Психология арифметики - Торндайк Э.Л.

Author: Торндайк Э.Л.
Tags: воспитание обучение образование психология арифметика
Year: 1932
Similar
Занимательная математика
Математика. 1 класс
Математика. Районные олимпиады
Математика. Международные олимпиады
Text
                    Цеп 2 р. 25 К. Пгр. 30 к.
г^ЛСИХОЛОГИЯ
Арифметики
а л торцдайк
г
УЧПЕДГИЗ
1932
л. ТОРНДАЙК
’ т
1СИХОЛОПИЯ Я
АРИФМЕТИКИ
к'ревод с английского
А. долговой
1од редакцией ►
д. л. волковскбгО '
в
*
осу да ретвенное
учебно-педагогическое издательство
Чосква — 1932 — Ленинград
Редактор Н. Новоселок.
Техредактор Н. Решетнике
Сдано н набор 13/ХП 1931 г., подписано о печать 21/VI 1932 г.
Уполномоченный Гллвлнта М Ь 19403. Учгиэ XI 2610.
v-ъз ф. вгхш у„. оу, и. д. ibmoj П. sh. а бум. «.
Тираж 10000 so.
1-в нгштфяс Огиза РСФСР гС?раэаока>'‘. Мгскод, Вадсам, 28.
ПРЕДИСЛОВИЕ.
РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОЛА-
Одной из важных заслуг психологии XX в. является
то, что она обратила большое внимание на психологию
школьных предметов, в частности на психологию арифме-
тики. Правда, на психологическое обоснование обучения
арифметике обращалось внимание и раньше как за грани-
цей, так и у нас, но специальных обширных научных ра-
бот по этому вопросу не было. Такие работы принадлежат
главным образом американской литературе. В ней заслужи-
вает исключительного^внимания „Психология арифметики"
Торндайка ’).	\
Основная цель названной работы Торндайка — психологи-
чески обосновать и конкретно выявить главные задачи и ме-
тоды обучения арифметике.
В книге наряду с общими и принципиальными положе-
ниями, касающимися обучения арифметике, весьма много
практических указаний, основанных на большом количестве
экспериментальных психологических исследований и иллюст-
рируемых яркими примерзли.
Признавая оригинальность и богатство содержания, на-
учную обосие^анность/прсктический характер книги и заме-
четельную эрудаш^Г автора, мы не можем не отметить
в .Психологшх^шфйЪкцш" ряд спорных суждений по во-
просу об устно£г7уЛсчвенной^тпеп1а1 (?)] и письменной арифме-
тике и по некоторым другим вопросам.
Отмечая большую эрудицию автора (один список книг
на английском, немецком и французском языках, использо-
ванных автором, занимает 8J/B страниц), нельзя не указать,
чю автор иногда пользовался старыми изданиями, что не
могло не отразиться на некоторых вопросах его труда. Так
например Торндайк ссылается на известную работу немец-
*) Кипи появилась в свет в Америке в 1 22 г. Перс вод ив рус< кий
язьи сделан с а-го иддяяия, вышедшего в Америке в октябре 1929 г.
1*	3
кого педолога Lay'a — Filhrer durch den ersten Rechenunterncir
в 1-м издании (1898 г.); между тем в 1914 г. вышло 3-е из
дание1), существенно переработанное и содержащее новые!
исследования и данные, касающиеся чисел первого десятка
и основных арифметических действий.
Но все это нисколько не препятствует тому, чтобы приз
нать „Психологию арифметики* Торндайка за произведена
капитальное.
При оценке названной книги надо учитывать, что авто[
выступает в ней не столько как методист, сколько как пси
хьлог, но и среди методических суждений у него встре-
чаются такие, которые сделали бы честь любому выдаюпк
муся методисту.
Что касается подробного рассмотрения новых методов
преподавания арифметики с точки зрения нужд педагога-
практика, то таковое сделано Торндайком в другой замеча-
тельной его работе „Новые методы преподавания арифме-
тики", переведенной на русский язык.
Выпуская в свет русский перевод „Психологии арифме-
тики* Торндайка, мы выражаем уверенность, что книга
вызовет благосклонное внимание любознательных читателей
и критиков, хотя бы и несогласных с автором по некоторым
как принципиальным, так и частным вопросам, но дорожа-
щих новым направлением, оригинальным методом и ориги-
нальными положениями и суждениями, что несомненно
присуще этой книге.
Относительно перевода книги находим нужным сказать
следующее.
1)	Американские меры переведены в метрические меры,
а американские денежные знаки (доллары и центы) заменены
советскими (рублями и копейками). В связи с этим в неко-
торых случаях, где это являлось необходимым, изменено
и содержание задач, причем сохранен математический и ме-
тодический смысл их, заключающийся в поддиннике.
2)	Американский способ письма десятичных дробей за- I
менен принятым V нас.
3)	В американской литературе принято писать и читать
сперва множитель, а затем множимое. * В
*) Есть русский перевод этой книги (.Руководство к первоначальному
обучению арифмет ше, основанное из резул-тат^х дидактических опытов*),
выполненный А. С. Мусатовой и А. Н Долговым под нашей редакцией.
В России это сочинение выдержало 5 изданий.
4
Так например в числовом выражении
ЗХ4—12
3 есть множитель, а 4—множимое, и читается это выраже-
ние так: л3 раза по 4 равно 12*.
Если писать числа с наименованием, то запись решения
такой например задачи: «Метр материи стоит 2 руб.; сколько
стоят 5 ж?“ — примет следующий вид:
5X2 руб.~ 10 руб.
и будет читаться так: «5 раз по 2 руб. равно 10 руб.®.
В русской математической литературе, как известно,
делается наоборот: множитель пишется и читается
вторым.
В русском переводе сохранен американский способ обоз-
начения,
4)	Американский способ обозначения делении заменен
принятым у нас.
5)	В американской литературе принято не ставить плюса
(знака сложения) в том случае, когда дано для сложения
несколько слагаемых и они расположены столбиком. Этот
способ обозначения сложения сохранен нами и в переводе.
Москва.
4 сентябри 1931 г.
Д. Волковский.
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
К .ПСИХОЛОГИИ АРИФМЕТИКИ* ТОРНДАЙКА.
С начала XIX столетия, в jnoxy роста капиталистическое
хозяйства, когда усилилось требование на большое количе
ство грамотных рабочих и служащих, началось стихийно!
созидание массовой государственной народной школы.
Разорившиеся из дворян, нуждающиеся из духовных, са
М 'учки из дворовых и отставных солдат становятся ее пер
выми учителями и вырабатывают кое-как рефлексы грамоты
в особенности арифметической грамоты. Народная нищен
ская школа, содержавшаяся классовым государством н<
гроши, еще не имеет своей учебной литературы; учебную
литературу народный учитель берет для себя взаимообразно
из школы другого класса. Другая, богатая, светлая школ;
имеется у буржуазии для своего класса в виде просторных
гимназий, переходящих ей по наследству от дворян, и в виде
прочно строяшиэся для своего класса реальных училищ
В эти привилегированные школы шел университетски под
готовленный (чаще) чиновник-преподаватель, гордившийся
своим углубленным знанием науки и Сознававший (часто)
силу своего хозяина-капиталиста, идущего на подъем.
Гимназический преподаватель, свысока смотревший н
народного учителя, пишет учебник, в частности по матема
тике, с оттенком „эстетической научностик которой и тя
нет своих учеников; иногда в учебнике появляются значн
тельные предисловия, в которых старший и более опытны;
преподаватель дает дидактические советы далеко отстоящем
от него народному учителю.
К средине XIX столетия, с ростом начальной школь
когда самотек учительской рабочей силы не миг удовлетво
рить количественно возросшим требованиям на народного
учите.чя, создаются массовые учительские семинарии и пе
дагогические курсы, где цель была поставлена как можн
скорее (и дешевле) натаскать в учебном предмете будущего

учителя, дав ему некоторые рецепты обучения, которые учи-
тель ввиду сьоей хозяйственно-культурной связанности будет
тщательно и рабски копировать; опыт руководителей учителъ-
ских семинарий и педагогических курсов, накопившиеся учеб-
ные предисловия через мышление талантливых педагогов
(Грубе, Дистервег и др.) стихийно порождают новый особый
предмет педагогических заведений — методику, в частности
методику арифметики.
Вначале робкими тенденциями, а в дальнейшем полны**
ходом создается необходимая для учителя той эпохи рецеп-
тообразная, эмпирически-догматическая методика арифме-
тики, до последнего времени не имевшая научного обосно-
вания. Лишь при переходе к XX столетию в трудах
специалистов экспериментальных наук о сознании, а не
у преподавателей математики и ее методики, как у Лая,
Павлова и др., традиционная методика арифметики получила
научно-рефлексологическое обоснование.
Мировым поставщиком, так сказать монополистом мето-
дической культуры, являлись немецкие учителя-методисты
Германии, выступившей на арену капиталистического
хозяйства с опозданием по сравнению со своими западными
соседями, пришлось особенно быстро нагонять своих кон-
курентов, используя для этого школу; быстрый рост гер-
манской народной школы потребовал чля подготовки деше-
вого учителя создания более или менее стандартной методики
быстрого и легкого (в особенности для учителя) обучения,
в частности арифметике
В таких условиях естественна была потребность и есте-
ственен историей данный ответ на рефлексологическую ме-
тодику арифметики.
Однообразная педантичная школьная дрессировка, где
по существу не считаются с дошкольной и внешкольной
стихийно-оформляющейся детской арифметикой, дрессировка
арифметического сознания, ложилась тяжелым бременем
на юношеское сознание. Характерно в этом направлении
отношение к задачам, этому по существу базису математи-
ческой культуры, лишь как к средству, через которое прои-
сходит закрепление вырабатываемых арифме тических реф-
лексов, почему задача является не исходным моментом при
постановке новых тем, а лишь конечной заключительной
стадией в развертываемой теме; в этом направлении счита-
ется реальность содержания задачи не существенной напра-
вленностью; здесь характерен отрыв формы от содержания,
который в конечном счете привел надстройку к идеализму.
Создается неподвижный, конкретным и подробный стандарт
расположения арифметики как учебного предмета начальной
шкаш, отступление от которого считается нежелательным
и даже вредным; например создаются неприкосновенные
концентры: до пяти, до десяти, до двадцати, в целых десят-
ках, до ста и т. д., или следуют за формальными гербар-
товскими ступенями в уроке; примерно: восприятие числа,
пальцеиып счет, отвлеченные устные вычисления, то же
письменные (столбики) и наконец применение к задачам
и т. д.
Создается несколько стандартных искусственных нагляд-
ных пособий для счета, например пучки соломки (прутики),
которые никто из взрослых в жизни не считает, а ребенок
должен проводить на этом ведущем в практике школы по
собии полгода, гол, а иногда и два года.
На границе XIX столетия с XX, в эпоху империалисти-
ческой стадии капиталистического хозяйства, рефлексологи-
ческая система поднимается до кульминационного пункта,
особенно в работах опять же немецких методистов, например
Лая, Вальземана и др.; так Лай изобретает счетный стан-
дартный инструмент, где обучение арифметике должно быть
связано только с одним наглядным пособием — счетами Лая,
где воспроизводятся особые фигуры Лая; так тщательно
методисты подготовляют побег от всей разносторонней и
красочной жизни, не говоря уже о производственной основе
и стороне ее.
Создается лестница с мелкими и мельчайшими ступенями
и ступеньками продвижения учащегося, где методистом ста-
рательно предусмотрена и устранена каждая мельчайшая
трудность, тем самым скрыт от учащегося механизм разъе-
динения жизненно-целого процесса и представлены для
упражнений учащегося лишь мертвые элементы его.
Например сложение в концентре сотни проходит через
следующие ступени тренировок, созданные без размышления
и планирования учащегося.
1.	Целое число десятков складывается с любым однознач-
ным числом:
(10л-|-0)-|-а.
2.	Любое двузначное число складывается с таким одно-
значным, где последнее с единицами первого дает результат
меньше десяти:
(Юл 4-у)Ч-о, где с—)-у<^10.
8
3	Обратно, когда к такому же однозначному прибав-
ляется двузначное:
у+(10ft + а), где у + а<10.
4,	К двузначному числу прибавляется целое число
десятков:
(10x+y)4-(10fe+0).
5.	К двузначному прибавляется такое двузначное, где
сумма единиц меньше десяти;
(10л-Ку)+ (10*4-а), где у+«< 10.
6.	К двузначному прибавляется такое однозначное, где
сумма единиц равняется десяти:
(lOjr+yJ + c, где у + « = 10.
-7. Обратно, к такому же однозначному прибавляется
двузначное:
у + (10й + а), гле у+ «=Ю.
8.	К двузначному прибавляется такое двузначное, где
сумма единиц дает десять:
(10«+у)+(10& + с), где у+о=10.
9.	К двузначному прибавляется такие однозначное, где
сумма единиц больше десяти:
(10х+у) + «, где у+«> 10.
10.	Обратно, к такому же однозначному прибавляется
двузначное:
у+(10& + а), гдеу ]- о>10-
11.	К двузначному прибавляется любое двузначное:
(10х+у)+(10й + «), где, вообще говоря, у +«> 10 и т. д.
Учащиеся при згой системе сравнительно легко получают
нужные арифметические рефлексы, но основательно отучаются
от размышлений и от построения соответствующего плана
для преодоления видимых трудностей.
Эта система в целом характерна для буржуазного догма-
тически-эволюционного мышления, для периода империали-
стической стадии загнивающего капиталистического хозяйства,
где не признается революционный скачок, план и участие
революционного юношеского мышления ь строительстве, где
уходят от жизни в мир вредных иллюзий и пр.
У
Так создался с кризисом капиталистического хозяйства
вытекающий из него кризис шкалы и в частности кризис
и арифметической начальном образовании.
Неудивительно, что наиболее активно и относительно пло-
дотворнее стали разрешать школьный кризис арифметической
культуры в стране более мощного и относительно передо-
вою капиталистического хозяйства, по ту сторону Европы — в
САСШ, наиболее ярким представителем которого является
Эдуард Ли Торндайк. В лице Торндайка мы имеем талант-
ливого педагога в широком смысле этого слова; его перу
принадлежит значительное количество выпушенных ориги-
нальных работ, связанных с реформой образования вообще,
реформой математического образования и арифметического
в частности.
Пред нами находится одна из основных работ Торндрйка
„Психология арифметики". Название работы оригинально,
а сочетание двух терминов непривычно. Внимательно про-
читав книгу, понимаешь, что автор пытается оформить пси-
хологическое направление в арифметическом образовании,
которое созидается в противовес односторонне-рефл чесслоги-
ческому загнивающему направлению, ожидающему с часу
на час своего исторического удара. Эти тенденции к психо-
логической системе автор разрабатывает экспериментально
в противовес установившейся массовой традиции, за исклю-
чением немногих авторов, создавать методику на основе
лишь личного учительского опыта и на основе теоретиче-
ско-эклектических соображений; последних, правда, не избег
и Торндайк.
Мелкооуржуазные реформисты, каковым является и Торн-
дайк, предполагают мелкими или относительно большими
реформами, в рамках буржуазной культуры, разрешить эво
люциоино кризис; отсюда понятно, что Торндайк не создает
ведущей теории, а односторонне увлекается экспериментом,
где действительность берется как нечто данное и почти не-
изменное, где нет речи об изменяющейся школьной среде,
где подчеркнута биологическая, а не производсюенпо-со-
циальная сторона процесса, которая (биологическая) яв-
ляется у Торндайка решающей в психологии и педологии
и пр.
Возьмете ли вы измерение арифметических способностей
через тесты, или измерение математического круга представле-
ний и знаний поступающих в школы, или измерение индиви-
дуальных различий в арифметическом поведении учащихся —
вы не получаете удовлетворяющего вас ответа на вопрос,
10
нечетко поставленный самим же автором, вы получаете по-
луответ, полумеру.
Так же неудивительно, что автор не ведет последователь-
ной критики традиционного направления и тем самым орга-
низационно и теоретически не разбивает до конца живучих
традиций; правда, в раскрываемой автором практике дчнг
целеустремленность иа жизненность и захватывающий уча-
щихся интерес, что ярко выражено в этой книге; глухая кри-
тика дана скорее в проникнутых иногда юмором и иронией
суждениях. Так автор, легко критикуя традиционную систему,
говорит о новой динамической производительной системе,
что она—„последовательноС,<ь, единственная, которую уча-
щиеся могут усваивать легко и надолго независимо от того,
как она стала бы выглядеть в музее арифметических систем*.
Автор критикует решительно слишком систематизирован-
ную н классифицированную арифметику, что „в значитель-
ной степени лишено значения в глазах учащихся*; возможно
„принесение в жертву лучшего порядка... во имя достижения
большего или более здорового интереса*.
Легко касается Торндайк и внутреннего ведущего метода
в математике, абсолютизируя различия дедуктг.ино! о и индук-
тивного метода, отдавая предпочтение последнему н заявляя,
что „чистая арифметика в том виде, как она изучается и ус-
ваивается, является в значительной мере индуктивной наукой*.
Ко еше легче автор раскрывает „социологию арифметики*,
вкладывая в это понятие проведенное им обследование, даю-
щее ответ на вопрос, в каких размерах и формах взрослые
применяют арифметические знания в жизни; невидимому ав-
тор вел эксперимент над „видными юристами, врачами, про-
мышленниками и коммерсантами, равно как их женами"; этот
односторонний эксперимент, поставленный через непроизвод-
ственные тесты, по преимуществу перед потребителем с его
покупкой и продажей, а не производителем с его техническим
предвидением, естественно показал результат, дающий впе-
чатление о ненужности в жизни второй части арифметики
и невидимому, при продолжении опыта, значительной доли
математики.
Характерно здесь данное Торндайком суждение: „Цены
в 5 и 10 центов, магазины с вывеской „любая вещь 25 цен-
тов* и организация платежей в рассрочку— вот обычные
моменты, устраняющие арифметику из человеческой жизни*.
„Социологию* самого автора можно видеть из двух общи*
замечаний, брошенных как бы вскользь; так на одной из стра-
ниц автор говорит о наследственных способностях и про-
11
должает: „Не она ли является причиной того, что некотореп
дети обнаруживают особую склонность к начертанию неко-
торых видов слов, к срисовыванию лиц, а не цветов, к изу-
чению древней, а не новой истории “ и т. д.; на другой
из страниц автор продолжает говорить: „Нужда вовсе не
является матерью изобретения; ею является знание прежних
изобретений; отцом же является природная способность".
Несмотря на вышеуказанные органические „социальные
пороки мышления* автора, все же f ro книга предсталяет
большой и значительный интерес. Учителю опытной или опор-
ной школы, разбивающему традиционные цепи; методисту
и студенческому коллективу педтехникума и педвуза, ставя-
щим ответственный эксперимент и создающим политехниче-
скую арифметику; органитатору и инспектору школ, произво-
дящим экспертизу и инструктаж в частности аоифметического
образования, — книга при умелом чтении даст всем нужный
пафос и конкретные пути борьбы с рутиной.
Книгу проникает органическая направленность автора на
подбор жизненных по содержанию задач. Автор справедливо
говорит: „Жизненные задачи имеют первостепенное значение
как ядро, около которого организуется обучение арифметике.
Пожалуй, можно требовать, чтобы каждому новому процессу
предпосылалось в виде части введения к нему несколько
жизненных задач — положений, требующих применения этого
процесса'', и не толькс говорит, но и эпизодически показы-
вает, как это сделать. Правда, и здесь весьма часто содер-
жание задач не связано с психологией трудового ребенка
в его трудовой действительности.
Но дело с жизненными задачами состоит у Торндайка
глубже, чем это может показаться на первый взгляд: автор
стремился психологически тонко поставить в задаче вопрос,
оправдать вопросом поставленную заданную тему и тем са-
мым дать дополнительный стимул к ее решению. Возьмете
ли вы предложенные Торндайком рецепты для приготовления
тянучки или сдобного хлеба, или выбор подарков для товарища
и родителей, смету ли на устраиваемый школьный вечер,
а также смету на предполагаемую экскурсию, или составле-
ние отчета детского клуба и пр., или даже возьмете предло-
женные им простенькие задачи на сложение и умножение —
вы всюду видите чуткого мастера в постановке заданного воп-
роса; недаром авюр ставит тему ,о задачах, ответы на кото-
рые в реальной жизни всегда уже известны".
Интересно отметить, как автор-психолог страдает и не
находит выхода в условиях американской действительности
12
б связи с тем, .что тридцать учащихся, из которых поло-
вина— мальчики, а половина — девочки с разницею в воз-
расте до пяти лет и которые пришли из различных семей,
с различными природными способностями, — не могут еди-
нодушно почувствовать такого-то сентября 19...г. жизненную
потребность решать такую-то задачу, а затем, скажем 16 ок-
тября, почувствовать также единодушно потребность решить
другую задачу". И тут хочется сказать, что только в усло-
виях нашего социалистического хозяйства, с строительным
пафосом молодежи, где создается единый органический со-
циальный интерес, можно добиться того, о чем так беспоч-
венно мечтает Торндайк
Автор дает не только значительное количество образцов
целеоправданных задач, но и дает серию ненужных задач
и иронизирует насчет задач на торжественные речи и биб-
лейские псалмы или насчет сложения надгробных памят-
ников.
Но сила и тонкость психологического анализа рассыпаются
не только в освещении заданной культуры; кристаллы психо-
логизма оседают и на выявленные эпизоды частной методики
арифметики. Автор справедливо подвергает критическому
анализу .интуитивное восприятие числа", которое задано
соответствующей числовой фигурой; он разносторонне рас-
сматривает понятие о числе как характеристике множественной
собирательности, или как отношении величин, или как идеи
порядковой последовательности и пр. Правда, здесь чувст-
вуется вся слабость философской и математической подготовки
Торндайка, не говоря уже о том, что для анализа вопроса
о возникновении понятия числа необходимо быть подготов-
ленным с точки зрения определенной философии — диалек-
тического материализма — единственно правильно разрешаю-
щей ытот старый вопрос.
В этой работе Торндайк старается, не совсем без успеха,
уточнить понятие об устных и письменных приемах вычис-
ления и стремится улучшить технику записей при письмен-
ных вычислениях, особенно рекомендуя карточный задачник
и тесты.
Автор удачно ставит и разрешает вопрос о месте и роли
именованных чисел как базисе отвлеченных чисел и заданий
для вычисления.
Даже вскользь брошенное замечание о том, что hjmho
разработать методику деления с остатком, поставленную
скорее в связь с методикой точного деления, или о начале
умножения с пятков, о вычитании через прием пробы и пр., —
13
все это наводит сознание на глубокие методические раз-
мышления.
На серии конкретных примеров автор показывает нам
традиционную шкалу трудностей в подборе и расположении
примеров, по которой поднимается сознание учащегося
обращая между прочим особое внимание на нуль, которому*
в начальной арифметике не уделено достаточного психоло-
гического внимания; здесь автор стихийно подходит к боль-
шому вопросу, с тем чтобы сейчас же убежать к новым
мелким вопросам практики, а между прочим только диалек- '
тика всеобщего и особого в их переходах дает учителю пра- ।
вильное разрешение вопроса о нулевом количестве.
Мимоходом обращается внимание на такие связи, которые
тормозят вырабатываемые рефлексы; например при сложении
+ 9
8 в концентре двадцати мы приучаем учащихся, чтобы
они сейчас же писали десяток, а в дальнейшем, в концентре
сотни, отучаем от этого навыка, создавая другой рефлекс,
. 29
связанный с оставлением десятка в уме, как то: 1 38
67
Отсюда обоснованно ставится и разрабатывается назрев-
ший в методике вопрос о разной прочности рефлексов, о чем
Торндайк говорит, что „некоторые связи применяются только
в течение ограниченного времени; поэтому их необходимо
развивать только до ограниченной, небольшой степени проч-
ности".
В „Психологии арифметики" дается анализ учебных на-
чальных книг по математике с точки зрения правильности
распределения по всему курсу повторяемого материя па
и вскрывается вся кустарщина в этом деле, практикующаяся
в американской действительности; понятно, чти на данном
этапе развития методического мастерства’у нас, в СССР, этой
кустарщины в подборе и чередовании нового и старого ариф-
метического материала не менее, чем в американской методике.
Не менее интересен анализ Торндайка языковой стороны
в начальном арифметическом образовании, где обращается
внимание на „бесполезные лингвистические трудности", во-
шедшие в арифметическую культуру.
Составителям арифметических книг для начальной школы
не бесполезны некотооые советы по гигиене арифметического
печатного и письменного текста в связи с его чтением.
14
Поскольку мы в СССР отрываемся от традиционной рутины
и вырываемся из плена односторонне-рефлексологи ческой
системы, постольку нам необходимо критически учиться и
зорко наблюдать достижения буржуазной культуры; Торндайк
же является в современной Америке апологетом новой, тру-
довой и педологизироваиной школы. Конечно, при этом мы
всегда должны иметь в виду, что наша трудовая социали-
стическая школа весьма мало похожа на идеалы, которыми
грезят мелкобуржуазные педагоги ближайшего и далекого
Запада.
Еще раз хочется повторить, что в книге есть чему учиться,!
но учиться по ней нужно умело, выбирая по преимуществу'
техническую, а не идеологическую сторону Методического
процесса, помня, что расщепление приходится делать кри-
тически, так как обе стороны—техническая и идеологиче-
ская— в конкретном движении слиты в единый методологи-
ческий и методический процесс.
Проф. И. Андронов.
Москча,
19 сентября, 1931 г.
15
ПРЕДИСЛОВИЕ
АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
В течение последних лет наметились три основных напра-
влении дальнейшего прогресса в области психологии, имею-
щих существенное значение для преподавания. Первым
является новая точка зрения на общий процесс обучения.
Теперь мы знаем, что обучение является в-основном образо-
ванием сочетаний или связей между положениями и пред-
ставлениями, что чувство удовлетворения, испытываемое при
получении результата, является основной силой, их образую-
щей, и что в области мысли навык, господствует столь же
решительно и полно, как и в области действия.
Второе состоит в значительном увеличении наших позна-
ний количества, характера и условий развития навыков внутри
организованных групп (или совокупностей) навыков, кото-
рые мы называем способностями, как например способность
к сложению или способность к чтению. Упражнение и усо-
вершенствование не являются более пустыми общими поня-
тиями; они выявляются теперь в изменениях, поддающихся
определению и измерению при помощи стандартных тестов
и после довательных испытаний.
Третье направление выражается в лучшем понимании так(
называемых „высших процессов** анализа, абстрагирование
образования общих представлений и мышления. Прежняя
точка зрения на умственную лабораторию, согласно которой
ощущения слагались в восприятия, эти последние усилива-
лись образами, а восприятия и образы претворялись в аб-
стракции и концепции, управляемые мышлением, уступила
место пониманию законов реагирования на элементы или
характерные особенности положений и на многие положения
или элементы последних в совокупности. Взгляд Джемса
(James) на^мышление как „отбор существенного** и „представ-
ление совокупности вещей“ находит в пересмотренной и усо-
вершенствованной форме весьма важное применение в деле
преподавания всех школьных дисциплин.
16
в настоящей книге делается попытка применить эту но-
вейшую динамическую психологию к преподаванию арифме-
тики- Содержание ее совпадает в основном с тем, что составляло
предмет курса лекций по психологии дисциплин начальной
1Пкольг. который автор в течение нескольких тет читал нэу-
чаюшйм вопросы начального образования в педагогическом
колледже. Многие из бывших студентов, несущие ныне обя-
занности инспекторов начальных школ, настаивали на том,
чтобы эти лекции стали доступными для широких педагоги-
ческих кругов. Поэтому они и издаются в настоящее время,
хотя автору очень хотелось бы осветить и подкрепить неко-
торые положения дальнейшими исследованиями.
Необходимо сделать маленькое пояснительное замечание
относительно тех упражнений и задач, которые приводятся
автором, в качестве иллюстраций различных тем, особенно
же ложных педагогических теорий. Все они являются под-
линными, почерпнутыми из существующих руководств, учеб-
ников, программ испытаний и т. д. Однако во избежание
неудобных сопоставлений они приводятся не в виде точных ци-
тат, а в виде эквивалентных им задач, точно передающих
характер и цель, свойственные оригиналам. С благодарностью
отмечаю любезность следующих лиц и учреждений, разре-
шивших мне различные перепечатки: Mr. S. A. Courtis, Ginn
and Company, D. C. Heath and Company, The Macmillan Com-
pany, The Oxford University Press, Rand, Me Nally and Com-
pany, Di. C. W. Stone, The Teachers College Bureau of Publi-
cations, The World Book Company.
ГвеулвТрсТц. Гека
'ПО MSB Одному 3=33
cCрааэяплню
Ns
о
Тирвлвйк
ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ.
ПСИХОЛОГИЯ ПРЕДМЕТОВ, ПРЕПОДАВАЕМЫХ В Н
ЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ.
Психология предметов, преподаваемых в начальной школ,
касается тех свя°ей, которые позволяют ребенку реагировав
на напечатанные слова мыслью об их значении, на задание
„шесть и восемь"—мыслью о „четырнадцати", на различные
рассказы, стихотворения, песни и картины—оценкой их, на
некоторые положения—проявлением ловкости,, нэ другие -
проявлением симпатии и т. д. и т. д. и которые содержатся
в длинном ряде положений и реакций, предусматриваемых
систематическим изучением школьных предметов и даваемых
менее систематическим ходом школьной жизни в период
обучения. Если попытаться точно определить задачи элемен-
тарного образования, то мы найдем, что они должны заклю-
чаться в создании изменений в человеческой натуре, выра-
жаемых почти бесконечным перечнем сопоставлений или
связей, обусловливающих определенные мысли, чувства
и действия, которые возникают у ученика как реакция на
положения, создаваемые школой, и влияющих аналогичг'
на его мысли, чувства и действия, когда он сталкивается со
сходными пеложенигми в жизненной обстановке вне школы.
Состояние наших знаний не позволяет еще нам дет 1льно
определить работу начальной школы как создание именно
таких-то и таких-то связей между некогорыми определенными
положениями и некоторыми точно установленными реакциями.
Как и вообще при обучении, мы вынуждены еше мыслить
об умственных функциях в таких достаточно расплывчатых
формах, как .способность читать на иностранном языке",
„способность писать обыкновенные слова", .способность
складывать, вычитать, умножать н двиифь целые числа",
„знание истории", „достоверность при испытаниях", „пони-
мание хорошей музыки", т. е. руководствоваться некоторыми
оощими достигнутыми результатами, а не теми элементарными
связями, которые обусловливают последние.
18
Психология предметов, преподаваемых в школе, начинается
там, где кончается наше обычное знание этих функций,
и делается попытка более точно определить данные знания,,
интерес, силу, умение или стремление, измерить соответству-
ющие им достижения, разложить их на составные связи,,
решить, какие связи должны быть созданы и в каком по-
рядке, чтобы достигнуть желаемых успехов наикратчайигим
чутем, взять под контроль как прирожденные склонности,
так и склонности, приобретенные до начала школьного обу-
чения, которые могут оказывать и благоприятное и небла-
гоприятное влияние на успешность занятий школьными
предметами, изучить побуждения, которые уже используются
или могут быть использованы для доведения связей до желае-
мой степени пригодности, изучить и другие специальные
условия, обеспечивающие достижения, и отметить факты,
касающиеся индивидуальных различий, которые имеют особое
значение для постановки учебной работы в начальной школе.
Если поставить эти положения как проблемы, то психо-
логия предметов, преподаваемых в начальной школе, во
всяком случае должна будет ответить нам на следующие
вопросы:
1.	что такое функция? Например, что такое в действи-
тельности «способность читать*? Что означает «понимание
десятичной системы"? Каковы «ожидаемые результаты изу-
чения литературы"?
2.	КАК ИЗМЕРЯЮТСЯ РАЗЛИЧНЫЕ СТЕПЕНИ СПОСОБНОСТИ ИЛИ
СКЛОННОСТИ, А ТАКЖЕ РАЗЛИЧНЫЕ СТЕПЕНИ УСПЕХОВ ИЛИ ДОСТИ-
ЖЕНИЙ в овладении функцией или частью ее? Например, как
можем мы определить, насколько быстро ученик научится
писать, насколько трудные слова сможет он писать правильно
или насколько хорошо выполнит он ручную работу? Как
можем мы определить для себя ту степень знания значения
дробей, которой мы должны стремиться достигнуть в 4-й
группе?
3.	ЧТО МОЖЕТ быть сделано в целях СВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
К ЧАСТНЫМ СВЯЗЯМ МЕЖДУ ПОЛОЖЕНИЯМИ И РЕАКЦИЯМИ, ОБРАЗО-
ВАНИЕ КОТОРЫХ МОЖНО БЫЛО ГЫ КОНТРОЛИРОВАТЬ БОЛЕЕ НАДЕЖНО
и легко? Например, в какой мере способность правильно
писать включает последовательное образование связей между
представлением почти каждого слова в данном языке и пред-
стрвлет нем правильной последовательности букв в данном
слове; в какой jwepe связь, ведущая от звукового положения
„казатъ* в словах показать и доказать к правильному
начертанию последних, обусловливает и правильное нвчерта-
2*	19
ние тех же двух слогов в слове рассказать? Включает
ли «способность складывать “ специальные связи, ведущие
от .27 и4‘ к „31“, „27 и 5“ к „32" и „27 и 6“ к ,33“, или
же опорой ей могут служить с тем же успехом связи, веду-
щие от ,7 и 4" к „11“, „7 и 5“ к „12“ и „7 и 6“ к „13“
и сопровождаемые каждая простым заключением? Каковы
положения и реакции, обусловливающие поведение, которое
Vbi можем охарактеризовать как „школьный патриотизм"?
4.	ПОЧТИ ВО ВСЕХ СЛУЧАЯХ ИЗВЕСТНОЕ ЖЕЛАТЕЛЬНОЕ ИЗМЕНЕ-
НИЕ ЗНАНИЯ, НАВЫКА ИЛИ УМЕНИЯ МОЖЕТ БЫТЬ ДОСТИГНУТО ПГИ
ПОМОЩИ ТОЙ ИЛИ ИНОЙ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ СОВОКУПНОСТЕЙ СВЯЗЕЙ.
Какая из них является наилучшей? каковы преимуще< тва
каждой из них? Например обучение сложению может вклю-
чать образование связей: „О и 0 будет 0“, „О и 1 будет 1“,
„О и 2 будет 2“, „1 и 0 будет .2 и 0 будет 2“ и т. д.;
однако можно и отказаться от образования этих связей,
привив ученику навык обозначать нулем результат слежения
столбца цифр, составленного только из нулей, и пренебре-
гать нулем во всех других случаях сложения. Является ли
изучение правил правильной речи лучшим способом добиться
последней или целесообразнее затратить время на детальные
упражнения в самой правильной речи?
5.	КАЖДАЯ ОБРАЗУЕМАЯ СВЯЗЬ МОЖЕТ БЫТЬ ДОВЕДЕНА, ПРИ
ЕЕ ОБРАЗОВАНИИ, ДО ТОЙ ИЛИ ИНОЙ СТЕПЕНИ ПРОЧНОСТИ. КАКАЯ
ИЗ ЭТИХ СТЕПЕНЕЙ ЯВЛЯЕТСЯ НАИБОЛЕЕ ЖЕЛАТЕЛЬНОЙ НА ДАННОЙ
СТАДИИ ОБУЧЕНИЯ, ЕСЛИ ПРИНИМАТЬ ВО ВНИМАНИЕ ВСЕ ПРИВХО-
ДЯЩИЕ ОБСтоятЕльства? Например, следует ли заучивать даты
тех или иных исторических событий столь прочно, чтобы
точное знание их сохранялось в течение десяти лет, или
достаточно, чтобы это знание сохранялось в течение всего
лишь десяти минут, общее же представление о них с точно-
стью до плюс-минус десять лет сохранялось в течение года
пли двух? Следует ли стремиться, вводя впервые метриче-
ские меры, чтобы знание их сохранялось в течение года, или
достаточно изучить их настолько, чтобы быть в состоянии
пользоваться ими в течение недели работы, что в свою очередь
повлечет запоминание их на месячный срок или около того?
Должен ли ученик в первый же год обучения французскому
языку добиться столь совершенной связи между способом
произношения французских слов и их значением, чтобы
быть в состоянии понимать простые выражения, произноси-
мые с нормальной скоростью разговорного языка, или же
допустимо и даже желательно, чтобы речЬ учителя была
сперва медленной, а затем постепенно ускоряющейся?
2G
6.	ПОЧТИ во ВСЕХ СЛУЧАЯХ СОВОКУПНОСТЬ СВЯЗЕЙ МОЖЕТ
ВЫЗВАТЬ ТО ИЛИ ИНОЕ ЖЕЛАТЕЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ПРИ РАЗЛИЧНОМ
порядке использования этих связей. Каков наилучший поря-
док этого использования? Каковы преимущества каждого
порядка? Некоторые способы обучения письму основаны на
первоначальном приобретении навыка в элементарных дви-
жениях и последующем комбинировании их для начертания
букв и слов. Другие способы основаны с начала до конца
на комплексах ряда движений, которые требуются для начер-
тания действительных слов. Что приобретается и что теря-
ется при последнем способе обучения? Связи, обусловлива-
ющие знание метрической системы мер, обычно вводится
н курс обучения арифметике довольно поздно. Не лучше лн
вводить их ранее в качестве одного из средств облегчения
изучении десятичных дробей?
7.	КАКОВЫ ПРИРОЖДЕННЫЕ СКЛОННОСТИ И ПРИОБРЕТЕННЫЕ ДО-
ШКОЛЬНЫЕ НАВЫКИ, НА КОТОРЫХ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ МОЖНО
БАЗИРОВАТЬ ОБРАЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ ИЛИ С КОТОРЫМИ В ШКОЛЕ
нужно бороться? Например, если ученик знает значение про-
износимого слова, то он может понять его при чтении, поль-
зуясь фонетическим представлением. Какие именно слова
должен знать средний начинающий? Каковы индивидуальные
отклонения в этом отношении? Что говорят инстинкт кол-
лективизма, внимания, признания и взаимопомощи в защиту
групповой работы против индивидуальной работы и по
вопросу о наиболее желательной численности группы? При-
рожденная склонность глаза конечно не побуждает нас пе-
реводить взгляд слева направо вдоль напечатанной строки,
затем возвращаться назад, опускаться на одну ступень
и вновь итти вдоль следующей строки. Каково же действи-
тельное стремление, испытываемое нашим глазом при виде
печатной страницы, и как должны мы использовать его при
обучении чтению?
8.	КА КИМ АРСЕНАЛОМ УДОВЛЕТВОРЕНИЯ И РАЗДРАЖЕНИЯ ПО-
ЛОЖИТЕЛЬНЫХ и ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ИНТЕРЕСОВ И ПОБУЖДЕНИЙ МЫ
РАСПОЛАГАЕМ ПРИ ОБРАЗОВАНИИ НЕИНТЕРЕСНЫХ, ПО СУЩЕСТВ’.,,
СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ЧЕРНЫМИ ЗНАКАМИ И ЗНАЧЕНИЕМ ЧИСЕЛ, ЧИСЛЕН-
НЫМИ УПРАЖНЕНИЯМИ И ОТВЕТАМИ НА НИХ, СЛОВАМИ И ИХ НА-
чьрганяем и т. д.? Школьная практика перепробовала, более
или менее случайно, целый ряд соответствующих средств,
начиная с квази-жизненного Бездействия до наиболее чув-
ствительного поощрения, с явной лести до философской ар-
гументации, с обращения к первоначальным и примитивным
чертам до обращения к интересу к автомобилям, аэропланам
21
«и радиопередачам. Не может ли психология преподать
в этом отношении некоторые руководящие правила или по
крайней мере ограничить экспериментирование областями,
на которые можно возлагать наибольшие надежды?
9.	ОБЩИЕ УСЛОВИЯ ПЛОДОТВОРНОГО ОБУЧЕНИЯ ИЗЛОЖЕНЫ
В НАЧАЛАХ ПСИХОЛОГИИ ВОСПИТАНИЯ. НАСКОЛЬКО ЭТИ ПОСЛЕДНИЕ
ПРИМЕНИМЫ К ОТДЕЛЬНЫМ ЗАДАЧАМ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ШКОЛЫ? Нй-
пример придание школьным упражнениям в сложении
и кратком делении формы практических опытов было най-
дено весьма целесообразным как возбуждающее интерес и спо-
собствующее успеху в работе. При изучении каких других
арифметических функций можем мы ожидать получения по-
добного же результата?
10.	НАРЯДУ С ОБЩИМИ ПРИНЦИПАМИ, КАСАЮЩИМИСЯ ПРИРОДЫ
ИНДИВИДУАЛЬНЫХ РАЗЛИЧИЙ И ОБЪЯСНЕНИЯ ИХ, ОЧЕВИДНО ИМЕЕТСЯ
В НАЛИЧНОСТИ ИЛИ МОЖЕТ БЫТЬ ПОЛУЧЕНО КАК РЕЗУЛЬТАТ СООТ-
ВЕТСТВУЮЩИХ ИССЛЕДОВАНИЙ БОЛЬШОЕ КОЛИЧЕСТВО ЗНАНИЙ,
КАСАЮЩИХСЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ различий, которые СПОСОБСТВУЮТ
ИЗУЧЕНИЮ ЧТЕНИЯ, ПИСЬМА, ГЕОГРАФИИ, АРИФМЕТИКИ И Т. Д.
ЧТО ЗНАЕМ МЫ ОБ ЭТИХ ФАКТАХ? КАКИМИ СРЕДСТВАМИ МЫ РАС-
ПОЛАГАЕМ, чтоьы лучше узнать их? Куртис нашел, что один
и тот же ребенок может быть весьма силен в сложении
и чрезвычайно слаб в вычитании по сравнению с его свер-
стниками и другими учениками его группы. Есть основа-
ния предполагать, что подобные тонкие и невыясненные
тенденции являются наследственными. Насколько часто
встречается такая диференцигция способностей? Не она ли
является причиной того, что некоторые дети обнаруживают
особую склонность к начертанию некоторых видов слов,
к срисовыванию лиц, а не цветов, к изучению древней, а не
новой истории И т. д.?
Таковы проблемы, которые мы ставим; в настоящей книге
сделана попытка осветись их применительно к вопросам
обучения арифметике. Тот, ктэ пожелал бы ознакомиться
с изложением общих вопросов методики арифметики, может
с польеоГ' для себя прочесть в связи с настоящей книгой
следующие сочинения: D- Е. Smith, .The Teaching of Elemen-
tary Mathematics", 1901; H. Suzzallo, .The Teaching of Prima-
ry Arithmetic", 1911; J. C. Brown and L. D. Coffman. «How to
Teach Arithmetic", 1914; Paul Klapper, „The Teaching of Arit-
hmet.c", 1916, и „The New Methods in Arithmetic" автора,
1921.
23
ГЛАВА I.
ПРИРОДА АРИФМЕТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ.
Обычно принимается, что задача элементарной школы
заключается в преподавании: 1) значения чисел, 2) сущности
нашей системы десятичного счисления, 3) смысла сложения,
вычитания, умножения и деления, 4) значения и соотноше-
ния некоторых общепринятых мер; в развитии: 5) способности
складывать, вычитать, умножать и делить целые числа, обыкно-
венные и десятичные дроби и именованные числа, 6) способ-
ности применять знание и умение, предусмотренные в пунк-
тах 1— 5, к решению задач в 7) некоторых особых
способностей решать задачи на проценты, интерес и другие
обы”ные соотношения, встречающиеся в деловой жизни.
Такой перечень функций, подлежащих развитию и усо-
вершенствованию, вполне целесообразен и полезен, по-
скольку он дает схему; но он совершенно недостаточен для
того, чтобы сделать нашу задачу вполне ясной. Если бы
учителя имели в качестве руководства того, какие изменения
они должны создать в своих учениках, только вышеуказан
ный перечень, то они часто упускали бы существенные сто-
роны арифметической тренировки и, обратно, пользовались
бы для тренировки тем, чего не может потерпеть разумный
воспитательный план. Эго же является причиной того, что
различные руководители преподавания арифметики хотя и
могут все подписаться под общей схемой предыдущего абзаца,
но безусловно не могут иметь на практике одинакового
представления о том, чем должна быть арифметика для
ученика элементарной шкочы.
Обычный взгляд на сущность изучения арифметики неясен
и неполон в четырех отношениях. Он не определяет того»
что такое .знание значения чисел"; он не учитывает весьма
большого труда по обучению языку, которое имеет место
и которое должно бы било быть частью обучения арифме-
тике; он не делает различия между способностью решать
определенные количественные задачи в том виде, как их
предлагает сама жизнь, и способностью решать задачи,
23
предлагаемые руководствами и учебниками; „способное»
применять арифметическое знание и навыки" он пред* Л
тавляет усовершенствовать как некую мистическую спосоД
ность своеобразной воспитательной магии.
Четыре необходимых дополнения должны быть зд₽Л
кратко очерчены.
ЗНАНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЕЛ.
Знание значения чисел от одного до десяти может обоз-
начать знание того, что „один" обозначает отдельный прея
мет из названного рода предметов, что „два" обозначает i.I
один больше, чем один, что „три" обозначает на один больше]
чем два, и т. д. Это мы можем назвать рядовым значе
нием. Знать значение „шести* в этом смысле- значит знать!
что шесть на единицу больше пяти и на единицу меньше
семи, т. е. что это число находится между пятью и семью
в числовом ряду. Но под словами „знание значений чисел*
мы можем подразумевать и знание того, что два ^оответ
ствует совокупности двух единиц, что три соотв тсгвует
совокупности трех единиц и т. д., причем каждое
число является названием определенной совокупности
обособленных предметов, как: яблоки, копейки, мальчики]
мячи, пальцы 1^тому подобные предметы, обычно перечисля-
емые в начальной школе. Это знач ние мы можем назвать
собирательным. Знать значение шести в этом смысле -
значит уметь правильно назвать совокупность шести отель!
пых, легко различимых обособленных предметов. В-третьих
знание чисел от одного до десяти может обозначать знав и*
того, что два обозначает два раза взятое то, что называет™
единицей, что три обозначает три раза взятую единицу и т- л
Это является следовательно знанием числа как отноше-
ния. Знать значение пяти в этом смысле — значит знать, что
если данный отрезок -- принят за единицу, то линия,
равная половине дециметра, будет пятью; что если-еди-
ница, то------------------------------------будет около пяти; если же единица
равна—,то— -----------будет около шести и т. д. В-чст
вертых, значение числа может быть большей ими меньше!
долей его соприкосновений, — его числовых отношений)
или фактов, с ним связанных. Знать шесть в этом смысле -I
значит знать, что оно больше пяти или четырех, но мош ш
семи или восьми, что оно составляет дважды три, трижди
два, сумму пяти и одного, четырех и двух или трех и трех,]
что оно на два меньше восьми, что. будучи сложено с
четырьмя, оно составляет десять, что оно равно половине
24
двенадцати и т. п. Это,мы можем назвать ядром фактов
или соотносительным значением числа.
Обычная школьная практика принимает за основу школь-
ного преподавания начинающим второе значение; однако и
каждое из других значений также считалось существенным:
идея ряда — Филипсом (Phillips, 1897}, понятие числа как
отношения—Мак-Лелланом и Дьюи (McLellan и Dewey,
1895) и Спиром (Speer, 1897), понятие числа как соотноси-
тельности— Грубе (Grube) и его последователями.
Это разнообразие взглядов на функцию, которую над-
лежит развивать при изучении значений чисел от одного до
десяти, не является пустой игрой слов; оно вызывает очень
большое различие в школьной практике. Рассмотрим например
преобладающее значение, которое Филипс приписывает счета
в приведенном ниже отрывке, а также образцы работы, на
которой слишком старательные последователи Спира и JTpy6e
месяцам^ держали учеников.
ИЗВРАЩЕННАЯ ИДЕЯ РЯДА.
„Это по существу период счета, и несколько слов, которые мо-
гут быть расположены в ряды, дают все, что необходимо. Счет —
это основное; счет самопроизволен, свободен от чувственного на-
блюдения и от напряжения разума. Изучение этих оригинальных
метилов показывает, что умножение развилось из счета, а не из
сложения, как что утверждают почти все руководства Умножение
есть счет. Когда дети считают четверками и т. д., то они делают
ударения совершенно так же, как при счете на занятиях гимнастикой
или музыкой. Когда ребенок считает в настоящее время на паль-
цах, то он только воспроизводит одну из стадий развьтич циви-
лизации всех наций. Я хотел бы опять подчеркнуть, что в течение
счетного периода наблюдается до некоторой степени самопроиз-
вольное развитие рядового понятия числа, которое излагается
Лрейером (Ргеуег) в его „Arithmcgenesisчто необъятный мате-
риал дается систематическими рядами имен, причем имена эти
обычно сперва выучиваются, а затем уже применяются к предметам.
Одна преподавательница говорила мне, что школьный инспектор
не хотел, чтобы учителя позволяли ученикам считать по пальцам,
но что она не может понять, почему счет на конских каштанах
является более предпочтительным. Ее ученики едва могли обойтись
без помощи пальцев при счете других предметов и в то же время
считали до 100 без всякого колебания и не прибегая к папьгам-
Этот самопроизвольный период счета, т. е. произнесения названия
чисел и образования рядов, должен предшествовать применению
их к предметам" (D. Е. Phillips, 1897, стр. 238).
25
ИЗВРАЩЕННАЯ ИД1Я ЧИСЛА КАК ОТНОШЕНИЯ.
Отношения. — 1- Подберите тела, находящиеся ь таком же
соотношении, как о, bt с, d, о, е,
2,	Назовите тела а, b, с, d, о, е.
В подыскании выражений должна быть оказана такая же помощь,
как и в нахождении способов открытия. Не следует ожидать, чтобы
ученик изобретал термины.
3.	Скажите все, что можете, об отношении этих единиц.
4.	Соедините единицы и скажите, чему равна сумма.
5.	Составьте выражении, подобные такому: о без е равно Ь.
6.	с может быть разделено на сколько di на сколько Ы
Фиг. I.
7. с может быть разделено на сколько Ы Каково название наи-
большей единицы, которая может содержаться целое число раз как
в с, так и в di
8. Какую часть с составляет каждая из других единиц?
9. Если о р: ьло единице, то чему равна каждая из других
единиц?
10. Если а равно единице, то чему равна каждая нз других
единиц?
11. Если b равно единице, то сколько единиц содержится в
каждой из других единиц?
12. Если d равно единице, то сколько единиц и сколько долей
единицы содержится в каждой из других единиц?
13. Отношением каких единиц является 2?
14. Отношением каких единиц является 3?
15. Отношением каких единиц является J/3?
16. Отношением каких единиц являются s/s?
17. Какие единица' имеют отношение 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20/3?
18. Какая единица в 3 раза больше 3/8 от Ь?
19. с равно 6 раз взятой ]/э какой единицы?
20. ’Д какой единицы равна ’/в от di
21.	Что равно J/a от с? Скольким шестым долям с равно d?
22.	о равняется 5 раз взятой 1/в какой единицы?
23.	’/з какой единицы равняется J/6 от о?
24.	Какой единице равн> .отся 8/3 от d? Скольким третям d
равняется fr?
25 2 равно отношению d к */3 какой единицы? 3 равно от-
ношению d к */г какой единицы?
26 d равно 3/t какой единицы? 3/4 раьн) отношению каких
единиц? (Speer, 1Я97, стр. 9 и след.).
ИЗВРАЩЕННАЯ ИДЕЯ СООТНОСИТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ.
Просмотр изданных в восьмидесятых годах книг последователей
„метода Грубе" (например „New Elementary Arithmetic", Е. Е. White,
1883) обнаруживает чрезмерное увлечение идеей соотноситель-
ности чисел. Там имеется более 150 последовательных задач,
которые все ,нли почти все имеют дело с у- 7 и — 7. Там имеется
также много письменных работ, подобных приводимой ниже:
Сложить
4	4	4
4	4	4
4	4	4
4	4	4
4	4	4
4	4	4
4	4	4
4	4	4
4	4	4
4	4	4
4	4	4
4	4	4
4	4	4
4	4	4
4	1	2
Эти упражнения должны	жестоко	утомлять глаза всех участву-
ющих в работе. Учеников учат „давать анализ и синтез каждого
нз девяти однозначных чисел". И автор утверждает еще, что он
не доводит принципа методики Грубе до „крайностей бесполезного
повторения н машинальности
Должно бы казаться очевидным, что все четыре значения
имеют право на внимание в элементарно^ школе. Десять
есть вещь, находящаяся между девятью и одиннадцатью
27
в числовом ряде; десять представляет собою назван)
определенной совокупности отдельных предметов; деся
является также названием некоторой целой величины, рагш
срэз $ $ у
000 НН
SODlU ©ООО©
ОСОСО
Л Zi Л A д д д д д
АД ДА АД А Л ДА
4.	у*	-' %*	***
lllllll 11 I Г) II
и п п it и и и
* * * * X	* * * * *	*****
***. .*** *** *** ***
п s 0 S ы 0 а и о _и □	0 а е о и ы □ D 0 CJ D 11	С Е1 Q Ы В в с п а и 0 ы о г	£) Е О И 0 EJ «Я П Р ы 0 13 S3 F SJ
11	12	14	18
Ф1.г. 2.
десяти единицам, например 10 дм — одинаково как в от-
ношении метрового отреза ленты, так и десяти отдельных
обрезков ее длиною по 1 Ли; это число является также,
28
если мы знаем его хорошо, числом, получаемым при
Счс«ении единицы и девяти, или при вычитании шести из
шестнадцати, или при умножении двух на пять, или при
делении двадцати на два. Знать значение числа — обозначает
знать что-нибудь о нем со всех этих точек зрения. Труд-
ность заключалась в близорукости сторонников крайних
теорий- Нельзя заставлять ребенка бесконечно считать;
в самом деле, образование числовых рядов путем последо-
вательного прибавления единицы может быть получено как
побочный продукт. Не следует также ограничивать ребенка
упразднениями над совокупностями, представленными  на-
глядно, как на фигуре 2, или определяемыми на словах, как-
столько то яблок, апельсинов, шапок, перьев и т. д., когда
работа над измерением непрерывных величин различными
единицами — сантиметрами, дециметрами, метрами, литрами,
гектолитрами, секундами, минутами, часами и т. п. — тик легка
п полезна. С другой стороны, выработка искусственных задач
с вымышленными единицами измерения, нужными для получе-
ния соотнес сдельности величин, как в задачах на стр. 37—-10
является расточительным жертвоприношением. Ранным об-
разом специальные упражнения, долженствующие установить
тот факт, что восемнадцать равно одиннедцзти и семи,
двенадцати и шести, двадцати одному без трех и т. п..
являются простым идолопоклонством; эти сведен™, о восем-
надцати, поскольку они необходимы ученику, будут гораздо
лучше усвоены в процессе сложения и вычитания столбцами.
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК.
Второе дополнение, которое должно быть внесено в
обычный перечень функций, подлежащих усовершенствованию
при преподавании арифметики, заключается во включении
в число этих функций знания определенных слов. Понимание
таких выражений, как оба, все, всего, вместе, без, разность,
сумма, целое, часть, равьмй, купить, продать, сдавать, мерз,
содержится, вит. п., необходимо в арифметике так же
неоспоримо, как понимание самих чисел. Дать его должна
сама школа, ибо ни дошкольное, ни внешкольное обучение
его не дают пли дают слишком поздно. При этим в связи
с преподаванием арифметики оно может бьпь дано гораздо
лучше, чем в связи с преподаванием родного языка
Об этим пока не заботились. Просмотр первых пятидесяти
страниц восьми современных руководство по начальной ариф-
метике обнаруживает в лучшем случае весьма малое внима-
29
мне к этому предмету, в некоторых же случаях и полное
отсутствие такового. В трех из этих книг не применяется
даже слова сумма; в одной— оно встречается только один
раз на протяжении пятидесяти страниц. На всех четырех-
стах страницах слово разность встречается только двадцать
раз. Когда же слова эти употребляются, то мы не вс тречаеч
ни заботы, ни большой изобретательности в способах убе-
диться, что значение этих слов понято учениками.
Главная причина указанного пробела заключается именно
в том, что в общепринятом перечне функций,, подлежащих
развитую при изучении арифметики, была упущена из вида
эта функция сознательного ответа на количественные усло-
вия, выходящие за пределы наименования чисел и действий.
Знание языка в значительно большем размере является
необходимым элементом арифметических способностей, по
скольку последние заключают в себе уменье решать словесно
сформулированные задачи, В том виде, как арифметика пре
подается теперь, она должна обращать внимание на эчу
способность, и значительная доля времени разумного препо-
давания должна уделяться усовершенствованию функцы
„понимания того, что дастся в данной задаче и что в ней
спрашивается". Так как однако это понимание словесш
формулированных задач может и не быть абсолютно необхо-
димым элементом арифметики, то мы считаем более целесо
образным отложить рассмотрение этого вопроса до тех пор
сока мы не рассмотрим, в чем заключается общая функцг
решения задач.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.
Третьей стороной функции, именуемой „знанием арифме-
тики" и нуждающейся в более ясном определении, является
„решение задач". Цель элементарной школы — научить пра-
вильно и экономично разрешать жизненные задачи, как на-
пример отыскание общей стоимости определенного реального
количества при определенной реальной цене, определение
сдачи, которую надо выплатить или получить, ведение сче-
тов в хозяйстве, вычисление причитающегося жалованы.
вычисление площадей, процентов и учета, определение коли-
честв тех или иных материалов, необходимых для изготовле-
ния определенных продуктов в домашнем хозяйстве или
мастерской, и т. п. Жизнь обычно ставит эти задачи или
в виде реальных положений (когда например кто нибудь по-
купает и подсчитывает стоимость и сдачу), или в связи
с положением, которое человек представляет или описывает
зо
себе (например, когда он высчитывает, сколько денег он
должен сберегать из каждой получки, чтобы иметь возмож-
ность купить к определенному сроку велосипед такой-то
стоимости). Однако иногда задача ставится лицу, которое
 олжио решить ее, другим лицом на словах (когда, напри-
мер, агент страхования жизни говорит: „Вы будете платить
только по 25 коп. в декаду, начиная с сегодняшнего дня,
и до... и тогда получите 250 руб.“, или когда работодатель
говорит: „Баше жалованье будет составлять 75 пуб. в месяц,
не считая завтрака и премиальных в таком-то размере*).
Иногда задача предлагается лицу, которое должно решить
ее в печатной или письменной форме (например, когда она
излагается в объявлении или в письме клиента, запрашива-
ющего о цене того-то к того-то). Задача может быть в од-
ной части реальной, в другой — воображаемой или описыва-
емой самому себе, в третьей — описываемой другому лицу
в словесной, печатной или рукописной форме (когда напри-
мер предназначенные к продаже предметы лежат перед поку-
пателем, деньги он представляет себе лежащими в сбере-
гательной кассе, может воспользоваться предоставляемой
ему скидкой в 10% и имеет на руках печатный прейс-
курант).
Чтобы научить ученика решать такие задачи—реальные,
представляемые илп описываемые себе, а также „описывае-
мые други чи*, — школа полагается почти исключительно на
задачи лишь последнего рода. Следующа! страница, взятая
почти наугад из одного из лучших современных руководств,
может быть сопоставлена с тысячью других. Устные задачи,
предлагаемые учителями, как правило, также не опираются
на реальные положения.
1. Сколько надо заплатить за партию в 3622 штуки стальных
рельсов, если 100 кг стали стоят 14 руб. 50 коп., кажтый рельс
имеет 8,2 м длины, а погонный метр рельса весит 35 кг?
2. Дом застрахован от огня в сумме в 6500 руб. Какую стра-
ховую премию надо выплачнгать ежегодно, если за 1000 руб. взи-
мается 10 р. 80 к ?
3. Умножь семьдесять тысяч четырнадцатг стотысячных на сто
девять миллионных в полученный результат раздели на пятьсот со-
рок пять.	з
4. Какое число, будучи умножено на 43 —, дает в произведении
с	4
263 - ?
8
5.	Сколько десятых долей гектолитра составляет я/я л?
31
6.	Крестьянин сдал — га земли за 43 р. 75 к. Сколько полу-
о
чнл бы он от сдачи всей своей усзпьбной земли, занимающей
„ 3
площадь » Зт га?
4
7.	За доставку строительных материалов на место постройки
на~375 подводах было уплачено по 4 р. 25 к. за каж тую подводу
нз расчета доставки на каждой подводе 0,7 т материалов. При
приемке материалов оказалось, что на каждой подводе доставлено
в среднем по 0,8 т материалов. Сколько надо доплатить за доставку
материалов?
8.	Получено 60 м материн по цене 10 руб. за 2 м и 80 м по
цене 18 руб. за 4 м. Вся эта материя отпущена немедленно по сред-
ней цене 26 руб. за 5 м. Сколько прибыли получено при этом?
9.	Кооператив приобрел 40 ц яблок по 75 коп. за килограмм.
Двадцать пять сотых этою количества яблок оказались порчеными
н были проданы по 20 коп. за килограмм. Остаток был продан по
90 коп. за кнлтрамм. Сколько прибыли или убытка было полу-
чено при этой операции?
10.	Если апельсины стоят по 3 р. 20 к. за килограмм и ил
1 Kt их приходится в среднем 6 штук, то сколько ящиков, содер-
жащих по 480 штук апельсинов, можно купить на 1000 руб.?
II.	Рабочий может выполнить определенную работу в течение
К	2
18— дня. Какую часть этой работы может он выполнить в 6—дня?
12.	Каков сегодня возраст мальчика, который родился 29 ок-
тября 1896 г.? (Walsh, 1906, часть 1, стр. 165).
В результате преподаватели и авторы учебников пришли
к мысля, что функция решения арифметических задач тож-
дественна с функцией решения описательных задач, которые
они дают в школе в книгах, экзаменационных программах
и т. п. Если они и не вполне убеждены, что это так, то все
же при преподавании и при испытании учеников они посту-
пают, как если бы это было именно так,
В действительности это не так. Задачи должны решаться
в школе для того, чтобы ученики научились решать те за-
дачи. которые им предлагает жизнь. Знать, сколько сдачи ты
получишь после данной реальной покупки, уметь вести акку-
ратно свей счет, мочь изменить порцию, рассчитанную нз
шесть человек, таким образом, чтобы она соответствовала
четырем едокам, уметь определить количество семян, нужных
для засевз площадки данного размера, пользуясь сведениями
о количестве семян, потребных для засева 1 га, и уверенно
выполнять расчеты, потребные в хозяйстве, мастерской, тор-
говом предприятии,— вот та способность, коюрукэ должна
развивать элементарная школа. При прочих равных условиях
школа должна давать такие арифметические задачи, которые
жизнь ставит сейчас и будет сгавигь впоследствии, и ока-
зывать предпочтение таким положениям, которые предлагает
сама жизнь, и таким ответам, которых требует сама жизнь.
Прочие условия не всегда однако бывают равными. Часто
то же количество времени и сил может быть использовано
более продуктивно с точкг! зрения экономического резуль-
тата, если его расюдоваль на „придуманные* задачи, веде-
ние собственного приходо-расходного счета в качестве школь-
ного упражнения обычно не применимо, частью потому, что
некоторые дети нс имеют собственного заработка или вообще
прихода, Tait что у них нет материала для ведения счета,
частью же потом'-, что на учителя ложится слишком боль-
шая ра ота по проверке особых для каждого ученика задач.
Применение реальных задач из области домоводства и тор-
говли вполне целесообразно только в том случае, югда
в школьную программу включены работы i.o домоводству
и индустриальному обучению и когда сами эти предмет:!
преподаются так, чтобы усовершенствовать функции, приме-
няемые в реальной жизни. Очень часто нанл)чшим методом
является применение арифметических действий к реальным
и лично придуманным задачам, которые надо в некотором
количестве вызвать к жизни и решить, затем приобретение
уверенности в тождественности между этими реальными
задачами и некоторыми описательными задачами, даваемыми
учителем или заимствуемыми из учебника, и наконец разви-
тие нужного навыка в обращении с описательными задачами.
Go многих случаях школьная практика полностью оправд! -
вает утверждение, что решение в течение данного количества
времени описательных задач значительно лучше подготовляет
ученика к решению соответствующих рольных задач, чем
затрата того же количества времени на решение самых реаль-
ных задач.
Все эго правда, но все же в силе остается общий прин-
цип, что при прочих равных условиях школа должна отда-
вать предпочтение жизненном положениям и должна ставить
те вопросы, которые учащимся будет ставить жизнь.
Там, где прочие условия делают желательным примене-
ние описательных задач обычного типа, последние надо
подбирать так, чтобы они давали максимальную подготов-
ку к действительному применению арифметики в жизни.
Теряддйк.	33
Так например, иллюстрируя известное правило, мы не но-
жей беззаботно пользоваться первой попавшейся на ум
задачей, должны обращать внимание на требования действи-
тельных жизненных положений и ясно показывать, как при-
меняется данный принцип. Сопоставьте например следую-
щие две задачи на применение сокращения:
А Некто продавал по Э4 огурца ежедневно, по 12 коп. за штуки
в течение 8 дней и ча вырученные деньги icy пил 48 дюжин каранда-
шей. Сколько стоит одни карандаш?
В. Какой высоты должен быть прямоугольный резервуар, дли-
ною в 16 м и шириною в 8 м, чтобы объем его равнялся объему
прямоугольного резервуара размером 24лХ18лХ6л?
Первая задача не только рисует положение, которое мо-
жет создаться лишь в исключительном случае, а вернее
и во зсе не может создаться, но и дает для нахождения от-
вета такой путь, по которому в данном положении никогда
нельзя будет нтти, ибо цена единицы назначается другими
лицами, а не вычисляется по результатам операции.
В будущем придется еще сатратить много умственной
работы и изобретательности, чтобы устранить задачи, реше-
ние которых или вовсе не совершенствует действительной
функции, которую должна усовершенствовать прикладная
арифметика, или совершенствует ее ценою слишком большой
затраты времени и сил, и заменить их задачами, которые непо-
средственно готовят учеников к требованиям жизни и
с тем могут улсжиться в установленную программу
посильную для выполнения учителем, нагруженным 30—40
учениками, в ограничивающих условиях школьной ..........
Следующие иллюстрации покажут частично, но
конкретно, в чем должна и не должна заключаться способ-
ность применять к решению задач знание и навыки в обла-
сти отвлеченной или чистой арифметики, т. е. так называе-
мые „основы арифметики".
вместе
курса,
ЖИЗ! и.
вполне
ОБРАЗЦЫ ЖЕЛАТЕЛЬНЫХ ПРИМЕНЕНИЙ АРИФМЕТИКИ К ЗАДАЧАМ,
В КОТОРЫХ ПОЛОЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕТ ЬНО ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ НЕПОСРЕД-
СТВЕННОМУ ВОСПРИЯТИЮ ОРГАНОВ ЧУРС1В В ЦЕЛОМ ИЛИ ЧАСТИЧНО.
Ведение записей и решение вопросов о том, какая сто-
рона победила и насколько, в подходящих играх в классе,
в состязаниях в правописании и т. д.
Подсчет стоимости,' выдачи и получения сдачи, ведение
инвентари и другие работы, производимые в настоящем или
фиктивном складе.
31
Вычерчивание плана школьного сада, разделение его на
участки, составление смет на покупку семян и т. д.
Измерение собственных достижений и успехов в тестах
на знание слов, правописание, сложение, вычитание, быстроту
письма и т. п. Измерение достигнутых усехов по отноше-
нию к числу часов упражнения или какоку-либо иному пе-
риоду ШКОЛЬНОЙ жизни и т. п.
Определение стоимости продуктов, расходуемых в’шволь-
ной кухне, предметов, изготовляемых в школьных мастерских,
И Т. Д-
Вычисление стоимости отправки телеграмм, писем, спешной
почты, посылок и других действительных почтовых отправ-
лений на основании опубликованных тарифов.
Вычисление стоимости пересылки по почтовым или же-
лезнодорожным указателям и т. в.
ПРИМЕРЫ ЖЕЛАТЕЛЬНЫХ ПРИМЕНЕНИЙ АРИФМЕТИКИ к ПОЛОЖЕ-
НИЯМ, НЕ ВОСПРИНИМАЕМЫМ НЕПОСРЕДСТВЕННО.
Все приведенные здесь примеры касаются вычитания дробей.
Примеры, касающиеся дру(их арифметических действий,
можно найги на соответствующих стр^ницсх любого труда,
содержащего задачи, подобранные с учетом жизненных по-
требностей.
А.
1.	Дорз прщ от<1пляет желе. Рецепт составлен на 24 чашки са-
хару, а у нее их имеется только 2Р/г. У нее нет времени итти
в лавку; поэтому она должна занять сахар у соседки. Сколько ча-
шек сахара должна она занять?
Вычитай
__Думай так:„’/а и ,/г = 1“. Запиши 1/>.
21 It Думай гак:„2 и 2 =4“. Запиши 2.
27«
2.	Ящик с мылом весит 29’/2 №. Пустой ящик весит 3’/2 кг.
Сколько весит мило?
3.	1 июля морожении купил мешок соли в 20 кг для изготов-
ления мороженого; 15 июля у него осталось всего 4*/г «г соли.
Сколько соли он истратил в течение полумесяца?
4.	Грация обещала своей матери собрать 30 чашек черной смо-
родины, До сих пир она собрала только l&1j2 чашек. Сколько
чзшек сморотчты она должна еще собрать?
3*	35
в.
ВЕС МАРИИ АДАМС
Эта таблица показывает вес	при рождении		2’L кг	
Марии, сестренки Нелли, по	2	месяцев	«*/5	л
истечении к>ждых 2 меся-	4	1»	бг	F
цев со дня рождения it до	6	н	6/т	
года.	8	п	?5/в	П
	16	1»		11
	12	я	8'/в	W
1.	На сколько прибавился в весе ребенок Адамсов за два пер
ьых месяца?
2.	На сколько прибавился в весе ребенок Адамсов за вторые дс;
месяца?
3.	За третьи два месяца?
4.	За четвертые два месяца?
5.	На сколько он прибавился в весе за время от 8-го во
месяца?
6.	То нее в последние два месяца?
7.	С момента своею рождения и до 6 месяцев?
10-ги
1.
ляет 87’/3-
На сколько
Точная средняя
отметка,
полученная
Леной
Средняя отметка, полученная Катен,
за декабрь,
состав
равняется
84’/а
средняя отметка, полученная Леной, выше, чем получен
пая Катей?

