Материал для семинара по теме:
“Переходные процессы в цепях с одним накопителем”
Алгоритм расчета переходных процессов с одним накопителем энергии
Переходные процессы, происходящие в схемах с одним накопителем энергии
(индуктивным или емкостным), описываются дифференциальными уравнениями первого
порядка. Решение таких уравнений записывается в виде суммы принужденной и свободной
составляющих тока и на
пряжения и имеет одну постоянную интегрирования, которую
находят из начальных условий. При этом свободный процесс изменяется по
экспоненциальному закону
ܣ
݁
ି
௧
Ȁ
ఛ
, где постоянная времени
߬
-
время, в течение которого
свободная составляющая тока
݅
௅௖
̏
ൌ
ܣ
ȉ
݁
ି
௧
Ȁ
ఛ
в цепи
RL
и свободная составляющая
напряжения
ܷ
஼௖
̏
ൌ
ܣ
ȉ
݁
ି
௧
Ȁ
ఛ
в цепи
RC
убывают по абсолютной величине в
е=2,718
раза.
Постоянная
времени зависит от конфигурации и параметров схемы после коммутации. Она
может быть определена графически как величина подкасательной к экспоненте
ܣ
ȉ
݁
ି
௧
Ȁ
ఛ
.
Начальные условия разделяют на зависимые и независимые, нулевые и ненулевые.
1. Находим независ
имые начальные условия (ННУ). Для этого в схеме до
коммуникации рассчитываются токи в индуктивных элементах
݅
௅
ሺ
଴
̴
ሻ
и напряжения на
емкостных элементах
ݑ
஼
ሺ
଴
̴
ሻ
, а затем используют законы коммутации
݅
௅
଴
ା
ൌ
݅
௅
଴
̴
и
ݑ
஼
ሺ
଴
ା
ሻ
ൌ
ݑ
஼
ሺ
଴
̴
ሻ
.
2. Определяем
зависимые начальные условия (ЗНУ). Для схемы после коммутации
составляем уравнения по законам Кирхгофа, которые записываются для t=0
+
, учитывая
независимые начальные условия. Полученную систему уравнений решают относительно
искомых токов и напряжений в t
=0
+
.
При нулевых начальных условиях наличие индуктивного элемента в момент t=0
+
равносильно размыканию этой ветви, а емкостного элемента
-
его короткому замыканию.
При ненулевых начальных условиях в момент t=0
+
ток через индуктивный элемент
равен
݅
௅
଴
ା
, а напряжение на емкостном элементе равно
ݑ
஼
ሺ
଴
ା
ሻ
.

3. Для схемы после коммутации известными методами находим принужденную
составляющую тока и напряжения.
ЗНУ могут быть также найдены с помощью эквивалентных вспомогательных схем,
составленных для момента
коммутации t=0
+
.
В этом случае для схемы после коммутации при t=0
+
вместо индуктивных и
емкостных элементов включают в схему соответственно источник тока или ЭДС. Токи
источников тока по значению и направлению равны
݅
௅
଴
ା
. ЭДС источника ЭДС по значению
равна
ݑ
஼
ሺ
଴
ା
ሻ
и имеет противоположное направление. Полученные схемы без накопителей
энергии рассчитывают с помощью любого метода расчета электрических схем. При этом,
кроме искомых величин, определяют напряжение на индуктивных
ݑ
௅
ሺ
଴
ା
ሻ
и токи емкостных
݅
஼
଴
ା
элементах. Полученные значения используют в последующих эквивалентных схемах
для расчета производных при t=0
+
.
Постоянную времени в цепи с индуктивным или емкостным накопителем находим по
формуле
߬
ൌ
௅
ோ
̵̏
или
߬
ൌ
ˁ
ȉ
ܴ
̵̏
,
где
ܴ
̵̏
-
входное
сопротивление после коммутационной схемы, определяемое
относительно зажимов накопителя при закороченном источнике напряжения (с учетом его
внутреннего сопротивления) или при разрыве цепи источника тока.
Задача №1
Дано
:
R
,
L
,
U
=
const
.
Найти
: i(t), i
1
(t), i
2
(t)
,u
L
(t)
.
Решение
:
1)
В схеме
до
коммутации
определим н
езависимые начальные условия:

