Фриман Дайсон
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
ADVANCED
QUANTUM
MECHANICS
Фриман Дайсон
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
Предисловие к русскому переводу
Книга Фримана Дайсона, выдержавшая уже не одно издание на ан-
глийском языке, представляет собой запись лекций, прочитанных автором
в 1951 году в Корнельском университете.
После этой фразы у читателя может возникнуть вопрос: «Какой смысл
спустя полвека издавать русский перевод? К нашему времени написаны,
изданы и ежегодно множатся учебники и монографии, которые покрывают
все современные методы квантовой теории поля».
Цель этого издания —совсем не желание привлечь внимание к рари-
тету первых лет становления современной квантовой теории поля. Дело
в том, что предлагаемая книга очень точно, с изложением многих деталей
исследует переход от квантовой механики (одночастичпой квантовой тео-
рии) к теории квантовых полей.
Напомним, что основы современной квантовой теории поля (КТП) бы-
ли заложены в конце 1920-х годов путем формулировки уравнений кванто-
вой электродинамики —совокупности релятивистских уравнений Максвел-
ла и Дирака для операториозпачпых функций в представлении вторичного
квантования, использующего операторный базис Фока, и нерелятивистско-
го уравнения движения Шредингера. Именно па этой основе были тогда
проведены первые вычисления основных квантовых процессов, таких как,
например, комптоновское рассеяние электронов (формула Клейна-Ниши-
ны-Тамма).
Трудность, обнаруженная в начале 30-х, это ультрафиолетовые расхо-
димости, препятствующие расчетам радиационных поправок. Она более
чем на 15 лет прервала развитие КТП. Именно эта проблема была раз-
решена в конце 40-х совместными усилиями Бете, Томонаги, Швингера,
Фейнмана и синтезирующим аккордом Дайсона. Лекции последнего пред-
ставляют уникальный материал, в котором обсуждаются физические при-
чины, побудившие искать последовательное релятивистски-ковариантное
обобщение формализма описания квантовых процессов. В рамках послед-
него удалось решить проблему расходимостей, создав рецепт однозначного
вычисления конечных радиационных поправок, согласующихся с наблюда-
емыми на опыте. Возникшая затем конструкция известна нам как метод
перенормировок для матричных элементов S-матрицы рассеяния.
Известно, что завершающим элементом современной теории явилось
условие причинности Боголюбова, открывшее возможность аксиоматичес-
кого построения S-матрицы без обращения к уравнениям движения, по-
строения реализованного в середине 50-х гг.
Обработка лекций профессора Дайсона и подготовка их к печати про-
водилась не единожды, и каждый раз вносились коррективы. Тем не менее
в книге в целом сохранен стиль изложения, напоминающий рабочую тет-
радь физика-теоретика, в которой вычисления проведены достаточно по-
дробно. Автор не избегает повторений и напоминания некоторых обозначе-
ний, позволяет себе отступать от последовательного изложения материала,
время от времени подробно разбирать сопутствующие проблемы и даже
представлять некоторые, вообще говоря достаточно хорошо известные, ма-
тематические сведения.
В силу того что, книга —это обработка курса лекций, она содержит
большое число к настоящему времени уже почти ставших канонически-
ми упражнений и задач. В то же время отметим, что при выборе методов
решения у автора превалировали физические соображения.
При переводе были исключены подстрочные примечания технического
характера.
Рассчитываем, что книга будет интересна как студентам, так и педа-
гогам, занятым преподаванием квантовой теории и стремящимся углубить
свое понимание причин, подтолкнувших в свое время теоретиков к созда-
нию современной формулировки теории квантовых полей.
Поскольку это первая из книг Фримана Дайсона, переводимая на рус-
ский язык, мы дополняем предисловие краткой биографической справкой.
Академик Д. В. Ширков
Сентябрь 2009
Биографическая справка
Фриман Дайсон родился 15 декабря 1923 года в Англии в семье му-
зыканта, который был известен не только как исполнитель, но и как та-
лантливый учитель музыки и композитор. Таланты Фримана проявились
довольно рано —уже в 12-летнем возрасте он был отмечен первой пре-
мией по итогам экзаменов в колледже. В 1938 году Дайсон увлекся тео-
рией чисел. В библиотеке колледжа была только одна книга — советского
математика Виноградова «Введение в теорию чисел» на русском языке.
Дайсон не только выучил русский язык, для того чтобы прочитать кни-
гу, но и перевел ее на английский. В том же году он изучает книгу Эд-
дингтона «Математические основы теории относительности». В 1941 году
Дайсон получил стипендию для обучения в Тринити-колледже. В первый
год пребывания в Кембридже он изучает физику на лекциях и семинарах
Дирака и математику у Бейсковича. В первые два года Дайсон написал
несколько первых самостоятельных научных работ, которые были опуб-
ликованы несколько позже, среди них статьи — «Доказательство того, что
любое уравнение имеет корпи» и «Три тождества в комбинаторном ана-
лизе». В 1943 году Дайсона привлекают в Королевские воздушные силы,
где он занимается статистической обработкой результатов бомбометания
при авианалстах на Германию. В 1945-м, после окончания Второй миро-
вой войны, он заканчивает университет в Кембридже со степенью бака-
лавра по математике. В 1946 году пишет дипломную работу на основе
трех статей, посвященных алгебраической топологии. На этом его пози-
ционирование как чистого математика, вероятно, заканчивается, поскольку
уже с 1945 года Дайсон начинает серьезно заниматься проблемами тео-
ретической физики и в 1947 году, получив рекомендацию Пайерлса, от-
правляется в США, где продолжает обучение в Корнельском универси-
тете под руководством Бете. В 1948 году Дайсон публикует известную
статью о лэмбовском сдвиге «Электромагнитный сдвиг уровней энергии».
В 1951 году, признавая его заслуги, Дайсону предлагают позицию про-
фессора физики Корнельского университета, хотя у него нет еще ученой
степени PhD. В этом качестве и были впервые прочитаны лекции, став-
шие основой для предлагаемой вниманию читателей книги. В 1948 году
он познакомился с Робертом Фейнманом, с которым впоследствии дол-
гое время его связывали не только научные интересы, но и дружеские
отношения.
В эти годы профессор Дайсон вносит наиболее существенный вклад
в развитие квантовой теории поля, поскольку ему удается объединить все
три версии квантовой электродинамики, предложенные Фейнманом, Швин-
гером и Томонагой.
История создания этой знаменитой работы весьма живописна. Дайсон
довольно живо и ярко изложил эпизоды появления статьи в своей кни-
ге «Возмущая Вселенную». Летом 1948 года у Дайсона заканчивался срок
его годичной «post-graduate» стипендии в Корнельском университете, где
работая под руководством Бете, он имел возможность частого общения
с Фейнманом. 25-летний Фриман поставил перед собой амбициозную зада-
чу: построить достаточно простую картину новой ковариантной квантовой
электродинамики на основе математически сложной и громоздкой форму-
лировки Швингера —с одной стороны —и полуинтуитивной, иллюстрируе-
мой наглядными графиками-картинками, диаграммы Фейнмана —с другой,
при том что ему уже была известна работы Томонаги. Однако семестр (по-
сле которого ему предстояло перебираться в Принстон) кончался, а цель
пе была достигнута. Наступали летние каникулы. В этот момент Фейнман
пригласил Дайсона вместе прокатиться до Нью-Мексико, куда Ричард от-
правлялся по личным делам. По дороге Фейнман объяснял Дайсону свое
образное видение предмета. Наиболее содержательная часть обсуждений
состоялась ночью в городишке Винита, где произошла вынужденная оста-
новка из-за непогоды. Пристанище на ночь удалось добыть лишь в «ве-
селом» доме, где в соседних комнатах его постоянные обитательницы за-
нимались своим ремеслом с клиентами, поэтому никакой перспективы по-
спать в ту ночь у них не было. Дайсон проговорил всю ночь с Фейнманом,
обсуждая его теорию о сумме историй и графическом описании кванто-
вых процессов. Расставшись с Фейнманом, Дайсон автобусом отправился
па восток в Эпн-Арбор в летнюю школу Мичиганского университета. Там
он прослушал лекции Швингера, которого к тому же обстоятельно расспро-
сил о подходе к квантовой электродинамике. Кульминация наступила в сен-
тябре во время трехдневного путешествия автобусом из Сан-Франциско че-
рез весь континент в Принстон. Все стало на свои места. Итогом явилась
знаменитая статья «Теория излучения Томонаги, Швингера и Фейнмана»,
появившаяся в «Physical Review» в начале следующего года.
В последующие годы область интересов Дайсона достаточно широ-
ка—он много работает и печатает целый ряд статей пе только в квантовой
теории поля и ядерной физике, но и в физике твердого тела, астрофизике
и биологии. Во всех исследованиях и статьях царит дух детального обсуж-
дения проблем и математической элегантности.
Заслуги Дайсона отмечены многочисленными наградами. Он избран
почетным профессором около тридцати университетов и иностранным чле-
ном академий в десятках стран.
Фриман Дайсон награжден многими медалями и премиями за научные
заслуги и общественную деятельность.
Мы не рискуем в этом кратком биографическом эссе перечислить
их все, а ограничимся лишь конспективным упоминанием основных на-
учных и жизненных вех профессора Дайсона.
В 1949 году была написана статья «S-матрица в квантовой электро-
динамике», одна из самых известных, где впервые появилось уравнение,
которое сегодня известно как уравнение Швингера-Дайсона (перевод этой
статьи на русский язык содержится в сборнике «Новейшее развитие кванто-
вой электродинамики», изданном издательством «Иностранная литература»
в 1954 году под редакцией проф. Д. Д. Иваненко).
В 1952 году, когда ему еще не было тридцати лет, Дайсон был избран
членом Королевского научного общества. В 1953 году по рекомендации
Оппенгеймера его приглашают на работу в Институт высших исследова-
ний (Принстон, США). С 1953 по 1994 годы Фриман Дайсон —профессор
Института высших исследований в Принстоне (США). С 1957 года он граж-
данин США. В 1957-1961 годах Дайсон участвует в работе проекта «Ори-
он», направленного на разработку ядерного импульсного двигателя для ле-
тательных аппаратов. В 1964 Дайсон был избран членом Национальной
академии наук США. С 1964 по 2000 годы Дайсон посещает многие уни-
верситеты мира с лекциями и семинарами, презентуя во время этих поездок
свои книги и научные обзоры. В 2000 году он был удостоен Темплтонов-
ской премии за свою религиозную пропаганду.
Несмотря на то, что большую часть его научных работ составляют
работы по физике, до настоящего времени Дайсон продолжает исследо-
вания в чистой математике и публикует статьи в различных областях —
«Непрерывные функции, определенные на сфере» (1951), «Отображения
и симметрии распределений» (1989), «Среднеквадратичное значение экспо-
ненциальных сумм относительно представления интегралов как сумм двух
квадратов» (1994).
Наряду с научной деятельностью профессор Дайсон принимает уча-
стие в работе многочисленных правительственных комиссий по разоруже-
нию, проблемам изучения космического пространства и др.
Фриман Дайсон — автор целого ряда книг, среди которых книги по фи-
зике (одну из них мы представляем вниманию российских читателей), фи-
лософии и теологии, проблемам естествознания и экологии:
«Возмущая Вселенную» (1979),
«Происхождение жизни» (1986),
«Бесконечность по всем направлениям» (1988),
«Призрачные миры» (1994),
«Солнце, Геном и Интернет» (1999).
До настоящего времени профессор Ф. Дайсон ведет активную научную
и просветительскую работу, посещая с публичными лекциями о пробле-
мах экологии, мира, разоружения, современных технологий, религии мно-
гие страны мира.
Кандидат физ.-мат. наук П. И. Пронин
Предисловие
И замечательная книга Кайзера Drawing Theories Apart [8], и мастер-
ски написанная Швебером QED and the Men Who Made It [7] часто обра-
щаются к известным лекциям по квантовой электродинамике, прочитанным
Фриманом Дайсоном в Корнельском университете в 1951 году. Два поколе-
ния назад аспиранты (и их профессора), желающие изучить новые мето-
ды в КЭД, пользовались распространяемыми записями корнельских лекций
Дайсона, на тот момент лучшим и самым полным доступным изложением.
Учебники появились несколько лет спустя, например Jauch & Rohrlich [25]
и Schweber [6], но интерес к лекциям Дайсона никогда не пропадал. Вот
что замечательный теоретик Е.Т. Джейнс написал в неопубликованной ста-
тье [26] относительно автобиографической книги Дайсона Disturbing the
Universe, 1984:
«Записи курса лекций по квантовой электродинамике, прочитан-
ных Дайсоном в 1951 году в Корнельском университете, были
оригинальной основой для моего обучения. Для поколения фи-
зиков они были золотой серединой: более ясное и обоснованное
изложение, чем у Фейнмана, и гораздо более быстрое достижение
результатов, чем у Швингера. Эти лекции не устарели, несмотря
на все учебники, появившиеся с тех пор. Конечно, этого следовало
ожидать, так как Дайсон, вероятно, и по сей день является самым
известным среди физиков человеком, который первым объяснил
единство подходов Швингера и Фейнмана».
Будучи аспирантом отдела теоретической физики Николая Кеммера
(Эдинбург, Шотландия), я услышал от кого-то о лекциях Дайсона (или
от Кеммера, или от моего научного руководителя Питера Хигса) и про-
читал его классические статьи [27, 28] в сборнике Швингера [4]. И мне
не пришло в голову попросить у Кеммера копию лекций Дайсона, которые
почти наверняка у него были.
Мой интерес к легендарным лекциям возродился вновь тридцать лет
спустя после прочтения книг Кайзера и Швебера. D течение нескольких
минут Google привел меня к отсканированным записям лекций [29] в Диб-
неровском архиве (истории современной науки и технологии) Массачусет-
ского технологического института, которые были размещены там Карлом
Холмом, историком Центрального европейского университета в Будапеште,
Венгрия. Он получил от Дайсона разрешение на публикацию отсканиро-
ванных корнельских лекций. Благодаря усилиям Холла, Швебера и Бабака
Ашрафи они были загружены в архив Дибнера. Но для получения бумаж-
ной копии потребовалось бы скачать почти двести изображений, потратить
много времени и места для их хранения. Была ли текстовая версия? Пере-
печатал ли кто-нибудь записи лекций? Холл не знал этого, и дальнейший
поиск ничего не дал. Я добровольно предложил проделать эту работу. Холл
счел это стоящим проектом, также как и Дайсон, который прислал мне ко-
пию второго выпуска, отредактированную Майклом Дж. Моравчиком (эта
копия первоначально принадлежала Сэму Швеберу). Дайсон предложил,
чтобы был перепечатан второй выпуск, а не первый. Почти все различия
между этими двумя выпусками — это комментарии Моравчика ко многим
вычислениям, по существу в тексте нет никаких отличий, все пронумеро-
ванные уравнения идентичны, за исключением опечаток.
Между этой напечатанной версией и вторым выпуском Моравчика
есть некоторые отличия (я также добавил список литературы и индексы).
Недостающие слова или предложения были восстановлены при сравнении
с первым выпуском, иногда слово или фраза были удалены. Несколько из-
менений было сделано в примечаниях. Промежуточные выкладки в двух
вычислениях были исправлены, но они ничего не изменяют. Некоторые
примечания указывают на статьи или книги. Несомненно, были допущены
новые ошибки. Исправления будут приветствоваться! У молодых физиков
при чтении будет возникать желание увидеть знакомые термины и обозна-
чения, претерпевшие некоторые изменения с 1951 года, а историки, есте-
ственно, не желают видеть никаких изменений. Поэтому найти компромисс
было нелегко.
Я едва знал BTgX перед тем, как начать этот проект. Мой друг и од-
нокурсник по Принстону Роберт Янсен был чрезвычайно любезен, щедро
поделившись со мной своим временем и обширными познаниями в ЬЯеХ.
Спасибо, Боб. Спасибо также Ричарду Коху, Гербену Верде и их коллегам,
которые сделали ВТрХ таким простым на Макинтоше. Учебник Джорджа
Гратзера Math into BT^X всегда был рядом с клавиатурой. Все, кто набирает
научные тексты, должны быть знакомы с ВТрХ.
Этот проект никогда не был бы осуществлен без одобрения профессо-
ра Дайсона и усилий профессоров Холла, Швебера и Ашрафи, сделавших
записи этих лекций доступными. Я благодарю профессора Холла за его
постоянную поддержку в течение многих часов печатания. Я благодарю
профессора Дайсона как за его дружескую помощь, так и за разрешение
сделать эти замечательные лекции общедоступными, чтобы многие могли
с удовольствием и пользой прочитать их в будущем.
Первоначально предполагалось, что напечатанная версия будет слу-
жить дополнением к отсканированным записям лекций, размещенным Кар-
лом Холлом на сайте Дибнера. Боб Янсен, активно участвующий в реля-
тивистских исследованиях, настоял на том, чтобы она также была опуб-
ликована на сайте электронных препринтов по физике arXiv.org, и после
существенной работы, проделанной им, это было организовано. А несколь-
ко недель спустя быстро реагирующая и трудолюбивая команда издатель-
ства «World Scientific»1 вошла в контакт с профессором Дайсоном, чтобы
спросить его разрешения на издание записи его лекций. Он согласился,
но предложил им вести переговоры со мной. Я был рад, но моя совесть
не позволила мне лично получить прибыль от работы профессора Дайсо-
на, и я предложил, чтобы мой гонорар был пожертвован Новоорлеанской
публичной библиотеке, которая сейчас прилагает большие усилия, чтобы
начать работать вновь после бедствий Урагана «Катрина». Профессор Дай-
сон сразу согласился на это предложение. Я очень благодарен ему за его
вклад в восстановление моего родного города.
Давид Дерберс
лаборатория довузовского обучения
Чикагского университета
loki@uchicago.edu
11 июля 2006
'Издательство «World Scientific» очень благодарно профессору Фриману Дайсону и докто-
ру Давиду Дерберсу за эту великолепную рукопись.
Глава 1
Введение
1.1. Книги
W. Pauli, «Die Allgemeinen Principien der Wellenmechanik», Handbuch
der Physik, 2 ed., Vol. 24, Part 1; Edwards reprint, Ann Arbor, 1947 (на немец-
ком) [1].
W. Heitler, Quantum Theory of Radiation, 2nd Edition, Oxford. Третье
издание в печати [2].
G. Wentzel, Introduction to the Quantum Theory of Wave-Fields, Inter-
science, N. Y., 1949 [3].
Я не считаю, что вы обязаны прочитать какую-либо из этих книг,
но я буду ссылаться на них в процессе изложения материала. Последняя
часть курса будет новой, основанной преимущественно на работах Фейн-
мана и Швингера [4, 5, 6, 7, 8].
1.2. Предмет рассмотрения
Вы изучили полный курс нерелятивистской квантовой теории. Я пред-
полагаю, что вы его знаете. Все общие принципы нерелятивистской теории
действительны и справедливы при всех обстоятельствах, в частности, ко-
гда система является релятивистской. Следовательно, все, что вы изучили,
буде т полезно.
Вы прошли курс классической механики и электродинамики, включа-
ющий специальную теорию относительности. Вы знаете, что такое реляти-
вистская система. Уравнения движения являются формально инвариантны-
ми при преобразованиях Лоренца. Мы не будем затрагивать общую теорию
относительности.
Этот курс будет касаться развития Лоренц-инвариантной квантовой
теории. Это не общий динамический метод, такой как нерелятивистская
квантовая теория, применимая для всех систем. Мы не можем пока приду-
мать общий метод такого типа, и, вероятно, это невозможно.
Вместо этого мы должны выяснить, какие системы возможны, полу-
чить особые уравнения движения, которые можно описать с помощью нере-
лятивистской квантовой динамики и которые, в то же время, будут являться
Лоренц-инвариантными.
Практически любая классическая система может быть проквантована
в рамках нерелятивистской теории. Напротив, мы находим, что есть ма-
ло возможностей существования релятивистской квантовой системы. Это
самый важный факт. Это означает, что, исходя только из принципов отно-
сительности и квантования, математически возможно существование толь-
ко очень специфических объектов. Поэтому математически можно пред-
сказать некоторые важные особенности реального мира. Наиболее замеча-
тельными примерами являются следующие:
1. Дирак, изучая электрон, предсказал существование позитрона, кото-
рый позже был открыт [9].
2. Юкава, изучая силы, действующие внутри ядра, предсказал существо-
вание мезона, который был открыт позже [10].
Эти два примера представляют собой особые случаи общего принци-
па, являющегося основным достижением релятивистской квантовой тео-
рии, а именно: релятивистская квантовая теория конечного числа частиц
невозможна. Релятивистская квантовая теория обязательно включает в себя
следующие черты: бесконечное число частиц одного или более типов, ча-
стицы одного типа идентичны и неразличимы друг от друга, возможность
рождения и аннигиляции частиц.
Таким образом, объединение принципов относительности и квантовой
теории приводит к миру, построенному из различных типов элементарных
частиц, и поэтому позволяет нам чувствовать себя достаточно уверенными
в том, что мы находимся на правильном пути понимания реального мира.
Кроме того, различные конкретные свойства наблюдаемых частиц являются
необходимыми следствиями общей теории. Например,
1. Магнитный момент электрона (Дирак) [9].
2. Соотношение между спином и статистикой (Паули) [11].
1.3. Детальная программа
Мы не будем сразу развивать правильную теорию, включающую мно-
го частиц. Вместо этого мы проследим за историческим развитием. Мы по-
пытаемся создать релятивистскую квантовую теорию одной частицы, най-
дем, как далеко мы можем продвинуться, пока не встретим трудности. За-
тем мы увидим, как изменить теорию и преодолеть сложности, связанные
с введением большого количества частиц. К слову, одночастичные теории
довольно полезны, поскольку являются корректными для хорошего прибли-
жения во многих ситуациях, когда не происходит рождения новых частиц
и когда необходимо нечто лучшее, чем нерелятивистское приближение. На-
пример, теория Дирака для атома водорода.
Нерелятивистская теория дала корректно уровни, но не тонкую струк-
туру (точность 1 к 10000). Одночастичная теория Дирака дает корректно
все основные особенности тонкой структуры, число компонент и расщеп-
лений с точностью до 10%, но не лучше (точность 1 к 100000).
Многочастичная теория Дирака дает расщепления топкой структуры
(эксперимент Лэмба) с точностью приблизительно 1 к 10000. (Общая точ-
ность 1 к 108.)
Возможно, для того чтобы достичь точности большей, чем 1 к 108,
недостаточно будет даже многочастичной теории Дирака, необходимо при-
нять во внимание все виды мезонных эффектов, которые еще не рассмот-
рены в полной мере. Эксперименты пока имеют точность 1 к 108.
В этом курсе я сначала рассмотрю детально одночастичные теории. За-
тем я расскажу об их недостатках. После этого обсудим, как можно постро-
ить релятивистскую квантовую теорию в общем, используя новые методы
Фейнмана и Швингера. Затем мы перейдем к многочастичным теориям. На-
конец, на примере квантовой электродинамики я постараюсь продвинуться
как можно дальше до конца нашего курса.
1.4. Одночастичные теории
Рассмотрим простой пример одной частицы, на которую не действу-
ют никакие силы. Тогда нерелятивистская волновая механика предписывает
нам взять выражение для Е = ^р2 из классической механики и записать
E-^ih^-,	(1)
at	ox
для того, чтобы получить волновое уравнение2
д	Ъ? ( д2	д2	д2\	Ъ2
ili—ф —-----—z- -I-----~ Н---~ ф —-------уф, (2)
dt	2т удх2	ду2	dz2 J	2т
которому удовлетворяет волновая функция ф.
23десь и далее «V2» обозначает лапласиан.
Для того чтобы придать физический смысл tp, мы полагаем, что р =
= tp*tp — это вероятность нахождения частицы в точке с координата-
ми х, у, z в момент времени t. И вероятность сохраняется, потому что3
§ + v-j = o,	(3)
ot
где
г=Д(^-т	(4)
2тг
где tp* — величина, комплексно сопряженная с tp.
Теперь рассмотрим релятивистский случай. В классике
Е2 = тп2с4 4- с2р2,	(5)
что дает волновое уравнение
(«)
Это известное историческое уравнение Клейна-Гордона. Шредингер уже
в 1926 пытался получить из него релятивистскую квантовую теорию.
Но он потерпел неудачу, как и многие другие, пока Паули и Вайскопф
в 1934 году не предложили многочастичную теорию [12]. Почему?
Для того чтобы интерпретировать волновую функцию как амплитуду
вероятности, должно выполняться уравнение непрерывности. Оно совмест-
но с волновым уравнением, если для j берется такое же выражение, как
раньше, а
ih ( dtp	dtp* \
Р —-----I --------—Ф I •
2тс2 \	dt	dt J
(7)
Но, так как уравнение Клейна-Гордона —это уравнение второго порядка,
то tp и являются произвольными. Следовательно, р —не обязательно по-
ложительно. Мы имеем отрицательные вероятности. Это препятствовало
всем попыткам построить разумную одночастичную теорию.
Теория может быть построена достаточно легко, если мы потребуем,
чтобы tp описывала ансамбль частиц обоих знаков, как положительного,
так и отрицательного, а плотность результирующего заряда в любой точке
обозначим р. Это то, что сделали Паули и Вайскопф, их теория правильно
описывает тг-мезоны, мезоны, создаваемые в синхротронном ускорителе.
Я расскажу об этом позже.
З3десь и далее «V », «V» и «7х» обозначают «div», «grad» и «сиг!» соответственно.
Глава 2
Теория Дирака
2.1. Вид уравнения Дирака
Исторически до релятивистской квантовой теории появилась одиоча-
стпчпая теория Дирака. Опа так успешно описывала поведение электрона,
что в течение многих лет была единственной достойной релятивистской
квантовой теорией из существовавших. И се непосредственных трудностей
намного меньше, чем у одпочастичпой теории Клейна-Гордона.
Дирак предположил, что частица может существовать в нескольких
определенных состояниях с одним и тем же импульсом (имея различные
ориентации спина). Тогда волновая функция -ф, удовлетворяющая (G), долж-
на иметь несколько компонент', это не скаляр, а множество чисел, каждое
из которых дает амплитуду вероятности нахождения частицы в данном со-
стоянии. Поэтому запишем для ф матрицу-столбец
для компонент а = 1, 2, ...
Дирак предположил, что плотность вероятности в какой-либо точке дается
выражением
P =	(8)
а
которое мы запишем в виде
р = ф*ф,
как в нерелятивистской теории. Здесь ф* представляет собой матрицу-
строку
[^i, V'a, •••]•
Необходимо также, чтобы волновая функция удовлетворяла уравнению (3).
Поэтому должна удовлетворять волновому уравнению первого порядка
по t. Но, поскольку уравнения являются релятивистскими, это уравнение
также должно содержать члены первого порядка по х, у, z. Следовательно,
наиболее общий вид возможного волнового уравнения — это
1 dil>	к	тс „ ,
с dt	дхк п
(9)
где Xi, Х2, Хз — обозначения для х, у, г, а а1, а2, а3, /3 представляют собой
квадратные матрицы, элементами которых являются числа. Сопряжение (9)
дает
+ V—
с dt дхк
=0,
п
(Ю)
где ак* и /3* — это эрмитово-сопряженные матрицы.
Теперь для того чтобы получить (3) из (8), (9) и (10), необходимо,
чтобы ак* = ак, (3* = /3, поэтому ак и /3 являются эрмитовыми и
jk = c(tp*aktp).
(И)
Каким еще условиям должно удовлетворять уравнение (9)? Их два:
(А) оно не должно противоречить во втором порядке уравнению (6), с ко-
торого мы начали; (Б) полная теория должна быть лоренц-инвариантной.
Сначала рассмотрим (А). Если (9) не противоречит (6), то уравне-
ние (6) должно получаться при действии на (9) оператора
1 д » д тс
-^7
с dt	dxe п
(12)
который выбран так, чтобы члены, содержащие смешанные производ-
ные и исчезали. Это дает
1 э2у>
с2 dt2
d2i/j
dxkdxt
т2с2
Р/32
г- 2Э2У>
ак dx2
к °Хк
тС кг, г, кх^'Ф
h	dxk
Это согласуется с (6) тогда и только тогда, когда
акае + аеак = 0, к £ I,
ак(3 + 0ак = 0,	(13)
ак2 = /З2 = I (тождественная матрица).
Мы, возможно, не могли бы разложить уравнение второго порядка в про-
изведение двух операторов первого порядка, содержащих обычные числа.
Но мы можем сделать это с матрицами.
Рассмотрим матрицы Паули
<0 1\	<0	-Л <1	0\
CT1 \1 oj	’ Ст2 “ у г	0 J	’ СТз “ у0	-1J	’
с которыми вы знакомы. Они удовлетворяют соотношению
<Tfc<7£ + <7£<7k = 26(k-
Но мы не можем сделать так, чтобы все 4 матрицы такого типа были анти-
коммутирующими. Они должны быть по крайней мере 4 х 4.
Один возможный набор ак и /3
0
о
-1 о
о -1
(15)
0 =
В частности,
/0 0 0 1\
0 0 10
0 10 0’
\1 о о о/
/0	0	0	—г\
2 _	| 0	0	i	0
' -	0	—i	0	0
V	о	о	о /
/0	0	1	о	\
3	0	0	0	-1
“ - 1	о	о	о
\0	-1	о	о	/
Они являются эрмитовыми, как и требуется. Конечно, если ак и (3 — это
некоторый набор матриц, удовлетворяющий (13), то	и S/3S-1 —
это другой набор, где S — некоторая унитарная матрица SS* = 1. И наобо-
рот, можно доказать, что все возможные 4x4 матрицы ак и в имеют такую
форму, где S — некоторая унитарная матрица. Здесь это не доказывается.
Таким образом, уравнение Дирака — представляет собой систему нз че-
тырех линейных дифференциальных уравнений в частных производных для
четырех функций -фа.
2.2. Лоренц-инвариантность уравнения Дирака
Что это означает? Рассмотрим общее преобразование Лоренца: ес-
ли х'^ — новые координаты, то
з
x'll = ^aliVxv (xQ = ct).	(16)
р—О
Обозначим волновую функцию в новой системе координат через tp'. Конеч-
но, мы не ожидаем, что tp' — tp. Пример: в теории Максвелла, являющей-
ся релятивистской, магнитное поле Н не будет больше чисто магнитным
полем в движущейся системе. Вместо этого оно преобразуется как тензор.
Поэтому мы должны найти некоторый закон преобразования для tp, при ко-
тором физические следствия уравнений будут оставаться инвариантными.
Фактически нам необходимы две вещи: (i) tp*tp должно по-прежнему
представлять собой плотность вероятности, (ii) в новой системе должна
сохраняться справедливость уравнения Дирака.
Вначале рассмотрим (i). Величина, которая может наблюдаться непо-
средственно и должна быть инвариантом, это
(tp*tp) х V,
где V —объем. Теперь при переходе в новую лоренцеву систему, движущу-
юся с относительной скоростью v, объем V уменьшается (это называется
сокращением Фитцжеральда)
с
Поэтому
=
(17)
и, следовательно, (tp*tp) = р преобразуется как энергия, т. е. как четвер-
тая компонента вектора. Это показывает попутно, что tp' tp. Посколь-
ку р и j связаны уравнением непрерывности, пространственные компонен-
ты 4-вектора представляют собой
(S1,S2,S3)=tp*aktP=-jk.	(18)
С
Итак, мы требуем, чтобы 4 величины
(Si, S2, S3, So) = (fafy	(19)
преобразовывались как 4-вектор. Этого будет достаточно для того, чтобы
сохранялась интерпретация теории.
Примем, что
ф' = Зф,	(20)
где S — это линейный оператор. Тогда
ф’* = ф*3*.	(21)
Поэтому мы требуем
з
ф*'акф' = ip*S*akSip = akvip*avip,
з^°	(22)
ф*'ф' — ip*S*Sip = ао^а^ф,
i>=0
записывая <т° = I.
Следовательно, нам необходимо, чтобы
з
S*aMS = У2	/х = 0, 1, 2, 3.	(23)
р=0
Теперь рассмотрим (ii). Уравнение Дирака для ф'
з
£^-^' + z^W = 0.	(24)
о 9х'и п
Теперь первоначальное уравнение Дирака для ф, выраженное в новых ко-
ординатах, выглядит следующим образом:
33	г)
	7aPMS-V+ Z^/3S“V = 0.	(25)
j^o^o дх^и--------------------------------------П
Системы уравнений (24) и (25) должны быть эквивалентными, но не иден-
тичными. Поэтому (25) должно быть таким же, как (24), умноженное
на /35 г/3. Это условие можно записать как
з
аАа,А5-1.	(26)
о
Но (23) и (26) являются идентичными, если
/35-1/3 = 5*, что означает S*(3S = (3.	(27)
Следовательно, /3 преобразуется как скаляр, av — как 4-вектор при умноже-
нии на 5*5.
2.3.	Нахождение S
Комбинация двух заданных последовательных преобразований коор-
динат с уже найденными матрицами будет соответствовать произведению
этих матриц. Отсюда следует, что мы должны рассмотреть только три про-
стых типа преобразований.
1.	Обычные вращения
Xq - <eq,	= а?з,
х{ = Xi COS 0 + Х2 sin 0,
х'2 = —Xi sin 0 + Х2 cos 0.
2.	Чистые преобразования Лоренца
=Х1,	Х2 = Х2,
х'3 = х3 ch 0 + х0 sh 0,
х'о = х3 sh 0 + хо ch 0.
3.	Чистые отражения
х। = —.Ti,	х2 ——	а^з - а?з, .Eq = Xq*
Случай 1. Тогда Здесь коммутирует с а3 и /3.	5 = cos-0 + га3 sin -0.	(28) „ _ f<r3 о \ 3	\ 0 аз ) <7301 = газ,	а3аз = -Ш1, 5* = cos -0 — г<тз sin-0.
Тогда
s*ps = (3,
S*a°S = a°,
S*a3S = a3,
что и требовалось.
S* a1 S = cos 9 a1 + sin 9a2,
S*a2S = — sinfla1 + cos 9a2.
Случай 2.	S = S* = ch -9 + аз sh -9.	(29)
Здесь	S*0S = (3, S*a1S = a1, S*a2S — a2, S*a3S = ch9a3 +sh9a°, S*a°S — sh0a3 + cos0a°.	
Случай 3.	s = S* = .6.	(30)
Заметим, что во всех случаях S является неопределенной величиной, ко-
торая может отличаться на множитель ±1. В случае 1 поворот на 360°
дает S = — 1.
Задача 1. Найдите S, соответствующее общему бесконечно малому преоб-
разованию координат. Сравните и покажите, что оно соответствует точным
решениям, данным здесь.
Преобразования -фа с такими S называются спинорами. Они представ-
ляют собой прямое расширение нерслятивистских 2-компонентных спин-
функций. Математическая теория спиноров не очень широко используется.
Фактически на практике мы всегда находим, что проще всего выполнять
вычисления, избегая каких-либо явных спинорных представлений. Исполь-
зуйте только формальную алгебру и коммутационные соотношения мат-
риц.
2.4.	Ковариантные обозначения
Для того чтобы избежать различий между ковариантными а коптрвари-
антными векторами (которые мы проигнорировали в предыдущем обсуж-
дении), удобно использовать мнимую четвертую координату
Х4 = ixo = ict.	(31)
В этой системе координат четыре матрицы
71,2,3,4 = (-z/ta1’2’3, Д), т.е.	(32)
71 = 1	( 0 1 0 i X г 0	0 —i\ —г 0 1 - 0 J ’	72 = 1	( 0 о 1 \ -1 0	0 -1 1 0 0
7з = I	( 0 г 0 \0 -г	—i 0\ Oil. 0 ) ’	74 = I	/10 f 0 1 к0	0 -1 0 0 -1
представляют собой 4-вектор. Все они являются эрмитовыми и удовлетво-
ряют соотношению
7м 7^ + 7^ 7м ~	(33)
Уравнение Дирака и уравнение, сопряженное с ним, можно записать как
4 о I
1 дф	1 1 иа,м где	_ ф = ф* (3 Sp. = ЦФЧцФ) =	—ф = 0, п (34) 71С — —V» = о, п и	(35) •	(36)
Эти обозначения наиболее удобны для вычислений.
2.5.	Законы сохранения. Существование спина
Запишем гамильтониан для этой теории
= Н-ф,	(37)
ot
3 д
Н = —гТгсУ^ ак-------= —iTica 'V + тс2/3.	(38)
V дх*
Он коммутирует с импульсом р = —iTiV. Поэтому импульс р является
интегралом движения.
Однако оператор момента количества движения
L = г х р = — гЪт х V	(39)
не является константой. Для
[Я, L] = -rfca х V.	(40)
Но
[Н, <т] = —iftcV • [а, <т], где а = (<ri, стг, <тз),
тогда как
[a1, tri] = 0, [а1, аД = 2га3, [а1, сг3] = -2га2 и т.д.
Поэтому
[Я, <тз] = 27ic(a1V2 — a2Vj) и, следовательно,
[Я, сг] = 27гса х V.	(41)
Таким образом,
L + \<т = hJ	(42)
является константой, полным моментом количества движения, потому что
согласно (40), (41) и (42)
[Я, J] = 0.
L — это орбитальный момент количества движения, а |Tia — спиновой мо-
мент количества движения. Это согласуется с нерелятивистской теорией.
Но в пей спин и L свободной частицы были не связанными между собой
константами. Теперь это не так.
Если к гамильтониану Я добавить потенциал центральной силы V(r),
оператор J по-прежнему будет являться константой.
2.6.	Элементарные решения
Для частицы с импульсом р и энергией Е волновая функция будет
•ф(х, t) = u exp	>	(43)
где и — постоянный спинор. Тогда уравнение Дирака становится уравнени-
ем только для и
Ей = (со.  р + тс2(3)и.	(44)
Теперь запишем
Р+ = р! + гр2, Р- = Pi - гр2.	(45)
Теперь выпишем (44) полностью:
(Е - тс2)иг = с(р3и3 + р-и4),
(Е - тс2)и2 = с(р+и3 - р3и4),
2	(46)
(Е + тс )из = c(p3ui +p_U2),
(Е + тс2)и4 = с(р+щ - рзи2).
Эти 4 уравнения определяют из и и4 по заданным и4 и и2 и наоборот.
Можно выбрать независимо либо Uj и и2, либо из и и4, для того чтобы
обеспечить выполнение соотношения
Е2 = т2 с1 + с2р2.
(47)
Поэтому при заданных р и Е = + л/т2с4 + с2р2 существует два независи-
мых решения (46); эти решения в ненормированном виде выглядят следу-
ющим образом:
( 1 \
О
ерз
Е + тс2
ср+
\ Е + тс2 /
( ° \
1
ср-
Е + тс2
- ерз
\ Е + тс2 /
(48)
Получаем два спиновых состояния электрона с заданным импульсом, как
и требует физический смысл.
Но существуют также решения с Е = — у^т2с4 + с2р2. Фактически
это тоже дает два независимых решения, в итоге вместе с предыдущими
получим 4 независимых решения. Это знаменитые состояния с отрица-
тельной энергией. Почему мы нс можем просто согласиться проигнори-
ровать эти состояния, сказав, что они отсутствуют физически? Потому что,
когда присутствуют поля, теория дает переходы от состояний с положитель-
ной энергией к состояниям с отрицательной энергией, т. е. атом водорода
должен распадаться в отрицательном состоянии через 1О-10 секунды или
меньше.
Конечно, отрицательная энергия для частиц физически недопусти-
ма. Они, например, могут никогда не остановиться, двигаясь все быстрее
и быстрее с каждым столкновением. Поэтому Дирак пришел к...
2.7.	Теория «дырок»
Каждое состояние с отрицательной энергией содержит по одному элек-
трону. В силу принципа исключения переходы обычных электронов в эти
состояния запрещены. В случае сели состояние с отрицательным импуль-
сом -р и отрицательной энергией — Е свободно, оно проявляется как ча-
стица с импульсом р, энергией +Е и зарядом, противоположным заряду
электрона, т. е. как обыкновенный позитрон.
Итак, для того чтобы получить разумные результаты, перейдем сра-
зу к многочастичпой теории. Частицы со спином 0 позволят нам получить
положительные вероятности. Частицы со спином | позволят получить по-
ложительные энергии.
Теория Дирака в своей одиочастичиой форме не может правильно опи-
сать взаимодействия между несколькими частицами. Но, пока мы говорим
только о свободных частицах, мы можем описать их одночастичными вол-
новыми функциями.
2.8.	Позитронные состояния
Какая волновая функция будет описывать позитрон, обладающий им-
пульсом р и энергией Е? Попятно, что она должна иметь вид
0(.т. t) = v exp	,	(49)
\ п Ti J
как всегда в квантовой механике. Но электрон с отрицательной энергией,
отсутствие которого является позитроном, имеет волновую функцию
ы(.г. t) = и exp	+ i^\ ,	(50)
\ II п )
поскольку его импульс равен — р, а энергия — Е.
Поэтому мы должны взять
<^ = С^+, т. е. v = Си+,	(51)
где ip+— это матрица ip с комплексно-сопряженными элементами, но
не транспонированная, а С — подходящая постоянная матрица;
ip+(x.t) = и+ ехр ~
Мы знаем, что и является решением уравнения
Ей = (са  р - т<?Р)и.	(52)
Мы хотим, чтобы теория не делала различия между электронами и позитро-
нами, и, следовательно, v также должна удовлетворять уравнению Дирака
Ev = (са  р + тс2Д)ц,
ЕСи+ = (са • р + тс2Д)Си+-_
Но из (52) мы имеем для и+ уравнение
Еи+ = (са+ • р — тс2 (3+)и+.	(54)
Для того чтобы (53) и (54) были идентичны, необходимо, чтобы
Сак+ = акС, С(3+ = -0С.	(55)
Теперь фактически
а1+ = а1,	а3+= а3,	а2+ = — а2,	0+ = Д.
Поэтому подходящая постоянная матрица С будет иметь вид
/ А о-1\
С = —i/За2 = 72 = о i 1 °	•	(56)
\-i о и /
Преобразование, связывающее между собой ip и ф, является симметрич-
ным, поскольку
С2 = I, следовательно, ip = Сф+.
(57)
ф называется зарядово-сопряженной волновой функцией, соответствующей
волновой функции электрона с отрицательной энергией ф. Очевидно, что
ф*ф = (Сф+У(Сф+) = фтС*Сф+ = ф*(С*С)тф = ф*ф. (58)
И
ф*акф = фтС*акСф+ = ф*СакТСф = ф*акф. (59)
Поэтому вероятность и плотность потока являются одинаковыми как для
позитрона, так и для сопряженного электрона с отрицательной энергией.
Для многих целей легче представить позитрон непосредственно с по-
мощью волновой функции ф, например для вычисления сечения рожде-
ния пар (электрон-позитрон) и так далее, мы сделаем это позже. Но если
вы действительно хотите увидеть позитрон, например в описании дета-
лей позитронного эксперимента, необходимо использовать волновую функ-
цию ф для того, чтобы учесть, например, направление спина.
Это все, что мы скажем о свободных электронах п позитронах.
2.9.	Электромагнитные свойства электрона
Пусть внешнее классическое электромагнитное поле определяется по-
тенциалами
р = 1, 2, 3, 4; А4 = гФ,
представляющими собой заданные функции пространства и времени. То-
гда движение частицы в поле находится заменой в лагранжиане свободной
частицы
Е + еФ вместо Е,
3.	е л	(6°)
р + -^А вместо р,
где (—е) — это заряд электрона. Запишем 4-вектор энергии-импульса
Р = (Pl, Р2, Рз, Ра = iE/c).	(61)
Тогда мы должны просто подставить
рм + |ЛМ вместо рм.	(62)
В квантовой теории
Рм -> -ih-—.	(63)
Следовательно, уравнение Дирака, содержащее поля, имеет вид
ге , \	тс
ф + —ф = 0,
iLC j	гЬ
(64)
4 / п	.	\
Е	д	ге	\-
В нековариантных обозначениях оно выглядит
п / Г з
(65)
dib	! д \
Иг— = — еФ + Уд — ihc—--------eAk ] ак + тс20 ф.
at	1 \ &Хк J
(66)
Поскольку из (57) мы имеем ^7д = ^*Д7м — (Сф+)ТД7М = 0ТС'ТД7М,
то, применяя (65), получаем, что волновая функция ф — Сф+ позитрона
удовлетворяет уравнению
д	ie . \ г ~ тис „
— - -Ад ^0Сф - —0Сф = 0.
С'Д? д	iLC j	Tb
Умножение па С0 дает
ге , \ тс
~ т~Ац 7М0+ —ф = 0-
Tic	п
(67)
(68)
Это точное уравнение Дирака для частицы с положительным зарядом (+е).
Мы использовали соотношение
С0^0С = -7м,
(69)
которое следует из (15), (32), и (55).
2.10.	Атом водорода
Это одна из проблем, которую можно решить точно, используя теорию
Дирака для одного электрона. Задача состоит в том, чтобы найти собствен-
ные значения уравнения
Еф = Нф,
„	2, е2	(70)
Н = —iTica • V + тс20----,
г
Как и в случае нерелятивистской теории, мы имеем, помимо Е, дополни-
тельные квантовые числа, соответствующие величинам
jz = -г[г х V]3 + |<т3,	(71)
j(j + 1) = J2 = Н(г х V) + |<т]2,	(72)
где jz и j представляют собой теперь полуцелые числа обычной теории мо-
мента количества движения. Этих квантовых чисел недостаточно для того,
чтобы точно определить состояние, потому что каждое значение j может
соответствовать двум нерелятивистским состояниям с £ = j ± Следо-
вательно, нам необходим дополнительный оператор, коммутирующий с Н
и различающий состояния с <т, параллельным и антипараллельным относи-
тельно J. Очевидный выбор:
Q = <т • J.
Но [Н. а] не равно нулю, а более сложно. Поэтому лучше попробовать
Q = (За • J,	(73)
что дает то же самое в перелятивистском пределе.
Тогда мы имеем
[Я, Q] = [Я, (За • J] = [Я, (3a]-J + (3a- [Я, J].
Но [Я, J] = 0. Кроме того, поскольку
ak(3<Jt = (3<Jtak, к £ и ак(3ак = —{Зак&к,
получаем
з
[Я, /За] — —ihc{(a  V)(3a — (За{а • V)} = — 2ihc^^ акак(ЗЧк-
fc=i
Следовательно,
з
[Я. (За] • J = -2Tic	х V)* - ihc(a 	=
к=1
= —iHc(a • V)/3 = [Я, |/3],
потому что
V • т х V = 0 и
к (О А
oj
для всех к.
Следовательно, величина, коммутирующая с Н и являющаяся интегралом
движения, это
K = 0a-J-±0.
(74)
Должна существовать связь между К и J. Фактически
K2=\~h
\ ГЬ
П
2_ Д2
- й2
Ti ' 2 / h2 ' ъ.
3
4
Следовательно,
\ 2
1 \
2 /
К2 = J2 + 7
4
(75)
Поэтому К имеет целые ненулевые собственные значения:
K = k = ±(j + ±\,
(76)
j = |А:| — —, к = ±1, ±2, ±3, ...
(77)
Используя собственные значения для К, мы можем упростить гамиль-
тониан, чего мы не могли бы сделать в нерелятивистской теории с одним
собственным значением L2. Сначала запишем:
ст • та • (г х V) = га  (г х (г х V)) = г(ст  г)(г • V) — гт2а  V. (78)
Пусть теперь
б = — г а1 а2 а3,
1г
а к = еа 
(79)
Тогда, умножив (78) па е \ получим:
—г2а • V = а  га • (г х V) — ia • г
Пусть аг = ±а • г, тогда из (39) и (42)
1	/	3 \	3	1	д
—ia  V = -ar I ia • J-i I — iar— = -ar(i/3K — z) — iar —.
r	\	2 j	дт	т	dr
Поэтому окончательно можем записать (70) в виде
II = тс20 — -—F ihcaT [ —--------тт- I •	(80)
г	\т т дт j
Это даст уравнение Дирака как уравнение от одной переменной т, которое
получается после разделения переменных в исходном уравнении.