871/3 Чем замените вы */? и ’/3?
84^ Чем замените еы 12/в?
Как измените вы цифру 4?
2.	Найдите по данному списку точную спеднюю отметку, полу
ценную каждой девочкой. Напишите ответы ясно, чтобы
их легко
было читать. Бы будете пользоваться ими при решении задач 3,
5, 6, 7, и 8.
I [ечли Ревекка
А тиса Дора Эмма
Г рация Луиз? М *рчя
Чтение	91	87	83	81	79	77	76	73
Родной язык	88	78	82	79	73	78	73	75
Арифметика	89	85	79	75	84	87	89	80
Правописание	90	79	75	80	82	91	68	81
География	91	87	83	75	78	85	73	79
Чистописание	93	88	75	72	93	92	95	78
б
3.	Какая девочка получила наивысшею среднюю отметку?
4.	На сколько ее отметка выше, чем следующая наивысшая
ОТЫеТК2?
5.	Как велика разница между наивысшей и наннитшей отмет-
ками, полученными деточками?
6.	Средняя отметка, полученная Эммой, больше или меньше
отметки, полученной Луизой? Как велика разница?
7.	Как велика разница акжду средними отметками, полученньь и
Алисой и Дорой?
в. Как велика разница между средними отметками, полученными
Марией и Нелли?
9- Состав! те еще 5 задач на средине отметки и решите каждую
из них.
применений арифметики
ПРИМЕРЫ ИЕМЕЛАТЕЛЬНЬ X
Билли имеет XXI мраморную доску, XII кирпичей и XXXVI ку-
сков веревки. Сколько у него всего вещей?
Змей Георгия поднялся на CDXXXV метров высоты, а змей
Тома—на LXJH метра выше. Как высоко поднялся змей Тома?
Если отнять от DCIV число CC1V, то в результате полупится
число в IVразя большее, чем число долларов, уплаченных за свою
лота ь гр. Дэном. Сколько заплатил гр. Дэн за свою лошадь?
5	7	3
У Анны имеется руб., у Сусанны — —, у Нелли---------у Но-
13
ры — —.Сколько у Них денег вместе?
17
Некто откладывает 3—г руб. в пятидневку. Сколько он сно-
80
пит в течение одного юла?
3
Одно дерево упало и раскололось на 4 ч affni, длиною в 2 — jh,
.. 2	1 i	1
о .и, о " л и 4 — м. Как велико было дерево?
У	Jo	л
Отец Ани дал ей 20 яблок, жгорие она разделила между свои-
2	<
мн подругами. Она дала каждой подруге по 2 -- яблока. Сколько у ~
нее было подруг?
1 Кг к эти так я последующие задачи взяты из существуй шик учеС. и-
ьоч, кур од или испытательных программ, во избежание неудобных срав-
нений они приводятся не текстуально, но эквивалентно по принципу п
4-дрые, как это уже отмечено в нредислс ни.
,	Признание псторч
$7
2
У Ваги было 17 — яблока. Каждое яблоко он разрезал на п о,
5
частей. Сколько всего кусков у него получилось?
3
В стг)ловой имеются <3 - порции, которые должны быть разд
лены между 8 едоками. Сколько получит каждый?
Марин задали написать 20 столбцов с нов, по 16 слов в каж-
дом столбце. Сколько всего слов она должнэ написать?
D чашку входит 9 орехов. Сколько чашек составят*
5 888 673 ореха?
В школе 8 комнат; в каждой комнате находится по 48 учени
ков; если бы у каждого ученика было по 8 копеек, то сколько
всего денег было бы у них?
Поленница дров кубической формы содержит 15 — м3 дров. Ка-
ковы изм* рения этой поленницы с точностью до 1 ели?
Человек, pocroi.1 1,83 м, весит 72 я*. Какою роста его жени,
если она весит 51 кг и имеет однородное с ним телосложение?
Брусок д рева имеет форму усеченной пиоамиды, нижнее осно-
вание которой равно 1320 см2, а верхнее — 308 см2. Сколько куби-
ческих дециметров дерева в этом бруске, если длина его равна 6,2 м?
На вопрос о его ведаете некто ответил: „Если возвести в куб
половину моих лет и к полученному результату прибавить 41 472,
то найденная сумма составит по/ оьину куба моих лет. Сколько же
мне лет?"
Только что приведенные образцы такого рода решения
задач, которые не должны иметь места в школьной практике,
почерпнуты в некотооых случаях из книг, издававшихся лет
сорок назад. Нижеследующие задачи представляют собою
результат выборки, сделанной в 1910 г, из книг, пользовав-
шихся в то время превосходной репутацией.
Потребовалось всего около часа времени, чтобы подо-
брать их, и я уверен, что тысячи таких задач, описывающих
положения, которые никогда не встретятся ученику в дей-
ствительной жизни, или ставящих ему такие вопросы, кото-
рые никогда не будут задачи ему в действительной жизни,
чогут быь легко найдены в десятках учебников, изданных
в течение десятилетня 1900—1910 гг.
Если в одном колосе содержится 250 зерен, то сколько зерен
содержится на 24 колосьях того же размера?
Мод в четыре раза старше своей сегтры, которой 4 года. Чему
равна сумма их лет?
38
Если первое столетне началось с первого года, то каким голом
ого ОКОНЧИТСЯ?
Каждый паук игеет восемь сложных глаз. Сколько глаз у 21
паука?
Гвоздь, длиною в 10 см, вбгт в доску так, что с одной сто-
роны он выдается на 3,695 см, а с другой — на 2,428 см. Какова
толщина ьтой до> кй?
Найди периметр конверта размером 13 см X 8 4- сл.
4
Г	5	9
Сколько минут в — от -т- часа?
о	Т.
з
13о<раст гр-ки Нокс составляет ~ возрас.а гр. Нокса, кото-
4
рому сейчас 48 лгт. Возраст их сына Эдуарда составляет — возра-
ста его матери. Сколько лет Эдуарду?
Представь себе пирог, имеющий правильную круглую форму,
д гметром в 10 * км Если его разрезать на 6 равных частей, го
какова Судет длина гривой стороны каждой части?
В дождливый день в классе из 36 мальчиков отсутствовало
8	33Присутствовавших ьсальчиков вышли из класса на
<5	м
двор. Сколько мальчиков осталось в классе?
После того как тонна Сена была взвешена на базаре, лошадь
съела 0,4 кг сена. Какой процент оставшегося сена составит коли-
чество, съеденное лошадью?
Если веер, имеющий 15 радиальных пластинок, открыт так, что
его крайние пластинки образуют прямую линию, то сколько граду-
сов заключается между любой парой смежных пластинок?
Половина расстояния в<ежду С.-Луи и Новым Орлеаном на
476 км больше — этого расстояний. Чему равно расстояние между
этими городами?
Если давление атмосферы равно 1 кг на квадратный сантиметр,
, 1
то каково давление атмосферы на крышку стола длиною в 1 — м
о
з
и шириною в - л?
13
Если в;сй площади посева ячменя в 1900 г. составляли
Zu
100 000 га, то чему равнялась вся площадь, засеянная ячменем?
39
Каког наименьшее число яблок мать может то ню распределить
между двумя своими сыновьями, 4 до ер^\,и и <и между всеми свои-
ми детьми?
Если бы Ачи.-е быто на два года больше, чем ее учетверенный
действительный возраст, то она оказалась бы розесниаей своеч
тетки, которой сейчас 38 лет. Сколько лет Алисе?
Трое отправились по берегу круглого острова, окружность ко-
торого равна ЗЬО км', А проходил 15 км в день, В—18 км и
С—24 км. Если оин вышли одновремгнно и идут в одном и том
же направлении, то через сколько дней они снова встретятся?
При затратах на обучение ученика всего лишь около 30
или 4J долларов в год, из которых, может быть, только
8 долларов тратятся па усовершенствование его арифмети-
ческих способностей, учитель вынужден непосредственно ру-
ководить не столько ответами ученика на реальные положе-
ния и лично составленные им задачи, сколько ответами уче-
ника на задачи, выраженные словами, диаграммами, карти-
нами и т. д. Среди последних наиболее часто применгются
слова. Вследствие этого понимание слов, употребляемых в
таких описаниях, становится частью способности, требую-
щейся в арифметике. Такое знание слов требуется еще и пе-
тому, чго задачи, которые приходится решать в действитель-
ной ж 31!и, ёываюТ иногда описательными, как например в
объявлениях, деловых письмах и т. д.
Эго обстоятельство признано всеми в отношении таких
слод, как -остаток, прибыль, убыток, выигрыш, интерес,
вместимость, брутто, нетто и учет, но справедливо и в
отношении таких слов, как пусть, предположим, баланс,
среднее число, итог, займем, удержим, и многих других по-
лутехническнх слов; это должно быть распространено на
сотни других слов при условии, что учебник и учитель по-
трудятся употреблять только такие слова и построения фраз,
которые хорошо известны ученикам из опыта повседневной
жизни и классных занятий родным языком. Чтобы приме-
нить арифметику к задаче, ученик должен понять, в чем за-
ключается задача; решение задачи зависит от чтения задачи.
В действительной школьной практике упражнение в чтении
задач будет все менее и менее необходимым, поскольку мы
освобождаемся от задач, подлежащих ргзрешеипю только
ради самого процесса решения, бесполезно нежизненных за-
дач и неудачных описаний, по оно все же сохранится в на-
чальной школе как достаточно важное связующее звено меж-
ду .апифметикой" и .чтением*.
40
АРИФМЕТИЧЕСКОЕ РАССУЖДЕНИЕ.
Последний вопрос, в котором природа арифметических
способностей нуждается в определении, касается арифмети-
ческого рассуждения. Полного изложения того, какого рас-
суждеьия мы можем ожидать от учеников нечальнол школы
и каковы наиболее действительные способы поощрения и
усовеошснствования этого рассуждения, мы не молем дать
до тех пор, пока мы не изучим образования навыков. Ибо
рассуждение является, в сущюсти, организацией и контро-
лем навыков мысли. Некоторые вопросы однако могут быгь
решены и здесь. Первый вопрос касается применения вы-
числений и задач только ргди дисциплины, т. е. выдвиже-
ния на первый план упражнений в рассуждении независимо
от того, достойна ли данная задача рассуждения с других
точек зрения. Было принято думать, что ум представляет
собою ряд дарований, способностей или умений, которые
ра, тут и укрепляются при определенных упражнениях безот-
носительно к тому, в чем заключаются эти упражнения.
Задачи, которые не могут встретиться в жизни и которые
совершенно лишены какого бы то ни было интереса кроме
умственного интереса к репм нию их, считались почти или
совершенно такими же полезными для развития умстьснных
способностей, кзк жнз* енные задачи, касающиеся дома, ма-
стерской или торгового предприятия. Все что давало уму
повод к рассуждению, считалось удовлетворительным, и уче-
ники трудились над нахождением того момента, когда ми-
нутная и часовая стрелка будут вместе, или над определе-
нием числа овец у пастуха из того расчета, что полозика
числя овец, сложенная с десятью, составляет дважды одну
трети того, что он пасет.
Теперь мы знаем, что тренировка зависит в значительной
мере от применяемых данных, так что действительная дис-
циплина ума требует рассуждения ученика над предметам-,
имеющими определенное реальное значение. Не существует
магической сущности или способности рассуждать, которая
работает вообще и не зависит от частных фактов и соотно-
шений, мед которыми ьедет< я рассуждение. Поэтому мы дол-
жны постараться найти такие задачи, которые не только по-
буждали бы ученика к рассуждению, но направляли бы его
рассуждение в надлежащее русло и вознаграждали бы его
результат, ми, умеющими реальное значение. Мы до ажны за-
менить задачи, которые только дисциплинируют ум, задача-
ми, которые имеют ценность как специальная подготовка к
41
особым важным жизненным положениям. Рассуждение. вс
душееся только ради рассуждения, вызывает слишком ра
сточнтельную трату времени и кроме того является неви-
дим'>му малоценным даже как рассуждение.
Второй вопрос касается относительной ценности так hJ
зываемых способов „улавливания", когда ученике побуждают,
итги против обычных навыков мышления и так называемых
„рутинных* задач, при которых правильные пути мышления,
служившие ученику в прошлом, автоматически приветят его
к правильному решению, если только он не сделает какой-
нибудь грубой ошибки.
Рассмотрим например эти четыре задачи:
I.	Некто купил 10 десятков яблок за 9 р. 50 к. и продал их
по 1 р. 10 к. 31 десяток. Сколько он при этом по.ерял?
2.	Я вошел в магазин в 9 чад утра и пробыл в нем до 10 час.
угра. Я купил там 6 м индийской бумажной материи по 40 коп.
за метр и 3 м муслина по 35 коп. за метр; в уплату я дал бу-
мажку в 5 руб. Сколько времени я пробыл в магазине?
3.	На сколько должны вы раэлелить 48, чтобы получить полови-
ну произведения 6 на 2?
4.	Сколько должны вы прнбаьить к 19, чтобы получить 30?
Способ „подлавливания" в настоящее время не полезует-
ся почетом, ибо разумный преподаватель чувствует интуитив
но, что настойчиво требовать от ученика, чтобы его рассуж-
дения приводили его к результату, резко противоположном!
тому, к которому его приводит весь предшествующий опыт,—
весьма рискованно. Четыре только что приведенных задачи
показывают однако, что наличие простой „ловушки" или
„противоречия предыдущему навыку" в задаче еще недоста-
точно для того, чтобы забраковывать эту задачу. Четвертая
задача, несомненно, имеет в виду „подлавливание"; но она так
практична, что принята во многих современных учебниках
как рутинная. Первая задача, наоборот, должна быть отвер-
гнута всеми кроме тех, кто предъявляет к задаче единствен-
ное требование, чтобы она заставляла ученика „думать". Та-
кая задача требует отказа от установившихся навыков без
полезной цели, потому что в жизни в подобном случае во-
прос никогда (или почти никогда) не будет сформулирован,
как .сколько он при этом потерял", а будет задан в форме:
„каков был результат", или просто: „ну. и как?". Такая за-
дача непростительно ослабляет в ученике дснерие к той ра-
боте, которую ое ранее проделывал. Задачи, подобные вто-
42
рой, деются учителями, пользующимися прекрасной репута-
цией; но по всей вероятности эти задачи приносят больше
вреда, чем пользы. Рели бы какой-нибудь ученик прервал сво-
его учителя во время арифметических упражнений,сказав ему:
3
„Я встал в 7 часов, чтобы умножить 9 на 2 и получил в
з
ответе 24-^-; во-время ли я встал?", то учите ъ не*стал бы
благодарить судьбу за стимул к мышлению, а подумал бы,
что уже инк сошел сума. Такие подлавливающие вопросы мо-
гут быть очень полезны на предметных уроках, посвящен-
ных отысканию существенных элементов положения, если
они даются в небольшом количестве один после другого и
вперемежку с рутинными задачами, а ученики с самого на-
чала предупреждены об общем характере этого упражнения.
Но даже в этом случае следует помнить, что рассуждение
должно быть по преимуществу силой, организующей навыки,
а не противоречащей нм, и что имеется достаточное количе-
ство“дурных навыков, с которыми надо бороться, чтобы до-
биться необходимой тренировки. Сфабрикованные голово-
ломные положения, в которых особый скрытый элемент по-
ложения ведет по неправильному пути хорошие кавыки, при-
обретенные на иных положениях, применимы поэтому скорее
как средство для отдыха и забавы, а не кик стимул к
размышлению.
Задачи, подобные третьей из приведенных выше, мы мо-
жем назвать скорее головоломками, чем задачами для „под-
лавливания". Эни ценны как упражнения в разложении поло-
жения на составные элементы, доставляющие удовольствие
способным детям, а также как тесты некоторых способностей.
Они требуют также, чтобы из многих противоположных навы-
ков был правильно выбран один, а не того, чтобы обычные
навыки были отброшены из-за некоторого скрытого элемента
положения. Мы еще недостаточно знаем, насколько они по-
лезны, чтобы решить сейчас вопрос о том, должна ли эле-
ментарная школа включить в число своих задач особое уменье
решать их как одну из арифметических функций, специаль-
но ею развиваемую.
Четвертая из приведенных выше задач, которую все при-
знают хорошей задачей, хороша потому, что она изменяет
одной хорошей привычке ради другой хорошей привычки,
заставляет выделять элемент, выделение которого настоя-
тельно требуется жизнью, и делает это без видимого ущер-
43
ба. Неправильно оставлять ребенка с единственным наьы- ’
ком отвечать на «сложи 19 и 30“ — «получится 49“, пото пу
что в жизни положение „имею 19, должен получить..., что-
бы составилось 30“, встречается очень часто и им^ет боль- 1
шое значение.
Итак, обыкновенные задачи, которые предлагает обыкно- I
венная жизнь, и являются поводимому тем родом задач, над I
которым следует работать, хотя в начальной школе можно
применять и наименее вредные формы чисто умственной
гимнастики для тех учеников, которым это нравится.
ИТОГИ.
Дискуссия по вопросу о значении чисел, лингвистиче-
ск IX требованиях арифметики, различии между схоластиче-
скими и жизненными применениями арифметики и возмож-
ных ограничениях тренировки в рассуждении может слу-
жить иллюстрацией значения вопроса: каковы те функции,
которые начальная школа старается усовершенствовать пре-
подаванием арифметики? В связи с этим могут быть отлично
рассмотрены и другие вопросы, но основной контур работы
начальной школы теперь совершенно ясен. Арифметические
функции или способности, которые она старается /совер-
шенство ^ать, таковы:
1.	Активное знание значений чисел как наименований не-
которых групп некоторых относительных величин, когда ве-
личина единицы известна, и некоторых центров или узлов
соотношений с дру1ими числами.
2.	Активное знание десятичной системы счисления.
3.	Активное знание значения сложения, вычитания, умяо-
жения и деления.
4.	Активное знание сущности и соотношений некоторых
общепринятых мер.
5.	Активное уменье складывать, вычитать, умножать и
делить целые числа, обыкновенные и десятичные дробя -н
именованные числа, имея в виду действительные и положи-
тельные числа.
6.	Активное знание слов, символов, диаграмм и т. п., по-
скольку этого требуют простейшие арифметические запросы
жизни или экономическая подготовка к ним.
7.	Способность применять все перечисленное, поскольку
этого требуют простейшие арифметические запросы жизни
или экономическая подготовка к ним, включая, какп. 7а, неко-
торые специальные навыки решать задачи, касающиеся пло-
44
щадей, прямоугольников, объемов прямоугольник тел, про-
центов, интереса и некоторых других обшераспространониых
случаев из области домашнего хозяйства, промышленной и
торговой жизни.
СОЦИОЛОГИЯ АРИФМЕТИКИ
Выражение .простейшие арифметические запросы жизни" явля-
ется кока еще неясным. Мы имеем лишь очень приблизительные
сведется о том, как каждый из жителей САСШ применял арифме-
тику г 1920 г. Для исследования эюго вопроса крайне необходимо
то, что можно было бы назвать „социологией" арифметики. На-
чальная школа не дотжна готовить своих учеников для редких или
трудных запросов жизни: слишком много имеется других желатель-
ных способно гей, которые она должна развить.
Наиболее интересное начало такому исследованию действитель-
ных применений арифметики положено Вильсоном lWilson, 1919)
и Мнтчелем (Mitchell). Хотя нх исследования сильно нуждаются в
значительном расширении и проверке дру< ими методами исследова-
ния, вес же два (лавных факта повидимому достаточно дос! оверны2.
Во-первых, огромн _ большинство людей в Oi р> мной большин-
стве своих деловых занятий применяет только очень простые ариф-
метические действия. Из 1737 случаев сложения, приводимых Виги -
соном, семь восьмых касались пяти или меньшего числа слагаемых
Более половины множителей в приводимых случаях бы и однознач-
ными числами. Более 95% дробей, над которыми производились
, е	113	12
разиппые дей.твия, были из числа следующих: —,	,
*4 Q тг с О
1	3	1	2	4	„
. Три четверти всех приводимых с учзет были
О	о	О	и	О
пр стымп вычислениями из одного действия над целыми числами
и in монетами САСШ.
Во-вторых, они часто применяли эти про:тейшие арифметиче-
ские действии не потому, что последние наиболее быстро и удобно
>ели к пели, а только nd1 ому, что они лишились, а может быть
и никогда не имели, уменья пользоваться Голее совершенными спо-
собами, упрощающими работу. Цены в 5 и 10 щитов, магазины с
вьшеск Й „любая вещь 25 иенгоь" и организация платежей в рас-
срочку— вот обычные моменты, устраняющие арифметику из чело-
веческой жизни. Вильсон обнаружил весьма слабое применение де-
сяти- ных дробей, а- Мигчедь встречат людей, производивших вычи-
сления над обыкновенными ьроб) ми со знаменателем 49 в то дремч,
* Труд Мнтчеля не был из тан, по автор имел воз’*ож1 огть о^накошт.ь-
ся с ним.	Примечание штора.
45
когда применение десятичных дробей было бы гораздо боле е про-
дуктивным. Если дать 120 секунд для выполнения теста, подобного
нижеприведенному, то согласно моим опытам видные юристы, врь in,
промышленники н коммерсанты, р?вчо как и их жены, усп. ют пра-
вильна выполнить только около половины работы. Многие жешцц-
3
ны, увидя в счете „7— кг мяса 2,36 руб. будут тратить время и
деньги на телефон, спрашивая мясника, сколько стоит кило мяса,!
потому чго у них нет твердой уверенности в делнии на смешан-
ное число.
Тест.
Выполните указанные действия. Выразите все д; >обя в ответе в
сокращенном виде.
Сложите:
3 I
_|_Aj_25= 4 г. 6 мес.
4	6 1
1 г. 2 мес
6 л. 9 мес.
3 г. 6 мес.
4 г. 5 мес.
Вычтите:
7	9	7	3
8,6- 6,05007:-	- 5—— 2-; =
83	1Ь	16
Умножьте:
I
29 дн. 6 час. 7\8Х4--— Разделите:
, п	2	1
Нам кажется вероятным, что школьное преподавание арифметики
не уделяло в прошлом достаточного внимания усовершенствованию
наиболее элементарных способностей. Ниже мы дадим этому даль-
нейшее доказательство. С другой стороны, тот факт, что люди
не по..ьз] ются в настоящее вр мя тем или другим процессом,
вовсе еще не означает, что они вообще не должны нм пользоваться.
Простейшие арифметические запросы жизни конечно ие должны
включать таких правил, как правило извлечения кубического корня
нтн математического учета, которые не применяются ни одним
46
разумным человеком. Они не должны включать вопросов, подобных
исчислению боково'1 поверхности и объема пирамид и конусов,
„ли знании способов ргсчета штукатурных или обойных работ,
которые применяются только узкими специа. 1истаги-профессиона-
лами. Они не должны включать вопросов, подобных процентам по
онкольным ссудам, заемным оперт дням, точным процентам и пе-
реучету векселей, с которыми имеют дело только маклеры, банковые
сгужашие и отдельные бухгалтеры. Они не должны вю.ючать тех-
нику расчет* в, которые ума исчезли из действительной практики,
каь н; пример простые проценты на капитал на срок больше года,
льготные дни платежей или крайние и средние члены пропорций.
Они не должны включать слишком расширенных упражнений над
очень большими числами, десятичными дробями, меньшими, чем
тысячные, а также на сложение и вычитание таких дробей, склады-
вать или вычитать которые ни одному человеку' из ста не прихо-
дится чаще одного раза в год.
Когда «мы будем иметь надлежащую социологи ю арифметики,
точно устанавливающую, кто и как часто будет пользоваться каж-
дой арифметической способностью, то мы будем в состоянии опре-
делить залачу начальной школы и в этом отношении. В настоящее
же время мы должны поступать согласно здравому смыслу, руко-
водствуясь двумя ограничивающими правилами. Первое иг них гла-
сит: „Изучение в начальной школе всех возможных правил ариф-
метики желательно не более, чем изучение всех слов, существующих
в родном языке, или всей топографии земного шара, или всех
деталей физиологии человека". Второе правил?: „Не следует исклю-
чать из преподавания арифметики ни одного элемента до тех пор,
покг вы не нашли взамен него чего-либо лучшего*.
47
ГЛАВА IL
ИЗМЕРЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ.
Один йз лучших способов уяснить себе, в чем заключа-
ются функции, которые школа должна развивать и совер-
шенствовать,— это получить измерители их. Если какое-либо
данное знание, умение, способность или идеал существует,
то существует в некотором количестве или степени. Ряд
•возрастающих количеств этого уменья определяет его так,
как этого не может сделать ни одно общее словесное опи-
сание. Так например ряд весов: I кг, 2 кг, 3 кг, 4 кг н т. д.
помогает нам определить, что мы подразумеваем под весом.
Ряд слов, подобных только, курить, другой, прекрасный,
отсет, портной, круг, телефон, дерзкий, и начало, которые
правильно пишутся известным и уменьшающимся процентом
детей одного и того же возраста или одной и той же группы,
позволяет нам лучше уяснить себе, что мы понимаем под слова-
ми .трудность правописания". Действительно, до тех пор пока
мы не сможем измерить продуктивности и развития известной
фу кции, до тех пор мы будем колебаться и путаться в пред-
ставлении о том, в чем же заключается данная функция.
ОБРАЗЕЦ ИЗМЕРЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ СПОСОБНОСТИ.
СПОСОБНОСТЬ СКЛАДЫВАТЬ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА.
Рассмотрим прежде всего в качестве примера измерение
способности складывать целые числа.
Приводимые ниже примеры применялись при измерениях,
произведенных Стоном (Stone, 1908}:
	595	4695
	428	872
2375	94	7948
4052	75	6789
6354	304	567
260	645	858
5041	Э84	9447
1543	897	7499
48
Оценка производилась следующим образом: за каждый
правильно сложенный столбец ставилась I. Стон соединял
с этим оценку и других способностей, ставя общую отметку
за все количество правильных ответов, полученных в течение
12 минут; он оценивал также правильность выполнения сло-
жения в некоторых примерах ьа умножение.
Куртис (Courtis) пользовался листами С двадцатью че-
тырьмя задачами или „примерами", состоящими каждый в
сложении девяти трехзначных чисел, как показано ниже. На
решенйе он давал 8 минут и отмечал как число выпол-
нению! примерев, так и число примеров, выполненных пр -
вильно; однако он не дает комбинации этих двух отметок,
которая характеризовала бы общую успеваемость.
927
379
756
837
924
НО
854
965
344
Еще задолго до этого автор предлагал вести испытание
учеников при помощи рядов, подобных приведенных ниже
от а до g, в	которых материал			рас по ложен		по	возрастаю-
ишм степеням трудности.							
а. 3	2	2	3	2	2	I	2
2	3	I	2	4	5	5	I
4	2	3	3	3	2	2	2
Ь. 21	33	12	§4	34	34	22	12
23	12	52	3!	33	12	23	13
24	25	15	14	32	23	43	61
с. 22	3	4	35	32	83	22	3
3	31	3	2	33	11	3	21
38	45	52	52	2	4	33	64
d. 30	20	10	22	10	20	52	12
20	50	40	43	30	4	6	22
40	17	24	13	40	23	30	44
Торндайк							49
е.	4	5	20	12	12	20	10
20	30	3	40	4	11	20	20
10	30	20	4	1	23	7	2
20	2	40	23	40-	и	10	30
20	20	10	11	20	22	30	25
		19	9			9	
14	2	19	24	9	-4	13	
9	14	13	12	13	13	9	14
17	23	13	15	15	34	12	25
26	29	18	19	25	28	18	39
							
							
g-	13		9	14	13 12	9	
	9		13	12	9	14	24
23	19	19	29	9	9	13	21
28	26	26	14	8	8	29	23
29	16	15	19	17	19	19	22
							
							
Вуди (Woody,		1916)	построил свои хорошо				известные
тесты па этом же принципе, хотя он и дает только по одному
призеру каждой степени трудности вместо восьми или де-
сяти, как приведено выше. Его тест, поско1ьку дело ка-
сается сложения целых чисел, приведен на странице 51.
В своем оригинальном отчете Вуди не дает метода оценки
каждого отдельного ученика, разумно указывая, что при
столь малом количестве примеров на каждую степень труд-
ности отметка ученика была бы слишком ненадежна для инди-
видуальной оценки. Этот тест надежен только для оценки
целого класса; и для класса Вуди пользуется такой степенью
трудности, при которой определенная часть группы может
выполнить работу правильно, если для решения 38 примеров
целого теста дается 20 минут.
Измерение даже такой простой веши, как умение учеников
правильно ответить на эти тесты в сложении целых чисел, в
цействительности довольно сложно. Прежде всего возникает
задача сочетания скорости и правильности в какой-либо одной
простой отметке. Стон проставляет отметку за столбец только
в том случае, если сложение выполнено правильно. Куртис
обходит затруднение тем, что учитывает как обшее число
выполненных, так и ччело правильно выполненных сложений.
Схема автора, которая учитывает удельный вес как быстроты,
так и правильности на каждой ступени серии, приводит
к довольно сложным вычислениям.
50

л * (ь 2 3	() 2 4 3	СЕРИЯ - (3) 17 2		А. ШКАЛА (4) 53 45	сложения (части^ (5)	(6> 72	6ti 26	37	(НО) Клиффорд (7) 3^1-	. Вуди. 2	(8) + 5 + 1 =	(9) 20 10 2 30 25
(10) 21	СИ) 32		(IS) 43	(13) 23	(14) 25 + 42	(И) 100 33	<16) 9 24	(17) 199 194	(18) 2563 1387
33 35	59 17		I 2 13	25 16		45 201	12 15	295 156	4954 2065
							^6	19		
						—			
		(19) 0,75 1,25 0,49			(30) 12,50 16,75 15,75	i!l) 8,00 5.75 2,33 4,16		(221 547 197 685 678	
						0,94 6,32		456 393 525	
								240	
								152	
Эта трудность сочетания оценки быстроты и точности
при сложении ясно свидетельствует о том, что мы имеем
еще весьма неточное представление о характере функции,
которую должна усовершенствовать начальная школа. До
тех пор например, пока мы не установим, что является луч-
шим достижением для данной группы учеников—решение
ли пятнадцати примеров Куртиса, правильное в десяти слу-
чаях, или же решение десяти примеров Куртиса, правильное
в девяти случаях, — мы не можем установить и задачи учи-
теля, преподающего сложение данной группе учет ков.
Затруднения имеют место и при сравнении результатов
применения длинных и коротких столбцов. Правильности ре-
шений в случае короткого столбца, например в пять цифр,
свидетельствует о знании данного действия и об уменья без-
ошибочно выполнять четыре последовательных проспдх сло-
жения. Правильность решений в случае длинного столбца,
например в десять цифр, свидетельствует о знании этого
действия и об уменьи безошибочно выполнять девять после-
довательных простых сложений. Теперь, если точность ра-
боты ученика такова, что он делает в среднем одну ошибку
на восемь простых сложений, то он может получить около
половины правильных решений в случае столбцов с пятью
цифрами и почти ни одного —в случае столбцов с десятью
цифрами. (Так будет с ним в том случае, если он будет
складывать обычным путем. Если же его научат проверять
результаты повторным сложением, сложением по половине
столбца и т. п., то процент его правильных ответов может
сильно возрасти в обоих случаях и ста.ь приблизительно
равным.) Таким образом длина столбца в тесте на сложение
при обычных условиях дает автоматически перевес точности
в простых гюжениях над знанием действия и умением пе-
реносить.
Далее, в случае столбца любой величины обычно полу-
чаемый результат не позвочяет установить р-зницу между
одной, двумя, тремя или более (до предельного числа) ошиб-
ками, допущенными в сложении отдельных столбцов. Между
тем очевидно, что ученик, который, складывая столбцы по
десять чисел, допускает ошибки в половине ответов, может
часто делать две или белее ошибок в одном столбце, в то
время как ученик, имеющий только один неправильный от-
вет из десяти, вероятно почти никогда не делает больше
одной ошибки в столбце. Поэтому тесты с короткими столб-
цами рекомендуются как средство истолкования результатов
тестов с длинными столбцами.
52
Наконец выбор теста с короткими или длинными столб-
ц мн зависит от того, как испиигующий представляет себе
характер тех требований, которые предъявляет к школе ми-
ровая жизнь. Двадцать лет назад автор был расположен
более чем теперь применять тесты с длинными столбцами.
В мировой практике сложение длинных столбцов все чаще
и чаше выполняется при помощи счетных машин, хотя
и продолжает еще весьма часто применяться в бухгалтерии
при подведении недельных и месячных ‘счетов в местных
колониальных магазинах, мясных лавках и пр.
Таки 1 образом изыскание методов измерения способности
складывать ясно сганиг перед нами задачу противопостав-
ления быстроты и точности, а также противопоставления
сложения коротких и длинных столбцов. Последняя задача
едва ли даже ставилась при обычных способах определения
способн сти складывать.
Следует сказать далее, что измерение умения складывать
поражает научно подготовленного человека отсутствием точ-
ности, которое мы повсеместно находим в школах. Кат^ю
ценно гь имеет для ученика, окончившего начальную школу,
то, что он умеет делать сложение, голучая в примерах, по-
добных приведенным в тесте Куртиса, только восемь пра-
вильных ответов из десяти? Никто не будет оплачивать
вычислителя за такую опытность. При таком умении ученик
не сможет вести даже собственных приходо-расходных сче-
тов. Предполагаемое дисциплинирующее значение навыков
рискует превратиться в этом случае в нечто противополож-
ное. Совершенно необходимо, по крайней мере с точки зре-
ния автора, чтобы проверка изучалась и применялась до
тех пор, пока уч< ник не смажет складывать простые столбцы
ио десять чисел, допуская не бо ее одного ошибочного от-
вета в двадцати столбцах. Быстрота полезна, особенно кос-
венным обр зом, как показатель проверки отдельных сложе-
ний чясел высших разрядов; однако жизненнай спрос на
сл 'женне, не достигающее некоторой стандартизированной
точности, равзн ну к>; дисциплинирующее значение его также
нулевое или даже отрицательное. Эго составит предмет даль-
нейшего изучения.
ИЗМЕРЕНИЕ СПОСОБНОСТЕЙ В СЧИСЛЕНИИ.
Измерения этих способностей могут быть двух родов
1) измерение быстроты н точности, обнаруживаемых при
решении однородных задач, как это иллюстрируется тестом
53
сложения Куртиса, приведенным на страницах 54 и 55, и I
2) измерение того, насколько трудная задача может быть
решена лравичьио (или с установленной степенью точности)
в течение определенного данного времени или быстрее, как I
это иллюстрируется нашим грубым тестом на сложение, I
приведенным на страницах 49 и 50, и тестами Вуди, если
их распространить и на альтернативные формы.
Тесты Куртиса, возникшие вначале как улучшенные тесты
Стона и разработанные затем упорным трудом их автора,
представляют собой стандартное орудие первого рода для
измерения так называемых „основных” арифметических спо- I
собностей в обращении с целыми числами. Они приводятся
ниже.
Тестами второго рода являются тесты Вуди, которые со-
держат в себе действия над целыми числами, обыкновен-
ными и десятичными дробями и именованными числами,
затем тесты Баллу (Ballou, 1916) с обыкновенными дробями
и упражнения— „лестницы” — из „Арифметики" Торндайка.
Некоторые из них показаны на страницах 57- 62.
ТЕСТЫ КУРТИСА.
АРИФМЕТИКА. ТЕСТ № 1. СЛОЖЕНИЕ.
СЕРИЯ В.
Вам дастся восемь минут на отыскате ответа возможно боль-
шею числа этих примеров на сложение. Пишите ответы на этом
листке прямо под примерами. От вас не ждут, что вы успеете ре-
шить их все. Отметка будет ставиться как за быстроту, так и за
точность; однгко важнее получать правильные ответы, чем про-
бовать решать возможно больше примеров:
927	297	136	486	384	176	277	837
379	925	340	765	477	783	445	882
756	473	988	524	881	697	682	959
837	983	386	140	266	200	594	6U3
924	315	353	812	679	366	481	118
ПО	661	904	466	241	851	778	781
854	794	547	355	796	535	849	756
965	177	192	834	850	323	157	222
344	124	439	567	733	229	953	525
					—	—	— —							—
и еще шестнадцать примеров сложения девяти трьхзн 1чных чисел
54
ТЕСТ КУРТИСА.
АРИФМЕТИКА. ТЕСТ № 2. ВЫЧИТАНИЕ.
СЕРИЛ Б.
Вам лается четыре минуты на отыскание ответов возможно
большего числа примеров на вычитание. Пишите ответы на этом
листке прямо под примерами. От вас не ждут, что вы успеете ре-
шить их все. Отметкд будет стагитъся как за быстроту, так и за
правильность; однако важнее получать правильные ответы, чем про-
бовать решать возможно больше примеров:
107795491	75088824	91500053	87939983
77197029	57406394	19901563	72207316
и ещ^ лвадцат примеров такого же характера.
TLCT КУРТИСА.
АРИФМЕТИКА. ТЕСТ Ма 3. УМНОЖЕНИЕ.
СЕРИЯ В.
Вам дается и есть минут для решения возможно большего числа
этих примеров на умн ожение. От вас не ждут, что вы успеете ре-
шить их все. Исполняйте вашу работу np-iMo на этом листке: не
пользуйтесь другой бумагой. От метка буте г ставиться как за бы-
строту, так и за правильность; одьлко важнее получать правильные
октеты, чем пробовать решать возможно больше примеров:
8246	7843	4837	3478	6482
29	702	8.’	15	46
и еще двадцать примеров на умножение такою же характера.
ТЕСТ КУРТИСА.
АРИФМЕТИКА. ТЕСТ № 4. ДЕЛЕНИЕ.
серия В.
Вам дается восемь минут для решения возможно большего числа
зтих примерив па деление. От вас не ждут, что вы успеете решить
их все. Исполняйте вашу работу прямо на этом листке; не поль-
зуйтесь другой бумаг* й. Отметка будет ставиться как за быстроту,
55
tjk и за правильность; однако важнее получать правильные ответы
чем пробовать решать большое количество примеров:
6775 |25	85352 |94	9990 |37	80066 [86
и еще двадцать примеров иа деление такого же характера.
СЕВИН В. ШКАЛА УМНОЖЕНИЯ.				
(1) 3X7 =		КЛИФФОРД ВУДИ.		(б) =	23 3 (12) 5о96 6
		(3) 2X3 = (S) 254 6	(0 4X8= (в 1036 8	
	18) 50 3			
	и >	<ь>	(18)	(Я0)
	8754	7898	24	287
	8	9	234	0,05
	(24)	(26)	(22)	(23) J
	16	9742	6,25	8-Х 2 =
	25 8	59	3,2	
	(33)	(35)	(37)	(38)
2 — 2	хз±-	987 -3 2 4		-=	0,0963 J О
		25		0,084
		СЕРИЯ В. ШКАЛА ДЕЛЕНИЯ.		
		КЛИФФОРД ВУДИ.		
	<1}	(?)	Р)	(8)
	6:3	=	27:9 =	4 : 2=	0:9=
	(И)	О-)	(15)	(10
	13 : 2 =	5856 : 8 =	от 128= 4	=	50 : 7 =
	(IB)	(23)	(27)	(25)
248	: 7 =	469 : 23 - - £5	от 624 =	0,0936 :0,003 =
56
	(3CJ 3 -5- 1	< ч 62,59 : 1 ! г= 4	(38J С9.120	кг'. 9 ~
	ТЕСТ БАЛЛУ, СЛОЖЕНИЕ		ДРОБЕЙ.	
	Тест 1.		Тес	т 2.
	1	3	, 1	™ 2
1)	т 2>	14	1)-3	2> V
	1	1	1	3
		-	——	
	4	14	6	14
	Тест 3.		Тест 4.	
	3	5	!	л 7
1)	5	2>	14	’>4	2> ₽
	11	1	9	1
	15	2	10	4
	Тест 5.		Т е ст 6.	
	1	4	, 1	, 5
1)	ГО 2>	9	') 6	2)т
	1	5	9	3
	__	- .				
	6	12	10	
ЛЕСТНИЦА СЛОЖЕНИЯ.
(Thorndike, 1917, часть 3-я стр. 5.)
Начиняйте снизу лестницы. Посмотри-е, сможете ли вы псд-
ьрться до верху, не сделат ни одной ошибки Старайтесь правильно
передне ывать числа.
Ступень 6.
„	, 1	7	,13	7	,1
а.	Сложи 1 -о- м, -т- м, 1 м, м, м и 1 - м.
о о	4	4 о	z
12	1	I
Ъ.	Сложи 62-^ коп., 66 — коп., 56 - коп., 60 коп. и 62т -коп.
Л	О	>	j£
„	’	,5	.9	,3	.11	7
<*- Сложи	11С,	1ь„,	1—,	I j	и 1 ,й.
16	32	8	32	16 111
111	3	2
d. Сложи 1 -- м, 1 -1 м, 2 м, ~ м и -= jh.
о	4	л	4 о
>7
Ступень 5.
11	13
а.	Сложи 4 .н, б-,, дм, 53 дм, 5 м у ди, 56-^- дм и 5 м
Ь.	Сложи 7 сут., 6 суг. 11 часов, 7-J сут., 6 сут.
,	о 1
4 часа и 8 % сут.
с.	Сложи 1 час. 6 мин. 20 сел., 58 мин. 15 сек., ] час
4 мин. и 55 мин.
d.	Сложи 7 руб., 13 полтинников, 21 двугривенный,
17 гривенников л 19 пятачков.
Ступень 4.
о. Сложи 0,05 * ; 0,06; 0,04 ° ; 0,02 * н 0,05 4.
2	4	4	4
11	2	1
Ь. Сложи 0,33— ; 0,12 ; 0,1816	0,08 и 0,15.
О	о	о
11	4	9
с. Сложи 0,08 ,; 0,06 ' ; 0,21; 0,03	и 0,16 Л
3	’ 4	4	3
1	2	1
d Сложи С,62; 0,644; 0,66 ; 0,10 *- и 0,68
£	<5	*Т
Ступень 3.
„	1 .. 1	3 г 3	5	7
с.	Сложи 7	6- -, 8	5 у, 9-- и 3
Z	о тг	<5	о
5	14	1
Ъ. Сложи 4^, 12, 7 * 8,, 6и5*.
о	24	4
~	«3-7,1	„I	«	о	5
с	Сложи	9-^-, 5 --, 4 ,	,	6 ,,,	7	и	3
4 о о	2	о
d.	Сложи	12, 8 J, 7 -L	5, 6	и	9-’.
Z О	L>	Л
Ступень 2.
«. Сложи 12,04; 0,96; 4,7; 9.625; 3,25 и 20.
Ь.	Сложи 0,58; 6,03: 0,079; 4,206 , 2,75 и 10,4.
с.	Сложи 52; 29,8; 41,07; 1,913: 2,6 и ПО.
d.	Сложи 29,7; 3|5; 26,75; 19,004; 8,793 и 20,05.
Ступень 1.
4	14	9	3
а. Сложи 10^, 114, 10^, 11, П 10- и II.
5	5	5	5’	5
(..сложи 74,48,9.1,74,4 и 8*-.
58
с. Сложи 213, 18-—, 31 *, 19|, 17	22 и 16*.
d Сложи >4 ,4, 9» 6jL „ 5.
ЛЕСТНИЦА ВЫЧИТАНИЯ.
(Thorndike, 1917, часть 3-я, стр. 11.)
Ступень 9.
3
а. 2,16 мин.—1-. мин. Ь. 5,72 м — 5 м 3 дм.
4
с. 2 мин. 10-4 сек. — 93,4 сек. d. 30,28 А—10 ! А.
2	о
с. J0 час. 2*- мин. — 4,623 час.
Ступень 8.
а	b	с	d	е
7	1	„ 5	„ 7	я 2
25т'	Н .	9, г	6, А	4„
12	4	16	16	3
.. 3	„ 1	„ 3	. 3	, 3
12 ,	7-'	6 „		1 л
Т	А	В	4	4
Ступень 7.
а	ь	с	d	е
28®	ч		24— 3	з4
4	14 8	«2	111	4
Ступень 6.				
а	ь	С	d	е
10 *з	7-*	1SI	4	4
42	23	в3	114	
4з	2Т	6Т	11 5	21б
59
Ступс н ь 5.				
а	Ъ	с	d	е
4	„ 2	7	, 1	7
58	С6-о	28-^	624	9,\
о	3	8	2	12
1	„ 1	5	1	5
524	зз’~	74	37,-	44
5	3	8	2	12
Ступень 4.
а. 4 час. — 2 час. 17 мин. Ь. 4 сут. 7 час. — 2 сут.
11 час. с. 1 сут. 5 члс.— 13 чес. d. 7 час. — 2 час. 8 мин
е. 1 час — I сек.
Ступе нь 3.
а	Ь	с	de
92 км 6735 км	3 р. 89 к. 28,4 км 508 р. 40 .
84.15 км 6689 км 18.04 км 208 г - 62 к.
Ступень 2.
а b
d
е
25,00 руб. 100,00 руб. 750,00 руб.
9,36 руб. 71.28 руб. 736,59 руб.
6124 кв. 7846 kb./cju
2494 кв км 2789 кв км
Ступень 1.
а	Ь	с	d	е
18,64 руб. 25 39 pv6. 56,70 руб. 819.4 км 67.56 к и
7.40 р/б. 13.37 руб. 45,60 руб 209 2 км 36,14 кч
ЛЕСТНИЦА СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ.
(Thorndike, 1917, часть 3-я, стр. 132.)
Найдите среднее иэ чисел, записанных на каждой строке На-
чинайте со ступени 1. Поднимайтесь до Верха, не сцелгс пи од-
ной ошибки. Убедитесь в row, что числа переписаны правилтно-
Если нужно, доведите деление до двух десятичных знаков.
Ступень 6.
<i.
2	1	4
23’ ’ 8’24144-1 F
3
1
2"
I	2	I
b. 62 кол., 66..- коп., 40 коп , 83 „ коп., 1
2	о	d
2 p. 25 к.
II	9	3 17	7
C' J16’ 32’ 0 ’ ’Ж 16"
2 I 1
d. 17, 19, 16-J, 15*	23^, 18.
Ofc	тг
р. 7
Ступень 5.
113
a.	5jw 3 , дм, 61- дм, 58-• дм, 4 м 11 дм.
2	4	4
1	3
Ъ.	6 сут. 9 час., 6 суг. 11 час., 7— сут., 7-^ сут.
с.	1 час. 4 мин. 40 сек-, 58 мин. 35 сек., 14- часа
4
d.	2,8 км, 3 км, 2,72 км.
Ступень 4.
1	3	11
а.	0,03-^; 0,06; 0,04-',-; 0,05-Д ; 0,05 * .
2	4	2	4
Ь.	0,013; 0,045 ; 0,049; 0,047 ; 0.04S; 0,045.
1	3
с.	2,20; 0,87~; 1,18; 0,931,2925; 0,80.
1112
d.	0,14^, 0,124, 0,33— 0,164,0,15, 0,17.
Ступень 3.
°- 4-4-4 4-4-4-
6. 9®, 12, 8±>8®,6,5.,.9.
, О3 с3 X 1	71 С
98“‘ 5 4’ 4 8’ 7 2’ 6'
rf.ll.el ю1,13.149*.
Ступень 2. '
а.	13,05; 0,97; 4 8; 10,625; 3,37.
Ь.	1.48; 7,02; 0,?3, 5; 307 ; 4.1; 7; 10,4.
с.	68; 71,4; 59,8; 112; 96.1; 79,8.
d.	2,079; 3,908; 4,165; 2,74.
tl
Ступень 1.
а. 4,Ц, 6, 5, 7 *, 8, 10, 9.
6; 5; 3,9; 7,1; 8.
с. 1086, 1141, 1059, 1302, 1284.
d. 100,82 руб.; 206,49 руб.; 317,25 руб.; 244,73 руб.
Так как такие тесты обнимают все задачи начальной шко-
лы в отношении арифметики и приняты компетентными ли-
цами как достаточные измерители навыков в счислении, то
они дадут нам, как было уже указано выше, практическое
определение задач школы. Читатель заметит например, что
работы, подобные нижеследующим, хотя и встречаются еще
во многих учебниках и школах, все же не содержатся уже
в современных тестах и шкалах.
Исключите целое число из следующих неправильных дро-
бей:
19	43	176	198
13'	21*	25'	14'
Обратите в целые или смешанные числа:
61381
37 ’
Упростите:
4
Сократите:
357	2
527’	3
30
735’	5
2134 67 ’	413 413’	697 ’225'
8 . 3	15	
от 9 от	°Т 22	
64	492	418	854
1.?’	779*	874’	1769’
44	77	18	96
242*	847*	243’	- 224’
Найдите разность:
„ 2	5	„ 4	I	„ 1
67	8п	813		78
о 1	1	7	11	„ 1
3- 14	о7-	313	2— 14	2Т
Возведите в квадрат:
2 4 5 6 10 12 2 15 £9 £7 25 £1
3’ 5* 7’ 9* 1Г 13’ 7* 16’ 20* 18’ 30' 53
6’
У множьте:
°	3	2	114	2
и Х33= 32 ХГ4= 39 X п= 60X58= 77 XП 63 *11 =
54Х^= 65Хуз= 344Х21= 432Ху.
Измерение способности в приклязлой арифметике. Pei шние эчлач.
Стон (1908) измеряя успехи в этой области при помощи следую-
щих задач, давая 15 минут на их решение.
„Решите столько задач, сколько позволит время; решайте их
в порядке нумерации;
I. Если ты купишь 2 картинки по 7 коп каждая и одну кнту
за 65 коп., то сколько ты получишь сдачи с З-рубгевой бумажки?
2. Иван продал 4 вечерних газеты по 5 коп. за каждую;
1
1
полученных ден=г он удержал, а на ocra/.ьную-— купил ли-
i *	м
стовок по 2 коп. за каждую. Сколько листовок он купи 1?
3.	Если бы у Якова было в 4 раза больше денег, чем у Геор-
гия, то у него было бы 16 руб. Сколько денег у Георгия?
4.	Сколько карандашей можно купить на 50 коп., если 2 каран-
даша стоят 5 коп ?
5	Майка и трусики стоят 2 р. 50 к., туфли стоят 2 руб. пара.
Сколько стоят эти костюмы и обувь для 9 игроков в б сбо..?
6.	В одной городской школе было 2200 учеников; -—-пряхолн-
1	1
лзсь па первую ступень, — на вторую,-g- на курсы и остаток-—
на вечернюю школу Сколько учеников было в вечерней школе?
7.	Если Я т угля
стоят 63 руб., то сколько будут
СТОН it
несколько
на каждом
журнаюв на 1 руб. Он
журнале
денег на
5 коп. Сколько
продал
у нею
прое «и и втрое боль-
нее осталось, состав-
6 2 "
8. Газетчик купил
их за 1 р. 20 к., нажив
было журналов?
9. Девочка истратил 1	своих
О
ше — на покутки Половину тою, что у
ляют 80 коп Сколько денег у нее было?
10.	Две работницы Швейдой фабрики, работающие совместно
по сдельной расценке, получили 4 р. 20 к. за обметывание петель.
Одна обметала 42 петли, другая—28. Как литжны они поделить
деньги?
63
11.	Гр. Баранов оплатил — расходов по постройке небольшою
О
кооперативного лома, а гр. Ив* нов— Гр. Иванов затратил
средств на 500 руб. больше, чем гр. Баранов. Сколько денег
внес каждый из них на постройку?
12.	Товаро-пассажирский поезд отошел из Албании в Нью-Йорк
в 6 часов. Пассажирский поезд отошел в том же направлении
в 8 часов. Последний шел со скоросию 50 км в час. В котором
часу второй поезд нагнал первый, если известно, что тогароиас-
сал ирский поезд остановился, пройдя 68 км?
Критерии, которыми Стон руководствовался при выборе
si их задач, были следующими:
„Главная задача теста в рассуждении заключается
в определении способности учеников групгы VI А рас-
суждать арифметически. В этих целях при подборе и распо-
ложении задач мы пытались удовлетворить следующчм
условиям:
1.	Положения одинаково понятны для всех учеников группы VI А.
2.	Матер нал распо; ожен по возрастающим степеням трудности:
а)	в отношении арифметического рассуждения;
Ь)	в отношении знакомства с предложенным положением.
3.	Устранены:
а)	большие числа;
Ь)	особенные требования, предъявляемые к памяти;
с)	задачи для „поддавши ания“;
d)	все то, что выходи г за пределы целых чисел, дробей
и монетной системы САСШ.
Тест умышленно был составлен настолько длинным, что
лишь очень редко какой нибудь ученик мог полностью вы-
ло шить его в течение пятнадцати минут*.
За каждую из пяти первых задач ставилась 1; за задачи
б, 7 и 8 ставилось соответственно 1, 4; I, 2 и 1, 6; за каждую
из следующих задач ставилось по 2.
Кургяс сделал попы гку усовершенствовать тест на реше-
ние задач Стона, заменив его нижеследующими двумя тестами.
АРИФМЕТИКА. ТЕСТ № 6. ТЕСТ СКОРОСТИ. РАССУЖДЕНИЕ.
Вы не должны решать слеауюших задач. Прочтите внимательно
каждый пример, сообразите, какие действия вы долж ен были бы приделать,
если бы стали решать их, а затем запишите нязсавие этих действии
на чистом мосте против каждой задачи. При этом пользуйтесь следующими
сокращениями: „Сл мк.* для обозначении сложения. .Выч.*—для вычитания,
.Умн.* — для умножения и «Дел.* — для деления.
61
Дс йствия
1.	Де? очка принесла в школу 37 u itmwx открыток
н 19 открыток раздала свопы подругам. Сколько othj уток
осталось у нее?
2.	Пятеро мальчиков играли в камешки. Когда игра
была закончена, у вл.ех оказалось по одинаковому числу
камешков. Если всех камешков было 45, то по Ckoj ьку
камешков было у каждого?
3.	Девочка, смотревшая в окошко, насчитала 27 авто-
мобилей, проехавших м>п.о школы в течение первого часа,
и 33 автомобиля — в течение второго часа. Сколько авто-
мобилей проедало мгмо школы в течение двух часов?
* 4. В Одной школе было восемь классных комнат, при-
чем в казкдоа комньте было по 50 мест для учеников. Если
все места заняты, то сколькс учеников находится в это
время в школе?
5	Мальчики одногс кружю послали 'своего- казначея
купить мячи для бэсг'Оч,{. Они далн ему на это 3 р. 15 к.
Сколько мячей он купит если мячи продаются по 45 копеек за
штуку?
6.	Школьный врач взвесил ьсех учениц данной группы.
Если одна девочка весила 35 кг. а другая 46 кг, то на
сколько килограммов одна девочка весила более другой?
7.	Девочка решила подарить свей подруге коробку кон -
фет, весом в 500 г. Во сколько обойдется ей этот подарок,
если ,00 г выбранного ею сорта конфет стоят 70 коп.?
8.	Мальчик отправился в свой выходной день на рыб
пую ловлю и noli мал 12 рыб утром и 7 рыб после обеда.
Сколько рыб поймал он за день?
9.	Мальчик жпл за 15 домов на восток от школы; его
близкий товарищ жил ня той же улице, но за 11 домов на
запад от школы. Сколько домов было между теми домами,
где жили эти мальчики?
10.	Девочка ь 5 раз сильнее своей младшей сестры.
Если маленькая девочка поднимает 8 кг, то сколько дол-
жна поднимать старшая?
11.	Дети «дней школы устроили катанье на санях.
Детей было 270 человг к. а каждые сани вмешали 30 человек
Сколько потребуется саней, чтобы все лети могли ката<ьсн
одновременно?
12.	В сентябре в восьмой группе одной школы бы то
43 ученика; к июню их стало 59. Сколько учеников посту-
пило п эту rpjnny в течение года?
13.	Ученица, жившая за 17 домов от школы, ходила
в школу и обратил дв> раза в лень Мимо скольких домов
проходила она в течение дня по пути в школу и обратно?
14.	Мальчик, разносивший газеты и зарабатывавший этим
‘ Р- 35 к. в день, взялся отнести посылку по дальнему
адресу, за чтс ему заплатали 50-ког.и:к. Сколько он аара
лат за этот день?
Итого правильных отвьтов
Тороджди.
65
(Следуют еще две подобных же задачи.)
Тест 6 и 8 взяты из стандартного теста Куртиса. Использованы овч
с разр тения С. А. Куртиса.
АРИФМЕТИКА. ТЕСТ ЛЪ 8. РАССУЖДЕНИЕ.,
Решите на имеющемся внизу чисто и месте столько приведенных здесь
орп.леров. сколько вы успеете в газначенное нам время. Решайте их в по-
рядке нумерации, Записывая каждый ответ в тртфу „ответы" прежде чем
приеду лите к новой задаче. Не пишите ничего на какой-либо другой бумаг.-
Отве гы
1.	Дети устроили в школе праздник. Подарками слу-
жили коробки с конфетами. Наполняя коробки конфетами,
одна группа израсходовала 8 кг конфет, другая — & кг, тре-
тья— 6 кг и четвертая—-7 кг. Сколько стоили все конфеты,
если 1 кг стоил 3 р. оО к ?
2	В городской школе было израсхс„овая< 2516 кусков
мела в течение о7 уч. бных дней. Затем были открыты еше
три новь х класса, на 50 учен! ков кгилый, и после этого
данная школа стала тратить по 84 мелка в день. На сколько
мела тратится теперь в день в этой школе больше, чем
раньше?
3.	Несколько мальчиков совершили экскурсию на вело-
сипедах, гроехаь bi его 1об0 км. Первую неделю они сделали
374 км, вторую — 264 км, третью 423, тетветую — 401 км. На
следующей неделе они окончили свое путешествие. Скол.ко
километров они проехали в последнюю неделю?
4.	Для сбооа яблок со 150 яблонь фруктового сада
были наняты сорок пять мальчиков. В течение 50 минут
каждый мальчик нял по 48 соборных яблок. Если упако-
вать все эти яблоки в 8 яшиков одинакового размера, то
сколько яблок войдет в каждый яшнк?
5.	В одной шко :е 216 учеников устроили катанье на
санях. Они наняли 7 саней за 60 руб. к купили продоволь-
ствия на 24 руб. Они «тратили на эту поезку 2 ту часа,
проехали на санях 15 км и очень хорошо пропели вр-мя.
Вс что обошлась эта прогулка каждому ученику?
6.	Одна ученица точно высчитала, что на странице ее
рабочей книги по арифметике, уметается 2400 букв, а на
। траигцеее книги для чтения —только 22н5 букв. На сколько
больше букв прочитала она в первой книге, чем во второй,
если в яьжюи книге она прочита ;а по 47 страниц?
7	Каждый нз 59 классов городских школ нрнютовил
по 25 подарков для раздачи детям в подшефных деревнях.
Кооперативы отпустили для этом цели еще 1986 различных
предметов. Сколько всего подарков было собрано?
8.	Сорок восемь учеников одной школы заплатили
каждый по 20 коп. за проезд 7 км на автобусе до леса.
Там в течение нескольких часов они собра m 2765 орехов;
605 нз инк оказались гнилыми, а остальные были поделены
поровну между всеми детьми. Сколько хороших орехов
получил каждый учеянк?
Итого
66
Приведенные измерители способности применять арифмети-
ческие познания отлично иллюстрируют ра зличие во мнениях
относительно того, чем должна быть прикладная арифметика
н арифметическое рассуждение. Исследователь, ставящий во
главу угла тот факт, что во внешкольной жизни положения,
требующие количественного изучения, обычно бывают реаль-
ными, 9 не описательными, отвергнет такой тест, в котором
все составляющие его задачи являются описательными.
Если только мы не питаем исключительных надежд на пере-
нос идей, методов и приемов с одной умственной функция
на другую, то мы будем протестовать против искусственности
примера № 3 в серии Сгона и против всего теста Куртиса
№ 8, за исключением примера Кз 4. Тест Куртио Ма 6 для
измерения быстроты рассуждения является ярким примером
смешения спо: обности понимать количественные соотношения
со способностью понимать словз. Рассмотрим например
следующие пять примеров, сопоставляя их с упрощенными
вариантами *).
1.	Дети одной школы устроили катанье на санях. Они наняли
9 саней, причем кзжлые сани в .тестили по 30 человек. Сколько
детей приняло участие в катании?
Упрошенный текст. Если одни сани вмещают 30 че. го-
век, то 9 саней вместят......человек.
2.	Две школьницы играли в крестики. Девочка, имевшая 57
очков, проиграла 16 очков. Сколько очков было у выигравшей де-
вочки?
Упрощенный текст. Мэри и Нелли играли в крестики
Мэри получи ta 57 очков. Нелли на 16 очков больше. У Нелли
было.......очков.
3.	Девочка считала автомобили, проезжа ш е мимо школы. Она
насчитала всего 60 автомобилей в течение двух часов. Если де-
вочка видела 27 автомобилей в течение первого часа, то сколько
их она видела в течение второго часа?
Упрощенный текст. В течение двух часов девочка ви-
дела 60 автомобилей. В первый час она видела их 27; во второй
час она видела их.....
4.	На спортивной площадке было пять одинаковых групп детей,
игравших в различные игры. Если на площадке было всего 75 де-
щй, ю сколько детей было в каждой группе?
') Приведенная здесь форма теста № 6 принадлежит KjpTHcy
(15311—1912, стр. 20). Она несколько отлич. етсн от другой серии теста К» о,
приведенной ни страницах 65 н 66.
5’	67
Упрощенный текст. 76 кг соли были насыпаны в од/Д
совершенно одинаковых мешков' в каждый мешок вошло .... кг
соли.
5.	Школьный врач взвешивал всех учеников группы. Одна девочка
весила 32 кг. Ее сестра весила на 14 кг больше. Сколько килограм-
мов весила сестра?
Упрощеиней текст. Мэри весит 32 кг. Анна весит на
14 кг больше. Анна весит....кг.
t	I
Необходимо иметь в виду различие между задачей, изло-
женной возможно ясно и просто, и той же самом задачей,
изложенной неудачно, или в ало известными словах», млг
же умышленно туманно; и, как правило, измерители способ-
ности применять арифметические познания должны избегать
всякой излишней неясности или чисто лингвистических труд-
ностей. Например задача: „Мальчик купил двухкопеечную
марку; он дал в уплату 10 копеек', сдача составила....|
копеек'1 лучше, чем такая задача:
„Если мальчик, покупающал двухкопеечную марку, дал
в уплату гривенник, то сколько он должен получить сдачи?"
Мы должны также иметь в виду различие между опи-
санием задачи bona fide, которую может быть придется ре-
шать во внешкольной жизни, и описанием фантастических воз-
можностей иди загадок. Примерит №3 и №9 теста Стона пло-
хи, потому что дли составления таких задач необходимо зара-
нее знать ответы, так что в реальной жизни не может быть
и надобности в решении их. Вероятно не будет преувеличе-
нием, если мы скажем, что никогда не было, не будет и н 
должно быть так го способа определения числа яблок в ящике,
как эго предлагается в примере № 4 теста Куртиса № 8.
Этим мы не хотим выразить порицания ни д-ру Стону,
ни Юртису. До последних дней мы все так были приучены
к искусственным задачам традиционного типа, что и не ожи-
дали ничего лучшего, и были так слепы к требованиям
языка в текстуальных задачах, что не видели весьма боль-
шого их влияния. Сам Куртис проявил большую энергию
в этой реформе и указал недостатки в своих тестах № Ь
и К" 8 (1913, стр. 4 и след.)-
„Тесты № 6 и № 8, т. е. так называемые тесты рассу-
ждения, являются наименее удоволетворителъными изо всей
серии. Суждения различных преподавателей и школьных
инспекторов о неравноценности единиц измерения в одном
и той же тесте, а также о различии между разными издани-
ями отниго и того же теста, доказали необходимость пс-
следования этих вопросов. Тесты для взрослых по многим
отраслям коммерческой раб ты во многих случаях обнару-
жили более низкие результаты по сравнению с отметками
средних по успеваемости детей восьмой группы. Б то же
время отметки некоторых отдельных лиц, характеризующие
изучавшуюся способность, были высоки, и п видимому ме-
жду способностью, проявленной в решении этих тестов,
и точностью в отвлеченной работе существует некоторое
общее соотношение. Однако наиболее важным фактом яви-
лись те затруднении, которые преподаватели испытывали
в своих попытках устранить дефекты в рассуждении. Вполне
вероятно, что тесты измеряют способности, но сами способ-
ности являются вероятно совсем не тем, чем они нам ка-
жутся. Так для измерения достоинства различных единиц
было составлено возможно большее число задач, основанных
на -одном и том же простом положении. Был установлен
двадцать один вариант путем изменения относительной формы
вопроса и относительного положения р гзличных фраз. Один
из них оказался в девятнадцать раз труднее другого, если
судить по количеству ошибок, сделанных детьми; однако
причиной этой разницы были только изменения в формули-
ровке. Этот факт, равно как и многие другие того же рода,
свидетельствует невидимому о том, что тесН1 № 6 и 8 из-
меряют главным образом уменье читать-.
Таким образом научное измерение способностей и дости-
жений, связанных с прикладной арифметикой или решением
задач, является делом будущего- В области описательных
задач начало было положено сериями, составляющими часть
„Национальных тестов умственного развития" (1920 г.), один
из которых приведен на странное 70 и далее; в области же
задач с жизненными положениями пока еще в систематиче-
ской форме ничего не сделано.
Систематизированные тесты и шкалы оказывают большую
пользу не только в определении способностей, которые мы
должны создавать и совершенствовать, но и при измерении
состояния познаний и достижений отдельных учеников и
целых групп, а также эффективности различных методов ру-
ководства и изучения. Таким образом они весьма полезны для
учеников, преподавателей, инспекторов и ученых исследова-
телей и с каждым годом находят себе все большее и боль-
шее применение. Сведения относительно ценности различных
тестов, способов применения их и установления оценки,
стандартов для различных возрастов и групп, которыми
надо почьзоваться при толковании результатов и т. п.,
69
можно найти в руководствах по педагогическому измерс- 1
нию. как например:
Courtis, Manual of .Instructions for Giving and Scoring
the Courtis Standard Tests in the Three R’s (1914);
Starch, Educational Measurements (1916); Chapman
and Rush, Scientific Measurement of Classroom Products
(1917); M onroe, De Voss, and Kelly, Educational Testi
and Measurements (1917); Wilson and Hoke, How to Mea-
sure (1920); and McCall, How to Measure in Education (1921). I
ТЕСТ I.
Национальные тесты умственного развития. I икала Л. Форма I. Изцанне I.
Найдите ответы как можно быстрее.
Запишите ответы на строчках, отмеченных пунктиром. Производите вы-
числения на полях.
1.	Пять копеек составляют пята чек. Сколько пятачков в гря- I
всннике?
Ответ I
2.	Ваня заплатил 5 руб. за часы и 3 руб. за цепочку. Сколько I
рублей заплатал о» за часы и цепочку?
О т в е т_______
3.	Нелли 13 гТ, Марии 9 лет. На сколько лет Мария моложе 1
Нелли?
Ответ„„„________ I
4.	Стакана мороженого хватает на 5 человек. Сколько стаканов
мороженого нужно па 25 человек?
От ве т_________
5.	Ваниной бабушке 86 лет. Если она еше поживет, то через
сколько лет ей будет 100?
Ответ I
6.	Если рабочий зарабатывает 2 р. 50 к в день, то сколько I
он заработает в 6 рабочих дней?
Ответ___________... I
7.	Сколько карандашей в полутора дюжинах их?
Ответ___________
8.	Сколько стоят 12 штук печенья, если 6 штук стоят 5 коп.?
О.ве т__________
9.	Ма ка и трусики стоят 2 р. 50 к; туфли стоят 2 руб"
тра Сколько стоят эти костюмы и обувь для 9 игроков в бзсбол?
Ответ___________
70
10.	Поезд, который одльхн приходить в половине одиннадцатого,
опоздал на- 17 минут. В котором часу он прибыл?
Ответ____________
11.	Сколько будет стоить отрез материи 1 если метр стоит
10 руб.?
Ответ............
12.	Рабочий зарабатывал по б руб. в день в течение половины
периода греыени в 40 дней и по 4 р. 50 к. в течение четверти
того же периода; остальные дни оя ни чего не зарабатывал. Сколько
о 1 всего заработал в течение этих сорока дией?
Ответ____________
13.	Сколько процентов от 8п0 сосгавлюят 4°/о от 100и?
ж	Ответ
14.	Если 60 человек потребляют 720 кг муки в месяц, то сколько
потребляет в дезь один человек, если считать, чю в месяце 30
дней?
Ответ____________
15.	Лаковой автомобиль едет со скорое пю 1 км в минуту.
ГрЗ'эсвоЙ автомобиль делает 20 км в час. Во сколз ко раз бо .ьшее
расстояние про[дет первый за 10 сеьун.п?
Ответ____________
16.	Площадь основани । цилиндрического резервуара (измерен-
ная внутри) равна 1200 дм2. Какой высоты должен быть этот ре-
зервуар, чтобы вместить 96 л3?
Ответ____________.
Из национальных тестоь умственного развития, изданных Национальным
нсслеювательским советом, Нью Йорк, 1920. Подведено здесь с разрешения
издателей.
71
ГЛАВА 111.
СОСТАВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ В ИЗУЧЕНИИ АРИФМЕТИКИ.
Было бы весьма полезно, если бы кто-нибудь попытался
разложить изучение арифметики на отдельные составляющие
его способности, точно указав, что в деталях должен делать
ум, чтобы подготовить себя к сквозному испытанию в пол-
ном объеме курса арифметики. Перечень этих отдельных спо-
собностей заполнил бы очень длинный лист. Рассмотрение
хорошо систематизированного руководства покажет нам, что
способность в умножении например рассматривается как
состоящая из следующих элементов: знания таблицы умноже-
ния до 9x9; умения умножать двух- (или более) злачные
числа на 2, 3 и 4, когда не требуется .переноса" и во мно-
жимом нет нуля; умения умножать на 2, 3....9 с .пе-
реносом";'умения обращаться с нулями во множимом, умения
умножать на двузначные числа, не оканчивающиеся нулем;
умения обращаться с нулем как последней цифрой множителя;
умения умножать на трех- (и более) значные числа, не содер-
жащие нуля; умения умножать на трех- и четырехзначные
числа с нулем на втором или третьем, или на втором и на
третьем, а также и на последнем месте; умения сберегать
время приписыванием нулей и так далее, по длинному списку
дальнейших способностей, требующихся для умножения монет
САСШ, десятичных дробей, обыкновенных дробей, смешан-
ных чисел и именованных чисел.
Единицы или .ступени", обнаруженные таким образом
при тщательном преподавании, составили бы длинный список;
ио возможно, что еще более тщательное изучение арифмети-
ческой способности как иерархии умственных навккон пли
ассоциаций значительно увеличило бы еще этот список.
Рассмотрим например обыкновенное сложение по стояоцам.
Большинство преподавателей вероятно считает это простым
применением знания таблицы сложения до 9 -|-9 плюс пони-
мание .переноса". Между тем здесь имеется по крайней мере
72
семь процессов или второстепенных функций, связанных со
с ыжением столбца двузначных чисел, причем каждая из
этих функций психологически отлична от других и требует
особой педагогической разработки.
В самом деле, требуется:
А.	Научиться выдерживать ряды при^сложении столбца.
В.	Научиться удерживать в уме результат каждого сложе-
ния до тех пор, пока к нему не будет прибавлено следующее
число.
С.	Научиться складывать видимое число с запоминаемым.
D.	Научиться оставлять без. внимания пустые места в
столбцах.
Е.	Научиться оставлять без внимания нули в столбцах.
F.	Научиться применять комбинация, дающие единицы
высшего разряда, что может потребовать от менее способных
учеников затраты такого же количества времени и труда,
как изучения всех первоначальных таблиц сложения. Даже
для наиболее способного ученика образование такой связи,
как „8 и 7 = 15“, вероятно никогда не обеспечивает полно-
стью наличия таких связей, как „38 и 7 = 45“ и „18-J-7=25B.
G.	Научиться записывать цифру, обозначающую единицы,
а не общую сумму каждого столбца. Н частности научиться
писать 0 в случаях, когда сумма столбца дает 10, 20 и т. д.
Усвоение „переноса* также включает в себе по крайней
мере два отдельных процесса, каким бы способом его ни
преподавать.
Подтверждение такого расчленения функций мы находим
в результатах применения таких тестов, как тесты Вуди.
Например сложение 2-} 5 |-1 =.........конечно треб?ет
несколько иных способност..й, чем
2
4
3
потому что только 77% детей третьей групп ы правильно вы-
полняют первую задачу, тогда как ггорую задачу безошибпч ю
выполняют 93% детей той же группы. Вз второй группе раз-
_	...	4
ница эта еше более замета. В случае вычета пня пример тре-
•	9	~
бует иных способностей, чем пример д; при этом первый при-
мер решается правильно во второй и четвертой группах
73
значительно реже, чем второй. Пример q значительно труд-
нее, чем каждый из вышеприведенных;
43
1	21
2	33
.	13 значительно труднее, чем 35 .
Можно высказать предположение, что это различие вызы-
вается различным количеством упражнении. Это однако едва |
ли правильно, но если бы эго было и так, то это не изме- 1
нило бы нашего утверждения: если бы обе эти способности
были тождественны, то упражнение одной из них усовер- I
шенствовало бы в равной степени и другую.
Я не задаюсь целью дать здесь полный список и описа-
ние элементарных функций, которые составляют арифмети- I
ческие познания, отчасти потому, что еше не вполне известно,
что они собою представляют, отчасти потому, что во многих
случаях окончательная способность может быть выработана
различными сутями, описание которых неизбежно было бы
утомительным, отчасти же потому, что надлежащее изложе- |
пне того, что по этому вопросу уже известно, слишком рас-
ширило бы объем настоящей главы. Взамен того я иллюстри-
рую результаты несколькими примерами.
ЗНАНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ДРОБИ.
В качестве первого примера рассмотрим знание значения
дроби. Является ли способность, о которой идет речь, про-
стым пониманием того, что дробь есть обозначение числа
долей, каждая из которых имеет одну и ту же величин;,
причем верхнее число, или числитель, указывает, сколько
таких частей взято, а нижнее, или знаменатель, указывает,
какую долю единицы составляет каждая такая часть? Должно
ли методическое преподавание ограничиться простым описа-
нием и иллюстрированием этого утверждения и побуждением
учеников применять его к распознаванию дробей и обраще-
нию с каждой из них? Заключается ли процесс изучения
I) в образовании представлений о доле, величине доли и ко-
личестве долей, 2) в отнесении двух последних предстаьленш!
к членам дробей и как необходимом следствии 3) в правиль-
ном применении этих представлений ко всем случаям, когда
при счислении встречаются дроби?
74
Именно таково было представление об этом вопросе у бли-
жайших предыдущих поколений. Сущность др бей препода-
валась как единый принцип сразу, и навыки в обращении
с дробями должны были, по предположению, выводиться из
общего закона сущности дроби. В результате изучение дро-
бей откладывалось вод конец, производилось с большой
потерей времени и сил и оставалось даже при таких усло-
виях непосильным для всех, кроме наиболее одаренных уче-
ников. Эти же последние строили указанную способность
вероятно самостоятельно по частям из составляющих ее зна-
ний и навыков.
Во всяком случае современное научное преподавание дол-
жно строить теперь полную способность (total ability) как
совокупность или организацию меныпих способностей. В чем
последние заключаются—легче всего понять, рассмагр взя
те средства, которые применяются для приобретения их.
Л) Прежде все-о приобретается представление о половине
конфеты, половине яблока и т. д. в их конкретном выра-
жении, так что ученик может правильно назвать ясно выря-
женную полсвину такой наглядной единицы, как апельсин,
ipyuia или кусок мела. Затем достигается такая же степень
11111..
понимания в отношении ’J* g • g*« ‘g’• 5 • Ученику препо-
дают что 1 булка = 2 половинкам, 3 третям, 4 четвертям,
5 пятым, 6 шестым, и 8 восьмым ее; то же самое в отноше-
нии 1 бруска мыла, 1 яблока и т. д.
Так продолжается до тех пор, пока ученик не научится
I
воспринимать — от у, как некоторую простую часть нагляд-
ной единицы у.
2)	Затем следует ассоциация, связанная с-^ дм, м,
1
стакана и другими величинами, где у уже не является
столь наглядным целым предметом, части которого все еше
продолжают обнаруживать свое нахождение от него. То же
самое относительно 4-, 4- и г. д.
4	3
3)	Затем следует ассоциация, связанная с пачки, со-
стоящей из восьми плиток шоколада,от дюжины фотигpa-
il
75
фических пластинок, взвода
1,1'1 1
нордов 3,	4, т,
из 10 стрелков и т. д., до тех
1 1
g и в не будут восприни-
маться, как названии некоторых частей совокупности пред!
метов.
4)	Далее следует аналогичная ассоциация для такого
случая, когда природа совокупности остается неопределенной
1 с	1
и уч( ники отвечают на вопросы: от 6 равна........... от
с	п	1	1	1
8 равна ...... 2 равно г от	от 6 равна...... -я от
О	□	о
9 равна.......2 равно Д- от........и т. д.
О
Каждая из этих способностей находит при преподавании
свое оправдание в наличии свойственных каждой из них
существенных достоинств независимо от помощи, которую
они оказывают впоследствии при создании общего понима-
нии значения дроби. Навыки, создаваемые таким образом
в третьей и четвертой группах, оказывают детям постоянную
услугу как в это время, так и при дальней нем обучении,
а также вне школы.
5) Одновременно с этим выполняются упражнения: -=- от
«	о
10, 15, 20 и т. д , -g- от 12, 18, 42 и т. д. как полезная разно-
видность упражнений в таблицах деления, ценная не только
сама по себе, но и как средство придания большей общности
понятию о доле единицы путем введения в схему дробен
I 1
7 И 9 ’
„	3	2	3	4	2!
<) Далее идут ассоциации , -г , т ,
'	J	4	5	5	5	3	0
5	3	5	7	3	7	9
. “о-* о  е  то	л н “о- каждая с ее значением
как некоторой части известной удобно делимой еди-
ницы.
7)	и 8) Ассоциации этих дробей с их значением как частей
некоторых величин (7) и совокупности подходящих разме-
ров (8).
9)	Ассоциации этих дробей с их значениями в тех слу-
чаях, когда природа величины или совокупности остается
76
нсопределг иной, как в случае от 15 —....& от 32 =....
и т. д.
10)	Что это соотношение и veer общий характер, показы-
вается на применении его к числам, требующим письменного
7
лечения и умножения, как например -g ст 1736=...... и мо-
нетам САСШ.
Элементы 6— 0 полезны даже и в том случае, если ученик
в дальнейшем не будет заниматься арифметикой. Одним из
наиболее распространенных применений дробей является
вычисление стоимости долей метров материи, долей кило-
грамма мяса, сыра и т. д.
Следующая (II) ступень заключается в некотором пони-
мании принципа, что значение любой из этих дробей не
изменяется от умножения или деления числителя и знамена-
теля дроби на одно и то же число. Упражнения в изображении
дробей в сокращенном и не сокращенном виде, которыми
заканчивается этот раздел, ведутся параллельно с простыми
упражнениями (12) и (13) на сложение и вычитание дробей,
имеющими целью показать, что дроби представляют собою
количества, над которыми мы можем производить различные
действия совершенно чак же, как и над любыми .прочими
количествами, с простой работой (14) над смешанными чи-
слами (сложение, вычитание и сокращение) и с упражнениями
па неправильные дроби (15). Все, что мы проделываем с не-
правильными дробями имеет целью: а) научить учеников поль-
зоваться неболь иим количеством их так, как если бы они был ч
обыкновенными дробями, и в) установить их равнозначимость
смешанным числам. В упражнениях 12, 13 и 14 сложение
и вычитание производятся над дробями только с одинаковыми
знаменателями, а в упражнениях 12, 13, 14 и 15—только
над дробями с цифрами 2, 3, 4, 5, 6, 8 или 10 в знаменателе.
Как и прежде, упражнения от 11 до 15 полезны и сами
по себе.
16)	Определения даются в такой фооме:
Числа, подобные 2, 3, 4, 7, II, 20, 36, 149, 921, назы-
ваются целыми числами.
,	1 I 2 3 II 7	1	4 I
Числа, подобные 8  у. у. Т. k . у. 3 • у. Б-
-g . называются дробями.
77
1	4	7
• v 1бь- з14-
числами.
и „зяаменять ль" относятся
11 Л -1 -3
Числа, подобные о , /
Ч о
, 2
1 - , называются смешанными
О
17)	Выражения .числитель"
к верхним и нижним числам, составляющим дробь.
Построение этого довольно сложного ряда м нысих спо-
собностей может показаться весьма окольным путем для
получения знания значения дроби; оно действительно является
таковым, если не считаться с тем, чгб приобретается наряду с
указанным знанием. Если же учесть внутреннюю ценность
приобретаемых навыков, то каждый может возразить, что
ученик получает при этом знание значения дроби совершенно
задаром,
ЗНАНИЕ ТАБЛИЦ ВЫЧИТАНИЯ И ДЕЛЕНИЯ.
Рассмотрим далее знание .таблиц" вычитания и деления.
Обычней метод преподавания предполагает, что изучение их
заключается в образовании независимых связей:
3—1 = 2
3-2 = 1
4—1=3
4: 2 = 2
6: 2=3
6:3=2
18 — 9=9
81 --9 = 9
эти 126 связей образую-ся
В действительности однако эти 126 связей образую-ся
не независимо. Для учеников, за исключением быть может
одной двадцатой из числа наиболее неспособных, дело облег-
чается до некоторой степени предшествующим изучением
таблиц сложения и умножения. Л при надлежащей постановке
изучения это облегчение может быть огромным. Действи-
тельно, независимое за поминание этих фактов мы можем за-
менить рядом поучительных упражнений, в которых ученик
выводит примеры вычитания из ссзтветствмоиих случаев
сложения путем простого рассуждения или мышления, произ-
водящего отбор. Как только будут изучены случен сложения,
дающие в сумме 9 или менее, предложите ученику проделать
упражнение, подобное следующему.
78
Напишите недостающие числа:
С	D
3 и ...	равно 5	5 и	... равно 8	4 и	„.. равно	5
3 л ...	равно 9	3 и	... равно 6	5 и	... равно	6
411 ...	равно 7	4 1!	... равно 9	6 и	... равно	9
5 и ...	равно 7	2 и	. . равно 6	1 и	. . равно	8
6 и ...	равно 8	5 и	... равно 9	3 и	•,. равно	7
4 и ...	равно 6	2 и	... равче 7	1 +		 равно	3
2 и ...	равно 5	3 и	... равно 8	1 +	,., равно	5
2и ...	равно 8	1 и	... = 4	44-	*. . равно	8
Зи ...	= 6	2 и	..	= 4	7 +	,,. равно	9
би...	= 9	3 и	... = 8	2 +	_. >	4
4 и ....	= 6	6 и	... = 7	з +	№ « « 	~	8
4 и ... *	S7X 7	2 и	 = 5	4 +	=	5
4 и
1 и
6 и
8 и .
. равно 8
. равно 7
. равно 7
. равно 9
. раню 4
. равно 8
. равно 9
. равно 3
. равно 9
. = 6
. -= 9
. = 3
Задача рассуждения заключается только в том, чтобы
испробовать одно за другим те числа, которые кажутся
подходящими, и выбрать одно из них как правильное. При
небольшом побуждении и руководстве дети смогут таким
образом выполнить вычитание до 9 как наибольшего числа.
После этого научите их проделывать то же самое с напеча-
танными примерами.
Вычита ние
9 7 8 5 8 6
3562 24ит. д.
и 9 7 = ..., 9 — 5=...7 — 5 = .... и т. д.
Предположим далее в случаи деления, что ученик вы-
учил первую таблицу и приобрел уверенность в выполнении
таких упражнений:	“
4-жды 5 = ... 6 X 5 = ...	9 пя?ачксв= ... иоп.
8-ыо 5 = ...	4X5=...	6	„	= ...	„
3-жды 5= . ..	2X5=...	5	„	=...	„
7-ью 5 = ...	9 X 5 = ...	7	„	=...	„
Если один мичмк сюит 5 коп., то два ывча стоят .... коп.,
три мяча стоят ....коп и т. д.
Тогда он сразу может приступить к решению и таких
упражнений:
79
Запишите ответы и недостающие числа:			
А	В	С	D
.. . 5=15	40 = .... 5	.... X 5 = 25 20 коп. =....	пятачков
... 5 = 20	20=-. .. 5	.. . X 5 = 50 30 коп. =.. .	пятачков.
. ... 5 = 40	15 = ... 5	....Х5 = 35 15к0п.=....	п> тачков.
.... 5 = 25 45=.... 5 ... 5=30 50=.. . 5 . .. 5=35 25 = .... 5 За 5 коп. вы можете За 10 коп. вы можете За 25 коп вы мг жете За 45 коп. вы мЬжете За 35 коп. вы монете		.. .Х5=10 40коп. = .. . .. .Х5=40 ...Хб=45 Е купить 1 маленькую булку, купить 2 маленьких булки, купить 		 маленьких булок, купить .... мален. ких булок, купить .... маленьких булок.	пятачков.
F
5 коп. стоит проезд 1 с гании и.
15 коп. стоит проезд .... с акций.
10 коп. стоит проезд .... станций.
20 коп. стоит проезд .... станций.
Сколько 5-копеечных карандашей можете вы купить на 30 коп?
Сколько 5-копеечных карандашей можете вы купить на 85 коп ?
Сколько 5-копеечных карандашей можете вы купить на 25 ксп.?
Сколько 5-копеечных карандашей можете вы купить на 15 коп?
В случае значения дроби способность и изучение разраоо-
таны гораздо более подробно, чем это освоено обычной
практикой; в случае же изучения таблиц вычитания и деления
дело обстоит далеко еще не так. Изучение их ни в каком
случае не должно быть нм простым запоминанием фактов,
ни простым пониманием принципа in abstracto. сопровож-
даемым применением его к конкретным примерам. Оно за-
ключается (и мы увидим, что это справедливо в отношении
плодотворного изучения почти всех отделов арифметики)
в образовании связей и применении их в таком порядке,
чтобы каждая связь в максимальной степени помогала другим
и чтобы каждая связь приносила таким образом максимальную
пользу другим арифметическим способностям, помимо о/шой,
непосредствен о с ней связанной, а также общему развитию
ученика.
КО
ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
В качестве другого поучительного примера строения
арифметических способностей мы можем взять случай рас-
суждения, требующегося для понимания обращения с циф-
рами при сложении и вычитании двух-(или более) значных
чисел, при умножении и делении двух-(или более) эначньх чи-
сел и при всех четырех действиях с десятичными дробями.
Психология их имеет особое значение и интерес, потому что
здесь возможны два противоположных объяснения, которые
приводят и к двум противоположным теориям преподавания.
Обычное ооъяснение состоит в том, что эти методы
обращения должны быть поняты, если они вообще могут
быть поняты, как дедуктивные выводы из свойств нашей
десятичной системы счисления. Второе объяснение утверж-
дает, что- они должны быть отчасти поняты и как индук-
тивные выводы из опыта, показывающего, что они всегда
дают правильный ответ. Первое объяс нечис приводит к обыч-
ным предварительным дедуктивным объяснениям, содержа-
щимся в руководствах. Второе приводит к объяснениям,
основанным на проверке, например сложения - - посредством
счета, вычитания и умножения — посредством сложения,
деления — посредством умножения. Примеры этих двух спо-
собов объяснения приводятся ниже.
КРАТКОЕ УМНОЖЕНИЕ БЕЗ .ПЕРЕНОСА". ДЕДУКТИВНОЕ ОБЪЯС-
НЕНИЕ.
Умножение есть действие, :при котором одно число
Дерется слагаемым столько раз, сколько единиц во втором
числе.
Произведение есть результат умножения.
Множимое есть число, которое берется слагаемым.
Множитель есть число, показывающее, сколько раз
должно быть взято множимое.
Множимое и множитель называются сомножителями.
Умножь 623 на 3.
Д е й с т в и *е.
Множимое 623
Множитель 3
Произведение 1869
Объяснение. Для удобства мы подписываем множится под
{fnt в:нмым и вачннаем умноженье с единиц; 3 раза по 3 единицы будет
единиц; записываем девять единиц на месте единиц в произвел :пи и;
6 'mu.Ik	81
3 раза по 2 десятка будет 6 десятков; записываем 6 десятков на место
десятков е произведении; 3 раза по 6 сотен будет 18 сотен, иди 1 тысяча
и 8 сотен; 1 тысячу мы записываем на месте тысяч, а 8 сотен на месте
сотен в произведении. 1аким образом произведение равно 1 тысяче 8 сот-
ням 6 десяткам н 9 единицам, т. е- 1869,
КРАТКОЕ УМНОЖЕНИЕ БЕЗ „ПЕРЕНОСА". ИНДУКТИВНОЕ ОБЪЯс
НЕН НЕ.
1.	Лети третьей группы устраивают прогулку. Всех участников
будет 32. Скс ьк > надо зтотевнть для них бутербродов, ес/щ
каждый из 32 учеников получит по четыре бутерброда?
Вот быстрый способ найти это число.
32 Думай так: „<Х 2“, запиши 8 под 2 в столбце единиц.
4 Думай так: „4ХЗ“, запиши 12 под 3 в столбце десятков.
2.	Сколько потребуется детям яблок, если каждый из 32 уче-
ников получит по два яблока? 32 X 2 или 2 X 32 даст ответ.
3.	Сколько детям потребуе гея кусков сахара, если для хажчого
ученика будет взято по три куска? 32 X 3 или 3 X 32 даст ответ.
32	3 X =.... Где вы запишете 6?
3	3X3=.,.. Где вы запишете 9?
4.	Проверьте, правильны ли ответы 128,64 и 96, взяв 32 сла-
гаемым 4, 2 и 3 раза.
32
32	32
32	32	32
32	32	32
Умножение.
Вы умножаете, когда находите ответы на вопр< сы, по^ обнь.
следующим:
Сколько будет 9X3?
Сколько будет 3 X 32?
Сколько будет 8/5?
Сколько будет 4 X 42?
1.	Прочитайте эти строки. Назовите правильные числа там, ж
поставлены точки:
Если прибавить 3 к 32, то получится 35 есть сумма.
Если вычесть 3 аз 32, то результат будет 29 на^ы
вается разностью, или остатком.
Если умножить 3 на 32, нлв 32 на 3, то получится
96 есть произведение.
82	4