Для
ݐ
ൌ
Ͳ
̴
ܫ
଴
ି
ൌ
ܫ
ଵ
଴
ି
ൌ
ܫ
ଶ
଴
ି
ൌ
Ͳ
ܷ
௅
ሺ
଴
ି
ሻ
ൌ
Ͳ
Используя законы коммутации, запишем:
ܫ
ଵ
଴
ି
ൌ
ܫ
ଵ
଴
ା
ൌ
Ͳ
2) Для
схемы после
коммутаци
и
при
ݐ
ൌ
Ͳ
ା
о
преде
лим зависимые начальные условия:
ܫ
ଵ
ு
ൌ
ܫ
ଵ
଴
ି
ൌ
ܫ
ଵ
଴
ା
ൌ
Ͳ
Составляем уравнения по закону Кирхгофа
ܫ
ு
ൌ
ܫ
ଵ
ு
൅
ܫ
ଶ
ு
ܷ
ൌ
ܷ
௅ு
൅
ܫ
ଵ
ு
ȉ
ʹ
ܴ
Применяя
законы
коммутации
,
получаем
ܫ
ு
ൌ
ܫ
ଶ
ு
ൌ
ܷ
ʹ
ܴ
ܷ
௅ு
ൌ
ܷ
3)
Для
ݐ
ൌ
λ
ܫ
௬
ൌ
ܷ
ܴ
ˠˍ˅
ൌ
ܷ
ܴ

ܴ
ˠˍ˅
ൌ
ʹ
ܴ
ଵ
ȉ
ʹ
ܴ
ʹ
ܴ
ଵ
൅
ʹ
ܴ
ܫ
ଵ
௬
ൌ
ܫ
ଶ
௬
ൌ
ܷ
ʹ
ܴ
ܷ
௅௬
ൌ
ܷ
െ
ܫ
ଵ
௬
ȉ
ʹ
ܴ
ൌ
Ͳ
4)
߬
ൌ
௅
ோ
̵̏
,
ܴ
̵̏
ൌ
ʹ
ܴ
5)
i(t) =
௎
ଶ
ோ
െ
௎
ோ
ȉ
݁
మ
ೃ೟
ಽ
൅
௎
ோ
ൌ
௎
ோ
ȉ
ͳ
െ
݁
ష
మ
ೃ೟
ಽ
ݑ
௅
ݐ
ൌ
ܷ
ȉ
݁
ష
మ
ೃ೟
ಽ
Задача
№2
Дано
:
U
,
R
,
C

Найти
: i(t), i
1
(t), i
2
(t), U
C
(t).
Решение:
1)
В схеме до коммутации
определим независимые начальные условия:
Для
ݐ
ൌ
Ͳ
̴
ܫ
ଵ
ሺ
଴
ି
ሻ
ൌ
Ͳ
ܫ
଴
ି
ൌ
ܫ
ଶ
଴
ି
ൌ
௎
ଶ
ோ
ܷ
஼
଴
ି
ൌ
ܷ
஼
଴
ା
ൌ
Ͳ
2)
Для
c
хемы
после
коммутации
при
ݐ
ൌ
Ͳ
ା
о
пределим зависимые начальные условия:
ܫ
ଶ
ு
ൌ
௎
ோ
ˠˍ˅
ܴ
ˠˍ˅
ൌ
ଶ
ோ
ȉ
ଶ
ோ
ଶ
ோ
ା
ଶ
ோ
ܫ
ு
ൌ
௎
ோ
ܫ
ଵ
ு
ൌ
ܫ
ଶ
ு
ൌ
௎
ଶ
ோ
ܷ
஼ு
ൌ
ܷ
௖
଴
ି
ൌ
Ͳ
3)
Для
ݐ
ൌ
λ
Составляем уравнения по закону Кирхгофа
ܫ
௬
ൌ
ܫ
ଵ
௬
൅
ܫ
ଶ
௬
ܷ
௅௬
ൌ
ܷ
െ
ܫ
ଵ
௬
ȉ
ʹ
ܴ

