/
Text
AKA ЛЕ.М И Я НА УК С С С С.Я.ЛУРЬЕ ТЕОРИЯ 4 у ДРЕВНИХ АТОМИСТОВ И. ЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИК НАУК СССР-МОСКВАЛЕНИНГРА
DEB WISSENSCHAFTEN ----1---------- DER UdSSR ABHANDLUNGEN DES INS TIT UTS FUB GESCHICHTE DEB WISSEN SCHAFT UND DEB TECHNIK REIHE 11 HEFT 5 S. LURIA DIE INFINITESIMAT.THEORIE DER ANTIKEN ATOMISTEN VERLAG DER AKADEMIE MOSKAU DER WISSENSCHAFTEN DER UdSSR 1035 LENINGRAD
АКАДЕМИЯ к СССР ТРУДЫ ИНСТИТУТА ИСТОРИИ НАУКИ и серия п ТЕХНИКИ ВЫПУСК 5 С. Я. ЛУРЬЕ ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ У ДРЕВНИХ АТОМИСТОВ ИЗДАТЕЛЬСТВО ПОСЕВА АКАДЕМИИ 1935 НАУК СССР ЛЕНИНГРАД
Напечатано по распоряжению !^ииии Наук СССР Mafi 1935 г. Непременный секретарь академик В. Волгин Редактор издания академик А. Деборин
ПРЕДИСЛОВИЕ Варвары обрушились на Римскую им- перию, как наводнение, причем корабль йауки был разбит в щепы. Философия Аристотеля и Платона, подобно облом* кам из более легкого и пустого внутри материала, была волнами времени сохра- нена до нас... Но что касается более древних из греческих ученых — Эмпе- докла, Анаксагора, Левкиппа, Демо- крита. .. то их произведения... были уничтожены в потоке времени. Ведь, время, как река: более легкое и пустое внутри оно донесло до нашего времени, более тяжелое и веское погрузило на дно. Бэкон Веруламский (Novum Organon, I, § 77. 71). Более чем 2000 лет тому назад греческие ученые выставили парадоксальную и совершенно чуждую нашим математическим пред- ставлениям теорию, по которой существует граница делимости на- полненного материей пространства; иными словами, они утверждали, что материя распадается на частицы, неделимые дальше не только Физически, Фактически (вследствие чрезвычайной твердости, скольз- кости и т. п.), но и потенциально, математически: эти частицы не имеют частей, — ни верха, ни низа, ни правой ни левой стороны. Имеет ли смысл современному читателю-неспециалисту изучать эти причудливые парадоксы? Отжившие научные системы могут представлять актуальный интерес для современности в двух отношениях: 1. Как источник тех или иных влиятельных научных представлений и систем нашего времени. Наука подобна живому организму; в науке, как и в живых организмах, имеется ряд палеонтологических пережитков, худо или хорошо переосмысленных и приспособленных к новым представле-
6 ниям, но, тем не менее, логически противоречащих представлениям новой эпохи. Изучение истории науки дает возможность понять истивное первоначальное значение этих представлений, для того чтобы либо вовсе их отбросить, либо лучше приспособить к совре- менности. В анализе бесконечно малых эта неувязка ощущается, как мы увидим ниже, наиболее резко. 2. Как одна из возможностей перестройки на- уки в будущем. Если в науке тот или иной путь в данной обстановке оказался неприменимым и неплодотворным и был оста- влен и заменен другим путем, то отсюда еще не следует, что один из них «верный», а другой «неверный». При дальнейшем прогрессе науки сплошь и рядом оказывается банкротом этот новый путь, а старый, оставленный задолго до этого, дает весьма плодотворные результаты. В этом случае именно знакомство с историей науки может вывести науку из тупика. Непосвященному может казаться, что именно математика Ев- клида и Архимеда и философия Аристотеля с их принципиальным допущением бесконечной делимости пространства легли в основу тех математических изысканий XVI и XVII вв., из которых вырос нынешний анализ. Если бы это было верно, то изучение атомисти- ческой математики древности было бы лишено большого интереса для исследователей, не занимающихся специально античностью. Но в действительности это не так. Даже средневековая христианская философия, на которой воспи- тывались крупнейшие мыслители в области математики XVII века (например, Кеплер и Кавальери), при всем отвращении к материали- стическому атомизму Демокрита и благоговении перед Аристотелем, не могла стать всецело на точку зрения бесконечной делимости пространства. Одним из важнейших источников христианской догматики был неопиФагоризм. Пифагорейцы, как мы увидим ниже, уже в IV веке до н. э. пытались перестроить атомизм так, чтобы он базировался на идеалистических предпосылках. Превратившись в не-материаль- ную монаду, атом стал почти тождественен с душой, с божествен- ным началом в мире. Эта точка зрения оказалась наиболее близкой к христианским представлениям. Поэтому, решительно отвергнув, как недопустимую ересь, атомы Демокрита, христианская филосо- фия, несмотря на все уважение ее к Аристотелю, не могла стать на разделявшуюся им позицию античной официальной математики и внесла неделимое в число исповедуемых ею положений.
7 Из сочинений Фомы Аквинского и Фомы Брадвардина (см. стр. 81, прим. 21), мы видим, что христианская философия исходила из следующего (невидимому, неопиФагорейского) положения: все конти* нуумы имеют бесконечное число атомов, но не состоят из атомов, так как всякий континуум состоит из бесконечного числа конти- нуумов такого же рода (т. е. мельчайшие части тела есть тоже тела, а не плоскости, мельчайшие части плоскости — плоскости; мельчайшие части линии — линии). Хотя христианская философия усвоила таким образом атомизм в пифагорейской трактовке, однако ее отношение к своим против- никам с двух сторон — к учению, представленному Аристотелем, отрицавшему всякие неделимые, и к атомистическому учению, исхо- дившему из чрезвычайно малых протяженных материальных неде- лимых, было совершенно различным. Взгляд Аристотеля признавался терпимым научным взглядом, взгляд Демокрита — научной ересью. «Наука истинна (лишь постольку), поскольку она не основана на предположении, что непрерывное состоит из неделимых» («Опте» scientias veras esse, ubi non supponitur continuum ex indivisibilibus componi», говорит тот же Брадвардин, противопоставляя таким образом Аристотеля Демокриту. Однако, этот пифагорейский атомизм, запрещавший составлять протяжение из неделимых, т. е. не допускавший применения метода диФеренциалов, оказался бесполезным для творческой работы. Все сколько-нибудь плодотворные и интересные попытки обновления науки, начиная с арабско-еврейских ученых и кончая поколением Кеплера и Кавальери, сознательно возвращались от Аристотеля с его непрерывностью к Демокриту и Эпикуру с их математическим атомизмом. Правда, произведений Демокрита и Эпикура, посвящен- ных этим вопросам, в то время уже не существовало; но тем любо- пытнее проследить, с какой тщательностью ученые этого времени собирали отдельные намеки и указания, касающиеся атомистиче- ской структуры пространства, из Аристотеля, его комментаторов, Диогена Лаэрция и поэмы Лукреция «О природе вещей». Вопрос о происхождении нынешнего анализа мы осветим по- дробнее во вводной статье к нашему переводу «Геометрии» Кава- льери. Но и здесь уместно вкратце коснуться этой проблемы, чтобы показать читателю, насколько неверно освещение этого вопроса, дававшееся до тех пор в научных трудах и руководствах и на- сколько важно для всякого, интересующегося этим вопросом, ознако- миться с античным математическим атомизмом.
8 Если мы обратимся к наиболее популярному руководству по истории атомизма, к книге Kurd Lasswitz, Geschichte der Atomistik,1 то прочтем там следующее удивительное замечание: «Чтобы опро- вергнуть атомистику, Аристотель сам выдумал математический атомизм, которого Демокрит никогда не выставлял». Мнение это основано, несомненно, на часто высказывавшемся в науке положе- нии, «что такой хороший математик, как Демокрит, не мог иметь ничего общего с математическим атомизмом» (см. ниже, стр. 50J, положении совершенно неверном, ибо обе концепции, и господ- ствующая ныне, и атомистическая, сами по себе допустимы в ма- тематике. Правда, в частности, относительно атомистической кон- цепции движения уже толкователи Аристотеля Симпликий и Фе- мистий выставили подобное же утверждение: Аристотель просто выдумал сам эту теорию, чтобы потом блестяще ее опровергнуть, а жалкий Эпикур попался на эту удочку (ниже, стр. 103). Но эти комментаторы, по крайней мере, знали, что Эпикур стоял на такой точке зрения; Ласвиц не знает даже этого. Еще удивительнее, что такие авторитетные специалисты по древней философии, как Лах- ман, Целлер и Узенер, повидимому, даже не понимали разницы между Физическим атомизмом и математическим, а потому математи- ческий атомизм остался ими совершенно незамеченным. Только в 1907 г. Арним впервые отметил математический атомизм у Эпи- кура, а наличие математического атомизма у Демокрита впервые отметил вскользь Э. Франк в 1923 г. И все это, несмотря на то, что ясных и недвусмысленных свидетельств о математическом ато- мизме в древности хоть отбавляй; математики XVI—XVII вв., не обладавшие эрудицией Целлера и Узенера и располагавшие меньшим количеством источников, чем эти ученые, тем не менее, не только знали о существовании математического атомизма в древности, но с гордостью объявляли себя продолжателями этого учения. Причина такой близорукости нынешних ученых заключается в том, что математик нашего времени не станет искать ответа на интересующие его принципиальные научные вопросы в античной литературе; поэтому у него нет повода заглядывать в творения древних авторов. Древностью занимаются исключительно филологи, не только слабо разбирающиеся в математических вопросах, но и совершенно не интересующиеся ими. Поразительно, например, сле- дующее: собрание Дильса (Н. Diels, Fragniente der Vorsokratiker), 1 Hamburg und Leipzig, 1890, т. I, стр. 133.
9 имеет целью дать не изборник, а полное собрание всех, сколько- нибудь существенных отрывков досократовских философов; тем не менее в него не вошло ни одно свидетельство ни о математиче- ском атомизме Демокрита, ни о предшественниках этого атомизма. В то же время туда вошел ряд отрывков, касающихся незначитель- ных подробностей из личной жизни философов, и совсем не имеющие исторического значения анекдоты. Математики же и физики XVI и XVII вв. подходили к этим свидетельствам с полным знанием дела и при том не как к курьезам и раритетам, а как к источнику на- учной информации; поэтому дававшиеся ими толкования античного атомизма значительно ближе к действительности, чем толкования ученых нашего времени. Основные черты античного математического атомизма, как мы увидим ниже, таковы: первоначалом всего являются сверхчув- ственно (но не бесконечно) малые минимальные частицы, неделимые, т. е. не имеющие частей — материальные точки. Складывая две или более точек, получаем элементарную материальную линию. Из наложения двух или более материальных линий друг на друга получается элементарная материальная плоскость; из наложения материальных плоскостей друг на друга получается, наконец, Физический минимум материи — атом, неделимый, вследствие своей твердости (отсутствия пустоты). Время также не непрерывно, а состоит из ряда отдельных «теперь» (то vov), «настоящих моментов». Длина любого отрезка каждой отдельной линии есть функция, зависящая только от числа неделимых, заключенных в данном отрезке этой линии; число неделимых является поэтому мерилом или критерием для определения длины линии. Все числа рациональны, никаких иррациональных чисел существовать не может. Это учение оказало огромное влияние на дальнейшее развитие науки. Всюду, где под влиянием импортированных греческих куль- турных ценностей начинает теплиться очаг эллинизированной науки, мы находим и этот математический атомизм. До сих пор, правда, не удалось установить с точностью, существовало ли в древнейшей Индии независимо от Греции учение, более или менее сходное с атомизмом; во всяком случае после образования эллинистического царства в Бактрии, мы находим в Индии, наряду со своеобразно приспособленной греческой астрономией и астрологией и греческим искусством, и математический атомизм, настолько сходный в основ- ных чертах с эллинским, что трудно обойтись без допущения непо-
10 средственного заимствования.1 Даже доказательство необходимости математического атомизма 2 3 точь-в-точь совпадает с античным до- казательством, приведенным ниже (стр. 111); равным образом и возражение против атомистической концепции 8 звучит как пе- ревод из Аристотеля (см. ниже, стр. 95). И у индусов, как и у греков, из сложения минимумов-неделимых, не имеющих по индийскому учению не только частей, но и величины (paramanu, чрезвы- чайно малое) и соответствующих точкам, образуется первичная линия (но для этого по индийскому учению достаточно взять лишь два неделимых; эта линия также чрезвычайно мала, т. е. не имеет величины в техническом смысле); из сложения первичных линий (двух) образуется первичная плоскость (также сверхчувственно малая); из сложения тех же первичных линий (в этом случае трех) образуется первичное тело, Физический атом (truti) доступный уже чувствам; сравнение его с пылинками, видимыми в солнечном луче, несомненно, заимствовано у Демокрита (Mabil- leau, стр. 19; Keith, 213, 219). Наконец, и здесь, как в Греции идет спор, является ли время субстанцией, или состоянием субстанции; и оно мыслится атомисти- чески— состоящим из огромного числа отдельных моментов.4 * * Католическая религиозная философия, как мы увидим ниже, считала научный авторитет Аристотеля непогрешимым; всякая по- пытка полемизировать с Аристотелем, исходя из творений безбож- ников Демокрита и Эпикура, расценивалась как вредная ересь. Тем не менее, и она, как мы говорили выше, стала на точку зрения 1 А. В. Keith,Indian Logic and Atomism, Oxford. 1921 (о заимствовании у греков, стр. 17 и ел ); L. Mabilleau. Histoire de la philosophic atomistique, Париж, lh95; Colebrooke, Miscellaneous Essays (мне недоступна); P. Masson-Oursel, L’ato- misme indique, Revue Philosophique, Paris 1926, стр. 342—368; P. Masson- Oursel, Die atomistische Auffassung der Zeit. Archiv fiir die Geschichte der Phi- losophic, 40, 1931, стр. 173; C. Bailey, The Greek Atomists and Epicurus, Oxford 1928, стр. 64—65. Мне подлинники недоступны; вся моя информация по этому вопросу почерпнута у Mabilleau, Keith и Masson-Oursel. 2 «Если бы бесконечное деление было возможно, то величавшая гора, была бы равна мельчайшей кучке... так как бесконечности равны между собою... ». Mabilleau, стр. 17; Keith, стр. 214. 3 «Как два неделимых могут касаться друг друга? Если целиком, т. е., вполне совпадая, то объем не увеличится, и никакие тела не смогут возник- нуть ; если же частью, ю атом имеет части... ». Keith, стр. 217. 4 Согласно переводу Н. Jacobi в Zeitschrift der deutschen morgenlan- dischen Gesellschaft, 60, 1906 стр. 517; см. P. Masson-Oursel, Archiv Gesch. Philos., стр. 175.
11 пифагорейского атомизма, а всюду, где пробиваются хотя бы жалкие ростки свободной научной мысли, мы находим и математический атомизм в его чистом виде. Как известно, первый толчок к пробуждению научной мысли дала арабская и примыкающая к ней еврейская наука, несмотря на то, что и сама она была насквозь схоластической и богословской. Эта наука имеет два корня: один корень — античность, преимуще- ственно Аристотель и его комментаторы, другой — Индия. Матема- тический атомизм мог быть позаимствован и оттуда и отсюда: в самом деле, Фактический материал дает основание полагать, что, исходя в основном из намеков на учение атомистов, содержащихся у Аристотеля и его комментаторов, эти арабско-еврейские ученые дополняли их некоторыми элементами из индийского учения, более удовлетворяющими их религиозному чувству.1 И здесь мельчайшие частицы («джус») далее неделимы, но здесь, как и в Индии, они непротяженны: это — точки. Как и в индийском учении, соединяя две точки в пару, мы переходим к величинам следующего порядка. У «мутакаллимун» (как называ- ются эти ученые) это сразу Физический атом, имеющий протяжение (Lasswitz, стр. 138 и сл.). Время мыслится также атомисти- чески: оно состоит из отдельных моментов, называемых, как и у греков, отдельными «теперь» (то vuv = anat у Маймонида, одного из этих философов, Mac Donald, стр. 10). У греческих атомистов позаимствовано также и утверждение, что летящая стрела в каждый отдельный момент неподвижна (Lasswitz, стр. 149, ср. ниже, стр. 102). Утверждение, что пространство, время и движение по своей структуре соответствуют друг другу , повидимому, имеет источником Аристотеля (стр. 104). До сих пор мы имели дело с полунаучными, полутеологическими спекуляциями. Быть может, уже на заре новой, настоящей, науки стоит гениальный Джиордано Бруно, выступивший сучением о мате- ’матическом атомизме; в той обстановке, в которой Бруно приходилось действовать, этот атомизм носил ярко революционный характер. Через Николая Кузанского его учение, вероятно, отчасти восходит и к указанным выше арабским источникам, но основным его 1 См. К. Lasswitz, Geschicbte der Atomistik, т. 1, глава: «Die Atomistik der Mutakallimunn, стр. 134—150; Duncan B. Mac Donald. Continuous recreation and atomic time in Moslem scholastic theology. The Moslem World, Нью-Йорк, январь 1928, стр. 6—28 (мне недоступно); Р. Masson-Oursel, указанная выше статья, в Archiv Gesch. Philos., стр. 176 и сл.
12 источником является античная атомистика: прежде всего Лукреций, затем свидетельства Аристотеля и его комментаторов; не исключена и возможность пользования источниками, для нас уже недоступными.1 В сочинении «De minimo» Бруно не только не замалчивает своей связи с античными атомистами, но и подчеркивает ее: Sapientum dogmata priscorum priscis clarissima verbis e fundo eruimus tenebrarum, Мудрецов ярчайшие мысли (Хоть изложили их древние люди на темном наречьи) Ныне на свет извлекаем из черного мрака забвенья. «Причиной и основанием всех ошибок как в Физике, так и в математике, является допущение непрерывности и бесконеч- ного деления» торжественно заявляет он («De minimo» 23), и дает систему, представляющую собой дальнейшее (не всегда удачное) развитие атомистических догм: первооснова, — математические неделимые, не имеющие частей, но имеющие величину, т. е. точки (эти точки надо отличать от непротяженных точек—границ). В результате движения точки получается линия, в результате движения линии—плоскость, в результате движения плоскости — тело. От этого математического минимума надо отличать Физи- ческий, т. е. атом, наименьшее тело. Тела, атомы и неделимые не касаются друг друга в полном смысле слова, а только имеют общую границу, не являющуюся частью ни того, ни другого тела (ср. ниже учение Демокрита, стр. 67, 98) Ряд дальнейших аналогий — земля как атом по отношению ко вселенной, сравнение атома с буквой в письме (gtoi^sTov), все это непосредственно заимствовано у древ- них атомистов. Далее мы встречаем у Бруно пифагорейское уче- ние о треугольных, четырехугольных и т. д. числах и о гно- моне; как мы увидим ниже (стр. 34 и сл.), есть веские основания полагать, что это учение играло важную роль в атомистической доктрине; поэтому возможно, что Бруно позаимствовал его из атомистического источника. Из сложения точек получается filum, нитка, т. е. материальная линия. Круг и прямая, касательная к нему, соприкасаются не в одной точке — punctualiter, а по неболь- 1 К. Lasswitz., ук. соч., 1# стр. 363—377; Н. v. Arnim, Almanack d. Wien Akad. d. Wise., 1907, стр. 395; В Petronievic, Prinzipien der Metaphysik, 1904 (мне недоступно); E. Namer, Die diskontinuierlicbe und endlicbe Zeit in der Philosophic Giordano Bruno’s, Arcbiv fiir die Gescbichte der Philosophic, 40, 1931, стр. 186.
13 шому прямолинейному отрезку — linealiter; следовательно, и прямая и круг, состоят из таких прямолинейных отрезков. Все это — типич- ные атомистические воззрения. Равным образом Бруно и время мыслит атомистически. Как справедливо замечает Намер (в указанном месте), «такое решение проблемы времени, как и проблемы материи одним из виднейших представителей Возрождения является реакцией против схоластических теорий. В самом деле, по этим теориям мир материи делим бесконечно, но в то же время вселенная ограничена. Бруно становится на диаметрально противоположную точку зрения, при- нимая неограниченность вселенной и предел делимости». Разрыв с принятыми и санкционированными католической церковью взгля- дами стоил Бруно в конце концов (в 1600 г.) жизни. Подобного рода меры вразумления сделали преследуемые цер- ковью античные учения, в частности учение Демокрита, только еще более, популярными. Бэкон Веруламский (см. цитированное в эпиграфе место из его «Novum Organon») открыто противо- ставляет Демокрита «говорунам» Платону и Аристотелю и ста- вит своей целью воскресить философию Демокрита, преданную незаслуженному забвению; в частности, по поводу атомистиче- ской теории он говорит: «Эту теорию выставила школа Демо- крита, которой вследствие этого удалось глубже проникнуть в природу вещей, чем кому-либо другому».1 «По его мнению, трудно понять умом и выразить словами тонкость структуры, присущую природе, не допуская существования атома. Понятие атома может быть двояким, причем первое значительно отличается от второго: либо видят в атоме предел деления тела, минимальную его часть, (атом в математическом смысле, неделимое Демокрита. С. Л.), либо в нем видят тело, внутри которого отсутствует пустота (физический атом Демокрита. С. Л.). Что касается атома в первом смысле, то.... ясно... что деление нельзя продолжать до бесконечности».... (и в этом месте дважды делается ссылка на Демокрита). Бэкон не был одинок. На 24 и 25 августа 1624 г. Француз- скими учеными был назначен в Париже публичный диспут, целью которого было опровергнуть Аристотеля. Четырнадцатый тезис про- граммы этого диспута провозглашал атомистическую догму. Здесь говорилось, что Аристотель по невежеству или, что еще вероятнее, из недобросовестности высмеял учение, по которому материя состоит 1 Novum Organon, I, р. 51.
14 из атомов или неделимых, тогда как это учение соответствует разумным основам истинной философии; руководители диспута обещали защищать этот тезис с крайней решимостью и неустра- шимостью (mordicus defendimus et intrepidi sustinemus). Слово «неустрашимость» не было пустой риторикой: в момент открытия диспута один из устроителей диспута, де-Клав, был арестован, а другому, Виллону, удалось скрыться. Парламент постановил: запретить диспут; торжественно и публично изорвать объявленные тезисы; всех устроителей выслать в 24 часа из Парижа с запреще- нием въезда в Парижский округ; запретить преподавание изложен- ных в тезисах взглядов, содержащих полемику со ста- рыми и общепризнанными авторами, в каких бы то ни было Французских университетах. Всякий, кто выступит устно или печатно с такой полемикой, подлежит смертной казни: авторитет Платона и Аристотеля был при- равнен таким образом к авторитету евангелия!1 Все эти драконовские меры не помешали, однако, Галилею в свою очередь выступить против Аристотеля в защиту взглядов Демокрита. Переходя к Галилею, мы переходим к совершенно другому кругу ученых, к ученым, занимающимся общими вопросами математики не для своих философских или натурфилософских штудий, а для непосредственного применения к практическим вопросам математики и математической механики. В центре внима- ния этих ученых был не Аристотель с его свидетельствами об атоми- стах, а величайший математик и механик древности Архимед. Архимед представляет собой высшее развитие античной математики; однако, ученые XVI и XVII вв. не могли, отдавая всю дань гениаль- ности Архимеда, не чувствовать что на пути, по которому шел Архимед, все возможности исчерпаны и нет никаких перспектив дальнейшего развития; что выход надо искать как раз в учении о неделимых минимальных величинах, недопускаемых Архимедом в его науку (тем более, что, как мы знаем, сам Архимед пользовался этим учением, как рабочей гипотезой для нахождения решений, которые затем доказывались по всем правилам официальной математики). Уже в XVI в. переводчики и комментаторы Архимеда Ф. Комман- дино (1558 г.) и Ф. Мавролико (1548 г., напечатано только в 1685 г.) главное внимание уделяют тем частям произведений великого грека, которые требуют применения метода бесконечно 1 К. Lasswitz, Geschichte der Atomistik, I, стр. 482—487.
15 малых, перерабатывая и дополняя их. Внимательный исследователь не мог не видеть, что античный метод бесконечно малых занимает весьма важное место в работе Архимеда, но что Архимед применяет этот метод как бы украдкой, немедленно переводя полученные таким путем выводы на язык евклидовых «Начал». Итак, несмотря на то, что Архимед в противоположность Аристотелю стоял на достаточной научной высоте, чтобы импонировать ученым XVII в., и здесь мы слышим тот же лозунг: «Назад к Демокриту». Это настроение господствовало в кружке, возглавляемом Гали- леем.1 В своих ранних произведениях, вплоть до исследования о пла- вающих телах, Галилей ссылается на Демокрита; нередко Галилей полемизирует с ним, но даже и в этих случаях говорит о Демокрите с более глубоким уважением, чем об Аристотеле. Во всех случаях разно- гласий между Аристотелем и Демокритом Галилей по наблюдению Левенгейма берет сторону Демокрита. Так, например, в сочинении «О плавающих телах» мы читаем: «Возражая ему (Демокриту) таким образом... Аристотель показывает только, как бы ему хотелось повергнуть в прах своего противника, который далеко превосходит его в искусстве тонкой и серьезной философии». Если в более поздних сочинениях Галилей не называет Демокрита никогда по имени, а в тех случаях, где он несомненно ссылается на Демокрита, говорит вместо «Демокрит» — «древние», то причина этого в том, что ему дали понять, насколько опасны такие ссылки: и судьба Бруно и постановление парижского суда были ему, конечно, известны. Впрочем, и при отсутствии таких ссылок его враги прекрасно понимали, откуда заимствованы соответствующие учения; католический патер Грасси, выпустивший памфлет против Галилея под псевдонимом Sarsius, заявляет по поводу одного из положений Галилея: «Галилей обнаруживает себя сторонником Демокрита и Эпикура».2 Галилею пришлось даже публично отречься от связи с этими предшественниками; он сделал это, однако, весьма ловко, заявив, что он не знаком с Эпикуром, но благоразумно умолчав о Демокрите. В интересующих нас вопросах математического атомизма Гали- лей, правда, не стоял на точке зрения Демокрита. Но из его сочи- 1 См. М. Cantor, Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik, L. 1892, II, стр. 759 сл.; L. Lowenheim, Der Einfluss Demokrits auf Galilei, Arcbiv Gesch. Philos., VII, 1894, стр. 230 сл.; L. Lowenheim, Die Wissenscbaft Demokrits und ihr Einfluss auf die moderne Wissenscbaft, Berlin, 1914, глава: Demokrits Einfluss auf Galilei und Kepler, стр. 234 сл. 2 Lowenheim, указанная статья в Archiv Gesch. Philos., стр. 259.
16 нения «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» (пер. С. Н. Долгова, Москва 1934, стр. 84—85), где речь, между прочим, идет о бесчисленных бес- конечно малых промежутках между отдельными бесконечно малыми участками прямой, видно, с каким интересом он относился к атоми- стической концепции (на стр. 86 находим весьма прозрачную ссылку на Демокрита) Но более того: из письма Кавальери к Галилею мы узнаем, что оба они работали над вопросом о «неделимом» одновре- менно и делились друг с другом своими мыслями. Равным образом и Кеплер (изучавший, впрочем, Демокрита и непосредственно, по ан- тичным свидетельствам) находился в оживленной научной переписке с Галилеем. Математические же взгляды Кеплера и Кавальери представляют собою чистейшей воды математический атомизм; со- шлюсь хотя бы на знаменитые слова последнего:1 «... Ясно, что плоские Фигуры мы должны представлять себе в виде ткани, соткан- ной из параллельных друг другу ниток, а тела в виде книг, состо- ящих из наложенных друг на друга и параллельных листов». Б этих словах резюмирована основная сущность математики Демокрита и его последователей. Поскольку в науке не вызывает сомнений тот Факт, что Кеп- лер и Кавальери являются родоначальниками нынешного метода бесконечно малых, непосредственная и непрерывающаяся связь между математическим атомизмом древности и нынешними диФерен- циальным и интегральным исчислениями не подлежит сомнению; историю метода бесконечно малых следует начинать не от Ка- вальери, а от Демокрита. Итак, античный атомизм, — непосредственный источник одной из величайших отраслей нынешней математической науки, а потому представляет интерес не только для специалиста. В самом деле, вся- кий, кто занимался, подобно автору этой книги, преподаванием основ анализа слушателям, изучающим впервые эту область, знает, что самым трудным и скользким местом в преподавании является диФе- ренциал. Стоя на «единственно мыслимой научной» точке зрения? на точке зрения непрерывности, преподаватель, конечно, объяснит студенту, что, говоря «бесконечно малая величина» мы вовсе не имеем в виду бесконечно малой величины, а имеем в виду «неко- торую переменную величину, которая раньше или позже стано- вится и остается меньше» и т. д., что в частности диФеренциал х ни в каком смысле не является бесконечно малой или даже вообще 1 Exercitationes geometricae, р. 3. См. мое введение к переводу Кавальери.
17 малой величиной, что «диФеренциалом независимой переменной называется произвольное приращение независимой переменной, не зависящее от ж», тогда как «диФеренциалом Функции называется произведение ее производной на диФеренциал независимой перемен- ной». Когда же озадаченный студент попросит определить не видо- вые понятия «диФеренциал независимой переменной» и «диФерен- циал Функции», а родовое понятие «диФеренциал», т. е. что озна- чает слово «диФеренциал» само по себе, то преподавателю не остается ничего другого, как ответить, что в нынешней математике слово «диФеренциал» само по себе уже решительно ничего не означает. Впрочем, тот же учащийся из выражения *L — dJL n Lx dx Lx —> О и из теоремы, по которой «разность Ly— dy величина бесконечно- малая высшего порядка по сравнению с 4г», естественно может приттй к выводу, что dy есть предел Дж, a dx предел Дж, т. е., что переменные Дж и Ly стремятся одновременно к двум пределам: первое к нулю и к йж, второе к нулю и к dy, что, конечно, абсурдно. Но он еще больше запутается, когда перейдет к нахожде- нию объемов путем интегрирования и к задачам механики, где он услышит о бесконечно малых (или в лучшем случае о чрезвычайно малых) площадках и столбиках, одно из измерений которых беско- нечно (или чрезвычайно) мало и равно dx. Преподаватель, конечно разъяснит ему, что на практике в целях упрощения рассуждений диФеренциал рассматривается как бесконечно малая величина уже не в научном, а в примитивном смысле и т. п.1 1 Ср. М. Я. Выгодский, Основы исчисления бесконечно малых, М. 1932, стр. 158: «Эта мотивировка не может удовлетворить учащегося... Он стремит- ся разгадать, какова природа этих понятий (диФеренциала и т. п.), что соот- ветствует им в действительном мире. То, что сообщается ему о диФеренциале, не дает ему этой разгадки, ибо от него остается скрытой историческая эволюция, которую приделало понятие диФеренциала... Вот почему обычно ни одно понятие математики не усваивается с таким трудом, как понятие диФеренциала. Беда усугубляется тем, что_вступая в соприкосновение с применениями диФеренциального исчисления к естествознанию и технике... он должен... представить себе диФеренциал как ничтожно малую величину и притом отнюдь не как бесконечно уменьшающуюся переменную, а как величину постоянную... Такое понимание... совершенно не вяжется со всем тем, что говорилось о диФеренциале в диФеренциальном исчислении, и сколько бы ни старались авторы руководств сгладить это противоречие, старанья их не достигают цели»- (Когда я писал мою книгу и введение к ней, книга Выгодского еще не была мне известна. С. Л.) __—»
18 Все эти несуразицы устраняются, если вспомнить, что диФерен- циал — пережиток, «ископаемое» эпохи математического атомизма. Стоить допустить, что наполненное материей пространство состоит из мельчайщих неделимых далее частиц, и окажется, что пределом для приращения Ьх или Ьу является уже не нуль, а длина или ширина неделимой частицы, т. е. соответственно dx или dy. Теперь станет понятным без всяких хитроумных перетолкований и равен- ство lim Ду___dy Ьх dx ’ так как при таком подходе lim &y = dy.j a lim ^x — dx. Равным образом, разложение площадей и объемов на элементарные «пло- щадки» и «столбики» есть только несколько видоизмененная и мо- дернизированная основная процедура математического атомизма — процедура разложения на «материальные линии» и «материальные плоскости». ДиФеренциал, и соответственно интеграл, как бы эти понятия ни были приспособлены к новым воззрениям, по суще- ству остаются чем-то противоречащим всему строю нынешней математики, построенной на принципе непрерывности пространства, пережитком старого, сохраняющимся в силу укоренившейся при- вычки. Несомненно, что в будущем математика, если она будет построена на принципе непрерывного, либо откажется от этой почтенной реликвии и научится обходиться исключительно лишь ясными и отчетливыми понятиями производной, первообразной Функции и предела суммы,1 либо еще лучше приспособит отжившие понятия «диФеренциал» и «интеграл» к современным математическим взглядам, покончив с последним следами атомистических пред- ставлений. Но возможно и другое: в древности мы наблюдаем чрезвычайно быстрый прогресс математики на почве атомистических представле- ний. Правда, атомистическая математика должна была приводить к ошибкам и произвольным допущениям, и величайшей заслугой официальной греческой математики, построенной на представлении о непрерывности, было устранение этих ошибок и нахождение методологии точных математических доказательств. Но эта матема- тика оказалась мало плодотворной в смысле создания новых мате- матических ценностей. С конца XVI в. учение о непрерывности является характерной чертой схоластического застоя, а борцы за 1 Уже Лагранж сделал подобную попытку.
19 возрождающуюся науку, став на точку зрения математического атомизма, привели математику к небывалому расцвету, создав заново ряд новых математических дисциплин. Однако и эти ученые сде- лали ряд ошибок и произвольных допущений; математики XIX в., став последовательно на точку зрения непрерывности пространства, исправили эти ошибки, дав методологию предельной процедуры... Но все их достижения стали возможными только на базе математи- ческих открытий XVII и XVIII вв. Конечно, аналогия, основанная на одном только параллелизме нисколько не убедительна. Но во всяком случае следует взвесить возможность нового расцвета математики на почве возрождения нового математического атомизма, конечно, несравненно более совер- шенного не только, чем математический атомизм Демокрита, но и чем более современные учения Кеплера, Кавальери, Ньютона и Лейбница. Рстается еще сказать несколько слов о поводе, побудившем автора приступить к настоящему исследованию. В 1922 г. при чте- нии «Jewish Quarterly Review» (XIII, 1922, стр. 101) я случайно натолкнулся на маленькое информационное сообщение заведующего отделом еврейских рукописей в Британском музее И. Левина (I. Le- veen) о том, что в этом музее имеется еврейская рукопись, в кото- рой, между прочим, говорится и о знаменитом решении квадратуры круга, предложенном софистом Антифонтом в V в. до н. э. Софист Антифонт был предметом моих специальных работ, почему я и за- интересовался этой заметкой. Благодаря исключительной любезности профессора Адкок (F. Е. Adcock) в Кэмбридже и того же И. Левина мне удалось получить (ксожалению, не воспроизведенный здесь) Фото- графический снимок с соответствующей страницы рукописи. При чтении я убедился, что кроме этого свидетельства об АнтиФОнте рукопись содержит и другой весьма интересный материал; так, на- пример, на той же странице содержится конец абзаца, в котором сопоставлялись друг с другом учения Платона, Демокрита и может быть (если поправка И. Левина верна) Левкиппа. Узнав из моего сообщения об интересном материале для истории математики, содер- жащемся в этой рукописи, издательство Шпрингер в Берлине выра- зило готовность один из томов своих «Quellen zur Geschichte der Mathematik» посвятить изданию этой рукописи с переводом и ком- ментарием. Тот исследователь который пойдет навстречу этому предложению и сделает еврейскую рукопись доступной всему уче- ному миру, окажет огромную услугу изучению истории математики.
so Рукопись эта написана в XV в.; ее начало и конец потеряны; ее автор, некто Альфонсо, неизвестен ни из каких других источни- ков. Почерк очень отчетливый, и рукопись читается без всякого труда; но согласно компетентному суждению Левина она в интере- сующем нас месте, равно как и в других местах, изобилует описками и поэтому требует большой работы издателя. Весь труд в целом посвящен квадратуре круга. Как указывают Марголиус и Левин, здесь в числе многих других авторов упомянуты Архимед, Платон, Евклид, Демокрит, Антифонт, Бризон, Симпликий и, вероятно, Левкипп. Отсюда нельзя, однако, делать вывода, что все эти ученые занимались квадратурой круга, так как автор любит отступления и часто говорит о предметах, не имеющих прямого от- ношения к его теме. В частности, на тех страницах, на которых говорится об Анти- Фонте (только эти страницы и были мне доступны), мы читаем, что по мнению Платона линия состоит из точек, плоскость — из линий, тело из плоскостей и что Антифонт исходил из тех мельчайших частиц, из которых состоят как линия, так и круг. Изучая этот отрывок, я, естественно, перешел к Демокриту, поскольку я уже ранее этого доказал, что Антифонт в вопросах точных наук был последователем Демокрита. Эти мои исследования и вылились в работу «Die Infinitesimaltheorie der antiken Atomisten», первая часть которой напечатана во втором томе «Qucllen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik» за 1932 г. (вып. 2, стр 106—183). По предложению Госуд. Технико-Теоре- тического издательства я перевел эту работу на русский язык, значительно дополнив и исправив ее, в результате чего и появилась настоящая книга. Собрание отрывков греческих философов, к сожалению, недоста- точно полное, издано Г. Дильсом (Н. Diels, «Fragmcnte der Vorso- kratiker», IV. Aufl., Berlin 1922—23; V Aufl. Berl. 1934 еще не закончено), есть (недоведенный до конца) русский перевод проФ. А. О. Маковельского («Досократики» М. 1910) до Левкиппа; Левкипп и Демокрит отдельно, в «Известиях Азербайджанского государствен- ного университета им. Ленина», общественные науки, т. 4—5, стр. 27—37; т. 6, стр. 65—118; т. 7, стр. 5—60. Я цитирую по немецкому изданию, сокращенно обозначая его «Diels». Аристотеля я цитирую по страницам издания Берлинской Академиии Наук. 1 Catalogue of the hebr. and samarit. mss. of the British Museum, vol. Ill, •№ 1002, VI (= Add. 26984). Название: mpp ПВПЧЗ.
21 Комментарии к Аристотелю (Александр из Афродисии, Филонов, Симпликий и Фемистпй), а также схолии к Аристотелю изданы той же Берлинской Академией, и все мои ссылки имеют в виду стра- ницы этого издания (фамилия Hayduck, Vitelli и т. д. после номера страницы и строки есть Фамилии научных издателей этих текстов). Автору приходилось решать двоякую задачу: во-первых, позна- комить читателей, ве знающих древних языков, с античным материа- лом по истории бесконечно малых; для этой цели перевод и Филоло- гический аппарат оказались бы излишним балластом. Но, с другой сто- роны, поскольку и точка зрения автора, и освещение, даваемое им материалу, а отчасти и сам материал совершенно новы, необходимо дать возможность и специалистам по античности подвергнуть мои выводы критической проверке. Поэтому пришлось все тексты и весь научный аппарат вынести в примечания, предназначенные главным образом для специалистов, оставив основной текст для более широ- ких кругов читателей. В примечание вынесены также текст и науч- ный аппарат впервые публикуемой еврейской рукописи Британского музея. Пользуюсь случаем, чтобы выразить здесь благодарность проФ. М. Я. Выгодскому и С. Л. Цинбергу за ряд ценных указа- ний и моему молодому другу Я. С. Л у р ь я за помощь при просмотре корректур и составлении указателей к этой книге. С. Я. Лурье
п р ПРЕДШЕСТВЕННИКИ АТОМИСТИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ 1. Первые следы учения о бесконечно малых Одним из характерных отличий греческой математики от матема- тики других народов древности является то, что здесь впервые в миро- вой истории начинает ощущаться потребность видеть .в конечных величинах совокупность бесконечно большого числа бесконечно малых частиц. Нашему понятию «бесконечно большой» и «бесконечно малый» соответствует в различные эпохи и в различных школах разное: то бесконечность понимается как прямая противоположность конеч- ному, и тогда каждая такая частица мыслится как точка, вовсе не имеющая величины, т. е. равная нулю; то вместо бесконечно малого подразумевается просто нечто чрезвычайно малое, неделимое и не имеющее частей, но, тем не менее, обладающее некоторой, хотя и минимальной, величиной. Для выяснения исторических корней учения о бесконечно малых было бы чрезвычайно важно иметь ответ на два вопроса: 1) какими потребностями (экономическими, внутринаучными или другими) вызвано появление на свет этих учений и 2) где и когда они впервые появляются. К сожалению, первый вопрос при нынеш- нем состоянии науки, как мы увидим, приходится оставить вовсе без ответа, а по второму ограничиться догадками, в достаточной мере произвольными. Естественнее всего было бы полагать, что к мысли о бесконечно малых частицах греки пришли при попытках определить площадь круга или длину окружности. В самом деле, уже на самых ранних стадиях развития науки не могло не броситься в глаза, что при до- статочно большем диаметре небольшая часть окружности выглядит как прямая; отсюда должна была появиться мысль о тех мельчай- ших отрезках, из которых состоит как окружность, так и прямая линия, как впоследствии выражается Антифонт. Но против такого источника происхождения учения о бесконечно малых говорят следующие соображения: уже за тысячу лет до появления греческой
24 науки, египтянам была известна величина —= — (i), дава вшая воз- можность определить и длину окружности и площадь круга со сте- пенью точности, превосходящей практические потребности того времени; таким образом практической пользы от таких спекуляций с кругом греки извлечь не могли. Но если даже допустить, что точ- ность египетской Формулы (погрешность равна 0. 01 диаметра, при диаметре в 10 м уже —10 см) не удовлетворяла греков, то во всяком случае те крайне примитивные начатки учения о бесконечно малых, о которых только и может итти речь на этой стадии, никак не могли привести греков к нахождению величины те. Египтяне, бес- спорно, нашли ее эмпирическим путем, и это был единственный возможный в те эпохи путь. Гораздо больше успеха обещает попытка искать источник греческого учения о бесконечно малых в наблюдениях над каменной или кирпичной кладкой, послужившей, как можно думать, и вообще источником для появления кубических и квадратных мер. Нельзя забывать, что в эпоху появления греческой математики эллинам должны уже были быть известны от египтян или вавилонян довольно точные Формулы для определения площади треугольника, тра- пеции, круга и (по крайней мере, отдельных типоъ) эллипса, объемов пирамиды, усеченной пирамиды, цилиндра и конуса (г). Лучшим способом проверить эти Формулы была каменная кладка косоуголь- ной или круглой Формы. Приняв за единицу каменную плиту и найдя число плит в основании (или в поперечнике) и число слоев плит (высоту), нетрудно теоретически вычислить искомую поверх- ность или объем; в то же время, можно сосчитать число плит, Фактически пошедших на заполнение искомой поверхности или объема. Сличая число каменных плит с числом для площади дан- ной Фигуры, получаемым по точной Формуле, получали каждый раз разницу, приходящуюся на счет ступенчатых краев кладки, которые при этом либо отбиваются, либо, наоборот, замазываются в про- межутках до нужной линии профиля цементом; чем меньше каждая плита, тем меньше оказывалась и разница между прямыми и сту- пенчатыми краями. Сопоставление тех и других чисел могло породить спекуляции, которые привели к началам учения о бесконечно малых. Есть ряд Фактов, говорящих в пользу этого предположения. Пифагорейцы, или, как выражается Аристотель, «так называемые» пиФагореЙцы (почти вся наша информация о них восходит ко времени после Демокрита (з)) оставили нам учение о многоугольных
25 и многогранных числах, которые ими применялись для мистических спекуляций, но, тем не менее, представляют большой интерес. Точки или монады (единицы) обозначались цифрой а (единица), треуголь- ными числами у них назывались 1, 3, 6, 10... соответственно точеч- ным треугольникам. а а аа а аа аа а а аа ааа аааа пифагорейским тре- Фиг. 1. Треугольная кладка, соответствующая угольным числам. Это (фиг. 1) как раз соответствует числу плит в плоской треуголь- ной кладке (в кладке треугольной стены). Четырехугольными (квадратными) числами назывались 1, 4, 9, 16,... соответственно точечным квадратам: а а аа а аааа ааа аааа ааа аааа ааа аааа что соответствует числу плит в плоской четырехугольной кладке (в кладке четырехугольной стены). Эга процедура у пифагорейцев переносится и на тела, причем они обращают внимание на параллелизм между треугольником и пирами- дой (4). Наряду с треугольными числами у них рассматриваются и различные пирамидальные числа (apiOfxot zupTjxoeiSei;): треугольно- пирамидальные, четырехугольно-пирамидальные и т. д. Подобно тому как точечный треугольник разлагается на параллельные ряды, представляющие собою точечные линии, так и точечная пирамида разлагается на параллельные основанию слои, имеющие вид точеч- ных треугольников (или в случае четырехугольной пирамиды — квадратов; многоугольной — многоугольников). «Эти плоские много- угольные числа нагромождаются (eTnGwpeuojxevwv) друг на друга,
26 как в (каменной) кладке (<b;avei ezotxoSop.oup.evov)», как выражается поздний пифагореец Никомах (5). Четырехугольно-пирамидальные числа таковы: 1 (I2), 5 (Is -ь 22)г 14 (12 + 22 4- 32), 30 (12-+-22-ь32-ь42) и т. д. При точечном изображении пирамидального числа отдельные параллельные слои изображаются один над другим; например, четырехугольное пирамидальное число 5 (12-+-22) изобразится так: а а а а а На фиг. 2 мы даем пифагорейское изображение четырехугольного пирамидального числа 91 (12ч- 4- 22 4- З2 4- 42 -ь 52 + 62), а рядом перевод этого изображения на язык каменной кладки. а а а а а ааа ааа ааа а ааа а аа а а ааа а аа а а а ааа ааа а а ааааа ааааа ааааа а а а а а а аааааа аааааа аааааа аааааа аааааа Фиг. 2. Каменная кладка, соответствующая изображенному справа пифагорейскому четырехугольно-пирамидальному числу 91. Заметим теперь, что, пифагорейские треугольные числа 1, 3, 6,10,... выражаются Формулой —— <или, что то же, — Оказывается, что как раз по этойФормуле авторы римских трудов по землемерию (agrimensores) вычисляли площадь равно- стороннего треугольника (первоначально, это, несомненно, была Формула для треугольника, у которого высота равна основа- нию; у agrimensores — характерная для эпохи упадка замена высоты боковой стороной). Формула эта, между прочим, содер- жится и у Боэция (7), причем у того же Боэция (стр. 420) на- ходим и Формулу для площади семиугольника: (5а 2 — За), пред-
27 ставляющую собою пифагорейское семиугольное число. По этому поводу Ганкель (7) справедливо замечает: «Изобретатели этих Формул покрывали поверхность искомого треугольника или семиугольника сеткой из квадратов, каждая сторона которого равна единице длины, и затем определяли площадь как число таких квадратов, причем пренебрегали разницей, получающейся на границе многоугольника между самим многоугольником и сеткой из квадратов». В параллель с этим следует поставить следующий изумительный Факт, опубликованный в 1932 г. Вашовым и Нейгебауером. Уже во втором тысячелетии до н. э. вавилонянам была известна Формула для суммы 12 + 22 + 32ч-..., т. е. для любого четырехугольного- пирамидального числа. Если обозначить четырехугольно-пирами- 1 дальнее число, сторона основания которого п, через >а тРе“ п угольное через 1 ’ то Ф0РмУла эта получит вид: Ту же по существу Формулу мы находпм впоследствии у Архимеда («О спиралях», 10). Его доказательство крайне надуманно и искус- ственно, и не может быть сомнения в том, что оно придумано post factum к уже готовому решению. Это решение, после перевода в алгебраическую Форму, имеет такой вид: П п или, что то же пг(п + 1) + 3~
28 Если принять во внимание, что, как это было хорошо известно Архимеду. п то эта Формула получит тот же вид, что вавилонская. Необходимо поэтому постулировать непрерывную традицию от вавилонян до Архимеда и считать, что уже «так называемым пифагорейцам» это суммирование было известно. Если прав Юнге, полагая, что именно Демокрит создал впервые по образцу многоугольных «пиФагорий- ские» многогранные числа, то, может быть, именно он перенес эту вавилонскую Формулу в Грецию (в). В пользу существования такого рода Формул у греков говорит письмо Герберта (позже— папы Сильвестра II) Адельбольду, написан- ное в конце первого тысячелетия. Он сопоставляет упомянутую выше «арифметическую» (т. е. заимствованную из землемерного дела) Формулу площади треугольника с правильной геометри- ческой. Указывая на воспроизведенный здесь чертеж1 (фиг. 3), скорее всего представляющий собой только копию с более древнего подлинника, он замечает (9): «Здесь на рисунке 28 квадратных футов, хотя и не целых: правило землемерного дела присчитывает неполные Футы к полным, считая часть за целое, т. е. все квадраты, составляющие изображенный на чертеже Герберта треугольник, считаются целиком, хотя части их и выходят за стороны тре- угольника. «Так называемые» пифагорейцы, применявшие многоугольные и многогранные числа, главным образом, для своих мистических спекуляций, разумеется, никогда не смешивали этих чисел с числами выражающими плоскости и объемы соответственных Фигур и тел: они жили после Евдокса, Евклида и других знаменитых математиков и прекрасно знали, что те и другие числа далеко не совпадают между собой. Трудно представить себе, что поздним греческим и римским землемерам могла притти в голову нелепая мысль исполь- 1 Боковые стороны треугольника проведены на чертеже Герберта непра- вильно: вершина треугольника должна была бы находиться в середине верхней стороны верхнего квадрата.
29 зовать эти мистические числа для измерения площади земельных участков. Гораздо правдоподобнее обратное: эта процедура (по крайней мере, в применении к планиметрии) существовала в Греции уже до Демокрита и, переходя из поколения в поколение, дошла до римских землемеров; она же была использована пифагорейцами для их мистических чисел. Чертеж, содержащийся у Герберта, представляет собой как раз картину каменной кладки треугольной стены; если мы вспомним, что у пифагорейцев треугольным числам соответствовали в стерео- метрии пирамидальные и если мы параллель к треугольнику Герберта, то получим как раз данное нами на фиг. 2 изображение каменной кладки пирамиды, соответствующей четырех- угольно-пирамидальному числу. Эго— типичная египетская пирамида до облицовки ее ступенчатой поверх- ности. В связи со сказанным можно ду- мать, что первая мысль о бесконечно малых могла у греков зародиться из наблюдений над каменной кладкой и сопоставления Формул для числа плит, начертим стереометрическую Фиг. 3. Чертеж Герберта (Bubnov, табл. 1, рис. 3.). восходящих уже к раннему времени, с правильными Формулами. Так, например, число плит, потребных для заполнения треугольной стены, высота которой равна основа- нию а, равно по этой Формуле а (о+1) 2 ’ а площадь треугольника, по правильной Формуле, а • а “Vе Разница во втором множителе числителя на 1 плиту. Как ее устранить? Если мы, вместо того, чтобы заполнять поверхность стены квадратами, заполним ее непротяженными части- цами, точками, то разница будет на одну точку, а поскольку точка не протяженна, т. е. число от ее прибавления не увеличивается, этой точкой можно пренебречь; стоит это сделать, и мы получаем правиль- ную Формулу площади.
30 Впрочем, все это, разумеется, только более или менее правдоподоб- ные домыслы. Еще труднее вопрос о времени и месте происхождения этого примитивного учения о бесконечно малых. До последняго времени было принято искать происхождение заинтересовавших нас Формул римских землемеров в Египте (эти Формулы являются грубо приближенными при вычислении площадей, но вполне точными, когда требуется вычислить число плит для за- полнения стены соответствующей Формы или для складывания соответствующего тела!). Поскольку эти числа совпадают с пифаго- рейскими, и родину пифагорейских чисел пришлось бы искать в Египте. Так Ганкель (там же, стр. 229 и сл.) писал: «Напраши- вается предположение, что эти примитивные римские способы по своему происхождению древнеегипетские; за это говорит тот Факт, что эти же землемеры для площади четырехугольника, стороны которого даны, употребляют чисто египетскую Формулу а Ъ с-1- d - - — • -- • 2 2 В самом деле, геометрические части римских землемерных сочи- нений живо напоминают папирус Райнда». Затем Ганкель дает весьма правдоподобную реконструкцию истории перехода египетской научной традиции в Рим. Особенно характерно, что как в египетских собраниях задач, так и в собраниях геометрических задач у рим- ских землемеров, решение дается в виде рецепта, без всякого объяснения. Наконец, кому другому, как не египтянам, могло скорее всего притти в голову разлагать пирамиду на горизонтальные слои, соответствующие слоям каменной кладки пирамиды(п)? Поэтому естественно было бы искать и корней учения о беско- нечно малых также в Египте. Однако против этой точки зрения египтологи могли бы выдви- нуть очень веские соображения. 1. Нигде в Египте вет следов ни многоугольных и многогранных чисел, пи каких-либо Формул или правил, которые могли бы восходить к этим числам. 2. Кладка египетской пирамиды вовсе не производилась гори- зонтальными слоями: на. маленькую ступенчатую пирамиду надевался последовательно ряд слоев, имеющих каждый Форму полой ступенчатой пирамиды, пока пирамида не получала нужной вели- чины. Хотя в окончательном результате и получались почти точно
31 горизонтальные слои, но самая кладка пирамиды не могла на- вести египтян на мысль разлагать пирамиду на горизонтальные слои, тем более, что во всей египетской математической литературе мы ничего о таком разложении не слышим, и к Формулам объема пирамиды и усеченной пирамиды египтяне, несомненно, пришли совершенно иным путем (п). 3. Наличие в трудах римских agrimensores типичных египетских Формул еще не доказывает, что все содержание их трудов восхо- дит к Египту. Эги труды восходят к александрийским греческим задачникам, в которых чисто греческое ядро кое-где пополнено египетскими практическими Формулами и в которых часто приме- няется египетское рецептообразное изложение; таковы, например, труды Герона. Поэтому вполне естественно, что в работах римских agrimensores уживаются рядом и чисто греческие и египетские Формулы. 4. Соответствующие Формулы нам засвидетельствованы для Вавилона. Итак, искать хотя бы один из корней античного атомизма в Египте нет никаких оснований. Гораздо более вероятным является возведение «точечного» атомизма, с одной стороны, к вавилонским Формулам для суммирования Фигурных чисел, а, с другой, к наблюде- ниям над каменной кладкой в самой Греции. Единственное, в чем можно быть вполне убежденным, это самое существование «точеч- ного» атомизма. Этому вопросу и будет посвящен следующий параграф. 2. Зенон элейский и его противники В истории древнейшей греческой математики роковую роль сыграли два положения, исходившие из разделения всех величин на две категории: протяженные ть 1'хоута) и не протяжен- ные (яБихатата). Эти положения, по мнению древних, были основ- ными аксиомами математики. Вот эти два положения: 1. Сумма бесконечно большого числа (arceipa) любых, хотя бы и чрезвычайно малых, протяженных величин обязательно должна <5ыть бесконечно большой (12), как заявляет комментатор Аристотеля Симпликий, прибавляя к этому, что положение это обычно выдви- гается в науке. 2. Сумма любого, хотя бы и бесконечно большого, числа н е- протяженных величин всегда равна нулю и никогда не может
32 стать равной некоторой, заранее заданной, протяженной величине: «Даже.. • бесконечно большое число непротяженных величин не может составить любое число», как впоследствии выражается Фи- лопон(гз). Живший в Италии в V в. до н.э. Зенон, глава реакцион- ной элейской школы (школа эта вела ожесточенную борьбу с попу- лярным в это время материализмом малоазиатских философов) (и), как и все его современники, считал эти положения непосредственна очевидными аксиомами; из них он исходил в своей полемике против господствующей науки. «Если (отдельная) вещь не имеет величины, то ее не суще- ствует. .. Потому что, если прибавить ее к другой величине,, то она (эту величину) не увеличит. В самом деле, если вели- чину, равную ничему, прибавить к другой величине, то послед- няя увеличиться не может» (15). Поэтому, если есть много (непро- тяженных) величин, то (их сумма) неизбежно должна быть так мала..., чтобы совершенно отсутствовала всякая вели- чина» (1в). Если же, наоборот, допустить, что каждая действительно суще- ствующая величина, хотя бы она была так мала, что мы не в со- стоянии воспринять ее нашими пятью чувствами, тем не менее^ обладает протяженностью и что промежутки между величинами также «имеют некоторую величину и толщину и расстояние друг от друга» (17), то, по мнению Зенона, сумма не только бесконечна большого, но даже любого числа таких величин бесконечно велика,, так как если мы к величинам и промежуткам между ними прибавим промежутки между величинами и промежутками, затем промежутки между величинами и этими промежутками и т. д., то, поскольку все эти величины и «промежутки» брались ве вплотную прилегающими к разделяемым телам, а потому протяженными, на любом небольшом пространстве получим бесконечно большое число протяженных величин, и следовательно, их сумма бесконечно велика. Отр. 1: «Если существует много вещей..., то они (т. е. их сумма) должны быть по необходимости бесконечно велики». Отр. 3. «Если существует много отдельных вещей, то (их сумма) бесконечно велика. Потому что между (двумя) отдель- ными вещами всегда находится еще одна (т. е. промежуток), а между этими последними еще одна (т. е. промежуток между вещью и промежутком). Таким образом (сумма) отдельных вещей бесконечно велика» (is). С цитируемыми выше основными аксиомами Зенон и не думает полемизировать: напротив, его цель — при помощи этих, по его мнению, совершенно очевидных и бесспорных истин обнаружить
33 внутреннее противоречие в господствовавших тогда взглядах,— самые же аксиомы считались в то время неопровержимыми. А как раз наиболее характерной особенностью действий над «бесконечно малыми» числами в наше время является то, что суммы с беско- нечно большим числом членов оказываются равными конечному числу. Вот почему вопреки мнению РуФини, Франка и др. не может быть речи о «теории бесконечно малых» у древнейших пифагорей- цев, Анаксагора или Зенона. Как мы вкратце упомянули в § 1, уже до Зенона должна была существовать теория, подошедшая вплотную к проблеме бесконечно малого. Большой заслугой Таннери является то, что он впервые обратил внимание на это обстоятельство; жаль только, что он допустил при этом преувеличения, послужившие источником совер- шенно ошибочной теории. Таннери прав, утверждая, что Зенон полемизировал против неко- торой вполне определенной математической теории; Целлеру не сле- довало возражать против этого (19). Такие выражения, как «если отдельная вещь не имеет величины, то ее и не существует» или, «вещь, которая не имеет ни величины, ни толщины, ни массы вообще не может существовать», могут быть направлены только против теории, согласно которой первосущностями являются мель- чайшие непротяженные частицы, т. е. точки, как мы видим впо- следствии из полемики Демокрита с этим же взглядом (ниже, стр. 59). С другой стороны, выражение: «Если же такая непротя- женная частица будет прибавлена к другой вещи, она (эту вещь) нисколько не увеличит», показывает, что по этой оспариваемой Зеноном теории протяженные величины рассматривались как синтез таких непротяженных первосущностей (точек). Если бы такой тео- рии не существовало, выражения Зенона звучали бы, как тавтоло- гия: он ломился бы в открытую дверь. С другой стороны, такая искусственная, отвлеченная теория не могла быть общераспростра- ненным взглядом широких масс — это, несомненно, научная теория. Таннери справедливо указывал, что согласно этой теории перво- сущностями должны были считаться «материальные точки, обра- зующие своим соединением субстанцию тела». Представители этой теории по мнению Таннери «не делали различия... между этой мате- риальной и геометрической точкой: и та и другая рассматривались как неделимые, а в то же время принималась без всяких оговорок бесконечная делимость величин. Этот несостоятельный взгляд и по- служил мишенью для нападок Зенона» (20).
34 С какой именно школой полемизировал Зенон, до сих пор не уда- лось установить более или менее определенно. Таннери думал, что это пифагорейцы, и его взгляд получил наибольшее распространение как среди филологов, так и среди математиков (21). Более вниматель- ное рассмотрение вопроса вынуждает, однако, меня, как и англий- ского исследователя Гэса (Heath), вслед за Целлером и Нестле, счи- тать это предположение не только не доказанным, но и невероят- ным (22). (Разумеется, полемика элейцев не могла еще быть направлена против атомистической школы Левкиппа-Демокрита, так как, как мы увидим ниже, атомизм возник как раз как qtbct на элейское учение, не говоря уже о том, что первосущности атомистов отнюдь не были непротяженными, так что полемика элейцев их задеть не могла.) Более правдоподобным с точки зрения общего развития точных наук в Элладе был бы взгляд, по которому тем противником, с ко- торым полемизируют элейцы, был Анаксагор (23). В самом деле, все, что нам известно об Анаксагоре, говорит за то, что он, с античной точки зрения, был повинен как раз в том противоречии, на котором сыграл Зенон. От самого Анаксагора до нас дошло только одно ма- тематическое положение (отр. 32). «Среди малых величин не существует наименьшей, но умень- шение идет непрерывно; ибо существующее не может перестать существовать» (24). С другой стороны, в отр. 1 Анаксагора мы читаем: «Все вещи (в начале мироздания) были вместе, они были бесконечно многочисленны и бесконечно малы» (25). Итак, вещей бесконечное множество, но каждая из них бес- конечно мала. Но и в каждом теле содержится бесконечное коли- чество мельчайших телец: «Малое было также бесконечно», Ср. отр. 4: «Следует допустить, что во всем соединяющемся... содержатся семена всех вещей»; отр. 11: «В каждом содержится частица каждого»; Аристотель: «(Анаксагор считает), что каждая частица пред- ставляет собою смесь, аналогичную всему (мирозданию)» (гв). Мы не знаем, насколько сознательно и глубоко Анаксагор пре- одолел те две основные аксиомы античной математики, с которых мы начинаем эту глав}', и вообще преодолел ли он их. Если бы из дошедших скудных отрывков можно было это заключить, то это было бы чрезвычайно важным шагом в истории развития матема- тической мысли, хотя Анаксагор, повидимому, дальнейших матема- тических выводов отсюда не делал и при всех этих рассуждениях имел в виду свои естественно-научные теории. Но, с другой сто-
35 роны, вполне возможно, что он вообще и не задумывался над этими аксиомами и что вопрос вообще не был им продуман до конца. Как бы то ни было, с античной точки зрения, т. е. при указан- ных выше двух предпосылках, учение Анаксагора страдало как раз теми недостатками, против которых полемизировал Зенон. Это отме- чает уже Симпликий, несомненно, восходящий к более древним исто- рикам математики: «(Анаксагор) логически вынужден счи- тать бесконечно большой по величине не только всю смесь, но и каждую гомеомерию (частицу) так же, как и целое»(27). Это есть возражение Зенона в его типичной Форме, и с античной точки зрения оно вполне основа- тельно: каждая частица гомеомерии Анаксагора отнюдь не равна нулю, но «имеет известную величину», так как «невозможно, чтобы существующее перестало существовать» (говоря словами самого Анаксагора); поэтому гомеомерия бесконечно велика: «Сумма беско- нечно большого числа вещей, из которых каждая имеет известную величину, бесконечна», как выражается тот же Симпликий. Впрочем, из того Факта, что Анаксагор может служить мишенью для нападений Зенона, нельзя еще заключить, что эти нападения действительно были направлены против Анаксагора. Оба взгляда — и тот, согласно которому величины делимы до бесконечности, и тот, по которому точка нематериальна и непротяженна,— были, несо- мненно, общим достоянием математики того времени. Более того, и после уничтожающей критики Зенона и Демокрита эти взгляды Фактически остались господствующими среди математиков. Даже у Евклида, несмотря на то, что его материал переработан уже на основе принципов Евдокса, эта точка зрения нет-нет и появляется как рудимент, — и он, выставляя постулат бесконечной делимости и, повидимому, считая линию состоящей из точек (ниже, стр. 70), в то же время определяет точку, как «неделимую» (отр. 1, 1): «Точка — это то, что не имеет частей» (гв). Таким же образом определяется у него линия и поверхность: «Линия есть длина, лишенная ширины», «Поверхность это то, что имеет только длину и ширину» (29). Итак, эти взгляды не представляют ничего типического, что дало бы нам право определенно говорить об Анаксагоре или о ком- нибудь другом. Поэтому всякое конкретное предположение о лично- сти противника Зенона было бы при теперешнем состоянии науки преждевременным.
