| Школа | Опойцева
Час, затраченный на понимание, экономит год жизни.
7-11
URSS

URSS


Школа
Опойцева
Геометрия I
7-11
URSS
МОСКВА


ББК 22.151 22.1o
Опойцев Валерий Иванович
Школа Опойцева: Геометрия I (7-11). — М.: ЛЕНАНД, 2017. — 240 с.
Коротко, просто и ясно излагаются начала планиметрии. Охват материала немного шире, чем предусматривает школьная программа. Но это позволяет создать цельную картину и способствует лучшему пониманию геометрии.
Курс может быть использован:
(i) для обычных и ускоренных занятий в средней школе;
(И) для повторения пройденного и упущенного;
(Hi) для самообразования.
Полезное для себя найдут также учителя и родители.
Текст сопровождается видеолекциями на oschool.ru и на youtube.com.
Графическое оформление Марины Павликовской
ООО «ЛЕНАНД».
117312, г. Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, д. 11А, стр. 11. Формат 60x90/16. Печ. л. 15. Зак. № К-766.
Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия».
428019, Чувашская Республика, Чебоксары, пр-т И. Я. Яковлева, д. 13.
ISBN 978-5-9710-4604-2
© ЛЕНАНД, 2017
22235 ID 228164
78597
460
42
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
URSS
E-mail: URSS@URSS.ru Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс (многоканальный): + 7 (499) 724 25 45
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца.


Оглавление
Предисловие 6
Глава 1. Геометрия — на что нацелена и как её учить 8
1.1. Танцевать или наблюдать? 8
1.2. Тела, поверхности, линии, точки 9
1.3. Плоскости и прямые 12
1.4. О задачах на прицеле 13
1.5. Нечто озадачивающее 15
1.6. Заколдованный круг 17
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало 20
2.1. О специфике геометрии 20
2.2. Договоримся о способах 22
2.3. Исходные понятия 24
2.4. Равенство углов и фигур 28
2.5. Сечение параллельных 30
2.6. Треугольники 31
2.7. Признаки равенства треугольников 35
2.8. Окружность и задачи построения 40
2.9. Углы и дуги 42
2.10. Против большей стороны — больший угол ... 45
2.11. Прямые и обратные утверждения 47
Глава 3. Расширение горизонтов 50
3.1. Многоугольники 50
3.2. Четырёхугольники 52
3.3. Вписанная и описанная окружность 54
3.4. Площади 58
3.5. Площади простейших фигур 60


4
Оглавление
3.6. Теорема Пифагора 62
3.7. Правильные многоугольники 63
Глава 4. Подобие треугольников 65
4.1. Теорема Фалеса 65
4.2. Признаки подобия треугольников 67
4.3. Как инструмент работает 69
4.4. Задачи на построение 72
4.5. Длина окружности 75
4.6. Площадь круга 79
4.7. О роли и месте черновиков 80
Глава 5. Феномен преобразований 82
5.1. Группы преобразований 82
5.2. С высоты птичьего полёта* 85
5.3. Преобразования движения 88
5.4. Осевая симметрия 90
5.5. Параллельный перенос 93
5.6. Поворот и центральная симметрия 95
5.7. Движение и ориентация* 96
5.8. Композиция движений* 97
5.9. Подобие и гомотетия 100
Глава 6. Тригонометрический ракурс 104
6.1. Основные функции 104
6.2. Единичная окружность 105
6.3. Простейшие соотношения 107
6.4. Теорема косинусов 111
6.5. Теорема синусов 113
6.6. Геометрия треугольников 115
6.7. Площади подобных фигур 117
6.8. Факты и упражнения 118
Глава 7. Векторы и координаты 120
7.1. Векторы 120
7.2. Системы координат 121
7.3. Скалярное произведение 124
7.4. Радиус-векторы, прямые и отрезки 126
7.5. Ортогональность и уравнение прямой 128
7.6. Задачи и факты 130


Оглавление 5
7.7. Разложение сил и скоростей 134
7.8. Векторы в пространстве* 136
7.9. Трёхмерный фокус* 140
Глава 8. Факультатив 142
8.1. Барицентрический метод 142
8.2. Моделирование равновесия 145
8.3. Энергетический принцип 148
8.4. Баланс энергии 150
8.5. Геометрическое моделирование 152
8.6. О геометрии Лобачевского 155
8.7. Что творится в недрах 160
8.8. Частичные реверансы* 164
8.9. Геометрия без геометрии 165
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями 167
9.1. О классификации задач 167
9.2. О критериях отбора 169
9.3. Задачи на построение 172
9.4. Задачи на доказательство 180
9.5. О дополнительных построениях 187
9.6. Задачи на вычисление 189
9.7. Задачи с ортоцентром 194
9.8. Неравенства и минимумы/максимумы 200
9.9. Геометрические места точек 204
Глава 10. Короткая справка 208
10.1. Тригонометрические формулы 209
10.2. Список теорем и задач 212
10.3. Об «аксиоматике Евклида» 228
Обозначения 230
Предметный указатель 232


Предисловие
Посетив Камчатку, Памир, человек вырастает духом.
То же самое происходит при изучении Геометрии.
Геометрия, ох, Геометрия, — вздыхает Ауди- тория. Хотя грех жаловаться. Наука всё же на- Щ ^ глядная и не такая противная, как алгебра.
Но книжки читать бывает тошно. Такие-то углы равны, говорит учебник. Погружаешься в чертёж, ищешь углы, возвращаешься в текст — выясняется, забыл место, откуда отлучился. Вот так и учишься, туда-сюда. Да ещё случается громоздко, не говоря о многословии. Всего этого, грешным делом, мы стараемся избегать.
Учебник написан с максимальной заботой о достижении результата при минимальных неудобствах читателя. Короткое и ясное изложение предмета ставится во главу угла. Стараемся удовлетворить и другие важные требования. Не допустить, скажем, стерилизации интересных тем и перехода их в безжизненные формы. Не говоря о сверхзадаче «зажечь Аудиторию как факел», не забывая прагматически наполнить её как сосуд.
По совокупности указанных причин наряду с простейшими вопросами рассматриваются иногда фигуры высшего пилотажа. Они помечаются звёздочками, но не для того, чтобы оповестить, чего избегать, а чтобы — не упустить, не ведая о горизонтах. Потому что путь к успеху в любом деле обеспечивают «тяжёлые веса» и «открытые форточки».


Предисловие
7
Но в целом изложение просто и доходчиво. Благодаря специальным техническим приёмам удобно и чайникам, и вундеркиндам. Ядро составляет школьная программа. Общая панорама чуть шире, но без этого трудно «свободно дышать». Поскольку опасаясь «как бы не выучить чего лишнего», попадаешь в футляр, из которого не видно, что вокруг и как устроен Мир.
Какие-то нюансы лучше укладываются в видеоформат — тогда есть резон обратиться к сайту «ШКОЛА ОПОЙЦЕВА» oschool.ru, где имеется видеосопровождение учебников данной серии.
Время от времени даются ссылки:
Ш-АА — «Школа Опойцева: Арифметика и алгебра, 6-11»;
Ш-Тр- «Школа Опойцева: Тригонометрия, старшие классы»;
Ш-МТВ — «Школа Опойцева: Начала матанализа и элементы теории вероятностей, старшие классы».


Глава 1
Геометрия — на что нацелена и как её учить
1.1. 	Танцевать или наблюдать?
Эфифиля Распрекрасная танцевать за всю жизнь так и не научилась, хотя танец маленьких лебедей наблюдала «миллион раз». Мы с Вами, разумеется, понимаем, что ей надо было не смотреть, а танцевать, пробовать. Но понимаем ли мы то же самое в отношении Геометрии?
Там изучение происходит в виртуальном пространстве, и кто смотрит, а кто «танцует», — визуально не разберёшься. Кое-кто даже сам не осознаёт, зритель он или соучастник. Ибо провести тонкую грань довольно трудно. Разобравшись в чужой мысли, кажется, что дело сделано. Но не тут-то было. Надо ещё научить свою мысль аналогичный кульбит делать, воспроизводя такой же процесс в собственной голове.
1 Ответ Евклида царю Птолемею I на вопрос, нет ли более лёгкого пути изучить геометрию...
Нет царских путей к Геометрии1.
Если не закусывать удила, то объяснению в двух словах поддаётся практически всё.


1.2. Тела, поверхности, линии, точки
9
1.2. 	Тела, поверхности, линии, точки
Разговор в главе предварительный. Для настройки в унисон с предметом. Хотя особых проблем тут нет. Ибо на фоне алгебры геометрия хорошо смотрится и легко воспринимается. Конечно, когда дело доходит до всяких стереометрических фокусов, там бациллы пространственного кретинизма подтачивают планиметрическое блаженство — но это уже другая история.
Планиметрия
стереометрия
геометрия на плоскости, геометрия в пространстве.
О простейших фигурах все наслышаны с детского сада.
Округлые формы, конечно, более притягательны, но и угловатые объекты иногда завораживают. Эпизодически — сложностью, но чаще всего — простотой.
Заумные экземпляры тоже относятся к категории геометрических фигур, но всякая успешная наука тяготеет к изучению


10
Глава 1. Геометрия — на что нацелена и как её учить
корней. Поэтому избегает «глупостей», концентрируясь на «атомах» визуального и тактильного мира. На азбучных телах2, из которых Создатель конструировал всё сущее.
Границы тел обычно представляют собой поверхности.
Поверхностями на-
Граница шара О — есть сфера зывают также границы бесконечных областей (тел), а также
куски поверхностей. Вот, например, параболоид — по¬
верхность, обладающая уникальными свойствами3. А вот, чего
2 Объёмные фигуры часто называют телами.
3 Прожектор с отражающей поверхностью в форме параболоида свет точечного источника переводит в параллельный пучок света.


1.2. Тела, поверхности, линии, точки
11
только не бывает, обезьянье седло , обеспечи¬
вающее обезьяне, в отличие от обычного седла, три углубления: два для ног и третье для хвоста. Поверхности, ясное дело, встречаются сколь угодно замысловатые.
При пересечении поверхностей возникают линии. Например, сечение сферы плоскостью даёт в пересечении окружность.
Пересечение линий даёт точку


12 Глава 1. Геометрия — на что нацелена и как её учить
1.3. 	Плоскости и прямые
Простейшей поверхностью является плоскость. Пока делаем вид, будто понимаем, что это такое. Всяк знает, например, что на горизонтальной плоскости тяжёлый шар сохраняет покой.
Далее. Две плоскости либо не пересекаются, и тогда их называют параллельными, либо пересекаются, но тогда — обязательно по прямой линии.
На рисунке справа пере сечение плоскостей даёт пря мую линию АВ.
Аналогичным образом две прямых на плоскости либо не пересекаются — тогда их называют параллельными, либо пересекаются, и тогда их пересечение — точка, причём единственная.
На рисунках, понятно, изображаются ограниченные участки прямых и плоскостей. Подразумеваемые прямые и плоскости уходят в бесконечность, где «происходит то, чего не бывает».


1.4. О задачах на прицеле
13
1.4. 	О задачах на прицеле
Приступая к изучению геометрии, важно оседлать волну, с которой видны хоть какие-то горизонты. Чтобы в начале пути не возникало впечатления о переливании из пустого в порожнее. По большому счёту, конечно, куда ведёт дальний путь — никогда не знаешь. Но какую-то перспективу имеет смысл нарисовать, дабы она согревала на скучных этапах изучения основ.
Чтобы оценить полезность геометрии, не надо даже слишком далеко заглядывать. Достаточно оглянуться вокруг. Технические чертежи, архитектура, раскрой материала, площади, объёмы — везде требуются вычисления и другие манипуляции. Измерению-то не всё поддаётся. Скажем, точку В из точки А, рис. (1.1), «видит око, да зуб неймёт» — река мешает. Рулетку от Л до В не натянешь. Как оценить АВ1
ал)
Достаточно найти доступную точку С на своём берегу, измерить АС и углы /Л, ZC, после чего АВ легко определяется решением треугольника ABC.
Физика без геометрии шагу ступить не может. Почти любая задача сталкивается с необходимостью изучения геометрических моделей. Пусть, например, речь идёт о движении волчка, рисунок справа. Задача, кстати, очень сложная. Но решать её вовсе не требуется, дабы понять, что начинать тут необходимо с геометрического описания.


14 Глава 1. Геометрия — на что нацелена и как её учить
Скатывается ли шайба по сфере
или что-нибудь — по наклонной плоскости,
или подтягивается верёвкой лодка к берегу
или что угодно — везде возникают геометрические представления, дающие возможность эффективно мыслить и вычислять.
Простой вопрос: как забором фиксированной длины окружить наибольший по площади участок? Шутки шутками, но, согласно античной легенде, финикийская царица Дидона, бежав в Африку по семейным обстоятельствам, купила у царя берберов «клочок земли, который можно огородить бычьей шкурой». Царю дальнейшее не понравилось. Покупательница разрезала шкуру на ремни, связала их и окружила приличную территорию, заложив Карфаген и положив начало решению так называемых изопериметрических задач.
Так что предлагаемый инструмент полезен и эффективен в широком диапазоне потребностей.


1.5. Нечто озадачивающее
15
1.5. 	Нечто озадачивающее
Ориентироваться в этом мире помогает в основном визуальная информация и геометрическая интуиция4, работающая чаще всего просто и эффективно. На простых задачах. Но иногда, как чёрт из табакерки, выскакивает сюрприз. Такой, например.
1.5.1 Землю опоясали веревкой по экватору. Осталось лишних 10 метров. Тогда концы соединили и расправили веревку так, чтобы с экватором получилась концентрическая окруоюность. Спрашивается, каков зазор между веревкой и Землей? Большинству населения интуитивно каэюется, что в этот зазор и муравей не пролезет. Но выкладка
2tt(R + х) — 2п R =10 => х — ^
Z7T
показывает, что зазор больше полутора метров и не зависит от длины экватора вообще.
Источник заблуждения примечателен. Не желая дисциплинированно мыслить, подсознание зацикливается на планетарном масштабе задачи, на фоне которого 10 метров сущий пустяк.
Причины удивительного большей частью уходят корнями в устройство Мироздания. Но большинство противоречий все же — в голове.
Не всяк согласится, что круг А, катящийся без проскальзывания по неподвижному кругу 2?, за один оборот вокруг В — сам по себе делает два оборота.
4 Не считая, конечно, нравоучений учителей и родителей.


16 Глава 1. Геометрия — на что нацелена и как ее учить
В заблуждение вводит «чутьё», будь оно неладно. Размышление ставит все на свои места. Колесо, катящееся по ровной дороге, совершает один оборот, когда проходит расстояние, равное длине своего периметра. Здесь А проходит такой же путь, но дорога-то неровная. А если профиль дороги изгибается,
то радиус-вектор ОР может совершать меньше или больше оборота, когда точка Р возвращается на дорогу, потому что новое положение ОР не параллельно исходному. Это сдвигает мысль с мертвой точки, и добавление «ещё одного оборота» при замыкании профиля дороги уже не кажется чудом.
Многое в подсознании сидит занозой и сопротивляется. Поэтому, разобравшись в предыдущей ситуации, кое-кто наступает на те же грабли в похожих обстоятельствах.
Когда зубчатое колесо А прокатывается но неподвижному колесу В — пол оборота — и переходит в положение А', интуитивно кажется, что оно должно быть «вверх ногами». Ан нет.


1.6. Заколдованный круг
17
Не лучше дело обстоит в близкой по духу ситуации, когда большое колесо катится без проскальзывания из А в 2?,
а нарисованное на нём малое колесо «катится» по CD. Имея меньший радиус и вращаясь с той же угловой скоростью, оно проходит то же самое расстояние. Как говорится, приехали.
Разумеется, это обман — так называемый парадокс Аристотеля. Подумайте, в чём тут дело.
1.6. 	Заколдованный круг
В силу своей наглядности геометрия выявляет подноготную, каковая в других дисциплинах остаётся в той или иной степени замаскированной. Речь идёт о том, что многие геометрические понятия, которыми мы пользуемся, при ближайшем рассмотрении оказываются «размытыми». И получается, что мы лихо манипулируем терминами, хотя, если вдуматься, за кадром остаётся много безответных вопросов. Скажем, что такое плоскость — с одной стороны, ясно. Но выразить своё понимание не так просто. Ровная поверхность? Так это эмоции. А как определить строго? Вариантов в голову приходит много. Например, плоскость можно определить как геометрическое место точек равноудалённых от некоторых данных точек А и 2?, рис. (1.2).


18
Глава 1. Геометрия — на что нацелена и как её учить
(1.2)
Но для этого надо предварительно определить точку, прямую и расстояние5. В то же время прямую было бы удобно определить как пересечение плоскостей, а точку — как пересечение прямых. При этом, правда, возникает порочный круг: X определяется через У, a Y — через X. Ещё один вариант определения плоскости: как множество точек, заметаемых прямой MN, которая скользит по пересекающимся прямым АВ и CD, рис. (1.3).
Но тут проблем (точек опоры) ещё больше. Не спасает также попытка идти от простого к сложному. Линия, мол, это след от движения точки. И так далее. «География» мысленного пути, конечно, меняется, однако заколдованный круг сохраняется. Разве что в замкнутую цепь встраиваются новые звенья.
5 Чтобы «равноудалённость» не была беспризорной.


1.6. Заколдованный круг
19
Поэтому в любом случае приходится круг разрывать, и начинать с чего-то неопределяемого. С первичных понятий и аксиом. Точки, прямые, плоскости — геометрия не определяет. И это следует особо подчеркнуть, сделать ударение. Идею необходимо осознать. Любая теория может стоять только на каких-то первичных неопределяемых понятиях. Разумеется, дабы А и Б определить, можно сделать шаг назад и определить А и Б через что-нибудь другое6. Можно ещё сделать шаг назад, ещё, но пятиться без конца невозможно, где-то надо остановиться.
6 В п. 8.9 мы определим точки и прямые, опираясь на другие понятия.


Глава 2
Планиметрия Евклида — Начало
Роится в памяти наплыв Лиц,
Не продохнуть, который год — Блиц,
И лишь мерещится полёт Птиц,
Таков удел, когда живешь Ниц.
2.1. 	О специфике геометрии
Евклид ещё до нашей эры навёл в геометрии некоторый порядок, построив всё здание на фундаменте из пяти аксиом. Потом эти аксиомы многократно трансформировались в эквивалентные формы и даже дополнялись, см. п. 10.3, но до сих пор чаще всего говорят лишь о пяти аксиомах Евклида.


2.1. О специфике геометрии
21
Математики, долгое время гордившиеся, что вся геометрия стоит на пяти китах, грешным делом, опростоволосились, ибо аксиом, как потом оказалось, требуется больше, см. раздел 10.3. Но мы, не углубляясь в дебри, просто перечислим факты, на которые далее будем опираться.
2.1.1
Через две точки1 проходит одна и только одна прямая.
Это аксиома Евклида, из которой следует, что прямые могут пересекаться либо в одной точке, либо — во всех, т. е. сливаются. Если прямые не пересекаются, их называют параллельными. Следующий знаменитый постулат называют пятой аксиомой параллельности Евклида.
2.1.2
Через точку вне прямой можно провести одну и только одну прямую, не пересекающую данную2.
Отсюда следует, например, что прямые, параллельные данной, не пересекаются. В противном случае получилось бы, что через точку их пересечения проходят две прямые, параллельные исходной, что противоречит п. 2.1.1.
2.1.3 	Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Сия формулировка часто встречается, но не очень ясно, что за ней стоит. В первую очередь, конечно, — определение полуплоскости3. Но каковы свойства, следствия? Обычно подразумевается, что: если две точки принадлежат полуплоскости, то и отрезок их соединяющий принадлежит этой полуплоскости.
1 Разумеется, «через две различные точки». Такого сорта уточнениями, не стоящими выеденного яйца, бывают полны математические тексты, переполняющие чашу терпения. Совпадающие точки — это две точки или одна? Что в лоб, что по лбу — но обсуждение кипит, а дело стоит на месте. Поэтому не будем далее злоупотреблять мнимой пунктуальностью.
2 Это современный вариант аксиомы параллельности. Существует «миллион» эквивалентных формулировок, см. например, Википедию.
3 Аналогично тому, как точка разбивает прямую на две полупрямых.


22
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало
А если точки лежат в разных полуплоскостях, то говорят, что они лежат по разные стороны разделяющей прямой, и отрезок, соединяющий точки, пересекает прямую.
Сказанное означает, что всякая полуплоскость выпукла. Геометрическую фигуру называют выпуклой, если вместе с любыми двумя точками она содержит соединяющий их отрезок.
' Н CZD <“>
Пониманию сути способствуют примеры невыпуклых фигур.
Инструментом преподавания математики служит обычный язык, созданный для других целей, — и в этом трагедия. Опасаясь непонимания, учебники часто занудствуют, расшаркиваясь по любому поводу. Словно разговаривают не с человеком, способным догадываться, быть с визави на одной волне, в одном
2.2. 	Договоримся о способах
На фоне традиционного изложения геометрии любой зануда выглядит Шекспиром.


2.2. Договоримся о способах
23
контексте, а — с роботом, который ни черта не понимает, пока не объяснишь. В результате ученик ощущает, что его держат за идиота, и начинает думать, что у математиков не все дома.
Вопрос в том, как быть? Не хотите ли вы — слышится голос «сверху» — опираться на догадливость учеников и бесшабашность учителей? Как ни странно, хотим. Ибо таков стиль взаимодействия, который мы усваиваем с рождения. Что делать, если ирония, метафоры, условности, недомолвки — характерные атрибуты общения. Кому нужны уроки математики, на которых учитель обязан играть роль зануды, а ученик — недотёпы?
Это к тому, что не надо всё разжёвывать. Поручение «сходи в магазин, купи кефир» в духе уроков по геометрии предписывало бы, как по лестнице спускаться, дорогу переходить, куда по ходу дела смотреть, о чём думать, как с продавцом разговаривать. Нормальный человек в ответ хохотал бы. На уроках же математики смеха почему-то не слышно, а зря.
о
К тому же, детализация не только гробит сообразительность, но ещё и мешает Бегемотику4 управлять процессом. Потому что любое движение мысли хотя бы частично идёт на автопилоте. Поэтому, когда хозяина ведут за ручку «внешние силы», — Бегемотик нервничает. И получается, как у той сороконожки, которую спросили о правильной работе ног. Сороконожка задумалась — и разучилась ходить.
Так что мы будем придерживаться лаконичного стиля, не расшаркиваясь по мелочам. Кому-то это может не понравиться, но только такой способ оставляет мозги включёнными.
4 См. «Преамбулу» на сайте oschool.ru


24
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало
2.3. 	Исходные понятия
Итак, точка, прямая, плоскость — это первичные понятия, и мы с вами знаем, что сие означает. Если угодно, делаем вид, что знаем. Притворяемся, так сказать.
Затем в действие вступает комбинирование. Часть прямой между точками А и В называется отрезком, [А, В].
Сама прямая простирается влево и вправо до бесконечности^. Если отрезок [C,D] укладывается на [А, В],
то говорят, что длина [C,D] меньше длины [А, В], и пишут CD < АВ или \CD\ ^ |^4..В|. Длина отрезка ^^4.^ как числовая характеристика определяется выбором единицы измерения — стандартного отрезка, например одного метра м, — и проверкой того, сколько таких м и частей м укладывается на [А, В]. Расстояние6 103«м называют километром, а 0,01«м — сантиметром. Если F лежит на [А, В] , ТО AF + FB — АВ, если же точка F находится вне [А, В] , ТО AF + FB > АВ, ЧТО называют неравенством треугольника.
5 Бесконечность — тоже первичное понятие. Пояснять, что это такое, не возбраняется. Но при этом не должно возникать впечатления, будто учитель знает, что такое бесконечность, а Вы —- нет. Учитель тоже не знает.
6 Синоним длины.
(2.3)
F


2.3. Исходные понятия 25
Измерительные инструменты известны с детского сада:
шаги
г
•3 -2 -1 0 1V2Z 3
линеика
рулетка
Если концевые точки измеряемого отрезка труднодоступны, измерению могут помочь циркульj штангенциркуль, а также различные фокусы тригонометрии (Ш-Тр) типа параллакса.


26
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало
Наряду с отрезком часто используется понятие луча. Так называют «половину прямой» справа (или слева) от точки А.
Два луча, выходящие из одной точки Л, образуют геометрическую фигуру — угол. Лучи при этом называют сторонами угла, точку А — вершиной угла.
Вообще говоря, два луча 10 и 1г образуют (ограничивают) два угла, рис. (2.4), серый и белый в (дополняющий <^). При этом 1г из 10 получается поворотом 10 против часовой стрелки7 на угол (р либо — по часовой стрелке на угол в. Однако в геометрии подразумеваются углы типа серого, меньшие развёрнутого. Развёрнутым называют угол в ситуации, когда 10 и 1г образуют одну прямую, рис. (2.5).
(2.4)
(2.5)
7 Угол поворота против часовой стрелки принято считать положительным, по часовой — отрицательным. Там, где направление вращения не играет роли, углы измеряются положительными числами.


2.3. 	Исходные понятия
27
Что касается сравнения углов, то угол Z1 считается больше Z2, если при наложении (с совмещением вершин) он накрывает Z2.
Если при наложении углы совпадают, то они считаются равными. Луч, делящий угол пополам, называется биссектрисой угла. О В — биссектриса угла АОС, рис. (2.7).
(2.7)
Углы измеряются в градусах. Градус8 — это часть полного оборота, т. е. полный оборот = 360°. Углы измеряются также в радианах. Радиан — это угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу. Если окружность единичная, то полному обороту отвечает 27г радиан, поскольку длина дуги, отвечающей полному обороту, равна 2nR. Перевод градусов в радианы, и наоборот, не должен вызывать затруднения. Например,
7Г л 7Г _ 7Г
90° = 180° = тг, 30° = 45° =
2 ’64
Угол 90° = ^ называют прямым, угол 180° = 7г — развёрнутым. Два прямых угла в сумме дают развёрнутый,
8 Градус делится на 60 минут (угловых), минута — на 60 секунд.


28
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало
90'
Четыре прямых — полный оборот,
а
,9(Р
Прямые АВ, CD,
90
пересекающиеся под прямым углом, А-
9ву
1 V
D
к
С
\j^
, называют пер¬
пендикулярными, что записывают как ABJLCD. Угол, меньший прямого, называется острым; больший9 — тупым.
2.4. 	Равенство углов и фигур
В геометрии Евклида фигуры, которые при наложении друг на друга могут быть идентично совмещены, считаются равными. Вскоре мы будем пользоваться методом наложения, проверяя равенство треугольников,
Метод наложения сам по себе нагляден и в принципе понятен большинству населения. Поэтому тут объяснять — только портить. Но коли что-то в голове не укладывается, стесняться не надо — спрашивайте. У соседа, у самого себя, да у любого, кто подвернётся. На простых вещах все мы время от времени спотыкаемся.
9 Но меньший развёрнутого.


2.4. Равенство углов и фигур
29
Итак, о равенстве углов. Ясное дело, наложение углов осуществляется не фактически, а мысленно, фиктивно. Движением
модели угла как твёрдого тела. При этом успех наложения гарантируется теми или иными аргументами. Один из вариантов — параллельность соответствующих сторон. При этом, очевидно, углы не должны давать в сумме 180°, см. ниже. Для этого достаточно, чтобы оба угла были либо острыми, либо тупыми. Оформим сей факт «в металле».
2.4.1
Углы равны, если стороны у них параллельны, а углы либо оба острые, либо оба тупые.
С тем же успехом (и такой же оговоркой) равенство углов может обеспечивать взаимная перпендикулярность сторон10.
Другим источником равенства углов часто служит равенство треугольников, но об этом позже.
Смежные и вертикальные углы
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой, называются смежными, рис. справа.
Таким образом, смежные углы дают в сумме 180°.
10 Перечисленное, очевидно, можно обратить. Если углы равны и какие- то стороны у них параллельны (перпендикулярны), то и другие стороны параллельны (перпендикулярны).


30
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало
Два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого, называются вертикальными, рис. слева.
2.4.2 	Вертикальные углы равны.
М Это вытекает из элементарного соображения. Поскольку углы Zl, Z2, равно как и Z2, Z3, — смежные, то
Zl + Z2 = Z2 + Z3.
Вычитая Z2 из обеих частей последнего равенства, имеем Zl = Z3. ►
2.5. 	Сечение параллельных
Инструментом геометрического манипулирования часто является конструкция (2.8): прямая MN сечёт параллельные АВ, CD.
N
(2.8)
Сказанное в предыдущем разделе легко приводит к равенствам
Zl = Z3 = Z6 = Z8, Z2 = Z4 = Z5 = Z7,
а также к соотношениям
Zl + Z5 = Z2 + Z8 = 180°, Z4 + Z6 = Z3 + Z7 = 180°.
Убедиться полезно в качестве упражнения. В большей степени для того, чтобы закрепить критерии равенства углов из п. 2.4.


2.6. Треугольники
31
Углы на схеме (2.8) имеют специальные названия, Zl, Z5 (равно как Z4, Z6) называются внутренними односторонними, Zl, Z6 (равно как Z4, Z5) — внутренние накрест лежащиеn, Z2, Z5 (Z1,Z8) — соответственные углы.
Отмеченные выше соотношения углов, являющиеся следствиями параллельности прямых в случае (2.8), взятые в качестве причин, влекут за собой параллельность: AB\\CD. Это простой, но полезный признак параллельности.
2.5.1
Если внутренние накрест лежащие углы равны или внутренние односторонние в сумме дают 180°, то прямые параллельны: AB\\CD,
2.6. 	Треугольники
Треугольником называют фигуру, состоящую из трёх точек (вершин) и отрезков (сторон), их соединяющих. В зависимости от контекста сюда добавляется и ограничиваемая часть плоскости12.
11 Аналогично определяются внешние односторонние (Z2, Z8) и внешние накрест лежащие (Z2, ZT).
12 Границу круга называют окружностью
В случае Д — треугольником называют и то, и другое.


32
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало
Треугольники подразделяются на категории. Если все углы острые, треугольник — остроугольный, если один угол тупой, треугольник — тупоугольный. Наконец, если один угол прямой, треугольник — прямоугольный. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, противоположная прямому углу сторона — гипотенузой. Если две стороны равны, треугольник — равнобедренный, если все стороны равны, треугольник — равносторонний.
В треугольниках важную роль играют специальные элементы: биссектрисы, высоты и медианы.
Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника
с противоположной стороной:
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к противоположной стороне или её продолжению, называется высотой треугольника13:
Наконец, отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой
треугольника:
В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке. То же самое справедливо в отношении медиан. Что касается высот, то они также (либо их продолжения) пересекаются в одной точке. Но всё это мы установим позже.
13 Из рис. (2.9) видно, что высота h может лежать вне треугольника.


2.6. Треугольники
33
2.6.1 	Сумма углов любого треугольника равна 180°
Это очень простой результат, но он не дан нам в ощущениях. Бегемотик иногда «смотрит и видит», а тут он «смотрит и затылок чешет». Поскольку для вывода небольшой фокус требуется.
(2.10)
< Допустим, речь идёт о A ABC, рис. (2.10). Через точку (вершину) С проведём прямую MN параллельную АВ. Поскольку
Zl* + Z3 + Z2* = 180°, (2.11)
a Zl* = Zl, Z2* — Z2 (как внутренние накрест лежащие углы), имеем то, что требуется
Zl + Z3 + Z2 = 180°. ► (2.12)
Попробуем теперь доказать то же самое иным образом.
Западня. Разобьём треугольник ABC на два, как на рисунке слева. Если х — неизвестная пока сумма углов треугольника, то
Zl + Z2 + Z3 = ж,
Z4 + Z5 + Z6 = ж,
что после сложения даёт
Zl + Z4 + Z5 + Z3 + Z2 + Z6 = 2ж,
180°
га. е, х + 180° = 2х => х = 180°.


34
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало
Доказательство ошибочно, поскольку использует взятое с потолка умозаключение о том, что сумма углов любого треугольника одна и та же. Это ещё доказать надо.
Посмотрим на утверждение 2.6.1 с другого ракурса. На стороне АС треугольника расположим вектор s как на рис. (2.13).
Далее s сдвинем вдоль АС в положение s', повернём его по часовой стрелке на угол 180° — а, пока он не ляжет на сторону АВ. Затем действуем аналогично по кругу. Пока s не вернётся в исходное положение. При этом, очевидно, s совершит полный оборот, т. е.
(180° - а) + (180° - (3) + (180° - 7) = 360°, откуда а + /3 + 7 = 180°. Всё!
Это доказательство привлекательно тем, что трансформирует п. 2.6.1 в интуитивно очевидный факт, воспринимаемый подсознанием напрямую. Рассуждение, конечно, не проще евклидового обоснования «(2.11) => (2.12)», но его можно излагать «с нуля», без опоры на что-нибудь «предварительно теоретическое» типа сечения параллельных и равенства накрест, лежащих.
Заметим, что углы типа 180° — а на рис. (2.13) называют внешними углами треугольника, тогда как углы а, /3,7 иногда называют внутренними углами треугольника, дабы провести водораздел.
В силу 2.6.1 любой внешний угол треугольника равен сумме внутренних, не смежных с ним, и потому строго больше не смежного с ним внутреннего угла.
(2.13)


2.7. Признаки равенства треугольников
35
2.7. 	Признаки равенства треугольников
Равенство треугольников подчиняется общему принципу: фигуры равны, если при наложении совмещаются, — см. п. 2.4. Под наложением удобно подразумевать совмещение физических моделей изучаемых фигур. Скажем, «бумажный» треугольник S совмещается с треугольником Z в результате его перемещения в плоскости как твёрдого тела.
Но для совмещения S с Z*
приходится модель S сначала перевернуть на другую сторону14, а потом уже двигать её в плоскости.
После совмещения треугольники становятся геометрически неотличимы друг от друга. И у них совпадает всё: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы. Причём с сохранением соответствий, против соответственно равных сторон15 лежат равные углы и т. п.
2.7.1 	1-й признак. Треугольники равны, если у них равны соответственно две стороны и угол между ними16.
М Треугольники равны, поскольку из двух сторон и угла между ними
О О
14 Выходя из плоскости в пространство. Это соответствует зеркальному отражению S.
15 Совмещающихся при наложении.
16 Обычно дают более аккуратную формулировку: «Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны». Но аккуратность даром не даётся. Избыток слов мешает видеть ядро утверждения.