Что касается решения этого уравнения, смотрите Dirac, Quantum Me-
chanics, third edition, sec. 72, pp. 268-271.
2.11.	Решение радиального уравнения
Мы можем выбрать двухкомпонентное представление, в котором
Тогда
11усть
0= 1 °
р (О -1
о i\
—i 0/ ’
Ф=[и
т \ v
(81)
о е2 f 1 + К
(Е - тс“)и =----и + he ------
г \ т
2
(Е + me )v =-----v + he
7’
— Е + me2	Е + тс2
«1 —------т------! 0-2 = —+--------
he
he
е2
Tic
(82)
д )
дт ) V’
д \
дт ) U'
(83)
константа тонкой структурой. Тогда
(84)
Далее положим а =	— £2/Й.с —это величина мнимого
импульса электрона с энергией Е. Затем, i/> ~ е~ат на бесконечности. Сле-
довательно, записываем
е
и = -
е
v =-------9-
(85)
Поэтому
(86)
Попробуем найти решения в виде рядов
f = ^cars, д = ^ага.	(87)
Это дает
суСд aics_1 — o,da—i Т (s Т k)da,	(88)
ada + a2ds-i — +acs~1 + (-s + k)ca.
Полагая
es = aics-i — ads-i, мы имеем ea = аса — (s + k)da = ^-(ads + (s — k)ca)y
aia + a(s + k)	aa — ai(s — fc)
о	/О . O\ ^3)	““	о	/О i O\
aia + ai(s — к )	a\a + ai(s — к )
(aj — a2)a + 2saai
Q	/От O\ •
d]Q'2 + Д] (s2 — fc2)
Предположим, что ряды бесконечны. Тогда для больших s
^s+i	2а	г	\
—— ~ —— « —, следовательно, / ~ ехр(2аг).
Это допустимо, когда а является мнимой величиной. Следовательно, суще-
ствует континуум состояний с
Е > тс2.
(89)
В случае действительного а, для того чтобы ряды не росли до бесконеч-
ности, они должны быть ограничены с обоих концов. Предположим тогда,
что еа не равно нулю для
s = б + 1, б + 2, ..., б + п, n 1	(90)
и равно нулю в других случаях. Это дает
а2 + б2 — к2 = 0,
(а2 — а2)а + 2(б + n)aai = 0.
Так как обе величины се и не могут быть равны нулю одновременно,
то волновая функция г_1+£ должна быть интегрируема в нуле. Это дает б >
> — Но б = ±\/к2 — а2. Теперь к2 1, следовательно, >/к2 — а2 >
и
б = +\/к2 — а2.	(91)
Кроме того,
(l+n? = (^Ya’J	а2=
у 2aai у I 4(m2c4 — Е2)(тс2 — Е)2 j
_	4Е2а2
4(т2с4 — Е2) ’
2 т2с4
Е2 = -------г-
Л “2 1
Следовательно, в этом случае
9
„ тс , ч
Е = —(92)
L ! а2
у (п + у/к2 — а2)2
При заданной положительной Е разность (а2 — а2) является отрицательной
(см. (83) и (84)), и поэтому для нахождения этих решений можно возвести
в квадрат (б + п) без каких-либо трудностей. Итак, для каждого
существуют решения, при этом Е задается уравнением (92).
Альтернативную возможность представляет случай, когда все es рав-
ны нулю. Предположим, что величины ct и df одновременно равны нулю.
Тогда а2 + б2 — fc2 = 0, как и раньше, и поэтому б = у/к2 — а2. Но теперь
aic£ — ade = О,
ас£ — (б + fc)d£ = 0.
Следовательно, для того чтобы выполнялось соотношение б + к =
= у/к2 — а2 + к > 0, необходимо, чтобы аа — а\ (б + к) = 0 и к были
положительными. После этого находим решение, как и раньше. Итак, ре-
шение (92) существует для
п ~ 0, к — +1, +2, ТЗ, ...	(94)
Главное квантовое число N — это
N = n + \k\.
Раскладывая по степеням а, получим:
9 Г 1а2 а4 ( 3	1 \1
я = тс р-2^2ад}]-	(95)
уровни
энергии
тонкая структура
Существует точное вырождение между двумя состояниями с данным |fc|.
Нерслятивистскне состояния задаются соотношениями
j = -^fc = -(€ + l),
j = e-^k = +£.
Поэтому	
2Л/2 с j = к = 1	
1	► —> вырожденные
251/2 с j =	к = -1	
2S3/2 c j = к =—2
2.12.	Поведение электрона в перелятивистском
приближении
Умножая уравнение Дирака (G4) па 'у1/ (	j — 7^, имеем
,	( д е , \ ( д е , \ т2с2 , ,
ТГ— +	+гТ~А‘'	---Z2_=0-	(96)
у dxfl	Tic J \ dxv пс J	Ti
Используя 'у2 — 1, 7^7^ + 7W7M = 0, получаем
EI / д ie । I тп^с2 ie —г	\	/«—ч
(a^ + s?4-)	=	<97>
Д I \ М	/I	/2Р
Следовательно,
_ 1	_ дАи дА^
ст/^-о(7м7»	7i/7/i), Ffif — я „	•
Поэтому 7*12 = 773 — компонента магнитного поля,
ЭФ idAi
Fid = i-z--1---= — iEi —компонента электрического поля,
дх± с at
—	компонента спина,
—	компонента скорости.
<712 = l<73
<714 = idl
Поэтому (97) принимает вид
—т—1/> ——{ст • Н = ia • E}i/> = 0. (98)
/Г Лс
Это еще точное уравнение.
Теперь в перелятивистском приближении:
ih— = тс2 + 0(1),
\ 2 Ч
д	ге \	I	пг2с2 1
дх4 +	Пс	4 I	| h2	П2с2
\ 2
Э	\	0 .
—iTi—---еФ — тс
dt	/
1 ( (	. d	21/	0	,
—т— < — гп,—— еФ — тс х — г/г— еФ + тс
П2с2 I \	dt	\	dt
1	I д
- у^{—2тс2 + 0(1)} х I iTi— — еФ + тс2
Следовательно,
.. О	Л	h2	( д	ге	\ 1
iTi— - еФ + тс2 Н' - — У	~— + -х-Ак	\ ip +
at	j	2т	\охк	пс	j I
сТь	/ 1 \
+ -— [ст • Н — ia • Е]-ф + О —- = 0.
2тс	\ me2 I
Нерелятивистское приближение означает отбрасывание членов О(1/тс2).
Поэтому нерелятивистское уравнение Шредингера имеет вид
тс2 —еФ—52	+	+й—(°- • Н-га  Е) V-
2т \ дхк пс I	2тс
К=1 \	/
(99)
Член а • Е является на самом деле релятивистским и должен быть отбро-
шен или вычислен точнее. Теперь у нас есть точное уравнение движения
нерелятивистской частицы со спиновым магнитным моментом, равным
----ст.
2тс
(ЮО)
Одним из величайших триумфов Дирака является то, что он получил этот
магнитный момент непосредственно из своих общих предположений, без
каких-либо произвольных допущений.
Это подтверждается измерениями с точностью до одной тысячной. За-
метим, что самые последние эксперименты дают значение, отличающееся
от этого, и согласуются с величиной
2тс I 2тг7гс
(Ю1)
вычисленной Швингером с использованием многочастичпой теории.
Задача 2. Вычислите значения энергии и волновые функции дираков-
ской частицы, движущейся в однородном бесконечном магнитном поле. Это
можно сделать точно (см. F. Sauter, Zeitschrift fiir Physik 69 (1931) 742).
Решение.
Рассмотрим поле В в направлении z.
Al = ~^Ву, Л2 =
Уравнение Дирака второго порядка (98) дает для стационарного состояния
с энергией ±Е
( Е2	т2с2 \	( д 1 геВ \
(X 2
d	1 ieB \	д2	еВ
я~ + ^~Г~х] ‘Ф + ^2‘Ф ~	= °-
оу	2 пс J	dz2	пс
Выбирая представление с диагональной матрицей az, получаем, что оно
сразу распадается на два состояния с az = ±1. А также
т -Л д М
Д2 = -гП < х-----у— >
I Оу ох I
является интегралом движения, скажем, Lz — где t — целое число.
И —iftgj = Pz- Положим А = |еВЛс|. Тогда
{1 \2 2	/ Я2 я2 X )
Это задача нахождения собственных значений двумерного гармонического
осциллятора.
Следовательно,
Е2 = т2с^ + c2p2z + A{n ± (lz ± 1)},
где lz = 0, ±1, ±2, ..., ±(п - 1).
Поэтому собственными значениями будут
Е = у/тп2^ + (?р2 + M\eBhc\ с М = 0, 1, 2, ...
Энергия низшего состояния в точности равна тс2.
2.13. Основные положения дираковской теории матриц
в наших обозначениях
акае + а!ак = 2^1, ак0 + 0ак = 0, /З2 = I, аксге + сге(тк = 2<5^11,
7fc = —i0ak, ак = i0^k, 74 = 0, 7м 7р + 7^7м =	(7*)* = 7t,
сА/'г - 'Уеак = ^г5ек0, 75 = 71727374, 7м75 + 757м = °>
afc75 — 75<2fc = 0, 75 = I-
Используем следующее представление:
<0 1\
171 “ oj ’
<72 =
—i
О
стз
/1
\°
О
-1
fc ( О
ct =
\CTfc
О
i
^fc\
О J ’
то есть
/О 0 0 1\
! _ 0 0 1 О
““0100
\1 о о о/
/О 0 1
3	10 0 0
а ~ 1 о о
\0 -1 о
то есть
0 = 74 =
/ООО —г\
2	О	0	г	О
а ~	0	-г	О	О
\г	О	О	0 /
0 \
I 0 = f
О ’ р -I) ’
о /
/10 0	О \
0 10	о
00-10	’
\0 0 0 -1/
75 \-н о)
/О 0 -1 о \
О О 0	— 1 |	_ / О —?<7fc\
—10 О О I ’ 7fc — \гсгк О) у
\ 0 -1 о о /
то есть
71
/ООО —г\
IО 0 -г О
О г О О
V о о о/
/О 0 0 -1\
I 0 0 1 о
72 - 0 10 о
\-1 0 0 о /
/О	О	-г	О\
'ОООг
73 -	г	О	О	0	’
\0	—г	О	О/
ак = еак, ак = еак, т] = геД, е = —гаха2а3е2 = г? — I,
75 =-е, °> = Р7Ь 7fc=^o-fc, е = —гт?Д, т] = -а1а2а3,
/О 0 1 0\
/О 1\ _ 0 0 0 1
\1 О/	1 0 0 0 ’
\0 1 О О/
(О 0 —г 0\
О О 0 —г
г О О О
О г О О/
акае + аеак = 26еке,
'Укст'е + а^к = 25ект], 0ак - &к0 = О,
o-fccr^ — акае = укуе = гат,
к, £, т = (1, 2, 3) допускают циклическую перестановку.
аке - еак =	= <Tfce - e<rfc = О,
акт] + дак = укт] - Ttk = ^кР ~ Л^к = 0т] + т]0 = О,
ак(те = ictm
CTfc7^ = Пт
7fcO!f - /Зат
, „	/, г> л\ могут быть циклически
к, с, т — (1, 2, 3)
4	7 переставлены.
Сравнение с обозначениями Дирака: р\ — е, рг = Р, Рз = Д-
Латинские индексы: 1,2,3. Греческие индексы: 1,2,3,4.
2.14. Основные положения дираковской теории матриц
в обозначениях Фейнмана
акае + а1ак = 2^4, ак0 + 0ак = 0, р00 ~ +1, дкк = -1,
9^ = 0, д =4 г/, <ткае + <7f<7fc2(5fc4, 0~ = I, 7fc = /Зак,
ak = (Зук, 7o =/?, 7м7„ + 7,,7м = 25м A (7k)* = “7k,
оЦ - 7^afc = -28^0, 75 = *70717273, 7м75 + 757м = °,
	afe75 - 75 A = 0,	2	= -н.
Представление;			
	/0 1\	/0	—Л
	671 = (j oj ’	672 =	1 г	0 7 ’
	Л о \	к	/с	□>
	аз=[р -1/ а =	\CTfc О у ’	
то есть			
	/0 0 0 1\	(°	0 0 -г\
	!	0 0 10	2	0	0 г 0
	а ~ 0 1 0 0 ’	01 ~	0	- г 0 0
	\1 0 0 0/	кг	0 0 0/
	/0 0 1 0 \		
	,	0 0 0 -1		/I О\
	а	1 0 0 0’ р		Цо -к/ ’
	\0 -1 0 0 /		
то есть			
	/1 0 0	0 \		
	„	0 10	0		_ 7 о <тк
	^-Уо- Q 0 — 1 0	’	7k	~ \-<Тк О
	\0 0 0 -1/		
т. е.			
	/ 0	0 0 IX	/°	0 0 —г\
	0	0 10	0	0 г 0
	71 -	0 -1 0 0 ’ 72 _	0	- г 0 0
	\-1 ООО/	V	0 0 0/
	/ 0 0 1 (	)\	
	0 0 0 -	1	
	73 - -1 0 0 (		
	\ 0 1 0 с		
/О О 1 0\
_ (О	нА _	I	О	О О	1 | _
Р1_^н	OJ ~	1	О О	О	-75’
\О 1 о о/
/О О -г О\
_ /О. —г!\ _	I	О О	О —г
Р2 ~ угН	О у	I	г О	О	О	’
\О г О О/
ак = р1ак, ак = р\ак, р2=гр1/3, p1 = -ia1a2a3, р2 =	= I,
ак = ~ip2yk, 7k = ipz&k, Pi = ~гр20, Р2 = -ага2а30,
акае + аеак = 2<5^р!, укае + <r^7k = -26(кр2, 0&к - <?к0 = О,
crfccr^ = акае = ~УкУе = i&m,
k, £, т = (1, 2, 3) циклически переставляемы.
akpi - piak = уцР! + pi7M = акр1 - Р1<тк = О,
акр2 + р2ак = 7fcp2 - P27k = &кр2 - P2<?k = 0P2 + P20 = 0,
— ^^771
= i'lm
УкОе = i0 a,
Латинские индексы: 1,2,3. Греческие индексы: 0,1,2,3.
k, т = (1, 2, 3) циклически переставляемы.
Глава 3
Проблемы рассеяния и борновское
приближение
3.1.	Общее обсуждение
Задачу рассеяния дираковской частицы под действием потенциала
можно решить точно, находя континуум решений уравнения Дирака. Это
трудная задача даже для простейшего случая кулоновской силы. Она была
решена в работе Мотта (Mott, Proc. Roy. Soc. A 135 (1932) 429).
Для того чтобы решить большинство релятивистских задач в тех слу-
чаях, когда рассеяние происходит в результате сложных эффектов, включая
теорию излучения, используют приближение Борна. То есть, мы рассмат-
риваем рассеяние только для первого порядка взаимодействия или только
для некоторого определенного порядка, который нас интересует.
Формула для рассеяния из начального состояния А в конечное В, при-
надлежащее континууму состояний, — это вероятность перехода в единицу
времени
2тг
w = — P£?|Vba|2-	(102)
п
Это вы должны знать, ре — плотность конечных состояний на единицу ин-
тервала энергии. Vba — это матричный элемент потенциала V для перехо-
да. Следовательно, V может быть каким угодно и сам по себе может быть
эффектом второго или более высокого порядка, полученным при использо-
вании более высоких порядков теории возмущений.
Трудности для вычислений обычно представляют множители 2 и л,
а также корректная нормировка состояний. Я всегда буду нормировать со-
стояния, принадлежащие непрерывному спектру, не обычным способом
(одна частица на единицу объема), который является не инвариантным,
а иначе:
9
ТПС
одна частица на объем -—-,	(ЮЗ)
где |£7| — это энергия частиц. При преобразованиях Лоренца объем фикси-
рованной области преобразуется как 1/1£7|, и поэтому определение остается
инвариантным.
Следовательно, состояние, принадлежащее непрерывному спектру, за-
даваемое спинором ip = izcxp{(ip • х — iEt)/Ti}, нормируется таким обра-
зом, что
|Д|
и*и = —(104)
пс2
Теперь, если мы умножим уравнение Дирака для свободной частицы (44)
на й слева, мы получим Еи*(3и = си*(За  ри + т<?и*и\ комплексно-со-
пряженное уравнение для него —это Еи*(3и = —си*(За  ри + тс2и*и,
поскольку (За является аптиэрмитовым; тогда, складывая, получим
Еии — тс2и*и.	(Ю5)
Поэтому нормировка будет выглядеть следующим образом:
йи = +1 для электронных состояний )
> = е; это определение е. (106)
= — 1 для позитронных состояний J
При такой нормировке плотность состояний в импульсном пространстве
является плотностью состояний на объем h3 фазового пространства, то есть
Р =
1 тс2
dpidp2dp3
(Ю7)
па объем dpidp2dp2 импульсного пространства для каждого направления
спина и для каждого знака заряда. Теперь мы снова имеем инвариантный
дифференциал
dpidp2dp3
|Д|
(Ю8)
3.2.	Проективные операторы
Обычно нас не интересует направление спина ни в начальном, ни
в промежуточном, ни в конечном состоянии. Поэтому мы должны просум-
мировать по спиновым состояниям, имеющим вид
S = ^JsOu)(uPr),
2
(Ю9)
где О и Р — это некоторые операторы, з и г —некоторые состояния спина
и сумма берется по двум спиновым состояниям и электрона с импульсом р
и энергией Е.
Запишем
=	рл=гЕ/с.	(110)
м
Уравнение Дирака, которому удовлетворяет и, имеет вид
— imc)u = 0.	(Ill)
Два спиновых состояния с 4-вектором импульса — р удовлетворяют уравне-
нию
(^ + imc)u = 0.	(112)
Как легко видеть из (48), эти четыре состояния являются ортогональными
в том смысле, что (й'и) = 0 для каждой пары и'и. Следовательно, тожде-
ственный оператор можно записать в виде
Е = J2(uu)e.	(113)
4
Суммирование проведено по всем 4 состояниям с е, определенным ранее.
Следовательно, с учетом (111) и (112), мы можем записать (109) как
S = 52	(йРт) = (sOh+Pr) (114)
\	it L II IC	j
4	4	'
в силу (113); следовательно, оператор
Л+
+ гтс
2imc
(115)
является проективным оператором для электронов с импульсом р.
Таким же образом получаем сумму по двум позитронным состояни-
ям и с импульсом р и энергией Е
где
S = ^(sOu^uPr) = (зОЛ_Рг),	(116)
2
Л_ = f-imc
2гтс
И мы имеем
А+-А_ = 1.	(118)
Эти проективные операторы являются ковариантными. В работе Хейт-
лера это сделано по-другому, так что проективные операторы не ковариант-
ны и вычисления сложнее.
Заметим, что здесь не используются зарядово-сопряженные волновые
функции. Для представления позитронов с импульсом р используются вол-
новые функции электрона и с импульсом — р и энергией — Е.
3.3. Вычисление следа
Допустим, нам надо посчитать такое выражение, как
| 52 ^2^fOui^iOuf^
I F
где суммирование идет только по состояниям электрона. Это дает
Суммирование идет по всем четырем спиновым состояниям up. Для того
чтобы посчитать это, рассмотрим общее выражение
^efuQu).
и
Суммирование здесь идет по всем 4 спиновым состояниям, где Q — некото-
рая 4x4 матрица.
Пусть Q имеет собственные векторы wi, W2, шз, ш4 с собственными
значениями Ai, Аг, Аз, Л4. Тогда
4
q = 52 xkwkw*k
к=1
И
4	4	Г 1
52 e(uQu) = 52е 52 Ak(^wfc)(w*u) = 52 s 52 rwk-
и	и к=1	fc=l	I и	)
Следовательно, из (113)
52 e(uQu) = 52А-
и
Теперь 52 А = Tr Q. Поэтому
52 е(йОи) = Tr Q
и
и это всегда несложно посчитать.
Задача 3. Заданы: постоянный потенциал V, функция координат и пучок
падающих частиц, электронов. Решите уравнение Шредингера в приближе-
нии Борна:
(а)	с помощью стационарной теории возмущений;
(Ь)	с помощью время-зависимой теории возмущений.
Покажите, что результат согласуется с вероятностью перехода в еди-
ницу времени, задаваемой уравнением w — (2тг/И)ре\Ува\2- Оцените по-
перечное сечение в случае V = —Ze2/г, усредняя спин по начальному
состоянию и суммируя по конечному.
(с)	Повторите вычисления для частиц, подчиняющихся уравнению
Клейна-Гордона, отбрасывая член V2, обоими методами. Сравните угловое
распределение в этих двух случаях.
Задача 4. Ядро (О16) имеет четное j = 0 основное состояние и четное j —
= 0 возбужденное состояние с энергией 6 MeV. Посчитайте полную ско-
рость испускания пар, угловое распределение и распределение по импульсу.
Решение.
Пусть ДЕ1 —это энергия возбуждения, р,ь/ и операторы заря-
да и плотности тока ядра. Тогда нас интересуют р,ь/ и j N — функции
от г с временной зависимостью матричного элемента, задаваемой форму-
лой ехр{—гДЕ/'/г}. А также
„ . дрн ЛЕ
ч-^ = ~-аГ=г—рг"
(П9)
Матричный элемент электростатического потенциала V ядра дается выра-
жением
V2V = -47ГРДГ.	(120)
Состояния являются сферически симметричными, ры— функция только
от т, поэтому общее решение уравнения Пуассона упрощается4:
(121)
бтг Г 9
У(г) =	- / rfpN(ri)dri.
о
Снаружи ядра У (г) = Ze2/г является константой по времени, и поэто-
му матричный элемент V(г) для этого перехода равен нулю. В самом деле,
используя (119), (120) и интегрируя, мы получаем
ДтггТ?
V(r) = ^т(-47г)(-г)^о(г) =
г/лЕ	гДЕ
где jNo — наружная компонента тока.
Взаимодействие, в результате которого рождаются пары,
/ДтггЛ
т^-77^о(г)(-е^*^(г))</т.
гДЕ
Поскольку приближенно считается, что длины волн де Бройля для всех пар
велики по сравнению с размером ядра, то
(122)
(123)
I =
rjNo^dr.
(124)
Постоянная / rjNo(j'')dr точно не известна. Предположим в качестве оцен-
ки, что ядро заряда Ze в основном состоянии равномерно распределено
по поверхности сферы радиуса го аналогично для возбужденного состо-
яния. Поскольку pn примерно однородна внутри ядра, интегрируя (119),
получаем:
jn = ^\'-TPN и, следовательно,
37г
/ = •0(0) | j [ r2pN(r)dr = •О(О) I —7“ )	(125)
\ О j J	\ U j
4Эта форма уравнения кажется некорректной. Возможно, правильное соотношение выгля-
дит так:
V(r) = —4тгУ —^dri Jr22p(r2)dr2.
о 1 о
Q является приблизительно мерой момента инерции заряда ядра, и она
равна
9
-Zero
О
Поэтому
7 = _47rZe2r°
(126)
Итак, проблема состоит только в том, чтобы посчитать вероятности ис-
пускания пар при таком взаимодействии. Заметим, что в действительности
излучение в 0-0 переходе строго запрещено и поэтому эти пары реально
наблюдаются в реакции
р + Fig —> Ojg + а —> 016 + е~*~ + е + а.
(127)
Правильно ли для этого взаимодействия принимать во внимание только
V (г')(—е,ф*‘ф')с1т,
беря кулоновский потенциал заряда ядра и пренебрегая всеми электроди-
намическими эффектами? Да. Потому что в общем виде взаимодействие
должно выглядеть
/ < </?(-е'0*'0) - Xfc(-e^*Qifc^) > dr,
•'I	к	J
(128)
где <р — скалярный, а - векторный потенциалы, удовлетворяющие урав-
нениям Максвелла
_2	1„ дА
V2^ + -V • — = -4npN,
с dt
7 „	1 d2A	\	1 др
V2A — ——— — V< V-A + —-77-
с2 dt2	I	c dt
4тг
~~3n'
Матричный элемент взаимодействия (128) остается неизменным при ка-
ком-либо калибровочном преобразовании (A, tp). Следовательно, мы мо-
жем взять калибровку, в которой
V • А = О,
Попутно, поскольку tp = V(г), второе уравнение Максвелла превращается в
V2A-
1 д2А
4тг
Теперь, поскольку свободное излучение отсутствует, V х А = 0 и, сле-
довательно, А — 0 в этой калибровке, поэтому мы действительно можем
пренебречь всеми электродинамическими эффектами.
Давайте посчитаем вероятность испускания пары при взаимодей-
ствии (126). В типичном конечном состоянии импульс электрона pi, а пози-
трона— р2, соответствующие энергии Ei, Е2 и спины ui, и2. Для создания
пары матричный элемент I
^'к2е2т2
I = -Сй-1@и2, С=-----------(128а)
5
Плотность конечных состояний, как следует из (107),
1 т2с4
(2тг/1.) .сч-Ьа
где dwi и dw2 — телесные углы для pi ирг. Вероятность образования пары
в единицу времени согласно (102)
27ГРВ|л2 27Г dpidp2 2	1 m2c4p?p|dwidw2	2
W=TdE^ =Td(E^C (W-------------------------'
(130)
Теперь, фиксируя р±,
dp2	dp2	E2
d(£q + E2)	dE2	c2p2
и
E, 	.9	x—' z  « , z 	, I п'Фч tmc -I- imc
\ui(3u2\2 = V (ui/3u2)(u2/3ui) = Тг ---------------0^—.--------
(	2гтс 2imc
Ui ,U2	W1,U2	\.
Px  p2 EiE2 ExE2 — m2c4 + c2pxp2 cost)
2 2 "I"	2 4	24
me me	me
где 9 — это угол между электроном и позитроном. Подставляя в (130), по-
лучим	2
dEi = dpi , dwi = 4тг, (ко2 = 2л sin 0 dO.
El
Мы получаем дифференциальную вероятность в Ei и 0
4Z2c4t4
w0 =--------^pip2dEi(EiE2 — т2с4 + c2pip2 cos0) sin0d0.	(131)
25тгс47г
T.k.	„
AE = 6MeV= 12mc2,
то для того чтобы получить хорошее приближение, мы можем рассматри-
вать все частицы в релятивистском пределе. Поэтому
4Z2e4Tn
wq —-------^E?EodEi(l + cos#) sinfld#.	(132)
25тгс67г
Таким образом, угловое распределение пар сконцентрировано в одной
и той же полусфере и пары обладают преимущественно одинаковыми энер-
гиями. Тогда, поскольку
(1 + cos#) sin0d0 = 2 и
о
ДВ	ДВ
E2E2dEr = [ Е2(Ег + АЕ)2 dEi = -^(ДЕ)5,
J	15
о	о
полная вероятность образования пары в единицу времени
4Я2р4г4 1
wT =	7 °-(ДЕ)5.	(133)
25тгД7с6151	}	1	’
В численном
Ze2 ~
Tic
Следовательно, время жизни будет
т = 15 х 25л х 105 х 172 х - х — = Ю10— и 10-13 сек. (134)
4 с с
выражении
1 АЕто 1
— и —-—« —, поскольку го = 4 х 10 см.
3.4. Рассеяние двух электронов в приближении Борна.
Формула Моллера
Посчитаем теперь элемент М матрицы рассеяния при переходе между
начальным состоянием А, включающим в себя два электрона с импульса-
ми Pl, Р2, и СПИНОВЫМИ СОСТОЯНИЯМИ Щ, U2, и конечным состоянием В,
в котором два электрона обладают импульсами р\, р'2 и спиновыми со-
стояниями ц'1; и2. Следовательно, М дает амплитуду вероятности начала
перехода в состояние В системы, о которой известно, что она долгое вре-
мя находилась в состоянии А. Следовательно, М сам по себе должен быть
инвариантом в релятивистском приближении.
Мы рассматриваем взаимодействие в приближении Борна, т. е. пред-
полагаем, что частицы переходят прямо из состояния А свободных частиц
в состояние В свободных частиц, применяя один раз оператор взаимодей-
ствия к состоянию А. Для электронов при довольно высоких или реляти-
вистских скоростях это будет хорошим приближением (е2/7ги	1). Так-
же мы рассматриваем классическое электромагнитное взаимодействие, как
в задаче про О16, принимая, что поле, создаваемое частицей 1, в соответ-
ствии с уравнениями Максвелла, непосредственно действует на частицу 2.
Мы пренебрегаем тем фактом, что поле состоит из квантов. Позже, после
того как разовьем квантовую теорию поля, мы увидим, что это не вносит
ошибок, пока мы находимся в борновском приближении.
Что касается поля, создаваемого частицей 1 при переходе из состоя-
ния pi, щ в состояние р\, Ц, мы имеем дело с матричными элементами
от -4-(i)- Теперь мы используем не калибровку, в которой V • А = О,
а ковариантную калибровку, в которой5
	52^ = 0, A4 = i<p.	(135) ОХи.
Поэтому, используя ковариантные обозначения, мы имеем для этой калиб-
ровки	д2 52	= +4лезм(1) (заряд равен - е),	(136) У	V SM(1) = 2(U17MU1) exp <j ^2	? >	(137) L у	)
5В литературе калибровочное условие V • А = 0 теперь называется «кулоновской калиб-
ровкой», выбор калибровочного условия д^А11 = 0 (используя эйнштейновское соглашение
суммирования) называется «калибровкой Лоренца» (смотрите также уравнение (588)). Смот-
рите также вводное замечание после уравнения (234а).
откуда
л	А . t2 ГН7ми1)ехр{£;у ^(pllA-piy)^} [	SA(PlA-PiA)2	j	,	(138)
где	,
-P'l,)2 = IPi - p'il2 - ~2^ - Etf. (139)
I/
Воздействие поля (138) на частицу 2 описывается членом взаимодействия
в уравнении Дирака для частицы 2
-е</? + еа • А = геД У
м
(140)
Это дает для частицы 2 при переходе из состояния р2, и2 в состояние р2,
и2 матричный элемент
[ drip2 НеДУ 7мЛм(1) Ы2	(141)
\ м	/
3-мерный интеграл по пространству в момент времени t. Общий вид мат-
ричного элемента М в первом порядке теории возмущений
°°	/	к
м =	/ dt / dn/>'2 ге^7мДм(1) ip2 =
'	(142)
= d'lx^‘2
\ м	/
где 4-кратный интеграл —это интеграл по dx^, dx2, dx2, dxo, Xq = ct. Под-
ставляя величины ip2 и ip2, получаем
M = _ 4тге Пг y^(u^7 U2)(U'17 U1)—-—1---------- f fa х
х exp < У ^(Р1А - Р'1А + Р2А - р'2х)хХ > =	(143)
I A	J
4тге2Ьг	£4
=------с— / , —----------Т^.—	°	+ Р2 - Pi ~ Рг)>
где <У4(ж) = []Li 5(xk)-
Существует также процесс обмена, при котором частица pi, щ пере-
ходит в р2, и2 и наоборот. Это дает вклад в М со знаком минус, поскольку
волновая функция между двумя частицами должна быть антисимметрич-
ной. Следовательно, конечный результат имеет вид
М = -	+ р2- р{ - р'2) х
{-	-	_	_	\	(144)
(^7Mn2)(MZi7Mui) _ (Ц27мц1)(ц17мц2) 1
(Pip-Piu)2 (P1U-P2J2 J’
Эта ковариантная формула элегантна, и ее несложно получить. Теперь
перед нами стоит вопрос: как перейти от этой формулы к сечению рас-
сеяния?
Обычно предполагаем, что матрица перехода при таком процессе
столкновения двух частиц
М = /Г(2тгП)454(р1 + р2-р{-р2).	(145)
Тогда как будет выражаться сечение рассеяния через /С? Мы проделаем
такие вычисления один раз, чтобы затем всякий раз останавливаться, как
только мы получим формулу для М вида (145), к которой мы приходим,
например, преобразуя подходящим образом формулы из теории излучения.
3.5. Связь между сечением рассеяния и амплитудами
переходов
Пусть w — вероятность перехода на единицу объема в единицу време-
ни. Она связана с вероятностью перехода для одного конечного состояния,
имеющей вид
w3 = с|Л'|2(2тг7г)4<54(р1 + р2 - р'г - р2),	(146)
поскольку в |М|2 один из двух (27T?i)4<54(pi + р2 — р{ — р'2)/с сомножи-
телей представляет просто объем пространства-времени, в котором может
произойти взаимодействие. Количество конечных состояний согласно (107)
Тс77Тс771 Ф12^Р1з^Р21	•	(147)
(2тг7г) |bj| |-Ь2|
Умножение (146) на (147) дает полную вероятность перехода
1	7722С4
w — |7Т|2	2  , /7c54(pi +Р2 —Pi — P2)dp'11<ip'12dp'13dp'21dp22dp23.
(2ТГП) i!/-^2
Так как <5(ах) = ^6(х), мы имеем
(148)
<54(Р1 + Р2 - Р1 - Рг) = <53(Р1 + Р2 - Р1 - РгМ(£1 + &2 - Е{ - Е'^
и интегрирование по dp2 вследствие сохранения импульса дает
2	2 4
w = \К 127ОС^2 р/р/г(Д1 +Е2-Е'1- E^dp^dp^dp^. (148а)
Кроме того,
если Да) = 0, мы имеем Да;) = /(а) + f'(a)(x — а) = f'(a)(x — а),
и поэтому
<5(/(ж)) = <5{/'(а)(я: - а)} =	
J \а)
Применяя к (148а) с f(x) = /(р'13) = Ei + Е2 — Е{ — Е2 и а = (pj3)c =
= величине р'13, дающей сохранение импульса и энергии, мы получаем
6^ + Е2 - Е{ - Е2) =	1	- (Р'1з)с}.
Ь2 —	— Ь2)
dP13
Следовательно, окончательно имеем
= |J<|2w2c4 с2 <*Рп<*Р'12<*Р13
W 1 1 Е^Е'2 (2тгЙ)2 d(E{ + Е'2) ’
Выберем лоренцеву систему, в которой pi и рг оба направлены вдоль
оси х3, и примем p'Yl и р'12 за переменные, по которым считается вероят-
ность перехода. Это необходимо для релятивистской инвариантности. За-
тем, зафиксировав p'1Y и р'12 и имея р'13 = — р23, вследствие сохранения
импульса мы получаем
d{E{ +£()
^Р'13
dE{ _ dE^
dp\3 dp'23
2 lE2Pi3 ~ E'ip'23i
E'rE'2
(149)
Тогда сечение рассеяния а определяется в этой системе формулой
1^1 - V2I’
(150)
где Vi — нормировочный объем для частицы 1, a Vi — ее скорость. Фактиче-
ски из (103)
2	2	2	2
ТГ тС	г г тС	/	Ч С Р1 С Р2	/1Г-.Ч
V1 =	1 V2 =, (vi - и2) + —-----------------—.	(151)
-СЦ	Л2	251	_С/2
Следовательно, получаем для сечения рассеяния
w(mc2)2
(152)
2	(me2)4	1	,	,
=	с2|е2Р13-е1Р23||ВДз-вд3| (2^YdPndP12'
Следует заметить, что множитель P1S2 — р2Е\ является инвариантом при
преобразованиях Лоренца, оставляя компоненты х-^ и z2 неизменными
(например бусты в направлении, параллельном оси л3). Для доказатель-
ства этого мы должны показать, что Р13Е2 — Р23Е3 = Р13Е2 - Р23Е1
(где ~ обозначает величины, получающиеся после преобразования Лорен-
ца), поскольку мы выбрали лоренцеву систему отсчета, в которой вектор
импульса направлен вдоль оси хз. Тогда
Е = EchO — cpsh0,
р = р ch 0 — & sh 0.
Поскольку Е2 = р2с2 + т2с4, мы можем записать
Е = me2 ch ф, pc = тс2 sh ф, что дает
Е = тс2 ch(</> — 0), pc = тс2 sh(</> — О'), и поэтому
Д2Р13 - Дргз = m2c3{ch(</>2 - 0) sh(</>! - 0) -
— ch(</>i - 0) sh(</>2 - 0)} =
: m2c3 sh(</>i — Ф2)
независимо от 0. Следовательно, мы видим, что а является инвариантом
прй преобразованиях Лоренца, параллельных оси .т3.
3.6.	Результаты для рассеяния Моллера
Один электрон в начальном состоянии находится в покое, другой имеет
энергию Е = •уте2;
1
7 V1 - (и/с)2 ’
{О в лабораторной системе отсчета,
л* в системе отсчета, связанной
С7
с центром масс системы.
Тогда дифференциальное сечение рассеяния (Mott and Massey, Theory of
Atomic Collisions, 2nd ed., p. 368)
где
Без
x = cos О*
2 — (7 + 3) sin2 0
2 + (7 — 1) sin2 0
учета спина мы получаем просто
Влияние спина — это измеримое увеличение рассеяния по сравнению с фор-
мулой Мотта. Влияние обменного эффекта приближенно заключается
в члене Позитрон-электронное рассеяние рассматривается похожим
образом. Только при рассмотрении обменного эффекта нужно учесть воз-
можность аннигиляции.
3.7.	Замечание относительно вычисления эффектов
обмена
Правильно нормированные начальное и конечное состояния в этой за-
даче представляют собой:
^={^(1)^(2)-^(2)^(1)},
i	(154)
— Ы(1М(2)-^(2)^'(1)},
где ^2(1) означает частицу 2 в состоянии 1 и так далее. Матричный эле-
мент М, вычисленный по этим состояниям, точно совпадает с матричным
элементом, который мы посчитали ранее, с учетом обменного члена.
Количество возможных конечных состояний — это лишь половина чис-
ла состояний для двух различимых частиц. Но это не вносит вклад в диф-
ференциальное сечение рассеяния в виде множителя |, потому что плот-
ность антисимметричных состояний, в которых одна из двух частиц имеет
импульс в некотором диапазоне dpi, dp%, dp^, совпадает с плотностью со-
стояний двух различимых частиц, в которых частица с номером 1 имеет
импульс, лежащий в этом диапазоне. Следовательно, общее правило состо-
ит в том, что дифференциальное сечение не имеет множителя |, а полное
сечение имеет этот множитель, потому что каждое конечное состояние мо-
жет быть посчитано только один раз при интегрировании по углам.
3.8.	Релятивистское рассмотрение нескольких частиц
Моллеровское рассмотрение взаимодействия двух электронов достига-
ет цели, потому что мы вычисляем поле, создаваемое частицей 1 в течение
всего времени, не принимая в расчет действие частицы 2 на частицу 1.
Как мы можем улучшить наши вычисления, учитывая и такие реакции?
Понятно, что мы должны вывести уравнение движения, которое постоянно
отслеживает обе частицы и учитывает их влияние друг на друга на каждом
шагу. Следовательно, нам нужно уравнение Дирака для двух электронов,
учитывающее их взаимодействие, путем включения в уравнение также вза-
имодействия с электромагнитным полем.
Такой тип уравнения Дирака для двух частиц больше не является ре-
лятивистски инвариантным, так как мы задаем для каждой частицы отдель-
ное положение в пространстве, но для всех частиц —одно и то же время.
Для того чтобы избежать этого, Дирак построил многовременную теорию,
в которой каждый электрон имеет свою собственную временную коорди-
нату и удовлетворяет своему собственному уравнению Дирака. Эта теория
в принципе верна. Но она становится безнадежно сложной, когда рожда-
ются пары, и вы имеете уравнения с новыми временными координатами,
внезапно появляющимися и исчезающими. Фактически целиком программа
квантования электронной теории как теории дискретных частиц, у каждой
из которых собственное время, становится нонсенсом, когда вы имеете дело
с бесконечным «морем» или бесконечным числом частиц. Итак, мы подо-
шли к концу, это все, что мы можем сделать с релятивистской квантовой
теорией частиц.
Где теория пошла не так, как надо? Очевидно, большинство трудно-
стей возникло из-за того, что частица всегда описывалась оператором г,
представляющим ее положение в момент времени t, где t является чис-
лом, а не оператором. Это делало интерпретацию формализма существенно
нерелятивистской, даже когда уравнения были формально инвариантными.
В уравнениях типа Клейна-Гордона и в уравнении Дирака пространствен-
ные и временные координаты появляются симметрично. Итак, мы прихо-
дим к следующей новой точке зрения.
Релятивистская квантовая теория представляет собой изучение вели-
чин тД, являющихся функциями четырех координат Xi, Х2, хз, где все
координаты — числа, и только выражения, содержащие тр,— это операторы,
описывающие динамическую систему. Динамическая система задается ве-
личиной 0, существующей во всех точках пространства-времени, и, сле-
довательно, состоит из системы полей. Релятивистская квантовая теория
непременно является полевой теорией.
Интерпретация одночастичной волновой функции, такой как волновая
функция чр Дирака, как оператора квантового поля, называется вторичным
квантованием.
Глава 4
Теория поля
Перед тем как мы начнем строить нашу квантовую теорию поля, мы
должны сделать некоторые замечания по поводу классической теории поля.
4.1. Классическая релятивистская теория поля
Возьмем поле с компонентами (вектор, спинор и т. д.), которые будем
обозначать индексом а. Положим
Теория полностью описывается инвариантной функцией координат, назы-
ваемой лагранжианом,
^ = ^(0“(х),0“(х)),	(156)
это функция от фа и ее первых производных в точке х. Поведение поля
определяется принципом наименьшего действия. Если Q — некоторая ко-
нечная или бесконечная область пространства-времени, тогда
7(П) = 1 у	(157)
о
является стационарной для физически возможных полей фп. Так, измене-
ния <ра —> фа + 6фа не приводят к изменениям в I в первом порядке по 5ф'л
при условии, что 5фа является произвольной вариацией, обращающейся
в ноль на границе области Q.
Всегда предполагается, что Jzf в основном квадратична по и хорошо
ведет себя во всех других отношениях.
Пусть S —граница области Q, a der —элемент 3-мерного объема Е,
пм — единичный вектор внешней нормали к der и
dcrM = n^dcr,	= —1, fi = 1, 2, 3, 4, xq = ct,
м	(158)
dcrM = (dx2dx3<lxQ, dxidx^dxo, dx^dx2dxo, — idxidx2dxs).
Тогда
cS = [^	+e a^\ d^=
\дфа	дф°
= / E 1	“ E я- Зф d^x +	(159)
£ а [дФ ^дх»\дФЪ)\
Ип^5фа<1а-
2 а,д
Таким образом, принцип наименьшего действия дает уравнения поля
Величина
1	г) V
<161>
— это импульс, сопряженный к фа, определенный в точке х и относящийся
к поверхности Е.
Более общий вид вариации подразумевает изменение не только фа,
но и границы П, каждая точка перемещается в положение (лм + dx^),
где бхр. является либо константой, либо изменяется на поверхности. Запи-
сывая мфа для новой функции фа, а офа —для старой, имеем
6фа(х) = офа{х + 5х) - Дфа(х) =	= мфа(х + 6х) - od>“(z), = od>“(z) -нЕ^мО^3 = кфа(х) - офа№-
Следовательно, для полной вариации получаем
с61(О) = у ^фа(х), нф“(х^х - у Я\офа(х), оф°(х))&х =
&N	По

- I {^Ы>а(х), „да) - Я\офа(х), оФ“(хУ)} d*x =
По
= /"^2пм5хм^(„0“(х), пф°(х))<1а + с f^1Га(х)^фа(х)<1а.
Е “**	Е “
Справедливость последнего следует из (159), если выполняется (160).
Поскольку из (162)
8фа(х) = р]фа{х') + ^8х^ф^х) - офа{х) = A</>“ + ^2&z:M„</>“(z),
м	м
окончательно получим
<5/(П) = /"^2 j ^а8фа + f ~ Ф“яа ) <5лм| da, (ЮЗ)
где все величины являются новыми на RHS.
В случае, важном с физической точки зрения, действительное движе-
ние однозначно определяется путем задания значений фа всюду на двух
пространственно-временных поверхностях а? и crj, которые являются гра-
ницами прошлого и будущего объема Q. Пространственно-подобная по-
верхность представляет собой такую поверхность, на которой каждые две
точки находятся вне световых конусов друг друга, поэтому поля могут быть
заданы независимо в каждой точке.
Особый случай нерелятивистской теории —это когда ai представляет
собой пространство в момент времени ii, а а? — пространство в момент
времени 4 г и &гм—это ic, умноженное на изменение времени 6ti и 6t?.
Тогда можно записать тгм = (0, 0, 0, г), тга = д^/дфа и для гамильтониана
получим
Я = f dT \	’	(164)
и поэтому
<Я(П) = J"(1тУ^^тга6ффа')^1) - (ttq5</>“)(£2)} - {/l(ti)5fi - H(t2)6t2}-
(165)
Важной чертой этой классической теории является то, что принцип наи-
меньшего действия сформулирован только для вариаций, обращающих-
ся в ноль на границе Г2. Поэтому можно, как в (163) и (165), исклю-
чить влияние на /(Q) вариаций, не исчезающих на границе. Это возможно
потому, что каждое состояние движения определяется независимой фик-
сацией всех возможных полевых величин, (например все поля па двух
пространственно-подобных поверхностях или все поля и их производные
по времени па одной поверхности), и тогда все прошлое и будущее движе-
ние определяется уравнениями поля.
Уравнения поля можно записать в гамильтоновой форме
• ЗЯ
Ф “ = т—,
дтга
дН
дф^'
Примеры:
1. Поле Клейна-Гордона, действительное
^к = ~
2
+ р2ф2 > .
(166)
м
2. Поле Клейна-Гордона, комплексное
I дф дф*
у дх^ дх^
+ р2фф* ,
(167)
где мы считаем ф и ф* независимыми однокомпонентными полями.
3. Электромагнитное поле, четыре компоненты Лм, лагранжиан в форме
Ферми
ЗДМ
dxv
(168)
4.	Поле Дирака
- / v- 9	\
%Ъ = -Пар ) 7д-— + /х I тД,
дхх	/
тс
(169)
5.	Поле Дирака, взаимодействующее с электромагнитным полем
- 57
(170)
здесь Q — обозначение для квантовой электродинамики.
Задача 5. Проработайте эти примеры: найдите уравнения поля, сопря-
женные импульсы для каждой компоненты поля и функцию Гамильтона
(импульсы и гамильтониан определены только для случая плоского про-
странства ст). Проверьте, что гамильтониан дает правильное каноническое
представление уравнений поля как гамильтоновых уравнений движения.
4.2.	Квантовая релятивистская теория поля
Классические релятивистские полевые теории обычно квантовались
с использованием гамильтоновой формы уравнений поля и введением ком-
мутационных соотношений между координатами и импульсами, взяты-
ми из нерелятивистской квантовой механики. Этот подход описан в кни-
ге Вентцеля. Этот метод не удовлетворителен, он сложен; и совершенно
не очевидно и даже не легко доказать тот факт, что построенная таким об-
разом теория является релятивистской, потому что в целом гамильтонов
подход не ковариантен.
Только недавно мы научились делать это более приемлемым способом,
который я разъясню в этих лекциях. Мы должны быть благодарны за это
Фейнману и Швингеру6.
Ссылки: R.P. Feynman, Rev. Mod. Phys. 20 (1948) 367
Phys. Rev. 80 (1950) 440
J. Schwinger, Phys. Rev. 82 (1951) 914
6Эти три статьи можно найти в работе Швингера «Избранные работы по квантовой элек-
тродинамике» (Selected Papers on Quantum Electrodynamics').
Этот метод является полностью релятивистским, и он намного проще, чем
старые методы. Он основан непосредственно на классическом принципе
наименьшего действия, который я только что дал вам, а не на гамильтоно-
вом формализме.