ܫ
ଵ
௬
ൌ
Ͳ
ܷ
௅௬
ൌ
ܷ
ܫ
௬
ൌ
ܫ
ଶ
௬
ൌ
௎
ଶ
ோ
Задача
№3
Дано
:
U
,
R
,
C
Найти
:
i
(
t
),
i
1
(
t
),
i
С
(
t
),
U
C
(
t
).
Решение:
1)
Определим н
езависимые начальные условия:
Для
ݐ
ൌ
Ͳ
̴

ܷ
ൌ
ܷ
஼
଴
̴
൅
ܫ
஼
଴
̴
ȉ
ܴ
ൌ
Ͳ
ܷ
஼
଴
ି
ൌ
ܷ
஼
଴
ା
ൌ
ܷ
ܫ
଴
̴
ൌ
ܫ
௖
଴
̴
ൌ
Ͳ
ܫ
ଵ
଴
̴
ൌ
Ͳ
2) Для
схемы
после коммутаци
и
при
ݐ
ൌ
Ͳ
ା
о
пределим зависимые начальные условия:
ܷ
஼
଴
ା
ൌ
ܷ
஼
ு
ൌ
ܷ
Ǣ
ܷ
ൌ
ܷ
஼
ு
൅
ܫ
ு
ȉ
ܴ
Ǣ
ܫ
ு
ൌ
Ͳ
Ǣ
ܫ
ଵ
ு
ൌ
௎
಴ಹ
ோ
ൌ
௎
ோ
Ǣ
ܫ
ଵ
ு
൅
ܫ
஼ு
ൌ
ܫ
ு
Ǣ
ܫ
ଵ
ு
ൌ
െ
ܫ
஼ு
ൌ
െ
௎
ோ
;
3) При
ݐ
ൌ
λ
ܫ
௬
ൌ
ܫ
ଵ
௬
ൌ
௎
ଶ
ோ
Ǣ
ܫ
஼௬
ൌ
Ͳ
;
ܷ
஼௬
ൌ
ܫ
ଵ
௬
ȉ
ܴ
ൌ
ܷ
ʹ
ܴ
ȉ
ܴ
ൌ
ܷ
ʹ
Ǣ
4)
߬
ൌ
ܥ
ܴ
˅˘
Ǥ
,
где
ܴ
˅˘
Ǥ
ൌ
ோ
ȉ
ோ
ோ
ା
ோ
ൌ
ோ
ଶ
;
߬
ൌ
஼ோ
ଶ
;

Задача
№4
Дано
:
U
,
R
,
L
Найти
:
:
i
(
t
),
i
1
(
t
),
i
2
(
t
)
Решение:
1)
Определяем н
езависимые начальные условия:
t
= 0
ܫ
ଶ
ൌ
ܫ
ൌ
ܫ
ଵ
ൌ
Ͳ
2) Для
схемы
после коммутаци
и
при
ݐ
ൌ
Ͳ
ା
о
пределим зависимые начальные условия:
ܫ
ଵ
ு
ൌ
Ͳ
ܫ
ு
ൌ
ܫ
ଶ
ு
ൌ
ܷ
ܴ
3)
Для
ݐ
ൌ
ь
ܫ
௬
ൌ
ܫ
ଵ
௬
՜
ь
,
что следует из уравнения
݁
ݐ
ൌ
െ
ܷ
ൌ
െ
ܮ
ȉ
ௗ
௜
భ
ௗ௧

݅
ଵ
ݐ
ൌ
ܷ
ܮ
ȉ
݀ݐ
௧
଴
ൌ
ܷ
ܮ
ȉ
ݐ
݅
ଶ
ݐ
ൌ
௎
ோ
݅
ݐ
ൌ
௎
ோ
൅
௎
௅
ȉ
ݐ