И. М.

СМИРНОВА,

В. А. СМИРНОВ

Устные упражнения
по геометрии

7-9

классы

Учебное пособие
для учащихся

общеобразовател ьн ых
учреждений

Москва 2010

УДК
ББК

373.167.1:514
22.151.0я721
С50

С50

Смирнова И. М.
Устные упражнения

по геометрии. 7 9 классы : учеб.
пособие для учащихся общеобразоват. учреждений /
И. М. Смирнова, В. А. Смирнов.
М. : Мнемозина, 2010.

223

с.

: ил.

ISBN 978-5-346-01541-3
Сборник содержит около
упражнений по

трудности устных

2000

разнообразных

геометрии.

по содержанию и

Он может быть использован как

на основных, так и на дополнительных занятиях с учащимися, а также при
подготовке к турнирам, конкурсам, олимпиадам,

аттестации,

Единому государственному экзамену

Государственной итоговой
по математике.

УДК 373.167.1:514
ББК 22.151.0я721

ISBN 978-5-346-01541-3

© «Мнемозина», 2010
© Оформление. «Мнемозина», 2010
Все права защищены

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник содержит около 2000 разнообразных по содержанию
упражнений по геометрии. Целью пособия явилась

и трудности устных

систематизация устных задач по основным темам курса геометрии

основной

Представленный учебный материал соответствует типовой программе
математике для общеобразовательных учреждений. Пособие может быть

школы.

по

использовано как на основных, так и дополнительных занятиях с учащимися для

Государственной итоговой
Единого государственного экзамена по математике.
Устная работа занимает важное место в преподавании математики. Прежде
чем приступать к решению любой, даже самой трудной, задачи необходимо
в уме проанализировать ее условие, наметить подходы и составить общий план
подготовки к турнирам, конкурсам и олимпиадам,

аттестации, а также сдаче

решения.

От того,

насколько правильно это

было сделано,

зависит успешность

для того чтобы научиться решать задачи, нужно
прежде всего научиться мысленному анализу ее условия, поиску решения
задачи. Это составляет важнейшую часть того, что называется сообразительностью.
решения задачи.

Поэтому,

сообразительности учащихся предназначены устные упражнения
сборника.
Устной работе уделяется большое внимание в начальных и 5 6-х классах,

Для

развития

настоящего

значительно меньше

в

основной школе, и, к сожалению,
Вместе с тем основные

часто игнорируется в старших классах.
актуальными в

10 11-х

она довольно
ее цели остаются

классах.

Среди основных дидактических функций выделим следующие:
1) подготовка учащихся к работе на уроке, в частности к восприятию
нового материала;

2)

улучшение усвоения математики, более сознательное неформальное

усвоение предмета;

3)
4)
5)

систематическое повторение

проверка знаний,

умений

пройденного;

и навыков учащихся;

развитие внимания, памяти, наблюдательности,

сообразительности,

инициативы учащихся;

7) формирование интереса к предмету;
8) активизация учебной деятельности на уроке.
Следовательно, в содержание устной работы, по возможности,

нужно

включать упражнения следующих типов:

а)
6)
в)

на закрепление и

отработку

текущего материала;

на повторение;

(например, для подготовки к восприятию нового
ребят геометрической ситуацией и т. д.);
г) развивающего характера (в том числе нестандартные упражнения,
занимательные задачи).
Устные упражнения по геометрии направлены на то, чтобы способствовать
развитию пространственных представлений учащихся. Они должны
с элементами творчества

материала, с новой для

помогать более четкому формированию геометрических понятий, подготавливать
3
1*

учащихся к восприятию новых пространственных соотношений и расширять
имеющийся запас геометрических образов. Задания могут предлагаться в
различной форме, например по готовой модели или чертежу. Такие упражнения
особенно полезны при изучении первых разделов как планиметрии, так и

ребята еще плохо ориентируются в различных
Например, на первых уроках по стереометрии у них
только начинает вырабатываться умение устанавливать соответствие между
пространственными объектами и их изображениями. С этой целью включаются
упражнения на чтение чертежей. По чертежу может быть также восстановлено
доказательство теоремы или решение задачи (например, на построение). Чертеж
стереометрии, когда

геометрических ситуациях.

дается и для самостоятельного составления по нему задачи или вопроса.
Условие устного упражнения можно представить через кодоскоп, проектор
или компьютер, с помощью плаката, таблицы, а можно прочитать вслух.
последнем способе условие задачи может оказаться трудным для
запоминания, например, из-за длинного текста или большого количества числовых данных.
В этом случае, чтобы не нагружать память, а сосредоточить внимание

При

учащихся на ответе, чтение задачи лучше сопроводить краткой записью условия.
словами, желательно, чтобы условие предлагаемой задачи в той или

Другими

форме было представлено ученикам в зрительной форме.
Выскажем еще несколько практических рекомендаций по
устной работы.
иной

проведению

Начинать устную работу следует с более легкого упражнения, постепенно
Это делается, с одной стороны, для того, чтобы учащиеся

усложняя задания.

постепенно втянулись в относительно

чтобы не подавить

другой

Продолжительность

их

быстрый

инициативу

ритм

устной работы,

а с

и активность.

не должна превышать

10 минут (оптимально 7 8

минут).

Планировать устную работу лучше в конце подготовки конспекта, чтобы
представлять весь урок в целом, его основные общие цели и конкретные
задачи.

Устная работа

мобилизующее, настраивающее
Отчасти это связано с тем, что, как известно, в начале
работу
урока (приблизительно на третьей минуте) наступает первый кризис внимания
школьников. Второй кризис внимания, как правило, бывает в середине урока
(23 25 мин). В это время тоже хорошо отвлечь ребят несколькими уместными
на

это прекрасное активное,

начало урока.

устными вопросами.

Чтобы стимулировать активность, инициативу учащихся, дать
возможность проявить

себя,

можно ввести следующую систему оценок во время

устной работы: за каждый ответ ученик получает « + », «-», «±», «+». Если
учащийся наберет (может быть, за несколько уроков) пять знаков, например
« + »,

При

то он

получит оценку

за четыре

«+»

и один

«-»

все

оценку 4 и т. д.

этом учитываются все возможные сочетания четырех указанных знаков.

Как

показал опыт

учащимися.

реагировать

4

5,

на

нашей работы, такая

система оценок хорошо принимается

Причины этого заключаются в
ответы, ребята могут проявить

том, что она позволяет

себя, добиться

хорошей

гибко
отметки.

В устной работе особенно ярко проявляется еще один аспект современного
обучения

она дает возможность для

культуры учащихся, которая

формирования и развития диалоговой
общей культуры

является элементом

современного человека. Это умение необходимо при ведении диалога с компьютером.
В настоящее время создаются даже школы диалоговых культур.
Помимо отдельного дидактического момента урока, устные упражнения с
успехом применяются на других его этапах. Например, для более активной
проверки домашнего задания учащимся можно предложить серию
специально подобранных вопросов, которые дают возможность установить наличие

домашнего задания и правильность его выполнения.

проверки

Причем

такая

форма

наиболее важные и характерные особенности,
иной задачи. Также устные упражнения с успехом

позволит выявить

нюансы решения

той

или

применяются при опросе учащихся, закреплении нового материала, решении
задач, повторении.

Данное пособие
авторов

7 9

входит в методическое обеспечение

учебного

комплекта

И. М. Смирновой, В. А. Смирнова, включающего учебник «Геометрия.

Мнемозина, 2005 2010).
Дополнительный материал и задачи повышенной трудности
звездочкой (*).
классы»

(М.

:

отмечены

Глава I. НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Основные геометрические фигуры
1.1. Как переводится греческое слово «геометрия»?
1.2. Из каких двух основных разделов состоит геометрия? Как они
называются и что в них изучается?
1.3. Где зародилась геометрия?
1.4. Когда существовала Древняя Греция?
1.5. Назовите какие-нибудь философские школы Древней Греции.
1.6. Когда жил Пифагор?
1.7. Какая геометрическая фигура была отличительным знаком
пифагорейцев?
1.8. Как пифагорейцы объясняли устройство мира?
1.9. Как называется самая знаменитая историческая книга по геометрии,
написанная в Древней Греции? Кто ее автор?
1.10. Какие геометрические фигуры являются основными? Почему? Что
они идеализируют?
1.11. Назовите несколько плоских и пространственных фигур.
1.12. Как обозначаются: а) точки; б) прямые?
1.13. Какие свойства основных геометрических фигур называются
аксиомами?
1.14. Как переводится слово «аксиома» с греческого языка?
1.15. Какие две прямые называются: а) пересекающимися;

параллельными?
1.16. Сколько

прямых можно провести через:

а)

б)

одну точку;

б)

две

точки?
1.17. Сколько кривых можно провести через две точки?
Через две данные точки проведены две различные линии.

1.18.
они

обе быть прямыми? Почему?
1.19. Можно ли провести прямую

находится на полу,

а другая

1.20. Сколько общих

на

через две точки,

Могут

ли

одна из которых

потолке?

точек могут иметь две пересекающиеся

прямые?

1.21. Сколько

прямых можно провести через три точки?
1.22. Сколько точек попарных пересечений могут иметь три прямые,
лежащие в одной плоскости?
*1.23. Какое наименьшее и наибольшее число точек попарных
имеют четыре прямые, лежащие в

пересечений

одной плоскости?

*1.24. Какое наибольшее число прямых можно провести
а) четырех точек; б) пяти точек; в) п точек?

через различные

пары из:

*1.25. Сколько
тетраэдра;

6

б) куба?

всего

прямых

можно

провести

через

пары

вершин:

а)

§ 2. Отрезок

и луч

2.1. Какая фигура называется: а) отрезком; б) лучом, или полупрямой?
2.2. Как обозначается: а) отрезок; б) луч, или полупрямая?
2.3. Какая операция называется откладыванием данного отрезка на данном
луче от его вершины, или начала?
2.4. Сколько отрезков, равных данному отрезку, можно отложить на данном
луче от его вершины?

2.5. Как

а)

определяется:

б)

сумма отрезков;

разность отрезков;

в)

произведение отрезка на натуральное число?
2.6. Что называется серединой отрезка?

2.7. Чем

отличаются:

а)

прямая

и

луч;

б)

луч и отрезок;

в)

отрезок и

прямая?
2.8. Назовите отрезки,

А

изображенные

В

на рисунке

С

А

1. Сколько их?

В

а)

D

С
б)

Рис. 1
2.9. Назовите лучи, изображенные
А

на рисунке

2. Сколько их?

ВС
Е

F

G

D
К

а)

L

М

N

б)
Рис. 2

2.10. Прямые АВ

и

CD пересекаются

в точке

О. Назовите

все

образовавшиеся

лучи. Сколько их?
2.11. Сколько лучей

можно провести из одной точки?
2.12. На сколько частей делят плоскость два луча, имеющие общее
начало?
2.13. Можно ли: а) прямую; б) луч; в) отрезок разделить пополам?

2.14.

Верно ли утверждение: «Два луча, лежащие на пересекающихся
пересекаются»?
2.15. Каково наименьшее число лучей, из которых можно составить
прямую?
2.16. Могут ли: а) 2 отрезка иметь всего 3 конца; б) 3 отрезка иметь
4 конца; в) 4 отрезка иметь 5 концов?
2.17. Как относительно друг друга могут располагаться на одной прямой
два: а) отрезка; б) луча?
*2.18. На прямой отмечены: а) 3 точки; б) 4 точки; в) 5 точек; г) п точек.
Сколько получилось отрезков в каждом случае?
*2.19. На прямой отмечены: а) 3 точки; б) 4 точки; в) 5 точек; г) п точек.
Сколько получилось лучей в каждом случае?
прямых,

7

*2.20. Даны 4 попарно пересекающиеся прямые, никакие три из которых
Сколько отрезков образуется при этом на
прямых?
не проходят через одну точку.

§ 3. Измерение длин отрезков
3.1. Что

называется длиной отрезка?
3.2. Как определяется длина отрезка?

3.3. Каким свойствам удовлетворяет длина отрезка?
3.4. Что называется расстоянием между двумя точками?
3.5. Какие вы знаете единицы измерение длины?
3.6. Могут ли точки О, Р и Н принадлежать одной прямой,

=

=

если: а) ОР
4 мм; в) PH
8 мм, PH
ОН
8 дм, НО
4 см, ОН
3 см, PH
5 см?
3.7. Сумма двух отрезков равна 11 см, их разность равна 4 см. Найдите

1 см, PH
15 дм, РО

=

3

и

ОН

=

данные отрезки

3.8. На

см

=

(т.

4 см; б) ОР
23 дм; г) ОР

=

=

=

=

е. длины данных

=

=

=

=

=

отрезков).

рисунке 3 отрезки KL и MN равны, КМ

=

3

см.

Найдите

отрезок NL.
М

N

К

L

Рис. 3
3.9. На сколько отрезков можно разделить отрезок

3.10. Отрезки АВ

и

CD (рис. 4) пересекаются

длиной 1 см?
О, причем известно,

в точке

что АО в два раза больше СО и ОБ в два раза больше OD.
отрезков АВ и CD.

Сравните

длины

В

а)

б)
Рис. 5

3.11. Как, зная сумму и разность длин двух отрезков, найти эти длины?
Например, на рисунке 5, а изображена сумма двух отрезков, а на рисунке 5, б
изображена их разность.

3.12. Расстояние между городами М и К равно 100 км, а между К и N
50 км. Определите наименьшее и наибольшее возможные расстояния

равно

между городами М и

8

N.

10 см, ВС
5 см. Найдите АС,
3.13. На прямой отложены отрезки АВ
если: а) точка В лежит между точками А и С; б) точка С лежит между точками
А и Б.
3.14. Точки D, Е и F принадлежат одной прямой, DE
4,8 см, DF
8,3 см,
=

=

=

EF

=

3,5

см.

Какая

=

другими?
прямой. Известно, что

из этих точек лежит между двумя

3.15. Точки К, L, М принадлежат одной
ML
11 см. Принадлежит ли точка М отрезку
=

KL

=

7 см,

КЫ

3.16. Могут ли точки N, О, Р принадлежать одной прямой, если: a) NO
1 см; б) NO
4 см; ОР
2 см, NP
3 см?
4 см, NP
3 см, ОР
3.17. На отрезке XY длиной 36 см взята точка О. Найдите длины отрезков
ХО и YO, если: а) ХО на 14 см короче YO; б) ХО в 3 раза длиннее YO.
=

=

=

=

=

3.18. На прямой

от точки

отложены два отрезка: ОА

=

=

=

О, ей принадлежащей, в одном направлении
10 см. Найдите расстояние от: а) точки

7 см, ОВ

=

точки В; б) точки О до середины отрезка АБ; в) середины отрезка ОА до
середины отрезка ОВ.
3.19. От точки А, принадлежащей некоторой прямой, в разных
13 см и AF =17 см. Найдите
направлениях от нее отложены два отрезка: АЕ
расстояние от: а) середины отрезка АЕ до середины отрезка AF; б) точки А до

А до

=

середины отрезка EF; в) середины отрезка AF до середины отрезка EF.
3.20. Сравните отрезки, изображенные на рисунке 6.

<С

б»

>

>

<

<
В)

а)

г)
Рис. 6

§ 4. Полуплоскость

и

угол

4.1. На сколько частей делит плоскость прямая, лежащая
4.2. Известно, что плоскость разделена на две части. Верно
о том, что их

4.3. На

в

ней?

ли утверждение

границей будет прямая?

какое

наибольшее

в) четыре прямые?
4.4. Что означает,

число

частей делят плоскость: а) две; б) три;

а) одну сторону; б)
прямой?
4.5. Какая фигура называется: а) полуплоскостью; б) углом?
4.6. Назовите и определите элементы угла.
4.7. Как обозначается угол?
что две точки лежат по:

разные

стороны от одной

9

4.8. Какие: а) точки; б) лучи

называются

внутренними по отношению к

углу?
4.9. Какой угол называется развернутым?
4.10. Какие два угла называются: а) смежными; б) вертикальными?
4.11. Какая операция называется откладыванием данного угла от данного
луча? Какой при этом получается угол? Сколько таких углов можно отложить
в заданной полуплоскости по отношению к данному лучу?
4.12. Даны прямая и три точки А, Б и С, не принадлежащие этой прямой.
Известно, что отрезок АВ пересекает данную прямую, а отрезок АС нет.
данному

Пересекает ли прямую отрезок

4.13. Даны прямая

ВС?

и не принадлежащие

ей 5 точек, причем 3

из них

в
одной полуплоскости относительно этой прямой, а две другие
другой. Каждые две точки соединены отрезком. Сколько отрезков пересечет

находятся в

прямую?
4.14. Внутри
которых

имеет

угла проведено:
начало

в

а) 2

луча;

вершине угла.

б) 3

луча;

*в)

Сколько при

п

лучей, каждый из
образуется углов

этом

(вместе с данным)?
4.15. Сколько имеется углов, смежных данному углу?
4.16. Какой предмет домашнего обихода дает нам представление о
вертикальных углах?
4.17. Что общего между вертикальными и смежными углами?
4.18. Какой угол называется: а) прямым; б) острым; в) тупым?
4.19. Какой угол называется углом между пересекающимися прямыми?
4.20. Какие две прямые называются перпендикулярными?
4.21. Что называется биссектрисой угла?
4.22. Как разделить угол, сделанный из бумаги, на: а) две; б) четыре
равные части?
4.23. Как из листа бумаги сделать прямой угол?
4.24. Могут ли стрелки будильника образовывать развернутый угол?
4.25. Верно ли утверждение: а) если два угла равны, то они вертикальные;
б) если углы вертикальные, то они равны?
4.26. На рисунке 7 Z.KOL Z.MPN. Можно ли: a) ZKOL; б) ZMPN привести
в такое положение, чтобы они были вертикальными?
=

F
N

О

L
Рис. 7

Рис. 8

4.27. На рисунке 8 назовите тупые, прямые и острые углы.

10

4.28. Сколько пар вертикальных углов изображено

на рисунке

9?

Рис. 9
4.29. В

каком

случае

пересечении трех прямых в

получится

одной

больше вертикальных углов: при

точке или при их попарном пересечении в трех

точках?
4.30. На прямой отмечены: а) 2 точки; б) 3 точки; в) 4 точки; *г) п точек.
Сколько развернутых углов получилось при этом?
4.31. В одной точке пересекаются: а) 4 прямые; б) 5 прямых; в) 6 прямых;
*г) п прямых. Сколько пар вертикальных углов получилось при этом?

*г)

4.32. В одной точке пересекаются: а) 4 прямые; б) 5 прямых; в) 6 прямых;
п прямых. Сколько пар смежных углов получилось при этом?

§ 5. Измерение величин углов
5.1. Какой угол принимается

за единицу измерения величины угла?
5.2. Что называется градусной величиной угла?
5.3. Каким свойствам удовлетворяет градусная величина угла?
5.4. Какие вы знаете инструменты, приборы, которые применяют для
измерения величины углов?
5.5. Как измеряется величина угла?
5.6. Что можно сказать о величине углов, смежных равным углам?
5.7. Могут ли два смежных угла быть одновременно: а) острыми; б)

прямыми; в) тупыми?
5.8. Может ли один

из смежных углов быть прямым, а другой
острым?
5.9. Какой угол образуют биссектрисы двух смежных углов?
5.10. Какой угол образуют биссектрисы вертикальных углов?
5.11. На рисунке 10 OX J. ОУ. Как построить смежные углы, для которых

ОХ

и

OY были бы биссектрисами?
О

11

5.12. Верно ли утверждение: а) если два угла смежные, то их сумма равна
180° ; б) если сумма двух углов равна 180°, то углы
смежные?
5.13. Один из смежных углов на 30° больше другого. Найдите каждый
из них.

5.14. Один

из смежных углов в три раза меньше другого.

Найдите каждый

из них.

5.15. Как

с помощью

одной линейки начертить

данному?
5.16. Из точки, взятой на прямой

хотя

бы один угол, равный

одной полуплоскости

в

относительно

5
нее, проведены два луча

(рис. 11), Z1

=

45°, Z2

составляет

прямого угла.

Найдите Z3.

Рис. 1 1

5.17. На
относительно

прямой

дана точка, из

данной прямой проведены

образованных

при этом, равна

которой в одной полуплоскости
(рис. 12). Величина одного

два луча
-

5

из углов,

прямого угла, величина другого составляет

половину первого угла. Найдите величину третьего угла.

Рис. 12
5.18.
углы

Четыре

луча, проведенные из данной точки,

(рис. 13): Z1

составляет

^

образуют

следующие

развернутого угла, Z2 составляет

1**

3
прямого угла, Z3 составляет

развернутого угла. Найдите величину всех

углов.
5.19. Разность двух смежных углов равна 40°. Найдите эти углы.
12

Рис. 13

5.20.

Один

из смежных углов увеличился на

углов?
образованных

20°. На

сколько градусов

изменилась разность смежных

5.21. Сумма

трех углов,
равна 306°. Найдите эти углы.

при пересечении двух прямых,

5.22. Может ли сумма трех углов из четырех,
двух прямых, быть равной: а) 150°; б) 180°; в)

5.23. Колесо
спицами?
5.24.

Чему

имеет восемь спиц.

Чему

образованных
240°?

при пересечении

равен угол между соседними

минутной и часовой стрелками на часах,
ч; в) 9 ч; г) 12 ч; д) 5 ч?
повернется часовая стрелка за: а) 2 ч; б) 12 мин;

равен угол между

показывающих время:

а) 3

ч;

б) 6

5.25. На сколько градусов
*в) 15 мин; *г) 30 с?
5.26. На сколько градусов повернется минутная стрелка за: а) полчаса;
20
минут; в) 5 минут; г) 1 минуту?
б)
*5.27. Сколько раз в течение дня с 7 ч утра до 12 ч дня стрелки часов
образуют развернутый угол?
5.28. Возьмите листок бумаги и перегните его по любой прямой. Затем
снова перегните его таким образом, чтобы одна половина старого сгиба совпала
с другой. Теперь расправьте листок
получилось четыре угла. Объясните,
почему все они
прямые?
5.29. Какой угол составляют между собой направления на: а) запад
север;
юго-восток?
юг
северо-восток; г) северо-запад
б)
север; в) юг
5.30. Как, не пользуясь чертежными инструментами, сделать из бумаги
модель угла в 22°30'?

§ 6. Ломаные
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.

и

многоугольники

Какая фигура называется ломаной линией,
Назовите элементы ломаной.
Как обозначается ломаная?
Что называется длиной ломаной?
Какая ломаная называется: а) простой;

6.6. На

сколько частей

разбивает

или

ломаной?

б) замкнутой?

плоскость простая замкнутая

ломаная?
13

6.7. Найдите на рисунке 14: а) простые; б) замкнутые; в) простые замкнутые;
г) непростые замкнутые; д) простые незамкнутые; е) непростые незамкнутые
ломаные?

б)

л)

и)
Рис. 14

6.8. Верно ли, что любая замкнутая ломаная разбивает плоскость
части?
6.9. Какое наименьшее возможное число сторон (звеньев) может

а)

замкнутая;

б)

незамкнутая ломаная?
А

Рис. 15
14

Сг

на две

иметь:

6.10. Назовите

на модели

куба (рис. 15): а)

незамкнутую;

б)

замкнутую

ломаную, сторонами которой являются ребра куба
и у которой 5 сторон. Какое наименьшее и наибольшее число сторон может
иметь такая ломаная?

пространственную

6.11.

(неплоскую)

Плоскую или пространственную фигуру образуют ребра куба,
одной вершины? Является ли эта фигура ломаной?
Какая фигура называется многоугольником?
Назовите элементы многоугольника.
Какие точки многоугольника называются внутренними?
Что называется периметром многоугольника?
Какой многоугольник называется п-угольником?
Какой многоугольник называется: а) правильным; б) выпуклым?
Что называется диагональю многоугольника?
Какой многоугольник содержит все свои диагонали?

выходящие из

6.12.

6.13.
6.14.

6.15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.

6.20. На рисунке 16 укажите многоугольники.

а)

г)

б)

в)

Д)
Рис. 16

6.21. Каким свойством отличаются четырехугольники,
рисунке

17,

а и

б?

е)

изображенные

на

6.22. На рисунке 18 укажите: 1) выпуклые; 2) невыпуклые
многоугольники.

г)

reJ
д)

3)

к)
Рис. 18

6.23. Какая зависимость между числом вершин, сторон и углов
многоугольника?

выпуклый: а) четырехугольник;
б) пятиугольник; в) семиугольник; г) восьмиугольник; *д) я-угольник
диагоналями, проведенными из одной его вершины?
6.25. Все ли многоугольники имеют диагонали?
6.26. Сколько диагоналей имеет: а) четырехугольник; б) пятиугольник;
в) шестиугольник; *г) п-угольник?
6.27. Число диагоналей многоугольника
число целое. Между тем
п^п ^. Как
формула для вычисления диагоналей /г-угольника имеет вид дроби
6.24. На сколько треугольников делится

~

это

^

объяснить?
6.28. Может

ли число

диагоналей многоугольника быть равным числу

сторон?
6.29. Может ли число диагоналей многоугольника быть вдвое больше
его сторон?
6.30. На сколько треугольников делится своими диагоналями: а)
четырехугольник; *б) пятиугольник?
16

его

числа

*6.31. Может ли выпуклый многоугольник иметь: а) 6; б) 10; в) 20;
г) 100 диагоналей?
*6.32. Выпуклый многоугольник имеет 35 диагоналей. Сколько у него
сторон?
6.33. Могут ли четыре точки на плоскости быть вершинами разных
четырехугольников?
6.34. Могут

ли

четыре

точки

на плоскости

выпуклых четырехугольников?
6.35. Сколько треугольников изображено

быть вершинами разных

на рисунке

18, к?

Глава II. РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ
§ 7. Треугольники
7.1. Какая фигура

7.2. Назовите

называется

треугольником?

основные элементы треугольника.

7.3. Назовите замечательные линии треугольника.
7.4. Что называется: а) медианой; б) биссектрисой; в) высотой

треугольника?
7.5. Что называется периметром треугольника?
7.6. Чем отличаются друг от друга биссектриса угла
треугольника?
7.7. Какие треугольники называются равными?
7.8. Какие равенства выполняются, если известно, что
7.9. В

и

биссектриса

ACDE

=

AKLM?

свойство равенства треугольников?
треугольники, изображенные на рисунке 19.

чем заключается основное

7.10. Назовите

7.11. Может

все

ли треугольник

быть невыпуклым?

В

В

Рис. 19

Рис. 20

7.12. Сколько треугольников изображено на рисунке 20?
7.13. Можно ли для всех треугольников, изображенных

провести общую высоту?
7.14. Где расположена

на рисунке

20,

точка пересечения высот прямоугольного

треугольника?
7.15. Периметр треугольника равен 36
2:3:4. Найдите его стороны.

см.

Его стороны относятся как

17

7.16. Периметр треугольника равен 48

см.

Одна

Найдите две другие стороны, если их разность равна

18

из его сторон

см.

4 см.

Первая из его сторон больше
Найдите стороны треугольника.
7.18. Периметр треугольника равен 65 см. Две его стороны равны и со-

7.17. Периметр треугольника равен 35
второй на 2 см, а третья меньше второй на 3

см.

см.

2
ставляют

-

каждая

5

периметра. Найдите стороны данного треугольника.

7.19. Может ли проходить вне треугольника его: а) медиана; б) биссектриса;
в) высота?
7.20. Какие линии совпадут, если вырезанный из бумаги треугольник
перегнуть по его: а) биссектрисе; б) высоте?
7.21. Внутреннюю точку /г-угольника соединили отрезками со всеми его
вершинами. Сколько получилось при этом треугольников, если п равно:

а) 2; б) 4; в) 9; *г) ml
§ 8. Первый признак равенства треугольников
8.1. Как вы понимаете, какая теорема в школьном курсе геометрии
признаком?
8.2. В чем заключается первый признак равенства треугольников?
8.3. По рисунку 21 воспроизведите доказательство первого признака

называется

равенства треугольников.

8.4. Точка О

середина отрезков KL и MN

(рис. 22), ML

=

2 дм.

Найдите KN.

8.5. Два отрезка EF и GH пересекаются в точке Р и делятся
35 см, GF
50 см. Найдите отрезки НЕ и HF.

(рис. 23), GE
18

=

=

в

ней

пополам

8.6. По рисунку 24 докажите равенство отрезков SQ

Рис. 24

и

PR.

Рис. 25

8.7. По рисунку 25 составьте и решите задачу.
8.8. Равны ли A ABC и A FED (рис. 26), если АВ
равен углу F?

FE, АС

=

FD

и угол

А

Е

8.9. На рисунке 27 луч YL

биссектриса угла XYZ, YX

=

YZ. Какие еще

отрезки равны?

8.10. По рисунку 28 докажите равенство углов R и Т.
8.11. Будут ли равны диагонали правильного четырехугольника?

Почему?
8.12. Через середину М отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная
ему. Докажите, что любая точка X, принадлежащая ей, находится на
одинаковом расстоянии от концов данного отрезка.
19

8.13. Докажите,
равны

что в равных треугольниках соответствующие

медианы

(рис. 29).
Вг

8.14. В треугольнике BCD (рис. 30) отрезок BL является одновременно
медианой и биссектрисой. Докажите, что точка В одинаково удалена от

Рис. 31

Рис. 30

8.15. В треугольнике EFG (рис. 31) медиана FM продолжена на отрезок
53°.
MF. Найдите угол FEH, если ZFEG
37°, ZFGE
8.16. На сторонах правильного треугольника ABC отложены равные отрезки
АХ
BY
CZ, как показано на рисунке 32. Докажите, что треугольник XYZ
МН

=

=

=

=

тоже является правильным.

20

=

8.17. На продолжениях сторон правильного треугольника ABC отложены
АХ
BY
CZ, как показано на рисунке 33. Докажите, что
треугольник XYZ тоже является правильным.
8.18. Составьте и решите задачу по рисунку 34.
=

=

равные отрезки

8.19. Объясните

по рисунку

35,

как, используя

первый признак

равенства

треугольников, измерили расстояние между пунктами А и Б.

8.20. По рисунку 36 составьте и решите задачу.

§ 9. Второй признак равенства треугольников
9.1. В чем заключается второй признак равенства треугольников?
9.2. По рисунку 37 воспроизведите доказательство второго признака
равенства треугольников.

21

9.3. На рисунке 38 Z1

=

Z2, Z3

=

Z4. Найдите равные отрезки.

В

D
Рис. 38
9.4. На рисунке 39 АС

=

CD, ZA

=

ZD. Найдите равные отрезки

и равные углы.

Рис.39

ВО

9.5. Лучи АВ и CD пересекаются в точке О (рис. 40). Угол 1 равен углу 2,
DO. Докажите равенство углов А л С.
9.6. В четырехугольнике ABCD диагональ BD делит углы В и D пополам.
=

Найдите равные треугольники.
9.7. На рисунке 41 угол DBC равен углу CAD, АО
BD и угол С равен углу D.
АС

=

ВО. Докажите,

=

.D
Рис. 41
22

что

9.8. На рисунке 42 АЕ
ABC и ADE равны.

=

АС, угол 1 равен углу 2. Докажите,

что

треугольники

9.9. Докажите,
равны

что в равных треугольниках соответствующие

биссектрисы

(рис. 43).

Рис. 43

9.10. Составьте и решите задачу по рисунку 44.

9.11.

ZK

=

На

рисунке

45

Z 1

=

Z 2,

ZKLM

=

Z.MNK. Докажите, что

ZM.

9.12. На рисунке 46 ZF

=

ZP, EG 1 FP, OQ 1 FP

и

FQ

=

PG. Какие еще

отрезки равны?

9.13. Дан правильный треугольник ABC и равные отрезки AD
(рис. 47). Докажите равенство отрезков АЕ, BF и CD.

=

BE

=

CF

23

Z2, SO J_ RT, SO
Найдите равные треугольники.
9.14. На рисунке 48 Z1

медиана треугольника RST.

=

R
D

U
Рис. 49

Рис. 48

9.15. На рисунке 49 ВН 1

AC, DP ±АС,АН

Найдите равные треугольники.
9.16. Чтобы найти расстояние

от точки М до

=

СРи ABAC

недоступной

=

ZACD.

точки

N,

поступают следующим образом: откладывают
произвольный отрезок МК и измеряют углы NKM и NMK. Затем
точка пересечения
откладывают их по другую сторону отрезка МК, L

например дерева

на острове

(рис. 50),

соответствующих сторон построенных углов.

другой способ

Где

же искомое

расстояние? Предложите

откладывания углов.

В

Рис. 51

Рис. 50

9.17. По рисунку 51 объясните, как определили АВ
длину озера. Какой
признак равенства треугольников использовали при этом?
9.18. По рисунку 52 объясните, как определили АВ
длину озера. Какой
признак равенства треугольников использовали при этом?

9.19. Как на стороне АС

(или

на ее

продолжении)

найти точку, одинаково удаленную от его вершин

А

и

треугольника ABC

Б?

9.20. Сколько существует точек, одинаково удаленных
точек?

24

от трех данных

Рис.52

§10. Равнобедренные треугольники
10.1. Назовите виды треугольников в зависимости от соотношения между
их сторонами.
10.2. Какой треугольник называется: а) разносторонним; б)
в) равносторонним?
10.3. Будет ли равносторонний треугольник являться равнобедренным
наоборот?
10.4. Будет ли правильный треугольник являться равносторонним и
наоборот?
10.5. Как называются стороны равнобедренного треугольника?
10.6. Сформулируйте основные свойства равнобедренного треугольника.
равнобедренным;

10.7. Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.
Z2. Верно ли утверждение
10.8. В треугольнике CDE (рис. 53) Z1
=

что это

Рис. 54

Z2
Z3. Верно ли утверждение
(рис. 54) Z1
а) равнобедренный; б) равносторонний; в)

10.9. В треугольнике FGH
том,

о том,

равнобедренный треугольник?

Рис. 53

о

и

что

это

треугольник:

правильный?
10.10. Периметр равнобедренного
сторона составляет

=

=

треугольника равен 40 см, боковая

периметра. Найдите основание треугольника.

25

10.11. Периметр равнобедренного треугольника равен 30 см, боковая сторона
основания на 3 см. Найдите длины сторон данного треугольника.

больше

10.12. Равносторонний треугольник ABC и равнобедренный треугольник
ADC имеют общее основание АС. Периметр первого треугольника равен 36 см,

второго

40

см.

Найдите стороны

10.13. Основание

данных треугольников.

треугольника равно 8 см. Медиана,
проведенная из вершины при основании, делит его периметр на две части, из
которых одна больше другой на 2 см. Найдите боковую сторону треугольника.

равнобедренного

10.14. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 12
Медиана,

проведенная к

две части, из которых

см.

боковой стороне треугольника, делит его периметр на
одна меньше другой на 3 см. Найдите длину основания

треугольника.

10.15. В треугольник ABC стороны АВ и ВС равны (рис. 55), ВН
Есть ли на рисунке равные треугольники?

его

высота.

10.16. Докажите,

равнобедренного треугольника
равнобедренного треугольника (рис. 56).
10.17. В равнобедренном треугольнике ABC (рис. 57) на основании АС
отложены равные отрезки AD и СЕ. Докажите, что: а) вершина В одинаково
удалена от точек D и Е; б) углы АЕВ и CDB равны.
что середины сторон

являются вершинами также

10.18. По рисунку 58 докажите, что медианы
проведенные к его боковым сторонам, равны.

26

равнобедренного

треугольника,

10.19. По рисунку 58 докажите,
равнобедренного треугольника равны.
10.20. В треугольнике KLM
рисунке еще равные

что

биссектрисы

(рис. 59) Zl

=

равных углов

Z2, KL

=

КМ. Есть

ли на

отрезки?
I

J

К

УК
Рис. 59

Рис.60

10.21. По рисунку 60 докажите, что точка пересечения биссектрис
равнобедренного треугольника одинаково удалена от концов его

равных

углов
основания.

10.22.

а)

Докажите по рисунку 61,
б) биссектриса, то он

медиана;

что если в треугольнике совпадают высота и:

равнобедренный.

В

В

А

С
Н

Н
а)

б)
Рис. 61

10.23. Докажите,

что прямая, перпендикулярная

биссектрисе

угла

(рис. 62),

отсекает на его сторонах равные отрезки.

D

А
Е
Рис. 62

Рис. 63
27

10.24. По рисунку 63 составьте и решите задачу.
10.25. В равнобедренном треугольнике XYZ на основании XY (рис. 64)
отложены равные отрезки ХА и
вершина Z одинаково удалена

10.26. По рисунку 65

YB, О

середина отрезка XY.

от концов отрезка

Докажите,

что

АВ.

составьте и решите задачу.

Рис. 65

Рис. 64

§11. Третий признак равенства треугольников
11.1. В чем заключается третий признак равенства треугольников?
AD. Докажите, что угол В
DC и ВС
11.2. На рисунке 66 АВ
=

=

равен

углу D.

11.3. Докажите,
медианы ВМ и

28

что треугольники

BXMV

стороны АВ и

ABC

AXBV

и

АС

А1В1С1 равны, если
и
АХСХ (рис. 67).

у них равны

11.4. Докажите,

что

равна стороне другого

если

сторона одного равностороннего

равностороннего

треугольника,

то

эти

треугольника
треугольники

равны.

11.5. По рисунку 68

составьте и решите задачу.

В

Рис. 69

Рис. 68

Z2. Докажите, что Z3
11.6. На рисунке 69 CD
ED, Z1
11.7. По рисунку 70 назовите пары равных треугольников.
=

=

=

Z4.

N

Q

В

Рис. 70
29

11.8. По рисунку 71

назовите пары равных треугольников.

Я

В

D
а)

в)

R

г)

д)

е)

ж)
Рис. 71

30

DC, AD
ВС, BE
биссектриса угла В, DF
ACDF.
ZADF; б) ААВЕ
Докажите, что: a) ZABE

11.9. На рисунке 72 АВ

биссектриса

угла D.

11.10. Докажите,
равны

биссектрисы AD

=

=

=

что треугольники
и

AXDV

=

ABC

стороны АВ

и

и
А1В1С1 равны, если
AXBV а также отрезки

у них
BD и

B1D1

11.11. Возможно ли, чтобы в треугольниках ABC и MNK были справедливы
неравенства АВ Ф MN, ВС Ф NK, СА Ф КМ, а треугольники все же равны?

11.12. Для каждой стороны одного треугольника имеется равная ей сторона
в другом треугольнике. Верно ли утверждение о том, что эти треугольники
равны?
*11.13. В чем заключается свойство жесткости треугольника?
*11.14. На каком признаке равенства треугольников основано свойство
жесткости треугольника?
*11.15. Почему стропильные фермы имеют треугольные связи? Почему
вставляют между ножками скамейки угольники? Почему раскрытые оконные
рамы закрепляют крючком?
11.16. Сформулируйте признак равенства треугольников для
равностороннего треугольника.
11.17. Сформулируйте признаки равенства треугольников для
равнобедренного треугольника.

§12. Соотношения между сторонами
12.1. Какой угол
треугольника?
12.2. Сколько

называется:

а)

и

углами треугольника

внутренним;

внешних углов имеется при

б)

внешним углом

каждой вершине треугольника?

12.3. Каким свойством обладает внешний угол треугольника?
12.4. По рисунку 74 воспроизведите доказательство теоремы

о внешнем

угле треугольника.

Рис. 74

12.5. Сколько

в

треугольнике может быть:

углов?
12.6. Может ли внешний угол
углу?
12.7. Известно, что треугольник

тупых;

б)

прямых;

треугольника равняться

его

прямой внешний
углы?

имеет один

должны быть при этом другие его внешние

12.8. Могут

а)

ли все внешние углы треугольника

в)

острых

внутреннему

угол. Какими

быть: а) тупыми; б)

острыми?
12.9. Сформулируйте теорему

о соотношении

между сторонами и углами

треугольника.

12.10. По рисунку 75 (АВ > АС) воспроизведите доказательство теоремы
о соотношении между сторонами и углами треугольника.
С

12.11. Сформулируйте следствие из теоремы о соотношении между
сторонами и углами треугольника.
12.12. Известно, что в треугольнике АБС ВС > АС >АБ. Какой из углов

больше: а) В или А; б) С или А; в) В или С?
12.13. Сравните стороны треугольника ABC,
ZC.
б) ZA > ZB, ZB

если:

a) ZA

>

ZC

>

ZB;

=

АС
32

12.14. Сравните углы АБС треугольника,
6 см; б) АВ
ВС
7 см, АС
10 см.

=

=

=

=

если:

а) АВ

=

4 см, ВС

=

5 см,

12.15. В треугольнике ABC сторона АВ наибольшая. Какие углы
острые? Каким может быть угол С?

этого

треугольника

12.16. Известно,

что один из внешних углов треугольника

являются его остальные внешние

12.17. В

треугольниках ABC

утверждение, что угол

12.18. Два

и

острый. Какими

углы?

А1В1С1 стороны
Сх? Почему?

АВ

и

АХВХ

равны.

Верно

ли

С равен углу

внешних

угла

при

разных

вершинах

треугольника

равны.

Определите вид треугольника.
12.19. На рисунке 76 Z1 < Z 2. Каким соотношением связаны стороны АВ
и ВС треугольника ABC?

12.20. На рисунке 77 DE < DF. Каким соотношением связаны углы 1 и 2?
12.21. Какой вид имеет треугольник, если:
углы разные;

в)

три его угла

а)

два его угла равны;

б)

все его

равны?

§13. Соотношения между сторонами треугольника
13.1. В чем заключается неравенство треугольника?
13.2. По рисунку 78 воспроизведите доказательство теоремы

о неравенстве

треугольника.

13.3. Что можно сказать о разности двух сторон

13.4. Может
больше длины

треугольника?

ли длина отрезка, соединяющего концы

ломаной; б) равна

ломаной, быть: а)

длине ломаной?

33
2 Смирнова, 7-9

кл.

13.5. Для

К, L

точек

об

и

М

выполняется равенство KL

+ LM

=

КМ. Что

расположении?
13.6. Верно ли утверждение: «Длина отрезка, соединяющего концы ломаной:
а) больше; б) меньше; в) равна; г) не превосходит длины самой ломаной»?
13.7. Принадлежат ли одной прямой точки О, Р, Q и R, если выполняется
QO?
равенство QR + РО + RP
13.8. Какая сторона треугольника лежит против: а) прямого угла; б) тупого
угла?
13.9. Может ли против острого угла треугольника лежать его наибольшая
можно сказать

их взаимном

=

сторона?
13.10. Можно

б) 1

ли построить треугольник со

см, 1 см, 1 см;

в) 7

сторонами:

а) 13

см, 2 см, 8 см;

см, 5 см, 3 см?

Могут ли стороны треугольника относиться как: а) 1 : 2
8; в) 2 : 3 : 4?
13.12. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а
13.11.

б) 3

:

5

10

другая

см.

Какая

13.13. Может
равной
другая

:

4;

:

половине

из них является основанием

треугольника?

боковая сторона равнобедренного треугольника быть
основания?
ли

13.14. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 12 см,
5 см. Найдите периметр данного треугольника.

а

Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Одна из сторон
другой в два раза. Найдите длины сторон этого треугольника.
13.16. Для точек А, Б, С, D одной прямой выполняется равенство АВ +
13.15.

больше

ВС + AD. Как расположены эти точки?
13.17. Верно ли, что если для точек А, Б, С, D выполняется
CD
ВС + AD, то они принадлежат одной прямой?

+ CD

=

+

=

равенство АВ +

13.18. Существуют ли на плоскости точки А, Б, С, D, для которых
выполняется неравенство АВ + ВС + CD < AD?
*13.19. В каких пределах может меняться периметр треугольника, у
которого две стороны равны аи5?
13.20. В

равнобедренном

боковой стороны ВС
в точке

=

18

см

(рис. 79) через середину
пересекающий основание
вершиной Б. Найдите основание АС данного

проведен

D, которая соединена

треугольника,

с

перпендикуляр,

если периметр треугольника ABD равен 24 см.

А

А

D
Рис. 79

34

треугольнике ABC

Рис. 80

13.21. В равнобедренном треугольнике ABC (рис. 80) через середину боковой
14 см проведен перпендикуляр, пересекающий другую боковую
стороны ВС
=

сторону АС в точке D, которая соединена с

АВ,

если периметр треугольника

вершиной В. Найдите

ABD равен 36

основание

см.

13.22. На рисунке 81 изображены стержни, соединенные шарнирами,
которые могут свободно двигаться. Для каждой конструкции найдите наибольшее
и наименьшее расстояния, на которые можно раздвинуть концы А и В.

Рис. 81

§14.

Прямоугольные треугольники

14.1.

Назовите виды треугольников в зависимости от их углов.
14.2. Какой треугольник называется: а) остроугольным; б) прямоугольным;

в) тупоугольным?
14.3. Как называются стороны прямоугольного треугольника?
14.4. Какая сторона прямоугольного треугольника является наибольшей?
14.5. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных
треугольников.
14.6. Может ли треугольник одновременно быть прямоугольным и

равнобедренным?
14.7. Какой вид имеет треугольник, у которого один внешний угол
острый?
14.8. Определите вид треугольника, у которого: а) один угол больше суммы
двух других; б) больший угол меньше суммы двух других углов.
14.9. Может ли прямоугольный треугольник иметь тупой угол?
14.10. Может ли прямоугольный треугольник быть: а) разносторонним;
б) равносторонним?
14.11. Могут ли неравные прямоугольные треугольники иметь: а) равные
гипотенузы; б) по два равных катета?
14.12. Стороны прямоугольного треугольника равны: а) 12 см, 13 см, 5 см;
б) 6 см, 10 см, 8 см. Найдите его гипотенузу.
14.13. Может ли прямоугольный треугольник иметь катеты: а) 1 см, 2 см;

б) 10

см, 25 см;

в) 1,5

см,

1,5 см?

35
2*

причем

14.14. На рисунке 82 прямые АВ и CD перпендикулярны прямой DB,
DE
BE. Укажите способ нахождения расстояния между недоступными
=

точками

А

и

Б.

Рис. 83

Рис. 82

14.15. На рисунке 83 укажите равные треугольники. Почему они равны?
14.16. Как построить прямоугольный треугольник по двум его катетам а и Ы
14.17. Как построить

ВС

=

а и ZB

=

прямоугольный

14.18. Объясните,
основанию а и высоте

(ZC=90°)

по катету

равнобедренный треугольник по: а)
б) высоте h, опущенной на его
противолежащей основанию.

как построить

/г, проведенной

основание, и углу а при вершине,

§15. Перпендикуляр
15.1. Что

треугольник ABC

р?
к нему;

и наклонная

называется перпендикуляром,

опущенным из

данной

точки на

прямую?
15.2. Что называется: а) основанием; б) длиной перпендикуляра?
15.3. Что называется наклонной, проведенной из данной точки к данной

данную

прямой?
15.4. Что

называется: а) основанием наклонной; б) проекцией наклонной
прямую?
15.5. Как определяется расстояние от точки до прямой?
15.6. Что больше, перпендикуляр или наклонная, проведенные из одной
точки к данной прямой?
15.7. В треугольнике ABC проведена медиана ВМ (рис. 84). Докажите, что
вершины А и С одинаково удалены от прямой ВМ.
15.8. Сколько наклонных заданной длины можно провести из данной точки
на

к

данной прямой?

36

15.9. Из точки А к прямой проведены перпендикуляр АН и наклонные
и АС. Какая из двух наклонных меньше, если: а) В лежит между Я и С;
б) Н лежит между Б и С и НВ < НС?

АВ

15.10. Верно

прямой
наклонная с

ли следующее утверждение:

наклонные, то:

а)

большей проекцией больше; в)

15.11. Сформулируйте
Верны ли они?
15.12. Длина
треугольника до его

«Если

из

одной

точки провести к

б)
проекцией меньше»?

наклонные с равными проекциями равны;
наклонная с меньшей

утверждения,

обратные

утверждениям задачи 15.10.

какого отрезка является расстоянием от вершины

противоположной стороны?

15.13. В прямоугольном треугольнике катеты АС и ВС равны
соответственно 5 см и 3 см. Чему равно расстояние от вершины: а) Б до стороны

АС; б) А

до стороны ВС?
15.14.

прямой,

Могут

ли неравные наклонные, проведенные из

иметь равные

15.15. Могут

одной

точки к

одной

точки к

одной

проекции?

ли равные наклонные,

проведенные из

одной

проекции?
15.16. Чему равна проекция: а) одной стороны равностороннего
треугольника на другую его сторону; б) гипотенузы прямоугольного треугольника на
его катет; в) боковой стороны равнобедренного треугольника на его основание?
15.17. Сравните расстояние от вершины равнобедренного треугольника,
противолежащей его основанию, до произвольной точки основания и боковую
прямой,

иметь неравные

сторону данного треугольника.
15.18. На рисунке 85 изображен
стороне EF взята точка S.

Сравните

равносторонний

треугольник DEFy на

отрезки EF и DS.

Рис. 85
37

*15.19. По рисунку 86 объясните,
такую точку

С,

что сумма

каким

расстояний АС

образом

на

прямой

с нашли

+ СВ является наименьшей.

