ВОЕННО-МОРСКАЯ орденов ЛЕНИНА и УШАКОВА АКАДЕМИЯ
М. П. ГАНИН, А. А. СВЕШНИКОВ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ВМФ
Утвержден заместителем Главнокомандующего ВМФ
в качестве учебника для слушателей Академии
ЛЕНИНГРАД
19	6	8
УДК 519.2
Книга является учебником по курсу «Теория вероятно-
стей и случайных функций» для слушателей ВМОЛУА. В ней
изложены все основные вопросы теории вероятностей, нахо-
дящие свое применение в различных прикладных дисципли-
нах. Основное внимание уделено изучению принципиальных
основ теории вероятностей и усвоению ее прикладных мето-
дов. Поэтому ряд отвлеченных вопросов теории не рассмот-
рен, а строгость математических выводов соблюдена только
в той мере, в какой это необходимо для сознательного усвое-
ния методов теории вероятностей и творческого их применения
для решения различных прикладных задач. Исходя из этих
же соображений, в книге имеется большое число примеров
(порядка 200), иллюстрирующих применение различных фор-
мул, приводимых в тексте. Содержание учебника почти пол-
ностью соответствует задачнику по теории вероятностей,
изданному в Военно-морской ордена Ленина академии
(Б. Г. Володин, М. П. Ганин и др. Сборник задач по теории
вероятностей, математической статистике и теории случайных
функций, под ред. А. А. Свешникова. Изд. ВМОЛА, 1961).
Книга рассчитана на читателя, владеющего математикой
в объеме общего курса втуза, и может представлять интерес
не только для слушателей военных академий, но и для более
широкого круга лиц, занимающихся изучением теории вероят-
ностей и ее приложениями к различным разделам науки и
техники. В конце книги приложен список литературы, которая
может оказаться полезной при углубленном изучении отдель-
ных вопросов. В список включена только учебная литература,
наиболее близко отвечающая целевой установке курса теории
вероятностей, читаемого в Академии.
Редактор П. А. ПАВЛОВ
Литературные редакторы: М. А. Сергеева, 3. Г. Длесова
Технический редактор Я. Ф. Семенова
Корректор Е. Д. Смирнова
Типография ВМОЛУА
Поступило в производство
24.11.67 г.
Заказ № 467
ГМ-465508
Подписано к печати
27.03.68 г.
Печ. лист. 40,6 + 3 вклейки.
ВВЕДЕНИЕ
Теория вероятностей — это математическая наука о закономер-
ностях случайных явлений. Объектом ее изучения являются только
такие случайные явления, для которых существует количественная
мера (вероятность), характеризующая объективную возможность
их возникновения.
На существование такой количественной характеристики для
случайных событий, т. е. явлений, происходящих в результате ис-
пытаний, впервые было обращено внимание при исследовании воз-
можных исходов азартных игр. Основные положения теории веро-
ятностей были сформулированы при анализе этих игр в середине
XVII в. Паскалем, Ферма и Гюйгенсом.
Модель случайных событий, основанная на аналогии с азарт-
ными играми, предполагает наличие определенного комплекса
условий, который может быть воспроизведен любое число раз. Ис-
пытание (опыт) является реализацией этого комплекса. На исход
испытания влияет также другой комплекс условий, который обу-
словлен случайными причинами и не поддается контролю. Резуль-
татом воздействия неконтролируемого комплекса условий будет
случайный исход испытания, т. е. появление или непоявление не-
которого случайного события.
Простейшими примерами, когда применима данная модель, мо-
гут служить: попадание в цель при одном выстреле, проход кораб-
лем линии минного заграждения, изготовление продукции по опре-
деленному образцу и т. п. Во всех этих случаях принимаются меры
для того, чтобы при каждом испытании был один и тот же резуль-
тат. Однако исходы отдельных испытаний получаются случайными,
так как учитываются не все факторы, влияющие на результат.
В приведенных примерах характерна массовость явлений, т. е.
возможность многократного проведения испытаний при одинаковых
условиях. Теория вероятностей находит свое применение именно
в тех областях науки и техники, где рассматриваются массовые
явления.
После установления основных положений теории вероятностей
ее дальнейшее развитие шло по линии усовершенствования вычис-
3
лительных методов теории и установления связей между вероятно-
стями возникновения событий и результатами наблюдений. Сущест-
венные достижения в этом направлении были получены Я. Бер-
нулли, Лапласом и рядом других математиков XVIII и XIX вв.,
исследовавших законы теории вероятностей в схеме случайных
событий.
Примерно с середины XIX в. по мере увеличения числа обла-
стей, в которых использовалась теория вероятностей, выяснилось,
что не все случайные явления могут быть описаны в схеме случай-
ных событий. Возникла необходимость в рассмотрении случайных
явлений, результат которых определяется не событием, а некоторой
величиной, принимающей при испытании различные значения. Был
разработан новый раздел теории вероятностей, связанный с изуче-
нием случайных величин. Основные положения теории при этом
не изменились, но появился новый математический аппарат, с по-
мощью которого можно было решать более широкий круг задач.
В разработку вопросов теории вероятностей на этом этапе ее раз-
вития большой вклад внесла русская математическая школа, и
в частности В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышев, А. А. Марков
и А. М. Ляпунов.
Дальнейшее расширение объекта исследования теории вероят-
ностей произошло в начале XX в., когда был разработан новый
раздел данной науки —теория случайных функций. Основы этого
нового раздела были заложены в трудах советских ученых
А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина.
Отправляясь от схемы случайных событий, аналогичной схеме,
имеющей место в азартных играх, можно сформулировать общие
математические условия, при выполнении которых справедливы
основные положения теории вероятностей. Подобный подход в на-
стоящее время принят при построении теории вероятностей как
математической дисциплины. Вначале формулируется ряд аксиом,
являющихся абстрактным выражением некоторых общих свойств
широкого класса событий, а затем на их основе строится вся тео-
рия подобно тому, как это делается в геометрии на основании
аксиом Эвклида. Указанное построение теории вероятностей, пред-
ложенное А. Н. Колмогоровым, придает данной науке математиче-
скую строгость.
Как указывалось выше, теория вероятностей применима для
исследования закономерностей случайных явлений только опреде-
ленного типа. Математическая стройность аксиоматического по-
строения теории вероятностей сама по себе еще не является осно-
ванием для ее применения в том или ином конкретном случае.
Обоснование такого применения должно делаться не из математи-
ческих, а из физических соображений, раскрывающих природу
рассматриваемого явления. В подавляющем большинстве случаев
доказательство допустимости применения теории вероятностей не
представляет больших затруднений. Это относится, например, к та-
4
ким областям, как рассеивание снарядов, контроль массовой про-
дукции, исследование ошибок измерений и т. п. Кроме общих сооб-
ражений в пользу применения выводов теории вероятностей в этих
случаях, существенным является и тот факт, что выводы теории
весьма хорошо согласуются с экспериментальными данными. При-
менению методов теории вероятностей к новой задаче всегда дол-
жно предшествовать обоснование законности подобного приме-
нения.
Настоящая книга ставит перед собой в основном прикладные
задачи. Поэтому при выводе основных положений теории за основу
принято классическое и геометрическое определения вероятности,
как обладающие наибольшей простотой и наглядностью. Первое из
них основано на использовании модели равновозможных случай-
ных событий. Схема геометрической вероятности наглядно пояс-
няет наличие условий, при которых справедливы основные поло-
жения теории, и в некоторой степени может служить иллюстрацией
аксиоматического построения теории вероятностей на основе теории
множеств.
При изложении материала в данной книге сохранена истори-
ческая последовательность развития различных разделов теории
вероятностей. Вначале рассматривается исчисление вероятностей
случайных событий, затем случайных величин и, наконец, случай-
ных функций. В отдельную главу выделены вопросы математиче-
ской статистики, т. е. вопросы, относящиеся к методам обработки
результатов наблюдений. Теоретический материал книги иллюстри-
руется большим числом примеров.
ГЛАВА J
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
§ 1. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ
СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ
Предположим, что имеется определенный комплекс условий,
который может быть воспроизведен любое число раз. Осуществле-
ние этого комплекса будем называть испытанием, а явления, про-
исходящие в результате испытания, — событиями.
Испытаниями являются, например, выстрел зенитной ракетой
по воздушной цели, пересечение кораблем линии минного заграж-
дения, выход в атаку подводной лодки, подключение электриче-
ской цепи к источнику питания. При этом событиями соответствен-
но могут быть, например, поражение воздушной цели, взрыв мины,
гибель атакующей подводной лодки, разрыв электрической цепи.
Если в результате испытания некоторое событие происходит неиз-
бежно, то такое событие называется достоверным. Наоборот, если
в результате испытания событие не может произойти, то такое со-
бытие называется невозможным. В дальнейшем будем обозначать
достоверное событие через U, а невозможное — через V.
Пусть, например, испытанием является запуск метеорологиче-
ской ракеты, максимальная скорость полета которой не превосхо-
дит 3000 MjceK. Достоверным событием при этом является падение
ракеты на земную поверхность, а невозможным — падение ракеты
на Луну.
Если в результате испытания событие может произойти или не
произойти, то оно называется случайным. Для обозначений случай-
ных событий будем использовать большие буквы латинского алфа-
вита: А, В, С, . . ., снабжая их иногда индексами. Примерами слу-
чайных событий могут быть: попадание в цель при одном выст-
реле; выбор доброкачественного изделия из партии, в которой,
кроме доброкачественных, имеются бракованные изделия; сбитие
ракеты или определенного числа ракет средствами противовоздуш-
ной обороны корабля.
Говорят, что событие А влечет за собой событие В (или из А
следует В), если при наступлении А неизбежно происходит собы-
тие В. Это утверждение обозначается в виде А С В, что означает
6
также, что событие А является частным случаем события В. Пусть,
например, событие А состоит в попадании снаряда в машинно-ко-
тельное отделение корабля, а событие В — попадание снаряда в ко-
рабль. Ясно, что если произошло событие А, то произошло и со-
бытие В.
Если А С, В и одновременно В С А, т. е. при каждом испыта-
нии события А и В оба наступают или оба не наступают, то эти
события называются равносильными. Равносильность событий
обозначается в виде А=В.
Произведением событий Л и В назы-	__
вается событие С=АВ, состоящее в на-	—- ’ ^****^
ступлении обоих событий А и В. Суммой /у-.	у’»»	)
событий А и В называется событие С= /	/
=Л + В, состоящее в наступлении собы- I	\Л GB\ I
тия А или В или А и В, т. е. в наступле- I S'	) /
иии хотя бы одного из событий Л и В*, к	f q I/ /
Разность событий А и В есть событие \ Iя S
С=А — В, состоящее в том, что А проис- 1
ходит, а В не происходит.	к	]
Наиболее наглядной является геомет-	t J
рическая интерпретация понятий произ-	~
ведения, суммы и разности событий.
Пусть, например, испытание состоит в	Рис. 1
выборе наудачу точки внутри некоторой
области G. Событие Л означает, что выбранная точка лежит в об-
ласти Ga , а событие В — в области Gb (рис. 1).
Произведение событий АВ состоит в попадании выбранной точ-
ки в область Gab, общую для Ga и G0. Сумма событий Л-f-B со-
стоит в попадании выбранной точки в область Ga+в, являющуюся
объединением областей Ga и Gb. Разность Л—В означает попада-
ние выбранной точки в область Ga-в, состоящую из области Ga
без Gab.
Если событие Л влечет за собой событие В, то АВ~А, а А А-В =
= В. В частном случае, когда В=А,
ЛЛ=Л, Л+Л-Л.	(1.1)
и
Произведение событий Л], Л2,. .., Лп обозначается Ак и озна-
к=1
чает событие, состоящее в наступлении всех событий Лк (£=1,
п
2,..., п). Сумма событий Ль Л2,..., Апобозначается	Лк и озна-
к—1
чает событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий
Лк (Aj=1,2, .. .,п).
* Для произведения событий Л и В в литературе используется также обо-
значение A fi В, а для суммы событий — обозначение A U В.
7
Пусть, например, событие А означает, что в результате атаки
ракетными катерами конвоя, состоящего из транспортов и кораб-
лей охранения, потоплен хотя бы один транспорт, В — потоплен
хотя бы один корабль охранения, а Лк—потоплено ровно k транс-
портов. Обозначим через Ст событие, означающее гибель ровно tn
ракетных катеров, а через С — гибель хотя бы одного ракетного
катера. В данном случае сумма А + В + С означает гибель хотя бы
одного корабля, произведение АВС — гибель хотя бы одного транс-
порта, хотя бы одного корабля охранения и хотя бы одного ракет-
ного катера. Сумма А3 + С] означает, что потоплены три транспор-
та или один ракетный катер, или потоплены три транспорта и один
ракетный катер. Событие А5С2 означает, что погибли пять транс-
портов и два ракетных катера. Событие A3BCj означает, что по-
топлены три транспорта, один ракетный катер и хотя бы один ко-
рабль охранения.
Непосредственно из определения суммы и произведения собы-
тий следует, что имеют место следующие равенства:
А + В = В + А; (А + В) + С = А + (В+С);	1
АВ = ВА; (АВ) С~ А (ВС): (АД- В)С = АС + ВС. J	’
Таким образом, для событий справедливы переместительные и
сочетательные свойства относительно операций сложения и умно-
жения.
События называются противоположными, если появление од-
ного из них означает непоявление другого. Противоположное со-
бытие^ обозначается той же буквой, но с чертой сверху. Например,
А и А — противоположные события, при этом
AA = V, A^A^U.	(1.3)
Если событие А означает попадание точки в область Од, то со-
бытие А означает попадание точки в область, расположенную,
вне <7д.
Обозначим через А событие, состоящее в попадании в цель
хотя бы одной из трех выпущенных торпед; тогда событие А озна-
чает промах всех торпед. Если событие В — попадание не менее
двух торпед, то противоположное событие В означает промах всех
торпед или попадание одной торпеды.
События А и В называются несовместными, если совместное
появление их невозможно, т. е. AB — V.
Пусть, например, событие А означает аварию ракеты при стар-
те, а событие В — поражение этой ракетой цели. Тогда А и В —
несовместные события. Другим примером несовместных событий
являются противоположные события А и А.
8
Говорят, что события ДЬЛ2,...»Лп образуют полную группу,
если при каждом испытании обязательно должно произойти хотя
п
бы одно из них. При этом 2	— достоверное событие.
к=1
Если, например, событие Ак означает, что произошло ровно k
попаданий при п выстрелах (£ = 0, 1,...,«), то события Ло, Ль ..,
Ли образуют полную группу. Полную группу образуют также
противоположные события Л и Л. В обоих приведенных примерах
полные группы состоят из попарно несовместных событий. В общем
случае события в полной группе могут быть и совместными.
При решении практических задач часто возникает потребность
в упрощении формул, дающих связь между различными события-
ми. Пусть, например, А= (В + С) (В + С) (В + С). Так как при лю-
бых событиях В и С справедливо равенство В + ВС=В, то
(В + С) (В + С)=£ + ВС+£С+Е =^В, тогда А=ВС.
Если
Л = П(В + С„),	(1.4)
' к =1
то после перемножения и аналогичных упрощений получим, что
равенство (4)* можно записать в виде
Д = В+ПСк.	(1.5)
к — 1
Пусть производится стрельба по мишени, состоящей из десяти
кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиуса-
ми гk 1,2,.. ., 10), причем Г]<г2< .. . <г10. Событие Лк озна-
чает попадание при одном выстреле в круг радиуса rk (k = 1,2,...
. . ., 10). Положим:
10	6
5 = П	2	•
Так как появление события Аз влечет за собой появление собы-
тий, соответствующих попаданиям в области больших размеров, то
В ~ Л5. Событие С соответствует попаданию в круг радиуса г6,
поэтому С=Л6.
Используя операции сложения и умножения, можно предста-
вить сложное событие в виде различных комбинаций более простых
событий. Пусть, например, по самолетам выпущено две зенитные
ракеты. Событие А\ означает попадание первой ракеты, а А2— по-
падание второй. Требуется выразить через А] и А3 событие А, озна-
чающее хотя бы одно попадание.
* При ссылках на формулы данного параграфа первая цифра в номере фор-
мулы, обозначающая номер параграфа, будет опускаться.
