/
Author: Колмогоров А.Н.
Tags: математика развитие науки естественные науки история математики
ISBN: 5-02-014453-3
Year: 1991
Text
А.Н. КОЛМОГОРОВ
МАТЕМАТИКА
ВЕЕ
ИСТОРИЧЕСКОМ
РАЗВИТИИ
A. H. КОЛМОГОРОВ
МАТЕМАТИКА
В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ
РАЗВИТИИ
Под редакцией В. А, УСПЕНСКОГО
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1991
ББК 22.1
К60
УДК 519.51
Составитель
ГАЛЬПЕРИН ГРИГОРИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ
Колмогоров АН. Математика в ее историческом развв<
тнв/Под ред. В. А. Успенского.— М.: Наука. Гл. ред, физ.-мат. лит.,
1991.—224 с.— ISBN 5-02-014453-3.
В сборнике работ выдающегося математика современности
А. Н. Колмогорова [12 (25).04Д 903—20.10.1987] представлены его
труды, связанные с историей развития математики. Структурно
сборник делится на три раздела.
В первом из них публикуется ставшая классической статья
«Математика» и статья «Развитие математики в СССР» иэ Боль-
шой Советской Энциклопедии. Во второй помещены статьи, связан-
ные с математическим мышлением в 17 и 19 веках (на примерах
Ньютона и Лобачевского). Наконец, третей раздел книги состоит
из избранных научных биографий (персонйлий) математиков 20 ве-
ка, открывающийся двумя очерками жизни и деятельности вы-
дающегося советского тополога П. С. Александрова — ближайшего
друга А. Н. Колмогорова.
Для научных работников, преподавателей, студентов, школь-
ников, всех тех, кто интересуется математикой и ее историей.
Ил. 4. Библиогр. 520 назв.
1602010000-080
К 053(02)-91 1391
© «Наука». Физматлит. 1991
ISBN 5-02-014453-3
Г •
ОТ ТИТУЛЬНОГО РЕДАКТОРА
Значение этой книги определяется прежде всего лич-
ностью ее автора. В некрологе по случаю его кончины,
опубликованном в газетах от 23 октября 1987 года, гово-
рилось: «А. Н. Колмогоров вошел в плеяду великих рус-
ских и мировых ученых». И действительно, имя Колмого-
рова стоит в русской науке рядом с именами Ломоносо-
ва, Менделеева, Павлова.
Будучи одним из крупнейших математиков XX века,
Колмогоров сосредоточивался не только на получении ма-
тематических результатов, но и на вопросах методологии.
Он внес уникальный вклад в дело распространения ма-
тематических знаний. В рамках этого вклада видное ме-
сто занимает деятельность, связанная с изданием Боль-
шой Советской Энциклопедии, где Колмогоров возглавлял
математический раздел в 1-м (с 1936 г.) и 2-м изданиях,
а также лично написал большое число статей.
В настоящем сборнике воспроизводятся избранные
статьи Колмогорова, относящиеся к истории математики.
Сборник состоит из трех разделов. К первому отнесены
статьи, охватывающие математику в целом, ко второму —
отдельные ее методологические аспекты. Третий раздел со-
держит публикации, посвященные жизни и деятельности
математиков. Читатель найдет здесь два очерка о бли-
жайшем друге А. Н. Колмогорова, выдающемся топологе
Павле Сергеевиче Александрове, короткие статьи из БСЭ,
посвященные отдельным ученым, и, наконец, те из юби-
лейных статей и некрологов, которые были опубликованы
за подписью Колмогорова без соавторов. В качестве при-
ложений публикуется список его работ *)' и перечень вы-
ступлений в Московском математическом обществе, а так-
же биографическая справка,
*) Редакция будет признательна за любые уточнения, исправ-
ления и дополнения, относящиеся к этому списку. Адрес редак-
ции— на стр. 224.
6 ОТ ТИТУЛЬНОГО РЕДАКТОРА
Сборник открывается статьей П. С. Александрова и
очерком, написанным титульным редактором, дающими
читателю самое общее представление о Колмогорове как
о личности. Более подробную информацию о жизни и
творчестве Колмогорова читатель может получить, обра-
тившись к юбилейному (1983.— Т. 38, вып. 4) и мемо-
риальному (1988.— Т. 43, вып. 6) выпускам журнала
«Успехи математических наук», к мемориальному
(1989.— Т. 34, вып. 1) выпуску журнала «Теория вероят-
ностей и ее применения», а также к биографическим ма-
териалам, помещенным в трех выпущенных издатель-
ством «Наука» томах избранных трудов А. Н. Колмогоро-
ва («Математика и механика», 1985; «Теория вероятно-
стей и математическая статистика», 1986; «Теория инфор-
мации и теория алгоритмов», 1987).
НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ А. Н. КОЛМОГОРОВЕ *)
О. С. Александров
Необыкновенная широта творческих интересов
А. Н. Колмогорова, огромный диапазон и разнообразие
тех областей математики, в которых он работал в различ-
ные периоды своей жизни, выделяют Андрея Николаеви-
ча среди математиков не только нашей страны, но и всего
мира, и можно прямо сказать, что в отношении этого
свойства своего дарования он не имеет себе равных среди
математиков нашего времени. При этом во многих мате-
матических дисциплинах, в которых работал А. Н. Кол-
могоров, им получены действительно основополагающие,
принципиально важные результаты, доказательство кото-
рых часто требовало преодоления больших трудностей и
поэтому было сопряжено с большим творческим напря-
жением. Это относится уже к результатам, полученным
Андреем Николаевичем в совсем молодые годы, по теории
множеств и функций, как дескриптивной, так и метриче-
ской, например к построенной им теории операций над
множествами и к его знаменитому примеру расходящего-
ся ряда Фурье.
Далее последовали работы по общей теории меры,
как абстрактной, т. е. «собственно общей», так и геомет-
рической, а затем начались и фундаментальные работы
А. Н. Колмогорова в различных направлениях теории
вероятностей, поставившие Андрея Николаевича на бес-
спорное первое место среди представителей этой дисцип-
лины во всем мире.
Рано возникли и первые работы А. Н. Колмогорова,
посвященные математической логике и основаниям мате-
матики. В значительно более поздние годы к этим рабо-
там присоединились исследования по теории информации.
Очень велик вклад, сделанный Андреем Николаевичем
в топологию. Достаточно напомнить, что, одновременное
выдающимся американским топологом Александером и
') Опубликовано в УМН,—1983,—Т. 38, вып. 4(232).—С. 7—9.
8
П. С. АЛЕКСАНДРОВ. OB А. H КОЛМОГОРОВЕ
совершенно независимо от него, А. Н. Колмогоров пришел
к понятию когомологии и основал теорию когомологических
операций, т. е. получил результаты, существенно преобра-
зовавшие всю топологию. Общеизвестны глубокие связи
топологии с теорией обыкновенных дифференциальных
уравнений, небесной механикой и, далее, общей теорией
динамических систем. Эти связи возникли в первых же
работах Пуанкаре. Идеи А. Н. Колмогорова во всей этой
огромной математической дисциплине, далее развитые
в работах его многочисленных учеников, в значительной
степени определили ее состояние в настоящее время. Не-
обходимо, наконец, указать на исследования А. Н. Кол-
могорова, относящиеся, собственно, к механике, в частно-
сти на его знаменитые работы в теории турбулентности,
уже непосредственно переходящие в область эксперимен-
тальных наук о природе. Все сказанное, а сказано далеко
не все, что можно было бы сказать о А. Н. Колмогорове
как об ученом, делает очевидным, что в его лице мы име-
ем одного из самых выдающихся представителей совре-
менной математики в самом широком смысле этого слова,
включающем и прикладную математику. Это положение
Андрея Николаевича в науке пользуется бесспорным при-
знанием в международном научном мире, и оно находит
свое внешнее выражение, в частности, в том, что
А. Н. Колмогорову принадлежит первое место среди всех
советских математиков по числу иностранных академий
и научных обществ, избравших его своим сочленом, а так-
же университетов, сделавших его своим почетным докто-
ром. Среди них находим: Парижскую академию наук,
Лондонское королевское общество, Общегерманскую ака-
демию наук «Леопольдина», Нидерландскую академию
наук, Польскую академию наук, Академию наук ГДР,
Польское математическое общество, Лондонское матема-
тическое общество, Национальную академию США, осно-
ванное В. Франклином Американское философское обще-
ство, Парижский, Берлинский, Варшавский университе-
ты и др.
А. Н. Колмогоров родился 25 апреля 1903 г. в г. Там-
бове,, в котором его мать Мария Яковлевна Колмогорова
задержалась по пути из Крыма. Мария Яковлевна умерла
при самом рождении ее сына, и все заботы по его воспи-
танию взяла на себя ее родпая сестра Вера Яковлевна
Колмогорова, которая действительно заменила мать
Андрею Николаевичу. А. Н. Колмогоров в соответствии
П. G. АЛЕКСАНДРОВ. ОБ А, Н. КОЛМОГОРОВЕ
9
с этим и относился к Вере Яковлевне, как к своей мате-
ри, до самой ее смерти (В. Я. Колмогорова умерла в
1950 г. в Комаровке в возрасте 87 лет). По материнской
линии А. Н. Колмогоров был дворянского происхожде-
ния: его дед со стороны матери, Яков Степанович Колмо-
горов, был угличским уездным предводителем дворянства.
Колмогоровы владели имением Туношна, расположенном
на речке Туношонка вблизи ее впадения в Волгу, недале-
ко от Ярославля, и большим домом в самом Ярославле.
Отец Андрея Николаевича был сыном священника. Он
был агрономом с высшим специальным образованием или,
по тогдашней терминологии, «ученым агрономом».
Моя дружба с А. Н. Колмогоровым занимает в моей
жизни совершенно исключительное, неповторимое место:
эта дружба перешагнула в 1979 год через свое пятидеся-
тилетие и за весь этот полувековой период не только ни
разу не дала никакой трещины, но не сопровождалась да-
же никакой ссорой, не было у нас за все это время и
какого бы то ни было взаимного непонимания по вопро-
сам, сколько-нибудь важным для нашей жизни и миро-
созерцания; даже тогда, когда наши взгляды на какой-
нибудь из этих вопросов бывали различны, мы относились
к этим взглядам друг друга с полным пониманием и со-
чувствием.
Как уже упоминалось, у А. Н. Колмогорова было мно-
го учеников в различных областях математики, некоторые
из которых сами сделались крупными представителями
своей специальности. Старшими учениками А. Н. Колмо-
горова являются ставшие потом действительными членами
АН СССР Сергей Михайлович Никольский (р. 1905 г.) и
ныне покойный Анатолий Иванович Мальцев (р. 1910 г.).
Следующими по возрасту являются Борис Владимирович
Гнеденко (р. 1912 г.), действительный член Академии на-
ук УССР, видный всемирно признанный специалист по
теории вероятностей, действительный член АН СССР
Михаил Дмитриевич Миллионщиков (р. 1913 г., скончал-
ся в 1973 г.) и Израиль Моисеевич Гельфанд (р. 1913 г.),
член-корреспондент АН СССР, избранный иностранным
.членом Национальной академии наук США и Парижской
академии наук. Значительно моложе, но все же принад-
лежат к старшему поколению учеников А. Н. Колмогоро-
ва, действительный член АН СССР Александр Михайло-
вич Обухов (р. 1918 г.), член-корреспондент АН СССР
Андрей Сергеевич Монин (р, 1921 г.).
10 П. С. АЛЕКСАНДРОВ. OB А. Н, КОЛМОГОРОВЕ
Далее идут: Владимир Андреевич Успенский, Влади-
мир Михайлович Тихомиров, Владимир Михайлович
Алексеев, Яков Григорьевич Синай, Владимир Игоревич
Арнольд.
Особенно обширна группа учеников Андрея Николае-
вича, посвятивших себя работе в теории вероятностей и
математической статистике. Среди них — действительный
член АН СССР Юрий Васильевич Прохоров, члены-кор-
респонденты АН СССР Логин Николаевич Болыпев и
Александр Алексеевич Боровков, действительный член
АН УзССР Сагды Хасанович Сираждинов, действительный
член АН УССР Владимир Сергеевич Михалевич, Борис
Александрович Севастьянов, Юрий Анатольевич Рованов,
Альберт Николаевич Ширяев, Игорь Георгиевич Журбен-
ко. Разумеется, что этот список ни в какой мере не явля-
ется полным: да н по самому заглавию моей статьи ясно,
что она, не будучи юбилейным обзором жизни и деятель-
ности А. Н. Колмогорова и вообще не будучи в каком бы
то ни было смысле традиционной «юбилейной статьей»,
не претендует на полноту ни в каком отношении.
Март 1981 г.1!
') С lex uup В. И. Арнольд, А. А. Боровков. И. М. Гельфащ
и В. & Михалевич стали действительными членами, а Б. А. Се
вастьянов— членом корреспондентом АН СССР,— Примеч, ред.
НАШ ВЕЛИКИЙ СОВРЕМЕННИК КОЛМОГОРОВ
В. А. Успенский
Андрей Николаевич Колмогоров умер 20 октября
1987 г., в 14 часов 09 минут, в Москве, в Кунцевской
больнице. 25 апреля 1988 г. ему исполнилось бы 85 лет.'
В 1832 г. Гоголь написал, а в 1834 г. опубликовал слет
дующие слова о Пушкине:
«При имени Пушкина тотчас осеняет мысль о рус-
ском национальном поэте. В самом деле, никто из поэтов
наших не выше его <... > Пушкин есть явление чрезвы-
чайное» [1].
Если заменить здесь «поэт» на «ученый», а «Пушкин»
на «Колмогоров», мы получим удивительно точную ха-
рактеристику Колмогорова.
В Колмогорове все чрезвычайно. Чрезвычайна много-
мерность (о ней ниже) охвата знаний. Чрезвычайны во-
площавшиеся в действия представления о научной этике.
Чрезвычайно стремление к самосовершенствованию, к со-
зиданию себя как личности, равно гармонически развитой
духовно и телесно. Он никогда не занимался состяза-
тельным спортом, но поддержанию себя в надлежащей
физической форме уделял не меньше внимания, чем ма-
тематическому творчеству. Последние годы физической
неподвижности и телесной немощи были поэтому для не-
го мучительны, как ни для кого другого.
Колмогорова нередко называли человеком Возрожде-
ния. Скорее, он человек античности. Вспомним, что
«гимназия» и «гимнастика» происходят от одного и того
же греческого корня.
Колмогоров отчетливо ощущал наличие слова «куль-
тура» в примелькавшемся словосочетании «физическая
культура» и с несомненностью считал физическую куль-
туру необходимым компонентом человеческой культуры
вообще. Телесная культура была такой же неотъемлемой
частью внутреннего мира Колмогорова, как поэзия и му-
зыка, как архитектура, живопись и другие виды пласти-
ческих искусств. Мало сказать, что он имел обширные и
глубокие знания в каждой из этих художественных сфер.
12 в. А. УСПЕНСКИЙ. НАШ ВЕЛИКИЙ СОВРЕМЕННИК
В стихах и музыкальных произведениях, зданиях, карти-
нах и скульптурах он видел необходимые условия нор-
мального человеческого бытия, своего рода синхрониза-
торы или, лучше сказать, гармонпзаторы эмоционального
статуса человека.
В применении к познавательной деятельности Колмо-
горова выше было употреблено слово «многомерность».
Действительно, здесь можно выделить как бы три изме-
рения: широту, глубину и высоту.
.Широта научных интересов Колмогорова имеет мало
прецедентов в XX веке — если вообще имеет таковые.
Спектр этих интересов простирается от метеорологии
(Колмогоров был почетным членом Американского метео-
рологического общества) до теории стиха (академик
Д. С. Лихачев недавно согласился быть ответственным
редактором сборника стиховедческих работ Колмогорова).
К какой бы области знания ни прикоснулся Колмогоров,
она, эта область, после его прикосновения получает но-
вый импульс развития и уже не может изучаться без
учета колмогоровского вклада в нее.
В своих самых первых, еще студенческих работах
Колмогоров выступил как историк1). Эти работы, сохра-
нившиеся лишь в рукописи, относятся к истории Новго-
рода и посвящены анализу землепользования в Новгород-
ской земле в XV веке. Выступая 15 декабря 1989 г. в
Московском доме ученых на вечере памяти А. Н. Колмо-
горова, известный историк, ныне академик АН СССР
В. Л. Янин указал, что эти юношеские работы занимают
в исторической науке место, до которого развитие этой
науки еще не дошло: будучи опубликованы, они окажут-
ся впереди современного уровня науки.
Известный лингвист, ныне покойный профессор фи-
лологического факультета Московского университета
П. С. Кузнецов писал в своих воспоминаниях, что Кол-
могоров, «который еще будучи студентом занимался исто-
рией (работал в семинарии у Бахрушина по истории
Новгорода) и который вместе с тем (еще без меня) путе-
шествовал по Пинеге и в ее верховьях, высказал предпо-
ложение, что колонизация в верховьях Ппнеги шла с Се-
!) Работы эти осуществлялись с ноября 1920 г. по январь
1922 г. [2, с. 188]. «Издание исторических работ А. Н. Колмогоро-
ва в настоящее время подготавливается в виде отдельной книжки
на Историческом факультете Московского упиверситета» [2, с. 195].
В. А. УСПЕНСКИЙ НАШ ВЕЛИКИЙ СОВРЕМЕННИК 13
верной Двины (от Верхней Тоймы) на восток через водо-
раздел, а не по реке от впадения ее в Двину. Если так,
то граница Восточной и Поморской группы северорусских
говоров должна была проходить севернее, чем предполо-
жительно проведена на карте МДК1), и верховья Пинеги
должны входить в Восточную группу. Оказалось, что
так и есть» [3, с. 207].
Откроем известную хрестоматию ван Хейеноорта «От
Фреге до Гёделя» [4]. Хрестоматия входит в серию, каж-
дая из книг которой представляет собой «собрание статей,
определивших структуру той или иной науки» [4, с. V].
Хрестоматия ван Хейеноорта посвящена математической
логике. Мы находим в ней английский перевод [5]
статьи 22-летнего Колмогорова [6]—статьи, охарактери-
зованной составителем как «первое систематическое изу-
чение интуиционистской логики» [4, с. VII]. Действи-
тельно, в этой статье интуиционистская логика впервые
сделана предметом математического исследования. К ска-
занному уместно добавить, что эта статья была также
первой отечественной статьей по логике, содержащей
собственно математические результаты.
Откроем известную монографию Абрахама и Марсдена
«Основания механики» [7]. Галерея портретов крупней-
ших ученых в области классической механики, начинаю-
щаяся с портрета Архимеда, включает и портрет Колмо-
горова. А его доклад «Общая теория динамических си-
стем и классическая механика» на Международном мате-
матическом конгрессе 1954 г. в Амстердаме [8] охарак-
теризован в предисловии к названной монографии как
важная историческая веха в развитии науки и потому
полностью воспроизведен в монографии в виде специаль-
ного приложения [9]. При этом классическая механика
составляет лишь часть интересов Колмогорова в области
механики, он внес также выдающийся вклад в аэрогидро-
механику2).
*) МДК — Московская диалектологическая комиссия.— При*
меч, ред,
3) «Общее число опубликованных А. Н. Колмогоровым статей
по механике турбулентных течений жидкостей и газов сравнитель-
но невелико и ни одна из них не занимает много места. Однако
эти несколько небольших статей совершенно преобразили лицо
современной теории турбулентности и оказали огромное влияние
и на все дальнейшее развитие указанной теории, и на постановку
экспериментальных исследований широких классов турбулентных
течений» [10].
14 В. А. УСПЕНСКИЙ. НАШ ВЕЛИКИЙ СОВРЕМЕННИК
Однако основной сферой деятельности Колмогорова
была, конечно, математика. Колмогоров — один из круп-
нейших математиков XX века. Его имя стоит рядом с
именами Пуанкаре и Гильберта.
Теория функций (где студенческая работа [И] 19-лет-
него автора, устанавливающая существование почти всю-
ду расходящегося ряда Фурье, сразу сделала его знаме-
нитым), теория множеств (где он заложил основы теории
операций над множествами), топология (где он разделя-
ет с Александером авторство теории когомологий), теория
вероятностей (где он был признанным главой этой нау-
ки во всем мире, «живым воплощением математической
теории вероятностей», как писала английская газета
«Таймс» в связи с его кончиной), теория информации
(где он разделяет с Шенноном построение оснований
этой теории), теория алгоритмов (где ему принадлежит
определение общего понятия алгоритма и создание теории
сложности конструктивных объектов) — вот перечень да-
леко не всех областей математики, которыми занимался
Колмогоров. И не просто занимался, но оставил в них
глубокий след.
Здесь мы подходим к следующему измерению твор-
чества Колмогорова — его глубине. «Во всем мне хочется
дойти до самой сути». Кстати, некоторыми отмечалось,
что Колмогоров чем-то внешне (а может быть, и внутрен-
не) был схож с автором этих стихов — другим нашим
великим современником — Пастернаком. Как бы то ни
было, Колмогоров всегда стремился дойти до самой сути
предмета, проникнуть вглубь, выделить основные поня-
тия. Его главпая монография называется характерно:
«Основные понятия теории вероятностей» [разряд-
ка моя — В. У.] (отображающие эти понятия символы
составили эмблему I Всемирного конгресса по математи-
ческой статистике и теории вероятностей, состоявшегося
в 1986 г.). Именно этот метод дохождения до сути позво-
лил Колмогорову добиться фундаментальных достижений,
выдвинуться на первые места во всех сферах, которым он
уделял внимание, будь то теория вероятностей (пути раз-
вития которой были определены названной выше моно-
графией), математическая логика нли теория турбулент-
ности.
В поисках сути Колмогорову нередко удавалось до-
стичь очень просто формулируемых представлений — как,
например, в случае с принадлежащим ему аксиоматиче-
В. А. УСПЕНСКИЙ, НАШ ВЕЛИКИЙ СОВРЕМЕННИК
15
ским изложением теории вероятностей. По-видимому, им
руководило естественное для настоящего ученого убежде-
ние, что чем более общий характер носит идея, тем про-
ще она должна быть. Одно из последних по времени до-
стижений Колмогорова в математике — создание общей
теории сложности объектов. Тб, что вещи бывают про-
стые и. сложные, было и есть ясно всем. Вопрос состоял
в том, можно ли измерить сложность вещи числом. Кол-
могоров предложил называть сложностью вещи длину
наикратчайшего ее описания. Это колмогоровское опреде-
ление (которое мы здесь воспроизвели, разумеется, в не-
сколько огрубленном виде) обладает отличительной
чертой гениальности: оно кажется самоочевидным, но
лишь после того, как высказано. Как писал (в 1931 г.)
упомянутый уже Б. Пастернак, «Есть в опыте больших
поэтов черты естественности той, что невозможно, их
изведав, не кончить полной немотой. В родстве со всем,
что есть, уверясь и знаясь с будущим в быту, нельзя не
впасть к концу, как в ересь, в неслыханную простоту. Но
мы пощажены не будем, когда ее не утаим. Она всего
нужнее людям, но сложное понятней им».
Глубину исследований Колмогорова иллюстрирует то
обстоятельство, что значение открытых им понятий и ме-
тодов с течением времени не убывает, а возрастает. Мно-
гие понятия, введенные Колмогоровым, были поистине
пионерскими, они опережали свое время (сам Колмогоров,
кстати, учил, что система понятий не менее важна, чем
система результатов и даже может составить предмет
диссертации). Так, в начале 1954 года им была предло-
жена общая идея нумерации, а также понятие сводимо-
сти нумераций; сейчас основанная на этих Представлениях
теория нумерадий составляет важйую ветвь теории алго-
ритмов, ей Посвящены монографии и Конференций.
В языкознании заняло прочное место понятие «падежа
по Колмогорову». Высказанное в тех же 50-х годах (но
придуманное, вероятно, раньше), это было первое научное
определение падежа, и последующие научные определе-
ния так или иначе на него опираются. Для Колмогорова
довольно типично, что и определения нумерации и сво-
димости нумераций, и определение падежа были даны йм
как бы вскользь и к тому же лишь в устной форме
(в дискуссии на семинаре, в частной беседе; для всеобще-
го сведения они были затем опубликованы автором дан-
ного очерка).
16 в, А. УСПЕНСКИЙ. НАШ ВЕЛИКИЙ СОВРЕМЕННИК
Пионерскими были и многие предложенные Колмого-
ровым методы. Так, при исследовании знаменитой тринад-
цатой проблемы Гильберта о суперпозициях он не только
получил (в 1956 г.) результат о возможности представле-
ния любой непрерывной функции в виде суперпозиции
непрерывных же функций трех переменных, но и создал
метод, позволивший его ученику В. И. Арнольду, тогда
(в 1957 г.) студенту-третьекурснику, понизить в этом ре-
зультате количество переменных с трех до двух и тем
самым решить указанную проблему (притом в сторону,
противоположную первоначальной гипотезе самого Гиль-
берта). А в работах Колмогорова по теории динамических
систем (1954 г.) было положено начало методу КАМ
(Колмогорова — Арнольда — Мозера)—«методу, считаю-
щемуся одним из крупнейших достижений математики
двадцатого века»1).
Если в применении к научным исследованиям терми-
ны «широта» и «глубина» достаточно привычны, слово
«высота» требует пояспений. Вот что можно разуметь
здесь под высотой: расстояние между теоретическими по-
строениями (расположенными как бы вверху) и практи-
ческими приложениями (расположенными как бы внизу).
Несколько веков назад Ньютон и сам отливал и шлифо-
вал зеркало для изобретенного им отражательного теле-
скопа, и сам же формулировал гравитационные уравне-
ния, описывающие движение наблюдаемых в телескоп не-
бесных тел. Теперь, как правило, теорией занимаются од-
ни, а практическими приложениями — другие, между
теорией и приложениями (так сказать, по вертикали) не-
сколько промежуточных этажей, и на каждом этаже своя
группа исследователей, общающаяся только с соседями
непосредственно сверху и непосредственно снизу (соглас-
но Ф. Дюрренматту, «обер-бухгалтеры общаются только
с вице-обер-бухгалтерами»). Колмогоров проходит эту
лестницу сам, без помощи промежуточных лиц, а точ-
нее — соединяя промежуточные лица в своем собствен-
ном. Теоретические работы по аксиоматическому опреде-
лению. понятия вероятности естественно перетекают в
занятия теорией стрельбы и статистическим контролем
качества продукции. Исследования по теоретической
*) Эта оценка принадлежит редакпиопппВ коллегии журнала
«Успехи математических наук» (198!).— 1, 44, выл. 1,— С. 243).
В. А. УСПЕНСКИЙ. НАШ ВЕЛИКИЙ СОВРЕМЕННИК 17
гидромеханике непосредственно свяеаны с участием в мор-
ских экспедициях на кораблях для изучения океаниче-
ских течений; здесь Колмогорову принадлежит открытие
слоистой структуры океана (так называемых «блинов»),
а сам Колмогоров гордился наличием у него специального
мореплавательского удостоверения — так называемой мат-
росской книжки. В монографии П. С. Александрова
«Комбинаторная топология» [12] имя Колмогорова встре-
чается дважды: на с. 483 ,он выступает в качестве автора
одной из формулировок закона двойственности, а на
с. 22 —• в качестве исполнителя многих чертежей.
Колмогоров являл собою редкое сочетание математика
и естествоиспытателя, теоретика и практика. Он автор ря-
да блестящих сочинений по методологии и истории нау-
ки; среди них — известная статья «Математика» во вто-
ром издании Большой советской энциклопедии. И вместе
с тем — абсолютное владение численными методами, не
только умение, но и стремление в нужных случаях дове-
сти решение «до числа».
Колмогоров имел высокие понятия об этике ученого
и претворял их. в жизнь. Здесь ему присущи следующие
черты:
1. Научная честность и объективность почти невероят-
ные, почти не имеющие себе в наше время равных — и
это на фоне необычайной эмоциональности, даже страст-
ности в своих личных ученых занятиях. Готовность со-
действовать исследованиям, не только лично ему не близ-
ким, но даже иногда прямо не симпатичным.
2. Скромность — прежде всего в приоритетных вопро-
сах. Всегда на минимуме оценка собственного вклада и на
максимуме — вклада конкурента. (Но н тут он был объ-
ективен, и на моей памяти лишь раз признал, что его
обогнали, что другой исследователь понял проблему глуб-
же, чем он, и потому он, Колмогоров, занятия этой проб-
лемой прекратил. Речь шла об открытых отображениях,
повышающих размерность, а исследователем, выказавшим
более глубокое понимание, была Л. В. Келдыш.)
3. Готовность к помощи. Отзывчивость. Забота об уче-
никах. Сколько статей переписаны им в той или иной сте-
пени или подсказаны им в степени весьма высокой! По
современным нормам Колмогоров должен был бы чис-
литься соавтором многих статей своих учеников; однако
он, как правило, воздерживался от включения себя в чис-
ло формальных авторов,
2 А. Н, Колмогоров
18
В. А. УСПЕНСКИЙ, НАШ ВЕЛИКИЙ СОВРЕМЕННИК
4. Чувство личной, не перекладываемой ни на кого
ответственности за развитие науки. Отсюда — неутомимая
организаторская деятельность: создание журналов, отде-
лов, кафедр и лабораторий (напомним для примера, что
Институт физики атмосферы АН СССР вырос из неболь-
шой лаборатории, созданной в 1946 г. по инициативе Кол-
могорова в недрах существовавшего тогда Института тео-
ретической геофизики АН СССР). Отсюда же — донкихот-
ская попытка борьбы с учением Т. Д. Лысенко в 1940 г.
[13]. Отсюда же — неутомимая просветительская дея-
тельность: создание знаменитого 18-го интерната при
Московском университете для одаренных в физике и ма-
тематике иногородних школьников, написание и редакти-
рование программ и учебников, создание новых учебных
дисциплин, активное участие в издании Большой Совет-
ской Энциклопедии и физико-математического журнала
для юношества «Квант», многочисленные лекции и
доклады.
Кстати, о докладах и лекциях. Бытовало мнение, что
выступления Колмогорова для школьников с интересом
в пониманием слушают аспиранты (но не школьники),
для аспирантов — доктора наук, доклады же для докто-
ров наук не понимает никто, кроме докладчика. В атом
мнении много верного. Но этот недостаток устных вы-
ступлений Колмогорова являлся, как это часто бывает,
продолжением его же достоинств — в данном случае не-
изменно уважительного отношения к собеседнику и слу-
шателю. В этом важная этическая черта Колмогорова
уже не как ученого, а просто как человека. Кто-то ска-
зал, что подлинно образованный (читай — интеллигент-
ный) человек — это тот, кто с необразованными разгова-
ривает как с образованными. Колмогоров всегда Видел в
собеседнике и слушателе равного себе по интеллекту
(что, понятно, редко соответствовало реальности)'. Как
было замечено, «Колмогоров считал, что мир населен
Колмогоровыми».
По этой же причине индивидуальное общение с Кол-
могоровым — ученика с учителем, аспиранта с руководи-
телем — нередко также бывало затруднительным. Затруд-
нительность усугублялась чувством неловкости аспиранта
по поводу того, что его великий руководитель решаемую
им, аспирантом, частную задачу понимал не только глуб-
же аспиранта (что естественно), но и много детальнее —
и даже лучше помнил, на чем прервалась беседа в прош-
В. А. УСПЕНСКИЙ. НАШ ВЕЛИКИЙ СОВРЕМЕННИК 19
лый раз. При этом случалось, что Колмогоров беседовал
более или менее одновременно с аспирантом по логике и
с аспирантом по гидромеханике.
Сказанное не помешало Колмогорову создать одну из
крупнейших в стране научных школ. Среди его учени-
ков — двенадцать членов Академии наук СССР: девять
действительных членов (из коих почти все имеют разные
специальности) и три члена-корреспондента. Это академи-
ки В. И. Арнольд (дифференциальные уравнения),
А. А. Боровков (теория вероятностей, математическая
статистика), И. М. Гельфанд (функциональный анализ),
А. И. Мальцев (алгебра, математическая логика),
М. Д. Миллионщиков (механика, прикладная физика),
В. С. Михалевич (кибернетика, информатика), С. М. Ни-
кольский (теория функций), А. М. Обухов (физика атмо-
сферы), Ю. В. Прохоров».(теория вероятностей) и члены-
корреспонденты Л. Н. Большей (математическая стати-
стика), А. С. Монин (океанология), Б. А. Севастьянов
(теория вероятностей, математическая статистика). Нема-
ло учеников Колмогорова отмечены избранием в академии
и научные общества других стран. (Сам Колмогоров был
членом практически всех наиболее авторитетных научных
сообществ мира.)
Колмогоров — не только великий математик, он Вели-
кий Ученый в самом широком, с оттенком космичности,
смысле этого слова. Более того, Колмогоров — уникальное
явление русской культуры, наше национальное до-
стояние.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Гоголь Н. В. Несколько слов о Пушкине Ц Гоголь Н. В.
Полное собрание сочинений.— Изд-во АН СССР, 1952.— Т, 8.
Статьи.— С. 50—55.
[2] Янин В. Л. Колмогоров как историк Ц Успехи мат. наук-
1988.— Т. 43, вып. 6.-С. 189-195.
[3] Кузнецов П. С. Из автобиографических записок Ц Успе-
хи мат. наук 1988.—Т. 43, вып. 6.—С. 197—208.
[4] Van Heijenoort J. From Frege to Godel. A Source Book
in Mathematical Logic, 1879—1931.— Cambridge, Mass.: Harvard
Univ. Press, 1967.— XII 4- 660 pp.
[5] Kolmogorov A. N. On the principle of excluded middle Ц
[4], _рл 414—437 (перевод с русского на английский
_ статьи [6]).
[6] Колмогоров А. Н. О принципе tertium non datur Ц Ма-
t тематич. сборник.— 1925.— Т. 32, № 4, С, 646—667, (Перепеча-
тано в [14].— С. 45-69.)
2*
20 В. А УСПЕНСКИЙ НАШ ВЕЛИКИЙ СОВРЕМЕННИК
[7] Abraham IL, Marsden J. В. Foundations of Mecha-
nics.— 2nd ed.— Reading, Mass.: The Beniamin/Cummings PubL
Co., 1978.— XII + m XVI + 806 pp.
[8] Колмогоров A. II. Общая теория динамических систем
и классическая механика / Proc. Internet Congress Math.,
1954, vol 1, p. 315—333. (Также в кн.: Труды Международ-
ного математического конгресса, Амстердам, 1954 г.: Обзорные
доклады.—М.: Изд-во АН СССР, 1961.—С. 187—208, Перепе-
чатано в [14].—С. 316—332.)
[9] Kolmogorov A.N. The General Theory of Dynamical Sys-
tems and Classical Mechanics / [6], p. 741—757 (перевод с рус-
ского на английский статьи [8]).
[10] Яг л ом А. М. Турбулентность / [14].— С, 421—433.
[UjKolmogoroff A. Une sdrie de Fourier — Lebesgue diver-
gent presque partout / Fund, math., 1923, t 4, p. 324—328.
(Русский перевод: Ряд Фурье — Лебега, расходящийся почти
всюду / [14]— С. 8—11.)
[12] Александров П, С, Комбинаторная топология,—М,—Л.:
ОГИЗ, 1947.
[13] Колмогоров А. Н. Об одном новом подтверждении зако-
нов Менделя / Доклады АН СССР.—1940.— Т, 27, № 1,—
С. 38—42. (Перепечатано в [15].— С. 209—214.)
[14] Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и ме-
ханика.—М.: Наука, 1985 — 470 с.
[15] Колмогоров А. Н. Теория вероятностей н математиче-
ская статистика.— М.: Наука, 1986.—534 с.
[16] Колмогоров А. Н. Теория информации и теория алгорит-
мов,— М.: Наука, 1987,— 304 с.
АВТОБИОГРАФИЯ
АНДРЕЯ НИКОЛАЕВИЧА КОЛМОГОРОВА
Публикуемый ниже текст написав в 1954 г. рукой А. Н. Кол*
могорова на четырехстраничном бланке с типографским ваголов-
ком «Автобиография». Нижняя половина строки с датой отреаана
(лист не помещался в папку). При перепечатке сохранена орфо-
графия и пунктуация оригинала, в частности, распределение про-
писных и строчных букв, отсутствие дефисов в словах «вицепре-
зидент» н «академик секретарь». Творительный падеж от «Хин-
чин» — «Хивчином», и Андрей Николаевич на етом настаивал
в личных беседах.
Колмогоров Андрей Николаевич родился в 1903 году
в г. Тамбове. После смерти матери Марии Яковлевны
Колмогоровой (1903) воспитывался и был усыновлен ее
сестрой Верой Яковлевной Колмогоровой. Отец мой
Катаев Николай Матвеевич до революции был агрономом,
затем чиновником в департаменте земледелия, после ре-
волюции — сотрудником Народного Комиссариата аемле-
делия. Умер в 1919 г. В моем воспитании участия не при-
нимал. Раннее детство я провел в родовом имении родите-
лей моей матери в Ярославской губернии. С 1910 года
моя приемная мать В. Я. Колмогорова переселилась со
мной в Москву, проживая на проценты с капитала, полу-
ченного по наследству. После революции моя приемная
мать работала заведующей клубом, библиотекарем, дело-
производителем. С 1929 года жила на моем иждивении
до своей смерти в 1950 году.
Я учился в Москве в частной гимназии Е. А. Реп-
мап — после революции преобразованной в 23 школу вто-
рой ступени. Первую половину 1920 года работал на же-
лезной дороге Москва — Свердловск. Осенью 1920 года
поступил в Московский Гос. Университет на физико-
математический факультет. С 1922 года парал-
лельно с занятиями в университете преподавал матема-
тику в средней школе. В 1922 году под руководством
В. В. Степанова и Н. Н. Лузина начал самостоятельные
научные исследования, К окончанию университета имел
22
АВТОБИОГРАФИЯ А. Н, КОЛМОГОРОВА
Писать разборчиво, аккуратно,собственноручно
и только чернилам*.
АВТОБИОГРАФИЯ
но, обязательно оси*
«, фамилия, имя. отче-
JU родителей, их ив-
ятелей до революции
или в ВЛКСМ, с кд.
ранее в КПСС млн в
ое время, причины вы-
ла ли ранее партвзы-
1, если взыскание сня-
шественную или пар.
в качестве кого).
ie заведения окончили,
кой Армии, участзова*
в качестве кого
в окружении, находи-
/пярованной немецко*
ркторин, когда, где и
аших ближайших род*
5ратья, сестры, дети,
родственниках жены
удебиой ответственно*
решение суда). Если
>конч«тельное решение
е сведения о блнжай*
(муж), братья, сестры,
вл жены (мужа). Кто
избирательные прав,
[едсгвнем, когда, где,
:ны, на какой срок м
ков за границей (где,
ЛИ С нккн связь.
около пятнадцати печатных научных работ по теории
функций действительного переменного.
Окончив в 1925 году университет, был оставлен в ас-
пирантуре. Продолжая под руководством Н. Н. Лузина
заниматься теорией функций действительного переменно-*
АВТОБИОГРАФИЯ А. Н. КОЛМОГОРОВА 23
го, начал совместно с А. Я. Хинчином работать в области
теории вероятностей, сделавшейся моей основной узкой
специальностью.
По окончании аспирантуры сделался научным сотруд-
ником НИИ математики и механики МГУ. По совмести-
тельству в 1929—31 годах заведовал кафедрой математи-
ки в Педагогическом Институте им. Либкнехта. В 1930—
31 годах был в девятимесячной заграничной командиров-
ке в Германии и Франции.
С 1931 года состою профессором Московского Гос.
Университета, где заведую кафедрой теории вероятно-
стей. С 1933 по 1939 и с 1950 по 1953 был директо-
ром научного института математики и механики (позд-
нее — математики, а затем вновь механики и матема-
тики) при МГУ. В настоящее время исполняю во вне-
штатном порядке обязанности заведующего математиче-
ским отделением механико-математического факульте-
та МГУ.
В 1939 году избран действительным членом АН СССР.
'С этого времени работаю в Математическом Институте
АН СССР, где заведую отделом теории вероятностей.
В 1939—42 году работал членом Президиума АН СССР
и академиком секретарем ее физико-математического от-
деления. Позднее выполнял многие другие поручения АН
СССР. В 1948—53 годах три раза ездил за границу на
съезды математиков Венгрии и Польши.
Основную общественную работу веду по Московскому
Математическому Обществу, где состою вицепрезидентом,
руковожу обзорной секцией и редактирую один из жур-
налов, издаваемых обществом (Успехи математических
Наук).
<...>
13 августа 1954 года Подпись: А. Колмогоров
Раадей первый
РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
МАТЕМАТИКА*)
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ,
СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ И ТЕХНИКОЙ
Математика (грея. (ихОцрапха, от p.a0T]|ia — значе-
ние, наука) — наука о количественных отношениях и про-
странственных формах действительного мира.
«Чистая математика имеет своим объектом простран-
ственные формы и количественные отношения действи-
тельного мира, стало быть — весьма реальный материал.
Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно
абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его
происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в со-
стоянии исследовать йти формы и отношения в чистом ви-
де, необходимо совершенно отделить их от их содержа-
ния, оставить это последнее в стороне как нечто безраз-
личное» (Энгельс Ф. Анти-Дюринг/Маркс К., Эн-
гельс Ф. Соч.— 2-е изд.— Т. 20.— С. 37.) Абстрактность
математики, однако, не означает ее отрыва от материаль-
ной действительности. В неразрывной связи с запросами
техники и естествознания запас количественных отноше-
ний и пространственных форм, изучаемых математикой,
непрерывно расширяется, так что данное выше общее
определение математики наполняется все более богатым
содержанием.
Математика и другие науки. Приложения математики
весьма разнообразны. Принципиально область применения
математического метода не ограничена: все виды движе-
ния материи могут изучаться математически. Однако роль
и значение математического метода в различных случаях
различны. Никакая определенная математическая схема
не исчерпывает всей конкретности действительных явле-
ний; поэтому процесс познания конкретного протекает
*) Опубликовано во втором издании Большой Советской Энцик-
лопедии (БС§-2).- 1954.—Т, 26.-С, 464-483.
МАТЕМАТИКА
25
всегда в борьбе двух тенденций: с одной стороик, выде-
ления формы изучаемых явлений и логического анализа
этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не
укладывающихся в установленные формы, и перехода к
рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охва-
тывающих явления. Если все трудности изучения какого-
либо круга явлений состоят в осуществлении второй тен-
денции, если каждый новый шаг исследования связан с
привлечением к рассмотрению качественно новых сторон
явлений, то математический метод отступает на задний
план; в этом случае диалектический анализ всей кон-
кретности явления может быть лишь затемнен математи-
ческой схематизацией. Если, наоборот, сравнительно про-
стые и устойчивые основные формы изучаемых явлений
охватывают эти явления с большой точностью и полно-
той, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм
возникают достаточно трудные и сложные проблемы, тре-
бующие специального математического исследования,
в частности, создания специальной символической записи
И специального алгоритма для своего решения, то мы по-
падаем в сферу господства математического метода.
Типичным примером полного господства математиче-
ского метода является, в частности, учение о движении
планет. Имеющий очень простое математическое выраже-
ние закон всемирного тяготения почти полностью опре-
деляет собой изучаемый здесь круг явлений. За исклю-
чением теорий движения Луны, законно, в пределах до-
ступной нам точности. наблюдений, пренебрежение
формой и размерами небесных тел — замена их «матери-
альными точками». Но решение возникающей здесь за-
дачи движения п материальных точек под действием сил
тяготения уже в случае п в 3 представляет колоссальные
трудности. Зато каждый результат, полученный при по-
мощи математического анализа принятой схемы явления,
с огромной точностью осуществляется в действительно-
сти: логически очень простая схема хорошо отражает
избранный круг явлений, и все трудности заключаются в
извлечении математических следствий из принятой
схемы.
С переходом от механики к физике еще не происходит
заметного уменьшения роли математического метода, од-
нако значительно возрастают трудности его применения.
Почти не существует области физики, не требующей
употребления весьма развитого математического аппара-
26
РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
та, но часто основная трудность исследования заключает-
ся не в развитии математической обработки, а в истолко-
вании ревультатов, полученных математическим путем.
В этом смысле современная квантовая физика, несмотря
на употребление глубокого и своеобразного математиче-
ского аппарата, в меньшей степени может рассматривать-
ся как сфера господства математического метода, чем не*
которые отделы классической физики (классическая
термодинамика, теория электричества и т. п.)«
На примере ряда физических теорий можно наблю-
дать способность математического метода охватывать и
самый процесс перехода познания действительности с од-
ной ступени на следующую, более высокую и качествен-
но новую.
Классическим образцом может служить соотношение между
макроскопической теорией диффузии, предполагающей диффунди*
рующее вещество распределенным непрерывно, и статистической
теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движения отдель-
ных частиц диффундирующего вещества. В первой теории плот-
ность диффундирующего вещества удовлетворяет определенному
уравнению с частными производными. К нахождению решений
этого дифференциальнрго уравнения при надлежащих краевых и
начальных условиях и сводится изучение различных проблем,
относящихся к диффузии. Непрерывная теория диффузии с очень
большой точностью передает действительный ход явлений, по-
скольку дело идет об обычных для нас (макроскопических) про-
странственных и временных масштабах. Однако для малых частей
пространства (вмещающих лишь небольшое число частиц диффун-
дирующего вещества) само приятие плотности теряет определен-
ный смысл. Статистическая теория диффузии исходит из рассмот-
рения микроскопических случайных перемещений диффундирую-
щих частиц под действием толчков молекул растворяющего веще-
ства. Точные количественные закономерности этих микроскопиче-
ских перемещений нам неизвестны. Однако математическая тео-
рия вероятностей позволяет (из общих предпосылок о малости
перемещений за малые промежутки времени и независимости пе-
ремещений частицы за два последовательных промежутка време-
ни) получить определенные качественные следствия: определить
(приближенно) законы распределения вероятностей для переме-
щения частиц за большие (макроскопические) промежутки вре-
мени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещест-
ва очень велико, то законы распределения вероятностей для пере-
мещений отдельных частиц приводят, в предположении независи-
мости перемещений каждой частицы от других, к вполне опреде-
ленным, уже не случайным закономерностям для перемещения
диффундирующего веществу в целом: к тем самым дифферен-
циальным уравнениям, на которых построена непрерывная теория.
Приведенный пример достаточно типичен в том смысле, что очень
часто на почве одного круга закономерностей (в примере — зако-
нов движения отдельных частиц диффундирующего вещества)
происходит образовадие другого, качественно нового рода эако-
МЛТВМАТИКА
27
номерностей (в примере — дифференциальных уравнений непре-
рывной теории диффузии) через посредство статистики случайных
явлений.
В биологических науках математический метод игра-
ет более подчиненную роль. Если и удается описать те-
чение биологических явлений математическими формула-
ми, то область пригодности этих формул остается весьма
ограниченной, а соответствие их реальному ходу явлений
грубо приближенным. Объясняется это не принципиаль-
ной невозможностью математического изучения биологи-
ческих явлений, а их большим качественным разно-
образием.
В еще большей степени, чем в биологии, математиче-
ский метод уступает свое место непосредственному ана-
лизу явлений во всей их конкретной сложности в соци-
альных науках. Здесь особенно велика опасность, абстра-
гировав форму течения явлений, пренебречь накоплением
качественно новых моментов, дающих всему процессу
существенно иное направление. Существенным остается
значение математики для социальных дисциплин (как и
для биологических наук) в форме подсобной науки —
математической статистики. В окончательном же анализе
социальных явлений моменты качественного своеобразия
каждого исторического этапа приобретают столь домини-
рующее положение, что математический метод отступает
на задний план.
Математика и техника. Начала арифметики и элемен-
тарной геометрии возникли из непосредственных запро-
сов практики; дальнейшее формирование новых матема-
тических методов и идей происходит под влиянием опи-
рающегося в своем развитии на те же запросы практики
математического естествознания (астрономии, механики,
физики и т. д.). Прямые же связи математики с техникой
чаще имеют характер применения уже созданных мате-
матических теорий к техническим проблемам. Укажем,
однако, примеры возникновения новых общих математи-
ческих теорий на основе непосредственных запросов тех-
ники. Создание метода наименьших квадратов связано
с геодезическими работами; изучение многих новых типов
уравнений с частными производными впервые начинается
с решения технических проблем; операторные методы ре-
шения дифференциальных уравнений развиваются на
почве электротехники и т. д. В новейшее время из запро-
сов электротехники возник новый раздел теории вероят-
28 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
ностей — теория передачи информации. Задачи синтеза
регулирующих и счетно-решающих устройств привели к
развитию новых разделов алгебры. По преимуществу под
непосредственным воздействием технических нужд воз-
никли начертательная геометрия и номография. Наряду
с нуждами астрономии решающую роль в развитии ме-
тодов приближенного решения дифференциальных урав-
нений играли технические задачи. 'Целиком на техниче-
ской почве были созданы многие методы приближенного
решения дифференциальных уравнений с частными про-
изводными и интегральных уравнений. Задача быстрого
фактического получения численных решений приобрета-
ет большую остроту с усложнением технических проблем.
Все бблыпие требования к вычислительной технике предъ-
являют, впрочем, и теоретические научные исследования,
даже в таких молодых областях естествознания, как,
например, геофизика. Поэтому все большее значение при-
обретает механизация численного решения математиче-
ских проблем. Техника сама приходит теперь на помощь
математике; вслед за простейшими счетными машинами,
планиметрами и интеграфами появляются гармонические
анализаторы, интегрирующие машины для решения диф-
ференциальных уравнений, машины для решения систем
линейных уравнений и другие машины для решения
разнообразных математических задач. Каждая из таких
машин предназначена для решения отдельного строго
определенного класса задач, и создание новых машин для
решения новых типов задач возможно лишь в результате
сознательной работы ученого. Машинная вычислительная
техника является мощным вспомогательным средством
научного исследования.
II. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ДО 19 ВЕКА
Ясное понимание самостоятельного положения мате-
матики как особой науки, имеющей собственный предмет
и метод, стало возможным только после накопления до-
статочно большого фактического материала и возникло
впервые в Древней Греции в 6—5 вв. до н. в. Развитие
математики до этого времени естественно отнести к пе-
риоду зарождения математики, а к 6—5 вв.
до н.э. приурочить начало периода элементарной
математики. В течение этих двух первых периодов
математического исследования имеют дело почти исклю-
МАТЕМАТИКА
20
чительно с весьма ограниченным запасом основных по-
нятий, возникших еще на очень ранних ступенях истори-
ческого развития в связи с самыми простыми запросами
хозяйственной жизни, сводившимися. к счету предметов,
измерению количества продуктов, площадей земельных
участков, определению размеров отдельных частей архи-
тектурных сооружений, измерению времени, коммерческим
расчетам и т. п. Первые шаги механики и физики (за
исключением отдельных исследований греческого ученого
Архимеда (3 в. до н. э.), требовавших уже начатков ис-
числения бесконечно малых) могли еще удовлетвориться
этим же запасом основных математических понятий.
Единственной наукой, которая задолго до широкого раз-
вития математического изучения явлений природы в 17—
18 вв. систематически предъявляла математике свои осо-
бые и очень большие требования, была астрономия, це-
ликом обусловившая, например, раннее развитие триго-
нометрии. Запас понятий, с которым имела дело матема-
тика до начала 17 в., составляет и до настоящего времени
основу «элементарной математики», преподаваемой в
начальной и средней школе.
В 17 в. новые запросы естествознания и техники за-
ставляют математиков сосредоточить свое внимание на
создании методов, позволяющих математически изучать
движение, процессы изменения величин, преобразования
геометрических фигур (при проектировании и т. п.).
С употреблением переменных величин в аналитической
геометрии французского ученого Р. Декарта и создания
дифференциального и интегрального исчисления начи-
нается период математики переменных ве-
личин, который можно условно назвать также периодом
«высшей математики». Естественно, впрочем, что ни в
этот, ни в следующий период не прекращалось и даль-
нейшее развитие элементарной математики.
Дальнейшее расширение круга количественных отно-
шений и пространственных форм, изучаемых математи-
кой, привело в начале 19 в. к необходимости отнестись
к процессу расширения предмета математических иссле-
дований сознательно, поставив перед собой задачу систе-
матического изучения с достаточно общей точки зрения
возможных типов количественных отношений и про-
странственных форм. Создание русским математиком
Н. И. Лобачевским его «воображаемой геометрии», полу-
чившей впоследствии вполне реальные применения, были
30 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
первым значительным шагом в этом направлении. Разви-
тие подобного рода исследований внесло в строение ма-
тематики столь важные новые черты, что математику в
19 и 20 вв. естественно отнести к особому периоду
современной математики.
1. Зарождение математики
Счет предметов на самых ранних ступенях развития
культуры привел к созданию простейших понятий ариф-
метики натуральных чисел. Только на основе разработан-
ной системы устного счисления возникают письменные
системы счисления и постепенно вырабатываются приемы
выполнения над натуральными числами четырех ^арифме-
тических действий (из которых* только деление еще долго
представляло большие трудности). Потребности измере-
ния (количества верна, длины дороги и т. п.) приводят
к появлению названий и обозначений простейших дроб-
ных чисел и к разработке приемов выполнения арифмети-
ческих действий над дробями. Таким образом, накапли-
вается материал, складывающийся постепенно в древней-
шую математическую науку — арифметику. Измерение
площадей и объемов, потребности строительной техники,
а несколько позднее —* астрономии, вызывают развитие
начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов
в значительной мере независимо и параллельно. Особен-
ное значение для дальнейшего развития науки имело
накопление арифметических и геометрических знаний в
Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой
техники арифметических вычислений появились также
начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии — на-
чатки тригонометрии.
Египет. Сохранившиеся математические тексты Древнего Егип-
та состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных
задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, которые иног-
да удается понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в
текстах. Следует говорить именно о рецептах для решения отдель-
ных типов задач, так как математической теории в смысле дока-
зательств общих теорем, видимо, вовсе не существовало. Об этом
свидетельствует, например, то, что точные решения употреблялись
без всякого отличия от приближенных. Тем не менее, самый запас
установленных математических фактов был, в соответствии с высо-
кой строительной техникой, сложностью земельных отношений, по-
требностью в точном календаре и т, п., довольно велик. По папи-
русам 1-й половины 2-го тысячелетия до н. э. состояние египет-
ской математики того времени может быть охарактеризовано в
МАТЕМАТИКА
31
следующих чертах. Преодолев все трудности действий с целыми
числами на основе системы счисления, понятной из примера
П^пл///-да
египтяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат дей-
ствий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таб-
лиц. Систематически решались задачи на нахождение неизвестных
чисел, которые были бы теперь записаны в виде уравнений о од-
ним неизвестным. Геометрия сводилась к правилам вычисления
площадей и объемов. Правильно вычислялись площади треуголь-
ника и трапеции, объемы параллелепипеда и пирамиды с квадрат-
ным основанием. Наивысшим известным нам достижением египтян
в этом направлении явилось открытие способа вычисления объема
усеченной пирамиды с квадратным основанием, соответствующего
формуле
v = (а2 + аЬ -|-Ьа).
Правила вычисления площади круга и объемов цилиндра и конуса
соответствуют иногда грубо приближенному значению л = 3, иног-
(16 V
—-I =3,16...
У /
Вавилония. Математических текстов, позволяющих судить
о математике в Вавилонии, несравненно больше, чем египетских.
Вавилонские клинописные математические тексты охватывают
период от 2-го тысячелетия до н. э. (эпоха династии Хаммурапи и
касситов) до возникновепия и развития греческой математики.
Однако уже первые из этих текстов относятся к периоду расцвета
вавилонской математики; дальнейшие тексты, несмотря на нали-
чие некоторых новых моментов, свидетельствуют в целом скорее
о ее застое. Вавилония времен династии Хаммурапи получила еще
от шумерского периода развитую смешанную десятично-шестиде-
сятиричпую систему нумерации, заключавшую уже в себе пози-
ционный прицип (одни и те же знаки обозначают одно и то же
число единиц разных шестидесятиричных разрядов). Например:
?? -W+25 -ЯМ'
Аналогично обозначались и шестидесятиричные дроби. Это
позволяло совершать действия с целыми числами и с шестидеся-
тиричными дробями по единообразным правилам. Деление при по-
мощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению. В более
поздних текстах вычисление обратных чисел доводится до вось-
мого шестидесятиричного знака. Кроме таблиц обратных чисел,
имеются таблицы произведений, квадратов, квадратных и кубич-
ных корней. Большое количество хозяйственных записей доказы-
вает широкое употребление всех этих средств в сложной хозяй-
ственной дворцовой и храмовой деятельности. Широкое развитие
получили также расчеты процентов по долгам. Имеется также ряд
текстов времен династии Хаммурапи, посвященных решению за-
дач, которые с современной точки зрения сводятся к уравнениям
первой, второй и даже третьей степени. Существует предположен
82
РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
ние, что такие более отвлеченные научные интересы, не ограни*
чивавшиеся непосредственно необходимой в практике рецептурой,
а приводившие к созданию общих алгебраических методов реше-
ния задач, возникли в «школах писцова, где ученики готовились
к счетнохозяйственной деятельности. Тексты такого рода позднее
исчезают. Зато дальше развивается техника вычислений о много-
значными числами в связи с развитием в I тысячелетии до н. э.
более точных методов в астрономии. На почве астрономии возни-
кают первые обширные таблицы эмпирически найденных зависи-
мостей, в которых можно видеть прообраз идеи функции. Вавилон-
ская клинописная математическая традиция продолжается в Ас-
сирии, персидском государстве и даже в эллинистическую эпоху
вплоть до 1 в. до н. э. Из достижений вавилонской М. в области
геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует
отметить разработанное измерение углов и некоторые зачатки
тригометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии. Вави-
лонянам была уже известна теорема Пифагора,
2, Период элементарной математики
Только после накопления большого конкретного ма-
териала в виде разрозненных приемов арифметических
вычислений, способов определения площадей и объемов
и т. п. возникает математика как самостоятельная наука
о ясным пониманием своеобразия ее метода и необходи-
мости систематического развития ее основных понятий
и предложений в достаточно общей форме. В применении
к арифметике и алгебре возможно, что этот процесс на-
чался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось это
новое течение, заключавшееся в систематическом и логи-
чески последовательном построении основ математиче-
ской науки, в Древней Греции. Созданная древними гре-
ками система изложения элементарной геометрии на два
тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного
построения математической теории. Из арифметики по-
степенно вырастает теория чисел. Создается систематиче-
ское учение о величинах и измерении. Процесс формиро-
вания (в связи с задачей измерения величин) понятия
действительного числа оказывается, как будет видно из
дальнейшего, весьма длительным. Дело в том, что поня-
тия иррационального и отрицательного числа относится
к тем более сложным математическим абстракциям, кото-
рые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или
геометрической фигуры, не имеют достаточно прочной
опоры в донаучном общечеловеческом опыте. Даже в на-
ше время, когда их реальное содержание и практическая
польза общепризнаны, эти математические понятия вое-
МАТЕМАТИКА
33
принимаются начинающими не без труда и обычно только
в результате систематического школьного обучения. Есте-
ственно, что их формирование потребовало от человече-
ства больших усилий.
Создание алгебры как буквенного исчисления завер-
шается лишь в конце рассматриваемого двухтысячелет-
него периода. Специальные обозначения для неизвестных
появляются у греческого математика Диофанта (вероят-
но, 3 в.) и более систематически — в Индии в 7 в., но
обозначение буквами коэффициентов уравнения введено
только в 16 в. французским математиком Ф. Виетом.
Развитие геодезии и астрономии рано приводит к де-
тальной разработке тригонометрии как плоской, так и
сферической.
Период элементарной математики заканчивается (в За-
падной Европе в начале 17 в.), когда центр тяжести ма-
тематических интересов переносится в область математи-
ки переменных величин. Естественно, что этот переход
был подготовлен предшествующим развитием математики.
Еще в математике Древнего мира на материале изучения
тригонометрических функций и при составлении их таб-
лиц формируются представления о функциональной зави-
симости. Но, например, представление об угловом аргу-
менте, изменяющемся от 0 до + «>, и тригонометрических
функциях от такого аргумента возникает только в 16 в.
(у Виета). Греческие математики (особенно Архимед)
подходят к идеям анализа бесконечно малых, но это те-
чение не получает развития; интерес к нему после неяс-
ных попыток английского математика Т. Брадвардина
(14 в.) и итальянского математика Николая Кузанского
(15 в.) возобновляется лишь в конце 16 в. (фламандский
ученый С. Стевин). Таким образом, весь период до 17 в.
остается в основном периодом элементарной математики.
Начало рассматриваемого периода развития матема-
тики (греческая, эллинистическая и римская математика)
относится к эпохе рабовладельческого общества, вторая
же половина — к эпохе феодального (в Китае, Индии,
Средней Азии, на Ближнем Востоке и в Западной Евро-
пе). После бурного расцвета греческая и эллинистиче-
ская математика, все более отрываясь от практики в ус-
ловиях господства рабовладельческих отношений и под-
чиняясь ограничительным тенденциям идеалистической
философии, приходит к окончательному упадку. В сред-
ние века в странах Востока с их большими гидротехниче-
3 Д. Н. Колмогород
34 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
скими сооружениями, развитием мировых торговых цент-
ров, возросшими потребностями в крупных геодезических
работах и более практическими тенденциями чиновничьей
бюрократии, тесно сращивающейся с купечеством, осо-
бенное развитие получает вычислительная сторона мате-
матики.
В конце рассматриваемого периода на темпы роста
западноевропейской математики оказывает влияние про-
цесс зарождения в недрах феодализма нового буржуаз-
ного общества. В эпоху Возрождения (15—16 вв.) быстро
возрастают запросы к математике со стороны инженеров,
строителей, художников, военных, мореплавателей и гео-
графов. Вместе с тем создание в университетах возмож-
ности более свободной научной критики и научной кон-
куренции стимулирует решение трудных, казавшихся ра-
нее неразрешимыми, задач и более смелое развитие
теории.
Древняя Греция. Развитие математики в Древней Греции при-
няло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отно-
шении вычислительной техники, искусства решения задач алгеб-
раического характера и разработки математических средств астро-
номии лишь в эллинистическую эпоху был достигнут и превзойден
уровень вавилонской математики, то уже гораздо раньше матема-
тика в Древпей Греции вступила в совершенно новый этап логиче-
ского развития. Появилась потребность в отчетливых математиче-
ских доказательствах, были сделаны первые попытки системати-
ческого построения математической теория. Математика, как и все
научное и художественное творчество, перестала быть безличной,
какой она была в странах Древнего Востока; она создается теперь
известными по именам математиками, оставившими после себя
математические сочинения (дошедшие до нас лишь в отрывках,
сохраненных поаднейшнми комментаторами). Это изменение харак-
тера математической науки объясняется более развитой общест-
венно-политической и культурной жизнью греческих государств,
приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора,
к привычке отстаивать свои утверждения в борьбе с противником.
Возникновение независимой от религии философской мысли при-
вело к потребности в рациональном объяснении явлений природы,
что поставило перед математикой новые задачи.
Греки считали себя в области арифметики учениками фцникяп,
объясняя высокое развитие арифметики у них потребностями их
обширной торговли; начало же греческой геометрии традиция
связывает с путешествиями в Египет первых греческих геомет-
ров и философов Фалеса Милетского (конец 7 в.—1-я половина
6 в. до н. э.) и Пифагора Самосского (6 в. до в. а.). В школе Пи-
фагора арифметика из простого искусства счислевия перерастает
в теорию чисел. Суммируются простейшие арифметические про-
грессии (в частности, 1+ 3 + 5 + ... + (2п — 1) == (п*), изучаются
делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, гео-
метрическое и гармоническое). Более изысканные допросы теории
МАТЕМАТИКА
85
чисел (например, разыскание так называемых совершенных чисел)
связываются в школе Пифагора с мясТичесКо-магИческим значе-
нием, приписываемым числовым соотношениям. В связи с геомет-
рической теоремой Пифагора был найден метод получения неогра-
ниченного ряда троек «пифагоровых чисел», т. е. троек чисел,
удовлетворяющих соотношению а2 + Ъ* ** Л В области геометрии
задачи, которыми занимались греческие геометры 6—5 вв. до и. э.
