралов как
связей, наложенных на систему. В результате преобразования
Воронца динамическая задача распадается на две независимые
задачи, первая из которых решается интегрированием п—к
совокупных дифференциальных уравнений второго порядка, а вторая —
интегрированием к уравнений первого порядка.
Были найдены определенные классы динамических задач,
которые решаются в квадратурах методом разделения переменных.
Наиболее важными из известных такого рода случаев
интегрируемости уравнений движения системы являются случаи,
указанные Ж. Лиувиллем [141] и П. Штеккелем [271]. Более общий
случай по сравнению со случаем Штеккеля был в дальнейшем
указан Н. Д. Моисеевым [415] для классов задач, для которых
кинетическая энергия является неоднородной функцией второй
степени специального вида. В 1881 г. Г. Морера [222] определил
все типы динамических задач с двумя степенями свободы, которые
интегрируются методом разделения переменных. Классификации")
таких задач с тремя степенями свободы в 1908 г. составил
Ф. Даль-Аква [380]. В 1904 г. Леви-Чивита [351] ввел критерий
возможной классификации указанных задач с любым конечным
числом степеней свободы. В связи с тем что в случаях Лиувилля
2 Некоторые исследователи (Н. А. Умов, В. Томсон, Г. Герц, Л. Больцман)
полагали, что существование силового поля можно объяснить наличие1
«скрытых» движений, которые, в частности, порождают дополнительны^
обобщенные силы, обусловленные циклическими координатами.
62

цХгеккеля возможность решения задачи в квадратурах связана
существованием квадратичного относительно обобщенных
скороди первого интеграла, были исследованы условия, при которых
йфференциальные уравнения движения системы допускают
подобные интегралы. Леви-Чивита [294] установил, что интегралы
уравнений Lj (L) = 0, квадратичные относительно обобщенных
скоростей, могут встретиться в случае инерциального движения
материальной системы. Он показал также, что возможна
систематическая классификация подобных интегралов, из которой следует
существование рассматриваемых интегрируемых случаев,
отличных от известных на рубеже XX столетия. И действительно,
JK. Адамар [401] и П. Бургатти [400] в 1911 г. нашли новые
случаи интегрируемости уравнений движения системы, связанные
с наличием квадратичных относительно обобщенных скоростей
первых интегралов, из которых ранее известные вытекают как
частные случаи. Однако до настоящего времени не доказано, что
эти случаи интегрируемости являются наиболее общими [434,
812].
■* Канонические уравнения движения
Как известно, систему п дифференциальных уравнений Ц(Ь)=0
второго порядка при условии необращения в ноль гессиана можно
бесконечным числом способов заменить эквивалентной системой
дифференциальных уравнений первого порядка с 2п
неизвестными функциями. Для этого, кроме обобщенных координат, нужно
ввести в рассмотрение п дополнительных переменных,
представляющих независимые друг от друга функции от обобщенных
скоростей, которые могут содержать также время и обобщенные
координаты. Если взять в качестве вспомогательных неизвестных
функций обобщенные импульсы ph=dL/dqhl то соответствующая
искомая нормальная система дифференциальных уравнений
движения первого порядка будет иметь вид
<> = щ, Р>=-Щ-. 0 = 1.2,...,»), (2)
где функция Я, называемая функцией Гамильтона и равная
^РзЯз—£, зависит от так называемых переменных Гамильто-
н& — обобщенных координат и обобщенных импульсов, а в общем
случае также явно и от времени. Система уравнений движения в
Форме (2) носит наименование канонической системы уравнений
Динамики или уравнений Гамильтона. Эти уравнения впервые
Ь1ли получены Гамильтоном [124, 125, 127] в его исследованиях
^начала по оптике (1824), а затем по динамике (1834). Гамиль-
°н показал, что в рассмотренном им случае стационарных свя-
и Функцию Н можно интерпретировать как механическую энер-
10 системы, выраженную через канонические переменные.
д д~к°нчательное завершение составления канонической системы
Фференциальных уравнений динамики принадлежит Остроград-
63

скому [155], который обобщил эти уравнения на случай ыеста^
ционарных связей, а также показал, что все дифференциальные
уравнения вариационных задач с одной независимой переменно^
могут быть приведены к канонической форме.
В 1834—1836 гг. Якоби [133, 140] ввел понятие и построил
теорию последнего множителя, которая имеет важное значение ц
теории интегрирования дифференциальных уравнений [131, 145
812].
Оказывается, что частное двух последних множителей
некоторой системы дифференциальных уравнений первого порядка
является первым интегралом этой системы.
Развивая исследования ученых XVIII и XIX вв. (Эйлера, Ле-
жандра, Лагранжа, Пфаффа, Гамильтона, Якоби, Остроградского),
Софус Ли [209] в 80-х годах прошлого столетия создал теорию
контактных преобразований, которая играет большую роль в
геометрии и теории дифференциальных уравнений. С помощью
понятия контактного преобразования можно упростить формулировку
некоторых фундаментальных результатов, полученных Якоби
[134, 145] в 1837 — 1842 гг. в теории канонических уравнений
динамики. Якоби установил, что при контактном преобразовании
система канонических уравнений (2) переходит в другую систему
канонических уравнений с определенной функцией Гамильтона
K = K(Qh Pj). А это значит, что если данное контактное
преобразование таково, что Kdt есть полный дифференциал некоторой
функции от новых канонических переменных, то связывающие
обе системы переменных Гамильтона уравнения, в которых Qjy
Pj следует рассматривать как произвольные постоянные,
представляют собой общее решение уравнений движения (2). Контактные
преобразования называются также каноническими, поскольку они
сохраняют каноническую форму преобразуемой системы
уравнений.
Построенная А. Пуанкаре теория интегральных инвариантов
[262, 270] позволила глубже проникнуть в природу канонических
уравнений динамики, обнаружить ряд новых их свойств, а также
с новой точки зрения оценить уже известные теоремы. Он
установил, что всякая система дифференциальных уравнений имеет
бесчисленное множество абсолютных и относительных интегральных
инвариантов первого порядка. Теория интегральных инвариантов,
порядок которых равен порядку соответствующей системы диф-
ференциальных уравнений, тесно связана с теорией последнею
множителя Якоби.
В курсе лекций по аналитической механике, прочитанных в
Институте путей сообщения в 1836 г. [128], Остроградский
показал, что если найден один интеграл уравнений движения, не
зависящий от интеграла энергии, то задача решается в квадратура*-
В 1836—1837 гг. Якоби опубликовал ряд мемуаров [130,
133, 134] по вопросу об интегрировании уравнений динамик»и
Гамильтон еще раньше Остроградского и Якоби, в 1834—1835 Л"
представил систему дифференциальных уравнений движения 3
64

Карл Якоби
особой форме, называемой канонической [124, 127]. Он свел лаг-
ранжеву систему трех уравнений второго порядка к системе шести
Уравнений первого порядка. Однако первоначально практических
преимуществ по сравнению с лаграижевыми уравнения
Гамильтона не имели до тех пор, пока Якоби в 1836 г. не показал, что
Можно свести интегрирование канонических уравнений Гамиль-
т°на для случая свободной системы точек к исследованию
некоторого уравнения в частных производных. Долгое время
считалось, что при всей важности открытия Гамильтона оно не
Могло иметь особого практического значения вследствие
сложности условий, поставленных им для определения главной функции
L^>о4]. Устранение недочетов исследований Гамильтона, излишних
граничений, тщательная разработка математических методов —
заслуга М. В. Остроградского и К. Якоби.
Важным моментом в истории механики явилось введение так
взываемых скобок Пуассона. Пуассон обнаружил, что эти вьт-
>Кения не зависят от времени. Остроградский отметил это, до-
3*каз М 1377
65

бавив, что по справедливости Пуассону должна принадлежать
большая часть заслуг в получении следствий, выведенных
другими из его принципов. Многие из этих следствий были получены
Остроградским, который считал независимость скобок Пуассона
от времени фундаментальным фактом динамики. Скобки
Пуассона оказались также инвариантными относительно канонических
преобразований, и поэтому уравнения движения могут быть
выражены с помощью скобок Пуассона.
Еще большую роль скобки Пуассона играют в квантовой
механике. П. Дирак воспользовался ими, чтобы построить уравнения
движения системы. Он ввел выражения, обладающие свойствами,
аналогичными свойствам скобок Пуассона, и с их помощью
построил квантовую теорию механических систем. Таким образом,
только теперь можно по достоинству оценить математическую
интуицию Остроградского.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ИСТОРИЯ
МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В XVIII ВЕКЕ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
НАСЛЕДИЕ XVII ВЕКА
-#■ формирование представления о неизменяемом
твердом теле до XVII века
Период развития механики в течение двух тысячелетий * от
античности до XVII в. в соответствии с низким уровнем развития
производительных сил, общественного способа производства,
техники и науки характеризуется весьма ограниченными
представлениями о движении и равновесии твердых и жидких тел, мерах
механического движения, закономерностях механики.
В элементарный период объектами научных исследований по
статике служили исключительно простые машины, которые
рассматривались как абсолютно твердые тела2. При изучении же
механического движения тела мыслились как материальные точки.
Поэтому в этом разделе мы рассмотрим только развитие
статики простых машин.
Еще к античной эпохе восходит зарождение и дальнейшее
развитие двух направлений в статике — кинематического и
геометрического. Кинематический подход в исследованиях по статике
характеризуется рассмотрением малых перемещений отдельных
точек тела, получаемых в результате нарушения его
равновесного состояния. Впоследствии, в XVIII в., кинематическое
направление привело к созданию принципа возможных перемещений и
пРинципа Д'Аламбера—Лагранжа, которые легли в основу по-
строения аналитической механики. Геометрическое же направление
РеДполагает отсутствие перемещений (тело рассматривается толь-
0 в состоянии равновесия). В трудах Вариньоыа, Пуансо и дру-
Их Этот подход послужил основой для построения
геометрической статики.
1 тт тт
Г;0Д- Моисеев этот период развития механики называет элементарным
2 ^ld92, с. 19].
tor известно, натурфилософская атомистика древности может трак-
а аться лишь как гениальная догадка, опытная проверка которой была
Эт 0зможна в связи с фактическим отсутствием в этот период научного
^спериментирования.
67
5*

Кинематическое направление в статике простых машин
отчетливо намечается уже в «Механических проблемах»
псевдо-Аристотеля. Рассматривая возможные перемещения конца рычага,
подверженного действию груза, в зависимости от длины плеча, автор
трактата приходит к выводу, что «движимый груз имеет к
движущему грузу отношение, обратное отношению длин плеч, ибо
всегда, чем далее нечто отстоит от точки опоры рычага, тем легче
оно двигает»3 [183]. Это — условие равновесия рычага,
понимаемого автором как прямой неравноплечий рычаг первого рода.
Статика рычага послужила опорным пунктом для разработки
статики других простых машин: полиспастов, блоков, воротов
и т. п. в работах позднейших ученых элементарного периода. Так,
изучая условия равновесия простых машин, Герон
Александрийский [587] (I в. н. э.) вплотную подошел к формулировке
«золотого правила механики», однако эта формулировка носила у него
еще весьма нечеткий характер. Идеи Аристотеля и Герона о
равновесии рычага были успешно восприняты и развиты учеными
средних веков Сабитом ибн Коррой (IX в.) и Иорданом Немора-
рием (XIII в.), а позже — учеными эпохи Возрождения
Леонардо да Винчи, Н. Тартальей, Дж. Кардано, Дж. Бенедетти,
С. Стевином, Гвидо Убальдо.
Одновременно с развитием кинематического направления шло
развитие геометрического направления, которое следует прежде
всего связать с именем Архимеда (287—212 гг. до н. э.). Он
создал основы геометрической теории равновесия твердого тела.
Еще в ранних работах Архимед ввел понятие центра тяжести:
«Центром тяжести некоторого тела называется некоторая
расположенная внутри его точка, обладающая тем свойством, что если
за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно останется в
покое и сохранит первоначальное положение» [1433, с. 70]. Это
геометрическое определение вполне соответствует современной
теории центра тяжести, излагаемой в учебниках по
теоретической механике.
Архимед определил центры тяжести параллелограмма,
треугольника, трапеции, более сложных плоских фигур (ограниченных
дугой параболы и прямой), конуса, системы двух и трех тел,
расположенных различным образом. Архимед доказал теоремы
существования и единственности центра тяжести твердого тела
произвольной формы. Таким образом, в сочинениях Архимеда
содержится вполне развитая теория центра тяжести твердых тел
двух и трех измерений и системы твердых тел. Из комментария
Евтокия (VI в.) известно, что именно Архимед ввел понятие
«центра момента» плоской фигуры (точки, при подвешивании за
которую фигура остается параллельной горизонту) и центра
момента нескольких фигур (центром момента двух или более пло-
3 По-видимому, автор хорошо понимал, что в законе равновесия рычага
определяющее значение имеет вертикальное перемещение его кон«а
(происходящее «согласно природе»), а не горизонтальное («насильствен
ное»).
68

кИх фигур он называет точку подвеса рычага, остающегося
параллельным горизонту, если прикрепить к его концам указанные
сЬигуры). Архимед подошел вплотную к понятию момента силы
^яосительно точки. Из его рассуждений следует, что действие
подвешенного груза к рычагу прямо пропорционально его весу и
расстоянию точки подвеса от точки опоры.
Архимед развивает теорию равновесия горизонтального
прямолинейного рычага, исходя из следующих аксиом. 1. Равные
тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же
длинах не уравновешиваются, но перевешивает тяжесть на
большой длине. 2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь
длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они
не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой
было прибавлено. 3. Точно так же, если от одной из тяжестей
будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но
перевесит та тяжесть, от которой не было отнято. 4. При
совмещении друг с другом равных и подобных плоских фигур
совместятся друг с другом и их центры тяжести. 5. У неравных же, но
подобных фигур центры тяжести будут подобно же расположены.
6. Если величины уравновешиваются на каких-нибудь длинах, то
на тех же самых длинах будут уравновешиваться и равные им.
7. Во всякой фигуре, периметр которой везде выпукл в одну и
ту же сторону, центр тяжести должен находиться внутри фигуры
[1433, с. 272].
Архимед доказал несколько теорем о равновесии системы
грузов на рычаге. Среди них — основной закон рычага: соизмеримые
(или несоизмеримые) величины уравновешиваются на
расстояниях, обратно пропорциональных их весам.
Идеи Архимеда в геометрической статике твердого тела нашли
свое дальнейшее развитие в трудах Герона Александрийского,
Паппа Александрийского, Убальдо, Бенедетти и Стевина,
относящихся к элементарному периоду.
Работы представителей Александрийской школы Герона и
Паппа носят в основном компилятивный характер. Они ценны
тем, что в них содержатся некоторые отрывки из утерянных
трактатов Архимеда, касающихся геометрической статики [1433,
с. 64—76]. Герои исследовал передачу движения с помощью
зацепленных колес, сложение движений по правилу
параллелограмма, распределение нагрузки между двумя опорами, определение
Центра тяжести различных фигур, условие равновесия некоторых
простых машин. Паппу принадлежат две известные теоремы о
поверхностях и объемах тел вращения, определяемых через
длины окружностей, описываемых их центрами тяжести.
Итальянские ученые Гвидо Убальдо и Дж. Бенедетти в своих
исследованиях по механике пользовались понятием момента силы
0тносителыю точки и законом равновесия рычага первого рода в
ВиДе равенства моментов грузов [663]. От работ Архимеда оттал-
кивался в своих исследованиях С. Стевин, который обобщил
еометрическую статику твердого тела.
69

* Зарождение механики твердого тела в XVII веке
Галилей первым поставил задачу о движении маятника. /Это, по
существу, первая задача механики твердого тела. Естественно^
исследование движения реального физического маятника
начинается с его абстрактной модели — математического маятника.
Галилей установил изохронность колебаний маятника. Правда, он
ошибался, думая, что это свойство остается в силе и для больших
амплитуд. Далее, Галилей установил, что квадрат периода
колебаний математического маятника прямо пропорционален его
длине [828, 973].
На взаимосвязь между задачами о колебаниях физического и
математического маятников обратил внимание ученик Галилея
М. Мерсенн. Именно он поставил вопрос о приведенной
длине и центре качаний физического маятника (1646). Позже
[601] для нахождения центра качаний физического маятника
Декарт строит проекции его точек на плоскость, проходящую через
центр тяжести и ось вращения маятника. Поставив в соответствие
каждой точке маятника силу, равную произведению ее массы
на скорость, он определил центр качания как центр этих
параллельных сил.
В 1673 г. вышел в свет классический труд X. Гюйгенса
«Маятниковые часы» [1038]. Гюйгенс полностью решил задачу о
колебаниях физического маятника. Он доказал неизохронность
колебаний кругового математического маятника в случае больших
амплитуд и, наоборот, изохронность циклоидального маятника.
Он вывел формулы для определения периода колебаний
циклоидального маятника и малых колебаний простого маятника, изобрел
часы с коническим маятником, открыл и объяснил явление
параметрического резонанса. При определении периода колебаний
физического маятника Гюйгенс опирался на свойство центров
тяжести качающихся тел, согласно которому они не могут
подняться на большую высоту, чем высота падения4. Из этого
следует, что центр тяжести качающегося тела поднимается всегда
на одну и ту же высоту. Таким образом, Гюйгенс пришел к
следующему правилу: для определения приведенной длины
физического маятника (расстояния центра качаний от оси подвеса)
нужно сумму произведений весов элементарных частиц тела на
квадраты их расстояний до оси вращения разделить на сумму
произведений этих элементарных весов на их расстояния до оси
вращения или, пользуясь современной терминологией, составить
отношение момента инерции физического маятника относительно
оси подвеса к его статическому моменту. В этом случае
справедлива теорема о синхронности двух маятников, образующихся,
если центры подвеса и качаний поменять местами. Гюйгенс
фактически получил формулы для аналитического определения центра
тяжести любой системы тел. Считая, что тела расположены по
одну сторону некоторой плоскости, он опустил перпендикуляры
4 Это положение вытекает из теоремы об изменении кинетической энергии.
70

лз их центров тяжести на эту плоскость и составил сумму
произведений длин перпендикуляров на веса тел. «Эта величина,—
говорит Гюйгенс,— равна произведению общего веса системы
тел на расстояние общего центра тяжести от данной плоскости».
Гюйгенс, по сути дела, положил начало новому направлению
# ^механике — геометрии масс. (Правда, элементарные силы
тяжести Гюйгенса в соответствии с современным учением о
моментах инерции следует заменить элементарными массами.) Гюйгенс
установил также зависимость между осевыми моментами инерции
относительно параллельных осей. Гюйгенс вывел формулу для
центростремительного ускорения материальной точки. Ему
принадлежит исследование натяжения нити математического
маятника под действием центробежной силы и определение этой силы
для конических маятников.
Движению маятника посвящает две главы своих «Начал» и
Ньютон. В 10-й главе первой книги изложено со ссылкой на
Гюйгенса все, что касается движения плоского математического
маятника. Ньютон положил начало теории пространственного
математического маятника. Исследованию движения маятника с
учетом сопротивления среды посвящена 6-я глава второй книги
«Начал». Ньютон доказывает, что масса маятника прямо
пропорциональна его весу и квадрату продолжительности одного
качания (в пустоте) и обратно пропорциональна длине маятника. Это
дает возможность, пишет Ньютон, измерять посредством
маятника разницу в весе одного и того же тела в различных местах
земной поверхности и таким образом определять изменение силы
тяжести. Далее рассматривается движение кругового и
циклоидального маятников в сопротивляющейся среде.
Исследования ученых XVII в. (в особенности Гюйгенса и
Ньютона) можно считать началом зарождения динамики
твердого тела — новой, чрезвычайно важной как для развития теории,
так и ее многочисленных приложений ветви классической
механики. После Гюйгенса многие ученые, в том числе Яков Бернулли
и Яков Герман, исследовали движение физического маятника,
иоделируя его составным математическим маятником. Бернулли
в работах 1697—1703 гг., решая задачу о нахождении центра
качаний физического маятника, вместо энергетического принципа
Гюйгенса пользовался кинетостатическим принципом. Однако он
считал этот принцип весьма ограниченным, применимым лишь в
пределах исследуемого им класса задач. То, что кинетостатиче-
ский принцип является общим принципом динамики, открыл
с°рок лет спустя Д'Аламбер. Ученик Я. Бернулли Герман к
решению этой же задачи применил новый принцип эквивалентности
истинных и свободных побуждений к движению, который он
считал действенным исключительно в пределах решаемой задачи
\1716). Однако, как показал Эйлер (1737), этот принцип носит
характер общего принципа динамики (Германа—Эйлера).
Таким образом, задача о движении физического маятника не
т°лько вызвала появление механики твердого тела, но и привела
71

к зарождению новых общих принципов динамики, которые оказа-
лись весьма эффективными и в динамике твердого тела (qjo общих
принципах классической механики см. первую часть книги).
В «Началах» Ньютона имеется специальный раздел «О дв1ь
жеыии тел по заданным поверхностям и о колебательном
движении подвешенных тел» [4], в котором исследуются вопросы,
относящиеся к механике твердых тел, ограниченных в своем
движении связями. Ньютон положил начало исследованию движения
твердого тела по неподвижной поверхности.
К рассматриваемому периоду относится и зарождение науки
о трении абсолютно твердых тел.
Еще Леонардо да Винчи ввел понятие о трении
скольжения, считая, что сила сопротивления скольжению
пропорциональна нормальному давлению тела на поверхность скольжения.
Он считал, что коэффициент пропорциональности (коэффициент
трения, как мы бы сказали теперь) в случае достаточной
гладкости трущихся поверхностей постоянен для различных тел и не
зависит от их размеров (для негладких поверхностей это не так).
Рассматривая период становления науки о трении, следует
упомянуть также о работе Лейбница, который считал, что
коэффициент трения не может быть постоянным и должен зависеть от
физических свойств трущихся поверхностей [10]. На рубеже
XVII и XVIII вв. были не только сформулированы
количественные соотношения между основными факторами,
характеризующими сухое трение (степенью шероховатости, нормальным
давлением, величиной поверхности трущихся тел), но и выдвинута
механическая гипотеза качественного объяснения явления. Эта
гипотеза принадлежит Делагиру и состоит в том, что трение тел
возникает вследствие зацепления неровностей на их
поверхностях. Если это абсолютно твердые тела, скольжение должно
сопровождаться подъемами одной поверхности по неровностям другой и
сила трения зависит только от нормального давления. В этой
гипотезе в зародыше содержится представление о дискретном
характере трения, которое получило развитие в конце XIX в.
[1153].
ГЛАВА ВТОРАЯ
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
¥ Введение. Кинематика твердого тела.
Теорема Эйлера
Механика твердого тела в начале XVIII в. развивалась в трех
основных направлениях. Это движения небесных тел, движения
корабля и движения гироскопа.
Как известно, еще Ньютон показал, что явление предварения
равноденствий (прецессии), открытое Гиппархом за двести лет
72

Леонард Эйлер
До нашей эры, объясняется законом всемирного тяготения.
Однако Ньютон не смог объяснить до конца основное неравенство
Луны, состоящее в регрессии лунных узлов. Попятное движение
прямой, по которой плоскость лунной орбиты пересекается с
плоскостью эклиптики, связанное с силами тяготения, оказывает
возмущающее влияние на вращение Земли вокруг своей оси. Это
выражается в явлениях прецессии, нутации и вековом
замедлении вращения Земли. Нутационные колебания накладываются
Ца Движение оси вращения, вызванное прецессией. Явление иу-
ТаЦии в 1748 г. открыл И. Брадлей [18] при наблюдении
неподвижных звезд. Это явление нужно было связать с законом тяго-
Тения Ньютона.
Основополагающим в этой области является сочинение Д'Алам-
еРа [21] «Исследования о прецессии равноденствий и о нутации
Си Земли в системе Ньютона» (1749). Основанные на законе тя-
отения вычисления Клеро и Д'Аламбера, произведенные в
45 г., дали для апогея лунной орбиты период обращения в
73

18 лет — величину, вдвое превосходящую результаты наблюдении
Таким образом, перед механикой Ньютона с ее теорией всемир^
ного тяготения возникла проблема тщательного изучения фигуру
Земли и движения планет солнечной системы, и прежде всего
Луны.
По совету Эйлера в 1749 г. Петербургская академия наук
объявила конкурс на тему «Согласуются ли неравенства Луны с
теорией Ньютона». Сочинения Клеро и Эйлера, посвященные
теории движения Луны, подтвердили теорию всемирного тяготения.
Решение проблемы упиралось в знание закономерностей движения
твердых тел.
Не меньшее значение для изучения механики твердого тела
имела теория движения корабля. Здесь следует прежде всего
назвать трактаты Эйлера [22] и Буге [17]. Обратившись к теории
корабля, Эйлер увидел настоятельную необходимость в построении
общей механики твердого тела. Некоторые элементы этой теории
имеются в «Морской науке» [22].
Парадоксальное явление, которое наблюдается при быстром
вращении игрушечного волчка, сохраняющего свое положение,
пока происходит вращение, всегда вызывало удивление. Научное
исследование этого движения впервые предпринял Я. Сегнер
[27] *. Он исследовал вращательное движение твердого тела
вокруг его центра тяжести, установил условие равенства нулю
главного момента центробежных сил и определил положение
свободной оси вращения, которое находится из алгебраического
уравнения третьей степени. Исследуя это уравнение, Сегнер показал,
что найденные таким образом три оси независимы между собой.
Три года спустя, в 1758 г., Эйлер обобщил результаты Сегнера и
ввел найденные Сегнером главные оси в построенную им
динамику твердого тела [29, 30, 32]. Таким образом, в начале 2-й
половины XVIII в. были подготовлены основные идеи, которые
привели к становлению нового раздела механики — механики
неизменяемого твердого тела (Эйлер, Д'Аламбер и Лагранж).
К механике твердого тела относятся многие работы Л. Эйлера
[22,24,29,30,32,35,39].
Изложим полученные им результаты. Начнем обзор с вопросов
кинематики.
Мы уже упоминали, что еще в «Корабельной (морской)
науке» - Эйлер установил сложный характер движения свободного
твердого тела, состоящего из независимых элементарных
движений: поступательного и вращательного. Более глубоко
кинематику твердого тела он исследовал в работе [24]. Здесь впервые
дается четкое определение поступательного движения твердого
тела как такого, в котором любая прямая, неизменно связанная
1 Под словом «турбо» Сегнер понимал твердое тело, вращающееся вокрУг
неподвижной точки. Выражение «турбинари» для волчкообразного дв^~
жения твердого тела ввел еще раньше И. Бернулли [12].
74

с ним, перемещается параллельно самой себе. Далее доказывается
основная теорема кинематики поступательного движения о кон-
груэнтности траекторий всех точек твердого тела и равенстве их
скоростей и ускорений в каждый момент времени. Таким образом,
Эйлер показал (как это делается и в современных учебниках по
теоретической механике), что поступательное движение твердого
тела полностью определяется движением одной его точки
(полюса). Движением одной точки, не лежащей на оси вращения,
полностью определяется и вращение твердого тела вокруг неподвиж-
ной оси. Эйлер утверждает, что любое движение твердого тела в
каждый момент времени можно представить как совокупность
поступательного его движения вместе с произвольно
фиксированным полюсом и вращательного движения вокруг оси, проходящей
через полюс. Имея в виду динамику, в качестве полюса Эйлер
рекомендует рассматривать центр тяжести тела. Он замечает,
что всегда можно выбрать полюс таким образом, чтобы ось
вращения имела неизменное направление. (Это зачатки тех
представлений, которые в XIX в. привели к понятию о винтовом движении
твердого тела.)
В мемуаре [24] Эйлер получил формулы распределения
скоростей точек твердого тела, движущегося вокруг неподвижной
оси или около неподвижной точки. (Эти формулы в настоящее
время в учебниках по теоретической механике записываются в
векторной форме и именуются формулами Эйлера для
вращательного движения,) При выводе формул Эйлер исходит из основного
свойства абсолютно твердого тела — неизменности расстояний
между двумя любыми, в том числе и бесконечно близкими, его
точками. Это приводит к дифференциальному соотношению,
следствием которого, как показывает Эйлер после интересного, но
весьма громоздкого анализа, и являются искомые формулы2.
В выводе Эйлера впервые появляется мысль о системе
дифференциальных уравнений с инвариантными соотношениями, которая
впоследствии была развита в исследованиях Пуанкаре [446].
Эйлер доказывает существование в каждый момент времени
мгновенной неподвижной оси вращения тела, вводит понятие угловой
скорости движения твердого тела около неподвижной точки.
Эйлер показал, как найти переменную ось вращения и мгновенную
Угловую скорость, проекции ускорения любой точки тела и
моменты ускорений относительно координатных осей. (В дальней-
Шем он использует это в динамике твердого тела.) Эти формулы
пРивели его к проблемам геометрии масс [29].
Дальнейшее построение общей кинематической картины
движения твердого тела около неподвижной точки содержится в ра-
0те Эйлера [30]. Для решения вопроса о распределении
скороди Эйлер применил формулы, которые теперь обычно называются
а русском языке со всеми подробностями читатель может найти это
Рассуждение Эйлера в статье [2002].
75

формулами Пуассона, поскольку они содержатся и в учебна
ке Пуассона [69].
Эйлеру [35] принадлежит и другой способ определения
положения твердого тела с неподвижной точкой в пространстве, осшк
ванный на введении углов прецессии, нутации и собственного
вращения, которые в современной литературе называют углам it
Эйлера. В этой работе Эйлер вывел формулы, которые привели к
уравнению мгновенной оси вращения, а затем и к знаменитым
кинематическим и динамическим уравнениям, носящим его ими.
Он показал, что положение твердого тела в пространстве
полностью определяется тремя введенными им параметрами (углами
Эйлера). Свои формулы Эйлер в дальнейшем применяет для
исследования вращения Земли около ее центра тяжести и для
создания общей теории движения твердого тела. Итак, благодаря
исследованиям Эйлера была построена кинематика твердого тела,
движущегося около неподвижной точки, развита теория
бесконечно малых вращений и положено начало теории конечных
поворотов тела, которая получила дальнейшее развитие в трудах
ученых XIX в. Опираясь на кинематику, Эйлер мог уже
приступить к построению динамики движения твердого тела.
* Геометрия масс
Генезис учения о распределении масс в теле восходит к
исследованиям Гюйгенса о физическом маятнике [1038]. Однако полное
развитие это учение получило в работе Эйлера [29]. С момента
издания этой работы в 1758 г. геометрию масс можно
рассматривать как новый самостоятельный раздел механики.
Эйлер строго различает геометрические, механические и
физические характеристики твердого тела. Под геометрическими
характеристиками понимается все, что относится к форме тела, иод
механическими — распределение масс в теле, под
физическими — всякого рода иные свойства. Итак, то, что в настоящее
время именуется геометрией масс, Эйлер считает разделом
механики. Сюда относятся понятия массы, центра масс, центра
качаний маятника и (если пользоваться современной
терминологией) тензора инерции тела.
Представления Эйлера о массе рассмотрены в первой части
нашей книги, и мы не будем на этом останавливаться. Говоря <>
центре тяжести как о геометрической точке, в которой следует
мысленно сосредоточить всю массу тела, Эйлер отмечает, что
такое представление имеет смысл лишь при поступательном
движении тела и его равновесном состоянии. При изучении же
вращательного движения понятия центра тяжести уже недостаточно J*
необходимо ввести в рассмотрение новое понятие — центр масе
или центр инерции тела. Так, например, уже при исследование
колебаний физического маятника для характеристики его
движения мы вынуждены ввести представление о центре качаний п«111
колебаний маятника. Понятие о центре тяжести, отмечает Эйлер*
ограничено телами, связанными с Землей, и имеет смысл лш|1['
76

тогда, когда размеры этих тел малы по сравнению с радиусом
Земли, так что их силы тяжести с достаточной степенью
точности можно рассматривать как систему параллельных сил,
пропорциональных массам отдельных элементарных частиц,
составляющих тело. Эйлер обобщил понятие центра тяжести тела и ввел
понятие центра масс, которое не зависит от взаимного
расположения тел и не связано с действующими на тело силами. Для
определения центра масс он составил сумму произведений масс
элементарных частиц, на которые разбивает тело, на их
расстояния до какой-нибудь плоскости и эту сумму приравнял
произведению массы тела на расстояние до плоскости искомой
геометрической точки тела. Эйлер доказал, что положение центра масс
тела не зависит от выбираемой плоскости. Для этого он
рассмотрел новую плоскость, параллельную заданной и отстоящую от
нее на некотором расстоянии, и, воспользовавшись очевидным
тождеством, в которое входят определяющие выражения для
центра инерции относительно координатных плоскостей, пришел
к выводу об инвариантности понятия центра инерции
относительно выбора вспомогательной плоскости. Таким образом, здесь
Эйлер впервые ввел понятие о статических моментах инерции тела и
показал, что по отношению к координатным плоскостям они
равны нулю.
В первом томе «Корабельной науки» [22] Эйлер вводит
понятие аксиального момента инерции тела как суммы произведений
масс элементов этого тела на квадраты их расстояний до заданной
оси. Эйлер вывел формулы осевых моментов инерции для
некоторых однородных тел простейшей формы. Ему же принадлежит
первое строгое доказательство теоремы Гюйгенса о моментах
инерции относительно параллельных осей. Заменив силы тяжести
массами элементарных частиц тела, Эйлер сделал шаг вперед по
сравнению с Гюйгенсом [1038]. Кроме того, Гюйгенс решал
конкретную задачу динамики твердого тела, а именно задачу о
движении физического маятника, Эйлер же создал общую теорию
движения твердых тел.
Упомянутый выше мемуар Эйлера [29] написан на 9 лет
позже «Корабельной науки». В этом мемуаре Эйлер уже ставит
вопросы о взаимосвязи моментов инерции тела относительно
пересекающихся осей и о минимальном числе параметров,
определяющих момент инерции тела относительно оси, проходящей через
произвольно фиксированную точку. При доказательстве теоремы
Гюйгенса о моментах инерции относительно параллельных осей
ОДлер отмечает характерное свойство центра масс тела,
состоящее в том, что момент инерции относительно центральной оси
имеет минимальное значение по сравнению с моментами инерции
этого тела относительно других осей, не проходящих через центр
йнерции (нецентральных осей). Он доказывает, что момент инер-
Чии тела относительно одной координатной оси с началом в центре
йнерции меньше суммы его моментов инерции относительно
^вУх других осей. Эйлер привел способ вычисления момента инер-
77

ции тела относительно центральной оси, не расположенной к
плоскости чертежа. При этом он рассматривает осевые/i
центробежные моменты инерции и находит связь между ними, иначе
говоря, доказывает теорему о тензоре инерции. Эйлер отмечает,
что оси, относительно которых моменты инерции имеют экстре
мальные значения, совпадают со свободными осями
вращающегося твердого тела. Для определения этих осей он составляет
уравнения, получающиеся, по существу, и при равенстве нулю
центробежных моментов инерции, т. е. соответствующие свободной осп
вращающегося тела. Исследование движения твердого тела около
неподвижной оси, при котором оно не оказывает давления на ось
вращения, предпринял Эйлер еще ранее, в трактате [22] и ме-
муаре [24]. Такого рода оси он назвал главными осями инерции
тела. Из того, что значения моментов инерции тела конечны и
положительны, Эйлер сделал заключение о существовании по
меньшей мере двух главных осей инерции, соответствующих
максимальному и минимальному значениям момента инерции.
Уточняя это утверждение, он показал, что каждой точке тела
соответствуют три взаимно перпендикулярные главные оси моментов
инерции, которые определяются с помощью корней известного
кубического уравнения. Так как это уравнение должно иметь по
крайней мере один действительный корень, то началу координат,
пишет Эйлер, соответствует по меньшей мере одна главная ось
инерции. Но главных осей инерции, как выше было отмечено,
должно быть не меньше двух, следовательно, указанное
кубическое уравнение имеет два или три действительных корня, т. е.
имеет три главные оси инерции для каждой точки (теорема
Эйлера о существовании в каждой точке тела трех главных
перпендикулярных друг другу осей инерции сохранилась до сих пор
почти без изменения и приводится в полных курсах
теоретической механики). Доказав общую теорему об ортогональности
главных направлений и симметричности тензора инерции (в
современной терминологии), Эйлер доказал и частные теоремы, в
том числе теорему о том, что если однородное тело имеет
плоскость симметрии, то любая перпендикулярная к этой плоскости
прямая является главной осью инерции тела относительно точки
пересечения оси с плоскостью. Если же в однородном теле
существует ось симметрии, то она является главной центральной
осью инерции тела относительно любой своей точки. Моменты
инерции тела относительно главных осей инерции Эйлер назвал
главными моментами инерции. Если отнести положение тела к
главным осям инерции как к системе координат, центробежные
моменты инерции относительно координатных осей обращаются
в ноль^ теорема о тензоре инерции принимает простейший вид,
а осевые моменты инерции оказываются связанными
элементарными зависимостями, пользуясь которыми Эйлер легко вычислил
момент инерции относительно любой центральной оси. Далее,
он доказал теорему о том, что момент инерции относительно
произвольной центральной оси находится между моментами инерции
78

относительно первой и третьей главных осей, если они
расположены в порядке своих величин. Эйлер показал, что при равных
главных моментах инерции все центральные оси — главные оси
лнерцин, а при различных главных моментах инерции не сущест-
вует ни одной главной оси, кроме трех, о которых говорилось
зьине. Эйлер исследовал и случай, когда первые два главных
момента инерции равны между собой и не равны третьему. В этом:
случае при определенных указанных им условиях либо данная
центральная ось совпадает с третьей главной осью инерции, либо
любая ось, нормальная к третьей главной оси, также является
главной.
Из приведенного обзора результатов, полученных Эйлером по
геометрии масс, следует, что почти все рассматриваемые в
современных учебниках теоремы о моментах инерции принадлежат
ему.
Ж Динамические уравнения Эйлера движения
твердого тела около неподвижной точки
Первоначальное рассуждение Эйлера, касающееся динамических
уравнений, мы находим в его статье «Открытие нового принципа
механики» [24]. Он исходит из формул для моментов ускорений
точек тела. Здесь Эйлер ввел удобные обозначения для
компонентов тензора инерции тела относительно неподвижной точки.
(В дальнейшем они значительно способствовали развитию учения
о моментах инерции.) Здесь же он приводит классификацию сил,
подразделяя их на внешние и внутренние, формулирует
утверждение о равновесии сил, действующих на абсолютно твердое тело.
Таким образом, Эйлер впервые пользуется аксиомой о твердом
теле, согласно которой две действующие на него силы
уравновешиваются тогда и только тогда, когда они лежат на одной
прямой, равны по модулю и направлены в противоположные
стороны. Вводя в рассмотрение главный вектор и главный момент
действующих на тело внешних сил относительно неподвижной точки
в проекциях на неподвижные координатные оси и интегрируя
Уравнения для. ускорений точек тела по всей его массе, Эйлер
пришел к своему первому варианту динамических уравнений, в
левых частях которых фигурируют девять дифференциальных
выражений. Имея в виду построение общей теории, и в частности
Решение задачи о прецессии равноденствий и о вращательном
Движении планет, Эйлер стремится извлечь из полученных урав-
нений надлежащие следствия, и это ему в известной степени
удается.
Первый вариант динамических уравнений движения твердого
Тела около неподвижной точки не удовлетворил Эйлера. Ими было
чрезвычайно сложно пользоваться из-за громоздкости,
непостоянна входящих в них параметров и наличия в зависимостях этих
ПаРаметров от времени ряда неизвестных величин,
характеризующих движение тела. Поэтому в следующей работе [30]
'58 г. он существенно видоизменил свой подход к выводу иско-
79

мых уравнений. А именно он ввел в рассмотрение неподвижные
в теле координатные оси, совмещенные с главными осями инер^
ции твердого тела относительно неподвижной точки и совпадаю-
щие в некоторый начальный момент t с неподвижными в
пространстве осями координат. Это позволило ему аннулировать в
найденных им ранее уравнениях члены, обусловленные центро-
бежными моментами инерции. Однако и этим видом
динамических уравнений Эйлер не был удовлетворен и продолжал
работать над их совершенствованием.
В мемуаре [35] 1760 г. Эйлер предложил новый вывод
динамических уравнений, основанный на установленных им с помощью
сферической тригонометрии формулах для координат точек
твердого тела (мемуар [30] 1758 г.). В результате он получил
главные моменты приложенных сил относительно соответствующих
подвижных осей; после этого он совместил подвижные оси
координат с главными осями инерции и пришел к окончательной
форме искомых динамических уравнений.
Эйлер показал, что полученные им динамические уравнения
движения твердого тела около неподвижной точки подводят итог
всей теории движения твердых тел. Однако предложенные им
выводы этих весьма простых уравнений очень сложны и
искусственны. Прошел не один десяток лет, пока сложилось современное
обоснование динамических уравнений Эйлера, и заслуга в этом
принадлежит уже ученым XIX в.
* Движение твердого тела около неподвижной точки
по инерции. Уравнения движения в случае Эйлера
и их первые интегралы
Получив динамические уравнения движения твердого тела вокруг
неподвижной точки
Ap+(C-B)qr=L, (р, q, г; А, В, С; L, М, N), (1)
Эйлер, вполне естественно, поставил перед собой вопрос о
случаях их интегрируемости.
Прежде всего он исследовал движение тела по инерции (L =
= M = N = 0). Для этого он вводит вместо t новую переменную с
помощью соотношения u=pqr и записывает дифференциальные
уравнения движения тела в виде
pdp = adu, qdq = bdu, rdr=cdu. (2)
Система дифференциальных уравнений (2) допускает
непосредственное интегрирование, которое приводит к эллиптическому
интегралу, и нахождение величин р, g, г в зависимости от
времени сводится к обращению этого интеграла, т. е. к эллиптическим
функциям. Как известно, этот математический аппарат Эйлеру
еще не был известен. Однако Эйлер нашел выход из затрудни
тельного положения. Пользуясь формулами, которые он
установил в мемуаре [30] с помощью сферической тригонометрии, и ди-
80

ламическими уравнениями (1) в случае движения тела по
инерции, Эйлер нашел два первых интеграла образованной таким
образом системы дифференциальных уравнений, к которым
присоединил тривиальное соотношение между косинусами углов,
входящих в эти уравнения. Полученные соотношения позволили
ему решить поставленную задачу.
■# Интегрирование уравнений движения в случае
Эйлера
решение полученной Эйлером системы дифференциальных
уравнений имеет сложный вид. В результате определения
направляющих косинусов и введения двух вспомогательных переменных
Эйлер получил одно громоздкое дифференциальное уравнение и
показал, что оно допускает интегрирующий множитель,
позволяющий установить определенное соотношение между
вспомогательными переменными и найти полное аналитическое решение
задачи о движении твердого тела. Но Эйлер не удовлетворился
полученным решением и указывает путь к его упрощению.
Представляют интерес два замечания Эйлера. Первое из них
состоит в том, что при исследовании движения тела в
рассматриваемом случае можно было бы сопоставить его с движением
гироскопического маятника, так как в этом случае время также
выражается через эллиптический интеграл. Точка такого маятника
будет делать обороты или совершать колебания в зависимости от
того, будет ли величина А (А—В)р20 больше или меньше, чем
С(В—С)гго. В случае равенства этих величии указанная точка
будет асимптотически приближаться к вертикали. Отсюда,
заключает Эйлер, следует, что мгновенная ось вращения тела описывает
коническую поверхность в периодическом движении,
содержащую оси наибольшего или наименьшего значений момента
инерции тела. В случае равенства этих величин коническая
поверхность вырождается в плоскость, содержащую среднюю ось,
и мы можем найти асиптотическое приближение к этому
состоянию. В другом месте Эйлер замечает, что можно было бы
придумать прибор, который мог наглядно продемонстрировать
изученное аналитически движение твердого тела. Не имел ли он в виду
аналогию с движением физического маятника? На этот вопрос
ответа в сочинениях Эйлера мы не находим.
* Движение свободного твердого тела
Все свои исследования по механике твердого тела Эйлер
систематически изложил в трактате «Теория движения твердых или
Жестких тел» (1760). В конце этого трактата, рассматривая
движение свободного твердого тела под действием произвольной
системы сил, Эйлер доказывает теорему о том, что в общем
случае это движение в любой момент времени разлагается на два
Независимых более простых движения — поступательное
движение (вместе с его центром инерции) и вращательное движение
°коло центра инерции. Второе можно рассматривать как враща-
6 Заказ № 1377
81

тельное движение вокруг некоторой мгновенной оси, проходящей
через центр инерции. Относя движение тела к неподвижной
системе координат, Эйлер записывает соответствующие
дифференциальные уравнения в виде ]xdm = Р,
$ (гу - yz) dm = S, (х, у, z\ Р, <?, Я; S, Т, U), (1)
где Р, Q, R — компоненты главного вектора; S, Г, U—
компоненты главного момента относительно координатных осей;
х, г/, z — координаты центра инерции тела как функции времени.
Первая группа уравнений характеризует поступательное
движение твердого тела (его центра масс), а вторая — его
вращательное движение вокруг мгновенной центральной оси вращения
тела.
Ж Качение твердого тела
Занимаясь динамикой твердого тела в широком смысле, Эйлер
отдал дань и изучению качения и колебательного движения
твердого тела [14, 24, 29, 39]. Он исследовал малые колебания
катящегося без скольжения по неподвижной горизонтальной
плоскости тяжелого твердого тела, пользуясь установленным им
принципом механики (принципом Германа—Эйлера). Этот же вопрос
рассмотрел Д'Аламбер [16]. Сравнивая свое решение с решением
Эйлера, Д'Аламбер отмечает:
«Чтобы решение Эйлера имело место, необходимо
предположить, что плоскость не абсолютно гладка. Вероятно, это и хочет
сказать автор, когда он пишет: «Надо, однако, заметить, что при
данном движении плоскость, на которой оно происходит, по
условию должна быть в той или иной степени шероховатой, чтобы
кривые наряду с качением не могли сдвигаться со своего места,
что может случиться в том случае, если плоскость будет весьма
гладкая». Слова «чтобы не могли сдвигаться со своего места», без
сомнения, означают: «чтобы кривые помимо движения вокруг
точки касания не могли скользить параллельно плоскости». Мне
неизвестно,— пишет далее Д'Аламбер,— что помешало Эйлеру
остановить свое внимание на этом последнем движении.
Впоследствии великий геометр оказал мне честь тем, что уведомил меня в
письме 2 октября 1746 г., что в то время, когда он занимался
этим вопросом, он не знал, каким образом учесть в вычислениях
поступательное движение. Наш принцип, как это видно из
вышеизложенного, дает для этой цели весьма простой метод»
[16, с. 234].
Следует отметить, что весьма ценное исследование движения
однородного тяжелого шара по неподвижной горизонтальной
плоскости с учетом скольжения принадлежит сыну Леонарда
Эйлера Иоганну Эйлеру [36]. Вероятно, эта работа возникла в
связи с перепиской Леонарда Эйлера и Д'Аламбера и была
выполнена под руководством самого Л. Эйлера.
82

Итак, от исследований Эйлера берут начало первые примеры
движения твердых тел по опорной поверхности, в частности
призеры неголономного движения. Для решения задач о движении
твердого тела с чистым качением Эйлер попытался применить
свою теорию вращательного движения тела около неподвижной
точки. С другой стороны, если обратиться к кинематическим и
динамическим уравнениям Эйлера, относящимся к этой теории,
й рассматривать проекции р, q, г мгновенной угловой скорости
вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной
точки на подвижные координатные оси, выраженные через углы
Эйлера кинематическими уравнениями, правые части которых
вообще являются неинтегрируемыми формами Пфаффа
относительно г|}, G, ф, как неголономные скорости тела, то динамические
уравнения Эйлера будут представлять собой не что иное, как
дифференциальные уравнения вращательного движения твердого
тела вокруг неподвижной точки, записанные в соответствующих
неголономных координатах. Динамические уравнения Эйлера
являются прекрасной иллюстрацией эффективности введения
квазикоординат (неголономных координат) при изложении некоторых
вопросов механики. Таким образом, широко известный в
настоящее время метод неголономной системы референции, открытие
которого часто связывают с именами ученых XIX и XX веков,
в действительности берет начало в работах Эйлера.
* Метод Эйлера построения статики твердого тела
В трактате «Теория движения твердых или жестких тел» [39J
Эйлер доказал теорему, позволяющую построить элементарную
статику твердого тела, пользуясь аксиоматическими
положениями, которые в настоящее время именуются элементарными
операциями над силами. К ним относятся добавление или снятие
двух уравновешенных сил (силового нуля), перемещение силы
вдоль линии ее действия, сложение и разложение сил по правилу
параллелограмма. Элементарные операции преобразуют данную
систему сил, приложенных к твердому телу, к эквивалентной
системе сил, т.. е. не изменяют состояние тела. Они оставляют без
изменения главный вектор системы сил и ее главный момент
относительно произвольно фиксированной точки.
Теорема Эйлера может быть сформулирована следующим
образом: система сил, действующих произвольно на твердое тело,
в общем случае исключительно посредством элементарных
операций может быть преобразована к двум силам.
В дальнейшем метод Эйлера был воспроизведен в 1786 г. в
Учебнике Г. Монжа по статике [58] 3 и в других учебниках по
теоретической механике [252] и в XIX в. послужил основой для
с°здания теории скользящих и свободных векторов.
Развивая метод Эйлера, Монж показал, что преобразование может быть
построено таким образом, что получаемые при этом две силы были
взаимно перпендикулярны.
83
6*

■*■ Приложение аинамики твердого тела к небесной
механике /
Исследования Эйлера по динамике твердого тела тесно связаны
с его работами по небесной механике, которые вместе с его
исследованиями по теории корабля привели его к созданию теории
движения твердых тел. Не касаясь чисто астрономических
исследований Эйлера4, остановимся лишь на двух его статьях
[34, 45], где рассматриваются приложения его теории к
небесной механике.
Первые основополагающие исследования, относящиеся к
теории вращения Земли, принадлежат Д'Аламберу и опубликованы
в 1749 г. отдельным изданием под названием «Исследования о
прецессии равнодействий и нутации земной оси» [21]. Эйлер,
признавая приоритет Д'Аламбера, в том же году опубликовал
свой мемуар [23] на эту тему, где излагает исключительно
сложную проблему с помощью элементарных средств, исходя из
приближенной интерпретации небесного тела как быстро
вращающегося твердого тела. Этот метод Эйлера очень мало отличается
от второго варианта метода Д'Аламбера. Ко времени появления
второго из указанных мемуаров Эйлер уже заканчивал свой
трактат по теории движения твердых тел. На основании построенной
им кинематики и динамики твердого тела Эйлер сумел создать
более совершенную теорию прецессии и нутации земной оси, чем
работа Д'Аламбера 1749 г. и чем его собственная теория,
относящаяся к тому же времени. Еще более точное исследование
вращательного движения Земли и явления прецессии и нутации
земной оси Эйлер провел во втором упомянутом нами мемуаре
1768 г. Это — почти современное изложение вопроса, в котором
Земля рассматривается как твердое тело. Дальнейшее развитие
теории Эйлера связано с учетом дополнительных членов в
разложении возмущающих сил Солнца и Луны в ряды и
нетвердости Земли.
Ж Вопросы теории колебаний и устойчивости твердых
тел
Колебаний твердых тел Эйлер в основном касается в статье
«Новый и несложный метод, относящийся к весьма малым
колебаниям как твердых, так и изменяемых тел» (1734—1735) [14], а
затем позже — в «Корабельной науке» (1749) [22]. В статье Эйлер
рассматривает возможные движения тяжелой плоской фигуры,
расположенной на горизонтальной плоскости так, что вертикаль,
проведенная через ее центр тяжести, не проходит через точку
контакта фигуры с плоскостью. Эйлер пред положил, что плоскость
абсолютно шероховата, и рассматривал чистое качение тела но
4 С обзором работ Эйлера в области астрономии можно познакомиться по
очерку М. Ф. Субботина «Астрономические работы Леонарда Эйлера»,
помещенному в книге «Леонард Эйлер. К 250-летию со дня рождения»
[1237, с. 268—375].
84

плоскости. Точку касания он принял за мгновенно неподвижную
точку и сравнивал моменты силы тяжести и реакции плоскости,
flpn этом он ограничился только малыми колебаниями тела.
В «Корабельной науке», рассматривая также только малые
колебания, Эйлер ввел понятие устойчивости равновесия твердо-
г0 тела. «Устойчивость,— говорит он,— с которой тело,
плавающее в воде, упорствует в положении равновесия, должна
оцениваться величиной момента восстанавливающей силы, когда тело
будет наклонено из положения равновесия на данный бесконечно
малый угол» [22]. Это — первое достаточно четкое понятие
устойчивости, характеризующееся как количественной стороной
(величина, пропорциональная моменту восстанавливающей силы
при бесконечно малом угле начального отклонения), так и
качественной. Дело в том, что устойчивость положения равновесия
Эйлер связывает с осью, относительно которой берется момент
восстанавливающей силы. Этот момент является алгебраической
величиной; стало быть, устойчивость может быть и
положительной, и отрицательной. Следовательно, устойчивость Эйлера
обладает и качественной стороной, которая сказывается в знаке
устойчивости. Пожалуй, в его определении мы можем проследить
зародыш понятия условной устойчивости, связанной с
возмущениями, ограниченными определенными условиями.
Теорию колебаний плавающего твердого тела около
положения равновесия Эйлер сопоставляет с теорией колебаний
простого маятника, изохронного данному телу. В «Теории движения
твердых тел», рассматривая проблему устойчивости и
установившегося вращательного движения твердого тела, Эйлер проводит
интегрирование системы дифференциальных уравнений
свободного твердого тела и приходит к заключению, что
установившееся равномерное вращательное движение тела вокруг осей
максимального и минимального моментов инерции устойчиво, а
вращение вокруг промежуточной оси инерции неустойчиво.
Таким образом, хотя Эйлер не создал общую теорию
колебаний материальной системы (в частности, абсолютно твердого
тела) — это было сделано позднее в исследованиях Лагранжа,—
он положил начало этим исследованиям, которые были
порождены потребностями практики [996].
*" Теория сухого трения
Две свои работы [19, 20] 5 Эйлер посвятил теории сухого трения
абсолютно твердых тел, тем самым способствуя ее развитию. Он
показал, что сила трения всегда расположена в плоскости,
касательной к трущимся поверхностям, и направлена в сторону,
противоположную относительной скорости скольжения каждой из по-
Верхностей. Рассматривая скольжение тела по шероховатой на-
Эйлеру принадлежат также глубокие исследования, посвященные трению
гибких нитей [47, 50]. Установленная им формула трения гибкой нити
0 круглый цилиндр не утратила своего значения и в наши дни.
85

клоныой плоскости из состояния покоя, Эйлер дал оригинальный
способ определения динамического коэффициента трения. /
Эйлер размышляет о природе трения. Представив
шероховатость поверхности как совокупность неровностей треугольных
сечений разного размера, он пришел к выводу о том, что сила
трения не зависит от природы трущихся тел, что коэффициент
трения в предельный момент перехода тела из состояния покоя
в состояние движения максимален. Соображения Эйлера о
природе сил трения в дальнейшем не подтвердились [1153].
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ЖАН ЛЕРОН Д'АЛАМБЕР
* Трактат по динамике
Д'Аламбер много занимался вопросами механики неизменяемого
твердого тела. Среди многочисленных трудов этого цикла особое
место занимает его «Трактат по динамике» [16], в котором
впервые формулируется новый принцип динамики — принцип Д'Алам-
бера. Этот принцип и его место среди других принципов
механики подробно освещены в первой части книги. Здесь мы
остановимся на вопросе о применении принципа Д'Аламбера к
исследованию движения твердого тела.
Изучая колебательное движение тяжелого твердого тела
произвольной конфигурации, подвешенного на нити за одну из своих
точек, Д'Аламбер ограничился малыми колебаниями для угла
наклона от вертикали прямой, соединяющей центр тяжести тела
и точку прикрепления тела к нити. Он составил систему двух
линейных однородных дифференциальных уравнений второго
порядка с постоянными коэффициентами. Поскольку сила
сопротивления при этом не учитывается, уравнения не содержат
первых производных. Метод решения таких уравнений, как
известно, предложил сам Д'Аламбер.
Д'Аламбер исследовал также малые колебания тяжелого тела
произвольной формы, опирающегося на горизонтальную
плоскость и выведенного из положения равновесия. Соответствующее
уравнение возмущенного движения в этой задаче представляет
дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Таким образом, в «Трактате по динамике» мы находим
постановку задач о малых колебаниях твердых тел, методику
составления дифференциальных уравнений возмущенного движения и их
решение, а также элементы анализа полученных результатов в
связи с понятием устойчивости \ Это можно усмотреть из заме-
1 Более подробно с характеристикой исследований Д'Аламбера по теории
малых колебаний и теории устойчивости с учетом всех его работ можно
ознакомиться в монографии Н. Д. Моисеева [996].
86

Ж. Л. Д'Аламбер
чания Д'Аламбера относительно характера решения задачи о
телах, колеблющихся на плоскости, согласно которому следует
четко различать два случая: когда решение уравнения малых
колебаний находится в окрестности определенного среднего
значения и когда это решение неограниченно возрастает с течением
времени. Рассмотрение малых колебаний при отбрасывании
членов малости высших порядков в дифференциальном уравнении
возмущенного движения, т. е. исследование линеаризованных
Дифференциальных уравнений колебательного процесса и тем
самым решение задачи в первом приближении, в дальнейшем
стало общепринятым в XVIII и XIX вв.
* Исследования прецессии равноденствий и нутации
земной оси
Огромное значение для развития механики твердого тела в
XVIII в. имеет обширный мемуар Д'Аламбера «Исследования о
Прецессии равноденствий и нутации земной оси» [21],
опубликованный в 1749 г. Здесь Д'Аламбер решает чрезвычайно
трудную задачу об общей прецессии земной оси, представляющей
суммарное перемещение точки весеннего равноденствия на небесной
87

сфере, которое вызывается действием Солнца и Луны на
движение Земли. Для определения совместной лунно-солнечно^
прецессии земной оси Д'Аламбер рассматривает плоскость эклиптики
и вводит в рассмотрение полуподвижную систему координат с
началом в центре Земли и координатной плоскостью,
содержащей ось Земли. В результате сложных вычислений Д'Аламбер
получил формулы, позволившие определить положение Земли п
указанной системе координат. Описание вывода этих формул
воспроизведено в примечании Э. Безу, помещенном во втором
издании «Трактата по динамике» 1858 г.2 Пользуясь установленным
им общим принципом динамики (принципом Д'Аламбера),
Д'Аламбер составил искомые дифференциальные уравнения
движения Земли, характеризующие ее поступательное движение
вместе с центром масс и вращательное движение вокруг центра масс.
Найдя затем первый интеграл этой системы уравнений, он
преобразовал ее к двум уравнениям, которые вместе с первой
группой дифференциальных уравнений полностью характеризуют
движение Земли как свободного однородного твердого тела в форме
сжатого сфероида. К этим уравнениям Д'Аламбер применил
приближенные методы интегрирования, позволившие получить
довольно точные для того времени представления о прецессии и
нутации оси Земли, подверженной действию сил тяготения со
стороны Солнца и Луны по закону Ньютона. Он разработал далее
еще один, более простой метод решения этой задачи,
допускающий ряд приближений при составлении искомых уравнений,
правомерных при значительной угловой скорости вращения тела.
Д'Аламбер установил метод приведения любой пространственной
системы приложенных к твердому телу сил к системе трех сил.
Этот метод позволил ему получить условия равновесия свободно
го и несвободного твердого тела. Заметим, что метод, указанный
Д'Аламбером для получения динамических уравнений движения
Земли, можно значительно упростить, если воспользоваться
современной векторной символикой [2002].
* Развитие механики твердого тела в исследованиях
Д'Аламбера
В мемуаре «Предварение равноденствий» Д'Аламбер не только
решил важную астрономическую проблему, но и заложил основы
механики неизменяемого твердого тела. В этом мемуаре были
впервые выведены все шесть дифференциальных динамических
уравнений движения, исходя из теорем о движении центра масс
тела и об изменении его кинетического момента относительно
центра масс. Во вторую группу из трех уравнений, естественно,
вошли величины, эквивалентные компонентам тензора инерции
(в современной терминологии), но с тем существенным
отличием, что Д'Аламбер относил эти уравнения движения к
неподвижным осям, в связи с чем указанные величины входили в уравне-
2 См. русское издание [16] 1950 г., с. 100—103; см. также [2002].
88

ция вращательного движения как переменные. Вопрос о
свободном вращении твердого тела при отсутствии внешних сил
Д'Аламбер в этой работе не ставил. В ней была решена задача
о вращении Земли в заданном ньютоновском поле сил
притяжения Земли со стороны Солнца и Луны. Однако в мемуаре [37]г
опубликованном в 1761 г., он дал вполне корректную
формулировку условий, необходимых и достаточных для того, чтобы
данная ось вращения могла быть свободной осью. Д'Аламбер
отметил, что открытие осей свободного вращения принадлежит И. Се-
гнеру [27], который первый обратил внимание на их значение.
Полный анализ всей проблемы динамики твердого тела
Д'Аламбер [41, 42] дал в последующих своих мемуарах,
опубликованных в 1768 г. Здесь он непосредственно рассматривает осевые и
центробежные моменты инерции и после сравнительно
несложного исследования получает кубическое уравнение вида 3
E(tgey + C(tgey+D(tge)+F=0, (1)
корни которого характеризуют направления возможных
свободных осей вращения относительно введенной им неподвижной
системы координат. Исследование этого уравнения показывает^
что все его корни являются вещественными, что доказывает
существование только трех искомых осей вращения. Д'Аламбер
подробно разобрал частные случаи двух и трех кратных корней.
Ссылаясь на Эйлера [29] \ Д'Аламбер заметил, что метод
Эйлера очень сложен, и в мемуаре, опубликованном в 1761 г.,
постарался его упростить.
Мемуар Д'Аламбера состоит из двух параграфов. В первом
параграфе он исследует движение тела по инерции; второй
параграф посвящен решению задачи в случае действия
произвольных сил. В обоих параграфах Д'Аламбер исходит из
динамических уравнений движения твердого тела относительно
неподвижной системы координат. Вначале эти уравнения имели сложный
вид, но позже Д'Аламберу удалось путем ряда преобразований
упростить решение задачи и получить ощутимые результаты.
Он рассматривает движение тела вращения, случай приведения
сил к одной равнодействующей, приложенной в центре масс
(случай Эйлера), и делает некоторые замечания, упрощающие
исследование в общем случае.
Все величины, входящие в это уравнение, будучи функциями распреде-
ления масс в теле и его положения в пространстве, вполне определены.
Д'Аламбер отмечает, что первым ученым, который исследовал
спонтанное движение твердого тела, был Иоган-Альберт Эйлер — сын Леопарда
Эйлера [44].
89

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ /
* О вращательном движении любой системы тел.
Общие формулы
Для дальнейшего развития механики твердого тела большое
значение имеет творчество Лаграыжа. Его фундаментальные
исследования содержатся в трактате «Аналитическая механика» [60].
Опираясь на работы Эйлера и Д'Аламбера и хорошо понимая
важность и трудность проблем механики твердого тела, Лагранж
имел возможность применительно к решению этих проблем
испытать созданные им методы исследования в виде общих
уравнений статики и динамики, уравнений первого и второго рода,
метода вариаций произвольных постоянных и др. Программу этих
исследований он рисует следующим образом: «Я дам сначала
наиболее общие и в то же время наиболее простые формулы,
представляющие вращательное движение тела или системы тел
вокруг точки. Затем, пользуясь методами i отдела IV, я из этих
формул выведу уравнения, необходимые для определения
вращательного движения системы тел, находящихся под действием
каких-либо сил. В заключение я изложу различные применения этих
уравнений» [60, с. 228]. Исследования Лагранжа носят общий
характер и дают возможность с единой точки зрения объединить
«те решения данной проблемы, которые уже были даны раньше
и которые были основаны на различных принципах и
представлены в различных видах» [60, с. 228]. С другой стороны, они
позволили значительно упростить чрезвычайно громоздкие
вычисления, которыми сопровождаются выводы Эйлера и Д'Аламбера.
Некоторые из этих методов (теоремы о движении центра масс и
об изменении кинетического момента) были созданы
непосредственно в результате работ Эйлера и Д'Аламбера, а другие
(более общие) получены позже самим Лагранжем.
Еще в 1773 г. Лагранж опубликовал свое первое
исследование— «Новое решение задачи о движении вращения» [49],
относящееся к случаю Эйлера вращения твердого тела около
неподвижной точки. С тех пор он почти непрерывно работал в этой
области и в области механики твердого тела вообще. Все это было
подготовкой к его «Аналитической механике» [60], которая
содержит систематическое изложение статики, кинематики и
динамики системы и твердого тела на основе общих принципов
механики 2.
1 Лагранж имеет в виду метод неопределенных множителей связей, кото
рый изложен в первом томе трактата [60].
2 Первое издание этого трактата вышло в 1788 г., первый том второго
переизданного издания — в 1811 г., второй том (посмертно) — в 1816 г.
Издателями второго тома второго издания были французские ученые
Бине, Лакруа и Прони, которые для этого издания выполнили большую
работу по изучению научного наследия и архива Лагранжа.
90

Ж. Л. Лагранж
Лагранж получил фундаментальные результаты в механике
твердого тела. Они опубликованы во втором томе его
«Аналитической механики». Здесь он рассматривает общие формулы,
касающиеся вращательного движения. Лагранж исходил из формул
Эйлера для распределения скоростей в свободном твердом теле,
выраженных в перемещениях относительно неподвижной системы
координат с неопределенными элементарными поступательным и
вращательным перемещениями. Эти формулы он получил ранее,
в пятом разделе своего трактата, предложив вывод, отличный от
вывода Эйлера. Далее он составил выражения для
элементарного перемещения произвольной точки тела по отношению к
некоторой определенной точке, которую назвал «центром системы» 3.
Интегрирование получаемых при этом дифференциальных
уравнений привело его к формулам, между коэффициентами которых
сУществуют шесть зависимостей. Следовательно, Лагранж
полупил три независимых между собой параметра, которые и опре-
В первом издании трактата эта точка именуется «центром тела».
91

деляют положение тела. Таким образом, Лагранж установил
новый способ ориентации твердого тела в пространстве с помощью
девяти направляющих косинусов углов между неподвижными
осями и неизменно связанными с телом подвижными осями.
Он указал на связь между направляющими косинусами и
углами Эйлера. Ссылаясь на третий раздел своего трактата, где
излагается вопрос о сложении вращений твердого тела вокруг
пересекающихся осей, он ввел мгновенную ось вращения и
мгновенную угловую скорость, определил положение мгновенной осп
вращения в пространстве и показал, что дифференциалы
неопределенных параметров, входящие в полученные им формулы;
dL, dM, dN соответствуют проекциям мгновенной угловой
скорости на подвижные оси.
Это не что иное, как кинематические формулы Эйлера,
которые Лагранж получил аналитическим способом. Таким же
образом Лагранж определил величины dP, dQ, dR, соответствующие
проекциям мгновенной угловой скорости на неподвижные оси,
также выраженные через углы Эйлера и их дифференциалы. Эта
методика Лагранжа позволяет обобщить формулы,
характеризующие положение и движение абсолютно твердого тела, на случай
любой системы материальных точек.
* Уравнения, вращательного движения твердого тела
в общем случае действия произвольных сил
Вслед за Эйлером и Д'Аламбером Лагранж записал
динамические уравнения движения свободного твердого тела в виде двух
групп, каждая из которых представляет систему трех
дифференциальных уравнений и описывает в каждый момент времени
поступательное движение тела вместе с его центром тяжести и его
вращательное движение вокруг центра тяжести. Уравнения
составлены для одной точки, над которой формально
обозначаются операции интегрирования по всей массе тела. Лагранж
показал, что формулы второй группы (выведенные им ранее)
характеризуют положение твердого тела в пространстве с помощью
направляющих косинусов между осями, неподвижными в
пространстве и теле. Он утверждал, что если выполнить все
надлежащие подстановки (вынести из-под знаков интегралов углы
Эйлера и их дифференциалы), то получим три дифференциальных
уравнения второго порядка, из которых путем интегрирования
можно определить углы Эйлера как функции времени4. Но вви-
4 «Эти уравнения,— пишет Лагранж,— аналогичны тем, которые впервые
были найдены Д'Аламбером для вращательного движения тела любой
формы и которые он столь плодотворно применил в своих исследованиях
о прецессии равноденствий. Ввиду указанного обстоятельства, а такжо
принимая во внимание, что вообще вид этих уравнений не обладает тон
простотой, какая могла бы быть им придана... мы перейдем к прямому
разрешению задачи, пользуясь общим методом отдела IV (имеются в
виду уравнения Лагранжа второго рода.— А в т.), который тотчас же дает
нам уравнения, наиболее простые и наиболее удобные для вычислений»
[60, с. 249—250].
92

ду сложности этих вычислений Лагранж предлагает другой путь
вывода динамических уравнений движения твердого тела около
неподвижной точки, основанный на применении полученных им
уравнений второго рода. Рассматривая движение свободного
твердого тела в потенциальном силовом поле и выражая
кинетическую энергию Т и потенциальную энергию V в конечном итоге
как функции шести независимых переменных (координат полюса
и углов Эйлера), можно записать уравнения Лагранжа второго
рода применительно к движению тела в виде
<&-*+£-•• <*>
где а — одна из этих переменных.
Дальнейшее изложение Лангранжа посвящено случаю
вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки.
Соответствующую этому случаю весьма сложную систему трех
несимметричных дифференциальных уравнений он получил,
воспользовавшись уравнением (1) и кинематическими
уравнениями Эйлера.
Лагранж указал и другой метод получения динамических
уравнений вращения твердого тела около неподвижной точки,
не применяя углы Эйлера, основанный на непосредственном
вычислении вариаций величин dP = pdt, dQ = qdt, dR = rdt.
Оценивая этот метод, Лагранж замечает, что, «хотя указанное
преобразование упрощает формулы, оно не упрощает вычислений»
[60, с. 259].
* Определение движения тяжелого тела любой
формы
Рассматривая свободное тяжелое твердое тело, Лагранж
совмещает «центр тела» с его центром тяжести и записывает
динамические уравнения движения такого тела вокруг его центра тяжести
в виде
d дТ . дТ дТ А , ч ,,ч
Далее он отмечает существование двух первых интегралов этой
системы уравнений и определяет их:
(дту , /ет\* . /ету- ,2 дТ . дТ . дТ гр ,2 /оч
Как известно, этот частный случай задачи о движении
тяжелого твердого тела вокруг его центра тяжести заметил еще Эй-
ЛеР [39]. В дальнейшем Лагранж останавливается на решении
Этой задачи более подробно.
Лагранж исследует также общий случай вращения твердого
твла вокруг неподвижной точки. Совместив «центр тела» с
неподвижной точкой подвеса и направив координатную ось oz
вертикально вниз, ои сводит задачу к решению системы дифферен-
93

циальных уравнений в форме Лаграижа второго рода,
выраженных через компоненты угловой скорости /?, q, г, и наводит два
первых интеграла этих уравнений. Общее решение задачи,
пишет Лагранж [60], представляется трудным.
* Случай Эйлера
Лагранж считал, что интегрирование уравнений движения
можно провести довольно легко, если центробежные моменты
инерции равны нулю и воспользоваться упрощенным выражением
кинетической энергии Т = 1/2 (Ар2 + Bq2 + Сг2). Соответствующие
дифференциальные уравнения в этом случае запишутся в виде
Ap2+Bq2+Cr2=2h2; A2p2+B2q2+C2r2=f2; (1)
A2dp2+B2dq2+C2dr2=f (p2+q2+r2) =в. (2)
Лагранж показал, что решение системы уравнений (1)
приводится к эллиптической квадратуре5.
Далее Лагранж рассматривает случай, когда центробежные
моменты инерции отличны от нуля, и показывает, что этот
общий случай можно свести к предыдущему в ходе решения
алгебраического уравнения третьей степени. Очевидно, что это
уравнение имеет один действительный корень. Лагранж дает
прямое доказательство действительности двух других корней
этого кубического уравнения6. Это решение задачи, несколько
отличное от того, которое он указал ранее [49], по замечанию
самого Лагранжа, отличается большей простотой, естественностью
и общностью. При этом возможны два способа упростить
вычисления; соответственно полагая равными нулю либо центробежные
моменты инерции, либо два направляющих косинуса. «Первое из
этих допущений,— пишет Лагранж [60, с. 280—281],— всегда
считали необходимым для получения полного решения проблемы,
пока в своем мемуаре 1773 г. я не дал способа, с помощью
которого можно избежать этого допущения» 7. Второе допущение
основано на возможности произвольного выбора положения осей
координат в пространстве. Сопоставив уравнения движения,
предложенные им и Эйлером, Лагранж показал их идентичность,
хотя способы получения этих уравнений различны. В то время
как Эйлер опирался на соображения геометрического характера,
вытекающие из теорем сферической тригонометрии, Лагранж
пользовался разработанными им аналитическими методами. В
заключение Лагранж рассматривает наиболее простое решение, полу-
5 Лагранж дословно утверждает следующее [60]: «Мы получим...
(указывается числовое обозначение эллиптической квадратуры.— Авт.), откуда
путем интегрирования можно получить £ в функции от u (u=p2+q2+r2)».
6 Мы уже упоминали об этом кубическом уравнении в связи с именем
Сегнера [27]. Однако Лагранж первым доказал вещественность корней
этого уравнения.
7 Лагранж отмечает приоритет Эйлера в доказательстве теоремы о
существовании трех главных осей инерции тела относительно любой заданной
его точки.
94

чаемое, если приравнять к нулю и центробежные моменты
инерции, и два направляющих косинуса. Доведя решение задачи в
этом случае до конца, он показал, что оно совпадает с
решением аналогичной задачи, полученным Д'Аламбером [41].
# Случай Лагранжа
Обращаясь к общему случаю движения твердого тела около
неподвижной точки, когда точка подвеса не совпадает в центром
тяжести тела, Лагранж хорошо понимал, насколько сложна в
этом случае задача интегрирования. После работ Эйлера он знал,
что обращение в ноль центробежных моментов инерции, не
ограничивая общности решения, вносит значительное упрощение
в исследование движения тела. Он заметил, что в случае
динамической симметрии (А= В) при сохранении допущения о
равенстве нулю центробежных моментов инерции общее решение
задачи «становится осуществимым» [60, с. 286]. В этом случае третье
уравнение системы динамических уравнений, представленных в
форме Лагранжа, принимает вид d — = 0, поскольку дТ/др=Ар;
dT/dq=Aq. Следовательно, кроме двух первых интегралов,
которые динамические уравнения тяжелого твердого тела допускают
в общем случае, в случае Лагранжа они допускают и третий
первый интеграл dT/dr=const. Как показал Лагранж, эти три
первых интеграла дают возможность получить три
дифференциальных уравнения с разделенными переменными, интегрирование
которых, вообще говоря, зависит, выражаясь словами самого
автора, от «спрямления конических сечений», т. е. выполняется в
эллиптических функциях.
* Из черновых записей Лагранжа
Как известно, Лагранж при своей жизни не успел подготовить
второй том «Аналитической механики» [60] ко второму изданию.
Поэтому редактор этого издания Бине изучил архив рукописей
Лагранжа и заметки, обнаруженные на полях экземпляра
трактата, сделанные, его собственной рукой. Так появилось
приложение ко второму тому «Аналитической механики», касающееся
вращательного движения твердого тела и названное Бине «Из
черновых записей Лагранжа» [60]. В этих записях содержатся
попытки создать новые варианты изложения динамики твердого
тела, основанные на определении положения тела в пространстве
с помощью направляющих косинусов и использования уравнений
Лагранжа первого и второго рода. В частности, здесь
рассматривается случай, когда ускоряющие силы зависят от
притяжения тела и удовлетворяют закону Ньютона. Однако эти записи
Носят предварительный, незаконченный характер, и из них
трудно извлечь какие-нибудь определенные идеи, дополняющие
вышеизложенные результаты.
95

¥ Статика и кинематика твердого тела в
исследованиях Лагранжа /
Первая часть первого тома «Аналитической механики»
посвящена решению некоторых проблем статики (в частности, статики
абсолютно твердого тела) с помощью принципа возможных
перемещений и в случае несвободного твердого тела с помощью
метода неопределенных множителей. Характерно, что
одновременно с вопросами статики автор рассматривает и вопросы
кинематики твердого тела. Это, с одной стороны, вызвано тем
обстоятельством, что во времена Лагранжа не проводили еще
четкой границы между статикой и кинематикой, а с другой —
внешней аналогией между скользящими и свободными
векторами, применяемыми для построения статики и кинематики,
и вытекающей отсюда аналогией между соответствующими
теоремами и аксиомами 8.
Представляет интерес последовательность изложения Лаграи-
жем вопросов статики. Прежде всего он устанавливает общее
уравнение равновесия произвольной свободной системы матергь
альыых точек, из которого следуют необходимые условия
равновесия системы в виде равенства нулю проекций главного вектора
действующих на систему сил на три взаимно перпендикулярные
оси координат и их главного момента относительно этих
осей [60]. Далее Лаграиж рассматривает статику несвободных
материальных систем, в частности различных упругих тел.
После этого он изучает статику жесткой нити, подчиненной
условиям нерастяжимости, неизгибаемости и незакручиваемости
(весьма частный случай одномерного твердого тела). Наконец,
завершает он свои исследования по статике рассмотрением общий
условий равновесия произвольного абсолютно твердого тела,
считая, вероятно, этот случай наиболее сложным.
Статику абсолютно твердого тела Лагранж начинает с
рассмотрения аналитического выражения неизхмешюсти расстояний
между двумя любыми его точками. Он показывает, что это
основное свойство абсолютно твердого тела можно выразить в виде
уравнения связи. Он ссылается при этом на формулы Эйлера
[24] для распределения скоростей в твердом теле, записанные в
перемещениях. Лагранж замечает [60]: «Эйлер впервые нашел
эти простые и изящные формы для того, чтобы выразить
вариации координат всех точек твердого тела, движущегося в
пространстве. Он пришел к ним па основании соображений,
выведенных из дифференциального исчисления, но отличных от тех,
которыми мы воспользовались, и как мне кажется, менее строгих).
Вопрос о нестрогости соответствующих рассуждений Эйлера
спорный, и можно вполне согласиться с мнением редактора третьего
французского издания «Аналитической механики» Лагранжа
8 Впервые выделить кинематику как отдельную часть механики
предложил А. М. Ампер [99].
96

(1853) Ж. Бертрана, который так оценивает это замечание Лаг-
ранжа: «Доказательство Эйлера действительно является менее
прямым, чем доказательство Лагранжа; но мне не удалось
установить точки зрения, исходя из которой Эйлера можно было бы
обвинить в недостаточной строгости его доказательства» [60].
Исходя из общего уравнения статики и записав его
применительно к неизменяемому твердому телу, Лагранж
последовательно рассматривает отдельные случаи равновесия свободного и
несвободного твердого тела. Лагранж замечает, что полученные
здесь уравнения равновесия абсолютно твердого тела совпадают
с аналогичными уравнениями из третьего раздела для равновесия
дискретной неизменяемой системы материальных точек.
Как известно, применение принципа возможных перемещений
связано с необходимостью рассматривать возможные
перемещения системы и, следовательно, имеет кинематический характер.
Поэтому Лагранж одновременно с изложением статики
дискретной материальной системы и абсолютно твердого тела все время
касается вопросов, относящихся к кинематике. Так, рассматривая
общие свойства равновесия неизменяемой системы тел [60]
(точнее, материальных точек, составляющих систему), он
подчеркивает, что движение такой системы является сложным и
состоит из поступательного движения вместе с каким-либо полюсом
и вращательного движения около этого полюса9. Далее он
последовательно рассматривает свойства равновесия (как он
выражается) свободной системы по отношению к поступательному
движению, вращательному движению вокруг неподвижной оси,
движению около неподвижной точки и в связи в этим
останавливается на аналитическом доказательстве теоремы о сложении
вращательных движений неизменяемой системы (твердого тела)
около пересекающихся в одной точке осей. По поводу этой
теоремы Бертран [60] делает следующее примечание: «Сопоставляя
эти выводы с теми, которые были получены в предыдущем
параграфе (т. е. с выводами, относящимися к движению тела около
неподвижной точки.—Лег.), мы видим, что любое бесконечно
малое движение твердого тела, имеющего одну неподвижную
точку, может рассматриваться как вращение вокруг оси. Эту
теорему сформулировал и аналитически обосновал Эйлер [24].
Двадцать пять лет спустя [50] он снова вернулся к этой теореме и,
изложив геометрическое доказательство, относящееся к случаю
конечных движений, признал, что аналитическое доказательство
требует столь пространных вычислений, что он вынужден от него
отказаться» 10. Здесь же Лагранж обсуждает вопрос о сложении
9 В случае изменяемой материальной системы, замечает Лагранж, к этим
двум компонентам движения прибавляется третья компонента —
относительное движение тел или точек, соответствующее изменению их
положения друг относительно друга и своих взаимных расстояний.
13 Доказательство указанной теоремы, соответствующее представлению
Эйлера, было получено в XIX в. О. Родригом [122] и У. Р.
Гамильтоном [164].
7 Заказ J4S 1377
97

моментов сил, приложенных к неизменяемой системе с
неподвижной точкой, в проекциях на координатные оси, исходя из
принципа возможных перемещений. При этом он отмечает, что
геометрическое доказательство этой теоремы можно найти у
Эйлера [53] ".
Параграф под названием «Свойства равновесия по отношению
к центру тяжести» [60, с. 90] посвящен доказательству теоремы
о том, что если сумма произведений параллельных сил на их
расстояния от трех взаимно перпендикулярных координатных
плоскостей равна нулю, то эти силы не вызывают вращательного
движения вокруг начала координат. Эта теорема применительно
к элементарным силам тяжести точек системы или твердого
тела позволяет определить положение центра тяжести. Далее
Лагранж доказывает следующую (в настоящее время забытую)
теорему, также дающую способ определения центра тяжести.
«Пусть А есть сумма произведений масс, взятых по две и затем
умноженных на квадрат их взаимного расстояния, деленная на
квадрат суммы этих масс. Пусть В — сумма произведений
отдельных масс на квадрат их расстояний от какой-либо заданной
точки, деленная на сумму этих масс. Тогда УВ—А выразит
расстояние центра тяжести системы всех масс от заданной точки»
[60, с. 92]. Для определения центра тяжести трехмерного тела
необходимо сделать указанные вычисления по отношению к трем
точкам, а в случае двумерного тела достаточно рассмотреть две
точки. «Если эти точки избрать в самих телах системы, то
положение ее центра тяжести будет задано исключительно массами и
их взаимными расстояниями. В этом,— говорит Лагранж,—
заключается главнейшее преимущество этого способа определения
центра тяжести» [60, с. 93].
Лагранж излагает также теорему об устойчивости состояния
равновесия системы [60], известную в настоящее время под
названием теоремы Лагранжа—Дирихле. Он утверждает, что при
минимальном значении потенциальной энергии в положении
равновесия системы материальных точек это положение устойчиво,
а при максимальном ее значении — неустойчиво. При
доказательстве этой теоремы Лагранж исходил из предположения о
разложимости потенциальной энергии в ряд по степеням координат,
а это значительно сужает общность рассуждения. Доказательство
первой части этой теоремы, данное Лежен—Дирихле [60],
свободно от этого ограничения. Что же касается второй части этой
теоремы, то она во всей общности не доказана и до сих пор.
Ж Общие свойства движения
Вторая часть первого тома «Аналитической механики» Лагранжа
[60] посвящена вопросам динамики, в частности динамики
твердого тела, которые трактуются с помощью общего уравнения ди-
11 Еще раньше Эйлера эту теорему доказал Д'Аламбер [21]. Он же впервые
установил условия равновесия свободного твердого тела в пространстве
в проекциях на оси координат.
98