Найдите произведение. Проверьте ваши ответы в первой строке
путс м сложения.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
4i 33 42 44 53 43 34 24
32423222
	10.	11. 12.	13.	14.	15. 16.
	43	52 32	23 41	51	14
	3	3	3	3	2	4	2
	—		 		— —	—. 	
17.				Сложите:
213	Запишите 9	в столбце	единиц.	Проверьте	213
. 3	Запишите 3	в столбце	десятков.	ваш ответ	213
	Запишите 6	в столбце	сотен.	сложением.	213
	18	19.	20.	21.	22.	23. 24.
	214	312 432	231 132	314 243
	2	3 2	3	3	2	2
КРАТКОЕ ДЕ ПЕНИЕ. ДЕДУКТИВНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ
Разделите 1825 на 4.
Делимое 1825 , 4 Делитель
456*Д Частное
Объяснение. Для удоб-тга
мы пишем делителя с правой стороны
делимого, а частное под делителем
и делить н< чинаем слева; 4 не содер-
жится в 1 тысяче ни одной тысячи
' раз, поэтому частное не содержит
в себе единиц высших, 1'ем сотни. Поэтому мы ищем, сколько раз 4 со-
держится в сотнях делимого; 1 тысяча н 8 сотен составляют J8 сотен;
4 содержится в 18 сотнях 4 сотни раз, причем 2 солни остаются в остатке
Запис ываем в частном ч согни; 2 соп.и мы рассматриваем вместе с 2 де-
сятками как 29 десятка; 4 содержится в 22 лесятках 5 десятков раз, причем
остается еще 2 десятка в остатке; записываем 5 десятков в частном, а остав-
шиеся 2 десятка рассматриваем вместе с 5 единицами, как 25 единиц;
4 содержится в 25 ечнницах 6 раз, причем в остатке получается 1 единица;
записываем 6 единиц вча< гном и отмечаем деление остатка, т. е. 1 единицы,
на делителя 4.
Таким образом частное от деления 1825 на 4 рзвпо 456 —-, или
436 и 1 в остатке.
КРАТКОЕ ДЕЛЕНИЕ ИНДУКТИВНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ.
Деление больших чисел.
1.	Том, Дик, Вилли н Фрэд сложились по 20 коп. каждый,
чтобы купить ящик кирпичиков, стоящий 80 ксп. В йгдике 128
6*	83
кирпичиков. Сколько кирпичиков получит каждый мальчик, если
поделить их поровну между четырьмя мальчиками?
128:4.
Думай так: „12=трижды 4й. Запиши в частном.
Думай так в8=диаж!Ы 4“. Запиши 2 за 3 в частном.
32 правильно, потому что 4X32=128.
2.	Мэри, Нс лли и Алиса собираются купить книгу, чтобы п< да-
рить ее своей подруге. Подарок стоит 69 коп. Сколько должна
будет заплатить каждая девочка, если разделить стоимость книги
поровну ьк-жду всеми тремя девочками?
69:3.
Думай так: „6 = ... раз по 3“. Запиши 2 в частном.
Думай так: „9= ... раз по 3“. Запиши 3 за 2 в частном.
23 правильно, так как 3 X 23 = 69.
3.	Разделите стоимость 96-копеечного подарка между тремя
девочками. Сколько должна будет заплатить каждая девочка?
96:3.
4.	Разделите стоимость 84-копеечного подарка пор< вку ме-
жду 4 девочками. Сколько должна будет заплатить каждая девочка?
5.	Вручите следующее (читая знак : , как „деленное на“):
124-4=16.	16 есть сумма.
8 есть разность, или остаток.
12 — 4= 8.
12 X 4 = 48.
12 : 4= 3.
48 есть произведение.
3 есть частное.
6.	Найдите частные. Проверьте ваши ответы посредством умно-
жения.
99:3 86:2 155:5 246:6 168:4 219:3.
(Деление с остатком преподается по тому же общему плану, сос г-
ветственно распространенному на этот случай.)
ПОДРОБНОЕ ДЕЛЕНИЕ. ДЕДУКТИВНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ.
Разделить посредством подробного деления.
1. Пусть требуется резделнть 34531 на 15.
Действие.
Делимое 34531 115	Делитель	Для удобства подии ываем делитель справа от делимого.
30	1	а частное под делителем, начи-
—	2302 -- Частное 45	>5 45 31 30	наем делить также, как при со- кращенном способе целения; 15 содержится в 3 десятках тысяч 0 десятков тысяч раз; по- этому в частном будет 0 десят-
1 Остаток	ков тысяч; берем 34 тысячи; 15 содержится в 34 тысячах 2 ты- сячи раз; записываем 2 тысячи
в частном; 15 X 2 тысячи = 30 тысячам, что после вычитания из 34
тысяч дает в остатке 4 тысячи = 40 сотням; снося 5 сотен, полу-
чаем 45 сотен.
15 ссьгржится в 45 сотнях 3 сотни раз; записываем эти 3 сотни
в чайном; 15 X 3 сотни=45 сотням, что после вычитания из 45 со-
тен не дает ничего в остатке; снося три десятка, получаем 3 десятка.
15 содержится в 3 десятках О десятков раз; записываем 0 де-
сятков в частном; прибвляя к трем десяткам, которые равны 30
единицам, 1 единицу, подучаем 31 единицу.
15 содержится в 31 единице 2 единипы раз, записываем 2 еди-
ницы в частно»'; 15X2 единицы = 30 единицам, что после вычи-
тания из 31 единицы дает в остатке 1 единицу. Чтобы обозначите
деление этой единицы, присоединяем к общему выражению част-
ного дробное выражение в виде единицы.
1D
Таким"1 образом 34531, деленное на 15, равно 2302 g (В. Green-
leaf, Practical Arithmetic, 1873, стр. 49).
ПОДРОБНОЕ ДЕЛЕНИЕ. ИНДУКТИВНОЕ ОБЪЯС! 1ЕНИЕ.
1. Во врег.л школьного праздника на долю одной группы при-
шлось 360 леденцов. В группе было 29 учеников. Скс лько леденцов
получит каждый ученик? Сколько леденцов останется после дележа?
Вот наилучшнй способ решения:
Сообразите, сколько раз 29 содержится в 36;
1 раз — правильно.
Запишите 1 под делителем 29; умножьте
29 на 1.
Подпишите 29 под 36; отнимите 29 от 36.
Снесите 0 числа 360 и напишите его за 7.
Сообразите, сколько раз 29 содержится в 70;
2 раза—правильно.
85
3601 29
29 12
70
58
12 в остатке
Запишите 2 над 0 числа ЗьО.
Помножьте 29 на 2.
Подпишите 58 под 70; отнимите 58 от 70
Поручается в остатке 12.
Каждый ученик получает 12 леденцов, а еще 12 леденцов оста-
ются лишними. Это правильно, потому что 29X12 = 348 и
348	12 = 360.
********
. 8. 99,587:31. Продолжайте делить на 31 в задаче 8 до тех пор,
пока не используете цифр 5, 8, 7 и не получите в частном
четырех цифр.
9.	10.	11.	12.	13.
253:22	2895:22 8891:21 290:22 16,368:32
Проверьте ваши ответы к задачам 9, 10, 11, 12 и 13.
1.	Мальчики школьного клуба предполагают собрать деньги на
покупку футбольного мяча. Их всего 23 человека. Они могут купил,
хороший подержанный мяч за 5,75 руб. Сколько должен внести
каждый, если расход этот они разделят между собой поровну?
Вот няилучшмй способ решения;
Сообразите, сколько раз 23 содержится в 57; 2 раза — правильно.
Запишите 2 под де ;ителсм 23; умно-
жьте 23 на 2
Пояпишите 46 под 57 и вычитайте;
снесите 5 числа 575 и напишите его за 11.
Сообразите, сколько раз 23 с< держится
в 115; 5 раз — права 1ьно.
Зап пиите 5 за 2 в частном; умножьте 23 на 5.
Подпишите 115 поя имеющимся уже числом 115 и вычитайте.
Остатка нет. Поставьте слою .копеек“ после цифр в ч: стном.
Каждый мальчик должен внести 25 коп. Это правильно, потому
что 0,25 руб., помноженные ня 23, равны 5,75 ру х
2.	Разделить 71,76 руб. поровну между 23 лицами. Сколько
придется на долю каждого?
3.	Проверьте ваш ответ к задаче 2, умножая частное на делителя.
Найдите частные. Проверьте каждое частное, умножая его на
делителя.
4.	5.	а	7.
99,13 руб.:23	18,50 руб.:25	129,15 руб.:21	29,25 руб.: 13
8.
73,02 руб.:32
86
5,75 руб 23
46	25 коп.
115
115
В каждой школьной группе занимается 32 ученика. Ла сколько
групп разбито:
9. 288 учеников? 10. 192 ученика? 11. 416 учеников?
У нас пет еще решающих опытов, но имеется уже ряд
очевидных положений. Прежде всего не может быть ника-
кого сомнения в том, что огромное большинство учеников
заучивает правила обращения с числами, начиная с располо-
жения единиц под единицами, десятков под десятками и т. д.
при сложении и кончая постановкой десятичной запятой при
делении десятичных дробей посредством подражания и сле-
пого следования специальным указаниям, и что очень большая
часть учеников до самого конца, т. е. до пятого года обучения,
не усваивает этих правил как необходимых следствий деся-
тичной системы счисления. И нам кажется, что эта часть
не может быть значительно уменьшена, как бы тщательно
и остроумно ии объяснялись эти дедугтгивные выводы руко-
водствами и учителями. Очевидность этого факта совершенно
ясна для каждого, кто наблюдает школьную жизнь. Эго под-
тверждается и тем фактом, что даже и после многократного
применения десятичной системы счисления к обоснованию
иапрчмер „переноса" в сложении, „запоминания" в вычита-
нии, „переноса" в умножении, значения цифр в частных
произведениях, значения каждого из остатков в кратком
делении, значения цифр частного при делении, сложении,
вычитании, умножении и делении монет CACLII и умения
ставить десятичную запятую при умножении — ни один опыт-
ный преподаватель не решится положиться на ученика при вы-
воде им правила постановки десятичной запятой при делении
десятичных дробей, невзирая на то, что ученик располагает
уже четырех- (или более) годичной практикой в десятичной
системе счисления. Может быть это иллюзия, но мне ка-
жется, что в лучших руководствах уже чувствуемся признание
тщетности попыток закрепить дедуктивные выводы этих пра-
вил обращения с числами. Я сошлюсь на краткость соответ-
ствующих объяснений и включение их в курс в такой форме,
при которой они могут оказать возможно меньшее влияние
на мышление учеников. Во всяком случае вполне достоверно
то, что большинство учеников не усваивает соответствующих
манипуляций при помощи дедуктивного рассуждения и не
воспринимает их как необходимее следствие из отвлечен-
ных принципов
Широко распространено мнение, что единственным выхо-
дом из этого положения яв 1яется заучивание соответствую-
37
щих правил наизусть. Это конечно широко распространен-
ный выход, но другой способ объяснения заставллет полагать,
что понимание указанных манипуляций при помощи инду-
ктивного рассуждения над результатами их применения яв-
ляется другим и притом очень важным выходом. Так на-
пример манипуляции „подробного'* умножения, заученные
путем подражания или механического упражнения, приво-
дят к сознанию, что результат умножения 25 X А приблизи-
тельно вдвое больше, а результат умножения38 или 39ХА,
приблизительно втрое больше, чем 13 X А, и что для 115 X А
результат примерно в десять раз больше, чем произведе-
ние 11 X А. Даже самые тупые ученики убеждаются в правиль-
ности этого приема в том по крайней мере смысле, что он дает
результат, который ученый эксперт — в данном случае учи-
тель— признает правильным. Имея в виду даже наиболее
одаренных учеников, которые могут оценить отношение дан-
ного приема к десятичной системе счисления, все же этим
отношением надо пользоваться не как предпосылаемым един-
ственным дедуктивным выводом приема, а' как одним из
средств последующей его проверки. Здесь может также иметь
место случай. полупризнания отношения, при котором уче-
ник пользуется знанием десятичной системы счислений, дабы
удостовериться в том, что прием дает, а не в том, что он
должен давать правильное решение, причем ответ счи-
тается «правильным11 потому, что учитель, лист ответов
и косвенные соображения убеждают его в этом.
Я взял в качестве иллюстрации обращение с частными
произведениями, потому что оно является одним из наиме-
нее благоприятных случаев для обьяснения, которое я пред-
лагаю. Если взять первый случай, где прием может быть
выведен из десятичной системы счисления, или усвоен пу-
тем почти одного заучивания, или проверен индуктивно, а
именно сложение двузначных чисел, то окажется несомнен-
ным, что только что описанные умственные процессы явля-
ются почти универсальным правилом.
Конечно в настоящее время в наших школах дети скла-
дывают вначале 3 в числе 23 и 3 в числе 53 или 2 в числе 23
и 5 в числе 53 в девяти случаях из 10 потому, что они видят,
что так делает учитель, и потому, чти он учит их делать так.
От сложения всех цифр 3-|-34-2-j-5 их предохраняет не
какая-либо дедукция, в просто то, что они не умеют скла-
дывать 8 и 5, то, что им привили привычку складывать те
цифры, которые стоят одна над другой или со знаком + ме-
жду ними, а также то, что мм было указано или сказано,
88
что нужно делать именно так. Они не будут складывать 3-|-5
и 2-|-3 опять-таки нс в силу дедуктивного рассужде-
ния, а в силу только что указанных второй и третьей при-
чин. В девяти случаях из 10 им даже не придет в голову,
что можно складыват ь как-нибудь иначе, чем ,3 | 3, 24-5“;
еще труднее им избрать этот путь на основании того факта,
ЧТО 53 = 504-3 и 23 = 204-3, что 504-20 =70, что 34-3 = 6
и что вообще (а 4- М4~ и4~ 4)= (а 4- с) 4~ 4 d).
Почти наверное все дети, за исключением одной двадца-
той или око; о того, приходящейся на наиболее тупых уче-
ников, придут в конце концов к чему-то большему, чем за-
зубренное знание, к пониманию и сознанию того, что
прием, о котором идет речь, правилен.
Ответ на вопрос, знают ли они, почему 76 является
правильным решением, зависит от того, что понимать под
словом почему. Если оно обозначает, что 76 есть ответ,
с которым согласны опытные люди, то они знают, почему.
Если оно обозначает, что 76 есть ответ, который получился
бы путем точного подсчитывания единиц, то они может быть
знают это так же хорошо, как если бы им дали полное объяс-
нение соотношения приема сложения двузначных чисел с
десятичной системой счисления; если почему подразуме-
вает объяснение: потому что 53 = 5U-|-3;23 = 204-3;504-
4-20=70, аЗ-1-3^6 и (п-|-*)4~(с4-4) = («+<04-(* + <0,
то они не знают. И хочется мне добавить: большинство из них
никогда вообще не будет знать этого ни при каких мето-
дах преподавания.
Отсюда я делаю вывод, что школьники могут рассуждать
и действительно рассуждают и приобретают понимание ма-
нипуляций над числами, идя индуктивным, поверочным пу-
тем, и оказываются неспособными или по меньшей мере не
считают поле зным в современных условиях выводить их деду-
ктивным путем. Я полагаю действительно, что чистая ариф-
метика в том виде, как она изучается и усваивается,
является в значительной мере индуктивной наукой.
На одном полюсе имеется меньшинство, для которого ариф-
метика представляется рядом дедуктивных выводов из прин-
ципов; на дрттом полюсе мы имеем меньшинство, для кото-
рого она представляется рядом слепых навыков; между
этими крайностями располагается г реобла тающее большин-
ство, заключающее всевозможные градации, концентрирую-
щиеся однако около типа индуктивного мыслителя.

ГЛАВАМ.
СОСТАВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ.
(Продолжение.)
ВЫБОР СВЯЗЕЙ, ПОДЛЕЖАЩИХ ОБРАЗОВАНИЮ.
Когда всесторонний анализ умственных функций, уча-
ствующих в изучении арифметики, произведен, мы сталки-
ваемся с вопросом: в чем же заключаются те элементарные
связи, или ассоциация, которые образуют эти функции?
И когда проблема препода ония арифметики рассматри-
вается, как это и должно быть, в свете современной психо-
логии как проблема развития известной иерархии умственных
навыков, то она становится в значительной мерс проблемой
выбора связей, подлежащих созданию, а также проблемой
установления нанлучшей последовательности образования их
и наи 'учигих способов образования каждой из них в этой
последовательности.
•
ЗНАЧЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ НАВЫКОВ.
Значение образования навыков или создания ассоциаций
соверпинно недооценивалось большинством учителей и со-
ставителей учебников. В самом деле, прежде всего усвоение
путем дедуктивного рассуждения таких связей, как „перенос”
в сложении, „занимание” в вычитании, значение цифр в ча-
стных произведениях при умнеж нии, обраше няе с цифрами
при делении, умение ставить десятичную запятую после пере-
множения или деления десятичных дробей, умение обра-
щаться с цифрами приумножении или делении дробей—все
это невозможна или крайне неправдоподобно в отношении
детей рассматриваемого нами возраста и развития. Как пра-
вило они не выводят приемов обращения с числами из сво-
его знания десятичной системы счисления. Скорее они усва-
ивают десятичную систему счисления благодаря „переносам”,
„заниманиям”, подписыванию последней цифры каждого ча-
стного произведения под частным множителем, дающим это
50
произведение, и т. д. Они усваивают приемы обращения с
числами, видя, как они применяются, и воспринимая их бо-
лее или менее вслепую как навыки, связанные с некоторыми
ассоциациями.
Далее мы, обладающие уже сложившимися и долго
применявшимися правильными навыками, а потолу застра-
хованные о г случайных заблуждений, вызываемых неудачными
умственными ассоциациями, с трудом можем представить
себе силу простой ассоциации. Когда ребенок записывает 16
как 61, цолучает 4?8, складывая
15
19
16
18
даёт 642 как ответ на 27 X 36 или говорит, что 4, раз-
1
деленное на разно I, то мы склонны считать его
умственно отсталым, забывая, а может быть и вовсе
не понимая того, что он поступает ошибочно как раз в
силу той ясе самой общей причины, по которой мы поступаем
правильно, а именно, в силу общего закона образования
навыка. Если мы рассмотрим случай записывания 61 вместо
16, то найдем, что подобные ошибки встречаются в работах
учеников, которые, приобретя навык в записывании чисел
26, 36, 46, 62, 63 и т. д., т. е. таких, в которых „шесть" за-
нимает при записи то же место, что и при произнесении числа,
возвращаются к записи чисел второго десятка. Если бы на на-
шем языке одиннадцать называлось „дцать один", а шест-
надцать— „дцзть шесть" и т. д., то мы вероятно никогда
не встречал..сь бы с подобными ошибками за исключением
разве только случайных „ляпсусов" — результатов неправиль-
ных представлений или отсутствия памяти. Ни тогда они
встречались бы чаще до изучения чисел третьего, четвер-
того и последующих десятков.
Если ученикам дается большое количество письменных уп-
ражнений в сложении столбцов однозначных чисел, дающих
в сумме единицы высшего разряда (так что каждый раз за-
писывалась двузначная сучма), то у них образуется навык
записывать 28 тотчас же после того, как найтена сумма 8,
6, 9 и 5; и мы не должны удивляться, если ученик случайно
запишет двузначную сумму, полученную от сложения цифр
первого столбца, и в том случае, ког^а он должен прссум-
91
мировать и второй столбец. Наоборот, если только на него
не действует какая-нибудь посторонняя сила, можно быть
вполне уверенным, что он сделает эту ошибку.
Последняя упомянутая сшибка (4:-у= I) интересна в том
*Т
отношении, что здесь, пожалуй, мы имеем один из случаев,
когда только дедуктивный вывод из области психологии
может окйзать преподаванию конструктивную помощь. Ум-
ножение и деление на дроби известны своей трудностью.
Первое облегчено теперь применением выражения „от' вме-
сто знаках впредь до образования нового навыка. Ко вто-
рому мы и теперь еще приступаем с большой осторожностью,
пользуясь различными средствами, чтобы показать, почему
аы должны „обратить и умнои.ить(" или „умножить на вели-
чину, обратную данной*.
Но трудность умножения и деления на дробь проистекает,
по мнению автора,’ вовсе не из того, что дети чувствуют
какой-то логический протест против перестановки или об-
ращения. Мне думается,' что большинство из них охотно
стало бы трижды обращать любую дробь или зачеркивать
наугад числа в столбце, если Ьы им показали, как это
надо сделать. Но если вы новичок, неопытный в области
числовых абстракций, и если вы три тысячи раз ассоцииро-
вали слово „делить* с понятием „сделать меньше*, и ни од-
ного раза не связывали его с понятием „сделать больше*,
то вы конечно почувствуете некоторое стремление сделать
число меньше и в три тысячи первый раз, когда вас попро-
сят разделить его. Некоторые из моих читателей вероятно
признаются, что даже теперь они чувствуют некоторое смуще-
16 1
ние или сомнение, когда говорят или пишу г, что - : g- = 128.
Навыки, касающиеся отношения результата к чи-
слу, над которым мы произвели действия, укреп-
ляемые каждым случаем умножения и деления на целые чи-
сла, являются прямо противоположными том навыкам, которые
должны быть созданы для действия с дробями. В этом
и заключается главная причина трудности. Если же так, то
преодолеть последнюю становится легче, как это и будет
показано ниже.
Таких примеров можно было бы привести почти беско-
нечное количество, особенно в отношении ответов, даваемых
на так называемые задачи с „подлавливанием*. Дело в тон,
что учащийся редко в состоянии произвести, и почти никогда
92
не производит, обозрения и анализа арифметическою поло-
жения и обоснования того, что оч предполагает делать,
выводами из основных принципов. Обычно он воспринимает
по южение более или менее смутно и отвечает на него так,
как он реагировал на него или на подобные же положения
в прошлом. Арифметика является для него не логической
доктриной, которую он применяет к раеличным специальным
случаям, а рядом до некоторой степени специализирован-
ных навыков поведения в отношении известного рода коли-
честв и соотношений. И поскольку он дочжен познать
доктрину, он делает это главным ооразом во исполнение
воли учителя. Эго остается справедливым даже при самом
ясном изложении, при разумнейшем применении наглядных
пособий и при полном поощрении индивидуальности ученика.
.Чтобы последние абзацы не были ложно поняты, спешу
добавить, что психологи наших дней вовсе не хотят превра-
тить изучение арифметики в простое приобретение тысячи
не связанных между собою навыков или уменьшить хотя бы
на йоту доступное для ученика понимание ее общих истин.
Они хотят, чтобы ученик рассуждал, не менее, чем прежде,
но бо^ее. Однако они находят, что вы не можете укрепить
в ученике способности рассуждать, только гребуя этого,
и что усвоение обшей истины, за которым не стоит надле-
жащее развитие организованных навыков, является скорее
не рациональным усвоением этой общей истины, а лишь
механическим запоминанием ее словесного выражения. Они
пришли к познанию того, что рассуждение является не
логической силой, работающей независимо от обычных на-
выков мысли, а организацией и сотрудничеством эт:гх самых
навыков на высшем уровне.
Прежняя педагогика арифметики устанавливала какой-ни-
будь общий закон, истину или принцип, приказывала ученику
выучить его и давала ему упражнения, которые он не мог
выполнять с пользой, пока он не понимал принципа. Она
предоставляла ему самому выработать в себе частичные
навыки, необходимые для достижения понимания и умения
пользоваться этим принципом. Нонан педагогика старается
помочь ему в выработке этих ассоциаций, или связей, как
заранее, так и одновременно с изучением общей истины
или принципа, так что он может лучше понять ее. Старая
педагогика приказывала ученику рассуждать и предоставляла
ему страдать от малой успешности в работе, если он этого
не делал. Новая педагогика вооружает учерика поучитель-
ным опытом над числами, который не только побудит его
93
к рассуждению, поскольку он обладает способностью к та-
ковому, но будет полезен ему в конкретном знании и умении
даже в том случае, если он ие обладает способностью раз-
вить этот опыт в общее понимание принципов чисел. Новая
педагогика в действительности более обеспечивает рассужде-
ние, хотя и не претендует на многие.
Далее, новая педагогика арифметики исследует каждый
элемент знания и каждую ассоциацию, созданную в уме
учащегося, чтобы избрать те из них, которые дают наиболее
поучительный опыт, и те, которые могут вырасти в строй-
ную, рациональную систему мышления о числах и количе-
ственных фактах. Недостаточно, чтобы задача была только
испытанием в понимании принципа,-—она должна быть кроме
того полезной сама по себе. Недостаточно, чтобы пример был
только иллюстрацией такого-то правила, —он должен помо-
гать обозрению и укреплению уже приобретенных навыков
ити вести к созданию и облегчению навыков, подлежащих
приобретению. Каждая деталь в работе ученика должна
оказывать максимальную помощь обучению арифметике.
ЖЕЛАТЕЛЬНЫЕ СВЯЗИ, КОТОРЫМИ СЕЙЧАС ЧАСТО
ПРЕНЕБРЕ АЮТ.
Как и до сих пор, я не буду пытаться перечислять пол-
ностью все элементарные связи, которые должен дать куре
изучения арифметики. Лучший способ подготовить изуча-
ющего эту тему к здоровому критицизму и полезному твор-
честву— это предоставить ему исследовать характерные слу-
чаи связей, которыми сейчас часто пренебрегают, но которые
должны быть созданы, и характерные случаи бесполезных
или лаже вредных связей, которые в настоящее время часто
создаются со значительной потерей времени и усилий.
1.	Числа как измерители величин; Каждое из
чисел один, два, три, 1, 2, 3 и т. д. должно быть связано
вскоре же после начала занятий арифметикой с соответствую-
щим количеством некоторой непрерывной величины, как дли-
на, объем или вес, а также с соответствующим количеством
совокупности яблок, марок, кирпичиков и т. п. Линии надо
проводить и делить на 1 дм, 2 дм, 3 дм и т. д., 1 см, 2 см, 3 см
и т. д.; грузы надо поднимать и называть 1 кило, 2 кило и т. д.;
жидкие и сыпучие тела надо измерять стаканами, пригор-
шнями, кружками, литрами. В противном случае ученик
будет склонен ограничить понятие четырех например че-
тырьмя ясно отграниченными предметами и будет испы-
тывать затруднение при умножении и делении. Измерение
94
или счет слабо размеченных повторений единицы связывает
каждое название числа с его значением, как... раз, чем бы
ни была 1, более надежно, чем простой подсчет единиц
в совокупности, и содействует укреплению соответствующего
навыка.
2.	Сложение с переходом в единицы высших
разрядов. Сложение с переходом в единицы высших
разрядов, т. е. такие связи, как 16-|-7=23;26-|-7 = 33;36-|~
-]-7=43; 14 + 8 = 22; 24-]-8=32 и т. д., требуют для всех
детей, кроме наиболее способных, специальных упражнений,
которые надо вести до тех пор, пока тенденция не будет
обобщена. .Счет" двойками, начиная с 1 и 2, счет тройками,
начиная с 1,2 и 3, счет четверками, начиная с 1, 2. 3 и 4
и т. д., облегчает начало образования десятичных ассоциаций.
Вскоре к эт му следует добавить упражнения с отдельными
связями, чтобы достигнуть более свободного пользования
связями. Работу со сложением чисел в столбцах нужно про-
верять в отношении точности так, чтобы ученик получал
непрерывно плодотворную практику, а не .практику в ошиб-
ках*.
3.	Деление с остатком. Деление с остатком всех
чисел до 19 на 2, всех чисел до 29 на 3, всех чисел до 39
на 4 и т. д. должно проходиться наряду с делением без
остатка. Таблица, подобная нижеследующей, может служить
удобным способом выработки этих ассоциаций.
10= . . .	раз по	2					
10= ...	раза по	3	и .	•		в	остатке.
10= . . .	раза по	4	и .			в	остатке.
10= . . .	раза по	5					
11= . . .	раз по	2	и .		>	в	остатке.
11= . . .	раза по	3	и .	•	-	в	остатке.
89= . . .	раз го	9	и .			в	остатке.
Эти связи должны быть созданы до приступа к сокращен-
ному делению; они полезны как некоторое пособие при
подборе подходящих цифр частного в подробном делении
и являются главным орудием при решении одной из важных
серий задач прикладной арифметики, именно: .Сколько
х могу я купить на у копеек по цене z за х и сколько
денег у меня останется?* Что этими связями в настоящее
время безрассудно пренебрегают, показал Кирби (Kirby, 1913)
который нашел, что ученики второй половины третьего и
95
первой половины ч<твертого года обучения могли решить
сольно около четырех таких примеров в минуту (в Десяти-
минутном тесте) и даже при такой скорости получали да-
леко не блестящие результаты, хотя они уже изучили обыч-
ные таблицы деления. Шестьдесят минут упражнения дали
в результате увеличение числа решаъ мых в минуту задач
приблизительно на 73% при соответствующем увеличении
и правильности решений.
4.	Форма уравнения. Форма уравнения с одной неиз-
вестной величиной, подлежащей определению, или с пропущен-
ным числом, подлежащим отысканию, должна 1быть связана
в уме учеников с ее значением и с построением задачи
з 1Д0ЛГ0 до того, как они начнут изучать алгебру; то же
справедливо и в отношении учеников, которые никогда не
будут проходить алгебры.
Ученики, которые только что научились складывать и
зычитать, легко проделывают работу, подобную нижесле-
дующей.
Напишите недостающие числа:
4-|-8=....
5-j-.... = 14
....4-3=11
....=54- 2
16=74-....
12=....4-5
Форма равенства — простейший", единообразный способ
установления количественных соотношений. Он способен
к беспредельному расширению, если изучены некоторые
легко воспринимаемые условия относительно скобок и знаков
дроби. Его следует широко применять в счетоводстве и при
решении коммерческих задач взамен отживших условных
форм. Он является лучшей данью, которую алгебра принесла
торговой и промышленной жизни Арифметика может это
сделать поцти так же хорошо. При изучении одного лишь
сокращения дробей и приведения их к общему знаменателю
он спасает больше времени, чем требуегся для усвоения его
значения и применения. Записать количественную задачу
в виде уравнения, а затем сделать легкий выбор необходи-
мых технических действий, чтобы решить уравнение, — э.о
один из наиболее полезных иктеллг ктуальных приемов, изве-
стных человеку. Слова „равно*, „равны*1, .есть**, „суть",
„составляет", „составляют*, „дает", „дают“ и другие реже
применяемые аналогичные выражения должны поэте му в на-
чале же и во многих случаях уступать дорогу знаку =,
который столь значительно превосходит их исключительным
У 1GOCTBOM и простотой.
5.	Сложение и вычитание в случае дробей.
В случае сложения и вычитания дробей необходимо вырабо-
тать, кажтую в отдельности, некоторые специфические связи,
как то: между положением под лежащих сложению половин и
третей и представлением о числах как таком-то количестве
шестых долей; между положением подлежа.ких сложению
третей и четвертей и представлением о них как о таком-то
количестве двенадцатых долей; между положением подлежа-
щих сложению четвертей и восьмых и представлением о них
как о стольких-то восьмых и т. д. Общее правило предста-
вления дробей как эквивалентных' им других дробей с ка-
ким-либо подходящим знаменателем придет тогда как орга-
низация и расширение этих специальных навыков, а не как
приказ, исходящий из учебника или от у'фтеля.
6.	Дробные эквиваленты. Эффективность работы
требует, чтобы наиболее употребительные сокращения были
в конце концов тесно связаны с течи положениями, в которых
они требуются. Поэтому они могут быть связаны так с са-
мого же начала, что принесет выгоду, значительно обчегчая
тупым ученикам звладение общим принципом. Позднее мы
увидим, что для всех учеников, кроме наиболее способных,
экономный способ приобретения понимания арифметических
принципов заключается обычно не в усвоении правила
и в дальнейшем применении его, а в выполнении поучитель-
ных действий; выполняя их, ученик прибретает и знание
принципов.
7.	Защитные навыки приумножении и делении
дробей. Приумножении и делении дробен следует созда-
вать специальные связи, чтобы противодействовать теперь уже
вредному влиянию связей: „гомнижить = получить большее
число" и „ разделить = получить меньшее число", которые
укреплялись всей работой нал целыми числами.
Например при начале систематической работы над умно-
жением на дробь следовало бы, чтобы вверху каждой отно-
сящейся к данном] вопросу страницы руководства было
четко отпечатано, а на классной доске написано:
Когда вы умножаете одно число на другое, большее I, то
результат больше первого числа.
Когда вы умножаете какое-либо число на 1, то резуль-
тат равен этому же числу.
7 i.pesm.	97
Когда вы умножаете одно число на другое, меньшее 1, то
результат меньше первого числа.
Заставьте учеников выраоотать новый наьык посредством
большого количества упражнений, подобных следующему:
18X4= ... 4X4= ... ?Х4= ... 1X4= ... |х4-... |Х4=... ?Х4-...	9X2= 6X2= ... 3X2= ... 1X2= ... |Х2= ... 4-Х2-...
В случае деления на ^ро^ь прежний вредный навык дол-
жен быть переделан и улучшен применением аналогичных пра-
вил и упражнений. Например:
Когда вы делите одно число на другое, большее 1, та
результат меньше первого числа.
Когда вы делите какое-нибудь число на I, то результат
равен тому же числу.
Когда вы делите одно число на другое, меньшее 1, то
результат б
Найдите 1
8 = .... раз
8 =>.. раз
8 —	. раз
8 = .... раз
8 = .... раз
8 = .... раз
мьше первого чи
едосгающие чис;
по 4 12=....
по 2 12=....
по 1 12=....
по,-,- 12=....
£
по-- 12=...,
4
по 12= ______
О
12=....
12 = ....
раз по 6 9 =
раз по 4 9=
раз по 3 9 =
раз по 2 9 =
раз по 1 9=
1
раз no-g-
1
раз ьо .
1
раз no-j
.... раз по 9
____раз по 3
. — раз по 1
.... раз по —
1
.... раз по д
98
16:16 =	9: 9 =	10: 10=	12:6 =
16: 8 = i	9: 3 =	10: 5=	12:4 =
16: 4 =	9: 1 = 1	10: 1 =	12:3 =
16; 2 =	4-	,о4=	12:2 =
16: 1 = «4 = |б4= 16: * =	®4=	I0: 10 •	12:1 = 12--1 — iz. 2 — 12: 4- = О ,24 = 12: >- =
8.	„Процент от* обозначает „сотые доли*. В
случае процентов необходимо создать ряд связей, подобных
следующим:
5 процентов от = 0,05 от ....
20	,	„ = 0,20 от ....
6	„	„ = 0,06 о'г . .. .
25%	X 0,25
12°/D „ = -... X0,12
3% „=.... х 0,03
Четыре пятиминутных упражнения на такие ассоциации
между вх процентов от* и „умноженное на равную десятич-
ную дробь" равноценны часу изучений словесного определе-
ния значения процента, как такогл-го количества на сто или
т- п. Единственная польза от изучения таких определений —
это облегчение позднейшего образования связей; но для
всех учеников кроме наиболее способных эти связи более
необходимы для понимания определений, чем эти определе-
ния необходимы для образования связей.
9.	Навыки в проверке результатов. Необходимо
Уже в начале обучения арифметике создавать связи между
векоторы-..и действиями над числами и некоторыми спосо-
бами проверки или подтверждения правильности действия,
7*	99
о котором идет речь. Сложения до 9 -|-9 и вычитания до
18—9 должны проверяться сложением и вычитанием предме-
тов и счетом до тех пор, пока ученик не приобретет в них
полной уверенности; умножения до 9X9 должны прове-
ряться посредством умножения на пцедметах и подсчета
результата (разложенного в кучки десятков и 1 кучку единиц)
раз 8 или 10, а также посредством сложения тоже 8 или 10
раз’); деление до SI —|-9 до1жно проверяться умножением
или, при случае, делением на предметах до тех пор, пока
ученик не приобретет полной уверенности; сложение столба
цов должно проверяться сложением отдельных столбцов
и последующим сложением найденных таким образом сумм!
а также разбивкой данного столбца на два более коротких
и сложением обеих сумм; „краткое" умножение должно
проверяться 8 или 10 раз посредством сложения; „подробное"
умножение должно проверяться посредством перестановки
множимого и множителя и иными способами; „сокращенное*
и „подробное" деление должно проверяться посредством!
умножения.
Эти навыки в проверке полученного результата имеют
тройное значение. Они дают ученику возможность находить
свои собственные ошибки и самому поддерживать определен-
ную степень точности. Они открывают ему смысл взаимо-
отношений между действиями и причинами, в силу которых
правильные способы сложения, вычитания, умножения и I
деления действительно правильны,—такое понимание, кото-
рое могут приобрести из словесных объяснений только очень
одаренные ученики. Они дают возможность действительного
и разумного применения приобретенного им известного
умения, например в умножении, к проверке результатов его
упражнений в этом новом умении и тем внушают ему ува-
жение к арифметическим знаниям и способностям вообще.
Получаемые результаты обходятся весьма недорого с точки
зрения затраты на них времени, ибо упражнение в сложении
для поверки умножения, в умножении для повеоки деления
и т. д. почти так же хороши для общей тренировки и обзора
сложения и умножения как таковых, как и упражнения,
предназначенные для этой специальной цели.
Первоначальные упражнения в сложении, вычитании и со-
кращении дробей должны проверяться посредством наглядных
пособий в виде линий и площадей, разделенных на подходя*
<) Восемь ияи десять раз всего, а не по восемь или десять раз каж-
дого случая в таблице.
Применение автор'1-
100
щие дробные части. Первоначальные упражнения в десятич-
ных дробях должны проверяться применением обыкновенных
дробей, равнозначащих таким десятичным, как 0,25; 0,75;
0,125; 0,375 ит. п. Умножение и деление дробей как обыкно-
венных, так и десятичных на первых порах должны про
всрятося при помощи наглядных пособий. Постановка деся-
тичной запятой при умножении и делении десятичных дробей
должна проверяться при помощи упражнений, подобных
следующим:
24,60|1,23 Частное не может равняться 200, потому что
246	200 >(1,23 гораздо больше 24,60; оно не может
равняться 2, потому что 2 X 1,23 гораздо меньше
24,6.
Создание навыков в проверке результатов и их примене-
ние весьма необходимы. Процент неправильных ответов
в школьных арифметических работах так высок в настоящее
время, что ученики часто упражняются в ошибках. Во многих
случаях они не могут чувствовать подлинного и поднимаю-
щего дух доверия к действиям, поскольку их собственное
применение действий дает им столько же ошибочных ответов,
сколько и правильных. Решая задачи, они часто не могут
установить, правильно они их делали или нет, потому что,
даже если они шли по правильному пути, все же они могли
наделать при этом ошибок. Поэтому ошибочный ответ на
задачу слишком часто представляется им двусмысленным
и непоказательным
Изложенное на последних страницах является образном
тех приемов, которые рекоменд} ются после рассмотрения
всех связей, подлежащих образованию, и той дани, которую-
каждая из них должна внести в дело развития и усоЕ)ершен-
ствовэния способностей, составляющее задачу обучения ариф-
метике. Многие из прошлых успехов в преподавании арифме-
тики были достигнуты благодаря более или менее сл*ча< ному
пользованию тем, что психология учит нас применять в этом
отношении обдуманно и систематически.
I
ИЗЛИШНИЕ И ВРЕДНЫЕ СВРЗИ.
Тщательное изучение связей, создаваемых ныне при пре-
подавании арифметики, с точки зрения полезности каждой
*) Факты, касающиеся сорременнз i неточности в школьных работах яс
арифметике, читатель наймет в дальнейшем.
Примечание автора.
101
из них, приводит в результате к длинному списку связей,
малоценных или вовсе не имеющих цены, поскольку об этом
может судить психолог. Я приведу здесь примеры таких
психологически не оправдываемых связей и укажу некото-
рые причины их непригодности.
1. Произвольные единицы. В упражнениях,вредна!
значенных для усовершенствования способности распознавать
и применять значения чисел как наименования соотношений
или относительных величин, неразумно применять совершенно»
произвольные единицы. Поэтому прием II (см. внизу страницы)
лучше, чем прием I. Сантиметры, дециметры, метры и доли I
последних более подходят как единицы длины, чем произ I
вольные отрезки А. Квадратные сантиметры, квадратные]I
дециметры и квадратные метры следует применять при из
мерении площадей. Граммы и килограммы предпочтительна 1
при взвешивании, чем произвольные грузы. Литры, пол--
литры, стаканы, чашки, пригоршни и кубические сантиметры
«	. t	применяются при измерении объ-i
“	емов.
Все действительно ценное в
_	упражнениях с относительными
® '	величинами, рекомендуемых Спи-
ром (Speer), Мак-Лелланом и
Льюи (McLellan and Dewey) и
С ———	другими, может быть усвоено
без затраты времени на сописти
вленне величин ради одного толь!
D	. _ . . . ко понятия об относительных ве-
ФНГ< з,	личинах. Применение в упражне-
ниях таких единиц измерения,
которые никогда не будут применяться bona fide, подобно
употреблению дробей вроде седьмых, одиннадцатых и трид-
цатых, нецелесообразно. Очень небольшое количество их, мо- I
жет быть, и желательно для испытания овладения некоторыми
общими принципами, но для регулярных упражнений они [
должны уступить место применению единиц, имеющих прак- I
тическое значение.
I. Если А равняется 1, то какая линия равна 2? Какая лингв j
равна 4? Какая линия равна 3? Какой линии равны А н С смеете? I
Какой линии равны А и В? Насколько В длиннее А? Насколько I
В длиннее С? Насколько D длиннее А?	(
II. Линия А равна I дм (см). Какая линия равна 2 дм? Какая I
линия равна 4 дм? Какая линия равна 3 дм? А и С составят I
102
A-----------
В-----------------------------
С--------------------
р--------------------------------------
Фиг. 4.
вместе .... дм? А и В составят вместе .... дм? В длиннее А
на .... дм? В длиннее С на .... дм? D длиннее Л на .... дм?
2.	Числа, кратные II. Пронзве/ения чисел от 2 до 12
на fl и на 12 являются обособленными связя и, а потому
следует предоставить ученику самому вырабатывать их по
мере того» как ему встретится в них надобность. Эги связи
переплетаются с процессом изучения умножения двузначных
чисел. Манипуляции с числами, требующиеся при этом, могут
быть изучена гораздо легче, если 11 и 12 применяются
в качестве множителей совершенно так же, как например
78 или 96. Позднее можно заучить произведения 12X2,
12X3 и т. д. Для знания чисел, кратных II, имеется, меньше
оснований, чем для знания чисел, кратных 15, 16 или 25.
3.	Отвлеченные и именованные числа. Тщатель-
ная проработка того предполагаемого фгкта, что мы не
можем умножить 726 на 8 руб., и еще более тщательно раз-
работанные объяснения того, почему мы ч ем не менее нахо-
дим стоимость 726 предметов, ценою по 8 руб. каждый,
Умножая 726 на 8 и называя ответ рублями, — излишни. То
же справедливо в отношении соответствующих педантических
соображений, касающихся деления. Этих воображаемых за-
труднений вовсе не следует создавать. Ученик должен думать
яс об умножении или делении людей или рублей, а просто
° необходимости составления уравнения н о том, какого
Рода вещь выражается недостающим числом: .8X726= —
ответ выражает рубли" или .8, 726 перемножь; ответ в pj6-
лях“—вот все, о чем ему нужно думать; притом же это
самая лучшая форма выражения его мысли. В отношении
Различия между отвлеченными и именованными числами
•логика и здравый смысл, равно как и психология, поддер-
живают утверждения Мак-Даугля (McDougle, 1914, стр. 2U6
и след.), который пишет:
103
„Самый элементарный счет, даже на той ступени, когда
числа не удерживаются в уме, а просто обмечаются метками
на палке или камешками в приборе Де Моргана (De Morgan)
требует некоторого размышления; что же касается наиболее
искусного счета, то он требует запоминания вещей. Поэтому
выражение „абстрактные и именованные числа" давно уже
перестало применяться мыслящими людьми.
Недавно автор посетил урок арифметики в одной Госу
дарственной нормальной школе и видел смущение группы
фактически взрослых учащихся, столкнувшихся с указанным
вопросом об отвлеченных и именованных числах, которые
они изучали в свое время в согтв^гствии с условностями
руководства. Учительница прервала нормальную работу на
этом уроке и вместе со всей группой затратила почти все
время на восстановление требований, что „произведение
должно быть всегда выражено в единицах того же рода
как и множимое", и „слагаемые должны быть все однородны,
чтобы их можно было складывать". Это не исключительный
случай. Па всех ступенях обучения арифметике в народных
школах ум учащихся затуманивается философскими нагро-
мождениями, которыми сопровождаются самые простые про-
цессы работы над числами. Теперь, когда мы занялись
исправлением наших взглядов на сущность арифметики, ко-
нечно настало время и для пересмотра некоторых из этих
совершенно излишних и приводящих в уныние упражнений.
Алгебра исторически выросла из арифметики; однако она
не обременена этим различием. При занятиях алгеброй ни
один ученик не приравняет х к лошадям; он считает х рав-
ным числу лошадей и действует гак, что мысль о лошадях
оста.гея зне now его зрения. Он умножает, делит и извле-
кает корень из числа, иногда получает в процессе решения
дроби и только в конце поясняет результат в соответствии
с условиями задачи. Конечно при начале работы над числами
имелись чувственно воспринимаемые объекты, исходя из ко-
торых и было выведено понятие числа, но ум естественно
переходит от предметов к чистой концепции числа, а затем
и к символу числа. Следующий пример взят из прилежения
к работе Горна (Horn); в нем ученица седьмой группы опре-
деляет население САСШ в 1820 г.:
7 862 166 белых
233 634 свободных и гра
1 538 022 раба
9 633 822
104
Если мы примем о зычное подразделение, то в этой задаче
окажутся соединенными три различных рода слагаемых. Кто-
нибудь может сказать, что это сшибка, так как ученик заме-
няет „белых**, „свободных негров* и „рабов" некоторой об-
шей единицей, как „люди", составляющие „население**, а за-
тем складывает эти общие единицы. Но такое объяснение
совершенно произвольно, как каждый может обнаружить,
спросив ученика о приеме решения им задачи. Окажется,
что ребенок просто сложил цифры как обозначения чисел,
а затем назвал результат в соответствии с условиями задачи,
без такого большого количества умственной гимнастики.
Автор опрашивал по этому вопросу сотни учащихся нормаль-
ной школы и пришел к убеждению, что обычный ход мысли
указан им здесь совершенно правильно, хотя бы некоторые
и поддерживали академическое предложение, что этот ход
не логичен. При решении помещаемой ниже задачи, пред-
лагавшейся многим групп”м нормальной школы в Восточней
Кентукки, неизменно получался один и тот же результат:
„В огороде столько же кочиов капусты, сколько в этой
группе девечек и мальчиков вместе. Сколько кочиов ка-
пусты в огороде?**
И ж мкдый раз на доске красовалось решение, вроде
следующего:
29 девочек
15 мальчиков
44 кочна капусты.
Точно так же можно сказать: „В одном хозяйстве в шесть
раз больше овец, чем в другом коров. Если во втором хо-
зяйстве 5 коров, то сколько в первом овец?- Здесь мы мно-
жим число коров, равное 5, на 6 и получаем как результат
число 30, которое должно быть связано с представли ием
об овцах, потому что этого требуют условия задачи. Разум,
ест( ственно, отделяет в этой работе чистое число от его
положения, как и в алгебре, поступает с ним по законам,
управляющим арифметическими сочетаниями, и обозначает
результат так, как того требуют условия задачи. Это может
быть выражено в следующем положении, которое молчаливо
принято в алгебре и должно быть равным образом принято
в арифметике:
во всех арифметических вычислениях и действиях все
числа по существу отвлеченны в должны трактоваться именно
нак таковые; они конкретны только в процессе мышления,
который следует за действием и поясняет результат.
10&
4.	Общее наименьшее кратное. Весь список свя-
зей, относящихся к изучению „общего наименьшего крат-
ного", должен быть о лущен. При сложении и вычитании
дробей ученик не должен находить общего наименьшего
кратного их знаменателей; он должен найти любое общее
кратное, но "< лжен сделать это быстро и правильно. Ни
один разумный человек никогда не станет терять времени
на отыскание общего наименьшего кратного в случае шестых,
третей и половин иначе, как из-за несчастных традиций
пересистематизированной арифметики; он будет оперировать
с равнозначащими им шестыми, двенадцатыми, двадцать-
четвертыми или любыми другими подходящими
дробями со знаменателем, являющимся общим
кратным. Процесс нахождения общего наименьшего крат-
ного имеет такое исключительно редкое применение в науке,
на практике и в жизни вообще, что в учебниках приходится
помешать совершенно фантастические задачи, дабы дать
материал для упражнений.
5.	Общий наибольший делитель. Весь список
связей, относящихся к изучению „общего наибольшего дели-
теля", также должен быть опущен. При приведении дробей
к несократимому виду ученик должен делить на любое число,
на которое, как он видит, можно делить, отдавая предпо-
чтение большим числам, и продолжать деление до тех пор,
пока он не получит дроби, выраженной числами, подходя-
щими для данной цели. Читатель вероятно никогда не имел
случая отыскивать наибольших делителей с тех пор, как он
вышел из школы. Если же емгу и приходилось вычислять
ос, то он вероятно сэкономил бы время, решая задачу
каким-либо иным способом.
Следующие примеры взяты наугад из одного из лучших
руководств, в которых делается попытка добиться примене-
ния отыскания общего наибольшего делителя и общего наи-
меньшего кратного к ре?тению задач Большая часть этих
задач фантастична; остальные—тривиальны или легче реша-
ются путем проб и подстановок.
1.	В школе 132 учащихся на курсах, 154 ученика П сту-
пени и 198 учеников I ступени. Если каждое из отделений шко-
лы разделить на несколько групп с одинаковым числом учеников,
сделав каждую из них возможно более многолюдной, то сколько
учеников будет в каждой группе?
*) McLellan and Ames, Public School Arithmetic (1100).
Примечание aamepa.
Wff
2.	В совхозе собрано 240 ц пшеницы и 920 4 овса, которые
надо ссыпать в наименьшее число гакромов одинаковой вмести чисти,
не мешая этих двух сортов зерна. Найти, сколько центнерог зерна
надо ссыпать в каждый закром. ।
3.	Четыре сигнальных гудка издают звук с перерывами в 3, 7, 12
и 14 секунд соответственно. Если все четыре сигнала поданы
в первый раз одновременно, то через сколько времени эти сигналы
сновд совпадут?
4.	А, В, С и D отправились одновременно в путешествие вс-
круг ост рота, имеющего 600 км в окружности; А проходит 20 км
в день, В—30, С — 25 hD — 40 Сколько времени должно продол-
жаться их путенл ствие, чтобы они могли опять сойтись все вместе?
5.	Период обращения трех планет, движущихся равномерно по
круювым орбитам вокруг Солнца, равен соответственно 200, 250
и J00 дням. Преосолагаэ, что дано нх положение относительно
друг друга и Солнца в некоторый момент, определить, сколько дней
должно протечь прежде, чем инн опять займут точно такое же от-
чреителр ное положение.
6.	Редкие и не имеющие значения слова. Связи
между редкими и не имеющими значения словами и смыслом
последних не должны создаваться только во имя словесного
разнообразия задач в учебнике. Нельзя ожидать, чтобы уче-
ник решил задачу, которую он не может прочесть. Нельзя
ожидать, чтобы ученик старой, третьей и даже четвертой
группы читал слова, которые он видел редко или которых
он вовсе не видел раньше. Ему не следует давать pacta и"
ренных упражнений в чтении в течение того времени, кото-
рое посвящается изучению количественных фактов и соотно-
шений.
Все это столь очевидно, что может казаться излишни ч
на этом останавливаться. Однако это не так. Многие учеб-
ники составлены в настоящее время так, что приходится
или прививать ученикам определенный навык в чтении слов,
встречающихся в печатных задЕчах, предназначенных для
второй, третьей и четвертой i рут п, или заменять эти задачи
устным изложением их, или же оставлять учеников в полном
смущении относительно гою, что представляет собой задача,
которую они должны решить. Многие хорошие учителя пре-
вращают каждую страницу задач в регулярный урок чтения,
прежде чем приступают к решению. Следовало бы, чтобы
необходимость в этом была устранена.	*
Чтобы дать конкретное представление о словах, которые
я считаю редкими и не имеющими значения, я при-
шт
веду несколько таких выражений, остающихся малопонятными
дат учеников вплоть до половины третьего года обучения
(хотя каждое из этих слов можно встретить на первых же
50 страницах некоторых хорошо известных начальных руко-
водств по арифметике). Таковы: затруднительные для чтения
географические названия (Вашингтон, Миссури, Сан-Фран-
циско и т. д.); собственные имена (Сусанна, Шарлотта, Гора-
ций, Маи и др.); названия предметов (термометр, фотография,
торпеда); существительные, за которыми у ребенка не стоит
еще выработанного представления (собственник, приход, рас-
ход, страхование, должность и Т- д.); такие же глаголы и
прилагательные (чередоваться, вербовать, указывать, превос-
ходить, coOHpaibcn; отсутствующий, первоначальный, про-
тивоположный и т. д.).
Число подобного рода слов весьма велико; по крайней
мере автор почерпнул их из только что указанного источ-
ника в количестве, превышающем 200.
7. Факты и действия, вводящие в заблужде-
ние. Не следует создавать связей между товарами и грубо
неточными ценами на них, между фактами и слишком мало-
вероятными последствиями, причинами и сопутствующими
ям обстоятельствами, а также между вещами, качествами
и явлениями, которые не имеют значительных связей между
собой в реальном мире. Вообще не следует создавать у уче-
ника одновременного представления таких предметов, кото-
рые не связаны между собою.
 Если читатель сомневается в целесообразности такого
предупреждения, то пусть он просмотрит приводимые ниже
задачи 1—5, взятые из книг, пользующихся прекрасной репу-
тацией и повсеместно применяемых или применявшихся до
недавнего времени; пусть он обратит также внимание на то,
как упражнение 6 запутывает сложение, вычитание я навыки,
связанные с каждым из этих действий. -
3
утка, скорость полета которой составляет — скоро-
О
1. Если
сти полета сокола, пролетает 150 км в час, то какова скорость
полета сокола?
2.	Сколько яиц можно купить на 60 руб. по цен“ — коп. за
н
штуку?
3.	Сколько калош можно купить на 816 р. по цене 1 р. 36 к.
за пару?
4.	Сколько яблок можно купить на 6 р. 24 к. по цепе 26 коп.
за десяток?
108
5.	Сколько Пакетов, вмещающих по I кг бобсв, можно запол-
нить из ящика, в который входит ровно 21 ц бобов?
6.	Напишите отьеты:
f>37
365 Начиная снизу, говорим II, 18 и 2 ^записывая эту цифру
р на ее месте) составляют 20; 5, 11, >4 и 6 (записывая эту
36 цифру) доставляют 20; 5, 10. Недостающее чисто равно 62.
1000
581	Ь. 625	с. 752	d, 314	е. ?
97	?	414	429	845
364	90	130	?	223
?	417	?	76	95
8.	Тривиальность и бессмысленность. Не сле-
дует создавать связей между незначительными или глупыми
вопросами и работой для ответа на h:ix, а также между
общей арифметической работой в школе и теми же незна-
чительными и глупыми вопросами. Следующие примеры
взяты из современных учебников, имеющих прекрасную ре-
путацию.
На одной стороне грифельной доски Георга написано 32 слова,
а на другой—26 слов. Если он сотрет 6 слов на одной стороне
и 8 на другой, то сколько слов останется на его доске?
В школе 14 классных комнат; в среднем в каждой комнате
помешается 40 учеников. Если каждый учегнк проведет по 500
прямых линий на каждой стороне своей грифельной доски, то
сколько линий будет проведено всеми учениками?
Число полос на американском флаге, умноженное на 8, состав-
ляет число лет, притекших с 1800 г. до избрания Рузвельта
президентом САСШ. В каком году он был избран президентом?
С момента провозглашения независимости СЛСШ до Всемирной
выставки в Чикаго прошло в 9 раз большее число лет, чем число
полос па американском флаге. Сколько же прошло лет?
9	Бесполезные методы. Не следует создавать свя-
зей между описанным положением и таким способом рас-
смотрения этого положения, который не был бы полезен при
рассмотрении аналогичного жизненного положения. Напри-
мер вопрос: „Если я рассажу 96 деревьев рядами по 16 де-
ревьев в каждом ряду, то сколько рядов у меня получится?“—
создает навык решения посредством деления такой задачи,
которая в действительности должна решаться подсчетом
рядов. Равным образом задача; .Я хочу дать по 25 коп. каж-
109