после усвоения египетского наследства, также естественно возни-
кают иа Простейших запросов строительного искусства, землеме-
рия и навигации. Таковы, Например, вопросы о соотношении меж-
ду дл&Ьами катетов и Гипотенузы прямоугольного треугольника
(выражаемом «теоремой Пифагора»), соотношения между площа-
дями подобных фигур, квадратуре круга, трисекции утла и удвое-
нйи куба. Новым, однако, Является подход к этим задачам, став-
ший необходимым с усложнением предмета исследования. Не
ограничиваясь приближенными, эмпирически найденными реше-
ниями, греческие йэомеТры ищут точных доказательств и логически
исчерпывающих решений проблемы. Ярким примером этой новой
тенденции может служить доказательство несоизмеримости диа-
гонали квадрата с его стороной*). Во 2-й половине 5 в. и. э. фило-
софская и научная жизнь Греции сосредоточивается в Афинах, ку-
да собираются ученые из различных концов греческого мира. Здесь
протекает основная Деятельность Гнппия Элитского и Гиппократа
хиосского. Испробовав элементарные средства решения задачи
о трисекции угла, Гиппий Элитский ок. 420 до н. э. решает эти
задачи при помощи построения специальной трансцендентной
кривой — квадратрисы, которую Диностат (4 в. до н. э.) затем
применяет к решению задачи о квадратуре круга. Первый система-
тический учебник геометрии приписывается Гиппократу Хиосскому
(2-я половина 5 в. до н. э.). К этому времени, несомненно, уже была
создана разработанная система геометрии, не пренебрегавшая та-
кими логическими тонкостями, как доказательство случаев равен-
ства треугольников и т. п. Отражением в математике первых,
хотя бы и чисто умозрительных, попыток рационального объясне-
ния строения материи явилось едва ли не самое замечательное
достижение геометрии 5 в. до н. э.— разыскание всех пяти пра-
вильных многогранников — результат поисков идеальных простей-
ших тел, могущих служить основными камнями мироздания.
На границе 5 и 4 вв. до н. э. знаменитый философ-материалист
Демокрит, исходя из атомистических представлений, создает спо-
соб определения объемов, послуживший позднее для Архимеда
исходным пунк*й>м разработки метода бесконечно малых. В 4 в.
до н. э. в обстановке политической реакции и упадка могущества
Афин наступает эпоха известного подчинения математики ограни-
чениям, выдвинутым идеалистической философией. Наука о числах
строго отделяется здесь от «искусства счисления», а геометрия —
от «искусства измерения». Опираясь на существование несоизме-
римых отрезков, площадей и объемов, Аристотель налагает общий
запрет на применение арифметики к геометрии. В самой геометрии
проводится строгое ограничение построениями, осуществимыми
при помощи циркуля и линейки; найденные в эту же эпоху реше-
♦) Это доказательство содержится в статье «Алгоритм Евкли-
да» настоящей книги,
3*
зб РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
вия так называемой делийской задачи об удвоении куба объяв-
ляются лежащими вне геометрии, так как они прибегают к более
сложным конструктивным средствам. Наиболее значительным
конкретным достижением математиков 4 в. до н. э. можно считать
связанные с тенденцией к логическому анализу основ геометрии
исследования Евдокса Книдского (1-я половина 4 в. до н. э.), раз-
работавшего теорию пропорций и давшего первое доказательство
об объеме пирамиды (известной в качестве эмпирического факта
египтянам с начала 2-го тысячелетия до н. э., см. выше). По пово-
ду этого доказательства им было сформулировано общее допуще-
ние (называемое часто аксиомой Архимеда), лежащее в основе
метода исчерпывания. В стороне от главного течения математики
4 в. до н. 9, следует отметить начало математической разработки
механики у Архита Та рент с кого (2-я половина 5 в.— 1-я половина
4 в. до н. э.) — полководца и автора однако из упоминающихся ре-
шений задачи об удвоении куоа.
Эллинистическая и римская эпоха. С 3 в. до н. э. на протя-
жении семи столетий .основным центром научных и особенно ма-
тематических исследований являлась Александрия. Здесь, в об-
становке объединения различных мировых культур, больших госу-
дарственных и строительных задач и невиданного ранее по своей
широте государственного покровительства науке, греческая мате-
матика достигла своего высшего расцвета. Несмотря на распро-
странение греческой образованности и научных интересов во всем
эллинистическом и римском мире, Александрия с ее «музеем»,
являвшимся первым научно исследовательским институтом в совре-
менном смысле слова, и библиотеками обладала столь большой
притягательной силой, что почти все крупнейшие ученые стекались
сюда. Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед ос-
тался верным родным Сиракузам. Наибольшей напряженностью
математического творчества отличается первый век Александрий-
ской эпохи (3 в. до н. э.). Этому веку принадлежат Эвклид, Архи-
мед, Эратосфен и Аполлоний Пергский. Сложные гидротехнические
сооружения (например, архимедов винт), требования военной тех-
ники (метательные машины Архимеда), запросы мореплавания
(исследования Архимеда о равновесии и устойчивости плавающих
тел) развитие геодезии и картографии (определение Эратосфеном
размеров земного шара), а также разработка точных астрономи-
ческих измерений и вычислений (Юлианское приближение к дли-
не года, равное 365 1/4 дней), наконец развитие механики и опти-
ки—все это поставило перед математикой множество новых за-
дач 3 в. до н. э. явился веком плодотворного соединения соот-
ветствующего этим требованиям стремительного развития мате-
матики вширь с глубиной теоретической мысли. В частности,
возникший из прикладных нужд интерес к приближенному изме-
рению величин и приближенным вычислениям не привел матема-
тиков 3 в. до н. э. к отказу от математической строгости. Все мно-
гочисленные приближенные извлечения корней и даже все астро-
номические вычисления производились ими с точным указанием
границ погрешности, по типу знаменитого архимедова определения
длины окружности в форме безукоризненно доказанных нера-
венств
3 -jj' d < р < 3 у б?,
МАТЕМАТИКА
87
где р — длина окружности с диаметром d. Это отчетливое пони-
мание того, что приближенная математика не есть «нестрогая»
математика, было позднее надолго забыто.
В своих «Началах» Эвклид собрал и подверг окончательной
логической переработке достижения предыдущего периода в обла-
сти геометрии. Вместе с тем в «Началах» же Эвклид впервые за-
ложил основы систематической теории чисел, доказывая бесконеч-
ность ряда простых чисел и строя законченную теорию делимости.
Наконец, «Начала» содержат во второй, шестой и десятой книгах
своеобразную геометрическую замену алгебры, позволившую в гео-
метрической форме не только решать квадратные уравнения, но и
производить сложные преобразования квадратичных иррациональ-
ных выражений. В стиле этой же «геометрической алгебры» Архи-
мед сформулировал свою теорему о сумме квадратов членов ариф-
метической прогрессии. Из геометрических работ Эвклида, не
вошедших в «Начала», и работ Аполлония Пергского наибольшее
значение для дальнейшего развития математики имело создание
законченной теории конических сечений. Основной заслугой Архи-
меда в геометрии явилось определение разнообразных площадей
и объемов (в том числе площадей параболического сегмента и по-
верхности шара, объемов шара, шарового сегмента, сегмента пара-
болоида и т д.) и центров тяжести (например, шарового сегмента
и сегмента параболоида); архимедова спираль является лишь
одним из примеров изучавшихся в 3 в. до н. в. трансцендентных
кривых. После Архимеда, хотя и продолжался рост объема науч-
ных знаний, александрийская наука уже не достигала прежней
цельности и глубины. В астрономии это выразилось в том, что не-
смотря на возросшую точность наблюдений и усовершенствование
математического аппарата, вполне усвоенные лучшими умами пред-
шествующих поколений идеи Аристарха Самосского (конец 4 в.—
1-я половина 3 в. до н. э.) о движении Земли вокруг Солнца и о рас-
стояниях до неподвижных звезд были отвергнуты. В математике
зачатки анализа бесконечно малых, содержавшиеся в эвристиче-
ских приемах Архимеда (сообщенных им в специальном сочине-
нии «О методе» с указанием на их нестрогость; в окончательном
изложении он считал нужным заменять их методы исчерпывания),
не получили дальнейшего развития.
Существенным недостатком всей математики древнего мира
было отсутствие окончательно сформированного понятия иррацио-
нального числа. Как уже было указано, это обстоятельство приве-
ло философию 4 в. до н. э. к полному отрицанию законности при-
менения арифметики к изучению геометрических величин. В дей-
ствительности, в теории пропорций и в методе исчерпывания
математикам 4 и 3 вв. до н. э. все же удалось косвенным образом
осуществить это применение арифметики к геометрии. Ближайшие
века принесли пе положительное разрешение проблемы путем
создания фундаментального нового понятия (иррационального чис-
ла), а постепенное ее забвение, ставшее возможным с постепенной
утратой представлений о математической строгости. На этом этапе
истории математики временный отказ от математической строго-
сти оказался, однако, полезным, открыв возможность беспрепят-
ственного развития алгебры, допускавшейся в рамках строгих
концепций эвклидовых «Начал» лишь в чрезвычайно стеснитель-
ной форме «геометрической алгебры» отрезков, площадей и
объемов.
38 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
Значительные успехи в этом направлении можно отметить в
«Метрике» Герона (вероятно, 1 в.), известного особенно своими
работами по геодезии, составившими основу грандиозной практи-
ческой деятельности римских геодезистов. Это замечательное со-
чинение, являющееся первым самостоятельным изложением прие-
мов вычислительной геометрии, содержит между прочим так на-
зываемую формулу Герона (известную, впрочем, еще Архимеду)
* = (Р-<*)(/> —*>)(/> —<0
для площади треугольника (под знаком корня произведение четы-
рех отрезков — выражение, геометрически бессмысленное). Однако
самостоятельное и широкое развитие настоящего алгебраического
исчисления встречается лишь в «Арифметике» Диофанта, посвя-
щенной в основном решению уравнений. Здесь формулируется
правило перенесения членов из одной части уравнения в Другую,
производится умножение обеих частей уравнения на одно и то же
выражение, даются общие приемы решения квадратных уравне-
ний, решаются также некоторые задачи, приводящие к уравне-
ниям третьей степени, и задачи на неопределенные уравнения с
несколькими неизвестными. Диофант ищет всегда положительные
решения; однако при умножении алгебраических выражений упо-
требляет правило для умножения «отнимаемых» чисел, предва-
ряющее позднейшие правила действий с отрицательными числами.
Относя свои исследования к чистой арифметике, Диофант, естест-
венно, ограничивается, в отличие от практика Герона, рациональ-
ными решениями, исключая тем самым возможность геометриче-
ских или механических* приложений своей алгебры. Тригономет-
рия воспринимается в древнем мире в большой мере как часть
астрономии, а не как часть математики. К ней так же, как и к вы-
числительной геометрии Герона, не предъявляется требований
полной строгости формулировок и доказательств. Гиппарх (2 в.
до н. э.) первый составил таблицы хорд, исполняющие роль наших
таблиц синусов. Начала сферической тригонометрии создаются
Менелаем (1 в.) и Клавдием Птолемеем (2 в.). Птолемею же при-
надлежит инициатива систематического употребления широт и
долгот для обозначения географических мест, что явилось, по-ви-
димому, первой формой употребления системы координат.
В области чистой математики деятельность ученых последних
веков древнего мира (кроме Диофанта) все более сосредотачивает-
ся на комментировании старых авторов. Впрочем. Паппу (вероятно,
конец 3 в.) среди обширных комментариев на «Начала» Эвклида
удалось установить теорему (позднее названную теоремой Гюль-
дена) об объеме произвольного тела вращения. Труды ученых-
комментаторов этого времени (Паппа, Прокла (5 в.) и др.), при
всей их универсальности, не могли уже в обстановке упадка антич-
ного мира привести к объединению изолированно развивавшихся
алгебры Диофанта, включенной в астрономию тригонометрии и
откровенно нестрогой вычислительной геометрии Герона, популяр-
ной у геодезистов, в единую, способную к большому развитию
науку.
Китай. С окончательным упадком культуры греко римского ми-
ра центр научного прогресса па долгое время переносится на Во-
сток. На дальнейшее развитие математики в Европе наибольшее
влияние оказали работы математиков Индии, Средней Азии и
Ближнего Востока. Однако хронологически во многих вопросах
МАТЕМАТИКА
39
первенство принадлежит математикам Китая. Уже «Арифметика
в девяти главах», составленная по более ранним источникам во
2—1 вв. до и. в. Чжан Цаном и Цзин Чоу-чаном, обнаруживает
наличие у китайских математиков высоко разработанной вычис-
лительной техники и интерес к общим алгебраическим методам.
В этом сочинении впервые описывается способ извлечения квад-
ратного и кубического корня из целых чисел, совпадающий в су-
щественном с современным школьным способом.
Большое число задач формулируется так, что их можно по-
нять только как примеры, служащие для разъяснения отчетливо
воспринятой схемы исключения неизвестных в системах линейных
уравнений. Например, система уравнений, которая в современной
записи имела бы вид:
[Зх + 2у + z = 39,
- 2х + Зу + z = 34,
х + 2у + 3z = 26,
вводится при помощи условий «три пачки зерна первого сорта вме-
сте с двумя пачками второго и одной третьего составляют 39 мер»
(и точно так же для второго и третьего уравнений). Система
записывается в виде таблицы
1 2 3 1-й сорт
2 3 2 2-й сорт
3 1 1 3-й сорт
26 34 39 меры
Числа второго столбца умножаются на «число первого сорта»
третьего столбца, т. е. па 3, и из них вычитаются дважды числа
третьего столбца. Затем числа третьего столбца вычитаются из
умноженных на 3 чисел первого столбца. В результате этих двух
операций получается таблица
4 5 2 -й сорт
8 1 3-й сорт
39 24 меры
Тем же способом, в котором без труда можно узнать способ исклю-
чения неизвестных при помощи «уравнения коэффициентов»,
решается полученная система уравнений с двумя неизвестными,
что дает таблицу
36 3-й сорт
99 меры
40
РАЗДЕЛ I, РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
откуда: «= -gg =2+3/4 и т. д. В тех случаях, когда описанный
алгоритм приводит, в современной терминологии, к отрицательным
числам, в «Арифметике в девяти главах» рекомендуется метод
«чжэн-фу» («чжэн» означает «прибавляемый», «фу» — «вычитае-
мый»; такие числа изображались различными цветами: чжэн —
красным, фу — черным). Отрицательных решений уравнений в ки-
тайских источниках не имеется, но с отрицательными коэффи-
циентами китайские математики обращаются с большой свободой.
В последнем отделе «Арифметики в девяти главах» формулирует-
ся чисто арифметически теорема Пифагора и решается ряд задач
на ее применение.
В связи с календарными расчетами в Китае возник интерес
к задачам такого типа: при делении числа на 3 остаток есть 2,
при делении на 5 остаток есть 3, а при делении на 7 остаток есть 2,
каково это число? Сунь-цзы (между 2 и 6 вв.) и более полно Цинь
Цзю-шао (13 в.) дают изложенное на примерах описание регу-
лярного алгоритма для решения таких задач, найденного много
позднее немецким математиком К. Гауссом (1801). Примером вы-
сокого развития вычислительных методов в геометрии может слу-
жить результат Цзу Чун^чжи (2-я половина 5 в.), который пока-
зал, что отношение длины окружности к диаметру лежит в пре-
делах
3,1415926 < л < 3,1415927.
Особенно замечательны работы китайцев по численному решению
уравнений. Геометрические задачи, приводящие к уравнениям
третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика
Ван Сяо-туна (1-я половина 7 в.). Изложение методов решения
уравнений четвертой и высших степеней было дано в работах
математиков 13—14 вв. Цинь Цзю-шао, Ли Е., Ян Хуэн и Чжу
Ши-цзе. Употребляемый ими «метод небесного элемента» в суще-
ственном совпадает с методом, известным ныне под названием
метода Горнера (по имени английского ученого, вновь открывшего
его в 1819 году). Любопытным следствием высокого развития
именно приближенных вычислительных методов является то, что
в трактате Цинь Цзю-шао «Девять отделов математики» (1247)
биквадратное уравнение решается по общей схеме, причем в про-
межуточных вычислениях фигурирует полное уравнение четвер-
той степени. К 14 в. средневековая китайская математика достигла
своего высшего развития. Связи ее с греко-римской, индийской,
среднеазиатской и средневековой западно-европейской математи-
кой мало изучены, однако их наличие доказывается тем, что ряд
задач повторяется в математических рукописях различных стран
с точным совпадением числовых данных. Например, указанная
выше китайская задача на решение системы сравнений
х и 2 (mod 3), х га 3 (mod 5), х га 2 (mod 7)
точно повторяется в «Книге об абаке» итальянского математика
Леонардо Пизанского (1202).
Индия. Расцвет индийской математики относится к 5—12 вв.
(наиболее известны индийские математики Ариабхата (ко-
нец 5 в.), Брамагунта (7 в.), Бхаскара (12 в.)). Индийцам принад-
лежат две основные заслуги. Первой из них является введение в
широкое употребление современной десятичной системы нумера-
МАТЕМАТИКА
41
ции и систематическое употребление нуля для обозначения отсут-
ствия единиц данного разряда (лишь в некоторых случаях анало-
гичный знак в шестидесятиричной системе встречается в поздних
вавилонских текстах) и разработка на этой основе более совер-
шенной вычислительной техники, включая близкие к современ-
ным приемы деления многозначных чисел (эта операция не пред-
ставляла, конечно, для математиков древнего мира принципиаль-
ной трудности, но осуществлялась более сложным образом). Про-
исхождение употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь
«арабскими», не вполне выяснено. Второй, еще более важной ос-
новной заслугой индийских математиков является создание алгеб-
ры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррацио-
нальными и отрицательными числами. «Вычитаемые» числа (обо-
значаемые точкой наверху) у индийцев (в отличие от Диофанта
и подобно китайцам) получают право стоять отдельно. Например,
уравнение
уа уа 3 уа 10 ги 8
уа va 1 уа 0 ги 1
(Зх2 + 10х - 8 = х2 +1)
может быть преобразовано (по Брамагупта) в
ги 9
уа уа 2 уа 10
(- 9 = - 2? — 10*).
О реальном истолковании отрицательных чисел (с противополож-
ностью имущества и долга) у индийцев встречаются лишь отдель-
ные упоминания, обычно же при истолковании решений задач
отрицательные решения считаются невозможными. Вообще сле-
дует отметить, что в то время как дробные и иррациональные чис-
ла с самого момента своего возникновения связаны с измерением
непрерывных величин, отрицательные числа возникают в основном
из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее (в полной
мере в 17 в.) получают самостоятельное значение.
Брамагупта дал общее правило решения квадратных уравне-
ний (объединяя при помощи употребления отрицательных чисел
различные случаи, рассматривавшиеся Диофантом, в один). Бха-
скара указал на двузначность квадратного корня, занимался иссле-
дованием иррациональных выражений вида делал пре-
образования типа
/10 + 1/24 + 1/40 4-1/60 =1/2 4-1/3 + 1/5,
владел приемами освобождения дроби от иррациональности в зна-
менателе, решал некоторые частные случаи уравнений высших
степеней. Наконец, Брамагупта и Бхаскара дали общие методы
решения в целых числах неопределенного уравнения первой сте-
пени с двумя неизвестными, а также уравнений вида ах2 + b » су2
и ху = ах 4- by + с,
В тригонометрии заслугой индийских математиков явилось
введение линий синуса, косинуса, синус-верзуса.
Средняя Азия и Ближний Восток. Арабские завоевания и крат-
ковременное объединение огромных территорий под властью араб-
ских халифов привели к тому, что в течение 9—15 вв. ученые Сред-
ней Азии, Ближнего Востока и Пиренейского полуострова пользо-
42 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
вались арабским языком. Наука здесь развивается в мировых
торговых городах, в обстановке широкого международного обще*
ния и государственной поддержки больших научных начинаний
(например, точное измерение дуги меридиана по повелению хали*
фа аль-Мамуна в начале 9 в., строительство в 13 в. обсерватории
в Мараге для азербайджанского ученого Насирэддина Туси внуком
Чингисхана Хулагу-ханом, учреждение библиотек (библиотека в
Кордове содержала в 9 в. 600 тыс. томов). Блестящим завершением
этой эпохи явилась в 15 в. деятельность узбекского астронома
Улуг-бека, который при своем дворе и обсерватории в Самарканде
собрал более ста ученых и организовал долго остававшиеся непрев-
зойденными астрономические наблюдения, вычисление математи-
ческих таблиц и т. п.
До недавнего времени в западноевропейской науке господство-
вало мнение, что роль «арабской культуры» в области математики
сводится в основном к сохранению и передаче математикам За-
падной Европы математических открытий древнего мира в Индии.
Действительно, сочинения греческих математиков впервые стали
известны в Западной Европе по арабским переводам. Однако все
более выясняется, что в действительности вклад математиков,
писавших на арабском язртке, и в частности математиков, принад-
лежавших'к народам современной советской Средней Азии и Кав-
каза (хорезмийских, узбекских, таджикских, азербайджанских), в
развитие науки значительно больше.
В 1-й половине 9 в. среднеазиатский ученый Мухамед бен-Му-
са Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоятельной
науки. Термин «алгебра» производят от названия сочинения Хо-
резми «Алджебр», по которому европейские математики раннего
средневековья познакомились с решением квадратных уравнений.
Вскоре после Хорезми впервые начинают систематически рассмат-
риваться задачи, приводящие к уравнениям третьей степени.
Среднеазиатский ученый Бируни (конец 9 в.— 1-я половина 10 в.)
привел задачу о нахождении стороны правильного девятиуголь-
ника к решению уравнения х3 + 1 == Зх и получил приближенное
решение этого уравнения в виде шестидесятиричной дроби. Задача
о построении правильного семиугольника была сведена к решению
уравнения х3 + 1 = 2х 4* х*. Иби-аль-Хайтам из Ирака (конец
10 в.—начало 11 в.) свел одну из задач геометрической оптики к
решению уравнения четвертой степени. Таджикский математик
Омар Хайям (конец И в,—начало 12 в.) систематически изучил
уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил усло-
вия их разрешимости (в смысле существования положительных
корней). Хайям в своем алгебраическом трактате говорит, что оп
много занимался поисками точного решения уравнений третьей сте-
пени. В этом направлении поиски среднеазиатских математиков не
увенчались успехом, но им были хорошо известны как геометриче-
ские, (при помощи конических сечений), так и приближенные чис-
ленные методы решения. Заимствовав от индийцев десятичную си-
стему счисления с употреблением нуля, математики Средней Азии
и Ближнего Востока применили в больших научных вычислениях
по преимуществу шестидесятиричную систему (по-видимому, в
связи с шестидесятиричным делением углов в астрономии). На
этой основе ими была создана и единая система обозначения
шестидесятиричных целых и дробных чисел: запись
43; 0; 16; +8; 37
МАТЕМАТИКА 43
(знак + здесь отделяет целые разряды от дробных) обозначала
число
8 -7
43-602 + 0-60 -Ь 16 + т0- +
Иранский ученый Абу-аль-Вефа (10 в.), уже пользовавшийся этол
системой, написал сочинение о способах извлечения корней
третьей, четвертой и пятой степеней. Омар Хайям в недошедшем
до нас сочинении изложил способы извлечения корней с любым
натуральным показателем.
В связи с астрономическими и геодезическими работами боль-
шое развитие получила тригонометрия. Сириец аль-Батани (2-я по-
ловина 9 в.— начало 10 в.) ввел в употребление тригонометриче-
ские функции синус, тангенс и котангенс, Абу-аль-Вефа — все шесть
тригонометрических функций, он же выразил словесно алгебраи-
ческие зависимости между ними, вычислил таблицы синусов че-
рез 10' с точностью до 1/604 и таблицы тангенсов и установил
теорему синусов для сферических треугольников. Азербайджан-
ский ученый Насирэддин Туси (13 в.) достиг известного завер-
шения разработки сферической тригонометрии, систематически
рассмотрев все шесть случаев решения сферических треугольни-
ков; сам он впервые нашел решение двух труднейших случаев
(определение углов по трем сторонам и сторон по трем углам).
Насирэддин перевел на арабский язык и комментировал «Начала»
Эвклида; комментарии к «Началам» составил также Хайям. Их
занимает принципиальный вопрос о доказуемости постулата о па-
раллельных. Собственные их сочинения написаны с большим
вниманием к изложению строгих доказательств теорем. Принци-
пиальное значение имеет возникновение у Хайяма и Насирэддина
ясной концепции действительного (положительного) числа. На-
пример, о произвольном отношении величин (соизмеримых или
несоизмеримых) Насирэддин писал: «каждое из этих отношении
может быть названо числом, которое определяется единицей так
же. как один из членов этого отношения определяется другим из
этих членов».
В заключение следует специально остановиться на достиже-
ниях сотрудника Улугбека самаркандского математика Гиясэдди-
на Джемшида ибн-Масуда-аль Каши (начало 15 в.). Он дал систе-
матическое изложение арифметики десятичных дробей, которые
справедливо считал более достунпыми, чем шестидесятиричные.
В Европе аналогичного совершенства приемы вычислений с деся-
тичными дробями достигли только у фламандского ученого С. Сте-
вина в конце 16 в. В связи с вопросами извлечения корней Джем-
шид сформулировал словесно формулу бинома Ньютона, указал
правило образования коэффициентов = i + ^n—i •
В «Трактате об окружности» (ок. 1427) Джемшид, определяя пери-
метры вписанного и описаппого 3 • 228 угольников, нашел л с сем-
надцатью десятичными знаками. В связи с построением обширных
таблиц синусов Джемшид дал весьма совершенный итерационный
метод численного решения уравнений.
Западная Европа до 16 в. 12—15 вв. являются для западноев-
ропейской математики по преимуществу периодом усвоения на-
сдрДства древнего мира и Востока. Тем не менее уже в этот пе-
риод, не приведший еще к открытию особенно значительных новых
tA
РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
математических фактов, общий характер европейской математиче-
ской культуры отличается рядом существенных прогрессивных
черт, обусловивших возможность стремительного развития мате-
матики в последующие века. Высокий уровень требований быстро
богатеющей и политически независимой буржуазии итальянских
городов привел к созданию и широкому распространению учебни-
ков, соединяющих практическое общее направление с большой
обстоятельностью и научностью. Меньше чем через 100 лет после
появления в 12 в. первых латинских переводов греческих и араб-
ских математических сочинений итальянский математик Леонардо
Пизанский (Фибоначчи) выпускает в свет свои «Книгу об абаке»
(1202) и «Практику геометрии» (1220), излагающие арифметику,
коммерческую арифметику, алгебру и геометрию. Эти книги имели
большой успех: «Книга об абаке» распространяется с 1228 года в
новом переработанном варианте. К концу рассматриваемой эпохи
(с изобретением книгопечатания) учебники, вроде изданного в
1494 г. курса арифметики, геометрии, пропорций и пропорциональ-
ности итальянского математика Луки Пачоли, получают еще более
широкое распространение. Наряду с этим практическим направле-
нием, основными центрами теоретической научной мысли стано-
вятся университеты. Прогресс алгебры как теоретической дисцип-
лины, а не только собрания практических правил для решения
задач, сказывается в ясном понимании природы иррациональных
чисел как отношений несоизмеримых величин (английский мате-
матик Т. Брадвардин (1-я половина 14 в.) и французский матема-
тик Оресм (середина 14 в.)) и особенно во введении дробных
(Н. Оресм),. отрицательных и нулевых (французский математик
Н. Шоке (конец 15 в.)) показателей степеней. Здесь же возникают
первые, предваряющие следующую эпоху идеи о бесконечно боль-
ших и бесконечно малых величинах (Т. Брадвардин и итальянский
математик Николай Кузанский (1-я половина 15 в.)), о характере
изменения функций вблизи максимумов и минимумов (Н. Оресм)
и т. п. Широкий размах научных исследований этой эпохи нашел
отражение не только в многочисленных переводах и изданиях гре-
ческих и арабских авторов, но и в таких начинаниях, как состав-
ление обширных тригонометрических таблиц, вычисленных с точ-
ностью до седьмого знака немецким математиком И. Региомонта-
ном (И. Мюллером), являющимся также автором руководства по
тригонометрии «Пять книг о всевозможных треугольниках» (1461,
опубликовано в 1533). Значительно совершенствуется математиче-
ская символика; например, записи Шюке в конце 15 в., будучи
отличными по форме, мало отличаются от современных по своей
лаконичности:
вместо У4л2 + 4х 4-2z + 1.
Еще .более существенным является развитие научной критики и
полемики, вследствие чего, например, предложенный Николаем
Кузанским в качестве точного, в действительности же лишь прибли-
женный метод спрямления окружности немедленно нашел опро-
вержение в специальном сочинении Региомонтана. Следует отме-
тить также, что сосредоточенные поиски решения трудных задач,
поощряемые обычаем публичных состязаний в их решении, при-
водят к первым доказательствам неразрешимости. Уже Леонардо
Пизанский в сочинении «Цветок» (ок. 1225), в котором собраны
МАТЕМАТИКА
45
предложенные ему и блестяще решенные им задачи, доказал не-
разрешимость уравнения: х3 + 2х2 + Юл = 20 не только в рацио-
нальных числах, но и при помощи простейших квадратичных ирра--
циональностей (вида V а + Д/b и т. п.).
Западная Европа в 16 в. Этот век был первым веком прево-
сходства Западной Европы над древпим миром и Востоком. Так
было в астрономии (открытие польского астронома Н. Коперника)
и в механике (к концу этого столетия уже появляются первые
исследования итальянского ученого Г. Галилея), так в целом
обстоит дрло и в математике несмотря на то, что в ’ некоторых
направлениях европейская наука еще отстает от достижений
среднеазиатских математиков 15 в. и что в действительности боль-
шие новые идеи, определившие дальнейшее развитие новой евро-
пейской математики, возникают лишь в следующем, 17 веке. В 16
же веке казалось, что новая эра в математике начинается с откры-
тием алгебраического решения уравнений третьей степени (италь-
янским математиком С. Ферро, ок. 1515, и позднее и независимо
итальянским математиком Н. Тартальей, ок. 1530) и четвертой
(итальянским математиком Л. Феррари, 1945) степени, которое
считалось в течение столетий неосуществимым. Итальянский ма-
тематик Дж. Кардано исследовал уравнения третьей степени,
открыв так называемый неприводимый случай, в котором действи-
тельные корни уравнения выражаются комплексно. Это заставило
Кардано, хотя и очень неуверенно, признать пользу вычислений с
комплексными числами. Он же предложил общие методы прибли-
женного решения уравнений любой степени. Дальнейшее разви-
тие алгебра получила у французского математика Ф. Виета, ука-
завшего, например, способ составления уравнения n-й степени по
его корням. Виет является основателем настоящего алгебраиче-
ского буквенного исчисления (1591) (до него буквами обознача-
лись лишк неизвестные). Из других достижений 16 в. следует
указать разложении квадратных корней в непрерывную дробь
(итальянский математик Р. Бомбелли, 1572), первое точное ана-
литическое выражение для л в виде бесконечного произведения
(Виет, 1593)*, определение тригонометрических функций для аргу-
мента, изменяющегося до + оо (Виет, 1594). Учение о перспективе,
развивавшееся в геометрии еще ранее 16 в., излагается знаменитым
немецким художником А. Дюрером (1525). Виет применил алгеб-
раические методы к исследованию возможности геометрических
построений, являясь также тонким мастером в синтетическом реше-
нии задач на построение [он восстановил (в 1600 г.), например,
утерянное решение задачи Аполлония о построении окружности,
касающейся трех данных]. Независимо от Джемшида немецкий
математик М. Штифель (1544) открыл закон образования бино-
миальных коэффициентов, а фламандский ученый С. Стевии разра-
ботал (в 1585 г.) правила арифметических действий с десятичными
дробями.
Россия до 18 в. Математическое образование в России находи-
лось в 9—13 вв. на уровне наиболее культурных стран Восточной
и Западной Европы. Затем оно было наделю задержано монголь-
ским нашествием В 15—16 вв. в связи с укреплением русского
государства и экономическим ростом страны зпачительно выросли
потребности общества в математических знаниях. В конце 16 в. и
особенно в 17 в появляются многочисленные рукописные руко-
водства по арифметике, геометрии, в которых излагались довольно
46 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
обширные сведения, необходимые для практической деятельности
(торговли, налогового дела, артиллерийского дела, строительства
и пр.).
В Древней Руси получила распространение сходная с греко-ви-
зантийской система числовых знаков, основанная на славянском
алфавите. Каждая буква, независимо от ее местоположения, обо-
значала одно и то же число, при этом над буквой ставили знай w
(титло). Буквы от 4 дое обозначали единицы (персты), от
I № —десятки, от faoq —сотни. Те же буквы обо-
значали также числа высших разрядов, но для этого употребля-
лись особые знаки. Так, для обозначения тысяч перед соответ-
ствующей буквой ставился зпак f • Славянская нумерация
в русской математике, литературе встречается до начала 18 в., по
уже с конца 16 в. эту нумерацию все более вытесняет принятая
ныне десятичная позиционная система.
Наиболее древнее известное нам математическое произведение
относится к 1136 г. и принадлежит новгородскому монаху Кирику.
Оно посвящено арифметико-хронологическим расчетам, которые
показывают, что в то время на Руси умели решать сложную зада-
чу вычисления пасхалий (определения на каждый год дня наступ-
ления праздника.пасхи), сводящуюся в своей математической ча-
сти к решению в целых числах неопределенных уравнений первой
степени. Арифметические рукописи конца 16—17 вв. содержат
помимо изложения славянской и арабской нумерации, арифмети-
ческих операций с целыми положительными числами, также под-
робное изложение правил действия с дробями, тройное нравило и
решение уравнений первой степени с одним неизвестным посред-
ством правила ложного положения. Для целей практического ис-
пользования общих правил в рукописях рассматривалось много
примеров реального содержания, и излагается так называемый
дощаный счет — прототип русских счетов. Подобным же образом
была построена и первая арифметическая часть знаменитой «Ариф-
метики» Л. Ф. Магницкого (1703). В геометрических рукописях,
в большинстве своем преследовавших также практические цели,
содержалось изложение правил определения площадей фигур и
объемов тел, часто приближенных, использовались свойства подоб-
ных треугольников и теорема Пифагора.
Необходимо отметить, что русские математические рукописи
до сих пор еще недостаточно изучены. В последние годы (1950)
удалось обнаружить ряд важных документов, которые показы-
вают, что в 15—17 вв. в России интересовались философскими про-
блемами математики — определением основных геометрических
понятий (точки, линии, сферы и др.), вопросами, связанными с
понятиями бесконечности, непрерывности и пр.
МАТЕМАТИКА
47
3. Период создания математики переменных величин
С 17 в. начинается существенно новый период раз-
вития математики. Ф. Энгельс по этому поводу писал:
«Поворотным пунктом в математике была декартова пе-
ременная величина. Благодаря этому в математику во-
шли движение и диалектика и благодаря этому же стало
немедленно необходимым дифференциальное и интеграль-
ное исчисление» (Энгельс Ф. Диалектика природы /
Маркс Энгельс Ф. Соч.—2-е изд.—Т. 20.—С. 573).
Круг количественных отношений и пространственных
форм, изучаемых теперь математикой, уже не исчерпыва-
ется числами, величинами и геометрическими фигурами.
В основном это было обусловлено явным введением в ма-
тематику идей движения и изменения. Уже в алгебре
в скрытом виде содержится идея зависимости между ве-
личинами (значение суммы зависит от значений слагае-
мых и т. д.). Однако, чтобы охватить количественные от-
ношения в процессе их изменения, надо было самые
зависимости между величинами сделать самостоятельным
предметом изучения. Поэтому на первый план выдвига-
ется понятие функции, играющее в дальнейшем такую
же роль основного и самостоятельного предмета изуче-
ния, как ранее понятия величины или числа. Изучение
переменных величин и функциональных зависимостей
приводит далее к основным понятиям математического
анализа, вводящим в математику в явном виде идею бес-
конечного к понятиям предела, производной, дифферен-
циала и интеграла. Создается анализ бесконечно малых,
в первую очередь в виде дифференциального исчисления
и интегрального исчисления, позволяющий связывать ко-
нечные изменения переменных величин с их поведением
в непосредственной близости отдельных принимаемых
ими значений. Основные законы механики и физики за-
писываются в форме дифференциальных уравнений,
и задача интегрирования этих уравнений выдвигается
в качестве одной из важнейших задач математики.
Разыскание неизвестных функций, определенных дру-
гого рода условиями, составляет предмет вариационного
исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в ко-
торых неизвестными являются числа, появляются урав-
нения, в которых неизвестны и подлежат определению
функции.
Предмет изучения геометрии также существенно рас-
48
РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
ширяется с проникновением в геометрию идей движения
и преобразования фигур. Одно и то же движение или
одно и то же преобразование может перемещать или
преобразовывать самые различные фигуры. Поэтому гео-
метрия начинает изучать движение и преобразования са-
ми по себе. Например, в проективной геометрии одним
из основных предметов изучения являются сами проек-
тивные преобразования плоскости или пространства.
Впрочем, сознательное развитие этих идей относится
лишь к концу 18 в. и началу 19 в. Гораздо раньше,
с созданием в 17 в. аналитической геометрии, принципи-
ально изменилось отношение геометрии к остальной ма-
тематике: был найден универсальный способ перевода
вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и реше-
ния их чисто алгебраическими и аналитическими метода-
ми, а с другой стороны, открылась широкая возможность
изображения (иллюстрирования) алгебраических и ана-
литических фактов геометрически, например, при графи-
ческом изображении функциональных зависимостей. Эта
обратная возможность была, однако, ограничена трехмер-
ностью пространства. Такое положение привело к склон-
ности рассматривать арифметику, алгебру и анализ с тео-
рией функций как части «чистой» математики, опреде-
ляемой в качестве науки о числах, величинах и зависи-
мостях между изменяющимися величинами, геометрию
же считать первой частью (предшествующей, например,
механике) «прикладной» математики, применяющей ре-
зультаты «чистой» математики и вырабатывающей свои
методы для специального изучения геометрических фи-
гур и геометрических преобразований. На следующем
этапе развития такое подчиненное положение геометрии
было вновь устранено.
Алгебра 17 и 18 вв. в значительной мере посвящена
следствиям, вытекающим из возможности изучать левую
часть уравнения F(x) —0 как функцию переменного ж.
Этот подход к делу позволил изучить вопрос о числе
действительных корней, дать методы их отделения и
приближенного вычисления, в комплексной же области
привел французского математика Ж. Д.’Аламбера к не
вполне строгому, но для математиков 18 в. достаточно
убедительному доказательству «основной теоремы алгеб-
ры» о существовании у любого алгебраического уравне-
ния хотя бы одного корня. Достижения «чистой» алгеб-
ры, не нуждающейся в заимствованных из анализа по-
МАТЕМАТИКА
49
нятиях о непрерывном изменении величин, в 17—18 вв.
были тоже значительны (достаточно указать здесь на
решение произвольных систем линейных уравнений при
помощи определителей, разработку теории делимости
многочленов, исключения неизвестных и т. д.), однако
сознательное отделение собственно алгебраических фак-
тов и методов от фактов и методов математического ана-
лиза типично лишь для более позднего времени (2-я по-
половина 19 в.—20 в.). В 17—18 вв. алгебра в значи-
тельной мере воспринималась как первая глава анализа,
в которой вместо исследования произвольных зависимо-
стей между величинами и решения произвольных урав-
нений ограничиваются зависимостями и уравнениями
алгебраическими.
Создание новой математики переменных величин в
17 в. было делом ученых передовых стран Западной Ев-
ропы. В 18 в. одним из основных центров научных мате-
матических исследований становится также Петербург-
ская академия наук, где работал ряд крупнейших мате-
матиков того времени иностранного происхождения
(Л. Эйлер, Д. Бернулли), и постепенно складывается рус-
ская математическая школа, блестяще развернувшая
свои исследования с начала 19 в.
17 век. Охарактеризованный выше новый этап разви-
тия математики органически связан с созданием в 17 в.
математического естествознания, имеющего целью объяс-
нение течения отдельных природных явлений действием
общих, математически сформулированных законов приро-
ды. На протяжении 17 в. действительно глубокие и об-
ширные математические исследования относятся лишь
к двум областям естественных наук — к механике (италь-
янский ученый Г. Галилей открывает законы падения
тел (1632, 1638), немецкий астроном И. Кеплер —зако-
ны движения планет (1609, 1619), английский ученый
И. Ньютон устанавливает закон всемирного тяготения
(1687)), и к оптике (Галилей (1609) и Кеплер (1611)
сооружают зрительные трубы, Ньютон развивает оптику
на основе теории истечения, голландский ученый X. Гюй-
генс и английский ученый Р. Гук — на основе волновой
теории). В других областях естествознания применение
математики ограничивается пока установлением первых
и простейших количественных закономерностей (напри-
мер, закон Бойля для зависимости объема газа от давле-
ния (1662), закон Гука в теории упругости (1660) и тп).
4 А. н. Колмогоров
50 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
Тем не менее рационалистическая философия 17 в. уже
выдвигает идею универсальности математического мето-
да (Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. Лейбниц), придающую
особенную яркость устремлениям этой, по преимуществу
философской, эпохи в развитии математики.
Серьезные новые математические проблемы в 17 в.
выдвигает усовершенствование часового дела и необхо-
димость создания точных хронометров для целей нави-
гации. Одним из изобретателей маятниковых часов явля-
ется Гюйгенс (1657). Через 16 лет после своего изобре-
тения Гюйгенс опубликовал книгу «Маятниковые часы»
(1673), являющуюся образцом органического слияния
конструкторской технической мысли с наиболее тонкими
для того времени математическими методами исследова-
ния. Актуальные задачи ставились перед математикой
17 века также картографией, баллистикой, гидравликой.
Авторы 17 в. понимают и любят подчеркивать большое
практическое значение математики. В 17 в. рост буржу-
азного общества позволил ему выдвинуть перед наукой
задачи на несколько веков вперед с полным сознанием
их практической ценности. Опираясь на свою тесную
связь с естествознанием, математика 17 в. смогла под-
няться на новый этап развития. Новые понятия, не укла-
дывающиеся в старые формально-логические категории
математики, получали свое оправдание в соответствии
реальным соотношениям действительного мира. Так, на-
пример, реальность понятия производной вытекала из
реальности понятия скорости в механике; поэтому вопрос
заключался не в том, можно ли логически оправдать это
понятие, а лишь в том, как это сделать.
Математические достижения 17 в. начинаются откры-
тием логарифмов. Шотландский математик Дж. Непер,
опубликовавший свои таблицы в 1614 г., обосновывает
их построение не ссылкой на давно известные свойства
арифметических и геометрических прогрессий, а рассмат-
ривает непрерывное «течение» логарифма при изменении
числа, т. е. впервые вводит представление о непрерывной
функции, не заданной никаким алгебраическим выраже-
нием или геометрическим построением. В 1637 г. фран-
цузский ученый Р. Декарт публикует свою «Геометрию»,
содержащую основы координатного метода в геометрии,
классификацию кривых с подразделением их на алгебраи-
ческие и трансцендентные, а алгебраических — по «ро-
дам» (к роду т он относит в современной терминологии
МАТЕМАТИКА
51
кривые порядков 2тп—1 и 2т). В тесной связи с воз-
можностью представить корни уравнения Р(х) = 0 точка-
ми пересечения кривой у=Р(х) с осью абсцисс в алгеб-
ре исследуются действительные корни уравнения любой
степени (Р. Декарт, И. Ньютон, французский математик
М. Ролль). Исследования французского математика
П. Ферма о максимумах и минимумах и разыскании ка-
сательных к кривым уже содержат в себе, по существу,
приемы дифференциального исчисления, но самые эти
приемы еще не выделены и не развиты, и слова «произ-
водная» или «дифференциал» остаются еще не произне-
сенными. Другим источником анализа бесконечно малых
является развитый немецким астрономом И. Кеплером
(1615) и итальяпским математиком Б. Кавальери (1635)
«метод неделимых», примененный ими к определению
объемов тел вращения и ряду других задач. В этом ме-
тоде действительная принципиальная новизна основных
понятий анализа бесконечно малых представляется в ми-
стической форме неразрешенного противоречия (напри-
мер, между объемом тела и совокупностью не имеющих
объема плоских сечений, при помощи которых этот объем
должен быть определен). Неудивительно поэтому, что
приемы Кеплера и Кавальери подверглись критике
(1635—1641) со стороны швейцарского математика
П. Гюльдена, предпочитавшего пользоваться строгим
классическим методом исчерпывания. Однако свободное
употребление бесконечно малых одерживает окончатель-
ную победу в работах по определению площадей («квад-
ратур») французским математиком П. Ферма, Б. Паскаля
и английского математика Дж. Валлиса. Так, в гео-
метрической форме были, по существу, созданы нача-
ла дифференциального и интегрального исчисления.
Параллельно развивается учение о бесконечных ря-
дах. Свойства простейших рядов, начиная с геометриче-
ских прогрессий, возникающих из представления обыкно-
венных дробей в виде периодических десятичных, изучил
Валлис (1685). Немецкий ученый Н. Меркатор (1668),
интегрируя по х разложение । « 1 — х + х2 — ...,
получил разложение в степенной ряд1п(1 + х). И. Нью-
тон получил (1665—1669) формулу бипома для любого
_ 1
показателя, интегрируя разложение (1 — х2) , получил
разложение arcsinx и, наконец, нашел степенные ряды
52 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
обратных к у = In (1 + х) и у = arcsin х функции:
1_г-1-| + 4 + 4+...
и, соответственно,
з б
* = siny = f--^ + ...
В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах
приняли участие почти все математики 17 в. (Дж. Вал-
лис, X. Гюйгенс, Г. Лейбниц, Я. Бернулли, и др.). Сле-
дует отметить, что авторы 17 в. имели достаточно ясные
представления о понятии предела последовательности и
сходимости ряда и считали нужным доказывать сходи-
мость употребляемых ими рядов. С созданием координат-
ного метода и распространением представлений о направ-
ленных механических величинах (скорости, ускорения)
понятие отрицательного числа приобрело полную нагляд-
ность и ясность. Наоборот, комплексные числа, по-преж-
пему оставаясь побочным продуктом алгебраического ап-
парата, продолжают быть по преимуществу лишь пред-
метом бесплодных споров С наибольшей определенностью
их признавал голландский математик А, Жирар, впервые
(1629) заявивший, что каждое уравнение n-й степени
имеет п корней (что, как известно, справедливо лишь
в комплексной области и при надлежащем учете крат-
ное ги корней).
К последней трети 17 в. относится открытие диффе-
ренциального и интегрального исчисления в собственном
смысле слова. В отношении публикации приоритет этого
открытия принадлежит Г. Лейбницу, давшему разверну-
тое изложение основных идей нового исчисления в стать-
ях, опубликованных в 1682—1686 гг. Наоборот, в отно-
шении времени фактического получения основных ре-
зультатов имеются все основания считать приоритет при-
' надлежащим И. Ньютону, который к основным идеям
дифференциального и интегрального исчисления пришел
в течение 1665—1666 гг. «Анализ с помощью уравнений»
Ньютона в 1669 г. был передан им в рукописи англий-
ским математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и получил
широкую известность среди английских математиков.
«Метод флюксий»—сочинение, в котором Ньютон дал
вполне законченное систематическое изложение своей
теории,— был написан в 1670—1671 гг. (пздан в!736гг ).
МАТЕМАТИКА
53
Лейбниц же начал свои исследования по анализу беско-
нечно малых лишь в 1673 г. Ньютон и Лейбниц впервые
в общем виде рассмотрели основные для нового исчисле-
ния операции дифференцирования и интегрирования
функций, установили связь между этими операциями
(т. н. формула Ньютона — Лейбница) и разрабогали для
них общий единообразный алгоритм. Подход к делу у
Ньютона и Лейбница, однако, различен. Для Ньютона
исходными понятиями являются понятия «флюенты»
(переменной величины) и ее «флюксии» (скорости ее
изменения). Прямой задаче нахождения флюксий и со-
отношений между флюксиями по заданным флюентам
(дифференцирование и составление дифференциальных
уравнений) Ньютон противопоставлял обратную задачу
нахождения флюент по заданным соотношениям между
флюксиями, т. е. сразу общую задачу интегрирования
дифференциальных уравнений; задача нахождения пер-
вообразной появляется здесь как частный случай инте-
грирования дифференциального уравнения-^- « /(х). Та-
кая точка зрения была вполне естественна для Ньютона,
как создателя математического естествознания: его ис-
числение флюксий являлось просто отражением той идеи,
что элементарные законы природы выражаются диффе-
ренциальными уравнениями, а предсказание хода описы-
ваемых этими уравнениями процессов требует их инте-
грирования. Для Лейбница в центре внимания находился
вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре беско-
нечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как
сумма бесконечно большого числа бесконечно малых,
а основным понятием дифференциального исчисления яв-
лялись дифференциалы — бесконечно малые приращения
переменных величин (наоборот, Ньютон, вводя соответ-
ствующее понятие «момента», стремился в более поздних
работах от него освободиться). С публикации работ Лейб-
ница в континентальной Европе начался период интен-
сивной коллективной работы над дифференциальным и
интегральным исчислением, интегрированием дифферен-
циальных уравнений и геометрическими приложениями
анализа, в которой принимали участие, кроме самого
Лейбница, Я. Бернулли, II. Бернулли, французский ма-
тематик Г. Лопиталь и др. Здесь создается современный
стиль математической работы, при котором полученные
результаты немедленно побликуются в журнальных
54
РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
статьях и уже очень скоро после опубликования исполь-
зуются в исследованиях других ученых.
Кроме аналитической геометрии, развивается в тесной
связи с алгеброй и анализом дифференциальная геомет-
рия (в области последней следует отметить, в частности,
введение понятия радиуса кривизны у Кеплера (1604),
изучение эволют и эвольвент у Гюйгенса (1673) и т. п.),
в 17 в. закладываются основы дальнейшего развития чи-
стой геометрии, главным образом в направлении создания
основных понятий проективной геометрии. Французский
математик Ж. Дезарг, занимаясь теорией перспективы
(1636), развил целую систему представлений о бесконеч-
но удаленных элементах, ввел понятие инволюции и т. д.
Теория конических сечений разрабатывается с проектив-
ной точки зрения французскими математиками Ж. Дезар-
гом (1639), Б. Паскалем (1640), Ф. Лагиром (1685). Пз
других открытий 17 в. следует отметить: в теории чисел —
формулировку принципа математической индукции
(Б. Паскаль, 1665) и глубокие исследования П. Ферма,
в значительной мере определившие дальнейшее развитие
этой науки; разработку основных понятий комбинаторики
(П. Ферма, Б. Паскаль, Г. Лейбниц); первые работы по
теории вероятностей (П. Ферма, Б. Паскаль), увенчав-
шиеся в конце века результатом принципиального значе-
ния — открытием простейшей формы закона больших чи-
сел (Я. Бернулли, опубликовано в 1713); теорию непре-
рывных дробей [итальянский математик П. Катальди
(1613), немецкий математик Д. Швентер (1617, 1618),
Дж. Валлис (1656), X. Гюйгенс (1703)]; метод неопре-
деленных коэффициентов (Р. Декарт, 1637); формулиров-
ку так называемой теоремы Эйлера о многогранниках
(Р. Декарт, ок. 1620). Необходимо указать еще на по-
строение Б. Паскалем (1641) и Г. Лейбницем (1673—74)
первых счетных машин, оставшееся надолго, впрочем, без
практических последствий.
18 век. В начале 18 в. еще продолжает работать по-
коление создателей анализа (И. Ньютон, Г. Лейбниц).
Однако общий стиль математических исследований по-
степенно меняется. Успех 17 в., обусловленный в основ-
ном новизной метода, создавался главным образом сме-
лостью и глубиной общих идей, что сближало математи-
ку с философией. К началу 18 в. развитие новых обла-
стей математики, созданных в 17 в., достигло того уров-
ня, при котором дальнейшее продвижение вперед стало
МАТЕМАТИКА
55
требовать в первую очередь искусства в овладении мате-
матическим аппаратом и изобретательности в разыскании
неожиданных обходных решений трудных задач. Из двух
величайших математиков 18 в. петербургский академик
Л. Эйлер является наиболее ярким представителем этой
виртуозной тенденции, а французский математик Ж. Лаг-
ранж, быть может уступая Эйлеру в количестве и разно-
образии решенных задач, соединил блестящую технику
с широкими обобщающими концепциями, типичными для
французской школы 2-й половины 18 в., тесно связанной
с большим философским движением французских про-
светителей и материалистов. Увлечение необычайной си-
лой аппарата математического анализа приводит, естест-
венно, к вере в возможность его чисто автоматического
развития, в безошибочность математических выкладок
даже тогда, когда в них входят символы, лишенные
смысла. Если при создании анализа бесконечно малых
сказывалось неумение логически справиться с идеями,
имевшими полную наглядную убедительность, то теперь
открыто проповедуется Право вычислять по обычным пра-
вилам с лишенными непосредственного смысла матема-
тическими выражениями, не опираясь ни на наглядность,
ни на какое-либо логическое оправдание законности та-
ких операций. Из старшего поколения в эту сторону все
больше склоняется Лейбниц, который в 1702 году по по-
воду интегрирования рациональных дробей при помощи
их разложения на мнимые выражения говорит о «чудес-
ном вмешательстве идеального мира» и т. п. Более реа-
листически настроенный Эйлер не говорит о чудесах,
но воспринимает законность операций с мнимыми чис-
лами и с расходящимися рядами (например, по Эй-
леру, + 1 -1 + 2-6 + 24- 120 + ... +(-!)"-и!+ ...=
«0,5963475922...) как эмпирический факт, подтверж-
даемый правильностью получаемых при помощи подоб-
ных преобразований следствий. Л. Эйлер и шотландский
математик К. Маклорен начинают все же работу по ра-
циональному уяснению основ анализа бесконечно малых.
Наиболее последовательным в стремлении к логической
строгости и отчетливости из математиков 18 в. предста-
вителем этой тенденции является французский энцикло-
педист Ж. Д’АЛамбер. В частности, по вопросу о логи-
ческих основах анализа Д’Аламбер сформулировал в об-
щих чертах вполне современные взгляды о переменных,
бесконечно больших и бесконечно малых величинах,
М РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
о производной как конечном пределе отношения двух
бесконечно малых и т. д. Замечательно по серьезной кри-
тике различных способов обоснования анализа сочинение
русского математика С. Е. Гурьева «Опыт об усовершен-
ствовании элементов геометрии» (1798). Однако система-
тическое проведение логического обсснования анализа
было осуществлено лишь в 19 веке. Поэтому Лагранж,
не удовлетворенный незаконченными концепциями своих
современников, сделал попытку освободиться сразу от
всех трудностей, связанных как с самим понятием функ-
ции, так и с обоснованием анализа бесконечно малых,
став на чисто алгебраическую точку зрения, он заменил
непосредственное рассмотрение функций вычисления с их
рядами Тейлора и свел, таким образом, дифференциро-
вание и интегрирование и все дальнейшие операции ана-
лиза к алгебраическим действиям с коэффициентами
рядов.
Если виднейшие математики 17 в. очень часто были
в то же время философами или физиками-эксперимента-
торами, то в 18 в. научная работа математика становится
самостоятельной про ессией. Математики 18 в.—это лю-
ди из разных кругов общества, рано выделившиеся свои-
ми математическими способностями, с быстро развиваю-
щейся академической карьерой (Эйлер, происходя из
пасторской семьи в Базале, в возрасте 20 лет был пригла-
шен адъюнктом в Петербургскую академию наук, 23 лет
становится там же профессором, 37 лет — председателем
физико-математического класса Берлинской академии на-
ук; Лагранж — сын французского офицера, 18 лет — про-
фессор в Турине, 30 лет — председатель физико-математи-
ческого класса Берлинской академии паук; Лаплас — сын
французского крестьянина, 18 лет — преподаватель мате-
матики в военной школе в Бомоне, 20 лет — профессор
военной школы в Париже, 37 лет — член Парижской ака-
демии наук). При этом, однако, математическое естество-
знание (механика, математическая физика) и техниче-
ские применения математики остаются в сфере деятель-
ности математиков. Эйлер занимается вопросами корабле-
строения и оптики, Лагранж создает основы аналитиче-
ской механики, Лаплас, считавший себя в основном
математиком, также является крупнейшим астрономом
и физиком своего времени и т. д.
Переходя к обзору достижений математики 18 века
по отдельным областям, начнем с теории чисел. Благода-
МАТЕМАТИКА
57
ря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и французского
математика А. Лежандра, теория чисел впервые приобре-
тает характер систематической науки. Лагранж дал
(1769 г., опубликовано в 1771 г.) общее решение неопре-
деленных уравнений второй степени. Эйлер установил
(1772 г., опубликовано в 1783 г.) закон взаимности для
квадратичных вычетов. Он же привлек (1737, 1748,
1749 гг.) для изучения простых чисел дзета-функцию,
чем положил начало аналитической теории чисел.
При помощи разложений в непрерывные дроби
Л. Эйлер доказал (1737 г., опубликовано в 1744 г.) иррацио-
нальность е и е2, а немецкий ученый М. Ламберт (1766 г.,
опубликовано в 1768г.)—иррациональность л. В алгебре
швейцарский математик Г. Крамер (1750) ввел для ре-
шения систем линейных уравнений определители (из-
вестные ранее Лейбницу, не опубликовавшему своего
открытия). Дальнейшей разработкой линейной алгебры
занимались П. Лаплас и французский математик А. Ван-
дермонд. И. Ньютон, Л. Эйлер и французский математик
Э. Безу развивали теорию делимости многочленов и тео-
рию исключения. Эйлер рассматривал как эмпирически
установленный факт существование у каждого алгебраи-
ческого уравнения корня вида A + BV—1. Постепенно
укореняется убеждение, что вообще мнимые выражения
(не только в алгебре, но и в анализе) всегда приводимы
к виду A + BV — 1. Д’Аламбер доказал (1748), что модуль
многочлена не может иметь минимума, отличного от нуля
(так называемая лемма Д'Аламбера), считая это за до-
казательство существования корня у любого алгебраиче-
ского уравнения. Формулы английского математика
А. Муавра и Л. Эйлера, связывающие показательную и
тригонометрические функции комплексных аргументов,
привели к дальнейшему расширению применений комп-
лексных чисел в анализе. И. Ньютон, шотландский мате-
матик Дж. Стирлинг и Л. Эйлер заложили основы исчис-
ления конечных разностей. Лагранж развивал символи-
ческое исчисление, рассматривая положительные и отри-
цательные степени операторов Д и d; Лаплас дал общие
методы решения разностных уравнений. Английский ма-
тематик Б. Тейлор открыл (1715) свою формулу разло-
жения произвольной функции в степенной ряд. У иссле-
дователей 18 в., особенно Эйлера, ряды становятся одним
из самых мощных и гибких орудий анализа. С Д’Алам-
бера начинается серьезное изучение условий сходимостц
58
РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
рядов. Эйлер, Лагранж и особенно Лежандр заложили
основы исследования эллиптических интегралов — перво-
го вида неэлементарных функций, подвергнутого глубо-
кому специальному изучению. И. Бернулли, итальянский
математик Дж. Риккати, Д. Бернулли, Л. Эйлер и фран-
цузский математик А. Клеро интегрируют новые типы
обыкновенных дифференциальных уравнений первого и
второго порядка. Эйлер дал (1739 г., опубликовано в
1743 г.) первый метод решения линейного дифференци-
ального уравнения любого порядка с постоянными коэф-
фициентами. Д’Аламбер рассматривал системы дифферен-
циальных уравнений. Лагранж и Лаплас развивали об-
щую теорию линейных дифференциальных уравнений
любого порядка. Эйлер, французский математик Г. Монж
и Лагранж заложили основы общей теории дифференци-
альных уравнений с частными производными первого по-
рядка, а Эйлер, Монж и Лаплас — второго порядка. Спе-
циальный интерес представляет уравнение колебания
струны и связанное с ним введение в анализ разложения
функций в тригонометрические ряды, так как в связи
с этой задачей между Эйлером, Д. Бернулли, Д’Аламбе-
ром, Монжем и Лагранжом развернулась полемика по
вопросу о понятии функции, подготовившая фундамен-
тальные результат 19 в. о соотношении между анали-
тическим выражением и произвольным заданием функ-
ции. Наконец, новым отделом анализа, возникшим в 18 в.,
является вариационное исчисление, созданное Эйлером
и Лагранжем, А. Муавр, Я. Бернулли, П. Лаплас
и английский математик Т. Байес на основе отдель-
ных достижений 17—18 вв. заложили начала теории
вероятностей.
В области геометрии Эйлер привел к завершению си-
стему элементарной аналитической геометрии. Начиная
с Ньютона, систематически изучаются кривые третьего
порядка. Английский математик Э. Баринг установил ряд
свойств алгебраических кривых любого порядка. В рабо-
тах Эйлера, Клеро, Монжа и французского математика
Ж. Менье были заложены основы дифференциальной
геометрии пространственных кривых и поверхностей.
Проблемы дифференциальной геометрии явились одним
из основных источников упомянутого выше развития тео-
рии дифференциальных уравнений с частными производ-
ными. Ламберт развил теорию перспективы, а Монж при-
дал окончательную форму начертательной геометрии.
МАТЕМАТИКА
59
Из приведенного обзора видно, что математика 18 ве-
ка, основываясь на идеях 17 века, по размаху работы
далеко превзошла предыдущие века. Этот расцвет мате-
матики был связан по преимуществу с деятельностью
академий; университеты играли меньшую роль. Отдален-
ность крупнейших математиков от университетского пре-
подавания возмещалась той энергией, с которой все они,
начиная с Эйлера и Лагранжа, писали учебники и об-
ширные, включающие отдельные исследования, трактаты.
Новую струю в организацию науки внесла в конце 18 в.
французская буржуазная революция. Крупнейшие ученые
(Лагранж, Лаплас, Лежандр, Монж) привлекаются к со-
зданию метрической системы мер, связанному с ней из-
мерению меридиана, организованному на государственные
средства вычислению новых тригонометрических таблиц
и т. д. Наиболее важным для дальнейшего развития ма-
тематики оказалось учреждение в 1794 г. Политехниче-
ской школы в Париже, возглавленной Монжем и сделав-
шейся для Франции в начале 19 в. основным рассадни-
ком математической культуры.
III. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математического
анализа продолжали с большой интенсивностью разви-
ваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за эти
века и круг их применений к задачам, выдигаемым есте-
ствознанием и техникой. Однако, помимо этого количе-
ственного роста, с последних лет 18 в. и в начале 19 в.
в развитии математики наблюдается и ряд существенно
новых черт.
1. Расширение предмета математики
Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактический
материал привел к необходимости углубленного логиче-
ского анализа и объединения его с новых точек зрения.
Открытие и введение в употребление геометрической ин-
терпретации комплексных чисел [датский землемер
К. Бессель, 1799, и французский математик Ж. Арган
(Арганд), 1806], доказательство неразрешимости в ради-
калах общего алгебраического уравнения пятой степени
(итальянский математик П. Руффини, 1799, и более стро-
60 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
го — норвежский математик Н. Абель, 1824)', создание
французским математиком О. Коши оспов теории функ-
ций комплексного переменного, работы Коши по строго-
му обоспованито анализа бесконечно малых, созданию
русским математиком Н. И. Лобачевским (1826 г., опубли-
ковано в 1829—30 гг.) и венгерским математиком Я. Больяй
(1832) неевклидовой геометрии, работы немецкого мате-
матика К. Гаусса (1827) по внутренней геометрии по-
верхностей — вот типичные примеры наметившихся на
на рубеже 18 и 19 вв. новых тенденций в развитии мате-
матики.