яамики и уравнений первого и второго рода. В третьем разделе
(«Общие свойства движения») излагаются теоремы динамики —
теорема о движении центра масс, теоремы об изменении
кинетического момента и кинетической энергии системы или твердого
тела — и соответствующие законы сохранения, доказанные па
основании принципа Д'Аламбера—Лаграижа. В частности,
применив к абсолютно твердому телу теорему об изменении
кинетического момента, Лагранж получил формулы, характеризующие
абсолютное и относительное движения такого тела, которые
позволили ему ввести в рассмотрение мгновенную ось вращения и
мгновенную угловую скорость тела.
Лагранж специально остановился на исследовании свойств
неподвижных осей вращения свободного твердого тела любой
формы и показал, что существование таких осей упирается в
наличие вещественных корней определенного кубического уравнения.
Он доказал, что все три корня этого уравнения действительны
и, следовательно, каждой точке твердого тела соответствуют
три пересекающиеся в этой точке взаимно перпендикулярные оси
свободного равномерного вращения — главные оси инерции, по
отношению к которым центробежные моменты инерции
обращаются в ноль. Лагранж отметил, что Эйлер нашел главные оси
инерции, рассмотрев именно экстремальные значения моментов
инерции, которые при вращательном движении играют такую же
роль меры инертности тела, как масса тела в случае его
поступательного движения.
В заключение Лагранж применил уравнения второго рода к
построению общей теории малых колебаний консервативной
динамической системы (в частности, твердого тела), ограничиваясь
в первом приближении линеаризованными уравнениями. Он
разработал подробную методику решения этих уравнений путем
расщепления, если считать основными параметрами частоты
нормальных колебаний и исходить из исследования корней
соответствующего характеристического уравнения. Теория Лагранжа не
потеряла своего значения до сих пор. Она почти без изменений
излагается в современных учебниках теоретической механики,
являясь основой для изучения различных колебательных
процессов систем и твердых тел в линеаризованной постановке.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ИСТОРИЯ
МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В XIX ВЕКЕ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
СТАТИКА
Ж Учебник Л. Пуансо «Элементы статики»
В начале XIX в. ученик Монжа Л. Пуансо опубликовал учебник
«Элементы статики» [65], который стал и долгое время
оставался образцом изложения геометрической статики твердого тела в
курсах для высших учебных заведений1. Этот учебник выдержан
в стиле трудов Парижской политехнической школы:
геометрическая наглядность и отчетливость сочетаются с полнотой изложения
предмета в целях его максимального приближения к инженерной
практике. Этот учебник — продолжение и усовершенствованный
вариант учебника Монжа и восходит по своим традициям к
исследованиям Д. Бернулли о параллелограмме сил. Статику Пуансо
понимает прежде всего как статику твердого тела и системы
твердых тел, т. е. как учение о равновесии этих тел под
действием приложенных к ним сил, о методах приведения различных
систем сил, их преобразования к наименьшему числу и
простейшему виду. Пуансо дал строгое определение понятия абсолютно
твердого тела как абстрактной, но чрезвычайно важной для
приложений и развития теории модели реального тела, характерным
свойством которого является неизменность взаимных расстояний
между его точками. Силу он представляет как направленный
прямолинейный отрезок, характеризующийся линией действия,
направлением, интенсивностью и точкой приложения.
Учебник Пуансо состоит из четырех глав. Первая глава —
«Принципы» — содержит аксиоматические основы
геометрической статики твердого тела и методы сложения и разложения
приложенных к нему сил. В качестве аксиом он ввел аксиомы о
твердом теле, о параллелограмме сил (не в полном объеме),
о сложении сил (действующих по одной прямой), о
правомерности присоединения и отбрасывания силового нуля, об освобож-
1 Этот учебник многократно издавался на французском и на других
европейских языках, в том числе и на русском. Последнее издание: Пуансо Л.
Начала статики. Пг., 1920.
100

Луи Пуансо
даемости от связей. Последняя аксиома относится к
несвободному твердому телу. Оно рассматривается как свободное при
условии присоединения к активным силам дополнительных сил,
соответствующих реакциям связей, ограничивающих движение
тела. На основании этих аксиом Пуансо доказывает, что при
перенесении силы вдоль ее линии действия состояние тела не
изменяется. Вслед за Монжем он рассматривает сложение двух
параллельных сил, приведя их с помощью присоединения
силового нуля к системе сходящихся сил.
Пуансо ввел понятие момента силы относительно точки как
алгебраической величины и затем изобразил его графически в
виде направленного отрезка, нормального к плоскости
расположения силы и точки. Пуансо впервые в механике ввел понятие о
паре сил (как самостоятельном силовом объекте) наряду с
силой. Поскольку сумма моментов сил пары не зависит от центра
моментов, он принял эту величину в качестве характеристики
пары сил и назвал ее моментом пары сил. Теперь он получил
возможность доказать свою основную лемму о параллельном пе-
101

реносе силы, теорему о моменте равнодействующей для
параллельных сил и системы сходящихся сил, теорему об
эквивалентных парах сил и о сложении пар сил, расположенных
произвольно в плоскости и в пространстве. Построив теорию пар сил,
Пуансо указал новый метод приведения произвольной системы
сил в пространстве, позволяющий преобразовать эту систему сил
к силе и паре сил в определенном центре приведения. (Эта
теорема в современных курсах теоретической механики называется
теоремой Пуансо о приведении системы сил к главному вектору
н главному моменту.) Пуансо показал, что момент
результирующей пары сил изменяется с изменением центра приведения. Он
ввел в рассмотрение центральную винтовую ось, направленную
параллельно результирующей силе и представляющую собой
геометрическое место центров приведения, по отношению к
которым момент результирующей пары сил имеет минимальное
значение по модулю. Как следствие Пуансо получил общие
условия равновесия пространственной системы сил и условия
существования равнодействующей.
Вторая глава учебника Пуансо — «Об условиях равновесия» —
начинается с вывода условий равновесия сил, приложенных к
твердому телу в виде равенства нулю соответствующих
компонентов результирующей силы и момента результирующей пары
сил в неподвижной системе координат с началом в центре
приведения. Далее следуют аналитические выражения компонентов
момента результирующей пары сил и аналитическое условие
существования равнодействующей. Затем он рассматривает
условия равновесия сил, приложенных к несвободному твердому
телу с неподвижной точкой и неподвижной осью вращения. При
этом Пуансо вводит в рассмотрение компоненты реакций связей,
которые определяются в первом случае из трех уравнений
проекций, а во втором — из трех уравнений проекций и двух
уравнений моментов, причем во втором случае эта задача статически
неопределенная. Пуансо рассмотрел также случай твердого тела,
опирающегося на неподвижную плоскость при наличии одной и
нескольких точек соприкосновения. Теория равновесия твердого
тела обобщается далее на систему твердых тел на основании
принципа затвердевания.
В третьей главе излагается элементарная теория центра
тяжести. Вес тела Пуансо трактует как некоторую силу,
приложенную в центре тяжести, который рассматривается как центр
параллельных элементарных сил тяжести. Выводятся общие
формулы для определения центра тяжести, с помощью которых
находятся затем центры тяжести плоских фигур и тел
простейшей формы для случаев, когда можно обойтись без
интегрального исчисления.
Четвертая глава посвящена теории машин.
К учебнику приложены несколько мемуаров автора,
относящихся к статике. В одном из них («Общая теория равновесия и
движения систем») Пуансо устанавливает связь между принци-
102

пом возможных перемещений (общим уравнением статики) и
■методом сложения и разложения сил, характерным для
геометрической статики. Во втором («О сложении моментов и
площадей в механике») рассматривается понятие момента пары сил на
плоскости ы в пространстве.
Любопытно, что Пуансо нигде в своем учебнике не
упоминает о преобразованиях системы сил по Эйлеру и Монжу к двум
силам. А между тем лемма Пуансо о параллельном переносе
силы легко позволяет установить непосредственную связь между
теоремами Эйлера и Пуансо.
# Теория винтов. Различные варианты
преобразования системы сил
Уже Пуансо обратил внимание на возможность приведения
системы сил к силе и паре сил, плоскость которой
перпендикулярна силе. В этом случае результирующая сила, равная главному
вектору системы сил, приложенному в центре приведения,
который расположен на центральной винтовой оси, коллинеарна
моменту результирующей пары сил, равному главному моменту
системы сил относительно центра приведения. Дальнейшее
развитие эта идея получила в исследованиях Ю. Плюккера [230],
Р. Болла [282, 388, 584], Е. Штуди [615], Ф. Клейна
[624] и др. Болл назвал эту систему из силы и пары сил
силовым винтом, Плюккер — динамой. Эти авторы ввели понятие о
статических-инвариантах, доказали, что основными статическими
инвариантами являются главный вектор и проекция главного
момента на направление главного вектора, привели
аналитические выражения основных статических инвариантов (первого —
X2+Y2 + Z2 и второго — LX+MY + NZ) и вывели уравнение
центральной винтовой оси. Они показали, что динама может
выродиться в одну силу, если второй основной статический
инвариант равен нулю, и в пару сил, если первый основной
статический инвариант равен нулю. Если оба основных статических
инварианта равны нулю, то имеет место равновесие заданной
системы сил..
В некоторых исследованиях систем сил, приложенных к
твердому телу, рационально выбрать центральную винтовую ось в
качестве одной из координатных осей. Обозначив через R и М
главный вектор и главный момент динамы и совместив,
например, ось oz с центральной винтовой осью, получим Z=R, N=M,
X=Y = 0, L = M = 0. Соответственно упростится и выражение
главного момента относительно произвольной точки. Эти формулы
позволяют указать распределение главных моментов в
пространстве.
* Сложение двух систем сил
Две системы сил, каждая из которых приводится к динаме, при
совокупном действии, как это показал Болл [282], дают также
Динаму. В частности, Болл доказал эту теорему в случае, когда
103

центральные винтовые оси обеих систем сил взаимно
перпендикулярны, и показал, что результирующий силовой винт в этом
случае расположен на линейчатой поверхности третьего порядка.
Эту поверхность он назвал цилиндроидом. Цилиндроид Болла в
этом случае представляет геометрическое место прямых,
пересекающих фиксированную прямую под прямым углом. Вращаясь
вокруг нее и одновременно совершая вдоль нее гармонические
колебания, он делает два полных колебания за время каждого
оборота. Рассматривая общий случай сложения двух динам, Болл
показал, что и в этом случае результирующий силовой винт
будет расположен на цилиндроиде. Штуди [615] нашел
аналитические выражения элементов цилиндроида Болла 2.
* Элементарная работа системы сил, приложенных
к твердому телу
Если обозначить через X, F, Z, L, М, N координаты системы
сил3, то очевидно, что суммарная работа системы сил,
приложенных к твердому телу, выразится формулой
d'A = (Xu+Yv+Zw+Lp+Mq+Nr)dt, (1)
где и, v, w — компоненты скорости полюса, р, g, г — компоненты
мгновенной угловой скорости тела в его вращательном движении
вокруг полюса, X, У, Z — компоненты главного вектора
приложенных сил, L, Л/, N — компоненты главного момента
относительно полюса. В таком виде элементарную работу сил,
приложенных к твердому телу, впервые представил Ф. Клейн [624].
Согласно принципу возможных перемещений необходимое и
достаточное условие равновесия любой системы сил, приложенных
к твердому телу, выражается равенством нулю правой части
выражения (1), откуда следует равенство нулю в этом случае ее
главного вектора и главного момента относительно начала
координат. Выражение (1) может быть также отнесено к силовым
винтам, и тогда отсюда немедленно следует правило сложения
динам. В случае равновесия координаты элементарного
перемещения удовлетворяют линейному уравнению d'A = 0,
коэффициенты которого пропорциональны координатам системы сил, или,
по выражению Клейна [624], силовые и кинематические винты
находятся в контраградиентном отношении. Уравнение d'A = 0
указывает и на то, что силовые и кинематические винты взаимно
2 В формулах Штуди содержится обобщение правила параллелограмма
сил на случай сложения силовых винтов.
3 Понятие координат системы сил принадлежит Плюккеру [121, 219, 220]
и Кэли [202, 210]. Они также указали основные инварианты этих
координат: первый основной инвариант (скаляр первого рода) X2+Y2+Z2,
второй основной инвариант (скаляр второго рода) XL+YM+ZN. Если
речь идет о системе двух сил, то второй инвариант, как установил
Шаль [91], совпадает с шестой частью определителя четвертого порядка,
элементы которого представляют собой три координаты каждого из
четырех концов сил и единицу (т. е. объем тетраэдра, построенного на
силах).
104

обратимы [122, 250]. Если же рассматривать несвободное
твердое тело, элементарное перемещение которого ограничено
линейными условными уравнениями, то компоненты перемещения,
входящие в эти уравнения связей, составляют дополнительную
динаму, взаимно обратимую с кинематическими винтами
свободного твердого тела и характеризующую отличие в движении
свободного и несвободного твердого тела. В случае идеальных
связей это отличие отпадает [624].
Аналогия между статикой и кинематикой имеет место лишь в
случае элементарных перемещений. Это обстоятельство иногда
упускали, и это приводило к ошибкам. Такую ошибку, например,
допустил Плюккер [223]. Она была впоследствии исправлена
Клейном [250, 276]. В связи с этим следует заметить, что в
указанном смысле несовершенство принципа двойственности
может быть устранено, если перейти от евклидова (плоского)
пространства к пространству постоянной (положительной или
отрицательной) кривизны. Обсуждение этой идеи породило большую
литературу, так что ошибка Плюккера, как это ни
парадоксально звучит, породила ряд интересных и важных правильных
исследований [559, 584, 615].
# Вириал
Как известно, сила, приложенная к твердому телу, вообще
говоря, есть скользящий вектор. Шесть координат Плюккера такой
силы удовлетворяют тождеству X'Y'+Y'M'+Z'N^O,
означающему, что момент этой силы относительно какой-либо точки
перпендикулярен ей. Таким образом, из указанных шести координат
скользящего вектора только пять являются независимыми.
Однако не всякая сила, действующая на твердое тело,— скользящий
вектор. Так, например, силы всемирного тяготения Ньютона,
силы притяжения или отталкивания электрических зарядов и
магнитных полюсов неотделимы от точек своего приложения.
Работу, выполняемую системой сил, если их считать не
изменяющимися ни по величине, ни по направлению, можно
получить как дифференциал выражения V=yLFiri cos(F2-, г*), где
?\ — радиусы-векторы точек приложения сил относительно какой-
либо фиксированной точки Р. Это выражение, согласно Р. Клау-
зиусу [243], называется вириалом системы сил, а каждое из
слагаемых — вириалом соответствующей силы относительно
точки Р. Очевидно, что вириал не зависит от выбора системы
координат. Связанный вектор (сила) определяется шестью
скалярными параметрами — его тремя компонентами и тремя
координатами точки приложения. В качестве одного из шести параметров
Может быть выбран также вириал. Действительно [148], если
Две геометрически равные связанные силы имеют одинаковые
Моменты и одинаковые вириалы4 относительно точки Р, то они
имеют общую точку приложения, т. е. они идентичны. Далее,
Ф. Швайн [148] называет вириал подвижным моментом.
105

очевидно, что вириал системы сил принимает одинаковые
значения для всех точек каждой из плоскостей, перпендикулярных
их главному вектору (центральной винтовой оси), & для точек
одной из этих плоскостей обращается в ноль. Точку пересечения
этой плоскости с центральной винтовой осью Гамильтон [211]
назвал центром системы сил и показал, что вириал системы сил
относительно любой точки пространства равен вириалу ее
главного вектора, приложенного в центре этой системы сил. Для
всех точек плоскости, перпендикулярной к главному вектору
системы сил (R=^0), находящихся от центра Гамильтона на
расстоянии d, вириал V=Rd. Если система сил приводится к паре
(R=0), то ее вириал имеет неопределенную, но одну и ту же
для всех точек пространства величину, равную вириалу данной
пары сил с неподвижными точками приложения V=Frcosco (F —
величина сил пары, г — ее плечо, со — угол, образованный
направлением одной из сил пары с прямой, соединяющей точки
приложения обеих сил). Следовательно, вириал в этом случае,
если о) = я/2, обращается в ноль. Если систему сил привести к
центру Гамильтона как центру приведения в соответствии с
теоремой Пуансо, то вириалы исходной системы сил и приведенной
(состоящей из одной силы и ортогональной ей пары сил) будут
равны между собой для каждой точки пространства5.
* А статика. Теория систем связанных сил
Система связанных сил представляет собой обобщение системы
параллельных сил, понятие о центре которой ввел еще Варинь-
он, а в частном случае сил тяжести — Архимед (центр тяжести).
Основателями этого раздела статики следует считать А. Мёбиуса
[114] и Ф. Г. Миндинга [ИЗ, 116]. Далее разработкой этой
теории занимались многие крупные ученые [169, 229, 247, 252,
345, 635]. Остановимся прежде всего на некоторых основных
понятиях геометрического характера, непосредственно
касающихся астатики [616]. Сюда относятся в первую очередь
понятия о поверхностных координатах, полярных и антиполярных
системах.
Каждая поверхность второго порядка образует полярную
систему. Может случиться, что одна из двух поверхностей
проходит через полюс другой. Такие поверхности называются
сопряженными. Касательные плоскости поверхности второго порядка
сопряжены сами с собой.
-* Астатическое равновесие и астатическая
эквивалентное! ъ
Твердое тело находится в астатическом равновесии, если это
состояние не нарушится при любом перемещении тела с условием
сохранения взаимного соотношения приложенных к нему сил по
5 Заметим, что если L, М, N — компоненты момента пары сил (координаты
Илюккера), a V=-K — ее вириал, то величина K+Li+Mj+Nk есть га-
мильтоновский кватернион [211, 623].
106

модулю и направлению [114, 116]. Очевидно, что при
поступательном перемещении тела астатическое равновесие тела не
нарушается. Поэтому, для того чтобы имело место астатическое
равновесие тела, достаточно, чтобы оно не нарушалось при его
вращательном движении вокруг некоторой произвольно
выбранной точки. Вместо вращения тела можно поворачивать силы
вокруг их точек приложения на один и тот же угол в одном и
том же направлении.
Две системы связанных сил называются астатически
эквивалентными, если одна из них вместе с системой противоположно
взятых по направлению сил второй приводит тело в состояние
астатического равновесия.
•* Компоненты системы связанных сил
Если разложить каждую силу системы связанных сил на три
силы с той же точкой приложения, действующие по трем взаимно
перпендикулярным направлениям [63, 73], то тогда данная
система представится тремя системами параллельных связанных
сил, каждая из которых эквивалентна одной равнодействующей
силе, приложенной в центре данных параллельных сил.
Совмещая с этими тремя взаимно перпендикулярными связанными
компонентами Л,-(г=1, 2, 3) системы сил оси координат Oxyz,
получим для определения координат их точки приложения
формулы А&1=Ац, АгУг=Аг2, AiZi=Aiz (i=l, 2, 3). Таким
образом, 12 астатических координат получают простое геометрическое
истолкование. Все три точки приложения компонентов системы
связанных сил лежат в центральной плоскости и образуют
треугольник, являющийся полюсным в определенной антиполярной
системе [291]. Действительный центр, принадлежащий мнимой
кривой второго порядка, называется центральной точкой данной
системы сил или центром Миндинга. Этот центр совпадает с
центром тяжести трех материальных точек, к которым
приводятся связанные компоненты, если их считать пропорциональными
квадратам масс этих точек [108] 6. Приведение системы
связанных сил к произвольной системе трех ортогональных сил не
является единственной канонической формой приведения в астати-
ке. Можно, например, потребовать, чтобы две из этих трех сил
лежали в центральной плоскости, а третья была бы нормальна к
ней или чтобы в результате приведения получилась бы система
связанных сил, состоящая из одной силы, лежащей в
центральной плоскости, и двух пар сил, для которых составляющие их
силы перпендикулярны друг другу и результирующей силе. Пле-
Понятие центральной точки системы связанных сил независимо от
Миндинга ввел Мёбиус [115]. Для этого он разложил проекции связанных
компонентов в центральной плоскости по двум заданным одним и тем
we направлениям, нашел центры каждой из этих двух систем
параллельных сил и соединил их «центральной линией». На этой линии и
расположен центр Мёбиуса, однако в отличие от центра Миндинга центр
Мёбиуса не является фиксированным в твердом теле.
107

чи сил также должны быть взаимно перпендикулярны. В этом
последнем случае путем соответствующего поворота сил можно
добиться, чтобы силы обеих пар были совмещены с их
первоначальными плечами, так что результирующая сила была бы
нормальна к этим плечам. Таким образом, подходящим выбором
системы координат и поворотом системы связанных сил можно
12 астатических координат системы свести к трем: Аи = Р,
A22 = Q, A33 = S.
При выполнении некоторых условий система связанных сил
приводится в некоторой точке С к равнодействующей. Точка С
является астатическим центром связанных сил. Можно указать
условия, при которых связанные силы приводятся к силе и паре
сил. В этом случае существует фиксированная в теле прямая,
параллельная плечу связанной пары сил, такая, что
результирующая сила может быть приложена в любой ее точке. Эта прямая
называется центральной осью системы связанных сил. При
определенных условиях система связанных сил приводится к силе и
двум парам сил. В этом случае существует фиксированная в теле
плоскость, параллельная плечам этих пар сил, такая, что
результирующая сила может быть приложена в любой ее точке. Эта
плоскость называется центральной плоскостью системы
связанных сил. Если Лi = 0 (&=1, 2, 3), то система связанных сил
может быть приведена к трем парам сил [114, 116]. Заметим, что
существует ряд приложений теории связанных сил, например к
магнитным приборам [169]. Для определения координат центра
параллельных сил в прямоугольной или косоугольной системе
координат может быть использована следующая теорема,
высказанная в 1786 г. Монжем [58]: если система связанных
параллельных сил имеет равнодействующую (как известно, она
приложена в центре этих параллельных сил), то ее момент
относительно произвольной плоскости равен главному моменту
составляющих сил относительно той же плоскости.
* Семейство эквивалентных конфокальных
поверхностей
Всем плоскостям, относительно которых скалярный момент
заданной системы связанных сил имеет постоянное значение,
можно поставить в соответствие некоторую поверхность второго
порядка— конфокальную поверхность. Если значение скалярного
момента М изменять в действительной области, получим все
действительные поверхности конфокального семейства7.
Уравнения этого семейства принимают простейший вид в
специальной системе координат, для которой 12 астатических координат
сводятся к трем отличным от нуля координатам Ахч А22, Ам.
Оси этой специальной системы координат, таким образом, явля-
7 Семейство конфокальных поверхностей можно также получить, устано
вив связь между астатикой и геометрией масс [340, 635].
108

ются главными осями конфокальной поверхности. Центральной
точкой в данной координатной системе служит центр Миндинга,
плоскость z = 0 представляет собой центральную плоскость
Миндинга. Мнимые конфокальные кривые соответствуют
плоскости М = 0, и при этом только центральная плоскость является
действительной. Соответствующая фокальная кривая,
расположенная в центральной плоскости антиполярной системы, есть
кривая второго порядка. Плоскостям равных моментов,
проходящим через фиксированную точку, соответствует конус,
принадлежащий семейству конфокальных конусов. Проведя в этой точке
к каждой из плоскостей равных моментов перпендикуляр и
отложив на нем величины, обратные соответствующим моментам,
можно получить точки, геометрическое место которых
представляет собой эллипсоид. Этот эллипсоид, оси которого совпадают с
главными осями конфокального конуса, Дарбу [291] назвал
центральным эллипсоидом для данной точки.
Каждая фокальная ось конфокального семейства поверхностей
принадлежит линейчатой поверхности из этого семейства.
Мёбиус [114] показал, что скалярный момент заданной системы
связанных сил относительно всех плоскостей, проходящих через
фокальную ось, остается постоянным. Если привести данную
систему связанных сил к двум силам, приложенным в некоторых
точках, так что исходная система сил астатически эквивалентна
этим двум силам, то эквивалентность сохранится при любом
повороте сил относительно фокальной оси. Поэтому Мёбиус назвал
фокальные оси главными осями вращения для системы
связанных сил.
* Статические оси
Ф. Сиаччи [334] показал, что система связанных сил может быть
приведена к одной силе с произвольно фиксированной точкой
приложения О и компонентами Ai, А2, А3 и трем парам сил,
плечи которых проходят через точку О и взаимно
перпендикулярны.
Векторный момент каждой из этих пар сил относительно
любой плоскости, содержащей плечи двух других, равен
векторному главному моменту исходной системы связанных сил
относительно рассматриваемой плоскости. Если плечи трех пар сил
совпадают с главными осями центрального эллипсоида
относительно точки О, то направления сил этих пар будут взаимно
перпендикулярны.
Выше было уже указано, что твердое тело в результате
соответствующего поворота вокруг надлежащим образом выбранной
точки О может быть приведено в такое положение, что
действующая на него система связанных сил будет астатически
эквивалентна одной силе, приложенной в точке О. Если такое
положение тела найдено, то, как оказывается, существуют три других
его положения, для определения которых следует повернуть тело
вокруг каждой из главных осей центрального эллипсоида относи-
109

телыю точки О на половинный угол. Оси четырех вращений
относительно точки О, при вращении вокруг которых тело приходит
в указанные четыре положения, Сиаччи назвал статическими
осями этой точки. Плоскость, проходящая через две из них,
нормальна к плоскости, содержащей две другие.
По линиям действия четырех сил, которым исходная система
связанных сил эквивалентна в этих четырех положениях,
пересекаются два конуса конфокального относительно точки О
семейства. Эти два конуса определяют две действительные
фокальные кривые, определяющие в теле конфокальную
поверхность. Если эту симметричную поверхность конфокального
семейства выбрать как координатную, то уравнения соответствующих
конфокальных кривых примут простейший вид. Для каждой
точки О одной из этих фокальных кривых центральный
эллипсоид образует поверхность вращения. Ось фокальной кривой,
которая проходит через точку О, таким образом, принадлежит
симметричной поверхности конфокального семейства. Если систему
связанных сил повернуть вокруг такой оси фокальной кривой
так, чтобы она была приведена к одной астатически
эквивалентной ей силе, линия действия которой пересекает обе фокальные
кривые, то существует еще одно приведение рассматриваемой
системы сил к одной результирующей силе. Его можно
осуществить путем надлежащего вращения вокруг касательной к
фокальной кривой в указанной точке пересечения. Линия действия этой
результирующей силы, если ее вращать вместе с исходной
системой связанных сил вокруг касательной к фокальной кривой,
всегда пересекает другую фокальную кривую. Эту теорему в
1835 г. доказал Миндииг [108]. В 1877 г. Дарбу [291] обобщил
теорему Миндинга.
Ж Особые случаи астатических координат
Если система связанных сил удовлетворяет инвариантному
условию Ai=0 (t=l, 2, 3), то она приводится астатически к системе
грех связанных пар сил, плечи которых могут быть направлены
по осям произвольно выбранной декартовой системы координат.
Скалярный момент М рассматриваемой системы сил
относительно плоскости может быть получен из некоторого определенного
уравнения. Это относится и к любой из плоскостей, параллельно
данной. Однако условие обращения в ноль трех астатических
координат Аг не может выполняться для действительной
плоскости, расположенной в конечной области пространства. Для
бесконечно же удаленной плоскости астатические координаты А\
становятся неопределенными.
Тело может быть приведено по крайней мере к четырем
положениям равновесия, причем от каждого из них к другому можпо
перейти путем поступательного перемещения. В частности,
может встретиться случай, когда тело остается в равновесии, если
его произвольно поворачивать вокруг некоторой оси. Такую ось
Мёбиус [114] назвал осью равновесия. Чтобы имел место такой
110

случай8, как показывает Мёбиус, необходимо и достаточно,
чтобы семейство указанных конфокальных конусов для
какой-нибудь конечной точки приводилось к семейству соосных конусов
вращения, что влечет за собой определенное соотношение между
астатическими координатами.
Если в случае Л» = 0 (г=1, 2, 3) определитель, составленный
из остальных девяти астатических координат, также равен нулю,
мы получим семейство параллельных плоскостей, относительно
которых скалярный момент системы связанных сил равен нулю.
Эти плоскости перпендикулярны внутренней главной оси
семейства конфокальных конусов для любой точки пространства.
Наконец, если вместе с указанным определителем обращаются в ноль
все его подопределители, то исходная система связанных сил
эквивалентна одной связанной паре сил. Скалярный момент этой
пары сил относительно любой плоскости равен произведению
модуля ее силы на проекцию ее плеча на перпендикулярное к
плоскости направление. Этот момент, в частности, обращается в
ноль относительно всех плоскостей, параллельных плечу
результирующей пары сил. В этом случае семейство конфокальных
конусов для каждой точки тела есть семейство соосных конусов
вращения, ось которых параллельна плечу пары сил. А это
значит, что действие результирующей связанной пары сил на
твердое тело путем ее поворота вокруг любой перпендикулярной к
плоскости пары сил оси можно привести к положению
равновесия. Этого (же положения равновесия тела можно достигнуть в
результате любого поворота тела вокруг любой оси, параллельной
плечу пары сил.
Ж Различные геометрические образы, применимые
в статике твердого тела
В 1903 г. Э. Штуди [615, 661] классифицировал геометрические
образы, которые могут быть использованы в статике абсолютно
твердого тела. Кроме скользящих векторов, он предложил
рассматривать геометрические объекты, образованные не толька
двумя точками пространства, взятыми в определенном порядке*
но и совокупностью точек и других простейших элементов
пространства.
В XIX в. ученые встретились с трудностями, связанными с
решением уравнений равновесия твердого тела. Это относилось,
в частности, к строительной механике при расчетах многостерж-
невых конструкций, где приходилось иметь дело с большим
числом линейных алгебраических уравнений. При отсутствии даже
элементарных математических машин9, естественно, обратились
В этом случае каждая прямая, параллельная данной оси, также будет
осью астатического равновесия тела.
Существенное улучшение обычной примитивной конструкции
арифмометра с прерывным изменением суммы цифр было получено лишь в
последней четверти XIX в. в результате изобретения петербургским
инженером В. Т. Однером установочного механизма с колесами с
изменяемым числом зубцов.
111

к созданию графических методов расчета. Разработка теории
таких расчетов привела к развитию метода Вариньона —
приведения плоской системы сил и возникновению нового'раздела
статики — графической статики или графостатики, которая
основывается на теории силовых и веревочных многоугольников. Сам
Вариньон не предполагал, что его метод требует дальнейшего
развития. По сравнению с Вариньоном не продвинулись вперед
и позднейшие ученые: Ж. Понселе, Б. Кузинери и другие,
которые применяли силовые и веревочные многоугольники для
исследования равновесия веревочной фигуры [92, 140] 10. Первый,
кто установил возможность применения метода построения
силового и веревочного многоугольников для решения общих задач
статики твердого тела и системы твердых тел, был К. Кульман
[215]. Затем Дж. Максвелл обосновал теорию взаимных плоских
фигур и применил ее к расчету ферм. Поэтому основателями
графостатики и ее приложений следует считать Кульмана и
Максвелла [216, 262, 284, 372].
Ж Сложение сил, произвольно расположенных
в одной плоскости
Следуя Вариньону и развивая его метод построения силового и
веревочного многоугольников, Кульман доказал теорему (как это
делается в современных курсах графостатики) о приведении
данной произвольной плоской системы сил к двум силам,
действующим по крайним сторонам веревочного многоугольника,
и показал, что главный вектор системы сил и ее главный момент
относительно произвольно фиксированной точки плоскости
инварианты относительно рассматриваемого преобразования
Вариньона. Он произвел исчерпывающий анализ такого
преобразования при фиксированном выборе полюса силового многоуголь
пика и классифицировал в зависимости от замкнутости или
разомкнутости силового и веревочного многоугольников различ
ные случаи, имеющие при этом место: приведение к равнодейст
вующей, к паре сил и равновесие. Еще Вариньону было
известно, что момент силы относительно точки характеризуется
алгебраическим значением удвоенной площади треугольника,
построенного на силе как на основании с вершиной в точке.
Поэтому главный момент системы сил, расположенных в одной
плоскости, может быть получен как удвоенная алгебраическая
сумма площадей всех треугольников, которые отдельные силы
системы образуют как основания с выбранным центром моментов
в вершине. Этот метод, естественно, остается в силе и в частном
случае, когда складываются пары сил и, следовательно, нужно
оперировать с их моментами [215].
10 Так, Понселе применял графические методы для расчетов различных
конструкций; в частности, он применял веревочный многоугольник в
своих лекциях по артиллерии в инженерной школе в Метце [215].
Кузинери [115а] занимался применением графических методов для счетных
операций.
112

# Различные варианты веревочных многоугольников
Уже Кульман [215] поставил вопрос о различных возможных
вариантах веревочных многоугольников. Важнейшими из них
являются веревочные многоугольники, образованные при
сохранении последовательности рассматриваемых сил путем изменения
полюса силового многоугольника. Далее следует отметить
специальный вариант веревочного многоугольника, когда в качестве
полюса силового многоугольника выбирают его начальную точку.
Соответствующий веревочный многоугольник Кульман назвал
средней силовой линией или многоугольником последовательных
равнодействующих, так как в данной последовательности его
сторон лежат равнодействующие первых двух сил, первых трех сил
и т. д. Пользуясь этим специальным вариантом построения
веревочного многоугольника, Кульман доказал следующую теорему:
при наличии двух веревочных многоугольников, относящихся к
заданной системе сил, взятых в определенной последовательности,
н соответствующих разным полюсам силового многоугольника,
соответствующие стороны пересекаются в точках прямой линии,
параллельной отрезку, соединяющему оба полюса.
Г. Цейтен исследовал вопрос о построении веревочных
многоугольников, удовлетворяющих условиям теоремы Кульмана.
Этим же вопросом занимались также другие ученые: О. Мор,
М. Леви, К. Савиотти, которые решили задачу о построении
веревочного многоугольника, три стороны которого проходят через
заданные наперед точки. Более глубокий взгляд на
геометрическую связь между веревочными многоугольниками,
относящимися к заданной системе сил, приводит (как показал Максвелл)
к интерпретации рассматриваемых фигур как проекций
некоторых пространственных геометрических образов. На основании
идей Максвелла Л. Кремона высказал следующую теорему:
каждый веревочный многоугольник является проекцией плоского
сечения ^-поверхности, ребра которой проектируются в
последовательность линий действия сил [256]. Аналитическое исследование
этой проблемы принадлежит Ф. Клейну. Идея Клейна позволяет
без труда получить геометрические связи между различными
вариантами веревочных многоугольников. Эти связи установили
геометрическим путем Л. Кремона, В. Шелл, Т. Рее и Г. Юнг
[239,247,256,348,608].
Аналитические условия равновесия системы твердых тел
установил Мёбиус. Ему принадлежит и исследование равновесия
шарнирного миогозвеиника [114]. В последней четверти XIX в.
возникла идея графического исследования этого вопроса, если
рассмотреть плоский шарнирный многоугольник с силами,
действующими в шарнирах, как веревочный. Такое исследование
провел В. Шелл [247] для четырехугольника и Г. Юнг [348] в
общем случае ^-угольника. Равновесие шарнирного
многоугольника в случае, когда силы действуют не только на шарниры, но
и на его стороны, рассмотрел Ф. Руффини [608]. Задача опре-
8 Заказ JSft 1377
113

деления силы, действующей на последний стержень шарнирной
системы, находящейся в равновесии, если заданы силы,
действующие на другие стороны многоугольника, графическим' методом
была решена А. Кеннеди и Л. Геннеибергом [608], которые
разложили эти силы на составляющие, приложенные в точечных
шарнирах системы. Различные модификации метода веревочного
многоугольника, упрощающие в некоторых случаях графическое
исследование вопроса о приведении к нулю плоской системы сил,
предложили Г. Эдди, Ф. Руффини, М. Окань и Г. Голлендер
[608]. При непрерывной последовательности сил силовой и
веревочный многоугольники переходят в кривые, соответственно
называемые силовой и веревочной линиями. В этом случае следует
надлежащим образом заменить сплошную нагрузку дискретно
расположенной системой сил и применять вышеуказанные методы
[608]. Веревочную (стержневую) линию можно трактовать как
ортогональную проекцию на данную плоскость
развертывающейся поверхности, образующая которой проектируется на силовую
линию. При этом касательные к веревочной линии параллельны
соответствующим диагоналям силовой линии, исходящим из
полюса. Силы, действующие на элемент длины ds веревочной
кривой, на силовой кривой образуются на пересечении с двумя
диагоналями, параллельными касательным к веревочной кривой в
концах элемента ds. Чтобы построить веревочную кривую,
соответствующую данной силовой кривой, нужно эту силовую
кривую сначала по возможности точнее аппроксимировать силовым
многоугольником, а затем построить веревочный многоугольник,
от которого перейти к веревочной кривой. Стержневая кривая
может работать на растяжение или на сжатие. При этом она
соответственно называется линией растяжения или сжатия. Эти
понятия имеют большое значение в строительной механике,
например при расчете сводов.
Ж Теория статического трения твердых тел
После Кулона исследованиями явления сухого трения
занимались Г. Ренни, Ж. Понселе, А. Морена, И. А. Вышыеградский,
А. В. Белинский, А. Палынау [1153] .Поставленные опыты
позволили Ренни сформулировать ряд закономерностей. Сила
сопротивления скольжению зависит от природы трущихся тел.
Для твердых тел при отсутствии истирания сила трения
изменяется пропорционально нормальному давлению независимо от
площади контакта, продолжительности соприкосновения и
скорости. Когда разнородные тела скользят одно по другому, величина
силы трения определяется истиранием более мягкого тела. Сила
трения больше для мягких и меньше для твердых тел. Понселе
отводит целый раздел своего курса прикладной механики
вопросам сухого трения, считая их очень важными для расчетов
машин и механизмов. Его ученик Морен ставит многочисленные
опыты над трением, которые его привели к заключению, что
трение скольжения пропорционально нормальному давлению и не
114

зависит ни от поверхности контакта трущихся тел, ни от
скорости.
И. А. Вышнеградский излагал свои соображения о трении в
лекциях по механике, которые он читал в Петербурге в конце
50-х годов XIX в. Для раскрытия закономерностей трения он
предложил обратиться к опыту. Вышнеградский утверждал, что
величина силы трения возрастает пропорционально нормальному
давлению и не зависит от размеров поверхности соприкосновения,
по крайней мере в случае больших давлений, которые
обыкновенно бывают в машинах. Понимая под поверхностью
соприкосновения номинальную площадь контакта, он высказал оригинальную
мысль о росте частичных сил при возрастании сближения
трущихся поверхностей.
В исследовании А. В. Белинского, как и в исследованиях его
предшественников и современников, явление трения
объясняется зацеплением неровностей. Он отметил, что сила трения
пропорциональна нормальному давлению, причем коэффициент
трения зависит от свойств и состояния соприкасающихся
поверхностей. Белинский считал, что трение не зависит от
величины соприкасающихся поверхностей, за исключением тех случаев,
когда поверхность слишком мала сравнительно с давлением. Он
утверждал, что при небольших скоростях движения трение не
зависит от скорости, при больших же зависит от скорости; трение
больше в начале движения, чем при остановке тела. Большое
значение имеет работа Палынау о трении [1153]. В его
представлении сила трения есть равнодействующая элементарных сил
трения, возникающих на элементах реального контакта. Эта идея
лежит в основе определения силы трения в современной теории.
Палынау утверждал, что сила трепия прямо пропорциональна
нормальному давлению; при одном и том же нормальном
давлении она не зависит от величины трущихся поверхностей и от
скорости, а зависит исключительно от природы тел и состояния
их поверхностей. Чем поверхность более отполирована, тем
трение меньше.
Следует также отметить «Лекции по прикладной механике»
Ф. Е. Орлова (1873—1874), в которых содержится важная идея
о колебаниях значений коэффициентов трения для одной и той
же пары трущихся поверхностей [1153].
Исключительно важное для построения начал
математической теории трения покоя твердого тела, движущегося по
опорной плоскости, имеет работа Н. Е. Жуковского [976], который
исследовал статический поворот тела, трущегося о шероховатую
плоскость, и получил ряд фундаментальных результатов.
115
с*

ГЛАВА ВТОРАЯ /
КИНЕМАТИКА
* Конечные движения твердого тела. Простейшие
виды движений и перемещений
Как уже отмечалось, благодаря Амперу [99] * кинематика как
наука о движении механических систем вне зависимости от сил
взаимодействия между телами получила самостоятельное
значение.
Классификацию простейших видов механического движения
твердого тела мы находим еще у Эйлера и Д'Аламбера. Они
рассмотрели элементарные движения — поступательное движение
твердого тела и вращательное движение вокруг неподвижной
оси и показали, что движение около неподвижной точки можно
рассматривать как совокупность мгновенных вращений вокруг
переменной мгновенной оси. Они исследовали
плоскопараллельное и пространственное движения свободного твердого тела и
показали, что это сложные движения, которые можно разложить
на элементарные движения.
При движении твердого тела вокруг неподвижной точки
кривые, неизменно связанные с телом, переходят сами в себя.
Вращение переходит в поступательное движение, если неподвижную
точку удалить в бесконечность. Наиболее общее изменение
положения тела можно осуществить в результате некоторого
винтового движения, состоящего из вращения вокруг неподвижной
оси и поступательного движения вдоль нее. Винтовое движение
в особых случаях может выродиться либо во вращательное
движение, либо в поступательное. Эту теорему доказал М. Шаль.
Он различает два случая расположения двух конгруэнтных
фигур на плоскости в зависимости от того, может ли одна из
них совместиться с другой в результате поступательного
движения (скольжения) или нет. В первом случае всегда существует
в теле неподвижная точка, которую Шаль назвал точкой
вращения или центральной точкой. Он рассмотрел свойства движения
тела при наличии центральной точки [203]. Во втором случае
обе плоские фигуры можно расположить симметрично друг
относительно друга. Свойства фигур в этом случае отличаются от
их свойств в предыдущем случае.
1 Большими пропагандистами идеи Ампера о полезности в методическом
плане выделения кинематики из механики в виде отдельной части курса
были Ж. Понселе и М. Шаль. Понселе внедрил эту идею в преподавание
теории механизмов и машин. Шаль занимался кинематическими
исследованиями в отрыве от времени — той частью кинематики, которую
можно назвать геометрией движения или кинематической геометрией.
Многочисленные исследования в этом направлении принадлежат также
Г. Дарбу, А. Мангейму, Е. Чезаро, В. Н. Лигину.
116

# Сложение движений и зеркальных отображений
Если твердое тело получает некоторое конечное перемещение и
затем второе, то переход из начального положения в конечное,
называемый сложением движений, может быть осуществлен
одним из указанных путей. В результате сложения движений мы
получим некоторое результирующее движение. (Все это
относится и к зеркальным отображениям.) Оказывается, что эта
операция обладает ассоциативным свойством, но не всегда является
коммутативной [427, 612] 2. Сложение двух поступательных
движений сводится к сложению скоростей точек движущихся тел как
векторных величин. При сложении двух вращательных
движений, оси которых проходят через некоторую точку О, получим
также вращательное движение вокруг оси, проходящей через
эту точку (теорема Эйлера [50]).
Строгое доказательство теоремы Эйлера было получено
Гамильтоном [164, 198] 3. Каждое вращение можно представить
как вращение на тот же угол вокруг некоторой параллельной
оси, сложенное со скольжением перпендикулярно этой оси.
Каждое винтовое движение эквивалентно вращению на тот же угол
вокруг оси, параллельной центральной, сложенному со
скольжением в некотором определенном направлении. Иными словами,
в теории конечных движений в данном случае справедливы
теоремы, аналогичные соответствующим теоремам, относящимся к
бесконечно малым движениям. Однако конечные движения, как
уже указывалось выше, вообще говоря, некоммутативны. Это
доказал О. Родриг [122].
Винер [427] установил, что любой поворот тела можно либо
осуществить путем двух полуоборотов около двух
пересекающихся осей, либо путем двух полуоборотов вокруг двух
надлежащим образом выбранных скрещивающихся осей, либо путем
двух последовательных зеркальных отображений в двух
плоскостях. В последнем случае происходит поворот вокруг прямой
пересечения плоскостей отражения на угол, равный удвоенному
углу между этими плоскостями.
Вопросу о. сложении движений твердого тела посвятил
несколько работ Шаль [203, 207]. Он установил соотношения
между амплитудами вращений тела вокруг пересекающихся осей и
амплитудой результирующего вращения, а также между
амплитудами вращений тела вокруг скрещивающихся осей (такие
вращения автор называет сопряженными) и амплитудой и
скольжением результирующего винтового движения. Шаль указал два
способа построения центральной винтовой оси по известньш трем
парам соответствующих точек для двух положений тела.
Для простейших движений твердого тела операция сложения движений
всегда коммутативна.
Независимо от Гамильтона эту теорему вывел М. Донкин [150]. Ему
принадлежит прямое доказательство теоремы. Она имеет
непосредственное приложение к кинематике глаза. См. Ламб Г. Теоретическая
механика. М.; Л.: ОНТИ, 1936, с. 12.
117

#■ Непрерывные движения твердого тела. Скорость
и ускорение точки /
Понятия скорости точки и ускорений первого, второго и более
высоких порядков как векторных величин — производных
соответствующего порядка от радиуса-вектора точки по времени —
ввел в рассмотрение А. А. Резаль [212]. Эти векторы можно
разложить на составляющие вдоль координатных осей или каких-
либо других направлений. Понятие годографа переменного
вектора и характеристику его производной по скалярному аргументу
как вектора, касательного к годографу дифференцируемого
вектора, впервые ввел Гамильтон [211]. Разложение ускорения
первого порядка по осям естественного трехгранника встречается еще
у Эйлера [39]. Сиаччи [311] в 1879 г. предложил другой вид
представления ускорения точки первого порядка, как суммы двух
компонент, одна из которых направлена по радиусу-вектору
точки, а вторая — по касательной к ее траектории. Систематически
применяли векторное исчисление в кинематике Резаль,
Сен-Венан, Сомов и др. Резаль [212], например, уже пользовался
скалярным произведением двух векторов, а Сен-Венан [133] ввел
понятие дифференцирования векторной функции скалярного
аргумента. Он доказал, в частности, теорему о том, что
производная от вектора с переменными концами равна разности скоростей
этих концов. Пользуясь этой теоремой, Сомов [214] в 1877 г.
установил рекуррентные формулы разложения ускорения точки
любого порядка по осям естественного трехгранника. Сомову
принадлежат, кроме того, формулы для ускорений точки любого
порядка в криволинейных координатах, а также понятие
секторной скорости точки. Понятие скорости и ускорения по отношению
к прямолинейному или плоскостному элементу ввел Виттенбау-
эр [343]. Ламе [197] получил разложение скорости и ускорения
на составляющие вдоль нормалей ортогональной системы
поверхностей.
* Непрерывное движение плоскости по самой себе.
Метрическая и конструктивная кинематическая
геометрия
Теоремы о непрерывном движении тела можно получить из
соответствующих теорем о конечном движении путем предельного
трехода. Однако исторически некоторые из них были найдены
раньше и в большинстве случаев геометрическим путем.
Понятие о мгновенном центре вращения было известно еще
И. Бернулли [15]. Поскольку движение плоскости по самой себе
характеризуется наличием мгновенного центра вращения, то
справедливы следующие открытые Шалем теоремы [304]:
мгновенные нормали всех траекторий проходят через
мгновенный центр вращения; нормали огибающей всех прямых и
кривых в их мгновенных точках касания проходят через точку;
каждое движение плоскости по самой себе состоит в качении
118

одной кривой по другой без скольжения. Эти кривые позволяют
исследовать свойства касательных и нормалей к траекториям
точек тела, а также их центров кривизны [167, 251, 254].
Для метрических и конструктивных исследований в
кинематической геометрии представляет интерес формула,
устанавливающая связь между радиусами кривизны траектории точки
плоской фигуры, неподвижной и подвижной центроид и
радиусом-вектором точки тела относительно мгновенного центра
вращения. Эта формула впервые была указана Эйлером [40], а позднее
вновь найдена Ф. Савари [130]. Обоснование и дальнейшее
развитие метрических и конструктивных вопросов принадлежат
С. Аронгольду. К его исследованиям примыкают работы Е. Бо-
былье, Р. Мюллера и др. [612].
# Скорость и ускорение точки в плоском движении
твердого тела
Если плоская фигура вращается в своей плоскости вокруг
неподвижной точки О, то производные от угла поворота по
времени представляют собой мгновенную угловую скорость,
мгновенное угловое ускорение и угловые ускорения высших порядков.
Скорость любой точки плоскости, движущейся по самой себе,
складывается из скорости ее поступательного движения вместе
с произвольным полюсом и скорости вращательного движения
вокруг этого полюса. Эта теорема была известна еще Эйлеру
(вопросы кинематики твердого тела, исследованные Эйлером,
содержатся в его трактате «Морская наука» [22] и мемуаре
«Открытие нового принципа механики» [24]).
Теоремы о распределении ускорений плоской фигуры
доказал И. Бресс [163]. Исходя из того, что искомое ускорение точки
плоской фигуры складывается из ускорения ее поступательного
движения вместе с произвольным полюсом и ускорения
вращательного движения вокруг полюса (за который он принимает
мгновенный центр скоростей), и разложив ускорение
вращательного движения вокруг полюса на тангенциальное и
центростремительное, Бресс нашел формулы для проекций полного
ускорения точки на касательную и главную нормаль. Далее он показал,
что геометрические места точек плоской фигуры с нулевым
касательным или нулевым нормальным ускорением есть
окружности с определенными центрами и радиусами. Первая из этих
окружностей позже была названа кругом Бресса, а вторая — кругом
Лагира. На окружности Лагира радиусы кривизны описываемых
точками тела траекторий обращаются в бесконечность, и поэтому
ее можно также назвать окружностью перегибов. Обе окружности
пересекаются в мгновенном центре скоростей. Однако полное
ускорение в этой точке, очевидно, отлично от нуля. Второй
точкой пересечения кругов Бресса и Лагира является мгновенный
Центр ускорений, в котором обращаются в ноль ускорение точки.
Геометрическое место мгновенных центров ускорений исследовал
Л. Лекорню [431]. В мгновенном центре скоростей круги Брес-
119

са и Лагира пересекаются под прямым углом. При постоянной
угловой скорости мгновенный центр ускорений совпадает с
наиболее удаленной от мгновенного центра вращения точкой/круга
Бресса. Полное ускорение пропорционально расстоянию точки от
мгновенного центра ускорений и образует с прямой, проходящей
через мгновенный центр вращения и точку окружности,
описанной вокруг мгновенного центра ускорений, постоянный угол.
Наиболее удаленная от мгновенного центра вращения точка круга
Лагира называется средней точкой углового ускорения [247].
В ней угловое ускорение обращается в ноль. На описанных
вокруг нее окружностях угловое ускорение постоянно и
пропорционально расстоянию точки от мгновенного центра ускорений. Эта
теорема об ускорении первого порядка может быть обобщена на
ускорения любого порядка. Таким образом, всегда существует
точка с нулевым нормальным ускорением га-го порядка, такая,
что на описанной вокруг нее окружности нормальное ускорение
того же порядка постоянно и во всех точках проходящей через
центр прямой одинаково направлено. Эта точка называется
полюсом ускорений данного порядка. Подобно тому как ускорение
раскладывается на касательную и нормальную компоненты во
вращательном движении по отношению к полюсу, и для ускорений
высшего порядка возможно разложение на простейшие
компоненты [474]. Для случая постоянной угловой скорости эти формулы
значительно упрощаются. Графические методы построения
скорости точки и ускорений различных порядков установили Л. Бур-
местер, Р. Мемке, И. Шадвилл и Г. Мор [612]. Эти методы
основаны на построении годографов для скорости и ускорений как
векторных функций времени. В ряде случаев графические
методы оказываются предпочтительнее аналитических.
Ж Особые случаи движения на плоскости
Общие уравнения, характеризующие зависимость между
полярными кривыми и траекториями (соответственно огибающими),
были даны еще Лагранжем [51], а позднее изучены С. Арон-
гольдом [336] и А. Кэли [306]. Представляют интерес некоторые
специальные случаи, когда при движении плоской фигуры ее
точки остаются на прямых или окружностях, на прямых,
проходящих через неподвижную точку, совершают движения,
описываемые эллипсографом, движутся по конхоидам и т. д.
Движение, описываемое эллипсографом, таково, что две точки
плоской фигуры движутся по прямым. Полярные кривые
являются окружностями. Если окружность катится внутри другой
окружности вдвое большего радиуса и образует поворотный круг,
то все ее точки описывают прямые. Если траекториями
движения являются эллипсы, то обращенное движение дает кривые
Паскаля, в частности кардиоиды. Движение по конхоиде
определяется так, что одна прямая проходит через неподвижную
точку и при этом одна из точек данной прямой движется по прямой
или окружности. В первом случае получают обычную конхоиду
120

Никомеда, во втором — конхоиду окружности. Полярным кривым
четвертого порядка соответствует траектория четвертого порядка
с двумя двойными точками, линия связи которых проходит через
мгновенный центр ускорений. Общая теория дает возможность
построения центров кривизны точек кинематически
определенной кривой и их эволют. Представляет интерес кинематическое
определение эвольвент, подер и фокальных кривых. Для
эвольвент основополагающими кривыми являются полярные.
# Четырехзвенный кривошипный механизм
Большое число исследований в XIX столетии было посвящено
изучению движения четырехзвенного кривошипного механизма,
который образуется, если две точки А и В движутся по
окружностям соответственно с центрами А/ и В\ Четырехзвенник
АА'В'В можно рассматривать как систему четырех твердых
стержней, соединенных между собой точечными шарнирами.
Стержень АВ называется шатуном. С технической точки зрения
представляет интерес вопрос о том, описывают ли точки А и В
полные окружности или нет. В первом случае четырехзвенник
называется скрещивающимся, во втором — качающимся.
Движение четырехзвенника представляет интерес с точки
зрения изучения циклических кривых. Исследования этих кривых
принадлежат Дарбу, Кенигсу, Аронгольду, Кэли, Робертсу и др.
[612]. Представляет интерес шарнирный четырехзвенник, в
котором диагонали взаимно перпендикулярны. Если этим свойством
обладает один четырехзвенник, то им обладают и все другие,
получаемые из него при движении. Большое значение для техники
имеет антипараллелограмм. Полярные кривые, относящиеся к
его сторонам, представляют собой для меньших сторон —
конгруэнтные, симметрично расположенные эллипсы, а для больших
сторон — гиперболы. Траекториями являются подеры конических
сечений. Это справедливо и для четырехзвенника с двумя парами
равных смежных сторон. В этом случае полярными кривыми
являются кривые Паскаля. Интересен четырехзвенник,
образованный при движении точек А и В по прямым линиям вместо
окружностей. Тогда получается либо сдвинутый кривошип, либо
эллипсограф.
Графические методы определения скоростей и ускорений
точек четырехзвенного кривошипного механизма разработали Мор,
Риттерсгауз и Шадвилл.
Важное прикладное значение имеет нахождение кривых,
которые с помощью четырехзвенного кривошипного механизма с
большой точностью воспроизводят наперед заданные кривые
определенной возможной длины. Этим вопросом занимался еще
Дж. Уатт [612]. Общую проблему с помощью исследования
функции, разложенной в ряд, такой, чтобы в заранее заданном
интервале она наименее уклонялась бы от заданной функции, решил
П. Л. Чебышев [162]. Исследование этого вопроса привлекло
внимание многих ученых, рассмотревших его всесторонне, с тео-
121

ретической и практической точек зрения [612]. Во многих из
этих исследований авторы пользуются методами Чебышева.
■# Осевые поверхности наиболее общего вида
Теорема о том, что мгновенное движение твердого тела в
пространстве в общем случае является винтовым, была впервые
высказана Г. Моцци [38]. При этом вектор поворота тела и
проекции поступательного перемещения тела вместе с любой его
точкой на направление вектора поворота являются основными
кинематическими инвариантами тела. Совокупность винтовых осей
образует в пространстве и в теле линейчатые поверхности. Эти
осевые поверхности в каждый момент времени имеют общую
образующую, по которой они катятся друг по другу и скользят
вдоль нее. Они называются соответственно подвижным и
неподвижным аксоидами винтовых осей. Обе эти поверхности могут
быть либо косыми, либо развертывающимися, либо
цилиндрическими. Если мгновенная ось вращения имеет постоянное
направление в пространстве, то это имеет также место в теле, и
обратно. Соотношение между скольжением и качением определяется
осевой поверхностью [280]. Две осевые поверхности должны
удовлетворять дополнительным условиям. Если эти поверхности
косые, то они должны иметь общий центр вдоль общей
образующей, общую центральную плоскость и один и тот же параметр.
При движении тела линии сужения достигают совпадения точки
за точкой без совпадения в соответствующих точках касательных.
Соответствующее соотношение должно иметь место между
кривизнами нормальных сечений. Если поверхности осей
развертывающиеся, то их ребра поворота проходят через общую точку и
имеются определенные соотношения между дугами ребер
поворота. Соответствующие соотношения между дугой ребра поворота
и дугой, по которой конус пересекает сферу единичного радиуса,
существуют и в том случае, если одна поверхность коническая,
а другая — нет. Если обе поверхности цилиндрические, то
указанные соотношения отсутствуют. В случае, когда каждая
мгновенная ось есть ось вращения, так что имеет место качение
поверхностей, возникают особенности. В этом случае каждая кривая
одной поверхности также катится по соответствующей кривой
другой, в частности каждая геодезическая катится по
геодезической [212].
Задача нахождения всех поверхностей, описываемых
мгновенной винтовой осью тела в пространстве, которые могут катиться
по соответствующим поверхностям, приводится к квадратурам
[146]. Если обе поверхности развертывающиеся, то катятся друг
по другу и ребра поворота, которые имеют в соответствующих
точках равные первые кривизны и переходят в конгруэнтные
кривые.
Геометрические свойства общего движения твердого тела были
систематически изучены в ряде работ ученых XIX в. [203, 206,
207,242,385,423,447].
122

-#• Движение твердого тела, имеющего две и большее
число степеней свободы
Если твердое тело имеет две степени свободы, то геометрическое
место возможных положений точки тела есть поверхностная
кривая. В частности, Г. Шонеман [173] изучил случай, когда
четыре точки тела остаются на поверхности. Он нашел, что нормали
всех четырех кривых поверхности в каждый момент времени от-,
секают на заданных нормальных плоскостях две неподвижные
прямые (общие трансверсали и и и), каждая из которых
вращается вокруг другой так, что ее точки мгновенно описывают
криволинейные элементы. Геометрические места, связанные с этим
движением, независимо исследовали А. Маннгейм и А. Тевене
[279, 385]. Нормали кривых поверхности во всех точках прямой
образуют гиперболоид, нормали плоскостей — пучок
параболоидов, касательные плоскости всех точек прямой —
развертывающиеся поверхности четвертого порядка, точки касания плоскости
пучка — кривые третьего порядка и т. д. Шонеман исследовал
также движение твердого тела с тремя степенями свободы. В
частности, он рассмотрел случай, когда три точки тела движутся
но трем поверхностям.
При аналитическом исследовании движения твердого тела с
двумя степенями свободы нужно исходить из того, что скорость
полюса, девять направляющих косинусов и проекции
мгновенной угловой скорости р, д, г следует рассматривать как функции
двух независимых переменных и и и. Целесообразно вначале
изучить случай, когда полюс неподвижен. Тогда между
функциями р, д, г, зависящими только от и, и р', g't г', зависящими
только от у, имеют место три основные зависимости. Если из этих
уравнений можно определить указанные функции, то для девяти
направляющих косинусов получаются постоянные значения и
решение приводится к уравнению Риккати. Тогда для
рассмотрения общего движения твердого тела с двумя степенями свободы
нужно проинтегрировать еще три подобных дифференциальных
уравнения. Эти уравнения имеют важное применение в теории
поверхностей. Существенный частный случай получится, когда
оси и и v пересекаются в некоторой точке. Тогда каждое
возможное движение тела является вращением вокруг этой точки.
Если пересечение является постоянным, то этой точке в
неподвижном пространстве и теле соответствуют аксоиды с
развертывающимися поверхностями.
* Особые случаи пространственного движения
Если аксоиды твердого тела представляют собой цилиндрические
поверхности, то тело совершает плоскопараллельное движение и
его точки описывают плоские траектории. В общем случае аксои-
Дами являются линейчатые поверхности. Е. Блек [564]
исследовал движение, описываемое эллипсографом, а также случай,
когда полярные кривые соответствуют антипараллелограмму. Ре-
123

заль [212] и Мангейм рассмотрели случай, когда аксоиды —
прямые двойные конусы [212]. Представляют интерес
изученные в конце XIX в. случаи, когда аксоиды движущегося тела
и траектории его точек являются плоскими, сферическими,
алгебраическими поверхностями и соответственно — аналогичными
кривыми. Как указал Дарбу [318], возможен случай, когда тело
движется так, что каждая его точка описывает плоскую
траекторию, а в обращенном движении каждая плоскость огибает
конус. Если не считать тривиальных случаев, то возможно одно
такое движение, причем траекториями точек являются эллипсы,
осевыми поверхностями — круговые цилиндры, а конусы
обращенного движения представляют собой конусы вращения, оси
которых остаются параллельными образующей цилиндра. Если
четыре точки прямой лежат на сферах, центры которых
расположены в одной плоскости, то все точки прямой остаются на
сферах, центры которых образуют в указанной плоскости кривые
второго порядка [423]. Случай, когда все точки прямой
описывают сферические кривые, исследовал С. Дюпорк. Траекториями
точек тела в этом случае являются кривые четвертого порядка,
расположенные на эллипсоиде вращения. При этом каждые две
точки прямой имеют подобные траектории, в частном случае
одинаковые. Представляет интерес вопрос о том, может ли
каждая точка плоскости описывать сферическую траекторию, такую,
чтобы центры этих сфер также лежали в одной плоскости. Если
оставить в стороне тривиальные случаи, то оказывается
возможны два таких движения, соответствующие аффинным
преобразованиям [612]. В одном из них прямой соответствует окружность,
во втором — равносторонняя гипербола. Задача допускает
обратную постановку. Бельтрами [612] 4 описал движение триедра,
вершина которого пробегает траекторию так, чтобы его ребра
образовали касательную, главную нормаль и бинормаль
траектории точки. Это движение составляет основу теории кривых и
поверхностей.
Дарбу показал, что с помощью пространственного
шарнирного четырехзвенника можно реализовать плоское движение точки,
и построил соответствующую модель5. Чтобы найти
алгебраические движения твердого тела с одной и двумя степенями
свободы, Дарбу воспользовался кинематическими формулами в
параметрах Родрига-Гамильтона. Он установил, что если параметры
являются линейными функциями переменных, то
пространственные траектории — кривые третьего порядка. В случае когда эти
параметры зависят линейно от двух переменных, описываемые
траектории расположены на поверхностях Штейнера. В общем
случае десять точек описывают плоские траектории. Дарбу
показал также, что три или четыре точки, расположенные в одной
4 Здесь речь идет о так называемом трехграннике Ж. Ф. Френе, который
опубликовал названные его именем формулы в 1852 г. Ранее их получил
Ж. Серре (1851).
3 Эта модель хранится в палате мер и весов близ Парижа.
124

плоскости, могут описывать поверхностные траектории, если в
этой плоскости имеются и другие точки.
Как особое движение твердого тела с тремя степенями
свободы можно указать случай, когда прямой угол огибает эллипсоид,
а его вершина описывает сферическую кривую. А. Шоенфлис
[385] заметил, что если эта вершина все время расположена на
гиперболоиде, она описывает поверхностную траекторию.
Примером специального движения твердого тела с тремя степенями
свободы является также случай, когда две точки прямой
остаются в двух плоскостях. Аналогично триедру Френе, который
движется вдоль траектории, можно ввести в рассмотрение триедр,
грани которого постоянно совпадают с касательной плоскостью
и главным сечением некоторой поверхности. Такое исследование
приводит к новым результатам в области теории поверхностей
[479].
* Относительное движение
В кинематике твердого тела большое значение имеют формулы
сложного движения, состоящего из переносного и относительного
движений. Эти понятия находят применение, в частности, тогда,
когда относящиеся к телу образы, характеризующиеся
определенными геометрическими свойствами, изменяются со временем, как,
например, полюс на полярной кривой, мгновенная ось на
осевой поверхности, точка пересечения или касания двух
движущихся кривых на аксоидах и т. д. Можно говорить о скоростях и об
ускорениях любого порядка в сложном (абсолютном) движении
точки тела. Общие теоремы, относящиеся к сложному движению,
для скорости и ускорения точки общеизвестны: абсолютная
скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и
относительной скоростей (теорема параллелограмма скоростей);
абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме
переносного, относительного и кориолисова ускорений (теорема Ко-
рнолиса). При этом кориолисово ускорение, равное векторному
произведению удвоенной угловой скорости переносного движения
на относительную скорость точки, возникает благодаря
изменениям во времени переносной скорости в относительном движении и
относительной скорости в переносном движении. Эти теоремы
были известны еще Эйлеру [39] и позднее были заново получены
К. Гауссом и Г. Кориолисом [96, 105]. По отношению к
неподвижной в теле координатной системе Oxyz теорема о
параллелограмме скоростей выразится совокупностью соответствующих
трех скалярных равенств, пользуясь которыми можно с помощью
°пераций дифференцирования получить рекуррентные формулы
Для ускорений различных порядков. Общую нерекуррентную фор-
мУлу для определения ускорения любого порядка предложил
!'• И. Сомов [252]. Аналогичные формулы, определяющие угло-
вУю скорость и угловое ускорение первого порядка в сложном
вРащательном движении твердого тела вокруг пересекающихся
осей, указал Г. Резаль [212]. Эти формулы были распространены
125

Ф. Гильбертом [612] на угловые ускорения любого порядка.
Гильберт уже установил зависимость между линейным и
угловым ускорениями высших порядков, а также указал метод для
построения центров кривизны траекторий относительного
движения. Рассмотрев геометрическое место точек, в которых
переносная и относительная скорости точки коллинеарны, Г. Кёниг [146]
определил для пространственного движения кривые, являющиеся
огибающими. Задача приводится к квадратурам. Указанные
кривые оказываются независимыми от осевых поверхностей в теле.
Ж Геометрические основания механики твердых тел.
Основные геометрические понятия. Зарождение
векторного исчисления
Векторное исчисление как удобный математический аппарат в
механике зародилось в середине XIX в. Вектор определяется как
направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве.
Основатели векторного исчисления А. Мёбиус, Г. Грассман и
У. Гамильтон уже пользуются такими понятиями, как связанный,
скользящий и свободный векторы, компоненты X, У, Z вектора
R в декартовой системе координат, основной инвариант вектора
Я2. Операции сложения и вычитания векторов путем сложения
и вычитания их компонентов, правило параллелограмма и
понятие эквивалентности свободных векторов впервые ввел в
рассмотрение Г. Белятивис [103]. Ориентированный (против или но
часовой стрелке) параллелограмм Грассман называет плоскостной
величиной — свободной, если его плоскость можно выбирать
произвольно параллельно заданной плоскости, и связанной, если эта
плоскость зафиксирована. Отрезок нормали к плоскости,
направленный в определенную сторону и по модулю равный площади
параллелограмма, он называет направленным отрезком или
вектором данной плоскостной величины. Очевидно, что одному
вектору соответствует бесчисленное количество плоскостных величин,
которые получаются путем поворота параллелограмма вокруг
линии действия вектора или при его перемещении с сохранением
параллельности сторон.
В отличие от Грассмана Гамильтон оперирует не с
плоскостными величинами и соответствующими им векторами, а
непосредственно с векторами. Позднее Дж. Максвелл [269] проводил
различие между обычными векторами как поступательными и
векторами, соответствующими плоскостным величинам, как
вращательными. В. Войт соответственно говорит о полярных и
аксиальных векторах.
Грассман ввел понятие внутреннего (скалярного)
произведения двух векторов как простейшего их инварианта, не
изменяющегося при преобразовании координат и при инверсии. Величины,
не изменяющиеся при преобразовании координат, Гамильтон
назвал скалярами [164]. Если к тому же эти величины не
изменяются при инверсии, они, согласно Клейну [624], называются
скалярами первого рода. Сложение двух параллельных отрезков
126

производится по правилу сложения параллельных сил, а в
случае нары отрезков образуется свободная плоскостная величина,
которая в статике называется парой сил [65, 615] и вполне
характеризуется тремя координатами. Эта плоскостная величина
определяется соответствующим вектором, который в статике
называется моментом пары сил.
В общем случае сумма двух отрезков не имеет
равнодействующей, а представляет собой новую геометрическую величи-
цу — суммарный отрезок [247, 416]. Его инвариантами являются
скаляры первого и второго рода [194]. Координаты суммарного
отрезка преобразуются как точечные координаты. Произвольный
суммарный отрезок получается при сложении пары Пуансо и
отрезка, расположенного в нормальной плоскости. Линия действия
этого отрезка называется его центральной линией [67].
Ж Основная теорема кинематики твердого тела и
теория винтов
Основатели кинематической геометрии, статики и кинематики
твердого тела переосмысливали полученное ими научное
наследие прошлого и открывали новые закономерности во всех
указанных областях механики. Теория винтов давала возможность
интерпретировать соответствующие результаты с единой точки
зрения. Математический аппарат векторной алгебры и анализа
позволил глубже исследовать теоремы статики и кинематики
твердого тела. Основная теорема кинематики твердого тела о
возможности приведения любого его движения к винтовому была
открыта еще в 1763 г. Г. Моцци [38] и доказана О. Копти [83] в
1827 г. Эта теорема может быть изящно истолкована, если
воспользоваться понятием суммарного отрезка [280], роль которого
в кинематике играет бесконечно малое перемещение твердого
тела в пространстве. Такое движение есть винтовое движение по
центральной оси суммарного отрезка. Очевидно, что компоненты
бесконечно малого перемещения любой точки М(х0, у о, z0) тела,
отнесенные к неподвижной системе координат, выразятся
формулами
dx0= (u—ryo+qzo) dt (1)
(две другие формулы запишутся при круговой замене
переменных: х, z/, z; и, v, w; р, д, г). Здесь udt, vdt, wdt —
компоненты поступательного движения вместе с полюсом, a pdt, qdt, rdt —
компоненты вращательного движения вокруг полюса.
При построении кинематики твердого тела основное значение
имела теория винтов. Развитию этой теории положили начало
работы Пуансо по статике и кинематике твердого тела [65],
в которых впервые появилось и получило значительное развитие
понятие пары сил и бесконечно малых вращений. Фактически
Пуансо оперирует с силовым винтом и винтовым движением.
Методом, отличным от метода сложения составных движений
(синтеза движений твердого тела), Шаль доказал эквива-
127

лентность всякого перемещения твердого тела некоторому
винтовому движению. /
Аналогию между сложением сил, приложенных к твердому
телу, и сложением вращений развил Мёбиус [114]. Важно, что
он установил особый род взаимного соответствия
(двойственности) между пространственными элементами двух систем сил (их
инволюционными положениями), согласно которому каждой
точке одной системы соответствует проходящая через нее плоскость,
каждой плоскости — лежащая на ней точка и каждой прямой —
прямая (нуль-система по Мёбиусу). В этой фокальной системе
существует бесчисленное множество прямых, соответствующих
самим себе,— это лучи определенного данной системой сил
линейного комплекса первого порядка. Через каждую точку
пространства этого комплекса проходит пучок первого порядка,
расположенный в фокальной плоскости точки, и в каждой плоскости
лежит такой же пучок с центром в фокусе плоскости. Как показал
И. М. Занчевский [409], прямые, соответствующие друг другу в
фокальной системе, представляют собой линии действия двух
(вообще скрещивающихся) сил, эквивалентных данной системе
сил. Все указанные исследования производились геометрическим
методом.
Аналитическую теорию линейных комплексов построил Плюк-
кер, взяв за координаты прямой проекции лежащего на ней
вектора и его моменты относительно координатных осей
(координаты Плюккера). Независимо от Плюккера исследованием
линейных комплексов занимались А. Кэли, Ф. Клейн, Е. Бельтрами,
Г. Дарбу и многие другие ученые. А. Маннгейм, пользуясь
геометрическим методом, получил ряд новых результатов в этой
области, некоторые из которых можно встретить и у Плюккера.
В этой связи представляют интерес работы И. И. Сомова [252,
253], который пытался установить связь между теорией
линейных комплексов и результатами, полученными Маннгеймом.
Однако эти исследования нельзя считать обоснованными, ввиду
того что И. И. Сомов не пользовался теорией винтов.
Существенным этапом в развитии теории винтов явились
относящиеся к последней четверти XIX в. исследования Р. С. Болла,
основные результаты которых объединены в его работе «Теория
винтов» [584]. Метод Болла, основанный на теории винтов,
позволил ему исследовать многие вопросы статики, кинематики и
динамики твердого тела с новой точки зрения. Некоторые из этих
результатов были получены ранее Плюккером и Клейном
другими методами. Ценным вкладом в теорию винтов в свете связи
этой теории с теорией линейных комплексов явились работы
И. М. Занчевского [409].
Большое значение для развития теории винтов имели
многочисленные исследования Ф. Клейна [238, 250, 260, 624].
Дальнейшее развитие теории винтов применительно к механике
твердого тела в XIX в. содержится в глубоких исследованиях Е. Штуди
и А. П. Котельникова.
128

% Аналогия между статикой и кинематикой.
Винтовые величины первого и второго рода
Волл [249, 282, 624] предложил рассматривать
кинематический и силовой винты (кинету и динаму, по терминологии
Плюккера) с единой точки зрения как винтовые величины
соответственно первого и второго рода. Каждый винт определяется
своей осью и параметром. Различие винтовых величин первого и
второго рода обнаруживается при преобразованиях координат.
В то время как винтовые величины первого рода при инверсии
характеризуются тем, что координаты и, и, w меняют знак, а р,
q, г не изменяются, для винтовых величин второго рода
характерно, что координаты X, Y, Z меняют знак, a L, М, N остаются
без изменения6.
Винтовые величины обоих родов ведут себя одинаково.
Каждому винту соответствует линейный лучевой комплекс, который
может быть построен на нулевой линии, принадлежащей данному
суммарному отрезку, относящемуся к рассматриваемому винту.
Обратно, винт Болла полностью характеризуется этим линейным
комплексом. Таким образом, теория винтов находится в самой
непосредственной связи с линейчатой геометрией [409, 615].
Взаимная связь обоих родов винтовых величин получает отчетливое
выражение, если рассматривать их инварианты, т. е. некоторые
образованные из их координат целые рациональные функции,
которые в результате операций основной группы остаются
неизменными с точностью до множителя [624]. Инвариант p2 + q2 + r2
(соответственно X2 + Y2 + Z2) при преобразовании координат
(параллельном переносе и вращении), а также при инверсии не
изменяется. Инвариант же pu + qv + rw (соответственно XL+YM+
+ ZN), оставаясь неизменным при любом движении системы
координат, изменяет свой знак при инверсии. В соответствии с этим
первый из них Ф. Клейн назвал прямым инвариантом (скаляром
первого рода), а второй — псевдоинвариантом (скаляром второго
рода). Иными словами, аналогия, существующая между силовыми
и кинематическими винтами, состоит в том, что координаты этих
винтов по отношению друг к другу при движении координатной
системы прямо коградиентны, а при инверсии коградиентны с
переменой знака [624].
* Линейная система винтов. Цилиндроид Болла
Если твердое тело имеет две степени свободы, то каждая его
точка может в данный момент двигаться в некоторой плоскости.
Зафиксировав направление движения для одной точки, мы тем
самым фиксируем направление движения и для всех остальных
6 Следует обратить внимание на то, что координаты и, v, w являются
компонентами свободного вектора, а координаты X, У, Z — компонентами
скользящего вектора. Именно в этом и состоит различное поведение при
инверсии кинеты и динамы.
9 Заказ JSfo 1377
129

точек тела. При этом для некоторых двух прямых и и v, которые,
в частности, могут совпадать или быть мнимо сопряженными,
направление поступательного движения может быть определено
непосредственно. Каждое движение твердого тела можно
рассматривать как синтез вращений вокруг этих двух прямых, так что они
представляют собой сопряженные оси вращения для любого
движения тела. Вообще же прямые, которые с данной прямой G
образуют две сопряженные оси вращения для возможных движений
тела, описывают квадратичную линейчатую поверхность,
содержащую прямую G, так что при движении тела только одна
прямая G сопряжена сама с собой. Плоскость возможного движения
каждой точки тела нормальна к прямой, проведенной из этой
точки так, что она пересекает прямые и и и. Это было установлено
в 1855 г. Шёнеманом [173]. Линейную винтовую систему второй
степени, оси винтов которой образуют линейчатую поверхность
третьей степени, Кэли [313] назвал цилиндроидом. Он пришел к
этому образу, оперируя с цилиндром. Цилиндроид рассматривал
еще Г. Батаглини [233], определяя геометрическое место
центральных осей всех динам суммарных отрезков, которые
объединяют два отрезка действующих сил. (Это, очевидно, частный
случай цилиндроида.) Одновременно с Батаглини Плюккер [230]
также пользовался понятием цилиндроида (называя его
коноидом) и сконструировал соответствующую модель.
Полное и глубокое исследование цилиндроида принадлежит
Р. Боллу [249]. Чтобы получить уравнение цилиндроида
простейшим путем, нужно выбрать общую нормаль осей двух винтов,
определяющих винтовой слой, относящийся к оси Z. Болл
исследовал и систему винтов третьей, четвертой и пятой степени [282].
Если тело имеет три степени свободы, то всегда можно
определить произвольное бесконечно близкое положение каждой его
точки в любой момент времени. Совместим координатные оси с
осями трех винтов с параметрами а, р, у. Координаты этих
винтов должны удовлетворять уравнениям и—ар=0, v— pg=0, w—
—fr=0 и быть расположенными на квадратичной линейчатой
поверхности (к—а)х2+(к— $)yz+(k—^)z2+(k—а) (к—$) (к—
7)=0. Все поверхности, получаемые из нее изменением
параметра к, концентричны и имеют совпадающие между собой
направления главных осей. Особо выделена поверхность с
нулевым параметром, которую Болл называет квадратичной
поверхностью уровня. Каждая точка этой поверхности может
мгновенно перемещаться в плоскости, и ограничение ее свободы
выражается в том, что три точки поверхности уровня определяют
некоторую плоскость или поверхность [246].
* Гомографическая система винтов
Имея в виду потребности механики твердого тела, Болл [282]
предпринял исследование проективной геометрии винтов.
Аналогичный характер носят и некоторые исследования Клейна.
130

Семейство четырех винтов называется проективным по
отношению к другому, если оба семейства получаются одно из
другого однозначно, так что их двойные отношения равны между
собой. Две линейные винтовые системы одного измерения
называются томографическими (коллинеарными) между собой, если
между винтами этих систем имеется такое соответствие, что
каждое семейство четырех винтов одной из них является
проективным по отношению к каждому семейству четырех винтов другой.
В этом случае координаты винтов одной системы выражаются как
однородные линейные функции координат винтов другой
системы и, таким образом, имеем и обратное аналитическое
определение томографического отношения.
* Различие голономных и неголономных
дифференциальных выражений и условий
Еще в начале XIX в. в связи с поисками методов решения
дифференциального уравнения с частными производными первого
порядка возникла так называемая задача Пфаффа о решении
п
уравнения вида 2 -^i (#ь #а» • • •» хп) &х% = 0. В случае трех неза-
висимых переменных х, у, z это уравнение имеет вид Pdx + Qdy +
JrRdz = 0, где Р, Q, R — функции этих переменных. Впрочем, эта
задача была фактически поставлена еще раньше, в работах
Ньютона [4] и Эйлера [48]. Ньютон рассматривал некоторые частные
примеры уравнения Пфаффа с двумя и тремя переменными,
однако критерий существования полного дифференциала ему еще
не был известен. Тем не менее он указал, что в случае
уравнения с тремя независимыми переменными можно ввести
произвольную дополнительную зависимость между двумя
переменными, с помощью которой это уравнение преобразуется к
интегрируемой форме. Эйлер уже располагал условиями интегрируемости
уравнения Пфаффа с тремя переменными. Вместе с тем он
считал, что если эти условия не выполняются, то данное уравнение
ие имеет смысла (становится «нереальным», по выражению
Эйлера). Если же они выполняются, то решение уравнения дается
равенством /(#, г/, z)=c. Два десятилетия спустя Монж [59]
установил, что любые кривые, лежащие на поверхности указанного
семейства, ортогональны к кривым, определяемым уравнениями
"х dy dr
Р~ = Q- = ■£-. В случае же, когда уравнение Пфаффа с тремя
переменными неинтегрируемо, то при задании дополнительной
зависимости между ними оно приводится к обыкновенному
дифференциальному уравнению с двумя переменными Mdx+Ndy = 0 и
определяет однопараметрическое семейство кривых,
расположенных на поверхности, заданной дополнительной зависимостью
Между переменными, и ортогональных к указанным выше кри-
вьщ. Классификация различных возможных вариантов решения
Подобных уравнений содержится в работе самого Ж. Ф. Пфаффа.
131
9*

Изложенные математические идеи имеют непосредственное
отношение к механике твердого тела, поскольку уравнения'Пфаф-
фа здесь выступают в качестве уравнений связей,
ограничивающих его движение, или характеризуют те или другие
зависимости между параметрами, определяющими это движение. В
своих «Принципах механики» [476] Г. Герц предложил называть
подобные уравнения связей, сами связи и соответствующее
движение механической системы (твердого тела) голономными или
неголономными в зависимости от того, интегрируются ли эти
уравнения или нет. На возможность существования голономных
и неголономных связей твердого тела (механической системы),
выражающихся уравнениями Пфаффа, впервые указал Лагранж
[60]. Однако только на рубеже XIX и XX вв. выяснилось, что
наличие голономных или неголономных связей при движении
системы (твердого тела) существенно сказывается на характере
динамических уравнений, описывающих это движение, и,
следовательно, на характере самого движения. В частности
координаты pdt, qdt, rdt бесконечно малого вращения твердого тела
вокруг неподвижной точки, а также винтовые координаты pdt, qdt,
rdt, udt, vdt, wdt любого бесконечно малого движения твердого
тела являются неголономными дифференциальными
выражениями соответственно трех и шести параметров, через которые
движение тела определяется в данных двух случаях. Как указал Герц
[476], катящийся без скольжения по плоскости твердый шар
представляет собой типичный пример неголономной
механической системы с пятью степенями свободы. И. В. Мещерский
[387], по-видимому, первым высказал мысль о том, что наряду
с линейными относительно скоростей точек системы (твердого
тела) неголономными связями имеют место и нелинейные связи
такого рода. При этом любая дифференциальная связь (линейная
или нелинейная) может быть реализована либо в виде некоторой
шероховатой поверхности, либо в виде некоторой среды, в
частности сопротивляющейся. На возможность существования
нелинейных неголономных связей указал и Герц [476]. Л. Больцма-
ну [357, 619] принадлежит дальнейшее развитие проблемы о
способах конкретного осуществления неголономных связей. В его
исследованиях 1885 и 1902 гг. имеется серия оригинальных
примеров неголономных связей, реализуемых при движении систем
зубчатых и фрикционных колес путем непрерывного изменения
передаточного числа. Ряд новых примеров неголономных связей
принадлежит Г. К. Суслову и относится к периоду 1898—1902 гг.
В его учебнике по теоретической механике [561] в качестве
неголономной системы приводится система двух твердых тел,
соединенных весьма длинной гибкой нитью, не поддающейся
кручению. Аналогично как указал Суслов, неголономной системой
является твердое тело, неизменно связанное с гибкой, не
испытывающей кручения весьма длинной нитью, при условии, что ее
второй конец имеет постоянную угловую скорость вращения
вокруг касательной. Точно так же можно получить неголономную
132

систему, если твердое тело находится в спонтанном движении
вокруг неподвижной точки и неизменно соединено с одним
концом гибкой, весьма длинной и не поддающейся кручению нити,
второй конец которой неподвижен. К рассматриваемому периоду
относятся также исследования Ж. Адамара [496], в которых
показывается, что не только условие чистого качения твердых тел,
но и отсутствие верчения является неголономной связью. В
магистерской диссертации А. П. Котельникова [486] и обширном
мемуаре Ф. Клейна [624] опубликовано исследование некоторых
теорем о винтах, характеризующих движение несвободного
твердого тела, в том числе и неголономное. В частности, оказывается,
что если неголономные связи твердого тела допускают два
кинематических винта, образующих некоторую группу, то они
допускают и все остальные винты этой группы. Вышеизложенная
теория винтов Болла ограничена голономными движениями твердых
тел.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ДИНАМИКА
Начало XIX в. знаменует новый этап в развитии динамики
твердого тела. Это было не только развитие тех областей ее, в
которых так много сделано трудами Эйлера, Д'Аламбера, Лагранжа,
по постановка и решение многих новых и чрезвычайно важных
для развития механики и математики задач. С. Д. Пуассон
обогатил динамику твердого тела многими значительными
результатами. Независимо от Ж. Л. Лагранжа он исследовал второй
случай интегрируемости задачи вращения твердого тела около
неподвижной точки [71]. Пуассон впервые построил общую
аналитическую теорию удара твердых тел [69]. Л. Пуансо
принадлежит геометрическое исследование проблем динамики
твердого тела. Он ввел понятия пары сил и пары угловых
скоростей, импульса силы и эллипсоида инерции. Пользуясь этими
понятиями, он исследовал качение шара по неподвижной
плоскости. Дальнейшее развитие этих идей содержится в обширной
монографии Ф. Клейна и А. Зоммерфельда по теории волчка [536].
В этой монографии дается наглядное представление о движении
твердого тела в пространстве с течением времени и
рассматривается применение гироскопа в различных областях механики и
техники. Клейн и Зоммерфельд применили к динамике твердого
тела приближенные математические методы. Далее следует
указать на работы В. Понселе [80], С. Пуассона [98] и К. Гейна
[605, 606] по динамике системы твердых тел, ограниченных
опорой. К динамике системы твердых тел относятся результаты
Г. Герца в его «Принципах механики» [476]. Большое значение
имели исследования К. Якоби [141 — 145], который привлек к
133

решению проблем динамики твердого тела аппарат теории
эллиптических функций. В конце XIX в. исследования С. В.
Ковалевской [413, 420] значительно продвинули решение задачи о
движении твердого тела около неподвижной точки. Они' вызвали
огромный поток работ ученых различных стран, в особенности
России. К концу XIX в. был осознан специфический характер
движения неголономных систем, получены соответствующие
динамические уравнения движения и рассмотрены некоторые
элементарные примеры неголономных систем и абсолютно твердых
тел. Исследования в области неголономной механики в
последней четверти XIX в. способствовали ее расцвету в начале XX в.
Существенную роль в развитии и дальнейшем стимулировании
исследований по теории сухого трения твердых тел сыграла
монография П. Пэнлеве «Лекции о трении» [503] (1895), в которой
экспериментальная теория, основанная на законе Амонтона, была
подвергнута математической обработке с подробным анализом
соответствующих механических связей и оценкой вытекающих из
этой теории следствий.
* Геометрия масс. Линейные моменты
Идея о выделении геометрии масс, так же как л кинематической
геометрии, в качестве самостоятельного раздела механики
возникла еще в начале XIX столетия. Л. Карно [62, 64] и М. Шаль
[111] указывали на целесообразность изучения геометрической
стороны движения независимо от его физической сущности. Это
отразилось в классификации наук Ампера [99]. Название
«Геометрия масс» впервые встречается у Г. Гупильера [186].
Перейдя из механики в геометрию и физику, понятие массы
стало многозначным. Иногда она трактуется как скалярное
положительное или отрицательное число, иногда употребляется в
виде направленной величины вместо веса. В косвенном смысле
понимается как удельный вес в теории ошибок, как количество
электричества или магнетизма, количество теплоты и т. д. в
физике; количество людей, проживающих в пределах данной
территории в данное время, в теории народонаселения; как
прямолинейные отрезки определенной длины в геометрии и т. д.1
Однако основное понятие массы — то, которое дал Ньютон.
Г. Грассман [138] говорит о линейном полярном моменте
точечной массы, а полярный момент системы рассматривает как
некоторую среднюю величину. Если речь идет о непрерывной
материальной системе (твердом теле), то конечные суммы
превращаются в соответствующие интегралы. И. И. Сомов [252] при-
1 А. Мёбиус [85] определяет массу как коэффициент, приписанный точке.
Ж. Штейнер в своей теореме о моментах инерции относительно парал-,
лельных осей рассматривает расположенную на плоскости систему точек,
каждой из которых приписан определенный коэффициент, и точку,
находящуюся на некотором среднем расстоянии от точек системы.
Штейнер считает эту точку аналогичной центру тяжести рассматриваемой
им системы точек.
134