В квантовой теории фа — это операторы, определяемые, как раньше,
в каждой точке пространства-времени. Они удовлетворяют уравнениям по-
ля, как и раньше, и это справедливо, если мы предполагаем, что принцип
наименьшего действия
5/(П) = О,
I(SY) = -с ^{фа,фа^х	(171)
п
выполняется для всех вариаций 6фа операторов, обращающихся в ноль
на границах Q.
Вследствие взаимозависимых соотношений в квантовой теории невоз-
можно дать численные значения всем операторам поля всюду в процессе
физического движения. Фактически состояние движения определяется за-
данием численного значения для фа на одной пространство-подобной по-
верхности. Будущее состояния движения невозможно определить из урав-
нений поля, которые являются дифференциальными уравнениями в част-
ных производных второго порядка. Следовательно, принцип наименьшего
действия (171), который был достаточным для классической теории, боль-
ше не является таковым. Мы должны сделать некоторые дополнительные
утверждения о поведении 61 для вариаций 6фа, которые не равны нулю
на границах Г2.
Состояние движения точно определяется заданием пространственно-
временной поверхности а и множеством численных значений ф'а для соб-
ственного значения операторов фа на поверхности а в этом состоянии.
Состояние обозначается Дираком кет-вектором |0'“, а). Это особый вид
состояния, в котором фа на поверхности а имеет собственные значения:
общее состояние является линейной комбинацией \ф/а, сг) с различными
значениями ф,а. Физически наблюдаемые величины представляют собой
выражения, такие как матричный элемент
(0?,£71|^(х)|^“1а2>	(172)
от оператора поля между двумя состояниями, определяемыми: </>'“ —
на поверхности а-i и ф'з —на поверхности о-2. В частности, амплитуда ве-
роятности перехода между двумя состояниями —это
(0'Л ^10'“, ст2).	(173)
Квадрат модуля амплитуды вероятности дает вероятность получить значе-
ние ф'° для полей на поверхности aj при условии, что эти поля в процессе
движения принимали заданные значения ф'2а на поверхности а2.
4.3.	Метод квантования по Фейнману
Метод квантования теории по Фенману состоит в том, что записыва-
ется в явном виде формула для амплитуды вероятности перехода (173).
А именно:
(ф'°,	<72) = Л^ехрНгя(П) [ •	(174)
н Ih J
Здесь Н представляет собой эволюцию полей между поверхностями сг2
и tri, т.е. некоторый набор классических функций ф°(д), которые опреде-
лены в области Q между (72 и оц и которые принимают значения ф'° и ф'2
на (71 и (72 соответственно. Ih(Q) — это значение Г(П), вычисленное с эти-
ми функциями. Сумма берется по всем возможным эволюциям, это
непрерывно бесконечная сумма, точное математическое определение для
которой нелегко сформулировать. N — нормирующий множитель, незави-
сящий от частных рассматриваемых состояний, который выбирается таким
образом, чтобы квадрат амплитуды вероятности перехода из данного со-
стояния во все другие состояния был равен 1. Эта формула выведена Фей-
нманом из довольно общих предположений с использованием принципа
Гюйгенса для волновой механики точно так же, как это было сделано для
волновой оптики. Вся теория квантуется этой одной формулой и в прин-
ципе дает ответ на любую физическую проблему. Этот метод применим
не только для теории поля, но и для обычной нерелятивистской квантовой
теории тоже. Мы не будем пытаться получить или обосновать здесь фор-
мулу Фейнмана. Мы только показываем, что она дает такой же результат,
как и обычная квантовая механика. Обсуждение трудностей определения
суммы и метода, позволяющего это сделать в простых случаях, смот-
рите С. Morette, Phys. Rev. 81 (1951) 848.
Из формулы (174) получаем сразу наиболее общий принцип соответ-
ствия, дающий в пределе 7г —> О классическую теорию. Предполагаем,
что 7г —» 0, тогда экспоненциальный множитель в (174) становится чрез-
вычайно быстро осциллирующей функцией Н для всех эволюций Н, кро-
ме той, для которой Г(П) является стационарной. Поэтому в пределе сум-
ма сводится к вкладу от классического движения, приводящего от ф'^
на сг2 к ф\а на (71, все другие вклады взаимно уничтожаются. Классиче-
ское движение определяется условием, что его (5Г(П) = 0 для всех малых
вариаций фа между 02 и cri. Этот переход к классической теории являет-
ся точным аналогом перехода от волновой оптики к геометрической, когда
длина световой волны стремится к нулю. ВКБ приближение получается,
когда мы берем Tt малым, но не точно равным нулю.
Для того чтобы установить связь между обычным методом квантова-
ния и своим методом, Фейнману нужно было определить, что он подразу-
мевает под оператором в своей формулировке. Он сделал это следующим
образом. Пусть х — некоторая пространственно-временная точка внутри П.
Пусть О(х) —некоторый оператор поля, определенный в точке х, напри-
мер ф0(х) или фР(х). Тогда значение оператора О(х) определяется его мат-
ричным элементом между состояниями |</>2*, сг2) и |</>'“, где 02 и сг\ —
это две некоторых поверхности для прошлого и будущего х. Этот матрич-
ный элемент
(</>'“, tri |С>(а;)|</>2Q, <т2) = Лг32С’я(г)ехр ] ^Тн(П) >•
н I?
(175)
Число Он~ это величина, которую выражение О принимает, когда фа за-
даются значениями, которое они принимают в процессе эволюции Н. Легко
проверить, что определения (174) и (175) являются физически разумными
и дают формально правильные свойства амплитуд вероятностей перехода
и матричных элементов операторов.
У метода Фейнмана есть один неустранимый недостаток: мы не можем
его применить до тех пор, пока не будем иметь какого-то способа вычис-
ления или, по крайней мере, не будем представлять себе, как использовать
суммы по эволюциям, не вычисляя их, и до сих пор никто не предложил
практический способ, как это сделать. Но Швингер показал, как вывести
из фейнмановского метода формулировку принципа наименьшего действия
для теории, которой удается избежать этих трудностей.
4.4.	Принцип наименьшего действия Швингера
Пусть набор собственных значений ф'^ и ф'ф в (174) фиксирован.
Пусть числа ф^х) изменяются так, что ф'н{х) заменяется на </>^(х) +
+ 5фа(х), где 8фа(х) — это произвольные бесконечно малые с-численные
величины. Пусть поверхности cri и а 2 изменяются таким образом, что точ-
ка Хр перемещается в лм+<5а;м. И пусть функция Ф? также изменяется таким
образом, что она заменяется на Ф£ + бф?, где 8Ф£ — некоторое выражение,
включающее в себя фа и </>“. В результате этой тройной вариации (174)
дает
5{Ф'га, ai|0?, а2) = N V J |<57я(Я) ехр () - •
н I?	/J
(176)
Используя (175), можно записать
<5(0?, <71|0?, <т2) = {(0'1% <711<57(Q)|0?, <т2).	(177)
Здесь <57(П)— оператор, полученный действием трех вариаций на опера-
тор 7(П). Формально <57(П) — такая же вариация, как и в классической тео-
рии,
д дф?
дх^ 90“
Я
d4.r +
da.
(178)
Только теперь все величины в выражении (178) на удаленной гипер-сфере
являются операторами.
Каково значение этой тройной вариации, применительно к левой ча-
сти уравнения (174)? Поскольку 0^(л)—это только переменные сумми-
рования, то изменение от ф^ух) до ф^х) + <50“(х) действует на левую
сторону, изменяя только значения на границе, которые ф^(л) должна при-
нимать на поверхностях од и о2. Поэтому вместо ф^х) = 0“"(я) на ау
мы теперь имеем новую переменную суммирования
Фн(х) + <50“ = 0“"(а:) + <50“ на о-i.
Следовательно, изменение в 0^ просто эквивалентно замене
фу" на фу" + <50“ на од,
Ф2' на </>“' +<50“ на о-2.
Изменение в и в положении поверхности а вызывает изменение в левой
части формулы (174), так как вариации 8Ф? и <5хм в силу уравнений поля
приводят к тому, что операторы фа изменяются на ау и а2.
Следовательно, окончательный результат тройной вариации в левой ча-
сти уравнения (174)—это изменение в матричном элементе	|02>Z 172
если ф^" и ф$' в левой части зафиксированы, операторы фа(х) на поверх-
ностях ст] и <т2 модифицируются вследствие вариаций и бх^, согласно
уравнениям поля, и, кроме того, фа(х) на поверхностях од и <72 заменяется
на фа(х) — 6фа(х).
Швингер берет уравнение (177) как фундаментальный принцип для
построения квантовой теории. Таким образом, он избавляется от неприят-
ностей, связанных с суммированием Из этого принципа наименьшего
действия очень просто следуют основные черты квантовой теории поля.
Мы рассмотрим их ниже.
4.4.1.	Уравнения поля
Если мы возьмем особый случай вариации 6фа, которая равна нулю
на границе П и 6Ф? = <5.тм = 0, тогда (ф^', с^ф^', сг2) зависит только
от операторов фп на поверхностях tri и а2 и не испытывает влияния вари-
ации. Следовательно, для всех таких вариаций
<57(П) = 0,	(171)
д дФ?
дфа
То есть классический принцип наименьшего действия и классические урав-
нения поля действительны для квантовых операторов поля.
Мы видим, что (177) —это именно тот вид обобщения, который нам
нужен для старого вариационного принципа (171). Он содержит информа-
цию, необходимую для квантовой теории, относительно действия на 7(П)
вариаций, не обращающихся в ноль на границе Г2.
4.4.2.	Уравнение Шредингера для функции состояния
Пусть tri и сг2 представляют собой все пространство в моменты вре-
мени ti и i2. Тогда
(#“, а^ф?, ст2> = (ф'“,	t2) = Ф(0'“,
— это волновая функция Шредингера, дающая амплитуду вероятности на-
хождения системы в состоянии ф'ф* в момент времени t\, если в момент
времени t2 она находилась в состоянии ф'^. Развитие Ф(ф/1“,^) с течением
времени ij является, следовательно, описанием эволюции состояния систе-
мы со временем в представлении Шредингера.
Возьмем в (177) вариацию, в которой 8фп =	— 0, поверхность од
движется только благодаря перемещению ot в направлении времени. Тогда,
используя (165) и (164), получим
6^ф'°, t.) = ЦНЩМ, t2)5tr
Тг
или
ii|02Q, i2) = (0?, ^Н^ф?, t2).	(180)
at
Это обычное уравнение Шредингера в обозначениях Дирака. Это показы-
вает, что принцип наименьшего действия Шредингера содержит достаточ-
но информации для предсказания будущего поведения системы, начальное
квантовое состояние которой известно.
4.4.3.	Операторная форма принципа Швингера
Фейнман определил операторы с помощью формулы (175) для их мат-
ричных элементов между состояниями, точно заданными на двух раз-
личных поверхностях. Начальное состояние должно было быть определе-
но в прошлом, конечное состояние — в будущем, оператор, относящийся
к некоторому определенному времени, берется как настоящее.
Обычный и более подходящий способ определения операторов — это
установить их матричные элементы между состояниями, определенными
на одной и той же поверхности. Поэтому пас интересует матричный элемент
{ф,а, <т|С9|0"% <т),	(181)
где ф'а и ф"а — это заданные наборы собственных значений, а ст —это по-
верхность, которая может быть прошлым, настоящим пли будущим по от-
ношению к точке поля, которой соответствует О.
Предположим, что референсная поверхность сто выбрана в отдаленном
прошлом. Пусть ф°, ст и варьируются таким образом, что все величины
на сто остаются неизменными. Если мы предполагаем, что (179) выполня-
ется, то для такой вариации (178) дает
<57(П) = S^fd^x + У У^|тГц.сУфп +	- 0“тга^5xflj-cJcr, (182)
П	а n’/l
где П — это область, ограниченная сто и ст. Сначала посчитаем вариа-
цию (181), возникающую вследствие изменения значений состояний \ф'а, ст)
и |0"“,ст). Оператор О сам по себе в этой точке фиксирован н па него
не действуют вариации фп, ст и Jjf. Тогда
(0'“, а\О\ф"а, ст) =
\ф'оа, сто)«, (то\О\ф”а, ао){фГ: <7п\Ф"а, а). (183)
Ф'о Ф'о
Следовательно, обозначая
{ф'а, а\О\ф"а, а} = (ст'|С>|сг") и т.д., мы имеем
5(а'|О|а") = ££(^«1^»'')+
/ п
+£Е<ст>Ж1оЮ(ж>")))
I н
поскольку \ф'°) и | </>"“) не изменяются при вариации, как и О. Следова-
тельно, используя (177), имеем
/ // / //
где индекс а — сто относится к интегралам по поверхности в (178). Посколь-
ку 51а-а<, = —81<го-а, то окончательно имеем
5{ф,а, а\О\ф"°, а) = ^{ф'а, <т|[Л(П), О]\ф"°, <т),	(184)
где [Я, Я] = PR — RP. Это применимо для случая, когда О фиксировано,
а состояния изменяются.
Теперь мы можем посчитать вариацию (ф,а, а\О\ф"а, а) для случая,
когда состояния фиксированы, а О = О(0“(<т)) изменяется. Она, однако,
будет такой же, как и в предыдущем случае, за исключением того, что знак
изменится на противоположный, поскольку вариация матричного элемента
(ф,а, о\О\ф"а, <т)	(185)
в том случае, когда одновременно изменяются и состояния, и О равна нулю.
Следовательно, если мы используем представление, в котором матричные
элементы О определены между состояниями, не подлежащими вариации,
мы получим
iMO(cr) = [<ЩП), О(ст)].	(186)
Это принцип наименьшего действия Швингера в операторной форме.
Он соотносится с (177) так же, как представление Гейзенберга соотносится
с представлением Шредингера в элементарной квантовой механике.
4.4.4.	Канонические коммутативные законы
Принимая за <т пространство в момент времени t, за О(сг) — опера-
тор фа(г, i) в точке пространства г и 5х^ = бЛ? = 0, из (182) и (186) для
независимой вариации 5фа мы имеем
—гЬ,6фа(т, t) =	[ [яр (г', 1)5ф@(т', Ъ),фОс(т, i)]d3r',	(187)
/з J
поскольку da = —rifjdcTp = —i^—idxydx^dx^) = —d3r' в соответствии
с (158). Единичный вектор в направлении оси времени — это г, и это направ-
ление является внешним, т. к. мы выбираем ао в прошлом. Следовательно,
для любых г, г'
[0“(r, t), 1Г/з(г', £)] = iti6Q/363(r - г').	(188)
А также, поскольку предполагается, что фа (г) на а являются независимыми
переменными, то
[фа(г, t), ф0(г', t)] = 0.	(189)
Так что этот метод автоматически дает правильные канонические коммута-
тивные законы для полей. Нет необходимости доказывать, что коммутаци-
онные правила согласуются с уравнениями поля, как это было необходимо
делать в старых методах.
4.4.5.	Уравнение движения Гейзенберга для операторов
Предположим, что а — это плоская поверхность в момент времени t
и что вариация вызывается движением поверхности за малое время 5t, как
выше в В. Но теперь пусть O(t) — О(<т) — оператор, построенный из опе-
раторов поля фа на поверхности а. Тогда из (165) и (186) изменение в O(f),
вызванное вариацией, дается уравнением
ift5O(t) = [—H(t)5t, О(£)].
То есть O(t) удовлетворяет уравнению движения Гейзенберга
= [O(t), Я(С],	(190)
где #(£) — это полный оператор Гамильтона.
4.4.6.	Общие ковариантные соотношения коммутации
Из (186) мы получаем сразу общую ковариантную форму коммутаци-
онных соотношений, открытую Пайерлсом в 1950 [13]. Эту ковариантную
форму не так просто получить в гамильтоновом формализме.
Пусть даны две точки поля z и у и два оператора 7i(z) и Q(y), завися-
щих от значений поля фа в точках z и у. Пусть референсная поверхность ао
зафиксирована и является прошлым для z и у. Предположим, величина
= «<54(z-z)K(z)	(191)
добавлена к плотности Лагранжиана ^(т), где с —это бесконечно малое
число. Самое большое, к чему это приведет, — это некоторое бесконечно
малое изменение £5^0“ (т) в решении фа(х) уравнений поля. Предпола-
гая, что новое ос'(.т) идентично старому на поверхности ао, получаем, что
вариация 6т^фа(х) является отличной от нуля только в световом конусе бу-
дущего для z.
Аналогично самое большое изменение, к которому приведет добавка
5Qm = e£y4(T-y)Q(y)	(192)
к Jzf(.T)- 'jTO изменение с5офа{х) в фа(х). Пусть е5тг2(у)— это измене-
ние в Q(y), вызванное добавкой (191), тогда как €5qR,{z) —изменение
в 7£(z) в результате (192). Предположим, что у лежит на поверхности ст, от-
носящейся к будущему для z. Тогда мы берем Q(y) для О(ст) в (186), и 6^,
заданную уравнением (191). Тогда <5/(П), заданная уравнением (182), сво-
дится просто к
<5/(П) = -e7?.(z).
Предполагаем, что нет внутреннего изменения 6фа для фа или 6хр для а,
кроме изменения, эффект которого уже учтен в члене 8ФФ. Таким образом,
(186) дает
[Щг), Q(y)] = ihc6TiQ(y) (у0 > £о),	,	,
[ВД, Q(y)] = -ihc5Q1l(z) (z0 > уо).	J
Когда у и z разделены пространственно-подобным интервалом, коммута-
тор равен нулю, поскольку возмущение 7?(z) распространяется со скоро-
стью не больше с и, следовательно, может воздействовать на какие-то ве-
личины только в световом конусе будущего z; это означает, что в данном
случае ^тгй(у) = 0.
Формула Пайерлса, справедливая для любой пары операторов, — это
Rz), Q(y)J = гПс{6^у) - 5qR(z)}.	(194)
Она является полезной формулой для вычисления коммутаторов ковариант-
ным способом.
4.4.7. Антикоммутирующие поля
Существует один тип теории поля, который можно легко построить
из принципа наименьшего действия Швингера, но который не выводится
из картины Фейнмана. Представим классическую полевую теорию, в кото-
рой группа операторов i/'Q поля всегда появляется в лагранжиане в били-
нейной комбинации типа ф0фа с группой операторов -0 поля. Например,
лагранжиан Дирака Jjfp и лагранжиан квантовой электродинамики Ф£о_.
Тогда, вместо того чтобы брать каждый оператор фа на данной поверх-
ности а таким образом, чтобы он коммутировал, как в (189), мы можем
взять антикоммутирующую пару фа, таким образом,
{V>“(r, t), фр(т’, £)} = О, {Р, И} = P1Z + ПР. (195)
Билинейная комбинация будет коммутировать аналогично тому, как
ранее фа, фа коммутируют с любыми полевыми величинами на ст, кро-
ме V' и ф. Затем Швингер предположил, что (177) выполняется точно, как
и раньше, за исключением того, что при вычислении <5/(П), в соответствии
с (178), вариация 5фа антикоммутирует со всеми операторами фа и ф&.
В этих теориях оказывается, что импульс тга, сопряженный с фа, пред-
ставляет собой просто линейную комбинацию ф, поскольку лагранжиан
является линейным по производным от ф. Полевые уравнения (179) для
антикоммутирующих полей выводятся, как и уравнение Шредингера (180),
коммутационные правила задаются выражениями (186) и (187). Но теперь,
поскольку 5ф& антикоммутирует с операторами7 ф и тг, то для того чтобы
выполнялось (187), канонические коммутационные правила должны быть
записаны в следующем виде:
{фа(г, f), тг^т', t)} = -ih6Q063(r - г').	(196)
Общее коммутационное правило (194) является верным при условии, что Q
и П являются выражениями, билинейными по ф и ф.
Интерпретация операторов и обоснование принципа Швингера для
случая антикоммутирующих полей еще не ясны. Но понятно, что в этом
случае принцип Швингера дает согласованную и простую формулировку
релятивистской квантовой теории поля. И мы можем использовать этот ме-
тод в своих интересах, даже если мы не вполне понимаем его концепту-
альную основу. Полученная теория математически однозначна и дает ре-
зультаты, согласующиеся с экспериментом, что, должно быть, достаточно
хорошо.
73десь произведена замена на т/» вместо оригинального ф (переменная в уравнении (187))
для ясности.
Глава 5
Примеры квантовых теорий поля
5.1.	Электромагнитное поле
Лагранжиан
4	\ дхи
ил, \	**
(168)
Уравнения поля
л2
E^=d2^=0-	<197>
М д
Для нахождения коммутационных правил для Ах воспользуемся мето-
дом Пайерлса.
Возьмем две точки у и z, zq > уо- Пусть Q(y) — А\(у), Щг) = Лм(г).
Замечание: в этой части х, у, z, к и т. д. означает, что эти величины имеют
компоненты 1, 2, 3 и 0, тогда как в хр, ур, z^, и т. д. мы подразумеваем,
что у = 1,2, Зи 4. Когда к добавляется <5g(Jz?) = е<54(а: — у)Ад(у),
уравнение поля для принимает вид
□2АМ-Ь 5Лме<54(о; — у) = 0.	(198)
Этому уравнению удовлетворяет + SqA^z) (по определению), а следо-
вательно, ему удовлетворяет и <5дЛм(г) вследствие (197). Поэтому 6qA^z)
определяется условиями
□2№гАДг)) = -5x^\z-y),
<52Am(z) = 0 для z0 < уо-
То есть SqA^z) — это с-число и представляет собой остаточный потенци-
ал, созданный точечным источником, действующим мгновенно в простран-
ственно-временной точке у.
5qAm(z) = SxfJWz - у),
O2DR(z-y) = -5\z-y).	[	’
Если х — некоторый 4-вектор, то, используя
<5(х2 — а2) = — {<5(з: — а) + 6(х + а)}, а > О,
2а
мы получим
£>k(z) = ^z0^)^2) = ТИТЛ2* “ И)-
2тг	4тг|г|
(201)
Здесь
|r| =	Хо = ct‘,
3	2	2	гл/ X	f	+1	ДЛЯ	X >	0,
хэ = г2	- rrg;	е(х)	=	<	„
1	0	для	х <	0.
Таким же способом получаем
<5тгАд(у) = 6xpDA(z -у) = 6XflDn(y - г),
(202)
где Da — опережающий потенциал от того же источника,
da(x) =	+ И)-
4тг|г|
Следовательно, мы имеем коммутационное правило (194)
[Ag(z), Ад (у)] = ihc6Xtl[DA(z -у)- Dr(z - у)] =
= ihc6xtlD(z — у) (определение!?).
(203)
Эта инвариантная .D-функция удовлетворяет, с учетом (200), уравнению
□2ОД = -<54(z) - (-<54(z)) = 0,	(204)
как это и должно быть. А так же
D(x) = ТТТ^0 + И) "	“ 1г1)1 =
47Г г
х	(205)
=	e(z)<5(z2) б(х) = sign (z0).
27Г
5.1.1.	Импульсные представления
У нас есть
<54(ге) = ——у	exp(zfc • т) d4fc,	(206)
где интеграл четырехкратный по dkidk^dkadki. Следовательно,
D/i(t;) =
(^/“р(а'а4'Л'
+
(207)
где к2 = |fc|2 — к2. Интегрирование по fci, /сг, ко представляет собой обыч-
ный действительный интеграл. Что касается интегрирования по ко, — это
интеграл по контуру вдоль действительной оси и обходящий сверху два
полюса в точках ко = ±|fc|.
Для детальных расчетов смотрите приложение ниже. Это дает пра-
вильное поведение Dr, а именно равенство нулю при xq < 0. Аналогично
Г>а('Х') = f cxp(ik-x)^dAk	(208)
(2тг) J	кт
с контуром интегрирования, проходящим ниже двух полюсов. Следователь-
но,
£>(z) = У exp(zfc • х)^ d4k	(209)
3
с контуром s, как показано на рисунке.
Вычисляя вычеты, получаем
D(x) = — -—— I exp(ik  i)<5(/c2)e(A:) d4k,	(210)
(2л) J
теперь это обычный действительный интеграл.
Приложение.
Проверим, например, (207). Для хо < 0 мы должны взять верхний
путь обхода, иначе подынтегральное выражение неограниченно возрастает;
очевидно, этот интеграл равен 0.
Для xq > 0 мы должны взять нижний контур обхода, тогда
£>/г(я) =
1 Г eikхе~^°х°
(2^7 J к2-к2
d3kdko,
где к п х являются трехмерными векторами. Теперь вследствие обхода
по часовой стрелке
g—ikoTQ	г	£—г&охо
к2 - к2 dk° J (к0 - |fc|)(fc0 + |fe|) dk°
u +
= 2лг(вычет при ко = |fc| + вычет при ко = — |fc|) =
/e~i\k\xo
=2"Ыг
e+t|fc|xo
2|fc|
Следовательно,
eik x f ei|fc|x0 _ e-i|fc|xo I ^3^ _
=
о
ei|fc|xo _ e-i|k|x01 |fc|2 d|fc| gin edQ =
e-i|fc|so}|fe|2x
=______J:___L_ [ Jei|fc|(so+
4л2 2|®| J Г
о
+ e-i|fc|(xo + |x|)}d|fe| =
=______12	* у |e’|fc|(^o+|a:|) _ ег|к|(ю-|а!|)| j|^,| _
— oo
= —^<5(д?о - И) Для tq > 0.
4я2
gi|fc|(xo —1®|) _ e-ilk|(a:o+|ffi|) _|_
5.1.2.	Фурьс-анализ операторов
Проанализируем потенциал Лм в Фурье-компонентах
A/t = В У d3/c|fc|-1'/2{a/t.M exp(ifc • т) + afcM exp(-ifc • т)},	(211)
где множитель |fe|-1/2 появляется только для удобства вычислений; тогда
реальные коэффициенты Фурье —это	и |fe|“ 1?/2afcM. Интегриро-
вание ведется по всем 4-векторам (fc), где ко = +|fc|. В — нормировочный
множитель, который будет определен позже, а*.м и а^—это операторы,
не зависящие от х.
Поскольку 4i, А2, A3 и Ао — эрмитовы,
= а£м = эрмитово-сопряженный с akfl, /z = 1, 2, 3, 0, и поэтому
а*:4 = — ак4 = эрмитово-сопряженный с аы-
(212)
Вычисляя коммутатор [AM(z), Ад(у)] из (211) и сравнивая результат
с (203) в импульсном представлении (210), мы, во-первых, имеем, посколь-
ку результат —это функция только от (z — у),
[ajtM,afc'x] = 0,
[atM, afc/д] = 0,
[flfcp, flfe'x] = & (^ к
(213)
Тогда два результата для коммутатора согласуются точно, если мы прини-
маем
(214)
5.1.3.	Операторы излучения и поглощения
Оператор А^(х) подчиняется уравнениям движения Гейзенберга для
операторов (190)
дА
ih-^ = [Ам, Я].	(190а)
Следовательно, оператор exp(ik-x) имеет матричные элементы между
начальным состоянием с энергией Ei и конечным состоянием с энерги-
ей Е2, только если
ih(-icko) = Ei — Е? = 7ic|fc|,	(215)
поскольку из (211) и (190а) мы имеем
^lint-ickojak^z = ^ihc\k\ak^2 =	.	.
=	= (Ei - E2)V>iafcM^2-
Сейчас 7ic|fc| — постоянная энергия; характерная частота ш = ск соответ-
ствует характерным частным Фурье-компонентам поля. Оператор aktl мо-
жет действовать только таким образом, что энергия системы уменьшается
именно на величину 7ic|fc|. Аналогично ак/1 будет действовать, только когда
Ei — Е2 = —7tc|fc|
и будет увеличивать энергию на столько же.
Это фундаментальное свойство операторов квантованного поля: они
изменяют энергию системы не непрерывно, а скачками. Это показывает, что
наш формализм корректным образом включает в себя экспериментально
известное поведение излучения.
Назовем оператор поглощения для осциллятора поля с вектором
распространения к и направлением поляризации /г. Аналогично — опе-
ратор излучения.
У нас есть 4 направления поляризации для фотона с заданным импуль-
сом. Но не все они наблюдаются в электромагнитном излучении. Свобод-
ное излучение может состоять только из поперечных волн и иметь только
две возможных поляризации, поскольку физически возможные состояния Ф
ограничены дополнительным условием
ад(+)
(217)
д охи
где Ар+) представляет собой положительно-частотную часть т. е. часть,
содержащую операторы поглощения. В классической теории
^=0
— условие, наложенное для того, чтобы упростить уравнение Максвелла
до вида D2 = 0. В квантовой теории обычно бралось
Но это означает, что в физическом состоянии не могут быть испущены
фотоны определенного вида, что трудно для понимания и вносит в тео-
рию математическую несогласованность. Поэтому мы принимаем толь-
ко (216), то есть такие фотоны не присутствуют и не могут быть поглощены
из физического состояния, что имеет здравый смысл. А также в классиче-
ском пределе	является действительной величиной и, поэто-
му £2^ dAft/dXfj, = 0 следует непосредственно из (216).
Метод использования (216) в качестве дополнительного условия пред-
ложен Гуптой и Блейлером;
Ссылки: S.N. Gupta, Proc. Roy. Soc. A 63 (1950) 681.
K.Bleuler, Helv. Phys. Acta 23 (1950) 567.
Дальнейшие расчеты являются ненужными и трудными, поэтому мы не
будем беспокоиться о них.
(211), (216) эквивалентны тому, что мы принимаем
^2(А:маА;М)Ф = 0	(216а)
м
для каждого вектора импульса к фотона.
Результатом этой работы Гупты и Блейлера является то, что в теории
не появляется никаких дополнительных условий. Мы используем теорию
и получаем правильные результаты, забывая о дополнительных условиях.
5.1.4.	Калибровочная инвариантность теории
Теория является калибровочно инвариантной. То есть добавка градиен-
та Лм = дК/дх^ к потенциалам не приводит к физически наблюдаемым из-
менениям полей. Следовательно, все состояния, которые отличаются только
на такую добавку к потенциалам, являются физически идентичными.
Если Ф — некоторое физическое состояние, тогда
Ф' = ( l + X^k^ ) Ф
\ м /
— это состояние, полученное из Ф путем испускания псевдо-фотона с по-
тенциалами, пропорциональными дК/дх^ Следовательно, Ф' должно быть
неотличимо от Ф.
Теперь, если Ф2—это некоторое состояние, независимо от того, удо-
влетворяет оно дополнительному условию (216а) или нет, матричный эле-
мент
(ф'*,Ф1) = ( ф* (1 + л^2^нкм j ,ф2 ) =
\ М	(	(216b)
Ф*, I 1 + Х^к*^ ) Ф2) = (Ф*>Фг)
\ м /	/
Следовательно, матричные элементы Ф' и Ф для любого физического состо-
яния Ф2 равны, и поэтому результаты теории не зависят оттого, представ-
лено состояние Ф вектором Ф или вектором Ф'. Этого достаточно, чтобы
показать, что теория является вполне калибровочно инвариантной, неза-
висимо от того, что состояния определяются потенциалами, которые сами
по себе не являются калибровочно инвариантными.
5.1.5.	Состояние вакуума
Вакуумное состояние —это, по определению, состояние с наименьшей
энергией, так что все операторы поглощения, действующие на него, дают
ноль:
акмФо = 0,	(217а)
и, следовательно, из (212)
(а^фо)* - (Ф^д.) = ±(Ф;^м-) = о. (217b)
Задавая некоторый оператор Q, мы интересуемся «средним по вакууму» Q,
определяемым как
(Q)o = (ф:, 2Фо) •	(218)
Тогда мы имеем сразу
(afcMafc'x)o =	0	из (217а),	(219а)
(afcMafc'x)o =	0	из (217b),	(219b)
(SfcMafc'A)o =	0	из (217а,b).	(219с)
И из коммутационных правил (213)	и (219с) мы имеем
(a.ktlak'x')o = ([atMafc'A])o = 53(к - к'^^х-	(220)
Среднее по вакууму (Лм(г)ЛА(у))о — это только часть коммутато-
ра [Лм(г),ЛА(у)], содержащего положительные частоты cxp{zfc • (z — у)}
при ко > 0, как можно показать, используя (211), (219) и (220). Таким
образом,
(AM(z)XA(y))o = z7ic5mAD+(z - у),	(221)
D+(x) =-------г— [ exp(ik • x)6(k2)G(k)d4k.	(222)
(2тг)3 J
Мы запишем
D(x)=D+(x) + D~(x),	(223)
D+ = i (р - zDw) , D~ = | [d + iD^ .	(224)
Тогда четная функция определяется из
(AM(z)AA(y) + ^A(y)A,2(z))o =	- у),	(225)
D1(x) =——- [ exp(ik  x)6(k2') d4k.	(226)
(27г)3 J
Тогда нетрудно доказать (смотрите приложение ниже), что
(227)
Функции D и являются двумя независимыми решениями П2!) =
= 0, одно из которых четное, а другое —нечетное. Тогда мы определяем
функцию
D(x) = ~e(x)D(x) = Ь(ВД + Da(x)) = ^5(т2) =
2	2	47Г
(228)
——4 / exp(zfc-z) — d*k.
(2тг)4 J	к
Последнее является действительным главным значением интеграла: это
четное решение уравнения точечного источника
□2£>(т) = -б\х).
(229)
Приложение
DV\X) = J_ [ eik xS(k2') d4k—
(2тг)3 J
+1 оо оо
—Ц- У dp У dko I dlfele^H^e-^x
-1 -оо О
{5(fc0-|fe|) + 5(fc0 + |fc|)}|fc|2
2|fc|
ОО
О
1	_|_ ei|fc||®ll |fc|2 =
21 fc |	J
7Т72Г7 /'sin(lfclla:l)cos(lfcl2;o)c!|fc| =
(2тг)2 |®| J
оо
I 1 Г
(с. ,2о-г-7 / {sin((|®| + zo)|fe|) + sin((|x| + z0)|k|)}-
(2тг)2 2|ж| J
Беря интеграл в абелевом смысле, получаем
ОО
f _	al
lim / е tx sin ax dx = lim —-- = -.
e->o J	e—»o e2 4- a2 a
о
Следовательно, в нашем случае
D(1)(z) =
1 1 [ 1 | 1
(2тг)2 2|сс| 1 |®| + т0 |®| - т0
1
(2тг)2а;2
5.1.6.	Метод Гупты-Блейлера
В предыдущей теории есть только одна трудность. В соответствии
с (220), мы принимаем
(ад;да^./д)о — (fe к
(220a)
Выражение берется со знаком плюс для р = 1,2,3 и со знаком минус —
для р = 4. Тогда, если операторы а^, а^ представлены стандартными
матрицами, такими же, как в элементарной теории гармонического осцил-
лятора (смотрите Wentzel р. 33, уравнение (6.16)), среднее по вакууму от
произведения (akMa£M) будет всегда положительным, т. е. знак плюс дол-
жен браться в (220а) также и для р = 4. Фактически (afcMa£M) будет иметь
положительное среднее по вакууму в любом состоянии, несмотря на то,
что фотонные осцилляторы рассматриваются как обычные элементарные
осцилляторы.
Поэтому мы должны различать скалярное произведение (Ф^Фз), как
мы определили его в нашей ковариантной теории, и скалярное произведе-
ние (Ф1, Фз)е, которое должно быть подсчитано с использованием точного
матричного представления операторов. Произведение (ФрФг)^ не имеет
физического смысла, поскольку матричные представления а*,4 относятся
к состояниям с фотонами, поляризованными в направлении оси времени,
чего не может быть физически. Однако, удобно иметь возможность исполь-
зования матричных представлений на практике.
Для того чтобы воспользоваться матричными представления, нам нуж-
но определить оператор г/ из условия
т?Ф = (—1)Ф,	(220b)
где Ф — некоторое состояние, в котором существует определенное число N
фотонов, поляризованных в направлении оси времени. Тогда физическое
скалярное произведение дается в терминах точных матричных представле-
ний выражением
(Ф1,Ф2) = (ФГ,77Ф2)е.	(220с)
Определение (220с), введенное Гуптой, согласует матричные представле-
ния со всеми требованиями ковариантной теории, в частности, оно также
корректно дает (220). Таким образом, физическое скалярное произведение
представляет собой индефинитную метрику, рассматриваемую с точки зре-
ния матричных представлений. Однако мы увидели в (216b), что для лю-
бых физических состояний скалярное произведение (Ф1,Ф2) эквивалент-
но (Ф*Т,Ф17'), где Ф1Т —это состояние, включающее только поперечные
фотоны, и, следовательно, это произведение положительно. Таким образом,
для физических состояний метрика является положительно определенной,
и это все, что мы от нее требуем.
5.1.7.	Пример: спонтанное излучение
Это чисто квантово-механический эффект. Классический подход, рас-
сматривающий реакцию атома на приложенное классическое электро-
магнитное поле, дает правильный результат для поглощения излучения
и для вынужденного излучения, но не в состоянии описать спонтанное
излучение.
Пусть атом имеет два состояния: основное состояние 1 и возбужденное
состояние 2 с энергией hcq. Пусть для перехода 2 —> 1 плотность заряда
и тока атома имеет неинтегрируемые матричные элементы
t) в точке х = (г, t).
Взаимодействие с электромагнитным полем, в результате которого осу-
ществляется переход с излучением фотона, имеет матричный элемент
I =	Лм(г, VM’ d3r.	(230)
Полная вероятность излучения в единицу времени получается при исполь-
зовании зависящей от времени теории возмущений:
w=^£|ai(T)|2 =
фенона
М
излучение d Т X dt
2
]
Тс1п2
Е Зха (х) (a; (z')Am(z))o d4x d*x',
(231)
интеграл берется по всему пространству за большой промежуток време-
ни Т, суммирование ведется только по физическим состояниям фотона. Бу-
дет неправильно, если мы в качестве состояний фотона в (231) возьмем 4
состояния с поляризацией в направлениях ц — 1, 2, 3, 4, потому что они
не являются физическими состояниями.
Применяя правила суммирования по состояниям, получим
w = 77777 //^/j*xA^>')3nA^y){A*x(x'')A^xy))odixdix'.
_Z О / 6 kJ *J ъ
А,м
Запишем ]хл{х') для матричного элемента от 5лд(а;/) в случае обратного
перехода 1 —» 2. Тогда
Зха&) = rjxjxA^x1), А\(х') = 77ААА(т'),
где i]x - +1, А = 1,2,3; 774 = -1.
Следовательно,
w = 77777 [[ Е jxA^'ijnA^^A^x^A^x^od^xd^x' =
J. IL kJ kJ \	4
А, /1=1
о о
= Е / rf3fc5(lfe|2 - 92b'/M(fc)7M(fc),	(232)
(2тгуЬсг
поскольку
сТ сТ
У У dx0 dx'o exp{t(z - x0)(q - fc0)} =
о о
sin2 ^-(q — fco)
= cT--------------—> тг<5(д — fco), если cT —> oo,
где
JMx(fc) = jiiA(r)e~tk^d3r, jllA(k) = У JM4(r)eifcr d3r.
Из закона сохранения заряда
5	= 0,	5 ' (fc) = О,
м	м
и поэтому
_ 1 ~ 3
52-7м(Щм(£) = -^qjiAqjAA + 52 Ь‘м(А:)|2 =
1 3 ~ 3
=----2 52 {kijiA(k)kejeA(k)} + 52 IJiA(fc)l2 =
it £=1	г
= -4lfc|2|^|2cos2(9+ Ы2 =
9
= 1>д|2(1 - c°s2 <?) = 1лА|2 + |>2АI2,	(232а)
где 1 и 2—два направления поперечной поляризации. Это показывает, как
третье и четвертое направления поляризации не проявляются в реальных
задачах излучения. Мы могли бы получить такой же результат, если бы ис-
пользовали индефинитную метрику явно, то есть взяли бы сумму в (231)
по всем 4 состояниям поляризации /I = 1,2,3, 4, где для м = 4 берется
знак минус, возникающий из g в (220с). Но всегда проще работать непо-
средственно в рамках ковариантного формализма, чем быть вынужденными
заботиться о нефизических фотонных состояниях, а затем использовать
для того, чтобы получить правильные ответы.
Наконец, используя (232), (232а) и то, что 5(|fc|2 — g2) = ^5(|fc| —
— g) для q > 0, получаем, что вероятность излучения в направлении 1
и в направлении распространения, заданном телесным углом d£l, — это
=	(233)
8тг?иг
Для дипольного излучения атома, содержащего один электрон с координа-
тами (х,у, z),
ji = ex = iecqx, к г < 1
и
» =	(234)
Это согласуется со статьей Бете8.
Этот пример показывает, как работают ковариантные методы даже
в случае задач элементарного характера, для которых такие методы не осо-
бенно подходят. Ковариантный метод позволяет избежать необходимости
думать о нормализации состояний фотона, т. к. множители 2, тг и т. д. полу-
чаются при использовании (221) автоматически.
5.1.8.	Оператор Гамильтона
Из уравнения
яд
= [А„ Н]
находим
[ц/ср» — ^с|Л:|о./Сд,
Н] = — 7ic|fe|afcM.
Используя коммутационные правила (213), можем найти оператор Н, кото-
рый удовлетворяет всем этим условиям одновременно. А именно:
Н = J c!3fc7ic|fc| a-kxakx	(234а)
Этот оператор фактически является единственным, за исключением произ-
вольной аддитивной константы. Для того чтобы зафиксировать константу,
8Bethe & Salpeter [20], стр. 249, уравнение 59.7.
мы требуем (Н)о = 0, что приводит точно к результату (234а), это можно
увидеть сразу из (219). Следовательно, (234а) — гамильтониан этой теории,
который в импульсном представлении является очень простым.
Можно также вывести Н из лагранжиана, но это намного более уто-
мительно. Из (234а) мы видим, что
NkX — dkxakx (нет суммирования)
— это оператор, представляющий число квантов с частотой к и поляри-
зацией А. Коммутационные соотношения (213), сингулярный множитель
5-функции, появляющийся из-за непрерывного спектра, а также то, что N^x
является фактически числом квантов в единице частотного диапазона, при-
водят к тому, что интеграл fNkxd3k, взятый по некоторой области им-
пульсного пространства, имеет собственные значения 0, 1, 2, ... Это так,
потому что состояние с тц частицами, имеющими импульс к{, — это Ф =
= IIi=ia)ni^о- Тогда, беря интеграл fn Nkxd3k по Л, содержащей им-
пульсы fci, &2, ..., kj, мы получаем
-	г е
n
.Q
е е
«Ача] +
n '-г-1 1-1
г	)
+ ПкЛ ? Vod3k =
г=1	)
из (213) и (217a)
t £
Г ГЦ П а^53(к - А:г)Ф0 d3k
Г2	г-
j	i
j
5.1.9.	Флуктуации полей
Поскольку электромагнитные поля Е и Н представляют собой кван-
тово-механические переменные, у них нет хорошо определенных значений
в каком-либо состоянии, для которого энергия и импульс хорошо опреде-
лены, например вакуумное состояние. Состояние поля можно определить,
устанавливая либо значения Е и Н, либо число присутствующих квантов
с различными импульсами и энергиями. Эти два описания являются допол-
нительными и возможны только в классическом пределе большого числа
квантов и очень сильных полей.
Обсуждение этих вопросов с целью обучения, рассматривающее де-
тально пример резонатора в виде полости с одной модой колебаний, дано
в работе L. Р. Smith, Phys. Rev. 69 (1946) 195. Это достойно прочтения. Су-
щественным является тот факт, что вы не можете фиксировать зависимость
поля (фазы) от времени при фиксации числа квантов (энергии).
Мы рассматриваем более общую проблему. Какова среднеквадратич-
ная флуктуация полевой величины в вакуумном состоянии? Мы определя-
ем
Ei(VT) =
(235)
усредненные по некоторому конечному пространственному объему V,
а также по времени Т. Пусть V(fc) = fv e~lk"rdr. Тогда, поскольку Н =
= V х А, имеем
используя (225)
= —й—п------о dr dr dt dt I ——
V2T2 16тг3 J J	\dx2 dx2
д d
dx2 dx'3
х / dikeik'(-x~x'^5(k2)
используя (226)
о о
he
1б7Г3У2Т2
{{E1(VT)}2)o =
= —-—-— [[ dr dr dtdt' (
V2T2 2 J J
д d
dx4 dx'4
d____d_
dxi дх'г
D^(x — x') —
he
167t3V2T2
4sin2(lC|fc|T)
kb\v(k)\2-------—
c \k\
= ({H1(VT)}2)o.
(236)
Взяв в качестве V произвольный конечный объем, а в качестве Т конечный
промежуток время, получаем, что среднеквадратичная флуктуация является
конечной. Например, для сферы радиуса R получаем
4тг
V(K) = —-(sin/?|fc|-/?|fc|cos2?|fc|).
|fc|
(237)
Но если либо R, либо Т стремится к нулю, флуктуации стремятся к оо
и в пределе действительно расходятся. То есть иметь какую-то физиче-
скую реальность могут только измерения полевых величин, усредненные
и по пространству, и по времени.
5.1.10.	Флуктуации положения электрона в квантованном
электромагнитном поле. Лэмбовский сдвиг.
Представим себе электрон в виде однородно заряженного шара ради-
уса R, находящегося в стационарном состоянии в потенциале 0(т) атома
водорода. Он имеет определенную волновую функцию V’(r)- Мы рассмат-
риваем все с нерелятивистской точки зрения, кроме квантованного поля
излучения, с которым электрон взаимодействует. Взаимодействие с этим
полем приводит к быстрым флуктуациям положения электрона. Фактиче-
ски для этих быстрых изменений положения электрона имеем
тг = —еЕ.
Так, быстрые изменения Е с частотой с|/С| приводит к таким же флуктуа-
циям в г с амплитудой, умноженной на с2 • Медленные изменения Е
с частотой меньшей, чем атомная частота сКн, не вызывают флуктуаций
положения электрона. Следовательно, из (236), устремляя Т —> 0, имеем
е2 Tic Г d3K, „	1
° = —m 2ЧТТ
7712 16тг3У2 J л	с4 Л
Ди
|4 ’
.. 2
поскольку lim
= 1. Теперь интеграл является сходящимся на оо
за конечных размеров электрона. Поскольку R очень мало, мы можем
проксимировать (237)
из-
ап-
шЮ = <!>д3 = у’ дая|^<1;
1 J 10,	для |К|Я > 1.
Теперь, поскольку (К^ + К^) = |I<'|2(1 - cos2 0) и sin2 dsmddd = j, мы
имеем
1/Л
e2Ti Г d|J<|
6?п2с3тг2 J W
Кн
e2h	/ i \
6т2с37г2	^.ЙКя у
(238)
Эта флуктуация в положении вызывает изменение в эффективном по-
тенциале, действующем на электрон. Так,
<И(г + 6г)) = V(r) + (6г  VV(r))o + | ((5г)2)о	.
2	° дг
= V(r) г
потому что (Sr  VV(r))0 из-за нечетности. В атоме водорода V2V =
= е2<53(г) (в единицах Хевисайда!). Следовательно, изменение энергии
электрона из-за флуктуаций равно (ао = боровский радиус)
АЕ = /^SV^dT = (Г1 )ое2И°)|2 =
ю,
e4h	/ 1 \	1
2 2 3 log	—з-? ’ для «-состояний;
127rJmJcJ	\RKh J тгпла^
для всех других состояний.
(239)
Поскольку для атома водорода (р = гу/—8ттЕп/1г)
^п€т(г, е, ф) =
V 2тг
х F^m'(cos0)
(2£+1)(£-|т|)!Г/2х
2(£ + |т|)! j
Г /	\ з	т М2
/ 2 \ (n — I — 1)!
\паа I 2n[(n + £)!]3
е-'/2/С7(р)
fo!)2
(п-1)!
1
7гМ2а3/2п3/2
Будет также добавка (намного большая) к кинетической энергии, по-
являющаяся из флуктуаций. Мы не учитываем ее на том основании, что
она будет одинаковой для всех состояний атома и поэтому не будет давать
какого-либо релятивистского смещения. Конечно, это плохой аргумент.