Связь математики с естествознанием, оставаясь по су-
ществу не менее геспой, приобретает теперь более слож-
ные формы. Большие новые теории возникают не только
в результате непосредственных запросов естествознания
или техники, а также из внутренних потребностей самой
математики. Таково в основном было развитие теории
функций комплексного переменного, занявшей в начале
и середине 19 в. центральное положение во всем мате-
матическом анализе. Главная линия развития заключа-
лась здесь в том, что переход в комплексную область
делал более ясными и обозримыми свойства подлежащих
изучению функций. Широкий интерес к непосредствен-
ному реальному применению функций комплексного пе-
ременного, например как функций, задающих комформное
отображение, развился позднее, хотя возможности таких
применений были намечены еще Эйлером.
Еще более замечательным примером теории, возник-
шей в результате внутреннего развития самой матема-
тики, явилась «воображаемая геометрия» Лобачевского.
Возможность этой новой системы геометрии была усмот-
рена Лобачевским на основе выяснения происхождения
основных геометрических понятий из материальной дей-
ствительности и логического анализа строения обычной
евклидовой геометрии. Самому Лобачевскому удалось
применить свою геометрию лишь к вычислению некото-
рых интегралов. Позднее были обнаружены связи его
геометрии с теорией поверхностей и с теорией групп пре-
образований, геометрия эта нашла применения при ис-
следовании важных классов аналитических функций и т. д.
Только в 20 в. с созданием теории относительности полу-
чило осуществление предположение Лобачевского о воз-
можности применения его геометрических идей к иссле-
дованию реального физического пространства.
МАТЕМАТИКА
61
Можно привести еще один пример того, как начав-
шийся в конце 18 в. и 1-й половине 19 в. пересмотр с
более общих точек зрения добытых ранее конкретных
математических фактов нашел во 2-й половине 19 в. и в
20 в. мощную поддержку в новых запросах естествозна-
ния. Теория групп ведет свое начало с рассмотрения
Лагранжем групп подстановок в связи с проблемой раз-
решимости в радикалах алгебраических уравнений выс-
ших степеней. Именно на этой почве были получены уже
упоминавшиеся результаты Руффини и Абеля, завершив-
шиеся несколько позднее тем, что французский матема-
тик Э. Галуа (1830—1832, опубликовано в 1832, 1846 гг.)
при помощи теории групп подстановок дал окончатель-
ный ответ на вопрос об условиях разрешимости в ради-
калах алгебраических уравнений любой степени. В се-
редине 19 в. английский математик А. Кэлли дал общее
«абстрактное» определение группы. Норвежский матема-
тик С. Ли разработал, исходя из общих проблем геомет-
рии, теорию непрерывных групп. И лишь после этого
русский кристаллограф и геометр Е. С. Федоров (1890)
и немецкий математик А. Шенфлис (1891) установили,
что теоретико-групповым закономерностям подчинено
строение кристаллов; еще позднее теория групп стано-
вится мощным средством исследования в квантовой
физике.
В более непосредственной и непрерывной зависимости
от запросов механики и физики происходило формирова-
ние векторного и тензорного анализа. Постепенно все
более обнаруживалось, что именно с точки зрения меха-
ники и физики «скалярные» величины, послужившие
исходным материалом для формирования понятия дей-
ствительного числа, являются лишь частным случаем
величин многомерных. Рассмотрение функциональных за-
висимостей между такими величинами и составляет со-
держание векторного исчисления и тензорного исчисле-
ния. Перенесение векторных и тензорных представлений
на бесконечномерные величины происходит в рамках
функционального анализа и тесно связывается с потреб-
ностями квантовой физики.
Таким образом, как в результате внутренних потреб-
ностей математики, так и новых запросов естествознания
круг количественных отношений и пространственных
форм, изучаемых математикой, чрезвычайно расширяет-
ся: в пего входят отношения, существующие между эле-
62
РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
ментами произвольной группы, векторами, операторами
в функциональных пространствах, все разнообразие форм
пространств любого числа измерений и т. п. При таком
широком понимании терминов «количественные отноше-
ния» и «пространственные формы» приведенное в начале
статьи определение математики применимо и на новом
современном этапе ее развития.
Существенная новизна начавшегося в 19 в. этапа раз-
вития математики состоит в том, что вопросы необходи-
мого расширения круга подлежащих изучению количест-
венных отношений и пространственных форм становятся
предметом сознательного и активного интереса матема-
тиков. Если прежде, например, введение в употребление
отрицательных и комплексных чисел и точная формули-
ровка правил действий с ними требовали длительной ра-
боты, то теперь развитие математики потребовало выра-
ботки приемов сознательного и планомерного создания
новых геометрических систем, новых «алгебр» с «неком-
мутативным» или даже «неассоциативным» умножением
и т. д. по мере возникновения в них потребности. В на-
стоящее время вопрос о том, не следует ли, например,
ради анализа и синтеза того или иного типа релейно-
контактных схем создать новую «алгебру» с новыми пра-
вилами действий, является не вызывающим особого удив-
ления делом повседневной научно-технической практики.
Но трудно переоценить важность той перестройки всего
склада математического мышления, которая для этого
должна была произойти в течение 19 века. С этой идей-
ной стороны наиболее значительным среди открытий на-
чала 19 века явилось открытие неевклидовой геометрии
Лобачевского. Именно на примере этой геометрии была
преодолена вера в незыблемость освященных тысячелет-
ним развитием математики аксиом, была понята возмож-
ность создания существенно новых математических тео-
рий путем правильно выполненной абстракции от нала-
гавшихся ранее ограничений, не имеющих внутренней
логической необходимости, и, наконец, было обнаружено,
что подобная абстрактная теория может получить со вре-
менем все более широкие, вполне конкретные применения.
В дополнение к сказанному об определении предмета
математики следует заметить, что пространственные
формы можно рассматривать как частный вид количе-
ственных отношений, если этому последнему термину
придать достаточно широкое толкование, так что с этой
МАТЕМАТИКА
63
точки зрения включение в определение математики осо-
бого упоминания «пространственных форм» является
лишь указанием на относительную самостоятельность
геометрических отделов математики. Количественные от-
ношения (в общем философском понимании этого терми-
на) характеризуются, в отличие от качественных, лишь
своим безразличным отношением к конкретной природе
тех предметов, которые они связывают. Поэтому они и
могут быть совершенно отделены от их содержания как
от чего-то безразличного для дела (ср. указание Энгель-
са, приведенное в начале статьи). Так, число остается
одним и тем же, независимо от того, численность какого
рода предметов оно выражает; линейная зависимость
у ах + Ь остается одной и той же, независимо от того,
что обозначают х и у, и т. д. Можно сказать, что коли-
чественные отношения суть чистые отношения, сохраня-
ющие от конкретной действительности, от которой они
отвлечены, только то, что предусмотрено в их определе-
нии. Из этих общих свойств количественных отношений
легко объясняются основные особенности математики
кай науки о такого рода отношениях. Ее по преимуще-
ству дедуктивный характер объясняется тем, что все
свойства чистых отношений должны содержаться в самом
их определении. Широкая применимость каждой матема-
тической теории в различных по конкретному содержа-
нию областях естествознания и техники объясняется тем,
что математика изучает только отношения, безразличные
к конкретной природе связываемых ими объектов. В со-
здании методов, достаточно гибких, чтобы изучать весьма
общие и разнообразные количественные отношения (в
указанном выше широком понимании), и заключается
принципиальная новизна современного периода развития
математики. Сказанному лишь кажущимся образом про-
тиворечит частое употребление в математике термина ка-
чественные методы. В указанном широком понимании
изучаемые математикой отношения всегда являются ко-
личественными. Но когда в какой-либо области матема-
тики, наряду с количественными отношениями, уже по-
лучившими стандартное выражение и подчиненными оп-
ределенным вычислительным правилам, требуется ввести
в рассмотрение существенно новые стороны исследуемых
явлений, то говорят, что происходит переход от количе-
ственных рассмотрений к качественным. Так, в теории
дифференциальных уравнений к области качественных
54 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
методов относят методы исследования поведения инте-
гральных кривых «в целом», не требующие фактических
интегрирований самих дифференциальных уравнений,
а основанные на общих топологических соображениях.
Однако при их полном развитии сами эти топологические
методы подчиняются определенному алгоритму, сводяще-
му вопрос к вычислению некоторых числовых характери-
стик (степень отображения и т. п.), что уже явно указы-
вает на количественный характер вновь привлеченных
отношений. Большой удельный вес в современной мате-
матике качественных (в таком относительном смысле)
методов объясняется сложностью строения математики,
когда постоянно на основе одних математических теорий
возникают новые теории, имеющие дело с новыми объ-
ектами (вопрос о разрешимости уравнений в радикалах
сводится к строению соответствующих групп подстано-
вок и т. п.).
Что касается термина «пространственные формы», то
в литературе по философии математики нет установив-
шегося отношения к вопросу о границах, до которых
разумно расширять его понимание. Геометрия обычного
трехмерного евклидова пространства является лишь част-
ным случаем разнообразных геометрических систем,
созданных современной геометрией, а из числа этих гео-
метрических систем далеко не все созданы с целью изу-
чения именно пространственных форм действительного
мира в непосредственном смысле этого слова. Поэтому,
например, геометрия является наукой о пространствен-
ных отношениях и формах, «а также о других отношени-
ях и формах действительности, сходных с пространствен-
ными по своей структуре». Последовательно проводя это
различие между собственно пространственными формами
и формами, лишь «сходными» с пространственными, сле-
довало бы и сам термин «пространство» применять лишь
к единственному реальному пространству, полное изуче-
ние всех свойств которого по современным представле-
ниям относится к физике и которое в математике изуча-
ется лишь в том или ином приближении (например,
в достаточном для практических целей — евклидовском).
Однако в математической литературе более распро-
странено широкое понимание термина «пространство».
С таким пониманием термина «пространство» естествен-
но связывается и широкое понимание термина «простран-
ственные формы», охватывающее все формы. На примере
МАТЕМАТИКА
65
фазовых пространств любого числа измерений в механи-
ке и физике видно, что пространственные формы в этом
широком смысле слова являются тоже реальными фор-
мами действительного мира (а не произвольными по-
строениями геометров), как и пространственные формы
в узком смысле слова. Только при этом широком пони-
мании терминов в настоящее время остается верным ут-
верждение, что геометрия является наукой о простран-
ственных отношениях и формах действительности.
2. Вопросы обоснования математики.
Роль теории множеств и математической логики
Чрезвычайное расширение предмета математики при-
влекло в 19 в. усиленное внимание к вопросам ее «обос-
нования», т. е. критического пересмотра ее исходных
положений (аксиом), построения строгой системы опре-
делений и доказательств, а также критического рассмот-
рения логических приемов, употребляемых при этих до-
казательствах. Важность такого рода работы становится
особенно понятной, если учесть то, что было выше ска-
зано об изменившемся характере взаимоотношений между
развитием математической теории и ее проверкой на
практическом материале, доставляемом естествознанием
и техникой. При построении обширных и иногда весьма
абстрактных теорий, охватывающих, помимо тех частных
случаев, которые привели к их созданию, огромный ма-
териал, получающий конкретные применения лишь в
перспективе десятилетий, ждать непосредственных сиг-
налов о недостаточной корректности теории в форме заре-
гистрированных ошибок уже нельзя. Вместо этого прихо-
дится обратиться ко всему накопленному опыту работы
человеческой мысли, который как раз и суммируется в
вырабатываемых постепенно наукой требованиях к «стро-
гости» доказательств. В соответствии с этим работы по
строгому обоснованию тех или иных отделов математики
справедливо занимают значительное место в математике
19 и 20 веков. В применении к основам анализа (теория
действительных чисел, теория пределов и строгое обосно-
вание всех приемов дифференциального и интегрального
исследования) результаты этой работы с большей или
меньшей полнотой излагаются в настоящее время в боль-
шинстве учебников (даже чисто практического характе-
ра). Однако до последнего времени встречаются случаи,
5 Л. Н. Колмогоров
66 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
когда строгое обоснование возникшей из практических
потребностей математической теории запаздывает. Так в
течение долгого времени уже на рубеже 19 и 20 вв. было
с операционным исчислением, получившим весьма широ-
кие применения в механике и электротехнике. Лишь с
большим запозданием было построено логически безуп-
речное изложение математической теории вероятностей.
И в настоящее время еще отсутствует строгое обоснова-
ние многих математических методов, широко применяе-
мых в современной теоретической физике, где много
ценных результатов получается при помощи незаконных
математических приемов, дающих, например, иногда пра-
вильный ответ лишь «с точностью» до заведомо ошибоч-
ного множителя, поправляемого из посторонних данному
«математическому выводу» соображений, или при помощи
отбрасывания в сумме слагаемых, обращающихся в бес-
конечность и г. п.
Только в концу 19 в. сложился стандарт требований к логи-
ческой строгости, остающийся и до настоящего времени господ-
ствующим в практической работе математиков над развитием от-
дельных математических теорий. Этот стандарт основан на теоре-
тико-множественной концепции строения любой математической
теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет
дело с одним или несколькими множествами объектов, связанных
между собой некоторыми отношениями. Все формальные свойства
этих объектов и отношений, необходимые для развития теории,
фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной при-
роды самих объектов и отношений. Теория применима к любой
системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной
в ее основу системе аксиом. В соответствии с этим теория может
считаться логически строго построенной только в том случае,
если при ее развитии не используется никаких конкретных, не
упомянутых в аксиомах свойств изучаемых объектов и отношений
между ними, а все новые объекты или отношения, вводимые по
мере развития теории сверх упомянутых в аксиомах, формально
определяются через эти последние.
Из указанных требований, в частности, вытекает, что матема-
тическая теория, применимая к какой-либо системе объектов, при-
менима автоматически и к любой «изоморфной» системе. Заме-
тим по этому поводу, что кажущееся иногда весьма абстрактным
понятие изоморфизма является просто математическим выраже-
нием идеи «моделирования» физических явлений из какой-нибудь
одной области (например, тепловых) физическими явлениями иной
природы (например, электрическими).
Изложенная концепция строения математической теории явля-
ется по существу лишь некоторой конкретизацией определения
математики как науки о количественных отношениях в разъяс-
ненном выше широком понимании термина «количественные отно-
шения». «Безразличие» количественных отношений к конкретной
природе тех предметов, которые они связывают, находит здесь свое
МАТЕМАТИКА 67
выражение в возможности свободно переходить от одной системы
объектов к любой, ей изоморфной.
Теоретико-множественная концепция не только доставила
основной в настоящее время стандарт математической «строгости»,
но и позволила в значительной мере разобраться в разнообразил
возможных математических теорий и их систематизировать. Так,
чистая алгебра определяется как наука о системах объектов, в ко-
торых задано конечное число операций, применимых (каждая) к
определенному конечному числу объектов системы и производя-
щих из них новый объект системы (например, в случае алгебраи-
ческого поля — две операции (сложение и умножение) над двумя
элементами каждая). Этим чистая алгебра отделяется от анализа
и геометрии (в собственном смысле слова, предполагающем извест-
ную «непрерывность» изучаемых пространств), которые существен-
но требуют введения «предельных» отношений, связывающих бес-
конечное число объектов.
Естественно, что аксиоматическое изложение какой-либо спе-
циальной математической теории (например, теории вероятностей)
не начинают на пустом месте, а пользуются понятием ранее по-
строенных теорий (например, понятиями натурального или дей-
ствительного числа). В результате этого безукоризненное проведе-
ние аксиоматического изложения математических теорий переста-
ло быть чем-либо особенно обременительным и все больше входит
во всеобщее употребление. При изучении таких сложных и в то же
время общих образований, как, например, непрерывные группы,
различные виды линейных пространств, этот способ изложения и
исследования необходим для достижения полной ясности и избе-
жания ошибок.
Во всех конкретных хотя бы и весьма общих, математических
теориях (от теории действительных чисел до общей теории топо-
логических пространств и т. п.) точка зрения теории множеств
себя вполне оправдала в том смысле, что благодаря ее проведению
па конкретных математических исследованиях практически исчезли
случаи длительных неясностей и разногласий по вопросу о кор-
ректности определений и достаточной убедительности доказа-
тельств отдельных теорем. Возникшие в самой теории множеств
неясности и даже прямые противоречия связаны главным образом
с теми ее областями, где понятию бесконечного множества при-
дается общность, излишняя для каких-либо приложений. С прин-
ципиальной стороны, однако, следует иметь в виду, что теоретико-
множественное построение всех основных математических теорий,
начиная с арифметики натуральных и действительных чисел тре-
бует обращения к теории именно бесконечных множеств, а их тео-
рия сама требует логического обоснования, так как абстракция,
приводящая к понятию бесконечного множества, законна и осмыс-
ленна лишь при определенных условиях, которые еще далеко не
выяснены.
Другую сторону строения любой математической теории бйве-
щает математическая логика. Система аксиом в изложенном выше
(теоретико-множественном) понимании лишь ограничивает извне
область применений данной математической теории, указывая
свойства подлежащей изучению системы объектов с отношениями,
но не дает никаких указаний относительно логических средств,
при помощи которых эту математическую теорию придется раз^
вивать. Например, свойства системы натуральных чисел с точ-
&
68 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
ностью до изоморфизма задаются при помощи очень простой си-
стемы аксиом. Тем не менее, решение вопросов, ответ на которые
в принципе однозначно предопределен принятием этой системы
аксиом, оказывается часто очень сложным: именно теория чисел
изобилует давно поставленными и очень простыми по формули-
ровке проблемами, не нашедшими и до настоящего времени реше-
ния. Возникает, естественно, вопрос о том, происходит ли это
только потому, что решение некоторых просто формулируемых
проблем теории чисел требует очень длинной цепи рассуждений,
составленной из известных и уже вошедших в употребление эле-
ментарных звеньев, или же потому, что для решения некоторых
проблем теории чисел необходимы существенно новые, не упо-
треблявшиеся ранее приемы логического вывода.
Современная математическая логика дала на этот вопрос опре-
деленный ответ: никакая единая дедуктивная теория не может
исчерпать разнообразия проблем теории чисел. Точнее: уже в пре-
делах теории натуральных чиоел можно сформулировать последо-
вательность проблем Рь Ръ • • п Ря, ... такого рода, что для любой
дедуктивной теории среди этих проблем найдется неразрешимая в
пределах данной теории. При этом под «дедуктивной теорией»
понимается теория, которая развивается из конечного числа ак-
сиом при помощи построения сколь угодно длинных цепей рас-
суждений, составленных из звеньев, принадлежащих к конечному
числу фиксированных для данной теории элементарных способов
логического вывода.
Таким образом, было обнаружено, что понятие математиче-
ской теории в смысле теории, охватываемой единой системой
аксиом теоретико-множественного типа, существенно шире, чем
логическое понятие дедуктивной теории: даже при развитии ариф-
метики натуральных чисел неизбежно неограниченное обращение
к существенно новым способам логического рассуждения, выхо-
дящим за пределы любого конечного набора стандартизированных
приемов.
Все те результаты, которые могут быть получены в пределах
одной дедуктивной теории, могут быть также получены вычисле-
нием, производимым по данным раз навсегда правилам. Если для
решения некоторого класса проблем дается строго определенный
рецепт их вычислительного решения, то говорят о математиче-
ском алгоритме. С самого создания достаточно разработанной си-
стемы математических знаков проблемы построения достаточно
общих и в то же время кратких алгоритмов занимали большое
место в истории математики. По только в последние десятилетия
в результате развития математической логики начала создаваться
общая теория алгоритмов и «алгоритмической разрешимости»
математических проблем. Практические перспективы этих теорий,
по-видимому, весьма велики, особенно в связи с современным раз-
витием вычислительной техники, позволяющей заменить сложные
математические алгоритмы работой машин. Отмеченной выше ог-
раниченности возможностей любой фиксированной дедуктивной
теории в теории алгоритмов соответствуют теоремы о невозможно-
сти «универсальных» алгоритмов для достаточно общих классов
математических проблем. Эти теоремы дали философии математики
наиболее интересную и острую конкретизацию общего положения
о том, что живое мышление принципиально отличается от работы
любого вида вычисляющих автоматов.
МАТЕМАТИКА
69
Теория множеств, успешное построение большинства матема-
тических теории па основе теоретико-множественной аксиоматики
и успехи математической логики (с входящей в нее теорией алго-
ритмов) являются весьма важными предпосылками для разреше-
ния многих философских проблем современной математики. Бла-
годаря теоретико-множественной переработке всех отделов мате-
матики, решение проблем, связанных с понятием бесконечности
в математике, сведено к обоснованию и критическому выяснению
содержания понятия бесконечного множества. Теоретико-множе-
ственная аксиоматика, как уже было указано, дает средства для
достаточно общей трактовки вопроса о количественном характере
изучаемых математических отношений. Опа же позволяет с еди-
ной точки зрения рассмотреть строение специальных математи-
ческих теорий, предметное содержание которых закрепляется при
помощи соответствующей системы аксиом, и, таким образом, до
известной степени осветить как вопрос об отношении математиче-
ской теории к действительности, так и вопрос о своеобразии мате-
матического метода исследования. Мы видели, что возникающее
таким образом понятие математической теории существенно шире,
чем понятие дедуктивной теории в смысле формальной логики.
Относящиеся к этому вопросу результаты современной математи-
ческой логики позволяют с полной конкретностью проследить диа-
лектический процесс создания дедуктивных теорий и алгоритмов,
которые доставляют нам формально-логические и вычислительные
средства для решения все более широкого круга проблем матема-
тической теории.
В 20 в., когда перечпслеппые общие вопросы могли быть по-
ставлены с достаточной широтой, в пауке капиталистических
стран уже сделались преобладающими реакционные идеалистиче-
ские течения. Логисты использовали достижения теоретико-мно-
жественной аксиоматики, которые на самом деле вскрывали боль-
шую, чем ранее предполагалось, широту связей математической
теории с действительностью (возможность изучать в пределах
одной теории много различных реальных кругов явлений), для
провозглашения прямо противоположного тезиса о полной неза-
висимости математики от задач изучения материального мира.
Позднее интуициописты воспользовались логическими трудностя-
ми обоснования теории бесконечных множеств для того, чтобы
объявить математику вообще не наукой, изучающей лежащие вне
нас объекты, а своеобразной творческой «деятельностью» по со-
зданию пе отвечающих никакой внешней реальности мысленных
конструкции. Наконец, достижения математической логики ис-
пользуются формалистами для того, чтобы свести все содержание
математики к построению символических «исчислений», символы
которых вообще ничего пе обозначают.
Исследование философских проблем математики на основе со-
знательной материалистической диалектики было начато К. Марк-
сом, который дал глубокий анализ исторического развития мате-
матики в 17 и 18 вв. и осветил диалектический процесс возникно-
вения на почве алгебры конечных величин анализа бесконечно
малых. Особенно детально К. Маркс разработал вопрос о содержа-
нии понятия дифференциала. Выдвинутая им концепция диффе-
ренциала, как «оперативного символа», предвосхитила идеи, воз-
рожденные только в 20 в., а его понимание дифференциала как
главной части приращения вполне соответствует тому, которое
70 РАЗДЕЛ I, РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
излагается в современных учебниках и отсутствовало в руковод-
ствах, изучавшихся К. Марксом (работы математиков по обосно-
ванию анализа, начиная с работ французского математика О. Ко-
ши, К. Марксу оставались неизвестными).
3. История математики в 19 и 20 веках
Начало и середина 19 в. В начале 19 в. происходит
новое значительное расширение области приложений ма-
тематического анализа. Если до этого времени основными
отделами физики, требовавшими большого математиче-
ского аппарата, оставались механика и оптика, то теперь
к ним присоединяю гея электродинамика, теория магне-
тизма и термодинамика. Получают широкое развитие
важнейшие разделы механики непрерывных сред, из ко-
торых только гидродинамика несжимаемой идеальной
жидкости была создана еще в 18 в. Д. Бернулли, Эйле-
ром, Д’Аламбером и Лагранжем. Быстро растут и мате-
матические запросы техники. В начале 19 в. это вопросы
термодинамики. В качестве основного аппарага новых
областей механики и математической физики усиленно
разрабатывается теория дифференциальных уравнений с
частными производными и особенно теория потенциала.
В этом направлении работает большинство крупных ана-
литиков начала и середины века (немецкий математик
К. Гаусс, французский математик Ж. Фурье, С. Пуассон,
О. Коши, немецкий математик П. Дирихле, английский
математик Дж. Грин, русский математик М. В. Остро-
градский). Остроградскпй заложил основы вариационного
исчисления для функций нескольких переменных, нашел
(1828 г., опубликовано в 1831 г.) знаменитую формулу пре-
образования тройных интегралов в двойные и ее я-мерное
обобщение (1834 г., опубликовано в 1838 г.), усовершенст-
вовал теорию замены переменных в кратных интегралах
(1836г., опубликовано в 1838 г.), получив по существу те
результаты, которые были для общего я-мерного случая
компактно сформулированы позднее (1841) немецким
математиком К. Якоби. В результате исследований по
уравнениям математической физики в работах англий-
ских математиков Дж. Стокса и др. возникает векторный
анализ (одной из основных формул которого, впрочем,
являлась по существу и упомянутая формула Остро-
градского).
МАТЕМАТИКА
71
Несмотря на господствовавшее в естествознании начала
19 в. механическое убеждение в возможности описать
все природные явления дифференциальными уравнения-
ми, под давлением запросов практики получает значи-
тельное дальнейшее развитие теория вероятностей. Лап-
лас и Пуассон создают с этой целью новый мощный
аналитический аппарат. В России применением теории
вероятностей к приемочному контролю и статистике за-
нимаются М. В. Остроградский и В. Я. Буняковский;
П. Л. Чебышев дает строгое обоснование элементов тео-
рии вероятностей и доказывает свою знаменитую теоре-
му (1867), объединившую в одной общей формулировке
известные ранее формы закона больших чисел.
Как уже отмечалось, наряду с развитием работ, воз-
никших из новых запросов естествознания и техники,
чрезвычайное внимание математиков с самого начала
19 в. привлекают вопросы строгого обоснования анализа.
Коши опубликовал в 1821 и 1823 гг. читанные в Поли-
технической школе лекции, содержащие строгое изло-
жение теории пределов, теории рядов, определение поня-
тия непрерывности функции и основанное на теории
пределов изложение дифференциального и интегрального
исчисления (в частности, теорему о существовании ин-
теграла от непрерывной функции)'. Некоторые дополне-
ния к этому изложению, а также теорема о существова-
нии и единственности решений дифференциальных урав-
нений были опубликованы позднее. Лобачевский (1834)
и, позднее, Дирихле (1837) отчетливо сформулировали
определение функции, как совершенно произвольного со-
ответствия. Дирихле доказал (1829, 1837) изобразимость
любой функции с конечным числом максимумов и мини-
мумов рядом Фурье; перекрывающиеся (в смысле общ-
ности) условия сходимости рядов Фурье дал Лобачев-
ский (1834—1835). t
Выше уже отмечалась работа датского землемера Бес-
селя, содержащая геометрическую интерпретацию комп-
лексных чисел, но она осталась незамеченной. В 1799 г.
Гаусс опубликовал первое доказательство основной тео-
ремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту тео-
рему в чисто действительных терминах (разложимость
действительного многочлена на действительные множи-
тели первой и второй степени). Лишь значительно позже
(1831) Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел.
Тем временем Арган опубликовал в 1806 году теорию
72 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
комплексных чисел с их геометрической интерпретацией
и доказательством леммы Д’Аламбера, а в 1815 г.— до-
казательство основной теоремы алгебры, близкое по идее
к доказательству Коши (1821).
На основе ясного понимания природы комплексных
чисел возникает теория функций комплексного перемен-
ного. Гаусс очень много знал в этой области, но почти
ничего не опубликовал. Общие основы теории были зало-
жены Коши, теория эллиптических функций была разви-
та Абелем и Якоби. Уже на этом этапе характерно, в от-
личие от чисто алгоритмического подхода 18 в., сосредо-
точение внимания на выяснении своеобразия поведения
функций в комплексной области и основных господству-
ющих здесь геометрических закономерностей (начиная
с зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от рас-
положения особых точек, открытой Коши). Этот в из-
вестном смысле слова «качественный» и геометрический
характер теории функций комплексного переменного еще
усиливается в середине 19 в. у немецкого математика
Б. Римана. Здесь оказывается, что естественным геомет-
рическим носителем аналитической функции в случае ее
многозначности является не плоскость комплексного пе-
ременного, а соответствующая «риманова поверхность» —
образование, природа которого может быть понята лишь
в рамках нового понимания геометрии, о котором гово-
рилось выше. Хотя немецкий математик К. Вейерштрасс
достигает той же общности, что и Риман, оставаясь на
почве чистого анализа, геометрические идеи Римана ока-
зываются в дальнейшем все более определяющими весь
стиль мышления в области теории функций комплексно-
го переменного. В период увлечения теорией функций
комплексного переменного крупнейшим представителем
интереса к конкретным вопросам теории функций в дей-
ствительной области является П. Л. Чебышев. Наиболее
ярким выражением этой тенденции явилась созданная
(начиная с 1854 г.) Чебышевым, исходившим из запросов
теории механизмов, теория наилучших приближений.
В алгебре после уже упомянутого доказательства не-
разрешимости в радикалах общего уравнения пятой сте-
пени (Руффини и Абель) французский математик Э. Га-
луа показал, что вопрос о разрешимости уравнений в ра-
дикалах зависит от свойств связанной с уравнением
группы Галуа. Задача общего абстрактного изучения
групп ставится Кэли. Следует отметить, что даже в ал-
МАТЕМАТИКА
73
гебре всеобщее признание значения теории групп про-
изошло только после работ французского математика
К. Жордана в 70-х гг. От работ Галуа и Абеля берет свое
начало также понятие поля алгебраических чисел, при-
ведшее к созданию новой науки — алгебраической теории
чисел.
На существенно новую ступень поднимается в 19 в.
и разработка старых задач теории чисел, связанных с
простейшими свойствами обычных целых чисел. Гаусс
разрабатывает (1801) теорию представимости чисел квад-
ратичными формами, Чебышев получает (1848, 1850)
основные результаты о плотности расположения в нату-
ральном ряде простых чисел, Дирихле доказывает (1837)1
теорему о существовании бесконечного числа простых
чисел в арифметических прогрессиях, и т. д.
Дифференциальная геометрия поверхностей создается
К. Гауссом (1827) и русским математиком К. М. Петер-
соном (1853). Для выработки новых взглядов на пред-
мет геометрии основное значение, как уже было указа-
но, имело создание Лобачевским неевклидовой геометрии.
Построив неевклидову тригонометрию и аналитическую
геометрию, он дал по существу все необходимое для
установления совместности и полноты системы аксиом
этой новой геометрии. Параллельно развивалась долгое
время независимо от неевклидовой геометрии проектив-
ная геометрия (французский математик Ж. Понселе,
швейцарский математик Я. Штейнер, немецкий матема-
тик X. Штаудт и др.), также связанная с существенным
изменением старых взглядов на пространство. Немецкий
математик Ю. Плюккер строит геометрию, рассматривая
в качестве основных элементов прямые, немецкий мате-
матик Г. Грасман создает аффинную и метрическую гео-
метрию n-мерного векторного пространства.
Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхно-
стей дифференциальная геометрия по существу также
освобождается от неразрывной связи с геометрией Евкли-
да: то, что поверхность лежит в трехмерном евклидовом
пространстве, является для этой теории случайным об-
стоятельством. Исходя из этого, Риман создает (1854,
опубликовано в 1866 г.) концепцию n-мерного многообра-
зия с метрической геометрией, определяемой дифферен-
циальной квадратичной формой ds2 = S aik dxi dxk. Этим
было положено начало общей дифференциальной геомет-
рии и-мерных многообразий. Риману же принадлежат
74
РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
и первые идеи в области топологии многомерных много-
образий.
Конец 19 в. и 20 в. Математика в СССР. Лишь в на-
чале 70-х гг. 19 в. немецкий математик Ф. Клейн нахо-
дит модель неевклидовой геометрии Лобачевского, кото-
рая окончательно устраняет сомнения в ее непротиворе-
чивости. Клейн подчиняет (1872) все разнообразие по-
строенных к этому времени «геометрий» пространств
различного числа измерений идее изучения инвариантов
той или иной группы преобразований. В это же время
(1872) работы по обоснованию анализа получают необ-
ходимый фундамент в виде строгой теориц ^иррациональ-
ных чисел (немецкие математики Р. Дедекинд, Г. Кан-
тор и К. Вейерштрасс). В 1879—1884 гг. публикуются
основные работы Кантора по общей теории бесконечных
множеств. Только после этого могли быть сформулирова-
ны современные общие представления о предмете мате-
матики, строении математических теорий, роли аксиома-
тики и т. д. Широкое их распространение потребовало
еще несколько десятилетий (общее признание современ-
ной концепции строения геометрии обычно связывается
с выходом в свет в 1899 г. «Оснований геометрии» немец-
кого математика Д. Гильберта).
Дальнейшее углубление исследований по основаниям
математики сосредотачивается на преодолении логиче-
ских трудностей, возникших в общей теории множеств,
и на исследовании строения математических теорий и
приемов конструктивного решения математических задач
средствами математической логики. Эти исследования
вырастают в большой самостоятельный отдел математики.
Основы математической логики создаются в 19 в. англий-
ским логиком Дж. Булем, русским математиком П. С. Па-
рецким, немецкими математиками Э. Шредером и Г. Фре-
ге, итальянским математиком Дж. Пеано и др. В 20 в.
математики Западной Европы и Америки также имеют
в этой области большие достижения: теория доказа-
тельств Гильберта; конструктивная логика, созданная
голландским математиком Л. Брауэром и его последо-
вателями.
Во 2-й половине 19 в. начинается интенсивная разра-
ботка вопросов истории математики: М. Кантор (Герма-
ния), Г. Цейтен (Дания), В. В. Бобынин (Россия)’.
Большие успехи достигнуты в СССР группой ученых
(М. Я. Выгодский, А. П. Юшкевич, С. А. Яновская
МАТЕМАТИКА.
75
и др.), изучающей на основе марксистско-ленинской мето-
дологии различные проблемы истории математики.
Чрезвычайное развитие, превосходящее предшествую-
щие периоды не только по количеству работ, но также
по совершенству и силе методов и окончательности ре-
зультатов, получают в конце 19 в. и в 20 в. все разделы
математики, начиная с самого старого из них — теории
чисел. Немецкие математики Э. Куммер, Л. Кронекер,
Р. Дедекинд, русский математик Е. И. Золотарев и не-
мецкий математик Д. Гильберт закладывают основы сов-
ременной алгебраической теории чисел. Французский ма-
тематик Ш. Эрмит в 1873 г. доказывает трансцендент-
ность числа е, немецкий математик Ф. Линдеман в
1882 г.—числа л, французский математик Ж. Адамар
(1896) и бельгийский математик Ш. Ла Валле-Пуссен
(1896) завершают исследования Чебышева о законе убы-
вания плотности расположения простых чисел в нату-
ральном ряду. Немецкий математик Г. Минковский вво-
дит в теоретико-числовые исследования геометрические
методы. В России работы по теории чисел после Чебы-
шева блестяще развивают, кроме уже упомянутого Золо-
тарева, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной и А. А. Марков
(старший). Достигнутое благодаря их работам ведущее
положение русской пауки в области теории чисел еще
более закрепляется в советский период благодаря рабо-
там И. М. Виноградова, решившего (1937) знаменитую
проблему Гольдбаха для нечетных чисел и создавшего
наиболее сильный метод решения разнообразных других
проблем аддитивной теории чисел. Большое значение
имеют также работы по теории чисел советских матема-
тиков Л. Г. Шнирельмана, Б. Н. Делоне, А. О. Гельфон-
да и др. Продолжают развиваться классические отделы
алгебры. В частности, подробно исследуются различные
возможности сведения решения уравнений высших сте-
пеней (не разрешимых в радикалах) к решению уравне-
ний возможно более простого вида — так называемая
проблема резольвента. (Ф. Клейн, Д. Гильберт, в СССР —
Н. Г. Чеботарев). В связи с запросами теории колебаний
(устойчивость, автоматическое регулирование) широко
исследуется вопрос о критериях того или иного располо-
жения корней уравнения на плоскости. Вопросы линей-
ной алгебры, получающей все более широкие применения
в механике и физике, освещаются с совершенно новой
стороны благодаря привлечению геометрических идей
76 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
теории n-мерных векторых пространств. Однако центр
тяжести теоретических алгебраических исследований пе-
реносится в ее новые области: теорию групп, полей, ко-
лец, структур и т. д. Многие из этих отделов алгебры
получают глубокие применения в естествознании: в част-
ности, теория групп — в кристаллографии (в работах
Е. С. Федорова и А. Шенфлиса), а позднее —в вопросах
квантовой физики. Над общими вопросами современной
алгебры (особенно теории групп) в СССР работает пер-
воклассная научная школа (О. Ю. Шмидт, А. Г. Курош,
А. И. Мальцев и др.).
На границе между алгеброй и геометрией норвежский
математик С. Лп создает (начиная с 1873) теорию не-
прерывных групп, методы которой позднее проникают во
все новые области математики п естествознания. Весьма
значительные результаты по теории непрерывных групп
в СССР получены Л. С. Понтрягиным и другими мате-
матиками.
Элементарная п проективная геометрия привлекают
внимание математиков конца 19 в. и 20 в. главным об-
разом под углом зрения изучения их логических и аксио-
матических основ. Большое развитие, кроме уже упоми-
навшейся начертательной геометрии, получают некоторые
новые прикладные геометрические дисциплины: номогра-
фия, методы графических вычислений, графическая ста-
тика и т. п. Но основными отделами геометрии, привле-
кающими наиболее значительные научные силы, дела-
ются дифференциальная геометрия и, в несколько мень-
шей степени, алгебраическая геометрия. Дифференциаль-
ная геометрия евклидова трехмерного пространства по-
лучает полное систематическое развитие в работах
итальянского математика Е. Бельтрамп, французского
математика Г. Дарбу и др. Позднее бурпо развивается
дифференциальная геометрия различных более широких
(чем группа евклидовых движений) групп преобразова-
ний и особенно дифференциальная геометрия многомер-
ных пространств, как метрическая, так и различных дру-
гих «связностей» (аффинной, конформной, проективной).
Это направление геометрических исследований, получив-
шее мощный импульс к развитию с возникновением об-
щей теории относительности, создано прежде всего рабо-
тами итальянского математика Т. Леви-Чивита, француз-
ского математика Э. Картана и немецкого математика
Г. Вейля. Во всех основных направлениях диффереп-
МАТЕМАТИКА
77
цпальпой геометрии важные работы принадлежат совет-
ским математикам (Д. Ф. Егоров, С. П. Фиников,
Н. Н. Лузип). Большую школу исследователей, рабо-
тающих тензорными методами, создал в СССР В. Ф. Ка-
ган. Особенно большие достижения имеют советские
исследователи в области изучения дифференциально-гео-
метрических образований «в целом» (работы о существо-
вании замкнутых геодезических Л. А. Люстерника и
Л. Г. Шнирельмана, работы об изгибании поверхностей
«в целом» А. Д. Александрова и др.).
В связи с развитием более общих точек зрения тео-
рии множеств и теории функций действительного пере-
менного (см. ниже) теория аналитических функций в
конце 19 в. лишается того исключительного положения
ядра всего математического анализа, которое намечалось
для нее в начале и середине 19 в. Однако она продол-
жает не менее интенсивно развиваться как в соответ-
ствии со своими внутренними потребностями, так и из-за
обнаруживающихся новых связей ее с другими отделами
анализа и непосредственно с естествознанием. Особенно
существенным в этом последнем направлении было вы-
яснение роли конформных отображений при решении
краевых задач для уравнений с частными производными
(например, задачи Дирихле для уравнения Лапласа),
при изучении плоских течений идеальной жидкости и в
задачах теории упругости.
Немецкий математик Ф. Клейн и французский мате-
матик А. Пуанкаре создают теорию автоморфных функ-
ций, в которой находит замечательные применения
геометрия Лобачевского. Французские математики Э. Пи-
кар, А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Э. Борель глубоко разра-
батывают теорию целых функций, что позволяет, в ча-
стности, получить уже упоминавшуюся теорему о плот-
ности расположения простых чисел. Геометрическую
теорию функций и теорию римановых поверхностей разви-
вают А. Пуанкаре, Д. Гильберт, Г. Вейль, немецкий
математик К. Каратеодори, теорию конформных отобра-
жений — советские математики И. И. Привалов, М. А. Лав-
рентьев, Г. М. Голузпп и др. Наиболее широкие приме-
нения в аэромеханике и теории упругости конформные
отображения (и их обобщение — квазиконформные ото-
бражения) находят в работах Н. Е. Жуковского, С. А. Чап-
лыгина, Н. И. Мусхелишвили, М. А. Лаврентьева й дру-
гих советских исследователей.
78 РАЗДЕЛ I, РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
В результате систематического построения математи-
ческого анализа на основе строгой арифметической тео-
рии иррациональных чисел и теории множеств возникла
новая отрасль математики — теория функций действи-
тельного переменного. Под этим несколько условным
названием понимают по преимуществу исследование ос-
новных понятий анализа (например, понятий функции,
производной, интеграла) и основных операций анализа
(например, разложения функций в тригонометрические
ряды) с достаточно общей точки зрения. Если ранее
систематически изучались лишь функции, возникающие
«естественно» из тех или иных специальных задач, то
для теории функций действительного переменного типи-
чен интерес к полному выяснению действительного
объема общих определений (в самом начале ее развития
чешским математиком Б. Больцано и позднее К. Вейер-
штрассом было, например, обнаружено, что непрерывная
функция может не иметь производной ни в одной точке)'
и к обобщению основных понятий анализа в тех случаях,
когда в первоначальной форме они не дают исчерпываю-
щего ответа на ту задачу, из решения которой они воз-
никли (например, создание такого процесса интегриро-
вания, который позволил бы восстановить с точностью
до постоянной любую функцию F(z), имеющую в каж-
дой точке х производную f(x)=*F'по этой производ-
ной). Основы современной теории функций действитель-
ного переменного заложили математики французской
школы (К. Жордан, Э. Борель, А. Лебег, Р. Бэр). Позд-
нее руководящая роль переходит к русской и советской
школе, созданной Д. Ф. Егоровым и особенно П. Н. Лу-
зиным. К виднейшим представителям этой школы при-
надлежат Д. Е. Меньшов, А. Я. Хинчин, П. С. Алек-
сандров, М. Я. Суслин, И. И. Привалов (работавший
главным образом в областях, пограничных между тео-
рией функций действительного переменного и теорией
аналитических функций), П. К. Бари и др. Интенсивно
разрабатывается теория функций действптельпого пере-
менного и теория множеств польской школы, возглавляе-
мой В. Серпинским.
Исследование функций действительного переменного
велось, однако, и с другой, примыкающей к Чебышеву,
классической точки зрения. Именно, было обнаружено,
что более узкие классы функций, имеющие основной
практический интерес (классы функций, данное число
МАТЕМАТИКА
79
раз дифференцируемых, или аналитических функции)1,
могут быть охарактеризованы тем, насколько быстро
убывают с возрастанием п отклонения от функции наи-
лучшим образом аппроксимирующих ее многочленов сте-
пени п. Наиболее значительные результаты были полу-
чены в начале 20 в. С. Н. Бернштейном, возглавившим
затем большое направление конструктивной теории функ-
ций, в которой ведущее место принадлежит советским
исследователям. Теория приближений функций много-
членами в комплексной области тоже с наибольшим ус-
пехом разрабатывалась советскими исследователями
(М. А. Лаврентьев, М. В. Келдыш и др.).
Помимо своего непосредственного интереса, теория
функций действительного переменного оказала большое
влияние на развитие многих других отделов математи-
ки. Выработанные в ее пределах методы оказались осо-
бенно необходимыми при построении основ функциональ-'
ного анализа. Если в отношении методов функциональ-
ный анализ развивался под влиянием теории функций
действительного переменного и теории множеств, то по
своему содержанию и характеру решаемых в нем задач
он примыкает непосредственно к классическому анализу
и математической физике, становясь особенно необходи-
мым (главным образом в форме теории операторов) в
квантовой физике. Впервые сознательное выделение
функционального анализа как особой ветви математики
было произведено итальянским математиком В. Воль-
терра в конце 19 в. В качестве частей функционального
анализа воспринимаются теперь возникшие много ранее
вариационное исчисление, задачей которого является ра-
зыскание максимумов и минимумов функционалов, и тео-
рия интегральных уравнений, систематическое построение
которой было начато тем же Вольтерра и продолжено
шведским математиком Э. Фредгольмом, закончившим в
общих чертах теорию важного класса линейных инте-
гральных уравнений, названных его именем. С более об-
щей точки зрения центральное положение в функцио-
нальном анализе занимает теория бесконечномерных ли-
нейных пространств (разработанная в наиболее употре-
бительной ныне форме польским математиком С. Бана-
хом) и операторов в них. Наиболее важный специальный
случай операторов в гильбертовом пространстве, основ-
ная роль которого выяснилась из работ Гильберта по
интецжльным уравнениям, разрабатывается особенно ин*
80 РАЗДЕЛ I, РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
тенсивно. Значительные работы по общим вопросам
функционального анализа принадлежат венгерскому ма-
тематику Ф. Рпсу, американскому математику Дж. Ней-
ману, советскому математику И. М. Гельфанду и др.
Советским математиком Н. И. Мусхелишвили и его шко-
лой разработана теория сингулярных интегральных урав-
нений, имеющая большое значение в вопросах теории уп-
ругости. Важные работы по вариационному исчислению
выполнены в СССР М. А. Лаврентьевым, Л. А. Люстер-
ником, Н. Н. Боголюбовым. Методы функционального
анализа нашли широкое применение к решению конкрет-
ных задач математической физики также в работах
С. Л. Соболева и других советских аналитиков.
Развитие общих идей функционального анализа не
изменяет, однако, того положения, что наибольшее чис-
ло задач, выдвигаемых перед математикой естествознани-
ем и техникой, сводится к решению дифференциальных
уравнений, как обыкновенных (при изучении систем с
конечным числом степеней свободы), так и с частными
производными (при изучении непрерывных сред и в
квантовой физике). Поэтому все направления исследова-
ния дифференциальных уравнений в рассматриваемый
период интенсивно культивируются. Для решения слож-
ных лилейных систем создаются методы операционного
исчисления, возникновение которого не вполне правильно
связывается с именем английского инженера О. Хеви-
сайда (ряд основных фактов этого исчисления был, на-
пример, указан ранее (1862) русским математиком
М. Е. Ващенко-Захарченко). При исследовании нелиней-
ных систем с малой нелинейностью широко применяется
метод разложения по параметру. Продолжает разраба-
тываться аналитическая теория обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений (французские математики А. Пу-
анкаре, П. Пенлеве, советский математик И. А. Лаппо-
Данилевский и др.). Одпако наибольшее внимание в
области теории обыкновенных дифференциальных уравне-
ний привлекают теперь вопросы качественного исследо-
вания их решений: классификация особых точек (Пуан-
каре й др.), вопросы устойчивости, особенно глубоко изу-
ченные русским математиком А. М. Ляпуновым,
отыскание предельных циклов и другие вопросы тополо-
гического расположения интегральных кривых «в сред-
нем» (в форме так называемой эргодической теории).
Все эти исследования получили широкое развитие в
МАТЕМАТИКА
81
СССР (Л. И. Мандельштам, А. А. Андропов, В. В. Сте-
панов, Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, И. Г. Петровский
и др.).
Качественная теория дифференциальных уравнений
послужила для Пуанкаре отправным пунктом для ши-
рокого продолжения лишь едва намеченных Риманом
исследований по топологии многообразий, особенно в на-
правлении изучения неподвижных точек их непрерывных
отображений па самих себя. Здесь получили свое начало
«комбинаторные», «гомологические» и «гомотопические»
методы современной топологии, разработанные голланд-
ским математиком Л. Брауэром, американскими матема-
тиками О. Вебленом, Дж. Александером и С. Лефшетцем
и немецким математиком Г. Хопфом. Другое направление
в топологии возникло на почве теории множеств и функ-
ционального анализа и привело к систематическому по-
строению теории общих топологических пространств
(французский математик М. Фреше, немецкий математик
Ф. Хаусдорф, советские математики П. С. Урысон,
П. С. Александров, А. Н. Тихонов), в частности теории
их размерности (Урысоп). Объединение этих направле-
ний, придавшее полную общность алгебраическим «ком-
бинаторным методам», было осуществлено советской то-
пологической школой (П. С. Александров, Л. С. Понтря-
гин), работы которой лежат в основе современного
этапа развития топологии. Применения топологических
методов в анализе разрабатывались американскими ма-
тематиками Г. Биркгофом, М. Морсом, польским матема-
тиком 10. Шаудером, советским математиком Л. А. Лю-
стерпиком и другими.
Теория дифференциальных уравнений с частными
производными еще в конце 19 в. получает существенно
новый вид благодаря сосредоточению основного внимания
на краевых задачах и отказу от ограничения аналитиче-
скими краевыми условиями. Аналитическая теория, вос-
ходящая к Коши, Вейерштрассу и русскому математику
С. В. Ковалевской, не теряет при этом своего значения,
по отступает несколько на задний план, так как обнару-
живается, что при решении краевых задач она не гаран-
тирует «корректности», т. е. возможности приближенно
найти решение, зпая граничные условия тоже лишь при-
ближенно, в то время как без этой возможности теоре-
тическое решение не имеет практической ценности. Кар-
тина более сложна, чем представлялось с точки зрения
6 А, Н. Колмогоров
82
РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
аналитической теории: краевые задачи, которые можно
«корректно» ставить для разных типов дифференциаль-
ных уравнений, оказываются различными. Наиболее на-
дежным путеводителем в выборе для каждого типа урав-
нений надлежащих краевых задач становится непосред-
ственное обращение к соответствующим физическим
представлениям (о распространении волн, течении тепла,
диффузии и т. п.). Связанное с этим превращение тео-
рии дифференциальных уравнений с частными производ-
ными главным образом в теорию уравнений математиче-
ской физики, имея большое положительное значение в
смысле накопления огромного конкретного материала,
в то же время служит и признаком недостаточного раз-
вития общей теории краевых задач, которая позволила
бы систематически изучать все теоретически возможные
«корректные» краевые задачи. Существенный прогресс в
этом направлении намечается лишь в последнее время
в работах И. Г. Петровского, С. Л. Соболева и ряда
других советских математиков.
Работы по отдельным типам уравнений математиче-
ской физики справедливо составляют значительную часть
всей современной математической продукции. После не-
мецких математиков П. Дирихле и Б. Римана уравне-
ниями математической физики занимались французские
математики А. Пуанкаре, Э. Пикар, Э. Гурса, Ж. Ада-
мар, английские физики Дж. Рэлей и У. Томсон, немец-
кие математики К. Нейман, Г. Шварц, Д. Гильберт,
Р. Курант и многие другие. Для эллиптических уравне-
ний фундаментальный вопрос об аналитичности их ре-
шений был решен в начале 20 в. в России С. Н. Берн-
штейном. Основателями систематически работающей оте-
чественной школы в области уравнений математической
физики являются А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов,
Н. М. Гюнтер, А. Н. Крылов. В настоящее время эта
школа возглавляется В. И. Смирновым, И. Г. Петров-
ским, Л. С. Соболевым, А. Н. Тихоновым и рядом других
ученых, доставивших советской науке во многих разде-
лах этой области математики ведущее положение.
Существенным дополнением к методам теории диф«*
ференциальных уравнений при изучении природы и ре-
шении технических задач являются методы теории Be*
роятностей. Если в начале 19 в. главными потребителями
вероятностных методов были теория артиллерийской
стрельбы и теория ошибок, то в конце 19 в. и в начале
МАТЕМАТИКА
83
20 в. теория вероятностей получает много новых приме-
нений благодаря развитию статистической физики и ме-
ханики и разработке аппарата математической статисти-
ки. Наиболее глубокие теоретические исследования по
общим вопросам теории вероятностей в конце 19 в. и в
начале 20 в. принадлежат русской школе (П. Л. Чебы-
шев, А. А. Марков (старший), А. М. Ляпунов). Они
сосредотачиваются вокруг вопроса об условиях приме-
нимости центральной предельной теоремы теории вероят-
ностей. В 20 в. происходит общий подъем интереса к
теории вероятностей во всех странах (Р. Мизес в Гер-
мании, Э. Борель, П. Леви во Франции, В. Феллер в
США и многие другие). В СССР фундаментальное зна-
чение имеют работы С. Н. Бернштейна, завершившего
работы чебышевской школы и начавшего целый ряд но-
вых теоретических и прикладных направлений. Совет-
скими исследователями (А. Я. Хинчин, А. II. Колмого-
ров и др.) создаются основы теории «случайных», или
вероятностных, процессов и дается окончательная форма
аксиоматического изложения теории вероятностей, исхо-
дящая из усмотренных впервые Борелем аналогий меж-
ду понятием вероятности и понятием меры в теории
функций действительного переменного.
Практическое использование результатов теоретиче-
ского математического исследования требует получения
ответа на поставленную задачу в численной форме. Меж-
ду тем даже после исчерпывающего теоретического раз-
бора задачи это часто оказывается совсем не легким
делом. В конце 19 в. и в 20 в. численные методы анали-
за вырастают в большую самостоятельную ветвь мате-
матики. Особенно большое внимание уделяется при этом
методам численного интегрирования дифференциальных
уравнений. Для обыкновеных дифференциальных урав-
нений получает широкое распространение метод, от-
крытый английским астрономом Дж. Адамсом еще в
1855 году и развитый далее норвежским математиком
К. Штёрмером. Другого типа метод предложил немецкий
математик К. Рунге. Кроме многочисленных найденных
позднее вариаптов этих двух типов методов и давно из-
вестного метода последовательных приближений, теоре-
тически обоснованного Пикаром, советским математиком
С. А. Чаплыгиным предложен (1919) метод интегриро-
вания обыкновенных дифференциальных уравнений, ос-
нованный на существенно иных принципах. Для урав-
84 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
нений с частными производными разностные методы,
разработка которых была начата немецким математиком
Г. Либманом, были усовершенствованы в СССР С. А. Гер-
шкориным и рядом других исследователей. Другой ме-
тод, предложенный немецким математиком В. Ритцем
(1908), получил замечательное развитие в работах рус-
ского ученого В. Г. Галеркина (1915). Условия приме-
нимости метода Галеркина были исследованы М. В. Кел-
дышем и др. На развитие в СССР всех направлений ис-
следований в области численпых методов анализа оказа-
ли большое влияние труды А. Н. Крылова. Замечатель-
ные связи численных методов анализа с функциональным
анализом обнаружены исследованиями Л. В. Канторовича.
Широкое развитие работ, требующих численных рас-
четов, приводит к необходимое ги вычисления и публика-
ции все возрастающего количества математических таб-
лиц. Ряд вопросов, связанных с рациональным состав-
лением таблиц и интерполированием в них, особенно в
случае таблиц функций нескольких переменных, стиму-
лирует и развитие соответствующих теоретических ис-
следований («теория табулирования»).
В последнее время все большее значение приобретает
использование при вычислениях больших скоростных вы-
числительных машин. С этим связано возникновение но-
вого отдела математики — теории программирования, т. е.
теории приведения математических задач к форме, позво-
ляющей их решить наиболее рациональным способом на
математических машинах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
История и философия математики — Сборник статей по фило-
софии математики, под ред. С. А. Яновской, М., 1936; Александ-
ров А. Д., Ленинская диалектика и математика, «Природа»,
1951, № 1; его же, Об идеализме и математике, там же, 1951,
№ 7—8; Цейтен Г. Г., История математики в древности и в
средние века, пер. с франц., 2 изд., М.— Л., 1938; его же, История
математики в XVI и XVII веках, пер. с нем., 2 изд., М.—Л., 1938;
Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в древнем мире,
М.— Л., 1941; Б е л л ю с т и н В., Как постепенно дошли люди до
настоящей арифметики, М., 1940; Шереметевский В. П.,
Очерки по истории математики, М., 1940; Васильев А. В., Ма-
тематика, вып. 1 (1725—1826—1863), П., 1921; Гнеденко Б. В.,
Очерки по истории математики в России. М.— Л., 1946; К э д ж о-
р и Ф., История элементарной математики с указанием на методы
преподавания, пер. с англ., 2 изд., Одесса, 1917; Клейн Ф., Лек-
ции о развитии математики в XIX столетии, нер. с нем., ч. I,
М.— Л., 1937; Историко-математические исследования вып. 1—6,
М.— Л., 1п,18—53; В и л е п т п е р Г., Хрестоматия по истории ма-
РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В СССР 85
тематика, составленная по первоисточникам. Арифметика и алгеб-
ра. Геометрия и тригонометрия..., пер. с нем., 2 изд.. М,—Л 1935;
Cantor М., Vorlesungen iiber Geschichte der Malhematik, Bd 1—4,
3 Aufl., Lpz., 1907—1913, Wielitner H., Geschichte der Mathe-
matik. Neue Bearbeitung, Bd 1—2, B., 1922—1923; Ca jori F., A his-
tory of mathematics, 2ed., N. Y., 1931; Loria G., Storia delle ma-
teroatiche dell’alba della civilita al secolo XIX, 2ed., Milano, 1950;
его же, Guida allo studio della storia delle matematiche, 2ed. Milano,
1946; Tropfke J; Geschichte der Elementar-Mathematik. In sys-
tematischer Darslellung mit besonderer Beriicksichtigung der Fach-
worter, Bd 1—4, 3 Aufl., B.— Lpz., 1930—1940; Bd 5-7, Aufl., B.—
Lpz.. 1923—1924.
Математические энциклопедии и обзоры — Математика. Сб. ста-
тей, под ред. П. С. Александрова и др., М.—Л., 1932 (Наука в СССР
за 15 лет. 1917—1932); Математика в СССР за тридцать лет. 1917—
1947. Сб. статей, под редакцией А. Г. Куроша и др., М,— Л., 1948;
Труды Всероссийского съезда математиков в Москве 27 апреля —
4 мая 1927. М.—Л., 1928; Труды первого Всесоюзного съезда мате-
матиков (Харьков, 1930), М.—Л.: 1936; Труды второго Всесоюзного
математического съезда. Ленинград 24—30 июня 1934, т. 1—2,
Л.— М., 1935—36; «Успехи математических наук», М.— Л., 1936—
44, вып. 1—10, 1946—53, т. 1—8; Энциклопедия элементарной мате-
матики, под ред. П. С. Александрова и др., кн. 1—3, М.— Л., 1951—
52; Вебер Г. и Вельштейн И., Энциклопедия элементарной
математики, пер. с нем., т. 1—3, 2 изд., Одесса, 1911—1914; Enziclo-
padie der mathematischen Wissenschaflen, mit Einschluss ihrer
Anwendungen, Bd 1—6, Lpz., 1898—1934, то ясе, Bd 1. 2 Aufl.,
Lpz., 1952; EncyclopSdie des sciences math6matiques pares et appli-
qu4es, t. 1—7, P.—Lpz., 1904—1914; Pascal E., Repertorium der
hoheren Mathematik, 2 Aufl., Lpz.—B., 1910—1929; Berzola-
r i L., Enciclopcdia delle matematiche elementari e complement! con
estensione alle principal! teorie analitiche, qeoinetriche e fisiche.
Ix)ro applicazioni e notizie storico-bibliograiice, v. 1—3, Milano,
1930-1950.
РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В СССР *)
Развитие математики в советский период органически
опирается па лучшие достижения дореволюционного пе-
риода, но вместе с тем характеризуется и многими но-
выми чертами. Первой отличительной чертой советского
периода является значительно более широкая и плано-
вая организация научных исследований и подготовки
научных кадров. В этом направлении крупные заслуги
принадлежат В. А. Стеклову; в частности, оп создал
(1920) при Академии наук научно-исследовательский
Физико-математический институт. В первые годы после
Великой Октябрьской соцпалистической революции наи-
♦) Опубликовано в БСЭ.—1917.—Т. «СССР»,— С, 1318—1323.
86 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
более бурный рост математической науки наблюдается в
Москве. Параллельно с работами Лузина и его учеников
по теории функций действительного переменного и тео-
рии множеств развиваются исследования по теории функ-
ций комплексного переменного (В. В. Голубев, И. И. При-
валов, 1891—1941). В то время как часть учеников Лу-
зина продолжает работать над проблемами теории функ-
ций действительного переменного (Д. Е. Меньшов,
Н. К. Бари), другие берутся за новые области математи-
ки: П. С. Урысон (1898—1924) и П. G. Александров
делаются основателями и руководителями московской
топологической школы, Л. Г. Шнирельман (1905—1938)
и Л. А. Люстерник разрабатывают топологические мето-
ды анализа, А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров создают
новое направление в теории вероятностей. В основанном
в 1922 г. Математическом институте Московского универ-
ситета находится место и для ряда других научных на-
правлений; например, рядом с московским направлением
работ по дифференциальной геометрии (Д. Ф. Егоров,
С. П. Фиников, С. С. Бюшгенс) чрезвычайно широко
и планомерно развивается в школе В. Ф. Кагана много-
мерная тензорная дифференциальная геометрия, столь
важная для современной физики. Под руководством
О. Ю. Шмидта создается школа алгебраистов, в которой
в дальнейшем особенно выделяется деятельность А. Г. Ку-
роша и многочисленных его учеников. В области теории
чисел значительные результаты получены А. О. Гель-
фондом (р. 1906) —о трансцендентных числах —и
Л. Г. Шпирельмапом.
Математический институт Московского университета,
руководимый (с 1939) В. В. Степановым (собственные
работы которого относятся к теории функций действи-
тельного переменного и к качествеппой теории диффе-
ренциальных уравнений), остается и в пастоящее время
самым значительным в СССР центром подготовки мате-
матических научных кадров. Выработанные в нем рас-
порядок и традиции подготовки аспирантов оказали не-
которое влияние и на постановку этого дела за предела-
ми математики. Из аспирантуры этого ипститута вышла
значительная часть советских математиков младшего по-
коления, работающих в Москве и в других городах
СССР.
В Ленинграде в советский период развивались полу-
чившие мировую известность работы И. М. Виноградова
РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В ССОР
87
по аналитической теории чисел. Б. Н. Делоне и
Р. О. Кузьмин блестяще продолжали традиции дорево-
люционной петербургской школы в других разделах тео-
рии чисел. Еще более широко в смысле вовлечения
большого количества одаренных молодых исследователей
развернулась в Ленинграде работа по уравнениям мате-
матической физики. Организаторами этой работы яви-
лись Н. М. Гюнтер и В. И. Смирнов. Заслуги последнего
особенно велики в деле создания советской школы в этой
основной для всего естествознания области математики.
Ученики Смирнова и ученики его учеников (академики
С. Л. Соболев, Н. Е. Кочин (1901—1944) и С. А. Хри-
стианович, член-корреспондент Академии наук СССР
И. А. Кибель и многие другие составляют значительную
часть кадров советских исследователей не только в самой
теории уравнений математической физики, но и непосред-
ственно в гидродинамике, сейсмологии и метеорологии.
Примыкая к ленинградской школе, под руководством
II. И. Мусхелишвили в Тбилиси выросла сильная гру-
зинская школа уравнений математической физики я спе-
циально теории упругости (значительные результаты по
вариационному исчислепию были получены Размадэе).
Под некоторым влиянием Москвы развивались в Ленин-
граде области математики, опирающиеся на теорию мно-
жеств и теорию функций действительного переменного.
Это в первую очередь заслуга Г. М. Фихтенгольца (тео-
рия функций действительного переменного)', А. А. Мар-
кова (топология) и Л. В. Канторовича (функциональный
анализ). С организационной стороны деятельность ле-
ниградских математиков сосредоточивалась в двух мате-
матических институтах: Академии наук СССР (после
1935 — в Ленинградском филиале Математического ин-
ститута Академии наук СССР) и Ленинградского уни-
верситета.