писывает понятие центра масс В. Сен-Венану [133] (однако для
системы простых точек оно фигурирует еще у Л. Карно [62]).
Если центры масс подсистемы твердого тела неизвестны, то их
можно выбрать произвольно и затем выполнить предельный
переход при условии неограниченного увеличения числа подсистем
(элементов тела) и неограниченного уменьшения их объема.
Таким образом, центр инерции материальной системы или твердого
тела можно рассматривать как определенную среднюю точку
этой системы или центр средних расстояний от точек системы.
Каждая плоскость или ось симметрии однородной системы
проходит через ее центр масс.
Исходя из понятия центра масс системы (твердого тела)
Мёбиус ввел понятие о барицентрических координатах,
связанных с тетраэдральными координатами Плюккера. Если
моделировать твердое тело четырьмя материальными точками Аи то
его центр масс С обладает тем свойством, что каждые
проходящие через него три прямые пересекают два противоположных
ребра тетраэдра AiA2AzAik, деля эти ребра в отношении,
обратном массам их концов. Массы этих точек га* называются
барицентрическими координатами точки С. Тетраэдральные
координаты Плюккера отличаются от барицентрических координат
А. Мёбиуса только некоторыми множителями [85]. Свойства
центра масс получают своеобразную интерпретацию, если
рассматривать массы точек системы (твердого тела) как коллинеар-
но направленные векторы соответствующей величины. В этом
случае, если указанные силы являются элементарными силами
веса тела, центр масс становится центром параллельных сил и
соответственно центром тяжести. Это точка, расположенная на
линии действия равнодействующей рассматриваемой системы
параллельных сил, положение которой в пространстве остается
неизменным, если эти силы повернуть вокруг своих точек
приложения на один и тот же угол в одном и том же направлении.
Для магнитной материальной системы характерно, что данные
параллельные силы уравновешиваются, если их направление
совпадает с направлением оси системы. Параллельные силы,
соответствующие индифферентной системе, всегда находятся в
равновесии [114] 2. А. Мёбиус ввел понятие конгруэнтных материальных
систем, в которых относительное положение центра масс не
изменяется при любом их перемещении в пространстве.
Конгруэнтные системы, примерами которых являются твердые тела и
подобно изменяемые системы, образуются при аффинных
преобразованиях [128].
Об истолковании пары сил как бесконечно удаленной силы бесконечно
малой величины см. [215].
135

Ж Квадратичные моменты. Геометрия масс
Квадратичные моменты материальной системы (твердого тела)
или моменты инерции — полярные 1Р, аксиальные или осевые
Ig и планарные Ii — представляют собой суммы произведений
масс точек системы на квадраты их расстояний соответственно от
данного полюса, данной оси и данной плоскости. Эти
положительные скалярные величины являются характеристиками
распределения масс в системе или твердом теле. Такими же
характеристиками являются радиусы инерции кр, kg, kh квадраты которых
получаются в результате деления соответствующих моментов
инерции на массу системы.
К квадратичным моментам инерции относятся и центробежные
моменты инерции [215], которые некоторые авторы именуют
произведениями инерции [247, 352],—сумма произведений масс
отдельных точек и двух их координат. Если соответствующие
плоскости совпадают, центробежный момент инерции переходит в
планарный. Если центробежные моменты инерции относительно
двух плоскостей обращаются в ноль, то эти плоскости
называются сопряженными относительно данной системы (твердого тела)
[70]. В соответствии с этим плоскость, относительно которой
обращается в ноль планарный момент инерции, называется
самосопряженной. Три плоскости, которые являются попарно
сопряженными относительно данной системы, образуют сопряженную
тройку плоскостей. Если эти плоскости образуют ортогональную
систему координат Oxyz, они называются главными плоскостями
инерции относительно начала координат, а координатные оси —
главными осями инерции относительно точки О, сама же точка О
называется главной точкой для указанных плоскостей или осей.
Можно сказать, что каждой точке соответствует одна тройка
главных моментов инерции — моментов инерции относительно
главных осей системы (твердого тела). Представляет интерес
соотношение между полярными моментами инерции относительно
произвольной точки и центра масс, которое для простейшего
случая тяжелой системы (твердого тела) установил еще Лаграыж
[56]. Эти моменты инерции отличаются на величину, равную
произведению массы тела на квадрат расстояния между
указанными точками. Отсюда следует, что момент инерции
относительно центра масс по сравнению с полярными моментами инерции
относительно других точек имеет минимальное значение.
Центральный момент инерции для всех точек шаровой поверхности,
описанной вокруг центра масс, имеет одно и то же значение.
Наряду с теоремой о моментах инерции относительно
параллельных осей (теоремой Гюйгенса) была установлена теорема о
моментах инерции относительно пересекающихся осей. Эта
теорема, выражающая момент инерции твердого тела относительно
произвольной оси, проходящей через начало координат, через
тензор инерции и направляющие косинусы оси, принадлежит
Эйлеру [39] и Лагранжу [60]. Для геометрической интерпретации
136

этих понятий было введено понятие центральной поверхности
инерции, которая, будучи отнесена к главным осям,
представляет собой эллипсоид инерции. Теория эллипсоида инерции
освещена в работах Ц. Кульмана [215], Дж. Мак-Куллага [120], Ж.
Вине [70], С. Пуассона [69], А. Коши [83], Л. Пуансо [100].
Эллипсоиды инерции ввели в рассмотрение Ж. Вине и С. Пуассон.
Эллипсоиды инерции, рассмотренные Пуассоном, встречаются
независимо у А. Коши и Л. Пуансо. Названные четыре типа
эллипсоидов инерции тяжелой системы или твердого тела
относительно начала координат, расположенного на фокальной кривой,
являются поверхностями вращения, общая ось которых касается
фокальной кривой в данной точке. Эллипсоид инерции,
введенный Кульманом, имеет в качестве полуосей планарные главные
радиусы инерции тела а, 6, с, а полуосями эллипсоида инерции
Дж. Мак-Куллага служат аксиальные главные радиусы инерции
тела а!, V', с' относительно начала координат.
Главные планарные и аксиальные моменты инерции
относительно начала координат являются корнями определенных
кубических уравнений, которые рассматривал еще Ж. Лагранж [60],
а до него — Дж. Сегнер [27] и Л. Эйлер [39]. Более подробные
исследования этих уравнений принадлежат ученым XIX в. [70,
247,252,352].
Остановимся на относящихся к геометрии масс
фундаментальных результатах Ж. Вине [70], полученных в 1811 г. и
опубликованных в статье «О теории сопряженных осей и моментов
инерции тел», А. Ампера [75], доложенных в Парижской академии
наук 18 июля 1821 г. и опубликованных в статье «О некоторых
свойствах главных осей тел», и Л. Пуансо [151], полученных в
начале 20-х годов XIX в. и опубликованных во втором издании его
мемуара «Новая теория вращения тел».
Через 50 лет после Л. Эйлера Ж. Вине получил новые
важные результаты в геометрии масс. Он ввел общее понятие
тройки взаимно перпендикулярных сопряженных (главных) осей
инерции твердого тела относительно какой-либо его точки и дал
наглядное решение задачи о распределении главных осей в
пространстве. Он ввел понятие сопряженности прямой и плоскости;
исследовал три вида семейств софокусных (конфокальных)
поверхностей второго порядка; показал, что они могут быть
эллипсоидами, а также однополостными и двуполостными
гиперболоидами, софокусными с определенным эллипсоидом; что через
каждую точку пространства проходит по одной поверхности каждого
из этих семейств, нашел свойства их линий кривизны; доказал,
что поверхности этого триортогонального семейства огибают
плоскости постоянных планарных моментов инерции. Вине
установил, что фокальные конические сечения этих поверхностей
представляют собой геометрические места точек, для которых два
главных планарных момента инерции тела относительно
соответствующих касательных плоскостей равны между собой.
Независимо от С. Пуассона он выделил особый случай, когда конфокаль-
137

ные поверхности являются поверхностями вращения. Бине, по
существу, первый ввел понятие взаимного с эллипсоидом
инерции Коши—Пуассона—Пуансо гирационного эллипсоида и нашел
его уравнение (правда, самого названия этого эллипсоида у него
нет). Бине показал, что каждой точке тела соответствует гираци-
онный эллипсоид (эллипсоид Бине), и, по-видимому, первым
понял его значение в механике.
А. Ампер ввел понятие перманентной (постоянной) оси
вращения твердого тела. Это прямая, неизменно связанная с телом,
которая содержит центр вращения (главную точку), т. е. такую
точку, что если ее в данный момент сделать неподвижной и
заставить тело вращаться вокруг указанной прямой, то это
движение будет продолжаться по инерции неограниченное время.
Таким образом, постоянная ось является свободной главной осью
инерции для одной из своих точек — центра вращения или
главной точки данной оси вращения твердого тела. Ампер ввел
понятия направляющей плоскости свободной перманентной оси
вращения тела и ее центра схождения, вывел условия, при
которых прямая, взятая в теле, будет главной осью для одной из
своих точек. Он нашел геометрическое место главных точек
перманентных осей в направляющей плоскости (для образующих
конуса Ампера). Оказалось, что искомым геометрическим местом
является некоторая кривая, по которой определенная поверхность
третьего порядка пересекает конус Ампера. Ампер
рассмотрел различные возможные виды этой кривой, ввел понятие оси
схождения как прямой, перпендикулярной к круговому сечению
эллипсоида инерции тела для произвольной его точки.
Значительный интерес представляют результаты Пуансо по
теории моментов инерции. Он поставил вопрос о нахождении
геометрического места прямых, характеризующихся равными
относительно их моментами инерции тела Я, и показал, что это
геометрическое место есть коническая поверхность второго порядка
(Н-А)х2+ (Н-В)у2+ (H-C)z2 = 0,
где А, В, С — главные аксиальные моменты инерции тела
относительно начала координат. Пользуясь теоремой Гюйгенса о
моментах инерции относительно параллельных осей, Пуансо провел
анализ этого семейства поверхностей в зависимости от величины
параметра. Он исследовал вопрос о существовании в теле так
называемых шаровых точек, относительно которых эллипсоидом
инерции является шар, и показал, что для этого необходимо,
чтобы центральный эллипсоид инерции, представлял собой
сжатый сфероид3. Однако самый крупный его результат в геометрии
масс — открытие независимо от Коши и Пуассона взаимного с
гирационным эллипсоидом Бине эллипсоида инерции
относительно произвольной точки тела, который играет большую роль в
механике твердого тела.
3 В последнее время понятие шаровых точек нашло приложение в
космической механике [1423, 1438, 1712].
138