Следовательно, мы находим первое приближение для лэмбовского
сдвига; состояние 2з сдвинуто по отношению к 2р состояниям на величину
а	_	1
3 2 3 3 Og р zz *
96тг лтгг<гао	RKн
Здесь9
1 П (R „	.
-----(боровскии радиус),
а тс
(ридберговская единица энергии),
47ГЙ2
аО — р" :
те
е4тп
Ry = ------7
32тг/г4
К -Ry
Принимаем R = (h/mc), комптоновской длине волны Электрона, хотя при
этой частоте нерелятивистское рассмотрение становится неверным. Тогда
а3
ДЕ = +— log(8 х 1372)Лу.
37Г
(240)
Действительно, ^Ry — 136 Мс в единицах частоты. Это дает правильный
знак и порядок величины. Этот метод был предложен Белтоном [14].
Значение log неверно из-за неточности низкочастотного обрезания. Мы
получаем значение AF~1600Mc вместо правильного значения ЮбОМс.
Но данный подход правильно описывает физическую природу этого сме-
щения.
5.2. Теория смещения и уширения линий
Для того чтобы рассмотреть эффект влияния излучения на энергетиче-
ские уровни, мы должны попытаться решить более точно уравнение дви-
жения для системы «атом плюс поле излучения». Воздействие поля прояв-
ляется не только в смещении энергетических уровней, но также в конечной
ширине уровней, благодаря реальному излучению. Грубо говоря, если при
рассмотрении распада под действием излучения время жизни состояния Т,
то ширина Г уровня, или значение вариации энергии испускаемых фотонов,
дается принципом неопределенности Г « h/T.
Смещение линии и уширение линии — это эффекты одного и того же
типа, и их нельзя рассматривать иначе как в комбинации. Поэтому мы стро-
им теорию, которая описывает атом нерелятивистски, но учитываем подо-
бающим образом воздействие излучения. Это означает, что мы повторяем
9ао = 0,529177 х 10-8см; Ry = 13,6056 эВ.
вычисления спонтанного излучения атома, но теперь включаем воздействие
излучения на атом, вместо того чтобы рассматривать атом как электриче-
ский колебательный контур с фиксированными параметрами.
Для такого типа вычислений всегда удобно работать в рамках специ-
ального представления, называемого представлением взаимодействия.
5.2.1. Представление взаимодействия
В представлении Шредингера волновая функция Ф удовлетворяет
уравнению движения
д
ih—V = Hy,	(241)
где Н — гамильтониан. В случае атома, взаимодействующего с полем излу-
чения, мы имеем
Н = НА + Нм + Hf,	(242)
где На— оператор Гамильтона для атома, а Нм — оператор Гамильтона
для электромагнитного поля без взаимодействия. Нм дается выражени-
ем (234а), и в квантовой электродинамике в соответствии с (170)
Hf =	У52^(г)Л^(г)</3г,	(243)
поскольку (г) = iei/rf^ip и в этом случае Ж = £) тгмДм = -_$f, т. к.
7гм = /дА^ и не содержит Все операторы в (242), (243) явля-
ются не зависящими от времени операторами в представлении Шредингера
и поэтому обозначаются индексом S.
Выберем новую волновую функцию $(t), которая задается в терми-
нах Ф выражением
Ф(£) = ехр < ~(НА + HM}t > $(t).	(244)
I "	I
Эта функция Ф^) будет константой для любого состояния, представляю-
щего невзаимодействующие атом и электромагнитное поле. Тогда вариация
по времени Ф(£) в реальном состоянии описывает только эффект взаимо-
действия в процессе возмущения атомных состояний. Из (241) и (244) ва-
риация во времени Ф дается уравнением Шредингера
(245)
Л— = н^Ф,
где
НАС) = exp
Hj exp <
<i
-_(HA + HM)t
n
(246)
Таким образом,
Hi = --C[	d3r>	(247)
где
j^r, f) = exp <
2
тЯл(0
a
j^(r)expJ ~HA(t)
rt
(248)
1
+ ВД*
а
A^r, t) = exp <! *
2	I	2	I
У Л^(т) exp	} .
a	\	Tl	\
(249)
Эти операторы j^r, t) и A^r, i) имеют точно такую же зависимость от вре-
мени, как полевые операторы в представлении Гейзенберга для двух си-
стем, не взаимодействующих между собой атома и электромагнитного поля,
взятых раздельно. Таким образом, зависимость от времени волновой функ-
ции Шредингера в представлении взаимодействия делится на две части: во-
первых, зависимость от времени операторов связана с эволюцией невзаимо-
действующих систем, во-вторых, зависимость от времени волновой функ-
ции связана только с эффектами взаимодействия. Операторы Ам(г, i) удо-
влетворяют волновому уравнению О2А^ = 0 и ковариантным правилам
коммутирования (203), поскольку из (249) мы видим, что
дА„(г, £)
=Л[Нм,А^г,^],
т. е. A)t(r, t) с течением времени изменяется так же, как и А^х) в представ-
лении Гейзенберга без взаимодействия (см. (190а)), что приводит к уравне-
ниям поля (197). Матричные элементы операторов в представлении взаимо-
действия, заданные уравнениями (246), (248) или (249), между волновыми
функциями в этом представлении, заданными (244), являются, конечно, та-
кими же, как матричные элементы, которые получились бы в каком-нибудь
другом представлении.
5.2.2. Применение представления взаимодействия для теории
смещения и уширения липин.
Рассмотрим решение уравнения (245), в котором начальное состояние
атома является стационарным и невозмущенным состоянием О с энерги-
ей Ео, электромагнитное поле находится в состоянии вакуума, фотоны от-
сутствуют. Пусть Фо — волновая функция в представлении взаимодействия,
представляющая атом в состоянии О и электромагнитное поле в вакуумном
состоянии, без взаимодействия. Фо является не зависящей от времени.
Начальное условие Ф(^) = Фо в момент времени t = t0 является фи-
зически нереальным. Это означало бы, что атом существует в момент вре-
мени t = t0 в отсутствие какого-либо поля излучения в возбужденном со-
стоянии. Этого мы физически пе можем сделать. Фактически начальное
условие для атома в возбужденном состоянии будет зависеть от того, как
он был приведен в это состояние. Это невозможно сформулировать про-
стым способом: для описания начального возбуждения атома необходима
сложная модель.
Нас интересует вычисление изменения со временем (Ф*Ф(£)) ампли-
туды вероятности нахождения атома в невозбужденном состоянии Фо в мо-
мент времени t. Из (245) мы имеем
d	i
-(ф;ф(0) = -?(ф;я/«ф(*)).	(250)
dt	/г
Предположим, мы берем физически невозможное начальное условие
Ф(г) = ф0 при t = to.
Тогда (250) дает
d
-0l>W))t=/, =0	(251)
dt
из Hi, заданного уравнением (247), имеем нулевое математическое ожи-
дание по вакууму электромагнитного поля, поскольку Afl(r,t) также имеет
нулевое математическое ожидание по вакууму, как можно видеть из (211)
и (217). Таким образом, (Ф*Ф(<)) оказывается стационарным при t = t0.
Это, однако, не представляет интереса, поскольку условия при t = to явля-
ются абсолютно не физическими.
Физически значимой величиной является значение (250) в.момент вре-
мени t, спустя долгое время после to. Тогда атом «успокоится» до квазиста-
ционарного состояния из-за радиационного распада и мы можем ожидать,
что значение, которое мы найдем для (250), не будет зависеть от специ-
фически выбранного начального условия и будет правильным для атома,
который был возбужден каким-либо разумным способом до состояния Фо.
Проведем вычисления таким образом, чтобы включить эффекты излуче-
ния Н/ вплоть до второго порядка. Это значит, что мы включаем эффекты
только испускания и поглощения одного фотона. На самом деле, мы знаем
из физики, что эффекты от двух или более фотонов очень малы, поэтому
приближение является хорошим.
Предположим, что (t — to) довольно велико по сравнению со всеми
атомными частотами. Тогда решение (245), справедливое для первого по-
рядка по Н{, — это
(252)
члены, содержащие другие атомные состояния Фп
с присутствием двух или более фотонов.
Здесь a(t) = (Ф*Ф(4))— медленно меняющаяся амплитуда, являющаяся
константой для первого порядка по Hi, представляющая медленный рас-
пад атома. Заметим, что наше рассмотрение является не только корректной
теорией возмущений для второго порядка по Hi, но из нее можно посчитать
точно большие эффекты, вызываемые радиационным распадом за большие
промежутки времени. Поэтому мы не будем полагать a(t) = 1 в (252), хотя
это было бы правильно для первого порядка по Hi.
Если бы мы положили a(t) = 1 в (252), мы получили бы решение
только задачи радиационного излучения, пренебрегая всеми эффектами ра-
диационного воздействия на атом, которые мы получили ранее из (230).
Подставляя (252) в (250), получаем правильное, с точностью до вто-
рого порядка по Hi значение = ^(Ф*Ф(^), содержащее эффекты
излучения.
Следовательно, мы имеем
t
=	[ <йЧед(№(<)Фо}-
\tj dt	7ъ J
— оо
(253)
Используя (247), (221), получаем
t
/ dt' // d3rd3r'=
= ’ [%. [ л. [[ Мг’х
(2»)3Ьс/ 2|к| J JJ
— ОО
х exp{ik  (г - г') - гс|Л:|(t - t’)}	t'))00.	(254)
м
Обозначим атомные состояния индексом п, и пусть состояние п имеет энер-
гию Еп. Пусть
(255)
— это матричный элемент оператора
f j^r)e~ik r d3r	(256)
при переходе т —> п. Тогда для вычисления 0M(r, t)jli(r', t'))0O используем
процедуру умножение матриц
1 da 1 Г d3k Г .
-----=-----------/ т-r / dt 'х
a dt 16тг7гс J |fc| J
(257)
х ^exp | ^(i - t')(Eo — Еп — Пс|А:|)1 52 1-?м(П)0)|1 2>
п I	) п
где мы применили (248).
Как и раньше, сумма берется только по двум поперечным поляриза-
циям р, две другие взаимно уничтожают друг друга. Теперь мы должны
вычислить
t
[ егах dx = тг5(а) + — — 2тг<5+(а)	(258)
J	га
— оо
это определение <5+ функции. Таким образом,
1 da
a dt
Запишем
1	Г (fl к,
/ ЪТ Е °)|2М^ - Ео + hc\k\y (259)
8тг с J |«| "
1 da 1 г . „
----= —Г - -ДЕ.
a dt 2 h
(260)
Тогда ДЕ1 и Г — действительные константы, заданные формулами
ДЕ = - 1	[ — V	/261)
1б7г3с/ |fc| Е Еп -Ео + Пс\к\’	(	>
1 г z/3l,
г =	/ йт Е °)i2j(^ ~Е° + Пс^- <262>
8тг2cJ |fc|
Они являются не зависящими от t. Поэтому амплитуда состояния Фо в вол-
новой функции Ф(£) задается для всех t 3> t0 уравнением
a(t) = (Ф;Ф(0) = exp J -|ДЕ(1 - t0) - Jr(t - t0) 1 •	(263)
I Tl	I
Энергия состояния Фо изменяется на ДЕ1 в результате возмущения по-
лем излучения, и состояние распадается экспоненциально
|a(t)|2 =e-r(t-io).	(263а)
Сравнивая (232) и (262), мы видим, что Г — это полная вероятность излуче-
ния в единицу времени из состояния о во все другие состояния п, которую
мы считаем, пренебрегая реакцией на излучение. Это дает физическую ин-
терпретацию закона распада (263а). Когда знаменатели в выражении (261)
обращаются в ноль, интеграл по |fc| должен быть взят как главное значение
Коши. Сдвиг энергии на ДЕ —это то, что должно было получиться из эле-
ментарной теории возмущений с точностью до второго порядка, если пре-
небречь трудностями, возникающими в результате обнуления знаменателей.
Посчитаем спектр излучения, испущенного при переходе с уровня о
на уровень п, учитывая эффекты смещения уровней ДЕО и ДЕП, а также
уширения спектральных линий Го и Гп. Пусть bnk — амплитуда в момент
времени t такого состояния, когда атом, в свою очередь, находится в состо-
янии п и присутствует фотон с волновым вектором к. Уравнение движения
для bnk, включающее эффекты излучения из состояния п, — это
<76,, i	(1	i	)
—1 = --rn--AEnUnfc-
(tt	I 2	п	I
.	(264)
- Qexpj ^(E„ - Eo + 7ic|fc|)t >a(t),
где a(t) дается выражением (263). Следовательно, последний член пред-
ставляет эффекты переходов о —> п, a Q — пространственная часть матрич-
ного элемента Hf, которая не зависит от времени t и изменяется медленно
с волновым вектором к, так что мы можем рассматривать Q как константу
для всех значений к в пределах ширины линии. Экспоненциальный член —
это часть матричного элемента, зависящая от времени, экспонента пропор-
циональна разности между суммой энергий атома в состоянии п и фотона
и энергией атома в нулевом состоянии. Принимая для удобства t0 = О,
получаем решение (264)
bnk = A{exp(-/3t) - exp(-yt)},	(265)
применяя начальные условия Ьпк = 0 при t = 0. Здесь
/3 = |г„ + ~(Ео + ДЕ0 — En — 7ic|fc|),
z п
(266)
у = 1ГП + |ДЯП
п,
nA = Q/(0-y).
Вероятность, что атом покинет состояние п в результате радиационно-
го перехода в момент времени t, так что остается квант к, равна
rn|bnfc(t)|2.
Квант к остается от первого перехода о —> п. После того как атом совер-
шит второй переход к континууму возможных состояний, конечные состоя-
ния больше не будут когерентными, и поэтому кванты, оставшиеся позади
в различные моменты времени t, не будут интерферировать друг с другом.
Полная вероятность для испускания кванта частоты к в первом переходе —
это
P(fc) =r„|Q|2—Ц [ \e-^-e~^\2dt.	(267)
IZ? ~ 7Г J
о
Теперь
___i___ f Ig-/3* _ e~yt\2 dt =
IZ3-7I2/1	'
1	J 1	1	1	1	1	_
(/3 - y)(/3* -7*)	1/3 +/3*	+ 7 + 7*	+ /3 + 7*	+ /3* + 7	f
1 J 1	1 I _
/З-7 Ц7 + 7*)(/3*+7)	(/3 + /3*)(/3 + 7*) J
=________/3+/3*+7+7*__________= 1	Re(/3+7)________
(/3+/3*)(7+7*)(/3+7*)(/3+7*) 2 Re(/3) Re(7)|/3cst> +7*|2'	'
Следовательно,
P(fc)= |£|2Г° + Гта--------------------------—— ------------. (269)
Го (EO+AEO—En —&En-TiC|fc|)2+ln2(r0+rn)2
Эта формула для P(fe) дает естественную форму спектральной линии. Мак-
симум интенсивности соответствует
Лс|А:| = (£?о + А£?о) -	+ А£7П),	(270)
т. е. разности между энергиями двух уровней, включая радиационные сме-
щения уровней. Ширина в полумаксимуме
Л(ГО + Гп).	(271)
Точная сумма двух ширин уровней, задаваемых величинами, обратно про-
порциональным временам их жизни.
Эти формулы (270) и (271) являются важными в интерпретации со-
временных экспериментов по радиочастотной спектроскопии с их очень
точными измерениями формы и положения спектральных линий.
5.2.3. Вычисление смещения линий, перслятнвистская теория
Во всех атомных системах ширина линий конечна и легко вычисляется
из известных амплитуд переходов. Нерелятивистская теория достаточно ак-
куратна для всех этих целей. Определение смещения линии (261) —намно-
го сложнее, и перелятивистской теории оказывается недостаточно для того,
чтобы проделать это должным образом. Мы еще вычислим (261), исполь-
зуя нерелятивистскую теорию, чтобы увидеть, что она дает. Оказывается,
она дает много интересного.
Во-первых, в нерелятивистском подходе мы используем дипольное
приближение, которое мы также применяли для того чтобы вывести (234).
Предполагая, что атом содержит один электрон с массой т и зарядом — е,
мы получаем
.^(nO) = - — (pi)„o =	.	(272)
7/г	т \ J \ ох
Смещение линии (261) становится
= е27г Г o!3fc |(pi)no|2 + |(р2)по|2
16л3т2с J |fc| — Еп — Ео + Ъ.с\fc|
И, интегрируя по направлениям к, получаем (сравните с (238))
= 12731
О	71
Интеграл по |fc| теперь, очевидно, является расходящимся, даже перед сум-
мированием по п. Поэтому смещение линии — бесконечно. Когда исполь-
зуется полная релятивистская теория с позитронами, расходимость стано-
вится логарифмической, а не линейной, но это еще определенно расходи-
мость. В течение многих лет это было бедствием, которое разрушило всю
веру в теорию, и не находилось никакого способа избежать этой трудности
до 1947.
5.2.4. Идея перенормировки массы
Смещение линии (273) для свободного электрона с импульсом р также
является бесконечным. В этом случае р— диагональный оператор и сумма
по п сводится к члену п = 0. Поэтому
1	е2	/ 7	\
&EF = - — — [ d\k\ р2.	(274)
6л	тс	\ J	I
\о	/
Эффект радиационного взаимодействия дает свободному электрону лишь
дополнительную энергию, пропорциональную его кинетической энер-
гии (р2/2т). Так как теория в релятивистской области не верна, то огра-
ничим верхний предел интегрирования К ~ (тс/Ъ), тогда
6л2 he т
— малая поправка к кинетической энергии, которая получилась бы при уве-
личении массы покоя электрона от гп до (тп + 6т),
1 е2 7
5m = —— / d|fc|.	(275)
ЗтГ CZ J
о
Мы должны принять во внимание, что наблюдаемая масса покоя любого
электрона, связанного или свободного, не т, а (т + 6т). Поэтому в (273)
часть
бтг2 с2
(Р2)
(276)
выражает только влияние изменения массы 6т на кинетическую энергию
связанного электрона; эта часть уже включена в кинетическую энергию
электрона, когда мы берем в качестве массы в формуле (р2/2т) наблюдае-
мую массу (т + 6т). Следовательно, для того чтобы получить наблюдае-
мое смещение линии, мы должны вычесть из (273) часть (276). Вычитание
только устраняет ошибку, которая была сделана в определении массы т
«голого» электрона без электромагнитного взаимодействия с наблюдаемой
электронной массой.
Идея перенормировки массы состоит в том, что, хотя в описании ато-
ма в отсутствие поля излучения появляется «голая» масса т, все конечные
результаты теории должны зависеть только от физически наблюдаемой мас-
сы т + 6т. Эта идея принадлежит Крамерсу [16], была развита Бете {Phys.
Rev. ’ll (1947) 339).
Вычитание (276) из (273) дает физически наблюдаемое смещение ли-
нии
ДЕ =
е2 7э|1| V (Е-п-- Ео)\Рпо\2
6тг2т2с2 J	Еп — Ео + 7ic|fc|
о п
(277)
Расхождение при больших |fc| теперь только логарифмическое. Ограничи-
вая верхний предел интеграла значением
Пс\к\ = К,
где К — энергия порядка величины тс2, мы имеем
ДЕ =
е2	К
6тг2т2с3П ^Еп ~ Ео^Рп°\2106 Еп-Ео’
TL
(278)
вспоминая, что интегрирование по |fc| в (277) должно браться как главное
значение Коши, когда разность (Еп — Ео) отрицательна.
Из формулы (278) можно вычислить смещение линии для атома водо-
рода, как это было сделано Бете, Брауном и Стеном (Phys. Rev. 77 (1950)
370).
Поскольку для состояний п в нерелятивистской области log в (278)
будет довольно большим (~ 7), то удобно записать
£(Еп - Eo)|pn0|2 log |ЕП - Ео\ = j £(Я„ - £o)|pno|2 I log(E - Eo)av,
п	X Т1	)
(279)
это определение (Е — E0)av. Тогда (Е — E0)av — нерелятивистская энергия.
Точный расчет дает для 2s состояния атома водорода
(Е - E0)av = 16,6Ду.	(280)
Таким образом, важными являются переходы в такие состояния, которые
хотя и не являются релятивистскими, но представляют собой континуум
состояний с очень высоким возбуждением. Это удивительно.
Заметим, что в (278) все члены положительны, если Ео— энергия ос-
новного состояния. Для состояний с более высокой энергией будут присут-
ствовать оба вклада: как положительный, так и отрицательный. В частно-
сти, мы увидим, что для кулоновского потенциала положительные и отри-
цательные члены аннулируются почти точно, за исключением s состояний.
Это взаимное сокращение является более или менее случайным и, кажется,
не имеет глубокого смысла.
Теперь, используя правила суммирования
^(Дп-До)|рп0|2 = (р-[Н,р])О0,	(281)
п
где Н — гамильтониан для атома
1	1
H = ——p2 + V, V = —-------, [H,p]=ih(VV),	(282)
2m	4тг г
{р  [н,р])00 = h21	• (v-oW) dr =
= у • (V-OVV) dr + J  (v-;vv) dr} =
= у {21 ^OV2V dr + J V(Oo) • VVdT j =
+ 2 л	1
= V / ro^2V dr = -e2h2^M2,
£ J	£
(283)
где мы использовали, во-первых, векторную теорему Грина, во-вторых, тот
факт, что (р- [Н,р])оо — действительное число, и, в третьих, то, что V2V =
= е2<53(г) в единицах Хевисайда. Следовательно,
4 +
= 19 62 2 3 Ш0)\2^	-	=
127r2m2cJ	(Е — Eo)av
(284)
e47z	К ( 1/(тт3а3) для s состояний,
12тг2т2с3 (Е - E0)av 1 о	для других.
Сравним это выражение с (239). Оно отличается только тем, что вме-
сто log(\/RKh) теперь стоит log(A'/(£? - Eo)av). Низкочастотные фотоны
теперь были рассмотрены должным образом, а не просто оценены. Только
высокочастотный конец рассмотрен недостаточно аккуратно из-за неопре-
деленности величины обрезания К. Если положить К = тс2, то (284) дает
для лэмбовского смещения 2s —2р значение 1040 МГц. Замечательно близко
к экспериментальному значению 1062.
Успешное вычисление смещения линии показывает, что корректное
рассмотрение взаимодействия между электроном и электромагнитным по-
лем с помощью идеи перенормировки массы дает ощутимые результа-
ты, согласующиеся с экспериментом. Это вычисление может быть сдела-
но в рамках нерелятивистского подхода, потому что смещение линии — это
преимущественно низкочастотный, а не релятивистский эффект.
Существуют другие эффекты радиационного взаимодействия, особен-
но аномальное увеличение наблюдаемого магнитного момента электрона
в (1 + раз больше, чем величина, получаемая в теории Дирака, и эти
эффекты носят явно релятивистский характер. Для изучения этих эффектов
и для вычисления лэмбовского смещения без произвола в отсечении верх-
него предела интегрирования нам необходимо использовать полностью ре-
лятивистскую квантовую электродинамику, в которой и электроны, и элек-
тромагнитное поле рассматриваются с релятивистской точки зрения.
Поэтому мы должны вернуться назад на стр. 50, туда где мы оставили
теорию Дирака для электрона, и начать построение релятивистской тео-
рии поля для электронов и позитронов аналогично тому, как это сделано
в квантованной электродинамике.
5.3.	Полевая теория электрона Дирака без взаимодействия
Применим к уравнению Дирака метод квантования для антикомму-
тирующих полей. Причину, по которой мы должны сделать именно это,
а не использовать коммутирующие поля, мы поймем позже. Запишем
= (тс/К), т = масса электрона.
Лагранжиан
^fo = -Псф \ УУ'Ух-^— +М | V’-	(285)
дхх J
Заметим здесь множитель 7г. Это означает, что теория не имеет классиче-
ского предела в смысле принципа соответствия. В классическом пределе
только заряды и токи, составленные из многих частиц имеют какое-то зна-
чение; ф поле полностью исчезает из виду. Для того чтобы получить пра-
вильную размерность, мы должны подставить в (285) 7г, поскольку (V’VO
имеет размерность (1/объем), точно так же, как в 1-частичной теории Дира-
ка, для которой данная теория является обобщением. Уравнения поля
. I л
-----\-^Ф = О,
А дхх
+ И' = °.
А дхХ
(286)
Зарядово-сопряженное поле ф можно определить из
ф — Сф+,
согласно (51), и оно также удовлетворяет
(287)
5.3.1.	Ковариантные коммутационные правила
Продолжим рассмотрение электромагнитного поля. Возьмем две точ-
ки z и у, такие что zq > уо- Пусть
«»’=«»)», _ (288)
7?.(z) = иф(г) или ффгри.
Здесь и и v — спинорные операторы, не зависящие от у или z и антикомму-
тирующие в наших уравнениях со всеми операторами ф и ф, как мы пред-
положили в начале этого раздела. Например, возьмем и = ф(ги), где ги —
точка, лежащая далеко от световых конусов как у, так и z. Сделаем некото-
рые изменения в лагранжиане
= с54(а; - у)чр(у)и.	(289)
Множитель и нужно добавить, для того чтобы 6q^ стало билинейным вы-
ражением, это необходимо, чтобы можно было применить метод Пайерлса.
Фактически только билинейные выражения имеют физически наблюдаемое
значение, и ни при каких обстоятельствах не имеет смысла рассматривать
в полевых операторах линейный и билинейньш члены вместе.
Измененные полевые уравнения для тр и гр:
для гр — без изменения,
д	\	е 4	(290)
для^~ > 7а-л—+ М Г0 - ^<5 (я - У)и = 0.
дхх	/	пс
Таким образом, 8qiP(z) = 0 и e8Qip(z) удовлетворяет (290) (сравните
с (198)).
Следовательно, SqiP(z') определяется условиями
Ш - *)«,	(291)
^qV’(z) = Одля Z0 < Уо-
Из (291) 6qiP{z} — это с-числовой спинор. Запишем
<W(Z) = -^-Sr(z- у)и.	(292)
Тогда Sr(x') — это с-числовая дираковская матричная функция от х, удовле-
творяющая
, д \	.
+ м= ~6
(293)
SR(x) = Одля х0 < 0,
и понятно, что справа в (293) стоит 4x4 единичная матрица К.
Если 'll = ф(г)у, тогда 6ф = 0, как раньше. Если Т1 = уф(г), тогда
<W(y) = -~rvSA(z - у),
ПС
Sn^Hy) = О,
где SA (z) — матрица Дирака, удовлетворяющая соотношениям
I + N Sa(x) =
у— dx\ J
SA(x) = Одля хо > 0.
(294)
(295)
Наконец, если бы мы выбрали Q = йф(у), мы должны были иметь ^ф(г) =
= 0 таким же образом.
Следовательно, используя правила коммутации Пайерлса (194) вместе
с (292) и (294), находим
[уф(^,йф(у)] = [ф(г)у,ф(у)и] = 0,
[щф), ф(у)и] = —iv[SA(z - у) - ST(z - у)]и.
Эти соотношения выполняются для всех и и V, выбранных таким образом,
что они антикоммутируют со всеми операторами ф пф. Поэтому
S(x') = SA(x) - Sr(x),
(297)
мы можем записать коммутационные правила для компонент операторов:
{фа(г),ф0(у)} = {фа(.г),ф0(у)} = 0,
{фа(г),ф0(у)} = —iSap(z - у).
(298)
(299)
Из (293) и (295) следует, что инвариантная S-функция удовлетворяет урав-
нению
д	\
У 7>-д— S(x) = 0.
“ дхх	/
(300)
Не существует простой формулы для S-функции, аналогичной форму-
лам (261) и (265) для .D-функций, в координатном пространстве. Однако
в импульсных представлениях S-функции имеют простой вид.
5.3.2.	Импульсные представления
Запишем
Sr(i) = |	---/И Дя(®), Sa(x) = | 527ая---------М ) Аа(х),
dix J	dxx J
(301)
Тогда
(□2 - р^ДДх) = (П2 - р2)АДг) = -54(т),
(□2-p2)A(x)=0, А(Д = (Ад - Ад)(т),
с такими же граничными условиями, как и раньше. И A-функции являются
точными аналогами .D-функций, D-функции — особый случай при р. = 0.
Выполняя формальную замену к2 —+ к2 + р.2, вместо (207) мы имеем
ДДД = 7Л4 / Rik'xWT-2 (303)
(2л)4 J Аг + р2
где контур в А:о-плоскости проходит над двумя полюсами в точках ко =
= ±\/|А:|2 + р2. Аналогично для (208). И вместо (210) имеем
А(Д =	[ eik'x5(k2 + p2)e(fc) d4fc.	(304)
(2л)3 J
Следовательно, используя (301) и замечание (ПО), получаем
S(z) = —2- [ eik'x^ + iv)6(k2 + р2)е(А:) dtk. (305)
(2л)3 J
Обратим внимание на появляющийся здесь проективный оператор А+,
определяемый выражением (115) с импульсом р = tik. Таким образом,
S-функция автоматически различает между собой электронные состоя-
ния ко — + v/|fc|2 + р2 и позитронные к0 = — Д|А:|2 + р2.
5.3.3.	Фурье-аиализ операторов
Проанализируем -фа в Фурье-компонентах, записанных в достаточно
общем виде:
(306)
где, как в (211), множитель (/z2/(|fc|2 + /z2))1/4 только упрощает обозначе-
ния. Интегрирование ведется по всем 4-векгорам к с fco = + \/|fc|2 + Л2-
Для каждого к суммирование идет по двум спиновым состояния и,
удовлетворяющим, как следует из (111), уравнению
($ — z/z)u = 0,
(307)
а суммирование идет по двум спиновым состояниям и, удовлетворя-
ющим (из (112)) уравнению
($ + 1ц)и = 0,
(308)
нормировка дается выражениями (106) и (113). Операторы Ьки являются
не зависящими от а; и а, мы должны определить их свойства.
Для оператора, сопряженного с (306), имеем
/	2	\1/4 Г	)
^(х) = Q d3k( £	2	£ bkuuaeik'x + ^Ъ*кийае-^ .
J \|fcl	J
(309)
Здесь Ъ*ки эрмитово-сопряжены с Ъки, как обычно.
Вычисляя антикоммутаторы (298), (299) из (306) и (309) и сравнивая
результаты с интегралом по импульсу (305), используя (115) и свойства Л+,
мы имеем
{Ьки,Ьк'и} = {Ь'ки,Ь*к.и} = 0,	(310)
{Ьки,Ь*к'и} = б\к-к')5и1>	(311)
и мы находим, что константа Q в (306) и (309) дается выражением
Q = (27г)“3/2.
(312)
5.3.4.	Операторы рождения и уничтожения
Пусть
Ек = Йсу/lfcl2 + м2	(313)
— это энергия электрона или позитрона с импульсом Ъ,к. Применим та-
кие же аргументы, которые привели к (215) для электромагнитного поля.
Из них следует, что
Ьки Для электронных состояний и,
Ь*ки для позитронных состояний и
имеют матричные элементы только для переходов из начального состояния
с энергией в конечное состояние с энергией Е2, где
Ei - Е2 = Ек.	(314)
Ьки для позитронных состояний и,
Ьки для электронных состояний и
имеют матричные элементы, не равные нулю только тогда, когда
Е2-Е1= Ек.	(315)
Таким образом, мы видим, как и раньше, что поле обладает свойствами, ко-
торые мы требовали для квантованного поля. Энергия может переноситься
только дискретными порциями величины Ек для каждой частоты к. И энер-
гия может переноситься двумя видами возбуждения, которые мы назвали
электронами и позитронами, предвосхищая более поздние результаты тео-
рии. Мы уже видим, что эти два возбужденных состояния имеют свойства
частиц и что существует два вида частиц.
Операторы уничтожения — это
Ьки для электронов,
Ьки для позитронов.
Операторы рождения — это
Ьки для позитронов,
Ьки для электронов.
5.3.5.	Зарядово-симметричное представление
Для того чтобы привести всю теорию к виду, где существует пол-
ная симметрия между электронами и позитронами, используем зарядово-
сопряженное поле ф, определенное выражением (51). Эта симметрия в тео-
рии известна как симметрия заряда.
Пусть даны k и спинор и, удовлетворяющий (308), представляющие
позитронное состояние. Мы представим позитронное состояние альтерна-
тивным способом с помощью зарядово-сопряженного спинора
v = Си+,	(316)
который будет удовлетворять уравнению (307), как и для электронных со-
стояний. Обозначим
оператор уничтожения для позитронного состояния v. Тогда вместо (306),
(309) мы можем записать пары уравнений
0а (l) =
г / и2 \1/4 г	1
J \|fc|2 + M27	7^	j
(317)
Фа (®) —
(318)
Поля ф и ф являются, таким образом, полностью симметричными относи-
тельно позитронов и электронов; ф можно взять в качестве начальной точки
и вывести из него ф, так же просто сделать наоборот.
Коммутационные правила (311) принимают вид
{^u,^,u,} = 53(fc-fc')^,
{^,^} = 53(fc-fc')^',	(318а)
{^w,^u} = 0 ит.д,
они также симметричны относительно позитронов и электронов.
5.3.6.	Гамильтониан
Гамильтониан Н имеет такие же коммутационные соотношения с опе-
раторами рождения и уничтожения, как и для электромагнитного поля. Эти
правила прямо следуют из уравнений движения Гейзенберга для •фиф. Для
любого электронного состояния и или позитронного v
[bku, Н] = Ekbku,	\Ь%и, Н] = ЕкЬ°и,
Ku, Н] = —ЕкЬки,	[Ь^, Н] = -ЕкЬ*с.
Следовательно, Гамильтониан теории
(319)
(320)
как можно проверить сразу же путем подстановки в (319).
Дополнительная константа снова выбирается таким образом, чтобы (7У)О
математическое ожидание Н в состоянии вакуума было равно нулю. Это
устраняет возможность произвола дополнительной константы от Н.
В выражениях (317), (318) и (320) существует полная симметрия меж-
ду электронами и позитронами. В качестве фундаментальной частицы,
на основе которой строится теория, можно было бы взять вместо электрона
позитрон.
Но для практических вычислений мы обычно не будем пользоваться
выражениями (317), (318), (320). Обычно проще работать с несимметрич-
ной формой теории, с полями фиф.
5.3.7.	Неудача теории с коммутирующими полями
Предположим, мы берем теорию в этой самой точке, принимая, что
только ф и ф — коммутирующие обычным образом поля. Тогда для того
чтобы коммутировать со всеми ф и ф в соотношениях (296), мы долж-
ны взять и и v. Таким образом, (298) и (299) были бы верными только
если бы вместо антикоммутаторов везде стояли коммутаторы. Аналогич-
но для (310) и (311). Однако в этом симметричном представлении вме-
сто (318а) мы должны иметь
{bku,b*k,u,} = 83(к — k')6uu>,
{b^u,b^u,} = 63(k-k’)Svv>.
И тогда гамильтониан, который раньше задавался выражением (320), дол-
жен был стать
н = / d3kEk / £ bkubku + £ b*k^bg I.	(322)
\ u +	J
Таким образом, позитрон был бы действительно частицей с отрицательной
энергией, подобно отрицательной энергии электронов в одноэлектронной
теории. Это физически неприемлемо.
Итак, использование антикоммутирующих полей — единственная вещь,
которая дает нам надлежащую положительную энергию для позитронов.
Это разумно, потому что интуитивная дираковская теория дырок может
работать только на основании принципа исключения Паули, а принцип ис-
ключения Паули —это свойство антикоммутирующих полей.
5.3.8.	Принцип исключения
Возьмем некоторый оператор рождения bku. Как особый случай (310)
мы имеем тождество
b*kub*ku = 0.	(323)
При некотором заданном состоянии Ф результат рождения двух электронов
с частотой к и спином и в таком состоянии — это Ь£и6£иФ = 0. Таким
образом, не существует состояний, в которых два электрона имеют один
и тот же импульс и спин. Итак, принцип исключения Паули справедлив как
для электронов, так и для позитронов. Кроме того, электрон и позитрон
не исключают друг друга.
Очень большим успехом общей теории поля является то, что она дала
нам принцип Паули автоматически, а не как особую гипотезу, как в старой
частичной теории электронов.
Самое общее состояние полей описывается путем определения для
каждого электронного и позитронного состояния количества частиц, за-
нимающих его. Это число в каждом случае может принимать только два
значения: 0 и 1.
5.3.9.	Вакуумное состояние
Вакуумное состояние Фо определяется так:
ЬкиУо = 0 и, таким образом, Ф*Ьд.„ — 0 для электронных состояний и,
Ь£иФо = 0 и, таким образом, ^'Ьки = 0 для позитронных состояний и.
(323а)
Поэтому среднее по вакууму от произведения операторов рождения и уни-
чтожения дается выражением (311). Используя (323а), находим
(bkuibk'v) = {bku^bh'v} = о,
(Ьки, b*k,v) = Qu63(k - k')5uv,	(324)
{b*ku,bk>v) = (1 - Qu)<J3(fc - k')5uv,
где
q _ f = 1 Для электронных состояний и,
~и ~ 1 =0 для позитронных.
Следовательно, из (306) и (309) математическое ожидание (•0а(^)'0/з(у))° —
только часть антикоммутатора {фа(г), ф^у}}, содержащая положительные
частоты exp[zfc • (г — у)], где ко > 0. Таким образом, аналогично (221)
(^а(г)^(у))о = -iS+^z - у),	(325)
S+Or) = —L- [ eik'x^ + iy)6(k2 + /z2)0(fc) d4k, (326)
(2л)3 J
где
_f = +1 для х0 > 0,
~и ( = 0 для xq < 0,
записывая, как раньше,
S+ = |(S-zS(1)), S~ = |(S + iS(1)),	(327)
(1Мг/Ж(-г))о = ~iS~0(z - у),	(328)
{^a(z)^0(y)])o = -S(a^(z-y),	(329)
S^(x) =	[ eik'x(]k + z/z)5(fc2 + /?) d4k, (330)
(2л)3 J
S~(x) =------?— [ eik'x(& + in)5(k2 + M2)0(-*O d4k. (330a)
(2л)3 J
Эти результаты для теории Дирака без учета электромагнитного взаимодей-
ствия будут много раз использованы, когда мы перейдем к полной кванто-
вой электродинамике с квантованными полями Дирака и Максвелла. Тем
временем мы должны сказать немного о теории квантованных дираковских
частиц в заданном классическом электромагнитном поле.
5.4.	Теория поля электрона Дирака во внешнем поле
Лагранжиан	_
££ = ££D- zeiM'V-	(331)
Уравнения поля
{/ Q	\	|
52 7х I + -£~Ах I +/t I ф = 0,	(332)
\иХх TLC I I
52 I 7Г~ ~ ~rAe^ ) 7а ~иФ = 0.	(333)
“ у отд Tic у
Эти уравнения еще линейны, Л® являются заданными функциями положе-
ния. Это делает теорию пока еще простой.
5.4.1.	Ковариантные коммутационные правила
В силу линейности изменение Лф(г) в £ не меняет уравнения поля
для •ф(у)- Поэтому для любых двух пространственно-временных точек у
и z мы еще имеем, как в (298),
ЬЫ Д V’/jOj)} = {Фа(х), ф0(у)} = 0.	(334)
Вне этой точки можно сделать совсем немного в теории с произволь-
ными зависящими от времени потенциалами Л®. На практике, когда у нас
есть зависящие от времени потенциалы Л®, мы всегда используем теорию
возмущений, начиная с формализма свободного поля, принимая, что Л® —
малы, или используем специальные трюки для решения частных задач.
Важные практические случаи, в которых Л® не малые величины — это
всегда такие случаи, в которых Л® являются не зависящими от времени
в некоторой специальной системе Лоренца. Примеры: электроны, связан-
ные в атоме кулоновскими силами, электроны, движущиеся в постоянных
макроскопических электрических и магнитных полях.
Поэтому мы принимаем, что Л® = Л® (г) являются не зависящими
от времени. Мы также считаем, что Л® хорошо ведут себя с физической
точки зрения, так что стационарное уравнение на собственные значения
для с-числовой волновой функции Дирака ^>„(г)
[	3 / д \	1
Епфп = \ — еФ + —the—---------F еАе: I + mc2/3 > фп (335)
\ дх-j J
( j=i \ J /	1
имеет полный набор собственных функций V’n с собственными значени-
ями Еп; спектр может быть либо дискретным, либо непрерывным, либо
смешанным. Уравнение (335) получается из (332) подстановкой в него спе-
циальной функции
{Е I
-г-^t > .	(336)
7г I
Мы предполагаем далее, что потенциалы таковы, что собственные
функции -фп делятся точно на два класса: фп+ с положительными энергия-
ми Еп и ^>п_ с отрицательными энергиями Еп. Это справедливо для всех
потенциалов, имеющих физический смысл, хотя это было бы ошибочно для
кулоновского поля точечного ядра с зарядом Z > 137.
Не зависящие от времени потенциалы делают проблему существенно
нековариантной, и поэтому мы будем использовать не ковариантные обо-
значения при построении этой теории. Запишем уравнения в таком виде,
какой получился бы, если бы все уровни п являлись дискретными, т. е.
означает суммирование по дискретным уровням плюс интеграл по непре-
рывным уровням, нормированным подходящим образом. Сейчас нас в ос-
новном интересуют дискретные уровни, поэтому нам не нужно утруждать
себя написанием формул для точной нормировки непрерывных уровней.
Это явно делает картину проще, чем в теории для свободной частицы, где
нормирование непрерывных уровней было сделано аккуратно на каждой
стадии вычислений; простота очевидна, потому что мы будем игнориро-
вать сложности, возникающие из-за непрерывных уровней.
Общее решение уравнений поля (332):
__I
= ^bni/>n(r)ex.p <! ~i~^t
(337)
где Ьп — операторы, не зависящие от г и t, а Еп может быть как положи-
тельной, так и отрицательной.
Из (334) имеем
{bm, Ьп] — 0, {Ьт> Ьп} — О,
где — оператор, эрмитово-сопряженный с Ьт. Возьмем i[>n, нормирован-
ный таким образом, что
V'mWV'n(r)
Г inmi
(338)
т. е. обычным нековариантным способом. Заметим, особенно в (339), что
мы рассматриваем все уровни как если бы они были дискретными; это
можно сделать, например, заключив нашу полную систему в конечный объ-
ем (box).
Мы хотим найти правила антикоммутирования между ф пф* или меж-
ду Ьп и Ь^. Пусть мы добавляем к лагранжиану (331)
5_$?(г, t) = e6(t — 1о)ф*(г, to^n(.r)u,	(339)
где и — оператор, антикоммутирующий с ф и ф*, как в (288). Это видоиз-
меняет уравнение поля для ф, которое становится
{/ Q	\	I	£
У? 7а I	I + М ? V» =	- 1о)/3фп(г)и.	(340)
"	\ Ота	пс у	I	пс
Поэтому изменение 6ф, вызванное в ф добавкой 5С, удовлетворяет уравне-
нию (341) с начальным условием 6ф(т, t) = 0 для t < t0 (сравните с (198)
и (290)). Теперь решение (341), очевидно, будет иметь вид
5ф = а,(£)фп(г),	(341)
где a(t) — это функция только от t, поскольку правая сторона линейного
уравнения также имеет такую форму. Подставляя (342) в (341) и исполь-
зуя (335), мы имеем
— En^ a(t) = —e(t — to)u	(342)
и, следовательно,
ic	f	Е	1
6ф = —Q(t - to)V’n(r) exp < -i—-(t - t0) > u, (343)
n	I	n	I
как мы можем проверить, используя
d
—Q(t - t0) = 6(t - t0).
at
Интегрирование (340) по пространству-времени дает, как следует из (339),
сЦ	t) d3r dt = ecb*n exp^i-^to^u.	(344)
Для t > to (343)—это изменение, произведенное в 1р(г, t) добав-
кой (344) к интегралу действия. Следовательно, из коммутационных правил
Пайерлса, используя (193), (343) и (344),
f Еп 1
[Ь*и,^(гД)] = — ^п(г)ехр<
I ™ J
и поэтому
Г Еп 1
[i>;,^(r,t)] = ^„(г)ехр^-г—tk	(345)
I “ J
поскольку мы принимаем, что и антикоммутирует с ip. Время t0 больше
не появляется в (345), проверяя совместимость метода.
Умножая (345) на ^*(r') exp{-iEnt'/К} и суммируя по п, получим
{•0a(r,i),^(r',t')} = 52'0na(r)C/j(r)eXpj-i-^(t-O Г (346)
Это общее коммутационное правило, которое сводится к (299) в особом
случае свободных частиц.
Умножая (345) на V’mW и интегрируя по г, мы имеем
{ Ьт, Ь*} = Ьпт,	(347)
что идентично (311) в случае свободных частиц, когда нормировка прово-
дится подобающим образом.
5.4.2.	Гамильтониан
Как и раньше, Ьп+ — это операторы рождения для электронов, а 5*_ —
операторы рождения для позитронов, только электроны и позитроны опре-
делены связанными волновыми функциями. Вакуумное состояние Фо зада-
но выражением
Ь„+ = Фо = О, Ь*_ = Фо = 0.	(348)
Для того чтобы коррекпю коммутировать с Ьп и 5*, а также для того чтобы
среднее по вакууме было равно нулю, выражение полный гамильтониан
системы имеет вид
= 52 E^bnbn - 52Enbnb" =	(349)
п+	п —
= ^ЕпЬ*пЬп + ^\Еп\ЬпЬ*п.	(350)
??+	п —
Из вида этого гамильтониана очевидно, что система представляет со-
бой суперпозицию невзаимодействующих состояний частиц. В каждом со-
стоянии существует число частиц, задаваемое выражениями
Nn = b*nbn для электронных состояний,
Nn = bnb*n для позитронных состояний.
Из коммутационных правил (338) и (347)
N* = Nn.
(351)
Поэтому каждый оператор Nn имеет два собственных значения: 0, 1. Это
правильно описывает физическую ситуацию в многоэлектронном атоме, где
каждый атомный уровень может быть заполненным или пустым, независи-
мо от других.
Если каждое N представляется диагональной матрицей (2 х 2)
/О 0\
\° V ’
тогда мы имеем
Ьп+
О 0\
О 1J ’
о 1\
О о) 
(352)
(353)
Это дает явное матричное представление для операторов. Каждое состо-
яние п имеет свой собственный двузначный индекс ряда и столбца. Так,
для атома с М уровнями все операторы вместе могут быть представле-
ны (2Л'; х 2л;) матрицами.
Раз мы имеем гамильтониан (350) и стационарные состояния -фп,
то теория многоэлектронных систем является полностью завершенной.
Мы видим, что уровни атома водорода, которые дает одноэлектронная тео-
рия Дирака, совпадают с уровнями, полученными с помощью этой много-
электронной теории. Только теперь Гамильтониан (350) имеет положитель-
ные собственные значения, состояния с отрицательными энергиями не до-
ставляют нам беспокойства. Позитроны появляются с положительной энер-
гией, так что все результаты теории Дирака получаются просто и автома-
тически.
5.4.3.	Антисимметрия состояний
Нам известно, что в элементарной квантовой теории многоэлектрон-
ных систем мы должны представлять волновые функции системы детер-
минантами одночастичных волновых функций, чтобы в системе координат
частицы волновые функции всегда были антисимметричными. Нам боль-
ше не надо будет делать какой-то произвольный выбор волновых функций
в теории поля, все результаты антисимметрии получаются в этой теории
автоматически.
Например, рассмотрим атом с двумя электронами в состояниях ipi
и ip2, а все другие состояния пустые. Тогда состояние системы задается
уравнением
Ф = ^Ф0,	(354)
где Фо — это вакуумное состояние. В (354) нет произвола; перестановка
индексов 1 и 2 будет менять только Ф на — Ф, что не означает никаких
физических изменений. Теперь рассмотрим двухчастичный оператор взаи-
модействия
V = j УУ d3ri d3r2{ip*(ri)i^(r1)}V(ri - Г2){^*(г2)^(г2)}-	(355)
Например, V может быть кулоновским потенциалом между двумя электро-
нами, который не включен в лагранжиан (331). Коэффициент | появляется
для того, чтобы посчитать каждую пару точек п, г2 только один раз. Вы-
числим матричный элемент потенциала V для перехода из состояния Ф
в состояние
ф' = ьда0)
где 2 электрона находятся в двух других состояниях и Этот матрич-
ный элемент
м = (ф5,ь3ь4^ь;фо).	(356)
Раскладывая V из (337) в сумму произведений Ьп и 5*, получаем, что
вклад в (356) будет появляться только от 4 членов в V, пропорциональ-
но bibzbabt. Применяя антикоммутационные правила, получим
(Ф'*,Ь1Ь2^^Ф) = -1,
(Ф'*, Ь^г^ЬдЬзФ) = 1 ит. д.