Замечание. Это так называемая классическая задача о нахождении
кратчайшего пути на плоскости. Ее решение было известно еще

э.).
*15.20. По

Архимеду (III

в.

до н.

рисунку 87 составьте

и

решите задачу

(ZO

острый).

Глава III. ОКРУЖНОСТЬ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
§16. Окружность

и круг

фигура называется: а) окружностью; б) кругом?
Что называется центром: а) окружности; б) круга?
Что называется радиусом: а) окружности; б) круга?
Сколько радиусов можно провести в: а) окружности; б) круге?
Что общего и чем отличаются окружность и круг одного радиуса?
Что называется: а) хордой; б) диаметром окружности?
Как связаны между собой диаметр и радиус одной окружности?
Сколько: а) хорд; б) диаметров можно провести в окружности?
Можно ли найти: а) наибольшую; б) наименьшую хорду окружности?

16.1. Какая

16.2.
16.3.
16.4.
16.5.
16.6.
16.7.
16.8.
16.9.

16.10. Найдите пересечение (общую часть)
одной окружности.
16.11. В каком отношении

двух (нескольких) диаметров

можно провести через:

а)

одну точку;

точки? Можно ли найти среди них окружность наименьшего

16.13. Может

хорду?
б) две
радиуса?

диаметр делит перпендикулярную ему

16.12. Сколько окружностей

ли окружность проходить через три заданные точки,

одной прямой?
16.14. Какую фигуру образуют центры окружностей

принадлежащие

точку?
16.15. Какую фигуру образуют

данного радиуса,

проходящих через данную

центры
проходящих через две данные точки?
38

окружностей

различных радиусов,

16.16. Найдите диаметр окружности,
радиуса этой же
16.17. Верно

если известно, что он на

10

см

больше

окружности.
ли утверждение:

«Равные хорды окружности одинаково

центра»?
16.18. Сформулируйте

удалены от ее

утверждение, обратное утверждению задачи 16.17.
Верно ли оно?
16.19. В окружности на равном расстоянии от центра проведены хорды АВ
и

CD. Чему равна хорда АВ, если хорда CD равна 8 см?
16.20. В окружности проведены две равные хорды, одна

от центра на

2

см.

16.21. Равны

На

ли:

из которых удалена

каком расстоянии от центра находится другая

а)

хорды на рисунке 88, а;

б)

хорда?

углы 1 и 2 на рисунке 88, б?

М

L

D

Рис. 88
16.22. Найдите

а) 15

см;

б) 0,3

дм;

наибольшую
в) 1,8 км.

16.23. Наибольшее

и

хорду окружности, радиус

наименьшее

расстояния

от

данной

которой

равен:

точки,

расположенной вне окружности, до окружности равны соответственно 50 см и 20 см.

Найдите радиус данной окружности.
16.24. Наибольшее и наименьшее расстояния

от

данной

точки,

расположенной внутри окружности, до окружности равны соответственно 20 см и 4 см.

Найдите радиус данной окружности.
16.25. На рисунке 89 изображена фигура, которая

Сформулируйте определение этой фигуры.
16.26. По рисунку 90 докажите, что ЕМ

Рис. 89

=

называется

кольцом.

FN.

Рис.90
39

16.27. Найдите внутри окружности точку, через которую
бесконечно много равных хорд.

можно провести

16.28. Какой длины должны быть две хорды окружности радиуса R, чтобы
при любом их положении они пересекались?

§17. Взаимное расположение прямой

и

окружности

17.1. Как могут быть расположены друг

относительно

друга

прямая

и

окружность?
17.2. От чего зависит взаимное расположение прямой и окружности?
17.3. Какая прямая называется: а) касательной к окружности; б)
пересекающей окружность?
17.4. В каком случае прямая и окружность: а) не имеют общих точек;
б) касаются; в) пересекаются?
17.5. Как расположены относительно друг друга прямая и окружность,
если: a) d < R; б) d
R; в) d > R, где d
расстояние от прямой до центра
R
окружности,
радиус окружности?
17.6. Каким свойством обладает касательная к окружности?
17.7. Что можно сказать об отрезках касательных к окружности,
=

одной точки?
17.8. Можно ли провести

проведенных из

касательную к окружности через ее внутреннюю

точку?
17.9. Сколько касательных к окружности можно провести через точку:
а) лежащую вне окружности; б) принадлежащую окружности?
17.10. Определите вид треугольников, изображенных на рисунке 91, если
МА
отрезок касательной, проведенной к данной окружности.

Рис. 91

17.11. Диаметр окружности равен 3 см. Как располагается
относительно этой окружности прямая, удаленная от центра окружности на:

б) 1,5

см;

в) 1

см.

17.12. Может

40

ли прямая иметь с окружностью три

общие точки?

а) 2

см;

17.13. Верно ли следующее определение: «Прямая, имеющая с окружностью
общую точку, называется касательной к окружности»?
17.14. На рисунке 92: а) МА, МБ, МС
касательные; б) АВ, МС
касательные. Докажите равенство отрезков МА и МБ.

Рис. 92

17.15. На рисунке 93 KL
MN. Докажите, что расстояния от центра
данной окружности до данных хорд равны. Сделайте соответствующий вывод. Где
расположены середины равных хорд одной окружности?
=

L

17.16. На рисунке 94 ОН ± ST. Как точка Н делит хорду ST?
17.17. Сколько можно провести окружностей: а) касающихся данной

прямой в данной на ней точке; в) данного радиуса,
данной
касающихся
прямой; г) данного радиуса, касающихся данной прямой
в данной на ней точке?
прямой;

б)

касающихся данной

17.18. Через точку М окружности проведена

к

ней касательная, АБ

диаметр этой окружности. Равны ли хорды AM и ВМ?
41

17.19. На рисунке 95 SH

и SQ
отрезки касательных, сумма которых
касательная к
36
см.
Найдите
периметр
треугольника STU, где TU
равна

данной окружности.

В

Рис. 96

Рис. 95

*17.20. В круге проведена хорда АВ. Используя рисунок 96,

докажите, что

любая внутренняя точка X отрезка АВ принадлежит данному кругу.

§18. Взаимное расположение
18.1. Как

двух

окружностей

могут быть расположены друг относительно друга две

окружности?
18.2. Сколько общих точек могут иметь две различные

окружности?
18.3. От чего зависит взаимное расположение двух окружностей
относительно друг друга?
18.4. Какие две окружности называются: а) касающимися; б)
пересекающимися?
18.5. Какие окружности называются концентрическими?
18.6. В каком случае две окружности: а) не имеют общих точек; б) касаются
внешним образом; в) касаются внутренним образом; г) пересекаются?
18.7. Как называются общие касательные к двум окружностям,
изображенные на рисунке

97?

М

Рис. 97
42

(JO © (JO
©
а)

б)

r)

в)

Д)

e)

Рис. 98
18.8. Как расположены относительно друг друга окружности,
на рисунке

изображенные

98.

18.9. Чему равно расстояние между центрами двух окружностей, радиусы
которых равны 2 см и 7 см, если окружности: а) касаются внешне; б) касаются

в) концентрические?
18.10. Даны окружность радиуса 4 см и точка, расположенная на
расстоянии: а) 6 см; б) 2 см от центра окружности. Найдите радиус окружности,
касающейся данной окружности и имеющей центр в данной точке.
внутренне;

36

18.11. Найдите расстояние между центрами двух окружностей диаметрами
24 см, если они касаются: а) внешним; б) внутренним образом.

см и

18.12. Расстояние между центрами двух окружностей равно 12 см. Как
расположены они относительно друг друга, если их радиусы равны: а) 15 см
и

3 см; б) 8 см и 6 см; в) 9 см и 2 см; г) 7,5 см и 4,5 см; д) 18 см
18.13. По рисунку 99 докажите, что если прямая пересекает

концентрические окружности,

то отрезки

секущей,

и

4 см?

две

лежащие между этими

окружностями, равны.

Рис. 99

Рис. 100

18.14. По рисунку 100 докажите, что в точке О отрезки АВ и CD
касательных к окружностям равных радиусов делятся пополам.
43

18.15. Радиусы двух окружностей, имеющих общий центр, относятся
2:7. Найдите диаметры этих окружностей, если ширина кольца,
образованного ими, равна 20 см.

как

18.16. Две окружности касаются внешним образом. Радиусы окружностей
1:5. Найдите диаметры окружностей, если расстояние между
центрами равно 12 см.
18.17. Две окружности касаются внутренним образом. Найдите радиусы

относятся как
их

этих

окружностей,

равно

если они относятся как 4 :

18.18. Можно

ли провести из

одной

касательных? Почему?
18.19. Окружности пересекаются
и

3,

а расстояние между центрами

12 см.

в

точки к окружности

точках

М

и

более двух

N. Равны

ли

углы

ОМОг

ONOJ
18.20. Найдите наибольшее

число точек попарных пересечений: а) двух;
в) четырех; *г) п окружностей.
18.21. Три окружности имеют общую хорду. Где расположены их центры?
18.22. Верно ли следующее утверждение: «Две окружности, касающиеся
третьей окружности, касаются между собой»?
18.23. На какое наибольшее число областей разбивают плоскость: а) две;
б) три; *в) четыре окружности?

б)

трех;

§19. Геометрические

места точек

фигура называется геометрическим местом точек (ГМТ)?
19.2. Что означают слова «фигура состоит из всех точек, удовлетворяющих
заданному свойству»?
19.3. С помощью понятия геометрического места точек дайте определение:
19.1. Какая

а) окружности; б) биссектрисы угла; в) серединного перпендикуляра
19.4. Может
несколько

19.5.

ли

геометрическим

линий; в) целая область?
Верно ли утверждение о том,

местом

точек

к отрезку.

быть: а) одна точка; б)

что круг является геометрическим местом

равный

точек, удаленных от центра на отрезок,

его

радиусу?

19.6. Сколько

существует точек, одинаково удаленных от двух данных точек?
19.7. Сколько существует точек, удаленных от двух данных точек на 10 см?
19.8. Что является геометрическим местом центров
касающихся данной

19.9. Что

прямой

является

в

окружностей,

данной точке?

геометрическим

местом

центров

окружностей,

касающихся двух данных пересекающихся прямых?
19.10. Что представляет собой множество прямых, удаленных от данной
точки А на данное расстояние а?

19.11.

Дана

окружность с центром

в точке

представляет множество ее хорд, которые
19.12. Найдите геометрическое место

О

и

диаметром

АВ. Что собой

данным диаметром делятся

пополам?

точек, одинаково удаленных от двух

пересекающихся прямых.

19.13. Найдите геометрическое
окружности на равное расстояние.

44

место точек, удаленных от всех точек

19.14. Найдите геометрическое

место центров окружностей, проходящих
точки.
две
данные
через
19.15. По какой линии движется центр окружности, катящейся по другой
окружности вне ее?

19.16. Найдите геометрическое место центров окружностей, расположенных
внутри треугольника и касающихся не менее двух его сторон.
19.17. Будет ли высота равнобедренного треугольника, проведенная к его
основанию, геометрическим местом точек, одинаково удаленных от концов
основания?
19.18.

Будет

его середине,

ли луч,

перпендикулярный

к

отрезку и

имеющий

начало в

геометрическим местом точек, одинаково удаленных от концов

отрезка?
19.19. Даны

три точки, не принадлежащие одной

прямой (рис. 101).

следует провести через точку А прямую
так, чтобы точки В и С отстояли от нее на одинаковое расстояние.
Покажите на рисунке,

каким

образом

В

Ат
С
Рис. 101

19.20. Найдите геометрическое место центров окружностей радиусом R,
которые делят пополам данную окружность радиусом г (г < R).
19.21. Найдите геометрическое место точек таких, что отрезки касательных,

проведенных из них к данной окружности, равны между собой.
19.22. Концы отрезка движутся по сторонам прямого угла. Найдите
геометрическое место середин получающихся отрезков.
19.23. Найдите геометрическое место точек, удаленных от точки А на
расстояние i?, а от точки В
на расстояние г.
19.24. Сколько существует точек, отстоящих от данной точки А на
расстояние т и от

данной прямой

а на расстояние

19.25. Найдите геометрическое

проходящих через данные точки А и

§ 20. Задачи
20.1.

п!

место точек пересечения пар равных хорд,

В, расположенные

на окружности.

на построение

Приведите

примеры чертежных инструментов, которые используются

для построения геометрических фигур.
20.2. Назовите основные чертежные инструменты, с помощью которых
производятся геометрические построения.
20.3. Какие построения производятся с помощью:

20.4. Что

а) линейки; б) циркуля?

означает решить задачу на построение с

помощью

циркуля

и

линейки?
45

о
>
л
к.

ч

У

S

/
4

\

/
'

\

а

\

\/7

-1
Н

/
/
/

/

\/

^,'В

1

Рис. 103

20.5. По рисунку 102

объясните,

как построен

серединный

к отрезку АВ.
20.6. По рисунку 103 объясните, как из данной точки О, не

прямой АВ,

на нее опущен перпендикуляр

20.7. По рисунку 104 объясните,

перпендикуляр

принадлежащей

ОН.

как построена

биссектриса ОС

угла АОВ.

/
Рис. 104

Рис. 105

20.8. По рисунку 105 объясните,

как построен

углу АОВ.
20.9. Как найти середину данного

20.10. Как
20.11. Как

уголАДБ^ равный данному

отрезка?
прямые?

построить перпендикулярные
на

данной прямой найти центр окружности, проходящей через
Всегда ли задача имеет решение? Может ли она иметь

две заданные точки?

бесконечно

много

20.12. Какие
20.13. Как

решений?

вы знаете этапы

решения задач на

в треугольнике построить:

а)

построение? Что они означают?
б) биссектрису; в) высоту?

медиану;

20.14. Как

построить угол в 90°?
20.15. Как построить угол в 45°?

20.16. Как построить равносторонний треугольник

20.17. Как построить треугольник по трем
20.18. Как построить касательную к данной
данную на ней точку?

46

данным

стороной а?
сторонам?

со

окружности, проходящую через

20.19. По рисунку 106 объясните,

окружности, проходящие через точку

как

построены

касательные

к

данной

вне ее.

Рис. 106

20.20. Как построить окружность, касающуюся сторон данного угла?
Сколько

решений

имеет

задача?

Глава IV. КРИВЫЕ И ГРАФЫ*
§ 21*. Парабола
21.1. Какое ГМТ

21.2. Как
изображенные

параболой?
параболе называются

называется

по отношению к

на рисунке

прямая

d

и точка

F,

107?

21.3. Что

называется: а) осью; б) вершиной параболы?
21.4. По рисунку 108 объясните, как рисуется парабола.
21.5. Какая прямая называется касательной к параболе?

47

21.6. На рисунке 109 изображена парабола, ее фокус F и директриса <2,
точка касания. Как доказать, что а содержит
касательная, А
биссектрису угла FAD?
а

чем заключается фокальное свойство параболы?
21.8. По рисунку 110 объясните, как построили касательную к параболе
(с фокусом F и директрисой d), проходящую через точку С.
21.9. Как найти фокус и директрису данной параболы?
21.10. Объясните по рисунку 111, как получили параболу с помощью листа

21.7. В

бумаги.

§ 22*. Эллипс
22.1. Какое ГМТ называется эллипсом (рис. 112)?
22.2. Точка А принадлежит эллипсу с фокусами Fv F2
(рис. 112). Каким отношением связаны отрезки с и FXF21
48

и

AFX

+

AF2

=

с

22.3. Как переводится

с латинского языка слово «фокус»?
22.4. Какая точка орбиты планеты называется: а) перигелий; б) афелий?
22.5. По рисунку 113 объясните, как нарисован эллипс.
22.6. Какая прямая называется касательной к эллипсу?
22.7. На рисунке 114 изображен эллипс с фокусами Fx и F2, а
касательная к нему, проведенная через его точку
биссектрису угла, смежного с углом

А. Как доказать,

что а содержит

FXAF2?

чем заключается фокальное свойство эллипса?
22.9. По рисунку 115 объясните, как построили касательную к эллипсу
фокусами Fv F2 и проходящую через данную точку С.
22.10. Объясните по рисунку 116, как получили эллипс из листа бумаги.

22.8. В

с

49

§ 23*. Гипербола
23.1. Какое ГМТ называется гиперболой (рис. 117)?
23.2. Точка А принадлежит гиперболе с фокусами Fv F2
(рис. 117). Каким отношением связаны отрезки с и FXF21

23.3. Каждая

и

AF1~AF2

=

с

гиперболы разбивает плоскость на две области
(рис. 117). Рассмотрим ветвь, для которой выполняется
равенство AF2
AFX с. Какое отношение выполняется для точки: а) К
внешней; б) L внутренней области плоскости?
23.4. Что будет происходить с гиперболой, если фокусы: а) удаляются друг
от друга; б) приближаются друг к другу?
внешнюю и

ветвь

внутреннюю
-

=

23.6. Какая прямая называется касательной к гиперболе?
23.7. На рисунке 119 изображена гипербола с фокусами Fx
касательная к

ней, проведенная через

биссектрису

угла

23.8. В

50

ее точку

А. Как доказать,

FlAF2?

чем заключается

фокальное свойство гиперболы?

и

F2,

а

что а содержит

Рис. 120

23.9. По рисунку 120
с

объясните,

как построили касательную к

Fv F2 проходящую через данную точку С.
23.10. Объясните, как можно получить гиперболу из

фокусами

гиперболе

и

листа

бумаги?

§ 24*. Графы
24.1. Какая фигура называется плоским графом,
24.2. Назовите основные элементы графа.

или

графом?

24.3. Какой фигурой

может быть ребро графа?
24.4. Приведите примеры графов.
24.5. В чем заключается задача Леонарда Эйлера

о кенигсбергских мостах?
24.6. Какой граф называется уникурсальным?
24.7. Что такое индекс вершины графа?
24.8. Сколько может иметь вершин нечетного индекса уникурсальный граф?
24.9. Может ли граф иметь только одну вершину нечетного индекса?
24.10. Укажите на рисунке 121 уникурсальные графы.

А
а)

51

Д)

г)

Рис. 121 (окончание)

24.11. Какой граф называется: а) связным; б) деревом; в) лесом?
24.12. Укажите на рисунке 122 графы, которые являются: 1) связными;
2) деревьями; 3) лесом.

б)

г)

д)
Рис. 122 (начало)

52

в)

Рис. 122 (окончание)

24.13. В графе-дереве любые две вершины можно соединить только одной
ломаной. Почему?
24.14. Пусть граф-дерево имеет В вершин и Р ребер. Найдите В-Р.

24.15. Пусть граф-лес

состоит из т деревьев и имеет В вершин и Р

ребер.

Найдите В-Р.
§ 25*. Теорема Эйлера
25.1. Когда жил Леонард Эйлер?
25.2. В каком году Л. Эйлер доказал

знаменитую теорему, которая носит
имя?
25.3. Как формулируется теорема Эйлера для многоугольников?
25.4. По рисунку 123 воспроизведите доказательство теоремы Эйлера для
многоугольников.

его

Рис. 123

25.5. Почему

многоугольников?
25.6. В
колодцах?

чем

соотношение

заключается

Эйлера

задача

не

зависит

Л. Эйлера

о

от

трех

формы
домиках

и

трех

25.7. По рисунку 124

восстановите решение задачи

JI. Эйлера

о трех

домиках и трех колодцах.

25.8. Три соседа

имеют:

а)

два

общих

колодца;

б)

четыре

общих

колодца.

Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому

колодцу?
25.9. Два

соседа имеют: а) три общих колодца; б) четыре общих колодца.
Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому

колодцу?
25.10. Чему
в

Р + Г для четырехугольника,
Эйлера В
(рис. 125) в виде четырехугольника?

равно соотношение

котором вырезали дыру

-

§ 26*. Проблема четырех красок
26.1.
26.2.
26.3.
26.4.
26.5.

Какие две страны на карте считаются пограничными?
В чем заключается проблема четырех красок?
Когда была сформулирована проблема четырех красок?
В какой стране возникла проблема четырех красок?
Как сформулировал проблему четырех красок английский

А. Кэлли?

54

математик

26.6. Какую теорему
П.

о красках доказал в

1890 году английский

математик

Хивуд?
26.7. Решена ли в настоящее время проблема четырех красок?
26.8. Сформулируйте теорему о двух красках.
26.9. По рисунку 126 восстановите доказательство теоремы о двух красках.

26.10. Какое минимальное число красок

изображенных

в)

б)
Рис. 126

а)

на рисунке

потребуется

для раскраски карт,

127?

Рис. 127
26.11. Какое

образованной: а)

минимальное число красок

тремя;

б)

потребуется для раскраски
г) п концентрическими

карты,

четырьмя; в) пятью;

окружностями?
55

26.12. Какое

минимальное число красок

потребуется

для раскраски карты,

двумя концентрическими окружностями, имеющими п
перегородок, если число п: а) четное; б) нечетное?

образованной

26.13. Какое минимальное
изображенных на рисунке 128?

число цветов

потребуется

для окраски карт,

а)

Рис. 128

26.14. Какое

минимальное число красок нужно взять для раскраски карты,

образованной окружностями?
26.15. Какое минимальное число красок нужно взять для раскраски
поверхности: а) пирамиды; б) призмы, чтобы соседние грани имели разный цвет,
если в ее основании лежит тг-угольник, причем п

26.16. Какое
поверхности:

а)

число

четное?

минимальное число красок нужно взять для раскраски

пирамиды;

б)

призмы, чтобы соседние грани имели

если в ее основании лежит n-угольник, причем п

число

разный

нечетное?

Глава V. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
§ 27. Параллельные прямые
27.1. Какие две прямые

27.2. Какая
56

на плоскости называются

параллельными?
прямых?

прямая называется секущей двух данных

цвет,

27.3. На рисунке 129
лежащие;

в)

назовите:

а)

соответственные;

внутренние односторонние;

г)

б)

внутренние накрест

внешние накрест лежащие;

д)

внеш-

Рис. 129

27.4. Сформулируйте признаки параллельности двух прямых

на

плоскости.

27.5. Сколько прямых, параллельных данной прямой,
точку, не принадлежащую этой прямой?

можно провести через

27.6. Назовите свойства двух параллельных прямых.
27.7. Как могут располагаться на плоскости две прямые

относительно друг

друга?
27.8. Какие окружающие предметы дают представление о параллельных
прямых?
27.9. Могут ли быть параллельными: а) три; б) четыре: в) десять; г) п
прямых?
27.10. Какие два отрезка называются параллельными?
27.11. Сумма внутренних накрест лежащих углов при пересечении двух
параллельных прямых третьей равна 70°. Чему равен каждый из углов?
27.12. Чему равны углы, образованные при пересечении двух
параллельных прямых третьей, если один из углов: а) равен 130°; б) на 40° больше
другого?
27.13. Разность двух внутренних односторонних углов, образованных
и секущей, равна 30°. Найдите эти углы.
27.14. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных
прямых третьей, втрое больше одного из остальных. Найдите все углы.
27.15. При пересечении двух прямых третьей образуется 8 углов. Сколько

параллельными прямыми

из них может оказаться

27.16. Могут

тупых?

оба внутренних односторонних угла при пересечении двух
прямых третьей быть тупыми?
27.17. Могут ли быть равны внутренние односторонние углы при
ли

третьей?
27.18. Могут ли быть равны
двух прямых третьей?
пересечении двух прямых

внешние односторонние углы при пересечении

57

27.19. На рисунке 130 угол 1 равен 125°,
b параллельными?

а угол

3 равен 126°. Будут

ли

прямые a vl

27.20. На рисунке 130 угол 1 равен 125°, а
а и Ъ параллельными? Если нет, то как

прямые

чтобы прямые

оказались

27.21. Прямые
параллельными,

б)

о

и

а)

все

ли

углы,

третьей, быть равными между
27.23. Для доказательства

с.

Будут

ли

прямые

а

и

Ъ

внешние накрест лежащие углы равны

внешние односторонние углы равны
ли

2 равен 65°. Будут

надо изменить условие задачи,

параллельными?

5 пересечены прямой

если при этом:

27.22. Могут

угол

135°

и

образованные

при пересечении двух прямых

собой?

существования параллельных прямых
проводятся два перпендикуляра к одной и той же прямой. Можно ли доказать
утверждение,

проведя две наклонные к

27.24. Какие прямые

на рисунке

это

этой прямой?

131 параллельны?

27.25. Будут ли параллельны прямые АВ и CD на рисунке 132?
27.26. Какие прямые на рисунке 133 параллельны, если равны
4, 2 и 3?

и

70°;

45°. Ответ обоснуйте.

углы

1

27.27. Сумма трех внутренних углов, образовавшихся при пересечении
двух параллельных прямых третьей прямой, равна 280°. Найдите каждый из
всех восьми углов.

58

27.28. При

каком

положении

параллельными прямыми,

27.29. Докажите,

секущей

ее

отрезок,

имеет наименьшую

что на рисунке

заключенный между

длину?

134 прямые АВ

и

CD параллельны.

*27.30. Могут

ли пересечься биссектрисы внутренних накрест лежащих
образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей?
*27.31. Могут ли пересечься биссектрисы соответственных углов,
образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей?
27.32. Чему равно расстояние между двумя параллельными касательными

углов,

к окружности радиусом 3 см?
27.33. Хорда удалена от центра окружности на 2 см. Найдите расстояние
от данной хорды до хорды, равной и параллельной ей.

27.34. Равны

ли дуги, заключенные между параллельными хордами

окружности?
27.35. Верно

ли

утверждение

о

том,

что

хорды,

окружности в точках, делящих эти хорды пополам,

27.36. Как
27.37. Как

пересекающие

диаметр

параллельны?

практически проверить, параллельны ли две данные
проверить, что края линейки параллельны?

прямые?

59

27.38. Два отрезка АВ

(рис. 135). Докажите,

и

что

CD пересекаются в точке О и делятся в ней пополам
BD. Будут ли эти прямые параллельны?

АС

=

С

27.39. На рисунке 136 ВС

27.40. На рисунке 137 ОС
27.41. Треугольник АБС
Докажите,

|| AD

и

ли

три

что равны треуголь-

АБ

и

||

=

|| АС.

=

что треугольник MBN

27.42. Могут

OD. Докажите,

=

CD. Докажите, что AD
ВС.
ВС (рис. 138), MN
равнобедренный, АБ

=

OD

АО

равнобедренный.

параллельные

друг другу

хорды

окружности

быть

равными друг другу?
27.43. Как расположены центры окружностей данного радиуса, касающихся
данной прямой?
27.44. Назовите геометрическое место точек, расположенных по данную

данной прямой.
27.45. Назовите геометрическое место точек,

сторону на данном расстоянии от

расположенных

на равном

расстоянии от двух данных параллельных прямых.

27.46. Найдите геометрическое

прямой

27.47. Верно

прямой

и

27.48. Что
треугольников с

точек,

5

расположенных

от нее на расстоянии

прямой

на

от

данной

см.

ли утверждение о том, что отрезок,

находящийся

точек, удаленных от

60

место

на расстоянии, не превосходящем

параллельный данной

3 см, будет геометрическим

местом

3 см?

является геометрическим местом вершин

общим основанием?

равнобедренных

*27.49. Сколько существует точек, одинаково удаленных
две из которых параллельны, а третья их

*27.50. По какой
сторона

линии движется вершина

АС неподвижна,

от трех прямых,

пересекает?

высота ВН остается

В треугольника АБС,

равной 4

если его

см, а угол ВАС

изменяется от 45° до 180°?
*27.51.

2

см от

Найдите геометрическое

прямой

и не

место

принадлежащей ей

27.52. Найдите геометрическое

точек,

удаленных

на расстояние

точки.

место

середин

параллельных

отрезков

с концами на сторонах некоторого угла.

27.53. Какую линию описывает центр круга, катящегося по прямой
линии?
*27.54. Вершины треугольников, имеющих общую сторону, расположены
на некоторой прямой. Найдите геометрическое место центроидов (точек
пересечения медиан) этих треугольников.

§ 28. Сумма углов многоугольника
Сумма углов треугольника
28.1. Чему равна сумма
28.2. Чему равна сумма
28.3. В равнобедренном

углов

треугольника?

острых углов прямоугольного

треугольника?

треугольнике два угла равны 100°

и

40°. Найдите

третий угол данного треугольника.
28.4. Может ли треугольник иметь

следующие углы: а) 103°, 50°, 37°;
б) 65°, 35°, 90°; в) 38°, 48°, 96°; г) 43°, 84°, 53°?
28.5. Могут ли любые три угла, сумма которых равна 180°, быть углами

треугольника?
28.6. В треугольнике два угла равны: а) 56° и 22°; б) 62° и 28°; в) 89°
и 21°. Определите вид треугольника в зависимости от его углов.
28.7. Могут ли углы треугольника относиться как числа 1:2:3?
28.8. Найдите углы треугольника, которые относятся как числа 3:7:8.
28.9. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен
100°?
28.10. Могут ли две стороны треугольника быть перпендикулярными
к

третьей его стороне?
28.11. Найдите углы: а)

равностороннего;

б) равнобедренного

прямоугольного треугольника.

28.12. Какие углы образуются при пересечении двух биссектрис
равностороннего треугольника?
28.13. Какие углы образуются при пересечении двух медиан

треугольника?
28.14. Какой вид имеет треугольник, если один из его углов: а) равен сумме
двух других углов; б) больше суммы двух других углов?
28.15. К боковой стороне равнобедренного треугольника проведена высота.
Определите угол между нею и второй боковой стороной, если угол при
равностороннего

основании данного треугольника равен

50°.
61

28.16. Можно

ли какой-нибудь треугольник разрезать на два: а)
б) остроугольных; в) тупоугольных треугольника?
28.17. Высота треугольника делит угол, из вершины которого она опущена,

прямоугольных;

на два угла, равных 30° и 40°. Найдите все углы треугольника.
28.18. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой,
проведенными из вершины прямого угла, равен 30°.
данного треугольника.
28.19. На рисунке 139 Zl

28.20. Из внутренней

луча,

=

Z2. Будут

точки угла,

ли равны углы

равного

3

и

острые углы

4?

50° (рис. 140), проведены два

соответственно параллельные его сторонам,

перпендикулярные его сторонам.

Определите

и два луча, соответственно

Найдите углы 1, 2

и

3.

28.21. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. Найдите углы,
образованные биссектрисами этого и прямого углов треугольника.
28.22. Найдите углы между биссектрисами острых углов прямоугольного
треугольника.
28.23. Найдите углы между биссектрисами двух углов треугольника,

если

угол равен 40°.
28.24. Найдите углы между биссектрисами острых углов тупоугольного
треугольника, если его тупой угол равен 130°.

третий

*28.25.

Почему биссектрисы

двух углов треугольника не могут быть

параллельными?
28.26. В равностороннем треугольнике ABC проведена высота ВН. Найдите углы
треугольника АВН. Как связаны его гипотенуза АВ и катет АН? Сделайте вывод.
28.27. Основание равнобедренного треугольника больше высоты, опущенной

2 раза. Найдите углы этого треугольника.
28.28. Какой вид имеет треугольник, если сумма любых
90°?

на него, в

больше

его углов

28.29. Существует

ли треугольник: а) сумма любых двух углов которого
из
б) один
углов которого равен разности двух других его углов?
28.30. Какой вид имеет треугольник, если любой его угол меньше суммы

меньше 120°;

других?
28.31. Два

двух

угла треугольника равны 60° и 70°. Какие углы
собой высоты, выходящие из вершин этих углов?

62

образуют

между

28.32. Из данной
радиусу окружности.

28.33. Из данной

точки окружности

точки на окружности

которых равна радиусу окружности.

28.34. Из

проведены диаметр и

Найдите угол между диаметром

образуют угол

хорда,

проведены две хорды,

а) 60°; б) 120°. Определите

равная

хордой.

Найдите угол между

точки вне окружности проведены к
в:

и

каждая из

ними.

ней две касательные, которые

вид треугольника, вершинами

которого являются точки касания и данная точка.

Внешние углы треугольника
28.35.

Сформулируйте свойство

28.36. Один

углов треугольника, несмежных с
28.37. Один из внешних углов

Определите

внешнего угла треугольника.

из внешних углов треугольника равен

97°. Найдите сумму двух

данным углом.
треугольника равен:

а) 30°; б) 90°; в) 100°.

вид треугольника.

28.38. У какого треугольника внешний угол
при этом другие его внешние

прямой? Какими

являются

углы?

28.39. Какой вид имеет треугольник, если у него один внешний угол острый?
28.40. Могут ли все внешние углы треугольника быть острыми? Почему?
28.41. На рисунке 141 углы 1, 2
Найдите

и

3

внешние углы треугольника

ABC.

их сумму.

28.42. Внешний угол равнобедренного треугольника равен 110°. Найдите
внутренние углы данного треугольника. (Предложите два решения.)
28.43. Один из внешних углов треугольника равен 90°. Определите углы
треугольника,
как 2 : 3.

если углы,

несмежные с

данным

28.44. Найдите угол между биссектрисами

внешним

углом,

относятся

внешнего и внутреннего углов

треугольника, имеющих одну вершину.

28.45. Известно, что в треугольнике два внешних угла при
Что можно сказать о данном треугольнике?

различных

вершинах равны.

а) больше
углу?
28.47. Могут ли быть равными все три внешних угла треугольника?
28.48. Могут ли в треугольнике быть острыми: а) два внешних угла; б) один
внешний угол; в) ни одного внешнего угла?

28.46. Какой

вид имеет треугольник, если один из его углов:

смежного с ним внешнего угла;

б)

равен своему смежному внешнему

63

28.49. Как

связаны между

собой угол при

треугольника и внешний угол при его вершине,

основании равнобедренного
противолежащей основанию?

28.50. Может ли внешний угол при основании равнобедренного
треугольника быть: а) прямым; б) острым; в) тупым?
28.51. Если один из внешних углов треугольника является острым,
какими должны

быть другие

внешние углы данного

то

треугольника? Почему?

28.52. В треугольнике MNK угол N равен 45°, внешний угол при вершине
М равен 87°. Определите все углы данного треугольника.
28.53. В треугольнике ABC внешний угол при вершине С равен 100°.
что угол А в 4 раза больше угла Б. Определите углы данного

Известно,

треугольника и его вид.

28.54. Внешний угол прямоугольного треугольника равен 125°. Найдите
острые углы данного треугольника. Укажите два способа решения.
28.55. В равнобедренном треугольнике сумма внутренних углов вместе с
одним внешним составляет 310°. Определите углы треугольника. Укажите
два решения.
28.56. В треугольнике АБС АБ
вершине А равен

=

AD (рис. 142), внешний угол при
что BD
DC.

140°, угол С равен 35°. Докажите,

=

С

28.57. На рисунке 143 AD || ВС, ZABC
100° и ZADC=50°.
120°, ZACD
АБ
что
ВС.
Докажите,
28.58. В треугольнике АБС проведена биссектриса CL (рис. 144). Докажите,
что угол 2 равен полусумме угла А и внешнего угла Б.
=

=

Рис. 144
64

=

Сумма углов выпуклого /7-угольника
28.59. Чему

равна сумма углов выпуклого

я-угольника?

Замечание. Поскольку здесь будем рассматривать только выпуклые многоугольники,
опустим слово «выпуклые».
28.60. Три угла четырехугольника равны: а) 50°, 100°, 120°; б) 35°, 75°,
140°; в) 90°, 163°, 77°. Найдите его четвертый угол.
28.61. Внутри угла, равного 57°, взята точка, из которой опущены на его

стороны перпендикуляры. Найдите углы получившегося четырехугольника.
28.62. Найдите сумму внешних углов четырехугольника.
28.63. Найдите углы правильного: а) четырехугольника; б) пятиугольника;

в)

шестиугольника.
28.64. Найдите внешний угол правильного десятиугольника.
28.65. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его угол
равен 135°.
28.66. Как изменится сумма углов я-угольника, если число его сторон

а) 1; б) 2; в) 3; *г) ml
28.67. Как изменится сумма углов

увеличится на:

многоугольника, если число его сторон

2 раза?
28.68. Найдите углы четырехугольника, если они относятся как 3 : 4 : 5 : 6.
28.69. Сумма углов я-угольника равна: а) 360°; б) 900°; в) 1260°. Найдите п.
28.70. Чему равна сумма внешних углов ^-угольника?

увеличится в

28.71. Сколько внешних прямых углов может иметь многоугольник?
28.72. В каком многоугольнике сумма внешних углов равна сумме
внутренних углов?
28.73. Существуют ли я-угольники, у которых сумма внутренних углов
относится к сумме внешних углов как

28.74. Найдите

число сторон

в

2:1?

многоугольнике,

если

сумма его

2 раза: а) меньше; б) больше суммы его внешних углов.
28.75. В я-угольнике все внешние углы тупые. Найдите

28.76. Сколько сторон

острыми? Какое наибольшее

28.78. Сумма внутренних
11 d (d
90°). Найдите
=

(п

>

4),

все углы которого

число острых углов может

углов /г-угольника

и

быть

одного

в

п.

имеет многоугольник, если сумма его углов в

больше суммы углов треугольника?
28.77. Почему не существует я-угольник

равна

углов

в

его

k раз

были бы

я-угольнике?
внешнего

угла

п.

28.79. В шестиугольнике три прямых угла. Сколько среди

а) острых; б) прямых; в) тупых углов?
28.80. В четырехугольнике ABCD Z.A
ZC
относительно друг друга биссектрисы углов В

остальных его

углов:

=

=

90°. Как могут располагаться

и D?

28.81. Можно ли по аналогии с остроугольным треугольником ввести
а) четырехугольника; б) д-угольника (п > 4)?

понятие остроугольного:

Углы

с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

28.82. Можно ли два угла с соответственно параллельными сторонами
привести в такое положение, чтобы они стали смежными?

65
3~Смирнова, 7-9

кл.

28.83. Могут ли два угла с соответственно перпендикулярными сторонами
быть одновременно равными и в сумме составлять 180°?
28.84. На рисунке 145 АВ || CD, EF || GH. Назовите пары углов с
соответственно параллельными сторонами.

28.85. На рисунке 145 АВ

28.86. Точка М
углов с

вершиной

сторонам данного

||

CD, EF

||

GH, Z4

=

120°. Найдите углы 10

не принадлежит сторонам угла.
в точке

М

и со

Сколько

и

15.

можно построить

сторонами, соответственно параллельными

угла?

28.87. Даны

два угла с соответственно параллельными сторонами.
Найдите эти углы, если один из них: а) больше другого на 40°; б) меньше другого

в

5 раз?
28.88. Два угла с соответственно параллельными сторонами относятся как
4:5. Найдите данные углы.
28.89. Стороны угла ABC (рис. 146) соответственно параллельны сторонам
KLM. Найдите углы KLM, MLN, BON, если ZABC
70°.
28.90. Как найти угол между двумя непараллельными прямыми,
=

угла

пересечения которых находится вне

66

чертежа?

точка

С

F

А

Е

\

В
О
Рис. 147

28.91. Как найти углы треугольника, если на рисунке даны лишь
направления сторон, а вершины треугольника находятся вне чертежа?
28.92. Две прямые образуют углы, один из которых равен 80°. Через точку,

взятую внутри большого угла, проведены прямые, параллельные данным
прямым. Определите меньший из углов, образованных проведенными прямыми.
28.93. Из точки, взятой внутри угла, равного 60°, проведены прямые,
параллельные сторонам данного угла. Найдите углы получившегося
четырехугольника.
28.94. Через точку, взятую внутри угла в 45°, проведены две прямые:
а) параллельные; б) перпендикулярные сторонам этого угла. Найдите все углы,

образованные

этими прямыми.

28.95. На рисунке 147 ZAOB
40°, EF _1_ ОВ, CD 1 ОА. Найдите углы
CEF и DEF.
28.96. Стороны тупого и острого углов взаимно перпендикулярны. Найдите
=

эти углы, если их разность равна 50°.
28.97. Найдите два угла с соответственно перпендикулярными сторонами,
если: а) один из них больше другого на 20°; б) они относятся как 2:7.

28.98. Найдите углы 1, 2 и 3 по
28.99. На рисунке 149 ZAOB

=

рисунку

148.

40°, ОС _L ОА, OD _L ОБ. Найдите углы

COD, АОЛ

А

В

'

С
D
Рис. 148

Рис. 149
67

3*

28.100. Две прямые образуют углы, один
взятую внутри

из которых равен

85°. Через точку,

меньшего угла, проведены прямые, перпендикулярные данным

Найдите меньший из углов, образованных проведенными прямыми.
Как изменится ответ, если точку взять внутри большего угла?
28.101. В прямоугольном треугольнике АБС из вершины прямого угла С
на гипотенузу АВ опущена высота СН. Назовите углы с соответственно
прямым.

перпендикулярными сторонами.
28.102. Из основания высоты ВН треугольника ABC (рис. 150) опущены
перпендикуляры HD и НЕ на стороны соответственно АВ и ВС. Найдите
равные углы.

В

в

Рис. 150

Рис. 151

28.103. В треугольнике ABC (рис. 151) проведены высоты AD и СЕ, которые
в точке Н. Найдите углы, равные углу В данного треугольника.
Найдите сумму углов В и АНС.

пересекаются

28.104. Известны углы прямоугольного треугольника. Можно
определить углы,

которые

образуют

на гипотенузу?
28.105. Найдите зависимость

ли

катеты данного треугольника с

по

ним

высотой,

опущенной
и

ОБ

§

29. Параллелограмм

между углами

АОВ

и

A1OlBv

если

ОА

|| ОхАх

|| OxBv

Общие свойства четырехугольников
29.1. Какой многоугольник

называется:

четырехугольником?
29.2. Если четырехугольник
остальных его углов?
29.3. Могут ли все четыре

ли

угла

четырехугольника

любые четыре угла,

360°, быть углами четырехугольника?
68

четырехугольником;

б)

выпуклым

имеет два прямых угла, то чему равна сумма

б) острыми; в) тупыми?
29.4. Найдите углы четырехугольника,
пропорциональны числам 1, 2, 3 и 4.
29.5. Могут

а)

быть: а) прямыми;

если известно, что они

меньшие

180°

и в сумме составляющие

29.6. Может

ли один из углов четырехугольника

быть больше суммы трех

углов?
29.7. Могут ли три угла четырехугольника быть тупыми?
29.8. Могут ли два угла четырехугольника быть тупыми, а два других
прямыми?
29.9. В четырехугольнике ABCD угол А равен 100°, а три других угла равны.
остальных его

Найдите углы данного четырехугольника.
29.10. Внутри угла, равного 50°, взята точка, из

которой

на стороны угла

Найдите углы образовавшегося четырехугольника.
29.11. Решите задачу 29.10 для угла в 90°.
29.12. Найдите внешние углы четырехугольника, если три его угла равны
соответственно 38°, 158° и 44°.
опущены перпендикуляры.

как

29.13. Найдите углы четырехугольника,
2 : 4 : 5 : 7.

29.14. Стороны четырехугольника
соединение. Имеет ли эта

если его внешние углы относятся

имеют в вершинах шарнирное

фигура жесткость? Что

надо сделать, чтобы четырехугольник

стал жестким?
29.15. В четырехугольнике ABCD угол А в 2 раза меньше угла Б, угол Б
в 2 раза меньше угла С, а угол С в два раза меньше угла D. Найдите углы

данного четырехугольника.
29.16. Можно ли построить четырехугольник с двумя прямыми

углами?
29.17. Существует ли четырехугольник, стороны
см, 8 см, 12 см; б) 3 см, 5 см, 6 см, 12 см; в) 1 см,

и

двумя

острыми

6

которого равны:

2 см, 5 см, 8 см;

а) 4
г) 8

см,
см,

5 см, 7 см, 21 см?
29.18.

Найдите стороны четырехугольника,

а стороны относятся как

2

:

3

:

4

:

если его периметр равен

56 см,

5.

29.19. В четырехугольнике ABCD АВ || CD и AD || ВС. Как связаны между
собой углы: а) А и С; б) В и D; в) А и Б?
29.20. Сумма двух внутренних углов четырехугольника, прилежащих
к одной из его сторон, равна 90°. Найдите угол между биссектрисами этих
углов.

ZC. Как будут
29.21. В четырехугольнике ABCD ZA
ZD, ZB
AD и ВС четырехугольника?
=

=

расположены относительно друг друга стороны

29.22. Верно

ли утверждение:

суммы трех других его сторон;

б)

а) каждая сторона четырехугольника меньше
каждая диагональ четырехугольника меньше

полупериметра?
29.23. В четырехугольнике ABCD
точке Е, а биссектрисы углов С и D

его

в
и

биссектрисы углов А и Б пересекаются
в точке F. Найдите сумму углов АЕВ

CFD.
29.24. Сумма двух внешних углов четырехугольника, прилежащих к одной
180°. Найдите угол между биссектрисами этих углов.

из его сторон, равна

29.25. Верна

ли следующая теорема:

четырехугольника равны соответствующим
четырехугольники

«Если стороны одного

сторонам другого четырехугольника,

то

равны»?
69

Параллелограмм
29.26. Какой четырехугольник называется параллелограммом?
29.27. Чему равна сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной
стороне?
29.28. Что можно сказать о противоположных: а) сторонах; б) углах
параллелограмма?
29.29. Найдите углы параллелограмма, если один из его внешних углов
равен: а) 35°; б) 135°.
29.30. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы:
а) 30° и 73°; б) 25° и 35°. Найдите углы параллелограмма.
29.31. Три параллельные прямые пересечены тремя параллельными
Сколько при этом получилось параллелограммов?

прямыми.

29.32. Сколько различных параллелограммов можно получить из двух
равных треугольников, прикладывая их друг к другу различным образом?
29.33. Могут ли два параллелограмма иметь по равной стороне и: а)

по

равным перпендикулярам, опущенным на эти стороны,
но не быть равными между собой?
29.34. Может ли диагональ параллелограмма равняться его стороне?

равной

диагонали;

б)

29.35. Почему одна диагональ параллелограмма всегда больше другой?
29.36. Могут ли углы треугольника быть равными трем углам какого-нибудь
параллелограмма?
29.37. Сумма двух углов параллелограмма равна 148°. Найдите его углы.
29.38. Найдите углы параллелограмма, если один из его углов: а) равен

б) больше другого на 40°; в) один из его углов меньше другого в 5 раз;
углы параллелограмма относятся как 3:7.
29.39. В параллелограмме ABCD (рис. 152) диагонали пересекаются в
точке О. Назовите пары равных треугольников.
68°;

г)

29.40.

Две

стороны параллелограмма относятся как 3 : 5, а его периметр

равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма.
29.41. На рисунке 153 ABCD
параллелограмм, BE
является четырехугольник

29.42. На рисунке 154 ABCD

фигурой
70

||

DF. Какой фигурой

BFDE?
параллелограмм, BE 1 AC, DF _1_ АС. Какой

является четырехугольник

BFDE?

F

С

В

F

29.43. Параллелограммы ABCD и AEFD имеют общую сторону AD. Как
расположены относительно друг друга их стороны ВС и EF1
29.44. Существует ли параллелограмм, в котором две стороны и одна

а) 5 см, 2 см, 2 см; б) 7 см, 4 см, 11 см; в) 2
г) 3 см, 8 см, 10 см?
29.45. Существует ли параллелограмм, в котором одна сторона и
диагонали соответственно равны: а) 10 см, 4 см, 8 см; б) 7 см, 8 см, 10
в) 2 см, 2 см, 3 см; г) 7 см, 6 см, 8 см?
диагональ соответственно равны:

см,

3 см, 4 см;

две

см;

29.46. Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до
двух его вершин равны 3 см и 4 см. Чему равны расстояния от нее до двух

параллелограмма?
29.47. Перпендикуляр, проведенный

других вершин

из вершины тупого угла

3:5. Найдите углы параллелограмма.
29.48. В параллелограмме KLMN (рис. 155) LH и LP
перпендикуляры,

параллелограмма, делит этот угол в отношении

опущенные на стороны. Его острый угол равен 60°. Найдите углы
образовавшегося четырехугольника LHNP.

29.49. Как расположены

биссектрисы углов параллелограмма (с неравными
сторонами): а) прилежащих к одной стороне; б) противолежащих
друг другу?
*29.50. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма,
прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне (рис. 156).
Как связаны между собой стороны данного параллелограмма?
смежными

29.51. Из двух противоположных вершин параллелограмма CDEF
(рис. 157) проведены биссектрисы CL и ЕК. Будет ли четырехугольник CLEK

параллелограммом?
71

E

D

A

F
Рис. 157

Рис. 156

29.52. Дан параллелограмм ABCD (рис. 158). EF
произвольный отрезок,
точку пересечения диагоналей параллелограмма.
проведенный через точку О
Найдите равные отрезки (не рассматривайте стороны параллелограмма и его
диагонали).

Е

В

С

D
F
Рис. 158

29.53. Можно ли параллелограмм разрезать на: а) 4 равных
б) 5 равных параллелограммов; в) 4 равных треугольника; г) 6 равных
треугольников?
29.54. Угол между перпендикулярами параллелограмма, проведенными
из вершины одного из тупых углов (высотами параллелограмма), равен 63°
(рис. 155). Найдите углы параллелограмма.
параллелограмма;

29.55. Одна сторона параллелограмма равна 120 см, что составляет 30%
его периметра. Найдите остальные стороны параллелограмма. Предложите

способов решения задачи.
29.56. Одна сторона параллелограмма равна 48 см,

несколько

периметра.
несколько

Найдите

остальные

стороны

0,4 его
Предложите

что составляет

параллелограмма.