# Дифференциальные уравнения движения
ОпиРаясь на теоРемы °б изменении кинетического момента и о
лвИжении центра масс и общую теорему кинематики твердого
теЛа, Л. Эйлер [22, 39] получил динамические уравнения
движения твердого тела в пространстве: R=R, LC=MC, где R —
главный вектор сил, приложенных к телу, Мс — главный момент этих
сил относительно центра инерции, К — количество движения
тела, Lc — его кинетический момент относительно центра инерции С
тела. Динамические уравнения Эйлера справедливы и в
случае движения тела около неподвижной точки О, если их отнести
к главным координатным осям тела относительно этой точки.
(К динамическим уравнениям Эйлера следует присовокупить его
кинематические уравнения, устанавливающие зависимости
компонент мгновенной угловой скорости тела с неподвижной точкой
с углами Эйлера и их производными по времени.)
Как показал Лагранж, динамические уравнения свободного
твердого тела можно получить аналитическим способом,
пользуясь его уравнениями второго рода. Для этого исходя из теоремы
С. Кёнига [25] можно составить выражение кинетической
энергии твердого тела. Затем на основании кинематических уравнений
Эйлера и уравнений для координат центра масс следует
преобразовать кинетическую энергию тела к квадратичной форме
обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими от обобщенных
координат. Вычислив затем биномы Лагранжа и обобщенные
силы, можно получить динамические уравнения движения
свободного твердого тела.
Методику приложения к динамике твердого тела теории
винтов разработал Ф. Клейн [536, 624]. Положение тела в
пространстве фиксируется с помощью координат кинематического винта
и, v, w, р, q, г. Если воспользоваться далее кинематическими
формулами Эйлера, координаты винта можно выразить в виде
линейных неголономных функций обобщенных скоростей. После
этого нужно представить кинетическую энергию тела в виде
квадратичной функции винтовых координат с постоянными
коэффициентами и определить по соответствующим формулам
координаты винта силового импульса. Искомые динамические
уравнения движения твердого тела будут иметь вид: £i = X+ (rY—
~~~qZ), Ll=L+(wY—vZ) + (rMi—qNi). В этих уравнениях
учтены изменения винтовых координат силового импульса в
результате действия внешних сил и движения подвижной системы ко-
°рдинат относительно неподвижной. Если совместить полюс с
Центром масс тела, то выражение кинетической энергии
значительно упростится (обратятся в ноль некоторые слагаемые в
правых частях динамических уравнений).
П. Сент-Гюилем [170] заметил, что вывод Эйлера можно
упростить, если воспользоваться соотношениями между
проекциями кинетического момента тела на подвижные и неподвижные
139

оси координат и теоремой об изменении кинетического момента
относительно неподвижных координатных осей.
Представляет интерес в этом отношении мемуар Н. IV.
Лобачевского [102]. В первой части этого мемуара он выводит
уравнения Эйлера для элементарных перемещений точек свободно
движущегося твердого тела, пользуясь методом Лагранжа, с тем,
однако, отличием, что вместо твердого тела рассматривается
дискретная неизменяемая материальная система. Во второй части
мемуара рассматривается известная задача об определении
главных осей тензора инерции произвольной материальной системы.
Задача решается оригинальным путем, отличным от методов
Эйлера и Лагранжа. Лобачевский решает ее чисто геометрически,
не обращаясь к механике и дифференциальному исчислению.
Предвосхитив метод Пуансо, Лобачевский положил начало
геометрии масс [102].
В тесной связи с исследованиями Лагранжа стоят работы
П. Аппеля [309, 562, 563]. Он вывел новую форму
динамических уравнений движения материальной системы — так
называемые уравнения Гиббса—Аппеля. Пользуясь этими уравнениями,
справедливыми для голономных и неголономных систем, П. Ап-
пель в качестве частного случая получил динамические уравнения
Эйлера.
Элементарный вывод динамических уравнений Эйлера, не
пользуясь углами Эйлера, дал С. Пуассон [69]. Сначала он
получил проекции скорости точки тела на неподвижные оси в
пространстве и теле. Далее, считая координаты постоянными, путем
дифференцирования он нашел проекции ускорений точек тела на
неподвижные оси в пространстве и теле. Составив затем
выражение кинетического момента тела и применив принцип Д'Алам-
бера, Пуассон получил искомые уравнения в системе координат,
неизменно связанных с твердым телом. Как заметили Т. Леви-
Чивита и У. Амальди [747], этот вывод упрощается, если
исходить из теоремы об изменении кинетического момента, пользуясь
его выражением относительно мгновенной оси вращения.
Л. Пуансо [100] предложил новый вывод динамических
уравнений Л. Эйлера, допускающий наглядное кинематическое
истолкование.
В комментарии ко второму изданию мемуара Л. Пуансо
«Новая теория вращения тел» [100] П. Сент-Гюилем предложил еше
один вывод динамических уравнений Л. Эйлера, позволяющий
получить их кинематическую интерпретацию с помощью теории
относительного движения. Он воспользовался теоремой об
изменении кинетического момента твердого тела относительно
неподвижной точки как равенством между главным моментом
приложенных к телу сил и абсолютной скоростью конца его
кинетического момента4. Эта скорость раскладывается на две состав-
4 Эта теорема в современной литературе известна под названием теоремы
Г. Резаля [271], однако она была доказана еще Л. Пуансо [100].
140

я10щие: одна — абсолютная скорость точки тела, совпадающая о
концом кинетического момента, и вторая — относительная
скорость конца кинетического момента относительно соответствующей
подвижной системы координат. Проектируя это векторное
равенство на неподвижные оси х, у, z в теле, Сент-Гюилем получил
уравнения, которые при совмещении подвижной системы
координат с главными осями инерции тела относительно неподвижной
точки переходят в динамические уравнения Л. Эйлера.
Доказательство П. Сент-Гюилема получило большое распространение в
литературе второй половины XIX столетия [170, 172, 182, 302,
179, 319, 346, 514, 181, 187, 352, 536, 603, 613]. Его можно
непосредственно обобщить на случай произвольных координатных
осей, в частности на случай подвижных осей в пространстве и
теле [208, 252, 263, 271, 352, 514, 563, 762]. К полученным при
этом динамическим уравнениям следует присоединить
кинематические уравнения, связывающие компоненты мгновенной угловой
скорости, три позиционные координаты тела и их производные
по времени. Такая координатная система может быть
эффективно применена, например, при изучении явлений прецессии и
нутации, а также качения тяжелого твердого тела вращения по
неподвижной плоскости.
* Трение при движении твердого тела
В XIX в. был выполнен ряд работ по теории трения, в
частности исследования зависимости коэффициента трения от скорости
[1153]. Некоторые авторы [159, 301, 308, 485, 300, 327, 225,
294, 277, 259, 290] в результате наблюдений за торможением
поездов на железных дорогах предложили соответствующие
эмпирические формулы в виде дробнолинейной функции с одним,
двумя и тремя параметрами, зависящими от материала трущихся
поверхностей, другие — в виде экспоненциальной функции с
отрицательным показателем степени с одним параметром, третьи —
в виде целой квадратичной функции с тремя параметрами и
т. д. Появились работы по сопротивлению качению. О. Рейнольде
[286] выдвинул теорию, в которой сопротивление качению
сводится к трению скольжения. Согласно Рейнольдсу, при
взаимодействии круглого цилиндра с опорной плоскостью материал
цилиндра в области местного давления сжат, а материал плоскости
растянут. Поэтому при качении соответствующие точки плоскости
будут стремиться сблизиться, а точки цилиндра — удалиться друг
от друга, что и приводит к относительному скольжению.
Существенным этапом в развитии учения о трении вообще и
трении твердых тел в частности была работа П. Пэнлеве
«Лекции о трении» [503], в которой он впервые в истории механики
попытался построить общую аналитическую теорию движения
материальных систем с учетом сухого трения. Пэнлеве считал
материальную систему, лишенную трения, системой с идеальными
. связями.
141

Он различает три класса основных типов простейших связей,
которые могут быть наложены на твердые тела в зависимости от
того, будут ли они выражаться одним, двумя или тремя
соотношениями между параметрами.
Подробно исследовав каждый из этих трех классов связей и
их комбинации, Пенлеве построил общую теорию трения
скольжения. Он пытался построить и общую теорию трения качения
и верчения. Пенлеве проанализировал особенности трения как
при движении тел, так и в случае покоя.
При построении общей теории движения материальных систем
(твердых тел) с учетом трения Пэнлеве встретился (в отдельных
случаях) с трудностями, связанными с двойственностью и
неопределенностью движения. Эти случаи получили название
парадоксов Пэнлеве. В итоге он пришел к выводу, что законы трения
скольжения, открытые Кулоном, применимы лишь в
определенных границах, так как в случаях, когда трение становится
достаточно большим, применение этих законов приводит к указанным
парадоксам. Критика законов Кулона привела в дальнейшем к
оживленной дискуссии, целью которой было выявить,
существует ли действительно логическая несовместимость законов Кулона
с основными законами классической механики, или можно
парадоксы Пэнлеве истолковать по-другому.
* Скольжение и качение твердого тела на опорной
плоскости. Неголономное движение
Еще Д'Аламбер [16] и Л. Эйлер [39] решили задачу о
плоскопараллельном движении катка по наклонной плоскости как при
наличии скольжения, так и при чистом качении. Движение
однородного тяжелого шара по горизонтальной плоскости впервые
встречается в мемуарах Л. Эйлера [33, 39] и И. Эйлера [36].
Согласно И. Эйлеру, центр шара, пока длится скольжение,
движется по горизонтальной плоскости по параболе, ось которой
параллельна направлению скольжения. Скорость точки контакта
имеет при этом постоянное направление и равномерно
замедляется. Трение скольжения постоянно по величине и направлению.
Компонента угловой скорости, параллельная направлению
скольжения, постоянна, а компонента угловой скорости,
перпендикулярная к плоскости скольжения, равномерно замедляется. В
момент, когда скорость точки контакта равна нулю, скольжение
отсутствует и центр шара движется прямолинейно по
касательной к параболе. Особый случай — движение биллиардного шара,
который в результате удара получает быстрое вращение вокруг
горизонтальной оси [106]. В 1825—1833 гг. Пуассон [79, 69]
рассмотрел движение твердого тела произвольной конфигурации,
катящегося по неподвижной шероховатой плоскости. Пользуясь
аксиомой об освобождаемости от связей и теоремами о движении
центра инерции и изменении кинетического момента, он составил
дифференциальные уравнения задачи в соответствии с
динамическими уравнениями Л. Эйлера. Он исследовал, в частности,
142

действие трения на прямолинейно движущийся шар, а также
качение тяжелого однородного эллипсоида по наклонной плоскости,
проведя интегрирование соответствующей системы
дифференциальных уравнений движения до конца в случае, когда одна из
главных осей эллипсоида остается во все время движения
нормальной к горизонтальной плоскости. Наконец, Пуассон
рассмотрел решение задачи о качении однородного тела вращения по
горизонтальной плоскости [69, 79, 514, 614, 812, 857].
Исследование движения твердого тела по неподвижной
горизонтальной плоскости с учетом трения провел А. Курно [93, 97].
В. Пюизё [132, 152, 160] воспользовался составленными
Пуассоном дифференциальными уравнениями для решения частной
задачи о движении тяжелого тела вращения по абсолютно гладкой
горизонтальной плоскости. Качение и верчение без скольжения
тяжелого твердого тела вращения по неподвижной
горизонтальной плоскости впервые исследовал Г. Слессер [208]. Для
решения этой задачи он использовал общие теоремы динамики,
применив подвижную относительно тела систему координат. Решение
задачи о чистом качении однородного круглого тяжелого диска
по неподвижной горизонтальной плоскости принадлежит Н. Фер-
рерсу [257], который воспользовался при этом составленными
им уравнениями нового вида. Из трех составленных им
уравнений первое представляет собой обычное уравнение Лагранжа
второго рода, а два других содержат корректирующие члены,
вычисление которых весьма громоздко.
Э. Раус первым составил уравнения динамики неголономных
систем в форме уравнений Лагранжа второго рода с
множителями связей (так называемые уравнения Рауса—Фосса). Однако
ввиду неудобства этих уравнений для вычислений в конкретных
случаях он во многих приложениях к своему курсу динамики
[352] в качестве основного метода применял не эти уравнения,
а общие теоремы динамики, выбрав при этом подвижную
относительно тела систему координат. Раус решил задачу о качении
тяжелого твердого тела любой формы (в частности, тела
вращения) по неподвижной горизонтальной плоскости и задачу о
качении без скольжения однородного шара по произвольной
поверхности (в частности, по плоскости, поверхности вращения,
сферической, цилиндрической и конической поверхностям). Задачу о
движении тяжелого однородного шара по шероховатой
цилиндрической поверхности с циклоидальным сечением он привел к
квадратурам. До конца Раус решил задачу о движении с чистым
качением тела вращения по неподвижной плоскости в случае,
когда точка касания движется по параллели. Продолжая
исследования, начатые Эйлером, он изучал малые колебания тяжелого
твердого тела на шероховатой неподвижной поверхности (в
частности, поверхности вращения) около положения устойчивого
равновесия.
К. Нейман, решая задачу неголономной механики о чистом
качении твердого тела по неподвижной горизонтальной плоскости,
143

допустил существенную ошибку, воспользовавшись принципом
Гамильтона—Остроградского в классической постанову. Нейман
применил квазикоординаты. Полученные им ошибочные
уравнения движения тела оказались проще истинных, и это создало
иллюзию сравнительно простого решения задачи. Как правильно
указал П. В. Воронец, эту задачу удобнее решать, пользуясь
обобщенными для неголономных систем уравнениями Лагранжа
второго рода, не содержащими множителей связи. Такие
уравнения были уже известны в конце XIX в.
В 1892 г. Д. К. Бобылев [435] рассмотрел задачу о чистом
качении по неподвижной горизонтальной плоскости однородного
полого шара, внутри которого укреплен гироскоп. Пользуясь
методом Рауса—Фосса, он решил эту задачу до конца, выразив все
параметры, характеризующие положение указанного прибора,
в эллиптических функциях времени и исследовав вид кривых,
которые описывает центр тяжести шара и точка соприкосновения
его с опорной плоскостью. В гироскопическом шаре Бобылева
гироскоп занимает центральное положение внутри
концентрического сферического слоя катящегося твердого тела. На первый
взгляд кажется, что рассмотренный Бобылевым вариант
гироскопического прибора (центр гироскопа совпадает с центром шара)
соответствует простейшему случаю его движения. Однако, как
показал Н. Е. Жуковский [453], решение задачи значительно
упрощается, если к внутренней поверхности сферической оболочки
катящегося тела прикрепить кольцо, экваториальная плоскость
которого нормальна к оси гироскопа и проходит через его центр,
а размеры выбрать так, чтобы разность моментов инерции
кольца относительно оси гироскопа и относительно перпендикулярной
оси, проходящей через центр прибора, была бы равна моменту
инерции гироскопа относительно последней из них. Оказывается,
что в случае присоединения к телу кольца произвольных
размеров задача о движении гироскопического шара остается той же
степени трудности, что и задача Бобылева. При этом получаемые
формулы отличаются только входящими в них постоянными
величинами.
Обширное исследование по теории качения твердых тел
принадлежит А. Фиркандту [449]. Он рассмотрел задачи о чистом
качении и качении со скольжением тяжелого однородного шара
по неподвижной сферической поверхности и диска по
неподвижной горизонтальной плоскости.
Ж. Адамару [496] принадлежит интересное исследование,
в котором он показал, что неголономной связью является не
только условие отсутствия скольжения одной поверхности по другой,
но и условие отсутствия верчения.
В 1897 г. С. А. Чаплыгин опубликовал работу «О движении
тяжелого тела вращения по горизонтальной плоскости» [527],
в которой он показал, во-первых, как обобщить уравнения
Лагранжа второго рода для неголономной механики; во-вторых, как
правильно решить задачу Линделефа о чистом качении тяжелого
144

тела вращения по неподвижной горизонтальной плоскости.
Первое — это одна из задач, которую пытался решить еще М. В.
Остроградский и которую не могли решить на протяжении почти
всего XIX в. Первую задачу Чаплыгин решил в 1895 г. Через
два года, воспользовавшись общими теоремами динамики, он на-
щел и правильное решение задачи Линделефа. Его решение
сводится к двум линейным дифференциальным уравнениям первого
порядка, которые эквивалентны одному линейному уравнению
второго порядка. Это уравнение в случае отсутствия гироскопа,
который Чаплыгин присоединил к телу, является однородным.
Интегрирование полученного уравнения дает возмолшость решить
задачу в квадратурах. В частности, уравнение упрощается, когда
тело представляет собой диск. Оно упрощается еще больше, если
центр тяжести системы лежит в плоскости диска. В этом случае
уравнение интегрируется в гипергеометрических функциях.
Независимо от Чаплыгина эту же задачу решили П. Аппель [583]
и Д. Кортевег [569, 588].
Чаплыгин [528] рассмотрел также систему, состоящую из
полого шара, внутри которого находится твердое тело,
ограниченное произвольной (в частности, сферической) выпуклой
абсолютно гладкой поверхностью. Шар катится со скольжением или
без скольжения по неподвижной горизонтальной или наклонной
плоскости, а твердое тело, расположенное внутри полого шара,
движется по его внутренней поверхности.
Эта задачу будет усложнена, если внутреннее тело также
имеет полость, в которой движется еще одно тело, соприкасаясь с
внутренней поверхностью второго тела, и т. д. Чаплыгин [639]
решил и задачу о качении без скольжения по неподвижной
горизонтальной плоскости неоднородного шара, центр тяжести
которого не совпадает с его геометрическим центром. Оказалось,
что при указанных общих предположениях эта задача
приводится к квадратурам точно так же, как и в частном случае,
рассмотренном Бобылевым. Задачи о качении шаров Чаплыгин
решил, воспользовавшись общими теоремами динамики, которые
дают возможность получить интеграл энергии и обобщенные
интегралы площадей. Чаплыгин решил их в общей постановке без
ограничений на распределение масс и на начальные условия
Движения.
* Элементарные движения твердого тела —
поступательное и вращательное движение вокруг
неподвижной оси. Плоскопараллельное движение
твердого тела
Мы не будем останавливаться на характеристике динамики
поступательного движения твердого тела, так как это движение
сводится к движению одной материальной точки. Переходя к
рассмотрению вращательного движения твердого тела вокруг
неподвижной оси, заметим, что твердое тело в этом случае пред-
10 Заказ К- 1377
145

ставляет собой систему с одной степенью свободы и его
положение в пространстве полностью характеризуется углом е?о
поворота около оси из заданного начального положения. В динамической
теории вращательного движения твердого тела вокруг
неподвижной оси стоят следующие проблемы: вычисление реакций
подшипников; определение условий, при которых ось вращения
не испытывает давлений (свободная ось вращения); рассмотрение
случаев, когда ось вращения является главной осью инерции
относительно одной из своих точек (перманентной и спонтанной
осью вращения); исследование колебаний физического маятника.
Теория физического маятника была создана Гюйгенсом.
Основные законы динамики вращательного движения твердого тела
вокруг неподвижной оси установлены Ньютоном. Аналитические
методы исследования этого движения разработал Л. Эйлер. В
учебной литературе ученых XIX в. изложение перечисленных выше
вопросов постепенно приобрело современный вид [39, 66, 69, 74,
247,325,485,604,614].
Движение твердого тела называется плоскопараллельным или
плоским, если все его точки описывают траектории,
расположенные в параллельных плоскостях5. Такое движение имеет три
степени свободы. Еще И. Бернулли [15] показал, что элементарное
плоское движение складывается из поступательного движения
параллельно-неподвижной плоскости вместе с произвольным
полюсом и вращения вокруг оси, проходящей через полюс
перпендикулярно плоскости. М. Шаль [304] впервые высказал мысль, что
эту ось вращения можно выбрать так, чтобы мгновенная
скорость полюса была равна нулю (мгновенная ось вращения). Это
значит, что с кинематической точки зрения плоскопараллельное
движение твердого тела эквивалентно мгновенно-вращательному
движению вокруг мгновенной оси. При этом подвижная
центроида (геометрическое место мгновенных центров скоростей в
теле) катится по неподвижной центроиде (центроида,
отнесенная к неподвижной системе координат) без скольжения.
Динамика плоского движения твердого тела имеет
многочисленные приложения в технике, в частности в теории машин и
механизмов. Исчерпывающие сведения о такого рода примерах
можно найти в учебной литературе [352, 514, 747, 772, 857,
1007, ИЗО].
* Движение твердого тела около неподвижной точки
в случае Эйлера. Уравнения движения и их первые
интегралы. Геометрическое исследование
Как известно, механическое движение твердого тела около
неподвижной точки полностью характеризуется динамическими и
кинематическими уравнениями Эйлера при заданных начальных
условиях. В случае Эйлера уравнения допускают два первых
5 Г. Дарбу [318] отметил, что расположение скоростей всех точек тела в
параллельных плоскостях — только необходимый признак
плоскопараллельного движения.
146

интеграла, полученных Эйлером. Первый из них характеризует
постоянство кинетической энергии, а второй — постоянство
модуля кинетического момента твердого тела около неподвижной
точки во время его движения.
Л. Пуансо [100] исследовал геометрически инерционное
движение твердого тела около неподвижной точки. Если записать
уравнение прямой, совпадающей во время движения тела с
направлением кинетического момента, можно установить
постоянство этого направления. Плоскости, перпендикулярные к этой
неизменной прямой, называются плоскостями Лапласа. (Далее мы
будем пользоваться плоскостью Лапласа, проходящей через
неподвижную точку.) Очевидно, что постоянство кинетической
энергии и вектора кинетического момента тела в случае Эйлера можно
получить не только непосредственно из соответствующих
динамических уравнений, но и на основании основных теорем об
изменении кинетической энергии и кинетического момента
материальной системы. Можно, далее, доказать теорему Лагранжа о
том, что проекция мгновенной угловой скорости на направление
кинетического момента тела относительно точки опоры во время
его движения есть величина постоянная. Из динамических
уравнений на основании первых интегралов также следует, что
постоянными осями вращения могут быть только три главные оси
инерции тела относительно неподвижной точки. Доказано, что
вращения тела с постоянной угловой скоростью около
неподвижных в пространстве осей наибольшего и наименьшего момента
инерции являются устойчивыми, а вокруг оси среднего момента
инерции — неустойчивыми. Если заменить эллипсоид инерции
Пуассона—Коши—Пуансо взаимной ему поверхностью, мы
получим так называемый гирационныи эллипсоид, который ввел в
рассмотрение Ж. Мак-Куллаг [120]. Он доказал теорему о том, что,
гирационныи эллипсоид тела относительно точки опоры во всо
время его движения проходит через неподвижную точку в
пространстве, расположенную на прямой неизменного кинетического*
момента. Мгновенная ось вращения направлена по
перпендикуляру, опущецному из точки опоры на касательную плоскость к
гирационному эллипсоиду в этой неподвижной точке, а
мгновенная угловая скорость тела пропорциональна длине этого
перпендикуляра 6. С помощью гирационного эллипсоида можно получить
новую интерпретацию движения Эйлера.
Э. Раус [352] предложил преобразовать эллипсоид инерции с
помощью обратных радиусов в неизменно связанную с телом
поверхность (поверхность Рауса). При этом плоскость качения
преобразуется в неподвижную в пространстве сферу. Тогда во время
движения гироскопа Эйлера поверхность Рауса будет катиться
без скольжения по этой сфере. Раус показал, что первая
интерпретация Пуансо может быть обобщена на тот случай, когда на
По существу, как в интерпретации Л. Пуансо, так и в интерпретации
Ж. Мак-Куллага неподвижных точек не одна, а две и эллипсоид инерции
катится по двум параллельным касательным плоскостям.
147
ю*

тело действует пара сил, отношение момента которой к
кинетическому моменту постоянно, причем плоскость этой пары
перпендикулярна прямой неизменного кинетического момента.
Геометрия движения тела при этом не изменится, но отношение угловой
скорости вращения к величине радиуса-вектора точки касания не
будет уже постоянным. Геометрическое исследование Э. Рауса,
основанное на теории сфероконических кривых, позволяет в
полной мере изучить движение неизменной прямой, эксцентричной
прямой и мгновенной оси в теле, а также мгновенной оси и
главных осей инерции тела в пространстве. Интерпретация Э. Рауса
несколько сложнее, чем первая интерпретация Пуансо.
Рассмотрим далее некоторые результаты, полученные Э.
Раусом [265, 352]. Он вводит в рассмотрение так называемую
эксцентричную прямую, а также три конические поверхности второго
порядка, которые называет соответственно неизменным,
эксцентричным и мгновенным конусами. Главными плоскостями этих
конусов являются плоскости главных сечений эллипсоида
инерции. Все три конуса охватывают одновременно ось наибольшего
или наименьшего момента инерции тела в зависимости от того,
будет ли расстояние плоскости качения от точки опоры меньше
или больше средней полуоси эллипсоида инерции.
Раус исследовал движение трех названных прямых. Он
показал, что круговые сечения эллипсоида инерции перпендикулярны
к асимптотам фокальной линии гирационного эллипсоида в
соответствующей плоскости. Круговые сечения неизменного и
эксцентричного конусов параллельны сечениям гирационного
эллипсоида и эллипсоида инерции. Полярная плоскость мгновенной
оси по отношению к эксцентричному конусу касается
неизменного конуса по неизменной прямой, так что мгновенный и
неизменный конусы являются взаимно полярными поверхностями
относительно эксцентричного конуса. Раус исследовал скорости точек
пересечения неизменной, эксцентричной и мгновенной прямых со
сферой и доказал соответствующие теоремы. Он изучил также
движение мгновенной оси не только в теле, но и в пространстве.
Независимо от Пуансо и Феррерса Раус вывел три варианта
формул для определения положения мгновенной оси в пространстве.
Он установил, что если описать около точки опоры две сферы
одинакового радиуса в теле и пространстве, то длина спирали,
вычерченной мгновенной осью на неподвижной сфере между
двумя последовательными вершинами этой кривой, равна квадранту
сфероконической кривой, описанной этой осью на подвижной
сфере. Что же касается движения главных осей инерции в
пространстве, то, как показал Пуансо, имеют место следующие две
теоремы: 1) если вдоль главных осей инерции тела от точки опоры
отложить три равных отрезка, то сумма площадей, описанных
проекциями этих отрезков на неизменную плоскость,
пропорциональна времени; 2) если отложить три отрезка,
пропорциональные величинам У А, УВ, УС, то сумма названных площадей
также пропорциональна времени.
148

Первая интерпретация Пуансо не дает простого способа
воспроизведения движения Эйлера, так как возникает трудная
задача реализации скорости катящегося эллипсоида инерции
пропорционально радиусу-вектору точки касания этого эллипсоида с
плоскостью качения. Это неудобство устраняется второй
интерпретацией Л. Пуансо. Вторая интерпретация Пуансо
состоит в том, что вращение Эйлера может быть представлено
чистым качением конуса Пуансо с угловой скоростью оэ2 по
неизменной плоскости, вращающейся вокруг своей нормали с угловой
скоростью o)i. Первая и вторая интерпретации Пуансо
позволили построить различные модели, осуществляющие
положение мгновенной оси вращения тела в случае Эйлера. Такие
модели предложили Дж. Максвелл [187], А. Вебстер [762], Г. Кё-
ниг [430]. Прибор Кёнига, именуемый герполодографом,
позволяет описать всю кинематику движения гироскопа Л. Эйлера.
Позднее появились аналогичные аппараты Г. Грассмана [645] и
А. Гринхилла [657].
Неизменный конус и конус Л. Пуансо взаимны между собой.
Отсюда следует, что асимптоты фокальной линии конуса Л.
Пуансо перпендикулярны к круговым сечениям неизменного конуса и
совпадают с асимптотами эллипсоида инерции в плоскости
наибольшего и наименьшего главных моментов инерции тела.
Круговые сечения конуса Л. Пуансо перпендикулярны к асимптотам
фокальной линии неизменного конуса и параллельны круговым
сечениям гирационпого эллипсоида. Полодии в первой
интерпретации Л. Пуансо соответствуют траектории точки в теле. Пуансо
показал, что площадь, описываемая прямой в неизменной
плоскости, вращающейся с постоянной угловой скоростью около
своей нормали, пропорциональна времени [151].
Выше мы исключили из рассмотрения следующие частные
случаи движения Эйлера: 1) расстояние плоскости качения от
точки опоры равно средней полуоси эллипсоида инерции;
2) два главных момента инерции тела относительно точки опоры
равны между собой. Эти случаи были также исследованы Пуансо
и Раусом [352]. В первом случае неизменная,
эксцентричная и мгновенная прямые описывают в теле плоскости,
проходящие через линию действия среднего момента инерции. Первые
Две плоскости совпадают с одним из центральных сечений гира-
Ционяого эллипсоида и эллипсоида инерции и перпендикулярны
к одной из асимптот фокальной линии эллипсоида инерции и ги-
рационного эллипсоида в плоскости наибольшего и наименьшего
моментов инерции. Мгновенная ось описывает в теле
диаметральную плоскость эллипсоида инерции, сопряженную с направлением
°Дной из асимптот фокальной линии этого эллипсоида в
плоскости наибольшего и наименьшего моментов инерции и
перпендикулярную к одному из омбилических диаметров гирационпого
эллипсоида. С возрастанием времени мгновенная ось
асимптотически приближается к оси среднего момента инерции, а углы,
образуемые эксцентричной и неизменной прямыми с осью сред-
149

него момента инерции, остаются постоянными. Одна из асимптот
фокальной линии эллипсоида инерции в плоскости осей
наибольшего и наименьшего моментов инерции скользит по неподвижной
в пространстве плоскости с постоянной угловой скоростью coi —
в этом заключается вторая интерпретация.
Отметим, наконец, исследования М. Джеббиа [364] и Ф. Сиач-
чи [323, 386], в которых показано, что при движении, по Пуансо,
всякая поверхность второго порядка с центром в неподвижной
точке, гомоцикличная с эллипсоидом инерции, катится без
скольжения по неподвижной поверхности вращения второго порядка.
Всякая гомофокальная с эллипсоидом инерции поверхность
второго порядка катится без скольжения по поверхности вращения
второго порядка.
# Движение твердого тела около неподвижной точки
в случае Эйлера. Аналитическое исследование
Мы отмечали, что еще сам Л. Эйлер привел рассматриваемую
задачу к операции обращения эллиптического интеграла первого
рода, однако, не имея возможности реализовать эту операцию
непосредственно, все же нашел путь, правда весьма громоздкий,
к ее решению. (Известно, что Эйлер не был удовлетворен своим
решением.) Лагранж привел задачу к эллиптической квадратуре,
пользуясь динамическими уравнениями движения твердого тела
и тремя первыми интегралами этих уравнений. Очевидно, что
решение задачи Эйлера упиралось в разработку математического
аппарата обращения эллиптических интегралов первого рода и
создание теории эллиптических функций. В итоге трудов Н. Абеля
[86] и К. Якоби [90] в 20-х годах XIX столетия была создана
теория эллиптических функций. Речь здесь идет о так
называемых абелевых функциях и функциях «тэта» Якоби.
Одновременно с этим Гаусс7 создал теорию модулярных функций, а позднее
(1843—1854) К. Вейерштрасс — общую теорию аналитических
функций.
Фундаментальное и законченное исследование случая Эйлера
с помощью тэта-функций мы находим впервые у К. Якоби
[141-143], а затем у И. Сомова [154], А. Кэли [227], А. Грин-
хилла [293, 473, 493, 515, 602, 657, 658] и В. Фрама [273]. В
результате этих исследований решение задачи о движении твердого
тела около неподвижной точки по инерции приобрело
современный вид, излагаемый в учебной литературе.
Как известно, полная система дифференциальных уравнений,
описывающих движение твердого тела около неподвижной точки,
состоит из динамических и кинематических уравнений Эйлера.
Случай движения по инерции описывается упрощенными дина-
7 Как сообщает Ф. Клейн [765], Гаусс еще в 1800 г. владел основными
элементами теории эллиптических функций, однако не опубликовал
свои результаты. Более того, он превзошел своих последователей (Абеля
и Якоби) точностью построения теории. (Известно высказывание Якобя,
обращенное к студентам: «Господа, для гауссовой строгости у нас нет
времени».)
150

мйческими уравнениями, полученными при условии равенства
нулю кинетического момента. Эти уравнения вместе с
кинематическими уравнениями Эйлера составляют систему шести
обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого
порядка относительно шести искомых функций времени. Мы уже
указывали, что в случае симметрического гироскопа Эйлера
имеет место регулярная прецессия. Большой интерес
представляют прецессии с очень малым углом раствора конуса и
соответственно очень большим значением кинетического момента тела
относительно неподвижной точки. В этом случае свободный от
сил симметричный гироскоп с большой угловой скоростью
собственного вращения устойчив в своем движении.
Ж Движение твердого тела около неподвижной точки
в случае Лагранжа-Пуассона. Частные случаи
Как известно, Лагранж и Пуассон, рассматривая открытый ими
новый случай интегрирования задачи о движении тяжелого
симметричного гироскопа, приводят свое решение к эллиптическим
квадратурам. Однако, не владея теорией эллиптических функций,
они, естественно, не смогли обратить соответствующие
эллиптические интегралы и довести решение этой задачи до конца. Впервые
интегрирование системы уравнений движения твердого тела около
неподвижной точки в случае Лагранжа-Пуассона выполнил Яко-
би [144, 145, 171, 174, 320, 353], опубликовав свое исследование
в 1849 г. Ему же принадлежит геометрическое исследование
задачи [144, 224, 321, 331, 346, 393, 436]. На основании
аналитического исследования движения в рассматриваемом случае можно
установить ряд характеризующих его закономерностей. Некоторые
из них можно получить чисто геометрическими средствами [321,
495, 515, 530, 654]. Дарбу исследовал зависимости, которые
существуют между движениями двух симметричных гироскопов при
одинаковых начальных условиях движения и одинаковом весе
[346, 359, 360]. Между движениями несимметричных, свободных
от сил гироскопов и тяжелых симметричных гироскопов
существует связь, указанная без доказательства в 1849 г. Якоби и
полностью исследованная Е. Лоттнером [144, 145].
Как было указано выше, в случаях Эйлера—Пуансо и
Лагранжа-Пуассона задача приводится к обращению эллиптических
интегралов, в которых подкоренная функция f(u) является
многочленом соответственно четвертой и третьей степени. В общем
случае обращение этих интегралов дает эллиптические функции.
Однако при наличии двукратных корней указанных многочленов
получается вырождение эллиптических функций в элементарные.
В частности, при нулевом начальном угле нутации, а также если
этот угол отличен от нуля при постоянной угловой скорости тела,
получаем регулярную прецессию.
Впервые случай регулярной прецессии исследовал Пуансо
И65, 166, 189] на примере катящегося шара. Он показал, что
пРи таком движении горизонтальная компонента кинетического
151

момента тела относительно неподвижной точки направлена
нормально к линии узлов и имеет определенную постоянную
величину. Вертикальная компонента этого кинетического момента тела
имеет при таком движении также определенную постоянную
величину, и линия узлов вращается с прецессионной угловой
скоростью v около вертикали. При этом главный момент
приложенных к телу сил относительно неподвижной точки также
должен иметь постоянную величину и быть направленным по линии
узлов.
При ЪоФп12 тело совершает быструю или медленную
регулярную прецессию. К регулярной прецессии мы приходим также,
когда уравнения движения интегрируются в элементарных
функциях. К регулярной прецессии приводит стационарное движение
тяжелого симметричного волчка.
Если условие регулярной прецессии при заданных начальных
данных удовлетворяется лишь приближенно, то кривая,
описываемая апексом, будет расположена между двумя близкими
параллелями. Движение тела в этом случае называется
псевдорегулярной прецессией.
Еще в 1813 г. Пуассон [69, 71] дал объяснение
гироскопического эффекта, возникающего при движении тяжелого
симметричного гироскопа, когда угол отклонения его оси собственного
вращения с достаточно большой угловой скоростью получает почти
постоянное значение 60. Эта прецессия будет прогрессивной или
регрессивной в зависимости от того, лежит ли центр тяжести тела
выше или ниже горизонтальной плоскости, проходящей через
неподвижную точку.
Исследованию движения спящего волчка посвящен ряд
дальнейших работ [132, 536, 762, 534].
Исследование вопроса о влиянии трения на движение
гироскопа является весьма сложным. Известно, например, что трение
скольжения способствует медленному поднятию оси
собственного вращения, а трение верчения, наоборот, вызывает увеличение
ее наклона к вертикали. Чем больший наклон к вертикали имеет
ось симметрии, тем большее влияние на нее оказывает трение
скольжения. Наоборот, чем меньше этот наклон, тем
преимущественнее влияние трения верчения. Вопросам трения в гироскопах
посвящены работы [536, 302, 418, 518, 212, 344, 593, 618, 532].
* Движение твердого тела около неподвижной точки
в случае С. В. Ковалевской. Уравнения движения
и их первые интегралы
После вывода кинематических и динамических уравнений Л.
Эйлером (1750) развитие теории движения твердого тела около
неподвижной точки прошло два важных этапа, которые связаны с
открытием двух частных случаев решения этой задачи, когда
удалось определить общий интеграл соответствующей системы
дифференциальных уравнений. Первый случай интегрируемости этих
уравнений относится, как известно, к движению твердого тела
152

С. Д. Пуассон
произвольной конфигурации, закрепленного в центре тяжести. Он
был рассмотрен самим Эйлером (1758). Второй случай был указан
независимо друг от друга Пуассоном (1813) и Лагранжем (1816).
Это — движение тяжелого твердого тела, имеющего ось
динамической симметрии и закрепленного в одной из ее точек, не
совпадающей с центром тяжести. Решение задачи в общем случае
связано с непреодолимыми математическими трудностями, и
поэтому внимание исследователей было сосредоточено на изучении
кинематики и динамики тяжелого твердого тела, т. е. твердого
тела, на которое действует лишь одна сила тяжести. В этом
случае к динамическим уравнениям Эйлера для полного описания
Движения тела около неподвижной точки нужно присоединить
кинематические формулы Эйлера. Эта совокупная система
дифференциальных уравнений имеет шестой порядок и обладает тремя
известными классическими алгебраическими первыми
интегралами. Первый из них — тривиальное соотношение между
направляющими косинусами, второй — интеграл площадей, а третий —
153

интеграл энергии. Полное решение задачи связано с нахождением
четвертого первого интеграла, ибо пятый и шестой интегралы
можно определить на основании теории последнего множителя
Якоби. В случае Эйлера четвертый интеграл имеет вид А2р2 +
+ B2q2 + C2r2 = K2 = const, а в случае Лагранжа—Пуассона ~~
г=Го = const.
Почти на протяжении всего XIX в. ученых интересовала
задача о движении твердого тела около неподвижной точки,
поставленная Эйлером и Д'Аламбером. После Эйлера, Пуансо, Лангран-
жа и Пуассона эта задача тщательно изучалась как в
геометрическом, так и в аналитическом аспектах. Подробное
геометрическое исследование случая Эйлера, как известно, принадлежит
Л. Пуансо. Основные контуры аналитического исследования
случаев Эйлера—Пуансо и Лагранжа—Пуассона даны Якоби. Эти
весьма успешные исследования вызваны, как было указано выше,
разработанной К. Якоби теорией эллиптических функций и
теорией последнего множителя. Именно в эллиптических функциях
и выражаются решения задачи в упомянутых двух общих
случаях. Более того, Якоби принадлежит и геометрическое
исследование случая Лагранжа—Пуассона. После Пуансо и Якоби было
опубликовано множество исследований, авторы которых получили
различные геометрические и аналитические результаты,
дополняющие результаты Эйлера, Лагранжа, Пуассона, Пуансо и
Якоби. Но вопрос стоял таким образом: существуют ли другие
общие решения рассматриваемой задачи, отличные от решений
Эйлера и Лагранжа—Пуассона8. В 1888 г. С. В. Ковалевская
[413] открыла третий общий случай решения этой задачи9.
Будучи хорошо знакомой с идеями Вейерштрасса, Ковалевская
поняла, что если при исследовании этой задачи следовать по пути
Эйлера, Лагранжа, Пуассона и Якоби, оставаясь в действительной
области, то попытка расширить результаты, полученные ее
предшественниками, будет обречена на неудачу. Изучая же вопрос
в более широкой области комплексной переменной, можно было
надеяться на успешное завершение исследования. В связи с этим
Ковалевская задалась целью исследовать следующие вопросы:
1) существуют ли другие случаи, кроме известных случаев Эйлера
и Лагранжа—Пуассона, в которых все элементы движения
выражались бы в функциях, не имеющих в области комплексной
переменной никаких других особенностей, кроме полюсов; 2) если
такие случаи существуют, то как найти четвертый алгебраический
интеграл; 3) какие условия должны быть наложены на положе-
8 Вследствие огромных математических трудностей, связанных с
решением этой задачи, она получила, по словам С. В. Ковалевской [1047].
наименование «математической русалки». В Парижской академии наук
была учреждена премия Бордена «за усовершенствование в каком-нибудь
важном пункте теории движения твердого тела».
9 За эту работу С. В. Ковалевской была присуждена премия Бордена
за 1888 г., увеличенная с 3000 до 5000 франков. Работа была подана под
девизом: «Говори, что знаешь, делай, что обязан, будь чему быть». В
жюри входили Морис Леви, Филипс, Резаль, Сарро и Дарбу.
154

С. В. Ковалевская
ние центра масс тела и его конфигурацию, чтобы четвертый
алгебраический интеграл был однозначным. Заметим, что такой
путь исследования, подготовленный работами Вейерштрасса и
Пэнлеве, привел Сундмана и Пуанкаре к блестящим результатам
в области проблемы трех тел. Поэтому Ковалевская имела полное
основание предполагать, что и ее на этом пути ждет успех10.
В работе Ковалевской о вращении тяжелого твердого тела
вокруг неподвижной точки необходимо отметить следующие
существенно новые для механики и математики особенности. Она
открыла новый случай вращения твердого тела вокруг
неподвижной точки, для которого нашла общий интеграл (этот случай
справедливо получил ее имя). С. В. Ковалевская впервые привлекла
40 Но этот успех пришел не сразу. «Долгое время,— вспоминает
Ковалевская в „Автобиографических очерках" [1040],— все мои труды оставались
бесплодными, и только в 1888 г. усилия мои увенчались успехом. Поэтому
можно себе представить, как я была счастлива, когда, наконец, мне
удалось достигнуть действительно крупного результата и сделать в решении
столь трудного вопроса важный шаг вперед».
155

к исследованию подобных задач прекрасно разработанный аппарат
теории функций комплексного переменного. Наконец, ее работа
поставила некоторые новые общие математические проблемы.
Работы С. В. Ковалевской стали исходным пунктом
многочисленных исследований. Мы можем назвать русских ученых, так
или иначе дополнивших анализ Ковалевской: это Г. Г. Аппель-
рот, П. А. Некрасов, Б. К. Млодзеевский, Н. Е. Жуковский,
А. М. Ляпунов и Н. Б. Делоне.
Ж Частные случаи движения тяжелого твердого тела
около неподвижной точки
Ф. Клейн и А. Зоммерфельд [536] показали, что возможна и
другая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела
около неподвижной точки. Описать такое движение можно с
помощью 12 величин: шести постоянных параметров,
характеризующих распределение масс в теле, и шести постоянных
параметров, характеризующих начальные условия движения. В трех
классических случаях Эйлера—Пуансо, Лагранжа—Пуассона и
С. В. Ковалевской постоянные параметры распределения масс
сводятся к трем независимым величинам, а шесть постоянных
начальных условий движения произвольны. Ту же степень
общности имеет задача, в которой совокупность 12
характеристических параметров сводится к 9 независимым величинам.
Следовательно, можно получить новые случаи интегрирования, если
выбрать специальные начальные условия. Метод Клейна и Зоммер-
фельда более общий: произвольные начальные условия движения
как параметры задачи уравниваются с параметрами,
характеризующими распределение масс в системе, и наравне с ними
участвуют в определении общности решения. Эта идея была забыта,
и лишь недавно метод Клейна и Зоммерфельда был развит в
некоторых работах советских ученых [2031]. Здесь уместно
отметить и другую забытую идею Клейна и Зоммерфельда, которая
высказана в работе «О теории гироскопа» (1897). В связи с тем
что нет достаточно эффективных общих методов исследования
движения гироскопа при любом распределении масс, можно
получить некоторое представление об этом движении в каждом
отдельном неизвестном случае, если надлежащим образом
произвести интерполяцию между известными случаями. С этой точки
зрения классификация хорошо изученных частных случаев
движения твердого тела вокруг неподвижной точки может оказаться
полезной в качестве приближенного общего метода решения
задачи [536].
Результаты, полученные Ковалевской, привели к постановке
новых проблем. Одна из них заключается в изучении условий
существования однозначных решений и связанных с ними
условий существования четвертого алгебраического интеграла, пе
зависящего явно от времени и содержащего произвольную
постоянную. Вторая проблема состоит в установлении частных решений
в смысле Клейна—Зоммерфельда.
156

Остановимся на работах ученых XIX в., посвященных
частным случаям задачи о движении тяжелого гироскопа, и работах,
авторы которых пытались по-новому решить эти задачи. Прежде
«сего следует отметить случай В. Гесса (1890). Независимо от
него этот же случай рассмотрели П. А. Некрасов и Г. Г. Аппель-
рот (1892). Поэтому его иногда называют также случаем
Некрасова— Аппельрота. Движение тяжелого гироскопа в этом случае
исследовали затем другие авторы [452, 456, 457, 458, 472, 500,
510, 511, 524, 558], и в частности Н. Е. Жуковский, который
назвал такой гироскоп локсодромическим маятником.
Большой интерес представляет случай, когда на распределение
масс не накладываются никакие стесняющие ограничения, так
что постоянные являются независимыми параметрами. В 1894 г.
Б. К. Млодзиевский [470] и О. Штауде [483] независимо друг
от друга исследовали этот случай и показали, что при таком
движении уравнения Эйлера—Пуассона допускают решения,
соответствующие вращению тела вокруг неподвижных осей в теле или
пространстве. Такие движения называются перманентными
движениями, а оси вращения — перманентными осями.
Млодзиевский пришел к выводу, что перманентными осями вращения
могут быть главные оси инерции тела относительно неподвижной
точки при условии, если они расположены горизонтально или
вертикально. Первый случай соответствует движению сложного
маятника, во втором мгновенная угловая скорость имеет
постоянную величину и вращение тела происходит равномерно.
Вращение тела во втором случае исследовал Штауде. Вертикальные оси
перманентного движения образуют конус второго порядка (конус
Штауде), концентричный с эллипсоидом инерции в точке О, но не-
соосный с ним. Характер его зависит от положения центра масс
по отношению к главным осям инерции тела относительно
неподвижной точки. Каждая образующая этого конуса, если она
расположена над отрезком вертикальной оси, приводит тело во
вращательное движение вокруг нее в ту или другую сторону.
Ж. Адамар [494] попытался получить условия устойчивости
перманентных вращений при заданном распределении масс. Раус
[352] нашел, что в случае тяжелого гироскопа регулярная
прецессия вокруг вертикали возможна, если гироскоп обладает
динамической симметрией или когда главные моменты инерции не
Равны, при переходе регулярной прецессии в перманентное
вращение [536, 577, 627].
Как установил О. Штауде, а еще раньше его Е. Будде,
к перманентным осям относятся также главные оси инерции
относительно неподвижной точки при вращении с бесконечно
большой скоростью. Тогда прямая, соединяющая неподвижную
точку с центром тяжести, есть перхманентная ось при угловой
скорости вращения тела, равной нулю. Для всех остальных
перманентных осей угловая скорость есть конечная величина,
отличная от нуля. Штауде исследовал различные случаи распределения
Масс применительно к перманентному движению. В частности, он
157

показал, что для случая Эйлера—Пуансо уравнение конуса Штау-
де выполняется тождественно. Каждая центральная /ось тела к
этом случае есть перманентная ось с нулевой угловой скоростью
вращения. Исключением являются главные оси инерции тела
относительно центра масс, для которых угловые скорости
неопределенны. Для тяжелого симметричного гироскопа каждая ось,
проходящая через неподвижную точку, есть перманентная.
Млодзеевский [470] исследовал случай движения тяжелого
гироскопа, при котором скорость вращения вокруг мгновенноц
оси, неподвижной в теле, постоянна (это совпадает со случаем
Штауде). Однако если скорость вращения — переменная
величина, то центр инерции должен лежать в главной плоскости,
проходящей через точку О. В этом случае движение представляет
собой вращение вокруг третьей, горизонтально расположенной
оси, которая играет роль оси физического маятника.
В 1899 г. Г. Кениг [519] высказал мысль, что в случае
тяжелого гироскопа, точка опоры которого близка к его центру
тяжести, существует бесконечное множество начальных условий
движения, при которых искомые функции, как и в случае Эйлера—
Пуансо, являются периодическими функциями времени. Таким
образом, возникает новая проблема в исследовании движения
тяжелого гироскопа в близкой окрестности к изученным случаям
движения, в частности случая движения гироскопа с малой
асимметрией.
Т. Леви-Чивита [520] и Г. Либман [547] в исследовании и
интегрировании уравнений Эйлера—Пуассона примецили теорию
групп Софуса Ли. Это было первой попыткой классификации
возможных случаев интегрирования и преобразования
дифференциальных уравнений движения тяжелого твердого тела около
неподвижной точки.
Е. Падова [383, 502], Б. Паладини [405], Н. Лагерборг [422],
О. Те доне [506] и Г. Урци [555] исследовали различные частные
случаи движения тяжелого гироскопа, в которых задача сводится
к квадратурам при условии, что приложенные силы имеют
силовые функции определенного вида. Г. Кениг и Г. Кобб
рассмотрели вопрос о существовании периодических и
асимптотических решений уравнений Эйлера—Пуассона.
Представляет интерес и постановка задачи, состоящая в том, что тело
считается неподвижным, а окружающее его пространство
вращается вокруг одной из его точек. Такая постановка задачи
принадлежит Ф. Линдеману [548] и Ж. Гаугу [622].
В заключение обзора общих и частных случаев движения
тяжелого твердого тела около неподвижной точки приведем
следующее замечание В. В. Голубева. Учитывая, что движение
гироскопа Ковалевской неизмеримо сложнее движений Эйлера—Пуансо
и Лагранжа—Пуассона, Голубев считал, что трудность того ж*-
порядка, как сложность общего движения тяжелого гироскопа,
когда на коэффициенты уравнений не накладывается никаких
ограничений. Голубев полагал, что использованный Ковалевской
158

математический аппарат гиперэллиптических и абелевых
интегралов применим как в общем случае, так и в некоторых частных.
«Известно,— пишет он,— что незадолго до своей преждевремен-
ной смерти С. В. Ковалевская в разговоре с Пуанкаре указала,
что ею найдены многочисленные другие случаи, когда задача
может быть решена до конца» [1011, с. 236]. Следует отметить,
что метод, которым она пользовалась, связан с теорией
алгебраических функций и их интегралов.
# Движение системы твердых тел. Уравнения
движения гиростата и их первые интегралы
При рассмотрении движения свободной системы небесных тел в
некоторых случаях можно пренебречь их размерами и считать^
что массы этих тел сосредоточены в их центрах инерции. На этом
основана классическая задача небесной механики о системе
свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону
Ньютона. При расчете движения искусственных космических тел
необходимо учитывать и размеры этих тел, и пространственное
распределение масс в них. При исследовании системы на
основании аксиомы освобождаемости от связей движение каждого из
ее тел можно рассматривать с учетом сил, с которыми на это тела
действуют другие тела системы. Эти силы, следовательно, будут
функциями позиционных координат всех тел. В первом
приближении можно считать, что поступательное движение каждого из тел
вместе с егб центром масс и их вращение вокруг центра масс
независимы между собой. Поэтому первое из этих движений
можно считать известным и сосредоточить внимание на изучении
движения каждого из тел системы около его центра инерции.
Для составления динамических уравнений несвободной системы
твердых тел необходимо к действующим на систему внутренним
силам присоединить дополнительные активные силы,
геометрически равные реакциям мысленно отброшенных связей. После этого
можно рассматривать движение каждого тела в отдельности для
свободной системы твердых тел. Таким образом, изучение такой
системы твердых тел приводится к изучению движения одного
твердого тела. При этом для составления уравнений движения
такого твердого тела можно пользоваться всеми известными
методами, например общими теоремами динамики, уравнениями Лаг-
Канжа первого и второго рода, методом кинетостатики и др.
[ринцип Д'Аламбера к движению системы твердых тел
систематически применял К. Гейн [605]. В связи с этим следует
упомянуть об исследованиях многих задач статики системы твердых
тел, в том числе задачи о равновесии системы однородных
гладких шаров, помещенных в полый шар и находящихся под
действием сил тяжести. В задачах, в которых мы имеем дело с одной
лишь силой тяжести, может оказаться полезным принцип Торри-
челли [3], согласно которому тяжелая система находится в
равновесии, если ее центр тяжести расположен в наинизшем или
наивысшем положениях.
159

Подробную методику аналитического исследования движения
системы твердых тел предложил Г. Маджи [651]. В качестве
нормальных координат системы твердых тел, связанных друг с
другом определенным образом, он выбрал декартовы координаты
их центров тяжести и углы Эйлера, относящиеся к движению
тел около своих центров тяжестии. Он ввел в рассмотрение
связи первого и второго порядков, понимая под ними
соответственно голономные и однородные линейные неголономные связи
относительно скоростей.
В 1875 г. Ф. Рело [280] заложил основы кинетики
шарнирных цепей, которые можно рассматривать как систему
соединенных между собой тел. Понятие шарнирной цепи для построения
физиологической механики (механики живых организмов)
применил О. Фишер [620]. К. Гейну [605, 606] принадлежит
исследование кинетики шарнирной цепи, в котором он получил
соответствующие уравнения, аналогичные уравнениям Эйлера для
одного твердого тела.
Структура многих систем твердых тел может быть определена,
если к рассматриваемой системе, на которую действуют
определенные заданные силы, присоединить еще одно тело, желательно
с кинетической симметрией относительно оси собственного
вращения. В зависимости от того, как это тело связано с основной
системой, можно получить общую систему твердых тел с
определенным числом степеней свободы (тг=1, 2, 3). Это имеет место
для гиростатов и гироскопов в кардановом подвесе.
Гиростат — это твердое тело, на котором или внутри которого
расположен симметричный ротор, который может вращаться
вокруг жестко связанной с несущим телом оси. Таким образом,
по отношению к несущему телу ротор имеет одну степень
свободы. Предполагается, что при вращении ротора распределение
масс гиростата неизменно, т. е. моменты инерции такой системы
твердых тел постоянны. Понятие гиростата впервые ввел В. Том-
сон [299, 312]. Он сконструировал гиростаты с двумя, тремя,
четырьмя и большим числом степеней свободы, а также системы
из нескольких гиростатов, соединенных шарнирно.
Дальнейшее развитие теории гиростатов принадлежит
Н. Е. Жуковскому [355]. В 1885 г. появилась его обширная
работа «О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные
однородной капельной жидкостью», за которую он был удостоен
Московским университетом премии имени Н. Д. Брашмана.
Жуковский показал, что трение жидкости и полости тела влияют на
асимптотическое приближение его оси вращения к оси инерции
рассматриваемых движущихся масс. (Результаты Жуковского
11 Заметим, что еще в 1891 г. Е. Штуди [432, 615] предложил для
определения положения тела вместо указанных независимых шести плюккеро-
вых координат систему восьми однородных координат, связанных между
собой двумя условиями, позволяющими, если это необходимо, исключить
две избыточные координаты. В настоящее время метод избыточных
координат изучал М. Ф. Шульгин [1893].
160

Н. Е. Жуковский
были в дальнейшем использованы при решении некоторых
космогонических проблем.) Жуковский установил, что эффект жидких
масс с нулевыми начальными скоростями тождествен эффектам
некоторых эквивалентных твердых тел. Жидкие массы в
многосвязных полостях с отличными от нуля начальными скоростями
производят действие, эквивалентное действию некоторого
вращающего ротора, присоединенного к твердому телу. Таким образом,
Жуковский установил аналогию между задачей гидродинамики и
задачей движения твердого тела около неподвижной точки. Если
в начальный момент жидкость находится в покое, то уравнения
Движения рассматриваемой системы превращаются в
динамические уравнения Эйлера движения твердого тела вокруг
неподвижной точки.
Частные случаи теоремы Жуковского раньше рассматривали
Г. Стоке [317] и К. Нейман [339].
Отметим, что Жуковский обобщил понятие тензора инерции
на случай системы тел [453]. Он рассматривал сложную
механическую систему (гиростат), представляющую твердое тело с по-
11 Заказ Ы 1377
161

лостями, целиком заполненными идеальной несжимаемой
жидкостью. /
Здесь уместно вспомнить, что еще в середине XIX в/ Ж. Лиу-
вилль [194] рассматривал движение материальной системы,
отнесенное к неподвижной системе координат, при некотором
определенном условии. Для твердого тела уравнения Лиувилля
переходят в обычные динамические уравнения Эйлера. Гиростаты
являются важной модификацией системы Лиувилля.
Значительную роль в развитии механики гиростатов сыграл
В. Вольтерра [579]. Во второй половине XIX в. астрономы
обнаружили, что широты одних и тех же точек поверхности Земли
не остаются постоянными, а немного изменяются в ту или другую
сторону. При этом отклонения от состояния равновесия в
диаметрально противоположных точках, находящихся на одной и
той же параллели, равны по абсолютной величине и имеют
разные знаки. Эти колебания обусловлены смещением мгновенной
оси вращения Земли. Эти смещения, как было показано еще
Эйлером, представляют собой колебательный процесс. Найденный
Эйлером период колебаний земной оси составлял 10 месяцев.
Этот результат впоследствии был подтвержден другими учеными
[415]. Вольтерра выдвинул предположение, что смещение
мгновенной оси вращения Земли объясняется наличием
постоянного действия, вызванного движениями вод в реках,
испарениями и последующими конденсациями водяных паров, т. е.
действия, которое реализуется в результате смещения материи при
неизменной общей массе Земли.
При построении динамики гиростата Вольтерра исходит из
принципа Герца о существовании скрытых движений, которыми
обусловлены экспериментально обнаруженные возмущения
земной оси (изменяемость широт Земли). Свои результаты он
опубликовал в одиннадцати статьях, которые затем были объединены
в обширном мемуаре «Об изменяемости широт» [579]. Мемуар
состоит из пяти глав. В первой главе приводится
соответствующее геометрическое исследование движения гиростата,
обобщающее исследование Пуансо о движении твердого тела около
неподвижной точки. В последующих трех главах Вольтерра
рассматривает вопрос о составлении и интегрировании обобщенных
уравнений Эйлера для спонтанного движения гиростата около
неподвижной точки или около центра масс. В пятой главе дается
приближенное решение этих уравнений.
Ж Гироскопические системы
В. Томсон и П. Тэт [312] ввели в рассмотрение еще один вид
системы твердых тел, известной в литературе под названием
гироскопической системы. Гироскопической системой они назвали
систему твердых тел или вообще систему материальных точек,
подверженную действию гироскопических сил, т. е. таких сил,
для которых их суммарная работа на любом элементарном дейст-
162

вцтельном перемещении системы обращается в ноль12. Если в
систему входят твердые тела, то для каждого из них
соответствующая сумма может быть представлена как работа главного
вектора гироскопических сил на элементарном поступательном
перемещении вместе с произвольно фиксированным полюсом,
сложенная с работой главного момента этих сил относительно
полюса на элементарном вращательном перемещении вокруг полюса.
Дифференциальные уравнения движения гироскопической
системы можно представить в форме уравнений Лагранжа второго
рода относительно некоторой квадратичной функции Т2, которую
можно интерпретировать как кинетическую энергию некоторой
системы. Существует обширный класс систем, для которых
некоторые обобщенные координаты не входят в выражение Г2, а
соответствующие обобщенные силы равны нулю. Такие координаты
называются циклическими, а остальные координаты —
позиционными или нециклическими. Исключая соответствующие
циклическим координатам обобщенные скорости с помощью
существующих в этом случае первых интегралов, выражающих постоянство
соответствующих обобщенных импульсов, можно получить
уравнения движения в форме Рауса.
Томсон и Тэт рассматривали исключительно голономные
стационарные системы. Систему, кинетическая энергия которой не
содержит членов с произведением циклических и нециклических
скоростей, они назвали гироскопически не связанной. Если
сравнить уравнения движения такой системы с уравнениями
движения обычной консервативной системы, то заметим аналогию,
которую Томсон и Тэт выразили в виде следующей теоремы: в
гироскопически не связанной и не подверженной действию сил
системе влияние циклических координат на нециклические 13
таково, как если бы движение последних происходило под
действием консервативных сил с соответствующей потенциальной
энергией, равной кинетической энергии скрытых движений. Эта точка
зрения, согласно которой всякую потенциальную энергию
системы можно трактовать как кинетическую энергию некоторых
скрытых движений (недоступных непосредственному наблюдению),
получила дальнейшее существенное развитие в известном
трактате Герца «Принципы механики» [476].
* Удар системы твердых тел
Первая научная теория соударений твердых тел принадлежит
Ньютону. При построении элементарной теории удара Ньютон в
качестве интегральной характеристики действия импульсивных
сил ввел коэффициент восстановления скорости при ударе,
зависящей лишь от кинетических характеристик движущихся тел
Гироскопические силы могут быть просто некоторыми членами
уравнений движения, когда их удобно трактовать как силы. Тогда их называют
гироскопическими членами уравнений.
Циклические и нециклические координаты Раус назвал соответственно
скрытыми (игнорируемыми) и явными координатами.
163
11*

непосредственно перед ударом. Лагранж в «Аналитической
механике» [60] (1788), рассматривая импульсивные движения тел,
получил для них уравнения движения, соответствующие
уравнениям Лагранжа второго рода. Однако он не рассматривает методы
решения этих уравнений и их применение.
Значительно большее внимание вопросам соударения твердых
тел уделил С. Пуассон [69]. Он разработал теорию удара
твердых тел без трения в различных случаях их движения:
поступательном, вращении вокруг неподвижной оси, плоскопараллельном
движении, движении твердого тела около неподвижной точки;
рассмотрел он и некоторые другие примеры соударения
несвободных твердых тел. В результате исследований ряда авторов [314,
352, 631, 633] была решена задача об ударе с трением
неизменяемой плоской фигуры о неподвижное препятствие. Некоторые
общие теоремы для удара доказали Л. Карно, М. В.
Остроградский, Г. Робен, У. Кельвин, Ж. Бертран, В. Вольтерра. Теоремы
Карно и Остроградского относятся к оценке потери кинетической
энергии при ударе двух твердых тел, подчиненных двусторонним
однородным связям. Теорема Робена представляет собой аналог
принципа наименьшего принуждения Гаусса в теории удара.
Теорема Бертрана состоит в сопоставлении кинетической
энергии соударяёмых тел, подчиненных обратимым связям, в
случае действия на нее импульсивных сил и кинетической энергии
той же системы с теми же связями и импульсивными силами при
условии мгновенного наложения новых обратимых связей. Из этой
теоремы следует, что кинетическая энергия во втором случае
будет не больше, чем в первом. Это имеет место тогда, когда любое
состояние движения, совместимое со связями в первом и втором
случаях, совпадает с действительным состоянием движения после
удара. Теорему Вольтерра можно сформулировать следующим
образом: если на систему тел наложены идеальные стационарные
связи и если в течение достаточно малого интервала времени
система находится под действием ударных неколебательных сил,
то 1) работа сил и скорости точек системы остаются меньшими
некоторых конечных величин и 2) перемещения точек системы
стремятся к нулю.
В связи с тем что эта теорема (без должного обоснования)
была известна до Остроградского, после опубликования мемуара
Остроградского по общей теории удара (1854) завязалась
дискуссия, в которой приняли участие многие ученые, пытаясь защитить
свой приоритет в доказательстве этой теоремы [89, 107, 123,
176—178, 180, 184, 190, 1394]. В современной литературе она
называется теоремой Остроградского—Карно. Общая теория удара,
разработанная Остроградским, основана на трактовке удара как
мгновенного наложения или снятия связей, в том числе и
односторонних. Рассмотрению и анализу такого рода связей посвящен
специальный мемур Остроградского [118]. При составлении
уравнений движения он пользуется принципом
Д'Аламбера—Лагранжа, обобщенным им на любые связи, в том числе неголоном-
164

лые и односторонние. Однако при этом Остроградский допустил
существенную ошибку. Речь идет о неправильном критерии для
отбора односторонних связей, ограничивающих в начальный
момент времени состояние системы. Эта ошибка была обнаружена
д. Майером [571] лишь в 1899 г. Майер показал, что задачу
Остроградского можно решить правильно, пользуясь методом
проб. Исследование Майера получило дальнейшее развитие в
работах Е. Цермело [580] и Г. Гамеля [686]. Методом применения
к теории удара уравнений Лагранжа второго рода
воспользовались Е. Раус [352] и П. Аппель [514]. Аппелю принадлежит
классификация связей, существующих в момент удара. Он
различает сохраняющиеся и не сохраняющиеся при ударе связи и
подразделяет их на 4 группы: 1) связи, существующие до, во
время и после удара; 2) связи, возникающие во время удара,
сохраняющиеся после него, по пе существовавшие до удара;
3) связи, существовавшие до удара, сохраняющиеся во время
него, но после удара исчезающие; 4) связи, существующие
только во время удара, но не существовавшие до него и исчезающие
после него.
¥ Механика тела переменной массы
К XIX столетию следует отнести зарождение принципиально
новой ветви классической механики — механики точки, системы и
твердого тела переменной массы. Классическая механика
рассматривает массу как величину постоянную. Однако в природе и
технике встречается целый ряд случаев движения, когда масса
тела есть переменная величина. Общеизвестно, например, что
реактивное движение представляет собой движение тела с
переменной массой. Масса ракеты изменяется в результате отделения
от нее продуктов сгорания. При подъеме грузов, подвешенных
на подъемном канате, масса его уменьшается за счет увеличения
части массы каната, навитого на барабан. В результате
лучеиспускания масса Солнца уменьшается.
Ракеты представляют собой наиболее типичные примеры тел
переменной массы. Зарождение механики тел переменного состава
восходит к трудам Эйлера по теории турбин [28, 46, 98]. Он
исследовал динамику поступательного и вращательного движения
тел переменной массы, составив дифференциальные уравнения
этих реактивных движений и определив главный вектор и
главный момент соответствующих реактивных сил (1756). В конце
XVIII в. Лагранж занимался исследованиями по внутренней
баллистике и составил динамические уравнения движения системы
твердых тел, состоящей из орудия и снаряда с пороховыми
газами. При движении снаряда внутри канала ствола орудия
происходит откат орудия в противоположную сторону — реактивное
Движение тела переменной массы. В начале XIX в. серьезные
исследования в этой области (впоследствии полностью забытые)
провел Г. Бюкуа [2024]. Он составил общее уравнение движения
точки и системы переменного состава и, пользуясь им, решил
165

ряд конкретных задач (в том числе задачу о подъеме постоянной
вертикально действующей силой идеально гибкой однородной
тяжелой нити, лежащей в свернутом виде на горизонтальной
плоскости). Ракетное оружие применялось в ряде войн (в сражении
при Лейпциге в 1813 г. и Ватерлоо в 1815 г., в русско-турецкой
войне в 1828—1829 гг., в Крымской войне 1853—1856 гг. и др.).
В 80-х годах XIX в. Н. И. Кибальчич в России и Г. Гансвиндт
в Германии изобрели проекты летательных аппаратов с
пороховыми ракетными двигателями, служащими для полета человека в
околоземном пространтве. В 1857 г. А. Кэли [185, 192], пользуясь
общим уравнением динамики, решил задачу об определении
движения тяжелой цепи, одна часть которой лежит на краю
стола, а другая — свешивается вниз, предполагая, что масса каждой
части цепи пропорциональна ее длине. Позднее (1869) Кэли [235]
решил еще несколько задач подобного рода, которые он называл
«задачами непрерывных импульсов». Вопросом влияния
непрерывного изменения массы на движение Луны в конце XIX в.
в связи с вековым ускорением долготы Луны заинтересовались
астрономы [222, 347, 349, 455]. Естественно, к концу XIX в.
возникла проблема обобщения известных разрозненных случаев
движения тел переменной массы, проблема построения общей
теории механики точки, системы и твердого тела переменного
состава с адекватными понятиями, принципами, методами
исследования и теоремами, из которой классическая ньютонианская
механика вытекала бы как частный случай. Основы такой общей
теории динамики тел переменной массы создал И. В. Мещерский
в 1897-1918 гг.14
Движение тела переменной массы следует понимать как
поступательное движение твердого тела, масса которого изменяется с
течением времени за счет отделения от него некоторых частиц
или присоединения к нему новых частиц. Для построения
механики точки переменной массы Мещерский ввел постулат о близко-
действии частиц, заключающийся в том, что эффект
взаимодействия между точкой и отделяемой от нее или присоединяемой к
ней частицей имеет место только в момент контакта точки и
частицы в виде ударной импульсивной силы. Мещерский получил
основное динамическое уравнение движения точки переменной
массы. Он показал, что динамическое уравнение движения точки
переменной массы позволяет определить абсолютное ускорение
центра масс твердого тела в случае, когда положение его в теле
не изменяется при изменении массы тела. В работах Мещерского
мы находим решение задачи о движении точки переменной массы
в поле центральной силы и задачи двух тел переменной массы.
14 Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы [995].
В этом сборнике помещена магистерская диссертация И. В. Мещерского
«Динамика точки переменной массы» (1897) и два мемуара — «О
вращении тяжелого твердого тела с развертывающейся тяжелой нитью
около горизонтальной оси» (1899) и «Уравнения движения точки
переменной массы в общем случае» (1904).
166

Исследование Мещерского — первое в литературе точное решение
основной задачи небесной механики с учетом изменения
движущихся масс при взаимодействии тел по закону Ньютона. Мещер-
сКий показал, что задача решается в квадратурах не только в
данном, но и в более общем случае, когда масса точки
пропорциональна квадратному корню из квадратичного трехчлена
относительно времени. Более того, он доказал, что этот случай является
единственным, если в результате некоторого преобразования
динамические уравпения задачи приводятся к уравнениям
движения точки постоянной массы под действием на нее центральной
силы, зависящей лишь от расстояния. Таким образом, Мещерский
установил соответствие между задачами о движении точки
постоянной и переменной масс. Созданную им общую теорию
динамики точки переменной массы Мещерский применил к решению
конкретных (прямых и обратных) задач в общем и частных
случаях изменения массы точки. Среди рассмотренных им задач
можно найти задачи о восходящем движении ракеты, о
вертикальном движении аэростата, о малых колебаниях маятника в
сопротивляющейся среде, о вращении тяжелого твердого тела с
развертывающейся тяжелой нитью около горизонтальной оси,
о движении реактивного судна, о движении твердого тела
переменной массы при отсутствии ударов, о движении тела
переменной массы вокруг неподвижной оси и др.
Основополагающая роль в создании и развитии теории и
разработке технических основ межпланетных полетов принадлежит
К. Э. Циолковскому [837, 1049]. В дополнение к аксиоме
Мещерского о контактных ударах при реактивном движении
Циолковский присоединил аксиому о постоянстве модуля
относительной скорости излучаемых при движении ракеты частиц. В 1903 г.
в своей знаменитой работе «Исследование мировых пространств
реактивными приборами» 15 — итоге многолетней
научно-изобретательской деятельности начиная с 80-х годов XIX в.—
Циолковский вывел две основные формулы ракетодинамики.
Первая формула Циолковского относится к движению точки
переменной массы ракеты в безвоздушном пространстве в случае
равенства нулю главного вектора внешних сил. Циолковский вывел
также формулу для определения абсолютной скорости
восходящего вертикального движения точки переменной массы (ракеты) в
однородном поле силы тяжести.
* Теория колебаний механических систем и твердых
тел
Зарождение теории колебаний восходит еще к трудам Гюйгенса
и Ньютона, которые рассматривали колебания математического
маятника, пользуясь приемами геометрии. По-видимому, первым
исследователем колебательных процессов в аналитическом плане
По инициативе А. А. Космодемьянского основы учении Мещерского и
Циолковского по механике тел переменной массы были введены в
курсы теоретической механики для высших учебных заведений СССР.
167

был Д'Аламбер. В «Трактате по динамике» [16] (1743)
он решил проблему малых свободных колебаний системы
материальных точек с конечным числом степеней свободы/около их
положений равновесия, сведя ее к интегрированию системы
дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами. Однако высшей степени общности теория малых
колебаний консервативной механической системы со
стационарными голономными связями достигает в исследованиях Лагранжа
(1762—1765, 1788). При составлении линеаризованных
динамических уравнений свободных колебаний системы Лагранж
пользуется уравнениями второго рода, сохраняя в выражениях
кинетической энергии и силовой функции системы, разложенных в
степенной ряд, лишь квадратичные члены относительно
обобщенных скоростей и координат с постоянными коэффициентами. Эту
систему линейных однородных уравнений, содержащих
обобщенные координаты и их вторые производные по времени, Лагранж
решает методом расщепления на отдельные нормальные
гармоники и получает общее решение путем их суперпозиции (как это
делается и теперь в современных курсах теоретической
механики) .
В теории малых колебаний Лагранжа речь идет о колебаниях
системы в окрестности устойчивого равновесия. Как известно,
Лагранж открыл простейший достоточный критерий
устойчивости равновесного состояния системы в случае изолированного
минимума потенциальной энергии (максимума силовой функции)
в положении равновесия. Он сводится к существованию
вещественных положительных корней соответствующего
характеристического уравнения. Лагранж считал, что в случае кратных корней
характеристического уравнения положение равновесия
неустойчиво. Однако, как было установлено позднее К. Вейерштрассом
(1858), И. И. Сомовым (1859) и Э. Раусом (1860), это
заключение ошибочно [195, 196].
Дальнейшее развитие методика исследования малых
колебаний системы в первом приближении получила в учебнике С.
Пуассона «Трактат по механике» (1811, 1833). Но Пуассон сознавал
ограниченность постановки задачи в линейном приближении. Оп
пишет, что при сохранении членов более высоких порядков можно
при помощи метода последовательных приближений добиться
уточнения решения. Пуассон впервые в истории механики
обобщил теорию малых колебаний в линейной постановке при
наличии сил сопротивления, пропорциональных первой степени
скоростей точек системы. Задачу о малых колебаниях математического
маятника он решил и для случая, когда силы трения
пропорциональны квадрату скорости.
Более совершенной формы теория линейных затухающих
колебаний достигает в сочинениях В. Томсона и П. Тэта «Трактат
по натуральной философии» [312] (1867, 1879) и Э. Рауса
«Трактат по динамике системы твердых тел» [352] (1884). Понятие о
декременте как о количественной характеристике затухания ам-
168

плитуды впервые ввел К. Гаусс [110] (1837). В. Стретт (Рэлей)
[270, 298] доказал ряд теорем, относящихся к теории
затухающих колебаний, в частности ввел понятие о диссипативной
функции (функции Рэлея), характеризующей рассеяние полной
механической энергии системы при затухании колебаний (1873).
Общая теория линейных колебаний консервативной системы б
современном оформлении была впервые изложена в классической
монографии Рэлея «Теория звука» [298] (1877, 1894). Эта книга
сыграла большую роль в развитии теории колебаний, которая
рассматривалась с единой точки зрения применительно к
механике, акустике и электродинамике исходя из аналогии между
колебательными процессами различной физической природы.
Книга Рэлея состоит из двух томов, первый из которых содержит
общую теорию колебаний дискретных систем и абсолютно
твердых тел, а второй посвящен исследованию процесса
распространения волн в упругой среде. Значительная часть монографии
Рэлея представляет собой оригинальное исследование. Рэлей
получил ряд качественных и количественных свойств периодов
собственных колебаний системы с п степенями свободы, в
частности он доказал теорему о стационарности этих периодов при
наложении на систему дополнительных связей (1873) и теорему
о взаимности между силами и движениями системы в самом
общем случае наличия диссипативных сил и явной зависимости
кинетической энергии, силовой функции и функции рассеяния от
периода колебаний. Теорема о взаимности имеет существенное
значение при исследовании различных вопросов приема и
излучения колебаний. Следуя Г. Стоксу, Рэлей ввел одно из основных
понятий волновой теории — понятие о групповой скорости (в
отличие от фазовой). Он получил формулу для определения
групповой скорости и вывел соотношение между групповой скоростью,
плотностью энергии и плотностью потока. Поразительно, что
Рэлей еще в конце XIX в. выделил механические, акустические
и электрические автоколебательные системы, способные
генерировать незатухающие колебания, показал нелинейный характер
описывающих их движения дифференциальных уравнений и
явился, таким образом, родоначальником общей теории
автоколебаний, созданной во второй четверти XX в. (главным образом
учеными школы Л. И. Мандельштама). У Рэлея впервые
встречаются указания на то, что некоторые процессы в теории
колебаний описываются линейными дифференциальными уравнениями
с периодическими коэффициентами [395] (1887). Это предвидение
Рэлея трудно переоценить, так как в дальнейшем в работах
Ляпунова и Пуанкаре по теории устойчивости, а также в
исследованиях по радиотехнике (модуляция, параметрический резонанс)
существенно используются такие уравнения. Рэлей по-новому
подошел к решению задачи о сложении колебаний со
случайными фазами. В XX в. его подход получил применение в теории
броуновского движения в работах А. Эйнштейна и А. Фокера
(1905) и обоснование в трудах А. Н. Колмогорова [878] (1938).
169

Рэлей изучал и колебания системы около ее стационарного
положения.
Следует особо подчеркнуть фундаментальные труды Ж М.
Ляпунова и А. Пуанкаре по теории устойчивости, качественной и
аналитической теории дифференциальных уравнений и другим
разделам математики и механики, которые, в частности, оказали
огромное влияние и на развитие теории колебаний.
Теория малых колебаний получила дальнейшее развитие в
работах Томсона и Тэта [312] применительно к гироскопическим
системам.
Для стационарных движений коэффициенты уравнений
возмущенного движения будут постоянными. При этом применим
ряд теорем об устойчивости движения и о возможности его
стабилизации. Сводку этих теорем, восходящих к В. Томсону и
П. Тэту, можно найти в монографии Г. Магнуса [1858].

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
РАЗВИТИЕ ОСНОВНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В XX ВЕКЕ
ВВЕДЕНИЕ
Число работ в области механики твердого тела, в особенности в
области теории гироскопов, возрастает столь интенсивно, что
составление полного обзора современного состояния этой науки
представляет собой почти невыполнимую задачу \
Систематическое изложение основных проблем теории гироскопов можно
выполнить, отправляясь от различных точек зрения, а в
классификации гироскопов можно исходить из различных признаков —
формы гироскопов, вида действующих на них моментов, числа
степеней свободы или числа динамически взаимодействующих
тел. В течение последних десятилетий теория гироскопов
получила значительное развитие благодаря исследованию движений
искусственных спутников. В связи с этим некоторые уже решенные
проблемы классической теории гироскопов вновь стали
актуальны. С другой стороны, возникли новые проблемы, например
вращение тел с самовозбуждением, движение тел с переменной
массой и моментами инерции, тел с жидким наполнением,
управление пространственной ориентацией тел, вращательное движение
в центральном поле тяготения, взаимное влияние поступательных
и вращательных перемещений. Космическое пространство с его
особыми условиями представляет собой лабораторию, которую
нельзя смоделировать на Земле. Это побуждает исследователей
более строго формулировать исходные предположения и
повышать точность приближений. Исходя из результатов классической
теории гироскопов, необходимо пояснить прежде всего новые
постановки задач. В нашей работе мы не затрагиваем задачи,
которые относятся к прикладной теории [1542, 1645, 1936, 2017].
1 Р. Граммель в свое время заметил, что механику пространственного
движения тел можно сравнить с картиной Тициана «Любовь небесная и
земная», имея в виду две наиболее выдающиеся классические проблемы.
В образе задумчивой, погруженной в себя небесной женщины можно
представить небесную механику, и в частности проблему п тел; в образе
живо воспринимающей окружающее земной женщины — проблему
вращения твердых тел, или гироскопов [1542].
171

ГЛАВА ПЕРВАЯ
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ,
ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ точки'
В ОДНОРОДНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
В XX в. получила значительное развитие теория обоснования,
преобразования и интегрирования дифференциальных уравнений,
описывающих вращательное движение твердого тела около
неподвижной точки. В учебных пособиях и учебниках по
теоретической механике применяются методы тензорного и матричного
исчислений, которые позволяют исходя из уравнений Лагранжа
второго рода или из теоремы об изменении кинетического
момента коротким, изящным путем получить динамические уравнения
Эйлера—Пуассона. Преобразование этих уравнений с целью
дальнейшего интегрирования или более глубокого качественного их
изучения шло по пути специального выбора системы референции,
приведения к каноническому виду в результате понижения
порядка, использования всего арсенала методов аналитической
механики.
Как известно, простота динамических уравнений Эйлера
обусловлена тем, что в качестве подвижных осей координат
выбираются главные оси инерции, отнесенные к неподвижной точке.
Однако было неясно, способствует ли предельная простота формы