36
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало
невозможно сделать разные (неравные) треугольники. Действительно, на одном луче угла откладываем от вершины одну сторону, на другом — другую. Дальше деваться некуда, соединяем концы отрезков — получается треугольник. Могут возникнуть два варианта
но они переводятся друг в друга зеркальным отражением. ►
Важное замечание. На приведённое доказательство надо смотреть как на подсказку, помогающую исполнить собственный кульбит мысли. Чтобы доказательство стало лично Вашим, а не осталось в учебнике. Причём «кульбит» должен напоминать не волокиту, а прыжок, миг. Одно движение мысли - и Вы в дамках. А если мысль поворачивается со скрином, её надо погонять «туда-сюда», пока ржавчина извилин не улетучится.
2.7.2 	2-й признак. Треугольники равны, если у них равны соответственно сторона и прилегающие к ней углы.
< Тут решает аналогичный по духу прыжок мысли. Рисуем сторону (отрезок) и откладываем данные углы, рисунок слева. Лучи углов могут пересечься лишь в одной точке17, каковая и будет вершиной треугольника. Поменяв углы местами, получим второй треугольник, но он будет зеркальным отражением первого. ►
17 Либо могут не пересечься, но тогда задача не имеет решения, т. е. таких треугольников (с такими углами) не бывает.


2.7. Признаки равенства треугольников
37
Вот как это работает на равнобедренном треугольнике.
f
А
D
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны, АС и ВС на рис. (2.14). Равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
Итак, пусть на рис. (2.14) АС = ВС и CD — биссектриса угла С. Тогда по 1-му признаку &ACD =Д BCD, а значит: AD = BD и ZADC = ZBDC = 90°, т. е. CD является также и медианой, и высотой. Фиксируем результат для памяти.
2.7.3 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, опущенная на основание, является также и медианой, и высотой.
А если равны прилежащие к АВ углы, — обязан ли тогда A ABC быть равнобедренным? Обязан. Но это надо доказать. Для этого нам потребуется несколько другой путь. < Если CD по-прежнему биссектриса угла С, то AACD =Д BCD уже по
2-му признаку, поскольку ZADC = Z.BDC в силу п. 2.6.1. Так что АС = ВС. ►
Из п. 2.7.3 легко следует пустяковый, но принципиальный факт:
2.7.4 Перпендикуляр из середины отрезка является геометрическим местом точек равноудалённых от концов отрезка.


38
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало
2.7.5 	3-и признак. Треугольники равны, если у них равны соответственно все стороны.
М Пусть даны треугольники ABC и А'В'С' с соответственно равными сторонами. Совместим стороны АВ, А'В' и расположим их как на рисунке справа. Вертикальный пунктир делит полученную фигуру на два треугольника, левый и правый. Оба равнобедренные, поэтому Zl = Z2, Z3 = Z4, а значит
Zl + Z3 = Z2 + Z4 т. е. ZC = ZC".
Но тогда Л ABC = Д А'В'С' по 1-му признаку равенства треугольников. ►
Замечание. В доказательстве есть прокол. Картинка могла быть
сч
В
другой:
Но тогда опять-таки
Z3 — Zl = Z4 — Z2,
т. е.
ZC = ZC".
Из 3-го признака следует, что треугольник — жёсткая фигура, т. е. фиксация сторон — фиксирует автоматически углы. У четырёхугольника это не так. Если, скажем, стороны квадрата образуют шарнирно соединённые стержни, то... сами видите, что получается.
Сведём, наконец, добытые факты воедино.


2.7. Признаки равенства треугольников
39
2.7.6 Признаки равенства треугольников:
1-й: по двум сторонам и углу между ними;
2-й: по стороне и прилегающим к ней углам;
3-й: по трём сторонам.
Потребности в критериях равенства треугольников возникают в широком диапазоне задач, включая самые простые.
2.7.7 Биссектриса угла является геометрическим местом точек равноудалённых от сторон угла.
Утверждение геометрически очевидно из рис. справа. Равенство прямоугольных треугольников ОАВ и ОАВ обеспечивается общей гипотенузой и равными прилежащими углами.
Поэтому АВ = ВС.
• Равнобедренные треугольники равны18, если у них равны боковые стороны и углы при основании.
• Равнобедренные треугольники равны, если у них равны основания и противолежащие основанию углы.
• Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и одному из острых углов.
• Прямоугольные треугольники равны по катету и противолежащему углу.
18 По боковой стороне и углу при основании.


40
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало
2.8. 	Окружность и задачи построения
Окружностью называют геометрическую фигуру19, состоя- щую из точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называемой центром.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, — диаметр. Отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности, — радиус. Наконец, часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Окружности и дуги20 помогает рисовать хорошо известный инструмент — циркуль, позволяющий также раствором фиксировать расстояние между точками и переносить это расстояние в любое другое место с помощью засечек.
Циркуль в тандеме с линейкой позволяет решать массу задач на построение. Вот несколько стандартных приёмов, которые входят элементами в более сложные построения.
19 Которую именуют также геометрическим местом точек, равноудалённых от данной точки.
20 Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой.


2.8. Окружность и задачи построения
41
Задача: разделишь отрезок АВ пополам, рис. (2.15).
< Проведём две окружности радиуса R = АВ, одну с центром в А, другую — в В, рис. (2.15). Треугольник АРВ, равно как и AQB, получится равносторонним. Поэтому прямая PQ будет перпендикулярна AS, а точка пересечения О разделит АВ пополам. ►21 Построение (2.15) исполняется обычно более экономно. Вместо окружностей ограничиваются небольшими дугами в районе точек Р, Q, рис. (2.16).
• Заодно мы решили, кстати, другую задачу: восстановления перпендикуляра из точки О на прямой. Стартовое положение другое: есть точка О, но нет А и В. Стать в то же самое исходное положение позволяет проведение окружности любого радиуса с центром в О, которая пересечёт прямую в некоторых А и В. Далее прежним курсом.
21 Заметим, что окружности могли быть любого радиуса (больше половины АВ), треугольники A APB, AAQB были бы тогда равнобедренные (не обязательно равносторонние), чего для PQA.AB вполне достаточно.


42
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало
• Задача: опустишь перпендикуляр на прямую из точки
Р решается аналогично. Проводится любая окружность с центром в Р, пересекающая прямую в некоторых точках А и В. Далее по накатанной колее.
2.9. 	Углы и дуги
Всякая дуга характеризуется радиусом, собственной длиной, о чём речь позже, а также угловым измерением. Дуге АВ, рис. справа, равно как и другим изображённым дугам, отвечает угол <р, называемый центральным.
Разумеется, чтобы указать угол, отвечающий «беспризорной» дуге, надо найти центр соответствующей окружности. Для этого достаточно провести к дуге две произвольные хорды, восстановить из середины каждой перпендикуляр, и эти перпендикуляры пересекутся в искомом центре, рис. (2.17) слева, что следует из следующего результата.
(2.17)
2.9.1 	Перпендикуляр из середины хорды проходит через центр окружности, и наоборот, диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду пополам.
<4 Треугольник О ВС, рис. (2.17) справа, равнобедренный. Поэтому медиана и высота, опущенные на основание, совпадают, п. 2.7.3.


2.9. Углы и дуги
43
2.9.2 	Вписанный угол22 измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
< Пусть пока одна из сторон вписанного угла совпадает с диаметром, рис. слева. Тогда из чертежа очевидно
ZACB = -ZAOB.
2
В общем случае, рис. (2.18), вписанный угол представляем либо в виде суммы, либо в виде разности вписанных углов, у которых одна сторона — диаметр, и получаем то же самое. ►
(2.18)
Поэтому любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°, рис. (2.19). Другими словами, центр описанной около прямоугольного треугольника окружности — всегда лежит в середине гипотенузы.
(2.19)
• Окружность — это геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом.
Угол, вершина которого лежит на окружности, называют вписанным.


44
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало
2.9.3 	Задача. Через точку О, лежащую внутри окружности, проведены две хорды, рис. (2.21) слева. Доказать, что
ZAOB =
АВ + CD
(2.20)
где АВ обозначает угловое измерение дуги АВ, т. е. центральный угол, опирающийся на АВ.
(2.21)
< Доказательство моментально следует из рис. (2.21) справа. Точки A, D соединяем отрезком. Искомый угол ZAOB оказывается внешним углом для затемнённого треугольника, равным сумме внутренних углов Z1 и Z2, которые являются вписанными, опирающимися на дуги АВ, CD. ►
2.9.4 	Задача. Через точку О, лежащую вне окружности, проведены две хорды, рис. (2.23). Доказать, что
А АО В =
АВ - CD
(2.22)
О
(2.23)
< Доказательство легко получается из рис. (2.23) после соединения точек В и D отрезком. Танцуя от треугольника BOD, имеем:
ZADB = ZB + ZO => ZO =
АВ - CD


2.10. Против большей стороны — больший угол
45
2.10. 	Против большей стороны — больший угол
Как пресловутый «кульбит мысли» соотносится с рутинным доказательством, посмотрим на максимально простом примере.
2.10.1 	Теорема. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
В
(2.24)
Обратите внимание, что (2.24) позволяет «видеть» результат и доказывать его «в одно касание». Это как бы фотография того самого «кульбита мысли». Если строка С > 1 = 2 > В ставит в тупик, небольшим усилием мысли убедитесь, что ZC > Z1, ибо целое больше своей части; Zl = Z2 как углы при основании равнобедренного треугольника23; наконец, Z2 > Z2?, поскольку внешний угол треугольника больше любого внутреннего, не смежного с ним.
Крайне важно все эти декоративные телодвижения мысли проделать самостоятельно24. После чего необходимо их отмести в сторону, оставив стержень (2.24), каковой теперь25 должен охватываться единым взором и прочитываться в мгновение ока.
Аналогичная картина возникает, должна возникать, при рассмотрении любого результата с доказательством. Прибамбасов
23 Меньшую сторону АС мы отложили на большей, и потому АС = AD.
24 Возможно с опорой на подсмотренное или подслушанное, но исполнение в итоге — должно быть самостоятельным. Иносказательно говоря, Вы должны научиться ходить подсказанной дорогой.
25 После того как Вы поработали с декорациями.


46
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало
может быть больше, но схема та же самая. Сопровождающая ме- лочовка отбрасывается, и остаётся ядро, стержень, главная конструкция результата, каковую необходимо уметь прочитывать «в одно касание», вызывая тем самым соответствующую мысле- форму у себя в голове.
Всё ли в теореме 2.10.1 мы доказали? Как насчёт «и наоборот». Не надо ли отдельно убедиться, что против большего угла лежит большая сторона? См. следующий раздел.
Из теоремы 2.10.1 вытекает простой, но важный результат.
2.10.2 	Теорема. Длина перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую а, меньше длины любого наклонного отрезка, соединяющего Аса, рис. (2.25).
<4 В треугольнике ABC угол АС < АВ. Поэтому АВ < АС. ►
Таким образом, окружность радиуса АВ с центром в А будет иметь с прямой а единственную общую точку В, называемую точкой касания.
Прямая а, имеющая единственную точку пересечения с окружностью, называется касательной, и она всегда перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.


2.11. Прямые и обратные утверждения
47
2.10.3 	Задача. Угол между касательной к окружности и хордой, проведённой через точку касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.
< Подсказка, фактически решение:
А
А
В
(2.26)
Опереться можно как на идею (2.26) слева, так и справа. Равенство углов в обоих случаях обеспечивает взаимная перпендикулярность сторон. ►
2.11. 	Прямые и обратные утверждения
Вернёмся к теореме 2.10.1, где «половина утверждения» осталась недоказанной. Мы обосновали, что «против большей стороны лежит больший угол» (Ф). Обратное утверждение «против большего угла лежит большая сторона» (4b) осталось, вообще говоря, под вопросом. Его нетрудно обосновать. Отложим меньший угол на большем и т. п. Но зачем выполнять лишнюю работу, А следует из Ф чисто логически. Правда, это всё равно требует подтверждения.
< Если доказано, т. е.
С
АВ > АС =* ZC > АВ,
А
D


48
Глава 2. Планиметрия Евклида — Начало
то отрицание 4b, т. е.
ZC > ZB =* АВ < АС, противоречило бы Ф, ибо АВ < АС влекло бы за собой ZC < ZB. ►
Добавьте сюда, строго говоря, необходимые оговорки насчёт замены некоторых неравенств равенствами — и рассуждения станут весьма громоздкими. Поэтому о всяких логических штучках и мелких уточнениях принято умалчивать, дабы буквоедство не заслонило белый свет. Умалчивают, конечно, по разным причинам. Иногда благодаря здравому смыслу, иногда — по недосмотру. Но в любом случае это имеет свои плюсы26.
Разумеется, время от времени есть резон контролировать логические основы своего миропонимания. Если у каждого человека есть день рождения, то нечто, не имеющее дня рождения, — не человек. А нечто, имеющее день рождения, — не обязательно человек. Такого сорта логические следования бывают весьма многообразны, и сопровождаются нередко уникальными обстоятельствами.
Ограничимся геометрическим примером. «Медиана равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является высотой» — это осколок монолитного утверждения2.7.3. А наоборот? Конечно, тут обратную теорему «высота =Ф- медиана» очень легко доказать. Сначала проводим высоту, т. е. опускаем перпендикуляр, затем из равенства треугольников делаем нужный вывод. Многие авторы так и поступают. Всё сказано — и взятки гладки. Но текст раз за разом наполняется формалистикой.
<4 Посмотрим на ситуацию логически. Если «медиана =>► высота» доказано, и нам дана высота, то мы построим медиану, и она по уже доказанному должна оказаться этой самой высотой. Всё! ► Или нет? А вдруг это окажется другой высотой. Чтобы всё было чисто, надо иметь теорему: «из вершины треугольника можно провести одну и только одну высоту». Глупость вроде, масло масляное. Но формально, как возразить насчёт двух высот? Например, так. Если из А, рис. (2.27), можно опустить две высоты АВ и АС, то в треугольнике
26 Минусы в процессе нормального обучения постепенно нивелируются.


2.11. Прямые и обратные утверждения
49
ABC углы ZВ и ZC будут по 90°, и углу ZA ничего не останется, ZA = 180° - 2 • 90° = 0°.
в с
Теперь всё в порядке, но пример показывает, что по каждому мелкому поводу, если уж настаивать на строгости, требуется масса уточнений, загоняющих математику в лоно психиатрии. Поэтому диалектика здесь такова: строгость хороша, но добиваться её надо в меру.


Глава 3
Расширение горизонтов
Если для размышлений над задачей нужны карандаш и бумага, постановка — ещё не осознана в полной мере.
Замешкавшись на старте, о перспективах геометрии трудно даже догадаться. Путь к горизонтам заминирован банальностями. Но их надо преодолеть, чтобы вырваться на просторы.
3.1. 	Многоугольники
Ломаной называют последовательность отрезков, соединённых своими концами, рис. (3.1).
В данном случае ломаная имеет одно самопересечение. Многоугольником мы называем далее замкнутую ломаную без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на


3.1. Многоугольники
51
одной прямой1. Отрезки ломаной называются сторонами многоугольника, а точки их соединения — вершинами2. Отрезки прямой, соединяющие несмежные вершины, называются диагоналями. Примеры многоугольников:
(3.2)
Последний многоугольник (3.2) — выпуклый3, первые два — не выпуклы. Далее в основном рассматриваются выпуклые многоугольники.
3.1.1 	Теорема. Сумма углов п-уголъника равна
(п - 2) • 180°.
< Ограничимся ситуацией выпуклого n-угольника. Внутреннюю точку О соединим с вершинами — получится п треугольников,
сумма углов которых равна п • 180°, что за вычетом углов с вершиной в О как раз и даёт требуемое (п — 2) • 180°. ►
1 Часть плоскости, ограниченную такой ломаной, — также называют многоугольником.
2 Вершины, служащие концами одной и той же стороны, называют соседними, или смежными.
3 Насчёт выпуклости см. (2.1), (2.2).


52
Глава 3. Расширение горизонтов
Если n-угольник невыпуклый, но внутри находится точка О, из которой все стороны видны без помех, — работает то же самое доказательство. В общем случае мороки несколько больше, но мы на этом не останавливаемся, поскольку невыпуклые многоугольники — вне сферы нашего внимания.
3.2. 	Четырёхугольники
Все треугольники выпуклы автоматически. Четырёхугольники
очередь концентрируется на выпуклых четырёхугольниках, играющих эталонные роли. Один из наиболее важных эталонов — параллелограмм, каковым называют четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
3.2.1 	Теорема, В любом параллелограмме:
• противоположные стороны равны;
• противоположные углы равны;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам.
И наоборот, если четырёхугольник обладает любым
из перечисленных свойств, то это — параллелограмм.
< Доказательство легко извлекается из равенства треугольников, возникающих после проведения одной или двух диагоналей, рис. (3.3).
могут быть вогнутыми
(3.3)


3.2. Четырёхугольники
53
Если геометрия начинает овладевать Вашими помыслами, сказанного вполне достаточно для самостоятельного разбора полётов, что рекомендуется.
Для тех, кто небольшими усилиями мысли не хочет покорить геометрию, а предпочитает оставаться в плену неведения, дадим пояснения.
Если ABCD параллелограмм, то треугольники ABD и BCD равны по общей стороне BD и прилежащим углам4. Отсюда — равенство противоположных сторон5. Но тогда равны треугольники АВЕ и DEC (по 2-му признаку), откуда — диагонали, пересекаясь, делятся пополам.
Если же, наоборот, противоположные стороны равны, то равны треугольники ABD и BCD, в результате чего четырёхугольник вынужден признаться, что он — параллелограмм. А в случае, когда диагонали, пересекаясь, делятся пополам, — равны треугольники АВЕ и DEC (по 1-му признаку), и опять получается параллелограмм. ►
Четырёхугольник, все углы которого прямые, называется прямоугольником, а у которого все стороны равны, — ромбом. Ну, а четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны, — это квадрат.
3.2.2 	Теорема. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого равны диагонали. И наоборот, параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. (?1
3.2.3 	Теорема. Ромб — это параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны. И наоборот, параллелограмм со взаимно перпендикулярными диагона-
Квадрат, разумеется, обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба, поскольку он является и тем, и другим.
4 Каковые равны как внутренние накрест лежащие.
5 На равенстве противоположных углов даже не останавливаемся, чтобы не отобрать у Вас возможность слегка пошевелиться.
6 К этому можно добавить, что у ромба диагонали являются биссектри-
лями
сами углов, и наоборот...


54
Глава 3. Расширение горизонтов
Ещё один популярный четырёхугольник — трапеция, каковой называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Параллельные стороны считаются основаниями трапеции, остальные — боковыми сторонами: Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной, а если один из углов прямой — трапецию именуют прямоугольной, рис. (3.4).
3.3. 	Вписанная и описанная окружность
Рассмотрим сначала треугольник. Поскольку перпендикуляр из середины отрезка является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка, п. 2.7.4, — перпендикуляры из середин сторон треугольника будут пересекаться в одной точке7, которая будет равноудалена от вершин треугольника, и потому будет центром описанной около треугольника окружности, проходящей через все вершины Д. Фиксируем результат.
3.3.1 	Перпендикуляры из середин сторон треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около треугольника окружности.
7 Если точки одного перпендикуляра равноудалены от А и В, другого — от В и С, то точка О их пересечения равноудалена от А и С, и потому третьему перпендикуляру некуда деваться — приходится идти через О.


3.3. Вписанная и описанная окружность
55
Заметим, что в остроугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника, в тупоугольном — снаружи.
Если танцевать от биссектрис треугольника, каждая из которых равноудалена от сторон своего угла, п. 2.7.7, то они тоже пересекаются в одной точке, которая одинаково удалена от всех трёх сторон треугольника8 и потому является центром вписанной в треугольник окружности, см. теорему 2.10.2.
3.3.2 	Задача. Провести касательную к окружности из данной точки.
Задача входит в обязательный «джентльменский набор».
< На ОР, как на диаметре, рис. (3.5), строим пунктирную окружность. Прямая PS — искомая касательная, ибо угол OSP — прямой, как опирающийся на диаметр. ►
(3.5)
У пражнения
В
3.3.3 Если прямая, проведённая через вершину С треугольника ABC, образует со д
сторонами углы ос и /3, рис. справа, то она является касательной к описанной окружности треугольника.
С
8 См. предыдущую сноску насчёт пересечения перпендикуляров.


56
Глава 3. Расширение горизонтов
3.3.4 	Через вершину С треугольника ABC проведена касательная к описанной окружности. Из вершин А и В опущены высоты, их основания соединены прямой, рис. слева. Доказать, что обе жирные
• (г-)
прямые параллельны.
Подсказка, м ZBCN = ABAC,
как «опирающиеся на одну дугу», см. п. 2.9.2 и задачу 2.10.3. A ZEFC — ZBAC, поскольку они оба дополняют ZBFE до 180°, ибо вокруг ABFE можно описать окружность с диаметром АВ. ►
Последнее упражнение некоторым покажется сложноватым, но это хороший уровень для совершенствования. Потому что тренироваться на том этаже, где Вы чувствуете себя как дома, нет особого смысла. Вес штанги должен быть чуть выше привычного. Сложности тут больше психологические и с ними тоже необходимо справляться, пробуя и научаясь. В клубке взаимосвязанных фактов и результатов, бывает, трудно рассмотреть знакомые элементы.
В данном случае, как правило, ускользает из поля зрения равенство угла между касательной к окружности и хордой, проведённой через точку касания, задача 2.10.3, и угла, опирающегося на ту же хорду (дугу). Ну, и дополнительно здесь на пути непройденный фрагмент о вписанных четырехугольниках (п. 3.3.6), но его-то как раз полезно открыть самому, не дожидаясь, пока принесут на блюдечке с голубой каемочкой. «Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°» — до этого совсем просто додуматься, особенно в текущем контексте.
Окружность, касающаяся одной стороны треугольника снаружи и продолжений двух других сторон, рис. (3.6), называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.


3.3. Вписанная и описанная окружность
57
(3-6)
Обратим внимание, что биссектрисы внешних углов A ABC образуют АА'В'С', рис. (3.6), у которого биссектрисы A ABC оказываются высотами. Это сразу следует из того, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны, например, A A' _L В'С'. Рассуждение в обратном направлении психологически сложнее, см. задачу 9.7.11.
Из предыдущего ясно, что в треугольник всегда можно и вписать окружность, и описать. Для четырёхугольника это уже не так.
3.3.5 	В описанном четырёхугольнике9 суммы противоположных сторон равны. И наоборот, если суммы противоположных сторон равны, то в четырёхугольник можно вписать окружность.
<4 С учётом равенства отрезков касательных, проведённых из одной точки, рис. слева, обе суммы равны а + b + с + d. Обратно. Пусть «суммы» равны. Проведём биссектрисы углов ZA, ZВ и проведём окружность с центром в точке пересечения биссектрис, касающуюся трёх сторон AD, АВ и ВС. Докажите в качестве упражнения, что CD будет касаться этой окружности. ►
9 В случае вписанной окружности равнозначно можно говорить об описанном четырёхугольнике.


58
Глава 3. Расширение горизонтов
3.3.6 	Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°. И наоборот, если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
М Противоположные (вписанные) углы опираются на дуги, составляющие в сумме 360°, рис. справа. Поэтому, см. п. 2.9.2, сумма противоположных углов равна 180°. Обратно.
Через три любые вершины проводим окружность. Четвёртая вершина будет лежать на этой окружности, поскольку «сумма» = 180°. ►
3.4. 	Площади
Площадь плоской фигуры — это численная мера фигуры, удовлетворяющая следующим естественным требованиям:
• Площадь фигуры — неотрицательное число.
• Площади равных фигур равны.
• Площадь фигуры, разделённой на две части, равна сумме площадей частей.
• Площадь квадрата со стороной 1 равна единице.
Если в качестве единицы длины выбирается метр, то единицей измерения площади будет квадратный метр, м2.
Площадь прямоугольника с целочисленными сторонами а и Ъ равна S = а • Ь, ибо именно а • Ь единичных квадратов укладывается на таком прямоугольнике:


3.4. Площади
59
£
Если а и b соизмеримы, например, рациональны,
т
a =
Ь =
Р
п
то выбирая в качестве единицы длины, получим предыдущую ситуацию прямоугольника с целочисленными сторонами,
поскольку
mq рп
a = , Ъ = ,
nq nq
и формула определения площади прямоугольника со сторонами а и Ь будет прежней,
(U)
S = a • Ь.
(3.7)
<4 Остаётся рассмотреть случай несоизмеримых10 а и 6, скажем, a = 5, b=V2. Делим тогда а на N равных частей, т. е. за единицу
длины берём На стороне Ъ уложится
ьм
a
единичных квадра¬
тов, где квадратные скобки обозначают целую часть числа. Количе-
LTO
Ь
ство целых квадратов ^ х -^ = 1 X 1, укладывающихся на прямо¬
угольнике, равно
'-N
N. Частично улягутся на прямоугольник N
квадратиков, но их доля11 (процент) с ростом N стремится к нулю. Поэтому • N при достаточно больших N сколь угодно точно даёт значение площади прямоугольника, т. е. в пределе справедлива формула (3.7), поскольку при выборе единицы длины длина а равна JV, а = АТ. ►
10 Формула (3.7) играет далее основополагающую роль. Поэтому ситуа¬
цию тут имеет смысл дожать, чтобы приставалы не надоедали.
N делённое на
}-N
a
• N.


60
Глава 3. Расширение горизонтов
Фокус измельчения единичных квадратов работает и в общем случае при измерении площадей весьма замысловатых фигур.
(3.8)
Подсчёт числа квадратиков, целиком угодивших на территорию фигуры, даёт значение площади тем точнее, чем меньшей выбирается единица длины12. Но сей фокус часто трудоёмок. Тогда как фигуры в поле нашего внимания в основном просты, и мы сможем обойтись более удобными инструментами.
3.5. 	Площади простейших фигур
Диагональ прямоугольника разбивает его на два равных пря¬
моугольных треугольника,
откуда ясно,
с учётом (3.7), что площадь прямоугольного треугольника рав-
L
на половине произведения катетов, S = Отсюда: площадь
любого треугольника равна половине произведения основания на высоту, опущенную на это основание:
ft-
S =
ah
(3.9)
< Обоснование вытекает из рассмотрения двух возможных вари-
12 Потом всегда можно вернуться к желаемым единицам измерения. Пересчёт стандартен. Например, 1 м=100 см. Откуда 1 м2=10000 см2.


3.5. Площади простейших фигур
61
антов. В случае (3.10)
(3.10)
площадь A ABC равна сумме площадей прямоугольных треугольников АСЕ и АВЕ, что приводит к (3.9). А если высота пересекает продолжение основания, рис. (3.11),
то A ABC получается вычитанием А АВЕ из А АСЕ, что опять-таки приводит к (3.9). ►
Поскольку многие фигуры комфортно разбиваются на треугольники, инструмент (3.9) в достаточной степени универсален. Скажем, любой параллелограмм разбивается любой диагональю на два равных треугольника.
(3.12)
Поэтому площадь параллелограмма равна S = ah, стороне, умноженной на высоту, рис. (3.12).


62
Глава 3. Расширение горизонтов
Ъ
В случае трапеции диагональ разбивает фигуру опять-таки на два треугольника. Площадь получается равной полусумме оснований, умноженной на высоту трапеции:
а
1 1 а Ъ
S = —ah Н—bh — • h.
2 2 2
(3.13)
3.6. 	Теорема Пифагора
Всякий инструмент способен давать побочные результаты. Их надо лишь замечать и обращать во благо. Измерение площадей, например, хорошо работает в других сферах, где о квадратных метрах и речи нет.
3.6.1 	Теорема Пифагора13. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
(3.14)
а
< Сделаем 4 копии треугольника
и сложим
а
квадрат, изображённый на рис. (3.15).
13 Сама теорема была известна по крайней мере за тысячу лет до Пифагора, который нашёл, по-видимому, первое убедительное доказательство. Ныне известно несколько сотен доказательств.


3.7. Правильные многоугольники
63
(3.15)
Площадь квадрата (3.15), с одной стороны, равна (а + 6)2, с другой14 — с2 + 4а6/2, т. е.
(а + Ь)2 = с2 + 4а6/2,
откуда следует (3.14). ►
3.6.2 	Обратная теорема. Если стороны треугольника удовлетворяют соотношению (3.14), то треугольник — прямоугольный15.
^ Итак, пусть треугольник имеет соотношение сторон с2 = = а2 + 62. Построим прямоугольный треугольник Т2 по двум катетам а и Ь. Гипотенуза у него по теореме 3.6.1 окажется равной с. Но тогда треугольники Тх и Т2 равны по трём сторонам. А значит Гх — прямоугольный. ►
3.7. 	Правильные многоугольники
Правильным называют выпуклый многоугольник, у которого равны между собой все стороны и все внутренние углы. Ниже изображены правильные n-угольники при п = 3,4, 5,6. Среди них лишь четырёхугольник имеет специальное имя — квадрат.
14 Сумме площади внутреннего (белого) квадрата плюс площадь четырёх копий треугольника.
15 З2 + 42 = 52, 52 -f 122 = 132, 82 -f 152 = 172.


64
Глава 3. Расширение горизонтов
Одного равенства сторон в определении было бы достаточно только для треугольника, обладающего жёсткостью. Остальные многоугольники легко меняют форму, сохраняя равенство сторон. Вот так квадрат превращается в ромб:
Легко видеть, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность (равно как и вписать), рис. (3.16). Перевернув этот тезис, удобно говорить о происхождении правильных n-угольников. Окружность разбивается точками на п равных промежутков, точки соединяются отрезками, получается правильный n-угольник, который естественным образом разбивается на п одинаковых равнобедренных треугольников с общей вершиной в центре окружности. Длину перпендикуляра, опущенного из центра правильного многоугольника на любую из его сторон, называют апофемой. Очевидно, апофема h равна радиусу г вписанной окружности.
(3.16)


Глава 4
Подобие треугольников
Геометрический взгляд на любую проблему подключает шестое чувство и расширяет горизонты.
Планиметрия Евклида в значительной мере является геометрией подобия, каковым называют преобра- Л и
зование плоскости или пространства, пропорциональ- 1II
но изменяющее все расстояния. За этой пустяковиной I Lyf
открываются такие бездны, что за маленькими причи- | J II
нами начинаешь всюду искать большие последствия.
4.1. 	Теорема Фалеса
По техническим причинам изучать феномен подобия удобнее, начиная с подобия треугольников, где потенциал явления замаскирован невзрачными частностями. Но так устроена Вселенная, и мы вынуждены двигаться предначертанными свыше путями.
Собака оказывается зарыта в заурядном чертеже,
(4.1)
вскрывающем справедливость следующего утверждения.


66
Глава 4. Подобие треугольников
4.1.1 	Теорема Фалеса. Если на стороне угла отложены равные отрезки, то параллельные прямые, проходящие через их концы, отсекают и на другой стороне угла равные отрезки.
М Доказательство запечатлено в рис. (4.1). Требуемое равенство вытекает из равенства светло-серых треугольников, которые равны по двум сторонам и углу между ними. ►
Факт 4.1.1 представляется слишком уж простым, но из него следует важный результат: параллельные прямые отсекают на сторонах угла отрезки, находящиеся в одинаковых отношениях.
I ....
На рис. (4.2) Ъ состоит из трёх отрезков длины а. Равным отрезкам на другой стороне угла отвечают — равные, поэтому
а' : b' = а : b = 1:3.
Понятно, аналогичный вывод, а' : {/ = а : Ь, остаётся в силе и в общем случае, когда а к Ь относятся как целые числа. Такой вывод сохраняется, когда а и Ь соизмеримы, например, рациональны, а — Ь = Выбирая в этом случае в качестве
единицы длины, приходим к тому, что а и Ь снова соотносятся как целые числа, ибо
mq рп
а = , Ь = —.
nq nq


4.2. Признаки подобия треугольников
67
В ситуации иррационального отношения а : Ь = 7 берём последовательно всё более точные рациональные1 приближения а и Ь. В пределе получается а' : Ь' = 7. Так что:
4.1.2 	Теорема Фалеса00. Если на одной стороне угла отложены отрезки, находящиеся в отношении а : b = 7, то параллельные прямые, проходящие через их концы, отсекают на другой стороне угла отрезки, находящиеся в том же отношении а' : 6' = 7.
4.2. 	Признаки подобия треугольников
4.2.1 Определение. Треугольники называются подобными, если у них соответственно равны углы, и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным2 сторонам другого.
4.2.2 Теорема. Если углы одного треугольника соответственно равны углам другого, то такие треугольники подобны?.
< Пусть треугольники ABC и А'В'С' имеют равные углы соответственно обозначениям. Совмещаем углы ZA и ZA' как на рис. (4.3).
1 Например, десятичные.
2 Сходственные стороны треугольников — это в данном случае стороны, лежащие напротив соответственно равных углов.
3 По сути, это второй признак подобия треугольников, в котором обычно говорят о равенстве двух углов. Но третьи-то углы равны автоматически, коль сумма всех 180°. Так что наша формулировка равносильна.
(4.3)
В силу равенства углов будет ВС\\В'С'. Пусть
= -у. Тогда,


68
Глава 4. Подобие треугольников
Проведём далее BD\\CC', и тогда опять по теореме Фалеса: АВ' В'С' В'С'
= 7-
АВ B'D ВС
Таким образом, все соответственные стороны треугольников пропорциональны, что и требовалось доказать. ►
4.2.3 	Теорема4. Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.
<4 Пусть у A ABC и А А'В'С' равны углы ZA и ZA', рис. (4.4).
(4.4)
Пустим А'В' вдоль АВ и через В' проведём, прямую параллельную
АВ'
АВ
= 7,
ВС, которая пересечёт АС в некоторой точке5 С". Если
АС" АС1'
то по теореме Фалеса = 7. А поскольку ^ = 7 по условию,
то С" совпадает с С', т. е. ВС || В'С', и остаётся сослаться на предыдущую теорему. ►
4.2.4 Теорема (3-й признак). Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
М Пусть у A ABC и А А' В'С' одноимённые стороны пропорциональны с коэффициентом 7. Откладываем АВ' = А'В' вдоль АВ, и через В' проводим прямую параллельную -ВС до пересечения АС в точке С".
4 Традиционно — это первый признак подобия треугольников.
5 Не забывайте смотреть на геометрию как на умение правильно рассуждать на неправильных чертежах.