36 Как бы то ни было, по той теории, с которой полемизировал Зенон и которая, несомненно, пользовалась большим авторитетом в до-зеноновской науке (иначе Зенон не стал бы с такой энер- гией ее опровергать), тела считались делимыми до бесконечности; но в то жевремя эти ученые допускали, что каждое тело со- стоит из бесконечно большого числа непротяженных и далее неде- лимых точек. Таковы были те представления, которые в до-зеноновское время были положены в основание геометрического исследования. При тогдашних орудиях научной мысли вообще невозможно было дать лучшее определение точки: динамическое представление о точке как о последней границе линии могло появиться лишь значи- тельно позже, после разрушительной работы Зенона и творче- ской — Демокрита. Внутреннее противоречие, заключенное в двух основных представлениях — о непротяженной точке и о протяжен- ном теле как совокупности непротяженных точек, неизбежно должно было раньше или позже броситься в глаза. В самом деле: если мельчайшая частица, точка, есть непротяженная, т. е. равная нулю, величина (ot)[uIov aSiatrraTov, асюиато*), то в результате ин- тегрирования таких частиц не может возникнуть никакое протя- женное тело; если же наоборот, мы выдвинем на первый план Анак- сагоров принцип бесконечной делимости, при котором в результате деления всегда появляются все новые и новые протяженные тела, то придется считать каждое тело бесконечно большим: если число таких частиц- бесконечно велико, то необходимо и все тело считать бесконечно большим, так как сумма бесконечно большого числа протяженных тел бесконечно велика, а согласно принципу Анакса- гора эти тельца должны оставаться протяженными, как далеко бы мы ни продолжали деление. Это внутреннее противоречие Зенон и использовал для велико- лепного reductio ad absurdum. Какую цель он при этом преследовал? Не выдвинул ли он взамен этой противоречивой свою собственную теорию бесконечно малых? Все античные источники согласны между собой в том, что цель Зенона была не научная, а метафизическая: те основные положения^ с которых мы начали свое изложение, казались ему неизбежно со- присущими нашей научной психике, а следовательно, неизбежными являлись и выявленные им внутренние противоречия; своей полеми- кой он хотел доказать только то, что наша земная наука — это лженаука, что множественности вещей в этом обманчивом мире не
37 соответствуют никакие вещи в себе в высшем мире истины, пред- ставляющем собою непрерывное, однородное единство (см., на- пример, Платон, Парменид, 127 Е). Попытку Таннери видеть в Зе- ноне деятеля положительной науки надо считать неудавшейся (зо). Б самом деле, Зенон полемизировал не только с разобранной нами научной теорией, согласно которой воспринимаемый нами мир в конечном счете состоит из бесконечного числа непротяженных тел; с тем же блестящим успехом он разбивает и другую точку зрения, по которой существует некоторое конечное число вещей конечной величины (две ли, три ли вещи или больше, ему безраз- лично, поскольку он оперирует с промежутками между вещами, с промежутками между этими промежутками и вещами и т. д., так что даже уже две вещи представляют собою бесконечное количе- ство вещей); между тем, эта опровергаемая Зеноном точка зрения есть точка зрения всякого человека, «если только он не сошел с ума», как выражается Аристотель. Таким образом теория Зенона и его последователя Мелисса была вызовом здравому человеческому рассудку; недаром автор гиппократовского трактата «О природе человека», один из передовых ученых своего времени, считает вы- ставление плохо обоснованных гипотез водой на мельницу Мелисса; в элейском учении видели антипода точной науки (зт). Таким обра- зом нет никаких оснований сомневаться в правильности толкования философии Зенона как чисто метафизической системы — толко- вания, утвердившегося уже в древности (32). 3. Софисты и отрицание геометрии Чисто отрицательная полемика Зенона имела блестящий успех. Для всех стало ясно, что господствовавшие в геометрии теории были недостаточно продуманы и потому внутренне противоречивы и несостоятельны (зз). Простейшим и непосредственно напрашивавшимся выводом из этого положения были низведение геометрии на уровень чисто практической прикладной геодезии и полный отказ от всяких обоб- щений философского характера. В самом деле, кто и когда видел непротяженную точку или линию, ширина которой равна нулю? Все это — пустые абстракции, не соответствующие никакой реальности. Вполне понятно, что такую позицию по отношению к полемике Зе- нона должен был занять не кто иной, как софист Протагор, Формулиро- вавший свое научное кредо (34) в знаменитом изречении (отр. 1 у
38 Дильса): «Человек—мера всех вещей: существующих — как они суще- ствуют, несуществующих—как они не существуют» (35). Итак, с его точки зрения «существовать» значит только ((Существовать в чьем- либо представлении»; всякая вещь поэтому в действительности точь- в-точь такова, какою она представляется в данный момент созерцаю- щему и изучающему ее («из различных представлений о вещи ни одно не заслуживает предпочтения перед другим») (зе); так, например, если кому-либо мед кажется горьким, а не сладким, как другим, то он вовсе не ошибается, а для него существует горький мед так же, как для других сладкий. О чем не существует представления в го- лове ни одного из людей, того вовсе не существует — таков смысл выражения «человек — мера несуществующих вещей, как они не существуют». Это видно из толкования Секста Эмпирика: «Что не представляется ни одному из людей, того не существует» (37). Если мы станем на эту точку зрения, то нам станет понятно следующее сообщение Аристотеля о Протагоре (отр. В 7 у Дильса): «Воспринимаемые линии (а для Протагора суще- ствовали только такие л и н и и. С. Л.) не таковы, как те, о которых говорит геометр: мы не можем себе представить ничего прямого или круглого в том смысле (как понимает эти термины геометрия); в самом деле, круг касается линейки не в одной точке, а так, как говорил Протагор, обличая гео- метров» (зв). Иными словами, так как никто не видел прямой, которая каса- лась бы круга только в одной точке, то с точки зрения Протагора такой прямой вообще не существует. Эго — совершенно неизбежный вывод из разобранных выше предпосылок. Но при таком подходе занятие отвлеченной геометрией становится совершенно невозможным. Это и был тот вывод, к ко- торому хотел привести своих читателей Протагор; см. Платон, Про- тагор, 318 D: «Другие (учителя) издеваются над юношами... обучая их... геометрии». (39) Само собою, однако, разумеется, что Протагор при этом отнюдь не имел в виду геодезию, прикладную науку, прак- тическая польза и «реальность» которой были вполне очевидны. С подобного рода аргументацией мы встречаемся в греческой литературе еще в одном месте — у жившего много лет спустя в II—III вв. н. э., Секста, в его сочинении «Против математи- ков». Секст принадлежал к скептической школе, основателем кото- рой был Пиррон. В числе других «трудных вопросов» (апорий) здесь трактуется вопрос о касании шара; обратим попутно вни- мание на то, что и одно из произведений Демокрита, направленное,
39 как мы увидим ниже (стр. 48 и сл.), против Протагора, носило на- звание: Пер'ь фаиспо; xuzXcu xai асрзиртк, «О касании круга и шара». В этом месте книги Секста ведется полемика со взглядом, по кото- рому точка непротяженна (от^оу а?па<ттатоу) и нематериальна: «По их мнению, точка не тело: ведь, что не протяженно, того и не существует» (40). Любопытно, что существование нематериальной точки оспаривается именно на основании того, что это представле- ние противоречит опыту и показаниям чувств; автор, таким обра- зом, считает показания чувств единственным и неопровержимым критерием. «Если в самом деле (как они думают) чувства дают нам картину мира, недоступного чувствам (знаменитое изречение Анакс- агора, неоднократно повторявшееся затем атомистами. (7. J.), то ясно, что поскольку в мире чувств невозможно найти непротя- женный конец или границу какого-либо предмета, нельзя (таких не- протяженных сущностей) найти и в мире чистого разума» (41). При этом автор замечает: в мире чувств, когда мы говорим о границе (-ера;) какой-либо вещи, мы имеем всегда в виду острие, край или грань (wo; a>cpov). А острие имеет всегда известную величину; если мы его обломаем, величина всей вещи уменьшится. Другое, содержащееся у Секста, доказательство еще интереснее: не следует считать точку непротяженной, так как она мыслится как «производящая на свет» линию(42). В том, что линия есть продукт точки, легко убедиться следующим образом: возьмем прямую и бу- дем ее вращать вокруг одного из ее концов; тогда точка, являю- щаяся другим концом прямой, опишет круг. Следовательно, круг состоит из точек. Равным образом «считается, что шар касается плоскости только в одной точке, но что если покатить шар по плоскости, то он начертит на плоскости линию; ясно, что эта линия как целое будет состоять из ряда точек, возникших вследствие последо- вательных соприкосновений шара с плоскостью. А если вся длина линии заполнена точками, то ясно, что каждая точка имеет известную величину» (43). В науке господствует взгляд, по которому Протагор, «предше- ственник скепсиса» (44) был одним из главных источников Пирронова. скептицизма, а следовательно, и труда Секста (45). В данном случае мы нашли у Секста доказательства как раз того же типа, какие мы ожидали бы найтп у Протагора; в основу этих доказательств положена теза, что существует только то, что представляется нам существующим, и притом существует как раз таким, каким оно нам.
40 представляется. В самом деле здесь речь идет о невозможности до- пускать существование непротяженной точки, так как ничего подоб- ного не наблюдается в жизни; здесь геометрическая линия отожде- ствляется с линией, начерченной на полу и образованной одной из «точек» круга, разумеется, имеющей известную длину; здесь отри- цается, что шар (или соответственно круг) может касаться плоско- сти (или соответственно линии) только в одной непротяженной точке. Поэтому, мне кажется, следует присоединиться к взгляду О. Апельта (4б), по которому первоисточником разобранного нами места Секста был Протагор. ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ I 1. См. мою статью «К вопросу о египетском влиянии на греческую геоме- трию» в «Архиве истории науки и техники», I, 1932, стр. 56; статью О. Neu- gebauer в Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Bd. I, 4, (1931), стр. 423. 2. Литература вопроса в указанных в примечании 1 статьях. 3. См. Е. Frank, Plato und die sogenannten Pythagoreer, Halle 1923. 4. См. например, Theo. Smyrn., Mathematica, p. 42. Hiller; «Некоторые назы- вают это (усеченную пирамиду) трапецией по сходству с плоской Фигурой тра- пецией (tive^ тб TOtouTQv трхтге^юу Trpoo’ijyopeuG’av атсо tu>v етггтгеЗюу тратгс^соу). 5. Nicomach. Arithm., II. 14, стр. 101, 14 Hoche: toutcdv tcdv етптгеЗсоу тсоХи- yovcov apt^picov ETriacopEuopLevcov aXXvjXoic xai u>axvei £7ioixo8cp.oup.£v(i)v. Любопытно, что элементарные тела (azoi/jia), составляющие тела природы, уже у Эмпедокла «нагромождены друг на друга», причем употреблен тот же глагол, что и здесь, aopeuopiai. Аристотель (б) сообщает: „У Эмпедокла не ясно, как нарождается и гибнет «нагроможденная величина» (acopeuopiE- vov pLeyeOs?), (составленная из) его элементов: Scopeuopievov pLeyeOo? (- — —) — отрывок из гексаметра, т. е., повидимому, цитата, содержащая подлинные слова Эмпедокла, так как поэма его была написана гексаметрами. Итак, исходное представление существовало уже в его время. 6. De generatione et corruptione, p. 325 b 21. 7. Boetius, Ars geometrica, p. 405 Friedlein. Hankel, Zur Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter (1874), стр. 297. 8. H. Waschow undO. Neugebauer, Beihen in der babylonischen Mathematik, «Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik», Bd. 2, Heft 8, 1932, S. 303. См. статью Junge, Jahresb. d. deutsch. Mathematiker-Vereinigung, 1926 (35), стр. 158, и мою статью: «Babylon und die pythagoreischen Pyramidal-Zahlen» (печатается). 9. «Gerberti postea Silvestri II papae opera mathematica», ed. N- Bubnov, Be- rolini, 1899, стр. 45: «Ессе in hac descriptiuncula XXVIII pedes, quamvis non integri, habentur. Unde arithmeticalis regula, pro tota partem accipiens, cum in- tegris dimidiatos recipit». 10. Так аргументировал автор этой книги в 1928 г. (АХПАЕМОХ, сборник в честь проФ. И. И. Толстого, стр. 25, прим.)
41 11. См. мою статью, цитированную в прим. 1. 12. В комментарии к «Физике» Аристотеля, стр. 462, 3 Diels: та аке».ра т<5 ttXtqOei рсеуедо; ti E/ovra. .. aKEtpov тс тгосеТ рсЕусОо;, <Ь; Есрт]тас тгоХХахк. 13. В комментарии к трактату Аристотеля aDe generatione et comiptione», 1, 2, 316 b 9, стр. 33, 2 Vitelli: quSe. .. акесоа dp-Epyj auvTtOEpiEvx тб tu/qv P^Ye“ Oo; TrGcvj'jxc Suvavxai. 14. См. мою книгу «История античной общественной мысли», М. 1929, стр. 125—136, где различные Философские школы Греции охарактеризованы с точки зрения их общественных воззрений. 15. Стр. 1—2 Diels: ei р.7) ех01 рсеуе^о; то ov, ouB’ dv eL)... ес yap dXXto ovtc тгроаувуосто. ou^ev dv цеГ^оу тгос^стесеу рсЕуЕ-дэи; yap цу]Зеуо; оуто;, TrpoaYEvopiEvou Ss, ouSev oiov те е»; ptEysOo; EKtBsuvat. 16. outgo; ec 7toXka eotcv, dva-fxiq... picxpa.. (Ser re p.7] exsiv цете^о;. .. Eivac. 17. ueyeOo; tc f/sev xac ~а/о; xa'c атгЕ/Есу то srEpov атго той Етерои. 18. Отр. 1: ес тгоХХа еттсу, ауаухт)... рсеуаХа «осте атгесра Ecvac. Отр. 3: ес тгоХХа еотсу, aKEtpa та 6'ута есгтсу. dec yap стера р.Бта|и т<оу оутсоу еотс, хас тсалсу Execvcov стера цста?и ха'с оитсо; алвсра та оута еотс. Нетрудно видеть, что при этом постулируется отсутствие пустоты, а про- странство мыслится разбитым на ряд все более узких материальных полос (промежутки, промежутки между промежутками и т. д.). Иными словами, Зенон получает геометрическую прогрессию с очень большим знаменателем отношения. 19. Целлер («Gesch. der Phil. d. Griechen», I l7, стр. 752, пр. 1) замечает: «В доказательствах Зенона... нет ничего такого, что заставляло бы думать, что его нападения были направлены против сторонников подобных воззрений» (именно — что тела состоят из точек). Приведенное здесь выражение в подлиннике читается так.* ес р.4] е/ос рссусОо; тб 6v, ouo’dv егу]. .. си р.т)тв рсвуЕ-до; ц^те ла/о; рс^тв OTX°G есгтсу, ои8* av eIt] touto. .. ec yap dXXto ovxt лроаувуосто, ouSev dv p-Et^oy ttocvjcteiev. Впро- чем, Целлер и сам (в том же месте) должен был признать, что в доказательстве Зенона одно из условий, при которых могла бы быть мыслимой (множествен- ность вещей)... состоит в том, что эти вещи... суть соединения бесконечно малых частиц». Ср. Н. G. Zeuthen, Gt-sch. der Mathematik im Altertum, Копен- гаген, 1891, 65: «Существование (такой теории) необходимо постулировать в виду той борьбы, которая челась элейской школой против ее правомерности». 20. La geometric grecque, Париж 1887, стр. 123 и сл. Ср. также И. v. Arnim, aEpikurs Lehre vom Minimum», «Almanach. d. Wien. Akad. d. Wise.»., 1907, стр. 385: «Зенон использовал в угоду скептицизму допущение бесконечной дели- мости континуумов» и т. д. 21. См. например, новую работу Н. Hasse und Н. Scholz, «Die Grundlagen- krisis der griechischen Mathematik», 1928, стр. 9, 12. 22. Единственное, что Таннери приводит в защиту своей теории, — это пи- фагорейское определение точки: она определяется как piovd; ^eatv суопта (напр. у Arist. Met. р. 1016 b 26.31), «монада имеющая положение». Но это выражение ничего не доказывает, на что указал уже Целлер (указ. соч. I7, 1 стр. 752, пр. 1). Ср. Th. Heath, History of Greek Mathematics,» Лондон 1921, стр. 283: «Ничто не говорит в пользу того, что пифагорейцы вообще держались такого взгляда; это не вытекает из их определения:... piova; ^etiv exouaaj и, с другой стороны ... по утверждению Аристотеля пифагорейцы считали, что эти единицы и числа
42 протяженны» (Метафизика, XII, 6 1080 b Д9: той; piovdSac; ujtoXapiPavouatv ^X£tv рсеуеОо;, см. так же 32). С другой стороны Б'. Frank (Plato und die sogenannten Pythagoreen,Halle 1923, стр. 56 с прим. 127) выставил весьма подкупающую тезу,, по которой это определение точки возникло только в очень позднее время, под вли- янием атомистической теории Демокрита. В этом отношении особенно убедительно- привлеченное им (указ, соч., стр. 220) место из Аристотеля «О душе», 1, 5, стр. 409 а 10, где Аристотель в связи с выражением piovat; •Betriv Ехоиста говорит: «Демокритовы шарики превращаются в (пифагорейские) точки» (ex tcdv Дт]р.ох- р[тои apatpitov sxv ye'vcdvtxi aviypiai!). Лично меня аргументация Франка убедила вполне. Как раз те же возражения можно выдвинуть и против ссылки на изрече- ние пиФагорейца ЭкФанта. По свидетельству Аэция, восходящему в свою оче- редь, повидимому, к Феофрасту, он называл «неделимые тела и пустоту перво- сущностями всех вешей» (ndvTiov [apx^?] та aStaipsTa стсерсата xat xevdv, отр. 2, стр. 341, 2 Diels). Таннери высказал весьма правдоподобное предположение, что этот ЭкФант был всего лишь действующим лицом в диалоге «Абарис» Гераклида. Понтийского, так же как, например, Феэтет и Сократ у Платона («Revue des- etudes grecques, XII, 305; ср. Eva Sachs, «Die ftinf platoniaschen Korper», Berlin 1917, стр. 43, прим.). Как бы то ни было, Франк убедил меня в том, что эти и дру- гие подобные изречения пифагорейцев позднейшего происхождения и возникли как реакция на демокритовский атомизм (указ, соч., стр. 138, с прим. 403 и 404). Далее Ямблих сообщает (8, прим. 4 у Дильса), что знаменитый математик Гиппократ Хиосский был пифагорейцем. Для своей теоремы об отношении пло- щадей кругов (см. ниже, стр. 89, прим. 82) он неизбежно должен был прибегнуть к тем или иным примитивным манипуляциям с бесконечно малыми: это как будто говорит в пользу того, что учение о непротяженных и неделимых точках действительно пифагорейское. Однако отнесение Гиппократа к пифагорейцам по компетентному заключению такого специалиста, как Дильс, дешевая комбина- ция самого Ямблиха, не заслуживающая никакого внимания (Diels, «Vorsokrati- кег», I3, стр. 298, прим.: «Uber das angeblicbe Pytbagoreertum des Hippokrates, gibt wertlose Kornbinationen Jamblicbos). Такого же взгляда держится и Eva Sachs, указ, соч., 120, прим. 1. Кроме того, нам ничего неизвестно о времени жизни Гиппократа: возможно, что его сочинение появилось в свет только около 400 г. до н. э. (так полагает Франк) и находилось уже под влиянием Демокрита. Неосновательна также и ссылка на то, что в той среде, в которой жили элейские философы, были известны только пифагорейцы (Tannery, «Pour fhis- toire de la science hellene,» Paris 1887, стр. 249 и сл.). Ныне можно считать уже установленным, что элеец Парменид полемизировал с представителем ионий- ской науки Гераклитом (см. дополнения В. Нестле в указанной выше книге Целлера 17, 1, стр. 648, прим. 1). так как, с другой стороны, основатель элейской школы был убежденным приверженцем пифагорейского учения, то следует полагать, что острие элейской полемики было направлено не против их италий- ских друзей, а против ионийских физиков. К сказанному следует еше добавить, что Целлер (в главе указанной книги, озаглавленной «Ob ihre Prinzipien raumlich zu fassen?» 1', 1, стр. 483—-193} выступил с тезой, согласно которой основные положения пифагорейского учения вообще не следует понимать в пространственном смысле. Поскольку речь идет о древнейших, до-демокритовскпх пифагорейцах, он, пи моему мнению, скорее
43 всего прав (так полагает также Нестле в дополнениях к указанному тому Цел- лера, стр. 494—495). 23. Такой взгляд высказали Stallbaum «Platonis Parmenides», Leipzig 1839, стр. 22 и сл., и Philippson («Hermes», 64, 1929, стр. 176). Хронологические комбинации Штальбаума основаны на том, что он ошибочно принимает картину, нарисованную Платоном, за историческое свидетельство; никаких Фактических оснований для своего предположения он не приводит. Даже если бы оказалось, что взгляды Анаксагора совпадают со взглядами противников Зенона, то это могло бы быть объяснено предположением, что Зенон полемизировал с учителем Анаксагора или вообще с его предшественником; разумеется, этого предшествен- ника следовало бы искать не среди пифагорейцев, а только среди ионийских философов. Филиппсон писал: «Зенон сделал попытку, вероятно, в противовес своему современнику Анаксагору доказать невозможность бесконечной дели- мости как вещей реального мира, так и движения». К сожалению, и Филиппсон не дает об основания этого, весьма правдоподобного предположения. 24. оите уар той орлхрой еатс то ye eXax’-tfTov, аХХ еХастстоу аег то уар eov ойх еате то цт; ойх eivai. Э. Франк (указ, соч., стр 47) пришел на основании этого места к неожиданному заключению, что Анаксагор «здесь впервые в истории человечества четко Формулировал принцип бесконечно малых». Поэтому он характеризует Анаксагора как «творца античной процедуры исчерпания и вместе с тем метода бесконечно малых вообще» (указ, соч., прим. 100). В самом деле, есть некоторое внешнее сходство между этими словами Анаксагора и теоремой 1 десятой книги Евклида: в обоих случаях провозглашается бесконеч- ная делимость. Но это такого же рода сходство, как, например, между тотемиз- мом дикаря и дарвинистическим учением (в обоих случаях учат, что человек произошел от животного). В таких теориях важно не что, а к а к. В самом деле, в чем состояла главная трудность проблемы? Она состояла в том, что с античной точки зрения сумма бесконечного числа любых величин, если только они не равны нулю, должна быть бесконечно большой. Если принять это поло- жение как аксиому, то существует только одна возможность устоять против нападений элейцев, не став атомистом: необходимо совершенно избегать понятия бесконечного и довольствоваться утверждением, что всякая величина при ряде последовательных делений должна стать раньше или позже меньше любой за- ранее зааанной величины. Как раз таково содержание теоремы 1 десятой книги Евклида, и в этом ее великое историческое значение. Это решение предста- вляет собой синтез диалектического процесса, тезой которого является прими- тивная математическая теория, подвергшаяся полемике Зенона, а антитезой — атомизм. В самом деле, схолиаст к этому месту ( = 436, 15 Heiberg) Свидетель- ствует, что эта теорема Евклида направлена именно против демокритов- ского атомизма. «То, что неверно утверждение демокритовцев, будто суще- ствует наименьшая величина, видно и из этой теоремы, на основании которой всегда можно найти величину меньшую, ч?м любая другая и (6'ti оих EffTiv eXx/j^tov рсгуе-Зос, о>; oi Дг,р.охр’.те’.о’. cpcx-rtv, xai 3ia тоитои той ^ешрт)р.атос SsixvuTat, е*уе тгаутб; той exxeip.Evou рхуЕгЬи? Биуатоу еХхттоу XafJeVv). Вот почему в Евклидовой теореме следует видеть большое событие в истории мате- матики, а вовсе не потому, что она постулирует бесконечную делимость величин. Известный немецкий математик О. Теплиц (статья «Mathematik und Antike»
44 в журнале «Die Antike», 1,стр. 200) справедливо замечает по этому поводу: «Важно не конкретное содержание такого рода аксиомы, а то употребление, которое и» нее делается»). Мы видели, что уже математики, с которыми полемизировал Зенон, стояли на точке зрения бесконечной делимости тел; однако такой перво- класный математик, как Таннери, видит в этом не «теорию бесконечно малых нашего времени», а «первобытную грубость», «ипе grossierete». (La g£ometrie grecque», 123). В самом деле, в то время нужна была исключительная смелость ума для того, чтобы отрицать считавшуюся вполне очевидным Фактом бесконеч- н)ю делимость, и отрицать только потому, что она мешает построить картину миропорядка, чуждую внутренних противоречий, но этой смелости отнюдь не требовалось для того, чтобы провозглашать этот очевидный для всех и никем не оспариваемый Факт бесконечной делимости. 25. д|хои т:а>та хР^Иата акесра хас xat арлхропдта. 26. Kai yap то apiixpov arceipov 7)v. Отр. 4: хр*] SoxeTv eveivat... ev 7taat той; аиу- xpivop.evoic... атгерр.ата 7ravT«)v x?YJHaT(oV- Отр. 11: ev 7tavTi ttxvtcx; pioipa eveari. Aristot. phys. Ill, 4, p. 203 a 23: (’ Avatayo'pa;) onouv tcdv p.opuDv elvat рлтца cp.oiw; tw 7tavTi. 27. Sim pile. comm, in Aristot. Phys., стр. 460, 8 Diels: ou piovov to oXov рлуца arcetpov avayxT] ra5 р.еуеОе1 Xe\ecv auTOv, a)Ja xat exaanqv 6p.ocop.epecav OpLOlCO? TO) oXu). 28. <nqp.eTov eoTtv ou piepo? ouOev. Содержащееся у Евклида 1, 3 выражение: «границами (т. е. началом и концом) линии являются точки» (Ypap.p.vjc Бе Герата <nqp.eTa) также имело первоначально атомистический смысл. См. J. Stenzel, Zabl und Gestalt bei Platon und Aristoteles, 2 изд., 1933, стр.75 с прим. 2 и ниже, стр. 70. 29. трар.и>] Se p.vjxo; атгХате?. етпфауеса Бе euriv, о дохос хас тгХатос piovov exet. 30. Так он выставил, между прочим, следующее произвольное утвержде- ние: «(Les) celebres paradoxes (de Zenon) doivent uniquement (мой курсив С. Л.) etre considgres comme battant en ЬгёсЬе la fausse these qu’ une ligne est une somme de points» («В знаменитых парадоксах Зенона нужно видеть только орудие, предназначенное для того, чтобы разбить ошибочное положение, по которому линия—сумма точек»). («La geometric grecque», стр. 123). Что это заявление представляет собою только полемическое преувеличение, видно из его же соб- ственного примечания (Pour la science ЬеПёпе, стр. 259): «Однако, у Зенона имеется апория, цитированная Аристотелем (Pbys., IV, 3,210 b 22 = Diels, А 24), из которой мы видим, что Зенон сделал еще один реальный шаг в область теории познания». К сожалению последователи Таннери, итальянские ученые Энриквес (F. Enriques) и РуФини (Rufini) развили дальше эту брошенную мимо- ходом ошибочную теорию Таннери; после их переработки теория Таннери стала научно совершенно неприемлемой: после их обработки Зенон превратился в ма- тематика новейшего времени. По их мнению, Зенон полемизировал с «пифаго- рейским учением», исходя из таких теорий, которые в действительности впер- вые были высказаны только в IV в. до н. э , — он якобы определял бесконечно малые как такие величины, которые «непрерывно уменьшаются, пока не становятся меньше, чем любая другая величина, сколь угодно малая»... «Вот почему, продолжает РуФини, утверждение, что критика Зенона есть введение в метод анализа бесконечно малых, не есть преувеличение» (Е. Rufini, Il ,,metodoM di Archimede e le origine dell’ analisi infinitesimale nell’antichiU», Рим 1926, с введением Энриквеса, стр. 18). РуФини абсолютно не может проникнуться
45 конгениальным пониманием метафизической точки зрения, согласно которой явление, вполне обычное и возможное нашем чувственном мире, может для мира вещей в себе оказаться нелогичным, внутренне противоречивым и поэтому с точки зрения чистого разума невозможным. Вот почему он заявляет: несомненно, что Зенон не мог не понимать, что Ахилл догонит черепаху очень скоро; следовательно, его знаменитая апория об Ахилле и черепахе имела единственной целью... суммирование бесконечного ряда у -i- •+- -g-... и т. д. Р. Enriques («L’evolution des idees geometriques dans ]a pensee grecque», trad, fran^aise par M. Solovine, Paris 1927, стр. 19 и сл.} выражается несколько осторожнее: «Либо какой-либо противник Зенона, либо сам Зенон должен был поставить себе задачу суммирования геометрической прогрессии... Зенон Элейский или тот, который вместе или рядом с ним (итак, противник Зенона незаметным образом превратился в его сотрудника, С. Л.) нашел сумму геометрической прогрессии, открыл мир бесконечного...» (курсив мой). 31. Hippocrat. de natura horn. 1. (IV, 34 Littr6). Характерно обозначение элей- цев. как acpuatxoi (Plat. Theaet. 181 A; Aristot. de coelo, III, 1, 298 b 14 и ySext. Emp. adv. math., X, 46). Фи<лхтд = точная наука; в устах поклонников точных наук фи<пхос «ученый» = аофос, «мудрец», а, следовательно, и наоборот, афи<пхос (если это название дано элейцам атомистами) — то же, что ааофос, «враг мудро- сти», «враг науки». Ср. словоупотребление атомиста НавсиФана,.учителя Эпикура, для которого между этими словами нет разницы; говоря, чте ученому легче всего преуспеть и в политическом красноречии, он употребляет вперемежку то слово аофо'с, то фио:х&с, то <тоф6; xat фисях®;. Philodem. Rbetorica II Sudhaus 4, 10, р. б: ДОаиочфаутд;... Хвуи ... 7rpoi».piQcrer>-3ai tov аофоу p'/jTopeueiv ... 11, 1, р. 1: алХ’ ефурЕУ <6tiouv> Buv^oEcr^at TTE’.tktv тои? ахоиоутас tgv фи<лхоу xat аофоу... 25, 1: tteiOoi av 6 фиасхо; ottgiovouv E-3voq ... 34, Ip. 48 : cotte тш; ouyi xat pT)Toptx>)v тер фиасхй фтдтацхеу axoAouOsiv; («НавсиФан... утверждает... что мудрец выберет профессию оратора... но он утверждал, что мудрец- ученый сумеет убедить (в чем угодно) своих слушателей ...ученый может убедить любое племя... как же можно отрицать, что занятие риторикой при- личествует ученому?»). Ср. Аристотель, О рождении и гибели, 1, 8, 325а: «Все это, повидимому, логично, но на практике такой взгляд сходен с помеша- тельством» (см. комментарий Филонова к этому месту, стр. 157, 27, Vitelli). 32. См. Целлер, 1, 1, стр. 747 и сл.: «Диалектическое доказательство здесь... всегда только средство для обоснования метафизического взгляда, учения о единстве и неизменности сущего...» Арним, указ, соч., стр. 385: «Зенон использовал допущение бесконечной делимости континуума со скепти- ческой целью — чтобы представление о многообразном, находящемся в вечном движении и изменении мире изобразить как полное логических противоречий, а поэтому ложное и вводящее в обман». 33. Ср. Tannery «Pour la science hellene», стр. 251, «La geometric grecque» стр. 124: «Успех Зенона был полным: его противникам нечего было ему возразить... Им ничего не оставалось как перестроить их Физические учения». 34. Краткий и хороший обзор литературы по этому вопросу можно найти у Fr. Kreis, «Archiv fttr Geschichte der Philosophic, XXXV (1923), стр. 43—49;
46 H. Maier «Sokrates,» Tubingen 1913, стр. 207 и сл. по моему мнению недооце- нивает гносеологическое содержание труда Протагора. 35. llavrcov xp7jp.aT(Dv цетроу eotiv о avOpcuzo?, tcov pdv ovtidv <b? egtiv, tgdv Be oux ovtcov <b? oux estiv. 36. jxy] |xaXXov Eivat toiov tgTov. 37. та oe pirjSsvi t<dv avOpioKtov 9acvcp.Eva ouBl ecttiv. 38. оитс yap at aia^Tat Ypap.p.ai тосаита! Etatv oia? Хвувс 6 ye<d|xetptq$ -ouBev yap eu3u twv a’ta-3v]TG)v outco? ouBe aTpoyyuAov. аггтвтас yap той xavovo? ой хата ffTtyp.v)v 6 xuxXo?, aXX* шсгтгЕр Прютауора? eXeyev eXeyx<ov той? у£сор.£тра?. 39. ci jxev yap aXXot Xa^covTai той? veou? ... yEa>p.£Tp’av ... otBaoxovTE?. Если у Платона («Феэтет», 161 В, 169 А и в других местах) Протагор выведен как «сотоварищ» (ЕтхГро?) знаменитогом атематика Феодора Киренского, то отсюда никак нельзя делать вывода, что сам Протагор был выдающимся математиком. С большим правом можно на основании «Феэтета» предположить, что при жизни Протагора Феодор был его учеником в философских вопросах; при этом матема- тика была как раз той областью, в которой взгляды- Прчтагора и Феодора рас- ходились (р. 165 А, Феодор говорит: v;|Ji£i? Be тгш? -Заттоу ex tu>v tpiXwv Xoycov т:ро? T7)v yscopieTpiav aTrsvEuaapiEV. Приблизительный перевод (в подлиннике непереводимая игра слов) таков.- «Что же касается меня, то я не потонул в пустословии, но мне удалось довольно скоро выплыть на поверхность и вдох- нуть в себя чистый воздух геометрии». Ср. Е. Frank, указ, соч., стр. 127: «Против «протагорова учения о чувствах и движении как истиной сущности дей- ствительного этот математик возражений не имеет; но он выходит из себя, слыша, что приверженцы этого учения решаются оспаривать непреложность и объек- тивность математического знания, Феэтет, 169 А, 179 Е и сл. Ср. 162 Е». Н. Vogt (Bibliotheca Mathematica, X 3, 1909—1910, стр. 129 и сл.) толкует это место в том смысле, что Феодор «только после смерти учителя... перешел к интенсивным занятиям математикой». 40. III, 22 ( = р. 701, 24 и сл. Bekker): xai awp.a p.£v oux av ectj хат* аитои?* та yap p.7] Exovxa BtaaTaaiv oux stvat. 41. Ескер «оф[? twv a&nXcDv egti та 9atvop.£va»- etteI ou Buvaxov ev too; tpatvo- p.£vot? Xapstv tcvo? otjpleTov xai тгв'ра? aBtaaTaxov, BvjXov <b? ouB’ ev toT? voyjtoi? XiqtpOiq'TETai Tt toioutov. 42. v) 8s trnyp.7) voeirai тт)? ypap.p.7]? yevvtjtixtq* ou toivuv eoti tnjpiEtbv aBtaoTaTov v) апурлд. 43. 7] ye p.>]v афасра xaO’ ev ayjp.Eibv а^юитас ttj? etutuBou атгтЕаЗас, exxuXto- P-6V7] T£ ypap.p.1QV 7T01ELV, ВуДоу (b? TWV ETnxaTaTttTTTOVTWV Cnqp.£t(OV TT]V o'Xtjv aUVTl- &EVTCOV Ypap.|A1QV. TOtVUV El TOU p.EyE'OoU? T7]? ypap.p.7]? <TUp.7rXT]p<DTlX0V EOTl тб p)p.£ibv, e;ei xai аито ptEyeOo?. Несмотря на совпадение с заглавием демокритова произведения я прежде (АХПАХМОХ, сборник статей в честь И. И. Толстого, Ленинград 1928, стр. 22 и сл.) не считал возможным отнести это доказатель- ство в его теперешней редакции к тому же древнему источнику, что и рассу- ждение о касании круга у Аристотеля, так как я ошибочно усматривал здесь след архитовой (динамической) концепции пространства, немыслимой у Фило- софа V в. Но о динамической концепции пространства Секст говорит с полеми- ческой целью ниже, 1П, 28 и сл. (стр. 703 и сл. Bekker); эта динамическая теория считалась с разбираемыми здесь (Протагоровыми) возражениями, как видно из выражения: «Но обычно на эти возражения последователи Эрасто-
47 Фена отвечают так» (аХХ* elwOaat zrpo; та; Totxura; eTn/etp^aei; итса^тсо^те; oi xepi tov ’EpaToG^eviQ Xeyeiv). Разобранные же здесь возражения имеют лишь чисто внешнее сходство с динамизмом (и здесь и там речь идет о движении линии), и нет никаких препятствий к тому, чтобы они восходили к источ- нику V в. 44. Р. Natorp, «Forschungen zur Geschichte des Erkenntnisprobkms ini Altertum», Berlin 1884; Nestle, «Zellers Grundriss der Gesch. d. griech. Philosophic», 13. Aufl., Leipzig 1928, стр. 29. 45. См. F. Conrad, «Die Quollen der alteren pyrrohonischen Skepsis», диссер- тация, Кёнигсберг 1913, стр. 21. 46. «Beitrage zur Gcsch. d. griech. Philosophic», Лейпциг 1891, стр. 263: «Если не ошибаюсь, то и в сфере полемики с математикой Протагор был пред- шественником скептиков, более того, одним из наиболее излюбленных предше- ственников, к помощи которого прибегали» и т. д. Впрочем, необходимо, с дру- гой стороны, принять во внимание, что тот же пример был использован и ато- мистическим (в широком смысле, т. е. академическим) источником Плутарха в совершенно иных целях — для доказательства невозможности бесконечного деления: ei yap yj афаГра той etzitteSou хата отпцеГоу аттЕтац SvjXov on xai ай- ретаг хата отдршоу Bta той etutteSou xav 7] рлХта) ttjv STUtpavEiav aXv]Atp.p.EvTQ,p.iXTivTQv evopiop^eTat ти> ettitteBcj) ypap.p.iQv ... (De comm, notit., 40, 1, p. 1081 А). [«Если шар касается плоскости в одной точке, находясь в неподвижном положении, то ясно, что он будет касаться ее в одной точке, и находясь в движении. Так что, если мы вымажем поверхность шара красной краской, то он (при движении) начертит на плоскости красную линию»].
о я ДЕМОКРИТ 1. Метафизика пространства Протагор поставил себе практическую цель — воспитание добро- детельных граждан. Руководясь исключительно этой целью, он знать не хотел ни о чем недоступном чувствам, и это самоограниче- ние делало его неуязвимым против нападений Зенона: его учение не нуждалось ни в бесконечном числе вещей, поскольку никто не может считать до бесконечности, ни в бесконечном делении, поскольку такое деление неосуществимо практически, ни в непро- тяженных точках, ни в «промежутке между телом и промежутком», поскольку таких промежутков и таких точек никто никогда не видел. В совершенно другом положении был Демокрит. Его интерес был, наоборот, направлен прежде всего на первопричины космиче- ского процесса. Точка зрения Протагора не могла его ни в какой мере удовлетворить, тем более, что как нам неоднократно засвидетельствовано (i), он горячо полемизировал именно с положе- нием Протагора, что «человек — мера всех вещей»; нельзя не усмотреть прямой полемики с Протагором (з) и в известном изрече- нии Демокрита: «Для всех людей одно и то же — истина; приятно же одному одно, другому — другое» (з). До нас дошло заглавие одного из утраченных математических произведений Демокрита: «О раз- личии в или о касании круга и шара» (4). Это как раз та же проблема, которой было посвящено разобранное выше место Про- тагора; несомненно Демокрит и в этом сочинении, как и в ряде других, «полемизировал с Протагором и написал много убедитель- ных вещей против него», как выражается Плутарх в цитированном в последнем примечании месте (5). Чтобы уяснить себе, на чем Демокрит обосновал свои возражения, достаточно правильно пере- вести название этого полемического произведения (б). Этот правиль- ный перевод дан впервые мною. «О различии в yvcojw) означает: «О различии между двумя видами yvco^». В самом деле, слово употреблялось у Демокрита как техническое выражение и имело приблизительно то же значение, что и русское слово
49 «познание»; Демокрит различал два вида познания: низшее, «неза- коннорожденную мысль», yvcSjjLTQ вхотЬ), и высшее, «законнорожден- ную мысль», yvcopo yviQGtT). Какой смысл имеет это заглавие, можно заключить из отр. 11 того же Демокрита: «Есть два вида познания: законнорожденная мысль и незаконнорожденная мысль. К области незаконнорожденной мысли относится все следующее: зрение, слух, обоняние, вкус, осязание. Другая, законнорожденная, совершенно отличная от этой.... Когда незаконнорожденная мысль не в состоянии уже ни видеть вследствие чрезмерной малости предмета (буквально: «ни видеть на более малое», — [г^те opvjv ez’ £>ат- tqv), ни слышать, ни определять вкус, ни познавать осязанием, а более мелкое...» Дильс дополнил последнюю фразу следующим образом: «а требуется найти более тонкое, тогда приходит на помощь законнорожденная мысль, так как она обладает более тонкими орудиями исследова- ния ...» (7) Для Демокрита было, как и для Анаксагора, «доступное чувствам критерием для постижения недоступного чувствам» (в); но показания чувств не были для Демокрита последними и самодо- влеющими критериями: последнее, решающее слово оставалось за чистой мыслью, уусйрт) правда, и она основывает свои выводы на показаниях чувств, но при этом она не просто суммирует эти показания, как «темная мысль», а производит критический отбор и переоценку, так что раскрываемая ею картина, вопреки мнению Протагора, может оказаться совершенно несходной с картиной, представляющейся нашим чувствам (подобно тому как «атомы и пустота» совершенно несхожи с миром явлений) (9). После сказанного станет ясно, какими доводами Демокрит раз- бивал парадокс Протагора о касательной: те самые чувства, которые служат отправным критерием для Протагора, показывают нам, что чем точнее чертеж, тем меньше тот участок, на котором круг и касательная совпадают; в действительности этот участок, очевидно, меньше чем наименьшая чувственно воспринимаемая величина; он относится к той области, в которую мы должны мысленно перейти, когда мы «вследствие малости (предмета) не в состоянии уже ни видеть, ни слышать, ни познавать осязанием» и т. д. В этом нашем чувственном мире деление можно продолжать сколько угодно—ни к какому пределу мы не придем; поэтому с точки зрения этого мира, мира gxotit, нам не остается ничего другого, как признавать, что прямая касается круга в одной точке,
50 но все это не дает права заключать о том, как будет выглядеть касание прямой и круга в мире уусорт yvyjGtY): здесь нужны более тонкие орудия исследования, чем простое наблюдение, оказавшееся несостоятельным «для очень малого» (ети’ ё'Хаттоу) Это перенесение предела делимости окружности в область недоступного чувствам спасло Демокрита от необходимости стать «ругателем геометрии» софи- стического пошиба и видеть в геометрии «издевательство над юношами». Наоборот, именно его трактовка бесконечно малых сделала его одним из величайших математиков, которые когда-либо жили (ю). Но, конечно, читателю интереснее всего узнать, как же пред- ставлял себе Демокрит вопрос о делимости геометрических величин в другом, недоступном чувствам, мире уутзапо уус»[Л7). Демокрит был основателем атомистического учения в Физике, т. е. он представлял себе материю состоящей из мельчайших частиц-атомов, неделимых далее вследствие их чрезвычайной твердости и полного отсутствия пустоты внутри них. Интересно выяснить, был ли этот атомизм ограничен только областью физики или теорию Демокрита надо понимать в более широком геометрическом смысле, в смысле атоми- стической структуры пространства, в смысле существования мель- чайших частиц, которые дальше не могут быть разделены даже мысленно, геометрически. До последнего времени все ученые едино- душно отказывались верить, чтобы Демокрит был повинен в таком математическом невежестве; даже Арним, впервые обнаруживший математический атомизм у Эпикура, в отношении Демокрита находится еще под влиянием традиции (п). Подобный подход к учениям великих философов, основанный на пиэтете и непогреши- мости, встречаем мы уже в древности; несмотря на то, что по ясному свидетельству Аристотеля платонизм был одним из ответвлений математического атомизма, ученые поздней древности отказались по таким же соображениям признавать, что Платон и его ученики держались атомистического взгляда на пространство. Так, Филонов говорит о Платоне: «Следовало бы знать, что Платон не был таким профаном в геометрии, чтобы мог думать, что тело разлагается на плоскости» (ia). Такой же характер носят слова Симпликия о Ксенократе, исхо- дившем, как известно, из допущения существования неделимых линий: «Ксеноьрат был мудрец; как же он мог допускать суще- ствование неделимых линий?... Ни в каком случае он не
51 останавливался на пути к бесконечному делению — не мог же он, будучи геометром, пренебречь основным положением геометрии!» (13). Такие априорные утверждения абсолютно недопустимы, не говоря уже о том, что атомистическая концепция пространства, т. е. учение о повсеместно прерывном пространстве, само по себе столь же правомерно и неопровержимо, как обратное обычное пред- ставление о непрерывном пространстве. Кроме того, есть целый ряд оснований, дающих нам право видеть в Демокрите представи- теля учения об атомистической структуре наполненного материей (см. ниже, стр. 91 и сл.) пространства. Основания этп следующие: 1. Мы уже видели, что выступление Зенона вызвало глубокий кризис в греческой математике. Как мы видели, по господствовав- шим в то время взглядам сумма бесконечно большого числа любых протяженных частиц равна бесконечности, а сумма любого числа непротяженных частиц равна нулю; поэтому тот, кто хотел спасти математику от нападений Зенона, должен был отрицать как бесконечную делимость, так и существование непротяженных частиц. Иными словами, при тогдашних научных предпосылках единствен- ной возможностью устоять против нападений Зенона, было допуще- ние существования предела, дальше которого деление невозможно; этим пределом должны служить частицы недоступные чувствам вследствие своей малости, но не бесконечно малые,т. е. протя- женные, одним словом «математический» атомизм. Этот «математиче- ский» атомизм надо отличать от Физического атомизма, когда атомы неделимы вследствие своей твердости и отсутствия пустоты в них. Ясно, что такой Физический атомизм не является ответом на возра- жение Зенона: на каждом неделимом только в силу своей твердости атоме, как бы он ни был мал, можно мысленно провести ряд линий и таким образом разделить его на ряд частей, так что рассуждение Зенона останется в силе. С такого рода Физическим атомизмом, выставленным, повидимому, уже Эмпедоклом (см. ниже, стр. 64 и сл.), вероятно, полемизировал последователь Зенона Мелисс. Он с полным основанием замечал: «Нет никакой разницы между взглядом, по которому все- ленная, хотя и непрерывна и разделена, существует как сплошной ряд взаимносоприкасающихся частей, и утверждением, что она состоит из множества вещей, не едина и (следовательно) представляет собой пустоту (так как
52 сумма множества непротяженных частиц равна нулю, С. Л.). В самом деле, если она повсюду делима, то не остается ничего единого, как и ничего множественного, а все превращается в пустоту» (14). Если бы удалось установить, что атомизм Демокрита был ответом на полемику элейцев, то вывод, что атомизм Демокрита был математическим, был бы неизбежным. Об этой зависимости Аристо- тель говорит совершенно определенно. Свои замечания о Демо- крите (is) он начинает словами: «Наиболее методически построили свою теорию, руковод- ствуясь одним общим принципом при объяснении всех явлений, Левкипп и Демокрит, исходя из того, что сообразно природе вещей. Дело в том, что некоторые из древних полагали, что логически необходимо, чтобы вселенная была едина и непо- движна ...»(ie) (Эти «некоторые из древних», само собою разумеется, элейцы). Далее следует краткое изложение элейского учения и вывод: «При конкретных вещах такое допущение равносильно безумию». Вывод этот скорее всего заимствован уже у Демокрита (п). Затем Аристотель возвращается к Левкиппу: «Левкипп же полагал, что у него есть аргументация, кото- ‘ рая, выставляя доводы, согласные с чувствами, (в то же время) не сделает невозможной... множественность вещей» (is). Такую же связь между элейцами и атомистами отмечает Ари- стотель в другом (19), для нас еще более интересном, месте: «Некоторые нашли ответ на оба довода (элейцев, как видно из контекста С. Л.): в ответ на довод: „поскольку бытие едино, и вселенная едина4* (а, следовательно, неделима. С. Л.\ они утверждали, что существует и небытие (пустота. С. Л.)\ в ответ на довод, отправляющийся от деления на две части, они постулировали неделимые величины» (20). Первый упоминаемый здесь довод элейцев таков: поскольку «бытие» (т. е. та единая материя, из которой сделана вселенная) «едино», т. е. совершенно однородно, не может существовать отдель- ных вещей, так как это предполагало бы различную концентрацию бытия, различные его группировки, а это невозможно, поскольку бытие абсолютно однородно. Атомисты, как мы знаем, постули- ровали существование абсолютной пустоты (то xevov), которую они называли также небытием (то (jltq ov). В этом случае существо- вание отдельных вещей становилось возможным и при однородности
53 бытия, ибо в одних местах пустоты больше, в других меньше и распределена она в различных местах различно. Довод, исходя- щий от деления на два — знаменитый парадокс об Ахилле и черепахе — представляет собой лишь вариацию приведенного выше довода, основанного на промежутках, промежутках между телом и промежутком и т. д.; в обоих случаях показывается, что, если всякое тело можно разделить на две части, то его можно раз- делить на 4, 8, 16... вплоть до бесконечности протяженных частей; сумма же бесконечного числа протяженных частей равна бесконеч- ности. Атомисты парализовали этот вывод допущением существо- вания атомов—неделимых частиц: тело не может быть делимо до бесконечности; его можно делить, правда, на чрезвычайно большое, но не бесконечное число частей, и каждая часть дальше неделима. Если бы речь здесь шла о Физическом атомизме, т. е. о Физи- ческой невозможности делить дальше вследствие чрезвычайной твердости то это не было бы ни в каком отношении ответом на элейский парадокс, исходивший от таких существующих не Факти- чески, а только в нашем представлении понятий, как например, «промежуток между телом и промежутком»). Очевидно, атомисты постулировали не только Физическую неделимость. 2. Живший в XIV веке Фома Брадвардин (выше, стр. 7) несомненно восходил к недоступным уже нам античным источникам, когда считал, что демокритовский атом—элемент пространства: „Большинство новых авторов считают, что непрерывное (continuum) не состоит из атомов, а из частей, делимых без конца. Другие же говорят, что оно состоит из неделимых... Демокрит полагает, что непрерывное состоит из неделимых тел, другие — из точек4* (2iB). 3. Уже в 1914 г. Фохт(21) привлек схолию к Евклиду, в которой последователям Демокрита определенно приписывается математи- ческий атомизм: ««Вопреки утверждению последователей Демокрита, не существует минимальной величины» (22), — читаем мы здесь. Правда, Аристотель, исключая лишь приводимую ниже (стр. 58 и сл.) чрезвычайно важную цитату из Демокрита, не дает прямых ука- заний по этому вопросу, но ряд более поздних свидетельств показы- вает, что Левкипп и Демокрит объясняли неделимость этих «мини- мальных телец» не Физически, т. е. не их твердостью, непроницаемо- стью, «полным отсутствием хрупкости» (iOpavcia), а «математически»», т. е. отсутствием в них частей, их абсолютной малостью; но это отсутствие частей (то ар.ере;) уже не соединялось с непротяжен- ностью (то apt-eyeitec, то а<тю[латоу).
54 Гале н: «Некоторые (считают элементы) неделимыми вследствие малости, как школа Левкиппа» (23). Симпликий: «Левкипп и Демокрит видят причину того, что первотела неделимы, не только в том, что они не под- вержены внешнему воздействию (атгаЭеюс), но и в их малости и в отсутствии частей»(24). Отметим научное слово- употребление Симпликия: малость (срлкрбттх;) разумеется здесь абсолютная, тождественная с отсутствием частей. Ср. Аристотель, О небе, Ш, 4, 303 а 4: «Левкипп и Демокрит утверждают... что первовеличины... неделимы вследствие их величины»... Аэций: «Атомисты (утверждают), что деление остана- вливается на неделимых частицах (ар.бр/1) и что невозможно деление до бесконечности». С т о б е й: «Демокрит (утверждает), что деление останавли- вается на неделимых частицах» (25). Попытка Арнима противопоставить в этом отношении Левкиппа Демокриту и считать только первого представителем математи- ческого атомизма совершенно несостоятельна (гв). 4. Аристотель и его толкователь Симпликий делают упор на то, что демокритов атомизм ниспровергает основные положения*матема- тик и. Аристотель: «Постулируя неделимые тела, они (Демокрит и Левкипп) вынуждены впасть в противоречие с математикой». Симпликий: «Те, которые характеризуют элементы их Формой, как, например, огонь — пирамидальной Формой, воду — Формой октаэдра (т. е. платоники, С. Л.)... или те, которые считают их (элементы) неделимыми (т. е. последователи Демокрита, С. J.), вынуждены считать не все тела делимыми и таким образом впадать в противоречие с математикой, выставляя утверждения, совершенно противоположные этой науке: математика считает делимыми даже тела, существующие только в нашем представлении, а они не считают делимыми (подразумевается: пополам, С. Л.) даже тела, постигаемые чув- ствами» (27). Демокритово допущение существования мельчайших частиц, по мнению этих ученых, не только противоречит математике, но и подрывает ее основные устои, делая всю эту науку несостоятель- ной, так как это допущение делает невозможным деление линии на две части и движение. Аристотель: «Самое маленькое отступление от истины в дальнейшем ходе рассуждения увеличивается в десятки тысяч раз, как, например, если кто-нибудь скажет, что суще-
55 ствует минимальная величина: введение самой маленькой вели- чины расшатывает самые великие основы математики». Сим- пликий, к этому месту: «Демокрит (или всякий другой, ко- торый сделал бы подобное допущение), принимая за перво- смцности маленькие и даже самые маленькие величины, пошатнул этой своей ошибкой величайшие устои геоме- трии, бесконечную делимость величин, руководясь которыми, можно разделить данную прямую ва две части; причина в том, что эти величины, будучи первосущностями, имеют могучую силу». Ср. комментарий Филонова: «Утвер- ждающие это ниспровергают точнейшую из наук — я имею в виду математику: математика утверждает, что даже суще- ствующие только в нашем представлении тела делятся пополам, а атомисты отрицают это даже для Физических тел» (28). О возражениях, основанных ва том, что при допущении суще- ствования неделимых величин становится невозможным ни движе- ние, ни деление линии на две части, мы скажем подробнее ниже (стр. 101 сл. 108 сл.); пока достаточно указать на основной смысл этих возражений: 1) когда неделимое тело продвинется вперед на половину своей величины, оно покроет одновременно половину одного элемента пути и половину другого и таким образом разделится на две части: одну — лежащую на первом и другую — лежащую на другом эле- менте пути, если же первотела неделимы, то никакое движение невозможно; 2) всякое тело может быть разделено пополам; если тело состоит из нечетного количества неделимых, то среднее недели- мое, несмотря на свою неделимость, разделится пополам; если же оно не разделится, то, очевидно, данную линию нельзя разделить попо- лам, а это нарушает основные законы геометрии. Все эти рассужде- ния были бы бессмысленны, если бы Демокрит признавал только Физическую неделимость атомов. В самом деле, тот самоочевидный Факт, что тело, неделимое вследствие своей твердости, может покры- вать собою смежные части двух элементов пути, решительно ничего не говорит в пользу невозможности движения: с другой стороны, средний атом, если он неделим только Физически, вследствие твер- дости, может быть разделен прямой линией, проведенной через его се- редину, на две половины, правую и левую, — законы математики здесь не при чем. Все эти возражения имеют смысл только в том случае, если атомизм Демокрита был «мате- матическим)», т. е. если Демокрит считал первотело не имеющим частей и неделимым даже мысленно. 5. Обвинение в ниспровержении основ математики предъявлялось не только Демокриту и платоникам, но и последователям Демо-
56 крита (29) АнтиФОнту и Эпикуру. Между тем, в дошедших до нас произведениях Эпикура определенно засвидетельствовано, что он стоял на точке зрения математического атомизма и противопостав- лял Физический атом (атор.о;) математическому («[лере;; см. ниже, стр. 125—176 и сл.); Антифонт также, как мы знаем теперь, гово- рил о тех частицах, из которых состоят как прямая, так и окруж- ность круга (ниже, стр. 150), т. е. стоял на точке зрения мате- матического атомизма. Теперь обратим внимание на то, что обви- нение против АнтиФонта и Эпикура Формулировалось почти в тех же словах, как и против Демокрита. Против АнтиФонта. ф Аристотель: (Мы обязаны опровергать) только те не- верные доказательства, которые выводятся, исходя из основ- ных положений (геометрии), а в противном случае не обязаны; так, например, (опровержение) антифонтовой квадратуры не (дело) геометра. К этому месту Симпликий замечает: (В этом случае) нарушено основное геометрическое положение— именно то, которое утверждает, что величины делимы до бес- конечности»» (зо). Вновь привлеченная мною еврейская рукопись говорит об уче- нии АнтиФонта (см. ниже, стр. 150): «Это находится, как сказал Аристотель, в противоречии с основными положениями геометрии: согласно этим положе- ниям, линия не состоит из точек и величины делимы до бес- конечности»». Против Эпикура. Прокл в комментарии Евклиду: «Те, которые желают ниспровергнуть (не геометрию в целом, а) только основные положения геометрии, как эпикурейцы» (si). С другой стороны, Демокрит и платоники (т. е. прежде всего Ксенократ, автор учения о неделимых линиях) обыкновенно объе- диняются Аристотелем вместе, когда он говорит о математическом атомизме. Кроме приведенных уже выше (стр. 54) примеров, укажу на свидетельства Симпликия: 1) В комментарии к трактату «О небе»», III, 7, стр. 306 а 26: «Это доказательство направлено против всех тех, кто придает первотелам Форму геометрических Фигур — Форму плоскостей (платоники, С. Л.) или как Демокрит».
57 2) Там же, к 306 Ъ 22: «Это выражение направлено одновременно против всех тех, которые объясняют возникновение тел друг из друга либо путем соединения атомов, как школа Демокрита, либо путем соединения плоскостей, как Тимей» (за). Равным образом и полемика, содержащаяся в сочинении Аристо- теля «О небе,» III, 1, р. 299 а 27—Ь23, как известно, направленная против платоников, в то же время, как мы случайно узнаем из комментария Александра из АФродисии (зз), имеет в виду и Левкиппа с Демокритом, что подтверждается и содержанием этого места. Резюмируем сказанное: учение Демокрита возникло как реакция против выставленного элейцами математического парадокса; против учения Демокрита, как мы видим из схолий к Евклиду, полемизировали математики; в литературе сохранился еще ряд прямых свидетельств, согласно которым мельчайшие тела атомистов не имели частей (ajxepvj); комментаторы один за другим с пеной у рта доказывают, что демокритовский атомизм противоречит основным положениям математики; в источниках демокритовский атомизм трактуется или в тех же выражениях, что и чисто математические атомистические теории, или сообща с ними. Неужели же можно после всего этого сомневаться, что атомизм Демокрита исходил не только из «отсутствия хрупкости», но и из математической недели- мости то ajxepec, мельчайшей частицы? 2. Обоснование теории бесконечно малых В предыдущем параграфе мы привели ряд косвенных доказа- тельств того, что Демокрит стоял на точке зрения математического атомизма. К счастью, нам не приходится ограничиться этими косвен- ными доказательствами: от древности до нас сохранился подлинный .отрывок Демокрита, в котором необходимость атомистического миросозерцания обосновывается не ссылкой на те или иные Физиче- ские явления, а указанием на чисто математические затруднения, возникающие в том случае, если мы считаем пространство непре- рывным. Уже в в 1900 г. выдающаяся шведская исследовательница Ингеборг Гаммер-Иенсен доказала (34), что одно место Аристотеля («О рождении и гибели, 1, 2, 316 а 14 и сл.») представляет со- бою довольно близкий к оригиналу пересказ подлинных рассужде-
58 ний Демокрита, дающаго здесь доказательство необходимости атомистического взгляда на математические величины. Этот пере- сказ Аристотель начинает словами: «Демокрит же, как оказывается, склонился к такой точке зрения на основании логических (точнее — относящихся к делу, оЫпоц) и Физических соображений. Что мы подразумеваем под этим словами, станет ясно из дальнейшего изложения». И кончает так: «Таковы доводы, вынуждающие признавать существова- ние неделимых величин; теперь покажем, что при этом неза- метно делается логическая ошибка и какая именно» (зь). Филопон в своем комментарии к этому месту также считает автором его Демокрита: «(Аристотель) знакомит нас с теми соображениями, руко- водясь которыми Демокрит принял учение о неделимых телах». И по поводу ряда отдельных выражений замечает: «Здесь Демокрит прибегает к reductio ad absurdum»... «Здесь Демокрит допускает логическую ошибку...» «Демо- критово доказательство»... «Здесь кончается аргументация Демокрита, приводящия к учению о неделимых телах ...» (зв) Я привожу этот отрывок полностью в переводе (подлинный текст дан в примечании (37). [§ 1. Введение] «1. Приходится натолкнуться на трудности, если выставишь утверждение,что существуют некоторое тело и некоторая вели- чина, обладающая делимостью повсюду и что это возможно. В самом деле, что же останется незатронутым этим делением? 2. Если тело обладает делимостью повсюду и это возможно, то и будем считать его разделенным повсюду, хотя бы (в действительности) оно и не было (еще) разделено повсюду. 3. (На основании сделанного выше допущения) если бы это произошло, то в этом не было бы ничего невозможного, как (не было бы ничего невозможного и в том случае), если бы мы делили тело последовательно пополам и опять пополам. 4. И в» обще, поскольку величина по своей природе делима повсюду, не произойдет ничего невозможного, если такое деле- ние будет осуществлено; ведь, нет ничего невозможного в том, чтобы разделить тело на миллиард частей, хотя бы (практиче- ски) никто такого деления осуществить не мог.