дому из мальчиков одной группы и нахожу, что для этого
нужно 2 р. 75 к. Сколько мальчиков в этой группе?"— соз-
дает навык отвечать посредством деления на вопрос, ответ
на который должен быть уже известен при составлении
условий задачи.
10.	Задачи, ответы на которые в ре льном
жизни всегда уже известны. Обычай давать в учеб-
никах задачи, которые не могут иметь места в действитель-
ности, потому что ответ должен быть известен для самого
построения задачи, является естественным результатом стрем-
ления ленивых авторов изобрести задачу, которая соответ-
ствовала бы определенному процессу и определенному от-
вету. Такие фальшивые задачи очень и очень распространены.
На дюжине страниц, взятых наугад из .Обзора пройденного*,
одього из наиболее широко распространенных современных
учебников, я нашел около 6°/0 задач, являющихся задачами
этого рода. Среди задач, импровизируемых самими учителями,
такие дутые задачи вероятно еи:е более часты. Например:
Конторщик надписывает адреса на письмах по данному ему
списку. После того хак он адресовал 2500 писем, оказалось, чю
4
имен в списке еще не использованы; сколько всего имен было
в списке?
Канадский канал в Сэит Мэри питает водой установку в 20000
лощадивь’х сил. Канед на Мичиганской стороне питает в 2 - раза
Хг
более мощную ус тановку. Сколько лошадиных сил развивает по-
следняя?
Могут заметить, что идеал — давать в качестве задач,
содержащих словесное описание, только такие задачи, кото-
рые могут действительно встретиться, я требовать то. о же
способа решения, который применим в жизни,- слишком
педантичен. Если задача понятна и служит для иллюстрации
принципа или дает полезное упражнение, то преподаватель
может сказать, что этого для него довольно. Для действи-
тельно научного преподавания этого однако недостаточно.
Более того, если задачи даются только для тпго, чтобы
проверить знание какого-либо правила, или как средство
сделать ясным или отчетливым тот или иной факт или прин-
цип, без расчета оказать непосредственную помощь в коли-
чественной жизненной работе, то лучше просто сообщить
этот фгкт. Например задача: „Я задумал число; половина
110
этого числа равна шести, помноженного на два; чего равно
задуманное мною число?" — лучше, чем такая задача: „Один
человек дал своей жене определенную сумму денег; половина
того, что он ей дал, вдгое больше того, что ин дал своему
сыну, получившему 60 руб. Сколько он дал своей жене?"
Первый пример лучше потому, что он не содержит в себе
никаких ложных претензий.
11.	Бесполезные лингвистические трудности.
Как будто излишне добавлять, что не следует создавать
связей между' общим отношением ученика к арифметике и
излишними бесполезными лиг теистическими трудностями,
а также излишним, бесполезным и ложным рассуждением. -
Однако наше преподавание до г их пор заражено этими обе-
ими злополучными ассоциациями, которые побуждают уче-
ника считать арифметику тайной и бессмыслицей.
'Обратите внимание например на бесполезную лингвисти-
ческую трудность задач 1—6, арифметические трудности
которых своя».гея к следующим простейшим действиям:
1.	5Ц-Ь4-3-{-7.	4.	6:2.
2.	64:8.	5.	3X2.
3.	12:4.	6.	4X4.
1.	Какую сумму вы получите, сосчитав вместе 5 коп., 8 коп.,
3 коп. и 7 коп.? Как нашли вы этот ответ; сложением или умно-
жением?
2.	Сколько раз нужно опорожнить ведро, вмг пагошее 8 л, чтобы
наполнить бочонок, вмг щагзщий 64 л?
3.	Если девочка прохолит в день по 4 страницы из хрестоматии,
то во сколько дней она пройдет 12 страниц?
4.	Если у Фреда 6 цыплят, то сколько раз может он отдать по
2 цьп ленка се оим товарищам?
5.	Если при игре в крокет игрок проводит свой шар каждым
ударом чергз двое ворот, то через сколько ворот проведет си свог.
шар 3 уларами?
6.	Если мама, разрезав пирог на четыре части, дала каждому
сидящему за столом по куску', то сколько человек сидело у нее за
столом, если ей пришлось разрезать 4 целых пирога?
С арифметической точки зрения эта работа относится
к первому или второму году обучения. Но дети II и Ш
ступени, кроме очень немногих, будут испытывать крайние
затруднения в понимании этих словесных формулировок.
 Мы до сих пор еще не свободны от тех глупостей, кото-
рыми полны приводимые ниже „уроки" и которыми забивали
головы наших родителей.
1П
I
Фиг. 5.
УРОК I.
1.	Сколько девочек качается на качелях на этой 'картал ке?
2.	Ск< лы:о девочек раскачивает качели?
3.	Если вы сосчитаете обеих девочек вместе, то сколько их
получи ГСЯ?
Одна девочка и еще одна девочка —сколько же это будет?
4.	Сколько котят вы вплнге на пне?
5.	Сколько котят на земле?
6.	Сколько котят всего на картинке?
7.	Сколько будет—один котенок и еше один котенок?
Если бы вы спросили меня, сколько девочек качается г а
качелях или сколько котят находится на пне, я мог бы шьетыь
громко:,Один" (,однаи). Я мог бы также написать: яОбии“ (яодна1),
или так: „1"-
8.	Если я пишу один, то это называется словом один.
9.	Если я пишу 1, то это называется цифрой один, потому
что sjo обозначает то же самое, что слово один, и ставится вместо
этого слона один.
10.	Напишите 1. Как это называется? Почему?
11.	Цифра 1 может стоять вместо одной девочки, одного котенка
или вместо любого одного предмета.
12.	Когда дети впервые приходят в школу, то что они начинают
учить? Отв. Буквы и слова.
112
13.	Можете ли вы читать или писать прежде, чем вы выучите
буквы и слова?
14.	Если мы имеем все буквы сразу, то мы называем их алфа-
витом.
15.	Если мы пишем или говорим слова, то мы называем это
языком.
16.	Вы начинаете изучать арифметику; и вы сможете читать
и писать по арифметике только в том случае, если вы выучите
алфавит и язык арифметики. Но для этого потребуется немцрго
времени.
8
f • р Л J 1 й К.
113
Фиг. 6.
УРОК II.
I.	Есл 1 мы произносим или пишем слова, то как мы называем
их, когда берем их все вместе?
2.	Что вы начиняете изучать? Отв. Арифметику.
3.	Какой язык должны вы теперь изучать?
4,	Как мы называем это: 1. Почему?
5.	Эта цифра 1 составляет часть языка арифметики.
6.	Если бы мне надо было написать что-нибудь, чтобы изо-
бразить два — две лесочки, два котенка или два предмета любого
рола,— го как бы, по вашему мнению, мы это назвали?
7.	Цифра два пишется так: 2. Напишите цифру два.
&	Почему мы называем это цифрой два?
9.	Эга цифра два (2) составляет часть языка арифметики.
10.	На этой картине один мальчик сидит, играя на дудочке.
Что делает другой мальчик? Если стоящий мальчик подсядет к дру-
гому мальчику, то сколько мальчиков будет тогда сидеть вместе?
Один мальчик и еще один мальчик—сколько же это будет мальчиков?
11.	Вы видите одну дудочку и одну скрипку. Оки называются
музыкальными инструментами. Сколько будет — один музыкальный
инструмент и еще один музыкальный инструмент?
12-	Я пишу так: 1 1 2. Мы говорим, что 1 мальчик и еще
1 мальчик, сосчитанные вместе, составляют 2 мальчика. Мы хотим
теперь написать что-нибудь, чтобы показать, что первая 1 и вторая
1 должны быть сосчитаны вместе.
1U
13.	Мы называем линию, проведенную так —,
горизонтальной линией. Проведите та^ю
линию. Назовите ее.
14.	Линию, проведенную так | , мы назы-
ваем вертикальной линией. Проведите такую
линию. Назовите ее.
15.	Теперь я проведу две этих линии вместе,
так: 4"- Как называем мы пеовую линию (—)?
А как называем мы последнкю линию ( | )? Длинны или коротки
эги линии? Где они пересекают друг друга?
16.	Пусть кажль й из вас напишет так: — , | , -]-.
17.	Этот знак -j- называется плюс. Плюс обозначает и саде;
и 4-также обозначает и еще.
18.	Я пишу:
Один и еще один составляют 2.
19.	Теперь я хочу часть этого записать на языке арифметики.
Я записываю первое один так: 1; затем другое один так: 1. После
этого я пишу вместо слое и еще так: 4~, помещая знак -|- между
1 н 1. так что все пртмет такой вид: 1 + 1- Когда я пишу, я го-
ворю: один и еще один.
20.	Пусть каждый из вас напишет 1 —|— 1. Прочтите, что вы
написали.
21.	Этот знак 4“ > будучи написан к:ениу единицами, показывает,
что их следует сложить вместе так, чтобы получилось 2.
22.	Так как + показывает, что должно быть сделано, то его
называют знаком. Если мы возьмем его название плюс и слов<
знак и произнесем оба слова вместе, то получим: знак плюс. Го-
воря о нем, мы можем натысать его знак плюс, или плюс.
23.	1, 2,4~ являются частями языка арифметики.
Напишите следующее на языке арифметики:
24.	Один и еще один.
25.	Один и еще два.
26.	Два и еще один.
12. Двусмысленности и неправильности. Об-
ратите внимание на двусмысленности и ложное рассуждение
в следующих задачах.
1.	Если вы можете зарабатывать по 4 руб. в день, то сколько
пы можете заработать в 6 недель? (Учтены ли ттои этом дни отдыха?
to жет ли рабочий, зарабатывающий в некоторые дни по 4 руб.,
рассчитывать на то, что он будет иметь эту возможность ежедневно?)
в*	115
2.	Сколько линий вы должны провести, чтобы начертить дести
Tpeyi ельников и пять квадратов? (Я могу сделать это с помощь^
8 линий, хотя ответ, требуемый книгою, равен 50.)
3.	Оп н бегун дважды обежал трэк. длиною в-^ км, в две ми. (
2
ну.ы. Какое расстояние пробежит он в ткнуты? (Я не знаю
какое, но я знаю, что, не считая исключительных случаев, он не
2	1
пробежит точно ОТ — КМ.)
3	4
4.	Иван заработал 87 р. 50 к. в полмесяца, а Герман 38 р GO к.
Они сложились и купили ружье. Сколько оно стоило? (Может
быгь 50 руб-, я может быть и 100 руб. Заплатили ли они за него
сполна? Затратили ли они на него весь свой заработок, меньше,
или больше?)
5.	У Романа было в кармане 12 медных пятачков. На сколько
больше полтинника дадите вы ему за них? (Захочет ли разумны^
ребенок заниматься такой меной и не заподозрит ли ин ззесы
какого-либо обмана?)
6.	Если лошадь пробегает рысью 18 км в час, то как далеко
уйдет она в течение 9 часов?
7.	Если девочка набирает 3 корзиночки ягой в 1 час, то
сколько таких корзиночек может она набрать в течение 3 ча-
сов?
(Если учитель будет настаивать на ответах 162 и 9, то может
решительно подорвать в ученике-прсктике уважение к арифметике
на многие последующие, недели.)
Экономика и физика следующих четырех задач говорят сами за
себя.
В.	Я потерял 15 руб., продав свою лошадь за 85 руб. Ke.toea
была действительная цена моей лошади?
9.	Если у плавающего льда в 7 раз бблыпая часть находится
под поверхностью воды, чем над нею, то какая часть его находится
над поверхностью воды? Если ледяная юра имеет 30л над уров-
нем воды, то какова полная высота этой ледяной горы? Hacko.il:*
будет возвышаться над уровнем воды ледяная гора, имеющая 100 1
высоты?
10.	Некто зарабатывает 1000 руб. в год и тратит 625 руб
Через сколько лет он накопит 10 000 руб., если у него имеете*
сейчас уже 25С0 руб ?
11.	Звук проходит 330 м в секунсу Спустя сколько времен»
после пушечного выстрела в Нью-Йорке звук этого выстрела буле
слышен в Филадельфии, находящейся в расстоянии 158 км?
116
РУКОВОДЯЩИЕ ПРИНЦИПЫ.
Читатель, может Сыть, уже утомлен приведенными специ-
альными подробность ми, касающимися свя 'ей, ныне прене-
брегаемых, но kotol ые следует создавать, и бесполезных
или даже вредных св-зей, которые создаются ныне ради
нестоящих целей. Некоторые из них сами по себе, может
оьль, и имеют второстепенное значение; но когда мы излечим
нее нцши ошибки в этом отношении и используем все воз-
можности для боле - разумного выбора связей, то мы чрезвы-
чайно улучшим преподавание арифметики. Идеалом евляется
такой вытор связей (и, как эго будет показано далее, такое
распределение их), который более всего совершенствует
функции, о которых идет речь, и притом с наименьшей
затратой времени и сил. Руководящие принципы можно
легко запомнить в форме семи простых, но золотых правил:
Ь Рассматривав положение, с которым сталкивается уче-
ник.
2.	Рассматривай ответ, который ты хочешь связать с по-
ложением.
3.	Образуй связь; не жди, что она придет чудом.
4.	При прочих равных условиях не создавай связи, кото-
рую потом надо будет раз-ушате.
5.	При прочих равных условиях не создавай двух или
трех связей, когда достаточно одной.
6.	При прочих равных условиях создавай связи таким
путем, каким они должны будут впоследствии действовать.
7.	Оказывай поэтому предпочтение таким положениям,
в которые будет ставить ъчеников сама жизнь, и таким
чтветам, которых будет требовать сама жизнь.
117
ГЛАВА V.
ПСИХОЛОГИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИЙ.
СИЛА СВЯЗЕЙ.
Список связей, подлежащих созданию при обученш
арифметике, следовало бы сопрово >игь указанием того, на-
сколько сильной должно быть сделана каждая связь и в ка-1
ком виде она должна сохраняться из года в год. Так как
однако и самый список был представлен здесь только в об-
разцах, то подробное установление желательной прочности
каждой связи не может быть сделано. Здесь будут отме-
чены только некоторые общие факты.
НЕОБХОДИМОСТЬ БОЛЬШЕЙ ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
СВЯЗЕЙ.
Элементарные связи, участвующие в основных действиях
над числами, должны быть значительно прочнее, чем это
имеет место в настоящее время. Неточность в выполнении
этих действий свидетельствует о слабости этих связей. Не-
точность существует, и в такой степени, что лишает этот
предмет значительной доли его возможного дисциплинирую-
щего значения, обесценивает достижения ученика с точки
зрения их применимости в торговой и промышленной жизни
и мешает ученику проверять свою работу над новыми про-
цессами посредством некоторых ранее усвоенных процессов.
Существующую ныне неточность легко установить, поль-
зуясь измерениями, произведенными многочисленными ис-
следовттслями, которые применяли арифметические задачи
как тесты измерения усталости, техники, индивидуальных
различий и т. п., а равно и специальными исследованиям^
арифметических достижений как таковых, произведенаими
Куртисом и др.
Бургерштейн (Burgerstein, 1891), пользуясь 1зкими при- ]
мерами, как
. 28704516938276546397
+ 35869427359163827263
118
и аналогичными длинными числами, подлежащими умноже-
нию на 2,3,4,5 или 6. нашел 851 ошибку а 28 267 цифрах
3
ответов, т. е. 3 ошибки на 100 цифр в отлетах, или-^-оши-
бки на пример. Дети были от 9^- до 15 лет. Лэзер (Laser,
1894), применяя того же рода призеры на сложение и ум-
ножение, нашел немного более 3 ошибок на 1СЭ ьифр в отве-
,, I
тах, имея дело с м-льчиками н девочками в среднем II леч,
в период их наиболее внимательной работы. Холмс (Holmes,
1895), пользуясь сложением только что описанного f ода
нашел 346 ошкбок в 23 713 цифрах ответов, т. е. около I на
сотню. Дети были всех групп, от третьего до восьмого года
обучения. В работе Лэзера в минуту получалось 21,19,13 гТ
10 цифр ответоз. Фридрих (Friedncb, 1897) при таких же
примерах, давая очень большое количество времени — 20
минут для получения около 200 цифр ответов, нашел от 1
до 2 ошибок на IC0. Кинг (King, 1907) заставлял учеников
пятой группы находить суммы пяти различных двузначных
чисел. В период наиболее внимательной работы они делали
по 1 ошибке на 20 примеров. При умножении четырехзнач-
ного числа на четырехзначное они получали менее одного
правильного полного ответа из трех. В Сити Нью-Йорка
Куртис нашел (1911—1912) с помощью своего теста 7, что
в 12 минут средний результат у детей четвертой группы со-
ставляет 8,8 единицы пробы при 4,2 правильных; в пятой
группе мы имеем 10,9 единицы при 5,8 правильных; в шестой
группе —12,5 единиц при 7,0 правильных; в седьмой группе
—15 единиц при 8,5 правильных; в восьмой группе—15,7
ответов при 10,1 правильных. Эти результаты достаточно
близки к результатам, полученным в других частях страны,
чтобы быть нами принятыми.
Нижеследующие показатели установлены как официаль-
ные нормы в одной прекрасной школьной системе при, при-
менении серии 3 Куртиса:
Гр) ины
Сложение ... 8
7
6
Достижения
в скорости
12
II
10
Процент
правильных
отвегсв
80
80
70
119
Г Pi bi 1ы	Дпс имения в скорости	Процент прат ильных ответов
5	9	70
4	8	70
Вычитание ... 8	12	90
7	11	90
6	10	90
5	9	80
4	7	80
Умножение ... 8	11	80	ч
7	10	80
6	9	80
5	7	70
*	4	6	60
Деление .... 8	11	90
7	Ю	90
6	8	80
5	6	70
4	4	60
Кирби' (Kirby, 1913, стр. 16 и след., 55 и след.) нашел»
что при сложении столбцов, подобных приведенным ниже,
ученики четвертой группы получали в среднем менее 80%
правильных ответов. Их средняя скорость была около 2 столб-
цов в минуту. Выполняя деления в примерах, подобных от-
печатанным ниже, дети групп ЗВ и 4А получали менее
95% правильных ответов при средней скорости в 4 деления
в минуту. В обоих случаях медлительные вычислители были
не более точными, чем быстрейшие. Упражнение ведет
к быстрому увеличению скорости; что же касается точности,
то ояа остается без существенных изменений. Броуи (Brown,
1911 и 1912) нашел подобным же низкий уровень способ-
ности и значительное улучшение ее от умеренного количе-
ства специальных упражнений.
3562389749
7965564582
•	3478737937
8848268298
2247698562
6957852324
9642729445
3379992897
6896477924
8469926989
120
20= ....	раз	ПО	5.			
56= ....	раз	по	9	и . .	.. в	остатке.
30= ....	раз	по	7	и ..	.. в	остатке.
89= ....	раз	по	9	и ..	. в	остатке.
20= ....	раз	по	8	и . .	.. в	остатке
56= ....	раз	по	6	и . .	.. в	остатке.
31= ....	раз	по	а	U . .	.. в	остатке.
86= ....	раз	по	9	и . .	.. в	остатке.
Ясно, что числовая	работа		столь		неточная, как указанная.	
имеет мало или вовсе даже не имеет никакой цены с точки
зрения торговой или промышленной практики. Если служа-
щие получают только шесть правильных ответов из десяти,
как эго имеет .место в тестах Куртиса, то необходимо бы по
бы иметь по крайней мере четырех служащих для выполне-
ния, каждого вычисления; но и при этом необходимо
было бы проверять многие из противоречий в вычислениях
работой еще других служащие, если бы мы стремились
к тому, чтобы наши расчеты содержали менее одной ошибки
на сто счетных единиц размера Куртиса.
Ясно также, что «навык в абсолютной точности и удо-
вттворение правильностью результата", которыми по пред-
положенью должна снабжать арифметика, являются в зна-
чительной степени мифическими по отношению к ученикам,
которые получают всего от 3 до 9 правильных ответов нз
десяти!
РАННЕЕ ПРИОБРЕТЕНИЕ ОСНОВНЫХ НАВЫКОВ.
Связи, о которых будет итти речь, конечно должны быть
гораздо более прочными, чем это имеет место сейчас. Они
действительно должны быть достаточно прочными для
того, чтобы устранить ошибки в вычислениях, за исключе-
нием лишь тех, которые обусловливаются временной рас-
сеянностью. Для ребенка гораздо более полезно знать поло-
вину таблиц умножения и сознавать, что он не должен п- ка
знать остальных, чем знать их все наполовину; и это спра-
ведливо относительно всех элементарных связей, требую-
1 иихся при вычислении. Необходимо, чтобы каждая связь
работала совершенно безошибочно, хотя бы и медленно,
вскоре же после того, как началось ее образование. Быстрота
может быть легко приобретена путем соотнентвующе го упра-
жнения.
Главные причины, по которым этого не наблюдается
ь настоящее время, заключаются невидимому в следующем:
J21
1) некоторым важным связям (как сложению с переходом
к высшим десяткам) не уделяют достаточного внимания в то
впемя, когда они впервые вводятся в употребление; 2) пре-
небрегают специальными упражнениями, необходимыми, когда
какая-либо связь применяется в иных условиях (как напри-
мер, когда умножение до 9X9 встречается в примерах,
72 J
ПОДОбнЫХ g
где ученик должен прежде всего выбрать правильное число
для умножения, удержать в уме то, что нужно перенести,
правильно его использовать, написать правильную цифру на
правильном месте и перенести цифру или запомнить, что он
ничего не должен переносить); 3) не обучают ученика про-
верке его работы; 4) не делают ученика ответственным за
правильные по существу результаты. Сверх того требование
4)" при отсутствии упражнений, указанных в пп. 1—3, по-
влечет за собой для большинства учеников или полную не-
удачу или совершенно нецелесообразную трату времени.
Обычная ошибка — предполагать, что задача вычисления с це-
лыми числами заключается главным образом в заучивании
сложений до 99, вычитаний до 18 —9, умножений до
8x9 и делений до 81:9, играет значительную роль в допу-
щении грубой неточности арифметической работы.
Связи, участвующие в .знании таблиц", не составляют и
четвертой доли связей, участвующих в действительном сло-
жении, вычитании, умножении и делении (только с целыми
числами).
Следует отметить, что если упражнения, предусмотренные
в пл. 1 и 2, проведены правильно, то проверка результатов,
как то рекомендуется в п. 3, становится неизмеримо более
ценной, чем это имеет место в современных условиях, хотя
и теперь она является одним из наиболее здоровых наших
упражнений. Если ребенок знает сложение с переходом
к единицам высших разрядов так. что может сложить види-
мое им однозначное число с представляемым им двухзначным
чис юм в течение трех секунд или менее при условии J99
правильных ответов из 200, то мы имеем бесконечно малую
вероятность того, что он ошибется, сложив с промежутком
в иескочько минут столбец из десяти цифр дважды (один
раз снизу вверх и другой раз сверху вниз) и получив один
и тот же ответ. Предположим, что при подробном умноже-
нии ученик может умножать до 9x9, не путая места цифр,
запоминая то, что он .переносит", и где надо проставить
цифру, которую он записывает; может прибавить то, что он
122
переносит, не теряя представления о том, к чему он должен
это приставить;знает, где он должен написать цифру единиц,
что он должен умножать затем и на что, и что он должен
будет затем переносить,— получая при этом умножении 99°/0
правильных ответов. Тогда два тождественных ответа, полу-
ченных при перемножении с промежутком в несколько ми-
нут двух трехзначных чисел при условии их перестановки,
могут оказаться ошибочными не более двух раз за все время
пребывания его в школе. Если составляющие связи прочны,
то проверка приближается к доказательству.
Если наоборот, основные связи настолько слабы, что не
могут действовать точно, то проверка становится значительно
менее достоверной и требует затраты значительно большего
труда. Действительно можно показать, что если прочность
основных связей ниже известного предела, то время, требую-
щееся д ня проверки, настолько велико, что лучше некото-
рую долю его затратить на усовершенствование основных
связей.
Предположим например, что ученик должен найти сумму
пяти чисел, вроде: 2,49 руб.; 5,25 руб.; 6,50 руб.; 7,89 руб.
и 3,75 руб. Если считать, чю каждое запоминание числа,
подлежащего перекосу, и каждая запись подсчета отдельного
столбца эквивалентны по трудности одному сложению, то
окажется, что отыскание подобной суммы равносильно
девятнадцати простым сложениям. На этом основании и
с помощью определенных дополнительных оценок *) мы мо-
жем вычислить практические последствия применения уче-
ником сложения в жизни, в соответствии с искусством,
приобретенным им в этим отношении в школе.
Я вычислил таким образом количество проверок, которое
должен будет проделать ученик, чтобы получать два совпа-
дающих между собою числа (из 2, 3, 4, 5 или какого-либо
иного числа результатов, найденных прежде, чем он получит
два одинаковых числа), в соответствии с его уменьем вла-
деть элементарными процессами. Соответствующие данные
приведены в таблице I (стр. 124).
Очевидно, что ученик, овладевший элементами и характе-
ризуемый получением 96 правильных ответов из 100, будет
затрачивать так много времени на проверку нх, что даже
в том случае, если ему никогда не придется применять этой
0 Эти оценки касаются допущения двух ошибок, сделанных в одном и
том же примере, н одного и того же ошибочяого ответа, полученного как
в первой шальж й подсчете, так и при его проверке.
Примечание автора.
123
способности иначе как для нахождения нескольких тыся>
сумм путем сложения, поступит более благоразумно, ecu
усовершенствует эту способность прежде, чем будет пытаться
находить суммы. Способность давать правильные ответы
я 199 случаях из 200 или 993 из 1000, также вероятно спа-
сает значительно более времени, чем его потребуется на
выработку ее; и можно привести разумные доводы в пользу
выработай способности давать правильные ответы в 996 или
997 случаях из 1000.
Если требовать точности от 995 до 997 на 1000 и при-
менять при преподавании обыкновенную гибкость, то бы-
строта выработается сама собой. Счет на пальцах и устный
счет не дадут такой точности. Медл-нное обращение к со-
хранившимся в памяти таблицам сложения рядив также не
ласт этой точности. Ничто кроме твердого запоминания
фактов, вырабатываемого на действительных примерах, не
может дать этого. И такие достиженя памяти будут действо-
вать с достаточной быстротой.
Таблица 1.
Влияние усвоения элементарных фактов сложения на работу,требующуюся
для получения двух совпадающих ответов при сложении пйтм трехзначныч
чисел.
Овладение элемец тарными фактами сложе- ния, Число правы1ъиjX ответез на 10С0	Приблизитель- ное число не- правильных отвегов в сум- мах юти трех- значиых чист на 10)0	Пр нблнзнтелыюе число совпадающих ответов после од- ной проверки на 1<ХХ>	Приблизительное число севлялающих отв.тов после пре- верки первых p3 i- ноглдеын	1 ipHOJ11!3HTvJbHce чме ю проверок, не- обходимых для обеспечение двух совпзДчМщих отве- тов (сверх первой общей проверки сумм)
960	700	90	216	4500
980	380	384	676	1200
990	190	65b	9.6	470
995	95	819	975	210
996	76	854	984	165
997	54	895	992	115
9и8	38	925	996	80
999	19	962	999	40
Есть одно разумное возражение против специальных упра-
жнений, необходимых для выработки арифметических связей
настолько полных, чтобы была обеспечена точность, требу-
124
емая как утилитарными, так и чисто воспитательными це-
1ями. Можно сказать, что ученики третьей, четвертой и пятой
групп не могут оценить згу потребность и что следователь-
но работа будет тяжелой, медленной, бесплодной. Совершен-
но правильно, что задача усовершенствования нашей способ-
ности складывать 7 с 28 во второй группе, безошибочно
умножать 153 ча 8 в третьей группе или точно вычитать при
подробном делении в четвертой группе не связана непосред-
ственно с какой-либо захватывающей жизненной целью. Од-
нако совершенно справедливо и то, что самая интересная с
человеческой точки зрения задача, за которую ученик при-
нимается от всей души, может быть решена правильно толь
ко в том случае, если необходимые для этого механизмы ас-
социаций находятся у ученика в порядке; и чем он в них
увереннее, гем свободнее он может продумать задачу как тако-
вую, Далее, вычисление не будет бессмысленным, если ученик
умеет вычислять. Он сам не возражает против отсутствия
в нем жизненного значения, поскольку orfo обеспечивает от-
сутствие ошибок. Мы нс до1Жны забывать, что ученики лю-
бят учиться. Кто не наблюдал, имея дело с обучением даже
исключительно тупых людей, того огромного интереса, ко-
торый они часто проявляю^ по отношению к тому, чем им
удалось овладеть? Мы наблюдаем даже пафос в той радо-
сти, с которой они учатся распознавать части речи, выпол-
нять алтебраические упрощения, переводить иностранные
выражения и выполнять другие работы, в равной мере ли-
шенные значения с точки зрения всех их интересов, за не-*
ключением одного общечеловеческого интереса к успеху и
признанию. Более того, не составляет никакого труда пока-
зать ученикам настоятельную нужду в точности при подсче-
тах в играх и работе в мастерской, магазине, конгоре. Нако-
нец тот аргумент, что точная работа такого рода чужда для
учеников за их групп, более применим против неточной
работы того же рода. Если мы должны научить действиям
над двух-, трех- и четырехзначными числами полностью, то
мы должны учить этому как надежному орудию, а не как
сочетанию туманных представлений и воспоминаний. Автор
готов вовсе исключить счисление над числами выше 10 из
обихода групп 1—6, если только на его место будут предло-
жены другие более ценные орудия; однако он убежден, что
в природе ребенка нет ничего, что делало бы oi ромное раз-
нообразие неточных вычислений более интересным, более
поучительным или более близким к ощущаемым потребно-
стям, чем меньшее разнообразие точных вычислений.
1.5
ПРОЧНОСТЬ СВЯЗЕЙ ВРЕМЕННОГО ПОЛЬЗ( ‘ВАНИЯ.
Второй факт, имеющий общее значение, заключается
в том, что некоторые связи применяются только в течение
ограниченного времени; поэтому их необходимо развивать
только до ограниченной, небольшой степени прочности. Дан-
ные задач, приводимых для иллюстрации какого-либо прин-
ципа или для укрепления какого-либо навыка в вычислении,
являются здесь конечно самым простым примером. Ученик
лолжет запомнить, что Иван купил 3 булки, что эти булки
стоили по 5 копеек, и что он дал четвертак булочнику,
только в течение тиго времени, которое необходимо ему для
решения на основе этих данных, какую сдачу Иван должен
получить. Связи полных описанных положений с получен-
ными ответами, между потерь ми, по предположению, введены
значительные вычисления, являются такими связями, кото-
рым мы позволяем исчезнуть почти сейчас же после того,
как эни возникли.
Иногда, рассматривая связь между определенной гругпой
данных, придающих задаче вид: .купи а предметов по Ь за
штуку, Пойди общую стоимость"; .купи а предметов по b за
штуку, найди сдачу"; .сколько прибыли получится, если ку-
пить за а и продать за Ь* или .сколько предметов, ценою
по а каждый, можно купить на b копеек",—утверждают,
что связь между этими существенными и определяющими!
чертами ' и действием или действиями, необходимыми для
решения, является такой же временной связью, как связи
с именем покупателя или ценою предмета. Утверждают,
чтс все задачи решаются и должны решаться путем извест-
ного акта чистого рассуждения без помощи или помехи со
стороны связей с особенной формулировкой и отдельными
терминами задачи. Должноэго быть так или нет, но в дей-
ствительности это не так. Каждый раз, когда ученик решает
задачу на .куплю-продажу" посредством вычитания, он уси-
ливает в себе тенденцию решать любую задачу, содержащую
слова .куплено", .продано за“, посредством вычитания; и
никакими средствами вы не заставите его перестать это де-
лать и изучать такую задачу во всех ее элем нтьх. чтобы
убедиться, что в ней нет других данных, делающих непри-
менимой тенденцию вычитать, созданную задачами .купли-
продажи".
Чтобы предохранить учеников от ответа скорее на форму
задания, чем на существенные факты, мы не должны учить
их забывать форму задания; скорее мы должны сообщить
12»
им все общепринятые формы задания, ответ на которые, рас-
сматриваемый нами, является правильным, и притом только
эти формы. Если некоторая форма задания всегда обозна-
чает в жизни и некоторый определенный арифметический
прием, то связь между нею и этим приемом должна быть
сделана действительно очень прочной.
Другой случай образования связи только небольшой сте-
пени прочности касается применения так называемых „кос-
тылей", например в виде помещения знаков 4*. — и X при
переписке задач, подобных нижеприведенным:
Сложить
23
61
Вычесть
79
24
Умножить
32
3
или изменения цифр при „занимании" в вычитании и т. п.
Так как нежелательно, чтобы ученик считал ответ с помо-
щью „костыля" существенно связанным с общим ходом
дейслвия или настолько привык к употреблению его, что
отсутствие такового привело бы его в замешательство, то
мы предлагаем не создавать полной связи между положением
и „костылем". В стучае, если „костыли" все же применяются,
мы можем найти лучший выход из затруднения. Он заклю-
чается в том, что мы связываем „костыли" со специальным
заданием и не применяем их при заданиях в обшей форме,
которая является основной и постоянной. Например детей
следует обучить с самого начала не писать „костылей-зна-
ков* или „костылей-цифр", если работа не сопровождается
словами: „Запишите ..., чтобы вам легче было....".
Пишите —, чтобы легче запомнить, что в этом ряду вы должны
вычитать.
Найти разности:—-
34	67	78	56	45
23	44	36	26	24
Помните, что в этсм ряду вы должны вычитать.
Най,и разности: —
85	27	96	88	78
63	14	51	45	32
127
Связь, обусловливающая применение , костыля", может быть
сделана при этом достаточно прочной, чтобы предохранить
от колебан -я, неуверенности или ошибки, и в то же время
не создающей значительной помехи образованию более об-
щей связи между положением и работой без „костыЛя".
ПРОЧНОСТЬ СВЯЗИ С ТЕХНИЧЕСКИМИ ФАКСАМИ И ТЕРМИНАМИ.
Другой поучительный случай касается связей между опре-
деленными словами и их значением, и между определенными
положениями в торговле, промышленности или сельском хо-
зяйстве и полезными фактами, к ним относящимися. Иллю-
страцией первых являются связи между словами: кубический
корень, гектар, процент, комиссия, передаточная надпись,
вершина, прилежащий, девятигранник, сектор, вексель, дене-
жный перевод и их значениями. Иллюстрацией вторых слу-
жат связи между выражением: „если деньги положены в сбе-
регательную кассу по неоговоренной особо ставке, то по
какой ставке надо считать проценты", и ответом „по закон-
ной государственной ставке"; между выражением „х коп. за
центнер как ставка за хранение" и ответом „обозначает л коп.
за хранение 1 метрического центнера".
Многие доказывают, что такие связи ценны, но лишь
в течение краткого времени, а именно того периода, когда
изучаются арифметические приемы, в связи с которыми
они применяются, и что их ценность состоит только в том.
чтобы служить средством для изучения этих приемов, так
что после этого эни могут быть забыты. „Они создаются
топько как вспомогательное средство к некоторым более
отвлеченным арифметическим знаниям или дисциплинам;
после того как эти последние приобретены, они могут быть
забыты. Каждый человек действительно забывает их и вы-
учивает их вновь, если позднее жизнь этого требует". Так
гласит доказательство.
В некоторых случаях действительно полезно выучить та-
кие слова и факты с исключительной целью использовать их
при решении определенного рода задач, а затем забыть. Од-
нако вводить это в практику чрезвычайно опасно. Справед-
ливо, что в действительности каждый человек позабывает
много таких значений и фактов, но обычно это значит или
что их вовсе не следовало учить в то время, когда их прохо-
дили, или что их следовало проходить более продолжительно,
или что следовало изучить больше деталей, исходя из пред'
положения, что эти последние будут забыты, но общий фаьт
или навык сохранится в памяти. Например в начальной
128
юколе вовсе не следует изучать двенадцатиугольника; рас-
четы с векселями или вовсе не должны проходиться в такой
школе инн должны проходиться с расчетом на знание этих
вопросов в течение года или более; зато все детали метри-
ческой системы должны преподаваться так, чтобы ученики
сохранили на мно^о лет не только знание того, что эта си-
стема имеет большое значение и что таблицы ее составлены
по десяткам, сотням или тысячам, но и умение связывать
метр, килограмм и литр с прочими мерами метрической си-
стемы и наглядным значением соответствующих величин.
Если арифметический процесс требует, видимо, вспомо-
гательных связей, которые надлежит забыть в дальнейшем
как только этот процесс будет усвоен, то мы в праве усум-
питься в ценности самого этого процесса. Если ученики за-
бывают, что такое сложные проценты, то мы можем быть
уверены, что обычно они позабудут также и то, как их вы-
числять. Несомненно, что мы тратям время совершенно зря,
если учим, чтб такое сложные проценты, лишь для того,
чтобы научиться вычислять их, а в конечном счете забываем,
как это делается!
ПРОЧНОСТЬ СВЯЗЕЙ, КАСАЮЩИХСЯ ОБОСНОВАНИЯ АРИФМЕТИ-
ЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.
Следующий случай образования связей незначительной
прочности — это спорный случай образования связей, уча-
ствующих в понимании причин некоторых процессов и по-
забываемых после того, как этот процесс переходит в при-
вычку. В самом деле, должен ли ученик заучивать, почему
он должен обратить дробь и умножать, лишь для того, чтобы
забыть это объяснение, как только ему будет доверено деле-
ние на дробь? Должен ли он заучивать, почему он пишет
цифру единиц каждого частичного произведения при умно-
жении под цифрой, на которую он умножает, лишь для
того, чтобы позабыть причину этого, как только он овладеет
этим действием? Должен ли он заучивать, почему он полу-
чает число квадратных сантиметров в прямоугольнике посред-
ством умножения длины на ширину, когда обе эти величины
выражены в линейных сантиметрах, если он забывает, почему
это так, как только приобретет умение вычислять площади
прямоугольников?
В силу общих психологических оснований мы относимся
скептически к образованию связей, обреченных впоследствии
«а смерть от истощения, и склонны считать, что подробные
объяснения, заучиваемые только для того, чтобы быть за-
® Тарнддйк.	12Я
бытнми, или вовсе не должны заучиваться или должны из-
учаться в такое время и таким способом, чтобы они не за-
бывались. В особенности мы должны стремиться к тому,
чтобы общие принципы арифметики, «почему* и „зачем* ее
основных путей обращения с числами, были последними из
забываемых связей. Подробности того, как вы располагали
числа при умножении, могут быть забыты; но необходимо
стремиться, чтобы общие основания расположения сохрани-
лись прочно и давали возможность восстановить подробно-
сти действия, которые были позабыты.
Этот скептицизм, я думаю, оправдывается фактами. Док-
трина, допускающая, чтобы обычные дедуктивные объясне-
ния— почему мы сбрпщаем дробь, а затем умножаем, или
почему мы располагаем частичные произведения перед сло-
жением так, как мы это делаем, и т. д. — забывались немед-
ленно после того, как приобретенные навыки станут работо-
способными, имеет сомнительный источник. Она во^никлз
в противовес критическим замечаниям, что слишком много
времени и сил затрачивается на удержание в памяти этих де-
дуктивных объяснений. Факт тот, что ученик научился пра-
вильно вычислять независимо от дедуктивных объяснений.
Они являлись только дополнительной нагрузкой- Действи-
тельно обучал его индуктивный опыт, показыванший, что
прием дает правильный ответ. Таким образом ученик разу-
мно сбросил с себя лишнее бремя фактов, касающихся вы-
водов из сущности дроби или значения места в нашей деся-
тичной системе. Связи ослабевали потому, что они не
применялись. А не применялись они потому, что они были
бесполезны в той форме и в то время, как они создавались,
или потому, что ученик был неспособен понимать эти объ-
яснения настолько чтобы вообще создать связь.
Указанная критика была ценна и должна была вызвать ча-
стью замену дедуктивных объяснений индуктивными повер-
ками, а частью — применение дедуктивного рассуждения
в качестве способа проверки уже после того, как усвоен са-
мый процесс. Те же самые рассуждения о значении цифр
в зависимости от их места, которые являются бесплодными
в качестве доказательства того, что вы должны сделать
определенную вещь, прежде чем вы ее сделали, становятся
часто весьма поучительными в качестве объяснения того,
почему то, что вы научились делать, к чему вы привыкли
и что вы проверяли другими способами, делается именно
так, а не иначе. Общая дедуктивная теория арифметики во-
все не должна изучаться только для того, чтобы быть потом
130
забытой. Многое из нее восбще не следовало бы препода-
вать 'большинству учеников. То, что проходится, должно
и(„ло бы проходиться значительно позднее, чем теперь, как
синтез и разумное объяснение навыков, а не как творец по-
следних. То, что проходится из области такой дедуктивной
теории, до/ жно быть отнесено скорее к числу наиболее, чем
L числу наименее прочных элементов арифметического зна-
лня и умения учеников. Существуют связи, которые мы со-
здаем только для того, чтобы потом их утратить, и суще-
ствуют другие связи, которые мы создаем то/н ко для того,
чтобы утратить их в первоначальной форме и ис-
пользовать в новых условиях как материал для связи выс-
I юего порядка. Но связи, учестзующие в дедуктивных объя-
снениях того, почему данные процессы правильны, не таковы:
они не образуются для того, чтобы тотчас же подвернуться
I забвению, и в то же время не являются простой пропедев-
I такой к шабл энным операциям.
ПРОПЕДЕВТИЧЕСКИЕ СВЯЗИ.
Образование связей ограниченной прочности, подлежа-
I ших забвению в их первоначальной форме после переработки
|их различными способами в другие связи, для которых они
(служат пропедевтикой, или сырым материалом, является
(наиболее важным случаем малой прочности или скорее ма-
лой длительности связей.
Связь между четырьмя пятерками в столбце сложения и
ответом путем рассуждения — „10, 15, 20“ — достойна соа-
|Дания; однако она заменяется впоследствии связью умноже-
I имя или непосредствен ной связью „ четырех пятерок, которые
(надо сложить" с „20“. Счет двойками, начиная с 2, трой-
I ками, начиная с 3, четверками, начиная с 4, пятерками, на-
чиная с 5, и т. д., образует рядовые связи, которые отлично
(идут исчезнуть в дальнейшем как рядовые. Отдельные
рвенья их сохраняются как прочные связи для применения
ях при сложении столбцами, но их рядовая сущность пере-
родит из „2 (и 2). 4 (и 2), 6 (и 2), 8“ и т. д. в „две двой-
^=4, три двойки = 6, четыре двойки = 8* и т. д; перво-
I Начальные рядовые связи, сыграв свою роль в создании
ошизей, с помощью которых может быть получено любое
I произведение 2 на 2 и т. д. до 9, перестают быть нужными
I "эк рядовые. Навык произносить слово „и“ при сложении,
облегчив образование связей между общей склонностью ра-
I 7ма к сложению и видимыми или мысленно представляе-
числами, должен исчезнуть или сохраниться столь
Л	131
скрытым в речи про t ебя, чтобы не становиться препятствием
для скорости.
Правило, касающееся этих связей, заключается следова-
тельно в том, чтобы образовывать их достаточно прочными
быстрой и аккуратной работы их в настоящем и для облег,
чения образования связей, которые должны заменить их
в дальнейшем; но их ре следует переучивать. Сущее»
вует разница между изучением чего-нибудь с целью владе
ния этим в течение короткого времени и затратой того же
количества энергии на изучение для длительного удержания
в памяти. Первый вид изучения конечно соответствует мно-
гим из таких пропедевтических связей
Связи, приведенные в качестве примеров, не являются
чисто пропедевтическими и не создаются только для
того, чтобы быть превращенными во что-либо иное. Даже
произнесение ,и“ при сложении имеет свою естественную,
внутреннюю ценность, выявляя процесс сложения; может
быть, к нему можно с пользой вернуться на короткое время
иа первых ступенях сложения обыкновенных дробей. Неко-
торые из таких пропедевтических связей мотут быть ценны
независимо от их значения для подготовки других связей.
Рассмотрим например упражнения вроде приведенных ниже,
которые являются подготовительными для подробного деле-
ния, давая ученику некоторый базис в опыте подбора цифр
частного. Этим умножения по существу д чстойны того,
чтобы их делали, особенно умножение на 12 и 25. Все, что
ученик иа них запомнит, принесет ему пользу.
1.	Считайте, прибавляя	по	11, ло	132,	начиная	так:	И,	22,	33.
2.	Считайте, прибавляя	по	12, до	144,	начиная	так:	12,	24,	36.
3.	Считай ie, прибавляя	по	25, до	300,	начиная	так:	25,	50,	75.
4.	Напишиге недостающие	числа:
А.
3 раза по 11 =
ч раза по 12 =
5 раз по 12=
6 раз по 11=
9 раз по 11 =
7 раз пи 12 =
8 раз по 12 =
11 раз по 11=
В.
5 раз по 11 =
3 раза по 12 =
6 раз по 12=
12 раз по 11=
2 реза по 12 =
9 раз по 12 =
7 раз по 11 =
12 раз по 12 =
С.
2 дюжины =
4 дюжины=
10 "южин =
5 дюжин =
7 дюжин =
12 дюжин =
9 дюжин =
6 дюжин =
5.	Считай по 25 коп. до 2 р. 50 к., говоря так: 25 кол
50 коп., 75 коп., 1 рубль и т д.
132
6.	Считайте по 15 коп. до 1 р. 50 к.
7.	Найдите произведения. Не пользуйтесь карандашом. Найдите
в уме, чему они равны.
А	В.	С.	D.	Е.
2X25	3X15	2X12	4Х Н	6X25
3X25	10 X 15	2X15	4X15	6Х-5
5X25	4X15	2 X 25	4Х 12	6Х 12
10X25	2Х 15	2X11	4X25	6ХИ
4X25	7X15	3X25	5Х 11	7Х 12
6X25	ч 9X15	ЗХ 15	5X12	7Х 15
8X25	5X15	зх и	5X15	7X25
7X25	8X15	3X12	5X25	7X11
9X25	6Х 15	8X12	9X12	8X25
Напишите недостающие числа:
А.-36=.,.	раз по 12	В. 44 = ...	раз по 11	С. 50=...	раз по 25
60=...	раз по 12	88=...	раз по 11	125=..-	раз по 25
24=...	раз по 12	77 =...	раз. по 11	75=...	раз по 25
48=...	раз по 12	55=...	раз по 11	200=...	раз по 25
144=. .	раз по 12	99=...	раз по 11	250=...	раз по 25
108=...	раз го 12	110=...	раз по 11	175=...	раз по 25
72 =...	раз по 11	33=...	раз по 11	225 = ...	раз по 25
96 = ...	раз по 12	66 = ...	раз по 11	150=...	раз по 25
84=...	раз по 12	22=...	раз по 11	100=...	раз по 25
Найдите частные и остатки. Если вам нужны бумага и кар шдаш
Для того, чтобы нзйти их, можете пользоваться ими. Но, насколько
можете, няхсдите их без карандаша и бумаги. Делайте сначала
ряд А, затем делайте ряд В, потом С и т. д.
Ряд А.	45:11	45:12	45:25	45:15	45:21	45:22
Ряд В	55:25	55:11	55:12	55:15	55:22	55:30
Ряд С.	60:12	60:25	60:15	60:11	60:30	60:21
Ряд D.	75:12	75:11	75:15	75:25	75:30	75:35
Ряд Е.	100:11	100:12	100:25	100 15	100:30	100:22
Ряд F.	96:11	96:12	96:25	96:15	96:30	96:22
Ряд G.	105:25	105:11	105:15	105:12	105:22	105:35
Ряд Н.	64:12	04:15	64:25	64:11	64:22	64:21
Ряд I.	80:11	80:12	80:15	80-25	80:35	80:21
Ряд J.	200:25	200:30	200:75	200:63	200:65	209:66
Продс лайте снова эти упражнения. Ci ерва проделайте весь
первый столбец, затем делайте второй столбец, ютом третий и т. л.
Рассмотрим с той же точки зрения упражнения, подобные
бедующим: (3 X 4)-j-2; (7 X 6) 4*5; (9X4)+6, данные для
133
подготовки к письменному умножению. Выполнение умножений
48 68 47
_3 7 £
и т. п. облегчается, если ученик легко контролирует процесс
по-учения произведения и удержания его в уме при прибав-
лении к нему однозначного числа. Упражнение в примерах
(Зх4)-|-2 и т. п. представляет собою хорошее упражнение
и по существу. Поэтому некоторые учителя применяют
систематические подготовительные упражнения такого типа
непосредственно перед началом сокращенного умножения
или параллельно с ним.
В некоторых случаях связи бывают чисто пропедевтиче-
скими. или создаются только для последующего преобра-
зования. В таком случае они мало отличаются от „костылей".
Типичный „костыль“ образует навык, который должен быть
впоследствии действительно разрушен, тогда как чисто про-
педег тическая связь образует навык, который притупляется
от бездействия.
Так например в качестве введения в подробное деление
мы можем давать ученику упражнения, в которых целение
на однозначного делителя производится в подробной форме
5416|7____
49 773 н 5 в остатке
51
49_
26
21
5 ’
’{астолтельно рекомендуем относиться очень критически
к этим чисто пропедевтическим связям, а также к связям,
созданным только для дальнейшего преобразования, и пе
увлекаться ими, если, проявив достаточную изобретательш сть,
можно найти какую-либо иную связь, заслуживающую того,
чтобы занять постоянное место в познаниях человека, и спо-
собную выполнять ту же работу не менее хорошо. Методика
арифметики поступила правильно, предпочтя устранение не
которых даже ценных подготовительных упражнений внедре*
нию неэкономичных. Образование таких пропедевтически*
связей сомнительной ценности (с буквами, фонограммам^
отличительными знаками и т. п.), доводимых часто до оче
видно вредных крайностей, мы находим и в обучении чтению.
ГЛАВА VL
ПСИХОЛОГИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИИ.
КОЛИЧЕСТВО УПРАЖНЕНИЙ И ОРГАНИЗАЦИЯ
НАВЫКОВ.
КОЛИЧЕСТВО УПРАЖНЕНИЙ
Будет весьма полезно, если при приступе к чтению сооб-
ражений, излагаемых в этой главе, читатель проделает сле-
дующий опыт в качестве введения к ней.
Предположите, что ученик выполнил всю работу как
устную, так и письменную в виде вычислений и задач, со-
держащихся и учебниках среднего достоинства из числа
применяемых ныне в начальной школе, и предназначенную
для групп 1—6 включительно (иными словами—охватываемую
двумя первыми книгами руководства из серии в три книги).
Сколько раз будет он упражнять каждую из разнообразных
связей, участвующих в четырех действиях над целыми чис-
лами и содержащихся в приведенных ниже примерах? Дру-
гими словами, сколько раз ему придется подумать: „1 и
1 равно 2“, „1 и 2 будет 3“ и т. д ?При этом должен быть
сосчитан каждый случай применения каждой связи.
ССНСВНЫЕ связи.
1 + J	2 — 1	1X1	2:1
1-J-2	2 — 2	2X1	2:2
1+3		3X1	
i-i-4		4X1	
1 4-5	3—1	5X1	3:1
1+6	3 — 2	6X1	3:2
1 + 7	3 — 3	7X1	3:3
l-j-8		8X1	
1+9		9X1	
135
					4 — 1		4:1
					4—2		4:2
11 (или 21,	ИЛИ	31,	и т. д.) -	-1	4 — 3	I Х2	4:3
И в 21	л	31	я	-2	4 — 4	2X2	4:4
И . 21	»	31	ж	-3		3X2	
П „ 21		31	я	-4		4X2	
И л 21	JR	31	л	-б	5—1	5X2	5:1
И , 21	»	31	л	-6	5—2	6X2	5:2
11 . 21	Л	31	л	-7	5—3	7X2	5:3
П „ 21	я	31	я	-8	5—4	8X2	5:4
11 » 21	я	31	л	-9	5—5	9X2	5:5
	2*1	-1			6—1	1хз	6:1
	2-	-2			S —2	2X3	6:2
	2-	-3			6 — 3	зхз	6:3
	2-	-4			6 — 4	4X3	6:4
	2-	-5			6 — 5	5X3	0:5
	2-	-6			6 — 6	6> 3	6:6
	2-	-7				7X3	
	2-	-8				8X3	
	2-	- 9			7—1	9X3	7:1
					7—2		7:2
					7 — 3		7:3
					, 7 — 4	1 Х4	7:4
12 (или Й2, 12 * 22	или	32,	И Т, Д.) 4- 1		7 — 5	2X4	7:5
	я	32			7 — 6	ит.д.	7:6
					7 — 7	до	7:7
					ИТ. д,	9X9	и т. д.
и т. д. до					до		ДО
					18 — 9	«2:9;	83:9
	9 4-	9					нт.д
19 (или 29, или 39, и			т. д.)4~9				
Если оценка всей серии представляет собою слитком
длинную задачу, то достаточно проработать по восемь или
десять примеров из каждой серии, например:
34-2	13, 23 и т. д. -		-2	74-2		17,27 и т. д. 4-		
34-3	13, 23			7 =	= 3	17 27		
3 4-4	13, 23	I -	„4	7Н	-4	17 27		
3 4-5	13, 23		-5	7-	-5	17 27		
3 + 6	13, 23	»	-6	7-	-6	]7 27		
34-7	13, 23			7-	-7	17 27	"Я	
3 + 8	13 23	»	-8	7-	-8	17 27		
34-9	13, 23	- Ч	И»	7-	-9	17 27		