способов решения задачи.

§ 30. Признаки параллелограмма
30.1. Сформулируйте признаки параллелограмма.
30.2. По рисунку 159 воспроизведите доказательства признаков
параллелограмма.
72

А

В

А

Н

Е

В
б)

а)

Рис. 160

Рис. 159

30.3. По рисунку 160 докажите, используя: а) первый; б) второй признак
параллелограмма, что четырехугольник EFGH является параллелограммом.
DE. Докажите, что
30.4. На рисунке 153 ABCD
параллелограмм, BF
=

четырехугольник

BEDF

параллелограмм, используя:

а) первый; б) второй

признак параллелограмма.
30.5. Даны два равных и параллельных отрезка. Их концы соединены не-

Верно ли, что получившийся четырехугольник
параллелограммом?
30.6. Является ли: а) равенство двух противоположных углов
четырехугольника; б) деление диагоналей четырехугольника в точке пересечения пополам
признаком параллелограмма?
30.7. Две стороны четырехугольника параллельны, а две другие равны.
Верно ли утверждение о том, что этот четырехугольник является
параллелограммом?
Z2. Будет ли
30.8. На рисунке 161 KLMN
параллелограмм, Z1
четырехугольник АКВМ параллелограммом?
пересекающимися отрезками.

является

=

N

F

М

Рис. 162

Рис. 161

30.9. На продолжении противоположных сторон параллелограмма ABCD
CF. Является ли четырехугольник BFDE
(рис. 162) отложены отрезки АЕ
параллелограммом?
30.10. Дан параллелограмм ABCD (рис. 163). Е, F> G, Н
середины его
сторон. Будет ли четырехугольник EFGH параллелограммом?
=

73

Рис. 164

Рис. 163

30.11. На сторонах параллелограмма ABCD
равных

отрезков:

BE

=

DG

и

BF

=

параллелограммом?
30.12. Два параллелограмма PQRS
сторону RS.

Докажите,

что

(рис. 164)

DH. Будет
и

ли

отложены две пары

четырехугольник

RSTU (рис. 165)

четырехугольник

PQUT

имеют

является

параллелограммом.

30.13. По рисунку 166 составьте и решите задачу.
30.14. На рисунке 167 ABCD
параллелограмм. Докажите,
четырехугольник

AXCY

тоже параллелограмм.

Рис. 167

74

(начало)

что

EFGH

общую

г)

в)
Рис. 167 (окончание)
30.15. На рисунке 168 ABCD

параллелограмм, АЕ

=

BF

=

CG

=

DH.

Рис. 169

Рис. 168

30.16. В треугольнике IJK проведена медиана КМ (рис. 169), которая
КМ. Будет ли четырехугольник IKJL
продолжена на отрезок ML
=

параллелограммом?
30.17. Как

Б

и

восстановить параллелограмм

С (рис. 170)? Предложите

несколько

ВС

ABCD

по трем его вершинам

В

30.18. Как восстановить параллелограмм ABCD
и точке М
середине стороны CD (рис. 171)?
способов.

А, В

А,

способов.

по

его

вершинам

Предложите

несколько

двум

75

30.19. Из произвольной

точки

равнобедренного треугольника
(рис. 172). Будет ли
параллелограммом? Найдите его периметр,
основания

проведены прямые, параллельные его боковым сторонам

образовавшийся

четырехугольник

если

боковая сторона треугольника равна 60

выбора

точки на основании данного

см.

Зависит

ли периметр от

треугольника?

В

Рис. 172

Рис. 173

*30.20. В параллелограмме ABCD

пересекают диагональ АС
вершинами

в

точках

К

параллелограмма D

и

D

(рис. 173) биссектрисы

углов В

L, которые соединены

соответственно

и Б.

Является

ли

и

четырехугольник

с

KBLD

параллелограммом?
В

N

КС

*30.21. Биссектрисы углов параллелограмма ABCD (рис. 174) пересекают его
стороны в точках К, L, М и N. Определите вид четырехугольника KLMN.

§ 31. Прямоугольник, ромб, квадрат
Прямоугольник
31.1. Какой: а) параллелограмм; б) четырехугольник называется
прямоугольником?
31.2. Какими собственными свойствами, по сравнению с
обладает прямоугольник?
31.3. Сформулируйте признак прямоугольника

параллелограммом,

воспроизведите его доказательство.
76

и

по

рисунку 175

D

С

В

A
Рис. 175

31.4. К отрезку в его концах восстановлены по одну сторону от него два
равных перпендикуляра и их концы соединены отрезком. Какая при этом

фигура?
31.5. Два равных прямоугольных треугольника приложили один к другому
таким образом, что их гипотенузы совпали, а неравные острые углы
приложились один к другому. Какой при этом получился четырехугольник?
31.6. Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см, диагонали пересекаются
получилась

под углом 60°. Найдите диагонали прямоугольника.
31.7. Верно ли следующее утверждение: «Параллелограмм, у которого:
а) равны диагонали;

31.8. Существует

б)

один угол

прямой,

прямоугольником»?
являющийся прямоугольником,

является

ли четырехугольник, не

равны?
31.9. Верно ли утверждение о том, что если в четырехугольнике один угол
прямой, а диагонали равны, то он является прямоугольником?
31.10. Как проверить, является ли данный: а) параллелограмм; б)
четырехугольник прямоугольником?
31.11. Существует ли на плоскости точка, которая была бы одинаково
удалена от: а) вершин; б) сторон прямоугольника?
31.12. Где на прямоугольном дачном участке нужно поставить столб для
диагонали которого были бы

фонаря, чтобы все его углы были одинаково освещены?
31.13. В прямоугольной стальной пластине надо просверлить отверстие,
одинаково удаленное от равных сторон прямоугольника. В каком месте нужно
наметить центр

отверстия?

D, принадлежащей гипотенузе АВ прямоугольного
треугольника ABC (рис. 176), проведены две прямые, параллельные катетам.
Сумма периметров получившихся треугольников AKD и DLB равна 10 см.

31.14. Из

точки

Найдите периметр прямоугольного треугольника ABC.
А

В

Рис. 176

Рис. 177
77

31.15. В прямоугольном треугольнике ABC (рис. 177) из вершины прямого
С опущена высота СН, равная 3 см. Из точки Н опущены
перпендикуляры НК и HL на катеты треугольника. Найдите расстояние между точками
К к L.
угла

31.16. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1 : 2, меньшая
10 см. Найдите диагонали данного прямоугольника.

его сторона равна

31.17.

Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Какие
образуют диагонали со сторонами прямоугольника?
31.18. Тупой угол между диагоналями прямоугольника равен 120°. Чему
при этом будет равно отношение его меньшей стороны к диагонали?

углы

31.19. Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен 34 см,
а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила
прямоугольник, равен 30 см.
31.20. В прямоугольнике

острый угол между его диагоналями равен 50°.
образуют диагонали со сторонами прямоугольника.
31.21. Перпендикуляр ВН (рис. 178), опущенный из вершины В
прямоугольника ABCD на его диагональ АС, делит угол В в отношении 2:3. Найдите:
а) углы, которые образуют диагонали данного прямоугольника с его сторонами;
б) угол между перпендикуляром ВН и диагональю BD.
Найдите углы, которые

31.22. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею
сторону на отрезки 4 см и 5 см. Найдите стороны данного прямоугольника.
*31.23. Какой четырехугольник образуют при пересечении биссектрисы

параллелограмма? Предполагается, что биссектрисы пересекаются в
(рис. 174).
31.24. Как прямоугольник разрезать на две части, чтобы из них можно
было сложить: а) треугольник; б) параллелограмм (общего типа)?
31.25. Как нужно разрезать прямоугольный треугольник на две части,
чтобы из них можно было сложить прямоугольник?
31.26. Можно ли прямоугольник разрезать на равносторонние
углов

различных точках

треугольники?
31.27. Прямоугольная плитка шоколада
разломов нужно сделать, чтобы разломить

дольки?
31.28. Внутри прямого угла
собой расстояние
до сторон

78

угла?

состоит
всю

из

тп

долек.

шоколадку

взята произвольная точка.

Как

от нее до вершины данного угла и сумма

на

Сколько

отдельные

связаны между

расстояний

от нее

20 см, всего
31.29. Ширина ступеньки равна 40 см, высота
Рассчитайте подъем и общее протяжение лестничного марша.
31.30. Какое минимальное число элементов
нужно

знать,

чтобы

изготовить ее

в

ступенек

четырехугольной

25.

пластинки

форме: а) параллелограмма; б)

прямоугольника?

Ромб
31.31. Какой: а) параллелограмм; б) четырехугольник

31.32. Какими свойствами
собственными

свойствами обладает ромб

31.33. Сформулируйте

ромбом?
ромб? Какими
параллелограммом?
называется

параллелограмма обладает

признак

по сравнению с

ромба

и по рисунку

179 воспроизведите

его

доказательство.

31.34. Можно

ли в качестве признака

ромба

взять следующее утверждение:

«Если диагональ параллелограмма является биссектрисой

его углов,

то этот

ромбом»?
31.35. Верно ли утверждение: «Если в четырехугольнике диагонали
являются биссектрисами всех его углов (рис. 180), то этот четырехугольник является:
а) параллелограммом; б) ромбом»?
параллелограмм является

31.36. Два
пересечения

неравных отрезка взаимно перпендикулярны и в точке
пополам. Их концы последовательно соединены. Верно
том, что полученный четырехугольник является ромбом?

делятся

утверждение о

31.37. В

четырехугольнике все стороны равны между собой.

утверждение о том, что он является

Верно

ли

ли

ромбом?
79

31.38. Верно

а) ромбом

ли следующее утверждение:

является четырехугольник, у которого диагонали взаимно

перпендикулярны ;

б) ромбом является четырехугольник, все стороны которого равны?
31.39. Из каких двух равных треугольников можно сложить ромб?
31.40. Из каких четырех равных треугольников можно сложить ромб?
31.41. Как проверить, будет ли ромбом четырехугольник, вырезанный из:
а) картона; б) материи?
31.42. Какое минимальное число элементов четырехугольной пластины
нужно знать,

чтобы

изготовить ее в

31.43. Найдите углы ромба,

форме ромба?

перпендикуляр, опущенный из его
(высота ромба) делит сторону пополам.
31.44. В ромбе одна из его диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы
ромба; б) углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами.
31.45. Может ли диагональ ромба составлять с одной из его сторон прямой
угол?
31.46. Углы, образованные одной из сторон ромба с его диагоналями,
если

вершины

относятся как

2

31.47. Что

:

7. Найдите углы данного ромба.

можно сказать о параллелограмме, у которого перпендикуляры,

равны?
31.48. На рисунке 181 изображен ромб ABCD. ВК и BL
перпендикуляры.
Верно ли, что его диагональ BD является биссектрисой угла KBL1
опущенные из вершины тупого угла на стороны,

31.49.

Периметр ромба

равен 24 см, а высота

31.50. Перпендикуляры, опущенные

образуют
31.51.
31.52.
31.53.
31.54.

из

3

вершины

Найдите его углы.
ромба (высоты ромба),

см.

а) 30°; б)* 120°. Найдите углы ромба.
Может ли диагональ ромба равняться его удвоенной стороне?
Могут ли неравные ромбы иметь равные периметры?
Равны ли два ромба, если равны их: а) стороны; б) углы?
Равны ли два: а) ромба; б) прямоугольника, если их соответственные

угол в:

диагонали равны.
31.55. Как с помощью одной линейки провести перпендикулярные

прямые?

31.56. Как,

пользуясь одной линейкой, провести: а) серединный
перпендикуляр к отрезку (длина отрезка больше ширины линейки); б) прямую,
перпендикулярную данной прямой и проходящую через данную на ней точку?

31.57. Как
80

на

клетчатой бумаге найти вершины какого-нибудь ромба?

Квадрат
31.58. Какой: а)

прямоугольник;
четырехугольник называется квадратом?

б) ромб; в)

параллелограмм;

г)

31.59. Какие свойства квадрата следуют из того, что он: а) параллелограмм;
в) ромб?
31.60. В чем различие между квадратом и: а) параллелограммом; б)
прямоугольником; в) ромбом?
31.61. Какое заключение можно сделать о ромбе, диагонали которого
равны?
31.62. Верно ли следующее утверждение:
а) если в четырехугольнике диагонали равны между собой и являются
биссектрисами углов четырехугольника, то этот четырехугольник является
б)

прямоугольник;

квадратом;

б)

если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны и равны

между

в)

собой,

если

в

то этот четырехугольник является квадратом;
четырехугольнике

диагонали

точкой пересечения делятся пополам,

квадратом?
31.63. Есть

то

взаимно

этот

ли лишние условия в утверждении:

четырехугольнике диагонали равны, делят его углы пополам и

четырехугольник является

31.64. Сколько: а)
рисунке

и

перпендикулярны

четырехугольник

«Если

является

в

перпендикулярны, то данный

квадратом»?
б) прямоугольников изображено

квадратов;

на

182 (не квадратов)?

а)
б)
в)
Рис. 182

31.65. Как проверить,

31.66.
31.67.
31.68.
31.69.

является ли данный четырехугольник квадратом?
Как проверить, имеет ли салфетка форму квадрата?
Как проверить, имеет ли данный участок земли форму квадрата?
Равны ли два квадрата, если равны их диагонали?

Могут

31.70. Из

периметры?
квадрат? Приведите

ли прямоугольник и квадрат иметь равные

каких треугольников

можно сложить

несколько примеров.

31.71. Как нужно разрезать равнобедренный прямоугольный треугольник
чтобы из них можно было сложить квадрат?

на две части,

81

31.72. Чему равен угол между: а) диагоналями квадрата: б) диагональю

и

стороной квадрата?
31.73. В квадрате

расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из
его сторон равно 5 см. Найдите периметр этого квадрата.
31.74. На рисунке 183 изображен квадрат ABCD. Отрезки АБ, BF, CG и DH

равны. Определите вид четырехугольника EFGH.

31.75. Касательные, проведенные из данной точки к окружности радиусом
3 см, перпендикулярны. Найдите отрезки этих касательных (заключенных
между точками касания и данной

точкой).
31.76. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат таким
образом, что один угол у них общий (рис. 184). Найдите периметр квадрата,
если катет треугольника равен 3 см.
А

31.77. В

образом,
Найдите

равнобедренный прямоугольный

треугольник вписан квадрат таким

что одна его сторона лежит на гипотенузе треугольника

(рис. 185).

периметр квадрата, если гипотенуза равна 6 см.
31.78. На рисунке 186 изображен прямоугольный треугольник ABC.
Из вершины прямого угла проведена биссектриса СЕ. Из точки Е на катеты

треугольника опущены перпендикуляры соответственно ED
вид четырехугольника CDEF.

82

и

EF. Определите

Рис. 186

Рис. 187

31.79. На рисунке 187

изображен

Определите вид четырехугольника

31.80. Как

квадрат EFGH, ЕК

=

KL

=

LG.

KFLH.

фигуры: а) равносторонний
четырехугольник; б) равноугольный четырехугольник; в) прямоугольный
параллелограмм; г) прямоугольный ромб; д) равноугольный параллелограмм; е)
равносторонний прямоугольник?
31.81. Сколько можно построить квадратов с вершинами в двух данных
точках М и

иначе назвать следующие

N?

31.82. Какое минимальное
нужно знать, чтобы изготовить

31.83. Как отрезать

конец

элементов четырехугольной пластины
форме квадрата?
доски, имеющей прямоугольную форму, под
число
ее в

углом 45°?
31.84. Какой многоугольник образуют диагонали правильного
пятиугольника при своем взаимном пересечении?

31.85. Две диагонали правильного пятиугольника, проведенные из соседних
вершин, разбивают его на три треугольника и один четырехугольник.
Определите вид четырехугольника.

31.86. Прямые, соединяющие центр правильного многоугольника
вершинами,

разбивают

Сколько сторон у этого

§ 32. Средняя

равнобедренные
многоугольника?

его на

с

его

прямоугольные треугольники.

линия треугольника

32.1. Что называется

средней линией треугольника?

32.2. Сформулируйте

теорему о средней линии треугольника.
32.3. По рисунку 188 воспроизведите доказательство теоремы о

средней

линии треугольника.

32.4. Сколько средних линий

имеет

треугольник?
83

Рис.188

32.5.

и

1,9

м.

Стороны

треугольника равны:

а) 5

см, 6 см и 4 см;

Найдите стороны треугольника, вершинами которого

б) 17

дм, 26 дм

являются

середины сторон данного треугольника.

32.6. Стороны треугольника равны: а) 9 мм, 11 мм, 5 мм; б) 16 см, 17 см,
18

Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями
Предложите два способа решения.
32.7. Стороны треугольника равны: а) 8 см, 12 см, 16 см; б) 5 дм, 1,5 м и

см.

данного треугольника.

1,3

м.

Его вершины

являются серединами сторон другого треугольника.

Найдите стороны второго треугольника.

15

32.8. Стороны треугольника равны: а) 15 см, 24 см, 30 см; б) 6 м, 12 м,
Его стороны являются средними линиями другого треугольника. Найдите

м.

периметр второго треугольника. Предложите два способа решения.
32.9. Периметр равностороннего треугольника равен: а) 48 дм; б) 1,44
Найдите его среднюю линию.
32.10. Какой треугольник

отсекает

б) равнобедренного треугольника?
32.11. На сколько треугольников
линии? Будут ли все образовавшиеся
32.12. Сумма периметров четырех

средняя линия:

делят

а)

м.

равностороннего;

данный треугольник

его средние

равны?
треугольников, образованных
треугольники

средними
линиями равностороннего треугольника, равна 72 см. Найдите сторону данного
треугольника.
32.13. В равнобедренном треугольнике средняя линия, параллельная:
основанию,
а)
равна 12 см; б) боковой стороне, равна 20 см. Найдите стороны
треугольника, если его периметр равен 96 см.
32.14. Периметр треугольника равен 54 дм.

Стороны

относятся как

Найдите стороны треугольника, образованного средними

2:3:4.

линиями данного

Предложите два способа решения.
Периметр данного треугольника равен 24 см. Найдите периметр
треугольников, отсекаемых от него средними линиями.
треугольника.

32.15.

32.16. Почему любой треугольник
из них

84

параллелограмм?

можно разрезать на две части и сложить

32.17. По рисунку 189 объясните,
М и

как измерили расстояние между пунктами

N, которые разделены препятствием.

А
б)

а)
Рис. 189

32.18. Как на местности провести прямую, параллельную

данной прямой

проходящую через точку, не принадлежащую ей?
32.19. На рисунке 190 каждая сторона треугольника разделена на 4 равные
части. Сколько треугольников изображено? Найдите периметр наименьшего
и

из них, если периметр данного треугольника равен 72 см.

Рис. 190

32.20. Как восстановить треугольник по трем точкам

серединам его

сторон?
32.21. Диагонали

четырехугольника равны 7,5 см и 10 см. Найдите
периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон
данного четырехугольника.
32.22. Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются
середины сторон:

в)

а)

произвольного четырехугольника;

прямоугольника; г) ромба; д) квадрата.
32.23. Как восстановить ромб по точке

серединам двух смежных

32.24. Верно

б)

пересечения его

параллелограмма;

диагоналей

и

сторон?

ли, что прямая, на

треугольника, одинаково удалена от всех его

которой лежит
вершин?

средняя линия

32.25. Где проложить дорожку между тремя домиками, чтобы она была
одинаково удалена от каждого из них?
85

32.26. Дан треугольник DEF (рис. 191), К
соответственно DE и EF, М
пересечения

KL

и

ЕМ. Будут

и L
середины сторон
точка
точка
стороны DF, О
произвольная

ли равны отрезки

ОЕ

и

ОМ?

§ 33. Трапеция
33.1. Какой четырехугольник

называется трапецией?
Как называются стороны трапеции?
Какая трапеция называется: а) равнобедренной; б) прямоугольной?
Что называется средней линией трапеции?
Сформулируйте теорему о средней линии трапеции.
33.6. По рисунку 192 воспроизведите доказательство теоремы о средней

33.2.
33.3.
33.4.
33.5.

линии трапеции.

D
Рис. 192

33.7. Как

связаны между

собой углы: а) произвольной; б) равнобедренной

трапеции?
33.8. Сколько прямых углов может быть у трапеции?
33.9. Могут ли два противоположных угла трапеции быть острыми?
33.10. Могут ли углы, прилежащие к основанию трапеции, быть один
а другой
тупым?
33.11. Могут ли основания

острым,

86

трапеции

быть равными?

33.12. Верно

ли

утверждение

основанию трапеции, всегда

о

том,

что

углы,

прилежащие

к

большему

острые?

33.13. Сколько тупых углов может иметь трапеция?
33.14. Будет ли параллелограммом четырехугольник, если у него две
стороны параллельны, а две другие равны?
33.15. В четырехугольнике диагонали равны. Будет ли он равнобедренной
трапецией?
33.16. Можно ли из двух равных трапеций сложить трапецию?
33.17. Можно ли из четырех равных прямоугольных треугольников
сложить трапецию?
33.18. Отношение сторон равнобедренной трапеции равно 1 : 1 : 1 : 2.
Найдите углы этой трапеции.
33.19. Углы при основании трапеции равны 50° и 70°. Найдите остальные
углы трапеции.
33.20. Найдите все углы трапеции, если один из них равен 60°, а
противоположный ему равен 110°.
33.21.

а) 1

:

2

:

2

Могут ли последовательные углы трапеции
: 3;
б) 3 : 8 : 5 : 6; в) 8 : 7 : 13 : 12; г) 6 : 3 : 4

33.22. Острый угол прямоугольной трапеции равен 45°,
и

6

на

см.

Найдите перпендикуляр, опущенный

большее

относиться

:

как:

2?
4

а основания

см

из вершины меньшего основания

основание трапеции.

33.23. Перпендикуляр, опущенный из вершины меньшего основания
равнобедренной трапеции на большее основание, вдвое меньше ее боковой стороны.
Чему равны углы трапеции?
33.24. Одна из диагоналей трапеции
большем основании;

трапеция?
33.25. Какой

б)

является

меньшем основании.

биссектрисой

Какой вид будет

угла:

а)

при

иметь данная

четырехугольник получится, если последовательно соединить

отрезками середины сторон:

а) равнобедренной; б) прямоугольной; в)

произвольной трапеции?
33.26. В трапеции

прямая, проведенная параллельно боковой стороне через
конец меньшего основания, равного 3 см (рис. 193), отсекает треугольник,
периметр которого равен

15

см.

Найдите периметр трапеции.

33.27. Через середину боковой стороны АВ трапеции ABCD проведена
боковую
сторону?
прямая, параллельная основанию. На какие части она рассечет другую

87

33.28. Основания трапеции
30

Найдите длину средней

см.

относятся

способов решения.
33.29. Периметр трапеции равен 70 см,
равна 24 см. Найдите длину средней линии

33.30. Средняя
12

см.

линия трапеции равна

Найдите большее

как

линии трапеции.

3

: 8, а их разность равна
Предложите несколько

а сумма непараллельных сторон
трапеции.

15 см,

а меньшее основание равно

основание.

33.31. Периметр равнобедренной трапеции равен 100 см, ее средняя
равна боковой стороне. Найдите боковую сторону данной трапеции.
33.32. Верно

ли

о

утверждение

том,

диагональ?
33.33. Диагональ трапеции делит
Ъ. Найдите основания трапеции.

что

средняя

линия

линия

трапеции

делит

пополам каждую ее

и

ее среднюю линию на отрезки, равные а

33.34. Может ли средняя линия трапеции пройти через точку пересечения
диагоналей?
33.35. Может ли диагональ трапеции быть биссектрисой ее угла?
33.36. Концы диаметра удалены от касательной на расстояние 6 см и 4 см.
Найдите диаметр окружности.
ее

§ 34. Теорема Фалеса
34.1. Что называется отношением двух отрезков?
12 см. Найдите отношение этих
34.2. Даны два отрезка а
9 см и Ъ
их
в
длины
миллиметрах, дециметрах, метрах. Изменится ли
отрезков. Выразите
при этом отношение взятых отрезков? Объясните, почему отношение отрезков
не зависит от выбора единицы измерения.
34.3. Чему равно отношение отрезка к единице измерения?
ВС
34.4. На прямой последовательно отложены равные отрезки АВ
=

=

=

АВ

CD

=

ч

г)

=

DB

DE

=

д)

I
А

BE

ВС

; б)

; в) ;

чAF

чBF

;

AF

EF (рис. 194). Найдите отношение отрезков: а)

=

;

СЕ

е)

.

FD

1

1

1

В

С

D

1

1

|

1

Е

F

Е

К

1

1

О

L

1
F

Рис. 195

Рис. 194
34.5. Точка О делит отрезок EF в отношении 2 : 3

(рис. 195),

точки К и

середины отрезков соответственно ЕО и OF. Найдите отношение отрезков:

L

OL

чЯО

а)

;

EF

б)

34.6.

чКО

;

OF

в)

OL

Отрезок

часть короче

v

;

г)

OL
EF

88

д)

ч

;

EF

е)

LF
.

KL

разделен на две части в отношении 4:3.

большей

на

34.7. Какие отрезки

34.8. Что

чKL

;

2,5

см.

Найдите

называются

называется

При

этом меньшая

все отрезки.

пропорциональными?

коэффициентом пропорциональности отрезков?

34.9. Какая теорема

является

обобщением

теорем о средних линиях

треугольника и

трапеции?
34.10. Сформулируйте

теорему Фалеса.
34.11. Когда и где жил Фалес?
34.12. В чем заключается обобщенная теорема Фалеса, или теорема о

отрезках?
34.13. Определите, пропорциональны

пропорциональных

ли отрезки а, b и с, d, если:

7 см md
5 см, Ъ
6 см, с
S см; б) а
3 см, Ъ
а
49
Ъ
35
с
см
и
d
3
дм,
дм,
4,2
см;
в)
г) а
34.14. Среди отрезков е, /, g, h, тп, ti выберите
4 см, g
36 см, /
12 см, h
2
отрезков, если £
34.15. Даны три отрезка тп
18 см, тг
6 см и/
=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

отрезок

=

=

=

24 см,

0,1, &

с
=

а)

а

=

1 дм и d
8 м;
50 и d
1.
5, с
=

=

=

=

пары пропорциональных

6 см, я
54 см.
см, т
27 см. Найдите четвертый
=

=

х, чтобы можно было составить две пары пропорциональных отрезков,

а) наименьший; б) наибольший среди всех отрезков.
34.16. Как, используя теорему Фалеса, разделить отрезок на п равных
частей?
причем х:

34.17. Как разделить данный отрезок в отношении т : п!
а

34.18. Как

Ъ
34.19. По рисунку 196

с

? Какими свойствами

=

называется равенство

объясните,

оно

обладает?

d

четвертый

как построили отрезок х
,

пропорциональный трем данным отрезкам a, b и с

(а

с

34.20. На одной стороне угла расположены два отрезка а

=

5

и

b

=

2

проведены параллельные прямые, образующие
стороне также два отрезка, меньший из которых равен 1. Найдите

(рис. 197). Через

их

концы

на другой
другой отрезок.
34.21. Даны

отрезки 4 дм, 6 дм и 7 дм. Какой нужно взять четвертый
отрезок, причем больший каждого из данных отрезков, чтобы получились
пропорциональные

34.22. Что

отрезки?

масштаб карты: а) 1 : 1000; б) 1
34.23. Найдите масштаб карты, если 400 м участка
означает

:

3 000 000?

на плане равны

8

см.

89

34.24. В трапеции ABCD боковые стороны АВ и CD пересекаются в
5 : 2; б) СМ,
7 см, CD : МС
М (рис. 198). Найдите: а) ВМ, если АВ
12 см, DM
15 см; в) DC, если АВ : AM
10 см, AM
если АВ
5:7,
DM
14 см.
=

=

точке

=

=

=

=

=

М

Рис. 199

Рис. 198

34.25. Сформулируйте свойство биссектрисы угла треугольника
199 воспроизведите его доказательство.

и

по

рисунку

34.26. Две прямые пересечены тремя параллельными прямыми (рис. 200).
Отношению каких полученных на чертеже отрезков будет равно отношение:
v

а)

АВ

ВС
;

ВС

б)}

v

;

AC

в)

DF

v

;

DE

г)

АВ

ч

;

DE

д)9

AC
;

ВС

.EF0?
е)
ВС

Рис.200
34.27. На одной стороне угла А отложены отрезки АБ, ВС, на другой
отрезки AD, DE (рис. 201). Будут ли прямые BD и СЕ параллельны,
ЛЯ

а)

ВС

AT)
=

;

DE

AD

б)

АВ

=

^3

34.28. Отрезок PQ
Найдите отрезок:

и

АЕ

=

64 см9 АС

=

48 см?
р

=

(рис. 202).

е делится точкой М в отношении

а) РМ; б) MQ.
I
м

ЛГ

Б

Q
Рис. 203

Рис.202

34.29. Как через точку, не принадлежащую отрезку

прямую, делящую его

в отношении т

:

(рис. 203),

п!

34.30. Как данный отрезок разделить
90

если:

4

в отношении т

:

п

:

11

провести

ГЛАВА

VI. МНОГОУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТЬ

§ 35. Углы,

связанные с окружностью

а) центральным; б) вписанным?
дугой окружности?
связаны между собой вписанный и центральный углы,
опирающиеся на одну и ту же дугу окружности?
35.4. Чем измеряются дуги окружности?
35.5. По рисунку 204 воспроизведите доказательство теоремы о вписанном
угле. Рассмотрите различные случаи.
35.1. Какой угол называется:

35.2. Что
35.3. Как

а)

называется

б)

в)

Рис. 204
35.6. Что можно сказать о вписанных углах, которые опираются на одну

окружности?
35.7. Как измеряется вписанный угол?
35.8. Как измеряется угол, вершина которого расположена: а) внутри
окружности (объясните по рисунку 205, а); б) вне окружности и стороны пересекают
окружность (объясните по рисунку 205, б)?
и ту же дугу

Рис. 205

91

35.9. Из данной

точки М окружности проведены диаметр MN и хорда

равная радиусу окружности. Найдите угол KMN.
35.10. Из данной точки L на окружности с центром
две хорды LA

МК,

О проведены

в точке

LB, каждая из которых равна радиусу окружности. Найдите
центральный угол АОВ между ними. Предложите два решения.
35.11.

и

Центральный

угол равен 50°. Найдите вписанный угол,

опирающийся

на ту же дугу.

35.12. Угол, вписанный

в окружность, равен

соответствующий центральный угол.
35.13. Центральный угол
на ту же дугу.

на

Найдите каждый

51° больше

15° 30'. Найдите

вписанного угла,

35.14. Найдите вписанный угол, опирающийся
2

а)

окружности;

б) 20%

опирающегося

из этих углов.
на дугу, которая составляет:

окружности.

35.15. Под каким углом из точки дуги видна стягивающая ее хорда, если
дуга:

а)

содержит 100°;

б)

составляет

-

окружности?

о

35.16. В окружности проведена хорда, равная радиусу. Под
видна эта хорда из:

а)

центра окружности;

б) произвольной

каким углом

точки окружности,

отличной

от концов данной хорды?
35.17. Под каким углом виден диаметр окружности из ее произвольной точки?
35.18. Что можно сказать о величине угла, под которым виден диаметр из

точки,

лежащей

вне

окружности?

35.19. Диаметр
можно сказать о

окружности виден из некоторой точки под
расположении этой точки по отношению к

тупым углом.

Что

окружности?

4
35.20. Вписанный угол опирается на дугу, равную

окружности. Найдите
^
этот угол.
35.21. Через концы дуги в 60° проведены касательные. Найдите угол между
ними.

35.22. Угол между двумя радиусами окружности равен 110°. Найдите угол
между касательными, проведенными через концы данных радиусов.
35.23. Хорда стягивает дугу в 70°. Найдите углы, которые образует хорда
с касательными к окружности, проведенными через ее концы.

35.24. Через концы хорды, делящей окружность
проведены касательные.

в отношении

2

Найдите углы треугольника, вершинами которого

:

7,
являются

концы хорды и точка пересечения касательных.

35.25. В угол АОВ

вписана окружность.

Точки

касания делят ее

4:5. Найдите угол АОВ.
35.26. Три окружности одинакового радиуса попарно

на две

части, которые относятся как

касаются друг друга.

Найдите углы треугольника с вершинами в центрах этих окружностей.
35.27. Две равные окружности (рис. 206) расположены таким образом,
каждая

из

видна их

92

них проходит через

общая хорда АВ

другой. Найдите
каждой из них.

центр

из центра

что

углы, под которыми

Рис.206
35.28. Из точки вне окружности проведены к ней две касательные,
которые

угол в 60°.

образуют

Определите

вид треугольника, вершинами которого

являются точки касания и данная точка.
35.29.

Касательные, проведенные

из

данной

3 см, перпендикулярны. Найдите отрезки
между точками касания и данной

35.30. Из

точки к окружности радиусом

этих

касательных

ней две

точки вне окружности проведены к

Кратчайшее расстояние

от

Найдите угол между

этой

(заключенных

точкой).
касательные.

точки до окружности равно радиусу окружности.

касательными.

35.31. На рисунке 207 ВС и BD
касательные, ОА
радиус окружности,
АВ. 1) Найдите углы CBD и COD. 2) Сравните отрезки ОЕ и ЕЛ.
ОА
=

35.32. Как найти центр окружности, если он неизвестен?
35.33. В окружности проведены диаметр АВ и хорда АС. Найдите угол БАС,
если дуга АС относится к дуге СВ как 2:7.
35.34. Окружность разделена точками А, Б

и

С

АВ : ВС : СА =1:2:3. Найдите углы АСБ, САВ

35.35. Что

отрезок

и

на три части, причем дуги

АБС.

является геометрическим местом точек, из которых

виден под прямым

данный

углом?
93

*35.36. Какой фигурой

является

геометрическое место точек,

из

которых

данный отрезок виден под: а) острым; б) тупым углом?
§ 36. Многоугольники,

вписанные в окружность

36.1. Какой многоугольник называется вписанным в окружность?
36.2. Какая окружность называется описанной около многоугольника?
36.3. Около всякого ли треугольника можно описать окружность?
36.4. Как найти центр описанной около треугольника окружности?
36.5. Сколько окружностей можно описать около треугольника?
36.6. Можно ли описать окружность около правильного многоугольника?
Что является центром описанной окружности?

36.7. Около треугольника
в

описана окружность.

случае, если ее центр находится:

сторон;

в)

а)

Назовите вид треугольника

внутри треугольника;

б)

на

одной

из его

вне треугольника.

36.8. Какой вид

имеет

треугольник,

если

расстояние

от

его

ортоцентра

(точка пересечения высот) до центра описанной окружности больше радиуса
этой окружности?
36.9. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Найдите радиус
описанной окружности.
36.10. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см. Найдите
расстояние между ортоцентром треугольника и центром описанной окружности.
36.11. Какой вид имеет треугольник, если центр описанной окружности
принадлежит одной из его высот?
36.12. Определите вид треугольника, если одна из его медиан равна
половине стороны, к

которой

она проведена.

36.13. Верно ли следующее утверждение: «Для того чтобы треугольник мог
быть вписан в окружность, необходимо, чтобы все его стороны были меньше

диаметра»?
36.14. В

треугольнике углы равны 30°, 65° и 85°. Какая из сторон
треугольника расположена дальше от центра описанной окружности?
36.15. Каким свойством обладает четырехугольник, вписанный в окружность?

36.16. Можно ли описать окружность около: а) прямоугольника; б)
в) ромба; г) квадрата; д) равнобедренной трапеции; е)
прямоугольной трапеции?
36.17. Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы
которого последовательно равны: а) 80°, 135°, 100°, 45°; б) 90°, 60°, 60°, 90°;
в) 75°, 75°, 105°, 105°; г) 145°, 25°, 55°, 125°?
36.18. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82°
параллелограмма;

и 64°. Найдите два других угла четырехугольника.
36.19. Углы А, Б и С четырехугольника ABCD относятся как 1:2:8.
Найдите угол Z), если около данного четырехугольника можно описать
окружность.
36.20. Меньшая сторона прямоугольника равна 12 см. Угол между
диагоналями равен 120°. Найдите радиус описанной окружности.
94

36.21. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен
30 см, средняя линия 6 см. Найдите боковые стороны трапеции.
*36.22. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему
основанию. Угол при основании равен 60°. Где расположен центр описанной около
данной трапеции

окружности?

36.23. В

окружность вписан четырехугольник с равными диагоналями.
Какой вид может иметь четырехугольник?
36.24. Каким образом, пользуясь одной линейкой, вписать в окружность с

прямоугольник?
36.25. Сколько неравных между собой квадратов можно вписать в одну
окружность?
36.26. Можно ли около четырехугольника только с одним прямым углом
описать окружность?
36.27. Два равнобедренных (неравных) треугольника имеют общее
основание. Можно ли около образовавшегося четырехугольника (дельтоида, рис. 208)
описать окружность? Если можно, где будет находиться центр этой
заданным центром

окружности?

Рис. 208

36.28. Из внешней точки окружности к ней проведены две касательные.
В точки касания проведены радиусы. Можно ли около получившегося
четырехугольника описать окружность?

36.29. Диаметр

окружности равен D. Найдите сторону вписанного

в

нее

правильного шестиугольника.
36.30. По данной стороне а правильного шестиугольника найдите радиус
окружности, описанной около него.
36.31. В окружность радиусом R вписан

правильный

шестиугольник.

Найдите его периметр.
36.32. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность,
равен 15 см. Найдите диаметр окружности.

36.33. Можно ли описать окружность около: а) пятиугольника с углами
б) шестиугольника с углами 100°, 70°, 160°, 70°,

90°, 90°, 90°, 135°, 135°;
150°, 170°?

95

36.34. Может

ли

вписанный

стороны, но неравные

36.35. Может

ли

36.36. Может

окружность

многоугольник иметь равные

вписанный

в

окружность

многоугольник

ли

сторона

правильного

одной прямой
200-угольника?

оказаться на

ту же окружность

иметь

равные

стороны?

углы, но неравные

угольника

в

углы?

§ 37. Многоугольники,

со

вписанного

стороной

в

окружность

100-

правильного вписанного в

описанные около окружности

окружности?
многоугольник?
В любой ли треугольник можно вписать окружность?
Как найти центр окружности, вписанной в треугольник?
Сколько окружностей можно вписать в треугольник?
Можно ли вписать окружность в правильный многоугольник? Что

37.1. Какой многоугольник называется описанным около

37.2.
37.3.
37.4.
37.5.
37.6.

Какая

окружность называется вписанной в

является центром

37.7. Может

вписанной окружности?
вписанной

ли центр окружности,

в треугольник, находиться:

б) внутри треугольника; в) совпадать с одной из его
г) принадлежать одной из его сторон?
37.8. Какой вид имеет треугольник, если: а) центры вписанной и
описанной около треугольника окружностей совпадают; б) центр вписанной в него
а)

вне треугольника;

вершин;

окружности принадлежит одной из его высот?
37.9. Два угла треугольника равны 30° и 40°. Под каким углом видны его
стороны из центра: а) вписанной в него; б) описанной около него окружности?

37.10. Окружность,

вписанная

точке касания D на два отрезка AD

в
=

треугольник

5

см и

треугольника АБС, если известно, что ВС

=

DB

10

=

АБС,
6

см.

делит сторону АВ в

Определите

периметр

см.

37.11. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке
касания одну из боковых сторон на два отрезка, которые равны 4 см и 3 см,
считая от основания. Определите периметр треугольника.
37.12. Какая окружность называется вневписанной? Сколько таких
окружностей может быть у

треугольника?
37.13. Как найти центр вневписанной окружности треугольника?
37.14. Два угла треугольника равны: а) 60° и 80°; б) 120° и 40°. Найдите

углы, под которыми видны его стороны из центра вписанной окружности.
37.15. В треугольник АБС вписана окружность с центром в точке О. Почему
углы АОБ, БОС

и

АОС

тупые?

37.16. К

окружности, вписанной в треугольник АБС, проведены три
касательные так, как показано на рисунке 209. Периметры образовавшихся
треугольников равны Pv Р2, Р3. Найдите периметр данного треугольника.
37.17. В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками
касания вписанной в него окружности в отношении 5 : 7, считая от вершин

10 см. Найдите периметр треугольника.
37.18. Углы треугольника относятся как 3:7:8. Найдите углы, под

основания, равного

которыми видны
96

его стороны из центра

вписанной окружности.

D

I
Рис. 209

37.19. Каким свойством обладает четырехугольник, описанный около

окружности?
37.20. Противоположные

стороны четырехугольника, описанного около
7
и
см
10
см. Можно ли по этим данным найти периметр
окружности, равны

четырехугольника?
37.21. Можно ли вписать окружность в: а) прямоугольник; б)
параллелограмм; в) ромб; г) квадрат; д) трапецию; е) дельтоид (см. рис. 208)?
37.22. Можно ли определить вид трапеции, если: а) около нее можно
описать окружность; б) в нее можно вписать окружность?
37.23. Каким соотношением связаны между собой средняя линия
равнобедренной трапеции и ее боковая сторона, если трапеция описана около
окружности?
37.24.

Три

последовательные стороны четырехугольника, в

вписать окружность,

равны

16 см, 5

см и

10

см.

который можно
Найдите четвертую сторону

этого четырехугольника.

37.25. Около круга описана трапеция, периметр которой равен 54 см.
Найдите ее среднюю линию.
37.26. В четырехугольник, периметр которого равен 64 см, вписана
окружность. Три последовательные его стороны относятся как 3 : 7 : 13. Найдите
стороны четырехугольника.
37.27. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны
4 см и 17 см. Найдите периметр и среднюю линию трапеции.

150°. Найдите радиус
37.28. Сторона ромба равна 12 см, тупой угол
вписанной окружности.
37.29. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности,
равен 18 см, большая боковая сторона равна 5 см. Найдите радиус окружности.

37.30. Из внешней
В

точки

касания

четырехугольник вписать

точки окружности

проведены

радиусы.

проведены к

Можно

ли

в

ней две

касательные.

получившийся

окружность?
97

4_Смирнова,

7-9 кл.

37.31. Что

является геометрическим местом точек,

одинаково удаленных

треугольника?
37.32. Найдите геометрическое место точек, одинаково удаленных от:
а) всех сторон квадрата; б) двух смежных вершин квадрата; в) двух
противоположных вершин квадрата; г) всех четырех вершин квадрата.
37.33. Верно ли следующее утверждение: «Центры окружностей, описанной
около правильного многоугольника и вписанной в него, совпадают»?
37.34. Чему равна сторона ромба с углом 150°, описанного около
окружности: а) радиусом R; б) диаметром D?
от трех сторон

*37.35. Можно ли вписать окружность

в пятиугольник со сторонами

1 см,

2 см, 1 см, 1 см, 2 см?
§ 38. Замечательные точки в треугольнике
38.1. Какие

38.2. Всегда

точки относятся к числу замечательных точек в

ли:

а) биссектрисы; б)

высоты;

в)

треугольнике?

медианы треугольника

одной точке?
38.3. Что называется: а)

пересекаются в

ортоцентром; б) центроидом треугольника?
38.4. Может ли вершина треугольника быть его: а) ортоцентром; б) центроидом?
38.5. Какой замечательной точкой является центр окружности: а) описанной
около него; б) вписанной в него?
38.6. Как делятся медианы треугольника в точке их пересечения?
38.7. К какой из сторон треугольника ближе расположен его: а) ортоцентр;
б) центр описанной окружности; в) центр вписанной окружности?
38.8. К какой из вершин треугольника ближе расположен центр
окружности: а) описанной около треугольника; б) вписанной в треугольник?
38.9. Как расположена по отношению к треугольнику точка пересечения
серединных перпендикуляров его сторон, если дан: а) остроугольный; б)
прямоугольный; в) тупоугольный треугольник?
38.10. Дан равнобедренный треугольник (рис. 210) с углами: а) 40°, 70°,
70°; б) 50°, 50°, 80°. Найдите все шесть углов, которые образуются при
пересечении его высот. Предложите несколько способов решения.

38.11. Углы треугольника

образуются при пересечении

относятся как

его высот.

В

Рис. 210
98

3:7:8. Найдите углы, которые

Сделайте соответствующий

вывод.

38.12. При пересечении

высот треугольника

35°, 60°

образуется

шесть углов,

85°. Найдите углы данного треугольника.
38.13. Дан равносторонний треугольник. Где расположен центр окружности:
а) описанной около него; б) вписанной в него?
38.14. Во сколько раз радиус окружности, описанной около равностороннего
которые попарно равны

треугольника,

и

больше радиуса вписанной

в него

окружности?

38.15. Найдите

радиус окружности, описанной около правильного
треугольника с высотой 60 дм.
38.16. Найдите диаметр окружности, вписанной в правильный треугольник

с медианой 4,2 м.
38.17. Найдите диаметры
треугольника и

вписанной

38.18. В какой

окружностей, описанной

около правильного

в него, если разность их диаметров равна

10

см.

будут пересекаться серединные перпендикуляры
катетов прямоугольного треугольника?
38.19. В треугольнике проведены средние линии (рис. 211). Докажите,
в треугольнике,

точке

образованном

что

ими, центроид совпадает с центроидом данного

треугольника.

Рис. 212

Рис. 211

Через вершину К треугольника KLN проведена произвольная
(рис. 212). Проекции сторон KL и KN на эту прямую равны
соответственно 3 см и 9 см. Найдите проекции: а) медиан KKV LLX и NN х данного
центроид
треугольника; б) отрезков КМ, LM, NM на прямую а, где М
38.20.

прямая а

данного треугольника.
38.21. В параллелограмме ABCD точки Е и F
сторон AD и ВС

АС

(рис. 213). Докажите,

середины соответственно

что отрезки BE и DF делят диагональ

на три равные части.

Рис. 213
99
4*

38.22. В предыдущей задаче (38.21) найдите
: МС; б) AN : NC.

отношение

отрезков:

а) AM

38.23. Одна

из вершин треугольника не уместилась на рисунке

провести медианы

38.24. Как
вершин

А, В

этого

восстановить

и:

214. Как

треугольника?

a) L

треугольник

точке

пересечения

ABC

по

положению

биссектрис; б)

в) центроиду М?
38.25. Как построить треугольник ABC по стороне ВС и медианам
и

его

двух

ортоцентру Н;

ВВг

ССХ?
38.26. Дана окружность

около нее;

б)

с центром в точке

О. Каким образом: а)

описать

вписать в нее треугольник, у которого два угла равны а и

38.27. Может

(3?

биссектриса треугольника проходить: а) параллельно
другой его биссектрисе; б) перпендикулярно другой его биссектрисе; в) через
середину другой его биссектрисы?
38.28. На рисунке 215 точка Н является ортоцентром треугольника ABC.
Верно ли утверждение о том, что каждая из точек А, В, С является ортоцентром
ли

треугольника, вершинами которого являются точка Н и две другие вершины

треугольника?

Рис. 215

38.29.

Медианы ААг и
что АВ
СМ,

Докажите,
100

=

ВВ1

треугольника ABC перпендикулярны

где М

(рис. 216).

центроид данного треугольника.

Рис. 216
*38.30. На рисунке 217

окружность

Эйлера,

где

изображена

Av Вv Сг

окружность девяти точек, или

середины сторон треугольника.

Дайте

определение этой окружности.

*38.31. Какая прямая
ортоцентр, G
треугольника ЛВС.

центроид

и

прямой Эйлера? На рисунке 218 Н
центр окружности, описанной около

называется

О

Глава VII. ДВИЖЕНИЕ
§ 39. Центральная симметрия
39.1. Какие две точки называются
точки? Как называется данная точка?
39.2. Какое преобразование

симметричными относительно

плоскости

называется

симметрией?
39.3. Сколько

можно построить точек, симметричных

относительно данного

центра?

данной

центральной
данной

точке

39.4. Какие две фигуры называются центрально-симметричными?
39.5. Какая фигура называется центрально-симметричной?
101

39.6. Сформулируйте основные свойства центральной симметрии.
39.7. Есть ли: а) точки; б) прямые, которые при центральной симметрии
переходят в себя?
39.8. Можно ли найти центр симметрии, если известно только, что точка
М переходит в точку М'?
39.9. Имеет ли отрезок центр

39.10. Приведите

симметрии?
а) центрально-симметричных; б)

примеры фигур:

не

центрально-симметричных.

39.11. Является
его

симметрии?
39.12. Верно

ли точка пересечения

ли утверждение о том, что если четырехугольник имеет центр

симметрии, то он является

39.13. Как

в

39.16.

а)

д) фигура,

луч;

б)

прямая;

составленная

из

в)

и

г) две
прямой, не

б)

три центра

окружность;

полосы

ней?

39.15. Может
симметрии;

найти центрально-симметричные точки?

ли центр симметрии:

пересекающиеся прямые;

лежащей

параллелограммом?

в параллелограмме

39.14. Имеет

диагоналей параллелограмма центром

ли

фигура

в) бесконечно

иметь:

а)

два центра симметрии;

много центров

симметрии? Сделайте

Где расположен центр симметрии двух равных

вывод.