9.
По определению суммы двух событий получаем, что А=А1+А2.
Это же событие можно записать другим способом. Действительно,
в данном случае возможны три варианта: попадают обе ракеты;
первая попадает, а вторая нет; первая не попадает, а вторая по-
падает. Поэтому событие А можно представить и в виде
А = AjA2 “Ь ^1^2 4" А1А2.
Если выпущено три ракеты, а событие В — попадание не менее
двух_из них, то В=Л1Л2+Л1Л3-|-Д2Л3 или В=Л1А2А34-А1Л2А3-|-
4-AiA2A3+AiA2A3.
Выведем ряд соотношений, справедливых для произвольных со-
бытий. Докажем, что для любых событий А и В имеет место равен-
ство
А — В=АВ.	(1.6)
По определению разности событий А —В является событием,
состоящим в том, что А происходит, а В не происходит. Этому же
событию соответствует и произведение АВ, т. е. действительно ра-
венство (6) справедливо при любых А и В.
Путем аналогичных рассуждений можно доказать равенство
А + В=АВ.	(1.7)
Действительно, событие АВ означает непоявление событий Л
и В. Противоположное событие АВ означает, что хотя бы одно из
событий А или В имеет место, а это сумма событий А + В. Поэтому
справедливо равенство АВ=А-^В. Переходя к противоположным
событиям, получим равенство (7).
Доказательство равенства (7) можно произвести более нагляд-
ным способом, связав с каждым событием попадание наудачу вы-
бранной в области G точки в соответствующую область (рис. 1).
При этом событие А означает попадание в область, расположенную
вне GA, а В — в область, расположенную вне GB. Произведение АВ
соответствует попаданию наудачу выбранной точки в область, рас-
положенную вне Ga и вне G$, т. е. вне GA+B. Противоположное
событие АВ соответствует попаданию точки в область GA+B, а по-
тому АВ=А + В.
Равенство (7) легко обобщается. Действительно, для трех собы-
тий А, В и С имеют место равенства
Л + В + С=Л(В + С)=ЛДС.
10
Поэтому для любых событий ДЬД2,...,ЛП справедлива фор-
мула	____
2А = ПЛ-	(1.8)
к-=1	к=1
Если положить Ак ~Вк (k= 1, 2,..п) и в (8) перейти к про-
тивоположным событиям, то получим следующую формулу:
2§;=Пвк.	(1.9)
к-.l	к=1
Формулы (8) и (9) иногда называют формулами инверсии.
§ 2. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.
НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Предположим, что в результате испытания может произойти
только одно из п несовместных и равновозможных событий Ej,
Е2,..., Еп, которые будем называть элементарными событиями,
или возможными исходами. Эти события образуют полную группу,
п
т. е. ^Ek=U, а их несовместность означает, что при любых
к~1
k =/= j EkE-} = V (k,/=1,2,. .п). Равновозможность элементар-
ных событий понимается в том смысле, что, например, вследствие
симметрии появление любого из них не имеет объективного пре-
имущества перед появлением любого другого.
Обозначим через т число исходов, при осуществлении каждого
из которых происходит событие А. Эти исходы называются собы-
тиями, благоприятствующими событию А. Тогда вероятностью
Р(А) появления события А при одном испытании будем называть
отношение числа т возможных исходов, благоприятствующих со-
бытию А, к общему числу п всех возможных исходов, т. е.
Р(А) = ~.	(2.1)
Приведенное определение вероятности появления случайного
события было положено в основу при построении теории вероятно-
стей как математической дисциплины и называется классическим
определением понятия вероятности.
Формула (1) соответствует интуитивному представлению о ве-
роятности как о мере объективной возможности появления слу-
чайного события А при одном испытании. Когда т = 0, событие А
невозможное, т. е. оно не может произойти при любом испытании.
В этом случае вероятность равна нулю, т. е.
Р(К)=0.	(2.2)
11
С увеличением числа т исходов, благоприятствующих собы-
тию А, вероятность /’(Л) увеличивается, что соответствует повы-
шению объективной возможности появления события А. Если т=п,
то событие происходит при любом испытании и является достовер-
ным. Вероятность такого события равна единице, т. е.
P(U) = l.	(2.3)
Вероятность Р(Д) любого случайного события А больше веро-
ятности невозможного события V и меньше вероятности достовер-
ного события U, а потому в общем случае
0<Р(Д)<1.	(2.4)
Если	то ^Р(Д) = —< 1, а событие А при одном испыта-
нии может появиться только в редких случаях. Такое событие на-
зывается практически невозможным. Наоборот, если п — т<^ п, то
событие А будет появляться практически при каждом испытании.
В этом случае Р(Л) = ~~ ~1, а событие А называется практически
достоверным.
Что считать практически невозможным и практически досто-
верным событием, т. е. какими отклонениями вероятности Р(А) от
нуля и от единицы можно пренебречь, определяется физическим
содержанием рассматриваемой задачи. Пусть, например, событие
Л—отказ двигателя при старте зенитной ракеты, а событие В—
взрыв ракеты на стартовой установке. Если Е’(Д) =0,01, то собы-
тие А можно считать практически невозможным. При такой же
вероятности события В последнее нельзя считать практически не-
возможным; появление такого события необходимо учитывать.
При расчете вероятности Р(Л) случайного события А по фор-
муле (1) выбор возможных исходов Ek (k— 1,2,. .., п) иногда мо-
жет быть сделан различными способами. Единственное условие,
которое при этом должно выполняться, это равновозможность всех
исходов, их несовместность и единственная возможность, т. е. они
должны образовывать полную группу несовместных и равновоз-
можных событий. Определение возможных исходов испытания мо-
жет быть произведено путем анализа механизма возникновения
случайного события. Подсчет общего числа п возможных исходов
и числа т благоприятствующих событию А исходов часто пред-
ставляет достаточно сложную задачу, которую иногда удается
упростить, воспользовавшись формулами теории сочетаний.
Пусть, например, в партии из а изделий доброкачественных р
штук. Требуется определить вероятность того, что при выборе на-
удачу s изделий среди них окажется доброкачественных г штук.
12
Число способов, которыми можно отобрать из партии в а изде-
лий s любых изделий, равно числу сочетаний С^из а по $. Так как
все эти способы объективно равновозможны, то общее число воз-
можных исходов	=
——-—г;—.Из В доброкачественных
s’, (a — s)l	г
изделий взять г штук можно Сзг способами, а из а— (3 бракованных
изделий взять s—г штук можно способами. Общее число т
благоприятствующих исходов равно произведению числа способов,
которыми можно отобрать г доброкачественных изделий, на число
способов, которыми можно взять s — г бракованных изделий, т. е.
т =	. Искомая вероятность в данном случае будет
р (А) =
4 ’ п
Г
U(3Ua-3
С s
(2.5)
О величине вероятности /’(И) случайного события А в какой-то
степени можно судить по тому, как часто появляется данное собы-
тие при серии независимых испытаний. Предположим, что при од-
них и тех же условиях произведено N независимых испытаний,
в результате которых событие А имело место М раз. При этом
частоту появления события А характеризует отношение
Р(Л) = _"_,	(2.6)
называемое частостью, или частотой, события А в данной серии
испытаний.
Между вероятностью, являющейся объективной мерой возмож-
ности появления случайного события при каждом испытании, и
частостью, являющейся реализацией этой возможности в данной
серии испытаний, должно существовать определенное соответствие,
отражающее тот факт, что более вероятные события должны появ-
ляться, как правило, чаще. Такое соответствие действительно су-
ществует и будет подробно исследовано при рассмотрении пре-
дельных теорем теории вероятностей. Для невозможного и для до-
стоверного событий частости и вероятности совпадают, так как
P(V)=0, Р(1/) = 1.	(2.7)
Если Р(А) =0, а Р(В) = 1, то при классическом определении ве-
роятности из этих равенств следует, что событие А невозможное,
а событие 5 достоверное, т. е. A = V, a B = U. Когда /э(А)=0 и
Р(В) = 1, нельзя утверждать, что А — невозможное, а В — досто-
верное события. Действительно, если, например, при десяти стрель-
бах одиночными ракетами получено десять попаданий, то это еще
не означает, что при других аналогичных стрельбах не будет про-
махов.
13
Вероятность /’(Л) характеризует объективные свойства рас-
сматриваемого явления и, следовательно, является величиной не
случайной. Число М появления случайного события А в различных
сериях по jV независимых испытаний может принимать различные
значения. Поэтому частость Р(А) является случайной величиной,
свойства которой определяются значением вероятности Р(А) и
числом N испытаний в серии.
Рассмотрим примеры на непосредственный подсчет вероятно-
стей.
Пример 2.1. На тактических играх для определения вероятности
гибели авианосца используется сто пронумерованных от 1 до 100
одинаковых карточек. Принимается, что вследствие произведенного
залпа ракет авианосец гибнет, если номер наудачу извлеченной кар-
точки не больше 30. Какой в данном случае принимается вероят-
ность гибели авианосца?
Решение. Обозначим через Ек событие, означающее, что но-
мер наудачу извлеченной карточки равен k (k= 1, 2,..., 100). Эти
события образуют полную группу, несовместны и равновозможны.
Общее число возможных исходов н=100. Событию А (гибель авиа-
носца) благоприятствуют те исходы Ekj у которых номер не боль-
ше 30. Таких исходов т = 30. Поэтому искомая вероятность
Р(Д)= ^ = 0,3.
Пример 2.2. Из партии деталей, среди которых р доброкачест-
венных и а — р бракованных, для контроля наудачу взято 5 штук.
При контроле оказалось, что первые г из s деталей доброкачест-
венные. Определить вероятность того, что следующая деталь будет
доброкачественной.
Решение. Так как s деталей взяты наудачу, то можно счи-
тать, что производится контрольная проверка всей партии, в кото-
рой осталось р— г доброкачественных изделий и а—р бракован-
ных. В данном случае элементарное событие Ek (k— 1,2,.,а—г)
состоит в выборе определенной детали. Если детали берутся
наугад, то все исходы Ек равновозможные. Обозначим через А со-
бытие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь доброкачест-
венная. Всего возможных исходов п = а — г. Число исходов, благо-
приятствующих событию А, равно т=р— г. Поэтому искомая ве-
П/Л. т ₽ —г
роятность /дЛ) = —- = —-----р— .
Пример 2.3. В налете участвовало а+р однотипных самолетов,
из которых а являлись носителями специального оружия. В воз-
душном бою сбито s самолетов. Какова вероятность, что г из них
являлись носителями специального оружия? Рассчитать эту вероят-
ность при а = 2, р = 8, s = 5, г=1.
Решение. Обозначим через Е^ элементарное событие, озна-
чающее сбитие s самолетов из общего их числа а+р. Таких собы-
14
ТИЙ П==С^+р . Эти события равновозможные, так как все самолеты
однотипные.
Из а самолетов со специальным оружием г самолетов можно
выбрать способами, а из р самолетов без специального оружия
s — г самолетов можно выбрать С|~г способами. Поэтому число
равновозможных исходов, при которых будет сбито г самолетов-
носителей специального оружия, равно т=₽<?С|~г, Искомая ве-
роятность
Р(А} _ wr
При указанных числовых данных
г* ip 4
Р(Л) = -^_ = -5- .
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
При классическом определении вероятности появления собы-
тия А предполагается, что число п возможных исходов и число т
благоприятствующих событию А исходов конечные или счетные,
т. е. все указанные исходы можно пронумеровать. Можно проиа-
вести обобщение формулы (2.1), отказавшись от предположения
о счетном числе равновозможных исходов. Такое обобщение можно
получить, например, в случае, когда возможным исходом испыта-
ния является положение случайной точки в некоторой области,
если попадание этой точки в равновеликие части области равно-
возможно.
— L -
Рис, 2
Рассмотрим сначала простейший случай, когда положение
точки определяется одной координатой. Предположим, что на от-
резке длины L наудачу выбрана точка. Требуется определить веро-
ятность того, что эта точка лежит на отрезке длины ЛА, являю-
щемся частью исходного отрезка (рис. 2). Чтобы для вычисления
искомой вероятности можно было воспользоваться формулой (2.1),
разобьем отрезок длины L на п одинаковых частей, длина каждого
из которых Д ——. Под исходом £к будем понимать событие,
15
состоящее в том, что наудачу выбранная точка попадет в #-й отре-
зок длины Д (& = 1, 2,. . ., п). Так как точка выбрана наудачу, то
ее попадание в любой из п отрезков равновозможно. Поэтому со-
бытия Е^ (k = 1, 2,. .., п) равновозможные. Кроме того, они несов-
местные и образуют полную группу.
Если выбрать п достаточно большим, то можно считать, что
отрезок длины L\ содержит целое число т отрезков длины А, где
Ад -г	т	L\
т —~—п. 1огда отношение-----——— не зависит от спосооа раз-
L	п	L
биения исходного отрезка на интервалы длины Д и является объ-
ективной оценкой возможности появления случайного события А.
Таким образом, если длина всего отрезка равна L, а длина
части этого отрезка, попадание на которую наудачу выбранной
точки благоприятствует событию А, равна Ед, то искомая вероят-
ность
Р(Д)=-^-.	(3.1)
Если точка выбрана наудачу в плоской области с площадью S,
а событию А благоприятствует часть этой области с площадью SA,
то, производя аналогичные рассуждения, получим, что вероятность
события А определяется формулой
Р(Л)=-Г*_.	(3.2)
Данная формула справедлива и в том случае, когда исходная
область G имеет любое число измерений
Таким образом, если попадание точки в любые равновеликие
части некоторой области G произвольного числа измерений равно-
возможно, то вероятность события А равна отношению меры (дли-
ны, площади, объема и т. д.) части области, попадание в которую
благоприятствует событию А, к мере всей области G.
Геометрический подход к определению вероятности может быть
использован только в том случае, когда вероятность попадания
точки в любую часть области G пропорциональна мере этой части
и не зависит от ее расположения и формы. Поэтому применение
общей формулы (2) для расчета вероятности события А возможно
только в том случае, когда в качестве координат случайной точки
выбраны параметры, относительно которых выполняется указанное
условие.
Рассмотрим примеры, при решении которых используется гео-
метрическое определение вероятности.
Пример 3.1. Определить вероятность подрыва корабля при фор-
сировании минного заграждения, если якорные контактные мины
поставлены в один ряд через интервал /, а курс корабля с линией
мин составляет угол q. Пересечение кораблем лцнии мин равновоз-
можно в любой точке. Ширина корабля В, диаметр мины d.
16
Решение. Учитывая симметрию в расположении мин, за об-
ласть возможных положений точек пересечения курсом корабля
"линии мин можно принять отрезок 00}=J этой линии, симметрич-
ный относительно мины, ближайшей к курсу корабля (рис. 3). Ко-
рабль подорвется, если точка пересечения курса с отрезком ОО{
отклонится от центра мины в любую сторону не больше чем на
B + d	B-^d
—1---. Поэтому при </ длина отрезка, благоприятствую-
В 4- d т-г В d
щая подрыву, равна £д ~—sirT#” ’ А	лю°ое положе*
ние точки пересечения курса корабля с линией мин благоприят-
ствует подрыву корабля, т. е. La = J. Поэтому по формуле (1) при
L = J получим
B-\-d
Jsin q
1
при В ф-d < Jsin # ;
при B-^d~^ J sin#.
Пример 3.2. Подводная лодка движется вдоль пролива шири-
ной L со скоростью и. Сторожевой корабль, пересекая пролив по-
перек со скоростью v, осуществляет постоянный поиск. Дальность
действия установленного на корабле прибора обнаружения равна г
(r<L). Определить вероятность того, что сторожевой корабль об-
наружит подводную лодку, если пересечение курсов лодки и ко-
рабля равновозможно в любом месте пролива.
Решение. Задачу удобнее решать, учитывая относительное
перемещение. Поэтому будем считать, что подводная лодка непод-
вижна, а сторожевой корабль имеет скорость w — v — и (рис. 4).
Вектор w относительной скорости корабля составляет -е вектором v
2
17
V
угол ф, определяемый равенством ctg<p= —. Считая <р=#0, т. с.