Следующим по размаху работы научным математиче-
ским центром явился Украинский математический ин-
ститут, учрежденный в Харькове в 1928 г. В нем получи-
ли большое развитие работы Бернштейна и его учеников
(В. Л. Гончаров, П. А. Ахиезер и др.) по теории ап-
проксимаций и теории вероятностей. Специальные науч-
ные математические институты были учреждены также
в Киеве, Тбилиси, Казани, Томске. Эти институты яви-
лись организационной основой для планового развития
научных математических школ на периферии Советского
88 РАЗДЕЛ I. РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
Союза. Кроме уже упомянутой грузинской школы, среди
них необходимо отметить деятельность казанской школы
алгебраистов (вопросы классической алгебры и непре-
рывные группы), возглавлявшейся Чеботаревым, работы
казанских геометров — П. А. Широкова (1895—1944) и
др., продолжавших традиции Лобачевского, и киевскую
школу в области анализа с применениями к нелинейной
механике (Н. М. Крылов и II. Н. Боголюбов). Долголет-
няя деятельность В. И. Романовского (по преимуществу
в области математической статистики) и других ташкент-
ских математиков получила прочную организационную
базу с учреждением Академии наук Узбекской ССР.
Энергично ведется научная работа по математике также
в Одессе (М. К. Крейном и его учениками —в области
функционального анализа), в Саратове (где эта работа
возглавляется представителем московской тензорной шко-
лы В. В. Вагнером, р. 1908) и в ряде других городов
Советского Союза.— С переездом в 1935 г. Академии
наук СССР в Москву, крупнейшим центром научных ис-
следований в СССР сделался Математический институт
имени В. А. Стеклова, возглавляемый И. М. Виногра-
довым.
В настоящее время советские математики с успехом
разрабатывают на высоком теоретическом уровне почти
все актуальные разделы математики, в некоторых же из
них занимают ведущее положение в мировой науке. Не-
смотря на такую широту охвата, второй отличительной
чертой советской математики является ее единство, пре-
имущественный интерес к узловым проблемам, связы-
вающим различные ветви математического исследования,
и стремление к ясному пониманию роли каждого отдель-
ного направления для самой математики, математическо-
го естествознания и техники.- Благодаря этим устремле-
ниям замкнутость традиционных научных школ все бо-
лее уступает место их продуктивному взаимодействию.
Многие представители «теоретико-множественной» школы
учеников II. II. Лузина сделались первоклассными иссле-
дователями в «классических» областях математики. На-
пример, самым значительным продолжением исследова-
ний С. Н. Бернштейна об аналитическом характере ре-
шений эллиптических уравнений следует считать глубо-
кие работы И. Г. Петровского по системам уравнений с
частными производными. М. А. Лаврентьев и М. В. Кел-
дыш стали одними из самых замечательных представи-
РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В СССР 89
телей советской механики. Тополог, ученик П. С. Алек-
сандрова, А. Н. Тихонов приобрел не меньшую извест-
ность работами по математической геофизике. В то же
время новые работы ленинградской школы в области
уравнений математической физики часто проникнуты ши-
рокими общими идеями современного функционального
анализа (например, многие исследования Соболева).
Естественно, что это не означает полного обезличивания
отдельных научных школ. Например, в теории вероят-
ностей произошло тесное переплетение тематики исследо-
ваний Бернштейна, продолжающего традиции Чебышева,
Маркова и Ляпунова, и московской школы: представи-
тели московской школы дали результаты, относящиеся
к уточнению и обобщению классических предельных тео-
рем, а Бернштейн в своеобразной и глубокой форме про-
должил московские исследования по стохастическим диф-
ференциальным уравнениям. Тем пе менее обе школы
остаются во многом различными и, по-видимому, с поль-
зой для науки дополняют друг друга.
С отвлеченной, логической стороны все развитие ма-
тематики идет из двух основных источников: алгебры и
топологии. Их скрещение в простейшей и наиболее об-
щей форме приводит к теории непрерывных групп.
В этой области математики, значение которой в матема-
тическом естествознании становится тоже все более опре-
деляющим, основные продвижения принадлежат ученику
П. С. Александрова Л. С. Понтрягину, известному также
и в качестве одного из самых сильных представителей
чистой топологии. Трудные проблемы теории непрерыв-
ных групп решены в казанской школе Чеботарева, а так-
же А. И. Мальцевым в Москве. В порядке дальнейшего
усложнения объединяющих общих идей современной
математики, мы приходим к уже неоднократно упоминав-
шемуся в этой статье функциональному анализу, кото-
рый подчиняет решение проблем классического анализа
общим алгебраическим и топологическим методам. Идея-
ми функционального анализа глубоко проникнуты очень
многие работы советских ученых разных направлений.
В области специфических собственных проблем функ-
ционального анализа наиболее замечательные результаты
принадлежат молодому московскому математику
И. М. Гельфанду (р. 1912).
Этот путь копкретпзацпп самых общих отвлеченных
идей современной абстрактной математики находит свое
90
РАЗДЕЛ I, РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
естественное продолжение в дальнейшем пути от проб-
лем самой математики — к ее применениям. Третьей осо-
бенностью советского периода развития русской матема-
тики является организованная и широкая работа совет-
ских математиков над наиболее актуальными задачами,
выдвигаемыми не только потребностями механики и фи-
вики, но и непосредственно техникой и, в частности,
нуждами обороны страны. Эта последняя черта прояви-
лась особенно ярко во время Великой Отечественной вой-
ны с Германией и Японией.
Доведение математических прикладных исследований
до конкретных числовых результатов в настоящее время
часто требует огромных усилий. Благодаря атому во всех
странах энергично ведутся работы по созданию новых
методов математических расчетов. Вычисление матема-
тических таблиц делается серьезной государственной за-
дачей, требующей специальной организации. Особенно
растет внимание к механизации математических вычис-
лений, для чего создаются сложные математические ма-
шины (для решения дифференциальных уравнений, гар-
монического анализа и т. п.). Первые шаги советской
математики в этом направлении возглавлялись А. Н. Кры-
ловым, о деятельности которого уже говорилось в первой
части статьи. Новый метод решения дифференциальных
уравнений был предложен С. А. Чаплыгиным. Важные
исследования о численных решениях уравнений матема-
тической физики были проведены Л. К. Канторовичем.
Незаменимая при более грубых быстрых расчетах номо-
графия разрабатывалась в СССР Н. А. Глаголевым.
В последние годы работы по вычислительной математике
сосредоточиваются в специальном отделе Математическо-
го института Академии наук СССР, возглавляемом
Л. А. Люстерником. Сложные машины для решения диф-
ференциальных уравнений сконструированы в Энергети-
ческом институте Академии наук СССР И. С. Бруком и
Л. И. Гутепмахером.
Наиболее замечательные работы советских математи-
ков отмечены присуждением за них Сталинских премий:
И. М. Виноградову — за решение проблемы Гольбаха
в теории чисел, проблемы, которая дожидалась своего
решения почти двести лет; Н. И, Мусхелишвили — за
исследование дифференциальных уравнений теории
упругости; С. Н. Бернштейну — за работы по теории
вероятностей; П. С. Александрову — за работы по трпо-
РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В СССР 61
логии; М. А. Лаврентьеву — за применение общих мето-
дов теории функций к задачам механики; И. Г. Петров-
скому — за исследования систем дифференциальных урав-
нений в частных производных; С. Л. Соболеву — за ра-
боты по дифференциальным уравнениям, имеющие при-
менения к сейсмологии и к другим задачам распростра-
нения колебаний; Л. С. Понтрягину — за работы по тео-
рии топологических групп; А. Н. Колмогорову и
А. Я. Хинчину — за работы по теории вероятностей;
А. Д. Александрову — за исследования о геометрических
свойствах выпуклых тел; Л. А. Люстернику — за работы
по топологическим методам анализа; А. И. Мальцеву —
за исследования по теории непрерывных групп,
Ю. В. Линнику — за работы по теории чисел.
Ряд Сталинских премий был присужден мате-
матикам за исследования в области физики (Н. Н. Бого-
любову), технических наук (А. Н. Крылову, С. А. Хри-
стиановичу и М. В. Келдышу) и за участие их в изо-
бретательской технической работе (М. А. Крейнес).
Раздел второй
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
НЬЮТОН И СОВРЕМЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МЫШЛЕНИЕ*)1)
Как известно, Ньютон страдал двумя фобиями «бо-
язнью споров» и «боязнью философии». Ввиду этого в
случае Ньютона особенно необходимо придерживаться
правила, которое мы отнесли бы и к изучению работ
большинства представителей математических и естествен-
ных наук: изучать методологию ученого в первую оче-
редь непосредственно по его научным работам, а не по
его методологическим высказываниям.
Нижеследующее является, может быть, несовершен-
ной попыткой применения этого правила к математиче-
ским работам Ньютона.
Судьба математических работ Ньютона весьма свое-
образна. Решающими годами во всем творчестве Ньютона
были 1665—1666 гг. В этот короткий период вчерне
были сделаны все основные открытия Ньютона в мате-
матике, механике и физике. Если учесть, что речь идет
о создании математического анализа (дифференциального
и интегрального исчисления) и математического естество-
знания5), то этот случай следует признать единственным
в истории науки.
*) Опубликовано в журнале «Математика в школе».— 1982,—
№ 6.- С. 58-64.
!) Статья возникла из юбилейного доклада, прочитанного в
1943 г., и была опубликована в сборнике «Московский универси-
тет — памяти Исаака Ньютона».— М.: Изд-во МГУ, 1946.— С. 27—42.
Своим интересом к научной методологии математических ра-
бот Ньютона я обязан замечательным публикациям Алексея Нико-
лаевича Крылова. В частпости, все противопоставление здоровой
ясности ньютоновского мышления математической мистике Лейб-
ница и Эйлера мною заимствовано у Алексея Николаевича. Если
я более, чем это делал Алексей Николаевич, подчеркиваю и отли-
чие ньютоновской «строгости» от современной «теоретико-множест-
венной», то это дань естественному различию поколений.
2) Ньютоном не только были сделаны фундаментальные от-
крытия в математическом естествознании, которые излишне здесь
НЬЮТОН И СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ ЙЗ
Считают, что три основные математические работы
Ньютона1) были написаны в следующие годы:
1) «Анализ с помощью уравнений с бесконечным
числом членов»—в 1665 г.;
2) «Метод флюксий»—поздпее «Анализа с помощью
уравнений», по до 1671 г.;
3) «Рассуждение о квадратуре кривых»—основной
текст в 1665—1666 гг.; окончательная редакция, введе-
ние и заключительное «Поучение»—значительно позд-
пее, по-видимому, в семидесятых годах после «Метода
флюксий».
Опубликованы же эти три работы были:
1) в 1711 г.;
2) после смерти Ныотопа в 1736 г.;
3) в 1704 г. в виде приложения к «Оптике».
Все эти работы были опубликованы в виде не вполне
согласованных между собою фрагментов, иногда нося-
щих явные следы разновременности их паписапия.
Даже части одной и той же работы иногда носят
явные следы разновременности их написания; в случае
«Рассуждения о квадратуре кривых» такая несогласован-
ность вполне сознательна, так как основной текст пред-
назначен для воспроизведения состояния ньютоновских
представлений в 1665—1666 гг., хотя они и сильно от-
личались от его взглядов в момент написания введения
и «Поучения»2).
Совершенно иначе отнесся Ньютон к редактированию
своего знаменитого труда по механике — «Математических
начал натуральной философии» пли своей «Оптики».
В последовательных изданиях они подвергались чрезвы-
перечислять, так как они общеизвестны, по и было впервые созда-
но математическое естествознание и в смысле системы математи-
ческого изучения всех механических, физических и астрономиче-
ских явлений. До него можно говорить лишь о подчинении
математическому методу исследования отдельных, разрозненных
частей естествознания. Конечно, идеи Лейбница о возможности
математизации всего человеческого познания были еще универ-
сальнее. Но именно в силу своей абсолютной общности и некон-
кретности, они и оказались бесплодными. См. по поводу универ-
сальной применимости и в то же время ограниченности математи-
ческого метода мою статью «Математика» в БСЭ.
*) Цитируется далее по переводу Д. Д. Мордухай-Болтовского.
2) Введение к «Рассуждению о квадратуре кривых» кончается
словами: «Найти по флюксиям флюэнты — задача более трудная,
и первый шаг решения равнозначен квадратуре кривых, о которой
я некогда и написал нижеследующее».
04 раздел п. математическое мышление
чайно тщательной, а иногда, может быть, и несколько
болезненно мнительной редакции и переделке. Для на-
шей цели охарактеризованное состояние текстов матема-
тических работ хотя и затрудняет создание связной ха-
рактеристики научной методологии Ньютона в каждый
период его работы, но дает и некоторое преимущество —
возможность проникнуть в лабораторию его научной
мысли.
Ньютон и Лейбниц. Как известно, возникновение
современных дифференциального и интегрального исчис-
лений было в значительной мере подготовлено работами
математиков первой половины XVII в.: Кеплера, Каваль-
ери, Декарта, Ферма и др. Однако не без основания,
в собственном смысле слова, открытие этого исчисления
приписывают Ньютону и Лейбницу, так как они первые
свели решение всех разнообразных задач, при рассмот-
рении которых их предшественники пользовались мето-
дами анализа бесконечно малых, к систематическому
применению двух обратных друг другу операций: диф-
ференцирования и интегрирования.
В смысле печатной публикации приоритет принад-
лежит Лейбницу, давшему развернутое изложение основ-
ных идей нового исчисления в статьях, опубликованных
в «Акта Эрудиторум» в 1682—1686 гг.
Наоборот, в отношении времени фактического полу-
чения основных результатов есть все основания считать
приоритет принадлежащим Ньютону, который основные
идеи дифференциального и интегрального исчислений на-
шел в течение 1665 и 1666 гг., а к 1671 г. обладал уже
законченной системой изложения своей теории, зафикси-
рованной в «Методе флюксий», в то время как Лейбниц
начал свои исследования по анализу бесконечно малых
лишь в 1673 г.
Мы не будем долго останавливаться на не вполне
выявленном вопросе о степени независимости Лейбница.
По этому поводу известно следующее.
Первая из указанных выше работ Ньютопа—«Анализ
с помощью уравнений», написанная в 1665 г., была в ру-
кописи около 1669 г. передана Барроу и Коллинзу и
получила некоторую известность среди английских ма-
тематиков. Лейбниц во время своего путешествия в Ан-
глию, которое непосредственно предшествовало началу
его работ по анализу бесконечно малых, несомненно, дол-
жен был кое-что слышать о содержании этого сочинения
НЬЮТОН И СОВРЕМЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ 95
Ньютона; однако с самой рукописью Лейбниц познако-
мился у Коллинза только в 1676 г., когда его собствен-
ные исследования в основном были уже произведены.
К тому же следует иметь в виду, что в «Анализе с по-
мощью уравнений» Ньютон еще не дает явного изложе-
ния своего общего метода флюксий, ограничиваясь изло-
жением некоторых его элементов применительно к от-
дельным частным задачам. В этом же 1676 г. Ньютон в
ответ на запросы Лейбница, переданные ему через Оль-
денбурга, изложил Лейбницу в двух письмах перечень
основных своих результатов, не раскрывая полностью
метода их получения. Эти письма, по-видимому, уже не
могли дать Лейбницу много нового.
Обратное влияние Лейбница на Ньютона могло ска*
заться только на введении к «Рассуждению о квадратуре
кривых», которое, как указывает сам автор, написано
значительно позднее основного текста этого сочинения.
Что касается основного текста «Рассуждения», то, судя
по характеру изложения, он написан между «Анализом
с помощью уравнений» и «Методом флюксий», т. е. меж-
ду 1665 и 1667 гг.
Значительно интереснее, что Ньютон и Лейбниц подо*
шли к созданию дифференциального и интегрального ис*
числений с совершенно различных сторон и с совершен-
но противоположными методологическими установками.
Различие их подходов очень ярко, хотя и несколько
упрощенно и пристрастно в пользу Ньютона, обрисовано
А. Н. Крыловым в следующих выражениях1):
«Ньютон открыл и дал основы исчисления бесконечно
малых, исходя из понятий механических и геометриче*
ских. Он всегда применял при своих рассуждениях гео*
метрические представления и был абсолютно строг в них
и абсолютно точен в языке и выражениях, поэтому он
сперва устанавливает то понятие о пределе переменной
величины, которым пользуются и сейчас, и все учение
о «флюксиях», или, по теперешней терминологии, «про*
изводных», основывается на разыскании пределов отно*
шения двух бесконечно малых величин, находящихся в
определенной взаимной зависимости и изменяющихся
совместно. Он, ставя как основную задачу интегрального
’) А. Н. Крылов. Леонард Эйлер,— М.— Л.: Изд-во АН СССР,
1933.— С. 16.
96
РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
исчисления нахождение «флюэнты» по данной ее «флюк-
сии», т. е. первообразной функции по данной ее произ-
водной, пользуется все время геометрическими представ-
лениями и самое свое сочинение называет: «De quadra-
tura curvarum».
Иначе поступил Лейбниц — вместо исчезающего в
пределе приращения переменной или ее функции, рас-
сматриваемого Ньютоном, он ввел новый термин «беско-
нечно малое». Он не дал этому понятию точного и стро-
гого математического определения, а в некоторых своих
пояснениях он как бы даже не различает математических
понятий «бесконечно малое» от «весьма малое» и «бес-
конечно большое» от «весьма большое», уподобляя для
примера одно земному шару, другое пылинке. Более того,
он связывает понятие о бесконечно малом с философ-
скими понятиями о «конечной или бесконечной делимо-
сти материи», о «неделимом атоме», о «монаде» и пр.,
которые весьма далеки от чистой математики, имеющей
дело не с самими величинами, а с числами, служащими
им мерою».
В действительности Ньютон ни в одном из своих со-
чинений не дал вполне последовательного изложения
метода флюксий, соответствующего полностью характе-
ристике А. Н. Крылова. Наряду с методом «первых и
последних отношений», т. е. в современной терминоло-
гии с методом пределов, Ньютон пользуется «методом
моментов», который в существенном совпадает с «мето-
дом неделимых» его менее требовательных в отношении
логической строгости современников и предшественников.
Интересно проследить историю употребления Ньюто-
ном «метода моментов» и «метода первых и последних
отношений» по его произведениям.
В самом раннем своем пропзведепии—«Анализе с
помощью уравнений», написанном в 1665 г., Ньютон уже
владеет совершенно отчетливым представлением о пре-
деле, хотя и не формулирует его в качестве определе-
ния, а лишь описывает по одному частному поводу, ког-
да пишет:
«Далее следует еще обосновать решение буквенных
неявных уравнений, а именно то, что чем далее развер-
тывается при достаточно малом х результат, тем более
он подходит к истинному значению, так что разность
(р, q или гит. д), па которую он отличается от точ-
ного значения у, делается, наконец, меньше всякой дац-
НЬЮТОН И СОВРЕМЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ 97
ной величины; и что при бесконечном продолжении ре-
зультат становится равным самому у».
Однако там, где это ему удобно, Ныотоп пользуется в
«Анализе с помощью уравнений» без стеснений «момен-
тами», и замечание: «Я не боюсь говорить о точечной
единице или бесконечно малой линии, так как еще при
употреблении метода неделимых геометры имели в виду
только отношения»,— мало помогает делу.
В более позднем «Методе флюксии» основное изло-
жение метода флюксий обходится совсем без «моментов».
Мы увидим далее, что для сохранения преимуществ,
которые мог бы дать «метод моментов» (однородность
записи при изучении неявных зависимостей между пере-
менными величинами), Ньютон становится здесь на па-
раметрическую точку зрения, рассматривая все связан-
ные друг с другом величины как функции вспомогатель-
ного переменного —«времени», которое явно в выкладки
не входит. Уже одно это заставляет считать, что освобож-
дение от «метода моментов» не было случайным, а яви-
лось осуществлением вполне сознательно намеченной
программы.
Тем пе менее при рассмотрении геометрических при-
менений Ныотоп в «Методе флюксий» вновь возвраща-
ется к «методу моментов».
Еще большую непоследовательность Ньютоп обнару-
живает в «Рассуждении о квадратуре кривых». В введе-
нии к этому произведению буква о обозначает уже не
«бесконечно малый» момент, а обыкновенное конечное
приращение. Например, приращению о переменного х
соответствует приращение
пох 1 Ч----«— оох 4- ... (а)
для х\ Только деля (а) па о, Ньютон получает
1 t пп — п л *1—2 .
пх 4------g— ох + • • •
и после перехода к пределу: пхп~х. Первоначальному ме-
тоду моментов соответствовало бы утверждение, что мо-
мент хп равен просто похп~х. Введение заканчивается
словами:
«Пользуясь методом первых и последних отношений,
можно с помощью аналогичных рассуждений получить
в любых случаях флюксии как прямых, так и кривым
7 А. П Колмогоров
98
РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
линий, а также флюксии поверхностей, углов и других
величин. Подобное построение анализа посредством ко-
нечных величин и исследование первых или последних
отношений нарождающихся или исчезающих конечных
величин согласно с геометрией древних, и я желал об-
наружить, что в методе флюксий нет необходимости вво-
дить в геометрию бесконечно малые фигуры.
Можно, правда, провести анализ на каких угодно фи-
гурах, и конечных, и бесконечно малых, которые пред-
ставляют себя подобными исчезающим, так же как и на
фигурах, которые в методе неделимых обычно считаются
бесконечно малыми, но только при этом следует дей-
ствовать с должной осторожностью.
Найти по флюксиям флюэнты — задача более трудная,
и первый шаг решения равнозначен квадратуре кривых,
о которой я некогда и написал нижеследующее».
Рассмотрение следующего далее основного текста
«Рассуждения о квадратуре кривых» сразу убеждает нас
в том, что он не является осуществлением программы
построения анализа посредством рассмотрения исключи-
тельно конечных величин и теории пределов, а построен
па широком употреблении моментов в смысле бесконечно
малых. Так, уже на первых страницах мы видим, что
при возрастаппи времени па «момент» о флюэнты х,
у, z возрастают на ох, оу, oz, где х, у, z — флюксии (т. е.
производные).
Это и естественно, если считать, как обычно принято,
что основной текст «Рассуждения о квадратуре кривых»
написан вскоре после «Анализа с помощью уравнений»
и много ранее «Метода флюксий». Как бы то ни было,
программа, намеченная в введении к «Рассуждению о
квадратуре кривых», так и осталась не осуществленной
полностью (так как в «Методе флюксий» она осуществ-
лена лишь частично).
Очень важно еще отметить, что в «Поучении», кото-
рым закапчивается «Рассуждение о квадратуре кривых»
и которое, как и введение, написано, по-видимому, позд-
нее основного текста и даже позднее «Метода флюксий»,
Ньютон делает очень важный следующий шаг к полному
осуществлению своей программы, приближаясь к совре-
менному определению дифференциала. Об этом будет
сказано далее.
Наиболее окончательное изложение своего «метода
первых и последних отношений» Ньртоц вдлючцл в своя
НЬЮТОН И СОВРЕМЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ 99
«Математические начала натуральной философии» (1-е
изд. в 1686 г.).
Можно думать, что это изложение «метода первых п
последних отношений», т. е. теории пределов, является
тщательно продуманным изложением тех точек зрения
на понятие предела, которые к 1686 г. Ньютон считал
окончательными и наиболее совершенными. К этому ме-
сту «Начал» мы еще вернемся.
Аналогично, логически завершенного и в то же время
достаточно полного изложения метода флюксий Ньютон
не дал, ограничившись кратким изложением своих окон-
чательных методологических позиций в этом вопросе во
введении к «Рассуждению о квадратуре кривых» и в
шестом отделе второй книги «Начал». Не желая ставить
свои «Начала» под угрозу нападок за нестрогость и неточ-
ность изложения, Ньютон предпочел основное содержание
«Начал» изложить, не пользуясь методов флюксий.
Мы не будем анализировать причин, в силу которых
произошло это отступление Ньютона от ясной и вполне
осуществимой программы строгого и отчетливого построе-
ния математического анализа. Несомненно, что ясность
и строгость изложения в смысле, требовавшемся Ньюто-
ном (или удовлетворяющем и в наши дни таких прекрас-
ных математиков-прикладников, как А. Н. Крылов), была
еще очень далека от тех представлений о математической
строгости, которые были позднее выдвинуты Коши пли
Вейерштрассом и господствуют в современной математи-
ке, однако по сравнению со своими современниками Нью-
тон стоял в этом отношении на чрезвычайной высоте.
Часто высказывается мнение, что, избегая употребле-
ния бесконечно малых в лейбницевском смысле, Ньютон
терял преимущества, предоставляемые лейбницевским
алгоритмом вычислений с дифференциалами. Ниже мы
покажем, что это мнение не вполне правильно. В упро-
щенных атомистических концепциях Лейбница было, од-
нако, преимущество простоты. Трудно поэтому сказать,
в какой мере более систематическое развитие и своевре-
менное опубликование Ньютоном его системы построения
математического анализа могли бы уберечь математику
от погружения на столетие в период мистической веры
во всесилие математических алгоритмов, хотя бы и ли-
шенных всякого ясного смысла.
В самом деле, с Лейбница начинается период разви-
тия математики, достигшей своей кульминационной точ-
100
РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
ки в работах Эйлера, который характеризуется пе про-
стым пренебрежением к математической строгости в смыс-
ле точного паблюдеппя за тем, чтобы математические по-
пятил не отрывались от первоначально вложенного в них
реального смысла (к чему так стремился Ньютон), но
активным, воинствующим убеждением в пользе и закон-
ности применения математических алгоритмов за преде-
лами, в которых употребляемые в этих алгоритмах зна-
ки имеют реальный смысл.
С еще большей яркостью, чем в спокойном обращении
с актуально бесконечно малыми, отразились настроения
этой эпохи алгоритмической мистики в отношении к
комплексным числам или к расходящимся рядам. Не да-
вая никаких разъяснений о смысле интегрирования ком-
плексных величин, Лейбниц находит интегралы действи-
тельных функций, разлагая их на комплексные слагае-
мые и интегрируя по формальным правилам эти слагае-
мые каждое в отдельности.
Когда результат оказывается совпадающим с найден-
ным без употребления комплексных величин, то Лейбниц
называет это «чудом», вытекающим, однако, по его мне-
нию, с неизбежностью из предустановленной гармонии,
царствующей в мире. Об аналогичных настроениях Эй-
лера, связанных с его верой в то, что каждый естествен-
но возникающий в анализе ряд (хотя бы и расходящийся
и с неограниченно возрастающими членами) имеет впол-
не определенную сумму1), которая и раскрывается при
помощи тех или иных формальных преобразований, много
писал А. 11. Крылов в цитированной выше работе об
Эйлере2).
*) Например,
l-2 + 4-8 + 16-32+... = -|i
1-3 + 9 - 27 + 81-243+,..=у.
2) Следует отметить, что Ньютон ограпичивается весьма общи-
ми и приблизительными указаниями относительно сходимости
употребляемых им рядов, но сознательного пользования расходя-
щимися рядами у него нет, а необходимость исследования сходи-
мости для законности пользования разложением в ряд неоднократ-
во подчеркивается»
ПЫОТОП И СОВРЕМЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ {Qi
Все это столь чуждое духу Ньютона направление
имело для развития математики и положительное значе-
ние: не обоснованные вначале расширения старых мате-
матических алгоритмов получали впоследствии свое
строгое обоснование, и, быть может, чрезмерная осто-
рожность в момент их первого появления привела бы к
задержке движения науки вперед.
В настоящее время, однако, все это направление сле-
дует считать окончательно исчерпанным: при современ-
ном уровне логическо-математической культуры любая
гипотеза о возможности расширенного употребления того
пли иного алгоритма или о возможности пополнить рас-
сматривавшийся ранее запас математических объектов
новыми, обладающими теми или иными желательными
нам свойствами, может быть немедленно проверена, и, в
случае если она верна, соответствующие новые определе-
ния смысла данного алгоритма в расширенной области
могут быть даны с полной отчетливостью, а новые объ-
екты могут быть сконструированы.
Например, если от первой идеп о возможности полу-
чать правильные результаты при помощи выкладок с
комплексными числами (бывшими тогда просто знаками
неосуществимых операций!) до отчетливого построения
комплексных чисел (как пар действительных чисел
с соответствующими определениями смысла действии
пад ними) прошли целые столетия, то в 19 в. куммеров-
ская идея о возможности восстановления в надлежащей
расширенной области единственности разложения на
простые множители в тех системах целых алгебраиче-
ских чисел, в которых опа без этого расширения пе
имеет места, почти тотчас же нашла свое логически бе-
зупречное воплощение в виде теории «идеалов».
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИЗА У НЬЮТОНА
Предел. В наиболее законченном виде ньютоново
представление о пределе изложено им в первом отделе
первой книги «Начал». Ввиду дальнейших применений
здесь более всего говорится о пределах отношений исче-
зающих (т. е. стремящихся к нулю) или неограниченно
возрастающих количеств. Первое впечатление от выска-
зываний Ныотопа вполне подтверждает мнение А. Н. Кры-
лова, считающего, что мы имеем здесь вполне современ-
ную строгую теорию пределов. Приведем в виде примера
Ю2 РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
таких звучащих вполне современно высказываний
Ньютона следующее место из «Поучения» к первому от-
делу первой книги «Начал»1):
«Предельные отношения исчезающих количеств не
суть отношения пределов этих количеств, а суть те пре-
делы, к которым при бесконечном убывании количеств
приближаются отношения их и к которым эти отноше-
ния могут подойти ближе, нежели на любую наперед
заданную разность, но которых перейти или достиг-
нуть2) на самом деле не могут ранее, чем эти количест-
ва уменьшатся бесконечно. Дело объясняется проще на
бесконечно больших величинах. Если две величины, раз-
ность которых задана, будут обе увеличиваться до бес-
конечности, то между ними существует предельное от-
ношение, которое равно единице, однако нет предельных
значений для самих величин, т. е. таких наибольших их
значений, отношение которых как раз было бы равно
единице. Поэтому если впоследующем для простоты речи
я буду говорить о величинах весьма малых или исчезаю-
щих, или зарождающихся, то не следует под этими сло-
вами разуметь количеств определенной величины, но на-
до их рассматривать как уменьшающиеся бесконечно».
Естественно, однако, спросить себя, почему все это
сказано лишь в заключительном «Поучении» ко всему ।
изложению теории пределов, начинается же это изложе- I
ние вовсе не с определения понятия предела, а с леммы. I
Лемма 1. Количества, а также отношения коли- j
честв, которые в продолжении любого конечного времени '
постоянно стремятся к равенству и ранее конца этого \
времени приблизятся друг к другу ближе, нежели на
любую заданную разность, будут в пределе равны.
Так как лемме дается доказательство, то понятие
предела, очевидно, считается уже данным заранее. На-
прасно, однако, вообще было бы искать у Ньютона оп-
ределения этого понятия: он вовсе и не считает нужным
такое определение давать, считая понятие предела одним
из основных исходных понятий, которые подлежат пе
’) Перевод А. Н. Крылова. В своем переводе А. Н. Крылов
несколько модернизирует терминологию Ньютона, заменяя ньюто-
новы «первыо и последние отношения» «предельными отношения-
ми», и т. д. Логическое строение ньютоновых рассуждений
А. Н. Крылов передает, однако, достаточно точно. •
2) Здесь, конечно, со строго формалнпой точки зрения содер-
жится ошибка: из того, что отношения х: у стремится к пределу а
при х 0, у 0, вовсе не следует, что х : у а при х, у
НЬЮТОН И СОВРЕМЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ ЮЗ
определению, а только пояснению на примерах. Это осо-
бенно ясно из такой аргументации Ньютона (данной то-
же в «Поучении» к рассматриваемому разделу «Начал»):
«Делают возражение, что для исчезающих количеств
пе существует «предельного отношения», ибо то отноше-
ние, которое они имеют ранее исчезания, не есть про-
дельное, после же исчезания пет никакого отношения.
Но при таком и столь же натянутом рассуждении ока-
жется, что у тела, достигающего какого-либо места, где
движение прекращается, пе может быть «предельной»
скорости, ибо та скорость, которую тело имеет ранее,
нежели оно достигло этого места, пе есть «предельная»,
когда же достигло, то нет скорости. Ответ простой: под
«предельной» скоростью надо разуметь ту, с которою те-
ло движется не перед тем, как достигнуть крайнего ме-
ста, где движение прекращается, п пе после того, а ког-
да достигает, т. е. именно ту скорость, обладая которою,
тело достигает крайнего места и при которой движение
прекращается. Подобно этому, под предельным отноше-
нием исчезающих количеств должно быть разумеемо от-
ношение количеств не перед тем, как они исчезают,
и не после того, по при котором они исчезают».
Здесь Ныотоп, защищая состоятельность понятия
продела, апеллирует к очевидности того факта, что тело
может иметь определенную (но равную нулю) скорость
в момент прекращения своего движения.
Резюмируя, мы можем сказать: понятия предела (как
и понятие скорости) является для Ньютона одним из
исходных понятий, не подлежащих в силу их примитив-
ного характера и интуитивной ясности прямому опреде-
лению. Однако во всех своих утверждениях о свойствах
пределов и способах их нахождения Ньютон вполне то-
чен и ни в чем не расходится с нашими современными
представлениями.
Попутно разъясняется еще одно недоразумение. Ча-
сто Ньютона упрекают в непоследовательности за то, что
он нередко говорит о предельном значении отношения
X в х : у при х 0, у 0 как о значении, к которому
отношение стремится и которого в конце концов дости-
гает. Часто считают, что тем самым он приходит к опре-
делению в духе Лейбница — Эйлера предельного отно-
шения как отношения двух актуально бесконечно малых
или, еще вульгарнее, двух нулей. В действительности
дело объясняется тем, что у Ньютона функция автома-
104
РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
тически считается определенной «по непрерывности»
в тех точках, в которых она имеет определенный предел.
Например, положив
/(х) = ^, (1)
мы в настоящее время говорим, что функция f(x) опре-
делена только при х ¥= 0; замечая же, что
lim/(x)el, (2)
к-»0
мы определяем новую функцию
х (3)
1 при х = 0,
которая уже определена для всех действительных х.
Ньютоновскую же концепцию можно сформулировать
применительно к этому примеру так: как только имеет
место (2), то функция (1) определена не только там, где
она вычисляется непосредственно по формуле (1), но и
при Xе 0, так как в силу (2) /(0) = 1.
Так как функции (флюэнты)1) у Ньютона по самому
определению непрерывны, то в таком подходе к делу нет
логической ошибки.
Точно так же с формально логической точки зрения
нет никакого преступления в том, чтобы считать понятие
предела первоначальным понятием, которому не дается
формального определения. Нас такое изложение в насто-
ящее время не удовлетворило бы, но с нашими пред-
ставлениями о необходимости логической последователь-
ности и строгости оно не находится в противоречии в от-
личие, например, от лейбницевских определений произ-
водной и интеграла (как отношения или суммы акту-
*) Ньютоновская «флюэпта», говоря современным языком,
всегда есть непрерывная функция /(х), имеющая своей областью
определения интервал (а; 6), со включением его начальной точ-
ки а в случае существования предела Иш / (х) и включением
х-»а
конечной точки Ь в случае существования предела lim / (х) (воз-
х-»ь
можность отсутствия этих пределов была хорошо известна Нью-
тону), полупрямую (а, +°°), или (— оо, Ь) (с включением а илп Ъ
в случае существования соответствующих пределов), или пол-
ностью прямую (—<», +«>).
НЬЮТОН И СОВРЕМЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ 105
ально бесконечно малых), которые со строго формальной
точки зрения можно признать только ошибочными или
бессмысленными.
Производная. «Флюксия» (т. е., в современной тер-
минологии, «производная») у Ньютона всегда есть ско-
рость изменения «флюзнты» (функции). Анализ соответ-
ствующих мест сочинений Ньютона заставляет думать,
что понятие скорости ему представлялось столь ясным,
что никакой потребности в определении скорости как
предела отношения приращения изменяющейся величи-
ны к приращению времени Д£ при AJ -> 0 он не чувство-
вал. В соответствии с этим соотношение
является для Ньютона не определением флюэнты х,
а лишь формулой, позволяющей находить аналитическое
выражение флюксии по аналитическому выражению
флюэнты.
Дифференциал. На различных вариантах, в которых
мысль Ньютона приближалась к современному понятию
дифференциала, стоит остановиться подробнее.
В настоящее время, считая переменные х, у, z, ...
функциями основного независимого переменного I, мы
определяем дифференциалы dx, dy, dz, ... как главные
части Ах, Ду, Az, ..., т. е. как функции двух перемен-
ных i и Ai, линейные по At и обладающие тем свойст-
вом, что разности Дх — dx9 Ay — dy, kz — dz, ... беско-
нечно малы по сравнению с Д£. В силу этого определения
dx = хД£, dy « уД£, dz = zkt,
где х, у, z — производные.
Применения дифференциалов в анализе распадаются
на две группы:
1) В первой группе приращение Д£ можно считать
произвольным постоянным. Во всех такого рода вопросах
преимущество пользования дифференциалами над упот-
реблением производных сводится к формальному превос-
ходству удобного и легко обозримого алгоритма, которое
выражается, например, в том, что при рассмотрении не-
скольких переменных х, у, z, ... нет необходимости вы-
бирать одпо из них за основное независимое перемен-
ное и можно вести все выкладки в однородной форме,
106 РАЗДЕЛ П. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
записывая дифференциальные уравнения
в виде
dx _ dy______dz
Р {X. у, z) ““ Q (х, у, Z) ~~ Н (X, у, z)
и т. п., или в том, что вместо формул
Dxf (<р(х)) = /' (Ф (х))ф' (ж),
Z)JC/-1(x) = ——1—-
для производной функции и обратной функции при упо-
треблении дифференциалов получаются простые тож-
дества:
dz dz dy dy 1
dx dy dx' dx~~ dx *
dy
Во многих курсах анализа 19 в., а иногда и теперь
ограничиваются таким пониманием дифференциала: диф-
ференциал независимого переменного t есть по определе-
нию некоторая произвольная константа Д£, а дифферен-
циал зависимых переменных х, у, z суть по определению
xAf, уД£, 2*Д?, ;
2) Существует, однако, вторая группа применений
понятия дифференциала, которая существенно опирается
на соотношения
Дх «хД£+ о(Д0,
Ду в уД/ + о(Д0,
Дз » £Д£ + о(Д0,
где о(Д/) обозначает величину, бесконечно малую по
сравнению с At Здесь Дг, естественно, должно уже рас-
сматриваться как переменное. К этой группе относятся
определение интеграла как предела суммы дифферен-
циалов и все применения дифференциалов, связанные с
геометрическими рассмотрениями «бесконечно малых
треугольников», «бесконечно близких нормалей к кри-
вой», «бесконечно малого угла» между такими нормаля-
ми и т. д. Полное овладение той идеей, что весь этот
способ геометрических рассуждений с бесконечно малы-
ми, если он производится на базе надлежащих определе-
НЬЮТОН И СОВРЕМЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ Ю7
ний, вполне соединим с полной логической строгостью,
представляет заметные трудности. Я вспоминаю, напри-
мер, как еще в 20-х гг. нашего века в московской школе
Н. Н. Лузина относились к такого рода рассуждениям
(культивировавшимися тогда особенно Б. К. Млодзиев-
ским) с большим скептицизмом.
После этих вступительных замечаний переходим соб-
ственно к Ньютону. У него мы находим следующее:
а) По преимуществу в текстах раннего происхожде-
ния (1665) под названием «момент» Ньютон вводит в
наивном лейбницевском смысле понятие актуально бес-
конечно малого. Такого рода рассуждения в менее ответ-
ственных местах употребляются и в поздних работах
Ньютона. Следует, однако, помнить, что сказано в
«Началах»:
«...если во всем последующем изложении я и рас-
сматриваю какие-либо величины как бы состоящими из
постоянных частиц, или если я принимаю за прямые ли-
нии весьма малые части кривых, то следует разуметь,
что это не неделимые, а исчезающие делимые величины,
что это не суммы и пе отношения определенных конеч-
ных частей, а пределы сумм и пределы отношений исче-
зающих величин, и сущность этих доказательств в том и
состоит, чтобы все приводить к предыдущим леммам»1).
б) В «Методе флюксий» в несколько пеобычной фор-
ме развивается концепция, вполне эквивалентная по су-
ществу современной трактовке дифференциалов с посто-
янным At
Нам кажется недостаточно подчеркнутым в большин-
стве работ по истории математики, что ньютоновское
дифференциальное исчисление в той форме, как оно из-
ложено в «Методе флюксий», обладает всеми формаль-
ными алгоритмическими преимуществами лейбницевского
исчисления дифференциалов.
Дело в том, что в «Методе флюксий» флюксии всегда
мыслятся как производные по некоторому вспомогатель-
ному переменному Z, которое нигде явным образом в вы-
кладки не входит. По поводу этого «времени» Ньютон
говорит следующее:
«Но так как мы здесь привлекаем к рассмотрению
время лишь в той мере, в какой оно выражается и пзме-
*) Цитируемое замечание стоит в «Началах» после одиннадца-
ти лемм, в которых заключена ньютоновская теория пределов.
108 РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
ряется равномерным местным движением, и так как,
кроме того, сравнивать друг с другом можно только ве-
личины одного рода, а также скорости, с которыми они
возрастают или убывают, то я в нижеследующем рас-
сматриваю не время как таковое, но предполагаю, что
одна из предложенных величин, однородная с другими,
возрастает благодаря равномерному течению, а все ос-
тальные отнесены к ней, как ко времени. Поэтому по
аналогии за этой величиной не без основания можно
сохранить название времени. Таким образом, повсюду,
где в дальнейшем встречается слово время (а я его
очень часто употребляю ради ясности и отчетливости),
под ним нужно понимать не время в его формальном зна-
чении, а только ту отличную от времени величину, по-
средством равномерного роста или течения которой вы-
ражается и измеряется время»1).
Что касается производных
dy dz dx
dx' dx' dy' * * *
какого-либо одного из явно входящих в задачу перемен-
ных по другому, то в «Методе флюксий» они всегда вы-
ражаются в виде отношений флюксий:
• • •
у z Х_
X X у
Поэтому флюксии в выкладках здесь играют скорее роль
наших дифференциалов, чем производных.
Например, желая найти из соотношепия
х3— ах* + аху — у3-«0 (1)
Ч По поводу этих строк из «Метода флюксий», можно было
бы еще заметить, что А. II. Крылов в цитированной выше харак-
теристике, может быть, слишком поспешно зачисляет Ньютона в
последовательные сторонники обоснования анализа «исходя пз
понятий механических и геометрических». Верно, что, апеллируя
к понятию скорости, Ньютон не сумел обойтись при обосновании
анализа без понятий кинематики; но сейчас мы видели, что ему
была близка идея о том, что по существу чистый анализ от рас-
смотрений, связанных с введением времени (мы бы сказали:
в реальном смысле этого слова — Ньютон говорит: «в его формаль-
ном значении»,— различие чисто терминоло! ическое), не зависит.
Излишне добавлять, что и до настоящего времени прогрессивной
научной методологией является та. которая ясно видит происхож-
дение абстрактных понятий из обобщения конкретного опыта, но
умеет и выделить их в полпой чистоте, отбрасывая все для них
несущественное.
НЬЮТОН И СОВРЕМЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ 109
максимум переменного х, Ньютон получает из (1)
Зх2х — 2ахх + аух + аху — Зу2у -О, (2)
а полагая в (2) х = 0, приходит к
ах — Зу2, (3)
что дает вместе с (1) возможность вычислить максималь-
ное значение х и соответствующее ему значение у. Ясно,
что (2) соответствует современной записи с дифферен-
циалами:
3x*dx — 2axdx + aydx + axdy — 3y2dy = 0. (2').
Мы ограничиваемся этим очень простым примером, что-
бы не отвлекать читателя от обсуждения принципиаль-
ных вопросов.
Заметим, однако, что в «Методе флюксий» решается
много весьма замысловатых (особенно если принять во
внимание отсутствие у Ньютона общих правил диффе-
ренцирования частного и функции от функции) задач,
при решении которых преимущества ньютоновской запи-
си, соответствующей нашим операциям с дифференциа-
лами, становятся уже вполне ощутимыми.
Полная равносильность приемов, употребляемых
Ньютоном в «Методе флюксий», с очерченным выше пер-
вым современным подходом к понятию дифференциала
вполне естественна. Если Д£ произвольное постоянное, то
его можно положить равным единице, а тогда
— dy — ykt=*y, ...
в) К «Трактату о квадрате кривых» приложено «По-
учение», написанное, по-видимому, подобно уже упоми-
навшемуся введению, значительно позднее основного
текста. Это «Поучение» начинается так:
«Мы выше сказали, что у флюэнт имеются первые,
вторые, третьи, четвертые и другие флюксии.
Эти флюксии находятся в том же отношении, что и
члены бесконечных сходящихся рядов. Так, если флюэн-
та есть zn и при своем течении переходит в (z + o)n, то
она разложится в сходящийся ряд
2
(Z + о)п = zn + лоз”-1 + -^4^- оЧп-г +
НО РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
Первый член этого ряда zn будет той флюэнтой, второй
(nozn~i — ее первым приращением или первой разностью,
которой при ее зарождении пропорциональна первая
флюксия; третий
2
П — П л2„П-1
—— 0Z
будет вторым приращением или второй разностью, кото-
рой при ее зарождении пропорциональна вторая флюк-
сия; четвертый
п3 — Зп3 + 2п л3жп—s
6 02
будет ее третьим приращением или третьей разностью,
которой при ее зарождении пропорциональна третья
флюксия, и т. д. до бесконечности»1).
Здесь Ныотон, ограничиваясь частным случаем2)
/(«)-= Л
рассматривает функцию /(?), разлагающуюся в сходя-
щийся ряд по степеням конечного приращения о незави-
симого переменного z:
/ (z + о) = Cq + С\О + С2О2 + C3O8 +...
и называет второй, третий, четвертый и т. д. члены этого
ряда соответственно первым, вторым, третьим и т. д. при-
’) Бернулли (Commercium epistolicum Leidnitii et Joh. Ber-
noulli.—T. 2,—C. 294) находил здесь у Ньютона ошибку. Скорее
следовало бы говорить лишь о неудачной терминологии. Ньютонов-
ские второе, третье, четвертое и следующие приращения (разно-
сти) равны соответственно
d2tn d*zn dSn
2 ’ 6 ' 24
Лучше было бы назвать вторым, третьим, четвертым и следующи-
ми приращениями (разностями) сами дифференциалы d*iw, d3zn,
d4zn, ...
2) Как известно, рассматриваемый Ньютоном ряд для любо-
го п (даже комплексного, хотя Ньютон имел, надо полагать в виду
только действительные п) сходится в нашем современном смысле
слова при достаточно малом о, если только «о. Вообще же го-
воря, в вопросе о сходимости рядов в сочинениях Ньютона не
всегда господствует полная ясность, хотя в тенденции его понима-
ние сходимости ряда, уже начиная с «Анализа с помощью урав-
нений», совпадает с современным: ряд сходится, если достаточно
большое число его членов дает сумму наперед заданной точностью.
НЬЮТОН И СОВРЕМЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ Ш
» ращением (разностью) функции /(z). Утверждение Нью-
тона, что эти «приращения» пропорциональны соответст-
вующим флюксиям, верно в том смысле, что в ра-
венствах
, CLo = of (z),
i .......
коэффициенты
„1 3 3
1 000
} не зависят от вида функции /(z). «Приращения» Ньюто-
на связаны, если положить dz = 0, с современными диф-
> ференциалами соответствующих порядков равенствами:
’ (\o~df,
[ С,o’
। .................................
Мы видим, что здесь ньютоновский «момент» незави-
симого переменного сделался (в отличие от ранних ра-
бот Ньютона) переменной конечной величиной, а «первое
приращение» функции определяется как второй член в
, разложении f(z + o) по степени о, т. е. как главная ли-
♦ нейная часть полного приращения
! f(z + o)-f(z).
| Это и есть современное определение дифференциала.
Как обычно и отмечается, приведенный отрывок из
«Трактата о квадратуре кривых» показывает, что Ньютон
в момент написания «Поучения» к этому трактату был
очень близок к открытию ряда Тейлора (если не сказать
просто — открыл этот ряд!). К сожалению, это было,
по-видимому, в период, когда в математике Ньютона бо-
лее всего интересовало уже не дальнейшее продвижение
I вперед, а отстаивание своего приоритета в отношении
ранее достигнутого.
112
РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
ЛОБАЧЕВСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
ДЕВЯТНАДЦАТОГО ВЕКА*)
По предшествующей статье П. С. Александрова чита-
тель мог в достаточной мере познакомиться с системой
неевклидовой геометрии, которая была построена Лоба-
чевским и противопоставлена им традиционной системе
евклидовой геометрии. Каково же значение этого основ-
ного создания Лобачевского для дальнейшего развития
геометрии и вообще математических наук?
Непосредственное значение той конкретной системы
неевклидовой геометрии, которая была развита Лобачев-
ским, оказалось несколько уже, чем это представлялось
ему самому: геометрия Лобачевского — лишь одна из
бесчисленного числа различных возможных неевклидо-
вых геометрий.
Но если взглянуть на дело с более широкой точки
зрения, то можно сказать, что создание геометрии Ло-
бачевского явилось поворотным пунктом, определившим
в значительной мере весь стиль математического мыш-
ления девятнадцатого века, столь противоположный сти-
лю мышления математиков предыдущего восемнадцатого
века. Недаром в наши дни студенты наших университе-
тов знакомятся с общими вопросами логических основа-
ний математики и с аксиоматическим методом, главным
образом, из курса «оснований геометрии», значительную
часть которого составляет изложение неевклидовой гео-
метрии Лобачевского. Если этот обычай и следует теперь
признать устарелым, то он во всяком случае является
хорошей иллюстрацией определяющего влияния, которое
оказало создание геометрии Лобачевского на всё даль-
нейшее развитие математического мышления. Характери-
стике тех общих тенденций развития математики в де-
вятнадцатом веке и в паше время, которые имеют одним
из своих самых мощных источников работы Лобачевско-
го, и иосвящепа в основном настоящая сгатья.
♦) Опубликовано в книге «Николай Иванович Лобачевский.
1793-1943».—М,-Л.: О ГИЗ, 1943.-С. 87-100. Помимо статьи
Л. Н. Колмогорова, книга содержит две статьи П. С. Александро-
ва: «Николай Иванович Лобачевский (краткий очерк жизни и дея-
тельности)» (с. 3—30) и «Что такое неевклидова геометрия?»
(с. 31-86).
ЛОБАЧЕВСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ XIX в. ИЗ
I
Мы начнем с более узкого вопроса о значении самой
системы неевклидовой геометрии Лобачевского.
Из всей системы аксиом Евклида1), Лобачевский,
примыкая к вековой традиции, подвергает специальной
дискуссии только одну аксиому параллельных. Традиция
эта имеет известные основания: из всех аксиом Евклида
аксиома параллельных является единственной аксиомой,
которую нельзя проверить ни в каком ограниченном кус-
ке пространства. Основания эти не имеют, однако, в ка-
кой-либо мере окончательного логического значения,
так как аксиому параллельных легко заменить той или
иной не менее убедительной наглядно-равносильной ак-
сиомой, не имеющей отмеченного недостатка, например
аксиомой о существовании хотя бы одной нары не рав-
ных, но подобных треугольников. i
Благодаря тому, что все аксиомы Евклида, за исклю-
чением аксиомы параллельных, у Лобачевского сохраня-
ются, Лобачевский приходит к существованию только
двух различных геометрий: обычной геометрии Евклида
и одной единственной неевклидовой геометрии, с которой
под названием «геометрии Лобачевского» и знакомит чи-
тателя предшествующая статья П. С. Александрова. Все
теоремы, общие этим двум единственно возможным гео-
метриям, составляют содержание так называемой «абсо-
лютной» геометрии.
Заметим, что утверждение о сосуществовании в пре-
делах «абсолютной» геометрии только двух различных
вариантов — евклидова и неевклидова — получило точный
логический смысл лишь после установления понятия
полноты системы аксиом, опирающегося на понятие изо-
морфизма различных осуществлений (моделей) данной
геометрии. Две системы объектов (в случае элементар-
ной геометрии — «точек», «прямых» и «плоскостей»),
связанных некоторыми отношениями (в случае элемен-
тарной геометрии — отношениями принадлежности, по-
рядка и конгруэнтности), называются изоморфными, ес-
ли их возможно поставить в такое взаимно-однознач-
ное соответствие, что соответствующие объекты оказыва-
*) Различие, существующее у Евклида между «аксиомами» и
«постулатами», для нас пе существенно; мы называем и те и дру-
гие аксиомами.
8 а, и Колмогоров
114 РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
ются в обеих системах одновременно связанными, или не
связанными, одноименными отношениями. Система ак-
сиом называется полной, если все ее осуществления изо-
морфны, и неполной, если существуют два не изоморф-
ные ее осуществления. В статье П. С. Александрова уже
отмечалось, что приведенная в ней система аксиом гео-
метрии Евклида полна. Наоборот, система аксиом «абсо-
лютной» геометрии, т. е. система аксиом, получающаяся
из системы аксиом геометрии Евклида простым отбрасы-
ванием аксиомы параллельных, неполна, так как имеет
кроме осуществлений, в которых евклидова аксиома па-
раллельных выпопяется, также и осуществления, в ко-
торых эта аксиома нарушается. Присоединяя к аксиомам
«абсолютной» геометрии вместо евклидовой аксиомы па-
раллельных аксиому Лобачевского о существовании двух
параллельных, мы получаем вновь полную систему акси-
ом. Таким образом, все неевклидовы осуществления «аб-
солютной» геометрии изоморфны между собой, т. е. су-
ществуют (как говорят «с точностью до изоморфизма»)
только два типа осуществлений «абсолютной» геомет-
рии — евклидов и один единственный неевклидов, изу-
ченный Лобачевским.
Однако, отбрасывая и заменяя новыми аксиомами не
одну аксиому параллельных, а и другие аксиомы евкли-
довой геометрии, можно получить много новых «неевкли-
довых» геометрий, отличных от геометрии Лобачевского.
Некоторые из этих повых геометрий не менее интересны,
чем геометрия Лобачевского. В конце статьи П. С. Алек-
сандрова читатель мог познакомиться с одной из таких
геометрий, именно с «эллиптической» геометрией Рима-
на. С этой точки зрения название «абсолютной» геомет-
рии, даваемое геометрической системе, получающейся из
евклидовой путем отбрасывания только одной аксиомы
параллельных (и ее следствий), кажется нам теперь не-
сколько случайным и неудачным.
II
Система аксиом называется непротиворечивой, если
существует хотя бы одно ее осуществление (хотя бы од-
на ее модель), построенное из объектов любой природы.
В настоящее время все непротиворечивые системы гео-
метрии считаются с чисто логической стороны равноправ-
ными. Конечно, они могут быть более или менее инте-
ЛОБАЧЕВСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ XIX в. Ц5
ресными и важными в зависимости от того, сколь боль-
шое место занимают в системе изучаемых нами матема-
тических или впематематическпх образов различные их
осуществления; но все такие оценки по степени интереса
и важности не имеют безусловного характера и меняют-
ся со временем.
Более того, с формально-логической стороны мы те-
перь придаем окончательное значение при доказательст-
ве непротиворечивости той или иной системы геометрии
лишь «впутриматематическпм» их осуществлениям. На-
пример, непротиворечивость евклидовой геометрии дока-
зывается не на основании экспериментально установлен-
ной приближенной ее пригодности в окружающем нас
«физическом» пространстве, а существованием ее «коор-
динатной» аналитической модели. Как показано в статье
П. С. Александрова, из непротиворечивости евклидовой
геометрии вытекает, тоже посредством чисто математиче-
ских конструкций, без обращения к физическому экспе-
рименту, и непротиворечивость геометрии Лобачевского.
Естественно, однако, что только что сказанное ни в
какой мере не устраняет вопроса о том, какая из логи-
чески мыслимых (не противоречивых) систем геометрии
реально осуществляется в «физическом» пространстве,
в котором мы живем и действуем. Только вопрос этот
переносится из области чистой математики в область
физики, и в соответствии с этим ответ на него теряет
полную однозначность.
Чтобы проще понять смысл последнего утверждения,
не будем рассматривать вопрос во всей общности, а огра-
ничимся той его постановкой, которая была доступна во
времена Лобачевского. Лобачевскому были известны
только две системы геометрии: евклидова и его собствен-
ная. Вопрос поэтому стоял лишь о том, какая из этих
двух систем геометрии осуществляется в реальном мире.
Оставаясь в пределах этой постановки вопроса, которую
мы теперь бы расширили, Лобачевский правильно ука-
зывал на желательность экспериментальной проверки
предложений обеих конкурирующих геометрий. Для та-
кой проверки удобно, папример, выбрать теоремы о сум-
ме углов треугольника, которая в евклидовой геометрии
равна двум прямым, а в геометрии Лобачевского всегда
меньше двух прямых.
Некоторое осложнение вносит в вопрос то обстоятель-
ство, что все реальные измерения имеют ограниченную
8*
116 РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
точность. Ввиду этого точное равенство суммы углов
треугольника двум прямым никогда не может быть уста-
новлено: всегда останется возможность, что эта сумма в
действительности меньше двух прямых, но отличается от
двух прямых на величину столь малую, что она не под-
дается измерению. Поэтому экспериментальное измере-
ние углов треугольников может привести только к одно-
му из следующих двух результатов:
а) Найдется хотя бы один треугольник с суммой уг-
лов, заведомо меньшей двух прямых. В этом случае ев-
клидова геометрия заведомо неприменима к реальному
пространству; поскольку же мы поставили перед собой
лишь задачу выбора между двумя геометрическими си-
стемами — Евклида и Лобачевского, в этом случае нам
придется признать, что в реальном пространстве действу-
ет геометрия Лобачевского.
б) В пределах точности наших измерений у всех из-
меренных треугольников сумма углов равна двум пря-
мым. В этом случае можно сказать, что реальное прост-
ранство, в пределах точности наших измерений и в
подвергнутой изучению его части, подчиняется геометрии
Евклида, но нельзя отрицать и применимости к реально-
му пространству геометрии Лобачевского.
Такое положение вещей вполне понятно. В статье
П. С. Александрова было указано, что в геометрии Лоба-
чевского существует «абсолютная единица длины», назы-
ваемая еще «радиусом кривизны» пространства. Фигуры
пространства Лобачевского, размеры которых очень малы
по сравнению с этим радиусом кривизны 2?, с большой
точностью подчиняются закономерностям евклидовой гео-
метрии. В частности, чем меньше стороны треугольника
по сравнению с Л, тем меньше сумма его углов отлича-
ется от двух прямых. Поэтому, если размеры всех до-
ступных нашему измерению треугольников малы по
сравнению с Я, то при измерении их углов с доступной
нам точностью мы можем никакого отклонения суммы
углов от двух прямых не заметить.
Если бы в реальном пространстве осуществлялась
геометрия Лобачевского, то имело бы смысл говорить об
отношении
г м
R
нашей обычной стандартной меры длины — метра —
к абсолютной мере длины Я. Так как доступные нашему
ЛОБАЧЕВСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ XIX в. Ц7
измерению треугольники имеют стороны в какое-то огра-
ниченное число метров, то чем меньше К, тем меньше
сумма их углов будет отличаться от двух прямых, т. е.
геометрия реального пространства в доступной нам его
части будет тем меньше отличаться от евклидовой. В со-
ответствии с этим естественно условиться считать, чго
гипотезе применимости к реальному пространству евкли-
довой геометрии соответствует
£-0.
Тогда описанное выше положение с экспериментальным
различием между гипотезами применимости к реальному
пространству геометрии Евклида, или Лобачевского,
можно будет резюмировать так:
Исходим из допущения, что реальное пространство
подчинено «абсолютной» геометрии в смысле, разъяснен-
ном выше. Экспериментально можно лишь приближенно
определить константу К. Если К заведомо отлично от
пуля, то в реальном пространстве действует геометрия
Лобачевского. Если К так мало, что в пределах точности
измерений неотличимо от нуля, то допустимы как гипо-
теза точного осуществления в реальном пространстве
геометрии Евклида, так и гипотеза геометрии Лобачев-
ского с очень малым значением К
*) С намечающимся здесь непрерывным переходом от геомет-
рии Лобачевского к геометрии Евклида при
Я—*0
мы встретимся в несколько другой форме еще далее. Этот переход
может вызвать у читателя известное недоумение. Выше было
сказано, что все осуществления геометрии Лобачевского изоморф-
ны друг другу, т. е. обладают в точности одинаковыми внутрен-
ними геометрическими свойствами. Теперь же оказывается, что
свойства пространства, подчиненного геометрии Лобачевского, за-
висят от константы К и при К —► 0 пространство Лобачевского
как бы непрерывно превращается в пространство Евклида.
Объяснение не сложно. Так как все осуществления (модели)
геометрии Лобачевского изоморфны, то с отвлеченной чисто мате-
матической точки зрения мы можем выбрать какую-либо одну из
них и считать ее единственным настоящим «пространством Лоба-
чевского». Применение геометрии Лобачевскою (как и всякой
другой отвлеченно-математической «геометрии») к реальному фи-
зическому пространству исходит из гипотезы, чго реальное прост-
ранство может быть отображено на эту идеальную модель прост-
ранства Лобачевского с сохранением отношений принадлежности,
порядка и конгруэнтности. Эта гипотеза получает, однако, полную
118
РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
Естественно впрочем, что ввиду большей простоты
геометрии Евклида во втором случае мы предпочтем
просто сказать, что в пределах точности наших наблю-
дений в реальном пространство действует геометрия
Евклида.
Общий принцип относительности Эйнштейна внес
дальнейшие изменения в постановку вопроса о геомет-
рии реального физического пространства, которые мы
лишены возможности здесь подробно излагать. Эти из-
менения не касаются основной, намеченной выше логи-
ческой схемы: чистая математика изучает различные
«геометрии», опирающиеся каждая на свою особую си-
стему аксиом. Каждая такая «геометрия» должна быть
непротиворечивой в том смысле, что существует хотя бы
одно ее осуществление в виде системы объектов любой
природы, в которой выполнены все аксиомы данной гео-
метрии. Такие системы объектов любой природы, в ко-
торых выполняется та или иная система геометрических
аксиом, и называются в чистой математике «пространст-
вами» (Евклида, Лобачевского, Римана и т. д.). В проти-
воположность идеальным математическим пространствам
свойства реального физического пространства известны
нам только приближенно. В соответствии с этим не име-
ет смысла вопрос о том, какая из различных идеальных
«геометрий», рассматриваемых чистой математикой,
окончательно и с полной точностью отражает свойства
реального пространства. Осмыслен же только вопрос о
том, какие из идеальных математических геометрий
удовлетворительно отражают наши познания об устрой-
стве реального пространства, имеющиеся на данный мо-
количественную определенность лишь после того, как будет ука-
зано отношение
длины отрезков идеального математического пространства Лоба-
чевского, изображающих реальные отрезки длины в один метр,
к абсолютной единице длины. Изменяя К, мы меняем не обстракт-
ное математическое пространство Лобачевского, а размеры той
области G' этого пространства, на которую мыслится отображен-
ной доступная нашему наблюдению область G реального простран-
ства. Чем К меньше, тем меньше область G' и тем меньше отли-
чаются геометрические свойства расположенных в ней фигур от
свойств фигур евклидовой геометрии, в частности, тем меньше
отличается сумма углов треугольников, помещающихся в обла-
сти G', от двух прямых.
ЛОБАЧЕВСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ XIX в. 119
мент. Ответ па этот последний вопрос может меняться со
временем и никогда не может стать вполне однозначным.