59 (§2. Тело не может при разделении превратиться в ничто] 1. Итак, поскольку тело обладает повсюду таким свойствами, допустим, что оно разделено. Что от него останется? Величина? Но это невозможно, так как в этом случае осталось что-то еще не разделенное, а по сделанному предположению тело делимо , повсюду. 2. Если же не останется ни тела, ни величины, а только деление само по себе (т. е. граница при делении), то (одно из двух): либо тело окажется состоящим из точек, и, следова- тельно, то, из чего оно состоит, непротяженно, или совсем ничего (не останется), так что окажется, что тело — возникло и состоит из ничего; тогда и целое не что иное, как мираж. [§ 3. Тело не может представлять собой сумму непротяженных точек] 1. Равным образом, если величина состоит из точек, она не может быть протяженной. 2. В самом деле, пока эти точки касались друг друга и образовывали одну величину и находились вместе, они ничуть не увеличивали целого. 3. Ведь, будучи разделенным на две или большее число частей, целое не становится больше или меньше, чем прежде. 4. Следовательно, если все точки сложить вместе, то ника- кой величины не образуется. [§ 4. Допущение существования предела чисто- Физического деления не разрешает возникшей трудности] И в том случае, когда при разделении тела на части, получается нечто вроде опилок, и следовательно величина преобразуется в некоторое (новое) тело, остается в силе тот же вопрос: а как обстоит с делимостью этого (нового) тела? [§ 5. Дополнительные замечания] 1. Если же (по разделении) (величина) преобразуется не в тело, а в чистую Форму или в чистое состояние, и величина представляется рядом (непротяженных) точек или «сопри- косновений» (т. е. границ) (зв), испытывающих это состояние, то нелепо, чтобы из непротяженных (частиц) получалась (протяженная) величина. 2. Далее, на чем будут находиться эти точки — безраз- лично подвижные или неподвижные? Ведь граница всегда пред- полагает существование двух вещей, которые она разграни-
во чивает, так что кроме точки соприкосновения и деления должно существовать еще что-то. 3. Итак, стоит только допустить, что некоторое тело, каким бы оно ни было по характеру и величине делимо во всех точках, и уже придется считаться со всем сказанным. § 6. Заключение Таким образом, поскольку невозможно, чтобы величины состояли из точек или «соприкосновений», неизбежно должны существовать неделимые тела и величины. На этом Аристотель кончает свой пересказ и уже от себя замечает: «Это неверно: и при таком предположении мы приходим к невозможному... надо попытаться найти выход». С этой целью Аристотелю приходится снова повторить все сказанное, но уже без демокритовских повторений и многословия, очень кратко, переводя сказанное Демокритом на свой язык и научную терминологию. Это повторение не содержит ничего нового и интересно только для изучения аристотелевой научной систематики; но самая необходи- мость такого повторения показывает, что в предшествующей части Аристотель настолько точно цитировал Демокрита, что сохранил даже чуждый самому Аристотелю ход изложения и способ выра- жения абдерита (зя). Перейдем теперь к толкованию переведенного отрывка. Нач- нем с выражения 1,1: «Некоторое тело и величина» (aw^a те xai [леуедо;). Местоимение «некоторое» относится к обоим существи- тельным, так как перед нами известный греческий грамматический оборот ev Sta SuoTv, когда одно понятие передается двумя словами. Точно так же и в дальнейшем ходе рассуждения тело и величина употребляются почти как синонимы; насколько эти понятия для Демокрита однородны, видно из того, что в § 4 мы читаем, что из величины при разделении на части становятся тела (ех тои [леуеЭои; <г«)[да тс атгерхетас). Все это не случайно. Хотя Демокрит, как мы увидим, проводит резкое различие между неделимостью вследствие внешних Физических препятствий, как то: чрезвычайной твердости, скользкости и т. д. (dcTojxov), и неделимостью вследствие отсутствия частей (apiepe;), тем не менее, в обоих случаях он мыслит чисто Физически, так как всякая величина для него прежде всего тело, никакой идеальной величины в пустом пространстве он не признает. Пустое пространство (тб xevov), с его точки зрения — то [лт) ov, «не- существующее», вернее—ему соприсуще бытие в ином смысле, чем
61 материи; протяженность есть категория материи; пустота непротя- женна; в пустоте не существует, как мы увидим ниже (стр. 98), расстояний, и поэтому «прямой, проведенной в пространстве», т) той xevou eiMa, о которой рассуждали впоследствии эпикурейцы (ниже, стр. 131, прим. 28), с точки зрения Демокрита, вообще не существует. Его неделимые частицы бсаерЯ, в сущности, не мельчайшие частицы пространства, а пространственный минимум материи; вообще то пространство, которое изучает Демокрит, это пространство, напол- ненное материей. Вот почему слово «математический» мы обычно пишем в кавычках; даже математический атомизм Демокрита построен на Физических основах. Насколько аргументация Демокрита близка к аргументации элейцев, видно с первого же взгляда. Элейское рассуждение, осо- бенно близкое к Демокриту, сохранилось у Симпликия, цитирующего в этом случае Порфирия. Как сообщает Симпликий, Порфирий считал автором этого рассуждения самого Парменида, основателя элейской школы; Симпликий прав, считая авторство Парменида невероятным. Вот это место: «Если тело обладает делимостью, то будем считать его разделенным на две части, затем каж- дую из частей разделенною на две части; если продолжать такой процесс дальше и дальше, то станет ясно, что либо останутся какие-то минимальные и неделимые величины, бесконечные по числу, и целое окажется состоящим из мель- чайших частиц, бесконечных по числу; или же оно исчезнет и распадется на ничто, и окажется, что оно со- стоит из ничего... если же что-либо останется, то тело не будет разделено повсюду» (40). Ср. такую же аргументацию у элейца Мелисса (выше, стр. 51—52): «Если же оно может быть разделено повсюду, то не будет ни единого, ни многого, а все превратится в пустоту». Не говоря уже о подчеркнутых Фразах, дословно совпадаю- щих с Демокритовыми, вся аргументация та же, что у Демокрита: единственная существенная разница состоит лишь в том, что по мнению элейца число частиц и при том и при другом делаемом им допущении бесконечно велико, и таким образом оба мыслимые допу- щения приводят к абсурду (в одном случае всякая величина бесконечно велика, в другом равна нулю); Демокрит постулирует не бесконечно большое, но конечное число протяженных неделимых частиц и тем избегает элейского заколдованного круга.
62 Другая разница состоит в порядке деления: элеец сначала предста- вляет себе величину разделенной на две части, затем опять на две части и т. д. Демокрит обходится без этого педагогического приема, он сразу же представляет себе, что деление осуществлено одно- временно во всех точках тела, не касаясь способа, которым оно осуществлено; но, имея в виду элейский прототип, он указывает (§1, 2), как на частный случай, на последовательное деление на два. Элейцы выбрали именно этот пример (разновидностью его является парадокс об Ахилле и черепахе), потому что в этом случае, как каза- лось, особенно наглядно видно, что деление, а, значит, и число частей бесконечно. И в после-демокритовское время обе стороны оперировали особенно охотно именно этим примером. Противники атомизма продолжали видеть в нем доказательство невозможности атомизма; см. например, приписываемый Аристотелю трактат о неде- лимых линиях: «Если будем делить линию на две части и (опять на две), пока только возможно будет делить, то, наконец, разделится и атом» (41). Наоборот, как мы видим из приведенной в том же трактате с полемической целью аргументации атомистов, этот же пример служил и для доказательства правильности их доктрины: «На основании аргументации Зенона необходимо допускать существование некоторых величин, не имеющих частей .... необходимо, чтобы движущееся тело сперва достигло половины (пути), а у всякого тела, кроме не имеющего частей, всегда есть середина» (42). Точно так же стоявшие на атомистической точке зрения эпи- курейцы приводили этот же пример в доказательство правильности своей точки зрения (43), да и сам Аристотель (см. выше, стр. 52) видит в атомизме как раз ответ на парадокс «деления на две части» (6 ех тт)с St^OTOjjiiac). Наибольшую трудность для понимания в разбираемом отрывке представляет собою § 3, 2—3. «Пока точки касались друг друга и образовывали одну величину и находились вместе, они ничуть не увеличивали целого; ведь, будучи разделенным на две или больше частей, целое не становится больше или меньше». Место это станет нам сразу понятным, если мы будем рассма- тривать точку как минимальную, не-материальную частицу. Пусть например, изображенная на чертеже линия АВС разделена на две
63 части: АВ и ВС. При этом либо из точки В получатся две: JB0, конец левого отрезка, и В0, начало правого отрезка. Если бы точка была минимальной величиной, то должно было бы быть длинее, чем АВС, так как сумма ABQ-t-BQC содержит на одну точку больше, чем лиГния АВС (вместо одной точки В по- явились две: B0-t-B°). Но в действительности АВ^-ъ-В° С= АВС\ итак, от прибавления точки, величина не увеличивается. Либо наобо- рот, линия АВС разделится на две части так, что точка В целиком отойдет к отрезку АВ, а не к ВС\ тогда напр., линия [.В] С должна быть короче первоначальной ВС на точку В, и, следовательно сумма АВ-+-[В]С должна быть меньше на одну точку, чем АВС В действительности ЛВч-[В]С= = АБС, а следовательно, и [В]С=ВС-, итак, от отнятия точки —9 '^о— величина не уменьшается. Для истории математики особенно Фиг. 4. важно неоднократно встречающееся в разобранном отрывке Демокрита указание на то, что Факт неделимости в Физическом смысле ника- кого интереса для математической стороны вопроса не имеет. § I, 2; «Если тело обладает делимостью повсюду, и это возможно, то и будем считать его разделенным повсюду...» § I, 4: «Поскольку величина по своей природе делима повсюду, не произойдет ничего невозможного, если такое деление будет осуществлено... хотя бы никто такого деления осуще- ствить не мог...» «Когда при разделении тела на части получается что-то вроде опилок (т. е. тела, которые невозможно распилить дальше, как поясняет Филонов (44)) и (следовательно) величина преобразуется в некоторое (новое) тело, остается в силе тот же вопрос: а как обстоит с делимостью нового тела?» Это подчеркивание того, что Физическая неделимость не имеет отношения к вопросу, также заимствовано у элеатов; то, что заме- чания Демокрита надо понимать именно в этом смысле, видно также из примечания толкователей; так, к словам: «хоть бы и не было разделено повсюду» Филопон (45) делает примечание: «... хотя бы оно еще не было разделено»; к словам: «хотя бы никто такого деле- ния осуществить не мог» тот же Филопон делает пояснение: «вслед- ствие ограниченности возможностей лица, производящего деление» (4в). Ср. замечание Аристотеля в том же произведении: «Если же делимо... то даже если оно еще не разделено, можно считать, что
64 оно разделено» (47). Точно такой же смысл имеет и приведенное выше (стр. 51) замечание Мелисса: «Нет никакой разницы, считать ли, что вселенная... суще- ствует как ряд соприкасающихся частиц, или утверждать, что она состоит из множества вещей...» Настойчивое подчеркивание неуместности оперирования Физи- ческим атомизмом при обсуждении этих вопросов, несомненно, показывает, что существовало учение, доходившее лишь до частиц, которые дальше разбить не удается, и останавливавшееся на этих частицах, не затрагивая вопроса, возможно ли дальнейшее деление этих частиц, хотя бы только emvouz в представлении. Уже априорно можно было бы предположить, что как Мелисс, так и Демокрит полемизируют в этом случае с Эмпедоклом. Это подтверждается следующим свидетельством Аристотеля: «Если же разделение остановится на какой-нибудь стадии, то тело, на котором деление остановится, будет либо неде- лимым (точка зрения атомистов. С. Л), либо делимым, но так, что деление никогда не сможет быть (практически) осуще- ствлено; последнее, повидимому, имел в виду Эмпедокл» (48). Выражение неуверенности, «повидимому»^ вполне понятно: вероятно, Эмпедокл вообще не углублялся в математические про- блемы и вопроса о дальнейшей делимости частиц совсем не затра- гивал. Ср. другое свидетельство Аристотеля: «Эмпедоклу было ясно, как происходит зарождение и гибель вплоть до элементов; но как зарождается и гибнет нагромо- жденная величина самих элементов, неясно и невозможно уста- новить» (49). (О «нагроможденной величине» мы говорили уже выше, гл. I, прим. 5). В виду этого мнение, будто элемент по Эмпедоклу делим далее, представляет собой скорее всего только умозаключение самого Аристотеля. То же учение, т. е., по его мнению, учение Эмпедокла, упоми- нает Аристотель еще и в другом месте: и здесь оно рассматривается вместе с учением Демокрита. «Если величина делима не повсюду, но существует либо неделимое тело (учение Демокрита. С. Л.) либо неделимая пло- скость (учение Платона. О. Л), то окажется, что не суще- ствует ничего, способного испытывать внешнее воздействие во всех точках, и ничего непрерывного. Если же это неверно, и всякое тело делимо, то нет никакой разницы между тем,
65 существует ли оно как (уже) разделенное, но состоящее из взаимносоприкасающихся частей, или (лишь) как (потенциально С. JL) делимое (повсюду): если оно может (хотя бы потен- циально, не Фактически. С. Л.) делиться по линиям соприкос- новения (как некоторые утверждают), то даже, если оно еще не разделено, его следует считать разделенным» (50). Любопытно почти дословное совпадение с Мелиссом: Мелисс (выше, стр. 51): Аристотель: ou8lv Stacpepeiv... атгтесгфас 8(7]pT)p.evov. ou8ev otacpepet... 8(7]pvjcr{Hi p.ev, атгте- (тдас 8г... (нет никакой разницы... касается ли, (нет никакой разницы.. касается ли будучи разделена) и в то же время разделена)... Разница лишь в том, что для Мелисса бесконечная делимость все еще единственная возможность в том случае, когда не отри- цается, как у элеатов, делимость вообще (установка Демокрита ему не приходит еще в голову); поэтому он заявляет только, что точка зрения Эмпедокла ничем не отличается от утверждения множествен- ности вещей. Аристотель же, противопоставляя вслед за Демокритом Эмпедоклу атомизм, заявляет, что точка зрения Эмпедокла ничем не отличается от утверждения бесконечной делимости. Равным образом и в исследователях, которых Филопон (51) противопоставляет атомистам, следует видеть того же Эмпедокла. Он говорит: «(Как думают атомисты, атомы неделимы по природе, С. Л.\ а не вследствие их малости:1 в этом случае они не были бы атомами по природе. В самом деде, и те, которые не постулируют существования атомов, не делят до бесконечности, но делают остановку в делении вследствие малости (частиц); при этом они не утверждают, что эти частицы неделимы по природе, но говорят, что они потенциально делимы до бесконечности». Если бы мы спросили у Левкиппа и Демокрита, чего недостает в этой теории Эмпедокла, то, несомненно, получили бы в ответ, «математически неделимых атомов». В самом деле, если атом делим 1 Отметим попутно научную терминологию Филопона: слово «неделимы по природе» он употребляет в обычном в тогдашней науке смысле, в смысле отсут- ствия частей; выражение же «вследствие малости», как мы видели выше (стр. 54) и еще увидим ниже, в научном языке того времени употреблялось в другом смысле, чем у Филопона, — как раз в смысле абсолютной малости, т. е. отсутствия частей; Филопон же разумеет только чрезвычайную малость, препятствующую чисто Физическому разделению на части.
66 до бесконечности, то в результате деления получится нуль: «Если тело делимо повсюду, то после деления не остается ничего... и целое окажется пустотой», как выражался Мелисс и вслед за ним Демокрит. В этой связи интересно отметить, что по мнению Аристо- теля Эмпедоклу следовало бы для логической последовательности принять атомистическое учение, причем Аристотель в этом случае выражается почти так же, как, вслед за Мелиссом, Демокрит: «И Эмпедоклу логически необходимо держаться тех взгля- дов, которых держался Левкипп: что существуют некоторые материальные, но неделимые (частицы). Или же должны быть всюду сплошные поры (тгброь), а это невозможно: тогда не оста- нется ничего материального,кроме промежутков,но все окажется пустотой. Необходимо поэтому, чтобы соприкасающиеся тела были неделимы, а находящееся между ними — пустотой, кото- рую он (Эмпедокл) .называет порами. Так говорит Левкипп» (52). Я убежден, что эта чисто атомистическая критика учения Эмпедокла, вставленная между двумя упоминаниями Левкиппа, по- черпнута из Демокрита (или Левкиппа); с самим Аристотелем про- водимая здесь точка зрения имеет мало общего. Это видно и из терминологии. Демокриту приходилось бороться с бедным научным языком его времени, придавая многим общеупотребительным терминам новое значение. Так, например, слова ато[лос< aSia(peTo$. по-гречески все означают совершенно одно и то же: «неделимый», они так и продолжают употребляться у Аристотеля и его последо- вателей, что вносит ужасающую путаницу в их изложение учения Демокрита. Между тем, как мы еще неоднократно убедимся далее, . в терминологии, восходящей к Демокриту, ато[ло<; означает «неде- лимый Физически вследствие чрезвычайной твердости», а «неделимый математически вследствие отсутствия частей». Так обстоит дело и в нашем случае. Уже до Демокрита слову apj, «касание», был придан конкретный смысл: под «касанием» разумелась некоторая самостоятельная сущность, нечто вроде не- протяженной границы двух соприкасающихся тел, существующей отдельно от этих тел (§ 5, 1—2). Таким образом научная мысль . была уже подготовлена к представлению (противоречащему прямому смыслу слова «соприкосновение»), по которому мнкду двумя соприка- сающимися телами может находиться нечто третье. Демокрит пошел еще дальше в этом направлении; Филопон (53) сообщает:
67 «Демокрит употреблял термин «касание» (асртп) в несобствен- ном смысле, говоря о касании атомов... касанием (а<рт,) он называет такое положение вещей, когда атомы расположены близко друг от друга, на незначительном расстоянии»... «Лев- киппова школа употребляла слово «касание» в несобственном смысле». Школа Аристотеля, как мы видим из трактата «О неделимых линиях*», 971 а, не применяла этой терминологии и о Демокрито- вых атомах говорила, что они «находятся рядом, не касаясь» (е<рг^- •. sbat атгтб[л«уоу). Если поэтому в разбираемом нами месте говорится о том, что между двумя соприкасающимися друг € другом телами находится пустота, то это вряд ли может быть выражением самого Аристотеля; это выражение может служить лишним доводом в пользу того, что Аристотель здесь только рефе- рирует атомистические изложение учения Эмпедокла (54). Итак, из всех предшественников наиболее близок к Демокриту Эмпедокл с его Физически неделимыми частицами (55). Мы убедились, что учение Эмпедокла нуждалось только в одном исправлении, чтобы оно могло устоять против критики Зенона и чтобы быть приемле- мым для атомистов: в допущении существования неделимых мате- матически частиц. Это исправление могло быть проведено двумя путями: либо Физически-неделимые тела можно было потенциально, математически, считать делимыми дальше, но лишь до известной границы, не до бесконечности; либо можно было считать, что эти Физически неделимые частицы в то же время неделимы и математи- чески. Обе теории с точки зрения предпосылок атомизма были бы одинаково неуязвимыми. Атомисты были вынуждены стать на одну из этих точек зрения. 3. Практическое приложение атомистической математики У Плутарха еще сохранилось замечательное свидельство (se), показывающее, как применял Демокрит свой атомизм для решения конкретных математических вопросов: «Демокрит как натуралист, умеющий логически мыслить, ставил такой вопрос: если конус рассекать плоскостью парал- лельно основанию, как надо представлять себе поверхности сечений: равными или неравными друг другу? Если они не- равны друг другу, то конус получит неправильный вид, так как
68 (его боковая поверхность) получит множество углублений и выступов в виде ступенек лестницы: если же равны, то и се- чения (т. е. горизонтально расположенные кружки, С. Л.) будут равны друг другу, и конус получит вид цилиндра, так как будет составлен из (положенных друг на друга) равных, а не неравных кружков, а это нелепо» (см. фиг. 5). Обычно это место понимается неверно, так как оно заимствуется непосредственно из хрестоматии Дильса и рассматривается само по себе, тогда как его можно понять только в Плутарховом контексте. Здесь Плутарх критикует одно из высказываний главы стоической школы Хрисиппа, представлявшее в свою очередь полемику с атоми- стами (прежде всего с эпикурейцами). Хрисипп стоит на точке зре- ния деления до бесконечности (гл. 38 и другие места). Трудности, препятствующие, по мнению Демокрита и эпикурейцев, принять уче- ние о делении до бесконечности,он стремится парализовать оригиналь- ной теорией (см. ниже, стр. 174 и сл.). Подобно тому как кроме добра и зла есть «третья категория» (rptrov yevo;): безразличное, aSia<popov, так и помимо конечного и бесконечного есть и «третья категория»: не конечное и в то же время не бесконечное, не равное и в то же время не неравное (57). Демокрита, стоящего на противоположной точке зрения, Хрисипп всячески поносит («он выставляет Демокрита невеждой») и в качестве примера приводит цитированый выше вопрос о конусе, который Хрисипп и разрешал в духе своей теории: «поверхности не равны друг другу и не неравны». Плутарх, как платоник, разумеется, в вопросах математики стоит на точке зрения атомизма, хотя во всем прочем он не желает иметь ничего общего с материалистами. В главе 38 этого сочинения он стремится показать, к каким нелепостям приводит теория дели- мости до бесконечности, и пользуется этим случаем, чтобы высмеять стоиков. О Демокрите он в этой связи говорит с большим почтением, повторяя отзыв Аристотеля («как натуралист, умеющий логически мыслить», xai етпти^ы;), а в ожесточенной поле- мике Хрисиппа видит нахальство выскочки («выставляя Демокрита невеждой!»). Все это было бы невозможно, если бы и Демокрит стоял на той же точке зрения деления до бесконечности, как и Хрисипп, потому что именно эту точку зрения Плутарх считает совер- шенно несостоятельной. Но, если я не ошибаюсь, мы вправе вычитать из Плутарха еще и следующее: Демокрит решал этот вопрос в том смысле, что кружки
69 неравны друг другу. Отрывок, посвященный Хрисиппову разбору этого вопроса, кончается словами: «Как же стоики решаются после этого ругать „вводящих в науку какие-то пустоты и неделимые (afxepzi) и постулирующих внутренне-противоречивое положение, что (тело) не движется и не стоит на месте44 (т. е. атомистов. С. JL), когда они же сами осмеливаются называть неверными такие само-' очевидные положения, как следующее: „Если какие-либо (величины) не равны друг другу, то они неравны друг другуи или такое: „Но эти не равны друг другу, — стало быть, они неравны друг другу % (57 ь). Так как эти слова непосред- ственно примыкают к рассужде- нию о равенстве кружков в ко- / \ нусе, то мне кажется весьма ве- / \ роятным, что эти слова взяты из / \ того же места Демокрита, при- / \ ходившего к заключению: «Если / \ какие-нибудь (величины) не / \ равны друг другу, то они не- s7q равны друг другу; эти (т. е. с кружки, плоскости, тайтх=та e7Ti7rsSx) не (оказались) равными £------- ДРУГ Другу. Стало быть, ОНИ не- фИГе 5 Конус с двумя кружками (три^лата), равны друг другу». Таким обра- получившимся в результате сечения его тг плоскостью (грубая схема). зом Демокрит разрешал поста- v 7 вленный вопрос. Попутно отметим, что греческий язык не имеет подобно русскому особой Формы многократного вида, и глагольная Форма «тгцуопо» может соответствовать и русскому глаголу «рассекаться» и глаголу «рассечься». Однако здесь, очевидно, речь не может итти только об одном разрезе, а имеется в виду чрезвычайно большое коли- чество разрезов: только в этом случае Демокрит мог говорить о «множестве углублений и выступов в виде ступенек лестницы»- Слово «плоскостью» (ЬпкеБо)) есть так называемый dativus instruments плоскость употреблена в этой задаче как нож для разрезания конуса на горизонтальные ломти (т[лх[ла), поэтому это слово и стоит здесь в единственном числе (se). Итак, разбираемый Плутархом отрывок из Демокрита не является трудностью (апорией), в том смысле, что сам автор не знал, как ответить на поставленный им вопрос; равным образом эти трудно- сти вовсе не выдвинуты с теми целями, с какими их выдвигали
70 отрицавшие математику софисты и впоследствии скептики Пирронова толка. Здесь перед нами столь излюбленная в древности и, в частно- сти, у Демокрита (59) пропедевтическая апория, когда автор искус- ственно сгущает краски и преувеличивает трудности, чтобы вызвать у читателя работу мысли и чтобы найденное решение произвела тем более глубокое впечатление (во). Как известно, Демокрит был не скептиком, а догматиком (ei); к результату «поп liquet» он притти не мог. Не мог он притти и к выводу, что соседние сече- ния равны друг другу: такой ответ можно получить только при допущении возможности деления до бесконечности, а мы уже видели, что Демокрит отрицал такое деление, так как он стоял на точке зрения математического атомизма (ег). Теория о двух yvcDjxv) дает нам, с другой стороны, возможность притти к выводу, как Демокрит разрешал этот вопрос. Самое загла- вие: «О разнице между двумя видами рбр) или о касании круга» может иметь только один смысл: касание круга носит различный характер в мире законнорожденной и в мире незаконнорожденной мысли. Окружность и прямая линия (как справедливо указывал впо- следствии Аристотель) качественно разнородные вещи; но это- только с точки зрения показаний наших чувств, если угодно, в мире чистой, законнорожденной мысли окружность — это, — многоуголь- ник с предельными числом сторон, так как она прерывна. В этой связи интересно IV определение I книги Евклида: еиМос ура[Л[Л7] etrnv, igou rot; е<р’ еоситт?; отдрлюц хеьтаь. Штенцель,. я думаю, прав, переводя (стр. 28) эти слова так: «Прямая это такая линия, которая имеет то же направление, что и лежащие на ней точки». Если рассматривать кривую, как ломаную, состоящую пз= недоступных чувствам малых прямолинейных отрезков («точек»), то под прямой придется понимать тот частный случай кривой, когда направление «всей линии», совпадает с «направление^м каждой точки». Точно так же и боковая поверхность конуса только в мире явле- ний, в мире незаконнорожденной мысли представляется линейчатой; в мире чистой мысли, недоступной нашим чувствам, она прерывна и, следовательно, имеет, если угодно, «множество углублений и вы- ступов в виде ступенек лестницы». Причина этого обмана зрения кроется в том, что «те частицы, из которых состоит как окружность круга, так и прямая линия» (как выражался последователь Демокрита Антифонт, см. ниже, стр. 150), равно как и «ступеньки» на боковой поверхности конуса меньше, чем наименьшая частица, могущая быть воспринятой нашими чувствами.
71 То, что разбираемое нами свидетельство Плутарха действительно следует понимать в смысле «математического» атомизма, ясно из одного места в комментарии Симпликия к Аристотелю (ев), на ко- тором мы остановимся подробно ниже (стр. 122 и сл.). В этом месте мы еще раз встречаем выражение, подчеркнутое нами в математиче- ском отрывке Демокрита: «Они говорят, что эти (элементы)... рассе- каются плоскостью параллельно основанию» (ср. античный ком- ментарий к тому же месту: «Так как пирамида может быть разре- зана параллельной плоскостью») (в«). Из рукописи Архимеда, найденной в начале этого столетия, мы узнали, для чего Демокриту понадобилось разлагать конус на недо- ступные чувствам тонкие кружки-атомы; как мы увидим ниже, это дало ему возможность впервые выступить с положением, что объем конуса равен трети объема цилиндра, а объем пирамиды равен третьей части объема призмы с таким же основанием и такою же ВЫСОТОЙ (бб). «(Строгое) доказательство теоремы о конусе и пирамиде—что конус есть третья часть цилиндра, а пирамида есть третья часть призмы с тем же основанием и равной высотой — нашел впер- вые Евдокс, но немалую роль в этом надо отвести и Демо- криту, который впервые выставил это положение относительно укачанного тела без (строгого) доказательства (x^pU атсо^Е- $есй?)» (бб). Что означает «без доказательства», видно из аналогичного исторического экскурса во введении к сочинению Архимеда «О ква- дратуре параболы». Здесь Архимед замечает, что прежде теоремам о площадях и объемах криволинейных Фигур предпосылались «утверждения, не легко приемлемые» (точнее— «с которыми не легко согласиться», оих Ъ5р,|лата), — повидимому, имеются в виду какие-то утверждения об атомистической структуре про- странства. Сам Архимед предпосылает этим теоремам утверждение совсем иного рода: «Разница между двумя неравными площадями, на которую большая из них превосходит меньшую, (многократно) сложенная сама с собой, может превысить любую заданную по- верхность» (бб &). Он замечает, однако, что эта предпосылка не выдумана им: «Уже прежние геометры пользовались этой предпосылкой и, доказывая, что всякий конус есть треть цилиндра, имею- щего с конусом то же основание и ту же высоту, они пользо- вались предпосылкой, сходной с указанной».
72 Тот же Архимед приписывает в только что цитированном и другом месте научное доказательство этой теоремы Евдоксу: «Евдокс первый нашел доказательство..хотя до Евдокса было много достойных упоминания геометров, но никто из них не знал и т. д.» (eeb). Предшественник Евдокса Демокрит вывел по словам Архимеда те же положения, но «без доказательства» aTscSsl^cd;). Поэтому не может быть сомнения, что под «прежними геометрами, пользовавшимися этой предпосылкой», разумеются Евдокс, его не- посредственные предшественники и преемники, а выражение «без доказательства» означает: «предпослав своим теоремам неприемле- мые положения». Интересно знать, каковы были эти утверждения, предпосылав- шиеся доказательствам Демокрита и параллельные соответствующим предпосылкам Евдокса и Евклида. К нашему счастью, до нас дошло сочинение, приписываемое тому же Евклиду, «О делении канона». Это сочинение восходит к пифагорейским источникам и исходит из атомистических предпосылок (ниже, стр. 172). Для доказательства того, что все тоны могут быть измерены, как единицей, одними и теми же неделимыми частицами, здесь (ввс) делается ссылка на две предпосылки атомистической геометрии, вполне аналогичные знаменитой предпосылке Евдокса: 1. Если некоторая величина путем прибавления (тгроаЗвснь) или вычитания может достигнуть требуемой (Евдокс сказал бы за- данной) величины, то можно утверждать, что она состоит из частиц. 2. Все величины, состоящие из частиц, относятся друг к другу как конечные числа. Что это за частицы и каков смысл этих предпосылок, неясно. Возможно, что понимать это место следует так: Как будет указано ниже (стр. 94), линии в атомистической мате- матике складывались двумя способами: во-первых, путем последова- тельного наложения их по всей длине друг на друга (етпЗесп;) так, чтобы из соединения недоступного чувствам большого числа таких линий получилась плоскость, и, во-вторых, путем прикладывания их друг к другу так, чтобы они составили продолжение одна другой (тсрб<гЭ£Ф.0. Такой смысл и имеет в нашем месте Евклида. Далее Евклид в данном случае имеет в виду только частный случай — звуки, и под „частицами" он понимает элемент звука. Можно предполагать, что во всей предпосылке в общем ее виде говорилось
73 не просто о частицах, а об одних и тех же частицах (ix t5v ocutcSv jjLoptcov); слова «одних и тех же»> Евклид опустил как уже ненужные в его контексте. Такими «частицами» ([лбрьа) будут те же, что обычно назывались тр.т[лхта, т. е. для объемов — материальные плоскости («ломти» с измерениями я, у и dz}\ для плоскостей — мате- риальные линии („ниткии с измерениями ж, dy и dz), для линий — (материальные точки («зерна» с измерениями dx, dy и dz). При таком толковании эти предпосылки будут полной аналогией и на- стоящими предшественниками предпосылки Евдокса, и, как эта последняя, будут иметь специальной целью подготовку читателя к теореме о площади круга и т. д. Предпосылка будет в этом случае читаться так: «Если некоторая величина путем „прибавления4* (путем тгрбаЭеел;) может достигнуть заданной величины, то можно утверждать, что юна состоит из тех же частиц, что и заданная величина, а следо- вательно, обе величины относятся как целые числа». Например, прикладывая линии друг к другу путем яростен; мы будем получать линии же; прикладывая поверхности — поверхно- сти же; но никогда не получим заданной поверхности путем «приба- вления» друг к другу линий, и заданного объема путем «прибавле- ния» друг к другу поверхностей. Значит отношение данной площади к данному объему не может быть выражено отношением целых чисел (а одно из них будет надчувственно мало или велико по сравнению с другим). Наоборот, увеличивая площадь квадрата путем тгрба&б'л^, мы можем получить площадь круга. Значит ютношение площади квадрата к площади круга может быть выра- жено отношением целых чисел. Если мое восстановление правильно, то мы здесь имеем ошибоч- ное с нашей точки зрения, но находящееся на верном пути рас- суждение, непосредственно подготовившее предпосылку Евдокса. Нужно было практически невозможную задачу — достигнуть (тиу^ауБьу) несоизмеримой величины — заменить задачей: превзойти (uTuspf^etv) несоизмеримую величину, и получили бы вместо этой величины — ее приближенное значение, площадь которого относится к площади данного тела действительно как два целых числа. Такие или аналогичные им предпосылки могли заключаться уже в Демокритовом сочинении «О непропорциональных линиях и атомах». Но каковы бы ни были эти недоказательные, по мнению Архимеда, предпосылки, самый способ разложения тела на ряд нало-
74 женпых друг на друга тончайших ломтиков оказался весьма плодо- творным. Это можно видеть хотя бы из того, что и сам Архимед применял его с блестящим успехом (в?). Он точь-в-точь как Демокрит, разлагает цилиндр, конус или шар на чрезвычайно тонкие кружки; далее он доказывает нужное ему положение для одного из кружков, затем замечает, что его вывод должен быть верен для любого из кружков (вз), и, наконец, так как тело по его мнению состоит (сложено) из таких кружков и целиком заполнено ими, строит умозаключение и для целого (еэ). Подобным же образом плоскость состоит (сложена) по его мнению из линий (70). Заметим, что этот прием Архимед применяет только в этом произведении и что указанное выше упоминание Демокрита (стр. 245, 31 Heiberg) сделано в теснейшей связи с этим его евристическим методом, причем выражение «без научного доказательства» (/wpt; агоЗи£е<о;) применяется им для характеристики как этого применяемого им способа (стр. 245, 17), так и метода Демокрита (стр. 261, 1). С другой стороны, в осталь- ных своих произведениях Архимед вовсе не упоминает о том, что Демойрит открыл теорему об объеме пирамиды: так, в первой части своего трактата «О шаре и цилиндре» автором этой теоремы он считает не Демокрита, а Евдокса (71). Поэтому нельзя не согла- ситься с Арендтом (72) в том, что «Архимед познакомился с тезой Демокрита лишь после того, как была опубликована первая часть его трактата „О шаре и цилиндре"». Само собою напрашивается предположение, что Архимед либо заимствовал свой евристический метод у Демокрита, с трудами которого он познакомился случайно, когда значительная часть его произведений была уже написана, либо, открыв (или усовершенствовав) этот метод самостоятельно, нашел его уже примененным у Демокрита, на что он, в сущности, сам указывает (73). Доказательство тезиса об объеме пирамиды уже со времени Евклида (74) ведется по следующей схеме, состоящей из двух частей. Вторая часть — непосредственное доказательство теоремы — очень проста: двумя сечениями призма разделяется на три равновеликие пирамиды. Вся трудность заключается в том, что это доказатель- ство предполагает, что теорема о равновеликости пирамид с рав- ными основанием и высотой уже доказана, а эта равновеликость, доказательство которой и составляет первую часть схемы, может быть доказана только методом бесконечно малых, как это доказано М. Деном (75). В учебниках элементарной геометрии можно найти самые различные доказательства этой леммы, но для всех их харак-
75- терно то, что объем пирамиды разлагается на бесконечно большое число призм. В частном случае конуса Демокритовы чрезвы- чайно тонкие цилиндры точно соответствуют (?е) призмам Лежандра (фиг. 6). Трудно представить себе, чтобы вторая часть этого доказатель- ства могла представить какую-нибудь трудность для такого ученого, как Демокрит. Так как мы знаем, что самая проблема была им уже поставлена, то можно не сомневаться, что он нашел уже самое решение, которое осталось неизменным до нашего времени (77). Египтяне знали уже приблизительно за 1800 лет до я. э. правильную Формулу для объема усеченной пирамиды (7в) с квадратным основанием (79). Мне представляется не- вероятным, чтобы столь сложная Фор- мула была найдена чисто эмпирическим путем; наверно, была применена какая- нибудь евристическая процедура (во). Значительно более простая Формула для объема пирамиды во всяком случае должна была быть известна египтянам. Эта—вторая—часть доказательства не нуждается в выкладках, основанных на бесконечно малых; так как для Демо- крита засвидетельствовано, что он пользовался цетодом бесконечно малых, то не может быть сомнения в том, что Фиг. 6. Лежандрово доказа- тельство для объема пирамиды (достаточно заменить призмы цилиндрами, чтобы получить чертеж для демокритова до- казательства). он, как и все позднейшие ученые, применял их для первой части доказательства. Поскольку в свидетельстве Плутарха речь идет специально о конусе п поскольку тогда одним вз наиболее злобо- дневных вопросов была квадратура круга, «стереометрическую параллель к которой представляет задача Демокрита» (ei), мы вправе предположить, что Демокрит дал доказательство для равновели- кости пирамиды с квадратным основанием и конуса, имеющих равно- великие основания и равные высоты, — тем более, что слово rcupajuc по всем видимостям с древнейших времен обозначало у греков именно пирамиду с квадратным основанием. Чтобы представить себе, как Демокрит доказывал эту теорему, достаточно сопоставить свиде- тельство Плутарха и метод Демокрита в применении Архимеда с позднейшими решениями этой же задачи. В самом деле, то, что
76 Демокрит разлагал и пирамиду на такие же пластинки, нам известно из Симпликия (ниже, стр. 128); на такие же пластинки, как мы видели (выше, стр, 25), разлагали пирамиду и так называемые «пифагорейцы», восходившие в вопросах математики к Демокриту. Очевидно, Демокрит при доказательстве этой теоремы рассекал одновременно сечениями, параллельными основанию, конус на круг- лые, а пирамиду — на квадратные тончайшие ломти. Нижний кружок конуса по условию равен нижнему квадрату пирамиды. Тогда (как это уже было известно математикам времени Демокрита (ва)) и каждый из следующих кружков должен был равняться соответствен- ному квадрату. А так как по мнению Демокрита конус состоит из кружков (<yuyxei[i=voc ex xuxXcov), а пирамида — из квадратов, то и весь конус должен равняться всей пирамиде. По всей вероятности, Демокрит находил объем шара способом, вполне аналогичным нахождению объема конуса и пирамиды. Одно свидетельство Аристотеля показывает, что Демокрит действительно рассматривал шар как многогранник с надчувственно большим числом граней (а следовательно, и круг как многоугольник с над- чувственно большим числом сторон): «По Демокриту и шар остро- конечен, так как и он — нечто угловатое» (дословно: «и шар режет, так как и он некий угол»)... «Одно из этих тел (шар) повсюду угловато «(дословно: «повсюду угол») (зз). К этому месту Симпликий (w) делает примечание: «Шар повсюду угловат: если изогнутое есть уголоватое, а шар изогнут по всей своей поверхности, то его с полным правом называют „повсюду угловатым11. «Повсюду угловатый» или «нечто угловатое» или точнее «повсюду угол» «некий угол» означает, разумеется, «сплошной непрерывный угол», т. е. «угловатый в ка- ждой точке своей поверхности» (es). Здесь нелишне указать еще на то, что «Платон» (т. е. плато- ники, см. ниже, стр. 94, 167 и сл.), как мы узнаем из сохраненного у Плутарха античного толкования к „Тимею“, рассматривал шар как многогранник (а следовательно, круг как многоугольник) с чрез- вычайно большим числом сторон; как доказал Э. Франк, плато- ники в математических вопросах находились под несомненным влия- нием Демокрита. У Плутарха (ев) мы читаем: «Треугольник первее круга, а если это так, то и прямая первее кривой... то, что прямая первоначальное, а круг вторичен и только видоизменение прямой, показал сам Платон. Считая землю составленной из кубов, каждый из которых имеет прямо- линейную поверхность, он, тем не менее, утверждает, что
сама земля приняла Форму шарообразную и круглую... так что следует полагать, что множество маленьких отрезков прямой, сложенных вместе, дают кривую линию». Эта интеграция, как мы видели выше, типична как раз для метода Демокрита. В связи со всеми этими свидетельствами особый интерес получает комментарий Симпликия к Аристотелю (см. ниже, стр. 123), о кото- ром я упоминал выше (стр. 71). Как раз в том месте, где Симпликий говорит о разложении элементарной пирамиды на квадраты (или многоугольники), параллельные основанию, он упоминает об аналогич- ном разложении шара: «Если они утверждают, что (элементарные) тела—атомы—разло- жимы, причем пирамида или шар... могут быть каким-то образом разделены на части... пирамида плоскостью, парал- лельной основанию, а шар таким способом, что со всех сторон снимается одинаково, то но направлению к центру (все время) остается шар и (соответственно) по направлению к вершине (все время) остается пирамида...» В шаре таким образом сечения имеют не плоскую, а сферическую Форму и параллельны его поверхности, так что шар разбивается на ряд сферических оболочек, по удалении которых каждый раз снова остается шар. Мы знаем, что Платон все элементы поверхности (элементарные Фигуры) разлагал на треугольники (в7). Аналогичным образом и все тела разлагались не только Плато- ном, но уже Демокритом на пирамиды. Так у Аристотеля читаем: «По их мнению (атомистов и платоников)... тела отличаются друг от друга Формой, а все Формы состоят из пирамид» (ss). Ср. комментарий Симпликия к этому месту (вз): «Все сложные Формы тел состоят из пирамид; подобно тому, как на плоскости всякая прямолинейная Фигура разлагается на треугольники и возникла из треугольников, так как треугольник — наиболее элементарная и первоначальная из Фигур, так и всякое тело, ограниченное прямолинейными плоскими Фигурами, распадается на пирампды, так что наиболее элементарное и первоначальное из тел есть пирамида». Заметим, что Аристотель приводит эту теорию для того, чтобы вскрыть внутреннее противоречие именно в Демокритовом учении. Поскольку мы знаем, что Демокрит рассматривал шар как много- гранник со сверхчувственно большим числом граней и, с другой
78 стороны, что он разлагал все тела на пирамиды, мы должны рассматривать процедуру «одинакового снимания со всех сторон» у шара как полную аналогию срезывания тонких пластов, параллель- ных основанию у конуса. Иными словами, (фиг. 7) шар рассматри- Фиг. 7. Шар как совокупность пирамид с вершиной в его центре. вался как сумма чрезвы- чайно большого числа «игло- образных» пирамид с недо- ступными чувствам чрезвы- чайно малыми основаниями, совокупность которых обра- зует поверхность шара, и с вершинами в его центре, так что шар получает вид многогранника со сверхчув- ственно большим числом гра- ней. Каждая снимаемая обо- лочка шара является в та- ком случае совокупностью многоугольников - атомов каждой иглообразной пира- миды (эо). Теперь (см. ту же фиг. 7) обозначим поверхность оснований иглообразных пирамид через pv р3, р^... и т. д. и заметим, что, поскольку эти пирамиды должны совершенно заполнять внутренность шара и поскольку шар мыслится как многогранник, высота каждой из них должна равняться радиусу шара г. Тогда объем этих пирамид равен соответственно , ~~... О о о и т. д., а сумма этих объемов, т. е. объем шара, будет равен ••); в виду тог° чт0 Pi -*-Ра -*-Рз -*-••• = S (поверхности шара), получим (ei) l/=Sr Вполне возможно, что это доказательство в его первоначальной атомистической Форме («без научного доказательства») было дано уже Демокритом.
79 ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ II 1. См. Plut. adv. Colot. 4, 2, р. 1108 F: toctoutgv ye AvjpLoxpiToc аттосе? той л/opuCetv pii] paXXov eivat xcibv yj toiov t<ov тграуцатсоу exxotov cjtte Прсотауор^ та> софкути тойто eizo'vTi р.Ерсах'П'тЗаь xai yEypacpEvai тгоХХх xai 7rc3avx тгрб; auzov. Sext. adv. math. VII, 389, p. 275, 6 Bekker: zaxxv p.£v ouv <pavTa<r.av cux av eitcoi тц. .aXi){H), xxOcoc о те AiqixoxpiTo; xx’i 6 ПХхтсоу avTiXfiyovTE? тф Прсотауора EOiSaaxov. («Демокрит настолько далек от той точки зрения, по которой к каждой вещи можно отнести с равным основанием любое высказывание, что он выступил против софиста Протагора, стоявшего на такой точке зрения, и написал ряд убедительных замечаний, направленных против него... Нельзя утверждать, что все то, что нам представляется истиной, и есть истина, как показали Демокрит и Платон, полемизируя с Протагором»). 2. Так же В. Philippson, «Hermes», LIX, 1924, стр. 417 («изречение, напра- вленное по моему мнению против Протагора»). 3. Отр. 69 Diels: av3p<o7roc? Ttaai tcoutgv ... aXv^s;* tjSw Be aXXw aXXo. 4. Отр. Ill Diels: П£р1 8tx?opyj; yv<op.Yj; TtEpi фхиою; xuxXou xai acpatpyjs- 5. Так толковал это заглавие уже Р. Tannery, «La geometric grecque», стр. 123. 6. Этот перевод дан впервые мною в A21IALM0Z, сборник в честь проФ. И. И. Толстого, Лгр. 1928, стр. 22 и след. Так же В. Philippson «Hermes», 1929, стр. 175. До 1929 г. либо давался совершенно неверный перевод, либо произвольно «исправлялся» текст Демокрита, например, вместо yvcopiY] — «мысль» читалось yvwpKDv — «угольник». Из старых авторов ближе всего подошли к истине Tannery («La geometric grecque», стр. 122), и Vogt («Bib- liotheca Mathem.», X8) 1910, стр. 146): «Sur une divergence d’ opinions», «Uber Verschiedenheit d<*r Auffassung»; однако, yvcupiv) не означает у Демокрита «opinion», «Auffassung», а употребляется как terminus technicus. 7. yvoipiq; 81 8uo elctiv iBeoci, yj jjlIv yvyjoiy), yj 81 охотц* xat oxotiyjc p.lv txBe «TujiTravra, офц, axoiq, oBp.Y), yeuou;, фаиспс;. yj 81 yvyjgtyj, aTtoxExpqjiEVY) 81 Taimq;... OTXV Y) ffXOT’.Y) [XfJXETl BuvqTat |ЛТ4Тс 6pY)V ETT* eXxTTOV p.^T£ XXOUEIV p.7]T£ oBpixff^ac p.iqTE Y£u£o3ai piQTE ev Tyj фабо£' aiff3xv£ff3ai, aXX’ етп <X£7rroT£pov 8eyj ^yjteiv, tute ETTiytvETai yj yv^ffiirj осте opyavov Exouoa too v(»ffai> Xetttgtepov. Чтение N. Papadopulos, Die Erkenntnidehre des Demokrit, Diss. Leipzig 1933, невоз- можно стилистически. Слова, взятые в скобки — дополнение (несколько произ- вольное) Дильса. 8. Sext. adv. mathem. VII, 140, р. 221, 23 Bekker: tyjc tq5v aoiqXcov хатаХт-фбс»; тх cpatvopiEva xptTiqpia. 9. Так же, наиример, W. Nestle, «Philologus», 67 (1908) стр. 555.- «Исходной точкой теории познания для обоих абдеритов является человек, собственное „я“, как то, что нам известно непосредственно. Но далее их дороги расходятся: .Протагор оказывается всецело во власти индивидуалистического скептицизма, Демокрит находит в yvYjotY] yvcopiY] мерило для чувственного восприятия, для xtxotiy] yvaqiY), в объективность которого он, вместе с Протагором, отказывается верить». Впрочем, такого взгляда научение Демокрита держался ужеР.Natorp, «Forschungen zur Geschichte das Erkenntnisproblems im Altertum», Berlin 1884, стр. 164 и след.
80 10. Демокриту принадлежал целый ряд трудов по математике, они перечислены во Фрасилловом списке трудов Демокрита (у Диогена Лаэрция, IX 47—48; Diels, т. П, стр. 20): 1) «О касании круга и шара», 2) «О геометрии»,. 3) «Геометрия» (в нескольких книгах) 4) «Арифметика» f Aptfyjiot) 5) «О не- соизмеримых (не пропорциональных?) линиях и атомах» (2 книги) 6) «Проекции» (’Ехтгетатрсата) и др. (всего 12 трудов). См. Е. Frank, указ, соч., 54: «Значи- тельная часть сочинений Демокрита была посвяшена вопросам математики; интенсивное занятие математикой осталось традиционным в его школе» (например, НавсиФан, отр. 62 А 1 Diels, Бион Абдсрский, отр. 64, 1 и 2 Diels). 11. Типична в этом отношении аргументация одного из виднейших историков математики Т. L. Heath, «ТЬе thirteen books of Euclid’s Elements», I2, 1926, стр. 413: «Democritus was to good a mathematician to have anything- to do with indivisible lines» («Демокрит был настолько хорошим математиком,, что нельзя допустить, чтобы он имел что-либо общее с учением о неделимых линиях»). 12. Comm, in Aristot. de gener. et corr. П. 1, p. 329a, 21=стр. 210, 12г eiBevat ol XP*1 ауЕсорсЕтртзто? tjv б UXavcov, «к otEff^at то а<ор.а Etc ЕтптиВа StaXuEaJiai. 13. Xenocrates, fr. 47 Heinze = Simplic., comm, in Aristot. Phys., 1, 3 (187a, 1), стр. 142, 16 Diels: ette’.Sy] Se xa’t ZevoxpxTqc aotpo; tjv dviqp, тгю; ара тас атбцои; урар.р.а; uttet&eto; ... р.г4тгот£ ouv тгрбс ttjv етг* aTtetpov Top.vjv EviaraTat б HfivoxpaTYjc — ou yap dv YEcop.ETp'XTjv apx*lv avstXfi у£(»р.Етр1х6; <ov avrjp. 14. Отр. A 8 Diels = Aristot. de gener. et. corr. 1, 8, 325a 6 и след.: тоито 8’ ouSlv StatpspEtv, e" ti; o*ETat ouvexe? Etvat to Ttav, dXX’ атгтЕст^аь Str4pv;p.Evov, той cpavat тгоХХа xat pnrj ev Etvat xa’t— xevgv* el plv 7<xp TvavTft StatpsTov, ou\>ev Etvat ev, <b<tte ouSe тсоХХа, dXXa xsvov to 6’Xov. Слово невидимому, попало по ошибке. «Касается, будучи разделенным» мы перевели:. «Существует как сплошной ряд взаимносо при касающихся частей»: имеется в виду тело, которое хотя и существует как единое целое, но (по крайней мере, мысленно, потенциально) может быть разделено и дальше. «Все превра- щается в пустоту»: если мы считаем тело хотя Фактически неразделенным (aTTTEd^at), но потенциально делимым в любой точке (StigpiqpiEvov, тгаутт) Statps- tg'v), то в результате деления мы придем к бесконечно большому числу непро- тяженных величин, а целое станет равно нулю («пустым», — xevov). 15. De gener et corr. 1, 8, 324 b 35 и след. 16. боа) SI ixaXtara xat atEpt TtavTcov evi Xcyw Stcopixaffi AEuxtanroc xat Дт]|ло'хрсто$, dpx*]v xonQaap.£vot xard (putnv т)7Г£р ect/iv eviou; yap T(bv dpyatwv eSo;e to ov e£ dvayxr^ ev stvat xat dxtviqTov и т. д. 17. Так думал уже Natorp, указ. соч. стр. 166 и след. 18. Aeuxcttttoc S’ ex£IV Хоуоис, oitcve; тгрб; ttjv aur^rjaiv 6|aoXo7o6|aevx Xeyovte; oux dvatpiqTOua'iv ... то тгХтфос twv o'vtqjv. 19. Phys. 1, 3, 187а 1. 20. evtot S’svsSoffav той; Xo'yotq dpiipoTEpoi;, to5 pisv oti Travxa Sv, st to 6v ev a^piatvEt, oti ectti то цт] o'v, to5 Ss ex Trjc SixoTopttac dropia T^nqaavTEc це^ечИ]. Cm. Zeller, I7 1, стр. 753. прим. 1; Tannery, «Pour la science helleue», 251: «Успех Зенона был полным; его противникам нечего было ему отвечать... Дуалистическая концепция была преобразована и приведена в согласие с про- грессом науки Левкиппом и Демокритом путем комбинирования ее с атоми-
81 стическим мировоззрением» ... л(Им пришлось) приписать атомам очень малую, но конечную величину». Ср. также Tannery, стр. 124. ’ 21. «Bibliotheca mathematical, XIV, 3, 1914, стр 18. Tractatus de continue Bratwardini (Zeitschr. fur Mathem. unp Physik, Suppl. 13, 1868, стр. 88), § 31: „Ponunt enim quidam ut... et plurimi moderuorum con- tinuum non componi ex athomis, sed ex partibus divisibilibus sine fine. Alii autem dicunt ipsum componi ex indivisibilibus... Democritus ponit continuum componi ex corporibus indivisibilibus, alii autem ex punctis (продолжение ниже, стр. 172 и прим. 77а к гл. IV). 22. X, 1=V, стр. 436, 16 Heiberg: oux egttcv е^а/сатоу це^е-Зос, J)q oi ATjpioxpiTEiO’ <paacv. 23. De elem. sec. Hipp. I, 2: evcoc Зе итго орихрот^то; аЗсасрЕта, хаЗатсЕр oi TtEpi, tov Лвихститгоу. 24. Comm, in Aristot. Phys». VI, 1, p. 231а, 21 = стр. 925, 13, Diels: Леихсптго; p.Ev xai Atqiaoxoito? ou piovov ttjv airaOEcav airiav тоц прсотос; awpiaac. tou рл] 8tacp£i(r3ac vop.’£ou(n, a)Ja xai to apicxpdv xai ap.EpE$. 25. Из этих свидетельств абсолютно убедительны только те, в которых встре- чается выражение то ap.Ep.Ec: слово «малость» (орлхрот^;) может быть употре- блено неправильно и в смысле невозможности (фактической) делить дальше, см. выше,стр.65, прим К собранным здесь свидетельствам надо еще присоединить свидетельство автора трактата о неделимых линиях, [Arist.] de insec. lin., 969а, 21: TcaXcv 8= тшу j шцат i xai v otoixeudv eutq3e^ to a p. e p ij a^iouv ... ec yap au xai атгосрасуоутас tcve? outco; ... («равным образом нелепо приписывать мате- риальным элементам отсутствие частей... если же некоторые стоят на такой точке зрения» ...). Это место может быть направлено только против демокритовцев, так как контекст исключает Ксенократа, а об Эпикуре еще не может быть речи. ф 26. Он говорит (указ, соч., стр. 387 с прим. 9): «Нам прямо засвидетель- ствовано, что Левкипп считал атомы ... не имеющими частей (ар^ру?)... Иногда ap.spiqc как свойство атомов ошибочно переносится и на Демокрита.... Секст Эмпирик.... упоминает как представителя этой точки зрения только Эпикура» (мой курсив). Все это совершенно неправдоподобная комбинация, не говоря уже о том, что весьма сомнительно, чтобы древность располагала высказываниями Левкиппа, помимо содержащихся в сочинениях Демокрита. Нигде нам не сообщается чтобы Левкипп (как мыслитель, расходившийся в этом вопросе с Демокритом!) считал атомы неделимыми, и выражение «школа Левкиппа» (ос тгЕр’с тоу Aeuxcttzov) в применении к некоей группе ученых, полемизировавших по тем или иным вопросам с Демокритом, что-то совершенно неслыханное: есть все основания думать, (не касаясь того, существовал или не существовал Левкипп), что он был известен грекам только из сочинений Демокрита (см. мою статью «Demokrit, Demokedes und die Perser» в «Докладах Академии наук» за 1929 г., стр. 137 и след.). Но, не говоря уже об этом, в свидетельстве Галена, где говорится, что ос ттер'с Aeuxcttttov («левкип- пова школа») признавала мельчайшие тела неделимыми вследствие малости, под этой «левкиппоной школой» никак нельзя понимать какую-то противопо- ставлявшую себя Демокриту или, по крайней мере, расходившуюся во взглядах с Демокритом школу. В самом деле, это место, по всем видимостям, восходит к тому же источнику, что и место Симпликия, Comm, in Aristot. Phys.