и ф 0, получаем, что лодка будет обнаружена в том случае, если
расстояние точки Л от точки пересечения курсом корабля прямой
001, проходящей через точку Л перпендикулярно к вектору и} бу-
Г	/~	/ V
дет не больше —;---—г}/ 1 +	,
sin <р у \ и /
Обозначим через х и у расстояния соответственно от корабля и
от лодки до одного из берегов в момент нахождения корабля на
прямой 00]. По условию значения х и у равновозможны в интер-
вале (О, L). На плоскости хОу этим значениям соответствует
квадрат, площадь которого S = L2 (рис. 5).
Сторожевой корабль обнаружит подводную лодку, если
являются уравнениями прямых, ограни-
чивающих область изменения благоприятствующих значений х и у.
L площадь области, попадание в которую
18
благоприятствует случайному событию А (обнаружение подвод-
ной лодки), совпадает с площадью всей области, т. е. Sa=5. Если
В частном случае, когда сторожевой корабль неподвижен
(п = 0), вероятность обнаружения подводной лодки будет
(г V г ( г \
) = — (2--)-
Пример 3.3. При попадании в корабль торпеды образуется про-
боина радиусом 10 м. Определить вероятность того, что при по-
падании двух торпед образуется сплошная пробоина от 50-го до
75-го шпангоута, если расстояние между шпангоутами 1 м, длина
корабля 180 м, глубина хода торпед одинакова, а попадание рав-
новозможно в любое место борта.
Решение. Обозначим через х и у координаты центров взры-
вов, причем пусть для простоты х > у. По условию задачи воз-
19
ыожны любые значения х и у от 0 до 180 м. С учетом условия
х~^> у получаем, что область возможных значений х и у на плос-
кости хОу является прямоугольным треугольником с катетами по
180 м. Площадь этого треугольника S =	• 1802 м2.
Для того чтобы получилась сплошная пробоина, необходимо
выполнение неравенства х — у < 20 м. Чтобы пробоина была не
менее 25 м, должно быть х — у ф>5 м. Для того чтобы сплошная
пробоина была именно на интервале от 50-го до 75-го шпангоута,
должно быть 45 у 60 м, 65 <' х 80 м.
Рис. 6
Проводя границы указанных областей, получаем, что благо-
приятствующие значения х и у заключены в треугольнике, пло-
щадь которого = —152 л-t2 (рис. 6). Воспользовавшись форму-
лой (2), получаем

SA 7 15 \2
S ~ 180 )
1
144 ’
20
S 4 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероят-
ность этого события, вычисленная в предположении, что событие В
произошло. В том случае, когда Р(А/В) — Р(А), т. е. вероятность
события А не зависит от того, произошло или не произошло собы-
тие В, говорят, что событие А не зависит от события В. Если же
Р(А/В) =А Р(А), то событие А зависит от события В.
Чтобы пояснить смысл условной вероятности и вывести теорему
умножения вероятностей, обратимся к геометрической ‘ интерпре-
тации. Предположим, что испытание состоит в выборе наудачу
точки внутри некоторой области G, геометрическая мера которой
равна S (рис. 1). Попадание этой точки в любую равновеликую
часть области G будем считать равновозможным. Тогда при опре-
делении вероятности попадания точки в любую часть области G
можно использовать понятие геометрической вероятности.
Будем считать, что попадание случайной точки в область Оа
с геометрической мерой Sa эквивалентно событию А, а попадание
этой точки в область Gbc геометрической мерой Sb эквивалентно
событию В. Геометрическую меру области Gab, общей для GA и Gb,
обозначим через Sab. Попадание случайной точки в эту область
соответствует событию АВ.
Вероятности событий А, В и АВ определяются формулами:
Р(Д)=-^; Р(В) =	(4.1)
О	о	о
Если событие В произошло, то наудачу выбранная точка лежит
в области GB. При этом вероятность события А равна отношению
площади Sab, благоприятствующей появлению события АВ, к пло-
щади Sb благоприятствующей появлению события В. Поэтому
условная вероятность события А определяется формулой
Р(д/5) = _^_.	(4.2)
оВ
Аналогичным образом для условной вероятности Р(В/А) собы-
тия В получаем выражение
Р(В/А)= $42-.	(4.3)
Событие А не зависит от В, если Р(А/В)=Р(А), т. е. при
Sab Sa
= -Q-. В противном случае событие А зависит от события В.
ов	О
Для независимости события В от Л должно выполняться условие
Sab Sb	.
совпадающее с условием независимости события А
21
от В. Следовательно, если событие А не зависит от события В, то
и событие В не зависит от А, т. е. два события могут быть только
взаимно зависимыми или взаимно независимыми.
Теорема умножения вероятностей определяет связь вероятности
Р(АВ} произведения событий Я и В с вероятностью Р(Я) собы-
тия А и условной вероятностью Р(В/А) события В или с вероят-
ностями Р(В) и Р(А/В). Для вывода этой теоремы запишем веро-
ятность Р(АВ) произведения событий А и В в виде
г,' я Sab _____ Sa Sab _____ Sb Sab
=-5-=	•
Учитывая равенства (1) — (3), для вероятности Р(АВ) полу-
чаем следующую формулу:
Р(АВ)=Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В).	(4.4)
Итак, вероятность произведения двух событий равна произве-
дению вероятности одного из них на условную вероятность дру-
гого, вычисленную в предположении, что первое из этих событий
произошло.
Для независимых событий Р(А/В)=Р(А) и Р(В/А)=Р(В).
При этом равенства (4) принимают вид
Р(АВ)=Р(А)Р(В),	(4.5)
т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий.
Формулу (4) можно получить, исходя и не из геометрического,
а из классического определения вероятностей. Пусть из п равно-
возможных исходов £k (k= 1, 2,. .., п) событию А благоприят-
ствуют т исходов, а событию АВ — I исходов. В этом случае:
Р(Л)=-2-;	Р(.4В)=2~;	Р(В/Л)=-£.
Пг	•v	lib
Так как —— =	,то Р(АВ) =Р(Л)Р(В/Д), т. е. форму-
/2-	tTr
ла (4) справедлива и в этом случае.
Теорема умножения вероятностей, доказанная при классиче-
ском и при геометрическом определениях вероятностей, остается
справедливой и при аксиоматическом построении теории вероятно-
стей. В этом случае формула
РЩВ) = ~Рр(8Г	,4’6)
22
принимается в качестве определения условной вероятности при
Р(В) ф 0. Следствием равенства (6) является формула (4). Фор-
мула (4) может быть обобщена на любое число событий. Действи-
тельно, например, для трех событий А, В и С
Р(АВС) =Р(АВ)Р(С/АВ) =Р(А)Р(В/А)Р(С/АВ).	(4.7)
Рассуждая аналогичным образом, получим, что для вероятно-
сти произведения п событий Дь А2,.. .,Ап справедлива формула
/>(П Ak'\ = P{Al)P(AaIAi)P(A3IA1A3) . . . р(а„/п'лЛ (4.8)
\k=l /	\	к=1	/
События ДЬД2,..., Дп называются независимыми в совокупно-
сти, если вероятность произведения любого числа из них равна
произведению их безусловных вероятностей. Для независимости
в совокупности системы п событий (п>2) недостаточно их попар-
ной независимости (см. пример 4.4).
Когда события независимы в совокупности, формула (8) при-
нимает вид
(П	\	п
П Лк = П PW ,	(4.9)
к=1	/	к=1
т. е. вероятность произведения независимых событий равна произ-
ведению вероятностей этих событий.
Рассмотрим примеры применения полученных формул.
Пример 4.1. Определить вероятность того, что подводная лодка
пройдет через три линии минных заграждений, если вероятность
пройти через каждую из них равна 0,8. Как изменится искомая ве-
роятность, если предварительно разминировать первую линию за-
граждения?
Решение. Обозначим через Дк случайное событие, состоящее
в прохождении £-й линии (£=1,2,3). Событие, состоящее в про-
хождении трех линий, является произведением Д[Д2Дз трех собы-
тий. Используя формулу (8), получим
Р(Д 1Д2Дз) = .р (Д1) jP (Л2/Л1) Z3 (Д3/Л !Л2) = 0,83 = 0,512.
Если первая линия разминирована, то A^ — U, Д1Д2Д3=Д2Д3.
Тогда вероятность прохождения заграждений будет Р{А2АА='
= Р(Д2)Р(Д3/Д2)=0,82 = 0,64.
Пример 4.2. Вероятность захвата цели устройством самонаведе-
ния ракеты Рзау = 0,95. Вероятность попадания самонаводящейся
ракеты в цель Рсн =0,9. Определить вероятность Рп попадания ра-
кеты, если произошел захват цели устройством самонаведения.
Решение. Вероятность Рсн попадания самонаводящейся ра-
кеты в цель равна произведению вероятности Рзах захвата цели
23
устройством самонаведения на вероятность Рп попадания при усло-
вии, что произошел захват цели. Поэтому имеет место равенство
р	18
Рсн = РзахРа. Искомая вероятность Рп —	.
*за*	1
Пример 4.3. Имеется партия из а изделий (например, боепри-
пасы), среди которых р бракованных. Наудачу выбирается s
(s< а— р) изделий и производится их последовательная проверка
(отстрел). Партия принимается, если не окажется ни одного брако-
ванного изделия. Определить вероятность того, что партия будет
принята.
Решение. Обозначим через Ль случайное событие, состоящее
в том, что k-e из проверяемых изделий доброкачественное (k=\,
2,. . ., s). Тогда искомая вероятность
Р = Р(А{А2. . . Л) =
/	С'-1	\
= Р(Л,) Р(л2/л,) ... р д, / П Лк •
\	' к= 1	/
Событию благоприятствует а—р равноЕЮЗможных исходов
(число небракованных изделий) из общего их числа а. Поэтому
Р(Л ]) = а Если произошло событие то число оставшихся
изделий а—1, из них небракованных а—р—1. Поэтому Р(Л2/Л1) =
— ——\ Аналогично получаем Р(А3/А1А2)= — — .В об-
ОС “ 1	4	а — 2
щем случае
/WAV • •	=
g-р —(&- 1)
а — (А — 1)
(А= 1, 2,.. ,,s).
Искомая вероятность
__ / а — р \/ а—р— 1 \/ а — 3--2 \
& у а Д а — 1	Д а — 2	/
/ a^p-s_|_] \ (а —р)!(а-х)!
Д а — s 4-1 у а!(а — Р — х)!
или
24
Данную задачу можно решить и без применения теоремы умно-
жения вероятностей. Действительно, искомая вероятность равна
вероятности того, что среди взятых s изделий нет ни одного брако-
ванного. Общее число возможных способов взять s изделий из а
равно п = С*а. Из них благоприятствующих исходов т = С^С®_^ =
Cs
= поэтому р =	.
Пример 4.4. Имеется четыре бракованных снаряда: на одном по-
вреждена окраска, у другого смят ведущий поясок, у третьего
повреждено очко под взрыватель, а четвертый имеет одновременно
все три указанных дефекта. Пусть А, В, С— события, заключаю-
щиеся в том, что у первого наудачу взятого снаряда повреждена
окраска (Л), смят ведущий поясок (В), повреждено очко под взры-
ватель (С). Являются ли данные события независимыми попарно
и в совокупности?
Решение. Каждому из трех введенных событий благоприят-
ствуют по два исхода из четырех возможных. Поэтому Р(А) =
=Р(В)=Р(С) = -1-.
Если взят снаряд, у которого смят ведущий поясок (произошло
событие В), то вероятность того, что у этого снаряда повреждена
окраска, Р(А/В) = -1—. Аналогично находим, что
Р(А/С)=Р(В/А)=Р(В/С)=Р(С/А)=Р(С/В)= X '
Таким образом,
Р(А/В)=?(А/С)=Р(А) = -С ;
р(в/а)=р(в/с)=р(В)=
Р(С/А)=Р(С/В)=Р(С) = -1-,
а это означает, что события попарно независимые.
Если у снаряда смят ведущий поясок и повреждено очко под
взрыватель (произошло событие ВС), то это значит, что взят чет-
вертый снаряд. Вероятность того, что у этого снаряда повреждена
окраска, равна единице. Следовательно, Р(А/ВС) =1. Аналогично
получаем, что и Р(В/АС) — Р(С/ЛВ) = \.
Так как величины условных вероятностей получились отлич-
ными от Р(А), Р(В) и Р(С), то события А, В, С не являются неза-
висимыми в совокупности.
25
§ 5. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теорема сложения вероятностей позволяет выразить вероят-
ность Р(А+В) суммы двух случайных событий А и В через веро-
ятности Р(А) и Р[В} этих событий и вероятность Р{АВ) их про-
изведения. При выводе этой теоремы воспользуемся сначала гео-
метрической интерпретацией. Вероятности событий А, В и АВ
в этом случае определяются равенствами (4.1). Случайному собы-
тию А + В из общей области G с геометрической мерой S благо-
приятствует область Ga+b , являющаяся объединением областей Од
и GB (рис. 1). Геометрическая мера этой области Sa+b — SA -|-Sb—
—Sab, а потому
SA  Sb Sab	/t- , \
—S~ = “ + T----------------S-'	(5Л)
£
Так как P(A +B) =—то с учетом равенств (4.1) из (1)
О
получаем
Р(Д+В)=Р(Д)+Р(В) — Р(АВ).	(5.2)
Таким образом, вероятность суммы двух случайных событий
равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произ-
ведения.
Если события А и В несовместные, т. е. АВ=У, то Р(АВ)=0.
То-гд а
Р(А + В)=Р(А)+Р(В),	(5.3)
Таким образом, вероятность суммы двух несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий. В частном случае, когда
В=А, а потому A+-B = A+A = IJ, из (3) следует, что 1=Р(А) +
+Р(<4), т. е.
<7=1-—/?,	(5.4)
где обозначено:	__
Р=В(А);	q=P(A).	(5.5)
Теорему сложения вероятностей можно доказать и пользуясь
классическим определением вероятности. Пусть случайному собы-
тию А благоприятствует т равновозможных исходов из их общего
числа п, событию В — I исходов, а событию АВ — k исходов. Тогда
Р(А + В) = m+^~k. Так как Р(Д) = Р(В) = -^(АВ) = А :
то Р.(А + В) = Р(А) + Р(В)—Р(АВ), т. е. формула (2) справед-
лива и в этом случае.
Теорема сложения вероятностей, доказанная при классическом
и при геометрическом определениях вероятностей, остается спра-
ведливой для любых случайных событий, имеющих вероятности.
При аксиоматическом построении теории вероятностей формула (2)
следует из основных аксиом теории.
Формула (2) может быть обобщена на любое число слагаемых.
Например, для трех событий А, В и С находим
Р(Д + В + С)=Р(Д + В)+Р(С) — Р[(А + В)С].
Так как
Р[(Л+В)С] = Р(ДС)+Р(ВС) — Р(ДВС),
то с учетом (2) получаем
Р(А+В + С)=Р(А)+Р(В)+Р(С) —Р(АВ) — Р(АС) —
— Р(ВС)+Р(ЛВС).	(5.6)
Для суммы п событий Аъ А2,..Ап методом индукции может
быть доказана следующая формула:
р 12 лч = 2 р (At> ~ 2 2 р (>Mi) +
\k=l /	к=1	k=lj = k+l
п—2 п—1 п	/ п \
+2 2 2₽(ааа)-•  •+(-i)"-,p па .	(5.7)
1 j=k+l i=j+1	\к=1	/
Если события Д], Аа,..., Ап несовместные, то из (7) получаем
р(2Лк)==2 Р(‘4‘)’	<5-8>
\к =1	/	к=1
т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме веро-
ятностей этих событий.
Если вероятности произведений событий А{ не зависят от номе-
ров событий, входящих в произведения, и определяются только
числом сомножителей, то формула (7) упрощается и принимает
вид
a')=cip(41)-cjp(4H2) +
\к=1	/
ДС^РИИИз)- • • • -I- (--1 )П-‘Р (П А |
\к=1	/
ИЛИ
(и	\ п	/ к	\
а = 2 (- 1)‘-’с;р П А .	(5.9)
к=1 /	к=1	\j=l /
Используя общую формулу (7), можно получить выражение
(n \
f] Дк ] произведения п событий через вероят-
к=1	/
27
ности сумм различных комбинаций сомножителей. Для вывода со-
ответствующей формулы запишем равенство (7) применительно
к противоположным событиям. Тогда
Д2а)=2 ₽(а)-У У р<аа) +
\k=l / к=1	к = 1 j-k-J-1
п—2 п—1 п _____	___
+2 2 2 ^<ааа)
к= 1 j = k 4-1 i=j +1
+ (-1Г'р(П А
\к = 1
(5.10)
С помощью (1.8) и (1.9) получаем:
Д2а)=/’(па) = 1-р(п а) ;	(5.11)
\к=1	/	\к=1	/	\к=1	/
р(па') =₽(2 a)=i -р(2 а
\к=1	/	\к=1	/	\к=1
(5.12)
(Г= 1,2,.. ., «).