136
3 — 3		7 — 7		9X7	63:9
4	— 3	8 —	7	7X9	64:9
5	— 3	9 —	7	8X6	65:9
6	— 3	lO-	7	6X8	66:9
7	— 3	ll —	7		67:9
8	— 3	12 —	7		68:9
9	— 3	13 —	7		69:9
10	- 3	14 —	7		70:9
11	— 3	15 —	7		71:9
12	— 3	16 —	7		
Окончив свою оценку, читатель должен сравнить ее, во-
первых, с подобными же оценками, произведенными опытными
преподавателями, а затем с результатами фактического под-
счета на основе типичных учебников арифметики, которые
помещены ниже.
Таблица 2.
Оценка количества упражнений, содержащихся в I и 11 книгах среднего по
достоинству трехтомного руководства арифметики, произведенная 50 опыт-
ными учителями.
**	Арифметический			факт	Низшая оценка	Среднее оценка	Высшая оценка	Пределы, между которы- ми лёжнтею то- нина исех оце- нок
3, или	13, W  W  №	или	23 и	Т. Д. + 2 . . з. 4 . .	6- .	6. .	7. .	8 • .	9.	25 24 23 22 21 21 20 20	1500 1450 1 150 1 400 1 350 1 500 1 400 1 150	1000(00 80000 50000 44 000 41000 37 000 33000 24000	800—5000 475—5000 750—5 000 700—5 000 700—4500 600—4 000 5э0—4 100 650 - 4500
7, илн	17.    •  а	илн	27 и	т д. + 2. 3. .	4. .	5. .	6. .	7. 8. 9.	20 19 1В 17 16 15 13 10	1250 1 100 юоо 1 300 1 100 1 100 1 100 1 275	2000 000 ИХЮООО 80090 80000 29 000 25000 21000 17000	600- -5000 650—4 <©0 650—4 900 650—4 400 650-4500 500— 4 500 610-3 800 500<—Ф ОСЮ
3—3	- -		_ _ _		25	1000	100000	500- -4 000
4-3					20	1050	500000	525—3 030
5—3	—		- -		20	1 100	2500000	650—11200
6-3			_ -		10	1050	21000	650--3250
7-3	а 		- > •		22	1 100	15 000	550-3 050
137
Арифметический факт	Низшая оценка	Средняя оценка	Бысшаа ОЦЕНКА	Предела. МЕ1КДУ НОТ О pt*- I мн лежит поло- вина всех оценок
	21	10’5	15000	650—ЗОСЮ
9—3		21	1000	15000	700—2 600
10-3		2J	1030	20000	600—2500
11—3			2d	1000	15000	465—2оо0
12-3		'8	1003	15и00	650—2*33
7-7		10	К-00	IbuOJ	425—3000
8—7		15	1000	18000	413—3 100
9—7		15	95J	18 000	550—ЗОСЭ
10—7		15	950	18 С00	600 3950
11—7		10	90)	18000	550 -3000
12—7		10	925	!8')03	525—3100
13—7		10	ЭЮ	180 0	500—2 6U0
14-7 ... 			ш	900	18W0	500—3 100
15—7		10	925	18003	600—3 000
16-7		10	875	18 000	500—2503
9X7		10	700	20 000	5 0—2000
7X9		10	70г)	20000	£00 -1750
BXG				10	750	20 000	500—2 500
«хе			9	703	20000	500 2500
63:9 			9	500	4500	300—2500
64;9		9	200	4000	1С0— 700
65:9		8	200	4000	100— 600
66:9		7	200	4000	J00— 550
67:9		7	200	4 000	75— 450
68:9		6	200	400)	87— 575
69:6		6	200	4 000	87— .50
70:9		5	200	4000	75- 575
71 :9		5	200	4 (ХЮ	75- "Об
XX		40	550	1000 000	300—2000
хо		20	500	11 5Ю	150- 2 000
XXX	.		15	45и	12000	100-1000
ххо		25	400	15000	150—1 СПО
хоо		15	400	5000	100—1000
ХОХ		10	400	10 000	100— 975
Из таблицы 2 видно, что даже опытные преподаватели
чрезвычайно расходятся в оценке количества упражнений,
даваемых типичным учебником арифметики, и что большин-
ство из них впадает в серьезную ошибку, переоценивая ко-
личество упражнений. Вообще можно считать установленным
фактом, что мы пользуемся учебниками арифметики, имея
очень смутное и ошибочное представление о том, что в них
заключается, и думаем, что они дают гораздо больше упраж-
нений, чем это имеет место в действительности.
138
Л вторы учебников как правило также невидимому имеют
лишь очень смутное и ошибочное представление о том, что
содержится в их учебниках. Если бы они это знали, то они
почти неверное пересмотрели бы свои книги. Конечно ни
один автор не дал бы умышленно для упражнения в сложе-
нии 2-|-2 приблизительно вчетверо больше материала, чем
для упражнения в сложении 8-}- 8, для упражнения в умно-
жении 2 X 2 в восемь раз больше материала, чем для упраж-
нения в умножении 9x8, для упражнения в вычитании 2 — 2
в одиннадцать раз больше материала, чем для упражнения
в 17 —8, для упражнения в делении 2 : 2 свыше чем в сорок
раз больше материала, чем для упражнений 75: 8 и 75 : 9,
взятых вместе. Конечно ни один автор не дал бы умышленно
только от двадцати до тридцати примеров на каждый такой
случай, как 16- 7, 16—8, 16—9, 17 — 8,17 — 9 и 18 — 9 на
протяжении ьсего курса шестой группы, и не допустил бы
того, что упражнения 60 : 7, 60 : 8, 60 : 9, 61 : 7, 61 : 8, 61 : 9
и т. п. встречаются в среднем всего лишь по одному разу
<В ГОД
Таблица 3.
Количество упражнений. Связи сложения, содержащиеся в одном йогом
учебнике (А), пользующемся прекрасной репутацией. Киннт I и II, кроме
четырех отделов .Дополнительного материала*, предназначенною для поль-
зования по усмотрению преподавателя.
Приведенную и следующие таблицы надо понимать так: 2 -у 2 встречается
226 раз; 12 -р 2 встречается 74 раза, 22 -р 2,32 -р 2,42 -р 2 и т. д. встреча* тся
ио 50 раз.
	2	3	4	5	6	7	8	9	Итоги
2		226	154	162	150	97	87	66	45	
12.	. .	74	53	76	46	51	37	36	33	—
22 и т. д. .	50	60	68	63	42	50	38	26	—
3		216	141	127	89	82	54	58	40	—
13		43	43	60	70	52	30	22	18	—
23 и т. д. .	15	30	51	50	42	32	29	30	—
7		85	90	103	103	84	81	61	47	—
W		35	25	42	32	35	21	29	16	—
27 и т. д. .	30	23	32	29	24	23	25	28	-—
8		185	И2	146	90	75	71	73	61	—
18		28	35	52	46	28	29	24	14	
28 н т. д. .	53	35	31	33	23	36	27	27	—
9		104	81	1L2	96	63	74	58	57			
19		13	11	31	38	25	14	22	11	
29 и т. д. .	19	17	27	20	32	32	19	18	—
133
	2	3	4	5	6	7	8	9	Итоги
2, 12, 22 и т. д. .	350	277	306	250	190	174	140	101	1801
3, 13, 23 .	274	214	230	209	176	116	109	88	1406
7, 17, 27 . . . .	148	138	187	164	141	125	115	91	1109
8, 18, 28 . , . .	266	183	232	185	126	136	124	102	I 351
9, 19, 29 . . . .	136	109	170	154	120	120	99	86	£>94
Итого. . .	1164	921	1125	972	753	671	687	471	—
Таблица 4.
Количество упражнений. Связи вычитлчия, содержащиеся в очном новом
учебнике (А), пользующемся прекрасной репута/иен. Книги I и 11. кроме
четырем отлс..ов ,До юлнителъного материала*, предназначенного для поль-
зования по yi чотрению прелоданателя.
Вычитаемые
Уменьшаемые	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1
2
3
4
5
б
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Итого, исклю-
чая 1-*—1, 2—2
и т. д. ...
372
214
136
146
171
80
106
73
71
261
311
149
142
91
59
57
50
75
84
48
180
103
92
69
55
50
54
63
31
48
215
164
71
67
75
74
1CMJ
50
11
35
136
81
59
50
48
193
36
57
22
25
192
156
62
55
83
41
51
40
37
33
80
48
55
57
32
35
29
36
19
16
152
124
121
46
80
35
49
46
36
27
133
91
35
30
28
32
20
26
20
19
1258
755	565 713	571
558
327	569 301
Таблицы 3—8 показывают, что даже талантливые авторы
изготовляют такие орудия для обучения арифметике, которые
содержат значительно меньше упражнений в некоторых эле-
ментарных фактах, чем это признается необходимым препо-
140
Таблица 5.
Частота вычитаний, нс вошедших в табл щу 4. Здесь подсчитаны те случаи,
в которых ученик, в соответствии с лостигиу.ы < v ровней знания, стах
по всей вероятности выполнясь действия 36 -30, 46—40 ит.д.посредством
одной связи.
Уменьшаемые	Вычитаемые									
	1 11 21 нтл.	2 12 22 нт. л.	3 13 23 и т. л.	4 14 24 и т.п.	5 15 25 нт. д.	6 16 26 и т.д.	7 17 27 и т.д.	8 18 28 и т. л.	9 19 29 ИТ. л.	10 20 И Т.Д.
10, 20,30, 40 нт. л.	II	29	16	52	32	51	7	30	22	60
11,21,31,41 . . ,	42	14	22	32	12	26	19	52	17	10
12,22,32,42.. ,	47	97	5	13	9	21	11	24	19	17
13, 23,33,43 . . „	7	40	7	14	15	13	19	19	22	3
11, 24,34, 44 .	8	28	14	58	13	16	14	26	19	7
15, 25, 35, 45 . . ,	21	28	29	54	51	15	21	12	24	8
16, 26, 36, 46 , . .	5	18	12	27	35	69	13	17	19	2
17, 27,37, 4'1	5	9	12	40	32	54	24	12	12	1
18, 28,38. 43 . . .	2	16	10	23	22	36	18	47	16	0
19,29,39,49., .	5	7	7	10	13	28	14	23	16	0
Итого ...	153	286	134	323	234	329	160	262	186	108
Таблица б.
Количество упражнений. Связи умножения в другом современном учебнике
(В), пользующемся прекрасной репутацией. Книги 1 и П
Множи- тели	Множимые										
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Итоге
1	299	534	472	271	310	293	26)	178	195	99	2912
2	350	614	668	480	458	377	332	234	239	155	3941
3	280	487	509	38а	318	302	247	199	227	152	3109
4	186	375	398	242	203	265	197	163	159	93	22S1
5	268	359	393	234	263	243	217	192	197	114	2 480
6	180	284	265	199	196	191	168	169	165	106	1923
7	135	28<S	277	176	187	158	155	121	145	118	1755
8	137	272	292	175	192	164	158	157	126	126	1799
9	71	173	140	122	97	102	101	100	82	110	1098
Итого	1906	3411	3414	2287	2224 2 095 1		1836	1517	1535	1073	—
141
Таблица 7.
Количест! о упражнений. Примеры на деление без остатка в учебнике (BJ.
Частя 1 н II.
Делимые
Целые кратные чи-
сел ст 2 до 9 по
порядку, т. е. 4:2
встреч; стся 397 раз,
6 : 2—256 раз; 6:3—
— 224 раза; 9:3—
121 раза.
397
256
318
258
198
77
180
69
224
124
123
98
49
54
91
46
250
152
130
86
76
36
56
37
130
79
65
105
27
31
38
24
93
28
50
25
22
28
17
12
44
43
19
24
30
2/
13
17
98
61
39
34
33
16
2
16
23
25
19
20
16
9
16
15
1259
768
7ьЗ
650
44
278
427
236
Итлго ... 1 753 8 ?9
817
4°9
217 319 142
давателями, и дают значительно бол мне упражнений в легко
усваиваемых бантах, чем в фактах, усваиваемых труднее.
Какое количество упражнений следовало бы давать в ариф-
метике? Как сл?довало бы их распределить между различ-
ными связями, подлежащими образованию? Давать упражнений
меньше определенного количества вредно, поточу что, как
это было показано в главе VI, ученику п< требуется больше
времени на обнаружение или исправление своих ошибок,
чем его потребовалось бы на приобретение соответствующих
навыков. Давать упражнений больше определенного коли-
чества также вредно, потому что это ведет к непродуктивному
переучиванию Если 668 упражнений как раз достаточно для
связи 2X2, то 82 упражнений недостаточно для связи
9X8; если же 82 упражнений как раз достаточно для свя.>и
£ X 8. то 668 упражнений слишком много для связи 2X2
Мы можем найти ответы на эти вопросы, имея в виду уче-
ника средних способностей (или вообще определенных способ-
ностей) путец подходящих сайтов. Количество упражнений
будет конечно изменяться в зависимое!я от способностей уче-
ника. Оно будет изменяться также в зависимости от того
интереса, который пробужден в ученике, и от степени удов-
летворения, которое он испытывает от своих успехов в от
приобретения навыков. Оно будет также изменяться в зави-
симости от количества упражнений в других родственных
связях: 7-|-7 = 14 и 6и:7 = 8 и 4 в остатке будут облегчать
142
образование связей 7 4-8=15 и 61:7 = 8 и 5 в остатке- Оно
будет конечно изменяться и в соответствии с общей труд-
ностью связи; так связь 17 — 8=9 создается при обычных
условиях преподавания труднее, чем 7 — 2=5.
Пока у нес нет подходящих опытов, мы мож( м оценивать
количество упражнений, необходимых для образования основ-
ных связей, изложенным ниже способом, предполагая, что
к концу шестого года обучениями должны иметь прочность
связей, дающую 109 правильных ответов из 200, и что пре-
подавание ведется вполне подготовленным лицом в соответ-
ствии с психологическими принципами в отношении как
способностей, так и интереса к занятиям.
Для одной из самых легких связей, наиболее облегчаемой
другими связями (как например 2x5 = 10, 10—2=8 или
двойная связь 7 = дважды 3 и 1 в остатке , достаточно две-
надцати упражнений в течение недели первоначального изу-
чения, подкрепляемых пятью упражнениями в течение после-
дующих двух месяцев и фиксируемых тридцатью упражнени-
ями, целесообразно распределенными в течение более поздних
периодов, если иметь в виду посредственного или среднего
ученика. Для более способных учеников это количество
можно сократить соответственно до шести, двенадцати и
пятнадцати. Для менее способных учеников может потребо-
ваться увеличение этого количеств! до тридцати, пятидесяти
и ста. Если ученик требует до двухсот повторений каждой
из ?тих легких связей, то мы должны подвергнуть сомнению,
стоит ли вообще обучать его арифметике сверх немногих
практически необходимых ее элементов.
Для связей обычной трудности, лишь средне облегчаемых
другими связями (как например 11—3, 4X7 или 48:8 = 6),
мы можем предложить двадцать упражнений в неделю при
первс начальном ознакомлении, подкрепляемых тридцатью
упражнениями и. фиксируемых пятьюдесятью упражнениями,
целесообразно распределяемыми в течение более поздних
периодов, если иметь в виду посредственного или среднего
ученика. Более способные ученики могут приобрести и сох-
ранить навыки с помощью двенадцати, пятнадцати и двадцати
упражнений соответственно. Неспособные к арифметике уче-
ники могу,' нуждаться в двадцати, шестидесяти и двухстах
упражнениях. Здесь мы опять должны усушиться в том,
чтобы стоило обучать большему числу арифметических
фактов ученика, которому столь трудно усвоить подобные
элементарные истины, хороню преподанные и сделанные
интересными.
1«
ГоЯл
Деление с остатком ж
Вся работа на протяжении 6-го года обучений за м<
ица 8.
fci остатка. Книга В.
Делимое..........	..
Делитель ......................
Сколько раз встречается........
Делимое. .	. .
Делитель .............. ......
Сколько раз встречается - .	- -
Делимое.	...
Делитель . . ..............
Сколько раз встречается .....
Делимое.................... -	.
Делитель ........
Сколько раз встречается........
Делимое . -	..........
Делитель............. ...	..
Сколько раз встречается ....
Делимое . .	....
Делитель............ ..........
Сколько раз встречается........
Делимое
Делитель..............
Сколько раз встречается ....
Делимое .	.	.	.......
Делитель	.	......
Сколько раз встречается........
Дезныое................... ...
Делитель ......................
Сколько раз встречается .....
частного при подробном делевын.
10
141
145
Делимое........		31							32							33						
Делитель .......... ..	4	5	6	7	8	9		4	5	6	7	8	S		-4	5	6	7	8	9	
Сколько раз встречается .....	4	3	1	1	4	2		50	И	3	6	39	5		8	7	7	2	6	1	
Делимое 			35							33							37						
Делитель 		-	4	5	6	7	8	9		4	5	1 б	7	В	9		4	5	6	7	8	9	
Сколько раз встречается		10	31	5	24	5	3		37	16	и	2	6	19		12	8	7	5	3	9	
Делимое 			3®							40						41						42	
Делитель		4	5	6	7	8	9		5	6	7	8	9		5	6	7	8	9		5	6
Сколько раз встречается		4	3	7	4	3	1		38	9	2	34	22		6	6	3	7	5		7	28
	43						44						45						46		
	5	6	7	8	9		5	6	7	8	9		5	6	7	8	9		5	6	7
Сколько раз встречается		7	5	10	13	3		7	6	4	5	0		24	6	7	10	20		3	3	2
Делимое .............	47						46						4L						50		
Делитель 				5	6	7	8	9		5	6	7	8	9		5	6	7	8	9		6	7	8
Сколько раз встречается		6	2	2	0	3		7	17	4	33	2		4	7	27	5	2		4	6	3
Дегммое			52					53					54					55					56
Делитель 			6	7	8	9		6	7	8			6	7	8	9		6	7	8	9		6
Сколько раз встречается . . . . _	5	5	5	3		4	3	3	2		12	5	1	16		5	3	4	2		0
Делимое .............	57					58					59					60				61	
Делитель ............	6	7	8	9		6	7	8	9		6	7	8	9		7	8	9		7	8
Сколько раз встречается'. . . . .	0	3	1	3		2	2	3	11		2	3	0	3		3	9	1		1	2
Делимое. 		 .	62				63								65				66				67
Делитель 		.	7	8	9		7	8	9			1 «	9		7	8	9		7	8	9		7
Сколько раз встречается		4	6	1		17	5	9		5	I	0		1	Ю	1		2	1	4		0
Делимое .............	68				69							71			72			73			74
Делитель 			7	8	9		7	8	В			9		8	9		8	9		8	9		8
Сколько раз встречается .....	1	3	2		0	6	1			2		1	"0		16	10		7	5		3
Делимое			76			77			78			79			80		8!		82		83		84
Делитель 		.	8	9		8	9		8	9		8	9		9		9		9		S		9
Сколько раз встречается		3	2		3	0		4	1		0	2		4		15		2		4		1
Делимое -			86		87		S3		89														
Делитель . ...........	9		9		9		9														
Сколько pas встречается ..... 146	0		3		2		7				10*										
34
4	5	6	7
8	3	5	2
38
4	5	6	7
7	8	7	1
7 8 5
30 10 3
Для связей большей трудности, менее облегчаемых дру
I
гимн связями (как например 17 — 9, 8X7 или ]2°/0=^-)
количество упражнений должно быть больше на 10—100% I
чем в приведенном выше случае.
НЕДОУЧИВАНИЕ И ПЕРЕУЧИВАНИЕ.
Если мы примем вышеуказанные предварительные оценки
как разумные, то мы сможем определить тот вред, который
приносится задаванием меньшего или большего количества I
упражнений, чем эго признано разумным. Меньшее коли-
чество не может быть оправдано: время ученика бесполезно
тртгится в этом случае на чрезмерное количество проверок
для отыскания ошибок; возникает опасность упражнения
в ошибках; внимание ученика отвлекается от изучения новых I
фактов и процессов необходимостью продумывать те факты,
которыми он владеет только предположительно; ?се новые
связи становятся более трудными для усвоения, чем они ’
должны бы были быть, потому, что связи, которые должны I
бы были облегчать их создание, недостаточно прочны для
выполнения указанной работы. Большее количество вредно
до некоторой степени потому, что оно требует затраты вре-
мени, которое могло бы лучше расходоваться для других
целей, и потому, что оно неизбежно уменьшает интерес уче<-1
ника к арифметике. В некоторых случаях однако такой
избыток упражнений и переучивание являются даже жела-
тельными. Особое значение имеют в этом отношении следу
юшие три случая.
Первый — случай связи, действующей в измененных уело- i
виях умственной постановки или формулировки. Ученик
может прекрасно знать произведение 7X8 как таковое, но
он нуждается в дополнительной практике, чтобы найти это
285
произведение в примере 7, где он должен помнить, что
получив 56, он должен прибавить к нему еще 3, а .записать
должен только 9; 5 же должен удержать в уме для поздней-
шего использования. Упражнения, необходимые для продук
тивной работы связи в этих новых условиях, желательны, хотя
они и являются излишними с более узкой точки зрения и
вызывают переучивание прямой связи .семью восемь пять-1
десят шесть". Равным образом работа ученика над примерами
24, 34,44 иг д.-|-9 требует такого количества упражнений. II
которое может показаться излишним с точки зрения связи
14В
4ф-9, взятой отдельно; его работа при определении приблизи-
тельных цифр частного в подробном делении может дать избы-
ток упражнений с точки зрения таблиц деления. Таких случаев
5	7
очень много. Да л е сложение 5 и 7 в примерах р2ПРед”
ставляет собою не совсем го же, что про< тог сложение 5 и 7,
не осложненное тем фактом, что складывать надо двенадца-
тые доли. Мы знаем еще слишком мало относительно коли-
чества упражнений, необходимых для приспособления ярьф
метическмх связей к производственной работе в этих более
сложных условиях, чтобы определить Даже приблизите тьно
желательную норму избыточных упражнений. I ем не менее
некоторое и часто довольно большое количество их должно
быть предусмотрено.
Второй случай желательности переучивания — это случай,
когда вычисление долано выполняться учеником очень легко
и совершенно твердо при всех условиях кроме какого нибудь
одного, в котором участвует нозый элемент, находящийся
в процессе изучения. Нзпример, преподавая значение и при-
менение „средних чисел" и неточного деления, мы можем
сознательно отдавать предпочтение делителям 2, 3 и 4 пе-
ред 7 и 9, чтобы предоставить ученикам возможность затра-
чивать всю их энергию на изучение новых фактов и сделать
дроби в частном более доступными для понимания, более
реальными и более осмысленными. Преподавая сложение
смешанных чисел, следует отдавать предпочтение иа ранних
74
13 4- -	98 J-
ступенях примерам 24 перед такими 67, чтоэы не отвлекать
внимания ученг ка от этого нового процесса кзк такового.
При сокращении дробей можно давать избыточные упраж-
нения на делителей 2, 3, 4 и 5, чтобы облегчить переход
к новому навыку одновременного рассмотрения двух чисел
с точки зрения их делимости на одно и то же число. При
начале изучения коммерческого учета можно давать избы-
точные упражнения на „5% от“ и „10% or*, чтобы значе-
ние учета не затемнялось трудностью вычисления как тако-
вого. Таким образом избыток упражнений и „переучивание"
некоторых связей очень часто имеют свое оправдание.
149
Третий случай касается связей, ценность которых для
практического жизненного применения или облегчения других
связей так вечика, что они могут быть с пользой для дела
доведены до большей прочности, чем 199 правильных отве-
тов из 20и при скорости в 2 секунды или менее, или могут
быть доведены до этой степени прочности очень рано. При-
мерами связей, имеющих особую практическую полезность,
I I 1 1 I 1
являются вычитания из 10, сложения „4—, олре-
2	2 2	4	F
деления-^-от 60; — от 60 и дробных частей 12 и 1 руб. При-
мерами связей, значительно облегчающих образование других
связей, являются связи десятью 10 = 100, десятью 100= 1000,
сложения, подобные 24-2, 3-J-3 и 44-4, и все звенья таб-
лицы умножения до 9X9.
По вопросу об этих трех случаях или принципах, оправ-
дывающих Избыточные упражнения, можно было бы написать
целый том, излагающий, сколько упражнений нужно давать
на каждую связь каждого типа сложных положений, в кото-
рых она участвует. Чтобы осветить эти факты, необходимо
конечно большое количество опытов; для обеспечения же
продуктивности обучения и недо лущения излишнего пере-
учивания потребуется немало здравомыслия и изобретатель-
ности.
Следующие факты имеют первостепенную важность:
1.	Учебник или какое-либо другое пособие при обучении,
служащее оиыим руководством для преподавателя, может
давать слишком мало упражнений на определенные связи.
2.	Оно может содержать явно нецелесообразное распре-
деление упражнений.	»
3.	Преподаватель должен знать поэтому, сколько упраж-
нений дает руководство, в чем он должен его дополнить
и что он должен из него опустить.
4.	Сокращение числа упражнений по соображениям оче-
видного избытка их должно делаться только после тщатель-
ного рассмотрения вопроса с точки зрения изложенного
выше третьего принципа.
5.	Количество упражнений должно всегда рассматриваться
в свете того, ыкоЙ интерес они пробуждают и как они
используют с.’ре и: ние ученика работать с полной энергией
и рвением. Простое повторение связей, при котором ученик
не следит за тем, совершенствуется он или нет, редко м< жет
•быть чем-либо оправдано.
150
6.	Упражн< ния, являющиеся фактически избыточными, еще
не представляют собою большого недостатка, если они до-
ставляют ученику удовольсэ вне и усиливают склонность его
к арифметике. Времени при этим теряется немного: сто
упражнений для каждой из тысячи связей потребуют, после
тою как достигнут навык в правильном решении 199 при-
меров из 200, считая по 2 секунды, несколько менее Ы) часов
на все, т. е. менее, чем по 15 часов в год в группах 3-й — 6-й.
7	При правильном распределении упражнений между
связями, ведении обучения так, чтобы каждая связь помогала
другим связям, быстром приспособлении упражнения с дан-
ной связью к каждому новому типу положения, требующе: о,
чтобы она дейс.вовала и при изменившихся обстоятельствах,
и устранении излишних упражнений, при которых не приоб-
ретается ничего существенного, можно ожидать значительно
лучших результатов по сравнению с прошлым приобрете-
нием навыков наугад.
8.	Пока преподаватель не располагает таким материалом
' для упражнений, который соответствует своему назначению,
хорошо распределен и достаточно мотивирован, он должен
нести точный учет того, что усваивают его ученики. В про-
тивном случае почти наверное будет иметь место катастро-
фическое недоучивание многих связей и задержка в развитии
ученика.
ОРГАНИЗАЦИЯ СПОСОБНОСТЕЙ.
Можно опасаться, что краткость и простота изложения
вопроса о сьязи или способности и о количестве упражне-
ний, требуемых сю, может привести читателя к ложной
мысли, что эти связи и способности должны вырабаты-
ваться и сохраняться сами по себе, каждая в отдельности.
Однако вырабатываться так они должны лишь в редких слу-
чаях и никогда не должны так сохраняться. От времени до
времени мы уже указывали на это, ссылаясь на важность
образования связи в том виде, в каком она будет приме-
няться в жизни, на действие связей в измененных условиях,
на облегчение одной связи другими, на согласованное дей-
ствие способностей и наконец на слияние этих последних
в одну полную арифметическую способность.
Можно считать определенным фактом, что только малая
доля арифметических упражнений посвящается образованию
изолированных связей. Даже очень юные ученики, изучая
>5 и 3 равно 8“, должны учить это, так сказать, с задней
мыслью о том, что „5 и 5 равно 10“, „5 и 2 равно 7“. Уже на
151
такой ранней ступени пример 5 + 3 = 8 должен сэставлять
часть организованной, согласованной системы связей. Поз-
днее к этому присоединяется связь 50 4-30=80. Каждая
связь должна рассматриватпся не просто как отдельный
инструмент, положенный в ящик до востребования, но и как
часть, совершенствующая весь инструмент или машину, т. е.
арифметическую способность вообще.
Конечно бывают различия. Знание квадратного корня
можно считать до некоторой степени отдельным орудием,
которое следует заострить, отточить, отполировать и приме-
нять само по себе, в то время как знание тао’иц умноже-
ния так рассматривать нельзя. Однако даже и квадратный
корень вероятно было бы лучше сделать более тесной частью
полной способности, рассматривая его как особый сличай
деления, при котором делитель должен быть равен частному,
и действие заключается в подыскании и проверке.
Вообще мы не хотим, чтобы ученик был складом отдель-
ных способностей, каждая из которых может действовать
только f той случае, если вы предлагаете ему точно такие
же вопросы, какие обычно предлагал ему преподаватеть,
или как-либо иначе указываете ему, какого сюда арифмети-
ческое орудие он должен в данном случае применить. Ско-
рее он должен быть производительной организацией способ-
ностей. действующих согласованно и целесообразно при
встрече с количественными задачами, предлагаемыми жизнью.
Как правило, он не должен думать таки л например образом:
.Что это — процентные деньги или учет? Простые это про-
центы или сложные? Что я делал со сложными процентами?
Как умножить на 2°/с?“ Положение, которое вызывает пред-
ставление о процентах, должно вызвать и сопут твующее
представление о роде процентов, техника же обращения с
процентами должна быть так тесно связана в его уме с пред-
ставлением процентов, что правильное согласование должно
происходить почти без всякого контроля с его стороны.
Как только какая-либо нопяя связь приобретена, мы пыта-
емся заставить ее занять свое место в качестве фактора усовер-
шенствования мыслящего существа, полноправного члена це-
лой организации, борца, сражающегося плечо к плечу с
други «и, элемента в образовании человека. Такая организа-
ция связей не может создаться сама по себе, совершенно
так же как не может возникнуть сама по себе и любая от-
дельная связь. Если элементы арифметической способности
должны действовать совместно как единая организованная
сила, то их надо заставить действовать совместно в процессе
152
обучения. То, что мы хотим видеть действующим согласо-
ванно, мы должны соединить вместе и заставить порабо-
тать в одной упряжке.
Мы можем многое сдетать для обеспечения согласован-
ного действия в соответствии с тем, когда, где и в каким
виде оно требуется и прито и очень простым способом,
именно, давая упражнения на вычисления и задачи в том
виде, как их ставит жизнь, вместо того чтобы придумывать
искусственные упражнения и задачи только для прилож< ния
определенных фактов или принципов как таковых. Несмотря
на то что ученик решал десятки задач, гласящих: «треуголь-
ник имеет основание в а дециметров и высоту в b децимет-
ров, чему равна его площадь",— все же он может оказаться
практически беспомощным при определении площади треу-
гольного участка земли и еще более беспомощным в приме-
нении формулы вычисления площади треугольника при опре-
делении площади одного из двух треугольников, на которые
разделена трапеции. Несмотря иа то что ученик выучился
решать задачи на простые проценты, сложные проценты и
учет взятые в отдельности и изложенные в немногих твер-
дых формах, он может оказаться практически беспомощ-
ным перед рядом реальных задач, встретившихся ему в жи-
зни; он может просрочить платеж, хотя мог бы взять для
платежа деньги из сберегательной кассы, или, наоборот,
взять деньги из сберегательной кассы вместо тою, чтобы
прибегнуть к безналичному расчету.
Вместо того чтобы придумывать задачи, которые соотвс-
ствова 1и бы способностям, развиваем! м школьным препо-
даванием, нам следовало бы лучше видоизменись школьное
преподавание так, чтобы арифметические способности были
организованы в целостную производительную способность,
готовую встретить задачи, которые будет предлагать жизнь.
Обобщая еще более, скажем: каждую создаваемую связь
нужно СОЗДАВАТЬ С ДОЛЖНЫМ J 4FTOM КАЖДОЙ ДРУГОЙ СВЯЗИ, КО-
ТОРАЯ УЖЕ СОЗДАНА или БУДЕТ СОЗДАНА; КАЖДУЮ СПОСОБНОСТЬ
НУЖНО УПРАЖНЯТЬ В РЬЗМОЖНО БОЛЕЕ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ СОЧЕ-
ТАНИЯХ С ДРУГИМИ СПОСОБНОСТЯМИ.
153
ГЛАВА VJI,
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТЕМ. ПОРЯДОК ОБРАЗОВА-
НИЯ СВЯЗЕЙ.
Следующим шагом после выбора связей, подлежащих
образованию, является установление наиболее экономичного
порядка их образования,—такого порядка, при котором ка-
ждая связь возможно больше помогала бы другим связям
и достигалось бы наибольшее облегчение и наименьшее за-
труднение.
Принцип этот достаточно -очевиден и был бы вероятно
принят в теории любым разумным преподавателем; однако на
практике мы до сих пор еще связаны условными обычаями,
которые укоренились задолго до того, как начала изучаться
психология арифметики. Например мы унаследовали обычай
проходить полностью сначала сложение целых чисел, потом
вычитание, потом умножение, а затем и деление, и многие
из нас следуют этому обычаю, несмотря на то, что никто ни-
когда не давал доказательства, что это — наилучшнй поря-
док обучения арифметике. Мы унаследовали также противо-
положный обычай обучения по так называемой „спиральной"
системе, при которой сперва проходятся немного из сложе-
ния, вычитания, умножения и деления, затем немного более
из тех же областей, потом еще немного более, и многие из
час следуют эУому обычаю с неразумной верой в то, чг)
смена одного процесса другим полезна сама по себе (per sc).
Такие обычаи очень сильны и характеризуют наше об-
щее стремление сохранять большинство привычек, которых
мы не можем оправдать. Превращение и раздробление имено-
яаньых чисел до настоящего времени откладывается большин-
ством руководств до четвертой или пятой групп, хотя этот
материал имеет гораздо ббчьшую ценность в качестве упраж-
нения в таблицах умножения и деления, чем обычные за-
дачи на яблоки, яйца, апельсины, тетрадки и ручки. Благо-
даря ли исторической случайности или вследствие какого-
либо разумного основания, но общее изучение именованных
134
чисел было обложено на позднее время; а силу нашего наив-
ного представления о порядке и системе мы считали ерети-
ческим всякое применение именованных чисел до этого
времени; таким образом мы не видели преимуществ приме-
нения различных мер, монет, дней и т. д. при прохождении
хотя бы таблицы умножения. А между тем задачи, подобные
следующим: 3 пятачка = ... коп. или 15 коп. = ... пятачкам,
.имеют весьма большое преимущество не только в краткости,
ясности, практической полезности, реальности положения и
готовом разнообразии, но также и в том, что часть данных
должна полезным оиразом представляться в уме, вме-
сто того чтобы считываться с книги. В действитель-
ных жизненных условиях, идя покупать на 20 копеек тетрадки
определенного сорта, мы уже представляем себе цену
покупаемой тетрадки и спрашиваем продавца о цене только
в том случае, если сами ее не знаем; как правило, задумы-
вая покупку, мы уже представляем себе соответству-
ющие цены. Несмотря на эти и другие преимущества, ни
одно из десяти руководств вплоть до 1900 г. не вводило
'более раннего применения этих упражнений с именованными
числами. Так велика сила простого обычая и привычки.
Кроме этих условных обычаев среди лиц, ответственных
на преподавание ар ифметики, замечалось восхищение таким
распределением материала, которое облегчало лицу, уже
владевшему предметом, представление его составных частей
и их взаимоотношений. Такое распределение часто называли
„логическим распределением материала", хотя оно часто бы-
вало весьма далеко от логического в каком бы то ни было
смысле. Но наиболее легкий порядок умственного обозрения
схемы навыков, после того как вы приобрели последнее,
Мчжет оказаться чрезвычайно трудным порядком для приоб-
ретенья их. Критика других схем, как „ппскутных" или „бес-
системных", которая была бы довольно ценной, если бы
школьный курс мыслился как предмет созерцания, становит-
ся неосновательной, если рассматривать его как рабочее
орудие для усовершенствсвания общения арифметике.
Мы должны помнить, что все наше систематизирование
и классифицирование в значительной степени лишен ы значе-
ния в глазах учеников. Они ни в какой мере не могут оценить
систему как последовательный переход отданного пункта к та-
кому- го и такому-то, потому что они не знают еще этих послед-
них пунктов. Как правило, они не считают свою работу в чет-
вертой группе результатом своей работы в тр(тьгй группе,
распространенным от а кг1( дополненным прибавлением &а и
155
к b и bj и уточненным г и rf до с4 и rfs. Они могли бы дать
только самый неопределенный отчет о том, что они делали в
третьей группе, и еще меньше могли бы сказать о том, почему
они должны были это делать тогда. Их не слишком смущает
отсутствие так называемой „системы*1 и „логической** после-
довательности по той же причине, по которой наличность
такой системы не оказывает им слишком большой помощи.
В чем они нуждаются и что они могут использовать — это
динамически производительная система или последова-
тельность, единственная, которую они могут усваивать легко
и надолго независимо от того, как она стала бы выглядеть
в музее арифметических систем. Пока их рабочие арифмети-
ческие навыки не образовали полезных связей, нет смысла
рассматривать так называемые логические соотношения; если
же их навыки образовали эти связи, то не имеет большого
значения, рассматривали ли они указанные логические соот-
ношения или нет; наконец лучше всего они могут рассмот
реть их, приобретя сперва правильные наныкь в динамически
производительной последовательности.
УМЕНЬШЕНИЕ ЗАТРУДНЕНИЙ И УВЕЛИЧЕНИЕ ОБЛЕГЧЕНИЙ.
Психология не указывает простого, легкого, широкого
пути для открытия этой динамически наилучшей последова-
тельности. Она может только обследовать связи, установить,
что необходимо должно предшествовать каждой связи и что
представляет собою данная связь в качестве будущего по-
собия, рекомендовать для испытания некоторые последова-
тельности и измерить эффективность каждой последователь-
ности с точки зрения достижения желаемых результатов. А
для этого потребуется большая изобретательность мысли и
тщательные опыты многих талантливых исследователей ь те-
чение ряда лет.
Однако психология может уже и сейчас оказать солидную
и многостороннюю помощь в построении системы обучения,
или рекомендуя последовательность, которая почти наверное
окажется лучше общепринятых в настоящее время, или пред-
лагая для испытания последовательности, которые могут
быть приняты или отвергнуты после перекрестных тестов.
Рассмотрим например следующее положение: „сложить
столбец однозначных чисел, сумма которых больше 9**» и от-
вет на него: „подписывая сумму**. Обычно эта связь твердо
устанавливается до перехода к сложению двузначных чисел.
В результате ученик приобретает навык, который он должен
разрушить, переходя к изучению двузначных чисел, рели
156
на такие простые столбцы мы будем лапать только устные
ответы до тех пор, пока не будет налажено сложение дву-
значных чисел, то затруднение будет избегнуто.
Во многих школьных курсах придерживаются следующего
порядка систематического образования связей таблицы умно-
жения: 1 X 1. 2 X 1 и т. д,, I X 2, 2X2 и т. д., 1 X 3, 2X3 и
т. д., 1 X 9, 2 X 9 и т. д. Это вероятно ошибочно в двух от-
ношениях. Имеется полное основание предполагать, что ум-
ножения на 5 должны проходиться сначала, так как их легче
изучить, чем умножения на 1 или на 2, и идею умножения они
выявляют более выразительно и ясно. Равным образом име-
ется полное основание думать, что умножения 1 X 5, 1X2,
1 X 3 и т. д. должны быть отнесены на более позднее время,
когда будут усвоены по крайней мере три или четыре таб-
лицы, так как вопрос: „сколько будет одинажды 2?“ (или 3
или 5) совершенно не нужен до тех пор, пока мы не при
ступили к умножению двух- и трехзначных чисел, и, будучи
, предложен слишком рано, затемгяет представление об умно-
жении. Притом же эти случаи лучше усваиваются все разом
как навыки: „одинажды k— то же самое, что и „k раз
1—то же самое, что k 1“.
В другом случае предлагалось изучать деление до 81:9
с помощью мысленного отбора или рассуждения, исходя
из случаев умножения. Эго опретеляет такой порядок созда-
ния связей, при котором образование евшей деления проис-
ходило бы вскоре после того, как изучены связи умножения.
Эта тесная близость связей желательна и по другим причиним.
Одна из произвольных схем порядка образования связей
ограничивает действия сперва числами от 1 до 10, затем
числами, меньшими 100, потом числами, меньшими 1000, и
наконец числами, меньшими 10000. Если не считать устра-
нения из прикладной арифметики нереальных и педантич-
ных задач, к которым до некоторой степени располагает
работа с большими числами в младших группах, то в таком
ограничении порядка образования связей остается очень мало
* Мы не имеем щесь в вади раннего усвоения примеров 2 XX 2>.3,
3X2, 2X4, 4 XX 3X3 и, во: можно, еще несколько случаев умножения.
Это можно рекомендовал Cnj паев С X 0, 0 X 1, 1 X 0 и т. д. мы здесь во-
все не расс матриваем. Вероятно связи „Х®“ нелеп образно отложить до
того времени, когда все прочие связи будут образованы н применены в
кратком умножении; создавать их следует в тесной связи с их нргмень-
ннем в кратком умножении. Связи „О Xй могут быть прекрасно отложены
До того времени, пока они не потребуются при „подробном* умножении;
'.вязь „0X0" должна появиться последней.
Примечание автора.
157

достоинств. Недостатков же в нем очень много. Например
когда ученик проходит перенос при сложении, то ему можно
дать прекрасную практику, включив вскоре же примеры с
суммами больше 100; а проделав несколько примеров на
сложение трех- и четырехзначных чисел, он может приобре-
сти ценное понятие об общем применении этого процесса.
То же самое относится и к вычитанию. Действительно, кое-
что можно сказать даже в пользу применения шести- или
семизначных чисел при вычитании, так как это укрепляет
прием «занимания*, которое приходится проделывать опять
и опять в одном и том же примере, и ставит этот прием под
контроль необходимостью опять и опять решать вопрос, ну-
жно ли „занимать” или нет в одном и том же примере. По
еле того как будут пройдены таблицы умножения, наиболее
сажным применением их явятся не утомительные обзоры
или тривильные задачи с ответами меньше 100, а системати-
ческие упражнения в „кратком* умножении двух-трех-и даже
четырехзначных чисел. Подобно тому как комбинация сложе-
ния действует главным образом при видоизменении их в случае
перехода к единицам высшего порядка, и комбинации умно-
жения действуют главным образом в тех случаях, когда при
пользовании связью приходится одновременно уделять вни
мание дополнительной задаче соблюдения правильного рас-
положения цифр, прибавления того, что переносится от
предыдущего, записи правильной цифры на правильном ме-
сте и запоминания правильного числа для последующего
прибавления, Повидимому лучше всего начинать такое крат-
кое умножение, как только будут усвоены умножения на 5,
на 2, нэ 3 и на 4. и вводить умножения на 6, на 7 и далее
в упражнения на краткое умножение, по мере того как бу-
дет проходиться каждое из них.
Потребность в четырех- пяти- и шестизначных числах ста-
новится еще настоятельнее, когда переходят к умножению
двузначных чисел. Вскоре после того как ученики усвоят
процесс умножения на двузначное число, должны последо-
вать упражнения в умножении и на трехзначиое число. В этот
момент они нисколько не труднее, чем позднее. Наоборот,
если ученик приобретает только такие навыки в умноже-
нии, которые даются двузначными множителями, то он го-
раздо больше страдает от получающихся осложнений, чем
от получения шести или семизначных ответов, значения ко-
торых он не может еше себе точно представить. Они уяс-
няют законы и приемы подробного умножения с исключи-
тельной экономичностью, потому что принципы и действия
1SS
применяются по два или три раза сряду и разница между
значениями, которые частичные произведения имеют при
сложении, наблюд ются три раза вмести одного.
Весь материал подробного умножения с целыми числами
я монетами следует рассматривать как цельную педагогиче-
скую единицу и создавать согласованные связи хотя бы
при этом случайно встречались такие большие числа, как
900ОСЮ. О.)условливается это не тем, что такой порядок
более логичен или менее случаен, а тем, что каждая связь
получает при этом больше помощи от других связей и сама
в свою очередь оказывает больше- помощи другим связям.
В резком контрасте с разделом, подобным „подробному*
умножению, стоит такой раздел, как „именованные числа*.
Совершенно ясно, что его нельзя рассматривать как обшир-
ное педагогическое целое; не следует конечно и создавать
в тесной последовательности всех связей, участвующих в
сложении, вычитании, умножении и делении всех обычных
видов мер. Превращение и раздробление mhoi их мер следует
проходить как упражнения в соответствующих таблицах
умножения и деления. Раздробление дает прекрасный мате-
риал для упражнений в соответствии с задачами типа „(ах by |-
У с^--...“ или „куплено 3 кило соли по 9 коп. за кило и на
о коп. спичек*. Превращение мер дает прекрасный материал
для задач типа „d=(... X #) + с“ или задач, требуюших
определения „сдачи* и являющихся, при условии применения
малых чисел, прекрасным подготовительным материалом для
краткого деления. Они оказывают также большую помощь
при первоначальной работе с дробями. Метр — километр,
квадратный метр — квадратный дециметр и прочие простые
соотношения дают жизненный v понятный материал для
умножения больших чисел.
Знание метрической системы линейных и квадратных
мер в качестве введения к десятичным дробям вероятно
с избытком вознаградило бы учеников за потраченное на
усвоение их время. Может быть, стоило бы даже изобрести
некоторые единицы измерения, средние между принятыми
в настоящее время, например между литром и кубическим
сантиметром, чтобы раянообралить применение их при пре-
подавании различных арифметических действий. Таким обра-
эом мно!ие связи, бесполезно сваливаемые традиционной
систематикой в одну кучу в глаче об именованных числах,
иолжны были бы создаваться как полезный материал для
подготовки и применения других связей в течение всего
“етырехлетнего периода обучения арифметике.
15»
Связи, участвующие в способности отвечать правильно
на рят,ы:
5 =.... раз по 2 и .... в остатке
5=.... раз по 3 и .... в остатке
88 = .... раз по 9 и ____в остатке
следовало бы создавать до, а не во время изучения краткого
деления. Действительно, они представляют собою прекрасный
материал для упражнения в таблицах деления, приносят
практическую пользу при решении задач на сдавание сдачи
пои маленьких покупках и т. п., упрощаю г довольно запу-
танную при других условиях задачу соблюдения правильного
расположения цифр, выбора цифр частного, умножения на
нее, вычитания и удержания в уме нового числа, подлежащего
делению и составленного частью из остатка, частью из
цифры написанного делимого. Такое изменение порядка
является хорошим примером почти общего правила: когда
УПРАЖНЕНИЯ ИЛИ ОБЗОР, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ
ИЛИ УКРЕПЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СВЯЗЕЙ, МОГУТ БЫТЬ ПРЕВРАЩЕНЫ
ПУТЕМ НЕЗНАЧИТЕЛЬНОГО ИЗМЕНЕНИЯ В ПОЛЕЗНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ
НОВЫХ СВЯЗЕЙ, ТО ЭТО ИЗМЕНЕНИЕ ДОЛЖНО БЫТЬ ГРОИЗВЕДЕНО.
Связи, участвующие в четырех действиях над монетами,’
должны создаваться в течение третьего и четвертою годов
обучения одновременно или вскоре после создания соответ-
ствующих связей, касающихся трех- и четырехзначных целых
чисел.
Это утверждение показалось бы вероятно нелепым педаго-
гам пэошлою пятидесятилетия. „Монеты, сказали бы они,
являются применением десятичных дробей. Как можно р
чать их, когда неизвестна еще сущность десятичных дробИ
Как может ребенок понять при умножении 75 коп. на 3, что
трижды 5 коп составляют 1 гривенник и 1 пятачок (или
1 пятиалтынный) и что трижды 70 коп. равны 2 рублям и
1 гривеннику? Зачем смущать юных учеников трудностями
постановки десятичной запятой? Зачем мешать усвоению че-
тырех действий над целыми числами, прибавляя на каждом
шагу какое-то действие над монетами:"
Рассмотренный нами случай отлично иллюстрирует оши-
бочность старого излишне систематизированного трактования
последовательности тем и еще более важную ошибку смеше-
ния логики доказательства с психологией обучения. Чтобы
доказать для услаждения некоторых преподавателей арифм*-"
тики, что 1,75 руб. ХЗ-- 5,25 руб., нам необходимо знать
теорию десятичных дробей; но все, что необходимо ребенк)
для выполнения такого умножения,— это проделать то же
самое, что он делает при умножении целых чисет, а затем
„поставить после ответа знак „руб.,* чтобы показать, что
это рубли и копейки, и поставить десятичную запятую,
чтобы показать, какие цифры обозначают рубли и какие
копейки*. И это замечание имеет совершенно общее значе-
ние. Способность производить действия над целыми числами
плюс два навыка — ставить после цифр ответа „руб.*
и отделять в нем рубли от копеек — дают ученику возмож-
ность выполнять действия и над монетами.
Вследствие этого разумный опыт привел к применению
монет не в виде вывода из теории десятичных дробей, изу-
чаемого с их помощью, а в виде вступления к десятичным
дробям, которое помогает ученику изучить их. Таким обра-
зом опыт постепенно отодвигает работу над монетами на
более и более ранние ступени, хотя все еще несколько
робко.
Мы не должны однако быть робкими. Ученик не будет
испытывать затруднений лри сложении, вычитании, умноже-
нии и делении монет, если только мы сами не создадим их
нашими объяснениями. Если мы просто образуем две опи-
санных выше связи и покажем при помощи соответствующей
проверки, что данный прием всегда дает правильный ответ,
то раннее преподавание четырех действий над монетами
окажется действительным педагогическим достижением. Оно
сбережет больше времени при работе над целыми числами,
чем сколько его будет затрачено на изучение этого. В самом
деле, во-первых, это поможет сделать работу над четырех- и
пятизначными числами более понятной и жизненной: ученик
легче может понять выражения 16,75 руб. или 28,79 руб.,
чем 1675 или 2879, так как первые могут обозначать цены
на костюм, коньки или теннисную ракетку. Во вторых, это
позволяет использовать огромный запас жизненных задач,
связанных с расходами, сбережениями, распределением и
т. п., а также с объявлениями, каталогами и различными
школьными начинаниями. В-третьих, это позволяет применять
проверку, основанную на здравом смысле. Ученик может
сказать, нисколько не смущаясь, что четверть 3000 равна
7 050 или 75, и в то же время легко соображает, что четверть
30,00 руб. не может быть более 70 рублей или менее 1 рубля.
Даже самая десятичная запятая, которой мы обычно так
боялись, в действительности помогает глазу сохранять место
цифр при сложении столбцов.
Ч Т( pjRiB а
161
ИНТЕРЕС.
Рассмотренные нами примеры улучшения последователь-
ности связей, имевшие целью достигнуть меньших затрудне- I
ний и большего облегчения, чем это наблюдается ври обще- I
принятых системах, касались главным образом улучшения
механической организации связей. Некоторое повышение
интереса, достигаемое описанными изменениями, обязано
в значительной степени наличию больших успехов как тако-. I
вых. Дьюи (Dewey} и другие выдвинули совершенно иной
принцип улучшения порядка образования связей — принцип
определения связей, подлежащих созданию, с помощью I
какой-нибудь жизненной, увлекательной задачи, которая воз-
буждает интерес, достаточный для освещения смысла pa- I
боты, и выходит за пределы сухих планов последовательности 1
или даже противоречит им во имя продуктивности работы. I
Например в течение первого месяца занятий в группе II В I
можно пожертвовать облегчениями механического характера 1
ради применения арифметики к решению вопроса, какие
размеры должна иметь клетка для кролика, чтобы пол ее I
содержал 120 дмя; сколько хлеба нужно ему давать каждый
раз, если в день он должен получать 5!) г, насколько хватит 1
ему батона, ценою в 11 коп. и весом в 400 г, сколько батонов
надо покупать для него в месяц, сколько стоит пропитание
кролика, насколько он прибавился в весе с тех пор, как
его принесли в школу, и т. д.
Такое принесение в жертву лучшего порядка, возбужда- ]
ющего равный интерес, во имя достижения большего или
более здорового интереса заслуживает полного оправдания.
Жизненные задачи имеют первостепенное значение как ядро,
около которого организуется обучение арифметике. Пожалуй,
можно даже требовать, чтобы каждому новому процессу,
например сложению с „переносом*, умножению двузначных
чисел или делению десятичных дробей, предпосылалось в
виде части введения к нему несколько жизненных задач-
положений, требующих применения этого процесса. Жертва
эта не должна быть однако слишком большой; подыскание
жизненных задач, которые соответствовали бы экономному
порядку изложения материала, необходимо в той же степени,
как и улучшение эгого порядка для соответствия известным
интересам; и уверенность в том, чго данная задача помогает
ученику изучать арифметику, имеет такое же значение, как
и уверенность в том, чго арифметика применяется для ока- j
зания помощи ученику в решении его личных задач.
162
Потребуется много изобретательности и экспериментиро-
вания, чтобы установить такой порядок, который был бы
удовлетворительным с точки зрения как качества и количе-
ства интересов или побуждений, так и взаимной полезности
связей. Трудность организации преподавания арифметики
на основе занимательных задач значительно усиливается
фактом классного группового обучения. Для каждого ученика
в отдельности можно найти индивидуальные жизненные за-
дачи и положения, способные развить многие арифметиче-
ские способности; попутно с этим можно тем или иным
способом сообщить ученику и те нет бходимые познания
и технику, которых эти задачи не развивают. Но тридцать
учащихся, из которых половина — мальчики, а половина —
девочки, с разницею в возрасте до пяти лет, и которые
пришли из различных семей, с различными природными
способностями, —не могут единодушно почувствовать такого-
то сентября 19--г. жизненную потребность решить такую-то
задачу, а затем, скажем, 15 октября, почувствовать также
единодушно потребность решить другую задачу. С точки
зрения механических законов обучения дети очень похожи
друг на друга, и те преимущества, которые мы можем наде-
яться получить от сокращения затруднений и увеличения
облегчений, в обычных условиях классного преподавания
будут вероятно больше, чем преимущества, достигаемые
изобрети нием увлекгтел >ных центральных задач. Мы должны
однако добиваться возможно большего от обоих этих средств.
ОВШИЕ ПРИНЦИПЫ.
После всего изложенного читатель может почувствовать
себя довольно беспомощным перед задачей распределения
арифметического учебного материала. „То вы дополняете
данный отдел, то вы разбиваете его на части и берете по-
следние в отдельности в течение месяцев и лет. то вы
проделываете странные зигзаги и ухищрения, чтобы получить
стратг гичесг ое пре имущество над врагом", может быть думает
он, „но разве в этом вопросе нет руководящих принципов,
нет общих правил?" Есть только одно правило, которое
является абсолютно общим, а именно: избирайте такой по-
рядок, КОТОРЫЙ ДАЕТ НАИЛучШИЕ рЕЗуЛЬТАТН При ПРЕПОДАВА-
НИИ Арифметики. Существуют и частные правила, но их так
Много и они так ограничены оговоркой „при прочих равных
условиях", что, пожалуй, лучше детально продумать все
«за" и „против" в отношении каждого данного предложения,
чем упорно стремиться придерживаться всех этих правил.
П*	163
Я установлю здесь некоторые из таких правил и поясню их 1
примерами, предоставив самому читателю составить себе I
о них окончательное суждение.
При прочих равных условиях не следует вводить новых I
СВЯЗЕЙ ДО ТЕХ ПОР, ПОКА ПРЕДШЕСТВУЮЩАЯ ГРУППА ИХ НЕ б:,’ДЕТ
ОКОНЧАТЕЛЬНО УСТАНОВЛЕНА; НЕ СЛЕДУЕТ ТАКЖЕ ОДНОВРЕМЕННО
вводить две различные группы связей. Так умножение двух-
и трехзначных чисел на 2, 3, 4 и 5 следует проходить сна-
чала с числами, при которых не требуется „переноса" и не
встречается затруднений с нулями; затем можно ввести при-
меры с переносом и с такими множимыми, как 206 или 320.
Если бы прочие условия были равны, то перенос следовало
бы расчленить на две ступени: во-первых, упражнения, подоб-
ные (4 X 61 + 2> (3 X 7) -J- 3, (5 X 4) -J-1 и т. Д-, и, во-вто-
рых, действительное применение этих навыков к умножению.
Такое расчленение этого двойного навыка встречает возра
жение, что первая его часть, взятая в отдельности, имеет
слишком искусственный характер и что лучше претерпеть
лишнюю трудность одновременного образования обеих свя-
зей, чем развивать столь редко применяемые навыки, как
связанные с рядами (аХ й) -|-с- Чтобы решить этот вопрос,
необходимы экспериментальные исследования.
При прочих равных условиях связи должны образовываться
в такой последовательности, чтобы ни одну из них не при-
ходилось впоследствии разрушать. Например имеется веское
доказательство в пользу того, чтобы с самого же начала или
очень рано преподавать подробное деление уже с остатками,
рассматривая случай с нулевым остатком как один из мно-
гих других. Если ученики уже освоились с понятием остатка,
проделывая упражнения, рекомендованные для подготовки
к краткому делению, то обращение с остатками при по-
дробном делении представит мало затруднений. Исключи-
тельное пользование примерами без остатков может выра-
ботать привычку быть неточным в вычислении, доверяться
«точности деления" как единственной поверке действия и
даже прямо подписывать число, соответствующее последнему
частному делимому, вместо того чтобы получать его nj гем
добросовестного умножения.
Пэ тем же причинам уже на очень ранних ступенях сложе-
ния стотбцов с „переносом" можно рекомендовать давать
примеры, где наряду с 1 „переносу" подлежат и 2, и 3.
Здесь имеется еще то дополнительное преимущество, что
ученик скорее вспоминает о необходимости „переноса", wo-
rm ему приходится думать о том, что он должен перенести. |
164
Современный обычай пользоваться малыми числами для
облегчения слежения как такового приучает многих детей
смотреть на перенос, как на прибавление единицы.
При прочих равных условиях распределение должно стре-
миться к разнообразию. Таким образом представляется с боль-
шой долей вероятности разумным прервать однообразие
изучения таблиц умножения и деления изложением основ
.краткого* умножения, а может быть и деления, после того
как будет усвоено умножение на 5, 2, 3 и 4. Эго дает пере-
рыв на несколько недель. Затем можно давать разнообразные
применения умножения на 6, 7, 8 и 9 по мере того, как они
будут усваиваться. Почти наверное разумно прервать в вер-
ном полугодии работу над сложением и вычитанием, введя
изучение 2X2. 2x3, 3X2, 2 Х4, 4x2, 2X5, позднее
2 X Ю, 3 X Ю, 4 X Ю, 5 X Ю, еще позднее g + g • 1	’
от 2, -i- от 4, 1- от 6, и давая по временам некото-
Л	At
рые полезные упражнения, в которых ученик выявляет все, что
он знает о тех или других числах, которые можно поста-
вить в центре важных фактов (например 5, 8, 10, 12, 15 и 20).
При прочих равных условиях пользуйтесь наглядными
средствами для проверки АРИФМЕТИЧЕСКОГО ПРИЕМА ИЛИ ВЫ-
ВОДА, ПОСЛЕ того как сн сделан, а равно и для УСТАНОВЛЕНИЯ
вывода. Учеников полезно заставлять по временам проделы-
вать все, что они могут, пользуясь абстрактно усвоенными
соотношениями, и проверять затем результаты наглядным
счетом, измерением, Сложением и т. п. Например одним из
первых шагов в сложении может быть следующий прием:
показывают три предмета, кладут их под книгу, показывают
еще два предмета, кладут их под книгу, а затем спрашивают,
сколько предметов под книгой, вводя наглядный счет как
проверку правильности сложения.
Прг прочих равных условиях откладывайте объяснение
ТОГО, ПОЧЕМУ ДАННЫЙ ПРИЕМ ДОЛЖЕН ДАВАТЬ ПРАВИЛЬНЫЕ РЕ-
ЗУЛЬТАТЫ до ТОГО МОМЕНТА, ПОКА УЧЕНИКИ НЕ НАУЧАТСЯ ПРИМЕ-
НЯТЬ ЭТОТ ПРИЕМ БЕЗОШИБОЧНО И НЕ УБЕДЯТСЯ ПУТЕМ ПРОВЕРКИ
в том, что он дает правильные результагы. Обычные предва-
рительные дедуктивные объяснения, почему надо делать так,
а не иначе, вместо пре подавания того, что следует делать, ве-
роятно бесполезны для всех учеников кроме наиболее способ-
ных. Они отнимают много времени, а влияние их на учени-
ков так кратковременно, что, как мы видим, даже самые
165
ярые методисты арифметики, защищающие их, считают
допустимым, чтобы ученики, овладев процессом, забыли его
обоснование. Я не вполне уверен, стоит ли вообще прохо-
дить дедуктивные доказательства того, почему мы ставим
десятичную запятую именно так, как мы это делаем при
делении па десятичную дробь, или почему мы обращаем,
а потом умножаем при делении па дробь, и т. в. Если про-
ходить их все же стоит, то делать это следует (в отношении
всех детей, кроме наиболее способных) после того, как
ученики овладели процессом в прониклись к нему доверием.
Тогда они по крайней мере знают, в чем заключается про-
цесс, правильность которого они должны доказать, знают,
что он действительно правилен, и имеют некоторые шансы
усмотреть на основании своего личного опыта, почему он
правилен.
Можно отметить, не приводя примеров, еще один принцип.
Устанавливайте порядок образования связей с должным
УЧЕТОМ ЗАДАЧ ДРУГИХ ПРЕДМЕТОВ ШКОЛЬНОГО ПРЕПОДАВАНИЯ
И ПРАКТИЧЕСКИХ ПОТРЕБНОСТЕЙ УЧЕНИКА ВНЕ ШКОЛЫ. Арйфмв-
тика — не книга и не замкнутая система упражнений. Она
охватывает всю количественную работу учащихся в началь-
ной школе. Никакой другой более узкий взгляд не может
быть признан правильным.
1бб
ГЛАВА VIIL
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ.
ПРОБЛЕМА.
Одно и то же количество упражнений может быть рас-
пределено различными способами. Фигуры 7—10 например
показывают 200 упражнений в делении на дробь, распреде-
ленных на протяжении свыше трех с половиною лет, по
10 месяцев в году, четырьмя различными способами. Фи-
гура 7 показывает, что упражнения распределены почти
равномерно в течение всего периода. Фигура 8 указывает
на случайное распределение упражнений. Из фигуры 9 вид-
но, что имеется первый основнор период обучения, повто-
рение приблн стельно через десять недель, повторение
в начале седьмой группы, следующее повторение в начале
восьмой группы и несколько случайных упражнений, рас-
пределенных довольно бессистемно. Из фигуры 10 видно,
чго имеется основной период обучения, сопровождаемый
повторениями, уменьшающимися в количестве и разделяе-
мыми все большими и большими перерывами, и случайные
упражнения, даваемые для сохранения навыков в здоровом
и бодром состоянии.
Планы I и II очевидно уступают планам III и IV; при этом
план IV обещает быть более продуктивным, чем план Ш,
поскольку при применении последнего есть опасность, что
в течение десятинедельного перерыва ученик может позабыть
мног ое из того, что он усвоил в начальный период; то же
может повториться и в последующем.
Было бы однако неразумным пьтаться уже сейчас прнтти
к каким-либо твер-ым решениям, касающимся упражнений
в делении на дробь, или установить, какое распределение
упражнений является вообще наилучшим для развития той
или иной способности. Установленные до настоящего времени
психологические факты еще недостаточны для принятия
окончательных решений, и типы распределения упражнений,
которые лучше всего соответствовали бы различным способ-
ностям, не разработаны даже приблизительно.
1'7
Фиг. 7.— План 1 Двести упражнений, распределенных довольно рав-
номерно на протяжении З1/® лет по 10 месяцев. На фигурах 7—10 каждые
2,5 мм по длине основания изображают один месяц. Каждый квадрат, раз-
мером 2.5Х?>5 мм, соответствует четырем примерам, так что один пример
изображается маленьким квадратиком, размером 1,25X1,25 мм.
Фиг. В. — План JL Двести упражнений, распределенных случайно на про-
тяжении 3*/s лет по 10 месяцев.
ПРИМЕРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ.
Исходя из изложенного выше, мы считаем целесообраз-
ным изучить несколько случаев действительного распреде-
ления упражнений, имеющего место в школьной работе,
и установить не наилучшие возможные способы распреде-
ления, а лишь способы избежать грубых промахов и наме-
тить разумные, обоснованные пути в этом деле.
Фитуры 11—18 показывают распределение упражнение
в умножении со множителями различного вида. При этом X
обозначает любую цифру, кроме пуля; 0 обозначает нуль;
168
I • i	...
il д- c. L____	________________' _ 1E3
. Фиг. 10.— План IV. Начальный период изучения, сопровождаемый повтс
реииймн, уме щипающимися в количеств» и разделяемыми возрастающими
перерывами.
таким образом ХХО обозначает множителей, подобных
350, 270 или 160; ХОХ обозначает множителей, подобных
407, 905 или 206; XX обозначает множителей, подобных 25,
17, 38. Каждая из указанных диаграмм охватывает прибли-
зительно Зэ/г года школьной работы, начиная приблизительно
со средины 3-й группы и кончая 6-й группой. Они состав-
лены на основании подсчетов по четырем руководствам
(Л, В, С и О), причем для подсчета брались последовательно
каждые 8 страниц руководства1.
Каждые 2,5 мм по длине основания изображают 8 стра-
ниц соответствую! пего текста; каждые 2,5 X 2,5 лшг изобра-
жают один пример. Руководства, как можно видеть, разли-
чаются между собой как по количеству даваемых упражнений,
так и по способу их распределения.
Эти способы распределения заслуживают внимательного
изучения. Мы отметим здесь лишь наиболее существенные
факты, относящиеся к этому вопросу.
Распределение умножений со множителями типа XX в ру-
ководстве D (фиг. 14) является едва ли не наилучшим. Ру-
ководство А (фиг. II) дает слишком много упражнений
в слишком поздний период; руководство В (фиг. 12) дает
1 В конце тома или Отдели подсчет иногда делался н для другого
числа страниц — ие менее 6 и не более 12. Примечание автора.
1о9
слишком мало упражнений в начале обучения; руководство С
(фиг. 13) дает слишком много упражнений в начале обуче-
ния и в 6-й группе. Распределение умножений со множит. 
лями типа ХОХ, пред) смотренное руководством D (фиг. 18),
ПО
также, пожалуй, является наилучшим. Руководства А, В и С
(фиг. 15, 16 и 17) дают слишком много упражнений вначале
и грешат слишком большими интервалами между обзорами
для повторения действия. В руководстве С по недосмотру
или небрежности приводится без всякого пояснения один
пример на это весьма трудное упражнение, задолго до
того, как ученики приступают к изучению этого случая
умножения.
Фигуры 19—23 относятся все к первым двум книгам
руководства Е, состоящего из трек книг.
171
Фигура 19 показывает распределение упражнений в умно-
жении 5x5; в первых двух книгах указанного руковод-
ства Е. '^Способ построения этой диаграммы тот же, что
Фиг 13. Изображено то же, что и на фигуре 11, но данные взяты из
руководства С.
и принятый для фигур 11—18, с той лишь разницей, что
каждые 2,5 мм по длине основания изображают десять
страниц текста. Фигура 20 показывает распределение упраж-
нений в умножении ?Х7; фигура 21 показывает то же
172
н отношении умножений 6X7 и 7x6 по совокупности.
На фигурах 20 и 21 каждые 2,5 мм по длине оснований
также изображают десять страниц руководства.
Фигуры 22 и 23 показывают соответственное распределе-
ние упражнений в делении каждого из чисел 72, 73, 74, 75,
76, 77, 78 и 79 на 8 нли на 9, по совокупности, и в делении
чисел 81, 82,... 89 на 9. И в этих случаях каждые 2,5 мм
длины основания изображают 10 страниц текста.
Фигуры 19—23 указывают на отсутствие плана распреде-
ления упражнений. В самом деле, количество упражнений
173

Фиг. 16. Изображено то же. что и на фигуре 15. но
данные взяты из руководства В. Сверх того имеется
несколько страниц упражнений, предлагаемых учителем
по своему усмотрению; они содержат 17 умножений
типа ХОХ.
с

I
Фиг. 17. Изображено то же, что и на
фигуре 15, но данные взяты из руко-
водства С.
174
Фи1. 18. ГЬобр^жено то
же, что н на фигуре 15, но данные взяты из
руководства D.
-а>
Фиг. 21. Распределение упражнений в умножении 6Х? или 7X6 в пер-
Фнг. 23, Распределение упражнений в делении чисел 81, 82,.,, 89 на 9
в первых двух книгах руководства £,
176