82 VI, 1 р 231а 21, стр. 925 13 Diels, а в этом последнем месте, во всем совпа- дающем со свидетельством Галена, вместо «школы Левкиппа», ос тгЕрс Леихьк- ttov, читаем: Aeuxittko; p.lv xai Дцр-охрсто;! Привожу оба места: Galen., De elem. sec. Hipp. I, 2: атга\Н) S’uTroTiOevTai та осорсата elvat та тгрйта. tcve; pxv... итгб oxXiqpoTiqTo; а^раиата, xa&xnep oi Tuept ’ETrlxoupov, evict 81 итгб арихрбт^то; aBwdpera, xa^anep oi тгер'ь tov Aeulxitcttov. («Счи- тают, что у первотел отсутствует реак- ция на внешнее воздействие. Некото- рые (считают) что их (т. е. первотела) вельзя разбить вследствие твердости, как школа Эпикура; некоторые же — что их нельзя разделить вследствие (абсолютной) малости, как школа Левкиппа...») Simplic., указанное место: Aeuxctttto; pisv xa'i Ду]р.охрсто; ои piovov tyjv aTra^Eiav a Wav тоГ; тгрштос; acopiasi too p.4] SiaipEiirOac vop.i£ouatv, dXXa xa'i тб ap.cxp6v xat dp.EpEq, ’EW- XOUpOC 81 UOTEpOV d|J.ep7] p.lv ou/ TjYEfrai атор.а 81 aura, 8td Ttjv aTra^Eiav ElVttl (pTJGl. («Левкипп и Демокрит видят при- чину неделимости первотел не только в отсутствии реакции на внешнее воз- действие, но в их (абсолютной) малости и отсутствии частей, Эпикур же, (жив- ший) в более позднее время, не счи- тает их не имеющими частей, но утвер- ждает, что их нельзя разделить ввиду отсутствия реакции на внешнее воз- действие»). Дело не только в поразительном сходстве обоих мест, но и в том, что в обоих случаях Эпикуру ошибочно приписывается отрицание ap-Eps; (в дей- ствительности он признавал их существование, но не отожествлял их с атомами). Такое совпадение вряд ли может быть случайным; очевидно, oi таре Aeuxituttov только пересказ выражения б Aeuxitctto; xai б Дт]цбхр1то;. Еще менее основательна ссылка на то, что Секст, говоря о теории суще- ствования dp.Ep7], упоминает как ее сторонника только Эпикура. Если бы такой argnmentum a' silentio был убедителен, то он доказывал бы только, что и теория Арнима не верна, так как у Секста не упомянут как предшественник Эпикура и Левкипп; в действительности это молчание вообще ничего не дока- зывает, так как у Секста в данном контексте не было ни повода, ни основания называть предшественников Эпикура. 27. Aristot. de coelo, III, 4 p. 303a 20: dvdyxiq p.dxe^al E7rt(rnqp.ai; атоца оа)р.ата Xeyovte;. Simpl. in Arist. de coelo, HI, 7 p., 306a, 26 = стр. 649, 1 Heiberg: oi yap 8copi£ovTEq та; ouslac tcdv otoixe^cov, olov Trupap.(8i то тгир xat бхтайрср tov dlpa... *»] а8’.а(р£та Xeyovte; аита dvayxa- £ovTat p.7] rav owixa ScaipETov Xe^elv xai pidxE^ac таГ; p^th)p.aTtxai; етгют^рми; та EvavTtcoTaTa аитаГ; Xeyovte;' IxEivai pilv fap xai тб votqtov aujp.a... SiatpcTov Xap.pxvouotv, ourot 8e ou81 to aiaJhjTov. Вместо SiaspExdv — «делимым» надо читать: 8iya Statperov — «делимым пополам» (см. прим. 28). 28. Aristot. de coelo, 1, 5, p. 271b 8 и след.: xa'i тб picxpov Trapaftvjvai Tvj; dXiqOE'.a; аф1<ггар.Е701; ^ivETac тгбррсо pcupcoTuXdocov, olov ei tc; IXd^itTrov sivai ti фаг*] ptEYE^o;* outo; Yap TouXdxitfTOv sioaYaY^v та p. s y 1 T’ a v xiv^gele t co v ga^yjixaTixtov. Simplic. comm, ad locum (= стр. 202, 28 и след. Heiberg): ДГ|Р.бхрсто; (^ беги; av о итак; итгоЗосто) рлхра Ttva u7ro$Ep.Evoi та; apyd; xai «Хауигта p.EYE$*) 8ia to pLEYiariqv Suvapitv <b; dpyd; l’xeiv ар.арто\те; хере аита
83 та цЕуюта twv ev уЕ(оцЕтр(а exivvjaav, тВ етг* aTretpov elvat та цеуеЗ*} BtatpeTa, Si о xai tt]v So&eicav eu^efav Btxa тец eTv В и v а т o'v. Pbilopon. comm, in Arist. de gener. et. corr. 1, 8 p. 325 b 34 = 164, 20 и след.: avacpouaiv oi таита XeyovTeq тас ахрфЕататас twv етпсттузцсоу, та; цаОу]цат(хас Xeya). exefvot yap vrav цеуеОос xai то хат* Emvotav Xap.Pavop.Evov Btatpouat Btxa, outoi Be ouBe tB tpuotxov и т. д. Сличение последнего свидетельства Филопона с почти дословно совпадающим с ним свидетельством Симпликия, процитированным в прим. 27, показывает, что и там надо читать не BtatpETo'v, а BtatpETov Bc/a: в самом деле, «.томисты нигде и никогда не утверждали и не могли утверждать, что суще- ствуют чувственно воспринимаемые тела, которые даже потенциально нельзя разделить на части; но они утверждали, что чувственно воспринимаемые и даже очень большие тела, если они состоят из нечетного числа неделимых, не могут быть разделены на две равные между собой части. Относительно вопроса о делении пополам, сказано ниже, стр. 109 и 112 сл. 29. См. мою статью в «Archiv fiir Geschichte der Philosophic», XXXV HI, 1928, стр. 205 и след., где приведена и литература вопроса; R. Philippson, «Hermes», LXII, 1929, стр. 176. 30. Aristot. Phys. 1, 1, 185 а, 14—17: ooa ex twv ap/wv (sc. уЕсоцЕтрсхшу) tic ettiBeixvuc tpEuBsTat (sc. Xueiv TrpooTqxEt), oca Be (jltq (sc. ex tu>v Y£(up.ETpixu5v ap/cov), OU (sc. TrpOOlQXEl), OlOV TOV T£TpaYC0Vtff|J.6v . . . t6v ’AvTlCpdjVTO; OU y£G ЦЕТрС- xou (sc. BtaXuoat egti). Simplic. ad loc. =стр. 54, 12 и след. Diels: av^p^xai tic apx^ fEcop.ETpixTQ v) ХЕуоиста етг’ aTTEipov Etvat та цеуеО»] BtaipEra. xat Taunqv 6 ЕиВтзцо; tt]v apx*]v avaipEiffxhxi tpyjat итгб тои ’AvTtcpwvTo;. Необходимо обратить внимание на характерные постоянно повторяющиеся выражения: avatpEtoftat (ниспровергать), арх^ уЕсоцЕтрьх^ (основное положение геометрии), етг’ airetpov StatpEtoOat (делиться до бесконечности). 31. Procl. comm, in Encl. 199, 9 Friedlein: Tdiv Be тас уЕсоцЕтр1хас p.ova; apxac avaTpETTEiv TupoOEpiEvcov шсттгЕр twv ’E^txoupeiiDV. ? 32. Comm, in Arist. de coelo, стр. 648, 27 Heiberg: тоито xotvtoc тгрбс тоис aUvSEOEl p.EfE$OJV EITE T(DV ttTO|J.a)V, 0>C oi TTEpi A^piOXpiTOV XsyOUOlV, EITE TtoV cttitteBidv, u>c 6 Tipiatoc, ttjv e$ aXX^Xwv yevegiv t<ov ocopiaTCDv TrotouvTac. Там же, стр. 659, 13 и след.: тоито Вг то E-ixEip^iia xotvw; тгр^с тои; охт]р.ат1^оутас та тгршта осоцата XeysTa' e’ite е; ettitteBcdv e’ite а>с Д*]цохр1тос. 33. Comm, in Metaph., 1, 4, p. 985b 19, стр. 36, 28 Hayduck. 34. «Archiv fiir die Geschichte der Philosophic», 23 (16), 1910, стр. 103 и след., 211 и след. 35. Avjp.oxpiToc B’av cpavEn] otxEiOtc xai epuoexoic Xoyotc тгЕТГЕитОаь. BrjXov S’scrrat 6 XsyopiEv Trpotouoiv... d p.ev ouv avayxa^Etv Boxuv Xoyo; slvat цЕуЕхЬ] атоца оито'с egtiv otc Be Xav3avEt 7rapaXoyt^^Evoc, xai vj Xav3avEt, Xeycoijiev. 36. Стр. 27, 29 Vitelli: ucp’ <dv xivtcjSeIc Xo'ycov 6 Дт]цохр1тос атоца eOeto аа>цата, тгаратЮЕтаь, стр. 35, 11 и 39, 21 (дважды): 6 Д^цохртос etc атотгоу атгауЕ: tov Xoyov, стр. 37, 10: тгараХоу^ЕоЗа: tov Дтщохрггоу, стр. 38, 28: 6 Ду)р.охр(тЕЮс Хоуос, стр. 43, 1 и след.: EXsXvjy|j.Eva)v tcdv Дт^цохрстои Xoycov, Bi a>v то Eivat атоца абцата auvEXoyi^ETo. 37. Вот подлинный текст этого замечательного отрывка: exei *IW aTroptav, ei tic осоца Tt Etvat xai цеуеЗос TravTfl BtatpETov xai тоито BuvaTov. Tt yap Еотас отгЕр tt]v Bta’.pEOiv BtacpEuyEt; Et yap Travry] BtatpETov xai тоито BuvaTov, xav аца Eir) тоито TravTyj Bt^pT^Evov, xai ei ц>) аца BtTjpiqTai. xav ei тоито yEvotTo*
84 ouBev av etfl aBuvaxov. ouxoiiv xai хата то p.eoov (Ьааитйх;. xai oXax; 3e e'c ttocvtyj 7ГЕфихЕ StaipETov xav SiaipE^fl, ouSlv ватаг aBuvaxov yeyovoq, ette'c ou8’ av Etc piupta p.upiax:q BivjpT]|XEva fl, ouBlv aBuvaTov* хастос taw; ouBeU av BieXoi. ettel tocvuv TravTfl toioutov Еатс to awpia, BiflpfltrOu). t[ ouv £атас Xocttov; рсеуе-Эо;; ou yap olov те* еатас yap тс ou BiflpflpiEvov, flv Be TravTfl BiaipETov. akXa p.flv el p.flBlv Еатас awp.a p.flBl цеуе^о;, otxtpEatc B’earai, fl ex artyjawv Еатаг, xai осцеуе^а e£ (dv auyxEtrat, fl ouBev TravraTraacv, wax г xav yivocro ex jjlaSevo; xav ec'a auyxEtp.EVOv, xai to Ttav Bfl ouBsv akX’ fl (paivop-EVov. орю'.с»; Bi xav fl ex aTtypiwv, oux sazat Troaov. ОТГОТЕ yap atttovto xai ev av piEyExio; xai ap.a flaav, ouBev ettoiouv piEt^ov to ?rav BiaipExUvTO^ yap e’c; Buo xai ttXecid, ouBev e Хатто v ouBe jjlei^ov to Ttav той' TrpoTEpov, coots xav тгааас auvTEtlwatv, ouBev Ttotflaouai рсеуеОо;. aXXa p.flv xai eV ti Biaipoup.Evou olov Ехтгрсарса ytvETat той асорсато;, xai ойтсо? ex той р.ЕуЕг>ои£ awpia тс атгЕр/Етац б аитс; Xoyo;, exeTvo ttco; StatpeTo'v. st Be p.fl awpia, aXX* eTBo's ti xwPlC7T°v fl тгайо; 6 aTTflXxkv, xat еатг to рсеуе^о; aTtypiai fl acpai tool тга^ойаас, xtottov ex p.fl piEys^wv р.ЕуЕг)о^ etvat. etc Be ttou EaovTat xai axtvflTOi A xivoup.Evai at атсурсас; acpfl <yap> asi pita Buorv rtvwv, w; ovto; tcvo; тгара Tflv dupflv xai Tflv Bca’pEOtv xai tvjv OTtYpiflv. ec Bfl ti$ ftflOETat otcouv a ottaXcxovouv acDpia Etvat TravTfl BtatpETov, TtavTa таита oupiPatVEt. coot* eittep aBuvaTov e$ acpiov- (TTcyixcDv Etvat та цеуе^а, avayxfl Etvac асоцата аВса'.рЕта xai p.EYExhj. 38. «Деление» (BtatpEoc;) и «соприкосновение» (i?fl) понимаются здесь совершенно конкретно и представляют собой почти синоним слова атсурсА, «точка», 'Афа («соприкосновение») означает: «неоротяженная граница при соприкосновении», точно так же Bta'.peace «непротяженная граница при деле- нии». Ср. Philopon. стр. 32, 26, Vitelli: Btaipeatv yap xaXe?та? атсуриас, xa^’ac yeyovev а Всасретс; xai a tojatq («Разделением он называет точки, в которых имеет место разделение или разрез»). 39. Интересны только заключительные слова этого резюме: avayxfl арх атоцх EvuTrap/eev pieyE^fl аората, аХХ<»е те xai естгер еатас yEvEcc? xai ф^ора A jjlev Btaxp’GEt fl Be auyxptGEt. 6 plv ouv avayxa^cov Xoyo? Etvat pLEyeOfl атоца оито; stTTtv. «Итак, в нем неизбежно должны находиться незримые неделимые величины кроме всего прочего еще и потому, что необходимо объяснять рождение отделением, а смерть соединением. Такова теория, приводящая к необходимости существования неделимых величин». В аристотелевом контексте это предложение трудно понять (Филопон, в комментарии к этому месту; стр. 38, 22 Vitelli: охотеtvorspov vj Хе'^сс flpp.fl- vsuTat, «это выражение весьма невразумительно для истолкования»). Нигде в предшествующем изложении Аристотель ничего не сообщает о попытках доказать необходимость атомизма, исходя из того соображения, что рождение тождественно с отделением, а смерть — с соединением. Но, как справедливо замечает Нрантль, этому заключению вполне соответствует начало этого места: AfljJLoxpcroq B’av фav£^fl oixetocc xai фисихоц Xoyoiq тгетгЕсаЗас, «Демо- крит же, как оказывается, склонился к такой точке зрения на основании логических («относящихся к делу») и Физических соображений». Приведенные Аристотелем доводы представляют собою логические соображения и притом не Физического, а чисто математического характера. Поэтому надо думать, что в подлинном тексте Демокрита, кроме приведенных Аристотелем логиче- ских, содержались еще и Физические доказательства необходимости атомизма, исходящие мз того положения, что рождение происходит путем «отделения»;
85 Аристотель опустил эту часть рассуждений Демокрита, так как она не была ему нужна в его контексте, и удовольствовался лишь кратким упомина- нием о ней. 40. Porphyr. apud Simplic. in Aristot. Phys., 1, 3, p. 187 a 1 = стр. 139, 27 Diels: ei yap eitj, cpiqai, Biaipexov, TExpiiqoOa) St/a, xxTTEixa tcov p.Epojv exarepov 8r/a, xai toutou ae't yevojievou BtjXov (piqaiv, <Ь; r;xoi итгоцеуеГ tivx EaxaTa P-eY^*l eXaxtffTa xai axojxa, 7t A iq e i Be а тг e t p a, xai to okov e; eXaxitfTiov, тг X iq 0 ex Ье а тг e i p <o v аистт^аетаг vq ©pouBov eoxai xai si; ouOlv exi BcaXuOiqaETai xai ex too p. tj В e v о ; а и а т r\ a e Tai. атгвр атотга ... ei yap utto|xeveT’ тс, ouBs тгсо yevTqaeTai Travxiq Bnqpyjjxevov. 41. p. 970 a 31: ttjv Be Bixa BiaipoujxEviqv xai <TraXiv Bix& £l0 oca Buvaxov Tep.veiv, BiaipEthqoETai xai outco; yj axopioq. 42. p. 968 b. 18: etc Be xaxa tgv too Ziqvcovoq XByov avayxiq xi p.eye$oq ajxepU eivat... avayxiq B’etu то 7]|хкти TrpoxEpov dupcxveia^ac то xivo6|xevov, тои Be 4X7] ap.epou; TravTwq eoxiv 7]|xiau. 43. Эпикуреец Димитрий Лаконский; ср. V. de Falco, «L’epicureo Demetrio Lacone», Napoli 1923, стр. 97 (Pap. 1061): xxi т[6 7)|xkr>] | таитт)[а] Tep.ou[|xev] xa[i] | TraXiv тб ttjc [v]|x]iaiq -|ac 7j|x[ia]u xai to[uto] p.e-|/pi t[t)v] ахог[т]]- to[v] (?) Xuaiv |-------TTjfq yap] eX[a] -|tt(doe(og etc’ aTTEip[o]v | [yi] -|vop.eviq; ett’ a7rsc-|[po]v TO|xv) eg xai. «...и от нее отсечем половину и от половины снова отсечем половину и так будем продолжать пока не... поскольку было допущено, что (тела) могут уменьшаться до бесконечности, и деление окажется возможным до бесконечности». т[6 7]|хкти таитт;[(;] — мое дополнение; Heiberg и вслед за ним Falco дополняли; t[t]v tffrjv] тхит7)[»] («равную ей»). 44. В комментарии к этому месту, стр. 30, 15 Vitelli: acopiaxia jxev oVra, |хт] Buvajxeva Bl TtaXtv TrpiaO^vai. 45. В комментарии к этому месту, стр. 29, 9 Vitelli: xav доттш BiTjpiqTai. 46. Там же: ixtjBe BuvaT^v taco? Biaips^vai Bia tyjv too BtaipouvToc aaOsvEiav. 47. Aristot. de gener. et. corr. p. 327а 11: ei yap BiaxpivEoOai BuvaTai... xav piiQTrb) 7) BqqpTjpievov, eaxai Bi7]p7)|xevov. 48. Aristot. de coelo, HI, 6p. 305 а: ei Be оттдоЕта! тгои tj BiaXuoiq, t^xoi axopiov eaxai to acopia ev ш iirrarai, vq BiaipEXov jxev ou ixevtoi Biatpe^7](yop.evov оиВетготЕ, хаОатгЕр eotxsv ’ЕцтгеВохХт)? PouXEoOat Хеуес». 49. Aristot. de gener. et corr., 1, 8, 325 b 19 (21 В 159 Diels): ’Ер-тгеВохХе? ?e та |xev aXXa cpavEpov oxi jxexpi tujv cttoixeiwv exei T1Qv vevectiv xai (pOopav, auraiv •Bl toutcov то»; yivExac xai (pbeipExat to 'awpEuo'pievov |XEyeOo$’, ouxe BtjXov оите EvBsxExac XlyEtv ... Cp. W. Kianz, «Fmpedokles und die Atomistik», «Hermes», 47 (1912), стр. 25 с прим. 2: «Diese kleinen, aber verschieden kleinen, Partikeln, die im zusammengesetzten Korper Seite an Seite ruhen, sind theoretisch zwar weiterer Teilung fahig, eine Grenze der Teilbarkeit hat Empedokles auch nicht angegebeu, aber praktisch werden sie im System als gegebene Grbssen verwendet- Dies ist ersichtlich aus dem unbestimmten Ausdruck des Aristoteles. Die Zeit war noch nicht gekommen, wo man durch den Begriff der unendlichen Kleinbeit oder den des unteilbaren Urkorpers der Lehre einen logischen Halt geben konnte». 50. Aristot. de gener. et corr., I, 9, p. 327 a: ei jxev yap jxt] TravTfl Biacperiv to |XEyE$oq, aXX’ sore aa)|xa aBiaipsrov iq тгХато;, oux av eitj TravTiq TtaOiqTixov, aXk’ oufis ouvexU ouoev ei Be touto фвиВо^ xai 7tav acopia Biatpexov, ouBev BtacpEpgc
86 p,Ev aTTtEtfdat 8s, StatpETov slvar Et yap StaxpivEo^ai SuvaTat хата тас афа;, (патир фасл tive;, xav p.iQTraj 7) StTjpv^Evov, Etrrat StflpyjpiEvov. 61. Comm, in Aristot. de gener. et corr., I, 8, p. 326 а 24=стр. 176, 7 Vitelli: e’i фйоЕ1 ... aStatpETa та атоца xai jxtj 8ta арихрот-^та* оитс» yap oux av eTev ф6cel атоца* xai yap oi ц¥] атоца отготс^ецеуО! oux e’i; aKEtpov 8tatpouatv, aXX* taraai 8ta tyjv ощхрот^та tvjv тоц/jv, ou цеуто! фиаЕ1 aStatpETa аита Xeyouoiv, aXXa хата 8uvamv етг* awpov StatpETa. 52. Aristot. de gener. et corr. I, 8, p. 826 b 8: oxe8ov 8e xat ’ЕцтгеЗохХеТ avayxatbv XsyEtv, амггсЕр xai Aeuxitttto; фу)аг Etvat yap атта OTEpEa, aotatpsTa 8e. ec цт] TravTV) тгорос ouvexeV; Etatv. тоито 8’ a8uvaTov. ouOlv yap Еотас ETEpov oTEpsov тиара тои; тгорои;, аЛЛа Trav xevov. avayxyj ара та цгу атгтоцвуа Etvat aotatpETa, та Зе ц£та*и auTcov XEva, ou; exeivo; Xeyei тгорои;. оитсо; 8е Aeuxitttto; Xeyei.. . 53. Comm, in Arist. de gener. et corr. I, 8 p. 325 а 32=стр. 158, 26 и 160, 10 Vitelli: ou yap xuptco; tvjv афу]у eXeyev б Ду)цбхр1то;, Xsycov атгтЕОгка aXXiq- X(ov та; атоцои;... а)Да <тб> TrXyjatov slvat aXXiqXcov та; атоцои; xa't цт] тгоХи BtEoravat, тоито аф^ Exatat... ttqv txcpvjv ot arept Aeuxittttov ou xuptco; eXeyov. 54. В. Кранц (указ, соч., стр. 34, прим. 1) также видит в этом месте Аристотеля только цитату из Левкиппа: sagt Leukipp, добавляет он в скобках. Точно так же и цитированная выше, на стр. 123, критика элейского учения скорее всего (так думал уже Natorp, указ, соч., стр. 166 и след) заимствована Аристотелем у Демокрита, так как и она вставлена у Аристотеля на той же странице между двумя упоминаниями Левкиппа и передает точку зрения Демокрита. Все эти места посвящены, собственно говоря, предшественникам атомизма и дают историю его возникновения. История додемокритовской философии у Лукреция (т. е. у Эпикура), по всем видимостям в последнем счете восходит к Демокриту. Кроме того, известно, что Демпкрит в своих произ- ведениях упоминал Фалеса (1 А 1 Diels = Diog. L. I 22, 23) и говорил о пред- шественниках Анаксагора (55 В 5 Diels). Поэтому необходимо считать Демо- крита одним из главнейших источников Аристотеля в его экскурсах, посвящен- ных истории философии. В раскопанной в Геркулануме 28 книге сочинения Эпикура «О природе» (Перк фистЕсо;), опубликованной A. Vogliano («Epicuri et Epicureorum scripta», Berlin 1929) III, 4 и след., читается: оито; ouv xai тоито TrotEtrat EXE’.vat; Tat; XeIeciv, a; ev тф «Пвр! Tt5v Ttpcorov ytyvcooxovTcov аитои;» (вероятно, надо читать атоцои;) уЕурафЕ. «Он и это Формулирует в тех же выражениях, какие он употребляет в сочинении „О первых, постигших (атомы)"». Итак автор, с которым полемизирует здесь Эпикур, написал, очевидно, книгу «О первых, признавших атомы». По мнению Р. Филип пеона (Gott. Nachr., Phil.-hist. KI., 1929, стр. 131 и след.) под оито;, с которым спорит Эпикур, надо понимать не кого иного, как Демокрита; тогда необходимо сделать вывод, что Демокрит написал особый историко-философский труд под названием: «О первых признавших атомы» (впрочем, как сообщил мне наш специалист по Эпикуру И. А. Боричевский, у него есть веские основания для утверждения, что под оито; разумеемся не Демокрит, а один из учеников Эпикура). 55. Ср. W. Kranz, «Empedokles und die Atomistik», «Hermes», 47 (1912), стр. 18 и след, (выше, прим. 49). 56. De communibus notitiis, 39, 1, p. 1079 DE = fr. В 155 Diels: Дт)цо- xpiru) StairopouvTt фиочхю; xai ettitux^;* et TspivoiTO Trap a rvjv Paotv ettitteSu), *ri xp*] SiavoE'To’ftat та; tu>v тцт]цата^ Етафаувса;, Гаа; *1] aviaou; угр/сц^а;; avtaot
87 piev vap ouaat t6v xwvov aviopiaXov тгарЕ^оиот ко>Ха; атгохара^ес; Xapipavovva РаЗрюЕс8вц xai трахит^та;, taiov 8’ ouowv taa тр,^|латх Еатас, час фаувГтас тб той xuXtvSpou kekovOw; б xaivoc, е£ towv аиухЕ'р.бУо; xat oux aviainv xuxXcovy StceP egtiv атотпогатоу. Выражение Плутарха фищхш; xxi Етптихбк — простой пересказ слов Аристотеля (Degener. et corr. I 2, р. 316 а 14 и след.), цитирован- ных выше стр. 58: oixEtot; xai фислхси; Хо'уоц; отсюда ясно, как переводить это выражение. Ср. Aristot. de gener. et corr. I, 8. p 324 b 35 и след.: gSw 8e ptaXcara xai тгерс Tuavrcov Evi Xoyu). 57 a. 38,8 p. 1079 D: d>; ayaOou xai xaxou тб a8tipopov, outw 7r£7repaap.£vou ti xai aKEtpou jaeoov eotcv ... 39, 3—4, p. 1079 D: та? jaev ЕтгсфачЕса;, ф»]ас, р,^т’ tax; Etvat |л^т’ avtaou;. 57 б. Еста ли; Tokpicoaiv E7rtTip.av ’то?; та; XEvoTTjTa; Etaayouat xai ар.Ер$] Ttva xai pta/opiEvov— pliqte xcvEtaOat iatqte p.evetv — uiroTt^EpisvO’.;’, auxoi та то сайта а^сбрсата фЕи8>} Xeyovte; Etvat* *ес tcvx рлд eotcv caa аХХтДос;, Exstva avtoa eotcv аХлтдХос^’ xai ’oux ecttc pilv caa тайта iXX^Xot;* avtax 8e eotc тайта аХХ^Хоц’... 58. Cp. «Schol. in Euclidem» XI, def. 3, V, 594, Hoi. b.: (to ettitteSov) атгЕсрахс; TEp.vop.Evov йтгб twv euOeiwv oux avaXuOiqasrat ec; аитх;, «плоскость, рассеченная бесчисленное количество раз прямыми, (все же) не распаяется на прямые» (полемика с атомизмом). Точно так же и Бонавентура Кавальери, построивший свою геометрию на таких же «неделимых ломтях» (indivisibilia), употребляет в аналогичном контексте также не множественное, а единственное число: „Nempe circulorum congeriem, quae intra cyliudrum et conum, veluti vestigia plani, a basi ad oppositam basim continue illi aequidistanter flueutis, quodammodo relinqui intelliguntur». («Нагромождение кружков, которые можно представить себе остающимися внутри цилиндра или конуса в виде как бы следов плоскости, плавно перемещающейся от одного основания к другому противоположному, так что она остается все время параллельной этому основанию»). Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, Bononiae 1653, praefatio; мой русский перевод: Б. Кавальери, «Геометрия непрерывного, изложенная новым способом на основе неделимых, с введением и примечаниями», Москва, ГТТИ (печатается). 59. Так, например, если в отр. 117 Демокрит говорит: «В действительности же мы ничего не знаем: истина во тьме», то это только пропедевтический скептицизм, делающий лишь еще более блистательным и поучительным оконча- тельный вывод: etey] 8* атор.а xai xevov, «в действительности атомы и пустота» (стр. 125). 60. Греческое выражение «апория» впвсе не означает, что задача нераз- решима; так, Прокл называет «апориями» аналогичные выражения эпикурейцев, хотя они у последних вовсе не остаются неразрешенными. Ср. В. Philippson, «Hermes», 64, 1929, стр. 179. 61. Ср. интересную статью V. Brochard, «Protagoras et D6mocrite», «Archiv fiir Gesc h. d. Philos.». II, (1889), 368—378, особенно 376 и след. 62. Такого взгляда держатся и философ Франк (указанное выше сочинение, passim) и математик О. Теплиц (указанная статья, стр. 199): «Fiir Demokrit war diese Beweisfiihrung offenbar ein Stuck seiner atomistischen Aufiassung... (Die Zahl von Atom-Blattern ist) endlich, nicbt unendlicb». Обратного взгляда держатся 0. Apelt, «Beitrage zur Geschichte der griechischen Philosophic», Лейпциг 1891,
88 стр. 265 и след, и Th. Heath, «А History of Greek Mathematics», Oxford 1921, I, стр. 181 (co ссылкой на Апельта). Колеблется Р. Филиппсон (указанная статья, стр. 178 и след., 183). 63. Comm, in Aristot. de coelo, III, 7, 306 a 26 = стр. 649, 11 Heiberg. 64. BiaipeiaOai Xsyouaiv aura (та ото^ЕТа) • • • p.Ev торараВо; тгаралк^Хср Tfj fktaet етлпеВсо ... Schol. Cnis]. 166, стр. 514b 5 Brandis: etteiSt) yap EvBE/ETai BieXelv tvjv 7rupap.Ua xa'i TrapaXkTqka) ettitteBo) Tp^x^vai. 65. Ср. H. G. Zeutben, указ, соч., стр. 68: (— стр. 57—58 русск. перевода П. Юшкевича, Москва 1932): «Этот вопрос (апория Демокрита) мог возник- нуть самым естественным образом, если пытались, как это делается в на- ших элементарных учебниках в случае пирамиды, вычислить объем конуса или хотя бы доказать теоремы о равенстве конусов при помощи сходной с интегрирование^ процедуры». Frank, указ, соч., стр. 53: «Путем атомистиче- ской процедуры (Демокрит) открыл теорему, по которой конус есть третья часть цилиндра...» 66. «Hermes», 42, 1907, стр. 245—300, Archimedes, II2, стр. 428 и след. Heiberg: ЕиВс^о? Цу)ирт)ХЕ¥ тгрыто; ttjv aTroBst^iv, ет:! той xcnvou xa'i T^q тгирарлВо*; on TpiTOv jXEpoq о jaev xwvoc той xuXivBpou, tj Be тгирар.!; той 7rpiop.aToq tu>v pxaiv eXovtwv tt]v auTYjv xa'i йфос taov, ou piixpav aTtovEipiat <av> tic ArjpioxpiTU) piEpiBa тгршто) ttqv атгофаот* ttjv тгЕр! той EipY)p.Evou (тх^Р1^0^ /сор!? атгоВ xi;eo)c атгофт) vap.fi vu>. Ср. T. L. Heath, «А History of Greek Mathematics», I, стр. 37 (относительно выражения х<*>Л; aTroBEicswc): «Это не доказано (в архимедовом смысле слова)». 66а. De quadr. parabolae, prooem.: twv aviacov x^P*^7 T*v uTtepoxav, a итгЕрЕх^ь to ptst^ov той sXaaoovoc, BuvaTov EtpEv auTav ваит^ aovTiOepiEvav TravToc uTrEpEx^1* той ttpoteOevto; TTETrEpaopEvou xwPLOu ... xai Bioti тгас xwvoc TpiTov pspoc eax'i тои xuXtvBpou той Tav auTav fixaiv e/ovtoc ты хыуы xat йфо? laov, opoiov ты тгЗо£1ру]р.ЕУы Xyjp.p.a ti Xap^avovTE; Еурафоу. 66b. См. прим. 66 и 72. 66c. Евклид, Sectio canonis, стр. 158, Heiberg: ex p.opia)v той? фОо'ууои? auyxEurOxi фатЕО>, etteiBt] TtpoadEGEi xa! acpaips'sEi тиух^70и(Г17 T0^ Beovto;, rcavTa Be та ex poptcov auyxetpEva аргЗрсой Хоуы XeyETai ~po? aXXiqXa... 67. См. T. L. Heath, Archimedes* Werke, deutseb. von F. Kliem, стр. 414 прим. 2; «Выражение (Демокрита) „сложенный из равных... кругов" (е£ tacov au^xetpiEvoc.,. xuxXwv) представляет собою чрезвычайно важное предвосхи- щение той же мысли, которую мы встречаем у Архимеда и которая привела его к столь плодотворным выводам». 68. Например, гсе;! тым р>)х- ^£<*>р. II («Негтев», указанное место, стр. 254, 17 и след.): optoico; Bs Betx^iQaeTai xa'i Eav aXXiq („так же это доказывается и для другой**) и т. д.; аир.7гХт]ра)^Б7тос o6v той xuXivBpou йтго t<ov Xy)9^evtcov хйхХыу, «а так как весь цилиндр заполнен остальными кружками»), ср. у Демокрита: iTwv ouyxEttjLEvoq хихХыу («образованный соединением равных кружков»). 69. Согласно принципу, Сформулированному уже Зеноном (Фр. 1): «одно и то же — сказать это один раз или повторять сколько угодно раз» (opioiov Вт] тойто aTta? те Et~£tv xai as! XsyEtv). 70. Там же, стр. 250, строка 15: ex p.lv ты-у ev ты у^а трггалы (sc. eu<3ei<»v) to y£a Tpiycovov guvectttqxev usw. 71. Ilepi (Уфа1ра; xai xukivBpou (I2 1910, стр. 4 Heib.): ttoXXcSv тгрб EuBo^ou YeYevtjplevcov ajjtwv Xoyou YECDjAETpwv ouvE|3aivEv йтгб TravTCDv ayvOEiaftat ,u.tjB* йф*
89 eve; xaTavovjdijvai. («Хотя до Евдокса было много достойных упоминания гео- метров, но случилось так, что никто не знал этого и ни один не обратил внимания на это»). 72. F. Arendt, «Bibl. Math»., XIV3, 1915, стр. 295. 73. «При помощи этой атомистической процедуры (Демокрит) открыл теорему, по которой конус есть третья часть цилиндра... Это мы знаем из Архимеда». Е. Frank, указ. соч. 53. Так же Н. Scholz, указ, соч., 10. Ср. Н. G. Zeuthen, «Bibliotheca Mathematica», VIP, 1906, стр. 344. 74. XII, 3—7. 75. Uber raumgleiche Polyeder, Gott. Gel. Nachr., Phys.-Math. Cl., 1900, Ders., Mathem. Annalen, 55, 1901. Ср. B. Kagan, Uber die Transformation der Polyeder, Mathem. Annalen, 57, 1903; G. Junge, Bibl. Math. XII3 1911/12, стр. 355; H. Vogt, Progr. des Friedrich-Gymn. zu Breslau, 1909. 76. Cp. G. Junge, Jahresb. d deutsclo n M ithematiker-Vereinigung 1926 (35), стр. 167: «Эта теорема... доказывается ныне при помощи параллельных сечений. Невидимому, эту процедуру применил и Демокрит при первом доказа- тельстве этой теоремы». Тот же исследователь показал в «Unterrichtsbl. fiir Mathernetik und Naturwissenschaften», 1926, стр. 240, что та Форма, в которой мы встречаем эту теорему у Евклида (ряд бесконечно уменьшающихся призм; объем первой из них больше половины объема пирамиды) могла возникнуть только во время Евдокса, так как она неразрывно связана со способом исчерпания. 77. Так же Т. L. Heath, указ, соч., стр. 415. 78. Демокритовцы называли усеченную пирамиду хоХоиро? тгирард; («куцой пирамидой»); следовательно, они ею занимались (Schol. Coisl. 116 к Aristot. de coelo, Ш 8, p. 301 b 4; стр. 514 b 5 Brandis). Как указал P. Luckey («Isis», 20> 1933, crp. 44, прим. 41) в Египте трапеция называлась h\kt «куцым (тре- угольником)», это лишний раз указывает на непосредственную связь Демокри- товой стереометрии с египетской. 79. Б. А. Тураев, Ancient Egypt, 1917, стр. 100—102, W. W.; Struve, Mathe- m at i sc her Papyrus... in Noskau Berlin 1930, № 10; H. Wieleitner, «Isis» IX, 1927, стр. 27; Д. Цинзерлинг, Изв. Росс. Акад. Паук, 1925, стр. 566; О Neuge- bauer, «Qutllen und Studien zur Geschichte der Mathematik», В. I 4. 1931, стр. 437—88. 80. См. мою статью: «К вопросу о влиянии египетской геометрии на грече- скую», в «Архиве истории науки и техники», I, 1932, стр. 51. 81. Е. Frauk, указанная книга, стр. 53; ср. G. Junge, статья, указ, в прим. 76, стр. 159: «При этом он мог, например, исходить из пирамиды с квадратным основанием». 82. Теорема, согласно которой площади кругов относятся как квадраты диаметров, была известна уже Гиппократу Хиосскому, который жил ранее Феодора Киренского, но по ле Анаксагора (Procl. in Euclidem, р. 66, 4 Friedlein), а следовательно, был приблизительно современником Демокрита. А если площади кругов, составляющих конус, относятся как квадраты их диаметров, то они относятся и как квадраты соответственных высот. Но и пло- щади квадратов, из которых сложена четыреугольная пирамида, также отно- сятся между собою, как квадраты высот; следовательно, каждый кружок в конусе равновелик соответственному квадрату и четырехугольной пирамиде.
90 83. Aristot. de coelo, III, 8, 8O7a 17: AyjpoxpiTU) 8& xat •?) афоара <I>c yama Tie ouaa tejavei, 307а 2: тб jaev — oXov eoti yama. 84. Комментарий к этому месту, стр. 662, 10 и след. Heiberg: egtl Be ... тб o^atptxov oXov yoma* ci yap to <TuyxExap.p.Evov sari ycovia, yj Be oxpafpa jxavT BXyjv sauTyjv аиухЕхацтгтас, ecxgtw; oXyj yama Xeyerat. 85. Как я покажу в отдельной статье на основании свидетельств [Arist.J Meeh. 852° 18. 22. 855b 86, yovta означало в древнейшей греческой науке: «угловатая Фигура», в частности «многоугольник». Поэтому и здесь oXyj ywvia или ycovla Tie означает «Фигуру с углами в любой точке всей его поверхности». Этой гениальной мысли Демокрита не понял известный толкователь Аристотеля К. Prantl; он толкует это выражение так (Aristoteles, «Vier Bucher tiber Him- melsgebaude u s. w.», Лейпциг 1857, стр. 283, прим. 30): «По Демокриту весь шар — это один единственный угол, тогда как все прочие тела имеют по не- скольку углов». Правильно истолковала это место Eva Sachs (указ, соч., стр. 220 прим. 2: «Демокрит, повидимому, рассматривал шарообразную Форму как предел „угловатого1*, ycovtoEiBee... Повидимому, это стоит в связи с рассуждениями Демокрита из области бесконечно малых; если он открыл теоремы об объеме пирамиды и конуса, то он логически вынужден был рассматривать круг как многоугольник с бесконечным числом сторон, а шар — как тело с бесконечно большим числом углов». 86. Plut. Quaest. Platon., V 2, 4 и 6, р. 1003 F: TrpoTEpov ouv той хихХои то TpiyiDVOV. El 8£ TOUTO, xai Eu{>Eia Tyje 7ГЕр1фЕрой?. . . OTl TOlVUV TrpOyjfOUpEVOV |AEV egti to Eu3uYpap.iJ.ov, тб Be xuxXixov ETriyivo'gEvov xat аицрЕ^хбе, аитбе 6 ПХатшу еВе^лто. tyjv yap yyjv ex xu{3(ov auaTr(aa|AEvoe, <ov exaorov Eu3uypa|A|A0t тгЕридоиспу br^avEiat, acpaipoEtBle аит-^е yEyovsvat тб a/vipia фу]<п xai GTpoyyuXov ... <dote uttovotq- ffEiev av Tiq, eu^Eia? хата piixpa тгоХХае auvTiOE|AEvae tyjv тгЕрсфвр^ ypa|A|Aiqv (пготеХеи/. 87. Plato, Timaeus, 53 C: yj 8£ 6p{Hj Tyje ettittegou рааЕсо; ex Tpiycovcov auvETTiqxE («Ограниченная прямыми линиями поверхность состоит из треуголь- ников»). 88. Aristot. de coelo, 1П, 4, р. 808 а 30: хата tyjv toutcov uttoXy^iv... ЕГГСЕр .та |aev (У<6|дата ВсафЕрЕс та 8s ах^|Аата ^а^та auyxEtTai ex тгира- |А 18(t)V ... 89. Simplic., comm, in de coelo, стр. 613, 15 и след. Heiberg: TravTa та auv^ETa to5v a(op.aT(ov о^риата auyxEfo-Sai ex тгирарлВалг <»e yap ev тоц етптгеВосс Trav Eu3uYpap.iJ.ov etutteBov sie Tpiycova BiaipEirat xai ex Tpiyovcov auvEOTTQXEV, Bigtc атгХоиотатоу xat apxoEtBEOTaTov twv ettitteBcov sx^P-^tcov eoti to Tpiycovov, оитсое Ttav e; Eu3uypap.|Jicov ettitteBcov 7rspaToupiEvov GTEpsiv e’ic тгира^За avaXuETai, xai ectiv aTrXouoTaTOv ev той; отереоц xai ap/OE'BEOTaTOv тгирарле. 90. 0 таким многогранником с бесконечно большим числом граней можно сопоставить название додекаэдра у Платона. «Шар из двенадцати пятиуголь- ников» (офаГра т) ex tgjv BcuBsxa TrEvTaywvcov. Ср. Eva Sachs, указ, соч., стр. 83 и след.) 91. Ср. Евклид, XII, 17. Таким жз образом нетрудно доказать и ХП, 18 без научного доказательства» (х^Р1* owroBetfeiDe).
АТОМИСТИЧЕСКАЯ ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ 1. Атомистическая концепция пространства После сказанного ясно, что с точки зрения Демокрита геоме- трические тела распадаются на тончайшие листики (плоскости), плоскости на тончайшие нитки (линии), линии — на мельчайшие зернышки (точки). Разумеется, идеальные плоскости, линии и точки в смысле нынешней геометрии, т. е. такие, одно или несколько измерений которых равны нулю, в учении Демокрита отсутствовали; все отвлеченные понятия математики представлялись ему обязательно в конкретных мате- риальных образах. На той же точке зрения (которую и Демокрит, разумеется, не придумал впервые) стояли в более позднее время платоники — прежде всего ученик Платона Ксенократ. Так, у Аристотеля мы читаем: «Ясно, что (все) это относится к одной и той же теории: то, что тела состоят из плоскостей, плоскости из линий, линии из точек» (i). Как заявляет сам Аристотель, он имеет в виду тех, «которые со- ставляют все тела из плоскостей» т. е. платоников; то же сообщает о них и средневековый ученый Альфонсо, повидимому, располагавший недошедшими до нас античными источниками (ниже, стр. 153): «Как я думаю, Платон представлял себе тело состоящим из плоско- стей, плоскость — из линий, линию — из точек». Одно из замечаний Аристотеля («при таком положении дел часть линии не должна необходимо быть линией»), как свидетельствует Симпликий, (2) имеет в виду специально Ксенократа, автора теории неделимых ли- ний. Однако, все эти выражения имеют в виду, между прочим, и Де- мокрита (ниже, стр. 92); интересующая нас глава 1 книги III аристотелева сочинения «О небе»», как мы покажем ниже (стр. 137), направлена вообще против атомистической концепции в широком смысле, и только начиная с цитированного нами места (ср. 299 b 23) Аристотель отдельно рассматривает учения платоников и демо- критовцев. Равным образом и комментатор Евклида (в) имеет
м в виду, несомненно, атомистическое мировоззрение вообще, т. е. как названных в гл. 1 книги X демокритовцев, так и платоников и Ксенократа: «Между линией и поверхностью, равно как и между по- верхностью и телом, нет никакой зависимости: на какое бы большое число мы ни умножали линию, она всегда останется все той же линией и никогда не станет равною поверхности, а тем более никогда не превзойдет ее. То же относится и к поверхности: ... если бы можно было, (рассекая) плоскость линиями, разбить ее на линии... Но даже если бесконечное число раз рассекать (плоскость) линиями, она не распадается на линии». Ср. полемику против Ксенократа в приписываемом Аристотелю трактате «О неделимых линиях» (4): «Если только тело (состоит) из плоскостей, плоскость из линий, линия из точек...»«... линия не больше точки; равным образом плоскость (не больше) линии» (так как это величины несоизмеримые. С. Л.). Аристотель и его античные толкователи всегда, когда касаются этих вопросов,рассматривают учения атомистов (Левкиппа, Демокрита и Эпикура), Платона и Ксенократа совместно, причем между этими учениями весьма схематически устанавливается такая разница: атомисты считают минимальными первосущностями тела, «Платон»1 — поверхности, Ксенократ — линии. Аристотель (б): «Так написал Платон в „Тимее44. Разница между ним и Левкиппом только в том, что Левкипп считает неделимые телами, а Платон — плоскостями...» «... будут ли это, как (утверждают) Левкипп и Демокрит, тела, или как (говорится) в „Тимее44, плоскости». Прокл в комментарии к «Государству»» Платона (в): «Эпикур и Ксенократ стали на ложную точку зрения, когда первый считал мерой всех тел атом, а второй мерой всех линий — неделимую линию». Симпликий в комментарии к «Физике» Аристотеля (7): «Подобно тому как Платон считает плоскости минимальными первотелами, так Ксенократ — ли- нии». Схолиаст к Аристотелю (в): «Из сторонников атомизма одни признают неделимые тела, как Левкипп и Демокрит, другие недели- мые линии, как Ксенократ, а Платон — плоскости». Филопон, коммен- тарий к Аристотелю (е): «Первые и общие элементы всего, которые одни считали неделимыми телами, как школа Левкиппа и Демокрита, другие — плоскостями, как Платон»» (ю). 1 Почему мы берем слово «Платон» в кавычки, объяснено ниже. стр. 167 и сл.
Однако, этому различию не следует придавать очень большого значения (п): практически, под мельчайшими телами Демокрита, под «платоновскими» мельчайшими плоскостями и под ксенократо- выми неделимыми линиями подразумевается почти одно и то же. Ведь плоскости «Платона» мыслились как чрезвычайно тонкие листики, т. е. как тела (см. только что цитированное место Симпликия (12): «Платон считал, что минимальными и первыми телами являются плоскости»). У того же Симпликия мы читаем еще: «Тимей и, следуя ему, Платон... считал... элементами — плоскости, имеющие известную глубину» (13). С другой стороны, гипотезу о «неделимых линиях» Аристотель (и) приписы- вает как раз своему учителю Платону: «Против этой категории (т. е. против непротяженных точек) возражал Платон, так как он считал точку Фикцией геометров; он называл ее „прототипом линии44 и неоднократно пользовался этой гипотезой — неделимыми линиями» (15). Тем не менее, разница между платониками и Демокритом была вполне ощутимой; она должна была состоять в том, что Демокрит как последовательный материалист гораздо определеннее подчерки- вал материальный характер элементов, чем платоники. С точки зрения Демокрита в мире не существует ничего, кроме тел; поэтому все, что существует, должно иметь глубину, ширину и длину с той лишь оговоркой, что глубина, или глубина и ширина или, наконец, глубина, ширина и длина могут быть чрезвычайно малыми. Вот почему Демокрит не назвал свои «мельчайшие частицы» (ilaxtGTa) «неделимыми плоскостями» или «неделимыми линиями» (хотя по своим Функциям в системе Демокрита они сплошь и рядом играли роль точек, «неделимых линий»), а называл их телами. Но гораздо более важное различие состояло в том, что те платоники, с которами полемизирует Аристотель, «те, по мнению которых тела возникают из плоскостей», только к линиям и плоскостям подходили, как Демокрит, считая, что из надчув- ственно большого числа параллельных друг другу линий, на- ложенных друг на друга, возникает плоскость, а из наложенных друг на друга точек возникает линия. Но в то время, как Демокрит распространял эту теорию и на тела (тело возникает из чрез- вычайно большого числа параллельных друг другу плоскостей, наложенных друг на друга, как например, в разобранном нами его рассуждении об объеме конуса), платоники, в этом случае следуя самому Платону (в «Тимее»), видели в теле (точнее — в элементар-
94 ном теле, б атоме) соединение одних только внешних поверхностей (не накладываемых — етп&есгц а прикладываемых — тгроаЭеаеь — друг к другу). Это было вопиющей непоследоватально- стью, и Аристотель справедливо порицает их за это (ю): «Нелепо соединять плоскости (для образования элементар- ного тела) так, чтобы они пересекались между собою только по одной линии; подобно тому как линию можно присоединить к линии двумя способами и по длине и по ширине (т. е. либо прикладывая линии друг к другу так, чтобы одна образовала продолжение другой, либо накладывая одну на другую неограниченное число раз так, чтобы они совпали всеми точками — практически имеется в виду прямая. С. Л.\ так и плоскость к плоскости. Но линия (по учению платоников. С. Л.) может быть присоединена к другой линии тем путем, что она совпадет с ней по всей длине, а не только в конечной точке». Есть основание сильно сомневаться в том, что такое атомистиче- ское наложение точек и линий друг на друга было точкой зрения самого Платона (см. ниже, стр. 167 и сл.). Поэтому слово «Платон» я часто пишу в кавычках. Но, во всяком случае, несомненно, что Демокритово разложение поверхности на линии, а линии на точки разделялось рядом влиятельных представителей академиче- ской школы, «некоторыми из считающих себя последователями Платона» (tivI^ tgSv a^iovvTwv ГНатоvtxcSv elvai), как выражается Фи- лонов; чтобы сделать это учение более авторитетным, оно было приписано самому Платону. Теория атомистической структуры пространства являлась с точки зрения официальной математической науки древности недопустимой. Линия, плоскость, тело — величины разнородные, и они никоим образом не могут быть составлены друг из друга; деление можно продолжать до бесконечности, не может существовать неделимых элементов, не имеющих частей и т. д. Между тем, Демокритова концепция сама по себе (в том виде, как развил ее Демокрит, она, невидимому, содержала логические ошибки!) представляет стройное целое; быть может, на ней, как на основе, можно построить законченную математическую систему. Не сле- дует, разумеется, полагать, что Демокрит складывал объемы с пло- щадями, площади с длиной и т. д. С его точки зрения площадь по сравнению с объемом, длина по сравнению с площадью чрез- вычайно малы и потому в мире чувств такими прибавками сле- дует пренебрегать, иными словами, если п — чрезвычайно большое,
95 недоступное чувствам число, то в мире чувств п2ч-п = п2; п3-ь 4-П24-П = И3 ит. д. (см. ниже, стр. 117). Что же касается возражений принципиального характера, делав- шихся в древности против этой концепции, то они чаще всего основывались на том, что понятия «континуума» «сплошного» и «касания» (то то атгтео^аь), присущие по Демокриту миру чув- ственного опыта, некритически переносились и в Демокритов мир недоступного чувствам, где они не имеют смысла. В самом деле, рас- суждая так, незаметно для себя подсовывали в этот недоступный чувствам мир допущение бесконечной делимости, что противоре- чило самой предпосылке, положенной в основание Демокритовой концепции. Так, например, в «Физике» Аристотеля (п) мы читаем: «Необходимо, чтобы точки, из которых состоит непрерыв- ное, или составляли одно непрерывное целое или касались друг друга. Но все (что соприкасается друг с другом), соприка- сается либо как целое с другим целым, или одною из своих частей с одной из частей другого тела или одною из своих частей с другим целым. Но так как неделимое не имеет частей (ajxspe;), то необходимо, чтобы тело касалось как целое дру- гого целого. Но если тело касается как целое другого целого то (из их соединения) не получится непрерывного и т. д.» На это Демокрит мог бы возразить, что, поскольку допускается неделимость, не может быть речи о непрерывности, а следовательно, и о касании в том смысле, как мы его понимаем. Впоследствии про- тив такого некритического перенесения различных типов касания, наблюдаемых в мире чувственном, в мир недоступный чувствам протестовал Эпикур (is): «...они не касаются так, что некоторые части одного касаются некоторых частей другого, но они (измеряют) неко- торым своеобразным образом и т. д.». Ср. его же выражение: «Примышляемое насчет невидимого, что якобы тела, созер- цаемые (только) мыслью..., обладают... непрерывностью неверно, поскольку речь идет о такого рода телах». Вопреки мнению Арнима, я считаю весьма вероятным, что уже Демокрит нашел этот единственно возможный ответ на возражения. В самом деле известно, что уже Демокрит отказался от перенесения в свой недоступный чувствам мир понятия «касания» в обычном смысле. Филопон говорит (19): «Демокрит употреблял выражение «касание» в несоб- ственном смысле слова, говоря что атомы касаются между собой, „Касанием “ он называл нахождение атомов близко друг от
96 друга, отсутствие значительного расстояния между ними...» «Школа Левкиппа употребляла выражение „касание^ в несоб- ственном смысле слова». Это относится не только к Физическим, но и к математическим первосущностям, независимо от того, как решать вопрос о томг тождественны ли эти две категории у Демокрита или нет. То, что Демокрит определял касание именно таким образом, видно также из трактата «О неделимых линиях», представляющего собой по- лемику с математическим, а не с Физическим атомизмом, где читается^ «если же возможно, чтобы соседние тела не соприкасались». Так же как в сочинениях Аристотеля «О небе» и «Физике» (выше, стр. 56 и сл. и 92), и здесь (р. 969 а 17 и след.) автор полемизирует в одно и то же время и против платоников («те которые принимают неделимые линии в мире идей») и против атомистов («материальные первосущ- ности... (нельзя) признавать не имеющими частей (ip.£pz)... так утверждают некоторые») (20). Точно так же и ниже (р. 971 а 6 и след.) автор полемизирует в одно и то же время с обоими атомистическими лагерями — идеалистическим и материалистическим. Содержащееся здесь выражение «если необходимо, чтобы соседние (тела) касались между собой» (21), как и вся вторая часть, начиная с р. 972 а и 6 и след. (22), имеет в виду пифагорейцев, точнее — «так называемых пи- фагорейцев»; другой взгляд: «если же возможно, чтобы соседние тела не соприкасались» (23) и в этом случае не может иметь в виду никого другого, кроме атомистов, так как со- гласно свидетельству Аристотеля платоники не отрицали касания (24). Само собой разумеется, при такой концепции все геометрические понятия должны получить совершенно новые определения, несходные с обычными, — только в этом случае атомистическая математика, могла устоять против полемики элеатов. Длину линии неизбежна приходилось определять как Функцию числа содержащихся в ней неделимых частиц. Так позже мы читаем у Эпикура (25): «Они не касаются друг друга так, что некоторые части одного из них касаются некоторых частей другого, но они измеряют величины, некоторым одним им свойственным способом, большие величины большим числом, меньшие— мень- шим. Следует думать, что такое же соответствие применимо и к минимальной первосущности (l^a^ia^ov) находящейся в атоме» (ге). Эта концепция не была нововведением Эпикура, она была несо- мненно, характерна для всей атомистической матема-
97 тики. Мы встречаем ее, например, у Ксенпкрата, атомизм которого восходит к тому же первоисточнику, что и атомизм Эпикура, — к Демокриту. Так Прокл (27а) говорит- Ошибаются Эпикур, делая атом (вернее было бы: ве- де л и м о е, а[л=р£$) мерой всех тел, и Ксенократ, делая неде- лимую линию мерой всех линий. Осторожная и несколько запутанная Формулировка Эпикура не может нас не удивить. Разумеется, если бы он просто хотел сказать, что величина предмета измеряется только числом заключенных в нем неделимых, он выразился бы проще и одним им свойственным способом» были бы излишни. В самом деле, упрощенное утверждение, отождествляющее величину предмета с числом неделимых, приводит к прямому абсурду: когда в средние века арабские и еврейские ученые ( « му такал л иму н ») возродили математи чески й атомизм в этой упрощенной Форме, то им слова «некоторым Фиг. 8. В квадрате,, сторона которого рав- на 5 неделимым, диа- гональ АС также равна 5 неделимым. справедливо возражали, что при такой концеп- ции сторона квадрата равна диагонали, как это видно из фиг. 8(27). Вдобавок при такой концепции нет тел более плотных и менее плотных, так как и количество материи 2И, и объем V измеряются числом неделимых, так что плотность d — у всегда одна и та же. Такой нелепости, разумеется, атомисты никогда не высказывали — иначе это само собой напрашивающееся недоумение было бы высказано уже в древности. Формули- ровка Эпикура имеет целью констатировать только тот Факт, что величина предмета зависит от числа неделимых в нем, и, поскольку речь идет об одной и той же однородной массе, с увеличением числа неделимых соответственно увеличится и его величина, с уменьшением уменьшится. Если для упрощения вопроса взять частный случай зави- симости между М и V — прямую пропорциональность, то между числом неделимых (= массе тела) М и объемом V (ууд&г связь: М= GF, где G можно назвать плотностью. При такой концепции длина диагонали квадрата уже не будет равна длине его стороны: Кдиаг М 3---, тогда 'диаг м к как Устороны=-п-------достаточно взглянуть на чертеж, чтобы ви- v Сстороны деть, что плотность стороны (т. е. плотности в направлении AD) больше плотности диагонали (т. е. плотности в направлении А С), так
98 как в первом случае неделимые расположены гуще; итак, диагональ больше стороны, и никакого противоречия не получается. Впрочем, построить целую такую систему, так чтобы она была последова- тельной, очень трудно, и нельзя быть уверенным, что Демокрит обошелся без внутренних противоречий. Аналогичным же образом приходилось определять и действия над геометрическими величинами’, например, деление — как распре- деление неделимых первосущностей на несколько групп. Уже отсюда сразу видно, что при предпосылках атомистов не всякую линию можно разделить пополам; об этом скажем подробнее ниже. Окруж- ность с этой точки зрения есть многоугольник, каждая сторона которого состоит только из одной неделимой первосущности; каса- тельная— прямая, настолько близко подходящая к окружности кривой, что между одной из неделимых первосущностей прямой и одной из неделимых первосущностей кривой не находится ни одной неделимой первосущности («Демокрит... называл касанием... нахо- ждение близко друг от друга... и отсутствие значительного рассто- яния», Филопон, см. выше). При такой концепции доказательство Зенона, основанное на процедуре со все уменьшающимися промежут- ками, теряет свою убедительную силу в тот момент, когда мы дохо- дим до неделимых первосущностей; между двумя такими неделимыми нет ничего, и деление, если только мы его определяем так, как было сказано выше, не может уже продолжаться. Число неделимых в определенном конечном пространстве при таком подходе не бесконечно, а конечно, хотя и настолько велико, что уже недо- ступно чувствам (см. ниже, стр. 100). Между двумя соседними касательными к кругу нельзя провести никакой третьей пря- мой (28), так как с точки зрения атомизма прямая — это только ряд неделимых, а две соседние касательные это два таких соседних ряда. А если такого промежуточного ряда неделимых не суще- ствует, то угол между двумя соседними касательными есть мини- мальный из всех возможных углов; допущение существования ми- нимальной угловой величины, которым пользовался Эпикур при своем столь известном учении об «отклонении» (тгарёухХкт-;) атома, если не было известно Демокриту, то во всяком случае являлось неизбежным выводом из его предпосылок. Наконец, при таком по- нимании два соседних неделимых не пересекаются и не касаются, так как Демокрит, как мы только что видели, вообще отрицал каса- ние в мире чистой мысли; неделимые вообще не вступают в непо- средственное соприкосновение между собой.
99 Один из парадоксов, которым пользовались для того, чтобы доказать необходимость атомистического мировоззрения, сохранился еще у Прокла. Противники (официальной) математики, с которыми полемизирует Прокл, в этом, как и в других подобных случаях,— эпикурейцы; приведенный у Прокла парадокс — только вариант зеноновского парадокса об Ахилле и черепахе, направленного против бесконечной делимости, которым, как известно, охотно пользовались атомисты для доказательства правильности их основного поло- жения (29). Так как, сверх того, этот парадокс при античных научных предпосылках мог быть разрешен только при помощи атомизма, то ясно, что он почерпнут из эпикурейского источника. Здесь (зо) доказывается, что две прямые, не парал- лельные, но приближающиеся друг к другу, не могут пересечься между собой. Пусть даны (фиг. 9) две пря- мые АВ и ГА и пусть они пересечены третьей ли- нией АГ. Пусть точка Е — середина прямой АГ. Отло- жим AZ = АЕ и ГН = ГЕ. Точки Z и Н совпасть не могут. В самом деле, если бы они совпали, например, в точке Z, то AZ-t-Zr как две стороны треугольника должны были бы быть больше, чем АГ, третья сторона того же треугольника. Но AZ=AE по отложению; точно также гг(т. е. НГ) = ГЕ, следовательно, AZn-Zr = АЕч-ЕГ = АГ, что невозможно. Итак, Z не может совпасть с Н. Теперь разде- лим пополам прямую ZH, пусть середина ее в точке 0, ZK = Z0, НА = Н0. Мы без труда докажем тем же способом, что К не может совпасть с А. Эту процедуру можно продолжать до бесконечности; таким путем мы докажем, что прямые АВ и ГА никогда не пересекутся. Прокл бессилен возразить что-нибудь по существу против этого доказательства (si). Вместо того, чтобы найти ошибку в дока- зательстве, он довольствуется тем, что доказывает другим способом, что такие прямые в известных случаях должны пересечься. Только атомистическая концепция давала возможность при античных пред- посылках разрешить этот парадокс. Так как соединительные прямые (АГ, ZH, КА и т. д.), состоящие всегда из целого числа атомов, становятся все меньше, то в конце концов мы дойдем до последней такой прямой ХФ, имеющей в длину 2 неделимых. Прямые АВХ
100 и ГДФ не могут быть продлены меньше, чем на одно неделимое, ибо неделимое, очевидно, не может быть разделено. Если же пря- мые пересекаются в неделимом 12, соседнем с X и Ф^ то сумма двух сторон треугольника Х£2-ь£ф равна по длине 3 неделимым (X, £2 и Ф), а соединительная прямая имеет в длину только 2 атома (X и Ф), так что пересечение обеих прямых уже не представляет чего- либо невозможного. Как мы видим, атомисты резко противопоставляли друг другу понятия «бесконечно малый» и «недоступный чувствам чрезвычайно- малый». «Бесконечно малое» или «непротяженное» — это, как они доказывали, то же, что нуль, т. е. вполне определенное число. Та- кова же должна была быть по их теории разница между «недо- ступным чувствам чрезвычайно большим» и «бесконечно большим», Число неделимых частиц в любой конечной величине чрезвычайно велико; бесконечно большое число — это одно вполне определен- ное число; число неделимых частиц во всем мироздании; поскольку эти частицы охватывают все мироздание, большего числа, чем это, быть не может: это максимальное число. Так, в приписываемом Аристотелю трактате «О неделимых линиях» находим такую аргу- ментацию атомистов(зг): «Если существует соответствие между большим и много- численным, с одной стороны, и между малым и малочисленным, с другой; если то, что распадется на почти что бесконечное число частей, не малочисленно, а многочисленно, то ясно, что малое и малочисленное может делиться только на ограниченное число частей». Не следует видеть в этом замечании наивное коррелирование понятий «большой» и «многочисленный»: «части», о которых здесь говорится это — неделимые минимальные частицы, ааер^; поскольку с атомистической точки зрения, как мы видели, всякая величина измеряется числом этих частиц, т. е. является определенной функцией этого числа, между величиной и численностью нет в этом случае никакой принципиальной разницы. Но наиболее интересен взгляд, по которому очень большие предметы распадаются на п о ч т и что бесконечное число (неделимых) частей (хтгеьрои; <5iaipeGEt$ ёдоу), а не на бесконечное число; бесконечно при абсолютном пони" мании бесконечности только число неделимых во всем мироздании. Очень сходную аргументацию мы находим у эпикурейцев, цитирован- ных Проклом (зз), и здесь целью является доказать, что бесконечная делимость невозможна. Эта аргументация основывается на теореме,
101 что диаметр делит круг на две равные части — на той самой тео- реме, которая постоянно выдвигалась противниками атомизма в до- казательство невозможности его (см. ниже, стр. 109). Вот что здесь говорится: «Если при проведении одного диаметра круг разбивается на два полукруга и если через цеьтр можно провести беско- нечно большое число диаметров, то (общее) число (всех полу- чающихся) полуокружностей будет дважды бесконечным. Такой парадокс выдвигается некоторыми против бесконечной делимости величин». Конечно, разгадка этого парадокса о точки зрения атомистов состоит в том, что можно провести не бесконечно большое, а только чрезвычайно большое, недоступное чувствам число диаметров (si). Если мы станем на эту точку зрения, то нам перестанет казаться верхом математической безграмотности и следующеее атомистическое рассуждение Плутарха (as) (приводимое в доказатель- ство невозможности бесконечного деления): «И разве не ясно, что целый человек состоит из большего числа (минимальных) частиц, чем палец человека?» 2. Атомистическая концепция движения и времени (за) Вполне естественно, что уже в древнейшие времена греки пытались справиться с трудностями, связанными с представлением о бесконечном делении, при помощи своеобразного первобытного атомизма. Мы видели, что выступление Зенона было направлено как раз против этого примитивного атомизма и что атомистическая система Демокрита была попыткой оживить этот атомизм, усилив его новыми предпосылками — отрицанием бесконечной делимости и допущением конечной величины мельчайших неделимых частиц. Эти допущения сразу же парализовали элейские парадоксы, касающиеся пространства. Можно a priori полагать, что третий и четвертый парадоксы Зенона, направленные против атомистиче- ской концепции движения, также не остались без ответа. Цель третьего парадокса — доказать, что в каждый отдельный момент летящая стрела не движется, а стоит на месте; цель четвер- того— наглядно показать на двух телах, перемещающихся друг другу навстречу, что движущееся тело, прежде чем пройти неделимую частицу длины, неизбежно должно пройти половину этой неделимой частицы и что, следовательно, неделимых величин
102 существовать не может. То же доказательство в несколько упро- щенном виде мы находит в «Физике») Аристотеля (37), где оно, как мы увидим ниже, направлено уже против атомистов, Пусть недели- мое и не имеющее частей (арлре;) тело А движется из А в Г по пути, состоящему из двух участков АВ и ВГ, каждый из которой представляет собою одну неделимую частипу. Неизбежно раньше или позже должен во время этого пути наступить момент, когда тело Д окажется находящимся одной частью на АВ, другой на ВГ. Таким образом тело Д разделится на две части (одна лежит на АВ, другая—на ВГ), и, следовательно, оно не может быть не имею- щим частей. Нет другого способа парализовать это доказательство, как распространив атомистическую концепцию и на движение. Атоми- стам приходилось объяснять движение вообще таким образом, как мы объясняем движение, видимое на кинематографическом Фильме: на каждой отдельной картинке Фигура неподвижна, но положения ее на двух смежных картинках несколько различаются между собой; по- этому нам кажется, будто она движется. Как раз так по мнению ато- мистов обстоит дело с телами в реальной жизни: никакого непрерыв- ного движения не существует; тело находится некоторое время на одной частице пространства и затем внезапно оказывается на соседней. Такой теории должна соответствовать и атомистическая концепция времени: «данный момент», то vuv, становится атомом времени, и то, что в парадоксе Зенона о летящей стреле предста- вляется, как нечто заведомо невозможное и дискредитирующее самую идею движения — именно неподвижность стрелы в каждый отдельный момент, с точки зрения атомиста — простое констатиро- вание Факта. Четвертый парадокс при такой концепции времени и пространства так же разрешается сам собой: веделимое тело никогда не окажется на половине дороги, как Фигура на Фильме никогда не бывает в положении, среднем между положениями на двух соседних картинках; ни дороги в промежутке между двумя неделимыми пути, ни времени в промежутке между двумя «данными моментами», неделимыми времени, не существует: в «данный момент»» п движущееся тело стоит на неделимом участке АТ; в момент пч-1 движущееся тело, минуя переходные положения, сразу же стоит на неделимом участке ^+1и т. д. Эта теория не выдумана мною. С ней многократно и горячо, как мы увидим ниже, полемизирует уже Аристотель; позже мы встречаем ее у Эпикура. Эпикур пишет: «Примышляемое относи-
103 тельно невидимого — что и отрезкам времени, существующим только в нашем представлении, соответствует непрерывное движе- ние — неверно для подобных случаев» (зв). Фемистий (39) конкрети- зирует этот дошедший до нас благодаря счастливому случаю краткий намек на эпикурову теорию движения таким образом: «По словам его (Эпикура) движущееся тело движется на всем участке АВГ, на каждой же из неделимых частиц, из которых состоит этот участок, движения нет, а есть только готовый резуль- тат движения (xwuvTjTat)». Сходное свидетельство мы находим у Симпликия (40): «Утверждая, что и величина и движение и время состоят из неделимых частиц, они (эпикурейцы) утверждают также, что движущееся тело движется на всем протяжении величины, состоящей из неделимых частиц, а на каждой из входящих в нее неделимых частиц — движения нет, а есть только результат движения (ой x&vefcoct, akka хехь^таь)». Только Симпликий и Фемистий могли думать, что Аристотель сам придумал эту «жалкую»» теорию лишь для того, чтобы затем (VI, 1 и след.) блестяще ее опровергнуть, и что, несмотря на это, впоследствии (как раз, как предсказал Аристотель!) «жалкий»» Эпикур снова выдумал и опубликовал эгу теорию (41). Арним, специально изучавший математический атомизм Эпикура и ошибочно видящий в этом атомизме собственное изобретение Эпикура (42), в данном случае не стоит на такой точке зрения, так как теорию движения, весьма сходную с теорией Эпикура, он нашел уже у принадлежав- шего к мегарской школе современника Аристотеля Диодора Крона (43) где мы встречаем и все характернейшие термины Эпикура: «наи- меньшие тела, не имеющие частей»» (=>a/iG-7 xai ajxspT) абрата) и «движения нет, но налицо результат движения*» (ой xiveTrai, aX>a xexiv7]Tat). Поэтому Арним считает, что то учение, с которым поле- мизирует Аристотель, есть изобретение предшественника скептиков Диодора: «Эпикур перелицевал скептический выпад мегарца, придав ему догматический вид». Но это, несомненно, насилие над Аристотелем. Аристотель в своих произведениях ни разу не упоминает Диодора Крона; на- против, в книге VI своей «Физики», там, где он полемизирует с атомистической концепцией пространства, он утверждает, что эта концепция составляет часть «той же теории»» (той айтой лбуои), что и атомизм пространства; это выражение 6 айтб; Хбуо; служит
104 у него и у его ученика ФеоФраста (если последний действительно автор сочинения о неделимых линиях) как бы terminus technicus для обозначения атомизма в широком смысле — от Демокрита до Платона и Ксенократа. Физика, VI, 231 b 17: «(все это) относится к одной и той же теории (той 3’аитой ^буои)— составлять величину, время и движение из неделимых (частиц)»» (44). Здесь Аристотель не мог иметь в виду Диодора. Кого он имеет в виду, кажется, можно догадаться на основании его же замечания в сочинении «О небе», Ш, 4, р. 303 а, 3 и след: «Но и в теориях некоторых других, как, например, Левкиппа и Демокрита Абдерского, есть неувязки: они утверждают, что первовеличины по числу бесконечны, апо величине неделимы... кроме того, те, которые утверждают, что существуют неделимые тела, неизбежно вступают в противо- речие с математическими науками и считают несуществую- щим многое очевидное и явное для наших чувств, о чем сказано уже выше, — там, где говорилось о времени и движении» (45). Итак, Демокрит считал несуществующим многое очевидное и явное для наших чувств из области времени и движения, о чем говорил уже Аристотель. Просматривая сочинения Аристотеля, мы видим, что речь может итти только о гл. 1—3 и 10 книги VI «Физики», так как в гл. 6—11 книги IV ни о каком атомизме нет речи. То «явное и очевидное для наших чувств» из области времени и движения, о чем Аристотель говорит в сочинении «О небе» и что Демокрит считал несуществующим, может быть только непрерывность движения и времени. Значит, б айтб; Хбуо; в книге VI есть учение великого Демокрита, а никак не малоизвестного Диодора Крона. Впрочем, то же выражение 6 аътбс >буо; мы встречаем и в только что упомянутой книге III сочинения «О небе» (1,299 а 6): «К одной и той же теории (той айтой лбуои) относится составлять тела из плоскостей, плоскости из линий, линии из точек (4в)». Здесь речь идет, очевидно, об атомизме. В трактате «О неделимых линиях» (970 b 5) мы читаем: «Время и линия окажутся разделенными одинаковым образом... Как ска- зано, это относится к одной и той же теории (той айтой ^буои) — составлять все это (т. е. величины и время) из неделимых частиц (а|Л£рт?) (47)». «Как известно, это место направлено не против Диодора Крона, а против Ксенократа, атомиста платоновского толка.