Подставляя эти вероятности в (10) и учитывая, что
1 + 2 (- i)kc«‘ =2 (-i)kc„k=(i-i)"=o,
к=1	к=0
приходим к следующей формуле для вероятности произведения
п событий:
(п \ п	n—1 п
Па =2Р(а>~2 2 р<а+а) +
к-1 / к=1	k=lj=k+l
п —2 п— 1 п
+2 2 2 /ча+а+а)-. •.+
к=1 j=k+l i=j+1
+ (-i)”-^[2Ay
\к=1	/
(5.13)
Пример 5.1. С двух подводных лодок по одной цели выпущены
ракета и торпеда, причем вероятности их попаданий соответственно
равны pi и р2. Определить вероятность того, что будет хотя бы одно
попадание в цель.
Решение. Пусть событие А — попадание ракеты, В — попада-
ние торпеды. По условию Р(А)=р}, Р(В)=р2. События А и В
независимые, поэтому Р(Л5) = Р(А)Р(В) —pip2.
28
Используя формулу (2), получаем вероятность того, что в цель
попадет ракета или торпеда или будет иметь место совместное по-
падание торпеды и ракеты
Р (А +В) ~Р(А)+Р (В) ~ Р (АВ) = Pi +р2 —ргр2.
Если ввести в рассмотрение события А и В, противоположные
попаданиям ракеты и торпеды, то данную задачу можно решить
другим способом. Действительно, вероятность того, что не будет ни
одного попадания,
9=Р(ДВ)=Р(Д)Р(В) = (1-/>1)(1-р2).
Тогда
Р(Д + В)=1 — q—\ — (I — pj (1 —Рг)=Р1 + р2 — Р1Р2.
Пример 5.2. Вероятность подрыва корабля на k-й мине (&=1,
2, . . ., и) минного заграждения, поставленного в одну линию,
равна р	Минное заграждение пересекается последова-
тельно и независимо друг от друга кораблями, причем пересечение
линии мин для каждого корабля равновозможно в любом месте.
Определить вероятность подрыва m-го корабля.
Решение. Обозначим через A k случайное событие, состоящее
в том, что на k-й мине т— 1 кораблей не подорвутся, а т-й по-
дорвется (k = 1, 2,..., и). Вероятность такого события Р(Ак) =
где q=l—р. Искомая вероятность Р =	.-+ДП).
Так как т-й корабль может подорваться только на одной мине,
то события А1} А2,..., Лп несовместны. Воспользовавшись форму-
лой (8), получаем
Р = 2 р (Л) = nP(Al) =	.
k=l
Пример 5.3. На выполнение задачи п катеров шли в кильватер-
ной колонне. После выполнения задачи катера снова построились
в кильватерную колонну, заняв в ней места наудачу. Определить
вероятность того, что у т (т-^ п) катеров порядковые номера
в- колонне остались прежними.
Решение. Пусть событие А означает, что у т катеров поряд-
ковые номера сохранились, а событие В—-у остальных п—т
катеров порядковые номера изменились. Тогда искомая вероят-
ность р = Р(АВ)=Р(А)Р(В/А).
Случайное событие А можно представить в виде суммы Cnm
несовместных случайных событий, каждое из которых соответствует
определенной последовательности катеров, у которых порядковые
номера в колонне сохранились.,
29
Используя теорему сложения вероятностей для несовместных
событий с одинаковыми вероятностями, получаем
Р(Д)=сптР(ли2. . . лт),
где случайное событие Лк означает, что порядковый номер й-го ка-
тера сохранился.
Так как после перестроения места в колонне занимаются на-
удачу, то
^(Л) = 4-;	т/Л)=-г-Ц-;	р(л,!А1а2)=—^г
IL-	fl1 1	/*»
и т. д.
В общем случае
^(Лз/Л^Лд • • •	1) = ~	। < (s — 1, 2, . . • , tn).
Пг   S —Р 1
Поэтому вероятность события Л будет
1	1	1
Р(Л) = Спга-1----—L—_--------------Ц-тт =
n («—1) (л —т-|-1)
__ п\__________________________________________ 1
т\(п — т)\ п\	т\ ’
Условную вероятность Р(В/Л) представим в виде
Р(£/Л) = 1^Р(С),
где случайное событие С означает, что хотя бы у одного из остав-
шихся п — т катеров сохранился порядковый номер в колонне.
Пусть событие Ск (л=1,2,..., и—-иг) означает, что &-й из
оставшихся п—т катеров сохранил порядковый номер. Тогда
С=С!-|-С2+ ... +Сп_га. Имеем
Р(Ск) =----5----- ,Лг-- (^ = 1,2,. . . ,и-иг),
v ' n — m 1! С^_т	'
Р (ОД) =-7-----= 57-^--------------------
J/ (n — т)(п — т — 1)	2! С‘_т
(k =/=j = 1, 2, . . . , fi — m).
Аналогично предыдущему получим, что вероятности произве-
дений при равных количествах событий совпадают, причем
(s = 1, 2, • , . , п — т\*
30
Используя формулу (9), находим
п —П1
__1
2! С2
п™т
д. гз _____1
+ Ч-т 3!Сз_т
n —m
•tn—1
У (-1)"-'
Zj k\
k—i
n—in
Тогда P(AjB) = LL
k=0
n—tn
(~l)k
k\
а потому искомая вероятность
Р ml
к=0
Пример 5.4. При подрыве на любой мине затопляется с вероят-
/ 1 \
ностью pl	только один из п отсеков минного прорыва'
теля, который гибнет, если будут затоплены все п отсеков. Опре-
делить вероятность гибели минного прорывателя при т подрывах
(/и	п). Рассчитать эту вероятность при п = 3, т — 4, р = 0,2.
Решение. Обозначим через Ль событие, состоящее в затопле-
/ п \
нии £-го отсека = 1,2,..., п). Искомая вероятность Р=Р I Дк J
\к= 1	/
может быть определена по формуле (13). Так как вероятности
различных сумм событий A k («= 1,2,..., п) не зависят от номеров
этих событий, а определяются только числом слагаемых, то иско-
мая вероятность
/ п \
к^1
= С>пР(А,) - С°Р(А, + А1) + С°Р(А,+А2+А,)-...
fn	\ n	/ k \
2 а) = У(- D,-'C‘p jx, .
‘ '	k=l	\>1 /
,к=1
При подрыве на одной мине вероятность затопления любого
из k отсеков равна kp. Вероятность того, что при т подрывах не
будет затоплен ни один из т указанных отсеков, равна (1—kp)m.
Тогда вероятность затопления хотя бы одного из k отсеков будет
fk
— kp)m .
at
Искомая вероятность
р (п а)=2 (- d'-c? [1 -d - kPr\.
\k=l / k=l
При указанных числовых данных находим
Р(ДИ2Л3) = 3(1 — 0,84) —3(1 — 0,64) + (1 — 0,44) -0,1344.
§ 6. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Пусть случайное событие А может произойти только вместе
с одним из п несовместных событий Н2,..Нп, образующих
полную группу. Вероятности Р(Нк) (&= 1, 2,..., я) данных собы-
тий, которые будем называть гипотезами, удовлетворяют условию
2/’№)=!.	(6.1)
к=1
Формула полной вероятности определяет связь вероятности
Р(Д) события А с вероятностями Р(Нъ) гипотез Як(&= 1, 2,.. ., п)
и условными вероятностями Р(А/Нк) события А при этих гипо-
тезах.
Чтобы получить указанное соотношение, воспользуемся равен-
ствами
(п	\	п
2я» )л = V/4-1.
к=1	/	к»1
При k ^=j	= V, следовательно, и (ЯкЛ) (Н,А) = V
{k,/=1,2, .. ., п), а потому события НкЛ (k — 1, 2, ..., п) несов-
местные.
Воспользовавшись теоремой сложения для п несовместных со-
бытий, получим
P(A) = ^P(HtA).	. (6.2)
к=1
Так как Р(//кД) ==Р(//к)Р(Л///к), то формулу полной вероят-
ности (2) для вероятности события А можно записать в виде
P{A) = ^P(Ht)P(AIHk).	(6.3)
к=1
Рассмотрим применение формулы полной вероятности на при-
мерах.
32
Пример 6.1. Эсминец может пройти вдоль пролива шириной
3 км в любом месте. Вероятность подрыва на мине в левой части
пролива, имеющей ширину 1 км, равна 0,2, а на остальной части —
0,6. Найти вероятность того, что эсминец благополучно пройдет
пролив. Определить вероятность дважды форсировать пролив, не
подорвавшись на мине, при прохождении его по одной и той же
части пролива.
Решение. Пусть событие А означает благополучное форси-
рование пролива. Гипотеза Hi —эсминец идет по левой части про-
лива, Н2— по остальной. Так как положение курса эсминца рав-
1	2
новозможно в любой части пролива, то P(Hi) — —, Р(/А)=-—- .
О	о
По условию: Р(А!Н^ = 1 — 0,2 = 0,8; P(AjH2) = 1 — 0,6 = 0,4.
Поэтому вероятность того, что эсминец благополучно пройдет про-
лив один раз, будет
1	2
-0,8+4- -0,4 = 0,533.
о	о
Обозначим через В случайное событие, означающее благопо-
лучное форсирование пролива дважды по одной и той же части.
Гипотезы Н\ и Н2 остаются прежними. Условные вероятности со-
бытия В будут: P(B/Hi) =0,82, Р(В/Н2) =0,42. Поэтому
1	2
Р(В) = — -0,82 + +-0,42 = 0,320.
О	о
Пример 6.2. Известны вероятности Рп-т того, что при п выст-
релах будет ровно >п попаданий в цель, и вероятности Р(т) пора-
жения цели при т попаданиях в нее (т = 0,	Определить
вероятность поражения цели при п выстрелах. Найти эту вероят-
/ 1
иость в случае, когда Pn;tn —	a P(m) — 1 — 1— — j ,
где р—вероятность попадания в цель при одном выстреле; q=l— р,
а (в — среднее число попаданий, необходимое для поражения цели.
Решение. Пусть гипотеза II т означает, что при и выстрелах
будет ih попаданий в цель (m = 0, 1, .. ., п). Событие Л— пораже-
ние цели при п выстрелах.	z
По условию задачи Р(Нт) =Р П;ГП, Р(Л///т) =Р(щ). Применяя
формулу полной вероятности, находим
₽(Д)=
m=0
3
33
Подставляя выражения для Рп;Я1 и Р(гп), получаем
И	Г /	1 \ 111
/>(Л) = 2	1 _ h _ )
m=0	L \	/
= (Р + 9)П -
Так как p + q = 1, то
Р(Л) = 1- ( 1 —
Пример 6.3. Для поисков пропавшего самолета выделено п вер-
толетов, каждый из которых может быть использован для поисков
только в одном из двух возможных районов, где самолет может
находиться с вероятностями р и 7=1 —р.
Как следует распределить вертолеты по районам поисков, что-
бы вероятность обнаружения самолета была наибольшей, если
каждый вертолет обнаруживает находящийся в районе поиска са-
молет с вероятностью Р (Р -/-0 и Р -/1), а поиски осуществляются
каждым вертолетом независимо от других? Найти вероятность
обнаружения самолета при оптимальном распределении вертолетов
по участкам поиска, если /г = 6, р = 0,8, Р = 0,5.
Решение. Предположим, что в первый район выделено т вер-
толетов, а во второй п — т. Обозначим через гипотезу, озна-
чающую нахождение самолета в первом районе, а через Нг— во
втором. Событие А — обнаружение самолета. Так как достаточно,
чтобы самолет был обнаружен хотя бы одним вертолетом, то
— \ — (1-P)m, Р(АДР>) = 1 -(1 — Р)п-т.
По формуле полной вероятности находим при Р(Н\) = р,
Р(Я2) = 1-р,
Р(А) = р [1 - (1 - Р)т] + (1 — р) [1 - (1 - P)n“tn].
Поиск организован оптимальным способом, если вероятность
Р(А) в зависимости от числа т будет наибольшей. Чтобы найти
приближенное значение т, будем считать в выражении для Р(А)
неизвестное т непрерывной переменной. Тогда экстремальное зна-
dP(A) п
чение т можно определить из условия —- = 0.
Имеем = [- Р (1 -РГ + (1 ~Р) (1 -	]In (1 - Р).
34
Полагая —= 0> получаем (1—P)2m n — -	,т. e. при-
ближенное значение m, при котором вероятность ^(Л) достигает
наибольшего значения, определяется формулой
1	Г t 1 — р ~ l°g р L"1 logo -pjj 
Результат вычисления по данной формуле должен быть округ-
лен до ближайшего целого числа (или нуля) в диапазоне от 0 до п,
так как О С /и С Л.
При указанных числовых данных
1 _ ,
m— СТ \
lg0^\
S 0,8	1
д—— / о 4~ 2) — 4
1g 0,5 )	1
т. е. в первый район следует послать четыре вертолета, а во вто-
рой— два. Вероятность обнаружения самолета при этом будет
Р(Д) =0,8(1	0,5>) + 0,2(1 — 0.5Д -0,9.
§ 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ГИПОТЕЗ ПОСЛЕ ИСПЫТАНИЯ
(ФОРМУЛА БАЙЕСА)
Пусть случайное событие А может произойти только вместе
с одной из п гипотез Яь Н2, . . ., Нп, которые образуют полную
группу несовместных событий. Известны вероятности Р(Як)
2,. . ., п) этих гипотез до проведения испытания и вероятности
Р(А/Нк) наступления события А при каждой гипотезе. Формула
Байеса позволяет вычислить вероятности Р(Як/Д) (k= 1,2, . . п)
гипотез Нк после того, как в результате испытания было установ-
лено появление события Д, или, что то же самое, вероятности того,
что событие А произошло вместе с Нк (k=\,<2,..., и).
Для вывода этой формулы применим теорему умножения веро-
ятностей к произведению событий А и Як, записав ее в двух видах,
Р(АНк) — Р(А)Р (Нь/А)	Р (Hk) Р (А1Нь).	(7.1)
Рассматривая последнее равенство в (1) как уравнение относи-
тельно Р(Як/Д), получаем формулу Байеса
=	(fe = l,2,..., »).	(7.2)
35
где вероятность Р(Д) события А определяется по формуле полной
вероятности, т. е.
Р(А)=^Р(Н1)Р(А/Н^.	(7.3)
к=1
Вероятности Р(Нк/Л) (k= 1,2,.. ., и) гипотез Як после испыта-
ния, в результате которого произошло событие А, часто называют
апостеорными вероятностями в отличие от вероятностей Р(Н^),
называемых априорными (до испытания) вероятностями гипотез /7к
(k= 1, 2,. . ., п).
Просуммировав равенства (2) по всем значениям k, получим
п	п
Ер	>=рЬ Sр	р (=ЯЯ *
к-1	к-1
т. е.
VP(7/t/A)^l. .	(7.4)
к=1
Таким образом, после проведения испытания гипотезы //к
(k — 1, 2,.. ., п) также составляют полную группу событий.
Рассмотрим примеры применения формулы Байеса.
Пример 7.1. С подводной лодки по берегу выпущены ракеты,
поразившие цель. Стрельба могла производиться только с одной из
трех позиций, вероятности занять которые равны соответственно
0,2, 0,3 и 0,5. Вероятности поражения цели с данных позиций соот-
ветственно равны 0,9, 0,8 и 0,6. С какой позиции вероятнее всего
произведена стрельба?
Решение. Пусть событие А означает поражение цели, а ги-
потеза Як (£=1,2,3) означает, что стрельба произведена с £-й
позиции. По условию:
Р(/Л)=0,2;	Р(Я2)=0,3;	Р(Я3)=0,5;
Р (A/HJ =0,9; Р (А/Н2) =0,8; Р (А/Н3) =0,6.