4.3. Как инструмент работает
69
По теореме 4.2.2 треугольники А AB'C", A ABC подобны и их стороны пропорциональны с тем же коэффициентом 7. Но тогда ААВ'С" = А АВ'С' по трём сторонам. Поэтому С' совпадает с С". Всё! ►
ву*
Вг \
|\ (4-5)
А_ \с \С"
С’
Упражнения
• Равнобедренные треугольники подобны, если у них равны или углы против основания, или углы при основании.
• Прямоугольные треугольники подобны, если острый угол одного треугольника равен острому углу — другого.
• Прямоугольные треугольники подобны, если у них совпадают либо отношения одного из катетов к гипотенузе, либо отношения собственных катетов друг к другу.
4.3. 	Как инструмент работает
Всяк блуждающий в джунглях геометрии убеждается, что без инструмента подобия шагу ступить не удаётся. Но это впереди. Пока рассмотрим несколько примеров.
< Отрезок DE, соединяющий середины двух сторон A ABC, называется средней линией треугольника. Треугольники ABC и DBE подобны, п. 4.2.3, ибо у них общий угол /.В и стороны, образующие этот угол, пропорциональны. Но тогда у них все углы равны, а значит DE || АС, и все стороны пропорциональны, а значит DE : АС = BD : АВ = 1 : 2. ►


70
Глава 4. Подобие треугольников
Фиксируем результат:
4.3.1 	Средняя линия DE треугольника ABC параллельна основанию АС и равна половине длины АС.
М Пусть АЕ и CD — медианы A ABC.
Тогда тёмно-серые треугольники, рисунок справа, подобны по трём углам, п. 4.2.2.
Следовательно, поскольку DE — средняя линия,
DM : МС = ЕМ : AM =
= DE : AC = 1:2.
Таким образом, медианы в точке пересечения делятся (каждая) в отношении 1:2. Если мы возьмём другую пару медиан, включая медиану из вершины В, получим аналогичный вывод. Поэтому медиана из В вынуждена будет пройти через точку М. ► В итоге:
4.3.2 	Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая от каждой медианы отсекает одну треть.
< Продолжим биссектрису BD, рис. слева, и проведём через вершину С треугольника ABC линию параллельную АС до пересечения с продолжением биссектрисы. Серые треугольники подобны по трём углам. Поэтому х : у = а : Ь. Здесь мы воспользовались тем, что ABCЕ равнобедренный, откуда ЕС = Ъ. ► Таким образом:
4.3.3 	Биссектриса угла в треугольнике делит противолежащую сторону на отрезки, находящиеся в том же отношении, что и стороны, образующие угол,
х : у = а : Ь.


4.3. Как инструмент работает
71
Из подобия треугольников, рис. слева,
s Ъ
с — s a
Ъ с
a
с
что равносильно
а2 = с2 — cs.
Складывая последние равенства, имеем теорему Пифагора а2 + Ь2 = с2.
4.3.4 	Теорема о секущей и касательной. Произведение секущей, проведённой из внешней точки к окружности, на её внешнюю часть — равно квадрату касательной, проведённой из той же точки.
< Треугольники ABC и ABD, рис. (4.6), подобны по двум углам. Угол А общий, а /.АСВ = ZABD, поскольку каждый измеряется
АВ АС1
половиной дуги BD, п. 2.9.2, 2.10.3. Но тогда -д-р = откуда
Из теоремы 4.3.4 следует, что для любой секущей из данной точки:
AC AD = АВ2.
А
(4.6)
В
АС • AD = const. ►


72
Глава 4. Подобие треугольников
4.3.5 	Теорема. Для пересекающихся хорд, рис. справа, всегда
А
АЕ • ЕС = BE • (4.7)
л г гп
Треугольники АВЕ и ECD подобны. Поэтому -g-g — откуда следует (9.19). ►
4.4. 	Задачи на построение
Чтобы не отвлекаться далее, оговорим простую операцию, которая часто используется.
4.4.1 	Задача. Построить отрезок Ь', который относится к а' так же, как Ь к а.
«4 Один из вариантов решения: берём угол, как говорят, от фонаря, откладываем а и 6 на одной стороне угла, как на рис. (4.8), а' — на другой. Далее соединяем концы а и а' прямой и проводим параллельную ей прямую через конец 6. Получаем 6', рис. (4.8). Всё! ►
(4.8)
Постановка задачи 4.4.1 может варьироваться. Например, разделить данный отрезок а' + bf в отношении b : а.
«4 Отрезки а + b и а' + 6' откладываем на разных сторонах угла. Проводим пунктирную линию, рис. (4.8), потом параллельную ей через конец а. Всё! Разница с предыдущим — в другой последовательности проведения параллельных (из-за другой структуры данных). ►


4.4. Задачи на построение
73
4.4.2 	Задача. Для данных отрезков х, у построить среднее геометрическое, т. е. отрезок z = у/х • у.
^ Высота прямоугольного треугольника, проведённая из прямого угла, рис. (4.9), делит A ABC на два подобных треугольника, из подобия которых
следует ^ — у z = л/х * У• Построение. На АВ = ж + j/, как на диаметре, строим окружность. Из точки D восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с окружностью в точке С. ►
4.4.3 	Задача. Построить треугольник по двум углам и биссектрисе, опущенной из третьего угла.
(4.10)
< Берём произвольный отрезок АС и по прилежащим углам строим A ABC. Проводим и измеряем биссектрису /3. Далее строим отрезок А'С', относящийся к АС так же, как данная биссектриса к /3, см. задачу 4.4.1. Решением будет треугольник, построенный на А'С' по данным углам. ►


74
Глава 4. Подобие треугольников
4.4.4 	Задача. Вписать квадрат в треугольник, одна сторона которого лежит на АС и две вершины — на АВ и ВС.
(4.11)
М Из произвольной точки Е на АС, рис. (4.11), восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с АВ. На этом перпендикуляре строим тёмный квадрат, через вершину которого проводим В'С' || ВС. Треугольники ABC и АВ'С' будут подобны. Определяем коэффициент
ПЛ»
подобия, например, 7 = 157^7- Далее строим АЕ' = уАЕ, и из точки
Г> и
Е' на АС повторяем первоначальное построение. Получаем искомый квадрат. ►
4.4.5 	Задача. Вписать в угол ZAOB окружность, которая проходила бы через точку С, рис. (4.12).
(4.12)
М Впишем в угол произвольную окружность6, далее проводим прямую ОС — получаем две точки пересечения с окружностью (соответственно получим в итоге два решения). Берём для примера точку С',
6 За центр О' берём любую точку на биссектрисе, опускаем из неё перпендикуляр на сторону угла, и это будет радиус.


4.5. Длина окружности
75
Г\(~1
измеряем коэффициент подобия 7 = zz Затем находим центр О"
CJ Су
искомой окружности7 (ОО" = 700') ► А если бы С лежала на стороне угла? А если бы надо было вписать в угол окружность данного радиуса?
4.4.6 	Задача. Вписать в угол ZAOB окружность, которая проходила бы через данные точки С, D на стороне О А и касалась ОВ, рис. (4.13).
< По теореме 4-3.4 о секущей и касательной ОС • OD = ОЕ2.
Поэтому ОЕ строим как среднее геометрическое ОС и O.D, см. задачу 4.4.2. Затем проводим окружность через три точки С, .D, Е. ►
4.5. 	Длина окружности
Окружность являет собой важный пример криволинейной фигуры, фебующей ответа на принципиально новые, с точки зрения предыдущего, вопросы. Как бы просты (или сложны) эти вопросы ни были, они заслуживают серьёзного внимания, поскольку играют, помимо всего прочего, прецедентную роль.
7 Мы немного забегаем вперёд, см. далее. При подобии окружность переходит в окружность.


76
Глава 4. Подобие треугольников
Так или иначе, но пока, формально, мы не знаем, что такое длина дуги (кривой линии), в частности, что такое длина окружности. Интуитивно-то каждому ясно, если окружность сделана из нитки, то мы её разрезаем в любом месте, вытягиваем в отрезок прямой линии, измеряем, это и есть искомая длина. Однако фокус разрезания нитки и вытягивания — в арсенал разрешённых инструментов геометрии не входит. Поэтому тут приходится изобретать что-либо другое с опорой на разрешённые средства.
Естественным представляется следующий путь. Измеряемая дуга делится точками на небольшие участки, которые заменяются отрезками прямых, рис. (4.14). Дуга приближается ломаной.
(4.14)
Затем дробление на участки измельчается, звеньев ломаной становится всё больше, больше, она всё точнее приближает кривую, и предел её длины провозглашается длиной дуги. Тоже, конечно, путь не близкий, но определение всё же становится на законные геометрические рельсы. Длина кривой определяется через длины отрезков ломаной, каковые в геометрии имеют легальный «юридический» статус.
Конечно, скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается. На избранном пути, строго говоря, масса оговорок требуется. И кривые, будь они неладны, бывают до того замысловатые, что до них сразу не додумаешься8, и в понятии предела свои заморочки... Но если особо не умничать, то суть дела здесь всё же довольно прозрачна, и этим имеет смысл пользоваться, хотя математики (которые «все в белом») возражают.


4.5. Длина окружности
77
Им подавай строгость. По-своему они правы, но всему своё время. Нам бы с вами сначала понять главное, суть. А уж потом, когда-нибудь, мы займёмся уточнениями. Греки тоже сначала разобрались в главном, а уж потом, через две тысячи лет, их потомки начали всё расставлять по полочкам.
Короче говоря, разбиваем окружность точками на равное (для простоты) число частей и вписываем правильный многоугольник с вершинами в этих точках. Например, треугольник. Затем количество вершин увеличиваем, скажем, вдвое, рис. (4.15). Вписываем шестиугольник, потом двенадцатиугольник и т. д. Предел периметров этих многоугольников при увеличении числа вершин до бесконечности и будет длиной окружности.
Никаких дивидендов это рассуждение пока не дало (с точки зрения Бегемотика9). Но оно приблизило нас к пониманию принципиальной закономерности: длина окружности С пропорциональна радиусу R. То есть С — АД, где константа А — одна и та же для любого радиуса. Её принято записывать в виде 27г. Таким образом,
С = 2ttR. (4.16)
9 Бегемотик — гипотетический персонаж, символизирующий подсознание, см. «Преамбулу» на сайте oschool.ru


78
Глава 4. Подобие треугольников
Иначе говоря, тг — C/2R — это отношение длины окружности к диаметру 2R. Число это иррациональное. Вот начало бесконечной десятичной дроби
7г — 3,141592653589793....
Существует «миллион» способов вычисления числа 7г. Элегантно выглядит ряд Лейбница,
но с вычислительной точки зрения он не очень хорош. Слишком медленно сходится10. Более эффективна в этом отношении найденная Эйлером формула
К музейным экспонатам давно относятся формулы Валлиса
тг_2244668 13 3 5 5 7 7
и Виетпа
2 7Г
поскольку современные вычислительные алгоритмы настолько их эффективнее, насколько Су-31 результативнее каменного топора. Но это другая тема, другая история.
Вернёмся к пропорциональности С = XR. < Представим, что в концентрические окружности радиусов R и г согласованно вписывают-
10 Надо взять слишком много слагаемых, чтобы найти дюжину верных знаков после запятой.


4.6. Площадь круга
79
ся n-угольники, и по их периметрам в пределе вычисляются длины
осп°
окружностей. На рис. (4.17) изображён сектор • ^ , в который попадают подобные треугольники, опирающиеся на стороны п-угольников.
Из
АВ _ R
следует, что в таком же отношении находятся и перимет-
CD “ г
ры n-угольников, а значит, и длины окружностей. ►
(4.17)
4.6. 	Площадь круга
Что касается площади круга, то здесь работает универсальный «фокус измельчения единичных квадратов» (3.8), но нас интересует зависимость площади от радиуса — поэтому имеет смысл воспользоваться конструкцией из прошлого раздела.
Опять разбиваем окружность точками на равное число частей и вписываем правильный n-угольник с вершинами в этих точках. Предел площадей этих n-угольников при п^оои будет площадью круга. Если ап — сторона, hn — апофема п-угольника,
/ л л о\ су па„ h
рис. (4.18), то площадь n-угольника Ьп = —S—-.


80
Глава 4. Подобие треугольников
При п —У ос
пап —У 27гR, hn —у R.
В итоге Sn -» ' Д = 7ri?2, т. е. площадь круга радиуса R
равна
5 - тгД2.
(4.19)
4.7. 	О роли и месте черновиков
За рамками любой изучаемой темы роится масса «мелких вопросов», без которых процесс обучения остаётся неполноценным. Однако фаршировать текст учебника этими пустяками было бы глупо. Потому что в каждом деле есть стержень, скелет, а есть третьестепенные детали, без которых картина тоже не полна, тем не менее они побочны, мимолетны. На эти детали хорошо посмотреть раз-другой, но помещать их в рамки изложения скелета, где они будут мозолить глаза, отвлекать, мешать... О таких деталях удобно вскользь упомянуть при устном изложении предмета, по ходу дела при решении задач... Только не на авансцене, не на магистральном пути.
Вопрос в том, что делать в случае самообразования. Когда кроме учебника — ничего, кроме тишины. Ну, тогда вопросы надо генерировать самому. Пробовать на них отвечать. Перебирать


4.7. О роли и месте черновиков
81
в уме варианты, чёркать что-нибудь на бумаге, комкать черновики и бросать их в корзину. Это очень полезный процесс, и нечто подобное с какой-то интенсивностью должно происходить в любом случае, не только в условиях самообразования. Самое сложное при этом — поиск вопросов. Ибо «правильный» вопрос — найти труднее всего. Отвечать потом легче. Потому что сформулированный вопрос куда-то подталкивает, и вы начинаете расходовать черновики. А когда вопроса нет — вы в ступоре. И тут нужен импульс, вплоть до сверхъестественного.
Короче говоря, нормальный учебный процесс должен сопровождаться писанием черновиков, которые превращаются затем в мусор. Но это никак не подрывает их высокую познавательную эффективность. Такая уж тут диалектика.


Глава 5
Феномен преобразований
Понимание дороже отдельно решённой задачи.
Обучаясь любому ремеслу, нельзя с головой закапываться в рутину. Фигуры высшего пилотажа должны присутствовать в поле зрения. Иначе куда стремиться, о чём мечтать.
5.1. 	Группы преобразований
Преобразованием далее мы называем взаимно однозначное отображение плоскости П на себя. Каждой точке А £ П отвечает точка-образ Аг £ П, и наоборот, образу — прообраз. В некоторых ситуациях говорят о преобразовании как об отображении одной плоскости в другую.
Примером может служить подобие, как преобразование плоскости целиком, изменяющее пропорционально все расстояния1. Занумеруем определение.
1 В главе 4 действие подобия рассматривалось на треугольниках.


5.1. Группы преобразований
83
5.1.1 	Преобразование подобия переводит любые точки А, В плоскости в точки А', В', изменяя длину отрезка АВ в к > 0 раз2, т. е.
А'В' = к-АВ,
где к — коэффициент подобия данного преобразования.
Легко заметить, что совокупность всевозможных преобразований подобия обладает следующими свойствами:
1. Последовательное применение (композиция) двух подобий является подобием3.
2. Преобразование, обратное подобию, является подо- бием4.
3. Тождественное преобразование, оставляющее всё на месте, является подобием.
Совокупность преобразований, удовлетворяющая свойствам 1-3, называется группой. Таким образом, множество преобразований подобия образует группу.
Далее мы планируем рассмотреть различные геометрические преобразования. Но чтобы оценить космические масштабы идеи групповых совокупностей преобразований, имеет смысл с самого начала взглянуть на ситуацию шире, не ограничиваясь только геометрическими преобразованиями.
За кадром здесь стоит явление
неизменности/инвариантности того или иного объекта при определённых преобразованиях.
2 Иногда пишут к ф 0, но это неправильно, ибо что такое отрицательное расстояние? См. далее определение гомотетии.
3 Композиция подобий с коэффициентами кх и к2 является подобием с коэффициентом кх • к2.
4 Преобразование, обратное подобию с коэффициентом к, — есть подобие с коэффициентом i.


84
Глава 5. Феномен преобразований
«Объектом» может быть что угодно: геометрическая фигура, уравнение движения, модель того или иного явления и т. п. Правильный многогранник, например, не меняется, самосовмещаясь под воздействием определённой группы поворотов. И это очень естественный способ изучения объекта. Надо подействовать на него некоторым образом и посмотреть на реакцию. По реакции можно многое понять. Живой - неживой, приличный - неприличный, сильный — слабый. Но мы пока о другом. Скажем, есть функция времени /(£), которая не меняется при любом изменении начала отсчёта времени, т. е. при любом a £ (—ос, ос)
¥
f(t + а) = f(t).
Ну и что, казалось бы. Но отсюда следует, что f(t) = const т. е. f(t) не зависит от времени5.
А если функция 2 = </?(х, у) инвариантна (нечувствительна) к любым поворотам системы координат, то она гарантированно является функцией от х2 + у2, т. е. функция двух переменных ip(x,y) есть функция лишь одной переменной и = х2 + у2.
Оба результата интуитивно понятны. На деталях мы не останавливаемся, дабы не отвлекаться от главного в данном контексте. Наша с вами задача пока — открыть горизонты. Иначе ученичество напоминает путешествие в трюме корабля. Подташнивает, ничего не видно, а люки задраены.
Вот ещё один впечатляющий факт.
Инвариантность уравнений классической механики к преобразованиям Галилея — влечёт за собой законы сохранения энергии и количества движения.
Вроде бы из пустячка — из независимости движения от замены инерциальной системы координат одной на другую — вытекают фундаментальные законы природы. Тут, правда, не так
5 Если бы реакция отсутствовала только на замену t —¥ t + 2, то f(t) была бы периодической с периодом 2.


5.2. С высоты птичьего полёта*
85
всё просто, как было с ситуацией
f(t + a) = f(t) -> f(t) = const, но мы пока оцениваем лишь масштабы идеи.
Ещё один эффектный трюк в рассматриваемой нише — инвариантность формул по отношению к выбору системы единиц измерения. Характер зависимостей не меняется, измеряем ли мы, скажем, длину в метрах или милях. Заранее ясно, например, что
период т колебаний маятника 1 может зависеть лишь
\™g
от га, д, I. Поиск формулы для т сводится к поиску комбинации из га, д, /, имеющей размерность времени. Такая комбинация единственна \J^ji масса га оказывается ни при чём. Поэтому
г . ф где с _ некая безразмерная kohcW. Трудно „ове-
рить, но формула т ~ вытекает как бы «из ничего», из независимости характера взаимосвязей от преобразования системы единиц.
Такие методы позволяют просто решать очень сложные задачи. Конечно, перечисленное — не геометрия. Но это «правильный космический фон» для того, на чём мы собираемся сосредоточиться. Вернёмся, однако, к нашим баранам.
5.2. 	С высоты птичьего полёта*
Возможности геометрических преобразований феноменальны, и это полезно оценить с самого начала на примерах, дабы мотивация помогала двигаться к вершинам. Покажем, как это работает, не всматриваясь пока в детали.
6 На самом деле, как мы знаем, С = 27г. Но это другая история.


86
Глава 5. Феномен преобразований
5.2.1 	Задача. Точки, делящие стороны произвольного тре угольника в отношении 1 : п, соединены с вершинами, рис. (5.1). Доказать,что три серых четырёхугольника равновелики.
4 Решение задачи 5.2.1 «в лоб» — весьма неприятная головоломка. При использовании так называемых аффинных преобразований7 она тривиальна, и воспринимается новичками как высший пилотаж. При аффинном преобразовании прямые переходят в прямые, параллельные — в параллельные, пропорции деления параллельных отрезков сохраняются, равные площади переходят в равные, а любой треугольник можно перевести в равносторонний, для которого утверждение о равенстве соответствующих площадей очевидно. ►
По большому счёту — это гроссмейстерский трюк, высший пилотаж. В своей сути очень простой, что видно из дальнейшего. Но это геометрия с другого этажа, другого уровня. Откуда видны причины, подоплёка. На этом этаже полезно прогуливаться время от времени, что вдохновляет и знакомит с новыми территориями виртуального пространства.
Разумеется, если не бежать впереди паровоза, сначала надо аккуратно определить аффинное преобразование и разобраться с его свойствами. Но это традиционный путь г: своими минусами. А мы хотим как раз увидеть перспективы бея предварительных рассусоливаний. Иначе говоря, прежде чем взбираться на Эльбрус пешим порядком, взглянуть на вершину с вертолёта. Может, тогда и пешком идти не надо будет.
7 Аффинным называется преобразование плоскости, переводящее каждую прямую в прямую, а параллельные прямые — в параллельные.


5.2. С высоты птичьего полёта*
87
Панорама «с вертолёта» описана выше жирным шрифтом. Нужные для решения задачи свойства все перечислены. Ими мы будем пристально заниматься в Стереометрии. Здесь ограничимся наводящими соображениями.
Об аффинном преобразовании удобно думать с помощью параллельного проектирования, каковым называют перемещение точек пространства на плоскость П вдоль прямых, параллельных заданной прямой Z, рис. справа.
Для описания аффинного преобразования берём две пересекающиеся плоскости п и П'. Любую точку A G П параллельно I проектируем на П7, получая образ А' точки А, рис. (5.2).
с
fi
(5.2)
При такой интерпретации свойства аффинного преобразования становятся более-менее очевидны. Вот как, например, доказывается, что любой треугольник можно аффинно отобразить в равносторонний. Л Берём произвольный ААВС в плоскости П, и на стороне АВ строим равносторонний треугольник ABC', рис. (5.3), в какой-нибудь непараллельной плоскости П', секущей П по АВ. Затем всё проектируем вдоль (параллельно) ССГ. ►
(5.3)


88
Глава 5. Феномен преобразований
Эта возможность (отобразить любой треугольник в равносторонний) выстреливает во многих задачах8. Вот ещё один маленький пример.
5.2.2 	Задача. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений её боковых сторон, делит основания трапеции пополам.
<4 Отображаем картинку так, чтобы A ABC стал равносторонним, — и все дела. Параллельность сохраняется, пропорции деления на параллельных отрезках остаются те же. ►
Не дай бог, конечно, если кто-то сказанное поймёт так, что подобным образом решается любая задача с треугольниками. Так решаются лишь те задачи, где речь идёт о свойствах, которые сохраняются при аффинных преобразованиях (параллельность, отношения длин, площадей). Но таких задач не так мало.
Мы не будем зацикливаться на аффинных манипуляциях, поскольку затронули их лишь с целью продемонстрировать перспективы геометрических методов, основанных на преобразованиях. А также — с целью сообщить, что кроме более простых преобразований, рассматриваемых далее, есть ещё кое-что удивительное, что можно отложить на десерт.
5.3. 	Преобразования движения
Изучение геометрических преобразований систематически, безусловно, лучше начинать с более простых трюков. От преобразований подобия, глава 4, сделаем шаг в сторону упрощения.
Подобие с коэффициентом k = 1 называют движением. Другими словами.
8 Само собой, выстреливает у тех, кто имеет соответствующую рогатку.


5.3. Преобразования движения
89
5.3.1 	Преобразование, при котором расстояние между точками не меняется, называется движением.
Движение можно представлять себе следующим образом. Изготавливается копия П7 плоскости П. Затем копия как твёрдое тело перемещается тем или иным образом и накладывается на П. При этом изображения точки переносятся обратно на П. в результате чего исходные точки А переходят в образы
А' е П.
Помимо групповых свойств — см. в начале раздела 5.1 — движения переводят:
(i) прямые в прямые9;
(ii) любой угол — в равный угол10;
(ii) равные площади — в равные.
Естественный пример движения даёт параллельный перенос: любая точка А смещается на заданный вектор ~а^, переходя в точку А', характеризуемую условием А А' — ~ct.
Для обозначения векторов мы используем стрелочку
«над», что, конечно, не очень хорошо с точки зрения простоты символики, но поначалу лучше переборщить.
Другой пример движения даёт поворот вокруг центра О на угол (р, сохраняющий расстояние любой точки до центра О.
Третий пример движения: осевая (зеркальная) симметрия относительно оси (прямой) MN.
9 4 Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то АВ -f- ВС = АС. Движение, по определению, сохраняет равенство А'В' -f- В'С' = А'С', т. е. точки А\ В', С' также лежат на одной прямой. ►
AL
равны по трём сто-
А/' ок
< Треугольники д
О -
В 4
ронам, откуда следует равенство углов. ►


90
Глава 5. Феномен преобразований
При осевой симметрия каждой точке А отвечает симметричная точка А', лежащая на перпендикуляре к оси симметрии (к зеркалу) MN, на том же расстоянии от MN, что и А.
У
5.4. 	Осевая симметрия
Диапазон инструмента симметрии лучше всего выявляется при решении задач.
5.4.1 	Задача Герона. На прямой MN найти такую точку С, чтобы расстояние АС + СВ было минимально.
М Пусть В' — зеркальное (относительно MN) отражение точки В. Из рис. (5.4) видно, что для любой точки С' Е MN длина пути АС'В' равна АС'В. Минимум АС'В', а значит и АС'В, достигается, когда С' попадает в точку С, лежащую на прямой АВ. Поэтому из А надо идти прямо на зеркальный образ точки В и.^
5.4.2 	Задача. Дан угол ZABC и прямая MN, рис. (5.5). Надо построить квадрат, две вершины которого лежат на сторонах угла, две — на прямой.
11 Заметим, что треугольник ABC на рис. (5.4) является решением следующей задачи, где та же идея более закамуфлирована. Построить треугольник ABC минимального периметра, у которого фиксированы две вершины А и В, а третья вершина С должна лежать на прямой MN.
А
(5.4)
В'


5.4. Осевая симметрия
91
< Заметим, искомый квадрат зеркально симметричен относительно MN. Отсюда ясно, что тот же самый квадрат решает симметричную задачу, в которой угол — изображён пунктиром на рис. (5.5) — зеркально симметричен относительно MN. Поэтому вершины квадрата обязаны лежать в точках пересечения сторон угла ZABC со сторонами пунктирного муляжа12. ►
5.4.3 	Задача. Даны окружности Ог и 02, лежащие по разные стороны прямой MN, рис. (5.6) слева. Выбрать точку А на Ог так, чтобы симметричная ей относительно MN точка А' попала на окружность 02.
(5.6)
М Окружность Ог — суть множество возможных положений точки А. Поэтому А9 обязана лежать не только на 02, но и на симметричном образе окружности Ог (пунктир на рис. (5.6) справа), — а значит, на их пересечении. Сколько пересечений — столько решений. ►
12 Как построить зеркальное отражение прямой АВ относительно MN? Берём на АВ любые две точки Е и Н, строим их зеркальные изображения Е9 и Н', и через Е', Н9 проводим прямую — она и будет искомой.


92
Глава 5. Феномен преобразований
Условие задачи 5.4.4 сформулировано бесхитростно. Сразу подталкивает к зеркальному отображению Ог. Обычно в этой задаче напускают немножко туману. Найти, дескать, точку А на Ох, чтобы перпендикуляр А А' делился прямой MN пополам. Другие слова другие впечатления. Когда имя не помогает содержанию, двигаться в правильном направлении становится труднее.
5.4.4 	Задача. В угол ZABC вписать треугольник минимального периметра, две вершины которого лежат на сторонах угла, а третья его вершина — в заданной точке О, рис. (5.7).
< Отобразим зеркально точку О относительно сторон угла. Получим два образа О' и О". Из рис. (5.8) легко видеть, что периметр A OP'Q' равен длине ломаной AO'P'Q'O". Поэтому надо провести прямую О'О", и точки её пересечения со сторонами угла назначить вершинами искомого треугольника. ►
С
А
(5.7)
I О"
(5.8)


5.5. Параллельный перенос
93
5.5. 	Параллельный перенос
Параллельный перенос смещает все точки плоскости П на один и тот же вектор13.
5.5.1 	Упражнение. При параллельном переносе:
• любой отрезок АВ переходит^в равный отрезок А'В' того же
направления, т. е. АВ = А'В';
• любая прямая переходит в параллельную прямую14,
5.5.2 	Задача. Даны пересекающиеся прямые а и b и треугольник ABC. Расположить A ABC так, чтобы сторона АС легла на а, а вершина В — на Ъ.
(5.9)
Л Параллельный перенос на вектор АЁ (или на СВ) переводит прямую а в параллельную прямую а', точка пересечения которой с Ъ даст искомую вершину В, рис. (5.9). ►
13 Векторы одной длины и одинакового направления считаются равными. Другими словами, такие векторы — это один и тот же вектор.
14 Разумеется, являясь частным случаем движения, параллельный перенос обладает всеми свойствами движения. В упражнении 5.5.1 указаны дополнительные свойства.


94
Глава 5. Феномен преобразований
Решение понятно. Но с какой стати мы переносим всю прямую a —¥ а'? Траектория мысли тут такова. Мы не знаем изначально, где должна располагаться точка А. Заведомо лишь на прямой а Потом при переносе на вектор она перейдёт в В Ну так давайте сместим все потенциально возможные местоположения точки А на А1$.
5.5.3 	Задача. Дан отрезок а и окружности Ог и 02, на которых требуется так выбрать по одной точке А и А', чтобы А А9 — а как по длине, так и по направлению, рис. (5.10).
(5.10)
<4 При переносе на вектор а точка А переходит в А'. Беда в том, что мы не знаем, где эта точка А. Давайте тогда перенесём на а все потенциально возможные точки А. Где они располагаются? На окружности Ог, которая при переносе на вектор а переходит в окружность О' (пунктир). Пересечение О' с Оа, такое как на рис. (5.10), даёт два решения: одно — точка А, другое — безымянная точка. Решение может быть одно (случай касания); ни одного (пересечение пусто); и бесконечно много (образ О' совпадает с 02). ►
• Обдумайте переделанную задачу 5.5.3, в которой вместо окружности 02 фигурирует прямая ВС, рис. (5.11).
(5.11)


5.6. Поворот и центральная симметрия
95
5.6. 	Поворот и центральная симметрия
Частный случай движения: поворот вокруг центра О на угол <р, сохраняющий расстояние от любой точки до центра15 О.
5.6.1 	Задача. Даны прямые Ь, с и точка А. Построить равносторонний треугольник ABC, вершины которого В и С лежат на прямых Ъ и с.
Ситуация, когда угол между прямыми бис равен плюс или минус 60°, предлагается в качестве упражнения.
Поворот на 180° называют центральной симметрией. Другими Л
словами, центральна# симметрия / \ /
относительно центра О переводит \ \ /
любую точку А в А' так, что О — середина отрезка А А*.
< Пусть искомый треугольник уже построен, и угол между прямыми ф ±60°. При повороте плоскости вокруг точки А на угол 60° точка В перейдёт в (7, а прямая 6 в Ь'. Поэтому С является точкой пересечения bf и с. Второе решение получится при исходном повороте на минус 60°.
Некоторые фигуры центрально симметричны, т. е. имеют центр симметрии, поворот вокруг которого на 180° не меняет фигуру. Центрально симметричен любой параллелограмм, центром симметрии служит точка пересечения диагоналей.
Треугольник центра симметрии не имеет.
15 Покажите, что поворот действительно является движением.


96
Глава 5. Феномен преобразований
5.7. 	Движение и ориентация*
Если точки А, 2?, С движение переводит в точки А', В', С', и их обход в указанном порядке происходит одинаково — либо по, либо против часовой стрелки, — то, считается, движение сохраняет ориентацию плоскости, рис. (5.12).
(5.12)
Сразу, конечно, возникает вопрос, а не может ли движение одну тройку точек крутить по часовой стрелке, а другую — против. Не может. На этот и многие другие вопросы удобно отвечать с позиции следующего общего результата.
5.7.1 	Движение однозначно определяется движением трёх точек плоскости, не лежащих на одной прямой.
<4 Любая точка плоскости S жёстко определяется расстояниями16 до вершин A ABC (любого данного), рис. (5.13). При движении A ABC переходит в равный. Образ S получается как точка пересечения трёх окружностей17 соответствующих радиусов с центрами в А, В, С.
9
А
(5.13)
Рис. (5.13) отвечает ситуации той же ориентации, (5.14) — противоположной. ►
16 Длинами пунктирных отрезков, которые, если угодно, можно считать своеобразными координатами.
17 Докажите, что такие три окружности (когда A, J3, С не лежат на одной прямой, а радиусы отвечают реальным расстояниям до А, В, С от первичного образа S) пересекаются ровно в одной точке.


5.8. Композиция движений*
97
К
(5.14)
• Почему движение все треугольники крутит одинаково.
На движение здесь полезно взглянуть с точки зрения физической модели, о которой мы уже говорили. Изготавливается копия П' плоскости П, после чего копия как твёрдое тело перемещается и накладывается на П. В результате возникает преобразование точек А А'.
Если копия П' только лишь скользила по П, то её конечное положение можно зафиксировать двумя булавками, приколов к П. Но если копия П' ещё и переворачивалась, то потребуется приколоть её к П в третьей точке18. Поэтому к п. 5.7.1 можно добавить следующее уточнение.
5.7.2 	Движение, сохраняющее ориентацию, однозначно определяется движением двух точек плоскости.
5.8. 	Композиция движений*
5.8.1 	Композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями есть поворот на угол, вдвое больший угла между осями, с центром О в точке пересечения осей l\, I2, рис. (5.15).
(5.15)
18 Кому не лень, поэкспериментируйте с двумя листами бумаги.


98
Глава 5. Феномен преобразований
М Любая точка А при отражении относительно оси переходит в точку А', которая при отражении от I2 переходит в А". Поэтому луч О А переходит в О А". Удвоение угла (р легко усматривается из чертежа (5.15). ►
5.8.2 Композиция двух осевых симметрий с параллельными осями является параллельным переносом на вектор, направленный перпендикулярно осям, от первой ко второй, на расстояние, равное удвоенному расстоянию между осями.
5.8.3 Оба утверждения 5.8.1, 5.8.2 верны также в обратном направлении. Поворот и перенос всегда можно представить в виде композиции указанных осевых симметрий.
5.8.4 Композиция поворота и переноса19 — снова поворот на тот же угол, вокруг другого центра.
М Поворот представляем в виде композиции двух осевых симметрий с осями 1г и J2, причём 12 выбираем ортогонально вектору переноса а, рис. (5.16). А перенос представляем в виде композиции осевых симметрий с осями Z2 и Z3, п. 5.8.2, разумеется, l3 || Z2.
h
- h (5-16)
—h
Искомая композиция в результате сводится к композиции четырёх симметрий относительно20 Z17 Z2, Z2, Z3. А так как двукратная симметрия относительно 12 — тождественное преобразование, то искомая
19 В любом порядке.
20 Либо в другом порядке, Z3, J2, Z2, lx.
?