Созданпе Лобачевским первой неевклидовой геомет-
рии послужило исходным пунктом для выработки всей
этой современной системы взглядов на соотношения меж-
ду идеальными математическими «пространствами» и их
«геометриями» и геометрией реального физического про-
странства. Специально же имеппо геометрия Лобачевско-
го, с точки зрения современной физики, не занимает ни-
какого особого места среди множества других геометрий,
могущих оспаривать у евклидовой геометрии право на
преимущественную пригодность для изображения свойств
реального пространства.
III
Роль различных «воображаемых» геометрий, создан-
ных математикой девятнадцатого века, пе ограничивает-
ся, однако, заготовлением, так сказать, «про запас» раз-
личных пространств, которые могли бы в будущем при-
водиться в качестве идеализированных моделей устрой-
ства реального физического пространства. Одной из ос-
новных черт математики девятнадцатого века является
проникновение геометрических методов в самые различ-
ные области математики, совсем не относящиеся к «гео-
метрии» в первоначальном смысле этого слова. Если
функции одного переменного
У~1(х)
удобно изображаются графически на координатной плос-
кости (х, у), а функции двух переменных
* - 7 (*, У)
удобно изучать, исходя из геометрического рассмотрения
соответствующей поверхности в координатном трехмер-
ном пространстве (х, у, s), то пе менее естественпо изу-
чать функции п переменных
y-f(xh х2, .... х„),
опираясь на геометрические рассмотрения в «п + 1-мер-
ном координатном пространстве» (xi, #2, ..., хя, у).
В механике и физике принято представлять себе процесс
изменения системы с любым числом степеней свободы
как процесс «движения» точки, изображающей ее состо-
120 РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИИ
янпе, в «фазовом пространстве» соответствующего числа
измерений. При объединении на основе принципа отно-
сительности Эйнштейна пространственных и временных
отношений в одно целое вполне естественно за объеди-
ненным пространственно-временным четырехмерным мно-
гообразием «мировых точек» сохранить название «прост-
ранства». В качестве первого по времени примера теории,
на первый взгляд не имеющей ничего общего с геометри-
ей и все же разработанной геометрическими методами,
можно указать на грассмановскую теорию цветовых
ощущений, где каждое цветовое ощущение рассмат-
ривается как точка «пространства цветов», в этом прост-
ранстве проводятся «прямые», «плоскости» и т. д.— ме-
тод, ставший принятым в цветоведении !).
Специально геометрия Лобачевского нашла очень
серьезные применения в теории функций комплексного
переменного. Подготовленный читатель может с ними
познакомиться по книге Ф. Клейна «Неевклидова гео-
метрия»* 2).
Своеобразное переплетение различных геометрических
систем происходит далее, когда те или иные более слож-
ные образы одной геометрии принимаются за основные
элементарные образы другой геометрии. Это приводит к
дальнейшему расширению круга применений различных
«воображаемых» геометрий. Из § VII статьи П. С. Алек-
сандрова читатель мог усмотреть, что изучение системы
окружностей, лежащих в евклидовой плоскости и орто-
гональных некоторой выделенной окружности К в отно-
шении их пересечений и углов между ними, может быть
сведено к изучению прямых плоскости геометрии Лоба-
чевского. Такого рода рассмотрения имеют интерес не
только с точки зрения осуществления геометрии Лоба-
чевского, но и в качестве метода для изучения геометри-
ческих свойств систем окружностей евклидовой плос-
кости.
Быть может, самым интересным из таких применений
геометрии Лобачевского в пределах евклидовой геомет-
рии является «внутренняя» геометрия поверхностей по-
стоянной отрицательной кривизны. На пей мы остано-
вимся несколько подробнее.
!) О проникновении геометрических методов в различные обла-
сти математики см. мою статью «Математика* в БСЭ, откуда за-
имствованы предыдущие строки.
2) ОПТИ, 1936,— Гл. II.
ЛОБАЧЕВСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ XIX в. 121
Основные идеи внутренней геометрии поверхностей
принадлежат Гауссу. «Внутренними» свойствами поверх-
ности называются те ее свойства, которые не меняются
при любом ее изгибании без растяжений и сжатий. На-
пример, свертывая квадрат (а) рис. 1 в цилиндрическую
поверхность (Ь), мы не меняем его внутренних свойств.
К числу основных геометрических образов внутрен-
ней геометрии поверхности принадлежат геодезические
линии: это — такие линии, лежащие па дапной поверх-
ности, достаточно малые дуги которых представляют из
себя кратчайшее соединение своих концов. На плоскости
геодезические линии — это обыкновенные прямые, на
поверхности сферы — большие круги. На любой доста-
точно гладкой поверхности из каждой ее точки выходит
по каждому заданному направлению одна и только одна
геодезическая линия, а две достаточно близкие точки со-
единяются одной единственной геодезической дугой ми-
нимальной длины. (Оговорка «достаточно близкие» здесь
существенна, как показывает пример северного и южного
полюса на земном шаре, кратчайшее соединение которых
осуществляется любым меридианом).
Особенно интересны поверхности, которые с точки
зрения из внутренней геометрии обладают достаточной
однородностью, т. е. такие поверхности, для которых до-
статочно малый их кусок, вырезанный вокруг какой-либо
точки Р, может быть без растяжений и сжатий и только
с изгибанием наложен на поверхность так, что точка Р
перейдет в любую другую точку Р', а заданное направ-
ление PQ — в любое заданное направление P'Q' (см.
рис. 2). Этим свойством обладает плоскость и поверх-
ность сферы (в случае плоскости и сферы требуемое на-
ложение осуществляется даже без изгибания). Естест-
122
РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИИ
венпо, что тем ясе свойством обладают все те поверхно-
сти, которые (хотя бы по кускам!) накладываются на
плоскость или поверхность сферы с изгибанием, напри-
мер поверхности цилиндрические и конические (они на-
кладываются или, как говорят,
I «развертываются» на плос-
/\ кость)
______________I В 1839—1840 гг. Миндипг
[_____________I показал, что поверхности, об-
Р f I ладающие сформулированным
/ свойством однородности,
/ йВэ / характеризуются тем, что их
/ qzf гауссовская кривизна»1) во всех
“ точках одинакова; их нац^ва-
Рис. 2 ют поэтому «поверхностями
постоянной кривизны». Тогда
ясе Мипдинг показал, что все поверхности данной гаус-
совской кривизны накладываются друг на друга (хотя
бы по кускам) и поверхности различной кривизны друг
на друга без растяжений или сясатий не наклады-
ваются.
Отсюда вытекает, что вся внутренняя геометрия до-
статочно малых кусков поверхностей постоянной кривиз-
ны определяется одной константой — гауссовской кривиз-
ной поверхности а. Если ясе помимо изгибаний ввести в
рассмотрение преобразования подобия, т. е. считать вну-
треннюю геометрию двух поверхностей одинаковой в
случае возможности превратить одну из них в другую
(хотя бы по кускам), производя последовательно преоб-
разования подобия, и изгибапие, то окажется, что суще-
ствуют (в «локальном» смысле, т. е. с точки зрения
внутренних геометрических свойств поверхности доступ-
ных обнаружению на ее сколь угодно малых кусках)
только три различные внутренние геометрии поверхно-
стей постоянной кривизны, соответствующие случаям
а > 0, а = 0, а < 0.
Так как сфера радиуса R имеет гауссовскую
кривизну
Я2
Ч См. определение этого понятия в любом учебнике дпффе<*
ренциальооп геометрии,
ЛОБАЧЕВСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ XIX в. 123
то первый случай осуществляется на поверхности
сферы.
Соответствующая «локальная» геометрия есть «ло-
кальная» геометрия Римана, о которой сказано в конце
статьи П. С. Александрова: на поверхности постоянной
положительной кривизны сумма углов треугольника, сос-
тавленная из геодезических
дуг, больше двух прямых
и т. д.
Случай а = 0 осуществляет-
ся на плоскости.
Случай а < 0 осуществляет-
ся на поверхности, называемой
«псевдосферой» (см. рис. 3),
и на ряде других поверхно-
стей, найденных тем же Мин-
дингом. На этих поверхностях
постоянной отрицательной кри-
визны и осуществляется «ло-
кально» геометрия Лобачевско-
го: сумма углов треугольника,
составленного из геодезических дуг, здесь всегда меньше
двух прямых и т. д. В печати на это обстоятельство было
указано впервые Бельтрами в 1868 г.
IV
Конечно, значение работ Лобачевского в истории нау-
ки — не в том, что построенная пм новая система гео-
метрии нашла интересные применения в теории функций
комплексного переменного или к изучению поверхностей
постоянной отрицательной кривизны. Таких применений
можно указать еще несколько, по все они вместе при
всей их важности доставили бы автору лишь славу круп-
ного исследователя в некоторой специальной области
геометрии.
Основное значение работ Лобачевского состоит в том,
что из них выросли все современные взгляды на геомет-
рию как чисто-математическую науку и па отношения,
в которых находятся изучаемые ею евклидовы и неев-
клидовы, трехмерные, многомерные и бесконечномерные
«пространства»— к реальному миру и единственному ре-
альному пространству.
124 РАЗДЕЛ И. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
V
Признание равноправия, с точки зрения логики и чи-
стой математики, евклидовой и неевклидовой геометрии
и вообще множественности с отвлеченной точки зрения
геометрии было первым по времени и основным факто-
ром перестройки всей системы взглядов на математику в
целом, происшедшей в девятнадцатом веке.
Если математики древнего мира хорошо укладыва-
лись в рамки представления о математике как науке о
числах, величинах и геометрических фигурах (единст-
венного реального трехмерного евклидова пространства),
математика 17—18 вв. выдвинула на первый план идею
изменения величин (функциональной зависимости между
изменяющимися величинами) в анализе и геометриче-
ских преобразований (проекций и т. п.) в геометрии, то
девятнадцатый век с его пространствами различного чис-
ла измерений и различной «связности», абстрактными
группами, кольцами и полями в алгебре и тому подоб-
ными новыми образованиями уже решительно не укла-
дывается в эти старые рамки.
Овладеть всем разнообразием образований, изучаемых
современной математикой, нельзя без аксиоматического
метода1), позволяющего систематически обозреть различ-
ные возможности развития той или иной теории, откры-
вающиеся в зависимости от того, как видоизменяются ис-
ходные допущения, положенные в ее основу (аксиомы).
Первым примером последовательного проведения таких
аксиоматических исследований, которые стали теперь
привычными не только математикам, но и механикам и
физикам, явилась неевклидова геометрия Лобачевского.
Таким образом, и за пределами собственно геометрии
идеи Лобачевского оказались мощным стимулом ко всему
дальнейшему развитию математических наук.
См. мою статью «Математика» в БСЭ.
Раздел третий
НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ*)
16 ноября 1982 г. скончался выдающийся математик
нашего времени и превосходный педагог Павел Сергеевич
Александров. Вся его жизнь была посвящена развитию
математики и преподаванию, чтению лекций и воспита-
нию научной смены. Он заслуженно считается органи-
затором и руководителем Московской топологической
школы, а также учителем многих первоклассных мате-
матиков, в том числе академиков А. Н. Тихонова и
Л. С. Понтрягина. В течение трех о лишним десятиле-
тий он был президентом Московского математического
общества и душой механико-математического факультета
Московского университета. Ни одно более или менее
серьезное изменение учебной или научной жизни фа-
культета пе проходило без непосредственного участия
Павла Сергеевича. О своих учениках он проявлял бук-
вально отеческую заботу, помогая им не только советом
ученого и опытного учителя, но и материально. Павел
Сергеевич был искренне увлечен наукой, познанием и
стремился передать свои знания и увлеченность моло-
дежи. Он радовался успехам своих коллег, а также по-
явлению на научном горизонте молодых талантливых
ученых.
П. С. Александров родился 7 мая (по новому стилю)
1896 г. в г. Ногинске (до революции г. Богородск). Че-
рез год семья переехала в г. Смоленск, где отец занял
пост старшего врача городской земской больницы и оста-
вался на этом посту до конца своей жизни (умер в
1920 г. от тифа). Отец Павла Сергеевича был известным
земским врачом, работавшим непосредственно в больни-
цах для народа; он славился как хирург и терапевт а
вошел в историю медицины как автор сложной опера-
*) Опубликовано в журнале «Математика в школе»,— 1983,—
№ 1.— С. 47—48 (совм, с Б, В. Гнеденко),
126 РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
цпп Александрова — Вертхейма. В семье стремились пе-
редать детям свои жизненные принципы: ответственное
отношение к делу, стремление к знанию и увлеченность
избранной профессией. В конце жизпи Павел Сергеевич
вспоминал: «Влияние моего отца на формирование меня
как человека было исключительно велико. Еще в свои
подростковые годы я услышал от него и воспринял на
всю жизнь как заповедь слова о том, что дело, которому
ты посвятил себя, ты должен любить, любить бескорыст-
но, и заниматься им именно потому, что ты любишь это
дело, а не потому, что ждешь от пего личного успеха
или какой-нибудь выгоды для себя. Если ты будешь за-
ниматься своим делом ради своего успеха, а не ради
самого дела, пе потому, что любишь его, то не будет ни
дела, ни твоего успеха в нем» (Успехи математических
наук.— Т. 34, вып. 6.— С. 224—225).
Французский и немецкий языки Павел Сергеевич
изучал дома с раннего детства, и они стали для него
такими же родными, как русский. Весной 1909 г. он
поступил сразу в IV класс частной гимназии Н. П. Евне-
вича, в которой педагогический коллектив был тщательно
подобран и пе только превосходно учил, но и воспиты-
вал высокие нравственные принципы: трудолюбие, ответ-
ственность за порученное дело. Математику в гимназии
преподавал А. Р. Эйгес. Павел Сергеевич вспоминал позд-
нее, что при решении задач, касающихся «разложения
многочленов на множители, я пе всегда находил, какую
надо сделать группировку члепов, и вообще особой изо-
бретательности при разложении па множители пе про-
являл. В соответствии с этим среди моих отметок попа-
дались и четверки. Они исчезли, когда мы перешли к
уравнениям. Но еще больше, чем уравнения, заинтересо-
вала меня геометрия, начиная уже с того, что в ней
были и аксиомы, и теоремы, и доказательства, а не
только задачи.
Когда мы дошли до теории параллельных, А. Р. Эйгес
с поразительным мастерством начал нам рассказывать о
геометрии Лобачевского. Сама постановка вопроса меня
потрясла. Никогда до этого времени я ничем не был в
такой степени заинтересован и увлечен. Геометрия стала
для меня действительно каким-то волшебным царством,
и я только и грезил о пей» (там же, с. 226).
Павел Сергеевич очень высоко оценивал позднее своих
гимназических учителей и помимо А. Р. Эйгеса выделял
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ 127
преподавателей французского и немецкого языков и рус-
ской литературы. Их увлечение предметом передалось и
многим ученикам, в том числе п П. С. Александрову.
Недаром он всю жизнь любил русскую и немецкую ли-
тературу, по-немецки говорил пе только на литературном
языке, но знал и ряд диалектов.
В сентябре 1913 г. Павел Сергеевич стал студентом
математического отделения Московского университе-
та, мечтая, как он сам писал, «стать преподавате-
лем гимназии, как и мой учитель Александр Рома-
нович Эйгес».
В университет П. С. Александров поступил молодым
человеком, умевшим много и упорно работать. В гимна-
зические годы он успел познакомиться по серьезным
работам с математическим анализом, неевклидовой гео-
метрией, небесной механикой. В результате на первом
курсе лекции пе давали ему ничего нового, ему каза-
лось, что в них предмет излагается далеко не в лучшем
виде. Выход он нашел в том, что значительную часть
времени стал проводить в читальном зале математиче-
ской библиотеки и увлекся чтением мемуаров Г. Кантора
по теории множеств. Несколько позднее он прочитал
небольшую монографию Бэра о разрывных функциях.
По этой книге оп познакомился с капторовым совершен-
ным множеством, которое сразу воспринял и с тех пор
всегда воспринимал «как одно из величайших чудес,
именно чудес, а не чего-либо иного, открытых челове-
ческим духом» (там же, с. 231).
Весной 1915 г. начался новый период в жизпи Павла
Сергеевича — оп получил от Н. Н. Лузина, вернувшегося
в ту пору из длительной зарубежной командировки, труд-
ную задачу о мощности борелевских множеств. «С того
самого времени, когда Лебег в своем знаменитом м^доуа-
ре 1905 г. провозгласил, что в математике фактически
не существует множеств, кроме борелевских, вопрос об
их мощности воспринимался как один из центральных
во всей теории множеств и его решение рассматривалось
как большое открытие» (там же, с. 235). П. С. Алек-
сандрову удалось найти исчерпывающее решение этой
задачи, и оно было с большим успехом доложено на
заседании Математического общества 13 октября 1915 г.
Эта работа послужила началом длительной и исключи-
тельно продуктивной научной деятельности Павла Сер-
геевича на протяжении почти 70 лет,
128
РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
Сам он так расценивает свои научные успехи: «На-
учная работа не была равномерно развивающимся в те-
чение моей жизни непрерывным процессом: она осу-
ществлялась несколькими бывшими в моей жизни боль-
шими подъемами, как бы пиками, между которыми ле-
жали периоды по существу пассивные. Эти подъемы
научной активности, сопровождавшиеся осуществлением
работ, представляющимися мне наиболее значительными
из сделанных мною, совпадали у меня и с общими эмо-
циональными подъемами моей жизни. Это были:
1. Лето 1915 г. (мощность борелевскпх множеств и
А-операции).
2. Длительный подъем, начавшийся в мае 1922 г. и
закончившийся в августе 1924 г. (основные работы по
общей топологии).
3. Период построения гомологической теории компак-
тов, начавшийся в августе 1925 г. определением нерва
системы множеств и закончившийся весной 1928 г. ра-
ботой «Gestalt und Lage» («Форма и положение»).
4. Гомологическая теория размерности (первое полу-
годие 1930 г.).
5. Период «казанской» работы (январь — май 1942 г.)'.
Сопровождавший ее эмоциональный подъем (если его
вообще можно так назвать) был своеобразным: оп со-
стоял в остром переживании войны во всю меру доступ-
ного мне восприятия ее жестокого трагизма.
6. Зима 1946—1947 гг.—работа о теоремах двойствен-
ности незамкнутых множеств». (Успехи математических
наук.— 1980.— Т. 35^ вып. 3.— С. 268—269.)
Речь здесь идет о взлетах мысли, когда создавалпсь
новые концепции и новые пути математического про-
гресса, когда удавалось преодолеть трудности продвиже-
ния, казавшиеся длительное время непреодолимыми.
Фактически же не проходило и года между публикация-
ми работ, в которых получались превосходные резуль-
таты, дававшие истоки исследований молодым матема-
тикам и решавшие какие-то сравнительно ограниченные
проблемы. Свыше 200 работ, относящихся преимуще-
ствённо к топологии, написаны П. С. Александровым,
и лишь небольшая их часть — с соавторами.
П. С. Александров охотно делился своими замыслами
с коллегами и учениками. Им был организован тополо-
гический кружок, ставший затем топологическим семи-
наром, в котором систематически каждую неделю докла-
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ
129
дывались результаты участников и реферировались рабо-
ты, опубликованные другими исследователями в журна-
лах всего мира. Свыше 50 лет он был руководителем
этого семинара и фактически ни одна мало-мальски
серьезная работа по топологии не прошла мимо внима-
ния его участников. Душой, сердцем и мозгом кружка
был Павел Сергеевич. Он вдохновлял участников на
творчество, на поиски нового, еще никому не известного,
и одновременно стремился воспитать интерес молодежи
ко всем сторонам человеческой культуры: музыке, лите-
ратуре в частности. В обращении к первокурсникам не
так давно Павел Сергеевич писал, что «любая научная
одаренность слагается из трех компонентов — интеллек-
туального, волевого и эмоционального... Именно способ-
ность к всезахватывающему эмоциональному напряже-
нию и составляет необходимое, часто решающее условие
Для научного творчества». Эмоциональную окраску но-
сили также повседневные и публичные лекции Павла
Сергеевича.
Научная и педагогическая деятельность П. С. Алек-
сандрова органически сочеталась с большой обществен-
ной и административной. Много лет подряд он был за-
ведующим математическим отделением механико-мате-
матического факультета МГУ, со дня основания кафедры
геометрии и топологии — ее руководителем. С 1958 по
1962 г. Павел Сергеевич являлся вице-президентом Меж-
дународного математического союза и в нем достойно
представлял интересы советской математики. 33 года он
был президентом Московского математического общества,
а затем, когда попросил отставки, члены общества едино-
душно избрали его почетным президентом. Он был так-
же членом редакций ряда научных журналов и главным
редактором и одним из основателей журнала «Успехи
Математических наук». В 1935 г. он приложил большие
усилия при организации первой Московской математиче-
ской олимпиады школьников.
Научная, организационная и педагогическая деятель-
ность Павла Сергеевича неоднократно отмечалась науч-
ной общественностью, а также руководящими органами
нашей страны. Он был действительным членом АН
СССР (1953; чл.-корр. 1929), а также действительным
членом АПН РСФСР. П. С. Александров был избран
академиком следующих академий: Гёттингенской, Авст-
рийской, Польской, ГДР, Леопольдина в Галле, Наццр?
9 А. Н. Колмогоров
130 РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
нальпой академии наук США; являлся членом философ-
ского общества в Филадельфии, почетным доктором
Берлинского университета им. Гумбольдта, почетным
членом Голландского математического общества. Совет
Министров СССР присудил ему Государственную премию
первой степени за работу «Гомологические свойства рас-
положения комплексов и замкнутых множеств». За цикл
работ по гомологической теории размерности ему была
присуждена международная премия им. Н. И. Лоба-
чевского.
Правительство Советского Союза за выдающиеся на-
учные и педагогические заслуги присвоило П. С. Алек-
сандрову звание Героя Социалистического Труда, награ-
дило многими орденами и медалями Советского Союза,
в том числе семью орденами Ленина.
Павел Сергеевич был близко знаком со многими вы-
дающимися математиками мира. Его поездки за пределы
Советского Союза много содействовали повышению меж-
дународного престижа советской математики в целом и
советской топологии в частности.
В заключение приведем замечательные слова из «По-
слесловия», которым закончил Павел Сергеевич «Стра-
ницы автобиографии»:
«Моим ученикам
Я уже упоминал, что поступил в университет с тем,
чтобы после его окончания посвятить себя педагогиче-
ской деятельпости в средней школе, стать учителем в
гимназии. Жизнь моя сложилась так, что в средней
школе я почти пе преподавал, а в высшей, именно в
Московском университете, проработал практически всю
жизнь, объединяя педагогическую деятельность по мере
сил с научной. С течением времени из этих двух компо-
нент (педагогической и научной) первая приобретала в
моей жизни все больший удельный вес и в конце кон-
цов, примерно с третьего поколения моих учеников (и, да-
же немного раньше), целиком заполнила мою жизнь.
Моя научная работа всегда питалась эмоциональным со-
держанием моей жизни, а эго последнее стало созда-
ваться по существу всецело моими учениками. И вот
теперь я благодарю их всех за все, что они внесли в
мою жизнь, и прежде всего и больше всего за то, что
они существовали и существуют».
ЙОСЙОМЙЙАЙЙЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВЕ 131
ВОСПОМИНАНИЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВЕ
Павел Сергеевич Александров умер за полгода до
моего восьмидесятилетия. Будучи редактором журнала
«Успехи математических наук», он в марте 1981 г. счел
нужным приготовить для последующего опубликования
в журнале небольшую статью обо мне. В ней он пишет
следующее:
«Моя дружба с А. Н. Колмогоровым занимает в моей
жизни совершенно исключительное, неповторимое место;
эта дружба перешагнула в 1979 г. через свое пятидеся-
тилетие, и за весь этот полувековой период не только
не дала никакой трещины, но не сопровождалась даже
никакой ссорой, не было у пас за все это время и какого
бы то ни было взаимного непонимания по вопросам,
сколько-нибудь важным для нашей жизни и миросозер-
цания; даже тогда, когда наши взгляды на какой-нибудь
из этих вопросов были различны, мы относились к этим
взглядам друг друга с полным пониманием и сочув-
ствием».
Наша тесная дружба началась в 1929 г. Публикуя
сейчас описание нашей с Павлом Сергеевичем жизни в
начальный период этой дружбы (1929—1931 гг.), я хочу
предварить его признанием, частично повторяющим при-
веденные выше слова Павла Сергеевича: для меня эти
пятьдесят три года нашей теспой и неразрывной дружбы
явились основой того, что вся моя жизнь в целом оказа-
лась преисполненной счастья, а основой моего благопо-
лучия явилась непрестанная заботливость со стороны
Павла Сергеевича.
Наше личное знакомство началось через небольшой
срок после моего поступления в Московский универси-
тет—в 1920 г. Наши первые встречи в 1920—1929 гг.
описаны в первой главе. Вся вторая глава посвящена
нашему путешествию летом 1929 г. по Волге и на Кав-
каз. В третьей главе рассказывается о нашей поездке за
границу (в Гёттинген и Париж) в 1930—1931 гг. В за-
ключение приводятся выдержки из писем Павла Сер-
геевича ко мне из США, куда весной 1931 г. он отпра-
вился из Европы и где он пробыл около четырех ме-
сяцев.
♦) Опубликовано в УМН,—1986.— Т. 41, вып. 6(252).-*
С. 187-203.
9*
132 РАЗДЕЛ Ш. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИЙ
Глава 1. Первые встречи
Я поступил в Московский университет с довольно
большими знаниями по математике. Из книжек «Новые
идеи в математике» я знал, в частности, начала теории
множеств. Многие вопросы я изучал по статьям энцикло-
педии Брокгауза и Ефрона, восстанавливая самостоя-
тельно то, что в этих статьях написано слишком кратко.
В те годы студенческая стипендия имела очень не-
большую материальную ценность, но студенты второго
курса получали, кроме стипендии, паек, состоявший из
пуда (16 кг) печеного хлеба и килограмма масла (будет
ли это масло растительным или коровьим, зависело от
последнего слова науки — кажется, сначала было расти-
тельное масло, а потом сливочное). Поэтому первым
делом, которым я занялся, была сдача минимума экза-
менов, позволявшая перейти на второй курс (обязатель-
ного посещения лекций тогда не было).
Я выбрал для слушания в первый год курсы теории
множеств Ивана Ивановича Жегалкина и проективной
геометрии (специально занимавшей меня еще до уни-
верситета), которую читал Алексей Константинович Вла-
сов. Среди первых выбранных мною курсов бьтл и курс
теории аналитических функций Николая Николаевича
Лузина (этот курс читали в тот год два лектора — Лузин
и Болеслав Корнелиевич Млодзеевский; немного позднее
я узнал, что наиболее фешенебельно было слушать оба
эти курса — для того чтобы иметь возможность их срав-
нивать, конечно, ругая Болеслава Корнелиевича за не-
строгость). Лекции Николая Николаевича посещались
многими старшекурсниками и даже доцентами.
С курсом Н. Н. Лузина связано первое мое достиже-
ние, после которого на меня было обращено некоторое
внимание. Николай Николаевич любил импровизировать
на лекциях, и на лекции, посвященной доказательству
теоремы Коши, ему пришло в голову использовать такую
лемму: пусть квадрат разделан на конечное число квад-
ратов; тогда для любой константы С найдется такое
что для всякой кривой длины не больше С сумма пери-
метров, задевающих кривую квадратов, не превосходит
С. Через две недели я обратился к председателю сту-
денческого математического кружка Семену Самсоновичу
Ковнеру с небольшой рукописью (опа сохранялась [опуб-
ликована; см. ниже с. 188 — Ред.] и датирована 4.1.1921),
ВОСПОМИНАНИЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВО 133
где это утверждение было опровергнуто (в доказательстве
моем был, правда, сначала небольшой пробел, но он был
потом мной очень быстро исправлен). Обо всем этом было
доложено II. Н. Лузину, который согласился с моим за-
мечанием, а для теоремы Коши дал в лекциях правиль-
ное доказательство.
Вскоре ко мне обратился Павел Самуилович Уры-
сон, предложивший регулярно бывать у него. Он стре-
мился заинтересовать меня проблемами из области топо-
логии, имея в виду, в частности, задачу о числе геоде-
зических на замкнутых поверхностях. В 1921—1922 гг.
я постоянно общался с В. В. Степановым, и, работая у
него в семинаре, мпе удалось решить одну проблему,
к которой II. Н. Лузин проявлял длительный интерес,—
я доказал существование рядов Фурье — Лебега со сколь
угодно медленно убывающими коэффициентами Фурье.
Это побудило Николая Николаевича предложить мне ре-
гулярно приходить к нему вместе с небольшой группой
его младших учеников, имея в виду, по-видимому, что
основным предметом моих занятий станет метрическая
теория функций (теория интеграла, теория рядов Фурье
и т. п.). Как будет видно из дальнейшего, это предна-
чертание я через некоторое время выполнил, однако ра-
нее этого мне удалось получить результаты в дескрип-
тивной теории функций, представлявшиеся мне чрезвы-
чайно важными: я начал разработку общей теории опе-
раций над множествами. Поскольку моя работа в этом
направлении пе входила в планы Николая Николаевича,
я отнес первый набросок теории операций П. С. Урысо-
пу, а он направил меня с пим к Павлу Сергеевичу Алек-
сандрову. Это было вполне разумно, так как мои общие
теоремы о произвольных операциях над множествами
были естественным обобщением теорем об А-множествах,
принадлежащих Александрову.
Мне запомнились вытащенные откуда-то Павлом Сер-
геевичем огромные листы бумаги со схемами образова-
ния множеств все более высоких классов, созерцание ко-
торых в конце концов привело Павла Сергеевича к тому
результату, что все В-мпожества любого класса являются
А-множествами. Эти листы раскладывались по полу и
Павел Сергеевич вместе со мной ползал по ним, желая
сделать наглядным получение В-множеств высоких (хо-
тя бы и трапсфинитных) порядков в результате одно-
кратного применения А-операции.
134 РАЗДЕЛ Ш. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
Тем временем (летом 1921 г.) мной был получен ре-
зультат, заслуживший всеобщее внимание в международ-
ных кругах специалистов по метрической теории функ-
ций,— я построил почти всюду расходящийся ряд Фурье.
Метрическая теория функций на этом перевесила, и в те-
чение 1922—1925 гг. я занимался по преимуществу тео-
рией тригонометрических и ортогональных рядов. Почва
для научного общения с Павлом Сергеевичем была уте-
ряна, а написанные в 1921—1922 гг. мои дескриптивные
работы пролежали в письменном столе Н. Н. Лузина,
находившего их методологически неправильными, без
всякого движения до 1926 г.
Также и наши личные контакты с Павлом Сергееви-
чем были в это время весьма ограниченными, хотя мы
встречались довольно часто, например на концертах в
Малом зале консерватории. Здоровались, но не вступали
в какую-либо беседу. По-видимому, меня несколько сму-
щали крахмальные воротнички и некоторая общая чо-
порность Павла Сергеевича. Тем не менее весь этот пе-
риод я чувствовал его хорошее отношение ко мне и его
заботу. Именно Павел Сергеевич добился того, что мои
работы по дискриптивной теории были все же опублико-
ваны. Он же был инициатором моего оставления на рабо-
те после аспирантуры в Институте математики и меха-
ники при Московском университете.
В те годы срок пребывания в аспирантуре не был
строго лимитирован (был, например, случай, когда мо-
лодой математик оставался в аспирантуре 7 лет!). По-
скольку пребывание в аспирантуре доставляло полную
свободу предаваться научным исследованиям, не имея
других обязанностей, я так же предпочел пе форсировать
ее окончание. В 1928—1929 гг. соблюдение сроков аспи-
рантуры стало более строгим, и в 1929 г. произошел не-
бывалый ранее по численности выпуск — около 70 чело-
век. В этом выпуске был и я (пробыв в аспирантуре
4 года).
Возник вопрос о месте дальнейшей работы. В Инсти-
туте математики и механики имелась на этот год одна
вакансия старшего научного сотрудника. На эту вакан-
сию, кроме меня, мог претендовать и один из математи-
ков старшего поколения, а директор института Дмитрий
Федорович Егоров, хотя и знал хорошо мои научные до-
стижения, в вопросе о зачислении научных сотрудников
считал обязательным следовать критерию старшинства.
ВОСПОМИНАНИЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВЕ
135
Мне лично представлялась привлекательной и другая
возможность. В 1928 г. в Харькове был организован
Украинский математический институт во главе с Сергеем
Натановичем Бернштейном, находившимся тогда в зени-
те своей международной славы и авторитета в СССР.
Для этого института было выстроено уже специальное
здание, но личный состав его еще нужно было формиро-
вать. Я получил от Сергея Натановича предложение сде-
латься научным сотрудником этого института, причем
по его плану началу моей работы в институте должна
была предшествовать годичная стажировка за границей,
для чего он предпринял шаги для получения мной рок-
феллеровской стипендии. Однако против такого решения
с большой энергией восстал Павел Сергеевич, и в итоге
ему удалось убедить Д. Ф. Егорова отдать предпочтение
моей кандидатуре.
Глава 2. Путешествие 1929 г. Комаровский дом
На лето 1929 г. Общество пролетарского туризма и
экскурсий объявило о возможности за очень небольшую
плату в одном из приволжских городов (Ярославль, Ниж-
ний Новгород, Казань и др.) получать лодку, парус п
палатку, чтобы сплавляться с этим оборудованием до
какого-нибудь нижележащего города. Например, получив
оборудование в Ярославле, сдать его в Самаре.
Имея уже некоторый опыт лодочных плаваний, я ре-
шился стать организатором подобного путешествия.
Я считал, что разумное число участников в таком пла-
вании — 3 человека. В первую очередь я пригласил моего
близкого друга Глеба Александровича Селиверстова.
Выяснилось, однако, что отплыть вместе со мной в наи-
более желательный для меня срок он не может (меня
особенно увлекала возможность провести это путешествие
довольно рано, в период белых ночей). Договорились,
что Селиверстов присоединится к нам позже. Другим
участником был намечен знакомый мне еще по средней
школе Николай Дмитриевич Нюберг. Мне до сих пор
пе совсем яспо, как я решился предложить быть третьим
компаньоном Павлу Сергеевичу. Однако он согласил-
ся сразу.
16 июня 1929 г. мы отплыли вниз по Волге из Ярос-
лавля. Для Павла Сергеевича подобного рода сплавное
лодочное путешествие было новостью, но он сразу же
136 РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
энергично взялся быть нашим провиант-мейстером и за-
купил уже перед отъездом из Москвы множество всяких
вкусностей. Со дня отплытия — 16 июня — мы с Павлом
Сергеевичем и исчисляем нашу дружбу, продлившуюся,
как уже сказано, 53 года.
Мы получили лодку «осташковского» типа — такую,
какими пользовались тогда все волжские бакенщики. Две
пары весел были после некоторого переоборудования
лодки размещены па корме и па носу, что давало воз-
можность одному или даже двум членам команды спать
в середине лодки во время гребли. Косой парус был
довольно примитивным, но все-таки давал возможность
двигаться при боковом ветре. На всех трех участников
плавания были куплены в Москве популярные тогда у
молодежи «юнгштурмовские» костюмы. При этом име-
лось в виду, что повседневной одеждой будут трусы и
майки. Странным образом мы не взяли с собой никаких
путеводителей, кроме пароходного расписания, по кото-
рому можно было определять пройденное расстояние и
расстояние до ближайшей пристани. Из литературы бы-
ла взята лишь «Одиссея».
Пункт окончания плавания пе был однозначно уста-
новлен. Предполагалось, что, сдав лодку, мы отправимся
на Кавказ, так как на август месяц у Павла Сергеевича
было намечено пребывание на Черном море вместе с
несколькими его учениками (среди которых должен был
быть Лев Семенович Понтрягин). На Кавказе мы оба
предполагали заниматься математикой, поэтому в багаж
Павла Сергеевича входила еще портативная пишущая
машинка и складной столик, купленный в Гёттингене.
Типичный пейзаж побережий больших среднерусских
рек, будь то Ока, Днепр, Дон или Волга, довольно одно-
образен. Река обычно разбивается на несколько рукавов,
которые текут посреди зеленых заливных лугов и обте-
кают песчаные острова, заросшие ивняком. Пески на
Волге отмыты до почти полной белизны (мое описание
относится к двадцатым-тридцатым годам, до сооружения
на Волге больших водохранилищ).
Пейзаж этот не лишен своеобразного величия. Он
сразу стал близким Павлу Сергеевичу, и в последующие
годы мы с ним много раз плавали по Белой, Каме, Волге
и Днепру.
Мы во время плавания по Волге выбирали свой путь
обычно по какой-нибудь Воложке (так называют на
ВОСПОМИНАНИЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВЕ
137
волжском наречии второстепенные протоки). По наличию
в Воложке достаточно сильного течения можно было
судить, вынесет ли она нас в главное русло.
Свой лагерь мы разбивали обычно на песчаных ост-
ровах, на их верхних или нижних оконечностях, где
особенно чувствуется течение воды. В первые дни путе-
шествия мы часто плыли и ночью: в летние белые ночи
особенно захватывающее впечатление производит сколь-
жение вдоль заросших ивняком берегов, наполненных
птичьим пением. Хотелось, чтобы это продолжалось бес-
конечно.
Восприятие природы у Павла Сергеевича не было на-
правлено на какие-нибудь особые достопримечательности.
Оно возбуждалось по преимуществу самыми простыми
впечатлениями, такими, например, как только что опи-
санное мною восприятие звуков и красок белых ночей.
Неоднократно мне случалось подсмотреть, как на таком
речном рассвете Павел Сергеевич поет какие-то бессло-
весные мелодии.
Конечно, мы не пренебрегали тем, чтобы погулять по
Костроме с ее торговыми рядами, монастырями, церква-
ми или побродить по Нижегородскому кремлю, или вы-
лезти на высокие обрывы волжских берегов, или посе-
тить дом Ульяновых в Ульяновске. Но над всем этим
доминировало непрерывное движение — вниз по течению
с короткими остановками для купания и приготовления
еды (на кострах и также на имевшемся с нами приму-
се). Запас провианта в 1929 г. очень легко было возоб-
новлять на небольших базарчиках, расположенных непо-
средственно около пристаней. Много времени, впрочем,
оставалось на чтение «Одиссеи» и на ничегонеделание,
и, конечно, на разговоры «обо всем».
В Казани, как это и было намечено, нас покинул
Николай Дмитриевич Нюберг. Предполагалось, что в
строго намеченный день и час мы встретимся в Свияж-
ске с Г. А. Селиверстовым, который придет ему на сме-
ну. Несмотря на то, что накануне была сильная буря,
мы в назначенный час стояли на платформе железно-
дорожной станции Свияжск, но никакого Г. А. Селивер-
стова там не обнаружили.
Посетив Казанский кремль с его Сумбекиной башней
и здание Казанского университета, мы вдвоем с Павлом
Сергеевичем отправились в дальнейшее плавание к ме-
сту слияния Волги с Камой мимо высоких берегов, по-
138 РАЗДЕЛ Ш. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
крытых яблоневыми садами,—родины антоновских яб-
лок—и на 21-й день с момента нашего отплытия из
Ярославля благополучно прибыли в Самару. Там мы сда-
ли лодку и причитающееся к ней оборудование. 1300 ки-
лометров было позади.
Дальнейший наш путь лежал на Кавказ. До Астра-
хани мы плыли в двухместной каюте первого класса реч-
ного парохода. Каюты высших классов на пароходе мор-
ского типа, на котором мы плыли из Астрахани в Баку,
были чрезвычайно малопривлекательны. Мы предпочли
купить билеты 4-го класса, расстелить на палубе полог
нашей палатки и объявить его поверхность нашей не-
прикосновенной территорией. На этом пологе можно бы-
ло сидеть и лежать сколько угодно.
После однодневного пребывания в Баку мы отпра-
вились по железной дороге до станции Акстафа, затем
на автобусе в Дилижан, а оттуда пешком (с пишущей
машинкой и складным столиком) — на озеро Севан. Есте-
ственно, что нас сразу привлек скалистый островок (став-
ший теперь, с понижением уровня озера Севан, полу-
островом), и нам захотелось на нем поселиться. Это ока-
залось несложным. Кельи расположенного там монасты-
ря пустовали, и мы заняли одну из них. Постоянное на-
селение острова состояло тогда из архимандрита мона-
стыря (имевшего довольно обширный дом), его служан-
ки (присматривавшей за песколькими коровами), началь-
ника метеорологической станции с небольшим семей-
ством и, наконец, «капитана», который и в самом деле
командовал «севанским флотом» из одной моторной и
нескольких обычных весельных лодок. Его колоритная
фигура была несколько раз описана в литературе (на-
пример, Мариэттой Шагинян).
Архимандрит ежедневно открывал нижнюю церковь
(на вершине холма стояли еще два пустующих храма),
зажигал свечи и в полном одиночестве совершал служ-
бу. Заведующий метеостанцией, видимо, исполнял свои
обязанности. Капитан же по временам привозил почет-
ных гостей (Сарьяна или тогдашнего председателя В ЦИК
Армении, например), по был готов покровительствовать
и скромным туристам.
На острове мы оба взялись за работу. Со своими ру-
кописями, пишущей машинкой и складным столиком мы
уходили в уедипепные бухты. В промежутках между за-
нятиями много купались. Для занятий я прятался в
ВОСПОМИНАНИЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВЕ 139
тень, Павел Сергеевич же часами лежал на открытом
солнце лишь в темных очках и белой шляпке-панамке.
Эту склонность работать совершенно раздетым на жгу-
чем солнце он сохранял до весьма позднего возраста.
Павел Сергеевич работал на Севане над отдельными
главами своей совместной с Хопфом монографии «Топо-
логия» и помогал мне писать немецкий текст моей статьи
о теории интеграла. Я, помимо писания этой статьи, был
занят размышлениями об аналитическом описании мар-
ковских процессов с непрерывным временем, результатом
которых стал впоследствии мемуар «Об аналитических
методах в теории вероятностей».
Как положено, на озере Севан преобладала солнечная
погода, но иногда с востока из-за гор наползали облака,
спускавшиеся вниз к воде и при соприкосновении с ней
исчезавшие. Здесь мы провели безвыездно (если не счи-
тать экскурсии в монастырь Эриванг под руководством
нашего капитана) около 20 дней. У Павла Сергеевича
приближался срок его условленного приезда в Гагры,
и мы отправились вместе в Эривань (где на несколько
дней нас приютило какое-то студенческое общежитие).
Стояла сорокаградусная жара, небо было мглисто-синее,
и только после захода солнца неожиданно появлялся
конус Арарата, висящий в этой синеве. Мы посетили
Эчмиадзин (где из-за отсутствия надлежащих туалетов
не решились посетить Католикоса). Из Эчмиадзина мы
отправились пешком на Алагез (переночевав сначала у
озера, где нас очень мило приютили физики, изучавшие
космические ливни). После ночлега (уже без одежды,
в одних лишь трусах) мы поднялись на южную верши-
ну Алагеза, что не представляло никакой сложности
(4000 м). С вершины открылся вид на скалистую север-
ную вершину (4100 м), отделенную от южной большим
снежником, в самой низкой части которого было видно
небольшое озерко с ледяными и снежными берегами.
Павел Сергеевич непременно захотел спуститься туда и
выкупаться, я же предпочел подняться на северную
вершину. Из Эривани мы направились в Тифлис. Там мы
пошли в бани Орбелиани и попросили дать нам опыт-
ных банщиков. Мне дали старого перса, очень малень-
кого роста. Он поработал надо мной с очень большой
энергией, а в конце всей процедуры положил меня на
живот, вспрыгнул мпе на спину и начал меня масси-
ровать ногами. Процедуры эти нам очень понравились.
140
РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
В Тифлисе мы на некоторое время расстались с Пав-
лом Сергеевичем. Он отправился в Гагры — поездом до
Батуми, потом пароходом; я же предпринял небольшое
пешеходное путешествие в район верхнего Терека и
Ардона.
Мой маршрут начался в Коби, куда я приехал на
автобусе. Из Коби я отправился вверх по Тереку так,
что с правой стороны оставались Казбек и Гимарай-Хох,
а с левой — вершины Главного хребта, из которых са-
мая высокая — Зильга-Хох (3840 м). Поднявшись на
Трусовский перевал, я расположился на ночлег под от-
крытым небом — я был оборудован для этого, имея спаль-
ный мешок из козьего пуха, вложенный в большой ме-
шок из газгольдера. Проснувшись утром с ощущением
комфорта и тепла, я обнаружил, что меня покрывает
горка снега от прошедшего ночью снегопада. Но облака
рассеялись, и я благополучно поднялся на Зильгу-Хох.
Вернувшись к Трусовскому перевалу, я отправился в
Заромак, и оттуда к Цейскому леднику. Подкормившись
на турбазе, я начал подниматься на этот ледник, где и
провел следующую, совершенно ясную ночь. Это было
мое первое соприкосновепие с миром вечных снегов, про-
изведшее на меня большое впечатление.
На автобусе и по железной дороге через Туапсе и
Сочи я попал в Гагры, где соединился с Павлом Сергее-
вичем и жившей в Гаграх компанией математиков. Мы
все увлеклись купанием в довольно сильном прибое,
когда преодоление набегавшей волны уже требует выра-
ботанной техники — надо бросаться под волну вниз голо-
вой; Павел Сергеевич этим искусством обладал в полной
мере. Стоило посмотреть на его восторженное лицо, когда
он бросался навстречу морским волнам! Плавал я не-
сколько хуже Павла Сергеевича, но в целом оказался
достойным партнером в его культе активного и непосред-
ственного соприкосновения с природой, культом солнца,
воды и снега.
Вспоминаю наше житье там. На гагринском побе-
режье обращал па себя внимание двухэтажный дом, сто-
явший у самого берега таким образом, что балкон вто-
рого этажа нависал над морем, и морские волны разби-
вались прямо под ним. Нам с Павлом Сергеевичем очень
захотелось поселиться на этом балконе. Хозяйка дома
была бывшая абхазская княжна, и нам не сразу удалось
получить разрешепие на житье там. Но когда мы рас-
ВОСПОМИНАНИЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВ!! 141
положились со своими мешками на этом балконе, то
были атакованы целыми полчищами клопов, и сра-
зу же у нас пропала всякая охота там жить. Приш-
лось снять другое помещение, хотя бы и удаленное от
моря.
Я не помню точно, когда нами было принято реше-
ние поселиться вместе; во всяком случае с готовым та-
ким решением мы вернулись из Гагр в Москву. Мы на-
шли в дачном поселке Клязьма на улице Писарева не-
давно отстроенный дом, состоявший из двух половин по
3 комнаты в каждой, и общей кухни, без удобств и без
водопровода. Одну из половин этого дома мы и сняли.
С нами поселилась моя тетушка Вера Яковлевна, кото-
рая вела все хозяйство. В другой половине жили хозяе-
ва; мне запомнилось только имя и отчество хозяйки —
Вера Архиповна. У хозяев была корова, от который мы
снабжались молоком.
Вселились мы в этот дом довольно поздней осенью,
но успели еще начать регулярно бегать для купания на
одну из двух наших речек — Клязьму — поближе и
Учу — подальше. Помещение было снято нами на два го-
да, но в 1930—1931 гг. мы оба много времени провели
за границей, так что фактически наше житье в нем про-
должалось около года. -
Осенью 1931 г. мы вместе с Верой Яковлевной пере-
селились в расположенную в том же поселке Клязьма
дачу на Некрасовской улице, принадлежавшую брату
Павла Сергеевича — Михаилу Сергеевичу Александрову.
Жили мы там на своеобразных условиях: в летнее время
занимали довольно обширные мансардные помещения,
а на зиму переселялись в нижнюю половину. Помеще-
ние здесь было несколько больше, чем на улице Писа-
рева, но дом был также без удобств. С нами поселилась
в качестве домашней работницы Маша Барабанова, ко-
торая еще до революции в нашем имении под Ярослав-
лем была моей нянькой.
В 1935 г. мы приобрели у наследников Константина
Сергеевича Станиславского часть старинного помещичье-
го дома в поселке Комаровка близ Болшева (в после-
дующие годы мы выкупили дом полностью). Этот «дом
в Комаровке» удовлетворял всем нашим потребностям,
давая возможность разместить большую библиотеку и
помещать в отдельных комнатах наших гостей — на не-
сколько дней и даже на более йЖттельнбе время.
142 РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
В конце тридцатых годов установился удовлетворяв-
ший нас обоих распорядок. Как правило, из семи дней
недели мы проводили 4 дня в Комаровке, один из кото-
рых полностью посвящали физкультурному отдыху —
лыжам, гребле, большим пешеходным экскурсиям (про-
тяженность длительных лыжных походов была в сред-
нем около тридцати и доходила до 50 километров; в сол-
нечные мартовские дни мы проводили на лыжах в одних
трусах до 4 часов подряд). В остальные дни обязатель-
ной была утренняя зарядка, дополнявшаяся зимой еще
бегом на лыжах до 10 км. Мы никогда не были мор-
жами, купающимися круглый год ежедневно: мы купа-
лись по произволу, когда захочется. Особенно мы люби-
ли плавать в только что вскрывшихся реках, еще по-
среди сугробов по берегам. Утренняя пробежка па
расстояние около километра при не слишком больших
морозах делалась в одних трусах и босиком. Заплывы в
ледяной воде я делал только очень маленькие, а Павел
Сергеевич — значительно более длинные. Но зато бегал
на лыжах в раздетом виде на значительно большие рас-
стояния — я.
Одним из любимых способов организации лыжных
пробегов был такой. Мы приглашали математическую
молодежь, скажем, в Калистово, и оттуда начинали дви-
гаться в направлении Комаровки. Некоторые, не добрав-
шись до Комаровки, садились в автобус и уезжали до-
мой. Добравшимся предлагался душ, по желанию — ва-
ляние в снегу и затем — обед. В период расцвета Кома-
ровского дома число гостей за обеденным столом после
лыжного бега достигало 15 человек.
Примерный распорядок дня в Комаровке был такой.
Завтрак —в 8—9 часов. Умственная работа —с 9 до 2.
Второй завтрак — около 2. Лыжный пробег или пеше-
ходная прогулка —с 3 до 5. В период наиболее строгой
организованности — предобеденный сон в течение 40 ми-
нут. Обед—в 5—6 часов. Потом — чтение, музыка, бе-
седы на научные и общие темы. В самом конце —корот-
кая вечерняя прогулка, особенно — в лунные зимние но-
чи. Сон —в 10—11 часов.
Весь этот распорядок нарушался в двух случаях:
а) когда научные поиски становились азартными и тре-
бовали неограниченного времени и б) в солнечные мар-
товские дни, когда лыжные прогулки делались един-
ственным занятием.
ВОСПОМИНАНИЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВЕ 143
Глава 3. Поездка за границу 1930—1931 гг.
Хлопоты о предоставлении мне рокфеллеровской сти-
пендии не увенчались успехом, но мне была предложена
полугодичная командировка Наркомпроса в Германию и
Францию. Уже находясь за границей, я направил в Нар-
компрос заявление, что назначенной мне суммы хватит
для 9-месячного пребывания. Наркомпрос тут же удов-
летворил мою просьбу, и дал согласие па продление
моего пребывания за границей до 9 месяцев.
Павел Сергеевич имел приглашение читать лекции в
Гёттингенском университете, и в июне 1930 г. мы вме-
сте отправились из Москвы в Берлин. Там Павел Сер-
геевич остановился у X. Хопфа, я — в гостинице. На ули-
цах Берлина чувствовалась напряженность политическо-
го и экономического положения. Толпы безработных,
часто очень плохо одетых. Многие дома садовых участ-
ков украшены флагами: красными — коммунистов, жел-
то-красно-черными — социал-демократов, бело-красно-чер-
ными — крайне правых партий.
В Берлине мы прожили 3 дня и затем переехали в
Гёттинген. Там Павел Сергеевич поселился в доме Ней-
гебауэра, а я снял меблированную комнату. В соседнем
дворе находилась студенческая корпорация с ее довольно
шумной жизнью и нередкими дуэлями (которые конча-
лись в наиболее острых случаях порезом щек, с одной
стороны, не слишком опасными, а с другой — достаточно
хорошо видными). Среди студентов-математиков корпо-
рантов было немного, и они не пользовались особой по-
пулярностью. Иногда даже студенты-корпоранты при вхо-
де в Математический институт университета снимали
корпоративные знаки отличия.
Будущее Германии представлялось еще совсем не-
определенным. Курант то ли в шутку, то ли всерьез
говорил, что, вероятно, национал-социалисты придут к
власти, но ненадолго, а потом власть перейдет к комму-
нистам, и уж совсем в шутку добавлял, что в этом
случае Павел Александров приедет из Москвы в каче-
стве комиссара Гёттингенского университета.
Математический институт, постройка которого была
закончена незадолго до нашего приезда, представлял
исключительные удобства для научных занятий. Моло-
дым ученым, приезжавшим в институт, предоставлялась
маленькая отдельная комната с письменным столом, Дву-
144
РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
мя стульями и полочками для книг и всяческих бумаг,
а также выдавался ключ от библиотеки, где можно бы-
ло, уже никого не спрашивая, брать любые книги, отно-
сить их в свою рабочую комнату. Предполагалось, ко-
нечно, что по миновании надобности взятые книги не-
медленно относятся в библиотеку и ставятся там на
надлежащее место. Серьезно работающим студентам так-
же выдавался ключ от библиотеки, с теми же правами
и обязанностями.
Профессора имели довольно обширные кабинеты,
и ключ профессора открывал свой собственный кабинет,
все аудитории института и, конечно, библиотеку. А ди-
ректор института и его заместители могли своим одним
ключом отпирать все помещения института. Нейгебауэр,
ваказавший такую систему ключей, очень ею гордился.
Гёттинген в те годы воспринимался как первый ма-
тематический центр Германии и как достойный конку-
рент Парижа во Франции и Принстона в США. Такое
положение Гёттингена достигалось при очень ограничен-
ном постоянном составе сотрудников. Ординарных про-
фессоров-математиков было всего четверо: Гильберт, Ку-
рант, Ландау и кажется Берпштейн (достигший 68-лет-
него возраста Гильберт должен был перейти на пенсию,
а на его место был уже приглашен Герман Вейль).
На положении ассистентов находились многочисленные
молодые сотрудники Куранта (Фридрихе, Реллих, Ганс
Леви и др.). Не имела постоянной профессуры сама
Эмми Нётер, уже воспринимавшаяся как глава современ-
ной общей алгебры. Ее ученики Ван-дер-Варден, Дёринг
тоже находились на положении ассистентов.
Зато необычно большим для того времени было число
ученых, приглашенных на семестр или какой-либо иной
срок, а также число математиков, приезжавших сюда по
собственной ипициативе.
Основной состав гёттингенских математиков группи-
ровался вокруг Гильберта, Куранта, Ландау и Эмми Нё-
тер. Это был очень дружный коллектив, и Павел Сер-
геевич рассматривался в нем как человек, органически
ему принадлежавший. Можно даже сказать, что в этом
обществе он был чрезвычайно популярен, а с Курантом,
Нейгебауэром и Э. Нётер его связывала личная дружба.
У меня также были в Гёттингене разносторонние
научные контакты. Прежде всего — с Курантом и его
учениками по линии предельных теорем, где диффузп-
ВОСПОМИНАНИЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВЕ
145
онные процессы оказываются пределами дискретпых слу-
чайных процессов, затем по интуиционистской логике —
с Г. Вейлем, и, наконец, по теории функций — с Ландау.
С последним, впрочем, мои контакты развивались не са-
мым удачным образом. Ландау очень хотелось получить
ответ на вопрос, может ли непрерывная функция ни в
одной точке не иметь ни конечной, ни бесконечной про-
изводной (в известных примерах Вейерштрасса и Ван-
дер-Вардена в некоторых точках имеются бесконечные
производные). Я с большим азартом взялся за эту зада-
чу и вскоре построил нужный пример. Он оказался очень
громоздким, но я написал его с полной подробностью и
отнес Ландау. Ландау был очень доволен, всем расска-
зывал об успехе молодого русского математика, и просил
меня возможно быстрее подготовить изложение примера
для печати. Но, к моему ужасу, через несколько недель
я увидел в Fundam. math, статью Безиковича, в которой
такой пример был построен, причем технические приемы
Безиковича и мои были чрезвычайно схожи!
Мои занятия обобщением понятия интеграла и тео-
рией меры делали для меня чрезвычайно желательными
личные контакты с Каратеодори, и поэтому за две не-
дели до окончания летнего семестра (он завершался в
Германии 1 августа) я отправился из Гёттингена в Мюн-
хен, куда вскоре, освободившись от своих обязанностей
в Гёттингенском университете, приехал и Павел Сергее-
вич. Так как наш дальнейший путь лежал в Париж,
а по дороге мы собирались попутешествовать, то лишние
вещи мы отправили из Гёттингена в Париж и оказались
тем самым в Мюнхене в обличье пешеходных туристов:
я, как младший,—в шортах, Павел Сергеевич — все-таки
в брюках.
В Мюнхене я встретился с Каратеодори. Ему понра-
вилась моя работа по теории меры, и он настоял на ее
возможно быстром печатании (я передал ему также мою
уже готовую работу, посвященную обобщению понятия
интеграла, которая представлялась мне очень большим
достижением. Но Каратеодори, хотя и рекомендовал ее в
Math. Annalen, отнесся к ней довольно холодно).
На летнее время у нас обоих было приглашение Фре-
ше приехать к нему па побережье Средиземного моря с
тем, чтобы поработать вместе с ним по теории вероят-
ностей в моем случае, и по теоретико-множественной то-
пологии — в случае Павла Сергеевича. Наш план состоял
10 а. н. Колмогоров
146
РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
в том, чтобы после небольшого путешествия по Герма-
нии и южной Франции приехать к ФрешеМсоторый жил
тогда в местечке Санари недалеко от Тулона, а оттуда
поехать в Париж.
Первые два дня путешествия мы провели в Бавар-
ских Альпах па маленьком озерке Шпитзензее в неболь-
шой гостинице. Оттуда мы проделали «восхождение на
Ротванд». По туристской тропе па Ротванд шествовали
солидные баварцы в шляпах с пером, в баварских кожа-
ных штанах, альпинистских ботинках с трикопями и
с альпенштоками в руках. Не без желания подтрунить
над почтенными баварцами, мы проделали все восхож-
дение босиком (мы и вообще-то любили с Павлом Сер-
геевичем хождение босиком).
Дальнейший наш путь был направлен к двум из са-
мых замечательных готических соборов — в Ульм и Фрей-
бург. В каждый из этих двух городов мы приезжали
после полудня, снимали номер в гостинице, и отправля-
лись гулять по городу, отыскивая различные пункты,
из которых собор особенно хорошо виден.
Поужинав, мы возвращались к собору па закате
солнца, и еще раз приходили к нему утром. Павел Сер-
геевич относился с искренним интересом к такому об-
стоятельному знакомству с памятниками готической архи-
тектуры, но не забывал при этом по многу раз повто-
рять слова Верлена «1а mer est plus belle que les cathed-
ralos».
В Ульме мы несколько раз купались в Дунае. Тече-
ние его около Ульма очень быстрое, и местные купаю-
щиеся юноши нам продемонстрировали, что самое прият-
ное купание получается, если, оставив свою одежду,
пуститься вниз по течению через весь город с тем, что-
бы потом прибежать по набережной к месту отправле-
ния. Это мы и проделывали, оставив одежду на попече-
ние местных купальщиков. \
В Ульме мы нашли гостиницу за сходную цену.
Фрейбург был в этом отношении менее гостеприимным:
цена гостиничного номера нам показалась чрезмерной.
Мы отправились тогда в окрестности Фрейбурга, где вско-
ре нашли маленькую деревенскую гостиницу с очень
приятными крохотными комнатками. Там мы и перено-
чевали (на постелях поразительной белизны и свежести),
чтобы утром снова вернуться к собору. Затем мы на
местном поезде отправились во Францию, в Мюпхаузен
ВОСПОМИНАНИЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВЕ 147
(Munhous по-французски)'. Затем мы предприняли еще
небольшое путешествие по Франции — частично пеш-
ком, частично па местных автобусах. Один полный
день — с раннего утра до позднего вечера — мы потра-
тили на экскурсию на «семь озер», раскинувшихся на
альпийских лугах на высоте около 2000 м. Два дня мы
провели па берегу Роны, еще один — на берегах озера
Аннеси. Потом день мы провели в Марселе и оттуда
поездом отправились в Санари, где нас ожидал уже Фре-
ше, заказавший нам комнату в том же пансионе
де ля Горже, в котором жил сам. Пансион был окружен
фруктовыми садами, неподалеку имелся небольшой пля-
жик, на который мы приходили вместе с Фреше. Мы
купались и плавали, а Фреше pnenez le baine de pies.
Невдалеке находится мыс Горже — живописная груп-
па красных скал. Мы особенно любили работать, заби-
раясь на эти скалы, прыгать с них, купаться под ними.
Павел Сергеевич работал, как обычно, на самом солнце,
я — в тепи.
Фреше занимался в это время марковскими цепями
с дискретным временем и различными типами и множе-
ствами состояний. Мы обсуждали с ним всю марковскую
проблематику в широком аспекте. Такая довольно моно-
тонная жизнь продолжалась около месяца, нарушаясь
сравнительно редко небольшими экскурсиями.
В сентябре мы покинули Санари и поездом отправи-
лись в Бретань — через всю Францию. Нашей целью был
небольшой поселок Батц, где находится могила Павла
Самуиловича Урысона. Пустынные гранитные берега,
па которые накатываются огромные океанскпе волны,
представляют собой полный контраст с берегами Среди-
земного моря. Могила Урысона находилась в полном
порядке, ибо за ней ухаживала мадемуазель Корню,
в доме которой жили в свое время Александров и Уры-
сон. И сумрачная природа Бретани, и воспоминания о
П. С. Урысоне настраивали пас на молчаливые прогулки
по берегу океана. Мы ходили в рыбацкий поселок Кру-
зпк, рыбацкую деревушку Гюрбаль...
Из Батца мы приехали, наконец, в Париж. Прямо с
вокзала мы отправились в гостиницу на улице Турне-
фор, где постоянно остапавливался Н. II. Лузин во вре-
мя своих приездов в Париж. Довольно большие и не-
сколько сумрачные комнаты этой гостиницы были при-
ятны ощущением полного спокойствия, но... здесь ока-
148
РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
залось много клопов (в те времена это было обычно во
Франции). Павел Сергеевич начал с некоторым азартом
расправляться с клопами и складывать их трупы на от-
дельный лист бумаги. Затем мы собрали свои вещи и
отправились прочь. Распорядительница при входе стала
обеспокоенно спрашивать нас: «В чем дело? Вы чем-ни-
будь недовольны?». На это Павел Сергеевич величествен-
но ответил ей: «Объяснение Вы найдете в нашем номе-
ре!». Следующая гостиница не понравилась Павлу Сер-
геевичу, как слишком шумная, в третьей по коридору
шмыгали слишком небрежно одетые женщины... Лишь
методом последовательных приближений удалось оты-
скать в Латинском квартале гостиницу и не слишком до-
рогую, и удовлетворяющую всем требованиям Павла Сер-
геевича. В ней мы и оставались те две недели, которые
провели там вместе.
Павел Сергеевич был в Париже не в первый раз. Он
многое любил в этом городе,— и больше всего ту особую
атмосферу, которая охватывает, по-видимому и до настоя-
щего времени, всех попадающих в этот город. Это тем
более естественно для русского человека, так как из со-
чинений русских классиков можно почерпнуть огромное
количество сведений о Париже, его географии, достопри-
мечательностях, уличной жизни, и многом другом.