Используя формулу полной вероятности, находим
Р(А) =о,2 - 0,9 + 0,3 • 0,8 + 0,5 • 0,6 = 0,72.
Вероятности гипотез после установления факта поражения цели
будут:
Р(Н,/Л)=	; p(//s/4)= 0^8 = > ;
V,/ £	х	V, 1 А	О
Р(я3М) = -2^-=1|-.
36
Так как наибольшей является вероятность Р(Н3/А), то вероят-
нее всего, что стрельба произведена с третьей позиции.
Пример 7.2. Получена партия из восьми изделий. При проверке
половины партии три изделия оказались технически исправными, а
одно — бракованным. Какова вероятность, что при проверке трех
последующих изделий одно из них окажется исправным, а два —
бракованными, если любое количество бракованных изделий в дан-
ной партии равновозможно?
Решение. Пусть случайное событие А означает, что из четы-
рех взятых изделий три исправных, а одно бракованное. В качестве
гипотезы Як (jfe=0, 1,..8) возьмем событие, означающее, что
среди восьми изделий имеется ровно k исправных. До первой про-
верки изделий все введенные гипотезы равновозможны, т. е.
/4/4)=- (*=0,1,.-,8).
Если в партии из восьми изделий исправных k, а бракованных
8 — k, то вероятность взять три исправных изделия и одно^брако-
ванное определяется формулой
r-з Г1
Р(А/Як)= -kJk- (& = 0, 1,..., 8).
Яд
Отсюда получаем, что
/’(А/Яо) = О; Р(А/Н,) = 0-, Р(А/Н,) = 0-, P(Ajfi3) =А-;
1пг
8	4	4
Р(Л/Н,)=^-; P(A/Hs) = f; Р(А/Не)=-^;
Р{А)Н1) = ^-, Р(А/Н„) = 0.
Используя формулу полной вероятности, находим
р(л) = дг(п + з5 + Т + Т+ т) = °’2,
После проверки половины партии, в результате которой про-
изошло событие А, согласно формуле Байеса для вероятностей
гипотез получаем следующие значения:
Р(Н0/А) = P(ffJA) = Р(Нг/А) = Р(Я8М) = 0; P(HJA) = А.;
iZo
=	P(Hs/A)=£; Р(Я,/Л) = |9; Р(Н1/А)=^.
UQ	ОО	10
37
Обозначим через В случайное событие, состоящее в том, что при
проверке трех последующих изделий одно из них окажется исправ-
ным, а два — бракованными. Данное событие может произойти
только совместно с гипотезами Нь и Я5, так как только в этом слу-
чае общая партия содержит не менее четырех исправных и трех
бракованных изделий. Вероятности указанных гипотез после пер-
вой проверки равны соответственно й и к?  Вероятности собы-
DO	л* 1
тия В при этих гипотезах будут
С}С23	3
Р{В1Н,)=—
С'С? 1
Р(В/Н5} — —~
Воспользовавшись формулой
полной вероятности, получаем
pW = 6-3 • Т
5_ 1 = 1
21' 2	14 '
§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПОЯВЛЕНИЯ СОБЫТИЯ
ПРИ СЕРИИ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ С ДВУМЯ
ВОЗМОЖНЫМИ ИСХОДАМИ
Предположим, что производится серия из п независимых испы-
таний, в результате каждого из которых происходит событие А или
событие А. Вероятность Р(А) появления события А при различных
испытаниях может оставаться неизменной или меняться от испы-
тания к испытанию. Независимость испытаний означает, что веро-
ятность появления события А при любом испытании не зависит от
результатов предыдущих испытаний.
Примером независимых испытаний являются последовательные
выстрелы, если прицеливание производится перед каждым выстре-
лом. В том случае, когда стрельба ведется при неизменных усло-
виях, вероятность попадания в цель будет одна и та же при каж-
дом выстреле. Если условия стрельбы от выстрела к выстрелу из-
меняются, то меняется и вероятность попадания. Однако в обоих
случаях производимые испытания (выстрелы) являются независи-
мыми.
При решении многих прикладных задач возникает необходи-
мость определения вероятности РП;т того, что при серии из п неза-
висимых испытаний событие А произойдет ровно т раз (т = 0,
1,..., п). Такие задачи возникают в теории стрельбы, контроле
качества продукции, в теории массового обслуживания и т. д.
Найдем указанную вероятность сначала в простейшем случае,
когда вероятность появления случайного события А при каждом
38
испытании одинакова и равна р, а потому вероятность q появления
противоположного события А при каждом испытании равна
q=l—p-
Обозначим через Ак случайное событие, означающее появление
события А при k-м испытании (&= 1, 2,.. п). Введем также слу-
чайное событие Qm, состоящее в том, что при п испытаниях собы-
тие А произойдет ровно т раз. Данное событие может быть пред-
ставлено в виде суммы несовместных событий. Каждое из них
является произведением из т событий типа Ак и п — т событий
типа Ак. Любое слагаемое соответствует одному из возможных
способов появления события А ровно т раз при п испытаниях. Ко-
личество таких слагаемых равно числу способов выбрать т раз-
личных вариантов из п возможных, т. е. их число равно С™.
Таким образом, можно записать
Qua === -Д-Д ' * ’ Atn^m + 1 Агп4-2 ' ‘ 'Ап “Ь А-^Ад ' ' ' Am-1 AmAin + i • • • Ац—1 X
X Ап 4“  • •+ AlA2- ' • An-т Ап—т+1Ап—т+2’ ' ’Ад.	(8-1)
Первое слагаемое в правой части равенства (1) соответствует
случаю, когда событие А происходит при первых т испытаниях, а
затем не происходит. Последнее слагаемое соответствует другому
крайнему случаю, когда при первых п — т испытаниях событие А
не происходит, а затем происходит т раз подряд.
Искомая вероятность РП;т того, что при п испытаниях собы-
тие А произойдет ровно т раз, равна вероятности события Qm, т. е.
Рп;т — Р (Qm)  Так как событие Qm является суммой С“ несовмест-
ных событий, то вероятность Рп;т равна сумме такого же числа
вероятностей слагаемых. Вероятность каждого слагаемого как про-
изведения п независимых событий равна произведению вероятно-
стей этих событий, т. е.	Поэтому для вероятности Рп>т
появления события А ровно т раз при п независимых испытаниях,
проводимых в одинаковых условиях, справедлива следующая фор-
мула:
Рп-,т	(8-2)
Вероятность Лп;1п равна (т+\)-у слагаемому в разложении
бинома
(/’+v)”=2c^k?"_k	<8-з)
к=0
по степеням р. Вследствие этого свойства совокупность вероятно-
стей Pn;m (m = 0, 1,.. ., п) называют биномиальным законом рас-
пределения.
События Qm (tn— 0, 1,. ./?) образуют полную группу. Поэтому
сумма вероятностей РП;ш равна единице. Это следует также из ра-
венства (3), так как р + 9=1. Через вероятности £n;m появления
39
события А ровно т раз при п испытаниях можно выразить и ряд
других вероятностей, представляющих интерес в приложениях. На-
пример, вероятность РП;т того, что при п независимых испытаниях
событие А произойдет не менее т раз, будет
п
Рп;т = 2 ^п;к -	(8.4)
к = т
п
Воспользовавшись равенством "V РП;к = 1, эту формулу можно
к=0
также записать в виде
m - 1
- 1- 2Ai;k.	(8.5)
«	к=0
При небольших т данная формула удобнее для вычисления ве-
роятности 7?п;т , чем формула (4).
Вероятность Рп;о того, что при п испытаниях событие А не про-
изойдет ни разу, равна Pn;o = q". Тогда вероятность Pn;i того, что
при п независимых испытаниях событие А произойдет хотя бы
один раз, согласно (5) определяется формулой
7?п;1 = 1<7П.	(8.6)
Формула (6) позволяет определить необходимое число испыта-
ний п, при которых событие А произойдет хотя бы один раз с веро-
ятностью не менее заданного значения Р. Заменяя для этой цели
в (6) 7?п;1 на Р и q на 1 — р, получим, что наименьшее значение п,
1п(1 - Р)
при котором выполняется указанное условие, равно ------------у-.
Вероятность Pn;i будет не менее заданного значения Р, если
In (1 -Р)
1п(1— р) •
(8.7)
Рассмотрим зависимость вероятности РП;т от числа пг при не-
изменном числе испытаний га.
Имеем
РП;т+1	(/г — т) Р
Рп;т	(гаг + 1) q
С помощью этого выражения находим, что
Рп; т + 1 Рп;т
Рп; т+1 = Рп;т
Рп; tn-f-l	Рп;т
при (га -|- 1)/? — 1 > гаг;1
при (га 4- I)/? — 1 — т;
при (га 1)Р — 1 < гаг. >
(8.8)
40
Из полученных соотношений следует, что при достаточно малых
значениях р, когда (п+ 1)р<1, вероятности Pn;m с ростом т мо-
нотонно убывают. В этом случае наибольшей является вероятность
РП;о, а потому наиболее вероятным исходом рассматриваемой
серии будет непоявление события А ни разу. При (п+ 1)р>1 веро-
ятности РП;т с увеличением т сначала возрастают, достигают
наибольшего значения, а затем убывают. Если (п+1)р— целое
число, то в соответствии со вторым соотношением из (8) сущест-
вует такое число т, при котором Pn;m+i ==Рп;т- В этом случае
максимальное значение вероятности Рп;т достигается при двух
значениях числа т: (н+1)р—1 и (п+1)р. Когда (п+1)р не яв-
ляется целым числом, наибольшее значение вероятности Ра;т
достигается при т = р, где ц — целая часть дробного числа (п-Ь1)р.
Число ц называется вероятнейшим значением числа появлений со-
бытия А в серии из п независимых испытаний. Если (п+1)р— це-
лое число, то вероятнейших значений два: р'=(п+1)р—1 и
р" = (л+1)л
Рассмотрим теперь более общий случай, когда независимые ис-
пытания могут производиться при различных условиях, и, следо-
вательно, вероятность появления события А может меняться от
испытания к испытанию. В этом случае искомая вероятность Рп;т
появления события А ровно т раз при п независимых испытаниях
также совпадает с вероятностью P(Qm) события Qm, определяе-
мого формулой (1). Все С™ слагаемых данного выражения также
являются несовместными событиями. Однако при вычислении ве-
роятности каждого слагаемого из (1) с использованием теоремы
умножения вероятностей для независимых событий необходимо
учесть, что Р(Ак) =рк, a Р(А k) = qk = I—pkt где рк—вероятность
появления события А при k-м испытании (k= 1, 2,.. ., п). Для ве-
роятности Pn;m появления события А ровно т раз при п испыта-
ниях получается следующее выражение:
Рп;ш = PiPs ' ' ' PmQm + 1 ^tn-J-2 ’ " ‘ Qn “I-Р1Р2 " ’ 'Pm 1	'
 • '7n	' Qn—rnpn—m-t lpn~IT.-?.' • -pn- (8-9)
Число слагаемых в правой части данного равенства равно С™.
Каждое слагаемое является произведением т сомножителей типа
Pj и п — т сомножителей типа </s, причем все и индексов у этих
сомножителей различные.
Зная вероятности Pn;m при различных значениях т, по фор-
муле (4) или (5) можно определить вероятность Дп;ш того, что
при п независимых испытаниях событие А произойдет не менее
т раз. В частности, вероятность 7?n;i того, что событие А про-
изойдет хотя бы один раз, может быть определена по формуле
п
/?п;1 = 1 - П 7k.	(8.10)
k=l
41
Расчет вероятности Рп;т может быть упрощен, если для этой
цели использовать производящую функцию G(u), определяемую
формулой
Ш«)= V«‘Pr,;b	(8.11)
k=0
где и— вещественная переменная.
Если вероятность появления события А при любом испытании
одна и та же, то выражение (11) с помощью (2) приводится к виду
О (и) — (q + ир)п.	(8.12)
При различных вероятностях (k = 1, 2, .. ., и) производящая
функция (11) может быть представлена следующим образом:
О(«) = П(?к + «Л)-	(8-13)
к=1
В справедливости последней формулы можно убедиться, если
представить выражение (13) в виде полинома и сравнить коэффи-
циенты при wm (щ = 0, 1,. .«) с вероятностями (9).
Зная производящую функцию G(u), вероятность Рп;т можно
найти как коэффициент при нтв разложении этой функции по сте-
пеням и, определяемый формулой
1 dmG(u)
т\ dum
(8.14)
Например, для производящей функции (12) формула (14) дает
Рп\т
—-----—------ptn^n-m
т\ (« — т}\ 1 4
что совпадает с (2). Точно так же с помощью (14) из (13) полу-
чается выражение (9) для вероятности Pn;m. Если, например,
т=\, то в последнем случае находим
п	П	П
₽-= (8,|5)
k=l	j = l к=1
Рассмотрим примеры применения формул данного параграфа.
Пример 8.1. Транспорт гибнет от попадания двух авиабомб
весом по 120 кг или одной авиабомбы весом 200 кг. Самолет может
взять любые авиабомбы одного типа общим весом не более 1200 кг.
Какого типа авиабомбы выгоднее брать, если вероятность попада-
ния авиабомбы первого типа равна 0,06, а второго — 0,08?
42
Решение. Нужно брать те авиабомбы, с помощью которых
можно добиться наибольшей вероятности потопления транспорта.
Если взято шесть авиабомб по 200 кг, то вероятность гибели
транспорта равна вероятности хотя бы одного попадания Ад-
Так как в этом случае вероятность попадания каждой авиабомбы
равна р-0,08 (q= 1 — р = 0,92), то Ад = 1 — q° = 1 — 0,92б = 0,394.
Когда взято десять бомб по 120 кг, вероятность гибели транс-
порта равна вероятности того, что будет не менее двух попаданий.
Вероятность попадания каждой авиабомбой в данном случае
/7 = 0,06 (7 = 0,94). Искомая вероятность /?102 = 1 — Аоо — Pw,i —
= 1 —710-CJ0/779 =_-1 — 0,9410- 10-0,06-0,949=^ 0,118.
Из сравнения полученных вероятностей следует, что нужно
брать бомбы по 200 кг.
Пример 8.2. Минное заграждение в одну линию состоит из п мин.
Установка прибора кратности каждой из них равна k, т. е. при
прохождении над данной миной первые k—1 кораблей не вызы-
вают взрыва, а /г-й корабль подрывается. Вероятность прохожде-
ния каждого корабля над s-й миной заграждения (s = 1, 2,.. ., п)
одинакова и равна р !/?<- — I . Определить вероятность подрыва
m-го корабля (т>&).
Решение. Обозначим через А случайное событие, означаю-
щее, что из пг— 1 кораблей над одной из мин прошло k—\ кораб-
лей, а через В, что над этой миной пройдет m-й корабль. Тогда
вероятность подрыва m-го корабля на этой мине будет равна
Р(АВ)_ События А и В независимые, поэтому Р(АВ) =Р(Д)Р(В),
причем Р(В)=р. Вероятность события А равна вероятности того,
что из т— 1 кораблей над миной прошло k — 1 кораблей, а потому
Р(Д) = pm_1; k_j = Ckn~11pk~17m-k, где 7=1 — р.
Всего мин п, а события подрыва корабля на этих минах несов-
местны. Поэтому искомая вероятность
Р = пР (/1) Р (В) = nC^-_\pkqm~^
Пример 8.3. Определить, какое количество рядов мин следует
установить перпендикулярно предполагаемому курсу эсминца для
того, чтобы с вероятностью не менее 0,9 обеспечить подрыв эсмин-
ца, если расстояния между центрами мин в ряду равны 60 м, ши-
рина контактной поверхности мины—1 м, а ширина эсминца —
14 м. Относительный сдвиг рядов мин по фронту равновозможен
на любую величину от 0 до 60 м.
Решение. Вероятность подрыва эсминца на любом из п рядов
минного заграждения равна отношению благоприятствующей
этому событию длины 15 м (ширина эсминца плюс диаметр мины)
к возможной длине 60 м, т. е. р= Д-.