5.8. Композиция движений *
99
композиция 5.8.4 получается равной композиции симметрий с осями /1? /3, что есть поворот, п. (5.8.1), относительно пересечения 1г и /3. ►
5.8.5 	Композиция двух поворотов есть либо поворот, либо параллельный перенос.
(5.17)
< Пусть речь идёт о поворотах на углы <£>х, <£>2 вокруг центров 0\, О2, рис. (5.17). В соответствии с п. 5.8.1 первый поворот представим в виде композиции двух осевых симметрий Sx, S* с осями 0\02
и Z1? образующими между собой угол Аналогично представим
второй поворот в виде композиции симметрий 52, S* с осями O1O2
и /2, образующими между собой угол . Результирующим поворотом
будет21
5, • 5; • S* • 52 = S, • S2,
т. е. композиция симметрий с осями 1г и /2, образующими между собой угол Поэтому сам результирующий поворот — это
поворот вокруг точки О (пересечения осей Z1? /2) на угол + у?25 п.5.8.1.
Если срг + ср2 = 27Г, то результирующее движение будет параллельным переносом. ►
Опираясь на п. (5.8.1)-(5.8.5), а также на п. (5.7.1)-(5.7.2), уже не так трудно обосновать следующий общий результат.
21 Поскольку S* - S* — тождественное преобразование.


100
Глава 5. Феномен преобразований
5.8.6 Теорема. Любое движение является либо параллельным переносом, либо поворотом, либо симметрией, либо композицией симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный оси симметрии (последний вид движения называется скользящей симметрией).
Кому-то может показаться, что результаты типа5.8.6 играют исключительно философское значение. Но вот задача, которую «эта философия» решает в одно касание.
5.8.7 Задача*. Треугольники ABC и А'В'С' равны, но противоположно ориентированы22. Доказать, что середины отрезков А А', ВВ', ССГ лежат на одной прямой.
В отсутствие инструмента5.8.6 неясно, что делать. 4 Теорема5.8.6 для преобразования A ABC в А А'В'С' из-за противоположной ориентации оставляет две возможности: либо симметрия, либо скользящая симметрия. В том и другом случае ось симметрии делит середины интересующих нас отрезков пополам. ► Самый раз вспомнить К. Гельвеция: «Знание общих принципов возмещает незнание отдельных фактов».
5.9. 	Подобие и гомотетия
Пользуясь инструментом, необходимо знать его свойства.
5.9.1 	Теорема. Любое преобразование подобия переводит:
1) отрезок в отрезок, прямую в прямую;
2) окружность в окружность;
22 Подразумевается соответствие А ч-> А', В В', С С'.


5.9. Подобие и гомотетия
101
3) равные углы в равные углы;
4) площадь фигур изменяет в к2 раз, где к — коэффициент подобия.
М 1. Расположение точки Р на отрезке АВ характеризует равенство АР + РВ = АВ. Поскольку длину каждого отрезка АР, РВ, А В преобразование подобия изменяет в одно и то же число раз /с, то А'Р' + Р'В' = А'В'. Это означает, что Pf лежит на А'В'.
2. Все точки А, лежащие на окружности радиуса R с центром О, перейдут в точки А', равноудалённые от O': O'А' = к • О А = к R.
3. На сторонах угла с вершиной О отмечаем какие-нибудь точки А и В. Подобие переведёт А АО В в АА'О'В' (с пропорциональными сторонами). Поэтому ZAOB = ZA'O'B' по 3-му признаку, п. 4.2.4.
4. Площадь любого квадрата изменяется в к2 раз, это очевидно. Далее можно ориентироваться на измельчение квадратов при определении площади сложных фигур (раздел 3.4). ►
5.9.2 	Задача. Построишь геометрическое место вершин углов, равных данному, и опирающихся на данный отрезок.
(5.18)
< Мы знаем, что геометрическое место вершин углов, равных А А и опирающихся на отрезок а, представляет собой дугу, дополняющую дугу 2ZA, рис. (5.18) слева. Точнее говоря, две дуги, рис. (5.18) справа. Но одно дело знать геометрическое место, другое дело — его построить. Проблема в том, что мы не знаем радиус г подходящей окружности. Зато мы располагаем инструментом подобия. Поэтому в окружность произвольного радиуса R вписываем данный угол, измеряем длину хорды 6, на которую он опирается, и находим искомый радиус г из условия г : R = а : Ь. Всё! ►


102
Глава 5. Феномен преобразований
Частным случаем подобия является преобразование гомотетии с центром в точке О и коэффициентом к > 0, переводящее каждую точку А в точку А', лежащую на прямой О А и удовлетворяющую условию О А' = к • О А. При этом каждая пара (о, к > 0) определяет два различных преобразования. Одно оставляет точки А и А' по одну сторону от точки О, другое — по разные.
< Гомотетия любой отрезок АВ переводит в А'В', удовлетворяющий условию
что следует из подобия треугольников ОАВ и OAfBf. Поэтому гомотетия является подобием. ►
Иногда в определении гомотетии вместо к > 0 полагают fc/Ои считают, что при к > 0 точки А и А' лежат по одну сторону от точки О, при к < 0 — по разные23. На первый взгляд — удобно. Но опять, как и в определении подобия, возникает противоречие с требованием положительности расстояния (длины). И хотя в гомотетии есть простой выход из положения, в О А' = к ОА считать ОА и О А' векторами, в подобии такого выхода нет. Возникает рассогласование определений. Не катастрофа, но... та самая ситуация, в которой говорят, что дьявол прячется в деталях. Но это присуще не только математике. Таких ситуаций и в жизни полно.
Гомотетия интересна сама по себе как инструмент решения конкретных задач, но она важна также как один из центральных механизмов преобразований подобия. Её участие состоит в следующем. Поскольку подобие с коэффициентом к в композиции с гомотетией с произвольным центром и коэффициентом ^ есть движение, П • Г = D,
то данное подобие есть композиция этого движения и гомотетии с тем же центром, но коэффициентом к, П = D • Г-1. Выбором центра можно обеспечить достаточно простой вид движения D.
23 В этом случае гомотетия с коэффициентом к = — 1 является центральной симметрией.
А'В' = к • АВ,
<
В в


5.9. Подобие и гомотетия
103
В частности:
5.9.3 	Упражнение*. Любое подобие с коэффициентом к ф 1, сохра-
о ОА
няющее ориентацию, является композициеи гомотетии с центром в некоторой точке и поворота с тем же центром25 • ( г )
5.9.4 	Упражнение*. Любое подобие с коэффициентом к ф 1, не сохраняющее ориентацию, является композицией гомотетии с центром в некоторой точке и симметрии относительно оси, проходящей через центр гомотетии, [с )
Упражнения не очень лёгкие. Хотя, для кого как.
5.9.5 	Задача. Найти геометрическое место середин хорд, проходящих через фиксированную точку данной окружности.
Это стандартная задача, которая обычно приводится для иллюстрации использования гомотетии, м Из рис. (5.19) видно, что гомотетия с центром в А и коэффициентом k = А все точки В окружности
О переводит в точки В'. При этом, являясь подобием, всю исходную окружность преобразует в окружность О' вдвое меньшего радиуса, на которой и расположены середины хорд, закреплённых в точке А. ►
(5.19)
А
24 Разумеется, с коэффициентом к.
25 Это так называемое спиральное подобие.


Глава 6
Тригонометрический ракурс
A not getting what you want is sometimes a stroke of luck.
Dalai Lamas
6.1. 	Основные функции
Поскольку все прямоугольные треугольники с фиксированным острым углом <р подобны, см. раздел 4.2, то и отношения соответствующих сторон у таких треугольников одинаковы, и определяются только углом ср. Другими словами, «все отношения» являются функциями (р. За этими функциями (6.1) закрепляются названия1, что поначалу представляется пустой выдумкой, но потом оказывается удобно.
А
а
С
В
tg* =§
ct^ = l
sin ip = — ^ с
COS (p = -
с
Синус, косинус и т. п.


6.2. Единичная окружность
105
Ещё раз в другом формате:
^ . противолежащий катет
• Синус sin (р = —^ — .
* гипотенуза
Tjr прилежащий катет
• Косинус cos = —*■ ^ .
^ гипотенуза
т , sin о? противолежащий катет
• Тангенс tg ^ ^ ^5 .
° ^ cos у? прилежащии катет
Tjr i cos прилежащий катет
• Котангенс ctg = ——21 = — с .
sin у? противолежащии катет
Источником бессмертия тригонометрических функций является широко распространённая потребность в жонглировании геометрическими пропорциями. Скажем, вектор а на плоскости, рис. (6.2), описывают обычно либо с помощью декартовой систе¬
мы координат а = {ах,ау} , либо — полярной а = {|а|,(/?}
где \а\ = а — длина вектора а.
(6-2)
При этом научные дисциплины вынуждены ходить «туда-сюда» ах = a cos tp, ау = a sin tp, (6.3)
поскольку каждая точка зрения имеет свои преимущества.
6.2. 	Единичная окружность
Геометрическое моделирование тригонометрических функций приводит к рассмотрению множества прямоугольных треугольников


106
Глава 6. Тригонометрический ракурс
с единичной гипотенузой, у которых катеты автоматически равны sin ср, cos (р. Вершина угла (р закрепляется в точке О, а геометрическим местом других вершин оказывается дуга единичной окружности, рис. (6.4).
Таким образом, О А — это синус, ОВ — косинус. Поэтому горизонтальную ось координат можно считать осью косинусов, вертикальную — осью синусов. Зафиксировав в треугольнике единичный катет ОС, получим другой катет численно равным тангенсу (р. Так что вертикальная касательная к окружности справа может служить осью тангенсов.
Поскольку определения тригонометрических функций были привязаны пока к острому углу прямоугольного треугольника, то такой угол лежит в диапазоне от нуля до 90°. Однако нас не устраивает слишком узкая область определения [0, 90°] тригонометрических функций из-за их привязки к прямоугольным треугольникам. Углы поворота могут складываться и давать в сумме любой угол, больший 90°, и вообще сколь угодно большой. Поэтому область определения [0,90°] хотелось бы расширить.
Напомним, углы измеряются не только в градусах, но и в радианах. Радиан — это угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу. Если окружность единичная, то полному обороту отвечает 2п радиан. Соответственно:
sin
tg
(6.4)
90° = 180° = 7Г, 30° = 45° =
2 6
7Г
4


6.3. Простейшие соотношения
107
Так вот в тригонометрии оси синусов/косинусов продолжаются влево и вниз, в результате чего синус и косинус определяются2 для любых углов, измеряемых дугами единичной окружностьI, которая подразделяется на четверти, как на рис. (6.5). Такое же расширение предусматривается и для тангенса/котангенса3, которые становятся определёнными для всех углов кроме (р = кп у котангенса и (р = ^ + ктт у тангенса, где к везде целое, т. е.
fc G Z = {..., —2, — 1,0,1,2,...
(6.5)
6.3. 	Простейшие соотношения
Соотношения между тригонометрическими функциями служат инструментами геометрического манипулирования. Подробности см. в Ш-Тр. Здесь мы рассмотрим лишь простейшие трюки.
В треугольнике ОАВ, рис. (6.5), по теореме Пифагора
sin2 (р + cos2 (р = 1, (6.6)
поскольку длина гипотенузы равна единице, а катеты О А = sin (р, OB = cos (р.
2 Как проекции на оси изображающей точки угла А.
3 Ось котангенсов — горизонтальная касательная сверху, рис. (6.5).


108
Глава 6. Тригонометрический ракурс
Деление (6.6) на cos2 (р даёт4
tg2 (р + 1 = 5—? UJIU cos2 V ~
COS if
Изобретательности тут, конечно, никакой, но соотношения типа
(6.7) 	иногда подталкивают мысль в продуктивном направлении. Например, когда тригонометрические равенства или уравнения плохо поддаются анализу, их «причесывают», трансформируя всё в тангенсы. Тут (6.7) может оказаться кстати.
Время от времени помогают в геометрии и другие тригонометрические формулы типа
Допустим, 4 одинаковых квадрата сложены как на рис. (6.11), и требуется показать, возможно, с далеко идущими целями, что
cos(a ± (3) — cos ot cos (3 =р sin a sin /3,
(6.8)
sin(a ± /3) = sin a cos /3 ± cos a sin /3, (6.9)
tg(a ± /3)
tg а ± tg /3 1 tgatg/3
(6.10)
a + /3 = f.
4 Разумеется, здесь tp ф ^ + kn.


6.3. Простейшие соотношения
109
/
а+Р=5
а /
(6.11)
Конечно, не возбраняется искать геометрические пути решения. Но можно воспользоваться формулой (6.10), которая сразу даёт
tg (а + (3) = 1,
поскольку из (6.11) ясно, что tg(a) = tg(/3) = Тут мы,
ясное дело, опираемся на очевидное следование
tg(a + /3) = 1 =*> a + /3 = ^.
4
Вообще значения тригонометрических функций часто встречающихся углов полезно «держать под рукой». Тем более что они легко извлекаются из простых геометрических соображений.
Например, в единичном квадрате
треугольник
ABC имеет острые углы по 45°, равные катеты и гипотенузу длины -Д= = Поэтому
\/2
7Г 7Г V2
sin — = cos — = .
4 4 2
(6.12)
Рассмотрение равностороннего треугольника
D \ С
с единичной стороной и высотой BD определяет


110
Глава 6. Тригонометрический ракурс
откуда
7Г 7Г Vs 7Г 7Г 1
sin — = cos — = , cos — = sin — = —. (6.13)
3 6 2 3 6 2 v '
Комбинируя известные факты (6.12), (6.13), можно двигаться дальше. Скажем, ~ ^ — позволяет дать значения три-
7тг
гонометрических функций для угла -j^, полагаясь на формулы для cos(a + /3), sin(a + /3).
В арсенал тригонометрических инструментов входят также так называемые формулы приведения. К ним относятся, например, очевидные5 соотношения
sin ( — — (fj = cos<£>, cos ( — — cp ) = sin<^, (6.14)
tg (^ - = ctg V?, ctg (^ - (f'j = tg (p.
1
(6.15)
Для получения тождеств
sin ( — -f ж j = cos ж, cos f — + ж ) = — sin# | (6.16)
приходится обращаться к модели (6.16) на единичной окружности, рис. (6.17). Полный комплект формул приведения см. в разделе 10.1.
5 «Очевидные» — поскольку сразу вытекают из исходных определений. Если (р — один из острых углов прямоугольного треугольника, то другой острый — это ~ — ср. И тогда (6.14), (6.15) следуют из определений
синуса/косинуса, тангенса/котангенса.


6.4. Теорема косинусов
111
sm х
(6.17)
Зл/4
6.4. 	Теорема косинусов
Соотношение
с — а +Ь — 2о b cos С
(6.18)
для треугольника R
* , называемое теоре¬
мой косинусов6, применяется в геометрии довольно часто. Рассмотрим несколько примеров.
Из (6.18) сразу следует
cos С
а2 + b
2-с2
2 аЪ
(6.19)
т. е. по трем сторонам треугольника сразу вычисляются все углы. Хитрость, конечно, невелика, но мысль часто костенеет, и её полезно упражнять, рассматривая экспонаты с разных сторон.
6 Доказательство см. в разделе 7.6.


112
Глава 6. Тригонометрический ракурс
• На рисунке
si»1
%
(6.20)
m — медиана треугольника ABC. По теореме косинусов для А АЕС:
га2 = Ь2 + ^ — a&cosC,
что после подстановки косинуса (6.19) и косметических преобразований приводит к формуле вычисления медианы по трём сторонам:
га2 —
26* + 2с2 - а2
• Другая формула для медианы в той же ситуации (6.20): Ь2 + с2 + 26с cos А
m
■■ (?Л
• В равностороннем треугольнике ABC со стороной a = 7 расстояние СЕ = 2, а точка D на АВ выбрана так, что AD = DE,
Ъ с
7 Достройте треугольник (6.20) до параллелограмма C<L— ч ? ,
\ \т А
с'\\ <
А’
и объясните, хотя бы коту Мурзику, как получается формула •


6.5. Теорема синусов
113
Da
В
\х '
Е
найти DE.
(?-)
6.5. 	Теорема синусов
В треугольнике ABC высоту h можно вычислить двумя способами, как h — 6 sin С и как h = с sin В.
(6.21)
^ = .с ^. То же самое
Но из bsinC = с sin В следует ——« — ——^
^ sin В sin С
можно проделать с парой {а, 6} или {а, с}. Поэтому
Ь с
а
sin A sin В sin С ’
что называют теоремой синусов.
(6.22)
Всё ли мы с Вами аккуратно доказали? Не совсем. Вместо (6.21) мы могли бы столкнуться с ситуацией


114
Глава 6. Тригонометрический ракурс
где h = csin(^, а не h = с sin Б. Правда, вернуться в ту же колею можно, заметив, что sin</? = sin(7r — В) — sin В. Но такими оговорками лучше заниматься потом, что мы и делаем. Когда главное улеглось в голову. Иначе трясина подробностей не даст разобраться, где существенное, а где второстепенное. Соблюдение мелких формальностей мешает воспринимать математику. Маскирует суть, нивелирует акценты, дурачит публику.
Теперь к (6.22) можно внимательнее присмотреться. Постоянство отношения стороны к противолежащему углу подталкивает к мысли, что за этим что-то кроется. Если фиксируем сторону а — ВС, то у всех треугольников с одним и тем же углом А А вершины А будут лежать на описанной окружности около A ABC, рис. (6.23). Поэтому ясно, что отношение g-^ ^ как-то
связано с радиусом R описанной окружности.
(6.23)
Точки над i расставляются просто. Все углы ZA, ZA', ZA" — равны половине центрального угла </?, опирающегося на ту же дугу8 ВС. Отсюда а = ВС = 2i?sin^ = 2i?sinA. Следователь-
8 Равенство ZA' = ^ усматривается сразу. Для осознания Z.A — ^ достаточно провести диаметр через О А, и угол LA представить как разность углов ОАВ и О АС.


6.6. Геометрия треугольников
115
но, к (6.22) можно добавить: а Ь
sin A sin В sin С
= 2 R. (6.24)
6.6. 	Геометрия треугольников
Планиметрия, да и стереометрия имеют дело с фигурами и телами, характеризуемыми углами и отрезками прямых, которые находятся во взаимодействии друг с другом. Взаимодействие отслеживают тригонометрические инструменты. Поэтому решение геометрических задач обычно пестрит синусами и косинусами. Удивительно, что уже простейшая фигура, треугольник, выступает в роли бесконечного разнообразия идей.
• Элементарная задача: по двум сторонам и углу между ними найти площадь треугольника — решается шутя.
< Высота /г, рис. (6.25), определяется как9 h = b sin С.
(6.25)
Поэтому
S = -ah => S = -ab sin С ► (6.26)
2 2
Формула (6.26) входит в стандартный арсенал предметов первой необходимости, и её обычно твёрдо помнят. В отличие от вывода, что странно. Потому что доказательство здесь проще заключения. А в таких случаях, особенно в таких, полезно фокусироваться в первую очередь на рассуждениях, ведущих к цели. И тогда формулы в голове оживают, а не лежат мёртвым грузом.
9 Независимо от того, как выглядит треугольник.


116 Глава 6. Тригонометрический ракурс
Из (6.26) следует формула для площади параллелограмма
S = ab sin С
• Площадь треугольника по трём сторонам также определяется на основе (6.26) с опорой на рецепт вычисления косинуса
(6.19). Учитывая при этом, что
' 2 , l2 2N
а + о — с
sin С = 1 — cos (7=1 —
2 ab
после утомительных, до некоторой степени, преобразований получаем формулу Герона
S = у/р(р - а)(р - Щр - с), (6.27)
где р =
_ а + Ь + с
полу периметр.
• Биссектриса /3 угла В в треугольнике ABC делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, см. (4.3.3):
АЕ АВ
ЕС ВС
(6.28)
<4 Площади треугольников АВЕ и СВЕ, с одной стороны, отно- Л Р
сятся как поскольку у них одна и та же высота /г, с другой —
Sabe = 2^ ‘ 8Ш I = АВ
Scbe ±ВС./3. sin- ВС'
2 2
что и приводит к заключению (6.28). ►


6.7. Площади подобных фигур
117
6.7. 	Площади подобных фигур
6.7.1 	Если в треугольниках ABC и А'В'С' углы С и С' равны, рис. (6.30), то их площади относятся как произведения сторон, образующих эти углы,
I
< Записываем площади с помощью формулы (6.26). Делим одно на другое, получаем (6.29). ►
6.7.2 	Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответственных элементов. Другими словами, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
«4 Если бы треугольники ABC и А'В'С' были подобны, мы бы
имели = А = к. И тогда из (6.29) следует = к2. ► А значит а о Ь
равно отношению квадратов соответственных сторон/высот/биссектрис и т. п.
На треугольниках свет клином здесь не сходится. Справедлив следующий общий результат10.
10 Подумайте над обоснованием в качестве упражнения. Для квадратов факт 6.7.3 очевиден. Далее можно использовать идею деления фигуры на мелкие квадратики, см. раздел 3.4.
S аЬ W ~ a/t/
(6.29)
(6.30)


118
Глава 6. Тригонометрический ракурс
6.7.3 	Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а значит, равно отношению квадратов соответственных элементов.
О взаимоотношении пропорций линейных размеров и площадей важно помнить независимо от декораций. В некоторых обстоятельствах многие попадают впросак на ровном месте.
6.7.4 	На карте России масштаба 1 : 10 ООО ООО все размеры уменьшены в 107 раз.
Если население в 150 миллионов уменьшить во столько же раз — останется 15 человек. Казалось бы, им должно хватать места. Но на карте и одному тесно.
Сия хитрость не всем по зубам, как ни странно. Сжатие размеров в 107 раз — уменьшает площадь в 1014 раз, п. 6.7.3.
6.8. 	Факты и упражнения
Взаимосвязи в правильном треугольнике
Ниже а — сторона треугольника,
R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной окружности,
S — площадь.
Й-Т“- (?-)
л/3 R (*~\ \
Г“~1Га’ Г-~2’
S = T“’- (?-)


6.8. Факты и упражнения
119
Правильные п-уголъники
Здесь а — сторона,
R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной окружности, S — площадь.
R cos
а = 2i?sin —, п
(г-)
(г.)
П о 7Г
S — —a ctg —
(г.)


Глава 7
Векторы и координаты
Подход «на пальцах» раскрепощает и вдохновляет.
7.1. 	Векторы
Вектором называют направленный отрезок а, . Все
одинаково направленные векторы одинаковой длины а = \а\ считаются равными. Это позволяет передвигать а, не меняя направления, в любое другое положение. Поэтому, например, все векторы можно считать выходящими из одной точки1. Несмотря на это, иногда удобно для обозначения вектора задействовать
две точки, начало и конец вектора, АЙ, A g В. Стрелочку иногда ставят и над коротким обозначением ~ct. Получается, конечно, масло масляное, но подчас приходится жертвовать простотой обозначений во избежание двусмысленности.
1 Что не исключает возможности рассматривать подразделы теории, где может быть существенна линия действия или точка приложения вектора.


7.2. Системы координат
121
Длина и направление вектора — это половина правды. Векторы обязаны ещё складываться по правилу параллелограмма, рис. справа, что считается их характеристическим свойством.
Правило параллелограмма эквивалентно правилу треугольника, рис. слева. Последнее удобнее при сложении нескольких векторов: каждый следующий вектор приставляется началом к концу предыдущего — замыкающий вектор даёт сумму, рис. справа.
Вычитание выводится из сложения: Ъ — а
определяется как вектор, который в сумме с а даёт Ь. Этому соответствует простой геометрический трюк: начала а и Ь совмещаются, а концы соединяются отрезком, направленным к 6, что и даёт разность b — а.
7.2. 	Системы координат
Устройство декартовой системы координат Оху базируется на двух взаимно перпендикулярных вещественных прямых, называемых осями координат. Точка пересечения осей считается началом координат, нулём. Проекции р15р2 точки Р на оси называются координатами, рис. (7.1) слева.
\У Р У а
а"’""; У?
Ш 02 ^
I All 1 у : х
О р] о О]


122
Глава 7. Векторы и координаты
В результате возникает возможность описывать любую точку плоскости парой чисел, Р = {РцР2}- В силу того, что начало вектора можно переносить в любую точку, не меняя длины и направления, все векторы, по умолчанию, предполагаются исходящими из начала координат, рис. (7.1) справа, и тогда каждый вектор тоже описывается парой чисел, а = {а1? а2} . Но распо¬
лагать вектор в любом месте плоскости опять-таки не возбраняется. В этом случае координаты вектора определяются проекциями на оси как на рис. (7.2).
»
И
(7.2)
Длина вектора a = {a1, a2} по теореме Пифагора:
а ~ \fa 1 + а2‘
(7.3)
Наконец, для обозначения «берегов», стоит упомянуть косоугольные координаты, рис. (7.4),
(7.4)
а также полярные координаты, см. рис. (7.1) справа, в которых любую точку г — {х, у} определяют: длина г = у/х2 + у2 вектора


7.2. Системы координат
123
г и угол </?, образуемый вектором г с осью иксов2.
Косоугольные координаты здесь упоминаются не для изучения, а как декоративные элементы, каковые всегда играют определённую роль в освоении того, что находится в фокусе внимания. В противном случае учёба происходит на пятачке, окружённом глухой стеной, и связь с Космосом теряется.
Сумма векторов а = {ai, <22} и Ъ = {61, 62} определяется как
что равносильно сложению по правилу параллелограмма.
растягивает (|А| > 1) или сжимает (|А| < 1) вектор а, не меняя направления при А > 0 и меняя на противоположное при А < 0.
Параллельные друг другу векторы называют коллинеарны- ми. Понятно, векторы Ха и а коллинеарны (А ф 0).
а + Ь — {а\ + £>i, <22 + £>2} ч
0 Ь
а
Умножение на скаляр А
А а = {Aai, Aa2},
2 Декартовы координаты х, у точки г = {х, у} выражаются через полярные — как х = г cos </?, у — г sin ip.


124
Глава 7. Векторы и координаты
7.3. 	Скалярное произведение
Скалярное произведение векторов определяется как произведение их длин на косинус угла между ними3,
а • Ь = ab cos ip.
(7.5)
Другими словами, аЬ (точка в обозначении скалярного произведения часто опускается) есть произведение длины а на проекцию Ьа вектора Ь на вектор а, поскольку bcosp = 6а,
ab = aba• (7.6)
Таким образом, в силу (7.5), скалярное произведение силы на пройденный путь равно произведённой работе.
Скалярное произведение удовлетворяет обычным свойствам умножения:
а Ь = 6а, (коммутативность)
а(Ь с) = аб + ас. (дистрибутивный закон)
Первое — следствие чётности косинуса, второе вытекает из равенства проекции суммы векторов — сумме проекций:
(7.7)
3 Из-за чётности и периодичности косинуса, cos(27r — ip) = cos (р, — не важно, как измеряется угол.


7.3. Скалярное произведение
125
Поэтому векторные двучлены можно перемножать обычным образом: ~j- b)(c -f- d) == clc ~j- ad -f- Ъс -f- bd. (T.8)
Посмотрим, как скалярное произведение выражается в координатной записи. Направим по координатным осям единичные векторы ег и е2. Тогда любые векторы х = {х\, £2} и у = {2/1,2/2} можно записать в виде
х = х.е, + х2е2, у = + у2е2,
откуда, в силу (7.8) и = е2е2 = 1, е1е2 = 0, получим
(|,э) ху = х12/1 + х2У2, (7.9)
т. е. скалярное произведение ху есть сумма произведений одноимённых координат. А вектор х = {хь^}, умноженный ска- лярно сам на себя, равен квадрату его длины,
х2 — хх = х\ + х\. (7.10)
Два способа вычисления ху позволяют извлекать выгоду, перебрасывая результат на другое поле. Например, произведение единичных векторов
а = {cos a, sin а}, Ь = {cos /3, sin /3}
сразу даёт формулу косинуса разности углов, см. (6.8),
аЬ
cos(a — /3) = cos a cos /3 + sin a sin /3
(7.11)


126
Глава 7. Векторы и координаты
Скалярное произведение отражает широко распространённый в природе способ взаимодействия векторов, характеризуемый умножением длины одного вектора на проекцию другого: \a\ba. Работа силы на перемещении уже отмечалась. Другой пример: поток жидкости через площадку площади AS равен скалярному произведению vAS, где v — скорость течения (в районе AS), а вектор ЛS считается направленным по нормали к площадке. Физически прозрачная ситуация: количество жидкости, протекающей через AS, определяется нормальной составляющей потока и не зависит от касательной составляющей.
7.4. 	Радиус-векторы, прямые и отрезки
В тех случаях, когда речь идёт о данных на плоскости точках4, и их местоположение хочется по тем или иным причинам описывать радиус-векторами, необходимо указать начало отсчёта О (нуль, начало координат), при изменении которого радиус-векторы меняются следующим образом:
В отличие от радиус-векторов точек векторы, отвечающие направленным отрезкам, ни от какого начала отсчёта не зависят.
R' = (УО + 1$. (7.12)
(7.13)
Именно, в силу (7.12), на рис. (7.13)
с
= лй = о^-о1 = оЧз - о7!.
4 Вершинах треугольника, например.


7.4. Радиус-векторы, прямые и отрезки
127
7.4.1 	Теорема. Радиус-вектор
г — А а+ fib (7.14)
при фиксированных неколлинеарных векторах а, b и любых вещественных коэффициентах A, ji, удовлетворяющих условию
X + /jl = 1, (7.15)
лежит на прямой, проходящей через концы а и Ъ.
(7.16)
Л В силу (7.15)
г — а = А а+ fib — (А + /х)а = /х(6 — а).
=1
Поэтому векторы г — а и b — а коллинеарны, а значит г лежит на прямой АВ, рис. (7.16). ► И наоборот, кстати, если г — а и Ъ — а лежат на одной прямой, то они коллинеарны, т. е. (г — а) = А(6 — а), откуда г = (1 — А) а+ А6. Значит, выполняется (7.14).
Объединяя (7.14) и (7.15)5, можно сказать так: радиус-вектор
г = Ха+(1-Х)Ь (7.17)
при неколлинеарных а иЪ и любом вещественном X ле- снсит на прямой, проходящей через концы векторов а и Ь. Более того, при изменении X от —ос до +оо радиус- вектор (7.17) пробегает всю прямую.
5 Т. е. полагая /х — 1 — Л, и тем самым освобождаясь от /л.


128
Глава 7. Векторы и координаты
7.4.2 При А = 1 (7.17) даёт г = а, а при А = 0 => г = Ь.
7.4.3 При изменении в (7.17) А от нуля до единицы конец радиус-вектора г пробегает отрезок АВ.
При этом, рис. слева, п т
т + п
т + п
; (7.18)
где га, п — положительные числа, не обязательно целые.
7.4.4 Любые два неколлинеарных вектора а, Ь определяют плоскость6, все точки которой могут быть записаны в виде (7.14).
7.4.5 Сумма векторов, идущих из центра окружности к вершинам правильного вписанного п-угольника, равна нулю.
М Повернем чертёж вокруг центра окружности на угол ^. В силу симметрии, ничего не изменится. С другой стороны, должен повернуться на угол —. Отсюда необходимо ~Й = 0. ►
7.5. 	Ортогональность и уравнение прямой
Равенство нулю скалярного произведения а • Ь означает — в силу cos(a, Ь) = 0 — ортогональность ненулевых векторов а и Ь. Поэтому а • г = 0 (при фиксированном а и текущем г = {х, у}) представляет собой уравнение прямой, ортогональной вектору а и проходящей через начало координат, рис. (7.19) слева.
6 Проходящую через три точки: нуль, а и 6.