уравнений более удобному способу разыскания их решений.
Дальнейшие исследования показали, что если отнести уравнения
движения твердого тела вокруг неподвижной точки к некоторым
несимметричным (специальным) осям координат, то они
оказываются более удобными для построения решений.
Некоторые исследователи посвятили работы проблеме
понижения порядка системы уравнений Эйлера. Принципиальная
возможность понижения порядка уравнений Эйлера — Пуассона
(с шестого до второго) обусловлена существованием трех первых
интегралов (интеграла энергии, интеграла кинетического момента
и геометрического интеграла) и тем, что время входит в них
только под знаком дифференциала. Однако конструктивное решение
этого вопроса приводит к чрезвычайно трудоемким вычислениям
и громоздким уравнениям движения тела. Поэтому большой
интерес представляет возможность преобразования уравнений
Эйлера — Пуассона к одному интегро-диффереициальному уравнению.
Получение этого уравнения открыло новые возможности для
дальнейших исследований в рассматриваемой области. Однако при
получении интегро-дифферециального уравнения, эквивалентного
системе дифференциальных уравнений Эйлера — Пуассона,
вводятся некоторые ограничения, состоящие в том, что центр масс
гиростата и вектор гиростатического момента расположены в
главной плоскости гирационного эллипсоида для неподвижной
точки.
172

Исследования XX в. показали, что параметры Эйлера, Кэли—
Клейна и Родрига—Гамильтона связаны с теорией кватернионов.
Было установлено, что наиболее общим способом описания
вращательного движения твердого тела является ориентация
связанной с телом декартовой системы координат. В соответствии с
теоремой Эйлера ортогональные преобразования являются конечными
поворотами. Оказывается, что существует изоморфное
соответствие между операцией ортогонального преобразования и операцией
умножения кватернионов. Использование теории кватернионов
дает возможность исследовать закономерности конечных
поворотов тела. Среди кинематических параметров особое место
занимают параметры Родрига—Гамильтона и Кэли—Клейна, которые
в отличие от углов Эйлера не вырождаются при любом положении
твердого тела. Число этих параметров равно четырем, поэтому они
связаны лишь одним соотношением, в то время как
направляющие косинусы Лагранжа связаны шестью соотношениями. Эги
особенности выгодно отличают указанные параметры, которые
можно представить как компоненты кватернионов. Применение
теории кватернионов позволяет представить в единой векторной
форме и бесконечно малые вращения, определяющие вектор
угловой скорости, и произвольные преобразования, являющиеся
конечными поворотами. Теория кватернионов дала весьма удобный
аппарат для изучения кинематики движения твердого тела. Это
вытекает из дуализма единиц кватерниона, которые, с одной
стороны, представляют собой орты реального трехмерного
пространства, а с другой — операторы соответствующих преобразований.
Кроме канонических переменных, соответствующих углам
Эйлера и их обобщенным импульсам, в динамике твердого тела
иногда удобно пользоваться параметрами Депри. Показано, что
эти параметры также являются каноническими, причем
существует однородное каноническое преобразование, которое переводит
фазовое пространство Эйлера в фазовое пространство Депри.
Наряду с исчислением кватернионов применительно к задачам
ориентации твердого тела в XX в. получила также дальнейшее
развитие теория винтов. На основе принципа перенесения Штуди—
Котельникова была построена теория линейчатых поверхностей и
конгруэнции. Принцип перенесения теперь представляется в виде
отображения линейчатого пространства на дуальную сферу
единичного радиуса. Таким образом, установлена тесная связь
линейчатой геометрии и кинематики движения твердого тела и системы
твердых тел.
Далее следует указать на исследования ученых XX в., в
которых дано систематическое изложение моторной алгебры и
анализа; рассмотрено понятие мотора скоростей твердого тела,
установлено моторное уравнение динамики твердого тела, введено
понятие винтовых аффиноров, обобщающих операторы аффинной
геометрии на винтовое пространство. Уравнениям движения
твердого тела можно придать большую наглядность и удобство для
применения, если использовать то направление теории винтов, кото-
т

рое ведет от способов рассмотрения скалярных величин к
векторному исчислению. Если, используя понятия векторного
исчисления, мы делаем соотношения независимыми от выбора
определенных координатных направлений, то введение понятия мотора
делает их независимыми и от выбора начала координат. Понятие о
моторе как о геометрическом образе вводится как совокупность
двух прямых, пересекающих третью прямую (ось мотора) и
образующих постоянный дуальный угол. Мотор определяется, таким
образом, шестью координатами. Устанавливаются операции
скалярного и моторного умножения моторов через их координаты.
Вводятся в рассмотрение моторные диады и моторные матрицы
аффинного преобразования. Но моторное исчисление только
частично сохраняет сходство с векторным исчислением. Принцип
перенесения здесь не имеет места. Если винтовое исчисление при
выполнении принципа перенесения в применении к механике
ограничивается лишь кинематикой твердого тела, то моторное
исчисление обладает тем преимуществом, что оно охватывает и
динамику твердого тела.
Далее, можно ввести обобщение дуальных аффинных
операторов в виде винтового бинора, т. е. оператора, осуществляющего
наиболее общее преобразование винта, и применить это к
механике твердого тела и статике пространственных систем. Некоторые
авторы попытались построить моторное тензорное исчисление,
однако эта проблема систематически еще не исследована. Некоторые
работы советских ученых содержат приложения теории винтов к
теории механизмов, а также применение моторного и винтового
методов к задачам о движении твердого тела в жидкости. В
настоящее время имеется достаточно полное и систематическое
изложение винтового исчисления. Излагается элементарная теория
винтов, в которой винт аналитически определяется шестью
координатами. Дается аналитическое выражение относительного момента
двух винтов, рассматриваются элементы теории линейных
комплексов, вводятся понятия взаимных винтов, комплексов и нулевых
прямых. Излагается теория групп винтов, и устанавливается связь
этой теории с движением твердого тела с различным числом
степеней свободы. Указываются методы геометрического изображения
винтов и их приложения в статике пространственных систем.
Рассматривается вариант построения винтового исчисления,
основанного на применении дуальных чисел и векторов, и его применение
в кинематике твердого тела. Центральное место здесь занимает
известный принцип перенесения Котельникова—Штуди.
Как обобщение векторного анализа путем введения скалярных
и винтовых функций винтового переменного построен винтовой
анализ, введены понятия градиента и ротора. Рассматриваются
операции дифференцирования и интегрирования в соответствии с
принципом перенесения. Винтовое исчисление, в частности, нашло
применение в исследовании конечных винтовых перемещений
твердого тела, в задачах о сложении и разложении перемещений,
в теории пространственных механизмов. Построена теория аксалов
174

винтовых осей, т. е. геометрических мест тех осей, винтовым
движением относительно которых тело может быть переведено из од-
ного положения в другое. Установлена связь аксалов с аксоида-
]уШ, показана аналогия между плоским и сферическим
движениями твердого тела, с одной стороны, и между сферическим и общим
пространственным движением — с другой. На основании этой
двойной аналогии можно найти пространственный аналог любой
плоской задачи и, таким образом, предвидеть путь решения
пространственной задачи о движении твердого тела по аналогии с
соответствующей плоской задачей. При построении моторного
исчисления и его приложений рассмотрено понятие моторного
аффинора инерции твердого тела и получено общее уравнение динамики
в моторной форме. Моторное исчисление может быть
использовано для решения ряда задач статики твердого тела, теории малых
колебаний упругих систем и динамики твердого тела во
взаимодействии с жидкостью. Теория групп винтов связывается с
аналитической механикой путем введения понятия о групповых
интегралах динамических систем и соответствующего обобщения метода
Пуассона—Якоби о нахождении новых интегралов. Как
известно, в случае Эйлера—Пуансо динамики твердого тела вокруг
неподвижной точки в однородном силовом поле четвертый интеграл
зависит от трех переменных, в случае Лагранжа—Пуассона —
от одной переменной, в случае Ковалевской — от четырех
переменных. Таким образом, в известных трех общих случаях
интегрируемости четвертый интеграл зависит не от всех шести
переменных задачи Эйлера, а только от части этих переменных.
В работах, посвященных исследованию четвертого
алгебраического интеграла уравнений Эйлера—Пуассона, как правило,
предполагается, что значения известных интегралов являются
произвольными постоянными. В связи с этим выпадает из
рассмотрения, например, случай Горячева—Чаплыгина, когда постоянную
площадей следует принять равной нулю. Поэтому возникала
необходимость более общей постановки вопроса: при каких условиях,
налагаемых не только на параметры, характеризующие
распределение масс в теле, но также и на значения известных интегралов,
существует новый алгебраический интеграл? Исследования
показали, что условием существования подобного интеграла является
требование, чтобы центр масс твердого тела (или гиростата)
располагался в неподвижной точке на одной из главных осей инерции.
Систему дифференциальных уравнений Эйлера—Пуассона
можно привести к каноническому виду и получить
соответствующее уравнение Гамильтона—Якоби—Остроградского в частных
производных первого порядка. Полный интеграл этого уравнения,
которое имеет весьма сложный вид, при любых параметрах А, В*
С, Хо, [/о, z0 найти пока не представляется возможным. Однако в
некоторых простейших случаях это уравнение решается и
находится соответствующий первый интеграл. Вообще если можно
воспользоваться методом разделения переменных, то нахождение
полного интеграла уравнения в частных производных оказывает-
175

ся более простой задачей, чем непосредственное интегрирование
системы канонических уравнений движения. К исследованиям,
рассмотренным выше, относятся следующие работы: [о21, 637,
684, 691, 692, 701, 708, 713, 733, 734, 746, 752, 772, 808, 810,
822, 831, 836, 848, 856, 861, 869, 877, 880, 883, 888, 892, 894, 901,
970, 985, 1024, 1029, 1079, 1080, 1082, 1090, 1091, 1175, 1211, 1212,
1243, 1326, 1329, 1348, 1357, 1391, 1485, 1503, 1529, 1561,
1607, 1611, 1615, 1616, 1640, 1652, 1653, 1680, 1681, 1690, 1713,
1774, 1776, 1781, 1918, 1957, 1960, 1974, 1975, 2027, 2031, 2051,
2053, 2059].
В XX в. получила дальнейшее развитие проблема
существования однозначных, аналитических и алгебраических первых
интегралов уравнений Эйлера—Пуассона. Можно утверждать, что
вопрос об однозначных решениях этих уравнений при произвольных
начальных условиях полностью исчерпывается известной
теоремой А. М. Ляпунова, согласно которой указанное требование
выполняется только в случаях Эйлера—Пуансо,
Лагранжа—Пуассона и Ковалевской. В других случаях, например при отыскании
периодических и асимптотических движений несимметричного
волчка, искомые функции не представляются степенными рядами.
Что же касается отыскания условий существования четвертого
алгебраического интеграла, то в результате глубоких исследований
ученых XX в. доказана следующая теорема: дополнительный
независимый от времени первый алгебраический интеграл уравнений
Эйлера—Пуассона существует только в трех случаях: Эйлера—
Пуансо, Лагранжа—Пуассона и Ковалевской, в которых имеются
однозначные на всей ^-плоскости общие решения для шести
переменных задачи Эйлера [389, 390, 421, 434, 440, 446, 450, 457, 458,
467, 469, 487, 507, 521, 666, 667, 672, 674, 679, 700, 787, 900, 1489,
2018, 2035, 2053].
Случаи Эйлера—Пуансо и Лагранжа—Пуассона были
подробно изучены в трудах ученых XVIII и XIX вв. Изложение всех
особенностей указанных случаев читатель может найти в полных
современных курсах теоретической механики, а также в
специальных работах по механике твердого тела. Как известно, общее
решение уравнений Эйлера—Пуассона в этих случаях выражается
через тэта-функции Якоби, т. е. в однозначных функциях времени.
Некоторые современные авторы исследовали случай
Эйлера—Пуассона в переменных действие-угол, за которые, например, можно
принять углы Эйлера и соответствующие им обобщенные
импульсы, а также переменные Депри. В соответствии с характером
канонических переменных можно составить для указанных случаев
уравнения Гамильтона и уравнение в частных производных
первого порядка. Однако найти полный интеграл этих уравнений
можно только приближенно.
Обширные исследования ученых XX в. касаются движения
гироскопа Ковалевской. В этих исследованиях произведена
классификация простейших частных случаев движения, соответствующих
наличию кратных корней характерного для него многочлена пятой
176

степени [436, 437, 450, 467, 510, 696, 873, 895, 1357, 1484, 1803,
2053].
До середины XX в. в динамике твердого тела, движущегося
около неподвижной точки, были получены два новых частных
случая интегрируемости уравнений Эйлера—Пуассона. Во всех
известных частных случаях применялись различные искусственные
приемы исследования. Эти приемы представляют собой весьма
разнородный и пестрый спектр математических методов и не
объединены никакой единой идеей. В свою очередь, каждый вновь
открытый частный случай вызывал поток связанных с ним
исследований, посвященных подробному анализу свойств этого частного
случая. К настоящему времени найдено 20 точных решений
уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной
точки. Этим решениям соответствуют алгебраические инвариантные
соотношения различной степени. Многие из решений
классической задачи обобщены на случай гиростата с одной неподвижной
точкой в следующих работах: [446, 628, 680, 692, 747, 752,
808, 873, 968, 970, 985, 1090, 1091, 1161, 1204, 1206, 1211,
1212, 1292, 1293, 1400, 1463, 1522, 1523; 1530, 1540, 1582,
1637, 1640, 1686, 1710, 1715, 1718, 1719, 1720, 1722, 1738, 1739,
1746, 1747, 1760, 1771, 1772, 1773, 1775, 1784, 1786, 1787, 1792,
1793, 1794, 1799, 1800, 1808, 1809, 1812, 1814, 1816, 1827,
1833, 1834, 1841, 1847, 1848, 1849, 1850, 1851, 1878, 1898,
1929, 1946, 1965, 1981, 1996, 1998, 1999, 2000, 2030, 2031, 2034,
2050,2058]. г
Выше шла речь о точных решениях уравнений
Эйлера—Пуассона и эквивалентных им, которые, вообще говоря, выражаются
либо в эллиптических функциях, либо в гиперэллиптических
интегралах. При этом следует иметь в виду неоднозначность обращения
последних. Однако в последнее время появились исследования,
в которых эти уравнения решаются приближенно в рядах А.
Пуанкаре, а также с привлечением методов теории возмущений
[1080, 1348, 1355, 1524, 1645, 2053].
Разрозненные результаты, полученные учеными XX в. в
указанной области, трудно объединить по какому-либо признаку.
Установлены конечные соотношения между углами Эйлера в
случае Эйлера—Пуансо. Одно из них состоит в том, что
фиксированный вектор кинетического момента описывает относительно
движущегося тела с неподвижной точкой неизменный конус.
Второе соотношение описывает движение конца единичного вектора,
коллинеарного кинетическому моменту, по сферической кривой,
лежащей на гирационном эллипсоиде.
Представляет интерес качественное исследование проблемы
Движения точки на поверхности вращения в смысле
периодичности и устойчивости движения, а также установления границ
изменения апсидального угла, поскольку соответствующая система
Дифференциальных уравнений в общем случае не интегрируется.
Решение уравнений Эйлера, как известно, состоит в
интегрировании и нахождении девяти направляющих косинусов неподвиж-
12 Заказ Л* 1377
177

ных осей в теле, движущемся около неподвижной точки,
относительно неподвижных осей в пространстве. Некоторые
исследователи обратили эту проблему, рассматривая движение пространства
относительно неподвижного тела. При такой постановке этой
проблемы она сводится к проблеме гидродинамики и решается в
эллиптических функциях Якоби или Вейерштрасса. Задача имеет
симметричное решение при известных /?, q, г.
К изучению проблемы интегрирования уравнений движения
твердого тела около неподвижной точки может быть применена
теория групп С. Ли. Этот путь исследования позволил указать
некоторые интегрируемые случаи и путем исключения координат
центра масс изучить рациональную группу полученных таким
образом уравнений, содержащих компоненты угловой скорости.
Представляет интерес исследование канонических уравнений
движения твердого тела около неподвижной точки в направлении
выявления периодических и асимптотических решений, подобных
аналогичным решениям задачи трех тел.
Некоторые авторы предприняли исследование интегрируемых
частных случаев дифференциальных уравнений движения тела с
неподвижной точкой при условии, что потенциальная функция
является однородным полиномом некоторых степеней декартовых
координат. К решению уравнений Эйлера—Пуассона были
применены ряды Пуанкаре по степеням малого параметра с
переменными коэффициентами. В качестве параметров могут быть
выбраны координаты центра масс, так как можно показать, что область
изменения этих координат допускает расширение путем
аналитического продолжения. Коэффициенты построенных рядов
определяются при этом из рекуррентной системы линейных
дифференциальных уравнений.
В работах некоторых авторов показано, что если в уравнения
Гесса вместо компонентов угловой скорости ввести некоторые не-
голономные переменные, соответствующие выражениям трех
первых интегралов задачи Эйлера, то эти уравнения будут
эквивалентны уравнениям Эйлера—Пуассона.
Представляет интерес особый вид движения твердого тела
около неподвижной точки, при котором на него действуют силы,
приводящиеся к паре сил с неизменным по направлению моментом.
Получено решение уравнений Эйлера для движения
симметричного твердого тела, находящегося под действием независимого
от времени самовозбуждения в неизмененном в теле
направлении, в интегралах Френеля. Для этого случая характерно
частичное расчленение уравнений дижения, что облегчает их
интегрирование.
Некоторые работы посвящены исследованию движения
тяжелого твердого тела при движении полюса, усиления устойчивости
быстро вращающегося твердого тела, прецессионного движения,
случайного нарушения регулярной прецессии. Исследовано
движение твердого тела около неподвижной точки при условии, что на
каждую точку тела действует сила, представляющая линейную
178

функцию ее координат относительно главных осей инерции тела.
13 этом случае уравнения движения допускают два первых
интеграла, соответствующих законам сохранения механической
энергии и кинетического момента. При определенных соотношениях
меЖДУ параметрами тела существует еще один первый интеграл и
задача решается в квадратурах. Исследовано движение гироскопа
Горячева—Чаплыгина при быстром вращении его вокруг главной
оси инерции. Это движение аналогично квазирегулярному
прецессионному движению гироскопа Лагранжа—Пуассона.
Известно, что свободное твердое тело совершает эйлерово
движение в случае отсутствия внешних моментов. Оказывается, что
и при наличии внешнего момента, сохраняющего свое
направление в инерциалыюм пространстве коллинеарпо кинетическому
моменту, твердое тело совершает движение с той же геометрией,
что и в эйлеровом случае, однако с несколько другим характером
зависимости параметров движения от времени.
Как известно, уравнения Эйлера—Пуассона, кроме трех
классических алгебраических первых интегралов, допускают еще два
трансцендентных первых интеграла, причем один из них
переходит в алгебраический только в известных трех интегрируемых
случаях Эйлера—Пуансо, Л агранжа—Пуассона и Ковалевской.
Показано, что в общем случае не существует ни один трансцендентный
первый интеграл уравнений Эйлера—Пуассона, явно не
зависящий от времени, линейный относительно двух первых
компонентов угловой скорости.
Представляет интерес идея использования известных
резонансных соотношений для предсказания существования
дополнительного четвертого интеграла уравнений Эйлера—Пуассона. Эта идея
состоит в том, что в тех случаях, когда на начальные условия
движения не накладываются ограничения, исключающие малые
движения около положения равновесия (а таковы все общие и
большинство известных частных случаев интегрируемости),
можно изучить сначала малые колебания около положения
равновесия. Затем интегралы задачи малых колебаний можно
использовать как ориентиры для получения интегралов исходной задачи.
Будут ли эти интегралы существовать, когда учитываются
нелинейные члены в уравнениях движения, и какие условия надо
наложить на переменные начальные условия, чтобы интегралы
малых движений оставались интегралами нелинейных уравнений
Эйлера—Пуассона, это должно дополнительно рассматриваться в
каждом случае.
В последнее время были исследованы динамические системы,
возникающие на инвариантных торах задачи Ковалевской, а так-
^е периодические решения в задаче Эйлера и геометрия
переменных «действие — угол» случая Эйлера—Пуансо.
Известно исследование Дарбу об определении углов Эйлера по
известным компонентам угловой скорости как функции времени,
^та задача сводится к интегрированию одного уравнения Рикка-
ти с комплексными коэффициентами. Как недавно было показано,
179
12*

для решения задачи Дарбу достаточно знать лишь какое-либо
частное решение упомянутого уравнения Риккати. При этом задача
сводится к квадратурам в параметрах Кэли—Клейна.
Исследования, рассмотренные в последнем разделе этой главы, освещены в
работах: [126, 394, 400, 408, 526, 549, 552, 591, 676, 683, 684,
685, 691, 692, 717, 722, 724, 733, 734, 735, 749, 755, 766, 769,
775, 810, 825, 827, 881, 912, 955, 967, 969, 972, 987, 988, 989,
1008, 1032, 1034, 1035, 1037, 1053, 1056, 1060, 1068, 1070, 1074,
1075, 1076, 1078, 1086, 1090, 1099, 1104, 1121, 1124, 1144, 1156,
1172, 1184а, 1197, 1202, 1204, 1244, 1246, 1247, 1248, 1251, 1253,
1262, 1264, 1287, 1293, 1314, 1319, 1333, 1351, 1410, 1441, 1470,
1483, 1487, 1554, 1571, 1580, 1593, 1652, 1795, 1902, 1903].
ГЛАВА ВТОРАЯ
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В ЦЕНТРАЛЬНОМ
НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ СИЛ
Если задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки
в однородном силовом поле возникла еще в трудах классиков
XVIII в. и на протяжении двух последующих веков получила
значительное развитие, то проблема движения твердого тела в
центральном ньютоновском поле сил целиком является детищем
XX в.
Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой в
центральном ньютоновском поле сил представляют собой
динамические уравнения Эйлера с силовыми моментами, выраженными
через посредство силовой функции. При условии, что расстояние
гравитирующего центра от неподвижной точки тела значительно
больше расстояния произвольной точки тела от неподвижной
точки, эти уравнения с достаточной степенью точности можно
значительно упростить и конкретизировать. К ним, разумеется, нужно
присовокупить уравнения Пуассона. Если расстояние центра
тяготения от неподвижной точки тела устремить к бесконечности,
приближенные динамические уравнения Эйлера переходят в
обычные уравнения для тяжелого твердого тела около неподвижной
точки. Уравнения Эйлера—Пуассона в рассматриваемой
обобщенной задаче, как и в классической задаче, допускают три аглебраи-
ческих интеграла, и, в связи с тем что в эти уравнения не входит
явно время, а также в связи с наличием последнего
множителя Якоби, который в данном случае равен единице, для их
интегрирования достаточно существования дополнительного
(четвертого) первого интеграла, не содержащего явно время. Этот интеграл
найден в двух случаях: 1) когда тело закреплено в центре масс и
2) когда тело обладает динамической симметрией относительно
180

0дной из главных осей инерции, содержащей центр масс. В
каждом из этих случаев задача приводится к квадратурам. Однако
полученные решения и квадратуры носят весьма громоздкий
характер, не поддаются качественному анализу и не позволяют
установить однозначность общего решения. Вместе с тем все известные
частные решения рассматриваемых уравнений выражаются в
однозначных функциях времени [244, 461, 498, 699, 1176,
Ц77, 1291, 1605, 1645, 1858, 2053].
Известны три частных случая интегрируемости обобщенных
уравнений Эйлера—Пуассона при условии неподвижного центра
масс. Первый случай соответствует плоскопараллельному
колебательному движению тела. Второй случай не имеет аналога в
классической задаче. Он содержит две постоянные интегрирования и
один произвольный параметр. В третьем случае тело
рассматривается как тонкая пластинка, расположенная в плоскости ху, при
условии А+В = С [636, 1488, 1605].
Предметом исследования ученых XX в. явились вопросы
существования однозначных, алгебраических и аналитических первых
интегралов уравнений движения твердого тела около неподвижной
точки в центральном ньютоновском силовом поле.
Установлено, что все переменные рассматриваемой задачи во
втором общем случае интегрируемости (аналоге случая Лагран-
жа—Пуассона) выражаются в однозначных функциях времени.
В первом же общем случае (аналоге случая Эйлера—Пуансо)
этот вопрос из-за сложности получаемых квадратур до сих пор
еще окончательно не решен, хотя, как указано выше, все
известные частные случаи приводят к однозначным решениям. Показано
далее, что для несимметричного гироскопа, закрепленного не в
центре инерции, не существует дополнительный (четвертый)
первый интеграл рассматриваемой обобщенной задачи,
аналитический по всем переменным. Доказана аналогичная теорема, в
которой дополнительный интеграл предполагается алгебраическим.
Также можно доказать, что для симметричного гироскопа,
закрепленного не в центре инерции, дополнительный интеграл возможен
только во втором случае интегрируемости [1432, 1486, 1489, 1604,
2018,2019].
При исследовании движения искусственного спутника его
принимают за твердое тело, которое движется в
центрально-симметричном поле тяготения. В первом, достаточно хорошем
приближении можно считать, что вращательное движение спутника вокруг
его центра масс не зависит от его поступательного движения
вместе с центром масс. Таким образом, движение спутника около его
Центра масс можно рассматривать как движение тела около
неподвижной точки. Поэтому для характеристики поступательно-
го движения спутника вместе с его центром масс можно
использовать теоремы об изменении количества движения и кинетического
момента. Интеграл, входящий в выражение главного момента
действующих на спутник сил (вычисленного на основании закона
всемирного тяготения Ньютона), зависит от распределения масс в
181

теле и от его ориентации в пространстве. Точно вычислить этот
интеграл удается только в исключительных случаях. Однако его
можно вычислить приближенно, так как потенциал/поля
тяготения разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по
специальным функциям. Таким образом, если пренебречь
квадратом и более высокими степенями отношения расстояния любой
точки спутника от неподвижной точки к ее расстоянию до грави-
тирующего центра, можно получить приемлемое приближенное
выражение главного момента приложенных сил относительно
начала координат, состоящее из двух слагаемых. Первое из них
представляет собой момент силы тяжести в однородном поле
тяготения. Он обращается в ноль, когда началом координат
является центр масс. Второе слагаемое, учитывающее градиент сил
тяготения, обращается в ноль, либо когда одна из главных осей
инерции тела в начале координат направлена в центр тяготения,
либо когда эллипсоидом инерции тела является сфера.
Для спутника, вращающегося в центрально-симметричном
поле тяготения и не имеющего неподвижной точки, за начало
отсчета принимают его центр масс, движение которого исследуется
с помощью теоремы об изменении количества движения.
Поскольку, как указано выше, орбитальное движение спутника не
является независимым от его вращательного движения, к теореме об
изменении количества движения следует присоединить теорему об
изменении кинетического момента. Чтобы с помощью вектора
угловой скорости определить ориентацию спутника относительно
выбранной системы отсчета, можно использовать кинематическое
соотношение между абсолютной, переносной и относительной
скоростями, примененное к вертикальному единичному вектору.
В центрально-симметричном поле тяготения этот вектор всегда
направлен от притягивающего центра к спутнику и,
следовательно, при движении спутника по орбите его направление является
переменным. В итоге определяющая система дифференциальных
уравнений имеет 12-й порядок.
В настоящее время теория движения искусственного спутника
в центрально-симметричном поле тяготения Ньютона достигла
значительного развития. Исследовано движение спутника вокруг
его центра масс под действием гравитационных моментов.
Составлены соответствующие дифференциальные уравнения движения,
указаны их первые интегралы, исследован вопрос об
интегрировании динамических уравнений и произведен качественный анализ
движения спутников в зависимости от формы тела, траектории
центра масс, ориентации тела относительно траектории и
характера движения. Если кинетическая энергия во вращательном
движении спутника вокруг его центра инерции значительно
превосходит работу моментов гравитации, то спутник обладает
динамической симметрией и орбита является круговой или почти
круговой. В этом случае его движение может рассматриваться как
результат наложения некоторого возмущения на невозмущенное
движение. Рассмотрены два случая движения спутника под дей-
182

ствием моментов гравитации, когда существование малого
параметра позволяет применить метод усреднения и получить
асимптотическое решение.
Если тело, движущееся в ньютоновском центральном поле сил,
является не материальной точкой, а твердым телом конечного
размера, то, как было указано выше, его поступательное и
вращательное движения, строго говоря, взаимосвязаны и центр масс
движется по траектории, отличной от кеплеровой орбиты. Для
реальных спутников эта взаимосвязь очень слабая. Поэтому при
исследовании движения спутника около центра масс
предполагают, что указанная взаимосвязь отсутствует, и центр масс
движется по кеплеровой орбите. Однако для теории и оценок реальных
движений эта взаимосвязь представляет интерес, и изучению этого
вопроса следует уделить должное внимание.
Было исследовано частное решение задачи о поступательно-
вращательном движении для практически важного случая
проблемы двух тел, когда планета имеет форму шара, а спутник —
форму сфероида, т. е. представляет собой любое однородное тело
вращения с плоскостью симметрии, перпендикулярной оси вращения.
Этому решению соответствует круговое движение центра тяжести
спутника около центра планеты с постоянной скоростью,
прецессионные движения оси спутника около оси, перпендикулярной к
плоскости движения, тоже с постоянной скоростью. При этом
спутник вращается вокруг своей оси симметрии. Это исследование
применяется при расчете ракеты указанной формы.
Рассмотрена общая проблема о поступательно-вращательном
движении системы абсолютно твердых тел при ньютоновском
законе взаимного притяжения. Система полученных
дифференциальных уравнений подразделяется на две автономные группы,
соответственно характеризующие поступательные движения вместе с
центрами масс и вращательные движения около этих центров,
только тогда, когда тела представляют собой шары со
сферическим распределением плотностей. Проблема взаимосвязанного
поступательно-вращательного движения системы абсолютно твердых
тел имеет большой теоретический и практический интерес для
развития и уточнения различных теорий небесной механики, в
частности теории движения Луны, а также для оценки эффектов
взаимосвязи указанных видов движений искусственных спутников
Земли.
При некоторых упрощающих предположениях движение
космического летательного аппарата можно рассматривать как
совокупность движения центра масс и вращения вокруг него, так что
соответствующая система дифференциальных уравнений
двенадцатого порядка распадается на две независимые системы шестого
порядка. Однако эти системы удается проинтегрировать только
при некоторых весьма существенных ограничениях вида силового
поля (для первой группы уравнений) и геометрической
конфигурации космического летательного аппарата (для второй группы).
По и в тех случаях, когда не удается до конца проинтегрировать
183

систему дифференциальных уравнений движения аппарата,
можно получить некоторую информацию об этом движении, если
известны один или несколько первых интегралов системы. В ряде
случаев знание определенного числа интегралов позволяет
упростить нахождение общего решения системы.
Известен метод нахождения первых интегралов уравнений
движения с помощью теоремы Э. Нетер. Показано, что существование
первых интегралов связано с наличием некоторой системы
дифференциальных уравнений в частных производных. Решения этой
системы уравнений образуют группу бесконечно малых
преобразований, удовлетворяющих условию существования первого
интеграла уравнений движения. Построенный таким образом метод
может быть использован, например, для исследования движения
космонавта в открытом космосе при монтаже орбитальной
космической станции, соединенного с кораблем гибкой связью [81, 433,
889, 1101, 1176, 1177, 1216, 1311, 1404, 1429, 1486, 1491, 1498,
1532, 1605, 1645, 1712, 1757, 1963, 2008, 2053].
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Понятие о гиростате, как известно, введено В. Томсоном и
П. Тэтом, Н. Е. Жуковским и В. Вольтерра. Они же составили
уравнения движения тяжелого гиростата с неподвижной точкой и
получили первые интегралы. Современное изложение этих
результатов можной найти, например, в монографии К. Магнуса [1858].
Наиболее простым является случай, когда ось вращения
ротора совпадает с главной осью инерции тела. В этом случае
уравнения движения гиростата представляются уравнениями
движения гироскопа с определенными главными моментами инерции
при наличии самовозбуждения, зависящего от угловой скорости.
Если угловая скорость ротора относительно «несущего» тела
поддерживается постоянной с помощью регулятора, то уравнения
движения гиростата также эквивалентны уравнениям движения
некоего гироскопа с самовозбуждением, зависящим явно от времени
и угловой скорости. В случае свободного симметричного гиростата
можно получить нутационные колебания, при которых ось
вращения ротора (ось симметрии гироскопа) колеблется относительно
неизменного направления как качение подвижного аксоида по
неподвижному, однако эта интерпретация менее наглядна, чем
интерпретация Л. Пуансо. Можно также получить решение в
случае существования главного момента, проекция которого на ось
симметрии обращается в ноль. Точное решение существует и в
случае свободного несимметричного гиростата при некоторых до-
184

волнительных условиях. При этом получается четыре различных
типа решения для семи частных случаев.
Исследован вопрос о перманентных вращениях тяжелого
гиростата. При отличном от нуля моменте силы тяжести
перманентные вращения гиростата в отличие от аналогичных вращений од-
лого твердого тела могут совершаться только вокруг вертикальной
оси. Получено соотношение, которое определяет кинематически
розможные оси перманентных вращений (обобщенный конус
Штауде). Определены также динамически возможные оси
перманентных вращений тяжелого гиростата, соответствующие
устойчивому и неустойчивому движениям. Для практических применений
гиростата, например при управлении ориентацией космического
корабля, в общем случае может оказаться необходимым
поддерживать с помощью регулятора относительную угловую скорость
ротора постоянной или равной заданной функции времени.
Разложив кинетический момент гиростата на две компоненты,
соответствующие закрепленному ротору и вращению ротора
относительно несущего тела, можно получить уравнения движения, для
которых существуют два первых интеграла: интеграл энергии и
интеграл кинетического момента. Установлено, что общее
решение этих уравнений существует только в обобщенных случаях
Эйлера—Пуансо, Лагранжа—Пуассона и Ковалевской. В
обобщенном случае Эйлера—Пуансо дополнительный интеграл
характеризует постоянство величины кинетического момента гиростата, в
обобщенном случае Лагранжа—Пуассона третий интеграл
является условием постоянства компоненты мгновенной угловой
скорости в направлении оси вращения ротора. Третий общий интеграл
может быть указан и в обобщенном случае Ковалевской. В этих
исследованиях используется обобщенная на случай тяжелого
гиростата теорема Пуанкаре о существовании новых алгебраических
интегралов только тогда, когда эллипсоид инерции относительно
неподвижной точки есть эллипсоид вращения.
Представляет интерес составление уравнений движения
тяжелого гиростата в специальной системе координат. Анализ этих
уравнений позволяет обнаружить, кроме известных, ряд новых
интегрируемых случаев. Получены уравнения движения, и найдены
их первые интегралы для находящегося в жидкости твердого
тела, ограниченного многосвязной поверхностью. Эти уравнения
остаются в силе как для движения тяжелого твердого тела,
имеющего неподвижную точку и полости, заполненные жидкостью, так
и для тела с помещенными в нем вращающимися маховиками,
которое движется в центральном ньютоновском поле сил около
неподвижной точки или центра инерции. Уравнения допускают
Ряд известных и новых частных решений, получаемых на
основании существующих обобщенных классических первых интегралов.
Рассмотрены перманентные оси вращения гиростата,
находящегося под действием консервативных сил, зависящих только от
положения тяжелого гиростата. Исследована устойчивость таких
Движений. Для некоторых частных видов движения твердого тела
185

с полостями, частично заполненными жидкостью (в случаях
действия импульсивных сил и гармонических колебаний), вводятся в
рассмотрение инерциальные характеристики системы,
аналогичные массе и моментам инерции, которые позволяют провести
анализ поведения системы под действием внешних сил. Для
определения линейных интегралов уравнений движения твердого тела с
неподвижной точкой, заключающего внутри себя подвижные
массы, в некоторых исследованиях используется новый метод,
основанный на применении групповых переменных Пуанкаре и
понятия циклических перемещений. Следует отметить некоторые работы,
в которых показывается, что при составлении уравнений
движения сложных гироскопических устройств в ряде случаев
предпочтительнее использовать не уравнения Лагранжа второго рода,
а теорему об изменении кинетического момента [1156, 1159, 1160,
1218, 1293, 1366, 1545, 1546, 1556, 1564, 1581, 1582, 1586, 1619,
1623, 1642, 1858].
Модель двух твердых тел, точки которых взаимодействуют по
закону Ньютона, позволяет учитывать новые эффекты
одностороннего влияния формы и строения тела на движение его центра
масс и двустороннего влияния или двойного взаимодействия
формы и строения одного тела на вращательное движение второго.
Переход от классического потенциала тела при взаимодействии с
точкой к понятию потенциала двух твердых тел является
одновременно переходом от поступательного или вращательного движения
к поступательно-вращательному движению. Можно показать, что
силовая функция, отнесенная к осям инерции одного из двух тел,
зависит от шести независимых параметров. Если за основную
систему координатных осей принять систему осей неизменного
направления с началом в любой точке пространства, то силовая
функция будет содержать двенадцать независимых параметров.
Если начало координат поместить в центр масс одного из тел,
сохранив при этом направления осей, то силовая функция окажется
функцией девяти параметров. В общем случае аналитическое
выражение силовой функции очень сложно. Для ее определения по
отношению к различным системам координат необходимо знать
форму и распределение масс обоих тел. В элементарных функциях
интеграл, выражающий силовую функцию, представляется только
в отдельных случаях, например когда каждое из тел есть шар,
однородный или со сферическим распределением плотностей, или
прямолинейный однородный материальный стержень, брусок или
«гантель».
Современная наука о внутреннем строении небесных тел,
например Земли или Луны, не располагает точными данными о
форме и распределении масс, вследствие чего упомянутый интеграл
может быть вычислен лишь приближенно. Силовую функцию
можно представить в виде кратного ряда того или иного вида.
В последнее время получены некоторые разложения силовой
функции двух тел общего характера, когда они достаточно
произвольны по своей внешней форме и внутреннему строению. Про-
186

стейшими приближенными формулами для вычисления силовой
функции двух различных тел являются формулы, содержащие
начальные члены тех или иных разложений этой функции по
отрицательным степеням расстояния между центрами масс тел. Так
было исследовано взаимное притяжение двух однородных круг-
дых цилиндров, эллипсоидов, материальных кругов, а также
общие свойства силовой функции, в частности для ее градиента и
моментов соответствующих сил.
Еще Лагранж составил дифференциальные уравнения
свободной системы твердых тел. Однако только в наши дни были
указаны первые классические интегралы этой системы. При этом был
рассмотрен случай осесимметричного распределения масс в телах,
когда имеет место циклический интеграл. Составлены упрощенные
уравнения движения системы твердых тел для плоской задачи
при условии, что центры масс обоих тел при их движении
остаются в одной неподвижной плоскости, а угловые скорости тел
ортогональны этой плоскости. В этом случае силовая функция
разлагается в ряд специального вида по некоторому параметру. Это
представляет интерес, когда минимальное значение расстояния
между элементами масс тел значительно превосходит некоторую
наибольшую для них величину [60, 860, 889, 1059, 1107, 1151,
1216, 1220, 1296, 1316, 1327, 1367, 1605, 1629, 1868, 2040].
Во второй половине XX в. в самом общем виде была
исследована динамика относительного движения системы тел.
Рассмотрим материальную систему, состоящую из несущего
твердого тела и ряда материальных точек или тел («носимых»),
положение которых относительно системы осей, связанной с
несущим телом, может быть задано конечным числом или даже
счетным множеством (в случае сплошной среды) обобщенных
координат. При рассмотрении движения такой системы могут быть
поставлены две задачи. Во-первых, движение несущего тела
задается, и требуется определить движение носимых тел, считая, что они
не изменяют движения несущего тела. В этой задаче положение
системы определяется соответствующим числом п независимых
обобщенных координат. Второй, более общий случай состоит в
том, что закон движения несущего тела неизвестен и его нужно
определить с учетом носимых тел, что влечет за собой
определение, вообще говоря, п + 6 параметров. Исследование движения
системы в этих двух случаях может быть объединено в одной
системе уравнений, так что первый случай получится как частный из
второго. Можно составить дифференциальные уравнения Эйлера—
Лагранжа, характеризующие движение несущего тела, которые
Должны быть дополнены уравнениями относительного движения
носимых тел. Как частный случай из этих уравнений можно
получить уравнения относительного движения системы твердых тел,
из которых одно является несущим, а остальные — носимыми.
Построенная теория является весьма общей и дает
возможность решать самые разнообразные задачи о движении системы
тел [1323, 1391].
187

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОГО ТЕЛА
И СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Несмотря на то что гироскоп в кардановом подвесе был открыт
сравнительно давно (Л. Фуко, 1852), его движения и
устойчивость были исследованы только на протяжении последних сорока
лет. В первую очередь было изучено инерционное движение
уравновешенного симметричного гироскопа в карданном подвесе с
учетом масс его шарниров и устойчивость движения в случае
большой угловой скорости. С помощью второго метода Ляпунова
получены достаточные условия устойчивости вращения гироскопа
вокруг вертикальной оси внешнего кольца. Изучена также
устойчивость регулярной прецессии гироскопа в кардановом подвесе в
случае ненулевого угла нутации. Получено достаточное условие
устойчивости также с помощью F-функций Ляпунова в форме
линейной связки первых интегралов уравнений движения. При
нулевом значении нутационного угла получено достаточное
условие устойчивости для вертикального положения оси гироскопа.
Найдено также необходимое условие устойчивости гироскопа,
и исследовано влияние на его устойчивость диссипативных сил.
Рассмотрена устойчивость некоторых движений тяжелого
симметричного гироскопа в кардановом подвесе при неподвижной
горизонтальной оси внешнего кольца. При тех же предположениях
найден частный интеграл уравнений движения. Исследован также
частный интеграл уравнений движения тяжелого симметричного
гироскопа в кардановом подвесе, когда ось внешнего кольца
совпадает с вертикалью или образует с ней произвольный угол.
Изучено влияние вязкого трения на устойчивость движения
относительно оси внешнего кольца подвеса, а также устойчивость
гироскопа с учетом сухого трения оси внутреннего кольца. Исследовано
движение оси ротора в случае, когда внешнее кольцо
осуществляет регулярную прецессию. Показано, что эта задача
разрешима в эллиптических квадратурах. В зависимости от того, будет
ли начальная угловая скорость внутреннего кольца меньше, равна
или больше некоторой определенной величины, возможны три
случая движения. В первом случае ось ротора осциллирует
относительно прецессии, во втором — вершина гироскопа
асимптотически приближается к некоторому предельному положению, в
третьем же случае внутреннее кольцо вращается в одном направлении
с ротором, однако с переменной угловой скоростью. При этом
учитывалось сопротивление воздуха.
Некоторые исследования посвящены изучению отклонения
гировертикали вследствие изменения угловой скорости ротора
гироскопа. Установлено, что угол вращения внутреннего кольца карда-
188

нового подвеса определяется из линейного дифференциального
уравнения второго порядка и одной квадратуры. Если угловая
скорость уменьшается так, что момент сил сопротивления
пропорционален первой или второй степени угловой скорости, указанное
уравнение может быть проинтегрировано в бесселевых функциях
рулевого рода или в цилиндрических функциях.
Построена теория следящего гироскопа, т. е. гироскопа с тремя
степенями свободы и горизонтальной или вертикальной осью
внешнего кольца. Изучено движение гироскопа с неаксиальным
ротором. На основе анализа уравнений Эйлера, описывающих
движение колец карданова подвеса, найдены точные формулы для
момента, действующего на платформу подвеса. Для решения
нелинейного дифференциального уравнения движения свободных и
несвободных колебаний двукольцевого гироскопа применен метод
возмущений. С помощью прямого метода Ляпунова исследована
устойчивость движения гироскопа с учетом сухого трения оси
внутреннего кольца. Изучено движение симметричного гироскопа
в карданном подвесе, находящегося под действием момента,
приложенного к оси его внешнего кольца. Выполнено
интегрирование уравнений движения симметричного астатического гироскопа
при различных предположениях относительно приложенного
момента. Некоторые ученые исследовали движение гироскопа в
карданном подвесе с вмонтированным в него электрическим приводом,
назначение которого состоит в сохранении постоянными
кинетического момента и угловой скорости чистого вращения. (Если
кольца подвеса не ортогональны, то появляется новый эффект,
обусловленный взаимодействием между нутационными колебаниями
гироскопа и колебаниями относительно оси собственного вращения.)
Определено также влияние момента от электрического привода на
смещение и нутационные колебания гироскопа. Найдено условие,
при котором угловая скорость чистого вращения гироскопа
остается постоянной.
Еще в конце XIX в. было изучено влияние на движение
гироскопа подвижного основания, в частности рассмотрен случай,
когда оно совершает периодические колебания с малым периодом по
сравнению с прецессионными колебаниями. В XX в. эти
исследования были развиты для упругого основания фундамента. Далее,
было исследовано движение гирокомпаса и его устойчивость в
случаях, когда основание неподвижно или движется относительно
Земли; изучено влияние случайных сил на движение гироскопа
в карданном подвесе на фундаменте. Исследовано движение
устойчивости гироскопической системы при произвольной
зависимости от времени ее массы и произвольном законе движения
основания. Рассмотрено нестационарное вращение гироскопа,
составлены уравнения движения с учетом экваториальных компонентов
кинетических моментов роторов, моторов и колец. Изучено
движение свободного гироскопа на нестационарном основании с учетом
масс колец карданного подвеса. Ряд исследований относится к
применению гироскопов в инерциальной системе наведения. В ча-
189

стности, установлено, что задача определения движения объекта
при помощи гироскопа и измерителя ускорений сводится к
интегрированию системы трех нелинейных дифференциальных
уравнений первого порядка. Представляют интерес также работы по
исследованию движения и устойчивости гироскопа в карданном
подвесе, находящегося в ньютоновском центральном силовом
поле, а также работы по определению интеграла циклического
перемещения для гироскопа в карданном подвесе [380, 827, 874, 891,
928, 954, 1017, 1058, 1083, 1089, 1098, 1139, 1141, 1147, 1148,
1171, 1174, 1181, 1182, 1222, 1228, 1229, 1235, 1251, 1263, 1268,
1271, 1272, 1297, 1299, 1318, 1334, 1336, 1344, 1359, 1369, 1378,
1381, 1397, 1409, 1443, 1455, 1457, 1472, 1495, 1503, 1508,
1511, 1557, 1567, 1645, 1936, 2017, 2038].
Полное представление о развитии и современном состоянии
механики гироскопических систем дано в монографиях [1156,
1503]. Современной теории гироскопических устройств
предшествовали классические работы ученых XVIII и XIX вв. по
механике твердого тела. В этих работах, как известно, рассматриваются
случаи интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого
тела с одной неподвижной точкой и их геометрическая
интерпретация. В настоящее время в связи с прогрессом космической науки
и техники методы классического направления широко
применяются при исследовании вращательного движения твердого тела в
центральном поле сил тяготения. С развитием гироскопической
техники возникло новое направление теоретических исследований
конкретных весьма сложных гироскопических устройств, их
работы на подвижном основании при детерминированных и случайных
возмущениях, влияния сил трения и т. п. Это прикладное
направление получило наибольший размах в середине XX в. и
продолжает интенсивно развиваться в настоящее время.
Уравнения движения системы, в составе которой имеются
гироскопы, содержат линейные относительно скоростей члены с ко-
сосимметричной матрицей коэффициентов. Если эти члены
трактовать как силы, то их работа на любом действительном
перемещении системы равна нулю. Это свойство было принято за общее
определение гироскопических сил. Данное новое направление
начало интенсивно развиваться только с середины XX в., когда в
прикладной теории гироскопов возникли проблемы, требующие
для своего решения применения общей теории и распространения
методов В. Томсона и П. Тэта [312] на системы с позиционно-
неконсервативными силами. Известно, что движение материальной
системы, содержащей гироскопы, описывается
дифференциальными уравнениями второго порядка. В некоторых случаях путем
упрощения этих уравнений получены приближенные прецессионные
уравнения, которые дают приемлемое для практики решение.
Однако во многих других случаях такое упрощение приводит к
искаженным результатам.
Мы знаем, что быстро вращающийся гироскоп с тремя
степенями свободы сохраняет устойчивое направление своей оси в инер-
190

диальной системе отсчета. Для того чтобы решить вопрос о
существовании других систем со свойствами стабилизации своего
начального положения, об определении критерия неустойчивого
положения системы, о выявлении одинаковых свойств, присущих
гироскопическим устройствам, необходимо было обратиться к
общей теории гироскопических систем. Общая теория во многих
случаях позволяет упростить вывод динамических уравнений системы
й исследовать их устойчивость, качественно оценить влияние сил
различной структуры на устойчивость движения. Гироскопические
силы в смысле Томсона и Тэта встречаются не только в
системах, содержащих гироскопы, но и в различных механических,
электрических и других системах, не содержащих их.
Технические гироскопические приборы, как правило, содержат
быстро вращающиеся гироскопы. При обычных движениях таких
устройств гироскопические силы доминируют над силами инерции,
позиционными силами и силами трения. Часто в выражениях
кинетических моментов слагаемые, соответствующие переносным
движениям, пренебрежимо малы по сравнению со слагаемым,
обусловленным собственным вращением гироскопа. Пренебрегая
соответствующими малыми величинами, можно получить
приближенные, так называемые прецессионные уравнения. Исследован
ряд вопросов, возникающих в связи с применением
прецессионных уравнений: какие начальные условия следует учитывать,
если пользоваться упрощенными уравнениями, которые имеют
первый порядок в^отличие от точных уравнений второго порядка;
как влияет уменьшение произвольных постоянных на характер
решения; достаточно ли полно прецессионные уравнения
характеризуют движение системы; всегда ли такая замена допустима.
Изучен также вопрос о возможности с помощью
гироскопических сил изменить состояние неустойчивого равновесия системы.
При этом рассматривается линейная автономная система,
находящаяся под действием гироскопических и диссипативных сил.
Соответствующая теорема допускает обобщение на нелинейные
системы в предположении, что диссипация полная, а связи
стационарные, голономные и удерживающие. Исследовано влияние
гироскопических и диссипативных сил на движение неконсервативной
системы. Изучено движение гироскопических систем на
подвижном основании [312, 1062, 1063, 1067, 1102, 1131, 1146, 1156, 1218,
1277, 1503, 1670, 1682, 1700, 1701, 1702, 1704, 1788, 1810,
1811, 1830, 1831].
В первой четверти XX в. значительное развитие получила
теория качения твердых тел. При этом не только известные ранее
частные задачи были решены новыми методами, но появились
такие новые задачи, которые учеными XIX в. не рассматривались.
Как известно, в опубликованной в 1895 г. работе Э. Линделёфа
йри решении задачи неголономной механики о чистом качении
тяжелого однородного тела вращения по неподвижной
горизонтальной плоскости автор воспользовался методами голономной
механики и получил ошибочный результат. Этот промах Линделёфа усу-
191

губился еще и тем, что к концу XIX в. после исследований Фер-
рерса, Бобылева, Фирканта и Герца стало известно, чдо при
чистом качении твердых тел мы имеем в большинстве'случаев
дело с неголономными системами, к которым принципиально
невозможно применить ни принцип Гамильтона—Остроградского в
классическом смысле, ни уравнения Лагранжа второго рода.
Вместе с тем ошибка Линделёфа сыграла в развитии динамики него-
лоыомных систем и положительную роль, вызвав большой интерес
к этой области механики со стороны выдающихся ученых того
времени С. А. Чаплыгина, К. Неймана, Д. Кортевега, П. Аппеля.
В 1895—1897 гг. С. А. Чаплыгин обобщил задачу Линделёфа,
исследовав чистое качение тяжелого твердого тела вращения с
динамической симметрией по горизонтальной неподвижной
плоскости, предполагая при этом, что к телу присоединен гироскоп,
имеющий постоянную относительно тела угловую скорость и ось,
совпадающую с осью симметрии тела. Пользуясь теоремами о
движении центра масс и об изменении кинетического момента,
он показал, что решение этой задачи в общем случае приводится
к интегрированию системы двух линейных неоднородных
дифференциальных уравнений первого порядка или, что то же самое,
одного линейного неоднородного дифференциального уравнения
второго порядка с переменными коэффициентами. При отсутствии
гироскопа эти уравнения становятся однородными.
Чаплыгин отметил два интегрируемых случая. Во-первых, если
катящееся тело вращения есть диск, в плоскости которого лежит
центр тяжести движущейся системы, то уравнение решается в
гипергеометрических функциях Гаусса. Во-вторых, если катящееся
тело есть однородный шар с центром, расположенным на оси
симметрии движущейся системы, то указанная система двух
уравнений распадается на два независимых дифференциальных
уравнения, разрешимые в квадратурах. Эти квадратуры упрощаются в
случае отсутствия гироскопа или в случае совпадения центра
тяжести шара с центром тяжести движущейся системы.
Независимо от Чаплыгина задачу Линделёфа решили Д. Кор-
тевег, П. Аппель и П. В. Воронец. Рассматривая чистое качение
тяжелого однородного тела вращения по неподвижной
горизонтальной плоскости, Кортевег, пользуясь, как и Чаплыгин, общими
теоремами динамики, установил, что решение задачи в общем
случае приводится к интегрированию одного линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка с переменными
коэффициентами. Как и Чаплыгин, он выделил частный случай,
когда тело имеет круглый край, которым катится по опорной
плоскости без скольжения, и показал, что при совпадении центра
тяжести тела с центром тяжести окружности круглого края задача
решается в гипергеометрических функциях. Он нашел также, что
динамическое уравнение движения второго порядка в
рассматриваемом частном случае решается в шаровых функциях. Пользуясь
уравнениями Гиббса—Аппеля, П. Аппель, как и Кортевег (а еще
раньше Чаплыгин), решил задачу о чистом качении диска по нс-
192

С. А. Чаплыгин
подвижной горизонтальной плоскости в гипергеометрических
функциях. П. В. Воронец, исходя из обобщенного им на неголо-
номиые системы в голономных координатах принципа
Гамильтона—Остроградского и соответствующих уравнений движения
Чаплыгина—Воронца, также решил эту задачу. Исследуя с помощью
своего принципа и получаемых из этого принципа
дифференциальных уравнений неголономной механики в квазикоординатах
(уравнений Воронца) более общую задачу — задачу чистого качения
тела произвольной конфигурации по неподвижной горизонтальной
плоскости под действием заданных сил, Воронец показал, что ее
решение эквивалентно интегрированию системы трех нелинейных
однородных дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами, два из них — второго порядка относительно истинных
координат, а третье — первого порядка относительно
квазискорости. В общем случае эти уравнения допускают только интеграл
энергии, а в частном случае, когда вертикаль, проведенная через
точку контакта тела с опорной плоскостью, проходит через центр
тяжести тела,— также и интеграл кинетического момента. Задача
13 Заказ № 1377
193

об определении реакций опорной плоскости решается
сравнительно просто, если движение тела известно. Воронец показал также,
как люжно составить динамические уравнения движения для этой
задачи в общей постановке с помощью общих теорем динамики.
Эти же уравнения получаются, если воспользоваться
уравнениями Лагранжа второго рода с обобщенными реакциями неголоном-
ных связей и исключить связи с помощью уравнений связей.
В 1903 г. С. А. Чаплыгин на основании общих теорем
динамики исследовал решение задачи о чистом качении неоднородного
шара по неподвижной горизонтальной плоскости. Чаплыгин
показал, что эта задача, кроме интеграла энергии, допускает
обобщенные интегралы площадей. (Частными случаями этой задачи
являются известные задачи Д. К. Бобылева и Н. Е. Жуковского.)
Исходя из исследованного им решения общей задачи о чистом
качении твердого тела произвольной формы по неподвижной
горизонтальной плоскости, П. В. Воронец в 1903 г. рассмотрел частный
случай движения твердого тела, ограниченного поверхностью
вращения. Он получил систему трех линейных и однородных
дифференциальных уравнений первого порядка с переменными
коэффициентами. Эти уравнения допускают частные интегралы простого
вида в случаях, когда точка контакта тела с опорной плоскостью
движется по параллели или меридиану. Если существует силовая
функция, зависящая только от одной переменной (это имеет
место, например, в случае движения тяжелого твердого тела),
решение задачи сводится к интегрированию одного линейного
однородного дифференциального уравнения второго порядка и к
квадратурам. Если поверхность вращения — эллипсоид, то уравнения
движения твердого тела еще более упрощаются. В этом случае
уравнения движения интегрируются в квадратурах. Решая эту же
задачу при условии, что эллипсоидальное тело однородно и
прямая пересечения его экваториальной плоскости с горизонтом не
изменяет своего направления, Чаплыгин применил введенный
им метод приводящего множителя. Составленные им уравнения
движения допускают интегрирование в квадратурах в случае,
если поверхность катящегося тела сферическая.
В 1903 г. П. В. Воронец исследовал решение задачи о чистом
качении твердого тела, ограниченного поверхностью трехосного
эллипсоида, по неподвижной горизонтальной плоскости при
условии, что центр тяжести эллипсоида совпадает с его
геометрическим центром и главные оси направлены по главным центральным
осям инерции. Если эллипсоид является одним из его центральных
эллипсоидов инерции, задача допускает частное решение. При этом
точка контакта описывает одно из его главных сечений. Позже
П. В. Воронец рассмотрел чистое качение диска и шара по
произвольной поверхности под действием заданных сил. При
консервативных силах эта задача допускает интеграл энергии. Если
опорная поверхность сферической формы и силы приводится к
равнодействующей, зависящей только от расстояния между
центрами диска и шара, решение этой задачи приводится к интегри-
191

рованию линейного дифференциального уравнения второго
порядка и к квадратурам. Если равнодействующая проходит через центр
тяжести диска и лежит в его плоскости, то при произвольной фор-
до опорной поверхности уравнения движения допускают два
частных интеграла простого вида и задача решается в квадратурах.
Воронец показал, что почти все результаты, относящиеся к
задаче о чистом качении твердого тела произвольной конфигурации
по неподвижной горизонтальной плоскости, обобщаются на
случай сферической опорной поверхности. В общем же случае
уравнения движения связаны с уравнениями связей, составляя с ними
единую систему. Большой теоретический и практический интерес
представляет задача Чаплыгина о плоскопараллельном движении
по инерции твердого тела, опирающегося тремя точками на
неподвижную горизонтальную плоскость. Предполагается, что две
точки являются свободно скользящими по плоскости опорами,
а третья — точкой касания тонкого колесика, горизонтальная ось
которого неизменно скреплена с телом. Движение колесика па
опорной плоскости рассматривается как чистое качение. Подобное
колесико имеется, например, в интегрирующих приборах.
По-видимому, мысль о том, что при движении колесика интеграфа мы
имеем дело с неголономной связью, впервые высказал П. Штеккель.
Он заметил, что неголоыомные условия получают наглядное
истолкование лишь в случае взаимодействия двух твердых тел при
движении, когда одно тело катится или скользит по другому.
Рассматривая, далее, тележку, которая благодаря трению о
горизонтальную опорную плоскость может двигаться прямолинейно без
скольжения в направлении своей оси, можно также получить не-
голономное условие. Пользуясь своим методом приводящего
множителя и вводя в рассмотрение два свободных параметра и один
избыточный, Чаплыгин показал, что эта задача может быть
решена в квадратурах.
В одной из своих последних работ П. В. Воронец получил
решение задачи о чистом качении твердого тела произвольной формы
с одной неподвижной точкой по неподвижной поверхности под
действием заданных сил. Пользуясь уравнениями Лагранжа
второго рода с учетом реакций неголономных связей, он показал, что
оно приводится к интегрированию системы двух
дифференциальных уравнений второго порядка.
Как известно, Чаплыгин еще в 1897 г. рассмотрел решение
задачи о движении системы вложенных друг в друга шаров. При
этом каждый из внутренних шаров катится без скольжения по
внутренней поверхности объемлющего шара, а внешний шар
катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости.
На основании общих теорем динамики он установил, что
соответствующие дифференциальные уравнения движения системы
допускают интеграл энергии и обобщенные интегралы площадей.
В 1902 г. Л. Больцман показал, что система двух шкивов,
вращающихся в противоположных направлениях вокруг общей оси
11 соединенных приводным ремнем, который может перемещаться
7.95
13*

параллельно их оси, является неголономной. Неголономной же
системой являются два конических тела вращения, движущихся
в противоположных направлениях, между которыми параллельно
их общей оси вращения при отсутствии скольжения
перемещается шкив. В примерах Больцмана неголономность системы
обусловлена непостоянством передаточного числа. Такие неголономные
системы являются элементами многих машин и механизмов. Это
открыло путь многочисленным техническим приложениям
неголономной механики. Больцмап опубликовал свои примеры в той же
статье, в которой дал вывод уравнений динамики пеголономных
систем. Уравнения Больцмана, как известно, получили большое
распространение в литературе, между тем как его примеры, по-
видимому, остались незамеченными.
Примеры Больцмана перекликаются с примерами Суслова и
Воронца. В своем учебнике по теоретической механике Г. К.
Суслов приводит три новых примера пеголономных систем: система
двух тел, соединенных не поддающейся кручению нитью,
имеющей постоянную угловую скорость вращения вокруг касательной;
твердое тело, вращающееся по инерции вокруг неподвижной
точки и соединенное с не поддающейся кручению нитью; система из
двух твердых тел, имеющих по одной неподвижной точке и
связанных нитью, не допускающей кручения. Неголономные связи в
примерах Суслова и Воронца обусловлены отсутствием кручения
нити. Соответствующие неголономные условия являются
линейными и однородными. Рассматривая частный случай, когда тела
имеют динамические оси вращения, проходящие через
неподвижные точки, а касательные к нити в точках соединения с телами
направлены по осям симметрии, Воронец установил, что
кинетическая энергия системы и уравнения связей выражаются в функции
времени, обобщенных координат и обобщенных скоростей.
Применяя указанный им метод составления динамических уравнений
неголономной механики в квазикоординатах, он получил в этом
случае систему пяти дифференциальных уравнений, допускающих
три первых интеграла, и, следовательно, решил задачу до конца.
Точно так же до конца решаются задачи, соответствующие
примерам Суслова. При этом неголономность связей выражается в
том, что компоненты угловой скорости или суммы компонент
угловых скоростей вдоль касательной (касательных) к нити в
точке (точках) соединения с телом (телами) обращаются в
ноль.
Представляют интерес работы Адамара и Джеббиа, в которых
рассматривается чистое качение одной абсолютно твердой
поверхности по другой. Это движение в общем случае является неголо-
номиым. Однако в случае, когда поверхность движущегося тела
и опорная поверхность налагаемы в точках контакта, а параметры,
характеризующие геометрию этих поверхностей, ограничены
некоторой дополнительной связью, чистое качение представляет
собой голоиомиое движение. Таким образом, кроме известного в
литературе качения диска по прямолинейному рельсу без скольже-
196

ция, существует множество других неголоыомных движений
твердого тела по неподвижной поверхности.
Во втором десятилетии XX в. были исследованы конструкции
механизмов, реализующие некоторые линейные и нелинейные не-
голоиомиые связи. Связи могут быть как стационарными, так и
нестационарными. Например, приборы для интегрирования
осуществляют линейную неоднородную нестационарную неголономыую
связь первого порядка. Эти исследования сыграли большую роль
для развргтия приложений неголономной механики в технике.
В 30-х годах было расширено число известных интегрируемых
случаев, относящихся к чистому качению тяжелого твердого тела
вращения по неподвижной горизонтальной плоскости.
Установлено, что решение этой задачи доводится до конца
также в следующих трех случаях: когда угловая скорость вращения
тела вокруг оси симметрии постоянна; когда тело ограничено
поверхностью вращения дуги параболы вокруг оси, проходящей
через ее фокус; когда тело ограничено поверхностью параболоида
вращения. В рукописном архиве Чаплыгина были найдены
материалы с двумя новыми примерами применения метода
приводящего множителя в случае чистого качения шара по неподвижной
горизонтальной плоскости. В 1933 г. К. Каратеодори опубликовал
исследование о движении «саней», представляющих собой плоское
твердое тело, движущееся по неподвижной плоскости, опираясь
на нее двумя точками. Одна из этих точек скользит без трения,
а вторая движется с трением подобно полозу саней. Связь,
ограничивающая движение «саней» Каратеодори, представляет собой
линейную неголономную связь первого порядка. В дальнейшем
были получены оргинальиые решения задачи Каратеодори, а
также ее обобщение на случай пространственного движения.
Исследовано движение плоского диска с тремя степенями свободы при
наличии неголономной связи, аналитически подобной связи в
«санях».
Приведенные примеры неголоыомных систем обусловлены
наличием трения. Однако можно представить себе движение конька
по абсолютно гладкому льду в качестве примера неголономной
связи без трения. В последнее время была описана серия
примеров конкретных неголономных систем с нелинейными связями
первого порядка и сконструированы новые механизмы,
реализующие нелинейные неголономные связи второго и более высокого
порядков. Вагнеру принадлежит новый пример неголономной
связи: твердое тело, снабженное двумя расположенными в одной
плоскости тонкими колесиками, помещено в абсолютно твердый
шар с диаметром, равным расстоянию между двумя наиболее
Удаленными точками колесиков. Предполагается, что масса
колесиков пренебрежимо мала по сравнению с массой тела и что они
катятся по внутренней поверхности шара с верчением без
скольжения. При выборе надлежащей, связанной с телом системы
координат уравнение неголономной связи в примере Вагнера
совпадает по форме с аналогичными уравнениями в примерах Суслова
197

и Воронца. В дальнейшем задача Вагнера была обобщена на
случай гиростата, в котором колесики являются носимыми телами.
Это обобщенная задача допускает точное решение в случаях
равномерного вращения, инерционного движения и при наличии
определенного инвариантного соотношения.
В последнее время было показано, что большинство
технических устройств являются неголономными системами.
Исследована проблема устойчивости мотоцикла. Мотоцикл можно
рассматривать как управляемую механическую систему с голономнымк
и линейными неголономными связями первого порядка. При
некоторых упрощающих предположениях составлены
дифференциальные уравнения его движения. В частности, можно получить
динамические уравнения малых колебаний мотоцикла около
состояния стационарного движения. Далее, было изучено движение
автомобиля как неголономной системы. Рассматривая автомобгшь
как плоскую систему, считая при этом колеса абсолютно
твердыми телами, можно составить соответствующие дифференциальные
уравнения движения, например в форме Рауса—Фосса, при
определенных упрощающих гипотезах и рассмотреть возможность их
интегрирования в отдельных частных случаях. Исследовано
движение автомобиля с трехколесным шасси в предположении, что
два задних колеса абсолютно жесткие, а переднее носовое колесо
снабжено эластичной шиной. Колеса считаются торами.
Составлены динамические уравнения возмущенного движения
автомобиля около состояния инерциального установившегося движения в
различных частных случаях. В некоторых подобных
исследованиях строится упрощенная неголономная модель автомобиля на
четырех колесах с двумя степенями свободы, составляются
соответствующие уравнения движения системы в форме Эйлера—Л аг-
ранжа с множителями связей. Исследование этих уравнений
позволяет определить реакции связей и основные характеристики
движения автомобиля и его частей.
Ряду авторов принадлежат исследования самолета при его
движении на взлетно-посадочной полосе как неголономной
системы. Изучено движение переднего колеса трехколесного шасси
самолета при наличии упругой деформации пневматика с
использованием гипотезы чистого качения. Составлены уравнения двух
неголономных связей и дифференциальные линеаризованные
уравнения возмущенного движения колеса относительно
невозмущенного инерционного движения самолета с учетом
гироскопического момента. На основании этих уравнений исследовано шимми
жесткой вертикальной стойки и возможность его устранения,
а также влияние жесткости стойки на характер устойчивости.
Предложено и принципиально другое решение задачи.
Некоторые авторы, рассматривая движение самолета как
движение несвободного твердого тела при наличии голономных и
неголономных связей, составляют соответствующие уравнения
Рауса—Фосса. Эти уравнения позволяют исследовать
возмущенное движение автоматически управляемого самолета около
198

основного состояния неустановившегося движения по
взлетно-посадочной полосе при наличии голономной связи. Исследована не-
голономная модель системы самолет—автопилот и при более
общих предположениях. Рассматривая возмущенное движение
системы при определенном законе управления, можно изучить
устойчивость самолета в целом.
В работах последнего времени исследованы неголономные
системы, моделирующие транспортные колесные машины: бицикл,
трицикл, четырехколесник. Реальными прообразами бицикла
являются мотоцикл и велосипед. Прообразом трицикла являются
самолет с трехколесным шасси, трехколесный автомобиль,
внутризаводские тележки. Прообразом четырехколесника является
автомобиль. С кинематико-геометрической и динамической точек
зрения бицикл — наиболее сложная из указанных механических
систем. Он состоит из рамы и двух последовательно соединенных
колес, курсовым углом одного из которых можно управлять при
помощи руля. Вынос переднего колеса относительно рулевой оси и
в особенности ее наклон значительно осложняют динамику
бицикла и трицикла. Классические результаты по кинематике и
динамике бицикла в настоящее время развиты и обобщены.
Некоторые авторы исследовали равномерное движение
указанных иеголономных систем. В предположении, что реализованы
классические неголономные связи качения диска для модели
общей конструкции при малых наклонах к вертикали и небольших
поворотах руля поставлена задача о движении с ускорением по
траектории переменной достаточно малой кривизны. Рассмотрены
варианты программного и управляемого движений. Исследовано
программное качение бицикла на этапе входа в кривую движения
по окружности, изучена реакция машины на повороты руля при
различных сочетаниях параметров движения, оценено влияние
замедления при движении по криволинейной траектории
возрастающей кривизны. Получены уравнения движения, продольные и
боковые реакции на колесах автомобиля при плоскопараллельном
движении в кинематически реальной обстановке, учитывающей
неодинаковость углов поворота передних управляемых колес
вокруг осей вертикальных шкворней. Получены аппроксимации
дифференциальных операторов уравнений движения и выражений
боковых реакций. Произведено сравнение поведения
самоориентирующихся колес (типа носового колеса шасси самолета), когда
рулевое колесо свободно отпущено, и колес, совершающих
угловые колебания в горизонтальной плоскости за счет упругости
рулевого управления. Исследовано влияние трех типов привода:
переднеколесного, заднеколесного и четырехколесного. Изучены
свойства движения по инерции четырехколесного экипажа с
отпущенным рулевым колесом, определены траектории различных
точек в случаях управляемого, неуправляемого и программного
Движений, параметризованных углом поворота передних колес,
рассмотрены три типа управлений в случаях ускоренного,
замедленного и равномерного движений.
199

В ряде пабот последнего времена на конкретных примерах
изучено влияние малых параметров на динамику неголономпых
систем. Исследованы известные теории качения
упругого/пневматика, и установлена связь между ними. Выведены общие
уравнения движения экипажа на балонных колесах, и рассмотрены
случаи упрощения этих уравнений. На основании построения общей
теории решения задачи о путевой устойчивости экииаячей на
балонных колесах рассмотрен ряд конкретных технических задач:
устойчивость велосипеда и мотоцикла, шимми переднего колеса
трехколесного шасси самолета, шимми передней подвески
автомобиля, путевая устойчивость автомобиля. Во всех этих задачах
рассмотрена кинематика объекта, составлены уравнения малых
колебаний и исследована устойчивость движения в общем и частных
случаях.
В некоторых работах исследовано движение неголономнои
модели железнодорожного состава. Изучено движение необрессорен-
ной симметричной тележки по прямолинейным рельсам с учетом
упругого скольжения при некоторых упрощающих
предположениях, составлены соответствующее уравнение неголономнои связи
и динамические уравнения движения системы в форме
Чаплыгина и исследована устойчивость этого движения. Это исследование
позволяет утверждать, что учет неголоиомности является
существенным при изучении движения железнодорожного состава.
В ряде других работ исследованы некоторые вопросы
автоматического регулирования направления силы тяги плуга в
горизонтальной плоскости, а также движение автоматически
регулируемого твердого тела с неголономнои связью.
Исследования показали, что счетно-решающие устройства
представляют собой пеголоиомыые системы. Можно также утверждать,
что теория автоматического регулирования машин pi
технологических процессов органически связана с неголономнои механикой.
[257, 435, 449, 476, 496, 499, 527, 528, 561, 569, 583, 588, 614,
619, 635, 639, 664, 695, 698, 703, 706, 707, 711, 716, 719, 723, 740,
759, 812, 824, 855, 872, 890, 898, 906, 915, 931, 980, 1029, 1064,
1077, 1085, 1087, 1108, 1115, 1127, 1128, 1135, 1143, 1156, 1158,
1168, 1169, 1179, 1180, 1225, 1303, 1325, 1350, 1358, 1387, 1446,
.1512, 1513, 1517, 1574, 1609, 1610, 1625, 1636, 1654, 1667, 1668,
1691, 1694, 1728, 1843, 1846, 1852, 1985, 2045, 2046].
200

ГЛАВА ПЯТАЯ
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Доказано, что в случае Эйлера—Пуансо вращение тела около
наибольшей и наименьшей осей эллипсоида инерции является
устойчивым, а относительно средней оси — неустойчивым. Этот
результат излагается во всех курсах теоретической механики при
изучении геометрической интерпретации Пуансо. В некоторых
работах ученых XX в. указанная теорема доказывается
аналитическим путем с помощью метода малых отклонений или прямого
метода Ляпунова. При этом устойчивость вращений
рассматривалась только по отношению к трем переменным р, q, г. Однако
можно показать, что устойчивость гироскопа Эйлера—Пуансо
имеет место относительно всех шести переменных р, q, г, yir
Ь,Ь [942,948,1260].
Обратимся теперь к рассмотрению устойчивости тяжелого
твердого тела около неподвижной точки в случае
Лагранжа—Пуассона.
Еще в середине XIX в., пользуясь приближенными методами
математического анализа, Н. В. Маиевский установил
необходимые условия устойчивости вращательного движения снаряда для
настильных траекторий. Он привел задачу к случаю Лагранжа—
Пуассона в предположении, что для малых отклонений оси
снаряда от касательной центр давления воздуха на снаряд
располагается на его оси впереди его центра тяжести в некоторой
постоянной точке. Результаты Маиевского позднее были подтверждены
и обобщены на криволинейные траектории, однако вопрос о
достаточных условиях устойчивости движения снаряда долгое
время оставался нерешенным, поскольку исследователи пользовались
приближенными методами. В XX в. эта сложная задача для ряда
случаев была решена с помощью метода, близкого к тому,
которым пользовался Дирихле при доказательстве теоремы Лагранжа
об устойчивости равновесия системы при минимуме
потенциальной энергии.
Была исследована устойчивость вращения тяжелого твердого
тела около неподвижной точки и непосредственно в случае
гироскопа Лагранжа—Пуассона с помощью прямого метода Ляпунова
по отношению ко всем шести переменным. Для исследования
перманентных вращений тяжелого твердого тела с одной
неподвижной точкой в некоторых частных случаях, включая случай
Лагранжа—Пуассона, построен знакоопределенный квадратичный
первый интеграл уравнений в вариациях. Уравнения движения
записываются при этом в форме Гамильтона, что позволяет
установить существование интеграла энергии и двух интегралов,
соответствующих циклическим координатам ф и if». Исследование
показало, что перманентной осью может быть любая проходящая в
201

теле через неподвижную точку и поставленная вертикально
прямая, для которой 7>0 при С>4 и у<0 при Л>С. Можно
доказать, что перманентное вращение вокруг любой допустимей оси
устойчиво по отношению к переменным 0, /?ь /?2, Рг и
неустойчиво по отношению к углу прецессии if [217, 920, 948, 1114,
1191].
В начале XX в. изучением устойчивости стационарных
движений гироскопа Ковалевской занимались Т. Леви-Чивита и
К. Сильвестр. Прямой метод Ляпунова к этой задаче был
применен только в 50-х годах. Принимая за невозмущенное движение
тела простейшее частное решение уравнений движения,
описывающее равномерное вращение тела вокруг вертикальной оси,
можно составить уравнения в вариациях и найти допускаемые
ими первые интегралы. Составляя далее функцию Ляпунова в
форме линейной комбинации этих интегралов и анализируя
условия, при которых она является определенно положительной,
можно определить достаточное условие устойчивости гироскопа
Ковалевской, которое является также и необходимым. С помощью
прямого метода Ляпунова получено и достаточное условие
устойчивости перманентных вращений твердого тела вокруг вертикали
в случае Ковалевской. Наличие мнимых корней
характеристического уравнения для соответствующей системы уравнений в
вариациях лишь при выполнении этого условия свидетельствует
также о его необходимости [611, 714, 715, 718, 738, 1112, 1191,
4891].
Рассмотрим вопрос об устойчивости движения тяжелого
твердого тела около неподвижной точки в различных частных случаях.
Начало изучению устойчивости перманентных вращений
тяжелого твердого тела около неподвижной точки положил в 1895 г.
Ж. Адамар. Однако ввиду сложности проблемы его попытка
установить точные условия устойчивости движения тела при
заданном распределении масс не увенчалась успехом. В 1920 г.
исследованием этой проблемы занялся Р. Граммель. Ему удалось
установить область расположения центра масс, при котором
перманентное вращение тела является устойчивым при
фиксированной неподвижной точке и известных осях вращения и
главных моментах инерции для неподвижной точки. Пользуясь
линеаризацией уравнений возмущенного движения, он получил
искомые приближенные достаточные условия устойчивости. Эти
условия, однако, оказались очень громоздкими, не поддающимися
анализу. Ввиду этого Граммель обратил постановку задачи,
предлагая искать не направляющие косинусы устойчивых осей
равномерных вращений тела при заданном распределении масс, а,
наоборот, при заданных расположениях осей вращения в теле и
отношениях моментов инерции тела к его весу определять такие
положения центра инерции тела, при которых возможны
устойчивые равномерные движения вокруг заданной оси. Он установил
область устойчивости перманентных вращений на конусе
Ампера—Штауде как для общего случая несимметричного гироскопа
202

при произвольных направлениях осей вращения, так и для
частного случая, когда ось вращения лежит в одной из главных
плоскостей инерции твердого тела относительно неподвижной точки.
Он исследовал также устойчивость главных осей инерции тела,
на которых расположен его центр масс. Результаты Граммеля
были применены к исследованию устойчивости перманентных
вращений в частном случае, когда центр масс тела расположен
на одной из его главных осей инерции для неподвижной точки,
g дальнейшем эти результаты были получены и другими
авторами, которые исходили из известных критериев устойчивости Лаг-
ранжа—Дирихле, Томсона—Рауса, а также путем линеаризации
уравнений в вариациях для известного перманентного вращения.
Как известно, приближенная линейная постановка задачи
может дать только необходимые условия устойчивости, а для
исследования достаточных условий устойчивости консервативной
механической системы и твердого тела следует обратиться к
критическому случаю по Ляпунову. Так поступали, например,
исследователи, рассматривая устойчивость в случаях Лагранжа—Пуассона
и Ковалевской. Только в 50-х годах появляются работы по
исследованию точных достаточных условий устойчивости
перманентных движений тяжелого твердого тела путем построения функций
Ляпунова по методу Четаева в виде линейной комбинации первых
интегралов уравнений возмущенного движения как в общем
случае произвольного распределения масс в теле, так и в ряде
частных случаев.
В случае произвольного распределения масс исследована