Следовательно, сложение 4 членов
(357)
уУ d3n d3V(n - Г2){{^з(Г1)^1(п)}{^(^2)^2(г2)}-
- {^пЖ(п)}Ж(П2)^21(г2)}}
(358)
— это точный результат, прямое отрицательное обменное взаимодействие,
который был бы получен при использовании антисимметризованных вол-
новых функций.
Эта теория поля дает в полной мере Ферми-статистику для электронов.
И мы могли бы показать таким же способом, что она дает Бозе-статистику
для фотонов.
5.4.4.	Поляризация вакуума
Из-за возможности возбуждения вакуума в результате образования
электрон-позитронной пары поведение его похоже на диэлектрик, как
и у твердого тела, вакуум имеет диэлектрические свойства, благодаря спо-
собности его атомов переходить в возбужденные состояния под действием
электромагнитного излучения. Этот эффект не зависит от квантования элек-
тромагнитного поля, поэтому мы можем вычислить его, используя класси-
ческие поля.
Подобно твердому диэлектрику, вакуум является нелинейным и обла-
дает дисперсией, т. е. диэлектрическая константа зависит от интенсивности
поля и частоты. И для достаточно высоких частот и интенсивности поля
он имеет комплексную диэлектрическую константу, это означает, что ваку-
ум может поглощать энергию из электромагнитного поля, создавая реаль-
ные пары.
Посчитаем диэлектрическую константу только в линейной области,
т. е. рассматривая слабые поля. Критическое поле для этой задачи —
т2с3 В	h „	,	,
Ес =------~ 1016— (из еЕ  — ~ тс2),	(359)
eh	см	тс '	k ’
и фактически линейная теория является достаточно хорошей почти для всех
задач. Важный случай, когда эта теория не достаточно хороша,— это рас-
пространение фотона через интенсивное кулоновское поле вокруг тяжелого
ядра, такого как свинец. Тогда, в силу нелинейности, происходит рассеяние
фотонов, которое мало, но было зарегистрировано экспериментально Виль-
соном. [15]
Мы посчитаем эффекты дисперсии точно, т. е. без ограничения на ча-
стоту. Поскольку мы используем линейное приближение, электромагнитное
поле можно рассматривать как заданное потенциалом плоской волны, ам-
плитуда которой медленно возрастает со временем
Л® (х) = ем exp{ig • х + 5охо}.
(360)
Здесь е и q заданные векторы, <5О — маленькое положительное число.
Эта экспоненциально возрастающая амплитуда введена так, что потенци-
ал эффективно действует только в течение конечного времени перед
любым заданным моментом времени, в котором могут быть сделаны на-
блюдения. Это позволяет нам определить начальные условия задачи одно-
значно. В конце вычислений мы перейдем к пределу 60 = 0.
Поляризация вакуума—это воздействие флуктуаций квантованного
электрон-позитронного поля на данное электромагнитное поле. Лэмбов-
ский сдвиг — это воздействие флуктуаций квантованного электромагнитно-
го поля на данный электрон. Эти два эффекта являются прямо противо-
положными друг другу, роли двух полей взаимно меняются. Таким обра-
зом, мы можем рассматривать поляризацию вакуума подходящим образом,
используя одну теорию квантованного электронного поля. Такое рассмот-
рение будет релятивистским и поэтому более корректным, чем данное для
лэмбовского сдвига. Позже, для того чтобы получить полную теорию обоих
эффектов, мы проквантуем оба поля вместе и рассмотрим реакцию одного
на другое.
Исторически собственная энергия электрона (лэмбовский сдвиг) и по-
ляризация вакуума были двумя проблемами, об которые теория разбива-
лась вследствие расходимостей. Швингер показал, что поляризацию вакуу-
ма можно вычислить и она будет конечна, если использовать ту же самую
идею перенормировки, которая сделала конечным лэмбовский сдвиг.
Оператор поля электрона фи в поле (360) удовлетворяет (332).
Здесь фц — оператор в представлении Гейзенберга. Теперь решение (332),
корректное для первого порядка по А^, это
фц(х') =	+ — [ йх'8п(х — х')Ас(х,')'ф(х').	(361)
Tic ./
Здесь Sr задано выражениями (293), (301) и (303), а ф(х)— это решение
уравнения свободного поля (286). Фактически ф(х) — это полевой опера-
тор в представлении взаимодействия, когда эффекты от Atl представлены
в волновой функции, а не в операторах. Использование запаздывающего
потенциала в (361) означает, что невозмущенные состояния определяются
в прошлом, как начальные состояния, на которые позже воздействует Л®.
Таким образом, вакуумное состояние, определенное выражением (323а),—
это состояние, в котором первоначально отсутствуют и электроны, и пози-
троны. Это состояние, которое мы хотим изучить, и мы назовем его Фо.
При использовании операторов в представлении взаимодействия ф(х')
Ф„ является вакуумным состоянием и остается таковым в течение всего
времени; физическое состояние —это первоначально Фо, но оно не остает-
ся Фо в дальнейшем. При использовании операторов Гейзенберга V»h(z) Фо
является физическим состоянием в течение всего времени; оно первона-
чально является вакуумным состоянием, но не остается таковым в течение
всего времени. В отдаленном прошлом при х0 —> —оо, из-за того что Sr
является запаздывающим потенциалом, ip/rt.x') и ip(x) совпадают.
Выражение (361) является полезным, потому что мы знаем, как посчи-
тать матричные элементы для il>(x) из состояния Фо, тогда как матричные
элементы для V’h не имеют такой простой формы. Нам также необходимо
сопряженное уравнение
‘Фн(х') = 1/>(гс) Ч-/ di'^x'^etz'^SAix'— х),	(362)
пс J
где 5д(а:) дается выражением (295).
Полный оператор тока в первом порядке по —это
= -iecTpH(xy^H(x) =
е2 Г _
=	+ — J dix'{^(x)^SR(x-x')A\x')ip(x')+	(363)
Ч- il}(x')jfie(x')SA{x' - x)7M^>(x)}.
Здесь	_
j^x) = -iec^(z)7M^(a;)	(364)
— это оператор тока в представлении взаимодействия. Математическое ожи-
дание по вакууму
(Ф^(^)Фо) = (jM(z))o =
=-гес(	ч
/о	(365)
= —гес ^2('7р.)0а{ф0(х)’фа(х))о
а,/з
дается выражением (328)
0’M(z))o = -ecTr{7MS"(0)} =
= (^з/ dW2 + M2)9(-A:)TY{7M^-V]}=	(366)
= ^уз/ ^W2 + m2)0(-%
Это сильно расходящийся интеграл, и он является математически бессмыс-
ленным. Это одна из трудностей теории, о которой можно долго спорить.
Однако нет никаких сомнений в том, что правильные физические ре-
зультаты получаются, если просто положить (jM(x))o = 0. Существуют две
хорошие причины сделать это.
1.	Физическая. Из экспериментов известно, что (jM(x))o, являясь ма-
тематическим ожиданием от величины тока заряженных частиц в вакууме
в отсутствие всех внешних полей, равно нулю. Поэтому, если мы вычисли-
ли (.7/<(-г’))о и нашли, что эта величина не равна нулю, мы просто должны
определить оператор тока равным — {j^o- При таком определении это
математическое ожидание становится равным нулю автоматически.
2.	Математическая. Как мы посчитали,	является вектором,
каждая компонента которого —это число, не зависящее от системы коор-
динат. Не существует такого вектора, который является инвариантом при
преобразованиях Лоренца, кроме нулевого. Следовательно, (ijA1(x))o = 0 —
это единственное предположение, которое мы можем сделать, чтобы сохра-
нить теорию инвариантной.
Это простой пример метода, который должен часто применяться
в квантовой электродинамике. Когда вычисления приводят к расходящему-
ся интегралу или математически неопределенному выражению, мы исполь-
зуем физические аргументы или требование лоренцевской инвариантности
для нахождения определенного значения величины, которую мы не име-
ем возможности вычислить. Эго причина большого успеха ковариантной
формулировки электродинамики, представленной Швингером.
Итак, используя этот принцип, из (328) имеем
?е2 Г
=	d4x'Tr{/e(x')S~(x'-x)ytlSR(x-x')+
II J	(vb7)
+ /'''(x')Sa(.t' - a;)7MS_(rc - z')}.
Мы используем импульсное представление (303) для SR. Но вместо взя-
тия контура интегрирования вдоль действительной оси для ко мы можем
использовать путь интегрирования вдоль прямой линии, параллельной дей-
ствительной оси и находящейся выше нее на расстоянии 6О. Это дает им-
пульсное представление
e-£l‘SR(x) = —[ eikx -+^2-d4k, (368)
V (2тг)4 ./ (fc + id)2 + fi2	V 7
где <5o — некоторое действительное положительное число, d — вектор с ком-
понентами (0, 0. О, rt'd) и интегрирование вдоль действительной оси. По-
люса из (368) в Ao-плоскости перемещены далеко от действительной оси
и поэтому подынтегральное выражение свободно от сингулярностей на пу-
ти интегрирования. Аналогично
e+s°SA(x) =
_______ / pik-x
(27Г)4 J
ft-if + ip .
(к — i6}2 + p2
(369)
Используя (368) и (369), мы обычно будем устремлять <5q —> 0 после взя-
тия интеграла, так что множители, обеспечивающие сходимость интегра-
ла е±|5оа:о будут стремиться к 1 для всех конечных х.
Таким образом, импульсное представление для (367) будет
0м(а:))о = У d4x' Ц (fki d4fc2x
х expfig • x' + i(fci — fc2) • (x' — x) + <5оге0} x
x | Tr{/(/(j +	+ if +	+
I	(fc2 + id}2 + p2
,	t , • x HL , • M +M2)9(-fe) 1
+ Tr {/(£1 - if + гр}^(к2 + гр}} —------—7-—— >
(A;i - гб}2 + p2 J
Интегрирование по x' сразу же дает (2тг)4с54(fci — fc2 + q). Следовательно,
P2
0-я(1»’ = -(2^£<’	"”X
x I d4fc^Tr{/(^ + ip}^(l/t + $ + if + ip}}*
X rr-fcj-+^ -П2 ,fcl2 + 'Wt# ~^ +	t + M} X
(к + q + гбу + p2
v ^{(fc2 + g)2 + M2}Q(-fc-g)]	,
(fc - i6}2 + p2 J’	(
Теперь рассмотрим функцию
1
Fp(fc) = Tr{/(# + ip}y^ + <$ + if + гр}} 2	2	—	2	2 •
(fc2 + p2}[(k + q + id}2 + p2]
(371)
Она имеет полюса в 4 точках на плоскости ко
ко = ±\/|fc|2 + fi2 ко = —Qo - iSo ± л/|Л: + <?|2 4- д2.	(372)
Интеграл в выражении (370) — это просто сумма вычетов в двух точках
к0 = -\/|fc|2 + Д2 к0 = -qo - г60 - у/\к 4- <?|2 4- д2.	(373)
Q к0 = —q - г<5 - \/|fc 4- <?|2 4- ц2,
Q к0 = -q - i6 + у/\к 4- <?|2 4- ц2,
Следовательно,
Q ко = - л/|Л: 4-q|2 4-м2
Q fc0 = 4- \/]fc + Ql2 + М2-
ге2	Г
(мй), = 7^T^'X+Sox° / F„(k)dk,
(2л) Ti	J
c
(374)
где fc означает интеграл по контуру в плоскости ко, как показано на диа-
грамме, где контур интегрирования проходит от —оо до 4-оо ниже двух по-
люсов (373) и выше двух других полюсов, включая верхнюю полуокруж-
ность fco-плоскости на бесконечности. Пока 6q > 0, полюса всегда явно
отделены друг от друга. Итак, реальные вычисления начинаются с этого
интеграла (374). Это будет типично для всех вычислений, которые должны
быть сделаны в квантовой электродинамике, использующей современные
методы.
5.4.5. Вычисление импульсных интегралов
Запишем = Jc F^k'jdk. Тогда Jv— векторная функция от перемен-
ных ц (масса электрона) и
Q = q 4- гб.	(375)
Л, является, конечно, аналитической функцией от //, если 5q > 0, и она
является аналитической функцией от Q, если // — достаточно большая для
того, чтобы полюса (373) всегда лежали слева от мнимой оси, а два других
полюса (372) — справа. Следовательно, мы можем посчитать Jv для боль-
ших значений // и <5 = О, так что Q = q.
Для того чтобы упростить (371), возьмем <5 = 0 и используем формулу
Фейнмана {Phys. Rev. 76 (1949) 785)
1
Tb = l dZ[az + b(l-z)]2’	(376)
которую мы можем получить сразу из определенного интеграла по удален-
ной гиперсфере.
Следовательно,
1
J" = / dz / dkTrWH + (К + ц + ад)	=
О с
1
= J dz J &Tr{/($ - z$ + гд)7г(^ + (1 - z)^ + г//)}х
о с
1
Х {к2 + д2 + (z - z2)g2}2
(377)
На последнем шаге была сделана замена переменных к на {к — zg). Снова
в (377) полюса на fco-плоскости для каждого z хорошо разделены мнимой
осью, т. к. у, большое. Вычисленный шпур и отброшенные члены являются
четными по к, и, используя (33), Тгуу = 0, Тг7мад = 4<5М^, получаем
dk х
J, = 4 j dz j
0 c
e„{-k2 - fi2 + (z - z2)g2) + 2(e • k'jk» - 2(z - z2)(e • q)qv
. toro;
{k2 + fi2 + {z-z2)q2}2
Четные члены исчезают, потому что мы можем произвести интегрирова-
ние по ко непосредственно вдоль мнимой оси от -гоо до гоо. Из тех же
соображений симметрии мы можем заменить
е-ккцНа -k2ev, потому что е-кки, = e\k\kv —> evkvkv —> -evk2,
x	4
в числителе, и окончательно получим
. _. / , f ^{-Ifc2 -/z2 + (z - z2)g2} - 2(z - z2)(e  д)^
" J J	{fe2 + M2 + (z-z2)g2}2
о с
(379)
Этот интеграл все еще является сильно расходящимся. Поэтому
мы снова используем физические аргументы, для того чтобы дать опреде-
ленную оценку самой сильно расходящейся его части. Для оператора тока
как в представлении взаимодействия, так и в представлении Гейзенберга
должно тождественно выполняться соотношение
dxv
(380)
Следовательно, (374) дает (поскольку мы принимаем <5 = 0)
(381)
что дает соотношение
/• г ~к2 - р2 - (z - z2)q2
I dz I dk-------------------------= 0.
J	J	{к2 + /г2 + (z - z2)g2}2
0	c
(382)
Уравнение (382) говорит нам, что расходящееся выражение, появляющееся
в (379) должно быть равно нулю, для того чтобы оно имело физический
смысл. Мы остаемся с
1
/г	dk
dz(z — z ) /	212'	(383)
J {к2 + ц2 + (z - z2)q2}2
Для любого положительного Л интеграл
(384)
является сходящимся и его можно вычислить интегрируя по ко по мнимой
оси от —гоо до +гоо. Это дает (смотрите приложение ниже)
— • Г Г Г f	2 • Г к3 dk
J J J J (к2 + к2 + kl+ko + Л)3 J (к2 + Л)3
оо	0	<385)
□ Г xdx	тт2г
- тт2г / -------- = —
J (х + Л)3	2Л
о
Следовательно, интегрирование относительно Л
Idk{(fc2 + л)2 ~ (fc2 + M2)2} = 10g (д') '	(386)
с 4	}	х '
Этот интеграл также является сходящимся. Однако
Г dk
J (k2+fi2)2
с
он логарифмически расходится при больших к. Его значение:
2гтг2 log (	] = 2гтг2/?,	(387)
\ м /
где R — логарифмический множитель и он не зависит от q.
Используя (386) и (387) в (383) при Л = /z2 + (z — z2)q2, мы получаем
Л = 8ir2i(q2ei, — е  qqv~)
1
-7?-У dz(z — z2) log
о
(z - z2)q2
1 + ~----
М
(388)
Это аналитическая формула для справедлива для больших ц, в этом
случае логарифм является действительным числом. Найдем аналитическое
продолжение для малых ц, заменив q в (388) на (д + г<5) и полагая <50 малой
и положительной величиной. Тогда q2 становится q2 — 2idqo и логарифм
принимает вид
log
о
+ ч
-?7Гб((?о)
для
для
(Z - г2)д2
м2
(z - z2)q2

Записывая z для 4(z — z2) и используя (374), переходим к пределу <50 = О
и находим10
- е • qq»)etgxx
2тгй
13 J у/1 — z
о
-4/z2/?2
гтг , Г zdi
zg2
log * 1 + Т"2 +
4ц2
(389)
о
последний член равен нулю во всех случаях, кроме
q2 < -4ц.
(390)
Теперь внешний потенциал А® (х) ассоциируется с плотностью «сторонне-
го» тока
92
^е(^) = -с^2	=
=	Л'(х)" д^А‘х^ =
= c{q2e„ — е  дд„}егдх.
Следовательно, (389) дает окончательный результат с а =
(в единицах Хевисайда)
(391)
е2
4тгНс
(jvH (ztyo
2
—R-
Зтг
1
Г zdz
J \/1 — Z
о
-4/z2/?2
Г zdz 1
J х/1 — z)
о
ZQ2
log 1 + Т~2 +
4ц2
(392)
|0Обратим внимание, что замену переменных сделать легче, если сначала заметить, что
1	1/2
У dz(z — z2)/(z — z2) = 2 У dz(z — z2)f(z — z2),
о	о
поскольку выражение (z — z2) симметрично no z =
Приложение.
Элемент четырехмерного объема —это (смотрите (385)) «/£1б2£2с!£зс!61 =
=2тг2г3б/г в четырехмерных полярных координатах. Для того чтобы пока-
зать это, мы обозначим поверхность р-мерной единичной сферы как То-
гда поверхность р-мерной сферы радиуса R — это Яр-1ш и, следовательно,
элемент объема в полярной системе координат —это coRp~1dR.
Для вычисления значения и) мы посчитаем р-мерный интеграл Лапласа
в декартовой и полярной системах координат. Мы имеем
i=l ,
С другой стороны,
,	7.^^,	Г(р/2)
J = и> I е р (Г ар = ш,
о
и, сравнивая, получаем
2тгр/2
“'О
Для р = 4 мы имеем Г(2) = 1,	= 2тг2. Для р = 3 имеем Г(|) =
2тг3/2 л
ш = = 47ГИТ-д-
5.4.6.	Физический смысл поляризации вакуума
Обсудим различные физические эффекты, появляющиеся из вычисле-
ния
{jvH (а-))о-
I.	Результат является полностью калибровочно-инвариантным. Это
можно увидеть сразу из (391): если к А^ добавить градиент дК/дху, это
не меняет j„E-
2.	Если бы мы не применили соотношение (382) для упрощения (379),
мы должны были бы иметь добавку к 0’1/н(х))о вида K'ev = KAev(x)
(см. (360)), где К — неопределенный числовой множитель, который содер-
жит расходящийся интеграл, стоящий в левой части выражения (382). Ина-
че говоря, индуцированный ток пропорционален индуцирующему потен-
циалу. Это нарушило бы калибровочную инвариантность результата, ес-
ли бы К ± 0. Поэтому мы можем применить физическое требование ка-
либровочной инвариантности результата, для того чтобы приравнять нулю
неопределенный коэффициент К.
3.	Плотность энергии вакуума, появляющаяся из-за поляризации по-
тенциалами А„(х),
d(z) = ~Yc	(393)
Таким образом, член КАЦх) дал бы плотность энергии
(394)
2с £'
и
связанную с электромагнитами потенциалами. Это дало бы фотону конеч-
ную массу покоя, и по этой причине К часто соотносят с «собственной
энергией фотона». Существует много дискуссий в литературе по поводу
собственной энергии фотона. Но поскольку физические аргументы приво-
дят пас к тому, чтобы придать К значение ноль, у нас нет иного выбо-
ра, кроме как сказать, что собственная энергия фотона также равна нулю.
Это результат, который должна дать любая согласованная теория электро-
динамики.
4.	Логарифмическая расходимость R — это действительно расходи-
мость, и се равенство нулю не следует из физических аргументов. Однако
опа даст только, что индуцированный заряд точно пропорционален инду-
цирующему стороннему заряду. Но никогда невозможно экспериментально
отделить сторонний заряд от пропорционально индуцированного заряда.
Поэтому во всех измерениях стороннего заряда измеренный заряд будет
не а
/ 2а \
= 1 - — R МнгСг),	(395)
\ /
jvn, где подразумевается «перенормированный заряд». Таким образом, эф-
фект от присутствия члена R. в (392) состоит только в изменении единицы
измерения стороннего заряда. Запишем результаты в терминах наблюда-
емого стороннего заряда j^n вместо ненаблюдаемого это изменение
единиц 1имерения называется «перенормировка заряда». Заметим сходство
между перенормировкой заряда и массы. В обоих случаях признается, что
расходимость не порождает наблюдаемых явлений, потому что она изменя-
ет Inal.ко значение одной из фунда.ме1па.пы1ых констант, в одном случае —
массу электрона m, а в другом — единицу заряда е. Поскольку т и е — это
величины, которые наблюдаются непосредственно, эффекты расходимости
соответственно исчезают, когда мы записываем результаты в терминах на-
блюдаемых т и е. Таким образом, (392) становится
1
1 Г zdz
о
( zdz \
zq2
4fj,2
(396)
о
Все величины здесь теперь конечны и наблюдаемы.
5.	Когда Л^т)— потенциал только поля излучения без источников,
= 0, и поэтому поляризация отсутствует. Таким образом, для каждого
фотона или свободно распространяющейся волны вакуум ведет себя дей-
ствительно как вакуум, не существует диэлектрических эффектов какого-
либо вида. Это согласуется с имеющей здравый смысл идеей вакуума. Этот
результат, однако, справедлив только до тех пор, пока поляризацию можно
считать линейной, если бы были включены нелинейные эффекты, тогда два
луча света, пересекающиеся в одной области, порождали бы поляризаци-
онный ток, приводящий к появлению «рассеяния света на свете». Сечение
рассеяния света на свете было вычислено и оказалось, что оно пе равно
нулю, но очень мало для наблюдения.
6.	Индуцированный ток (396) состоит из двух слагаемых, первое сла-
гаемое находится в фазе с потенциалом А^(т), а второе сдвинуто по фазе
на тг/2. Рассматривая вакуум как электрический контур, возбуждаемый по-
тенциалом Де(т), первое слагаемое можно считать индуктивностью, а вто-
рое—сопротивлением. Поэтому только второй член дает поглощение энер-
гии из внешнего электромагнитного поля вакуумом.
Рассмотрим энергетический баланс, помня, что потенциалы А))(а;),
описывающие классическое электромагнитное поле, всегда должны быть
действительными величинами типа
Аеи (т) = еи cos(g • х).
(397)
И мы считаем, без потери общности, что до — положительная величина.
Тогда, принимая eq = 0, из (396) получаем
= e„{Acos(q  .т) + Bsin(q • ,т)},
(398)
где Л и В — действительные и
-4М2/,2
B = W / -^=.	(399)
4 J V1 — z
о
Энергия, передаваемая вакууму в единице объема и в единицу времени при
взаимодействии с электромагнитным полем — это
n	/ w 9Af,(x)
Е ~~с	fa ~
"	(400)
= — qo	sin(g • х) cos(g • х) + В sin2(g • z)].
Из (400) видим, что ток, совпадающий по фазе, не дает поглощения энер-
гии, тогда как не совпадающий по фазе ток дает среднюю энергию, пере-
данную в единицу времени

Е = -|?ое2-В =
2 2
acezqzqQ
8
(401)
Если q не удовлетворяет (390), т. е. если
9о < V^2 + М2,
(402)
тогда В = 0иВ = 0и недостаточно энергии колебаний поля для созда-
ния реальной электрон-позитронной пары, одна только масса покоя которой
требует энергии 2тс2, кроме того, поле привносит во взаимодействие им-
пульс Нк вместе с энергией Ticqo.
Однако если (390) выполняется, то достаточно энергии для создания
реальной пары, каждая пара уносит энергию Ticqo. Поскольку q — времени
подобный вектор, а е • q = 0, то е пространственно-подобный и (е2) > 0.
Это можно увидеть из следующего:
e-q = 0 = e- q- eoqo.
Так как q — времени-подобный вектор, мы можем использовать преобразо-
вание Лоренца, которое дает q = 0; тогда, конечно, д0 0. Но должно
быть_ео = 0, что означает, что е является пространственно-подобным. То-
гда Е > 0, проверяя, что потенциалы никогда не извлекают энергию из ва-
куума. И вероятность на единицу объема и в единицу времени того, что
потенциал (397) создаст реальную пару,
Е о.’(е2)(<72) Г zdz
Ticq0 87i J y/1- z'
(403)
Этот результат можно было бы получить проще элементарными метода-
ми. Я хочу подчеркнуть, что элементарные процессы создания пары обя-
зательно связаны с менее элементарным эффектом поляризации вакуума,
описываемым членом А в (398), и член А будет существовать независимо
от возможности рождения реальной электрон-позитронной пары во внеш-
нем электромагнитном поле. Ситуация вполне аналогична связыванию эле-
ментарного эффекта уширения линии в спектре атома с менее элементар-
ным сдвигом линии, мы обсуждали эти эффекты детально раньше. Поэтому
у нас есть достаточно веские основания принимать всерьез эффект поляри-
зации (вызываемой током) вакуума, совпадающим по фазе с потенциалом
в (396), так же как мы должны принимать всерьез лэмбовский сдвиг сам
по себе. Из-за того что физики не желали принимать всерьез эти два эф-
фекта, физика задержалась в своем развитии на много лет.
5.4.7.	Поляризация вакуума для медленно меняющихся слабых полей.
Эффект Уэхлннга
Пусть теперь внешний потенциал Д®(.т) не только является слабым,
но также медленно меняющимся как в пространстве, так и во времени, т. е.
пусть он будет суперпозицией Фурье-компонент (360) с
k2|«/z2-	(404)
Тогда из (390) второй член в уравнении (396) равен нулю и можно раз-
ложить логарифм в ряд по (q2//!2). Оставляя только члены порядка q2,
получаем
-4д2/q~
fl \\	\ f ZdZ	\
= а ——^jvE{x)	/	-----= ——а;).
16тг/12	J v'l - z 157Г/2
о
Но каждая компонента Фурье тока juE(x), на который действует оператор
Даламбера П2, имеет множитель (—q2). Следовательно, результат, незави-
симый от разложения Фурье, справедливый для медленно меняющихся по-
лей,
{□5'„л(а;)}.	(405)
lOTF/i
Рассмотрим эффект (405) в случае атома водорода. Протон представлен
плотностью электростатического заряда рр(г), и он индуцирует заряд в ва-
кууме, плотность которого
PiN(r) = --^—V2pp(r).	(406)
157T/Z
Тогда электростатический потенциал протона V(r) + Vny(r), где
V2V(r) = рР(г),
V2V/w(r) = pTN(r) =	° У72рр(г),
157ГДГ
и, следовательно,
VIN(r) = +—^рр(г).	(407)
15tt/zz
Таким образом, в точке, где находится протон, в результате поляризации
вакуума к кулоновскому потенциалу добавляется потенциал
= +тт^<53(г).	(408)
1577г
И изменение в энергии состояния атома водорода с волновой функци-
ей 1/)(г)
1 f
ДЕР =	H0)|2 = --  2 2-3-М0)|2 •	(409)
15тгдг	5
Это практически то же самое, что и формула для лэмбовского сдвига (284)
с коэффициентом ( — 1/5) вместо логарифма. Итак, это множитель в 40
меньше, чем Лэмбовский сдвиг, и имеет противоположный знак —27 МГц
в полных 1062 МГц. Эксперименты достаточно хороши, чтобы показать,
что этот эффект правильный.
Результат (409) был вычислен много лет назад Уэхлингом [17], исполь-
зуя устаревшие методы.
5.5. Полевая теория взаимодействия спинорного
и электромагнитного полей
5.5.1. Полная релятивистская квантовая электродинамика
Теперь возьмем комбинированную систему взаимодействующих спи-
норного и электромагнитного полей и получим релятивистскую квантовую
теорию, применяя методы, которые мы уже развили. Это будет тогда полная
теория квантовой электродинамики, применимая ко всем задачам, которые
касаются электронов, позитронов и фотонов. Мы также включим в тео-
рию классическое электромагнитное поле, которое действует на электроны
и позитроны и представляет воздействие сторонних зарядов, таких как про-
тоны, которые могут присутствовать.
Лагранжиан
- гефД^.	(410)
Здесь мы используем обозначения для операторов электромагнитно-
го потенциала и A® (z) для потенциалов классического внешнего поля.
Уравнения поля
(di
+	+/2 к = о, (411)
"	(ОХх пс	J J
А
( д	1
52)7^-----т^(Ад + АЩ^Эа- flip = 0,	(412)
" ( ОХх	пс	)
□2А„ = ieipy^ip	(413)
(см. (384)).
Эти уравнения являются нелинейными. И поэтому невозможно найти
общие коммутационные правила для операторов поля в замкнутой форме.
Мы не можем найти никаких решений уравнений поля, за исключением
решений, которые получаются как формальные разложения степенного ря-
да по коэффициенту е, на который умножаются нелинейные члены вза-
имодействия. Таким образом, это основное ограничение теории, которая
по своей природе является теорией возмущений, основанной на рассмот-
рении невзаимодействующих полей как непертурбативной системы. Даже
для того чтобы записать общие коммутационные правила для полей, необ-
ходимо использовать теорию возмущений.
Поскольку мы вынуждены использовать теорию возмущений с само-
го начала, удобно основывать теорию не на представлении Гейзенберга,
а на представлении взаимодействия. Представление взаимодействия разра-
ботано для теории возмущений, в которой радиационное взаимодействие
предполагается малым. В этом представлении правила коммутации могут
быть легко получены в замкнутой форме, и таким образом, теория может
быть построена с минимальными затруднениями.
Существуют два различных представления взаимодействия, которые
мы будем использовать. Первое можно назвать связанным представлением
взаимодействия. Это именно то представление, которое мы использовали
при обсуждении излучения атома в нерелятивистской теории. Мы принима-
ем, что все полевые операторы имеют временную зависимость операторов
Гейзенберга в теории со свободным электромагнитным полем и электрон-
ным полем, взаимодействующим только с внешним потенциалом, прене-
брегая только взаимодействием между двумя полями. Таким образом, урав-
нения поля в связанном представлении взаимодействия — это (332), (333), и
□2ЛР = 0.	(414)
Волновая функция Ф(£) в связанном представлении взаимодействия удовле-
творяет уравнению Шредингера.
<ЭФ
гП— =	(415)
dt
Н— ie J	d3r.	(416)
Яд(£) — это разность между гамильтонианами теорий с радиационным вза-
имодействием и без него. Ввиду того, что в HR отсутствуют производные
от полевых операторов, эта разность является просто разностью между со-
ответствующими лагранжианами, взятой со знаком минус, и поэтому имеет
простую форму, данную уравнением (416) (сравним с (243)).
Используя связанное представление взаимодействия, мы можем обсу-
дить излучение света атомом, как это было сделано раньше, но теперь уже
рассматривая атом с релятивистской точки зрения. Фактически, мы должны
использовать это представление, поскольку мы хотим посчитать эффекты
достаточно аккуратно, и нам требуются точные волновые функции Дирака
для невозмущенных состояний атома. Однако связанное представление вза-
имодействия неудобно использовать, так как коммутационные правила для
электронного поля даются (346) и они еще слишком сложны для всех задач,
кроме самых простых. Поэтому мы будем использовать это представление
только тогда, когда будем вынуждены это делать, и обычно только на конеч-
ных стадиях решения задачи. В общем, мы можем делать основную часть
работы и основные вычисления, применяя второй тип представления взаи-
модействия.
5.5.2. Свободное представление взаимодействия
Здесь мы принимаем, что все полевые операторы 'ф, тр и удовле-
творяют полевым уравнениям (286) и (414). Коммутационные правила то-
гда также задаются формулами для свободного поля (203) и (298), (299).
5.5. Полевая теория взаимодействия спинорного 149
Волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера
<ЭФ
ih— = {№(0 + Нл(4)}Ф,	(417)
He(f) — ie j	d3r,	(418)
где Hr формально снова задано уравнением (416). Но здесь Hr — это
не тот же самый оператор, как в (415), ввиду зависимости от времени
и •ф в этих двух случаях.
Это свободное представление взаимодействия обычно используется
в квантовой электродинамике, и впредь мы будем называть его представ-
ление взаимодействия или просто IR. Оно очень подходит для релятивист-
ских вычислений, потому что делает коммутаторы поля и математические
ожидания инвариантными функциями. Таким образом, вычисления могут
быть явно и формально инвариантными, даже когда потенциалы зада-
ны в особой лоренцевой системе отсчета, как в атоме водорода.
Швингер и Фейнман первыми открыли важность проведения формаль-
но инвариантных вычислений, когда используется релятивистская теория.
Что характерно, они сделали это открытие совершенно разными способами.
Фейнман просто нашел, что вычисления становятся намного легче и проще,
когда они сделаны способом, не скрывающим инвариантность теории. Это
все еще является верным, фактически основная причина, почему мы мо-
жем заняться теперь решением более трудных задач, чем могли делать 10
лет назад, состоит в том, что вычисления новыми методами намного ко-
роче. Но еще более замечательное и существенное преимущество ковари-
антных вычислений, на которое указал Швингер, — это то, что они позволя-
ют выполнить отделение конечных наблюдаемых эффектов от бесконечных
перенормированных членов ясным и однозначным способом. Мы имеем
пример такого рассмотрения поляризации вакуума, когда мы использовали
ковариантный способ вычисления. Расходящийся член (382) мог быть вы-
делен точно из (379) благодаря способу, в котором (379) формально зависит
от векторов е„ и q„. Если бы вычисления не были сделаны ковариантным
способом, мы бы не смогла использовать (381), как мы это сделали.
В дальнейшем мы применим ковариантные методы, работая в рамках
представления взаимодействия, для решения ряда стандартных задач элек-
тродинамики в порядке нарастания сложности.
Глава 6
Задачи рассеяния свободных частиц
В этом обширном классе задач, нас интересуют вычисления полно-
го матричного элемента М для перехода между начальным состоянием А
и конечным состоянием В, где А и В определены заданием спинов и им-
пульсов свободных частиц, присутствующих в этих состояниях. Предпо-
лагается, что процесс рассеяния происходит следующим образом; свобод-
ные частицы, которые определены состоянием А в отдаленном прошлом,
сходятся и взаимодействуют, а другие свободные частицы появляются или
создаются при взаимодействии и в конце концов составляют состояние В
в отдаленном будущем. Мы хотим посчитать матричный элемент М для
этого процесса без рассмотрения уравнений движения или исследования
поведения системы в промежуточные моменты времени, пока происходит
взаимодействие.
Предполагается, что А и В — это невозмущенные состояния свобод-
ных невзаимодействующих частиц и, следовательно, задаются постоянны-
ми векторами состояний Фд иФв в представлении взаимодействия. На са-
мом деле начальное и конечное состояния в задаче рассеяния будут состо-
ять из частиц, каждая из которых имеет собственное поле, с которым она
продолжает взаимодействовать даже в отдаленном будущем и прошлом,
следовательно, Фд и Фв не точно представляют начальное и конечное со-
стояния. Однако, пока мы используем теорию возмущений и не включаем
эффекты более высокого порядка, причиной появления которых являются
собственные поля частиц, мы можем использовать постоянные Фд и Фв,
представляющие связанные частицы без радиационного взаимодействия.
Даже в тех случаях, когда рассматриваются эффекты, связанные с собствен-
ным полем, оказывается, что для связанных частиц все еще можно исполь-
зовать Фд и Фв, хотя в этом случае необходима некоторая осторожность
в таких действиях.
Матричный элемент М
М = (Ф*виФА).
(419)
Здесь [7Фд — это состояние, которое получается при t = +оо из реше-
ния уравнения движения (417) с начальным условием Ф = Фд при t = —оо.
U можно записать как разложение по теории возмущений, используя опе-
раторы Не И Hr,
(. \ +°°
-Ij I <Mtfe(*i)+Wi)} +
' —оо
2 4-оо +оо
— ft) J dti dt2 {He(ti) + HR^ti)} х
'	—оо —оо
(420)
х {tfe(t2) + Ял(<2)} + ... =
(421)
х P{{/7e(t1) + Hr^} ... {He(<n) + HR(tn)}}.
Здесь P обозначает хронологическое произведение, сомножители в кото-
ром умножаются не в том порядке, в котором они записаны, а в порядке
времен ti, <2, ..., tn, множители с более поздними временами стоят слева
от тех, которые имеют более ранние времена. Хронологическое произведе-
ние считается для множителя 1/п! после того, как мы меняем все пределы,
чтобы покрыть весь ряд от —оо до +оо. На оператор U обычно ссылаются
как на «S-матрицу».
Перед тем как начать общий анализ серий разложения (421), мы ис-
пользуем его для решения некоторых стандартных задач.
6.1.	Рассеяние Моллера двух электронов
Пусть в начальном состоянии А есть два электрона, находящиеся
в состояниях (piui)(p2u2) соответственно, а в конечном состоянии В два
электрона (Piuj)(p2u2). Электрон (pi^i) задается одночастичной волновой
функцией
uxeipi'x,	(422)
нормированной выражением (ui^i) = 1. С волновыми функциями, норми-
рованными таким способом, (422) представляет собой матричный элемент
оператора ф(х) перехода между вакуумным состоянием и состоянием, со-
держащим электрон 1. Мы можем видеть это из
&(x) = У^Ьрииегр'х,
р,и
где {bpu-fbp'u'} = Ьрр’&ии'' Тогда (Фо, ^(х*)Фри) = (Фо,ЬриФри)иб'р —
= (Ф*,Ф0)ие^1 = ueipx.
Итак, мы рассматриваем состояния 1, 2 и 1', 2', как если бы они
были дискретными состояниями, оператор ф дается разложением (337).
Также можно было бы использовать для ф разложение (306) по состояниям,
принадлежащим непрерывному спектру, но тогда нормировку начального
и конечного состояний нужно было бы рассматривать заново. Поскольку
мы установили нормировку (472), когда выводили формулу Моллера (144),
мы будем ее придерживаться.
Будем проводить расчеты в приближении Борна, как раньше, сохраняя,
таким образом, в (421) только член п = 2, дающий матричный элемент М,
пропорциональный е2. В этой задаче внешний потенциал Ае равен нулю.
Член п = 2 в (421) — это
U2=	/ [ ^х1Нх2Р{ф(х1)/(х1')ф(х1),ф(х2)/(х2)ф(х2')}, (423)
2/i'c J J
интегрирование идет по всему пространству-времени. Для того чтобы по-
лучить матричный элемент М = (ФдЕ/гФд), согласно (377), мы должны
только заменить
ф(хг) =	+ u2eip2Xib2 +	+ и'2е^х<Ь'2 х
xu1eipi-Xib1+u2eip2-Xib2
и
Ж) = uxe~ipi'Xibx +u2e-ip2Xib* + tf1e~ip''Xib*1' + u'2e-ip^Xib*2' х
х u'xe-ip^Xib*' + v!2e~ip'2'Xib2 ,
потому что мы только уничтожаем 1 и 2 и только создаем 1' и 2'. Тогда
мы хотим выбрать коэффициент
(b^l)^)
(425)
в результирующем разложении. В начальном и конечном состояниях фо-
тоны отсутствуют, поэтому для операторов потенциала Максвелла берет-
ся среднее по вакууму. Итак, принимая во внимание тот факт, что b и b
антикоммутируют друг с другом, также как и при выводе выражения для
производной (358), получаем в результате
М = ^2	У У dxi dxt {ехр[г(pi - Pi) • Xi + г(р2 - р'^  х2\ х
^’А С	(426)
х (u'i7AUi)(w27/zii2) - схр[г(р! - рг) • хг + г(р2 - р)) • т2]х
х (й27ли1)(й/17ми2)} (Р{ЛА(1-1), Лм(т2)})о.
Математическое ожидание хронологического произведения вносит
в теорию новую важную функцию
(F{Aa(ti), Ам(а;2)})о = ^hc6Xp.DF{xi - х2),	(427)
где F связано с фамилией Фейнман. Она также названа Штукельбергом Dc,
где с означает причинную связь (causality) [18].
6.1.1.	Свойства функции DF
Так как
P{Aa(zi), Am(z2)} = |{Aa(zi), ЛД;т2)} + |e(xi - x2)[Aa(xi), Am(z2)],
(428)
из (203) и (205) имеем
DF(x) = D^fx)+ie(x)D(x) =—- — - 27г<5(.т2) =
2тг2 x
, ,	L	J	(429)
= Dw{x) - i{DA(x) + Da(x)} =
= .D(1)(z) - 2гОД
согласно (228). Очевидно, Dp—это четная функция. Она обладает таким
свойством, что асимптотически, если xq —> оо в будущем, то DF = 2iD+
содержит только положительные частоты, тогда как при .то —> — оо в про-
шлом Df = — 2iD~ содержит только отрицательные частоты. Смотрите
подробное обсуждение: Фирц, Helv. Phys. Acta 23 (1950) 731.
Таким образом, Dy — это потенциал, создаваемый точечным источни-
ком, размазанным по области, когда все потенциалы, уходящие в будущее,
представляют созданные частицы, а все потенциалы, приходящие из про-
шлого, представляют частицы, которые будут уничтожены, энергия у всех
частиц положительна. Таким образом, это потенциал, который поддержива-
ет правильную причинно-временную последовательность, и таким образом
он был открыт Штукельбергом. Но определение (427) легче для понимания
и использования. Импульсное представление для Dy — это
Df(z) =
(27г)4 J к2 '
F
(430)
Контур интегрирования здесь проходит вдоль действительной оси, ни-
же полюса в точке ко = — |fc| и выше полюса в точке ко = +|fc|, на плоско-
сти ко'.
Мы можем видеть это, используя (429), (207), (208) и сравнивая (210),
(226) и (209), а также известно, что
(430) обычно известно как «интеграл Фейнмана». Мы также можем напи-
сать
Z>f(z) =
Г ik.x d*k
(2тг)4 J к2 — ге
(431)
Здесь интегрирование ведется вдоль действительной оси для всех че-
тырех компонент к, е —малое положительное число. Предполагается, что
предел е —> 0 в (431) берется после того, как выполнено интегрирование.
Перед тем как перейти к пределу, заметим, что член е только сдвигает по-
люса от действительной оси: полюс |fc| перемещается вниз, а полюс — ]fc| —
вверх, и поэтому интеграл является хорошо определенным и нерасходя-
щимся.
6.1.2.	Формула Моллера, заключение
Используя формулы (427) и (431) в (426), интегрирование по rri и х2
можно выполнить сразу, т. к. оно дает (5-функцию, содержащую к, и инте-
грирование по к также выполняется немедленно. В результате получаем
_;е2
М2 =	“7“ (2?г)4г4(Р1 +Р2~ Р'1 ~ Р2)х
(432)
(-H17AU1)(-H27Au2) _ (-U27AU1)(^'17A^2) 1
(pi-pi)2-^ (Р1-Р2У~ге J
Сейчас pi и р( оба являются 4-векторами импульса электрона, и, следо-
вательно, (pi — Pi) — это пространственно-подобный вектор, и его квадрат
не может быть равен нулю. Следовательно, мы можем прямо перейти к пре-
делу, полагая е = 0 в (432). Это дает нам формулу Моллера (144), учитывая
разницу в единицах измерения р и е.
Понятно, что эта формула следует непосредственно из (423), раз
мы знаем импульсное представление (431) для Dp функции. И мы обнару-
жим, что и в других задачах по рассеянию свободных частиц все получается
так же просто.
6.1.3.	Электрон-позитронное рассеяние
Та же самая формула (432) дает матричный элемент рассеяния элек-
трона позитроном. Мы должны предположить, что электрон первоначально
находится в состоянии 1
u\eipi'x,	(433)
а конечное его состояние 1'
u\eip,'-x.	(434)
Но теперь начальное состояние позитрона задается волновой функцией
u'2e~ip‘2'x,	(435)
а конечное его состояние
u2e~ip2'x,	(436)
где для представления позитрона используются волновые функции электро-
на с отрицательной энергией, а не зарядово-сопряженные функции. Пра-
вильность (435) и (436) понятна, поскольку Ь2 — это оператор рождения,
а Ь2 — оператор уничтожения для этого позитрона.
Второй член в (432) теперь представляет не обычный обменный эф-
фект, а особое короткодействующее рассеяние благодаря виртуальной ан-
нигиляции позитрона и электрона. Этот член можно наблюдать экспери-
ментально, измеряя константу тонкой структуры позитрониума, (М. Deutsch
and E.Dulit, Phys. Rev. 84 (1951) 601 (Nov. 1, 1951)).
6.2.	Рассеяние фотона электроном. Комптоновский
эффект. Формула Клейна-Нишины
Используем тот же самый оператор U2, определенный в (423). Нам на-
до только посчитать его матричный элемент М2 между начальным состоя-
нием А и конечным состоянием В, где А состоит из электрона с волновой
функцией
ueip'x	(437)
и фотона с потенциалами, задаваемыми выражением
А^ = е^кх,	(438)
а В состоит из электрона в состоянии
u'eip'x	(439)
и фотона с потенциалами
= е’^к'-х.	(440)
Оператор Aa(zi), появляющийся в (423), согласно (211) содержит
компоненты как эмиссии фотона, так и поглощения, как и оператор АДггз)-
Следовательно, матричный элемент М2 представляет собой сумму вкладов.
Мы можем либо взять е\егк'Х1 из Aa(<ei), a 12 из Ац(х2), либо на-
оборот. Аналогично электрон может быть уничтожен или рожден
снова V’(^i) или наоборот. Таким образом, собирая все вместе и принимая
во внимание, что полное выражение симметрично относительно Х\ и Х2,
мы находим для М2,
Х2 - гр'  2?1)(ui7A)Qx
X (ф! ~ X2)P{^ba(tXi'),i)fi(X2)}}oblJl)p} х
х {ёаё^ схр(гА; • ;rj — ik'  Х2) + е„е)ъ cxp(ifc • Х2 — ik‘ 	)}.
(441)
Заметим, что выражение е(х-[ — х2')Р{'фа^1), V’p^)} с антикомму-
тирующими полями представляет собой релятивистский инвариант, тогда
как F-произведение само по себе не является таковым. Таким образом,
по аналогии с (427) запишем
(e(zi - x2)P{ipa(xi),	- ^2),	(442)
где Sf— новая инвариантная функция. Поскольку
e(z2 - ^1)РШ(^1)1 VMX2)} =
= IlV’a^i). ^/3(^2)] + |ф2 - xi){^Q(xi),Ф/3^2)},
A	A
из (299) и (329) имеем
Sf(x) —	+ ie(x')S(x')
в полной аналогии с (429). Запишем также
А 4 л /
и из (444) находим импульсные представления
Л , .	Г ik.x d4k
(27г)4/6
q М 2 f^( t + ifl
Можно также записать (447) в удобной форме как
2	7	1
SF(x) = ------т / eik-\-------d4k.
'	(2тг)4 J Ь-41
F
(444)
(445)
(446)
(447)
(448)
Здесь матрица Дирака в знаменателе означает, что для того чтобы вычис-
лить интеграл, мы должны умножить числитель и знаменатель на (ji + гр).