в умножении 5x5 (фиг. 19) увеличивается с момента при-
ступа к этим занятиям в 3-й группе до конца их в 6-й группе,
так что распределение их более i оответствовало бы обрат-
ному обучению ученика — с конца к началу! Упражнения
в умножении 7 X? (фиг. 20) распределены слишком равно-
мерно и даются в слишком малых количествах. Упражнения
в умножении 6X7 и 7X6 (фиг. 21) даются в некоторые
периоды в слишком больших количествах. Распределение
делений (фиг. 22 и 23) более удачно; однако из фигуры 23
можно усмотреть, что слишком большое количество упраж-
нений дается одновременно в середине периода.
ВОЗМОЖНЫЕ УЛУЧШЕ11ИЯ.
Если бы мы даже знали, какоио наилучшге распределение
упражнений в отношении каждой из многочисленных способ-
ностей. подлежащих развитию при обучении арифметике, тл
все же мы едва ли могли бы обеспечить его для всех них. Дей-
ствительно, прежде всего вр:мя, отводимое для упражнения
одних из них, может совпадать со временем, необходимым
для развития друг tx. Далее, помимо соображений о наилуч-
шем распределении упражнений с точки зрения развития
каждой отдельной способности, существует много других
важных соображений, касающихся порядка занятий. Таковы
соображения об интересе, о слиянии отдельных способностей
в единую совокупную способность, об ограничениях, вноси-
мых в школьные занятия выходными днями, осенними и зим-
ними перерывами, летними каникулами.
Все же существующую практику можно улучи ить во мно-
гих отношениях. Научно-поставленное изучение результатов
занятий почти каждой группы в течение юда, а также
многих из наших стандартных орудий обучения, даст мате-
риал для улучшения распределения занятий без ущерба для
интереса и с действительной выгодой для работы обобща-
ющей арифметической способности. В частности оно обна-
ружит случаи, когда данную способность сперва развивают
путем соответствующих упражнений, а затем оставляют без
всякого применения, обрекая ее на смерть от бездействия.
Оно обнаружит также случаи, когда способность сперва
развивают путем соответствующих упражнений, а затем
оставляют без упражнения в течение столь продолжитель-
ного времени, чго первоначально приобретенные навыки
оказываются почти утраченными. Обнаружатся случаи, когда
даются и упражнения, и обзоры дчя повторения, но в таком
12 ТсрпдаИв.	177
отрыве от всякого иного арифметического материала, что
способность хотя и существует, но не становится для уче-
ника частью его общего рабочего инструмента. Обнаружатся
и такие случаи, когда в последующие периоды дается боль-
шее количество упражнений, чем в начальные, без всякой
видимой пользы, а разно н такие случаи, в которых упраж-
нения даются тогда, когда для этого нет никаких видимых
оснований, кроме стремления данного учителя или автора
задать соответствующую работу именно в это время.
Каждая способность облагает в этом отношении собст-
венными нуждами, и в настоящее время по этому вопросу
нет еще твердых правил, которые обладали бы большой
ценностью. Для настоящего времени будет достаточно, если
мы удел зм вопросу распределения упражнений должное
внимание, постараемся избегнуть явных нелепостей, подобных
укатанным выше, и разовьем в этом направлении нашу
изобретательность.
178
ГЛАВА IX.
ПСИХОЛОГИЯ МЫШЛЕНИЯ.
АБСТРАКТНЫЕ ИДЕИ И ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
В АРИФМЕТИКЕ1.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ ЭЛЕМЕНТАХ И РАЗРЯДАХ ФАКТОВ,
Тарелка, которую вы видите, молоко в кружке, стоящей перед
вами на столе, и страница данной книги являюте я конкретным»
вещами; белизна же тарелки, мо ока или бумаги является, говорим
мы, абстрактным качеством. Быть в состоянии мыслить о белизне
безотносительно к какому бы то ни было конкретному белому
объекту—значит быть в состоянии обладать абстрактной идеей
или представлением белого; быть в состоянии реагировать на бе-
лизну безотносительно к тону, является ли она частичным свойст-
вом фарфора, жидкости, бумаги или кгкогс -либо иного пред-
мета,—значит быть в состоянии реагировать на абстрактней
элемент белизны.
Обучение арифметике вызывает образование весьма многих по-
добных идей и приобретение весьма многих подобных способностей
реагирования на элементы, безотносительно к тем общ м положе-
ниям, в которых они проявляются. Распознавать пятикратность
пяти мальчиков, пята к ранда шей, пяти
понимать деление на восемь раь вых
64 минут или 16 любых предметов;
2	5	3	7
дробное отношение в	---,	= ,	77-,
3	6	4	12
сантиметров, пяти звуков;
частей 40 копеек, 32 сЛ,
правильно реагировать на
или любой ино I
дроби; чувствовать общий элемент в 9 = 3X3, 16 = 4X4,
625 = 25X25, 0,04 = 0,2X0,2,	-=~Х-^-—вот случай-
ные примеры приведенного выше положе ния. Все числа, которые
ребенок учится понимать и применять, являются в дейсгвигельности
абегракциями; все лейсевия являются абстракциями; процент, учет,
интерес, высота, длина, площэдг, объем являются абстракциями;
1 Пенс голые абзаце настоящей и последующей глав воспроизведены
с незначительными немененнями из работы автора „Психология
воспитания'.	Примечание автора.
12*	_	17S
сумма, разность, произведений, часто0, остаток, средняя ветичина
являются фактами, касающимися & «емеитов или положений, потерь е
могут появляться вместе с бесконечно разнообразными ко » реiними
окружающими или сопутствующими вещами.
Трезор — частный случай собаки; ваш дом на такой-то ули те —
частный сузай прямоугольника; гражданин и гражданка Ивановы
и их дочь Лиза — часты-i с<уч<й семьи из трех человек. В проти-
воположность этим частным случаям мы подразумеваем под словами
собака, прямоугольник, семья из грех человек любу о вещ.*, отю-
сящуюся к соответствующему разряду фактов. Пеня не о собаке,
прямоугольнике, семье из трех человек являются общими представ-
лениями, концепцией или идеей разряд! или класса. Способное it
реагировать, т. е. пре’сгавлять себе и mucjchho обращаться с лю-
бой собакой, прямоугиль шком или семьей из трех человек безот-
носительно к любым частным случаям, в которых они мо.уг б Я
выявлены, является общим представлением, п «введенным в дейст не.
Обучение арифметике вызывает образование весьма многих по-
добных общих представлений и способностей реа ировать на любой
элемент известного
разряда фактов. Так сто участков различи
9
вызывать реакцию как прямоугольники;
вге вызывать рг.кцию как члены класса
18'
дро
один
тол
величины могут в.е
12 15	27
27’ 24 И 36 М°ГУТ
бей, „оба члена которых делятся на 3“. Реагировать на
и тот же факт можно различными путями в зависимости от
3	4
класса, к которому он относится. Так 4 в — , — ,45,54 и 405
но классифицировать соответственно как „некоторую опредслег.иук
часть единицы®, „некоторое число частей, величина которых опре
деляется чисюм 4®, „определенное число десятков®, „опрз геленное
число единиц" и „определенное число сотен®. Каждое абегршгнеи
качество может стать основой для ктасснф .кзци а фактоа, Так че-
тырехкратность как качество соотзетствует классу „вещи в числ-
или размере четырех"; дробное соотношение и in качество соответ
ствует классу „дробей®. Образование связей межту разрядами
фактов и эщ'тентамн или признаками, к вторыми одит общий раз
ряд фактов различается от др ого, является в дейс гв-ате .ьнэсти
главным содержанием обучения арифметике 1.
MOW'
‘ Следует отметить, что совершенно так же, как конкретные представ
леяия приводят к абстрактным, и эти последние приводят в свою оче|1едь
к еще 60'iee .абстрактным аб-тракциям *. Так чстырех-пяти-двалили-и т.
кратность приводит к представлению,кратности иеясму чнечу ". Совершенно
гак же, как отдельные види группируются в общие классы, и эти постол
180
ОБЛЕГЧЕНИЕ АНАЛИЗА ЭЛЕМЕНТОВ.
Абстракции и сбобнения зависят, вообще говоря, от анализа
и связей, вь работы ьа< мых скорее в ответе ш. и более или менее
лифе рент рованкых элементов, чем общих совокупных конкретных
положений- Процесс, который имеет здесь место, легче всею го-
нять, рассмотрев средстве, применяемые для его облегчения.
Пересе из этих । редств состоит в рассмотрении учащимися
общего положения, содержащего иужчьй эле мент, таким образом,
чтобы ударение делалось на и учение ч. стей этого голожен. я, и
внимание следоьат льго переносилось с одного элемента на другие,
особенно же на элементы, столь близкие к избранна, у основному,
что учащийся действмтелгпо может выбрать их для внимательного
изучения Указанное перенесение внимания с одного элемента на
другой позволяет выявить, какими пригодными связями, о'.носящимисг
к данному элементу, хотя бы и небольшого значения, учащийся уже
обладает. Т- к, когча мы учим детей распознавать „пятикратность*
в данных совокупностях, мы показываем им пять мальшков, или
• девочек, или пара Низшей, говоря: „Посмотрите, сколько мальчиков
встало. Один Ди Ваня стоит? Стоит ли более двух мальчиков?
На ывайте мальчиков, на которых я указываю, и считайте их:
Ваня — один, и Федя — еше один, и Гаря— еще один; Ваня и
Федя—ьто два мальчика; Ваня, Фгпя и Гаря — это три мальчика",
и т. д., продолжая внимательно счет. Здесь ум и внимание направ-
.ляются главным образе и на раз итие преобладающей частной спо-
собности, связанно i с вопросом „сколько" г ещей; и те полезные
евчзи, которые уже имеются в отношении „пятикратности" и пред-
ставления „один, и один, и один, н один, н один", получают зна-
чительнее усиление.
Второе из средств, применяемых для облегчения анализа, со-
стоит в рассмотрении учащимся многих положений, из которых
каждое содержит нужный эле-иг нт (допустим Э.) и ряд переменных
сопутствуй тих фактов (допустим П. С. Ф.); это рассмотрение на-
правляется таким образом, чтобы каждое обшее п: елставлтие, сла-
гающееся у у ащего я, распадалось, насколько это возможно, иа
ча ,ь, связанную с Э, и на часть, связанную с П. С Ф-
Так напримео ребенка побуждают связывать каждое из пред-
ставлений — „пять мальчиков", „пить девочек", „пять каранд шей",
„пять сантиметров", „пять дециметров", „пять книг", „он поднялся
на пять ступеней*, „я ударил по столу пять раз** и т. д.— с со-
ответствующим положением. При этом элемент „пять" общего
мне группируются в еше более общие классы. Половине, четверть, ше-‘
стая, десятая — су-ь общие пенят! я, но „одна такая-то* — понятие более
общее, а .дробь* — еще более общее.	Примечание автора.
181
рыба или мясо. Всякое обучение яг ляется аналитическим и в нем
выявляется деятельность отдельных элементов совокупною положе-
ния. В отношении человека благодаря некоторым его инстинктам
и характеру обучения так могут действовать и весьма тонкие эле-
менты Г1ОЛ1 жений.
Обучение при помощи анализа далеко не часто идет по
описанному тщательно разработанному пути, при котором
наилучшим образом используется действие сопоставлений
и противопоставлений. Ассоциации, связанные с совокупными
положениями и приводящие к тому, что один какой-либо
элемент приобретает вод конец независимую способность
определять представление, могут приобретаться в случайном
порядке в течение продолжительного времени. Так способ-
ный трехлетний мальчик может обладать элементом представ-
ления, состоящим в .произнесении двух или размышлении
о двух", и связанным как с элементом .двухкратности” весьма
многих положений, так и устремлением мысли на вопрос
.сколько”; и этот анализ он будет выполнять без какого-
либо формального, систематического обучения. Уже выпол-
ненный анализ, хотя бы и не совершенный и не вполне
подходящий, обычно является все же исходным пунктом си-
стематического создания абстрактных представлений, которым
руководит школа. Так применяемые в детском саду упраж-
нения в анализе числа, цвета, величины и формы обычно
противопоставляют .однократность” — „многократности”, чер-
ное— белому, большое — малому, круглое — не круглому;
при этом предполагается, что указанные качества, хотя и в
несовершенной форме, действуют как элементы, вызывающие
представления, более или менее независимые от применяемых
формулировок. Далее, испытания имеющихся навыков и ус-
пешность дальнейших упражнений, не направляемых непо-
средственно на данную цель, обычно содействуют укреплению,
расширению и уточнению того, что уже дали систематические
упражнения. Так после начальных упражнений в десятичной
системе счисления средний школьник остается лишь с весьма
несовершгиным представлением о „.значении места”. Однако
он продолжает учиться созданию правильного представления
об этом предмете, находя, что 4 X 40— 160; 4х 400-= 1600;
800 — 80= 720, 800 — 8 = 792; 800 —800=0; 42 X 48 = 2016;
24x48=1152 и т. д. являются правильными решениями,
в то время как 4 X 400—160 ; 23x^8=832; 600—8=0
и т. д. таковыми не являются. Процесс анализа при. таком
случайном, несистематизированном образовании связей с эле-
ментами истается тем же, как и в списанном выше случье
188
применений сознательно направляемого детального изуоёДйЯ,
сравнения и противопоставления.
СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ И СЛУЧАЙНЫЕ СТИМУЛЫ К АНАЛИЗУ.
Усовершенствование опытных восприятий ученика, при
котором внимание его направляется на данный элемент, со-
путствующие элементы целе<ообразно изменяются, сопостав-
ления стимулируются, и данный элемент отчетливо выделяется
при помощи противопоставлений, может быть достигнуто пу-
тем твердых, формальных, систематических упражнений.
Отнако то же может быть достигнуто и путем менее фор-
мальных упражнений, растянутых на более продолжительное
время и выполняемых более или менее случайно в связи
с другими обстоятельствами. Эти два крайних предела сти-
мулирования анализа мы можем назвать „систематическим"
и ясл/чайнымв, поскольку основной чертой первого является
систематическое создание опытных восприятий, призванных
выработать правильное представление элемента, тогда как
• основной чертой второго является использование по преи-
муществу лишь тех возможностей, которые открываются в
силу самодеятельности и интереса учащихся.
Каждый из этих методов имеет свои достоинства и не-
достатки. При систематическом методе выбираются такие
опытные восприятия, которые особенно удобны для стиму-
лирования анализа,- они пускаются в ход в определенные
установленные сроки, так что могут действовать совместно;
учеников весьма удобно подвергать испытаниям в любой
момент, чтобы проверить, действительно ли они обладают
представлением данного элемента, явления или данной основ-
ной черты. Недостатками этого способа является, во-первых,
то, чтэ многие ученики не чувствуют надобности в этих
форма гьных упражнениях и не питают к ним ни скликности,
ни интереса; во-вторых, некоторые из учеников могут заучи-
вать ответы, как словесные формы, вместо того, чтобы при-
обретать знание фактов; в-третьих, способность представлять
себе элемент может остаться ограниченной специальными
случаям.!, избранными для систематических упражнений,
и оказаться непригодной для общего применения в ари фметике.
Метод, пользующийся , подходящими случаями, силен
именно в том, в чем слаб систематический метод. Поскольку
при пользовании им базируются на возможностях, создавае-
мых склонностями и интересами ученика, упражнения обычно
бывают интересными. Так как опытные восприятия создаются
при этом менее формально и в течение большего промежутка
189
времени, то ученики менее склонны заучивать формальные
ответы. Поскольку материал черпается по преимуществу
из действительной жизни, и приобретаемая способность более
применима в жизни.
Недостатком его является то. что его труднее проводить.
Для отыскания наилучших опытных воспиятий необходима
затрата большого количества времени на обдумы инне и по-
становку опытов, требуется больше внимания, чтобы следить
за развитием абстракции, которая создается не в два дня,
а на протяжении более чем двух месяцев; наконец можно
забыть произвести испытание учеников в конце обучения.
Если однако руководство и учитель смогут преодолеть эти
затруднения путем находчив ости и внимания, то второй ме-
тод явится лучшим.
ПРИСПОСОБЛЕНИЕ К УЧЕНИКАМ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ.
Мы можем рассчитывать на значительное улучшение в деле
образования абстрактных и общих идей в арифметике, если
в дополнение к только что указанным принципам будем при-
менять еще три следующих; 1) давать достаточное количество
действительных опытных данных прежде, чем требовать от
ученика понимания и применения абстрактной или общей
идеи; 2) развивать эти идеи последовательно, не стремясь
дпвать их полными и совершенными; 3) развивать эти идеи,
насколько это возможно, из опытных данных, которые будут
ценны для ученика сами по себе, совершенно независимо от
их значения как вспомогательных средств. Рассмотрим эти
положения по порядку.
Дети, в особенности менее способные, нуждаются в боль-
шем количестве опытных данных для создания и применения
арифтетической абстракции или понятия, чем они обычно
получают. На фимер, чтобы проложить путь к принципу „вся-
кие число, в ятое О раз, равно О’, недостаточно сказать:
„Иван проработал 8 дней по 0 минут в день; сколько ми-
нут он работал?” или „Сколько будет 0 раз по 4 копейки?,,
Лучше будтт затратить Ю иль 15 минут на следующие
упражнения
«Что означает нуль? (Ничего, ничто).
Сколько сантиметров в 8 <?.«? в 5 дм? в 3 дм? в 2 дм?
в I дм? в 0 дм?
* Более способные дети могут приступить к работе, в которой приме!
яяется указанный принцип, уже через 1—2 минуты.
Примечание af.mopa.
190
Сколько карандашей в 4 дюжинах? в 2 дюжинах? б О дю-
жинах?
7 № . . - дм; 5 л= . . . дм; 0 м — . . . дм.
Слесарь получает no 60 копеек за час работы. Сколько-
получит он за 3 часа работы? за 8 часов? за 6 часов? за
О часов?
Подручный получал по 1 руб. 50 кип. в день в течение
0 дней. Сколько же он получил?
Сколько составит О раз по 600 руб.? Сколько составит
0 раз по 5000 руб.? Сколько составит 0 раз по миллиону
рублей? 0 раз любое число составляет...
232 (На классной доске). Чему равно 0 раз 232? Пишу
30 0 под нулем Чему равно трижды 232? Продолжайте
6960 вычислять на доске.
434 321 312 41
20	40 30 60 и т. д.“
' От учеников начальной школы, кроме наиболее способных
нельзя ожидать быстрого овладения таки ии иснятиями, как
' обыкновенная дробь, десятичная дробь, сомножитель и ко
рень. Они могут быстро запомнить определение и научиться
применять его в простейших случаях, когда даже шаткое и
несовершенное понимание его ведет к пра г ильному ответу.
Но полное и точное понимание обычно тпебует, чтобы они
сделали не один, а несколько умственных шагов; что же
касается полного навыка в применении, то он обычно растет
медленно. Предположим например, что ученики уже знают,
12	3
что 0,1; 6,2; 0,3 и т. д. обозначают-^,	и т. д„
12	3
что 0,01,0,02, 0,03 и т. д. обозначают - , -,-т- и т. д.
IUU J ми 1UU
I	12	4
™ 0,001, 0,002, 0,003 и т. д. обозначают-^ ,
и т., д. и что 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. суть десятичные дроби.
В таком случае они могут дать правильный ответ, если им
предложат написать десятичную дробь или указать, какие
1 232 При желании можно пользоваться и этой формой, соответственно
30 и меняв характер вопросов и положении.
00^	Примечание автора.
_696_
С9Ъи
191
i 3-5
из дробей ; 0,4 ; g-; 0,07; 0,0 J2; -g- — простые и какие
десятичные. Возможно, что некоторые из них, но отнюдь не
х	1 I
все, смогут написать десятичные дробя, равные -g- и -g-,
а также обыкновенные дроби, равные 0,1 и 0,09. Однако
большинство из них не в состоянии будет правильно выпол-
иигь предложения: „Напишите смешанное десятичное число",
указать, какие из дробей fgj; 0,4о; ^а1) 1; 0.25 руб.—прос-
тые и какие десятичные, или написать десяти чные дроби,
3 I
равные и }.
Если бы учитель дал теперь сразу все дополнительные
данные, необходимые дчя приобретения умения обращаться
с этими более сложными и тонкими особенностями десятич-
ных дробей, то результатом было бы смущение большинства
учеников. Понимание общего значения 0,32; 0J4; 0,99 и т. д.
требует некоторого понимания 0,30, 0,10, 0,90, и 0,02, 0,04,
0,09; однако нежелательно смущать ребенка дробями вроде
0,30, в то время как он пытается овладеть знанием 2,3; 4,3;
6,3 и т. д. Десятичные дроби, вообще говоря, требуют связей
со значением места и с противопоставлениями, как 0,41;
41; 410; 4,1 и т. д.; однако, если соотношение их с общим
значениеч места проходится на том же уроке, как и соотно-
шения с десятыми, с сотыми и тысячными долями,*то ум детей
будет страдать от жестокого несварения.
Разумная педагогика разобьет действительно процесс изу-
чения значения и применения десятичных дробей на несколько
отдельных учебных тем, например следующим образом.
1.	Приобретение навыка н обращении с дробями имею
щи ми больш-х знамена гелей, в тех пределах, в коих это
желательно для учеников, путем упражнений в сокращении
, _ 8 36 20 18 24 21	25	40	о
'4»“'" 10* -6< • 25 ' 24 • 32 * Л * -106 * 2U0	т' д* Эт° ”8'
ляется хорошим повторением сокращения дрэбей и ведет
к ртеширению понятия дроби.
2.	Упражнения с наглядными пособиями: демонстрирование
Т6'лг2’1би^2 И iuUb М ’ Распозиавание эгнх величин
и заучивание форм -Д-л/г, -ДтгЛ/2 и ~—м2.
J	^‘10	100 1UOU
I 92
Определение, скольким метрам равны км и Q км.
3,	Приобретение навыка в обращении с сотыми и тысяч-
, , 750	50
ними долями путем сокращения дробей р-, и т. д., эа-
500
писи недостающих чис. ителей в примерах ]"75о'“	= ”ю
и т.д.,а также определения^-,-j^, и —~ от 3000, 6000,
9000 и т. д.
4.	Письменное обозначение iq-, как 0,1; как 0,01;
11	12	13
1 л и т- д-> как и>1,; °>*2; °-13 и т. д. В каче-
100 led 1ОО
стве введения используются монеты. Применением является
метр.
. 5. Смешанные числа с одним, есятичным знаком. Счетчик
числа оборотов или скорости. Сложение чисел, подобных
9,1; 14,7; 11,4 и т. д.
6.	Общее значение места, занимаемого цифрой, от тысяч
до сотых долей.
7.	Повторение упражнений 1 6.
8.	Десятые и сотые километра; вычитание в тех случаях,
когда обг числа содержат сотые доли; пользование железно-
дорожными справочниками для определения расстояний.
9.	Тысячны? доли. Названия „десятичные дроби" и „сме-
шанные десятичные числа или дроби". Упражнения в чтении
любого числа до тысячных 'долей. Работа должна произво-
диться с постепенным расширением и уточнением понимания
десятичных дробей путей изучения, как надо обращаться
с ними различными способами.
Это может показаться слишком медленным движением
вперед, но в действительности это не так, и многие из ука-
занных упражнений, благодаря которым ученик приобретает
навык в обращении с десятичными дробями, полезны для
приведения в систему и применения ряда других арифмети-
ческих фактов.
Вспомним, что третье наше положение гласило: „Развивать
абстрактные и общие идеи надо при помощи опытных дан-
ных, котор .'б имеют существенное значение*. В пояснение
этого положения укажем, что даже при самых лучших спо-
собах препода ан iH некоторые учлиики не могут в пределах
13	193
того времени, которое можег быть на это разумно затрачено,
приобрести идей, которые были бы совершенно законч н-
лыми, когда нужно — строгими, когда нужно — гибкими и
притом абсолютно точными. Многие дети (да и взрослые) не
могут в течение того времени, которое можно этому разумно
уделить, усвоить природу дроби настолько, чтобы безоши-
бочно отвечать на вопросы, подобные следующим:
2 75
Является ли обыкновенной дробью?
Является ли 0,25 руб. десятичной дрооью?
Могут ли одни и те же слова обозначать и обыкновенную
и десятичную дробь?
Изобразите 1 в виде обыкновенной дроби.
Изобразите i в виде десятичной дроби.
Однако тех же самых детей можно научить правильно
обращаться с десятичными дробями при обычных случаях их
применения. В этом для них и заключается главная печность
арифметики. Их не следует лишьть ее только пото му, что
они не могут овладеть более тонкими принципами. Поэтому
мы стремимся давать такие опытные данные, которые научили
бы учеников кое-чему ценному и стимулировали бы в то же
время рост абстрактных идей и общих принципов у тех
учеников, которые обладают соответствующей способностью.
Наконец мы не должны упускать из вида, что работа
с качествами и соотношениями, которые поняты лишь
частично или даже неправильно, при некоторых условиях
позволяет все же контролировать их. Общий ’процесс ана-
литического жизненного обучений состоит в выработке пред-
ставлений так, как это посильно, приобретении этим путем
более ясной идеи, улучшении после этого представления
и т. д. Пуст, например кто-либо приобрел некоторое пред-
ставление о том, что такое -=- ; затем он отвечает на такие
О
вопросы, как от 10=?-^- or 5 = ?-g- от 20 = ? Так как
ему указывают, когда он ответил правильно и когда ошибся,
то благодаря этим упражнениям он приобретает лучшее по-
нимание ; затем он снова пытается решать примеры
о
1 1
’g*= |5 и т. д. и тем снова уточняет и расширяет
1	1	2
свое представление об г-; он прибавляет к -т-
О	Du
191
и т. д.,
к jg и т. д„ у к -g- и т. д., благодаря этому снова про-
двигается вперед и т. д.
Таким образом то, ЧТ1 начинается со слепой привычки
умственного обращения, основанной на подражании, может
вырасти в способность правильного представления сущест-
венного элемента. Ученик, который вначале не имеет ника-
кого представления об „умноженном0, может научиться
понимать, что такое „умноженный0, благодаря опыту с при-
мерами „4, умноженное на 6, дает 24°, „3, умноженное на
9, дает 27“ и т. д. Если при каком-либо обращении с чис-
лами ученик вы [еляет правильные результаты, то под конец
он часто может достигнуть тех абстракций, в которых он по
предположению нуждался вначале. С некоторыми из абстрак-
ций, которые нужны в арифметике, возможен даже такой
случай, при котором заранее выполненная тщательная под-
готовка к пониманию не дает такого эффекта, как затрата
того же количества энергии частью на предварительную под-
готовку к самому анализу, а частью на упражнения в выра
ботке представления рассматриваемого элемента при отсут-
ствии полного понимания.
Цумать, что ученик долх:ен сперва овладеть принципом,
а затем просто прилагать его. т. е. сперва проделать неко-
торую умственную работу, а затем вычислять в силу простой
рутины, новее не значит следовать лучшей теории психо-
логии и воспитания. Наоборот, применения должны помогать
установлению, расширению и уточнению принципа, т. е, ра-
бота ученика над числами должна быть основным средством
усиления понимания им принципов арифметики как науки.
13
195
ГЛАВА X.
ПСИХОЛОГИЯ МЫШЛЕНИЯ.
РАССУЖДЕНИЕ В АРИФМЕТИКЕ.
СУЩЕСТВЕННЫЕ ЧЕРШ АРИФМЕТИЧЕСКОГО РАССУ ЖДИ ИЯ.
Мы должны различать беспочвенные грезы, которым
предается например ребенок, мечтающий о летних каникулах,
от целеустремленного размышление, когда он пытается
пешить например следующий вопрос: „Сколько дней можем
мы с отцом провести за городом во время его отпуска, если
железнодорожные билеты стоят 12 руб., на продовольствие
надо класть по 22 рун,, на стирку по 2,25 руб. и на мел-
кие расходы по 1,75 руб. в пятидневку, денег же у отца
на это дело имеется всего 120 руб.?“ Мы должны различать
процесс реагирования на привычные положения, например
в случае сложения пяти целых чисел, от процесса реагиро-
вания на новые положения, подобные следующему (в пред-
положении, что ребенок еще не сталкивался с задачами
такого рода): „Некто имеет четыре куска проволоки, длиною
в 120 м, 1320 дм, 1600 см и — км. Сколько проволоки ему
о
недостает до 1000 л?“ Мы должны различать „размышления
о вещах как о совокупности*', как например в случае совер-
шенно понятной задачи, доказательства или диаграммы, от
размы нления об одной вещи в лед за другой, когда напри-
мер ребенок пишет некоторое количество слов или заучивает
стихотворение на незнакомом ему языке. Поскольку размыш-
ление является целеустремленным и сопровождаемым отбором
появляющихся идей, поскольку оно имеет дело с новыми
проблемами, для которых не сложилось еще готовою, при-
вычного представления, и поскольку многие связи участвую!
совокупно и организованно в создании представления, по-
стольку мы называем его рассуждением.
Если заключение получается как результат многих част-
ных опытных восприятий, то рассуждение называ тся индук-
тивные. Если какой-либо ранее установленный принцип при-
ГЭб
водит к другому принц -пу или к заключению, касающемуся
какого-либо частного случая, то рассуждение называется
дедуктивным, В oSoix случаях процесс заключает в себе
разложение фактов на их элементы, отбор элементов, кото-
рые кажутся существенными для решения данного вопроса,
придание некоторой доли значсны я или веса каждому ив них
и пользование ими в правильных соотношениях. Мысль
может потерпеть неудачу или потому, что она не располагает
подходящими фактами, или потому, что отбираются не те
факты, которые следовало бы отобрать, или потому что она
не придает каждому из них правильного значения или веса,
или потому, что она не объединяет их надлежащий образом.
Многие из весьма разнообразных наших ошибок мышле-
ния вызываются, вообще говоря, недостатком подходящих
фактов. Некоторые из моих читателей например не смогут
решись такой задачи: „Какова вероятность того, что, вьпя-
тягипая четыре раза подряд по одной игральной карте из
колоды, вы вытянете каждый раз одну и ту же карту?" И
это объясняется тем, что они по всей вероятности не знают
некоторых фактов, относящихся к теории вероятностей. Тот
кто хотел бы и мог подумать над этим вопросом, должен
был бы обратиться к соответствующим руководствам. Рав-
ным образом человек, не знающий, что в колоде содержатся
52 игральных карты и что среди них мет н двух одинако-
вых, не мог бы найти ответа, хотя бы он и был сведут
в теории вероятностей. Если он привык соображать, то он
прежде вего спросит о размере и сущности колоды карт.
Таким образом при действительном применении рассуждения
мы должны проверить наличность фактов, чтобы посмотреть,
не отсутствуют ли некоторые из них, нам необходимые.
Если это им.ет место, то первым актом рассуждения является
приобретение недостающих фактов.
Последнее особенно справедливо в отношении рассу-
ждения о жизненных арифметических фактах, например:
I) „Хватит ли на костюм м материи?" Здравый смысл
А
заставляет вас установить, какова ширина материала, какой
покрой вы выберете для костюма, сколько материала идет
обычно на костюм такого покроя, можете ли вы кроить
экономно или у вас будет много обрезков, каков роет и
фигура будущего обтадателя костюг'а. 2) „Насколько менее
питателен при тех же затратах один хлеб,, чем хлеб с мас-
лом, прибавтегным в количестве 10°/о веса хлебе?" И здесь
197
здравый смысл побуждает вас узнать прежде всего цену
хлеба, цену масла, степень питательности хлеба и степень
питательности масла.
В штольнях занятиях арифметикой эти характерные черты
рассуждения появляются в тех случаях, когда приходится
прибегать к каким-либо фактам, касающимся обычных мер,
справляться о цена' и }с.топиях о прейс-кур ютах или при-
поминать и разузнавать некоторые коммерческие обычаи.
4
Так задачу; .Сколько значков можно сделать из 1-^ м
ленты, если на каждый значок идет IScjw ее?* нельзя ре-
шить, не зная соотношения между метром и сантиметром.
Равным образом, решая задачу; „Uto стоит в кооператива
3	I
дороже: 3 кг масла или 6 - кг сала?* нельзя найти от-
вета, не справившись предварительно о ценах на эти
продукты.
Отдует заметить, что при прочих равных условиях такие
задачи лучше для упражн ним в рассуждении, чем задгчи,
уже содержащие в себе все эти данные (т. е. „Что сто л
3
в кооперативе дороже - 3^-кг масла по 2,45 руб. за 1 кг
или 6 кг сала по 1,65 руб. за 1 кг? Настолько до-
роже?*). Во всяком случае неразумно давать ' адачи послед-
него рода в столь большом количестве, чтобы ученик начал
представлять себе прикладную арифметическую задачу как
такую, где все уже дано, и ему остается только использо-
вать данные для выполнения действий. Жизнь так задач не
ставит.
Процесс выбора надлежащих элементов и придания кале
дому из них правильного значения можно иллюстрировать
следующим примером: „Я хочу вступить в жилищно-коопе-
ративное товарищество; у меня имеется сейчас 100 руб.;
ежемесячно я могу отчислять для этой цели немного более
40 руб.; если потребуется, я могу занять недостающую сумму
денег из 6°/0 годовых. На какой из следующих трех возмож-
ностей мне остановиться?*
А.
Единовременный взнос 100 руб. it ежемесячные платежи по
42 руб. в течение всего полутора лет; никакого начисления про-
центов
19S

в.
Общая сумма взнос1 780 руб.; единовременный взнос 100 руб.
и ежемесячные плак:ж“ го 40 руб.; на непогашенную сумму взноса
начисляется по 6°/0 годовых.
С.
Единовременный взнос без рассрочь» — 750 руб.
Если вы обратите внимание преимущественно на слова
.всего* и „никакого начисления процентог*, которые содер-
жатся в предложении А, придав им большое значение и не
подумав как следует, а сколько же будет 100 руб, плюс
42 руб. X 18, то вы вероятно сделаг1те неправильный выбор.
Жизненные положения часто усложняются и другими эле-
ментами, имеющими весьма отдаленное отношение к правиль-
ному численному решению или вовсе даже не имеющими
к нему отношения. Так в первом случае вас может пре-
льщать местоположение будущего дома; во втором — вы заин-
тересованы в проживании совместно с вашим товарищем;
однако может оказаться, чго вы по разумным или неразум-
ным соображениям не желаете пользоваться рассрочкой и
потому предпочитаете занять деныи и сразу внести взнос,
как эго предусмотрено в третьем случае. Мыслимо и обрат-
ное положение, когда вы имеете возможность занять деньги,
но не хотите этого сделать и потому не можете воспользо-
ваться третьим предложением и т. д.
Формулировка арифметических задач, которая обычно
применяется в школе, в большинстве случаев помогает уча-
щемуся отбрасывать все, кроме чисто количественных эле-
ментов, и оставлять в стороне все количественные элементы,
кроме необходимых для решения. Первое из этих двух упро-
щений, вообще говоря, весьма целесообразно, так как иначе
могли бы получиться различные правильные решения одной
и гои же задачи в зависимости от индивидуальных особен-
ностей и склонностей лиц, решающих эту задачу. Второе
упрощение также желательно, поскольку оно часто приводит
к большей продуктивности работы учеников, относимой хотя
бы к часу затраченного ими времени, чем в случае решения
задач, требующих выполнения сложного отбора. Однако ска-
занное не следует рассматривать как универсальное правило,
так как если слепо применять его, то учеников можно при-
вести к мысли, что они должны использовать в каждой
заааче все приведенные количества, подобно тому как при
Складывании фигуры-головоломки они должны использовать
все наличные части ее.
199
Ясно, что отбираемые элементы должны быть не только
подходящими, но и обладающими правильными соотноше-
ниями между собой. Так например, если мы даем ряд задач,
в которых фигурируют оптовые и розничные цены на штуку
и сотню, килограмм и центнер, литр и гектолитр, уславли}
ваясь, что оптовая ценз применяется для количеств не менее
полсатни, половины центнера или половины гектолитра, и
спрашиваем затем о рознице в стоимости этих же половин-
ных количеств по сотовым и розничным ценам, то 50 мыслится
и в соотношении с сотней как половина ее и в соотношении
с единицей как 50 раз по 1; единица должна быть связана
в уме с представлением о „каждом" продаваемом в розницу
предмете, 50 как полусотня должно, быть связано с опто-
выми ценами, а 50 как 50 раз по 1 должно быть связано
с рознич 1ыми пенами и т. д.
Далее ясно,' что дтя достижения успешности в только
что описанной арифметической работе ученик должен „мыс-
лить о вещах совокупно". Для установления его окончатель-
ного представления нужна совместная работа многих связей.
В качестве введения к рассуждению по поводу данной
задачи мы часто имеем самую постановку задачи и опре-
деление того, в чем она состоит; заключением же является
критическое изучение полученного ответа в целях установле J
ния, что он действительно оправдываегся на опыте или
согласуется с известными фактами. В процессе отыскания,
отбора и оценки фактов также возможны аналогичные изу-
чение и проверка их одного за другим.
РАССУЖДЕНИЕ КАК СОТРУДНИЧЕСТВО ОРГАНИЗОВАННЫХ
ПРИВЫЧЕК.
Педагогика прошлого времени допускала две существен-
ных практических ошибки, основанные на двух ошибочных
представлениях, касающихся психологии рассуждения. Она
рассматривала раоуждение как некую магическую силу или
способность, действие которой заключается в противодейст-
вии обычным законам привычки в человеке и в управлении
ими, и слишком резко разграничивала „понимание прин-
ципов", достигаемое при помощи рассуждения, от „механи-
ческой" работы вычисления, чтения задач, припоминания
фактов и т. п., выполняемой при помбши „одной только"
привычки и памяти.
Рассуждение или мышление, совершающее отбор н
устанавливающее выводы, вовсе не противоположно законам
привычки и совсем не независимо от них; в действитель-
200
ности оно является необходимым результатом их в тех
условиях, которые создаются прирожденными свойствами
и навыками человека. Более тщательное изучение процесса
мышления, производящего отбор, покажет, что для объясне-
ния его не тр. буе гея никаких других принципов кроме
законов готовности, упражнения и действия; что он является
только крайним случаем того, что описывается при изучении
совокупных положений, как „разрозненная" деятельность
положений; что приписывание некоторых свойственных ему
характерных черт таинственны' г способностям о в течения
или рассуждения нисколько не помогает ни пониманию, ни
проверке их.
Правильно конечно, что при встрече с новыми задачами
человек может не считаться с имеющимися привычками
в виде связей с совокупными положениями и их обычно
абстрагируемыми элементами или даже итти против этих
привычек. Однако первая из двух причин этого явления
состоит просто в том, что более тонкие, слабые избранные
Связи с более тонкими и реже абстрагируемыми элементами
мшут действовать помимо, а временами и против более
грубых и чаще применяемых связей Умственное рас-
положение к тем и другим из этих связей одинаково
обязано своим происхождением упражнению и действию.
Вторая причина состоит в том, что при ветре1 е с новыми
задачами уделенная деятельность направляется невидимому
на отбрасывание представлений одного за другим, как только
обнаруживается их неспособность удовлетворить поставлен-
ным требованиям; то, что остается в виде кажущегося хода
мысли, заключает в себе лишь малую долю значительного коли-
чества использованных связей, которые в большей своей части
оказались непригодными для основной позиции или цели.
Успешное реагирование на новые данные, ассоциации
по сходству и целеустремленное состояние стоят лишь
в кажущемся противоречии с основными законами изучения
совокупных положений. В действительности первые являются
лишь прекрасными примерами последнего. Успешное реаги-
рование на новые данные, например, когда мы доказываем,
что гипотенуза прямоугольного треугольника, имеющего
796, 278 мм в основании и 137, 294 ми высоты, равна
803, 022 мм или что Мария Иванова, родившаяся сегодня
утром, со временем умрет, основано нэ привычках, я особен
ности на привычках реагировать на некоторые элементы
или признаки согласно законам деятельности разложения и
асси милиции.
201
Ничто не имеет столь малого сходства с я обы мисти-
ческой деятельностью способности к рассуждению, стоя-
щей над законами образования связей, как поведение чело-
века, реагирующего на новые положения. Представим себе,
что дети им ли до сих пэр дето только с арифметическими
задачами на сложение и вычитание однозначных и дву-
значных чисел и на уиножен^е однозначных чисел, подоо-
ных приведенным в первом ряду помещенного ниже при-
мера, и что мы ппедлагаем им решить примеры, помещен-
ные вс втором ряду.
Сложите:
8 37
5 24
35
68
23
19
Вычтите:
8 37
5 :4
Умножьте:
8 9 6
6 7 3
Умножьте:
32 43
23 22
3-1
Они начнут или складывать числа, или вычитать нижнее
число из верхнего, или умножать 3X2 и 2X3 и т. д.,
получая в ответе 66, 86 и 624, или отвечать на элемент
„умножь", соединяемый с двузначными числазии, „я не могу"
или „и не знаю, что надо делать"; возможно, что какой-ни-
будь очень способный ребенок, рассмотрев элемент „ум-
ножь" и величину чисел, вспомнит, руководствуясь этими
двумя сторонами положения, тог факт, что „умножь 9 X 9“
давало уже 81, а „умножь 10 на 10“ давало уже 100 и т. д.;
поэтому он даст совершенно разумный и обоснованный
ответ „я не могу" или отбросит прием умножения 3X2
и 2X3, приводящий к ответам 66, 86 и 624, как явно не-
удовлетворительный. То, что учснйки делают, язляется во
венком случае продуктом элементов положения, которыми
они овладевают, представлений, связанных с этими элемен-
тами, и дальнейших ассоциаций, которые эти представления
вызывают в свею очередь. Если бы ребенок был гениаль-
ным, то он мог бы выработать нужный прием, польгуясь
своим знанием принципов десятичной системы счисления
и значения слова „умножь"; это знание позволило бы ему
правильно оценить элемент „значения места" для каждой
202
из цифр и выполнить сложение получающихся б десятков
и 9 десятков, 20 двоек и 3 раза три/цати; и если бы он
изобрел таким образом сокращенное сложение совокупности
из 23 совокупностей, содержащих каждая по 32 единицы,
то он сделал бы это все же благодаря действию связей,
совершенно реальных, хотя и тонких.
Ассоциации по сходству, как давно уже показал Джемс
(Janies), является простей тенденцией элемента вызывать
представления, которые были с ням связаны: и, b, с, d, е
ведет к и, то, у, z потому, что а было связано с v, -w, xty, z
в силу естественных причин, упражнения или действия.
Целеустремленное состояние является наиболее важным
случаем влияния расположения или приноровления организма
к определению того, во-первых, какие связи должны
действовать и, во-вторых, какие результаты доставят удовле-
творение. Джемс давно уже описал первый факт, показав,
чго механизм привычки может повести к отсутствию на-
правления или цели в конечных результатах мышления,
если этот механизм содержал что-либо параллельное данной
задаче, цели или потребности.
Второй факт, именно, что расположение или умственная
установка помогают определить, какие связи доставят удо-
влетворение и какие будут неприятными, обычно затемня-
лось неясными утверждениями, что отбор и удержание
в памяти распространяются лишь на то, что является .со-
ответствующим*, „правильным*, „подходящим” и т. д.
Этим самым утверждалось или по крайней мере подразуме-
валось, чю .воля”, „самопроизвольное внимание*, „со-
знательное отношение к задаче” и другие способности
подобного же рода обладают шгической силой решать*
какие связи являются „правильными" или „полезными”, и
умерщвлять все остальные. В действит ельности же при
Целеустремленном мышлении и действии, как и в других
случаях, связи отбираются и сохраняются благодаря чувству
Удовлетворения и гибнут вследствие неудовлетворенности,
которую они возбуждают; способность же расположения
или умственной установки человека вызывать в нем чув.тво
Удовлетворения или неудовлетворения, а вместе с тем
приводить одни элементы сознания в готовность к действию,
а другие обрекать на бездействие, во всяком случае столь
же важна, как и самая способность приводить в действие
некоторые элементы сознания.
Таким образом рассуждение вовсе не является особым
видом силы, действующей против привычки; наоборот,
203
оно является организацией и сотрудничеством многих при-
вычек, совокупным мышлением о вещех. Рассуждение не
являегся н отрицанием обыкноненных связей; наоборот, оно
является результатом действия многих из них, особенно же
связей с более тонкими элементами положения Никакая
внешняя сила не участвует в отборе и критике связей;
арсенал связей, относящихся к данной задаче, который
находится в распоряжении ученика, и есть то, что выбирает и
отбрасывает. Непочх'-дящая идея умерщвляется не каким-
либо „актом чистого мышления“ интеллекта, а теми идеями,
которые она сама вызывает в связи с обмен умственной
установкой ученика и которые указывают на ее непри-
годность.
В арифметике нет почти ничего, что надо было бы пре-
подавать как материал простого заучивания или создания
слепой привычки; равным образом в ней нет таких поло-
жений, которые изучались бы сперва как принцип, а затем
становились предметом простой привычки или заучивания.
Равенство 5X4 — 20 не следует ни выучивать, как изоли-
рованный факт, ни запоминать отдельно, как мы запоми-
наем например номер телефона Ивановых 1-26-75. В ариф-
метике почти все должно преподаваться как привычка,
которая имеет связи с уже сложившимися привычками и
будет работать совместно с новыми привычками, которые
со временем образуются. Применение же этой организован-
ной системы привычек к решению новых задач и является
рассуждением.
504
ГЛАВА XL
ПРИРОЖДЕННЫЕ СКЛОННОСТИ И ДОШКОЛЬНЫЕ
НАВЫКИ.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВРОЖДЕННЫХ ИНТЕРЕСОВ.
Различные формы деятельности человека, и иеюшие су-
щественное значение в деле приобретения а, ифметических
способностей, могут опираться лишь на немногие врожден-
ные склонности его, если не считать чисто интеллектуального
влечения к любознательности и удовлетворенности мышле-
нием ради мышления, а также влечение к чувству радости
от успеха, а не к прстивоголожному чувству от неудачи в том
деле, за которое он взялся. Поэтому заставить" различные
врожденные интересы детей служить делу развития их
’ арифметических знаний и умений можно только при помощи
некоторых искусственных мероприятий. Если этого удается
достигнуть без всяких затрат, то выгода получается весьма
большой. Например марширование в две, три, четыре
шеренги и т. д., поднимание рук один, два, три раза,
отмеривание руками полмет ра, дециметра, сантиметра и т. д.
ьгляются прекрасными приемами, так как пристрастие к
телесным движениям до некоторой степени переносится ври
этом на изучение значении чисел. Даже в старших груп-
пах полезно при случае делать рисунки, показывающие
соотношения дробных долей, нареззть полоски, складывать
бумагу и т. д.
Различные социальные инстинкты так же могут быть
с успехом использованы для организации соревнования по
jnny, применяемому при обучения правописанию, состязания
школьных бри ад, устройства числовых игр и т. д. Оценка
как игры, так и работы в классе представляет собой благо-
дарное поле для контроля со стороны учителя арифметики.
Гент (Hunt, 1912) укззал на наиболее важные игры, которые
содержат кг к побочный элемент значительное количество
арифметических упражнений н более или менее подходят
для применения в шкоде. Флинн (Flynn, 19Г.) описал
235
игры, применимые главным образом в домашней обстсногке,
которые содержат совершенно определенные арифметические
упражнения; однако но многих случаях эти упражнении не-
сколько отстают от потреоностей детей, достаточно взрос-
лых, чтобы понять и полюбить самую игру.
Можно использовать также интерес к загадкам, фокусам,
готоволомкам, чтобы создать этим путем некоторое уважение
к арифметике и в то же время побудить проделать вычис-
лительную работу Я приведу только один простой пример
из прекрасного сборника Сеткин (Miss Selkin, 1912, стр. 69
и след.).
I. СЛОЖЕНИЕ.
„Приходится признать, что в сложении длинного столбца
чисел нет ничего осоменно интересного. Но пусть учитель внушит,
что он может написать ответ с одного взгляда, н работа сразу же
примет совершенно другой характер
Можно проделать весьма простой числовой фокус этого рока,
воспользовавшись принципом сложения дополнительных чисел.
Арифметическим дополнением данного числа до другого, большего,
является разность этих двух чисел. Наиболее интересные резуль-
таты получаются, ес>н мы дополняем до 9.
Предложите детям наз. ать несколько двузначных, трехзначных
или еще больших чисел. Подпишите подними такие же количество
дополнительных чисел и немедленно же скажите ответ. Дети пора-
женные быстротой выполнения якобы сложения, с энтузиазмом
берутся за проверку результатов этого молниеносного вычл ления.
Пример: 357 i 6Я2 793 J	А	999 хз	•
642 I		2997	
317 '	Г В		
206 J			
Объяснение. Слагаемые группы А написаны наудачу иля про-
диктованы учениками. Слагаемые группы Б являются ил дс.юлненняун.
Чгобы написать первое число группы В, смотрим на вернее число группы Л.
и, начиная слева, пишем 6 как дополнение 3 до 6, 4 как дополнение
о н 2 как дополнение 7. Второе и третье слагаемые группы В находятся
тем же путем. Так как мы имеем теперь в обеих группах вместе трижды
то число, до которого мы дополняли, то задача сводится сама собою к
умножению S99X3, которое выполняется, как 3000 — 3. При этом можно
брать любое число слагаемых, и каждое из слагаемых может содержать
любое числе цифр".
200
Уважение к арифметике» как источнику загадок и фоку-
сов, конечно гораздо менее существенно, чем уважение к ней,
как к повседневному полезному орудию. К том}' же за пове-
рочные вычисления подобного рода загадочных решений
охотно примутся вероятно одни лишь способные ученики.
Поэтому к указанному источнику интереса следует пожалуй
прибегать лишь умеренно, и быть может учитель должен
показывать подобного рода веши только в награду за ус-
пешность в регулярной работе. Так например, если работа,
приходящаяся на декаду, выполнена не в восемь, а в семь
дней, то восьмой урок можно посвятить какому-либо заня-
тию полуарифметического характера, например демонстри-
рованию счетной машины или арифмометре, беседе о перво-
бытных способах счисления, состязанию в вычислениях,
выполнению учителем молниеносных вычислений и ариф-
метических фокусов или добровольному изучению арифме-
тических загадок.
Указанный выше интерес к достижениям и успеху в ра-
боте развит в детях сильнее, чем это обычно думают;
поэтому систематическое применение упражнений, подходя-
щих итог достигнутым результатам, можно рекомендовать
как метод изучения многих отделов арифметики. Дети
имеют при этом возможность ставить все новые и новые
рекорды, ведя им точный периодический учет, делают зна-
чительные успехи и с удовольствием выполняют связанную
с этим трудную работу.
ППРЯДСК РАЗВИТИЯ ПРИРОЖДЕН 1ЫХ СК ЧО1ИЮСТЕЙ.
Степень трудности работы, которую учащиеся мо»ут про-
делать, находится в зависимости от степени зрелости их
непрерывно развивающихся способностей. При прочих
равных условиях общепринятый обычай откладывать более
трудные вещи до более поздних годов школьного
обучения конечно правилен. Невидимому от затраты учащи-
мися времени на обучение арифметике ранее, чем во второй
группе, выигрывается весьма мало, хотя многие арифмети-
ческие .ранты мо!ут быть изучены и в первой группе. Систе-
матическое обучение арифметике можно было бы отложить
До третьей и даже четвертой группы, если бы ее можно
было заменить чем-либо лучшим. Однако при наличии под-
ходящих руководств, а также устных и письменных упражне-
ний дети второй и третьей групп могут с пользой затрачи-
вать время на арифметическую работу. Если бы все дети
останались в школе до конца и выходили из нее, пройдя
2'7
восьмую группу, то в сущности не имело бы большего
значения, когда мы начинаем изучение арифметики. Если
однако многие дети покидают школу, пройдя всего пять или
шесть групп, как это наблюдается в настоящее время, то нам
необходимо позаботиться о том, чтобы сообщить им не-
который минимум арифметических знаний.
Насколько изьестно, не существует таких специальных
сроков или сезонов, при достижении которых человек
в силу внутреннего роста оказывается специально созрев-
шим для занятий тем или другим отделом или принципом
арифметики; известно лишь, что обший внутренний рост
интеллектуальных способностей делает более -'руд! ые и
сложные задачи подходящими для все более и более поздних
годов.
Действительно лишь очень немногие из наиболее горя-
чих покл нников теории рекапитуляция и теории эпох куль-
туры пытались применить ту или другую из них к обучению
арифметике- Насколько я знаю, Брэндфорд является един-
ственным математиком, который защищает это применение,
правда, смягченное допускаемыми им перемещениями и из-
менениями в ходе исторического развития. Он пишет:
„Таким образом для каждого периода жизни индевидума —
младенчества, детства, школьного возраста^студенческнх лет--
можно выбрать из ш тории народов наиболее потходящую форму,
в которой возможно усвоение математического опыта. Так способ-
ности в период младенчества и раннего детства сравнимы со способ-
ностями хорошо развитых животных и первобытного человека;
математические замятия, подхогяп сие для более позднего периода
детства и для подростков (как мальчиков, так и девочек), сравнимы
с архаической математикой, начиная с греческой и индусской и кон-
чая средневековой европейской математикой; студенты же являются
достаточно зрелыми, чтобы начать усваивать современную в высокой
степени абстрактную европейскую математическую мысль. Устано-
вление деталей надо конечно предоставить самому учителю, равно
как и уточнение в определенных широких пределах расположения
учебного материала для каждого возраста. Зто необходимо пегому,
что хотя развитие математики в целом и шло постоянно вперед.
все же наблюдал сь и утрата достигнутых ранее результат >:в.
Об этом свилете.ьстсует
ценных мыслей индусов и
практическая
длившееся
потеря
для
мира
MHOI их
столетиями
к греческой мысли; о том же
изо*"ретення нумя вавилонянами.
пренет
свидетельствует потеря
пока он не был снова
режение
для мира
изобретен
индусами, передан ими арабам, а этими последними — европейцам.
203
Кроме того этот ход развития отмечен многими промахами,
неудачными попытками и ложными принципами. Не раз случалось,
что реки, выражаясь фигурально, текли вспять. Задачей учителя
и явится избежание подобного рода исторических ошибок, выбор
наиболее коротких путей, которые были в конце концов н; Идены,
и руководсгво таким продвижением учащихся по пути, окончательно
признанному наиболее удобным, при кот ором они могут останавли-
ваться, возвращаться назад и пользоваться обходными тропами в пол-
ном соотсетствии со своими умственными особенностями.
Все это как практическое осуществление духа наложенного
принципа надо предоставить самому преподавателю математики,
близко знакомому с историей математических наук и теми частными
ограничительными условиями, которые лежат как в его учениках,
гак и в нем самом" (Brandioid, 1908, стр. 245).
Широта изменений, рекомендуемых Брэндфордом, сводит
почти на-нет то направление обучения, которое могло бы
базироваться на истории народов. К тому же ясно, что
история развития арифметических познаний является ис-
торией приобретения и социальной передачи последних.
Природа человека как таковая лишена каких бы то ни было
арифметических идей; зародыш человека не знает даже того,
что 1 и 1 составляют 2.
ПЕРЕЧЕНЬ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ И НАВЫКОВ.
Научно разработанный план обучения арифметике должен
был бы начинаться с точного перечня тех знаний и навыков,
которыми учащиеся уже обладают. Наши обычные представ-
ления о том, что знает реб4нок, поступающий в первую, вто-
рую или третью группы, или что может делать ребенок,
обучающийся в первой или второй группе, весьма далеки от
действительности. Если бы было иначе, то мы не встречались
бы с тем, что общепринятые руководства учат весьма подробно
таким фактам, которые достаточно хорошо известны более
чем трем четвертям учеников при вступлении их в школу;
равным образом мы не встречались бы и с другими учебни-
ками, требую'цями на первых же 50 страницах текста зна-
ния таких слов, которые едва ли половина детей может про-
честь к концу rpvnnu 2В-
Доказательства грубей ошибочности наших обычны' пред-
ставлений о способностях детей при начале систематически*
школьных занятий арифметикой можно иайти где угодно.
Так например в одном общепринятом и во многих отноше-
ниях прекрасном руководстве содержится 14 страниц упргж-
^4 То р0 Д 4 В О	200
нений для изучения значения 2 и того факта, что 1 и 1 rjI
ставляют 2. Примером обратной ошибки может служить други»
руководство для начинающих, в котором на 25 периых стр.",
пинах мы встречаем такие слова, как отсутствующие, прл
сутствующие, бланки, продолжение, в течение, сгруппиро^ I
ванный, совершенный, итог и пр. -
В деле составления указанного точного перечня было
сделано очень мало по сравнению с тем, что нужно было бк
сделать. Мы можем отметить здесь, во-первых, факты, каса-
ющиеся арифметики и установленные Стэнли Холлом (Stanley
Hall), Гартманом (Hartmann) и др. в их общих исследовании;
знаний, которыми дети располагают при поступлении в школу
и, во-вторых, факты, касающиеся способности детей воспрн!
нимать различия в длине, площади и размере совокупности
предметов, а также расположение последних в совокупности,
подобной изображенной на фигуре 24, и некоторые теоре
и факты, касающиеся раннего знакомства с числами.
Обследование, произведенное в Берлине в 1869 г., пока-
зало, что значение чисел 2, 3 и 4 было известно соответ-
ственно 74, 74 и 73% детей, вступающих в школу. Вероятно
некоторые из детей, отнесенных к категории незнающих, га
самом деле з нали указанные числа, но или не поняли, какого
ответа от них ждали, или просто смутились. Имя своего
отца знали согласно обследованию только 85% детей; семь
восьмых числа детей, знавших имя своего отца, понимали
и значение чисел 2, 3 и 4. Произведя подобный же, но бо-
лее тщательный опыт над детьми в Бостоне в сентябре 188Л г.,
Стэнли Холл нашел, что 92% детей знали число 3, 83%-
4 и 71,5%—5. Число 3 оказалось известным почти так же
хороню, как красный цвет, 4 было известно почти так же
хорошо, как синий, желтый или зеленый цвет. Гартман
(1890) нашел, что две трети детей, вступающих в школу
в Аннаберге, знают счет от 1 до 10; приблизительно столько
же детей было знакомо с монетами или обычными предме-
тами обихода городской жизни и могло повторять сказан-
ные им слива.
Согласно тестам Бинэ (Binet), если брать их в форме,
предложенной Стэнфордом (Stanford), сосчитывание 4 копееч-
ных монет является способностью, характерной для четырехлет-
него ребенка. Сосчитывание 13 копеечных монет, правильное
по крайней мере в одном из двух случаев счета, и умение
распознать 3 из 4 монет—копейка, пятачок, гривенник и чет-
вертак— приводятся как способности, характерные для iue-
стилетнгго ребенка.
210
1 В 9	10
Фиг. 21. Наглядное изображение.
ВОСПРИЯТИЕ ЧИСЛА И КОЛИЧ1С1ВА.
Мы знаем, что взрослые, обладающие образованием, мо-
гут правильно определить с одного взгляда (т.*е. при столь
короткой экспозиции, что глаз не успевает сделать движения)
число линий, точек и т. д. лишь в том случае, если число
ик равно четырем или немногим больше, в зависимости от
отчетливости объектов и их группировки. Так Нану (Nanu,
1904) сообщает, что при экспозиции в течение 0,033 секунды
ярких кружков на темном фоне образованные взрослые мо-
гли сосчитать 10 кружков, если последние были расположены
в виде параллелограма, и только 5 кружков, если послед-
ние были расположены в рид. Не приходится сомневаться,
что „восприятие" некоторых группировок требует большой
работы мысли и даже сознательного сложения и умножения.
То же имеет место при определении числа ударов или дру-
гих звуков, доходящего до 20 и более, когда звуки распо-
ложены в ритмические группы и следуют один за другим
столь быстро, что сосчитать их подряд невозможно.
Эти способности являются однако результатом продол-
жительного и тщательного обучения, включающего и обуче-
ние самой арифметике. Элементарная психология и обычный
опыт учат нас, что простое созерцание групп или количеств
Б’	211
безотносительно к тому, насколько ясной представляется их
числовая характеристика лицу, уже знакомому со знание,
чисел, не создает само по себе знания значения чисел в че-
ловеке, не обладающем этим знанием. Опыты Мессенджера
(Messenger, 1903) и Бернета (Burnett, 19иб) показали, что
не существует непосредственного интуитивного восприятия
даже двух, как отличных от одного. Нам надо учиться’
чувствовать два прикосновения или видеть двр точки или
линии, именно как два.
За отсутствием точных наблюдений мы не знаем, как ра-
стет в детях способность считать или определять число эле-|
ментов в группе, которую они видят, и в ряду звукоа, кото-
рые они слышат. Еще менее мы знаем, как протекал бы
этот рост вне влияния школьного обучения счету, группиро-
ванию, сложению и умножению. Многие руководства и учи-
теля невидимому крайне переоценивают это влияние. Далеко
не все образованные взрослые могут безошибочно определить,
не прибегая к измерению, какая из приведенных на чертеже
линий длиннее, какая из площадей больше или какую часть
круга — девятую, десятую или одиннадцатую—составляет
изображенный на чертеже сектор.
Способность детей, поступающих в школу, оценивать
длину и площадь не подвергалась особому изучению; однако
из таких работ, как исследования Джильберта (Gilbert,
1894), мы знаем, что разность между сравниваемыми величи-
212
яами должна быть для таких детей вероятно вдвое больше,
чем для подростков 13—14 лет. При оценке веса например
разница 6 единиц воспринималась подростками 13—15 лет
столь же легко, как разница в 15 единиц шестилетиями
детьми. Учитель, уже обладающий зрелой способностью оцен-
ки длины, площади или веса и знающий, какой из двух
предметов длиннее, больше или тяжелее, может воспользо-
ваться например двумя отрезками, чтобы установить, какая
разница в их длине все еще остается скрытой от учеников.
Весьма мало вероятно например, чтобы первый из этих
отрезков —-—— -------------------был признан всеми учени-
ками четвертой группы более коротким, чем второй, и совсем
невероятно, чтобы каждый из учеников решил, что первый
7	3 5 9	11
составляет скорее -д- второго»чем -г,-я-»ту или его. Если
о	т О 1U	1Л
бы те же два отрезка были показаны во второй группе, и
ученикам сказали бы: „Длина первого отрезка равна 7; чему
равна длина второго отрезка?-, то многие ответили бы: 7
или 9; и эти ответы были бы арифметически совершенно пра-
вильными, так как все ошибки учеников были бы обязаны
своим происхождением неумению их точно сравнивать длины
отрезков.
Применяемые при этих
быть такими, чтобы про-
стое распознавание их не
представляло собой ника-
ких затруднений даже для
детей с пониженными
умственными способно-
стями. Так, если надо
7
сра внивать	и 1, то чер-
О
тежи Л и В непригодны;
С, D и Е значительно
лучше.
Можно думать, что
учителя часто недооцени-
вают трудности восприя-
тия предлагаемых ими за-
даний и материала, при-
иеняемого ими для иллю-
страции абсолютных и
относительных величин.
упражнениях количества должны
А ----------- --------------
213
Результаты таких занятий могут быть более вредными!
когда ученики отвечают правильно, чем когда они ошиба!
ются, так как правильность да В” ем ого ими ответа можс
вызываться простым умением отгьдатч, чего хочет от ни с
учитель; в угоду ему они могут сказать, что такой-то огре )
зок на 1 см длиннее другого, хотя в действи-ельности он
совсем не кажется им более длинным. Это конечно действует
крайне погубив на их чуьстао уважения к арифметике, кьк
точному и деловому инструменту. Так например, если учи-
тель начертит на доске ряд линий длиною в 40, 41, 42, 43.
44 хотя бы следующим образом -------------------и спро
сит: „Если этот отрезок имеет 40 см длины, то какова длина1
вот этого?", то после нескольких ошибок и исправлений он
может добиться правильных ответов от всех учеников в от-
ношении всех линий. Однако представление учащихся о чис-
лах 40, 41, 42, 43, 44 и 45 в действительности от подобного
упражнения только пострадает.
РАННЕЕ ЗНАКОМСТВО С ЧИСЛОМ.
По вопросу о происхождении индивидуального знаком-
ства с числом существовали некоторые разногласия; в частно-
сти эти касается относительного значения восприятия чис-
ленности и величины, восприятия определенной совокупности
и восприятия определенного отношения/ (см. McLellan and
Dewey, 1895, Phillips, 1897—1898, Decroly and Degand, 1912).
Для практики имеют повидимому значение следующие
основные факты.
1)	За редкими исключениями дети слышат слова один,
два, три, четыре, половина, вдвое, дважды, больше, меньше,
столько — сколько, снова, первый, второй и третий, задолго
до того, как они начинают анализировать'качества и отно-
шения, к которым эти слова относятся, в той мере, в какой
это необходимо для ясного понимания последних.
2)	Их знание качеств и отношений развивается преиму-
щественно в тесной связи с применением этих слов саш-ч
ребенком или при обращении к последнему.
3)	Повседневный опыт в течение первых пяти лет именно
так и развивает в ребенке представление о „стольких-то
пред|1етахи в различных группах, об относительной величине
двух групп или каких-либо количеств и о соотносительности
некоторых групп и величин с другими того же ряда. Напри-
мер способный ребенок в возрасте пяти лет может видеть,
что четыре лежащие рядом куска хлеба являются совокуп-
2U
костью четырех, а каждый кусок является частью четырех
как суммы всех частей, знать, что два из них составляют
столько же, сколько два других, а половина всех кусков
составляет два, и представлять себе четыре, если что при-
носит ему почему-либо пользу, как ступень от трех к пяти,
совершенно так же, как он представляет себе теплое в виде
ступени от тепловатого к горячему. Степень развития этих
способностей зависит от индивидуальной активности в ана-
лизе и от характера располагаемого опыта.
4)	Ребенок приобретает некоторые плохие навыки в пред-
ставлении благодаря неправильности обычного применения
слов два, три, четыре вместо второй, третий, четвертый и т. д.
Он видит или слышит, как его родители, старшие дети или
другие считают копейки, яйца или яблоки говоря: один, два, три,
четыре и т. д. Возможно, что и его приучали к такому счету.
Благодаря этому названия, относящиеся в действительности
к ряду совокупностей переменной величины, становятся для
пего названиями различных положений частей в сосчитыва-
емом целом. Эго наблюдается особенно часто в отношении
чисе^, превышающих 3 или 4, потому что опыт с ними как
с названиями групп имеется лишь в редких случаях. Подобное
вредное приписывание количественным числам, превышающим
3 или 4, значения порядковых чисел, наблюдается у мношх
детей до поступления в школу. Нумерация страниц в книгах,
домов, улиц и т. д., равно как и плохое обучение счету, ча-
сто усиливают эту ошибку.
5)	Он приобретает также привычку, вредную, если ие
прямо, то косвенно, применять многие названия, как восемь,
девять, десять, одиннадцать, пятнадцать, сто. миллион,
без всякого смысла.
6)	Наличие опыта в применении слов половина, дважды,
втрое больше, втрое дольше и т. д. наблюдается редко;
однако если бы было иначе., то все же этот опыт менее об-
легчил бы выделение чисто абстрактного элемента, чем опыт
применения слов два, три, четыре и т. д. в сьязи с сово-
купностью вещей, каждая из которых является единицей,
как мальчики, девочки, мячи, яблоки. Применение слов
два, три и четыре в связи с двумя двойками, двумя трой-
ками, двумя четверками встречается весьма редко.
Таким образом слова два. три. и т. д. означают для этих
детей преимущественно — .одна какая-либо вещь и одна ка-
кая-либо вещь", .одна какая-либо вещь, обычно называемая
одной, и одна какая-либо вещь, обычно называемая одной,
и еще одна какая-либо вещь, обычно называемая олнойв;
215
гораздо реже и менее совершенно те же слова означают длч
них ава раза что-либо, три раза что-либо и т. д.
В отношении взглядов Филипса, подчеркивающего важ-
ость для детского сознания идеи ряда, необходимо отметить
следующие существенные обстоятельства.
Во-первых, знание последовательного ряда названий чи-
сел имеет весьма малое значение в деле обучения арифме
гике и еще меньшее в образовании знания числа.
Во-вторых, привычка применять ряды слов при счете та-
ким образом, что 8 ассоциируется с восьмой вещью, 9 —
с девятой и т. д., имеет значение, но лишь отрицательное,
и приносит много вреда.
В третьих, действительно ценная идея числового ряда, идет
ряда групп или величин, изменяющихся по ступеням, при-
обретается позднее как результат, а не как причина знания
чисел.
В отношении доктрины Мак-Леллана—Дыои приходите* I
заметить, что элемент отношения чисел заслуживает приме-
нения в школе, но не потому, что он является главным
источником знания ребенком чисел (каковым он не является),
а потому, что обычный практический жизненный опыт ре-
бенка не стимулирует его действия в достаточной степени.
Более экономичным и одновременно более научным пред-
ставляется вводить его посредством умножения, деления и
действий с дробями, а не путем утверждения с самого
начала, что 4 и 5 обозначают четыре или пять раз взятую
вещь, именуемую 1, так что например 8 см являются 4-двухсан-
тиметрсвыми длинами, а 10 копеек—5 двухкопеечными моне-
тами. Если я правильно истолковываю взгляды профессора
Дьюи, то и он должен согласиться, что применение различных I
нетрическнх мер, а также таких измерителей, как ст’кан,
чашка, горсть, ложка и различные монеты, даст достаточное
количество единиц для первых двух лет школьного обучения.
Изучение значения *- от 4,-л- от6,-L от 8, Lot 10, -L от 20,
А	4Ё
j от 6, 1 от 9, ~ от 30, -L от 8, двух двоек, пяти двоек и т. ж
О	О	О	ч
начинаемое на ранних ступенях и во всех случаях связанное
с различными единицами измерения, дает достаточную таран- I
тию в том, что числа будут связаны с отношениями столь
же хорошо, как и с совокупностями.
216
ГЛАВА Xlf.
ИНТЕРЕС К АРИФМЕТИКЕ.
ИССЛЕДОВАНИЯ ИНТЕРЕСОВ УЧАЩИХСЯ.
Дети очень любят арифметику, хотя она весьма мало или
вовсе не пользуется помощью со стороны коллекционирова-
ния, мускульных действий, чувства любознательности или
могущественного врожденного интереса к вещам и их устрой-
ству, а также к человеку и его пристрастиям. Исследования
детских симпатий и антипатий, которые до сего времени
были произведены, не могут считаться образцом научно по-
ставленной работы, и приводимые в них как результат про-
центные соотношения нельзя принимать без критики. Однако
в о*бщем они едва ли переоценивают в чем-либо большое
пристрастие к арифметике. Некоторые из этих результатов
приведены ниже. Они показывают в основном, что интерес
к арифметике уступает только интересу к ручному труду
(работе в мастерских у мальчиков и шитью и кулинарному
искусству у девочек), рисованию, некоторым видам гимнасти-
ческих упражнений и истории. Он стоит почти на одном
уровне с интересом к чтению и естествознанию и превосхо-
дит интерес к грамматике, родному язьяд', правописанию,
географии и религии.
Лобзиен (Lobsien, 1903), который опросил сотню детей
в каждой из пяти первых групп (Stufen) начальной школы
в Киле, задавая им вопрос: „Какая часть школьной работы
(или буквально в перевод? с немецкого языка: „Какой период
обучения") нравится вам более всего?", нашел, что впереди
арифметики идут только рисование и гимнастика—у маль-
чиков и рукоделие — у девочек.
Это дает несколько преувеличенное представление о дей-
ствительном положении вещей, так как здесь совершенно не
учитываются те д-тги, которые питают к арифметике антипа-
тию: арифметика столь же непопулярна среди одних, как она
популярна среди других. Однако, если принять во внимание
н это обстоятельство, то все же окажется, что интерес
217
к арифметике превышает средний уровень. Штерн (Sternt
1905) задавал следующие вопросы: „Какой предмет вы лю-
бите больше всею и какой предмет вы любите меньш
всего?" Результаты показали большое пристрастие к гимна-
стике у мальчиков (28-1), рукоделию у девочек (32 —l^J
и рисованию у тех и других (16-^—6); далее следовали з
письмо (6 — 4), арифметика (14-^ — 13), история (9—6-^), чте-
ние (8^ —8) и пение (6—7	На последнем месте стоят ре-
лигия, естестве знание, физиология, география, хилия, родной
язык и грамматика.
Мак Найт (McKnight, 1907) нашел, что среди мальчиков
и Д-вочек седьмой и восьмой групп начальных школ некото-
рых городов Америки арифметика пользуется большей лю-
бовью, чем все другие предметы, преподаваемые в школе,
за исключением гимнастики и ручного труда. Следующие
данные характеризуют соотношение между пристрастием
учеников к арифметике и истории:
арифметику очень любят 327, очень не любят 96;
историю „	„	164	„	„	113
В позднейшем исследования (1909 г.) Лоб? иен приво-
дит результаты опроса 6248 учеников в возрасте от 9 до
15 лет, принадлежавших ко всем группам начальной шкоты,
ученики должны были по мере возможности указать, какой
предмет они не любят более всего и к каким двум предме-
там они питают последовательно меньшую склонность. При
этом он не припужда i детс й отвечать на все четыре, вопроса
или хотя б л на един из них. Получив ответы, Лобзиея
подсчитал в отношении каждого предмета степень располо
жения и отвращения к нему. Гимнастика, ручной труд и
кулинарное искусство оказались наиболее излюбленными
предметами За ними следуют история и рисование, а затем
арифметика и чтение. География, письмо, пенке, естество-
знание, история ветхого завета, катехизис и три менее су-
щественных предмета оказались менее любимыми предметами.
Льюис (Lewis, 1913) собрал сведения относительно рас-
положения детей английских начальных школ по всем пере-
численным ниже предметам их обучения: полученные им
218
результаты приводятся в нижеследующей таблице процентных
отношений:
П р«дкет	Наиболее интересная треть пред- метов	Средняя по мн- тересу треть предметам	Наименее нигересиая греть лред*е- ГОД
рисование 		78	20	2
Ручной трут		66	26	8
История 		64	24	12
Чтение 		53	38	9
Пение 		32	48	20
Гимнастика 		20	35	25
Арифметика		16	53	31
Физика		23	37	40
Естествознание 		16	36	48
Диктант		4	57	39
Сомнение		18	28	54
Священное писание ....	4	38	58
Устное изложение ....	9	23	68
География		4	24	72
Граммати га		—	6	94
Брандель (Brandell, 1913) получил данные путем опроса
2137 шведских детей в Стокгольме (327), Норкэпинге (870)
и Готснбурге (940).
В общем он нашел, как и другие исследователи, что
ручной труд и работа в мастерских—для мальчиков и до-
моводство— доя девочек, а также рисование, являются более
предпочтительными, чем занятия арифметикой. То же отно-
сится к истории и (в отличие от большинства прочих иссле-
дований) к чтению и есте< твознанию. Расположение к гимна-
стике он нашел меньшим, чем к арифметике. Религия, геогра-
фия, родной язык, правописание и письменные упражнения
оказались, как и при других исследованиях, значительно
уступающими в смысле интереса арифмегике.
Аналогичные исследования были произведены Лил иусом
(Lilins, 1911) в Финляндии, Вальземаном (Walsemann, 1907),
Видсркером tWiederkehr, 1907), Поммером (Pommer, 19141,
Зекелем (Scekel, 1914) и Штерном (Stern, 1913 и 1914) в Гер-
219
мании- Все эти исследования подтверждают приведен вне
выше общие результаты.
Причиною относительно большого расположения, которым
арифметика пользуется среди учащихся, является по всей
вероятности прочная связь с интересом, вызываемым опре-
деленными. достижениями, успехом, завершением начатого
дела, а в группах с пятой до восьмой также и с интересом
практического жизненного преуспеяния, обусловленного при-
обретением назыков, имеющих определенную цену. Первый
интерес, по моему мнению, является гораздо более сильным,
и арифметика удовлетворяет его особенно хорошо, так как
она лучше, чем любое другое „интеллектуальное" занятие
начальной школы, позволяет ученику видеть свой собствен-
ны!: прогресс и определять свои успехи и неудачи.
Поэтому наиболее важным следствием приложения к ариф-
метике психологических явлений удовлетворения и неудов-
летворения должно быть дальнейшее и еще более продуктив-
ное использование интереса к достижениям. Следующим по
значению является установление связи между обучением
арифметике и чувством удовлетворения, получаемым от те-
лесных движений, игр, общительности, веселости и т. д-,
а также от возможности достигнуть иных желательных ре-
зультатов кроме развития самих арифметических способно-
стей. Дальнейшей задачей является устранение при обучении
арифметике таких неудобств, как чрезмерное напряжение
зрения при некоторых вычислениях и излишнем переписы-
вании циф р. Рассмотрим эти положения в обрати» >м порядке-
УМЕНЫИЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ЗРЕНИЯ.
Б настоящее время час занятий арифметикой вероятно
более утомляет глаза, чем час чтения. Переписывание чисел
с книги на лист бумаги представляет собою для глаз одну
из самых утомительных работ, какую только приходится
выполнять ученикам начальной школы. Некоторое количество
этой работы необходимо, чтобы обучить детей писать числа,
правильно их переписывать и располагать материал так, как
это удобно для вычислений. Сверх этого переписывание учени-
ком всех чисел, над которыми он должен выполнять действия,
имеет ве больше смысла, чем списыв'ние каждого слона, ко-
торое он читает. Бессмысленно тяжелую работу переписыванья
цифр следует сократить, применяя большое количество упраж-
нений, подобных приведенным на страницах 223 и далее н
прибегая к записыванию одного лишь ответа на листе бу-
маги, который кладется под числами примеров на сложение,
220
Фиг. 25а. Взятые наусачу образцы вычислительной работы учеников восьмой
группы. Эти вы и ления фактически имели место при выполнении теста.
В оригинале серый цвет записей, выполненных каренцашом, д< лает работу
еще белее трудной.
221
Фиг. 25Ь. Взятые наудачу образцы вычислительной работы учеников восьмой
группы. Эти вычисления фактически имели место при выполнении теста.
В оригинале серый цвет записей, выполненных карандашом, делает работу
еще более трудной.
222
вычитание и умножение, приведенными в задачнике. Этим
достигается не только повышение интереса, но и большая
экономия времени для учеников (так как очень часто на пе-
реписывание примера уходит вчетверо больше времени, чем
на его решение, иногда же и еще больше), а также и для
учителя при просмотре ученических работ. Арифметические
ошибки не смешиваются с ошибками при переписывании 1
и труд учителя по просмотру ученических работ сводится
к минимуму, так как все ученики размещают при этом
каждую часть своей дневной работы на одном и том же
песте. Применение упражнений, о-четливо напечатанных
и удачно расположенных на листе, устраняет то напряжение
зрения, которое вызывается серыми цифрами, плохо написан-
ными, неправильно расположенными и расставляемыми то
слишком тесно, то слишком свободно. На фигуре 25а и 25 b я
привожу образчики, взятые наудачу из ста рядовых примеров
арифметической работы учеников восьмой группы. Сравните
напряжение зрения при выполнении этой работы с тем, которое
имеет место при выполнении работы, не связанной с пере-
пиской. Обычный прием непременного переписывания с клас-
сней доски или книги на бумагу всех чисел, нужных д. я
вычислений, является ничем не оправдываемой жестокостью
и бесцельной потерей времени.
Напишите произведения:
А	В	С
3X4 =	5X7 =	9X2 =
5X2==	8X3 =	4*Х 4 =
7X2 =	4X2 =	2X7 =
1 X 6 =	4X5 =	6X4 =
1X3 =	4X7 =	4X5 =
3X7 =	5X9 =	3X6 =
4X1 =	7X5 =	3X2 =
6X8 =	7X1 =	3X9 =
9X8 =	иХЗ =	5X1 =
4X3=	4X9-	8X6 =
2X4 =	3X5 =	8X4 =
2X2 =	9X6 =	8X5 =
8X7 =	2X5 =	7X9 =
* Куртке находит, что в случае сложения .из всех учениког, делаю-
щих ошибки в течение ui реле 1еииого количества времени при классных
занятиях, ие менее < дней трети, обычно же две трети, -.оверыают их
при ^переносе" или при переписывании*. Примечание asrnopa.
223
5'8 =
7 ч 6 =
7X3 —
5X4 =
8х.2 =
8X9 =
6X2 =
7X4 =
9X3 =
D
4Х 20 =
4 X 200= -
6х зо =
6X300 =
7Х 50 =
7 X 500 =
ЗХ 40 =
3x400 =
ЭХ 60 =
9> 609=
5а 30 =
Г»Х 300=
8 X 20 —
8X200 =
2Х 70 =
2 X 760 =
F
40X2 = 80
20x2 =
30X2 =
40X2 =
150 X 3 =
30X3 =
□00 X 3 = 900
300x2 =
Всишнте недостающие числа (жост.“
обозначает „в остатке-)
25=3 X	... и	... ост.
25=4 X	... и	... ост.
25 = 5 X	... и	... ост.
25=6 X	— и	... ост.
25 = 7 X	... и	... ост.
25 = 8 X	... и	... ост.
25 = 9 X	... и	... ост.
26= ЗХ	.. и	... ост.
26 = 4Х	... и	... ост.
26 = 5Х	... и	... ост.
26 = 6Х	... и	... ост.
26 = 7 X	... и	... ост.
26 = 8 X	... и	... ост.
26=9 <	... и	... ост.
30 = 4 X
30 =5 X
30=6 X
30 = 7 X
30 = 8Х
30=9 X
... и ... ост.
... н ... ост.
... и ... ост.
... и ... ост.
... И ... ОСТ.
... и ... ост.
31 =4 X — н —
31 =5 X — ч —
31 =6 х • и ...
31 =7х - и -
31 =8 X - и ...
31 =9 X — и —
ост.
ост.
ост.
ост.
ост.
ост.
Напишите	целые или смешанные числа.			равные слепую
щим дробям* 5	4	9	- 4	7
4	3	5	2	3
7	5	11	3	8
4	3	8	2	8
8	6	9	9	16
4	3	,8	4	8
11	7	13	8	6
4	5	8	5	6
224
Впишите недостающие		цифры:				
6 8 “ 4	2 _ 4 ~ 2	8 -— sc —- 10	5		1 5	”10	2 _ 3 ~ 6
Впишите недостающих		числителей:				
1 2 “12	8	Тб	'4	16	‘6	14
1 Т~12 4 “12 1 5 ~ 10	9	18	т	15	24	2Т
	Тб	¥	24	20	28	32
	20	15	25	40	1 35	30
2 _ “3 “12 о	Г8	21	6	Is	24	"9
'4 =-8	Гб	12	20	24	32	28
Найдите произведения.		Сократите,		если можете:		
ie*4	=	Нхз =			4x5	=
Т2*8		|Х15-			4x8 ь	SS
ЗНАЧЕНИЕ ЛГИЧ’МЕТИКИ ДЛЯ СОПРЯЖЕННЫХ ВИДОВ ДЕЯТЕЛЬ-
НОСТИ.
Применение телесных движений, общественных игр и т. д.
было уже рассмотрено нами в главе о прирожденных склон-
ностях. Поэт эму ближайшей темой нашего наложения является
„значение возможности достигнуть при изучении арифметики
исых желательных результатов кроме развития самих ариф-
метических способностей". Это значение может быть придано
арифметической работе путем использования последней как
способа достижения сейчас и в будущем успеха в решении
задач, касающихся спорта, домашнего хозяйства, работы
в мастерских, шитья, самоучета, других школьных предметов
помимо арифметики, а также школьной жизни и школьных
дел вообще. Значение арифметической работы как средства
достижения одних лишь будущих целей также может быть
связано с нею значительно шире и нагляднее, чем это имеет
место в настоящее время.
15 Торплаяк.	225
Все то, что предпринимается для усиления побуждений
к арифметическим занятиям, должно быть тщательно отобрано,I
чтобы не получилось сильных, но ложных побуждений, чтобы
не развился повышенный интерес к чему-то другому, а
не к арифметике, чтобы не оказалась зарезанной „курица",]
которая в конечном счете несет „золотые яйца", т. е. убит
интерес к умственной деятельности и ее достижениям как
таковым. Нетрудно конечно возбудить интерес к разбивке
площадки для игры в бэсбол, измерению количества продук-
тов, идущих для приготовления того или иного кушанья,
приготовлению воздушного шара, обладающего определенной
подъемной силой, или определению велич ины дополнительного
расхода при отделке платья лентами. Задача состоит в том,
чтобы связать этот интерес с изучением арифметики. Учитель
не вправе чувствовать себя удовлетворенным, если этот
интерес привязан так, как привязывается к бумажному змею
хвост, помогающий ему держаться в воздухе, или когда он
служит сахарной глазурью для той пилюли, которую ученик
должен проглотить или наконец, когда он является чем то
вроде болеутоляющего средства, дозу которого приходится
все увеличивать, чтобы оно продолжало действовать. Пока
нет интереса к арифметической деятельности как таковой,
задача наша выполнена только частично, и выполнение ее
впоследствии явится быть может еще более трудным.
Один из главных способов добиться слияния изучения
арифметики как таковой с указанными производными инте-
ресами состоит в побуждении ученика искать помощи
со стороны арифметики так, чтобы он, говоря словами Дьюи,
„почувствовал в ней потребность", усвоил привычку „ставить
задачу" и благодаря этому оценил и те технические приемы,
которых он ищет, чтобы удовлетворить свою потребность.
Поскольку обучение арифметике поставлено так, что оно
стремится удовлетворить практические жизненные запросы
ученика в данное время, ему приходится, так сказать, самому
проходить часть пути, чтобы получить ее помощь.
Если даже интересы, вызываемые количественными зада-
чами из области спорта, домашнего хозяйства, работы
в мастерских, шитья, самоучета, других школьных предметов,
а также школьных занятий и дел, будут использованы и не
наилучшим возможным образом, то выигрыш будет все же
весьма значительным. Если мы всегда бхдем помнить
о значении указанных интересов, то мы конечно перестанс i
давать ученикам третьей и четвертой групг. задачи, столь
далекие от их интересов, как приводимые ниже и взятые
22€
с тридцати последовательных страниц руководства, издан-
ного в 1910 г. и пользующегося прекрасной репутацией.
У стула 4 ножки. Скол1 ко ножек у 8 стульев? у 5 стульев?
У мухи 6 ног. Сколько ног у 3 мух? у 9 мух? у 7 .йух?
(Еще 8 задач подобного же рода.)
В 1890 г. в Нью-Йорке было 1513501 житель, в Мнлььоки —
260 308, в Бостоне — 447 720 и в Сан-Франциско — 297 990.
Скол» ко жителей было во всех этих городах вместе?
(Еще Б задач подобного же рода.)
Мильтон родился в 1608 г. и умер в 1674 г. Сколько лет он
прожил?
(Еще несколько задач подобного же рода.)
Население одного города составляло 35 629 жителей в 1880 г.
и 1606 710 жителей в 1890 г. Найти прирост населения.
« (Еще несколько задач подобного же рода.)
Значительно' число задач на слова различных торжественных
речей и библейских псалмов.
Усвоив эту точку зрения и проявив достаточное усердие,
мы сможем вероятно значигельно улучшить планы препода-
вания, содержащиеся и в других руководствах.
Так, начальные занятья арифметикой при всех условиях
должны быть до некоторой степени приноровлены к здоровой
заинтересованности детей в домашних делах, поведении
других дет'й, свойствах и проявлениях материальных вещей,
животных и растений (см. табл., стр. 228).
Слова, встречающиеся в руководствах, дают некоторое
представление о том, насколько мы выполняем поставленную
себе задачу или, вернее, насколько мы близки к этому выпол-
нению. Возьмем хотя бы слова: дом, мать, отец, брат, се-
стра. помогать, тарелка, ножик, вилка, ложка, играть,
игра, веселиться, догонять, камешки, кукла, бегать, прыгать,
петь, растение, семена, patmu, цветок, грузовик, колесо,
веревка, кусок, удар. Из таблицы 9 видно, насколько часто
эти слова встречаются на первых пятидесяти страницах
восьми начальных руководств арифметики. Восемь вер-
тикальных столбцов относятся к указанному числу сгряниц
каждой из книг. Числа, стоящие в этих столбцах, указывают,
сколько раз встречается на первых пятидесяти страницах
15*	227
Таблица 9.
Количество некоторых слов, касающихся семейной Жизни, игр и деятель*
мости и встречающихся на пятидесяти первых страницах восьми начальны,
руководств арифметики.
			А	В	с	D	Е	F	G	Н
Ребенок .							2		4		
Брат , .			2	_—	6	1	1		1	
Семья . .			—			2		2			4	
Отец . .			1				3	5		2	1	
Помоать .															
Дом . . .			2		4	4	2	2	7	[
Мать . . .			4	2	9	5		5	1	7
Сестра . .			—		1	2	2	9	1	1
Вилка . .											
Ножик . .						—		ж_					
Тарелка .			4	2				2		1		
Ложка . ,			—		—				—	-  1
Кукла . ,			10	1	10	6		10		9
Игра . . .			1						3			5	5
Поыжок .												
Камешки .			10	4	10			10		1	
Играть . .						1		.		3		
Бегать . . Петь . . .				—		—	—	1	—	3
Догонять .											
Веселиться			—	—				—	“—	— 1 -	—	1
Грузовик .				-	„			2	4		2	з	1
Кусок .			-—	=—	10		6	2		8
Удар . . ,						—						2	
Цв ток . .			1	—ф-		.	4	1	1	2		.
Р1СТИ . ,								]				
Растение .								2					
Семена . .			.—-				3						]		—
Е ревча .			—									1	10	1	1
Колесо . .				5	—	—	—		10		.1	1—•
каждой из этих книг данное слово, причем число 10 ус-
ловно обозначает не только 10 раз, но и свыше 10 раз.
Существительные, встречающиеся во множественном числе,
глаголы, употребленные в прошедшем времени, и т. д. были
лрн этом также сосчитаны. В результате онаяывается, что
слова помогать, вилка, ножик, ложка, прыжок, петь и до-
гонять не встречаются ни разу; веселиться н расти встре-
ча отся каждое по одному разу на 400 страницах; играть,
бегать, уд/р, растение и семена встречаются по одному
разу на ста или более страницах; слово ребенок применяется
не чаще, чем экипаж, семья, не чаще, чем загородка или
лестница, а отец — втрое реже, чем фермер.
На первых пятидесяти '.границах книги А встречается
только 10 из указанных 30 слов, книги В—только 4, книги
С — только 12, книг D, Е, F, G и // —соотпетстненно лишь
]3, 3, 14, 13 и 10. В общем указанные слова встречаются
(если всегда принимать 10, которое может обозначать и
большее число, только за 10) 40 раз в книге А, 9 раз
в книге В, 60 раз в книге С, 42 раза в книге D, 25 раз
в книге Е, Ь2 раза в книге F, 30 раз в книге О и 37 раз
в книге Н. 5 слов — яблоко, яйцо, Мария, молоко и
апельсин — применяются чаще, чем все указанные 30
слов.
Это явное пренебрежение к детским интересам и заня-
тиям можно было бы пожалуй защищать, если бы этой
ценой покупалось более систематическое изучение чистой
арифметики, лучшее распределение задач я лучшая подго-
товка к последующему естественному применению арифме-
тики по сравнению с теми, которые получаются, когда автор
руководства кйк бы привязан к детскому переднику. Однако
нет никакой уверенности в том, что подсчет путем сложения
стоимости закупок во тому или иному торжественному слу-
чаю или подсчет путем умножения всех бутербродов, кото-
рые дети должки взять с собою на загородную прогулку,
представляет собой дня учащихся второй группы больший
интерес, чем сложение числа надгробных памятников или
умножение числа волос плешивых людей. Если мы даже до-
пустим, что замена фактов, которые чужды детям, такими
фактами, которые для них привычш?, не даст нам сущест-
венных выгод, то все же последним надо отдать предпочте-
ние. Вообще говоря, пренебрежение интересами детей вызы-
вается невидимому не какими-либо оссбыми целями, а той
же силой инерции, которая по традиции сохраняет в учеб-
никах начальных школ задачи на прорытие канав и устрой-
229
ство колодцев, которых дети, живущие в городе, никогда
в жизни своей не видали.
Я не буду остана вливаться на деталях, касающихся распо- 1
ложепия учебного материала в руководствах и на классных
уроках, которое гарантировало бы наилучшую связь между
обучением арифметике, спортом, домоводством, ручным тру-
дом и т. д. Вместе с тем я считаю необходимым пояснить,
что представляет собой самоучет как источник естественных
задач, имеющий реальное значение для учеников и оставлен- I
ный без всякого внимания большинством авторов.
Самоучет позволяет ученику контролировать свои способ-
ности, знания, затрату времени и т. д. Когда ученик доходит
до пятой группы, а в известной мере и до этого, он должен
отдавать себе некоторый отчет в том, сколько времени у
него уходит на те или иные занятия, какую часть заданной I
работы он успевает сделать в течение данного времени и
с каким количеством ошибок, каких успехов он достигает
из месяца в месяц, чго удается ему лучше всего и т. д. I
Подобное объективное, реальное количественное изучение
св лей сооственной деятельности отнюдь не является стимулом
к самолюбованию или эгоизму; наоборот, оно представляет
собою одно из лучших средств, предохраняющих от их раз-
вития. Беспристрастное изучение самого себя является ездим
из существенных элементов умственного равновесия и здо-
ровья. Оно ни в какой мере не поощряет и не должно по-
ощрять самотоволоства. Наоборот, подобное фактическое
самоизучение того, чем человек является и чем он должен
быть, может с успехом заменить некоторую долю советов
и предупреждений, касающихся того, что человек должен
делать и чем он должен быть. Сказанное справедливо не
только в отношении мальчиков, но в еще большей степени
и в отношении девочек.
Требования, предъявляемые к арифметике со стороны
подобного учета своей собственной деятельности, особенно
ценны тем, что они непосредственно связаны с более слож-
ной вычислительной работой. Удовлетворение их возможно
лишь при применении больших чисел, десятичных дробей,
средних величин, процентов, приближенных значений и дру-
гих фактов и приемов, которые ученику необходимо изучить
для последующего применения в жизнр, но к которым ре-
бенка 10—14 лет совсем не ведет его деятельность по полу-
чению жалованья, совершению купли-продажи, работе в
мастерских. У детей очень мало денег, но много тысяч единиц
времени; они не занимаются учетом и получением процентных
230
денег; однако они могут сделать скидку с количества решен-
ных ими примеров в зависимости от числа допущенных
ошибок и получить премию за всякого рода дополнительные
успехи.
ВНУТРЕННЕЙ ИНТЕРЕС К ИЗУЧЕНИЮ АРИФМЕТИКИ.
Нам остается рассмотреть наиболее существенный фактор
повышения интереса к изучению арифметики, именно непо-
средственную связь этого повышенного интереса с достиже-
ниями и успехами в самой арифметике.
„Арифметика, — говорит Д. Е. Смит (David Eugene
Smith), — это—игра, а все мальчики и девочки— ее участ-
ники". Опа не должна бы была оставаться для них только
игрой, и сами они не должны бы были только играть; однако
их моральный интерес к этой мере, обусловливаемый тем,
что они могут в ней участвовать и видеть, насколько хорошо
они играют, является одним из ценнейших достижений школы.
Поэтому следует всячески изыскивать и поддерживать здо-
ровые способы возможно большего и лучшего стимулирова-
ния этого интереса.
О дьух из этих способов мы уже говорили выше по дру-
гому поводу. Первый из них состоит в таком расширении
применения поверочных и контрольных упражнений, чтобы
ученик мог нормально работать почти со стопроцентным
успехом и мог знать, насколько он близок к этому пределу.
Второй способ состоит в применении стандартных матери-
алов для упражнений и тестов, при которых ученик мог бы
сам измерять свои достижения по сравнению с прошлым
и иметь ясное, живое и правильное представление о том,
насколько лучше или скорее он может выполнить сейчас ту
же самую работу, чем месяц или год назад, и насколько бо-
лее трудную работу, чем прежде, может он выполнить сейчас.
Дальнейшим способом стимулирования существенного ин-
тереса к количественному мышлению как таковому является
такое распределение работы, при котором действительное
арифметическое мышление поощряется в большей степени,
чем простое подражание и старание. Мы имеем здесь в виду
отказ от длинных рядов прикладных задач одного и того
же типа, решаемых одним и тем же приемом, отказ* от се-
рий смешанных задач и примеров на повторение пройденного,
которое представляют собой почти дословное воспроизве-
дение ранее решенных задач, и воэбще отказ от чрезмер-
ного повторения какого угодно положения, лежащего в основе
задач. Нет сомнения, что стимул к действительному арнфме-
231
тнческому мышлению не может быть сильным, если в течение
целого дня работы над примерами не приходится выбирать
методов решения, если обзор пройденного сводится к про-
стому повторению без дальнейшего улучшения и продвижения
вперед или если ученик встречается с тем же положением
(скажем: „Куплено х предметов по у коп. за штуку; сколько
за них заплачено?”) в пятисотый раз.
Следующее обстоятельство, на которое неодолимо обра-
тить внимание в связи с рассматриваемым вопросом, эго
тенденция опускать или давать в разбавленном виде неко-
торые темы, которые прекрасно соответствуют действитель-
ным интеллектуальным интересам, только потому, что они
слишком трудны Наилучшей иллюстрацией в этом напрзвле-
н ии является задача на отношение: „Во сколько разу больше
(длиннее, тяжелее, дороже и т д.), чем я;?“ Приобрести на-
вык в обращении с отношением „во столько-то раз* нелегко,
но добить.я этого следует, и не только в силу его большого
интеллектуального значения, но и в силу первостепенной важ-
ности его при приложении ари (диетики к другим наукам. При
преподавании арифметики в прежнее время эта работа ослож-
нялась педантизмом, словесными трудностями и нереаль 
ними задачами на дробные части людей, выполняющих раз-
личные части работы в странное и несоразмерное время.
Освободив рассматриваемую нами тему от всех этих наслое-
ний, мы должны вновь ввести ее в преподавание, начиная
с пятой группы, хотя бы на простых примерах, подобных
приведенным ниже, и развивать ее вплоть до восьмой группы,
пользуясь задачами на относительную питательность и сто-
имость продуктов, зубчатые передачи, скорости и пр.
ВАНЕ	4 гола.
ФЕДР	8 лег.
MM IE	8 лёт.
НЮРЕ	10 лет.
ЛЮСЕ	12 лет.
ВЕРТЕ	15 лет.
Кто вдвое старше ВАНИ?
Кто вдвое моложе ЛЮСИ?
Ктс втрое старше ВАНИ?
Кто в полтора раза старше НЮРЫ?
ЧеЬ возраст составляет две трети возраста ФЕДИ?
и т. д. и т. д.
232
ЛЮСЯ старше ВАНИ . . .
ВАНЯ моложе МАНИ . . .
ФЕДЯ старше ВАНИ в . . . раза
ЛЮСЯ старше ФЕДИ в . . . раза
Возраст ФЕДИ составляет . . . возраста МАНИ
и т. я. и т. д.
В заключение следует напомнить, что всякое мероприятие,
увеличивающее ценность знания арифметики и помогающее
ученику изучить ее, в дальнейшем повышает к ней интерес.
Ученики любят учиться, добиваться результатов и приобре-
тать навыки. Успех заинтересовывает. Если мероприятия,
которые мы рекомендовали в предыдущих главах будут вы-
полнены, то едва ли представится даже малейшая нужда
подманивать учеников к занятиям арифметикой или подсла-
щивать последние недопустимыми развлечениями.
ГЛАВА ХШ.
УСЛОВИЯ ЗАНЯТИЙ АРИФМЕТИКОЙ.
В этой главе мы рассмотрим влияние на занятия арифме-
тикой времени дн численности групп, количества времени,
отводимого на занятия арифметикой школьной программой,
вопросов гигиены зрения при выполнении арифметической
работы, а также применения наглядных пособий, звуковых,
световых и умственных изображений — в качестве положе-
ний— и речи, письма и мысли — в качестве выразителей
представлений
ВНЕШНИЕ УСЛОВИЯ.
Различные исследователи применяли те или иные виды
вычислений в качестве тестов для определения производи-
тельности работы в различные часы дня. Если учесть, с одной
стороны, влияние практики, а с другой — падение интереса,
обусловленное повторением, то результтты согласно укажут
на увеличение к концу занятий быстроты н уменьшения точ-
ности в вычислениях, причем второе приблизительно ком-
пенсирует первое,2. Едва ли разумно уделять занятиям ариф-
метикой ранние часы дня, мотивируя это ее трудностью:
живые общегрупповые устные арифметические упражнения
невидимому весьма подходят и для занятий в поздние часы
дня. Вообще психология, установив в соэтветстеии с совре-
менным уровнем знаний два Ьбщих принципа: 1) что день
надо начинать с работы, которая устанавливает надежный
стандарт приятной и продуктивной деятельности, и 2) что
наймете чнтере^ные частя работы, приходящиеся на данный
день, должны выполниться возможчо раньше, допускает по-
строение программы согласно с требованиями практики.
1 Фактический материал, касающийся угпоеий обучении вооб не, можно
найти в .Психологии воспитания* * автора (Educational Psychology, т. II,
гл. VIII1 или в его сокращением курсе, носящем то же наименовгние (гл. XV).
* Сы. ТораиЙк (1900), Kirar (King, 1907/ и Гек (Geek, 1913).
(Примечание аегг пра).
234
Сравнимых измерений влияния времени дня на успешность
замятия произведено не было; однако едва ли есть основа-
ния предполагать, что какой-либо определенный промежуток
времени между 9 часами утра и 4 часами дня значительно
более благоприятен для занятий арифметикой, а не геогра-
фией, историей, правописанием и пр.
Измерить влияние численности группы на успешность
школьных занятий вообще весьма трудно. Это обусловлива-
ется следующими тремя причинами: 1) при одной и той же
школьной системе, принятой в данном городе, средняя чи-
сленность шести (или более) групп, через которые проходит
какой-либо ученик, весьма близка к соответствующей сред
ней и для каждого другого ребенка; 2) возможно, что про-
явлена тенденция к увеличению числа учеников в группах,
руководимых более опытными педагогами; 3) отдельные учеб-
ные планы, содержащие в себе отличия, вызываемые числен-
ностью групп, вероятно различаются между собой и в других
отношениях, так что разница в достижениях может получаться
как результат совершенно иных различий.
Эллиот (Elliott, 1914) положил начало подобного рода
исследованиям, отмечая численность групп при производи-
вшемся им в течение года измерении успехов 1700 учеников,
дополнением сведениями о других более чем 400 группах.
Как и следовало ожидать, он не нашел в соответствии с
изложенным выше какой-либо заметной разницы между
группами различной численности в пределах одной и той
же школьной системы, так как влияние пребывания в тече-
ние нескольких месяцев в малочисленной группе сглажи-
валось различными предшествующими и последующими
обстоятельствами.
Влияние количества времени, отводимого на занятия
арифметикой школьной программой, было подробно изучено
Райсом (Rice, 1932—1903) и Сгоном (Stone, 1908).
Доктор Райс (1902) измерил арифметические способности
приблизительно 6000 детей в 18 различных школах 7 раз-
личных городов. Результаты его измерений приведены в сум-
марном виде в таблице 10. Эта таблица „содержит по две
средних величины как для каждой группы, так и для каждой
<1колы как целого. Так в начале таблицы помешены средние
0,0 и 83,1 для одной школы, а в конце таблицы — средние
25,3 и 31,5—для другой школы. Первое из каждых двух
приведенных чисел показывает процент совершенно пра-
вильных ответов, второе — показывает, какой процент затач
был решен правильно в принципе, т. е. какой средний про-
235
цент правильных ответов был бы получен, если бы не был
сделано ни одной механической ошибки".
Таблица 10.
Сгение величины по обучению арифметике в различные шкглах.
I
I
II
III
IV
IV
IV
IV
V1
Vl
VI
VI!
Vll
Vil
1
1
2
3
4
I
2
I
2
3
4
1
1
2
3
1
2
3
79,3
8-4
80,9
72,2
69,9
71.2
43,7
58,9
59,8
54,9
42,3
4.,I
6\3
80,3
81,5
83,4
71,0
72,2
7 ,3
4a,Q
60,4
63,1
5',1
4\l
«8.7
71,3
81,1 82,3
6 \2 67.2
43,5
63,5
54.6
33,6
53,9
31,2
50,ч
66,2
57,8
3 ,7
56,7
34,1
46,1
34,i
35,2
35.2
’7,6
49.5
36,4
37,7
38.7
33.7
35,2
16.1
29,2
33,5
19.5
30.5
29.1
15.0
6.9
38,6
19.2
32,5
36,6
24.2
35,1
32,5
16,4
10.1
91,7
80,9
72,7
74,5
66,5
36,8
51,1
41,6
22,5
43,5
48,7
51 i
26,9
30,2
23,3
25,1
19,6
11,3
93Л
82,8
79.1
76,6
69,1
4".
5j,I
43,r>
22.5
45,0
48,7
58,3
30.7
40,6
24,1
7,2
21,2
80,0
76,6
6ч,3
67,8
64,3
60.2
54,5
55,1
53.9
51,5
42,8
45.M
39,0
6,5
36,0
0,5
зе >
25,3
84,1
i0,1
75,1
74,2
70,3
64,8
58,9
Sfl.4
58,8
57,3
8,2
51.3
42,9
43,6
42,5
45,9
40,6
31,5
3,7
4.6
7,7
6,1
8,5
7,1
7,4
5,6
\3
10,5
112
10,5
9,0
16,2
15,2
11,7
10,1
19,6
53
6J
25
45
45
bl
60
6<‘
60
40
33
30
.8
42
75
45
Данные, содержащиеся в таблице доктора Райса, покапы-
вают, что между обшей установкой школьной системы, обна-
руживаемой тестами, и количеством времени, затрачиваемым
на изучение арифметики по программе, существует опреде-
ленное соотношение. Однако это соотношение нельзя счи-
тать особенно твердым, и коэфищ.ент соотносительноетя
выражается цифрой 36В пределах данной школьной си
стемы не существ} ет какою-л too определенного соотноше-
ния между установкой данной школы и количеством времени,
затрачиваемым на изучение арифметики по программе той
же школы. Надо иметь в виду, что количество времени,
предусматриваемое школьной программой, может допол-
няться усиленной работой по исполнению заданий ьа дому
236
или в классе в особо отводимое для этой цели время, а с дру-
гой стороны, служить признаком соответственно большего
или меньшего внимания, уделяемого выполнению арифмети-
ческих занятий на дому или в классе в дополнительные часы.
Еше более тщательное исследование той же темы было
выполнено Стоном (1908). Я изложу его довольно подробно,
так как оно является поучительным примером тех исследо-
ваний, которые без сомнения будут вскоре выполнены и
в отношении всех других предметов начальной школы.
Стон нашел, что школьные системы значительно отличаются
по успехам, которых достигают ученики различных шестых
групп при выполнении его тестов в счислении (так называ-
емых „основных") и в решении задач, описываемых на сло-
вах (так называемых „тестив рассуждения").
Соответствующие данные приведены в таблице 11.
Таблица I!
Оценка успех ж учеников шестой
группы для клж юй из 26 школьных
систем.
	Успехи в ре-	Успехи
	шении задач	в счислении
23	356	1841
24	449	3513
17	444	3042
4	464	35>3
25	464	2167
Ж	468	2311
If	469	370/
20	491	2168
18	Е09	3758
15	532	2774
3	533	2845
8	538	274/
6	556	3173
1	552	2935
10	601	2749
2	615	2'*58
21	627	2951
13	636	3049
14	161	3 561
9	691	3404
7	734	3 782 »
12	736	3 410
И	759	3 261
2о	791	3681
19	8(8	40Q9
5	914	3569
237
Дальнейшие данные, полученные Сгоном, пр> всдекк в таблице 12.
Таблица 12.
Соотношение межпу затратой времени и достижениями.
Без учета	1	Р тиеине задач и затрата иремсн-.........0Д)1
доеатписй работы	(	Счисление и затрата времени..............0,09
С учетов	I	Решение задач и затрата вр мена ....... 0,13
дсмапшсн работы	|	Счи.ле не и saipaia времени...............,49
Большие успехи в счислении, характерные для одной из
школьных систем, сопровождались такими же успехами и в ре-
шении задач, причем коэфициект соотносительности был ра-
вен приблизительно 50; система, дли которой были выявлены
большие успехи в одном из четырех действий — сложении,
вычитании, умножении или делении, обычно оказывалась,
столь же удачной и в отношении остальных трех, причем
коэфициент соотношения достигал 0,90.
Из числа условий, в которых производилось обучение
арифметике, особенно подробно было изучено количество
времени, уделяемое арифметике. На основании ответов, по-
лученных от заведующих школами иа поставленные им то-
просы. Стон установил для каждой из 26 школьных систем
вероятное количество времени, затрачиваемого на обучение
арифметике до шестой группы включительно. Рели оставить
в стороне домашнюю работу, то окажется, что между коли-
чеством гремели, отводимым данной системой на занятия
арифметикой, и достижениями в решении задач определен-
ного соответствия не имеется или, если последнее и имеется,
то оно весьма невелико; несколько большее соответствие
имеется между затратой времени и достижениями в счисле-
нии. Если учесть и домашнюю работу, то соответствие между
затратой времени по данной школьной системе и i остижени-
ями в решении задач также окажется небольшим; однако
эта затрата времени оказывает совершенно отчетливое влия-
ние на достижения в счислении.
Необходимо помнить, что эти соотношения касаются
школьных систем, а не отдельных учеников. Поэтому может
случиться, что хотя в отношении данной системы не выявлено
каких-либо преимуществ по сравнению с другой системой,
отводящей занятиям арифметикой всего лишь половину вре-
мени, которое отводится первой, все же успехи учеников
в пределах одной и той же системы стоят в точном со-
ответствии с количеством времени, уделяемым этим заня-
тиям. Равным образом указанные соотношения не позволяют
238	*
делать каких-либо выводов о влиянии затраты различного
количества времени на успехи одного и тою же ученика.
Стон изучил также печатные программы обучения арифме-
тике, принятые в этих 26 школьных системах; 19 экспертов
дали оценку указанным программам, руководствуясь при-
веденной ниже инструкцией.
ОБ ОЦЕНКЕ ПРОГРАММЫ.
Экспертов просят прочесть до приступа к сцепке.
I. Некоторые факторы, определяющие относительные достоинства.
(NB. Последующее перечисление является скорее примерным,
чем полным или не допускающим добавлений. Каждому эксперту
предлагается руководствоваться в первую очередь своим собствен-
ным суждением.)
1.	Помощь, оказываемая учителю при преподавании предусмо-
тренного программой Материала.
2.	Общественная ценность или конкретност» материала, Содер-
жащегося в задачах.
3.	Распределение учебного материала
4.	Обеспечение достаточного количества упражнений.
5.	Разумный минимум требований и побуждение к пенной допол-
нительной работе.
6.	Относительная ценность преобладающего „метода", например
метода Спира, Грубе и т. д.
7.	Место, отводимое устному, или так называемому „умствен-
ному", счислению.
8.	Достоинство ссылок па руководства.
II. Предостережения и указания.
(Экспертов просят учесть их возможно полнее.)
1.	Считайте, что ссылки на руководства являются частью самих
программ занятий. Это обусловливает необходимость оценки н тех
частей руководств, на которые сделаны ссылки.
2.	Ознакомьтесь по мере возможности одинаково тщательно со
всеми программами прежле, чем будете давать им оценку.
3.	Подготовившись к оценке, расположите прежде всего про-
грамма в ряд по степени их достоинства, а затем начинайте оценку
с программы среднего качества, оценив ее отметкой 50; отметки
больше и Меньше 50 ставьте для программ, которые лучше или
соответственно хуже средней; при этом одинаковою разницу в ка-
чествах отмечайте и опина» свой разностью в отметках; так, если
вы находите, что программы различаются по качеству приблизительно
на одну и ту же величину, то ставьте для лучших программ отметки
239
51, 52 и т. д., а для худших 49, 48 и г. д.; если нее вы н кодите,
что программы отличаются на неравные величины, то отметьте это,
опусти! промежуточные числа.
4. Про:тавляЛте вашу оценку на листе бумаги, прикр( пленном
к каждой программе.
Школьные системы, соответствующие программы которых
получили при этом наивысшую оценку, не обнаружили при
выполнении тестов Стона каких-либо особых преимуществ
по сравнению с прочими системами; 13 систем, соотве.тству-1
тощие программы которых получили наибольшее одобрение,
оказались в действительности несколько ниже по обусловли-
ваемым ими достижениям, чем остальные 13 программ,
так что коэфициент соотносительности оказался хотя и не-
большой, но все же отрицательной величиной.
Стон сравнил также 18 систем, в которых работа учите-
лей проходила под наблюдением инспекторов или заведующих
школами, с 4 системами, в которых ни учителя, ни заве-
дующие школами не имели какой-либо помощи. Для этих
последних систем, принятых в 4 городах, оценка при по-
мощи тестов Стона дала значительно более низкие показатели,
ГИГИЕНА ЗРЕНИЯ ПРИ ЗАНЯТИЯХ АРИФМЕТИКОЙ.,
Мы уже отметили выше, что чтение и переписывание
чисел являются для глаз одной из самых трудных работ,
какие только приходится выполнять в начальной школе,
и что работу эту следует облегчить, организовав занятия
так, чтобы ученикам приходилось записывать по преимуще- (
ству только ответы. Цифры, которые приходится читать
и списывать, конечно должны быть напечатаны шрифтом,
подходящим по размеру и стилю; размещение цифр на
странице или классной доске должно требовать от глаз
наименьшего напряжения и усилия.
Размер. Шрифт может быть или слишком крупным или
слишком мелким, причем последний недостаток встречается
чаще. Если он слишком крупен, как на фигуре 26, где изо-
бражен шрифт вдвое больший, чем применяемый в настоящее
время для листов с упражнениями, то глазу приходится со-
вершать слишком много фиксирований, чтобы охватить при-
водимые данные. Учитывая ряд соображений, можно считать
повидчмому наиболее желательным шрифт в 12 пунктов для
третьей и четвертой групп, в II пунктов—для пятой и ше-
стой групп и в 10 пунктов — для седьмой и восьмой групп.
240
222 Зб4
523	535
555	545
654	333
646	546
586	975
872	621
-196 -589
Фиг. 26. Слишком крупный шрифт.
Образцы этих шрифта показаны на фигуре 27. Слишком
мелкий шрифт чаше всего встречается в обозначении дробей,
а также размеров и масштабов на чертежах. Фигуры 28, 29
0123456789
01234 5 6789
0123456789
Фиг. 27. Шрифт в 12, 11 и 10 пунктов.
1Г К	>Ь.  .J
>0 То рама «к.
е*к
Фнг. 28. Слишком мел-
кого размера гир.ирт
211
и 30 представляют собою образцы, взятые из действитель-
ной школьной практики. Образцы желательных размеров
указаны на фи!урах 31 и 32. При современной полигртфиче-
ской технике весьма трудно и дорого придавать дробям
- -Я——б»--——6J-----—е-
первый
КОРПУС
ВТОРОЙ
КОРПУС
Фаг. 30 Цифры вабракь) слишком мелким i неудачным шрифта*'.
242
1
как
4
с горизонтальной чертой (
достаточный размер, не набирая в то же
время цифр целых чисел, с которыми эти
дроби перемежаются, слишком крупным
шрифтом или не придавая всему тексту
некрасивого вида. Поэтому в учебниках
приходится в рчде случаев применять при
наборе дробей шрифт меньшего размера,
чем это было бы желательно ’. Но зато
нет никакого оправдания исключительно
малому размеру цифр др< бей, который ча-
и фигура 28, но
цифры ьабраяы над-
лежащим шрифтом.
сто наблюдается при записывании их на классной
доске.
Найдите площадь этих фигур:
ПЕРВЫЙ
КОРПУС
ВТОРОЙ
КОРПУС
-1|>*—6g--------б’;- -J-’lJ»"
ч
4
V
Фиг. 32. То же, что и фигура 30, по гифры нгбраны надлежащим шрифтом-
1 Можно было бы создать специальный шрифт, взяв для букв, скажем,
4 пунктов, j ля целых чисел—10 или 12 пунктов н длядргбей значительно
Голсе крупный шрифт, чем применяемый в настояше*? время.
Примечание автора.
161
243
Эга картииха изображает сади-с Ваниного отца. Ско/ыД метров в cio обводе? Стиль. В обыкновенных шрифтах цифры 3 и 8 часто имеют такой вид, что для распознавания их требуется из- вестное напряжение; цифру 5 иногда легко смешать с 3 и даже 8; 1, 4 и 7 иногда менее легко различимы, чей это было бы желательно. Фшура 33 показывает особенно удач- ный шрифт, в котором какдая цифра изображается хартк. терпыми дтя нее чертами без всяких излишних украшений и штрихов Фи, ра 34 показывает некоторые обычно при! мгняс мые шрифты. Между ними нет особенно заметной разницы.			
А. 1.	2	3.	4
812 J78	6г-2 429	933 JFM	642 476
в я	в.	ю.		п.
765 365	546 238	495 J 95	327 87
С 15	in.	17	18
005 250	2ОС 98	725 400	306 102
Фиг. 33. Жирный шр.фт, BttbMd желательный, несмотря на неьвторую
.	тяжеловатость.
В отношении дробей следует отметить, что отделение их
при помощи косой черты (2Г3, 3/4) особенно удобно в упраж-
нениях на сложение и вычитание их и почти во всех смешан-
ных числах Это особенно ясно бросается в тлаза при рас-
смотрении фигуры 35, где одни и те же дро-ти набраны
шрифтом в 10 пунктов то с косой, то с горизонтальной
чертой. При косой черте цифры дроби, вообще говоря, круп
нее, а расстояние между ними и чертой больше. Кроме того
при этой форме изображения дроби глаз/ легче сравнивать
знаменателей, чтобы определить, нужно ли приведение, За
исключением немногих примеров, на которых мы должны
показать, что действия над дробями можно выполнять с тем
же успехом и при горизонтальной черте, все дроби, подлежа-
• Было бы еще лучше, если бы в цифре 1 верхняя часть была открытой.
Примечание автора.
244
7
1
6
1
3
4
7
2
О
6
7
1
2
3
Л
2
1
7
G
3
1
4
1
G
7
2
3
щие сложению или вычитан; .ю, а также встречающееся
а смешанных числах, должны печататься в руков >астнах
н писаться hi классной носке с наклонной чертой. Послед
няя должна быть наклонена под
углом приблизительно в 45 граду-
сов. Учеников следует приучить
пользоваться этой формой изобра-
жения дробей в их собственных ра-
ботах.
Когда цифры пишутся, то для
них надо выбирать наиболее про-
стые очертания, ясно выделяющие
характерные особенности цифр, и
проводить линии одинаковой или
почти одинако-зой толщины, не до-
пуская растушовки, украшений или
завитушек качого бы то ни было
вила. Цифра 3 должна быть широко
раскрытой чтэбы она отличалась
от цифры 8; верхняя часть ее дол-
жна оыгь закругленном, чтобы ее
легко было отличить от 5; нижняя
часть цифры 9 должна быть почти
или совершенно прямой; цифры I,
4, 7 и 9 должны быть легко раз-
личимыми одна от другой. Есть
несколько способов сделать их та-
ковыми: пожалуй, лучше всего будет изображать I прямой
линией, у цифры 4 оставлять верхнюю часть открытой и резко
6
7
I
3
4
2