устойчивость решения по отношению ко всем шести переменным
задачи. Установлено, что устойчивыми перманентными
вращениями являются вращения вокруг полуобразующих конуса Ампера—
Штауде. В качестве образующих этот конус имеет главные оси
инерции х, у, z тела относительно неподвижной точки О и
прямые, проведенные из этой точки в точку с координатами,
равными отношениям координат центра масс к соответствующим
главным моментам инерции.
Исследована устойчивость перманентных вращений в случаях,
когда центр тяжести тела расположен в главных плоскостях
инерции или на одной из главных осей инерции для неподвижной
точки. Показано, что перманентные вращения вокруг допускаемых
осей, расположенных в плоскости Г (а, (J) =0, являются
устойчивыми, если центр тяжести тела находится в плоскости, проходящей
через среднюю и большую оси эллипсоида инерции для
неподвижной точки, и неустойчивыми, если центр тяжести находится в
плоскости, проходящей через малую и среднюю или через малую
и большую оси эллипсоида инерции и при этом выполняется
некоторое условие, например для тяжелого твердого тела
распределение масс соответствует случаю Гесса — Аппельрота. Рассмотрена
Устойчивость перманентных вращений вокруг осей,
расположенных в плоскости Oxyz, исследована устойчивость перманентных
вращений в случае, когда центр тяжести тела расположен на
203

одной из главных осей инерции для неподвижной точки. Во всех
этих случаях установлены достаточные условия устойчивости
движения твердого тела. Полученные результаты конкретизированы
в ряде известных частных случаев, когда распределение масс п
теле подчинено некоторым определенным условиям, при которых
возможно выполнить интегрирование уравнений движения
тяжелого гироскопа. Во всех этих случаях учитываются лишь условия,
налагаемые на распределение масс в теле, а не на его начальные
условия движения, соответствующие тому или другому частному
случаю интегрируемости. Исследования показали, что в
некоторых частных случаях (например, в случае
Горячева—Чаплыгина) соответствующие начальные условия движения не допускают
перманентных вращений вокруг вертикали.
Следует отметить, что в отдельных работах последнего
времени исследуется устойчивость перманентного вращения тела в
силовом поле Горячева и потенциальном силовом поле [494, 533,
534, 680, 737, 738, 745, 772, 931, 1060, 1112, 1161, 1165, 1191,
1192, 1229, 1290, 1341, 1445, 1458, 1521, 1601, 1661].
Перейдем к рассмотрению исследований, посвященных
вопросу устойчивости движения твердого тела по поверхности.
Решение задачи об определении минимальной угловой
скорости, при которой прямолинейно катящийся в вертикальном
положении диск остается устойчивым, принадлежит Г. Гамелю. Он
установил, при каких обстоятельствах качение диска еще можно
считать регулярной прецессией, и доказал, что это движение
является условно устойчивым.
Некоторые авторы исследовали устойчивость движения вагона
монорельсовой дороги путем составления линеаризованных
уравнений движения. В общем случае для устойчивости движения по
должно быть слишком сильного демпфирования. В случае
движения по кривой получено необходимое условие устойчивости;
для соблюдения которого можно вместо одного применить два
соответственно связанных между собой гироскопа, вращающихог
в противоположные стороны.
При помощи функции Ляпунова, построенной в виде линейной
комбинации первых интегралов системы уравнений в вариациях,
исследована устойчивость вертящегося волчка со сферической
опорой. Этот же метод положен в основу исследования
устойчивости движения диска с гироскопом. Рассмотрены условия
устойчивости произвольных стационарных движений диска по
плоскости. При этом используются гипергеометрические решения Аппе-
ля и Кортевега. Исследована устойчивость стационарных
движений тела (с гироскопом), ограниченного произвольной
поверхностью вращения, при которых ось тела располагается
горизонтально или вертикально. Для этого использованы первые
интегралы, линейные относительно скоростей. При помощи
функции Ляпунова, составленной из суммы квадратов первых
интегралов уравнений возмущенного движения, получено
необходимое и достаточное условие устойчивости всех стационарных
204

А. М. Ляпунов
движений однородного твердого тела, ограниченного произвольной
поверхностью вращения. Выяснение условий знакоопределенности
этой функции не потребовало непосредственного вычисления
линейных интегралов.
Исследована устойчивость качения шаров в одной задаче
Чаплыгина. Эта задача состоит в следующем. Динамически
симметричный относительно центра полый шар помещен на наклонную
плоскость. В полости этого шара лежит второй шар с подобным
распределением масс. Между первым шаром и плоскостью и в
точке соприкосновения двух шаров возможно скольжение и
трение. Показано, что, пока имеется проскальзывание в точке
соприкосновения шаров при качении одного шара внутри другого,
полная энергия системы уменьшается и внутренний шар будет
стремиться к положению равновесия. При наложении неголономиоп
связи полная энергия системы не изменяется и имеются
незатухающие движения шаров, что говорит о неасимптотической
устойчивости. Это происходит при условии абсолютной твердости шаров
205

и, следовательно, при отсутствии трения качения. Таким образом,
условие идеальности классической неголономной связи качения
без проскальзывания совпадает с условием абсолютной твердости
соприкасающихся тел, а не вызвано отсутствием возможных
перемещений точки касания. Ослабление асимптотической
устойчивости системы до неасимптотической возникает при наложении
идеальных неголономных связей. Представляют интерес
некоторые работы о достаточных условиях устойчивости вращения
волчка «тип-топ», находящегося на шероховатой горизонтальной
плоскости. (Волчком «тип-топ» называется волчок со сферическим
основанием, центр тяжести которого находится ниже центра
сферы основания.) Предполагается, что трение основания волчка об
опорную плоскость сухое и что волчок представляет собой
консервативную систему, для которой справедлив интеграл энергии.
Составлено уравнение движения в случае, когда эллипсоид инерции
является эллипсоидом вращения, определены первые интегралы
и получены условия устойчивости малых колебаний оси волчка
около вертикали [527, 737, 1262, 1441, 1570, 1622, 1662, 1858].
Теперь рассмотрим развитие вопроса об определении
устойчивости движения гироскопа в карданном подвесе.
В конце 30-х годов было исследовано инерционное движение
уравновешенного симметричного гироскопа в карданном подвесе
с учетом масс колец, а также приближенно, в линейной
постановке, изучена устойчивость быстро вращающегося астатического
гироскопа. Как известно, при этом был обнаружен любопытный
эффект влияния вектора угловой скорости вращения внешнего
кольца на устойчивость вертикального положения оси гироскопа.
В дальнейшем была исследована устойчивость вертикального
положения тяжелого симметричного гироскопа в карданном
подвесе. Авторы использовали второй метод Ляпунова, составив
соответствующую функцию Ляпунова в форме линейной комбинации
первых интегралов уравнений возмущенного движения.
В ряде работ изучена устойчивость регулярной прецессии
гироскопа в карданном подвесе, установлены необходимое и
достаточное условие устойчивости, исследовано влияние диссипативных
сил на устойчивость движения. Особо рассмотрена устойчивость
некоторых движений тяжелого симметричного гироскопа в
карданном подвесе в случае, когда неподвижная ось внешнего кольца
горизонтальна. Изучено влияние сухого трения на устойчивость
оси внутреннего кольца. Исследована устойчивость движения
симметричного неуравновешенного гироскопа, у которого ось
внешнего кольца образует с вертикалью произвольный угол, в частности
прямой. В некоторых работах рассмотрена устойчивость
движения гироскопа в карданном подвесе, находящегося в
ньютоновском центральном силовом поле [891, 919, 1222, 1224, 1228, ]257,
1272, 1294, 1318, 1344, 1409, 1557].
В середине XX в. в связи с новыми задачами, связанными с
динамикой ракет, теорией прочности резервуаров,
гидростроительством, теорией корабля и другими вопросами, особо важной
206

стала проблема движения твердого тела с полостями, полностью
лли частично заполненными жидкостью. Появилось много
исследований в этой области, которые можно подразделить на три
группы: 1) исследование линеаризованных уравнений движения
с применением методов теории малых колебаний и спектральной
теории операторов; 2) исследование полных нелинейных
уравнений движения с применением методов аналитической механики;
3) экспериментальные исследования (в данной работе не
рассматриваются) .
Наибольшее число работ, относящихся к первому
направлению, посвящено различным линейным аспектам теории. Многие
из них содержат исследование наиболее простого раздела
теории — вопросов малых колебаний около положения равновесия
твердого тела в идеальной несжимаемой тяжелой жидкости,
имеющих большое практическое применение (определение
структуры спектра, доказательство разрешимости задачи Коши,
выяснение механических особенностей колебаний, их устойчивости,
развитие вычислительных алгоритмов и др.). Более сложными
являются вопросы, в которых рассматривается жидкость,
подверженная действию сил поверхностного натяжения. Эти вопросы
приводятся к решению операторного уравнения с непрерывным
самосопряженным оператором. Математический аппарат,
связанный со спектральной теорией линейных операторов, сам по себе
не вызывает осложнений, однако соответствующий
вычислительный аппарат почти не разработан. Еще менее разработана теория
малых колебаний твердого тела в вязкой жидкости. В этой
области имеются только отдельные результаты: для больших чисел
Рейнольдса развиты асимптотические методы, позволяющие
эффективно решать некоторые динамические задачи; развиты
методы исследования малых колебаний твердого тела в сильно вязкой
жидкости и др.
Меньшее число работ посвящено вопросам, относящимся ко
второму направлению. Здесь исследованы общие свойства
движения: рассмотрены различные формы нелинейных уравнений
движения, вопросы их эквивалентности, условия существования
их первых интегралов, устойчивость движения по методу
Ляпунова, в частности вопросы теории фигур равновесия
вращающейся жидкости [1163, 1193, 1194, 1199, 1288, 1289, 1342, 1623].
Представление о развитии и современном состоянии проблемы
устойчивости движения твердого тела с полостями, наполненными
Жидкостью, можно получить по монографии [1623].
Еще в 1945 г. при помощи методов функционального
анализа были изучены малые колебания волчка с наполняющей его
полость жидкостью в окрестности равномерного вращения вокруг
неподвижной оси всей системы как единого твердого тела. Десять
лет спустя были выведены достаточные условия устойчивости
вРащения вокруг вертикали тяжелого твердого тела вращения,
имеющего эллипсоидальную полость, полностью заполненную
идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движе-
207

тгие. Далее задача была последовательно решена для полости в
форме круглого цилиндра, круговой цилиндрической полости с
одной плоской диафрагмой и круглой цилиндрической полости с
крестовиной. В каждом случае были установлены достаточные
условия устойчивости такого движения. (При некоторых
дополнительных ограничениях полученные неравенства переходят в
условие Маиевского для устойчивости вращательных движений
снаряда.) Для случая эллипсоидальной полости тела, которую
полностью заполняет идеальная несжимаемая однородная
тяжелая жидкость, составлена полная система уравнений движения
тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой при условии,
что жидкость совершает однородное вихревое движение. Эти
уравнения можно получить как из теоремы об изменении
кинетического момента, так и на основании уравнений Пуанкаре в групповых
переменных. Уравнения движения допускают три первых
интеграла, если центр тяжести системы находится на вертикальной
оси, а в ряде случаев — дополнительные частные интегралы.
Изучены условия устойчивости равномерного вращения твердого тела
вокруг вертикальной оси и относительного эллиптического
вращения жидкости вокруг этой оси.
К настоящему времени вопросы динамики и теории
устойчивости тела с жидкостью, изученные с помощью систематического
применения методов аналитической механики — второго метода
Ляпунова и метода малых колебаний, изучены весьма подробно.
Тело и жидкость в его полости рассматриваются при этом как
одна механическая система, и исследуются соответственно
нелинейные и линейные задачи. Устанавливаются уравнения
движения системы исходя из принципа Гамильтона—Остроградского.
Выясняется механический смысл этих уравнений, и выводятся
формулы для определения сил взаимодействия идеальной
жидкости в полости и твердого тела. Указываются условия, при
которых уравнения движения имеют те или иные первые интегралы.
Составляются уравнения движения для вязкой жидкости.
Изучается движение твердого тела с полостями, целиком заполненными
идеальной жидкостью, в предположении безвихревого или
однородного вихревого характера движения этой жидкости. Движение
системы в этих случаях описывается обыкновенными
дифференциальными уравнениями и уравнением Лапласа. В результате
решения последнего уравнения движение жидкости полностью
характеризуется конечным числом переменных. Получено решение
ряда задач об устойчивости по Ляпунову твердого тела с
жидкостью, когда система имеет конечное число степеней свободы.
С помощью построения соответствующих функций Ляпунова в
этом случае получены достаточные условия устойчивости,
которые во многих случаях являются необходимыми. Изучена
устойчивость движения твердого тела с полостями, частично или
полностью заполненными идеальной или вязкой жидкостью, в
случае, когда известно лишь свойство непрерывности и сплошности
жидкости. При этом состояние системы характеризуется беско-
208

печным числом параметров. В этом случае ставится задача об
устойчивости движения по отношению к конечному числу
переменных.
Доказаны две теоремы об устойчивости по отношению к части
деременных, которые можно рассматривать как модификации
теоремы Ляпунова. Путем построения функций Ляпунова и с
помощью указанных теорем получены достаточные условия
устойчивости для ряда задач. Разработан новый метод исследования
устойчивости стационарных движений твердого тела с жидкостью,
р основе которого лежат идеи Ляпунова, развитые им в теории
фигур равновесия вращающейся жидкости. При этом
рассматривается устойчивость по отношению к параметрам, определяющим
движение твердого тела и форму равновесия жидкости. Доказан
ряд теорем, сводящих вопрос об устойчивости к минимизации
некоторого функционала. Построена строгая теория малых
колебаний твердого тела с жидкостью. Если жидкость целиком
заполняет полость тела, то такая система, как показал Н. Е.
Жуковский, эквивалентна некоторому твердому телу. Если жидкость
имеет свободную поверхность, то для устойчивости равновесия
твердого тела с жидкостью необходима и достаточна устойчивость
«эквивалентного» тела в смысле ограниченности всех его главных
колебаний. Это понятие устойчивости отличается от понятия
устойчивости в смысле Ляпунова. При этом задача сводится к
решению системы интегро-дифференциальных уравнений и требует
применения численных методов интегрирования.
В 60-х годах начинается систематическое изучение
устойчивости движения гиростатов. Это относится прежде всего к
некоторым движениям тяжелого гиростата с одной неподвижной точкой.
В большинстве случаев авторы пользуются при этом методом
Ляпунова. Исходя из теоремы об изменении кинетического
момента, составляются обобщенные динамические уравнения
Эйлера—Пуассона. Для полного рассмотрения к этим уравнениям
должны быть присоединены уравнения относительного движения
носимых тел, имеющие ту или иную форму в зависимости от их
вида, характера наложенных на них связей и действующих сил,
внутренних для всего гиростата. Например, если носимое тело —
однородная жидкость, полностью заполняющая полость тела
носителя, то эти уравнения можно записать, как известно, в форме
гидродинамических уравнений Эйлера или уравнений Навье—
Стокса и уравнения несжимаемости вместе с граничными
условиями на стенках полости. Если носимое тело — симметричный
ротор с неподвижной относительно тела-носителя осью, то
уравнение относительного движения будет иметь вид уравнения
движения твердого тела с неподвижной осью и т. д. В случае если
кинетический момент движения носимого тела относительно
неподвижной точки известен из условий задачи, то обобщенных
уравнений Эйлера—Пуассона достаточно, чтобы описать движение
гиростата. Например, это имеет место в случае безвихревого
движения идеальной жидкости, полностью заполняющей многосвяз-
14 Заказ № 1377
209

ную полость тела-носителя. Можно указать три первых
интеграла уравнений движения: интеграл энергии, интеграл площадей и
геометрический интеграл. В случае инерционного движение
гиростата, когда центр масс совпадает с неподвижной точкой,
существует дополнительный интеграл постоянства кинетического момента
системы.
С помощью метода Ляпунова исследована устойчивость
перманентных вращений гиростата по инерции относительно
неподвижного центра масс. Наибольший интерес представляют
перманентные вращения гиростата с произвольной угловой скоростью
вокруг его главных центральных осей инерции, возможные при
условии коллинеарности кинетического момента относительного
движения носимого тела для неподвижной точки и перманентной
оси вращения [1337, 1400, 1623, 1989].
Как известно, стационарные движения являются основными
состояниями конструкций современной техники. Анализу
устойчивости таких движений посвящено большое количество
исследований. Решения этой задачи для консервативных систем
основываются главным образом на втором методе Ляпунова,
который позволяет указать достаточные условия устойчивости, вообще
говоря, существенно отличающиеся от необходимых условий,
устанавливаемых из анализа уравнений первого приближения.
В последнее время разработан новый метод исследования
устойчивости стационарных движений гамильтоновых систем. Эти
движения при наличии циклических координат приводятся к системе
с двумя степенями свободы, имеющей в окрестности
рассматриваемых движений знакопеременный гамильтониан. Доказаны
теоремы, позволяющие указать почти совпадающие с необходимыми
достаточные условия устойчивости стационарных движений.
Найден метод построения функций Ляпунова по первым интегралам
уравнений возмущенного движения (отличный от метода Четае-
ва) для многомерных систем, приводящий к получению наиболее
широких достаточных условий устойчивости в классе функций,
знакоопределенность которых определяется членами второго
порядка в их разложении в ряд Маклорена.
Как известно, устойчивость движений консервативных
механических систем возможна лишь в критических случаях в смысле
Ляпунова, т. е. когда часть корней характеристического
уравнения являются чисто мнимыми. Трудность исследования связана и
с тем, что вопросы устойчивости вследствие отсутствия у
стационарных движений асимптотической устойчивости не могут быть
решены на основании рассмотрения конечного числа членов в
разложении правых частей соответствующих уравнений
возмущенного движения. Поэтому пути реализации первого метода
Ляпунова, развитые для критических случаев, неприменимы при
исследовании устойчивости по Ляпунову и устойчивости при постоянно
действующих возмущениях движений консервативных
механических систем.
210

Мы уже имели возможность неоднократно убедиться в
большой эффективности для ряда случаев второго метода Ляпунова.
Построение функции Ляпунова в виде комбинации первых
интегралов уравнений возмущенного движения, предложенное Н. Г. Че-
таевым, во многих задачах приводит к положительным
результатам. Этот метод, как правило, связан с поиском функции
Ляпунова в виде полиномов по возмущениям, в простейшем случае в
виде квадратичного полинома. Это позволяет свести задачу о
знакоопределенности построенной функции к задаче о
существовании безусловного экстремума у квадратичной формы в начале
координат. Наличие большого числа переменных, описывающих
движение изучаемого объекта, значительно усложняет не
столько построение такой комбинации, сколько установление условий
ее знакоопределенности. Так как построение комбинации
интегралов не однозначно, то необходимо выяснить, какой способ ее
построения приводит к наименее жестким в пределах данного
метода достаточным условиям устойчивости невозмущенного движения
и как использовать интегралы уравнений возмущенного движения
для упрощения нахождения этих условий. Таким образом, метод
Четаева не всегда позволяет решить задачи устойчивости
потенциальных систем. В свете сказанного упомянутые выше теоремы
о характере неасимптотически устойчивых движений при
постоянно действующих возмущениях представляют интерес как
содержащие новый, чисто геометрический метод исследования
устойчивости стационарных движений механических систем при
решении ряда задач устойчивости аналитической механики.
Известен новый метод исследования критического случая
нескольких пар чисто мнимых корней характеристического
уравнения, основанный на одной из идей Ляпунова. Этот подход в ряде
случаев позволяет непосредственно исследовать устойчивость
тривиального решения без предварительных преобразований
изучаемых уравнений и устанавливает сравнительно простую процедуру
вычисления коэффициентов устойчивости. Он связывает особые
случаи, в которых задача устойчивости не решается
рассмотрением конечного числа членов в разложении правых частей
соответствующих дифференциальных уравнений, с формальной
устойчивостью тривиального решения. Указанные результаты
распространяются и на случай периодической зависимости от времени
нелинейных слагаемых в правых частях изучаемых
дифференциальных уравнений. Таким путем можно, в частности, исследовать
Устойчивость равномерных вращений твердого тела с
неподвижной точкой при постоянно действующих возмущениях. При
помощи метода годографов угловой скорости тела получены
достаточные условия устойчивости равномерных вращений гироскопа
Ковалевской вокруг осей, не совпадающих с главными осями
инерции. Указаны стационарные движения гиростата и изучена
их устойчивость в случае, когда центр масс системы тело—жид-
Кость находится на ее главной оси инерции для неподвижной
точки. Для осесимметричого волчка исследована область выполне-
211
14*

ния необходимых условий устойчивости равномерных вращений
вокруг его оси симметрии. Установлены наиболее широкие
достаточные условия устойчивости движений, которые можно получить
построением функции Ляпунова из интегралов уравнений
возмущенного движения. Можно показать, что регулярная прецессия и
равномерное вращение — единственно возможные движения
системы гироскопов Лагранжа—Пуассона. Получены достаточные
условия устойчивости равномерных вращений системы, в которой
каждый из гироскопов вращается вокруг своей вертикальной
динамической оси симметрии. Путем анализа уравнений первого
приближения установлены необходимые условия устойчивости
указанных движений [1938, 1993].
Опубликован ряд исследований, касающихся проблемы
устойчивости движения твердого тела с неподвижной точкой в
потенциальном и центральном ньютоновском силовых полях. В этой
последней задаче, как известно, исходят из приближенных
уравнений движения в предположении, что расстояние от
неподвижной точки твердого тела до центра притяжения велико по срав
нению с размерами тела. Эти уравнения допускают четыре алгеб
раических интеграла. В качестве невозмущенного движения
можно выбрать, например, вращение тела с постоянной угловой
скоростью вокруг одной из главных осей инерции. Применяя к
решению рассматриваемой задачи второй метод Ляпунова, можно,
например, доказать, что при некоторых условиях указанное
движение, вообще говоря, неустойчиво; вращение же тела вокруг оси
наименьшего момента инерции всегда устойчиво. Тело,
закрепленное в центре масс, может находиться в равновесии только тогда,
когда одна из осей его эллипсоида инерции для неподвижной
точки направлена к центру тяготения. Это равновесие
неустойчиво, если данная ось соответствует меньшему или среднему, и
устойчиво, если она соответствует наибольшему моменту инерции.
Сравнивая рассматриваемую задачу с классической задачей
Эйлера о движении тела около центра масс в однородном поле силы
тяжести, можно прийти к следующему заключению: 1) в
классической задаче стационарное вращение около какой-либо оси
инерции возможно при любом положении этой оси в пространстве:
в дайной же, обобщенной задаче это возможно лишь тогда, когда
направление оси вращения проходит через центр тяготения:
2) в классической задаче вращение вокруг большой или меньшей
осей эллипсоида инерции устойчиво, а вокруг средней оси
неустойчиво при любой величине угловой скорости вращения. В
данной задаче вращение устойчиво вокруг большей оси эллипсоида
инерции при любой угловой скорости, а вокруг меньшей оси
устойчиво при условии, что угловая скорость превосходит
некоторую критическую величину; в противном же случае вращение
неустойчиво. Вращение вокруг средней оси инерции всегда
неустойчиво.
В случае стационарного движения в ньютоновском поле сил
в приближенной постановке найденное условие переходит в из-
212

вестное условие устойчивости стационарного движения тяжелого
твердого тела в классическом случае Лагранжа—Пуассона.
В ряде работ рассматривается вопрос об устойчивости стацио-
ларных движений твердого тела с одной неподвижной точкой в
дотенциальном силовом поле, определяемом силовой функцией,
£/(Т*' ^2» Тз)> которая предполагается голоморфной в области
указанных переменных. Исследования опираются на известную
теорему Рауса—Ляпунова о достаточном условии устойчивости,
в соответствии с которой составляется функция Лагранжа и
анализируется вопрос о знакоопределенности второй вариации этой
функции на линеаризованном многообразии, определяемом
первыми интегралами уравнений движения. Условия ее
положительной определенности и будут достаточными условиями
устойчивости рассматриваемых движений твердого тела по всем шести
переменным.
Исследована также устойчивость стационарных движений
системы тел с двойным вращением в ньютоновском поле тяготения.
Эта система тел состоит из платформы и расположенных на ней
ротора и механического демпфера нутационных колебаний
[1176, 1285, 1409, 1445, 1601, 1603, 1683, 1696, 1858, 1970].
В ряде работ исследуется проблема устойчивости движения
искусственных спутников. Рассмотрен вопрос об устойчивости
вращательных движений спутника вокруг его центра инерции.
Для этого составляются приближенные уравнения движения
спутника и изучается его устойчивость для трех частных решений в
случае малого'спутника: 1) для симметричного гироскопа (А = #),
который вращается с произвольной постоянной угловой скоростью
вокруг оси орбитальной системы координат, перпендикулярной к
плоскости круговой орбиты (вторая ось этой координатной
системы направлена по касательной к орбите, а третья — вдоль
вертикали) и совпадающей с его осью симметрии; 2) для
несимметричного гироскопа, главные оси инерции которого совпадают с
орбитальными осями координат (при этом спутник вращается вместе
с орбитальным радиусом-вектором, но относительно указанной
орбитальной системы координат он находится в покое); 3) для
несимметричного гироскопа, одна из главных осей инерции
которого совпадает с большей орбитальной осью, причем гироскоп
может вращаться вокруг этой оси.
Анализ показал, что в первом случае сплюснутые спутники
всегда устойчивы. Чем больше абсолютная величина угловой
скорости собственного вращения, тем большая вытянутость
спутника необходима для его стабилизации. Даже спутники, почти
совпадающие по форме со стержнем, можно сделать устойчивыми
пРи достаточно быстром собственном вращении. Этот вывод всегда
справедлив для абсолютно твердых тел. Поступательно
движущиеся спутники устойчивы только тогда, когда они слегка
сплюснуты. Как стержень, так и диск являются в этом случае
неустойчивыми. Спутники с неизменной относительно центра
ориентацией устойчивы, если они сплюснуты или немного вытянуты. Все
213

эти эффекты являются следствием воздействия моментов,
связанных с градиентом силы притяжения. В однородном поле
тяготения вращение тела вокруг оси симметрии всегда устойчиво.
Во втором случае анализ показывает, что при Л<В
устойчивость невозможна. Поэтому при стремлении достичь устойчивости
одну из двух лежащих в плоскости орбиты главных осей инерции,
которой соответствует меньший момент инерции, следует
направить к центру притяжения. Это так называемая пассивная
стабилизация с помощью силы притяжения. В случае устойчивого
движения момент инерции С, соответствующий главной оси,
перпендикулярной плоскости орбиты, не должен быть средним по
величине главным моментом инерции. Ориентация спутника будет
устойчивой, если С>А>В.
В третьем случае при определенных условиях относительно
угловых скоростей вращение спутника вокруг оси, которой
соответствует наибольший главный момент инерции А, устойчиво,
а вокруг оси со средним главным моментом инерции всегда
неустойчиво [1684, 1696, 1858].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы рассмотрели историю механики абсолютно твердого тела.
Эта наука зародилась в XVII в. в трудах Гюйгенса, Ньютона и
Я. Бернулли в связи с изучением закономерностей движения
физического маятника. В работах основоположников
физико-математических наук XVIII в. Эйлера, Д'Аламбера и Лагранжа
построены основы статики, кинематики и динамики неизменяемого
твердого тела. Особенно следует выделить постановку и частичное
решение проблемы движения твердого тела около неподвижной
точки и центра масс в однородном поле силы тяжести.
Интенсивное развитие эта проблема, как и дальнейшее построение
механики твердого тела в целом, получила в XIX в., когда были
разработаны математические методы, применение которых значительно
продвинуло вперед создание механики вообще и механики
абсолютно твердого тела в частности.
Для XX в. характерно вовлечение в орбиту исследования не
только отдельных ученых, но и целых коллективов. Заслугой
ученых нашего столетия является постановка и решение тонких
вопросов механики твердого тела по выяснению существования
интегралов различного характера. Ученые XX в. максимально
расширили тематику механики твердого тела, достигнув на этом
пути больших успехов. Современная техника потребовала от них
исследования ряда проблем механики сложных систем твердых тел
в сочетании с материальными объектами другой физической
природы. Многие из этих проблем уже решены, некоторые из них
требуют дальнейшего глубокого изучения.
Более подробный анализ достижений механики твердого тела
в XX в. авторы надеются сделать в своей дальнейшей работе.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ
УКАЗАТЕЛЬ
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
Год
1577 1. Ubaldo G. Mechanicorum libre. Pisauri.
1585 2. Benedetti G. B. Diversarum speculationum mathematicarum et
physicarum liber. Torici.
1586 3. Stevinus S. Beghinselen der Weegkonst. Leyden.
1608 4. Stevinus S. Hypomnemata mathematica. Lugduni.
1609 5. Kepleri J. Astronomia nova. Heidelbergae.
1619 6. Kepleri J. Harmonices Mundi. Lincii.
1634 7. Stevinus S. Overes. Leiden.
1636 8. Mersenne M. Harmonicum libri. P.
1644 9. Descartes R. Principia philosophiae. Amstelodami. (Рус. пер.
в кн.: Декарт Р. Избранные произведения. М., 1950).
1647 Ю. Roberval G. Aristarchi samii. De mundi sistemate, partibus et
motibus ejusdem. Liber singularis. P.
1662 H. Fermat P. Synthesis ad refractiones. (Рус. пер. в кн.:
Вариационные принципы механики: Сб. статей. М.: Физматгиз, 1959,
с. 7).
1663 12. Descartes R. Lettres. Р. Т. 1. (См. 73-е письмо).
13. Pascal В. Traite de l'equilibre des liqueurs. P. (Рус. пер. в кн.:
Начала гидростатики: Архимед, Стевин, Галилей, Паскаль. М.;
Л.: Изд-во АН СССР, 1933).
1664 14. Toricelli Е. De motu gravium naturaliter descendentium et pro-
jectorum. Firenze.
1666 15. Boreli С Theorica Mediceorum planetarum ex causis phisicis
deducta. Florent.
1669 16. Wallis J. Mechanica. Oxoniae.
1670 17. Wallis J. Mechanica sive de motu. L.
1687 18. Lamy B. Nouvelle maniere de demontrer les principaux theoremes
des elements des mecaniques. P.
19. Lamy B. Traite de mecanique de l'equilibre des solides et des
liqueurs. P.
20. Newton J. Philosophie naturalis principia mathematica. Londini.
(Рус. пер.: Ньютон И. Математические начала натуральной
философии.—В кн.: Крылов А. Н. Собр. тр. Л.: Изд-во АН
СССР, т. 7, 1936).
21. Varignon F. Project de la nouvelle mecanique. P.
1695 22. De la Hire P. Traite de mecanique. P.
1696 23. Bernoulli J. Problema novum, ad cujus solutionem ma thematic!
invitantur.—Acta Euditorum, p. 264; Opera omnia, 1742, t. 1,
p. 161. (Рус. пер.: Бернулли И. Новая задача, к разрешению
которой приглашаются математики.— В кн.: Бернулли И. Избр.
соч. по механике. М.; Л.: ОНТИ, 1937, с. 19—20; Вариационные
принципы механики, с. 11).
1697 24. Bernoulli J. Curvatura radii in diaphanis non uniformibus, solu-
tioque problematis.—Acta Eruditorum, p. 206; Opera omnia,
1742, t. 1, p. 187—193. (Рус. пер. в кн.: Бернулли И. Избр. соч.
по механике. М.; Л.: ОНТИ, 1937, с. 26—39; Вариационные
принципы механики, с. 12—17).
216

Год
1703
1715
1716
1724
1725
2b. Bernoulli J.—In: Histoire de l'Acad. sci. Mem. 2 ed., 1720r
p. 78-84.
26. Полемика Г. В. Лейбница и С. Кларка по вопросам философии
и естествознания (1715—1716). Л., 1960.
27. Hermann J. Phronomia sive de viribus et motibus corporum so-
lidorum et fluidorum. Amsterdam.
28. Bernoulli J. Discours sur les lois de la communication de mou-
vement.— In: Opera omnia. Lausanne, 1742, t. 3, p. 8.
29. Varignon P. Nouvelle mecanique ou statique. P., t. I—И. (Рус.
пер. в кн.: Бернулли И. Избр. соч. по механике. М.; Л.: ОНТИг
1937, с. 261-264, 294).
1728 30. Bernoulli D.— Comment. Acad. sci. Petropol., 1726, t. lr
p. 126—142.
ff32 31. Maupertuis P. Discours sur les differentes figures des astres P.
1738 32. Maupertuis P. La figure de la Terre. P.
2740 33. Euler L — Comment. Acad. sci. Petropol., (1935), t. 7, p. 150—162.
34 Euler L.— Ibid., p. 99—122.
35. Maupertuis P.— Mem. Acad. sci. P., p. 240; Oeuvres, 1756, t. 4r
p. 45—63. (Рус. пер. в кн.: Вариационные принципы механики,
с. 18-22).
1743 36. D'Alembert. Traite de dynamique. P. (Рус. пер.: Даламбер Ж.
Динамика. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950).
1744 37. Euler L. Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive pro-
prietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici la
tissimo sensu accepti. Lausanne; Genevae. (Рус. пер. в кн.:
Вариационные принципы механики, с. 31—40).
38. Maupertuis P.— Mem. Acad. sci. P., p. 571; Oeuvres. Lyon. 1756r
t. 4, p. 3—28. (Рус. пер. в кн.: Вариационные принципы
механики, с. 23—30).
1745 39. Euler L. Anleitung zur Natur-Lehre.—Opena omnia (3), 1926,
vol/1, p. 20.
1746 40. Euler L. Recherches physiques sur la nature des moindres
parties de la matiere.— In: Histoire de l'Acad. sci. В., p. 40.
41. Euler L. Opuscula. Varii argumenti. В., § 19, p. 23.
1747 42. D' Alembert J. Reflexions sur la cause generate des vents. B.
1748 43. Ломоносов M. В. Письмо к Л. Эйлеру. СПб., 5 VII.1748.—
Поли. собр. соч. М.: Изд-во АН СССР, 1951, т. II, с. 169. (См.
также: Фрадлин Б. Н., Бирнштейп В. М.— В кн.: Истории и
методология естественных наук. Математика и механика. М.:
Изд-во МГУ, 1978, вып. 20, с. 22).
44. Maupertuis P.—Mem. Acad. sci. В., (1746), p. 267—294. (Рус.
пер. в кн.: Вариационные принципы механики, с. 41—55).
1749 45. D'Arcy Р — Mem. Acad. sci. P., p. 3.
46. Courtivron G.— Ibid., p. 21.
47. Euler L.— Bull, phys.-math. Acad. St.-Petersb., t. VII, p. 82.
1750 48. Euler L. Reflexions sur Tespace et le temps.— Opera omnia (3)%
1942, vol. 2, p. 34.
49. Euler L.— Mem. Acad. sci. В., t. 6, p. 185—217.
50. Euler L — Histoire Acad. sci. В., p. 189—218. (Рус. пер. в кн.:
Вариационные принципы механики, с. 56—77).
1751 51. Beguelin N.— Mem. Acad. sci. В., (1744), p. 346.
52. Euler L. Dissertatio de magnete. Opuscula. Varii argumenti,
vol. 3, p. 75.
752 53. D'Arcy. Replique a un mem. de M. Maupertuis sur le principe
de la moindre action.—Mem. Acad. sci. В., (1750), t. 6, p. 3.
54. Euler L. Expose concernant l'examen de la lettre de M.
Leibnitz.— Mem. Acad. sci. В., (1750), t, 6, p. 24.
55. Euler L.— In: Recueil de de pieces qui ont remporte les prix de
l'Acad. R. sci. P., t. 4, p. 259.
217

Год
1753 56. Euler L. Examen de la dissertation de M. Koenig.— Mem. Acad.
sci. В., (1751), t. 7, p. 76. /
57. Euler L. Sur le principe de la moindre action.— Ibid., p. 131.
58. Euler L.— Dissertatio de principio minimae actionis. В. (Рус.
пер. в кн.: Вариационные принципы механики, с. 96—108).
59. Euler L. Harmonie entre les principes generaux de repos et do
mouvement de Maupertuis.— Mem, Acad. sci. В., (1751), t. 7,
p. 169—198. (Рус. пер. в кн.: Вариационные принципы
механики, с. 78—95).
60. Kestner A. Theoria vectis et compositionis virium evictendius
exposita. Leipzig.
1754 61. D'Alembert J. Cosmologie.—In: Encyclopedic, t. 4, p. 294. (Рус.
пер. в кн.: Вариационные принципы механики, с. 109).
1756 62. Maupertuis P., Essai de cosmologie.—Oeuvres, t. 1, p. 44.
1758 63. Boscovich R. Philosophiae naturalis theoria, reducta and unicam
legem virium in natura existentem. Venet.
1760 64. Lagrange J. Oeuvres. P., t. 1, p. 365—468. (Рус. пер. в кн.:
Вариационные принципы механики, с. 117—158).
1761 65. D'Alembert Л— Opusc. math., P., t. I, p. 169.
1768 66. Эйлер Л. Письма о разных физических и философских
материях, писанные к некоторой немецкой принцессе. СПб., 1768—
1774, т. I—II.
1770 67. Lambert Н. Beitrage zum Gebrauche der Mathematik. В., Bd. 2.
1772 68. D'Alembert ].— In: Hist. Acad. sci. P., (1769), p. 278—286.
1774 69. Euler L.— Opera omnia (3), 1960, vol. И. (См. письмо 122).
1778 70. D'Alembert Л— Opusc. math., P., t. VI, p. 360—370.
71. D'Alembert J.— Ibid., p. 370—373.
1781 72. Brisson M. Dictionnaire raisonne de physique. P.
73. Fond S. Dictionnaire de physique. P.
1782 74. Lesage G. L. Lucrece Neutonian.— Nouv. mem. Acad. R. sci. B.
1783 75. Camot L. Essai sur les machines en general. P.
1786 76. Kant J. Metaphysische Anfangsgriinde der Naturwissenschaft.
Leipzig.
77. Monge G. Traite elementaire de statique. P., 1810. (См. также
5-е изд. этой книги).
.1788 78. D'Alembert Л—Opusc. math., P., t. 6, p. 360—370.
79. Lagrange J. Mecanique analytique. (Рус. пер.: Лагранж Ж.
Аналитическая механика. М.; JI.: ГИТТЛ, 1950, Т. I—II).
1798 80. Fourier J. Я.—J. polyt. (5), Cah. 2, p. 20—60; Oeuvres, t. 2.
p. 477—516.
81. Lagrange /.— Ibid., p. 115—118.
82. Prony R.— Ibid, p. 191-208.
1799 83. Laplace P. S. Traite de mecanique celeste. P. T. 1.
1803 84. Camot L. Principes fondamentaux de Tequilibre et du
mouvement. P.
1804 85. Dychayla M.— Corresp. ecol. polyt. P., 1804—1808, t. 1, p. 249.
86. Poisson S — Ibid, p. 357; Traite de mecanique. Bruxelles, 1811.
T. 1.
87. Poinsot L. Elements de statique. P4 (Рус. пер.: Пуансо Л.
Начала статики. СПб, 1898).
1806 88. Ampere A. M.— Z. ecol. polyt. (5), Cah. 6, p. 247—269.
89. Poinsot L.— Ibid, p. 206—241.
1807 90. Archimede. Oeuvres. P.
1808 91. Lagrange J. Oeuvres, 1873, t. 6, p. 713—771.
92. Poisson S — Corresp. ecol. polyt, t. 1, p. 357.
1809 93. Lagrange J.— Mem. Inst., p. 343; Oeuvres, 1873, t. 6, p. 809.
94. Poisson S. D.— J. ecol. polyt, Cah. 8, p. 266—344.
1810 95. Francoeur L. Elements de statique. P.
96. Lagrange J.— Mem. Inst, p. 343.
218

■tQil 97. Poisson S. D. Traite de mecanique. Bruxelles. T. I—II. 2me ed.
1 P., 1833.
1812 98. Aristoteles. Questiones mechanicae. Amstelodami.
1813 99. Lagrange Л Theorie des fonctions. 2me ed. P.
1814 100. Binet J. Ph. Memoire sur la composition des forces et sur la
composition des moments. P.
101. Pfaff J. F.— Abh. Akad. Wiss., 1814—1815, S. 76. (См. также:
Ostwald's Klassiker. Leipzig, 1902, N 125).
2816 102. Rodrigues O.— Corresp. ecol. polyt., t. 3, N 2, p. 159. (Рус. пер.
в кн.: Вариационные принципы механики, с. 167).
1811 ЮЗ. Jacobi С. Praecipuorum inde a Newtone conatuum compositionem
virium demonstandi recensio. Gottingae.
jgj8 104. Prevost P. Deux traites de physique, mecanique. Geneve; Paris.
1819 Ю5. Cauchy A.— Bull. Soc. philomath., p. 10.
1823 Ю6. Cauchy A.— Ibid., p. 9.
1826 Ю7. Bessel F. W. Studies on the length of the seconds pendulum.—
Abh. Preuss. Akad.
108. Cauchy A.— In: Monge G. Traite elementaire de statique. P.:
Note, p. 201—215.
109. Monge G. Traite elementaire de statique. P.
2827 HO. Cauchy A. L — Exerc. math., t. 2, p. 108.
111. Cournot A.— Bull. sci. math., t. 8, p. 165.
1828 112. Hamilton W.— Trans. Roy. Irish Acad., vol. 15, p. 69.
113. Hamilton W.— Theory of system of rays (1824). Dublin.
1829 114. Gauss K. F.— J. Math., Bd. 4, S. 232; Werke, В., 1908, Bd. 5,
S. 23; Ostwald's Klassiker. Leipzig, N 167, S. 27. (Рус. пер. в кн.:
Вариационные принципы механики, с. 170; Лагранж Ж.
Аналитическая механика. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950, т. И.
Приложение Ж. Бертрана, с. 411).
1830 115. Bessel F. W. Experiments on the force with the earth attracts
different kinds of bodies. Abhandl. Preussischen Akademie.
116. Hamilton W. R.— Trans. Roy. Irish Acad., vol. 16, p. 1—61.
117. Hamilton W. R.— Ibid., p. 93.
1831 118. Ostrogradski M. V.— Mem. Acad. sci. St.-Petersb. (6). Sci. math.,
phys., natur., t. 1, p. 109. (Рус. пер.: Поли. собр. тр. Киев: Изд-во
АН УССР, 1961, т. И, с. 7).
119. ВНх К. Statik fester Кбгрег. В.
1832 120. Bessel F. W.— Poggendorffs Annalen dcr Physik und Chemie,
Bd. 25, S. 1—14.
1833 121. Bessel F. W.— Ibid., Bd. 26, S. 401.
122. Gauss K. F. Gotting. Abh.; Werke, Leipzig, Bd. 5, S. 81—116.
1834 123. Ampere A. M. Essai sur la philosophie des sciences. P.
124. Hamilton W. R.— Phil. Trans. Roy. Soc, pt 2, 247—308; Math.
Pap., Cambridge, t. 2, 1940, p. 103—162. (Рус. пер. в кн.:
Вариационные принципы механики, с. 175—233).
125. Hamilton W. R — In: Report of the fourth meeting of the British
Association for the advancement of Science. Edinburgh; London,
p. 513; Math, pap., 1940, t. 2, p. 212—216. (Рус. пер. в кн.:
Вариационные принципы механики, с. 284—288).
126. Moseley С. Compendium of mechanics elementary. L.
J.835 127. Hamilton W. R.— Phil. Trans. Roy. Soc, pt 1, p. 95—144; Math,
pap., Cambridge, t. 2, 1940, p. 162—212. (Рус пер. в кн.:
Вариационные принципы механики, с. 234—283).
128. Остроградский М. В. Лекции по аналитической механике:
[Читаны в Ин-те инж. путей сообщения в 1836 и 1852 гг.].—
Собр. соч. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1946, т. 1, ч. 2.
129. А Шё М.— J. math., t. 1, p. 335.
130. Jacobi С— Ges. Werke, В., Bd. 4, 1886, S. 57—127.
131. Jacobi C.— C. R., t. 3, p. 59.
132. Hamilton W — Trans. Roy. Irish Acad., vol. 17, p. 1.
1836
1837
219

Год
133. Jacobi С—J. Math., Bd. 27, S. 97, 199.
134. Jacobi C.— C. R, t. 5, p. 61; Ges. Werke, В., Bd. 4, 18^6, S. 130.
(Рус. пер. в кн.: Вариационные принципы механики, с. 289).
135. Mobius A. F. Lehrbuch der Statik. Leipzig. Vol. I, II; Ges. Werke,
Leipzig, Bd. 3, 1886.
136. Poisson S.— J. math., t. 2, p. 317.
1838 137. Ostrogradski M. V.— Mem. Acad. sci. St.-Petersb. (6), Sci. math.,
phys., natur., t. 1. p. 129—150; Полп. собр. тр. Киев: Изд-во
АН УССР, 1961, т. II, с. 7—12.
138. Ostrogradski М. V.— Ibid., р. 565—600; Поли. собр. тр. Киев:
Изд-во АН УССР, 1961, т. II, с. 32—59; Вариационные
принципы механики, с. 32—59.
139. Minding F. Handbuch der Differ.- und Integralrechnung. В.,
Bd. 2. Mechanik.
1839 140. Jacobi C— J. Math, Bd. 29, S. 213, 333.
1840 141. Liouville J.— J. math, t. 5, p. 351.
1841 142. Poisson S. D., Navier H. Resume des lecons de mecanique, don-
nees a TEcole polytechnique. P.
1842 143. Ostrogradski M. W.— Bull. sci. Acad. sci. St.-Petersb, t. 10, p. 34;
Полн. собр. тр. Киев: Изд-во АН УССР, 1961, т. II, с. 104.
144. Jacobi С. G. J — С. R, t. 15, р. 202; Ges. Werke, 1886, t. 4, S. 291.
(Рус. пер. в кн.: Вариационные принципы механики, с. 294).
145. Jacobi С. G. J. Vorlesungen iiber Dynamik: [Читаны в Кёнигс-
бергском ун-те в 1842—1843 гг.; опубликованы впервые в
1866 г.]. (Рус. пер.: Якоби К. Лекции по динамике. М.; Л.:
ОНТИ, 1936).
1843 146. Transon A.— J. math, t. 20, p. 320.
1844 147. Coriolis G. Traite de mecanique des corps solides et du calcui
de l'effet des machines. P.
148. Earnshow M. A treatise on statics. Cambridge.
1645 149. Duhamel Ch. Cours de mecanique. P, 1845—1846. T. I, II.
150. Reuschle C— Arch. Math. Phys, S. 238.
151. Saint — Venant В.— С. R, t. 21, p. 620.
1846 152. Burg A. Lehrbuch der theoretischen Mechanik. Wien.
1847 153. Helmholtz H. Ueber die Erhaltung der Kraft. Leipzig. (Рус. пер.:
Гелъмголъц Г. О сохранении силы. М.; Л.: ГТТИ, 1934).
1849 154. Ostrogradski М.— Bull. CI. Phys.-math. sci. St.-Petersb, t. 7„
N 8, p. 113—125; Полн. собр. тр., т. II, с. 117—128.
1850 155. Остроградский М. В.— Там же, р. 33—43; Полн. собр. тр., т. Нг
с. 129-138.
156. Ostrogradski М.— Mem. Acad. sci. St.-Petersb. (6), Sci. math,
phys. natur, t. 4, p. 385—517; Полн. собр. тр., т. II, с. 139—
233.
1851 157. Mobius A. F.— J. Math, Bd. 42, S. 179.
158. Saint-Venant B. Principes de la mecanique fondes sur la cinema-
tique. P.
1852 159. Reech F. Cours de Mecanique d'apres la nature generalement
flexible et elastique des corps. P.
1853 160. Ritter A. t)ber das Prinzip des kleinsten Zwanges. Gottingen-
1855 161. Brougham H. Analytical view of Newton's Principia. L.
162. Liouville /.— J. math, t. 20, p. 137.
1853 163. Delaunay Ch. Traite de mecanique rationelle. P.
164. Leibniz G. Mathematichen Schriften. Halle, 1856—1860. T. II,
III.
165. Liouville J.— С R, t. 42, N 24, p. 1146—1154.
166. Matzka.— Ztschr. Math. Phys, Bd. 1, S. 110.
1857 167. Ostrogradski Л/.— Mem. Acad. sci. St.-Petersb, t. 6, p. 267—303;
Полн. собр. тр., т. II, с. 234—266.
168. Aristotelis. Opera omnia. P. Т. 4.
169. Delaunay Ch. Traite de mecanique rationelle. P.
220

Год
170. Schlomlich О.— Ztschr. Math. Phys., Bd. 2, S. 201.
l858 171. Scheffler H.— Ibid., Bd. 3, S. 150.
iQ$g 172. Б ратман H. Д. Теоретическая механика. М.
173. Scheffler Я.— Ztschr. Math. Phys., Bd. 4, S. 239.
/$00 174. Соколов И. Д. Динамика. М.
175. Routh Е. J. Dynamics of a system of rigid bodies. Cambridge.
176. Schlomlich O.— Ztschr. Math. Phys., Bd. 5, S. 435.
1861 177. Лаплас П. С. Изложение системы мира. СПб. Т. I, II.
178. Tadhunter J. A history of the progress of the calculus of
variation during the nineteenth century. Cambridge; London.
1862 179. Duhamel Ch. Mecanique. 3me ed. (Нем. изд.: Leipzig, 1853r
Bd. 1).
2865 180. Bour E. Cours de mecanique et machines. P., 1865—1868.
T. I, II.
2866 181. Остроградский M. В. Письма к проф. Брашману.—Мат. сб.,
т. 1. (На фр. яз. Рус. пер. в кн.: Вариационные принципы
механики, с. 274—279).
182. Wundt W. Die physikalischen Axiome und ihre Beziehung zum
Kausalprinzip. Erlangen.
1867 183. Слудский Ф. А— Мат. сб., т. 2, с. 45; Вариационные принципы
механики, с. 388.
184. Талызин М. И.— Мат. сб., т. 2, с. 143—154.
185. Thomson W., Tait P. G. Treatise of natural philosophy. Oxford.
1868 186. Mach E. Uber die Definition der Masse: Carl's Repert. der
experimental Physik, Bd. 4, S. 355.
1870 187. Соколов И. Д.— Мат. сб., т. 5, 179—188.
188. Сомов О. И.— Там же, с. 303—322; Вариационные принципы
механики, с. 392—403.
189. Neumann С. Die Prinzipien der Galilei-Newton'schen Theorie.
Leipzig.
190. Schell W. Theorie der Bewegung und der Krafte. Leipzig.
1871 191. Сомов О. Я —Зап. Акад. наук, т. 19, кн. 2, с. 119—133.
192. Serret J. А.— С. R., t. 72, р. 697; t. 73, р. 145, 293; t. 89, р. 57.
1872 193. Сомов О. И. Рациональная механика. СПб., 1872—1877. Т. I,
П. (Нем. изд.: Leipzig. 1878—1879).
194. Diihrung Е. К. Kritische Geschichte der allgemeine Principien
der Mechanik. Leipzig. (Рус. пер.: Дюринг E. Критическая
история общих принципов механики. М., 1893).
195. Klein F. Die Prinzipien der Mechanik. Leipzig.
196. Mach E. Die Geschichte und die Wurzel des Satzes von der Er-
haltung der Arbeit. Prag. (Рус. пер.: Max Э. Принцип
сохранения работы, история и корень его. СПб., 1909).
197. Resdl G. A. Traite de mecanique generate. P., 1873—1881.
Vol. I, II.
ШЗ 198. Delegue P.— Nouv. ann. de math. (2), t. 12, p. 495.
1874 199. Слудский Ф. А.— Мат. сб., т. 7, отд. II, с. 1—14.
200. Слудский Ф. А.— Там же, отд. I, с. 419.
201. Bour D. Cours de mecanique et machines. P.
202. Lotze R. H. System der Philosophie (Metaphysik). Leipzig.
203. Vicair E,— С R., t. 74, p. 790.
1875 204. Darboux G.— Bull. sci. math, astr., t. 9, p. 281. (См. также:
Despeyrous Ch. Cours de Mecanique. P.: Note, 1884, t. 1, p. 371).
205. Rosenberger F. Newton and seine physikalischen Prinzipien.
Leipzig.
1876 206. Kirchhoff G. R. Vorlesungen uber mathematische Physik.
Leipzig. Bd. 1. Mechanik. (Рус. пер.: Кирхгоф Г. Механика. М.:
Изд-во АН СССР, 1962).
207. Maxwell J. CI. Matter and motion. L. (Рус пер.: Макс-
2S7 велл Дж. К. Материя и движение. М.: ГИЗ, 1924).
'' 208. Darbouz G. Sur Tequilibre astatique. P.
221

Год
209. Lie S — Arch. Math., t. 2, N 2, p. 129—156; Ges. Abhandl.
Leipzig; Oslo, 1922, Bd. 3, T. 1, S. 295—317. (Рус. пер. в рн.:
Вариационные принципы механики, с. 404—424).
210. Lipschitz Д.— J. Math., Bd. 82, S. 316—342.
211. Mayer A. Geschichte des Prinzips der kleinsten Aktion. Leipzig.
212. Routh E. 7. An elementary treatise on the dynamics of a system
of rigid bodies. L.
213. Routh E. J. A treatise on the stability of given state of motion. L.
1878 214. Рахманинов И. И — Изв. Киев, ун-та, т. 18, вып. 4, с. 1—20.
215. Diihring Е. Logik und Wissenschaftstheorie. Leipzig.
1879 216. Жуковский H. Е — Мат. сб., т. 9, вып. 3, с. 574; Собр. соч. М.;
Л.: ОГИЗ, 1948, т. 1, с. 51; Вариационные принципы механики,
с. 425.
217. Gibbs Л—Amer. J. Math., vol. 2, N 1, p. 49—64.
218. Neumann C — Ber. Verh. K. Sachs. Ges. Wiss., Math.-Phys. Kl.,
Bd. 31, S. 53-64.
1880 219. Darboux G.— Math. Ann., Bd. 17, S. 56.
1881 220. Слудский Ф. А. Курс теоретической механики. M.
221. Darboux G.— С. R., t. 92, p. 118.
222. Morera G.— Atti Accad. sci. Torino, vol. 16, p. 276—295.
1882 223. Brassine E.— Nouv. ann. math. (3), t. 1, p. 320.
224. Clifford W. C. Mathematical Papers. L.
225. Rosenberger F. Geschichte der Physik. Braunschweig, 1882—1890.
(Рус. пер.: Розенбергер Ф. История физики. М.: ОНТИ. 1937.
Т. I—III).
1883 226. Heviside О. Electromagnetic forces. L. Vol. 1.
227. Mach E. Die Mechanik in ihrer Entwicklung, historisch-kritisch
darstellt. Leipzig. (Рус. пер.: Max Э. Механика: Ист.-крит.
очерк ее развития. СПб., 1909).
228. Streintz Н. Die physikalischen Grundlagen der Mechanik.
Leipzig.
1884 229. Despeyrous Ch. Cours de Mecanique. P., 1844—1886. T. I, II.
230. Helmholtz H.— J. Math., Bd. 97, p. 5.
231. Thomson W.— Nature, vol. 30, p. 417.
1885 232. Clifford W. K. The common sense of the exact sciences. L.
233. Finger K. Elemente der reinen Mechanik. Wien.
234. Lange L.— Phil, stud., Bd. 2, S. 539.
235. Tait P. G. Properties of matter. L.
236. Thomson J. /.— Phil. Trans., vol. 176, pt 2, p. 307—342.
1886 237. Жуковский H. E. Кинематика, статика, динамика точки. М.;
Л.: Оборонгиз, 1939.
238. Жуковский Н. Е. Механика системы, динамика твердого тела.
М.; Л.: Оборонгиз, 1939; Собр. соч. М.; Л.: ГИТТЛ, 1949. Т. 5.
Лекции читаны в Моск. ун-те в 1886—1919 гг.
239. Helmholtz Я.—J. Math., Bd. 100, S. 137—166, 213—222; Wiss.
Abh., Leipzig, 1895, Bd. 3, S. 203—248. (Рус. пер. в кн.:
Вариационные принципы механики, с. 430—459).
240. Henneberg L. Statik der starren Korper. Darmstadt.
241. Lange L. Die geschich-tliche Entwicklung des Bewegungsbegrifi-
tes. Leipzig.
242. Levy M.— G. R., t. 86, p. 425.
243. Mobius A. F. Lehrbuch der Statik. Leipzig, (1837), Bd. 1; Ges.
Werke, Leipzig, Bd. 3.
244. Neumann C— Leipz. Ber., Bd. 38, S. 70.
1887 245. Helmholtz H.— Sitzungsber. Akad. Wiss. В.; Wiss. Abh., Leipzig,
1895, Bd. 3, S. 249—262.
246. Muirhead F.— Phil. Mag. (5), vol. 23, p. 489.
247. Planck M. Das Prinzip der Ehaltung der Energie. Leipzig. (Рус.
пер.: Планк M. Принцип сохранения энергии. М.; Л.: ОНТИ,
1938).
222

1Яоя 248. Жуковский Н. Е — Зап. мат. отд. Новорос. о-ва естествоиспы-
20 тателей, т. 8. (На нем. яз. Рус. пер.: Собр. соч., 1948, т. 1, с. 207;
Вариационные принципы механики, с. 460).
249. Жуковский Н. Е — В кн.: Двухсотлетие памяти Ньютона. М.г
с. 13; Поли. собр. соч., 1937, т. 9, с. 263.
250. Изюмов М.— Журн. М-ва нар. просвещения, ч. 260, № 11г
с. 117-131.
251. Konig У. S.— Math. Ann., Bd. 31, p. 1—10.
i$89 252. Бобылев Д. К.— Приложения к «Зап. АН», т. 61, вып. 5, 1—95.
253. Введенский А. Я —Журн. М-ва нар. просвещения, ч. 220, № Зг
с. 1-44.
254. Головин X. С—Сообщ. Харьк. мат. о-ва, т. 2, № 4, с. 162.
255. Имшенецкий В. Г.—Там же, с. 108.
256. Gibbs J.— Amer. J. Math., vol. 2, N 1, p. 49—64.
257. Pearson K. The Grammar of Science. L. (Рус. пер.: Пирсон h\
Грамматика науки. СПб., 1911).
2890 258. Budde С. Allgemeine Mechanik der Punkte und Starren. Systeme.
B.
259. Du Bois Reymond P. Cber die Grundlagen der Erkenntniss in
den exakten Wissenschaften. Tubingen.
260. Cayley A.— Collect. Math. Papers, vol. 3, p. 156—204; vol. 4,.
p. 513—593.
261. Fourier J. Oeuvres. P. Vol. 2.
262. Poincare H.— Acta math., t. 15, p. 1—270.
1891 263. Ермаков В. П.— Изв. Киев, ун-та, т. 31, № 3, с. 1—16.
264. Fermat P. Oeuvres. Р. Т. 1.
265. Stackel P.— J. Math., Bd. 107, S. 319—348.
266. Weber L. Uber das Galilie'sche Prinzip. Kiel.
1892 267. Бобылев Д. К. Краткий исторический очерк открытия
основных принципов и общих законов теоретической механики.
СПб.
268. Gregor J. Же—Canada Roy. Soc. Trans., t. 3, p. 11; Phil.
Mag. (5), 1892, t. 35, p. 134—137; 1893, t. 36, p. 243-248; Canad
Roy. Soc. Trans., 1895, t. 6, p. 95—98.
269. Love A. E. H. Theoretical mechanics. Cambridge.
270. Poincare H. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste
P., 1892—1897. T. I—III. (Рус. пер. в кн.: Пуанкаре А. Избр.
тр. М.: Наука, 1971—1972. Т. I—И; Вариационные принципы
механики, с. 497—514).
№3 27rl. Stackel Р.— С. R., t 116, р. 1284.
1894 272. Henneberg Z,— J. Math., Bd. 113, S. 179.
273. Hertz H. Die Prinzipien der Mechanik in neuen Zusammenhan-
ge dargestellt. Leipzig; Ges. Werke, Leipzig, Bd. 3. (Рус. пер.:
Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.:
Изд-во АН СССР, 1959; Вариационные принципы механики,,
с. 515—537).
274. Wassmuth А.— Вег. Munchen Akad., Math.-Phys. Kl., Bd. 24.
1895 275. Киричинский P.—Журн. М-ва нар. просвещения, ч. 297, № 2Т
с. 372—405; ч. 298, № 3, с. 41-99.
276. Engelmeyer С—Rev. phil., t. 39, p. 511.
277. Helmholtz H. Zur Geschichte des Princips der kleinsten Wirkung.
Leipzig; Wiss. Abhandl., Bd. 3, S. 12.
278. Painleve P. Lecons sur le frottement. P. (Рус. пер.: Пэнлеве Я.
Лекции о трении. М.: ГИТТЛ, 1954).
279. Painleve P. Lecons sur Integration des equations differentielles
de la mecanique et applications. P. (Рус. пер.: Пэнлеве П.
Лекции об интегрировании дифференциальных уравнений
механики: 1, 4, 5-я лекции.—В кн.: [278], с. 179—218.
280. Petrini Н.— Arch. Syst. Phyl., т. 1, p. 118.
281. Rethy M.— Ber. Ungarn., Bd. 13, S. 130.
223

Год
282. Rosenberger F. I. Newton und seine physikalischen Principien.
Leipzig. /
283. Wassmuth A.— Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien. Math.-natur. Kl
Bd. 104, Abt. 2a, S. 98.
1896 284. Жуковский H. E.— Мат. сб., т. 18, вып. 1, с. 37; Поли. собр.
соч., т. IX, 1937, с. 181.
285. Умов Н. А. Собр. соч. М., 1916, т. 3, с. 98-123.
286. Appell P. Traite de mecanique rationnelle. P. (Рус. пер.: An-
пелъ П. Теоретическая механика. М.: Физматгиз, 1960. Т. I, Ц.
287. Boltzmann L. Vorlesungen ueber die Prinzipe der Mechanik.
Leipzig, 1897—1904. T. I, II. (Рус пер.: Вариациопные
принципы механики, с. 466—496).
288. Holder О — Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys. KL, t. 1,
S. 127—157. (Рус. пер.: Вариационные принципы механики
с. 538-563).
289. Kepler Л Opera omnia. Vol. 6.
290. Konigsberger L.— Berl. Sitzungsber., S. 899—944, 1173—1183.
291. Konigsberger L.— L Math., Bd. 118, S. 275—350.
292. Pirro G.— Ann. mat., vol. 24, p. 315—334.
293. Poincare H — Rev. gen. sci. pures et appl., N 18, p. 734. (Рус.
пер. в кн.: Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой
связи [273], с. 310—333).
1897 294. Leui-Ciuita Т.— С. R., t 124, р. 392.
295. Painleve P.— Ibid., р. 221.
1898 296. Шиллер Н. Н — Изв: Киев, ун-та, т. 38, с. 1—91.
297. Andrade С. Lecons de mecanique physique. P.
298. Andrade C— Rev. phil. France, t. 46, p. 399—419.
299. Appell P — Bull. Soc. math. France, t. 26, p. 265.
300. Helmholtz H. Vorlesungen uber die Dynamik diskreter Massen-
punkte. Leipzig. (Рус. пер. в кн.: Вариационные принципы
механики, с. 462).
301. Volkmann P. Uber Newton's «Philosophiae naturalis principia
mathematica» und ihre Bedeutung fiir die Gegenwart.—
Sitzungsber. phys.-okonom. Ges., t. 1.
302. Volterra У.— Atti Torino, vol. 33, p. 451—476; 1900, vol. 35, p. 118.
1899 303. Синцов Д.— Изв. физ-мат. о-ва при Казан, ун-те, т. 9, № 3,
с. 44.
304. Apell Р.— С. R., t. 129, р. 459.
305. Appell P. Les mouvements de roulement en dynamique.— Sci.
phys.-math. P., N 4.
306. Mayer A.— Ber. Verh. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-phys.
Kl., Bd. 51, S. 224—241.
307. Siacci F.— Rend. Accad. sci. fis., mat. Napoli (3), t. 5, p. 34.
308. Siacci F.— Ibid., p. 69.
309. Siacci F.— Ibid., p. 147.
310. Wulf Т.— Ztschr. phys., chem., Bd. 12, S. 205.
311. Zermelo £\— Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys. KL, t. 2,
S. 306.
1900 312. Ермаков В. П.— Изв. Киев, ун-та, т. 40, № 5, с, 1.
313. Суслов Г. К. Основы аналитической механики: Теоретическая
механика. М.: Гостехиздат, 1944.
314. Умов Н. А. Собр. соч., 1916, т. 3, с. 165—180.
315. Appell P.— J. Math., Bd. 121, S. 310.
316. Appell P.— Ibid., Bd. 122, S. 205. (Рус. пер. в кн.:
Вариационные принципы механики, с. 568).
317. Herons von Alexandria. Mechanik und Katoprik. Leipzig.
318. Hofler A.— Ver. phil. Ges. Univ. Wien. Bd. 3b, S. 48.
319. Mach E. Die Prinzipien der Warmelehre. Leipzig.
320. Steelle W. J. Treatise on the dynamics, of a particle. L.
224

321. Volkmann P. Einfiihrung in das Studium der theoretischcn Phy-
sik. Leipzig.
322. Voss A.— Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys. Kl, t. 2, S. 322.
(Рус. пер. в кн.: Вариационные принципы механики, с. 564).
323. Whittaker Е.— Mess. Math., vol. 30, p. 93.
igOl 324. Воронец П. В.— Изв. Киев, ун-та, т. 41, № И, с. 1—17.
325. Воронец Я. В.— Мат. сб., т. 22, вып 4, с. 659—686.
326. Суслов Г. К — Там же, с. 687—691.
327. Blondlot Д.— In: Bibl. du Congr. Intern. Philos., t. 3, p. 445.
328. Konigsberger L. Mathematische Untersuchung. Leipzig, S. 67.
329. Levi-Civita Т.— Atti Accad. dei Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat,
natur. (5), vol. 10, fasc. 1, p. 3.
330. Maggi G.— Ibid., fasc. 2, p. 287.
331. Stdckel P.— Encykl. Math. Wiss., 1901—1935, Bd. IV, S. 443—684.
332. Voss A,— Ibid., S. 3—121.
333. Wassmuth A.— Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Math.-nat. Kl.,
Bd. 110, Abt. 2a, S. 116.
1902 334. Трипольский П. И. Михаил Васильевич Остроградский.
Полтава.
335. Burgatti P.— Atti Accad. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat., natur.,
vol. 11, fasc. 1, p. 309—341.
336. Lehmann-Filhes R.— Arch. Math. Phys., Bd. 2, S. 124.
337. Ostwald W. Vorlesungen tiber Naturphilosophie. Leipzig. (Рус.
пер.: Оствальд В. Натурфилософия. М., 1902).
338. Picard Е. Quelques reflexions sur la mecanique. P.
1903 339. Воронец П. В.— Изв. Киев, ун-та, т. 43, № 1, с. 1—66; № 4,
с. 67—152.
340. Суслов Г. К.— Арх. Киев, ун-та, ф. 708, оп. 465, д. 1770, л. 27—28.
341. Шиллер Н. Н — Изв. Киев, ун-та, т. 43, № 7, с. 1.
342. Chaumat П.— С. R., t. 136, N 26, р. 1634.
343. Coutarat L.— Revue metaphys. et morale, t. 11, p. 83—99.
344. Maggi G. A. Principii di stereodinamica. Milano.
345. Hamel G.— Ztschr. Math. Phys., Bd. 49, S. 362.
346. Schur F.— Ibid, S. 352.
1904 347. Пуанкаре А. Наука и гипотеза. M.
348. Hamel G.— Math. Ann, Bd. 59, S. 416—434.
349. Hamel G.— Ztschr. Math. Phys, Bd. 50, S. 1—57.
350. Jourdain P.— Math. Gazette, t. 2, N 41, p. 337.
351. Levi-Civita Т.— Math. Ann, Bd. 59, S. 383—397.
352. Rethy M.— Ibid, Bd. 58, N 2, S. 169-194.
353. Saussure R.— Rapports et comptes rendus: Congr. Intern, de
Philos, 11th sess, Geneve.
354. Wittaker E. T. A treatise of the analytical dynamics of particles
and rigid bodies. Cambridge. (Рус. пер.: Уиттекер E. Т.
Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937).
*905 355. Грдина Я. И. Новое изложение основных принципов
теоретической механики. Екатеринослав.
356. Duhem P. Les origines de la statique. P, 1905—1906, T. I, II.
357. Hamel G.— Math. Ann, Bd. 60, S. 459.
358. Lecornu L.— С R, t. 140, p. 635. (Рус. пер. в кн.: Пэнлеве П.
Лекции о трении. М.: ГИТТЛ, 1954, с. 221).
359. Lecornu L.— Ibid, p. 847. (Рус. пер.: Там же, с. 230).
360. Painleve P.— Ibid, р. 702. (Рус. пер.: Там же, с. 224).
361. Painleve P.— Ibid, р. 401. (Рус. пер.: Там же, с. 235).
362. Painleve P.— Ibid, р. 546. (Рус. пер.: Там же, с. 241).
363. Painleve P.— Bull. Soc. franc. Phil, vol. 5.
364. Saussure R.— Revue sci. P.
365. Sparre.— С R, p^ 310. (Рус. пер. в кн.: Пэнлеве П. Лекции о
трении, с. 232).
15 Заказ № 1377
225

Год
1906 366. Воронец П. В. Преобразование уравнений динамики с помощью
линейных интегралов движения. Киев. .
367. Грдина П. В. Функция движения. Екатеринослав.
368. Duhem P. Etudes sur Leonard de Vinci. P., 1906—1914.
369. Jourdain P.— Math. Ann., Bd. 62, N 3, S. 413.
370. Levi-Ciuita T — Pr. mat.-fis., t. 22, s. 205.
371. Turin V.— Ann. Naturphil., Bd. 5, S. 378—394.
1907 372. Грдина Я. И. Меры движения. Екатеринослав.
373. Кирпичев В. Л. Беседы о механике. СПб.
374. Appell P.— Bull. Soc. math. France, t. 35, p. 131.
375. Jourdain P.— Quart. J. Math., vol. 39, N 3, p. 241.
376. Leitinger R — Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Math.-natur. Kl.,
Bd. 116, Abt. 2a, S. 186.
377. Leitinger R.— Ibid., S. 207.
378. Rethy M.— Math. Ann., Bd. 64, S 156.
379. Sparre — Bull. Soc. math., France, t. 35, p. 141—158.
1908 380. Dall'Acqua F — Math. Ann., Bd. 66, S. 398—415.
381. Block L. La philosophie de Newton. P.
382. Jourdain P. E. В.— Math. Ann., Bd. 65, p. 513—527.
383. Jourdain P. E. В.— In: Ostwald's Klassiker. Leipzig, N 167,
S. 31—68.
384. Blane E. Dictionnaire de philosophie. P.
385. Hamel G.—Ztschr. Math. Phys., Bd. 58, S. 195. (Рус. пер. в кн.:
Пэнлеве П. Лекции о трении, с. 261).
386. Hammel G.— Math. Ann., Bd. 66, S. 350—397.
387. Hammel G — Jahresber. Deutschen Math. Ver., Bd. 18, S. 357.
388. Jourdain P. E. B — Quart. J. Math., t. 40, p. 153.
389. Klein F.— Ztschr. Math., Phys., Bd. 58, S. 186. (Рус. пер. в кн.:
Пэнлеве П. Лекции о трении, с. 249). ,
390. Mises R.— Ibid., S. 191. (Рус. пер.: Там же, с. 257).
391. Pfeiffer F.— Ibid., S. 273—320. (Рус. пер.: Там же, с. 264—316).
392. Prandtl L.— Ibid., S. 196. (Рус. пер.: Там же, с. 262).
1910 393. Грдина Я. И. Меры отклонения в механике. Екатеринослав.
394. Дюгем П. Физическая теория. СПб.: Образование.
395. Planck М. Acht Vorlesungen iiber theoretische Physik. Berlin;
Leipzig. (Рус. пер.: Планк M. Введение в теоретическую
физику. М.; Л.: ГИТТЛ, 1932, т. 1. Механика; Вариационные
принципы механики, с. 571—579).
396. Volkmann P. Erkenntnistheoretische Grundziige der Naturwis-
senschaften und ihre Beziehungen zum Geistesleben der Gegen-
wart. Leipzig; Berlin.
1911 397. Грдина Я. И. Динамика живых организмов. Екатеринослав.
398. Грдина Я. И. К динамике живых организмов. Екатеринослав.
399. Чаплыгин С. А.— Мат. сб., т. 28, вып. 2. с. 303—314:
Исследования по динамике неголономных систем. М.; Л.: ГИТТЛ, 1949,
с. 28—38.
400. Burgatti P.— Rend, circelo mat. Palermo, vol. 20, p. 108.
401. Hadamard J,— Bull. Sci. Math., vol. 35, p. 106.
402. Lampa A.— Naturwiss. Ztschr. Prag, T. 59, S. 303.
403. Mar colon go R. Theoretische Mechanik. Leipzig.
1912 404. Грдина Я. И. Примечания к динамике живых организмов.
Екатеринослав.
405. Грдина Я. И. Дополнение к динамике живых организмов.
Екатеринослав.
406. Darboux G.— Bull. sci. math. (2), t. 36, p. 119—130.
407. Hamel G. Elementare Mechanik. Leipzig. Bd. I, II.
1913 408. Умов H. А. Эволюция физических наук и ее идейное содержа
ние. Одесса; Собр. соч. М., 1916, т. 3, с. 165—180.
409. Brell Я.—Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Math.-natur. Kl.»
Bd. 122, N 5, Abt. 2a, S. 933.
226

Год
410. Brell П.— Ibid., S. 1031.
411. Delassus E. Lecons sur la dynamique des systemes materiels. P.
412. Schenkel E — Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Math.-natur. Kl.,
Bd. 122, Abt. 2a, S. 117.
igj4 413. Binet J. Ph. Memoire sur la composition des forces et sur la
composition des moments. P.
414. Enriques F. Problems of science. Chicago.
415. Multon Ph. D. An introduction to celestial mechanics. N. Y.; L.
(Рус. пер.: Мулътон Ф. Введение в небесную механику. М.;
Л.: ОНТИ, 1935).
2Q15 416. Умов Н. А.— Арх. АН СССР, ф. 320, оп. 1, № 83, л. 1—33.
417. Hilbert В.— Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys. KL, N 3,
S. 395—407; Ges. Abh., В., 1935, Bd. 3, S. 258—289. (Рус. пер.
в кн.: Вариационные принципы механики, с. 589—598).
418. Planck М — In: Die Kultur der Gegenwart. В., t. 1. Physik;
Planck M. Vortrage und Erinnerungen. В., 1949, S. 95—105.
(Рус. пер. в кн.: Планк М. Физические очерки. М.: ГИЗ, 1925;
Вариационные принципы механики, с. 580—588).
1916 419. Болотов Е. Л.—Изв. физ.-мат. о-ва при Казан, ун-те (2), т. 21,
вып. 3, с. 99—152.
420. Грдина Я. И. Заметки по динамике живых организмов. Ека-
теринослав.
421. Einstein A.— Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., S. 1111—1116.
(Рус. пер. в кн.: Эйнштейн А. Собр. науч. тр. М.: Наука, 1965,
т. 1, с. 524—529).
422. Hamel G — Jahresber. Dtsch. Math. Ver., Bd. 25, S. 60.
1918 423. Фридман А. А. Журн. физ.-мат. о-ва при Перм. ун-те, вып. 1т
с. 33-43.
424. Noether Е — Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys. Kl., N lr
S. 37—44. (Рус. пер. в кн.: Вариационные принципы
механики, с. 604—610).
425. Noether Е.— Ibid., N 2, S. 235—258. (Рус. пер.: Там жег
с. 611-630).
426. Chantington Е — Amer. Mon., t. 25, р. 1—15.
427. Appell Р.— С. К, t. 166, р. 513.
1919 428. Schaffer S. Die Prinzipe der Dynamik. Berlin; Leipzig.
429. Stackel P.— Sitzungsber. Heidelb. Akad., t. 31.
1921 430. Крылов А. И.— УФН, t. 2, вып. 2, с. 143—161.
431. Beghin H. Etude theoretique des compas gyrostatique Anschiitz
et Sperry. P. (Рус. пер.: Беген А. Теория гироскопических
компасов Анппотца и Сперри и общая теория систем с сервосвя-
зями. М.: Наука, 1967).
432. Cajori F.— Sci. and Math., vol. 21, p. 638.
1922 433. Painleve P. Les axiomes de la mecanique. P.
1923 434. Levi-Civita Т., Amaldi U. Lezioni di meccanica razionale.
Bologna, 1923—1926. Vol. I, II. (Рус. пер.: Леви-Чивита, Т. Амалъ-
ди У. Курс теоретической механики. М.: ИЛ, 1951—1952, т. It
ч. 1, 2; т. II, ч. 1, 2).
435. Marcolongo R. Meccanica razionale. Milano. Vol. I, II.
436. Woronetz P.— Bull. sci. math., t. 47, p. 113.
1924 437. Максвелл К. Материя и движение. М.
438. Hamel G.— Math. Ann., Bd. 92, S. 33.
439. Levi-Civita T. Fragen der klassischen und relativischen Mecha-
nik. B.
440. Tzenojf J.— Math. Ann., Bd. 91, S. 161.
•1У25 441. Appell P. Sur une forme generale des equations de la
dynamo mique.— Mem. sci. math., Fc. 1. P.
гб 442. Klein F. Vorlesungen iiber die Entwicklung der Mathematik in
19 Jahrhundert. В., 1926—1927. Т. I, II. (Рус. пер.: Клейн Ф.
227
15*

Год
Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.; Л.: Гос-
техиздат, 1937. Т. I). /
443. Carnap R. Physikalische Begriffsbildung. Karlsruhe. /
1927 444. Белополъский А. А.— В кн.: Ньютон, 1727—1927. Л.: Изд-во
АН СССР, с. 3—10.
445. Иванов А. А,— Там же, с. 54—73.
446. Крылов А. Я.—Там же, с. 11—45.
447. Ньютон И. Оптика. М.; Л.: Изд-во АН СССР.
448. Фредерике В. К.— УФН, т. 7, вып. 2, с. 75—86.
449. Birkhoff G. D. Dynamical systems. N. Y. (Рус. пер.: Биркгоф Г.
Динамические системы. М.; Л.: Гостехиздат, 1941).
450. Bridgman P. W. The logic of modern physics. N. Y.
451. Einstein A. Isaak Newton.— Manchester Guardian. (Рус. пер.:
Эйнштейн А. Собр. науч. тр. М.: Наука, 1967, т. 4, с. 78—81).
452. Einstein A. Naturwissenschaften, Bd. 15, S. 273—276. (Рус. пер.:
Там же, с. 82—88).
453. Einstein A. Nord und Siid, Bd. 50, S. 36—40. (Рус. пер.: Там же,
с. 89-93).
454. Einstein Л.—Nature, Bd. 119, S. 467. (Рус. пер.: Там же, с. 94).
455. Hamel G.— In: Handbuch der Physik. В., Bd. 5, S. 1-42.
456. Isaac Newton. L.
QH.Nordheim L.— In: Handbuch der Physik. В., Bd. 5, S. 43-90.
1928 458. Crew H. The rise of modern physics. Baltimore.
459. Horak Z.— CI. sci. math.-natur. et med., Akad. sci. Boheme, t. 29,
p. 93.
460. Metzger H.— Arch, storio sci., vol. 9, p. 243—256.
461. Zoretti L. Les principes de la mechanique classique. P.
1929 462. hanger S. K.— Monist., t. 39, p. 561—570.
463. Hoppe E — Arch. Gesch. Math., Naturwiss. und Techn., Bd. 11,
N 5, S. 354.
1930 464. Przeborski A. Wyklady mechaniki teoretycznej. W-wa, 1930—1935.
T. I, II.
1931 465. Фридман В. Г.— Природа, № 1, с. 3—23.
466. Jeffreys Н. Scientific Inference. N. Y.; L.
467. Kerner M — Pr. mat.- fis., t. 38, p. 1—21.
468. Wundheiler A.— Ibid., p. 129—147.
1932 469. Четаев H. Г.—Изв. Физ.-мат. о-ва при Казан, ун-те (3), 1932,
т. 6, с. 68. См. также: Четаев Н. Г. Устойчивость движения:
Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР,
1960, с. 323.
470. Horak Z.— In: Verhandl. intern, math, kongress. Zurich, Bd. 2,
S. 292
471. Przeborski A.— Math. Ztschr., Bd. 36, S. 184—194.
472. Vallee Poussin Ch. J. Lecons de mecanique analytique. P. T. I,
П. (Рус. пер.: Балле HI. Ж. Пуссен. Лекции по теоретической
механике: В 2-х т. М.: ИЛ, 1948—1949).
1933 473. Архимед — В кн.: Начала гидростатики: Архимед, Стевин,
Галилей, Паскаль. 2-е изд. М., 1933.
474. Галилей Г.— Там же.
475. Крылов А. Н. Леонард Эйлер. М.: Изд-во АН СССР.; Собр. тр.
М.; Л.: т. I, ч. 2, 1951, с. 192—217.
476. Майер Р. Закон сохранения и превращения энергии. М.
477. Райнов Т. И.— В кн.: Социалистическая реконструкция и
наука. М.: ОГИЗ, вып. 1, с. 57—80.
478. Horak Z.— Рг. math.-fis. t. 41, p. 25—37.
1934 479. Галилей Г. Сочинения. М.; Л.: ГТТИ. Т. I.
480. Tarski A.— Przegl. fil., t. 37, s. 438—460.
1935 481. Леонардо да Винчи. Избранные произведения М.; Л.: Acade-
mia. Т. I.
228

482. Гуковский М. А.— Арх. Ин-та истории науки и техники АН
СССР, вып. 7, с. 105—128.
483. Гюйгенс X. Трактат о свете. М.; Л.: ГТТИ.
4S4. Полак Л. С—Арх. Ин-та истории науки и техники АН СССР,
вып. 5, с. 155—181.
485. Grew Н. The rise of modern physics. Baltimore.
486. Hamel G.— Math. Ann., Bd. Ill, N 4, S. 94.
487. Horak Z.— Pr. mat.-fis., t. 42, s. 59—107.
488. McKinsey 7. С. C— Bull. Amer. Math. Soc, p. 291.
489. Prange G.— In: Encyckl. Math. Wiss., Bd. IV, H. 4, S. 505-804.
1936 490. Аристотель. Физика. M.: Соцэкгиз.
491. Николаи Е. Л.—Тр. Ленингр. политехи, ин-та, № б, с. 3—11;
Труды по механике. М.: ГИТТЛ, 1955, с. 407—418.
492. Полак Л. С—Тр. Ин-та истории науки и техники АН СССР
(2), вып. 8, с. 91.
493. Фридман В. Г.— Природа, вып. 3, с. 120—132.
494. Bridman P. W. The nature of physical theory. N. Y.
495. Johnsen L.— Abh. Ungitt norske vid. Akad. Oslo, t. 1. Mat.-natur.
KL, N 10, s. 1-10.
496. Platrier C — Act. sci. industr., N 427. P.
497. Synge /.— Univ. Toronto Studies. Appl. Math., N 2, p. 2. (Рус.
пер.: Синд ж Дж. Тензорные методы в динамике.. М.: ИЛ, 1947).
1937 498. Бернулли И. Избранные сочинения по механике. М.; Л.: ГТТИ.
499. Идельсон И. И,— В кн.: Жозеф Луи Лагранж: Сб. статей. М.;
Л.: Изд-во АН СССР, с. 17—46.
500. Котов В. Ф.— Учен. зап. МГУ, вып. 7, с. 201—256.
501. Крылов А. Н. Собр. тр. М.; Л.: Изд-во АН СССР, т. V,
с. 495—511.
502. Полак Л. С— В кн.: Жозеф Луи Лагранж. с. 105—140.
503. ВагЫИап D — С. R. Roumaine, t. 2, p. 9.
504. Kepler J. Opera omnia. Miinchen; Berlin, vol. 3, p. 174—179.
505. Pendse С G.— Phil. Mag. (7), t. 24, p. 1012-1022.
506. Tar ski A.— In: Woodger J. H. The axiomatic method in biology.
Cambridge. Appendix E.
507. Woodger J. II. The axiomatic method in biology. N. Y.
508. Woodger 7. H.— Erkenntnis, t. 7, p. 195.
1938 509. Лойцянский Л. Г., Лурье А. П.— В кн.: БСЭ. 2-е изд., 1955, т. 39,
с. 245-253.
510. Эйлер Л. Основы динамики точки. М.; Л.: ОНТИ, 1938.
511. Brunet P. Etude historique sur le Principe de la moindre
action. P.
512. Hamel G.— Sitzungsber. Berlin math. Ges., S. 41—52.
513. Hermes H.— In: Forsuch ztir Logik und ztir Grundlagung der
exakten Wissenschaften. Leipzig, H. 3.
514. Rosser B.— L Symb. Logic, vol. 3, S. 119.
1939 515. Жуковский H. E. Teope тическая механика. M.; Л.: Оборонгиз,
с. 21—44.
516. Котов В. Ф.—Учен, зап. Горьк. ун-та, вып. 6, с. 84—105.
517. Розе Н. В. Лекции по аналитической механике. Л.: Изд-во
ЛГУ. Т. I.
518. Kratzer A. Betrachtugen zu der Grundlagen der Mechanik. B.
519. Narlikar V. V.— Phil. Mag. t. 27, p. 33.
520. Pendse С G.— Phil. Mag. (7), t. 27, p. 51.
M40 521. Хайкин С. Э. Что такое силы инерции? М.; Л.: ГИТТЛ.
522. Einstein А.— Science, t. 91, p. 487. (Рус. пер. в кн.: Эйнштейн Л.
Собр. науч. тр., т. 4, с. 229—238).
523. Pendse С. G.— Phil. Mag. (7), t. 29, p. 477.
jg4 524. Zaremba S,— Enseignement Math., t. 38, p. 59.
41 525. Вагнер В. В.— Тр. семинара по векторному и тензорному
анализу, вып. 5, с. 173—225.
229

Год
526. Четаев Н. Г.— ПММ, т. 5, вып. 1, с. 11; См. также в кн.: Че-
таев Н. Г. Устойчивость движения: Работы по аналитической
механике. М.: Изд-во АН СССР, с. 327.
527. Johnsen L. Dynamique generate des systemes non-holonomcs.
Oslo.
1942 528. Vranceanu G. Proprieta topologic differenziali della vaneta ano-
lonome. Bucureshti.
1943 529. Иделъсоп H. И.— В кн.: Исаак Ньютон: Сб. статей. М.; Л.:
Изд-во АН СССР, с. 161—210.
530. Иделъсоп Н. И.— В кн.: Галилео Галилей: Сб. статей. М.; Л.:
Изд-во АН СССР, с. 68—141.
531. Крылов А. Я.—Там же, с. 57—67.
532. Крылов А. #.— В кн.: Исаак Ньютон, с. 5—32.
533. Крылов А. Н. Мысли и материалы о преподавании механики
в высших технических учебных заведениях. М.; Л.: Изд-во
АН СССР.
534. Люблинская А. Д.—В кн.: Исаак Ньютон, с. 361—391.
535. Райнов Т. Я.—Там же, с. 329—344.
536. Четаев Н. Г.—ПММ, т. 7, вып. 1, с. 26; Устойчивость
движения и работы по механике, с. 329.
537. Brelot М — Ann. Univ. Grenoble, Sect. sci. med., t. 19.
1944 538. Brelot M.— Ibid., t. 20.
1945 539. Бухголъц H. И. Основной курс теоретической механики. М.:
Гостехиздат. Т. II.
540. Кочин Н. Е.— ПММ, т. 10, вып. 5/6, о. 541.
541. Brelot М. Les principes mathematiques de la mecanique clas-
sique. Grenoble; Paris.
542. Dungen F. Я — Bull. cl. sci., t. 31, p. 666.
543. Einstein A.— In: A. Einstein — philosopher-scientist. Evanston
(III.), p. 1—95. (Рус. пер. в кн.: Эйнштейн А. Собр. науч. тр.,
т. 4, с. 259—293).
1946 544. Билимович А. Д.—Глас Српске Акад. наука, кн. 189(95),
с. 119—152.
545. Дубошин Г. Н.— В кн.: Московский университет памяти
И. Ньютона: Сб. статей. М.: Изд-во МГУ, с. 89—99.
546. Космодемьянский А. А.— Там же, с. 81—88.
547. Кочин Н. Е. ПММ, т. 10, вып. 5/6, с. 541.
548. Остроградский М. В. Собр. соч. М.; Л.: Изд-во АН СССР. Т. I.
Ч. 2. Лекции по аналитической механике. Лекция VI, с. 60—73.
549. Староселъская-Никитина О. А. Очерки по истории науки и
техники периода французской буржуазной революции, 1789—
1794. М.; Л.: Изд-во АН СССР.
550. Duga R.— Rev. Sci., t. 84, p. 22.
1947 551. Гуковский M. А. Механика Леонардо да Винчи. М.; Л.: Изд-во
АН СССР.
552. Кузнецов Б. Г.— В кн.: Тр. Ин-та истории естествознания и
техники АН СССР. М,: Изд-во АН СССР, т. I, с. 347—372.
553. Николай Коперник: Сб. статей. М.; Л.: Изд-во АН СССР.
554. Лурье С. Я. Очерки по истории античной науки. М.: Изд-во
АН СССР.
555. Синдж Дж. Л. Тензорные методы в динамике. М.: ИЛ.
556. Bondi Я.— Rev. Modern. Phys., t. 29, p. 423.
557. Cajori F. Sir Isaac Newton's mathematical principles of natural
philosophy and his system of the world. Berkeley.
558. Hamel G — Berliner Math. Tagung (Tubingen, 1946). В., S. 72.
559. Галилей Г. Диалог о двух главнейших системах мира: птоло-
меевой и коперниковой. М.; Л.: ГИТТЛ.
1948 560. Добронравов В. В.— Учен. зап. МГУ. Механика, т. 2, вып. 122,
с. 77—182.
561. Космодемьянский А. А.— Там же, с. 193—296.
230

562. Кудрявцев П. С. История физики. М.: Учпедгиз, 1948—195G.
Т. I, И.
563. Кузнецов Б. Г.— Изв. АН СССР. История и философия, т. 5,
№ 2, с. 149—166.
564. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики.
4-е изд. М.; Л.: ГИТТЛ. Т. I, II.
1949 565. Григорьян А. Т.— Докл. АН АзССР, № 10, с. 403.
566. Жуковский Н. Е. Теоретическая механика.— Собр. соч. М.;
Л.: ГИТТЛ, т. V, с. 193—202.
567. Иоффе А. Ф. Основные представления современной физики.
М.; Л.: ГИТТЛ.
568. Ланжевен П. Избранные произведения. М.: ИЛ.
569. Чаплыгин С. А. Пропедевтический курс теоретической
механики—Собр. соч. М.; Л.: ГИТТЛ, т. IV, с. 305-310.
570. Brillouin L. Les tenseurs en mecanique et en elasticite. P.
571. Hamel G. Theoretische Mechanik. B. etc.
572. Lanczoc C. The variational principles of mechanics. Toronto.
(Рус. пер.: Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.:
Мир, 1965).
573. Sommerfeld A. Vorlesungen tiber theoretische Physik. Leipzig.
Bd. I. Mechanik. (Рус. пер.: Зоммерфелъд А. Механика. M.: ИЛ,
1947).
1950 574. Декарт Р. Избранные произведения. М.: Госполитиздат.
575. Жуковский Н. А. Собр. соч. М.; Л.: Изд-во АН СССР, т. 7,
с. 57—65.
576. Ломоносов М. В. Избранные философские произведения. М.:
Госполитиздат.
577. Суворов С. Г., Штейман Р. Я.—УФН, т. 40, выщ 3, с. 407—439,
476—490.
578. A century of science: N. Y.
579. D'Abro A. The evolution of scientific thought. N. Y.
580. Corben H., Stehle P. Classical mechanics. N. Y.
581. Goldstein H. Classical mechanics. Cambridge. (Рус. пер.: Голд-
стейн Г. Классическая механика. М.: ГИТТЛ, 1957).
582. Dugas R. Histoire de la mecanique. Paris, Meucliatel.
1951 583. Гюйгенс X. Три мемуара по механике. М.: Изд-во АН СССР.
584. Кирпичев В. Л. Беседы о механике. 5-е изд. М.: Гостехтеориз-
дат, с. 24.
585. Ломоносов М. В. Поли. собр. соч. М.: Изд-во АН СССР. 1951—
1953. Т. I—III.
586. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А.— ПММ, т. 15, вып. 5, с. 642.
587. Путята Т. В., Фрадлин Б. Н.— Михайло Васильевич
Остроградский. Киев: Гостехиздат УССР.
588. Banach S. Mechanics. W-wa.
1952 589. Гнеденко Б. В. Михаил Васильевич Остроградский. М.: ГИТТЛ.
590. Добронравов В. В.— ПММ, т. 16, вып. 6, с. 760.
591. Кузнецов И. В.— УФН, т. 48, вып. 2, с. 221—262, 263—285.
592. Максимов А. А.— В кн.: Философские вопросы современной
физики. М.: Изд-во АН СССР, с. 160—185.
593. Моисеев Н. Д.— В кн.: Николаи Е. Л. Курс теоретической
механики. М.; Л.: Гостехиздат.
594. Овчинников Н. Ф.— В кн.: Философские вопросы современной
физики. М.: Изд-во АН СССР, с. 445—488.
595. Путята Т. В., Фрадлш Б. Н. Д1яльшсть видатних мехаштв на
УкраТш. Ки1*в: Гостехиздат УССР.
596. Сайкин С. Ф — Учен. зап. Казан, ун-та, т. 112, кн. 9, с. 51—76.
597. Уемов А. И.— В кн.: Философские вопросы современной
физики. М.: Изд-во АН СССР, с. 299—331.
598. Фок В. А.— УФН, т. 48, вып. 2, с. 161—165.
599. Фриш С. Е. —Там же, с. 167—190.
231

Год
600. Штейман Р. Я.—В кн.: Философские вопросы современной
физики. М.: Изд-во АН СССР, с. 234—298. /
601. Юрьев Б. Н. Опыт новой формулировки основных законов
механики Ньютона. М.: Изд-во АН СССР.
602. Capon R.— Quart. J. Mech. and Appl. Math., vol. 5, N 3, p. 472.
603. Caratheodory C— Ges. math. Schr., Miinchen, 1957, Bd. 5,
S. 107-174.
604. Mullender P. Over einige principes in de mechanica. Kampen.
605. Trenu H. M.— J. Appl. Mech., vol. 19, N 2, p. 147.
1953 606. Родов A. M.— Учен. зап. Белорус, ун-та. Сер. физ.-мат., № 15
с. 18.
607. Цепов И.— ДАН СССР. Новая сер., т. 89, № 3, с. 415.
608. Цепов И.— Там же, № 4, с. 623.
609. Einstein A. Foreword.— In: Galileo Galilei. Dialogue
concerning the two chief world systems. Ptolemaic and Copernican.
Berkeley.
610. Эйнштейн А. Собр. науч. тр. M.: Изд-во АН СССР, 1967, т. 4,
с. 337.
611. Ciri S. La verita vera sulla meccanica dei corpi. Roma.
612. Krbek F.— Wiss. Univ. Greifswald. Math.-nat. Reihe, Bd. 2, N 1,
1952—1953, S. 15.
613. Malgarini G — Rend. 1st. Lombardo. CI. sci. math., natur., vol. 86,
N 1, p. 223—257.
614. McKinsey J. С. С, Sugar A. C, Suppes P.— J. Rational Mech.,
vol. 2, p. 253—272.
615. McKinsey Л С. С, Suppes P.— Ibid., p. 273—297.
616. Stoenescu A.— Rev. math., fiz., t. 4, p. 190.
1954 617. Будто в H. E.— Вопр. философии, № 2, с. 198.
618. Григорьян А. Т.— Сб. статей Всесоюз. заоч. ин-та, вып. 8,
с. 81.
619. Малое Н. Я.—УФН, т. 52, вып. 4, с. 498.
620. Морозов А. И.— Вопр. философии, № 2, с. 206.
621. Логосов Г. С.— Сб. статей Всесоюз. заоч. политехи, ин-та,
вып. 8, с. 95—111.
622. Armstrong Н. L.— Amer. J. Phys., vol. 22, N 9, p. 615.
623. Bridman P. W. The logic of modern physics. N. Y.
624. Burtt E. A. The metaphysical foundation of modern science. N. Y.
625. Dugas R. La mecanique au XVII siecle. P.
626. Einstein A. Foreword.— In: Jammer M. Concepts of space.
Cambridge. (Рус. пер. в кн.: Эйнштейн А. Собр. науч. тр. М.:
Наука, 1967, т. 4, с. 344—348).
627. Einstein A. Message on the 410th anniversary of the death of
Copernicus.— In: Ideas and Opinions. N. Y., p. 359. (Рус. пер.
в кн.: Эйнштейн А. Собр. науч. тр., т. 4, с. 343).
628. Gallissot F,— Ann. de l'lnst. Fourier (Univ. Grenoble), (1952),
t. 4, p. 145-297.
629. Jammer M.— Concepts of space. Cambridge.
630. Jeffreys H.— Quart. J. Mech. and Appl. Math., vol. 7, N 3, p. 335.
631. Lange H. Geschichte der Grundlager der Physik. Miinchen.
632. Pars L.— Quart. J. Mech. and Appl. Math., vol. 7, N 3, p. 338—351.
633. Popovici A,— Gaz. math, si fiz. (A), vol. 6, N 8/9, p. 393—410.
634. Raher W.— ZAMM, Bd. 34, N 8/9, S. 323.
635. Rubin H., Suppes P.— Pacific J. Math., t. 4, p. 563—601.
636. Serban Г.—Gaz. Math, si fiz. (A), vol. 6, N 8/9, p. 393.
637. Simon H. A.— Phil. Sci., t. 21, p. 340.
1955 638. Л. да Винчи. Избранные естественно-научные произведения.
М.; Л.: Изд-во АН СССР.
639. Выслобоков А. О неразрывности материи и движения. М-:
Госполитиздат.
232

640. Котов В. Ф.— Тр. Ин-та истории естествознания и техники АН
СССР, т. 5, с. 52—68.
641. Котов В. Ф.— Учен. зап. Горьк. ун-та, т. 28, с. 42—55.
642. Кудрявцев П. С. Исаак Ньютон. М.: Учпедгиз.
643. Кузнецов Б. Г. Развитие научной картины мира в физике
XVII—XVIII вв. М.: Изд-во АН СССР.
644. Николаи Е. Л. Труды по механике. М.: ГТТИ.
645. Новик И. Б.— Вопр. философии, № 3, с. 140.
646. Погосов Г. С.— Сб. статей Всесоюзн. заочн. политехи, ин-та,
вып. 9, с. 70—83.
647. Рязанов Г. А., Измайлов С. В.— Вопр. философии, № 2, с. 187.
648. Тюлина И. А.— Ист.-мат. исследования, вып. 8, с. 489—536.
649. Gyorgy М — Fiz. szemple, t. 5, N 2—3, p. 69.
650. Klein /.— С. R., t. 240, p. 2208.
651. Marx G.— Fiz. szemple, t. 5, N 2/3, p. 69.
652. McKinsey J. C. C, Suppes P.— Brit. J. Philos. Sci., vol. 5, N 20,
p. 290—302.
653. Schieldrop E. B — Proc. Cambridge Phil. Sci., vol. 51, N 3, p. 469.
654. Winans J. W.— Amer. J. Phys., t. 23, N 5, p. 48.
655. Jourgrau W.t Mandelstam S. Variational Principles in Dynamics
and Quantum Theory. N. Y.
1956 656. Гильберт В. О магните. М.; Л.: Изд-во АН СССР.
657. Григорьян А. Г.—В кн.: Вопросы истории естествознания и
техники. М.: Изд-во АН СССР, вып. 1, с. 24—33.
658. Григорьян А. Т., Полак Л. С—Тр. Ин-та истории
естествознания и техники АН СССР, т. 10, с. 85—163.
659. Добронравов В. В.— В кн.: Механика: Сб. статей. М.: Оборон-
гиз, вып. 50, с. 50—74.
660. Зотин А. И., Зотина Р. С. Биофизика. М.: Изд-во АН СССР, т. I,
вып. 5, с. 480—492.
661. Сапа В. А.— Изв. КазССР. Математика, механика, вып. 5(9).
662. Сорокин В. С — УФН, т. 59, вып. 2, с. 325—362.
663. Budo A. Theoretische Mechanik. В.: VEB Deutsch. Verlag Wiss.,
S. 39, 340.
664. Cohen J. B. Franklin and JNewton. Philadelphia: Amer. Phil. Soc.
665. Kolsrud M.— Arch. math, og natur., vol. 53, N 1, p. 183.
666. Sbrana F.— Boll. Unione mat. ital., vol. 11, N 2, p. 123.
667. Tar ski A. Logic, semantics, metamathematics. N. Y.
668. Valcivici V.— С R., t. 243, p. 1012.
1957 669. Веселовский И. H. Архимед. м.: Учпедгиз.
670. Веселовский И. Н.— Тр. Ин-та истории естествознания и
техники АН СССР, т. 19, с. 271.
671. Григорьян А. Т.— Там же, с. 535.
672. Григорьян А. Г.—В кн.: История естествознания в России. М.:
Изд-во АН СССР, т. I, ч. 2, с. У0—102.
673. Григорьян А. Т., Котов В. Ф.— В кн.: Ист.-мат. исследования.
М.: Изд-во АН СССР, вып. 1U, с. 671—761.
674. Григорьян А. Т., Полак Л. С.— В кн.: Вопросы истории
естествознания и техники. М.: Изд-во АН СССР, вып. 5, с. 19—30.
675. Григорьян А. Т., Полак Л. С—Там же, вып. 19, с. 271—281.
676. Клеменс Г.— УФН, т. 62, вып. 4, с. 443—459.
677. Неймарк Ю. Я.—Тр. Горьк. ун-та: Учен, зап., сер. физ., т. 35,
с. 100.
678. Новоселов В. С— Учен. зап. ЛГУ. Механика, № 217. Сер. физ.-
мат. наук, вып. 31, с. 50—83.
679. Овчинников Н. Ф. Понятие массы и энергии в их
историческом развитии и философском значении. М.: Изд-во АН СССР.
680. Полак Л. С.— Тр. Ин-та истории естествознания и техники
АН СССР, т. 19, с. 320—362.
681. Полак Л. С—Там же, с. 538—543.
233

Год
682. Сапа В. А.— Учен. зап. Каз. ун-та, т. 30, вып. 5, с. 156—186.