Павлу Сергеевичу были с достаточной полнотой из-
вестны наиболее замечательные произведения искусства,
хранящиеся в парижских музеях. Но при этом нужно ска-
зать, что в области изобразительных искусств у Павла
Сергеевича был центр притяжения, который перевешивал
все другие впечатления,— музей Родена. Фотография,
изображающая скульптуру Родена «Бронзовый век», всег-
да украшала его комнату в Комаровке. Она и поныне
висит там...
Естественно, что мы, как и большинство людей, попа-
дающих в Париж, предавались неодолимой страсти про-
сто бродить по его улицам без заранее намеченной цели.
Мы посещали также и парижские плавательные бассейны
(они были в ту пору интересны и еще четко выраженны-
ми социальными чертами; мы посещали разные — от не-
скольких аристократических до наиболее громадного де-
мократического бассейна Пищин де ля Гар).
Павел Сергеевич уехал из Парижа в конце сентября,
а я оставался там до середины декабря. Для меня еще
вместе с Павлом Сергеевичем мы нашли вблизи универси-
ВОСПОМИНАНИЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВЕ 149
тетского городка и парка Монсури небольшую меблиро-
ванную комнату в спокойном семейпом доме.
Мне было естественно, оказавшись в Париже, интере-
соваться оценкой моих работ и получить какие-нибудь со-
веты для продолжения своей работы в первую очередь
у корифеев математики старшего поколения — Бореля и
Лебега. Но мой контакт с ними, к сожалению, весь огра-
ничился короткими чисто официальными визитами. По-
мощь Бореля оказалась существенной, впрочем, при про-
длении французской визы. Разрешение было дано немед-
ленно после вручения письма, подписанного Emile Borel,
Ancien Ministre de la Marine (Эмиль Борель, бывший
морской министр).
В сфере науки я вынес очень многое из контактов
с П. Леви. Он неоднократно приглашал меня к себе до-
мой, где мы вели длительные содержательные научные
беседы. С представителями более молодого поколения
я как-то за этот короткий период времени не сумел всту-
пить в какие-нибудь интересные общения.
Осенняя погода в Париже чрезвычайно неприятна,
особенно неприятно в станциях и тоннелях парижского
метро, куда врывается через наружные двери холодный
воздух, сгущающийся до клубов водяного пара. При этом
и стены в метро, и ваш костюм покрывается влагой. По-
видимому, из-за этого я сильно простудился и приехал
в Гёттинген больным. Павел Сергеевич немедленно уло-
жил меня в прекрасную частную лечебницу, где на рож-
дество в мою одноместную палату была даже внесена ук-
рашенная елка. После выздоровления я был определен
Павлом Сергеевичем в сравнительно недорогой, но хоро-
шо обставленный пансион Крейцнахер, и только в середи-
не января мне было разрешено перебраться в присмотрен-
ную заранее комнату квартиры семейства одного почталь-
она. Условия жизни там были довольно спартанские. Мой
почтальон вместе с женой, взрослой дочерью и двумя
мальчиками занимал достаточно большую квартиру из че-
тырех комнат, из которых, однако, постоянно отаплива-
лись зимой только кухня, а остальные комнаты обычно
не отапливались. Раз комнаты все равно пе отапливались,
я счел разумным держать окно постоянно открытым,
а спать под пуховым одеялом и в ночном колпаке. Моя
комнатка была очень маленькой и стоила, если мне не из-
меняет память, 15 марок в месяц. Но, кроме того, я при-
плачивал за то, что мог по утрам заниматься в гостиной
150
РАЗДЕЛ III, НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
около топившейся для меня печки, при этом мой договор
с хозяином предусматривал, что гостиной я мог пользо-
ваться только в будние дни, ибо по праздникам и в вос-
кресные дни гостиная и столовая топились только в ин-
тересах гостей, и, следовательно, заниматься там я не мог.
Восстановление моей закаленности произошло доволь-
но быстро, и уже к середине февраля я по утрам в трусах
и майке бегал на расстояние примерно полтора километра
в университетскую купальню Кли.
Глава 4. Из писем П. С. Александрова из США
(Из письма от 20 февраля 1931 г.)
... У меня уже были здесь две лекции; первая проис-
ходила с точки зрения языка очень печально, но вторая
(сегодня) была значительно лучше. Я, кроме того, беру
уроки английского языка у одной почтенной и приятной
дамы, учительницы немецкого языка в здешней гимна-
зии. Взял пока 2 урока, и ими очень доволен. Но только
стоит это удовольствие не 2 марки, как у тебя, а 2’/^ дол-
лара. Но я надеюсь, что не долго буду брать эти уроки;
в настоящее время это все-таки прямая необходимость.
Читаю я достаточно общий курс топологии — от ком-
бинаторной (включая законы двойственности) до теории
размерности включительно; все провожу с устремлением
в замкнутые множества; слушается курс, по-видимому с
интересом, и слушатели бесконечно более подготовлены,
чем, думаю, сейчас где бы то ни было. В числе слушате-
лей — Александер, так что аудитории более компетент-
ной и ответственной для преподающего трудно себе пред-
ставить. А сам Александер читает совсем элементарный
курс топологии; в настоящее время рассказывает с уди-
вительным изяществом простейшие вещи из абстрактной
топологии — аксиомы отделимости и пр.,, по будут и би-
компактные пространства и т. п. Одним словом, нынеш-
ний топологический сезон в Принстоне мог бы весь про-
исходить в Москве.
Кстати, ты мне многократно говорил о чисто комбина-
торной топологии. Прочитай только что (летом) опубли-
кованную статью Alexander^ «Combinatorial theory of
complexes», Ann. Math., 31, No 2, 292—320. Это — одна
из последних тетрадей Annals, лежащих в Lesezimmer.
Статья совершенно элементарная (ничего не предполага-
ет) и изящества необыкновенного. Понемпоху занимаюсь
ВОСПОМИНАНИЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВЕ 151
главным образом книгой. И еще надо писать рецензии
для Zentralblatt’a о топологическом EnzyklopSdie — Arti-
kel Tietze — Vietoris’a (завтра надо будет это сделать, бо-
юсь, уйдет полдня), Anhangдля Hilbert’a, Fu^noten к моей
работе, так что дела действительно много. Александер бе-
рется доказать, что двумерный комплекс, состоящий из
всех двумерных граней шестимерного симплекса, не мо-
жет быть топологически включен в четырехмерное про-
странство, и что вообще (аналогичным образом) теорема
о том, что Л-мерпый комплекс всегда умещается в £2*+\
улучшена быть не может.
Каждый день плаваю в плавательном бассейне, дей-
ствительно превосходном, во много раз больше гёттинген-
ского. Не знаю точно, сколько он длины — ведь тут длины
измеряются не в метрах, а пе то в ярдах, не то еще в ка-
ких-то подобных единицах,— но во всяком случае пет ни-
какой потребности, чтобы он был больше (следующее
желательное усовершенствование мыслится уже в другом
направлении — чтобы он был под открытым небом). Ду-
ши при бассейне снабжены бесплатно предоставляемым
мылом в неограниченном количестве — поверти вертушку,
и полная ладонь очень мылкого мыльного порошка, ко-
торый, будучи смочен, сразу (даже без мочалки) дает
большое количество пены. При этом условии особенно
легко становится требовать, чтобы все перед плаванием
мылись с мылом. Полное отсутствие всяких трусов в пла-
вательном бассейне также, естественно, способствует чис-
топлотности (и что-то я, вопреки опасениям Fr£chet, ни-
каких грыж, которые следовало бы скрывать из эстети-
ческих соображений купальными костюмами, ни у кого
из купающихся не видел). Впрочем, большинство купаю-
щихся, как и естественно ожидать, студенты, большин-
ство — прекрасно сложены, так что думаю, что с эстети-
ческой стороны купающиеся в принстонском плаватель-
ном бассейне юноши стоят значительно выше, чем публи-
ка французских пляжей, даже если грыжи и прячутся
под купальными костюмами.
Принстонский Athletic-Field (Spielplatz) помещается
в двух шагах от меня; постараюсь туда проникнуть, что-
бы бегать и т. п. Но для бегания в Америке полагаются
трусы и майка (безрукавка), так как этот Athletic-Field
виден с улицы, и простота нравов меньшая, чем в Гер-
мании! Вообще — удивительное дело: американцы не по-
нимают радости подставлять голое тело солнечным лучам,
152
РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИЙ
ветру, вообще всем естественным воздействиям окружаю-
щей открытой природы. При этом удовольствие делать
движения в голом виде они отлично понимают — в раз-
личных залах Gimnasium’a можно видеть молодых лю-
дей в ничтожнейших трусах, а часто и совсем голых, бро-
сающих мяч об стену, делающих различные гимнастиче-
ские упражнения и т. п. Но перенести все это на откры-
тый воздух (хотя бы и с несколько большими трусами) —
не додумались. А между тем, в частности, и с эстетиче-
ской стороны американское университетское юношество
принадлежит, несомненно, к наилучшим образом выгля-
дящим молодым людям, так что не имеет ооснованпй так
тщательно прятать свою наготу.
Очень хорошо, что купил себе Trainingsanzug. Но,
только если ты надеваешь его па голое тело (например,
когда по утрам бегаешь), то необходимо иметь два, чтобы
можно было достаточно часто их стирать. Узнай, не са-
дятся ли они при стирании (beim Waschen eingehen). Ве-
роятно, садятся; это надо иметь в виду и купить соответ-
ственно больших размеров. А эта комбинация — верхняя
половина Trainingsanzug’a с белой рубашкой и галсту-
ком — тебе, наверное, очень идет,— тебе вообще идут сво-
бодные п естественные костюмы. Купи или закажи себе
непремепно костюм с короткими штанами, это и красиво,
и практично, и может быть употребляемо во всех обыч-
ных (не торжественных и не вечерних) случаях. Непре-
мепно купи себе все такое особенно в случае, если при-
дется неожиданно возвращаться в Москву (считаю эту
возможность, к сожалению, не исключенной). Если же ты
благополучно дождешься в Германии меня, то, пожалуй,
лучше костюм покупать или заказывать вместе со мною.
Между прочим, непременно обдумай к моему возвраще-
нию, что из спортивных и экскурсионных вещей нам с то-
бой купить: палатку и т. п. Особенно желательной пред-
ставляется мне действительно основательная палатка, до-
статочно основательная, чтобы мы с тобою могли в ней
долго жить и чтобы в ней можно было заниматься (зна-
чит, в частности, чтобы был в нее доступ свету). Такую
палатку нам необходимо иметь, чтобы быть независимы-
ми от всяких абхазских княжен и иметь возможность без
клопов и проч, неприятноостей располагаться даже на
продолжительное время там, где нам вздумается.
Ты все это сообрази, как следует, и узнай, где такие
вещи лучше всего покупать, выпиши себе проспекты,
ВОСПОМИНАНИЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВЕ 153
узнай цепы и т. п. В Америке это покупать едва ли сто-
ит, здесь все-таки все дороже, чем в Германии. Такие ве-
щи можно, конечно, покупать где угодно, но, кажется,
лучше там, где мы собирались покупать лодку (сосед
Нейгебауэра Шелленберг знает адрес некоего Bergver-
lag’a *) в Мюнхене, где можно получить все такие справ-
ки, проспекты и т. п.; постарайся к нему обратиться пря-
мо или через Нейгебауэра).
Я тебе советую приобрести и лыжный костюм, тем бо-
лее что он тебе кажется удобным. Все это стоит, по су-
ществу говоря, совсем недорого, а фактическая ценность
этих вещей (т. е. получаемые от них блага, по выраже-
нию Александра Яковлевича) очень велика.
Ты мне почти ничего не пишешь о своих спортивных
упражнениях, а мне очень интересно иметь о них посто-
янный подробный отчет: сколько, в каком костюме, при
какой температуре бегал? в какое время дня? прямо ли
из дому или только на Spielplatz’e? Купался ли у Klie?
Плавал ли в Schwimmhalle? Какую и где делал гимнасти-
ку (дома, у Klie)? Кроме того, ты ничего не пишешь
о своем самочувствии. Кашляешь ли ты, и бываешь ли
охриплым? Как твой насморк? А главное, как общее са-
мочувствие? Тебе бы очень хорошо покупать себе, кроме
молока, сливки. Оказывается (мне это говорил один био-
логический химик) маленькая бутылочка сливок (стоя-
щая 13 центов) содержит больше питательных веществ,
чем большая (больше чем пол-литра) бутылка молока
(стоящая здесь 9 центов). Между прочим, цены здесь ус-
танавливаются (на разной густоты сливки и молоко) в
почти полном соответствии с действительной питатель-
ностью — т. е. с химическими анализами (содержание жи-
ров н т. п.). Да и субъективно это подтверждается — насы-
щающее действие сливок очень велико. Между прочим, рас-
пространены сливки в Америке чрезвычайно — люди, поку-
пающие молоко (напр. моя Mrs Gulich), покупают доста-
точно часто и сливки, так как знают, что это более кон-
центрированная форма того же молока, а не некоторый
изысканный предмет роскоши: во всех таких вопросах
американская «домашняя хозяйка» бесконечно развитее
своей немецкой Collegue: Grete как будто бы дама более
высокой марки, но тем не менее мне долго пришлось
’) Вспомнил: Berg Verlag Rudolf Bother, Munchen (кажется,
Munchen 49), все-таки проверь у Schellenberg’a,
154 РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
убеждать ее, что платить на две десятых цены больше за
в полтора раза большее яйцо — выгодно; а что платить
13 центов за маленькую бутылочку сливок столь же вы-
годно, как 9 центов за большую бутылку молока — в этом
я ее и не падеюсь убедить. А моя Mrs Gulich все это от-
лично понимает. Поэтому в Америке и можно цены уста-
навливать в соответствии с химическими анализами (а не
глупостью покупательниц). Но ты-то покупай и сливки и
молоко (так как сливки будешь пить с кофеем, а моло-
ко — само по себе). Конечно, если бы и сливки ты мог
пить живьем, было б лучше всего.
Вес свой мне тебе сообщить довольно трудно: ведь
здесь все шиворот навыворот: вес человеческий исчисля-
ется не в килограммах, и даже пе в английских фунтах,
а в некоторых специальных единицах, называемых «sto-
ne», что значит — камень! Вероятно, это вес того камня,
о кооторый споткнулась лошадь Вашингтона, когда оп
ехал избираться в первые президенты Соединенных Шта-
тов! Но я постараюсь выяснить соответствующие коэффи-
циенты и тогда тебе напишу. Скоро вышлю тебе деньги.
Я пока еще не получал денег: оказывается, следующую
мне сумму мне предполагали выплачивать, помесячно:
5 марта, 5 апреля, мая, июня (т. к. пе предполагается,
чтобы люди, приглашаемые для чтения лекций, приезжа-
ют в Америку с 50 долларами в кармане). По я возьму
вперед. Кроме того, я пользуюсь неограниченным креди-
том (не только у отдельных лиц, но и, например, в уни-
верситетском магазине, где только что купил себе ма-
шинку (в кредит) за 60 долларов. Опа будет иметь, кроме
обычного латинского алфавита, знаки +, —, <, >, =, е,
2, показатель п (Еп) п индексы 1,2, также, копечно, о, \ ".
Пока эти знаки присоединяются, мне дали па время обыч-
ную...)
(Из письма от 22 марта 1931 г.)
... Я положительно влюбляюсь в нее, даже с некото-
рым волпепием смотрю на нее каждый день, и опа совер-
шенно серьезно играет большую роль в моей жизни. Во-
круг нее всегда какая-то полная тишина, и даже таинст-
венность, и сама опа прямо какая-то воплощенная Унди-
на — тихая, прозрачная и трогательная, особенно, когда
смотришь на нее, освещенную яркими солнечными луча-
ми, скользящую среди больших, старых, по пс обнажен-
ных еще деревьев.
ВОСПОМИНАНИЯ О II. С. АЛЕКСАНДРОВЕ
155
И имя у нее удивительное — Stony Brook — что озна-
чает «Каменная речка», такие имена бывают (вернее, бы-
вали) у дочерей и невест индейских царьков. Каждый
раз, когда я на нее смотрю, я говорю про себя: ты назы-
ваешься Stony Brook, и произносить ее имя доставляет
мне удовольствие. Имя вполне ей соответствует — вода в
ней чистая, зеленая и холодная, а дно каменистое.
К месту, где я купаюсь, надо долго идти по зарос-
лям, и вдруг, поднявшись на небольшую грядку,— сра-
зу перед тобою речка с нависающими над нею больши-
ми, много на своем веку видавшими, точно тургеневски-
ми. деревьями. Длинный участок она течет параллельно
каналу, в конце этого участка я и купаюсь. Между нею
и каналом через заросли идет тропинка; вероятно, по ней
ходят только зачарованные принцы любоваться на Sto-
ny Brook в лунные ночи, так как я там еще ни разу не
видал ни одного человека (впрочем, я около тропинки
нашел две консервных банки, так что зачарованные прин-
цы иногда кушают консервированные бобы; также не-
сколько следов костра — очевидно, здесь иногда устраи-
ваются пикники).
Как бы то ни было, я нч этой тропинке ни одного
человека до спх пор пе видел, и пользуюсь ею для того,
чтобы по ней бегать до и после купания.
На другом берегу Stony Brook — лесистое болото, и да-
лее (далеко)—фермы, а на другом берегу канала — бес-
конечные фруктовые сады, производящие совершенно за-
пущенное впечатление. Без конца водяных птиц, поэтому
все в целом производит действительно таинственное впе-
чатление — разве пе таинственна иллюзия настоящей
природы в получасе ходьбы от Princeton’a? До ближай-
шей автомобильной дороги тоже полчаса ходьбы моими
зарослями (без них было бы двадцать минут). И зарос-
ли очень хороши. Воображаю, какое это будет раздолье,
когда начнется настоящая весна, и все зазеленеет здеш-
ней совершенно непроницаемой, густой, колючей, вьющей-
ся зеленью. Нет, положительно гораздо лучше всякого
КИе и может конкурировать с лучшими местами на на-
шей Уче...
Несколько дней тому назад я сделал большую, четы-
рехчасовую прогулку, и исследовал течение своей Stony
Brook на протяжении более 15 километров. Это было час-
то сопряжено с трудностями и даже опасностями, так как
приходилось не только пролезать через заросли безо вед-
156
РАЗДЕЛ Ш, НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
ких тропинок, но, что гораздо хуже,— через частные вла-
дения, обнесенные проволоками, на которых вместо колю-
чек через каждые 10 шагов было прибито печатное объ-
явление, гласящее, что, всякий посторонний, входящий
сюда, нарушает законы С.Ш.А., со всеми вытекающими
из этого последствиями! Но последствий, слава Богу, не
было никаких. Вообще же, как тебе уже неоднократно
писалось, главное в Princeton’e — это солнце. Я сегодня
проснулся от восхода солнца — вижу в окно землю, де-
ревья, дома, залитые ярко-розовым светом, также облач-
ка, близкие к горизонту, потом сразу безо всякого пере-
хода — синее небо. Было действительно прекрасное зре-
лище, продолжавшееся, естественно, всего несколько ми-
нут. На Клязьме мы с тобой все дрыхнем, когда солпце
восходит, а, наверное, бывает не хуже!.,.
(Из письмд от 25 марта 1931 г.)
«City’s Lights»
A Romantic Comedy
written and directed
by Charles Chaplin
«Огни большого города»
Романтическая комедия,
написанная и поставленная
Чарли Чаплиным
Вчера я видел в здешнем кинематографе. Естественно,
нужна была чья-то инициатива, чтобы вообще меня зата-
щить в кинематограф. Эта инициатива была проявлена
Alexander’oM, и я не жалел о. ней. Первый раз в жизни я,
уходя из кинематографа, чувствовал прикосновение с
большим, серьезным, человеческим и общечеловеческим
искусством. И это впечатление господствует надо мною
и весь сегодняшний день, что и в применение к театру
является, по крайней мере для меня, одним из основных
критериев значительности впечатления.
Основное в Чаплине — ему удалось создать новый ху-
дожественный образ, правда, единственный, но положи-
тельно новый, которого раньше в человеческом искусстве
просто не было (хотя в жизни, конечно, был — во време-
на царя Соломона, так же как и в наши времена). По-
жалуйста, не пойми это как сравпение масштабов, как ко-
личественную оценку, но так же как Шекспир открыл
Гамлета, а Гоголь — Акакия Акакиевича, так Чаплин от-
крыл этот единственный играемый им образ смешного и
трогательного неудачника, странника, неизвестно откуда
приходящего и куда идущего, точный адэкват шубертов-
ского «шарманщика»— «willst du zu meine Liedern deine
Leier drehn?»
Краткие биографии из бсэ 157
Художественное открытие Чаплина, конечно, не в
этом вековечном содержании, а в том удивительном, тро-
гательном и чистом, свободном от всякой риторики, цело-
мудренном воплощении, которое он для него пашел. И вот
тут я понял просто материальное превосходство в извест-
ном отношении кинематографа над театром — это созда-
ние искусства ведь останется практически, надо надеять-
ся, «на вечные времена». Между прочим, произведение
в лучшем смысле слова современное: вся эта стыдли-
вость, боязнь всякой фразы и многое другое воспринима-
ются как нечто, невозможное ни в XIX, ни в XVIII ве-
ке. Не знаю, можно ли понять, что я этим хочу сказать;
скажу только, что романтика современная (а Чаплин яв-
ляется именно ее представителем), если угодно, более ро-
мантична, чем бывшая 100 лет тому назад (везде, за ис-
ключением, впрочем, музыки) — более романтична в смыс-
ле знания, что ничего-то словами нельзя сказать!
Сюжет во всем этом представлении, конечно, достаточ-
но безразличен, и его, если угодно, некоторая подчеркну-
тая механичность — та стандартность, которая существо-
вала в «органические периоды театра»— например в
итальянской commedia del arte — только усугубляет со-
держание основных образов, точнее — основного образа.
Но выражение глаз в конце пьесы, жест, с которым он
подымал при прощании свой неизменно потрепанный ко-
телок, поцелуй руки,— действительно, нельзя забыть. То,
что все это происходит на экране — просто необходимо,—
в настоящем театре вся красота бы пропала, все сдела-
лось бы грубым, ото всего осталась бы одна оболочка.
Между прочим, часто я сомневаюсь в этом преслову-
том единстве действительности (вопрос, которого мы мно-
го раз касались в письмах), и платоновская концепция
дуалистического мира часто искушает меня...
КРАТКИЕ БИОГРАФИИ МАТЕМАТИКОВ
из Большой Советской Энциклопедии
АДАМАР, Жак (р. 1865)♦)—выдающийся современ-
ный фрацузский математик, член Парижской академии
наук (1912). Неоднократно приезжал в СССР с научны-
ми докладами и на научные конференции. Известен ис-
♦) БСЭ-2,— 1949.-Т. 1.-С. 388.
158 РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИЙ
следованиями в самых различных областях математики.
В теории чисел доказал высказанный II. Л. Чебышевым
асимптотический закон распределения простых чисел. Со-
здал значительную часть современной теории целых ана-
литических функций. В теории дифференциальных уравне-
ний особенно существенны работы Ж. Адамара по задаче
Коши для гиперболических уравнений. Большое влияние
оказали идеи Ж. Адамара на создание функционального
анализа и на развитие функционального подхода к зада-
чам уравнений математической физики (понятие «коррект-
ности» постановки краевой задачи и т. п.). В механике
Ж. Адамар занимался проблемами устойчивости рав-
новесия и исследовал свойства траекторий, описывае-
мых механической системой вблизи положения равнове-
сия. В своих методологических высказываниях Ж. Ада-
мар обычно выступает против всякого ограничения
в выборе предмета и метода математического иссле-
дования (например, за неограниченное пользование так
называемой аксиомой выбора) [...].
Ж. Адамар много занимался вопросами школьного
преподавания и написал учебник геометрии (переведен-
ный на русский язык).
АЛЕКСАНДРОВ, Александр Данилович (р. 1912)*) —
русский советский математик, член-корреспондент Акаде-
мии наук СССР, лауреат Сталинской премии (1942);
профессор Ленинградского университета. Известен свои-
ми работами по геометрии выпуклых тел. В его работах
тесно переплетаются исследования глубоких свойств са-
мых элементарных геометрических фигур с использова-
нием современных теоретико-множественных методов.
АЛЕКСАНДРОВ, Павел Сергеевич (р. 1896)**) — рус-
ский советский математик, член-корреспондент АН СССР,
лауреат Сталинской премии (1943). Президент Москов-
ского математического общества. Профессор Москов-
ского университета, где создал свою школу (среди его
учеников — члены-корреспопдепты АН СССР Л. С. Понтря-
гин и А. Н. Тихонов). Начал научную работу в области
теории множеств и теории функций действительного пе-
ременного, получив ряд замечательных результатов. За-
♦) БСЭ-2.— 1950- Т. 2.— С. 83.
♦♦) БСЭ-2.- 1950.- Т. 2,— С. 84.
КРАТКИЕ БИОГРАФИИ ИЗ БСЭ
159
тем вместе с П. С. Урысоном посвятил себя разработке
топологии (науки о качественных свойствах геометриче-
ских фигур, т. е. свойствах, не связанных с понятием
длины, величины углов, и т. п.). П. С. Александров яв-
ляется главой советской топологической школы, полу-
чившей мировое признание. II. С. Александровым создана
одна из основных глав теории топологических прост-
ранств — теория бикомпактных пространств, существенно
продвинута теория размерности, созданы методы ком-
бинаторного (алгебраического) исследования множеств и
пространств общей природы; им доказан ряд основных
«законов двойственности» (связывающих топологические
свойства геометрической фигуры с топологическими
свойствами дополнительной к ней части пространства).
АХИЕЗЕР, Наум Ильич (р. 1901)*)—советский ма-
тематик, профессор Харьковского университета, член-кор-
респондент Академии наук УССР (с 1934). Крупный про-
должатель паправлепия П. Л. Чебышева и С. Н. Берн-
штейна в теории наилучших приближений. Значительная
часть научных достижений II. И. Ахиезера собрана в мо-
нографии «Лекции по теории аппроксимаций», удостоен-
ной в 1948 г. премии им. Чебышева.
БАНАХ, Стефан (1892 — 1945)**) — один из крупней-
ших польских математиков, профессор Львовского уни-
верситета (1924—1945). После воссоединения Львова
с Советской Украиной в 1939 г. С. Банах —член Львов-
ского горсовета и декан физико-математического факуль-
тета университета. С. Банах — один из создателей совре-
менного функционального анализа. Его именем обычно
называют линейные пространства, в которых наиболее
плодотворно изучаются линейные функционалы и опера-
торы. Основное сочинение С. Банаха «Теория линейных
операций» издано на польском (1931), французском
(1933) и украинском (1948) языках. В годы немецкой
оккупации С. Банах стал жертвой неслыханных издева-
тельств: [...] крупнейший ученый был использован для
кормления вшей с целью выработки противотифозной сы-
воротки ***).
•) БСЭ-2.— 1950.— Т. 3.- С. 565.
♦♦) БСЭ-2.- 1950.- Т. 4.— С. 183.
••♦) После освобождения Львова С. Банах вновь возглавил
физико математический факультет Львовского университета.
160 РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
БАРИ, Нина Карловна (р. 1901 )♦) —советский мате-
матик, проф. Московского университета. Основные рабо-
ты Н. К. Бари относятся к теории функций действитель-
ного переменного. Ей принадлежит ряд глубоких иссле-
дований, относящихся к вопросу об однозначности опре-
деления коэффициентов тригонометрического ряда по
изображаемой им функции.
БЕРНШТЕЙН, Сергей Натанович (р. 1880)*) **) —со-
ветский математик, академик (с 1929). Основные труды
С. Н. Бернштейна относятся к теории дифференциальных
уравнений, теории приближения функций многочленами.
Изучая уравнения с частными производными второго по-
рядка эллиптического типа (эти уравнения играют весь-
ма важную роль в задачах физики и механики),
С. Н. Бернштейн еще в начале своей деятельности
'(1903) установил, что при некоторых весьма общих усло-
виях их решения они являются аналитическими функция-
ми, т. е. представляются степенными рядами; опираясь
на этот факт, он разработал новый метод отыскания ре-
шений по заданным граничным значениям. Другой боль-
шой цикл исследований С. Н. Бернштейна, посвященный
приближению функций многочленами, составляет сущест-
венный вклад в теорию, созданную II. Л. Чебышевым
и продолженную учеными петербургской школы. Значе-
ние этих исследований — в раскрытии связей между тем,
насколько хорошо функция может быть приближена много-
членами различных степеней, и дифференциальными свой-
ствами функции (например, наличием производных до оп-
ределенного порядка, аналитичностью и т. п.). Из работ
С. Н. Бернштейна и его учеников составилась ветвь теории
функций, которую сам С. Н. Бернштейн называет конст-
руктивной теорией функций. В теории вероятностей
С. Н. Бернштейну принадлежат: первое по времени ак-
сиоматическое построение теории вероятностей (1917),
исследование предельных теорем, продолжающее и в не-
котором отношении завершающее классические исследо-
вания А. А. Маркова (старшего) и А. М. Ляпунова, ис-
следование стохастических дифференциальных уравне-
ний, а также разработка применений методов теории ве-
роятностей к задачам физики и статистики.
*) БСЭ-2.— 1950.— Т. 4.— С. 245.
f •) БСЭ-2.— 1950.- Т. 5.- С. 52.
КРАТКИЕ БИОГРАФИИ ИЗ БСЭ 161
За научные работы: «О суммах зависимых величин,
имеющих взаимно почти нулевую регрессию» (1941),
«О приближении непрерывной функции линейным диф-
ференциальным оператором от многочлена» (1941),
«О доверительных вероятностях Фишера» (1941), опуб-
ликованные в 1941, С. Н. Бернштейну присуждена Ста-
линская премия.
БРАУЭР, Лёйтзен Эгберт Ян (р. 1882)♦)' —голланд-
ский математик. В 1911 — 1913 гг. Л. Брауэр получил впер-
вые ряд важных результатов в области топологии. В их
числе: а) теорему об инвариантности числа измерений
(два евклидовых пространства разного числа измерений
не могут быть взаимно однозначно и взаимно непрерывно
отображены друг на друга); б) теорему о неподвижной
точке (всякое непрерывное отображение замкнутого ша-
ра в себя оставляет неподвижной по меньшей мере одну
его точку).
ВЕЙЛЬ, Герман (р. 1885)**) — немецкий математик,
эмигрировавший в 1934 в США. До 1930 — профессор
Высшего технического училища в Цюрихе (Швейцария),
в 1930—1933 — профессор Гёттингенского университета
(Германия), с 1934 — профессор в Принстоне (США),
член Национальной академии наук США. Работы Г. Вей-
ля принадлежат к различным областям математики. Пер-
вые работы Г. Вейля были посвящены тригонометриче-
ским рядам и рядам по ортогональным функциям. В тео-
рии функций комплексного переменного Г. Вейль впервые
дал строгое построение тех разделов этой теории, которые
опираются па понятие «римановской поверхности». В ма-
тематическом анализе работы Г. Вейля посвящены диф-
ференциальным и интегральным уравнениям. Введенные
Г. Вейлем в теорию чисел так называемые «суммы Вей-
ля» получили большое значение в аддитивной теории
чисел (особенно в работах И. М. Виноградова).
Наиболее значителен комплекс работ Г. Вейля по тео-
рии непрерывных групп и их представлений с примене-
ниями к проблемам геометрии и физики. Им была вместе
с Петером доказана полнота системы неприводимых пред-
ставлений компактной группы и были изучены представ-
♦) БСЭ-2.— 1950.- Т. 4.— С. 245.
•♦) БСЭ-2.— 1951.- Т. 7.- С. 106-107,
И А. Н. Колмогоров
<62 РАЗДЕЛ Ш. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
ления и характеры полупростых групп. Введенное им по-
нятие пространств аффинной связности играет существен-
ную роль в современной дифференциальной геометрии. За
работы по геометрии Г. Вейль получил премию имени
Н. И. Лобачевского. В ряде своих работ Г. Вейль популя-
ризировал значение идей теории групп и современной
дифференциальной геометрии для физики. Однако его
собственные попытки построения «единой теории поля» не
имели успеха. При помощи методов теории групп Г. Вейль
получил некоторые результаты, относящиеся к теории
атомных спектров.
ВИНЕР (Wiener) Норберт (1894—1964)*) — американ-
ский ученый. К 14 годам изучил высшую математику,
в 18 лет стал доктором философии Гарвардского универ-
ситета. Раннее развитие Н. Винера отражено в его книге
«Я вундеркинд» (1953). G 1919 преподаватель, с 1932
профессор Массачусетского технологического института.
Занимался математической логикой и теоретической фи-
зикой. В 1920—30-е гг. получил известность как матема-
тик работами по теории потенциала, гармоническим функ-
циям, рядам и преобразованиям Фурье, тауберовым теоре-
мам, общему гармоническому анализу. Большое значение
в теории случайных процессов получила введенная
Н. Винером мера в пространстве непрерывных функций
(«винеровская мера»). Во время Второй мировой войны
J(1939—1945) Н. Винер занимался электрическими сетя-
ми, вычислительной техникой, в частности в связи с бал-
листическими расчетами. Несколько позднее, но незави-
симо от А. Н. Колмогорова, развил теорию интерполяции
и экстраполяции стационарных случайных процессов.
Н. Випер развил для таких процессов теорию их «филь-
трации», получившую широкие технические применения.
В 1945—1947 гг. работал в кардиологическом институте
в Мехико. В эти годы у Н. Винера возникла идея о не-
обходимости создания единой науки, изучающей процессы
хранения и переработки информации, управления и кон-
троля. Для этой науки Н. Винер предложил название
кибернетика, получившее общее признание. Естественно,
что конкретное содержание этой новой области знания
не является созданием одного Н. Винера. Не меньшую
роль сыграли в формировании кибернетики, например,
’) БСЭ-3,— 1971.- Т. 4.- С. 456-457.
КРАТКИЕ БИОГРАФИИ ИЗ БСЭ
163
идеи К. Шеннона. Но Н. Винеру принадлежит, несомнен-
но, первое место в пропаганде значения кибернетики во
всей системе человеческих знаний.
Философские и социологические взгляды И. Винера
эклектичны. Однако должны быть отмечены его настой-
чивые высказывания о моральной ответственности ученых
в деле сохранения мира и борьбы против использования
достижений науки в агрессивной военной политике. В со-
чинениях писателей-фантастов получила большой отклик
идея Н. Винера о возможности «бунта машин».
ГИЛЬБЕРТ, Хильберт (Hilbert) Давид (1862 —
1943)*)— немецкий математик. Окончил Кёнингсбергский
университет, в 1893—1895 профессор там же, в 1895—
1930 гг. профессор Гёттингенского университета, до 1933
года продолжал читать лекции в университете, после при-
хода гитлеровцев к власти в Германии (1933) жил в Гёт-
тингене в стороне от университетских дел. Исследования
Гильберта оказали большое влияние на развитие многих
разделов математики, а его деятельность в Гёттингенском
университете в значительной мере содействовала тому,
что Гёттинген в 1-й трети 20 в. являлся одним из основ-
ных мировых центров математической мысли. Диссерта-
ции большого числа крупных математиков (среди них
Г. Вейль, Р. Курант) были написаны под руководством
Гильберта.
Научная биография Гильберта резко распадается на
периоды, посвященные работе в какой-либо области ма-
тематики: а) теория инвариантов (1885—1893), б) тео-
рия алгебраических чисел (1893—1898), в) основания
геометрии (1898—1902), г) принцип Дирихле и примы-
кающие к нему проблемы вариационного исчисления и
дифференциальных уравнений (1900—1906), д) теория
интегральных уравнений (1900—1910), е) решение проб-
лемы Варинга в теории чисел (1908—1909), ж) основы
математической физики (1910—1922), з) логические ос-
новы математики (1922—1939).
В теории инвариантов исследования Гильберта яви-
лись завершением периода бурного развития этой области
математики во 2-й половине 19 в. Им доказана основная
теорема о существовании конечного базиса системы инва-
♦) БСЭ-3.— 1971,- Т. 6.- С. 519.
11*
164
РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
риантов. Работы Гильберта по теории алгебраических чи-
сел преобразовали эту область математики и стали ис-
ходным пунктом ее последующего развития. Дапное Гиль-
бертом решение проблемы Дирихле положило начало раз-
работке так называемых прямых методов в вариационном
исчислении. Построенная Гильбертом теория интеграль-
ных уравнений с симметрическим ядром составила од-
ну из основ современного функционального анализа и
особенно — спектральной теории линейных операторов.
«Основания геометрии» Гильберта (1899) стали образцом
для дальнейших работ по аксиоматическому построению
геометрии. К 1922 г. у Гильберта сложился значительно
более обширный план обоснования всей математики пу-
тем ее полной формализации с последующим «математи-
ческим» доказательством непротиворечивости формали-
зованной математики. Два тома «Оснований математики»,
написанных Гильбертом совместно с П. Бернайсом,
в которых эта концепция подробно развивается, вышли
в 1934 и 1939 гг. Первоначальные надежды Гильберта
в этой области не оправдались: проблема непротиворечи-
вости формализованных математических теорий оказалась
глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала. Но
вся дальнейшая работа над логическими основами мате-
матики в большой мере идет по путям, намеченным Гиль-
бертом, и пользуется созданными им концепциями. Счи-
тая с логической точки зрения необходимой полную фор-
мализацию математики, Гильберт в то же время верил
в силу творческой математической интуиции. Он был
большим мастером в высшей степени наглядного изло-
жения математических теорий. В этом отношении замеча-
тельна «Наглядная геометрия», написанная Гильбертом
совместно с С. Коп-Фоссеном. Для творчества Гильберта
характерны уверенность в неограниченной силе челове-
ческого разума, убеждение в единстве математической
науки и единстве математики и естествознания. Собра-
ние сочинений Гильберта, изданное под его наблюдением
(1932—1935), кончается статьей «Познание природы»,
а эта статья лозунгом «Мы должны знать — мы будем
знать».
ИМШЕНЕЦКИЙ, Василий Григорьевич (1832 —
1892) ♦) —русский математик и механик, один из осно-
•) БСЭ-2.— 1952.— Т. 17.— С. 607.
КРАТКИЕ БИОГРАФИИ ИЗ БСЭ
165
вателей Харьковского (1879)' и Петербургского (1891)'
математических обществ, с 1881 г.— академик. Работы
В. Г. Имшенецкого относятся к теории дифференциаль-
ных уравнений с частными производными, где им были
значительно развиты и обобщены методы К. Якоби, О. Ко*
ши и др. Он распространил прием отделения переменных
на уравнения с частными производными первого порядка
и дал повое приложение способа изменения произвольных
постоянных к интегрированию уравнений с частными про*
взводными второго порядка.. Это значительно увеличило
круг решаемых задач в различных прикладных науках,
МАРКОВ, Андрей Андреевич (1856—1922) ♦)— вы-
дающийся русский математик, специалист по теории чи-
сел, теории вероятностей и математическому анализу,
С 1886 г.— адъюнкт, с 1890 г.— экстраординарный, а с
1896 г.— ординарный академик, А. А. Марков родился
в семье мелкого чиновника в Рязанской губернии.
В 1878 году окончил Петербургский университет со сте-
пенью кандидата и в том же году получил золотую ме-
даль за работу «Об интегрировании дифференциальных
уравнений при помощи непрерывных дробей». С 1880 г.-
приват-доцент, с 1886 г.— профессор, а с 1905 г.— заслу-
женный профессор Петербургского университета. Науч-
ные исследования А. А. Маркова тесно примыкают по
своей тематике к работам старших представителей петер-
бургской математической школы П. Л. Чебышева,
Е. И. Золотарева и А. Н. Коркина. Блестящих результа-
тов в области теории чисел А. А. Марков достиг в маги-
стерской диссертации «О бинарных квадратичных формах
положительного определителя» (1880). Результаты, по-
лученные им в этой работе, послужили основой дальней-
ших исследований в этой области в СССР и за рубежом.
Работы А. А. Маркова по анализу относятся к теории
непрерывных дробей, к изучению предельных значений
интегралов при некоторых условиях, наложенных на
подынтегральную функцию, к вопросам улучшения сходи-
мости рядов и к теории наилучших приближений.
А. А. Марков дал чрезвычайно простое решение вопроса
об определении верхней границы производной от мно-
гочлена по данной верхней границе самого многочлена.
В теории вероятностей А, А. Марков восполнил пробел,
*) БСЭ 2.- 1952.— Т. 26.- С. 294.
166 РАЗДЕЛ Ш. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
остававшийся в доказательстве основной предельной теоре-
мы, п тем самым впервые дал полное и строгое доказа-
тельство этой теоремы в практически достаточно общих
условиях. Дальнейшие работы А. А. Маркова по распро-
странению основной предельной теоремы на последова-
тельности зависимых величин привели к замечательной
общей схеме «испытаний, связанных в цепь». На этой
элементарной схеме А. А. Марков устаповпл ряд основ-
ных закономерностей, положивших начало всей совре-
менной теории вероятностных марковских процессов.
А. А. Марков много занимался различными приложения-
ми теории вероятностей и дал, в частности, общеприня-
тое в настоящее время вероятностное обоснование мето-
да наименьших квадратов. Учебник А. А. Маркова «Ис-
числение вероятностей» (1900) оказал большое влияние
па развитие этой науки, а по точности получаемых про-
стыми средствами результатов представляет интерес до
сих пор. Широкое распространение получил также его
учебник «Исчисление конечных разностей» (1886)
А. А. Марков был прогрессивным ученым; неоднократно
выступал с разоблачением реакционных направлений
в науке, горячо протестовал против действий царского
правительства, отказавшегося утвердить избрание
А. М. Горького в почетные члены Академии наук.
МИЗЕС, Рихард (р. 1883)*)— немецкий математик и
механик. В 1905 г. окончил Венский университет. Был
профессором Страсбургского (1909—1919) и Берлинского
(1920—1933) университетов. В 1933 г. эмигрировал из
фашистской Германии; в 1933—1939 гг.—профессор
Стамбульского университета (Турция), с 1939 г.—
Гарвардского университета (США). Основные работы от-
носятся к теории вероятностей. Работал также в области
аэромеханики и прикладной механики. В теории вероят-
ностей Р. Мизес ввел в общее употребление интегралы
Стилтьеса и первым подробно разъяснил значение тео-
рии цепей Маркова для физики.
Р. Мизес сделал попытку обоснования теории вероят-
ностей, идентифицируя вероятность с пределом частот в
бесконечной последовательности испытаний. Р. Мизес вы-
ступал против субъективистского истолкования вероятно-
сти как меры субъективной уверенности в наступлении
♦) БСЭ-2.- 1954.- Т. 27.— С. 414.
КРАТКИЕ БИОГРАФИИ ИЗ БСЭ
167
события. Однако, будучи махистом, Р. Мизес не видит за
фактом устойчивости частот появления события А при
многократном повторении некоторой совокупности усло-
вий S объективной зависимости наступления события А
от осуществления условий S. Самую постановку вопроса
об объяснении причин устойчивости частот Р. Мизес счи-
тает бессмысленной; по мнепию Мизеса, можно говорить
о вероятности P(A\S) только после того, как устойчи-
вость частот наблюдена [...].
СЛУЦКИЙ, Евгений Евгеньевич (1880—1948)*) —
советский математик. В 1901 —1902 гг. учился в Киевском
университете, в 1902—1905 гг.— в Мюнхенском политех-
никуме; в 1905 г. поступил на юридический факультет
Киевского университета, который окончил с золотой ме-
далью. С 1913 г.— преподаватель Киевского коммерче-
ского института. С 1926 г. работал в Центральном стати-
стическом управлении. С 1934 г.— в Московском универ-
ситете, с 1938 г.— в Математическом институте Акаде-
мии наук СССР. Е. Е. Слуцкий является одним из
создателей современной теории случайных функций (рас-
пределений в функциональных пространствах). Часть ра-
бот посвящена оценке параметров (коэффициентов
корреляции и т. п.) по рядам связанных наблюдений.
Результаты, полученные в этой области, Е. Е. Слуцкий
применил к теории гидрологических процессов. Послед-
ние годы жизни Е. Е. Слуцкий работал над составлени-
ем таблиц функций от нескольких переменных.
СМИРНОВ, Николай Васильевич (р. 1900)**)—совет-
ский математик. Лауреат Сталинской премии (1951).
В 1926 г. окончил Московский университет. С 1937 г.-
преподаватель, а с 1939 г.— профессор Московского
городского педагогического института. Одновременно
(с 1938) —сотрудник Математического института Ака-
демии наук СССР. Основные труды Н. В. Смирнова
посвящены теории вероятностей и особенно математиче-
ской статистике. Теория пепараметрических методов ма-
тематической статистики в значительной мере создана
Н. В. Смирновым. Награжден орденом Трудового Крас-
ного Знамени и медалью.
♦) БСЭ-2.— 1956.—Т. 39,—С. 378.
БСЭ 2.- 1956.- Т. 39.- С. 406.
168
РАЗДЕЛ 1П. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
БИОГРАФИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ
из журнала «Успехи математических наук»
ВАЛЕРИЙ ИВАНОВИЧ ГЛИВЕНКО ♦)
(1897—1940)
15 марта 1940 г. скончался известный советский ма-
тематик Валерий Иванович Гливенко. Мне хотелось бы
в этой статье хотя бы в кратких чертах осветить основ-
ные результаты его математического творчества.
Многих математиков больше всего привлекает реше-
ние отдельных, хотя бы и очень частных, но известных
своей исключительной трудностью задач. Философский
ум Валерия Ивановича всегда гораздо больше занимало
создание общих объединяющих концепций и раскрытие
внутренней логики построения широких математических
теорий.
Вполне понятно поэтому, что первым его увлечением
явилась математическая логика. Однако, как раз в этой
области он начал не с создания своих собственных новых
общих концепций, а с доказательства неожиданной, не
вытекавшей ни из каких общих соображений и трудной
теоремы.
Этот результат Валерия Ивановича относится к так
называемой «интуиционистской» логике Брауэра. Логи-
ка эта имеет для математики большой интерес совершен-
но независимо от философских построений, которые по-
служили Брауэру поводом для ее создания. В частности,
она может рассматриваться как логика решения конст-
руктивных задач (противополагаясь обычной логике до-
казательства истинности суждений). При некоторых от-
личиях логика Брауэра сохраняет и много общих черт с
обычной. Например, как показал еще и сам Брауэр, вме-
сто отвергаемого в ней принципа исключенного третьего
она сохраняет двойное отрицание этого принципа:
Брауэр потратил много труда на разыскание для забра-
кованных им предложений классической математики та-
кого рода аналогов, сохраняющих силу в интуиционист-
ской математике. А. Н. Колмогоров и К. Гедель занима-
лись установлением общих принципов построения таких
•) УМН,- 1941.— Вып. 8,— С. 379—382,
БИОГРАФИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ ИЗ ЖУРНАЛА УМН 169
аналогов. Однако, если ограничиться областью логики
суждений, наиболее окончательное решение дается тео-
ремой Валерия Ивановича: двойное отрицание каждого
истинного предложения классической логики суждений
доказуемо в брауеровской логике суждений.
После этих блестящих первых работ Валерий Ивано-
вич ничего не опубликовал по математической логике.
Однако, специалистам хорошо известно, насколько зна-
чительно было его участие в дальнейшем культивирова-
нии этой отрасли математики в Москве.
Почти одновременно с математической логикой Ва-
лерий Иванович обращается к дескриптивной теории
функций действительного переменного. Наиболее замеча-
тельным его открытием в этой области мне представля-
ется установление равносильности следующих свойств
действительных функций
J — /(Х1, Х2, ..., Хп)
действительных аргументов xi, Х2, ..хп\
1) Функция / может быть определена неявно систе-
мой уравнений
Ф1 (хь х2, ..., хп, у, Z1, ..., zm) = О,
ф2 (xb Х2, .. ., Хп, У, Z1, . . ., Zm) = О,
фл (Х1, Х2, .. ., Хп, у, Z1, ..., zm) = О,
с непрерывными левыми частями.
2) Образ функции / в (п + 1)-мерном пространстве
(xi, Х2, ..хя, у) есть множество типа F,.
3) Функция / определена на множестве типа F<„
и на любом замкнутом множестве Р, лежащем в области
ее определения, непрерывна за исключением нигде не
плотного подмножества множества Р.
4) Для функции / существует последовательность
всюду непрерывных функций /п такого рода, что
/ « lim /п,
П-»оо
и область определения функции / совпадает с множест-
вом тех точек, где члены последовательности fn постоян-
ны, начиная с некоторого номера п.
Возможность найти в пределах функций первого
класса новый более узкий класс функций, охватываю-
170 РАЗДЕЛ Ш. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
щий все непрерывные функции и обладающий столь ин-
тересным набором характеризующих его свойств, яви-
лась достаточно неожиданной.
К теории функций действительного переменного тес-
но примыкают работы Валерия Ивановича по общему
определению предела и интеграла. Здесь систематизи-
рующие и обобщающие тенденции выступают на первый
план, не оставляя места для каких-либо неожиданных и
технически трудных конструкций. Общее определение
предела, к которому пришел Валерий Иванович в ре-
зультате длительных поисков и отбрасывания всего ло-
гически несущественного, представляется мне, тем не
менее, крайне важным для математики. В точности
к той же концепции предела под названием теории
«фильтров> пришла независимо и молодая французская
школа.
В такого рода вопросах, где дело идет о поисках наи-
более окончательного и простого определения, тождест-
венность результатов, полученных разными школами,
лишь подчеркивает их окончательность. В окончательном
виде определение предела выглядит так:
Фильтром в множестве Е называется любая система
F == {М} непустых подмножеств М множества Е, обла-
дающая тем свойством, что из М\^Е и F вытекает
существование M^F, заключенного в пересечении М\М2.
Если функция /(х) определена на Е и принимает
значения из топологического пространства Я, то пре-
делом
lim /(х)
F
функции f(x) по фильтру F называется такой элемент у
пространства Я, что для любой окрестности U(y) найдет-
ся множество М е F, на котором все значения /(х) при-
надлежат U (у).
Это общее определение вполне естественно и без вся-
ких лишних осложнений включает в себя все ранее рас-
сматривавшиеся случаи. Если само множество Е есть то-
пологическое пространство, то для каждой точки хо через
х Хо
обозначается фильтр, состоящий из всех окрестностей
БИОГРАФИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ ИЗ ЖУРНАЛА УМН 171
точки хо. При этом обозначении запись
Jim /(х)
ос-*х0
приобретает обычный смысл. Если Е есть множество
действительных чисел, то через
х -> ±оо
обозначается фильтр, состоящий из множеств Мн, соот-
ветствующих всевозможным положительным h и опреде-
ляющихся при каждом h неравенством
Ixl > h.
Очевидно, что запись
lim /(х)
0С->±ОО
получает в силу наших определений общепринятый
смысл. Аналогично определяются фильтры х -> +«> и
х -> —<». Более сложные фильтры позволяют дать удоб-
ные и крайне сжатые определения интегралов Римана и
Лебега. При этом элементами множества Е являются
уже не числа, а разбиения интервала на интервалы
(в случае интеграла Римана) или множества на множе-
ства (в случае интеграла Лебега).
Почти одновременно с математической логикой и тео-
рией функций действительного переменного Валерий
Иванович начинает работу в области теории вероятно-
стей. В этой области ему принадлежит целый ряд инте-
ресных результатов; некоторые из них имеют большое
принципиальное значение. Отметим среди них весьма
широкие условия применимости закона больших чисел
к суммам независимых слагаемых в общих линейных
(в частности, в функциональных) пространствах и тео-
ремы о сходимости эмпирических законов распределения
к теоретическому. По поводу этих последних теорем за-
метим, что, несмотря на их фундаментальную важность
для математической статистики и отсутствие всяких тех-
нических трудностей в их доказательстве, до Валерия
Ивановича даже самый вопрос не был отчетливо сфор-
мулирован (несмотря на то, что у Р. Мизеса уже име-
лись некоторые оценки расхождения между эмпириче-
ским и теоретическим законами в форме так называемо-
го (о2-критерия).
Много внимания уделял Валерий Иванович примене-
ниям математики (и особенно теории вероятностей) к во-
172 РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
просам теории наследственности. Особенно следует отме-
тить его «менделевскую алгебру». Здесь дело идет об
изящном и остроумном алгебраическом алгоритме с тре-
мя действиями, передающем в сжатых математических
формулах все закономерности менделевской наследствен-
ности при скрещиваниях в обширных смешанных по-
пуляциях.
В последние годы в центре внимания Валерия Ива-
новича находилась новая область математики—«теория
структур». К ней Валерий Иванович был приведен всей
совокупностью своих предыдущих интересов (математи-
ческая логика, теория интегрирования, аксиоматика тео-
рии вероятностей). Валерий Иванович получает в этой
области тонкие результаты, касающиеся «нормирован-
ных структур», которые он связывает с метрическими
пространствами (в обычном смысле Фреше). Эти резуль-
таты, так же как и упомянутая «менделевская алгебра»
показывают, что систематизаторские и обобщающие тен-
денции второго периода его деятельности отнюдь не ли-
шили Валерия Ивановича вкуса к острым и неожидан-
ным математическим конструкциям, с которых он столь
блестяще начал в 1928—1929 гг.
Большинство из нас при жизни Валерия Ивановича
все же считало, что стремление к обобщению чрезмерно
господствовало в его творчестве над интересом к доста-
точному богатству и своеобразию открываемых новых
конкретных фактов. Однако, рассматривая теперь сово-
купность оставшихся от Валерия Ивановича работ, мы
видим большое богатство содержащихся в них как об-
щих идей, так и интересных математических конструк-
ций. Лично же знавшие Валерия Ивановича будут долго
помнить его исключительный математический энтузиазм
и заражавшую окружающих веру в неограниченность и
значительность перспектив дальнейшего развития нашей
науки.
ВИКТОР НИКОЛАЕВИЧ ЗАСУХИ!! ♦)
(1915—1941)
Виктор Николаевич Засухин родился 13 февраля
1915 г. в Саратове. Окончил школу фабрично-заводского
ученичества, работал в Магнитогорске. Поступив в Са-
*) УМН - 1970.- Т. 25, выи. 3.— С. 243.
БИОГРАФИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ ИЗ ЖУРНАЛА УМН 173
ратовскии университет, на старших курсах был переве-
ден в Московский, который окончил в 1938 г. В Москов-
ском университете проходил аспирантуру и защитил дис-
сертацию в 1941 г. Получив военную подготовку в Са-
ратовском университете, в начале войны был призван в
качестве лейтенанта пехотных войск. Погиб на фронте
Великой Отечественной войны в 1941 г.
В. Н. Засухин с большой настойчивостью и талантом
занимался теорией стационарных многомерных случай-
ных процессов, общие контуры которой к тому времени
были лишь намечены в работах Крамера и А. Н. Кол-
могорова. В. Н. Засухпп перенес на многомерный случай
теоремы о разложении процесса на сингулярную и регу-
лярную компоненты. Самым замечательным достижени-
ем В. Н. Засухина является найденное им необходимое
и достаточное спектральное условие для «регулярности
полного ранга» стационарного процесса. Эта теорема по-
служила исходным пунктом ряда глубоких исследований
других математиков (Винер и Мазани, Розанов, Матве-
ев). В. Н. Засухин успел опубликовать одну единствен-
ную работу «К теории многомерных стационарных слу-
чайных процессов», ДАН 33(1941).—С. 435—437.
ИВАН ГЕОРГИЕВИЧ ПЕТРОВСКИЙ ♦)
(К пятидесятилетию со дня рождения)
18 января 1951 года исполнилось пятьдесят лет со
дня рождения одного из крупнейших советских матема-
тиков — Ивана Георгиевича Петровского. И. Г. Петров-
ский начал самостоятельную научную работу в конце
двадцатых годов. Являясь учеником Д. Ф. Егорова, он
сразу попал в среду чрезвычайно расширившихся к это-
му времени интересов математической школы, созданной
в Москве Д. Ф. Егоровым, Н. Н. Лузиным и их учени-
ками старшего поколения. Уже в своих первых исследо-
ваниях И. Г. Петровский проявил типичные черты его
позднейших работ: пе замыкаясь в какой-либо одной
области математики, он присматривается к основной и
наиболее глубокой проблематике в различных областях
пауки, выбирает для себя какую-либо трудную и точно
поставленную задачу и сосредоточивает на ней все свои
♦) УМН.— 1951.—Т. 6, вып. 3.—С. 161—164.
174 РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
усилия, привлекает для этого большой аппарат и часто
неожиданные средства и, как правило, кончает полным
и исчерпывающим ее решением.
Задача об определении примитивной F(x) по значе-
нию производной
4(Х\
/ W d G (X)
«относительно заданной функции G(x)» настойчиво вы-
двигалась в конце двадцатых годов Н. Н. Лузиным. Од-
ним из первых успехов И. Г. Петровского было полное
ее решение. Совсем в другой области И. Г. Петровский
получает тоже вполне окончательные и завершающие
результаты по решению задачи Дирихле. Выработанные
при этом методы он применяет к решению задач, кото-
рые были тогда в центре внимания московских специа-
листов по теории вероятностей. Разработанный им в этой
области метод положен в основу известной книги
А. Я. Хинчина «Асимптотические законы теории вероят-
ностей».
К 1933 г. относится первая работа И. Г. Петровского
по алгебраической геометрии. Здесь И. Г. Петровский
вступил в совершенно новую для московской математики
того времени область. Вопрос о топологической природе
алгебраических кривых и поверхностей в действительной
области чрезвычайно привлекателен по простоте поста-
новки задачи, но очень труден. Им занимался Гильберт,
но литература по этому вопросу невелика — именно вви-
ду его трудности. Подробное изложение замечательных
результатов И. Г. Петровского в этой области появилось
в 1938 г. Новые результаты в том же направлении, ох-
ватывающие уже и случай поверхностей, получены им в
сотрудничестве с О. А. Олейник в 1949 г. В этом направ-
лении исследования И. Г. Петровского имеют не завер-
шающий, а скорее пионерский характер, и следует ду-
мать, что к этим исследованиям их автор будет еще не-
однократно возвращаться — пе в его характере остав-
лять что-либо незаконченным.
В отличие от первых работ И. Г. Петровского по ал-
гебраической геометрии его статья о поведении интег-
ральных кривых вблизи изолированной особой точки ос-
тается в списке его работ без продолжений, что и есте-
ственно, так как в намеченных автором пределах вопрос
был им разобран с исчерпывающей полнотой. Это заме-
БИОГРАФИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ ИЗ ЖУРНАЛА УМН 175
нательное исследование И. Г. Петровского заслуживало
бы того, чтобы его результаты были изложены возможно
более доступным образом и вошли в учебники в боль-
шей мере, чем это уже стало принятым.
С 1936 г. начинается публикация работ И. Г. Пет-
ровского по задаче Коши и по вопросу об аналитичности
решений для систем уравнений в частных производных,
которые принесли ему наибольшую славу и послужили
основанием для присуждения ему Сталинской премии
первой степени. Эти работы составляют решающий шаг
в направлении перехода всей теории уравнений с част-
ными производными на новую, более высокую ступень
развития.
Как известно, первым этапом развития теории урав-
нений с частными производными являлось изучение их с
точки зрения теории аналитических функций. Централь-
ное место здесь занимают теоремы С. В. Ковалевской о
существовании решений. При всей значительности и
общности результатов этого направления они несколько
оторваны от соответствующих задач естествознания, так
как гипотеза аналитичности решений и начальных зна-
чений оказывается часто плохой идеализацией действи-
тельности.
В конце девятнадцатого и начале двадцатого веков
это классическое направление было почти заменено гос-
подством точки зрения «уравнений математической фи-
зики», т. е. рассмотрением специальных краевых задач,
подсказанных физикой и механикой непрерывных сред,
при помощи аппарата, который тоже заимствован из фи-
зических представлений (источники, волны и т. п.). Ре-
зультаты этого направления были очень обильны, но са-
мо это изобилие сделало необходимым переход к третье-
му этапу: общему и систематическому изучению систем
дифференциальных уравнений с точки зрения тех специ-
фических их свойств, которые выявляются при решении
отдельных специальных задач математической физики,
т. е. к выяснению того, какие краевые задачи в извест-
ном смысле «свойственны» данной системе дифференци-
альных уравнений, нахождению общих критериев анали-
тичности решений и т. п. В этом направлении до
И. Г. Петровского был высказан ряд общих соображений
(введенное Адамаром понятие «корректности» решений)
и был получен ряд глубоких результатов (в частности,
С. Н. Бернштейном была решена задача Гильберта о до-
176 РАЗДЕЛ Ш. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
казательстве аналитичности решений одного нелинейного
эллиптического дифференциального уравнения). Но ра-
боты И. Г. Петровского впервые показали, что в этом
направлении можно продвинуться настолько далеко, что
уже вырисовываются общие контуры будущей теории
систем дифференциальных уравнений, улавливающей все
те их существенные черты, которые определяют их есте-
ственно-научные применения, и в то же время свободной
от ограниченности исследований второго периода, когда
создавалось такое положение, что теория уравнений в
частных производных сводилась к коллекции отдельных
специальных задач.
К основным исследованиям по условиям существова-
ния и корректности решений задачи Коши И. Г. Петров-
ский в 1943—1945 гг. присоединил глубокие исследова-
ния о характере зависимости от начальных данных
(о «лакунах»). Было заранее очевидно, что глубокий об-
щий замысел И. Г. Петровского в перестройке всей тео-
рии уравнений с частными производными, хотя он исхо-
дил из общих теоретических устремлений, а не из от-*
дельных специальных задач, не останется бесплодным и
в смысле решения таких специальных задач. Одним из
признаков того, что и сам И. Г. Петровский от своих
общих построений переходит к развернутой работе над
специальными физическими и механическими задачами,
служит работа о скорости распространения волн Рэлея.
Общественная и организационная деятельность
И. Г. Петровского широко развернулась, когда незадолго
до начала Великой Отечественной войны он стал дека-
ном механико-математического факультета Московского
государственного университета. Все наиболее трудные
военные годы он с исключительной энергией руководил
факультетом, соединяя принципиальную твердость в от-
стаивании интересов порученного ему дела развития на-*
уки и воспитания научных кадров с широким человече-
ским вниманием к интересам членов факультетского
коллектива.
В 1946 г. И. Г. Петровский избирается в действитель-
ные члены Академии наук СССР. В АН СССР он сначала
является заместителем директора Математического ин-
ститута, а затем избирается академиком-секретарем Фи-
зико-математического отделения. В мае 1951 г.
И. Г, Петровский был назначен ректором Московского
университета! где он был студентом, аспирантом, а затем
БИОГРАФИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ ИЗ ЖУРНАЛА УМН 177
непрерывно вел преподавание в качестве профессора и
воспитал целую школу учеников. И. Г. Петровский ре-
дактирует крупнейший советский математический жур-
нал «Математический сборник», а также «Труды» Мате-
матического института АН СССР. За свою научную и пе-
дагогическую работу И. Г. Петровский награжден тремя
орденами Трудового Красного Знамени.
ГЛЕБ АЛЕКСАНДРОВИЧ СЕЛИВЕРСТОВ ♦)
(1905—1944)
Глеб Александрович Селиверстов родился 24 июля
1905 г. в Иркутске. Отец его, талантливый инженер
Александр Николаевич Селиверстов, работал тогда на
строительстве транссибирской железной дороги. В сред-
ней школе Г. А. Селиверстов проявлял хорошие способ-
ности, но более отличался живостью характера, мастер-
j ским уменьем лазить по водосточным трубам и шалостя-
j ми. Однако, увлекшись в возрасте 15—16 лет математи-
! кой, он в крайне короткий срок перешел от школьных
j учебников к курсам анализа Гурса и Жордана, которые
( далеко не предназначались для начинающих. Поступив
< в Московский университет в 1921 г., Г. А. Селиверстов
активно работал в 1922—23 гг. в исследовательском семи-
1 наре В. В. Степанова по тригонометрическим рядам, где
I сразу проявил способность не только разбираться в сов-
< ременной научной литературе, но и преодолевать значи-
д тельные трудности как самостоятельный исследователь.