Таким образом, (448) в действительности не является упрощением (447),
а только делает запись короче. Фейнмановский интеграл в (448) определя-
ется как интеграл по контуру, точно так же как в (430).
Подставляя выражение из (448) в (441), так же как и для (432),
получим
__
М2 =	(2тг)4<54(р + к-р' - к')й'
h2c2
i.--п--$ + V--1и-
гр — $ — ip	— гр
(449)
Знаменатели (р — А)2 + р2 никогда не могут быть равны нулю, поэтому
в (447) можно положить е равным нулю. Если электрон в начальном состо-
янии покоится
(р - к')2 + р2 = (р2 + р2) + к'2 -2р- к' — 2рок'о — 2р, к'о,
и аналогично
(р + к)2 + р2 = -2рк0,	(450)
поскольку к'2 = 0 и р2 = — р2; р = 0, так как электрон в покое.
—
М2 = —Z—(2тг)4<54(р + к - р' - к')х
2h с2р
- ft + iptf - ^-fi'ty + lk + ipW и.
/Cq	kq
(451)
Теперь мы можем еще упростить (451). Так как фотон не поляризован
во времени, то е4 = е4 = 0. Так как электрон находится в покое, то р = 0.
Следовательно, е-р = 0, и поэтому = —^ + 21е-р = — т. е. и / анти-
коммутируют. Это плюс тот факт, что и — спиновое состояние импульса hp,
т. е.
(^ — гр)и = 0	(452)
означает, что член ^ + ip в (451) можно опустить. Таким образом, получаем
М2 =
(2тг~)464 (р + к — р'— к')и'
2П2с2р
6.2.1. Вычисление сечеиия рассеяния
Запишем, как в (145),
М2 = /<(2тг)4<54(р + к - р' - А:').
(453)
(454)
Тогда вероятность рассеяния на единицу объема в единицу времени для
одного конечного состояния — это, как и раньше,
wg = с| /С|2 (2тг)4<54 (р + k — р' — к1).	(455)
Число конечных состояний для электрона
1	/ тс2 \
j dp'^dti.	(456)
Фотон с потенциалами, задаваемыми выражением (440), когда — про-
странственно-подобный вектор, имеющий (е^)2 = 1, удовлетворяет усло-
вию нормировки: одна частица на объем hc/2k'o. Это можно увидеть сразу,
сравнивая (440) с (211) и (214) и принимая во внимание разницу в (2тг)3
между нормировками в случаях непрерывного и дискретного спектров.
Следовательно, количество конечных состояний для фотона
т | г j dk-i dkn dko.
(2тг)3 I 2fcJ 12 3
Полная вероятность перехода, таким образом,
2	/	\
2 1	[ тс2 he \ dk[ dk2 dk'3
W = С 2тг	d(p'o + к'о)
(457)
(458)
Мы записываем это как вероятность рассеяния фотона с частотой к'о на
единицу телесного угла dQ. Тогда, используя закон сохранения импульса,
имеем
dp'Q = Pi dp\ + ... = р\ dk{ + ... = p,1fc/1 + ... + Рз^
dk'Q p'odk'o	p'odk'o	р'ок'о ’
(459)
dk'o = р’ок'о _ р'ок'о = р'ок'о
d(p'o + fco) ~(р' ' -Р ' k Роко'
Следовательно, окончательно получаем
1 Т) с
w = с\К\2——- —k£dV.	(460)
(2тг) 2/>о
Дифференциальное сечение рассеяния фотона с частотой ко в элемент те-
лесного угла dQ
wViV2
ст = ----,
с
где, согласно (149), Vi — нормировочный объем для электрона = 1,
а У2 — нормировочный объем для фотона, У2 = Таким образом,
\ 2
—-	\K\2kl2dtt,
47Г/Со /
(461)
(462)
е2
2П2с2ц
к'о ко
Эта формула дает сечение рассеяния для случая, когда известен спин на-
чального и конечного состояний.
6.2.2.	Суммирование по спинам
Мы не можем наблюдать спины электронов экспериментально. Следо-
вательно, мы наблюдаем только сечение а, полученное в результате усред-
нения а по двум спиновым состояниям и и суммирования по двум спи-
новым состояниям и1. Суммирование и усреднение мы выполним методом
проекционных операторов согласно (109) и (114).
Приведем несколько правил для следа и штрихованных операторов:
£ — матрица Дирака.
1.	Тг^1)^2)... 62fc-0) = 0, т. е. след нечетного количества множителей
равен 0.
2.	Тг^1)^2)... £<2fc)) = Тг{Р(^(1)^2)... C(2fc))}, где Р — некоторая цик-
лическая перестановка.
Это понятно, потому что каждая циклическая перестановка состоит
из шагов типа
и для двух квадратных матриц А, В
Тт АВ = ацЬ-ц = V Ьцац = ТгВА.
/ J IJ J4	/ > J1 4 J
3.	Тг(^!’С(2) • • • ^2fc“1)^2fc)) = Tr(^(2fc)^2fc_1)... £(2Ч(1))-
Для того чтобы показать это, достаточно предположить, что все
различны; с помощью правил коммутации для 7 матриц мы всегда
можем привести произведение к такому виду. Затем, поскольку каждая
инверсия (соседей) дает знак минус и поскольку число инверсий четно,
мы сразу же получаем наши правила.
4.	= -Ц + 2Н(а • Ь).
В частности,
^ = Н(е-е),
5.	Из пункта 2 следует, что можно циклически переставить произведение
штрихованных операторов без изменения их следа.
Теперь мы можем продолжить вычисление суммы по спинам. Мы имеем
U и'
(463)
е4 I
-----:---- Тг < (1А + ill)
I/
„	.д . /С171 +/С272 +/сз7з .д .
Теперь — = г/3 Н-----------------= г/3 + 7fc.
Ко	Ко
Аналогично — = г/3 + у к' 
к0
Так как антикоммутирует с	у к и у к1 (сравните с замечанием
после (451)), мы можем записать (463) в виде
_О.Л 4 4 Тг 1(4^74 (гд-^) + 4д(е-е')| х
32а с*рт L L \ А'°	А'° /	J
X + щ) +	’
I K.Q	Kq 1
потому что, используя 4, и снова сравнивая с замечанием после (451),
- 2^—^' =	+ 2д^'
&0	^0	*0	«0	^0
и аналогично
-jit + 2м/Ч
Ko Ko
итак, добавление членов дает
- /—/' +	+ 2д{^, Л = -	+ ^77/ t + ^(е е')-
\ Kq Kq j	\ Kq Kq /
Теперь, поскольку = k'k' =	+ д2 = 0 (для фотонов, потому что
они находятся на световом конусе, для электрона — потому что р2 = — д2),
мы получаем для |/С|2
е4
32?г4с4д4
Tr 4д(е • е')(/ + гд)^—+ ^'—/) +
Ko ko kQ Ko
„	3	(464)
/ъо Ko
поскольку
(гд — ^)(^' + гд) = ip{f' — т/>) — д2 — $т/>' =
= гд($ - $') - д2 -	-#' + #) = (д “	~ V)-
Сначала рассмотрим вторую часть (464):
ъ- {-А^-^')-(^-ад
ft О ftQ
= 2p0(fc0 — fcg) Tr
fcg fco
-- 2д(/С0 — fcg
:(>)!¥ -2(е-е')
fco fco
- o ..fc° ~ fco
А-Л k'
"-0"0
(fc • fc')+4д(е • е')Тг -/(/—/' + #7'—^ ,
fco fco
т. к.
Тг[^'/ЭД'] = Тг[#'#'О] = Тг[-^'ДО + 21#Т#(е • е')] =
= Т¥[-^ - 2(е • e')^W]-
Следовательно, обобщая результаты, получаем для (464):
е4
шМ 4	’fc/) + 4м(е ‘е/) х
А2п ср	Kqk0
хТг	У + (?$ +#)/'—/
/l‘o	/со
Но = /с<Щ' = 0 и
(р' - р)2 = (fc - fe')2 = к2 + fc'2 - 2k • к' = —2k  к',
(p'-p)2 = p,2+p2-2p'-p = 2p2+2pp'o = 2p2 + 2p(-p+ko-kg) = 2p(ko~k'0).
Следовательно, к  к' — —p(ko — k'o), и тогда
Тг (р~	+ +	=
/cq	/cq
= Тг	/ + ^'—/ +
/Cq	/Cq	/Cq	/Cq
= Тг /' + /—= Тг	,
~	/Cq	/CQ
к!ог ’ гк0
и, таким образом, (464) принимает вид
е4
8Л4с4м4
' 2р?(к0 - ktf
ко кд
+ 2р(е • е') Тг ^г/З/7]
47i4 с4м2
У" + 4(е  е')2
кокд
(465)
Следовательно, сечение рассеяния (461), усредненное по спинам электрона,
равно
е4к'о2 dQ Г (к0 - к'о)2
64:7r2h2c2p2k2 ( кокд
Классический радиус электрона — это
е2 е2
4лтс2 4лДсц.
Следовательно,
(466)
1	^о)2	,	2 jlT
о- = -то dS2 — < ———----------h 4 cos ф >,
4	\ Ко / ( KqKq	J
где ф — это угол между поляризациями падающего кванта ко и испускаемо-
го кванта к'о.
Это знаменитая формула Клейна-Ншиины.
Для того чтобы определить а как функцию угла рассеяния 6, мы долж-
ны использовать уравнения
к - к’ = — р(ко ~ к'о),
к  к' = |fc||fc'| cos# — kok'Q = kok'0(cos9 — 1),
fc0fco(l — cos#) = р(ко — к'о),
ко ,	ко
— = 1 4- (1 - cos0) —.
к0	Р
Положим
к0 ( энергия фотона
е = — = ----------2------
р \ тс
Тогда
(467)
/ (1 —cos0)2€2	4	2 Л
_	1 2	( 1+е(1 —cos0) + ^C0S Ф)
сг = — г„ d£2------------------—
4	[1 + е(1 — cos#)]2
Таким образом, для больших е рассеиваемые фотоны являются в основном
неполяризованными и концентрируются в направлении вперед.
Для малых е (нерелятивистская задача) мы имеем просто
а = г2 cos2 ф d£l	(468)
классический результат. Суммируем по двум поляризациям фотона к'
и усредняем по всем поляризациям к, это дает нам сечение для всех по-
ляризаций
~ro(l + cos2 0) dQ.
(469)
Мы получаем это, вычисляя |	(е • е')2. Сначала мы должны
просуммировать по двум направлениям поляризации фотона к'. Это сум-
мирование для трех направлений дало бы
^(е-е')2 =е2 = 1.
Следовательно, для двух направлений, перпендикулярных к', мы можем
Теперь выполним другое суммирование по двум направлениям поляриза-
ции фотона fc, используя те же самые аргументы. Это дает
52	’ е'^2 = 52 f1 - (е  )2] = 2 - [fc 2 - (fc • fc )2] =1+ cos2 0.
ее'	е
Это уравнение с усредняющим множителем | дает (469).
Тогда полное сечение рассеяния
8 9	х
(Т=-7ГГО.	(170)
О
Это нерелятивистское рассеяние, задаваемое формулами (468)-(470), назы-
вается рассеянием Томсона.
6.3.	Аннигиляция пары с испусканием двух фотонов
Рассмотрим процесс, в котором электрон в состоянии (;>, п) и пози-
трон, ассоциированный с волновой функцией (439), аннигилируют с ис-
пусканием двух фотонов, заданных потенциалами (438) и (440). Тогда
4-вектор энергии-импульса фотона равен (-Z/р'), так что мы можем за-
писать р+ = —р'. Спинор позитрона в зарядово-сопряженном представле-
нии—это v = Си,+.
Этот процесс аннигиляции будет снова производиться оператором U2,
задаваемым выражением (423). И матричный элемент для перехода зада-
ется выражением, идентичным (4 19) с той лишь разницей, что теперь fc
заменяется на — fc, а именно
р2('2тг')4	Г 1	11
Л с2	I т/>-к -гр f-K-гр J
= Х(2тг)4<54(р -I- р+ - к - к').	(471)
Мы рассматриваем вероятность для процесса, когда и электрон, и по-
зитрон находятся в состоянии покоя. Этот результат будет применим для
распада атома позитрония, где скорости движения порядка ас и их можно
считать равными нулю с хорошим приближением.
Тогда
р = р+ = (0, 0, 0, ip),
к0 = к'0= р.
Как и в (453), имеем
е2
К = + ^и- (473)
27Гс2ц2
Вероятность распада в единице объема за единицу времени в телесном
угле dQ для одного из фотонов равна
(К 2
he \ dki dk<i dk$
— --------------
2д J d(fc0 + ^о)
(поскольку здесь fc0 = д) по аналогии с (458). Но теперь d(fco + fcg) = 2dk'o,
и поэтому
w = clK[2—^--h2c2da.	(474)
1 1 (2тг)2 8	к
Для случая, когда поляризации параллельны, е = е' и
(Д7' + Л7) = -(#' + #) = -2гдД.
Но у /3 нулевой матричный элемент между спиновыми состояниями и и и',
оба из которых являются состояниями с положительной и отрицательной
частотами нулевого импульса. Следовательно, для параллельных поляриза-
ций
w = 0.	(475)
Для перпендикулярных поляризаций выбираем следующие координатные
оси: 1 вдоль е, 2 вдоль е' и 3 вдоль fc. Тогда
(^7'+^/) = м{71(-7з + гД)72 +72(73 +$71} = 2д717г7з- (476)
Следовательно, для перпендикулярных поляризаций
u\fflj! +	Оуд-у! 7273^ = —2^wT74o'2'u —
	’0 -1 0 О’	
=	10	0 0 0 0	0 1	и =
	0 0 -1 0.	
{О, когда спины и и v параллельны,
2/^х/2, когда спины и и и антипараллельны.
Мы получаем последний результат, замечая, что антипараллельные спины
в волновой функции начального состояния —это
(пренебрегая «малыми компонентами») и, следовательно,
Это одно из мест, где зарядово-сопряженные спиноры полезны и необ-
ходимы!
Подводя итоги, мы обнаруживаем, что для электрона и позитрона с
параллельными спинами в триплетном состоянии 2-фотонный распад за-
прещен. Это правило отбора фактически точно такое же и для позитро-
ниума в триплетном основном состоянии 1s. Может происходить только
3-фотонный распад, и это удлиняет время жизни в ~ 1100 раз. Для элек-
трона и позитрона в синглетном состоянии 2-фотонный распад происходит
всегда между фотонами, поляризованными перпендикулярно друг другу.
Поскольку фотоны неразличимы, то, интегрируя (474) по телесному уг-
лу 2л, получаем, что вероятность распада — это
Л2 с3	9е4
w = —- 2|/f|2 =	= 4лс/'2.	(477)
107Г	/Гс/ГОТТ
Формула (477) нормирована таким образом, что на единицу объема прихо-
дится одна частица, электрон или позитрон. Если плотность вероятности
электрона относительно положения позитрона — это р, тогда среднее анни-
гиляционное время жизни будет («классический радиус электрона» го =
= е2/(4тгтс2) в единицах Хевисайда)
1
4тГСГ2р
Для синглетного состояния 1s позитрониума
1
Р 8тга2 ’
ао = Радиус Бора = 1372го,
= 2 х 1374 х — = 2 х 1375 х и 1,2 х 10-1Ос.
с	тс2
(478)
(479)
Для медленно движущихся с относительной скоростью и электронов и по-
зитронов сечение аннигиляции, согласно (477), будет
2 I с 1
4тгГо — для синглетного состояния,
\ v I
(480)
пропорционально подобно сечению для нейтронов при низких (тепло-
вых) энергиях.
6.4.	Тормозное излучение и создание пар в кулоновском
поле атома
Мы рассматриваем два этих важных процесса вместе. При заданном
внешнем потенциале А^, представляющем кулоновское поле, происходят
следующие процессы:
Тормозное излучение:
Электрон {ри) —> Электрон {р'и') + Фотон {к'е').
Образование пары:
Фотон {к'е') —» Электрон {ри) + Позитрон {р'^и').
Мы рассматриваем не только фотон (fee), но также и потенциал Ае
в приближении Борна. Это справедливо, пока
потенциальная энергия х время перехода -С 1г,
Ze2 т
или -------- х - <g; п,
4тгг v
Ze2 Z с
или	—— =-----------с 1.
4tt7?v 137 v
Такое рассмотрение будет хорошим только для релятивистских скоро-
стей v ~ с и для легких атомов с Z < 137. Фактически для тяжелых атомов
(с зарядом ядра больше Z = 82) и v ~ с ошибка приближения Борна со-
ставляет около 10%.
За появление этих процессов в приближении Борна ответственен толь-
ко член, линейный по и линейный по в (421). Это
U1 = У У dxi dx2 7э{ч/’(2;1)^(.г'1)1/'(2;1),1/'(.г’2)4е(2;2)^(.г-2)}. (482)
Множитель | в (423) теперь отсутствует, все остальное —то же самое, как
и прежде. Мы предполагаем, что Ае(х2) является суперпозицией компо-
нент Фурье
= тАт / dkf{k)e^,	(483)
(2тг) J
где /(А:) — известная функция к. Для статического кулоновского поля все
векторы к, появляющиеся в (483), имеют нулевую четвертую компоненту,
а ем — постоянный вектор (0, 0, 0, г). Вычислим матричный элемент АД
для тормозного излучения или рождения пары с потенциалом задан-
ным компонентой Фурье (438). Для того чтобы действительно получить
потенциал, в соответствии с (483), мы должны согласовать все результаты.
Для тормозного излучения формула для АД — это (449), тождественно
та же самая, как и для комптоновского эффекта, или, интегрируя по ча-
стоте к,
р2	(	]_	]_	)
= ~T2~^f(p' + к> “ РУ“' <	----77--? и. (484)
tic2	[	- к - г/J. f + fc - гц }
Разница в 2 раза между (482) и (423) компенсируется тем, что фотон к'е'
может быть рожден двумя операторами в (423) и только одним в (482).
Теперь можно вычислить сечение тормозного излучения, возводя в квад-
рат (484) и интегрируя по к' и р' с соответствующими нормирующими
множителями. Более детально это изложено в книге Хейтлера, §17.11
Для рождения пары та же самая формула (449) дает матричный эле-
мент Mi, учитывая тот факт, что роли частиц теперь меняются, так что
электрон теперь описывается (ри) вместо (р'и1) и т. д. Таким образом,
р212тг')4
М1 = —L^-S\k + k'-p-p+)x
ЪГс2
(485)
—7—+	—7—
[ к -ф+-гр к-fa-гр J
и, интегрируя по компонентам потенциала, получим
е2	1	11
Mi = --^f(p+p+-k')u	—-—-I } и'. (486)
hr	( к ~ fa — гр к — к — гр J
Что касается вычисления сечения, см. Хейтлер, §20.12
11В третьем издании книги Хетлера см. §25.
|2В третьем издании книги Хетлера см. §26.
Глава 7
Общая теория рассеяния свободных
частиц
Мы показали, как (421) приводит к матричным элементам для стан-
дартных процессов рассеяния, из которых можно посчитать сечение рассе-
яния. В каждом случае мы использовали только член с п = 2 в разложении
по теории возмущений (421), который представлял собой член с минималь-
ным показателем степени, дающий вклад в эти процессы. Члены с более
высокими степенями п = 4, 6, ... также будут давать вклады в матричные
элементы для этих процессов, все эти вклады вместе называются «радиа-
ционными поправками». Оказывается, что результаты без учета радиаци-
онных поправок согласуются с экспериментальными сечениями рассеяния
во всех случаях. Точность экспериментов никогда не бывает выше, чем
несколько процентов, и радиационные поправки всегда меньше, чем члены
самого низкого порядка, по крайней мере на (е2/4тгЛ.с) = (1/137). Таким
образом, рассмотрение радиационных поправок для процессов рассеяния
не будет приводить к каким-либо прямо наблюдаемым эффектам.
Тем не менее мы разработаем метод вычисления членов более высо-
кого порядка в разложении (421). Оказывается, что этот метод очень легок
и прост для объяснения, когда мы обсуждаем задачи рассеяния. Попутно
мы увидим, какую форму имеют радиационные поправки для рассеяния,
и исследуем общую их природу. Наконец, мы сможем использовать метод
вычисления, для того чтобы найти радиационные поправки для движения
электрона в атоме водорода. Это тот случай, когда можно довольно точ-
но наблюдать эти малые эффекты, но теория рассеяния непосредственно
не применима.
Для того чтобы избежать ненужных сложностей, мы предположим, что
не существует внешнего поля Ае. Задачи, в которых есть внешнее поле, все-
гда можно просто связать с задачами, где внешнее поле отсутствует, пока
их можно рассматривать в приближении Борна, так же, как и матричный
элемент тормозного излучения (484) соотносится с комптоновским эффек-
том (449).
Когда внешнее поле отсутствует, матричный элемент для любого про-
цесса рассеяния —это
М = (Ф*ВЗФА),	(487)
00 / е \п 1 г г
5 = 52 (1 nil"' dXi 
n=0 \	/
(488)
Операторы в выражении (488)—это полевые операторы в представлении
взаимодействия, интегрирование по аь, ..., хп производится по всему про-
странству-времени, а начальное и конечное состояния АнВ произвольны.
Мы хотим вычислить матричный элемент М от S для особого про-
цесса рассеяния, в котором состояния А и В определены перечислением
частиц, присутствующих в двух состояниях. Нам нужно должным обра-
зом учесть то, что частицы в состояниях А и В, хоть и хорошо разде-
лены и не взаимодействуют одна с другой, в действительности являются
частицами, взаимодействующими со своими собственными полями и с ва-
куумными флуктуациями полей в их окружении. Таким образом, А и В —
это в действительности состояния, зависящие от времени в представлении
взаимодействия, и не будут задаваться не зависящими от времени векто-
рами Фд и Фд, кроме приближения самого малого порядка (см. стр. 103).
Пусть Фд(Л) действительный зависящий от времени вектор состояния В
в представлении взаимодействия. Нас не интересует зависимость Фд(£)
от t. В реальном эксперименте по рассеянию частицы в состоянии В на-
блюдаются в счетчиках, или фотопластинках, или в камерах Вильсона,
и время их появления не измеряется точно. Поэтому удобно использовать
для В не функцию состояния Фд(£), а функцию состояния Фд, которая
по определению является функцией состояния, описывающей набор голых
частиц без радиационного взаимодействия, имеющих те же самые импуль-
сы и спины, что и реальные частицы в состоянии В. В представлении взаи-
модействия функция состояния Фд не зависит от времени. Вопрос состоит
лишь в том, какова связь между Фд(£) и Фд?
Предположим, что — это настолько далекое время в будущем после
того, как процесс рассеяния завершен, что от £д до +оо состояние В со-
стоит из отдельных частиц, движущихся наружу. Тогда соотношение меж-
ду Фд(0 и Фд очень простое. Представим мир, в котором заряд е, вхо-
дящий в радиационное взаимодействие, бесконечно медленно уменьша-
ется (адиабатически) от его действительной величины в момент време-
ни до нуля в момент времени (+оо). В этом фиктивном мире состоя-
ние Фд(<д) в момент времени превратится в состояние голой части-
цы Фв в момент времени +оо. Таким образом,
Фв = Ог(^в)Фв(^в),
(489)
где
°°	/	\ п оо оо
^з(^в)	[ * * * f dx^... dxn x
n=o \ cj n-tJB tB
x Р{^М^(Я1), ...,&^(xn)}gB(ti) ...gB(tn) (490)
и gB(t) — функция, адиабатически уменьшающаяся от значения 1 при t =
= tB до нуля при t = оо. Аналогично, когда tA — это время, относящееся
к такому далекому прошлому, что состояние А состоит из отдельных схо-
дящихся частиц от t = — оо до t = tA, мы имеем
Фа(*а) = П](4л)Фа,
(491)
х P{ip^(xi), ... ,ip/i/>(xn)}gA(ti)...gA(tn), (492)
где дА(t) — функция, адиабатически возрастающая от t = —оо до t = tA.
Матричный элемент рассеяния между состояниями А и В дается вы-
ражениями
М = ($*D(to)S‘f Фа(*а)) ,	(493)
ОО /	\ П
StA = Ун 7^ ) rd./'"/	,^^{xn)}dxl...dxn.
n=0 ' ' n'tA tA
(494)
Конечно, (493) является не зависящим от времен tA и tB. Когда tA и tB
выбраны так далеко в прошлом, что выполняются уравнения (489) и (491),
тогда выражение (493) можно записать в форме (487), где теперь
S = П2(£в)>9^ £1i(£a) =
(495)
х	  • ,'<MV’(zn)}p(£i) • • .g(tn)
и g(t) — это функция, возрастающая адиабатически от 0 до 1 для —оо <
< t < равная 1 для t (ц и убывающая адиабатически от 1
до 0 для t& < t < оо. Таким образом, приходим к важному заключению,
что формула (487) для матричного элемента является верной, возможность
использования функций состояний для голых частиц Фд и Фд обеспечива-
ется тем, что для интерпретации разложения (488) для S вводятся медленно
меняющиеся функции обрезания g(ti), делающие интегралы сходящимися
при ti = ±оо. Функции обрезания должны быть включены так же, как они
появляются в (495), и тогда S определяется как предел, к которому стре-
мится (495), поскольку скорость изменения g(t) бесконечно мала.
Основной практический эффект этого процесса ограничения в опре-
делении S —оправдать, почему мы отбрасываем все члены в интегралах,
которые имеют ограниченные колебания при ti = ±оо. Однако существу-
ют определенные случаи, в которых интеграл (488) имеет более серьезную
неопределенность, ввиду плохой сходимости при ti = ±оо. В этих случа-
ях функции обрезания должны быть сохранены явно до последней стадии
вычислений, вплоть до перехода к пределу g(t) = 1. Во всех случаях, ко-
гда ограничительный процесс осуществляется таким способом, матричный
элемент М вычисляется корректно и однозначно.
Использование волновых функций голых частиц Фд и Фд в (487), та-
ким образом, оправданно. Оно позволяет совсем просто вычислять матрич-
ный элемент М. Необходимо только отобрать из (488) члены, содержащие
правильную комбинацию элементарных операторов рождения и уничтоже-
ния, чтобы аннигилировать частицы в состоянии А и создать их в состо-
янии В. Позже мы опишем метод систематического выбора таких членов,
принадлежащий Фейнману. Он впервые был объяснен в опубликованной
работе Вика (G. С. Wick, Phys. Rev. 80 (1950) 268). Фейнман и Вик при-
менили метод только для хронологически упорядоченного произведения,
которое появляется в (488). Однако этот метод можно применять таким же
образом для всех произведений, хронологические они или пет, и мы пол-
ностью опишем этот метод в общем виде.
7.1. Приведение оператора к нормальной форме
Дан некоторый оператор О, являющийся произведением полевых опе-
раторов, например
О = V>(a:i)4(a:i)V’(^i)V’(^2)4(2;2)V’(^2)-
(496)
Мы хотим отобрать матричный элемент из О для перехода между состоя-
ниями А и В, в которых вклад голых частиц известен. Например, А может
быть состоянием только с одним электроном в состоянии 1, а В —состоя-
нием только с одним электроном в состоянии 2. Затем мы хотим выбрать
из (496) члены, в которых появляются операторы bi и b2. Для того что-
бы выбрать все такие члены систематично, мы проводим полный анализ О
в сумме членов Оп, каждый Оп представляет собой сумму произведений
операторов рождения и уничтожения, в которой все операторы рождения
стоят слева от всех операторов уничтожения. Любой оператор, в котором
операторы рождения и уничтожения устроены таким особым образом, на-
зывается «нормальным»13 [19]. Оп будут названы «нормальными составля-
ющими» оператора О. Проанализировав О таким образом, найдем матрич-
ный элемент, просто беря коэффициент 6^1 в разложении Оп. Никакой
другой член разложения не может дать вклад в матричный элемент. В О
может появиться такой член, как
(497)
который дал бы вклад в матричный элемент, поскольку оператор 6] мог бы
создать частицу в промежуточном состоянии 3, которую оператор 63 затем
уничтожил бы. Разложение О на нормальные составляющие части уничто-
жает все члены, такие как (497), и заменяет их суммами нормальных про-
изведений с численными коэффициентами. Таким образом, использование
антикоммутациоиных правил для 63 и Ъ*л (497) заменяется на
АЬ*2Ъг - Ь^ЬзЬъ	(498)
где А — числовой коэффициент. Второй член в (498) не вносит вклада в мат-
ричный элемент.
Понятно, что при использовании коммутационных правил для опера-
торов таким способом, каждый оператор О может быть записан как сумма
нормальных произведений, и этот анализ приводит нас к тому, что такое
разложение единственно. Но нет необходимости проводить утомительные
алгебраические выкладки с использованием правил коммутации, вместо
этого мы можем записать нормальные составляющие Оп, непосредствен-
но следуя простым правилам.
13Сейчас называется «нормальное упорядочивание», это упорядочивание связано с теоре-
мой Вика:
(операторы, упорядоченные по времени) =
= (нормально упорядоченные операторы) + (все спаривания).
Эти спаривания эквивалентны пропагаторам Sp, Dp и т. д.
Во-первых, пусть Q — некоторое произведение операторов рождения
и уничтожения, обозначим через N(Q) произведение, полученное переста-
новкой множителей в Q в нормальном порядке в соответствии с коммутаци-
онными правилами, домножая на (—1), если перестановка включает в себя
нечетное число элекгрон-позитронных операторов. Аналогично, если Q —
некоторая сумма произведений, то N(Q) определяется перестановкой мно-
жителей в каждом члене этой суммы таким же способом. Таким образом,
например (см. (211))
N (Ад(.т)Ам(у))=А+ (z) А* (у)+А^ (.т)А" (у)+А* (х)Д+ (у)+А* (у)А$ (х),
(499)
где /1+(.г) — положительно-частотная часть Ам(х), т. е. часть, содержащая
только операторы уничтожения. Видим, что порядок сомножителей в пер-
вых двух произведениях выражения (499) несущественен, условие нор-
мальности устанавливает порядок сомножителей только в третьем и чет-
вертом произведениях. Аналогично (см. (306) и (309))
(^ф^у)) = Фа М’/’/З (у) + Фа ^Ф/3 (,У)+Фа ЮФр (.У)~Фр (.У)Фа (ХУ
(500)
В этих обозначениях любое произведение двух полевых операторов можно
сразу записать как сумму нормальных составляющих. Используя комму-
тационные правила (213) и среднее по вакууму, которое дается формула-
ми (219) и (220), получаем
Дд(х)Ам(у) = (Лд(х)Ам(у))о + ЛДАдфАДу)). (501)
Аналогично, используя (310), (311), (324),
Фа&УФ^у) = (фа(.х)ф/з(у))о + Щфа^ф^уУ). (502)
14 фактически для любых двух полевых операторов Р и Q получим
PQ = (PQ)O + N(PQ),	(503)
т. к. Р и Q — линейные операторы рождения и уничтожения. Доказательство
выражения (503) в действительности уже было сделано при получении вы-
ражений (501) и (502), потому что они включают в себя все возможные
произведения двух бозонных или двух фермионных операторов и (503) яв-
ляется тривиальным для произведения одного бозонного и одного ферми-
онного операторов, поскольку они коммутируют. Уравнения (501)-(503) —
операторные тождества, и являются ли они физически содержательными,
напрямую зависит от вакуумных состояний полей. Фактически мы бы мог-
ли, если бы хотели, определить «средние по вакууму» как функции, по-
являющиеся в (501)—(503) и, таким образом, совсем избежать упоминания
о вакуумном состоянии.
Следующим шагом мы обобщим правило (503) на любое произве-
дение О полевых операторов, например О, данного в (496). Определим
«спаривание» О, выбирая из О определенное четное число сомножителей,
или все, или ни одного, или некоторое промежуточное число и объеди-
няя их вместе в пары. Для произведения PQ существуют только два спа-
ривания: мы либо выбираем пару PQ, либо не выбираем ни одной. Для
каждого спаривания п соответствует нормальной составляющей Оп, полу-
ченной следующим образом: для каждой пары множителей PQ, которые
спариваются в п, Оп содержит численный множитель (PQ)O, порядок Р
и Q поддерживается таким, каким он был в О. Неспаренные множите-
ли Р\Р-2 .. .Рт в О переставлены в Оп в нормальной форме. Таким обра-
зом, полный вид для Оп — это
Оп = ±(PQ)o{P'Q')o ... М7£1, тг2,... тгт). (504)
Знак перед выражением может быть «+» или «—» в зависимости от того,
четное или нечетное число перестановок электрон-позитронных операто-
ров нужно осуществить, чтобы перейти от порядка, в котором они записа-
ны в О, к порядку, в котором они записаны в (504). С таким определени-
ем (504) для Оп мы имеем следующую теорему:
Каждое произведение операторов О тождественно эквивалент-
но сумме Оп, полученной из всех ее спариваний.
Эта теорема дает разложение оператора О на его нормальные состав-
ляющие. Уравнения (501)—(503) — это только особые случаи этой теоремы.
Понятно, что Оп имеет ненулевое значение только тогда, когда каждая пара
множителей является либо ф и -ф операторами, либо двумя оператора-
ми. Поэтому мы будем предполагать, что спаривание всегда ограничивается
таким образом.
Доказательство теоремы очень простое, по индукции относительно т,
числу сомножителей в О. Теорема верна, когда т = 1 или 2, поэтому нам
надо только доказать, что она справедлива для т, предположив, что она
верна для т — 2. Пусть тогда О' — произведение (т — 2) сомножителей.
Сначала покажем, что теорема верна для
О = (PQ ± QP)O',	(505)
где Р и Q — полевые операторы и положительный знак появляется только
если и Р, и Q являются электрон-позитронными операторами. Фактически
нормальные составляющие для PQO' и для (±QPO'} будут идентичны,
пока Р и Q не спарены вместе. Следовательно, сумма нормальных состав-
ляющих для О сводится к
£on^{(PQ)o±(QP)o}£o;.	(506)
Но Е О'п = О'и
(PQ)O±{QP}O = (PQ±QP),	(507)
— это число, а не оператор. Поэтому (506) дает Е = 0, и теорема до-
казана для О, заданного выражением (505). Теперь пусть О —некоторое
произведение т сомножителей. Тогда, используя коммутационные соотно-
шения, можем записать
О = N(O) +S,	(508)
где S —сумма членов вида (505). Теорема верна для каждого члена (505)
и, следовательно, для Е. Эта теорема, очевидно, верна для N(O), по-
скольку (PQ) = 0 для каждой пары сомножителей Р, Q в том поряд-
ке, в котором они появляются в N(O), и поэтому все нормальные состав-
ляющие (504) для JV(O) равны нулю, кроме составляющей /7(0) самой
по себе. Следовательно, теорема содержит все О, задаваемые (508), и это
завершает доказательство.
7.2.	Графы Фейнмана
Мы используем метод Фейнмана, для того чтобы перечислить все воз-
можные спаривания для О. Каждое спаривание изображено на диаграмме
или графе G. G содержит определенное число вершин и линии, соеди-
няющих их. Вершины представляют собой просто различные точки поля,
в которых действуют множители оператора О. Таким образом, для О, за-
данного (496), каждый граф G имеет две вершины xi, х%. Линии в графе G
либо пунктирные, представляющие фотонные операторы, либо сплошные,
представляющие электрон-позитронные операторы. Правила, по которым
рисуются эти линии, состоят в следующем:
1.	Для каждого спаривания •0(z)V’(y) в графе G рисуется сплошная ли-
ния, идущая от х к у, направление отмечается на линии стрелкой.
2.	Для каждого неспаренного множителя t/>(z) рисуется сплошная линия,
идущая от точки х, выходя наружу от диаграммы, второй конец линии
свободен и не является вершиной графа G.
3.	Для каждого неспаренного множителя ip(y) рисуется сплошная линия,
приходящая в точку у, второй конец этой линии свободен.
4.	Для каждого спаривания XM(z)Xp(y) рисуется пунктирная линия, со-
единяющая точки х и у.
5.	Для каждого неспаренного множителя А^х) рисуется пунктирная ли-
ния с одним концом в точке х и свободным вторым концом.
6.	Каждая сплошная линия имеет определенное направление, обозначае-
мое стрелкой. Пунктирная линия не имеет направления и стрелок.
Вообще, мы должны позволить спаривания, в которых два оператора
в одной и той же точке поля спариваются вместе. Это даст линию на гра-
фе G, оба конца которой находятся в одной и той же точке. Однако в случае
операторов, таких как (496), или в более общем случае (488) пара мно-
жителей, взятых из той же самой точки, будет всегда давать увеличение
на множитель
0M(z))o = -гес(-0(а:)7м-0(.т))о	(509)
в соответствующих нормальных составляющих (504). Мы видели в обсуж-
дении после формулы (366), что среднее по вакууму (509) равно нулю,
операторы являются операторами в представлении взаимодействия. Следо-
вательно, спаривания, при которых два множителя спариваются в одной
и той же точке поля, при анализе квантово-электродинамических опера-
торов, таких как (488), всегда дают нулевой вклад. Поэтому мы можем
добавить к списку наших правил для построения графа G:
7.	Линии, соединяющие точку саму с собой, запрещены.
Возможные спаривания для (496) тогда представляются следующими
графами G:
В соответствии с этими графами G для О будет существовать 8 нор-
мальных составляющих, которые мы назовем О\... (9g. Запишем эти нор-
мальные составляющие в соответствующем порядке:
(91 = ±7V{^>(a;i)^(a;1)V’(^i)V’(;E2)X(^2)V’(;E2)},
(92 =
(93 = ±(’ф(Х2')1р(х1'))оЫ{'ф(х1')/(х1)/(Х2')'ф(х2)},
(94 = ±(/(х1>)/(<Х2)')о^{'ф(х1)'ф(х1)'ф(Х2')'ф(Х2)},
О5 = ±{lp(xl)Tl>(X2))o{Mxi)/(X2))oN{lp(X2)lp(Xl)},
О6 = ±{-ф(Х2)'ф(Х1))о{/(х1)/(Х2))о^{'ф(х1')'ф(Х2')},
О7 = ±(V'(2?i)V’(2:2))o(V'(2:2)V’(a;i))oAr{4(a;i)4(a;2)},
(98 = ±('ф(х1)'ф(Х2'))о('Ф(Х2')'Ф(х1))о({/(х1)/(Х2'))о-
Этот тип процессов, для которых О{ дает матричные элементы, можно уви-
деть сразу, посмотрев на наружные линии G,, т. е. линии, имеющие один
свободный конец. Таким образом, для рассеяния Моллера вклад дает толь-
ко G4. Для комптоновского рассеяния — только G2 и G3. А для перехода
от атома, содержащего один электрон, к одноэлектронному состоянию, ко-
торое требует оператор вида b^bi, вклад будут давать G5 и G&.
Оператор V не только уничтожает электроны, но также создает по-
зитроны. A ip не только создает электроны, но и уничтожает позитроны.
Таким образом, сплошная внешняя линия со стрелкой, направленной в точ-
ку, представляет собой либо электрон в начальном состоянии, либо по-
зитрон в конечном состоянии. А сплошная внешняя линия со стрелкой,
направленной из точки, представляет собой либо испускаемый электрон,
либо приходящий позитрон. Аналогично пунктирные линии представля-
ют собой фотон либо в начальном, либо в конечном состоянии, потому
что оператор может и уничтожать, и порождать фотоны. Таким обра-
зом, G4 будет давать не только электрон-электронное рассеяние, но также
и электрон-позитронное. G2 и G3 дают не только комптоновский эффект,
но и двухквантовую аннигиляцию позитрон-электронной пары, а также об-
ратный процесс рождения пары при столкновении двух фотонов.
Мы представили диаграммы Фейнмана просто как удобный графиче-
ский способ, делающий наглядным анализ оператора в его нормальных со-
ставляющих. Графы —это только диаграммы, нарисованные на бумаге. Но,
согласно Фейнману14, «Space-time Approach to Quantum Electrodynamics»,
Phys. Rev. 76 (1949) 769, графы —это больше, чем только рисунки. Он рас-
сматривает графы как картину реального процесса, физически происхо-
дящего в пространстве-времени. Так, G2 представляет электрон и фотон,
приходящие вместе и взаимодействующие в пространственно-временной
точке 11, где фотон поглощается; затем электрон распространяется сквозь
пространство-время вдоль линии zjХ2, пока в точке %2 он не испустит фо-
тон, затем электрон и фотон движутся вдоль линий, направленных из точ-
ки Х2- Согласно Фейнману, внутренняя сплошная линия, идущая из точ-
ки zi в точку Х2, представляет электрон, распространяющийся из х^ в Х2,
если момент времени Х2 более поздний, чем zi, и представляет позитрон,
распространяющийся из точки Х2 в точку zi, если момент времени Х2 бо-
лее ранний. В этом смысле мы можем рассматривать позитрон как точ-
ный эквивалент электрона, который распространяется во времени назад,
а не вперед.
Пространственно-временная картина Фейнмана — совершенно непро-
тиворечива и разумна. Она дает правильное представление обо всем, что
происходит, включая рождение пар и аннигиляцию, а также все другие яв-
|4В антологии Швингера по квантовой электродинамике.
ления, связанные с позитронами. Фактически она математически эквива-
лентна теории поля, которой мы следуем в этом курсе.
Недостатком теории Фейнмана является то, что она построена как тео-
рия частиц. Тот факт, что существует много частиц, неразличимых друг
от друга и подчиняющихся квантовым статистикам, необходимо добавлять
в теорию как специальное предположение. И когда включены взаимодей-
ствия между несколькими частицами, уравнения движения для них стано-
вятся довольно сложными, не говоря уже об эффектах, связанных с по-
ляризацией вакуума. Таким образом, логическая основа теории Фейнмана
сложнее, чем теории поля, где все следует из общих принципов, как только
выбран лагранжиан.
В этом курсе мы пройдем дорогой логического развития, начиная
от общих принципов квантования, примененных к ковариантным уравнени-
ям поля и выводя из этих принципов сначала существование частиц, а затем
результаты теории Фейнмана. Фейнман, используя воображение и интуи-
цию, был способен построить корректную теорию и получить правильные
ответы на поставленные вопросы намного быстрее, чем это можем сделать
мы. Безопаснее и лучше для нас использовать пространственно-временные
диаграммы Фейнмана не как основу для наших расчетов, а только как по-
мощь в визуализации формул, которые мы выводим строго из теории поля.
Таким образом, у нас есть все преимущества теории Фейнмана, ее кон-
кретность и упрощение вычислений с ее помощью и нет ее логических
неудобств.
7.3.	Фейнмановские правила вычислений
Мы получаем фейнмановские правила вычислений, когда анализиру-
ем в нормальных составляющих хронологически упорядоченный оператор,
такой как в (488). В этом случае средние по вакууму в выражении (504)
всегда берутся для пар операторов, которые уже хронологически упорядо-
чены. Следовательно, все числовые множители в (504), или
(P(XA(z), Лм(у)))о = ^hcDF(x - y)5x)i,	(510)
ИЛИ
е(.г - y)(P(-0Q(x),V’/3(2/)))o = -|sFtt/3(z - у),	(511)
используя (427) и (442). Множитель е включен в (511) так, что знак ±
еще характеризует перестановки электрон-позитронных операторов, кото-
рые происходят при переходе от порядка, в каком эти операторы записаны
в выражении (504), к порядку, в котором они записаны в О. По той же
самой причине мы будем следовать Вику и в общем использовать для хро-
нологического произведения обозначение
T(7£i7£2 • • •	) = ±P{1Zl1Z2 ... 7Jn),	(512)
где знак плюс или минус ставится в соответствии с четным или нечет-
ным характером перестановки электрон-позитронных операторов от того
порядка, в котором они записаны в начале, до хронологического порядка
в уравнении (512). Следовательно, в частности, имеем
T(Ax(x),A^y)) = Р(Ах(х),А^у)),
_	_ (01 о)
T(^tt(T),^(y)) = e(i - у)Р№а(х),4>р(уУ).
И для каждого набора полевых операторов 7£17£о   • величина (512)
является релятивистским инвариантом, хотя F-произведение само по се-
бе таковым не является. В (488) само P-произведение можно записать
как Т-произведение, знак в выражении (512) в этом случае всегда будет
плюсом.
Правила для записи нормальных составляющих в (488) являются
очень простыми. В общем, нас интересуют только те нормальные состав-
ляющие, которые дают матричные элементы для некоторого определенного
типа процессов рассеяния. Тогда правила следующие:
1.	Рисуем все диаграммы, которые имеют правильный набор внешних
линий, соответствующих частицам, рожденным и уничтоженным в процес-
се рассмотрения. Каждый граф G будет иметь одни и те же внешние линии,
но число вершин и внутренних линий будет варьироваться от графа к графу.
Мы всегда будем вести расчеты только до некоторого конечного порядка N
в сериях (488), и поэтому мы рисуем только диаграммы, не более чем с N
вершинами. Полное количество таких диаграмм конечно. Каждая вершина
в каждом графе должна иметь точно 3 линии, заканчивающиеся на ней,
одну входящую электронную линию, одну исходящую электронную линию
и одну фотонную линию.
2.	Каждой диаграмме Gen вершинами соответствует одна нормальная
составляющая Sg из S.
3.	Выбрав конкретную диаграмму G, запишите n-й член Sn из се-
рий (488), разделите на пары множители в Sn, как обозначено на диа-
грамме G. Замените каждое спаривание Ах(х)А/1(у') на выражение (510)
и замените каждое спаривание •0а(^)^’д(у) на (511). Примените ЛГ-упоря-
дочивание для оставшихся неспаренных членов из Sn и умножьте полное
выражение на (±1), следуя правилам, данным для уравнения (504). В ре-
зультате применения этих операций для Sn получится нормальная состав-
ляющая Sq.
Если мы хотим посчитать матричный элемент для процесса рассеяния,
тогда должны добавить еще только одно правило к трем уже данным.
4.	В каждой Sg замените неспаренные операторы волновыми функ-
циями рожденных и уничтоженных частиц, например записывая (437)
для ip(x), когда уничтожен электрон (р, и), и записывая (438) для AM(z),
когда поглощен фотон (k,e). Такие подстановки можно иногда выполнить
более чем одним способом (например, в комптоновском эффекте, когда по-
глощенный и испущенный фотон может быть отнесен двумя способами
к двум неспаренным фотонным операторам). В таком случае эти замены
необходимо делать всеми возможными способами, результаты складывать
вместе, учитывая статистику Ферми, приписывая знак минус, когда пере-
ставляются волновые функции двух электронов или позитронов.
Правила 1^4 —это правила Фейнмана вычисления матричных элемен-
тов для всех процессов в электродинамике. Согласно Фейнману, они име-
ют промежуточную интерпретацию. Так, выражение (510) —это амплитуда
вероятности того, что фотон, испущенный в точке х с поляризацией А, по-
падет в точку у с поляризацией /з, плюс амплитуда вероятности того, что
фотон, испущенный в точке у, попадет в точку х. А выражение (511) —
это амплитуда вероятности попадания в точку х электрона, испущенного
в точке у, плюс амплитуда вероятности попадания в точку у позитрона,
испущенного в точке х, с заданными спинами а и (3. Таким образом, мат-
ричный элемент —это амплитуда вероятности для последовательности со-
бытий, взаимодействий и распространения, которые изображены в верши-
нах и линиях диаграммы G. Полная амплитуда вероятности для процесса —
это сумма амплитуд, полученных для различных графов G, вносящих вклад
в этот процесс.
Правила Фейнмана принимают наиболее практичную форму, когда
мы используем для функций Dp и Sf импульсные представления (430)
и (448), выполняем интегрирование по точкам х\.. ,хп тл, таким образом,
получаем матричные элементы как интегралы от рациональных функций
в импульсном пространстве. Таким образом, например, были получены мат-
ричные элементы (432) и (449).