683. Финкелъштейн Г. М — Учен. зап. Астрах, пед. ин-та, т/6, № 2,
с. 3-16.
684. Фрейман Л. С— В кн.: Вопросы истории естествознания и
техники. М.: Изд-во АН СССР, вып. 4, с. 164.
685. Фрейман Л. С— Тр. Ин-та истории естествознания и техники
АН СССР, т. 19, с. 544—563.
686. Фридман В. Г.—УФН, т. 61, вып. 3, с. 451—460.
687. Фридман В. Г.—Тр. Ин-та истории естествознания и техники
АН СССР, т. 17, с. 425—449.
688. Цыганова Н. Я.— Там же, т. 19, с. 462—534.
689. Arrighi G.— Boll, unione mat. Ital., vol. 12, N 4, p. 679—688.
690. Frank P. Philosophy of science: The link between science and
philosophy. N. Y. (Pyo. пер.: Франк Ф. Философия науки:
Связь между наукой и философией. М.: ИЛ, 1950).
691. Jammer М. Concepts of force. Cambridge.
692. Lindsay R. В., Margenau H. Foundations of physics. N. Y.
693. Noll W.— Garnegie Inst. Techn. Rept., N 17, U. S. Air Force Off.
Sci. Res.
1958 694. Белянкин Ф. П. Основт поняття мехашки в nponeci ix розвит-
ку. КиТв: Вид-во АН УССР.
695. Билимович А. Д. Пособна издана природно-мат. одел Сербск.
АН. Београд. Кн. 21(314).
696. Киргетов В. П.— ПММ, т. 22, вып. 4, с. 490.
697. Кузнецов Б. Г. Принципы классической физики. М.: Изд-во
АН СССР.
698. Полак Л. С— В кн.: Леонард Эйлер: Сб. статей М.: Изд-во АН
СССР с 231 267
699. Eisenbud L.— Amer. J. Phys., vol. 26, N 3, p. 144—159.
700. Leech J. W. Classical mechanics. L.; N. Y. (Рус. пер.: Лич Дж. У.
Классическая механика. М.: ИЛ, 1961).
701. Noll W.— Arch. Rat. Mech. Anal., USA, vol. 2, 1858—185У,
p. 197—226.
702. Vdlcovici V.— Ber. Ver. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-natur.
Kl, Bd. 102, N 4, S. 1-39.
1959 ^03. Базаров И. П.— В кн.: Философские вопросы естествознания.
М.: Изд-во МГУ, т. 2, с. 69—80.
704. Григорьян А. Г., Полак Л. С—В кн.: Герц Г. Принципы
механики, изложенные в новой связи. М.: Изд-во АН СССР,
с. 334-356.
705. Киргетов В. И.— ПММ, т. 23, вып. 4, с. 666.
706. Кузнецов Б. Г.—Там же, с. 672.
707. Кузнецов Б. Г.i Принцип относительности в античной,
классической и квантовой физике. М.: Наука.
708. Овчинников Н. Ф.— В кн.: Философские вопросы
естествознания. М.: Изд-во МГУ, т. 2, с. 52—68.
709. Овчинников Н. Ф., Уемов А. И. Является ли первый закон
Ньютона следствием второго? — Там же, с. 81.
710. Полак Л. С— В кн.: Вариационные принципы механики,
с. 780—879.
711. Batog Г.—Stud, log., t. И, s. 139-181.
712. Defris P.— Bull. Soc. math. Belg., t. 13, N 1/2, p. 6—37.
713. Hermes H — In: The axiomatic method with special reference
to geometry and physics / Ed. L. Henkin, P. Suppes, A. Tarski.
Amsterdam, p. 282—290.
714. Noll W.— Ibid., p. 266—281.
715. Onicescu O.— Ann. math, pura ed appl., t. 53, p. 357—369.
1 Авторы, указанные в п. 706, 707, разные.
234

716. Synge У. L., Griffin В. A. Principles of mechanics. N. Y. etc.
jgCO 7П. Гантмахер Ф. P. Лекции по аналитической механике. M.: Физ-
матгиз.
1\Ъ. Григоръян А. Т.— Тр. Ин-та истории естествознания и
техники АН СССР, т. 34, с. 177—186.
719. Григоръян А. Т.— В кн.: Вопросы истории естествознания и
техники. М.: Изд-во АН СССР, вып. 9, с. 78.
720. Григоръян А. Т., Полак Л. С—В кн.: История естествознания
в России. М.: Изд-во АН СССР, т. 2, с. 222—283.
721. Киргетов В. П.— ПММ, т. 24, вып. 1, с. 39.
722. Неймарк Ю. П., Фуфаев Н. А.— Там же, вып. 6, с. 1013.
723. Новоселов В. С— Учен. зап. ЛГУ, № 280. Сер. мат. наук,
вып. 35, с. 36—52.
724. Погребысский И. Б.— Тр. Ин-та истории естествознания и
техники АН СССР, т. 34, с. 226—240.
725. Пожарицкий Г. К.— ПММ, т. 24, вып. 3, с. 458.
726. Полак Л. С— В кн: Из истории французской науки. М.: Изд-во
АН СССР, с. 85—115.
727. Полак Л. С. Вариационные принципы механики, их развитие
и применение в физике. М.: Физматгиз.
728. Путята Т. В.— В кн.: Тез. докл. и сообщ. на I Межвуз. конф.
по истории физ.-мат. наук (Москва 25.V —2.VI1960). М.:
Изд-во МГУ, с. 151.
729. Фабрикант В. А.— УФН, т. 70, № 3, с. 575.
730. Фрадлин Б. Н.— В кн.: Вопросы истории естествознания и
техники. М.: Изд-во АН СССР, вып. 10, с. 73.
731. Франк Ф. Философия науки. М.: ИЛ.
732. Хмелевский И. Д.— ПММ, т. 24, вып. 5, с. 777.
733. Четаев Н. Г.— Там же, вып. 1, с. 35.
734. Grigorian А. Т.— Curr. sci., vol. 20, N 7, p. 40.
735. Grigorian А. Т.— Scientia, N 55, p. 25.
736. Parkus M. Mechanik der festen Korper. Viena.
737. Sneddon J. N., Hill K. Progress in solid mechanics. N. Y.
738. Synge У. L. Classical dynamics. B. etc. (Рус. пер.: Сине Дж. Л.
Классическая динамика. М.: Физматгиз, 1963).
739. Valcovici V.— Arch. Rat. Mech. and Anal., vol. 5, N 3, p. 249—269.
1961 740. Вавилов С. И. Исаак Ньютон. М.: Изд-во АН СССР.
741. Григоръян А. Т. Очерки истории механики в России. М.: Изд-во
АН СССР.
742. Григоръян А. Т.— Тр. Ин-та истории естествознания и техники
АН СССР. М.: Изд-во АН СССР, т. 43, с. 363-377.
743. Григоръян А. Г.—Там же, с. 351—362.
744. Григ.орьян А. Т. Михаил Васильевич Остроградский. М.: Изд-во
АН СССР.
745. Кузнецов Б. Г.—Тр. Том. ун-та, т. 155, с. 149—160.
746. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз.
747. Моисеев Н. Д. Очерки развития механики. М.: Изд-во МГУ.
748. Новоселов В. С— Вестн. ЛГУ. Математика, механика,
астрономия, № 13, с. 121—130.
749. Новоселов В. С—Там же, с. 138—144.
750. Пожарицкий Г. К — ПММ, т. 25, вып. 3, с. 391—406.
751. Путята Т. В., Фрадлин Б. Н — В кн.: 1ст.-мат. зб. Кшв: Вид-во
АН УРСР, вип. 2, с. 89—103.
752. Румянцев В. В.— Вестн. МГУ. Математика, механика, № 5,
с. 67—76.
753. Румянцев В. В.— ПММ, т. 25, вып. 6, с. 969.
754. Саларев Н. А.— Тр. Среднеаз. политехи, ин-та. Новая сер.
Механика и машиностроение, вып. 15, с. 96.
755. Соколов Ю. Д.— В кн.: Остроградский М. В. Поли. собр. тр.
Киев: Изд-во АН УССР, т. 2, с. 346—356.
235

Год
756. Фрадлин В. Н — Тр. Ин-та истории естествознания и техники
АН СССР, т. 45, с. 422—469. /
757. Фрадлин Б. Я.— Там же, с. 470—477.
758. Фрадлин Б. Я.— В кн.: Вопросы истории естествознания и
техники. М.: Изд-во АН СССР, вып. 11, с. 61.
759. Фрадлин Б. Я.— Прикл. механика, т. 7, вып. 5, с. 554.
760. Фрадлин Б. Н.— В кн.: 1ст.-мат. зб. Кшв. Вид-во АН УРСР,
вип. 2, с. 104—127.
761. Фрадлин Б. Я.— Прикл. механика, т. 7, вып. 6, с. 583.
762. Фрадлин Б. Я.—В кн.: 1ст.-мат. зб. Кшв: Вид-во АН УРСР,
вип. 3, с. 96—105.
763. Френк А. М — В кн.: Вопросы истории естествознания и
техники. М.: Изд-во АН СССР, вып. И, с. 51.
764. Фуфаев Я. А.— ПММ, т. 25, вып. 3, с. 385.
765. Хмелевский Я. Л.— ПММ, т. 26. вып. 2, с. 201.
766. Jammer М. Concepts of mass in classical and modern physics.
Cambridge (Mass.). (Рус. пер.: Джеммер M. Понятие массы
в классической и современной физике. М.: Прогресс, 1967).
767. Klein J. Espaces variationals et mecanique. Grenoble.
768. Leech J. W. Elements de mecanique analytique. P.
769. Pollak Я.—Acad. R. Belg. Bull. CI. sci. (5), t. 47, p. 763.
770. Vdlcovici V.— Math. (RPR), t. 3, N 2, p. 371—386.
771. Vujicic V.— Publ. Inst, math., n. s., t. 1(15), p. 15—23. (Рус.
пер. в кн.: Механика: Сб. пер. М.: Наука, 1964, вып. 2. 84,
с. 3-10).
1962 772. Архимед. Сочинения М.: Физматгиз.
773. Григоръян А. Т.— В кн.: Вопросы истории естествознания и
техники. М.: Изд-во АН СССР, вып. 13, с. 79.
774. Григоръян А. Г., Зубов В. И. Очерки развития основных
понятий и законов механики. М.: Изд-во АН СССР.
775. Новоселов В. С— Вестн. ЛГУ. Математика, механика,
астрономия, № 1, с. 124.
776. Тюлина И. А., Ракчеев Е. Я. История механики. М.: Изд-во
МГУ.
777. Фрадлин Б. Н — Прикл. механика, т. 8, вып. 6, с. 581—591.
778. Франкфурт У. И., Френк А. М. Христиан Гюйгенс. М.: Изд-во
АН СССР.
779. Штейман Р. Я. Пространство и время. М.: Физматгиз.
1963 780. Зубов В. Я. Аристотель. М.: Изд-во АН СССР.
781. Geronimus J. L — Bull. Inst, politechn. Jasi. Ser. noua, t. 9(13),
fasc. 3/4, 251-262.
782. Глушко К. С— В кн.: Исследования по дифференциальным
уравнениям. Ташкент: Изд-во АН УзССР, с. 18—26.
783. Гнеденко Б. В., Погребысский Я. Б. Михаил Васильевич
Остроградский. М.: Изд-во АН СССР.
784. Григоръян А. Т., Франкфурт У. И.— В кн.: Очерки истории
математики и механики. М.: Изд-во АН СССР, с. 218—227.
785. Кагалъникова Я. И.— Учен. зап. Ярослав, пед. ин-та, вып. 56,
с. 87—188.
786. Кудрявцев П. С. Исаак Ньютон. М.: Учпедгиз.
787. Кузнецов Б. Г. Развитие физических идей от Галилея до
Эйнштейна в свете современной науки. М.: Изд-во АН СССР.
788. Предводителев А. С— В кн.: История и методология
естественных наук. М.: Изд-во МГУ, вып. 2, с. 3—94.
789. Ромадин П. В. Возникновение и развитие основных понятии
динамики. Саранск: Мордов. кн. изд-во.
790. Савин Г. Я., Яутята Т. В., Фрадлин Б. Я.— Прикл. механика,
т. 9, вып. 6, с. 581—591.
791. Тюлина И. А., Казарян А. А.— В кн.: Очерки истории
математики и механики. М.: Изд-во АН СССР, с. 125—146.
236

792. Фрадлин Б. Н.— В кн.: Динамика систем твердых и жидких
тел. Киев: Изд-во АН УССР, с. 104.
793. Фрадлин Б. Н.— В кн.: Очерки истории математики и
механики. М.: Изд-во АН СССР, с. 147—190.
794. Фрадлин Б. Н — Прикл. механика, т. 9, вып. 2, с. 117.
795. Фрадлин Б. Н.— В кн.: Нариси з icTopil технши i природо-
знавства. КиТв: Вид-во АН УРСР, вип. 4, с. 144.
796. Фрадлин Б. Н.— В кн.: 1ст.-мат. зб. Кшв: Вид-во АН УРСР,
вип. 4, с. 66—77.
797. Хайкин С. Э. Физические основы механики. М.: Физматгиз.
798. Fabri Е.— Giorn. fis. Soc. Ital., vol. 4, N 3, p. 204.
799. Griinbaum A. Philosophical problems of space and time. N. Y.
(Рус. пер.: Грюнбаум А. Философские проблемы
пространства и времени. М.: Прогресс, 1969).
800. Hermes Н — In: La methode axiomatique dans les mecaniques
classiques et nouvelles. Actes du 4me Coll. Intern, de logique et
philos. des sci., P., 1959. P., p. 29—36.
801. Mackey G. The mathematical foundations of quantum mechanics.
Amsterdam. (Рус. пер.: Макки Г. Лекции по математическим
основам квантовой механики. М.: ИЛ).
802. Noll W.— In: La methode axiomatique dans les mecaniques
classiques et nouvelles. P., p. 47—56.
1964 803. Воронков И. M — В кн.: Аннотации докл. II Всесоюз. съезда
по теор. и прикл. механике. М.: Изд-во АН СССР, с. 241.
804. Галилей Г. Избр. тр. М.: Наука. Т. 1, 2.
805. Коган Ю. Б.— ПММ, т. 28, вып. 5, с. 921.
806. Коренев Г. В. Введение в механику управляемого тела. М.:
Наука.
807. Космодемьянский А. А. Очерки по истории механики. М.:
Просвещение.
808. Кузнецов Б. Г. Галилей. М.: Наука.
809. Никифорова Т. Р. Осип Иванович Сомов. М.; Л.: Наука.
810. Овчинников Н. Ф.— Вопр. философии, № 10, с. 100.
811. Погребысский И. Б.— В кн.: Развитие современной физики. М.:
Наука, с. 293—323.
812. Савин Г. Н.у Путята Т. В.у Фрадлин Б. Н. Очерки развития
некоторых фундаментальных проблем механики. Киев: Наук,
думка.
813. Седое Л. И. Галилей и основы механики. М.: Наука.
814. Фок В. А.— УФН, т. 83, вып. 4, с. 577.
815. Фейнберг Г., Гольдхабер М.— Вопр. философии, № 10, с. 93.
816. Фрадлин Б. Н — Прикл. механика, т. 10, вып. 5, с. 465—476.
817. Шалаев В. Г.— Науч. тр. Ташк. ун-та, вып. 242, с. 3.
818. Шульгин А. М — Там же, с. 64.
819. Pars L. A. A treatise on analytical dynamics. L. (Рус. пер.:
Парс Л. А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971).
1965 820. Билимович А. Д.— Глас Српске Акад. наука и уметности,
т. 260. Одел природно-мат. наука, кн>. 26, с. 1.
821. Дишкант Г. П.— В кн.: Логическая структура научного
знания. М.: Наука, с. 311—335.
822. Ланцош К.— Вариационные принципы механики. М.: Мир.
823. Фрадлин Б. Н. Неголономная механика и ее приложения в
естествознании и технике. Киев: Ин-т математики АН УССР.
824. Ajdukiewicz К. Logika pragmatyczna. W-wa.
825. Gliozzi M. Storia della fisica. Torino. (Рус. пер.: Лъоцци M.
История физики. М.: Мир, 1970).
826. Surma S.— Zesz Nauk. uniw. Tagiellonskiego. Krakow, t. 108,
Pr. z logiku, N 1, s. 57—74.
l*66 827. Брауде M. В.— В кн.: История и методология естественных
наук. М.: Изд-во МГУ, вып. 4, с. 86.
237

Год
828. Геронимус Я. Л.— Вестн. Харьк. ун-та. Сер. мех., мат.; Зап.
мех.-мат. фак. и Харьк. мат. о-ва, т. 32, с. 148.
829. Гохман А. В.— В кн.: Тр. геом. семинара. М.: Изд-во A4l СССР,
т. I, с. 111—138.
830. Коренев Г. В. Развитие учения о связях в механике.— В кн.:
История и методология естественных наук, вып. 4, с. 100.
831. Крамар Ф. Д.— Там же, с. 135.
832. Кульвецас Л. Л,— Там же, с. 188.
833. Погребысский И. Б. От Лагранжа к Эйнштейну: Классическая
механика XIX в. М.: Наука.
834. Путята Т. В.—В кн.: История и методология естественных
наук, вып. 4, с. 146.
835. Тюлина И. А.— Там же, с. 163.
836. Фрадлин Б. Я.—Там же, с. 90.
837. Фрадлин Б. Я.— Там же, с. 95.
838. Цыганова Я. Я.— Там же, с. 126.
839. Balan S., Ivanov J. Din istoria mecanicii. Bucuresti.
840. Batog T. The axiomatic method in phonology. L.
841. Carnap R. Philosophical foundations of physics. N. Y.; L. (Рус.
пер.: К ар нал Р. Философские основания физики. М.: Прогресс,
1971).
842. Nevanlinna R. Raum, Zeit und Relativitat. Basel; Stuttgart.
(Рус. пер.: Неванлинна P. Пространство, время,
относительность. М.: Мир).
1967 843. Гельфер Я. М. Законы сохранения. М.: Наука.
844. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем.
М.: Наука.
845. Овчинников Я. Ф.— В кн.: Джеммер М. Понятие массы в
классической и современной физике. М.: Прогресс, с. 231—246.
846. Погребысский И. Б.— В кн: Развитие механики в СССР. М.:
Наука, с. 31—60.
847. Путята Т. В., Фрадлин Б. Я., Добровольский В. А.— В кн.:
История отечественной математики. Киев: Наук, думка, т. II,
с. 497.
848. Ценов П.— Годишник на Софийския ун-т, ФМФ, т. 60.
849. Цыганова Я. Я.— В кн.: Кратк. излож. материалов конф.
Волгоград, политехи, ин-та. Волгоград, с. 301.
850. Цыганова Я. Я.— Науч. тр. Волгоград, политехи, ин-та, с. 841.
851. Хайкин С. Э. Силы инерции и невесомость. М.: Наука.
852. Abraham R. Foundation of mechanics. N. Y.
853. Arnold V., Avetz A. Problemes ergodiques de la mecanique
classique. P.
854. Noll W— In: Bunge M. Delavare seminar in the foundations of
physics. B. etc., p. 28—34.
855. Truesdell C. A.— Ibid., p. 35—48.
1968 856. Арнольд В. И. Лекции по классической механике: М.: Изд-во
МГУ. Т. 1, 2.
857. Григорьян А. Т., Вялъцев А. Я. Генрих Герц. М.: Наука.
858. Кузнецов Б. Г. Пути физической мысли. М.: Наука.
859. Неймарк Ю. П.— В кн.: Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука,
т. I, с. 171-178.
860. Путята Т. В., Лаптев Б. Л., Розенфельд Б. А., Фрадлин Б. Я-
Александр Петрович Котельников. М.: Наука.
861. Цыганова Я. Я.— В кн.: Тр. 2-й Каз. межвуз. конф. по
математике и механике. Алма-Ата, с. 254.
862. Bergmann P. G. The riddle of gravitation. N. Y. (Рус. пер-
Бергман П. Загадка гравитации. М.: Наука, 1969).
863. Truesdell С. Essays in the history of mechanics. Leipzig.
864. Whitney //.— Ainer. Math. Mon., vol. 75, N 3, p. 227—256.
238

1969 865. Гохман А. В. Дифференциально-геометрические основания
классической динамики систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та.
866. Доланичев Бл — Изв. на мат. ин-т Бълг. АН, т. 10, с. 20.
867. Кузнецов Б. Г. Относительность. М.: Знание.
868. Мостепаненко А. М. Проблема универсальности основных
свойств пространства и времени. М.: Наука.
869. Новоселов В. С. Аналитическая механика систем с
переменными массами. Л.: Изд-во ЛГУ.
870. Проблемы Гильберта: Сб. статей. М.: Наука.
871. Путята Т: В., Фрадлин Б. Н. Ярослав Иванович Грдина. М.:
Наука.
872. Савин Г. Н., Фрадлин Б. Н — Прикл. механика, т. 5, вып. 1,
с. 11—20.
873. Цыганова Н. Я. Евгений Александрович Болотов. М.: Наука.
874. Яглом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова
геометрия. М.: Наука.
875. Godbillon С. Geometrie differentielle et mecanique analytique.
P. (Рус. пер.: Годбийон К. Дифференциальная геометрия и
аналитическая механика. М.: Мир, 1973).
876. Вржижевский Л. И., Путята Т. В., Фрадлин Б. Я.— В кн.:
Нариси з IcTopii природознавства i техшки. Кшв: Наук, думка,
вип. 12, с. 3.
1970 877. Бохинцев Д. И. Пространство и время в микромире. М.: Наука.
878. Добронравов В. В. Основы механики неголономных систем. М.:
Высш. школа.
879. Цыганова Н. Я.— В кн.: История и методология естественных
наук. М.: Изд-во МГУ, вып. 9, с. 122—134.
880. Цыганова Н. Я.— Науч. тр. Волгоград, политехи, ин-та, вып. 6,
с. 104.
881. Цыганова Н. Я.— Там же, с. 96.
882. Цыганова Н. Я.—Там же, с. 89.
883. Цыганова Н. Я., Фрадлин Б. И.— В кн.: Нариси з icTopii
природознавства i технжи. Кшв: Наук, думка, вип. И, с. 7.
1971 884. Визгин В. П.— В кн.: История механики с древнейших времен
до конца XVIII века. М.: Наука, с. 224—249.
885. Вржижевский Л. Ф., Путята Т. В., Фрадлин Б. Н.— В кн.:
Нариси з icTopii природознавства i технши. Кшв: Наук, думка,
вип. 14, с. 23.
886. Григорьян А. Г.—В кн.: История механики с древнейших
времен до конца XVIII века. М.: Наука, с. 7—32.
887. Григорьян А. Т.} Рожанская М. Ж.—Там же, с. 33—41.
888. Григорьян А. Т., Рожанская М. М — Там же, с. 44—65.
889. Костабелъ П. Там же, с. 66—82.
890. Котек В. В. Свггогляд Леонарда Ейлера. Кшв: Вид-во Киев,
ун-та.
891. Крамар Ф. Д.— В кн.: Сб. по вопросам математики и
механики. Алма-Ата: Изд-во Каз. ун-та, вып. 3, с. 203.
892. Погребысский И. Б. Готфрид Вильгельм Лейбниц. М.: Наука.
893. Погребысский И. Б.— В кн.: История механики с древнейших
времен до конца XVIII века. М.: Наука, с. 83—121.
894. Погребысский И. Б., Фрейман Л. С— Там же, с. 122—157.
895. Полак Л. С — Там же, с. 191—223.
896. Путята Т. В.— В кн.: Нариси з icTopii' природознавства i
технши. Кшв: Вид-во АН УССР, вып. 13, с. 46.
897. Путята Т. В., Фрадлин Б. П.— Прикл. механика, т. 7, вып. 4,
с. 147.
898. Ткалич В. С. Теоретические основы оптимальных
взаимодействий Киев: Наук, думка. Ч. 1. Аналитическая динамика.
899. Фрадлин Б. Я., Рощупкин Л. Д.—В кн.: Аннот. докл. II Респ.
239

Год
совещ. по динамике твердого тела (г. Донецк, 29.XI—2.XII
1971). Киев: Наук, думка, с. 25.
900. Хайкин С. Э. Физические основы механики. М.: Наутса.
901. Цыганова Я. Я.—В кн.: Сб. науч. тр. НИИГХ. Волгоград,
вып. 3, с. 210.
902. Цыганова Я. Я., Фрадлин Б. Я — В кн.: Нариси з icTopil при-
родознавства i техшки. Кшв: Наук, думка, вып. 13, с. 71.
903. Ziganowa N — Mech. teor. i stoow, t. 4, N 9, s. 453—477.
904. Deleanu S., Irimiciuk N., Neagu G — Lucr. sti. Inst, mine
Petrosal (4), t. 8, pt 2, p. 95—105.
905. Ziegler Я.— Unterrichts, Bd. 26, N 2, S. 25—32. (Рус. пер. в кн.:
Механика: Сб. пер. М.: Наука, № 3, с. 3).
906. Westfall R. 5.—In: Perspect. Hist. Sci. and technol. Norman,
p. 177—197. Discuss., p. 198—208.
1972 907. Веселовский И. Я.— В кн.: Сб. науч. метод, статей по теорет.
механике. М.: Высш. школа, вып. 3, с. 45.
908. Воробьев А. П.— Вестн. ЛГУ, № 19, с. 83.
909. Воронков И. М.— В кн.: Сб. науч. статей по теорет. механике,
вып. 3, с. 16.
910. Гараев К. Г.—В кн.: II Четаевской конф. по аналит. механике,
устойчивости и оптимальному упр.: Аннот. докл. Казань, с. 64.
911. Добронравов В. В.— В кн.: Сб. науч. метод, статей по теорет.
механике. М.: Высш. школа, вып. 3, с. 3—16.
912. Григоръян А. Т., Розенфелъд Б. А.— В кн.: История механики
с конца XVIII века до середины XX века. М.: Наука,
с. 333—346.
913. Крамар Ф. Д.— В кн.: Вопросы истории естествознания и
техники. М.: Наука, вып. 1(38), с. 26.
914. Кришен В. Ф — В кн.: Сб. науч. статей по теорет. механике,
вып. 3, с. 83—92.
915. Кузнецов Б. Г.— В кн.: История механики с конца XVIII века
до середины XX века, с. 379—394.
916. Кулъвецас Л. В.— В кн.: Проблемы истории математики и
механики: Сб. статей. М.: Изд-во МГУ, вып. 1, с. 80—88.
917. Назиев Э. X.— ПММ, т. 36, вып. 6, с. 1108.
918. Саносян Я. X.— Сб. науч. тр. аспирантов Арм. пед. ин-т, т. 5,
вып. 4, с. 33—54.
919. Сретенский Л. Н.— В кн.: История механики с конца XVIII
века до середины XX века, с. 7—45.
920. Фрадлин Б. Н.— Там же, с. 86—115.
921. Цыганова Я.— Сб. науч. тр. НИИГХ. Волгоград, вып. 4, с. 295.
922. Цыганова Я. Я.— Там же, с. 303.
923. Цыганова Я. Я., Фрадлин Б. Я.— В кн.: Нариси з icTopil при-
родознавства i техтки. Кшв: Наук, думка, вип. 16, с. 40.
924. Aharoni У. Lectures on mechanics. Oxford.
925. Brunk G.— ZAMM, Bd. 52, N 4, S. 143.
926. Deleanu S., Irimiciuc N., Stancu M.— Bull. Inst, politechn. Jasi.
Sec. 4, t. 18, N 3/4, p. 51.
927. Fischer U., Stephan W. Prinzipien und Methoden der Dynamik
Leipzig.
1973 928. Бояджиев Т. Л.— В кн.: 3-я Всесоюз. науч. конф. по прикл.
аэродинамике: Тез. докл. Киев, с. 27.
929. Бояджиев Т. Л., Ткалич В. С — Докл. АН Бългр., т. 26, № 3,
с. 303.
930. Геронимус Я. Л. Теоретическая механика. М.: Наука.
931. Ишлинский А. Ю. Механика относительного движения и силы
инерции. М.: Ин-т проблем механики.
932. Ишлинский А. Ю.— В кн.: Синтез современного научного
знания. М.: Наука, с. 516—524.
933. Кулъвецас Л. В.— Литов. мат. сб., т. 13, № 2, с. 253.
240

934. Румянцев В. В.— ПММ, т. 37, вып. 6, с. 963—973.
935. Румянцев В. В.— ДАН СССР, т. 210, № 4, с. 487.
936. Савин Г. Н., Путята Т. В., Фрадлин Б. Н. Курс теоретической
механики. Кшв: Вища школа.
937. Слезкин Н. А.— В кн.: История и методология естественных
наук. М.: Изд-во МГУ, вып. 14, с. 22—32.
938. Тюлина И. А. Там же, с. 33.
939. Фрадлин Б. //., Рощупкин Л. Д.— Прикл. механика, т. 9, вып. 1,
с. 3.
940. Цыганова Н. Я.— В кн.: II Четаев. конф. по аналит. механике,
устойчивости движения и оптимального упр.: Аннот. докл.
Казань: Кн. изд-во, с. 17.
941. Ziganowa N — Mech. teor, i stosow, t. 11, N 3, s. 3—15.
942. Ziganowa N — Ibid., p. 245—265.
943. Ziganowa N.— Ibid., N 4, p. 343.
944. Ziganowa N — Ibid., p. 467.
945. Jones S. E.— Trans. Amer. Soc. Mech. Eng. (E), t. 40, N 4,
p. 1144.
946. Kranz D. H — Philos. of Science, vol. 40, N 4, p. 481—495.
947. Mclver D. В.— J. Eng. Math., t. 7, N 3, p. 249—261.
948. Onicescu 0.— Bull. Acad. pol. sci. Siv. sci. teclin., t. 21, N 10,
p. 521—533.
949. Viorica /.— Gas. mat. (RSR). Ser. A, t. 78, N 9, p. 332.
1974 950. Бать M, И.— В кн.: Сб. науч. метод, статей по теорет.
механике. М.: Высш. школа, вып. 4, с. 67.
951. Веселовский И. Н. Очерки по истории теоретической механики.
М.: Высш. школа.
952. Григорьян А. Г.—В кн.: Тр. XIII Междунар. конгр. по истории
науки. Секция 5, 1971. М.: Наука, с. 232.
953. Григорьян А. Т. Механика от античности до наших дней. М.:
Наука.
954. Дорфман Я. Г. Всемирная история физики с древнейших
времен до конца XVIII века. М.: Наука.
955. Криндич В. П., Спасский Б. И.— В кн.: История и методология
естественных наук. М.: Изд-во МГУ, вып. 15, с. 57—80.
956. Кузнецов Б. Г. История философии для физиков и
математиков. М.: Наука.
957. Кульвецас Л. Л.— В кн.: Тр. XIII Междунар. конгр. по истории
науки. Секция 5, 1971. М.: Наука, с. 236.
958. Ovenden М. W., Feagin Т., Graf О.— Celest. Mech., Bd. 8, N 4,
biz. 455-471.
ВТОРАЯ, ТРЕТЬЯ И ЧЕТВЕРТАЯ ЧАСТИ
1605 1. Stevini S. Math. Hypomnematum de statica. Lugonuni Batavo-
rum.
1638 2. Descartes R. Oeuvres. P., t. 7, p. 88.
1644 3. Torricelli E. De motu gravium naturaliter descendentium. Opera
geometrica. Florenz.
1687 4. Newton J. Philosophic naturalis principia mathematica. L. (Рус.
иер.: Математические начала натуральной философии.— В кн.:
Крылов А. Н. Собр. тр. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1936, т. VII.
1693 5. Roberval G.— Mem. Acad. sci. P., t. 6, p. 84.
J696 6. Amontons M.— Mem. Acad. Roy. P., t. 1, p. 206.
WOO 7. De la Hire.— Mem. Acad. Roy. P., t. 1, p. 138.
1?06 8. De la Hire. Traite de roulettes. P.: Hist. Acad., p. 340.
9. Parent A.— Mem. math. phys. (1704), t. 3, p. 173—197.
17Ю 10. Leibnitz G. W — Miscell. Berolinensia. Class, math., vol. 1. В.,
p. 44.
16 Заказ J* 1377
241

Год
1714 11. Varignon P.—Hist. Acad. sci. P., p. 125.
1715 12. Bernoulli Л—Acta erudit. Lips., t. 2, p. 242; Opera, t. }, p. 187.
1725 13. Varignon P. Nouvelle mecanique ou statique. P. IV I—II.
1740 14. Euler L.— Comment. Acad. Sci. Petropol., t. VII (1734—1735),
p. 99—122.
1742 15. Bernoulli J. Opera omnia. Lausanne. T. IV.
1743 16. D'Alemhert J. Traite de dynamique. P. (Рус. пер.: Даламбер Ж\
Динамика. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950).
1746 17. Bougner P. Traite du navire, de sa construction et de ses mou-
vements. P.
1748 18. Bradley J.— Phil. Trans., vol. 45, p. 1.
19. Euler L — Hist. Acad. Roy. В., p. 1.
20. Euler L.— Ibid., p. 23.
1749 21. D'Alemhert J. Recherches sur la precession des equinoxes et sur
la nutation de Гахе de la Terre dans le systeme Newtonien. P.
22. Euler L. Scientia navalis. Petropoli. T. I, II.
1750 23. Euler L.— Mem. Acad. sci. В., t. VI, 1752 (1750), p. 412.
24. Euler L.— Ibid., p. 185—217.
1751 25. Konig S. De universali principio a equilibri et motus in vi viva
reprto. Bern. См. также: Graf J. H. Der Mathematiker Samuel
Konig. Bern, 1889.
1752 26. Serson K.— Phil. Trans., vol. 47, p. 210.
1755 27. Segner J. Specimen theoriae turbinum. Halle.
1756 28. Euler L.— Mem. Acad. sci. В., t. X, p. 227—295.
1758 29. Euler Z,—Mem. Acad. sci. В., t. XIV, 1765 (1758), p. 131-153.
30. Euler L.— Ibid., p. 154—193.
31. Euler L.— Ibid., p. 261.
32. Euler L.— Ibid., p. 194.
33. Euler L.— Ibid., p. 284.
1759 34. Euler Z,— Mem. Acad. sci. В., t. XV, 1766 (1759), p. 265-309.
1760 35. Euler Z,— Mem. Acad. sci. В., t. XVI, 1767 (1760), p. 176-227.
36. Euler J.— Ibid., p. 261.
1761 37. D'Alemhert J.— Opusc. Math., t. I, p. 74—103.
1763 38. Mozzi G. Discorso matematico sopra il rotamento monentaneo
dei corpi. Napoli.
1765 39. Euler L. Theoria motus corporum solidorum. Rostochii et Gry-
phiswaldiae.
40. Euler L — Petersb. novi comm., t. 21, p. 207.
1768 41. D'Alemhert /.— Opusc. math., t. IV, p. 1—31.
42. D'Alemhert J.— Ibid., p. 32—60.
43. D'Alemhert L— Ibid., p. 251—293.
44. Euler J. A. Meditationes de motu vertiginis plane tarum acprae-
cipue Veneris. Petropoli.
45. Euler L.— Petersb. novi comm., t. 13, 1769 (1768), p. 202—241.
1769 46. Bernoulli D. Recueil des pieces qui ont remportees le prix. P.,
t. 7, p. 34.
1770 47. Euler L.— Petersb. novi comm., t. 15, p. 381—413.
48. Эйлер Л. Интегральное исчисление. М.: Изд-во АН СССР,
1958. Т. III.
1773 49. Lagrange J. Nouv. mem. В., 1775 (1773), p. 85—120.
1775 50. Euler L.— Novi comm. Acad. sci. Petropol., t. 20, p. 189, 280—
303, 304-342.
1779 51. Lagrange J. Nouv. mem. В., p. 133.
1780 52. D'Alemhert.— Opusc. Math., P., t. VII, p. 372.
1782 53. Eluler L.— Nova acta Acad. sci. Petropoli, t. VII, 1786 (1782),
p. 164.
1783 54. Car not L. Essai sur les machines en general. P.; Oeuvres math.,
Basel, 1797.
55. Carnot L. Principes fondamentaux de l'equilibre et du mouve-
ment, P. T. I; Oeuvres math., Basel, 1797.
242

Год
56. Lagrange J. L.— Berlin mem. Acad, sci., 1785 (1783), p. 290.
1785 57. Coulomb Ch. A.— Mem. math. phys. Acad, sci., P., t. 10,
' p. 161—331.
1786 58. Monge G. Traite elementaire de statique. P.
1787 59. Monge G. Memoire sur le calcul integral des equations aux
differences partielles.—Mem. Acad. sci. P., 1787 (1784), p. 40.
1788 60. Lagrange J. Mecanique analytique. P. (Рус. пер.: Лагранж Ж.
Аналитическая механика. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. Т. I—II).
1791 61. Euler L.— Nova acta Acad. sci. Petropoli, t. 'VII.
1801 62. Carnot L. M. N. Correlation des figures. P.
63. Francoeur L. B. Traite de mecanique elementaire. P.
1803 64. Carnot L. M. N. Geometrie de position. P. mouvement. P. T. II.
65. Poinsot L. Elements de statique. P. (Рус. пер.: Пуаисо Л.
Начала статики. М.; Пг., 1920).
1806 66. Biot J. В.— J. ёсоп. polyt., Gah. 13, p. 242.
67. Poinsot L.— Ibid., p. 182.
1808 68. Жуковский H. E. Теория регулирования хода машин: Учеб.
курс. М., 1808—1809. Литогр. изд.
1811 69. Poisson S. D. Traite de mecanique. P. Т. I, II. (2me ed. P., 1833).
1813 70. Binet J.— J. ecol. polyt., Cah. 16, p. 6J.
71. Poisson S. D.— Ibid., p. 274—262.
1815 72. Pfaff J. F. Allgeimeine Methode partille Differentialgleich-
ungen zu integrieren. Leipzig; Ostwald's Klassiker der exakten
Wiss. Leipzig, 1902, N 129.
73. Prony R. Lemons de mecanique. P.
1821 74. Ampere A. M.— Paris mem. Acad, sci., 1821—1822 (1826), vol 5,
p. 76.
75. Ampere A. M — Ibid., p. 86—152.
76. Coulomb Ch. A. De frottement de pointe des pivots: Theorie des
machines. P.
77. Desaguliers J. T. Cours de physique experimentale. P.
1825 78. Legendre A. M. Traite des fonctions elliptiques et des integrales
euleriennes. P, 1825—1828. T. I—III.
79. Poisson S. D.— Bull. sci. math., t. VI, p. 165.
1826 80. Poncelet V. Cours de mecanique appliquee. Metz.
1827 81. Poisson S. D.— Mem. Acad. Inst. France, t. 7, p. 199—265.
82. Abel N.— J. Math., Bd. 2, S. 101—181.
83. Cauchy A. L.— Exercices math., P., vol. 2, p. 87.
84. Lame G., Clapeyron B. P. E — J. voies commun. St. Petersb.
85. Moebius A. F. Barycentrischer Calcul.— Werke. Leipzig, Bd. I,
S 28
1828 86. AbelN.— l. Math., Bd. 3, S. 160-190.
87. Georgonne A.— Ann. de math., vol. 18, p. 372.
88. Giorgini G — Modena mem. Soc. Ital. Quaranta, vol. 20, p. 243.
1829 89. Cauchy A. L.— Bull, de Ferussac, t. 11, p. 119.
90. Jacobi C. G. J. Fundamenta nova theoriae functionum elliptica-
rum. Koenigsberg.
91. Moebius A. F.— J. Math., Bd. 4, p. 179; Werke, Bd. 3, S. 499.
92. Poncelet J. V. Cours de mecanique industrielle. Metz.
Ш0 93. Cournot A.— J. Math., Bd. 5, S. 133, 223.
94. Plucker J.— J. Math., Bd. 5, S. 1; Ges. Abh., Bd. 1. Leipzig, S. 124.
95. Poisson S. D — Mem. Acad. Inst. France, t. 9, p. 309.
1832 96. Coriolis G.— J. ecol. polyt., Cah. 21, p. 268.
97. Cournot A.— J. Math., Bd. 8, S. 1.
98. Poisson S. D.— J. ecol. polyt., Cah. 21, p. 187.
1834 99. Ampere A. M. Essai sur la philosophie des sciences. P. Vol. I, II.
100. Poinsot L. Theorie nouvelle de la rotation des corps. P.
101. Rueb E. Specimen inangural. Utrecht.
243
16*

Год
1835 102. Лобачевский Н. И. Поли. собр. соч. М.; Л.: ГИТТЛ, 1951, т. V,
с. 357—368. /
103. Bellauitis G. Metodo delle equipollenze. Miiano.
104. Bellativis G — Ann. sci. Regno Lombardo, Veneto, vol. 5, p. 244.
105. Coriolis G.— J. ecol. polyt., Cah. 24, p. 146.
106. Coriolis G. Theorie mathematique des effets du jeu de
billiard. P. (Рус пер.: Кориолис Г. Математическая теория
явлений биллиардной игры. М.: ГИТТЛ, 1956).
107. Duhamel Я.—J. ecol. polyt, Cah. 24, p. 138.
108. Minding E. F.— J. Math., Bd. 14, S. 27, 289.
1836 109. Giorgini G.— Modena mem. soc. Ital. Quaranta, vol. 21, p. 1.
1837 HO. Gauss C. F,— Werke, Bd. V, S. 374.
111. Chasles M. Apercu historique sur I'origine et le developpement
des methodes de la geometrie. P. (Рус. пер.: Шаль M.
Исторический обзор происхождения и развития геометрических
методов. М., 1883).
112. MacCullagh J.— Dublin Trans., vol. 17, p. 243.
113. Minding F. Handbuch der theoretischen Mechanik. B.
114. Moebius A. F. Lehrbuch der Statik. Leipzig, Bd. I.
115. Moebius A. F.— J. Math., Bd. 16, S. 1; Ges. Werke, Leipzig, 1886.
Bd. 3, S. 523.
1838 116. Minding E. F. Handbuch der Differential- und Integralrechn-
ung. B. Bd. 2. Mechanik.
117. Moebius A. F.— J. Math., Bd. 18, S. 92.
118. Ostrogradski M.— Mem. Acad. sci. St. Petersb., t. 1, (1394),
p. 32-89, 316-321.
118a. Steiner J.— L Math., Bd. 21, S. 33; Ges. Werke, В., 1862.
1840 119. Airy G. В.— Astr. Soc, vol. 11, p. 145.
120. Mac Cullagh J.— Proc. Roy. Irish. Acad. Dublin, vol. 2,
1840-1844, p. 520; vol. 3, 1845-1847, p. 542.
121. Plucker J. System der Geometrie des Raumes. Diisseldorf.
122. Rodrigues O.— J. math., vol. 5, p. 380, 436.
1841 123. Sturm.— C. R., t. 13, p. 1046.
1842 124. Briot Ch.— J. math. (1), t. 7, p. 74.
125. Jacobi C. G. J. Voilesungen tiber Dynamik. В., 1866. (Рус. пер.:
Якоби К. Лекции по динамике. М.; Л.: ОНТИ, 1936).
126. Puiseux V.— L math. (1), t. 7, p. 517.
1843 127. Chasles M.— С R., t. 16, p. 1420.
128. Moebius A. F. Mechanik des Himmels. Werke. Leipzig, Bd. 4,
S. 124.
1844 129. Grassman H. Die lineare Ausdehnungslehre.— Ges. Werke.
Leipzig, 1894-1896, Bd. I, S. 72, 168.
1845 130. Chasles M.— J. math., vol. 10, p. 204.
131. Mac Cullagh J.— Proc. Roy. Irish Acad. Dublin, vol. 3, 1845—
1847, p. 370.
132. Puiseux V.— J. math. (1), t. 13, p. 249.
133. St. Venant В.— С. R., t. 21, p. 620.
1846 134. Dirichlet L.— J. Math. Bd. 32, S. 85.
135. Moebius A. F.— Ibid., Bd. 36, S. 91.
136. Thomson W.— Gambr. Dubl. Math. J., vol. 1, p. 199.
137. Townsend K.— Ibid., p. 80.
1847 138. Grassman H. Geometrische Analyse. Leipzig.; Werke, Bd. I,
S. 375.
139. Townsend K.— Cambr. Dubl. Math. J., vol. 2, p. 205.
1849 140. Brix A. F. W. Lehrbuch der Statik fester Korper. B.
141. Jacobi С G. 7.— J. Math. Bd. 39, S. 293—350; Ges. Werke, vol. 2.
В., 1882, S. 289—352.
142. Jacobi С G. J.— Ges. Werke, Bd. 2, В., 1882, S. 427—467.
143. Jacobi С G. J.— Ibid., S. 468—476.
144. Jacobi С G. J.— Ibid., S. 477—492.
244

145. Jacobi С. G. Л— Ibid., S. 493—510.
146. Konigs G. Lecons de cinematique. P.
147. Mac Cullagh J.— Dubl. Trans., vol. 22, p. 149.
148. Schweins F.— J. Math., Bd. 38, S. 77.
■iQjl 149. Airy G. В.— London Astr. Soc, vol. 20, p. 134.
' 150. Donkin M. J.— Phil. Mag. (4), vol. 1, p. 320.
151. Poinsot L.— J. math. (1), t. 16, p. 9—130, 289—336.
152. Puiseux V.— С R., t. 32, p. 621.
153. Saint-Guilhem P.—J. math. (1), t. 16, p. 347—374.
154. Somov O. /.— J. Math., Bd. 42, S. 95—116.
2852 155. Foucault L.— C. R., t. 35, p. 421.
156. Foucault L — Ibid., p. 424.
157. Foucault L — Ibid., p. 469.
158. Person 71/.— Ibid., p. 417.
159. Poire е.— Mem. soc. ing. civils. P., p. 82.
160. Puiseux V.— J. math. (1), t. 17, p. 1—30.
161. Sire G.— С R., t. 35, p. 431.
2853 162. Tchebiscoff P.— Mem. Acad. sci. St.-Petersb., t. 7, p. 537.
163. Bresse J. A. -Chr.— J. ecol. polyt., Cah. 35, p. 89.
164. Hamilton W. B. Lectures on Quaternions. Dublin.
165. Poinsot L. Theorie des cones circulaires roulants.—J. math. (l)r
t. 18, p. 41—70.
166. Poinsot L. Connaissance des temps. P.
167. Rivals G.— J. ecol. polyt., Cah. 35, p. 112.
1854 168. Ostrogradski M.—Mem. Acad. Sci St.-Petersb., t. 6, 1857 (1854);
Поли. собр. тр. Киев; Изд-во АН УССР, 1962, т. 2, с. 234.
169. Broch О. Л Lehrbuch der Mechanik. Bd. I. В.
170. Saint-Guilhem P.—J. math. (1), t. 19, p. 356.
1855 171. Lottner E — J. Math., Bd. 50, S. 111.
172. Saint-Guilhem P.— Toulouse mem. (4), t. 5, p. 338.
173. Schoneman G.— Berl. Ber., Bd. 1, S. 255.
1856 174. Somov O. /.— Bull. Acad. sci. St.-Petersb., CI. phys. math., t. 14r
p. 113-135.
175. Bertrand J — Nouv. ann. (1), t. 15, p. 187.
176. Bertrand Л— С R., t. 43, p. 1065.
177. Cauchy A. L.— Ibid., p. 1137.
178. Cauchy A. L.— Ibid., p. 1166.
179. Delaunay Sh. Traite de mecanique. P.
180. DuhameL— С R., t. 43, p. 1165.
181. Hay ward H. В.— Cambr. Phil. Soc. Trans., vol. 10, N 1, 185S
(1856), p. 1.
182. Saint-Guilhem P.— Nouv. ann. (1), t. 15, p. 63.
1857 183. Aristotelis. Opera omnia. P., vol. 4.
184. Cauchy A. L.— С R., t. 44, p. 3, 81, 104.
185. Cayley A — Proc. Roy. Soc, L., p. 506.
186. Goupilliere H — J. ecol. polyt., Cah. 37, p. 3.
187. Maxwell J. C— Trans. Roy. Soc. Edinburgh, vol. 21, p. 559; Sci.
Papers, Cambridge, 1890, vol. 1, p. 248.
188. Poinsot Z,.— J. math. (2), t. 2, p. 281—350.
189. Poinsot L. Sur la precession des equinoxes. P.
190. Poncelet J. V.— С R., t. 44, p. 82.
191. Riemann В.—J. Math., Bd. 54, S. 115—155.
1858 192. Cayely A,— Phil. Mag. J. Sci., t. 15, p. 306.
193. Hayward R. В.— Trans. Cambr. phil. soc, vol. 10, pt 1, p. 1.
194. Liouville J — J. math. (2), t. 3, p. 1.
195. Weierstrass K.— Berl. Monatsber., S. 207; Ges. Werke, Bd. 1,
S 233
*859 196. Somov O. L— Mem. Acad. sci. St.-Petersb. (7), t. 1, N 14, p. 40.
197. Lame G. Lecons sur les coordonnees curvilignes. P.
198. Moebius A. F — Leipz. Ber., Bd. 11, S. 138.
245

Год
199. Poinsot L.— J. math. (2), t. 4, p. 421.
200. Poinsot L.— Ibid., p. 161. .
201. Poinsot L — Ibid., p. 171.
1860 202. Cayley A.— Quart. J. math., vol. 3, p. 225; Coll. Pap., vol. 4,
1894, p. 446.
203. Chasles M.— С R., t. 51, p. 855, 905.
204. Clebsch A.— Z. Math., Bd. 57, S. 73.
205. Routh E. J. A treatise on the dynamics of a system of rigid
bodies. L.
1861 205a. Bochet K.— Ann. des mines, t. 19, p. 27—120.
206. Chasles M.— C. R., t. 51, p. 126.
207. Chasles M.— Ibid., t. 52, p. 77, 189, 487, 745, 1042.
208. Slesser G. M — Quart. J. Math., vol. 4, p. 61.
209. Sylvester A.— С R., t. 52, p. 741, 815.
1862 210. Cayley A — Brit. Assoc. Report, p. 143.
211. Hamilton W. R. Elements of Quaternions. L.
212. Resal H. Traite de cinematique pure. P.
1863 213. Ritter A. Elementare Theorie und Berechnung eiserner Dach-
und Briickenkonstruktionen. Hannover.
1864 214. Somou O. /.— Mem. Acad, sci, St.-Petersb., t. 8, N 5, p. 91.
215. Culmann C. Die graphische Statik. Zurich.
216. Maxwell J. CL— Phil. Mag. (4), vol. 27, p. 250, 294; Papers,
vol. 1, p. 514, 598.
1865 217. Майевский H. В. О влиянии вращательного движения на
полет продолговатых снарядов в воздухе. СПб.
218. Cayley А.— С. R., t. 61, р. 829; Coll. Pap., t. V, p. 542.
219. Plucker J.— London Roy. Soc. Proc, vol. 14, p. 53.
220. Plucker J,— London Phil. Trans., vol. 155, p. 725; Ges. Abb.,
vol. 1, p. 525.
1865 221. Sylvester D.— Proc. Math. Soc. L., vol. 1, N 6, p. 3.
1866 222. Dufor Ch.— С R., t. 62, p. 840.
223. Plucker J.— London Phil. Trans., vol. 156, p. 361.
224. Sylvester J.— Ibid., p. 757—780.
1867 225. Jenkin, Ewing — Phil. Trans. Soc, L., vol. 167, p. 509.
226. Niven — Messenger Math, vol. 4, p. 301.
1868 227 Cayley A — Quart. J. Math., vol. 9, p. 361.
228. Maxwell J. CL— London Roy. Soc. Proc; Scient. Papers, vol. 2,
p. 105.
229. Moigno F. Lemons de mecanique analytique. Statique. P.
230. Plucker J. Neue Geometrie des Raumes. Leipzig, 1868—1869.
Bd. I—II.
231. Reye Th. Geometrie der Lage. Hannover. Bd. 2.
232. Spottiswoode W.— C. R., t. 66, p. 98.
1869 233. Battaglini G.— Napoli Rendiconti, vol. 8, p. 87, 166.
234. Battaglini G.— Ibid., p. 14.
235. Cayley A,— Coll. Math. Pap., t. 8, N 531, p. 445.
236. Hesse O. Vorlesungen uber analytische Geometrie des Raumes.
Leipzig.
237. Jordan C— Ann. mat. (3), vol. 2, p. 55.
238. Klein F.— Math. Ann. Bd. 2, S. 366.
239. Reye Th.— Ann. mat. (2), vol. 2, p. 1.
240. Tait P. G.— Edinb. Roy. Soc Trans., vol. 25, p. 279.
241. Zeuthen S., Zeuthen G — Math. Ann. Bd. 1, S. 432.
1870 242. Ball R. S.— Quart. J. Math., vol. 10, p. 220.
243. Clausius R.— С R., t. 70, p. 1314.
244. Clebsch A.— Math. Ann., Bd. 3, S. 238—262.
245. Mannheim A.— С R., t. 70, p. 1215—1259.
246. Mannheim A.— J. ecol. polyt., Cah. 43, p. 57.
247. Schell W. Theorie der Bewegung und der Krafte. Leipzig.
248. Villarcealx A. J.— L math. (2), vol. 5, p. 315.
246

itfi 249. Ball В. S — Dubl. Trans., vol. 25, p. 137.
1 250. Klein F.— Math. Ann., Bd. 4, S. 403; Bd. 5, S. 271.
jgY2 251. Лигин В. II. Геометрическая теория абсолютного движения
неизменяемой системы. Одесса.
252. Сомов О. И. Рациональная механика: В 2-х т. СПб., 1872—
1877. (Нем. пер.: Somoff О. Theoretische Mechanik. Leipzig,
1879).
253. Somov О — Bull. Acad. sci. St.-Petersb., p. 71.
254. Aronhold S.— Verh. Ver. Beford. Gewerbefl, Bd. 51, S. 134.
255. Battaglini G — Giorn. mat, vol. 10, p. 137, 207.
256. Cremona L. Le figure reciproche nella statica grafica. Milano.
257. Ferrers N.— J. Math., vol. 12, p. 1.
258. Hoppe В.— Ztschr. Math. Phys., Bd. 17, S. 167.
259. Jellet J. H. Treatise on the theory of friction. L.
260. Klein F. Vergleichende Betrachtungen iiber neuere geometri-
sche Forschunger. Erlangen; Math. Ann., Bd. 43, 1910.
261. Mannheim A.— Bull. Soc. math. France, vol. 1, p. 112.
262. Maxwell J. CL— Edinb. Roy. Soc. Trans., vol. 26, p. 1; Papers,
vol. 2, p. 161.
263. Besal H.— G. R., t. 73, p. 164, 1160; t. 74, p. 10.
264. Beye Th.— J. Math., Bd. 72, S. 302.
265. Bouth E.— Proc. Roy. Soc. L., vol. 21, p. 172.
266. Bouth E. Elementary rigid dynamics. L.
267. Serret M.— G. R., t. 74, p. 269.
1873 268. Didion M.— С R., t. 77, p. 167.
269. Maxwell J. CI. Treatise on electricity and magnetism. L.
270. Bayleigh (Strutt) J. W.— Proc. Lond. Math. Soc, vol 4, p. 357;
Scient. Pap., vol. 1, 1899, p. 170.
271. Besal H. Traite de mecanique generale. P. T. I—II.
1874 272. Cremona L. Calcolo grafico. Milan.
273. Frahm W.— Math. Ann. Bd. 8, S. 31.
274. Kirchoff G. Mechanik. Leipzig. (Рус. пер.: Кирхгоф Г.
Механика. М.: Изд-во АН СССР, 1962).
275. Leu у М. La statique graphique. P.
276. Lindemann F.— Math. Ann. Bd. 7, S. 56.
1875 211. Conti P.— Roy. Acad. Lincei, vol. 2, p. 10.
278. Greenhill A. G. Gyroscope and gyrostate.— In: Encyclopaedia
Britanica. Edinburgh, 1875—1889.
279. Mannheim A.— J. math. (3), vol. 1, p. 59.
280. Beuleaux F. Theoretische Kinematik. Braunschweig. Bd. 1.
Ш6 281. Vischegradski J.— С. R., t. 83, p. 318.
282. Ball B. S. The theory of screws.^ Dublin.
283. Grandvoinet. Essais dynamometriqucs des divers instruments
du sol. P.
284. Maxwell J. CL— Cambr. Phil. Soc. Proc, vol. 2, p. 407; Papers,
vol. 2, p. 492.
285. Pappi Alexandrini. Collections quae supersunt. Leipzig, 1876—
1878. Vol. I—III.
286. Beynolds O.— Phil. Trans. Roy. Soc, vol. 166, p. 155.
287. Sturm В.— Ann. di mat. (2), vol. 7, p. 217.
288. Zucchetti F. Atti di Torino, vol. 12, p. 44.
Ш7 289. Vischnegradsky J. Der Zivilingenieur (2), Bd. 23, p. 95.
290. Butte. Die Versuche mit continurlichen Bremsen auf der Main-
Weser-Bahn bei Cassel. Leipzig.
291. Darboux G — Mem. Soc sci. phys. nat. Bordeaux (2), t. 2, p. 8.
292. Greenhill A. G.— Quart. J. Math., vol. 14, p. 182.
293. Greenhill A. G.— Ibid., p. 265.
294. Kimmbal A.— Amer. J. sci. Arts, vol. 13, p. 82.
295. Neumann C— Math. Ann., Bd. 11, S. 379—400.
296. Bouth E. Treatise of stability of a given state motion. L.
247

Год
297. Saint-Marie.— J. math., t. 3, p. 78.
298. Strutt (lord Rayleigh). J. W. The theory of sound. L,, 1877—
1878. Vol. I, II. (Рус. пер.: Стретт Дж. В. (лорд Рэле&). Теория
звука: В 2-х т. М.: Гостехиздат, 1955).
299. Thomson W — Nature, vol. 15, p. 297.
1878 300. Петров H. П.— Изв. СПб. технол. ин-та, с. 35.
301. Galton М.— Engineering, N 25, р. 469; N 26, р. 386, 395.
302. Gilbert Ph.— Bruxelles Soc. Sci. ann. (2B), p. 266.
303. Gruey M.— G. R., t. 86, p. 1241.
304. Schasles M — Bull. Soc. math. France, vol. 6, p. 208.
305. Schmidt G. S.-B.— Konigl. Bohmischen Ges. Wiss. Prag, Bd. 45,
S 79
1879 306. Cayley A.— Quart. J. Math., vol. 16, p. 1.
307. Cayley A.— Math. Ann., Bd. 15, S. 238.
308. Galton M.— Engineering, N 27, p. 372.
309. Gibbs 7.—Amer. J. Math., vol. 2, N 1, p. 49.
310. Lewis С. Т.— Mess. Math., vol. 9, p. 1.
311. Siacci F — Atti di Torino, vol. 14, p. 750.
312. Thomson W.f Tan P. Treatise on natural philosophy.
Cambridge. Vol. I, II.
1880 313. Cayley A.— J. Math., Bd. 90, S. 43.
341. Resal H.— J. ecol. polyt., Cah. 53, p. 17-30.
315. Greenhill A. G.— Quart. J. Math., vol. 17, p. 86.
316. Hess W. Ober das Rollen einer Flache zweiten Grades auf einer
invariablen Ebene. Munchen.
317. Stokes G — Math. phys. pap., Cambridge, vol. 1.
1881 318. Darboux G.— С R., t. 92, p. 119.
319. Despeyrous Ch.— Toulose Fac, mem. (8), t. 3, p. 145.
320. Frenzel C— Ztschr. Math. Phys., Bd. 26, S. 104—127.
321. Hess W.— Math. Ann., Bd. 19, S. 121—154.
322. Poincare H — J. math., vol. 3, N 7, p. 375—422.
323. Siacci F. Collect. Math., vol. 3, p. 6.
1882 324. Beltrami E — Ann. mat. (2), vol. 10, p. 252.
325. Boklen O.— J. Math., Bd. 93, S. 177.
326. Glifford W. K.— Math. Pap. L.
327. Franke J.— Civilingenieur, Bd. 23, S. 206.
328. Greenhill A. G.— Quart. J. Math., vol. 18, p. 229.
329. Halphen G.— Nouv. ann. (3), vol. 1, p. 296.
330. Hess W.— Math. Ann., Bd. 20, S. 461.
331. Lottner E.— In: Jacobi С G. J. Gesammelte Werke, Bd. 2.
Appendix.
332. Poincare H.— J. math., vol. 3, N 8, p. 251—296.
333. Routh E. The elementary part of a treatise on the dynamics ot
a system of rigid bodies. L.
334. Siacci F.— Atti Torino, vol. 17, p. 241.
1883 335. Бобылев Д. К. Курс аналитической механики: В 2-х т. СПб.,
336. Aronhold S,— Ztschr. Math., Bd. 28, S. 116.
337. Boklen O.— Ztschr. Math. Phys., Bd. 28, S. 304.
338. Luxenberg M.— Ibid., S. 309.
339. Neumann C. Hydrodinamische Untersuchungen. Leipzig.
340. Padeletti D — Napoli rendiconti, vol. 22, p. 29.
341. Resal H.— Z. ecol. polyt, Cah. 53, p. 17—30.
342. Weierstrass К. T. W. Formeln und Lehrsatze zum elliptischen
Funktionen. Gottingen, 1883—1884, Bd. I, II.
343. Wittenbauer J. F. Kinematik des Strahles. Graz.
1884 344. Bobilov D — Soc. franc, phys. seances, p. 134.
345. Darboux G. Notes.— In: Despeyrous Ch. Cours de mecanique.
P., 1884—1886, t. I, II.
346. Despreyrous Ch. Cours de mecanique P., 1884—1886. T. I, H-
248

347. Gylden L— Astr. Nachr., t. 109, N 2593, S. 1.
348. Young G.— Ann. mat. (2), vol. 12, p. 169.
349. Padova E.— Atti di Torino, vol. 19, p. 1007—1016.
350. Oppoltzer Т.— Astr. Nachr., t. 108, N 2573, S. 67.
351. Petersen I. Kinematik. Kopenhagen.
352. Routh E. The advanced part of a greatise on the dynamics of
a system of rigid bodies. L.
353. Soderblom A.— Nova acta reg. soc. sci. Uppsal (3), bd. 12r
s \ 92#
354. Sparre M.— C. R., P., t. 99, p. 906.
355. Жуковский H. E — Журн. Рус. физ.-хим. о-ва. Физика, т. 17,
отд. 1, вып. 6, с. 81—113; вып. 7, с. 145—199; вып. 8, с. 231—
280. (См. также: Поли. собр. соч., 1936, т. 3, с. 21—186).
356. Barbarin P.— Nouv. ann. math. (3), t. 4, p. 538—556.
357. Boltzmann L.— J. Math., Bd. 98, S. 68—94.
358. Bruns H — Ber. Verh. Konigl. Sachs. Ges. Wiss. Math.-phys.
Kl., Bd. 37, S. 55.
359. Darboux G.— J. math. (4), t. 1, p. 403—430.
360. Darboux G.— С R., t. 101, p. 115.
361. Darboux G.— Ibid., p. 199.
362. Darboux G.— Ibid., p. 11.
363. Franke J. N.— C. R., t. 100, p. 1573.
364. Gebbia M — Atti Accad. Lincei. Rend. CI. Sci. fis., mat., na-
tur. (4), vol. 1, p. 326.
365. Halphen G. Я.— С R., t. 100, p. 1065.
366. Mannheim A— Ibid., p. 938.
367. Mannheim A.— Ibid., p. 963.
368. Lindskog N — Nova acta reg. soc. sci. Uppsal (3), bd. 12,
s. 1—24.
369. Poincare #.—J. math., vol. 4, N 1, p. 167—264.
370. Rvsal H.— J. ecol. polyt., Cah. 55, p. 275.
371. Reynolds O.— Phil. Mag. (5), vol. 20, p. 469; Pap., L., 1901—
1903, vol. I—III.
372. Ruhlmann M. Vortrage tiber Geschichte der technischer Mecha-
nik. Leipzig.
373. Saint-Germain A.— С R., t. 100, p. 1126.
374. Schoenflies A.— С R., t. 101, p. 150.
375. Sparre M.— Ann. Soc. Sci. Bruxelles (B), t. 9, p. 49—94.
376. Sparre M.— С R., t. 101, p. 370.
377. Покровский П. M. Исторический очерк теории
ультра-эллиптических и абелевых функций. М.
378. Darboux G. Note 19.— In: Despeyrous Ch. Cours de mecanique,
P., t. 2.
379. Fl'euriais G — Rev. maritime et coloniale, t. 91, p. 412.
380. Jonquieres E — С R., t. 102, p. 1519.
381. Hess W.— Math. Ann., Bd. 27, S. 568.
382. Neumann C— Math. Ann., Bd. 27, S. 478—505.
383. Padova E — Atti R. Accad. Lincei. Rend. cl. fis., mat., natur (4),
Roma, vol. 2, p. 135, 168.
384. Poincare H.— J. math., vol. 4, p. 151—217. (Рус. пер.:
Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными
уравнениями. М.; Л.: Гостехиздат, 1950).
385. Schoenflies A. Geometrie der Bewegung in synthetischer Dar-
stellung. Leipzig.
386. Siacci F,— Atti Torino, vol. 21, p. 261.
387. Мещерский И. В.— Сообщ. и протоколы заседаний мат. о-ва
при Харьк. ун-те, т. II, с. 68.
388. Ball R. S.— Nature, vol. 36.
389. Bruns Я —Acta math., Bd. 11, p. 25—96.
390. Bruns Я.— Ber. Konigl. Sachs. Ges. Wiss., Bd. 55, S. 1—39,
55—82.
249

Год
391. Darboux G. Lemons sur la theorie generale des surfaces. P.,
1887—1896, t. I—IV. .
392. Fleuriais G.— Rev. maritime et coloniale, t. 94, p. 225. /
393. Hess W.— Math. Ann., Bd. 29, S. 500—580.
394. Kobb G.— Acta math., t. 10, p. 89—108.
395. Rayleigh D.— Phil. Mag., vol. 24, p. 145; Scient. Papers, 1902,
vol. 3, p. 1.
396. Robin G— C. R., t. 105, p. 61; Oeuvres. P. T. II.
397. Saint-Germain A. Resume de la theorie du mouvement d'un
corps solide autour d'un point fixe. P.
1888 398. Gilbert Ph.— C. R.. t. 107, p. 830.
399. Guyou E.— C. R., t. 106, p. 1143.
400. Halphen G. Traite des fonctions elliptiques. P. T. I. II.
401. Hess W.— Ztschr. Math. Phys., Bd. 33, S. 292.
401a. Mannheim.— G. R., t. 106, p. 820.
402. Mohr H.— Giviling. (2), vol. 34, p. 691.
403. Neumann C— Ber. Verh. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-phys.
KL, Bd. 40, S. 22—88.
404. Painleve P.—Ann. fac. sci. Toulouse.
405. Paladini В.— Ann. Roy. Scuola norjn. sup. Pisa, Sci. fis. mat.,
vol. 5, p. 943.
406. Routh E.— Quart. J. Math., vol. 23, p. 34.
407. Schouten G — Verh. meded. Koninkl. Akad. wet. (3), deil 5,
s 292 335
408. Staude O.— Acta math., Bd. 11, S. 303—332.
1889 409. Занчевский И. M. Теория винтов и приложение ее к
механике. Одесса.
410. Ляпунов А. М — Сообщ. Харьк. мат. о-ва, т. И, № 1/2, с. 1—94.
411. Crescini Е.— Atti Accad. Lincei. Rend. CI. Sci. fis., mat., natur.,
Roma ((4), vol. 5, p. 204.
412. Hess W. Ober die Eulerschen Bewegungsgleichungen und ihrc
singularen Losungen: Programm des Lyceums zu Bamberg. B.
413. Kovalevskaja S. V — Acta math., t. 12, p. 177—232. (Рус. пер.:
Ковалевская С. В. Задача о вращении твердого тела около
неподвижной точки.— В кн.: Движение твердого тела
вокруг неподвижной точки. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1940;
Ковалевская С. В. Науч. тр. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948,
с. 153—220).
414. Routh E.— Z. Math., vol. 23, p. 34.
415. Tisserand F. Traite de mecanique celeste. P., T. 1.
1890 416. Budde E. Allgemeine Mechanik der Punkte und starren Systc-
me. B.
417. Hess W.— Math. Ann., Bd. 37, S. 153-181.
418. Koppe M — Ztschr. phys. chem. Unterr., Bd. 4. S. 70.
419. Kotter F.— Jahr. Dtsch. Math. Verein., 1890—1891, Bd. 1, S. 65.
420. Kovalevskaja S. V.— Acta math., t. 14, p. 81—93. (Рус. пер.:
Ковалевская С. В. Об одном свойстве системы
дифференциальных уравнений, определяющей вращение твердого тела около
неподвижной точки.— В кн.: Движение твердого тела вокруг
неподвижной точки. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1940, с. 50—60;
Ковалевская С. В. Науч. тр. М.; Л.:' Изд-во АН СССР, 1948,
с. 221-244).
421. Kovalevskaja S.— In: Memoires presentes par divers savants a
rAcademie des sciences de l'lnstitut national de France, t. 31,
p. 1—62.
422. Lagerborg N.— Bull. Soc. math. France, t. 18, p. 118.
423. Mannheim A.— С R.. t. 110, p. 220, 270, 391.
424. Molenbrook P.— Nieuw. Arch. Wisk., D. 17, S. 130—157.
425. Poincare H.— Acta math., t. 15, p. 1—271.
426. Resal H.— C. R., t. Ill, p. 547.
250

427. Wiener II.— Leipz. Ber., Bd. 42, S. 249.
2891 428. Жуковский II. E — Мат. сб., т. 16, вып. 1, с. 10. (См. также:
Поли. собр. соч., 1937, т. IX, с. 301).
429. Занчевский И. М. Геометрические места в теории осей
вращения. Одесса.
430. Koenigs G — Bull. Soc. math. France, t. 18, p. 131, 163.
431. Lecornu L — Nouv. ann. (3), vol. 10, p. 5.
432. Study E.— Math. Ann., Bd. 39, S. 441—566.
433. Tisserand F. Traite de mecanique celeste. P. T. 2.
1892 434. Аппелърот Г. Г.—Мат. сб., т. 16, вып. 3, с. 483—507, 592—596.
435. Бобылев Д. К.— Там же, с. 544—581.
436. Делоне Н. Б. Алгебраические интегралы движения тяжелого
твердого тела около неподвижной точки. СПб.
437. Делоне II. Б.— Мат. сб., т. 16, вып. 2, с. 346.
438. Жуковский Н. Е.— Там же, вып. 1, с. 10.
439. Зейлигер Д. Я.—Учен. зап. Казан, ун-та, с. 204.
440. Некрасов П. А.— Мат. сб., т. 16, вып. 3, с. 508.
441. Столетов А. Г., Жуковский Н. Е., Некрасов П. А.— Там же,
вып. 1, с. 1—38.
442. Суслов Г. К.— Изв. Киев, ун-та, № И, с. 1.
443. Шиллер Н. Н — Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей
естествознания, т. 5, вып. 1.
444. Greenhill A. G. The applications of elliptic functions. L.; N. Y.
445. Padova E.— Atti Torino (7), vol. 3, p. 847.
446. Poincare H. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste.
P., 1892—1899. T. I—III. (Рус. пер.: Пуанкаре А. Новые
методы небесной механики.— В кн.: Пуанкаре. Избранные
труды: В 3-х т. М.: Наука, 1971—1974).
447. Schoenflies A.— Math. Ann., Bd. 40, S. 317.
448. Sturm. J. Ch. F. Die Gebiete ersten und zweiten Grades der Li-
niengeometrie. Leipzig, 1892—1896. Bd. I—III.
449. Vierkandt A.— Monatsh. Math. Phys., Bd. 3, S. 31—54, 97—134.
1893 450. Аппелърот Г. Г.—Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей
естествознания, т. 6, вып. 1, с. 1.
451. Домогаров А. П. О свободном движении гироскопа. СПб.
452. Жуковский Н. Е — Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей
естествознания, т. 5, вып. 2, с. 37—45. (См. также: Собр. соч. М.:
ГИТТЛ, 1948, т. 1, с. 257—274).
453. Жуковский Н. Е.—Там же, т. 6, вып. 1, с. 11—17.
454. Зейлигер Д. Н.— Учен. зап. Казан, ун-та, т. 2.
455. Mestschersky /.— Astr. Nachr., t. 132, N 3153, S. 9. (См. также:
Работы по механике тел переменной массы. М.; Л.: Техтеор-
издат/1949, с. 29).
456. Млодзеевский Б. К., Некрасов .П. А.— Тр. Отд. физ. наук О-ва
любителей естествознания, т. 6, вып. 1, с. 43—52.
457. Некрасов П. А.— Там же, т. 5, вып. 2, с. 17—37.
458. Некрасов П. А.— Там же, т. 6, вып. 1, с. 18—20.
459. Слудский Ф. А.— Мат. сб., т. 17, с. 791.
460. Суслов Г. К.— Изв. Киев, ун-та, т. 33, № 12, с. 1—60.
461. Brun F., Ofvers К.— Sven. Vet. Akad. Forhandl. Stockholm, N 7,
p. 455—468.
462. Carvallo E.— Nouv. ann. (3), vol. 12, p. 454.
463. Gylden J.— С R., t. 16, p. 1028.
464. Kotter F.— Acta math., t. 17, p. 209—264.
465. Lie S. Theorie der Transformationsgruppen. Leipzig.
466. Volterra V. Lezioni di meccanica razionale. Roma.
1894 467. Аппелърот Г. Г. Задача о движении тяжелого твердого тела
около неподвижной точки. М. (См. также: Учен. зап. Моск.
ун-та. Физ.-мат. науки, вып. 11, с. 1—112).
251

Год
468. Аппельрот Г. Г.—Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей
естествознания, т. 7, вып. 1, с. 1. /
469. Ляпунов А. М — Сообщ, Харьк. мат. о-ва (2), т. 4, с. 123—140.
(См. также: Ковалевская С. В. Науч. работы. М.; Л.: Изд-во
АН СССР, 1948, с. 286—310).
470. Млодзеевский Б. К. Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей
естествознания, т. 7, вып. 1, с. 46.
471. Слудский Ф. А.— Мат. сб., т. 17, с. 82.
472. Чаплыгин С. А.— Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей
естествознания, т. 7, вып. 1, с. 33. (См. также: Сочинения. М.: Гос-
техиздат, 1948, т. 1, с. 133).
473. Greenhill A. G — Ргос. London Math. Soc, vol. 25, p. 195—304.
474. Gilbert Ph.— Brux. Ann. Soc. Sci., vol. 18, p. 214.
475. Hadamard H.— С R., t. 118, p. 911.
476. Hertz H. Die Prinzipien der Mechanik in neuer Zusammenge
darstellt. Leipzig. Ges. Werke, 1895, Bd. 3. (Рус. пер.: Герц Г.
Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: Изд-во
АН СССР, 1959).
477. Jukowsky N.— Jahr. Deutschen Math. Verein., Bd. 3, 1892—1893,
S. 62. (См. также: Полн. собр. соч. М.: ГИТТЛ, 1937, т. 1,
с. 370).
478. Корре И.— Ztschr. phys. chem. Unterr., Bd. 7, S. 186.
479. Mannheim A. Principes et developpements de geometrie cine-
matique. P.
480. Marcolongo R — Ann. mat. pura appl. (2), vol. 22, p. 157—174.
481. Padoua E — Atti R. Accad. Lincei Rend. CI. sci. fis., mat., na-
tur. (5), vol. 3, 1 sem., p. 161.
482. Picart L.— C. R., t. 118, p. 733.
483. Staude O.— J. Math., Bd. 113, S. 318-334.
484. Suslov G.— Jahrb. Dtsch. Math., Verein., 1894—1895. Bd. 4, S. 141.
(Рус. пер.: Изв. Киев, ун-та, 1895, т. 35, № И, с. 17).
485. Жуковский Н. Е. Тр. отд. физ. наук о-ва любителей
естествознания, т. 7, вып. 2, с. 28.
1895 486. Котельников А. П. Винтовое исчисление и некоторые
приложения его к геометрии. Казань.
487. Ляпунов А. М — Сообщ. Харьк. мат. о-ва (2), т. 4, № 5/6.
488. Слудский Ф. А.— Мат. сб., т. 17, вып. 4, с. 791.
489. Суслов Г. К.—Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей
естествознания, т. 7, вып. 2, с. 1.
490. Суслов Г. ТТ.—Там же, с. 22.
491. Burgatti P.— Rend, circolo mat. Palermo, vol. 9, p. 125.
492. Dixon A. C— Quart. J. Math., vol. 27, p. 362.
493. Greenhill A. G.— Proc. London Math. Soc, vol. 26, p. 215—256.
494. Hadamard J.— Assoc. Franc, pour l'avanc. des sci. С R. de la
24 session. Congr. Bordeaux, p. 1.
495. Hadamard J.— Bull. Soc. math. France (2), t. 19, p. 228.
496. Hadamard J.— Mem. Soc. sci. Bordeaux, CI. phys. natur. (4),
t. 5, p. 395—417. (См. также: Appell P. Les mouvements de rou-
lement en dynamique.— Scientia. Phys.-math., P., 1899, N 4,
p. 47-68).
497. Hadamard /.— Ibid., p. 418. (См. также [563], p. 69—70).
498. Kabb G.— Bull. Soc. math. France (2), t. 23, p. 210.
499. Lindeldf E.— Acta Soc. sci. Fennicae, t. 20, N 10, p. 1—18.
500. Liouville R.— С R., t. 120, p. 903.
501. Marcolongo R.— Ann. mat. (2), vol. 22, p. 157.
502. Padova E.— Atti R. Accad. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat.
natur. (5), vol. 4, 2 sem., p. 198.
503. Painleve P. Lecons sur le frottement. P. (Рус. пер.: Пэнлеве Л-
Лекции о трении. М.: Гостехтеориздат, 1954).
504. Peano G.— Atti Torino, vol. 30, p. 515.
252

505. Peano G.— Ibid., p. 845.
506. Tedone 0.— Nuovo cim. (4), vol. 1, p. 220, 269, 353.
1896 507. Аппельрот Г. Г.— Мат. сб., т. 18, с. 723.
508. Бобылев Д. /Г.—Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей
естествознания, т. 8, вып. 2, с. 21.
509. Жуковский Н. Е — Мат. сб., т. 19, с. 45—93. (См. также: Собр.
соч. М.; Л.: ИТТЛ, 1948, т. 1, с. 294-338).
510. Млодзеевский Б. К.— Мат. сб., т. 18, вып. 1, с. 76.
511. Некрасов П. А.— Там же, вып. 2, с. 161—274.
512. Стеклов В. А.— Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей
естествознания, т. 8, вып. 2, с. 19.
513. Чаплыгин С. А.— Там же. (См. также: Собр. соч. М.; Л., 1948,
т. 1, с. 110).
514. Appell P. Traite de mecanique rationnelle. P. Т. I—П. (Рус.
пер.: Аппель П. Теоретическая механика: В 2-х т. М.: Физ-
матгиз, 1960).
515. Greenhill A. G — Ргос. London Math. Soc, vol. 27, p. 545—612.
516. Jukouski N.— С R., t. 122, p. 915.
517. Klein F.— Nouv. ann. math., t. 15, p. 218.
518. Koppe M — Ztschr. phys. chem. Unterr., Bd. 9, S. 127.
519. Koenigs G,— С R., t. 122, p. 1048.
520. Levi-Civita Г.—Atti R. Accad. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat.,
natur. (5), t. 5, 2 sem., p. 3, 122.
521. Liouville R.— Acta math., t. 20, p. 239—284.
522. Liouville R.— С R., t. 122, p. 1050.
523. Marcolongo R — J. sci. mat., astr., t. 13, p. 17.
524. Nekrasov P.— Math. Ann. Bd. 47, S. 445—530.
525. Peano G.— Atti R. Accad. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat.,
natur. (5), vol. 5, p. 163.
526. St. Germain A.— Bull. sci. math. (2), vol. 20, p. 114.
1897 527. Чаплыгин С. А.— Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей
естествознания, т. 9, вып. 1, с. 10. (См. также: Исследования по
динамике неголономных систем. М.; Л.: ГИТТЛ, 1949, с. 9—27).
528. Чаплыгин С. А — Мат. сб., т. 20, вып. 1, с. 1—32. (См. также:
Исследования по динамике неголономных систем. М.; Л.:
ГИТТЛ, 1949, с. 39—71).
529. Boltzmann L. Vorlesungen ueber die Prinzipe der Mechanik.
Leipzig, 1897—1904, vol. I, II.
530. Dewar /.— Engineering, vol. 64, p. 311.
531. Jukowsky N.— Jahrb. Dtsch. Math. Verein., 1894—1895, Bd. 4,
S. 144.
532. Jukowsky N — In: Behandl. des ersten Intern, math. Kongr.,
Zurich, 9—11. VIII. 1897. Leipzig, 1898, S. 272. (См. также:
Полн. собр. соч., 1937, т. 1, с. 450).
533. Klein F,— Nouv. ann. math. (3), t. 16, p. 323.
534. Klein F — Bull. Amer.-Math. Soc. (2), vol. 3, p. 129.
535. Klein F. The mathematical theory of the top. N. Y.
536. Klein F., Sommerfeld A. Ueber die Theorie des Kreisels. Leipzig,
1897-1910. Bd. I—IV.
537. Levi-Civita Т.— С. R., t. 124, p. 392.
538. Painleve P.— Ibid., p. 221.
539. Poincare H — Rev. gen. sci. pures et appl., N 18, p. 734. (Рус.
пер. в кн.: Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой
связи [476]).
1898 540. Воронец П. В. Геометрическое исследование эйлерова случая
вращения твердого тела около неподвижной точки. Киев.
541. Грдипа Я. И.— Вестн. О-ва технологов, т. 4, с. 7.
542. Колосов Г. В.—Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей
естествознания, т. 9, вып. 2, с. 11.
253

Год
543. Чаплыгин С. Л.—Там же, с. 17. (См. также: Собр. соч. М.:
Гостехиздат, 1948, т, 1, с. 110). /
544. Appell P.— Bull. Soc. math. France, t. 26, p. 98.
545. Jahnke E.— C. R., t. 126, p. 1126.
546. Kolosov G. V.— Nachr. Konigl. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys.
KL, Bd. 7, S. 80.
547. Liebmann H.— Math. Ann., Bd. 50, S. 51.
548. Lindemann F — Sitzungsber. Konigl. Bauer. Akad. Wiss., Math.-
phys. KL, Munchen, Bd. 28, S. 181—202.
549. Puglisi M.— Rend. circ. mat. Palermo, t. 12, p. 312.
550. Routh E. Die Dynamik der Systeme starrer Korper. Leipzig.
Bd. I, II.
551. Sommerjeld A.— Nachr. Konigl. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-
phys. KL, Bd. 7, S. 83.
552. St. Germain A.— Bull. sci. math. (2), vol. 22, p. 95.
553. Tannenberg W. Sur le mouvement d'un corps solide pesant au-
tour d'un point fixe: Cas particulier signale par M-me Kowa-
levski. Bordeaux.
554. Tannenberg W — In: Congr. verbaux des seances Soc. sci.
phys.-natur. de Bordeaux, 1897—1898, p. 226.
555. Urzi G.— Giorn. mat. Battaglini, vol. 36, p. 185—207.
556. Volterra V.— Atti Torino, vol. 33, p. 451.
1899 557. Горяев Д. H — Тр. Отд. физ. наук о-ва любителей
естествознания, т. 10, вып. 1, с. 23.
558. Жуковский Н. Е — Там же, с. 3. (См. также: Собр. соч. М.; Л.:
ГИТТЛ, 1948, т. 1, с. 358).
559. Котельников А. П. Проективная теория векторов. Казань.
560. Стеклов В. А.— Тр. Отд, физ. наук о-ва любителей
естествознания, т. 10, вып. 1, с. 1.
561. Суслов Г. К. Основы аналитической механики: В 2-х т. Киев,
1899 1902.
562. Appell Р.— С. R., t. 129, р. 317.
563. Appell P.— Scientia. Phys.-math., N 4.
564. Blake Е. М.— Amer. J. math., vol. 21, p. 257.
565. Bourlet M.— Bull. Soc. math., N 5.
566. Boussinesq J.— J. de math. (4), vol. 15.
567. Jahnke £.—J. de math. (5), t. 5, S. 155—174.
568. Kobb G.— Ann. fac. sci. Toulouse (2), t. 1, p. 5—30.
569. Korteweg D.— Nieuw. Arch. Wisk., D. 4, S. 130—155.
570. Kotter F. Bemerkungen zu F. Klein und A. Sommerfelds Buch
tiher die Theorie des Kreisels. B.
571. Mayer A.— Leipz. Ber., Math. Phys. KL, Bd. 51, S. 224—241.
572. Neumann C— Ber. Verh. Konigl. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig,
Math.-phys. KL, Bd. 51, S. 371-444.
573. Painleve P.— Bull. Soc. math. France, p. 10.
574. Painleve P.— С R., t. 129, p. 750, 949.
575. Routh E. Messenger of mathematice. L.
576. Schouten G.— Verl. Akad. Wet. Amsterdam. Proc, vol. 5, p. 1.
577. Staude O.— Leipz. Ber., Bd. 51, S. 219.
578. Tannenberg W — Mem. Soc. sci. phys.-natur. Bordeaux (5),
t. 3, p. 309.
579. Volterra V.— Acta math., t. 22, p. 201—358.
580. Zermelo E.— Gottingen Nachr., Math.-phys. KL, S. 306.
1900 581. Горячев Д. H.— Мат. сб., т. 21, вып. 3, с. 431.
582. Суслов Г. К.— Тр. Отд. физ. наук о-ва любителей
естествознания, т. 10, вып. 2, с. 30.
583. Appell P.— Rend. circ. mat. Palermo, vol. 14, p. 1.
584. Ball R. S. A treatise on the theory of screws. Cambridge.
585. Berget A.— С R., t. 131, p. 106.
586. Carvallo E.— J. ecol. polyt,, Cah. 5, p. 119—188.
254

587. Herons von Alexandria. Mechanik und Katoprik. Leipzig.
588. Korteweg D — Rend. circ. mat. Palermo, vol. 14, p. 7.
589. Lacour E.~- Ann. ecol. norm, sup, (3), t. 17, p. 283.
590. Marcolongo R.— J. sci. math. astr. (2), vol. 14, p. 169.
591. Puglisi M — Rend. circ. mat. Palermo, vol. 14, p. 180.
592. Schlick 0 — Trans. Inst. Nav. Arch., vol. 42, p. 135.
1901 593. Бобылев Д. К.— Тр. Отд. физ. наук о-ва любителей
естествознания, т. 11, ч. 1, с. И.
594. Воронец П. В.— Изв. Киев ун-та, т. 41, № И, с. 1—17.
595. Воронец П. В.— Мат. сб., т. 22, вып. 4, с. 659—686.
5УЬ\ Зейлигер д. П.— Учен. зап. Казан, ун-та, с. 50.
597. Колосов Г. В.— Тр. Отд. физ. наук о-ва любителей
естествознания, т. И, вып. 1, о. 5.
598. Чаплыгин С. А.— Там же, т. 10, вып. 2, с. 32. (См. также: Собр.
соч. М.: Гостехиздат, 1948, т. 1, с. 118).
599. Bendixon Л—Acta math., vol. 24, p. 1—88. (Рус. пер. 1-й
главы: Бендиксон if.—УМС, т. 9, 1941, с. 191—211).
600. Carvallo Е.— J. ecol. polyt., Cah. 6, p. 1—118.
601. Descartes. Oeuvres, t. IV. P. (Письмо к Кавендишу от 30.1 И
1646 г.)
602. Greenhill A. G. The mathematical theory of the Top.—Science
(N. S.), N3, p. 973.
603. Greenhill A. G.— Science (2), vol. 14, p. 973.
604. Hein K.— In: Encycl. math. Wiss. Leipzig, 1901—1935, Bd. IV,
S. 357—504.
605. Hein K.— Arch. Math. Phys. (3), Bd. 2, S. 57, 298, 311.
606. Hein K.— Jahrb. Ber. Dtsch. Math. Wiss., Bd. 9, H. 2, S. 39.
607. Hein K., Mises R — In: Encycl. der math. Wiss. Leipzig, 1901—
1935, Bd. IV.
608. Hennenberg L.— Ibid., S. 345—434.
609. Kolosov G.— Mess. math. (2), vol. 30, p. 174.
610. Levi-Civita Т.— Atti Roy. Accad. Lincei, Rend. CI. Sci. fis., mat,
natur., Roma (5), vol. 10, p. 3.
611. Levi-Civita Т.— Ibid., p. 338-346, 429-434, 461-466.
612. Schoenflies A.— In: Encycl. der math. Wiss. Leipzig, 1901—
1935, Bd. IV, S. 190-278.
613. Schouten G.— Nieuw. Arch. (2), Bd. 5, S. 86.
614. Stackel P.— In: Encycl. der math. Wiss. Leipzig, 1901—1935,
Bd. IV, S. 435—691.
615. Study E. Geometrie der Dynamen. Leipzig.
616. Timerding H. E— In: Encycl. der math. Wiss. Leipzig, 1901—
1935, Bd. IV, S. 125-189.
617. Wolf ling E., Lampe E.— Arch. Math. (3), Bd. 2, S. 288.
1902 618. Bob Hew D.— Ztschr. Math. Phys., Bd. 47, S. 354.
619. Boltzmann L — Sitzungsber. Konigl. Akad. Wiss., Math.-natur.
KL, Wien, Abt. 2a, Bd. Ill, S. 1603.
620. Fischer O.— Ztschr. Math. Phys., Bd. 47, S. 429.
621. Greenhill A. G,— Ann. math., t. 16, p. 438.
622. Haug J. t)ber die Drehunge eines starren Korpers um seinem
Schwerpunkt. Pr. Theresien — Gymnasium Miinchen.
623. Heun K.— Ztschr. Math. Phys., Bd. 47, S. 73.
624. Klein F.— Ibid., S. 237—265.
625. Kolosov G. V.— Rend. circ. mat. Palermo, vol. 16, p. 346.
626. Kotter P.— Ber. Berlin, math. Ges., Bd. 1, S. 11.
627. Lecornu L — Bull. Soc. math. France, t. 30, fasc. 1, p. 71.
628. Marcolongo R — Rend circ. mat. Palermo, vol. 16, p. 349.
629'. Marcolongo R — Ann. mat. pura appl. (3), vol. 7, p. 99—128.
630. Mayer A.— Ber. Verh. Konigl. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, Math.-
phys., KL, Bd. 54, S. 53.
631. Mayer A.— Leipzig. Ber., S. 201—243.
255

Год
632. Mayr R.— Ztschr. Math. Phys., Bd. 47, S. 479.
633. Peres.— Nouv. ann. math. (5), t. 2, p. 98—108, 216—231.
634. Petrus A. Beitrage zur Theorie der Herpolhodie Poinsot's. Halle.
635. Routh E. A treatise on analytical statics. Cambridge. Vol. I—II.
636. Stjeclov V. A.— С R., t. 85, p. 526.
1903 637. Колосов Г. В. О некотором видоизменении начала Гамильтона
в применении к решению вопросов механики твердого тела.
СПб.
638. Суслов Г. К.— Арх. Киев, ун-та, ф. 708, оп. 465, д. 1770,
л. 27—28.
639. Чаплыгин С. А.— Мат. сб., т. 24, вып. 1, с. 139—168. (См.
также: Исследования по динамике неголономных систем. М.;
Л.: ГИТТЛ, 1949, с. 72-99.
640. Шифф П. А.— Мат. сб., т. 24, с. 169.
641. Appell P.— Z. math. (5), t. 9, p. 27.
642. Beghin A.— Ibid., p. 29.
643. Beghin A., Rousseau M— Ibid., p. 21.
644. Foppl A,— Ztschr. Math. Phys., Bd. 48, S. 272.
645. Grassmann H.— Ibid., S. 329—376.
646. Grunwald A.— Ibid., S. 49—108.
647. Grunwald A.— Ibid., Bd. 49, S. 211—245.
648. Young F.—Arch. Math. Phys. (3), Bd. 6, S. 206.
649. Kolosov G.— Math. Ann., Bd. 56, S. 265.
650. Kolosov G.— Mess. Math. (2), vol. 32, p. 84.
651. Maggi G. A. Stereodinamics. Mailand.
1904 652. Мещерский И. В.— Изв. Петербург, политехи, ин-та, т. 1. (См.
также [995]).
653. Чаплыгин С. А.— Тр. Отд. физ. наук о-ва любителей
естествознания, т. 12, вып. 1, с. 1.
654. Dewar Л—Ann. Math. (2), vol. 5, p. 1, 67.
655. Everett J. D.— Phil. Mag. (6), vol. 8, p. 30.
656. Foppl A.— Phys. Ztschr., N 14, S. 416.
657. Greenhill A. G.—Verhandl. 3. intern, math. Kongr. Heidelberg,
S. 100.
658. Greenhill A. G.— Ann. math. (2), vol. 5, p. 1—20, 67—98.
659. Hamel G.— Ztschr. Math. Phys., Bd. 50, S. 1—57.
660. Hort W.— Ibid., S. 234.
661. Levy L — Encycl. sci. math. P., p. 201.
662. Lorenz H.— Phys. Ztschr., N 1, S. 27.
1905 663. Duhem P. Les origines de la Statique. P. T. 1.
664. Gebbia M.— Rend. circ. mat. Palermo, vol. 20, p. 265—303.
665. Grunwald A,— Ztschr. Math. Phys., Bd. 52, S. 229—275.
666. Husson E.— С R., t. 141, p. 100.
667. Husson E.— Ibid., p. 821.
668. Lecornu L.— Ibid., t. 140, p. 635.
669. Lecornu L.— Ibid., p. 847.
670. Painleve P.— Ibid., p. 702.
671. Painleve P.— С R., t. 141, p. 401, 546.
1906 672. Burgatti P.— Ann. mat. pura appl., vol. 12, p. 81—100.
673. Fischer O. Theoretische Grundlagen fur eine Mechanik der le-
bender Korper. Leipzig.
674. Husson E.— Ann. fac. sci. Univ. Toulouse (2), t. 8, p. 73—152.
675. Levi-Civita T — Acta math., t. 30, p. 305—327.
1907 676. Brun F.—Ark. mat., astr., fys., t. 4, N 5, p. 1.
677. De Sparre M.— Bull. Soc. math. France, t. 35.
1908 678. Gauss K. F. Werke, Gottingen. T. 3, 11.
679. Husson E.— Acta math., t. 31, p. 71.
680. Kowalewski TV.—Math. Ann., Bd. 65, S. 528.
681. Marcolongo R — Atti Roy. Accad. Lincei. Rend. CI. Sci. fis.,
natur., t. 17, p. 698.
256

682. Olsson О.— Arkiv mat., astr., fys., t. 4, N 7, p. 1—32.
683. Stdckel P.— Nachr. Konigl. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys.
KL, S. 272.
684. Stdckel P.— Math. Ann., Bd. 65, S. 538—555.
J909 685. Brun F.— Ark. mat, astr., fys., Bd. 6, N 9, S. 1—17; N 5, S. 1.
686. Hamel G.— Math. Ann., Bd. 66, S. 360—397.
687. Hamel G.— Ztschr. Math. Phys., Bd. 58, S. 195.
688. Klein F.— Ibid., S. 186.
689. Mises R.— Ibid., S. 191.
690. Pfeifer F.— Ibid., S. 273—325.
691. Stdckel P.— Math. Ann., Bd. 67, S. 399—432.
692. Stdckel P.— Jahrb. Dtsch. Math. Verein., Bd. 18, S. 120.
693. Stjeclov V. A.— Ann. fac. sci. Toulouse (3), vol. 1, p. 145—256.
694. Stabler E.— Ztschr. Math. Phys., Bd. 57, S. 260.
695. Воронец П. В.— Math. Ann., Bd. 67, S. 268—280.
1910 696. Аппелърот Г. Г.—Мат. сб., т. 27, вып. 3, с. 262—334; вып. 4,
с. 477—559.
697. Билимович А. Д.— Изв. Киев, ун-та, т. 50, № 10, с. 23—43.
698. Воронец П. В.— Там же, с, 101.
699. Горячев Д. Н.— Некоторые общие интегралы в задаче о
движении твердого тела. Варшава.
700. Burgatti P.—Rend. circ. mat. Palermo, vol. 29, p, 369.
701. Oseen C. W'.— Arkiv mat., astr., fys., Bd. 6, N 28, S. 1—32.
1911 702. Гpдина Я. И. Динамика живых организмов. Гжатеринослав.
703. Чаплыгин С. А.— Мат. сб., т. 28, вып. 2, с. 303. (См. также:
Исследования по динамике неголономных систем. М.; Л.:
ГИТТЛ, 1949, с. 28).
704. Appell P.— Rend. circ. mat. Palermo, vol. 32, p. 48.
705. Lazzarino O — Rend. Accad. Sci. fis. mat. Napoli (3), vol. 17,
p. 68—146.
706. Woronetz P.— Math. Ann., Bd. 70, S. 410—453.
707. Woronetz P.— Ibid., Bd. 71. S. 392.
1912 708. Билимович А. Д.^ Изв. Киев, ун-та, т. 52, № 9, с. 1—51.
709. Билимович А. Д.— В кн.: Сб. статей, посвящ. проф. Г. К.
Суслову. Киев, с. 23—74.
710. Appell P.— Rend. circ. mat. Palermo, vol. 33, p. 259.
711. Delassus £.— С R., t. 154, p. 964.
712. Hamel G. Elementare Mechanik. Leipzig. Bd. I, II.
713. Oseen C. W.— Ark. mat., astr., fys., Bd. 7, N 28, S. 1—36.
714. Silvestri C — Atti Roy. Accad. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat.,
natur. (5), vol. 21, N 2, p. 508.
715. Silvestri C— Ibid., p. 601.
1913 716. Delassus E. Lemons sur la dynamique des systemes materiels. P.
717. Rauber A. Uber die Losung der Differentialgleichungen, welche
die Bewegung des dreiachsigen Kreisels um einen festen Punkt
beschreiben. Munchen.
718. Silvestri C— Atti Roy. Accad. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat.,
natur. (5), vol. 22, N 1. p. 18.
1914 719. Билимович A. //.— Мат. сб., т. 29, вып. 2, с. 234,
720. Greenhill A. G. Report on gyroscopic theory. Advisory
committee for aeronautics. L.
1915 721. Билимович А. Д.—Изв. Киев, ун-та, т. 55, № 10, с. 45.
722. Горячев Д. Н — Изв. Варшав. ун-та. № 3, с. 1—11.
723. Штаерман И. Я.— Изв. Киев, ун-та, т. 55, № 1, с. 29—47.
1916 724. Горячев Д. Н. Изв. Варшав. ун-та, № 3, с. 1—15.
725. Almansi L.— Rend. Lincei (5а), vol. 25, p. 410.
1917 726. Воронец П. В.— Изв. Киев, ун-та, т. 57, № 11/12, с. 45.
1918 727. Мещерский И. В.— Изв. Петербург, политехи, ин-та.
728. Циолковский К. Э.— Природа и люди, № 2—11.
729. Duffing G. Erzwungene Schwingungen. Braunschweig.
1 7 Заказ № 1377
257

Год
730. Gray A. A treatise on gyrostatics and rotational motion. Theory
and applications. L.
WW 731. Goddard R. H. A method of reaching extreme altitudes. Wash.
(Рус. пер.: Г од дар д Р. Способ достижения больших высот.—
В кн.: Рыпин А. Н. Теория космического полета. М.: Изд-во
АН СССР, 1932, с. 105—123).
732. Grammel R.— Phys. Ztschr., N 20, S. 398.
733. Lazzarino О.— Atti Roy. Accad. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat,
natur. (5), vol. 28, N 2,' p. 9-14, 259-263, 329-333.
734. Lazzarino 0.— Ibid., vol. 28, N 1, p. 325—331, 341—346.
735. Lazzarino O.— Ibid., vol. 28, N 2, p. 422—426, 489—493.
736. Reveille /.— J. ecol. polyt., Cah. 20, p. 107.
W20 737. Grammel R. Der Kreisel, seine theorie und seine Anwendungen.
Braunschweig. Bd. I, II. (Рус. пер.: Граммель P. Гироскоп,
его теория и применения: В 2-х т. М.: ИЛ, 1952).
738. Grammel R.— Math. Ztschr., Bd. 6, S. 124—142.
739. Grammel Д.— Jahrb. Dtsch. Math. Verein., Bd. 29, S. 150—174.
1921 740. Воронец П. В.— Зап. мат. кабинета, т. 3, с. 176.
1922 741. Вознесенский И. Я. О регуляторах прямого действия. Л.: Тех-
нол. ин-т.
742. Greenhill A. G.— Phil. Mag., vol. 14, p. 179—193.
743. Schiller M.— Ztschr. angew. Math. Mech., Bd. 2, H. 4, S. 223—250.
744. Simonart F.— Ann. Soc. sci. Bruxelles (A), t. 42, 1922—1923,
p. 96.
745. Stoewa P — Jahrb. phil. Fak. Univ. Leipzig, 2. Halbjahr, S. 131.
1923 746. Andoyer H. Cours de mecanique celeste. P.
747. Levi-Civita Г., Amaldi U. Lezioni di meccanica razionale.
Bologna, 1923—1926. Vol. I, И. (Рус. пер.: Леви-Чивита Т., Амалъ-
ди У. Курс теоретической механики: В 2-х т. М.: ИЛ,
1951—1952).
748. Obert Н. Die Rakete an den Planetenraumen. Munchen.
749. Osgood W. F.~ Trans. Amer. Malh. Soc, vol. 23, p. 240—264.
750. Roveille J. Dynamique de solides. P.
751. Schuler M.— Phys. Ztschr., Bd. 24, N 16, S. 344.
752. Woude W.— Math. Ztschr., Bd. 16, S. 170.
1924 753. Цандер Ф. А.— Техника и жизнь, № 13.
754. Cherry Т. M.— Proc. Cambridge Phil. Soc, vol. 22, p. 287.
755. Drach J.— С R., t. 179, p. 735.
756. Mises R.— ZAMM, Bd. 4, S. 155—181, 193-213.
757. Tzenoff J.— Math. Ann., Bd. 92, S. 42.
1925 758. Гpдина Я. И. К вопросу о динамической устойчивости
центробежных регуляторов. Днепропетровск: Горн, ин-т, 1925—1927.
759. Appell P. Sur une forme generate des equations de la
dynamique.— Mem. sci. math., fasc. 1.
760. Hohmann W. Die erreichbarkeit des Himmels-Korper. Munich.
761. Waelsch E.— ZAMM, Bd. 5, S. 331.
762. Webster A. G. The dynamics of particles and of rigid, elastic
and fluid bodies. Leipzig. (Рус пер.: Вебстер А. Г. Механика
материальных точек, твердых, упругих и жидких тел. М.; Л.:
Гостехиздат, 1933).
1926 763. Верховский А. В.— Журн. прикл. физики, т. 3, вып. 3/4, с. 311.
764. Дубошин Г. Н.— Астрон. журн., т. 2, вып. 4, с. 36.
765. Klein F. Vorlesungen iiber entwicklung der Mathematik in 19.
Jahrhundert. В., Т. 1. (Рус. пер.: Ф. Клейн. Лекции о развитии
математики в 19 столетии. М.; Л.: ОНТИ, 1937).
766. Tallqvist П.— Acta Soc. sci. Fenn., bd. 50, N 14, s. 1—27.
1927 767. Дубошин Г. H — Астроном, журн., т. 4, вып. 2, с. 41.
768. Циолковский К. Э. Космическая ракета. Калуга.
769. Gerard L.— Nouv. ann. math. (6), t. 2, p. 147.
258

770. Hamel G. Die Axiome der Mechanik.— In: Handbuch der Phy-
sik. В., 1927, Bd. 5, S. 1—42.
771. Schuler M. Kreisellehre.— In: Miiller, Pouillet. Lehrbiicli der
Physik. Braunschweig. Bd. 1.
772. Whittakcr E. A treatise on the analytical dynamics of particles
and rigid bodies. Cambridge. (Рус. пер.: Уиттекер E. Т.
Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ, 1937).
773. Winkclmann М., Grammel R. Kinetik der starren Korper.— In:
Handbuch der Physik. В., 1927, Bd. 5, S. 373-483.
1928 Л А. Дубошин Г. #.— Астрой, журн., т. 5, вып. 2/3, с. 35.
775. Copeland А. Я.—Trans. Amer. Math. Soc, vol. 30, p. 737—764,
776. Horak Z,— С R, t. 187, p. 1273.
777. Lcvi-Civita Т.— Atti Roy. Accad. naz. Lincei. Rend. CI. sci. fis.,
mat., natur. (6), vol. 7, p. 329.
778. Lienard A,— Rev. gen. elec, vol. 23, p. 901, 946.
779. Prandtl L.— ZAMM, N 8, p. 85.
1929 780. Кондратюк Ю. В. Завоевание межпланетных пространств.
Новосибирск.
781. Крылов А. Н. О вращательном движении продолговатого
снаряда во время полета. Л.
782. Панин Н. Фигурное катание на коньках. М.
783. Циолковский К. Э. Космические ракетные поезда. Калуга.
784. Andronoff А.— С. R., t. 189, р. 559.
785. Horak Z.— Ibid., t. 188, p. 226.
786. Obcrt H. Wege zur Raumschiffahrt. Miinchen. (Рус. пер.:
Оберт Г. Пути осуществления космических полетов. М.: Обо-
ронгиз, 1948).
787. Quatela F — Giorn. mat. Battaglini, t. 67, p. 14.
788. Schaefer С Einfuhrung in die theoretische Physik. Bd. 1.
Mechanik materieller Punkte, Mechanik starrer Korper. Berlin;
Leipzig. (Рус. пер.: Шефер К. Теоретическая физика. М.; Л.:
ГТТИ, 1934. Т. 1. Ч. 1. Общая механика, механика твердого
тела).
789. Tomplinson G. A— Phil. Mag., vol. 43, p. 905.
1930 790. Андронов А. А.— ДАН СССР, т. 190, с. 189.
791. Андронов А. А., Витт А. А.— Журн. теорет. физики, т. 7,
вып. 4, с. 45.
792. Николаи Е. Л. Регулирование машин. Л.: Политехи, ин-т.
793. Степанов В. В.— Астрон. журн., т. 7, вып. 1, с. 59.
794. Хайкин С. Э.— Журн. теорет. физики, т. 7, вып. 6, с. 91.
795. Циолковский К. Э. Реактивный аэроплан. Калуга.
796. Andronow A.— Arch. El., p. 102.
797. Andronow А — С. R., t. 190, p. 256.
798. Esnault-Pelterie R. L'Astronautique. P. (Рус. пер.: Ясно-Пель-
три Р. Космические полеты. М.: Оборонгиз, 1950).
799. Levi-Civita Г.—Atti Roy. Accad. naz. Lincei. Rend. CI. sci,
fis., mat., natur. (6). vol. 11, p. 621.
800. London F — Ztschr. Phys., Bd. 63, S. 245.
801. London F.— Ibid.. Bd. 60. S. 491.
802. Shaw P., Leauy E.— Acta math., vol. 10, p. 809.
1931 803. Андронов А. А.— В кц.: Тр. Всесоюз. конф. по колебаниям,
т. 1, с. 122.
804. Витт А. А., Хайкин С. Э.— Журн. теорет. физики, т. 1, вып. 5,
с. 71.
805. Bush V.— J. Franclin Inst., N 212, p. 43.
806. Field P.— Acta math., vol. 56, p. 355.
807. Horak Z.— J. ecol. polyt. (2), Cah. 28, p. 15—64.
808. Manarini M.— Atti Roy. Accad. naz. Lincei. Rend. CI. sci. fis.,
mat., natur. (6). vol. 14, p. 572.
809. Mandelschtam L.. Papaleksi N.— Ztschr. Phvs., Bd. 73, S. 223.
259
17*

Год
1932 810. Крылов А. //., Прутков Ю. А. Общая теория гироскопов и
некоторых технических их применений. Л.: Изд-во AIL СССР.
811. Мандельштам Л. //., Папалекси Н. Д.— Жури, теорет.'физики,
т. 2 с. 775.
812. Муштари X. М.— Мат. сб., т. 39, вып. 1/2, с. 105—120.
813. Розе Н. В. Динамика твердого тела. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та.
814. Цандер Ф. А. Проблема полета при помощи реактивных
аппаратов. М.
815. Corliss J. J — Acta math., vol. 59, p. 423—441.
816. Ferry E. S. Applied gyrodynamics. N. Y.
817. Gebelein H.— Ann. Phys. (5), Bd. 12. S. 889—92G.
818. Kriloff W., Bogoluboff W.— C. R., t. 194, p. 1119.
1933 819. Понтрягин Л. C.r Андронов A. A., Butt А. А.— Жури, экспе-
рим. и теорет. физики, т. 3, с. 24.
820. Розе Н. В. Теоретическая механика. М.: ГИТИ. Т. 1.
821. Розе //. В. Теоретическая механика. М.: ГИТИ. Т. II.
822. Чаплыгин С. А. Поли. собр. соч. Л., т. 1, с. 43—132.
823. Чудаков Е. Л.—Тр. Воен. акад. мех. и мотор. М., с. 182.
824. Caratheodory С— ZAMM, Bd. 13, S. 71.
825. Cor P.— l. ёсоп. polyt. (2), Call. 31, p. 41.
826. Mitral А.— С. R.. t. 197, p. 1582.
1934 827. Булгаков Б. В.— Мат. сб., т. 41, с. 73—91.
828. Галилей Г.— Сочинения. М.; Л.: Гостехиздат, т. 1. Беседы
и математические доказательства.
8291 Горелик Г. С— Журн. теорет. физики, т. 4, вып. 10, с. 105.
830. Дерягин Б. В.— Журн. физ. хим., вып. 9, № 5, с. 1165.
831. Зейлигер Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия. М.:
ОНТИ.
832. Королев С. П. Ракетный полет в стратосфере. М.: Госвоен-
из да т.
833. Лойцянский Л. Г., Лурье А. //. Курс теоретической механики.
М.; Л.: ГТТИ. Т. III.'
834. Мандельштам Л. //., Папалекси //. Д.— Журн. теорет.
физики, т. 4, с. 117.
835. Понтрягин Л. С.— Там же. с. 883.
836. Седов Л. //.— Тр. ЦАГИ, вып. 187.
837. Циолковский К. Э. Избранные труды. Л. Кн. 1, 2.
838. Corliss J. J. On the unsymmetric top.— Acta math., t. 62, p. 301.
839. Fabbri /?.— Atti Roy. Accad. Lincei. Rend. CI. sci. lis., mat.,
natur., vol. 19, p. 407.
840. Fabbri R.— Ibid., p. 495.
841. Fabbri R.— Ibid., p. 872.
842. Field P.— Acta math., t. 62, p. 313.
843. Крылов H. M., Боголюбов H. H. Про деят формальш розкла-
ди ыелшшыо1 мехашки. КиТв: Вид-во АН УРСР.
844. Крылов Н. М., Боголюбов Н. //.— Зап. каф. мат. ф1зики АН
УРСР, т. 4.
845. Sbrana F.— Boll. Unione mat. Ital., vol. 13, p. 269.
1935 846. Ветчинкин В. П.— В кн.: Реактивное движение, № 1, с. 37.
847. Горелик Г. С—Журн. теорет. физики, т. 5, вып. 2/3.
848. Гохман Э. X.—Тр. Одес. ин-та инж. водн. трансп., вып.-1,
с. 95—126.
849. Кобзарев Ю. Б.— Журн. теорет. физики, т. 5, вып. 2/3, с. 10;
вып. 5, с. 104.
850. Кондюдарь В. Г.—Астрой, журн.. т. 13. 1936, с. 563—588.
(См. также: Тр. Астрой, ин-та Моск. ун-та, т. 9, вып. 2, 1939.
с. 307—368; 1952. т. 21, с. 115—134, 135—158; 1954, т. 24.
с. 155—198).
851. Рытое С. М — Журн. теорет. физики, т. 5, вып. 1, с. 201.
852. Тихонравов М. К.— В кн.: Реактивное движение, № 1, с. 67.
260

853. Agostinelli С—Acta Pontif. Accad. sci. Novi Lincei, vol. 88,
p. 64-84.
854. Agostinelli C— Atti Torino, p. 254.
855. Билимович А. Д.— Publ. math. Univ. Belgrade, t. 5, p. 169.
856. Frank Ph. Die Deffemtial- und Itegralgleichnungen der Me-
chanik und Physik. Braunschweig. Bd. II. (Рус пер.: Франк Ф.у
Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения
математической физики. М.: ОНТИ, 1937, т. II).
857. Macmillan W. Theoretical mechanics. N. Y.; L. Т. II. Dynamics
of rigid bodies. (Рус. пер.: Мак-Миллан В, Д. Динамика
твердого тела. М.: ИЛ, 1951).
858. Mendes М.— Ann. fac. sci. Univ. Toulouse, t. 27, p. 1—169.
1936 859. Аппелъ П. Фигуры равновесия вращающейся жидкости. М.:
ОНТИ.
860. Кондударъ В. Т.— Астрон. журн., т. 13, с. 563—588.
861. Логалли М. Векторное исчисление. М.: ОНТИ.
862. Тихонравов М. К.— В кн.: Реактивное движение, № 2, с. 13,
109.
863. Bilimovitc A— Publ. math. Univ. Belgrade, t, 5, p. 169.
1937 864. Бернулли И. Избранные сочинения по механике. М.; Л.:
ОНТИ, с. 261.
865. Грдина Я. II.— Вестн. инж. и техн., № 1/2, с. 108.
866. Крылов Н. М., Боголюбов И. Я.—Зап. каф. мат. физики, АН
УССР, т. 3, с. 55.
867. Крылов Н. М., Боголюбов II. Н. Введение в нелинейную
механику. Киев: Изд-во АН УССР.
868. Мигулин В. В.— Журн. теорет. физики, т. 7, вып. 6, с. 81.
869. Станкевич И. В.— Тр. Моск. станкоинструмент. ин-та, т. 1т
с. 135—152.
870. Чудаков Е. А.— Изв. АН СССР. ОТН, № 6, с. 70.
871. Angeli Е — Atti Roy. Accad. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat.,
natur. (6), vol. 25. p. 699.
872. Bilimovitc A.— Publ. math. Univ. Belgrade, 1937—1938, t. 6/7,
p. 267.
1938 873. Аппельрот Г. Г.—Изв. АН СССР. Сер. физ., № 3, с. 383—411.
874. Булгаков Б. В.— Учен. зап. МГУ, т. 24, с. 70.
875. Вагнер В. В.— Учен. зап. Сарат. ун-та. Сер. физ.-мат., с. 34—59.
876. Ишлипский А. Ю.— Прикл. математика и механика. Новая
сер., т. 2, вып. 2, с. 490.
877. Кислицын С. Г.— Учен. зап. Ленингр. пед. ин-та. т. 10?
с. 269-300.
878. Колмогоров А. Я.—УМН, т. 5. с. 5.
879. Светлов И. В.— Тр. Моск. станкоинструмент. ин-та, т. 2,
с. 17-42.
880. Станкевич И. В.— Тр. Моск. станкоинструмент. ин-та, т. 2.
881. Lazzarino О — Ann. scuola norm. sup. Pisa, sci. fis., mat. (2),
vol. 7, p. 91—107. 109-136.
882. Mettler E.— Math. Zeitschr., Bd. 43, S. 59—100.
1939 883. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. М.: ОНТИ.
884. Булгаков Б. В. Прикладная теория гироскопов. М.: ГИТТЛ.
885. Геронимус Я. Л.— ПММ, т. 2, вып. 4, с. 494.
886. Добронравов В. В.— Тр. Моск. гидромет. ин-та, вып. 1,
с. 273.
887. Жуковский II. Е. Динамика твердого тела.— Поли. собр. соч..
вып. 6. Лекции, с. 207—291.
888. Клейн Ф. Высшая геометрия. М.: Гостехиздат.
889. Кондударъ В. Г.—Тр. ГАИШ, т. 9, вып. 2, с. 307—369.
890. Линейкин П. С. Тр. Сарат. автодор. ин-та, вып. 5, с. 3—22.
891. Николаи Е. Л.—ПММ, т. 2, вып. 4, с, 3—34. (См. также:
Труды по механике. М-.: Гостехиздат, 1955, с. 455—496).
261

год
892. Станкевич II. В.— Тр. Моск. стапкоинструмепт. ии-та, т. 5,
с. 5—26. у
893. Bowden F. P., Leben L.— Ргос. Roy. Soc. (A), vol. 169, р/371.
894. Simoni F.— Boll, unione mat. Ital. (2), t. 1, p. 122.
1940 895. Аппелърот Г. Г.—В кн.: Движение твердого тела вокруг
неподвижной точки* М.: Изд-во АН СССР, с. 61—156.
896. Ковалевская С. В.— Там же, с. 11—49.
897. Ковалевская С. В.— Там же, с. 50—60.
898. Куровский Ф. А.— Сб. науч. студ. работ МГУ. Сер. мат.,
астрон., мех., вып. 18, с. 127.
899. Мерцало в Н. И.—В кн.: Движение твердого тела вокруг
неподвижной точки. М.: Изд-во АН СССР, с. 3—7.
900. Полубаринова-Кочина II. Я.— Там же, с. 157—186.
901. Станкевич И. В.— Тр. Моск. станкоинструмент. ин-та, т. 6,
с. 5-56.
902. Цейтлин Е. А. Очерки истории текстильной техники.
М.; Л.
903. Шор Я. Б., Диметберг Ф. М.— ПММ, т. 4, вып. 5/6, с. 105.
904. Block F., Sihorrt A.— Phys. Rev., vol. 57, p. 522.
905. Glitscher K.— Wiss. Ver. Siemens-Werken, Bd. 19, II. 2.
1941 906. Вагнер В. В.— Тр. семинара по вектор, и тензор, анализу,
вып. 5, с. 301—327.
907. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории
дифференциальных уравнений. М.: Техтеориздат.
908. Николаи Е. Л.— Тр. Ленингр. политехи, ин-та. Разд. физ.-
мат. наук, № 3, с. 106. (См. также: Труды по механике. М.:
ГИТТЛ, 1955, с. 497).
909. Столетов А. Г. Собр. соч. М. Т. П.
910. Ernst II., Merchant М. Chip formation and high quality
machines surfaces. N. Y.
911. Eschler H.— Ing. Arch., Bd. 12, N 1, S. 47.
912. Levy P.—Bull. sci. math., t. 65, p. 9—20.