и параллельных

отрезков?
39.17. Как расположены относительно друг друга две
центрально-симметричные прямые?
39.18. На рисунке 219 найдите имеющие центр симметрии: а) цифры;
б) буквы русского алфавита; в) буквы латинского алфавита.

0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7,8,9
а)

А, Б, В, Г, Д, Е, Ё, Ж, 3, И,

Й, К, Л, М, Н,

О, П, Р, С, Т, У, Ф, X, Ц, Ч, Ш, Щ, Ъ, Ы, Ь, Э, Ю, Я
б)

А, В, С, D, Е, F, G, Н, I, J, К, L, М, N,
О, Р, Q, R, S, Т, U, V, W, X, Y, Z
в)
Рис.219
39.19. Сколько центров симметрии имеет:

а) отрезок; б) равносторонний
в) прямоугольник; г) окружность; д) две концентрические
окружности; е) три концентрические окружности; ж) луч; з) прямая; и) две
пересекающиеся прямые; к) две параллельные прямые; л) полоса между
параллельными прямыми?
треугольник;

102

39.20. На рисунке 220 найдите центрально-симметричные фигуры. Где
расположен

их центр

симметрии?

г)

б)

д)

и)

з)
Рис. 220

39.21. Какому условию должны удовлетворять два луча, чтобы они были
центрально-симметричными?
39.22. Может ли иметь центр симметрии невыпуклый: а) четырехугольник;
б) шестиугольник?
39.23. Докажите, что шестиугольник, у которого противоположные стороны
равны и параллельны, имеет центр симметрии.

39.24. При

фигура

имеет

каком расположении трех различных прямых

бесконечно

много центров

образованная

ими

симметрии?
103

39.25. Всякий

ли правильный многоугольник имеет центр симметрии?
39.26. Некоторый многоугольник является центрально-симметричной
фигурой. Можно ли определить, четное или нечетное число сторон он имеет?
39.27. Многоугольник имеет: а) четное; б) нечетное число углов. Может

быть центрально-симметричной фигурой?
39.28. Данные точки А и Б при центральной симметрии
центров М и N (рис. 221) переходят соответственно в точки Av

ли

он

ли отрезки

АА2

и

ВВ2?

Как

можно сделать

об отрезке

39.29. На рисунке 222

М3

и

Б, С

и

при

перейдет

точка

в точки

Сх

М последовательно переходит

Bv В2.

и

Равны

друга? Взяв

С2,

какой

в точки

Mv М2,

относительно центров соответственно
параллелограмма.

должна при этом совпасть с точкой Ml

Рис. 222

104

и

СС2?

центральной симметрии
I), которые являются вершинами

М4

А2

они расположены относительно друг

третью точку С, которая последовательно

вывод

относительно

Почему

точка

А,

М4

39.30. Как, используя центральную симметрию, найти расстояние между
объектами М и N, разделенными препятствием (рис. 223)?

М

N

Рис.223

39.31. Можно ли из: а) двух; б) трех правильных равных треугольников
составить четырехугольник, который имел бы центр симметрии?

§ 40. Поворот. Симметрия л-го порядка
40.1. Что означает, что
точки О на угол ф?

точка

А'

плоскости получена из точки

А поворотом

вокруг

40.2. Какое преобразование

плоскости

называется

поворотом

вокруг

точки?
40.3. Сформулируйте основные свойства поворота.
40.4. Какая точка называется центром симметрии

40.5. Верно

п-то

порядка?

ли утверждение о том, что центр симметрии является центром

порядка? Чему равно п!
Поворот на какой положительный угол совпадает с поворотом на угол
<
-ф (0°
Ф < 360°)?
40.7. В какую точку из указанных на рисунке 224 переходит при повороте
вокруг точки О точка: а) А на угол 90°; б) D на угол -90°; в) В на угол 45°;
г) Е на угол 135°; д) С на угол 180°; е) F на угол -135°?
симметрии п-то

40.6.

С

D

А

F
Рис.224

40.8. В какую фигуру переходит при повороте: а) окружность; б) прямая,
проходящая через центр поворота; в) угол

с

вершиной

в центре

поворота?
105

40.9. Какие фигуры на рисунке 225 при повороте переходят
Найдите центры и углы поворота этих фигур.

сами в

себя?

Рис. 225

Центром симметрии какого порядка является точка пересечения
а) параллелограмма; б) ромба; в) прямоугольника; г) квадрата;
д) правильного я-угольника?
40.11. Какие точки и прямые переходят в себя при повороте вокруг
некоторой точки на угол ф, отличный от развернутого?
40.12. Приведите примеры фигур, которые совмещаются сами с собой при
повороте вокруг некоторой точки на угол, равный: а) 45°; б) 60°; в) 120°.
40.13. На какой угол нужно повернуть прямую вокруг точки, не
принадлежащей ей, чтобы получить прямую, параллельную данной?
40.14. На какой наименьший угол нужно повернуть правильный: а)
треугольник; б) четырехугольник; в) пятиугольник; г) n-угольник, чтобы он
40.10.

диагоналей:

совместился сам с собой?

106

40.15. Представьте себе фигуру, образованную тремя равными
окружностями, каждая из которых касается двух других. Центром какого

порядка

обладает данная фигура?
40.16. На какой угол следует

повернуть одну из равных окружностей,
пересекающихся в двух точках А и Б, вокруг точки А, чтобы она совместилась
с первой окружностью?

40.17. На рисунке 226 изображена равнобедренная трапеция ABCD
30°. Найдите центр и угол поворота, при
ВС
CD и ZCAD
(ВС || AD), АВ
котором: а) отрезок АВ перейдет в отрезок DC; б) отрезок АС перейдет в
=

отрезок

=

=

BD?

D

A1B1ClD1 получен из квадрата: a) ADCB;
Найдите
центр и угол поворота. Какими
поворотом.

40.18. На рисунке 227 квадрат

б) BADC; в) DCBA

фигурами являются объединение

и

пересечение данных

квадратов?

D

Рис. 228

Через центр квадрата (рис. 228) проведены две перпендикулярные
Докажите, используя поворот, равенство отрезков этих прямых,

40.19.

прямые.

заключенных внутри квадрата.
40.20. Даны два равных отрезка АБ и CD. Как найти точку, при повороте

которой один отрезок совместится с другим? Сколько решений имеет задача?
40.21. Даны два равных квадрата ABCD и A^BfiJ)^ Как найти точку, при

вокруг

повороте вокруг которой один квадрат

совместится с

другим? Сколько

решений имеет задача?
107

*40.22. Сторона

вписанного в окружность квадрата параллельна стороне

правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность. На

какой

наименьший угол нужно повернуть квадрат, чтобы данная сторона квадрата была бы

какой-нибудь стороне шестиугольника?
окружность вписаны квадрат и правильный шестиугольник, и у них
есть параллельные стороны. На какой наименьший угол нужно повернуть
опять параллельна

*40.23. В

правильный шестиугольник, чтобы его вершина совпала с

вершиной квадрата?

§ 41. Осевая симметрия
41.1. Какие
прямой? Как

две точки называются симметричными относительно

называется данная

данной

прямая?

41.2. Какое преобразование плоскости называется осевой симметрией?
41.3. Сколько можно построить точек, симметричных данной точке
данной оси?
41.4. Какие две фигуры

относительно

называются симметричными относительно

оси?

41.5. Какая фигура называется симметричной относительно оси?
41.6. Сформулируйте основные свойства осевой симметрии.
41.7. Какие точки и какие прямые при осевой симметрии переходят,
в себя?
41.8. Можно ли найти ось симметрии, если известно, что она переводит
точку А в точку А'?
41.9. Точка А' симметрична точке А относительно оси с. Верно ли, что точка
А симметрична точке А' относительно той же оси?

Приведите примеры фигур, имеющих осевую симметрию и не
ее.
имеющих
41.11. Имеют ли фигуры, изображенные на рисунке 229, оси симметрии?
41.10.

Если

да, сколько их и как они

а)

расположены?

б)

в)

г)

Q
д)

ж)

з)
Рис. 229

108

и)

41.12. Сколько осей симметрии

а) параллелограмм; б)
в) ромб; г) квадрат?
41.13. Известно, что некоторая трапеция имеет ось симметрии. Что можно
сказать о данной трапеции? Где проходит ось?
41.14. Назовите: а) цифры (см. рис. 219, а); б) буквы русского алфавита
(см. рис. 219, б); в) буквы латинского алфавита (см. рис. 219, в), не имеющие
ни одной оси симметрии, имеющие одну ось симметрии, имеющие две оси
имеет:

прямоугольник;

симметрии.

41.15. Сколько осей симметрии

имеет

правильный: а)

треугольник;

б)

четырехугольник; в) пятиугольник; г) шестиугольник; г) я-угольник?
41.16. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) луч; в) прямая;

г) плоскость?
41.17. Может ли невыпуклый шестиугольник иметь две оси симметрии?
41.18. В каком случае прямая при осевой симметрии переходит в
параллельную ей прямую?
41.19. Какие из фигур, изображенных на рисунке 230, имеют оси
симметрии? Сколько их? Укажите эти оси.
В

В
А

а)

в)

б)

г)

Е

О

к ^

'в

G

я

Д)

F

ж)

3)
К

J

L
в

н

G
С

F

и)
Рис. 230
109

оси

41.20. Может

ли

симметрии?
41.21. Может

ли:

невыпуклый: а)

а)

треугольник иметь оси

четырехугольник;

б)

пятиугольник иметь

треугольник иметь две оси симметрии;

б) тупоугольный

симметрии?

41.22. В окружности проведен диаметр АС (рис. 231) и две хорды АВ и AD,
AD; б) СВ
симметричные относительно прямой АС. Верно ли, что: а) АВ
=

=

CD; в) ABAC
ZDAC; г) AC ± BD; д) BD
диаметр данной окружности;
е) ABCD
квадрат; ж) треугольник ABC симметричен треугольнику ADC
относительно прямой АС?
=

=

А

Рис. 231
41.23. Сколько осей симметрии имеет каждая из фигур,
рисунке

изображенных

на

232?

а)

б)
Рис. 232

в)

г)

41.24. Сколько осей симметрии может иметь тупоугольный треугольник?
41.25. Может ли луч при осевой симметрии перейти в параллельный

направленный себе луч?
41.26. Что можно сказать о точке пересечения двух прямых, симметричных
некоторой прямой?
41.27. Приведите пример фигуры: а) имеющей ось симметрии, но не
имеющей центра симметрии; б) имеющей центр симметрии, но не имеющей оси
и одинаково

симметрии.

41.28. Верно

ли утверждение, что если

оси симметрии, то она имеет центр

110

фигура

симметрии?

имеет две перпендикулярные

41.29. Как центральную симметрию

можно получить с

помощью осевых

симметрий?
41.30. Как взаимосвязаны между собой поворот и осевая симметрия?
41.31. Существует ли осевая симметрия, которая переводит луч в себя?
41.32. Верно ли следующее утверждение: «Если отрезки АС и ВС равны,
А и Б симметричны относительно всякой прямой, проходящей через

то точки

точку С»?
41.33. Имеют

симметрии; 2)

ли

фигуры, изображенные

оси симметрии

на рисунке

233: 1) центры

и, если имеют, сколько?

Рис. 233

§ 42. Параллельный перенос
42.1. Какие физические
они

величины

характеризуются

направлением? Как

называются?

42.2. Что

называется вектором?
42.3. Как обозначается и изображается вектор?
42.4. Какие два вектора называются: а) одинаково
б) противоположно направленными?
42.5. Что называется длиной, или модулем, вектора?

направленными;

111

42.6. Как обозначается длина,

или модуль, вектора?
42.7. Какие два вектора называются равными?
42.8. Какой вектор называется нулевым?
42.9. Что означает, что точка А' плоскости получается

из точки А

параллельным переносом на вектор а ?
42.10. Какое

преобразование

плоскости

называется

параллельным

переносом?
42.11. Что означает,

параллельным переносом

что

фигура F'

на вектор

а

плоскости получается из

фигуры F

?

42.12. Сформулируйте основные свойства параллельного переноса.
42.13. Задается ли параллельный перенос указанием: а) его направления;

б)

расстояния от точки А до точки А', в которую переходит данная точка?
42.14. В какую фигуру переходит при параллельном переносе: а) прямая;

б) луч?
42.15. При каком условии существует параллельный перенос,
переводящий: а) один отрезок в другой; б) одну прямую в другую; в) один луч в другой;
г) одну окружность в другую: д) один угол в другой?
42.16. На рисунке 234 найдите векторы, которые: а) одинаково направлены;
б) противоположно направлены; в) равны.

Рис.234

42.17. Сколько различных векторов определяют вершины:

б)

параллелограмма;

а)

треугольника;

в) трапеции?

42.18. Даны два параллельных и одинаково направленных луча. Сколько
существует параллельных переносов, переводящих один из них в другой?

42.19. Существует

ли

треугольника переходит

42.20. Приведите

параллельный перенос,
другую сторону?

примеры фигур, которые можно перевести на себя с

помощью параллельного переноса.
112

при котором одна сторона

в его

42.21. Даны две пары параллельных прямых:
существует

а прямую

Ъ

параллельный
на прямую

перенос,

переводящий

Ь'. Всегда

ли

прямую а на прямую

а',

а

а'

||

и

b

||

Ъ'?

§ 43. Движение. Равенство фигур
43.1. Какое преобразование

43.2.
43.3.
43.4.
43.5.

плоскости называется движением?
Приведите примеры движений.
Что называется композицией движений?
Сформулируйте основные свойства движений.
Какие две фигуры называются равными?

43.6. Как

понимаются слова «в том и только том случае»,

тогда», например, в следующем утверждении:

«Два

«тогда и только

треугольника равны в том

и только том случае

(тогда и только тогда), когда один из них переводится
другой»?
43.7. Могут ли при движении разные точки переходить в одну точку?
43.8. Могут ли при движении разные прямые переходить в одну прямую?
43.9. В какую фигуру переходит при движении: а) окружность; б)
полуплоскость; в) середина отрезка АБ; г) биссектриса ОС угла АОВ; д) медиана ВМ

движением в

ABC; е) высота ВН треугольника ABC?
43.10. Имеются две равные окружности. Укажите движения, которые могут

треугольника

одну из них перевести в другую.
43.11. Имеются два равных угла. Укажите движения, которые могут один
из них перевести в

другой.

43.12. При

некотором движении луч АБ переходит на луч CD, причем
лучи параллельны и одинаково направлены. Следует ли из этого, что данное

переносом?
43.13. При некотором движении луч АБ переходит на луч CD, который
параллелен и противоположно направлен ему. Следует ли из этого, что данное
движение является центральной симметрией?
43.14. Назовите движения, которые могут перевести один луч в другой.
43.15. Назовите движения, при которых каждая прямая переходит в
движение является параллельным

параллельную ей прямую или в себя.
43.16. Верно ли утверждение о том,
переводит каждую прямую в

параллельным

себя

что если некоторое движение

или в параллельную

ей прямую,

то оно является

переносом?

43.17. При движении ААВС перешел
б) биссектриса BL; в) высота СН?

в

ДА^С^ Куда перейдет: а)

медиана

AM;

43.18. Дан ромб ABCD. В какую фигуру

Почему?
43.19. Будет
точки плоскости

А'Б'

=

в

ли следующее
и

kAB, где k

плоскости

переходит

А

Б переходят
>

0; б)

А переходят

он

преобразование
в

точки

перейдет

А',

движении?

плоскости движением:

соответственно

точка М остается на месте,

в точки

при

для которых МА'=

А'

и

В',

а)

для которых

а все остальные точки

МА; в)

точка

О

точку Р, точка Р переходит в точку О, а все остальные точки плоскости
113

г) произвольная точка N плоскости переходит в точку N'
заданное число?
такую, что NN'= k, где k
43.20. Докажите, используя движение, равенство двух трапеций, если:
а) стороны одной из них соответственно равны сторонам другой; б) основания

остаются на месте;

и диагонали

другой; в)

одной

из

них

соответственно

равны

основаниям

основание, диагональ и угол между диагоналями

и диагоналям

одной

из них

соответственно равны основанию, диагонали и углу между диагоналями

43.21. Каким

осевые симметрии относительно параллельных

43.22. Верно

другой.

движением можно заменить две последовательно выполненные

ли следующее утверждение:

А и Б на месте, то

G

является

прямых?

«Если движение G

оставляет точки

осевой симметрией»?

§44*. Паркеты
44.1. Какое

заполнение плоскости называется паркетом?
44.2. Какой паркет называется правильным?
44.3. Чему равен угол правильного: а) треугольника; б) четырехугольника;
в) пятиугольника; г) шестиугольника; д) п-угольника?
44.4. Угол правильного n-угольника равен: а) 135°; б) 144°; в) 150°. Чему

равно п!
44.5. Какое наибольшее число правильных:

а)

треугольников;

б)

пятиугольников; г) шестиугольников; д) семиугольников; е)
восьмиугольников может сходиться в одной вершине паркета? Сделайте вывод.
44.6. Какое: а) максимальное; б) минимальное число одноименных

четырехугольников;

в)

правильных многоугольников может сходиться в

44.7. Из

одной вершине паркета?

каких одноименных правильных многоугольников можно сложить

паркет?
44.8. Почему не существует правильного паркета из: а) пятиугольников;
б) семиугольников; в) восьмиугольников; г) n-угольника, где п > 6?
44.9. Почему в вершине паркета не может сходиться только два
многоугольника?
44.10. Можно

ли сложит паркет из правильных восьмиугольников и

квадратов? При каком условии?
44.11. Сколько всего правильных паркетов?
44.12. Известно, что в вершине правильного

паркета сходится один

Какие еще многоугольники могут сходиться в ней?
44.13. Известно, что в вершине правильного паркета сходится
Какие еще многоугольники могут сходиться в ней?
треугольник.

один квадрат.

44.14. Известно, что в вершине правильного паркета сходится
Какие еще многоугольники могут сходиться в ней?

один

шестиугольник.

44.15. Известно, что в вершине правильного паркета сходится один
Какие еще многоугольники могут сходиться в ней?
44.16. Известно, что в вершине правильного паркета сходится один

восьмиугольник.

двенадцатиугольник.

114

Какие еще многоугольники могут сходиться

в

ней?

44.17. Какое
раскрасить (т.

минимальное число красок нужно взять,

е. соседние многоугольники,

чтобы правильно

общую сторону, имеют
многоугольников?

имеющие

цвета) правильные паркеты из одноименных
44.18. Какое минимальное число красок нужно взять, чтобы правильно
раскрасить правильные паркеты из разноименных многоугольников?
44.19. Можно ли составить паркет из треугольника произвольной
формы?
44.20. Чему равна сумма углов: а) выпуклого; б) невыпуклого
четырехугольника?
44.21. Можно ли составить паркет из равных: а) выпуклых; б) невыпуклых
четырехугольников?
44.22. Сколько цветов нужно взять, чтобы правильно раскрасить паркет из
четырехугольников: а) выпуклых; б) невыпуклых?
44.23. По рисунку 235 объясните, как строится паркет из
разные

четырехугольника.

Рис. 235

Глава

VIII. ПОДОБИЕ

§ 45. Подобие треугольников. Первый признак подобия треугольников
45.1. Приведите

примеры фигур, имеющих одинаковую форму.
45.2. Какие два треугольника называются подобными?
45.3. Что называется коэффициентом подобия треугольников?

45.4. Можно ли считать: а)
треугольники равными?
45.5. Закончите следующее
45.6. В

чем заключается

равные треугольники подобными;

предложение: «ААВС

первый

признак подобия

™

AAXBXCV

б) подобные
если ...».

треугольников?
115

45.7. По рисунку 236 воспроизведите доказательство первого признака

по-

45.8. Стороны треугольника АБС равны 6 см, 12

стороны подобного ему треугольника
k

=

АВ,

равен:

если

см и 15 см. Найдите
коэффициент подобия

а) 3; б)

АВ

45.9. Стороны треугольника относятся как 2:5:6. Меньшая сторона
подобного ему треугольника равна 6 см. Найдите стороны второго треугольника.
45.10. Стороны треугольника равны 10, 15 и 20. Произведение сторон
подобного ему треугольника равно 24. Найдите стороны второго треугольника.
45.11. Стороны двух подобных треугольников относятся как 2:3. Как
относятся их соответствующие: а) медианы; б) биссектрисы?

45.12. Два
и

треугольника подобны.

Два

угла одного треугольника равны 55°

80°. Найдите: а) наименьший; б) наибольший угол второго треугольника.
45.13. Подобны ли два: а) равносторонних треугольника; б)

в) неравных прямоугольных треугольника
гипотенузами?
45.14. Сформулируйте первый признак подобия треугольников для:
а) равнобедренного; б) прямоугольного; в) равнобедренного прямоугольного
равнобедренных прямоугольных треугольника;

с равными

треугольника.
45.15. В треугольнике ABC DE

|| АС

и

DF

||

ВС (рис. 237). Найдите подобные

треугольники.

Рис.237
45.16. Подобен
линиями?

116

ли треугольник треугольнику,

образованному

его средними

45.17. На рисунке 238 найдите подобные треугольники,
параллелограмм; в) CDEF
б) ABCD
трапеция (AD || БС).
М

параллелограмм;

если: a) KL || MN;
г) ABCD

N

В

N

D

Рис.238

В

В
б)

В

В
в)

Рис.239

г)

подобных треугольников изображено на рисунке 239,
KL
АВ
MN;
б) KL || АВ; в) MN || АВ; г) АВ || KL || MN?
а)
||
||

45.18. Сколько пар
если:

117

45.19. Составьте

и решите задачи по рисунку

240.

Рис. 240

45.20. Можно ли две стороны треугольника пересечь прямой,
непараллельной третьей его стороне, таким образом, чтобы она отсекала треугольник,
подобный данному?
45.21. Как через точку, принадлежащую стороне треугольника, провести
прямые, отсекающие от него треугольники, подобные данному? Сколько
решений имеет задача?
45.22. По рисунку 241 найдите отрезок АН.
В

Рис. 241

45.23. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота СН

(ZC

=

90°). Назовите подобные треугольники.
45.24. В двух равнобедренных треугольниках равны углы при основаниях.
Периметр первого треугольника равен 75 см. Найдите: а) периметр второго
треугольника, если их основания относятся как 3 : 2; б) периметр второго
треугольника, если их боковые стороны относятся как 3 : 5; в) его стороны,
=

если стороны второго треугольника относятся как

118

1:2:2.

45.25. Из вершины S треугольника RST (рис. 242) проведен отрезок SU
образом, что углы RSU и RTS оказались равны. Найдите отрезок RU,
80 см, RS
40 см.
если RT
таким

=

=

§ 46. Второй

и

третий признаки подобия треугольников

46.1. Сформулируйте: а) второй; б) третий

признак подобия треугольни¬

ков.
46.2. По рисунку 243 воспроизведите доказательство:

а)

второго;

б)

третьего

признака подобия треугольников.

Рис. 243
46.3. Сформулируйте второй признак подобия треугольников для: а)
равнобедренных; б) прямоугольных треугольников.
46.4. Сформулируйте третий признак подобия треугольников для: а)
равносторонних; б) равнобедренных треугольников.
АВ
АС
=

46.5. В треугольниках ABC и DEF известно, что:

АВ

б)

=

FE

и

АВ

=

FD

ВС

б)

^А

ZD;

и

DEF известно,

что:

а)

АВ

АС

ВС

DE

DF

EF

АС
.

Какие углы треугольников равны с

А1В1С1 ZA ZAX и стороны АВ, АС в 3 раза
AXBV AXCV Найдите стороны ВС и BXCV если их:

46.7. В треугольниках ABC и

больше сторон

а)

и

ZF. Какие еще углы треугольников равны?

46.6. В треугольниках ABC
АВ

^7

ВС

соответственно

сумма равна 36 см;

б)

=

разность равна 48 дм.
119

46.8. Определите, подобны

а) 1

м,

35 мм;

1,5 м, 2
в) 12 дм,

46.9.

м и 10 см,

ли

треугольники,

15 см, 20 см;

б) 3

если

их

стороны

13 дм, 14 дм и 13 дм, 14 дм, 15 дм.

одного треугольника составляет

Периметр

^

периметра подобного ему

треугольника. Найдите соответствующие стороны, если их:

а)

120 мм; б) сумма равна 60 см.
46.10. На рисунке 244 ОА

10. Будут

треугольники

ОВС

равны:

см, 6 см, 7 см и 3 см, 15 мм,

=

5, ОБ

=

16, ОС

=

8

и

OD

=

разность равна

ли

ODA подобны?

и

Рис. 244
46.11. Подобны ли равнобедренные треугольники, если основание и высота,
проведенная к нему, одного треугольника в 2 раза больше соответствующих
элементов другого треугольника?

46.12. Каждый

катет одного прямоугольного треугольника на

катетов другого прямоугольного треугольника.

46.13. Можно

ли

в

треугольнике провести

Подобны
высоту

3

см

больше

треугольники?
таким образом, чтобы
ли

подобных треугольника?
46.14. По рисунку 245 объясните, как, используя подобие треугольников,
определить ширину реки (ХУ).
она разделила его на два

Рис. 245
46.15. По рисунку 246

Рис. 246

объясните,

как измеряется высота дерева.

46.16. На рисунке 247 MN параллельна ВС
в отношении т : п, считая от их

б) ВС,
120

если MN

=

Ъ.

общей

и

делит

вершины. Найдите:

стороны

a) MN,

АВ

если

и

ВС

АС

=

а;

Рис.247
46.17. По рисунку 248 докажите, что если ДАВС

то отношение

двух соответствующих сторон треугольников равно отношению их
соответствующих:

а)

высот;

б)

медиан;

в) биссектрис.

Рис. 248

46.18. Подобны
отношения их оснований

ли два

равнобедренных

и высот,

опущенных на

треугольника, если равны

них?

46.19. Сколько получится подобных треугольников, если в треугольнике
линии?
46.20. В треугольнике DEF проведены высоты ЕН и FP (рис. 249). Будет
треугольник DHP подобен данному треугольнику, если ADEF: а)

провести все средние

ли

остроугольный; б) тупоугольный, причем угол D

тупой; в) тупоугольный,

причем

Рис.249
46.21.

Будет

ли

Треугольник ABC подобен
подобен треугольник

коэффициентом?
46.22. Подобны ли
АС\\А1С1 (рис. 250)?

треугольнику

А^^С^

треугольники

А1В1С1 с

коэффициентом k.

треугольнику ABC? Если да, с каким

ABC

и

AXBXCV

если

АВ\\АгВ19 ВС\\В1С1

и

46.23. Может ли медиана треугольника рассечь его на два неравных
подобных треугольника?
46.24. В треугольнике LMN проведены медианы ММХ и NN которые
пересекаются в точке G (рис. 251). Найдите все пары подобных треугольников.
46.25. На рисунке 252 МА
касательная, MB
секущая окружности.
Докажите, что треугольники МАВ и MCA подобны. Найдите углы
,

треугольников,
122

если дуга

АС

составляет

60°

и

ZM

=

50°.

N

Рис. 251

Рис. 252

46.26. На сторонах угла АОВ (рис. 253) отложены отрезки OK,
ON
OK
ON таким образом, что
Найдите пары равных углов.

OL

и

ОМ,

=

.

Рис.253

Рис. 254

46.27. На рисунке 254 DL
биссектриса треугольника DEF,
вписанного в окружность. DL пересекает окружность в точке К, которая соединена
отрезками с вершинами Е и F треугольника. Найдите подобные треугольники.
его
46.28. В окружность вписан остроугольный треугольник ABC, АН

точке

AD
диаметр окружности, который пересекает сторону ВС
М (рис. 255). Точка D соединена с вершинами Б и С треугольника.

Найдите

подобные треугольники.

высота,

в

123

46.29. Можно

треугольника?
46.30. Как в
треугольнику?

ли вписать в окружность два неравных

подобных

данную окружность вписать треугольник,

подобный данному

§ 47. Подобие фигур. Гомотетия
47.1.
47.2.
47.3.
47.4.

Какое преобразование плоскости называется подобием?
Что такое коэффициент подобия?
Какие две фигуры называются подобными?

Сформулируйте основные свойства подобия.
47.5. Какое преобразование плоскости называется гомотетией?
47.6. Что такое: а) центр; б) коэффициент гомотетии?

47.7. Верно

подобием с тем же
коэффициентом;
коэффициентом; б) подобие
в) равные многоугольники подобны; г) подобные многоугольники равны?
47.8. Чему равен коэффициент подобия равных многоугольников?
47.9. Подобны ли два: а) параллелограмма с равными углами; б) ромба с
ли

утверждение:

а)

гомотетия

является

углами?
47.10. Подобны

является

гомотетией

с

тем

же

равными

ли

любые два: а) квадрата; б) ромба; в) прямоугольника;

г) правильных п-угольника?
47.11. Сформулируйте признаки подобия для двух: а) ромбов; б)
прямоугольников; в) параллелограммов.
47.12. Сформулируйте признаки подобия для двух трапеций: а)
прямоугольных; б) равнобедренных.
47.13. Будут ли подобны две трапеции, у которых соответствующие
основания и боковые стороны

пропорциональны?
47.14. В четырехугольнике ABCD проведен отрезок EF (рис. 256) таким
образом, что полученный четырехугольник AEFB подобен данному. Найдите
b и четырехугольник ABCD: а) прямоугольник;
его стороны, если АВ
а, AD
б) параллелограмм.
=

=

а)

б)
Рис. 256

47.15. Углы двух равносторонних многоугольников соответственно равны.
Подобны ли эти
124

многоугольники?

47.16. Отношение периметров подобных многоугольников равно: а) 1
: 2. Найдите наибольшую сторону первого многоугольника, если

б) 3

наибольшая сторона второго многоугольника равна

47.17. Сад

имеет

60

:

3;

см.

форму четырехугольника. Периметр четырехугольника,

его на плане, равен 20 см, а его стороны относятся как
8. Найдите длины сторон садового участка, если масштаб плана
равен 1 : 1000.
47.18. Стороны пятиугольника относятся как 3 : 4 : 2 : 5 : 6. Найдите
периметр подобного ему пятиугольника, если его наименьшая сторона равна 10 см.

который изображает
3

:

4

5

:

:

47.19. Наибольшие стороны двух подобных многоугольников
3
как

-.

Найдите периметр большего

из них,

относятся

если периметр меньшего из них

5
равен

120

см.

47.20. Две фигуры, состоящая каждая

Как расположены

из окружности и хорды,

подобны.

хорды?
47.21. На рисунке 257 изображены рамки в форме: а) прямоугольного
треугольника; б) прямоугольника; в) ромба; г) правильного шестиугольника;
д) кольца. Определите, будут ли фигуры, образующие внешний и внутренний
контуры, подобны.
в этом случае

Рис.257
47.22. Можно ли с помощью

преобразования подобия

перевести угол 30°

в угол 60°?
125

47.23. Существуют

ли подобные неравные многоугольники
периметром?
47.24. В трапеции ABCD (АВ || CD) проведены диагонали АС
пересекаются в точке О. Назовите подобные треугольники.

с одним и тем

же

47.25. Меньшее

основание

диагоналей удалена

от

трапеции

оснований

на

1

2

равно

2

и

см

см.

см.

и

BD, которые

Точка пересечения

Найдите среднюю

ее

линию

трапеции.

47.26. Трапеция

с основаниями

4

см и

6

см разделена

средней линией

на

подобны?
Будут
47.27. Как построить точку А\ гомотетичную данной точке А, если даны
центр гомотетии О и ее коэффициент к. Как расположены точки А и А!
относительно центра гомотетии, если: a) к > 0; б) k < 0; в) 0 < к < 1; г) к > 1?
ли они

две трапеции.

47.28. Даны две точки X и Y и гомотетичные им точки соответственно Хх
Yv Можно ли по ним найти центр гомотетии?
47.29. Даны: а) две точки; б) два параллельных отрезка. Гомотетичны ли
они? Если да, где расположен центр гомотетии? Сколько возможно центров
гомотетии?
и

в

47.30. Всегда ли параллельные отрезки гомотетичны?
47.31. Найдите значение коэффициента к, при котором гомотетия
точке О является движением.
47.32. Найдите коэффициент к гомотетии
известно, что:
а) точка А переходит в

если

в точку

д)

А2; в)

точка

точка В переходит в точку

А переходит
I

1

сх

Бх; е)

в точку

1

1

А2

Вг; г)

точка

1

1

1
о

а

с центром в точке
точку

Ах\ б)

точка

точка

с центром

О (рис. 258),
А переходит

С переходит
в точку Б.

в точку

Сг;

С переходит

1

1

1

вх ах

1

1

в

1
с

Рис.258
47.33.

Существуют

ли точки,

которые переводятся

47.34. Существуют ли прямые, которые
47.35. Какая фигура будет гомотетична

гомотетией

переводятся

на

гомотетией

себя?

на

себя?

отрезку с концом в центре

гомотетии?
47.36. Укажите коэффициенты гомотетии, обратной
циентом:

а) 1; б) 2; в) -1; г)

1
-;
z

47.37. Какое

известное

д)

2
-;

гомотетии с

е) -3.

о

преобразование

представляет собой гомотетия с

коэффициентом, равным -1?
^
47.38. Угол А переводится гомотетией с коэффициентом

-

ли эти углы

коэффи-

равны?

47.39. Можно ли считать гомотетичными две

^

в угол

Б. Будут

окружности?
47.40. Сколько центров гомотетии имеют: а) две равные окружности;
б) две неравные окружности?
47.41. Как расположены две окружности друг относительно друга, если их
центром гомотетии является: а) центр одной из окружностей; б) точка,
принадлежащая одной из данных окружностей?
126

47.42. Где расположен центр

гомотетии двух

окружностей, одна
треугольника?

из которых

вписана, а другая описана около равностороннего

47.43. Как

расположены относительно друг друга две гомотетичные

прямые?
47.44.

Существует

ли гомотетия,

которая

преобразует

условии, что их центры совпадают?
47.45. В треугольнике ABC проведены медианы
что треугольники

ABC

и

А1В1С1

гомотетичны.

квадрат в круг при

AAV ВВ1

и

Найдите центр

ССг. Докажите,
и

коэффициент

гомотетии.

47.46. Гомотетичны
ABCD

47.47.

ли

треугольники

BCD

и

MCN

на рисунке

259,

где

квадрат. Если да, где центр гомотетии?

Существует

ли гомотетия, которая переводит параллелограмм в тот

самый параллелограмм?
47.48. На рисунке 260 изображены два прямоугольника с общей точкой
пересечения диагоналей. Будут ли эти прямоугольники гомотетичны? Всегда ли
же

два

прямоугольника с соответственно параллельными сторонами гомотетичны?

47.49.

При

каком условии треугольник

ABC

можно перевести в треугольник

А'В'С с помощью гомотетии?
47.50. Как нужно расположить два равных угла, чтобы
рассматривать как гомотетичные?

их

можно

было

§ 48*. Золотое сечение
48.1. Какое деление отрезка называется золотым сечением?
48.2. Как еще называется золотое сечение?
48.3. Когда

и где появился

термин «золотое сечение»?
127

48.4. С

именами каких ученых связано изучение золотого

48.5. Каким числом выражается золотое сечение?
48.6. По рисунку 261 объясните, как построено золотое

сечения?

сечение отрезка

АС.

Рис.261
48.7. Какой буквой обозначается золотое сечение?
48.8. Какая фигура изображена на рисунке 262?

Рис. 262
48.9. Какой: а) прямоугольник; б) треугольник называется золотым?
48.10. Сколько существует типов золотых треугольников? Каковы

их

углы?
48.11. Подобны ли два золотых: а) прямоугольника; б) однотипных
треугольника?
48.12. Как получить вращающиеся: а) квадраты; б) треугольники?
48.13. Как называется кривая, которая получается при вращении: а)
квадратов; б) треугольников?
48.14. Как получить пентаграмму (рис. 263) из правильного
пятиугольника?
48.15. Сколько

золотых

треугольников

пентаграмма?
48.16. Сколько всего: а) треугольников; б)
типа изображено на рисунке 263?

каждого

типа

содержит

золотых треугольников каждого

48.17. Как построить правильный: а) десятиугольник; б) пятиугольник,
вписанный

128

в

окружность?

Рис. 263

Найдите углы равнобедренного треугольника, если биссектриса угла
отсекает от него треугольник, подобный данному.
основании
при
48.19. Найдите радиус окружности, которая описана около правильного
десятиугольника со стороной: а) 1; б) 2; в) а.
48.18.

48.20. На рисунке 264 изображена бумажная полоска, завязанная простым
узлом. После того как ее расправили, узел стал плоским и получил форму

правильного пятиугольника. Объясните, почему

так

произошло?

В

§ 49. Теорема Пифагора
49.1. Когда и где жил Пифагор?
49.2. Как формулируется теорема Пифагора?
49.3. По рисунку 265 воспроизведите доказательство

теоремы

Пифагора.

С

49.4. Какие два отрезка называются:

а)

соизмеримыми;

б)

несоизмеримыми?
129
5 Смирнова,

7-9 кл.

49.5. Приведите примеры: а) соизмеримых; б) несоизмеримых отрезков.
49.6. Какие три числа называются пифагорейскими? Приведите примеры.
49.7. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты
равны:

а) 3

мм и

4 мм; б) 8

49.8. Найдите

см и

6 см; в) 5 дм

а) 6

12 дм; г) 7

м и

б) 20

8 м; д)

другой

если

а и Ь.

его катет

25 см; в) 10 м
15 м; г) 14 км и 15 км; д) а и с.
49.9. Найдите гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника,

и гипотенуза равны соответственно:
и

и

катет прямоугольного треугольника,

а) 1

б) 2

дм и 10 дм;

см и

в) 10 м; г) Ь.
стороной, равной: а) 1; б) 3; в) 12; г) а.
49.11. Найдите диагонали прямоугольника со сторонами, равными: а) 1 см

если его катет равен:

49.10. Найдите
и

см;

дм;

диагональ квадрата со

2 см; б) 3 см и 4 см; в) 5
49.12. Из данной точки
24 см,

6 см; г)

см и

а и

Ь.

к окружности проведены две касательные.

Сумма

данной точки до центра окружности
13
см.
Найдите
равно
радиус окружности.
49.13. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной, равной:
а) 1; б) 2; в) 6; г) а.
их отрезков равна

а расстояние от

49.14. Найдите сторону равностороннего треугольника,

а) 1; б) 6; в) 12; г) h.
49.15. Определите вид треугольника,

если

его высота

равна:

б) 1,

л/2

,

л/3

;

в)

а, Ь,

с

=

л/а2

+

b2

если его стороны равны;

а) 2, 3, 4;

.

49.16. Диагонали ромба равны: а) 6 дм

и

8 дм; б) 16

см и

30

см.

Найдите

его периметр.

49.17. Диагональ ромба равна 10 см,
диагональ данного

49.18. Стороны

его сторона

13

см.

Найдите другую

ромба.
прямоугольника равны:

радиус окружности, описанной

а) 3

см и

4 см; б)

т и п.

Найдите

около него.

49.19. Диаметр окружности равен D. Найдите сторону

вписанного в нее

четырехугольника; б) треугольника.
49.20. По данной стороне а найдите радиус окружности, описанной около

правильного:

а)

правильного: а) четырехугольника; б) треугольника.
49.21. В окружность вписаны правильный шестиугольник и квадрат.
Сторона шестиугольника равна а. Найдите периметр квадрата.
49.22. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности
радиусом 3 см.
49.23. В равнобедренной трапеции высота (длина перпендикуляра между
основаниями) равна 15 см, основания равны 8 см и 24 см. Найдите боковые

стороны.
49.24. К окружности радиусом 3 см из данной точки проведены две
касательные. Сумма их отрезков равна 18 см. Найдите расстояние от данной точки
до центра окружности.

49.25. Концы диаметра удалены от прямой, не имеющей с окружностью
18 см и 12 см. Проекция диаметра на эту прямую равна 8 см.

общих точек, на

Найдите радиус данной окружности.
130

49.26. Концы диаметра удалены
расстояние от

данной прямой

от

прямой

на

18

12

см и

см.

Найдите
а) не

до центра окружности, если диаметр:

*б) пересекает данную прямую.
49.27. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите

пересекает;

радиус:

а) описанной

б) вписанной

около него окружности;

в него окружности.

4:3:5.
49.28. В треугольнике ABC справедливо соотношение АВ : ВС : АС
Какая из сторон треугольника лежит ближе к центру описанной окружности?
49.29. Диагональ прямоугольника равна 39 см. Найдите его периметр, если
стороны относятся как 5 : 12.
49.30. Диагонали ромба относятся как 3:4. Найдите их, если его периметр
=

40 см.
49.31. Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 5
Найдите их, если известно, что хорда большей окружности, касающаяся
меньшей окружности, равна 24 дм.
равен

:

3.

49.32. Две окружности, радиусы которых равны 2 см и 8 см, имеют внешнее
Найдите отрезок их внешней касательной между точками касания.

касание.

Глава

IX. ЭЛЕМЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

§ 50. Тригонометрические функции острого угла
50.1. Что

б) косинусом; в) тангенсом; в) котангенсом
треугольника?
50.2. Какие функции острого угла называются тригонометрическими?
50.3. Почему тригонометрические функции острого угла прямоугольного
треугольника зависят только от угла и не зависят от выбора самого
называется:

а)

синусом;

острого угла прямоугольного

треугольника?
50.4. Пусть

АВ

в

прямоугольном треугольнике ABC ZC

=

90°, ВС

=

а, АС

=

b,

а) А; б) Б?

Чему равны тригонометрические функции острого угла:
50.5. Как связаны между собой тангенс и котангенс одного и того же острого
угла прямоугольного треугольника?
50.6. Катеты прямоугольного треугольника равны: а) 3 см и 4 см; б) 12 дм
и 5 дм; в) 9 м и 12 м. Найдите тригонометрические функции меньшего угла
=

с.

треугольника.

50.7. Найдите тригонометрические функции острых углов равнобедренного
прямоугольного треугольника.
90°. Укажите выражения для всех
50.8. В треугольнике DEF ZD
=

тригонометрических

функций

угла Е.

50.9. В прямоугольном треугольнике ABC

(ZC
А; б)

=

90°) СН

высота.

Укажите

косинуса угла Б.
50.10. Высота
опущенная на его основание,
равна 15 см. Найдите тригонометрические функции угла при основании
треугольника, если оно равно 16 см.

а) синуса угла
равнобедренного треугольника,

возможные выражения для:

131
5*

50.11. Как построить угол,

если его:

1

2,5; в) синус равен

-;

2

а)

г)

б)

тангенс равен

котангенс равен

5

2

косинус равен -?
3

50.12. Как построить прямоугольный треугольник так, чтобы: а) синус
одного его острого угла был в 2 раза больше синуса другого его острого угла;
б) косинус одного его острого угла был в 3 раза меньше косинуса другого его

угла?
50.13. Чему равны тригонометрические функции угла в: а) 30°; б) 60°?
50.14. Каким свойством обладает катет прямоугольного треугольника,
лежащий против угла в 30°?
50.15. Отрезок секущей двух параллельных прямых, заключенный между
острого

ними, равен 36 см. Найдите расстояние между прямыми, если один из углов,

образует с ними секущая, равен: а) 30°; б) 60°.
50.16. В равнобедренной трапеции один из углов равен 135°,
перпендикуляр, опущенный из точки одного основания на другое (высота трапеции) равен
8 см. Найдите: а) среднюю линию; б) периметр
6 см, меньшее основание
которые

трапеции.
50.17. Почему:

а)

синус;

б)

косинус острого угла меньше 1?

а)
б) котангенс острого угла быть больше 1?
cos ф; б) tg ф
a) sin ф
ctg ф, где ф
острый угол?
*50.20. Основание равнобедренного треугольника остается постоянным, а
50.18. Может ли:

50.19. Может

тангенс;

=

=

ли:

высота, опущенная на него, неограниченно возрастает. Как при этом изменяются
тригонометрические функции угла при основании треугольника?

*50.21. Что больше: a) sin а или tg а; б) cos а или ctg а, где а
угол?
*50.22. Что меньше: a) sin а или sin Р; б) cos а или cos Р, где а, Р
углы и ос <

§

острый
острые

Р?

51. Тригонометрические тождества
51.1. Чему равен: a) sin (90°

-

а); б)

(90°

cos

-

а); в) tg (90°

а), где а
острый угол?
г) ctg (90°
51.2. В чем заключается основное тригонометрическое тождество?
51.3. По рисунку 266 воспроизведите доказательство основного
-

тригонометрического тождества для угла А.
С

51.4.

132

Верно

ли, что:

а)1

+

tg2P

=

б) 1
(39
*

cos2

+
'

ctg2P
"Vfc>

K

_

1
*

sin2 p

-

а);

51.5. Найдите sin у,

если:

8,

если:

51.6.

Найдите

51.7.

Могут

ли

.5

ственно:

51.8.
углы

в)

а)

cos

1
и

-;

6

3

и

синус

б)'

>/з

a)

у

a) sin 8

косинус

S
и

3

cos

;

ч

в)

3

=

\\

б)

1
;

б) sin 8

A

=

одного

12

51.9. Равны

ли углы

А

и

Б

же

(3; в) tg

а >

?
40

равны,

то и

сами углы

г)

равны;

если котангенсы

равны?
267?

если sin

tg (3; г) ctg

угол.
соответ-

11
и

11

углов

51.11. Какой из острых углов, а или
cos а > cos

острый

угла равняться

синусы острых углов равны, то и сами

на рисунке

51.10. Найдите: a) tg у; б) ctg у,

б)

где 8

,

если тангенсы острых углов равны, то и сами углы равны:

острых углов равны, то и сами углы

острый угол.

5
=

9

.

где у

Э

;г)
13

Верно ли утверждение: а) если
б) если косинусы острых

\>

=

у

того

5
и

13

равны;

cos

а <

у

=

и

у

(3, больше,

острый угол.
a) sin а <

если:

sin

(3;

ctg |3?

§ 52. Тригонометрические функции тупого угла
52.1.
52.2.
52.3.
52.4.
+

Р)

=

Чему равен: a) sin 90°; б) cos 90°; в) sin (180°- а); г) cos (180°- а)?
Справедливо ли тригонометрическое тождество для тупых углов?
Найдите: a) sin 135°; б) cos 120°; в) tg 150°.
cos (3; б) cos (90°+
Верно ли следующее равенство: a) sin (90° + (3)
=

-sin

(3?

52.5. Даны два

котангенсов?
52.6. Упростите
г) ctg2 8

sin2 8

-

смежных угла.

выражение:

Чему

а) 1

+

равна сумма их:

tg2

а;

б) sin2(3

-

а)

cos2P

тангенсов;

+

1; в) 1

-

б)
sin2 у;

1 + sin2 8.

а.
52.7. Найдите тригонометрические функции угла в 154°, если sin 26°
52.8. Определите: а) синус; б) косинус какого угла меньше, в 120° или 150°.
=

52.9. Определите: а) тангенс; б)

котангенс какого угла

больше,

в

135°

или

120°.
52.10. Расположите

в

порядке возрастания

синусы

следующих углов:

0°,

30°, 100°, 130°, 170°.
133

52.11. Расположите

в порядке

убывания

косинусы следующих углов: 10°,

80°, 90°, 110°, 150°.

§ 53. Теорема косинусов
53.1. Сформулируйте теорему косинусов.
53.2. Почему теорема косинусов является обобщением теоремы
Пифагора?
53.3. По рисунку 268 воспроизведите доказательство теоремы косинусов,
где ABC

данный треугольник.

D

В

В

б)
Рис. 268

53.4.

Когда косинус угла отрицателен?

53.5. Найдите сторону треугольника,
заключающие угол в:

а) 30°; б) 150°,

если две другие его стороны,

л/3

равны

2

см и

см.

53.6. Найдите диагонали параллелограмма, если
2 дм и один из углов равен 60°.
53.7. В треугольнике стороны равны 1 см, л/з

1 дм,

его стороны равны

см

и

1 см. Найдите

его

углы.

53.8. В треугольнике стороны равны а, &

углы?
53.9. Найдите
б)

cos х +

tg

х

=

угол х

(0°

1; в) cos2x

=

В) cos2у
7;
4

*53.11. Для

каких

=

с.

Можно

ли

определить его

< х < 90°), если известно, что: a) sin х

г) tg2

=

53.10. Найдите угол у (90°

б) sin2#

и

4
<

у

<

|; Г) ctg2 у

х

180°),
=

=

=

cos х;

1.

если известно, что:

a) sin у

=

-

cosу;

1.

^

значений

х

(0°

< х <

90°) будет

выполняться неравенство:

*53.12. Для
неравенство:

каких

a) sin у

у <

значений у (90° <

>

;

б)

cos у <

2

-

-;
2

в) tg >

выполняться

180°) будет
-

;
3

г) ctg

у <

-у[з?

§ 54. Теорема синусов
54.1. Сформулируйте

теорему синусов.
54.2. По рисунку 269 воспроизведите доказательство теоремы синусов, где
ABC
данный треугольник.

54.3. Как

связаны между

собой

отношение стороны треугольника к синусу

противолежащего угла и окружность, описанная около этого

54.4. Объясните

по рисунку

270,

треугольника?