Работа в Москве по тригонометрическим рядам в то
время шла по преимуществу по линии решения задач,
поставленных Н. Н. Лузиным. В диссертации Н. Н. Лу-
зина был чрезвычайно приподнят вопрос о «множителях
Вейля», гарантирующих сходимость тригонометрического
ряда почти всюду. Действительно последовательно уси-
ливавшие друг друга результаты Фату, Вейля, Гобсона,
Планшереля и Харди довольно быстро следовали друг за
другом. Но опубликованное в 1913 г. условие Харди
5 log2п (al + Ь’) < СО (1)
уже десять лет не поддавалось расширению. Г. А. Сели-
верстов вместе с А. Н. Колмогоровым получили условие
2 log1+E« (а2 + bl) < со. (2)
•) УМН.— 1970.— Т. 25, вып. 3.- С. 244—245.
12 а. И. Колмогоров
178
РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
Вскоре сами эти авторы и независимо А. И. Плеснер
усовершенствовали метод, приведший к условию (2), и
получили условие
2 log п(а’ + Ьп)<°о. (3)
которое оставалось наиболее широким в течение сорока
лет вплоть до сенсационной работы Карлесона, устано-
вившего, что сходимость тригонометрического ряда почти
всюду гарантирует просто условие
Х(«п + Ь*)<оо. (4)
Таким образом, единственный результат в чистой ма-
тематике, связанный с именем Г. А. Селиверстова, при-
надлежит теперь уже прошлому, а совместность работы
делает затруднительной оценку со стороны роли двух
авторов. Мне сейчас тоже не удастся восстановить по-
следовательность попыток и конструктивных идей, кото-
рые в конечном счете привели к решению проблемы, по
существу очень простому и теперь кажущемуся не раз-
ложимым на самостоятельные части. Все постепенно вы-
яснилось в непрерывном дружеском обмене мыслями за
столом с бумагой и карандашом, или во время прогулок.
Но независимо от счета выполненных работ и у меня
и, я думаю, у всех учеников В. В. Степанова и Н. Н. Лу-
зина того времени сохранилось представление о Г. А. Се-
ливерстове как о математике очень большой силы с не-
сомненным крупным научным будущим.
Но человеческие судьбы более капризны, чем такие
прогнозы. Увлекающейся натуре Г. А. Селиверстова бы-
ло тесно в рамках чистой математики. Одно время он за-
нимался в студии киноактеров, что по тем временам в
особенности требовало уменья прыгать через ряд стульев
и тому подобных акробатических достижений. Потом он
очень серьезно увлекся театром. Глубоко изучал филосо-
фию. Необычным по нашим временам образом имел
очень горячие религиозные увлечения.
Чистой математике из принципиальных соображений
была предпочтена деятельность в области ее технических
применений. Отец Г. А. Селиверстова был крупным спе-
циалистом в области отопления. В это время была на-
стойчиво выдвинута практикой задача изучения «тепло-
устойчивости» зданий. Задача эта заключается в расчете
колебаний температуры, вызываемых непродолжительны-
ми (суточными и несколько суточными) колебаниями
БИОГРАФИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ ИЗ ЖУРНАЛА УМН
179
наружной температуры и неравномерностью подачи теп-
ла от нагревающих устройств. Решение этой задачи за-
висит от теплоемкости здания. Естественно, что большая
теплоемкость толстых стен уменьшает колебания внут-
ренней температуры. Менее тривиально, хотя и понятно,
что характер расположения в стене теплоемких и изоли-
рующих слоев имеет большое значение. Например, при
расчете стационарного режима безразлично, с какой сто-
роны от толстой стены большой теплоемкости, но и боль-
шой теплопроводности расположить тонкое теплоизоли-
рующее утепление. Но с точки зрения устойчивости вну-
тренней температуры при колебаниях наружной выгод-
нее этот теплоизолирующий слой расположить снаружи.
Принципы расчета теплоустойчивости были даны
Г. А. Селиверстовым в работе [3]. Немного позднее он
издал две специальные брошюры [4] и [5], в которых
дана детальная методика расчетов, снабженная номо-
граммами и таблицами.
В 1942 г. Г. А. Селиверстов был призван в армию.
В 1943—1944 гг. находился на фронте. Был командиром
минометного расчета. Мне запомнились его просьбы к
родителям, жившим в Москве, о присылке теплых вещей
не лично ему, а его солдатам.
В 1944 г. Г. А. Селиверстов погиб.
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ Г. А. СЕЛИВЕРСТОВА
1. Sur la convergence des series de Fourier, С. R. Acad. Sci. (Paris)
178 (1924).— C. 303-307.
2 Sur la convergence des series de Fourier, Atti Acad. Lincei Roma
3 (1926).— C. 307-310.
3. Математическая теория теплоустойчивости. Мат. сб. 38: 3—4
(1931).—С. 70—73.
4 К вопросу о тепловой иперции зданий.— М., Госстройиздат,
1933.
5. Теплоустойчивость зданий.— М., Госстройиздат, 1934.
ЕВГЕНИЙ ЕВГЕПИЕВИЧ СЛУЦКИЙ ♦)
(1880—1948)
10 марта 1948 г. скончался замечательный советский
математик и статистик Евгений Евгениевич Слуцкий.
Неутомимая и разнообразная деятельность Евгения Ев-
гениевича и своеобразие его оригинальных творческих
•) УМН.— 1948.-Т, 3, вып, 4,-С. 143-151.
12*
180 РАЗДЕЛ Ш. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
идей, направленных на самые различные области иссле-
дования, производят сначала впечатление некоторой раз-
бросанности, но, всматриваясь в них пристальнее, можно
уловить объединяющие их замыслы глубокого ученого-
мыслителя, усматривающего, а иногда и предвосхищаю-
щего основные пути развития науки, не поддающейся
разложению по тесным рубрикам отдельных научных
дисциплин.
К математике Евгении Евгениевич пришел со сторо-
ны экономики. Посвятив год изучению основных работ
английской школы математической статистики, Евгений
Евгепиевич издал в 1912 г., книгу «Теория корреляции»,
явившуюся большим самостоятельным вкладом в мате-
матическую статистику и сохранившую значение и инте-
рес до настоящего времени. От разработки отдельных
специальных «технических» вопросов в рамках общей
системы математической статистики английской школы
Евгений Евгениевич переходит к прокладыванию боль-
ших новых путей научного исследования. Основные сла-
бости работ английской школы в период начала иссле-
дований Евгения Евгенневича были таковы:
1) строгие результаты относительно близости эмпири-
ческих выборочных характеристик к теоретическим отно-
сились только к случаю независимых испытаний;
2) оставались на уровне восемнадцатого века пред-
ставления о логической структуре теории вероятностей,
лежащей в основе всех методов математической стати-
стики;
3) вспомогательный аппарат таблиц, употребляемых
при статистическом исследовании, несмотря на огромную
по объему работу по составлению таблиц, занимающих
большие тома, оказался весьма несовершенным в отно-
шении охвата переходных от «малых» к «большим» вы-
боркам случаев.
Задачу устранения этих трех пробелов в наших зна-
ниях и поставил перед собой Евгений Евгениевич. В во-
просе изучения связных рядов испытаний было естест-
венно опереться в качестве исходного пункта на класси-
ческие работы А. А. Маркова. В отличие от работ чи-
стых математиков Евгений Евгениевич продолжил тради-
цию А. А. Маркова в направлении практически приме-
нимых оценок точности определения средних, дисперсий
и коэффициентов корреляции в связных рядах по огра-
ниченному числу испытаний. Его работы содержат все
БИОГРАФИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ ИЗ ЖУРНАЛА УМН 181
наиболее существенное, что вообще известно по этому
поводу.
В области оснований теории вероятностей техниче-
ская сторона выбора системы аксиом, проверки их неза-
висимости и т. п. осталась в стороне от интересов Евге-
ния Евгениевича. Во в работах, вышедших в 1925 г., он
впервые дал правильную картину чисто математического
содержания теории вероятностей. Каждая математиче-
ская теория возникает в процессе борьбы двух тенден-
ций: стремления к построению возможно более обозри-
мого, замкнутого в себе и развивающегося из простей-
ших предпосылок по стройному логическому плану цело-
го, с одной стороны, а с другой стороны, стремления к
охвату возможно более богатого материала конкретных
фактов. Задачей исследователя является нахождение та-
кого простейшего ядра теории, которое подчиняет себе
возможно больше фактов, оставаясь возможно более про-
стым. Когда данная теория возникает из прикладных
исследований, решение указанной задачи требует после-
довательного отбрасывания всех тех особенностей кон-
кретного материала, которые безразличны для построе-
ния окончательной системы общих математических тео-
рем. Хорошая аксиоматика и должна отражать только
это необходимое логическое ядро дальнейших математи-
ческих построений. В применении к теории вероятностей
таким ядром теории является концепция булевской ал-
гебры «событий», нормированной при помощи приписа-
ния каждому событию А «вероятности» Р(Л), или экви-
валентная ей концепция вероятности как меры, заданной
па множестве «элементарных событий». Эта концепция
охватывает всю классическую теорию вероятностей,
а благодаря своей общности полнее всего раскрывает по-
ложение теории вероятностей среди других математиче-
ских теорий (метрическая теория функций и т. п.). Путь
же к этой концепции от конкретного реального смысла
понятия «вероятность» есть путь постепенного сведения
более сложного к более простому (это относится и к
концепции С. II. Бернштейна, где в основу положены не
числовые значения вероятности событий, а качественное
сравнение событий по большей или меньшей их вероят-
ности, и к концепции Р. Мизеса, исходящей из предель-
ных значений частот при растущем числе испытаний).
Дальнейшая С1руктура математической теории вероятно-
стей всецело определяется тем, что на определенном
182
РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
указанным способом «поле вероятностей» вводятся «слу-
чайные величины» (как измеримые относительно вероят-
ности функции элементарного события) и к их предель-
ному поведению естественным образом применяются по-
нятия сходимости «почти всюду» или «по мере», ортого-
нальности и т. д. Сделанные сейчас сближения между
теорией вероятностей и метрической теорией функций
восходят к более ранним работам Э. Бореля, но програм-
ма систематического построения математической теории
вероятностей на указанных выше началах была обосно-
вана и в значительной мере осуществлена в работе Ев-
гения Евгениевича.
Третье направление работ Евгения Евгениевича, вы-
текающее непосредственно из отмеченных выше общих
пробелов в состоянии математической статистики, полу-
чило развитие значительно позднее в последние годы его
жизни, когда им были предприняты фундаментальные
работы по составлению таблиц неполной Г-функции п
неполной В-функции.
Однако не один этот обобщающий и, так сказать,
«плановый» подход к научной работе был характерен
для Евгения Евгениевича. Из очерченных выше больших
систематических трудов и из его разнообразной приклад-
ной деятельности выкристаллизовались новые направле-
ния исследования, ориентированные не на упорядочение
и расчистку наследия прошлого, а на создание совсем
новых разделов науки. Изучение стационарно связанных
рядов случайных величин привело Евгения Евгениевича
к мысли, что между процессами, составленными из стро-
го периодических компонент, и процессами существенно
случайными, в которых связи между членами убывают с
увеличением расстояния во времени, существуют близ-
кое родство и возможность непрерывного перехода от
процессов одного рода к процессам другого рода. Прак-
тически это приводило к тому, что очень многие процес-
сы, в которых было принято усматривать наличие перио-
дических компонент, могут быть объяснены в качестве
«циклических», но существенно случайных. В ряде работ
Евгений Евгениевич широко разработал эту концепцию,
имеющую теперь уже вполне признанное значение в ря-
де областей статистического исследования.
В 1934 г. Я. Хинчиным было показано, что к са-
мым общим статистически стационарным процессам, рас-
сматривавшимся в работах Евгения Евгениевича, приме-
БИОГРАФИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ ИЗ ЖУРНАЛА УМН 183
ним обобщенный аппарат гармонического анализа. Из
работ Евгения Евгениевича вместе с этим результатом
А. Я. Хинчина и возникла современная теория стацио-
нарных процессов, объясняющая наиболее полно приро-
ду физических непрерывных спектров.
После того как прикладные интересы Евгения Евге-
ниевича сместились из области экономики в область гео-
физики, ему было вполне естественно от рассмотрения
связных рядов случайных величин перейти к случайным
функциям непрерывно меняющегося времени. Своеобраз-
ные соотношения между различными видами непрерыв-
ности, дифференцируемости и интегрируемости таких
функций составляют большую область современной тео-
рии вероятностей, создание которой в основном является
заслугой Евгения Евгениевича. Здесь из трудных и ин-
тересных с чисто математической стороны результатов
следует специально отметить теорему о том, что «стоха-
стически непрерывная» случайная функция допускает
реализацию в пространстве измеримых функций, и тео-
рему о том, что стационарная случайная функция с
дискретным спектром с вероятностью единица почти пе-
риодична по Безиковичу.
Работа над таблицами неполной Г- и В-функций пра-
вела Евгения Евгениевича тоже к постановке новых за-
дач общего характера, к разработке которых он в по-
следние годы жизни относился с неменьшим энтузиаз-
мом, чем к излагавшимся выше исследованиям по общей
теории случайных функций. Как известно, таблицы
функций двух и трех переменных неизбежно очень гро-
моздки, что заставляет ограничиваться очень редкой сет-
кой значений переменных. Для определения значений
функции при промежуточных значениях переменных
приходится прибегать к интерполяции высшими разно-
стями, но и она часто отказывается действовать с доста-
точной точностью. Кроме того, в случаях, когда пределы
изменения переменных бесконечны, элементарное реше-
ние задачи составления исчерпывающих таблиц стано-
вится вообще невозможным. В номографии и при состав-
лении маленьких ориентировочных таблиц в таких слу-
чаях уже давно применялся переход к более удобным
новым переменным, меняющимся в конечных пределах и
таких, что функция от них зависит более «гладким» об-
разом, чем от первоначальных. Но в применении к боль-
шим таблицам с пятизначной точностью задача выбора
184
РАЗДЕЛ III. НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
рациональной замены переменных и рациональной сетки
их значений, гарантирующей возможность интерполиро-
вать с заданной точностью, разрастается в предмет труд-
ного научного исследования. Методы такого исследова-
ния и были разработаны с исключительной тонкостью
Евгением Евгениевичем. Хотелось бы, чтобы его тонкое
мастерство в этой области нашло продолжателей.
Темы естественно-научных и экономических исследо-
ваний Евгения Евгениевича разнообразны. Из них мне
хотелось бы остановиться здесь детальнее лишь на одном
цикле работ по периодичности солнечной активности.
После своих исследований по механизму образования
ложных, «кажущихся» периодичностей Евгений Евгение-
вич был особенно хорошо вооружен для рассмотрения
тех случаев, где все же можно подозревать «настоящую»
периодичность. Так, по его мнению, обстоит дело с
11-летней периодичностью солнечной активности. Как
известно, ее проявление очень нерегулярно. Однако эти
отступления от правильной периодичности можно объяс-
нять двумя способами: с одной стороны, можно предпо-
ложить, что самый механизм, производящий периодиче-
ские колебания, действует «грубо», подобно маятнику,
подверженному непрерывному действию случайных толч-
ков. В этом случае возникает приближенная периодич-
ность, теряющаяся на больших расстояниях во времени.
С другой стороны, можно предположить, что наблюдае-
мые нами явления суть искаженные какими-либо «поме-
хами» отражения некоего по своей природе очень строго
периодического процесса. В этом втором предположении
после минования «помех» истинная периодичность долж-
на восстанавливаться с сохранением расположения мак-
симумов и минимумов вблизи некоторой строгой ариф-
метической прогрессии. Вторая концепция в применении
к 11-летней периодичности солнечной активности пред-
ставлялась Евгению Евгениевичу более вероятной. В ра-
боте он показал, что дошедшие до нас сведения о поляр-
ных сияниях в умеренных и южных широтах, начиная о
500 г. до нашей эры по 1600 г. нашей эры, группируют-
ся вокруг арифметической прогрессии о разностью в
11,103 года. Если эту арифметическую прогрессию про-
экстраполировать на период после 1600 г., то ее точки
ложатся близко к годам, в которые наблюдались макси-
мумы солнечных пятен (хорошая корреляция между
числом солнечных пятен и полярных сияний за этот бо-
БИОГРАФИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ И8 ЖУРНАЛА УМН 185
лее современный период хорошо известна). Обработка
других столь же длительных рядов (толщины годичных
слоев деревьев) с той же целью не была Евгением Евге-
ниевичем закончена.
Новый коэффициент средней плотности населения,
вычисление дохода государства от эмиссии, статистика
различных типов расположения хромосом в клетке, связь
солнечной постоянной с температурой, статистические ме-
тоды прогноза в геофизике — таковы темы ряда других
статей, в которых Евгений Евгениевич применяет мето-
ды математической статистики к теории вероятностей, к
различным специальным задачам. В заключение обзора
его работ математического содержания отмечу еще одну
из излюбленных идей Евгения Евгениевича: там, где
теоретическое исследование не удается, даже при реше-
нии точно поставленных математических задач надо при-
бегать к статистическому эксперименту. Эта идея явля-
лась, мне кажется, другой стороной того же максимализ-
ма Евгения Евгениевича, который приводил его в осно-
ваниях теории вероятностей к позициям, свойственным
обычно только чистым математикам, да и то более мо-
лодого поколения. Если Евгений Евгениевич брался за
абстракцию, то доводил ее до конца; если он добивался
решения важной, по его мнению, задачи, то его не сму-
щало нарушение чистоты метода: если по ходу дела тре-
бовались таблицы, то он готов был тратить годы на их
составление.
Объективный взнос Евгения Евгениевича в человече-
скую культуру оказался по преимуществу взносом мате-
матика: его естественнонаучные и получившие заверше-
ние экономические работы интересны прежде всего с ме-
тодологической стороны как указания путей расширения
силы и гибкости математических методов исследования,
а другие стороны его многогранной личности и другие,
быть может не менее яркие, его увлечения или относят-
ся лишь к началу его жизни, или культивировались
замкнуто в домашнем и дружеском кругу. Но жизнь его
была полна поисков работы, деятельности и творчества в
самых различных направлениях.
Родившись в семье провинциального учителя (апрель
1880 г.) Евгений Евгениевич начал учиться на физико-
математическом факультете Киевского университета, за-
186
РАЗДЕЛ III, НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
рабатывая средства к жизни частными уроками. За уча*
стие в студенческих волнениях он в 1901 г. был сдан, по
тогдашним правилам, в солдаты вместе с другими
184 киевскими студентами. Вскоре в результате студен-
ческих беспорядков во всей стране правительство было
вынуждено вернуть киевских студентов, сданных в сол-
даты, в университет, но в 1902 г. Евгений Евгениевич
был вновь уволен за демонстрацию против начальства
без права поступления в высшие учебные заведения в
России. С 1902 по 1905 гг. он учится в Мюнхенском по-
литехникуме на машиностроительном отделении. В 1905 г.
сделалось возможным возвращение в Россию, и Евгений
Евгениевич поступает на юридический факультет Киев-
ского университета уже со сложившимся намерением
работать в направлении приложения математических ме-
тодов в экономических науках. Окончив университет с
золотой медалью, он пе был оставлен при университете
из-за репутации революционно настроенного студента,
но принялся, независимо от оставления при универси-
тете, готовиться к магистерским экзаменам. Результатом
этих эанятий вместо магистерских экзаменов (которые
Евгений Евгениевич сдал только много позднее •—
в 1916—1917 гг. при Московском университете) была
уже упоминавшаяся книга—«Теория корреляции», до-
ставившая Евгению Евгениевичу в 1913 г. положение
преподавателя в Киевском коммерческом институте.
В 1926 г. Евгений Евгениевич переехал в Москву
для работы в Центральном статистическом управлении.
Помимо работ по применению статистических методов в
экономической статистике, а позднее в геофизике, в Мо-
скве Евгений Евгениевич сблизился с московской уни-
верситетской научной школой, работавшей над общими
проблемами теории вероятностей, и в 1934 г. перешел на
основную работу в Математический институт Московско-
го университета, а с 1938 г. в Математический институт
Академии наук СССР, где велись, в частности, его основ-
ные работы по составлению таблиц.
Эти годы спокойной академической научной работы
Евгений Евгениевич жил замкнуто, появляясь в универ-
ситете н в институте лишь на научных семинарах и на
заседаниях Математического общества или для инструк-
тирования вычислительной работы. Большая часть жиз-
ни протекала дома, в комнате, до потолка заставленной
книгами самого разнообразного содержания, где матемд-
БИОГРАФИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ ИЗ ЖУРНАЛА УМЙ 187
тическая работа перемешивалась с занятиями литерату-
рой, живописью, вечерними приемами друзей.
Изысканный, остроумный собеседник, знаток литера-
туры, поэт и художник, Евгений Евгениевич не был да-
лек и от более простой человеческой жизни, готовый
с ласковой и несколько иронической улыбкой нянчиться
с детьми или энергично вмешиваться в случаи, требую-
щие реальной практической помощи людям.
Во время Отечественной войны эвакуация с ее неиз-
бежными житейскими трудностями пе остановила ни на-
учной работы, ни внутренней одухотворенной и всегда
наполненной разнообразными интересами жизни Евгения
Евгениевича.
С возвращением в Москву возобновился описанный
выше порядок жизни, но вскоре работа стала прерывать-
ся болезнью — долго не опознанным раком легких. От-
ложив планы возобновления работ по периодичности
солнечной активности, Евгений Евгениевич стремился
возможно скорее закончить свои таблицы неполной
Г-функцпи. Ими он занимался накануне смерти, вечером
рассказывал о своих впечатлениях от прочитанной «Саги
о Форсайтах», а утром скончался от внезапного сильного
кровотечения.
ПРИЛОЖЕНИЯ
СПИСОК РАБОТ А. Н. КОЛМОГОРОВА
1921
1. Доклад математическому кружку о квадрильяже И Колмого-
ров А. Н. Теория информации и теория алгоритмов,— М.: Наука,
1987,— С. 290-294,
1922
1. Об операциях над множествами. II Ц Колмогоров А. II. Теория
информации и теория алгоритмов,—М.: Наука, 1987,— С. 294—303,
1923
1. Une serie de Fourier — Lebesgue divergente presque par tout Ц
Fund, math.— 1923.- V. 4.- P. 324-328.
2. Sur 1’ordre de grandeur des coefficients de la sdrie de Fourier —
Lebesgue Ц Bull, Acad. pol. sci. Ser. A.— 1923.— P. 83—86.
1924
1. Une contribution & I’etude de la convergence des series de Fou-
rier /[ Fund, math.- 1924.- V. 5.- P. 96-97.
2. Sur la convergence des series de Fourier Ц C. r. Acad, sci.—
Paris, 1924,— V. 178,— P, 303—306 (совм. с Г. А. Селиверсто-
вым),
1925
1. La definition axiomatique de i’iniegrale Ц C. r. Acad, sci.— Paris.
1925.-V. 180.-P. 110-111.
2. Sur le bornes de la generalisation de I’integrale. 1925 / Колмо-
горов A. H. Математика и механика. M.: Наука, 1985,— С. 21—38.
3. Sur la possibilite de la definition generate de la derivee, de 1’in-
tdgrale et de la sommation des series divergentes / C. r, Acad,
sci.—Paris, 1925.-V. 180.—P. 362-364.
4. Sur les fonctions harmoniques conjugudes et les series de Fou-
rier Ц Fund, math.— 1925.— V. 7.— P. 24-29.
5. О принципе tertium non datur / Мат. сб.— 1925,—T. 32, N 4.—
С. 646-667.
6. Ueber Konvergenz von Reihen, deren Glieder durch den Zufall
bestimmt werden / Мат. сб. 1925.—T, 32, N 4.—С. 668—677
(совм. с А. Я, Хинчиным).
СПИСОК РАБОТ А. Н. КОЛМОГОРОВА
189
1926
1. Sur la convergence des series de Fourier Ц Atti Accad. naz. Lin-
cei Rend.— 1926.— V, 3.— P. 307—310 (совм. с Г. А. Селивер-
стовым).
2. Une serie de Fourier — Lebesgue divergente partout / C. r. Acad,
sci.— Paris.— 1926.- V. 183.— P. 1327-1329.
1927
1. Sur la loi des grands nombres Ц C. r. Acad, sci.—Paris, 1927.—
V. 185.— P. 917-919.
2. Sur la convergence des s£ries de fonctions orthogonales Ц
Math. Z.- 1927.— Bd 26, № 2/3,— S. 432—441 (совм. с Д. E. Мень-
шовым) .
1928
1. Об операциях над множествами Ц Мат. сб.— 1928.—Т. 35, N 3/4.—
С. 414-422.
2. Sur une formule limite de M. A. Khintchine Ц C. r. Acad, sci.—
Paris, 1928.— V. 186.- P. 824-825.
3. Sur un pro cede d’integration de M. Denjoy Ц Fund, math.— 1928,—
V. 11.-P. 27-28.
4. Ueber die Summen durch den Zufall bestimmter unabhangiger
Grossen Ц Math. Ann.— 1928.— Bd 99.— S. 309—319,
1929
1. Bemerkungen zu meiner Arbeit «Ueber die Summen zufalliger
Grossen» Ц Math. Ann.—1929.— Bd 102.— S. 484—488.
2 Общая теория меры и исчисление вероятностей Ц Труды Ком-
мунистической академии. Разд, математики.— 1929.— Т. 1.—
С. 8-21.
3. Современные споры о природе математики # Науч, слово,—
1929.—№ 6.-С. 41-54.
4. Ueber das Gesets des iterierten Logarithmus / Math. Ann.—
1929.— Bd 101.— S. 126—135.
5. Sur la loi des grands nombres Ц Atti Accad. naz. Lincei Rend.—
1929.- V. 9, N 6.- P. 470-474.
1930
1. Sur la loi forte des grands nombres # C. r. Acad, set— Paris,
1930.—V. 191.—P. 910-912.
2. Zur topologisch — gruppentheoretischen Begrundung der Geo me t-
rie Ц Nacnr. Ges. Wiss.— Gottingen.— Fachgr, 1 (Mathematik),
1930.—Bd 8.-S. 208-210.
3 Untersuchungen Ober den Integralbegriff / Мат. сб,—1930.—
Bd 103.-S. 654-696.
4. Sur la notion de la moyenne / Atti Accad, naz. Lincei Rend.—
‘ 1930,- V. 12, N 9.- P. 388—391,
190
ПРИЛОЖЕНИЯ
1931
1. Ueber die analitischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrech-
nung Ц Math. Ann.— 1931.— Bd 104.— S. 415—458.
2. Sur la probleme d’attente Ц Мат. сб.—1931.—T. 38, N 1/2.—
C. 101-106.
3. Метод медианы в теории ошибок Ц Мат. сб.—1931.—Т. 38,
N 1/2.— С. 47—50.
4. Eine Verallgemeinerung des Laplace — Liapounoffschen Satzes Ц
Изв. АН СССР. OMEH.— 1931.—C. 959—962.
5. Ueber Kompaktheit der Funktionenmengen bei der Konvergenz im
Mittel U Nachr. Ges. Wiss. Gottingen.— 1931.— Bd 9.— S. 60—63.
1932
1. Теория функций действительного переменного Ц Математика в
СССР за 15 лет.— М.; Л.: ГТТИ, 1932.—С. 37—48.
2. Sulla forma generale di un processo slocastico omogeneo (Un prob-
lema di Bruno de Finetti) Ц Atti Accad. naz. Lincei Rend.—
1932.—V. 15.—P. 805-808.
3. Ancora sulla forma generale di un processo stocastico omogeneo Ц
Atti Accad. naz. Lincei Rend.— 1932.— V. 15.— P. 866—869.
4. Zur Deutung der intuitionistischen Logik Ц Math. Z.— 1932.—
Bd 35.- S. 58-65.
5. Zur Begriindung der projektiven Geometric Ц Ann. Math.— 1932.—
V. 33.—P. 175-176.
6. Введение в теорию функций действительного переменного.—
М.; Л.: ГТТИ, 1932.—270 с. (совм. с П. С. Александровым).
1933
1. Введение в теорию функций действительного переменного.—2-е
изд.— М.; Л.: ГТТИ, 1933.— 270 с. (совм. с П. С. Александровым).
2. Grundberiffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.— Berlin: Springer,
1933. 62 S.
3. Beitrage zu MaBtheorie Ц Math. Ann.— 1933.—B. 107.—S. 351—
366.
4. Zur Berechnung der mittleren Brounschen Flache Ц Phys. Z.
Sow.— 1933.— Bd 4, N 1.— S. 1—13 (совм. с M. Леонтовичем).
5. Sulla determinazione empirica di una legge di distre buzione Ц
G. 1st. ital attuar.— 1933.— V. 4.—P. 83—91.
6. Ueber die Grenzwertsatze der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ц
Изв. АН СССР. OMEH, 1933.—C. 366—372.
7. Zur Theorie der stetigen zufalligen Prozesse Ц Math. Ann.—
1933.— B. 108.— S. 149-160.
8. Sur la determination empirique d’une loi de distribution Ц
Уч. записки МГУ.- 1933.-T. l.-C. 9-10.
9. К вопросу о пригодности найдепных статическим путем формул
прогноза В Журн. геофиз.— 1933,— Т. 3, N 1.— С. 78—82,
1934
1. О точках разрыва функций двух переменных В ДАН СССР.—
1934.—Т. 1, N 3,—С. 105—106 (совм. с И. Я. Верченко).
СПИСОК РАБОТ А, Н. КОЛМОГОРОВА 191
2. Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen
Raumes / Stud, math.— 1934.— V. 5.— P. 29—33.
3. Продолжение исследований о точках разрыва функций двух
переменных # ДАН СССР.—1934.—Т. 4, N 7.—С. 361—362
(совм. с И. Я. Верченко).
4. О сходимости рядов по ортогональным полиномам / ДАН
СССР.— 1934.—Т. 1, № 6.—С. 291—294.
5 Quelgues remarques sur I’approximation des fonctions couth
nues / Мат. сб.— 1934.—T. 42, N 1.—С. 99—103.
6. О некоторых новых течениях в теории вероятностей: Тезисы
докл. Ц Бюллетень второго Всесоюзного съезда математиков в
Ленинграде, 24—30 июня 1934 г.—Л.: Изд-во АН СССР,
1934.- С. 8.
7. Современная математика Ц Фронт науки и техники.— 1934.—
№ 5/6.-С. 25-28.
8. Институт математики и механики Московского государствен-
ного университета Ц Фронт науки и техники.— 1934.— № 5/6.—
С. 75—78.
9. Второй Всесоюзный математический съезд / Социалистиче-
ская реконструкция и наука.— 1934.— № 7.
10. Zufallige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Be we-
gung) Ц Ann. Math.—1934.—V. 35.—P. 116-117.
1935
1. О некоторых современных течениях в теории вероятностей Ц
Труды второго Всесоюзного математического съезда, Ленинград,
24-30 июня 1934 г.—Л.; М.: Изд-во АН СССР, 1935.-Т. 1.—
С. 349—358.
2. Уклонения от формул Харди при частичной изоляции / ДАН
СССР.— 1935.—Т. 3, № 3.—С. 129—132.
3. La transformation de Laplace dans les espaces lindaires Ц
C. r. Acad, sci.— Paris, 1935.- V. 200.- P. 1717-1718.
4. Zur Grdssenordnung des restgliedes Fourierschen Reihen diffe-
renzierbarer Funktionen / Ann. Math.— 1935.— V. 36.— P, 521—
526.
1936
1. Ueber die bests Annaberung von Funktionen einer gegebenen
Funktionenklasse / Ann. Math.— 1936.—V. 37.— P. 107—110.
2. Основные понятия теории вероятностей.— М.; Л.: ОНТИ, 1936.—
80 с. Пер. с нем.: Grundberiffe der Wahrscheinlichkeitsrech-
nung.—Berlin: Springer, 1933.—62 S.
3. Уравнение / БСЭ.—1936.—T. 56.—C. 163—165.
4. Современная математика / Сборник статей по философии ма-
тематики.— М.: ОНТИ, 1936.-С. 7-13.
5. Теория и практика в математике / Фронт науки и техники.—
1936.—№ 5.-С. 39-42.
6. Ueber die Dualitat im Aufbau der kombinatorische Topologie /
Мат. сб.- 1936.—T. l.-C. 97—102.
7. Anfangsgriinde der Theorie der Markoffschen Ketten mit unend-
lich vielen moglichen Zustanden Ц Мат. сб.—1936,—T. 1.—
C. 607—610.
8. Homologierung des Komplexes und des lokalbikompakten RSu-
mes / Мат. сб.- 1936.-T. l.-C. 701-706,
192 ПРИЛОЖЕНИЯ
9. Zur Theorie der Markoffschen Ketten / Math. Ann.— 1936.—
Bd 112,—S. 155—160.
10. К условию А. И. Плеснера для закона больших чисел Ц Мат.
сб.—1936.—Т. 1.—С. 847—849.
И. Endlische Uberdeckungen topologische Raume Ц Fund, math.—
1936.—V. 26.—P. 267—271 (совм. с П. С. Александровым).
12. Les groupes de Betti des espases lokalement bicompacts Ц
C. r. Acad, sci.—Paris, 1936.—V. 202.—P. 1144—1147.
13. Properties des groupes de Betti des espases lokalement bicom-
pacts Ц C. r. Acad, sci.—Paris, 1936.—V. 202.—P. 1325—1327.
14. Les groupes de Betti des espases metriques Ц C. r. Acad. sci.—
Paris, 1936.— V. 202.— P. 1558—1560.
15. Cycles relatifs. Theoreme de dualite de M. Alexandre Ц C. r. Acad,
sci.—Paris, 1936.—V. 202.—P. 1641-1643.
16. Предисловие к кн.: Гентинг А. Обзор исследований по основа-
ниям математики.— М.; Л.: ОНТИ, 1936.— С. 3—4.
17. Sulla teoria di Volterra della lotta per Tesistenza Ц G. 1st. ital.
attuar.— 1936.—V. 7.-P. 74-80.
1937
1. Ueber offene Abbildungen Ц Ann. Math.— 1937.— V. 38.—
P. 36-38.
2. Кососимметричные величины и топологические инварианты Ц
Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их
приложениями к геометрии, механике и физике.— М.; Л.:
ГОНТИ, 1937.-Вып. 46.—С. 342—347.
3. Цепи Маркова со счетным числом возможных состояний Ц
Бюл. МГУ. Математика и механика.— 1937.—Т. 1, вып. 3.—
С. 1-16.
4. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возраста-
нием количества вещества и его применение к одной биологи-
ческой проблеме. Бюл. МГУ. Математика и механика.— 1937.—
Т. 1, вып. 6.— С. 1—26 (совм. с И. Г. Петровским, Н. С. Писку-
новым) .
5. К статистической теории кристаллизации металлов Ц Изв.
АН СССР. Сер. математики.— 1937.— № 3.— С. 367—368.
6. Ein vereinfachler Beweis der Birkgoff — Khintchineschen Ergo-
densatzes // Мат. сб.— 1937.—T. 2.—С. 367—368.
7. Zur Umkehrbarkeit dor statistischen Naturgcsetze Ц Math. Ann.—
1937.—Bd 113.-S. 766-772.
8. Ред. и доп. к кн.: Хаусдорф Ф. Теория множеств: Пер. с нем.—
М.; Л.; ГОНТИ.— 1937.—304 с. (совм. с И. С. Александровым).
9. Континуум Ц БСЭ.- 1937.—Т. 34.—С. 139-140.
1938
1. Введение в теорию функций действительного переменного.—
3-е изд., перераб.— М.; Л.: ГОНТИ, 1938.—268 с. (совм. с
П. С. Александровым). (1-е изд.—М.: Л., 1932).
2. Марков Андрей Андреевич Ц БСЭ.— 1938.—Т. 38.—С. 152—153.
3. Математика Ц БСЭ— 1938.—Т. 38.—С. 359—402.
4. Математическая индукция Ц БСЭ.— 1938,—Т. 38.—С. 405—406.
5. Мера Ц БСЭ.— 1938.—Т. 38.—С. 831-832.
6. Многомерное пространство Щ БСЭ.— 1938.— Т. 39,— С. 577—578.
СПИСОК РАБОТ А. Н, КОЛМОГОРОВА 193
7. Теория вероятностей в ее применения / Математика и естест-
вознание в СССР.— М.; Л.: ГОН ГИ, 1938.—С. 51—61.
8. Об отделе информации в нервом выпуске «Успехов математи-
ческих наук» / УМН,— 1938.—Вып. 4.—С. 326—327.
9. Одно замечание по поводу оснований геометрии (к вопросу
о новом переводе «Оснований геометрии» Д. Гильберта) Ц
УМН.— 1938.— Вып. 4.— С. 347-348.
10. От редакции (Цикл статей по теории случайных процессов) /
УМН.- 1938.- Вып. 5.-С. 3-4.
11. Об аналитических методах в теории вероятностей / УМН.—
1938.—Вып. 5.—С. 5—41. Пер. с нем.: Ueber die analitischen
Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrachnung / Math. Ann.—
1931.- Bd 104.- S. 415-458.
12. Упрощенное доказательство эргодической теоремы Биркгофа —
Хинчина // УМН.— 1938.—Вып. 5.—С. 52—56. Пер. с нем.:
Ein vereinfachter Beweis der Birkgoff — Khintchineschen Ergo-
densatzes / Мат. сб.— 1937.—T. 2.—С. 367—368.
13. Несколько проблем теории функций действительного перемен-
ного / УМН.— 1938.— Вып. 5.-С. 232—234 (совм. с Г. М. Фих-
тенгольцем и И. М. Гельфандом).
14. К решению одной биологической вадачи Ц Изв. НИИ мат. и
мех. Томского ун-та.—1938.—Т. 2. вып. 1.—С. 7—12.
15. Une g£n£ralisation de l’in6galit£ de M. J. Hadamard entre les
bornes supdri cures des ddrivdes successives d’une fonction Ц
C. r. Acad, sci.— Paris, 1938.-V. 207.-P. 764—765.
16. Ред. и u редис л. к кп.: Лебег А. Об измерепии величин: Пер. с
франц.— М.: Учпедгиз, 1938.— 208 с,
1939
1. Алгебра. Ч. 1,— М.: Учпедгиз, 1939.— 192 с. (совм. с П. С. Алек-
сандровым).
2. Ориентация / БСЭ.- 1939.-Т. 43.-С. 342-344.
3. О неравенствах между верхними гранями последовательных
производных произвольной функции па бесконечном интерва-
ле / Уч. зап. МГУ, 1939.— Вып. 30.— Математика, кн. 3.—
С. 3-16.
4. О кольцах непрерывных функций на топологических простран-
ствах Ц ДАН СССР.- 1939.—Т. 22, № 1.—С. 11-15 (совм. с
И. М. Гел» фан дом).
5. Sur I’interpolation et extrapolation des suites stationnaires /
C. r. Acad, sci.- Paris, 1939.- V. 208.- P. 2043-2045.
1940
1. Поверхность / БСЭ.— 1940.— T. 45.— С. 746—748.
2. Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные по отно
тению к однопараметрической группе движений / ДАН
СССР.— 1940.— Т. 26, № 1.- С. 6-9.
3. Спираль Випера и некоторые другие интересные кривые в гиль-
бертовом пространстве / ДАН СССР,— 1940,— Т. 26, № 1.—
С. 115—118.
4. К шестидесятилетию Сергея Натановича Бернштейна / Изв.
АН СССР. Сер. математики,—1940.—Т. 4,—С. 249—260 (совм.
с В. Л. Гончаровым).
13 а. Н, Колмогоров
194 ПРИЛОЖЕНИЯ
5. Рец. па кн.: Романовские В. И. Математическая статистика /
УМН.— 1940.- Вып. 7,—С. 327—329.
6. Об одном вовом подтверждении 8 а конов Менделя / ДАН
СССР.- 1940.-Т. 27, № 1.-С. 38-42.
1941
1. Стационарные последовательности в гильбертовом простран-
стве / Бюл. МГУ. Математика — 1941.—Т. 2, вып. 6.—С. 1—10.
2. Интерполирование к экстраполирование стационарных случай-
ных последовательностей / Иза. АН СССР. Сер. математики.-
1941.—Т. 5.-С. 3-14.
3, Точки локальной топологияности счетнократных открытых ото-
бражений компактов / ДАН СССР.— 1941.— Т. 30.— С. 477—
479.
4. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой
жидкости при очень больших числах Рейнольдса Ц ДАН
СССР.- 1941.-Т. 30.-С. 299-303.
5. О логарифмически нормальном ааконе распределения размеров
частиц при дроблении / ДАН СССР.—1941.—Т. 31.—С. 99—
101.
6. К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой
вязкой жидкости / ДАН СССР,— 1941 — Т. 31.—С. 538—541.
7. Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности /
ДАН СССР.— 1941.- Т. 32. № 1.- С. 19-21.
8. Свойства неравенств и понятие о приближенных вычисле-
ниях / Математика в школе.—1941.—/4 2.—С, 1—12 (совм.
с П. С. Александровым).
9. Иррациональные числа / Математика в школе.— 1941.—№ S.-
С. 1—15 (совм. с П. С. Александровым).
10. Confidence limits for an unknown distribution function / Ann.
Math. Stat— 1941.- V. 12. № 4.- P. 461-483.
11. Валерий Иванович Гливенко (1897—1940) некролог / УМН.—
1941.- Вып. 8.-С. 379-382.
1942
1. Определение центра рассеяния и меры точности но ограничен-
ному числу наблюдений / Изв. АН СССР. Сер. математики.—
1941- Т. 6.- С. 3-32.
2. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости /
Изв. АН СССР. Сер. физ.-1942.—Т. 6. № 1/2.—& 56-58.
1943
1. Николай Иванович Лобачевский. 1793—1843. М.; Ли Гостехиз-
дат, 1943.— 100 с. (совм. с П. С. Александровым).
1945
1. Число попаданий при нескольких выстрелах в общие принци-
пы оценки эффективности системы стрельбы / Тр. МИАН
СССР.— 1945.—Т. 12.—С. 7-25.
2. Искусственное рассеивание в случае поражения одним попада-
нием и рассеивания в одном измерении / Тр. МИАН СССР,—
1945,-Т. 12.-С. 26-45.
СПИСОК РАБОТ А. Й. КОЛМОГОРОВА 195
1946
1. К вопросу о законе сопротивления при турбулентном течении
в гладких трубах / ДАН СССР.—1946.—Т. 52.—С. 669—671,
2. К обоснованию метода наименьших квадратов Ц УМН.— 1946.—*
Т. 1, вып. 1.— С. 57—70.
3. К обоснованию теории вещественных чисел Ц УМП,— 1946.—
Т. 1, вып. 1.—С. 217-219.
4. Ньютон и современное математическое мышление Ц Москов-
ский университет — памяти Исаака Нью юна, 1643—1943,—М.:
Изд-во МГУ, 1946.—С. 27-43.
5. Дискуссия по статье члена-корреспондента АН СССР М. А. Ве-
ликанова «Перенос взвешенных наносов турбулентным пото-
ком» / Изв. АН СССР. ОТН.— 1946.-№ 5.-С. 781-784.
1947
1. Развитие математики в СССР Ц БСЭ.— 1947.—Т, СССР.—
С. 1318-1323.
2. Средние величины / БСЭ.— 1947,— Т. 52.— С. 508—509.
3. Одна формула Гаусса из теории метода наименьших квадра-
тов Ц Изв. АН СССР. Сер. математики.— 1947.—Т. 11.—С. 561—
566 (совм. с А. А. Петровым и Ю. М. Смирновым).
4. Ветвящиеся случайные процессы Ц ДАН СССР.—1947,—
Т. 56.—С. 7—10 (совм. с Н. А. Дмитриевым).
5. Вычисление финальных вероятностей для ветвящихся случай-
ных процессов Ц ДАН СССР.— 1947.—Т. 56.—С. 783—786 (совм,
с Б. А. Севастьяновым).
6. Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром /
Юбилейный сборник, посвященный тридцатилетию Великой
Октябрьской социалистической революции.— М.; Л.: Изд-во
АН СССР, 1947.—Т. 1.-С. 242—252.
7. Роль русской науки в развитии теории вероятностей / Роль
русской науки в развитии мировой науки и культуры.— М.:
Изд-во МГУ, 1947,— Т. 1, кн. 1.-С. 53-64. (Уч. зап. МГУ:
вып. 91),
1948
1. Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром Ц
Общее собрание Академии Наук СССР, посвященное тридца-
тилетию Великой Октябрьской социалистической революции.—
М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948.-С. 465-472.
2. Теория вероятностей Ц Математика в СССР за тридцать лет,
1917—1947.—М.; Л.: Гостехиздат, 1948.—С. 701—727 (совм. с
Б. В. Гнеденко).
3. О двух теоремах относительно вероятностей: Комментарии Ц
Чебышев П. Л. Поли. собр. соч. Т. 3. Математический анализ.—
М.; Л.: Гостехиздат, 1948.—С. 404—409.
4. Строение полных метрических алгебр Буля Ц УМН,— 1948.—
Т. 3, вып. 1.—С. 212.
5. Замечание по поводу мпогочленов П. Л. Чебышева, наименее
уклоняющихся от заданной функции И УМН.—1948.— Т. 3-
вып. 1.-С. 216-221. - -
13*
196 ПРИЛОЖЕНИЯ
6. Евгений Евгеньевич Слуцкий [Некролог] / УМН.—1948,—
Т. 3, вып. 4.—С. 143—151.
7. Ред. и предисл. к кн.: Крамер Г. Математические методы ста-
тистики.— М.: Изд-во иностр, лит., 1948.— С. 623.
8. Algebres de Boo 11 tn£lriques completes.— VI Zjazd Matematykow
Polskich.— Warszawa, 1948.— C. 22—30.
1949
1. Предельные распределения для сумм независимых случайных
величии.— М.; Л.: Гостехиздат, 1949.— 264 с. (совм. с Б. В. Гне-
денко) .
2. К вопросу о «геометрическом отборе» кристаллов / ДАН
СССР.— 1949.— Т. 65.—С. 681—684.
3. Решение одной задачи из теории вероятностей, связанной с
вопросом о механизме словообразования Ц ДАН СССР,—1949.—
Т. 65.— С. 793-796.
4. О суммах случайного числа слагаемых / УМН.—1949.—Т. 4,
вып. 4.—С. 168—172 (совм. с Ю. В. Прохоровым),
5. Локальная предельная теорема для классических цепей Мар-
кова / Изв. АН СССР. Сер. математики.—1949,—Т. 13.—
С. 281-300.
6. Основные задачи теоретической статистики: Тр. Второго Все-
союзн. совещ. по математической статистике. Ташкент, 27 сент.—
2 окт. 1948 г.—Ташкент; Уабекгосиздат, 1949.—С. 216—220.
7, Реальный смысл результатов дисперсионного анализа: Тр. Вто-
рого Всесоюзн. совещ. по математической статистике, Ташкент,
27 сент — 2 окт. 1948 г.— Ташкент: Уабекгосиздат, 1949. С. 240—
268.
8. О дроблении капель в турбулентном потоке # ДАН СССР.—
1949.—Т. 66, № 5.—С. 825-828.
9. Абсолютная величина Ц БСЭ-2.—1949.—Т. 1.—С. 32.
10. Адамар Жак / БСЭ-2—1949.—Т. 1.—С. 388.
И. Аддитивные величины Ц БСЭ-2.—1949.—Т. 1.—С. 394.
12. Аксиома / БСЭ-2.— 1949.—Т. 1.—С. 613-616.
13. Аксонометрия Ц БСЭ 2.— 1949.—Т. 1.—С. 617.
1950
1. Несмещенные оценки Ц Изв, АН СССР. Сер. математики,—
1950.—Т. 14.—С. 303—326.
2. К вопросу об определении коэффициента температуропровод-
ности почвы Ц Изв. АН СССР, Сер. геогр. и геофиз.—1950.—
Т. 14, №2.-С. 97-98.
3. Алгебра в средней школе / БСЭ-2.— 1950.— Т. 2.— С. 61—62.
4. Алгебраическое выражение / БСЭ-2.—1950,— Т, 2,—С. 64,
5. Алгоритм Ц БСЭ-2.— 1950.—Т. 2.—С. 65.
6. Алгоритм Евклида / БСЭ-2.— 1950.— Т. 2.— С. 65—67.
7. Александров Александр Данилович / БСЭ-2,—1950.— Т, 2,—
С. 83.
8. Александров Павел Сергеевич /БСЭ-2.—1950.— Т. 2,—С. 84.
9. Асимптота / БСЭ-2 —1950.—Т. 3.—С. 238—239.
10. Асимптотические выражения / БСЭ-2.—1950.—Т. 3.—С. 239.
11. Ахиезер Наум Ильич / БСЭ-2,—1950.—Т. 3.—С. 565.
12. Банах Стефан / БСЭ-2.—1950.—Т. 4.—С. 183.
СПИСОК РАБОТ А. Н. КОЛМОГОРОВА 197
13. Бари Нина Карловна / БСЭ-2,— 1950,— Т. 4,— С. 245.
14. Бернштейн Сергей Натанович / БСЭ-2—1950,—Т. 5,—С. 52,
15. Бесконечно большие Ц БСЭ-2.— 1950.—Т. 5.—С. 66—67.
16. Бесконечно малые / БСЭ-2,— 1950,— Т. 5.—С. 67—71 (совм.
с В. Ф. Каганом).
17. Бесконечно удаленные элементы / БСЭ-2.—1950.— Т, 5.—
С. 2 (совм. с Б. Н. Делоне).
18. Бесконечность (в математике) / БСЭ-2,—1950,—Т. 5.—
С. 73—74.
19. Бигармонические функции В БСЭ-2,— 1950.—Т. 5.—С. 159,
20. Билинейная форма Ц БСЭ-2,— 1950.— Т. 5.—С. 167.
21. Больших чисел закон Ц БСЭ-2.—1950.—Т. 5.—С. 538—540.
1951
1. К вопросу с дифференцируемости переходных вероятностей в
однородных по времени процессах Маркова со счетным числом
состояний Ц Уч. за а. МГУ.—Т. 148. Математика.— Т, 4.—
С. 53—59.
2. Обобщение формулы Пуассона на случай выборки из конеч-
ной совокупности / УМН.—1951.—Т. 6, вып. 3.—С. 133—134.
3. Иван Георгиевич Петровский В УМН.—1951,—Т, 6, вып. 3.—
С. 161-164.
4. Статистический приемочный контроль при допустимом числе
дефектных изделий, равном нулю.—Л.: 1951.— С. 1—24 (Все-
союз. о-во по распространению полит, и научн. знаний. Ленин-
град. дом. науч, и техн, пропаганды).
5. Брауэр Лейтвен Эгберт Ян / БСЭ-2.— 1951.—Т, 6.—С. 62 (совм.
с С. А. Яновской).
6. Вариационный ряд В БСЭ-2.—1951.—Т. 6.—С. 641.
7. Вейль Герман / БСЭ-2.—1951,— Т, 7,—С. 106 (совм. с
С. А. Яновской).
8. Величина Ц БСЭ-2.—1951.—Т. 7.-С. 340—341.
9. Вероятное отклонение / БСЭ-2.—1951.—Т. 7.—С. 507.
10. Вероятность В БСЭ-2.—1951.—Т. 7.—С. 508—510.
И. Выборочный метод / БСЭ-2,—1951.—Т, 9.—С, 417—418 (совм,
с Т. И. Козловым).
12. Вводная статья и комментарии к кн.: Лобачевский Н. И. Поли,
собр. соч.— М,— Л.: Гостехиздат, 1951,—Т. 5.—С. 329—332;
342—348 (совм, с А. Н. Хованским).
1952
1. К вопросу о сопротивлении в профиле скоростей при турбу-
лентном течении в трубах / ДАН СССР,— 1952.— Т. 84,—
С 20 30
2. Гаусса распределенпе В БСЭ-2.— 1952.— Т. 10,— С. 275.
3. Геодезическая кривизна / БСЭ-2.—1952.—Т. 10.—С. 481.
4. Гильберт Давид / БСЭ-2.— 1952.-Т. И.—С. 370—371.
5. Гистограмма / БСЭ-2.— 1952.—Т. И.—С. 447.
6. Гнеденко Борис Владимирович / БСЭ-2.— 1952.—Т. H.-
С. 545.
7. Гомеоморфизм В БСЭ-2.— 1952.—Т. 12.—С. 21.
8. Гомотопия В БСЭ-2,—1952.—Т. 12.— С. 35.
9. Движение (в геомотрии) В БСЭ-2,— 1952,—Т. 13,—С. 447.
198
ПРИЛОЖЕНИЯ
10. Двучлен / БСЭ-2.— 1952.— Т. 13.—С. 518.
11. Действительные числа Ц БСЭ-2.— 1952.—Т. 13.—С. 570.
12. Деление Ц БСЭ-2.— 1952.—Т. 13.—С. 628.
13. Дискретность Ц БСЭ-2.— 1952.—Т. 14.—С. 425.
14. Дисперсия Ц БСЭ-2.—1952.—Т. 14.—С. 438.
15. Дистрибутивность Ц БСЭ-2— 1952.—Т. 14.—С. 479.
16. Дистрибутивный оператор Ц БСЭ-2.— 1952.—Т. 14.—С. 479.
17. Дифференциал Ц БСЭ-2— 1952.—Т. 14.—С. 498—499.
18. Дифференциальные уравнения Ц БСЭ-2.— 1952.— Т. 14.—
С. 520—526. (Совм. с Б. П. Демидовичем и В. В. Демидовым).
19. Доверительная вероятность Ц БСЭ-2.— 1952.—Т. 14.—С. 616.
20. Доверительные границы Ц БСЭ-2.— 1952.—Т. 14.—С. 617.
21. Знаки математические Ц БСЭ-2.— 1952.—Т. 17.—С. 115—119
(совм. с И. Г. Башмаковой и А. П. Юшкевичем).
22. Значащие цифры Ц БСЭ-2.— 1952.— Т. 17.— С. 135.
23. Изоморфизм II БСЭ 2.— 1952 — Т. 17.—С. 478—479 (совм. с
В. И. Битюцковым).
24. Изотропные прямые Ц БСЭ-2.— 1952.—Т. 17.—С. 509.
25. Именованное число Ц БСЭ-2.— 1952.—Т. 17.—С. 557.
26. Имшенецкий Василий Григорьевич Ц БСЭ-2,— 1952.—Т. 17.—
С. 607.
27. О профессии математика: В помощь поступающим в вузы.— М.:
Сов. наука, 1952.— 22 с,
1953
1. О понятии алгоритма Ц УМН.— 1953.— Т. 8. Вып. 4.— С. 175—
176.
2. Некоторые работы последних лет в области предельных теорем
теории вероятностей Ц Вести. МГУ.— 1953.— Т. 10.— С. 29—38.
3. О динамических системах с интегральным инвариантом на то-
ре Ц ДАН СССР.— 1953 —Т. 93.—С. 763—766.
4. Индукция математическая Ц БСЭ-2.— 1953.—Т. 18.—С. 146.
5. Интеграл Ц БСЭ-2.— 1953.-Т. 18-С. 250-253 (совм. с
В. И. Гливенко).
6. Интеграл вероятности Ц БСЭ 2.— 1953.—Т. 18.—С. 253.
7. Интерполяция Ц БСЭ-2.— 1953—Т. 18.— С. 304—305.
8. Интуиционизм Ц БСЭ-2.— 1953.— Т. 18.—С. 319.
9. Исключение неизвестных Ц БСЭ-2.— 1953.— Т. 18.— С. 483.
10. Испытание Ц БСЭ-2.— 1953.— Т. 18.— С. 604.
11. Исчерпывания метод Ц БСЭ-2.— 1953.—Т. 19.—С. 50—51.
12. Квадрант Ц БСЭ-2.— 1953.—Т. 20.—С. 434.
13. Компакт // БСЭ-2.— 1953.- Т. 22.-С. 282.
14. Константа Ц БСЭ-2.—1953.—Т. 22.—С. 416.
15. Континуум Ц БСЭ-2.— 1953.— Т. 22.— С. 454—455.
16. Координаты И БСЭ-2.—1953.—Т. 22.—С. 524-525.
17. Корреляция Ц БСЭ-2.— 1953.— Т. 23.— С. 55—58.
18. Письмо в редакцию (О чистоте р. Клязьмы) Ц Лит. газета.—
30.06.1953.
1954
1. О сохранении условно периодических движений при малом
изменении функций Гамильтона Ц ДАН СССР.— 1954,— Т, 98,
№4.-С. 527—530,
СПИСОК РАБОТ А. Н. КОЛМОГОРОВА
199
2. Общая теория динамических систем и классическая механи-
ка Ц Proc. Intern. Congr. Math.—1954.—V. 1.—Р. 315—333;
То же / Труды Международного математического конгресса.—
Амстердам, 1954 г.: Обзор, докл.—М.: Изд-во АН СССР, 1961.—
С 187 208
3. Линия а БСЭ-2,— 1954.— Т. 25.-С. 167-170.
4. Малых чисел закон / БСЭ-2.— 1954.— Т. 26.— С. 168.
5. Марков Андрей Андреевич Ц БСЭ-2.— 1954.—Т. 26.—С. 294,
6. Математика Ц БСЭ-2.— 1954.—Т. 2.—С. 464—483.
7. Математическая статистика Ц БСЭ-2.— 1954.—Т. 26.—С. 485—
490.
8. Математическая физика И БСЭ-2.— 1954,— Т. 26.— С. 490.
9. Мизес Рихард Ц БСЭ-2.-1954.-Т. 27.—С. 414.
10. Многомерное оространство Ц БСЭ-2.— 1954.—Т. 27.—С. 660.
11. Множеств теория / БСЭ-2.— 1954.— Т. 28.—С. 14—17 (совм. с
П. С. Александровым).
12. Элементы теории функций и функционального анализа: Курс
лекций. Вып. 1: Метрические и нормированные пространства.—
М.: Идз-во МГУ, 1954.— 155 с. (совм. с С. В. Фоминым).
13. Предисловие редактора перевода Ц Петер Р, Рекурсивные
функции: Пер. с нем.—М.: ИЛ, 1954.—С. 3—10.
1955
1. Оценки минимального числа элементов е-сетей в различных
функциональных классах и их применение к вопросу о пред-
ставимости функций нескольких переменных суперпозициями
функций меньшего числа переменных В УМН.— 1955.— Т. 10,
вып. 1.—С. 192—194.
2. Ориентация Ц БСЭ-2.—1955.—Т. 31.—С. 188—189. -
3. Основания геометрии Ц БСЭ-2.—1955.—Т. 31.—С. 296.
4. Поверхность Ц БСЭ-2.— 1955.—Т. 33.—С. 346—347 (совм. с
Л. А. Скорняковым).
5. Порядковые числа Ц БСЭ-2.— 1955.— Т. 34.— С. 238.
6. Приемочный статистический контроль Ц БСЭ-2.— 1952,—
Т. 34.— С. 498—499.
1956
1. О сходимости А. В. Скорохода Ц Теория вероятностей и ее
применения.— 1956.— Т. 1.— С. 239—247.
2. Две равномерные предельные теоремы для сумм независимых
слагаемых Ц Теория вероятностей и ее применения.— 1956.—
Т. 1.— С. 426—436.
3. Zufallige Funktionen und Grenzverteilugssatze / Bericht uber die
Tagung Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Sta-
tistik.— Berlin, 1956.— S. 113—126 (совм. с Ю. В. Прохоровым).
4. Некоторые принципиальные вопросы приближенного и точного
представления функций одного и нескольких переменных /
Труды III Всесоюз. мат. съезда.—М.: Изд-во МГУ, 1956.—
Т. 2.—С. 28—29.
5. On the Shannon theory of information transmission in the case
of continious signales Ц IEEE Trans. Inform, Theory.— 1956.—
V. IT-2.-P. 102-108,
200 ПРИЛОЖЕНИЯ
6. О представлении непрерывных функций нескольких перемен-
ных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа
переменных Ц ДАН СССР.— 1956.—Т. 108, № 2.—С. 179—182,
7. О некоторых асимптотических характеристиках вполне огра-
ниченных метрических пространств / ДАН СССР.— 1955,—
Т. 108.— С. 385—388.
8. К общему определению количества информации / ДАН СССР.—
1955.—Т. ill.—С. 745—748 (совм. с И. М. Гельфандом и
А. М. Ягломом).
9. Теория вероятностей Ц Математика, ее содержание, методы и
значение.— М.: Изд-во АН СССР, 1956.— Т. 2.— С. 252—284.
10. С. М. Никольский: К 50-летию со дня рождения Ц УМН.—
1956.— Т. 11, вып. 2.— С. 239—244 (совм. с С. Б. Стечкиным).
11. Слуцкий Евгений Борисович Ц БСЭ-2.— 1956.—Т. 39.—С. 378.
12. Смирнов Николай Васильевич Ц БСЭ-2,— 1956.—Т. 39.—С. 406.
13. Молодые силы науки (О научной работе студентов МГУ) Ц
Комсомольская правда.— 15.05.1955.
1957
1. Теория передачи информации Ц Сессия академии Наук СССР
по научным проблемам автоматизации производства, 15—
20 окт. 1956 г.: Пленар. заседания.— М.: Изд-во АН СССР.
1957.- С. 66-99.
2. О представлении непрерывных функций нескольких перемен-
ных в виде суперпозиций непрерывных функций одного пере-
менного и сложения Ц ДАН СССР,— 1957.— Т. 114,—С. 953—
956.
3. К обоснованию теории вещественных чисел Ц Мат. просве-
щение.—1957.—Т. 2.—С. 169—173.
1958
1. О профессии математика.—2-е изд.—М.: Изд-во МГУ, 1958.—
60 с.
2. Количество информации и энтропия для непрерывных распре-
делений Ц Труды III Всесоюз. мат. съезда.—М.: Изд-во
АН СССР, 1958.—Т. 3,—С. 300—320 (совм. с И. М. Гельфандом
и И. М. Яглом).
3. Достаточная статистика Ц БСЭ-2 — 1958.— Т. 51.—С. 106.
4. Информация Ц БСЭ 2.— 1958.—Т. 51.—С. 129—130.
5. Кибернетика Ц БСЭ-2.— 1958.— Т. 51.— С. 149—151.
6. Новый метрический инвариант транзитивных динамических си-
• стем и автоморфизмов пространств Лебега Ц ДАН СССР.—
1958.—Т. 119.-С. 861—864.
7. Sur les propriel£s des fonctions de concentrations de M. P. L4-
vy Ц Ann. Inst. Henry Poincare.— 1958.— V. 16, N 1.— P. 27—34,
8. О линейной размерности топологических векторных прост-
ранств Ц ДАН СССР.- 1958.—Т. 120.—С. 239-241.
9. К определению алгоритма Ц УМН,— 1958,—Т. 13, вып. 4.—
С. 3—28 (совм. с В. А. Успенским).
10. Школа и подготовка научных кадров (К обсуждению тезисов
ЦК КПСС о школе) Ц Труд,- Д0.12,1958,
СПИСОК РАКОТ А. И. КОЛМОГОРОВА 201
1959
1. Об энтропии на единицу времени как метрическом ипвариап-
, те автоморфизмов Ц ДАН СССР,—1959,— Т. 124,—С. 754—
755.
2. е-энтропия и 8-емкость множеств в функциональном простран-
стве Ц УМН.— 1959.— Т. 14, вып. 2.— С. 3—86 (совм. с В. М. Ти-
хомировым).
3. Переход ветвящихся процессов в диффузионные и примыкаю-
щие задачи генетика / Теория вероятностей и ее примене-
ния.— 1959.— Т. 4.— С. 233—236.
4. Замечания о работах Р. А. Минлоса и В. В. Сазонова / Теория
вероятностей и ее применения.— 1959.—Т. 4.—С. 237—239.
5. Теория вероятностей Ц Математика в СССР за 40 дет,— М.:
Физматгиз, 1959.—Т. 1.—С. 781—795.