105 Там же, 971 а 16: «Но, повидимому, время состоит из «данных моментов» (ел той vuv); утверждение и относительно того и относи- тельно другого принадлежат к одной и той же теории (той айтой 7оуои). Эти свидельства я дополню еще несколькими местами, где «дан- ный момент» (то wv) рассматривав гея как атом времени. «О небе», III, I, р. 300 а 14: „«Данный момент» это атом, подобно тому, как точка— атом линии“. «О неделимых линиях», р. 971 в 3: „Итак, линия не со- стоит из точек, как и время не состоит из «данных моментов» Плутарх так же, как известно, не был ни мегариком ни эпикурей- цем; если он в противоположность стоикам проповедует атомистиче- скую концепцию времени («вот в какое положение попадают стоики, не допускающие существования „минимального времени" и не желающие признать, что „данный момент" не имеет частей (4в)»), то это, несомненно, старая академическая традиция. Самое обоснова- ние этой концепции у Плутарха производит впечатление как бы пересказа Демокритова обоснования атомистической концепции про- странства: «если «данный момент» — не (минимальное) время а (только) граница (между двумя отрезками) времени (стоическая точка зрения. С. Л.) и если любая частица времени такая же, как «данный момент», то окажется, что время как целое не имеет ни- каких частей, а распадется все целиком на границы, касания (49) и направления». Ср. выше у Демокрита, стр. 59, § 2,2: «Но если не будет ни тела ни величины, а только „граница при делении"... то не получится... вовсе ничего... и целое — не что иное, как мираж». Все эти места не имеют ничего общего с Диодором, не упо- минаемым ни разу у Аристотеля! Они имеют своим источником единую атомистическую теорию, продолжавшую существовать в двух разветвлениях: «исходящих из атомистической гипотезы» (oi та атор.а vzotixHvtcc), т е. демокритовцев, и «исходящих из гипотезы о плоскостях» (oi та Етптсе^а йтготьЗеуте»;), т. е. платоников. Ксенократ не мог заимствовать эту теорию у Диодора, не говоря уже о том, что перелицовка скептического парадокса в серьезную цоложительную теорию, перелицовка, при которой болтовня пустого спорщика становится гениальной научной систе- мой, сама по себе весьма мало вероятна. Вдобавок Эпикур ни в каком отношении не был последователем мегарцев; он только защищал атомистическую догму от нападений, а вероятно, и от искажений (ведь свои «наименьшие частицы», Е^Ха/ктта, Диодор
106 уже во всяком случае заимствовал у Демокрита); Эпикур даже написал особое произведение «Против мегариков» (тгрб? той$ Меуаросои»;). И в этом случае гораздо правдоподобнее допу- щение, что Эпикур следовал своему постоянному руководителю Демокриту, чем домысел, будто он заимствует свои теории у Диодора. В пользу такого взгляда говорит и Демокритово учение о сущ- ности времени. У Секста читаем: «Как кажется, к естествоиспыта- телям школ Эпикура и Демокрита восходит следующая характери- стика времени: время есть обман чувств, предста- вляющийся в виде дней и ночей» (so). Поскольку речь идет о Демокрите, нет никакого основания сомневаться в правиль- ности этого сообщения, тем более, что последователь Демокрита (si} Антифонт говорит почти то же самое: «Время это примышление или мера, а не вещь в себе». Что же касается Эпикура, то он обычно выражался по этому вопросу иначе. Он не говорил, что время обман чувств (-раутаар.х) или примышление (уст^я), а употреблял более научный термин «свой- ство свойств»: движение есть «свойство» тела; время есть «свойство» движения. Он говорил: «(Время — это) свойство свойств, связанное с днями и ночами» (52); «с днями и ночами мы связываем... не- которое специфическое свойство» (ss). Эти выражения, правда, очень близки к цитированному выше; тем не менее, они звучат скорее как по 1емика с ним, чем как другая его редакция. Поэтому проще вс< го считать, что Секст изречение Демокрита приписал заодно и его последователю Эпикуру, но в виду сомнительности такого приема прибавил еще слова: «Как кажется». Против этого, однако, как будто говорит опубликованный Кренертом (Cronert) геркуланский свиток № 1413, содержащий сочинение, восходящее к древнейшему периоду эпикуреизма и по его мнению «без сомнения являющееся трудом самого основателя этой школы». Не может быть сомнения^ несмотря на Фрагментарность отрывка, что здесь время определялось, как у Демокрита и АнтиФонта; мы встречаем здесь характерные выражения, как то: «Фантазия дней и ночей» ((pavrasta тсЗу трлроу xa'iTtov vujctwv), «МЫС1ИМ» (vooupsv), «измерительное» ([летртопхбу) (54). Кренерт делает отскиа вывод: «Эпикур как в других вопросах, так и в определении времени в более позднее время усовершенствовал учение Демокрита; поэтому папирус должен принадлежать к ран- ним произведениям Эпикура». Но, с другой стороны, это произведение, как констатирует Кренерт, имеет Форму диалога; поэтому лицом,
107 в уста которого в папирусе вложены интересующие нас слова, мог быть не Эпикур, а Демокрит. Но если бы даже это был сам Эпикур, слова сраутаспос, <р£у-а<т[ла уоу^лзс, несомненно, имели у него совершенно другой смысл, чем у Демокрита. Он говорит: «Однако... и окраска... и все прочее, что считается как бы свойством тела... не следует считать, что этого совершенно не существует... но следует полагать, что тело в целом от всех этих свойств, взятых вместе, приобретает свою вечную при- роду» (55). Здесь Эпикур, несомненно, полемизирует с Демокритом (бс), который все «свойствам (аир-Р^хот*) вообще, а следовательно, и время (см. гёркуланский папирус, где время характеризуется, как <уи[лр£р-у)х6с) трактовал как обман чувств (vopxp), как нечто, вовсе не существующее (6Xw; оих e’tatv): «одни совершенно игнорируют данные чувственного опыта, как Демокритова школа», — говорит Секст» (57). Если же в мире «законнорожденной мысли» времени не суще- ствует вовсе, то там речь может итти только об отдельных, суще- ствующих рядом друг с другом «данных моментах» (та vuv). Поэтому в том мире не может быть речи о процессе движения (xtvelc^at), а только о готовом результате движения (xextvnadat): это—единственная возможность, считая в противополож- ность элейцам реальностью движение и изменение, в то же время отрицать существование времени. Таким образом мы имеем более, чем достаточно, оснований для того, чтобы видеть источник Эпикура не в Диодоре, а в Демокрите. Теперь перейдем к упомянутым выше возражениям Аристотеля против атомистической концепции движения и времени. Если ему кажется нелепостью, чтобы тело «прошло путь, которого он никогда не проходило» (pspaStxevat [лт^етсоте (3a8t£ov) (ьв), т. е. чтобы был на лицо готовый результат действия, когда не было самого процесса действия, то это показывает только, что он не мог конгениально понять атомистический взгляд, иллюстрированный нами на примере кинофильма (59). Далее, Аристотель блестяще доказывает (со), что время не может состоять из неделимых частиц, поскольку до- казано, что пространство не состоит из неделимых частиц. И этот довод не мог произвести никакого впечатления на атомистов, поскольку они отказывались принимать предпосылку Аристотеля.
108 Серьезнее всего третье доказательство (ei). Его можно кратко передать таким образом. С атомистической точки зрения максималь- ной скоростью необходимо считать такую, при которой тело на каждом неделимом пространства пребывает только одно неделимое времени, так как меньшего времени, чем одно неделимое, разузиеется, существовать не может. Если другое тело движется со скоростью, равной 2/3 скорости этого тела, то оно в 3 неделимых времени пройдет 2 неделимых пути, а, следовательно, на каждом неделимом пути оно будет пребывать 1]/2 неделимых времени; итак, неделимое времени должно делиться пополам, что абсурдно. Симпликий сообщает нам, что Эпикур, чтобы лишить эти возражения их убедительности, ссылался на свою теорию, по которой все неделимые движутся с одинаковой быстротой, «так как в противоположном случае неделимые, будучи разделенными, пере- стали бы быть неделимыми» (оз). Демокриту, вероятно, вовсе не нужно было ломать голову над этими вопросами, так как по его теории время было только обманом чувств, не имеющим смысла в мире законнорожденной мысли; в мире же незаконнорожденной мысли не существует неделимых, так что в нем нет и никакого противоречия. Как при таких предпосылках Демокрит заполнял пропасть между изменениями в этом и том мире, мы не знаем, и у нас нет никаких данных, чтобы судить об этом (вз). 3. Атомистическая «теория пределов» Борьба с атомистической теорией движения и времени была, однако, для официальной математики древности делом второстепен- ным. Важнее всего было нанести удар основному ядру учения — ато- мистической концепции пространства. Для этой цели противники атомизма выставляли положение: если существуют неделимые, то число их в любой величине (или в квадрате этой величины) должно быть одновременно четным и нечетным. Так как это невозможно, то, очевидно, никаких неделимых существовать не может. Казалось, что невозможность математического атомизма доказана вполне строго путем reductio ad absur- dum. Это положение доказывалось, двумя путями: 1) исходя из теорем, по которым всякую прямую и всякую окружность можно разделить на две равные части, и 2) исходя из теоремы, по которой диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.
109 Первое доказательство сохранилось в отрывке из знаменитого античного историка геометрии Евдема (в<); все по- добные места у толкователей Аристотеля и у Прокла (es) имеют источником это место. Здесь мы читаем: «Если всякая величина состоит из неделимых (ajiepyj), то должна существовать линия, ко- торая на одну точку (т. е. на одно неделимое! С. Л.) больше, чем другая. Если это так, то либо не всякая прямая разделится пополам, либо, если разделится всякая, то должна разделиться и та, которая состоит из нечетного числа неделимых. Но тогда разделится и точка (т. е. неделимое). Кроме того, если существует линия, которая больше другой линии на точку, то существует и окружность, которая больше другой окружности на точку, так что в одной окружности будет четное количество точек, в другой — нечетное. А окружность, состоящую из нечетного количества точек, мы либо не сможем раз- делить на две полуокружности, либо поделим пополам точку». Любопытно, что здесь речь идет то о неделимых (а^ерт?), то о точках GTjtiEla). Это можно было бы объяснить тем, что Евдем спорит только с «так называемыми» пифагорейцами, или тем, что это доказательство заимствовано имуэлейцев, полемизировавших с до-демокритовским первобытным атомизмом; но нигде в наших известиях об элейцах мы ничего не слышим о таких возражениях; вдобавок слово стьурьаь (точки) здесь употреблено вперемежку с чисто демокритовским термином «неделимые» (я[л=р7)). Обратим внимание и на то, что тот же Евдем, пересказывая учение АнтиФонта, восходящее к Демокриту, так же называет «те частицы, из которых состоит как прямая, так и круг», точками (ниже, стр. 150). Несомненно, Евдем имеет в виду в первую голову ато- мистов: в самом деле неделимые Демокрита были, как мы видели,и по происхождению и по Функ- циям точками. Второе доказательство. К тому же результату можно притти, как свидетельствует Прокл (ев), исходя из несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. В самом деле, если и сторона и диагональ состоят из неделимых частиц, то они имеют общий делитель — такую неделимую частицу — и, следовательно, соизмери- мы. В этом случае число неделимых в квадрате диагонали должно быть в одно и то же время и четным и нечетным. Ари- стотель: «Диагональ несоизмерима со стороной квадрата, так как если бы она была соизмерима, то нечетное число было бы равно четному» (в?).
по В самом деле, если всякая линия состоит из неделимых частиц, то должна существовать диагональ, которая больше некоторой другой диагонали на одно неделимое. Поэтому должны существовать диагонали, которые сами, а следовательно, и их квадраты, состоят из нечетного числа неделимых. Пусть такая диагональ равна р, а сторона квадрата равна q. Тогда по теореме Пифагора р2 = 2 #2, и, следовательно, р2 — четное число. Итак, о*но в одно и то же время и четное и нечетное (ев), что невозможно. Следовало бы ожидать, что в приписываемом Аристотелю трактате «О неделимых линиях», вероятно, написанном ФеоФрастом и направленном против Ксенократа (вэ), можно найти и ряд других доказательств невозможности атомистической концепции простран- ства. Однако это не так: кроме двух только что приведенных доказательств, все остальные, содержащиеся в этом сочинении, игнорируют предпосылку атомизма — несходство между вещами чувственного и недоступного чувствам мира, невозможность безого- ворочно переносить законы чувственного мира в мир «законно- рожденной» мысли, т. е. конструировать Фигуры и линии там, где нет никаких неделимых (70), при этом игнорируется атомистическое представление о линии и неприменимость понятий «непрерывность» (то (juve^e;) и «касание» (iq a*p>i) к явлениям недоступного чувствам мира (выше,стр. 95 и сл.). Поэтому мы вправе полагать, что в древ- ности кроме этих двух доводов вообще не существовало каких-либо доказательств невозможности математического атомизма, с которыми атомистами приходилось бы серьезно считаться. Любопытно, что почти все те доказательства, которые приводились атомистами для обоснования их теории, их противниками приводились как раз для доказательства невозможности атомизма (см., например выше, стр. 101). К сожалению, мы незнаем, приходилось ли уже самому Демокриту считаться с этими возражениями. Так как несоизмеримость диаго- нали квадрата со стороной была доказана уже до 410 г., т. е. при жизни Демокрита, и так как теорема, по которой каждая линия может быть разделена пополам, должна быть еще древнее, то трудно себе представить, чтобы Демокрит при разработке своей атомисти- ческой теории не посчитался так или иначе с этими Фактами, противоречащими на первый взгляд его учению. В самом деле, из Диогена Лаэрция мы узнаем, что одно из сочинений Демокрита носило название «О непропорциональных линиях и атомах» (кер aXoycov ypap.[xc5v xai vacTeSv). Фохт (указ, соч., стр. 147) справед-
Ill ливо указал, что «это сочинение... рассматривало те выводы к которым приводит атомисгичсское мировоззрение в учении об отношении между линиями...» В этом сочинении Демокрит должен был так или иначе посчитаться с Фактом иррациональности не- зависимо от того, что означает слово аХоуо;, переведенное нами словом «непропорциональный». Латинское слово irrationalis есть точный перевод греческого акоуо; (греческое >буо; = латинскому ratio = русскому «отношение»), и начиная с IV в., слово имеет смысл «иррациональный». Возможно, что оно имело этот смысл уже в V в.; возможно, что, как думает Фохт, оно у Демокрита означало «не стоящий ни в каком отношении» и было ироническим выраже- нием, направленным против допускающих деление до бесконечности. Это предположение находит подтверждение в одном месте трактата «О неделимых линиях», текст которого испорчен, но после очень убедительных поправок, внесенных Виламовицем и Евой Закс {указ, соч., 135, 137) гласит так: «Если же мера, которой измеряется вполне определенная (по длине) линия, делима до бесконечности, то эта линия окажется не рациональной и не иррациональной» (71), {здесь, разумеется, излагается не собственная точка зрения автора трактата, а взгляд его противников — атомистов). То, что благодаря этим поправкам прощупан истинный смысл выражения, видно как, я убежден, из Плутарха (72), стоявшего также на точке зрения (академического) атомизма и полемизировавшего со сторонниками деления до бесконечности (со стоиками). Он говорит: «Если деление двух величин на части может продолжаться до бесконечности, то нет основания считать одну величину большей, чем другая, а самая природа (т. е. понятие) неравенства уничтожается». Другими словами: поскольку каждая из двух рассматриваемых величин содержит беско- нечно большое число неделимых, эти две (а, следовательно, любые две) величины относятся друг к другу, как со : оо , что при абсолютном понимании бесконечно большого считалось равным 1, т. е. при допу- щении бесконечной делимости две любые величины равны друг другу. Впрочем, еще более вероятно, что аХоуо; у Демокрита озна- чало: «несоизмеримый в чувственном мире», как поверхность несо- измерима с объемом и т. д. (выше, стр. 73). Но хотя до нас не сохранились те ответы, которые давал Демокрит на попытки доказать невозможность атомизма, мы имеем достаточно свидетельств для востановления позднейшей, т. е. поздне- атомистической и эпикурейской защиты этого учения. Надо полагать, что доводы Демокрита были такого же рода.
112 Чтобы понять эти доводы, необходимо не упускать из виду, что для атомиста не существует линии, ширина которой равнялась бы нулю: ширина линии сверхчувственно-мала, но отнюдь не равна нулю. Поэтому для атомиста две разные вещи — начертить прямую, разделенную на две равные части, и в действительности разделить, т. е. разрезать ее другой прямой. С точки зрения атомистов, тео- рема 10 книги! Евклида дает нам только возможность найти середину прямой, но еще не дает возможности ее разделить. В самом деле, как осуществить это деление? Точка, в которой отрезок делится пополам, есть неделимая частица, и поэтому ее невозможно раз- резать пополам: она останется либо на левой воловине отрезка, на АВ, либо на правой, на ВС (ср. стр. 62 и сл. и фиг. 4). Как выра- жается Фемистий, «к какой бы части мы ее ни присоединили, она сделает эту часть больше другой» (?з). Таким образом деление прямой на две не только конгруэнтные (т. е. совпадающие при наложении), но действительно равные части, с точки зрения атомизма сплошь и рядом оказывается невозможным: если на чертеже у Евклида AD = DB, то это про- исходит только потому, что мы точку 2), «общий отрезок» (то xotvoy трУ[да) по эпикурейской терминологии, считаем дважды: один раз как часть отрезка AD, другой — как часть отрезка DB. Конечно, отсюда не следует, что в практической геометрии нельзя поделить прямую пополам: разнице на одно неделимое, ничтожной по сравнению с конечной величиной, мы не должны придавать значения? так как о на не нарушает равенства при наложении (конгруэнции), т. е. равенства в мире чувств. Это доказательство случайно не дошло до нас и восстановлено мною по ссылкам и по аналогичному доказательству для окружности, содержащемуся у Филопона. Так как доказательство этой теоремы у Евклида имеет предпосылкой теорему 1 книги I, то атомисты, считали своей задачей показать, что именно эту теорему 1 (построить на данной прямой равносторонний треугольник) нельзя считать доказанной. Такое доказательство эпикурейца Зенона (не смешивать с элейцем Зеноном и стоиком Зеноном!) сохранилось у Прокла, в комментарии к указанному месту Евклида (?<). Зенон обращает внимание на то, что вся официальная геометрия, не оговаривая этого, принимает без доказательства предпосылку, по которой точки (в част- ности— точки пересечения) не имеют никакой величины, или, как он выражается, «две прямые не имеют общего отрезка». «Без
из такой предпосылки невозможно построить равноосторонний тре- угольник. Пусть дана прямая АВ, на которой требуется построить равносторонний треугольник (см. фиг. 10). Опишем два круга и из их точки пересечения проведем две прямые, ГЕА и ГЕВ, имеющие «общий отрезок» (zotvov ГЕ. Тогда эти прямые, если считать от точки пересечения, будут равны прямой АВ; но стороны треуголь- ника ЕА и ЕВ не будут равны АВ, но будут обе меньше, чем АВ. Если эта теорема неверна, то и все выводы отсюда оказываются неверными. Итак, — говорит Зенон, — если даже принять существую- щие основные положения геометрии, отсюда не следует еще даль- нейшее, если только не сделать до- полнительной предпосылки, что ни у------------------------ окружности, ни прямые не имеют у //Е\\ \ «общих отрезков» (75). / I/ \\ \ Теорема, согласно которой диа- ! I метр делит круг пополам, дана \ \ / / у Евклида (I, стр. 17) без доказа- \ у у тельства, как определение, но Прокл --------------- (р. 157, 17) приводит доказательство Фиг. ю. этого положения. Атомистическое возражение против этого положения мы находим в античной литературе дважды: у Фемистия в его комментарии к «Физике» Аристотеля (в ироническом тоне) и у эпикурейца Зенона. Фемистий замечает: «Полукруг rfno их учению) не может существовать, так как в зависимости от того, к какой из частей круга диаметр будет отнесен при делении, оАделает соответствующую часть больше (другой) (те)». Эпикуреец Зенон (77), имея, несомненно, в виду доказа- тельство, приводимое впоследствии у Прокла, замечает, что и в этом случае доказательство основано на предпосылке, что две окружности не имеют «общего отрезка». Действительно, только при такой предпосылке мы вынуждены считать, что одна из окружностей либо конгруэнтна другой, либо, не будучи конгруэнтной, падает вне ее, либо внутри. По, говорит Зенон, «ничего не мешает тому, чтобы эти (конгруэнтные) окружности, не совпадая полностью, совпадали бы в какой-нибудь отдельной части». Этими словами Зенон хочет сказать, что под конгруэнтностью в обычном смысле разумеется не только полное совпадение двух окружностей при нало- жении, но и такой случай .(см. фиг. 11), когда две окружности совпа- дают только на сверхчувственно малых участках шт и мп, равных каждый одному неделимому, тогда как остальные точки одной из
114 окружностей лежат несколько выше соответственных точек другой. Как раз такой случай конгруэнтности мы имеем при наложении одного полукруга на другой того же круга. В самом деле, диаметр, если рассматривать его с атомистической точки зрения, не может быть расщеплен по длине на две части, стало быть, он должен остаться при одном из полукругов, который поэтому при нало- жении будет лежать на ширину О1 О2 диаметра выше, чем дру- гой. Между радиусами будет разница максимум на Ог О2— на ши- рину диаметра. Итак, этим путем невозможно доказать, что диаметр делит круг на две равные части. По этому же образцу необходимо толковать и приведенный у Плутарха (?в) парадокс Хрисиппа. Место это на первый взгляд непонятно: «У пирамиды, составленной из треугольников, стороны (этих треугольников), приложенные друг к другу, хотя не равны между собой, но и не выступают на том ребре, благо- даря которому (один треугольник) больше (другого)». Этот вопрос разрешается у Хрисиппа как раз так же, как и следующий непосредственно за ним, т. е. тот знаменитый парадокс Демокрита, о котором мы говорили выше, на стр. 67 и сл. Хрисипп и здесь исходит из специфически стоического допущения, что кроме равного и неравного существует еще третья категория: «не равное и не неравное»; самый этот парадокс составлял у Хрисиппа часть рассуждения, направленного против атомистов и имеющего целью заменить гипотезу неделимых частиц более совершенной по мнению стоиков гипотезой существования величин «не конечных и не бесконечно малых». Ряд мест в реферате Плутарха показывает, что эти геометрические рассуждения Хрисиппа были полемикой с атоми- стами (вероятно, прежде всего с Эпикуром). В этом убеждают сле- дующие места Плутарха (49): «Они (стоики) не оставляют в природе тел ни острия, ни крайних точек, в которых кончается величина тела... когда же их исследование доходит до последних (т. е. неделимых, С. Л.) частиц... тогда они выставляют Демокрита невеждой» и т. д... «как же, после этого, они cmqiot ругать тех, кто постулирует пустоту и некоторые неделимые частицы (а[лерт?)» и т. д. Очевидно, Хрисипп подвергает .рассмотрению положения и спорные места атомистического учения одно за другим и испра- вляет данные атомистами решения в духе своей теории. Поэтому
115 мы вправе предположить, что и парадокс с треугольной пирамидой заимствован у атомистов. Здесь делается допущение, что стороны двух треугольников, образующих поверхность пирамиды, совпадаю- щие друг с другом при образовании пирамиды,, хотя и конгруэнтны, но не равны, Это стано- вится понятным только в том случае, если между конгруэнтностью и равенством делается различие и если конгруэнтность рассматри- т вается как равенство в чувственном мире. Ч го же касается равенства в недоступном чувствам мире, то решение найти нетрудно, так как этот Фиг. 11. Две конгруэнт- ные полуокружности, образовавшиеся от пере- гиба окружности по диаметру. парадокс (см. фиг. 12) — в полном смысле слова планиметрический дубликат разобранного на- ми парадокса Демокрита о конусе, следующего в тексте Плутарха непосредственно за ним. АВ, линия пересечения двух граней пира- миды, с точки зрения атомистов не может принадлежать в одно и то же время треугольнику АВГ и треугольнику АВА и после их отделения друг от друга; пусть она останется, например, с тре- угольником АВГ. Тогда треугольник с вершиной Д будет иметь основание оф, несколько меньшее, чем АВ. Тем не менее, если мы сложим пирамиду снова, концы прямой АВ не будут торчать по обе стороны треугольника офД, имеющего основанием оф. Та Фиг. 12. Парадокс с пира- мидой. же картина и тот же ответ, что и в сте- реометрическом парадоксе Демокрита. Познакомившись с методом атомисти- ческих доказательств, мы без труда найдем ответ и на второе доказательство невоз- можности атомизма, основанное ва ирра- циональности диагонали квадрата, так как иррациональность диагонали квадрата основана в свою очередь на теореме Пифа- гора. Возьмем, напр., обычное школьное доказательство теоремы Пифагора (см. фиг. 13). Если гипотенуза состоит из нечет- ного числа неделимых, то она имеет среднее неделимое не относящееся ни к правой, ни к левой половине. Доказательство же ведется так: площ. Л CZZE= площ. AHKL (точнее площ. CBFG = площ. KLBI (точнее kJ^Bty откуда площ. АНKL -+- площ. 2ГЛВ7 = площ. ЛНВ7=площ. ACDE-+-
116 9 ч-площ. CBFG или, в данном случае, р2 неделимых равно 2#2 не- делимых. Но прямую KL, имеющую с точки зрения атомизма ши- рину в 1 неделимое и, следовательно, недоступную чувствам чрез- вычайно малую площадь k1l1ksl2=p • 1 =р неделимых), мы считаем два раза: в площади A HKL и в площади KLBI. Поэтому сумма пло- щадей AHKL -+- КНВ1 (вернее AHkJ^ -+- к^ВГ) в действительности равна не р2, а р2—р, где р — величина чрезвычайно малая по сравнению с р2, почему ею и можно пренебречь в мире чувств. Но если так, то выражение 2#2=р2—рили: „четное число = нечетное число — нечетное число" не содержит никакого абсурда, а наоборот, несомненную истину, и, следовательно, таким путем несостоятельность математического атомизма не мо жет быть доказана. Ясно, что эту аргументацию mutatis mutandis можно применить и к лю- бому другому доказательству теоремы Пифагора. Но еще интереснее исследовать с атомистической точки зрения вопрос о площади треугольника с основанием, содержащим нечет- ное число а неделимых. Возьмем для простоты случай, когда высота равна основанию. Конечно, Демокрит прекрасно знал как самую Формулу для площади треугольника, так и обычное доказательство ее, известное уже древнейшим египтянам и вавилонянам; по этой Формуле площадь этого треугольника, выраженная в неделимых, равна, т. е. при а нечетном — дробному числу неделимых. Конечно, Демокриту нетрудно было тем же методом xowov тр^а, который только что был показан на теореме Пифагора, доказать, а2 a2-t-а что в сверхчувственном мире эта площадь не , а —5? т. е. число Л л всегда целое. Но любопытно, что как раз к такой же Формуле для «истинной» площади треугольника Демокрит должен был притти и другим путем. Площадь треугольника он раскладывал, как мы знаем, на ряд ниток — материальных линий, параллельных основанию. Начиная рассмотрение площади суммы таких ниток с вершины, с минимальной величины а, он не мог не заметить, что величинам а= 1,2,3,4... соответствуют величины площади 1, 3, 6, 10..., т. е. пифагорей- ские треугольные числа или число камней в каменной кладке (выше, стр. 25). Сравнивая с получающимися по обычной Формуле площа- дями (*/2, 2, 472, 8...), нетрудно было убедиться, что истин- ое число неделимых больше получающегося по обычной Формуле
117 * ♦*’•***♦ на т. е. равно — Формула, как мы видел и (выше, стр. 28), хорошо известная в греческом землемерии. Но нужно было перекинуть мост между этой геометрией мира «законнорожденной» мысли и геометрией мира чувств, кото- рую Демокрит не только не отрицал, но и тщательно разраба- тывал. Мы знаем, что Демокрит отказался от гипотезы непро- тяженных точек; он не мог поэтому считать д + 1 неделимое равным а неделимым на том основании, что 1 неделимое, взятое отдельно, равно нулю. Поэтому он логически при- нужден был притти к не- сколько иному выводу. При делении прямой, со-* стоящей из нечетного числа неделимых, пополам, полу- чаем в одной части п неде- лимых, в другой п ч- 1. Между тем, в мире чувств всякую прямую можно раз- делить на две части. Зна- Фиг. 13. Теорема Пифагора. чит, при сложении конечной величины с недоступной чув- ствам чрезвычайно малой, «линии — с точкой», по- следней следует в мире чувств пренебречь. Площадь треугольника с высотой, равной основанию (выра- женная в неделимых) в мире «законнорожденной» мысли* равна а2 а & —2—, в мире чувств равна—. Точно так же, как мы видели, если в каж- дом катете q неделимых, а в гипотенузе нечетное число р, то в мире «законнорожденной» мысли 2#2=jp2—р; в мире чувств 2#2=р2. Значит, при сложении квадрата числа недо- ступных чувствам чрезвычайно малых величин с первой степенью этого числа, «площади с линией», последней следуете мире чувств пренебречь. Можно даже сделать еще одно предположение: разложение объема пирамиды на слои, параллельные основанию, характерно, как мы видели выше (стр. 67 и сл.), именно для Демокрита, Поэтому Юнге не без основания полагает (во), что именно Демокрит
118 создал впервые по образцу многоугольных, «пифагорейские» много- гранные числа; соответствующие Формулы, он мог, как мы уже говорили, взять у вавилонян. Так, ему должна была быть известна приведенная выше вавилонская Формула для четырехугольно- пирамидального числа (см. выше стр. 27), которая, как я пока- зываю в особом исследовании (цитированном в прим. 8 к главе 1)? при переводе на геометрический язык звучит так: «Объем трех ступенчатых четырехугольных пирамид, изображающих четырех- угольно-пирамидальные числа, равен: 1) объему параллелепипеда, у которого два измерения равны стороне основания этих пирами- дальных чисел, а третье на единицу больше ее, плюс еще 2) тре- угольному числу с основанием, равным стороне основания пира- мидальных чисел». Сопоставив это положение с хорошо известным ему Фактом, что объем куба равен объему трех пирамид с осно- ванием и высотой равным стороне куба и рассматривая пирамиды, как ступенчатые пирамиды с недоступными чувствам чрезвычайно малыми ступеньками, он мог убедиться, что, с одной стороны, когда эти ступеньки чрезвычайно малы, «треугольным числом»» можно пренебречь по сравнению с «пирамидальным», т. е. «площадью» при сложении ее с «объемом», а с другой стороны, что в мире «законно- рожденной» мысли параллелепипед, у которого одно измерение на одно неделимое больше других, можно считать кубом, т. е., что одним неделимым в мире «законнорожденной» мысли можно прене- бречь при сложении его с конечным числом. Как бы то ни было, атомистическая концепция, с одной стороны и в то же время безоговорочное признание и разработка имманент- ной геометрии, — с другой, делали совершенно необходимой Форму- лировку ряда положений о том, в каких случаях можно пренебречь чрезвычайно малой прибавкой. Итак, атомисты, отнюдь не отрицавшие применимости поло- жений официальной геометрии в мире чувств, отрицали верность основных геометрических положений в мире «законнорожденной» мысли. Их основные предпосылки, поскольку мы еще в состоянии судить, отличались последовательностью, логичностью и внутренней стройностью (хотя, повидимому, античным атомистам не удалось построить на них систему, лишенную противоречий в частно- стях), и все попытки доказать математическую несостоятельность этих предпосылок в древности оказались покушениями с негод- ными средствами. Конечно, работу Демокрита продолжали его последователи, но основные принципы и положения были, не-
119 сомненно, заложены уже Демокритом, и уже Демокриту должна была принадлежать своеобразная примитивная ««теория пределов», дававшая возможность перебросить мост между Формулами недо- ступного чувствам и Формулами чувственного мира. 4. Два типа неделимых Не подлежит никакому сомнению, что Демокрит, говоря об «атомах и пустоте» (остова xai xevov), имел в виду прежде всего не математическую неделимость этих частиц, не отсутствие частей в них (то apispsc;), а их исключительную непроницаемость и твер- дость (шатбтт^, атеррбтэд) вследствие полного отсутствия пустоты внутри них (то тгаутэ] aptoipou; elvat тои xevou). В целом ряде сви- детельств, приводимых в примечании, атомам Левкиппа и Демокрита приписывается не то ар.ере$, а атеррбтт); и уастбт7)<; (вг). Так как мы выше убедились, что Демокрит исходил в своих математических рассуждениях из мельчайших неделимых, не имею- щих частей, то остается только следующая альтернатива: 1. Либо Демокрит некритическим образом смешивал оба типа неделимых, несмотря на противоречия, при этом получающиеся; 2. Либо он принимал два различных типа неделимых — тогда нам придется констатировать поразительное непонимание его учения во всех наших источниках (т. е. прежде всего у Аристотеля), так как они, за редкими исключениями, говорят только об одном типе неделимых у Демокрита. Арним, автор замечательного исследования о двух типах неде- лимых у Эпикура, считает предположение, что Физические атомы Демокрита были в то же время и математически неделимыми, невозможным. В самом деле, он прав, указывая на то, что Демо- крит допускал существование даже гиганских атомов, которые могли бы быть восприняты чувствами (он помещал их, повидимому, в других космосах). Так Дионисий сообщал: (вз) «Демокрит полагал что существуют атомы и гигантской величины». То же находим у Аэция (si): «Демокрит (утверждает)... что может существовать атом величиной с (наш) мир». Поэтому ясно, что следующее место Эпикура (es) есть полемика с Демокритом: «Не следует полагать, что атомы могут быть любой величины». Если это так, то абсолютно невозможно, чтобы Демокрит считал свой- ством этих же атомов отсутствие частей: не может не иметь частей воспринимаемое глазом, а тем более огромное тело (другое дело
120 неделимость в Физическом смысле, обусловленная чрезвычайной твердостью; такого рода неделимость не стоит ни в какой связи с величиной). Если это так, то Физические атомы Демокрита не могли быть в то же время неделимыми в математическом смысле. С другой стороны, как мы видели, ajZspvJ, неделимые в математи- ческом смысле, были одной из характерных основных черт учения Демокрита. Отсюда единственный вывод: Демокрит принимал существование двух различных типов атомов. Если бы это было так, то это означало бы, что Аристотель не понял учения Демокрита; такое допущение мы вправе делать только в случае очень уже убедительных доказательств. Приведенные выше косвенные доводы для этого недостаточны. К счастью, кое- где еще сохранились и прямые свидетельства. Самое важное свидетельство мы находим у Александра из Афро- дисии. Определив атомы Левкивпа и Демокрита, как «неделимые вследствие непроницаемости и отсутствия пустоты в них» (ев), он про- должает страницей ниже: «(Аристотель) говорит о Левкиппе и Демо- крите ... ведь неделимые (i[X£p7j), которые мы мыслим в атомах и которые являются их частями, не имеют тяжести» (в?). Согласно этому свидетельству Демокрит проводил резкое различие между £то[ла и арлрт?. Испорченное место в комментарии Фемистия само по себе смысла не дает, но его весьма близкое сходство со свидетельством Але- ксандра дает основание думать, что оба места по-разному пере- сказывают один и тот же источник: «Те, которые считают (первотела) неделимыми, не утвер- ждают, что они очень малы, так как то, что в них находится, может быть мысленно (existimatione == bnvota = потенциально) разделено на семь (??) частей, но они говорят, что (факти- чески) оно не делится на более мелкие части» (ев). Впрочем, и Симпликий, самый толковый и начитанный из всех античных комментаторов, обогативший нас большей частью нашей информации о досократовских Философах, по существу, говорит о Демокрите то же самое: достаточно сравнить между собой его два замечания по этому вопросу в комментарии к «Физике» Аристо- теля. В одном он говорит: «... неделимое... в том смысле, что оно имеет части и вели- чину, но не подвержено действию внешных сил вследствие
121 непроницаемости и твердости, как каждый из атомов Демо- крита». В другом: «Левкипп и Демокрит... считают причиной того, что пер- вотела неделимы, не только неподверженность действию внеш- них сил, но и их малость и отсутствие частей» (вэ). В первом из этих свидетельств Симпликий приписывает атоми- стам учение об атомах (irouoi), имеющих части (р.брьа e/tiv), во втором он приписывает им же учение о первотелах (тсрсЗта аббата), не имеющих частей (то ip,sp£$). Так как оба места принадлежат одному и тому же автору, то ясно, что здесь Симпликий имеет в виду те два различных типа неделимых, о которых говорится в приведенных выше свидетельствах Александра и Фемистия. Правда, с другой сторонь^ необходимо принять во внимание и то, что Симпликий непосредственно вслед за первым из приведен- ных нами мест делает замечание: «Ведь и атом непрерывен и делим до бесконечности и вследствие этого потенциально множестве- нен» (эо). Это стоит в прямом противоречии не только со всем тем, что мы знаем о Демокрите, но и с двумя свидетельствами самого Симпликия, из коих одно дано только что в тексте, а другое указано в примечании 89: согласно обоим этим свидетельствам атомисты признавали а[л=р^. Если мы еще сопоставим с этим свидетельства Александра и Фемистия, то мы вынуждены будем дать решительное предпочтение тем свидетельствам того же Симпликия, где он при- писывает Демокриту математический атомизм. Противоречие это объясняется, скорее всего тем, что Симпликий как и сами Аристотель, не имел никакого представления о двух типах неделимых. Места, в которых говорится о Демокритовых ajxEpzi, он списал механически из своих источников. Как свидетель- ствует Аристотель, Демокрит выражался так: «Бесконечность пред- ставляет собою один континуум, образованный соприкасанием (отдельных частиц между собою) (и)». При этом, как мы видели выше (стр. 95), выражения оссртб («касание») и («континуум») имели у него смысл, чрезвычайно далекий от обычного, и характе- ризовали ряд тел, из которых соседние находятся близко, на незна- чительном расстоянии друг от друга, но не соприкасаются в обыч- ном смысле. Симпликйй, не разбиравшийся во всех этих тонкостях, должен был понять это слово в обычном смысле, а по определению Аристотеля (оз), данному как-раз в том месте, которое комментирует здесь Симпликий, «континуум делим до бесконечности». В виду
122 большого внешнего сходства между этим выражением Аристотеля и выражением Демокрита, Симпликий, естественно, должен был полагать, что взгляд Аристотеля разделяется и Демокритом, откуда и возник этот странный комментарий. Во всяком случае нельзя вместе с Апельтом (вз), руководясь одним только этим свидетель- ством, пренебречь всеми остальными и утверждать, что Демокрит со своим атомистическим учением не покушался на права матема- тики и «в геометрических вопросах имел вполне правильный взгляд на непрерывное» (94). Я не говорю уже о том, что по своей грамма- тической структуре (еггос xai аитчп) Фраза, заключающая это свиде- тельство, скорее дана как умозаключение самого Симпликия, чем как продолжение пересказа учения Демокрита. Только в том случае, если мы примем, что атомы Демокрита были делимы далее, мы поймем сообщение Аристотеля, согласно которому все геометрические тела, в том числе и G-roi/eia — эле- менты, т. е. атомы — разлагаются на пирамиды. Аристотель гово- рит (95): «Впрочем, даже став на их (Левкиппа и Демокрита) точку зрения, нельзя притти к выводу, что элементов — бесконечное множество, поскольку тела отличаются друг от друга Формой, а все Формы составляются из пирамид». Даже если бы мы допу- стили, что Демокрит считал элементарную пирамиду неделимой и не разлагал ее дальше (что, как мы сейчас увидим, неверно), мы могли бы считать Физические атомы только в том случае математи- чески неделимыми, ajxepzi, если бы все они или вовсе не имели Формы или имели Форму пирамиды. Но, так как нам хорошо засвидетель- ствовано, что атомы Демокрита имели самые различные Формы (например, Симпликий говорит: «Атомы имеют всевозможный вид и всевозможные Формы» (ев), которые, как мы теперь знаем, в свою очередь разлагались на пирамиды), то и остается допустить, что Демокрит считал атоцоь и ajxspij двумя различными типами не- делимых. Еще более знаменательное свидетельство мы находим у Симпли- кия в комментарии к сочинению Аристотеля «О небе» (97). Здесь Симп- ликий вынужден констатировать, что демокритовцы считают перво- тела неделимыми (очевидно — Физически) и в то же время дели- мыми дальше (очевидно — потенциально, математически). Объяснен- ное им место Аристотеля направлено, как он сообщает, заодно (хогш;) и против «тех, которые Формируют первотела из плоскостей», т. е. платоников, и против «тех, которые Формируют первотела, как Демокрит». Но то, что интересующая нас часть имеет в виду
123 прежде всего демокритовцев, видно, как из пояснения: «так как последователи Демокрита считали огонь шарим», так и из выраже- ния «причем пирамиду рассекали плоскостью, параллельной основа- нию» («плоскость» — единственное число в итеративном смысле, так как плоскость здесь — инструмент, которым производят бес- численное множество разрезов) (эв) — то же выражение и в такой же Формулировке мы встретили уже выше в стереометрическом отрывке Демокрита (отр. 155): «если конус рассечется плоскостью параллельно основанию)), тогда как с точки зрения платоников эле- ментарное тело состоит из поверхностей - граней, а не из парал- лельных друг другу и наложенных друг на друга поверхностей. В этом месте читаем: «Они вынуждены считать, что не всякое тело делимо, и вступать в противоречие с математикой... в таком нелепом положении они оказываются, утверждая существование неде- лимых геометрических тел — в противоречии с точнейшими из наук. Если же, чтобы избежать этого, они утверждают, что эти тела делятся (99), что пирамида или шар (ведь огонь по- следователи Демокрита считают шаром) каким-то образом делятся... пирамида — плоскостью, параллель- ной основанию, шар так, что со всех сторон снимается одинаково...» Итак, еще одно свидетельство, из которого видно, что пирамида и шар — два типа атомов (последний — атом огня) — геометрически делились дальше, первая — на ряд наложенных друг на друга пло- скостей, второй — на ряд оболочек, заключенных одна в другую. Как я уже указал, это не есть точка зрения платоников, речь может итти только о демокритовцах. Правда, ни Аристотель, ни его толкователь Симпликий не поняли, что Демокрит говорит о двух типах неделимых; поэтому они вполне последовательны, видя в делимости Физических атомов у Демокрита грубое противоречие (см. прим. 98); однако, самый тот Факт, что Физические атомы делились дальше и притом не любым образом (как было бы, если бы Демокрит стоял на точке зрения деления до бесконечности), а именно тем способом, о кото- ром говорится в стереометрическом отрывке 15Ь Демокрита, они устанавливают с несомненностью. В таком же положении находится и Филопон — единственный из толкователей Аристотеля, которого мы еще не консультировали по вопросу об d[xep7). Он значительно хуже разбирается в философских вопросах, чем его коллега Симпликий, — это видно хотя бы из без-
124 надежной терминологической путаницы, характеризующей его ком- ментарий. Мы уже видели (выше, стр. 65 прим.), что на стр. 175 (по изд. Vitelli) своего комментария к сочинению «О рождении и гибели» (как и на стр. 25,7 своего комментария к «Физике») он придает слову «малость» (<7[Х1хр6т7)(;) неверный с точки зрения принятой тогда тер- минологии смысл, но правильно употребляет выражение «неделимое по природе» (<puG8i aSiaipsTov) в смысле «неделимое потенциально, не имеющее частей (хрхр®;)». В интересующем нас месте он делает обратную ошибку: слово ((неделимый по природе» он понимает в смысле только Физической неделимости, противопоставляя это выражение «отсутствию частей». При таком непонимании основной терминологии Филопон, конечно, не мог проникнуть в сущ- ность атомизма; мы должны быть довольны, если найдем у него какую-либо Фактическую информацию. Филопон глубокомысленно заявляет (юо), что из самого слова «зетовое» следует грамматически, что он должен быть в то же время <i[X£px<;», те которые утверждают, что атомы и ajxep-n не одно и то же, повинны, по его мнению, во внутреннем противоречии. «Если мы примем, что он (Аристотель), употребляет слово «неделимый» в смысле ((Физически неделимый» (здесь у Фило- пона это означает: «неделимый вследствие своей твердости»), то последующие слова не будут составлять логического продол- жения... но неделимость (необходимо понимать) в потенциаль- ном смысле... Этого не говорили сторонники атомистической гипотезы, а если кто-либо и говорит (ioi), то он при этом от- ступает от духа и основных предпосылок атомизма. В таком случае не атомы были бы первосущностями, а те частицы (я имею в виду те частицы, из которых состоят атомы и ко- торые несходны с атомами по своей природе...), а атомы не были бы уже атомами в прямом смысле слова». Это свидетельство не имеет большой цены, так как под словами «если кто-нибудь говорит» здесь, конечно, могут подразумеваться просто Диодор или эпикурейцы. Но полное совпадение со всеми тремя другими толкователями — Александром, Симпликием и Фе- ми ст и ем (даже в словесном выражении: «если кто-нибудь говорит», d тг leyst ты;, «если же говорят», d Si zeyouctv, говорит, скорее, за то, что и в этом случае речь идет об атомистах. Итак, мы совершенна независимо от эпикуреизма и его толкова- ния установили, что уже у Демокрита атомизм был не только Физи- ческим, но и «математическим», причем Физические и «математиче- ские» минимальные частицы не были тождественны друг с другом.
125 Что касается Эпикура, то он говорит совершенно определенно и недвусмысленно, что Физические атомы есть нечто совершенно отличное от геометрических ар-ерт?; последние он определяет как «мельчайшие частицы внутри атома» (102). «Атомы Эпикура — это частицы материи различной Формы и величины, неделимые Физи- чески не вследствие их малости, а вследствие их абсолютной непро- ницаемости. Напротив, минимальные частицы материи, или арлргь — это материальные точки, неделимые также и математически, про- стейшие и вполне однородные первосущности» (юз). Эпикур настолько зависим в своем учении от Демокрита, что мы всегда обязаны видеть заим- ствование у Демокрита, пока не доказано против- н о е. Это тем более верно в данном случае, так как в 58 главе «Письма к Геродоту» Эпикур отнюдь не говорит о «мельчайших» частицах в атоме» (то ev тт) атоцы eXa^iGTov), как о чем-то новом, а только противопоставляет свой взгляд, по которому об этих частицах надо судить по аналогии с явлениями чувственного мира, прежнему, взгляду, по которому ela^iGTa принципиально отличны от явлений чувственного мира (rcivTfl тгхутсо; avo^otov). Равным образом он считает невозможным двигать или соединять (интегрировать) эти частицы даже мысленно. А эти соединения характерны именно для Демокрита. Так как, с другой стороны, мы совершенно независимо от этих свидетельств Эпикура доказали, что уже Демокрит отнюдь не смешивал Физических атомов с математическими арер-^, то теория Эпикура может быть привлечена как дополнительное доказательство правильности нашей тезы (ia). При таком, положении дел остается только констатировать, что Аристотель и его толкователи не поняли Демокрита. Возможно, ко- нечно, также, что восстановленная нами теория была изложена Демокритом лишь в одном из его поздних, наиболее зрелых и про- думанных произведений, тогда как его точка зрения в более ран- них произведениях была примитивнее и содержала противоречия. В самом деле, как правильно отметил Н. Пападопулос (10а), мы имеем помимо внутренних соображений, основанных на свидетель- ствах Демокрита, несколько прямых указаний на изменение во взглядах Демокрита, отразившееся в его сочинениях. Так относи- тельно «Креплений» (KpXTuvrnpia) Диоген Лаэрций указывает, что они содержали «критику его более ранних высказываний», а по свидетельству Плутарха, «Аристотель, Демокрит и Хрисипп отка- зывались от некоторых из своих прежних взглядов, не смущаясь и
126 не страдая от этого, а (наоборот) испытывая удовольствие» (ни а). Но, как бы то ни было, нельзя не согласиться с тем, что Аристотель при всей своей широчайшей эрудиции иногда знакомился со своими источниками лишь поверхностно, не читая их целиком и не проду- мывая их достаточно глубоко, особенно, когда он имел дело со сво- ими идейными противниками. В своем издании отрывков Демокрита я покажу, что в подтверждение этого можно сослаться не только на трактовку разобранных мест у Аристотеля. Было бы весьма наивно надеяться найти отчетливую картину теории Демокрита у толкователей Аристотеля. Как показал Арним, даже такие выдающиеся ученые, как Лахман, Целлер и Узенер, не сумели отличить друг от друга обе категории неделимых у Эпи- кура, несмотря на совершенно ясные свидетельства Лукреция и самого Эпикура. Можно ли ожидать такой глубины философского проникновения от комментаторов эпохи упадка античности? Если бы до нас не дошло случайное замечание Эпикура в послании к Геро- доту и сходное с ним место Лукреция, то нам не могло бы даже притти в голову, что Эпикур говорил о двух различных типах неде- лимых. Античные источники, т. е. прежде всего толкователи Ари- стотеля, не говорят ни слова об этом различии. Поэтому мы должны быть только благодарны случаю, сохранившему до нас по одному замечанию у всех толкователей Аристотеля — у Александра, Феми- стия, Симпликия и, может быть, также у Филопона, — восходящих в данном случае к одному и тому же источнику, еще хорошо осве- домленному о двух типах неделимых у Демокрита. 5. Аналогии к математическому атомизму в нынешней математике (тройной интеграл) Ничто так не проясняет вопроса, как удачная аналогия; в иссле- дованиях нашего типа, где читатель невольно и неизбежно подхо- дит к вопросу с точки зрения математики нашего времени, такие аналогии особенно важны. С первого взгляда наиболее близкой параллелью является двой- ной интеграл. Рассмотрим двойной интеграл J J zdxdy под углом зрения Демокрита, забыв совершенно о нынешней теории пределов; при этом будем материальную прямую линию, т. е. объем, длина которого толщина 1 неделимое (dx) и ширина 1 неделимое (dy), обозначать через у. Тогда в выражении интеграла zdxdy — у. Будем,
127 как поступал Демокрит, накладывать эти материальные прямые линии друг на друга в направлении ординаты у. Толщина все время будет оставаться одной и той же (dx); одним и тем же будет оставаться и расстояние от плоскости YOZ (х). Следовательно, х надо рассма- тривать как постоянную; dx— как постоянный множитель; коэфи- циент у — как независимую Функцию; z — как зависимую. В резуль- тате суммирования получается согласно теории Демокрита матери- альная плоскость, т. е. объем, длиной которого является переменная (в разных местах разная) величина z, шириной также переменная величина «/, а толщиной 1 неделимое — постоянная величина dx. Обозначая этот элементарный объем через ст, получаем <з — = у = da; [ zdy, т. е. то же выражение, которое читается под знаком интеграла, если перепишем двойной интеграл в виде J dx^ zdy, как это обычно делается. Теперь будем плоскости ст, как поступал Демокрит, нагромождать друг на друга в направлении абсциссы х. В этом случае х станет независимой переменной; искомый объем r = g изобразится в виде J J j dx. Приблизительно таки рассуждал Эйлер, когда он в 1769 г. (105) впервые выступил с уче- нием о двойном интеграле. В основу его символики положено пред- ставление о плоскости как о сумме материальных линий и об объеме как сумме материальных плоскостей — представление, восходящее к Демокриту. Но эта аналогия не полная и не очень плодотворная. Во-первых, здесь материальная линия не составляется из материальных точек; во-вторых, здесь нет никакой аналогии к Демокритову учению о двух видах атомов. Гораздо более плодотворную аналогию дает сформулированное впервые в 1772 г. Лагранжем (правда, уже в новом, не-атомистиче- ском духе) учение о тройном интеграле, если и в этом случае забыть совершенно о теории пределов и стать на точку зрения Демокрита, т. е. не употреблять обозначений Д и lim, а сразу ставить «сверх- чувственные» d. Плотность а в некоторой точке тела равна по обыч- ному обозначению dm а—аё’ Таково количество массы в точке. В объеме dv количество массы равно dm; для получения количества массы в одной точке делят dm на dv, Если делят, значит, исходят из предположения, что внутри
128 dm материя однородна; далее, если делят, то принимают, что dm делимо. Если при делении на dv получается количество материи а в одной точке, то, очевидно, dv есть количество точек с массой а, заключающихся в dm. Итак, dm — наполненный однородной материей Физический минимум массы, потенциально распадающийся на точки с массой а — любопытная аналогия к атому Демокрита, а самый минимум массы, «точка» а — полная аналогия к арлре;, не- делимой материальной точке Демокрита. Теперь рассмотрим с точки зрения Демокрита тройной интеграл: J a.dxdydz. Объем атома (если принять точку за единицу), как мы говорили, dv; пусть длина его (в тех же мерах) = dx, ширина = dy, толщина= dz; а, как мы видели, есть плотность, т. е. количество массы в точке. Будем накладывать внутри атома материальные точки друг на друга в направлении х во всю длину dx, т. е. во всю длину атома; получим отрезок материальной прямой (столбик) длины dx с содержанием материи a dx, так как материя внутри атома распределена равномерно. Продолжая ставить такие столбики (раз- личной плотности а) друг на друга, получим материальную прямую с массой у = а = Ja dx. Теперь будем по методу Демо- крита накладывать эти прямые друг на друга в направлении у, пока не получится полоска постоянной ширины dy (т. е. ширины атома), с содержанием материи dy^ a dx, так как внутри каждого атома материя распределена равномерно. Продолжая накладывать эти полоски друг на друга в направлении у, получим материальную пло- щадь с массой р. = у = J dy J a dx. Теперь будем накладывать друг на друга эти плоскости в направлении z, пока не получится брусок толщины атома, dz, с содержанием материи dz^ dy J a dx, так как материя внутри каждого атома распределена равномерно. Продолжая накладывать эти бруски друг на друга в направлении z, получим материальный объем с массой т = р- = J dz^ dy^a.dx, одно из обычных написаний тройного интеграла. Итак, если читать непосредственно на языке символов, которыми записывается тройной интеграл, отвлекшись от толкований, которые получили эти символы в процессе исторического развития математики,
129 то мы приходим к математическому атомизму иди, вернее, чему-то, очень сходному с ним (юв). ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ Ш 1. De coelo, III, 1, 299 а 6: etceitx oijXov отс той аитой Хоуои еатс отереа р.=v е£ етгпсеосоу <7иухЕ1аЗа1, ЕтитиВа o’ ix ypapipLcov, тайта? o’ex атсурссоу. 2. Комм, к этому месту, стр. 563, 22 Heiberg = Xenocr., fr. 41 Heinze. 3. Schol. in Encl. Elem., V, def. 4, 20 и XI, def. 3 (= Heiberg, V, стр. 298 и 594): трахит) os тгрб? E?:tc?avEtav ETttpavEta тгрб? acopia ouBsva Xo'yov E/et. ptuptaxt? yap v) ypapLjjiv) тгоХХатгХаасааЗЕТаа ypapip^ тгаХсу ptsvec xat quBettote TrotyjoEt ETtupavEtav, тгоХХф Bl ptaXXov ouB’ uZ£p£?Et. xat etu ETncpavEta? соааитсо?... Ei e;^v аитб то етг’.тгеВоу ei? EuOsia? ауаХйаас... etteiBiq Be атшрахс? teplvoplevov итго eu3eicov oux avaXu3vjffETai ec? аита? .. . 4. [Arist.] de insec. lin. 972 a 7: ecttep to ptlv осорса if етптгеБсоу, to 8* etutteoov ex vpafAfAwv, al Bl ypapLjAai ex aTtypicov, 972 b 2: v) Be YpajAjAt] ttj? <7TlY|A'?i? OUX EOTl fAElJcoy- OuBl yap ай TO Е7Г17ГЕООУ T$j? YpapjAT)?. 5. De gener. et corr. I, 8, 325 b 24: соажр ev та> Ttpiaia> теурафЕ ПХатсоу. тоаоитоу yap ВсафЕрЕс той jjltq tov аитоу тротгоу Aeuxctcttco Хересу, 6’ti 6 ptlv атерва, 6 o’ ЕтитгеЗа Xeyet та aBtaipETa... I, 2, 315 b 29: тготЕроу, co? AvjpioxpiTO? xai Aeuxithto?, асЬрсата таит’ eotiv tJ, шаттЕр ev tw Ttpiaicp, ЕТПЛЕоа. 6. Procl. in Plat. Remp. II, стр. 27 Kroll (= Xenocr. fr. 43 Heinze): ’Етпхоиро? феиВш? Troicov рсетроу tvjv aTOfAOv тгаутсоу acoptaTcov xac 6 Зеуохрат»]? Tiqv (xtojaov ypapipiiQV Traacov YpajAjAwv Erevorjaav. 7. Comm, in Aristot. Phys., 1, 3, 187 a 1=стр. 142, 16 Diels: co? ouv 6 ПХатсоу ЕтптгЕоа ecttev eivat та тгрсота xai еХауюта асориата, оитсо? 6 Неуохратг,? та? YpajAjAac. 8. Scholion cod. Coisl. 166 in Aristot. de coelo I, 1, p. 268a 1 = стр. 469b 14 Brandis: tcov атоца фтдааутсоу oi piEv аторьа осЬрсата oo£a£ouotv, co? Леихстгтго? xai &7]pio'xpiTO?, oi Bl аторюи? ypapcpta?, co? НЕУОхратт]?, xai ПХатсоу етптгеВх. 9. Philopon. in Aristot. De gener. et corr. I. 1, стр. 6, 6 Vitelli: тгрсота xai xotva tcov TzavTcov атос/еса, атгер oi ptlv аторса асорьата eXe^ov, хаЗатгЕр oi тир! Лейхпгтсоу xai Д^рсохрстоу, oi Be ЕтитгеВа, шсттгЕр ПХатсоу. 10. Ср. Alexandr. Aphrodis. in Aristot. 1, 4, стр. 36, 14. 11. Нельзя не удивляться тому, что О. Апельт (указ, соч., стр. 266) и вслед за ним Гэс («А History of greek Mathematics», I, 181) видят как раз в этом различии несомненное доказательство того, что Демокрит признавал деление до бесконечности. Как будто атомистическая концепция пространства возможна исключительно в образе неделимых линий! 12. Simplic. in Aristot. Phys. 1, 3, 187a 1 = стр. 142, 16 Diels: 6 ПХатсоу £тг’7ГЕоа eittev slvai та тгрсота xai вХа/сата асорьата (sic!). 13. Simplic. in Arist. Phys. I, 2, 184 b 15 = стр. 35, 28 Diels: 6 plev Tipuxco? xai 6 TouTco хатахоХоиЗсоу ПХатсоу та Е7г[тгЕоа ^аЗо? тс £/оута ... ато^вТа... еЗето. Ср. Simplic. in Aristot. de coelo III, 7, 306 a 23 = стр. 648, 19 Heiberg: 7tp6c TOUTG XsyEl О ПрохХо? OTl Ta (puffixa £7П7ГЕВа oux EOTIV a3a3ij ... £1 3e e/ei &a3o? oux ecttiv e£ аасорьатои tj той асорьато? yevegi?, aXX* e£ атгХоиатврои асЬрьато? то аиуЗвтсбтЕроу. «По этому поводу Прокл замечает, что материальные плоскости не лишены глубины... если же имеют глубину, то речь идет не о ро-
130 ждении материальной вещи из нематериальной, а о происхождении более слож- ной материальной вещи из более простой». Philopon. de gener. et corr. II, 1, 329 a 21 = стр. 210, 12 Vitelli: oux outcd; аув<»р.£тр-/]то; tjv 6 Шатсоу <b; otEffdai to ocopia si; E7U7reoa ЗсакиЕайас, aXX’ втитгеВа ЕфаахЕУ exeivo; фиасха, 8у]коуотс GcopLotTixa, та xat Эайо; exovtoc. «Платон не был так невежествен в геометрии, чтобы считать, что тело распадается на плоскости, но он всегда говорил, что эти плоскости Физические, т. е. материальные, имеющие глубину.» 14. Aristot. Metaph. 1 9, 992 а 19: тоитсо p.sv оиу тсо уеуес (sc. тас; атсурихТ;) xai 8i£,u.axETO Пкатшу <Ь; оутс увсврсвтрсхсо Зоур.атс, akk’ Exaksc «apx*]v урарсрл;;». тоито Зе тгоХХахс; етс^ес, та? аторсои; урар^а;. 15. Это свидетельство Аристотеля впервые привлечено I. Hammer-Jensen, указ, соч., стр. 214, и Е. Frank’ом, указ, соч., стр. 102 с прим. 280, 370. 16. Aristot. de coelo, III 1, p. 299 b 23: etc ес цеу ЕтгстгЕЗа ptovov хата ypapipiyjy вуЗвхетас аиутсЗЕайас, атотиоу шатсвр yap xai ypap.p.y] тгрб; ypapipuqv арсфотврю; сиутсйвтас, xai хата p.9jxo; xat хата тгкато;, Зес* ха! етптгеЗоу етгстгеЗсо tov аитбу тропоу. урар.р.т] Зе Зиуатас ypapipii] аиутсйЕойас хата урар.рсг4у ettiti-Зе- piEViqy, OU p.7)V TrpQO’TtOEpLEVyjV. 17. Aristot. Phys. VI, 1, p. 231 a 29 и след.: etc o’ avayxr] ^toc odvexeT; sivac та; (ттсурА; атгторсвуа; akk^kcov, e£ a>y ectw to <tuvex£5 • • • атгтЕтас 3’ атгау r) oXov okou pispo; pispou; okou piEpo;. etui 3’ apcsps; то аЗсасрЕТОу, avayxrj oXov оХои атгтЕа-Зас. oXov 3’ o'Xou атгторсЕУОу оих Еатас (tuvex£C и т. д. Ср. Philopon. in Arist. de gener. et corr., 1, 2, 316 a 24, S. 28, 26 Vitelli: xa'c оксо; аЗиуатоу ayjpcsTov <H)pi£L(p GUVTE&EV 7row)(7a'. тс Ttoaov. avayxiq yap ^тос хай’ oka Байта та сиутс-ЗЕрсЕуа ovjpiETa атгтЕойас (xXXtqXcdv хата тс pisv алтвайас, хата тс Зе pciq аптЕст^ас. ес pis v ouv хай* ока Ефаррю'аоиосу алктдкос;, Е<ттас лаЛсу тгаута еу от]|дссЬу. ei Зе хата тс piEy piEpo; афарсвуа evoj^ecev, хата тс Зе ртп афсоутас, р.вро; £?ес то (dqpleVov ха'с оих Еатас арсЕрв;, отсвр аЗиуатоу. (« ... и вообще невозможно, чтобы соединение точки с точкой порождало нечто протяженное. Ведь необходимо, чтобы точки касались друг друга, или совпадая целиком, или совпадая в не- которой одной части и не совпадая в другой. Если они совпадают целиком, то образуется опять же одна точка. Если же они будут соединены так, что в одной какой-либо части коснутся, а в другой не коснутся, то окажется, что точка имеет части и не есть api£p£;, что невозможно»). 18. Ad Herodotum. г58: то уар тгроаЗо^о'рсЕУОу тгЕр'с тои аоратои, ю; ара хас ос Зса Хоуои йЕсор^тос... то аиу£ХЕ?... £;оиасу, оих акт)йг; eotcv етгс тсоу tocoutcov. Ср. ниже прим. 25. 19. См. прим. 53 к гл. II. 20. тос; есЗестс та; аторсои; (sc. ypapipia;) хатаахвиа^оутЕ; ... Twv асоратсхшу атос/Ессоу ... та apiEpyj а;соиу ..., атгофасуоутас тсуе;. 21. ес р.ву ouv тб ЕфЕ^т); атгтЕаЗас avayxv). 22. Так думал уже R. Heinze, «Xenocrates», Leipzig, 1892, стр. 61, прим. 1. 23. ес Зе еуЗехетхс £фЕ;т); тс s’cvac pnq 47rT&JJL£VOV’ 24. Слова Плутарха («De communibus notitiis». 40, 1, 1080) могли иметь в виду как демокритовцев, так и эпикурейцев. 25. Ad Herodotum, 58. 26. ou8e piEpEffiy рсврсоу атгто'рсЕуа, akk* $ еу ttJ cScoTtjTc Tij Еаитшу та рсвуЕйт] хатарсвтроиута, та ттХессо тгХеГоу хас та Екаттсв Е^аттоу. таит^ т^ ayakoycjc уорсса- теоу хас то еу т?) аторсср ikaxiffTov хЕХР^айас.