6
2
7
3
I
4
5
6
5
3
7
2
4
6
3
л
5
1
Фнг. 34. Обычные
чатних цифр.
стили i.e-
			Ч
21%	Ч	9%	
15^8	15|	3%	
	Щ -	ь%	bJ_
Фиг. 35 Сравнение дробе и с наклонной н горнчг.ггальис й чертой-
выражать угол, верхнюю черту у цифры 7 делать достаточно
длинной, а верхнюю часть цифры 9 замыкать отчетливой
кривой.
245
		1,10 руб, 2,85 , 3,75 . 6.42 . 1.49 , 2,25 . 7,50 ,
		25,36 руб.
1 2	Л. от 6 =	В. 4 от 27 = О
1 2 1 2	от 10 = от 8	3 от,8 = 4 от 18 = О
1 3	ог 12 =	6 от 12==
1 3	от 15 =	1ог16-
1 4	от 8 =	1от14=
£ 4	от 40 =	1 9 от 18=
1 5	от 40=	4 от 36=
I К	от 18 =	4 от 32 = 4
1 8	от 56 =	у от 35=
2 3	F. от 9 =	4 • -- от 20 = о
3 4	от 16 =	-8 от 20 = О
2 5	ог 20 =	2 ,с от 15 = О
1.10 руб. 2.85 . 3,75 . 6.42 . 1.49 . 2,25 . 7,50 „ 25,30 руб.	
А.	В.
1 2 °Т 6 =	Т от 27
1	1 от 18
2 от 10 =	
-1 от 8 =	4 от 18 *5
4- от 12 =	4- от 12
' 1 -у от 15 =	у от 16
4- от 8 =	±ст14
i от 40 = 4	4 °т ,8
1 от 40=	4 ОТ 36:
1 от 18 = О	4- ОТ 32: 4
4- от 56 = О	-у ОТ 35:
F.	
тг	4
от 9 =	-= от 20-
3	3
— от 16 = 4	£- ОТ 20 : □
-В от 20 = о	2 1С q- от 15s О
246
G.	G.
Фиг. 36. Хорошая разбивка по	Фиг. 37. Плохая разбивка по
вертикали.	вертикали.
Найдите, не прибегая к помощи карандаша, указанные
части данной суммы:
Сумма Часть Сумма Часть Сумма Часть
I. 3000 руб. 207о 13. 3200 руб. 12-*% 25. 900 руб. 25%
2. 7300		Гоу0	14.	4000	и	62*%	26. 800		*	12 1 ° 2 °
3. 4500		40%	15.	2700	й	9 65 3%	27.	450	**	20%
4. 250		зо% зз|%	16.	1600	ft	15%	28.	600	л	50%
5. 3600			17.	7200	и	25%	29. 1600		в	25°/о
6. 2 400	-в	371 %	18.	8 500		50%	30.	950	в	10%
7. 4 800	и	Аг	19. 4 200		и	9 16 °' ,С3 '°	31. 2200		W	20%
8. 6000	В	ц% о	20.	150	в	3%	32. 2500		>	8%
9. 1600	в	fj.o/ 4 /о	21.	7500	в	10%	33.10000		л	12j%
10. 1800	ж	,6|%	22.	3500	и	20%	34.	160	в	12^%
11. 2000	»	621%	23	1800	и	25%	35. 1500		и	20'•>(.
12 4500	в	66	24.	4 2С0	в	,6Н	36. 4 000		л	зт’"/.
Фиг. 38. Плохая разбивка слева направо.
247
	Сумча	Ч ИЛЬ		С\ мм a	Часть		Сумма	Ча<ть 1
1	3000 руб.	20%	13	3200 руб.	12%%	25	900 руб.	25%
2	73.JC .	!'%	i4	4 0 4]	62%%	26	800 в	>27т%|
3	4 390 .	40%	15	2 7JG	66%%	27	450 ,	2 % |
4	250 ,	30%	16	1 6J0	15%	2ь	6VJ .	39%
5	3600 ,	33%%	17	7 200	25%	29	1630 .	25% I
6	2 4Ю -	37%%	(8	8.50.1	5 %	3)	950 ,	н%
7	4 800 ,	12%%	19	4200 ,	16%%	n	2201	20% 1
8	6000 „	в%%	2е-	15) ,	з%	32	2ЫЮ .	в%
9	1600 .	6%%	21	7 5iO	10%	33	10000 .	12%%
10	1 оО ,	16%%	22	3 509 ,	20%	14	160 ,	12%%
И	2CJ0 ,	2%%	23	1800 ,	25"'d	35	15(М	20%
12	4590 .	61%%	24	42Ю .	16%%	Iм	4С00 .	
Фиг- 34. Хорошая ргзбивга слева направо.
Ученик должен писать цифры отчетлгго. Это не только
избавит его от напряжения зрения и ошибок в его школь-
ной работе, но и даст ему навык, ценный в жизни. Несмо-
тря на большое расдространение пишущих машин, писание
цифр от руки применяется чрезвычайно широко; при этом
неразборчивость цифр обычно гораздо вреднее, чем нераз-
борчивость букв или слов, поскольку из контекста лишь
редко можно вчдеть, какое число подразумевается; привык-
нуть писать цифры отчетливо вовсе не трудно, так как они
пишутся врозь и требуют всего лишь десяти несложных
автоматических движений. Школы проявляют в этом отно-
шении недопустимую косность. В то время как почерк в
отношении букв и слов часто вырабатывается более тщатель-
но, чем это нужно для жизни, в отношении цифр он оста-
ется нередко совершенно неудовлетворительным. Образцы
цифр, приводимые в прописях, также обычно весьма плохи,
что свидетельствует или о небрежности или же о непонима-
нии сущности дела теми, кто руководит чистописанием.
Разбивка. Разбивка цифр в столбцах по вертикали ред-
ко бывает слишком широкой; гораздо чаще она чрезмерно
тесна. Образцы, приведенные на фигурах 35 и 37, позволяют
сравнить хорошую разбивку с обычно наблюдаемой плохой.
Разбивка слева направо в тем виде, как мы обычно
встречаем ее в книгах, вообще говоря, вполне удовлетвори-
тельна; следует отметить однако дурную тенденцию придер-
живаться всегда одной какой-либо рутинной формы, упуская
при этом случай примесить более широкую или тесную раз-
бивку, которая в некоторых случаях могла бы облегчить ра-
248
боту зрения и мышления. Примеры хорошей и плохой раз-
бивки приведены на фигурах 33 и 39. В ученических рабо-
тах разбивка слека направо часто бывгет слишком тесной.
Нагромождение знаков, неравномерно расположенных, силь-
но затрудняют зрение н мышление.
Верстка страниц. Расположение текста на странице
является наилучшим в том случае, если при прочих равных
условиях оно лучше помогает ребенку фиксировать какое-
либо место страницы и легко находить его после того, как
он посмотрел в сторону по какой-либо разумной причине,
например чтобы проделать вычисление на бумаге. Образцы
расположения текста на странице, которое является удачным
и неудачным с этой точки зрения, приведены нз фигу
рах 40 и 41.
Представьте себе, что вы служащий продуктового мага-
зина, отпускающий продукты по указанной ниже иене. Най-
дите стоимость каждой покупк I.
Маргарин. . • .
колбаса вареная
Колбаса копченая
Сыр голландский
Сыр швейцарский
Ветчина ....
Масло сливочное
Икра зернистая -
	кг
. .2.2и „	„	
. .2,40 „	г
. 3,00 „	п
- 3,20 „	м
- .3,40 .	„	И
. .3,80 ,	И
. . 4,50 .	ч
1	3	ютландского сыра.
	, кг 4	
2.	_ 3	
	I - кг голландского сыра.	
3.	3	
	5 ™	маргарина.
4	3 ю А'г	швейцарского сыра.
5.	5 8 Кг	швейцарского сыра.
6	I	
	2 **	сливочного масла.
7.	1	*
	4 Аг	слиеочного масла.
8.	5	
	8 ™	сливочного ма па
7
9. кг голландского сыра.
3
10. 1 - л кг голландского сыра.
10
, 3
11. 1 — кг сливочною масла.
12.	2 кг ветчины.
4
9
13.	- - кг зернистой икры
9
14.	— кг швейцарскою сыра.
15 4 кг копченой колбасы.
16. 1 кг слиеочного масла.
249
	9	3
17.	— кг сливочного масла. 7	34. 1 - кг ветчины. 4 „ 3
18.	— кг голландского сыра.	35. 2 — кг швейцарского сына.
19.	, 1 1 —- кг вареной колбасы, о	9 36. jo* кг зернистой икры.
20.	3 i кг вареной колбод i. Z	37. 1,7 кг маргарина
21.	3 1 jq кг маргарина.	38. 1,6 кг голландского сыра.
22.	з 2 7 кг ветчины. 4	39. 2,3 кг швейцарского сыра.
23.	6 кг копченой колбасы.	40. 1,5 кг сливочного *нсла.
24.	9 — кг швейцарского сыра.	41. 1,5 кг швейцарского сыра.
25.	, 3 1 jo кг швейцарского сыра.	42. 1,1 кг сливочного масла.
26.	2~ кг ветчины. 4	43. 0,7 кг слызочкиго масла.
27.	7 ~ кг вареной колбасы. О	44. 1,5 кг голландского сыра
28.	3 1 jo кг швейцарского сыра.	45. 0,4 кг зернистой икры.
29.	з j- кг вареной колбасы.	46. 0,75 кг списочного магла.
30.	. 5 1 — кг сливочного масла. О	»	47. 1,25 кг маргарина.
31	7 3 jo швейцарского сыра.	48. 1,4 кг голландского сыре.
32.	1 -4 кг копченой колбасы. О	49. 0,8 кг зернистой икры.
33.	з 2 кг голландского сыра.	50. 2,4 кг швейцарского сыра. Фиг. 40. Удобное чля глаз рж положение материала На странице.	
Представьте себе, что вы служащий продуктового мага-
зина, отпускающий продукты по указанной ниже цене. Най-
дите стоимость каждой покупки.
Маргарин—1.60 руб. за 1 кг; колбаса вареная — 2,20 руб.
за 1 кг; колбаса копченая — 2,40 руб. за 1 кг; сыр голланд-
ский— 3,00 руб. за 1 кг; сыр швейцарский — 3,20 руб. за 1 кг;
250
ветчина—3,40 руб. за 1кг; масло сливочное — 3,80 руб. за
1 кг; икра зернистая — 4,50 pj б. за 1 кг.
3	3
1. кг голландского сыра. 2. 1 — кг i олландского сыра.
3	я 3	с 5
3. кг маргарина. 4. кг швейцарского сыра. 5. кг
„ 1 1
швейцарского сыра. 6. — кг сливочного масла. 7. -^кгсли-
5	„7
вочного масла. 8. -g- кг сливочного масла. 9. т = кг голла нд-
о	IU
3	3
ского сыра. 10. голландского сыра. 11. кг сли-
о I	9
вочного масла. 12. 2 кг ветчины. 13. & кг зернистой икры,
14.
16.
18.
g
10 кг швейцарского сыра. 15. 4 кг копченой колбасы.
I	9
1 кг сличочс >го масла. 17. т сливочного масла.
7	1
0 кг голландского сыра. 19. 1 кг вареной колбасы.
20 3 g кг рзреной колбасы. 21. 1 кг маргарина. 22. 2 — кг
g
ветчины. 23. 6 кг копченой колбасы. 24. yg кг швейцарско-
3	1
го сыра. 25. 1 |-у кг швейцарского сыра. 26. 2 кг ветчины.
7	3
27. s кг вареной колбасы. 28. 1 - - кг швейцарского сыра,
о	1U
з	-	,5
29. - кг вареной колбасы. 30. 1 ъ- кг сливочною масла.
4	о
7	.1
3J. Зуд кг швейцарского сыра. 32. 1-^ кг копченой кол-
3	3
басы. 33. 2 -= кг голландского сыра. 34. 1 — кг ветчины.
Ю	4
зз. 2 до Кг швейцарскою сыра. ?б. ~ кг зернистой икры.
37. 1,7 кг маргарина. 38. 1,6	кг голландского сыра.	39.	2,3	кг
швейцарского сыра. 40. 1,5	кг сливочного масла.	41.	1,5	кг
швейцарского сыра. 42. |,1	кг списочного масла.	43.	0,7	кг
сливочного масла. 44. ,1,5 кг голландского сира.	45.	0,4	кг
251
зернистой икры. 46.0,75 кг едино iHoro м 1слз. 47. 1,25 кг мар '
гарина. 48. 1,4 кг гол.индского сыра. 49. 0,8 кг зерниста
икры. 50- 2,4 кг швейцарского сыра.
Фиг. 41. Тог же материал, что и на фигуре 40, ио расположенный гораздо
менее удачно.
Наглядные изображения. Картинки,чертежи,карты
и другие наглядные изображения не должны без нужды уто-
млять зрения:
1)	требованием слишком тонкого распознав ния;
2)	неудачным расположением данных, затрудняющим счи-
сление, измерение, сравнение или другие заданные операции;
3)	нагромождением в одном изображении такого коли-
чества фактов, что при попытке выделить один из них зре-
ние и мышление наталкиваются на помеху со стороны других.
Образцы нетд^чных с этвй точки зрения i зобрг женил
приведены на фигурах 42 52. Немногие образцы удобного
для глаз располо .ения показаны на фшурах 53 56.
Необходимо запомнить следующие хорошие правила:
стремитесь при про i ix равных условиях обеспечить наи-
лучшую различимость; учитывайте при расположении мате-
риала способность глаза охватить „с одного взгляза*1 лишь
ограниченную площадь (трубоЗЗ X 12хлгв книге и4,5 X L5 бл
на классной доске); применяйте лишь таки изображения,
которыг учат только одному какому-либо факту дли соотно-
шению или таким фактам и соотношениям, которые не ме-
шают друг другу при восприятии.
Общие условия, касающиеся посадк г учеников, освеще-
ния, бумаги и т. д., в случае обращения с числами имеют
для зрения еще большее значение, чел при обратении со
словами.
ПРИМЕНЕНИЕ В АРИФМЕ1ИКЕ КОНКРЕТНЫХ ОБЪЕКТОВ.
Под конкретными объектами мы подразумеваем действи-
тельные веши, явления и соотношения, непосредственно вос-
принимаемые чувствами, в отличие от слов, чисел и симво-
лов, которые заменяют или замещаю г эти объекты или более
абстрактные качества и соотношения. Кирпичи, зубочистки,
монеты, линейки, разлинованная на квадраты бумага, литро-
вая посуда, бухгалтерские книги и чеки являются подо шызш
конкретными вещами. Линейка в 1 дм, укладыв. емая 10 раз
по длине метровой линейки, звонок, в который ударит
о раз, гиря в 1 к\ /разнозешива -мая пятью гирями по
200 г, — все это пр ।меры конкретных явлений, г ^нтиметр
-‘52
Фнг.~42. Попробуйте сосчитать ’ число перекладин лестницы или число
снопов на те и г е.
Фиг. 43 Сколько вы вщитс весел? птиц? рыб?
Фиг, 44. Сосчитайте птиц в каждой из трех стай.
>53
Фиг. 45. Обратите внимание на отсутствие ясного делегнь на сотиг
и на трудность поле ста единиц в столбцах точек.
Фиг. 46. Что по вашему мнению должны изображать эти рисунки?
251
Фиг. 47. Может ли ребенок знать, что после 13 ему надо погернуть
рисунок и начинать с другого конца? Счоли ли бы гы выделить 6 из 26.
если бы вы не знали заранее, чем должны быгг зги 6? Какой смысл имект
все эти скобки в глазет ученики второй труппы? Способствует ли этот ри-
суяок ясности предстльзения ил*, наоборот, сатемниет его? j-
I. УМЕНЬШАЕМОЕ ВЫЧИТАЕМОЕ.
II. УМЕНЬШАЕМОЕ (nept строяп-оеХ ВЫЧИТАЕМОЕ РАЗНОСТЬ.
I. Умень-
шаемое
П. Умснь-
сшеэде
(лере-
строенное}
Вы ч м таем се
Разность
Фиг. 48. Сколько времени вам понадобилось, -тюбы понять смысл этил
рисунков?
25 У
********** **********
ж*#** ***** ***** *****
**** ***# #*** **** ***#
J- тД/ Л ьР чГ J< лДг чр ч1/ чу J чР Jr Ф Ф J' J*1 sk Jr
*T * t ' * *r	t5 *p * -Г V zfr V
jfciAqfc. J, чХ jj Jf Ф	Ф /ф чЬ J'.J1 $k '4'
X|4	?j*	T
Фиг. 49. Сосчитан с чиело вездечек в первом ра^у, гольд' дсь только зре-
нием; пусть кто нвбудь нарисует ряды в 10, 11, 12, 13 и более по обныя
же звездочек, размести, их так же тесно, как это с слано здесь. Сосчитай-
те число звездочек в 20 или 30 таких рядах, пользуясь только зрением и
не прибегая jc помощи г,, льцев, карандаша и т. л.
Какие числа изображаются этими прямоугольниками?
Ф]|Г. 50. Можете ли вы ответить на это. вопрос, не прибегав к измерению"1
Может ли это сделать семи- или восьмилетний ребенок?
они нзобрал.а.от ф; кты гак неопределенна и нечело?
Фиг. 52. Что го вашему мне-
нии' должны изображать эти
рисунки? Ка ot простое из-
менение надо был j Бы сде-
лать, чтобы они стали изо-
бражать факты ,ораздо более
ясно?
25«
Фиг, БЗ. Расположение, гсответстьу*ощее охвату .с одного взгляда".
Скажите, в каком бруске черная часть составляет:
/) около 5®/0 всей длины?	
2)	около	всей длины?
3)	около 25®/в всей длины?
4)	около 75°/в всей длины?
Ь)	около	всей длины?
6)	акала Р5°/о всей- длины?
Фиг. 54. Ясно, просто и удобно для сравнении.
Тсрвдьйм.
257
Половины. Трети. ЧетЕерти, Шестые, Восьмые.
Фиг. 55. Ясно, npocic и хорошо размерено.
Фиг. 56. Хорошее размещение, хотя несколько большее расстояние между
квадратами было бы желательным.
рядом с дециметром, литр рядом с кубическим сантиметром,
яблоко, разрезанное пополам,— все это конкретные соотно-
шения в глазах ученика, пытающегося их воспринять.
Конкретные объекты конечно полезны в арифметике при
изучении понятий в силу общего закона, что слово, число,
знак или символ приобретают значение благодаря связи
с действительными вещами, явлениями, качествами и соотноше
киями. Выше мы указывали также на их полезность кате спо-
собов проверки результатов рассуждения и счисления, на-
пример когда ученик, решив путем деления задачу: „сколько
значков можно сделать из ленты длиною в 0,9 м, если на
каждый значок идет 18 см ее?" чертит линию длиною в 0,9 м
и делит ее на отрезки по 18 см.
Применение наглядных методов полезно всякий раз, когда
7
понимание значения некоторого числа, как 9; -о-; 0,и04
О
и т. д. или действия, как умножение, деление, возведение
в куб и т. д., или термина, как прямоугольник, гипотенуза,
учет и т. д., или процедуры, как голосование, получение
денег из сберегательной кассы и т. д., оказывается отсут-
ствующим, неполным или ложным. Поэтому ргботу с на-
глядными объектами отнюдь нельзя ограничивать только пер-
выми группами; она должна выполняться на всех ступенях,
когда мы приступаем к изучению новых фактов, соотноше-
ний и приемов.
258
Количество наглядного материала, которое надо приме-
нить, зависит от того, какие именно факты, соотношения и
приемы мы доля:ы разъяснить, и от того, какими способно-
стями и знаниями ученики уже располагают. Так половина
требует обычно менее наглядных примерив, чем пять ше-
стых, и эти пять шестых требуют их меньше, если мы имеем
2 3	3
дело со способным ребенком, знающим уже , 7- > к t
О 4	О
2	3
б 2_
8 ’ 8 ’ & ’ 5
4
и -р-, чем если мы обучаем тупого ребенка
О
2	3
только две дроби: и -у-. Как общее пра-
О	jC
же тема требует тем меньше наглядного мате-
или знающего
рило одна и та
риала, чем позже она проходится в школе. Если значение
чисел проходится во второй группе, а не в первой, то
меньше приходится применять и кубики, счеты, палочки, каме-
шки и пр. Если сложение Р/Е + ’/в = 2 проходится в начале
третьей группы, го приходится больше пользоваться 1 дм
и 1/г дм на метровой линейке, чем если те же соотношения про-
ходятся в связи с общим сложением подобных дробей в копие
четвертой группы В некоторых случаях понимание может быть
достигнуто как путем непосредственной связи представлений
с действительностью, так и путем связи их косвенно через
какое-либо другое посредствующее представление. Объем
конкретного материала, который надо применить, зависит от
относительного достоинства последнего, считая на единицу
затрачиваемого времени; так, может оказаться более выгодным
, 5	7 II
связать дроби то, и 1л с их реальным значением, кос-
2	3	3 5	7
венно пользуясь уже известными^робями —,	, -я-,
о	4 о	о	о
2 3 4 5	5
-р-, ~=-, и -, чем непосредственно демонстрируя . л
О  О Ъ V	1£
яблока или 7 и 11 отрезков по 1 дм линии, имеющей длину
в 12 дм.
Вообще говоря, в целях экономии времени следует пери-
одически испытывать понимание учениками предмета, поль-
зуясь при этом большим количеством конкретного ма-
териала, если в этом представляется надобность, и одно-
временно побуждать учеников переходить к отвлеченным
идеям и общим принципам, как только это становится для
них посильным. Рассудок учеников утомляется и даже воз-
мущается, если их заставляют приобретать какое-либо г.опя-
17*	259
тие путем детальных конкретных упражнений, когда онн
могли бы сами приобрести его посредство^ чистого мышле-
ния. Мы должны помнить также, что всякая новая идея,
например значение десятичных дробей, будет совершенство-
ваться и выясняться при применении ее (гл. IX), так что до-
стижение совершенного понимания десягичных дробей
до того времени, как мы начнем производить над ними дей-
ствия, излишне и вероятно вредно, как вызывающее беспо-
лезную затрату времени.
Поясним эти принципы несколькими примерами.
1.	Очень большие числа, как например 1000, 10000
100000 и 1000000, нуждаются в большем количестве нагляд-
ных пояснений, чем обычно даваемое. Определение стоимо-
сти школьного и других зданий в рублях, площади класснш
комнат и других площадей в квадратных дециметрах, числа
минут в пятидневке и году и т п. одновременно с соответ-
ствующими вычислениями и измерениями очень по.-езпо для
укрепления конкретных представлений и составления жизнен-
ных задач на умножение и вычитание больших чисел.
п „	II
2.	Числа, значительно меныпие единицы, например ,
0,04 и 0,002, также нуждаются в некоторых наглядных пояс-
нениях. В этом случае полезны диаграммы, подобные приве-
денным на фигуре 57.
3.	Термины „относительное" и „абсолютное" большинства
должны быть понятны для каждого гражданина. Они могут
быть поняты без наглядных пособий, но действительное го-
лосование вполне заслуживает внимания для выработки жи-
вого и твердого представления.
4.	Страхонание от огня может быть изучено путем одних
лишь объяснений и аналогий; однако было бы целесообразно
проработать случай какого-либо действительного страхова
ния, уплаты премии и всзмещения действительной потери
от огня.
5.	Четыре игрушечных кассы в углах классной комнаты,
производящие операции по приему вкладов и оплате чеков,
а в дальнейшем и по учету векселей, принесут большую
пользу по сравнению с затраченным на это временем.
6.	Скидки, практикуемые в торговле, наоборот, егва ли
требуют каких-либо наглядных иллюстраций помимо задач,
в которых они применяются.
7. Процесс определения числа кзадратных единиц в прямо'
угольнике нуте м перемножения соответствующих чисел, прея-
260
/
D
Фиг. 57. Наглядное пособие для понимания дробей с большими згамсиател ям и
А =	D = 1
ставляющих его длину и ширину, пожалуй скорее затруд-
няется, а не облегчается обычным наглядным вводным
изображением. В самом дела, обычная форма наглядного
введения такова:	.	._____________,——
Какова длина этого прямоуголь-1
ника? Какова ширина каждого квад-
рата? Сколько квадратных сантимет- ~
ров в верхнем ряду? Сколько в прямо-
угольнике рядов? Сколько квадратных -----—--------------
сантиметров во всем прямоугольнике?
Так как здесь имеется три ряда по
4 кв. см в каждом, то мы имеем
3 X 4 кв. Cjk = 12 кв. см.	Фиг. SS.
261
Начертите прямоугольник, имеющий 7 см длины и 2 см
ширины. Если вы разделите его на квадратные сантиметры,
то сколько полупится у вас рядов? Сколько квадратных
сантиметров будете каждом ря!у? Сколько же квадратных
сантиметров будет в прямоугольнике?
В действительности более целесообразно не выделять от-
дельных квадратных единиц, как это и сделано на фигуре
59. Для этого имеются четыре при-
тм ны.
1) Наглядные ряды и колонны ско-
рее отвлекают внимание от существа
предмета, подлежащего изучению; речь
щет не о том, что „х рядов, шириной
в один квадрат, при у квадратов в
каждом ряду составляют всего ху квад-
ратов", а о том, что, „пользуясь со-
Фиг. 59. ответствующими единицами и произ-
водя соответствующее действие, мож-
но найти площадь любого прямоугольника по ею длине и
ширине".
2) Для детей не представляет сколько-нибудь значитель-
ного труда выучить, что при вычислении площадей они
должны умножать, а не складывать, вычитать или делить.
3) Приобретенный этим путем навык оказывается вполне
применимым и для площадей с дробными измерениями, как
, 2	t
например 1 -ь- на 4-^, при которых попытки вычислять
о	х