6. Предисловие к кн.: Эшби У. Р. Введение в кибернетику,— М.:
ИЛ, 1959.-С. 5-8.
1960
1. О работах С. Н. Бернштейна по теории вероятностей Ц Тео-
рия вероятностей и ее применения.— I960.—Т. 5.—С. 215—221
(совм. с О. В. Сармановым).
2. О классах Ф® Форте и Блан — Лапьерра Ц Теория вероятно-
стей и ее применения.—I960,—Т. 5,—С. 373.
3. Случайные функции нескольких переменных, почти все реали-
зации которых периодичны Ц Теория вероятностей и ее при-
менения.— I960,— Т. 5.— С. 374.
4. О работах Н. В. Смирнова по математической статистике: К ше-
стидесятилетию со дня рождения Ц Теория вероятностей и ее
применения.— I960,— Т. 5.— С. 436—440 (совм. с Б. В. Гне-
денко, Ю. В. Прохоровым, О. В. Сармановым).
5. Об условиях сильного перемешивания гауссовского стационар-
ного процесса / Теория вероятностей и ее применения,—
I960.— Т. 5.—С. 222—227 (совм. с 10. А. Розановым).
6. Александр Яковлевич Хипчин [Некролог] / УМН,—1960.—
Т, 15, вып. 4.—С. 97—110 (совм. с Б. В. Гнеденко).
7. О профессии математика.— 3-е изд.— М.: Изд-во МГУ, I960.—
60 с.
8. Элементы теории функций и функционального анализа. В. 2.
Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство.— М.: Изд-во
МГУ, I960.— 119 с. (совм. с С. В. Фоминым).
1961
1. Автоматы и жизнь: Тезисы доклада, прочитанного на методо-
логическом семинаре мех.-мат. фак-та МГУ 6 апреля 1961 г.-
Маш. пер. и прпкл. лингвист.— 1961.— Т. 6.— С, 3—8.
2 Автоматы и жизнь Ц Техника молодежи.—1961,— № 10,—
С. 16—19; № 11.—С. 30—33.
3. Замечание к докладу В. К. Лезерсопа Ц Теория вероятностей
и ее применения.— 1961.— Т. 6.— С. 367.
4. Свойства неравенств и понятие о приближенных вычислениях.
Иррациональные числа Ц Вопросы преподавания математики
202
ПРИЛОЖЕНИЯ
в средней школе,— М.: Учпедгиз, 1961 (совм. с П. С, Алек-
сандровым).
5. Вы выбрали науку / Московский университет,— 1.09.1961,
1962
1. Об оцепке параметров стационарного гауссовского марковского
процесса / ДАН СССР.— 1962.—Т. 146,—С. 747-750 (совм.
с М. Арато и Я. Г. Синаем).
2. Ритмика поэм Маяковского Ц Вопросы языкознания,— 1962.—
№ 3. С. 62—74 (совм. с А. М. Кондратовым).
3. Об одной вероятностной задаче оптимального управления Ц
ДАН СССР.— 1962.—Т. 145.-С. 993—995 (совм. с Л. С. Понт-
рягиным и Е. Ф. Мищенко).
4. О работах Б. В. Гнеденко по теории вероятностей / Теория
вероятностей и ее применения,— 1962.—Т. 7.—С. 323—329.
5. Уточнение представлений о локальной структуре турбулентно-
сти несжимаемой вязкой жидкости при больших числах Рей-
нольдса Ц Mecanique de la turbulence: Colloq. Intern. CNRS,
Marseille, aout — sept.—1961/Ha рус, и фр. яэ.—Paris, 1962.—
P. 447-458.
6. A refinement of previous hypotheses concerning the local struc-
ture of viscous incompressible fluid at high Reynolds number /
J. Fluid Meeh.— 1962.- V. 13, N 1.- P. 82—85.
7. Наука требует горения / Известия,— 18.02.1962.
8. Нужны ли научные школы? / Известия,—27.10.1962,
9. Простоту сложному Ц Известия,—31.12.1962,
1963
1. О приближении распределений сумм независимых слагаемых
неограниченно делимыми распределениями / Тр. Моск, мат,
о-ва.- 1963.-Т. 12.-С. 437-451.
2. Дискретные автоматы и конечные алгоритмы / Труды 4-го
Всесоюз. мат. съезда,—Л.: Изд-во ЛГУ, 1963.—Т. 1.—С. 120.
3. Различные подходы к оценке трудности приближенного зада-
ния и вычисления функций / Proc. Intern. Congr, Math.-*
Stokholm, 1963.— P. 369—376.
4. On tables of random numbers / Sankhya Indian J. Stat. Ser. A.—
1963.- V. 25, N 4,- P. 369—376.
3. К изучению ритмики Маяковского / Вопр. языкознания,—
1963.-№ 4.—С. 64—71.
6. О дольнике современной русской поэзии: Общая характери-
стика И Вопр. языкознания,— 1963,— № 6,— С. 84—95 (совм,
с А. В. Прохоровым),
7. Статистика и теория вероятностей в исследовании русского
стихосложения. Тезисы и аннотация симпозиума по комплекс-
ному исследованию художественного творчества.—Л.: Наука,
1963,— С. 23 (совм. с А. В. Прохоровым).
8. Как я стал математиком f Огонек.— 1963.— № 48.—С. 12—13.
9. Предисловие к кн.: Шеннон К. Работы по теории информации
и кибернетике.— М.: Изд-во иностр, лит., 1963.
10. Обычная профессия: математик Ц Комсомольская правда,—
2.03.1963,
СПИСОК РАБОТ А. Н. КОЛМОГОРОВА 203
И. Поиск таланта (О работах молодых советских математиков) /
Известия.— 7.04.1963.
12. В добрый путь (О развитии математики и подготовке кадров) Ц
Правда.— 8.09.1963.
13. Предисловие к кн.: Васильев Н. Б., Егоров А. А. Сборник под-
готовительных задач к Всероссийской олимпиаде юных мате-
матиков.— М.: Учпедгиз, 1963.
1964
1. О дольнике современной русской поэзии: Статистическая ха-
рактеристика дольника Маяковского, Багрицкого, Ахматовой /
Вопр. языкознания, 1964,— № 1,— С, 75—94 (совм. с А, В. Про-
хоровым).
2. О метре пушкинских «Песен западных славян» Ц Рус. литера-
тура.- 1964.-№ 1.-С. 98-111.
3. Предисловие к кн.: Феллер В. Введение в теорию вероятностей
и ее применения.—2-е изд.—М.: Мир, 1964.—С. 5—6.
4. Физико-математическая школа Ц Учительская газета.—*
11.02.1964.
5. Да здравствует математика (Круглый стол «Недели») Ц Неде-
ля.— 1964.— № 3 (Репортаж В. Корнилова, В. Никулина).
6. Московское математическое общество / Правда.—19.10,1964
(моек, вып.) (совм. с А. Г, Курошем).
1965
1. Три подхода к определению понятия «количество информа-
ции» / Проблемы передачи информации.— 1965.— Т. 1, № 1,—
С. 3-11.
2. Объем знаний по математике для восьмилетней школы. (Ко-
миссия по математическому образованию математического от-
деления АН СССР) Ц Математика в школе.— 1965.— № 2.—
С. 21-24.
8. Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии /
Математика в школе.— 1965.— № 2.— С. 24—29.
4. О содержании школьного курса математики Ц Математика в
школо.— 1965.— № 4.— С. 53—62 (совм. с И. М. Ягломом).
5. Функции, графики, непрерывные функции Ц Математика в
школе.— 1965.— № 6.— С. 12—21.
6. Замечания по поводу анализа ритма «Стихов о советском пас-
порте» Маяковского Ц Вопр. языкознания.—1965.— № 3,—
С. 70—75.
7. Натуральные числа и положительные скалярные величины Ц
Математическая школа. Лекции и задачи. Вып. 4; 5.— М.:
Изд-во МГУ, 1965.—С. 19-35.
8. Что такое культурный человек? (Вечер в МГУ, проведенный
П. С. Александровым и А. Н. Колмогоровым). Запись В. Нику-
лина Ц Неделя.— 1965.— № 1.
9. Брак в солидных обложках (О выпуске литературы по эконо-
мико-математическим наукам) (совм. с А. Дородницыным,
Б. Гнеденко, А. Вайнштейном) f Известия.— 24.01.1965.
10. Алгоритмы жизнелюбия Ц Крмсомощ>£р§й рр^рда^ 9.97,1965.
204
ПРИЛОЖЕНИЯ
1966
1. Введение в анализ.— М.: Изд-во МГУ, 1966.— 56 о.
2. П. С. Александров и теория б«-операций / УМН,—1966 —
Т. 21, вып. 4.-С. 275-278.
8. Об учебниках на 1966/67 уч. год / Математика в школе,—
1966.- № 2.— С. 26-30.
4. О школьном определении тождества / Математика в школе.—
1966.— № 2.- С. 33—35.
5, Введение к статье С. Б. Суворовой «Об опыте раннего введения
начал дифференциального исчисления» / Математика в шко-
ле.—1966.—№ 4.—С. 23.
6. Об учебниках на 1966/67 уч. год / Математика в школе,—
1966.—№ 6.—С. 31-37.
7. Геометрия на сфере и геология / Наука и жизнь—1966.—
№ 2 — С. 32.
8. Одна проблема ив теории кривых Ц Математическая школа.
Лекции и задачи.— Вып. 8.— 1966.— С. 35.
9. Предисловие к кн.: Фор Р., Кофман А. и др. Современная мате-
матика— М.: Мир, 1966.— 272 с.
1967
1. О реализации сетей в трехмерном пространстве / Проблемы
кибернетики,— 1967,—Т. 19.—С. 261—268 (совм, с Я. М, Барз-
динем).
2. Об учебниках на 1966/67 уч. год. «Алгебра и элементарные
функции» Е. С. Кочеткова и Б. С. Кочетковой / Математика в
школе,— 1967.— № 1.— С. 43—48.
8. Факультативные занятия по математике / Математика в шко-
ле.— 1967.— № 2.— С. 2-3.
4. Новые программы и некоторые вопросы усовершенствования
курса математики в средней школе / Математика в школе.—
1967 —№ 2.—С. 4-13.
5. Содержание факультативных занятий по математике в 1967/68
и 1968/69 учебных годах / Математика в школе.—1967.—
№2.—С. 33—38.
6. Программы специальных курсов по математике / Математика
в школе.— 1967.— № 3.— С. 73—75.
7. Программы специальных курсов по математике / Математика
в школе.— 1967.— № 4.— С. 58—59.
8. К измепениям в тексте учебника алгебры для VI — VIII клас-
сов А. Н. Барсукова Ц Математика в школе.— 1967,— № 6,—
С. 22—24.
9. Знания, навыки, способность и конкурсные экзамены (О подго-
товке учащихся физико-математических школ) / Лит. газета.—
11.01.1967.
10. Опыт, задачи, перспективы / Московский университет.-
8.12.1967.
11. Обновление школьного курса математики / Учительская га-
зета.— 14.02.1967,
1968
1. Несколько теорем об алгоритмической эп троп и и и алгоритми-
ческом количестве информации / УМН,— 1968 —Т. 21, вып. 2.—
С. 201.
СПИСОК РАБОТ А. Н, КОЛМОГОРОВА 205
2. Проект программы для средней школы по математике В Мате-
матика в школе.— 1968.— № 1,— С. 4—23.
3. Обобщение понятия степени и показательная функция / Мате-
матика в школе.— 1968.—№ 1.—С. 24—32.
4. Программа по математике для средней школы / Математика в
школе.— 1968.— № 2.— С. 5—20.
5. К изучению показательной функции и логарифмов в восьми-
летней школе Ц Математика в школе.— 1968 — № 2 — С. 23—25.
6. К новым программам по математике / Математика в школе.—
1968.—№ 2.—С. 21—22.
7. Введение в теорию вероятностей и комбинаторику / Матема-
тика в школе,— 1968.— № 2.— С. 63—72.
8. Дополнение к рецензии Ю. А. Шихановича (на книги А. А. Сто-
ляра) В Математика в школе.— 1968.— № 3.— С. 92.
9. Элементы теории функций и функционального анализа.—2-е
изд., перераб. и доп,—М.: Физматгиз, 1968.-495 с. (совм. с
С. В. Фоминым).
10. К основам русской классической метрики / Содружество наук
и тайны творчества.—М.: Искусство, 1968.—С. 397—432,
(совм. с А. В. Прохоровым).
И. Пример изучения метра и его метрических вариантов / Тео-
рия стиха.— Л.: Наука, 1968,—С. 145—167.
12. Радость познавать мир (В связи с началом учебного года) /
Правда.—1.09.1968.
Г 1969
1. К логическим основам теории информации и теории вероятно-
стей f Проблемы передачи информации.—1969.— Т. 5, № 3.—
С. 3—7.
2. Сергей Натанович Бернштейн / УМН.— 1969.— Т. 24, вып. 3.—
С. 211—218 (совм. с П. С. Александровым, Н. И. Ахиезером,
Б. В. Гнеденко).
3. Письмо в редакцию. (О неточностях в статье Б. Е. Вейца) Ц
Математика в школе.— 1969.— № 2.— С. 93.
4. Научные основы школьного курса математики. Первая лекция.
Современные взгляды на природу математики Ц Математика
в школе.— 1969.— № 3.— С. 12—17.
5. Научные основы школьного курса математики. Вторая лек-
ция. Натуральные числа / Математика в школе.— 1969.—
№5.-С. 8-17.
6. Новое в школьной математике / Наука и жизнь.— 1969.—
№3.-С. 62-66.
' I7 1970
1. Засухин Виктор Николаевич: Памяти математиков, погибших в
Великой Отечественной войне В УМН,— 1970.— Т. 25, вып. 3.—
С. 243.
2. Селиверстов Глеб Александрович [Некролог] / УМН,— 1970.—
Т. 25, вып. 3— С. 244—245.
3 Научные основы школьного курса математики. Третья лекция.
Обобщение понятия числа. Неотрит(В*йлъныё рациона тьные чис-
ла В Математика в школе,— 1970.— № 2.—С. 27—32.
20в ПРИЛОЖЕНИЯ
4. О пробном учебнике геометрии для VI класса / Математика
в школе.— 1970.— № 4.— Q. 21—34 (совм. с А. Ф. Семеновичем).
5. Учебные материалы по геометрии для V класса / Математика
в школе.— 1970.— № 5,—С. 30—45 (совм. с А. Ф. Семеновичем
и Р С Черкасовым)
6. Что такое функция? / Квант.— 1970,—№ 1,—С. 27—36.
7. Задача № 3. // Квант.—1970.—№ 1.—С. 52—53.
8. Что такое график функции? / Квант.— 1970.— № 2.— С. 3—13.
9. Паркет из правильных многоугольников / Квант.—1970,—
№3.- С. 24.
10. 0 решении 10-й проблемы Гильберта Ц Квант.— 1970.—№ 7.—
С. 39—44 (совм. с Ф. Л. Варпаховским).
И. Предисловие к статье: Болтянский В. Г., Розов Н. X. Ленин-
ская теория познания и математические понятия / Квант,—
1970.— №7.- С. 2.
12. Настольная книга исследователей (на соискание Ленинской
премил) И Известия.—21.03.1970.
13. Статистическая гидродинамика / УМН.—1970.— Т. 25.
вып. 4(154).—С. 167.
1971
1. Величина Ц БСЭ-3.— 1971.—Т. 4.—С. 456—457.
2. Винер Норберт Ц БСЭ-3.— 1971.—Т. 5.—С. 72.
3. Гильберт Давид / БСЭ-3.— 1971.—Т. 5.—С. 519.
4. О системе основных понятий и обозначений для школьного
курса математики Ц Математика в школе.—1971.— № 2,—
С. 17—22.
5. Из пробного учебника геометрии для VII класса / Математи-
ка в школе.— 1971.— № 3.—С. 9—17 (совм. с А. Ф. Семенови-
чем Ф. Ф. Нагибиным, Р. С. Черкасовым).
6. Реферат доклада «Элементы логики в современной школе»
(В комиссии но математике при ученом методическом совете
Министерства просвещения СССР) / Математика в школе.—»
1971.-№ 3.-С. 91.
7. О новом издании пробного учебника геометрии для VI класса /
Математика в школе.—1971.— № 4.—С. 23—25 (совм, с
А. Ф. Семеновичем, Ф. Ф. Нагибиным, Р. С. Черкасовым).
8. О новом издании пробного учебника геометрии для VI клас-
са Ц Математика в школе,—1971.—№ 5.—С. 25—38 (совм. с
А. Ф. Семеновичем, Ф. Ф. Нагибиным, Р. С. Черкасовым).
9. Из нового учебного пособия по геометрии для VI класса. (Гео-
метрические построения) Ц Математика в школе.—1971.—•
№ 6.— С. 13—21 (совм. с А. Ф. Семеновичем, Ф, Ф. Нагибиным,
Р. С. Черкасовым).
10. Современная математика и математика в средней школе /
Математика в школе.— 1971,—№ 6,—С. 2—3.
И. Курс математики для физико-математических школ.— М.:
Изд-во МГУ, 1971.—223 с. (совм. с В. А. Гусевым, А, В. Сосин-
ским и А. А. Шершевским).
12. Летняя школа на Рубеком озере.—М.: Просвещение, 1971.—•
160 с. (совм. с И. Г. Журбенко и др.).
13. Письмо П. Л. Капице Ц Вопросы философии.— 1971.— № 9.
14. Как растят таланты (О работе ФМШ при МГУ) Ц Учитель-
ская 1азета.— 28,01.197!,
СПИСОК РАБОТ А. Н. КОЛМОГОРОВА 207
15. Профессия непрерывной юности (В связи с началом учебного
года) / Правда.— 01.09.1971.
16. Таланты требуют внимания (О ФМШ при МГУ) / Московский
комсомолец.— 22.10.1971.
17, Школа решает основную свою задачу / Московский комсомо-
лец.- 14.12.197t
1972
1. Сложность задания я сложность построения математических
объектов Ц УМН.—1972.—Т. 27, вып. 2.—С. 159.
2 Интеграл / БСЭ-3.- 1972.—Т. 10.-С. 586.
8. Исчерпывания метод / БСЭ-3.— 1972.— Т. 10.—С. 586.
4. Элементы теории функций я функционального анализа.— 3 е
иад., перераб,— М.: Физмаггиз, 1972,— 469 с. (совм. с С. В. Фо-
миным).
5. Научный руководитель / Нейман Л. Радость открытия.—М.:
Детская литература, 1972.—С. 160—164.
6. Качественное изучение математических моделей динамики по-
популяций / Проблемы кибернетики.—1972.—Т, 25, вып, 2.—
С. 101-106.
7. Из нового учебного пособия по геометрии для VI класса / Ма-
тематика в школе.— 1972.— № 1 —С. 22—31 (совм. с А. Ф. Се-
меновичем, Ф. ф. Нагибиным, Р. С. Черкасовым).
8. Борис Владимирович Гнеденко / Математика в школе.—1972.—
№ 1.—С. 85—86 (совм. с Р. С. Черкасовым).
9. По поводу письма В. Я. Виленкина / Математика в школе.—
1972.—№ 6.—С. 34—35 (Письмо Виленкина «Равенство или
конгруэнтность» в том же номере).
10. Согласование преподавания математики и физики / Всесоюз-
ная научно-практическая конференция по проблеме учебно-вос-
питательной работы в школах и классах с углубленным изу-
чением отдельных предметов: Тезисы докладов.—Ротапринт/
М.: НИИ СИМО АПН СССР.
11. Учителя не заменить (Как выработать у школьников активный
интерес к знаниям) / Комсомольская правда.—19.01.1972.
12. Воспитывать наглядное мышление (О новой программе по ма-
тематике) / Учительская газета.—22.08.1972.
13. Вероятность не равна нулю (О контактах с внеземными циви-
лизациями) / Лит. газета.— 20.09.1972.
14. От старой к новой геометрии (О новом курсе геометрии) /
Учительская газета.— 21.12.1972.
15. Предисловие к кн.: Геометрия в VI классе (в помощь учите-
лю).— М.: Просвещение, 1972.— 128 с»
1973
1. Континуум / БСЭ-3.—1973.—Т. 13.—С. 64.
2 Полулогарифмическая и логарифмическая сетка / Квант,—
1973.-№ 13.-С. 64.
3. О профессии математика / Квант.— 1973,— № 4.— С. 12.
4. К методике изучения темы «Параллельный перепое» в курсе
геометрии для VII класса И Математика в школе.—1973.—
№ 1,—С. 24—29 (совм. с А. Ф. Семеновичем, Р, С. Черкасовым).
208
ПРИЛОЖЕНИЯ
5. О структуре нового учебника по геометрии для VII класса /
Математика в школе.—1973.—№ 2.—G, 17—29 (совм. с
А. Ф. Семеновичем, Р. С. Черкасовым).
6. Иван Георгиевич Петровский / Математика в школе.— 1973.—
№ 4.—С. 81—86 (совм. с П. С. Александровым. О. А. Олейник).
7. Методические замечания к пробному учебнику IX класса «Ал-
гебра и начала анализа» / Математика в школе.—1973.—
№ 5.—С. 64 (совм. с Б. Е. Вейц, И. Т. Демидовым).
8. Научные основы школьного курса математики.— В сер.: Про-
граммы педагогических институтов.— М.: Просвещение. 1973.—
8 с.
9. Материалы для обсуждения в Комиссии по школьной терми-
нологии и обозначениям УМС МП СССР.— Ротапринт, 1973.
10. Школа-интернат при университете. Для чего она? / Московский
университет.— 30.11.1973.
1974
1. Основные понятия теории вероятностей.— 2-е изд.— М.: Наука.
1974.- 119 с.
2. Памяти Ивана Георгиевича Петровского (18 января 1901 г,—
15 января 1974 г.) / Тр. Моск. мат. о-ва, 1974. Т. 31.—С. 5—10
(совм. с П. С. Александровым, О. А. Олейник).
3. Иван Георгиевич Петровский / УМН,— 1974.— Т. 29, выл, 2.—
С 3—5
4. Математика / БСЭ-3,—1974.-Т. 15.-С. 467-478.
5. Математическая статистика / БСЭ-3,—1974.—Т. 15.— С, 480—
484 (совм. с Ю. В. Прохоровым).
6. Многомерное пространство / БСЭ-3.—1974.—Т. 16,— С. 372.
7. Ориентация / БСЭ-Зи-1974.-Т. 18.-С. 509-510.
8. Заботясь о достойном пополнении / Вести, высш, школы.—
1974.— J4 6.—С. 26—33 (совм. с И. Т. Тропиным и К. В. Черны-
шевым.
9. Новые программы: специализированные шкоды / Матема-
тическое образование сегодня.— М.: Просвещенно, 1974.—
С. 5-12,
10. Школа-интернат при университете. Для чего она? / Математя-
ка в школе.— 1974.—№ 2.—С. 56—60. (В разделе «10 дет физи-
ко-математической школе при МГУ»),
11. Анна Максимилиановна Фишер [Некролог] 0 Математика в
школе.— 1974.—2.— С. 87 (совм. с А. Ф. Семеновичем),
12. Решето Эратосфена / Квант.— 1974,— № 10.—С. 2.
13. Диалог о математике (Диалог акад. А. И. Колмогорова в учи-
теля 317-й школы г. Москвы В. А. Садчикова) / Учительская
газета.— 12.01.1974,
1975
1. Приемочный статистический контроль / БСЭ-3,— 1975.—
Т. 20.—С. 572—573 (совм. с Ю. К. Беляевым).
2. Алгебра и начала анализа. Метод математической индукции /
Математика в школе —1975.—№ 1,—С. 8—14 (совм. о
С. И. Шварцбурдом).
3. Элементы комбинаторики / Математика в шкоде.— 1975.—
№ 2.— С. 16-25.
СПИСОК РАБОТ А, Н. КОЛМОГОРОВА
209
4. Действительные числа, бесконечные последовательности и их
пределы / Математика в школе.— 1975,— № 2,— С, 25—35
(совм, с О. С, Ивашевым — Мусатовым).
1976
1, Элементы теории функций и функционального анализа.—4-е
изд., перераб,— М.: Наука, 1976.—543 с. (совм. с С. В. Фо-
миным).
2. Тригонометрические функции, их графики и производные в
учебном пособии для 10 класса / Математика в школе,—
1976.—№ 1.—С. 10—25 (совм. с С. И. Шварцбурдом).
8, XXXVIII Московская математическая олимпиада (февраль —
март 1975 г.) / Математика в школе,— 1976.— № 4,—С. 68—72
совм. с Г. А. Гальпериным).
4, Интеграл в учебном пособии для 10 класса / Математика в
школе,— 1976.—№ 6.—С. 15—17.
5. Группы преобразований / Квант,—1976.— № 10.— С. 2—5.
1977
1, Бесконечность / Математическая энциклопедия.— Т. 1 —
С. 455—458.
2. Величина / Математическая энциклопедия.—1977,—Т. 1,—
С. 651—653.
8. Вероятность / Математическая энциклопедия,—1977,— Т. 1.—
С. 667-669.
4. Физико-математическая школа при Московском государствен-
ном университете им. М. В. Ломоносова / Квант.—1977.—
№ 1,— С. 56—57 (совм. с В. В. Вавиловым).
1978
1. Что такое функция? Математика в школе.— 1978.—№ 2,—
С. 27—29. (В связи со статьей Г. В. Дорофеева «Понятие функ-
ций в математике и в школе» в том же номере).
2. О воспитании на уроках математики и физики диалектико-
материалистического мировоззрения / Математика в школе.—
1978.—№3.-С. 6-9.
3. Проект программы по математике для средней школы / Мате-
матика в школе,— 1978,—№ 4.—С. 7—32.
4. Сергей Львович Соболев / Математика в школе,— 1978,—
№ 6.—С. 67—73 (совм. с О. А. Олейник).
5 Новые программы французской средней школы / Математика
в школе,— 1978,— № 6.—С. 74—78 (совм. с А. М. Абрамовым).
6. Как я стал математиком. Что такое математика.—Наука в
твоей профессии,—М.: Знание, 1978.— № 11,—С. 5-9,
7. Оценки спектральных функций случайных процессов: Доклад
на II Европейском совещании по статистике, Осло, 14—18 авг.
1978 г — (Совм. с И. Г. Журбенко).
8. О формировании диалектико-материалистического мировозэро-
* вия школьников на уроках математики и физики / Роль учеб-
ной литературы в формировании мировоззрения школьников,—
М.: Педагогика, 1978,—С. 69—74.
14 А. В, Колмогоров
210 ПРИЛОЖЕНИЯ
9. Предисловие к ко.: Донеддю А. Евклидова планиметрия: Пир,
с фр.— М.: Наука, 1978.— 272 с.
10, Предисловие к кн.: Математика XIX.— М.: Наука, 1978, 1981«
1987,—256 с. (совм, с А. П. Юшкевичем),
1979
1. Линейные выборочные оценив сумм / Теория вероятностей в
ее применения.— 1979,—Т. 24.— С. 241—251 (совм, с А, В, Бу-
липским).
2. ФМШ при МГУ-20 лет / Квант.-1979.-№ 1,-С, 55-57
(совм. с В. В. Вавиловым и И. Т. Тропиным).
3. Об учебном пособии «Геометрия 6—8» Ц Математика в шко-
ле.—1979.—№ 3.—С, 33—42 (совм, с А. Фо Семеновичем,
Р. С. Черкасовым).
4. Алексей Иванович Маркушевич [Некролог] / Математика в
школе.— 1979.—№ 6.—С. 77—78 (совм. с В, Д. Белоусовым,
В. Г. Болтянским и др.).
5. Показательная и логарифмическая функции / Математика в
школе.— 1979.—№ 6.—С. 22—27 (совм. с А. М. Абрамовым,
О. С. Ивашевым Мусатовым, Б. М. Ивлевым, С. И, Шарц-
бурдом).
>р 1980
1. Диалектике материалистическое мировоззрение в школьный
курсах математики и физики / Квант.— 1980.—№ 4.—С. 15—18,
2. Об учебном пособии «Алгебра и начала анализа 9—10» / Ма-
тематика в школе.—1979.—№ 6.—С. 22—27 (совм. с А. М. Аб-
рамовым, О. С. Ивашевым-Мусатовым, Б. М, Ивлевым,
С. И. Шварцбурдом),
1981
1. Элементы теории функций и функционального анализа.—
5-е изд.—М.: Наука, 1981.—542 с. (совм. с С. В. Фоминым).
2, Физико-математическая школа при МГУ.— М.: Изд-во МГУ,
1981. (Математика, кибернетика. № 5) (совм. с В. В, Вавиловым
и И. Т. Тропиным).
3. Геометрия для 6—8 классов: Учебное пособие.— 3-е изд.— М.:
Просвещение, 1981 (совм. с А. Ф, Семеновичем и Р. С. Черка-
совым; 1-е изд.—М., 1979).
4. О понятии вектора в курсе средней школы / Математика в
школе.— 1981.— № 3.— С. 7—8.
5. К вопросу о проведении первых занятий по тьме «Векторы» /
Математика в школе.— 1981,— № 3,—С. 8—11 (совм, с А.М, Аб-
рамовым).
8. Рецензия на кпигу Л. С. Понтрягина «Анализ бесконечно ма-
лых» / Математика в школе.—1981.—№ 5.—С. 73—74.
7. Изабелла Григорьевна Башмакова / Математика в школе.—
1981.— № 1.— С. 73—74 (совм. с П. С. Александровым, Б. В. Гне-
денко. С. С. Демидовым, С, С, Петровой, К. А. Рыбниковым,
А. П. Юшкевичем).
8. Предисловие к кн.: Штейнгаув Г. Математический калейдо-
скоп,— М.: Паука, 1981,— (Библиотечка «Квант»; Вып. 8.)
СПИСОК РАБОТ А. Н, КОЛМОГОРОВА
211
1982
1. Введение в математическую логику.— М.: Изд-во МГУ, 1982.—
120 с. (совм. с А. Г. Драга л иным).
2. Введение в теорию вероятностей.— М.: Наука, 1982.— 159 с.
(Библиотечка «Квант»; Вып. 23) (совм. с И. Г. Журбенко и
А. В. Прохоровым).
3. Математика Ц Математическая энциклопедия.—1982.— 3,—
С. 576—581 (совм. с 10. В. Прохоровым).
4. Борис Владимирович Гнеденко Ц Математика в школе.—
1982—№ 1,—С. 72—73 (совм. с Р. С. Черкасовым).
5. Леонид Витальевич Канторович (К 70-летию со дня рожде-
ния) И Математика в школе.— 1982,— № 2.— С. 77—78 (совм. с
В. А. Залгаллером).
6. О понятии предела в общеобразовательной школе Ц Математи-
ка в школе.— 1982.— № 5.— С. 56.
7. Ньютон и современное математическое мышление Ц Матема-
тика в школе.— 1982.— № 6,—С. 58.
1983
1. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для 9 и 10 классов
средней школы.—4-е изд.— М.: Просвещение, 1983 (совм. с
А. М. Абрамовым, Б. Е. Вейцем, О. С. Ивашевым-Мусатовым и
С. И. Шварцбурдом) (1-е изд.— 1980).
2. Павел Сергеевич Александров Ц Математика в школе,— 1983.—
№ 1.—С. 47—48 (совм. с Б. В. Гнеденко).
3. Об учебном пособии «Геометрия» А. В. Погорелова Ц Матема-
тика в школе.— 1983,—№ 2.—С. 45.
4. Комбинаторные основания теории информации и исчисления
вероятностей / УМН,—1983.—Т. 38, вып. 4.—С. 27—36.
5. Ученик об учителе (интервью В. А. Успенского с А. Н. Колмо-
горовым) Ц Путь в науку (орган Кемеровского ун-та),—
№ 29(796).- 7.09.1983,
1984
1. Замечания о понятии множества в школьном курсе математи-
ки / Математика в школе.—1984.—№ 1.—С. 52—53.
2. С. Л. Соболев и современная математика / Математика в шко-
ле.— 1984.— № 1,—С. 73—77 (совм. с О. А. Олейник).
3 Анализ метрической структуры стихотворения А. С. Пушкина
«Арион» Ц Проблемы теории стиха.—Л.: Наука, 1984 — С. 118—
120.
4. Каким быть X—XI? (Коллективное письмо 9 академиков с пред-
ложениями к проекту реформы школы) Ц Известия.—
26.01.1984.
5. Математическая логика. Дополнительные главы.— М.: Изд-во
МГУ, 1984.— 119 с. (Совм. с А. Г, Драгалиным),
1985
1. Модель ритмического строения русской речи, приспособленная
к изучению метрики классического русского стиха Ц Русское
стихосложение. Традиции и проблемы развития.— М.: Наука,
1985,- С. 113—134.
212 ПРИЛОЖЕНИЯ
2. Избранные труды. Математика механика.— М,: Наука,
1985.-470 с.
3. Новый метрический инвариант транзитивных динамических си-
стем я автоморфизмов пространств Лебега. Новая редакция #
Труды МИАН.—1985.—Т. 169, вып. 1.—С. 94—98.
4. Предисловие к кн.: Гальперин Г, А., Толпыго А. К. Москов-
ские математические олимпиады.— М.: Просвещение, 1985.—
302 в.
5. Ученик об учителе / У МП.-1985.-Т. 40, вып. 3(243).-
С. 7—8,
1986
1. О скалярных величипах В Математика в школе.—1986,—
№ 3.— С. 32___33.
2. Воспоминания о П. С. Александрове / УМН,—1986,—Т, 41,
вып. 6(252).—С. 187—203.
3. Теория вероятностей и математическая статистика,— М.: Нау-
ка, 1986.
4. Предисловие к кн.: Я. Бернулли. О законе больших чисел,—
М.: Наука, 1986.—С. 3-6,
1987
1. Теория информации и теория алгоритмов,— М.: Наука, 1987.—
304 с.
2. Приветствие участникам Первого Всемирного конгресса обще-
ства Бернулли / Теория вероятностей и ее применения,—
1987.—Т. 32, вып. 2.—С. 218.
3. Алгоритмы и случайность / Теория вероятностей и ее приме-
нения.—1987,—Т, 32, вып. 3,—С, 425—455 (совм, с В, А, Ус-
пенским).
4. Algorithms and Randomness / Proceedings of the 1-st World
Congress of the Bernoulli Society (Tashkent, USSR, 8—14 Sep-
tember 1986.) V. 1. Ed. Yu. V. Pronorov, V. V. Sazonov.—VNU
Science Press, Utrecht, 1987.— P. 3—56 (совм. с В. А. Успенским).
5, Ответ ученикам (Жизнь во имя науки) Ц Учительская газе-
та.-26.11.1987,
1988
1. Математика — наука и профессия. М.: Наука, 1988 —288 с.
(Библиотечка «Квант»; Вып. 64). Сост. Г. А. Гальперин.
2, Вероятностно-статистические методы обнаружения спонтанно
возникающих эффектов Ц Труды МИАН.— 1988.—Т. 182.—
С. 4—23 (совм. с Ю. В. Прохоровым, А. Н. Ширяевым).
3. Приложение к кн.: Джон фон Нейман. Избранные труды (Сер
«Классики науки»).—М.: Наука, 1988 (совм, с А. М. Воршиком
и Я. Г. Спкаем),
ПЕРЕЧЕНЬ ВЫСТУПЛЕНИЙ А, Н. КОЛМОГОРОВА В ММО 213
ПЕРЕЧЕНЬ ВЫСТУПЛЕНИЙ А. Н. КОЛМОГОРОВА
НА ЗАСЕДАНИЯХ
МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА
8 октября 1922 г. Пример ряда Fourier — Lebesgue’a тригономет-
рического, расходящегося почти всюду.
5 аореля 1925 г. О возможности общего определения производной,
интеграла в суммы ряда.
16 ноября 1926 г. О всюду расходящемся ряде Фурье.
9 декабря 1926 г. Принцип двойного отрицания и определение
функции.
6 декабря 1927 г. Обобщение теоремы Чебышева. 1
20 марта 1928 г. Об одной общей схеме теории вероятностей.
18 декабря 1928 г. Новая интерпретация интуиционной логики.
11 декабря 1932 г. О геометрических идеях Plucker’a и Klein’a.
И ноября 1934 г. О контингенциях. Совместно с И. Я. Верченко.
11 декабря 1934 г. Дополнительное сообщение. См. 11 ноября
1934 г.
5 января 1935 г. Цепи Маркова и обратимость ваконов природы.
16 февраля 1937 г. Статистическая теория кристаллизации засты-
вающих металлов.
22 апреля 1937 г. О дифференциальных свойствах функций двух
переменных.
10 ноября 1937 г. Развитие в СССР математических методов по-
знания природы (дифференциальные я интегральные уравне-
ния в теория вероятностей).
22, 28 нояб. 1937 г. Заседания, посвященные обсуждению плана
составления нового учебника элементарной алгебры (П.С. Алек-
сандровым и А. Н. Колмогоровым). Два заседания.
10 марта (или 16 марта) 1938 г. Заседание, посвященное дискуссии
о проекте статьи А. Н. Колмогорова «Математиказ для Боль-
шой Советской Энциклопедии. Точная дата неизвестна.
22 декабря 1938 г. Современные вопросы теоретико-множественной
геометрия. (Обзорный доклад).
16 февраля 1939 г. О принципах оценки надежности статистиче-
ских гипотез. (Обзорный доклад).
22 марта 1939 г. Об экстра пол ируемости стационарных рядов в за-
висимости от характера их спектра.
4 июня 1939 г. Стационарные последовательности элементов гиль-
бертова пространства.
22 ноября 1939 г. К определению стационарности индивидуальной
функция.
22 марта 1940 г. Математическое изучение детерминированных и
случайных процессов.
18 марта 1941 г. О двух видах аксиоматического метода. (Первый
обзорный доклад).
1 апреля 1941 г. О двух видах аксиоматического метода, (Второй
обзорный доклад).
16 апреля 1941 г. О мерах, инвариантных по отношению к группе
преобразований.
7 марта 1942 г. Об одной вариационной задаче.
8 ноября 1943 г. Доклад на заседании, посвященном памяти Ло-
бачевского.
2 февраля 1944 г. Унптарптл? ггсд^т^гления бесконечных групп.
214
ПРИЛОЖЕНИЯ
3 октября 1944 г. Математическая теория турбулентности.
31 октября 1944 г. Современное состояние теории цепей Маркова
и неразрешенные проблемы в этой области. (Обзорный до-
клад).
4 декабря 1945 г. Вычислимые последовательности и их значение
в исследованиях по основаниям математики. (Обзорный до-
клад).
7 мая 1946 г. Работы П. С. Александрова по теории множеств и
теории функций. (В связи с пятидесятилетием со дня рож-
дения).
10 июня 1947 г. О некоторых новых работах по теории вероятно-
стей. (Обзорный доклад).
17 июня 1947 г. Выступление на заседании, посвященном памяти
Алексея Константиновича Власова.
9 декабря 1947 г. Строение полных метрических алгебр Буля,
17 февраля 1948 г. О проекте программ для средней школы.
24 февраля 1948 г. Наилучшее приближение комплексных функ-
ций.
30 марта 1948 г. Локальная предельная теорема для цепей Мар-
кова.
28 сентября 1948 г. О критике Остроградского на работы Лобачев-
ского.
30 ноября 1948 г. Меры и распределения вероятностей в функцио-
нальных пространствах. (Обзорный доклад).
4 октября 1949 г. К изложению основ лебеговской теории меры.
18 октября 1949 г. «Аксиома», «Бесконечно малая». (Статьи для
нового издания Большой Советской Энциклопедии).
6 декабря 1949 г. Основные типы марковских процессов.
23 декабря 1949 г. Развитие математики в советскую эпоху.
9 января 1951 г. О некоторых математических задачах, связанных
с контролем производства. Обзорный доклад.
15 мая 1951 г. Работы В. В. Степанова по теории функций.
27 ноября 1951 г. Двузначные функции двузначных переменных
и применение их к релейно-контактным схемам.
20 мая 1952 г. Работы Д. Б. Меньшова по теории функций дей-
ствительного переменного (В связи с шестидесятилетием со
дня рождения).
30 сентября 1952 г. О спектрах динамических систем на торе.
25 февраля 1953 г. Научное направление кафедры теории вероят-
ностей.
17 марта 1953 г. О понятии алгоритма.
26 мая 1953 г. О почти периодических движениях тяжелого твер-
дого тела вокруг неподвижной точки.
8 декабря 1953 г. Понятие «информации» в математической стати-
стике и в шенноновской теории передачи информации.
27 апреля 1954 г. Оценки минимального числа элементов п-сетей
в различных функциональных классах и их применение к во-
просу о представимости функций нескольких переменных су-
перпозициями функций меныпего числа переменных.
25 мая 1954 г. Об устойчивости условно-периодических движений
в консервативных динамических системах.
28 сентября 1954 г. О международном математическом конгрессе
в Амстердаме.
25 октября 1955 г. Несколько слов о поездке в Стокгольм, (Сов-
местно с П, С. Александровым).
ПЕРЕЧЕНЬ ВЫСТУПЛЕНИЙ А. Н. КОЛМОГОРОВА В ММО 215
28 февраля 1956 г. О научной командировке во Францию, ГДР и
Польшу.
17 апреля 1956 г. Представление непрерывных функций многих
переменных несколькими непрерывными функциями меньшего
числа переменных.
29 мая 1956 г. «Элементы математики» Николя Бурбаки.
5 июня 1956 г. О некоторых асимптотических характеристиках
вполне ограниченного метрического пространства.
18 декабря 1956 г. Равномерные предельные теоремы для сумм
независимых слагаемых.
25 декабря 1956 г. О работах Д. Ф. Егорова по теории функций
и по интегральным уравнениям (к двадцатилетию со дня
смерти).
2 апреля 1957 г. Что такое кибернетика (к проекту статьи в БСЭ).
24 сентября 1957 г. О представлении непрерывной функций мно-
гих переменных при помощи непрерывных функций одной
переменной и сложения.
17 октября 1957 г. О приближенном представлении функций не-
скольких переменных супорпозициями функций меньшего
числа переменных и в-энтропии классов функций.
7 октября 1958 г. О подготовке кадров для физико-математических
наук и новой техники.
13 января 1959 г. «Малые знаменатели» в задачах механики и ана-
лиза. (Обзорный доклад).
21 апреля 1959 г. О некоторых чертах современного этапа разви-
тия математики.
17 мая 1960 г. Решенные и нерешенные задачи, связанные с
13-й проблемой Гильберта.
13 декабря 1960 г. Работы А. Я. Хинчина по теории функций.
27 декабря 1960 г. Математические методы исследования русского
стиха. (Обзорный доклад).
4 апреля 1961 г. Что такое «информация»?
16 мая 1961 г. Оценка трудности определения в вычисления ко-
нечных последовательностей и дискретных функций,
21 ноября 1961 г. Самоконструирующиеся аппараты.
26 декабря 1961 г. Работы Н, К. Бари о представлении функций
суперпозиции.
26 марта 1963 г. О равномерных предельных теоремах для сумм
независимых слагаемых.
25 апреля 1963 г. Из опыта работы.
28 мая 1963 г. Вступительное слово к тематическому заседанию
по теории случайных процессов.
19 ноября 1963 г. Вычислимые функции и основания теории инфор-
мации и теории вероятностей.
24 октября 1964 г. О влиянии идей теории информации на разви-
тие математики.
15 декабря 1964 г. Асимптотика сложности конечных отрезков
бескопечпой последовательности.
18 мая 1965 г. Эксперимент и математическая теория в изучении
турбулентности.
7 декабря 1965 г. Исчисление финитных задач Ю. Т. Медведева.
3 марта 1966 г. О проекте программы по математике для средней
школы.
10 мая 1966 г. Вступительное слово, посвященное 70-летию
П. С. Александрова.
116 ПРИЛОЖЕНИЯ
14 февраля 1967 г. О факультативных занятиях по математике в
средней школе в 1967/68 уч. году.
28 марта 1967 г. Логика, интуиционизм, основания математики в
работах Л. Брауэра.
31 октября 1967 г. Несколько теорем об алгоритмической энтропии
и алгоритмическом количестве информации.
24 февраля 1970 г. Статистическая гидродинамика океана.
23 ноября 1971 г. Сложность задания и сложность построения ма-
тематических объектов.
14 декабря 1971 г. О работах П, Л. Чебышева по теории вероят-
ностей.
25 апреля 1972 г. О работах Д. Е. Меньшова по теории ортогональ-
ных рядов.
16 апреля 1974 г. Сложность алгоритмов и объективное определе-
ние случайности.
15 февраля 1977 г. Вступительное слово, посвященное 60-летию со
дня рождения Г. Е. Шилова.
18 января 1978 г. Замечания о статистических решениях уравне-
ний Навье — Стокса.
13 декабря 1983 г. Вступительное слово, посвященное 100-летию
со дня рождения Н. Н. Лузина.
2 апреля 1985 г. I Московская школьная математическая олим-
пиада.
АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ КОЛМОГОРОВ
(биографическая справка)*)
Андрей Николаевич Колмогоров родился 25(12) апреля 1903 г.
в Тамбове. Отец Николай Матвеевич Катаев был агрономом. Мать
Мария Яковлевна Колмогорова скончалась при родах, и заботы по
воспитанию А. Н. Колмогорова взяла на себя ее сестра Вера Яков-
левна. Первые годы своей жизни А. Н. Колмогоров провел в Тунош-
пе под Ярославлем в усадьбе родителей матери. Когда ему было
около шести лет, В. Я. Колмогорова с племянником переезжают
в Москву. В 1910 г. А. Н. Колмогоров поступает в приготовитель-
ный класс частной гимназии Е. А. Репман в Москве, которую за-
канчивает в 1920 г. (точнее, получает аттестат об окончании шко-
лы второй ступени, в которую была переименована гимназия).
Решеппе стать математиком пришло к Колмогорову не сразу.
Впоследствии он писал об этом раннем периоде своей жизни: «Тех-
ника тогда воспринималась как что-то более серьезное и необхо-
димое, чем чистая наука. Одновременно с математическим отделе-
нием университета (куда принимали всех желающих без экзамо-
*) По материалам, содержащимся в книгах: А. Н. Колмогоров.
Математика и механика — М.: Наука, 1985; А. Н. Колмогоров. Тео-
рия вероятностей и математическая статистика.— М.: Наука. 1986;
А. Н. Колмогоров. Теория информации и теория алгоритмов.—
М.: Наука, 1987; А. Н. Колмогоров. Математика — наука и профес-
сия.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988; а также в мемори-
альных выпусках журналов «Успехи математических наук» за
1988 г. (т. 43, вып. 6) и «Теория вероятностей и ее применения»
(т. 34, вып. 1).
БИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА
217
на) я поступил на металлургический факультет Менделеевского
института (где требовался вступительный экзамен по математике).
Но скоро интерес к математике перевесил сомнения в актуально-
сти профессии математика». Вместе с тем «первым научным докла-
дом, который я сделал в семнадцатилетнем возрасте в Московском
университете, был доклад в семинаре профессора С. В. Бахрушина
о новгородском землевладении».
С 1920 г. вся деятельность Колмогорова неразрывно связана
с Московским университетом.
Учился Андрей Николаевич в Московском университете о
1920 г. по 1925 г. На первом курсе (1920—1921) он посещает лек-
ции Н. Н. Лузина по теории функций и А. К. Власова по проектив-
ной геометрии, на втором (1921—1922)—становится участником
семинара В. В. Степанова по тригонометрическим рядам. В этом
семинаре он решает проблему, поставленную Н. Н. Лузиным; узнав
об этом, Лузин приглашает Колмогорова стать его учеником
(1921 г.). В начале 1922 г. Колмогоров заканчивает работу по тео-
рии множеств, а весною того же года строит ряд Фурье, расходя-
щийся почти всюду; названный результат быстро приносит ему
мировую известность.
С 1922 по 1925 г. Колмогоров работает учителем математики
и физики в потылихинской опытпо-показательной школе Нарком-
проса РСФСР. В школе он, кроме того, руководит кружком юных
биологов и является секретарем школьного совета.
В 1925 г. Колмогоров заканчивает Московский университет и
становится аспирантом Лузина. К этому же году относится начало
работы Колмогорова в области теории вероятностей и многолетнего
его сотрудничества с еще одним учеником Лузина —А. Я. Хинчи-
ном. В 1929 г. после окончания аспирантуры Андрей Николаевич
становится старшим научным сотрудником Научно-исследователь-
ского института математики и механики при Московском универ-
ситете и одновременно заведующим кафедрой математики в Индуст-
риально-педагогическом институте им. К. Либкнехта.
К двадцатым годам относится ряд наивысших творческих до-
стижений Колмогорова. Это создание общей теории операций над
множествами; исследования в области тригонометрических рядов;
работы по математической логике (в которых иптуиционистская
логика впервые сделалась предметом математического изучения);
начало деятельности по обоснованию теории вероятностей — т. е.
по превращению ее в строгую и систематическую математическую
дисциплину.
Летом 1929 г. произошло очень важное событие в жизпи
А. Н. Колмогорова — начало его дружбы с Павлом Сергеевичем
Александровым. Эта уникальная дружба двух выдающихся мате-
матиков продолжалась 53 года и 5 месяцев —с 16 июня 1929 г.
(в этот депь И. С. Александров, А Н. Колмогоров и Н. Д. Нюберг,
впоследствии известный специалист по теории цветоощущения,
отплыли втроем на лодке из Ярославля вниз по Волге) и до 16
ноября 1982 г., дпя смерти П. С. Александрова. «Для меня эти
пятьдесят три года вашей теспой и неразрывной дружбы явились
основой того, что вся моя жизпь в целом оказалась преисполненной
счастья, а основой моего благополучия явилась непрестанная за-
ботливость со стороны Павла Сергеевича»,—так писал Андрей
Николаевич на закате своей жизни,
218
ПРИЛОЖЕНИЕ
С июня 1930 г. по март 1931 г. Колмогоров находился в своей
первой заграничной командировке: Гёттинген — Мюнхен — Париж.
Гёттинген в первой трети нашего века был Меккой для всех мате-
матиков. Как вспоминал Андрей Николаевич, он имел в Гёттин-
гене «разносторонние научные контакты. Прежде всего — с Куран-
том и его учениками по линии предельных теорем, где диффузион-
ные процессы оказываются пределами для дискретных случайных
процессов, затем по интуиционистской логике — с Г. Вейлем,
в, наконец, теории функции - с Э. Ландау». Он беседовал с Дави-
дом Гильбертом, Э. Нётер и многими другими. Во Франции Андрей
Николаевич установил научные связи с М. Фреше (который ин-
тересовался в те годы цепями Маркова) и особенно с П. Леви.
Он встречался также с А. Лебегом и Э. Борелем.
В 1931 г. А. Н. Колмогоров становится профессором МГУ.
В те же годы начинается его работа с учениками. Тридцатые и
ранние сороковые годы в творческом плане были для Андрея
Николаевича одними из наиболее плодотворных. В 1931 г. выходит
в свет его фундаментальная статья «Об аналитических методах в
теории вероятностей», а в 1933 г.—его знаменитая монография
«Основные понятия теории вероятностей». Здесь завершается зада-
ча построения теории вероятностей как целостной математической
теории. Колмогоров постепенно приобретает признание в качестве
главы теории вероятностей во всем мире. К тем тридцатым и ран-
ним сороковым годам относятся и другие выдающиеся достиже-
ния Колмогорова, каждое из которых выдвигает его в соответ-
ствующей области на первый план мировой науки. Это исследо-
вания, посвященные следующим трем различным темам: случай-
ным процессам; турбулентности; алгебраической топологии (здесь
ему принадлежит введение одного из центральных понятий этой
теории — понятия когомологии).
В 1935 г. А. Н. Колмогоров и П. С. Александров приобрели
в свое владение часть загородного дома (в прошлом принадлежав-
шего родственникам К. С. Станиславского), расположенного в де-
ревне Комаровка на берегу реки Клязьмы, недалеко от подмосков-
ной станции Болшево. Впоследствии они выкупили этот дом пол-
ностью. В комаровском доме и протекала в основном их творческая
жизнь.
В 1933 г. А. Н. Колмогоров назначается директором Института
математики и механики при МГУ. В этой должности он пребывает
до 1939 г. (и еще короткий период —с 1951 по 1953 г.). С 1954 по
1956 г. и с 1978 г. по день своей кончины А. Н. Колмогоров был
заведующим Отделением математики механико-математического
факультета МГУ, а с 1954 по 1958 г.— деканом этого факультета.
На механико-математическом факультете А. Н. Колмогоров ос-
новал в 1935 г. кафедру теории вероятностей (которой заведовал
со дня ее создания до 1966 г.), в 1960 г. лабораторию вероятност-
ных и статистических методов (которой заведовал с 1966 по
1976 г.), в 1976 г. кафедру математической статистики (которой
заведовал со дня ее создания по 1979 г.). С 1980 г. и до конца
своей жизни А. Н. Колмогоров заведовал кафедрой математической
логики.
С 1938 по 1946 г. и с 1948 по 1960 г. А. Н. Колмогоров — заве-
дующий отделом теории вероятностей Математического института
им. Стеклова АН СССР, а с 1983 л до конца жизни — заведующий
БИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА 219
отделом математической статистики и теории информации этого
института.
В 1939 г. А. Н. Колмогорова избирают действительным членом
Академии наук СССР, и он становится (по 1942 г.) академиком-
секретарем Отделения физико-математических наук.
В конце 30-х и начале 40-х годов А. Н. Колмогоров начинает
интересоваться проблемами турбулентности и в 1946 г. становится
заведующим организованной им лабораторией атмосферной тур-
булентности Института теоретической геофизики АН СССР, где
работал до 1949 г.
С 1936 г. Андрей Николаевич много сил отдает работе по
изданию Большой и Малой Советских Энциклопедий. Он возглав-
ляет математический отдел и сам пишет для энциклопедий много
статей.
Во время Великой Отечественной войны А. Н. Колмогоров
принял активное участие в разработке проблем, связанных с обо-
роной Родины.
Осенью 1942 г. Андрей Николаевич женился на Апне Дмитриев-
не Егоровой — подруге школьных лет.
В 1953 г. А. Н. Колмогоров был избран почетным членом Мо-
сковского математического общества, а в период с 1964 по 1966 и
с 1973 по 1985 г. оп являлся его Президентом.
Па пятидесятые и начало шестидесятых годов приходится
очередной взлет математического творчества Колмогорова. Здесь
должны быть отмечены его выдающиеся, фундаментальные работы
по следующим четырем направлениям: 1) по небесной механике,
где он сдвинул с мертвой точки проблемы, остававшиеся нере-
шенными со времен Ныотопа и Лапласа; 2) по 13-й проблеме Гиль-
берта о возможности представления произвольной непрерывной
функции нескольких действительных переменных в виде супер-
позиции непрерывных же функций двух переменных, где он пред-
ложил методы, позволившие сперва ему выразить любую непре-
рывную функцию через непрерывные функции трех переменных,
а затем его ученику В. И. Арнольду выразить любую непрерывную
функцию через непрерывные функции двух переменных и тем
самым окончательно решить проблему Гильберта (впоследствии
А. Н. Колмогоров значительно усплпл результат В. И. Арнольда,
показав, что любая непрерывная функция представима как супер-
позиция функций одного перемеппого и функции сложения); 3) по
динамическим системам, где введенный им новый инвариант «энт-
ропия» привел к перевороту в теории этих систем; 4) по теории
сложности конструктивных объектов, где предложенные им идеи
измерения сложности объекта нашли многообразные применения
в теории информации, теории вероятностей и теории алгоритмов.
В 1954 г. Колмогоров принимает участие в работе Междуна-
родного математического конгресса в Амстердаме. Там он высту-
пает с часовым обзорным докладом, посвященным небесной меха-
нике, завершая этим докладом паучную программу конгресса.
В том же 1954 г. Колмогоров два месяца работает профессором
Университета им. Гумбольта в Берлине, а в течение весеннего по-
лугодия 1958 г.—профессором Парижского университета. В 1962,
1966 и 1970 гг. он принимает участие в международных матема-
тических конгрессах, состоявшихся в Стокгольме, Москве и Ницце,
220
ПРИЛОЖЕНИЯ
С 1963 по 1968 г. А. Н. Колмогоров возглавлял математическую
секцию комиссии АН СССР и Академии педагогических наук СССР
по определению содержания среднего образования, а с 1968 по
1978 г.— комиссию по математике Учебно-методического совета
Министерства просвещения СССР. В 1966 г. А. Н. Колмогорова
избирают действительным членом Академии педагогических наук
СССР. В 1963 г. А. Н. Колмогоров выступает одним из инициаторов
создания школы интерната при МГУ (которая сразу получила на-
ввание «колмогоровской») и сам начинает там преподавание. Де-
лами интерната и заботами советской школы Андрей Николаевич
был занят до последних дней своей жизни, отдавая им много сил
в энергии.
В 1970 и 1971—1972 гг. А. И. Колмогоров участвует в двух
четырехмесячных плаваниях на научно-исследовательском судне
«Дмитрий Менделеев».
В разные годы А. Н. Колмогоров был членом редколлегий
журналов «Математический сборник», «Доклады АН СССР», «Успе-
хи математических наук». С 1946 по 1954 г. и с 1983 г. по день кон-
чины Андрей Николаевич был главным редактором «Успехов мате-
матических наук». В 1956 г. Колмогоров основывает журнал «Тео-
рия вероятностей и ее применения» и, с первого выпуска 1956 г. по
последний выпуск 1966 г., является главным редактором этого
журнала. Будучи инициатором создания физико-математического
журнала для юношества «Квант», он с момента его возникновения
(1970 г.) и до конца своих дней являлся первым заместителем
главного редактора и руководил математическим разделом этого
журнала. Андрей Николаевич был основателем и первым главой
редакции математики и механики в Издательстве иностранной
литературы (ныне — издательство «Мрр»).
Среди учеников А. Н. Колмогорова академики АН СССР
В. И. Арнольд, А. А. Боровков, И. М. Гельфанд, А. И. Мальцев,
М. Д. Миллионщиков, В. С. Михалевич, С. М. Никольский,
А. М. Обухов, 10. В. Прохоров, члены-корреспонденты АН СССР
Л. Н. Большее, А. С. Монин, Б. А. Севастьянов, член Националь-
ной академии наук США Е. Б. Дынкин.
Многие университеты, академии и общества избрали А. Н. Кол-
могорова в число своих сочленов. Он почетный доктор Парижского
университета (1955), иностранный член Польской академии наук
(1956), почетный член Королевского статистического общества
(Великобритания, 1956), член Международного статистического
института (1957), почетный член Американской академии искусств
и наук в Бостоне (1959), член Германской академии естество-
испытателей «Леопольдина» (1959), почетный доктор Стокгольм-
ского университета (1960), иностранный член Американского фило-
софского общества в Филадельфии (1961), почетный член Индий-
ского статистического общества в Калькутте (1962), почетный член
Американского метеорологического общества (1962), почетный
член Индийского математического общества (1962), иностранный
член Нидерландской королевской академии наук (1963), иностран-
ный член Лондонского королевского общества (1964), почетный
член Румынской академии (1965), почетный член Венгерской ака-
демии наук (1965), иностранный член Национальной академии
паук США (1967), иностранный члеп Парижской академии наук
(1968), почетный член Международной академия истории пауки
еИОГРАФИЧВСКАЯ СПРАВКА 221
(1977), иностранный член Академии наук ГДР (1977), иностран-
ный член Общества ордена «Пур ля Мерит» ФРГ (1977), член
Академии наук Финляндии (1985).
В 1963 г. А. Н. Колмогорову была присуждена Международная
премия Бальпана (одновременно с ним, но по другим разделам
игу премию получили папа Иоанн XXIII, историк С. Морисон, био-
лог К. фон Фриш, композитор П. Хиндемит), а в 1981 г.— Между-
народная премия Вольфа (в том же году ее получил французский
математик А. Картав, в другие годы она присуждалась И. М. Гель-
фанду, К. Зигелю, А. Вейлю, Ж. Лере, Л. Н. Альфорсу, О. Зариско-
му, М. Г. Крейну и другим выдающимся математикам).
А. Н. Колмогоров был лауреатом Ленинской премии (1965 г.
ва работы по классической механике). Государственной (Сталин-
ской) премии (1941 г., за работы по теории случайных процессов),
премии им. Чебышева АН СССР (1949 г.), премии им. Лобачевско*
го АН СССР (1987), Он имел звание Героя Социалистического Тру-
да (с 1963 г.), был награжден семью орденами Ленина, другими
орденами и медалями СССР, а также венгерским орденом Знамени,
медалью им. Гельмгольца Академии наук ГДР, золотой медалью
Американского метеорологического общества.
20 октября 1987 г, Андрей Николаевич Колмогоров скончался,
СОДЕРЖАНИЕ
От титульного редактора ? 5
П, С, Александров. Несколько слов об А. II. Колмогорове 7
В. А. Успенский. Наш великий современник Колмогоров 11
Автобиография Андрея Николаевича Колмогорова . а 21
Раздел первый
РАЗВИВАЮЩАЯСЯ НАУКА
Математика 24
I. Определение предмета математики, связь с другими
науками и техникой.................. * « • 24
II. История математики до 19 века • . . . t 28
1. Зарождение математики (30). 2. Период элемен-
тарной математики (32). 3. Период создания мате-
матики переменных величин (47).
III. Современная математика • 59
1. Расширение предмета математики (59). 2. Вопро-
сы обоснования математики. Роль теории множеств
и математической логики (65). 3. Исторпя матема-
тики в 19 и 20 веках (70).
Развитие математики в СССР 85
Раздел второй
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
Ньютон и современное математическое мышление . ; . 92
Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого
века 112
Раздел третий
НАУЧНЫЕ БИОГРАФИИ
Павел Сергеевич Александров • в • 125
Воспоминания о П. С. Александрове.................. . 131
Глава 1. Первые встречи . ..................132
Глава 2. Путешествие 1929 г. Комаровский дом • • 135
Глава 3. Поездка за границу 1930—1931 гг............143
Глава 4. Из писем П. С. Александрова из США « • 150
СОДЕРЖАНИЯ
223
Краткие биографии математиков (из Большов Советской
Энциклопедии)................................... . 157
Адамар ЯС (157). Александров А. Д. (158). Александ-
ров П. С. (158). Ахиезер Н. И. (159). Банах С. (159). Ба-
ри Н. К. (160). Бернштейн С. Н. (160). Брауэр Л. Я.
(161). Вейль Г. (161). Банер Н. (162). Гильберт Д. (163).
Имшенецкий В. Г. (164). Марков А. А. (165). Мизес Р.
(166). Слуцкий В. Е. (167). Смирнов Н. В. (167),
Биографические очерки (иа журнала «Успехи математиче-
ских наука) ....................................... 168
Гливенко В. И. (168), Заеухин В. Н. (172). Петров-
ский И. Г, (173). Селиверстов Г. А. (177). Слуцкий Е. Е.
<Н9).
~ ПРИЛОЖЕНИЯ
Список работ А. Н. Колмогорова «•••;•«• 8 188
Перечень выступлений А. Н. Колмогорова на заседаниях Мо-
сковского математического общества • • • . « • 213
Андрей Николаевич Колмогоров (биографическая справка) 216
Научное издание
Колмогоров Андрей Николаевич
МАТЕМАТИКА В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
Заведующий редакцией А. П. Баева
Редактор Е. А. Ширяева
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор В. В, Морозова
Корректор В, В, Тихонова
ИВ J# 41082
Сдано в набор 03.07.00. Подписано к печати 02.07.91. Формат
84X108/32. Бумага книжно-журнальная. Гарнитура обык-
новенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 11.76. Усл,
кр.-отт, 11,97, Уч.-изд. л. 13,33. Тираж 21 000 акэ За-
каз ТА 301, Цена 2 р. 20 к.
Издательско-производственное и книготорговое
объединение «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 13
Четвертая типография издательства «Паука»
630077 Новосибирск, 77, Станиславского, 23
2 р. 20 к.