как с помощью теоремы синусов

определяют расстояния до недоступных предметов.
С

54.5. Стороны треугольника

относятся как

2:3:4. Как

треугольника?
54.6. Синусы углов данного треугольника относятся
относятся его стороны? Определите вид треугольника.

относятся синусы

углов данного

54.7.

как 5 : 12 : 13. Как

Найдите углы треугольника, имеющего стороны 2

54.8. Найдите

см,

отношение сторон треугольника с углами:

2л/3

см и

4

см.

а) 45°, 45°; 6)30°,

120°.
135

54.9. По рисунку 271 объясните, как, используя теорему синусов, измерили
высоту дерева PH, основание которого недоступно.
Р

54.10. В треугольнике

известны радиус

R описанной

около него окружности

(3. Найдите

стороны этого треугольника.
54.11. В треугольнике ABC (рис. 272) ZA
a, ZB
|3 и высота СН
Найдите стороны этого треугольника и радиус описанной около него
и два угла а и

=

=

=

h.

окружности.

В

А
-

D
\В

Рис. 272

А

*54.12. По рисунку 273 объясните,
F, где ZABC
р и CD || AF.

Рис. 273

как нашли расстояние между

объектами

=

и

*54.13. Могут

ли синусы углов треугольника относиться как

1:2:3?

§ 55. Длина окружности
55.1. Что

считается длиной окружности?
55.2. Как выражается периметр правильного я-угольника через радиус
описанной окружности?
55.3. Как относятся периметры двух правильных /г-угольников?

55.4. Как относятся длины двух окружностей?
55.5. Что обозначает греческая буква п?
55.6. Чему равна длина окружности радиусом R?
55.7. Какие неравенства выполняются для числа п?
55.8. Каково приближенное значение числа я?

136

55.9. Чему равна длина дуги окружности радиусом R в 1°?
55.10. Чему равна длина дуги окружности радиусом R в ф градусов?
55.11. Чему равна градусная мера угла в один радиан?

55.12. Выразите длину окружности через ее диаметр D.
55.13. Как изменится длина окружности, если ее: а) радиус увеличить
4 раза; б) радиус уменьшить
уменьшить в 8 раз?

55.14. Как

в

2 раза; в) диаметр увеличить

изменится длина окружности, если ее:

а)

в

в

6 раз; г) диаметр

радиус увеличить на

1 см; б) диаметр уменьшить на 1 см?
55.15. Длина окружности равна 1 м.

Чему равен ее диаметр?
55.16. Длина окружности увеличилась на 1 м. Как изменился ее: а) радиус;
б) диаметр?
55.17. Даны две окружности радиусами R и г (R > г). Как построить
окружность, длина которой была бы равна: а) сумме длин данных окружностей;
б) разности длин данных окружностей; в) удвоенной длине первой окружности;
в) половине длины второй окружности?
55.18. Как построить окружность, концентрическую двум концентрическим
окружностям радиусами R и г (R > г), длина которой равна среднему
арифметическому длин данных окружностей?
55.19. Сравните периметры двух фигур, изображенных на рисунке 274.

55.20. Сравните длину полуокружности диаметром KN, изображенной

на

275, с длиной кривой KLMN, образованной полуокружностями
диаметрами KL, LM и MN.
55.21. Найдите длину окружности: а) вписанной в единичный квадрат;
б) описанной около квадрата со стороной а; в) описанной около прямоугольного
рисунке

треугольника с катетами а и

Ь.

55.22. Найдите длину окружности: а) вписанной
треугольник со

стороной

стороной Ъ; б) описанной

в

равносторонний

около равностороннего треугольника со

с.

55.23. Найдите градусную меру угла: а) -; б)
3

; в) -я; г)
4

9

п18

в: а) 90°; б) 100°; в) 120°; г) 135°.
55.25. Найдите длину дуги окружности радиусом 3 см, которая
соответствует углу в: а) 45°; б) 90°; в) 150°; г) 180°.

55.24. Найдите радианную меру угла

137

55.26. Как относятся длины двух окружностей, одна из которых описана
около правильного единичного шестиугольника, а другая вписана в него?
55.27. Хорда, длина которой равна а, стягивает дугу в 60°. Найдите длину
дуги.
55.28. Угол между радиусами единичной окружности равен 72°. Найдите

который образован данными радиусами.
прямой линии, колесо сделало 100 оборотов. Во сколько
раз путь, пройденный центром колеса, больше его диаметра?
55.30. Угол качания маятника составляет 36°. Найдите длину дуги, которую

длину дуги сектора,
55.29. Катясь по

70 см.
55.31. Угол между радиусами окружности равен: а) 30°; б) 120°. Какой
путь между концами этих радиусов короче: по соответствующей дуге или по

описывает конец маятника, если длина маятника равна

радиусам?
55.32. Окружность диаметром D разогнули
соответствующий центральный угол.

в)

б)
Рис. 276
138

в дугу диаметром 2D. Найдите

§ 56*. Циклоидальные кривые
56.1.

В

чем заключается

56.2. Какая кривая

кинематический способ задания кривых?

циклоидальной?
56.3. Как переводится с греческого языка слово «циклоидальная»?
56.4. Как образуется: а) циклоида (рис. 276, а); б) кардиоида (рис. 276, б);
в) астроида (рис. 276, в)?
56.5. Кто из ученых первым стал изучать циклоиду?
56.6. Назовите какие-нибудь свойства циклоиды.
56.7. Имеет ли циклоида: а) центр симметрии; б) оси симметрии?
56.8. Имеет ли кардиоида: а) центр симметрии; б) оси симметрии?
56.9. Имеет ли астроида: а) центр симметрии; б) оси симметрии?
56.10. На рисунке 277 изображена кривая, которая называется
гипоциклоида. Как она получилась? Чему равно отношение радиусов подвижной и
неподвижной окружностей?
называется

56.11. На рисунке 278 изображена кривая, которая называется
эпициклоида. Отношение радиусов подвижной и неподвижной окружностей равно.
Обведите эту кривую.
56.12. Объясните по рисунку 279, как получается кривая.

Гл а

§

в а

X.

ПЛОЩАДЬ

57. Измерение площадей. Площадь прямоугольника
57.1. Какой квадрат

единичным?
а) миллиметром; б)
в) дециметром; г) метром; д) километром?
57.3. Что такое площадь фигуры?
57.4. Какие фигуры называются равновеликими?
57.2. Что

называется

называется

квадратным:

57.5. Сформулируйте свойства

сантиметром;

площади.

а) прямоугольника; б)
квадрата?
57.7. Найдите площадь квадрата, если его периметр равен 80 см.
57.8. Могут ли две равновеликие фигуры быть неравными?
57.9. На рисунке 280 укажите равновеликие фигуры.
57.6. По какой формуле вычисляется площадь:

57.10. Периметр прямоугольника равен 40
Найдите его площадь.

см, а длина в три раза больше

ширины.

57.11. Стороны прямоугольника равны 12 см и 3 см. Каковы стороны
равновеликого ему прямоугольника, у которого: а) одна сторона равна 10 см;
б) стороны относятся как 3 : 4; в) стороны равны?
57.12. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 50 см2,
а стороны относятся как

140

1:2.

57.13. Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр равен
10 см, а площадь равна 4 см2?
57.14. Найдите площадь квадрата по его диагонали а.
57.15. Найдите стороны квадрата, равновеликого прямоугольнику со
сторонами 8 м и 18 м.
57.16. Во

сколько раз площадь квадрата,

больше площади квадрата,

57.17. Как

вписанного в эту

описанного около окружности,

окружность?

изменится площадь прямоугольника, если его стороны:

2 раза; б) уменьшить в 3 раза; в) изменить в k раз?
57.18. Как изменится площадь квадрата, если его сторону:

а)

увеличить в

б) уменьшить в пг раз?
57.19. Как изменится площадь

а)

увеличить в

п раз;

стороны уменьшить на

2

квадрата,

если две его противоположные

см каждую, а две другие стороны увеличить на

2

см

каждую?
57.20. Периметр

прямоугольника равен 2р. Что больше, площадь этого
прямоугольника или площадь квадрата, имеющего такой же периметр?
57.21. Площадь прямоугольника вдвое меньше площади квадрата,

построенного на его диагонали. Какой это прямоугольник?
57.22. Какую площадь имеют части единичного квадрата, на которые он

разбивается: а) одной

диагональю;

б)

двумя диагоналями;

проходящими через середины противоположных сторон;
последовательно соединяющими середины сторон?

г)

в)

прямыми,

отрезками,

57.23. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как 4:9,
площадь прямоугольника равна 36 см2.
57.24. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 144 см2,
а стороны относятся как

1:2.

57.25. Площадь прямоугольника равна 48 см2, одна
8

из его

сторон

равна

разделен прямой, параллельной одной из его сторон, на
две равные части. Найдите периметры новых прямоугольников.
57.26. Чему равна сторона квадрата, равновеликого: а) сумме; б) разности
см.

Прямоугольник

квадратов?
57.27. Найдите на рисунке 281 площади заштрихованных фигур,

площадей двух

площадь квадрата

ABCD равна 9

кв.

ед.

если

и каждая его сторона разделена на

три равные части.

а)

б)
Рис. 281
141

57.28. Во

сколько раз площадь квадрата, построенного на катете

равнобедренного прямоугольного треугольника,

проведенной

построенного на высоте,

57.29. Как
б)

к

больше площади

построить квадрат, площадь которого

меньше площади данного

57.30. Может

квадрата,

гипотенузе?
в

2 раза: а) больше;

квадрата?

быть прямоугольник, длины сторон которого выражаются
числами,
равновелик прямоугольнику, длины сторон
иррациональными
которого выражаются рациональными числами?
ли

§ 58. Площадь параллелограмма
58.1. Что
58.2. По

высотой параллелограмма?

называется

формулам

каким

58.3. Площадь

вычисляется площадь

параллелограмма равна 100

см2,

параллелограмма?

стороны 25 см и 5 см.

Найдите высоты этого параллелограмма.
58.4. Стороны параллелограмма равны 15 см и 9 см. Высота, опущенная на
первую сторону, равна 6 см. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону
параллелограмма.
58.5. Стороны параллелограмма равны 6 см и 4 см. Одна из высот равна
5 см. Найдите другую высоту. Сколько решений имеет задача?

58.6. Найдите площадь параллелограмма,

если его стороны равны

12 дм, а угол между ними равен 60°.
58.7. Площадь параллелограмма равна 24 см2, расстояния

диагоналей до сторон равны 2 см и 3
параллелограмма.
58.8. Найдите площадь ромба со стороной 9 см
пересечения его

58.9. Найдите площадь ромба,
равна 4 см.

см.

11 дм

и

от точки

Найдите периметр

и тупым углом

если его углы относятся как

1

:

120°.

3,

а сторона

58.10. Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведенные из
10 м и 18 м. Найдите площадь параллелограмма.

вершины тупого угла, равны

Укажите
58.11.
стороны.

два решения.

Прямоугольник
Какая

из этих

58.12. Квадрат

и

и

параллелограмм

фигур

ромб

имеют

соответственно

большую площадь? Почему?
одинаковые периметры. Сравните их

имеют

58.13. На рисунке 282 укажите равновеликие фигуры.
58.14. Как изменится площадь параллелограмма, если: а)
высоты, увеличить в три раза сторону, к

которой

его сторону уменьшить в три раза, а высоту, проведенную к

площади.

не изменяя его

она проведена;

его стороны, уменьшить в два раза высоту, которая проведена к

в)

равные

имеет

б)

не изменяя

этой стороне;

ней, увеличить

раза?
58.15. Параллелограмм и прямоугольник имеют по равной стороне и равные
периметры. Площадь какой фигуры меньше? Почему?
*58.16. Найдите геометрическое место вершин параллелограммов,
равновеликих данному параллелограмму и имеющих с ним одну общую сторону.
в два

142

*58.17. Может

ли площадь параллелограмма равняться одному квадратному

метру, если длина

58.18. Участок
1

:

100. Во

каждой из его сторон меньше одного метра?
форму квадрата, его изобразили на плане

имеет

сколько раз площадь участка

фигуры, изображенной на плане?
58.19. Участок изображен на плане

в

в

масштабе

больше площади соответствующей

масштабе 1

:

100. Найдите

его

гектарах, если на плане он изображен квадратом со стороной 10 см;
б) арах, если на плане он изображен прямоугольником со сторонами 20 см и
35 см; в) кв. метрах, если на плане он изображен параллелограммом со
площадь в:

а)

сторонами 20 см и 40 см и углом 150°.
58.20. Квадрат и ромб имеют равные
его площадь в

*58.21. Как
параллелограмм,

2 раза
с

периметры.

Найдите углы ромба,

если

меньше площади квадрата.

помощью одного чертежного угольника построить

площадь которого

параллелограмма?
58.22. Найдите

площадь

вписанного круга равен

1

была бы вдвое

ромба,

меньше площади данного

если его сторона равна

3 см,

а радиус

см.

58.23. Два параллелограмма

имеют

общую

опущенные на нее, но их острые углы не равны.

сторону и равные высоты,

Сравните: а)

периметры параллелограммов.
58.24. Найдите площади частей, на которые делит:

а)

площади;

квадрат;

б)

б)

прямоугольник; в) ромб; г) параллелограмм прямая, проходящая через точку
пересечения его диагоналей, если его площадь равна Q.
143

58.25. Как разрезать фигуру, изображенную

283, на две
вырезанной
прямоугольной дырой; б) прямоугольником с вырезанной дырой в виде ромба; в)
параллелограммом с вырезанной квадратной дырой? Сколько решений имеет задача?
равновеликие части,

если она является:

а)

на рисунке

прямоугольником с

а)

б)

в)
Рис. 283

58.26. Может ли площадь параллелограмма равняться произведению его

диагональ?
*58.27. Как построить параллелограмм, равновеликий данному
параллелограмму, по стороне а и углу а?

стороны на

§ 59. Площадь треугольника
59.1. Какие формулы для вычисления площади треугольника вы знаете?
59.2. Как найти площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
и

59.3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание
боковая сторона равны соответственно: а) 6 см и 5 см; б) 24 дм и 13 дм.
59.4. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите

его высоты.

59.5. Найдите высоту прямоугольного треугольника

проведенную

59.6. Две стороны треугольника равны 5

первой

Ь,

см и

8

см.

Высота, проведенная к
второй стороне

стороне, равна 6 см. Найдите высоту, проведенную ко

треугольника.
59.7. В трапеции с основаниями а

и

b провели диагональ. Как относятся

площади получившихся треугольников?
59.8. Найдите площадь треугольника, если две
и 9 см, а угол между ними равен: а) 60°; б) 150°.
144

с катетами а и

к гипотенузе.

его стороны

равны

2

см

59.9. Какой треугольник

наибольшую
стороны?

имеет

которые имеют по две равные

площадь из всех треугольников,

59.10. Площадь

треугольника равна 54 см2. Найдите высоту треугольника,
к
проведенную
стороне, равной 27 см.

59.11. Две стороны треугольника равны 8

см и

5

см.

Может

а) 10 см2; б) 15 см2; в) 20 см2; г) 25 см2?
59.12. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного
если его гипотенуза равна: а) л/2 см; б) 8 см.

ли его площадь

равняться:

треугольника,

59.13. На рисунке 284 найдите равновеликие треугольники.

59.14. В треугольнике ABC сторона АВ в три раза больше стороны АС. Чему
равно отношение высот, проведенных из вершин Б и С?
59.15. Как

изменится площадь треугольника, если:

стороны, увеличить опущенную на нее высоту в три раза;

а)
б)

не изменяя его
не изменяя его

в) сторону
увеличить в пять раз, а высоту, опущенную на нее, уменьшить в два раза?
высоты, уменьшить сторону, на которую она опущена, в два раза;

145

59.16. Определите площади треугольников, изображенных

59.17. Какую

на рисунке

часть площади данного треугольника составляет

треугольника, отсекаемого его

285.

площадь

средней линией?

59.18. Сторона одного треугольника равна 10 см, высота, опущенная на
нее, равна 4 см. В другом треугольнике, равновеликом первому, одна из сторон
равна 20 см. Найдите высоту, опущенную на эту сторону.
ВС

59.19. В параллелограмме ABCD вершина А соединена с серединами сторон
CD (рис. 286) и вершиной С. Будут ли полученные таким образом четыре

и

треугольника

равновеликими? Почему?

59.20. Середины сторон параллелограмма последовательно соединены между
собой. Какой получился четырехугольник и какова его площадь, если площадь
данного параллелограмма равна 16 см2?
59.21. В треугольнике ЛВС проведены медианы
шесть треугольников.

Будут

ли все они

AAV ВВХ

и

ССГ Образовалось

равновеликими?

59.22.

В треугольнике ABC проведены медианы AAV ВВХ и CCV М
центроид. Найдите отношение площадей: а) треугольников АХСМ и данного;
б) треугольников АМВ и ВСВг; в) четырехугольника АСВМ и данного
треугольника.
59.23. В параллелограмме ABCD проведены диагонали АС и BD, которые
пересекаются в точке О. Назовите образовавшиеся равновеликие, но не равные
треугольники.
146

*59.24. На рисунке 287 изображен параллелограмм ABCD,

F

середины сторон AD и CD. Во сколько раз площадь

в

котором

закрашенной

Е,

части

больше площади незакрашенной части?
В

С

F

D

А
Е
Рис. 287
59.25. Как

от треугольника отрезать треугольник,

равна половине площади данного

площадь которого

треугольника?

59.26. Как отрезать от прямоугольника треугольник, площадь которого
составляла бы третью часть площади данного прямоугольника?
59.27. Диагонали ромба равны: а) 12 см и 16 см; б) dx и d2. Найдите
площадь ромба.
59.28. Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны и равны:
а) 6 дм и 17 см; б) dx и d2. Найдите площадь четырехугольника.
59.29. В треугольнике ABC известно расположение вершин А, В и длина
стороны АВ, которая равна 5 см. Найдите геометрическое место вершин С
таких, чтобы площадь треугольника ABC равнялась 20 см2.
59.30. Найдите геометрическое место вершин треугольников,
данному треугольнику и имеющих с ним одну

59.31.

общую

равновеликих

сторону.

Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая,
противоположной стороне. Отрезки проведенных прямых

параллельная

образуют треугольник. Во сколько раз площадь нового треугольника больше

треугольника?
59.32. Могут ли быть равновеликими: а) два неравных прямоугольника,
имеющих по равной стороне; б) два неравных треугольника, имеющих по две
соответственно равные стороны?
59.33. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О.
площади данного

Найдите площади получившихся треугольников,

если площадь данного

Q.
59.34. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD (рис. 288) и
взята внутренняя точка К, которая соединена отрезками со всеми вершинами
параллелограмма. Почему SAKB + SDKC
S^?

параллелограмма равна

=

В

С

D

А
Рис. 288

147

59.35. Найдите внутри параллелограмма такую точку, чтобы прямые,
соединяющие

ее с вершинами данного параллелограмма,

разделили его на четыре

равновеликие части.

59.36. Сторона АВ треугольника ABC разделена

на:

а) 5; б) 8

равных частей,

причем через третью точку М деления, считая от вершины А, проведен отрезок
СМ. Найдите отношение площадей треугольников ACM и БСМ.
59.37. Найдите по рисунку 289 площадь треугольника: а) АВВХ\ б) АМС;

в) СМБХ; г) АМБ,

=

если

Q.
В

59.38. Равнобедренный прямоугольный треугольник равновелик данному
квадрату. Найдите отношение катета, гипотенузы треугольника и диагонали

квадрата.
59.39. Основания трапеции равны 5 см и 9 см. Через вершину меньшего
основания проведена прямая, параллельная боковой стороне, делящая
трапецию на две части. Найдите отношение их площадей.
59.40. На рисунке 290 MN
средняя линия треугольника АБС, D
произвольная точка стороны

АС. Во

меньше площади треугольника

сколько раз площадь треугольника MND

АБС?
В

59.41. Какова площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза
10 см, а высота, опущенная на нее,
6 см?
*59.42. Могут ли все стороны треугольника быть больше 100 см, а его

которого равна

площадь

148

меньше 1

см2?

*59.43. Могут ли все высоты
больше 100 см2?
площадь

треугольника

быть

меньше

1 см,

а его

§ 60. Площадь трапеции
60.1. Что

называется

60.2. Может

высотой трапеции?

ли высота трапеции равняться ее

60.3. По какой формуле

вычисляется площадь

60.4. Чему равна площадь трапеции
60.5. Основания трапеции равны 4

боковой стороне?

трапеции?
средней линией ml

с высотой h и

см и 10 см, площадь равна 140 см2.
Найдите ее высоту.
10 дм, площадь
60.6. Одно из оснований трапеции равно 16 дм, высота

100 дм2. Найдите другое основание трапеции.
60.7. Высота трапеции равна 4 дм, площадь

96 дм2. Найдите среднюю

линию трапеции.

60.8. Площадь трапеции равна 625 мм2, высота
трапеции относятся как 2:3. Найдите их.
60.9. Найдите площадь прямоугольной трапеции,

25

мм.

Основания

основания которой равны
5 см и 11 см, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.
60.10. Найдите площадь трапеции, у которой средняя линия равна 15 см,
а боковая сторона, равная 10 см, составляет с одним из оснований угол

в 150°.
60.11. Найдите площадь

равнобедренной

трапеции с основаниями 8

м

и

18 м, боковая сторона которой равна ее средней линии.
60.12. В трапеции ABCD (AD || ВС) диагонали пересекаются в точке О.
Назовите равновеликие треугольники.
60.13. Найдите площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными

а) основания равны 4 см и 10 см; б) высота равна h.
60.14. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ
d и она образует с большим основанием угол в 45°.

диагоналями, если ее:
равна

60.15. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее
боковым сторонам, а основания равны 10 см

перпендикулярны к

60.16. Участок

и

26

форму трапеции. Чтобы разделить
соединяющий середины параллельных сторон.

земли имеет

пополам, провели отрезок,

диагонали
см.
его

сделали?
60.17. Найдите площадь равнобедренной
трапеции, описанной около окружности, радиус которой

Правильно ли это

равен 5 см, боковая сторона трапеции равна 15 см.
60.18. Площадь равнобедренной трапеции
известна. Какие элементы нужно знать, чтобы
определить ее

углы?
60.19. На рисунке
(AD || ВС), точка М

ME

||

CD. Докажите,

291 ABCD

что

трапеция

середина стороны АВ,

СЕ делит трапецию

на

две равновеликие части.

149

60.20. По рисунку 292
ND.

CN

составьте и решите задачу, где

AD

||

ВС, AM

=

МБ,

=

Ci

Д

А
Рис. 292
60.21. На рисунке 293
восстановлен

В1С1

Рис.293

к гипотенузе

перпендикуляр

на прямую

АВХ

=

АВ прямоугольного треугольника ABC

АБ,

из точки

трапеции BCCjBj.
60.22. В трапеции проведена диагональ. Как
полученных

Вх

опущен перпендикуляр

АС. Докажите теорему Пифагора, используя площадь
относятся площади

треугольников?

§61. Площадь многоугольника
61.1. По
периметром

Р,

какой формуле

вычисляется площадь многоугольника с

описанного около окружности радиусом

г?

61.2. По какой формуле вычисляется площадь правильного
стороной а и радиусом г вписанной в него окружности?

61.3. Около
с периметром

окружности диаметром:

40

см.

Найдите

а) 2

дм;

б) 8

см описан многоугольник

его площадь.

61.4. Найдите площадь правильного шестиугольника,
окружности радиусом:

61.5.

б) 4

а) 2

л-угольника со

см;

б) 3

описанного

около

дм.

Найдите площадь правильного шестиугольника

со

стороной: а) 1

см.

61.6. Найдите площади фигур, изображенных

на рисунке

294.

х

Е

Рис. 294

150

Рис. 295

дм;

61.7. По рисунку 295 определите х,

если

площадь

изображенного

пятиугольника равна 192 кв. ед.
61.8. Диагонали четырехугольника перпендикулярны и равны а.
площадь этого четырехугольника. Будет ли он квадратом?

Определите

61.9. Определите площадь четырехугольника, вершинами которого
являются середины сторон выпуклого четырехугольника (рис. 296), если его
площадь равна:

а) 17 см2; б)

-

м2; в) Q.

3

61.10. Найдите площадь
рисунке

297,

где ABCD

заштрихованной фигуры, изображенной на
единичный квадрат, каждая сторона которого

разделена на три равные части.
61.11. Дан квадрат ABCD, Е, F, G, Н

Найдите

середины его сторон (рис.
площадь заштрихованного четырехугольника KLMN, если

SАБС1)

Рис. 298

298).
Q.
=

Рис. 299

61.12. Как, имея клетчатую бумагу, площадь одной клетки которой равна
50 кв. ед., вырезать клетку площадью 40 кв. ед.?
61.13. Дан четырехугольник ABCD; Е, F
середины его сторон АВ и CD
соответственно (рис. 299). Найдите площадь заштрихованного

четырехугольника, если

=

Q.

151

Рис. 300
61.14.

Дан

шестиугольник, у которого противоположные стороны равны и
треугольника BDF, если площадь

(рис. 300). Найдите площадь
данного шестиугольника равна Q.
61.15. Что больше, площадь правильного
параллельны

шестиугольника или площадь
правильного треугольника, вписанных в одну и ту же окружность, и во сколько раз?
*61.16. В квадрате ABCD точки Е и F
середины его сторон АВ и ВС

соответственно, К
треугольника AKD,

точка пересечения
если

SABCD

=

AF

и

DE (рис. 301). Найдите площадь

Q.

61.17. Внутри равностороннего треугольника взята произвольная
Докажите, что сумма расстояний от нее до сторон треугольника есть
величина постоянная. Найдите ее, если дан единичный треугольник.

152

точка.

61.18. На

равнобедренного треугольника взята произвольная
(рис. 302). Докажите, что сумма расстояний от нее до боковых сторон
треугольника равна высоте, опущенной на боковую сторону.
*61.19. На рисунке 303 изображены два параллелограмма, расположенные
таким образом, что они имеют одну общую вершину и еще по одной вершине
каждого принадлежат стороне другого параллелограмма. Докажите, что данные
основании

точка

параллелограммы равновелики.

*61.20. Противоположные стороны четырехугольника разделены каждая на
304.

три равные части, точки деления соединены так, как показано на рисунке

Найдите площадь четырехугольника EFGH,
четырехугольника равна

если

площадь данного

Q.

§ 62. Площадь круга

частей

и его

62.1. По какой формуле

вычисляется площадь круга,

если его:

а)

радиус

равен R; б) диаметр равен D?
62.2. Какая часть круга называется:

а) круговым сектором, или просто
сектором; б) круговым сегментом, или просто сегментом?
62.3. По какой формуле вычисляется площадь: а) сектора; б) сегмента с
ф и радиусом круга R1
62.4. По какой формуле вычисляется площадь

центральным углом

если длина

соответствующей

сектора круга радиусом

62.5. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна:

б) 2л

R,

дуги равна 11

а) 2

см;

см.

62.6. Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в 2 раза;
уменьшить в 3 раза; в) увеличить на 1 см?
62.7. Найдите отношение площадей кругов, описанного около единичного
квадрата и вписанного в него.

б)

62.8. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника со
сторонами 3 см и 4 см.
62.9. Найдите площадь кольца, образованного кругами с радиусами:
а) 2 см и 1 см; б) R и г (R > г).
62.10. Как нужно изменить диаметр круга, чтобы его площадь: а)
увеличилась в 4 раза; б) уменьшилась в 16 раз; в) увеличилась в п раз; г) уменьшилась
в т раз?
62.11. Даны два круга. Как построить круг, площадь которого равнялась
бы: а) сумме; б) разности; в) среднему арифметическому площадей данных
кругов?
62.12. Как построить окружность, концентрическую данной, которая

разделила бы соответствующий данной окружности круг на две равновеликие
круг и кольцо?
фигуры
62.13.

Верно

ли

утверждение

о

том,

что

на гипотенузе прямоугольного треугольника,

площадей кругов, построенных
диаметрах?

на

катетах

площадь

круга,

построенного

как на диаметре,

этого

же

равна сумме

треугольника,

как

на

153

62.14. На рисунке 305 изображены

заштрихованы). Найдите

их

знаменитые луночки

Гиппократа (они

площадь, если катеты прямоугольного

общую

треугольника равны 6 см и 8 см.

В

Рис. 305

62.15. Найдите площадь сектора круга радиусом R, дуга которого

а) 90°; б) 60°; в) 150°; г) 240°.
62.16. Как относятся площади двух секторов с равными: а)
радиусами?
62.17. Найдите площадь сегмента, если его радиус равен 1
содержит:

дугами;

б)

см, а угол

равен 90°.
62.18.
рисунке

Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображенной

306.

Рис.306

62.19. Найдите площади заштрихованных фигур, изображенных
рисунке

307,

где ABCD

квадрат со стороной а.

Рис. 307

154

на

на

62.20. Площадь квадрата: а) описанного около круга; б) вписанного в круг,
равна 4 см2. Найдите площадь круга.
62.21. Площадь фигуры, заключенной между описанным и вписанным
квадратами одного и того же круга, равна 8 см2. Найдите площадь круга.
62.22. Как практически определить площадь поперечного сечения дерева,
не спиливая его?
62.23. Какая и во сколько раз больше площадь: круга, построенного на
единичном отрезке, как на диаметре, или полукруга, построенного на отрезке в 2
раза больше единичного, как на диаметре?
62.24. Диаметр D круга разделен на: а) 4; б) 5; в)

п равных частей, и на
каждой из них, как на диаметре, описан полукруг (все полукруги находятся
в одной полуплоскости относительно данного диаметра). Найдите площадь

получившейся фигуры (рис. 308).

Рис. 308

62.25.

центральный

сектор с центральным углом 30° и радиусом R. Найдите
угол равновеликого ему сектора в круге, радиус которого в 2 раза

Дан

меньше радиуса первого круга.

§ 63. Площади подобных фигур
63.1. Чему равно отношение площадей подобных фигур?
63.2. Чему равно отношение площадей подобных многоугольников?
63.3. Как изменится площадь многоугольника, если все его стороны:
а) увеличить в 3 раза; б) уменьшить в 4 раза?
63.4. Как изменятся стороны многоугольника, если его площадь: а)
25 раз; б) уменьшится в 8 раз?
63.5. Отношение периметров подобных многоугольников равно: а) 2
б) 5 : 1; в) т : п. Как относятся их площади?

увеличится в

63.6. Наименьшие
и

30 см; б) 21

см и

56

стороны двух подобных многоугольников равны:
см.

Как

относятся их периметры и

:

3;

а) 5

см

площади?

63.7. Площадь участка земли равна 2000 м2. Найдите его площадь на плане,
если взят масштаб 1 : 100.
63.8. Площадь плана земельного участка равна 2 дм2. Найдите площадь
реального участка, если взят масштаб 1 : 200.
63.9. Стороны двух квадратов относятся как 4:3. Как относятся их

площади?
155

63.10. Стороны двух равносторонних треугольников равны 25
Как

см и

9

см.

площади?
63.11. Хорды АВ и CD одной окружности пересекаются в точке М. Площади
треугольников AMD и СМВ относятся как: а) 81 : 16; б) 8 : 27. Как относятся
друг к другу хорды: a) AD и ВС; б) АС и BD1
63.12. Отношение катетов прямоугольного треугольника равно: а) 3 : 4;
б) 2 : 3. Найдите отношение площадей треугольников, на которые данный
треугольник делится высотой, проведенной к гипотенузе.
относятся их

63.13. Отрезок прямой, перпендикулярной гипотенузе прямоугольного
треугольника,

равный

отсекает на катете,

половине гипотенузы.

отсеченного треугольников.
63.14. Какую часть
треугольника:
средними

а)

считая от вершины острого угла,

Найдите

отношение

площади данного

отсеченного от него

площадей

отрезок,

данного и

треугольника составляет

площадь

средней линией; б) образованного

линиями?

63.15. Площади двух квадратов относятся как 1:2. Найдите сторону
меньшего квадрата, если сторона большего квадрата равна 8 см.
63.16. Периметры многоугольников относятся как 2 : 5, а сумма их
площадей равна 580 дм2. Найдите площадь каждого многоугольника.
63.17. Площади подобных многоугольников равны 48 м2 и 27 м2, а сумма
их периметров равна 140 м. Найдите периметр каждого многоугольника.
63.18. Как преобразовать данный пятиугольник в подобный ему таким
образом, чтобы площадь нового пятиугольника была в: а) 4 раза меньше; б) 2 раза

в) п раз меньше; г) т раз больше площади данного пятиугольника?
63.19. В треугольнике ABC сторона АВ разделена точкой М в отношении:

больше;

а) 1

:

2; б) 2

MN\\BC9

:

3,

считая

где NeAC.

от

Найдите

вершины

А, и через точку М проведена прямая
площадей треугольников AMN и ABC.

отношение

Найдите площадь трапеции BMNC, если площадь данного треугольника ABC
равна Q.
63.20. Прямая, параллельная одной стороне треугольника, разделяет его
на треугольник и трапецию, площади которых относятся соответственно как:

а) 1

: 8; б) 16 : 9. В каком соответственно отношении разделились этой прямой
стороны треугольника, через которые она проходит?
*63.21. Прямая, параллельная одной стороне треугольника, делит его на две
равновеликие части. В каком отношении делит она другие стороны, считая от

общей вершины? Чему равен периметр образовавшегося треугольника, если
периметр данного треугольника равен 24 см?
63.22. В трапеции проведены диагонали. Как относятся площади
треугольников, прилежащих к основаниям, если они равны а и Ы
их

63.23.

Коэффициент гомотетии двух
площадей?
63.24. Построены два треугольника,

многоугольников равен

5. Чему равно

отношение их

один с

, другой с коэффициентом, равным 2. Как
2
площади?
Могут ли гомотетичные фигуры быть равновеликими?

коэффициентом, равным

относятся их

63.25.

156

гомотетичные данному треугольнику,

*63.26. Основания трапеции равны а и Ь. Прямая, параллельная им, делит
данную трапецию на две равновеликие части. Найдите отношение их
периметров.
точки М проведены к окружности касательная МА и
MB (см. рис. 252). Отношение их внешних частей, т. е. МА : МС,
равно 3:2. Найдите отношение площадей треугольников AMС и AMВ.
63.28. На рисунке 309 найдите подобные треугольники и отношение их
1:2.
площадей, если известно, что МА : МС

63.27. Из внешней

секущая

=

М

63.29. В четырехугольнике ABCD
ВС, CD соответственно

KLM

точки

(рис. 310). Найдите

и данного четырехугольника

К, L, М

отношение

середины сторон АБ,

площадей треугольника

ABCD.

63.30. Каждая сторона треугольника разделена в отношении 1:2:1
(рис. 311). Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются
точки деления, если площадь данного треугольника равна:

а) 48 см2; б) Q.

в

Рис. 312

Рис. 311

*63.31. В равностороннем треугольнике на сторонах АБ и АС отложены
соответственно отрезки AM

=

AN

=

-ВС (рис. 312), проведены отрезки МС

и

3

NB, которые пересекаются
AMDN,

в

точке

D. Найдите площадь четырехугольника

если площадь данного треугольника равна

Q.
157

§ 64*. Изопериметрическая

задача

64.1. Какие фигуры называются изопериметрическими?
64.2. В чем заключается изопериметрическая задача, или задача Дидоны?
64.3. Кто такая Дидона? Какое предание о ней вы знаете?
64.4. Какая кривая заданной длины охватывает наибольшую площадь?
64.5. Какая фигура называется максимальной?

64.6. Сформулируйте свойства

64.7. Какой треугольник

из

максимальных

всех

фигур.

треугольников

одинакового периметра

наибольшую площадь?
64.8. Какой треугольник из всех треугольников, вписанных в данную
окружность, имеет наибольшую площадь?
64.9. Какой прямоугольник из всех прямоугольников одинакового
периметра имеет наибольшую площадь?
64.10. Какой четырехугольник из всех четырехугольников, вписанных в
данную окружность, имеет наибольшую площадь?
имеет

§ 65*. Равносоставленность

и задачи на

разрезание

65.1. Какие фигуры

называются равносоставленными?
65.2. Какие фигуры называются равновеликими?
65.3. Как связаны между собой равновеликость и равносоставленность
произвольных фигур?
65.4. Как связаны между собой равновеликость и равносоставленность
многоугольников?
65.5. На рисунке 313 покажите, как разрезать данные фигуры на: а),
б) три; в) четыре; г) две равные части.

Рис.313

65.6. Как нужно срезать углы правильного треугольника, чтобы
получился

правильный шестиугольник?
65.7. Можно ли правильный многоугольник разрезать на квадраты?
65.8. Даны два равных квадрата. Как разрезать каждый из них, чтобы
получившихся частей сложить квадрат?
158

из

65.9. Дан прямоугольник
части и сложить из них

65.10. Площадь

со сторонами

1

и

2. Как разрезать

его на три

квадрат?

правильного восьмиугольника

площадь четырехугольника

АХ...А8

равна S. Найдите

(рис. 314).

Рис.314

65.11.

Докажите,

что площадь правильного восьмиугольника равна

наибольшей

и наименьшей диагоналей.
65.12. Покажите, как сложить греческий крест (рис. 315, а) из квадрата

произведению его

шестиугольника,

изображенных

на рисунке

и

(рис. 315, б).

Рис.315

Даны два равных выпуклых четырехугольника, разрезанных по
(неоднотипным) диагоналям (рис. 316, а). Объясните по рисунку 316, б

65.13.

разным

доказательство того, как из получившихся четырех частей сложить
параллелограмм.
65.14.

Дан выпуклый

соединяющим
по рисунку

середины

317, б

четырехугольник,

разрезанный по двум отрезкам,
(рис. 317, а). Объясните

противоположных сторон

доказательство того, как из получившихся четырех частей

сложить параллелограмм.

159

б)
Рис.316
65.15. Даны два квадрата
те по рисункам

318, б,

Рис. 317

со сторонами а и

Ъ (а

>

Ь, рис. 318, а). Объясни

в, как из них сложить один квадрат.

а)

б)

в)
Рис.318

160

Глава

XI. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

§ 66. Прямоугольная

система координат

координатной?
координатой точки на координатной прямой?
выражается расстояние между двумя точками на координатной

66.1. Какая прямая называется

66.2.
66.3.
прямой?
66.4.
66.5.
66.6.
66.7.
плоскости?
66.8.
66.9.

Что
Как

называется

Что называется прямоугольной системой координат?
Какая плоскость называется координатной плоскостью?
Как называются координатные прямые на координатной плоскости?
Что называется абсциссой и ординатой точки на координатной
Что
Кто

координатной плоскости?

такое координаты точки на

впервые ввел координаты на плоскости?
66.10. Что позволяют сделать прямоугольные координаты на плоскости?
66.11. Какой метод называется методом координат?

66.12. Найдите

координаты точек,

изображенных

на рисунке

319.

к

Е

i F

i В

А

О

ф
D

С

Рис.319

66.13. Из

а) А(3, 2); б) B(-l,

i);

в) М(-7, 1); г) ЛГ(-11, -8)

опущен

перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите координаты его основания.
66.14. Из точки: а) С(4, -1); б) £>(-5, 6); в) £(-10, -8); г) £(0, -9)

опущен

точки:

перпендикуляр на ось ординат. Найдите координаты его основания.
161
О-Смирнова,

7-9 кл.

66.15. На прямой, параллельной оси абсцисс, взяты две
2. Чему равна ордината другой точки?

точки.

У одной

из

них ордината равна

66.16. На прямой, перпендикулярной

оси абсцисс, взяты две точки. У одной
абсцисса равна 3. Чему равна абсцисса другой точки?
66.17. Найдите координаты середины отрезка EF, если: а) Е(2, 5), F(-2, 3);
б) Я(0, -1), £(5, -9); в) £(6, 2), £(-8, 2); г) £(0,8, -1), £(0,2, -1).
66.18. Найдите координаты точки Kv симметричной точке: а) К( 1, 2);
б) К(2, -6); в) К(-3, -4); г) К(х, у) относительно оси абсцисс.
66.19. Найдите координаты точки Lv симметричной точке: a) L(4, 3);
б) L(-1, 0); в) L(-5, 8); г) L(x, г/) относительно оси ординат.
66.20. Найдите координаты точки Pv симметричной точке: а) Р(-1, 2);
б) Р(-5, -3); в) Р(10, 0); г) Р(х, i/) относительно начала координат.
66.21. Точки М(х, -4) и МД13, у) симметричны относительно: а) оси абсцисс;
б) оси ординат; в) начала координат. Назовите их неизвестные координаты.
66.22. Пересекает ли отрезок: а) АВ ось абсцисс, если А(3, 2), Б(5, -1);
б) CD ось ординат, если С(-1, 2) и D(-4, 5)?
66.23. Найдите координаты точки Nv которая получилась поворотом
вокруг точки N( 1, 1) вокруг начала координат на угол: а) 90°; б) -90°; в) 45°;
г) -45°; д) 135°; е) -135°; ж) 180°; з) -180°.
66.24. Найдите координаты точки Hv которая получилась поворотом точки
Н(0, 1) вокруг начала координат на угол: а) 30°; б) -60°; в) 120°; г) -150°.
66.25. Точка Ах симметрична точке А относительно точки М. Найдите

из них

a) Av если А(5, -2), М(0, 4); б) А, если АД-2, 0), М( 1, 2);
А(4, -2), АД-3, 1).
66.26. Точка А(5, 3) переведена в точку Ах осевой симметрией относительно

координаты точки:

в) М,

если

абсцисс,

оси

оси ординат.

точка

Ах

переведена

в

Найдите координаты

каким-нибудь поворотом в точку А2?
66.27. Найдите геометрическое место

в) у

=

-1; г) |х|

=

5; д)

\у\

< 1;

е)

х

а)

х <

0; б) у < 0; в)

б)

при гомотетии с центром:

в начале координат с

а)

х

точки

а)

>

67.1. Как

х >

0;

Mv

в начале

в

которую

переходит

точка

координат с коэффициентом 2;

^ в)
коэффициентом 2.

точками.

;

в начале координат с

отрезок ОН

Уравнение окружности

выражается расстояние между точками

67.2. Каким уравнением на
точке
С(х0, у0) и радиусом R?
162

1; б)

на координатной плоскости,
0; г) ху > 0; д) ху < 0.

-1; *г) в точке А (1, 1) с
*66.30. Найдите координаты центра гомотетии, переводящей
отрезок KL, если 0(0, 0), Я(3, 5), JST(14, 0) и L(20, 10).

§ 67. Расстояние между

=

точек

0, у

коэффициентом

коэффициентом

в

место

х <

66.29. Назовите координаты

М(-2, 4)

точек, для которых:

у; ж) х= -у.

=

66.28. Найдите геометрическое
для которых:

А2 осевой симметрией относительно
Аг и А2. Можно ли точку А перевести

точку
точек

плоскости

A^xv уг)

и

задается окружность

А2(х2, у2)?
с

центром в

67.3. Каким неравенством
С(х0, у0) и радиусом R?

на плоскости задается круг с

67.4. Какому неравенству удовлетворяют
круга с центром в точке

С(х0, у0)

и радиусом

точки

центром в точке

плоскости,

лежащие вне

R?

67.5. Как задается кольцо, определенное двумя концентрическими
С(х0, у0) и радиусами R и г, где R>r?

окружностями с центром в точке

67.6. Найдите расстояние между точками: а) А(0, 1) и В(-1, 0); б) С(2, -2)
£>(-2, 2): в) Я(2, 1) и F(-l, 3).
67.7. Найдите длину отрезка MN, если: а) М(4, -6), N(-3, 4); б) М(0, -4),
ЛГ(5, -8).
67.8. Какая из точек, Р или Г, лежит ближе к началу координат: а) Р(7, -1),
Г(4, -1); б) Р(11, -9), Г(5, -8)?
67.9. Какая из точек, U или V, ближе к точке S(0, -1), если: а) С/(-3, 4),
ПО, -7); б) (7(0, 6), F(-5, -1)?
67.10. Среди точек А(0, -9), Б(6, -1), С(-4, 2), Z>(4, 6), 22(2, -2), F(6, 0)
назовите точки, которые: а) принадлежат окружности (х
25;
I)2 + (у
2)2
+
+
<
не
9;
б) принадлежат кругу (х
З)2
I)2
в)
принадлежат кругу
(у
и

-

=

-

-

X2 +

у2

< 16.

Определите вид треугольника ABC, если: а) А(0, 1), В(1, 0), С (1, -1);
б) А(0, 0), В( 1, 0), С (-1, 0); в) А(-1, 0), В(-3, -2 л/3 ), С (-5, 0).
67.12. Найдите координаты центра окружности и ее радиус: а) (х
5)2 +
12.
81; в) х2 4- у2 2у
0; г) х2 + 6х + у2
4г/
+(у + I)2 9; б) (х + 8)2 + у2
67.13. Даны две точки: а) М(2, 0) и iV(-4, 0); б) М(0, 6) и А^(0, -4); в) М(-2, 3)
и N(3, -4). Назовите координаты центра окружности, для которой отрезок
67.11.

-

=

=

=

-

-

MN служит диаметром. Найдите ее радиус.
67.14. Назовите уравнение окружности с центром

проходящей

через точку:

в

начале

=

координат и

а) А(-1, 1); б) if(0, -5); в) J(2, 6); г) Q(8, -3).

Найдите ее диаметр.
67.15. Назовите неравенство, определяющее круг с центром в точке:

б) D(0, -12); в) Е(-2, 3); г) F(5, -4),

а) С(-7,1);

окружность которого проходит через

начало координат. Найдите его радиус.
67.16. Координаты концов диаметра окружности равны:

б) (-3, 0)

и

(0, 8); в) (5, -7)

и

(-2, -5); г) (3, -1)

и

центра данной окружности.
67.17. Центр окружности имеет координаты:

г) (-2, -5). Один

а) (-1, 2) и (0, -4);
Найдите
(4, -2).
координаты
а) (0, 0); б) (2, -3); в) (4, 0);
(-2, 2). Найдите

из концов диаметра имеет координаты

координаты другого его конца.
67.18. Параллельный перенос переводит точку
Найдите координаты точек

В(-1, 1), С(4, -2)

и

Bv Сх

Е(-3, 3)

и

Ev

0(0, 0)

в точку

А(3, 2).

в которые переходят соответственно точки

при этом параллельном переносе.

§ 68. Векторы. Сложение векторов

в)

68.1. Что называется: а)
вектором?

вектором;

б) длиной,

или

модулем, вектора;

нулевым

163
6*

68.2. Какие два вектора

называются равными?
68.3. Как определяется сумма двух векторов?
68.4. Какой вектор называется суммой векторов?
68.5. Сформулируйте: а) переместительный; б) сочетательный

закон

сложения векторов.

68.6. Воспроизведите
б)

по рисунку

320 доказательство: а) переместительного;

сочетательного закона сложения векторов.

Рис.320

68.7. Сколько различных векторов задают пары вершин: а) ромба; б)
равнобедренной трапеции с проведенными в ней диагоналями?
2 см, AD
68.8. В прямоугольнике ABCD АВ
3 см, точка Е
середина
=

=

б) ВА ; в) ED; г) АЕ; д) АС.
3 см,
90°, АВ
трапеции ABCD (AD || ВС) ZA
Найдите длину вектора: а) АВ ; б) СВ ; в) CD; г) BD;

стороны CD. Найдите длину вектора:

а) СВ

;

68.9. В прямоугольной
ВС

=

2

Д) АС

см и

AD

=

5

см.

=

.

68.10. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются
ли равенство:

+ OD

=

=

a) AD

+ АВ

+ ВО

BD; д)АО

68.11. А, Б, С, D
векторы

а

=

АВ

,

Ъ

=

и

АС ; б) АВ 4-ВО

=

=

Е

ВС

БС; е) АО

ОС; в) АС

=

+ СО

==

,

с

CD

и

d=DE

=

О. Верно

CD ; г) ВО +

б?

произвольные точки плоскости.
=

в точке

+ AD

Выразите

через

вектор: а) АС; б) BD ; в) AD ;

г) BE; д) АЕ.
_

_____

68.12. Упростите выражение: а) АБ + СБ+БС; б) СЕ + DC + EF + FD ;
в) MN^-KL-^HP + PM + NK ; г) ST +

68.13. Верно

ли равенство:

а) СЕ

^

+

PQ+P^+TQ.

+ DF + ED

=

CF ; б) КМ + LK 4- MN

в) AD + ВС + DB + CE =АЕ ; y) OP + HG ^GQ ^гРН

68.14. В ромбе ABCD диагонали пересекаются

=

в

=

NL ;

ОН?
точке

О. Суммой

a) BD; б) АС ; в) АО; г) DO ?
68.15. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD (AD || БС)

каких

векторов является вектор:

пересекаются
в точке О. Назовите векторы с началами и концами в вершинах трапеции и
точкой пересечения ее диагоналей, которые имеют равные модули.
164

§ 69. Умножение вектора

на число

69.1. Как определяется операция умножения вектора на число?
69.2. Как обозначается произведение вектора на число?