площадь при помощи рядов очень утомительны и приводят
учеников в смущение.
4) Если затрачивать слишком много времени на нагляд-
ные изображения, подобные приведенному выше, то невиди-
мому вырабатывается представление, что квадратный санти-
метр представляет собою площадь размером 1см У. 1см
1
мере, чем площадь размером см X 2 см,
в большей
оС.иХЗс.ч и-.и 1 см X и- см. Поэтому наглядный счет
рядов малых площадей лучше применять как способ про-
веряй результата после того, как прием изучен, а не
как способ вывода самого приема.
Было много споров, особенно в Германии, относительно
того, какого рода числовые фигуры (т. е. какое расположение
точек, линий и т. д., подобное показанному на фигуре 60)
26’
о?
Фиг. 60. Разовое расположение точек, предлагаемое для применения при изучении значения чисел от 1 до 10.
целесообразнее всего применять в связи с названием чисел
в перзые годы обучения арифметике.
Лай (Lay, 1898 и 1907), Вальземан (Walseniann, 1907)
Фриман (Freeman, 1910), Гоуэл (Howell, 1914) и др. измеряли
точность, с которой дети определяли число точек в группах I
их для одного или нескольких различных типов числовых
фигур *. Многие авторы считают, что разница в пользу на-
пример квадратных числовых фигур Борза (Born) или Лая
(Lay) является показателем того, что именно такое располо-
жение точек является нанлучшим для применения при пре-
подавании. Однако такое заключение неосновгтельно. Из
того, что некоторые числовые фигуры легче поддаются чи-
словой оценке, еще не следует обя ателыю, что они более
полезны при преподавании- Определенный тип числовой I
фигуры может быть более легким для оценки как раз по- 1
тому, что он более привычен, так как его применяли более
часто. Даже в том случае, если бы какой-либо тип число- |
вой фигуры оказался бопее предпочтительным после одина-
кового количества упражнений с прочими фигурами, тп все
же точность оценки была бы признаком превосходства его
для пользования им при обучении только при наличности
прочих равных условий (или если .бы последние говорили
в пользу данной числовой фигуры). Очевидно лучший спо-
соб определить, какие из фигур следует предпочесть при
преподавании, заключается в применении при обучении
всех этих числовых фигур и измерении результатов пользо-
вания ими, а не простом констатировании, что некоторые из
них были более точно оценены при определенном времени
экспозиции.
Следует отметить, что числовые фигуры Борна, Лая и Фри-
мана заслуживают особого внимания вследствие вероятной
их полезности. А так как они лучше других и с точки зре- 1
пия точности оценки, то возможно, чго преподавателям, ко-
торые хотят систематически связать ряд числовых фигур
с названиями чисел при упражнениях на классной доске
или с картами, следует остановить свой выбор на одной из
этих трех фигур.
Такие упражнения пожалуй полезны, если они проводят-
ся с интересом в виде дополнения к более реальной пред-
метной работе над игральными марками, маршировкой
детей, распределением материалов, измерением длины садо-
* Отче о наиболее существенных результатах на английском языке,
си. Гоуэл (Howell, 1914), стр. 149 —251.	Примечание автора-
261
вых участков и т. д. и организованы так, что ученик вскоре
приобретает обобщенное абстрактное понятие о числе, неза-
висимое 01 какого-либо внешнего изображения. Эта незави-
симость имеет столь важное значение, что можно даже
посоветовать применение многих типов числовых фигур, а не
одного какого-либо из них, хотя бы сам по себе он и был
наилучшим.
Мэймац (Neumann) говорит: «Наглядность может стать
чрезмерной. Главное значение ее заключалось в придании
надежности и ясности перзоначалышм основам арифметиче-
ских знаний. Если однако мы будем продолжать пользо-
ваться ею и после того, как ученики освоились с первыми
действиями, и будем распространять ее на действия, выте-
кающие из этих элементарных действий, то она неизбежно
будет влиять как задерживающая сила и затемнять естест-
венное развитие арифметики. Это побуждает перейти к ра-
боте с отвлеченными числами, механической ассоциацией
и воспроизведением* (1907, том 1, стр. 357).
Подобными упражнениями обычно злоупотрг бляет тот, кто
применяет их слишком часто, продолжает давать их после
того, как их полезность уже утрачена, и пользуйся ими
взамен более важной, интересной и разнообразной работы по
счислению, оценке и измерению реальных предметов. Вслед-
ствие этого в наших лучших школах в настоящее время
наблюдается против них даже некоторое предубеждение. Воз-
можно, что их следует снова восстановить, однако в умерен-
ном и разумном количестве.
УСТНОЕ, УМСТВЕННОЕ И ПИСЬМЕННОЕ СЧИСЛЕНИЕ.
Было много споров по поводу относительно» ценности
устной и письменной работы в арифметике — вопроса, кото-
рый <ильно осложняется различным толкованием значения
слов „устный* и „письменный".
Устными называли работы, в которых: 1) положения дава-
лись устно и окончательные ответы сообщались учениками
также устно, 2) положения давались устно, а окончательные
ответы учениками записывались или частью записывались,
частью же сообщались устно, 3) положения предлагались в
письменной или печатной форме, окончательные же ответы
сообщались устно.
Письменными называли работы, в которых: I) положения
предлагались в письменной или печатной форме и оконча-
тельные отпеты давались в письменной форме. 2) записы-
вались также и многие промежуточные ответы, 3) положения
265
описывались устно, окончательные же ответы, равно как и
большой процент промежуточных вычислительных ответов,
сообщались в письменной форме. Имеются еще и другие
толкования этих слов.
Лучше избежать этих весьма двусмысленных терминов
и поставить ясно вопрос о достоинствах и недостатках при
выполнении специальной работы слухового и зрительного
восприятия положений, и словесного и письменного фикси-
рования каждой соответствующей ступени при решении.
Споры, связанные с противопоставлением умственного
счисления письменному, также осложнялись двояким толко-
ванием слова .умственный". Последним обозначали работу,
то „сделанную без карандаша и бумаги", то .сделанную по-
средством нескольких ясных реакций, записываемых или
произносимых между данными задачами и сообщаемым от-
ветом на нее". Ни в одном из этих случаев слово „умствен-
н и и“ не является пригодным для описания факта полно-
стью. Как и выше, мы должны ясно поставить вопрос: „В чем
заключаются достоинства и недостатки установления некото-
рых промежуточных реакций с помощью речи про себя,
воображаемых звуков, зрительных образов или же мышления,
т. е. без фактической записи или ясной речи?"
Следует заметить с самого начала, что словесное, пись-
менное и внутреннее изложение начальных положений, сло-
весное, письменное и внутреннее сообщение окончательных
результатов и словесное, письменное и внутреннее выполне-
ние промежуточных действий имеют различные степени
достоинства в зависимости о г характера данного арифмети-
ческого упражнения, ученика и формулировки задачи. При-
страстие к словесной или умственной форме как таковой
представляет собою просто фанатизм. Различные комбинации,
например письменное изложение с выполнением промежуточ-
ных действий в уме и устным сообщением окончательного
ответа, имеют свои Специальные достоинства в некоторых
особых случаях.
Эти достоинства читатель может оценить сам для каждой
данной работы, проделываемой данным классом, учтя:1) ко-
личество упражнений, приходящихся на каждый затраченный
в классе час; 2) удобство проверки работь; 3) легкость по-
нимания задач; 4) возможность предупреж тения обмана;
5) живость и социальность работы; 6) отсутствие утомления
зрения и другие менее важные обстоятельства.
Следует отметить, что приведенные ниже схемы А, В, С
и D представляют собою лишь немногие из многочисленных
265
возможных схем, и »то схемы Е, F, G и Н имеют особые
достоинства.
Общераспространенный обычай — или вовсе не пользо-
ваться карандашом и бумагой, или же записывать в подроб-
ной форме, доступной для просмотра, все вычисления и
даже словесный анализ — неблагоприятен для обучения.
Требования, которые предъявляв т к арифмегическому знанию
и опыту сама жизнь, простираются от задач, сделанных
с любым процентом письменной работы, начиная от нуля,
вплоть до случаев, где каждый значительный результат,
полученный в уме, записывается для дальнейшего использо-
вания его при последующей работе в уме. В школе лучшим
способом является тот, который дает для данной группы
учеников наилучйшй эффект с точки зрения качества про-
дукта, скорости и легкости получения результата, укрепле-
ния приобретенных уже навыков и подготовки к приобрете-
нию последующих навыков. Нет ничего преступного ни
в пользовании карандашом, ни в решении „вуме“; с другой
стороны, нет никакой магической ценности и в записывании
для просмотра учителем тех цифр, которые не могут пона-
добиться ученику для получения, сохранения, проверки или
исправления полученного им результата.
Изложение первонач. пь- мого положения. А В отпечатанном или написанием виде.	Выполнение проме- жуточных действий, В письменной фор- ме.	Сооб цепне окончатель- ного ответа. В письменной форме.
Б. В отпечатанном или написанном виде.	В уме.	Одним учеником уст- но, остальными—в уме.
С. Устное [учителем).	Е письменной фор- ме.	В письменной форме.
0. Устное (учителем).	В уме.	Одним	учеником устно, остальными — в уме.
Е. Как в А или С.	В смешанной форме, когда ученик запи- сывает, если чув- ствует потребность записывать что- ли- бо.	Как в А, В или Н
267
I*
F. Само положение ре-
альное, по крайней
мере частично. Как в Е.
G. Двояким образом:
ученик читает, учи-
тель дает jcTHwe по-
яснения.	Как в Е.
Н. Как в А, С или G. Как в Е.
Как в А, В или Н.
Как в А, В или Н.
Записывается ьсеми
учениками, одним уче-
ником произносится
вслух.
Общепринятый обычай требовать окончательные отпеты
на все легкие задачи в устной форме не имеет достаточ-
ного оправдания. Наоборот, серьезная задача, чтобы все
ученики действительно принимали участие в работе, лучше
всего обеспечивается именно легкой работой Если затрата
времени на переписку цифр устранена тем, что задачи разда-
ются ученикам в напечатанном виде, а затрата времени учите-
лем на проверку письменной работы устранена тем, что ученики
сами проверяют эти легкие работы друг другу, то письмен-
ные ответы часто бывают предпочтительнее устных, если не
считать элементов коллективности, последовательности и от-.
сутствия напряжения зрения при устных упражнениях. Такая
письменная работа дает способным ученикам практику в 2—10
раз большую, чем получаемая ими при устных упражнениях
с тем же самым материалом, если предположить, что в по-
следнем случае они дают ответ про себя на каждую задг-чу,
решаемую целым классом; кроме того можно быть уверен-
ным, что неспособные ученики, которые редко могут дать
ответ про себя при той скорости, которая требуется устным
упражнением, сделают в этом случае столько упражнений,
сколько они вообще способны сделать.
Е пользу устного изложения задач учителем часто при-
водят следующие два аргумента: задачи, изложенные учите-
лем, лучше понимаются, особенно в младших группах до пятой
включительно; такие задачи легче сделать более естествен-
ными и ближе связаннычи с жизненными явлениями, извест-
ными ученикам. Если эти доводы справедливы, то первый
из них был бы лучшим аргументом в пользу того, чтобы
ученики сами читали задачи, а учитель помогал устным
разъяснением последних; действительно, главное за-
труднение заключается в том, что ученики не умеют еще
достаточно хорошо читать, и лучше помочь им преодолеть
эту трудность, чем просто обойти ее. Второй аргумент за-
щищает не устную ферму решения, противопоставляя ее
письменной, а хорошие задачи, противопоставляя их плохим;
преподаватель, который придумывает такие хорошие задачи,
на самом деле должен принять особые меры к тому, чтобы
записать их для последующего использования, которое оди-
наково может быть и устным, и написанным на доске, и от-
печатанным на отдельных листках, смотря по тому, что
лучше в данный момент.
269

ГЛАВА XIV.
УСЛОВИЯ ОБУЧЕНИЯ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ.
Дьюи и его последователи подчеркивали желательность
того, чтобы ученики выполняли свою работу как активные
исследователи, отдающие себе отчет, решение каких задач
удовлетворяет некоторые реальные потребности их собствен-
ной натуры. При прочих равных условиях, доказываю.’
они, неразумно заставлять учеников итти с завязанными
глазами за учителем или учебником, не зная, куда они идут
и почему они куда-то идут. Наоборот, они должны иметь
определенные жизненные цели и настойчиво стремиться до-
стигнуть их.
Эта доктрина, как мы увидим ниже, имеет здоровое ос-
нование; однако она часто неправильно применяется в за-|
щиту упражнений, которые пренебрегают созданием основных!
навыков, или для предложения упражнений, которые север-1
шенно невыполнимы в обычных классных условиях препо-
давания. Нам представляется, что природа этой доктрины
и пределы се применения недостаточно известны даже ее
последователям, так что мы должны дать здесь довольно под-
робное ее изложение.
ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ СЛУЧАИ.
Рассмотрим сначала некоторые случаи, когда время, за-
трачиваемое на предварительное объяснение конечной цели,
которую надо достигнуть, и на попытки достижения цели
(правильно или неправильно понятой), расходуется целесо-
образно.
Для ученика, который уже научился: 1) понимать значе-
ние чисел от одного до десяти, 2) сосчитывать совокупность
из десяти или меныпего количества предметов, 3) измерять
в сантиметрах отрезок в 10, 9, 8, и т. д. сантиметров, по-
лезно столкнуться с задачей действительного сложения, не
сопровождаемого счетом или измерением, как в „скрытом*
сложении или измерении путем умозаключения. Например
учитель отсчитывает 3 карандаша и кладет их под книгу;
270
затем он отсчитывает еше 2 карандаша, кладет их под ту
же книгу и спрашивает: .Сколько карандашей под книгой?*
Полученные ответы подтверждаются или опровергаются за-
тем путем фактического счета или измерения.
Здесь время затрачивается целесообразно, потому что
деги могут проделать необходимое рассуждение, если задачи
подобраны хороню; к тому же это предохраняет их при на-
чале изучения сложения от дурного навыка в псевдосложе-
нии, когдаглядя на две группы предметов, они сосчиты-
вают количество последних, вместо того чтобы фактически
сложить их, т. е. представить себе два числа и мысленно
вывести их сумму; наконец оперирование с задачей сложения
как реальной задачей в конце концов более экономно с точки
зрения обучения арифметике и умственной тренировки вообще,
чем выполнение сложения с помощью наглядных и других
аналогичных проц ссов, которые, помогая ученику преодо-
леть трудности, фактически скрывают их.
Прием краткого умножения можно ввести, поставив уче-
ников перед такой наприм р задачей: .Как определить,
сколько бисквитов находится в четырех одинаковых пачках,
распечатав только одну из них?“ При этом следу, т принимать
правильные решения посре„ством сложения. Правильные ре-
шения посредством умножения, которые может быть будут
даны некоторыми способными учениками, должны быть при-
няты даже в том случае, если дети не сумеют объяснить
своего способа. {Вывод этого приема из значения м< ста цифры
в десятичной системе превосходит силы всех учеников, кроме
самых способнгчХ, а может быть даже и их ты.) Правиль-
ное решение посредством умножения, которое может быть
дано каким-либо ребенком, случайно научившимся -ему,
также должно быть принято. Основным доказательством
правильности приема умножения должно быть измерение и
сложение; доказательство, основанное на значении места
цифр, также может быть применено. Если ни один из уче-
ников не приходит к мысли о желательном приеме, то
можно поставить задачу определения длины, не прибегая
к сложению. Если и это не поможет, то задачу можно об-
легчить, сказав: .Четырежды 22 будет искомым ответом.
Напишите, сколько будет по нашему мнению четырежды 22“.
Трудность решения зчдачи может быть обойдена и крути ми
путями. Ужитаиь может также просто дать ответ, не при-
чиняя этим большого вреда. При этом чрезвычайно сущест-
венно, чтобы ученик сознавал, в чем именно заключается
задача, и смотрел на применяемый прием как на способ ее
271
разрешения, а не как на некую форму учебкой церемонии
которую надо заучить, выполняя желание родителей или
учителя. Возможно, что для отдельных групп следует исполь-
зовать положения, более соответствующие практическим ин-
тересам учеников, чем то положение, которое описано выше;
Время, затраченное на подобного рода упражнения, рас-
ходуется целесообразно, так как, во-первых, даже наиболее
неспособные ученики могут тем или иным путем решить
задачу, во-вторых, значение приема умножения, экономящего
время по сравнению со сложением, заслуживает быть отме-
ченным и, в-третьих, не существует способа приступить к
изучению краткого умножения, который был бы многие
лучше описанного.
Подобным же образом умножение на двузначные числа
может быть начато с постановки перед учеником вот роса
о числе листов бумаги в 72 тетрадях, кусков мела в 24 ящи-
ках, кв чдратных дециметров в 35 кв. м, дней в 32 годах ил:
какой либо другой аналогичной задачи, которую ученчки
способны воспринять именно как задачу.
Возьмем для примера задачу о площади классной ком-
наты, имеющей 144 дм длины и 35 дм ширины. Решения
вида (5X144) + (30X144), выполняемые в любом порядке,
или (10X144)-|-(ЮХ144)+ (10X144) .+ (5X144), или 1500+
+ (35X40) + (35><4), или 7х (5X144), также выполняемые
в любом порядке, должны быть все отмечены, чтобы их
можно было после проверки принять или отвергнуть. От
учеников не следует требовать словесного обоснования при-
мененных ими способов решения. Отлеты, подобные 432,
720, 1152. 4220, или 3220, также следует записать, чтобы
принять или отбросить после проверки. Последнюю следует
производить путем соединения краткого умножения с наг-
лядной работой, или соединения краткого умножения со
сложе шем, или посредством сложения, сокращаемого тем,
что 10 раз 144 заменяется через 1440; для весьма тупых
учеников может потребоваться и авторитетное заявление
учителя. Решение таких примеров, как 53x9 или 84Х?.
может быть проверено умножением с п рестанов кой множи-
телей. Дедуктивное доказательство правильности выполнения
умножения может быть дано полностью или частично в
ci язи с упражнениями подобного рода:
10X2=	30X14 =
10X3=	3X44 =
ЮХ4=	30X44 =
272
16 X 14 =
10x44 =
10 X 144 =
20X2 =
20 Х3 =
30 ХЗ =
30X4 =
3X14 =
3 х 144 =
20 X 144 =
40 X 144 =
30X144 =
5X144 =
35 =30-f-.„
30 X 144, сложенное с
5X144 =
Неправильность некоторых ответов может быть показана
различными способами. Так число 432 720 слишком велико,
ибо 35 раз даже по тысяче дает только 35000; число 1152
слишком мало, так как 35 раз всего по сотне дает уже
3500, т. е. число, большее 1152.
Время, затраченное на решение дайной задачи, исполь-
зуется здесь наилучшим образом, так как, во-первых, всякий
успешный оригинальный прием представляет в данном слу-
чае прекрасное упражнение для ума; во-вторых, неудачи по-
казывают, что жонглировать цифрами наудачу бесполезно,
и, в-третьих, предшествующий опыт в кратком умножении
позволяет ученику решить задачу в очень небольшое число
минут. Еще лучше будет пожалуй, если мы укажем ученику
правильный метод решения, как только он усвоит задачу,
дабы он не терял много времени на попытки самостоятельно
решить ее. Сделать это можно в следующей форме.
Измерьте длину и ширину классной комнаты. Длина ее
равна 144 дм, а ширина 35 дм. Какова ее площадь?
Сколько мелков в ящике? —12.
Сколько мелков в 36 ящиках?
Вот быстрый способ получить ответы:
144
35
720
432
5040djM®
36
12
72
36
432 мелка.
18
Т в р я д « й н.
273
Рассмотрим теперь введение к делению на десятичную]
дробь.
Деление на десятичную дробь.
1.	Во сколько минут мотоцикл пройдет 12,675 км, если в
минуту он проходит 6,75 км?
12,675 | 0.75
75	16,9
517
450
675
675
2.	Проверьте ответ, умножив 16,9 на 0,75.
3.	Почему вы думаете, что частное не может составлять
всего 1,69?
4.	Почему вы думаете, что частное не может быть столь
велико, как 169?
5.	Найдите частное от деления 3,75 на 1,5.
6.	Проверьте полученный результат умножением частного
на делителя.
7.	Почему вы думаете, что частное не может расняться
ни 0,25, ни 25?
8.	Взгляните на эту задачу:
7,5:0,25.
Почему вы думаете, что частное не может равняться 3,0?
Почему вы думаете, что оно не может равняться 300?
Укажите, какое частное правильно в каждом из следую-
щих примеров:
9.	3,78:1,8 =0,021; 0,21; 2,1; 21 или 210?
10.	37,8:1,8 =0,021; 0,21; 2,1; 21 или 210?
11.	37,5:1,25 = 0,03; 0,3; 3; 30; или 300?
12.	37,5:12,5 = 0,03; 0,3; 3; 30; или 300?
13.	6,25:1,25=0,05; 0,5; 5; 50; или 500?
14.	6,25:12,5 = 0,05; 0,5; 5; 50; или 500?
15.	Еерно ли следующее правило? Если оно верно, то вы-
учите его;
ПРИ ПРАВИЛЬНОМ ОТВЕТЕ СУММА ЧИСЕЛ ДЕСЯТИЧНЫХ 3H3KOB
В ДЕЛИТЕЛЕ И ЧАСТНОМ РАВНА ЧИСЛУ ДЕСЯТИЧНЫХ ЗНАКОВ В ДЕ-
ЛИМОМ.
274
Приведенные упражнения и подобные им развивают
в детях, заинтересованных в получении пра-
вильных ответов, определенное расположенге к задачам.
Тщательно подобранные ряды таких упражнений являются
желательным введением к установлению правила постановки
десятичной запятой при делении десятичных дробей. В са-
мом деле, они привлекают внимание учеников к общему
принципу (делитель X частное должен быть раьсн делимому),
который имеет большее значение, чем правило подходящей
постановки десятичной запятой, и дает навык в постановке
этой запятой, основанный на рассмотрении делителя, частного
и делимого, который будет достаточен в девятнадцати из
двадцати случаев, могущих когда-либо встретить, я ученику
вне школы. Он будет легко вспоминать этот мето^, основан-
ный на рассмотрении трех чисел, еще долгое Bpt мя после
того, как забудет самое установленное правило.
Учеников очень полезно первоначально ознакомлять со
многими арифметическими фактами при помощи задач, свя-
занных с их обиходом. Циферблат, таблица железнодорож-
ных расстояний, показания счетчиков, рецепты и т, п. дают
материал для задач, которые возбуждают их интерес и энер-
гию, а также связывают, где это нужно, сообщаемые ариф-
метические сведения с теми видами деятельности, где пос-
ледние находят применения. Это является не потерей времени,
а экономней его, потому что обучение как средство решечш
задач совершается быстрее, чем простое изучение одних
арифметических фактов как таковых. Ниже приводится не-
сколько примеров такого приема.
Группа третья.
Домашняя работа.
Взгляните на часы. Имеется ли у «их еще какая-нибудь стрелка
кроме часовой й минутной? Изложите все, что вы знаете о том,
как часы показывают секунды, какова г.родолжнтельность секунд!
к сколько секунд составляют окну минуту.
Группа пятая.
Измерение атмосферных осадков.
Осадки за неделю (в кубич» ских сантиметрах на 1 л в. см пле-
вали).
18*
275
июнь 1—7	1,056	2,683
8—14	1,103	2,803
15-21	1,040	2,643
22—28	0,960	2,439
29—июля 5	0,915	2,325
июль 6—12	0,782	1,832
13—19	0,790	2007
20—26	0,670	1,703
27—августа 2	0,503	1,278
август 3—9	0,512	1,301
10—16	0,240	0,610
17—23	0,215	0,546
24—30	0,811	2,060
1. В течение каких недель количество дождя		было в 1 см и.
более?
2.	В течение какой недели августа выпало наибольшее для
этого месяца количество дождя?
3.	Ка1дя неделя лета была наиболее засушливой? (Под словом
„засушливая* надо понимать неделю с наименьшим коли еством
осадков.)
4.	Какая неделя следовала за засушливой?
5.	В течение каких недель количество юждя колебалось между
0,800 и 1,000?
6.	Посмотрите тьблицу и определите, были ли гелели, когда
среднее количество осадков за неделю равнялось приблизительно
0,5, или 0,6, или 0,7, или 0,8, или 0,9,
Записи на молочной ферме.
Корова „Звездочка*.
Килограммов Количество
молока жиров на 1 кг
молока
Январь............................  790	0,0189
Февраль............................ 767	0,0198
Март............................... 714	0,0206
Апрель............................. 556	0,0200
Май................................ 545	0,0191
Июнь............................... 567	0,0197
Прочтите эту запись молока, данного коровой „Звездочка*.
Первый столбец показывает в килограммах количество аолоьа,
данного „Звездочкой* га каждый м< сяц. Второй столбец показы
276
ваег в полях килограмма количество жиров, содержащихся в каждом
килограмме молока.
1.	Прочтите первую строчку: „В январе эта корова дала 790 кг
толока. В этом молоке содержалось по 189 десяти 1ысячных догкй
кг жира на 1 кг молока".
Прочти,х таким же способом остальные строчки.
2.	Сколько килограммов масла дала корова в январе?
3.	В ф. врале?
4-	В марте?
5.	В апреле?
6.	В мае?
7.	В июне?
Группа пятая или последующие.
Приготовление по данному рецепту большего
или меньшего количества продуктов.
1.	Найдите, сколько каждого продукта надо взять, следуя при-
веденным ниже рецептам, чтобы получить: а) двойное количество,
Ь) половинное количество, с) полуторное количество готового из-
делия. Можете пользоваться карандашом и бумагой, если не можете
найти правильного ответа в уме.
1} Ягодная карамель.
'2 чашки жженого сахара;
7
~ чашки молока;
О
1
— чашки ягод.
2. Сколько каждого продукта
ниже рецептам, чтобы получить:
2) Тянучки.
1
чашки масла;
2 чашки сахара;
1 чашка патоки;
1 — чашки кипятку.
надо взять, следуя приведенным
. 2	,.ч	, 1
а) -=- всего количества, Ь) в 1 -г
3	*5
раза большее количество, с) в 2— раза большее количество?
Ai
1) Сдобный хлеб.
1 чашка кипяченого молот;
I -у столовых ложки сахара:
1 чайная ложка соли;
2) Английский пуддиhjt.
4- кг говяжьего сала;
4
, 1
1 чашки муки;
3 чайных ложки порошка для печенья
277
— чашки топленого масла;
4
1 пачка дрожжей;
Д- чашки тепловатой воды;
4
белок от 1 яйца;
„ 1
3 чашки муки.
I чайная ложка соли;
чайной ложки перца;
1 чайная ложка толченой сухой пе-
трушки;
-г- чашки холодной воды.
Приведенные рецепты являются только образцами; взави-|
симостн от различных условий следует пользоваться другими
рецептами, наиболее часто применяемыми.
Во многих случаях арифметическим фактам и принципам
можно прекрасно научить в связи с некоторыми задачами
или явлениями, которые не являются сами по себе арифмети-
ческими, но обладают особой способностью возбуждать
в учениках умственную деятельность, которая при известной
изобретательности может быть направлена иа изучение ариф-
метики. Игра в „магазин* представляет собой с этой течки
зрения основное пособие. Смета на какую-либо экскурси’о,
контроль за тем, кто выигрывает партию в камешки, изучение
месячного календаря занятий, выбор подарков, смета на
устройство школьного вечера, ргзбивка сада, стенные часы,
карманные часы с секундной стрелкой, вычерчивание весьма
простых планов и чертежей — вот положения для задач, мо-
гущих дать живой повод к занятиям арифметикой во второй
группе. Все они вполне приемлемы в обычных условиях
классного преподавания. Ниже мы приводим пример подоб-
ного рода задач для старшей группы — шестой.
Определение площадей.
На уроках географии дети занимались определением на-глаз
площадей ра (личных фигур на карте. Каждый ученик запи, ывал
свою оценку дли каждого из планов А, Б, С, D и Е. (Здесь по-
мешены только планы С и D.) На уроке арифметики они учились
определять подобные площади точно. Затем ученики сравнили свои
глазомерные оценки с точным определением площадей и установили,
кто из них дал более правильную оценку.
Напишите вашу глазомерную опенку площадей А, В, С, D и Е,
а затем изучите следующие 6 страниц и научитесь находить пло-
щади точно.
278
(Следующие 6 страниц охватывают упражнения в измерении
.лошадей пара лелограмов и треугольников.)
В некоторых случаях личные интересы отдельных учени-
ков связаны с задачами, которые могут быть использованы
для того, чтобы побудить данных учеников к ревностному
изучению арифметики как средства достия;счия поставлен-
ной ими себе цели, например сделать тот, осмотреть и
составить план местности, составить отчет детского клуба
и т. п. Требуется много времени и очень большое искусство
для того, чтобы руководить работой тридцати или более
учеников, из которых каждый занят своим собственным осо-
бым делом, и притом так, чтобы работа была поучительна
д.тя каждого ученика; однако в некоторых случаях такая
затрате времени и искусства вполне оправдывается.
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ.
Когда мы говорим, что при изучении учениками арифме-
тики желательна установка их на задачу, то мы, вообще
говоря, руководствуемся следующими соображениями.
I.	Сведения, которые сообщаются как ответы на вопросы,
воспринимаются, понимаются и запоминаются лучше, чем
сведения, сообщаемые неожиданно.
2.	Равным образом действия, являющиеся некоторым ша-
гом по пути к достижению цели, преследуемой учеником,
лучше связываются с соответствующими им положениями,
а самые связи удерживаются более продолжительное вреия,
чем в случае действий, совершаемых случайно.
3.	Чем упорнее ученик добивается получения ответа на
вопрос или достижения определенной цели, тем больше ис-
пытываемое им чувство удовлетворения, сопряженное со свя-
279
зями познания или навыка, обеспечивающими успех в данной
области.
4.	Было бы весьма плохо полагаться исключительно на i
отв печенные вопросы, например: „Как я могу сделать это?*
„Как я могу получить правильный ответ?" „Почему это так?*
„Есть ли лучший способ это проделать?" и т. п. Точно так
же было бы весьма плохо дополнять эти отвлеченные во-
просы другими, имеющими лишь отдаленную связь с пред-
метом, например: „Как мне добиться получения большей
заработной платы?" „Как мне удостовериться в том, что я
окончу школу?" „Как я моту доставить удовольствие своим
родителям?" и т. п. Чисто отвлеченные вопросы слишком
слабо затрагивают интерес многих учеников; побочные же |
вопросы слишком слабы, потому что они не относятся не-
посредственно к предмету и, что еще хуже, при преждевре-
менном применении могут утратить то полезное значение,
которое они будут иметь в должное время. Еще хуже пре-
небрегать такими индивидуальными и практическими зада-
чами, которые ставятся жизнью вне уроков арифметики и
решение которых в той или иной форме облегчается знанием
арифметики. Хороший метод заключается в том, чтобы
тратить время на установление известного умственного
предрасположения, стимулирование создания или даже со- I
здание определенных потребностей и установление задач как
таковых, конечно при условии, что затрачиваемое таким
образом время приносит достаточные результаты с точки
зрения качества и количества заинтересованности учеников
в изучении арифметики.
Хуже всего оыло бы полагаться только на задачи, возни-
кающие помимо арифметики. Изучение арифметики само по
себе является решением рята задач, обладающих чрезвы-
чайным интересом и ценностью в глазах нормально развитых
детей. Потребность в умении умножать деньги, складывать
дроби или вычислять проценты может быть в такой же мере
жива и ув екательна, как и потребность в уменьи сшить
себе спортивный костюм, заработать деньги, чтобы купить
его, или знать правила игры в бэсбол. Интеллектуальные за-
просы и задачи следует иметь в виду наряду со всеми про-
чими и давать их в меру их образовательного значения.
ЗАТРУДНЕНИЕ И УСПЕХ КАК СТИМУЛЫ.
Принцип установки на задачу иногда истолковывается
неправильно. Наиболее существенно замечание, что затрудне-
ние, временный неуспех, непригодность существующих уже
2S0
связей являются существенным и необходимым стимулом
к рас суждению и изучению. Сам Дыои, насколько я его по-
нимаю, не думает так, но некоторые из его последователей
приписывают ему именно такое воззрение >.
Затруднение, временный неуспе*, не 1ригодность суще-
ствующих связей, наоборот, сами по себе вовсе ничего не
делают; удручающе^ же отсутствие успеха, которое иногда
сопровождает встречаемые трудности, временами задержи-
вает и размышление и изучение.
Одно только затруднение, неуспех, непригодность суще-
ствующих связей — не делают ничего. Мне трудно с первого
взгляда сложить три восьмизначных числа; мне не удалось
найти таких удачных примеров к тексту предыдущих двух
страниц, как мне бы хотелось; присущие, мне сенсорно-мо-
торные связи недостаточны для того, чтобы я мог сыграть
партию гольфа в 65 ударов. Но все эти явления и условия
не оказали никакого стимулирующего влияния на мое пове-
дение в каждом данном случае. В первом из них нет ни
удручающей неудовлетворенности, ни какого-либо динами-
ческого влияния; во вгором имелось некоторое чувство не-
удовлетворсчности—легкое раздражение, вызванное тем, что
я не получил желаемого,— и это могло бы побудить меня
к дальнейшему размышлению (в данном случае этого однако
не случилось, и подыскание одного удачного призера гораздэ
сильнее побудило бы меня как правило искать других при-
меров, чем постигшая меня неудача); в третьем случае не-
успех с 65 ударами меня нисколько не огорчает и не ока-
31 1вает сколько-нибудь заметного динамического эффекта.
Проигрыш при 90 ударах вместо 95—100 неприятен и может
иногда побудить к дальнейшему упражнению, хотя далеко
не столь сильно, как выигрыш при тех же 90 ударах. Врс
менами эта удручающ «я неудача является прямой помехой (
и стимулом к прекращению учения. В интеллектуальной1
жизни этот после/ннй эффект неудачи является по видимому
наиболее частим. Неполучение ответа повидимому как пра-
вило ведет к прекращению попыток найти его. Удручающее
отсутствие успеха при решении теоретических проблем чаще
всего побуждает нас оставить их и перейти к вопросам для
решения которых наличные связи кажутся более полходящими.
Действительный результат, получаемый в подобного рода
случаях, зависит от .относительной реакции" повеления вооб-
ще, с-ойственной интеллекту ученика. Животное, жизненные
* В его труде ,Как мы думаем* (How We Tbnk). Примечание uentupu
281
процессы которого затронуты неблагоприятным стечением
обстоятельств, изменяет свое поведение, последовательно
реагируя на помеху так, как это предписывают ему его ин-
стинкты и усвоенные привычки: так продолжается до тех
пор, пока не окончатся неблагоприятные обстоятельства или
наступит смерть животного, или же животное будет терпеть
страдания от этих обстоятельств, так как они меньшие, чем
те, которые вызваны его реакциями. В тех случаях, когда
неблагоприятные обстоятельства вызываются отсутствием
вещей, необходимых для удовлетворения наиболее насущных
потребностей (как в случае голода, одиночества, полового
стремления и т. д.), мы имеем определенный стимул к дей-
ствию, вызываемый удручаюшим отсутствием и нуждой,
причем это действие прекращается после удовлетворения
потребности.
Сказанное в известной мере приложимо и к интеллектуал^
ной жизни человека. Вспоминая забытое имя, решая какую-
либо головоломку или упрощая алгебраическое выражение,
мы имеем дело с удручающим нас отсутствием имени, решения
или фактора и с пробой одной реакции за другой, пока
чувство неудовлетворенности не исчезнет благодаря дости-
гнутому успеху или не ослабнет вследствие нашей усталости
и потери внимания. Однако н здесь трудность сама по
себе не делает ничего: удручающее состояние вызывается
нарушением нашего умственного равновесия поставленной
задачей. Далее, хотя в отношении данной частной задачи
состояние неудовлетворенности стимулирует, а успешное
решение останавливает размышление, однако последующий
и более важный эффект получается для мышления как раз
обратным. Успешное решение останавливает наше размыш-
ление о данной задаче, но делает нас более расположен-
ными к последующему мышлению вообще.
Явно отрицательные реакции играют однако относительно
малую роль в умственной жизни человека. Заполнение этим
путем умственных пустот или устранение умственного напря-
жения встречаются гораздо реже, чем положительное стиму-
лирование со стороны видимых вещей, читаемых слов и преж-
них связей, действующих при изменившихся обстоятельствах-
Представпение о мышлении, как о чем-то, приходящем
в нужный момент для заполнения пустоты, встречи и обхода
препятствия и получающем помощь от затруднения для прео-
доления постен него, столь односторонне, что граничите Фан-
тазией. Явный пробел, напряжение или затруднение встретятся
быть может всего один раз на протяжении пяти часов с поной
282
ной ровной работы по применению н использованию суще-
ствующих связей; их всех по справедливости можно назвать
помехами для мысли — барьерами, преодолеть которые
мыслящему существу помогают прошлые его успехи. Да
и сами по себе задачи гораздо чаще являются желанным
выводом из новых фактсв> обращение с которыми доставляет
удовлетворение мысляще му существу, чем вынужденными
усилиями или ..задачами, которые я должен решить". Не
менее справедливо и то, что мыслящий человек в такой же
мере получает решение стоящих перед ним задач на основе
своих познаний и как бы в виде премии за последние, в какой
он приобретает познания в результате своих усилий решать
задачи.
Если сравнивать трудность и успех, то придется признать,
что последний гораздо более плодотворен для мышления.
Нужда вовсе не является матерью изобретения; ею является
знание прежних изобретений, отцом же является природная
способность. Решения прежних задач гораздо более полезны
для создания и решения новых задач, чем простое знаком-
ство с задачами и желание их решить.
В арифметике хорошим примером в этом отношении
является изучение сокращения вместо нахождения произве-
дения делимых, произведения делителей и деления первого
числа на второе; в самом деле, в этом весьма ценном приеме
легкость превалирует над трудностью, существующие связи
находят применение (хотя и в слегка измененном направлении)
как главная основа приема, а чувство£неудачи, неудовлетво-
ренности или противоречия отсутствует вовсе- Выло бы со-
вершенно абсурдным тратить время на то, чтобы внушить
ученику до приступа к сокращению сознание трудности, т. е.
что выполнение полностью умножения и целения требует
слишком много временщ Учецик четвертой или пятой группы
может размышлять об этой трудности безо всякой пользы
годами. Он должен просто начать сокращение и убедиться
при помощи поверки, что безошибочное сокращение всегда
приводит к правильному результату. Опорочивание в глазах
ученика прежнего приема полного умножения и деления до
приступа к сокращению было бы однако не только неэконо-
мичным способом изучения сокращения; оно напрасно по-
дрывало бы доверие к прежним ценным приобретенным
навыкам и с научной точки зрения было бы неправильным-
Пока ученик не изучил сокращения, прежний способ полного
умножения не является непригодным: он хорош во всех
отношениях. Вывод о его непригодности отнюдь не должен
283
появляться до тех пор, пока не будет найден новый метод;
он является лучшим путем до тех пор, пока не проторен
новый, еше лучший путь.
Подобным же образом было бы неразумно тратить время |
на указание ученикам тех неприятных пробелов, которые
призваны заполнить таблицы умножения, таблицы деления,
умножение на девятки, применение произведения длины
прямоугольника на его ширину как площади его при условии
замены линейной единицы квадратом, построенным на этой
единице как основании, и т. д. Указание на эти неприятные
пробе 'Ы было бы непроизводительным, тогда как изучение
каждого из указанных приемов немедленно воспринимается
как модификация существующих навыков и достаточно оце-
нивается учениками с самого же начала. Изучение таблицы
умножения начинается с того момента, когда вместо простого
счета семерками, начиная с нуля и произнося: 7, 14, 21 и т. д„
ученик считает семерками, начиная с нуля, но говорит: „Два
раза семь—14, три раза семь—21, четыре раза семь—28я
и т. д. Таблицы деления вводятся как легкое следствие из
некоторых известных результатов умножения; поверка при
помощи девяти вводится как простая уловка. Вычисление
площади прямоугольника облегчается более всего однако не
путем предупреждения об отсутствии необходимого приема,
а путем предупреждения об успешности приема, подкрепляе-
мой наглядной п сверкой.
К тому же во всех этих случаях мы ввели бы учеников
в заблуждение, если бы до приступа к таблицам умножения
и деления, поверке при помощи девяти и теореме о площади
прямоугольника внедрили в них сознание неприемлемости
счета, сложения и наглядного деления и тех трудностей,
которые им предстоит преодолеть при помощи новых прие-
мов. Заменяемые процессы, как мы уже говорили выше,
превосходны и в них не следует отыскивать воображаемых
недостатков; они вовсе не являются неприемлемыми, пока
не изучены новые, более краткие пути.
ЛОЖНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.
Первое ложное положение, касающееся установки на за-
дачу, состоит в том, что ученик всегда должен понимать
цель или результат, прежде чем он приступает к образова-
нию связей, которые образуют метод и и процесс, приво-
дящий к решению. Наоборот, очень часто он легче осваи-
вается с процессом и более ценит его, если он усваивает
284
его значение постепенно, по мере его изучения. Система
десятичного счисления например должна быть сообщена
члачале как простой факт, совершенно так же мы учим
ребенка говорить, не пытаясь предварительно внушить ему
значения словесного общения людей, или соблюдать чистоту,
из добиваясь от него понимания бактериологических послед-
ствий загрязнения.
Второе положение, что ученика нужно заставлять забо-
титься о результате и страстно желать приема, которым его
можно было бы достигнуть, до приступа к изучению самого
приема, точно так же ложно. Наоборот, лучший способ за-
интересоваться некоторыми результатами и путями, которые
к ним ведут, состоит в овладении самим процессом, хотя бы
в виде простой привычки, а затем установлении, какое он
имеет для нас значение. Таковы например правила: .умножить
2	1
на 0,1666-=-=разделить на 6', .умножить на 0,333-,.-—
О	(J
разделить на 3“, .умножить на 0,875 = разделить число на
8 и вычесть частное из числа*.
Третья неразумная тенденция заключается в пренебрежи-
тельном отношении к простому сообщению фактов—умале-
нии значения фактов, приобретенных каким угодно путем
кроме одного—сознательных усилий ученика, направленных
к разрешению задачи, противоречия или затруднения. Как
протест против голого словесного знания, простого заучи-
вания на па мять и пренебрежения к активному исканию зна-
ния эта тенденция умаления голых фактов была здоровым
явлением; однако как общая доктрина она грешит односто-
ронностью. Простые факты, и не обязанные своим происхожде-
нием мышлению ученика, часто имеют огромную ценность. Они
могут стимулировать активное мышление в такой же мере,
в какой это последнее стимулирует восприятие фактов. Так
в арифметике названия чисел, применение формы дроби для
обозначения того, что верхнее число делится на нижнее
число, раннее применение запятой для отделения рублей от
копеек при обращении с деньгами, пояснение значения слов
.каждый", .целое*, „часть", .вместе", .всею", „сумма",
„разность", .произведение", „частное* и т. д. являются такими
бесспорными фактами.
Четвертое ложное положение гласит, что всякое обучение,
которое ставит ученика лицом к лицу с вопросом н побуж-
дает его найти ответ, является законным. Это вовсе не обя-
зательно, если не считать тех случаев, когда вопрос заслу-
живает внимания, продуманный ответ имеет внутреннюю
285
ценность, а примененный процесс мышления соответ-
ствует как ученику, так и вопросу. Простое мышление может
иметь весьма малую цену. Особо полагаться на формальную
дисциплину здесь столь же опасно, как и в других случаях.
Тенденция уделять особое внимание методам обучения ариф-
метике за счет того, что должно быть изучено, может по-
вести к неудобствам, отличным по своей природе, но столь
же вредным по своим результатам, как и те неудобства, ко-
торые замечались в преподавании языков и грамматики,
а также стсрых головоломных задач в арифметике благодаря
преобладанию дисциплинирующего момента над значимостью
содержания.
Последнее ложное положение, которого я здесь коснусь,
утверждает, что большинство задач, стимулирующих обуче-
ние арифметике, лучше брать извне по отношению к ариф-
мсти ке, выбирая в качестве тем для упражнений ярмарочные
развлечения, поездку вниз по р<ке и пр.
Нет сомнения, что внешние интересы всегда следует иметь
в виду, как это неоднократно и отмечалось в настоящей
книге; но было бы бессмысленно пренебрегать силой, кото-
рая содержится в вопросе: .как я могу получить правильный
ответ* и которая имеет большое влияние даже на очень
юных и на очень неспособных детей. Дети должны иметь
умственные интересы. Они любят домино, шашки, ыпграммы
и загадки не менее, чем игру в салки, собирание цветов
и стряпню. При тщательное подборе посильной для них
работы они с охотой занимаются сложением, вычитанием,
умножением и делением целых чисел, простых и деся-
тичных дробей и определением количественных соотно-
шений.
Обучение арифметике сходно до некоторой степени с обу-
чением печатанию на пишущей машине. Обучающийся пос-
леднему искусству весьма мало беспокоится о том, чтобы
представить в изящном виде извинение за опоздание или
сократить расходы на бумагу. Равным образом он не прояв-
ляет стремления хранить копии таких-то и таких-то литера-
турных ценностей. Возможно, что усердие его возрастет,
когда ему надо будет писать приглашения на затеваемую
школьную прогулку, но все же главной его задачей останется
„научиться хорошо писать на машине*. Изучение арифметики
предстаг1ляет собою до некоторой степени игру, в которой
отдельные действия направляются общим устремлением духа
к победе, т, е- получению правильных ответов. Подобно tomv
как игрок f бэсбол стремится бросить мяч точно в первый
круг не в силу какой-либо специальной причины, например
чтобы избавиться от мяча, передать его какому-либо игроку
первого круга или сбить с толку противника, на которого
ои зол, а в силу общих условий игры как целого, так и уче-
ник до некоторой степени обучается технике арифметики не
потому, что она позволяет разрешить частные конкретные
задачи, а потому, что техника требуется всей арифметичес-
кой игрой, которая имеет свою внутреннюю ценность и много
общих достоинств.
I
2з7
ГЛАВА XV.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАЗЛИЧИЯ-
Общие факты, касающиеся индивидуальных отклонений I
в способностях, именно, что эти отклонения значительны,
что они непрерывны и что у детей одного и того же воз-
раста они обычно группируются около одной типичной или I
модальной способности, становясь все менее и менее частыми
по мере перехода к весьма высоким или очень низким сту-
пеням способности, хорошо подтгерждаится и изучением I
арифметических способностей.
КАРАКТЕР^ЩРАЗМЕР РАЗЛИЧИЙ.}
Рассмотрим образцы диаграмм, изображенных на фигурах
61—63. Каждый отрезок горизонтального основания изобра-
жает определенную оценку или степень способности, высота
же столбиков изображает число лиц, обладающих указанной
степенью способности. Так фигура 61 показывает, чго при
о. 1 2 а 4 а в 7	8 8 Ю U 12‘ 13 К 15 10 и is
Фигура 61. Испытание ЮОО’солдат Национальной армии CACUI, родивши сся
в'мг ствостяк, где принят английский язык, с помощью теста 2 „Агп.у
Alpha*. Единицей оценки служило число правильных ответов, данных в те-
чение 5 минут. Из лиц, подвергнутых ио ытавию, вероятно от 10 до 15%
или вовсе ве умели читать или могли читать только иченг легкий текст и
притом очень медленно. Данные получен! i от оттелеин> пенжг погни управле-
ния главного врача.
выполнении теста с задачами, предложенными в устной
форме, из 1000 американских солдат 63 не дали пи одного
правильного ответа, 36 дали по одному правильному ответу,
49 — по два, 55—по три, 67—по четыре и т. д.
288
Фигура 6J показывает, что среди этих взрослых наблю-
дались колебания в числе правильных решений от 0 до 18,
при среднем около 8. Фигура 62 показывает, что среди де-
тей одного и того же возраста (к тому же живших в одном
районе и учившихся в одной и той же школе) эти колеба-
20	«0 во И). Кй 120 но 1во 180 а» ИО 240
Фи*'. 62. Испытание 100 одинвадцатнлетних учеников при помощи теста в
счислении; с- ставлен', на основе данных Берта (Burt, 1917, стр. 68) для 10,
11-,12-леших детей. Единицей оценки является число правильных ответов;
ния простирались отучнела ниже 40 до числа, превышающего
200. Фигура 63 показывает, что даже для детей, которые
все достигли одной и той же школьной ступени и следова-
тельно имели, вообще говоря, однородные возможности при-
Фиг.. 63. Испытание учеников шестой группы о родской школы при гюмпци
.теста А* в делении Вуди, единицей оценки является число правильных
ответов, полученных в течение 20 минут.
обретения арифметических знаний, колебания остаются очень
большими- пределы от 15 правильно решенных примеров до
30 с небольшим охватывают всего только девя)ь десятых
общего числа учеников.
Необходимо однако отметить, что, если бы оценка спо-
собностей каждого опрошенного производилась во среднему
19 ТЪрпдаЯк. .	289
результату его работы в течение 8 или 10 различных дней,
а не путем одного только теста, то колебания были бь’
меныпими, чем изображенные на фигуре 61—63.
Равным образом, если бы оценка индивидуальных спо-
собностей производилась на основании подробного испыта-
ния по всему объему арифметики, а не одного лишь решения
задач или деления, то колебания снизились бы против изо-
браженных на фигуре 61—63.
С другой стороны, если бы испытание, результаты кото-
рого изображены на фигуре 61, было распространено на
офицеров и солдат, исключенных вследствие слабоумия, если
бы в число И-летних детей (фиг. 62) входили ученики того
же возраста из специальной группы для отсталых детпй, a ।
в испытании детей шестой rpj ппы (фиг. 63} приняли участие
все ученики, пробывшие в .школе шесть лет безотносительно
к тому, како г группы ойи к этому времени достигли, то ко-
ле5эния возросли бы еще более.
1есмотря на стремление педагогов собирать в каждой
школьной группе только тех детей, которые обладают при-
мерно одними и теми же способностями или познаниями
(или и теми и другими одновременно), у учеников одной
и той же группы какой угодно школьной системы обньру-1
живаются весьма широкие колебания в отношения любой |
арифметической способности. Частично это объясняется тем,
что перевод в высшие группы производится по более общим
данным, чем одна лишь способность к арифметике, так что
некоторые деги, хорошо владеющие арифметикой, остаются I
позади из-за отсутствия других способностей, тогда как 1
другие, весьма слабые в арифметике, переводятся выше |
благодаря успехам в других предметах, частично же это ।
объясняется общей неточн 'стью классифицирования и пере-
вода учеников в следующие группы.
Путем сложной оценки, основанной на сумме оценок по I
тестам Вуди — сложение А, вычитание А, умнтжение А, I
и деление Л — и двум тестам в решении задач (для десятой I
я шестой групп с максимально достижимыми отметками 30 I
и 18 Крюз (Kruse, 1918) получил данные, позволившие мне I
составить таблицу 13 и диаграммы, изображенные на фигу- I
рах 64 -66; все ученики, подвергнутые испытаниям, получали |
образование по одной и той же системе, принятой в данном I
городе, при которой распределение учащихся по группам 1
производится очень тщательно.
Фи| уры 64, 65, 66 дают результаты испытания учеников '
шестой группы (фиг. 64), седьмой группы (фиг. 65) и восьмой ,
230
группы (фиг. 66) при помоши комбинирования тестов
в счислении и решении задач. Времени давалось около
120 минут. Максимальная доспокимая отметка состав-
ляла 196.
Фиг. 64.
Следует отметить своеобразные сдвиги результатов от
одной группы к другой. Около 18% учеников шестой группы
выполняют р.боту лучше, чем средний ученик седьмой груп-
пы, и около 7%—лучше, чем средний ученик восьмой
группы; около 33% учащихся восьмой группы выполняют
работу аже, чем среднич ученик седьмой группы, и около
12%—хуже, чем средний ученик шестой группы.
19*	291
Таблица 13. •
Отио< иге ьнг(. частота отмегок, получаемых up и помощи обширных
арифметических тестов (в процентах)
Отн ет кн	Шестая группа	Седьмая группа	Восьмая группа
Ог 70 до 79		1,3	0,9	0,4
8'J . 89		5,5	2,3	0.4
90 , 99 .....	10,6	4.3	2.9
. 100 . 109		1!'.4	5,2	4.4
НО .119		19,8	185	5,8
, 120 . 129 . 		21,5	16,2	16,8
. I3J . 1J9 .	...	12.6	17,5	16.8
. 140 . 149 		4.6	139	22,9
„ 15J , 159 ......	1.7-	13.6	17,1
. 1о0 . 169		12	4.8	9.4
. 170 . 179 		—	2. >	3.3
КОЛЕБАНИЯ В ПРЕДЕЛАХ ОДНОЙ ГРУППЫ.
Колебания в пределах одной группы, руководимой одн1 .1
учителем, также бывают иногда весьма значительными.
Даже в тех случаях, когда преподавание и перевод из группы
в группу происходят по предметной системе, сама школа
достато <но велика и распределение учеников по группам
совершается в зависимости от их способностей, все же могу г
наблюдаться широкие колебания некоторых особых сла-
гающих способностей. При обычных же обстоятельствах эти
колебания столь значительны, что являются одним из глав-
ных ограничительных условий преподавания арифметики.
Многие методы, впоше пригодные для нан лучшей четверти
группы, оказываются почти совершенно бесполезными для
наихудшей четверти ее, и обратно.
Фигуры 67 и 68 изображают результаты испытаний, про-
изведенных Куртисом в десяти группах 6 В, взятых наудачу
из 90 таких групп в различных школах одного города
(Courtis, 1913, стр. 64); оценю давалась работе в счислении
в течение 12 минут.
Обратите внимание на весьма большие колебания в ре-
зультатах по группам. Колебания внутри каждой группы
были бы меньшими, если бы результаты работы каждого
ученика определялись как средние из во ьми или десяти
* Составлена по данным, приведенным у Крюза (Kruse, 1-18. стр. 89).
Примечание автора.
212
тестов, выполняемых им в различные дни. Все ясе, если мы
сделаем даже очень щедрую скидку на это обстоятельство,
то колебания в количестве и скорости окажутся значитель-
ными, нчк это и изображено на диаграмме фигуры 69, кото.
з * 6 ь -j к з ц ю и ща и и и is a ie it и в
Фиг. 67. Испытания учеников десяти групп 6 В при помощи те та
в счН1 пении над делами числами (Courtis, тест 7у, на работу давалось 12 ми-
нут; отметка равна числу проделанных вычислений, некоторые длинные
вычисления считались за два.
293
рую можно считать характерной для группы 6 В из
32 учеников.
Наличность колебаний в результатах внутри данного
класса, имеющая места и в том случае, если мы допускаем
Е22 -1 УчемА
________
3 i 5 в 7 U,r8 0 10 №1112 0 IS и 13 №16 17 IB с 10
Фиг. 68. И :пытанне учеников десяти групп 6 В при помощи т. с  а в
счислении над целыми числами (Courtis, тест 7); на работу давалось 12 ми-
нут; отметка равна числу проделанных вычислений; некоторые длинн е
вычисления считались за два.
возможность одних лишь случайных ошибок при выполне-
нии процессов, может быть иллюстрирована следующим
образом. Учигечь, имеющий дело с четвертой группой го-
родской школы, вероятно обнаружит при занятиях арифме-
тикой в середине учебного года, что некоторые из его учс-
294
ников не могут выполнить сложения столбцов чисел даже
без переноса, простейшего письменного вычитания;
8	9	78
5	3 или 37, не знают ни таблицы умножения, ни
того, как она составляется, не понимают значения знаков
+ , —, X и не имеют полезного представления о де-
лении.
Фиг. 61. Примерная оценка размера колебаний, которых можно ожидать
в пределах одной шестой группы из 32 учеников при пользовании седьмым
тестом Куртиса, если исключить все случайные колебания.
Наряду с ними в группе вероятно найдется ученик, ко-
торый сможет проделать с весьма малым количеством ошибок
приведенные ниже относительно трудные упражнения:
Сложить:^ 8 + 3+8; 2Т
6^8
Вычесть: 10,00 4д 15 дм 6 см
3.49	2 м 18 дм 3 см
Умножить:
’! х8; х
4
16
3?
5
х 145
206
Раз дел и ть: 13,50 : 2 ;	9750 : 25.
Отыскание способов одновременного обучения 30 столь
разлапых по своим способностям учеников с иечлеченгеи
2Ээ
максимальной пользы и допущением минимального вреда
от различия в их способностях и достижениях представляет
собою одну из благодарнейших задач прикладной науки.
Куртис, исходя из обших социальн ых положений, настаи-
вал на том, чтобы почти все ученики начальной школы,
например шестой группы, приобретали определенный уме- I
ренный минимум арифметических познан ш, и трсбо ал
проведения определенных социальных мероприятий, которые
позволили бы отсталым детям подтянуться к необходимому
уровню познаний и в то же время не вызывали не-i пла-
тельного „переучивания" более способных учеников. Кое-какая
экспериментальная работа в этом направлении была проделана
как им самим, так и другими исследователями;однако пред-
стоит вероятно проделать euie значительно большую работу |
прежде, чем мы сможем установить обязательную программу,
обеспечивающую приобретение некоторого установленного
минимума познаний всеми или почти всеми учениками.
ПРИЧИНА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ РАЗЛИЧИЙ.
Различие, обнаруженное в способностях детей одних
и тех же групп в одном и том же городе, в весьма значи-
тельной степени обусловливается различием их прирожден-
ных способностей и естественных качеств. Если бы каким-
либо чудом дети, исследованные Куртисом, Вуди или
Крюзом, получили все совершенно одинаковое воспитание
с момента рождения до момента обследования, то все же
у них были бы обнаружены весьма большие колебания
в способности к арифметике, вероятно не меньшие, чем
наблюдаемые в настоящее время.
Объясняется это тем общим положением, что различия
в первоначальной природе весьма сильно влияют на возмож-
ные различия, обнаруживаемые в интеллектуальных и мо-
ральных чертах, а также специальными обстоятельствами,
связанными с самыми арифметическими способностями.
Торндайк нашел (1905 г.) при помощи тестов в сложении
и умножении, что близнецы дают гораздо более близкие
результаты, чем дети той же семьи, различающиеся по
возрасту на два или три года, хотя сходство в домашних
условиях и школьных занятиях арифметикой должно бы
было быть одинаковым как для первых, так и для вторых.
Народу с этим оказалось, что у более юных близнецов
(в возрасте 9—11 лет) обнаруживается столь же боль-
шое совпадение в результатах сложения и вычитания, как
и у более взрослых близнецов (в возрасте 12—15 лет),
2-6
хотя в последнем случае сходство в условиях изучения
арифметики имеет вдвое большую пр щолжвтелькость.
Если бы обнаруженное различие в результатах сложения,
скажем, у детей шестой группы вызывалось количественным
н качественным различием в обучении их сложению, то, дав
каждому из них по 200 минут на дополнительное упражне-
ние в сложении, мы могли бы рассчитывать на уменьшение
обнаруженного различия, ибо эти 200 минут одинаковых
для всех упражнений являются шагом по пути выравнива-
ния обучения. Однако путем многочисленных наблюдений
в этой области было найдено, что различие внутри группы
не сокращается и в том случае, когда мы достигаем почти пол-
ного равенства арифметических упражнений в чанной группе.
Наоборот, равномерность упражнений повиди «ому уве-
личивает различие. Более одаренные натуры достигают
лучших результатов в большей степени вследствие своего
прирожденного превосходства, чем вследствие лучшего обу-
чения в прошлом, так как после одинакового для всех пе-
риода упражнения успехи их возрастают еще более. Сравните
для примера успехи, достигнутые некоторыми лицами после
упрзжнений в устном перемножении трехзначных чисел, про-
должавшихся около 300 минут, и приведенные в составленной
автором таблице 14 *.
Таблица 14.
Влияние одного и того же количества упражнений на индивидуальные
различии в перемножении т/ехзначнык чисел.
	Количество		Провезт правильных ииф р	
	Начальная отметка	Успех	Начальная отметка	Успех
Пять лиц» проявивших ван- лучшие начальные резуль-	85	61	70	18
Следующие пять-лиц . . .	56	51	68	10
. шесть . - ♦ .	46	22	74	8
	38	9	58	12
•	•	р	•	• в	29	24	56	14
* Подобные же результаты были получены в отношении арифметиче-
ских и „ругих способностей Торндайком (Thorndike 1938. 1910, 1915, 19161,
Уитли (Wb.iley, 1911;, Старчим (Starch, 1911), Уэльсом (Weils, 1912), Кигрби
(Khby 1913), Донованом и Торндайком (Donovan а 'Л Thorndike, 1113).
Раисы и Торна ii ком (Hahn and Thorndike, 19L4), а также в очень большом
количестве Рэсом (Ric ), работа которого еще не опубликована.
Примечание автора.
297
СООТНОШЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ РАЗЛИЧИЙ.
Достижения в арифметике зависят от ряда различных
способностей. Так например, точность в списывании чисел
зависит от зрения, способности различать видимые детали
и быстроты их запоминания. Сложение длинных столбцов
зависит преимущественно от силы комбинаций сложения,
особенно в области высших разрядов, „переноса" и фикси-
рования мест цифр в столбце. Решение задач, даваемых на
словах, требует понимания языка, разложения описанного
положения на его элементы, правильного отбора элементов,
необходимых для применения при различных стадиях реше-
ния, и применения их в правильных соотношениях.
Поскольку способности, составляющие в совокупности
арифметическую способность, являются, как мы видим,
специализированными, учащийся, идущий пеовым среди ты-
сячи своих сверстников или учеников тех же самых групп,
скажем в области сложения целых чисел, может оказаться
на весьма различных местах, м^жет быть от первого до ше-
стого, при умножении целых чисел, постановке десятичной
запятой при делении на десятичные дроби, решении новых
задач, списывании цифр и т. д., и т. д. Подобная Специали-
зация частично вызывается тем, что он пол*чил по сравне-
нию с другими учениками из той же тысячи большее пли
лучшее развитие некоторых из своих способностей, а также
тем, что различные жизненные о'стоятельства пробудили
в нем больший интерес к определенным достиженигм, чем
в других учениках из той же тысячи. Однако специализация
обязана своим существованием не только этим обстоятель-
ствам. Некоторые прирожденные свойства данного лица пред
располагают его к достижению в области различных вопро-
сив арифметики различных ступеней - высших или визеп.
по сравнению с другими лицами, изучающими те же гопросы-
Степень возрастания или убывания какой-либо одной
способности по сравнению с другой мы измеряем коэфи-
пиентом их соотносительности. Если каждое лицо сохраняет
свэе положение и в случае второй способности (например
если данное лицо, занимающее первое место среди тысячи
в отношении первой способности, сохраняет то же положе-
ние в группе и в отношении второй способности и анало-
гичное положение сохраняется всеми другими участниками),
то коэфициент соотносительности равен 1,00. По мере тсго
ка» по южеиие данных лиц в отношении обеих способностей
изменяется, надает и коэфициент соотносительное ги, станб-
248
внсь меньшим I.CO. Коэфициент 0 обозначает при этом, что
лицо, которое занимало наивысшее положение в отношении
способности А, имеет не больше права на первое место
в отношении способности В, чем на любое другое положение.
Значение коэфициентов соотносительности 0,90; 0,70; 0,50
п О показано в таблицах 15—18’.
Распределение рядов по последовательным десятым группы
в случае г=0,70.
	Десятая	Девятая	Восьмая	Седьмая	Шестая	Пятая	Чет иертая	Третья	К си п, о tt	[ Первая
1-я десятая 			0,2	0.7	1,5	2.8	4,8	8,0	13,0	22,3	46,7
2-я			0.2	1,2	2,6	4.5	7.0	9,8	13 4	,7 3	21,7	22,3
Ся	.			0.7	2.6	5,0	7.3	10,0	12 5	14.9	16.7	17,3	13,0
4-я	,	...	1,5	45	7,3	9. я	12,0	13.7	4,8	14,9	13,4	8.0
5-я	»	.....	2,8	7,0	10.0	12,0	13,4	14,0	13.7	12,5	9.8	4.8
6-я	_			4,8	9,8	125	13.7	14.0	13.4	12.0	Ю.О	7,0	2,8
7-я	8.0	13.4	14,9	14,8	‘3.7	12.0	9,8	73	4,5	1,5
8 л		1.3,0	17,3	16 7	14.9	12,5	10.0	7.3	5.0	2,6	0,7
9-я			22,3	2'Д	17, <	13,4	9.8	7.1	4.5	2.6	1.2	0,2
10-я	,	4\7	22,3	13.0	8,0	4,8	2,8	1,5	0.7	02	
* Если изучающий данный вопрос не обладает отчетливым пониманием
теории, лежащей в основе s lit исчислений, то он должен соблюдать бпль-
4	299
Таблица 17.
Распределение рядов по последовательным десятым группы
в случае г =0,50.
	Десятая	Девятая	Восьмая	Седьмая	Шестая 1—	.			.	Пятая	Четвертая	Третья	К «и С. о ь 00	Пераая |
1-я десятая		0,8	2.0	3,2	4,6	6.2	8.1	10,5	13 9	is.o	31,8
2-я			2,0	4,1	5.7	7,3	8.8	10.5	1 .2	14.1	16.4	18,9
3-я	,			3,2	6,7	7,4	8,9	10,о	11,2	12,3	13,.-	14.4	13 9
4-я	,			4,6	7.3	8,8	9.9	10,8	11,6	2,0	12.3	12,2	10,5
5-я	6.2	8,8	10,0	10,8	11.3	11.5	11,6	11,2	10,5	8,1
6-я	„			8.1	10,-э	И,2	1],6	11 5	11,3	10,8	10.0	8,8	6.2
7-я			10,5	12,2	12,3	12.’	11,6	10,4	9.9	88	7.5	4,6
8-я			1.«,9	14,1	13,3	12.3	Н.2	10,0	8,8	7.4	5,7	3,2
9-я			<8,9	1ВД	14,1	12,2	10.5	8.8	73	5.7	4 1	2.0
10-я			31,8	18,9	3,9	10,5	8,1	6,2	46	3.2	2,0	0,8
Тыблица 18.
Распределение рядов по последовательным десятым группы
в случае г =0,0.
			Десятая	Девятая	Восьмая	Седьмая		Шестая	Пятая	Четаертая	Третья	Вторая	Первая
1-я	десятая . . .		10	10	10	10		10	10	10	10	10	10
2-я	 * ' •	- .	10	10	10	1(		10	10	10	10	10	10
3-а	 * “ 	» Я	Ю	10	10	10		10	10	10	10	10	10
4-я	It	•	•	*		10	10	10	10		10	10	10	10	10	10
5-и	It	•	*-	-		10	10	10	к		10	10	10	10	10	10
6 я			10	ю	10	10		10	10	10	10	10	10
7-я	• * “ *		10	10	10	10		10	10	ю	10	10	IC
8-я	9	*	•	*		10	10	10	10		10	10	ю	10	10	10
9-я	 * -		10	10	10	10		10	г	10	10	10	10
10-я	М	•	•	*	• •	10	10	10	10		10	10	10	10	10	10
Значение любого коэфициента соотносительности зависит
от группы лиц, для которой он определен. Коэфмциент со-
относительности 0,40 между счислением и решением задач
шую ост<р<жность в выводах, делаемых на величины коэфцциентов со-
относительности. Примечание автора.
300
обозначает в случае 14-летнмх }ченнкев восьмой группы
более тесную реальную связь, чем тот же коэфициент для
всех 14-летних детей, и во много раз большую связь, чем
тот же коэфициент для всех детей в возрасте от 8 до 15 лет.
Если ис ытания при помощи тестов не ведутся очень
тщательно и притом в течение нескольких дней, то получен-
ные коэфнциенты соотносительности понижаются и прибли-
жаются к 0 благодаря наличию „случайных* ошибок в исход-
ных измерениях. Это явление не было известно до 1904 г.;
поэтому все коэфнциенты соотносительности, приводимые
в более ранних курсах арифметики, слишком низки.
Вообще говоря, коэфициент соотносительности между
различными способностями в отношении существенных раз-
делов счисления довольно высок. Так, если мы выполним
достаточное количество тестов для точного измерения спо-
собности каждого ученика в отношении: 1) сложения целых
чисел и десятичных дробей, 2) умножения целых чисел
и десятичных дробей, 3) деления целых чисел и десятичных
дробей, 4) умножения и деления обыкновенных дробей
и 5) вычисления процентов, то вероятно найдем, что коэфе-
пиент взаимной соотносительности для тысячи 14-летних
учеников близок к 0,90. Однако сложение целых чисел (€)
будет вероятно находиться в меньшем соответствии с ука-
занными выше способностями, так как оно зависит невиди-
мому от более простых и более обособленных способностей.
Коэфициент соотносительности между решением задач (7)
и счислением будет значительно ниже, вероятно, не
свыше 0,60.
Необходимо отметить, что даже в случае столь высокого
коэфициента соотносительности, как 0,90, найдутся лица,
обладающие блестящей способностью в одном каком-либо
направлении и неспособностью в другом. Подобное несо-
ответствие отчасти объясняется, как это утверждают Куртис
(Courtis. 1913, стр. 67—75) и Кобб (Cobb, 1917), прирожден-
ными свойствами данного лица, обусловливающими предрас-
положение его к совершенно специальным проявлениям
силы и слабости. Однако очень часто оно обязано своим
происхождением и дефектам его обучения, благодаря кото-
рым в нем развилась большая, чем нужно, способность
в одном каком-либо направлении и недостаточно развилась
другая необходимая способность, хотя развитие ее и было
ему под силу.
Но, вообще говоря, все уклонения данного липа от
обычной средней дли ни возраст, наблюдаемые в отноше-
391
нии одной какой-либо арифметической функции, будучи!
сопоставлены с таковыми же для какой-либо другой ариф-
метической функции, приводят к положительным ко
фициентам соотносительности. При этим соотносительность,"
вызываемая природными способностями, играет роль кор-
ректива к могущей иметь место несоразмерности изучения
отдельных функций.
Быстрота и точность выполнения действии также связаны
между собою положительной соотносительностью. Лицо,
выполняющее наибольшее количество работы в течение
10 минут, например, окажется выше среднего уровня и при
испытаниях в точности. Обычное мнение, будто быстрота
противоположна точности, правильно лишь в том смысле,
что данное лицо сделает больше ошибок, чем обычно, если
будет работать слишком быстро; но оно совершенно непра-
вильно, если понимать его в том смысле, что лицо, рабо-
тающее быстрее, чем это определяется средним уровнем,
будет ниже среднего уровня по точности в работе.
Интерес и способность к арифметике вероятно находятся
между собой в положительной соотносительности в том
смысле, что ученик, который проявляет больший интерес I
к предмету, чем его сверстники, склонен приобрести в конце
концов большую способность, чем эти последние. Они не-
сомненно связаны таким образом, что ученик, который
„любит" арифметику больше, чем географию или историю,
склонен более развивать арифметические способно.™ или,
наоборот, чго ученик, более одаренный в отношении ариф-
метики, чем рисования или родного языка, проявляет боль- I
шее расположение к первой, чем к по.ледним. Коэфициент
соотносительности в этом случае высок,
В конце концов математическую способность следует
представлять себе как некоторую общ к> способность, кото-
рой данное лицо может обладать в большем или меньшем
размере, причем большинство людей обладает ею в умерен
ком количестве. И это нисколько не противоречит тому, что
в отдельных лицах 'когда проявтяется исключительный
талант в отнош нии некоторых частных разделов математи-
ческой способности наряду с полной беспомощностью в от-
ношении других разделов ее.
В заключение необходимо отметить, что способность к ариф-
метике, встречаемая правда и у людей очень тупых в других
отношениях, обычае связывается с влеокой степенью разви-
тия и восприимчивостью ко всякого рода ид ям и символам
и является одним из лгчпгих ранних показателей последних.
302
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие редактора ру сского перевода Д- Л- Вол-
ковского ..........................................
Предисловие п роф. И. В. Андронова................
Предисловие автора к первому изданию..............
Общее введение: психология предметов, преподава-
емых в начальной школе ............................
1. Природа арифметических способностей............
Знание значения чисеч......................
Арифметический язык...........................
Решение задач.................................
Арифметическое рассу» leuue.........-.........
Итоги........-................................
Социология арифметики..................•  •
(I. Измерение арифметических способностей ....
Образен измерения арифметической способности. Способность
Cif.
складывать и лит* числа.............................
Измерение способности в счие.-еьин..................
lit. Состав арифметических способностей - - . •
Элементарные функции и нэуче ни арифметики
З.1 ние значения дроби ................................
Изучение процессов вычисления.......................
IV.	Состав арифметических способностей (продолже-
ние). ................
Вывоз связей, поллежашнх образованию.............
значение образования навыков........................
Желательные связи, которыми часто пренебрегают......
И? >Н1ШШе и вре даые связи..........................
Руководящие принципы ..............................
V.	Психология арифметических упражнений . - -• *
С.зла связей................-	............ ...........
Необходимость боть-u й прочности элементарных связей . - - -
Раннее приобрет пне основных навыкоз ...............
Прочность связей временного пользования.............
Прочность гв-,.3 й с техническими фактами н терминами .  •
Прочность связен, к сающихся обоснования арифметических
процессов ........................ .................
Пропедевтические связи..............................
VI.	Психология арифметических упражнений. Коли-
чество упражнений и организация навыков. -
Количество yi ражкений .... ............................
Нсдоучивапне п переучивая е .......................
Организация способностей ...........................
.3
б
16
18
23
24
".9
30
41
44
45
4о
53
72
74
81
9>
94
101
117
11R
123
129
131
135
148
151
303
VII.	Пос ледовательность тем. Порядок образования
связей.........................................................
Уменьшение затруднений к увеличение облегчений.........15g
Интерес............................................  .	162
Общие принципы . . ............................... ...	1бз
V11L	Распределение упражнений
Проблема....................................................167
Примеры распределений..................................166
Возможные улучшения ..........................- . . . , 17?
IX.	П с ихол о г и я мышления. Абстрактные идеи и об-
щие понятий в арифметике
Представление об элементах и разрядах фактов................	179
Облегчение анализа элементов...........................[81
Систематические и случайные стммучы к анализу..........18У
Приспособление к ученикам начальной школы . ’..........190
X.	Психология мышле нм я. Рассуждение в арифметике
Существенные черты арифметического рассуждения ...... 196
Рассуждсн. с как сотрудничество организованных навыков . . . 200
XI.	П р и р о жд е н н ы е склонности идошкольные навыки
Использование врожденных интересов........................  205
Порядок развития прирожд-нных склонностей.............2*17
Перечень арифметических знаний и навыков...............209
Восприятие числа и количества..........................211
Раннее знакомство с числом.............................214
XII.	Интерес к арифметике
Исследований интересов учащихся.............................217
Уменьшение напряжения зрения.........................  22J
Значение арифметики для сопряженных видов деятельности . . 225
Внутренний MBiepec к изучению арифметики...............231
XIII.	Условия занятий арифметикой
Внешние условия.............................................234
Гигиена зрения при занятиях арифметикой................740
Применение в арифметике конкретных объектов............252
Устное, умственное и письменное Счисление..............265
XIV,	Условия обучения. Постановка задач
Илнострагив.'гые случаи . ..................................270
Общие принципы.........................................2/9
Затруднение и успех как стимулы........................280
Ложные положения.......................................264
XV.	Индивидуал ьные различия
Хоращ-ер и размер различий..................................28
Колебания в пре гелах одной группы.....................292
Прнчшз индивидуальных различий.........................29э
Соотношения индивидуальных различий..................  2е®