1942 913. Булгаков Б. В.— ПММ, т. 6, вып. 4, с. 225.
914. Булгаков Б. В.— Там же, вып. 6, с. 415.
915. Johnsen L. Dynamique generale des systemes non-holonomes.
Oslo.
916. Simony F.— Ann. scuola norm. sup. Pisa, Sci. fis., mat. (2),
vol. 11, p. 197—210.
1943 917. Крылов A. II. Мысли и материалы о преподавании
механики в высших технических учебных заведениях СССР. М.;
Л.: Изд-во АН СССР.
918. Николаи Е. Л.— ДАН СССР, т. 38, № 2/3, с. 76.
919. Николаи Е. Л. Гироскоп в кардановом подвесе. М.; Л.: Гос-
техиздат.
920. Четаев Н. Г.— ПММ, т. 7, вып. 2, с. 81.
921. Adirouitc Е., Blozhinzev D.— Phys. USSR, vol. 7, N 1, p. 29.
922. Bowden F. P., Moore A. J. W., Tabor D. I.— Appl. Phys., vol. 11,
p. 80.
923. Rawllngs A. L. The theory of the gyroscopic compass and its
deviations. N. Y.
1944 924. Ишлинский А. Ю., Крагельский И. В.— Журн. теорет.
физики, т. 14, вып. 5, с. 28.
925. Ишлинский А. Ю., Крагельский И. В.— ПММ, т. 8, вып. 4/5,
о. 276.
926. Крагельский И. В.— В кн.: Исследования в области
машиноведения. М.: Изд-во АН СССР, с. 130.
927. Лапин А. С— Учен. зап. Ленингр. ун-та, вып. 13, с. 68.
928. Николаи Е. Л. Теоретическая механика. Л.: ОНТИ. Т. 3.
929. Sommerfeld A. Mechanik. В. (Рус. пер.: Зоммерфельд А.
Механика. М.: ИЛ, 1947).
262

1945 930. Келдыш М. В.— Тр. ЦАГИ, № 564, с. 1—33.
931. Bottema О.— Kgl. Nederl. Akad. Wet., Proc, vol. 48, p. 316.
932. Giarratana Л—J. Phys., Rev., vol. G8, N 5/6, p. 130.
933. Hill E. L.— Amer. J. Phys., vol. 13, p. 137.
934. Pignedoli A.— Atti Soc. nat. mat. Modena (6), t. 76, p. 115—143.
1946 935. Андронов А. А., Баутин H. И., Горелик Г. С— АиТ, т. 7, № 1.
936. Ишлинский А. Ю.— ДАН СССР, т. 53, № 7, с. 599.
937. Космодемьянский А. А.— Тр. ВВИА им. Н. Е. Жуковского,
вып. 184, с. 40.
938. Космодемьянский А. А.— ДАН СССР, т. 53, № 7, с. 812.
939. Крагельский И. В. Влияние шероховатости на трение. М.:
Изд-во АН СССР.
940. Лузин Н. Я., Кузнецов П. И.— ДАН СССР, т. 54, № 4/5, с. 248.
941. Мерцало в Н. И.— Изв. АН СССР. ОТН, № 5, с. 697.
942. Некрасов А. И. Курс теоретической механики. М.; Л.: Гос-
техиздат. Т. II.
943. Николаи Е. Л. Гироскоп и некоторые его технические
применения. М.; Л.: Гостехиздат.
944. Николаи Е. Л.— Природа, № 8, с. 84.
945. Охоцимский Д. Е — ПММ, т. 10, вып. 2, с. 308.
946. Ройтенберг Я. Н— Там же, вып. 1, с. 101—124.
947. Цыпкин Я. 3 — АиТ, т. 7, вып. 2/3, с. 46.
948. Четаев Н. Г.—Устойчивость движения. М.; Л.: Гостехиздат.
(См. также: Четаев Н. Г. Устойчивость движения: Работы
по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962,
с. 5—152).
949. Четаев Н. Г.— ПММ, т. 10, вып. 1, с. 135.
950. Block F.~ Phys. Rev., vol. 70, p. 460.
951. Block F.— Ibid., p. 474.
952. Davidson M. The gyroscope and its application. L.
953. Kohn W.-~ Trans. Amer. Math. Soc, vol. 59, p. 107—131.
954. Косу J. M. J., Uytenbogaart J. W. H. Ballistics of the future,
with special reference to the dynamical and physical theory
of the rocket weapons. N. Y.; L.
955. Signorini A.— Atti Accad. Lincei. mem., CI. sci. fis., mat.,
1QA„ natur. (8), vol. 1, sect. 1, N 1, p. 1—41.
W4/ 956. Андронов А. А., Майер А. Л— АиТ, т. 8, № 5.
957. Гантмахер Ф. Р., Левин Л. М.— ПММ, т. 11, вып. 3, с. 301.
958. Диментберг Ф. М — Там же, вып. 6, с. 593.
959. Конторова Т. А.— УФН, т. 3, № 18, с. 346.
960. Космодемьянский А. А. Механика тел переменной массы.
М.: ВВИА.
961. Крагельский И. В., Дерягин Б. В.— В кн.: Трение и износ в
машинах. М.: Изд-во АН СССР, с. 159.
962. Кузнецов В. Д. Физика твердого тела. Томск: Красное зна
мя. Т. V.
963. Мандельштам Л. И. Полн. собр. трудов. М.: Изд-во АН СССР.
Т. П.
964. Ройтенберг Я. Я.— ПММ, т. И, вып. 2, с. 271.
965. Чудаков Б. А. Качение автомобильного колеса. М.:
Гостехиздат.
966. Щедрое В. С—В кн.: Тр. 2-й Всесоюз. конф. по трению и
износу в машинах. М.: Изд-во АН СССР, т. 1, с. 125.
967. Arrighi G.— Atti Accad. naz. Lincei. mem., CI. sci. fis., mat,
natur. (8), vol. 1, sez. 1, p. 195.
968. Grioli G — Ann. mat. pura appl. (4), vol. 26, p. 271.
969. Grioli G.— Univ. Roma 1st. naz. Alta mat., rend. mat. с appl.
(5), vol. 6, p. 439-463.
970. Hamel G.— Ztschr. angew. Math. Mech., Bd. 5/6, S. 159.
971. Minorsky N — Ann Arbor (Mich.), vol. 16, p. 18.
263

Год
972. Stangc К.— Ing. Arch., Bd. 16, S. 121—134.
1948 973. Галилей Гк Диалог о двух главнейших системах мира/ М.;
ТТ * Гострх 1тчпят
974. Жуковский Н. Е. Собр. соч. М.; Л.: ОНТИ. Т. 1, с. 151.
975. Жуковский N. К. Собр. соч. М.; Л.: Гостехиздат. Т. 1, с. 46.
976. Жуковский II. Е. Собр. соч. М.; Л.: ОГИЗ. Т. 1, с. 85.
977. Ковалевская С. В. Научные труды.. М.: Изд-во АН СССР.
978. Кулебакин В. С— ДАН СССР, т. 50, № 2, с. 120.
979. Лурье А. И.— ПММ, т. 12, вып. 5, с. 781.
980. Метелицын И. //.— Тр. Воен. акад. бронетанковых и меха-
низир. войск Сов. Армии, № 9(60), с. 45—98.
981. Мощинский В.— Тр. МИМЭСХ. Минск: Сельхозгиз, с. 162.
982. Теодорчук К. Ф. Автоколебательные системы. М.:
Гостехиздат.
983. Grioli G — Atti Accad. Lincei. Rend. cl. sci. fis., mat., natur. (8),
vol. 4, p. 420.
984. Grioli G — Rend. mat. e d. sule sue applicazioni, fasc. 3/4,
p. 1-26.
985. Manarini Д/.— Boll, unione mat Ital. (3), vol. 3, p. 214.
986. Nadolschi V. L — Ann. sci. Univ. Jassy. Sec. 1, 1944—1947,
vol. 30, p. 43-74.
987. Peretti G — Atti sem. mat fis. Univ. Modena, vol. 2, p. 75.
988. Stange K.— Ing. Arch., Bd. 16, S. 343—356»
989. Synge J. L.— Bull. Amer. Math. Soc, vol. 54, p. 111.
1949 990. Андронов А. А., Вознесенский II. II.— В кн.: Максвелл Д. К.,
Вышнеградский И. А., Стодола А. Теория автоматического
регулирования. Линеаризованные задачи. М.: Изд-во АН
СССР, с. 44.
991. Вышнеградский И. А.— Там же, с. 87.
992. Гуковский М. А. Механика Леонардо да Винчи. М.: Изд-во
АН СССР.
993. Добронравов В. В.— ДАН СССР, т. 65, № 2, с. 143.
994. Лазарев В. /7., Дерягин Б. В,—В кн.: Тр. II Всесоюз. конф.
по трению и износу в машинах. М.: Изд-во АН СССР, т. 3.
995. Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной
массы. М.; Л.: Гостехиздат.
996. Моисеев Н. Д. Очерки развития теории устойчивости. М.;
Л.: Техтеориздат.
997. Полубаринова-Кочина П. Я.—Изв. АН СССР. ОТН, № 5,
с. 626.
998. Сретенский А. Н.— В кн.: Чаплыгин С. А. Исследования по
динамике неголономных систем. М.; Л.: ГИТТЛ, с. 100.
999. Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. М.:
Гостехиздат.
1000. Agostinelli С— Ann. mat. pura appl. (4), vol. 30, p. 211—224.
1001. Agostinelli C— 1st. Veneto sci. lett. Arti. pt II, Cl. sci. mat,,
natur., vol. 107, p. 193.
1002. Agostinelli C— Atti sem. mat. fis. univ. Modena, vol. 3, p. 248.
1003. Bottema O.— Indagations Math., Bd. 11, N 4, p. 848.
1004. Bottema O.— Kgl. Nederl. Akad. Amsterdam. Proc, bd. 52,
N 8, S. 848.
1005. Fox C— Proc. Cambridge Phil. Soc, vol. 45, p. 311.
1006. Grioli G.— Ann. scuola nor. sup. Pisa (3), t 1, p. 43—74.
1007. Hamel G. Theoretische Mechanik. B.
1008. Manacorda T.— Atti Accad. naz. Lincei. Rend., Cl. sci. fis.,
mat, natur. (8), vol. 6, p. 711.
1009. Niber M.— Arch. mech. stosow. Gdansk, p. 231.
1950 1010. Бриткин А. С, Бидонов С. С. Выдающийся машиностроитель
XVIII века А. К. Нартов. М.: Гостехиздат.
1011. Голубев В. В.— ПММ,» т. 14, вып. 3, с, 236.
264

1012. Еругин Н. П.— Там же, вып. 5/6, с. 811.
1013. Жуковский Н. Е. Собр. ^оч. М.: Гостехиздат, т. VII, с. 218.
1014. Жуковский Н. Е.— Там же, с. 419.
1015. Жуковский II. Е. К динамике автомобиля.— Собр. соч. М.:
Гостехиздат, т. VII.
1016. Коой //., Ютеибогарт И. Динамика ракет. М.: ИЛ.
1017. Пошляков В. П.— Инж. сб., т. 6, с. 185.
1018. Крагелъский И. В.— В кн.: Трение и износ в машинах. М.:
Изд-во АН СССР, с. 139.
1019. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения
(1892). М.; Л.: Гостехиздат.
1020. Moschinski V.— Przeglad mech., N 1, p. 82.
1021. Павлов И. М. Теория прокатки. Харьков: Металлургиздаг.
1022. Полубаринова-Кочина П. Я.— УМН, т. 5, вып. 4(38), с. 3.
(См. также: ПММ, т. 14, вып. 3, с. 229).
1023. Рессер Р., Ньютон Р., Гросс Г. Математическая теория
полета неуправляемых ракет. М.: ИЛ.
1024. Сретенский Л. II.— В кн.: Чаплыгин С. А. Собр. соч. М.; Л.:
Гостехиздат, т. 3, с. 366.
1025. Сухов С. А.— В кн.: Трение и износ в машинах. М.: Изд-во
АН СССР, с. 184.
1026. Чаплыгин С. А. Собр. соч. М.; Л.: Гостехиздат, т. 3, с. 260.
1027. Чаплыгин С. А— Там же, с. 288.
1028. Чаплыгин С. А.— Там же, с. 248.
1029. Чаплыгин С. А.— Там же, с. 283.
1030. Grammel R.— Ing. Arch., Bd. 18, S. 53.
1031. Grioli G — Rend. sem. Univ. Padova, vol. 19, p. 237.
1032. Griseri В.— Rend. sem. mat. Torino, vol. 9, p. 225—243.
1033. Holdstein G. Classical mechanics. Cambridge. (Рус. пер.:
Голдстейн Г. Классическая механика. М.: ГИТТЛ, 1957).
1034. Mandcorda Т.— Riv. mat. Univ. Parma, vol. 1, p. 383.
1035. Manacorda T — Ric. sci., vol. 20, p. 487.
1036. Nadile A.— Mat. Catania, vol. 5, p. 68—82.
1037. Zeuli Т.— Univ. e polit. Torino, Rend. sem. mat., vol. 9,
p. 263-295.
1951 1038. Гюйгенс X. Маятниковые часы.— В кн.: Гюйгенс X. Три мс-
муара по механике. М.: Изд-во АН СССР, с. 9—210.
1039. Добронравов В. В.— Учен. зап. МГУ, т. 154. Механика,
вып. 4, с. 55.
1040. Ковалевская С. В. Воспоминания и письма. М.; Л.: Изд-во
АН СССР.
1041. Космодемьянский А. А.— Учен. зап. МГУ, т. 5. Механика,
вып. 154, с. 140.
1042. Космодемьянский А. А.— Там же, т. 3, вып. 152, с. 13—43.
1043. Лузин Н. Н., Кузнецов П. П.— ДАН СССР, т. 80, № 3, с. 305.
1044. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории
автоматического регулирования. М.; Л.: Гостехиздат.
1045. Метелицын Й. П.— В кн.: Мак-Миллан В. Динамика
твердого тела. М.: ИЛ.
1046. Оку не в Б. II. Свободное движение гироскопа. М.:
Гостехиздат.
1047. Полубаринова-Кочина П. Я.— В кн.: Памяти С. В.
Ковалевской. М.: Изд-во АН СССР, с. 5.
1048. Репкин Р. А. Математическая теория движения
неуправляемых ракет. М.: ИЛ.
1049. Циолковский К. Э. Собр. соч.: В 2-х т. М., 1951—1954.
1050. Bottema О., Beth И. J. Е.— Kgl. Nederl. Akad. Wet., Ргос. (A),
t. 54, p. 106.
1051. Bottema O., Beth H. J. E,- Ibid., p. 123.
1052. Bowden F. P., Joung J. E.— Proc. Roy. Soc. (A), vol. 208, p. 444.
265

год
1053. Hill Е. L.— Rev. Mod. Phys., N 23, p. 253.
1054 Hill E. L. Rew. Mod. Phis., N 23, p. 253. /
1055. Macmillan W. D. Dynamics of rigid bodies. N. Y.; L. (1936).
(Рус. пер.: Мак-Миллан В. Д. Динамика твердого тела.
М.: ИЛ).
1056. Stoppelli F.— Giorn. mat. Battaglini (4), vol. 4 (80), p. 14—38.
1952 Ю57. Геропимус Я. Л. Очерки о работах корифеев русской
механики. М.: ГИТТЛ.
1058. Ишлинский А. Ю. Механика специальных гироскопических
устройств. Киев: Изд-во АН УССР.
1059. Кондударъ В. Г.—Тр. Астрон. ии-та им. Штернберга, т. 21,
с. 115—158.
1060. Кузьмин П. А.— ПММ, т. 16, вып. 2, с. 242.
1061. Летов А. М.— Инж. сб., т. 13, с. 123.
1062. Меркин Д. В.— Вестн. Ленингр. ун-та, № 9, с. 80.
1063. Метелицын И. И.— ДАН СССР, т. 86, № 1, с. 31.
1064. Метелицын И. И.— Укр. мат. журн., т. 4, № 3, с. 323.
1065. Moscinskij V.— Ptz. mech., N 2, S. 18.
1066. Мощинский В.—Тр. МИМЭСХ, Минск, с. 112.
1067. Тихонов А. Н.— Мат. сб., т. 31(73), вып. 3, с. 64.
1068. Фридлендер Г. О.—Инж. сб., т. 12, с. 229.
1069. Bodewadt U. Г.— Math. Ztschr., Bd. 55, S. 310.
1070. Braams С. M.— Physica, vol. 18, p. 503.
1071. Chrapan J.— Math.-fys. sborn. Slovensk. Akad. vied uneni,
vol. 2, p. 23—51.
1072. Fokker A. D.— Physica, vol. 18, p. 305.
1073. Grioli G — Rend. sem. mat. Univ. Padova, vol. 21, p. 256—277.
1074. Hugenholtz N. M — Physica, vol. 18, p. 515.
1075. Signorini A.— Rev. mat. Univ. Parma, t. 3, p. 307.
1076. Stoppelli F — Rend. sem. mat. Univ. Padova, vol. 21, p. 25—43.
1077. Stuckler В.— Ing. Arch., Bd. 20, H. 5, S. 337—356.
1078. Synge J. L.— Phil. Mag., t. 43, p. 724.
1953 Ю79. Аржаных И. С, Зелътин А. Я.—Докл. АН УзССР, № 5, с. 3.
1080. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений
движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки.
М.: Гостехиздат.
1081. Ефимов М. И.— ПММ, т. 17, вып. 6, с. 748.
1082. Колмогоров А. Н — ДАН СССР, т. 93, № 5, с. 763.
1083. Котляков В. Н.— ПММ, т. 17, вып. 1, с. 137.
1084. Кузьмин П. А.— Тр. Казан, авиац. ин-та, т. 27, с. 91—121.
1085. Кухтенко А. И —В кн.: Вопросы автоматизации в угольной
промышленности. М.: Углетехиздат, с. 129—179.
1086. Линник Ю. R, Новоселов В. С — ПММ, т. 17, вып. 2, с. 361.
1087. Метелицын И. И.— Укр. мат. журн., т. 5, № 1, с. 80.
1088. Мясников П. В.— Вестн. МГУ. Сер. физ.-мат. наук, № 12,
с. 59.
1089. Сломянский Г. А.— ПММ, т. 17, вып. 3, с. 411.
1090. Сретенский Л. Н.— Изв. АН СССР. ОТН, № 1, с. 109.
1091. Alfieri L.— Univ. Roma 1st. naz. Alta mat. Rend. mat. e appl.
(5), 1953—1954, vol. 12, p. 367.
1092. Brannbek W.— ZAMM, Bd. 33, S. 174-188.
1093. Bushaw D. Report 469. Hoboken. N. Y.: Stevens Inst. Technol.
1094. Capriz G — Univ. Roma 1st. naz. Alta mat. Rend. mat. e
appl. (5), vol. 12, p. 229.
1095. Colombo G.— Rend. sem. mat. univ. Padova, vol. 22, p. 305.
1096. Grammel В.— Ing. Arch., Bd. 21, S. 149.
1097. Murden W.— Texas J. Sci., vol. 5, N 2, p. 192.
1098. Poritsky M.— J. Appl. Mech., vol. 75, N 1, p. 1.
1099. Schuh F.— Nederl. Akad. Wet. Proc. (A), vol. 56. Indagationes
math., vol. 15, p. 423.
266

1100. Weidenhammer /'.— Z-ЛММ, Bd. 08, S. 480.
1101. Woolard E. W — U. S. Naval Observ. Astr. Pap., vol. 15, pt 1.
1102. Ziegler H.— ZAMP, vol. 4, p. 89—121.
1954 1103. Аржаных И. С— ДАН СССР, т. 97, № 3, с. 403.
1104. Банковская Н. В.— Укр. мат. журн., т. 6, № 4, с. 418.
1105. Билимович А. Д. Динамика чврстог тела: Пособна издана
Српске Акад. наука. Београд. Кн. 248. Мат. ин-т, кн. 2.
1106. Булгаков Б. В. Колебания. М.: Гостехиздат.
1107. Кондударь В. Т.— Тр. Астрон. ин-та им. Штернберга, т. 24,
с 155 198
1108. Кухтепко А. И.— Докл. АН УССР, № 2, с. 148; № 3, с. 230;
№ 4, с. 300.
1109. Линник Ю. В., Хусу А. П.— Инж. сб., т. 20, с. 159.
1110. Мясников П. В.—Вести. МГУ. Сер. физ.-мат. и естеств. наук,
№ 3, с. 47.
1111. Мясников П. В.— Учен. зап. МГУ, вып. 172. Механика,
с. 143—162.
1112. Румянцев В. В.— ПММ, т. 18, вып. 3, с. 457.
1113. Соколов Т. Н., Дружинский И. А. Автоматическое
управление процессами копирования. М.; JI.: Машгиз.
1114. Четаев Н. Г.—ПММ, т. 18, вып. 1, с. 123.
1115. Шульгин М. Ф.— Там же, вып. 6, с. 749.
1116. Cicala P.—Atti Torino, CI. sci. fis., natur., t. 89, 1954—1955,
p. 350.
1117. Grammel R.— Ing. Arch., Bd. 22, S. 73—97.
1118. Grioli G.— Ann. Univ. Ferrara. Sez. VII (N. S.), vol. 3, p. 31.
1119. Green A. P.— Mech. Phys. Solids, vol. 197, N 2, p. 197.
1120. Machlin E. S., Jankee W. R.— L Appl. Phys., vol. 25, N 5,
p. 576.
1121. O'Brien S., Synge J. L.— Proc. Roy. Irish. Acad. (A), vol. 56,
p. 23. -
1955 1122. Болдинский Г. //.— Тр. Ин-та мат. мех. АН УзССР, вып. 15,
с. 93.
1123. Булгаков Б. В. Прикладная теория гироскопов. М.:
Гостехиздат.
1124. Гуляев М. П.— Вестн. МГУ, № 3, с. 15.
1125. Карагодин В. М.— Тр. Моск. авиац. ин-та, вып. 50.
1126. Котов В. Ф.— Учен. зап. Горьк. ун-та, вып. 28, с. 27.
1127. Кухтенко А. И.—В кн.: Тр. II Всесоюз. совещ. по теории
автомат, регулирования. М., т. II, с. 487.
1128. Кухтенко А. И.— Тр. Ин-та машиноведения АН СССР, т. 15,
вып. 58.
1129. Кухтенко А. //.—Прикл. механика, т. 1, вып. 2, с. 205.
ИЗО. Лойця'нский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической
механики. М.: Гостехиздат. Т. II.
1131. Меркин Д. Р.—Учен. зап. Ленингр. пед. ин-та, № 90, с. 40.
1132. Петров Б. Н.— В кн.: Тр. Всесоюз. совещ. по теории автомат,
регулирования, М. т. II, с. 285.
1133. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат.
1134. Шуваев В. А.— Зап. Горьк. ун-та, т. 28, с. 118.
1135. Bottema О.—J. Appl. Math., vol. 13, N 2, p. 191.
1136. Green A. P.— Proc. Roy. Soc. (A), vol. 228, N 1173, p. 191.
1137. Kirchner F.— ZAMP, Bd. 6, S. 355.
1138. Lawden D. F.—Astronaut acta, vol. 1, p. 41.
1139. Magnus K.— ZAMM, Bd. 35, H. 1, 2, S. 23.
1140. Melis A.— Rend. sem. Fac. sci. Univ. Cagliari, vol. 25, N 3/4,
p. 143.
1141. Plymal В. Т., Goodstein Д.—J. Appl. Mech., vol. 22, p. 365.
1142. Sponder E.— ZAMP, Bd. 6, S. 462—478.
1143. Stuckler В.— Ing. Arch., Bd. 23, H. 4, S. 279.
267

Год
1144. Vacca М. Г.—Bull, unione mat. Ital. (3), vol. 10, p. 52.
1145. Wiebelitz R.— ZAMP, Bd. 6, S. 362—377. /
1956 1146. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой
устойчивости. М.: Физматгиз.
1147. Ишлинский А. Ю.— ПММ, т. 20, вып. 2, с. 297.
1148. Ишлинский А. ТО.—Там же, вып. 3, с. 487.
1149. Карагодин В. Ж—Тр. Моск. авиац. ин-та, вып. 63.
1150. Кислицын С. Г.— Учен. зап. Ленингр. пед. ин-та. т. 125,
с. 165—188.
1151. Кондударь В. Г.—Учен. зап. Иван. пед. ин-та, т. 10. с. 97.
1152. Косиков С. И.— Изв. АН СССР. ОТН, № 8, с. 64.
1153. Крагелъский И. В., Щедрое В. С. Развитие науки о трении.
М.: Изд-во АН СССР.
1154. Кузнецов В. Д. Наросты при трении. М.: Гостехтеориздат.
1155. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных
колебаний. М.: Гостехтеориздат.
1156. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. М.: Гостехпздат.
1157. Неймарк Ю. И.— Тр. Горьк. инж.-физ. техн. ин-та. Сер. физ.,
т. 30.
1158. Обморшев А. И —В кн.: Механика: Сб. статей МВТУ. М.:
Оборонгиз, вып. 50, с. 75—96.
1159. Охоцимский Д. Е.— ПММ, т. 20, вып. 1, с. 3.
1160. Рабинович Б. //.— Там же, с. 39.
1161. Румянцев В. В.— Там же, с. 51—67.
1162. Румянцев В. В.— Тр. Ин-та мехапики АН СССР, т. 20. вып. 2,
с. 89.
1163. Румянцев В. В.—Там же, с. 95.
1164. Кана Б. А,— Изв. АН КазССР. Сер. мат. мех., вып. 5. с. 116.
1165. Скимель В. Н.— ПММ, т. 20, вып. 1, с. 130.
1166. Хусу А. П.— Вестн. Ленингр. ун-та. Механика, № 1, с. 80.
1167. Четаев И. Г.— ПММ, т. 20, вып. 2, с. 309.
1168. Aumann G.— ZAMM. Bd. 36, N 11/12, S. 433.
1169. Block Н.— Math. Rev., vol. 17, p. 203.
1170. Bowden F. P., Rowe O. W.— Proc. Roy. Soc. (A), vol. 233, p. 429.
1171. Grammel R., Ziegler //.— ZAMM, Bd. 36, S. 278.
1172. Parkin D. G.— Math. Gas., vol. 40, p. 260.
1173. Vacca M. F — Univ. e polyt. Torino, Rend. sem. mat. 1956—
1957, vol. 16, p. 413-427.
1174. Ziegler //.— ZAMP, Bd. 7, S. 253.
1175. Архангельский Ю. А.— Изв. АН СССР. ОТН, № 7, с. 122.
1176. Белецкий В. В.— ПММ, т. 21, вып. 6, 749.
1177. Белецкий В. В.— ДАН СССР, т. ИЗ, № 2, с. 287.
1178. Забелина (Харламова) Е. И.— Тр. Донецк, индустр. ин-тат
т. 20, с. 11.
1179. Забелина (Харламова) Е. И.— Там же, с. 15.
1180. Забелина (Харламова) Е. //.— Там же, с. 69.
1181. Ишлинский А. Ю.— ПММ, т. 21, вып. 1, с. 3.
1182. Ишлинский А. Ю.— Там же, вып. 6, с. 725.
1183. Ишлинский А. Ю.— Там же, вып. 1, с. 175.
1184. Кобринский А. Е.— В кн.: Сессия АН СССР по науч. пробл.
автомат, пр-ва. М.: Изд-во АН СССР, т. 6, с. 245.
1184а. Лурье А. И.— ПММ, т. 21, вып. 6, с. 759.
1185. Матвеевский Р. М. Исследование трения в приборах
шарикоподшипниках. М.: Машгиз.
1186. Новоселов В. С.— Вестн. Ленингр. ун-та. Математика,
механика, астрономия, № 13, с. 8.
1187. Новоселов В. С — Там же, № 1, с. 34.
1188. Новоселов В. С—Учен. зап. Ленингр. ун-та, № 217, вып. 31.
с. 50-83.
1189. Охоцимский Д. Е., Энеев Т. М.— УФЙ, т. 63, вып. 1, с. 2.
2в8

Год
1190. Полубаринова-Кочина П. Я.—В кн.: Вопросы истории
естествознания и техники. М.: Изд-во АН СССР, вып. 5, с. 156.
1191. Румянцев В. В.— ПММ, т. 21, вып. 3, с. 339.
1192. Румянцев В. В.— ДАН СССР. Новая сер., т. 116, с. 185.
1193. Румянцев В. В.— Вестн. МГУ, № 4, с. 9.
1194. Румянцев В. В.— Тр. Ин-та механики АН СССР, т. 21, вып. 6,
с. 740.
1195. Сапа Б. А.— Учен. зап. Казан, ун-та, т. 30, выи. 5, с. 142, 156.
1196. Сапа Б. Л.—Изв. АН КазССР. Сер. мат. мех., вып. 6, с. 60.
1197. Федорченко А. М.— Укр. мат. журн., т. 9, № 2, с. 220.
1198. Харламова-Забелина Е. II — Вестн. МГУ. Сер. мат. мех., № 6,
с. 25.
1199. Четаев Н. Г.—ПММ, т. 21, вып. 2, с. 157.
1200. Шабанов Я. А.— Тр. Иркут. ун-та, т. 15, вып. 2, с. 117—139.
1201. Шарапин Е. Ф. Элементы теории обработки металлов
давлением. Харьков: Металлургиздат.
1202. Battaglia L.— Riv. mat. Univ. Parma, vol. 8, p. 73.
1203. Bottema O.— Koninkl. Nederl. Akad. Wet., Proc. (A), vol. 60,
p. 154. (S. a.: Indag. math., vol. 19, p. 248).
1204. Bressan A — Rend. sem. nat. Univ. Padova, vol. 27, p. 276.
(Рус. пер.: Механика: Сб. пер., 1958, т. 6(52), с. 153).
1205. Cassina U — 1st. Lombardo Accad. sci. Lett., Rend. (A),
vol. 92, 1957—1958, p. 631—655.
1206. Grioli G,— Atti Accad. naz. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat,
natur. (8), vol. 22, p. 459.
1207. Grioli G — Rend. sem. mat. Univ. Padova, vol. 27, p. 90.
1208. Magnus K.— Adv. Aeronaut, sci., vol. 1, p. 507.
1958 1209. Аминов M. Ш — Изв. вузов. Авиац. техника, № 1, с. 132.
1210. Боголюбов Я. Н., Митропольский 10. А. Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз.
1211. Богоявленский А. Л.—ПММ, т. 22, вып. 5, с. 622—645.
1212. Богоявленский А. А.— Там же, вып. 6, с. 738.
1213. Белецкий В. В. О движении искусственного спутника Земли
вокруг его центра масс.— В кн.: Искусственные спутники
Земли. М.: Изд-во АН СССР, вып. 1, с. 25—43.
1214. Гуляев М. Я.—Тр. Сектора мат. мех. АН КазССР, № 1,
с. 202.
1215. Гуляев М. П., Ожибаев М — Там же, с. 144.
1216. Дубошин Г. Я.— Астрон. журн., т. 35, с. 265.
1217. Зунпунов Я. 3.— ДАН УзССР, № 2, с. И.
1218. Ишлинский А. Ю.— ПММ, т. 22, вып. 3, с. 359—375.
1219. Климов Д. М.— ДАН СССР, т. 23, № 3, с. 410.
1220. Кондударь В. Г.—Астрон. журн., т. 35, вып. 5, с. 763.
1221. Кротова П. Г.— Изв. СО АН СССР, № 7, с. 75.
1222. Кузнецов Л. И.— Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. мат. мех., № 4,
с. 151.
1223. Кузовков Н. Г.—Изв. АН СССР. ОТН, № 11, с. 70.
1224. Магнус К.— ПММ. т. 22, вып. 2, с. 173.
1225. Новоселов В. С— Изв. АН СССР. ОТН, № И, с. 322.
1226. Плисе В. А. Некоторые проблемы теории устойчивости
движения в целом. Л.: Гостехиздат.
1227. Пфжарицкий Г. К.— ПММ, т. 22, вып. 2, с. 370.
1228. Румянцев В. В.—Там же, вып. 2, с. 374; вып. 3, с. 499.
1229. Скимелъ В. Я.—Тр. Казан, авиац. ин-та, т. 38, с. 103—129.
1230. Сретенский Л. II.— В кн.: Леонард Эйлер. М.: Изд-во АН
СССР, с. 210-230.
1231. Топорова В. А.— Докл. АН УзССР, № 1?, с. 9.
1232. Топорова В. А.— Изв. АН СССР. Сер. физ.-мат., № 2, с. 77.
1233. Федорченко А. М — Укр. мат. журн., т. 10, с. 209.
1234. Харламова Е. И.— ПММ, т. 22, вып. 4, с. 504.
269

Год
1235. Чстаев II. Г.—ПММ, т. 22, вып. 3, с. 379.
1236. Штернфельд А.— Искусственные спутники. М.: Гостехтерр-
издат. /
1237. Л. Эйлер: К 250-летию со дня рождения. Сб. статей. М.: Изд-
во АН СССР.
1238. Bushaw D — Ann. Math. Stud., vol. 4, N 41, p. 8.
1239. Capra V — Bull. Unione mat. Ital., vol. 13, N 3, p. 71.
1240. Fairey.— Machinery, vol. 92, N 2371, p. 85.
1241. Leimanis E. Some recent advances in the dynamics of rigid
bodies and celestial mechanics. N. Y.: Surv. Appl. Math.,
vol. 2, p. 1—108.
1242. Magnus K.— Ing.-Arch., Bd. 28, S. 184—198. (Рус. пер.:
Механика: Сб. пер. М.: ИЛ, 1960, N 563, с. 3—22).
1243. Manarini М.— Giorn. mat. Battaglini (5), vol. 6(86), p. 66—110.
1244. Parkin D. G.— Physica, vol. 24, p. 313—330.
1245. Persen L. iV.— ZAMM, Bd. 38, N 11/12, S. 437. (Рус. пер.:
Механика: Сб. пер. М.: ИЛ, 1959, N 557, с. 143).
1246. Quilghini D.— Ric. mat., t. 7, p. 205—231.
1247. Rionero S.— Ibid., p. 14.
1248. Rionero S — Ibid., p. 281.
1249. Roberson R. E.— J. Appl. Mech., vol. 25, N 2, p. 196. (Pvc. пер.:
Механика: Сб. пер. М.: ИЛ, 1960, N. 1.59, с. 154).
1250. Roberson R. Е.— Ргос. IX JAF— Kongr., р. 33.
1251. Schallreuter W — Wiss. Zeitschr. Ernst-Moritz-Arndt Univ.
Greifswald, mat., natur. Reihe, 1958—1959, Bd. 8, S. 43.
1252. Silas Ch., Gresanu J., Brinden N — Bull, stint, si tehn. Inst,
politehn, Fimisoara, t. 3, p. 177.
1253. Weidenhammer F.— ZAMM, Bd. 38, N 7/8, p. 480.
1959 1254. Аминов M. Ш.— Тр. Казан, авиац. ин-та, вып. 48.
1255. Белецкий В. В.— В кн.: Искусственные спутники Земли. М.:
Изд-во АН СССР. вып. 3, с. 13—31.
1256. Болдинский Г. 11., Зелътин А. Ж—Изв. АН УзССР. Техн.
науки, № 5, с. 68.
1257. Богоявленский А. А.— ПММ, т. 23, вып. 5, с. 959.
1258. Бойчук О. Ф., Темченко М. Е.— Автоматика, № 3, с. 11.
1259. Гантмахер Ф. Р., Левин Л. М. Теория полета неуправляемых
ракет. М.: Физматгиз.
1260. Гуляев М. П.— ПММ, т. 23, вып. 3, с. 406.
1261. Дубасов В. Т.— Тр. Моск. авиац. технол. ин-та, вып. 41, с. 42.
1262. Исаева Л. С— ПММ, т. 23, вып. 2, с. 403.
1263. Ишлинский А. Ю.— Там же, вып. 1, с. 58.
1264. Ишлинский А. 10.— Там же, вып. 5, с. 801.
1265. Ишлинский А. Ю., Погребысский II. Б.— В кн.: 1ст.-мат. з6\,
Кшв: Вид-во АН УРСР, вып. 1, с. 140.
1266. Ишлинский А. Ю.— Тр. совещ. по теории инвариантности
(16-20.Х 1953 г. Киев). М.: Наука, с. 81.
1267. Кауфман Л. М. Бескопирные системы автоматизации станков.
М.: Машгиз.
1268. Климов Д. М.— ДАН СССР, т. 124, № 3, с. 537.
1269. Комарницкая О. II.— Изв. вузов. Приборостроение, № 12,
с. 149.
1270. Кондюдаръ В. Т.— Астрон. журн., т. 36, с. 890.
1271. Кошляков В. П.— ПММ, т 23, с. 810.
1272. Крементуло В. В.— Там же, с. 968.
1273. Магнарадзе Н. Г.— Бюл. Абастум. астрофиз. обе, № 24, с. 8.
1274. Матросов В. М.— Тр. Казан, авиац. ин-та, вып. 45, с. 34.
1275. Меркин Д. Р.—Изв. вузов. Приборостроение, № 3, с. 21.
1276. Метелицын И. //.— Изв. АН СССР. ОТН. Механика,
машиностроение, вып. 1, с. 3.
1277. Новоселов В. С— ПММ, т. 23, вып. 1, с. 176.
270

1278. Новоселов В. С— Там же, вып. 5, с. 964.
1279. Новоселов В. С— Вестн. Ленингр. ун-та. Математика,
механика, астрономия, № 13, с. 111.
1280. Новоселов В. С— Там же, № 7, с. 112.
1281. Новоселов В. С— Там же, с. 19, с. 204.
1282. Новоселов В. С— Изв. АН СССР. Механика, машиностроение,
№ 3, с. 81.
1283. Новоселов В. С— Бюл. Ясск. политехи, ин-та, т. 5, № 3/4,
с. 143.
1284. Погребысский И. Б.—В кн.: 1ст.-мат. зб. Кшв: Вид-во АН
УРСР, вип. 1 с. 40—76.
1285. Пожарицкий Г. К.— ПММ, т. 23, вып. 4, с. 792.
1286. Понтрягин Л. С — УМН. т. 14, вып. 1(85), с. 70.
1287. Ройтенберг Я. П.— ПММ, т. 23, с. 961.
1288. Румянцев В. В.— Тр. Ин-та механики АН СССР, т. 23, вып. 6,
с. 94.
1289. Румянцев В. В.- ДАН СССР, т. 124, № 2, с. 222.
1290. Скимель В. //.— Тр. Казан, авиац. ип-та, вып. 45, с. 201.
1291. Харламова Е. Я.— Изв. СО АН СССР. ОТН, № 6, с. 7—27.
1292. Харламова Е. И,— ДАН СССР, т. 125, № 5, с. 996.
1293. Харламова Е. //.— ПММ, т. 23, вып. 4, с. 681.
1294. Чжан Сюин.— Там же, вып. 3, с. 541.
1295. Чжан Сюин.— Там же, вып. 5, с. 860.
1296. Яров-Яровой М. С— Вестн. МГУ. Математика, механика,
астрономия, вып. 6, с. 58.
1297. Goodstein Л.—J. Appl. Mech. Trans. ASME (E), t. 26, N 3,
p. 349. (Рус. пер.: Механика: Сб. пер. М.: ИЛ, № 5.63, с. 23—
45).
1298. Grandori G.— Rend. 1st. Lombardo, sci. lett., sci., mat., fis.,
chim., vol. 93. N 2, p. 423-438.
1299. Magnus K.— Ing.-Arch., Bd. 28, S. 184—198.
1300. Magnus K — Adv. Aeronaut. Sci., Oxford; London, vol. 1.
1301. Smith G. C— Astronaut, acta, vol. 5, p. 253.
1302. Stewartson K.— J. Fluid Mech., vol. 5, pt 4, p. 577—592. (Рус.
пер.: Механика: Сб. пер. М.: ИЛ, 1960, № 6.64, с. 3—19).
1303. Tatarkiewicz К.— Ann. Univ. Mariae Curiae-Sklodovska (A)t
(1957), 1959, t. 11, p. 5.
1960 1304. Аппелъ П. Теоретическая механика: В 2-х т. М.: Физматгиз.
1305. Архангельский 10. А.— ПММ, т. 24, вып. 1, с. 294.
1306. Баланов Т. И.— Тр. Самар. ун-та. Новая сер., вып. 107, с. 113—
128.
1307. Болдинский Г. И.у Зельтин А. И.— Сб. науч.-исслед. работ
Ташк. текстил. ин-та, вып. 9, с. 43.
1308. Верещагин И. Ф.— Изв. вузов. Авиац. техника, № 4, с. 40.
1309. Гуляев М. П.— Тр. мех.-мат. фак. Каз. ун-та, т. 1, № 2, с. 8.
1310. Дерягин Б. В., Топоров Ю. П., Футран М. В.— Тр. III Всесо-
юз. конф. по трению и износу в машинах. М.: Изд-во АН
СССР т. 2 с. 152.
1311. Дубошин Г. Я.—Бюл. ИТА АН СССР, т. 7, е. 511.
1312. Дубошин Г. Н,— Астрон. журн., т. 36, с. 153.
1313. Дубошин Г. Н.— Там же, с. 723.
1314. Жбанов Ю. К.— ПММ, т. 24, вып. 6, с. 1024.
1315. Климов Д. М.— Там же, вып. 4, с. 771.
1316. Кондударь В. Г.—Вестн. МГУ. Физика, астрономия, вып. 1,
с. 83.
1317. Крагелъский И. В., Демкин Н. Б.— Вестн. АН СССР. № И,
с 85.
1318. Крементуло В. В.— ПММ, т. 24, вып. 3, с. 568.
1319. Кузмак Г. Е.— ДАН СССР, т. 132, с. 549.
1320. Летов А. Л/.— АиТ, т. 21, № 4/6, с. 215.
271

Год
1321. Лунц Я. Л.— Изв. вузов. Приборостроение, № 4, с. 37.
1322. Лунц Я. Л.— ПММ, т. 24, вып. 4, с. 763.
1323. Лурье А. И.— Изв. Ленингр. политехи, ин-та, вып. 210, с. 7.
1324. Новоселов В. С— ПММ, т. 24, вып. 6.
1325. Новоселов В. С— Учен. зап. Ленингр. ун-та, мех., вып. 35,
№ 280, с. 53.
1326. Новоселов В. С— Вести. Ленингр. ун-та. Математика,
механика, астрономия, № 1, с. 132.
1327. Орлов А. А.— Вести. МГУ. Физика, астрономия, вып. 3, с. 69.
1328. Осипов П. М.— Докл. АН УССР, № 1, с. 12, № 4, с. 308.
1329. Осипов П. М.— Там же, № 8, с. 811, № 10, с. 1012.
1330. Погребысский И. Б.— Тр. Ин-та истории естествознания и
техники АН СССР, т. 34, с. 226—240.
1331. Пожарицкий Г. К.— ПММ, т. 24, вып. 3, с. 458.
1332. Пугачев В. С. Теория случайных функций и се применение
в теории автоматического регулирования. М.: Гостехтеориз-
дат,
1333. Ройтенберг Я. Н.— ПММ, т. 24, с. 88.
1334. Ройтенберг Я. Н.— Там же, с. 463.
1335. Ройтенберг Я. Н.— Там же, с. 720.
1336. Ройтенберг Я. Н.— ДАН СССР, т. 133, с. 1045.
1337. Румянцев В. В.— ПММ, т. 24, вып. 4, с. 542.
1338. Кана Б. А.— Изв. АН КазССР. Математика, механика, вып. 9,
с. 430.
1339. Кана Б. А.— Бюл. Ясск. политехи, ин-та, т. 6, № 1/2, с. 302.
1340. Слесарев А. М.— Докл. АН УССР, вып. 5, с. 601.
1341. Скимелъ В.Н.— ПММ, т. 24, вып. 4, с. 570.
1342. Соболев С. Л.- ПМТФ, № 3, с. 42.
1343. Солодовников В. В. Статистическая динамика инженерных
систем автоматического управления. М.: Гостехтеориздат.
1344. Хабаровский А. П.— ПММ, т. 24, вып. 3, с. 572.
1345. Фелъдмаум А. А. Вычислительные устройства в
автоматических системах. М.: Физматгиз.
1346. Фрадлин Б. Н,— В кн.: История физико-математических наук.
Тр.: Ин-та истории естеств. и техн. М.: Изд-во АН СССР, с. 198.
1347. Фрадлин Б. Н.— Вопросы истории естествознания и техники
АН СССР. М.: Изд-во АН СССР, вып. 10, с. 73.
1348. Чертков Р. И. Метод Якоби в динамике твердого тела. Л.:
Судпромгиз.
1349. Четаев Н. Г.— ПММ, т. 24, вып. 1, с. 35.
1350. Bottema О.— Ztschr. Math.. Mech., Bd. 40, N 5/6, S. 275.
1351. Bottema O.— Ing.-Arch., Bd. 29, S. 425.
1352. Duff in R. L— Quart. Appl. Math., vol. 18, p. 215.
1353. Grammel R.— Ann. mat. pura appl., t. 50, p. 187.
1354. Grammel R.— Ing.-Arch., Bd. 29, S. 153.
1355. Grobner W. Die Lie-Reihen und ihre Anwcndungen. B.
1356. Schindler G. M.— Astronaut, acta, vol. 6, N 5, p. 233.
1357. Syndge 7. L. Classical dynamics. Heidelberg. (Рус. пер.: Сине
Дж. Л. Классическая динамика. М.: Физматгиз, 1963).
1358. Tatarkiewicz К.—Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska (A),
(1958), 1960, t. 12, p. 59.
1359. Tondl A.— Ing.-Arch., vol. 29, p. 410.
1961 1360. Айнбиндер С. Б., Клокова Э. Ф.— В кн.: Сухое трение. Рига:
Изд-во АН ЛатвССР, с. 41.
1361. Белецкий В. В.— В кн.: Искусственные спутники Земли. М.:
Изд-во АН СССР, вып. 6, с. 11—32.
1362. Болдинский Г. И., Зельтин А. И.— Сб. науч.-исслед. работ
Ташк. ун-та, вып. 12, с. 235.
1363. Болдинский Г. П., Зельтин А. И.— Тр. Ташк. ун-та, вып. 189,
с. 139.
272

Год
1364. Бородюк Я. П., Круг Г. #.— АиТ, № 11, с. 61.
1365. Доможилова Л. М — Вести. МГУ (3). Физика, астрономия,
№2, с. 82.
1366. Дрофа В. Н.- ПММ, т. 25, вып. 5, с. 941.
1367. Дубошин Г. Н. Теория тяготения. М.: Физматгиз.
1368. Гуляев М. П.— ДАН СССР, т. 139, с. 574.
1369. Жбанов Ю. К.- ПММ, т. 25, вып. 5, с. 933.
1370. Зубов В. И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Гостех-
теориздат.
1371. Зунпунов Н. 3.— Докл. АН УзССР, № 5, с. 32.
1372. Ильюшин А. А. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР.
1373. Князев Г. Н.— В кн.: Механика. М.: МВТУ, № 104, с. 78.
1374. Киргетов В. И.— ПММ, т. 25, вып. 1, с. 3.
1375. Киргетов В. И.— Там же, вып. 3, с. 407.
1376. Кобринский А. Е. Числа управляют станками. М.: Изд-во АН
СССР.
1377. Кондударъ В. Т.— Астрон. журн., т. 38, с. 969.
1378. Котляков В. Н.— ПММ, т. 25, с. 801.
1379. Крагелъский И. В.— В кн.: Тр. Междунар. конф. по смазке и
износу машин. М.: ГНТИ, с. 38.
1380. Костерин Ю. И. Механические релаксационные колебания при
трении твердых тел. М.: Изд-во АН СССР.
1381. Крементуло В. В.— ПММ, т. 25, с. 579.
1382. Кротов В. Ф.- ДАН СССР, т. 137, № 1, с. 94.
1383. Кротов В. Ф.—Тр. МВТУ. Механика, № 104, с. 46.
1384. Кулебакин В. С— В кн.: Тр. конгр. Междунар. федерации по
автомат, упр. М., т. 1, с. 89.
1385. Курнаков II. С. Введение в физико-химический анализ. М.:
Изд-во АН СССР.
1386. Кухтенко А. И.— В кн.: Тр. I конгр. ИФАК. М., с. 658.
1387. Ку&генко А. И.— В кн.: Вопросы авиационной
автоматической и вычислительной техники: Сб. науч. тр. Киев, ин-та
гражд. возд. флота, вып. 1, с. 3.
1388. Курцвейлъ Я.— АиТ, т. 22, № 6, с. 80.
1389. Лей В. Ракеты и полеты в космосе. М.: Воениздат.
1390. Летов А. М.— АиТ, т. 22, № 4, с. 136.
1391. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз.
1392. Моисеев Н. Д. Очерки развития механики. М.: Изд-во МГУ.
1393. Обморшев А. И.— Изв. АН СССР. ОТН. Механика и
машиностроение, № 5, с. 84.
1394. Остроградский М. В.— Поли. собр. тр. Киев: Изд-во АН УССР,
т. 2, с. 32-89, 316-321, 338.
1395. Петров В. Я.— В кн.: Тр. I конгр. ИФАК. М., с. 254.
1396. Понтрягин Л. С, Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В.,
Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных
процессов. М.: Гостехтеориздат.
1397. Решетников В. Л.— ПММ, т. 7, с. 189.
1398. Румянцев В. В.— Вестн. МГУ, № 5, с. 67.
1399. Румянцев В. В.— ПММ, т. 25, вып. 6, с. 969.
1400. Румянцев В. В.— Там же, вып. 1, с. 9—17.
1401. Румянцев В. В.— Там же, вып. 4, с. 778.
1402. Рыбаков А. И.— Сообщ. Астрон. ин-та им. Штернберга, № 112,
с. 33.
1403. Сапа Б. А., Жаров А. М.— Бюл. Ясск. политехи, ин-та, т. 6,
№ 3/4, с. 35.
1404. Сарычев В. А.— В кн.: Искусственные спутники Земли. М.:
Изд-во АН СССР, вып. 6, с. 3.
1405. Семенов А. Н., Чайковский В. И.— Тр. Кишинев, с.-х. ин-та,
т. 23, с. 249—268.
1406. Семенова В. А.— Изв. вузов. Машиностроение, № 10, с. 16.
1/а 18 Закаа м 1377
273

Год
1407. Скарборо Дж. Б.— Гироскоп, теория и применения. М.: ИЛ.
1408. Слесарев А. И.— Сб. науч. тр. Киев, инж.-строит. ин-та,
вып. 16, с. 152. /
1409. Хабаровский А. М.— ПММ, т. 25, вып. 2, с. 259.
1410. Федорченко А. М,— Там же, вып. 5, с. 938.
1411. Фрадлин Б. Я.—Тр. Ин-та истории естествознания и
техники АН СССР, т. 45, с. 422-469.
1412. Фрадлин Б. И.— В кн.: Вопросы истории естествознания и
техники. М.: Изд-во АН СССР, вып. И, с. 61.
1413. Фрадлин Б. #.— В кн.: 1ст.-мат. зб. Кшв: Вид-во АН УРСР,
вып. 2, с. 104—127.
1414. Фрадлин Б. II.— Тр. Ин-та истории естествознания и
техники АН СССР, т. 45, с. 470.
1415. Харламов П. В.— ДАН СССР, т. 139, с. 357.
1416. Харламов С. А.— Там же, № 2, с. 327.
1417. Цыпкин Я. 3. Переходные и установившиеся процессы в
импульсных цепях. М.: Гостехтеориздат.
1418. Четаев Н. Г.— ПММ, т. 25, вып. 1, с. 105.
1419. Четаев Н. Г.— Там же, вып. 4, с. 560.
1420. Шурыгин В. А.у Яненко Н. Н.— Проблемы кибернетики. М.:
Изд-во АН СССР, вып. 6.
1421. Adams J. J. NASA TND-905.
1422. Arnold B. N., Maunder L. Gyrodynamics and its engineering
applications. N. Y.; L.
1423. Barrar R. В.— Astron. J., vol. 66, N 1, p. 34.
1424. Coly R. D., Ekstrand M. E., O'Neill M. R.— ARSJ, vol. 31,
p. 1446.
1425. Feng L— Ming. Wear, vol. 4, N 4, p. 269.
1426. Crandall S. H., Brosens P. Л—J. Appl. Mech., vol. 28, p. 567.
1427. Grantham W. D.— NASA TND-803.
1428. Klumpp M.— Ing.-Arch., Bd. 30, S. 153.
1429. Moran J. P.- ARS J., vol. 31, N 8, p. 1089.
1430. Savet P. Gyroscopes, theory and design, with applications to
instrumentation, guidance and central. N. Y. etc.
1962 1431. Архангельский Ю. А.— ПММ, т. 26, вып. 3, с. 568.
1432. Архангельский Ю. А.— Там же, вып. 6, с. 1116.
1433. Архимед. Сочинения. М.: Физматгиз.
1434. Баланов Т. И.— Тр. Самар. ун-та. Новая сер., вып. 119, с. 115.
1435. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы
математической теории процессов управления. М.: ИЛ.
1436. Богоявленский А. А.— В кн.: Тр. Межвуз. конф. по прикл.
теории устойчивости и аналит. механике. Казань: Казан,
авиац. ин-т, с. 38.
1437. Болдинский Г. Я., Зельтин Л. Я.— Сб. науч.-исслед. работ
Ташк. текстил. ин-та, вып. 15, с. 173.
1438. Демин В. Г.— Сообщ. ГАИШ, № 125, с. 3.
1439. Демкин Я. Б. Фактическая площадь касания твердых тел.
М.: Изд-во АН СССР.
1440. Дубошин Г. Я.— JUTAM — Symp. Р., р. 418.
1441. Дувакин А. П.— Инж. журн., т. 2, с. 222.
1442. Иванов Л. 3., Круг Г. К., Кушелев Ю. Н. и др.—Тр. Моск.
энергет. ин-та. Автоматика, телемеханика, вып. 4.
1443. Кошляков В. Я.— ПММ, т. 26, с. 412.
1444. Кротов В. Ф.— АиТ, т. 24, № 12, с. 204.
1445. Кузьмин П. А.— В кн.: Тр. Межвуз. конф. по прикл. теории
устойчивости и аналит. механике. Казань: Казан, авиац.
ин-та.
1446. Кухтенко А. Я.— В кн.: Вопросы авиационной,
автоматической и вычислительной техники: Сб. науч. тр. Киев, ин-та
гражд. воздуш. флота, вып. 2, с. 3.
274

Год
1447. Летов А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.
М.: Гостехтеориздат.
1448. Летов А. М.— АиТ, т. 23, № И, с. 188.
1449. Лобас Л. Л— Прикл. механика, т. 8, вып. 2, с. 223.
1450. Первозванский А. А. Случайные процессы в нелинейных
автоматических системах. М.: Гостехтеориздат.
1451. Логосов Г. С— Тр. Моск. ин-та хим. машиностроения, т. 24,
с. 131.
1452. Ложарицкий Г. К.— ПММ, т. 26, вып. 1, с. 5.
1453. Рабинович Б. И. Вариационные режимы полета крылатых
летательных аппаратов. М.: Гостехтеориздат.
1454. Ривкин С. С. Теория гироскопических устройств. Л.:
Судостроение, 1962—1964. Т. I, И.
1455. Ройтенберг Л. Я.- ДАН СССР, т. 142, с. 1050.
1456. Румянцев В. В.— Изв. АН СССР. ОТН. Механика,
машиностроение, № 6, с. ИЗ.
1457. Свешников А. А.— ПММ, т. 28, вып. 3, с. 402.
1458. Скимелъ В. Н— Тр. Казан, авиац. ин-та, вып. 71, с. 112.
1459. Слесарев А. Ж—Тр. аспирантов Ин-та кибернетики АН
УССР. Вычисл.мат. техн. Киев: Изд-во АН УССР, с. 131—178.
1460. Слесарев А. #.— Сб. науч. тр. Киев, инж.-строит. ин-та,
вып. 20, с. 227—248.
1461. Фрадлин Б. Я.—В кн.: 1ст.-мат. зб. КиТв: Вид-во АН УРСР,
вип. 3, с. 96.
1462. Фрадлин Б. Я.— Там же, с. 106.
1463. Харламов П. В.— ДАН СССР, т. 143, № 4, с. 805.
1464. Харламов С. А.— Там же, т. 146, № 3, с. 550.
1465. Хмелевский И. Л.— ПММ, т. 26, вып. 2, с. 201.
1466. Чикин В. А.— ДАН СССР, т. 142, № 5, с. 1058.
1467. Шульгина И. М.— Докл. АН УзССР, № 5, с. 23.
1468. Яров М. С— Бюл. Ин-та теорет. астрономии АН СССР, т. 8,
№ 9, с. 647.
1469. Cannon R. Л.— ARSJ, vol. 32, р. 61.
1470. Diaz J. В., Metcalf Е. Т.— In: Ргос. 4th U. S. Congress appl.
mechanics. Univ. of Calif., Berkeley, vol. 1. N. Y.: Amer. Soc.
Mech. Eng., p. 127.
1471. Diaz J. В., Metcalf E. Т.— Ргос. Amer. Math. Soc, vol. 13, p. 669.
1472. Draper С S.f Wrigley W., Bovorka 7. Inertial guidance. N. Y.,
p. 257.
1473. Fernandez M., Macomber G. R. Inertial guidance engineering.
Englewood; Cliffs: Prentice-Hall.
1474. Grioli G.- In: Symp. Celerina, p. 26. (Рус. пер. в кн.:
Проблема гироскопии. М.: Мир, 1967, с. 34).
1475. Baseltine W. Я—Aerospace. Sci., p. 543.
1476. Merturn 7. L.— Aerospace Eng., p. 52.
1477. Naumann R. J.— JUTAM-Symp. P., p. 208.
1478. Vujanovic /?.---Publ. mas. fak. univ. Beogradu, N 5/6, p. 51.
1963 1479. Азизов А. Г.— Науч. тр. Ташк. ун-та, вып. 22, с. 3.
1480. Айзерман М. А., Лурье А. Я.—В кн.: Тр. Междунар. симпоз.
по нелинейным колебаниям. Киев, т. 1, с. 305.
1481. Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р.—АиТ, т. 24, № 6, с. 134.
1482. Айзерман М. А.у Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость
нелинейных регулируемых систем. М.
1483. Апыхтин Я. Г.— ПММ, т. 27, вып. 5, с. 894.
1484. Арнольд В. Я.-УМН, т. 18, № 5, с. 13-39.
1485. Арнольд В. И.— Сиб. мат. журн., т. 4, № 2, с. 471.
1486. Архангельский Ю. А.— ПММ, т. 27, вып. 1, с. 171.
1487. Архангельский Ю. Л.— Там же, вып. 5, с. 864—877.
1488. Архангельский Ю. А.— Там же, вып. 6, с. 1099.
1489. Архангельский Ю. Л.— Там же, вып. 4, с. 697.
275
18»

Год
1490. Ахматов А. С. Молекулярная физика граничного трения. М.
1491. Белецкий В. В.— В кн.: Искусственные спутники Зе^ли. М.:
Изд-во АН СССР, вып. 16, с. 68-93.
1492. Белецкий В. В.— Там же, с. 46.
1493. Белецкий В. В.— ПММ, т. 27, вып. 1, с. 175.
1494. Болдинский Г. И.— Тр. Кубан. с.-х. им-та, вып. 11, с. 141.
1495. Бунатжан Л. А.— ДАН СССР, т. 152, с. 305.
1496. Волков М. С— Бюл. Ин-та теорет. астрономии АН СССР, т. 9,
№ 2, с. 120-143.
1497. Вчерашник П. П.— ЖЭТФ, т. 3, № 1, с. 145—158.
1498. Вчерашник П. П.— Укр. мат. журн., т. 15, с. 305.
1499. Добронравов В. В.— В кн.: Вопросы аналитической и
прикладной механики. М.: Оборонгиз, с. 52.
1500. Докшевич А. И.— Изв. УзССР. Сер. физ.-мат. наук, № 2, с. 16.
1501. Дьяченко П. Е., Толкачева II. II., Андреев Г. А., Карпова
Т. М. Площадь фактического контакта сопряженных
поверхностей. М.: Изд-во АН СССР.
1502. Игнатьев М. Б. Голономиыс автоматические системы. М.; Л.:
Изд-во АН СССР.
1503. Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. М.:
Изд-во АН СССР.
1504. Карагодин В. М. Теоретические основы механики тела
переменного состава. М.: Оборонгиз.
1505. Кейс И. А.— Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика, № 6,
с. 55.
1506. Колесников Н. И.— ПММ, т. 27, вып. 4, с. 699.
1507. Комарницкая О. И.— Изв. вузов. Приборостроение, т. 6, № 1,
с. 88.
1508. Кошляков В. Н., Лященко В. Ф.— ПММ, т. 27, вып. 1, с. 10.
1509. Крагельский И. В., Михин Н. М.— ДАН СССР, т. 153, № 1,
с. 78.
1510. Кротов В. Ф.— АиТ, т. 25, № 5, с. 168.
1511. Kuznetzoff L.— AJAA J., t. 1, p. 271.
1512. Лобас Л. Г.— Прикл. механика, т. 9, вып. 4, с. 409.
1513. Лобас Л. Г.— Там же, вып. 6, с. 659.
1514. Лурье А. И,— ПММ, т. 27, вып. 2, с. 377.
1515. Магнарадзе Н. Г.—В кн.: Проблемы движения
искусственных небесных тел. М.: Изд-во АН СССР, с. 278.
1516. Маркевич М. Г.— В кн.: Вопросы аналитической и
прикладной механики. М.: ГНТИ, с. 170.
1517. Маслов Ю. И.— Науч. тр. Ташк. ун-та, вып. 222, с. 13.
1518. Охоцимский Д. Е., Сарычев В. А.— В кн.: Искусственные
спутники Земли, вып. 16, с. 155.
1519. Румянцев В. В.— Изв. АН СССР. Механика, машиностроение,
№ 6, с 119-140.
1520. Савин Г. II., Путята Т. В., Фрадлин Б. Н.— Прикл. механика,
т. 9, вып. 6, с. 581.
1521. Скимель В. Н.— Тр. Казан, авиац. ин-та, вып. 80, с. 158.
1522. Сретенский Л. II.— ДАН СССР, т. 149, № 2, с. 292.
1523. Сретенский Л. Н.— Вести. МГУ. Сер. 1. Математика,
механика, № 3, с. 60.
1524. Филатов А. Я.—Обобщенные ряды Ли и их приложения.
Ташкент: Изд-во АН УзССР.
1525. Фрадлин Б. II.— В кн.: Очерки истории математики и
механики. М.: Изд-во АН СССР, с. 147—190.
1526. Фрадлин Б. Н.— Прикл. механика, т. 9, вып. 2, с. 117.
1527. Фрадлин Б. И.— В кн.: Нариси з icTopii техтк i природознав-
ства. Ки1*в: Вид-во АН УРСР, вып. 4, с. 144.
1528. Фрадлин Б. Я.—В кн.: 1ст.-мат. зб. Кшв: Вид-во АН УРСР,
вип. 4, с. 66.
276

Год
1529. Харламов Я. В.— ПММ, т. 27, вып. 4, с. 703.
1530. Харламов П. В.— ДАН СССР, т. 150, № 4, с. 759.
1531. Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем. М.: Гос-
техтеориздат.
1532. Черноусъко Ф. Л.— ПММ, т. 27, вып. 3, с. 474.
1533. Черноусъко Ф. Л.— ЖЭТФ, т. 3, № 3, с. 528.
1534. Шульгина И. М — Науч. тр. МГУ, вып. 222, с. 24.
1535. Эрике К. Космический полет. М.: ИЛ. Т. 1.
1936. Яковлев В. Ф.— Изв. АН СССР. ОТН. Механика,
машиностроение, № 5, с. 198.
1537. Clark О. Я.-Wear, vol. 6, N 4, p. 303.
1538. Draper С. S — In: Symp. Celerina. B. etc., p. 131.
1539. Duboschin G.— In: JUTAM-Symp. B. etc., p. 14.
1540. Grioli G.— Ace. naz. dei Lincei (2), vol. 34, fasc. 6, p. 636.
1541. Keller D. V.— Wear, vol. 6, N 5, p. 353.
1542. Kreiselprobleme. (Celerina. 20—23.VIII.1962). B. etc. (Рус.
пер.: Проблемы гироскопии. М.: Мир, 1967).
1543. Kuznetzoff L.— AIAA J., t. 1, p. 271.
1544. Лавден Д. Ф.— В кн.: Космические траектории. М.: ИЛ,
с. 177-242.
1545. Leipholz Я- ZAMM, Bd. 32, S. 255-285.
1546. Leipholz Я—Celerina Symp. В. etc., p. 32—44.
1547. Magnus К.— Ibid., p. 4—25.
1548. Mroz Z.— J. Mech., vol. 2, N 1, p. 3.
1964 1549. Азизов А. Г.— Науч. тр. Ташк. ун-та, вып. 242, с. 83.
1550. Анчев Л.—ПММ, т. 28, вып. 1, с. 164.
1551. Арнольд Р. Я., Мондер А. М. Гиродинамика и ее техническое
применение. М.: Машиностроение.
1552. Архангельский Ю. А.— ПММ, т. 28, вып. 4, с. 759.
1553. Архангельский Ю. А.— ДАН СССР, т. 158, № 2, с. 292.
1554. Архангельский Ю. А.— Там же, № 1, с. 36.
1555. Архангельский Ю. А.— В кн.: Второй Всесоюз. съезд по тео-
рет. и прикл. механике: Аннот. докл. М., с. 20.
1556. Богоявленский А. А.— ПММ, т. 28, вып. 2, с. 360.
1557. Богоявленский А. А.— Там же, вып. 3, с. 508.
1558. Брауэр А., Клеменс Дж. Методы небесной механики. М.: Мир.
1559. Габриелян М. С—ПММ, т. 28, вып. 3, с. 290; вып. 5, с. 542.
1560. Докшевич А. И.— В кн.: Вопросы вычислительной
математики и техники. Ташкент: Наука, вып. 4, с. 170.
1561. Докшевич А. Я.— В кн.: Интегрирование некоторых
дифференциальных уравнений математической физики. Ташкент:
Наука, с. 104—116.
1562. Златоустов В. А., Охоцимский Д. Е., Сарычев В. А., Торжев-
ский А. П.—В кн.: Космические исследования. М.: Изд-во АН
СССР, т. 2, вып. 5, с. 658.
1563. Зунпупов Я. 5.—Тр. Ташк. ун-та, вып. 265, с 49.
1564. Кейс А. Я.— ПММ, т. 28. вып. 3, с. 516.
1565. Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным
возбуждением. М.: Физматгиз.
1566. Коренев Г. В. Введение в механику управляемого тела. М.:
Наука.
1567. Котляков В. II.- ПММ, т. 28. вып. 4, с 708.
1568. Кузьмин П. А.— В кн.: Тр. Межвуз. конф. по прикл. теории
устойчивости движения и аналит. механике. Казань: Казан,
авиац. ин-т.
1569. Лурье А. Я— ПММ, т. 28, вып. 6, с. 1138.
1570. Миндлин Я. М.— Инж. журн., т. 4, № 1, с. 50; № 2, с. 112.
1571. Морозов В. М.— Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика,
№ 3, с. 70.
277

Год
1572. Мошкип Е. К,— В кн.: Из истории ракетной техники. М.:
Наука, с. 203. /
1573. Назаров Б. И. Гироскоп на ракете. М.: Воениздат.
1574. Неймарк Ю. П., Фуфаев П. Л.— ПММ, т. 28, вып. 1, с. 58.
1575. Николенко И. В.— BicH. КиТв. ун-ту. Математика и механика,
№ 6, с. 67.
1576. Новоселов В. С— Изв. АН СССР. Механика,
машиностроение, № 1, с. 80.
1577. Новоселов В. С— Тр. Астрон. обе. Ленингр. ун-та, т. 20.
1578. Савин Г. Я., Путята Т. В., Фрадлин Б. Н. Очерки развития
некоторых фундаментальных проблем механики. Киев: Наук.
думка.
1579. Сокольский В. П.—В кн.: Из истории ракетной техники. М.:
Наука, с. 33.
1580. Филатов А. Н— В кн.: Тр. Межвуз. конф. по прикл. теории
устойчивости движения и аналит. механике (1962). Казань:
Казан, авиац. ин-т, с. 53.
1581. Харламов П. В.— Там же, с. 57.
1582. Харламов П. В.— ПММ, т. 28, вып. 1, с. 158.
1583. Харламов П. В.— Там же, вып. 3, с. 502.
1584. Харламов П. В.- ДАН СССР, т. 154, № 2, с. 287.
1585. Харламов П. Я.—Там же, т. 158, № 5, с. 1048.
1586. Харламова Е. И.— Там же, т. 157, № 3, с. 549.
1587. Харламова Е. И.— В кн.: Докл. 3-й Сиб. конф. по математике
и механике. Томск: Изд-во Том. ун-та, с. 361.
1588. Цандер А. Ф.— В кн.: Из истории ракетной техники. М.:
Наука, с. 175.
1589. Черноусько Ф. Л.— ПММ, т. 28, вып. 1, с. 128.
1590. Шульгин А. И.— Науч. тр. Ташк. ун-та, вып. 242, с. 64.
1591. Athans М., Cannon М. D — JEEE Aut. Central, vol. 9, N 4,
p. 80.
1592. Broxmeyer Ch. Inertical navigation systems. N. Y.
1593. Diaz J. В., Metcalf E. 7\— Arch. Rot. Mech. ann., vol. 16, p. 214—
229
1594. Harding C. F.— Trans. ASME, E-31, N 2, p. 325.
1595. Jazwinski A.— AJAA J., vol. 2, N 8, p. 119.
1596. Lee R. The motion of a self-excited rigid body. Department of
Math., Univ. of British Columbia.
1597. Pars L. A. Analytical dynamics. L. (Рус. пер.: Парс Л. А.
Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971).
1598. Zajac Е. E.— J. aeronaut. Sci., vol. 11, p. 46.
1965 1599. Азизов А. Г.—Науч. тр. Ташк. ун-та, вып. 265, с. 39.
1600. Азизов А. Л— Изв. АН УзССР, №*6. с. 5.
1601. Анчев Л.—ПММ, т. 29, вып. 2, с. 380.
1602. Анчев А.— Там же, вып. 3, с. 451.
1603. Апыхтин Н. Г.— Там же, вып. 2, с. 375.
1604. Архангельский ТО. А.— Там же, вып. 3, с. 587.
1605. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника
относительного центра масс. М.: Наука.
1606. Билимович А. Д.— Срлске Академие наука и уметности,
т. 260, Оделено природно-мат. наука, кть. 26, с. 85.
1607. Богаевский П. Я.—Вести. МГУ. Сер. 1, Математика,
механика, № 5, с. 92.
1608. Бутенин Н. В., Лунц Я. Л.— В кн.: Тр. II Всесоюз. съезда по
теорет. и прикл. механике (Москва, 29.1 — 5.11 1964). М.:
Наука, вып. 2, с. 165.
1609. Бычков Ю. П.— Инж. журн., т. 5, вып. 5, с. 803.
1610. Бычков Ю. Я.—ПММ, т. 29, вып. 3, с. 573.
1611. Бухголъц Н. Н. Основной курс теоретической механики. М.:
Наука. Т. 2.
278

1612. Гантмахер Ф. Р., Якубович В. А.— В кн.: Тр. II Всесоюз.
съезда по теорет. и прикл. механике. М.: Наука, вып. 1, с. 30.
1613. Гнусин Н. П., Коварский Н. Я.— Изв. СО АН СССР. Сер. техн.
наук, вып. 3, с. 157.
1614. Гроздовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В.— В кн.: Тр.
II Всесоюз. съезда по теорет. и прикл. механике. М.: Наука,
вып. 1, с. 181.
1615. Димеитберг Ф. М. Теория винтов и ее приложения. М.:
Наука.
1616. Докшевич А. И.— В кн.: Исследования по аналитической
механике. Ташкент: Наука, с. 61—75.
1617. Докшевич А. Я.— Изв. АН УзССР. Сер. техн. наук, № 3, с. 83.
1618. Егоров В. А, Пространственная задача достижения Луны.
М.: Наука.
1619. Кейс А. Я.— Изв. АН ЭССР, № 4, с. 555.
1620. Космодемьянский А. А. Курс теоретической механики. М.:
Просвещение.
1621. Красовский Я. И.— В кн.: Тр. II Всесоюз. съезда по теорет.
и прикл. механике. М.: Наука, вып. 1, с. 77.
1622. Миндлин И. М., Пожарицкии Г. К,— ПММ, т. 29, вып. 4, с. 742.
1623. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями,
содержащими жидкость. М.: Наука.
1624. Мустафаев В. А., Подольский Ю. А., Виноградов О. В.—
Механика полимеров, № 5, с. 47.
1625. Неймарк Ю. И., Фуфаев Я. А,— ДАН СССР, т. 160, № 4, с. 781.
1626. Неймарк Ю. И., Фуфаев Я. А.— ПММ, т. 29, вып. 1, с. 46.
1627. Николаи Е. Л. Гироскоп в кардановом подвесе. 2-е изд. М.:
Наука.
1628. Николенко И. В.— Прикл. механика, т. 1, вып. 10, с. 51.
1629. Осипов Г. Ф — В кн.: Сб. тр. Иван, энергет. ин-та. Иваново,
с. 25.
1630. Сарычев В. А.— В кн.: Космические исследования, т. 3, № 5,
с. 215.
1631. Румянцев В. В., Скимель В. //.— В кн.: Тр. II Всесоюз.
съезда по теорет. и прикл. механике. М.: Наука, вып. 2, с. 199—
216.
1632. Ройтенберг Я. Я.— Там же, с. 192—198.
1633. Соидов П. Я.—Теория гироскопов. М.: Высш. школа.
1634. Слезкин Л. Я.—ДАН СССР, т. 161, № 1, с. 318.
1635. Слеcap ев А. Я.— В кн.: Тр. 1-й респ. мат. конф. молодых
исследователей. Киев: Ин-т математики АН УССР, вып. 1,
с. 593.
1636. Фрадлин Б. Я. Неголономная механика и ее приложение в
естествознании и технике. Киев: Ин-т математики АН УССР.
1637. Харламов Я. Я.— ПММ, т. 29, вып. 1, с. 26.
1638. Харламов П. В.— Там же, вып. 2, с. 373.
1639. Харламов П. В.— Там же, вып. 3, с. 567.
1640. Харламов Я. Я.—Лекции по динамике твердого тела.
Новосибирск: Новосиб. ун-т.
1641. Харламова Е. Я.— ПММ, т. 29, вып. 4, с. 733.
1642. Подокова Я. С — Там же, вып. 6, с. 1104.
1643. Green A— Arch. Rat. Mech. and Analysis, vol. 18, N 4, p. 308.
1644. Kane Т. Я.— J. Amer. Inst. Aeronaut, and Astronaut., vol. 3,
N 4, p. 726.
1645. Leimanis E. The general problem of the motion of coupled
rigid bodies about a fixed point. N. Y.
1646. Magnus K.- Ing.-Arch., Bd. 34, S. 129.
1647. Thau F. E — Intern. J. Control., vol. 1, N 4, p. 157.
1648. Tondl A. Some problems of rotor dynamics. Prague; London.
279

(Рус. пер.: Тондл А. Динамика роторов турбогенераторов. М.:
Энергия, 1971). .
1966 1649. Азизов А. Г.— Тр. Ташк. ун-та, вып. 275, с. 35.
1650. Азизов А. Г.— Там же, с. 26.
1651. Архангельский Ю. А.— ПММ, т. 30, вып. 5, с. 935.
1652. Архангельский Ю. А.— ДАН СССР, т. 168, № 4, с. 763.
1653. Бобылева //. //.— В кн.: Материалы 26-й науч.-техн. конф.
Хабар, ии-та инж. ж.-д. трансп., с. 5, 42.
1654. Бычков Ю. П.— ПММ, т. 30, вып. 5, с. 934.
1655. Горр Г. В.— В кн.: К новым успехам советской науки: Тез. и
сообщ. науч. конф. Донецк, с. 207.
1656. Докшевич А. И.- ДАН СССР, т. 167, № 6, с. 1251.
1657. Докшевич А. И.— В кн.: К новым успехам советской науки.
Донецк, с. 209.
1658. Slatoustov V., Ochotzimski D.f Saricheu V., Torczeuski A.— In:
Proc. II Intern. Congr. of Appl. Mech. (Munich, 1964). B. etc.,
p. 436.
1659. Зубов В. И. Теория оптимального управления. М.:
Судостроение.
1660. Илюхин А. А.— В кн.: К новым успехам советской науки.
Донецк, с. 207.
1661. Иртегов В. Д.— ПММ, т. 30, вып. 5, с. 939.
1662. Князев Г. Н — Прикл. механика, т. 2, вып. 1, с. 35.
1663. Лунц Я. Л., Смолицкий X. Л.— ПММ, т. 30, вып. 4, с. 617.
1664. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гостех-
теориздат.
1665. Маталин А. А. Качество поверхности и эксплуатационные
свойства деталей машин. М.: Машгиз.
1666. Машков А. Д. Трение и износ пористых металлокерамических
материалов. М.: Машгиз.
1667. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А.- ДАН СССР, т. 170, № 3.
1668. Неймарк Ю. Я., Фуфаев Н. А.— ПММ, т. 30, выи. 2, с. 236.
1669. Ройтенберг Я. Н. Гироскопы. М.: Наука.
1670. Румянцев В. В.— ПММ, т. 30, вып. 3, с. 520.
1671. Сергеев В. С— Вести. МГУ. Сер. 1, Математика, механика,
№ 2, с. 90—93.
1672. Проблемы ориентации искусственных спутников Земли/Под
ред. С. Ф. Сингера. М.: Наука.
1673. Слесарев А. М.— В кн.: Тр. II наук. конф. молодых матема-
тик1в Украши. Кшв: Наук, думка, с. 568.
1674. Смолицкий X. Л.— Изв. АН СССР. МТТ, № 2, с. 164.
1675. Тюменева Э. М — Тр. Ташк. ун-та, вып. 275, с. 42.
1676. Тюменева Э. М.— В кн.: Материалы науч. конф. аспирантов
Ташк. ун-та. Естеств. науки. Ташкент: Фан, с. 94.
1677. Фрадлин Б. Я.— В кн.: История и методология естественных
наук. Математика, механика, физика. М.: Изд-во МГУ, вып. 4,
с. 90.
1678. Фуфаев Н. Л.— ПММ, т. 30, вып. 1, с. 143.
1679. Харламов П. В.— В кн.: К новым успехам советской науки.
Донецк, с. 206.
1680. Харламова Е. И.— ПММ, т. 30, вып. 4, с. 784.
1681. Forbat N. Anaiytische Mechanik der Schwingungen. В.
1682. Oslas J. R., Tripp J. H.— Wear, vol. 9, N 5, p. 180.
1683. Pringl R.- AJAA J., vol. 4, N 8, p. 84.
1684. Schielen W.— ZAMM, Bd. 46, Sonderheft, S. T132.
19C>7 1685. Азизов А. Г.— Тр. Ташк. ун-та, вып. 292, с. 3.
1686. Анчев А.— ПММ, т. 31, вып. 1, с. 49.
1687. Архангельский Ю. А.— Вестн. МГУ. Математика и механика,
№ 3, с. 101.
1688. Белецкий В. В.— ПММ, т. 31, вып. 6, с. 1104.
280

Год
1689. Бережной Я. А.— Инж. жури., МТТ, № 5.
1690. Бобылева Я. П.— Тр. Хабар, ин-та инж. ж.-д. трансп., вып. 29,
с. 139.
1691. Бычков Ю. П.— Прикл. механика, т. 3, вып. 6, с. 135.
1692. Климов Д. М., Степаненко Я. Я.—Инж. журн., МТТ, № 6,
с. 143.
1693. Ковалев А. М., Ковалев Ю. М.— ПММ, т. 31, вып. 3, с. 530.
1694. Неймарк Ю. И., Фуфаев Я. А. Динамика неголономных
систем. М.: Наука.
1695. Проблемы гироскопии. М.: Мир.
1696. Румянцев В. В.— Сб. вычисл. центра АН СССР. М., т. 1, с. 136.
1697. Румянцев В. В.— ПММ, т. 31, вып. 2, с. 260.
1698. Смольников Б. А.— Там же, вып. 4, с. 735.
1699. Соколов Ю. Д., Путяга Т. В., Фрадлин Б. Я.— Прикл.
механика, т. 3, вып. 10, с. 89.
1700. Hermann G.— Appl. Mech. Rev., vol. 20, N 2, p. 82.
1701. Likins P. ТУ.—J. Spacecraft and Rockets, vol. 4, N 12, p. 128.
1702. Likins P. W.- AIAA J, vol. 5, N 11, p. 207.
1703. Wallace F. В., Meirovitch Jr. L.— AIAA J., vol. 5, N 9, p. 265.
1704. Ziegler H.— Canad. Congress of Appl. Mech., vol. 3, p. 140.
W68 1705. Азизов А. Г.— Тр. Ташк. ун-та, вып. 316, с. 80.
1706. Бережной И. А.— Изв. АН СССР. МТТ, № 4, с. 305.
1707. Боуден Ф. П., Тейбор Д. Трение и смазка твердых тел. М.:
Машгиз. Т. II.
1708. Горр Г. В., Илюхин А. А.— В кн.: Математическая физика.
Киев: Наук, думка, вып. 5, с. 37.
1709. Горр Г. В., Илюхин А. А., Ковалев А. М. и др.— В кн.: 3-й
Всесоюз. съезд по теорет. и прикл. механике: Аннот. докл. М.:
Наука, с. 102.
1710. Горр Г. В., Илюхин А. А., Кузъменко В. К.— В кн.:
Математическая физика. Киев: Наук, думка, вып. 5, с. 46.
1711. Девянин Е. Л., Ишлинский А. Ю., Климов Д. М.— В кн.:
Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, т. 1, с. 245—264.
1712. Демин В. Г. Движение искусственного спутника в
нецентральном поле тяготения. М.: Наука.
1713. Депри А.— В кн.: Механика: Сб. пер., № 2, с. 3.
1714. Докшевич А. И.— В кн.: Математическая физика. Киев: Наук.
думка, вып. 5, с. 68.
1715. Докшевич А. Я.—Прикл. механика, т. 4, вып. 11, с. 95.
1716. Златоустов В. А.у Садов Ю. А., Сарычев В. А., Торжевский
А. Я.— В кн.: 3-й Всесоюз. съезд по теорет. и прикл.
механике: Аннот. докл. М., с. 125.
1717. Зубов В. И.— Там же, с. 139.
1718. Ковалев А. М.— В кн.: Математическая физика. Киев: Наук,
думка, вып. 5, с. 87—102.
1719. Ковалев А. М.— ПММ, т. 32, вып. 3, с. 535.
1720. Ковалев А. М.— Там же, вып. 6, с. 1111.
1721. Коносевич Б. И., Позднякова Е. В., Савченко А. Я.,
Харламова Е. И.— В кн.: 3-й Всесоюз. съезд по теорет. и прикл.
механике: Аннот. докл. М.: с. 169.
1722. Коносевич Б. Я., Позднякова Е. Я.— ПММ, т. 32, вып. 3, с. 544.
1723. Краеелъский И. В.— Трение и износ. М.: Машгиз.
1724. Красовский Я. Я. Теория управления движением. М.: Наука.
1725. Кудряшова Л. В., Мозалевская Г. Я.— В кн.: Математическая
физика. Киев: Наук, думка, вып. 5, с. 139—150.
1726. Марченко Е. А., Непомнящий Е. Ф., Харач Г. М— ДАН
СССР, т. 181, № 5, с. 1103.
1727. Мозалевская Г. В.— В кн.: Математическая физика. Киев:
Наук, думка, вып. 5, с. 159.
19 Заказ № 1377
281

Год
1728. Неймарк Ю. И. Динамика неголономных систем.— В кн.:
Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, т. 1, с. 171. /
1729. Николаев В. И. Фрикционные свойства полимеров в
различных физических состояниях. М.: Моск. пед. ин-т.
1730. Николенко И. В.— Прикл. механика, т. 4, вып. 4, с. 84.
1731. Николенко И. В.— Укр. мат. журн., т. 20, N° 1, с. 127.
1732. Путята Т. В., Лаптев Б. Л., Розенфельд Б. А., Фрадлин Б. Н.
Александр Петрович Котельников. М.: Наука.
1733. Румянцев В. В.— ПММ, т. 32, вып. 3, с. 504.
1734. Румянцев В. В.— В кн.: Космические исследования, т. 6, с. 602.
J735. Гамме Г. В.— В кн.: Вопросы трения и проблемы смазки. М.:
Наука.
1736. Тюменева Э. М.— Изв. АН УзССР. Техн. науки, № 5, с. 51.
1737. Тюменева Э. М — Науч. тр. Ташк. ун-та, вып. 316, с. 157—177.
1738. Харламова Е. И., Мозалевская Г. В.— В кн.: Математическая
физика. Киев: Наук, думка, вып. 5, с. 194.
1739. Харламова Е. И.— ПММ, т. 32, вып. 2, с. 298.
1740. Чикин В. А.— В кн.: Сб. науч.-метод. статей по теорет.
механике. М.: Высш. школа, вып. 2, с. 112.
1741. Шульгин А. М — Науч. тр. Ташк. ун-та, вып. 316, с. 61.
1742. Шульгин А. М.— Изв. АН УзССР. Техн. науки, № 3, с. 30.
1743. Шульгин А. М.— Докл. АН УзССР, № 9, с. 13.
1744. Шульгина И. М.— Науч. тр. Ташк. ун-та, вып. 316, с. 125, 145.
1745. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.:
Мир.
1746. Bentsik Е — Rend. sem. mat. univ. Padova, vol. 41, p. 252.
(Рус. пер. в кн.: Механика: Сб. пер., 1970, № 2, с. 3).
1747. Totaro С— Ibid., vol. 40, p. 144. (Рус. пер. в кн.: Механика:
Сб. пер, 1969, №4, с. 3).
1748. Totaro С— Ibid, р. 299.
1749. Totaro С- Ibid, vol. 41, p. 181—197.
1969 1750. Александров Е. В., Соколинский В. Б. Прикладная теория и
расчеты ударных систем. М.: Наука.
1751. Боголюбов Н. Н., Митрополъский Ю. Л, Самойленко А. М.
Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев:
Наук, думка.
1752. Ганиев Р. Ф.— Прикл. механика, т. 5, вып. 1, с. 32.
1753. Горр Г. В.—В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 1, с. 46.
1754. Горр Г. В.— Там же, с. 52.
1755. Горр Г. В.— Там же, с. 59.
1756. Горр Г. В.—Там же, с. 89—102.
1757. Добронравов В. В.—В кн.: Механика космического полета.
М.: Мапггиз, с. 160.
1758. Докшевич А. И.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 1, с. 73.
1759. Докшевич А. И.— Там же, с. 81.
1760. Ковалев А. М.— Там же, с. 12.
1761. Космодемьянская Г. Н.— В кн.: Механика космического
полета. М.: Машгиз, с. 270.
1762. Крагельский И. В., Гриб В. В., Алексеев Н. М., Семенов А. В.—
Машиностроение, № 1, с. 115.
1763. Летов А. М. Динамика полета и управление. М.: Наука.
1764. Мозалевская Г. В.— В кн.: Механика твердого тела. Киев:
Наук, думка, вып. 1, с. 34—46.
1765. Новоселов В. С. Аналитическая механика систем с
переменными массами. Л.: Изд-во ЛГУ.
1766. Сергеев В. С— Вести. МГУ. Сер. 1, Математика, механика,
№ 1, с. 40.
282

Год
1767. Сергеев В. С— Там же, № 6, с. 102.
1768. Склянский А. Л.—Докл. АН УССР (А). Физ-техн. и мат.
науки, № 7, с. 636.
1769. Степанова Л. А.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 1, с. 65.
1770. Харламов П. В.— Там же, с. 77.
1771. Харламова Е. И., Харламов П. В.— ДАН СССР, т. 189, № 5,
с. 967.
1772. Харламова Е. П., Харламов П. В.— Там же, т. 188, № 4, с. 770.
1773. Харламова Е. И.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 1, с. 5.
1774. Харламова Е. И.— Там же, с. 102.
1775. Харламова Е. И., Харламов П. В.— Там же, с. 28.
1776. Харламова Е. //.— Там же, с. 107.
1777. Харламов П. В., Ковалева Л. М.— Докл. АН УССР (А), № 12,
с. 1104.
1778. Schippy D. Л, Shome P. L.— J. Astronaut. Sci., vol. 16, N 1.
1779. Yn E. J.— J. Spacecraft and Rockets, vol. 6, N 8, p. 48.
2970 1780. Архангельский Ю. Л.— ПММ, т. 34, вып. 5, с. 973.
1781. Бобылева Н. Н.— Тр. Хабар, ин-та ж.-д. трансп., вып. 42, с. 26.
1782. Горр Г. В.— ПММ, т. 34, вып. 6, с. 1139.
1783. Горр Г. В.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 2, с. 80.
1784. Горр Г. В., Савченко А. Я.— Там же, с. 66.
1785. Добронравов В. В. Основы динамики неголономных систем.
М.: Высш. школа.
1786. Докшевич А. И.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 2, с. 8.
1787. Докшевич А. И.— Там же, с. 12.
1788. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических
систем*: Л.: Судостроение.
1789. Князев Г. И,— В кн.: Добронравов В. В. Основы механики
неголономных систем. М.: Высш. школа, с. 217—236.
1790. Ковалева Л. М — В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 2, с. 27.
1791. Ковалева Л. М.— Там же, с. 79.
1792. Ковалев А. М.— Там же, с. 37.
1793. Ковалев А. М.— Там же, с. 45.
1794. Ковалев А. М.— ПММ, т. 34, вып. 3, с. 567.
1795. Козлов В. В.— Вести. МГУ. Сер. 1, Математика, механика,
вып. 5, с. 962.
1796. Коносевич Б. И., Позднякович Е. В.— В кн.: Механика
твердого тела. Киев: Наук, думка, вып. 2, с. 77.
1797. Крагёлъский И, В., Михин Н. М., Ляпин К. С—
Машиностроение, № 3, с. 92.
1798. Кудряшова Л. В., Мозалевская Г. В.— В кн.: История и
методология естественных наук. М.: Изд-во МГУ, вып. 9, с. 44—
58.
1799. Мозалевская Г. В.— В кн.: Механика твердого тела. Киев:
Наук, думка, вып. 2, с. 23.
1800. Мозалевская Г. В.— Там же, с. 73.
1801. Путята Т. В., Фрадлин Б. Н. Ярослав Иванович Грдина. М.:
Наука.
1802. Румянцев В. В.— ПММ, т. 34, вып. 3, с. 403.
1803. Садов 10. А. Переменные действие — угол в задаче Эйлера —
Пуансо. М.: ИПМ АН СССР.
1804. Сигитов М. Н — В кн.: Математика и механика. Алма-Ата,
вып. 1, с. 177.
283
19*

Год
1805. Степанова Л. А.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 2, с. 59. у
1806. Степанова Л. А.— Там же, с. 51. '
1807. Тюменема Э. Ж.— Тр. Ташк. политехи, ин-та, вып. 67, с. 142.
1808. Харламов П. В., Ковалева Л. Ж.— В кн.: Механика твердого
тела. Киев: Наук, думка, вып. 2, с. 3.
1809. Харламова Е. И.— Там же, с. 35.
1810. Magnus К.— ZAMP, Bd. 21, N 4. (Рус. пер. в кн.: Механика:
Сб. пер., 1971, т. 141, № 5, с. 80).
1811. Mingori D. L.— L Appl. Mech., vol. 37 (SE), N 2, p. 72.
1812. Triolo R.— Atti 1st. Veneto, sci., lett., art!., CI. sci., mat., nat.,
1970—1971, vol. 129, p. 315. (Рус. пер. в кн.: Механика: Сб. пер.,
1973, т. 141, №5, с. 43).
1971 1813. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. М.:
Наука.
1814. Горр Г. В.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 3, с. 95.
1815. Горр Г. В., Савченко А. Я.— Там же, с. 64.
1816. Горр Г. В., Левицкая Г. Д.— Там же, с. 101.
1817. Горр Г. В., Бурлака П. М.— Там же, с. 140.
1818. Горр Г. В.у Ковалев А. Ж., Савченко А. Я.— Там же, с. 114.
1819. Горр Г. В., Бурлака П. И,— Там же, с. 147.
1820. Гуляев Ж. П.— В кн.: Математика и механика: Тез. докл. 4-й
Каз. межвуз. науч. конф. по математике и механике. Алма-
Ата, с. 23.
1821. Дерягин Б. В., Ратнер С. Б., Футран Ж. В.— ДАН СССР, т. 192,
с. 1137.
1822. Диментберг Ф. Ж. Метод винтов в прикладной механике. М.:
Машгиз.
1823. Довлетов М — Науч. тр. Ташк. ун-та, вып. 397, с. 49.
1824. Докшевич А. Я.—В кн.: Механика твердого тела. Киев.:
Наук, думка, вып. 3, с. 32.
1825. И в лев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося
пластического тела. М.: Наука.
1826. Калман Р., Фаль П., Арбиб Ж. Очерки по математической
теории систем. М.: Мир.
1827. Ковалева Л. Ж.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 3, с. 79.
1828. Ковалев А. Ж.— Там же, с. 25.
1829. Кудряшова Л. В.— В кн.: История и методология
естественных наук. М.: Изд-во МГУ, вып. И, с. 223.
1830. Малеев П. И. Новые типы гироскопов. Л.: Судостроение.
1831. Жеркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.:
Наука.
1832. Житрополъский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной
механике. Киев: Наук, думка.
1833. Жозалевская Г. В.— В кн.: Механика твердого тела. Киев:
Наук, думка, вып. 3, с. 75.
1834. Жозалевская Г. В.— Там же, с. 87.
1835. Жозалевская Г. В.— Там же, с. 136.
1836. Опейко Ф. А. Математическая теория трения. Минск: Наука
и техника.
1837. Пельпор Д. С. Гироскопические системы: М.: Высш. школа.
Т. I, II.
1838. Склянский А. Л.— Докл. АН УССР (А). Физ-техн. и мат.
науки, № 7, с. 601.
1839. Склянский А. Л.—В кн.: Приближенные и качественные
методы теории дифференциальных и интегральных уравнений.
Киев: Ин-т математики АН УССР, с. 282.
284

Год
1840. Степанова Л. А.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 3, с. 106.
1841. Степанова Л. А.— Там же, с. 111.
1842. Титкова С. О.— В кн.: Сб. науч-метод. статей по теорет.
механике. М.: Высш. школа, вып. 2, с. 47.
1843. Тюменева Э. М.— Науч. тр. Ташк. ун-та, вып. 397, с. 27.
1844. Харламова Е. II., Кудряшова Л. В.— В кн.: Механика
твердого тела. Киев: Наук, думка, вып. 3, с. 3.
1845. Харламова Е. И., Харламов П. В.— Там же, с. 12.
1846. Харламова Е. И.— Там же, с. 130.
1847. Харламова Е. И.— Там же, с. 16.
1848. Харламова Е. И.— Там же, с. 28.
1849. Харламова Е. И.— Там же, с. 38.
1850. Харламова Е. И.— Там же, с. 90.
1851. Харламов П. В.— Там же, с. 57.
1852. Харламов П. В.— Там же, с. 120.
1853. Харламов П. В., Харламова Е. И.— Там же, с. 132.
1854. Шабанов П. А.— В кн.: Материалы Юбил. науч-техн. конф.
мех. фак. Иркут. политехи, ин-та. Иркутск, с. 46.
1855. Шульгин А. М — Науч. тр. Ташк. ун-та. Новая сер., Мат.
науки. Механика, вып. 397, с. 67, 76.
1856. Agostinelli С— Boll. Unione mat. ItaL, t. 6, N 2, p. 279. (Рус.
пер.: Механика: Сб. пер., 1974, № 1, с. 34).
1857. Deleanu S., Irlmiciuc N., Neagu G.— Lucr. sti. Inst, mine,
Petrosal (4), t. 8, pt2, p. 95.
1858. Magnus K. Kreisel.— Theorie und Anwendungen. B. etc. (Рус.
пер.: Магнус К. Гироскоп, теория и применение. М.: Мир,
1974).
1859. Bice Г.— J. Mech. and Phys. of Solids, vol. 19, N 6, p. 68.
1972 1860. Акмухаммедов А.— Изв. АН ТССР. Сер. физ.-техн. хим. и
геол. наук, № 5, с. 22.
1861. Акмухаммедов А.— Там же, № 6, с. 36.
1862. Архангельский Ю. Л.— ПММ, т. 36, вып. 1, с. 138.
1863. Белецкий В. В.— В кн.: XIII Междунар. конгр. по теорет.
механике (1972): Аннот. докл. М.: Наука, с. 32. (См. также:
Celest, Mcch., vol. 6, N 3, 1972, p. 356—378).
1864. Белецкий В. В.— В кн.: II Четаев. конф. по аналит.
механике, устойчивости движения и оптим. упр. (Казань 24—26.1
1973): Аннот. докл. Казань, с. 3.
1865. Белецкий В. В., Хентов А. А.— Там же, с. 23.
1866. Белецкий В. В., Торжевский А. П.— ДАН СССР, т. 203, № 1,
с. 307.
1867. Верещагин И. Ф., Иванов А. #.— В кн.: II Четаев. конф. по
аналит. механике, устойчивости и оптим. упр.: Аннот. докл.
Казань, с. 6.
1868. Видякин В. В.— Астрон. жури., т. 3, с. 641.
1869. Вчерашник П. П., Мигуца Д. А.— Прикл. механика, т. 8, вып.
10, с. 111.
1870. Горр Г. В.—В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 4, с. 105.
1871. Горр Г. В.- Там же, с. 108.
1872. Гробов В. А.— В кн.: Математическая физика. Киев: Наук,
думка, вып. 12, с. 29.
1873. Гробов В. А., Кантемир И. И.— В кн.: II Четаев. конф. по
аналит. механике, устойчивости движения и оптим. упр.:
Аннот. докл. Казань, с. 28.
1874. Дикий Л. Л.—В кн.: Функциональный анализ и его
приложения, т. 6, № 4, с. 83.
285

Год
1875. Добронравов В. В.— В кн.: Сб. науч.-метод. статей по теорет.
механике. М.: Высш. школа, вып. 3, с. 3—16. /
1876. Докшевич А. И.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Йаук.
думка, вып. 4, с. 3.
1877. Ишлинский А. Ю.— В кн.: XIII Междунар. коигр. по теорет.
механике (Москва, 21—26.VIII 1972): Аннот. докл. М.: Наука,
с. 15.
1878. Ковалев А. М., Киселев А. И.— В кн.: Механика твердого тела.
Киев: Наук, думка, вып. 4, с. 36.
1879. Ковалева Л. М— Там же, с. 99.
1880. Котляков В. Н. Теория гироскопических компасов. М.: Наука.
1881. Кузьмин Л. К.— В кн.: II Четаев. конф. но аналит. механике,
устойчивости движения и оптим. упр.: Аннот. докл. Казань,
с. 34.
1882. Кудряшова Л. В.— В кн.: Проблемы истории математики и
механики. М.: Изд-во МГУ, вып. 1, с. 91.
1883. Лавровский Э. К,— В кн.: II Четаев. конф. по аналит.
механике, устойчивости движения и оптим. упр.: Аннот. докл.
Казань, с. 71.
1884. Лунц Я. Л. Введение в теорию гироскопов. М.: Наука.
1885. Мозалевская Г. В.— В кн.: Механика твердого тела. Киев:
Наук, думка, вып. 4, с. 25.
1886. Набиуллин М. К.— В кн.: II Четаев. конф. по аналит.
механике, устойчивости движения и оптим. упр.: Аннот. докл.
Казань, с. 40.
1887. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории
нелинейных колебаний. М.: Наука.
1888. Немо А. Л.— Тр. Казан, астрон. обе, т. 38, с. 74—92.
1889. Обносов К. £.— Науч. тр. Ташк. ун-та, вып. 422, с. 39.
1890. Радыш Ю. В., Шахновский С. М — В кн.: Сб. науч.-метод.
статей по теорет. механике. М.: Высш. школа, вып. 3, с. 70.
1891. Савченко А. Я.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 4, с. 48.
1892. Тюменева Э. М.— Науч. тр. Ташк. ун-та, вып. 422, с. 75.
1893. Фрадлин Б. Н.— В кн.: История механики с конца XVIII до
середины XX в. М.: Наука, с. 86—115.
1894. Фрадлин Б. Н., Рощупкин Л. Д.—В кн.: II Четаев. конф. по
аналит. механике, устойчивости движения и оптим. упр.:
Аннот. докл. Казань, с. 15.
1895. Харламов П. В.— Там же, с. 16.
1896. Харламов П. В.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 4, с. 73.
1897. Харламов П. В.— Там же, с. 52—73.
1898. Харламов П. В., Мозалевская Г. В.— Там же, с. 8.
1899. Харламов П. В., Харламова Е. И., Климов Д. М. и др.— В кн.:
XIII Междунар. конгр. по теорет. и прикл. механике: Аннот.
докл. М.: Наука, с. 60.
1900. Харламова Е. И.— В кн.: Механика твердого тела. Киев:
Наук, думка, вып. 4, с. 15.
1901. Харламова Е. И., Ковалева Л. М.— Там же, с. 92.
1902. Целъман Ф. X.— В кн.: II Четаев. конф. по аналит. механике,
устойчивости движения и оптим. упр.: Аннот. докл. Казань,
с. 17.
1903. Целъман Ф. X.— ДАН СССР, т. 207, № 3, с. 560.
1904. Чуев М. А.— В кн.: Сб. науч.-метод. статей по теорет.
механике. М.: Высш. школа, вып. 3, с. 75.
1905. Шульгин А. М., Левченко Ю. В.— Науч. тр. Ташк. ун-та,
вып. 422, с. 46.
1906. Bojgey F.— J. тёс, t. И, N 3, р. 521—543.
286

Год
1907. Deleanu S., Irimiciuc N., Stancu M.— Bull. Inst, polyt. Jasi
(4), t. 18, N3/4, p. 51.
1908. Дубошин Г. Я— Celest. Mech., vol. 6, N 1, p. 27—39.
1909. Paskaloff G., Kapitonova M.— Natura, Ёс. norm, super.
Plovdiv, t. 5, N 1, p. 7.
1910. Troilo R.— Rend. sem. mat. Univ. Padova, 1971—1972, vol. 46,
p. 329.
1911. Wiedemann D., Wiedemann K.— Amer. J. Phys., vol. 40, N 12,
p. 1862.
1973 1912. Андреев В. Д., Блюмин И. Д., Девянин Е. А., Климов Д. М.—
В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных
систем. М.: Наука, с. 33—72.
1913. Аржаных И. С, Топорова В. Я.— Изв. АН УзССР. Сер. физ.-
мат. наук, № 4, с. И.
1914. Балаева И. А.— Изв. АН СССР. МТТ, № 4, с. 15.
1915. Белецкий В. В.— Науч. тр. Ин-та механики МГУ, вып. 29,
с. 97-118.
1916. Богоявленский А. А.— ПММ, т. 37, вып. 6, с. 1135.
1917. Бранец В. Я., Шмыглевский И. Я. Применение квартенионов
в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука.
1918. Вейерштрасс К. Письма к С. Ковалевской. М.: Наука.
1919. Вершинин Б. А.— В кн.: Сб. Ин-та механики. М.: Изд-во МГУ,
№ 1, с. 136.
1920. Гробов В. А., Завражина Я. М.— Прикл. механика, т. 9,
вып. И, с. 69.
1921. Гробов В. А., Лебедев Д. В.—Там же, вып. 9, с. 131.
1922. Гуляев М. П.— ПММ, т. 37, вып. 4, с. 746.
1923. Демин В. Г., Темирбаева М. К.— В кн.: Проблемы механики
управления движения. Пермь, вып. 3, с. 77.
1924. Докшевич А. Я.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 5, с. 3.
1925. Ефименко Г. Г.— В кн.: Космические исследования, т. И,
№ 3, с. 484.
1926. Калинович В. Я.— В кн.: Развитие механики
гироскопических и инерциальных систем. М.: Наука, с. 342.
1927. Кудряшова Л. В., Степанова Л. А.— В кн.: Механика
твердого тела. Киев: Наук, думка, вып. 5, с. 39.
1928. Кудряшова Л. В., Степанова Л. А.— Там же, с. 33.
1929. Кудряшова Л. В., Степанова Л. А.— В кн.: История и
методология естественных наук. М.: Изд-во МГУ, вып. 14, с. 225—
241.
1930. Кудряшова Л. В., Степанова Л. А.— Там же, с. 242.
1931. Лебедев Д. В.— ПММ, т. 9, вып. 4, с. 87.
1932. Локшин Б. Я.— Вестн. МГУ. Сер. 1, Математика, механика,
№ 4 с. 79.
1933. Локтионов В. М.— Тр. МВТУ, т. 162, с. 80.
1934. Меркин Д. Р.—В кн.: Развитие механики гироскопических и
инерциальных систем. М.: Наука, с. 354—367.
1935. Пономарев Б. В.— В кн.: Некоторые задачи механики
скоростного рельсового транспорта. Киев: Наук, думка, с. 75—92.
1936. Развитие механики гироскопических и инерциальных систем:
Сб. статей, посвящ. А. Ю. Ишлинскому. М.: Наука.
1937. Савин Г. Я, Путята Т. В., Фрадлин Б. Я. Курс теоретической
механики. Киев: Вища школа.
1938. Савченко Л. Я., Лесина М. Е — В кн.: Механика твердого
тела. Киев: Наук, думка, вып. 5, с. 30.
1939. Седунова С. П.— Науч. тр. Челяб. политехи, ин-та, вып. 129,
с. 207.
287

Год
1940. Старшинский В. М.— Изв. АН СССР. МТТ, № 4, с. 121.
1941. Степанова Л. А.— В кн.: Механика твердого тела. Киев:Д1аук.
думка, вып. 5, с. 24. /
1942. Ткаченко А. И — Прикл. механика, т. 9, вып. 7, с. 126.
1943. Троило Р.— В кн.: Механика: Сб. пер., № 5, с. 42.
1944. Фрадлин Б. И., Рощупкин Л. Д.— Прикл. механика, т. 9,
вып. 1, с. 3.
1945. Фрадлин Б. //., Слюсаренко В. М— В кн.: Наука и техника.
Л., вып. 8, ч. 2, с. 56.
1946. Харламов П. В., Мозалевская Г. В.— В кн.: Механика
твердого тела. Киев: Наук, думка, вып. 5, с. 5—24.
1947. Харламова Е. И.— Там же, с. 69.
1948. Харламова Е. И., Кудряшова Л. Я—Докл. АН УССР (А),
№ И, с. 1030.
1949. Целъман Ф. X.— ПММ, т. 37, вып. 3, с. 544.
1950. Anaya G., Berrondo A., Flores J.— Rev. mec, fis., t. 21, p. 67.
1951. Deleanu S., Jrimiciuc N., Jbanescu J.— Bui. Inst, polit. Jasi (4),
t. 19, N 1—2, p. 25.
1952. Каре Т. R.- Trans. ASME, E. 40, N 4, p. 1118.
1953. Каре Т. R., Chia B. S.— Ibid., p. 105.
1954. Magnus K— Jahrb. Dtsch. Ges. Luft- und Raumfahrt, (1972).
Braunschweig, S. 11—26.
1955. Mettler E.— Acta mec, Bd. 18, N 1/2, S. 117—140.
1956. DVrgeval В.— Bull. CI. sci. Acad. Roy. Belgique, t. 59, N 2,
p. 89—113.
1974 1957. Арнольд В. И. Математические методы классической
механики. М.: Наука.
1958. Белецкий В. В., Трушин С. И.— В кн.: Механика твердого
тела. Киев: Наук, думка, вып. 6, с. 69—86.
1959. Бережной И. А., Цейлер В. И.— Изв. АН СССР. МТТ, № 4,
с. 209.
1960. Бобылева Н. #.— Изв. вузов. Машиностроение, № 11, с. 68.
1961. Богоявленский А. А.— Изв. АН СССР. МТТ, № 2, с. 27.
1962. Богоявленский А. А.— ПММ, т. 38, вып. 4, с. 757.
1963. Болотникова Я. А.— В кн.: Тр. VIII Чтений К. Э.
Циолковского: Механика космического полета. М., с. 182.
1964. Бурлака П. М.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук
думка, вып. 7, с. 96.
1965. Бурлака П. М., Горр Г. В.— Там же, с. 3.
1966. Валеев К. Г.— Там же, с. 28.
1967. Горр Г. В., Бурлака П. М.— Там же, вып. 6, с. 107.
1968. Горр Г. В., Илюхин А. А.— Там же, с. 9.
1969. Горр Г. В., Илюхин А. А., Харламова Е. Я.—Там же, с. 3.
1970. Гробов В. А.у Кантемир И. И.— Там же, с. 133.
1971. Демин В. Г., Киселев Ф. И.— ПММ, т. 38, вып. 2, с. 224.
1972. Добронравов В. В.— В кн.: Тр. II Чтений им. Ф. А. Цандера:
Астродинамика. М.: Наука, с. 4.
1973. Докшевич А. И.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 7, с. 17.
1974. Докшевич А. И.— Там же, вып. 6, с. 38.
1975. Докшевич А. И.— Там же, с. 48.
1976. Елфимов В. С— Там же, вып. 7, с. 41.
1977. Ковалев А. М.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 7, с. 36.
1978. Ковалев А. И.— Там же, с. 45.
1979. Ковалева Л. М.— Там же, с. 91.
1980. Ковалева Л. М — Там же, вып. 6, с. 86.
1981. Ковалева Л. М.— Там же, с. 93.
288

Год
1982. Коренев Г. В. Цель и приспособляемость движения. М.:
Наука.
1983. Матвеенко С. М.— Вестн. Киев, политехи, ин-та. Сер. физ.,
мат. Киев: Наук, думка, вып. 1, с. 53.
1984. Кудряшова Л. В., Степанова Л. А.— В кн.: История и
методология естественных наук. Математика и механика. М.: Изд-
во МГУ, вып. 16, с. 224—235.
1985. Лобас Л. Г.— Вестн. Киев, политехи, ин-та. Сер. физ. мат.,
Киев: Наук, думка, вып. 1, с. 59.
1986. Максак В. И.— В кн.: Проблемы трения и изнашивания. Киев:
Техника, вып. 5.
1987. Меркин Д. Р.— ПММ, т. 38, вып. 2, с. 228.
1988. Мозалевская Г. В.— В кн.: Механика твердого тела. Киев:
Наук, думка, вып. 6, с. 34.
1989. Позднякович Е. В., Савченко А. Я.— Там же, с. ИЗ.
1990. Раушенбах Б. В., Токарь Е. Н. Управление ориентацией
космических аппаратов. М.: Наука.
1991. Савченко А. Я.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 7, с. 48.
1992. Савченко А. Я., Лесина М. Е — Там же, с. 52.
1993. Савченко А. Я.— Прикл. механика, т. 10, вып. 12, с. 71.
1994. С еду нова С. Я.—Вестн. МГУ. Сер. 1, Математика, механика,
№ 3, с. 94.
1995. Степанова Л. А.— Прикл. механика, т. 10, вып. 12, с. 78.
1996. Степанова Л. А.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 7, с. 22.
1997. Степанова Л. А.— Там же, с. 86.
1998. Харламов П. В.— Там же, с. 9.
1999. Харламов П. В.— Там же, вып. 6, с. 15.
2000. Харламов П. В.— Там же, с. 25.
2001. Харламова Е. И., Кудряшова Л. В.— Там же, с. 102.
2002. Харламова Е. И., Кудряшова Л. В., Мозалевская Г. В.— Там
же, вып. 7, с. 59—82.
2003. Харламова Е. И., Кудряшова Л. В., Мозалевская Г. В.— Там
же, с. 82.
2004. Харламова Е. И., Кудряшова Л. В.— Там же, с. 25.
2005. Харламова Е. И., Кудряшова Л. В.— Прикл. механика, т. 10,
вып. 12, с. 60.
2006. Шуваев Н. А.— Учен. зап. Горьк. ун-та. Сер. мех., вып. 174,
с. 55.
2007. Buchuaroy S. N., Arnaoudov К. S.— Докл. Бълг. АН, т. 27, № 1,
с. 19.
1975 2008. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс
в гравитационном поле. М.: Изд-во МГУ.
2009. Бережной И. А., Ивлев Д. Д., Цейлер В. И.— В кн.: Механика
деформируемых тел и конструкций. М.: Машгиз.
2010. Богоявленский А. А.— В кн.: Проблемы аналитической
механики, теории устойчивости и управления. М.: Наука, с. 66.
2011. Булархиев С, Киселев Ф. И.— В кн.: Сб. науч.-метод. статей
по теорет. механике. М.: Высш. школа, вып. 5, с. 143.
2012. Галиуллин И. А.— Там же, с. 49.
2013. Григорьян А. Г., Фрадлин Б. Н., Рощупкин Л. Д.—Вопросы
истории естествознания и техники, т. 1 (50), с. 45.
2014. Гуляев М. Я.— В кн.: Сб. науч.-метод. статей по теорет.
механике. М.: Высш. школа, вып. 5, с. 130.
2015. Добронравов В. В.— Там же, с. 44.
2016. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука. ^
2017. История механики гироскопических систем: Сб. статей. М.:
Наука.
289

Год
2018. Козлов В. В.— Вести. МГУ. Сер. 1, Математика, механика,
№ 1, с. 105. /
2019. Козлов В. В.— ПММ, т. 39, вып. 1, с. 24; вып. 3, с. 407.
2020. Крементуло В. В.— В кн.: Сб. науч.-метод. статей по теорет.
механике. М.: Высш. школа, вып. 5, с. 38.
2021. Кудряшова Л. В.— В кн.: Проблемы истории математики и
механики. М.: Изд-во МГУ, вып. 2, с. 40.
2022. Кудряшова Л. В.— Там же, с. 44.
2023. Маркевич М. Г.— В кн.: Сб. науч.-метод. статен по теорет.
механике. М.: Высш. школа, вып. 5, с. 68.
2024. Михайлов Г. К.— Реф. 9А4К. РЖ. Механика. М.: ВИНИТИ.
2025. Повстенко В. В.— В кн.: Проблемы истории математики и
механики. М.: Изд-во МГУ, вып. 2, с. 59.
2026. Повстенко В. В.— Там же, с. 65.
2027. Рубановский В. Я.— Изв. АН СССР. МТТ, вып. 4, с. 58.
2028. Сурков Ю. Я.— В кн.: Сб. науч.-метод. статей по теорет.
механике. М.: Высш. школа, вып. 5, с. 56.
2029. Фрадлин Б. Н., Бирнштейн В. М.— В кн.: Проблемы истории
математики и механики. М.: Изд-во МГУ, вып. 2, с. 53.
2030. Фрадлин Б. Н., Слюсаренко В. М — Прикл. механика, т. И,
вып. 3, с. 3—15.
2031. Харламов П. В.— В кн.: История механики гироскопических
систем. М.: Наука, с. 5—19.
1976 2032. Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. Колебания твердых тел. М.:
Наука.
2033. Горр Г. В., Коваль В. Я.— В кн.: Механика твердого тела.
Киев: Наук, думка, вып. 8, с. 33.
2034. Демин В. Г., Степанова Л. А.— Прикл. механика, т. 12, вып. 9,
с. 3—17.
2035. Докшевич А. И.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 8, с. 57.
2036. Ержанов Ж. С, Колыбаев А. А.— Прикл. механика, т. 12,
вып. И, с. 33.
2037. Илюхин А. А., Ковалев А. М.— В кн.: Механика твердого
тела. Киев: Наук, думка, вып. 8, с. 65.
2038. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная
навигация. М.: Наука.
2039. Ковалев А. М.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 8, с. 3.
2040. Кондударъ В. Г., Троицкая Л. С—Там же, с. 89.
2041. Никитина И. В.— Прикл. механика, т. 12, вып. 8, с. 119.
2042. Степанова Л. А.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 8, с. 76.
2043. Силин А. А. Трение и его роль в развитии техники. М.:
Наука.
2044. Фрадлин Б. Н., Рощупкин Л. Д.— Прикл. механика, т. 12,
вып. 4, с. 3.
2045. Фрадлин Б. Н., Рощупкин Л. Д.— В кн.: Проблемы
аналитической механики, теории устойчивости и управления. Казань:
Казан, авиац. ин-т, т. II, с. 330.
2046. Фрадлин Б. И., Вржижевский Л. Ф — В кн.: Мат. сб., Киев,
с. 155.
2047. Харламов М. П.— В кн.: Механика твердого тела. Киев: Наук,
думка, вып. 8, с. 4—18.
2048. Харламов М. П.— Там же, с. 18.
2049. Харламов П. В.— Там же, с. 37—56.
2050. Харламова Е. И.— Там же, с. 72.
2051. Харламова Е. И., Горр Г. В.— Там же, с. 23.
290

2052. Херрик С. Астродинамика. М.: Мир. т. I—III.
2053. Архангельский Ю. А.— Аналитическая динамика твердого
тела. М.: Наука.
2054. Коренев Г. В. Введение в механику человека. М.: Наука.
2055. Михин Н. М. Внешнее трение твердых тел. М.: Наука.
2056. Пановко Я. Г. Введение в теорию механического удара. М.:
Наука.
2057. Полищук Е. М. Вито Вольтерра. М.; Наука.
1978 2058. Горр Г. В., Кудряшова Л. В., Степанова Л. А. Классические
задачи динамики твердого тела. Киев: Наук, думка.
2059. Диментберг Ф. М. Теория винтов и ее приложения. М.:
Наука.
1979 2060. Левитас В. И.— Изв. АН СССР. Механика и машиностроение,
№ 3, с. 84.
2061. Левитас В. И.— Укр. физ. журн., № 1, с. 118.
2062. Тюлина И. А. История и методология механики. М.: Изд-во
МГУ.

ОГЛАВЛЕНИЕ
/
От авторов 3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВАНИЯ
КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ СИСТЕМЫ
И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава первая
Доньютоновская механика 5
Глава вторая
Фундаментальные понятия и общие законы
ньютоновской механики. «Математические начала натуральной
философии» 19
Глава третья
Развитие основных понятий и законов классической
механики после Ньютона. Ретроспективная оценка
ньютоновской механики 28
Глава четвертая
Основные аксиомы и теоремы ньютоновской механики
и ее дальнейшее развитие 39
Глава пятая
Общие принципы механики ... 43
Глава шестая
Преобразование и интегрирование дифференциальных
уравнений механики 60
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ИСТОРИЯ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В XVIII ВЕКЕ
Глава первая
Наследие XVII века 67
Глава вторая
Леонард Эйлер 72
292

Глава третья
Жан Лерон Д'Аламбер 86
Глава четвертая
Жозеф Луи Лагранж 90
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ИСТОРИЯ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В XIX ВЕКЕ
Глава первая
Статика 100
Глава вторая
Кинематика 116
Глава третья
Динамика 133
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
РАЗВИТИЕ ОСНОВНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В XX ВЕКЕ
Введение 171
Глава первая
Движение твердого тела вокруг неподвижной точки и
однородном силовом поле 172
Глава вторая
Движение твердого тела в центральном ньютоновском
поле сил 180
Глава третья
Движение свободной системы твердых тел 184
Глава четвертая
Движение несвободного тела и системы твердых тел 188
Глава пятая
Теория устойчивости движения твердого тела .... 201
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 215
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
Первая часть 216
Вторая, третья и четвертая части 241

АШОТ ТИГРАНОВИЧ ГРПГОРЬЯН,
БОРИС НАУМОВИЧ ФРАДЛИН
*
ИСТОРИЯ
МЕХАНИКИ
ТВЕРДОГО
ТЕЛА
*
Утверждено к печати
Институтом истории
естествознания и техники
Академии наук СССР
Редактор издательства
В. П. Лишевский
Художник
А. Г. Кобрин
Художественный редактор
С. А. Литвак
Технический редактор
Н. Н. Кокина
Корректоры
А. Б. Васильев, Н. Б. Габасова
ИБ № 24274
Сдано в набор 15.02.82
Подписано к печати 07.06.82
Т-07489. Формат 60х907ю
Бумага для глубокой печати
Гарнитура обыкновенная
Печать высокая
Усл. печ. л. 18,5. Усл. кр. отт. 18,5
Уч.-изд. л. 22,1. Тираж 2700 экз. Тип. зак. 1377
Цена 2 р. 50 к.
Издательство «Наука»
117864 ГСП-7, Москва, В-485, Профсоюзная ул., 90
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер.. 10