131 27a . Procl. in Platonis гетр. ед. Kroll, II, стр. 27: ’Етихоиро; феи8со; Ttoiiuv цет- pov tyjv атоцоу 7iavTo)v <T(i)pi(ZT(i)v xat 6 ZevoxpaTiq; ttjv aTojxov ypapipiTjv twv Ypajxp.ci)v. 27b . См. K. Lasswitz, «Geschichte der Atomistik», стр. 149. 28. С эпикурейской точки зрения и «проведенная через пустоту прямая есть прямая», поскольку эпикурейцы в противоположность Демокриту, не признавали созданий мира чувств чистыми Фантазиями, а видели в каждом из них нечто реальное, в том или ином виде соприсущее вечным первосущ- ностям — атомам (о’ир.тгтсор.ата); но для геометрии по их мнению прямой, про- веденной через пустоту, тем не менее, не существует, так как «ей чужд атрибут движения», т. е. ее нельзя представить себе передвигаемой, а следо- вательно, с ней нельзя проделывать никаких геометрических манипуляций: ее нельзя ни вращать, ни накладывать на другую, ни образовывать из нее Фигуры и т. д. (Sext. adv. math. Ill, 98, p. 717, 26 Bekker: xaOw; xai oi ’Emxou- peoi cpaaiv, 7) той xevou euOeTa euOeia p.ev eartv, ou сттрефетас 8s 8ia to xai айто то xevov ц^те oXov ц^те хата p.epo; xivyjaiv emoexetf^ai). Это различение, невиди- мому, специфически эпикурейского происхождения; с точки зрения Демокрита «прямая, проведенная через пустоту», точно так же, как краска, вкус и т. д., есть только «явление», т. е. мираж, которому в мире чистой мысли не соответ- ствует никакая реальность. 29. Pint, de communibus notitiis, 43, 1—4, p. 1082 E — F. 30. In Euclidem, 29, theor. 20, стр. 368, 26 и след. Friedl ein. 31. Ср. Th. L. Heath, «The thirteen books of Euclid’s Elements», 12, 1926, стр. 207: «Нет ничего удивительного в том, что Проклу не удалось раскрыть, чем неправильно это доказательство». Характерно, что почти те же доводы выдвигались противниками атомизма для доказательства невозможности атомистической концепции, атг’ аркрои/ tq>v TtXeupSv (той iCToaxeXou; ор-Зоуатои Tptywvou) iffTjv acpeXovre; т/j Елау/ктту] fiaaei 8ia twv yevopieva)v aiqp.6UDV KapaXXiqXov ayaya)piev ttj (Зааы, Tpiycovov e'XaTTov ‘rcorqa’op.ev op.oiov тф оХш ... xai тойто aei Troievv SuvTqCTopLe^a* опте yap Tpiycovov aei PpaxuTepov тгоюйуте; тгаистор.еЗа outs тас duo тгХеира; тт)с XoiTtTjc pie'-Jova; eupiaxovTe;, шаге ал’ ap.cpoTv acpaipelv ttj (Saoei xai 8ia tcov 07)p.ettov TtapaXXiqXov ayeiv. ei 8e тойто ел’ a^etpov itoieiv SuvaTov, ел’ arceipov TepiveTat то той Tpiywvou етплеЗоу. ei 8e £<rrtv tj ei; arceipov тоцу), еот». то arceipov ev тф pieyeOet (Simpl. in Arist. Phys. Ill, 4, p. 203 b 15 = стр. 466. 19 Diels: «... отсечем от обеих боковых сторон [равнобедренного треугольника с углом менее 60° при вершине] по отрезку, равному наименьшей стороне, т. е. основанию. Через полученные точки проведем прямую, параллельную осно- ванию, и образуем таким способом треугольник, подобный всему треугольнику ... мы сможем повторить эту процедуру сколько угодно раз. И построение все меньших треугольников и нахождение двух сторон, больших, чем третья, п вычитание из них отрезка, равного основанию, и проведение через полученные точки параллельной, можно продолжать без конца. Если же эту процедуру можно продолжать до бесконечности, то и площадь треугольника делими до бесконеч- ности. Если же существует деление до бесконечности, то процесс делимости величин беспределен»). 32. De insec. lin., 968 а 2: ei yap op,oia); u7rapxel to те лоХи xai то p.eya xai та avTtxeipieva toutoi;, то те oXiyov xai то piixpov, то 8’ але(рои; ctx£^ov Scaipeaei; ex°v ectiv dXiyov аХХа лоХи, (pavepov oti лелераар^а; та; Staipeaet; to oXtyov xai to p.txpo'v.
132 33. Proclus in Euclidem, def. 17, стр. 158, 2 Friedlein: el p.ta? oua^c- otapiETpou 8uo vjjitxuxXta YtvETat, алесрос oe GtaptETpot ota той xEvTpou ayovTat, oupiPiQCTETat б1лХаача twv алЕфсоу eivat хат’ apttyiov.- тайта yap алоройст’ tivec лро? ttjv ел’ алЕфОУ Top.r(v tgjv цеУеОсоу. 34. Этим свидетельствам на первый взгляд противоречат другие, выдви- нутые Евой Закс (Eva Sachs, см. ниже, стр. 164), поставившей себе целью доказать что Платон внес ряд исправлений и улучшений в учение Демокрита, тогда как Демокрит якобы повинен в том же противоречии, которое ставил на вид своим противникам Зенон, именно что в конечном теле заключается бесконечное множество «конечных» частей. Доказательство несостоя- тельности этой точки зрения ниже, ук. м. 35. Plutarch. De communibus notitiis, 38, 2—3, 1079A: xatTot лсо; oux Evapye? ectti, tov ау^рсолоу ex лХе1оуо>у ffuvetrnqxevat jjcopicov rt tov ЗахтиХоу той av\>p(D7rou; 36. Ср. P. Masson-Oursel, «Die atomistische Auffassung der Zeit»; «Archiv fiir Geschichte der Philosophic», 40, 1931, стр. 173 и след. 37. Aristot. Phys., VI, 10, 240 b 20. 38. Ad Herodotum, 62: to yap Trpoff8o£a£6p.evov лер! той аоратои ара xat oi 8ta Xoyou Oea)pv)To't /povot to ctuve/e? Tvj? cpopac e;ouarv, oux aXv^E? есттсу ел! TCDV TOlOUTCDV. 39. Themistius, paraphr. Aristot. Phys., VI, 1, p. 231b 27 = стр. 406a 27 Brandis. ел! цеу yap Tvj; dXv)? ttj? АВГ xcvetrai, cpyjatv (sc. 6 Ежхоиро;), то xtvoup.Evov, Еср’ ехасттси 8e tcov apiEpcov e? (dv CTUYXEtTai, ou xivEtrat, aXXa XEXtviqTat. 40. Simplic. in Aristot. Phys., VII, 1 p. 231b 18 = стр. 934, 25 Diels: e£ ap.Epa5v yap xai то цеуеОо; xai r^v xivvjarv xai tov ypdvov eivat Xeyovte; ел! jaev той o’Xou {xeyeOou? той e£ ap-EpcSv аиуЕСТТсото? xiveiaOat Xe\ouqt to xcvou|aevov, ха-Э’ exaoTov 8£ tcov ev аитф ap.epcov ou xiveta^ac, aXXa XEXivrJa,3ai. 41. Simplicius, там же, стр. 934, 23 Diels: otioe ой лал/тт) amOavov тайтт^у- TSxletxe Tvjv evoTaatv SyjXoT’ to xai {Uvtgc auTvjv xai StaXuravToc той? лер! *Emxoupov opto? йсттероу yevop.evou? outcd Xeyetv tiqv xivmatv ytvEffOai («То, что сделанное (Аристотелем) допущение обладает известной убедительной силой, видно из следующего: уже после того как Аристотель выставил и опровергнул его, Эпикур и его школа, несмотря на то, что они жили после Аристотеля, объясняли движение таким образом»). Themist in Aristot. Phys. VI, I, p. 231 b 18: xai тайта ’АриттотеХои? t^v p.oydiqptav той Xdyov тгроетпЗе^ауто?! «даже несмотря на то, что Аристотель уже ранее показал, насколько жалка такая точка зрения!»). 42. Н. v. Arnim, eEpikur’s Lehre vom Minimum», «Almanach der Wiener Akademie der Wissenschaften», 1907, особенно стр. 394. 43. Sext. adv. math., X, 85 и след., стр. 493, 9 Bekker. 44. той 8’ аитой Xdyou xai peyeOo? xai /povoc xai xtvvjfftv e$ aStatpETOiv cu^xeiaOat. 45. aXXa p.iqv ou8’ ETepoi tcve? Xeyouotv, otov Aeuxitcttg? те xai Av)p.dxptTO? 6 Af}b]piTT%, EuXoya та auixPatvovTa* cpatft yap eivat та тгрсота цеуе^т] тгХтдйеь jxev arcetpa, p.eYE$et 8е аБса'фета ... лро; 8е toutoi; avaYXvj ixa/ea^at та?? p.a^Yjp.aTtxau; EziffTiqp.ai; атоцх очицата Хеуоута; xai лоХХа tcov evoo^cdv xat tg>v cpatvopiEvcov хата tvjv aiaOiqoiv avatpEtv, ttep'i <dv EtpvjTat лротероу ev тоц лер! xpdvou xac xtviqGecD?.
133 46. той аитой Aoyou sari атереа p.ev ej 6Kik=8(dv auyxetadat, ек[ке8а о’ ех уращхшу, таита? 8* ex ат'ур,шу. 47. 6р.о1<»? yap 6 те yjpovos xai t) трар.|хт) трп^^аетаь... та ol той аитой Аоуои earl, хайакер еХе/гЬ], то каута тайта Kotetv е£ ap.epa5v. 48. De communibus notitiis 41, 2, 1081 C:1 xai p.4]v тойто au,u.3a;vEt rot? Xtohxoi? eXa/iffToy /povov p.4) акоХе’коиац pi^oe то уйу apiepi? eivat ^oukojieyot?. 49. De communibus notitiis 41, 7, p. 1081 E: el yap то уйу ой ypovo; early. аХХа кера? XP°VOU» 7r^v 3e pioptov /роуои тоюйтоу, o’ov то vuv eartv, ouBev 9alverat p.epo? ex<ov 6 айцка? /povo?, aXX’ el? керата otokou xa't aup.|ioka? xat 6pp.a; ava- либцеуо?. 50. Sext. adv. math., X, 181, p. 513, 27 Bekker: ooxet* oe xa't el? той? repi ’Ек1хоироу xai Дтщлохрстоу фиачхой? rotauriq rt? avacpepeaOat той xpovou vorjat?’ 'xpovo? early t)p.epoet8e? xa't vuxroetSe? фаутааца’. 51. Antiphon, fr. 9 Diels: v6rjp.a p.erpov 6 XPOV°S» °^X uKoaraat?. 52. Sext. adv. math., X, 219 = Pyrrh. hyp., Ш, 137: айр.ктшр.а аир.кт(ор.ат<»у ... карекоцеуоу yjpcepat? re xat vu£l... 53. Ad Herodotum, 73: rat? vjp.epat? xai rat? vu£i aup.KAexop.ev totov rt aup.KT<op.a. 54. W. Cronert, «Kolotes und Menedemos», Leipzig 1906, стр. 104, прим. 501 = Diels, Vorsokr. II4, стр. VIII, прим. 72): та? ... cpavraala? v]p.cop. Kept pieyeOou? xP^vou p.4) аицфшуои? та5 кХтдОе». той ... [ф a v ] т a [a] I a v т [ co ]v y]p.ep(uv xa't vuxtujv. хай’ vjp, pLvjxo? rt v о [ о ] u p. e v Kept aura; ... p. e т p vj- т i x о v ... XP°]v0P- p. e v p e t... ex ttj? exxetp.eviq? Xefieco? 6 key[(»]v, ot[i] ou8’ av 6xviqaa[t]pii kqqvov etvat т [ a ] ? Yjp.epa? ф$)аа1 xai та? v й [ x та . au]p.|}e(}iqxo? (= aup.KTu)p.a) nvi © a v т a a I a... (« ... Наши субъек- тивные представления о величине времени, не совпадающие с... субъективные представления о днях и ночах, при помощи которых мы осознаем соответственные взаимоотношения величин... измерительное... изме- ряет время... говоря: «Я не остановился бы перед утверждением, что время это дни и ночи... свойство некоторого представления...» 55. Ad Herodotum, 68: aXXa рлр... xai та хР°Ф-ата • • • xat o^a akka xaTyjYopeirat аа>р.ато? tbaavei аирсЗеЗ^хота... ой... So^aareov... оАш? <Ь? oux elatv, aXX’ <b? ri okov auipia xaOokou p.ev <ex> toutcdv Kavrcdv tvjv еаитой фйа1У exov atotov. 56. См., например, C. Bailey, «The Greek Atomists and Epicurus», Oxford, 1928, стр. 301. В этом месте письма к Геродоту Эпикур полемизирует одно- временно с различными философскими школами; я привожу только те места, которые направлены против Демокрита. Опущенное мною ах^цата и ysysOy;. характеризуемые как аир.^£^^хота, не имеют в виду Демокрита. 57. Sext. adv. math., I, 369, стр. 270, 10 Bekker: oi jjlsv ravra avyjpirjxaai та oatvop.eva, w? oi Kepi ATjp.oxpiT$v. 58. Например, 232а 10; ср. выражение: TauTiqv yip [kpaotxev ou ^aBl^ov Сайтсу. 59. Подобно Аристотелю, и один из выдающихся современных нам ученых не понял мысли Демокрита (К. Бэйли). В книге, указанной в примечании 56, на стр. 315, он пишет: «The whole notion of the incredible swiftness of this mini- mum of atomic movement was apparently expressed by Epicurus by saying not that lhe atom 'moves’ (xtveirat)... but that it 'has been moved’ (xexlvTQTai)».(<iBce поня-
134 тие о невероятной быстроте этого минимума атомного движения, очевидно., выражено Эпикуром тем путем, что, вместо того чтобы сказать, что атом ..движется^, он говорит: „атом подвинул ся^»). 60. VI, 2, 232 b 25—233 а 10. 61. 233b 19—32. 62. Simplic. in Aristot. Phys. VI, 2 p. 232 a 23 = стр. 938, 21 Diels.* Bio xai тоГ; Ttep't 'ETtixoupov apeaxei гаота/ш; Ttavxa Bia Ta>v ap.epa)v xiveia^at, iva та ато|ла auTujv Biaipoup.eva p.v]XETi атоца J. См. письмо к Геродоту, 61: саотадеи; avay- xaibv та? аторюи; eivat. Так же и Lucr., II, 238—39 и след. Ср. Sext. Pyrrh. hyp., Ill, 77, стр. 139, 9 Bekker: ei Be ei; apiepec xaTaXigyei (та ошцата xai oi tottoi xai oi -/povoi)... TtavTa та xivoupieva eaTai ’ктотахЧ, oiov 6 тахитато; vtvtcos xai /eXcdv^. «Вот почему и сторонники Эпикура считают, что ввиду существования недели- мых частиц все движется с одинаковой скоростью, так как иначе неделимые, оказавшись разделенными, перестали бы быть неделимыми»... «Если же деле- ние (тел, пространства и времени) приводит в конце концов к неделимым частицам... то все движущееся движется с одинаковой быстротой, как, напри- мер, самый быстрый конь и черепаха». 63. Возможно, например, что по его мнению атом вследствие удара (^^7^) «перескакивает» с одной частицы пространства не на непосредственно приле- жащую к ней, как это происходит при естественном движении атомов, а сразу через несколько таких частиц (причем он, разумеется, не xivsirat, a xEx(vn)Tatr так что он вовсе не проходит через лежащие между началом и концом его пути частицы пространства); тогда это затруднение разрешается без большого труда. 64. Fr. 62 Spengel = Simplic. in Aristot. Phys., VI, I p. 231 b 10, стр. 930, 35 Diels: ei ecttiv e£ ap.Epwv ixeye^o;, eoxai ypap.p.iq ypap.|x?fc GTiypiy) p.£i?<ov. aXX* ei touto, ou SiaipE^yjaeTai xaaa урацр.7] Bixa ei Biaipocro, xai tj ex тгЕрктасЗу ffuyxEipievTq Btaipoiro av. outu) Be av eiSq xai to aqpiEibv Biaipoup.Evov. eti ei oXcd; Tpaixp.7] ypap.p.ifc <nqp.£{u> p.eft/DV, xai xuxXo; av егу) xuxlou* wctte 6 p.ev e? apTiuiv, о 6e ex Trepio’O’wv. ouv tov ex TtEptaaiDv ou otatpiqa’op.Ev ец TQpiixuxAia to ctv]P.eTov Bixa Btatpiqa’op.Ev. 65. Simplic. in Arist. de coelo, I, 5 p. 271 b 8 = стр. 202, 28 и сл. Heiberg, Themist. in Phys., VI, 1, 231 b 19; Schol. in Aristot., стр. 406 а 4 Brandis, Philopon in Aristot. de gener. et corr., I 8, 325 b 34 = стр. 164, 20 и след. Vitelli, Procl. in Euclidem, I, 10, стр. 277 и след. Friedlein. 66. In Plat. Remp., ed. Kroll, II, стр. 27. 67. Aristot. Analyt. prior, I, 23, 41a 26—31: астицрсвтро; yj Biap.ETpo; Bia to yiYveffOai та TrspixTa laa xoT; apxtoi; аир.р.етрои te^eictyj;. 68. См. H. Vogt, «Biblioth. Mathem.». X8, 1910, стр. 105 и след., где дана и литература вопроса. 69. См. О. Apelt, «Beitrage zur Geschichte der griecb. Philosophic», Leipzig, 1891, стр. 269. 70. Так например, если противник атомизма требует, чтобы атомист провел высоту в треугольнике, состоящем только из трех атомов, то атомист может без труда показать неисполнимость этого предложения, так как линия это только ряд неделимых (см. выше, стр. 96); поскольку внутри треугольника, состоящего из трех атомов, нет больше атомов, не может быть речи о проведении высоты, в таком треугольнике, так как ее не из чего было бы строить.
135 71. [Aristot.] de insec. lin. p. 968 b 17: aXXa pivjv ei etc <aei> трлдОтдаетоа <то> pierpov <to |X£Tpouv> -riva TeTaYp.evT)v xai <bpiap.£v7jv ypap.p.^v, °ux eoTai oute pvjTv; out* aXoyo;. 72. De communibus notitis, 38, 2 p. 1078: oute yap ple^ov out’ EXarxov EffTai voeiv ETEpov ETspou p.sye^o;, et to TtpotEvai тоц цереату етг’ aTtetpov ацфотеро1; (rupilSefrqXEv aXX’ avttTOTvjTo; aipexai фиац. 73. Themist. in Phys., VI, I, 231 b 19 (см. прим. 76). 74. Procl. in Euclidem, I, p. 10 = стр. 214, 15 Friedlein. 75. t(dv ap/wv BoOeiauiv ou/'t етгетас та e£ij;, et pS] xai тоито тгроХтдф^еЬ], то р/^те тгерсферДу рл^те euOeiwv etvat тр.-^р,ата xotva. 76. Themist. in Phys.. VI, I, 231 b. 19: ouxouv guB* v;p.ixuxXiov есттас, aXXa to XEVTpov aet катера» p.epet той xuxXou Trpoa’vep.op.ovov ev T?j Top.yj p.et£ov exetvo Ttotyjaet. 77. У Прокла, место, указанное в прим. 74, стр. 216, 12 Friedlein. 78. De communibus notitis, 39, I, p. 1079 D: ту;; тгирарлВо; ex xpiyiovcDv CTuvia’Tap.evv;; та; тгХеира; хата tyjv стиуафУ]у xexXtpteva;, avitfou; цеу eivat, jatj uTtepe/etv Be v; p.ei£ove; eiar. 79. Plutarch, de communibus notitis, 1078 E—1082 D: рлдт’ axpov ev ttJ фисте1 Tujy acopiaTCDv, р.у)те TtpcoTov, рл^т* EtT/arov pirjOev, ei; 6 Xiqyei to pieye^o; tou стсоцато; ... eav 8’ етп. та ест/ата церт; то epwTav Ttpoayaxnv ... еутаиОа Ву; tov Avjp.oxptTov атгофа’.усоу ayvoouvxa ... е1та тгы; тоХрсшату ETtiTtpidv то!; та; хеуот>;та; eiaayouai xa't ap.Epyj Ttva ... 80. aJahresb. d. deutsch. Mathem. - Vereinigung». 1926 (35), стр. 158. 81. См. выше, гл. I с прим. 8. 82. Simpl. in Arist. de coelo I, 7, p. 275 b 29, S. 242, 16: <b; oi тгер'с Аеихстгтгоу xai AiqpioxpiToy итгет^^еуто тгро аитои (sc. той ’АрссттотеХои;) yeyovore; xai р.ет* аитой ’Emxoupo; -outoi yap ... та; ap/a; ... xai аторюи; xai aBtatpeTou; ev6p.t£ov xai атташе!; Bia to vatrra; Etvat xat ap.o{pou; той xevou. («Такую гипотезу выста- вили уже жившие до него [т. е. до Аристотеля] Левкипп и Демокрит, а после него Эпикур. Они считали ... что элементы неделимы никоим образом и не реа- гируют на внешние воздействия, ввиду сплошности и отсутствия в них пустоты»). Alexandr. in Arist. Met., I, 4, 985 a 21, S. 35,26 Hayduck: TtXvjpe; Be eXeyov (Aeu- ХС7Г7ГО; xat Aiqp.oxpiTO;) to adip.a to tu>v aTopxov Bia vatrroTTjTa те xai ap.i£iav той xevou (« ... тела атомов [Левкипп и Демокрит] считали компактными • ввиду сплошности и отсутствия в них примеси пустоты»). Laert. Diog., IX, 44: е? ато'р,шу ... атгер eivat атгаОт; xai avaXXoitoTa Bia tvjv сттеррот^та («из атомов ... не реагирующих на внешние воздействия и неизменяемых, ввиду твердости»). Plut. adv Colot. 8, 4, р. 1110 F.: оиоча; ... атор.ои; те хаВкхфорои;, В* ага/юи; xai атташе?; ev tuj xevaS фереаОа! («в пустоте носятся сущности... неделимые и однородные, лишенные каких бы то ни было свойств и не реагирующие на внешние воздействия»). Cic. de fin. I, 6. 17: ille (Democritus) atomos quasappel- lat, id est corpora individua propter soliditatem. («То, что он (Демокрит) называет атомами, — это тела, неделимые вследствие твердости»). Dionys. bei Euseb. Р. Е. XIV, 23, 23: аторюи; Be eivat фаачу ар.фотеро1 xai XeyeaOat Bia ttjv xXutov CTTeppoTTjTa («и те и другие утверждают, что существуют атомы, и называют их так вследствие твердости, делающей невозможной их разрушение»). 83. Dionys. bei Euseb. Р. Е. XIV. 23, 2. 3: xai р.еуterra; eivat Tiva; атоцси; Av)|ioxpiTO; uTteXa^ev.
136 84. Aet. I, 12,6: Дт)|лбхр1то;... 8uvaT0v etvat xocpitatav uTtdp/Etv атоцоу. 85. Epicar. ad. Her. 55: ou8e Sei* vop.i^etv 7rav еу таи; атоцос; uTtap/etv. 86. Alex. Aphrod. in Arist. Metaph., I, 4, p. 985 a = стр. 35, 26 и след. Hayduck: аторса Six уасттбт^та те ха: dp.t£iav тои xevou. 87. Там же, стр. 36, 21. 26: Хеуес p.ev (6 ’AputtoteXyjg) тгерь Леих'пгтгои xat Дтдр.охр1тои ... та уар ацер^ та E7nvooup,Eva <ev> таи; атбрсои; xai риерт] бута auxcov dftapvj cpaffiv etvat. <ev> вставлено на основании такого же выражения в таком же контексте у Фемистия (см. прим.. 88): in iis invenitur. 88. Themist in Aristot., 304 а 18 — b 2, стр. 186, 26 Landauer. Это — еврей- ский перевод, сделанный с утраченного арабского перевода греческого подлин- ника; неудивительно, что текст изобилует ошибками и искажениями. 89. ’In Aristot Phys., стр. 82, 1 Diels: то a8:aip£Tov... тсо piopta pt.lv e/eiy xai р.еуеЗо;, атас-Зе; 81 eivat 81a стерретита xai vaaroTyjTa, ха^атгер ехаатт) tu>v Дтдцохрстои атор.шу. Там же, стр. 925, 13: Леихсктгос xai Дтщбхрсто;... ou p.ovov ty)v атгаЗесау arriav той; тгрсотос^ ачир.аач тои jxvj otaipet’c^at vop.t£outnv, dXXd xai то cpaxpov xai ap.epe;. Ср. Simplic. in Aristot de coelo, 217 h 1 = стр 202,27 Heiberg, Brieger, «Die Urbewegung der Atome», 7. 90. e’tTa xai auTiq cuve/ij? xai StatpeTV] етг’ diretpov xai 81a Touto Suvapiei TtoXXd. 91. Phys, III, 3 203 a 22: тд atpg cuvs/ec то атгесроу e’vai (Д^рю'хрстб; фу]<п). Ср. Zeller, 16 2, 10593. 92. etc aTcetpov yap ScatpsTov to suvs/eg. 93. Указ соч., стр. 265 и след. 94. Вот почему ни Целлер (в указанном в прим. 91 месте), ни Th. Heath «A History of Greek Mathematics», I, стр. 181) не пользуются этим местом Симпликия для доказательства их тезы, что Демокрит был сторонником деления до бесконечности. Гэс замечает только: «Симпликий сообщает нам, что по мнению самого Демокрита его атомы были в математическом смысле делимы дальше и Фактически до бесконечности, так как схолии к трактату Аристотеля «De coelo» implicite отрицают, что Демокрит был сторонником какой- либо теории неделимых линий» (мой курсив). Мы уже видели выше (стр. 91), что это место из Schol. Coisl. 166 не имеет никакого отношения к вопросу о не- делимости: Демокрит здееь противопоставлен Ксенократу не в том смысле, что последний признавал существование неделимых линий, а первый отрицал существование неделимых элементов, а в том только смысле, что по Ксенократу неделимые первосущности были линиями, а по Демокриту — телами. 95. Aristot. de coelo, III, 4, p. 303 a 30: etc ou8e хата ttjv toutwv итгбХтдфсу 86Eeiev dv атшра ycyvEffOat та aTocxfiia, Битер та jjlev о’бр.ата otatpepei а/т^иасл, та 8в ад^цата тгаута стиухЕстас ex Trupaiuowv. 96. Simplic. in Arist. de coelo, I, 10 = стр. 295, 7 Heiberg: u7:dpxEiv 81 auToti; TravTota; р.орфа; xai ax^.aaTa ^avTOta («Они имеют всевозможные Формы и всевозможные очертания»). 97. Simplic in Aristot. de coelo. Ш. 7, p. 306 а 26 = стр. 648,26: 649, 2 dvayxd^ovTat Ttav acopia StatpETov XsyEtv xai pidxEa^ai таи; ptathipiaTcxau; етп- CTTjixat?... xai тойто p.sv ахоХоиЗвГ то атотгоу аитои;. lav dBiaipETa та ах^Р-0^* Xeywa’i, то p.dxEff$at та? ахрс&Еататас; Етгиттт^иас?. e’i ое ota то тойто ©uysTv otatpeiffda* Xsyouarv аиба, тг,; Trupajxioo; yj тг(; тэа'.ра; (1т:=tdwj aepaipav тб тгйр ос ттер'» Д7)р.о'хрстоу
137 Xeyov) SiatpUtetsv^ тио;... ty); plv тгирарлЗо; тгараккт;Хш t/J ^aaei етггтгейср, rifc os acpatpas <йате Ttavraxo^ev iaov Trepiape^yjvat. 98. Что выражение otatpEO^vat етптгеос» должно быть здесь понимаемо в итеративном смысле видно из следующего. В трактате «De coelo», III. I, 299 b 2 Аристотель, сопоставляя учения двух групп атомистов—платоников и демокрит- цев, упрекает платоников в уже отмеченной выше непоследовательности: в то время, как платоники для получения элементарной плоскости накладывают эле- ментарные линии друг на друга по всей длине, для получения элементарного объема они не накладывают плоскости друг на друга, а прикладывают их друг к другу так, что они пересекаются только по одной линии (см выше, стр. 72) ei piev та Ьитгеоа piovov хата ypap.pnqv Evosyerat ffpvT’Oeffdai, (ztottov. озатгер yap xai урацрпг; тгро; ypap.;j.7]v ар.?отгри>с auvTtdeTat, xai хата pivjxo? xai хата тгХато^, 8еГ xai ett’-tteoov етг'.тйбш tov auTov TpoTtov. ypapipiiq oe Suvaxat ypap.|xvj ffuvTi^eaOai хата ypapipiyjv 67rtTt0ep.EVT)v, ou p.vjv TrpoffTtOEpiEVTqv. Ho, продолжает он, и другой способ, при котором элементарные плоскости накладываются друг на друга, т. е. способ демокритовцев. наталкивается на противоречие: если, например, некоторое тело состоит из пирамидообразных атомов, и каждый такой атом в свою очередь делится на элементарные поверх- ности, то тело, возникающее из соединения некоторого числа таких плоскостей (в случае пирамиды— усеченная пирамида), не будет ни атомом ни соединением атомов; такого рода тела, по мнению Аристотеля, вообще не могут существо- вать для атомиста, для которого существуют или неделимые или соединения неделимых (для Аристотеля, таким образом «атом» и «неделимое»—синонимы, так как о разнице между двумя видами неделимых у Демокрита — между Физическими атомами и математическими амерами — он, очевидно, не имеет понятия}: aXXa p.vjv eiye xai хата тгХато; evSe/ETai auvriOea^at, Earat то аюрса, о oute ffToi^eiov oute ex STOiyEttDV <tuvti3ep.evov ex Tuiv outcd auvTt^Ep.£vojv e'Trrr&cov. «Но и в том случае, если мы будем накладывать плоскости плашмя друг на друга, из соединения этих плоскостей получится тело, которое не будет ни элементом, ни соединением элементов». Как раз то же самое мы четаем и у Aristot de coelo, III, 7 p. 306 а 26, т. e. в том самом месте, которое объясняет Симпликий в интересующем нас тексте; очевидно, оно напра- влено против тех же противников: avayxv; yap oaot ax^P-a -otouatv Ехасттои twv TToixEtrov xai toutoj otopt^ouat тас ouata; auTcSv, aotatpsTa аита. tyjc yap тгирарлЗо? тт)с стфа’.рас 8tatpe^eiar4c oux еата». то Xst7:op.EvGv acpaipa 'Tupap.ic, «jctte vi то той тгиро; jxspo; ou -up, алл’ EGTat Tt тгротеро» той *7T0txE’0u ota to nav eivat vj GTOi/etov ex aroixeiou ouy airav acopia otatpeTov. «Все те, которые придают (особую) Форму каждому из элементов и, исходя из этого, определяют сущность каждого из них, неизбежно должны считать их недели- мыми: в самом деле, если пирамида или шар окажутся разделяющимися некото- рым образом... то то, что останется, не будет ни шаром, ни пирамидой, так что либо часть огня не огонь и окажется, что существует нечто более первоначальное, чем элемент, так как все существующее или эле- мент или (составлено) из элементов, либо не всякое тело делимо». Итак, это место направлено против тех же противников, что и первое, т. е. против тех, которые образуют тела путем соединения наложенных плашмя друг на друга плоскостей; следовательно, и в комментарии Симпликия к этому месту выражение тгаралл^Хо) ту; ftao-Et етптгеос» надо понимать как раз в том же
138 смысле, что и в отр. 155 Демокрита, т. е. итеративном смысле (см. выше стр. 69). 99. «Утверждают» (Хеуоисп) не может иметь подлежащим эпикурейцев, так как вторая часть замечания Симпликия имеет целью только пояснить слово -со? в выражении самого Аристотеля: Tij; yap TtupapiISof; тт); a<paipa$ ScatpeOeiaTjc тг(о;, указав, как именно эти упоминаемые Аристотелем ученые делили пирамиду. А Аристотель, разумеется, не мог еще иметь в виду эпикурейцев. 100. Comm, in Aristot. de gener. et corr., I, 8; p. 326 а 18 = стр. 173, 7 и след. Vitelli: ei outcdc ExXa^GipiEv auvov Xsyeiv aoiaipETov, o’ov to TtEcpuxEvai TspivetfOai, 86$ei oux EuXoyio; auvaysiv tx e^c ... aXXa to aBiaipsTov хата Suvapitv — v,\»z . _/ V \ > f »/ z ute yap eAeyov tqutg oi та; аторюи? u7roTioep.evoi eiTe xai Aeyei tic, оихетс ctcoctei tyjv twv aTop.wv xai svvocav xai utto'Oegtv. oute yap av тгрйтас ap^ai etev eti, aXX Exsiva (Xeyu) 84 tx jxo'pia e? ujv xai auTat ETepwv ovtcov хата tyjv ouaiav auyxEiv Tai), oute хирею; av eiev etc аторсос (ср. ниже. прим. 101). 101. Хеуе» («говорит») читается только в рукописи Т, Хеуос — во всех осталь- ных рукописях; тем не менее, я решаюсь восстановить чтение Xsysc в виду вполне аналогичного выражения в комментарии Симпликия, стр. 649,2 и след. Heiberg, цитированного выше на стр. 176: ei 8е ... Staipsiff^ai XEyouacv аита. 102. Ad Herodot. 58: то ev ttJ атор.1» iXa/iffTov. 103 Arnim, ук. соч. стр* 383 и сл. 104. На то, что в 58 гл. «Письма к Геродоту» в сущности содержится указание на наличие уже у Демокрита учения о мельчайших частицах атома, обратил мое внимание И. А. Боричевский. Нигде в античной литературе прин- ципы математического атомизма Эпикура не противопоставляются соответ- ствующим принципам атомизма Демокрита. Единственным исключением является место Галева, цитированное на стр. 82, но этому исключению невозможно придавать какое-либо значение, так как здесь левкипповой школе приписывается учение о неделимых, «не имеющих частей» (apisp^), а эпикурейцам только учение о Физических атомах, что заведомо противоречит действительности* Симпликий (in Aristot de coelo, I, 7,’p. 275 b 29 = стр. 242, 16 Diels) не делает в этом отношении никакой разницы между атомистами и Эпикуром. 104а. Nik. Papadopulos, Die Erkenntnislehre des Demokrit, Leipzig 1933, стр. 44-49.Diog.Laert.IX,46: Кратиуттдрса, отар ecttiv Етпхргпха tu>v 7tpoEipv]|iEva)v. Pint, de virt. morali, 7, p. 448 A: ApccttoteXtq?, Дтдр.о'хр1то(; те xai Xpu<nt:tzqq Evia twv TTpoattev а и той; apsaxovTiov аЗориРю; xai а$Г/ХТ<о<; xai цечГ t;3ovy)$ acpsiaav. 105. «Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imp. Petropolitanae», 14, p. 1, pro anno 1769, Petropoli 177O.L.Euler, «De formulis integralibus duplicatis», стр.76: «Quaeratur soliditas sphaerae, cuius centrum fit C et radius CA = a, cuius elemen- tum est columella (= материальная линия Демокрита) YZyz areolae Yy = dxdy insistens, positis CP = x et PY=y, eritque eius altitude YZ=^ a2— x2— y2, hinc soliditas columellae elementaris = dxdy va2— — y2. Maneat primo intervallum CP — x constans» etc. («Пусть требуется найти объем шара, центр, которого С, а радиус СА = а- его элементом является'столбик (= материальная линия Демокрита) YZyz, имеющий основанием площадку Yy — dxdy, если принять, что СР = х, а РТ = у. Высота столбика YZ = \га2 — х2 — у2, откуда объем элементарного столбика = dx dy у/ а2 — х2 — у2. Пусть на первых порах расстояние СР = х остается постоянным»...
139 106. Аналогия с учением Демокрита здесь неполная, так как нам приходится считать dx, dy, de и, следовательно dv одной и той же величиной во всех атомах. Однако, поскольку речь идет о решении задачи нахождения количества массы в неоднородном по плотности теле путем интегрирования, между этими двумя случаями нет большой разницы. В самом деле, пусть измерения наиболь- шего из атомов будут dx, dy и dz\ измерения атомов в общем виде: х (х, у, г) dx, У Уч г) &У, z (хч Уч z) dz, а плотность их f(x, у, г). Увеличим все атомы за счет окружающей их пустоты до величины наибольшего атома, тогда плот- ность из / (а, у, z) превратится в f (х, у, е) х (х, у, г) у (х, у, z) z (х, у, z), т. е. измерения всех атомов станут равны dx, dy, dz, а плотность некоторой определенной переменной величине, и мы придем к условиям разобранной в тексте задачи.
л в ч т в ДАЛЬНЕЙШИЕ СУДЬБЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АТОМИЗМА В ДРЕВНОСТИ 1. Антифонт и его софистическая теория бесконечно малых Как мы видели, господствовавшая до Демокрита концепция -пространства, содержала непримиримое внутреннее противоречие: с одной стороны, считалось само собою подразумевающимся, что пространство делимо до бесконечности; с другой, — точка определя- лась в<го же время как «непротяженная» (отчего? а&асггатоу). Зенон, как мы уже знаем, блестяще использовал это противоре- чие для своих скептических выводов. Демокритово допущение существования предела делимости, существования минимальных протяженных частиц, которые дальше никоим образом не только не могут быть Фактически разделены, но не могут быть и представлены разделенными, при научных предпосылках того времени было единственной возмож- ностью защитить математику от нападений элейцев, не отказы- ваясь от учения о бесконечно малых. Тем не менее, атомистическая теория успеха не имела. Атоми- стическая геометрия Демокрита в эллинистическую эпоху изучается только в узком кругу атомистов («демокритовцев» и эпикурейцев); Официальная математическая наука совершенно игнорирует ее: по господствовавшему в науке мнению атомистическая математика «ниспровергала основные положения геометрии» (см. выше, стр. 55 и сл.). Только полным сначала замалчиванием,а затем забвением атоми- стической математики можно объяснить тот курьезный Факт, что через двести лет после смерти Демокрита гениальный Архимед самостоятельно пришел к методу, почти совпадающему с методом Демокрита, и лишь после этого случайно узнал, что тот же метод был уже применен Демокритом. На это любопытное обстоятель- ство обратили уже внимание Цейтен и Таннери (i). Чрезвычайно важным в этом отношении является то обстоятель- ство, что атомистическая концепция пространства стоит в прямом противоречии с тем, что кажется нам непосредственно данным
141 в опыте. Анаксагор только распространял данные чувственного опыта на недоступную для чувств сферу бесконечно палого, когда он утверждал, что пространство непрерывно и поэтому отличается бесконечной делимостью; такая концепция принималась всеми без спора, так как она казалась непосредственно-очевидной. Правда, и Демокрит отнюдь не вступал в конфликт с чувственным опытом: ведь, его неделимые частицы лежат за пределами этого опыта. Но освоить это тонкое метафизическое по своему существу по- строение могли только особо теоретически изощренные умы (г). Несомненно, важнее было другое обстоятельство, коренившееся в самой классовой структуре античного общества. Демокрит высту- пил со своими трудами на рубеже двух периодов. Невозможность устранения двух коренных зол античной жизни — партикуляризма и рабства (з)— привела к крушению того демократически-материали- стического мировоззрения, которое характеризовало как социальные и политические учения, так и естественные науки V в. На месте демократически-материалистических теорий мы видим теперь учение о всемогущих сверхчеловеках на земле и соответственно о всемогущем божестве на небе; именно в желаниях и прихотях этих сверхчело- веков и богов видели ученые этого времени первопричину всего происходящего. Поэтому понятно, что руководители этого идеали- стического направления не могли не видеть своего главного врага в гениальном творце самой совершенной из всех материалистиче- ских систем древности. В самом деле, учение, по которому все тела состоят из совершенно однородной и одинаковой материи и от- личаются только количеством и расположением неделимых частиц этой материи, перемежающихся пустотой, будучи перенесено в область политики, вело к опасной доктрине о качественной равно- ценности всех людей независимо от их происхождения; если всякая протяженность определяется только количеством входящих в нее неделимых, то не следует ли и в государственных делах считать правильным то решение, за которое высказалась наибольшая по количеству часть граждан? Мы не знаем, связал ли сам Демокрит атомизм со своими демократическими убеждениями, но эту связь ему должны были навязать его аристократические противники. Впрочем, и с чисто философской стороны учение атомистов было чрезвычайно опасным. Первоосновой всего сущего являлась частица чистейшей материи, неодушевленная, неподдающаяся никакому воздействию, «бесчувственная» (airadvi;) ив то же время наделенная сплош- ностью, совершенной неделимостью, однородностью и отсутствием
142 частей, т. е. по античным представлениям, аттрибутами высшего совершенства, присущими божеству. Кроме таких частиц существо- вала только абсолютная пустота «небытие» (то zevov, то [лт) ov). Таким образом, все духовное являлось, продуктом чистой материи, бытие всецело определяло сознание. Ясно, что с такой концепцией ученые идеалистического лагеря примириться не могли. Они были вынуждены либо считать неделимые первотела нематериальными, что с точки зрения того времени означало, что они и непро- тяженны, — тогда не составляло уже труда отожествлять эти перво- начала с душами, божествами и т. д.; либо вовсе отрицать существо- вание неделимых. Франк во многократно цитированной мною книге убеди- тельным образом показал, что все сообщения о блестящих математи- стических открытиях до-демокритовских пифагорейцев—позднейшая легенда, заведомо противоречащая и законам развития науки и Фактам. Но несомненным остается то, что пиФагорейпы уже с ран- него времени занимались геометрией; ее идеальные и очищенные от всего земного образы служили им для религиозно-мистических аналогий и спекуляций. Теперь вспомним, что Демокрит начисто отрицал возможность каких бы то ни было геометрических спекуляций и построений в пустом пространстве. Его точки, линии, плоскости—это тела, чрез- вычайно малые в том или ином направлении, но наполненные материей. «Геометрия превратилась таким образом в Физику. Это угрожало самому существованию геометрии как чистой науки; математики вынуждены были выступить сплоченно на ее защиту. Основной идеей нового математического движения является защита объективной реальности геометрии и чистоты ее положений и мето- дов от опасности, угрожающей ей со стороны материалистического эмпиризма. Главным представителем этого движения явилась пифа- горейская школа, приверженцы которой группировалось в Южной Италии вокруг Архита» (5). Если демокритовский атомизм, перенесенный в область политики, мог служить научным обоснованием демократии, то аналогичным образом аристократические пифагорейцы использовали открытую около этого времени геометрическую пропорцию для обоснования аристократической концепции. Чтобы понять это, надо считаться с античной Формулировкой пропорции. Пусть мы имеем, скажем, два подобных треугольника: ару и АВГ. Пропорцию ар: ау=АВ:АГ грек читал так: «каково ар, взятое по сравнению сау, такое же
143 и А В, взятое по сравнению с АГ». Иными словами, с его точки зрения а(3 равно АВ, но не в арифметическом, а в геометрическом смысле, соответственно занимаемому им месту. При перенесении в область политики это означало: все граждане равны, но не в смысле механи- ческого поравнения (как думают демократы), а в геометрическом смысле соответственно занимаемому ими месту: они равны в своем неравенстве. Итак, „даже в области морали и политики пифагорейцы противопоставили «Физической» точке зрения «геометрическую», чисто «арифметическому» подходу атомистов «геометрический», принципу «арифметической пропорции» принцип «геометрического равенства» и перестроили всю математику и философию, исходя из понятия геометрической пропорции. Платон, и в этом случае находя- щийся в полной зависимости от пифагорейских воззрений, видит в пифагорейском открытии геометрической пропорции новую эпоху не только для математического, но и вообще для человеческого мышления. Геометрическая пропорция становится для него основ- ным мировым законом — в этом реакционном смысле следует пони- мать изречение Платона: «бог всегда поступает по законам геомет- рии», и мы «можем стать счастливыми только при помощи геоме- трии» “(с). Этими же предпосылками объясняются и основные черты пифа- горейской математики, представляющей собой идеалистическую переработку демокритовского атомизма. И в этом случае я удоволь- ствуюсь цитатой из книги Франка, так как я в этом случае вполне присоединяюсь к его остроумной реконструкции: «Если (как утверждал Демокрит) все наше мировосприятие имеет лишь субъек- тивную достоверность, то почему тела должны составлять исключе- ние и быть единственной объективной реальностью?. Для пифа- горейцев вещью в себе является не материя, а пустая геометриче- ская Форма тела; наши чувства придают ей окраску, оттенок и другие чувственные свойства. Не массивные материальные неде- лимые Демокрита, а чисто математические идеальные простран- ственные Формы (линии и поверхности), вернее их простейшие элементы (непротяженные математические точки), являются поэтому для пифагорейцев последними компонентамии телесного мира... Таким путем пифагорейцам удалось преодолеть в своей философии материалистический принцип Демокрита, сохранив другой лейтмотив Демокритовой системы—квантитативно-атомистический»(7); по этому пути пошел и ученик пифагорейцев Платон; преодоление математи- ческого атомизма было делом следующего поколения математиков.
144 Однако, если считать первотела, точки, непротяженными, то остается в силе то возражение, которое элейская школа бросила до-демокритовскому атомизму: ex nihilo nihil fit. Чтобы парали- зовать его, пришлось прибегнуть к динамическим представлениям, приобретавшим все больше и больше права гражданства в науке в связи с прогрессом механики (так мы знаем, что . Архит изучал поверхности, полученные в результате вращательного движения образующих; впрочем, это не дает еще права видеть в нем вместе с Франком представителя динамического атомизма). Как мы узнаем из трактата «О душе» Аристотеля (?а), пифагорейцы заменили неделимое Демокрита точками; но, по их учению, линия не просто совокупность точек, а результат движения точки, поверхность не просто совокупность линий, а результат движения линии, тело — результат движения плоскости. Это учение, сколь бы про- тиворечивым оно ни было в его практических приложениях, оказа- лось системой, безупречной в идеологическом отношении: точка, обладающая божественными аттрибутами неделимости и непро- тяженности, т. е. абсолютно совершенная и материальная духов- ная сущность оказалась первоначалом и творцом материи. Правда, «движение» как и вообще всякая «суетливость», тгоХитграу^оаи^ (постоянно вменявшаяся в вину демократии!) есть свойство, не до- стойное чисто-духовного божественного существа. Платон как раз в этом видел недостаток пифагорейской теории и недопустимое заимствование из мира бывания (7 ъ), но пифагорейцы, повидимому, спасали положение тем, что видели в этом движении «падение» души, создающей себе темницу в виде тела—материи (<т5[ла=(г?р1а) (7 с). Таким образом, по этой теории материя вовсе не состоит из точек: точка в своем движении создает нечто разнородное с ней самой — линию, линия — плоскость и, наконец, плоскость создает уже нечто совершенно неоднородное с ней — настоящую материю, в которой материализация доведена до логического конца. Создавая линию, сама точка исчезает, точно так же сама линия исчезает, создавая плоскость... Вождь реакционной науки Платон (см. ниже) не преминул использовать его атомистические теории, но подверг их идеали- стической обработке, так чтобы они могли войти как составная часть в его идеалистическую систему. Однако, пользуясь таким образом учением Демокрита как одной из главных основ для своей системы, он умышленно ни разу не называет его по имени. Любо- пытен в этом отношении анекдот, сообщаемый Аристоксеном (в)
иь по которому Платон скупал, где только мог, произведения Демо- крита, с тем чтобы их сжечь. Это, по мнению Арпстоксена, пре- красно согласуется с тем Фактом, что Платон нигде не упоминает Демокрита, в то время как он упоминает почти всех других фило- софов, своих предшественников: даже в том случае, когда по кон- тексту с несомненностью следовало ожидать упоминания Демокрита, мы этого упоминания не находим. Поэтому, если даже рассказ о сожжении Платоном книг Демокрита — только анекдот, то вы- думан он не плохо; в самом деле, в «Законах» Платон с возмуще- нием упоминает о «к сожалению, столь популярном» (о) материали- стическом учении; имени основателя этой теории он не называет, несомненно, умышленно. Характерно замечание Платона, что в результате пропаганды такого учения «молодые люди впадают в безверие» и что это учение — «причина революции» (ю). Кроме указанных на стр. 140—141 двух причин — внутринауч- ной и идеологической, необходимо отметить еще третью причину непопулярности атомизма. Демокрит ставил выше всего ум, ratio, бывший для него верховным критерием для определения погрешно- стей, допущенных чувствами. Он резко отличал два мира: мир чув- ственный, «мир незаконнорожденной мысли», и мир умственный, надчувственный, «мир законнорожденной мысли». Только это разде- ление дало ему возможность допускать существование неделимых частиц, несуществующих в нашем, доступном опыту чувствен- ном мире. Но, уже начиная с Еврипида, нарождается эллинисти- ческая концепция, основной идеей которой было полное бессилие жалкого человеческого ума, неисповедпмость путей господних. По этой теории не ум был верховным критерием для оценки показания чувств, а наоборот, чувства, как ни ошибочны были подчас их свидетельства, тем не менее, стоят гораздо выше, чем беспомощный человеческий ум. Если же отказаться от Демокритова деления на два мира, то пришлось бы геометрические атомы Демокрита пере- нести в мир чувств — что было бы с его точки зрения явным абсурдом, так как показания чувств, по мнению древних, непосред- ственно свидетельствуют о том, что все тела делимы до бесконеч- ности. В таком положении оказался софист Антифонт (и). Здесь не место говорить об учении АнтиФОнта в целом; я удо- влетворюсь ссылкой на свои другие работы (12). В этих работах я показываю, что Антифонт в ряде основных положений своего учения был последователем Демокрита; однако, следуя духу нового
146 времени, он отказался от гносеологического различия между «закон- норожденной» и «незаконнорожденной» мыслью. Напротив, для него все то, что не есть непосредственный вывод из показаний чувств, а, следовательно, прежде всего, именно продукты чистого разума, было чем-то малоценным, продуктом «искусства» и «закона», ничего не стоящих по сравнению с «природой». По интересующему нас вопросу о бесконечно малых от Анти- Фонта дошло немного: кроме чисто-математического отрывка, о котором мы скажем подробно ниже, только два определения тер- мина «а§ьа(тгатоу» (стр. 2 и 15), но эти определения чрезвычайно поучительны. Благодаря особенностям греческого языка слово «а&астатоу» означает в одно и то же время и «неделимое» и «непротяженяое»; это слово употребляется только как эпитет сверхчувственно-малых величин и мало чем отличается от уже встречавшихся нам выра- жений ато[лоу, a[Asp£$, aStatpezov (13). В одном из этих дошедших от АнтиФонта определений (и) а?иа<утатоу характеризуется как „еще не потерявшее единства и не разделившееся»—концепция неделимой частицы, считающаяся, как мы выше указали (стр. 64), характерной для Эмпедокла. Таким образом Антифонт и в этом случае отказался от гносеологического дуализма Демокрита и вернулся к точке зрения, на неубедительность которой, как мы видели, указывали Демокрит и вслед за ним Ари- стотель. Второе определение (is) есть, в сущности, лишь пояснение при- мером: «и сооружение неделимо». Как мы увидим ниже (стр. 149 с прим. 22 и 23), это сравнение с домом и его разделением на- столько обычно в эллинистической философии, что даже этот ни- чтожный Фрагмент дает возможность восстановить ход мыслей АнтиФонта: сооружение в таком понимании неделимо только в том смысле, что если из него выделить часть, то эта часть будет уже не сооружением, скажем, — не домом, а грудой кирпичей. При раз- делении однородной массы на части происходит изменение чисто количественное; при разделении сооружения или механизма на части происходит изменение не только количественного, но и качествен- ного характера. Точно так же, пока мы разделяем однородную материю на группы атомов, мы имеем дело с изменением коли- чественного характера; при разделении атома на части (выражаясь нынешним научным языком) количество переходит в качество. Итак, с этой точки зрения существуют атомы различных порядков.
147 Разбивая атом высшего порядка, мы получаем нечто качественно новое: скопление атомов низшего порядка и только. Дом, с этой точки зрения — атом высшего порядка, кирпич низшего. Уже в уче- нии Демокрита существовали атомы двух порядков: высшего — Физический, и низшего — математический (ajAspi;), причем Демокрит утверждал, что Физический атом может быть величиной с целый мир (xocrpiiaia, выше стр. 119). Перевертывая это положение, более поздние ученые утверждают, что, и наоборот, вся земля только атом, точка (апуриоиа, Клеомед, cycl. theor. 1,8,43), в системе высших единиц. По аналогии с этой концепцией точка рассматривается теперь, как атом линии, линия как атом плоскости, плоскость как атом напол- ненного материей пространства; Ряд параллельных свидетельств античных писателей покажет нам, что, повидимому, именно так надо понимать пример, приведенный у АнтиФонта. Нетрудно убедиться, что отказ от Демокритова деления явлений на два мира с неизбежной логической последовательностью должен был привести АнтиФонта именно к такому определению понятия «неделимое». У Демокрита понятие «неделимое, не имеющее частей» (арере;) принадлежало всецело миру чистого разума; в нашем мире чувств это понятие не имело смысла, так как такая неделимая, ве имею- щая частей частица никак не может быть постигнута ни одним из наших пяти чувств. Симпликий справедливо замечает: «Тела нашего мира делимы, тела мира чистого разума неделимы (iSiac- тата)» (ie). В полном согласии с этим во всех тех свидетельствах, где речь идет о двух типах атомов у Демокрита, подчеркивается, что Физические атомы могут быть делимы только мысленно, теоре- тически (erctvoia, existimatione), а никак не Фактически ЬтеХеуе’.а,ас^)- Теперь поставим себя в положение АнтиФонта, т. е. представим себе, что получится, если принять учение Демокрита, но в то же время начисто отказаться от метафизического мира чистой мысли. В чем в этом случае будет заключаться разница между Физиче- скими и математическими атомами? Поскольку мир чистой мысли отпал, речь не может итти о полной Фактической невыполнимости деления неделимого, речь может итти только о его чрезвычайной затруднительностп: еще ([хт^со) никто до сих пор не осуществил расщепления объема на далее неделимые плоскости, разделения окружности на ряд мельчайших прямолинейных отрезков и т. д., но что же из этого? При лучших орудиях, при более высоком уровне науки и это будет осуществлено.
148 Но если и то и другое деления возможны, то в чем же разница между Физическими и математическими атомами? Наиболее харак- терной, бросающейся в глаза чертой математических атомов Демо- крита было то, что они качественно разнородны с разлагаемой субстанцией: для того чтобы притти к математическому атому, необходимо сначала объем разложить на поверхности, затем поверхность на линии, затем линии на «точки»—математические атомы. Ясно, что этот признак — качественная неоднородность — должен был стать характерным при определении понятия «недели- мого». После всего сказанного неудивительно, что некоторые из толко- вателей Аристотеля, как Александр из Афродпсии (а вслед за ним и Симпликий, цитирующий его), не имевший, как мы видели, пред- ставления о двух типах атомов, но слыхавший, что атомы у Демо- крита каким-то образом могли делиться дальше, приписывает од- нажды, при толковании трудного места в сочинении Аристотеля «О небе» (17), учение о том, что атомы «еще не разделены, но могут быть разделены», как раз атомистам в широком смысле, т. е. демо- критовцам и платоновцам (is). В действительности, как мы видели уже (стр. 64) из Аристотеля, учение, содержащее эту догму, как раз в этом пункте было противоположно демокритовскому. В комментарии Симпликия к изложению атомистического уче- ния у Аристотеля мы читаем следующее: «Александр толковал это так, что (в геометрических телах) находятся неделимые протяженные сущности, еще не разделенные, но могущие быть разделенными» (is). Средневековый составитель Коислинианского комментария (схолии), приводящий это толкование Александра и, несомненно, списывающий с какого-то античного источника, справедливо замечает, что такая точка зрения не имеет ничего общего с атомизмом; мы знаем теперь^ что сам Аристотель счптал эту точку зрения эмпедокловой и что впоследствии на ней стоял Антифонт. Другой толкователь Аристо- теля, Симпликий, делает к этому же месту такое примечание: «Пирамиды и шары в такой же мере неделимы, как и те пирамиды и шары, существование которых они (т. е. атомисты в широком смысле) постулировали, т. е. неделимы на части, однородные с целым» (1э). Приведу еще несколько свидетельств, в которых «атом», «неде- лимое», «непротяженное» (то aroaov, то а^аатато^) трактуются как относительные понятия, характеризующиеся качественным измене- нием при разделении. Утверждение, что точка—атом линии, линия —
149 атом поверхности и т. д. повторяется неоднократно у Аристотеля: чатом... как, например, точка — атом линии» (20). Симпликий: «не- возможно найти такую величину, имеющую протяжение, которую нельзя было бы разделить на части другой величиной, непротяжен- ной по сравнению с ней: так, тело делится на части поверхностью, поверхность — линией» (21). Как мы видели, его сравнивают с домом (или вообще с сооружением), который при разделении распадается не на такие же дома, как он сам, а на отдельные кирпичи. Это сра- внение вполне применимо и к атомизму Платона, по учению кото- рого атом может быть Фактически разложен на свои внешние по- верхности, т. е. на элементы, абсолютно разнородные с целым. £м. Симпликий: «Возникновение субстанций друг из друга есть следствие соединения в новых группировках комбинаций тех (платонов- ских) граничных поверхностей, подобно тому, как если, разо- брав дом, из того же материала складывают новый дом» (22). Другие подобные же высказывания мы приводим в примеча- нии (23). Все они дают нам возможность понять, что хотел сказать Антифонт, иллюстрируя понятие «неделимого» образом неделимого сооружения. И эти же места помогут нам понять самый знаменитый из отрывков АнтиФонта — его решение задачи квадратуры круга. Этот отрывок был нам известен уже давно из сообщений Сим- пликия и других толкователей Аристотеля (равно как и из свиде- тельства самого Аристотеля, к сожалению, слишком краткого). Квадратуре АнтиФонта был посвящен ряд научных исследований. Все относящиеся сюда свидетельства напечатаны с параллельным немецким переводом и комментарием в книге Ф. Рудио: «Сообщение -Симпликия о квадратурах АнтиФонта и Гиппократа» (24); поэтому я не стану приводить их здесь целиком (25). Скажу лишь вкратце, что Антифонт вписывал в круг ряд многоугольников, последова- тельно удваивая число сторон; он полагал что раньше или позже вся площадь круга будет исчерпана пли, как он говорит, «из- расходована» (Sazavte[xsvou), и многоугольник вследствие малости «сторон совпадет с кругом (не в каком-то мире чистой мысли, а Фактически, конкретно!). Зависимость АнтиФонта от Демокрита была для меня всегда очевидна, особенно в вопросах геометрии, так как и против Демо- крита и против АнтиФонта выдвигалось совершенно аналогичное обвинение в стремлении «нпспровегнуть основные положения гео- метрии». Поэтому, казалось бы, сама собой напрашивалась мысль
150 что в этом отрывке в основании рассуждений АнтиФонта лежит восходящий к Демокриту математический атомизм. Тем не менее, до нахождения новой еврейской рукописи я не решался толковать этот отрывок в этом смысле и видел в квадратуре АнтиФонта лишь вступление на путь чистого эмпиризма: я думал, что Антифонт продолжал процедуру удвоения до тех пор, пока многоугольник по внешнему впечатлению, на глаз не совпадал с окружностью. Должен сознаться, что два исследователя, Альман и О. Апельт, оказа- лись прозорливее меня и уже в конце XIX в. отгадали, что в основе антпФОнтова решения лежит учение о неделимых частицах (ге). Однако, как ни остроумны были их догадки, они были весьма произвольными построениями до нахождения новой рукописи, о которой было сказано в предисловии. Само собой разумеется, что удовлетворяющее всем требованиям науки издание той стра- ницы этой рукописи, которая посвящена АнтиФонту, станет возмож- ным лишь после опубликования всей рукописи и после решения вопроса об ее источниках. Однако вследствие исключительного интереса этого места для истории учения о бесконечно малых в древности я даю в примечании — транскрипцию (27) и научный аппарат (гв), а здесь его перевод. Читатель, надеюсь, не поставит мне в вину, если по изучении рукописи в целом окажется необхо- димым внести те или иные изменения. Вот перевод отрывка: «Мне остается еще только исследовать, как тело разделяется и распадается на плоскости и как плоскость разделяется и рас- падается на линии, сообразно тому, что высказал Платон относительно геометрии и измерительного дела. В самом деле, я думаю, что Платон представлял себе тела состоящими из плоскостей, плоскость — из линий, линию—из точек. Это как раз то же, что Антифонт (в рукописи вместо «Антифон»— «Антифор») утверждал относительно квадратуры круга: а именно, он вписывал в круг прямолинейную Фигуру, после чего он делил пополам каждую дугу, прилегающую к каждой из сторон Фигуры. Затем он соединял концы каждой дуги соединительной прямой. Он не переставал поступать так с каждой из дуг, пока не приходил к выводу, что путем деле- ния он достиг тех частиц, из которых состоят как прямая, так и окружность круга. Однако, как скачал Аристотель, это находится в противоречии е основными положениями геометрии; так как согласно этим основным положениям линия не состоит из точек и величины {не1} могут быть делимы до бесконеч- ности». 1 Отрицательная частица («не») попала сюда по ошибке из выражения: «об» не переставал поступать так», где она пропущена. См. прим. 27.