7.5. Ортогональность и уравнение прямой
129
ar =
(7.19)
Уравнение
a • г — S
(7.20)
задаёт прямую, не проходящую через начало координат при условии S ф 0, и означает, что проекция радиус-вектора г = {#, у} любой точки прямой (7.20) на направление а одна и та же, рис. (7.19) справа. Если, дополнительно, \a\ = 1, то эта проекция численно равна S. Если точка г0 лежит на прямой (7.20), это означает а • r0 = S, что после вычитания из (7.20) даёт
что подтверждает ортогональность прямой (7.20) вектору а.
В координатной записи а = {а15а2}, г = {х,у} уравнение
(7.20) 	имеет вид
и это стандартное уравнение прямой, приходящее из школьной алгебры7. Здесь прибавляется векторная интерпретация. Прямая (7.22) ортогональна вектору а = {а1,а2}, что наполняет визуальным смыслом коэффициенты.
Иногда вслед за (7.21) удобно пользоваться уравнением прямой
ортогональной вектору а = {а11а2} и проходящей через точку
г0 = К-Уо}-
7 Там иногда за уравнение прямой принимают у = кх + с, что имеет небольшой изъян. В таком формате выбором значений к и с невозможно описать вертикальную прямую.
а • (г — г0) = 0,
(7.21)
а1х + а2у = 5,
(7.22)
аг(х - х0) + а2(у - у0) = 0,
(7.23)


130
Глава 7. Векторы и координаты
7.6. 	Задачи и факты
г
• Векторное описание треугольника g
А
c=a+b
легко приводит к теореме косинусов
(а + Ь)(а + Ь) = с2 = a2 +b2 — 2abcosC , (7.24)
так как cos(7r — С) = — cos С, см. формулы приведения.
При этом стоит обратить внимание, что векторные инструменты на своём этаже изящно справляются с различными конструкциями, которые неуклюже выглядят на других уровнях. И дело не только в краткости. Дело в том, что векторный аппарат позволяет охватить результат единым взором. Охватить как элемент, атом, — который одним махом проскакивает в голову и удобно там располагается. А источник вывода, причина, — лежит на виду и постоянно сигналит, позволяя в любой момент воспроизвести логическую цепочку, ведущую к цели.
• Вектор h — а(Ь • с) — Ь(а • с) оказывается перпендикулярен вектору с. Выясняется это простым скалярным перемножением,
векторами а и Ь, диагонали равны (а — Ь) и (а + Ь). Складывая и вычитая очевидные равенства
h • с = (а • с)(Ь • с) — (Ь • с) (а • с) = 0.
• В параллелограмме
, образованном
ь
(а -|- 6) • (ci -f- 6) — а2 -f-2(ci • Ь2, (а — Ь) • (а — Ь) = а2 —2(а • Ь)+ 62,
получаем два тождества:
(а + Ь)2 + (а - Ь)2 = 2(а2 + 62), (7.25)
(а + Ь)2 — (а — Ь)2 = 4(а • Ь), (7.26)


7.6. Задачи и факты
131
т. е. сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторощ а разность квадратов диагоналей — учетверённому скалярному произведению сторон.
Сюда можно добавить тождество
(а + Ь) • (а — Ь) = а • а — Ь • Ь = а2 — 62,
т. е. скалярное произведение диагоналей параллелограмма равно разности квадратов сторон. Всё это, конечно, можно вывести чисто геометрически, но с помощью векторов результаты получаются в одно касание.
• Векторное мышление «переворачивает» и упрощает многие геометрические задачи. Вот, например, векторное доказательство известного факта: если диагонали четырехугольника ABCD делят друг друга пополам, то ABCD — параллелограмм.
< Пусть а, 6, с, d радиус-векторы соответственно вершин ABCD. По условию
-(а + с) = ~{Ъ + d),
откуда b — а — с — d, т. е. АВ и CD равны и параллельны. ►
• А вот векторное доказательство того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
(7.27)
< В треугольнике ABC проведём две высоты из вершин А и С, и пусть Н — точка их пересечения, рис. (7.27). Далее соединим точки Б и Я и обозначим НС = ге, н1 Ш — w. Нам достаточно
установить перпендикулярность w _L b. Что мы имеем?
а = и — гу, b — v — и, с = w — v,


132
Глава 7. Векторы и координаты
при этом u 1 с, via, что влечёт за собой равенство нулю скалярных произведений: и • с = и • w — и • v = 0; v • a = v • и — v • w — 0, складывая которые получаем
и • w — v • w — 0.
Но это и означает w _L b. ►
• Приведём без доказательства несколько полезных формул. Если гА, гв, гс — радиус-векторы вершин А, В, С треугольника, то радиус-вектор точки пересечения его высот:
_ _ rA tg^ + rB tgg+ rctgC
tg^ + tgs + tgc ' ( • ’
Радиус-вектор точки пересечения биссектрис:
_ arA + brB + crc re~ a + b + c ’
где a, 6, с — длины сторон, лежащих против вершин А, В, С.
Наконец, радиус-вектор точки пересечения медиан:
% = гЛ + г Ч-г^ {7Щ
Все соотношения (7.28)-(7.30) верны в любой системе координат, т. е. инвариантны к переходам к любому другому началу отсчёта. Легко убедиться, что изменение радиус-векторов в соответствии с (7.12) не нарушает равенств (7.28)-(7.30) из-за того, что в каждой формуле сумма коэффициентов в числителе равна знаменателю.
Это не исключает, кстати, других возможных соотношений между теми же радиус-векторами при специальном выборе начала отсчёта. Например, если в качестве начала отсчёта выбрать центр описанной окружности О, то в дополнение (7.28) возникает взаимосвязь (формула Гамильтона, задача 9.7.8)
гк = гл + гв + га>
т. е.


7.6. Задачи и факты
133
ОЙ = о1 + оЁ + оё,
где Н — ортоцентр (центр пересечения высот).
7.6.1 	Задача. В произвольном четырёхугольнике ABCD даны точка Ог пересечения медиан AABD и точка 02 пересечения медиан ABCD. Доказать параллельность Ог02 II АС.
< Фиксируем произвольную точку О и обозначим:
оХ — а; ОЁ = 6; 0(3 = с; OI*) — d.
Тогда
——> ——* ——> а + 6 + d б + c + d а —с 1 —у
0г02 = 002 — ООг = = = -С А,
1 2 2 1 3 3 3 3
т. е. векторы 0Х0\ и А (5 коллинеарны. ►


134
Глава 7. Векторы и координаты
7.6.2 	Задача*. Даны прямоугольник ABCD и произвольная точка О. Доказать
О А2 + ОС2 = О В2 + OD2.
•Ч В обозначениях на рис. (7.33)
(7.32)
D
*
(7.33)
необходимо доказать а2 + с2 = b2 + d2.
Поскольку вА = сИ> как векторы8, то
а — b = d — с, откуда а + с = Ъ + d,
а отсюда, благодаря (7.26), следует ещё и а • с = b • d. Но тогда, возводя в квадрат а + с = Ь + d, получаем9 а2 + с2 = Ъ2 + d2. ►
• Подумайте, обязательно ли точка О должна располагаться внутри ABCD. А если на территории другого государства? А если ABCD не прямоугольник, а параллелограмм?
7.7. 	Разложение сил и скоростей
Разложение вектора на составляющие, хорошо известное из физики (по разложению сил и скоростей), заключается в представлении вектора в виде суммы векторов заданных направлений. Задача элементарна, если направления действительно заданы
8 Напомним, векторы равны, если совпадают по длине и направлению.
9 С учётом а • с = b • d.


7.7. Разложение сил и скоростей
135
или очевидны10. Но в некоторых физических задачах почва уходит из-под ног.
7.7.1 	Задача. Лодка подтягивается к берегу лебёдкой, установленной на высоком берегу, рис. (7.34). Верёвка вытягивается со скоростью V. С какой скоростью v лодка плывёт к берегу?
(7.34)
< Задача рассматривается в Ш-Тр11. Обычно V раскладывают на составляющие по левому образцу (7.34), получая скорость лодки v = V cos (р , — но это неправильно. Раскладывать надо скорость
лодки, рис. (7.34) справа, получая
cos (р
. В то же время для
определения горизонтальной силы, действующей на лодку, натяжение верёвки надо раскладывать по левой схеме (7.34). И тут ум начинает заходить за разум. ►
Мнение о том, что в данном случае важно понимать физику, бьёт мимо цели. Потому что статика и кинематика — это в
значительной степени геометрия. Треугольник
уменьшается, оставаясь подобным самому себе. В каком отношении находятся скорости уменьшения гипотенузы и катета? Поглядывая на х = ycos(p, думается12, х = у cos (р. Но увы. Пра¬
вильно наоборот,
х =
У
COS (f
. Опять-таки см. Ш-Тр.
Там же имеет смысл посмотреть другой неожиданный сюрприз:
10 И сводится к построению такого параллелограмма (часто прямоугольника), у которого исходный вектор был бы диагональю.
11 А также в двух-трёх видео-роликах на сайте oschool.ru
12 Точка сверху обозначает скорость.


136
Глава 7. Векторы и координаты
7.7.2 	Задача*. Лодку, находящуюся в точке О, подтягивают к берегу двумя верёвками из точек А и В, рис. (7.35). Верёвки вытягиваются со скоростями V\ uV2. Угол АО В = = <р. С какой скоростью в этот момент V движется лодка?
7.8. 	Векторы в пространстве*
Речь в целом у нас идёт о геометрии на плоскости R2, однако шарахаться от трёхмерного пространства М3 как чёрт от ладана тоже не резон. До изучения стереометрии — дело дойдёт, но оглядываться по сторонам имеет смысл загодя. С какой стати надо зажмуриваться, как только в поле зрения появляется что- либо выходящее за рамки сиюминутно решаемых задач. Скорее наоборот, к М3 полезно заранее присматриваться.
Что касается векторов, то подъём из М2 в М3 ничего особенно не меняет. Но есть нюансы.
Возрастает число координат, каковыми по-прежнему называют числа, определяющие положение точки в пространстве R3. Прямоугольные декартовы координаты точки в М3 задаются тремя взаимно перпендикулярными плоскостями,
рис. (7.37), относительно которых положение точки определяется тремя числами (координатами)13, х = {ж1,ж2>#з}- Точку х называют также вектором либо радиус-вектором.
13 Координаты в R3 — суть снабжённые знаками плюс или минус расстояния от точки х до трёх взаимно перпендикулярных плоскостей (7.36). Пересечение осей координат Ох 1, Ох2, Охз считается началом координат.
(7.35)
ОЖ1Ж2, 0х\х 3, ОХ3Х2,
(7.36)


7.8. Векторы в пространстве*
137
(7.37)
Как ивК2, одинаково направленные и равные по длине векторы считаются равными, что позволяет ограничиться рассмотрением векторов, исходящих из начала координат.
Параллели сохраняются и далее. Сумма х = {#i, Х2, £3} и у — = {уг, У2, Уз} определяется как
что равносильно сложению векторов по правилу параллелограмма, эквивалентом которого является правило треугольника, см. начало главы. Вычитание выводится из сложения: Ь — а определяется как вектор, который в сумме с а даёт Ъ. Этому соответствует простой геометрический трюк: начала а и Ь совмещаются, а концы соединяются отрезком, направленным к Ь, что и
которое растягивает (|А| > 1) или сжимает (|А| < 1) вектор х, не меняя направления при А > 0 и меняя на противоположное при А < 0.
Два слова о важном понятии линейной зависимости/независимости, которое в R3 наполняется большим разнообразием. Говорят, что
х + у = {xi + У1, х2 + 2/2, Хз + Уз} , (7.38)
даёт разность Ъ — а,
Аналогично плоскому случаю умножение на скаляр X,
Хх = {Хх\, Хх2■) Ахз},


138
Глава 7. Векторы и координаты
множество векторов {жх,... , ж*.} линейно зависимо, если существуют такие коэффициенты Ai,..., А&, не все равные нулю, что
А1Ж1 -f- • • • -f- AkXk = 0.
В противном случае говорят о линейной независимости векторов.
Векторы, лежащие на одной прямой (одинаково или противоположно направленные), называют коллинеарнымщ лежащие в одной плоскости — компланарными. Коллинеарные векторы всегда линейно зависимы. Компланарные — линейно зависимы, если их больше двух
или они коллинеарны. (г-)
Линейно независимое множество векторов {е1,в2,ез} в R3 считается базисом, если любой вектор х Е R3 можно представить в виде линейной комбинации
х = х\е.\ + Х2&2 Н~ ^зез- Величины Xi называют координатами точки х еШ3.
Стандартный базис R3 (единичные векторы, орты, {е1,в2,ез} направлены по осям декартовых координат):
Проекция аь вектора а на вектор (направление) Ъ определяется формулой
аь — a cos </?,
где ср — угол между векторами а и 6. От плоского случая ситуация не отличается, что естественно, ибо векторы а и 6 с совмещёнными началами задают плоскость, в которой проекция а на 6 и определяется. Проекции {£1,Х2,£з} вектора х на декартовы оси представляют собой координаты х.
Скалярное произведение векторов ж, у в пространстве определяется так же, как и на плоскости, как произведение длин векторов на косинус угла между ними. Причина неизменности


7.8. Векторы в пространстве*
139
определения банальна. Хотя объемлющее пространство теперь R3, место действия по-прежнему двумерно: плоскость, в которой лежат ж и у. Обстоятельства, правда, другие, и это даёт о себе знать, но мы на этом пока фокусироваться не будем. Отметим лишь, что в М3 удовлетворяются обычные свойства скалярного умножения, см раздел 7.3.
В пространстве по той же теореме Пифагора квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен
откуда
(х ± yf = (xi ± yi)2 + (Х2 ± У2)2 + (#3 ± Уз)2
что приводит к
(X -f у)2 — (х - у)2
X • у = = Х1У1 + Х2У2 4- Хзуз-
Последнюю формулу
х • у = Х1У1 4- Х2У2 4- Хзуз
(7.39)
иногда принимают за исходное определение скалярного произведения.
Сказанного достаточно, чтобы оценить пользу векторных манипуляций в М3. Причём геометрия может быть привнесена в чисто алгебраические задачи.
7.8.1 	Задача. Доказать, что для положительных х, у, z справедливо неравенство
1 1 1111
! н 7= Н 7= ^ 1 1 •
у/ху у/yz y/xz X у z
(7.40)
Извлечём на божий свет векторы
a = {^7y'Tz\ и b={vy,TzWх}'
Легко убедиться, что (7.40) есть а • Ь < |о||6|. ►


140
Глава 7. Векторы и координаты
а • Ь ^ |а| • |Ь| — это неравенство Коши - Буняковского.
Доказывается просто. Раскрывая скобки в (а — АЬ)2 ^ 0, имеем А2||Ь||2 — 2АаЬ + ||а||2 ^ 0 для любого А, что возможно лишь при неположительности дискриминанта квадратного многочлена — а это и есть доказываемое неравенство.
7.8.2 	Задача. Если ZA + АВ + ZC = 7г, то
cos А + cos В + cos С ^ 3/2. (7.41)
< Пусть е1,е2,е3 — единичные векторы, направленные по сторонам A ABC как на рис. слева. Тогда, умножая вектор (ег + е2 + е3) скалярно сам на себя, получаем
е2 + е2 + е2 +2(ех • е3 + ех • е2 + е2 • е3) ^ О,
^ у - ^
—3 =— cosA—cosB—cosC
что и даёт (7.41). ►
7.9. 	Трёхмерный фокус*
От банальности до чуда, случается, рукой подать. Вот известный пример, где рядовые соображения в один миг рождают потрясающе красивое решение. Речь идёт о набившей оскомину зависимости пройденного пути s от времени t точки, движущейся с постоянной скоростью V,
s = vt + s0. (7.42)
Путь и скорость могут быть векторами.


7.9. Трёхмерный фокус *
141
Если точка движется в плоскости (х,у), то} нарисовав ось s в направлении движения и пристраивая перпендикулярно (ж, у) ось времени t, имеем движение (7.42) в плоскости (s, t). Его график прямая линия в плоскости а значит — в простран¬
стве (x,y,t).
Иначе говоря, прямолинейное движение с постоянной скоростью в плоскости (ж, у) описывается прямой в трёхмерном пространстве (ж, ?/, t). Пересечению двух таких прямых соответствует встреча движущихся точек. Безделица вроде бы, но в некоторых проявлениях так выстреливает, что сложное оборачивается простым, и на душе становится веселее.
Задача. Четыре корабля А, В, С, D плывут по морю-океану строго прямолинейно, каждый со своей постоянной скоростью. Никакие два курса не параллельны, никакие три не пересекаются в
одной точке. Известно, что А, В, С попарно встречались между собой, a D встречался с А и В. Доказать, что D встретится с С.
Тому, кто не знает графиков прямолинейного движения, — размышлений на три дня. Мы же с вами решаем задачу в одно касание.
Итак, < оси х, у располагаем на поверхности океана, ось t — перпендикулярно вверх. В пространстве (ж, у, t) графиками движения кораблей будут четыре прямых линии, которые обозначим теми же буквами Л, В, (7, D. Поскольку корабли А, В, С попарно встречаются, прямые А, В, С попарно пересекаются и потому лежат в некоторой плоскости Р. Прямая D по условию пересекается с прямыми А и В — поэтому двумя точками лежит в Р, а значит и вся лежит в Р. Следовательно, пересекает прямую (график) С. Всё! ►


Глава 8
Факультатив
Болезнь так вплетена в прозу жизни, что неотличима от здоровой ткани.
8.1. 	Барицентрический метод
Когда топор падает, вращаясь, что падает с ускорением gl Центр масс (барицентр), каковым называют точку (конец вектора ~г^)
? = m^ + "' + W^, (8.1) т1 Н 1-тп
где г* — положение j-й точечной массы ш..
В однородном гравитационном ноле центр масс механической системы совпадает с центром тяжести, определяемым по той же формуле (8.1), если в неё вместо масс подставить веса точечных грузов1 р. = т.д.
1 Центр тяжести определяют как точку, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Отсюда
(8.1) .™«е, ,« как следствие. Дл, д.,х гру,„ков * S ' »
суммарный нулевой момент определяется условием р1х = р2у. Это как раз
отвечает положению (8.1), z = SiTa. jjl-РаГд-. О ^ ™ У
v Р1+Р2


8.1. Барицентрический метод
143
На (8.1) можно смотреть как на математическое понятие. Точкам rf,..., приписываются числа (веса, массы)
ТП1 9 • * • 9 mn ?
а формулой (8.1) определяется точка "7^, называемая центром тяжести2, которой приписывается вес т = т1 + • • • + тп.
8.1.1 	Теорема. Замена в точках с весами
т1,..., части точек их центром тяжести с ве¬
сом, равным сумме весов выбранных точек, не меняет центра тяжести всей системы.
< Обоснование легко понять на простом примере системы из трёх то-
о « —га, rt 4 m~rt
чек. Заменяя первые два веса весом га, 4 га, в точке г — —1—1— ,
1 1 2 т1 4 га2
центр тяжести по правилу (8.1) получаем равным
m1r^ -f т2г% _>
— , • (га, 4-га2) + ra3rl
_ гпг 4 т2 _ т1г1 4 гп2г2 4 гп3г3
~ (т1 4 гп2) 4 га3 тг 4 гп2 4 т3
То есть ничего не поменялось. Тот же центр тяжести у системы остался. И возьми мы к точек — было бы то же самое. Только писанины больше. ►
Теорема 8.1.1 представляет собой ключевой результат барицентрического метода. Вот как это работает.
Поместим в вершины треугольника ABC единичные массы. Далее массы в А и С заменим массой 2 в середине АС. Теперь ясно, что центр тяжести ААВС лежит на медиане В В' и делит её в отношении 1:2. Такой вывод можно сделать относительно любой другой медианы. Поэтому медианы пересекаются в одной точке, которая отсекает от них по 1/3 части.
2 Но тут никакой физики. Совпадение имён «случайно».


144
Глава 8. Факультатив
8.1.2 Задача. Середины сторон шестиугольника через одну соединяются отрезками прямых, рис. справа. Доказать, что точки пересечения медиан полученных треугольников совпадают.
«4 В данном контексте задача тривиальна. Помещаем в вершины шестиугольника одинаковые массы. По кругу объединяем их в пары. Пары заменяем удвоенными массами в середине соединяющих отрезков, получаем треугольник, пересечение медиан которого даёт центр тяжести. Другое объединение в пары приводит к другому треугольнику, но центр тяжести в итоге окажется в том же месте. ►
8.1.3 Задача. Доказать, что в трапеции, рис. (8.2), где Н — точка пересечения медиан треугольника ABC, DH делит среднюю линию трапеции пополам.
(8.2)
<4 Расположим в вершинах ABCD одинаковые массы. Тогда центр тяжести, с одной стороны, находится посередине средней линии, с другой — на DH. Значит, на их пересечении. ► Трапецию, разумеется, можно заменить произвольным четырёхугольником.
8.1.4 	Упражнение. Пересечение средних линий четырёхугольника лежит на отрезке, соединяющем середины диагоналей. £-)


8.2. Моделирование равновесия
145
8.1.5 	Задача. В ААВС
ВК _ BL _ 1 ~АВ ~ ВС ~ 3
Доказать, что медиана В В' про- ^ ходит через точку пересечения AL и КС.
Подсказка. Поместить в А, В, С, центр тяжести двумя способами.
единичные массы, и найти
• Упражнение. У кого не рассасывается дискомфорт по поводу формулы (8.1), откуда, мол, она берётся, ни дна ей ни покрышки, — можно зайти с другого боку. Сначала надо согласиться (понять, принять, допустить, притерпеться) с определением центра тяжести (масс) двух грузиков:
_ т1^1 "Ь т2^2
т1 га 2
(8.3)
А также — с возможностью заменять две точечных массы т1, т2 одной т1 + т2 в точке (8.3). Дальше всё идёт своим ходом. В случае трёх масс две — заменяем одной, и для трёх масс определяем центр как для двух
_ (mi + + m3¥t
(т1 + т2) + т3
(8.4)
получая в итоге
т1 г2 -f га2 r2 -f га3 г3 т1 4- га2 + га3
(8.5)
и далее по накатанной колее.
8.2. 	Моделирование равновесия
Принято думать, что математика помогает физике, и с этим никто не спорит. Но возможен и обратный поток содействия. Физические соображения нередко позволяют понять и предвидеть математические факты.
Не пытаясь особо умничать и демонстрировать какие-либо достижения олимпийского уровня, поясним идею на нескольких простых примерах.


146
Глава 8. Факультатив
• Представим себе твёрдую модель треугольника, рис. (8.6),
вдоль сторон которого действуют равные по модулю силы
Поскольку вдоль сторон силы уравновешиваются, то и три равнодействующие (диагонали ромбиков) должны уравновешиваться, для чего линии их действия (биссектрисы внутренних углов треугольника) должны пересекаться в одной точке. Тем самым доказано, что биссектрисы пересекаются в одной точке.
Реализована такая модель может быть с помощью резинок, закреплённых в вершинах треугольника, натяжение которых не зависит от растяжения (постоянно). При этом было бы странно, если бы сия модель, предоставленная сама себе, как-то передвигалась или крутилась, претворяя в жизнь вечный двигатель. Поэтому модель будет покоиться, а биссектрисы — пересекаться, где положено.
Конечно, по школьной традиции надо было бы начинать издалека, со статики. Только зачем отнимать хлеб у физиков? Пусть каждый занимается своим делом. Мы лишь вскользь напомним, что силы — векторы специфические. Их можно передвигать «не куда угодно», а только вдоль линии действия3. В остальном всё то же самое.
• В модели (8.6) резинку на нижней стороне заменим пружиной, напряжение которой не зависит от сжатия и равно по модулю натяжению оставшихся резинок. Общая картина действующих сил поменяется, рис. (8.7).
(8.6)
3 Оных ограничений в связи с анализом (8.6) мы не нарушали.


8.2. Моделирование равновесия
147
(8.7)
Рассуждая как и выше, получим новую теорему: биссектрисы любого внутреннего угла треугольника и двух внешних, несмежных с ним, — пересекаются в одной точке.
• С биссектрисами, как видим, всё устраивается без лишних хлопот. Но как быть, например, с высотами?
Конечно, кому много хочется, у того много проблем. Да и с какой стати высоты должны поддаваться оккультизму равновесия. Тем не менее поддаются. Достаточно выбрать в той же модели, рис. (8.8), силы натяжения согласно правилу (8.9)
пересекутся в одной точке.
4 Обоснование сего можно воспринимать как лёгкое упражнение. Разложите, например, Fb, Fe на составляющие, параллельные АВ и перпендикулярные. Далее убедитесь, что в силу (8.9) — параллельные противоположны.
С
3
4
(8.8)
(8.9)
как линии действия равнодействующих окажутся высотами4 и


148
Глава 8. Факультатив
На этом пути можно продвигаться далеко. Но путь специфический, в рамках общего образования увлекаться не стоит. Тут важно получить представление и открыть форточку для быстрого старта, если потребуется. Такая позиция разумна в отношении любых методов, дополняющих магистральные направления.
Сам по себе барицентрический способ решения задач, безусловно, ухватывает природу геометрических изысканий в каком-то секторе. Тут его потенциал велик, эффективен5, и полное невежество в соответствующем направлении обедняет возможности. Но, как это часто бывает, фокусируясь на возможностях метода, начинают постепенно не столько применять инструмент, где это уместно, сколько выдумывать территории, на которых инструмент хорошо работает. В результате то и дело возникают задачи, каковые ни сном ни духом не могли бы появиться в естественной геометрии, что сбивает с пути.
8.3. 	Энергетический принцип
Какая-то часть геометрических задач естественно решается при опоре на физический принцип минимума потенциальной энергии6. Последний заключается в том, что равновесие достигается, когда потенциальная энергия системы достигает минимума. Объяснять сие положение во всей его всеобщности здесь не место. Шарик на дне ямки даёт приблизительное представление, о чём речь. И этого в какой-то мере достаточно, поскольку наша цель — лишь дать намёк на взаимосвязь геометрии с физикой. А уж какие это даст всходы, и даст ли их вообще, — зависит от индивида и судьбы. Итак, пара задач.
8.3.1 	Задача Штейнера*. Указать е треугольнике ABC точку О, сумма расстояний от которой до вершин A ABC минимальна.
5 Тем более что метод может быть инкорпорирован в математику, будучи оформленным должным образом.
6 При большом желании опять-таки аппарат можно переложить на математические рельсы.


8.3. Энергетический принцип
149
М Оптимальное расположение точки О легко выводится из физических соображений. Пусть О А, О В, ОС — резинки с постоянной силой F натяжения, не зависящей от растяжения (см. выше). Потенциальная энергия такой резинки, растянутой на величину s, равна работе F • s, необходимой для такого растяжения. Суммарная энергия пружин оказывается пропорциональной \ОА\ -f- |О-В| 4- \ОС\, и её минимум достигается в равновесии, каковое для равных по модулю сил возможно лишь при условии равенства
углов (по 120°), \ ► . Но такая точка существует лишь в том случае,
когда все углы Д ABC меньше 120°. В случае, когда один из углов Д ABC больше или равен 120°, точку О надо помещать в вершину этого угла. ►
Построить точку О фактически можно, опираясь на задачу 5.9.2, которая указывает способ построения геометрического места вершин углов, равных 120°, и опирающихся на заданный отрезок. В качестве таких отрезков надо взять любую пару сторон A ABC, построить на них соответствующие дуги и в качестве О взять их точку пересечения.
8.3.2 	Задача. Вписать е тре¬
угольник ABC, рис. слева, треугольник АА'В'С' минимального периметра,
< Пусть опять стороны АА'В'С' будут резинками с постоянной силой натяжения, одинаковой для всех сторон7. На этот раз только в вершинах АА'В'С' резинки привяжем к колечкам, свободно скользящим по сторонам исходного треугольника ABC. Каково условие равновесия, обеспечивающего минимум энергии? Необходимо и достаточно, чтобы на каждое кольцо действовала равнодействующая строго перпендикулярно стороне, на которую оно насажено. В противном случае кольцо поедет в ту или другую сторону. Кроме того ясно, что каждая равнодействующая делит свой угол (на рисунке это угол С') пополам. То есть биссектрисы АА'В'С' должны быть перпендикулярами к сторонам ABC. Таким треугольником АА'В'С' служит ортотреугольник8, см. задачу 9.7.11. ►
7 Тогда потенциальная энергия натяжения всех резинок пропорциональна периметру АА'В'С'.
8 Мы обходим стороной уточнения и оговорки насчёт единственности решения, поскольку в данном контексте нас интересует не столько решение самой задачи, сколько взаимосвязь геометрии с механикой.


150
Глава 8. Факультатив
8.4. 	Баланс энергии
Установление взаимосвязей между разными областями Знания обогащает обе стороны. Связи между геометрическими конструкциями и физическими моделями дополнительно освещают друг друга. И если такие связи найдены, то физические законы начинают аукаться в геометрии, отвечая на вопросы и рождая новые факты. Вот как это происходит, например.
Рассмотрим следующую модель. Точка !? (т. е. конец радиус- вектора !*) соединена пружинами (резинками) с точками гt.
При этом сила притяжения между "г^ и г* пропорциональна растяжению пружины с коэффициентом к — 1,
Результирующая сила действующая на точку "г^, равна = + + + = п(1 — ^),
ГД6 -> ,
= 1 ", (8.10) п
и совпадает по форме с центром масс п единичных масс, расположенных в точках г*
Если точка находится в «центре масс» системы, т. е. в положении ~Й,, то результирующая сила равна нулю, система пребывает в равновесии. При передвижении точки ~7^ из центра К вдоль любого луча на расстояние р = 13-i*i производит-
ся работа if, и на такую величину возрастит потенриальная
энергия9 системы
w=^f, (8.11)
9 Если сила натяжения пружины подчиняется закону Гука F = кх, то
кх2
потенциальная энергия при таком растяжении меняется по закону ~2~-
2
В данном случае F = пр, энергия прирастает на .


8.4. Баланс энергии
151
которую можно посчитать также как разность потенциальных энергий, W = W' — W", где W' — энергия системы, когда точка находится в неком текущем положении и a W" — энергия системы, когда точка ~г^ находится в «центре масс» системы, т. е. ~г^ = ~Й. Вычисляя эти энергии как суммарные, имеем
Uk = |rfe - ^1, Wk = \Гк — ^|-
С учётом (8.11), (8.12) и W = Wf — W" имеем
(8.13)
Таким образом установлена справедливость следующего факта.
8.4.1 	Теорема. Пусть дана произвольная совокупность п единичных масс. Если центр окружности произвольного радиуса р располагается в центре масс системы данных точек, то сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до исходных точек постоянна и равна
2 , .2 2,2, ,2
щ Н b ип = пр + wx Н Ь wn.
2,2, , 2
пр +W±-\ 1- wn.


152
Глава 8. Факультатив
Вот несколько простых следствий.
Р
8.4.2 	Задача. Если АО = ОВ, рис. слева, то, независимо от положения точки Р на окружности,
РА2 + РВ2 = const = 2 р2 + АО2 + ВО2.
8.4.3 Задача. Если точка Р лежит на окружности радиуса р, центром которой является точка О пересечения медиан произвольного треугольника ABC, то
АР2 + ВР2 + CP2 = const - Зр2 + АО2 + ВО2 + СО2.
8.4.4 Задача. Пусть S и Q — середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD, О — середина SQ и центр окружности радиуса р. Если Р лежит на этой окружности, то
AP2 + BP2 + CP2 + DP2 = const = Ap2 + A02 + B02+C02+D02.
8.5. 	Геометрическое моделирование
Если удаётся придумать геометрическую модель задачи из другой области, это подключает геометрическое мышление и часто обеспечивает прорыв к решению.
Источник неравенства, например,
\/ж1 + vi + ••• + \Jxi + vl >


8.5. Геометрическое моделирование 153
улавливает геометрическая модель,
показывающая, что в данном случае речь идет о простом геометрическом факте: длина отрезка меньше длины ломаной, соединяющей те же точки. Здесь, правда, фокус лежит на поверхности. Докопаться до визуальных образов бывает труднее.
Например, при доказательстве неравенства
а/ж2 + ху + у2 + д/ж2 + xz + z2 ^ \Jy2 + yz + z1 (8.14)
для положительных x,y,z не сразу сообразишь, что быстро ведёт к цели геометрическая модель (8.15)
где все углы с вершиной в точке О равны по 120°, и потому, скажем, (ж + у)2 = ж2 + ж у + у2, ибо cos 120° = — i. Соответственно, (8.14) означает неравенство треугольника,
АВ + ВС ^ АС.


154
Глава 8. Факультатив
Геометрическое моделирование иногда работает в самой геометрии, поднимая задачи на другие этажи.
8.5.1 	Задача. На плоскости Р расположены три окружности разных, радиусов, как на рис. (8.16). Общие касательные к каждой паре окружностей пересекаются в точках А, В, С.
Доказать, что А, В, С лежат на одной прямой.
М Задачу «в одно касание» решает пространственная модель. Три полусферы тех же радиусов устанавливаются соответственно на исходных окружностях. Общая касательная к полусферам плоскость К пересечётся с плоскостью Р по некоторой прямой, которой и обязаны принадлежать точки А, В, С. ►
8.5.2 	Задача. На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности, рис. справа. Доказать, что три общие хорды пересекаются в одной точке.
М Указание. Поставьте на окружности полусферы и посмотрите сверху, проектируя линии пересечения полусфер на плоскость. ►


8.6. О геометрии Лобачевского
155
В последних двух задачах ясно, что переход к пространственным моделям вскрывает истинную природу утверждений. В чемодане планиметрии решения было бы найти трудно10.
8.5.3 	Задача. Чему равен минимум функции
/(х, у) = \/х? + {у - З)2 + \/{х- 4)2 + у2 (8.17) и при каких значениях х,у он достигается?
< Нетрудно сообразить, что (8.17) на плоскости Оху представляет собой АС + СВ, что всегда ^ АВ, и равно АВ в том случае, когда С попадает на АВ. Поэтому минимум (8.17) равен \АВ\ = 5. ►
Достигается минимум, как уже сказано, на отрезке АВ, то есть, в соответствии с (7.17), при
{ х — 4А, х ГЛ
{ у = 3(1 -Л), А € [0,1],
поскольку А = {0,3}, В = {4,0}.
8.6. 	О геометрии Лобачевского
Переживание средневековых этапов развития математики — очень полезное упражнение. Что оно развивает, трудно сказать, но в результате появляется способность ловить «попутный ветер».
Попытки освобождения евклидовой геометрии от «пятого постулата» начались ещё в древней Греции и буквально вспенились в средние века. Долгое время думалось, что от аксиомы
(Е5) Через точку, лежащую вне прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая исходную, — можно отказаться, доказав её как теорему.
10 Планиметрические следствия стереометрических подтасовок весьма эффективно прячут концы в воду.


156
Глава 8. Факультатив
Длительные мучения закончились через две тысячи лет построением геометрии Лобачевского с заменой (Е5) аксиомой
(Л5) Через точку, лежащую вне прямой, проходит по крайней мере две пря- мые, не пересекающие исходную. н Лобачевский,
1792-1856
Поиски впотьмах. Задача в чем-то была сродни наркотику. Завораживала простотой, но не давалась. Много судеб сфокусировалось на ней. Накал страстей достиг апогея в восемнадцатом веке. Решение стало назревать. То там, то здесь начали появляться догадки и прозрения. Может быть, даже не прозрения, а поиск стал приближаться к месту, где «горячо».
Так часто бывает при решении крупных проблем. Словно цивилизация решает задачу как единый биологический организм, о чем свидетельствуют географически отдалённые, но одновременные всплески.
Итальянский монах Саккери, доказывая (Е5) от противного, т. е. предполагая (Л5), двигался путём Лобачевского. Результаты опубликованы в 1733 году, но Вселенная не отреагировала, поскольку Саккери, получив верные следствия из (JI5), счёл их противоречиями, доказывающими (Е5).
Более основательная попытка аналогичного толка была предпринята немецким математиком Ламбертом. Действуя от противного, как и Саккери, Ламберт получил значительную часть результатов геометрии Лобачевского, но что делать с этим — не знал. Желаемых противоречий не обнаружилось, и он даже высказал невнятное предположение, что такая геометрия может иметь место на некой мнимой сфере (1766 г.).