В импульсном пространстве интеграл для Sg содержит:
1.	множитель р-, соответствующий каждой внутренней (514)
фотонной линии в G,
2.	множитель соответствующий каждой внутренней (515)
электронной линии в G,
3.	множитель (2тг)4<54(А:1 + /с2 + ^з), соответствующий (516)
каждой внутренней фотонной линии в G, в которую
сливаются 3 линии с соответствующими
импульсами fc2. &з)- Этот множитель возникает
при интегрировании по пространственно-временным
координатам вершины.
К этим множителям будут еще добавлены численные множители и мат-
рицы Дирака 7а, возникающие из специфического вида Sn. На практике
легче всего не записывать Sg непосредственно в импульсном пространстве,
а воспользоваться правилами (1)-(4), чтобы получить формулы в конфи-
гурационном пространстве с правильными численными коэффициентами,
а затем перейти к интегрированию по импульсам, используя формулы (430)
и (448).
Покажем, как эти общие методы работают, произведя подробные вы-
числения в давно известной задаче о нахождении радиационных поправок
второго порядка к рассеянию электрона слабым внешним потенциалом. Эта
задача впервые была успешно решена Швингером в статье15 Schwinger,
Phys. Rev. 76 (1949) 790. Статья Швингера чрезвычайно трудна для прочте-
ния, и я надеюсь, что вы найдете мое изложение по крайней мере немного
легче. Но эта задача трудна по своей природе, и ее невозможно решить без
использования довольно сложной математики. Решив однажды эту задачу
рассеяния, оказывается, что ее результат можно использовать без больших
затруднений также для релятивистского вычисления лэмбовского сдвига.
Задачи рассеяния и вычисления лэмбовского сдвига тесно взаимосвязаны:
в обоих случаях вычисляются радиационные поправки второго порядка
к движению электрона, только в первом случае состояние электрона при-
надлежит непрерывному спектру с большой энергией, так что внешнее поле
можно рассматривать как слабое, в другом случае электрон находится в со-
стоянии, принадлежащем дискретному спектру, и потенциал необходимо
рассматривать как сильный.
|5В антологии Швингера.
7.4.	Собственная энергия электрона
Перед тем как приступить к изучению влияния радиационного взаи-
модействия на рассеяние электрона во внешнем потенциале, мы должны
сначала рассмотреть влияние радиационного взаимодействия на одиноч-
ный свободный электрон в отсутствие внешних потенциалов. Пусть свобод-
ный электрон первоначально находится в состоянии (ри). Влияние одного
только радиационного взаимодействия задается матрицей рассеяния (488).
Если начальное состояние Фд, тогда конечное состояние, достигаемое по-
сле бесконечно долгого радиационного взаимодействия, будет 5Фд. В этом
случае S имеет матричные элементы только для тех переходов, в которых
сохраняется импульс и энергия. Стартуя из одноэлектронного состояния,
невозможно перейти к мпогочастичному состоянию, например в результа-
те испускания одного или более фотонов, поскольку сохраняется импульс
и энергия. Следовательно, матричные элементы S, определяемые форму-
лой (487), будут отличны от нуля только для переходов из одноэлектронно-
го состояния Фд в одноэлектронное состояние Фд. Пусть в состоянии Фд
электрон имеет импульс и спин (р'и1).
Мы рассматриваем радиационные эффекты с точностью только до вто-
рого порядка. Член первого порядка в (488) дает переходы только с испус-
канием или поглощением фотона и, следовательно, не дает вклада в пере-
ход Фд —> Фд. Поэтому мы можем просто записать
S = 1 + U2,	(517)
где U2 задается формулой (423). Мы должны посчитать матричный эле-
мент М2 от U2 между состояниями (ри) и (р'и1).
Для того чтобы записать Мз, используем правила Фейнмана. Спари-
вания U2 присутствуют в 8 графах, приведенных на страницах 122-123.
Из них только G5 и Ge дают вклад в М2, и эти вклады одинаковы, посколь-
ку интеграл (423) симметричен по переменным и х2. Используя (510)
и (511), получаем, что нормальная составляющая U2, возникающая из G-
и Go, —это
U-2N = -ул; [[dxidx2N(i/;(x1)yx{T^(x1),
Atl с J J
, /1
х (Т1(ЛА(а;1), Лр(х2)))о =
= У2//dxi	-x2)yxi>(x2))DF(x2 -II).
(518)
Для того чтобы получить М2 из (518), подставим вместо и V^i)
волновые функции начального и конечного состояний и используем им-
пульсные интегралы (430), (448). Тогда можно выполнить интегрирование
по xi и Х2, и мы находим
Г Г	1	\ 1
А F F
х 6(ki — к2 — p')5(k2 - кг + р) =	(519)
2 g 2	(* f	1	\ 1
=	/ dk й'тЛй—-—-ТАи 72-
Ис J \ к - i> - гр J к2
А	F
Рассмотрим оператор Дирака
s<?) = Е/ dk (Та?-2_1д) 1	(520)
возникающий в (519). Поскольку (р,и)— это импульс и спин реального
электрона, мы можем использовать соотношения
p2+p2=0, (f — ip)u = 0,	(521)
когда считаем ^2(р) в (519). Поэтому, используя (376), (585) и следуя то-
му же методу, какой мы применили для вычисления (377)16, находим
7л(^+^ + ш)7л
к2 (к2 + 2р • к)
4ip — 2^ — 2/
dk — ~	~
к2(к2 + 2р  к)
[к2 + 2р • к]2
,Лгр-^ + г/)
К [к2 - z2p2]2
_,г< гр(1 + г)
[k2+z2p2]2’
(522)
16(585) —тождества матриц Дирака, которые устанавливают эквивалентность первых двух
интегралов в уравнении (522). Логически эти тождества должны были бы быть представлены
перед главой 6, ио ничто не мешает читателю пользоваться более поздней ссылкой.
где мы изменили интегрирование по А: с помощью замены к —> к — zp
и исключили нечетные члены. Используя (386) и вводя логарифмически
расходящуюся константу R, как в (387),
Е(р) = 2 J dzipfl + г){2гтг2(7? — logz)} = — тг2р[6/? + 5] = — 6тг2р/?/.
о
(523)
Таким образом, Е(р) —логарифмически расходящаяся константа, завися-
щая только от массы электрона и не зависящая от состояния электрона.
Отличие 5/6 между /? и R' несущественно. Подстановка (523) в (519) дает
величину М2
е2и
Мо — — 6тг2г—— R'5(p — р')(й'и).	(524)
пс
Таким образом, U2 не дает никаких переходов между различными одно-
электронными состояниями. Он имеет только диагональные матричные эле-
менты, задаваемые формулой (524).
Теперь (524) имеет правильную релятивистскую форму, чтобы можно
было сопоставить ее с эффектом чистой собственной энергии. Предполо-
жим, что вследствие радиационного взаимодействия масса реального элек-
трона равна
т = то + 5т,	(525)
где то — это масса голого электрона в отсутствие взаимодействия, а 5т —
это электромагнитный вклад в массу. Изменение массы 5т может быть
представлено следующим членом:
^£s = —5m(?ilnl>	(526)
в лагранжиане (410). Это дало бы энергию взаимодействия
Hs(t) = 5тс2 у ф(г, t)ip(r,t) d3r	(527)
в уравнении Шредингера (415) и, наконец, вклад
Us = —i—^ У ^{x)dx	(528)
в матрицу рассеяния (421) или (488).
Матричный элемент (528) между состояниями (ри) и (р'и') — это
ОТП С
Ms = — г—— (2тг)45(р — р')(й'и).
П
(529)
Это выражение-идентично (524), если мы определяем собственную мас-
су 6т уравнением
6т =
2
е т
he
R' = —R'm.
2тг
(530)
3
8^
Для всех матричных элементов в одноэлектронном состоянии ?72 совпада-
ет с Us- Иначе говоря, полное воздействие радиационного взаимодействия
на свободный электрон —это изменение его массы на величину (530). Это
самый удовлетворительный вывод. Он означает, что электрон со своим соб-
ственным полем все еще обладает правильным соотношением между им-
пульсом и энергией для релятивистской частицы, только это собственное
поле изменяет величину массы покоя. Одной из главных трудностей для
классической теории всегда было то, что классический неточечный элек-
трон вел себя неправильно в релятивистском случае.
Собственная масса 6т — ненаблюдаемая величина. Наблюдаемая мас-
са электрона — это т, и невозможно отдельно измерить ни то, ни 6т. Та-
ким образом, нас не может устроить то, что 6т появляется в матрице рас-
сеяния S, которая, как предполагается, представляет результаты экспери-
ментов.
Причина, по которой 6т появляется явно, заключается в том, что при
определении начального и конечного состояния системы мы использовали
ненаблюдаемую массу т. Мы определили их как состояния свободного
электрона с голой массой то. Везде, где мы использовали обозначение т
для массы электрона, вплоть до этого момента, мы подразумевали под т
массу голого электрона.
Намного лучше не менять обозначения, а сохранить их и поменять ин-
терпретацию таким образом, чтобы в этой теории т везде означало массу
реального электрона. В частности, мы устанавливаем операторы представ-
ления взаимодействия с реальной массой электрона т, а начальное и ко-
нечное состояния в задаче рассеяния определяются как свободные частицы
с правильной массой т.
В рамках измененной таким образом интерпретации полная теория яв-
ляется корректной вплоть до этого момента, за исключением того, что в £d,
который появляется в лагранжиане (410) для квантовой электродинамики,
и в уравнениях поля (411) и (412), которым удовлетворяют операторы Гей-
зенберга, вместо т нужно использовать голую массу то. Мы предпочитаем
придерживаться наблюдаемой массы т в и корректировать его, запи-
сывая вместо (410)
££ =	- гетрДтр — гетр^ф —
(531)
где задается уравнением (526). Тогда радиационное взаимодействие
становится
HR(t)-Hs(t)=HI(t),	(532)
где HR задается формулой (416), а Нд формулой (527). После произведен-
ных изменений (531) и (532) полная теория согласуется с интерпретацией,
что т везде является наблюдаемой массой электрона.
В частности, одним из результатов (532) является то, что для одно-
электронных состояний оператор рассеивания S становится
S = 1 + U2 - Us	(533)
вместо выражения (517), содержащего только члены порядка е2. Все мат-
ричные элементы (U2 — Us) для одноэлектронных состояний равны ну-
лю. Таким образом, если в определении состояний электрона мы исполь-
зуем правильную массу т, то больше не существует наблюдаемых воздей-
ствий радиационного взаимодействия на движение свободного электрона.
Это показывает, что перенормировка массы и процедура введения в форму-
лу (531) члена (—-$?s) являются согласованными и, вероятно, дают разум-
ные результаты.
7.5.	Радиационные поправки второго порядка
к рассеянию
Пусть электрон рассеивается из начального состояния (ри) в конечное
состояние (р'и') под действием внешнего потенциала
1
е’^еДд) dq.
№) =
(534)
В то же время взаимодействие электрона с квантованным электромагнит-
ным полем описывается (532), поскольку мы определяем начальное и ко-
нечное состояния так, что они содержат наблюдаемую массу свободного
электрона. Элемент М матрицы рассеяния задается формулой (419), где U
дается (421) после замены каждого HR на Н1 в соответствии с (532).
Мы рассматриваем А® в линейном борновском приближении. Таким
образом, мы сохраняем только члены 0-го и 1-го порядка по А®. Члены 0-го
порядка дают эффекты 'только радиационного взаимодействия. Как мы уже
видели, для начального состояния, предс тавляющего собой один единствен-
ный электрон, эти эффекты равны нулю.
Таким образом, матрица рассеяния эффективно задается членами пер-
вого порядка по Л®, взятыми из (421), а именно
оо /__. \ п ..	.	.
= n\J "J
(535)
Мы будем вычислять радиационные эффекты только до второго порядка.
Поскольку 6т — само по себе второго порядка, это означает, что мы выпол-
няем разложение до второго порядка по Hr и до первого порядка по Hs-
Таким образом,
и = и0 + и1 + и2 + и'2, '	(536)
Uo — — / dxil>.Aeip(x), пс J	(537)
е2 Г	-	- f7i = —- / dxdxi Р{'ф/е'ф(х'),‘ф^‘ф(х1}}, П (Г J	(538)
ез г	_	_	_ U2 = —д-т / dxdxi dx2 P{i/>/eip(x), 'ф/'ф(х1),'ф/‘ф(х2')}, 2псл J	(539)
U2 = -—j- [ dxdxi P{i/>Aei/)(x),i/>i/)(xi')}. п J	(540)
Тогда, соответственно, матричный элемент, который мы хотим посчитать, —
это
ЛТ — ATq Т Л/\ Т Л^2 Т АТ2.	(541)
Волновые функции начального и конечного состояний:	
ueip'x, u'eip'x.	(542)
Тогда из (534) имеем	
ЛТо = ^-(u7u), Tic	(543)
где q — постоянный вектор Q = Р' - Р	(544)
и
ем = М?)-
(545)
Оператор Ui дает переходы из одноэлектронного состояния только
в состояния, состоящие из электрона и фотона. Это процесс тормозного
излучения, рассеяние электрона с реальным испусканием фотона, и мат-
ричный элемент для него задается формулой (484). В любом эксперимен-
те по рассеянию этот процесс будет, конечно, происходить в то же самое
время, что и рассеяние без излучения. Экспериментально можно отделить
рассеяние с испусканием фотона от рассеяния без радиации только в том
случае, если энергия испускаемого фотона больше, чем некоторое предель-
ное значение ДД, приблизительно равное пороговому значению, с кото-
рым можно измерить энергию электрона. Рассеяние с испусканием мяг-
ких квантов (низкой частоты, к' мало) всегда будет включено в поперечное
сечение рассеяния без излучения. Следовательно, нас будет интересовать
величина Mi для конечного состояния, содержащего электрон (р'и') и фо-
тон с потенциалами (440), в том случае, когда к' так мало, что им можно
пренебречь по сравнению с р, р' и q. В этом случае (484) дает
(546)
где мы использовали (521) и правило 4 на странице 184.
Теперь мы переходим к вычислению М2, матричного элемента (539)
между состояниями (542). Это основная часть задачи. Для того чтобы сде-
лать это, применим правила Фейнмана. Существует 9 диаграмм, дающих
вклад в М2, а именно
и {Ge, Gt, Ge, Gg), полученные перестановкой меток (xj, хг) в {Gi, G2, G3, G4}
соответственно. Мы можем видеть это следующим образом: процесс, кото-
рый нас интересует, содержит одну внешнюю фотонную линию и две внеш-
ние электронные линии. Следовательно, ^е(х), один ф и один ф должны
быть не спарены. Следовательно, два всегда спарены. Линии свободного
электрона могут быть ф0, ф^; ф1, -фо; ф1, фг; ф1, Ф2 и еще четыре случая,
полученные взаимной заменой 1 <—> 2. В каждом случае остаток одно-
значно определяется правилами. Девятый случай является единственным
случаем с внешними электронными линиями ф0, фо.
Эффект диаграмм {Ge, G7, Ge, Gg} состоит в удвоении вклада от диа-
грамм {Gi, G2, Go, G4}, поскольку выражение (539) симметрично относи-
тельно переменных Xi и х%. Диаграмма G5 будет давать только численный
фазовый множитель к Mq, который является одним и тем же для всех ко-
нечных состояний; фактически он представляет собой фазовый сдвиг меж-
ду начальным и конечным состояниями благодаря собственной энергии
вакуума. Подобный множитель сдвига фазы мог бы возникнуть во вкла-
дах для Gi, Go, и т.д., появляясь от несвязанных графов во вкладах бо-
лее высоких порядков. Следовательно, в этом смысле мы можем считать,
что Go — это реальный вклад Uo с одной из множества возможных несвя-
занных добавок. Численный фазовый множитель такого вида, одинаковый
для всех конечных состояний, является ненаблюдаемым и не имеет физи-
ческого смысла, поскольку его можно компенсировать, изменив фазу всех
волновых функций на одну и ту же величину. Следовательно, мы всегда
можем игнорировать такие графы, как Go, имеющие несвязанные части без
внешних линий. Осталось рассмотреть только {Gi, G2, G3, G4}.
Применяя правила Фейнмана, получаем, что вклад Gi в AG —это
(с множителем 2 из Ge)
М21 = — з УУУ dxdxi dx2 У^Тгх
х {/е(х){Т{ф(х),ф(хг)})о'у,1{Т{ф(<х1),ф(х)})о}х
X 0(^2)(Г{Лм(Х1),4(^2)})О1/’(;с2),
(547)
где шпур появляется из-за свертки, согласно правилу 3, а знак минус —
в результате изменения порядка ф и ф множителей между (539) и (547).
Из (510) и (511)
М21 = —
8П2с2
///
dxdxi dX2 {^е(гЕ)5/г(гЕ — X^y^Sp^Xi — z)}x
X DF(X! - Х2)ф(х2)у11ф(,Х2).
Следовательно, используя импульсные интегралы (430), (448), (534), (542)
и выполняя интегрирование по (х,	, хг), получим
"21 “	JJ dk^dk^x
х 6(q + k-L — kb^-ki +	+ кз)6(-кз —р +р) =
4	' р и	>
7>3	_ 1
(548)
где q задается (544) и
J(l = у F^kjdk,	(549)
F
функция FM(fc) идентична (371) для <5 = 0. Заметим, что (549) —это инте-
грал Фейнмана, являющийся не чем иным, как контурным интегралом (374)
с контуром, изображенным на рисунке. Эффект от е в (431) точно эквива-
лентен контуру С. Следовательно, применяя (388) для JM, получим
26°	л Г	/	пй \ I
Мп = ~о 2^2 2	“ / (z ~ z2) log 1 + (г - z1 2)—] dz L
2тг27Гс2 3 J	\	м2 \
о	'	'	)
(550)
где мы опустили член в формуле (388), т. к.
(и’^и) = {г/(Х — гр)и} —	— гр)и} = 0.	(551)
2
Обозначаем а = 4^, тогда (550) становится
Л^21 — аМо — -—R +
1 / „ \
О О Г	/	\
(z - z2) log 1 + (z - z2)^2 dz
О7Г 7Г J	\	UF I
0	4 *	7
(552)
Это рассеяние, производимое плотностью тока, индуцированного в вакуу-
ме потенциалом Л®, в соответствии с (392). Как и раньше, член в R яв-
ляется ненаблюдаемым, поскольку его невозможно отделить эксперимен-
тально от простого рассеяния Mq, которому он пропорционален. Наблюда-
емый внешний потенциал, измеренный каким-либо способом, будет не Л®,
а Л® (1 — 37-й), который мы можем назвать «перенормированным внешним
потенциалом». Следовательно, в терминах наблюдаемого потенциала Л®
общий вклад в Gi будет
(553)
Этот интеграл, как и раньше, будет комплексным. Но для малых q он будет
действительным, и, пренебрегая членами более высокого порядка, чем q2,
имеем
2 1 2
М2г — —	[(z - z2)2 dz =	(554)
ТГ	J	157Г
о
Теперь рассмотрим вклад в М2 от G2. Это
м22 =	2- ууу dxdxx dx2 У^у>(х)4е(д:)х
х SF(x - x2)yxSF(x2 - zi)7ai/’(3;i)-df(zi - x2),
=------——z— / / / / dki dk2 dk3 dqx
V—' i —11/ \	1	1	1 1
№)t-------T-TA-U---7-TAU > T5 X
(	ki-гр	fa-ip.	J k2
x 5(кг + q- p')8(k2 - ki - k3)6(k3 + p- k2),
ге3	j; 1	1
=---------~—	dk и e------------yx-i--------Ухи
ie3 l-i, 1	\ 1
=----------— и i----------S(p)u ,
(2tt)4?i2c2	J
1
fc2’
(555)
(556)
(557)
(558)
где (p) задается формулой (520).
Перед обсуждением 52 (р) мы должны посмотреть на множитель
появляющийся в выражении (558). Этот множитель можно записать как
f + ip
Р2 + Р2'
(559)
Но поскольку р —вектор импульса реального электрона, то р2 + д2 = О,
и множитель (559) является сингулярным. Это значит, что интегралы по Xi
и т2 действительно расходятся, а не просто совершают ограниченные ко-
лебания при t = ±оо и преобразование в импульсные интегралы не допу-
стимо. Уравнение (558) в том виде, как оно написано сейчас, абсолютно
бессмысленно.
В этом месте мы явно должны привлечь в наши вычисления медлен-
но меняющиеся функции обрезания p(tj), появляющиеся в (495), которые
были введены с целью однозначного определения начального и конечного
состояний задачи. Поэтому вместо (555) мы запишем
М22 =^2 2 JfJ dxdxi dx2^x^SF(x - x2)7a5fx
x (z2 - Х1)7Л^(х1)Рг(х1 - x2)p(ti)p(t2).
(560)
Здесь p(ti)p(t2) — множители, относящиеся к радиационному взаимодей-
ствию, работающему в х\ и z2. Предполагается, что время Т, в течение
которого p(t) изменяется значительно, является большим по сравнению
с продолжительностью процесса рассеяния. Пусть представление интегра-
ла Фурье для p(t) выглядит следующим образом:
ОО
p(t)= J G(e0)e“i£°ct deo =
— ОО
оо
I С(ео)ей°-*<йо,
— ОО
где ео — действительная переменная, ас — вектор
е = (0, 0, 0, е0).
(561)
(562)
Выполняем нормировку
ОО
5(0)= J G(6O)<ko = l	(563)
—ОО
и предполагаем, что G(«o) —это «почти» 5-функция, т. е. функция, кото-
рая является большой только для значений бо в диапазоне приблизитель-
но (сТ)-1 с обеих сторон от нуля. Подставляя (561) в (560), мы получаем
вместо (558) правильную формулу
М22 =	>4*2 2 /7'G(£o)G(eo)deodeo х
(2тг)ч7г с J J
х ^(<?-б-б')	1 ----Е(р + б)и[.	(564)
[	f - гр J
В формуле (564) недопустимый множитель (559) заменен на некоторый
конечный и математически хорошо определенный. Здесь будет присутство-
вать сингулярность при интегрировании выражения (564) по бо, но она
является обычным полюсом, и интегрирование по бо даст хорошо опре-
деленный результат, когда берется как интеграл Фейнмана. Мы имеем
при Т —> оо, б0 —> 0 и 6q —> 0
1	=	+ +гц________________f + ip.
$ + {+/-гц 2р • (б + б') + (б + б')2 2ро(бо + бо)
Следовательно, при вычислении £2(р + б) мы должны оставить только чле-
ны нулевого и первого порядков по бо, пренебрегая членами второго и более
высоких порядков, потому что даже при умножении на (565) они стремятся
к нулю при Т —> оо.
При сохранении только членов нулевого и первого порядков по е
J2(p + б) становится
Е(р + б) = Е(р) -	£а7а(Р)>
а
(566)
1 111
й i Zi * а Й । Zi * I 7 2 ’
(567)
Здесь мы применили тождество
1
1	11	111
---В—	+ —В—В-
А	А А	А А А
(568)
которое справедливо для любых двух операторов А и В, коммутирующих
или нет, если ряд на удаленной гиперсфере в некотором смысле сходится.
Это можно увидеть сразу, умножая на А + В ; тогда это условие становит-
ся (В/А)п —> 0 в некотором смысле.
В (564) мы можем использовать условия (521), и они дают для 52(р)
постоянную величину (523). Интеграл 1а(р) подобен 52(р)» логарифми-
чески расходящемуся при больших к, и он также логарифмически расхо-
дится при малых к, в отличие от 52 (р)- Мы не будем пытаться вычис-
лить 1а (р) математически. Из общих принципов ковариантности мы можем
сказать, какова его форма как функции от р. Для общих р, не удовлетворя-
ющих (521), /Q(p) — это матрица Дирака, преобразующаяся как вектор при
преобразованиях лоренца, и поэтому он должен иметь форму
Л»(р) = -^1(р2)7а + -Рг(р2)(^ - ipha + -?з(р2)7а(^ “ *р) +
о	(5о9)
+ -^4(р )(/> - ighaQ# - гр),
где Fi, ..., F4 —функции от скаляра р2. Следовательно, используя (521)
и (523), мы видим, что в (564) мы можем положить
Е(р + б) = -6тг2р/?' - /1/ - I2(f - гр)/,	(570)
где Л и 12 — новые абсолютные константы и, в частности,
h=F^-p2).	(571)
Но в формуле (564) член
( . 7 Л/—~ ) У ~	TZ7T7'—+
\j/> + /+/-ipJ	/> + /+/ -гр
порядка б и стремится к нулю при Т —> оо. Этот член можно отбросить, и
тогда (564) становится
ie3
М22 =
/о	//G(eo)G(6o)d60d6o х
(2тг)47г с2 J J
х u/(q - е - е')	----
/> + /+/ — гр
(—6тг2р/?/ — I\/)u
(572)
Заметим, что если бы мы посчитали 7Q(p), заданное формулой (567), пред-
полагая, что р2 + р2 = 0 и -р — гр = 0 применяются к левому и правому
состоянию, а не только к правому, как в (521), результат был бы
4»(р) = 717а.	(573)
Это удобное определение для пригодится в будущем.
Теперь понятно, что член В! в Мц представляет собой некоторый вид
эффекта собственной энергии электрона, которая должна быть не наблюда-
емой. Можно ожидать, что этот член будет уничтожен членом М2, появля-
ющимся из поправки собственной энергии для Hs в (532). Это все более
вероятно, потому что граф G? на странице 130 включает в себя граф G$
на странице 123, представляющий собой собственную энергию свободного
электрона. Теперь вернемся к вычислению М2.
М2 — это сумма двух вкладов, появляющихся от двух диаграмм, пред-
ставленных ниже.
Вклад от G2 (сравните с (528)):
М'2 = -
гебт
2П2
dxdx\^(x)AeSF(% —
(574)
Аналогично (555) этот интеграл не колеблется, а расходится при = ±00.
Следовательно, мы явно должны принять во внимание обрезающий множи-
тель для радиационного взаимодействия. В момент времени ii радиацион-
ное взаимодействие 77д(^1) будет содержать обрезающий множитель g(t\).
Но собственная энергия 5т в момент времени й — это эффект второго по-
рядка по Нц и поэтому умножается на [g(ti)]2, если g(t\) изменяется доста-
точно медленно. Обрезающий множитель g(t) был введен при определении
элемента матрицы рассеяния (487), для того чтобы однозначным образом
представить начальное и конечное состояния с помощью простых волновых
функций голых частиц. Потребуем, чтобы волновые функции голых частиц
всегда имели такую же массу т, как реальный электрон. Это достигается,
если мы к радиационному взаимодействию, появляющемуся в (495), до-
бавляем член (—Hs), причем каждый Hs(ti) умножается на обрезающий
множитель [p(4i)]2, поскольку мы имеем дело только с членами второго по-
рядка малости в 6т. Если бы мы вычисляли эффекты четвертого порядка
малости по е, тогда члены четвертого порядка малости в разложении 6т
надо было бы умножать на [д(£;)]4 и т. д.
Эффект обрезающих множителей — это замена (574) на
Л^22 = УУ dxdxi 'ф(х)4е3г(х - Т1)^(т1)[з(«1)]2.	(575)
Используя (561) и осуществляя интегрирование, как это было сделано рань-
ше, получим
ieSm f f
М22 = —2^2 J J G(£o)G(eo) deo x
x J — e — e') { —' ; / ,,-----~ ) и I.	(576)
(	+ f + ? - гр I I
В силу (530) этот член точно сокращает член в выражении для R1 в (572),
как и ожидалось.
Для упрощения члена в Д в выражении (572) мы можем заменить /
на |(/ + /')> так как подынтегральное выражение симметрично относи-
тельно е и е'. Используя (521), мы можем, в свою очередь, заменить его
на |(^ + / + /' — ip). Тогда знаменатель в выражении (572) сокращает-
ся. После сокращения знаменателя выражение становится несингулярным,
и мы можем перейти к пределу Т —> оо, используя (563) для осуществления
интегрирования по ео и ед. Поскольку предполагается, что внешний потен-
циал действует в течение ограниченного времени, которое не стремится
к бесконечности при Т —> оо, множитель /(д - с — е') является непрерыв-
ной функцией от е + е' и стремится к /(g) при Т —> оо. Следовательно,
в пределе Т —> оо мы имеем
2ga 1	ia
+ = (577)
Графы G3 и G'3 дают одинаковые вклады. Следовательно,
М22 + М23 + М', + М^3 = ^ЦМО.	(578)
47Г
Оказывается, что Д — чисто мнимое, а множитель, стоящий при Мо в вы-
ражении (578)— действителен и отрицателен.
Какова физическая интерпретация расходящегося члена (578)? Это пе-
ренормировочная постоянная, умноженная на Мо, подобная перенормиро-
вочному члену для заряда в (552). Поэтому вначале возникает желание
подумать, что, может быть, это дополнительный эффект перенормировки
заряда. Но это предположение не может быть правильным, потому что пол-
ная перенормировка заряда была посчитана в (392) и результат согласован
с (552). Фактически (578) можно интерпретировать элементарнее. Когда
электрон попадает в точку т внешнего потенциала, где он подвергается рас-
сеянию, будет существовать определенная вероятность Р того, что он сна-
чала испустит и еще не поглотит фотон, как показано на диаграмме Фей-
нмана G4. Будет существовать вероятность (1 — Р) того, что он прибудет
в точку х, не сопровождаемый фотоном, как показано в графах G2 или G3.
Рассмотрим вклад М^р в матричный элемент М в результате процес-
са рассеяния, в котором электрон попадает в точку х в отсутствие фотона.
В приближении нулевого порядка М^р = Мо. Но в приближении второго
порядка мы должны принять во внимание приведенную вероятность то-
го, что электрон приходит в точку х в отсутствие фотона, это достигается
умножением волновой функции электрона как в начальном, так и в конеч-
ном состояниях на коэффициент
(1 - Р)1/2.	(579)
Следовательно, в приближении второго порядка
MNP = (1 - Р)МО.	(580)
Поскольку во втором порядке
М^Р — Мо + М22 + М32 + М23 + М33,	(581)
результат (578) согласуется (580) при условии, что Р совпадает с
згу
Р=-—Л.	(582)
4тГ
Коэффициент (579) представляет перенормировку амплитуды волно-
вой функции, и по этой причине выражение (578) обычно называется
эффектом «перенормировки волновой функции». Но это не означает, что
член (578) должен быть удален в процессе, аналогичном перенормиров-
ке массы или заряда. Не возникает никаких трудностей, если мы просто
оставляем (578) как есть. В конечном итоге он будет взаимно уничтожен
членом (+РМО), появляющимся из G4.
Применяя правила Фейнмана, получим, что вклад от G4 в М с коэф-
фициентом 2, чтобы учесть Gg, —это
Л^24 =	[[ dxdx1dx2'^'i/’(x')'yxSF(x1 - x)/e(x')SFx
О rv С tz
X (x - x2)yx^(x2)DF(x2 - Xi) =
= (583)
где
A(p,p') = [ dk^2 (7x7—77——-7a ) Л- (584)
J у /с+^-г/х	у fc2
В (584) нет никакого сингулярного множителя, какой мы имели в (558).
Чтобы выполнить суммирование по А в (584), используем таблицу
52 7а?а = 4.
А
^2 7а(Ьа = -2^,
(585)
227а^а = 4(а- Ь),
А
527а^^7а = -2^,
А
справедливую для любых векторов а, Ь, с. Эти формулы могут быть выве-
дены из следующей рекурсивной формулы: обозначим	• • • $п,
где qi — произвольные векторы, и Хп =	7а^(п)7а, Хо = 4. Тогда имеем
Хп+1 7А$(п)$п4-17А	^^ТА$(п)7а(<?п4-1)д
А	А м
=ГЕ^(п) [2$Ад 'Уа7м](?п+1)д —
А М
= 2^п+1^(п) ~ Xntfn+1,
что тогда дает (585) для п = 1, 2, 3. Таким образом,
Л, п'\ of jJ^+^W + X)-2гд(2е-к + е-р + е-р') - р2^
Л(р,р) = -2у dk---------------5-т___г_--------------------------.
(586)
В (583) мы можем использовать соотношения
р2 + р2 = р'2 + р2 = 0, (jfi-ip)u = 0, u'(f'-ip) = Q. (587)
Мы также предполагаем, что внешний потенциал удовлетворяет условию
Лоренца
дАе
——- = 0, так что е • q = 0.	(588)
А дх*
Для вычисления (586) используем обобщение на случай трех перемен-
ных выражения (376)
1 1
—— = 2 Idx xdy-------------------------------—,	(589)
abc J J [a(l — x) + bxy + ca:(l — j/) 3
о о
которое можно проверить сразу прямым интегрированием. Запишем
Ру =ру + р\1 - у)
Ру = [-(р' ~ Р}У + Р']2 = <zV - (2Р/2 - 2Р ’ Р')У - Р2 =
= <7V-(p'2-2p-p'+p2)-p2 =
= -р2 -{у- y2)q2.	(590)
Тогда, заменяя интегрирование по к подстановкой к —» к — хру,
из (586) и (589) получим
F
($ - хру + ^)/($ - хру + р') - 2ipe  (2fc - 2хру + р + р') - р2£
Х	[к2 - х2р2]3	’
(591)
В (591) мы можем отбросить члены, нечетные по к. А также, исполь-
зуя (587) и (588), мы можем записать
, , 1 ,
е-р = е-р = е  ру = грр + -tf,
(592)
(р - хру)£(р' - хру) =
= {(1 -	- (1 - xj/)$}^{(l - X)i? + (1 - х + ху)^} =
= -(1 - х)2р2^ + (1 — x)ipp^2 — х) + (1 — хр)(1 — х — xy)q2. (593)
Собирая вместе члены из выражений (592), (593), мы имеем
Л(р, р') = —4 УУ xdxdy j dk х
F
+ (1 - xy)(l - x + xy)q2£ - (x - т2)гр^ + (2 - 2rr — x2)p2/
x	[fc2 + xV + (y-M3	'
(594)
Ранее мы видели, что интеграл (567), вычисленный с использованием
условий р2 + р2 = 0, р — ip = 0, имеет значение (573). Сравнивая (567)
с (584), это означает, что
Л(р,р) = Л(р',р') = 1^,
(595)
когда предполагается, что выполняются условия (587) с р' = р. Таким об-
разом, (Л^)— это только значение выражения (594) для р' = р. Добав-
ляя (583) и (578), получаем
ic^
М2Т = Л^24 + Л^22 + Л^22 + ^23 + Л^23 ~	------,л'~2 9 (ц'Ле(р, (596)
(2тг)4А с2
Лс(р,р') = Л(р,р') - -{Л(р,р) + Л(р',р')} =
— 2х - х2)р2^] х
/______________1____________ 1 \
\ [fc2 + т2(р2 + (у - Р2)<72)]3 [fc2 + z2p2]3 ) +
+ [(1 - ху)(1 - х - тр)52^ - (х - х2)гр^[ dk X
1
[fc2 + x2(p2 + (p-y2)52)]3
(597)
Интегралы по fc в (597) теперь являются сходящимися. Таким образом, эф-
фект члена «перенормировки волновой функции» (578) состоит в том, что-
бы исключить часть М24, не зависящую от q и расходящуюся при высоких
частотах.
Для вычисления (597) мы используем (385) и (386). Во-первых,
в члене fyjk мы можем заменить fcMfcp на |<JMPfc2 из-за симметрии инте-
грала в fc-пространстве. Поэтому мы можем записать, используя (585),
(598)
а
Тогда из (385) и (386)
J ([fc2 + Л]3 [fc2 + Л']3 J
F
Г	1	1 Л Л' ] Л'	.	.
J dkk	I [fc2+Л]2 -	[fc2+A']2 ~	[fc2+A]3 +	[fc2+Л']3 )-7Г	г °ё Л"’	(599)
И формула (597) становится
Лс(р,р') = 2тг2г
2
1 + (?/-у2)^2
м
{i - 1 + 2(у - у2)(1 -х- х2)}д2£ + (д - д2)г/г^
+	т2(ц2 + (у - у2)?2)
Интегрируя логарифмический член по частям относительно у,
1 1
Ac(p,p') = -2гг2г / / dxdy—-------------г—- х
J J х р2 + (у - у2)<?2	(600)
0 0
х {[(1 - i)(l - 2у - 2у2) + x2y\q2£ - (х - x2)ip,ty}.
Когда q2 < —4ц2, внешний потенциал может создать реальные пары
и знаменатель в выражении (600) имеет полюса в области интегрирова-
ния по у.
В этом случае фейнмановское правило добавления члена (—ге) к р2,
где е — бесконечно малое положительное действительное число, даст одно-
значное определение интеграла. Так же как в случае формулы (389) для ва-
куумной поляризации, интеграл расколется на вещественную часть и мни-
мую часть, описывающую эффекты рождения реальных пар. Мы не будем
обсуждать эффекты, связанные с рождением реальных пар, так как они
практически не важны. Таким образом, мы принимаем q2 > —4р2.
В (600) больше нет никаких расходимостей, являющихся результатом
больших к. Но (584) имеет логарифмическую расходимость при малых к,
которая появляется в (600) как расходимость при интегрировании по х, воз-
никающая из-за множителя (1/т). Теперь нужно исследовать подробно эту
последнюю остающуюся расходимость. Это — известная «инфракрасная ка-
тастрофа».
Чтобы выявить физический смысл расходимости при интегрировании
по х, мы рассмотрим, как повлияло бы на наши вычисления такое измене-
ние электромагнитного поля, при котором все колебания электромагнитного
поля с волновыми числами, удовлетворяющими
|fc| > г,
(601)
присутствовали как обычно, в то время как все колебания, не удовлетворя-
ющие (601), просто отсутствовали или их невозможно было бы возбудить.
Мы предполагаем, что г —константа малая по сравнению с т, р, р' и q.
Таким образом, фотоны будут существовать, только если их энергия пре-
вышает
ДЕ = her.	(602)
В модифицированной теории Максвелла функция Dp по-прежнему вы-
ражается интегралом (431), где интегрирование по ki, к?, кз ограничено
условием (601), а интеграл по fco берется вдоль всей вещественной оси
от —оо до +оо. Пусть Лг(р,р') и Л^(р.р')— интегралы, которые заменя-
ют Л(р,р') и Лс(р,р'), когда электромагнитное поле изменено. Мы вычис-
лим разность (Л — Лг) и (Лс — Л£), рассматривая эти интегралы только
в пределе небольших г, пренебрегая всеми членами, которые стремятся
к нулю вместе с г. Это означает, что мы можем пренебречь членами, содер-
жащимися в числителе таких интегралов, как (591) или (594), в качестве
множителей или к, или х.
В (583) есть только один множитель Dp. Таким образом, Лг(р,р') по-
лучается из (584) просто ограничением интегрирования по fci, кз, кз нало-
жением условия (601). Мы можем следовать редукции (584) к (594), за ис-
ключением того, что мы не сдвигаем область интегрирования по fc с помо-
щью замены (хру), так как это нарушает условие (601). Сокращая члены
в числителе, имеющие к или х в качестве множителя, это дает в результате
Л(р,р') - Лг(р,р') = -4 /7xdxdy(q2 + 2/?)/ f --------------iT (603)
JJ	J [к2 + 2хк • py]J
Следовательно, для (597)
Лс(р,р') -Л£(р,р') =
= —4 УУ х dx dyfi j dk х
,	F	.	(604)
х Г д2 + 2р2______________р2______________р2 1
[ [fc2 + 2хк • Ру]3	[fc2 + 2хк • р]3 [fc2 + 2хк • р']3 J
Интеграл (604) с интегрированием, распространенным на все fc-простран-
ство, при использовании (385), (587) и заменами к —> к — хру, к —> к — хр,
к —> xp' соответственно в этих трех интегралах, дает
о . ff J . (1-2р + 2у2)<72 ,
-2т // dxdy ---------------(605)
J J 4р + (у - у2)<?2)
который является только расходящейся частью (600). Но интегрирование
в (604) фактически распространяется на все к, в том числе не удовлетво-
ряющие (601). Следовательно, вычитая (604) из (600) и используя (605),
мы найдем для Л£(р, р') окончательное выражение
Лс(р,р') = —2тгг [ dy 1---------— J (-1 +	- 2у2)у2/ - |гр/0 -
J р.2 + (у- y2)q2 (	2	2 J
— 4 х dx dyfi j dk х
F
х Г д2 + 2р2______________р2______________р2 1
[к2 + 2хк  р^]3	[А2 + 2хк • р]3	[к2 + 2хк  р']3 J
(606)
Этот интеграл является полностью сходящимся для каждого конечного г,
интегрирование по к производится только по к, удовлетворяющим усло-
вию (601). Формула (606) точна, за исключением членов, которые стремят-
ся к нулю вместе с г.
Оценка интеграла по /с в (606) при произвольных р и р' возможна,
но утомительна. Поэтому мы сделаем это только в случае нерелятивистских
скоростей, когда
|р| <£ р, 1р'1«р, |д| р,	(607)
где |р| означает y^pi2 + рт2 + рз2, величину пространственно-подобной
части 4-вектора р. В дополнение к (607) мы все еще полагаем г малым
по сравнению с q, р, р'.
Рассмотрим интеграл
1 1
К = [ [ xdxdy [ dk—^---------------т,	(608)
7 7	7	[к2 + 2хк • Ру 3	V
О О	F
в котором произведено интегрирование по к, удовлетворяющим усло-
вию (601), и оценим его с точность до членов порядка |р|2, q2, |р'|2,
но пренебрегая членами более высокого порядка малости. Интегрируя толь-
ко по &о> мы имеем для любого положительного b
OQ
f dk	1	= i [	dk0	= --Г	1
J	° [fc2 + 2ak0 4- i>] J [|fc|2 + fc2 + 2zafc0 + i>]	\/lfc|2 + a2 + b
F	-oo	v
(609)
Дифференцируя (609) дважды относительно b,
dko
[fc2 + 2afco + 2>]3
^{|fcl2 + a2+b}-5/2.
О
(610)
Следовательно
K = //xdxdy~Y / d3|fc|{|fc + zPv|2 +x2(jj? + (y-y2)q2)} 5/2 =
|fc|>r
/7 , , Зйг
= 11 x ax dy—^~
к
х (|fc|2 + х2р.2)~5/2 - ~(2хк  ру + Z2|pv|2 + х2(у - у2)д2) х
<>
х (|Ы2 +х2д2)-7/2 + ^4x2(it.p,)2(|li|2 + х2р2Г9'4 =
fc2 dk x
x. (t2+x2p2) 9/2 - |x2(|p,|2 + (у - ЛЛ(*2 + »2M2) 7/2 +
+ ^A2|p,№2+iV)-9/2k
6	J
Мы можем теперь выполнить интегрирование по а: и у, используя
(611)
/|Р»12
о
dy = рр'+ 192.
(612)
Это дает
1
К =
/^2 J 1 \ 1
1 Jk	(3p2 l^fc3	(fc2 + p2)3/2
p • p' + |g2 /
3p4	\ k3
-k2
6k
1
1
(fc2 + p2)3/2	2p2(k2 +p2)5/2
2 f 1	1	2
\fc* “ (fc2 + p2)5/2 ” /7 (fc2 + p2)7/27 j ‘
(613)
1
,	1 2
рр + -q
О
Интегрирование по к сейчас выполняется элементарно, и после отбрасыва-
ния членов, которые стремятся к нулю вместе с г, мы имеем
rx Згтг f 1 / p , Д	P • p' + ^Q2 (1 . p ,1\
2 [3 2r J p2	уз &2r	6J
IP-P' + У2 ( p 5\1
+ 7	2-- 2 loS T" + Q I f 
6	1 2т 3 j I
Полагая р = р', q = 0 в (614), мы находим
i i
Ko= xdxdy	dk———-------=
J [fc2 + 2xk • p]3
oo	F
_ Згтг2 jl ( p \	1 |p|21
“V Ц К/ ’
(614)
(615)
Подставляя (614) и (615) в (606) и пренебрегая членами более высокого
порядка малости, чем |р|2, |р'|2 и q2,
9 I	5 g2,	1г,	|
Лс(р,р ) = -2тг г	- --/Л -
I	12 цг	2 /х	I
, , Згтг2	I 1 9 (,	р	\	1	9 / „, Р	5
— 4^----< -о2 log-------h 1 -|----q2 2 log-----|—
* 2p	| 3Ч I	5 2r	)	18	I	2r	3
4 2-92 , J, М , 11 1	Я-2
= —-тг^г—<Mog — + — >--------
3	№ I 2r 24 I p
Используя (596) и добавляя вклад (554) от Gi, мы находим для
второго порядка в (541) значение
,  а ( и 11	1 I q2 a ie
М2 + М2 = log + — - - } — Мо + ---------------{и Ци).
Зтг I 2г 24	5 1 р2 4тг тс2
(616)
членов
(617)
7.6.	Учет низкочастотных фотонов. Инфракрасная
катастрофа
Поправка второго порядка (617) к элемен ту Л/о матрицы рассеяния бы-
ла сделана сходящейся, только если принимается во внимание влияние фо-
тонов с энергией, большей чем ДЕ1, согласно (603). При ДЕ —> 0 поправка
расходится логарифмически, и эта расходимость требует объяснения.
В приближении, где |р|2 и |р'|2 малы по сравнению с р2, (546) дает
• е')Мо-	(618)
7гср|к |
Полная вероятность рассеяния электрона из начального в конечное состо-
яние (542) с излучением фотона с потенциалами (440), просуммированная
по всем фотонам с частотами, лежащими в диапазоне
Г1 < |fc'| < г2,	(619)
поэтому
pip (|М,Р =
(log^ ) 4|M0|2.	(620)
Зтг \ nJ
В (620) предполагается, что и г2 и п — частоты, небольшие по сравне-
нию с |q|.
С другой стороны, вероятность рассеяния электрона из начального
в конечное состояние (542) без излучения фотона
WN = |Мо + М2 + М'|2 =
_	(о21.)
= |Мо|2 + Мо*(М2 + М') + (М2 + М')*Мо,
если пренебречь членами четвертого порядка малости в радиационном вза-
имодействии. Если мы рассматриваем в (621) вклад только от виртуальных
фотонов с частотами в диапазоне (619), тогда, учитывая (617), мы имеем
(\	2
Г2\ Q , ,о
log- ^|М0|2,
Г1 / м
/	\	2	(622)
^(п,г2) = |М0|2 -	| log — | ^|М0|2.
3% \ Г1 / /X2
Так, вклады в (617) от виртуальных фотонов низкой частоты необходимы
только для точной компенсации вероятности рассеяния с излучением реаль-
ных фотонов низкой частоты. Вероятность рассеяния без излучения умень-
шена из-за учета влияния виртуальных фотонов низкой частоты, так чтобы
полная вероятность рассеяния с излучением и без него не зависела от при-
сутствия фотонов очень низкой частоты. Полная вероятность рассеивания,
таким образом, это конечная величина, свободная от любой инфракрасной
расходимости.
Для правильного описания радиационных поправок к рассеянию, тре-
буется определить критическую энергию ДЕ1, ниже которой не обнаружи-
ваются реальные фотоны. В идеале мы предполагаем, что в каждом случае
рассеивания фотон с энергией, большей чем ДЕ, обнаруживается со 100%
эффективность, а фотон с энергией, меньшей чем ДЕ — с нулевой эффек-
тивностью. Тогда полная наблюдаемая вероятность для рассеивания без из-
лучения дается (621) с ЛТ2 + М?, определяемым (617), и
(2 \
(623)
2ДЕ у	k ’
Эта вероятность (621) будет включать рассеяние, в котором фотон испус-
кается с энергией ниже предела обнаружения. Формула (617) справедлива
до тех пор, пока
г « |р|, |р'|, |д| « р-
(624)
Вероятность для рассеивания с излучением (то есть рассеивания с излуче-
нием наблюдаемого фотона) дается (546).