151 Если сравнить это сообщение о квадратуре круга у АнтиФОнта с другими известными уже раньше, то увидим, что ничего нового относительно хода доказательства у АнтиФОнта оно не содержит: напротив, изложение у еврейского писателя гораздо более кратко, чем у греческих комментаторов, и поэтому понять его сообщение несколько труднее. Но вывод и тенденция всей антифонтовой про- цедуры в изложении этого памятника настолько отличаются от того, что мы могли бы заключить из греческих источников, а с дру- гой стороны, правильность сообщения Альфонсо настолько блестяще подтверждается всем ходом развития греческой математики V в. (недаром Альман и Апельт правильно разгадали смысл АнтиФонтова доказательства уже до нахождения новой рукописи), что мы, думается мне, вынуждены предположить, что и эти новые сообще- ния Альфонсо восходят к первоклассному греческому источнику, к сожалению, не дошедшему до нас. Правда, один выдающийся немецкий математик высказывает предположение, что Альфонсо так же реконструивал это учение, как Альман и Апельт. Но для этого мы должны предположить у средневекового еврея такое про- никновение в общий ход развития античной математики, которое стало возможно только теперь, после исследований Арнима, Гаммер- Иенсен и Франка. Конечно, можно ожидать всякого рода неожидан- ностей в нашей области от опубликования труда Альфонсо цели- ком, но уже a priori следует считать это предположение совер- шенно невозможным. Можно быть уверенным, что Альфонсо (как обычно все его современники) не производил настоящего научного анализа, а списывал целиком, почти не меняя контекста, и притом скорее всего из вторых или из третьих рук какой-нибудь авторитет- ный научный источник. За это говорит и то, что вся структура сообщения чрезвычайно близка к сообщениям греческих коммента- торов (так например, и Альфонсо, точь-в-точь как Филопон, при- водил в конце сообщения как ultima ratio точку зрения Аристотеля). Нет сомнения, что все наши сообщения восходят к одному и тому же источнику; поскольку сообщение Альфонсо о неделимых отрезках содержится в обрубленном и искаженном виде и’в других источни- ках, как мы сейчас увидим, есть основание утверждать, что в этом случае Альфонсо ближе всего к общему первоисточнику этих сооб- щений— к знаменитому историку математики Евдему. Так, в источниках определенно указывается, что один из упреков АнтиФонту, во всех редакциях, включая еврейскую, выра- женный в одних и тех же словах,—упрек в том, что его доказа-
152 тельство содержит отрицание деления до бесконечности и тем ни- спровергает основное положение геометрии (se) — восходит к Евдему. Симпликий: «Евдем утверждает, что это основное положе- ние геометрии ниспровергается Антифонтом» (29). Второй упрек, заключающийся в том, «что согласно основным положениям геометрии круг касается прямой только, в точке, а Антифонт пренебрегает этим» (зо), как указывает Симпликий, восходит не к Евдему, а к Александру из Афродисии; поправка и дополнение к этому пункту принадлежит, как видно из ссылки на Евклида (III, 2 и III, 16), скорее всего, самому Симпликию, но во всяком случае какому-то автору, жившему после Евклида. Так как этот упрек к тому же налицо только у Симпликия и отсутствует во всех других источниках, то он не мог в этой Форме содержаться у Евдема. Совершенно в другой редакции содержится этот упрек у Альфонсо: «Согласно основным положениям геометрии линия не состоит из точек». Эта редакция, несомненно, архаичней, тем более, что и самый текст доказательства АнтиФонта у Альфонсо средакти- рован несколько иначе, чем в греческих источниках. Так у Симпли- кия мы читаем, что Антифонт последовательно удваивал число сторон вписанного многоугольника до тех пор, пока «по израсхо- довании всей поверхности в круг не впишется таким путем некий многоугольник, стороны которого ввиду их малости (Sta срмсрбтпта) совпадут с окружностью круга» (si). То же сообщает и Филопон. «Он (Антифонт) предполагает, что, вследствие малости, неко- торая прямая может совпасть с некоторой дугой» (32). Выражение вследствие малости» недостаточно ясно; в моей книге об АнтиФОнте я понимал его в грубо эмпирическом смысле — именно в том смысле, что Антифонт повторял свою процедуру до тех пор, пока много- угольник на чертеже, т. е. на-глаз, не совпадал с окружностью. Сообщение Альфонсо показывает, что такое понимание невозможно: «(Антифонт не) переставал поступать так с каждой из дуг, пока он не приходил к выводу, что путем деления он достиг тех частиц, из которых состоит как прямая, так и окружность круга». Значит, толкователи Аристотеля употребили выражение «вследствии малости» Она С[хьхр6т7}та) в том смысле, в каком оно обычно употреблялось в атомистической литературе и как оно в огромном большинстве случаев и употребляется у комментаторов Аристотеля (см. выше: стр. 124) при сообщениях об атомистах: в смысле абсолютной
753 жалости, отсутствия частей (то ар.ер£(;). Эти частицы вполне соответствуют Демокритовым apcspvj; более тщательное изучение терминологии толкователей Аристотеля должно было бы навести на эту мысль уже до ознакомления с Альфонсо. Итак, уже выше, совершенно не зная Альфонсо, мы убедились, что у толкователей Аристотеля выражения срдхрот-/);, «малость», в огромном большинстве случаев применяется в сообщениях об атомистах специально для характеристики тех «мельчайших частиц», из которых состоят линии; выражению греческих толкователей Ари- стотеля а[льхрбт7)та у Альфонсо соответствуют «те частицы из которых состоит как прямая, так и окружность круга». Это стоит в полном соответствии с тем, что Антифонт, как уже ука- зывалось выше (стр. 149), был последователем Демокрита. Поэтому я убежден, что и древнейший Формой возражения, восходящей к самому Евдему, была не та, которую мы находим у Симпликия и источником который был Александр из Афродпсии, а та, которая сохранилась у Альфонсо: «Согласно основным положениям геометрии линия не состоит из точек и величины делимы до бесконечности». В самом деле, в дошедших до нас подлинных отрывках Евдема, собранных Шпенгелем (зз). Евдем постоянно полемизирует с тем же допущением существования бесконечно малых неделимых элементов, из которых состоят прямая и круг, причем эти элементы у него называются то неделимыми (ijxep-й), то, как у Альфонсо, точками (стчу^аь): Отр. 60: «Ничто непрерывное не состоит из неделимых». Отр. 61: «Если неделимые расположены рядом друг с другом, то необходимо, чтобы между ними находилось нечто, неодно- родное с ними... Поэтому подобно тому, как две точки, касаю- щиеся друг друга, не образуют никакой длины, так не обра- зуют ее и точки с пустотой между ними». Отр. 62: «Если величина состоит из неделимых, то ока- жется, что одна прямая больше другой на точку... Далее, если прямая больше прямой на точку, то и круг круга...» Отр. 63: «Все величены должны неизбежно делиться...» (м) Может ли это совпадение быть случайным, тем более, что вообще в тот период, когда математическая наука шла под знаме- нем борьбы с теорией математических неделимых, всякая полемика должна была быть обращена своим острием против этой теории, и даже двести лет спустя эпикуреец Зенон не ставит вопроса так: «могут ли две прямые пересечься более чем в одной точке», а так:
154 «имеют ли две прямые „общий отрезок**» (имеется ввиду чрезвы- чайно-малый, неделимый, см. выше, стр. 113)? Под квадратурой круга в древности разумелась практическая задача «построить квадрат, равный кругу» при помощи точной геометрической процедуры, т. е. помощью конструкции, состоящей исключительно из прямых и кругов и не основанной на добытых опытным путем числовых данных. Поэтому, если мы читаем, что Антифонт «надеялся по израсходовании всей площади круга вписать в круг некоторый многоугольник... стороны которого совпадут с окружностью», и затем найти площадь этого многоугольника, равную площади круга, на основании применявшихся тогда проце- дур для нахождения площади правильного многоугольника, то вряд ли это можно понимать в смысле бесконечного процесса. Ведь здесь ни слова не говорится о пределе и приближении: наоборот, после того как найден вписанный многоугольник, равновеликий кругу, предлагается найти его площадь по правилам для вписанного много- угольника. Скорее, надо понимать это место так, как оно читается; Антифонт полагал, что, последовательно удваивая число сторон вписанного многоугольника, мы, наконец, придем (не в надчувствен- ном, а в этом нашем мире, только при условии очень точных вычи- слений) к многоугольнику, периметр которого точно совпадет с окружностью. Вряд ли Антифонт мог не понимать, что всякий чертеж будет недостаточно точен для этой цели; повидимому, он нашел какой-то псевдоматематический прием (пли надеялся, что можно найти такой прием) для установления равенства между много- угольником и кругом, например, что можно будет доказать, что круг не что иное, как миллионоугольник, миллиардоугольник и т. д. Каким путем он надеялся это осуществить — об этом ничего сказать нельзя, ввиду отсутствия более подробной информации в источни- ках (35). Если мы правильно толкуем свидетельство об АнтпФОнте, то его точка зрения была, безусловно, шагом назад по сравнению с мате- матическим атомизмом Демокрита. В то время как математический атом представляет собою концепцию, которая средствами античной математики, во всяком случае, не могла быть опровергнута, попытка найти такое и, при котором площадь n-угольника точно равнялась бы площади описанного вокруг него круга, и с античной точки зрения детски наивна. Тем не менее, как мы увидим ниже, в доказательстве Анти- Фонта есть нечто принципиально новое — именно процедура после-
155 довательного удвоения числа сторон вписанного многоугольника. Если Антифонт действительно оригинален в этой процедуре, то он сыграл крупную роль в истории математики. По вопросу оригинальности АнтиФонта специалистами выска- заны суждения, диаметрально противоположные друг другу. Вид- нейший английский историк математики Гэс (зв) не сомневается в оригинальности АнтиФонта. Он даже думает, что «Антифонт, в сущности, сказал то же, что говорим мы, утверждая, что круг — это предел таких вписанных многоугольников, число сторон которых бесконечно возрастает». Это — вряд ли верно, — у нас нет пока ни- каких оснований говорить о пределе и бесконечной процедуре уже во второй половине V века; но, с другой стороны, Гэс, если согла- ситься с ним в том, что метод АнтиФонта оригинален, безусловно прав, заявляя, что Антифонт как основатель метода последователь- ного удвоения числа сторон вписанного многоугольника является предшественником Евдокса и «заслуживает почетного места в исто- рии геометрии». Совершенно другого взгляда на оригинальность АнтиФонта дер- жались Таннери и Цейтен (37). Цейтен видел в парадоксе АнтиФонта только «злоупотребление Демокритовой процедурой»; Таннери гово- рил: «Я никогда не мог сколько-нибудь ясно понять то истори- ческое значение, которое по общему согласию отводится АнтиФонту. В самом деле, Антифонт жил на поколение позже Гиппократа, а уже Гиппократ показал, что площади двух кругов относятся, как квад- раты их диагметров. Родоначальником этого метода следовало бы считать поэтому Гиппократа, а не АнтиФонта; в аргументации Анти- Фонта я усматриваю только софистическую вариацию на мотив, принадлежащий Гиппократу». В рассуждении Таннери есть ряд ошибок: 1. Хронология Гиппократа не установлена с такою точностью, чтобы можно было утверждать, что он был предшественником, а не современником или, может быть, даже младшим современником АнтиФонта (см. выше, гл. II, прим. 82). 2. Если Гиппократ жил поколением раньше АнтиФонта, то трудно предположить, чтобы он подходил к задаче об отношении площадей кругов методом исчерпания. Так, например, один видный немецкий математик считает возможным следующее: Гиппократу было из- вестно египетское число для отношения между площадью круга и площадью описанного вокруг него квадрата (—). Из уравнений \Я1/
156 n = || d2, va = || d22 он получил : v2 = df: d22. Мне это предпо- ложение кажется маловероятным; повидимому, уже в V в. характер- ной /особенностью греческой математики (в отличие от египетской) было недопущение каких бы то ни было эмпирических Формул в математические выкладки; по крайней мере, в дошедших до нас отрывках Гиппократа нет ни следа пользования эмпирическими Формулами. Но, и отвергнув такую возможность и, следовательно, предполагая, что доказательство Гиппократа основывалось на прими- тивном паллиативе операций с бесконечно малыми (так как другого способа доказать такую теорему не существует), нет основания ду- мать, что он применил уже антифонтов метод исчерпания. В самом деле, трудно предположить, чтобы Симпликий, который говорил об АнтиФонте непосредственно после Гиппократа, мог в таком случае приписать этот метод не Гиппократу, а АнтиФОнту. Вдобавок в V в. процветал всякого рода (примитивный и демокритовский) математи- ческий атомизм; он был лишь в IV в. вытеснен способом исчерпания, получившим окончательную обработку со стороны Евдокса. Поэтому более правдоподобно было бы представлять себе доказательство Гиппократа не по образцу Антифонтй, а по образцу Демокрита, т. е. не разбивая круг на ряд все более приближающихся к нему конечных Фигур, а составляя его из ряда сверхчувственно малых элементов, т. е. в данном случае скорее всего треугольников с верши- ной в центре и основаниями на окружности (ср. нахождение объема шара, выше, стр. 78). Итак: правда, не было бы ничего удивительного, если бы по мере расширения наших знаний об античной математике оказалось, что как раз в процедуре исчерпания Антифонт не оригинален, а что «го собственностью является только внесение в эту процедуру софи- стического эмпиризма; но до сих пор у нас нет никаких решительно данных для такого утверждения, и поэтому мы обязаны считать изобретателем метода последовательного удвоения числа сторон впи- санного многоугольника самого АнтиФонта. А если это так, то его заслуга весьма велика. В самом деле, в тех случаях, когда значение той или иной вели- чины нельзя найти методами элементарной математики, мы можем подойти к ней, пока мы не овладели еще способом пределов в его совершенном виде, двумя путями: 1. Мы можем составлять эту величину из чрезвычайно большого числа чрезвычайно малых элементов и, выведя ту или иную записи-
157 мость, верную для каждого из этих элементов, переходить затем к целому. Таким методом работал в древности Демокрит: им же пользовался как вспомогательным евристическим средством Архимед. В новое время его приняли Кавальери, Кеплер, Лейбниц, Ньютон и др. Сточки зрения математиков наших дней этот прием «нечисто- плотен» (unsauber); тем не менее, как еврпстическом средством им пользуются все математики до сегодняшнего дня (интеграл как сумма бесконечного множества бесконечно малых диФеренциалов). 2. Мы можем указать закон для нахождения ряда последователь- ных приближений, т. е. ряда конечных величин, из которых ка- ждая последующая менее отличается от искомой величины, чем пре- дыдущая. Это и есть способ, который мы впервые встречаем у АнтиФОнта. В системе Евдокса и восходящего к нему Евклида— это единственный способ подхода к такого рода величинам; един- ственным способом он остался в учебниках элементарной математики и до сегодняшного дня, но и в высшей математике значение его чрезвычайно велико. Первый способ, как указывает Аристотель (37 а), неизбежно при- водит к учению о сверхчувственно малых конечных частицах, второй — к учению о величинах, уменьшающихся бесконечно: «Непрерывное разделяется на бесконечное число неравных частей, но на конечное число равных». Как поясняет Александр в коммен- тарии к этому месту, при первом способе маленькая частица является некоей мерой большой величины, а, следовательно, ее можно счи- тать только конечной; примером второго способа является после- довательно повторяющееся вычитание определенной части из самой величины и получающихся остатков вплоть до бесконечности. В общеисторическом масштабе первый, демокритовский, способ, пожалуй, сыграл большее значение, чем второй, антпФонтовский; но в ближайшую следовавшую за Антифонтом эпоху, когда всякие спекуляции с неделимыми официальной математикой были запре- щены, этот последний способ остался единственным и определяю- щим для математики. Вот почему значение АнтиФОнта в истории античной математики очень велико, несмотря на то, что открытый им метод не нашел у него настоящего применения и был, повиди- мому, использован им для псевдонаучной процедуры. 2. Евдокс и научный метод исчерпания Научный метод исчерпания, основателем которого принято счи- тать Евдокса, отличается от метода исчерпания, примененного
158 Антифонтом, как раз в самом существенном. Антифонтов метод со- стоял в нахождении ряда прямолинейных Фигур (тел), построенных по такому закону, что площадь (объем) каждой последующей меньше отличается от площади (объема) искомой Фигуры, чем площадь предыдущей; то положение, что «последняя» из этих Фигур (тел) должна когда-либо совпасть с искомой, постулировалось по внеш- нему впечатлению как «очевидное». Научный метод исчерпания не довольствуется этой кажущейся очевидностью и считает важнейшей частью решения доказательство того, что разница между конструи- руемой прямолинейной и искомой Фигурой (телом) раньше или позже становится меньше любой заданной величины. ; В сущности, мы о Евдоксе знаем очень мало: свидетельство Архимеда говорит о том, что Евдокс применил этот метод исчер- пания для нахождения объемов конуса и пирамиды, но не о том, что он придумал этот метод. Поэтому выражение «метод Евдокса» является лишь условным обозначением для характеристики той эпохи, когда этот метод получил широкое распространение. Другой характерной чертой «евдоксова» направления был пол- ный отказ от конструирования какой бы то ни было теории бес- конечно малых. При античных предпосылках атомизм был, как мы видели, единственной возможностью построить учение о бесконечно малых, способное устоять против нападений элейцев; однако и он был обречен на неуспех. Для нас очевидно, что никакой бесконечный процесс не дан нам непосредственно в опыте; древним грекам, не прошедшим столь долгого пути научного исследования, как мы, на- оборот делимость до бесконечности казалось самоочевидным Фактом; в постулировании неделимых частиц видели нарушение основных предпосылок геометрии. Это было той теоретической причиной, которая препятствовала распространению атомизма. Но что же оставалось? Стать на точку зрения Зенона и отрицать множественность вещей? Пусть успех Зенона был настолько пол- ным, что сторонникам деления до бесконечности нечего было ему возразить (зв); множественность предметов казалось еще более само- очевидным Фактом, чем бесконечное деление: только сумасшедший может отрицать то, что предметов много (зв). Таким образом не только оба учения о бесконечно малых — как учение о непротяженных частицах, так и учение о протяженных, но неделимых частицах, — но и всякая иная метафизика математики успеха иметь не могли. От какого бы то ни было учения о беско- нечно малых приходилось отказаться (<с). Самый подход к геометри-
159 ческому доказательству теперь совершенно другой: откуда взял ис- следователь свое решение, — это его личное дело, «секрет производ- ства» и стремление проникнуть в этот секрет было бы праздным любопытством; важно только, чтобы исследователь безукоризненным с математической точки зрения способом, не исходя из «предпо- сылок, отнюдь не являющихся приемлемыми» (рт оих £итгара^6рт)та Хг,[Л[лата, как выражается Архимед), доказал верность этого решения. Под такими недопустимыми вследствие их недостаточной убеди- тельности гипотезами Архимед подразумевал в первую голову, ко- нечно, гипотезу о существовании неделимых частиц. Иными словами, как впоследствии правильно заметил Бонавентура Кавальери, доказа- тельство здесь начинается там, где оно кончается при атомистиче- ском методе. К сожалению, и математики нашего времени сплошь и рядом ве только удовлетворяются решениями типа Евдокса, но и считают их образцовыми во всех отношениях (ю&). «Я не понимаю, чего вы хотите», — пишет мне по этому поводу один видный математик: «в математике существуют только либо верные, либо неверные решения; верные — хороши, неверные — плохи». С этим согла- ситься нельзя. Верные решения, преподнесенные нам в этой евдок- совой Форме, удовлетворяют нас подчас не многим больше, чем верные же египетские Формулы, данные в виде рецепта, без всякого решения. Для нас сплошь и рядом самый способ нахождения реше- ния много поучительнее, чем доказательство верности его; даже если решение окажется неверным, оно может навести нас на метод нахождения решений для ряда подобных проблем, тогда как евдок- сова процедура исчерпания совершенно бесплодна в этом отношении и дает только метод проверки готовых решений. Откуда же брали сторонники евдоксова метода свои готовые решения? Не может быть сомнения, что они, если только не брали готовых решений, найденных уже атомистами, находили их предварительно сами, применяя при этом украдкой атомистическое разложение. Таким образом они на практике продолжали работу отвергнутой ими атомистической науки; если парадный Фасад зда- ния математической науки не должен был носить ни малейших сле- дов атомизма, и мы действительно не находим их в дошедших до нас математических трудах, то, тем не менее этот атомизм, как мы видели у Архимеда, в том или ином виде вводился с черного хода в виде евристического метода (как вводится и в наше время при
160 практическом решении геометрических и механических задач на- интегрирование), но, конечно, он не проникал дальше черновиков ученых исследователей (и). «Евдоксов» способ косвенного доказательства впервые появляется уже у элейцев. Доказательство от противного (argumentum a cont- rario) и приведение к абсурду (reductio ad absurdum) оказались в их руках новым блестящим орудием для борьбы с примитивной теорией бесконечно малых (42). Попробуем выяснить, из какого источника элейцы взяли такой способ доказательства. Древнейшие Философские сочинения имели сплошь и рядом Форму мифа, иногда аллегоризпрующего мифа, иногда ряда кратких, но ярких уподоблений. Характерный пример такого рода философской аргументации содержится в «Протагоре» Платона. Философ древнейшего времени, например, Пифагор, был чем-то в роде пророка или колдуна. Эмпедокл был только слабым, затронутым культурой нового времени отражением этого типа ста- ринного Философа. Но, как красиво выразился Г. Юнге, и в это время философ еще видел в своем слушателе или читателе ученика и друга, охотно позволяющего руководить собою и принимающего каждое слово учителя с благоговением и верой, а не противника, который только и делает, что выслеживает его слабые места и постоянно ищет случая напасть врасплох на своего руководителя. Такой учи- тель прежде всего стремился ввести своего ученика в самую лабора- торию научной мысли, а не ослепить его неизвестно откуда взятым импозантным решением, настолько хорошо сколоченным, что его не расшатаешь ни с какой стороны. Если мы зададимся целью найти тот литературный жанр, где такой вид доказательства уместен и возможен, то наше внимание привлекут к себе судебные речи, распустившиеся пышным цветом уже с самого первого момента появления демократии. Если в середине V в. жившие в Сиракузах, расположенных не так далеко от Элеи, ора- торы Тпсий и Корак уже пользовались мировой известностью, то, очевидно, искусство судебного красноречия существовало уже мно- гие десятки лет. Уже a priori вполне понятно, что уголовный преступник, высту- пающий с защитительной речью перед судом, не может рассчитывать на особенное доверие слушателей. Если он попросту расскажет, как было дело, разумеется, никто ему не поверит; он должен подробно взвесить пред публикой все предъявленные ему обвинения одно за другим и показать, что они по самому ходу вещей невозможны,-
161 нелепы. Примеров такого рода аргументации можно найти сколько угодно в каждой античной судебной речи; беру, например, первые попавшиеся мне на глаза места из речей древнейших орато- ров— АнтиФонта, тезки софиста, о котором мы говорили выше, и Лисия. Параграфы 57—59 речи АнтиФонта «Об убийстве Герода» интересны тем, что здесь, как в научных доказательствах, презуми- руются все различные случаи, какие только возможны, и затем доказывается абсурдность всех этих предположений, так что к истине приходят путем исключения. Здесь мы читаем: «Чего же ради я убил бы человека?.. 1)... вражда... у меня... с ним... Но у меня с ним не было никакой вражды. 2) Или я боялся, чтобы он не причинил мне вреда? ..Ноу меня не было оснований ожидать чего-либо такого от него. 3) Или я убил его, желая его ограбить? Но при нем решительно ничего не было.» В § 43—44 той же речи АнтиФонта и в § 37—42 речи Лисия «Об убийстве Эратосфена» обвиенние во всех подробностях вос- станавливает картину убийства так, как она рисуется по обвини- тельному акту, и показывает ее внутреннюю противоречивость и абсурдность,—одним словом, применяют прием, известный в математике под названием reductio ad absurdum. Например, у Лисия: «Меня обвиняют, что я убил рабыню и т. д. Вы можете убе- диться, что это... неправда. Это вы легко поймете по следую- щему: 1) если бы я в ту ночь замыслил убить Эратосфена, не лучше ли мне было бы..., чем... Ведь в этом случае... 2) Далее неужели вы можете допустить, что я бы скорее.., чем... 3) затем не думаете ли вы, что я бы скорее... чем... 4) И, конечно, если бы я знал наперед, то не думаете ли вы, что я бы... » Этим новым элейским орудием борьбы не преминули воспользо- ваться софисты и «так называемые» пифагорейцы,—последние, повидимому, через посредство первых. Прежде полагали без всяких оснований (43). что доказательства этого типа впервые введены в геометрию Евклидом. Равным обра- зом Э. Франк (указ. соч. стр. 305), нашедший типичное доказатель- ство этого рода в отрывке из пифагорейца Филолая (стр. 2 Diels)y считает этот отрывок послеплатоновским, так как Платон «как из-
161 вестно, впервые создал диалектику». Однако, надо думать, что это произошло уже много раньше. Нескольке лет тому назад («) я указал на вполне аналогичный ход доказательства уже у Горгия, ученика оратора Тисия, и софиста АнтиФонта. В этом усовершенство- ванном виде доказательство это основывается на аксиоме, по кото7 рой всякая вещь: 1) или равна Л, 2) или равна В, 3) или в одно и то же время равна А и 2?, 4) или не равна ни А, ни В, так как «кроме этих четырех возможностей нельзя помыслить никаких других», как замечает Горгий. Если мы докажем невозможность трех из этих равенств путем reductio ad absurdum, то мы. тем самым докажем четвертое a contrario. Особенно часто применяется этот способ доказательства в более позднее время у скептиков, которые, как известно, очень многое заимствовали у софи- стов (45). Следует полагать, что эта процедура, укоренившаяся в философии, уже в эпоху Платона была применена в теоремах о криволинейных те- лах и Фигурах, чтобы свести атомистический метод на роль евристи- ческого и таким образом обезопасить себя от нападений элейцев. Так возник классический метод исчерпания, и Г. Юнге(4б) еще более прав*' чем он сам думает, когда говорит: «В доказательстве исчерпанием чув- ствуется адвокатское ораторское искусство греков». Атомистический метод применяется в новой науке только за кулисами; настоящий математическим доказательством с точки зрения Новых вкусой является доказательство от противного, основанное на приведений к абсурду всех мыслимых возможностей, кроме одной (обычно: не больше и не меньше — следовательно, равно) (47). В эту новую эпоху ставят себе задачей уже не нахождение площади круга, а нахожде- ние площади такого многоугольника, чтобы разница между его периметром и окружностью круга была меньше любой задуманной величины, для чего предварительно доказывали теорему, что раз- ность между двумя однородными величинами, будучи достаточно большое число раз прибавлена к самой себе, может быть сделана больше любого заранее задуманного числа (4в). В этом отношении чрезвычайно интересен исторический экскурс, содержащийся в введении к сочинению Архимеда «О квадратуре круга», цитированный выше, стр. 71. Из него мы видим, что метод исчерпания широко применялся той школой, из которой вышел Евдокс. Если у пас нет достаточных оснований вместе с Альманом (49) приписать изобретение этого метода самому Евдоксу (так как Архимед утверждает только, что
163 Евдокс, пользуясь этим методом, впервые дал научное доказатель- ство для объема конуса), то было бы еще более грубой ошибкой вместе с Ганкелем (во), М. Кантором (51) и Э. Франком (см. выше, стр. 43, прим. 24) без всякого основания считать творцом этого метода Анаксагора или Гиппократа. Вряд ли кто-нибудь станет отрицать, что античная процедура исчерпания была полезной и необходимой реакцией: атомистические доказательства во все эпохи приводили от времени до времени к противоречивым и просто неверным выводам, которые поэтому всегда приходилось проверять способом строгого исчерпания. Вы- ступление Евдокса и Евклида после АнтиФОнта было в этом отно- шении так же нужно и полезно, как выступление Коши и Абеля в начале XIX в. Единственным представителем официаль- ного лагеря математиков, о котором мы знаем, что он плодотворно и последовательно применял атомистический метод хотя бы только в евристическпх целях, был Архимед, но вряд ли он был одинок в этом: скорее мы имеем дело с секретом производства, передавав- шимся изустно. Насколько плодотворен был атомистический метод Демокрита и как его использовал Архимед, я уже говорил выше. Только истори- ческие условия были причиною того, что этому гениальному методу было суждено около двух тысяч лет пребывать в забвении, пока он не был снова открыт (или, вернее, реконструирован из свидетельств о Демокрите или из трудов Архимеда) Кеплером, Кавальери и Лейбницем, чтобы стать источником нынешнего анализа. Что же касается плодотворности метода исчерпания для нахождения новых решений (о его полезности для обоснования уже найденных решений я не говорю—она вне сомнений), то я ограничусь тем, что приведу высказывания виднейших специалистов в этом вопросе. Так Брет- шнейдер в уже упомянутой выше статье писал о методе исчерпа- ния: «Задачей развивающейся науки является замена этого, как-никак несовершенного, метода, где только возможно, прямыми доказательствами, которые одни только в состоянии дать отчет- ливую картину взаимной внутренней зависимости между отдель- ными истинами и таким образом сделать их вполне очевидными». К сходному выводу приходит и Цейтен (52): Будучи хорошим орудием для проверки и доказательства результата, уже заранее известного или, по крайней мере, угаданного, этот метод, называе- мый доказательством путем исчерпания, ни в каком случае не го- дится для нахождения еще неизвестных решений».
164 3. «Еретические» группировки в эллинистической математике Метод исчерпания, введенный в науку, невидимому, Антифонтон и обоснованный Евдоксом, стал в эллинистическую эпоху господ- ствующим. Всякий автор математического труда, который хотел, чтобы его читали и чтобы с ним считались в официальной науке,, должен был не только положить в основу своей работы учение о бесконечной делимости, но еще и отказаться от какого бы то ни было учения о бесконечно малых. На примере Архимеда (см. выше) мы видим, что математикам господствующего лагеря не только не были известны труды атомистических математиков их времени, но даже о трудах самого Демокрита они не имели ни малейшего понятия,—можно думать, что Архимед натолкнулся на эти труды лишь случайно в довольно позднюю эпоху своего научного твор- чества. Наиболее влиятельными из «еретических» школ, так или иначе оперировавших с бесконечно малыми частицами, были пифагорей- ская и платоническая школы (платоническая — в узком смыслег так как из числа учеников Платона вышел и целый ряд предста- вителей официальной математики); последняя постоянно упоминается Аристотелем наряду с демокритовской как две равноправные груп- пировки одного и того же направления. Для оценки этих школ мы должны прежде всего охарактери- зовать позицию, занятую самим Платоном, стоявшим близка к пифагорейству, по отношению к математическому атомизму. Мы уже говорили о том враждебном отношении, которое проявил Платон по отношению к материализму вообще и к Демокриту как к его виднейшему представителю, в частности. Но, с другой стороны, мы также указывали й на то, что он не устоял пред соблазном использовать блестящую схему Демокрита, выбросив материалистиче- ские элементы и придав ей идеалистическое обличье. В чем же состояла эта перелицовка с математической точки зрения: явилась ли она улучшением или ухудшением? Какие именно элементы уче- ния Демокрита были заимствованы им самим и какие его последова- телями? Если стать на точку зрения, выдвинутую впервые Бригером (бз)* а затем поддержанную О. Гильбертом (54) и Евой Закс (55), то Платон усовершенствовал учение Демокрита, беспомощное и несостоятель- ное с математической точки зрения. Вопреки ясному свидетельству
165 Аристотеля (выше, стр. 52), согласно которому Левкипп и Демокрит парализовали полемику Зенона введением своего учения об атомах, по мнению этих ученых, атомистика была еще более беспомощной перед лицом зсноновой аргументации, чем те противники, с кото- рыми Зенон непосредственно полемизировал: если эти противники ошибались в том, что считали бесконечно большое число непро- тяженных величин конечной величиной, то Демокрит сделал якобы еще более грубую ошибку, считая конечной величиной сумму бесконечно большого числа конечных величин. Эти ученые утвер- ждают, что по мнению Демокрита в каждом теле содержится бесконечно большое число атомов, которые чрезвычайно, но не бесконечно малы; таким образом Демокрит впадает «в противоре- чие с математикой». Бригер основывался при этом на свидетельстве Аристотеля (so), с первого взгляда очень убедительном: «И Анаксагор утверждает, что всякая вещь есть смесь всех вещей, и Демокрит». Если понимать это место так, что в каждой вещи содержатся всевозможные атомы, а атомов, различающихся по Форме друг от друга, по учению Демо- крита бесконечно много, то, очевидно, толкование Бригера правильно. Но Бригер вырвал эту Фразу из контекста, не сообщив читателям второй половины цитируемой им Фразы Аристотеля, в которой читается: «в едь, и по Демокриту в любой частице имеется в равной мере и материя и пустота» (57). Иными словами, по учению Анаксагора существует бесконечно большое количество различных по материалу вещей и все они заключены в каждой частице тела; по учению Демокрита есть только две вещи — материя и пустота, и все они (т. е. обе эти вещи!) заключены в каждой частице тела. Это сходство дает Аристотелю известное основание видеть в учении Демокрита вариант Апаксагорова положения: «все во всем» (тсау еу тгосуть), поскольку «материя» и «пустота» с точки зрения Демокрита и составляют «все»; но выводить отсюда, что по мнению Демокрита в конечном теле содержится бесконечно большее число частиц, Бригер не имел никакого права. Далее Бригер при- водит свидетельство Эпикура: «Не следуёт считать, что в ограничен- ном теле находится бесконечное множество материальных частиц (бухоь)» (бв); здесь мы имеем, по мнению Бригера, полемику с Демокритом. Но я считаю чрезвычайно вредной и ошибочной тенденцию усматривать в каждом полемическом выпаде письма к Геродоту непременно полемику с Демокритом: если проводить последовательно эту теорию, то мы должны и учение о бессмертных
me богах, имеющих безнравственные вожделения и совершающих без- нравственные поступки (гл. 81), и учение о бессмертной душе (гл. 67) также приписать Демокриту. Наоборот, не может быть никакого сомнения, что ряд выпадов Эпикура не только не напра- влен против Демокрита, но, наоборот, непосредственно заимствован у Демокрита и направлен против противников последнего. Ева Закс исходит из выражения («набор всевозможных семян»)т которое Аристотель применяет, излагая учение Демокрита. Если бы действительно Демокрит характеризовал отдельное тело, как «набор всевозможных атомов», то Закс была бы права, так как различных атомов с точки зрения Демокрита бесконечное множество. Но в действительности Аристотель употребляет выражение тгау- исключительно для характеристики бесконечно большого Мироздания Демокрита, то атггьзоу в целом, а не отдельных тел. .Закс приводит выражение Аристотеля: «Те, по учению которых, эле- ментов бесконечное множество, как Анаксагор и Демокрит, счи- тают, что бесконечное есть непрерывный ряд соприкосновений, причем оно состоит по учению первого—из омеомерий, по учению второго—из набора семян всевозможных Форм» ... Однако, это вы- ражение поясняется самим же Аристотелем во второй части Фразы;, здесь он противопоставляет Анаксагора, действительно полагавшего, что в каждом теле находится бесконечное число раз- личных частиц, именновэтомотношении Демокриту: «Первый полагает, что любая из частиц есть смесь, аналогичная целому, так как мы наблюдаем, что любая вещь появляется из любой другой вещи... Демокрит же утверждает, что ни одно из первотел не происходит из другого, но первоначалом всего является всеобщая материя»... (59) И в других двух местах, на которые ссылаются указанные выше исследователи (во), слово 7vav<nrep|Ma, «набор всевозможных семян», характеризует воздух, воду и землю в целом, а не какие-либо отдельные конечные вещи; здесь нет противоречия, так как эти элементы считаются в мироздании протяженными бесконечно: «Демокрит... называет набором всевоз- можных семян элементы всей природы целиком». Но показательнее всего то, что, как справедливо замечает Филопон (ei), основное доказательство атомизма, данное Демог Критом и приведенное нами выше (стр. 58 и сл.), есть, по существу, полемика именно с тем учением, которое Бригер, Гильберт и Закс приписывают Демокриту. Так, по поводу даваемого Ари»- стотелем резюме учения Демокрита («при разделении на части
167 не происходит бесконечного размельчения» (вз)) Филопон заме- чает: („Аристотель говорит), становясь на точку зрения Демокрита, что последовательное разделение приводит к отдельным (^cootsra), т. е. к конкретным (й<р-<утс5та) величинам... Если же это очевидно, то ясно, что этих частей не может никогда к получиться бесконечное множество и, следовательно, деление ' нельзя продолжать до бесконечности, так как в конечных величинах не может содержаться бесконечное множество отдельных частей. Выражение «последовательное деление» не означает в этом случае «деления до бесконечности», так как рассуждение ведется как бы от имени Демокрита" (вз). Итак, это обвинение совершенно несостоятельно, что, впрочем, отметил уже Гедекемейер (04); Платону не приходилось испра- влять какой-либо непоследовательности в учении Демокрита, так как самая эта непоследовательность только домысел нынешних ученых. В чем же состоял атомизм Платона? Считал ли Платон вслед за Демокритом, что тело состоит из плоскостей, плоскость — из линий, линия — из точек? Несмотря на ряд такого рода сообщений, утвер*- ждать это мы не в праве, так как сочинения Платона дошли до нас полностью и в них такого учения не содержится. В знаменитом месте из «Тимея» (р. 53 С и след.) говорится только о том, что элементарные тела «состоят», как из первичных элементов, из внешних поверхностей, граней; на этом Платон останавливается, нарочито добавляя: «дальнейшие же начала этих плоскостей знает бог да тот из людей, кого он любит» это выглядит так, как будто речь идет о некотором тайном полумистическом учении, не подлежа- щем разглашению. Наряду с этпм единственным местом, содержащимся в подлин- ных сочинениях Платона, мы имеем, ряд следующих сообщений о нем: 1. Важнейшее — у Аристотеля (gs): «Против этой категории (т. е. против непротяженных точек) возражал Платон, так как он считал точку Фикцией геометров; он называл ее «прототипом линии» и неоднократно пользовался этой гипотезой — неделимыми линиями». 2. У Плутарха (ев): «Прямая перво начальное, а круг вторичен и только видоизмене- ние прямой, как показал сам Платон... Так что следует полагать, что множество маленьких отрезков прямой, сложенных вместе, дают кривую лини ю».
3. У Плутарха же (в?): «Далее (продолжается реферат из Платона) прямая, будет ли она длинной или короткой, всюду прямолинейна одинаково; что же касается окружностей кругов, то мы виднм, что, чем они меньше, тем они более криволинейны и изогнуты, а чем больше, тем менее изогнуты. Если же поставить круги на (один из участков) их криволинейной окружности, то одни (меньшие) будут касаться лежащей под ними плоскости в точке, а другие (большие) — по линейному отрезку». 4. У Альфонсо (ев): «Как я думаю, Платон представлял себе тело состоящим из плоскостей, плоскость из линий, линию из точек». В виду авторитета Аристотеля, непосредственного ученика Платона, следовало бы думать, что все эти указания почерпнуты из закрытых («эсотерических») бесед Платона с учениками, содержа- ние которых он не включил в свои труды; за это как будто говорит и указание Платона (в «Тимее») на «людей, которых любит бог» и которым известны дальнейшие элементы, содержа- щиеся в плоскостях. Но, с другой стороны, необходимо взвесить и такую возможность, что ученики Платона, желая после его смерти дополнить его обрывочные математические учения и придать им законченный вид, использовали для этой цели того же автора, к которому восходил и платоновский атомизм, т. е. Демокрита; эти учения для придания им большей достоверности они снабдили, как это было тогда принято, штемпелем: аътб; есра («сам сказал»), приписав их основателю их школы. Возможно, что, подобно тому как Платон вложил свои собственные учения в своих диалогах в уста Сократа, так и в диалогах платоников эти учения были вложены в уста Платона; мы знаем, что античные писатели (даже Аристотель) в таких случаях часто цитируют не автора диалога, а действующее лицо; таким образом все эти изречения и могли быть приписаны Платону. Уже некоторые из античных комментаторов Аристотеля считали невозможным приписать самому Платону учение, по которому плоскость состоит из линий, а линия из точек. «В каком месте», возмущается Фемистий (еэ), «Платон говорит, что линия составляется из точек или поверхность из линий? И почему из утверждения Платона, что тела состоят из граней, следует, что он считал первосущностью линий точки?» Такой вывод, думает Фемистий, можно было бы сделать, если бы Платон считал (подобно атомистам),
169 что тело состоит из параллельных лежащцх друг на друге слоев- плоскостей но, поскольку Платон считал тело состоящим не из таких слоев, а только из внешних плоскостей, из граней, нет никакого основания приписывать Платону такую точку зрения. «Откуда же следует, что, линия составляется из точек, когда способ составления тех или других из одной группы (т. е. линий и плоскостей, С. Л) иной, чем способ составления из другой группы (т. е. объемов, С. Л)? «То же читаем и у Филонова (то): Этого, как видно, Платон нигде не говорит (что существуют неделимые величины), но Аристотель рассказывает это или на основании устных бесед с ним или, что более вероятно, некоторые из тех, которые счи- тают себя платониками, пустили этот рассказ в обращение». Принять то или иное решение на основании внутренних соображе- ний было бы возможно, если бы атомизм Платона представлял собой стройную законченную систему, если бы он в самом деле, был, как думает Закс, дальнейшим улучшением и усовершенствованием теории Демокрита. В действительности учение Демокрита, как мы видели уже, заинтересовало Платона не из математических соображе- ний, а сточки зрения интересов идеалистической философии (71); важнейшее внесенное им изменение состояло в том, что он заменил бесчисленные параллельные между собой и лежащие друг на друге элементарные слои-плоскости немногими гранями, из которых по его мнению состоит тело (он удержал Демокритово выражение: «состоит», GuveGTiQze). С математической точки зрения это смелое нововведение (72) представляет собой, несомненно, порчу и грубое искажение учения Демокрита, стоящее в резком противоречии не только с основными линиями математического атомизма Демокрита, но и с основами математики (объемы тел не пропорциональны их поверхности!). Вот почему исследователи оказываются совершенно беспомощными, когда пытаются наполнить это учение реальным математическим содержанием. Неясно даже, считал ли Платон эти «грани» чрезвычайно тонкими телами, «листками», как Демокрит (так толковали «Тимея» в древности последователи Платона, а вслед за ними Прокл, Симпликий и Филопон; из теперешних ученых так толкуют его Мартэн и Закс) (73); или же идеальными поверх- ностями в чисто математическом смысле (так толковал «Тимея» в древности Аристотель, а из ученых нашего времени Эд. Целлер, Арчер-Гинд и Э. Франк) (?4, 75). Такого рода учение дополнять на основании внутренних соображений невозможно; даже ярая аполо-
wro гетка Платона Ева Закс принуждена признать: «Эта неверная стереометрическая концепция... вряд ли имела успех у кого-либо из математиков академии». Конечно, свидетельству самого Аристотеля, непосредственного ученика Платона, следовало бы отдать предпочтение перед сообще- ниями его толкователей, если бы не одно место в «Законах» (to) Платона, показывающее, что Платон, по крайней мере, в конце своей жизни, резко отмежевывался от учения, по которому тело состоит из поверхностей, поверхности из линий и т. д. Это место Ева Закс правильно перевела следующим образом: «Что касается отношения линий и площадей к телам или площадей и линий по отношению друг к другу, то разве мы, все эллины, не думаем, что их возможно измерять одни другими (ер. неделимую линию — точку Ксенократа, являющуюся в его учении мерой всех линий С. Л.) ?... Но поскольку это никак и никаким образом невозможно и т. д.» ... Эти слова (я в этом убежден) представляют собою прямую полемику с теорией, по которой тело состоит из плоскостей, а плоскость из линий, и имеет как раз тот же смысл, что приведенная выше (стр. 53) полемика схолии к Евклиду: «Невозможно найти отношение линии к плоскости или плоскости к телу: если даже складывать линию саму с собой несчетное множество раз, не получится плоскость и т. д.». i Итак, Платон в то время, когда он писал «Законы», уже во всяком случае не исповедывал такого рода атомизма. Очень воз- можно, что Франк прав и что здесь мы имеем дело с переменой в воззрениях Платона, вызванной работами Феэтета и Евдокса, посвященными иррациональным величинам. Б самом деле, в том же отрывке из «Законов», который я только что цитировал, провоз- глашается не только несоизмеримость линий с площадями и площадей с объемами, но несколькими строчками выше — и несоизмеримость некоторых линий между собой, некоторых плоскостей между собой и некоторых объемов между собой; иными словами,обращается внимание на существование иррациональных величин. Отсюда, конечно нельзя делать вывод, что иррациональные величины были открыты именно в это время и что именно они сделали невозможным атомизм; мы видели уже выше, что заглавие сочинения Демокрита «О непропорциональных линиях и атомах» дает некоторое основание предполагать, что он уже считался с возражениями против его учения, основанными на существовании иррациональности; видели
171 мы также что способ самозащиты, избранный античными атомистами давал им возможность парализовать и возражения, основанные на иррациональности. Но, тем не менее, возражение против атомизма, основанное на существовании иррациональных чисел (одна и та же величина оказывается при этом состоящей в одно и то же время и из четного и из нечетного числа неделимых!) является, конечно, наиболее эффсктным и убедительным для непосвященных; вдобавок, доказательство положения о существовании чисел, никоим образом несоизмеримых между собою, перенесенное в область политики, служило прекрасным обоснованием природной «несоизмеримости*) различных групп населения в аристократическом обществе. Поэтому было бы только вполне естественно, если бы именно эти исследования его учеников побудили Платона незадолго перед смертью оконча- тельно порвать с математическим атомизмом. Как же обстояло дело в эпоху написания «Тимея»: был ли Платон в это время убежденным атомистом? Я сильно сомневаюсь в этом и склонен скорее думать, что содержащаяся в «Тимее» атомистическая концепция пространства скорее всего — ни к чему не обязывающая игра ума (77): Платон хотел лишь, наполовину в шутку, показать, что он может без труда и в этой области соперничать с кориФееями натурфилософии; неудивительно, что его теория оказалась недостаточно продуманной и несколько скороспелой. Главную причину этого Гаммер-Иенсен справедливо видит в том, что Платон «недостаточно ясно понимал, где граница между точными науками и Философией». Как бы то ни было, после сказанного понятно, что математи- ческий атомизм не ощущался как необходимая интегральная часть Платоновой философии. В то время как Ксёнократ, ставший во главе академии в 339 г., через 8 лет после смерти Платона, и ряд других платоников проповедывали математический атомизм, основан- ный на «Тимее» и дополненный учением Демокрита в пифагорейской переработке (выше, стр. 93), Евдокс и образовавший особую школу Аристотель начисто отрицают какой бы то ни было атомизм; ученик Платона и ппФагорейца Архита Евдокс становится родоначальником учения, которое, как мы видели, окончательно возобладало в антич- ной математике. И то и другое учения могли с равным правом считать себя продолжателем учения Платона. Из энергичной полемики Аристотеля мы видим, что в IV в. стоящие на атомистической точке зрения платоники и пифагорейцы еще представляют собой довольно влиятельные группы. По сви-
172 детельству Аристотеля (см. выше) они механически заменили атомы непротяженными точками, не внеся других вытекающих отсюда изменений в учение Демокрита. Они не учли даже того, что при таком подходе всякое тело должно по величине равняться нулю, как состоящее из конечного числа непротяженных эле- ментов: «Демокрит считает, что непрерывное стоит из неделимых тел... Пифагор же, основатель этого направления, и Платон... считают, что оно состоит из конечного числа неделимых» (Брад- вардин) (77 а). Между платониками и пифагорейцами вряд ли могла быть в это время большая разница по существу — не забудем, что мы имеем дело с началом эллинистической эпохи, когда резкие грани между рядом смежных философских учений стираются и философскис школы становятся с нашей точки зрения не различными научными лагерями, а различными сектами. Точки, линии, плоскости и объемы, которыми занимаются обе эти школы, несмотря, на отрицание деления до бесконечности, ничего общего с материей не имеют: это идеальные образы, созданные чистой мыслью и органически связан- ные с всевозможными представлениями из моральной и политической области, а у пифагорейцев — и с числовой мистикой. Составление объемов элементарных тел из внешних поверхностей — граней, несомненно, было собственным нововведением Платона, хотя он и приписал его пифагорейцу Тимею. Это антинаучное допущение, закрывавшее возможность для какой бы то ни было работы в области примитивного анализа бесконечно малых, повидимому, оставалось особенностью платоников; пифагорейцы, несомненно, были по своим предпосылкам, как мы видели, значительно ближе к Демокриту. ПиФагорейцы примешивали к своей математике значительно больше мистических элементов, чем конкурирующие с ними школы; тем не менее тщательно изучавшиеся ими многоугольные и много- гранные числа должны были приводить их к интересным наблю- дениям из области теории чисел. Наконец, в области математиче- ской теории музыки пифагорейцы играли настолько руководящее положение, что здесь атомистический взгляд остается господствую- щим на всем протяжении древности. В основу измерения долготы тона положен неделимый минимум времени, тгрюто; или тгрДто? т5у эдоусоу («первовремя»); это такой промежуток времени, в течение которого невозможно произнести две ноты или два слога или сделать два жеста, а только один. Это учение мы находим у пифагорейца Аристоксена; оно было ^настолько популярно, что впоследствии его переняли у греков
173 арабы; az zamanu Г awwal у Аль-Фараби буквальный перевод греческого термина xpovo; -тгрюто; (те). Еще интереснее учение о высоте тона и об интервалах. Здесь, атомистическое учение господствовало в такой мере, что Евклид, продолжатель Евдокса и ярый сторонник бесконечной делимости, в своем сочинении «О делении канона» (если только Евклид действительно автор этого сочинения) довольствуется простой передачей пифагорейского атомистического учения о тонах, даже со ссылкой на одну из тех «неприемлемых предпосылок» (ойх. ейтгара- £(ор7)та Хт'|1[лата), которые, по словам Архимеда, клались в основу атомистической математики; здесь говорится о неделимых частицах (piopta), которыми измеряются все тоны. Подробнее об этом атомисти- ческом отрывке мы уже говорили выше (стр. 72). Впрочем, в своей дальнейшей эволюции пифагорейство, повидимому, растеряло и эти крохи научного метода, унаследованого им от Демокрита. В дошед- ших до нас атомистичееких учениях средневековых философов (напр. Фомы Аквинского и Брадвардина (те ®) ) мы встречаем Формулировки, представляющие собою почти точный перевод соответствующих. пифагорейских положений. Так, например, выражение: «точка есть неделимое, занимающее определенное положение» есть точный перевод соотгетствующей пифагорейской догмы, содержащейся у Аристотеля; такой же характер носит и определение момента времени, как «неделимого времени в определенном положении». Поэтому следует полагать, что и основное положение христианского атомизма заимствовано у неопиФагореизма, оказавшего огромное влияние на христианскую философию. Эго положение гласит: хотя кон- тинуум содержит в себе неделимые, но он не состоит из них. «Точка, представляемая в математическом смысле и создающая линию своим движением, никак не есть какая-либо часть линии... Ничто непрерывное не может состоять из неделимых... Все континуумы имеют бесконечное число атомов, но не состоят из атомов; всякий континуум состоит из бесчисленного числа континуумов же того же рода (т. е. мельчайшие части тела—тоже тела, а не плоскости; сколько ни делить плоскость, она разделится на плоскости, а не на линии и т. д.)». Иными словами, неделимые разбросаны по конти- нууму, но в промежутках между ними всегда находится континуум. Как ни совершенна эта теория неопиФагорейцев и с точки зрения идеалистической философии и с точки зрения основ тогдашней математики (она не противоречила положению, по которому протяжен- ное не может образоваться из соединения непротяженных частиц!),
174 она совершенно бесплодна для математического творчества. Для прогресса математики необходимо было, чтобы точки, линии и плос- кости Фигурировали именно как диФеренциалы, как частицы, соединяемые друг с другом. Мы видим, что впоследствии Кавальери начинает с того, что либо преодолевает, либо осторожно обходит (несколько софистическим способом) эту пифагорейскую концепцию континуума, Фактически возвращаясь к протяженным неделимым Демокрита (см. вводную статью к моему изданию Кавальери). На менее еретической точке зрения стояла школа стоиков с Хрисиппом во главе (79). В отличие от господствующего напра- вления стоики не обходили вопроса о результате бесконечного деления, а пытались дать ответ на этот вопрос. Отсутствие границы делимости они принимали как очевидный Факт; но, с другой стороны, они не хотели допускать, что конечное тело распадается на бес- конечное число частей, так как хорошо помнили те абсурдные выводы, к которым, как показали элеаты, приводит такое допуще- ние. Стоики и в этом случае, как и в других частях своего учения, поступили эклектически, но этот эклектизм не лишен остроумия. «Хрисипп утверждал, что тела делятся до бесконечности, равно как и все то, что аналогично телам, как-то: поверхность, линия, место, пустота, время. Но хотя все это и делится до бесконечности, тем не менее, тело не состоит ((juvsgttj/uv) из бесконечного числа тел, как и поверхность, линия или место». «Деление (возможно) до бесконеч- ности, но не на бесконечное число частей», — говорит Хрисипп. «Не существует чего-то бесконечного, к чему приходит деление, так как деление конца не имеет« (ei). Итак, поскольку деление бесконечно, оно не имеет конца и, следовательно, мы никогда не можем притти к такому концу, когда тело распадется на бесконечное число частей; никаких пределов и границ тела не существует,—это чистая фикция (ва). Поскольку деление никогда не кончится, вообще недо- пустимо говорить о каких бы то ни было первотелах или «последних частях» (ес^оста рлро), какими бы мы их ни считали: конечными (как атомисты) или бесконечно малыми (вз). Это остроумное решение при античных предпосылках не давало, однако, ответа на вопрос о результате деления existimatione, поста- вленный Демокритом (выше стр. 58 и сл.), и другие аналогичные парадоксы. Для ответа на эти вопросы Хрисипп выступил с теорией, по которой кроме равного и не равного существует нечто третье — не равное и не неравное; кроме конечного и бесконечного нечто третье—не конечное и не бесконечное. Как можно заключить из
175. указания Плутарха, Хрисипп рассуждал^здесь по аналогии с нрав- ственными понятиями, где кроме нравственного и безнравственного существует еще безразличное — ни нравственное, ни безнравствен- ное (ei). Практически же это означало следующее: пусть мы имеем ряд величин а а е а -+- 2е а -+- Зе а -+- 4е... а -+- пе, где е — величина не конечная и не бесконечно малая (т. е. не нуль) Тогда отдельные члены этого ряда «не равны и не неравны между собой», т. е. практически а=а-+-е; a-f-e = a-t-2e; а-к2е = а-+- -ьЗе... а-ь(п — 1) е = а-л-т, но, тем не менее, афа-ьпе. В частном случае конуса, рассеченного на тончайшие листки, параллельные основанию, два соседних листка, «не равные и не неравные между собой», практически равны, т. е. один не высту- пает из-за другого, но тем не менее, ширина внизу и ширина вверху будет резко разниться друг от друга, и если мы разобьем конус на несколько наложенных друг на друга усеченных конусов, то они не будут равны друг другу. «Поверхности (отдельных листков) будут не равными и не неравными, но тела будут неравны друг другу именно потому^ что эти поверхности не равные и не нерав- ные» (вь). Чрезвычайно любопытен тот геометрический пример, который по мнению Хрисиппа несколько приоткрывал завесу, скрывающую от нас тайну бесконечного. Он принимал две параллельные линии за верхнее и нижнее основания и чертил между ними ряд параллелограмов, все более наклонных, с одним и тем же основанием. Мы получим бесконеч- ное множество различных параллелограмов, причем по мере уменьше- ния острого угла боковые стороны параллелограмов будут становиться бесконечно большими: тем не менее площади всех этих параллело- грамов— как конечной, таки бесконечной длины — будут равняться одной и той же конечной величине (ее). С точки зрения античной науки здесь получался, как указывали стоики, парадокс. Можно не сомневаться, что они разрешали его, принимая, что боковая сторона параллелограма, даже при самом малом угле, «не бесконечна и не конечна». Менее интересен ответ стоиков на элейский парадокс о движении. Подобно атомистам, они полагали что тело не проходит последовательно ряд бесконечно малых отрезков, но сразу же проходит конечный отрезок пути, пребывая ОД нов р е м е н н о во всех точках пути; в то же время они считали, что этот конечный отрезок потенциально делим до бесконечности (в?).
17$ Таким образом, они соединяли атомистическую концепцию времени с концепцией непрерывного пространства. Наиболее последовательными и чуждыми компромиссов преемни- ками Демокрита как математика, были, однако, эпикурейцы. Сущ- ность их теории мы изложили уже выше, когда говорили о фило- софии математического атомизма вообще. Однако между принципиальным подходом Демокрита и прин- ципиальным подходом Эпикура есть различие, характерное для мировоззрения эллинской эпохи, с одной стороны, и эллинистиче- ской,— с другой. Подобно Демокриту, Эпикур в «Письме к Геро- доту» (87» ) начинает свое рассуждение о неделимых с указания на то, что принятия границы Физического деления недостаточно; при этом он вводит новую терминологию, обозначая Физическое раз- деление на части словом торт, а математическое, мысленное, раз- деление, т. е. переход в воображении от более крупного к более мелкому из мира, доступного чувствам, в мир умопостигаемый, сло- вом ртта|За(Л£, «переход»: «Сверх того не следует думать, что в ограниченном теле может быть бесконечное число телец, хотя бы самых малень- ких. Так что следует не только отвергнуть бесконечное деле- ние на все более мелкие части, иначе мы сделаем все бес- сильным и будем вынуждены при образовании совокупности как соединения (этих частей) разбить существующее вдребезги и превратить его в несуществующее—но и более того: не сле- дует полагать, что в ограниченных телах есть переход ко все более малому до бесконечности (т. е. что ограниченные тела могут, хотя бы только мысленно, разделяться на все более мел- кие части до бесконечности. С. Л.). Стоит только выступить с утверждением, что в каком-либо теле существует бесконеч- ное число телец, хотя бы самых маленьких, и уже нельзя будет понять, как при таком допущении величина может оста- ваться ограниченной. Ведь ясно, что эти бесчисленные тельца должны иметь какую-либо величину: а если это так, то, как бы ни были малы эти тельца, величина всего тела оказалась бы бесконечной». Здесь только повторение (с своеобразным применением эпику- рейского термина «переход») хорошо уже известного нам (см. выше,, стр. 58 и сл.) доказательства Демокрита. Но с этого места начинается разница: Демокрит в значительно большей мере философ-гноссолог и математик; для него reductio ad absurdum единственно мысли- мого противоположного взгляда есть последнее и непререкаемое доказательство правильности его точки зрения. Эпикур живет в эпоху,
177 когда культ ratio, «чистой мысли», дискредитирован; в области есте- ствознания (в широком смысле) он прежде всего наблюдатель-натура- лист; все знание о том, что недоступно непосредственному наблюдению, должно строиться исключительно по аналогии с явлениями доступ- ного нашим чувствами мира с необходимыми отступлениями и измене- ниями. Аналогию неделимой частице в области вещей, постигаемых чувствами, Эпикур видит в границе (вернее — в верстовом камне на дороге). Сперва это только аналогия: «Поскольку ограниченное тело имеет границу, постигаемую чувствами, хотя и непредставимую саму по себе (т. е. отдельно от тех предметов, которые она разграничивает), постольку и, другую границу, соседнюю с этой, нельзя не представлять себе таким же способом; а следовательно, невозможно, чтобы мы, переходя от одной границы, к соседней, достигли бес- конечного (т. е. деления на бесконечно большое число частей) и чтобы мы путем умозрения пришли к чему-либо такому. Наименьшее в сфере ощущаемого надо рассматривать так: оно не таково, как то тело, от которого мы отправляемся при переходе ко все меньшему и меньшему (т. е. как то тело, которое мы разделяем), но и не совершенно отлично от него (как полагал Демокрит, С. Л.}, оно имеет сходство с раз- деляемыми телами, за исключением лишь того, что в нем нельзя воспринять отдельных частей. Если же мы решим по аналогии, что из него можно выделить восприятием какую- либо часть, например, частицу с одной стороны и частицу с противоположной, то неизбежно окажется, что мы в обоих случаях воспринимаем одинаковую (т. е. одну и ту же) ча- стицу». Как мы видели выше, Аристотель и другие утверждали, что, поскольку два неделимых не имеют частей, они не могут соприка- саться так, чтобы части одного касались частей другого, а должны совпадать целиком и оказаться обе в одном и том же месте (е* тф аитф); следовательно, никакой длины они образовать не могут- На это Эпикур возражает, исходя из той же аналогии: «Рассматривая эти границы (для ясности скажем: версто- вые камни. С. Л.\ начиная с первой, мы видим, что они расположены одна рядом с другой, а вовсе не в одном и том же месте (sv тф аитф) и что они соприкасаются не так, что части одной касаются частей другой, но они измеряют вели- чины некоторым особым свойственным им образом: большие величины большим числом границ, меньшие — меньшим. По аналогии с этем надо рассуждать и о минимуме, находящемся в атоме: своей малостью он, конечно, отличается от того, что
178 мы постигаем внешними чувствами, но тем не менее, оба явления вполне аналогичны. Ведь и то, что атом имеет вели- чину, мы доказали, пользуясь той же аналогией, но только не считаясь совершенно с чрезвычайной малостью атома«. До сих пор мы имели дело с простой аналогией, сравнением, и поэтому аргументация Эпикура была вполне приемлема. Конечно, ему можно было с полным правом возразить, что никакая «граница», не имеющая частей, не дана в чувственном опыте, что все то, что постигается зрением, осязанием и т. д. неизбежно имеет и части и что поэтому «не имеющая частей граница» есть чисто логическое построение. В этом не было бы беды, если бы Эпикур пользовался этой картиной только как параллелью. Но он идет дальше и'пытается этой аналогией объяснить явления: его «минимум» не только параллель к чувственно-воспринимаемой границе, но он и есть граница (гара;). «Сверх того эти мельчайшие однородные частицы надо рассматривать как границы, дающие своим числом, большим или меньшим, меру длин, как первичные единицы, причем эти незримые вещи мы (как бы) созерцаем нашим разумом». Но, как справедливо замечает Эпикур в другом месте (§ 41) того же письма: «... ограниченное тело имеет границу; эту границу можно ’ наблюдать только при наличии какого-либо другого тела». Поскольку неделимое — граница, его нельзя помыслить само по себе, а только как часть атома: «Общность свойств с... (испорченное слово: смысл: с телами чувственного мира) оказалась достаточно надежной основой для наших выводов до этого пункта. Но немыслимо, чтобы <из движения этих частиц и соединения их («уирирорхснс) образовалось сложное тело (выпад против Демокрита, С. JL)». Таким образом ложная аналогия привела Эпикура к выводу, в сущности разрушающему все атомистическое миросозерцание: атом состоит из неделимых, но его нельзя составлять из соединения неделимых (етъ ), т. е., последовательно рассуждая, надо отбросить всю атомистическую математику, образующую линии из соединения то- чек, плоскости из соединения линий, тела — из соединения плоско- стей, которые при этом приходится мыслить передвигаемыми и на- лагаемыми одна на другую! К счастью, эпикурейцы не оказались последовательными в этом пункте.