8.6. О геометрии Лобачевского
157
Затем появилось ещё несколько математиков, которые вплотную подошли к созданию «другой» геометрии. Стало совсем «горячо», и тут как раз возник Лобачевский со своей стопроцентной убеждённостью в возможности построения иной геометрии. Какую при этом космическую задачу он решил? Построил саму геометрию? Да, построил, но там нет особо трудных теорем, и не в теоремах дело. Космический масштаб деяния был в другом.
Дело в том, что человечество воспринимало геометрию как мировую данность. Сколько бы ни говорилось об абстрактном описании точек, линий и плоскостей — их толкование явно и неявно было физическим. Все, что не соответствовало визуальному опыту, отвергалось. Даже высмеивалось.
Лобачевский всех достал
«Возня» Лобачевского в лучшем случае смотрелась как чудачество. Представьте, некто декларирует «1 = 2» и начинает выводить следствия из разряда «всякое число равно нулю». Разве не то же самое делал Лобачевский? Провозгласил абсурдную аксиому (Л5) и стал доказывать издевательские теоремы: «сумма углов треугольника меньше 7г и может быть любой в диапазоне (0,7г)», «треугольники равны, если их углы равны» и т. д.
Что при этом раздражало общественность, так это отсутствие противоречий. Шутника с аксиомой «1 = 2» было бы легко ткнуть носом в несоответствие азам арифметики. Здесь же несоответствия ждали, но оно не появлялось. Дело ведь заключалось не в расхождении получаемых результатов с геометрическим опытом, чего было в достатке, а в противоречии с другими аксиомами. Постулат (Л5) изначально не соответствовал опыту. Поэтому следствия из него были того же сорта, но в этом не было криминала. Другое дело, если бы среди следствий обнаружилось что-нибудь вроде утверждения: «через две точки можно провести две прямые» — что противоречило бы аксиоматике. Тогда бы новая геометрия рухнула, а постулат (Е5) превратился
♦


158
Глава 8. Факультатив
бы наполовину в теорему11. Именно такие противоречия искали Саккери и Ламберт, но не нашли.
f* 05
Лобачевский, наоборот, противоречий не искал и был уверен, что их нет. Некоторая слабость его позиции заключалась в том, что свою геометрию он считал воображаемой. То есть строил теорию непротиворечивую, но — сказочную. Потом, конечно, у него появились соображения о геометрии реального мира, но это все же на серьезном уровне оказалось уделом других исполнителей.
Из сказанного ясно, что история на Лобачевском закончиться не могла. Прорыв образовался, но процессу требовалось завершение. Не говоря о том, что «сказка» могла в любой момент обернуться блефом, поскольку оставалось две ахиллесовых пяты.
Во-первых, нужна была модель, оправдывающая логические построения. Для арифметики с аксиомами вида
а -Ь b — b -f- <2,
моделью служат числа с заданными на них арифметическими операциями. Хотелось подобного, поскольку без реализующей модели логические фокусы остаются привидениями.
Во-вторых, дамокловым мечом нависала проблема непротиворечивости. Непротиворечивость, кстати, вообще недоказуема (Гёдель), но здесь ситуация была особая. Непротиворечивость геометрии Евклида тоже неясна, но там порукой определённого благополучия служит наличие реальной модели, интуиция и многовековой опыт. Здесь же — никакой опоры. В результате там интуиция — «за», здесь — «против».
11 «Наполовину» — потому что надо было бы отсечь и другое возможное предположение: «любые две прямые пересекаются».


8.6. О геометрии Лобачевского
159
Напряжение возрастало. Ситуация нуждалась в разрешении. Опять всплыла идея о мнимой сфере, но чётко выразить её не удавалось. И только в 1868 году (через сорок с лишним лет после первой работы Лобачевского) Бельтрамщ наконец, показал, что новая геометрия выполняется на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, и в той же степени непротиворечива, что и анализ. Решение вопроса геометров не вполне удовлетворило, для чего были определённые основания. Речь шла о локальной реализации геометрии Лобачевского на псевдосфере (покусочно), что не обеспечивало полный психологический комфорт. Обстановку разрядил Феликс Клейн.
Фокус Клейна. Клейн объявился с гениально простой моделью, где предложил в качестве плоскости — внутренность круга, в качестве прямых — хорды (без концевых точек). Через точку С проходит целый пучок прямых (хорд), не пересекающих АВ.
1849-1925
Вот такая модель геометрии Лобачевского. Без преувеличения, высший пилотаж! Без элементов педагогической лжи тут, конечно, не обходится, см. дальше.
Ф. Клейн,


160
Глава 8. Факультатив
Аналогична по назначению модель Пуанкаре, в которой плоскостью служит открытая полуплоскость, прямыми -- полуокружности, как на рисунке, а вертикальные полупрямые являются полуокружностями бесконечного радиуса.
Справедливость (JI5) легко проверяется, что же касается других аксиом — возникают препятствия, которые изящно преодолеваются, но несколько усложняют модель. Детали мы оставляем за кадром.
8.7. 	Что творится в недрах
Мы имеем в виду недра исторического процесса. Потому что результаты всегда на поверхности, и их фотографии никогда не отражают внутренние источники. А в глубине времени и событий всё выглядит по-другому.
На поверхности внимание сфокусировано обычно на течении идей. Что и как? Каковы препятствия? Туда ли поток вынес, куда направлялся? Почему долго? Откуда драматургия?
При таком ракурсе исполнители вторичны. Поэтому многих мы даже не упомянули, а там были выдающиеся участники процесса. Младший Больяи, получивший те же результаты, что и Лобачевский, но волей судьбы оставшийся вторым. Великий среди великих Гаусс, построивший ту же геометрию у себя в черно¬
Пуанкаре,
1854-1912


8.7. Что творится в недрах
161
виках «задолго до». Гениальный Риман, прочитавший ещё в 1854 году выдающуюся лекцию о новом геометрическом подходе, в рамках которого геометрии Евклида и Лобачевского — простые частные случаи.
Гаусс, 1777-1855 Риман, 1826-1866
Лекцию, правда, никто не понял, иначе бы не пришлось ждать ещё 14 лет результатов Белыпрами. Интересно, что лекция Ри- мана была опубликована после смерти автора (в том же 1868 году, что и результаты Белыпрами) — и тут её поняли сразу все, кому положено.
Но это другая тема, из сферы несогласованности содержания и формы. Исполнитель космического замысла, будучи един в двух ипостасях, ещё ест, спит и тянет одеяло на себя. Если тянет на себя в меру, то это вызывает улыбку симпатии, ибо такова природа. Наблюдать эту грандиозную картину — удовольствие и наука, но это совершенно другое занятие, и хорошо бы называть его не историей математики, а как-то иначе.
Ещё хорошо было бы уйти грешным делом от вопроса: кто первым сказал А — который всегда портит атмосферу. Один из законов типа Мэрфи - Паркинсона саркастически утверждает: ничто не было названо именем первооткрывателя.
А что в этом плохого? Тем более, если таков закон. Идею дарвиновского отбора, например, можно встретить ещё у древних.


162
Глава 8. Факультатив
Эйнштейн, 1879-1955
открыта Хэвисайдом, закон Бойля—Мариотта — Гуком, преобразования Лоренца — трудно вспомнить кем, но во всяком случае — не Лоренцем.
И не в плагиате дело. Ремарка Ньютона: «Я стоял на плечах гигантов» — всегда применима при озарениях. Нет ни одного случая, когда бы идея родилась в голове отдельного индивида без подготовки, толчка, прообраза. И как тогда быть? Покинуть плечи гигантов или расшаркиваться всю последующую жизнь? Времяпрепровождение в реверансах не всем нравится. К тому же, не надо забывать, какая чаша перевешивает. Гауссу и Ньютону можно простить все. Всем всё можно простить... Тем более, и прощать особенно нечего, если разобраться. На чей счёт отнести данное извне? Язык, стереотипы, подсознательные заимствования, перекрестное опыление... не считая Ритмов Вселенной и нашептывающих голосов. Не смешно ли регистрировать законы Космоса на свою мимолетную фамилию?
Три-четыре сотни лет назад атмосфера в этом плане была намного лучше. Открытия шли валом, и к ним не было такого ревнивого отношения, как сейчас. Упомянутый Гук, например, их совершил несколько сотен, а что ему досталось в награду? Что названо его именем? Один только закон упругости:


8.7. Что творится в недрах
163
«сила пропорциональна сжатию» — и все. Но бить в набат по этому поводу не резон. Ситуация изнутри была специфической. Английская академия наук заключила с Гуком договор о регулярной демонстрации новых законов природы, что граничит с анекдотом. Так или иначе, но Гук под давлением контракта был вынужден поддерживать очень высокие обороты. Из общих соображений разумно предположить, что кое до чего он додумывался сам, кое-что разведывал, кое-где надувал щёки, а кое-где и вешал лапшу на уши, ибо бытие определяет сознание. Поэтому решать здесь вопросы, где что и что чьё, — дело неблагодарное и бесперспективное.
Кроме того — и это самый важный аспект (!) — у каждого открытия есть нечто вроде критической массы. Пока она не достигнута — говорить не о чем. Кто-то думает, что должно быть так-то и так-то, или даже уверен, но на пустом месте. Это что угодно, но не открытие. Гук между прочим по-видимому, действительно первый сообразил, что гравитационное притяжение должно быть обратно пропорционально квадрату расстояния. Сказал, не подумав, Ньютону. И это впоследствии породило крупнейший приоритетный спор.
Что касается Лобачевского, то он, безусловно, первый преодолел эту самую критическую массу неевклидовой геометрии.


164
Глава 8. Факультатив
8.8. 	Частичные реверансы*
Возвращаясь к сказанному выше, необходимо обратить внимание на некоторые детали. Кое-где мы воспользовались тем обстоятельством, что умеренная ложь — лучший инструмент объяснения. Но это тактически. Стратегически выгоднее говорить правду. Потому что быстро понятая вещь назавтра превращается в неразрешимую головоломку.
Подобное опасение возникает в связи с моделью Клейна. При попытке разобраться тут могут возникнуть проблемы. Дело в том, что если позаботиться о справедливости не только пятого постулата (JI5), но и остальных аксиом, то движения, расстояния и углы приходится определять особо — на основе проективных преобразований. Там вместо обычного расстояния, например, берётся так называемое ангармоническое отношение четверок точек. Что это такое — неважно. Просто те самые детали, в которых прячется дьявол. Ничего сложного, но простота смазывается, и возникает простор для непонимания. Поэтому на семинаре у Вейерштрасса (1870 г.) молодому Клейну дали от ворот поворот. И только через год Клейн «дожал» ситуацию, хотя и после этого у него остались противники.
На такого рода примерах интересно понять, почему даже простые вещи нередко упираются в стену и воспринимаются в штыки. Попытка разобраться всегда походит на детектив. Всплывают подробности, радикально меняющие картину. Так и здесь. Во- первых, оказывается, модель Клейна была изобретена не Клейном, а Кэли, но для других целей — как реализация неких идей в области проективной геометрии. Клейну же пришло в голову, что на этой модели реализуется геометрия Лобачевского. Во- вторых, первоначальная целевая установка модели продолжала


8.9. Геометрия без геометрии
165
играть чуть ли не мистическую роль. Вместо того, чтобы ограничиться фактом реализации неевклидовой геометрии, Клейн уходил в дебри анализа взаимоотношения геометрий (Евклида, Лобачевского и проективной), где возникала путаница и плодились противники, включая самого К эли.
Наконец последнее. Эффект драматургии всегда зависит от последовательности изложения и акцентов. При перестановке фрагментов текста детектив превращается в протокол. Незначительная перестановка событий в описанном историческом процессе могла бы ликвидировать накал страстей и значительно опустить рейтинг неевклидовой геометрии. Причина и автор детективной организации событий в данном случае неизвестны.
8.9. 	Геометрия без геометрии
При введении системы координат на плоскости (раздел 7.2) любая точка получает описание с помощью двух чисел (координат) {ж, у}, а любая прямая описывается уравнением
ах + (Зу + 7 = 0. (8.18)
Собственно прямой является не само уравнение (8.18), а множество его решений12 (точек {х,у}).
Чувствуете феноменальную возможность!? (Ь) Забудем о плоскости и координатах, и пусть точками будут пары чисел {ж, у}, а прямыми — множества пар {ж, у}, удовлетворяющих соотношениям вида (8.18). Вот вам и геометрия Евклида\ Причём без каких бы то ни было визуальных представлений. Да ещё и без необходимости что-либо геометрически аксиоматизировать. Аксиоматика приходит сама из арифметики.
12 При умножении коэффициентов (8.18) на одно и то же число, отличное от нуля, — множество решений не меняется. Договорившись о стандартизации типа а2 + (З2 = 1 (и уточнения знаков), можно добиться, чтобы наборы коэффициентов взаимно однозначно описывали прямые.


166
Глава 8. Факультатив
Скажем, есть две различных13 прямых:
Г ot\X + Piy + 71 = О, \ a2x + fay + 72 = О.
Если прямые непараллельны, например,
{
(8.19)
— Ф — при условии ft, ft Ф О, Pi Р2
(8.20)
то решение (8.19) обязательно есть, причём единственное, т. е. прямые пересекаются. Если параллельны (не пересекаются), то решения у (8.19) нет, и наоборот.
Условие (8.20) неполно из-за требования ft, ft ф 0. Покажите, что для существования и единственности решения системы (для непараллельности прямых) (8.20) необходимо и достаточно выполнение условия
К сказанному, разумеется, надо кое-что добавить. Расстояние между парой точек гг = {х1,у1} и г2 = {х21у2} необходимо определить как
Надо также оговорить, что такое отрезок, луч, ортогональность. Для этого задействуются те же формулы, что и в главе 7, но без каких бы то ни было ссылок на геометрическое происхождение. Векторы х = {xi, #2} и у — {г/i, 1/2}? скажем, ортогональны, если Х1У1 + Х2У2 = 0. Всё!
Мы не углубляемся в детали15, поскольку хотим обратить внимание лишь на сам факт возможности построения геометрии на чисто арифметико-числовой основе. Что касается неевклидовых геометрий, то там за основу берутся другие соотношения.
13 Т. е. множества решений (8.19) не совпадают.
14 Левая часть (8.21) представляет собой так называемый определитель, или детерминант .
а\ft - a2ft Ф 0,
(8.21)
без дополнительных оговорок14.
у/(х1 -Х2)2 + (У1 ~у2)2.
«11 OL12 OL 21 0122
— 0:110:22 — 0:210:12.
15 Хотя тут особенно и углубляться не во что.


Глава 9
Задачи с подсказками и решениями
День ото дня все кажется,
Что скоро все уляжется,
Утихнет, перемелется,
На дно осядет муть...
Оно же все не вяжется,
Бушует и куражится,
Не мелется, не стелется,
Не сходится ничуть.
9.1. 	О классификации задач
Знание геометрии вырастает из решения задач, приводящих к осознанию роли теоретических пустячков (главы 2-6). Упражнения постепенно расставляют акценты, сортируют факты, набивают руку.
Стандартная классификация задач «на построение», «на вычисление», «на доказательство» касается главным образом формата, а не содержания. Ибо везде речь идёт о выявлении геометрических механизмов, взаимосвязей, свойств. Но от формата многое зависит. Семейство «на вычисление» — наименее плодотворно. Часто отдаёт примитивом и увиливает, собственно, от геометрии. Например:


168
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
9.1.1 	Задача. Вычислить сторону квадрата, вписанного в равносторонний треугольник, рис. (9.1)
(9.1)
< Для тёмно-серого треугольника ^ ч /f> = tg 60°. Решая это уравнение, находим х = ^
Источником успеха тут служит в основном tg60° = л/3 Невелика геометрическая подоплёка. Но главный фактор всё же в другом. Это как умение плавать. Руками, мол, двигай так, ногами — эдак. И всё? Как просто! Однако не получается. Так и в геометрии. Требуется понимание общей картины, декораций. Бабе Яге tg 60° = л/3 не поможет. Ей бы привыкнуть к атрибутике. К треугольникам, обозначениям. Чтобы не боялась иксов, не шарахалась от тангенсов.
Поэтому ситуации типа (9.1), хотя и далеки от геометрии, частично своих целей достигают. Как бы задача примитивна ни была, без элементарных знаний к ней не подступишься. Но вот что касается высшего геометрического пилотажа, то здесь чаще всего его нет. И всё ограничивается тестированием претендентов.
Вот другой пример.
9.1.2 	Задача. Найти стороны прямоугольного треугольника по данному периметру 2р и высоте h, рис. (9.2).


9.2. О критериях отбора
169
(9.2)
< Для решения задачи достаточно знания элементарных фактов,
ну и как-то надо задействовать высоту h. Проще всего — вычисляя площадь двумя способами:
Геометрия на этом закончилась. Надо просто решить систему уравнений (9.3)+(9.4) относительно а, 6, с. ►
Так что присутствие вычислений, особенно громоздких, обычно маскирует геометрическую нищету. Задачи «на построение» и «на доказательство» в этом отношении оголены, и там авторы вынуждены привносить какие-то изюминки.
9.2. 	О критериях отбора
Необходимо сказать о принципах отбора предлагаемых далее задач. В основном они «идейные», и предназначены не столько для решения, сколько для изучения, поскольку все приводятся с «разбором полётов»1. «Идейные» они в том смысле, что каждая концентрирует в себе какой-нибудь приём, метод, принцип. Какую-то группу, тип задач. А в совокупности они призваны дать представление о диапазоне геометрических механизмов в рамках школьной программы и некоторой её окрестности.
1 Лаконичные решения мы называем подсказками.
(9.3)
ab — ch.
(9.4)


170
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
По уровню сложности задачи разные. Трудные — отмечены звёздочкой, в основном для ориентира. Но не для того, зачем помечалась бы задача «прыгнуть в длину за 8 метров»*, если бы под- разу мевалось, что кто-то вздумает прыгать. Тут задачи не для того, чтобы испортить настроение неодолимостью, а для удовольствия наблюдать.
Изучая ведь литературу, читают Пушкина, Толстого, Достоевского, хотя сами писать так не умеют. Но в процессе обучения важны маяки, образцы, идеалы притяжения. Шахматистам- третьего разряда показывают партии гроссмейстеров, обладающие магической силой. Недоступные непосредственному пониманию новичков они (шахматные партии) каким-то непостижимым образом совершенствуют, вдохновляют, учат.
Математике этого сильно недостаёт. По крайней мере, в школе показывают лишь те задачи, которые учащиеся предположительно могли бы решить сами. «Партии гроссмейстеров», «стихи Пушкина» — остаются за кадром. Выправить положение, особенно, если подходить бесхитростно, не так просто. Потому что, например, некоторые громоздкие задачи бессмысленно показывать - мало кто удостоит внимания.
Мы стараемся выбирать далее задачи, не загромождённые посторонними обстоятельствами. Иногда поднимаемся на олим-


9.2. О критериях отбора
171
пиадный уровень, но редко. Придерживаемся в основном школьных реперных точек, в окрестности которых есть немало простых вопросов, ставящих в тупик из-за нестандартного положения дел. Простой пример:
9.2.1 	Задача. Построить биссектрису угла, вершина которого вместе с окрестностью недоступна для «вспомогательных построений», рис. (9.5).
Продлить АВ, CD до пересечения в точке О нельзя из-за того, скажем, что огород (серое пятно) заминирован.
Тогда как наработанный стереотип мышления требует вставить ножку циркуля в точку О и отложить равные отрезки О А, О В, рис. справа.
< Кое-кто испытывает растерянность, и это мешает решить задачу, хотя она совсем проста. Достаточно на одинаковом расстоянии провести параллельные сторонам угла, рис. (9.6), получится ромб OASC. И теперь вместо биссектрисы угла О можно проводить биссектрису угла S. ►
(9.6)


172 Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
9.3. 	Задачи на построение
Как тренажёр геометрического мышления — это самые эффективные задачи, воспитывающие к тому же сообразительность. А ведь главный инструмент жития, в самых разных его аспектах, — это как раз ДОГАДКА. Не рутинные методы, а способность прозревать — вот что спасает в критических ситуациях, будь то война или экзамен. Или незнакомая девушка. Умение выдвигать гипотезы, анализировать их, отсеивать, выбираться из тупиков — вот чему надо учиться.
9.3.1 	Задача. Построить параллелограмм по серединам трёх сторон.
< Из данных точек А, В, С выбираем любые две, например А, В, — и соединяем их отрезком, получая2 среднюю линию параллелограмма, рис. слева. Далее через С и середину А, В проводим прямую, фиксируем на ней точку D из условия DE = ЕС. Получаем другую среднюю линию CD. Остаётся через А, В,С, D провести параллельные средним линиям. ►
9.3.2 Задача. Построить квадрат, три вершины которого лежат на трёх данных параллельных прямых.
< Пусть квадрат с вершинами на прямых а, 6, с построен как на рис. справа. Из равенства светлосерых треугольников вытекает эффективность следующего построения. Через произвольную точку А на 6 проводим перпендикуляр А'А". Откладываем В А' = АА" и АВ достраиваем до квадрата. Найдите другие варианты решения. ►


9.3. Задачи на построение
173
9.3.3 	Задача. Провести через точку внутри окруэюно-
М Сначала проводим произвольную хорда АВ заданной длины. Затем строим окружность О* с тем же центром, касающуюся АВ. Это будет геометрическое место середин хорд длины а.
Если точка С попадает внутрь О* — решения нет. Если остаётся вне, решения два: две касательных из С к О*. Если С лежит на О* решение одно. ►
Встречаются задачи на построение только циркулем или только линейкой. Тут уместно вспомнить Анри Пуанкаре, который говорил, что много вещей возбуждают наше внимание, но лишь самые важные имеют на него право. Пуанкаре мы вспоминаем в связи с тем, что задачи, скажем, на построение только линейкой имеют до некоторой степени вымученный характер, и от них мало толку. Кто-то возразит, дескать, чем лучше линейка в паре с циркулем? Как ни странно, лучше. Примерно как ходьба на двух ногах эффективнее передвижения на одной. Построения с линейкой и циркулем образуют удобный комплект, тренажёр. Они приводят в движение многие геометрические пласты и тем самым способствуют изучению предмета в широком диапазоне. А линейка при потерянном циркуле — это ситуация форс- мажора. Тоже полезно потренироваться, но к изучению геометрии это имеет менее продуктивное отношение.
9.3.4 	Задача. Дана ось симметрии I и симметричные относительно I точки А и А!, а также точка В. Построить симметричную точку В', пользуясь только линейкой, рис. (9.7).
< Для зеркального отображения точки В, самой по себе, одной линейкой не обойтись. Но уже есть готовая пара А, А', и это спасает. Проведём прямую АВ до пересечения с I в точке Р, а также А'В
сти хорду длины а.


174
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
до пересечения с I в точке S. Далее прямые AS и А'Р пересекаются в точке Вкоторая симметрична точке В. Всё! Обоснование легко усматривается из симметрии прямых АР и А'Р, а также прямых (но не отрезков) BS и AS. Симметрия пар прямых влечёт за собой симметрию их точек пересечения. ►
(9.7)
9.3.5 	Задача. Имеется (нарисован) круг с диаметром АВ и точка Р вне круга. Опустить из Р перпендикуляр на АВ с помощью только линейки.
< Всё, что изначально можно сделать, — это соединить Р с А и В. Возникают точки пересечения с окружностью их соединяем с А и JB, получаются две высоты в треугольнике АВР. Через Р и точку пересечения высот проводим прямую.
Это будет третья высота, а потому — искомый перпендикуляр. ►
Как видим, здесь особой хитрости не нужно. Линейка — слишком узкоспециализированный инструмент. Может только проводить линии через две точки. Поэтому в задачах 9.3.4, 9.3.5 мы шли, по сути, вынужденным путём, который без всякого усилия мысли с нашей стороны приводил к цели. Для обоснования контакт с геометрической атрибутикой, конечно, требуется.


9.3. Задачи на построение
175
9.3.6 	Задача*. Провести общую касательную к двум окру ж ностям радиусов R и г, рис. (9.8).
(9.8)
< Случай г = Я совсем прост. Пусть г < Я, и касательная АВ уже нроведена. Проводим параллельную ей прямую CD через центр О г она отсечёт от перпендикуляра к А В из О л отрезок длины R—r. Поэтому для построения А В достаточно провести касательную CD из точки Ог к окружности радиуса R—r с центром О а, п. 3.3.2. ►
9.3.7 	Задача*. Построить квадрат по четырём точкам, по одной на каждой стороне3.
N с
(9.9)
М D
< В сухом остатке решение выглядит так. Точки К, L, рис. (9.9), соединяем отрезком, из М к KL проводим перпендикуляр, откладываем МР = KL и через точки Р и N проводим прямую, на которой обязана лежать сторона квадрата. Дальнейшее без проблем.
3 Подразумевается следующее. На каждой стороне квадрата выбирается точка. Квадрат стирается, точки остаются. Восстановить квадрат.


176
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
Если вдруг точка Р совпадает с iV, решений бесконечно много. Через К и L проводим любые параллельные друг другу А В и CD, но так, чтобы М и N оказались между АВ и CD, рис. (9.10). Затем через М и N проводим прямые, перпендикулярные АВ. Получается квадрат (один из возможных). ►
(9.10)
Задним числом задача на вид простая, но опыт показывает, что большинству трудно даётся. Видимо, стереотип мышления подходящий не выработан был в период охоты на мамонтов. У леопарда, кстати, со стереотипами тоже не всё в порядке. Зверь сильный, ловкий, а сальто-мортале делать не умеет. Почему? Да потому, что задуман был с другой целью. Чтобы в джунглях жить, а не в цирке выступать. Вот и человек спроектирован был специфически. По крайней мере, не все решения задач на построение были предусмотрены свыше.
И это важно всем объяснять, много раз напоминая, дабы каждому было ясно, что ему трудно не из-за персонального слабоумия, а просто задача такая — будь она неладна.
9.3.8 	Задача. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и медиане т, опущенной на катет.
М Фактически даны две медианы. Одна дана, другая — половина гипотенузы. Остаётся вспомнить, какую часть от каждой медианы


9.3. Задачи на построение отсекает их точка пересечения.
177
Строим тёмно-серый треугольник, рис. (9.11), со сторонами
112 1
±с, £с, ^ га. Продолжаем O.F до О В = «с. Готово. ►
J D о ^
9.3.9 	Задача*. Через точку S вне угла АО В провести прямую, отсекающую от угла треугольник заданного периметра.
< Сложность задачи состоит в том, что на естественном пути решения тут как чёрт из табакерки выскакивает окружность4. Ибо если догадаться вписать в угол окружность, а потом из S провести к ней касательную, то легко заметить, что периметр серого треугольника, рис. (9.12), равен О А + О В, поскольку белые криволинейные треугольнички — равнобедренные5. Поэтому достаточно позаботиться, чтобы О А было равно половине заданного периметра. ►
(9.12)
4 С блокированного направления мысли.
5 Касательные к окружности из любой точки равны друг другу.


178
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
9.3.10 	Задача*. Построить треугольник по прямой, на которой лежит основание, и двум точкам, являющимся основаниями высот, опущенных на боковые стороны.
Это трудная задача. Психологически. Она сложна не громоздкостью манипуляций, а необходимостью сообразить, найти способ тронуться с места. Потому что образ данных, рис. справа, приводит многих в ступор. Не ясно, с чего начать.
А начинать надо задом наперёд, как и во всех задачах на построение, предполагая, что задача уже решена, и анализируя. Глядя на готовую картинку (9.13), легче выявить взаимодействие пружин.
(9.13)
<4 Сначала, конечно, (9.13) надо нарисовать без полукруга. Ибо «с какой стати». Но AF и BE — высоты, поэтому треугольники АЕВ и AFB прямоугольные, а их общая гипотенуза6 АВ служит диаметром полукруга. Далее опять возникает заминка. Необходимо догадаться провести хорду EF и вспомнить, что перпендикуляр из середины хорды проходит через центр окружности7, и тут уже как «гора с плеч». Становится ясно, что в исходном положении легко найти точку О, затем раствором циркуля ОЕ отметить на данной прямой точки А и В, ну а С получится как пересечение АЕ и FB. ►
9.3.11 	Задача. Через точку D на стороне АВ треугольника ABC, рис. (9.14), провести прямую, делящую треугольник пополам (на две равновеликие части).
6 Но она пока нам только снится.
7 См. задачу 9.4.9.


9.3. Задачи на построение
179
< Если AD больше половины АВ, точку X ищем на АС. По условию АВ • АС — 2AD • АХ. Остаётся построить пропорцию
АХ _ АВ АС “2AD'
Если AD меньше половины АВ, точку X ищем на ВС (пунктир). ►
9.3.12 	Задача*. Построить треугольник по точкам пересечения с описанной окружностью продолжений высоты Н, биссектрисы В и медианы М, выходящих из одной вершины.
Это хорошее упражнение на движение от следствий к причинам. М Будь треугольник AS С готов, рис. (9.15), было бы ясно, что ВО перпендикулярно основанию АС и делит АС пополам. Поэтому всё элементарно. Проводим ВО и параллельную ей линию через точку Н, которая в пересечении с окружностью даст вершину S. Затем проводим SM, в пересечении с ВО имеем точку L, перпендикуляр из которой к ВО порождает недостающие вершины А и С. Всё! ►


180
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
9.4. 	Задачи на доказательство
От решения многих рутинных задач в голове, к сожалению, ничего не остаётся. На вопрос, о чём там речь, — не знаешь, что ответить. Какой- то бурелом о треугольниках, и всё. И тишина. Как говорится, ни уму ни сердцу. В то же время есть очень простые задачи, пустяковые на вид, которые удивительным образом способствуют росту геометрического благосостояния. В некотором роде «качественные вопросы по геометрии»8, очищенные от всего лишнего, засоряющего пейзаж. Такие изюминки полезно извлекать из громоздких задач. Они лучше запоминаются, но, главное, служат элементами более сложных трюков, создавая координатную сетку геометрических представлений.
По этой причине некоторое внимание далее уделяется пустяковым задачам, о которых, на первый взгляд, и говорить не стоит. Например.
9.4.1 	Трапеция вписывается в окружность в том и только в том случае, когда она равнобедренная.
Ну, совсем простая задача (теорема). Из тех, что в одно ухо влетают, в другое вылетают. Когда нет надобности. Чтобы пустячок завоевал место иод солнцем, он должен появиться в нужное время, в нужном месте. Скажем, кто в задаче (9.4.10) помучился, устанавливая АВ = CD = х на рис. (9.20), потому что озвученного факта 9.4.1 не было под рукой, возмутится, конечно, «как же это я», и трапецию больше не забудет. Это как предмет без имени. Нет имени нет явления. Формулировка задачи вытаскивает содержание на поверхность.
9.4.2 	Задача. Середины сторон произвольного четырёхугольника образуют параллелограмм.
Имеется в виду аналогия с «качественными вопросами по физике»


9.4. Задачи на доказательство
181
< Стоит провести диагонали четырёхугольника, как всё становится на свои места. Средние линии в треугольниках оказываются сторонами параллелограмма, рис. слева. ►
9.4.3 	Задача о делении угла на три равные части циркулем и линейкой, известная как трисекция угла, в общем виде неразрешима9. Но это не исключает возможности такого деления каких-то конкретных углов. Например, |г.
< Задача сводится к построению угла yg. Строим ^, далее
7Г 7Г 27Г
3 “ 5 = 15’
Делим биссектрисой пополам. Готово! ►
9.4.4 	Задача. Может ли треугольник
• с километровыми сторонами иметь площадь < < 1 мм2;
• с миллиметровыми высотами иметь площадь > > 1 км2 ?
< Ответ положительный в том и другом случае. Берём вытянутый равнобедренный треугольник ABC с километровыми сторонами, рис. (9.16), и в первом случае вершину В прижимаем к АС, пока площадь не войдёт в диапазон < 1мм2. Во втором случае фиксируем высоту BD = 0,3 мм и растягиваем основание АС, пока площадь не станет больше Франции. ►
(9.16)
9 Так же как и знаменитая задача о квадратуре круга (построение квадрата равновеликого кругу).


182
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
9.4.5 	Задача. В пересекающиеся окружности вписывается четырёхугольник ABCD так, как на рис (9.17)10. Доказать, что ABCD — трапеция.
(9.17)
Как показывает практика, задача многим даётся с трудом, хотя сама по себе она элементарна. Видимо, декорации мешают рассмотреть простую суть. < Если четырёхугольник вписывается в окружность, то любой его внутренний угол равен внешнему противополож¬
ному
Поэтому ZBAD + ZADC = 7Г.
Следовательно АВ || CD. ►
9.4.6 	Задача. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, опущенными на гипотенузу.
(9.18)
10 Единственное условие: две противоположные стороны пересекают обе окружности в точках их пересечения.


9.4. Задачи на доказательство
183
М Достаточно обратить внимание на равенство углов, помеченных на рис. (9.18) как </?. ►
9.4.7 	Задача. Медиана в невырожденном треугольнике меньше полусуммы сторон, между которыми она за¬
ключена
ЛЬ)
D
< Треугольник ABC достраиваем до параллелограмма, рис. слева. В A ABD сторона AD < АВ + BD,
Ь + с 2 *
т. е. 2т < b + с => т <
9.4.8 	Задача. Если у четырёхугольника ABCD средняя линия ЕН равна полусумме оснований,
ЕН =
ВС + AD
то ABCD — трапеция
ЛЬ)
<4 Переносим ВС и AD параллельно самим себе так, чтобы их левые концы попали в точку Е. При этом образуется треугольник EFG, у которого ЕН будет медианой11, которая в противоречие с задачей 9.4.7 оказывается равна полусумме «боковых» сторон. Поэтому AEFG обязан быть вырожденным, EF || EG, т. е. ВС II AD. ►
11 Проверьте, что тёмно-серые треугольники равны.


184
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
9.4.9 	Задача. В треугольнике ABC проведены две высоты АН, CG, рис. справа. Доказать, что перпендикуляр из середины GH делит АС пополам.
с
А
С
М Опишем около прямоугольного треугольника AGC окружность, рис. слева. Её центр О лежит в середине гипотенузы АС. То же самое можно сказать относительно треугольника АН С. Поэтому GH — хорда. Перпендикуляр из её середины проходит через центр круга. ►
9.4.10 	Задача Архимеда*. Для перпендикулярных хорд, рис. (9.20), всегда
< Итак, AD _L СЕ, — все обозначения на рис. (9.20). Проведём ВС || AD — получится трапеция ABCD, причём равнобедренная (!), поскольку вписана в окружность. А потому А В = CD = х. Далее. Четырёхугольник АВСЕ тоже вписан, ZВСЕ прямой, значит ZBAE тоже прямой — поэтому BE — диаметр, и по теореме Пифагора для ААВЕ имеем х2 + у2 — 4JR2. Наконец, учитывая с2 + d2 = ж2, а2 + Ь2 = у2, получаем (9.19). ►
(9.19)
А
D
(9.20)


9.4. Задачи на доказательство
185
9.4.11 	Задача*. По внутренней сто- роне окружности катится окружность вдвое меньшего радиуса. При этом любая выделенная точка на меньшей окруэюности движется по диаметру большей окружности.
Катящиеся окружности — наша слабость. Ахиллесова пята, так сказать. Воображая процесс, мозги тоже начинают переворачиваться. Поэтому сделаем чертёж покрупнее, рис. (9.21). < Итак, пусть точка касания Р малой окружности и её центр Ог в какой-то момент качения переходят соответственно в Р' и 02. А точка касания Р большой окружности с центром О переходит в положение Q.
(9.21)
Q
Длины дуг PQ и PfQ равны12. Но P'Q — дуга на окружности вдвое меньшего радиуса. Поэтому угол /3 вдвое больше a. A ZP'OQ вдвое меньше /3, как вписанный и опирающийся на дугу P'Q. Но тогда ZP'OQ = а, и это означает, что Р' лежит на прямой13 РО. Таким образом, точка Р будет двигаться по диаметру большого круга. ►
Факт (9.4.11) называют теоремой Коперника. Пойманный здесь эффект превращения вращательного движения в прямолинейное, возвратно-поступательное, может иметь техническое значение. При другом соотношении радиусов точки малой окружности движутся по гипоциклоидам. Посмотрите в Википедии там есть завораживающие до некоторой степени анимированные картинки.
12 Качение без проскальзывания.
13 На рисунке Р' специально изображена неправильно.