вектору? Как

69.3. Какой вектор называется противоположным данному
он

обозначается?
69.4. Что называется

разностью двух

69.5. Сформулируйте сочетательный

векторов? Как
закон

она

обозначается?

операции умножения

вектора

на число.

69.6. Сформулируйте первый распределительный

закон операции

умножения вектора на число.

69.7. Сформулируйте второй распределительный

закон операции умножения

вектора на число.

69.8. В треугольнике CDE найдите разность векторов: a) DC

-

ЕС ; б) ED-

DE-Ш.

-CD; в) CD-ED; г)

69.9. В параллелограмме ABCD найдите разность векторов: а) АС-ВС;
б) BD-CD; в) АС

-

AD ; г) BD-BA

.

69.10. В треугольнике KLM проведена средняя
Р

середины соответственно сторон КМ и LM.

б) МО

;

в) КМ

;

г) ML

д) OP

;

;

е) LK

Выразите

через векторы КО

где точки О и

ОР,

линия

=

k

а) ОК

вектор:
и

LP

=

Z

;

.

69.11. В треугольнике MON проведена медиана MS. Выразите вектор MS
через векторы: а) МО

=

п

и

NO

69.12. В треугольнике ABC

сумму векторов МА

+ MB + МС

=

т ;

=

a

МО

и

Ъ

.

BC-DC-BA; б)

69.14. Упростите выражение: а)

EF+HP-HG-GF;

.

СЕ + DF + ED ; б)

в) AD+BC + DB + CE ; г) OP + HG +GQ +РЯ

г)

равенства:

Ш) + ОВ

=

a) AB

+

КМ + LK + MN ;

.

69.15. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются
ли

Найдите

.

г) UV +ZU -ZY +ХУ -WV

МК-Ш-^Ш-LN;

=

точка М является его центроидом.

69.13. Упростите выражение: a)
в)

б) MN

AD=AC; б) АС+ВА=СВ;

в точке

в) OC+OD

=

О. Верны
AO + BO;

Ш + ОС?

69.16. В параллелограмме ABCD

в) СВ-АВ;г) СВ-DA;

найдите векторы: a) AB-AD

д) СВ-AD ; е) DB-DA

;

б) AD

-

АВ ;

.

§ 70. Координаты вектора
70.1. Что называется координатами вектора?
70.2. Какие векторы называются координатными?
165

70.3. Сформулируйте теорему

о

разложении

по

вектора

координатным

векторам.

70.4. Что происходит

с координатами при сложении двух

векторов?

70.5. Что

происходит с координатами при умножении вектора на число?
70.6. Как находятся координаты вектора по известным координатам его
начала и конца?
70.7. Назовите координаты вектора:

в) EF

=

i -7

]

;

г) GH

=

-j

а) АВ=5

i +6

j

б) CD=-2

;

i +9

j

;

.

70.8. Найдите координаты вектора MN

если: a) M( 1, -1), N(-2, 1);
б) М(-2, -3), N(5, -2); в) М(0, 6), ЛГ(-7, 0); г) М(7, 8), ЛГ(-4, 5).
70.9. Найдите координаты вектора а если -а(х, г/).
b ; в) 2а
5Ь ;
70.10. Найдите координаты вектора: а) а + 2Ь ; б) -За
,

,

-

-

г) -7

а +

&

,

если

а(1, 2)

и

& (-2, 3).

a) i£L(0, 2) и 1^(2, 4); б) KL
(5, -6) и ЩЗ, -7); в) LK(-4, -3) и JiT(l, 2)^r) L^(-5, 4) иК(8, -1).
70.12. Найдите длину вектора: а) AB(V3, -1); б) CD (-2, -9); в) EF
70.11. Найдите координаты

точки

L,

если:

_

(-6, -8); г) GH(4,

->/2).

70.13. Найдите координаты вектора

а)

одинаково направлен с вектором Ъ

б) противоположно направлен

а

(х, у),

(2, -10)
(-10, 5)

с вектором с

70.14. Точка О делит отрезок АВ

если

в отношении

что

он:

2 раза меньше;

и имеет длину в

1:2,

5 раз больше.

считая от конца

А.

АБ(6, -12).
К(0, -2), L(-3, 0), М(3, 2) и N(x, у). Найдите координаты
чтобы векторы: a) KL и MN; б) ML и NK были равны.

Найдите координаты вектора: а) АО; б) ОБ; в) ОА; г) ВО,

70.15. Даны

известно,

и имеет длину в

если

точки

точки N такие,

§71. Скалярное произведение векторов
71.1. Что

называется скалярным произведением двух

обозначается скалярное

векторов? Как

произведение?

71.2. Что называется скалярным квадратом?
71.3. В каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю?
71.4. Каков физический смысл скалярного произведения?
71.5. Как скалярное произведение векторов выражается через их координаты?
71.6. Найдите скалярное произведение векторов тип, если: а) \т\= 1,
п

=

3

и угол между ними равен

45°; в)

\т\

=

^

,

Я

между ними равен

=

2

и угол

60°; б)

\т \

=

4,

п

=

5

между ними равен 30°;

и угол между ними равен

г)

|т \ л/2
=

,

п

=

10

и угол

135°.

71.7. Найдите угол между векторами k

и

I

,

если

А(-1, 2)

и

I (4, 2).

71.8. Найдите скалярный квадрат вектора АВ, если: а) А(5, 1), Б(-2, 0);
б) А(-3, 4), В(-1, 2); в) А(9, -3), В(6, -2); г) А(0, -5), В(-5, 3).
166

71.9. Дан единичный равносторонний треугольник XYZ. Найдите
скалярное произведение векторов:

д) ХМ MY

,

a) XY

XZ ;

ZY

б)

XZ; в) MZ ZY; г) YX YM;

середина стороны XZ.

где точка М

71.10. Найдите скалярное произведение векторов а и Ъ

6(10, И); б) 3(11, 5), М-3, 4); в)

71.11. Определите

а(|, -^),

,

если;

а) а(0, -5),

6(6, -8); г) а(-12, 8), 6(0,5, -1).

вид угла между векторами

5 (7, 9); б) 5(3, -6), 3 (- ±

,

cud,

если;

а) с( 2, -4),

18); в) с(0, -10), 3 (16, -5); г) с(-4, -18), 3 (9, -2).

О

71.12. Дан вектор е(-2, 5). Найдите координаты вектора f

,

перпендикулярного ему. Сколько таких векторов может быть?
71.13.

Дан ромб ABCD

со

произведение векторов: а) АВ

стороной 2

AD ; б) АВ

и углом

120°. Найдите скалярное

ВС; в) BD АС; г) DC AD; д) ED СВ;

е) АВ-АВ.
4 см и AD
2 см,
71.14. Дан прямоугольник ABCD со сторонами АВ
точки Е, F
середины соответственно сторон ВС и CD. Найдите скалярное
=

=

произведение векторов: а) АВ

AD ; б) ВА

71.15. Длины ненулевых векторов
относительно друг друга вектора

а +

b

и

а

-

а и

BD; в) EF ЕС ; г) FC EF
Ъ равны. Как расположены

Ъ1

71.16. Охарактеризуйте угол между векторами
б)

а

b <

0; в)

а

b

=

0; г)

а

b

.

а

=-\а\ -Щ.

и

Ъ

,

если:

а)

а

Ъ > 0;

_

71.17. Вычислите работу А, которую производит

сила

F (0, -3), когда

прямолинейно, перемещается из точки Н
в точку Р, если: а) Я(1, 0), Р(-1, -2); б) Н(0, -3), Р(4, 5); в) Я(6, -7), Р(-1, 2);
г) Щ-4, 12), Р(-5, 3).

ее

точка

приложения,

двигаясь

§ 72. Уравнение прямой
72.1. Каким

уравнением задается прямая на плоскости?
72.2. Что называется вектором нормали?

72.3. Что называется угловым коэффициентом прямой? Каков его
геометрический смысл?
72.4. В каком случае два уравнения определяют: а) параллельные прямые;
б) одну и ту же прямую; в) пересекающиеся прямые?
72.5. Как вычисляется угол между пересекающимися прямыми?
72.6. В каком случае две прямые перпендикулярны?
72.7. Какое уравнение имеет ось: а) абсцисс; б) ординат?
72.8. Найдите координаты вектора нормали для прямой, заданной
6
уравнением: а) Ъх
0; в) 12у + 17
0; г) Зх
0; б) Их
4у.
6у + 3
72.9. Охарактеризуйте положение прямой: а) х
-у.
у; б) х
-

=

-

=

=

=

=

=

167

72.10. Назовите уравнение прямой, проходящей через точку: а) А(0, 4)
и

параллельной

оси

абсцисс; б) В(2, -3)

и

перпендикулярной

72.11. Назовите уравнение прямой, проходящей через

оси ординат.

начало координат

0(0, 0) и точку: а) С(-5, 10); б) D(-4, 1).
72.12. Назовите уравнение прямой, проходящей через точку: а) 0(0, 0);
б) Е(2, 1); в) F(5, -3) с угловым коэффициентом, равным 4.
8
О
72.13. Определите взаимное расположение прямых: а) Ъх + Зу
-

и

-5х

г) -4х

б)

-

Зу

+ у

-

8

=

=

0; б)
0

п

-

х

у

Зх

-

3

=

0

-

=

4у

=

0; в) -Зх

-

2у

+ 6

=

0

и

6х + 4у

=

=

0;

0.

44

72.14. Найдите расстояние
2.
у

х

2х

и

у +

-

от начала координат до

прямой: а)

х + у

=

1;

=

72.15. Приведите примеры уравнений прямых, которые: а) параллельны;
б) совпадают; в) перпендикулярны; г) пересекаются, но не перпендикулярны.

§ 73* Аналитическое

задание

фигур

на плоскости

полуплоскость?
73.2. Как задается выпуклый многоугольник?
73.3. Каким уравнением задается парабола?
73.4. Каким уравнением задается эллипс?
73.5. Каким уравнением задается гипербола?
73.6. Две полуплоскости задаются неравенствами
0. Как задается их пересечение?
а2х + Ъ2у +
73.1. Как задается

73.7.

Какую фигуру

ахх

-I-

Ъху

+

задает следующая система

73.8. На рисунке 321 изображен прямоугольник ABCD. Назовите
неравенства, которые его определяют.

сх < О,

73.9. Назовите неравенства, определяющие пятиугольник, изображенный
322.

на рисунке

73.10. Вершины треугольника KLO

0(0,0). Какими
УА

К(-5, 0), L(0, 5),
треугольник?

имеют координаты

неравенствами задается данный

у*
D

о

х

D

В

\
\
\
X

о
""Г"*

I

'4я

А

а)

Т

I

Г1"

м
б)

Рис. 322

73.11. Назовите неравенства, определяющие треугольник,
на рисунке

изображенный

323.
У

У

А

\
\

Л
/

\
\
В

С

X

О

О

В

а)

б)
Рис. 323

73.12.

Для параболы, заданной

уравнением: а)
координаты фокуса и уравнение директрисы.
2
у
=

+

х

73.14. Гипербола задана уравнением: а)
дите координаты ее

=

х2; б)

у

=

2х2, найдите

2

X

73.13. Эллипс задан уравнением: а)
координаты его фокусов.

8у

1; б) 2л;2

у
-

=

+

6у2

=

3. Найдите

1; б) 4х2- 3у2= 12. Най¬

фокусов.
169

73.15. Гипербола
Найдите уравнения

§ 74*. Задачи

и2

X

задана уравнением:

а)

=

1; б) Зх2- 5z/2

15.

=

9

ее асимптот.

оптимизации

74.1. Назовите некоторые задачи оптимизации.
74.2. Кто разработал метод решения задач оптимизации?

74.3. Сформулируйте условие транспортной

задачи.

74.4. Какой многоугольник называется многоугольником

74.5. В

каких

точках

линейной функции

74.6. Назовите

на

принимаются

наибольшее

ограничений?

наименьшее

значения

многоугольнике?

несколько точек, которые принадлежат полуплоскости,

заданной неравенством: а)

х

-

2г/

+ 5 >

0; б) Зх

74.7. На многоугольнике, изображенном

наибольшее; б)

и

наименьшее значение

+

4г/

-

12 < 0.

на рисунке

функции /

=

х +

324, найдите: а)

2у.

74.8. Математическая модель некоторой задачи представляется следующей

системой

х +

z/< 1,

х

У**

^

X + у >

1,

ограничении

х
значение

функции /

74.9. Система

\

=

^ ^

5х

-

-

у<

Найдите: а) наименьшее; б) наибольшее

1.

у на этом многоугольнике.

Х ^
определяет многоугольник

ограничений

для не-

1< г/ < 3

которой задачи. Найдите
2х + 3у.
функции /
=

170

на

нем:

а) наибольшее; б)

наименьшее

значение

74.10. Для многогранника ограничений, изображенного

на рисунке

325,

назовите систему неравенств, которая его определяет.

Ул

С

В

\D
Е

А

О

Рис. 325

§ 75. Тригонометрические функции произвольного угла
75.1. Какая окружность называется единичной?
75.2. Как определяются sin ср и cos ф в случае 0° < ф < 360°?
75.3. Как определяются sin ф и cos ф в случае ф > 360°?
75.4. Как определяются sin ф и cos ф в случае отрицательных

75.5.
75.6.

Как определяются tg ф и ctg ф в случае произвольных
Какие тождества выполняются для синуса и косинуса

произвольных градусных

ф?
ф?
в случае

величин?

75.7. Назовите уравнение единичной окружности

с

центром

в

начале

координат.

75.8. Назовите
окружности;

в)

б)

несколько

точек:

а)

принадлежащих единичной

единичной окружности и лежащих внутри нее;
единичной окружности и лежащих вне ее, если центр

не принадлежащих

не принадлежащих

окружности находится в начале координат.

75.9. Назовите наибольшее

б)

и

наименьшее

значения

функции: a) sin

х;

cos х.

75.10. Для

каких углов

ф функция: a) sin ф; б)

cos

ф; в) tg ф; г) ctg ф равна

нулю?
75.11. Для
положительна?

каких углов

ф функция: a) sin ф; б)

cos

ф; в) tg ф; г) ctg ф

75.12. Для

каких углов

ф функция: a) sin ф; б)

cos

ф; в) tg ф; г) ctg ф

отрицательна?
75.13. Для

каких углов ф не определена функция: a) tg ф; б) ctg ф?
75.14. Определите, какой четверти принадлежит угол в: а) 240°; б) 700°;

в) 420°; г) 825°; д) 800°; е) 1000°.
171

75.15. Найдите

д) sin (-300°); е)

значение:

a) sin 270°; б)

cos

540°; в) tg 225°; г) ctg 390°;

(-210°).

cos

§ 76*. Полярные координаты
76.1. Что

называется

полярной

76.2. Какие координаты

76.3.
76.4.
76.5.
76.6.
76.7.
Архимеда?
76.8.
76.9.

осью и

называются

полюсом?

полярными?

Что называется полярным радиусом и полярным углом?
Как выражаются декартовы координаты через полярные?
Как выражаются полярные координаты через декартовы?
Каким уравнением в полярных координатах задается окружность?
Каким уравнением в полярных координатах задается спираль
Каким уравнением в полярных координатах задается трилистник?
Какая кривая называется циклоидой? Какими уравнениями она

задается?
76.10.

Переведите

а) (1, *); б)

(у/2, _£);

2

76.11.

полярные координаты точки

в) (2,

4

Переведите

а) (2, -2); б)

(2>/з

76.12. Могут
одинаковые точки на

,

ли

Ёя); г)(>/з,
6

в декартовы координаты:

--п).
3

декартовы координаты точки в полярные координаты:

2); в) (-3,

3>/3);

г) (-4, -4).

разным декартовым координатам соответствовать

плоскости?

76.13. Могут ли разным
плоскости?

полярным координатам соответствовать одинаковые

точки на

76.14. Что представляет
полярные

координаты

из

себя геометрическое

которых удовлетворяют

< 25; в) 0 < <р < 180°; г) 45°
76.15. Найдите расстояние между

б) 5 <

§

г

<

<р

<

90°, 0

точками

М

место точек на плоскости,

неравенствам:

и

< г <

N>

а) 0

<

г <

9;

10?

если

M(rv срх)

и

N(r2, ср2).

77. Элементы стереометрии
77.1. Сколько прямых проходит через любые две

точки пространства?
77.2. Сколько плоскостей можно провести через три точки пространства?
77.3. Могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, которая
не принадлежит линии их пересечения?
77.4. Верно ли, что если: а) один и тот же треугольник лежит в двух
плоскостях, то они совпадают; б) прямая имеет с окружностью только одну общую
точку, то она является касательной к окружности?
77.5. Какое наибольшее число плоскостей можно провести через
различные тройки из четырех данных точек?

172

77.6. Как могут быть расположены

относительно друг друга две прямые в

пространстве?
77.7. Какие две прямые в пространстве называются: а) параллельными;
б) скрещивающимися?
77.8. В окружающей обстановке найдите предметы, форма которых
напоминает многогранник.
77.9. Сколько плоских углов имеет:

призма; в) пятиугольная пирамида;

а) тетраэдр; б)
г) октаэдр?

четырехугольная

77.10. В кубе ABCDA1B1ClD1 укажите несколько пар параллельных ребер.
77.11. В тетраэдре ABCD укажите пары скрещивающихся ребер.
77.12. Сколько вершин, ребер и граней имеет: а) треугольная; б)
четырехугольная; в) пятиугольная; г) д-угольная призма?
77.13. Сколько вершин, ребер и граней имеет: а) треугольная; б)
четырехугольная; в) пятиугольная; г) n-угольная пирамида?
77.14. Какой многоугольник лежит в основании: а) призмы; б) пирамиды,
если она имеет 24 вершины?
77.15. Какой многоугольник лежит в основании: а) призмы; б) пирамиды,
если она имеет 36 ребер?
77.16. Какой многоугольник лежит в основании: а) призмы; б) пирамиды,
если она имеет 48 граней?
77.17. Может ли многогранник иметь: а) 12; б) 15 плоских углов?
77.18. Как связаны между собой число плоских углов и число ребер
многогранника?
77.19. Какое наименьшее число: а) граней; б) многогранных углов может
иметь многогранник?
77.20. Какое наименьшее число граней может сходиться в вершине
многогранника?
77.21. Может ли в вершине многогранника сойтись три правильных:
а) треугольника; б) четырехугольника; в) пятиугольника; г)
шестиугольника?
77.22. Что

называется диагональю: а) призмы; б) пирамиды?
77.23. Сколько диагоналей имеет: а) треугольная; б) четырехугольная;
в) пятиугольная; г) я-угольная призма?
77.24. Сколько диагоналей имеет: а) треугольная; б) четырехугольная;
в) пятиугольная; г) n-угольная пирамида?
77.25. Найдите сумму плоских углов: а) тетраэдра; б) треугольной призмы;
в) четырехугольной пирамиды; г) шестиугольной пирамиды.

77.26. Как по аналогии с окружностью на плоскости можно определить
сферу в

пространстве?
77.27. Какая фигура называется: а) шаром; б) большим кругом шара?
77.28. Сколько больших кругов имеет шар?
77.29. Что является пересечением двух больших кругов одного шара?
77.30. Сколько диаметров можно провести через внутреннюю точку шара?
77.31. Какой многогранник называется выпуклым?
173

77.32. На рисунке 326 укажите: а) выпуклые; б) невыпуклые
многогранники.

71
/

/
/

/

/
/

е)

/

Рис.326
77.33. Как изменится число вершин,

а)

к

одной

из его

я-угольных

граней

ребер

и

граней

многогранника, если:

пристроить пирамиду;

б)

отрезать один

из его /тг-гранных

углов?
77.34. Назовите выпуклые
восемью ребрами; в) тринадцатью

многогранники с:

а)

пятью вершинами;

77.35. В чем заключается теорема Эйлера для выпуклых
77.36. Какой многогранник называется правильным?

77.37. Назовите

правильные

многогранники? Почему

многогранников?

они так

называются?

77.38. Перечислите свойства правильных многогранников.
77.39. На рисунке 327 назовите развертки правильного тетраэдра.

а)

Рис.327
174

б)

гранями.

77.40. На рисунке 328

назовите развертки правильного гексаэдра.

б)

а)

в)

Рис. 328

Представьте себе деревянный куб с ребром 3 дм, вся поверхность
черный цвет. Ответьте на следующие вопросы:
сколько
а)
потребуется разрезов, чтобы разделить куб на «кубики» с
ребром 1 дм;
б) сколько получится таких «кубиков»;
в) сколько «кубиков» будут иметь по 4 окрашенные грани;
г) сколько «кубиков» будут иметь по 3 окрашенные грани;
д) сколько «кубиков» будут иметь по 2 окрашенные грани;
77.41.

которого окрашена в

е) сколько «кубиков» будут

ж)

сколько

иметь по

1 окрашенной грани;

«кубиков» будет неокрашенных?

77.42. Как определяется площадь поверхности многогранника?
77.43. Найдите площадь поверхности единичного правильного: а) тетраэдра;
б) октаэдра; в) икосаэдра.
77.44. Найдите площадь поверхности куба, ребро которого равно: а) 2 см;
10
дм; в) а.
б)
175

77.45. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

с

а) 2 см, 3 см, 4 см; б) 8 мм, 10 мм, 20 мм; в) а, Ъ, с.
77.46. Найдите площадь поверхности правильной: а) шестиугольной
призмы; б) четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 см.
измерениями:

77.47. Как найти объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями
а, Ь, с?
77.48. Найдите объем

куба, если его ребро равно: а) 1 см; б) 2 дм; в) 10 м;
г) Ь.
77.49. Как изменится: а) площадь поверхности; б) объем куба, если его
ребро увеличить в 2 раза, уменьшить в 3 раза?
77.50. Площадь поверхности куба увеличилась в: а) 36 раз; б) 6 раз. Как
изменился его объем?
77.51. Объем
площадь его

куба уменьшился
поверхности?

в:

а) 8

раз;

б) 27

раз. Как изменилась

ОТВЕТЫ
1.1. Землемерие. 1.2. Планиметрия
стереометрия.

1.3. В

III

н.

в.

э.

Древней Греции. 1.4. VII

1.5. Ионийская

школа

Пифагора: VI

н.

э.;

школа

Платона: V

школа:

IV

II

III

школа:

вв.

вв.

до

н.

до
э.

V
н.

и

в.

до

вв.

до

н.

VI

VII
н.

э.

вв.

до

э.;

Александрийская

э.;

1.6. 580 500

гг.

до

н.

э.

1.7. Пентаграмма

правильный звездчатый
пятиугольник (рис. 01). 1.8. Пифагорейцы дали
философское объяснение устройства мира, тесно связанное

с

математикой. Выделяя стихии как первоосновы бытия, древние ученые
приписывали их атомам форму правильных многогранников, а именно: атомам
огня
гексаэдра (рис. 02, б); воздуха
тетраэдра (рис. 02, а); земли

(рис. 02, в); воды
икосаэдра (рис. 02, г). Всей Вселенной
форма правильного додекаэдра (рис. 02, д). 1.9. «Начала» Евклида.
1.10. Точка, прямая, плоскость. Точка является идеализацией очень
маленьких объектов, т. е. таких, размерами которых можно пренебречь. Прямая
является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной
формы, по прямой распространяется свет. Плоскость является идеализацией
ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т. п. 1.14.
Например, «достойное признания, не вызывающее сомнения». 1.16. а) Бесконечно
много; б) одну. 1.17. Бесконечно много. 1.18. Нет. Через две точки проходит
только одна прямая. 1.19. Да. 1.20. Одну. 1.21. Либо одну, либо ни одной.
октаэдра

присваивалась

1.22. Не более трех, т. е. ни одной, одну, две, три. 1.23. Соответственно:
ни

одной,

шесть.

1.24. а) 6; б) 10; в)

.

1.25. а) 6; б) 28.

2

две

2.8. а) 3; б) 6. 2.9. а) 6; б) 8. 2.10. 4 луча. 2.11. Бесконечно много. 2.12. На
части. 2.13. а), в) Можно; б) нельзя. 2.14. Нет. 2.15. Два. 2.16. Решения

а)

б)

в)

г)

д)
Рис. 02
177

изображены

ни я

соответственно на рисунках

общий конец, пересекаются
содержит

другой,

имеют

точек. *2.18.

*2.20. 12,

а) 3; б) 6; в) 10; г)

см. рисунок

3.6. а), б), в) Да; г)
3.10. АВ

и

Ъ

п(п

~

.

04.

=

3.7. 7,5 см и 3,5 см. 3.8. 3
2CD. 3.11. На рисунке 05 АС

лежит

2.17. а) Имеют

точек;

см.

=

а и

в.

б)

один

*2.19. а) 6; б) 8; в) 10; г) 2п.

нет.

=

образом, АО

3.14. Точка Е

СО

между

точками

нет.

D

и

см.

3.9. На любое

а +

2Ь, О

=

Ъ. 3.12. 50 км;

=

3.17. а) 11 см, 25 см; б) 27 см, 9
3.19. а) 15 см; б) 2 см; в) 6,5 см.
б)

1}

2

длины данных отрезков, тогда ВС

таким

03, а, б,
общих

не имеют

вершину, пересекаются по отрезку, не имеют общих

общую

число отрезков.
а

по отрезку,

b, DE

=

а

-

Ъ, где

середина отрезка ВС,

15(^км.

3.13. а) 15 см; б) 5

см.

F (DEF). 3.15. Нет. 3.16. а) Да;

3.18. а) 3 см; б) 8,5 см; в) 1,5

А

ВОС

D

Е

см.

Рис. 05

4.1. На две. 4.2. Нет. 4.3. а) 4; б) 7; в) 11. 4.12. Да. 4.13. 6 отрезков.
4.14. а) 6; б) 10; *в) ^п

+

+

^
.

4.15. Два угла. 4.16. Например, ножницы.

2
4.17. Углы

имеют общую вершину, и одна сторона одного угла является
продолжением стороны другого угла. 4.22. а) Перегнуть таким образом, чтобы

сгиба

его биссектриса; б)
Прямоугольный лист бумаги
нужно перегнуть дважды, совмещая противоположные края. 4.24. Да,
например, в 6 часов. 4.25. а) Нет; б) да. 4.26. а), б) Можно. 4.28. а) 2; б) 6. 4.29. В
обоих случаях одинаковое число пар вертикальных углов. 4.30. а) 4; б) 6; в) 8;
1). 4.32. а) 12; б) 40; в) 60; *г) 2п(п 1).
*г) 2п. 4.31. а) 6; б) 20; в) 30; *г) п(п
5.6. Равны. 5.7. а), в) Нет; б) да. 5.8. Нет. 5.9. 90°. 5.10. 180°. 5.11. Построить
биссектрису OL угла XOY и провести AB1.0L (О & АВ), углы AOL и BOL

совместились стороны угла, тогда линия

перегибаем

угол дважды, совмещая его стороны. 4.23.

-

-

5.12. а) Да; б) нет. 5.13. 75° и 105°. 5.14. 45° и 135°. 5.15.
85°.
Например, продолжить стороны данного угла за его вершину. 5.16. Z 3
87°. 5.19. 70° и 110°.
5.17. 99°. 5.18. Z1
30°, Z2
108°, Z3
135°, Z4
5.20. На 40°. 5.21. 54°, 54°, 126°, 126°. 5.22. а), б), Нет; в) да. 5.23. 45°.
искомые.

=

=

=

=

=

5.24. а) 90°; б) 180°; в) 90°; г) 0°; д) 150°. 5.25. а) 60°; б) 6°; *в) 7°30'; *г) 0°15'.
178

*5.26. а) 180°; б) 120°; в) 30°; г) 6°. 5.27. 5 раз. 5.29. а) 90°; б), г) 180°;
в) 135°. 5.30. Сначала сделать прямой угол, потом разделить его пополам и
один из полученных углов еще раз разделить пополам.

6.7. Простые ломаные: а), г), ж), к). Замкнутые ломаные: а), в), д), е), ж),
и), к), л). Простые замкнутые ломаные: а), ж), к). Непростые замкнутые
ломаные: в), д), е), и), л). Непростые незамкнутые ломаные: нет. 6.8. Нет, например,
рисунок 14, д. 6.9. а) 3; б) 2. 6.10. а)АА1В1С1, АА^гСгВ19 AA^CjCB; б) такой
12. 6.11.
ломаной нет; наименьшее число сторон
6, наибольшее
не является ломаной. 6.20. а), в), г), е). 6.21. а)
Выпуклый четырехугольник; б) невыпуклый четырехугольник. 6.22. Выпуклые
многоугольники: б), г), к); невыпуклые многоугольники: в), ж), з), и). 6.23. В

Пространственную фигуру, которая

=

=

С

=

6.24.

У, где В

С

число вершин,

а) 2; б) 3; в) 5; г) 6; *д)

п-

сторон, У

углов многоугольника.

2. 6.25. Не все, треугольник

не имеет

диагоналей.

о\

6.26. а) 2; б) 5; в) 9; *г)

.

6.27. Если

п

четное число,

то при сокра-

2
щении

нечетное число,
на 2 получим целое число; если же п
3 будет четным, и опять при сокращении на 2 указанной дроби

данной дроби

то число п

-

получим целое число. 6.28. Может, у пятиугольника. 6.29.
/

Для

такого много-

0\

угольника должно быть

=

2п

или

3

-

п

=

4,

п

=

7. 6.30. а) 8; *б) 35.

6.31. а), б), г) Нет; в) да. 6.32. 10. 6.33. Да. 6.34. Нет. 6.35. 35.
7.11. Нет. 7.12. 10. 7.13. Да, из вершины В. 7.14. В вершине прямого угла.
7.15. 8 см, 12 см, 16 см. 7.16. 13 см, 17 см. 7.17. 9 см, 12 см, 14 см. 7.18. 13 см,
26 см, 26 см. 7.19. а), б) Нет; в) да. 7.20. а) Прямые, на которых лежат
стороны треугольника, образующие угол, из которого проведена биссектриса;
лучи, лежащие на стороне треугольника, к которой проведена высота, и

вершины которых находятся в основании

я-угольника

не существует;

8.4. 2 дм. 8.5. НЕ

=

проведенной
б) 4; в) 9; *г) т.

50 см, HF

=

35

см.

высоты.

8.8. Да. 8.9. LX

б)

7.21. а) Такого

=

LZ. 8.11. Да.

8.15. 90°.
9.6. Треугольник ABD равен треугольнику CBD. 9.12. FG
PQ,
OP. 9.16. KL. 9.17. Из точки Б провели прямую, на которую
=

EF

EG

=

OQ,

=

СВ, ААВС

опустили

AADC (по первому
AD. 9.18. Из точек Б и С провели
признаку равенства треугольников), откуда АВ
две прямые, которые пересеклись в точке О, на них отложили
ОВ и ОЕ
ОС. Провели прямую АО, которая пересеклась с
соответственно отрезки OD
перпендикуляр

АС

и отложили

CD

=

=

=

=

=

прямой ED
треугольников),

в

точке

F, А БОС

значит, ZCBO

=

=

A DOE (по первому признаку равенства

ZEDO, ZABO

=

ZFDO;

следовательно, ААОВ

=

FD.
AFOD (по второму признаку равенства треугольников), откуда АВ
9.19. Через середину стороны АВ провести к ней перпендикулярную прямую,
=

=

точка ее пересечения с

прямой АС будет искомой,

признак равенства треугольников.

прямой; одна,

9.20. Ни одной,

если точки не принадлежат

используется

первый

если точки принадлежат

одной

одной прямой.
179

10.8. Да. 10.9. а), б), в) Да. 10.10. 10 см. 10.11. 8 см, 11 см, 11 см.
10.12. Треугольник ABC: 12 см, 12 см, 12 см, треугольник ADC: 12 см, 14 см,
14 см. 10.13. 6 см или 10 см. 10.14. 9 см или 15 см. 10.15. Да, треугольники
АВН

и

СВН. 10.20. LN

=

возможно.

MN.

АСВЕ; б) AKOL
ANOM, AKML ANLM> AKLN ANMK;
АСВЛГ. 11.11. Да,
AROH, APQH
ARQS; г) ААВК
ACBL, AABL
11.12. Нет. *11.13. Свойство треугольника сохранять свою форму

11.7. a) AABD

в) APOS

=

=

=

=

=

=

=

=

*11.14. На третьем признаке равенства
треугольников. *11.15. Это делается для устойчивости, используется свойство
называется жесткостью треугольника.

жесткости треугольника.

12.5. а), б) 1; в) 2 или 3. 12.6. Да. 12.7. Тупыми. 12.8. а) Да; б) нет.
12.12. а), б) Угол А; в) угол В. 12.13. а) ВС > АВ > АС; б) ВС > АВ
АС.
12.14. a) ZB > ZA > ZC; б) ZB >ZA
ZC. 12.15. ZA и ZB; ZC может быть
острым, прямым или тупым. 12.16. Тупыми. 12.17. Нет, треугольники
могут быть не равны. 12.18. Равнобедренный. 12.19. АВ > ВС. 12.20. Zl < Z2.
=

=

12.21. а) Равнобедренный; б) разносторонний; в) равносторонний.
13.4. а) Нет; б) да. 13.5. Принадлежат одной прямой,

и точка

L

лежит

М (KLM). 13.6. а), б), в) Нет; г) да. 13.7. Да. 13.8. а), б)
Наибольшая сторона треугольника. 13.9. Да, может в остроугольном

между точками К и

13.10. а) Нет; б), в) да. 13.11. а), б) Нет; в) да. 13.12. 10 см. 13.13. Нет.
см. 13.15. 4 см, 8 см, 8 см. 13.16. См. рисунок Об, АС
СВ
BD.
13.17. Нет. 13.18. Нет. *13.19. a + b<P<3a + b(a>b, Р
периметр
треугольника). 13.20. 6 см. 13.21. 22 см. 13.22. а) 8, 2; б) 8, 5; в) 8, 1.
треугольнике.

13.14. 29

=

=

Рис. Об
14.6. Да. 14.7. Тупоугольный. 14.8. а) Тупоугольный; б) остроугольный.
14.9. Нет. 14.10. а) Да; б) нет. 14.11. а) Да; б) нет. 14.12. а) 13 см; б) 10 см.
14.13. а), б), в) Да. 14.16. На сторонах прямого угла С отложить отрезки СА b и СВ а,
=

A ABC

искомый. 14.17. На одной
СВ
а и построить угол ZB
=

отрезок

=

точку пересечения

AABC

из

другой

сторон

Р, одной

его стороны

прямого угла

С

=

отложить

стороной будет ВС,
второй стороной прямого

со

его

назовем

угла А,

искомый. 14.18. а) К середине О отрезка ВС
а восстановить
ОА
сначала
/г, AABC
искомый; б)
построить прямоугольный
=

=

перпендикуляр

треугольник ABM

(ZM

=

90°)

по катету

AM

=

h

и

острому углу ВАМ, равному

,

2
затем отложить на

прямой ВМ

от точки М отрезок

МС

=

MB, AABC

искомый.

15.8. Две. 15.9. а), б) АВ. 15.10. а), б), в) Да. 15.11. Да. 15.12. Длина
высоты, опущенной из данной вершины треугольника. 15.13. а) 3 см; б) 5
15.14. Нет. 15.15. Нет. 15.16. а) Половине стороны равностороннего

треугольника; б) данному катету; в)

половине основания.

если

одной

точка

15.18. EF

180

>

совпадает

с

из

вершин

15.17. Меньше

основания

DS. *15.20. Внутри острого угла

см.

или равно: равно,

данного треугольника.

взята точка.

Найдите треугольник

наименьшего периметра, вершинами которого являются данная точка и точки,
принадлежащие сторонам угла.

16.9. а) Да, это диаметр окружности; б) нет. 16.10. Центр данной
16.11. Пополам. 16.12. а) Бесконечно много, нет; б) бесконечно много,
6.13.
Нет. 16.14. Окружность с центром в данной точке и данного
да.
радиуса. 16.15. Прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его
окружности.

16.17. Да. 16.18. «Хорды окружности, одинаково удаленные
это верное утверждение. 16.19. 8 см. 16.20. 2 см.
16.21. а), б) Да. 16.22. а) 30 см; б) 0,6 дм; в) 3,6 км. 16.23. 15 см.
16.24. 12 см. 16.25. Кольцом называется фигура, заключенная между

середину.

от

16.16. 20

ее

центра,

см.

равны»

общий центр
окружности. 16.28. 2R.

окружностями, имеющими

Центр

17.5.

(концентрическими окружностями). 16.27.

а) Пересекает окружность; б) касается окружности; в) не имеет
общих точек. 17.7. Равны. 17.8. Нет. 17.9. а) 2; б) 1. 17.10.

с

окружностью

Треугольники АОМ и АВМ
прямоугольные, треугольник ВОМ
тупоугольный. 17.11. а) Не имеет с окружностью общих точек; б) касается окружности;
в) пересекает окружность. 17.12. Нет. 17.13. Нет, нужно добавить: «одну и
только одну

общую

точку». 17.15.

Середины

равных хорд одной окружности

образуют окружность, концентрическую данной

17.16. Пополам. 17.17. а), б), в) Бесконечно

(имеющей с ней общий центр).
г) две. 17.18. Вообще

много;

говоря, нет. 17.19. 36 см. *17.20. ОН _L АВ, следовательно, ОН < ОА
радиус

Н,

окружности),

значит, ОХ <

на рисунке

R,

т.

е.

96

точка

X

расположена между

=

R (R

точками

А

и

X принадлежит данному кругу.

18.2. Одну или две. 18.7. а) Внутренние; б) внешние касательные.
18.9. а) 9 см; б) 5 см; в) 0 см. 18.10. а) 2 см, 10 см; б) 2 см, 6 см. 18.11. а) 30 см;
б) 6 см. 18.12. а) Касаются внутренним образом; б) пересекаются;
в) не имеют общих точек, одна находится вне другой; г) касаются внешним
образом; д) не имеют общих точек, одна находится внутри другой. 18.15.16 см и 56 см.
18.16. 4 см и 20 см. 18.17. 48 см и 36 см. 18.18. Нет, в противном случае,
например, три точки касания находились бы от данной точки на равном
и окружность, проходящая через них, пересекала бы данную окружность

расстоянии,

в трех точках, что невозможно.

18.19. Да. 18.20. а) 2; б) 6; в) 12; *г) п(п

1).

-

18.21. На одной прямой, перпендикулярной данной

хорде и проходящей
через ее середину. 18.22. Нет. 18.23. Решение показано на рисунке 07: а) 4; б)

8;

*в) 14 окружностей.

GD
а)

Рис. 07
181

19.4. а), б), в) Да. 19.5. Нет; круг
окружности

на

расстояние,

не

ГМТ, удаленных

это

превосходящее

ее

радиуса.

от центра его

19.6.

19.7. Две, если расстояние между данными точками меньше либо
20
см;
одна, если расстояние между точками равно 20 см; ни одной,
равно
если это расстояние больше 20 см. 19.8. Прямая, перпендикулярная
Бесконечно

много.

данной прямой и проходящая через данную точку. 19.9. Биссектрисы углов,
образующихся при пересечении данных прямых. 19.10. Множество
касательных, проведенных к окружности с центром в данной точке и радиусом а.
19.11. Множество остальных хорд, перпендикулярных данному диаметру.
19.12. Две перпендикулярные прямые, которые делят пополам углы,
19.13. Центр данной окружности. 19.14. Серединный
к
перпендикуляр
отрезку, концами которого являются данные точки. 19.15 По
окружности, концентрической данной окружности. 19.16. Три биссектрисы
углов треугольника, исключая его вершины. 19.17. Нет. 19.18. Нет. 19.19.
Решение показано на рисунке 08. 19.20. Окружность, концентрическая данной
образованные данными прямыми.

Рис. 08
окружности. 19.21. Окружность, концентрическая данной окружности;

ее

радиус равен гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого один катет

касательной, а другой
радиусу данной окружности. 19.22.
Четверть окружности с центром в вершине данного прямого угла и радиусом,
равным половине данного отрезка. 19.23. Две точки, если
г| < АВ < R + г;

равен отрезку

\R

одна точка,

если

R +

г

=

АВ

или

|i?

-

г|

=

АВ;

ни

одной

-

точки, если R + г < АВ

\R г\ АВ. 19.24. Четыре, три, две, одна, ни одной. 19.25. Серединный
перпендикуляр к отрезку АВ без середины этого отрезка.

или

-

>

20.11. Искомый центр

точка

пересечения

данной прямой

и

перпендикуляра к отрезку, который определяется данными точками;
задача не имеет решения, если данная прямая и серединный перпендикуляр
серединного

параллельны; задача имеет бесконечно много

решений,

если они совпадают.

20.20. Строим биссектрису данного угла (см. рис. 104), берем любую точку
на ней (она находится на равных расстояниях от сторон угла) и проводим
окружность с центром в

этой точке

и радиусом, равным

расстоянию от точки

до любой стороны угла; бесконечно много окружностей.

а), г), д), е), ж), и). 24.12. Связные графы: а),
б), в), г), з); лес: б), в), г), з), и). 24.14. 1. 24.15. т.

24.8. О или 2. 24.9. Нет. 24.10.

б), в), г), е), ж), з);
25.8. а) Да; б)
182

деревья:

нет.

25.9. а), б) Да. 25.10. 0.

26.10. а) 2; б), г), е) 3; в), д) 4. 26.11. а), б), в), г) 2. 26.12. а) 3; б) 4.
всех 2. 26.14. 2. 26.15. а), б) 3. 26.16. а), б) 4.

26.13. Для

27.7. Совпадать, пересекаться, быть параллельными. 27.9. а), б), в), г) Да.
27.10. Лежащие на параллельных прямых. 27.11. 35°. 27.12. а) Четыре угла
по 50° и четыре угла по 130°; б) четыре угла по 70° и четыре угла по 110°.
27.13. 75°и 105°. 27.14. Четыре угла
одного,

перпендикулярна

45°

по

если секущая перпендикулярна

и четыре угла по

135°. 27.15. Ни

обеим данным прямым; два,

одной прямой; четыре,

если

если она

пересечении нет прямых

при

27.16. Да, если прямые не параллельны. 27.17. Да. 27.18. Да. 27.19. Нет.
27.20. Нет. Например, угол 2 равен 55° или угол 1 равен 115°. 27.21. а), б) Да.
27.22. Да. 27.23. Да, если эти наклонные параллельны. 27.24. с || d. 27.25. Да.
27.26. а || d, Ъ || с. 27.27. Четыре угла по 80° и четыре угла по 100°.
27.28. Секущая перпендикулярна данным параллельным прямым. 27.29. АВ | EF,
EF || CD. Таким образом, АВ || CD. *27.30. Нет, так как они параллельны.
углов.

*27.31. Нет, так как они параллельны. 27.32. 6 см. 27.33. 4 см. 27.34. Да.
27.35. Да. 27.36. Пересечь их третьей прямой и воспользоваться одним из

27.37. Обвести края линейки

признаков параллельных прямых.

получились ли параллельные прямые

27.43. Принадлежат

(см.

двум прямым,

находящимся от нее на расстоянии, равном данному радиусу.

параллельная

данной прямой

и

и проверить,

27.36). 27.38. Да. 27.42. Нет.
параллельным данной прямой и

решение задачи

отстоящая

от

нее

27.44. Прямая,

на расстояние,

равное данному.

27.45. Прямая, параллельная данным прямым и расположенная между
27.46. Полоса, заключенная между двумя параллельными прямыми,
находящимися
расстояние

две

по

разные

5 см,

прямые,

стороны

включая

от

сами

данной прямой

прямые.

данной

параллельные

и

и

отстоящими

27.47. Нет,

отстоящие

от

таким

нее

на

ГМТ

от

ними.

нее

на

являются

расстояние

3

см.

27.48. Серединный перпендикуляр к основанию, исключая середину этого
основания. 27.49. Две точки. 27.50. Луч, параллельный стороне АС
треугольника, отстоящий от нее на расстояние 4 см и имеющий начало в точке В.
это точки пересечения двух прямых, параллельных
*27.51. Искомое ГМТ

данной прямой
радиусом

2

и отстоящих от нее на расстояние

данной
данной точки

см с центром в

2 см,

1)

если

4 см, то ГМТ состоит
одна точка
равно 4 см

до данной прямой
(рис. 09, а); 2) если это расстояние
(рис. 09, б); 3) если это расстояние больше 4 см, не

расстояние от

и окружности

точке; возможны следующие три случая:
меньше

из двух точек

точек,

существует

удо-

а
а
а

а)
б)

в)

Рис. 09
183

влетворяющих условию задачи (рис. 09, в). 27.52. Внутренний луч с началом
в вершине угла, исключая эту вершину. 27.53. Прямую, параллельную данной.
*27.54. Прямая, параллельная данной, без точки пересечения с прямой, на

которой

лежит

общая

сторона треугольников.

а), б), в) Нет; г) да. 28.5. Да. 28.6. а) Тупоугольный; б)
прямоугольный; в) остроугольный. 28.7. Да, это углы 30°, 60° и 90°. 28.8. 30°, 70°,
28.3. 40°. 28.4.

80°. 28.9. 40°, 40°, 100°. 28.10. Нет. 28.11. а) По 60°; б) острые углы по 45°.
28.12. Два угла по 60° и два угла по 120°. 28.13. Два угла по 60° и два угла по
120°. 28.14.

а) Прямоугольный; б) тупоугольный. 28.15. 10°. 28.16. а)

любой треугольник; б) нельзя ни один треугольник; в) можно любой
тупоугольный треугольник. 28.17. 50°, 60°, 70°. 28.18. 15°, 75°. 28.19. Да.
28.20. Zl
Z3
50°. 28.21. 60°, 60°, 120°, 120°. 28.22. 45°, 45°,
40°, Z2
135°, 135°. 28.23. Два угла по 70°, два угла по 110°. 28.24. Два угла по 25°,
Можно

=

=

=

два угла по 155°. *28.25. Если бы эти

биссектрисы были параллельны,
образуют биссектрисы с

то

сумма внутренних односторонних углов, которые

треугольника, должна была бы равняться 180°, а
она меньше 180°. 28.26. 30°, 60° и 90°, АВ
2АН; катет, лежащий против

соответствующей стороной

=

28.27. 45°, 45°, 90°. 28.28.
30°,
угла
Остроугольный. 28.29. а) Нет; б) да, прямоугольный треугольник. 28.30.
Остроугольный. 28.31. 50°, 50°, 130°, 130°. 28.32. 60°. 28.33. 120°. 28.34. а)
в

меньше гипотенузы в два раза.

все углы равны по 60°; б) равнобедренный с углами 120°, 30°, 30°.
28.36. 97°. 28.37. а) Тупоугольный; б) прямоугольный; в) нельзя определить.

Равносторонний,

28.38. Прямоугольного, другие внешние углы
тупые. 28.39.
Тупоугольный. 28.40. Нет, так как у треугольника может быть не более одного тупого
угла. 28.41. 360°. 28.42. 70°, 70°, 40° или 70°, 55°, 55°. 28.43. 90°, 36°, 54°.

28.44. 90°. 28.45. Равнобедренный (или даже равносторонний). 28.46. а)
Тупоугольный; б) прямоугольный. 28.47. Да. 28.48. а) Нет; б), в) да. 28.49.
Внешний угол при вершине, противоположной основанию, в 2 раза больше
при основании. 28.50. а), б) Нет; в) да. 28.51. Тупыми, треугольник

угла

тупоугольный. 28.52. 42°, 45°, 93°. 28.53. 20°, 80°, 80°, равнобедренный. 28.54. 35°,
55°. 28.55. 1) 50°, 50°, 80°. 2) 50°, 65°, 65°. 28.59. 180°(п
2). 28.60. а) 90°; б)
-

110°; в) 30°. 28.61. 57°, 90°, 90°, 123°. 28.62. 360°. 28.63. а) 90°; б) 108°; в) 120°.
28.64. 36°. 28.65. 8. 28.66. Увеличится на: а) 180°; б) 360°; в) 540°; г) 180°* т.
28.67. Увеличится на 180°- п. 28.68. 60°, 80°, 100°, 120°. 28.69. а) 4; б) 7;
в) 9. 28.70. 360°. 28.71. 0, 1, 2, 3 или 4. 28.72. В четырехугольнике. 28.73. Да,
3. 28.76. k + 2. 28.77. У
у шестиугольников. 28.74. а) 3; б) 6. 28.75. п
такого п-угольника все внешние углы должны быть тупыми и в сумме
составлять 360°, таким образом, только у треугольника могут быть все внутренние
углы острыми; 3. 28.78. Так как сумма углов я-угольника равна 2d(n
2),
внешний угол может быть равен только d, при этом п
7. 28.79. а) 0; б) 0;
в) 3. 28.80. Параллельны или совпадают. 28.81. а), б) Нет, так как
наибольшее число острых углов равно 3. 28.82. Да, если они прямые или один
острый, а другой
тупой. 28.83. Да, если углы прямые. 28.85. 120° и 60°.
28.86. Четыре. 28.87. а) 70°, 110°; б) 30°, 150°. 28.88. 80°, 100°. 28.89. 70°,
110°, 70°. 28.90. Нужно провести прямые, параллельные данным, с
=

-

=

доступной точкой пересечения
184

и измерить

соответствующий

угол,

равный

данному.