179 Таким образом стремление подвести под атомистическое учение естественно-научную базу заставило Эпикура вернуться к точке зрения, в свое время блестяще опровергнутой Демокритом. В самом деле, уже Демокрит показал, что «граница» может мыслиться только непротяженной, так как от прибавления лишней «границы» (на- пример, при разрезывании линии на две части, когда из одной про- межуточной точки образуется два конца отрезков!) длина прямой не увеличивается; тот же Демокрит специально подчеркивал, что тело не может состоять из границ (atpod, SiatpioGetc). Последовательно развила точку зрения, намеченную в «Письме к Геродоту», как мы видели, средневековая католическая философия, признававшая существование неделимых (indivisibilia), но отрицав- шая, что реальные величины составляются из соединения таких неделимых. Эта точка зрения оказалась в древности и средне- вековье бесплодной для прогресса математики. Наоборот, Джиор- дано Бруно, воскресивший античный атомизм, исправляет эпику- рейское учение, противопоставляя неделимые, не имеющие частей, но имеющие величину, границам, которые по его справедливому мнению следует рассматривать как непротяженные. Повторяю: к счастью, сами эпикурейцы не оказались достаточно последовательными в этом вопросе и в своих математических спеку- ляциях составляли величины из неделимых.: так, Лукреций (II, 484 и след.) учит, как образовывать атомы (corpora prima) различной Формы из «трех или немного более» неделимых (minimis е partibus), употребляя при этом глагол augere, применимый только к динами- ческому процессу. Здесь мы прежде всего обратим внимание на то, что эпику- рейцы отнюдь не ограничивались подобно стоикам Философствова- нием об основах математики, а серьезно работали в области практи- ческой математики. Математические труды написали, например, эпикурейцы Димитрий Лаконский, Полиэн и Филонид. Тем не менее, материалистическая математика эпикурейцев игнорировалась (и, может быть прямо бойкотировалась) официальной наукой; она сделалась жертвой сплетен, в значительной мере не разоблаченных до сегодняшнего дня. В. Крёнерту принадлежит крупная заслуга: в своей книге «Kolotes und Menedemos» он собрал жалкие остатки эпикурейской математики (вв); в той же книге он показал (во), что сообщение Секста, будто Эпикур из враждебности к своему учителю Навси- Фану стал врагом математики (эо), совершенно не заслуживает дове-
180 рия, поскольку источником этого сообщения,. как сообщает сам Секст, является подложное «Послание к друзьям вМитилене», соста- вленное врагами Эпикура, желавшими во что бы то ни стало очер- нить его (мы здесь читаем, что учитель Эпикура НавсиФан был хорошим математиком; ненасытное честолюбие Эпикура побуждало его бесстыдно отрицать, что он был учеником НавсиФана, и выста- влять себя во всем самоучкой. Поэтому Эпикур стал якобы непри- миримым врагом математики; он осыпал насмешками не только своего учителя, но и его любимый предмет, называя математику псевдонаукой, не ведущей к мудрости (91). Но если этак, то Крё- нерт напрасно доверяет и свидетельству Цицерона, по которому «Эпикур считал всю геометрию ложной» (92); либо это указание вос- ходит к тому же подложному письму, либо tota geometria — просто небрежный перевод греческого арха'1 уео^етросац «основы геометрии». Наоборот, Прокл(9з), в вопросах математики и истории математики заслуживающий несравненно более доверия, чем Секст и Цицерон, подчеркивает, что эпикурейцы, не отрицая конкретных геометри- ческих выводов, пытались опровергнуть только ([/.ova;) основы гео- метрии (нам хорошо известно, что под этими «основами» разумеется учение о непрерывности и бесконечной делимости пространства); рав- ным образом они, по словам Прок ла, указывали на то, что официаль- ная геометрия, кроме тех предпосылок, с которых она начинает изложение, делает еще ряд предпосылок, которых она не оговари- вает: таковы допущения, что две пересекающиеся прямые не могут иметь общего участка, что тело не состоит из неделимых частиц и т. д. Итак, основные предпосылки эпикурейской математики существенно отличались от принятых в математике, но это ниско!ько не отражалось на конкретном содержании их трудов, которое, разумеется, совершенно совпадало с содержанием обыч- ных трудов по геометрии. Если прежние ученые, в том числе такие проницательные исследователи, как Узенер и Апельт, принимали все эти сплетни об эпикурейской математике за чистую монету, то это понятно; но совершенно непонятно, как Крёнерт, давший столь блестящую оценку источников легенды об Эпикуре, тем не менее, может в той же книге утверждать, что Эпикур «пре- зирал математику» (94). Разумеется, математические исследования не лежали в центре интересов Эпикура, но, если ученики его с величай- шим рвением занимались переработкой всего математического мате- риала под углом зрения математического атомизма, то они, несо- мненно, следовали при этом заветам своего великого учителя.
181 Откуда же возникла эта легенда об эпикурейском презрении к математике? Как я говорил уже, ряду ученых даже в XX в. (95) представляется несомненным, что атомизм сам по себе не научен с мате- матической точки зрения. Чего же требовать от математиков III в. до н. э.? Эти математики, разумеется, видели в атомистических пред- посылках эпикурейцев надругательство над святынями их науки и не хотели и слышать о том, что в конце-то концов эпикурейцы при- ходят к тем же конкретным выводам, что и официальная геометрия. Эти заявления специалистов, поскольку материализм вообще был не в чести, были с удовольствием подхвачены диллетантами, публици- стами и просто шарлатанами, при этом они были искажены и раздуты до невозможных границ. В результате получился образ, столь не вяжущийся ни с другими свидетельствами, ни с собственными от- рывками Эпикура: образ мелкого завистника и врага математики. Одной из основных задач эпикурейской математики в атмосфере враждебного окружения были защита основных позиций атомизма и выявление противоречий в построениях противников. Ряд со- ответствующих мест был уже приведен нами выше. Для нас еще интереснее была бы положительная часть эпикурейской математики, но, к сожалению, единственный эпикурейский математический труд, сохранившийся до нашего времени в геркуланских папирусах, книга Димитрия Лаконского, дошла до нас в столь Фрагментарном виде, что трудно получить даже общее представление об его характере (эв). Труд этот, если правильны дополнения Фалько,был озаглавлен так: «Первая книга Димитрия о затруднениях, выдвинутых Полиэном, и о несостоятельных возражениях, сделанных стоиками Зенону» (97). Этот Полиэн, как мы узнаем из Цицерона, был перво- начально видным математиком, — невидимому, официального на- правления (magnus mathematicus fusse dicitur). Убежденный дово- дами Эпикура, он пришел к выводу, что «вся математика ложна»» (Epicuro adsentiens, totam geometriam falsam esse credidit). Разумеется, это означает только, что он не стоял на точке зрения основных поло- жений официальной математики — учения о непрерывности простран- ства и о возможности деления до бесконечности. В самом деле^ в другом месте (эе) тот же Цицерон сообщает, что Эпикур допу- скал существование мельчайших частиц (credere aliquid esse mini- mum), а Полиэн, повпдимому, первоначально не стоял на этой точке зрения, но (скорбит Цицерон) вместо того, чтобы Эпикуру по- учиться уму-разуму у Полиэна, Полиэн перешел на точку зрения Эпикура. Эпикурейцы в противоположпость их противвикам допу-
182 скали полную свободу мнений по отдельным вопросам и постоянно вели научные споры внутри школы. Было бы неудивительно, если бы оказалось, что Полиэн, вышедший из недр враждеб- ной школы, в ряде пунктов не соглашался с другими эпикурей- цами. Этим расхождениям, быть может, и была посвящена книга Димитрия; отсюда, разумеется, как справедливо замечает Крёнерт (ев), никак нельзя было бы сделать вывод, что Димитрий и Полиэн стояли на противоположных точках зрения. Что касается нападок стоика Посидония на эпикурейца Зенона, то ряд выдержек из его книги сохранился в комментарии Прокла к Евклиду (ioo). Эти нападки были, несомненно, написаны в том же тоне, в каком в идеалисти- ческой философии было в это время вообще принято писать о материалистах-эпикурейцах: их философия— гнилая (саОра) (101), они—клеветники (cuxotpxvTsxv) (102); их брюзга-учитель Эпикур любимый объект насмешек (етпсхбфа? tov Sptp.uv ’EKizoupov) (юз). Ср. например, Фемистия, толкователей Аристотеля, который характери- зует эпикурейскую догму как «убожество» (р-о/От^а) (нч). По суще- ству же спор вертелся около вопроса о бесконечном делении и не- делимых частицах — спор бесплодный и неразрешимый, так как обе концепции, и официальная и атомистическая, допустимы. Переходя к тексту книги Димитрия, мы, несмотря на Фрагмен- тарность сохранившихся отрывков, убеждаемся, что он подвергал систематическому пересмотру отдельные определения и теоремы «Начал» под углом зрения математического атомизма. Так, он цити- рует определение круга (Elem., I, def. 15) и затем, повидимому, доба- вляет: «Так определяют его геометры» (105). Ясно, что сам Димитрий определяет круг иначе. Или в другом месте читаем: «Он (Евклид) утверждает, что и заданная прямая H1N разделится в точке Е...(юв)». Ясно, что Димитрий держится на этот счет другого взгляда. Слово «£XaxtCTOV>>, minimum, обычное эпикурейское на- звание «неделимого» встречается в дошедших отрывках 13 раз; самое слово «неделимое» (ар^ре;) дважды. Поскольку эти «неделимые» мыслятся материально как минимальный объем, ясно, что в задачах двух измерений они могут рассматриваться как минимальная не- делимая плоскость (третье измерение, d#. при этом оставляется без внимания), а при линейных проблемах — как минимальная недели- мая линия. Вот почему мы в этих отрывках дважды встречаем упоминание о «минимальной», «неделимой плоскости» (107). Дважды после слова «минимум» следует слово «между»: «минимальная час- тица между диаметром и...», «минимальная плоскость, находящаяся
183 между...»(юз). Вспомним сказанное выше, стр. 113, и мы поймем, что это означает: речь идет об общем неделимом отрезке двух линий или двух плоскостей (xotvov Tpjjxa), на котором эпикурейцы часто строили свои возражения против геометрии непрерывного. Как бы то ни было, перед нами не Философствование общего характера на математические темы, а детальное исследование, освещающее ряд специальных вопросов геометрии с точки зрения математического атомизма. Если эпикурейцы и не создали ничего выдающегося в математике и не ушли далеко от Демокрита, то во всяком случае о том, что они были «врагами математики» или «пре- зирали математику», не может быть и речи. ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ IV 1. Zeuthen, указ, соч., стр. 68: «Несмотря на то, что деятельность Демо- крита настолько углубила понятие бесконечного, что выводы, сделанные отсюда, приобрели под собой прочную почву, и, несмотря на то, что Демокрит* повидимому, доказал применимость своей предпосылки для настоящих мате- матических исследований, например, для нахождения объема конуса, тем не менее, эта предпосылка не смогла утвердиться как допустимый прием в мате- матических доказательствах». Tannery, «La g6ometrie», 122: «Из того, что имя Демокрита отсутствует в списке Прокла, еще не следует, что его перу не принадлежит замечательных работ по математике: тем не менее, верно то, что, его влияние как геометра не было, повидимому, значительным»... 2. Любопытно, что этого не понял даже эпикуреец Колот, за что его справедливо порицал Плутарх (adv. Colot. р 1108F). Из ученых нашего времени в этом случае впал в ошибку Франк, автор неоднократно цитировавшегося выше труда о пифагорейцах (стр. 219, 351 и след.). 3. См. мою книгу «История античной общественной мысли», Москва, ГИЗ, 1929. 4. Платон, «Горгий», 507 Е — 508 А; «Законы», VI 757 В. Так же Исократ* «Ареопагитик», 20 и слл., Аристотель, «Никомахова этика», V 6 и 7. То, что знаменитое выражение дооэд ауессрсетр-^тос; е’иптш должно быть понимаемо именно в таком смысле, показал уже в 1870 г. Хр. Крон на основании выраже- ния уешцетр^а? yap apieXeu; в указ. м. «Горгия». Е. Frank, указ, соч., стр. 54, с прим. 123 (стр. 352). 5. Е. Frank, указ, соч., стр. 54. 6. Е. Frank, указ, соч., стр. 54, с прим. 124 (стр. 352) со ссылкой на Платона («Тимей», 31с, «Государство», VI, 509 D). 7. Там же, стр. 55—56. с прим. 127 и 128. 7а. Arist., de anima, I, 4, p. 409a 3—5. 10—15. 7b. Pint, qnaest. conv. Vin, 2, 1 p. 78 E, Marc. 14. Vitruv. IX, 3, 13. 7c. Philol. apud Clem. Strom. Ill 17 (II 203, 11 St.), Athen. IV 157 c. 8. Diog. Laert., IX, 40. Ср., однако, E. Frank, указ. соч. прим. 343 на стр. 376. 9. 883 Е: т6у тгара тгоХХои; Soja^o'pievov eivat стофытатоу атгаутшу Хоушу.
184 10. Plat. Leg. 890 A: daeftetat те dv^pcoTtoi; ерлплтоисп veotc_GTaael^ те 8ta таита. Ср. Е. Frank, указ, соч., прим. 209: «Demokrits Namen verschweigen die Neuplatoniker... als den eines verruchten Materialisten nach Platos Vorbild geflissentlich»... 11. Ср. H. G. Ze u then, стр. 69: «(Zur Niederlage des demokritischen Begrifts des Unendlichen) haben die mrhr unfreiwilligen Schlusse beigetragen, zu deuen er sich gebrauchen liess. Als Btdspiel hi er fiir ]asst sich der Beweis des sophisten Antiphon anfubren». 12. На русском языке: «АнтиФонт-софист», «Известия Российской академии наук», 1918; «Антифонт-творец древнейшей анархической системы», М. 1925. На иностр, языке АГЛОТТ1А, «Aegyptus», 5, 1924, стр. 826 и след; «Vater und Sohne in den neuen literariaci]en Papyri», «Aegyptus», 7, 1926, стр. 243 и след. L’argomentazione di Antifoute, «Riv. di Filologia», N. S. 5 (55), 1917, стр. 80; «Wann hat Demokrit gelebt?», «Archiv fiir Gesch. der Philosophic», 38 (1928), стр. 205 и след.; Zu P. Ox. HI 414, «The Classical Quarterly», 22 (1928), стр. 176; «Studien zur Geschichte der antiken Traumdeutung», «Известия Академии Наук СССР»., 1927, стр. 441 и след., 1041 и след. 13. Alexandras Aphr. in Met. 72, 33 Haydurk: та асоцата ex... twv TtavTy aStaaTawv etvat auyxetpeva, о 7ravTo; p.aXXov dSuvaTov. Philopon. in de gener. et corr. 81, 26 Vitelli: outs e; dStaiTaTcov artypicov otaar^pia yeveaOat. 32, 3 Vitelli: yap at aawpiaTot xai dStaoTaTot TravTeXuic tojhxov xa^ejouat StaanqpLa; 179, 11 Vitelli: та p.ev yap тгерата... x^Pav ov8ep.iav цета^и ea, at 81 офец ашцата ouaat 8ta dStaardrou Sitsvat ou Trecpuxaat... oux apa ota tcov dcpwv SuvaTov Sttevat та$ офец (itpat— сверхчувственно узкие, непротяженные прослойки). Sext. adv. math.. Ill, 22. 701. 24 Bekker: ou SuvaTov ev тоц fatvop^vot? Xafletv Ttvo; oYjpLetbv xat xepa? dStaaTarov. Plut de fac. in orbe lunae, 11, p. 926 В: тгераа aacnpiaTov xat dStdaraTov. Simpl. in phys. 697, 16 Diels: '*<нгер ou8= ex aTtyptcuv v] ypappiv) ou51 okwc ex dotatTTaTcov to ОсаататоЧ. Simpl. in de coelo, 95 Heiberg: apcepe? yap avayxv] xat dotaaxaTov etvat xat oXov o'Xa> еаитф etpappioTTOv (во вполне аналогичном свидетельстве Aristot. Phys., VT, 1, 230 а 29, где говорится о (TTiypiai, читаем: етге: 8’ацере? то aocatpexov dvayxxj oXov оХои dr.TeaOat; следовательно, слову aSidtiTaTov в этом месте соответствует dotatpeTov). Еще несколько мест приведены в греч. словаре Liddel-Scott, s. v. dStatrraTo; II. 14. Harpocration, s. v. dBiaaTaxov, отр. 24 Diels: то рс^тгсо oteaTyjxo; цт)8е 8 taxexp tpie'vov. 15. Phot. A. p. 31, 17 Reitz., отр. 24 Diels: тб oixoSo'pt^pia dStatrraTOv. 16. Simplic. in Aristot. Phys., p. 317, 2 Diels: 8(аатата etrn та тт;8е, twv vorjdiv dotaaTaTcov ovtojv. 17. Ill, 8, 3u7a 19. Доводы, побудившие Иеллера (II5, I, 1018^) видеть зд« сь полемику только с Ксенократом, неубедительны. Выражение «шары и пирамиды» (a^atpat xai 7rupapJ.8e; — речь идет об огне, атомы которого демо- критовцы считали шарообразными, а платоники—пирамидальными), показывает, что здесь Аристотель, как обычно, говорит об атомистах и платониках вместе. 18. Schol. in Aristot., стр. 515 b 9 Brandis: d piev ’AXe;av8po; eSeXaflev oti evetatv атоца <тх^Иата Р-^7Га) 8tatpe^evTa, Suvdpieva 8e 8tat;e3Tjvat. 19. «Simplic. in Aristot. de coelo», стр. 665, 1 Heiberg: TzupapttSec xat (palpal xa’t auxat атоцоц waxrep xa't at u7to toutwv uTroTiOepievat, тоитеат! цт] 8tatpoup.evxt eiq оцоса тф oXcp.
185 20. Aristot» de coelo, III, 6, p. 305 a 1: to axopiov ... oiov (rriypiv) ypapipivj? еатс. 21. Simplic. in Aristot. de coelo I, 4 p. 271 а 27, стр. 178 и след. Heiberg: jx*) eivat Xaftetv р.еуеЭо; о pi*), xai auro otatrcaatv e/ov, тш <Ь; тгрб? аито aotaaraTi» Statps’/rat* то pi=v atop, а ётгнг&со, то 81 eiuzeSov ypapipi-fl, *1 Ss ypapipiiq tryjpieia). 22. Simplic. in Aristot. de coelo, III, 7, p. 305b 28 =стр. 636, 11 Heiberg: t9J e$ exetvcov tcov eTtiTtsScov auv^eaet той ytvopiEvou хата jxeTaSoXiqv v) e£ aX)iqXu)v 7eveai; ахоХоийец <b; ei Xu^svto; otxou ex ttj; aur/j? uXtj? aXXo? guvteOew) otxo?. 23. Aristot. de gener. et corr., II 7, p. 334a: <b? ex toixou TtX'ivSou?... хадатгер ex 7rXiv3<ov xa'i Xi^cov to?x°;- Alex. Aphr. in Aristot. Metaph., VI, 7 p. 1032 a 12, S. 486, 17 Hayduck применяет ту же метафору к Et&q: opioico; Se xai. ttj? otxtac* ovav yap tj теХеита’.а xspapio? етптеЭг), тоте фарсеv oixiav eivat* et yap ti xa't тб otovouv tcov ei? to otxiav Ttowjaai auvTeXouvTwv Xeiret, oux etiTtv oixta йате xa'i та хата рсеро? еГ8т) ou yiveTat* apiep^ yap eiatv ei xat truv- SdffTavTat Tfj ev f) etatv u’Xfl. 24. F. Radio, aDer Bericht des Simplicius fiber die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates», Leipzig, Teubner, 1907. 25. Свидетельства Аристотеля, Симпликия и Фемистия приведены также у Diels, «Vorsokratiker», Антифонт, отр. 13. Свидетельство Филооона (In Aristot. Phys.», 31,9—32,3 Vitelli) перепечатано только у Rudio. Несколько иная редакция в А попу mi in Arietotelis Sophisticos Elenchos Paraphrasis, ed. M. Hayduck, Berl. 1884, p. 29, 29. 26. Allman («Hermathena», IV, стр. 184): «In Antiphon’s attempt to square the circle, it is assumed, that straight and curved lines are ultimately reducible to the same indivisible elements». «В антиФонтовой попытке найти квадратуру круга содержится допущение, что прямые и кривые линии в конце концов могут быть сведены к одним и тем же неделимым элементам». Сходным образом выражался и О. Apelt (указ, соч., стр. 268): «Es ware nicht undenkbar, dass die Forderung der Prioritat des Geradliuigen und die daraus entspringende Notwendigkeit, den Kreis und fiberhaupt das Krumme aus dem Geraden zu konstruieren, einer der Grfinde ist, die zur Annahme kleinster, unteilbarer Linien ffihrten, wie denn auch das Problem der Quadratur des Zirkels, namentlich die Losungsversuche des Antiphon und Bryson auf die gleiche Annahme hinaus- laufeu. Denn ohne diese Annahme haben jene Losungsversuche keinen Sinn». 27. Вот текст отрывка: (fol 98Ъ 13 и след.). Ь» П1ЕП1 ПВЮЯ рЪп4 *J4K1 О'ЛЬЮТ Ък П1ВП1 рЪп4 ТК "Нргб HKW1 «)ПЛЮ 1ВЪ*)К ПЮ1П Л4Л кв» лют4 лтпьл! туюл *пв ль рвЬвк ЬКЮ 1DD о41рл 4о лЪиул yinnn в я в4 в а к кьэ ял лпрзь ipm n4ip р льют d4hb»d птль л4плл Ъякю люр p^in ппк1 л5пр *рлп олрл пег л4зал люуво □юлю пр люр Ъоп "р л4»рь пв1 л1люр_1тк в4п»4 в4пл4 р4ппт рк^п рялЪ т пат л^прл р4рь потл алы пвгл [тл] 1рл пэпзл плью в4рЪп5 р15пл р4гю влппв рл wdik Ькьэ л4л fol. 99 а в4р5пло в4туюл (sic!) рккл лпрзь птпо 1рл ркю шт трюл 4ьоп bv .л4Ъэз рк5 Комментарии: Fol. 98b 14 и (след. См. выше стр. 17: ОПВ4ВЗК описка вместо р4взк или ВЗВ4В1К, как отметил уже J. Leveen, «Jewish Quarterly Review», XIII, 1922, стр. 101, 2O.« *idi is a puzzle. Here, I think, there has been
186 3 mistake. The sens6 requires the addition of a negative particle. One schuld thus read: no кЬ1». (Левин в письме ко мне). 22 я\т (черта в рукописи). «lam inclined to think that the word was erroneously inserted here by the scribe, whose attention wandered. We find the same word rrn in the next line, where it is in its right place. The scribe having made a mistake put a line over the word to indicate that it should not be read» (Левин, письмом). Fol. 99 a, 1 с след.; nniJWH : автор (или переписчик) либо допустил описку, либо не понял своего источника: не только контекст, но и параллельные свидетельства Симпликия и Фемистия (см. ниже) требуют смысла обратного тому, который получается при этом чтении» Причиной ошибки мог быть оборот в прототипе, допускающий двоякий перевод, как, например, у Фемистия, in Aristot. Phys., 4, 2: тойто 8’rjv <тои> tyjv in ’azetpov Topivjv ivaipouvTo^. iqv (какой именно?) ияоЭесш 6 уесорсетрпС XapipavEi. 28. avnpiQTat tig apx*) тесорсетрьхт) 4) Xeyouoa ez’ azeipov eivat та StatpsTa (Симпликий), тойто 8e ?jv <tou> ttjv ez’ azetpov Topvjv avaipouvTO?, rjv wzo^soiv 6 yewpieTpTqc Xapipavet (Фемистий). 29. xxt TauTvjv xai 6 Eu&qpio? ttjv apy*)v avatpeur^ai (piqaiv uzo той Avt^iovtoc (Симпликий). 80. oTi uzoTtdeTai ptev 6 уесоцетру)? то tov xuxXov Ttfc eu^eta? хата triqpeiov azTetfOai <bc apy^v, 6 8= ’Avt^ujv ayacpu тойто. 81. zot& 8azav(opiEvou той eztze8ou ЕуурафЕС^аь тс zoXuyovov тоитср тф Tpoza» ev тф xuxXco, ou ai zXeupa'c 8ta стрихро'ттдта Ефарр.оаои<тс Tfj той xuxkou ZEpсфереIgu 32. outoc 8= 8l8co<n 8ta apuxpcTvjTa Tiva eu^Ecav Ефарр-o^iv tcvc ZEpi:pEpEL9L 33. Spengel, «Eu<iemi Rhodii fragmenta,» 2-е изд., Leipzig, 1870. 84. Omp. 60: pirjSsv t<ov ouvexwv e£ apcepcov аиухертгНс. Отр. 61: о 81 EuBtjjjlo^ тф Ezcxeipnu^Tc оитсос Ехр^ато* ес fap etrrtv £ф=^;, 9iqaiv, та apiepvi, Бес* zavTco; elvat тс айтсЗу рсетх^й pnq epLoyeve;... fiazep yap azTo'pievac 8uo OTiypia'i дохос ou8ev zocougcv, gutco; ou8e сттсуцас xai xevo'v. Omp. 62. el etTTiv e£ apiEpcov цеуе^о?, еатас урарцдт) Ypapipiyfc (TTiypig pe'c^wv. Omp. 63. ixepcfcff&ac zavxa avayxv]. 35. Несомненно во всяком случае, что, поскольку уже Гиппократу из Хиоса был известен тот Факт, чго, все соответственные линейные отрезки в двух кругах относятся как диаметры, и АнтиФонту должно было быть ясно, что стороны последнего из выписанных многоугольников, совпадающего с кругом, относятся таким же образом. Иными словами, чем больше круг, тем больше должна быть и каждая неделимая, образующая окружность, так что в случае очень больших кругов эти неделимые должны стать видны простым глазом. Такое рассуждение мы, в самом деле, встречаем в одном месте Плутарха, якобы восходящем к Пла- тону, оно цитировано ниже, стр. 168 с прим. 67. К Демокриту это рассуждение восходить не может, так как здесь постулируются воспринимаемые чувствами неделимые линии, тогда как по Демокриту такие линии могли существовать, только в недоступной чувствам области законнорожденной мысли. 36. «А History of Greek Mathematics», I, стр. 222. 37. «Bibl. Math.», Ill, 1902 стр. 342—349 = Tannery, Memoires scientifiques publ. par I. L. Heiberg et H. G. Zeuthen, I, Toulouse, Paris 1915, стр. 120. Ср. также H. G. Zeuthen, указ. соч. 69 («ein Missbrauch des demokritischen Ver- fahrens».)
187 87 a. Aristot. de sensu, 6, 445 b 27: тб ... trove^E? ei? acneipa тер.vста: avtaa, e:; 8* ura TteTtspaqjieva. Alex, in loc. 115,21 и 116,2: 1) то теХеитаТоу xarapiETpouv аито... е: 8г хат£|Д£трт]ае, SijAov от: -тгетгЕрастцеуа_2) ха': то pi6p:ov аитои 8:т)рт)тас ха: тб тоитои 7taX:v p.op:ov opioico;, етг'ait£:pov т) о:х:р£а:; Естта:. 88. Ср. Tannery, «Pour la science hellene», стр. 251: «Le succes de Z£non fut complet; 898 adversaires ne pouvaient lui r£ pond re.» 89. еле': 8s Е7П p.Ev twv Xoyaiv 8ox£t тайта aupipaivetv, ел: 8e tcov arpaypiaTcov piavigi TtapaTrZiqaiov £:va: to 8o;a(&tv outgo;. Cm. Natorp, «Forschungen zur Geschichte des Erkeuntnisproblems im Al ter turn», Berlin 1884, стр. 166 и след. 40. H. G. Zeuthen, указ, соч., 67, 69: «Греческая математика воздала долж- ное Зенону, поскольку в столетии, последовавшем за выступлением Зенона, понятие бесконечности как положительный прием доказательства было либо вовсе устранено, либо его обходили таким путем, который закрывал бы возмож- ность нападений, подобных зеноновым... Доверие к процедуре бесконечно малых было поколеблено настолько, что когда Евдокс, наконец нашел путь, дающий возможность доказать безукоризненным образом правильность относя- щихся сюда выводов, то этот путь не был использован для Формулировки какого бы то ни было учения о бесконечно малых; наоборот, так называемая процедура исчерпания имеет целью обойти этот вопрос». Allman, «On greek geometry from Thales to Euclides», «Hermathena», IV, 1881—83, стр. 185: «Гре- ческие математики, приведенные в замешательство парадоксами Зенона и чувствуя, что прогресс математики затруднен тем, что математику сделали объектом диалектики, повидимому, во избежание всевозможных трудностей такого рода вовсе изгнали из своей науки учение о бесконечно малых». Так же I. L. Heiberg, «Gesch. d. Mathematik im Altertum» (= Iw. Mtillers Handbuch, 1, 2), Munchen. 1925, стр. 4. 40a. Ср. M. Я. Выгодский указ, соч., стр. 41: «Математик-теоретик в поисках решения задачи обычно исходит из той же «грубой» концепции... К сожалению, у математиков стало правилом хорошего тона скрывать от посторонних глаз те пути, которыми они шли к решению той или иной проблемы... Язык пределов есть____тот язык, употребление которого предпочитают скрывать современные представители теоретической математики_____Они не считают нужным посвящать учащихся в „закулисную** сторону дела». 41. Ср. М Я. Выгодский, указ. соч. стр. 39—41: «Вторая стадия исследования имеет чрезвычайно большое значение, но не меньшее значение имеет и первая, представляющая как бы разведку, предшествующую разработке новых место- рождений... Найдя ключ к решению... (исследователь) стремится к тому, чтобы более строгими методами проверить правильность решения... Будучи более строгими, новые методы являются гораздо менее.. . действенными. Они служат по преимуществу целям оформления полученных результатов, а не средством их получения». 42. Ср., например, Зенон, стр. 1: в: лоХХа ectt:v, avayxy] аита uuxpa те Eivat (apia) ха: pisyaXa и т. д. 43. Ср. С. A. Bretschneider, «Programm des Gymnasiums Ernestinum zu Gotha», 1869, стр. 11. 44. «Rivista di filologia», 1927, стр. 80 и след. 45. См. выше, стр. 39 с прим. 45.
188 46. «Jahresb. der deutschen Mathematiker-Vereinigung», XXXV, 1926, стр. 160. 47. Ср., например, Th. Heath, «Archimedes’Werke», стр. 139 (теорема Архи- меда о площади параболического сегмента): «Архимед не говорит ни слова о том, каким способом он пришел к этому выводу: он утверждает лишь (то или иное), и (затем) догматически показывает правильность своего утверждения, что величина не может быть ни больше и ни меньше (предсказанного им резуль- тата)» ... Стр. 137: «Греческие геометры опасались употреблять такие выраже- ния, как бесконечно большой или бесконечно малый. Вместо этого они говорили о величинах, которые больше или меньше некоторой заранее заданной величины. Они всегда останавливались перед пропастью бесконечного, не выходя никогда из границ наглядного*». G. Junge, указанное место, стр. 158: «Они подходили к симой границе, но не достигали до нее: это и есть метод исчерпания». Все эти замечания верны, однако, только в применении к антич- ной официальной геометрии, а не в применении к презираемой и преследуемой официальной наукой античной атомистике. 48. Архимед в указанном выше, стр. 71 с прим. 66а, месте: Td>v avtacov Xtopitov txv uTrepoxav а uTtepe/et to piet^ov той eXaaaovo?, SuvaTov elp.ev auTav еаита ffuvTt3e,u,evav 7ravTo? uTtepexeiv той 7tpoTe3evTO? 7re7repaapievou x^P100* 49. Allman, указ, соч., 221: «The Method of Exhaustion ... must, therefore, be attributed to Eudoxus». 50. «Zur Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter», Leipzig 1879, стр. 115 и след. 51. «Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik», I, стр. 204. 52. «Scientia», V, 1909, стр. 30. 53. «Hermes,» 3 6, 1901, стр. 177. 54. 0. Gilbert, «Die meteorologischen Theorien des griechischen Altertums, 1907, стр. 152. 55. Eva Sachs, «Die fflnf platonischen Когрет», стр. 220. 56. Aristot. Metaph., Ill, 5, p. 1009 a 26: xat ’Avajjayo'pa? p.epiix^at ev TtavTt (pyjoi xat Av)p.6xptT0?. 57. xai yap оито? то xevov xai to TrXvjpe? opioico; хаЗ* бтюйу итгарх617 piepo;. 58. Epicur. ad Herodot., 56: ou Setev тер opiapieva) acopiaTt атге’.рои? oyxou? eivai. 59.- Aristot. Phys., Ill, 4 p. 203 a 19: oaot 8’ arceipa ttoioucti та атоьхеТа, хаЗатгер ’Ava^ayopa; xai Av)|x6xpiTo;, 6 plv ex twv opcoiojaeptov, 6 8*ex ttj? iravaTtep- piia? Ttov trxTjpiaTcov. 60. Aristot. de coelo, III, 2, p. 300 b 8; de anima, I, 2, 404 a 1: Дт)|хо- xptTo? — tiqv ... 7cav<T7tep|xiav атоьхеГа Xeyet ту]? oXtj? фистесо?. 61. Philopon. in Aristot. de gener. et corr. p. 316 b 28, стр. 37, 33 и след. Vitelli. 62. ойте хата p.epo? 8taipo6vTi enq av a?reipo? tj ^рифц. 63. (о ’АрютотеХт]? Xeyei) ах; тгара AiqpioxpiTou irotoupievo? tov Xoyov, ort t) 8i«i- pefftc aei ei? /«optara, тоитеа-Ttv ei? ифеатсЗта yiveTat цеуе^Ь)... e’i 8e тойто evap- ye?, TTpoBrjAov d>? oux a^etpa тготе та 8tatpe3evTa ouSe етг* a7tetpov vj Staipeat?, Sia тб p.iq elvai атшра х^рктта церт] ev тоГ?. 7r£7repaa]xevoi£ рлеуе-Зестс. то 8e aei ou то етг’ a7reipov oTjpiaivei ev toutoi? — <b? yap атгб Дущохрггои о X070? aupiTrepaivo- pievou та eipvjpieva. 64. Goedeckemeyer, «Epikurs Verbal tnis zu Demokrit», стр. 28.
189 65. Aristot. Metaph, I, 9, p. 992 a 19: тоитф picv ouv т<у ysvet (sc. таТ; атсурсац) xai 8t£jxdxeT0 OXaTcov (b; ovtc уЕсорсЕтрсхф 8оуцатс, dXX’ exaXet «dpx*)V ypapcpcvfc». тойто 8e лоХХахц спЭец та; аторсои; ypipLpid;. 66. Pint. Plat. quaest. V 2, 4 и 6, p. 1003 F (текст выше, стр. 76 прим. 86). 67. Pint. Plat, quaest. V 3, p. 1004 A: etc, suteca pi£v, v} те |j.e’.£cdv, vj те picxpoTEpa, TTjv auTvjv Еи0итт]та SiaTyjpst, та; 8e tu>v xuxXcdv тгЕрсфЕрЕса;, av соси стрихротврас, хацтгиХсотЕра; xat ^cyyopiEva; ту) хиртоту^тс piaXXov opd>pi£w av 8e pEi£ou; dvEtpcEva;* cffTapiEvoc youv хата tvjv xupTiqv TrsptcpEpEiav oi pisv хата oiqpiEiov, oi 8e хата ypapipi^v aTrrovTac t65v uTroxEtpcEvcov ettctteScov. 68. Выше, стр. 150, прим. 27. 69. Themist. in Aristot. de coelo, p. 299 b 31 — 300 a 19 = стр. 158, 17 и след, (по еврейски). 70. Philopon. in Aristot. de gener. et corr., I, 2, p. 316 a 12 = стр. 27, 8 Vitelli: таита 8e ouSapiou Xsycov 6 HXaTwv фасуЕтас, oti eo-tcv droixa цеуе^т], dXX’ ex Tuiv аурафсоу аитои auvouacwv таита са-торЕ? 6 ApiototeXt]^ oTrsp xat piaXXov, icve; tujv dEjtouvTiDV IlXaTwvixtDv slvat той? Xoyou; toutou; Ttpo^Epov. 71. G. Junge, «Jahresb. d. deutsch. Math.-Vereinigungn, 1926 (35), стр. 73: «Plato stellte... Ansprliche an die Mathematik als an die Dienerin der Philosophic». 72. «Phantastische Weiterbildung demokritischer Ideen», G. Junge, там же, стр. 76. 73. Eva Sachs, указанная книга; H. Martin, «Etudes sur le Timee de Platon», И, прим. LXVII, стр. 239—244. 74. Archer-Hind в его издании ((Тимея», London, 1888; Е. Frank, указ, соч., стр. 101: «Ganz unkorperliche, leere, mathematisch-ideelle Raumgestalten (doco- рсата ei8tj). 75. Факты, говорящие в пользу допущения, что Платон представлял элементарные треугольники, как тела, сопоставлены Евой Закс на стр. 213—214 ее книги. Против такого толкования говорит то обстоятельство, что при таком допущении приходится из «Тимея», 56 е, заключить, что вес (или соответственно объем) октаэдра равен весу двух тетраэдров с тем же ребром; такую математи- ческую нелепость вряд ли мог высказать друг математика Феэтета. 76. Leges, VII, 21, р. 820 АВ: pivjxd; те xai тгХато; тгро; (За-Э-о; тгХато; те xat pi^xo; тгро; dXXvjXa, dp’ ou 8cavooup.E^a Trspc таита оитсо; *'EXXt]ve; TrdvTe;, <b; SuvaTa etiTt цЕтрЕсст-Зас тгро; dXXvjXa apiw; ys tzw;; — Ei 8* eotiv рт)8ар.ш; p.T]8ap.vj 8uvaTa и т. д. To, что pcijxo;, тгХато; и pd3o; здесь надо понимать не в смысле: «длина», «ширина», «глубина», а в смысле «длина», «площадь», «объем», видно из р. 817 Е, где в качестве синонима выражения pivjxo; хас тгХато; хас фаЗо; читается: pivjxo; xai etutteBov xai райо?. 77. «Eiue philosophische Spiel er ei», Prantl в примечании к этому месту в своем переводе «Тимея». 77 а. Bradwardinus, ук. соч. стр. 88, § 31: Democritus ponit continuum com- poni ex corporibus indivisibilibus... Pythagoras primus huius sectae et Plato... ponunt ipsum componi ex finitis indivisibilibus. 78. Cm. Stoian Djoudjeff, «Die Zeitmessung in der orientalischen Musik», «Archiv fflr Geschichte der Philosophic», 40, 1931, стр. 184. 78a. Thomas Bradwardinus, Tractatus de continuo, опубликован R. Schulze в Zeitschrift fur die Mathematik und Physik, XIII, 1868, Lit.-Zeitung, стр. 88.
190 79. См. отрывки, собранные у Arnim, «Stoicorum voterum fragments», II, отр. 482—491, куда следует добавить еще свидетельства Прокла в его комментарии к Евклиду, стр. 170, 13; 176, 5; 200, 1; 216, 20 по изд. Friedlein. 80. Отр. 482 = Stob. Eclogae I, 142, 2 W: XputriTrrros sipatrxe та асоцата sis arrstpov Tspivea^ai xat та той; awpcaac TtpoaeoixoTa, oiov ETttqjavEtav, Ypaptpnqv, tottov, xevov, ypdvov. sis a7t£ipov те toutcdv T£pivop,£vwv oute adjpia e£ алБсршу ашрьатшу <TUVE(TTT)XEV OUT* £7Г1фаУ£1а OUTE Ypap.pi7) OUTE то'ло;. 81. Отр. 482 = Diog. Laert., VII 150: v) тори?) eIs artEtpdv ecttiv, iqv artEtpov oux £i? a-£ipov qjvjatv 6 XpuaiTmo^* ou yao ectti ti artEtpov ei; о ytvETai tj tojjltq, aXX’ ахаталт)хто; eoti. 82. Отр. 488 = Procl. in Encl idem def. I, стр. 89 Friedlein: ou 8еГ yopd(stv хат’ Eiuvoiav tpiArjV ифвсттауас та TotauTx тгЕрата, Xeyco twv ашрсатшу, ЛсгтгЕр •oi атгб Xtoxs uTtsXaPov. 83. Отр. 483 = Pint, de communibus notitiis, 38, p. 1079 B. 84. «Plut.de communibus notitiis», p. 1079D: ei pilv yap u>s ayadou xai xaxpu to aStacpopov, оитсо t £X£paapi£vou ti xai ariE'pou jjlectov ecttiv, sirrdvTa Tt тойто' ecttiv, tSet Xuaat ty)v arroptav. Разумеется, ebtetv ti touto ecttiv, t. e. наглядно охарак- теризовать это состояние Хрисипп по самому существу вопроса не мог. Плутарх пользуется этим, чтобы оставить только две возможности и таким образом выставить Хрисиппа нарушившим закон противоречия. 85. Отр. 489 = Pint, de communibus notitiis 39, p. 1079 D E: та? piEv «Ttupavstas, фт]<зч, рст)т’ liras slvat p^qx’ avlaous’ avtaa Зе та аырсата тф рс^т* liras eivat ри)т’ avltrous Tas Erx^avstas. 86. Procl. in Euclidem 395, 14. 396, 22—397, 4. 87. Отр. 491 =Sext. adv. math., X, 123:_cpatr’t тб xtvoupiEvov trwpia иф’ £va xai t6v аитбу XP°VOV a^pouv piEpt(TTdv avuEtv StatrTiqpia xai ou тб irpuiTOv tou oiaa-TTqpiTTOs тгрйтоу ETriXapipavstv тф тгрсотф аитои piEpct xai то SsuTEpov Tij xa^Ei SeuTEpov, aXX* uq>’ ev t6 oXov ptspurTov Statrnqpia xai d&pdcos StEpyja^at и т. д. 87a. Здесь цитированы следующие места* из «Письма к Геродоту» (Diog. Laert; Х = Epicurus, ed. С. Bailey, Oxford 1926). 56, 5—57, 6: ou8’... ornqXtxous ouv, OTnqX'.xot ouv, oTtTjX'txot av ttote-uMTtv = «как бы малы они ни были»; вместо рст)81 тоиХаттоу, 57, 1, надо читать: sm touXxttov. 57, 6 — 58,7: 57,8 — то E^rjs тоитои, подразумевается: axpov, граница; 58, 2 — тб ёХауктхоу т° w altrOiqtTEt — т/е неделимое, а чувственно-воспринимаемый минимум, граница, 58, 7 — то I’trov хе означает «другая точка, сходная с первой», another point like the first», как думает Bailey, а «одинаковое», т. e. «одно и то же»: поскольку «граница» •не имеет «различных частей, и правая и левая части будут для нашего взора одним и тем же — всей границей. 58, 7—59, 5: 59, 5—8 — apity^ — однородные? Очень соблазнительна поправка Арнима: apiEpv). 59, 8—11: rtfis та арсЕтаЗоХа (ср. 41, 6—7) непонятно. Поправка Арнима (рсЕтаРата) дает хороший смысл, но слишком смела палеографически. 87 b. Конечно, можно, если угодно, под aupKpdp^ats понимать только пере- несение в физическом смысле и противопоставлять ему guvSectis, перенесение в идеальном, математическом смысле. Но тогда это было бы простым повторе- нием мысли, самоочевидной и для Демокрита, так как и его apiEpvj существует только Entvoigt и уж, конечно, не могут быть перемещаемы Физически отдельно от всего атима. В этом случае резко-полемический тон этого места был бы не- понятен.
191 88. «Studien ziir Palaeographie und Papyruskunde», hrsgb. v. Dr. C. Wessely, «Kolotes und Menedemos», von W. Crdnert, Leipzig 1906,. стр. 109 и след. 89. Стр. 16 и след. 90. Sext. adv. math. 13. 91. На эти Факты обратил мое внимание И. А. Боричевский. Все это принимает за чистую монету еще О. Apelt, указ, соч., стр. 256. 92. Cic. Acad., П, 106; Epicure adsentiens totam geometriam falsam fuisse credidit. 93. Proclus in Euclidem, стр. 199, 11 Friedlein: tgjv та; Т£<о|Л£трсха; piova; apx<x; ivaTpeTtetv Ttpo^epcevcov, шатгер tu>v ’ETnxoupetajv и т. д. 94. Ср. Crdnert, указ, соч., стр. 88: «D[e von Epikur verschmShte Mathematik...» 95. C. Bailey, «The Greek Atomists and Epicurus», Oxf. 1928, стр. 234. 96. Впервые издал Heiberg в «Oversigt Dansk. Akad.», 1900, стр. 154 и след; затем этими отрывками занимался Кренерт в указанной книге; затем их издал V. de Falco, «L’epicuieo Demetrio Lacone», Napoli, 1923. 97. Papp. 1258: Д*]рф]тр'.[ои тгрб; та; П]оХи[а]([уо]и а[тгор(а; xai тгрб; та, Z^v]a>v[i итго] 2т[аих]а>у [аХо]уа>[; avTetpvjpiEva] а. 98. Cic. De fin. I, 20. 99. Указ, соч., стр. 111. Кренерт даже думает, что предлог тгрс; вовсе не имел здесь смысла полемики: «In dem Titelwdrtchen тгро; liegt nicht notwendig ausgedi fickt, dass die Schrift gegen einen Mann gerichtet ist, der unter den Lehrern der alten Schule eine der ersten Stellen einnahm. Polyainos ist vielmebr von Dionysios angegrifien worden; darauf antwortete Demetrios». 100. Procl. in Euclidem, стр. 200, 1; 216, 20; 217, 24 Friedlein. 101. Стр. 200, 2 Friedlein. 102. Стр. 218, 1 Friedlein. 103. Стр. 216, 21 Friedlein. 104. Themist. in Aristot. Phys, VI, 1, p. 231 b 18: tiqv p.oxthqp£av too X^oyou (sc. too ’Етпхоирои) тсроетпЗб’Дауто;. 105. Pap. 1< 61, 89—17: o]ut«) [yap auTov opt£ou]orv o[i ?£<»р1£трас. 106. Pap. 1061, 122—5: '[eyei, оть] xa[t] v] 8о-Э[£?<та euJSeix [rj] MN 8lxa {т£т]р,*]та[1 х]ат[х т]6 E av)[pi]£ibv ... (Х[£?ю читает F «1со, X[eyei мое чтение). Ср. Eucl., стр. 30, 16: Хеуш, оп т) АВ suOsia otxa тетрс^тае xai то Д о^рхГоу. 107. Рар. 1647, отр. 21: ei 8е тгХато; арс[£ре;... ] ... apiE]pvj Еаоутас. Бар. 1647, отр. 20?—12: eXax^xo(v) -тХа[то; piETa]';u оу ... 108. 1258, отр. 1ч: sXaxio’Tofv piETa^u ttj;] BiapiETpou. Pap. 1647, отр. 20 (см. прим. 107).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ (Римская цифра — глава; маленькая цифра при ней — № примечания) Agrimensores, см. Землемеры. Адвокатская практика, см. судебное красноречие. Академики, см. Платоники. Аксиомы, основные античной официаль- ной математики. 64—56. 152—153. Амеры (apLsp-q); предел математической делимости 12—13. 23. 50. 52—57. 91 и сл. 108—109. 113. 119—126. 178— 179. 181—182; (материальная точка) 128. 150—151. 152-153. См. также Неделимые. Апория 6. 9. Пв0, см. также Пропедев- тический скептицизм. Арабы и евреи; атомизм у них. 11. 97. Argumentum a contrario 160—162. IV47. Атом, как предел Физической делимости. 12—13. 66.П14. 119—126. 146-147- См. также Делимость. Атомистическая геометрия; основные положения П170 71—73. 95—98. 111. Атомистическая структура (концепция) п ространства, 1^. 49—57. Пв2.91—101. См. также Амеры. Атомизм в Индии — см. Индия; у арабов и евреев — см. Арабы и евреи. Атомизм в эпоху Возрождения см. Ре- нессанс. Бесконечно большое число величин; их сумма 31. 35. 36. Тэд. 51. 165 и след. Бесконечно большие величины (в абсо- лютном смысле) 100—101. Бесконечно малые; непротяженные 9.12. 23. 31. 122. 59. 60. 62. Сумма их: 32. 36. 51. 59. Бесконечно малые; протяженные — см. Амеры. Бесконечно малые и бесконечно боль- шие высших порядков—см. Предель- ная процедура, примитивная. Бесконечных рядов, суммирование 180. См. Ряд. Буква и атом 12. Вавилон 27. 118. Возрождения эпоха, см. Ренессанс. Время, атомистическая концепция, см. Момент. rvcop.7], см. Мысль. Два типа неделимых, см. Недели- мые. Деление на две равные части, см. Дихотомия. Движение, атомистическая концепция 101 и сл. 107 и сл. П1в8. Делимость, бесконечная пространства. 6. 34.1^4 сл. 58—60. 108 и сл. Шц.^ 153. Ее невозможность 14в, см. также Атомистическая структура простран- ства. Динамизм 12. 36. 148. ДиФеренциал и неделимое 16 и сл. 126- и сл. Дихотомия, деление на две равные ча- сти 55. 58. 62. П2728Ч2 109. 112. Длина кйк функция числа неделимых 9. 97. Додекаэдр П.до Доказательство от противного, см. reduc- tio ad absurdum. Евреи; атомизм у них, см. Арабы. Египет; математика в Египте 24. 30— 31. 75. П80. 155. Землемеры (agrimensores), их Формулы 26—31.
194 Индия; атомизм в И. 9—11. Интеграл: двойной—126. Ill^g, трой- ной —127.1П10в. Иррациональные числа, см. Соизмери- мость. История философии, у атомистов II54 Исчерпания процедура 149—157 128. Научная 157—163. 1V17. Касание 88—40, 49—50, касание неде- лимых (в недоступном чувствам мире). 13. 66—67. 95. 98. 110. 121. Католичество, см. Христианство Качественное и количественное измене- ние, см. Релятивистический атомизм. Кладка, каменная или кирпичная. 24— 31. 146. 149. Классы общественные, см. Консерва- тизм; Экономические отношения. Клевета как средство борьбы с атомиз- мом. 179—181. Конгруэнтность (совпадение при нало- жении) как равенство в мире чувств 112—115. Консерватизм политический и атомизм. 13. 14. 15. 141—145. IV10. Континуум (то ffuvexec) 17—19. 95. ПО 121. 172. Конус 67 и сл.; его объем; 24.68. 75 и сл. Пю. Круг как многоугольник 23. 70. 149— 157. 167—168. его площадь 33 — 34.122- Леммы атомистические, см. Атомисти- ческая геометрия. Линия материальная 9. 12. 16. 18 и сл. 126.. Линии* неделимые, см. Неделимые линии, Малость, абсолютная (орихро'пдс) I25? см. Амеры. Мегарцы, см. Диодор Крон (в указателе античных авторов). Метафизика пространства Демокрита 48 и сл. 140 и сл. Метафизика элеатов, см. Элеаты. Многогранные 1 числа—см. ПиФаго- Многоугольные / рсйские числа. Момент, как атом времени 9—11. 101—108. Мутакаллимун, см. Арабы. Мысль законорожденная и незаконно- рожденная (разум и чувства). 48—50. 70. 145. Накладывание (етпЗеац) см. Приклады* вание. Неделимые, два типа (физические и ма- тематические/ 13. 50—53. 119—126. Неделимые в математическом смысле; см. Амеры. Неделимые линии Ксенократа 50. 91. 92. 97. Непрерывность пространства см. Кон- тинуум. Непротяженные величины, см. Беско- нечно малые непротяженные. Отклонение (тгареухХкп^). 98. тс (пи), число 23—24. 155. Помггсеррда 166 и сл. Пирамида как простейшее тело 77. 122—123. П76. ее объем 24. 71. 74. и сл.; пирамида — сооружение 30; усеченная 24.14.75. П78; ступенчатая 26 и сл. Пифагорейские (многоугольные и мно- гогранные) числа 12. 24—28.30.118. ПиФагорейцы—6. 24—27. 122. 76. 96. 142—144. 171—174. Платоники—50. 68. 91 и сл. 93—94. 169. 171—172. Плоскость материальная 9. 10. 16. 69. 73. 75—76. 91 и сл., 123 и сл. 127— 128. IHgg.gg. 182. Плотность 97. 127 и сл. лощадь круга, треугольника и т. д., см. круг, треугольник и т. д. Познание, см. Мысль; субъективизм. Предельная процедура; научная 123 157 и сл. Предельная процедура; примитивная 29. 94-95. 112 и сл. 117—119. Прикладывание (трбадесп?) и наклады- вай ие( in &есл с) 72 сл. 93 сл. П11в, 1П98. Пропедевтический скептицизм, 70. П59. Прямая, см. Линия, пустота. Пустота, пустое пространство (тб xevov) 60. Прямая, проведенная в пустоте 61.1П28.
195 Равенство, см. Конгруэнтность. Реакционные группировки, см. Эконо- мические и социальные отношения; консерватизм политический. Rednctio ad absurdum, 36. 58.108.159— 162. см. также argumentum a cont- rario. Релятивистический атомизм. 12. 146— 148. IV19.21 Ренессанс, атомизм. 11—16. Ряд 12 22 ч- 32 ч-... 26—28. Скептики, скептицизм 38—40 14в. См. также Пропедевтический скептицизм. Совпадение при наложении, см. Кон- груэнтность. Соизмеримость и несоизмеримость (ирра- циональность ). 108 и сл. 115—116. 170—171. Софисты 37—40.14в. 140—157. Средние века. 6. 7. 173. Стоики 68—69.174—176. См. также Хри- сипп (в указателе античных авторов). Субъективизм в математике 37—40. 48-50. П9 Судебное красноречие как источник мате- матических доказательств 160—162. Сумма бесконечно большого числа вели- чин, см. Бесконечно большое число; величин, Бесконечно малые непротя- женные. Суммирование бесконечных рядов, см.Бесконечных рядов суммирование. Схоластика 6.—7. Теория пределов, см. Предельная про- цедура. «Теперь» (то vuv), см. Момент. Терминология. 65 прим. Точка материальная как элемент, см. Бесконечно малые непротяжен? ные. Точные науки как единственная муд- рость. 131. Треугольник как элементарная Фигура 76; его площадь 29. Треугольные числа, см. Пифагорейские числа. Филологи как историки математики В—9. Христианство и атомизм 8—13. Шар как многогранник 76; его объем. 77—78. Экономические и социальные отношения; влияние их на науку 141—145. Элеаты 31—37. 1зо—82. 52—61; их мета- физика 36—37. 52. Эмпиризм в математике 37—40. Эпикурейцы 179—183. УКАЗАТЕЛЬ АНТИЧНЫХ АВТОРОВ, УПОМИНАЕМЫХ В ЭТОЙ КНИГЕ Александр из АФродисии, комментатор Аристотеля 21. 57. 120. 124. 148. 152. 153. Анаксагор 33—36. 1гз—24.49. П^. 141. 163. 165. 166. Антифонт-софист 19—20. 23. 56. 106. 109. 140—157. 158. 162. 163. IV85. Антифонт-оратор 161. Аристоксен, пифагореец 144—145. 172. Аристотель — повсюду, особенно 102 сл. Архимед IV41. 6. 14—15. 20. 71—72. 73—74. 140. 157. 162—163. 173. Архит, пифагореец. 148. 171. Аэцнй. 54. 119. Боэций. 26. Брмсон 20. Гален П2в. Гераклит 122- Герои 31. Гиппократ Хиосский I22.81. П^. 149. 155—156. IVjg. Горгий. 162. Демокрит — повсюду, особенно 48. 91. Димитрий Лаконский, эпикуреец П48. 179. 181—183. Диоген Лаэрпий 7. 110. 125. Диодор Крон, философ Мегарской школы 103—107. Евдем Родосский, древнейший историк математики 109. 151—153» IV^. Евдокс 72—74. 155. 157—163. 170. 171. 173.
196 Евклид 6. 20.28.35. 53.56.70. 72.73. 74. 91. 112. 152. 163. 170.173.182.1гз.28. Еврипид. 145. Зевой Элейский. 31—37. I32.33. 51. 67. 101. 102. L 8. 165. Зенон, эпикуреец 112—113. 181. Колот, эпикуреец IV2. Корак, оратор 160. Ксенократ, академик 50. 56. 91—92. 97. 104. 105. 110. 171. Левкипп 19. 20. 52. 53. 54. 66. П2в. 92. 104. 120-122. 165. Лисий, оратор 16J. Лукреций 7. 12. Пм. 126. 179. Мелисс, элеат 37. 51. 61. 64—66. Нявсифян, атомист, учитель Эпикура 18р 179—180. Парменид 122. 61. Пиррон, скептик 39. Пифагор 160. 172. Платон. 13. 20. 38. 189. 50. 76. 91— 94. 104. 143—145. 149. 150. 160. 164—172. IV^. Плутарх 48. 67—69. 75. 76.1^. П55.101. 105. 111. 114—115. 167—168. 175. IV35.84. Полиэн, эпикуреец 179. 181. 182. Порфирий 61. Посидоний, стоик 182. Прокл, комментатор Платона и Евклида Пв0. 92. 97. 99. 109. 112. 1П81. 169. 1Ь0. 182. Протагор 37—40.189. 48—49. Секст, эмпирик 38—39. 106—107.179— 180. Симпликий, комментатор Аристотеля 8. 20. 21. 31. 35. 50.54 56 61. 76—77. П2в. 91. 92.103.108. 120—124.147— 149 152. 169. Сократ 168. Тисий, оратор 160. Фалес П54. Фемистий, комментатор Аристотеля 8. 21. 103. 113. 120. 126. 182. Федор Киренский 139, П82. ФеоФраст 104. ПО. Феэтет 170. Филолай, пиФагореец 161. Филонид, эпикуреец 179. Филопон, комментатор Аристотеля 21. 31-32.50.58.63. 65. 66. 152. 166.169. Хрисипп,стоик 68.69.114.174.175.IV84. Цицерон 180. 181. ЭкФант, пиФагореец 122. Эмпедокл 15. 51. 64—67. 146. 160. Эпикур 7. 8. 10. 131. 50. 56. П54. 92. 95. 97. 102. 103. 105—108. 114. 119.126. Ямблих пиФагореец 122. УКАЗАТЕЛЬ АВТОРОВ (КРОМЕ АНТИЧНЫХ) Абель (Abel) 163. Альман (Ulman) 150. 151. IV26.40. Аль-Фараби 173. Альфонсо 19—20. 56. 150—152. 168. IV27. Апельт (Apelt, О) 40. 1^. Шд. 122.150. 151. 180. IV 26.91. Арендт (Arendt) 74. Арним (Arnim) 8.1.30. 32.50. 54. 95. 103. 119. 126. 151. Арчер-Гинд (Archer-Hind) 169. Бейли (Bailey С.) 10. Ш5б.59. Боричевский И. А. Гц. IV91. Брейтшнейдер (Breitsbneider) 163. Бригер (Brieger) 164—166. Бруно, Джиордано (Bruno, Giordano) 11—13. Бэкон Веруламский (Bacon) 5. 18. Вашов (Н. Wascbow) 27. Виламовиц-Меллендорф (Wilamowitz- Mftllendorf) 111. Выгодский М. Я. 17. IV40». ,41. Вольяно (Vogliano) Пц. Галилей 15. 16 Гаммер-Иенсен (Hammer- lensen, Inge- borg 57. 151. 171. Ганкель (Hankel) 27. 30. Гедекемейер (Goedeckemeyer) 167. Гильберт (Hilbert О. 164. 167. Герберт (папа Сильвестр II) 28—29.
197 Грасси (псевдоним: Sarsius) 15. Гэс (Heath, Th.) I2S. Пц.вв.67, HIii.3i.94. 155. Ден (Dehn М.). 74. Джуджев (Djoudjeff, Stoian)’ IV7fi. Дильс (Diels Н.) I22. 49. Закс (Sachs, Eva) Ugg. 111. Ш34. 169. 170. IV75. Кавальери (Cavalerius, Cavalieri Bona- ventura) 6. 7. 16. II 68. 157. 159. 163. Кейс (Keith A. B.) 10. Кеплер 6. 7. 16. 157. 163. Командино (Commandino) 14. Коши (Cauchy) 168. Кранц (Kranz, W.) II49.54.55. Кренерт (Cr5nert, W.) 106. 179—180. IV99. Лагранж (Lagrange) 18. 127. Лассвиц (Lasswitz, Kurd) Ш276.8.11.12. Лахман (Lachmann) 8. 126. Левенгейм (Ldwenheim, L.) 15. Левин (Leeven I.) 19. Лейбниц (Leibniz) 19. 163. Мавролико (Maurolico) 14. Мако вельский 20. Мартэн (Martin) 169. Массон-Урсель (Masson-Our sei, P.) 10. Нейгебауэр (Neugebauer) 27. Нестле (Nestle, W.) 34.182. H9. Николай Кузанский 11. Ньютон (Newton.) 163. Паиадопулос H. Шю4а, 125. Прантль (Prantl) II38.85. IV76. Рудио (Rudio, F.) 149. РуФини (Rufini) 38.Тэд. Сарсиус (Sarsius), см. Грасси. Сильвестр П, папа Римский, см. Гиль- берт. Таннери (Tannery, А.) 33. 37.122.23,30.88. Пб.в, 140. 155. IVpgg. Теплиц (Tbplitz). 123. П62. Узенер (Usener). 8. 126. 180. Фалько (de Falco) 1I42- 181. Филиппсон (Pbilippson). 123. Пг.6.54. Фохт (Vogt, А.) 139. 53. Пв. 110. Франк (Frank, Е.). 8. 33. I2.24.39. 76. H10.65.73. IV2.10.74. Фома Аквинский. 7. 173. Фома Брадвардин 7. 53. 172. 173. Цейтен (Zeuthen). 119. Пэд. 140. 155.163. IV1.11.35.40. Целлер (Zeller, Ed.) 8. 33. 34.119.32.126. IV7. Шпенгель (Spengel, О.) 153. Штальбаум (Stallbaum) Т28. Штенцель Ю. (Stenzel J.) 70. Эйлер (Euler, L.) 127. П1108. Энриквес (Enriques) 1эд. Юнге (Junge, G.) 118. 160. 162. 1176.81. IV47.71.
ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. Предисловие................................................ 5 I. Предшественники атомистической математики 1. Первые следы учения о бесконечно малых....................... 23 2. Зенон Элейский и его противники.............................. 31 3. Софисты и отрицание геометрии .......................... . . 37 Примечания к главе I........................................ 40 II. Демокрит 1. Метафизика пространства...................................... 48 2. Обоснование теории бесконечно малых.......................... 57 8. Практическое приложение атомистической математики............ 67 Примечания к главе II....................................... 79 III. Атомистическая философия математики 1. Атомистическая концепция пространства . . .л................. 91 2. Атомистическая концепция движения и времени................ 101 3. Атомистическая «теория пределов»....................... ... 108 4, Два типа неделимых..............*........................... 119 5. Аналогии к математическому атомизму в математике нашего времени (кратный интеграл)........................................... 126 Примечания к главе III..................................... 129 IV. Дальнейшие судьбы математического атомизма в древности 1. Антифонт и его софистическая теория бесконечно малых ....... 140 2. Евдокс и научный метод исчерпания........................... 157 3. «Еретические» группировки в эллинистической математике ..... 164 Примечания к главе IV....................................... 183 Предметный указатель........................................ 193 Указатель античных авторов.................................. 195 Указатель авторов (кроме античных).......................... 196 Юркова
Технический редактор О. Давидович. — Ученый корректор А. Налетов Сдано в набор 3 января 1935 г. — Подписано к печати 17 мая 1935 г. — 200 стр. Формат бум. 62 X 94 см. —12!/2 печ. л. — 39.110 тип. зн. в печ. л. — Тираж 2500. Ленгорлит № 14437. — АНИ № 580. — Заказ № 1013 Типография Академии Наук СССР. В. О., 9 линия, 12