4
43
Необходимое число рядов мин, при котором обеспечивается
подрыв эсминца с вероятностью Р > 0,9, находим по формуле (7)
, 1
log-r^
log(l-P)
11 ^log(l -р) .	3	°-
log —
Пример 8.4. По цели независимо одна от другой сброшены десять
бомб, причем вероятность попадания каждой из них равна 0,4.
Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую веро-
ятность.
Решение. В данном случае 10, р = 0,4, а потому (и+1)р =
— 4,4. Наивероятнейшее число попаданий равно целой части этого
числа, т. е. ц = 4. Вероятность четырех попаданий из десяти будет
Ло;4= QoZ’V	cio°’4i  0.66 = 0,251.
Пример 8.5. Для обеспечения надежной работы прибора постав-
лены параллельно три элемента, причем прибор может работать
только в том случае, когда исправен хотя бы один из этих элемен-
тов. Вероятности безотказной работы элементов за время Т соот-
ветственно равны 0,9, 0,8 и 0,7.
Определить вероятность безотказной работы прибора за время
Т и вероятности отказов одного, двух и трех элементов, если отказ
любого элемента не изменяет вероятности безотказной работы дру-
гих элементов.
Решение. Для определения искомых вероятностей составим
производящую функцию (9) при п = 3, Р1=0,9, <71 = 0,1, р2 = 0,8,
(?2 = 0,2, /?з = 0,7, <7з = 0,3. В этом случае
G (и) — (0,1 + м0,9) (0,2 + и0,8) (0,3-1- иО,7) =
= 0,006 + 0,092и + 0,398и2 + 0,504иЗ.
Так как
з
G(«) = 2/W,
k=0
где Рз,к вероятность того, что из трех элементов безотказно за
время Т работают k элементов (k = 0, 1,2,3), то искомые вероят-
ности будут:
Рз,о = 0,006; Рза = 0,092; Р3,2= 0,398; Р3,3	0,504.
Вероятность безотказной работы прибора в течение времени Т
равна вероятности того, что будет исправен хотя бы один из трех
элементов. Поэтому указанная вероятность будет 7?з1 =1 — ^з-о =
-1 —0,006 = 0,994.
44
§ 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПОЯВЛЕНИЯ СОБЫТИЙ
ПРИ СЕРИИ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ С ЧИСЛОМ
возможных ИСХОДОВ, БОЛЬШИМ ДВУХ
Предположим, что при каждом из п независимых испытаний
может произойти только одно из k (k 2) событий Аь A2f. . ., Ak,
k
которые составляют полную группу, т. е. ^^А-} — U. Вероятности
j=i
pi, р2,. . Ръ появления этих событий не изменяются от испытания
к
к испытанию и удовлетворяют условию = 1, так как события
j=i
Aj (/ = 1, 2,. . ., k) несовместные. Определим при указанных усло-
виях вероятность /)п;п11, Ша,,.., mk того, что события АХ,А2,..., Ak
к
произойдут соответственно mb т2,..тк раз, где т. = п. Если
_ >1
k=2, то А2=АЬ а р2= 1—Pi. В этом случае вероятность
появления при п испытаниях тх раз события Ai и т2 раз события
А2 определяется формулой (8.2) при m = mb п — т — т2, р=рх,
q = p2. Так как С1* =-----—то
11 тх \т2\
п\
A:miIm==—т'—~х РХ'Р2*-	(9.1)
тх\т2\ 1 2
Чтобы получить выражение для искомой вероятности при k = 3,
положим А=АЬ А=А24-А3, т=тх. В этом случае Р(А)—рх,
Р (А) = Р (А2+А3) = р2 + Рз, п — т1 = ^2 + ^з, а потому, согласно
(8.2), вероятность Рп;|П| появления при п испытаниях тх раз собы-
тия А и т2 + т3 раз события А2+А3 будет
Рп. mi =	(р2-\-р3)тм.
Данная вероятность равна сумме одинаковых вероятностей
(р2 + Рз)т2+тянесовместных событий, каждое из которых состоит
в появлении тх раз события Ах и m2 + m3 раз события А2+А3
в определенной последовательности в серии из п независимых ис-
пытаний. Вероятность (Ра + Рз) т-,+'Пз можно представить в виде
суммы
иДи3
(р2+й)и-+"-= 2 с«.+«.л2,/'3п,1+”,^>
S—О
в которой (s+l)-e слагаемое является вероятностью того, что при
т2+/и3 испытаниях, при которых происходит событие А2 или А3>
45
s раз произойдет событие А2 и т2д-/п3— s раз произойдет событие
Л3 (s = 0, 1,. .т2 + т3). Полагая s = m2, получим, что вероятность
того, что произойдет т2 раз событие А2 и т3 раз событие А3, равна
/-•nis ппЪп'ть
ЬШ]+ш8 / 2 S3 •
Искомая вероятность Ря,талЛ появления событий Ль А2 и
Аа соответственно ть т2 и т3 раз определяется формулой
f>	— Г’п,1Пт1б’пЪ
^п;тпта,т1 — ^п1Рг l^mi+mjP2 Pi •
Так как
£т~т2	__ п\	+	_ /?!_________
п т,+т,	— mJ! т2!т3!	~~ тАт2\тА ’
то
/г!
= ДйГйТ р?‘р^’-	(9-2)
Если в результате испытания может произойти только одно из
четырех событий ЛЬЛ2, Л3 и Л4, то с помощью вероятности
,	^1|КкХ+^!'Р№т,(рИ'Л)ГО’1^
появления тх раз события А1} т2 раз события А2 и m3+m4 раз со-
бытия Л3 + Л4 по аналогии с предыдущим случаем получим сле-
дующее выражение для вероятности РП;1П1,m3,tn3,m4 появления собы-
тий Ль Л2, Л3 и Л4 соответственно т{, т2, т3 и т4 раз:
(9.3)
Делая аналогичный переход от соответствующей вероятности
для k—1 возможных исходов при каждом испытании к вероят-
ности для k возможных исходов, найдем искомую вероятность при
любом &>2. Вероятность Pn;nil,ni2,...,mk появления событий Л1?
Л2, ...,Лк соответственно т}, т2)..тк раз при п независимых
испытаниях и любом k > 2 определяется формулой
/г*
../га, !т2! ~... т,!	-	<9'4)
где
к	к
= щ	(9.5)
i=i	j=i
Вероятности	при любых т} (/=1,2,...,^) сов-
падают со слагаемыми в разложении многочлена (Р1+Р2+ •• +
+ Рк)п-. Их совокупность называется полиномиальным распреде-
лением.
46
Определяемая формулой (4) вероятность Рй;т1(т2,.. ,тк являет-
ся коэффициентом при	. и™к в разложении по степеням
аргументов следующей производящей функции:
G (1^,112,..., ик) = (р^ +р2н2 + . .. + А«к)п- (9-6)
Производя в последней формуле соответствующую замену
аргументов, иногда удается найти вероятности, получающиеся
из (4) путем суммирования по различным индексам. Выбор фор-
мул преобразования аргументов определяется существом задачи.
Пусть, например, нужно найти вероятность того, что событие Л1
при п испытаниях произойдет на I раз больше, чем событие А2.
Тогда в производящей функции (6) нужно положить = и2 =	>
щ = 1 (/=3,4,
Искомая вероятность является коэффициентом при и1 в разло-
жении по степеням и функции
к
1,...,1)=(й«+^+Ул у.
Если pj —	1, 2,..., ^) и требуется определить вероятность
того, что сумма номеров появившихся событий равна г, то следует
ПОЛОЖИТЬ Uj — lA (/= 1, 2,..., г).
Искомая вероятность является коэффициентом при иг в разло-
жении по степеням и функции
(\ ijn	Z/П / 1 _ \ п
«2...“ ) = р(1 + и + -'- + “ )Л=М-Т^г) •
Рассмотрим примеры применения формул настоящего пара-
графа.
Пример 9.1. В партии 90% изделий небракованные, 9% имеют
устранимый брак, а 1% изделий с неустранимым браком. Опреде-
лить вероятность того, что среди взятых наудачу трех изделий хотя
бы одно небракованное и хотя бы одно с устранимым браком.
Решение. Пусть событие А\ означает, что взятое изделие не-
бракованное, А2 — с устранимым браком, а Л3 — с неустранимым
браком. Вероятности этих событий P(^i) =Pi = 0,90; Р(А2)=р2 =
= 0,09, Р(Д3) =р3 = 0,01. Взяты три изделия, поэтому число испы-
таний п = 3. Искомая вероятность р равна вероятности того, что
среди взятых изделий хотя бы одно небракованное, т. е. 1,
и хотя бы одно с устранимым браком, т. е. т2 1, поэтому
47
Q|	Q|
р = Рз,1,1,1 + Рз,2,1,о + ^з,1,2,o—— уу|ур0,9-0,09-0,01 -f-	0,920,09-f-
3i
+	0,9-0,092 = 0,245.
Пример 9.2. По трем кораблям произведен залп ракетами, в ре-
зультате чего произошло девять попаданий. Каждая ракета с рав-
ной вероятностью могла попасть в любой корабль. Определить
вероятность того, что а) в каждый корабль попало по три ракеты;
б) в один корабль попало четыре ракеты, в другой — три, а в тре-
тий— две ракеты.
Решение. Пусть событие А, (/=1,2,3) означает попадание
ракеты в k-й корабль. По условию Р (А0 —у. Всего попало
девять ракет, т. е. число испытаний п = 9.
а)	По формуле (2) находим
Ра — ^9,3,3,3
9! /_1_\9
31313! I 3 /
— 0,085.
б)	Число перестановок из трех элементов равно 31, поэтому
9’ 7 1 \9
Рб = 3!Л>9432 = 3!	1 = 0,384.
Пр	имер 9.3. По двум целям произведено п двухснарядных зал-
пов, в результате каждого из которых возможно попадание только
1
в одну цель с вероятностью двумя снарядами и с вероятностью
— одним снарядом. Определить вероятность того, что в каждую
4
цель будет получено равное число попаданий.
Решение. Обозначим возможные исходы каждого из залпов:
Л] —в первую цель попало 2 снаряда; А2 — во вторую цель попало
два снаряда; Л3 —в первую цель попал один снаряд; А4 — во вто-
рую цель попал один снаряд; А5 — попаданий нет. Вероятности
этих событий следующие:
1	1	3
A=A = fg; А = л = т; й=-§-.
При этих вероятностях производящая функция (6) будет
(1	11	1	3
jg«1 + -jg «з	4- —	-J-— к5 j
48
Коэффициент при	в Ханной функции равен
вероятности того, что в первую цель будет 2mi + m3 попаданий, а
во вторую—2m2 + m4 попаданий. Искомая вероятность равна сумме
тех коэффициентов, для которых 2m1 + m3 = 2m2 + m4.
Примем «1 = ц2, «2= ^2» «?, = + «4 =	, «5=1, тогда
1	2 о 4	5
2
Одинаковое число попаданий будет в том случае, когда степень
у и равна нулю. Поэтому искомая вероятность равна
енту при «° в разложении функции 5(«)=G^«2;
1 (1 + «)4п
= т-^г ——— в ряд по степеням и, т. е.
16
коэффици-
1 Л
и- .—; 1 —
И /
1 Г’Эп
16п 4п‘
Пример 9.4. Датчик случайных чисел с равной вероятностью
выдает любое целое число от 0 до k. Определить вероятность того,
что
а) сумма п случайных чисел будет равна заданному числу I,
где 0 < I < ttk\
б) сумма п случайных чисел не меньше заданного числа
S
в) две суммы по п случайных чисел одинаковые.
Решение, а) Будем считать, что испытание состоит в выборе
наудачу одного числа. Тогда выбор п чисел эквивалентен прове-
дению п испытаний. При каждом испытании имеется /г+1 равно-
возможных исходов Ао, Д1,. . Лк, причем Aj соответствует полу-
чению с датчика числа / (/ = 0, 1,..., k).
Вероятность события P(Af) =р}~
дящ,ей функции (6) имеем
1
£+1
, поэтому для произво-
G («0,	Ик) — ууд («о Д- «1 + . . . + Пк)п.
(к	\
2 Wj = п | равен вероятности
j-o	}
к
того, что сумма п случайных чисел равна	Примем щ ~ iA
j=0
4
49
к
2imj
(/ = 0, 1,. .k), тогда . . и™к=м]~° , а потому в разложении
по степеням и функции
S (и) — G (1; и; и\ • • • , ик) =	1)П (1 -ф- и 4-h «к)” =
_	1	/1 — Z4k+1 \п
“ (Aj- l):i \~И	)
коэффициент при и1 равен вероятности того, что сумма п слу-
чайных чисел равна заданному числу I.
Имеем:
(1 — ик+1)п = 1 — (?Х+1 + С2«2(к+’) —	(к+1) + . . . ;
(1 - «)-== 1 + ,
поэтому искомая вероятность
„ _	1 (fn-l _______rofn-l	I /^2^41-1	_
[ 1 )n ' Z+n-1 iiU(+n-l- (k+1) r UnU(-|-nM-2 (k+1)
— •+(-iyc'cr-<_1_r(1[+1)),
где r — наибольшее целое число, при котором
/ + я— 1—r(&4-l)>n—1,
т. е. г — целая часть числа , .......
k + 1
Если, например, k = 9, п = 6, а Z = 21, то p2i = lO^Aze ~	+
+ С|С5) =0,03966.
б) Искомая вероятность 7?s может быть определена с помощью
S — 1
равенства Rs — 1 — pt.
2=0
Справедливо следующее равенство:
s—1	S—1~а (кД1)
2Л+--1	— VI Гп-1 — Гп
Z+n—1—a (k+1) ~ Zi Jj+n-l	s+n—1—а (k-J-1) ’
l=a (k+1)	j=4>
поэтому искомая вероятность будет
1 (k I l)n (Cs+n-l ^Q+n-l- (k+1) +
“b ^n^s+n-l-=2 (k+1)	‘	(	1) ^’n^'s+n-l—r (k+I))’
S — 1
где r — целая часть числа -r——г.
к + 1
50
Если, например, £=9, п = 3, a S—25, то
Я25 = 1 - 10-3(С237 - ОД =0,01.
в) Имеем
1	ТУ I
W ~ {k+ 1)п	1 - и )
Q f _	1	/ 1 - г>к’
(& + 1)Ч 1— v
PlU
KF
где —вероятность того, что сумма п случайных чисел равна I.
Для другой серии из п случайных чисел в функции
nk
1=С
коэффициент при равен вероятности того, что сумма из п чисел
равна /•
1 ‘ / 1 \
Примем v=~> тогда при разложении функции S(u)S! I —I
в ряд по степеням и коэффициент при дает искомую вероятность
п
Р — ^/2j2 равенства двух сумм из п случайных чисел.
1=0
Имеем
С/,1С /И—	1	1 I 1-Wk+1 V"
(	(£+l)2n Wkn 1 — и j •
Используя записанные выше выражения, получаем
р--- -----2____/Л*2п- 1	_ Г'Зп — 1	_|
| lj2n \^kn+2n-l 2n kn ! 2n—1—(к+1) Г
| C'l p2n-l	__ ... 1 (_ 1 \r/^r /''*211—1	\
U2n^kn+2n—1-2 (k+1)	। \	*/ °2n kn+2n-l-r (k + 1)’’
ktl
где r — целая часть числа , , -.
к -ц 1
Если, например, /г = 9, а п = 3, то
Р=10-6(С35_ Cjq2 к qq^O,05525.
§ 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСХОДОВ СЕРИИ
ИСПЫТАНИЙ С ПОМОЩЬЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотренные выше методы вычисления вероятностей появле-
ния событий заданное число раз при серии из п независимых ис-
пытаний основаны на непосредственном использовании теорем
сложения и умножения вероятностей. Такой способ определения
вероятностей различных исходов серии испытаний часто связан
51
с большими трудностями, которые можно избежать, применяя спе-
циальные математические приемы. В некоторых случаях удается
существенно упростить расчет, если использовать производящие
функции. Другой весьма эффективный метод определения вероят-
ностей различных исходов серии испытаний основан на решении
уравнений, связывающих искомые вероятности при различных
числах испытаний. Эти уравнения, называемые рекуррентными
(возвратными) соотношениями, могут быть алгебраическими, диф-
ференциальными или иметь более сложный характер. В настоящем
параграфе рассмотрим только алгебраические уравнения.