28.91. Необходимо провести прямые, параллельные сторонам данного
треугольника и имеющие доступные точки пересечения, и измерить соответствующие

будут равны углам данного треугольника. 28.92. 80°. 28.93. 60°,
60°, 120°, 120°. 28.94. а), б) 45°, 45°, 135°, 135°. 28.95. 40°, 140°. 28.96. 65°,

углы, которые

115°. 28.97. а) 80°, 100°; б) 40°, 140°. 28.98. 35°, 125°, 35°. 28.99. 40°, 130°,
50°. 28.100. 85°, ответ не изменится. 28.101. Углы АСН и СВН; САВ и НСВ.
ZAHE
ZBHE. 28.103. ZB
28.102. АВАН
ZCHD; ZB +
ZBHD, ZBCH
=

=

=

180°. 28.104. Да,
28.105. ZAOB
ZAfl1B1
+ ZAHC

=

=

=

они равны острым углам прямоугольного треугольника.
или

ZAOB +

ZAfixB= 180°.

29.2. 180°. 29.3. а) Да; б), в) нет. 29.4. 36°, 72°, 108°, 144°. 29.5. Да.
29.6. Нет. 29.7. Да. 29.8. Нет. 29.9. 100° и три угла по 86°40'. 29.10. 50°, 90°,
90°, 130°. 29.11. Все углы четырехугольника прямые. 29.12. 142°, 22°, 136°,
60°. 29.13. 140°, 100°, 80°, 40°. 29.14. Нет, для жесткости можно провести
диагональ. 29.15. 24°, 48°, 96°, 192°. 29.16. Нет. 29.17. а), б) Да; в), г) нет.

29.18. 8 см, 12 см, 16 см, 20 см. 29.19. a) ZA
ZD; в) ZA + ZB
ZC; б) ZB
180°. 29.20. 135°. 29.21. Параллельны. 29.22. а), б) Да. 29.23. 180°. 29.24.
90°. 29.25. Нет. 29.29. а) 35°, 35°, 145°, 145°; б) 135°, 135°, 45°, 45°. 29.30. а)
103°, 103°, 77°, 77°; б) 60°, 60°, 120°, 120°. 29.31. 9. 29.32. Три, если
=

=

=

=

треугольник

разносторонний;

равносторонний. 29.33. а) Да; б)

два

нет.

если

равнобедренный;

29.34. Да. 29.35. На

один

основании

если

следующей

теоремы:
«Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого
треугольника, а третьи стороны не равны, то та из них больше, которая лежит

большего угла». 29.36. Нет. 29.37. 74°, 74°, 106°, 106°. 29.38. а) 68°, 68°,
112°, 112°; б) 70°, 70°, 110°, 110°; в) 30°, 30°, 150°, 150°; г) 54°, 54°, 126°, 126°.
A CDB.
A CDA; A ABD
A DOA; A ABC
A COD; А БОС
29.39. АЛОВ

против

=

=

=

=

29.40. 9 см, 9 см, 15 см, 15 см. 29.41. Параллелограммом. 29.42.
Параллелограммом. 29.43. Параллельны. 29.44. а), б) Нет; в), г) да. 29.45. а),

г) Нет; б),

36°, 36°, 144°, 144°. 29.48. 60°, 90°, 90°, 120°.
29.49. а) Перпендикулярны; б) параллельны. *29.50. Одна сторона больше
DF. 29.53. а),
другой стороны в 2 раза. 29.51. Да. 29.52. ОЕ
OF; AF
СЕ; BE
29.54.
см.
соответственно
63°, 63°, 117°,
рисунки 010, а), б), в), г).
б), в), г) Да,
117°. 29.55. 120 см, 80 см, 80 см. 29.56. 48 см, 12 см, 12 см.

в)

да. 29.46. 3 см, 4 см. 29.47.

=

=

=

185

в

Рис. 011

Рис. 012

30.5. Да. 30.6. а) Нет; б) да. 30.7. Нет. 30.8. Да. 30.9. Да. 30.10. Да. 30.11. Да.
30.15. Да. 30.16. Да. 30.17. Например, провести через точку А прямую,

ВС (в одной полуплоскости с ВС
искомый параллелограмм. 30.18. Например, через точку
М провести прямую, параллельную АВ, и отложить на ней соответственно
АВ
MD
ABCD
искомый параллелограмм. 30.19. 120 см,
отрезки МС
2
параллельную ВС, и отложить на ней AD
относительно

=

АВ), ABCD
=

=

,

периметр не зависит от выбора точки на основании
треугольника. *30.20. Да. *30.21. Параллелограмм.

равнобедренного

31.4. Прямоугольник. 31.5. Прямоугольник. 31.6. 10 см, 10 см. 31.7. а),
б) Да. 31.8. Да, например, на рисунке 011, а изображен дельтоид, у
которого АС

AD

=

BD;

| ВС и АС

=

на рисунке

изображен четырехугольник,
=

90°, АС

=

011, б изображен четырехугольник,

BD (равнобедренная трапеция). 31.9. Нет,

который

на рисунке

у которого

012

не является прямоугольником и у которого

BD. 31.10. а) Нужно измерить любой

ZA

=

его угол, если он окажется

прямым, то данный параллелограмм
прямоугольник; б) нужно проверить,
делятся ли его диагонали в точке пересечения пополам, если да, то он
является параллелограммом, дальше поступаем, как в предыдущем случае.

31.11.

а) Да,

это точка пересечения его

диагоналей

диагоналей; б)

нет.

31.12. В

точке

данного прямоугольника. 31.13.

Центр отверстия будет
находиться в любой точке отрезка, соединяющего середины двух других сторон
данного прямоугольника. 31.14. 10 см. 31.15. 3 см. 31.16. 20 см. 31.17. 30°, 60°.
пересечения

31.18. 1

: 2. 31.19. 13 см. 31.20. 25°, 65°. 31.21. а) 36°, 54°; б) 18°. 31.22. 4 см,
4 см, 9 см, 9 см или 5 см, 5 см, 9 см, 9 см. *31.23. Прямоугольник;
получившийся четырехугольник, во-первых, является параллелограммом, так как

биссектрисы противоположных углов данного параллелограмма параллельны
(см. решение задачи 29.49, б), во-вторых, у него все углы прямые, так как
биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне данного параллелограмма,
перпендикулярны (см. решение задачи 29.49, а). 31.24. Ответ представлен
соответственно на рисунке 013, а, б. 31.25. Ответ представлен на рисунке 014,
где DE проходит через середины соответствующих сторон треугольника ABC
186

Рис. 013

(средняя
10

м.

1 )(п
треугольника). 31.26. Нельзя. 31.27. (т
меньше суммы расстояний от точки до сторон данного
-

линия

расстояние
и

Рис. 014

31.30. а) 3 элемента, например две

-

1). 31.28. Это

угла.

31.29. 5

м

смежные стороны пластинки и угол

между ними; б) 2 элемента, например смежные стороны пластинки. 31.34. Да.
31.35. а), б) Да. 31.36. Да. 31.37. Да. 31.38. а) Нет (см. рисунок 011, а) к
задаче 31.8); б) да. 31.39. Равнобедренных треугольников. 31.40. Прямоугольных
треугольников. 31.41. а) Нужно измерить все его стороны: если они равны, то
данный четырехугольник является ромбом; б) нужно перегнуть его по одной
диагонали и затем по другой: если противоположные вершины совместятся,
то вырезанный четырехугольник будет ромбом. 31.42. 2 элемента,
например сторону и угол. 31.43. 60°, 60°, 120°, 120°. 31.44. а) 60°, 120°, 60°, 120°;
б) 30°, 60°. 31.45. Нет. 31.46. 40°, 140°, 40°, 140°. 31.47. Этот
параллелограмм является ромбом. 31.48. Да, это следует из равенства прямоугольных

BKD

BLD. 31.49. 30°, 150°, 30°, 150°. 31.50. а) 150°, 30°,
150°, 30°; *б) 60°, 120°, 60°, 120°. 31.51. Нет. 31.52. Да. 31.53. а), б) Нет.
31.54. а) Да; б) нет. 31.55. Решение показано на рисунке 015, ABCD
ромб,
треугольников

и

В

Рис. 015

Рис. 016

Рис. 017
187

диагонали АС и BD лежат на

а) Решение
данный
искомая; б) см.

перпендикулярных прямых. 31.56.

015,
отрезок, прямая BD
показано на рисунке

рисунок

016:

сначала

данной прямой
образом,

Рис. 018

(рис. 017)

потом

Нужно

нужно

точка

провести

взять

отложить

АС

отрезок

чтобы данная

серединой,
перпендикуляр к отрезку АС. 31.57.

а

где АС

О была

полученные четыре

точки

его

серединный
любой

вершину

клетки

ОС),
(ОА
от нее по вертикали равные отрезки (ОБ
0D),
являются вершинами ромба. 31.61. Является квадратом.
=

и отложить от нее по горизонтали равные отрезки

аналогично отложить

на

таким

=

а) Да; б), в) нет. 31.63. Да. 31.64. Первая фигура: а) 14; б) 22. Вторая
фигура: а) 30; б) 70. Третья фигура: а) 55; б) 170. 31.65. Например, проверить,
равны ли и перпендикулярны у него диагонали. 31.66. Во-первых, нужно
перегнуть ее по диагоналям, т. е. проверить равенство сторон; во-вторых, перегнуть
31.62.

по прямой, проходящей через середины противоположных сторон, т. е.
проверить равенство углов. 31.67. См. ответ к задаче 31.65. 31.68. Да. 31.69.

31.70. Например,

из

двух

Да.
равнобедренных прямоугольных
равнобедренных прямоугольных треугольников;

равных

треугольников; из четырех равных
из четырех равных прямоугольных треугольников, у которых один из катетов
в два раза больше другого; из равнобедренного треугольника и двух равных
прямоугольных треугольников, у которых гипотенуза равна основанию

равнобедренного треугольника, а один из катетов в два раза больше другого. 31.71.
высоте, опущенной на гипотенузу. 31.72. а) 90°; б) 45°. 31.73. 40 см. 31.74.

По

Квадрат. 31.75. 3 см и 3 см. 31.76. 6 см. 31.77. 8 см. 31.78. Квадрат. 31.79. Ромб.
31.80. а) Ромб; б), в), д) прямоугольник; г), е) квадрат. 31.81. Три. 31.82. Один
элемент, например сторону пластины. 31.83. Нужно от вершины прямого угла

(рис. 018)

по длине доски отложить отрезок,

полученную

ZOBA

=

точку с

вершиной

равный

ее ширине, и соединить

противолежащего прямого угла, на рисунке

45°. 31.84. Правильный пятиугольник. 31.85. Ромб. 31.86. 4.

32.5. а) 2,5 см, 3 см и 2 см; б) 8,5 дм, 13 дм и 9,5 дм. 32.6. а) 12,5 мм;
см. 32.7. а) 16 см, 24 см, 32 см; б) 10 дм, 30 дм, 26 дм. 32.8. а) 138 см;
б) 66 м. 32.9. а) 8 дм; б) 24 см. 32.10. а) Равносторонний; б)
равнобедренный треугольник. 32.11. 4 треугольника, они все равны. 32.12. 16 см.

б) 25,5

Рис. 020

188

32.13. а) 24 см, 36 см, 36 см; б) 40 см, 40 см, 16 см. 32.14. 6 дм, 9 дм, 12 дм.
32.15. 12 см. 32.16. Разрезать треугольник по средней линии (рис. 019).
32.18. Из данной точки М (рис. 020) провести любую наклонную МА к данной

прямой а, на прямой AM
наклонную ВС к прямой

отложить отрезок MB

=

МА, провести произвольную
искомая
NC, MN

а, разделить ВС пополам, BN

=

прямая. 32.19. Всего 29 треугольников, периметр наименьшего равен 18 см.
32.20. Через каждую данную точку провести прямую, параллельную прямой,
проходящей через две другие данные точки, точки пересечения
проведенных прямых являются вершинами искомого треугольника. 32.21. 17,5 см.
32.22. а), б) Параллелограмм; в) ромб; г) прямоугольник; д) квадрат.
32.23. Через точку О пересечения диагоналей ромба провести прямую,
параллельную прямой, проходящей через данные точки М и N (рис. 021), и на

ней отложить отрезки ОА
и

CN,

на

прямой ВО

=

ОС

=

MN, В

отложить отрезок

точка пересечения

OD

=

ОБ, ABCD

прямых AM

искомый ромб.

022, прямоугольные треугольники АНМ и ВРМ равны
БР, но АН
CQ (AHQC
(по гипотенузе
углу), значит, АН
BP
CQ. 32.25. Если домики не стоят на
прямоугольник), следовательно, АН
одной прямой, то условию удовлетворяют три дорожки, содержащие
32.24. Да,

см. рисунок

=

и острому

=

соответствующие средние линии

треугольника,

домики; если домики стоят на
как, например,

КО

является

=

=

вершинами

одной прямой,

средней линией

которого

то решения нет.

являются

32.26. Да,

так

треугольника DEM.

С

Рис. 023

Рис. 025

33.8. 2. 33.9. Да (например, рис. 023). 33.10. Да (рис. 023). 33.11. Нет.
33.12. Нет (рис. 023). 33.13. Два. 33.14. Не обязательно, это может быть

равнобедренная трапеция. 33.15. Не обязательно, он может быть
прямоугольником, квадратом, дельтоидом, изображенным на рисунке 0.11, а.
33.16. Да (рис. 024). 33.17. Да (рис. 025). 33.18. 60°, 120°, 60°, 120°.

189

33.19. 130°, 110°. 33.20. 60°, 70°, 110°,
120°. 33.21. а), б), в) Да; г) нет. 33.22.
2 см. 33.23. 30°, 150°, 30°, 150°. 33.24.
Боковая сторона трапеции равна:
а) меньшему основанию; б) большему
основанию. 33.25. а) Ромб; б), в)
параллелограмм. 33.26. 21 см. 33.27. На две
равные части. 33.28. 33 см. 33.29. 23 см.

D

33.30. 18 см. 33.31. 25 см. 33.32. Да.
33.33. 2а, 2Ь. 33.34. Нет. 33.35. Да, в этой трапеции одно из оснований равно
боковой стороне, см. рисунок 026, где по условию Z1 =Z2, но Z2
Z3, так
=

как

AD

||

БС,

сторонами АВ и

равнобедренный

значит, треугольник ABC

БС. 33.36. 10

боковыми

с

см.
2

113

34.3. Длине данного отрезка. 34.4. а)
34.5.

а)

-

5

;

б)

-

2

;

в)

-

;

3

г)

;

10

д)

-

2

;

б), г) Нет; в) да. 34.15. а) 4 см; б) 81

34.24. а)' 2,8
.

DF

.

см;

б) 2,5

DE

DF

~АВ

АС

-.

~EF

см;

в) 10

е)

-

.

5

см.

б)

-

;
Z

-

;

в)

о

34.6. 10 см, 7,5

-;
4

г)

см и

д) 2; е) 2,5.

-

;
э

17,5

см.

34.13. а),

34.20. 2,5. 34.21. 10,5 дм. 34.23. 1

:

5000.
АС

см.

34.26. а)

; б)
EF
ер

34.27. а), б) Да. 34.28. а)

;

р

+ q

; в)

;
AB

DF

б)

eq

г)

34.29.

ш

,

EF

DF

Проводим

p + q

(рис. 027), делим его на т равных частей и откладываем на его
NC, равный п таких же частей, проводим прямую СВ
и прямую NM || СБ, где точка М принадлежит АВ, NM
искомая прямая.
34.30. Нужно построить угол с вершиной в одном конце данного отрезка и
стороной, на которой лежит данный отрезок, на другой стороне угла отложить от
отрезок AN

продолжении отрезок

его вершины последовательно отрезки, равные соответственно т, п и1 равных
одинаковых частей, провести прямую через последний конец последнего
отрезка

и

второй

параллельные

конец данного отрезка, через точки деления провести прямые,

ей, данный отрезок разделится

в искомом отношении.

35.8. Угол, вершина которого

а) внутри окружности,
полусуммой двух дуг, одна

расположена:

измеряется

из

которых заключена между его сторонами, а
другая

б)

между продолжениями сторон;

вне окружности и стороны пересекают

окружность,
двух дуг,

Рис. 027

190

измеряется

заключенных

полуразностью

между его

сторонами. 35.9. 60°. 35.10. 120°. 35.11. 25°.
35.12. 31°. 35.13. 51°, 102°. 35.14. а) 40°;
б) 36°. 35.15. а) 130°; б) 120°. 35.16. а) 60°;
б) 30° или 150°. 35.17. 90°. 35.18. Мень-

Рис. 028
ше прямого, т. е. острый угол. 35.19. Точка расположена внутри
окружности и не принадлежит данному диаметру. 35.20. 48°. 35.21. 120°. 35.22. 70°.
35.23. 35°, 35°. 35.24. 40°, 40°, 100°. 35.25. 20°. 35.26. Получился

равносторонний

треугольник, каждый его угол равен 60°. 35.27. 120°. 35.28.
120°. 2) ОЕ
Равносторонний. 35.29. 3 см, 3 см. 35.30. 60°. 35.31. 1) ZCBD
60°, ZCOD
=

=

ЕА. 35.32. Нужно

=

=

прямоугольный

взять

треугольник и совместить вершину
его прямого угла с любой точкой окружности, по катетам провести хорды,
концы этих хорд образуют отрезок, являющийся диаметром данной окружности;
затем нужно повторить эту операцию с другой точкой окружности, получится
еще один диаметр; точка пересечения проведенных диаметров будет центром
данной окружности. 35.33. 70°. 35.34. 30°, 60° и 90°. 35.35. Окружность,
диаметром
и

ЛЕВ

СхАО

и

которой

является

на рисунке

С^О

028,

равны 90°

данный отрезок (без концов). *35.36. а) Две дуги ADB

а, где точка О
-

а, где а

перпендикуляр отрезка АВ;

б)

середина данного отрезка АВ, углы

данный острый угол,

серединный
028, б, где точка

С1С2

две дуги AFB и AGB на рисунке

серединный перпендикуляр отрезка
середина данного отрезка АВ, СХС2
данный тупой угол.
СхАО и CgAO равны 90° а, где а 180° (3, (3

О

-

АВ, углы

=

-

36.7. а) Остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный. 36.8.
Тупоугольный. 36.9. 6 см. 36.10. 7,5 см. 36.11. Равнобедренный остроугольный.
36.12. Прямоугольный. 36.13. Нет, сторона может равняться диаметру.
36.14. Сторона, лежащая против угла в 30°. 36.16. а), г), д) Да; б), в), е) нет.
36.17. а), в) Да; б), г) нет. 36.18. 98°, 116°. 36.19. 140°. 36.20. 12 см. 36.21. 9 см,
*36.22. В середине большего основания. 36.23. Прямоугольник, квадрат,
равнобедренная трапеция (рис. 029, а, б, в). 36.24. Провести два произвольных
9

см.

диаметра,

их концы

будут

являться вершинами вписанного в данную окруж¬

191

Рис. 029
ность прямоугольника. 36.25. В окружность можно вписать только равные
квадраты. 36.26. Нет. 36.27.

180°. 36.28. Да. 36.29.

.

Да,

36.30.

если

а.

сумма противоположных углов равна

36.31. 6R. 36.32. 5

см.

36.33. а), б) Нет,

так

2

(п > 4) сумма углов, не прилежащих к одной
180°.
36.34.
Нет:
больше
стороне,
пусть, например, в окружность вписан
равносторонний я-угольник, тогда его стороны стягивают равные дуги, и, значит,
как у вписанного я-угольника

вершины многоугольника делят окружность на п равных частей, при этом
каждый угол многоугольника, как вписанный угол, опирающийся на дугу, равную
п

-

2

взятых равных

частей;

следовательно, все углы многоугольника равны

прямоугольник. 36.36. Нет, так как в противном
случае совместились бы концы сторон, принадлежащие окружности, но это
между собой. 36.35.

Да,

невозможно, потому что сторона

100-угольника больше

стороны

200-угольника,

вписанных в одну и ту же окружность.

37.7. а), в), г) Нет; б) да. 37.8. а)
Равносторонний; б) равнобедренный. 37.9. а) 105°, 110°,
145°; б) 60°, 80°, 140°. 37.10. 30 см. 37.11. 22
см. 37.12. Вневписанной окружностью
треугольника называется окружность, которая

одной из сторон треугольника и
продолжений двух других его сторон (рис. 030);
касается

у любого треугольника три таких
окружности. 37.13. Найти точку пересечения
биссектрис двух внешних углов треугольника,
прилежащих к одной стороне. 37.14. а) 110°,

130°; б) 120°, 80°, 40°. 37.15. Данные
сумме составляют 360°. 37.16.

37.17. 34

Рх

4-

120°,

углы в

Р2

4-

Рг

37.18. 105°, 125°, 130°. 37.20. Да,
периметр равен 34 см. 37.21. а), б) Нет;
в), г), е) да; д) да, если сумма оснований равна
сумме боковых сторон. 37.22. а) Да, это
см.

равнобедренная
192

трапеция;

б)

нет, но у этой трапеции

сумма оснований равна сумме боковых сторон. 37.23.

Средняя

линия трапеции

боковой стороне. 37.24. 21 см. 37.25. 13,5 см. 37.26. 6 см, 14 см,
26 см, 18 см. 37.27. 42 см и 10,5 см. 37.28. 3 см. 37.29. 2 см. 37.30. Да.
37.31. Центр окружности, вписанной в треугольник... 37.32. а) Центр
равна ее

пересечения его

(точка

диагоналей); б) серединный перпендикуляр
определяемой данными вершинами; в) серединный
перпендикуляр диагонали квадрата, которая проходит через данные вершины (прямая,
на которой лежит другая диагональ квадрата); г) центр квадрата. 37.33. Да.
37.34. а) 4R; б) 2D. *37.35. Нет: если в пятиугольник можно вписать
квадрата

стороны квадрата,

окружность, то сумма двух несмежных сторон должна

быть

меньше суммы трех

других его сторон.

38.2. а), в) Всегда; б)
равных расстояниях от

38.4. а) Да; б) нет. 38.7. а) К наименьшей
к наибольшей стороне; в) на

не всегда.

если треугольник

стороне,

остроугольный; б)

каждой

из сторон треугольника.

38.8. а) На равных

противолежащей наибольшей стороне треугольника.
38.9. Находится: а) внутри; б) в середине гипотенузы; в) вне треугольника.
Z4
Z4
70°= Z3
Z5
50° =Z3
38.10. a) Zl
Z6, Z2
40°; б) Zl
Z5
80°. 38.11. Два угла по 30°, два угла по 70° и два угла по
Z6, Z2
80°; углы, которые образуются при пересечении высот треугольника, равны
расстояниях; б)

к вершине,

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

35.12. 35°, 60° и 85°. 35.13. Центры вписанной и описанной
окружностей совпадают и находятся в точке пересечения высот (ортоцентр),

его углам.

медиан

(центроид),

или

биссектрис. 38.14. В 2

или

раза. 38.15. 40 дм. 38.16. 2,8 м.

38.17. 20 см, 10 см. 38.18. В середине гипотенузы прямоугольного треугольника.
3 см,
Проекции: а) медиан KKV LLV NNX равны соответственно KQ

38.20.

=

HP =7,5 см, GT
2 см, НО
соответственно КО

10,5

=

=

=

см;

отрезков КМ, LM, NM равны

б)

5 см, ТО

=

7

см.

38.21. Если провести диагональ BD,
точки

М

и

N

то

будут

центроидами
соответствующих треугольников ABD и
CDB, тогда AM

=

§АО

=

О

где О

\сО

точка пересечения

АС

1
MN
=

МО + N0

=

\аО&СО)=АМ
О

~
=

=

CN,

и

BD,

1
АО +

~

СО

CN. 38.22. а) 1

=

:

2;

и

С

О

б) 2

:

1. 38.23. Через вершины А

провести прямые, параллельные
соответственно СВ и АВ (рис. 031), D
их пересечения, тогда ABCD
параллелограмм, АС и BD

АС, ААВС

ACDA,

ОМх

=

=

ACDA, Мх

ОМ

=

точка

его диагонали,

которые пересекаются в точке

середине

=

и

-OD, М

О
центроид
центроид

3

193
7~Смирнова,

7-9 кл.

Рис. 033

Рис. 032

ДАБС, проводим AM
отложить углы:

б)

СМ. 38.24. а) В соответствующей полуплоскости

и

ZLAA=ZLAB

и

=

ZLBBX

ZLBA, С

точка пересечения

и АН и продолжить их до пересечения в точке
ВМ соответствующие отрезки

АВХ

и

BAV

и

БВ^

и
МАХ= -AM
МВХ=
2

АХМ,

затем провести луч

о

МА

ложить

через

=

ABC

2АХМ,

все углы а,

известны

вершиной

АМОК

отложить на лучах AM и

ВМ, С

точка пересечения

2

БС,

по трем сторонам

2

СМ=~СС1,
ВМ=-ВВ1,
3

последовательно с

С; в)

38.25. Сначала построить треугольник ВМС

2

180°

=

(3

О

в точке
-

у, где

и

=

у

середина БС, и от-

Ах

искомый треугольник. 38.26. В треугольнике
180°
(а + Р), поэтому нужно
-

отложит углы

точки

где

ZKOL

=

180°

-

a, ZLOM

=

180°

-

(3,

К, L, М принадлежат данной окружности: а)

эти точки провести касательные к окружности, соответствующие точки их

пересечения являются вершинами искомого треугольника;

искомый,

если

Z5

=

032, пусть BL

=

LBX,

равнобедренный hZ5

=

Z3

=

АС

и

ВС должны быть параллельны; в) нет,

тогда в треугольнике

АББХ

см.

отрезок AL является

медианой, значит, треугольник АВВХ
Z4, откуда следует, что АС || ВС. 38.28. Да, верно;

биссектрисой

одновременно

=

=

и стороны треугольника

рисунок

б) AKLM

2а, ZLOM
2Р, ZMOK
2у. 38.27. а) Нет; биссектрисы
пересекаются; б) нет, см. рисунок 032: пусть АА^ВВ^ тогда Z4

ZKOL

треугольника
=

АА1

из точек А и Б опустить перпендикуляры на соответствующие прямые ВН

и

если

даны четыре точки и одна из них является ортоцентром треугольника,
то этим свойством обладает каждая
38.29. Если продолжим отрезок СМ до пересечения со

вершинами которого служат другие три точки,
из данных точек.

стороной АБ,
треугольнике

то

ССХ
АСХ

AMВ

39.5. Фигура F
если

медиана треугольника
=

ВС1

=

МСХ,

называется

она симметрична

сама

АВ

=

(рис. 0.33),

2 МСг

=

центрально-симметричной
себе

в прямоугольном

СМ.

относительно этого

относительно центра

центра.

39.7. Да,

О,

это:

а) центр симметрии; б) прямые, которые проходят через центр симметрии.
39.8. Да, центром симметрии будет середина отрезка ММ'. 39.9. Да, это его
середина.

194

39.10. Например: а) окружность; б) трапеция. 39.11. Да. 39.12. Да.

39.13. Взять любую точку
параллелограмма и соединить ее с точкой
пересечения диагоналей, на
продолжении полученного отрезка отложить

равный ему отрезок, второй конец

этого

центрально-симметричная
точка взятой точке (рис. 034). 39.14.
отрезка

а) Нет; б), в), г) да; д) имеются два случая:
1) прямая пересекает полосу (рис. 035, а),
тогда центром симметрии будет точка
О
середина отрезка АВ; 2) прямая па-

Рис. 034

б)
Рис. 035

образующим полосу (рис. 035, б), тогда центра
симметрии нет. 39.15. а), б) Нет; в) да, например, прямая. 39.16. В точке
пересечения диагоналей параллелограмма, противоположными сторонами которого
раллельна прямым,

39.17. Параллельны. 39.18. а) 0, 8; б) И, Н, О, Ф, X;
в) Н, I, N, О, S, X, Z. 39.19. а), в), г), д), е), и) Один; б), ж) не имеет центра
симметрии; з), к), л) бесконечно много. 39.20. а) Центр круга; б) точка

являются данные отрезки.

нет центра симметрии; г) точка
д), е) середина отрезка, соединяющего центры окружностей (линии
центров); ж) точка пересечения диагоналей ромба; з) общая точка полукругов,
образующих данную фигуру; и) общая точка трех фигур. 39.21. Они должны
быть параллельны и противоположно направлены. 39.22. а) Нет; б) да,
пересечения

диагоналей внутреннего квадрата; в)

касания;

например, шестиугольник на рисунке 036. 39.23. У такого шестиугольника
диагонали, соединяющие вершины через две вершины, пересекаются в одной точке,

195
7*

см. рисунок
и

BCEF

037: четырехугольники ABDE, ACDF
параллелограммы, точка О

пересечения их

диагоналей;

на рисунке

точка

036

изображен невыпуклый шестиугольник,
удовлетворяющий условию задачи. 39.24. Три параллельные
прямые, причем одна из них находится на
равном
прямых.

расстоянии от

каждой

из двух других

39.25. Нет, центр симметрии

имеют

правильные многоугольники только с четным числом
сторон.

39.26. Можно, у центрально-симметричного
четное число сторон. 39.27.

многоугольника

Рис. 038

\
TV/г
Л
а) Может быть как центрально-симметричнои
фигурой (например, правильный шестиугольник), так и не
центральносимметричной фигурой (например, трапеция); б) нет. 39.28. АА2= ВВ2 СС2
2MN и АА21| ВВ21| СС2, поскольку MN является средней линией в
=

=

=

2АВ
АВ || CD ||
2DC
соответствующих треугольниках. 39.29. ММ2
М2М4 и
АВ
и
как
линии
соответственно
CD
средние
треугольников ММгМ2
|| М2М4 (так
и
М2М3М4), откуда следует, что точки М и М4 должны совпадать. 39.30.
=

=

=

ММ21|

доступную точку О (рис. 038), найти точки Mv Nv симметричные
MN.
относительно нее соответственно точкам М, N и измерить расстояние M1N1

Выбрать

=

39.31. а) Да, ромб, у

б)

него центр симметрии

точка пересечения

диагоналей;

нет, из трех правильных равных треугольников можно составить

равнобедренную трапецию, у

40.4. Точка О
при

повороте

которой

нет центра симметрии.

фигуры F,

называется центром симметрии n-го порядка
если
360°
точки О на угол
она совмещается сама
п

фигуры F вокруг

собой. 40.5. Да, п
2. 40.6. На угол 360°
ср. 40.7. а), б) F; в) А; г) С; д) F; е) В.
40.8. а) Окружность того же радиуса; б) прямую, проходящую через центр
поворота; в) угол с вершиной в центре поворота. 40.9. а), б), в), г), д), е), ж)
=

с

-

центр и угол поворота в случае: а) центр равностороннего треугольника,
120°; б) центр квадрата, ср
90°; в) точка пересечения диагоналей ромба,
точка
180°;
общая
г)
полукругов,
образующих данную фигуру, ф =90°;
ф
д) центр данного правильного пятиугольника, ф =72°; е) центр пентаграммы,
72°; ж) точка пересечения диагоналей параллелограмма, ф
180°; з) центр
ф
любой угол. 40.10. а), б), в) Второго порядка; г) четвертого
окружности, ф
и

ф

з);

=

=

=

=

=

порядка; д) п-го порядка. 40.11. Центр поворота, прямых нет. 40.12.
Правильный: а) восьмиугольник; б) шестиугольник; в) треугольник. 40.13. На 180°.
360°
40.14. а) 120°; б) 90°; в) 72°; г)
40.15. Центром третьего порядка
это
.

центр правильного треугольника, вершинами которого являются центры

окружностей. 40.16. На угол 0jA02, где
окружностей. 40.17. См. рисунок 039: а) точка М,
данных

Ov 02

-

центры данных

120°.
-60°; б) точка О, ф
ф
точка пересечения диагоналей квадрата ABCD: а) О, 45°;
40.18. Пусть О
невыпуклый шестнадцатиугольник,
б) О, 135°; в) О, -45°; объединение
правильный восьмиугольник. 40.19. Нужно взять поворот вокруг
пересечение
196

=

=

точки
отрезок

О

90°,

на

MN,

тогда отрезок KL

значит, KL

=

перейдет

М

в

MN. 40.20. Вокруг

точки пересечения серединных перпендикуляров к
отрезкам

АС

и

BD; задача

может иметь одно

решение,

бесконечно

решения.

40.21. Взять поворот, при котором

отрезок

много

решений,

не иметь

в равный отрезок
АгВг (см.
40.20); задача может иметь четыре

АВ переходит

решение задачи

решения в зависимости от того, как установить
соответствие между вершинами данных
квадратов. *40.22. 60°. *40.23. 15°.
41.7.

Точки, принадлежащие

оси симметрии,

прямая, которая является осью симметрии, и прямые, перпендикулярные оси

41.8. Да; осью симметрии является серединный перпендикуляр
АА'.
41.9. Да. 41.10. Например, в равнобедренном треугольнике осью
отрезка
симметрии является прямая, на которой лежит высота, опущенная на
симметрии.

основание; прямоугольная трапеция не имеет оси симметрии.

41.11. а) Одна ось,

осей; в) бесконечно много,
любая прямая, перпендикулярная данной прямой; г) две оси
прямые, на
серединный перпендикуляр

к данному отрезку;

б)

нет

которых лежат биссектрисы углов, образованных данными прямыми; д), ж),
прямая, на которой лежит биссектриса угла; и) одна прямая, параллельная

з)

общий перпендикуляр пополам. 41.12. а) Ни одной;
4.
41.13.
2;
б), в)
г)
Дана равнобедренная трапеция; ось симметрии проходит
через середины оснований. 41.14. Не имеют ни одной оси симметрии: а) 1, 2, 4, 5,
6, 7, 9; б) Б, Г, Д, Ё, 3, И, Й, К, Л, Р, У, Ц, Ч, Щ, Ъ, Ы, Ь, Э, Я; в) F, G, J, К, L, N,
Р, Q, R, S, Z. Имеют одну ось симметрии: а) 3; б) А, В, Е, Ж, М, П, С, Т, Ш, Ю;
в) А, В, С, D, Е, I, М, Т, U, V, W, Y. Имеют две оси симметрии: а) 0, 8;
б) Н, О, Ф, X; в) Н, О, X. 41.15. а) 3; б) 4; в) 5; г) 6; д) п. 41.16. а) Одну;

данным и делящая их

б) ни одной; в), г) бесконечно много. 41.17. Может, см. рисунок 036.
41.18. В случае, если данная прямая параллельна оси симметрии. 41.19. а), г)
Одна ось симметрии, она содержит высоту треугольника, проведенную к
основанию; б) одна ось
прямая BD; в) бесконечно много осей, содержащих
диаметры окружности; д) одна ось, она содержит биссектрису угла АОВ; ж) нет осей;
прямые AAV BBV ССг, DDX и ЕЕХ;
прямая ЕН; и) пять осей
з) одна ось
оси
две
прямые, проходящие через середины отрезков АВ, GH
к) четыре

б)

а)
Рис. 040

197

ED, JKy и две прямые CI и FL. 41.20. Да, см. соответствущие
040, а и 040, б. 41.21. а) Нет, так как, если он имеет две оси
симметрии, то имеем равносторонний треугольник, который имеет и третью
и

рисунки

б)

симметрии;

да, если он

равнобедренный,

то

имеет

ось

одну ось симметрии.

41.22. а), б), в), г), ж) Верно; д), е) не верно. 41.23. а) 2; б) 6; в), г) 4.
41.24. Одну, если он равнобедренный. 41.25. Да, если серединный
перпендикуляр к отрезку, определяемому вершинами

лучей,

параллелен им, он и

41.26. Точка пересечения прямых принадлежит

симметрии.

будет осью

оси симметрии.

41.27. а) Равнобедренный треугольник; б) параллелограмм, не являющийся
ни ромбом, ни прямоугольником. 41.28. Да, центром симметрии будет
точка

пересечения

перпендикулярных

осей. 41.29. Центральной симметрией

является результат применения двух последовательных

симметрий
некоторой
выполненными

относительно перпендикулярных осей.

точки плоскости может

осевыми

быть

осевых

заменен последовательно

относительно

симметриями

(композиции)

41.30. Поворот вокруг

прямых,

проходящих через

центр

образующих между собой угол в два раза меньший данного угла
41.31. Да, если луч лежит на оси симметрии. 41.32. Нет, точки А

поворота и

поворота.
и
и

В симметричны только относительно прямой, проходящей через точку С
один центр; 2)
отрезку АВ. 41.33. 1) Фигура г)

перпендикулярную

одна ось, фигура г)
две оси.
д)
Нет.
42.14.
а), б)
а) Прямую, параллельную данной прямой; б) луч,
одинаково направленный с данным лучом. 42.15. а) Отрезки равны и
параллельны; б) прямые параллельны; в) лучи одинаково направлены; г)
окружности имеют равные радиусы; д) углы равны и их соответствующие стороны
одинаково направленные лучи. 42.16. Векторы: а) 1,8,10; 2,7; 3,6; 5,11; б) 1,4;
2,5; 2,11; 3,12; 6,12; 4,8; 4,10; 5,7; 7,11; в) 1,10; 5,11. 42.17. а) 6; б) 8; в) 12.
42.18. Два. 42.19. Нет. 42.20. Плоскость, прямая. 42.21. Если прямые а и b

фигуры

а), б), в)

и

42.13.

пересекаются, то существует единственный параллельный перенос; если
прямые а и b параллельны, то параллельный перенос существует только в случае,
если равны расстояния между прямыми а и
в одной полуплоскости относительно прямой

а', b

и

а или

Ъ'

и

прямые а' и V лежат

прямой Ь.

43.7. Нет. 43.8. Нет. 43.9. а) Окружность того же радиуса; б)
в) середину отрезка А!В'\ г) биссектрису О'С" угла А'О'В'; д)
В'М' треугольника А'В'С'; е) высоту В'Н' треугольника А'В'С'. 43.10.

полуплоскость;

медиану
Центральная симметрия относительно середины отрезка, соединяющего центры

окружностей;

осевая

симметрия относительно

серединного перпендикуляра

к этому отрезку; два параллельных переноса на векторы, определяемые

окружностей. 43.11. Если соответствующие стороны углов
одинаково направлены, то нужно взять параллельные переносы на векторы,
определяемые вершинами данных углов; в остальных случаях один из углов сначала
нужно повернуть вокруг его вершины на угол, при котором соответствующие
центрами данных

будут одинаково направлены со сторонами
параллельный перенос, как в первом случае, т. е.
(последовательное выполнение) поворота и

стороны второго данного угла
первого угла, а затем взять

нужно взять композицию
параллельного переноса. 43.12. Нет. Это может быть осевая симметрия. 43.13. Нет,
198

например, можно взять композицию

(последовательное выполнение)
центральной симметрии. 43.14. Если лучи одинаково
движение
параллельный перенос на вектор, определенный

параллельного переноса и

направлены, то

их

вершинами; если лучи противоположно направлены, то движение
центральная

симметрия

относительно середины

отрезка,

соединяющего

лучей нужно повернуть
полученный луч и второй данный луч

в остальных случаях сначала один из

их

вершины;

вокруг
были

вершины на такой угол, чтобы
одинаково или противоположно направлены, потом взять соответственно
параллельный перенос или центральную симметрию. 43.15. Центральная симметрия
параллельный перенос. 43.16. Нет. 43.19. а) Нет; б) да, это центральная
симметрия;

в), г)

нет.

43.21. Например, параллельным переносом

и

в направлении,

перпендикулярном данным прямым на расстояние, равное удвоенному
расстоянию между ними.

44.3.

43.22. Да.

180°fn

*

а) 60°; б) 90°; в) 108°; г) 120°; д)

2^
-

.

44.4. а) 8; б) 10; в) 12.

п

44.5. а) 6; б) 4; в) 3; г) 3; д), е) 2; сумма углов многоугольников, сходящихся
в одной вершине паркета, равна 360°. 44.6. а) 6; б) 3. 44.7. См. рисунок 041.
44.8. Углы правильного пятиугольника равны 108°, значит, в одной вершине
паркета не может сходиться три правильных пятиугольника, так как сумма
< 360°; не может сходиться и четыре
углов в этом случае будет 324°
> 360°, тем более не может сходиться больше четырех
пятиугольника, так как 432°

пятиугольников, следовательно,
пятиугольников; аналогично в

не существует паркета из правильных

одной вершине паркета

семиугольников, восьмиугольников и
их углы больше 120° и в сумме будут

т.

д.

не может сходиться три и

я-угольников

(п

составлять величину,

более

>

6), так как
большую 360°,

значит, не существует правильных паркетов из семиугольников,
восьмиугольников и т. д.
то

угол

м-угольников

(п

многоугольника равнялся

44.10. Да, при условии равенства

6). 44.9. Если бы

>

или
их

это

был больше 180°,

сторон

было возможно,
что

невозможно.

(рис. 043, б). 44.11. 11. 44.12.

См. рисунки 041, а и 042. 44.13. См. рисунки 041, б; 042, б, в, д; 043.
44.14. См. рисунки 041, в; 042, а, г, д; 043, а. 44.15. См. рисунок 043, б.
44.16. См. рисунки 042, е; 043, а. 44.17. См. рисунок 041; паркет из
правильных:

а)

2 цвета; б) четырехугольников
3 цвета. 44.18. Для паркетов,

треугольников

2 цвета; в) шестиугольников
изображенных

на

рисунках

042,

а,

паркетов на рисунках 042,

а)

б,

в, е и

г, д

043,

а, б

нужно 3 цвета; для

2 цвета. 44.19. Да. 44.20. а), б) 360°.

б)
Рис. 041
199

а)

б)

в)

г)

е)

Д)
Рис. 042

а)

6)
Рис. 043

200

а)

б)
Рис. 044

44.21.

Да,

см. рисунок

044. 44.22. а), б) 2 цвета,

см. рисунок

044. 44.23.

симметричный первому четырехугольнику относительно
середины стороны АВ, затем берем центральную симметрию относительно
середины ВС второго четырехугольника и, наконец, берем центральную
Строим четырехугольник,

симметрию относительно середины стороны CD третьего четырехугольника; решение
основано на том, что сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°.
45.1. Например, равносторонние треугольники, квадраты, окружности,
правильные л-угольники. 45.4. а) Да, коэффициент подобия равен 1; б) нет.

45.8. а) 18 см, 36 см, 45 см; б) 3 см, 6 см, 7,5 см. 45.9. 6 см, 15 см, 18 см. 45.10. 2,
3, 4. 45.11. а), б) 2 : 3. 45.12. а) 45°; б) 80°. 45.13. а), б) Да; в) нет. 45.15.
Треугольники ABC, DBE, ADF. 45.16. Да. 45.17. Треугольники: a) KOL, NOM;
б) ADE, FCE, FBA; в) KNF, KLC, MNE, MLD; г) AOD, СОВ. 45.18. а), б) 3;
в) 6; г) 18. 45.20. Да, см. рисунок 045. 45.21. Четыре прямые, см. рисунок 046,

где MN || АВ, Z СМК

=

ZABC, МН

|| ВС,

/АМР

=

/.ABC. 45.22.

.

45.23. АСЯ,

С

СВН, ABC. 45.24. а) 50

см;

a) ZB

ZC

46.5.

ZB

BjCj

=

=

ZE

и

ZC

=

ZE

=

9 см; б) ВС

Рис. 045

и

б) 125
=

ZF; б) ZA
=

72 дм,

см;

в) 15

ZF; б) ZA
ZE, ZB

=

БХСХ

ZE

ZC

ZD. 46.6. a) ZA
ZD,
ZF. 46.7. а) БС
27 см,
24 дм. 46.8. а), б) Да; в) нет. 46.9. а) 4 см и
=

=

=

см, 30 см, 30 см. 45.25. 20 см.

ZD

и

и

ZC

=

=

=

=

Рис. 046

201

16 см; б) 12

см и

48

см.

46.10. Да. 46.11. Да. 46.12. Подобны

высота, опущенная

из вершины прямого угла

неравнобедренного
МК

MY
треугольника. 46.14. YK

XY

=

MX

-

||

XN, A MYК

MY. 46.15. N

~

прямоугольного
л/глг

MX

=

AMXN,

только в случае

46.13. Да,

равенства катетов у данного прямоугольного треугольника.

MY

MN

=

,

,

шест, причем
наблюдения, PH
X, тогда ANPH 00 ANXY,

место

наблюдатель видит конец шеста Р и верхушку дерева

откуда XY

=
,

XY

NY

=

.

Аа + а
\
46.16.
а)

NH

NY

та
.

б) ftpnjjt)

т + п

ZBlAlHv

значит, в

46 18 да>

т

АА1В1Н1 (по катетам), откуда ZB ZBX и
треугольниках ABC и А1Б1С1 равны углы, т. е.

рисунок 047: ААВН

см.
=

PH

NH

РН

чит,

зна-

=

ZBAH

=

треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. 46.19. 5. 46.20. а),
б), в) Да (по второму признаку подобия треугольников, сначала рассмотрите
подобные прямоугольные треугольники DHE и

DPF). 46.21. Да,

.

k

46.22. Да

(по первому признаку подобия треугольников, соответствующие углы равны,
углы с соответственно параллельными
ы

как

сторонами). 46.23. Нет. 46.24. ALNlM1™

ALMN, A GM1N1^> GMN. 46.25. Треугольники подобны по первому
ZACM=100°.
ZMAC
30°, ZBAM
подобия треугольников, ZB
=

=

=

признаку

46.26. АОКМ
ZOKM=ZONL
™

AONL (по второму признаку подобия треугольников), значит,
A DLF, ADEK со A ELK, ADLF
ZOMK
ZOLN. 46.27. А ВЕК
=

и

A ELK, ADFK

™
AFLK (все пары подобны
AFLK, A DLE
подобия треугольников). 46.28. ААВН 00 A ADC, ААСН 00
A CDM, ABMD
АAMС (все пары подобны по первому

<*>

A DLE, ADFK

по первому признаку

A ADB, ААВМ
признаку подобия

треугольников). 46.29. Нет,

так как в таких треугольниках

быть равны соответствующие углы, которым должны

должны

соответствовать

равные дуги, следовательно, равны и хорды, т. е. равны стороны треугольников,
значит, треугольники равны.
а,

(3

и

2а, 2(3

у;

в

и

2у,

46.30. Пусть

данной окружности построим

последовательно центральные углы

которые в сумме составляют 360°; точки пересечения сторон этих

Рис. 047
202

в данном треугольнике углы равны

D
Е
Рис. 048

А, Б и С; треугольник АБС
треугольник АБС равен данному треугольнику.
углов с окружностью назовем

47.7. а), в) Да; б), г)
в)

нет.

47.13. Да,

искомым, причем

1. 47.9. а) Нет; б) да. 47.10. а), г) Да; б),
47.8. к
048: трапеции разбиты каждая на треугольник
=

нет.

см. рисунок

а2
и

параллелограмм.

47.14. Две стороны равны

а

и

две

стороны

.

равны
о

47.15. Да. 47.16. а) 20 см; б) 90 см. 47.17. 30 м, 40 м, 50 м, 80 м. 47.18. 1
47.19. 2 м. 47.20. Хорды являются диаметрами; или их расстояния от

м.

окружностей соответственно пропорциональны их длинам или радиусам
окружностей. 47.21. а), в); г), д) Да; б) нет. 47.22. Нет, угол
в
переводится
равный ему угол. 47.23. Нет, периметры подобных многоугольников
относятся так же, как их соответствующие стороны. 47.24. Треугольники АОВ
центров

данных

и

COD. 47.25. 3

б)

лежат по разные стороны от центра;

г)

точка

прямых

А

XXх

точка

см.

47.26. Нет. 47.27. а) Лежат по одну сторону от центра;
в) точка А' лежит между точками О и А;

О и А'. 47.28. Да, это точка пересечения
47.29. а) Да, бесконечно много центров гомотетии, это любая

лежит между точками

и

YYV

прямой, проходящей

через эти точки;

отрезки равны, и два, если не равны

одной

д) к

прямой. 47.31. к

=

б) да, один центр гомотетии, если
(рис. 049). 47.30. Нет, могут лежать на

1. 47.32. а) к

=

2; б) к

=

-1; в) к

=

=

1-; е) k

=
.

47.33. Да,

плоскости переходят на
гомотетии.

это

центр

себя. 47.34. Да,

47.35. Отрезок (см. задание)

гомотетии;

при

^;
2

13

к

=

1

г) к
все

=

;
2

точки

все прямые, проходящие через центр

с концом в центре гомотетии.

В

47.36. а) 1;

В

Рис. 049
203

С

N
с
D
Рис. 051

Рис. 050

в) -1; г) 2; д) 1-;
е)
Z

47.37. Центральная симметрия

--

.

или поворот на

(-180°). 47.38. Да, будут,

как углы с соответственно параллельными сторонами.

47.39. Да. 47.40. а) Один центр гомотетии, который расположен
отрезка

гомотетии

0Х02,

Ov 02
Сх и внутренний С2

центры данных

где

внешний

180°

о

окружностей; б)

в

середине

два центра

по отношению к отрезку

0102 (рис. 050);

общий
центр окружностей. 47.41. а) Концентрические окружности; б) окружности
касаются друг друга (внешним или внутренним образом). 47.42. В центре
равностороннего треугольника (ортоцентре, центроиде). 47.43. Параллельны.
если

окружности

концентрические,

47.44. Нет. 47.45. Центр

то

гомотетии

47.46. См. рисунок 051, где С

центром

гомотетии является

центроид треугольника ABC, k

центр гомотетии. 47.47.