186
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
9.4.12 Задача*. Какое бы ни был четырёхугольник, круги, построенные на его сторонах как на диаметрах, целиком его накрывают. (?-)
М Если бы была точка, не покрываемая этими кругами, то каждая сторона была бы видна из этой точки под углом меньшим 90°. ►
9.4.13 Задача. В остроугольном треугольнике ABC из вершин В и С проведены высоты до пересечения с описанной окружностью в точках В' и С'. Доказать, что вершина А делит дугу В'С' пополам.
М Углы ZC'CA и ZB'В А равны, поскольку они, каждый в своём прямоугольном треугольнике, дополняют ZВАС до 90°. ►
9.4.14 	Задача*. Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника, рис. (9.23), равно сумме произведений
.14
противоположных сторон
AC BD = AD ВС + АВ • CD.
(г-)
(9.22)
D
(9.23)
14 Это теорема Птолемея.


9.5. О дополнительных построениях
187
Задача интересна тем, что наиболее короткое её доказательство опирается на особое дополнительное построение15. М Выберем Е на BD так, чтобы ZECD оказался равным ABC А. Тогда тёмно-серые треугольники ABC и DEC будут подобны16, и потому
По аналогичной причине подобны треугольники ВСЕ и ACD, откуда ВС АС
= АС • BE = AD • ВС. (9.25)
BE AD к }
Складывая правые части (9.24), (9.25), с учётом BE + ED = BD, получаем (9.22). ►
9.4.15 	Задача. В треугольнике ABC пунктиром обозначены высоты, рис. (9.26). Из вершины А проводим перпендикуляр к АС до пересечения с описанной окружностью в точке D. Доказать, что ADBH — паралле- ло zpajW/jW/ •
< Угол ZDBC прямой, поскольку ZDAC прямой. Поэтому DB || || АН. Ну a AD || ВН по построению. ►
9.5. 	О дополнительных построениях
Дополнительные построения сопровождают геометрические задачи как петухи деревенскую жизнь. Поют себе петухи, поют,
15 Особое в том смысле, что обычно дополнительные построения сводятся к проведению линий и окружностей через имеющиеся точки. Здесь же точка Е «придумывается».
16 Углы, отмеченные двумя дужками, равны, поскольку опираются на одну дугу ВС.
(9.24)
в
D
(9.26)


188
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
и постепенно перестаёшь их замечать. Так и вспомогательные построения. Их выполняют через пень-колоду, а они важны и не так бесхитростны, как иногда кажется. Временами они поднимаются до уровня искусства. Возьмите задачу 9.3.9, где «как чёрт из табакерки выскочила окружность». До такого просто так не додумаешься. Нужна догадка, полёт мысли. Вот так и надо относится к вспомогательным наброскам. Как к искусству, изобретательству, требующему усилия мысли.
Конечно, в большинстве случаев инструмент дополнительных построений работает достаточно просто. Но это не должно расхолаживать на всём спектре задач.
9.5.1 	Задача. Найти площадь «косого сектора», рис. справа, если дуги С А и BD равны.
В учебнике о таком не писано. Поэтому, несмотря на элементарность, задача попадала даже на олимпиады.
< Но стоит сообразить провести О А, О В, как становится ясно, что площадь «косого сектора» равна площади обычного ОАВ, поскольку треугольники САВ и ОАВ равновелики (имеют равные высоты). ►
9.5.2 	Задача. В четверть единичного круга вписаны два полукруга единичного диаметра, рис. справа. Чему равны площади пересечения S и криволинейного треугольника S* ?
Половина аудитории и тут пребывает в ступоре. Хотя всего-то де- лов: посмотреть, из каких «атомов» состоят неизвестные «молекулы» S и S*. Какова структура незнакомых фигур? Именно таким вопросом надо задаться.


9.6. Задачи на вычисление
189
<4 Пересечение, очевидно, состоит из двух круговых сегментов, площади которых легко определяются. Ну a S* равно площади четверти круга минус площади двух полукругов плюс площадь пересечения S. ►
Важно понимать, что «вспомогательные построения» — это не обязательно атрибут геометрии. Это общая идея. Идея дополнения модели решаемой задачи привходящими особенностями, которые позволяют видеть задачу в новом свете.
9.5.3 	Задача. Требуется накрыть фишками домино фигуру, полученную из клетчатого квадрата 8x8 удалением двух клеток на одной из диагоналей.
Фишка накрывает две клетки.
< Раскрасим исходный квадрат как шахматную доску. Тогда удалённые клетки, будучи расположенными на одной диагонали, имеют одинаковый цвет. Фишка же домино накрывает две клетки разного цвета. Поэтому накрыта может быть только фигура, имеющая одинаковое количество чёрных и белых клеток. ►
До раскраски, конечно, надо додуматься. Создание модели — задача головоломная, в общем случае. Из-за туманности района поиска. Неясно, что искать. Такая проблема встаёт в любой области, вплоть до Сотворения Мира, не говоря о криминалистике.
9.6. 	Задачи на вычисление
9.6.1 	Задача. Светлый квадрат накладывается на тёмный так, что его вершина оказывается в центре тёмного, рис.


190
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
(9.27). Найти площадь перекрытия.
(9.27)
Поскольку мы играем с открытыми картами, взаимное расположение квадратов не уточнено. От него результат не зависит, но это надо ещё показать. Будь мы настроены более вредоносно, мы бы определили ещё угол между осями либо местоположение точек пересечения сторон17.
М Продолжение двух сторон светлого квадрата пунктирными линиями, рис. справа, бивает тёмный квадрат на 4 равных по щади четырёхугольника18. Поэтому площадь перекрытия равна j площади квадрата,
свад-
раз-
пло-
дадь у /
►
9.6.2 	Задача. Даны катеты a,b и гипотенуза с прямоугольного треугольника. Найти радиус вписанного круга.
< Из рис. слева с = а + b — 2г, откуда
а + b — с г = *
а—г г
17 Следуя умонастроениям в духе Ивана Сусанина.
18 Прямая, проходящая через центр центральносимметричной фигуры, делит фигуру на две равновеликие части.


9.6. Задачи на вычисление
191
9.6.3 	Задача. Найти радиус полукруга, вписанного в треугольник со сторонами а, Ь, с и лежащего на стороне с.
< Левая серая «половина» треугольника, рис. справа, имеет площадь Правая «белая» — Подключаем формулу Герона,
Ur U 9 /
у + — = Vp(p - а)(Р - Ь)(р - с)-
Окончательно г = д ^ ^\Jp{p — а)(р ~ Ь)(р — с). ►
9.6.4 	Задача. Треугольник разбит на две равновеликие фигуры прямой, параллельной основанию, рис. ниже. На какие части разбивает эта прямая боковую сторону?
л
< Из рис. слева — = j, откуда х = -у=. ►
9.6.5 	Задача. Определить длину х отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего площадь трапеции пополам.
< Пусть основания трапеции равны а и 6, рис. справа. Из равенства площадей следует
а + х b + х
h\ —
2 2
а из подобия серых треугольников
х — Ъ
а — х h1
h2


192
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
Умножая первое равенство на второе, получаем
►
Обратите внимание, что задача 9.6.5 не фиксирует картинку. Высота трапеции может быть любая. Поэтому наметив ж, hi, hi в неизвестные, можно попасть в безвыходную ситуацию. Для решения существенно лишь отношение h\ к h^. Так что будьте бдительны, когда обстоятельства подталкивают к борьбе с ветряными мельницами.
9.6.6 	Задача. В треугольнике ABC через точку О проведены три прямые, параллельные сторонам, которые высекают три серых треугольника, рис. (9.28), имеющих площади Slf S2, S3. Найти площадь исходного треугольника.
< Пусть S площадь A ABC. Все треугольники подобны. Поэтому
(9.28)
акр
с
АК
АС
КР
АС
PC
АС
что после сложения дает
s = (v/s;+v^T+v^)2- ►
9.6.7 	Задача. Чему равна длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции с основаниями а и Ь?


9.6. Задачи на вычисление
193
< Средняя линия трапеции равна
— Ф - . Пунктирные участки но ^. h
Поэтому х = Q ~ . ►
9.6.8 	Задача*. Известны длины взаимно перпендикулярных диагоналей четырёхугольника ABCD. Найти расстояние между серединами противоположных сторон,
рис. (9.29).
\кр2 = (oP-mty
= \\{оХ + ой)-\{оЪ + о$)
= -(AC + BD)2
Возводя в квадрат и учитывая AC _L JB.D, после упрощений получим
KPZ =
2 АС2 + BD2
Заодно отсюда ясно, что в любом четырёхугольнике со взаимно перпендикулярными диагоналями отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны, что можно выдвигать как самостоятельную задачу.


194
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
9.7. 	Задачи с ортоцентром
9.7.1 	Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.
В воронку ортоцентра затягивается много интересных результатов. И на этом пятачке удобно тренироваться. Но сначала приведём доказательство факта 9.7.1.
< Рассмотрим пока остроугольный треугольник A ABC. Построим А А'В'С' с соответственно параллельными сторонами, как на рис. справа. Поскольку АС'ВС и АВА'С — параллелограммы, точка В делит сторону С' А* пополам. По аналогичной причине точки А и С
являются серединами сторон большого треугольника А'В'С'. Это означает, что высоты A.ABC суть перпендикуляры, проведённые из середин сторон А А'В'С'. Но такие перпендикуляры, как известно, обязаны пересекаться в одной точке, п. 3.3.1. Всё! Хотя — не совсем.
(9.30)
Надо ещё заметить, что в случае тупоугольного треугольника, рис. (9.30), принципиально ничего не меняется. С той разницей, что точка пересечения высот (перпендикуляров) лежит за пределами треугольника. Теперь всё! ►


9.7. Задачи с ортоцентром
195
9.7.2 Другое доказательство существования ортоцентра
19
< Пусть В В' проходит через точку пересечения высот АА' и СС'. То есть высота ли BBf — неизвестно. Итак, треугольники АА'С и АС'С прямоугольные, у них общая описанная окружность (пунктирная). Отмеченные дугами вписанные углы С и А' равны как опирающиеся на одну дугу. Далее. Вокруг четырёхугольника С* В А* Н можно описать окружность (сумма противоположных углов 180°). Отмеченные дугами углы В и А' равны как опирающиеся на одну дугу в этой окружности. Поэтому треугольники АС’С и ABBf подобны по двум углам. Значит, ВВ'±АС. ►
9.7.3 	Задача. Если в четвёрке точек А, В, С, D точка D является ортоцентром треугольника ABC, то и любая из четырёх точек есть ортоцентр треугольника, образованного тремя другими точками. (7^
< Доказательство легко усмотреть из обоснования теоремы 9.7.1. ►
9.7.4 	Задача. Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно сторон, лежат на описанной окружности.
4 Отображая А АН С симметрично относительно АС, имеем равные треугольники АН С и AJf'C, откуда ZAH'C + A ABC = 180°. Поэтому вокруг АН'С В можно описать окружность, которая также будет описанной около A ABC. ►
- С
19 Сравни с п. 9.7.1.


196
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
9.7.5 Задача. Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно середины его стороны, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна дальней вершине треугольника.
< Отображая Н симметрично относительно середины АС, получим равные треугольники АН С и АН'С, откуда, как и в задаче 9.7.8, следует попадание Н' на описанную окружность. Поскольку АНСН' параллелограмм и АН — высота, угол ZBCH' прямой, и поэтому опирается па диаметр ВН'. ►
9.7.6 Задача. Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра Н в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
< Уберём с предыдущего рисунка лишнее и добавим центр О описанной окружности. В треугольнике ВНН' отрезок OD — средняя линия. Поэтому ВН = 2 • OD. ►
9.7.7 	Задача. Ортоцентр Н, центр описанной окружности О и точка пересечения медиан М лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера.
В
< Соединяем В с серединой АС и проводим НО. Серые треугольники подобны, а из задачи 9.7.6 имеем ВН = 2 • OD. Поэтому ВМ = 2 • MD, откуда следует, что М — точка пересечения медиан. ►


9.7. Задачи с ортоцентром
197
9.7.8 	Задача*. Если Н — ортоцентр, а О санной окруэюности ААВС, то20
— центр опи-
ой = о%-\-а& + од.
< Пусть точка О' симметрична О относительно AC. AOCOf - параллелограмм, рис. (9.31). Следовательно о! + оё = Ш Поскольку ВН = ОО', см. задачу9.7.6, и ВН\\00' — четырёхугольник, то НВОО' тоже параллелограмм, откуда + ОО' = ОЙ. В результате
ОЙ = ай + ОО' = Ш + о1 + од. ►
(9.31)
9.7.9 	Задача*. Построить треугольник по ортоцентру, одной вершине и середине противоположной стороны.
< Даны белые точки: В — вершина, Н — ортоцентр, D — середина стороны21. Рис. (9.32) пока «в мечтах», фантазия. Через точки В и Н проводим прямую ВН, на которой будет располагаться высота.
20 Это так называемая формула Гамильтона.
21 Чёрные точки будут найдены в процессе построения.


198 Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
Через точку D проводим прямую AC _L ВН, и на ней остаётся найти вершины треугольника.
Теперь остаётся кое-что вспомнить. Во-первых, центр описанной окружности — назовём её ft — вокруг A ABC обязан лежать на перпендикуляре DE к АС, проходящем через точку D. Во-вторых, точка Н', симметричная Н относительно оси АС, лежит на Q, (задача9.7.8). Поэтому пересечение DE с перпендикуляром из середины ВН' — есть центр П. Теперь окружность радиуса О В с центром О в пересечении с АС даст недостающие две вершины треугольника. ►
В
Некоторыми интересными свойствами обладает так называемый ортотреугольник треугольника ABC, каковым именуют треугольник А'В'С', получающийся соединением оснований высот, рис. справа.
9.7.10 	Задача*. Белый ортотреугольник треугольника ABC, рис. слева, окружают три серых треугольника — все они подобны исходному ААВС.


9.7. Задачи с ортоцентром
199
Очень простой факт, но его не так легко заметить «в чистом поле». < \ВС'\ = \ВС\ cos В, l-BA'I = \ВА\ cos В. Поэтому треугольники ABC и С'А'В подобны (по двум сторонам и углу между ними). ► Два других треугольника рассматриваются аналогично. Ориентация каждый раз получается противоположной A ABC, а коэффициенты подобия оказываются равными косинусу общего с A ABC угла.
9.7.11 	Задача*. Высоты треугольника ABC являются биссектрисами его ортотреугольника А'В'С', а стороны ААВС — биссектрисами внешних углов ортотреугольника АА'В'С'.
< Из предыдущей задачи9.7.10, в связи с подобием треугольников,
углы, отмеченные жирными дугами на рис. (9.33), равны22, а поскольку A Af _1_ ВС, то А А' — биссектриса ортотреугольника.
На фоне сказанного очевидно, что ВС — биссектриса при вершине А' внешних углов А А'В'С'. ►
а ^ в’
с
(9.33)
22 Равны углу ZA исходного треугольника.


200
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
9.8. 	Неравенства и минимумы/максимумы
Отправной точкой геометрических неравенств часто служит замаскированное неравенство треугольника
АВ + ВС ^ АС.
(9.34)
При составлении задач несколько неравенств вида (9.34) смешиваются воедино. Поиск обратного пути всегда сложнее. Докажем, например, что сумма расстояний от произвольной точки О до вершин ААВС больше полупериметра треугольника. Для этого достаточно просуммировать три неравенства типа (9.34):
АО
+
ов
>
АВ,
АО
+
ОС
АС,
ВО
+
ОС
>
ВС.
В результате имеем
АО + ВО + СО ^
что и требовалось.
АВ +АС + ВС
Геометрические неравенства могут быть переведены на язык алгебры, после чего теряют геометрическую специфику. Интереснее обратный вариант, когда алгебраические неравенства восходят к геометрии. Докажем, что для положительных чисел а, Ь, с при условии
а + b > с,
а + с > Ь, (9.35)
b + с > а,


9.8. Неравенства и минимумы/максимумы
201
справедливо неравенство
Vp(p - а)(р - Ь)(р - с) < у.
где р = а ^ + с Конечно, ТУТ загадка шита белыми нитками. В силу (9.35) из а, 6, с можно сложить треугольник. Его площадь
/ / ч / 1 \ / \" ab sin ab , \
S = л/р{р - а)(р - Щр - с) = < (9.36)
Геометрия здесь помогает ввести sin С, который в рамках алгебры негде взять.
9.8.1 	Задача*. Найти внутри треугольника ABC точку О такую, чтобы произведение расстояний от неё до сторон ААВС было максимальным.
М Будем танцевать от неравенства23
г (9.37)
О
которое обращается в равенство при и = v — w.
Итак, площадь
1
(ах + by + cz).
Следовательно, ах + by + cz = const. Поэтому ах - by - cz достигает максимального значения (вместе с xyz) при24
^Авс ах = by — cz — —.
У 3
23 Это классическое неравенство «среднее арифметическое больше среднего геометрического» для п = 3, см. Ill-АА.
24 Опора на неравенство (9.37), переходящее в равенство при и = v = w.


202
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
Отсюда
ABC
3
cl ' ha h{
3 ’
За
Теперь ясно, что интересующим нас свойством обладает точка пересечения медиан. ►
9.8.2 	Задача. На стороне ОА угла ZAOB даны точки С и D. На стороне ОВ, рис. (9.38), выбрать точку Е так, чтобы угол CED был максимальным.
< Окружность, проходящая через точки С и D, и касающаяся О В в точке Е, даёт решение, см. задачу 4.4.6.
См. также задачу 2.9.4, из которой ясно, почему любой другой угол типа ZCE'D меньше ZCED. ►
9.8.3 	Задача. Какой из треугольников с общим основанием и данным противолежащим углом имеет наибольший периметр?
4 Геометрическое место вершин «противолежащего угла» —- соответствующая дуга окружности, опирающаяся на «общее основание».
В
А
(9.38)


9.8. Неравенства и минимумы/максимумы
203
По теореме синусов для A ABC, рис. (9.39), имеем
sin A sin В sin С
= 2 R.
(9.39)
Отсюда периметр треугольника: 2JR(sin А + sin В + sin С). Перемен-
Л I Р Д D
ная часть тут sin А + sin В = 2 sin —^— cos —^—> достигающая
максимума при25 А — В. Таким образом, наибольший периметр обеспечивает равнобедренный треугольник ABC*. ►
9.8.4 	Задача. Точка D на ВС разбивает ААВС, рис. (9.40), на два треугольника, радиусы описанных окружностей около которых Rx и R2. Какая точка D на ВС обеспечивает минимум Rx + R2?
л
(9.40)
■4 По теореме синусов для AABD и AADC имеем26
т-— = , — - = -Д-=2 R2, (9.41)
S1I1 ф Sin(7T — ip) sm (p
откуда R1-\-R2 = 2iL±_2c Минимум будет при cp = Ц, т. е. AD должно
Sin ip А
быть высотой. ►
25 Поскольку ^ ^ ^ = 77 ~ ^ = const, а косинус максимален при нулевом аргументе.
26 Обозначения на рис. (9.40).


204
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
9.9. 	Геометрические места точек
«Графиком» х2 + у2 = R2 является окружность, что очевидно из рассмотрения прямоугольного треугольника на рис. (9.42).
Понятие «графика» тут не совсем корректно. Где тут аргумент, где функция? Ни у по х, ни х по у — однозначно не вычисляются. Тем не менее в подобных ситуациях о графиках всё же говорят. Противники неаккуратной терминологии отдают предпочтение термину «геометрическое место точек», сокращённо ГмТ, каковым действительно является окружность (9.42) для х2 + у2 = R2. О ГмТ говорят и в тех случаях, когда соответствующие множества точек задаются не обязательно координатным описанием.
Геометрическое место точек Р таких, что АР = ВР, хорошо известно. Серединный перпендикуляр PQ к отрезку АВ.
(9.42)
Р
\
/
О


9.9. Геометрические места точек
205
В случае АР < ВР геометрическим местом оказывается уже вся полуплоскость слева от PQ без самого PQ. Но чуть более сложный вопрос о ГмТ, определяемом неравенствами
АР ^ВР ^ СР, (9.43)
порождает различные картины. В варианте (9.44) географии А, В, С условие (9.43) даёт бесконечный сектор MON в качестве ГмТ.
(9.44)
Если же подразумеваются лишь точки в треугольнике ABC, то надо взять пересечение с A ABC. Ответом будет четырёхугольник AMON.
В случае расположения (9.45) ГмТ затемнённый сектор целиком лежит вне ААВС.
м
(9.45)
Подумайте, какую роль во всей этой истории играет тот факт, что перпендикуляры из середин сторон треугольника пересекаются в одной точке. Ну, и у кого мало трудностей в жизни, проанализируйте ГмТ, определяемом неравенствами АР ^ BP ^ CP ^ DP.


206
Глава 9. Задачи с подсказками и решениями
На рис. (9.46) изображён квадрат как геометрическое место точек, удовлетворяющих соотношению \х — у\ + \х + у\ — 2.
Для разбора полётов делим пунктирами плоскость на четыре сектора. В правом: х — у^0их + у^0. Поэтому здесь у сокращается,
\х — у\ + \х + у\ = 2 => 2х = 2 => х = 1.
В трёх других секторах возникают остальные стороны квадрата.
9.9.1 	Задача. На отрезке АВ дана точка С. Равные окружности, одна из которых проходит через точки А и С, другая — через В и С, пересекаются ещё в точке Р. Найти геометрическое место точек Р.
<4 Углы ZPAB и ZPBA равны, рис. (9.47), поскольку опираются на равные дуги в равных окружностях. Поэтому АР = ВР, а значит Р лежит на серединном перпендикуляре к АВ.
У
(9.46)


9.9. Геометрические места точек
207
Теперь обратно27. Пусть Р лежит на серединном перпендикуляре к АВ. Подходящие окружности, пересекающиеся в Р, обязаны быть описанными около треугольников АР С и СРВ. Но с какой стати эти окружности будут иметь одинаковые радиусы? Оказывается, будут, см. задачу 9.8.4, из решения которой следует, что, где бы ни находилась точка С на АВ, отношение радиусов равно отношению28 АР : ВР. Окончательно: искомое ГмТ — серединный перпендикуляр к АВ за исключением точки О. ►
9.9.2 	Задача*. Основание О стержня О А длины I, рис. слева, стоявшего у вертикальной стены, соскальзывает по горизонтальному полу. Какую траекторию описывает середина стержня М ?
Задача очень простая, но есть в ней психологическое неудобство. Часть населения оказывается в ступоре, не понимая «как тронуться с места». А надо просто начать. < При любом промежуточном положении стержня треугольник ОАО' прямоугольный. Поэтому «всё время» ОМ = Следовательно, точка М движется по окружности радиуса ^ с центром в О, рис. справа. ►
27 Обратите внимание, что дело пока не сделано. На перпендикуляре могут найтись точки Р, в которых подходящие окружности не пересекаются.
28 Разделите первое равенство (9.41) на второе.


Глава 10
Короткая справка
Справочные данные позволяют в процессе драки не отвлекаться на изучение айкидо.
Z2 = Z4 = Z5 = Z7
В
а
cos ж = - tg* =§ ctg ж = —


10.1. Тригонометрические формулы 209
10.1. Тригонометрические формулы
sinJ х + cosJ ж = 1
tg х • ctg X = 1
fAn*x = -_—=
1 + ctg X 1 + tg X
_ ctg X
1 + tg X 1 + ctg X
cosec x —
cos(a ± (3) = cos a cos /3 =F sin a sin /3
sin(a d= (3) = sin a cos /3 ± cos a sin /3
tcfa±^ = tga±tg^ g( 1 Ttgatg/?
sin a cos f3
_ sin(a + (3) + sin(q — (3j~
Z cos (a — /3) + cos (a + (3) 3 a cos /3 = 1 ^2
! Z cos (a — (3) — cos (a + (3) l a sin /3 = - ^2
sin 2a = 2 sin a cos a
72-
COS 2a = cos a — sin a
^2а=_^£0_
1 - tg «
cos2 a = ицрГ
sin2 a =
! о X + у x — у
cos х + cos у = 2 cos —cos —2"^
^ ж 4- У ■ х — у
COS X — COS у = —2 Sin 7yJL Sin 7)
sin ж + sin у — 2 sin x '
cos^
sinx — sin
^ ж — v x + у у = 2 sin —cos —2~
cos 3a = 4 cos a — 3 cos a
si*


210 Глава 10. Короткая справка
1
Формулы приведения
/тг \ sin d= xj = cost,
( 7Г \
cos ^ ^ ± ж J = =F sin x
tg (§ ±ж) = T ctg x,
Ctg (§ ±x) = Ttgx
sin(7r d= x) = =f sin x
, cos(7r zb x) = — COS X
tg(7r zb ж) = ± tgx,
Ctg(7T ± x) — d= ctgx
>i„(f ±x) = -co,«,
cos ( zb x J = ± sin x
tg (if ±xj = ^ct&x'
ctg \ T ±x) = ±tgx
Обратные тригонометрические
cos x = 7 =Ф> x =
zb arccos 7 4- 2ктг, к G Z
sin x = 7 x = (■
-l)k arcsin7 4- ктг, keZ
tg х = 7 =ф> х = arctg7 + ктг, к G !
Arcsint; = ( — l)fc arcsine 4- ктг, к G !
Arccos v = zb arccos v 4- 2ктг, к G
Arctg v — arctg v + /с7г, к G 1
Arcctg = arcctg v 4- ктг, к G !
asinx -|- bcosx = у/a2 4- 62 sin(x 4-


10.1. Тригонометрические формулы
211
Единичная
окружность
Теорема косинусов
с2 = a2 -f- Ъ2 — 2ab cos С
с=а+Ь
Теорема синусов
= 2R,
sin A sin В sin С где R - радиус описанной около A ABC окружности.
Площадь треугольника
S = — absin С 2
Формула Герона
где р = а + Ь + с _ п0лупериметр.
S = л/р(р - о)(р - Щр - с),
^ность


212
Глава 10. Короткая справка
10.2. 	Список теорем и задач
2.4.1. Углы равны, если стороны у них параллельны, а углы либо оба острые, либо оба тупые.
2.4.2. Вертикальные углы равны.
2.5.1. Если внутренние накрест лежащие углы равны или внутренние односторонние — в сумме дают 180°, то прямые параллельны.
2.6.1. Сумма углов любого треугольника равна 180°.
2.7.1. Треугольники равны, если у них равны соответственно две стороны и угол между ними (1-й признак).
2.7.2. Треугольники равны, если у них равны соответственно сторона и прилегающие к ней углы (2-й признак).
2.7.5. 	Треугольники равны, если у них равны соответственно все стороны (3-й признак).
2.7.3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, опущенная на основание, является также и медианой, и высотой.
2.7.4. Перпендикуляр из середины отрезка является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка.
2.7.7. 	Биссектриса угла является геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон угла.
2.9.1. Перпендикуляр из середины хорды проходит через центр окружности, и наоборот, диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду пополам.
2.9.2. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.


10.2. Список теорем и задач
213
2.9.3. 	Задача. Через точку О, лежащую внутри окружности, проведены две хорды. Доказать, что
А АО В =
АВ + CD
где АВ обозначает угловое измерение дуги АВ, т. е. центральный угол, опирающийся на АВ.
2.9.4. 	Задача. Через точку О, лежащую вне окружности, проведены две хорды. Доказать, что
А АО В =
АВ - CD
2.10.1. Теорема. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2.10.2. Теорема. Длина перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую а, меньше длины любого наклонного отрезка, соединяющего Аса.
2.10.3. Задача. Угол между касательной к окружности и хордой, проведённой через точку касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.
3.1.1. Теорема. Сумма углов n-угольника равна (п — 2)180°.
3.2.1. Теорема. В любом параллелограмме:
• противоположные стороны равны;
• противоположные углы равны;


214
Глава 10. Короткая справка
• диагонали точкой пересечения делятся пополам.
И наоборот, если четырёхугольник обладает любым из перечисленных свойств, то это — параллелограмм.
3.2.2. Теорема. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого равны диагонали. И наоборот, параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
3.2.3. Теорема. Ромб — это параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны. И наоборот, параллелограмм со взаимно перпендикулярными диагоналями — ромб.
3.3.1. Перпендикуляры из середин сторон треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около треугольника окружности.
3.3.2. Задача. Провести касательную к окружности из данной точки.
3.3.5. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. И наоборот, если суммы противоположных сторон равны, то в четырёхугольник можно вписать окружность.
3.3.6. Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°. И наоборот, если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
3.6.1. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов1.
4.1.1. Теорема Фалеса. Если на стороне угла отложены равные отрезки, то параллельные прямые, проходящие через их концы, отсекают и на другой стороне угла равные отрезки.
4.1.2. Теорема Фалеса00. Если на одной стороне угла отложены отрезки, находящиеся в отношении a \ b — 7, то параллельные прямые, проходящие через их концы, отсекают на другой стороне угла отрезки, находящиеся в том же отношении a' : bf = 7.
1 И наоборот, теорема 3.6.2.


10.2. Список теорем и задач
215
4.2.2. Теорема (2-й признак). Если углы одного треугольника соответственно равны углам другого, то такие треугольники подобны.
4.2.3. Теорема (1-й признак). Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.
4.2.4. Теорема (3-й признак). Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
4.3.1. Средняя линия DE треугольника ABC параллельна основанию АС и равна половине длины АС.
4.3.2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая от каждой медианы отсекает одну треть.
4.3.3. Биссектриса угла в треугольнике делит противолежащую сторону на отрезки, находящиеся в том же отношении, что и стороны, образующие угол, х : у = a : Ь.
4.3.4. Теорема о секущей и касательной. Произведение секущей, проведённой из внешней точки к окружности, на её внешнюю часть — равно квадрату касательной, проведённой из той же точки.
4.4.1. Задача. Построить отрезок 6', который относится к а' так же, как 6 к а.
4.4.2. Задача. Для данных отрезков ж, у построить среднее геометрическое, т. е. отрезок z = у/х • у.
4.4.3. Задача. Построить треугольник по двум углам и биссектрисе, опущенной из третьего угла.
4.4.4. Задача. Вписать квадрат в треугольник, одна сторона которого лежит на АС и две вершины — на АВ и ВС.
4.4.5. Задача. Вписать в угол ZAOB окружность, которая проходила бы через точку С, рис. (4.12).


216
Глава 10. Короткая справка
4.4.6. 	Задача. Вписать в угол ZAOB окружность, которая проходила бы через данные точки С, D на стороне О А и касалась О В, рис. (4.13).
5.1.1. Преобразование подобия переводит любые точки А, В плоскости в точки А', В', изменяя длину отрезка АВ в к > О раз, т. е.
А'В' - к АВ,
где к — коэффициент подобия данного преобразования.
5.2.1. Задача. Точки, делящие стороны произвольного треугольника в отношении 1 п, соединены с вершинами,
. Доказать,что три серых четырёхугольника
равновелики.
5.2.2. Задача. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений её боковых сторон, делит основания трапеции пополам.
5.3.1. Преобразование, при котором расстояние между точками не меняется, называется движением.
5.4.1. Задача Герона. На прямой MN найти такую точку С, чтобы расстояние АС + СВ было минимально.
5.4.2. Задача. Дан угол ZABC и прямая MN. Надо построить квадрат, две вершины которого лежат на сторонах угла, две — на прямой.
5.4.4. Задача. Даны окружности Ог, 02, лежащие по разные стороны прямой MN. Выбрать точку А на Ох так, чтобы симметричная ей относительно MN точка А' попала на окружность 02.
5.4.4. Задача. В угол /.ABC вписать треугольник минимального периметра, две вершины которого лежат на сторонах угла, а третья его вершина — в заданной точке О.
5.5.2. Задача. Даны пересекающиеся прямые а и & и треугольник ABC. Расположить A ABC так, чтобы сторона АС легла на а, а вершина В — на 6.


10.2. Список теорем и задач
217
5.5.3. 	Задача. Дан отрезок а и две окружности Ох и 02, на которых требуется так выбрать по одной точке А и А', чтобы А А' = а как по длине, так и по направлению.
5.6.1. Задача. Даны прямые 6, с и точка А. Построить равносторонний треугольник ABC, вершины которого В и С лежат на прямых бис.
5.7.1. Движение однозначно определяется движением трёх точек плоскости, не лежащих на одной прямой.
5.7.2. Движение, сохраняющее ориентацию, однозначно определяется движением двух точек плоскости.
5.8.1. Композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями есть поворот на угол, вдвое больший угла между осями, с центром О в точке пересечения осей Zi, Z2*
5.8.2. Композиция двух осевых симметрий с параллельными осями является параллельным переносом на вектор, направленный перпендикулярно осям, от первой ко второй, на расстояние, равное удвоенному расстоянию между осями.
5.8.3. Оба утверждения 5.8.1, 5.8.2 — верны также в обратном направлении. Поворот и перенос всегда можно представить в виде композиции указанных осевых симметрий.
5.8.4. Композиция поворота и переноса (в любом порядке) — снова поворот на тот же угол вокруг другого центра.
5.8.5. Композиция двух поворотов есть либо поворот, либо параллельный перенос.
5.8.6. Теорема. Любое движение является либо параллельным переносом, либо поворотом, либо симметрией, либо композицией симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный оси симметрии (последний вид движения называется скользящей симметрией).