При составлении рекуррентных соотношений используется об-
щий прием, состоящий в установлении связи между искомыми
вероятностями при различных числах испытаний в серии. Если
рк — вероятность интересующего нас исхода при k испытаниях
в серии, то алгебраические рекуррентные соотношения могут быть
записаны в виде
m
рк = 2ak-sA-s + ak =	•••, /г).	(10.1)
8=0
В этих уравнениях т и п — известные числа, a otk.s и ак—из-
вестные постоянные, являющиеся вероятностями некоторых со-
бытий.
Для полноты системы к уравнениям (1) добавляется tn соотно-
шений, являющихся следствием общих свойств искомых вероятно-
стей. Если, например, рассматривается полная группа возможных
исходов, то в качестве одного из таких соотношений будет равен-
ство единице суммы всех вероятностей рк, т. е.
2рк = 1-	(10.2)
к=0
Дополнительными соотношениями являются также известные
вероятности рк при некоторых частных значениях k, например при
k = 0, 1,. .., m — 1.
Число уравнений, с помощью которых определяются вероятно-
сти рк (& = 0,1,..., и), может быть конечным или бесконечным.
В первом случае искомые вероятности находятся как решение алге-
браической системы (1), дополненной m уравнениями. При оо
решение этой системы часто удобно находить с помощью произво-
дящих функций, а также функций, аналогичных производящим.
Для последовательности р$, pi,.. . вероятностей, связанных равен-
ством (2) при н=оо, производящая функция G(u) определяется
формулой
G (и) = 2 z?pk,	(10.3)
k=0
где и — вещественный параметр. Данная функция удовлетворяет
условию G(l) =1.
52
Для любой другой последовательности ао, . . . по аналогии
с (3) можно ввести функцию
к—О
Отличие 7? (и) от производящей функции G(u) состоит в том,
что коэффициенты ак могут быть произвольными, а потому равен-
ство = l при этом может не выполняться.
При использовании функций G(u) и R(u) бесконечная систе-
ма (1) иногда может быть преобразована в уравнение для этих
функций. Определив с помощью получаемых при этом уравнений
производящую функцию G(u), искомую вероятность рк можно
найти по формуле
1 dkG (и)	,,	„ ,	.
& du* u=o	(10.5)
Способ составления и решения рекуррентных соотношений су-
щественно зависит от содержания рассматриваемой задачи. Поэто-
му рассмотрим данный метод определения вероятностей исходов
серии испытаний на примерах.
Пример 10.1. По мишени последовательно стреляют п стрелков
до первого попадания. Определить вероятность рк поражения ми-
шени &-м стрелком (k— 1, 2,..., п), если вероятность попадания
для любого стрелка при одном выстреле равна 0,5. Рассчитать эти
вероятности при п=4.
Решение, k-я стрелок может попасть в мишень только в том
случае, если все предыдущие k — 1 стрелков в мишень не попали.
При выполнении данного условия вероятность поражения мишени
k-м стрелком равна вероятности р\ поражения мишени первым
стрелком. Применяя теорему умножения вероятностей, получаем
А=-2к=гА (£=Е 2, ...л).
По условию задачи стрельба ведется до первого попадания,
И
поэтому 2л = >• Подставляя в это соотношение выражения для
к=1
рк, приходим к равенству И-Е-у	Тогда
Рх =——-—р-г- . Искомые вероятности рк =-------—----—у (fe =
2(1__— I	9k \ 1_— 1
I	2П J	Л I 1	2П 1
= 1, 2,..., и).
Если п = 4, то
_ 8	4	_ 2	1
15, А 15,	Р<-15-
53
Пример 10.2. Два стрелка поочередно обмениваются выстре
лами до тех пор, пока не будет достигнуто попадание в одного из
них. Вероятность попадания при каждом выстреле для первого
стрелка равна plf а для второго — р2. Определить вероятности по-
падания для каждого стрелка за стрельбу.
Решение. Попадание первого стрелка во второго может про-
изойти при первом выстреле или при последующих выстрелах, если
при первом выстреле второй стрелок даст промах. Вероятность
первого из указанных несовместных событий равна pi. Второе со-
бытие является произведением следующих трех событий: промах
первого стрелка при его первом выстреле, промах второго стрелка
при его первом выстреле и попадание первым стрелком во второго
за последующую стрельбу. Вероятности первых двух независимых
событий равны соответственно 71 = 1 Pi и ^2 = 1 —Рг- Вероятность
третьего события при условии, что не было попаданий при первых
двух выстрелах, равна вероятности Pt попадания первого стрелка
во второго за всю стрельбу, так как при этом условия стрельбы
совпадают с исходными. Таким образом, справедливо равенство
+ следовательно,
Вероятность Р2 попадания за стрельбу второго стрелка в пер-
вого находится из аналогичного уравнения, которое записывается
в виде P2 = qiPz + 7192-^2, т. е. Р2 =	. Эту же вероятность
1	917г
можно определить из равенства Р\+Р^\, так как по условию
стрельба ведется до попадания в одного из стрелков.
Пример 10.3. Вероятность появления события А при каждом
испытании равна р. Определить вероятность того, что при п неза-’
висимых испытаниях данное событие произойдет четное число раз.
Решение. Событие А может произойти четное число раз при
k испытаниях в двух случаях: когда при k — 1 испытаниях оно
имело место четное число раз и не произойдет при k-м испытании
или если при k—1 испытаниях оно им'ело место нечетное число
раз и произойдет при k-м испытании. Обозначим через рк вероят-
ность того, что при k испытаниях события А произойдет четное
число раз (k= 1, 2,. . .), тогда вероятности указанных двух событий
будут равны pk-xq и (1 —рк_рр. Так как эти события несовмест-
ные, то по теореме сложения вероятностей
А = 7A-i+^(l ~ А-1) (/г = 1, 2, ...),
где р0=1.
54
Умножая обе части полученного равенства на и суммируя
по Л ОТ 1 ДО оо , получим
к-1	к-1	к=1
Введем вспомогательную функцию
R («) =2 и*Рк'
к=0
тогда при п<1 последнее равенство можно записать в виде
7? (и) — 1 = quR (и) + -р- - — puR (и).
Из этого выражения следует, что
п / ч _	1 — qu	__	1	,
(1 - и) [1-(£-/>) «J “ 2(1 -и) +
ео
+ 2[1 ~(q-p)u]~ = Т	[1 "И? - Р)к! •
к=0
Сравнивая данное разложение с 7? (w) = 2 икРк> находим иско-
к=0
мую вероятность
Рп= у [1+(7— ^)П]«
Пример 10.4. Стрельба независимыми выстрелами по цели про-
изводится до тех пор, пока не будет серии из т последовательных
попаданий. Определить вероятность того, что для этого придется
произвести п выстрелов, если вероятность попадания при каждом
выстреле равна р. Найти эту вероятность при т = 2, п = 5.
Решение. Обозначим через рк вероятность получения серии
из т последовательных попаданий только при &-м выстреле. Через
ак обозначим вероятность того, что за первые k выстрелов не будет
ни одной серии из т последовательных попаданий. Очевидно, что
при k<_tn рк =0, a ak= 1.
Вероятность появления хотя бы одной серии из т последова-
тельных попаданий за первые k выстрелов равна 1—ак. Такая
серия впервые может произойти при s-м испытании с вероятностью
55
ps (s = m, m+1,..k). События, имеющие указанные вероятности,
k
несовместные. Поэтому имеет место равенство 1—ak=^ ps,
s^m
из которого следует, что при любом k
«к — «к-i— — ?к (&=1, 2, ...).
Умножая обе части этого выражения на и суммируя по k
от 1 до оо, получаем
2	Лк — «Ч-i = - J икРк-
к=1	к=1	к = 1
Положим
ОО	оо
см—я(«)=2йкак’
к=0	к=0
тогда полученное выше равенство можно записать в виде
R (и) — «о — uR(u) =р0~ G(u).
Так как ро+ао=1, то G(u)=l—(1 — u)R(u).
При k > т серия из т последовательных попаданий может не
произойти только одним из следующих т способов: сначала имеет
место серия из s — 1 попаданий, затем промах и, наконец, при
оставшихся k — s выстрелах не будет серии из tn попаданий
(s = 1, 2,. .., те).
Вероятности указанных независимых событий равны соответ-
ственно р5-1,7=1 —р и ak_s, поэтому справедливы равенства
m
те 4-1,...).
S=1
Умножая последнее равенство на нк и суммируя по k, получим
оо	ГП	со
2 «ч—q 2 ^s_12 ^k~4-s-
k=m	s = l	k=m
Имеем:
OO	tn—1
k=m	k=0

k=m

1 - UW~*
1 — и
56,
поэтому справедливо равенство
m
n/ .	1— ит	1— (ри)т qu V. ..... m 8.
R (и) -	= /?(«) ^ i _ ’----------Г7Т7 У .	(1 — и ),
1 И*	X IJHf	x
*^1
которое можно записать еще так:
/?(«)
1 — qu
1—(ри)м
1 — ри
1 — и	\—pu
Из этого выражения находим
п гм _ l-^-(^)m+z>m«m+1
(\-il)(\-u + qpmiim+'Y
Поэтому производящая функция
G(u) =
{ри)т{\ — ри)
I — и + 7^^+'
Искомая вероятность
— 1 dnQ М |
Рп ~ «!’ d“n |u=o
Если m = 2, а п = 5, то
2 4/5 Г {ри?^—ри)
5! dub \—u-[-qp2us |u=0
Р2 d& fz 2 з\
1+	ик(1— qp2u2)k
n2 z/5 (	)
= 51^rq(tt2	~^2) + «2+«3]| _o=P272(1 +p)-
ГЛАВА 2
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 11. РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ ДИСКРЕТНОЙ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Случайной величиной называется такая величина, которая в ре-
зультате испытания может принимать различные значения в зави-
симости от случайного исхода испытания. Если случайная вели-
чина может принимать только определенные (дискретные) число-
вые значения, то такая случайная величина называется дискрет-
ной. Если случайная величина может принимать любые значения
из заданного интервала, то такая случайная величина называется
непрерывной. Возможны также случайные величины смешанного
типа, могущие принимать определенные дискретные значения и
любые числовые значения из некоторого интервала.
Как указывалось выше, при исчислении вероятностей случай-
ных событий рассматриваются только такие события, для которых
существует объективная мера возможности их возникновения (ве-
роятность). Аналогично этому для случайных величин методы тео-
рии вероятностей могут быть применены только в том случае,
когда существует объективная мера получения случайной величи-
ной различных значений.
Условимся обозначать случайные величины, по возможности,
большими буквами, стоящими в конце латинского алфавита: X, У,
Z,. ... Числовые значения случайных величин, которые они могут
принимать в результате испытаний, называются возможными зна-
чениями случайных величин. Их будем обозначать малыми буква-
ми, соответствующими большим буквам, принятым для обозначе-
ний исходных случайных величин, т. е. х, у, z, . ... Если случайная
величина дискретная, то все возможные значения могут быть про-
нумерованы. Будем снабжать эти значения индексами, указываю-
щими на номера соответствующих возможных значений.
Прежде чем переходить к общему рассмотрению дискретных
случайных величин, убедимся, что все результаты, полученные
в схеме случайных событий, могут быть получены и в схеме слу-
чайных величин, если ввести в рассмотрение случайную величину
58
особого вида, связанную с рассматриваемым событием. Иными
словами, покажем, что понятие случайной величины можно рас-
сматривать как обобщение понятия случайного события.
Предположим, что в результате испытания событие А происхо-
дит с вероятностью р. Вместо двух событий А и А можно ввести
случайную величину X и считать, например, что X принимает зна-
чение, равное нулю, если происходит событие А, и равное единице,
если происходит событие А. Тогда вместо равенств Р(Д) = 1—р
и Р(Д) =р можно записать эквивалентные им равенства Р(Х=0) =
= 1—р и Р(Х=1)=р. Введенная таким образом величина X на-
зывается характеристической случайной величиной события Л.
Иногда удобнее вместо значений 0 и 1 использовать другие числа
и считать, что при появлении события А случайная величина при-
нимает значение не 1, а некоторое фиксированное значение а, а
непоявлению этого события соответствует не 0, а некоторое фикси-
рованное значение р. Выбор чисел а и р в большинстве случаев
определяется существом задачи.
Пусть, например, испытанием является стрельба одной торпе-
дой. Случайное событие А означает попадание торпеды в цель, а
противоположное событие А—промах. При этом случайная вели-
чина X с возможными значениями 0 и 1 является не только харак-
теристической случайной величиной, а определяет также число по-
павших торпед. Допустим теперь, что нас интересует не число по-
павших торпед, а число непораженных целей. Если их было щ то
при попадании торпеды в цель число непораженных целей будет
п—1, а при промахе число непораженных целей останется преж-
ним. В этом случае можно ввести случайную величину X, которая
принимает значение п—1, если событие А происходит, и значе-
ние п, когда это событие не происходит.
Все вышесказанное обобщается на случай, когда в результате
испытания может произойти не одно из двух событий А и А, а одно
из п случайных событий Д], А3г. . Дп, образующих полную груп-
пу несовместных событий. Если рк — вероятность появления собы-
п
тпя Дк, т. е. рк = Р(Ак) (k= 1,2,.. ., и), то = 1. Вместо п со-
к=1
бытии Аь А2, . . Ап можно ввести одну случайную величину X и
считать, например, что X принимает значение k, если в результате
испытания происходит событие Дк (А= 1, 2,.. .fn). Тогда равенст-
вам Р(Ак)=рк будут эквивалентны равенства P(X = k) = рк (&=1,
2, ...,п). Введенная указанным способом случайная величина X
является случайной величиной для п событий Дь Д2, .. Дп. Она
характерна тем, что в результате испытания принимает одно из п
возможных значений: 1,2,..., п. Ясно, что, как и в рассмотренном
выше случае, не обязательно вводить случайную величину X так,
чтобы ее возможные значения точно соответствовали номерам слу-
59
чайных событий. Эти значения определяются существом рассмат-
риваемого явления в каждом конкретном случае.
Пусть, например, испытание состоит в стрельбе тремя зенит-
ными ракетами по трем самолетам. При этом возможно четыре
исхода, а потому можно ввести четыре случайных события До,
А2 и А5, причем Дк означает, что сбито k самолетов. Если принять,
что случайному событию Дк соответствует значение случайной ве-
личины X, равное k, то случайная величина X определяет число
сбитых самолетов. Ее возможные значения: 0, 1,2 и 3. Если нас
интересует число оставшихся самолетов, то следует ввести случай-
ную величину X так, чтобы случайному событию Дк соответство-
вало значение случайной величины X, равное 3 — k (6 = 0, 1,2,3).
Из изложенного следует, что вместо любой полной группы не-
совместных событий Д],Д2, ...,ДП можно рассматривать соответ-
ствующую дискретную случайную величину X. Если эти события
зависимые, то они могут быть сведены не к одной случайной величине,
а к системе связанных между собой дискретных случайных величин.
Рассмотрим дискретную случайную величину X, возможные
значения которой %i, х2,.. ., хп. Общее число п возможных значе-
ний может быть конечным или бесконечным, однако множество
возможных значений должно быть счетным, т. е. их всегда можно
пронумеровать, придерживаясь определенного принципа нумера-
ции. Например, можно нумеровать возможные значения в порядке
их возрастания или в порядке убывания. В дальнейшем, если про-
тивное не оговорено, будем считать, что возможные значения слу-
чайной величины пронумерованы в порядке их возрастания.
Для полной характеристики дискретной случайной величины X,
кроме совокупности всех ее возможных значений, необходимо знать
вероятности, с которыми эти значения могут быть получены при
испытании, т. е. нужно знать вероятности
А = Р(Х=хк) (6 = 1, 2 . . . , п}.	(11.1)
Так как в результате испытания случайная величина X прини-
мает одно из п возможных значений, то вероятности (1) удовле-
творяют условию
-#к	-^1 I ^2
Рк Pi Р2
2й = 1-	(11.2)
к=1
Таблица 1 Совокупность всех возможных
значений хк случайной величины
xn X и соответствующих им вероят-
ностей рк = Р(Х=хк) (6=1,2,...