Можно доказать, что такой метод устранения инфракрасной расходи-
мости, принимая во внимание существование ненаблюдаемых фотонов, яв-
ляется весьма общим и работает одинаково хорошо, когда q не является
небольшим. Только тогда оценка (608) значительно более неприятна. Кро-
ме того, тот же самый метод устраняет все инфракрасные расходимости,
также когда рассматриваются радиационные поправки более высокого по-
рядка, в случае если во время процесса рассеивания мы интересуемся эф-
фектами излучения двух или более фотонов. Общее обсуждение этого во-
проса смотри в статье Блоха и Нордсика (Bloch and Nordsieck, Phys. Rev.
52 (1937) 54).
Глава 8
Рассеяние статическим потенциалом.
Сравнение с экспериментальными
результатами
Рассмотрим рассеяние электрона не зависящим от времени электро-
статическим потенциалом
=	[ d3qV(q}e^r.	(625)
(27г)3 J
Тогда (543) дает матричный элемент для рассеяния без учета радиационных
поправок (сравните (625) и (534))
Мо = 2тг-^(и'*и)У(д)<5(<7о).	(626)
ПС
Рассеяние без излучения происходит только между состояниями, для
которых
q0 = 0,	|р| = |р'|.	(627)
Сечение рассеяния между состояниями (542) на элемент телесного угла dSl
в направлении р' без учета радиационных поправок
2
|u'*u|2|V(q)|2 dSl.	(628)
2тгп J
Эта формула получается из (626) немедленно, если учесть условия (627)
и применить рецепт, полученный на странице 48, когда мы имели дело
с рассеянием Моллера в первый раз. Процедура состоит в следующем:
wS = ~~	= 2тг^- |u'*u|2| V(q)|2<5(QO),
2тгд(<7о) ffc
тс2 d3p	9 Q	,	9 ,
pdE =	, E dE = nc2p dp, d3p = p2dpdft,
me2 p2 dp	mp
,,= тм^л = ?м ’ г(®) = ^(Е),
w =	dii|u"u|2|V(g)|2 =
he h (2n)3
wV	me2
a =-----, V = “
v	E
9
(2тг) п
c2 Tup
v =-------,
Е
(2тт)27г E c~hp	\2тг7г/
Суммируя по конечным спиновым состояниям и усредняя по началь-
ным спиновым состояниям, имеем
I S S lu'*ul2 = I ТгЦг	+	=
£ и и'
= А	+ Р°Ро + Р  р'} = А (2Ро - ||?12
2/r	2pr I 2
р2 L _ iIp^-^p-p'h-IpT] =
Р2 (	4 Ро J
= 4(1-/Э2вт2^),
Р \	2/
где 6 — угол между р и р' и
|р| = v
Ро с
(629)
(630)
где V— это скорость падающего электрона. Следовательно, сечение рассея-
ния для неполяризованного пучка электронов
/	\ 2 /	х
/ р -р \	/	п \
g° = п 2	( 1 — X?2 sin2 — 1 [V(<j)|2 dS7, (631)
\ 2irh с / \	/
где Е — энергия падающего электрона.
Радиационные поправки второго порядка по Mq определяются форму-
лой (617), которая в этом случае принимает вид
Q I Lb 11	11 и OL Q
M2 + М'г = "to VOg 2г + 24 - 5 J
(632)
Эта формула дает поправки второго порядка для сечения рассеяния сто в со-
ответствии с (621). Полное нерадиационное сечение для рассеяния без из-
лучения фотона с энергией, большей чем ДЕ1, принимает вид
/ \2
I 6771 \	. .п
СТдг = CTq + CF2N =	----Г (<7Л X
\ 2тгп /
al и	11	1
1-----I log----1------
Зтг \ 6 2г	24	5
(г I	1(У
2-I (u'*u) + — (и'»
д2 I	47ГД
2
. (633)
Суммируя и усредняя по спиновым состояниям, получаем
,2 Тг{(/* + ф)74(Х + Ф)740} =
j
Тг{г^(^>7474^ + 74/74^)} =
о/Л.
—7^2	-tt- М + X/5)} =
о/1
1	i
=-7-^Тг{гд(/-?*)(/-Я} = ^-92- (634)
о/1	2/1
Следовательно, для неполяризованного пучка электронов нерадиационное
сечение — это
(/	\	\	/	\ 2
а /,	и, 11	1 \	а2 \	(	ет \	„ а а2
1 - I 1о£ 9 + 77 - 7 ~2 ст° “ —7?	^(д 2с?П——.
Зтг I 2г 24	5 1 ц2 I \ 2тг7г.2 I	4тг
(635)
Поскольку мы работаем только с величинами порядка q2 при вычислении
радиационных поправок, второй член в выражении (635) можно заменить
на
9
a q _
й-----2СТ0’
47Г рг
(636)
и тогда мы находим
/	2а /	ис2 5	1 \ о2 \ _
ajV = 1 "	10g эХр + fi" d "2 Г0’	(637)
\	Зтг \	о	о j /jr j
Формулы (628) и (631) являются точными для электронов с любой энерги-
ей, тогда как (632) и (637) справедливы только для медленных электронов,
когда мы пренебрегаем членами порядка выше, чем aq2.
Для того чтобы сделать выражения (637) не зависящим от г, мы долж-
ны рассмотреть сечение рассеяния с испусканием фотона частотой выше,
чем г.
Поскольку мы предполагаем, что электрон медленный, максимально
возможная энергия фотона
Й,2
ftcfcmax = Е - тс2 « —- |р|2	(638)
2т
и поэтому для всех возможных фотонов импульс ?г|Л/| будет очень мал
по сравнению с импульсом электрона ?г|р|. Таким образом, отдачей элек-
трона, появляющейся из-за импульса, уносимого фотоном, всегда можно
пренебречь. Матричный элемент и вероятность радиационного рассеяния
будет задаваться формулами (618) и (620) даже в тех случаях, когда фотон
забирает большую часть кинетической энергии налетающего электрона.
Представим эксперимент, в котором измеряется только направление
рассеяния появляющегося электрона, а не его энергия. Тогда радиационное
сечение ctr--это полная вероятность рассеяния электрона внутри телес-
ного угла dQ с испусканием фотона, имеющего частоту, значение которой
лежит между нижним пределом г и верхним пределом ктах, задаваемым
формулой (638). Наблюдаемое сечение будет
Ст]-= стдг + стд	(639)
с тем же самым низкочастотным отбрезанием г как в ojv, так и в or. Та-
ким образом, ат дает сечение рассеяния в заданный телесный угол dQ
с испусканием фотона и без испускания. Ввиду того, что сечение ат яв-
ляется непосредственно наблюдаемым, оно должно быть не расходящимся
и не зависящим от г.
Мы можем принять, что в процессе радиационного рассеяния конеч-
ный импульс электрона равен Xhp', где 0 < Л < 1, а р' удовлетворяет усло-
вию (627). Вместо (627) из (638) закон сохранения энергии теперь дает
?г|р|2( 1 — Л2) = 2mc|fc?|.	(640)
Согласно (620) вероятность рассеяния электрона в состояние ХЪр' с ис-
пусканием фотона в любом направлении с частотой, лежащей в диапа-
зоне (А/, к1 + dk'), — это
(641)
Зтг к рг
Это соответствует дифференциальному сечению
, 2а dk' Ip — Хр'I2 / еЕ \	,	,ч|9 _
=	2—А —\V(p-Xp')\2dQ.	642)
Зтг к р2 у 2тгП с2 J
для рассеяния в телесный угол dQ, пренебрегая членом пропорциональ-
ным (3, который появился в выражении (631), так как (642) само по себе
порядка а/32, а членами более высокого порядка малости мы пренебрегаем.
Множитель А входит в виде Согласно (640)
Следовательно, радиационное сечение, проинтегрированное по квантовой
частоте, имеет вид
_ 2а V 2А2 dX \р-Хр'\2 ( еЕ } aR Зтг У 1 - А2 р2 \2тг7г2с2 J 0	х	7 где из (640) и (638) Хт =	= 1/1 V	^тах V	2 | |V(p-Ap')|2dQ,	(644) ДЕ	,	. ~	(645)
Т — начальная кинетическая энергия электрона, заданная (638). Теперь
мы можем объединить (637) и (644), для того чтобы из (639) и (629) полу-
чить
(2а ( тс2 5
1 — — log —— -I—
Зтг & 2Т 6
\	\	/	\ 2
1 \	9	9 0 \ 2а [ е \
- sin2 - сто 4-----------I ----- dQ. х
5	2 Зтг \ 2тгЙс /
Ат «
/О \2
- ApT|V(p - Ар')I2 - |р - р'|2|У(р - р')|2}.
1 — Л
о
(646)
Здесь мы использовали следующий прием: интеграл по А неограниченно
возрастает при А = 1. Поэтому мы вычитаем из числителя его значение
при А — 1, что делает поведение интеграла хорошим и позволяет нам из-
менить верхний предел интегрирования Ат на 1 для малых Д£?. Мы так-
же должны добавить подынтегральное выражение с числителем, в кото-
ром А = 1, что дает логарифмический член, который объединяясь с (637),
дает первую часть (646).
Формула (646) дает результат вида
/	8а „9 9	О	I, тс2	, 1	\
<тг =	1	- — /З2 sin	-	log — +	(0) >	сто,
\	Зтг	2	21	\	/
(647)
где для низких скоростей f(0) является не зависящей от Т и имеет первый
порядок по сравнению с логарифмом. Для любого специального потенциа-
ла можно вычислить f(0).
Из уравнения (647) мы видим, что наблюдаемая радиационная поправ-
ка является величиной не порядка а, а порядка
(648)
что намного меньше, если v не релятивистская. Таким образом, в нереляти-
вистском эксперименте по рассеянию мы не можем наблюдать эту поправку
совсем. В релятивистской области этот эффект действительно имеет поря-
док а, как показано в (647), но правильная формула тогда намного сложнее.
Правильные формулы как для нерелятивистского, так и для реляти-
вистского случаев опубликованы в работе Швингера: J. Schwinger, Phys.
Rev. 76 (1949) 790.
Экспериментальная проверка в релятивистской области находится сей-
час на пределе возможности. Смотрите работы: Lyman, Hanson and Scott,
Phys. Rev. 84 (1951) 626. Рассеяние электронов с энергией 15 MeV ядра-
ми было измерено с очень хорошим энергетическим разрешением, &.Е/Е
порядка 1-3%. В этом случае наблюдалось только нерадиационное сечение
рассеяния стдг, и поэтому радиационная поправка, заданная в релятивист-
ской форме (637), становится достаточно большой. Действительно, радиа-
ционная поправка в ojv в релятивистской области становится порядка
[ f Е 1	, ч
а 1 log Г ) log —7 Г ’	(64Э)
I Е I I тс~ I
согласно Schwinger, Phys. Rev. 76 813, Eq. (2.105) (с опечаткой Л' для к,
в моей системе обозначений д). В условиях эксперимента Lyman-Hanson -
Scott радиационная поправка (649) порядка 5%, и она явно наблюдалась,
ошибки эксперимента составляли ~ 2%. Однако (649) появляется пре-
имущественно от низко-энергетичных виртуальных фотонов с энергия-
ми, уменьшающимися до АЕ. То, что наблюдается, — это только умень-
шение нерадиационного сечения благодаря конкуренции радиационного
рассеяния с потерей энергии в области [Д£?, Е]. Таким образом, измере-
ние (649) в эксперименте LHS (Lyman-Hanson-Scott) —это, в действитель-
ности, только очень неточное измерение сечения для тормозного излучения,
которое можно наблюдать более аккуратно, следя за реально испускаемыми
фотонами.
Теоретически представляет интерес часть радиационной поправки,
являющаяся не только эффектом реального тормозного излучения. Эта
часть дается членом в выражении для aN, который имеет первый порядок
по сравнению с log(AE/E), появляющимся в (649). Например, мы долж-
ны были бы вести наблюдения с достаточной точностью, чтобы увидеть
члены (| — |) в (637), если бы мы хотели проверить теоретические ради-
ационные поправки при низких скоростях. В релятивистской области «на-
стоящие» радиационные поправки имеют порядок
alog |	]	(650)
\ тс /
вместо (649), т. е. около 2% в LHS эксперименте. Зарегистрировать такие
эффекты уже возможно, но наблюдать их с хорошей точностью в экспери-
ментах по рассеянию представляется не очень обнадеживающим.
Это все, что мы можем сейчас сказать о радиационных поправках
к рассеянию электростатическим потенциалом.
8.1.	Магнитный момент электрона
При рассмотрении рассеяния электростатическим потенциалом, два
члена в (617) были поставлены на одну доску. Оба давали вклады одно-
го и того же порядка амплитуды а(д2/ц2) в поперечное сечение. Каково
тогда значение специального вида второго члена в выражении (617)? Этот
член не имеет инфракрасной расходимости и, следовательно, должен иметь
особенно простую экспериментальную интерпретецию.
Рассмотрим рассеяние медленного электрона в медленно меняющемся
магнитном поле. Потенциалы (534) можно тогда взять как чисто векторный
потенциал, так что
e4(q) = 0.	(651)
Матричные элементы 71, 72, 73 между состояниями электрона с поло-
жительной энергией имеют порядок (т/с). Следовательно, Mq, дающий-
ся формулой (543), порядка (v/с). Первый член в (617), таким образом,
имеет порядок а(и/с)3, тогда как второй член — а(у/с). Поэтому второй
член в (617) является основным в рассматриваемых магнитных эффектах,
а первым членом можно пренебречь. Значением второго члена должно быть
изменение магнитных свойств нерелятивистского электрона.
Как мы видели при обсуждении уравнения Дирака (уравнения (99)
и (100)), электрон, обладая собственным зарядом (—е), ведет себя в нере-
лятивистском приближении, как если бы он имел магнитный момент
eh
М =--------.
2тс
Этот момент имеет энергию взаимодействия с внешним электромагнитным
полем (Е. Н)
Нм = -М(а-Н -ia-E).	(653)
Это член, который появляется в нерелятивистском уравнении Шрединге-
ра (100).
Теперь предположим, что электрон обладает дополнительным магнит-
ным моментом SM, который не появляется из-за его заряда. Такой допол-
нительный магнитный момент называется «аномальным». Для того чтобы
дать электрону аномальный момент, нам надо только добавить к гамиль-
тониану произвольный член, пропорциональный (653). Сравнивая (654)
с (97) и (98), мы видим, что (653) является релятивистским инвариантом
и может быть записан в виде
Дм =	(654)
/1 У
Следовательно, электрону будет дан аномальный магнитный момент SM,
если к лагранжиану добавляется член
LM =	(655)
Мы все еще имеем дело с уравнением Дирака для одного электрона. В тео-
рии квантованного поля Дирака соответствующая добавка к плотности
лагранжиана (410)—это
= — -i5Mip ЕЕ’(656)
/2 I/
где предполагается, что аномальный момент —это взаимодействие с внеш-
ним полем Максвелла. Добавка (656) к лагранжиану дает релятивистски
инвариантное описание аномального момента.
Рассмотрим действие (656) на рассеяние электрона потенциалами (534).
Вычисляя рассеяние в приближении Борна и используя (420), получаем
вклад (656) в матричный элемент рассеяния
Um = ^2^- [(657)
' 27ic J
интегрирование ведется по всему пространству-времени. Применяя (542)
для начальной и конечной волновых функций и определяя q, е из (544)
и (545), получаем для этого матричного элемента
6М t	6М._.. .	. . .	.	.
Um = г—	- q^) = i — [u (ДО - ^)uj,	(658)
£ f LC	£Г1С
где мы использовали 7^7/ = icrm, k, I, m — (1, 2, 3) циклически перестав-
лены. Поскольку мы также приняли (588), мы можем просто записать
Um =	(659)
2Ttc
Теперь, сравнивая матричный элемент (659) с (617), видим, что магнит-
ный эффект радиационной поправки второго порядка точно описывается,
когда мы говорим, что электрон имеет аномальный магнитный момент 6М,
задаваемый уравнением
SM =
а еТг
4л тс
= + —М.
2л
(660)
Это знаменитая поправка Швингера к магнитному моменту электрона, ко-
торую мы должны теперь посчитать. Не только для рассеяния, но также для
всех явлений в нерелятивистской области магнитная часть радиационной
поправки второго порядка к движению электрона является эквивалентом
аномального магнитного момента (660).
Этот аномальный момент был очень точно подтвержден в эксперимен-
тах Куш, Проделл, Кениг {Phys. Rev. 83 (1951) 687), которые нашли
6М
—- = 0,001145 ± 0,000013.
м
Расчетное значение, включающее поправки четвертого порядка по а2,
найденное Карплусом и Кроллем {Phys. Rev. 77 (1950) 536),— это
6М	a	( а2\
---=------- 2,973 — = 0,0011454.
М	27Г	\я2
8.2.	Релятивистское вычисление лэмбовского сдвига
Для того чтобы выполнить корректные релятивистские вычисления
Лэмбовского сдвига, необходимо повторить действия, которые мы проводи-
ли ранее при вычислении сдвига спектральной линии и ее ширины, только
теперь используя релятивистскую теорию атома. Поэтому мы должны уста-
новить уравнение движения атома плюс радиационное поле в связанном
представлении взаимодействия. Уравнение движения тогда задается фор-
мулами (245), (247), только теперь оператор описывает систему реля-
тивистского атома. Решение уравнения (245) можно найти, как в нереляти-
вистском случае, используя известные волновые функции стационарных со-
стояний атома. Лэмбовский сдвиг был действительно посчитан таким спо-
собом Лэмбом и Кроллом17, Phys. Rev. 75 (1949) 388. Однако в своей работе
Лэмб и Кролл столкнулись с трудностями вычитания расходящегося эф-
фекта перенормировки массы. Из-за того что все вычисления проводились
17В антологии Швингера.
на языке терминов волновых функций атома, было невозможно придержи-
ваться релятивистски инвариантной системы обозначений всеми способа-
ми. Следовательно, массовый член не мог быть явно отделен от остальных
конечных членов своей зависимостью от импульса частицы р, как он был
отделен, например, в уравнении (566) во время вычисления радиационных
поправок к рассеянию. Окончательный результат Лэмба и Кролла был со-
мнителен из-за этой трудности в разделении масс. Они получили правиль-
ный ответ 1052 МГц, но только используя экспериментально измеренную
величину а/2тг аномального магнитного момента электрона.
Изучив вычисления радиационных поправок к рассеянию, мы видим,
что для того чтобы выполнить ясное отделение перенормировки массы
от наблюдаемых эффектов, мы должны организовать вычисления таким об-
разом, что это отделение выполняется для частицы с импульсом р в меня-
ющейся системе Лоренца.
Тогда, изменяя систему Лоренца, мы можем изменять р и определять
массовый член однозначно как выражение, имеющее правильную зависи-
мость от р. Для того чтобы работать в переменной лоренцевой системе,
мы должны действовать в представлении, не зависящем от системы Лорен-
ца, так что вычисления являются формально инвариантными. Единствен-
ным подходящим инвариантным представлением является свободное пред-
ставление взаимодействия.
Следовательно, наша программа состоит в том, чтобы сначала устано-
вить уравнение движения в свободном представлении взаимодействия, за-
тем осуществить релятивистски инвариантное вычисление, для того чтобы
определить и устранить расходящиеся эффекты перенормировки однознач-
ным образом. После этого мы должны перейти к связанному представле-
нию взаимодействия для окончательного вычисления сдвига линии. Такое
двухступенчатое вычисление абсолютно необходимо, для того чтобы полу-
чить правильные результаты. Это изобретение Швингера.
В свободном представлении взаимодействия уравнение движения
Ф
гП- =	+	(661)
где Н1 задано формулой (532), включающей член перенормировки мас-
сы Hs- На первой стадии решения (661) надо записать
Ф(£) = П1Ф(£),	(662)
где Qi(t) — определяется, как в (492), только с заменой еф/.'ф на +
+ i5mc2ipip] и предполагается, что функция <м(£) стремится к преде-
лу gA(t) —+ 1 в конце вычислений. Оператор Qi(t) удовлетворяет урав-
нению
гП	(663)
для любого значения t не в отдаленном прошлом, так что мы можем при-
нять gA(t) = 1. Следовательно, уравнение движения для Ф(£), получающе-
еся из (661), имеет вид
дФ
гЬ— = НТ(1)Ф,	(664)
Нт(4) = (П1И)_1Яе(4)П1(«).	(665)
Ковариантная часть расчетов, которая проводится в свободном представле-
нии взаимодействия, представляет собой только вычисление этого преоб-
разованного гамильтониана Нт(£)-
8.2.1.	Ковариантная часть вычислений
Запишем
HF(t) = Г22(£)Нс(£)^1(0,	(666)
где Q2 задано выражением (490). Тогда
HT(t) = (Q2(i)n1(t))-1T7F(i) =	(667)
где S, заданная (495), —это матрица рассеяния, определенная в отсутствие
внешнего потенциала . Мы теперь ограничим свое внимание системами,
в которых присутствует только один электрон. Из уравнения (533) мы ви-
дели, что S, примененная к состоянию с одним электроном, эквивалентна
унитарному оператору, т. е. S не производит реального рассеяния или сдви-
га фазы в состояниях с одной частицей. Поэтому при обсуждении атома
водорода мы можем просто опустить S-1 в выражении (667) и записать
HtW = HF(t).
(668)
Теперь HF(t) —это член, включающий №(t) в разложении в ряд (421).
В действительности мы имеем путем прямого умножения рядов для П]
и Q2
HF(t) = £
n=0
х P{He(t), Я7^), ..., Я'(£п)},
(669)
функции g(ti) всегда подразумеваются, когда они не написаны явно. Те-
перь (667) прямо относится к оператору U, данному формулой (535),
а именно
ОО
и = У HF(t)dt.	(670)
— ОО
Запишем
HT(t) = He(t) + HTi(f) + HT2(t),	(671)
разлагая Нт по степеням радиационного взаимодействия, точно так же
как мы раскладывали U в (536)-(540). Но матричные элементы для ([/2 +
+ Uj), относящиеся к переходу с участием одного электрона, уже посчита-
ны и даются формулой (617), предполагающей нерелятивистские скорости
для электрона. Это позволяет нам сразу же записать формулу для опера-
тора Нт2, справедливую для переходов с участием одного электрона при
нерелятивистских скоростях. В (617) каждый множитель <?д можно заме-
нить на (~id/dx\), действующий па потенциалы (534). Тогда (617) прини-
мает вид
и2 + U2 =	< log	|	) [ Tp(D2/')ip{x') dx+
rz, Зтг 2г 24	5 \ пс / J
1 , 4 7 (672)
। а е	f — v'' ^4	/ / \ j
+ Л----2 / 1Д X-S-TaV'W ах.
4тг me2 J дх\
Используя (670) и (668), получаем
НТ2 =	< log %- +	f ^(ПМ W)
рг О7Г I 2г 24 о j
a ieh
4тг тс
(673)
Рассмотрим теперь детально случай не зависящего от времени электроста-
тического потенциала, заданного формулами
А4 = гф(т), V = —еф,
(674)
He(t) = / V(r)(ip*^')d3r.
(675)
Находим, что
и- а 1	, 11
НТ2 = ~—j 1 °® о-	7Г7
Зтг/22 2г	24
| У(V2 HR) d3x—
а  d3x.
(676)
Следовательно, вычисление Н?2, являющееся основной частью расчетов
лэмбовского сдвига, можно взять, непосредственно вычисляя рассеяние.
В частности, устранение расходящихся эффектов перенормировки не нуж-
но вычислять заново. Однажды получив выражение (676), все становится
конечным и мы можем проводить оставшиеся вычисления не ковариант-
ным способом. Заметим, однако, что частота обрезания фотонов с низкой
энергией г еще появляется в выражении (676). Мы ожидаем, что эта зависи-
мость от г в конце концов исчезнет, когда будут рассмотрены эффекты Нп,
такое же обрезание используется как вНт-:, так и в Нт2-
Теперь вернемся к вычислению Нт\-. которое соотносится с U\ так же,
как НТ2 с (С/г + ETj).
Согласно (484) матричный элемент U\ для одноэлектронного перехода
между состояниями (542) с испусканием фотона (440) — это
1 11
М1 = ~75~2Tl'—7—+	—7'—~Чи’	(676а)
Ть с2 у т/> - fc - гц	j/)’ - К - j
где теперь
ем = е^р' + к' -р)	(677)
дается разложением Фурье (534). Заметим, что мы не можем еще использо-
вать простую форму (546) для М1; потому что мы не знаем, что к' р, q
для фотонов, которые будут важны в этой задаче. Используя уравнение Ди-
рака, которому удовлетворяют и и и', мы можем записать без приближений,
применяя (587) и правило 4 на странице ПО,
м е3 Г ^7' - 2(р •	^7' + 2(р  е'7 1
П2с2 ( Р • к'	р - к j v ’
Так как предполагается, что р и р' не релятивистские, мы можем записать
р- к' = р • к1 = —рк'о,
тогда
мг = ттгут^Шр' - р) •е') + №+(678)
/I СГ(1К 0
Теперь, поскольку мы будем рассматривать только электростатический по-
тенциал (674), j.— это просто умножение на 74. Тогда если к'3 — простран-
ствеппо-подобная часть вектора к1, мы имеем
£%£ + Ш-' = Мз + М = о.
Следовательно,
Ш + Ш' = *'АЫ)-	(679)
Теперь этот член (679) является малым по сравнению с другими членами
в уравнении (678), потому что j! включает в себя матрицы 71, 72, 73, тогда
как j. включает 74, и матричные элементы 71( 72, 73 для нерелятивистских
переходов малы, порядка (и/с). Член (679) фактически описывает магнит-
ное излучение, тогда как другие члены в (678) дают электрическое. Элек-
трический член дает эффект порядка лэмбовского сдвига. Следовательно,
в пашем приближении можно пренебречь магнитным членом и записать
е2
М1 = ;'2~2 tl^p' ~ ’ е')(и'М	(68°)
к с2 р.к'о
что представляет собой тот же самый результат, какой мы получили бы
из (546).
Пусть Za (т) — вектор Герца, соответствующий потенциалам поля из-
лучения Ад (г), определяемым
Ах(х) = jZx(x).	(681)
at
Тогда матричный элемент Zx (z) для испускаемых фотонов с потенци-
алами (440)—это
Zx(x) =	(682)
ZCACq
Сравним с (422)18.
'’Сравнение с уравнением (422) не очевидно. Возможно, имелось в виду уравнение (438)?
Таким образом, оператор Ui, имеющий матричный элемент (680),
можно записать
Ui = -f— [ dx^(Z  д')Ае'Ф(х).	(683)
Ть ср. J
Используя (670) и (674), получаем
НТ1 = ~ I	d3r.	(684)
Вычисление Нт завершено.
8.2.2.	Обсуждение и природа Ф-представлсния
Для того чтобы понять эффект преобразования (662), замечаем, что ес-
ли Ф(£) — это состояние одного реального электрона в отсутствие внешнего
поля, тогда Ф(£) не будет зависеть от t и будет представлять один «голый»
электрон с тем же самым импульсом, что и реальный электрон. В настоя-
щем атоме водорода мы с очень хорошим приближением можем рассмат-
ривать состояние Ф(£) как суперпозицию состояний одиночного реального
свободного электрона, тогда Ф(£) представляет собой суперпозицию состоя-
ний единичного голого электрона с тем же самым распределением импуль-
са. Таким образом, в результате преобразования от Ф к Ф мы устранили
радиационное поле, окружающее электрон, все оставшиеся эффекты этого
радиационного поля содержатся в операторе Нт-
Это существенный факт для того чтобы удостовериться, что в Ф-
представлении полевые операторы все еще являются операторами свобод-
ной частицы с правильными уравнениями движения для операторов в сво-
бодном представлении взаимодействия (FIR). Таким образом, преобразова-
ние (662) — это только преобразование от одного набора переменных к дру-
гому внутри свободного представления взаимодействия, не выводящее нас
за его рамки. Швингер никогда не объяснял это обстоятельство как следует
в своих работах, хотя, несомненно, сам понимал это.
Пусть тогда Q(rr) — полевой оператор Ф-представления. Являясь опе-
ратором свободного представления взаимодействия, Q(x) удовлетворяет
= [Q,77o],	(685)
dt
где Но — гамильтониан для полей Дирака и Максвелла без взаимодействия.
В Ф-представлении соответствующим полевым оператором является
<2'(д:) = (Qi (t)) ~1 Q(x)Q,1 (t).	(686)
Теперь fii(f) дается формулой (492), где мы берем предел дд = 1- Операто-
ры, появляющиеся в (492), все являются операторами свободного представ-
ления взаимодействия, удовлетворяющие уравнениям движения вида (685).
Когда интегрирование в (492) будет выполнено, проинтегрированные чле-
ны все еще будут иметь ту же самую вариацию по времени, данную (685),
за исключением членов, соответствующих переходам, в которых энергия
сохраняется. Матричные элементы процессов, в которых энергия сохраня-
ется, будут иметь явную линейную зависимость от t после интегрирования,
что не соответствует (685). Следовательно, мы делаем вывод, что уравне-
ние движения
Л^ = \$1,Н0]	(687)
at
справедливо для всех матричных элементов Qi, не являющихся диагональ-
ными в свободном представлении взаимодействия. Тому же самому урав-
нению движения удовлетворяет (Q^))-1 с таким же условием. Теперь мы
увидели, что Qj(£) не имеет матричных элементов, диагональных в Hq, ко-
торые дают переходы как в состояния, так и из состояний с одной частицей.
Следовательно, (687) справедливо для всех матричных элементов, в ко-
торых или начальное, или конечное состояния являются одночастичными.
Объединяя (687) и соответствующее уравнение для (Qi)-1 с (685)
и (686), мы имеем
= [Q'^o].	(688)
at
Уравнение (688) выполняется для всех матричных элементов между
одночастичными состояниями. Таким образом, мы можем сделать вывод,
что до тех пор, пока мы ограничиваем наше внимание системой с одним
электроном, все полевые операторы Ф-представления удовлетворяют урав-
нению (688), и поэтому Ф-представление лежит еще в рамках свободного
представления взаимодействия.
Когда мы будем рассматривать системы, содержащие больше, чем одну
частицу, тогда Qi (й) будет в добавление к (687) иметь явную зависимость
от времени. Тогда Ф-представление больше не будет относиться к свобод-
ному представлению взаимодействия. И это разумно с физической точки
зрения, потому что во многоэлектронных системах в общем случае не су-
ществует преобразования, позволяющего полностью избавиться от радиа-
ционного взаимодействия, тем более что радиационное взаимодействие са-
мо по себе приводит к реальным эффектам, таким как рассеяние Моллера,
от которого мы и не должны желать избавиться с помощью преобразования.
8.2.3.	Заключительная нековариантная часть вычислений
Установив, что Ф-представление, для которого выполняется (664), яв-
ляется представлением взаимодействия свободных частиц, мы сейчас осу-
ществим преобразование к представлению взаимодействия связанных ча-
стиц, в котором мы закончим вычисление лэмбовского сдвига. Чтобы пре-
образовать к представлению взаимодействия связанных частиц, запишем
ф(£) _ егЯо*/Ле-г{-ио + ЯЕ}«/лф'(^_
(689)
Новая волновая функция Ф' (£), таким образом, удовлетворяет
ЭФ'
=	+ Нт2(£)}Ф',
(690)
где Нтг и Нт2 заданы выражениями (684) и (676), только сейчас зави-
симость операторов ip* и ip от времени такую же, как дираковские поля
во внешнем потенциале V.
Для решения (690) мы можем использовать в точности тот же метод,
что мы использовали для решения (245) в нерелятивистском подходе. Есть
только два различия: во-первых, присутствует дополнительный член Нт2,
и во-вторых, выражение для Нтл отлично от (247).
Так как мы проводим вычисления с точностью только до второго по-
рядка малости по радиационному взаимодействию, а Нт2 уже имеет такой
порядок, то Нт2 нужно рассматривать только как возмущение первого по-
рядка. Тогда Нт2 не будет оказывать никакого влияния на ширину линий Г,
а приведет к сдвигу линии ДЕ? только на величину математического ожи-
дания (676) в состоянии атома ipo, а именно
д^2 = -^2<[1оё^ + ТУ” /'(V2V>o|2d3r-
Зтг/Г I 2г 24	5 J J
- — / ^*74(0 • VVJV’o d3r.	(691)
47Г/2 J
Влияние замены (247) на (684) сводится к тому, что матричный эле-
мент jk(nm), определенный в (256), сейчас повсюду заменяется
ze /*	д\^
(692>
Мы видим это, сравнивая (247) и (684), замечая что
j(r,0 <->
—/ dt
пр	J
или
/" jS^e~ik T d3r	[ ip*№Ve~ik T d3r.
J	np\k\cj
В предыдущем вычислении мы использовали нерелятивистское дипольное
приближение для которое дало в соответствии с (272)
jk(nm) = +— /” ^*^-d3r.	(693)
м	mJ дхц
Мы будем снова использовать дипольное приближение и пренебрежем экс-
поненциальным множителем в (692). Тогда беря для атома нерелятивист-
ский гамильтониан
Р2
Н = — + V,	(694)
2m
разность между (692) и (693) равна
J*(nm) - jk(nm) = —1 [ ip*^-d3r I (Ет - Еп - 7zc|fc|), (695)
гър> I к I J OX J
где мы использовали [р2,рм] = 0 и fpflip*p2ipmd3r = -fip*pllp2‘i/jTnd3r.
Эта разность обращается в нуль для переходов, в которых сохраняется энер-
гия. Следовательно, значение Г, данное (262), не зависит от замены j на J.
Значение Г, вычисленное ранее, остается справедливым и в релятивистской
теории, за исключением очень небольших эффектов, связанных с излучени-
ем, порожденным изменением магнитного поля, которыми мы пренебрегли.
Используя (695), мы получаем простое соотношение между и .7М,
Jk (п т) = (п т)Еп В™	(696)
'	'	/гс|к|
Используя формулу (261) с J, подставленным вместо j, вклад от
в сдвиг становится вместо (273)
Л р е2 7^ V' (дп ~^о)21Рпо|2	,	}
1	6тг2?п2Л,с3 J k Еп — Eq + hc\k\
Интеграл является теперь сходящимся при высоких частотах и расходится
только при низких частотах, где обрезание г требуется для того чтобы сде-
лать его конечным. Сдвиг (697) был бы равен нулю для свободной частицы,
и, таким образом, нет никакого вопроса вычитания члена перенормировки
массы, как это проделали с выражением (273); в релятивистском подходе
уже было сделано массовое вычитание прежде, чем эта стадия вычисления
была достигнута.
Интегрируя (697) непосредственно по fc и беря г малым по сравнению
с (Еп — Е°), мы находим
AEi = -	^(Дп - Eo)2|Pno|2log^n -До1.	(698)
бтг-ттгЛс3 “	her
Это в точности нерелятивистский сдвиг линии (278) с г, подставлен-
ным вместо К. Определяя (Е — Eo)av формулой (279) и используя (281),
мы имеем
W = 7^2 lIoS (р \ [(V2V)|V>0|2rf3r.	(699)
Зтг fl	-^oj av J J
Объединяя это выражение с (691) для того, чтобы дать полное значение
сдвига уровней
а I тс2 11	1 I Г, 9 ,,
= т—2 S log 77-------75“ + 94 “ ? Г MV	dr~
ЗтГ/Z	-L^Ojav ^4	5 J J
[ ^0*74 (a •	d3r,	(700)
47Г/2 J
результат который полностью свободен от расходимостей и не зависит от г.
Второй член в (700) представляет влияние аномального магнитного
момента электрона на уровни энергии. Поэтому он дает зависящий от спи-
на сдвиг линий, который слегка изменяет тонкую структуру линий, возни-
кающую из дираковской теории магнитного момента. Чтобы оценить этот
член, мы воспользуемся уравнениями Дирака (см. (38)).
тс274т/>о = (Ео - Ууфо + ihc(a  V)V>o,	(701)
mc2i/»o74 = V'o(-Bo - V) - ihc(\7^Q • а).	(702)
Используя и (701) и (702) в свою очередь во втором члене (700) и суммируя
результаты, учитывая, что члены, содержащие (Во — V), при использовании
соотношения с? 74 + 74аг = 0 исчезают, мы находим
2тс2 У i/>q (а • VУУФо d3r =
= -ihcУ{(V$J • а)(а • VV)V>o + ipo(a ’ VV)(a • Wo)} d3r =
= —ihcУ{(W’o • a)(<r • VV)^0 +	• VV)(<r • Wo)} d3r =
= -ihc У {V’ofVV’S • VV + icr • (WS x VV)] +
+ V'SfVV'o • VV + itr  (Wo x VV)]} d3r =
= iKcУ{+(У2У)^^о -	 (VV x V)]-^} d3r. (703)
Здесь мы использовали аг = cat (см. с. 38), е2 = I и формулу
(а • В)(ст • С) = (В • С) + г(<т • В х С).
См. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, third edition, p. 263.
Теперь предположим, что V —это центральный потенциал, функция
только от г. Тогда
1 dV	IdV ( i \
W х V = —-(г х V) = —- -Ь	(704)
г dr	г dr {п, I
с L, орбитальным угловым моментом, определяемым выражением (39).
В этом случае (700) становится
. „ а Г тс2 11	11 Г 0 ,, 1О q
ДЕ =	) 10S ofF — Fl + 94 I / (V	d r +
О7Г fl I	E'QJav ^4	5 1 J
Oc f 11 clV \
+ ~Л—2? / ^0 - “Г (f • LHo d3r.	(705)
iirp^n, J \r dr J
В нерелятивистской теории атома водорода квантовое число j, данное (72),
связано с оператором (ст • L)
!. г. ГЛ
— (<т • L) =
к ( - е-i, j = ^~i
(706)
Поэтому для атома водорода
тс2
ае2 I
ДЕ =--------- <! log
ЗтГЦ2 1 2(En - -Eo)aug
ае2 fl. ,□
2 29 / ~з W
16тг/г J тл
t; 1
7-7 1^0(0)|2 +
О о
(707)
d3r,
где q — это коэффициент в (706).
Для s-состояний мы имеем q = 0 и, таким образом, сдвиг линий умень-
шается до величины (см. (284))
А „	8а3 1 „	тс2 5	11	.	.
= -7--3 Ry 10g	------pm— + fi U (708)
Зтг 71°	2(En — Eojavg 6	5 1
для состояния с главным квантовым числом п. Для всех остальных состоя-
ний член в IV'o(O)!2 равен нулю и сдвиг линий зависит только от интеграла
IV'ol2 d3r.	(709)
Значение (709) получено Bethe, Handbuch der Physik, Vol. 24/1, p. 286,
Eq. (3.26) [20]. Это
\r3) f(f + |)(f + l)n3a3 ’	k '
где ao — радиус Бора атома водорода. Следовательно, сдвиг линий для со-
стояний с I / 0 становится
A£=^Ry(^i)(t+1) "	<7u>
A£ = ~2^^Ryf(7TIj ™ 3 = '~ 2	P12)
Для относительного смещения уровней 2s и 2pi/2, которые в теории Дирака
были вырожденными, мы имеем наконец, вычитая (712) из (708),
a3 f тс2 5	111
АВ = -S Ry V06 2№„-Е0).„ + ё М + 8 ) = 1051 МГ“- <713>
С релятивистским вычислением лэмбовского сдвига, которое мы вы-
полнили, заканчивается этот курс. В этом вычислении мы встретились
и увидели, как преодолеваются все проблемы перенормировки массы и за-
ряда. Мы можем сказать, что у нас теперь есть работающая квантовая элек-
тродинамика, которая дает конечные и однозначные значения для всех на-
блюдаемых величин.
Это вычисление лэмбовского сдвига было конечно не точно. Две самых
важных ошибки:
(i)	использование нерелятивистских волновых функций и дипольного
приближения для излучения при оценке влияния НтГ,
(ii)	пренебрежение конечной массой протона.
Чтобы исправить эти ошибки, были сделаны очень длинные вычис-
ления. В связи с (i) Барангер [21] вычислил эффект использования реля-
тивистской теории в обработке Я74 и он нашел наблюдаемое увеличение
сдвига на 7Мгц. Влияние (ii) рассматривалось Салпитером в [22], но ока-
залось, что они не превышают 1-2 Мгц. Кроме того, мы не рассмотрели
(iii)	эффекты четвертого порядка в радиационном взаимодействии.
Их рассмотрели Кролл и другие [23]; они, конечно, меньше чем 1 Мгц. [24]
Поэтому теоретическое значение лэмбовского сдвига теперь достига-
ет 1058±2Мгц. Нет никакого ясного несоответствия между этим и экспери-
ментальным значением 1062 ± 5, хотя несоответствие может быть найдено,
когда эксперименты и теория будут доведены до совершенства.
Литература
[1]	Wolfgang Pauli, General Principles of Quantum Mechanics, trans.
P.Achuthan and K. Venkatesan, Springer-Verlag, Berlin, 1980. Это пере-
вод на английский язык «Principien der Quantentheorie I» in Handbuch
der Physik, v. 5, 1958, который является исправленной редакцией ори-
гинальной работы 1933 года, перепечатанной Эдвардсом в 1947. Глава
по квантовой электродинамике была напечатана как глава X в исправ-
ленном английском издании.
[2]	W. Heitler, The Quantum Theory of Radiation, 3rd ed., Oxford U. P., Ox-
ford, 1954. Переиздана в 1984 издательством «Dover Publications».
[3]	G. Wentzel, Introduction to the Quantum Theory of Wave Fields,
Interscience, NY, 1949. Переиздана в 2003 издательством «Dover
Publications» как Quantum Theory of Fields.
[4]	J. Schwinger, ed., Selected Papers on Quantum Electrodynamics, Dover
Publications, New York, 1958. Многие наиболее важные статьи Фейн-
мана, Швингера и Дайсона вместе со статьями других авторов вошли
в сборник под редакцией Швингера.
[5]	Arthur I. Miller, Early Quantum Electrodynamics: a source book, Cam-
bridge U. P., Cambridge UK, 1994. Книга Миллера включает ценное
историческое эссе и перевод на английский язык трех статей, проци-
тированных Дайсоном: статья Гейзенберга о дираковской теории по-
зитрона (Zeits.f Phys. 90 (1934) 209), предложения Крамерса по пере-
нормировке массы (Nuovo Cim. NS 15 (1938) 108) и обсуждение Пау-
ли и Вайскопфом релятивистской многочастичной (скалярной) теории
(Helv. Phys. Acta 7 (1934) 709).
[6]	Silvan S. Schweber, An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory,
Row, Peterson & Co., Evanston, IL, 1961. Этот учебник переиздан из-
дательством «Dover Publications» (2005) в мягкой обложке. Содержит
полный перечень ссылок на работы по квантовой электродинамике,
выполненные за период 1926-1960.
[7]	Silvan S. Schweber, QED and the Men Who Made It: Dyson, Feynman,
Schwinger and Tomonaga, Princeton U.P., Princeton NJ, 1994. Легко
читаемая история квантовой электродинамики.
[8]	David Kaiser, Drawing Theories Apart: the dispersion of Feynman dia-
grams in postwar physics, U of Chicago Press, Chicago, 2005. Социоло-
гия распространения диаграммной техники Фейнмана.
[9]	Р. А. М. Dirac, «The quantum theory of the electron», Proc. Roy. Soc. A
117 (1928) 610.
[10]	H. Yukawa, «On the interaction of elementary particles», Prog. Theo. Phys.
17 (1935) 48. В книге Henry A.Boorse and Lloyd Motz, The World of
the Atom, vol. II, Basic Books, Inc., New York, 1966, pp. 1419-1422.
[11]	W. Pauli, «The Connection between Spin and Statistics», Phys. Rev. 58
(1940) 716. В книге Schwinger, Selected Papers in Quantum Electrody-
namics, pp. 372-378.
[12]	W. Pauli and Y. Weisskopf, «The quantization of the scalar relativistic wave
equation», Helv. Phys. Acta 7 (1934) 709. В книге Miller, Early Quantum
Electrodynamics, pp. 188-205 (English).
[13]	R. E. Peierls, «The commutation laws of relativistic field theory», Proc.
Roy. Soc. A 214 (1952) 143. Заметим, что год публикации 1952.
[14]	Theodore A. Welton, «Some Observable Effects of the Quantum Mechan-
ical Fluctuations of the Electromagnetic Field», Phys. Rev. 74 (1948)
1157. Современное и очень поучительное обсуждение работы Велтона
можно найти в книге Barry R. Holstein’s, Topics in Advanced Quan-
tum Mechanics, Addison-Wesley Publishing Co., Redwood City, CA,
1992, pp. 181-184. Тед Велтон был другом и однокурсником Фейнма-
на в Массачусетском технологическом институте. См. Schweber, QED
and the Men Who Made It, pp. 375-387.
[15]	R. R. Wilson, «Scattering of 1.33 MeV Gamma Rays by an Electric Field»,
Phys. Rev. 90 (1953) 720. Вильсон в это время был в Корнеле, он также
замечает: «Все измерения, о которых доложено здесь, были выполне-
ны в 1951. Публикация была задержана до этого момента в надежде
на то, что рэлеевское рассеяние будет вычислено более точно».
[16]	Н. A. Kramers, «The interaction between charged particles and the radia-
tion field», Nuovo Cim. NS 15 (1938) 108. Английский перевод в кни-
ге Miller, Early Quantum Electrodynamics, pp.254-258.
[17]	E. A. Uehling, «Polarization Effects in the Positron Theory», Phys. Rev. 48
(1935) 55.
[18]	E. C. G. Stueckelberg, «Une propriete de I’operateur S en mecanique as-
ymptotique», Helv. Phys. Acta 19 (1946) 242. Смотри также D. Rivier &
E. C. G. Stuecklberg (sic), «А convergent expression for the magnetic mo-
ment of the muon», Phys. Rev. 74 (1948) 218.
[19]	F. J. Dyson, «Heisenberg operators in quantum electrodynamics», Phys.
Rev. 82 (1951) 428. Дайсон ввел понятие «нормальное произведение»
(«normal product») на с. 429-430.
[20]	Hans A. Bethe & Edwin Е. Salpeter, Quantum Mechanics of One and
Two-Electron Atoms, Springer-Verlag, Berlin, 1957. Переиздано «Plenum
Publishing Co.», New York, 1977 (издание в мягкой обложке). Это ис-
правленная и дополненная версия статьи, которую цитирует Дайсон,
Н. A. Bethe, «Quantenmechanik der Ein- und Zwei-Elektronenproblcme»,
Handbuch der Physik, Bd. 24/1, Springer, Berlin, 1933. Соответствую-
щая формула для уравнения (710) должна быть найдена в новой ра-
боте с тем же самым номером (3.26) на стр. 17. Заметим, что Бете
и Салпетер используют «атомные единицы» Хартри, так что расстоя-
ния измеряются в величинах ао.
[21]	М. Baranger, Н. A. Bethe & R. Р. Feynman, «Relativistic Corrections to the
Lamb Shift», Phys. Rev. 92 (1953) 482.
[22]	E. E. Salpeter, «Mass Corrections to the Fine Structure of Hydrogen Like
Atoms», Phys. Rev. 87 (1952) 328.
[23]	M. Baranger, F. J. Dyson & E. E. Salpeter, «Fourth-Order Vacuum Polariza-
tion», Phys. Rev. 88 (1952) 680.
[24]	E. E. Salpeter, «The Lamb Shift for Hydrogen and Deuterium», Phys. Rev.
'•	89 (1953) 93.
[25]	J. M. Jauch and F. Rohrlich, The Theory of Photons and Electrons,
Addison-Wesley Publishing Co., Cambridge, MA, 1955.
[26]	E. T. Jaynes, «Disturbing the Memory»,
http://bayes.wustl.edu/etj7node2.html; link #18, 1984.
[27]	F. J. Dyson, «The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger and Feyn-
man», Phys. Rev. 15 (1949) 486.
[28]	F. J. Dyson, «The 5-Matrix in Quantum Electrodynamics», Phys. Rev. 15
(1949) 1736.
[29]	F. J. Dyson, «Advanced Quantum Mechanics»,
http://hrst.mit.edu/hrs/renormalization/dyson51 -intro/index.html, 1951.