Да,

=
.

это гомотетия с

диагоналей параллелограмма и коэффициентом
-1. 47.48. Да, центром гомотетии является общая точка пересечения их
диагоналей; два прямоугольника с соответственно параллельными сторонами

центром в точке пересечения

будут гомотетичны при условии, что имеют общую точку пересечения
диагоналей. 47.49. Если соответствующие стороны треугольников лежат на
параллельных прямых. 47.50. Соответствующие стороны углов должны быть сонаправ-

лены или противоположно направлены.
48.10. Два треугольника с углами: 36°, 72°, 72° и 108°, 36°, 36°.
48.12. См. рисунок 052. 48.13. Золотая спираль (рис. 052). 48.15. 10 (по 5
с

В

А

В
а)
204

Рис. 052

б)

типа). 48.16. Всего 35 треугольников, все они золотые, причем
20, второго типа (с углами
треугольников первого типа (с углами 36°, 72°, 72°)
15. 48.17. а) Предположим, что правильный десятиугольник
108°, 36°, 36°)
вписан в окружность, тогда равнобедренный треугольник, основанием которого
каждого

является его сторона, а боковыми сторонами являются радиусы окружности,
золотым с углами 36°, 72° и 72°, следовательно, отношение стороны де-

будет

s
сятиугольника к радиусу окружности равно золотому отношению, т. е.
отсюда построение: делим радиус

большей

длина

части

данной окружности

будут длиной
окружность; б)

в

золотом

-1

-

,

отношении,

стороны правильного десятиугольника,

вписанного в данную
нужно соединить вершины правильного
десятиугольника, вписанного в данную окружность, через одну, получим
правильный пятиугольник, вписанный в данную окружность. 48.18. Дан золотой
+ 1

треугольник с углами 36°, 72°, 72°. 48.19.

а)

б) V5

;

2

1; в)

+

.

2

48.20. Если в треугольнике равны две высоты, то он равнобедренный, отсюда
следует, что треугольники (рис. 264) ABE, ABC и BCD
равнобедренные и

АЕ и ZA
ВС
CD
ZB
ZC; треугольники АВЕ и EDA
АВ и ZE
ZEDB + ZBDC
ZABD +
равны, откуда ED
ZA; наконец, ZD
+ ZDBC
ZВ, следовательно, все стороны и углы пятиугольника ABCDE

равные:

АВ

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

равны, таким

образом,

он является правильным.

49.7. а) 5 мм; б) 10 см; в) 13 дм; г)
в)

5>/5

г)

Ьу/2

б) 5

м;

см и

73;

а2

.

л/113

м;

у/а2

д)

л/2

49.9. а)

+

Ъ2.

49.8. а) 8 дм; б) 15 см;

б) 2^2

см;

дм;

в) 10>/2

V2; б) Зл/2 ; в) 12>/2 ; г) а^2 49.11. а) >/5 см
>/61 см и л/61 см; г) yja2 + Ь2 и \1а2 + Ъ2. 49.12. 5
.

5 см; в)

б)

2
49.15.

д) у/с2

км;

49.10. а)

.

а)

г) V29

-

в)

3>/3;

г)

^а.

49.14. а)

4л/3;

; б)

2

yjb

и

см;

49.13.

см.

8>/3;

в)

м;

г)

3

3

а) Тупоугольный; б), в) прямоугольный. 49.16. а) 20 дм; б) 68 см. 49.17.24 см.
п'

+

49.18. а) 2,5 см; б)

.

49.19. а)

2

; б)

.

2

49.20. а)

; б)

2

а&

-

2

3

49.25. 5

см.

49.26. а) 15 см; *б) 3 см. 49.27. а) 2,5 см; б) 1 см. 49.28. АС. 49.29. 102
49.30. 12 см и 16 см. 49.31. 15 дм и 9 дм. 49.32. 8 см.

см.

4ол/2.

49.21.

49.22. 6

49.23. 17

см.

А

о

50.6.

а) sin

a

=

cos а

-,

5
12
=
,

5^
,

,

tg

a

=

ctg

a

=

=

17

см и

см.

49.24.

о2чsin

2-; в)

=
-,

ctg

a

=

4
3

a

=

4
cos a

=

^

sin a

6)
1,;
6
4.

tg

=

cos

45°

,

cos a

a

=

3x

ctg

a

=

, cos E

=

ПР

=
,

2

=

tg 45°

=

ctg 45°

=

=

13

/р
50.7. sin 45°

см.

X

о

z, tg a
5

зТГо

1. 50.8. sin E

=

EF

,1
1-.
ПР

-= ,
EF

205

15

8

=

cos

,

X

=

ос

,

17

17

7

,

tg

=

а

1

8

8

X

, ctg а

.

15

угольный треугольник ABC (ZC
90°) по:
5 и СВ
искомый; б) двум катетам СА
=

=

5, Z В
1 и
искомый; в) катету СА
2 и гипотенузе АВ
3, ZA
быть: а) в два раза больше; б) в

двум катетам СА

а)

2, ZA
искомый; г) катету СА
=

гипотенузе АВ

тт

50.11. Нужно построить прямо-

=

2, Z В

=

искомый. 50.12. Соответствующий

=

1

и

СВ

=

=

=

катет должен

==

раза меньше другого катета треугольника. 50.14. Равен половине гипотенузы
см. 50.16. а) 14 см; б) 4(7+3
этого треугольника. 50.15. а) 18 см; б)
СМ.
три

18>/3

^2)

50.18. а), б) Да. 50.19. а), б) Да. *50.20. Синус угла возрастает

приближается к
котангенс убывает.
и

1, косинус убывает и приближается к 0, тангенс возрастает,
*50.21. a) sin а < tg а; б) cos а < ctg а.*50.22. a) sin а < sin (3; б)
51.1. a)

cos а;

oJo
;

б)

.

7

о

нет.

а;

в) ctg

г) tg

а;

51.4. а), б) Да. 51.5. а)

а.

; б)
2

р.

5

Ол/б

51.6. а)

б)

б) sin

cos а > cos

51.10. а)

51.7. а), г) Нет; б), в) да. 51.8. а), б), в), г) Да. 50.9. а) Да;

^5- ;

л/Гб.

б)

51.11. а), б)

Р

> а;

в), г)

а >

р.

15

a) 1; б) 0; в) sin

52.1.

а;

г)

52.5. а), б) 0. 52.6. а)
cos а

=

->/l

sin 120°

-

a2
f

=

,

tga

sin 150°

; б) 2sin2

1
=

<

sin 30°

> cos

<

-1, ctg 120°

sin 130°

<

ctga

,

б)

;

2

Р; в)
=

;

в)

.

52.4. а), б) Да.

о

,

где а

а

=

а,

154°. 52.8. а)

-

а

<

sin 120°; 6)

cos

ctg 135°

sin 100°. 52.11.

cos

>

120°

=
,

=
,

=

S

,

2

tg 135°

ctg 120°. 52.10. sin 0°

10°

150°

cos

2

a) tg 135°= -1, tg 120°

=

\£

-

cos2 у; г) 0. 52.7. sin

а

sin 150°
i,
2

cos 150° < cos 120°. 52.9.
=

52.3. а)

=

2

6) ctg 135°

-cos а.

> cos

80°

> cos

90°

>

tg 120°;

< sin

170°

<

> cos

110°

>

150°.

53.4. Если угол тупой. 53.5. a) 1 см; 6)

53.7. 30°, 30°

Vl3

см.

53.6.

л/3

дм и

77

Ъ2 + с2
и

120°. 53.8. Да, например,

по теореме косинусов: cos а

ДМ.

а2

=

2 Ъс
а

cos

Р

=
,

2ас

cos

у

+ b

-

с

=
.

2ab

53.9. а), г) 45°; б) 0°; в) 60°. 53.10. а),

г) 135°; б) 150°; в) 120°. *53.11. а) 0° < х < 30°; б) 0° < х < 30°; в) 60° < х < 90°;
г) 30° < х < 90°. *53.12. а) 90° < у < 120°; б) 120° <у< 180°; в) 150° < у < 180°;
г) 150° <у < 180°.
54.5.2:3:4.54.6.5:12:13,

это

прямоугольный треугольник.

54.7.30°, 60°, 90°.

В

А

F

Е

С

D

с

Рис. 053

а) 1

54.8.

1

:

:

V2

;

б) I: I:
2

54.11.

,

вести

=

CG

||

180°-P,
Н

54.10. 2R

.

sin а, 2R

+

а

ctg (3), R

DE (рис. 053), где GeAF,

.

2sina

BCG CG

=

-

AF

=

а +

и

ZCBG

угол BGC; можем найти ZBCG
~

искомое расстояние

d

d

7-»^»

- s*n^BCG

=

sin ZBGC

Р)

=

Р

-

sin ZBCG

=

ZBGC, теперь по теореме синусов можно наити

образом,

=

можно
откуда
У

,

который, найдем

зная

р).

sinP

то в треугольнике

значит, по теореме
синусов
Р
*

BGC,

sin (а +

2R

(3,

*54.12. Если про-

=

sinP

sin(180°
найти sin

sin

2

/*(ctg

,

sina

^

2

;

таким

SinP
+ с + ^

54.13. Нет.

sinP
55.9.

55.10.

,

55.11.

.

180

180

4 раза; б) уменьшится

55.14. а) Увеличится

в

на

55.12. С

=

я

2 раза; в) увеличится

2п см; б) уменьшится

nD. 55.13. а)9 Увеличится

6 раз; г) уменьшится

в

55.15.

на л см.

м.

в

в

8 раз.

55.16. Увели-

п
чится на:

а)

м;

2п

б)

м.

55.17. Построить окружность, радиус которой ра-

л
г

вен:

а) R

+ г;

б) R

-

г;

в) 2R; г)

-.

центре данных концентрических

55.18. Построить окружность

окружностей

равны. 55.20. Они равны. 55.21. а) л; б)

в)

пyja2

б) пс. 55.23. а) 60°; б) 45°; в) 40°; г) 110°. 55.24. а)

1п;

б)

4

;

в) ЁЕ

2

;

г) Зя. 55.26. 2

56.7. а) Нет; б) да
да

л/з.

.

55.22. а)

55.27.

а) По

дуге;

б)

АС4 (рис. 276, б).

яЬ;
-п.

И. 55.28.
3

серединный перпендикуляр

прямая

Ъ2

б) -я; в) -к; г)

2

55.29. В 100я раз. 55.30. 14я см. 55.31.

56.8. а) Нет; б)

:

+

55.19. Они

^934

3

55.25. а)

"f" Y*
- .

и радиусом

nsfea;

с центром в

по радиусам.

отрезка АВ

.

5

55.32. 180°.

(рис. 276, а).

56.9. а) Да, центр большой окружо

ности;

б)

да

прямые АС и BD

(рис. 276, в). 56.10.

-

.

5
207

57.7. 400 см2. 57.8. Да. 57.9. а)

57.11. а) Две

и две стороны

4

см.

и

ж); б), з), и); г) и е). 57.10. 75 см2.
б) две стороны по 3 л/з см

стороны по 10 см и две стороны по 3,6 см;
по

а2

57.14.

4>/з

см;

57.15. 12

.

в)
см.

2

6

все стороны по

57.12. 30

см.

см.

57.13. 1 см,

57.16. В 2 раза. 57.17. а) Увеличится

4 раза;

в

в 9 раз; в) изменится в к2 раз. 57.18. а) Увеличится в п2 раз;
б) уменьшится в т2 раз. 57.19. Уменьшится на 4 см. 57.20. Площадь квадрата.
57.21. Квадрат. 57.22. Площадь каждой из получившихся частей равна: а) i;

б) уменьшится

б), в)

квадрат с площадью

и одна часть

-

4

2

1

11
-; г)

-

.

57.23. Две стороны 4

см

2

8

и две стороны

9

см.

57.24. 36v2

57.25. 20

см.

Гипотенузе прямоугольного треугольника,
сторонам данных квадратов;

б)

катеты

см или

22

которого

см.

57.26. а)

равны

соответственно

катету прямоугольного треугольника, у

которого гипотенуза равна стороне большего квадрата, а

57.27. а) 5

стороне меньшего квадрата.

сторону

другой катет равен
б) 7 кв. ед. 57.28. В 2 раза. 57.29. За
а) диагональ; б) половину диагонали

кв. ед.;

искомого квадрата нужно взять:

данного квадрата. 57.30.

58.3. 4 см, 20

см.

Да,

58.4. 10

например, 3
см.

4

=

2>/б Тб

58.5. Одно решение,

.

3^

см.

58.6.

66л/3 дм2.

о

58.7. 20

см.

58.8. 40,5

л/3

см2. 58.9. 8

л/2

см2. 58.10. 360 м2. 58.11.

аЪу где а и b
стороны прямоугольника и
а
площадь параллелограмма равна аЪ sin ос, где ос
острый
параллелограмма,
Прямоугольник,

так как его площадь равна

угол параллелограмма,
з,

и.

и

sin а

(решение аналогично
58.14. а) Увеличится

квадрата

<

1. 58.12. Площадь ромба

решению задачи
в

меньше площади

58.11). 58.13.

3 раза; б) уменьшится

в

а, г, ж;

б,

д, е;

2 раза; в)

со-

о
ставит

-

от

прежней

площади. 58.15.

Параллелограмма. *58.16. 8

прямых

3

(рис. 054). *58.17. Нет. 58.18. В 10 000 раз. 58.19. а) 0,01 га; б) 7 а; в) 400 м2.
58.20. Два угла по 30° и два угла по 150°. *58.21. Провести с помощью
угольника через точку пересечения диагоналей данного параллелограмма прямые,
перпендикулярные его сторонам; четыре точки их пересечения со сторонами
параллелограмма являются вершинами искомого параллелограмма. 58.22. 6 см2.
58.23.

208

а) Равны; б)

периметр больше у того параллелограмма,

острый

угол

которого

меньше.

58.24. а), б), в), г)

Q

Q
и

.

58.25. Во

всех случаях провести

диагоналей исходной фигуры

прямую через точки пересечения

«дыры»; если точки пересечния диагоналей не совпадают

и

фигуры

одно решение

бесконечно много решений (рис. 055, б). 58.26.
(рис. 055, а), если совпадают
Да, если диагональ параллелограмма перпендикулярна его стороне. *58.27. На
сторонах угла, равного ос, нужно

отложить отрезки

АВ

=

а

и

AD

=
-

а

а)

,

sina

б)

г)

в)
Рис. 055

площадь данного параллелограмма, через точки В и D провести
прямые, параллельные соответственно AD и АВ, точку их пересечения назовем
где S

ABCD

С,

искомый параллелограмм.
аЪ

59.3. а) 12 см2; б) 60 дм2. 59.4. 6 см, 8 см, 4,8

см.

59.5.

~

гт-~

yja
59.6. 3~

59.10. 4

см. 59.7. а : Ь. 59.8.

см.

а)

4,5л/з

59.11. а), б), в) Да; г)

нет.

"2"

.

+ b

см2; б) 4,5 см2. 59.9. Прямоугольный.
59.12. а)
2

см2; б) 16 см2. 59.13. 1) а),

д), е); 2) в), г), ж; 3) з), и); 4) б), к). 59.14. 3:1. 59.15. а) Увеличится в три раза;
б) уменьшится в два раза; в) увеличится в 2,5 раза. 59.16. а) 11 кв. ед.;
б) 14

кв. ед.

59.17.

-.

59.18. 2

см.

59.19. Да, площадь каждого треугольника

4
равна четверти площади параллелограмма. 59.20. Параллелограмм,

его пло¬

209

Да. 59.22. а)

щадь равна 8 см2. 59.21.

-;

б), в)

6

DBC; ACD

BCD; ABC

и

и

ABD; АОВ

и

-

.

59.23. ABD

и

ACD; ABC

и

COD; АОВ

и

AOD; СОВ

и

3

СОБ; AOD

и

COD. *59.24. В 2 раза: нужно провести диагональ BD и вершину D соединить
с серединами сторон АБ и ВС (рис. 056), тогда параллелограмм разобьется

Н

В

D

D

Е
Рис. 056

на

8 закрашенных и 4 незакрашенных равновеликих треугольника. 59.25.
по любой медиане. 59.26. На рисунке 057 сторона прямоугольника ABCD

Разрезать

разделена

на три равные части.

треугольника АВЕ равна

^.

Площадь прямоугольника

59.27. а) 96 см2; б)

59.29. Две прямые, параллельные прямой АБ

59.30. Шесть прямых (рис. 058), три

59.28. а) 510 см2; б)
и

отстоящие

прямым

4

=

2

относительно параллельных

^SABCD=

210

SABD,

hv

где h

SDKC=lDC
2
=

hl+ h2

нее

на

8

см.

а три другие

им сторон

59.31. В 4 раза. 59.32. а) Нет; б) да. 59.33. Все треугольники

|. 59.34. S^ AB

от

.

из них проходят через вершины данного

треугольника параллельно противоположным сторонам,
симметричны этим

равна аЪ, площадь

h2,

Sdk=\aB

высота

2

данного

треугольника.

имеют площадь

(A1+ h2) =IaB
2

h

=

параллелограмма.

59.35. Точка пересечения диагоналей. 59.36. а) 3

:

2; б) 3

5. 59.37. а), б) ~;

:

59.38. 1 : >/2 : 1. 59.39. 5 : 2 или 2 : 5. 59.40. В 4 раза. 59.41. Такого
4
треугольника не существует. 59.42. Да. 59.43. Да.
в), г)

.

60.2. Да, у прямоугольной трапеции. 60.4. mh. 60.5. 20 см. 60.6. 4 дм.
60.7. 24 дм. 60.8. 20 мм, 30 мм. 60.9. 48 см2. 60.10. 75 см2. 60.11. 156 м2.
60.12. Равновеликие треугольники: ABD и ACD; ABC и DBC; АОВ и COD.
60.13. а) 49 см2; б) h2. 60.14.

fL

60.15. См. рисунок 059: HD

.

8 см, АН

=

=

18 см,

2
СН

=

12

см

(находим

из

подобия треугольников АНС

CHD), в^С2)= 216 см2.

и

60.16. Да,

получились две равновеликие трапеции. 60.17. 150 см2. 60.18.
Например, основания трапеции. 60.19. См. рисунок 060, где MN
средняя линия

Рис. 059

Рис. 060
а + Ъ

трапеции, EMND

параллелограмм, ED

=

MN

ВС

-

=

,

=

а и AD

=

Ъ,

dk
Ъ

АЕ

а + Ъ

а

=
,

SABCE

а +

h

=

Ъ

4

60.21. Прямоугольные треугольники ABC
острому углу, ABAC

=ZAB1C1,

пусть АВ

сторонами);

=

=

с

=

=

z

ABV

Sbcc1b1

IT
2

и

где Л

ВХАС

данной трапеции.

высота

равны

(по

гипотенузе и

как углы с соответственно перпендикулярными

АС
+

=

Л,

=

и

4

=

-

=

ь^
,

ВХСХ

=

Ъ

откуда с2

и

=

ВС

=

=

АСХ

а, тогда

а2 + Ь2. 60.22. Как

SABC

=

основания

2

трапеции.

61.3. а) 2 дм2; б) 80 см2. 61.4. а)

8>/3 см2; б) 18>/3 дм2.

61.5. а)

2

дм2;

2

б)

24л/3

но.

см2. 61.6. а) 15

61.9. а) 8,5 см2; б)

кв. ед;

-

6

б) 17

м2; в)

^.
2

кв. ед.

61.10.

61.7. 14 ед. 61.8.
-

9

кв.

ед.

61.11.

2

^;

;

не

обязатель-

KLMN

ква-

5

061, данный квадрат ABCD и получившийся греческий крест
равновелики. 61.12. См. рисунок 062: квадрат ABCD состоит из четырех
клеток, значит, его площадь равна 200 кв. ед., тогда площадь квадрата KLMN
равна пятой части его площади (см. решение задачи 61.11), т. е. равна 40 кв. ед.

драт, см. рисунок

211

D

Рис. 062

Рис. 063

Q
, см. рисунок 063: проведем диагональ

61.13.

АС,

тогда SАСЕ

С

-

тж

С

ВСЕ

ACF

Ci

=

S^,

ВМ

-

SAECF

значит,

AF

и

ВМ

||

=

Q

SACE+ SACF=

.

61.14.

Q
,

Ct

SBDF

SBMD + SDMF + SBMF

=

61.15. Площадь шестиугольника
*61.16.

: возьмем G

и

Н

(рис. 065),

AKDy ALB, СМВ
Q
чит,

SAKD

=
.

5

и

два

,

_

.

^BCDM

_

BCDM
~

®DEFM

SKL

см.

рисунок

па-

Q

,

®ABMF)

'

£

раза больше площади треугольника.

_

но

л/3
2

2

Sklmn

тогда

DNC равны,

61.17.

в

=

и

середины соответственно сторон CD

5
ного квадрата

рисунок 064: проведем

AF, тогда четырехугольники ABMF, DEFM
1

раллелограммы,

см.

и

Q

+

^akd

и

AD дан-

так как треугольники

(см. решение задачи 61.11),

зна-

°

066: М

внутренняя точка данного

равностороннего треугольника ABC, соединим ее с вершинами треугольника
и

опустим из нее перпендикуляры MG, МН и МР на соответствующие стороС

G

D

Рис. 064
212

Рис. 065

в

Рис. 066

=

ны, тогда

-

a(MG

+ MH +

МР)

^ ah,

=

треугольника, таким

h

=
.

МР, (АСРМ

поскольку

=

+ МН + МР

61.18. См. рисунок 067, где АВ

тырехугольник

=

образом, MG

ZMBH),

(рис. 068),

=

АС

и

ССХ

ACNM: прямоугольные, равны

ZCMP

=

90°

-

ZMCP, ZCMN

следовательно, MH -I- МР

то

=

прямоугольник и

CNHCX

=

SA£ro.

=

сторона, h

где а

2

2

=

=

нашем случае а

i/iV

=

и

=

CN _L НМ, тогда

НМ + МЛГ,

1

и

че-

но MiV

=

по гипотенузе и острому углу,

=

90°-ZMBH,

но

ZMCP

=

*61.19. Если провести отрезок BG

Q

f3

в

ССХ1АБ

ZBMH

CCV

*61.20.

h,

=

высота

,

см.

рисунок 069:

SEFGH

=

S

Рис. 069
213

2

(см.

~

61.13),

решение задачи

но

SEBGD

Q,

=

так как

SBCG

=

=

SBGH

SBHD, SDAE

2
~

®DEF

~

^DFB

62.1. a) S

=

'

62.4. S
сектора

б)

И

^EBGD

~

nR2; 6) S

=-^г

^ABCD

^BCG

^DAE^

уменьшится в 9 раз;

3

=

.

4

R. 62.5. а) -см2; б)

2

в)

увеличится на

я

я

4п

в

радиусами R л г

(R

раз;
>

г),

г)

6) S

;

^EFGH
2

360

см2. 62.6. а) Увеличится

(2Я+1) см2. 62.7. 2:1. 62.8. 6,25 я см2.

уменьшить в

в

л/тп

2 раза; б) уменьшить

раз. 62.11.

Пусть

в

тогда нужно построить круг, радиус которого равен:

у/r2

б)

катету прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна R и

R

и г, т. е.

V#2

г2

+

=

R,

радиус данного круга. 62.13.

где i?

яа2 + nb2, где с, а, Ь

прямоугольного треугольника.

62.14. 24 см2. 62.15. а)

; б)

а)

радиусы;

Да,

я с2

б)

^znR2;

; в)

1*

6

п(а2

+

г)
ка

углы или дуги. 62.17.

см2. 62.18.

.

й

4

62.19.

Площадь искомой фигуры

(а2)

а)

находится как разность

площадей квадрата
2

четверти круга с радусом, равным стороне квадрата

а2

а

б) двух полукругов

=

2

гг

и:

другой

соответственно гипотенуза и катеты

4
62.16. Как их:

г2;

62.12. Окруж-

.

>/2
ность радиусом

Ь2)

+

половине диагонали квадрата, сторона которого равна

гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами

+

4 раза;

даны круги

гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами R и г, т. е.

в)

*

3

4 раза;

в

а)

катет равен г;

~

Д2 sin ф.

=

сегмента

300

62.9. а) 3я см2; б) я(#2- г2). 62.10. а) Увеличить
в) увеличить

Q

СЛЗДОВаТеЛЬНО>

~

62.3. a) S
сектора

=

=

с радиусами

,

2

4

(4-я); в)

2

),

(

(4

44

-

я);

четырех фигур, каждая из

2
а

а

которых равна четверти круга с радиусом

(4

,

-

двух фигур, каж-

я); г)

2

дая из которых равна
62.21. 4я см2. 62.22.

фигуре

из пункта

Измерить,

б),

(я
2

2). 62.20. а)

например ниткой, длину С

окружности, тогда площадь искомого сечения

214

-

я

соответствующей
С2

будет

равна

см2; б) 2я см2.

.

4я

62.23. Площа-

ди этих

фигур

фигуры

в два раза

соответственно равны

5 раз; б) уменьшатся
и

1

36; б) 3

:

63.11. а) 9
б)

-.

9

и

4л/2

см.

Зл/З.

:

63.12. а) 9

63.16. 80 дм2

и

16; б) 4

:

б) 4

:

1.

л/я

63.21. 1

63.25. Только
а

:

:

в

Ь. 63.27. 4

N

раз;

2

:

1; в) т2: я2. 63.6. а) 1

SKLMN=

или

тогда

\ SABCD

k

(см.

м и

60

м.

:

в

6

:

81.

:

1. 63.14. а),

63.18. Каждую

л/2

в

раз;

а) 1: 9; б) 4 : 25. 63.20. а) 1: 2;
63.23. 25. 63.24. 1

-1,

=

АМБС, 1

~

9. 63.10. 625

9. 63.13. 4

:

63.22. л2: Ь2
1

=

:

2 раза; б) увеличить

в

раз. 63.19.

см.

k

если

стороны AD,

1
=

12>/2

9. 63.28. AMDA

и

параллелограмм

1),

случае,

:

середина

(л/2

-

) 62.25. 120°.

_

500 дм2. 63.17. 80

г) увеличить в 4т

второй

площадь

16 раз. 63.4. а) Увеличатся

в

9; б) 25

:

сторону данного пятиугольника: а) уменьшить

в) уменьшить в

в)

;

64. 63.7. 0,2 м2. 63.8. 800 м2. 63.9. 16

:

2л/2

4; б)

:

63.15.

8

:

а) 4

раз. 63.5.

образом,

таким

9 раз; б) уменьшится

в

2^2

в

,

^nD2; б)

больше. 62.24. а)

63.3. а) Увеличится

и

:

т.

\k\

е.

4. 63.29. 1

:

4, пусть

KLMN

четырехугольник

решение задачи

16.

:

1. *63.26.

=

61.9),

но

SKLM=

1

^*klmn

значит>

SKlm=

4

^abcd-

63.30. Площадь каждого

отсекаемого треуголь-

1
ника равна

площади данного треугольника, следовательно, площадь полу16
13

чившегося шестиугольника равна

~

площади данного треугольника и равна:

13

а) 39 см2; б)

16

Q. *63.31. Треугольник AMN

данному треугольнику ABC с k

-

=

равносторонний

и

подобный

значит, их площади относятся как 1 :

,

9;

о

8

Л

таким

образом, SAMN=-Q

и

^

SBMNC=-Q;
^

в

трапеции BMNC

равнобедренной

2

Sbmn: SBNC
=

ND

:

=

BD

MN : ВС
=

MN

=

:

1:3,
BC

=

поэтому

1:3,

SBMN

=

|Q;

SBNC=

следовательно,

^Q=

-Q; SMND: SCBD
=

SMND=
1

окончательно получаем, что

SAMDN

=

SAMN

+

SMDN

=

9

1

Q

+
is

=

^8^
1

Q

6

Q-

64.4. Окружность. 64.7. Правильный. 64.8. Правильный. 64.9. Квадрат.
64.10. Квадрат.

215

г)
Рис. 070
65.5. См. рисунок 070. 65.6. По одной третьей
правильного

треугольника.

части

каждой стороны

65.7. Только квадрат. 65.8. Разрезать каждый

по

с
диагонали.

65.9. См. рисунок 071. 65.10.

ке 072: площадь прямоугольника

А^дА^

,
решение показано на рисун2
равна сумме площадей трапеций

Рис. 071

А^АуАг^А8

65.11. Правильный восьмиугольник

и

прямоугольник,

диагоналям данного

стороны

которого

восьмиугольника;

равны

наибольшей

решение

наименьшей

показано на рисунке

См. рисунок 074. 65.13. Из данного четырехугольника

216

и

можно перекроить в

073. 66.12.

сложили паркет

(зада-

Рис. 073

ча

Рис. 074

44.21), ABCD (рис. 316, б)

равны). 65.14. Из

(противоположные

параллелограмм

данного четырехугольника сложили паркет

ABCD (рис. 317, б)

параллелограмм

параллельны). 65.15. В первом

случае

(противоположные

(рис. 318, б) большой

стороны

(задача 44.21),

стороны

квадрат разрезали по двум

равным и перпендикулярным отрезкам, маленький квадрат не разрезали; во
втором случае

(рис. 318, в)

фигур:

основанное на разрезании и складывании
с

прямоугольного треугольника построены

равны соответственно

а2, Ъ2

с2, AF || BL,

и

Пифагора,

представлено доказательство теоремы
на катетах а,

площади

квадраты,

провели CM

||

b

AF, АВ

||

и гипотенузе

которых

PQ

||

GH

||

KN.

66.13. а) (3, 0); б) (-1, 0); в) (-7, 0); г) (-11, 0). 66.14. а) (0, -1); б) (0, 6);
в) (0, -8); г) (0, -9). 66.15. 2. 66.16. 3. 66.17. а) (0, 4); б) (2,5, -5); в) (-1, 2);
г) (0,5, -1). 66.18. а) (1, -2); б) (2, 6); в) (-3, 4); г) (х,

-у). 66.19. а) (-4, 3);

б) (1, 0); в) (5, 8); г) (-*, у). 66.20. а) (1, -2); б) (5, 3); в) (-10, 0); г) (-х, -у).
66.21. а)
б)

нет.

х

13, у

=

=

4; б)

х

=

-13, у

66.23. а) (-1, 1); б) (1, -1); в) (0,

ж) (-1, -1); з) (-1, -1). 66.24. а)
1

г)

(2

,

7з
-Y )

66-25- а> (~5

поворотом на

=

-4; в)

72);
,

2

г)

=

(72,

^ );
2

10>; б> (4. 4); в) (-,

180°(или -180°)

х

-

-13, у

0); д)

б)
2

=

4. 66.22. а) Да;

(-72,
2

0); е) (0,
в)

(-^

-72);

,

2

2

-). 66.26. At(5, -3), А2(-5, -3),

вокруг начала координат. 66.27.

перпендикулярная оси абсцисс и проходящая через точку

(1,0); б)

а) Прямая,
полуплоскость,
217

границей которой является ось ординат и которая лежит «справа» от нее;
в) прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0, -1); г) две
параллельные прямые, перпендикулярные оси абсцисс и проходящие через точки
(-5, 0) и (5, 0); д) полоса, заключенная между прямыми (включая и сами
прямые), параллельными оси абсцисс и проходящими через точки (0, -1) и
(0, 1); е) биссектрисы углов первой и третьей четвертей координатной
плоскости; ж) биссектрисы углов второй и четвертой четвертей координатной
плоскости.

лежащая

66.28. а) Полуплоскость, границей которой является ось ординат,
«слева» от нее, без самой оси ординат; б) полуплоскость, границей

которой является ось абсцисс и которая лежит «ниже» от нее; в) вторая
координатной плоскости без соответствующих полуосей; г) первая

четверть
и

третья

четверти координатной плоскости без соответствующих полуосей; д) вторая

и

без соответствующих полуосей.
66.29. а) (-4, 8); б) (-1, 2); в) (2, -4); *г) (-5, 7). *66.30. (-14, 0).

четвертая четверти

67.5.

б) л/41

.

г><(х

-

координатной

х )2 + (у

-

у0)2 <

плоскости

R2. 67.6. а)

л/2;

4л/2;

б)

л/13.

в)

л/149;

67.7. а)

67.8. а), б) Т. 67.9. a) U; б) V. 67.10. а) С, D; б) В, Е; в) А, В, С, D, F.

67.11. а) Разносторонний; б) равнобедренный; в) равносторонний. 67.12. а) (5, -1),
3; б) (-8, 0), 9; в) (0, 1), 1; г) (-3, 2), 5. 67.13. а) (-1, 0), 3; б) (0, 1), 5;
в) (0,5, -0,5),

4VlO; г)
+

12)2

л/41.

<

67.14. а) х2 +

х2+ у2= 73,

2л/73.

144, 12; в) (х +

у2

2,

=

2л/2;

б) х2

+

67.15. а) (х + 7)2+ (у

2)2

+

(у

-

З)2

< 13,

-

у2
I)2

=

25, 10; в) х2

< 50,

-М; г) (х

-

5)2

+

у2

5л/2;

б) х2

+

+

(у

=

+

4)2

40,

(у

+

< 41,

67.16. а) (-0,5, -1); б) (-1,5, 4); в) (1,5, -6); г) (3,5, -1,5). 67.17. а) (2, -2);

б) (6, -8); в) (10, -2); г) (-2, -12). 67.18.

Вх(2, 3), <^(7, 0), £,(0, 5).

68.7. а) 8; б) 12. 68.8. а) 3 см; б) 2 см; в) 1 см; г)

л/lO

см;

д)

л/13

см.

68.9.

Зл/2 см; г) л/34 см; д) %/l3 см. 68.10. а), б), г), д), е) Да;
В; б) Ъ + с; в) а + Ъ + с; г) b + c + d; д) a + b + c + d.
а)
АЕ; б) б; в) HL; г) 2PQ. 68.13. а), в) Да; б), г) нет.

а) 3 см; б) 2 см; в)
в)

нет.

68.12.

68.11.
а)

а +

68.15. 1) АВ, BA, CD

и

DC; 2) АО, ОА, DO

69.8. a) DE; б) ЕС; в)

0£>; 3) ВО, ОВ, СО

и

|(а
69.14.

+

&).

69.12.

б.

ОС.

СЁ; г) 2Ш. 69.9. а) АВ; б) ВС; в) DC; г) AD.

й-|т;

69.10. a) -k;6)-k;B) 2k; г) -21; д) k-l; е)
б)

и

69.13.

a)

a) CF; б) LN; в) АЕ; г) OQ; б), г)
a) DB; б) BD; в) СА; г) б; д) 2СВ; е) DC.

AD;
нет.

2(l-k). 69.11. а)
ЁР; в) МК; г)

б)

69.15. а), в), г) Да; б)

нет.

XW.
69.16.

70.8. а) (-3, 2); б) (7, 1); в) (-7, -6); г) (-11, -3). 70.9. (-х, -у).
70.10. а) (-3, 8); б) (-1, -9); в) (12, -11); г) (-9, -11). 70.11. а) (2, 6); б) (8, -13);
в) (5, 5); г) (13, -5). 70.12. а) 2;
в) 10; г) Зл/2 70.13. а) (1, -5); б) (50, -25).

6)^85;

.

70.14. а) (2, -4); б) (4, -8); в) (-2, 4); г) (-4, 8). 70.15. а) (0, 4); б) (6, 0).
218

71.6. а) 1,5; б) 10

в) 7з

л/2;

;

г) -1. 71.7. 90°. 71.8. а) 50; б) 8; в) 10;

2

г) 89. 71.9. а)

б)

-;

2

в)

--;
2

г)

--;
4

-;

4

д) 0. 71.10. а) -55; б) -13; в) 5; г) -14.

а), б) Тупой; в) острый; г) прямой. 71.12. (5, 2); бесконечно

71.11.

много.

71.13. а) 2; б) 2; в) 0; г) 2; д) -2; е) 4. 71.14. а) 0; б) 16; в) 1; г) -4. 71.15.

Перпендикулярны. 71.16. а) Острый

72.7. а)

=

у

Биссектриса: а) I
4

-

у

=

х

=

или равен развернутому

0. 72.8. а) (5, -6); б) (11, 0); в) (0, 12); г) (3, -4). 72.9.

III; б) II

и

7

-

0; б)

+ 3

0; б) у

=

б) 4х

0°; б) тупой

в) прямой; г) развернутый. 71.17. а) 6; б) -24; в) -27; г) 27.

углу;

-

или равен

IV четвертей координатной

и

0. 72.11. а) 2х + у

=

0; в) 4х

23

-

-

у

=

0; б)

=

4у

х +

плоскости.

72.10. а) у

0. 72.12. а) 4х

=

-

у

=

-

0;

0. 72.13. а) Параллельны; б) пересекаются;

2!^;

в) параллельны; г) совпадают. 72.14. а)

б)

л/2.

2

а) I

73.7.

плоскости

четверть координатной плоскости;

без

-2<х<

г) квадрат

73.9. а) 0 < У < 7,
X + у--4

1
73.11.

а)

0 <

ю,
'

б)

0;

>

2х

х + у

б)

6 > 0;

-

-

б)

=

-|.

(-77

л/Зх

-

(-75,

73.13. а)

,

0),

л/б у

(77
=

,

0),

73.10.

-4 <

х

<

0,

-4 <

у <
У

0,

2х
у

-5 <
'

у -16 < 0.

2х

(75,

1,

х

<

0,

0 < у < 5,
х

-

у + 5 > 0.

1

'

+ у + 4 <
-

-

у

2

I

8,

-8 < у < 0,

< х < 5,

К У < 5,

<

д:

х <

координатной
5 и 4;

со сторонами

2
0< у
* <2 ;
2

0 < X <

четверть

(-3 <

-

стороной 3. 73.8. а)

со

б) IV

абсцисс; в) внутренность прямоугольника

оси

73.12. а) (0, 2), у

0,

=

-2; б) (0, -),
8

у + 4 > 0.

0); б) (-1, 0), (1, 0). 73.14. а) (-10, 0), (10, 0);

0). 73.15. а) 4х

+

Зу

=

0, 4х

-

Зу

=

0; б)

7з* +75у

=

0,

0.
219

/с= 14; б) f=-3. 74.8.
ABCD, вершины которого имеют координаты:
-5; б) f= 5. 74.9. Данная система
А(1, 0), В(0, 1), С( 1, 0), D(0, -1); a) fc
определяет прямоугольник ABCD, вершины которого имеют координаты:
74.6. а) (4, -1), (-3, 1); б) (0, 0), (1, 1). 74.7. а)

Данная система определяет квадрат

=

-3 <

А(2, 1), В(2, 3), С(6, 3), D(6, 1); a) /=21; б) f=7. 74.10.

1

у2

=

75.9. а), б) 1, -1. 75.10. а) 180°п; б) 90°
п

0, ±1, ±2,

=

...

.

75.11. а) 360°

+ 360°га; в), г) 180°и
+

360°га

<

< 180° +
=

ф

180°п, где

0, ±1, ±2,

...

б) -1; в) 1; г)

.

п

п <

=

%/3;

^; е) ^

д)

б) (4, -); в) (6, -я); г)
и

в) (3, 2).

<р <180° + 360°и; б) -90° + 360° п
п

0, ±1, ±2,

=

...

.

...

.

180°п,
<

ф

<

3

_

.

(4л/2,

где

90° +

75.12. а) -180°

360°п; в), г) 90°

+

+ 180°п < ф <

75.13. а) 90° + 180°га; б) 180°п, где

п

=

^;

.

(-V3, 1); г)

-^я).
4

(-^ -ф.
,

76.11. а)

(2^2,

-^);

76.12. Нет. 76.13. Да, например, (г, -)
6

ч

^

_

). 76.14. а) Внутренность окружности радиусом 9; б)

(г,

+

75.14. а) III; б) IV; в) I; г) И; д) I; е) IV четверть. 75.15. а)

76.10. а) (0, 1); б) (1, -1); в)

6
11я

1

180°п; в) 180°га; г) 90°

+

+ 360°га < ф <90° +

0, ±1, ±2,

1

); б)

ф <90°+ 180° п, где

<

360°п; б) -90°

<

2J2

1. 75.8. Например: а)

2.

<

х + у

75.7. х2 +

0,

<

х

1< У < 3,

кольцо,

обра-

о
зованное

полуплоскость

составляющего

концентрическими окружностями с радиусами 5

без прямой,

ее

определяющей; г)

круга радиусом 10. 76.15.

-

8

MN=y]r12

+

г2

-

2гхг2

cos(cpj

-

М(гх

и

25; в)

внутренность сектора,

cos

фх, гг

sin

фх), N(r2

cos

ф2, г2 sin ф2),

ф2).

77.1. Одна. 77.2. Бесконечно много или одну. 77.3. Нет. 77.4. а) Да; б) нет.
77.5. 4. 77.6. Пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. 77.9. а) 12;
6, Р
9, Г
8, Р
6;
5; б) В
12, Г
б) 24; в) 20; г) 24. 77.12. а) В
=

в) В
вершин,

б) В

=

10, Р

=

=

=

=

=

п + 2, где В
число
7; г) В
15, Г
2п, Р
3п, Г
Р
Г
В
77.13.
Р
4,
6, Г
ребер,
граней многогранника.
а)
+
В
п
Р
Г
п
5, Р
8, Г
5; в) В
6, Р
10, Г
6; г)
1,
2л,

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

+

4;
1.

77.14. а) 12-угольник; б) 23-угольник. 77.15. а) 12-угольник; б)
18-угольник. 77.16. а) 46-угольник; б) 47-угольник. 77.17. а) Да; б) нет. 77.18.
Число плоских углов в

220

2 раза больше

числа

ребер

многогранника. 77.19.

а), б) 4.

77.20. 3. 77.21. а), б), в) Да; г) нет; сумма плоских углов при одной
вершине должна быть меньше 360°. 77.23. а) 0; б) 4; в) 10; г) п(п
3). 77.24.
-

в), г) 0. 77.25. а) 720°; б) 1440°; в) 1080°; г) 1800°. 77.28. Бесконечно

а), б),
много.

77.29. Диаметр шара. 77.30. Один. 77.32. Выпуклые многогранники: а), б),
г), д); невыпуклые многогранники: в), е). 77.33. а) В + 1,Р + л, Г + tz- 1;

б)B

+

соответственно число вершин,
77i-l,P + 77i, Г+1, где В, Р и Г
77.39.
граней многогранника.
а), б), г). 77.34. г), д), е), з), к). 77.41. а)

ребер
Шесть
и

столько, сколько
б) 27 «кубиков»; в) ни одного; г) восемь
сколько
двенадцать
столько,
вершин у куба; д)
реберу куба; е) шесть
столько, сколько граней у куба; ж) один. 77.43. а) л/3; б) 2 л/3; в) 5 л/3.
77.44. а) 24 см2; б) 6 м2; в) 6а2. 77.45. а) 52 см2; б) 880 мм2; в) 2(ab + ас + Ъс).
77.46. а) 3(2 + л/3) см2; б) 1 + & см2. 77.47. V
аЪс. 77.48. а) 1 см3; б) 8 дм3;

разрезов;

=

в) 1000 м3; г) Ь3. 77.49. а) Увеличится в 4 раза, уменьшится в 9 раз; б)
увеличится в 8 раз, уменьшится в 27 раз. 77.50. Увеличился в: а) 216 раз;

б)

6\[ё

раз. 77.51. Уменьшилась в:

а) 4

раза;

б) 9

раз.

Оглавление
3

Предисловие
Глава I. НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ
§
§

1.
2.

Основные геометрические фигуры
Отрезок и луч

6

§

3.

Измерение длин отрезков

8

§

4.

Полуплоскость

§

5.

Измерение

§

6.

Ломаные

и угол

7

9

величин углов

11

и многоугольники

13

Глава II. РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ
17

§

7.

Треугольники

§

8.

Первый признак равенства треугольников

18

§

9.

Второй признак равенства треугольников

21

§

10.

Равнобедренные треугольники

25
28

35

§ 11.
§ 12.
§

13.

Третий признак равенства треугольников
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Соотношения между сторонами треугольника

§

14.

Прямоугольные треугольники

§

15.

Перпендикуляр

и наклонная

31
33

36

Глава III. ОКРУЖНОСТЬ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
§

16.

§

17.

§
§

38
40

18.

Окружность и круг
Взаимное расположение прямой и окружности
Взаимное расположение двух окружностей

19.

Геометрические места точек

44

Задачи

45

§ 20.

на построение

42

Глава IV. КРИВЫЕ И ГРАФЫ*
§ 21*.
§ 22*.

Парабола
Эллипс

47

§ 23*.
§ 24*.

Гипербола

50

Графы

51

§ 25*.
§ 26*.

Теорема Эйлера

53

Проблема четырех красок

54

48

Глава V. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
§ 27.
§ 28.

Параллельные прямые

56

Сумма углов треугольника

61

§ 29.
§ 30.

Параллелограмм

68

Признаки параллелограмма

72

§ 31.
§ 32.

Прямоугольник, ромб, квадрат

222

Средняя

линия треугольника

76
83

§ 33.
§ 34.

86
88

Трапеция
Теорема Фалеса

Глава VI. МНОГОУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТЬ
§ 35.
§ 36.
§ 37.

Углы, связанные с окружностью
Многоугольники, вписанные в окружность
Многоугольники, описанные около окружности

91

§ 38.

Замечательные

98

Глава VII.

точки в треугольнике

94

96

ДВИЖЕНИЕ

§ 39.
§ 40.

Центральная симметрия
Поворот. Симметрия п-го

§ 41.
§ 42.

Осевая симметрия

108

Параллельный перенос
Движение. Равенство фигур

111

Паркеты

114

§ 43.
§ 44*.

101

105

порядка

113

Глава VIII. ПОДОБИЕ
§ 45.
§ 46.

§ 47.
§ 48*.
§ 49.

Подобие треугольников. Первый признак подобия треугольников

115

третий признаки подобия
Подобие фигур. Гомотетия
Золотое сечение

119

Второй

и

треугольников

Теорема Пифагора

124
127

129

Глава IX. ЭЛЕМЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
§
§
§
§
§
§
§

50.
51.
52.
53.
54.
55.
56*.

Глава X.

§
§
§
§
§
§
§
§
§

57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64*.
65*.

Тригонометрические функции острого угла
Тригонометрические тождества
Тригонометрические функции тупого угла
Теорема косинусов
Теорема синусов
Длина окружности
Циклоидальные кривые

131
132

133
134

135
136
139

ПЛОЩАДЬ
Измерение площадей. Площадь прямоугольника
Площадь параллелограмма
Площадь треугольника
Площадь трапеции
Площадь многоугольника
Площадь круга и его частей
Площади подобных фигур
Изопериметрическая задача
Равносоставленность и задачи на разрезание

140
142
144
149
150
153

155
158

158

Глава XI. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ
§ 66.

Прямоугольная система координат

161
223

§
§
§
§
§
§
§
§
§
§
§

67.
68.
69.
70.
71.
72.
73*.
74*.
75.
76*.
77.

Расстояние между точками. Уравнение
Векторы. Сложение векторов
Умножение вектора на число

162

окружности

Координаты вектора
Скалярное произведение векторов
Уравнение прямой
Аналитическое задание фигур на плоскости
Задачи оптимизации
Тригонометрические функции произвольного
Полярные координаты
Элементы стереометрии

163
165
165
166

167
168
170

171

угла

172
172
177

Ответы

Учебное издание

Смирнова Ирина Михайловна,
Смирнов Владимир Алексеевич
УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ
7 9

классы

Учебное пособие
для учащихся общеобразовательных учреждений
Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная
Главный редактор К. И. Куровский
Редактор С. Б. Забелина
И. В. Цыцарева
Технический редактор И. Л. Ткаченко
Корректоры J1. А. Ключникова, Т. В. Пекичева

Оформление

и художественное редактирование:

Компьютерная верстка

Санитарно-эпидемиологическое

и

графика: А. А. Рязанцев

77.99.02.953.Д.006513.04.10
Формат 70x90 г/16. Бумага офсетная № 1.
Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 16,38.
Тираж 3000 экз. Заказ № 26092 (Л-Srn).
заключение №

от 21.04.2010.

Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 296.
Тел.: 8 (499) 367 5418, 367 5627, 367 6781; факс: 8 (499) 165 9218.
E-mail: ioc@mnemozina.ru
www.mnemozina.ru
Магазин «Мнемозина» (розничная
«КНИГА

105043, Москва,

и мелкооптовая продажа книг,

ПОЧТОЙ», ИНТЕРНЕТ-магазин).

ул. 6-я Парковая, 296. Тел./факс: 8 (495) 783 8284; тел.: 8(495) 783 8285.

E-mail:

magazin@mnemozina.ru

Торговый дом

www.shop.mnemozina.ru

«Мнемозина» (оптовая продажа книг).

Тел./факс: 8 (495) 665 6031 (многоканальный).
E-mail: td@mnemozina.ru
Отпечатано

в ОАО «Смоленский полиграфический комбинат»,
214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1.