218
Глава 10. Короткая справка
5.8.7. 	Задача*. Треугольники ABC и А'В'С' равны, но противоположно ориентированы2. Доказать, что середины отрезков АА', В В', С С' лежат на одной прямой.
5.9.1. Теорема. Любое преобразование подобия переводит:
1) отрезок в отрезок, прямую в прямую;
2) окружность в окружность;
3) равные углы в равные углы;
4) площадь фигур изменяет в к2 раз, где к — коэффициент подобия.
5.9.5. 	Задача. Найти геометрическое место середин хорд, проходящих через фиксированную точку данной окружности.
7.6.1. Задача. В произвольном четырёхугольнике ABCD даны точка 01 пересечения медиан A ABD и точка 02 пересечения медиан A BCD. Доказать параллельность 0102 || АС.
2 Подразумевается соответствие А ++ А', В В', С ++ С'.


10.2. Список теорем и задач
219
7.6.2. 	Задача*. Даны прямоугольник ABCD и произвольная точка О. Доказать О А2 + ОС2 = О В2 + OD2.
■ *
7.7.1. Задача. Лодка подтягивается к берегу лебёдкой, установленной на высоком берегу. Верёвка вытягивается со скоростью V. С какой скоростью v лодка плывёт к берегу?
i*
7.7.2. Задача*. Лодку, находящуюся в точке О, подтягивают к берегу двумя верёвками из точек А и В, рис. (7.35). Верёвки вытягиваются со скоростями V\ и V2* Угол АО В = ср. С какой скоростью в этот момент V движется лодка?
ft
/3d
7.8.1. 	Задача. Доказать, что для положительных ж, у, z справедливо неравенство


220
Глава 10. Короткая справка
7.8.2. Задача. Если ZA + ZB + ZC = 7г, то
cos А + cos В + cos С ^ —.
2
8.1.1. 	Теорема. Замена в точках т\ ,..., гп с весами га
mn части точек их центром тяжести с весом, равным сумме весов выбранных точек, не меняет центра тяжести всей системы.
8.1.2. Задача. Середины сторон шестиугольника через одну соединяются отрезками прямых. Доказать, что точки пересечения медиан полученных треугольников совпадают.
8.1.3. Задача. Доказать, что в трапеции, рис. ниже, где Н — точка пересечения медиан треугольника ABC, DH делит среднюю линию трапеции пополам.
8.1.5. 	Задача. В A ABC
ВК BL 1
В
АВ ВС 3
Доказать, что медиана ВВ' про- ^ ходит через точку пересечения AL и КС.
-Ъ-
Bf
с
8.3.1. 	Задача Штейнера*. Указать в треугольнике ABC точку О, сумма расстояний от которой до вершин A ABC минимальна.


10.2. Список теорем и задач
221
8.3.2 	Задача. Вписать в треугольник ABC, рис. справа, треугольник А А'В'С' минимального периметра.
8.4.1. 	Теорема. Пусть дана произвольная совокупность п единичных масс. Если центр окружности произвольного радиуса р располагается в центре масс системы данных точек, то сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до исходных точек постоянна и равна
2 , 2 , .2
np +w1-\ ь wn.
8.4.2. 	Задача. Если АО = ОВ, рис. слева, то, независимо от положения точки Р на окружности,
РА2 + РВ2 = const = 2 р2 + АО2 + ВО2.
8.4.3. Задача. Если точка Р лежит на окружности радиуса р, центром которой является точка О пересечения медиан произвольного треугольника ABC, то
АР2 + ВР2 + CP2 = const = Ър2 + АО2 + ВО2 + СО2.
8.4.4. Задача. Пусть S и Q — середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD, О — середина SQ и центр окружности радиуса р. Если Р лежит на этой окружности, то
АР2 + ВР2 + CP2 + DP2 = const = 4 р2 + АО2 + ВО2 + СО2 + DO2.
8.5.1. 	Задача. На плоскости Р расположены три окружности разных радиусов, как на рис. ниже. Общие касательные


222 Глава 10. Короткая справка
к каждой паре окружностей пересекаются в точках А, В, С.
Доказать, что А, В, С лежат на одной прямой.
8.5.2. Задача. На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности, рис. справа. Доказать, что три общие хорды пересекаются в одной точке.
8.5.3. Задача. Чему равен минимум функции
f(x, у) = х/ж2 + {у - З)2 + у/{х- 4)2 +у2 и при каких значениях х, у он достигается?
9.2.1. Задача. Построить биссектрису угла, вершина которого вместе с окрестностью недоступна для «вспомогательных построений».
9.3.1. Задача. Построить параллелограмм по серединам трёх сторон.
9.3.3. Задача. Провести через точку внутри окружности хорду длины а.
9.3.4. Задача. Дана ось симметрии I и симметричные относительно I точки А и А', а также точка В. Построить симметричную точку В', пользуясь только линейкой.


10.2. Список теорем и задач
223
9.3.5. Задача. Имеется (нарисован) круг с диаметром АВ и точка Р вне круга. Опустить из Р перпендикуляр на АВ с помощью только линейки.
9.3.6. Задача*. Провести общую касательную к двум окружностям радиусов R и г.
9.3.7. Задача*. Построить квадрат по четырём точкам, по одной на каждой стороне.
9.3.8. Задача. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и медиане т, опущенной на катет.
9.3.9. Задача*. Через точку S вне угла АО В провести прямую, отсекающую от угла треугольник заданного периметра.
9.3.10. Задача*. Построить треугольник по прямой, на которой лежит основание, и двум точкам, являющимся основаниями высот, опущенных на боковые стороны.
9.3.11. Задача. Через точку D на стороне АВ треугольника ABC провести прямую, делящую треугольник пополам (на две равновеликие части).
9.3.12. Задача*. Построить треугольник по точкам пересечения с описанной окружностью продолжений высоты Jf, биссектрисы В и медианы iVf, выходящих из одной вершины.
9.4.2. 	Задача. Середины сторон произвольного четырёхугольника образуют параллелограмм.
9.4.4. Задача. Может ли треугольник
• с километровыми сторонами иметь площадь < 1мм2;
• с миллиметровыми высотами иметь площадь > 1км2?
9.4.5. Задача. В пересекающиеся окружности вписывается четырёхугольник ABCD так, как на рис. ниже. Доказать, что ABCD — трапеция.


224
Глава 10. Короткая справка
9.4.6. 	Задача. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, опущенными на гипотенузу.
9.4.7: Задача. Медиана в невырожденном треугольнике меньше полусуммы сторон, между которыми она заключена.
9.4.8. 	Задача. Если у четырёхугольника ABCD средняя линия ЕН равна полусумме оснований,
ЕН =
ВС + AD
то ABCD — трапеция.
9.4.9. 	Задача. В треугольнике ABC проведены две высоты АН, CG, рис. справа. Доказать, что перпендикуляр из середины GH делит АС пополам.
9.4.10. 	Задача Архимеда*. Для перпендикулярных хорд всегда
+ Ь2 + С2 + d2 = 4 Я2,
где R — радиус описанной окружности.


10.2. Список теорем и задач
225
9.4.11. 	Задача*. По внутренней стороне окружности катится окружность вдвое меньшего радиуса. При этом любая выделенная точка на меньшей окружности движется по диаметру большей окружности.
9.4.12. Задача*. Круги, построенные на сторонах четырёхугольника как на диаметрах, целиком его накрывают.
9.4.13. Задача. В остроугольном треугольнике ABC из вершин В и С проведены высоты до пересечения с описанной окружностью в точках В' и С". Доказать, что А делит дугу В'С' пополам.
9.4.14. Задача*. Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
9.4.15. Задача. В треугольнике ABC пунктиром обозначены высоты, рис. ниже. Из вершины А проводим перпендикуляр к АС до пересечения с описанной окружностью в точке D. Доказать, что ADBH — параллелограмм.
ж
9.5.1. 	Задача. Найти площадь «косого сектора», рис. справа, если дуги С А и BD равны.


226
Глава 10. Короткая справка
9.5.2. 	Задача. В четверть единичного круга вписаны два полукруга единичного диаметра, рис. справа. Чему равны площади пересечения S и криволинейного треугольника S'*?
9.6.2. Задача. Даны катеты а, 6 и гипотенуза с прямоугольного треугольника. Найти радиус вписанного круга.
9.6.3. Задача. Найти радиус полукруга, вписанного в треугольник со сторонами а, 6, с и лежащего на стороне с.
9.6.4. Задача. Треугольник разбит на две равновеликие фигуры прямой, параллельной основанию. На какие части разбивает эта прямая боковую сторону?
9.6.6. 	Задача. В треугольнике ABC через точку О проведены три прямые, параллельные сторонам, которые высекают три серых треугольника, рис. ниже, имеющих площади Sx, S2, S3. Найти площадь исходного треугольника.
9.6.7. Задача. Чему равна длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции с основаниями а и 6?
9.6.8. Задача*. Известны длины взаимно перпендикулярных диагоналей четырёхугольника ABCD. Найти расстояние между серединами противоположных сторон.
9.7.1. 	Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.
9.7.3. 	Задача. Если в четвёрке точек А, В, С, D точка D является ортоцентром треугольника ABC, то и любая из четырёх точек есть ортоцентр треугольника, образованного тремя другими точками.


10.2. Список теорем и задач
227
9.7.8. 	Задача. Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно сторон, лежат на описанной окружности.
9.7.5. Задача. Точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно середины его стороны, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна дальней вершине треугольника.
9.7.6. Задача. Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра Н в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
9.7.7. Задача. Ортоцентр ff, центр описанной окружности О и точка пересечения медиан М лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера.
9.7.8. Задача*. Если Н — ортоцентр, а О — центр описанной окружности A ABC, то ОН = О А + ОЙ + ОС.
9.7.9. Задача*. Построить треугольник по ортоцентру, одной вершине и середине противоположной стороны.
9.7.10. 	Задача*. Белый ортотреугольник треугольника ABC, рис. слева, окружают три серых треугольника — все они подобны исходному A ABC.
9.7.11. 	Задача*. Высбты треугольника ABC являются биссектрисами его ортотреугольника А'В'Са стороны A ABC — биссектрисами внешних углов ортотреугольника А А'В'С'.
9.8.1. Задача*. Найти внутри треугольника ABC точку О такую, чтобы произведение расстояний от неё до сторон A ABC было максимальным.
9.8.2. Задача. На стороне О А угла ZAOB даны точки С и D. На стороне О В выбрать точку Е так, чтобы угол CED был максимальным.


228
Глава 10. Короткая справка
9.8.3. Задача. Какой из треугольников с общим основанием и данным противолежащим углом имеет наибольший периметр?
9.8.4. Задача. Точка D на ВС разбивает A ABC на два треугольника, радиусы описанных окружностей около которых Rx и R2. Какая точка D на. ВС обеспечивает минимум Rx +Я2?
9.9.1. 	Задача. На отрезке АВ дана точка С. Равные окружности, одна из которых проходит через точки А и С, другая — через В и С, пересекаются ещё в точке Р. Найти геометрическое место точек Р.
10.3. 	Об «аксиоматике Евклида»
Как уже отмечалось, математики, долгое время гордившиеся, что вся геометрия стоит на пяти аксиомах Евклида, опростоволосились, ибо аксиом, как потом оказалось, требуется больше. К усовершенствованию аксиоматики руку приложили многие математики. Вот грубая картина одного из современных вариантов.
Исходные понятия в аксиоматике Гильберта: «точка», «прямая», «плоскость», и три отношения: «лежать между», «содержать» и «быть конгруэнтным3 ».
1. 	Аксиомы принадлежности: • Через две точки проходит одна и только одна прямая. • Любая прямая содержит по крайней мере две различные точки. • Существуют три тючки, не лежащие на одной прямой.
О'
9.9.2 	Задача*. Основание О стержня О А длины /, рис. слева, стоявшего у вертикальной стены, соскальзывает по горизонтальному полу. Какую траекторию описывает середина стержня Ml
3 Равным геометрически — в результате совмещения при движении.


10.3. Об «аксиоматике Евклида»
229
2. Аксиомы порядка. Из трёх различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Это пример, демонстрирующий, о чём идёт речь в данной группе аксиом. Полный ассортимент ингредиентов можно найти в других источниках, но надо иметь в виду, что компоненты сильно плавают.
3. Аксиомы конгруэнтности. Речь здесь идёт о стандартных постулатах равенства (рефлексивность, коммутативность, транзитивность) с геометрическим уклоном, который базируется на идее совмещения фигур при движении.
4. Аксиома непрерывности. Вариант Дедекинда: если точки упорядоченной прямой разбиты на два класса так, что любая точка первого класса меньше любой точки второго, то либо существует максимальная точка в первом классе, либо минимальная — во втором.
5. Аксиома параллельности. Через точку вне прямой можно провести только одну прямую, не пересекающую данную.


Обозначения
Жирный шрифт в формулах используется в основном, чтобы обратить внимание. Иногда — чтобы отличить вектор от его длины.
<4 и ► — начало и конец рассуждения, темы, доказательства
г
- предлагает проверить или доказать утверждение в качестве упражнения либо довести рассуждение до «логической точки»
I «.I - предлагает обратить внимание J
п. — пункт либо раздел
ГмТ — геометрическое место точек
А =>► В, или А —» В — из А следует В
х G X — х принадлежит X
АВ — угловое измерение дуги АВ
X U Y, X П Y, Х\У — объединение, пересечение и разность множеств
X С Y — X подмножество У, в том числе имеется в виду возможность X С У, т. е. между X С Y и X С Y различия не делается
0 — пустое множество
N — множество натуральных чисел {1,2,...}
Q — множество рациональных чисел (дробей)


Обозначения 231
М = (—ос, ос) — вещественная прямая
R2 — плоскость, R3 — трёхмерное пространство
(а, 6) — интервал, множество точек ж G М, удовлетворяющих неравенствам а < х < b
[а, 6] — сегмент, или отрезок, множество точек х Е R, удовлетворяющих неравенствам а ^ х ^ b
х = {xi,..., жп} — вектор, Xi — его координаты


Предметный указатель
Аксиома параллельности 21 апофема 64
Базис 138 барицентр 142
барицентрический метод 143 бесконечность 24 биссектриса треугольника 32
— угла 27
боковая сторона трапеции 54
Вектор 120, 136 векторы коллинеарные 138
— компланарные 138 вершина 31
— многоугольника 51
— угла 26
вершины смежные 51
— соседние 51
внешний угол треугольника 34 внутренний угол треугольника 34
выпуклость 22 высота треугольника 32
Геометрическое место точек 40 геометрия Лобачевского 155 гипотенуза 32 градус 27
группа преобразований 83
д вижение 89 декартова система координат 121 декартовы координаты 136 детерминант 166 диагональ многоугольника 51 диаметр 40 длина отрезка 24 дуга 40
Задача Архимеда 184 — Штейнера 148
Измерение углов 27
Касательная 46 катет 32 квадрат 53 квадратура круга 181 коллинеарные векторы 123 композиция 83 конгруэнтность 228 координаты 121, 136, 138 косинус 105 - разности углов 125 котангенс 105
коэффициент подобия 83, 216 круг 40
кульбит мысли 36, 45


Предметный указатель
233
Линейная независимость 138 линейно зависимые векторы 138 ломаная 50 луч 26
Медиана треугольника 32 метод наложения 28 минимум энергии 148 многоугольник 50
— правильный 63
Начало координат 121 неравенство Коши - Буняковского 140
— треугольника 24
Окружность 11, 40
— вневписанная 56
— вписанная 55
— описанная 54 определитель 166 опустить перпендикуляр на
прямую 42 ориентация плоскости 96 ортотреугольник 198 ортоцентр 194 оси координат 121
параллельное проектирование 87
параллельные прямые 21 перпендикуляр 28
— к прямой 41 планиметрия 9 плоскости параллельные 12 плоскость 12, 24 площадь 58
— круга 79
— параллелограмма 61
— треугольника 60 поворот 89, 95 подобие 65, 83 полу периметр 116 полуплоскость 21
правило параллелограмма 121
— треугольника 121 преобразование 82 признаки подобия 67 проекция на направление 138 прямая 24
— Эйлера 196, 227 прямой угол 27 прямоугольник 53 прямые параллельные 12 пятая аксиома Евклида 21
основание равнобедренного треугольника 37
— трапеции 54 ось косинусов 106
— котангенсов 107
— симметрии 90
— синусов 106
— тангенсов 106 отрезок 24
— пополам 41
Параболоид 10 парадокс Аристотеля 17 параллелограмм 52
Радиан 27, 106 радиус 40 радиус-вектор 136 ромб 53
Серединный перпендикуляр 204
симметрия зеркальная 90 — осевая 90 синус 105
система координат 121 скалярное произведение 124, 138
скользящая симметрия 100


234
Предметный указатель
спиральное подобие 103 средняя линия треугольника 69 стереометрия 9 сторона 31
— боковая 37
— многоугольника 51
— угла 26
сходственные стороны 67
Тангенс 105 тело 10
теорема Коперника 185
— косинусов 111, 130, 211
— о секущей и касательной 71
— Пифагора 62, 71
— Птолемея 186
— синусов 113, 211
— Фалеса 66, 214
— Фалеса00 67, 214 точка 24
— касания 46 трапеция 54
— прямоугольная 54
— равнобедренная 54 треугольник 31
— остроугольный 32
— прямоугольный 32
— равнобедренный 32, 37
— равносторонний 32
— тупоугольный 32 трисекция угла 181
Угловое измерение дуги 42 углы вертикальные 29
— внутренние накрест
лежащие 31  односторонние 31
— смежные 29
— соответственные 31 угол 26
— вписанный 43, 212
— острый 28
— развёрнутый 26
— тупой 28
— центральный 42 уравнение прямой 129
Фигуры равные 28 формула Гамильтона 197
— Герона 116 формулы приведения 110
Хорда 40
Центр масс 142
— окружности 40
— тяжести 142 центральная симметрия 95 циркуль 40
Четырёхугольники 52


К. А. Лэзан. Новые пути ознакомления детей с математикой
Предлагаемая читателю книга предназначена для того, чтобы познакомить ребенка с математикой, развить его интерес к ней с целью дальнейшего систематического изучения. В отличие от обычных сборников математических развлечений, где уже известные теории применяются к различным головоломкам, автор настоящей книги пользуется играми как педагогическим средством, чтобы привлечь внимание ребенка и таким образом познакомить его без принудительных усилий с первыми и самыми существенными математическими понятиями.
Л. В. Тарасов • Книги для школьников. ..и не только
Вселенная: В просторы космоса
Настоящая учебно-популярная книга открывает любознательному читателю мир астрономии, включающий Солнце, Луну, планеты, кометы, звезды и созвездия. Автор показывает, как постепенно, с древнейших времен до наших дней, менялись представления людей об окружающем мире небесных тел и явлений. В интересной и доходчивой форме вводятся многие астрономические понятия, описываются различные методы исследования Вселенной. Книга хорошо иллюстрирована и содержит богатый фактический материал. Все это позволяет читателю получить серьезную подготовку к последующему глубокому изучению астрономии.
В глубины вещества: Живые клетки, молекулы, атомы
Настоящая книга, представляющая собой учебно-популярное издание, открывает любознательному читателю мир вещества, или микромир, включающий как атомы и молекулы, так и элементарные системы, из которых состоит живое вещество — клетки. Автор показывает, как формировались и изменялись представления людей о «первоначалах», из которых построен весь окружающий нас мир и мы сами. В интересной и доходчивой форме описываются свойства и применения наиболее известных химических элементов, даются необходимые сведения из физики, химии, биологии, излагаются методы исследования материи. Книга хорошо иллюстрирована и содержит богатый фактический материал*
Земля — беспокойная планета: Атмосфера, гидросфера, литосфера
Настоящая учебно-популярная книга открывает любознательному читателю мир природных сфер Земли — атмосферы, гидросферы, литосферы. В книге в интересной и доходчивой форме описывается внутреннее строение земного шара. Читатель получит представление о полезных ископаемых, о внутренних силах Земли (движение литосферных плит, вулканы, гейзеры, землетрясения), о внешних факторах (выветривание, течение рек, обвалы и оползни), создающих рельеф нашей планеты, о давлении и различных явлениях в воздушной оболочке Земли — атмосфере, о стихии океанских волн и течений, о глобусе и географической карте.


Издательская группа Р
/ / ,
/ //////////////////м
URSS1
) npei
/У//
/ / / / / / / /////////////// / / а
1 с т а в л я е щ/&
}////////////ШШ
1
Af. E. Перельман. ОБМАНЫ ЗРЕНИЯ:
Коллекция оптических иллюзий
Вниманию читателя предлагается книга, написанная выдающимся популяризатором науки Я. И. Перельманом и посвященная оптическим иллюзиям.
В книге содержится подбор основных типов иллюзий, или, как их называет автор, зрительных обманов, которые могут быть наблюдаемы при условиях естественного зрения, без каких-либо приспособлений. Автор предпочел ограничиться только демонстрацией неоспоримого материала фактов, воздерживаясь от объяснения их причин, за исключением иллюзий, связанных с портретами, для которых в конце книги приводится объяснение.
Я. И. Перельман. ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АСТРОНОМИЯ
Настоящая книга, написанная выдающимся популяризатором науки Я. И. Перельманом, знакомит читателя с отдельными вопросами астрономии, с ее замечательными научными достижениями, рассказывает в увлекательной форме о важнейших явлениях звездного неба. Автор показывает многие кажущиеся привычными и обыденными явления с совершенно новой и неожиданной стороны и раскрывает их действительный смысл.
Задачи книги — развернуть перед читателем широкую картину мирового пространства и происходящих в нем удивительных явлений и возбудить интерес к одной из самыхувлекательных наук — к науке о звездном небе.
А. 	Е. Меньчуков. В МИРЕ ОРИЕНТИРОВ
В настоящей книге рассказывается о том, как пользоваться самыми разнообразными природными ориентирами (от обыкновенного камня или полевого цветка до Луны и далеких звезд) для определения своего положения во времени и пространстве. Книга учит ориентироваться без специальных приборов в любых природных условиях, днем и ночью, в различное время года, незави-симо от погоды. Умение ориентироваться в разнообразных природных условиях необходимо всем, поскольку оно связано с трудностями при определении своего местонахождения всеми, кто путешествует по льду и тундре, по пустыне и в степи, по лесу и в горах, плавает по рекам и морям, находится за пределами Земли, в космосе.
■ Af. Е. Перельман. А ПОЧЕМУ ЭТО ТАК?
Физика вокруг нас в занимательных беседах, вопросах и ответах
В книге, состоящей из двух независимых частей, собрано более 800 задач- вопросов по физике, а также биологии, географии и астрономии (вместе с ответами), которые чаще всего возникают или, по крайней мере, должны возникать у каждого любознательного подростка при взгляде вокруг себя; при этом слово «физика» автор понимает весьма широко, считая эту науку основой всех естественных наук и техники. Если же эти вопросы еще (или уже) не возникают, книга поможет пробудить и поддержать в подростке пытливость ума, интерес к пониманию всего того, что его окружает, к выявлению связи объектов и явлений.
В книге первой читатель найдет более 400 качественных и независимых друг от друга вопросов по самым разным темам: это кухня, дом,улица, стадион, пляж, море, музыкальные инструменты, звуки, военная техника.


Af. E. Перельман.
А ПОЧЕМУ ЭТО ТАК? Физика в гостях у других наук в занимательных беседах, вопросах и ответах
В книге второй читатель найдет около 400 качественных и независимых друг от друга вопросов и ответов по таким темам, как жизнь и особенности растений и животных, в том числе человека; проблемы экологии, наук о Земле и астрономии; некоторые вопросы военной истории.
Ч. 	Бойз. МЫЛЬНЫЕ ПУЗЫРИ
Перед читателем — книга о таком интересном и в то же время широко известном феномене, как мыльные пузыри. Многие, кто когда-либо занимался пусканием мыльных пузырей и любовался совершенством их формы и переливами цветов, задавались вопросами: почему с такой легкостью можно вызвать эти великолепные явления? Что представляет из себя мыльный пузырь и что в нем необычного? На эти и другие вопросы отвечает в своей книге английский физик-экспериментатор и популяризатор науки Чарльз Бойз.
В. 	В. Дрозина, В. Л. Дильман, Д. А. Дрозин. ЗКАК НАУЧИТЬ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕШАТЬ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ
Настоящая книга знакомит читателя с теорией и методикой совершенствования аппарата творчества, необходимого для решения нестандартных, и в частности олимпиадных, задач младшими школьниками. Она дает представление о новом подходе к обучению с учетом особенностей возраста учащихся, рассказывает о методике достижения значимых результатов в этом процессе. В книге содержится более 150 олимпиадных задач с решениями.
Книга стала лауреатом Первого Всероссийского конкурса Научно-методического совета по математике Министерства образования и науки Российской Федерации «Лучшее учебное издание по математике» 2010 года.
А. Н. Гвоздев
От первых слов до первого класса: Дневник научных наблюдений
Предлагаемая вниманию читателя книга представляет собой дневник наблюдений за речью и развитием познавательной деятельности ребенка. Автор, известный отечественный лингвистА. Н. Гвоздев (1892-1959), на протяжении семи лет повседневно вел эти наблюдения за своим сыном. Непосредственной целью Дневника было изучение процесса усвоения ребенком родного языка, и впоследствии автор осуществил несколько фундаментальных исследований этого процесса, обобщенных в его книге «Вопросы детской речи» (М., 1961). Фактическое содержание Дневника переросло первоначальный замысел автора. Здесь описываются речевые ситуации, поведение ребенка, особенности восприятия им окружающего мира, многообразные проявления детской любознательности, развитие способностей абстрактного мышления. Собранные вместе, в хронологической последовательности, дневниковые записи день за днем, суникальнойдокументированностью воспроизводят жизнь ребенка —«мир детства».


Издательская группа Р ~7 ~7 ~7 ~7 / / / / ,
IIRR&I представ
иподт /7 /7///////
А. 	С. Дмитриев. ЗАКОНЫ ФИЗИКИ В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ:
Коллекция опытов в домашних условиях
Эта книга для тех, кого интересуют вопросы про окружающий нас мир, в том числе и для тех, кто хочет чаще весело общаться со своими детьми, одновременно повышая свой родительский авторитет.
Это уже вторая книга Александра Дмитриева, которая продолжает тему забавных опытов и явлений из области физики. Первая его книга вошла в шорт-лист премии «Просветитель», сразу после издания став бестселлером. Автор в доступной форме рассказывает про окружающие явления и показывает, как они связаны с физическими законами природы. Книга легко читается и, что наиболее важно, позволяет родителям вместе с детьми проделывать интересные и безопасные опыты, глубже понимать мир и природу вокруг нас. Важно и то, что для опытов не требуется специальных или дорогих приборов и материалов, а также особой подготовки. Как показали отзывы читателей на первую книгу, мамы и папы были очень довольны тем, что книга увлекает детей и становится темой для обсуждения в семейном кругу, позволяя родителям и детям весело провести время вместе. Автор следует традиции Я. И. Перельмана и не придерживается какой-либо строгой системы — просто ведет разговор об окружающем нас мире, подмечая и иллюстрируя скрытые от непосвященного взгляда законы природы. Лесная шишка, ветка акации, брошенный в пруд камень — в них скрыты ряды Фибоначчи, фракталы,ударные волны... Вы никогда не задумывались об этом? Тогда эта книга для вас и ваших детей!
Ю. Г. Чирков. РАССКАЗЫ О ФОТОСИНТЕЗЕ
В предлагаемой читателю книге освещаются вопросы, связанные с появлением и развитием идеи фотосинтеза и характером этого процесса. Написанная ярким, живым, образным языком, она проводит многочисленные параллели с явлениями окружающего нас мира. Можно сказать, что вся эта книга — неизвестное об известном, вся она «про фантастику, которая становится жизнью, и про жизнь, которая выглядит как фантастика».
Джозеф Пристли, английский химик, заметил однажды, что мышь остается живой, если под стеклянный колпак вместе с ней поместить зеленое растение — без этого мыши неизбежно погибали. Считается, что эти опыты Пристли породили одну из самых замечательных естественно-научных и практических проблем, над разрешением которой ученые всего мира бьются вот уже два века. Теперь известно, что зеленый лист растения — это природная фабрика, вырабатывающая пищу для всего сущего на Земле. О том, как ученые подбирали ключи к тайнам этой удивительной фабрики, рассказывается в настоящей книге.
О. Уле. ПОЧЕМУ И ПОТОМУ: Учебник физики в вопросах и ответах
Вниманию читателей предлагается книга немецкого писателя и популяризатора науки Отто Уле (1820-1876), в которой доступно и наглядно разъясняются причины некоторых естественных физических явлений. На конкретных примерах разбираются общие свойства тел — протяженность, непроницаемость, делимость, упругость и др., описываются явления сцепления, прилипания, инерции. Исследуются такие вопросы, как равновесие и движение твердых, жидких и газообразных тел, падение тела, расширение тел, давление и тяжесть воздуха, его химические и физиологические действия; рассматриваются феномены звука, света и цвета, а также магнетизм и электричество. Книга содержит множество иллюстраций.
ЗАКОНЫ ФИЗИКИ В ПОВСЕДНЕВНОЙ
жизни


О. /7. Спиридонов. СВЕТ: ФИЗИКА. ИНФОРМАЦИЯ. ЖИЗНЬ: О природе уникального явления, его роли в изучении Вселенной, в появлении жизни и об изобретательном гении человечества
Настоящая книга посвящена свету и тому определяющему значению, которое имеет этот бесценный дар природы и ее уникальное творение в жизни человечества. В ней рассматривается широкий круг проблем — от природы света до его роли в изучении Вселенной, появлении жизни и красоты жизни. Автор показывает, что задолго до выявления истинной природы света выдающиеся мыслители и ученые сознавали его фундаментальную роль в природе; в данной работе он последовательно раскрывает различные стороны этого уникального по своему содержанию проявления природы. В книге предлагается неспешный разговор о том пути, который вел ученых к постижению тайн света. Это и удивление перед неистощимым богатством природы, и преклонение перед изобретательным гением человечества, раз за разом разрешавшим ее очередные загадки. Читатели книги станут как бы современниками и свидетелями титанической работы величайших ученых мира — Исаака Ньютона, Альберта Эйнштейна, Макса Планка и многих других.
А. Фрова. МПОЧЕМУ ПРОИСХОДИЛО, ЧТО ПРОИСХОДИТ:
Окружающий мир глазами ученого
В этой книге Вы найдете около трехсот интересных вопросов, способных «зажечь разум» читателя. Эта книга для всех, кто сохранил любознательность, стремление учиться и делать открытия. Даже в наше время стремительного прогресса науки в поисках удивительного и необычайного вовсе не обязательно отправляться куда-то далеко (например, в космос!). И в обыденной жизни нас окружают загадочные явления, над которыми мы не задумываемся лишь потому, что они привычны. Как устроена радуга? Почему глаза кошки светятся в темноте? Что определяет цвет драгоценных камней? Почему можно разбить кирпич ударом обнаженной руки? Как работает солнечная батарея? Свистеть губами: какой механизм лежит в основе этого действия? Почему снежинки симметричны? Как перемещаются песчаные дюны? Ответы на эти и другие вопросы представлены в книге в доступной и увлекательной форме.
В. 	Н. Ланге. ФИЗИЧЕСКИЕ ОПЫТЫ И НАБЛЮДЕНИЯ В ДОМАШНЕЙ ОБСТАНОВКЕ
В предлагаемом издании автор стремится обратить внимание читателя на возможность наблюдения некоторых интересных физических явлений в домашних условиях без использования сложных приборов и аппаратов — предполагается, что все необходимое вы сможете найти у себя под рукой.
Также в книге описаны такие эксперименты, результаты которых иногда настолько парадоксальны и противоречат здравому смыслу, что кажутся совершенно невероятными.
Книга оформлена как сборник коротких рассказов, которые, по мысли автора, должны стимулировать читателей к самостоятельной экспериментальной деятельности. В ней имеется также небольшая подборка физических экспериментальных задач на смекалку; приведены их решения. Кроме того, в книге помещено описание нескольких физических «фокусов», которые старшие читатели могут показать младшим членам своей семьи.


Издательская группа
представляв
/ / //////////"""'
М. Е.Перельман
Наблюдения и озарения,
ИЛИ
Как физики выявляют законы природы
Все мы знакомы с открытиями, ставшими заметными вехами на пути понимания человеком законов окружающего мира: начиная с догадки Архимеда о величине силы, действующей на погруженное в жидкость тело, и заканчивая новейшими теориями скрытых размерностей пространства-времени.
Но как были сделаны эти открытия? Почему именно в свое время? Почему именно
теми, кого мы сейчас считаем первооткрывателями? И что делать тому, кто хочет не только понять, как устроено все вокруг, но и узнать , каким путем человечество пришло к современной картине мира? Книга, которую вы держите в руках, поможет прикоснуться к тайне гениальных прозрении.
Рассказы «Наблюдения и озарения, или Как физики выявляют законы природы» написаны человеком неравнодушным, любящим и знающим физику, искренне восхищающимся ее красотой. Поэтому книга не просто захватывает - она позволяет почувствовать себя посвященными в великую тайну. Вместе с автором вы будете восхищаться красотой мироздания и удивляться неожиданным озарениям, которые помогли эту красоту раскрыть.
ВгИНМ1 М-Е Паральыаи
SB * ФИЗИКИ ВЫЯВЛЯЮТ £ ЗАКОНЫ ПРИРОДЫ
Киот 1
£ 0Т
I АРИСТОТЕЛЯ
ш
э до « Николы I -ТЕСЛЫ
■ •или как «* е.п^жпьм»» • ФИЗИКИ выявляют 1 ■ ЗАКОНЫ ПРИРОДЫ
книг» г
£ ОТ КВАНТА I д°
1 ТЕМНОЙ
2 МАТЕРИИ
Первая часть книги, «От Аристотеля до Николы Теслы», расскажет о пути развития науки, начиная с утверждения Аристотеля «Природа не терпит пустоты» и эпициклов Птолемея, и до гелиоцентрической системы Коперника и Галилея и великих уравнений Максвелла. Читатель проделает этот огромный путь рука об руку с гениями, жившими задолго до нас.
«От кванта до темной материи» - вторая часть книги. Она рассказывает о вещах, которые мы не можем увидеть, не можем понять с точки зрения обыденной, бытовой логики: о принципе относительности, замедлении времени, квантовании энергии, принципе неопределенности, черных дырах и темной материи. История загадочной, сложной и увлекательной современной физики раскроется перед читателем.
Итак, вперед
совершать открытия вместе с гениями!