. .., и) называется рядом распре-
?п деления для X. Этот ряд может
быть задан в виде формулы или
в виде таблицы, в первой строке которой даны все возможные зна-
чения случайной величины, а во второй — соответствующие этим
значениям вероятности (табл. 1).
60
Ряд распределения случайной величины может быть представ-
лен в виде графика (рис. 7). Для его построения все возможные
значения хк случайной величины X откладываются по оси абсцисс,
а соответствующие им вероятности рк =Р (Х = х]1) —по оси орди-
нат. Если соединить соседние точки с координатами (хк, рк) и
(хк+1, рк+1) отрезками, то получится фигура, называемая много-
угольником распределения.
Рис. 7
Обозначим через F(x) вероятность того, что случайная вели*
чина X меньше произвольно выбранного значения х, т. е. примем
F(x) = Р(Х<х).
(11.3)
Данная функция называется функцией распределения случай-
ной величины X, или интегральным законом распределения. Если
возможные значения хк (&= 1, 2,..., п) дискретной случайной ве-
личины X пронумерованы в порядке их возрастания, то функция
распределения F(x) выражается следующим образом:
О при
к
F | при
хк < х < А+1 (£ = 1, 2»
. , Л —1); (11.4)
1 при х > л:п.
61
Эту функцию можно также представить в виде
(Н-I * * * 5 * * В)
\<х
где суммирование ведется по всем значениям k, для которых
Хк < X.
Функция распределения F(x) является разрывной ступенчатой
функцией, скачки которой происходят в точках хк (& = 1, 2,.. и),
соответствующих возможным значениям случайной величины X.
Величина скачка в точке х = хк равна вероятности рк (^=1,2,...,
. ..,и). Сумма всех скачков равна единице (рис. 8).
F(x)

I Р-, г..—1
Q Li»-w	--- , —«  —t--------->------*—... —	 
X,	—3 “*-*<	“^n-i ЭСп
Рис. 8
Таким образом, если задан ряд распределения, т. е. известны
возможные значения хк (&= 1, 2,. .., и) случайной величины X и
вероятности рк этих значений, то можно вычислить значение функ-
ции распределения F (х) при любом х. Зная функцию распределе-
ния F(x), по абсциссам точек разрывов и по величинам скачков
можно восстановить ряд распределения. Поэтому свойства дис-
кретной случайной величины одинаково полно определяются как
рядом распределения, так и функцией распределения.
В том случае, когда приходится иметь дело с несколькими слу-
чайными величинами, условно принимается, что вид функции рас-
пределения определяется ее аргументом. Следовательно, например,
F (х) и F (у) обозначают не одну и ту же функциональную зависи-
мость, в которой произведена замена аргумента, а это функции
распределения соответственно для случайных величин X и К, мо-
гущие иметь совершенно различные математические выражения.
В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть различие между
этими функциями, будем их обозначать соответственно через
и Гу(у).
62
В приложениях часто встречаются дискретные случайные ве-
личины, могущие принимать только целые неотрицательные значе-
ния. Эти случайные величины называются целочисленными. Значе-
ния, принимаемые такой случайной величиной, можно всегда счи-
тать равными соответственно 0, 1,.. ., п, где п — заданное конечное
или бесконечное число. В том случае, когда целочисленная слу-
чайная величина не может принимать некоторые значения k, для
них следует считать /\ = 0. От любой дискретной случайной вели-
чины можно перейти к целочисленной случайной величине, если,
например, в качестве ее возможных значений условно рассматри-
вать номера возможных значений исходной случайной величины.
При этом всегда будет ро = О, если номера возможных значений хк
начинаются с первого.
Для целочисленной случайной величины X с рядом распределе-
ния pk — P(X = k) (k = 0, 1,..., п) по аналогии с (8.11) и (10.3)
можно ввести производящую функцию G(u), которая определяется
формулой
(11-6)
k=0
Данная функция удовлетворяет условию
G(l) = l,	(11.7)
являющемуся следствием равенства (2).
Зная производящую функцию G(w), вероятность рк=Р(Х = &)
можно найти как коэффициент при (Л = 0, 1,...,и) в разложе-
нии этой функции в ряд по степеням и или по формуле '
А =	= 1...........«)•	(Н.8)
Пользуясь теорией функций комплексного переменного, послед-
нее равенство можно заменить эквивалентным выражением
(А = 0’ 1......п\ (1L9)
где интегрирование выполняется по замкнутому контуру, обходя-
щему начало координат против часовой стрелки.
Обозначим через Qk вероятность того, что целочисленная слу-
чайная величина X не больше заданного числа k, т. е. примем
к
Qk = />(A'<4) = 2/’) = /4*+D (* = 0, 1............п). (11.10)
j=0
Для вероятностей Qo, Q;,. .., Qn можно ввести производящую
функцию, приняв
Q(«) =2 ““Чь	(П-11)
к=0
63
В отличие от производящей функции G(u) для случайной вели-
чины X, эта функция не удовлетворяет условию (7), т. е. Q(l) 1.
Данную функцию будем называть обобщенной производящей
функцией. Установим связь обобщенной производящей функции
Q(w) с производящей функцией G(w).
Из (10) следует, что
Qk = Qk—1 + Рк (& = 0, 1, . . . , п),
где Q-i = 0.
Подставляя это выражение в (11), получим
Q (й) — «kQk-i Н- 2
к=1	к=0
п
Так как Qn —	— 1, то последнее равенство можно запи-
1=0
сать в виде
Q (ц) = iiQ (и) + G (н) — Hn+1.
Из этого соотношения следует, что справедливо равенство
Q (и\ _ пЛ+1
Q(«)=		(11.12)
Обобщенную производящую функцию можно ввести и для ве-
роятностей того, что случайная величина X больше k, т. е. для
вероятностей
Rk = P(X>k) = 2Pj==i-F(&+l) (&==0, 1, .... /г-1).
j=k+l
(11.13)
Положим
/?(«)= 2 ик/?к.	(11.14)
к=0
С помощью (11) и (14) получаем
JL 1 „ „п+1
Q («) + R («) =	““	12, и •
к=0
Поэтому обобщенная производящая функция 7?(w) и произво-
дящая функция G(u) случайной величины X связаны равенством
R(«) = ±^g W .	(11.15)
64
Пример 11.1. В партии из десяти изделий три бракованных.
Наудачу берется пять изделий. Составить ряд распределения для
числа X взятых бракованных изделий, построить многоугольник
распределения и функцию распределения. Составить производя-
щую функцию.
Решение. Возможные значения случайного числа X взятых
бракованных изделий: 0, 1,2,3, причем
/">5—к
А = Р(Х = к) =	(к = 0, 1, 2, 3).
Ь10
Рассчитанные по этой формуле
Таблица 2
вероятности рк приведены в таб-
лице 2, являющейся рядом рас- хк
пределения для числа X взятых 
бракованных изделий.
Многоугольник распределения
и график функции распределе-
ния, построенные по этим данным, приведены на рис. 9 и 10.
Производящая функция G(n) в соответствии с (6) будет
1	5	5
12	12	12
1
12
0	1	2
3
G(w) —	(1 + 5н + 5м2 -ф- п3).
Пример 11.2. Береговая батарея производит последовательно
четыре независимых выстрела по цели. Вероятности попадания
5	65
при этих выстрелах равны соответственно 0,1, 0,2, 0,3 и 0,4. Соста-
вить ряд распределения для числа X попаданий в цель, построить
многоугольник распределения и функцию распределения. Соста-
вить производящую функцию.
Рис. 11
Решение. В данном случае удобнее начинать с составления
производящей функции G(w). Условия задачи эквивалентны про-
ведению четырех независимых испытаний, при каждом из которых
66
с определенной вероятностью происходит событие А— попадание
снаряда в цель. Для производящей функции вероятностей Р4,к
(& = 0, 1, 2, 3, 4) согласно формуле (8.13) имеем
4
(7 (и) = 2 “^.к == (°’9 + м0> 0 (°>8 + w0>2) (°’7 + и °’3) (О56+йО,4) =
к=0
=0,3024 + 0,4404и + 0,2144и2 + 0,0404 и3 + 0,0024м4.
Вероятность Р4,к совпадает с вероятностью pk=P(X = k) (й = 0,
1,2,3,4), поэтому ряд распределения можно записать в виде
табл. 3.
Таблица 3
Хк	0	1	2	3	4
Рк	0,3024	0,4404	0,2144	0,0404	0,0024
Многоугольник распределения и график функции распределе-
ния, построенные по этим данным, приведены на рис. 11 и 12.
ОД
•	0,9572	,—22___
I--------
0,8 	0,742% !
।.......iiiJ
0,6 	1
М 0^024 I
0,2-
0	12	3	4
Рис. 12
§ 12. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Полной характеристикой дискретной случайной величины X
является совокупность всех ее возможных значений хк и соответ-
ствующих им вероятностей рк = Р(Х=хк) (£ = 1, 2,.. п), т. е. ряд
распределения. Такой же полной характеристикой дискретной слу-
чайной величины X является функция распределения Р(х)> так как
67
по абсциссам точек разрыва этой функции и по величинам скач-
ков можно определить все значения хк и вероятности рк(£=1,
2,..., п), т. е. можно получить ряд распределения. Производящая
функция G(u) в соответствии с формулой (11.7) позволяет вычис-
лить вероятности /?к — P(X = .k) (fe=0, 1,..., п) и потому является
полной характеристикой целочисленной случайной величины X
(или любой дискретной случайной величины, если заданы ее воз-
можные значения хк).
Во многих задачах нет необходимости полностью характери-
зовать случайную величину вследствие того, что такая характери-
стика может оказаться сложной или что в рассматриваемой задаче
представляют интерес только определенные свойства случайной
величины, которые наиболее просто характеризуются специальны-
ми числовыми параметрами.
Одной из таких числовых характеристик является математиче-
ское ожидание случайной величины, определяющее ее среднее зна-
чение, около которого группируются возможные значения. Усло-
вимся обозначать математическое ожидание буквой М, указывая
в скобках случайную величину, для которой берется математиче-
ское ожидание, или малой буквой, соответствующей обозначению
случайной величины, с чертой сверху. Так, например, математиче-
ские ожидания случайных величин X, У, Z будем обозначать соот-
ветственно через М(X), М(К), М(Z) или х, у, г.
Математическое ожидание случайной величины X с рядом рас-
пределения	= (k = 1, 2, . . ., и) определяется формулой
п
/И (X) = х = 2 *kPk,	(12.1)
k=l
т. е. математическим ожиданием дискретной случайной величины
называется сумма произведений всех ее возможных значений на
соответствующие им вероятности. Непосредственно из определения
следует, что данная числовая характеристика имеет размерность
случайной величины и является неслучайной.
Приведенное определение математического ожидания случай-
ной величины соответствует интуитивному представлению о сред-
нем значении, около которого должны группироваться значения
случайной величины, получаемые при испытаниях. Действительно,
предположим, например, что произведена серия из N независи-
мых испытаний, в результате которой значение хк случайной вели-
чины X появилось ЛД раз (&= 1,2,..., и). По определению сред-
него арифметического х результатов испытаний имеем
к==Л
где рк =	— частость появления значения хк.
68
Формула (2) отличается от (1) только тем, что в последней ве-
роятности рк заменены частостями рк. Выше отмечалось, что ме-
жду вероятностью появления случайного события и его частостью
имеется определенное соответствие, поскольку вероятность являет-
ся объективной характеристикой возможности появления события,
а частость — реализацией этой возможности. Поэтому следует
ожидать, что математическое ожидание х случайной величины X
в какой-то мере должно характеризовать среднее значение х слу-
чайной величины, которое в свою очередь является случайной
величиной, зависящей от свойств X и числа N испытаний в серии.
Можно сказать, что математическое ожидание х характеризует
среднее значение х случайной величины X в вероятностном смысле
слова аналогично тому, как вероятность появления события харак-
теризует частость его появления.
Данное выше определение математического ожидания дискрет-
ной случайной величины остается в силе и в том случае, когда
число п возможных значений случайной величины X бесконечно,
если только ряд	сходится абсолютно, т. е. если
к=1
оо
21 I А < •	(12.3)
к=1
Требование абсолютной сходимости этого ряда является необ-
ходимым условием существования математического ожидания. При
нарушении данного условия сумма ряда становится зависимой от
порядка слагаемых, а потому формула (1) перестает однозначно
определять х. В том случае, когда условие (3) не выполняется,
говорят, что случайная величина не имеет конечного математиче-
ского ожидания.
Формула (1) для математического ожидания х дискретной слу-
чайной величины X допускает простое механическое истолкование,
если рассматривать вероятности рк как массы материальных то-
чек, расположенных в точках с абсциссами лк (k= 1, 2,. Так
п
как ^/>k = 1, то равенство (1) можно переписать в виде
к=1
2 АЛ
-йг-.
2Л 
к=1
что совпадает с известной формулой механики для абсциссы
центра масс системы материальных точек.
69
Любую постоянную с можно рассматривать как дискретную
случайную величину, могущую принимать только одно значение с
с вероятностью р=1. Поэтому математическое ожидание постоян-
ной равно этой постоянной, т. е. М(с)=с.
Вероятности Р(Х = хк) для случайной величины X и Р(аА'+р =
= ахк + р) для линейной функции а^+р равны pk (k= 1, 2,. . п).
Поэтому при любых неслучайных постоянных аир имеет место
равенство
М (аХ + ?) = (аА-Ч- А = «2 *кРк + Р 2 рк
к=1	к=1	к=1
ИЛИ
М (аХ+р) =ах+р,	(12-4)
т. е. математическое ожидание линейной функции случайной вели-
чины равно той же линейной функции от математического ожида-
ния этой случайной величины.
Математическое ожидание целочисленной случайной величины
X может быть определено относительно просто, если известна про-
изводящая функция
И
° м = 2икрк-	(12,5)
к=0
Дифференцируя это равенство, находим
О' (й) = kuk~lpk.	(12.6)
к=0
При и=\ ряд в правой части равенства (6) обращается в
п	п
2 ^Рк=2л'к^к’ так как для Целочисленной случайной величины
к=0	к=0	_
= k (k~0, 1,. . п). Поэтому, если математическое ожидание х
целочисленной случайной величины X существует,
7=G'(1),	(12.7)
причем данная формула справедлива при любом числе п возмож-
ных значений случайной величины X.
Для характеристики свойств случайной величины X, кроме ма-
тематического ожидания х, используются математические ожида-
ния ее целых степеней. Математическое ожидание s-й степени X2 3 *
случайной величины X называется начальным моментом s-ro по^
рядка и обозначается через ms (X) или просто ms.
Если Xi, х2,..хп — возможные значения случайной величины X,
то возможными значениями случайной величины Xs будут: л/,
x3s, • • 5 МЛ Так как Р (Xs = xks) = Р {X = xk) (k= 1,2,..., п), то,
70
в соответствии с определением (1) математического ожидания
дискретной случайной величины, для начального момента s-ro по-
рядка получаем следующее выражение:
ms = M (^=2^.	(12.8)
k=l
n
При этом момент нулевого порядка tnQ=	а начальный
к=1
момент первого порядка совпадает с математическим ожиданием
случайной величины X, т. е. т{ — х. Если число возможных значе-
ний случайной величины X бесконечное, то для существования на-
чального момента ms необходимо, чтобы ряд (8) сходился абсо-
лютно. В противном случае не существует конечного начального
момента s-ro порядка.
Для целочисленной случайной величины начальный момент ms
при любом s может быть определен с помощью производящей
функции G(u) путем s-кратного применения к этой функции опе-
рации дифференцирования, умножения на и и подстановки в окон-
чательный результат w=l. При s = 2 и s = 3 в этом случае полу-
чаем:
тг = [ив' (и)];п=1 = G" (1) + Q' (1);	(12.9)
т3 = [и [«О' («)]%=1 = О'" (1) + 30" (1) + О' (1).	(12.10)
Если в производящей функции 6(«) принять «=ет, получим
Н(«) = бИ = У’Л.	(12.11)
к=0
Дифференцируя это выражение s раз по v, находим
d*H (о)
dv*
к=0
а потому для начального момента s-ro порядка справедливо и сле-
дующее выражение:
zns
dsH (у)
(12.12)
Используя последнее равенство для определения коэффициен-
тов разложения функции И(v) в ряд Маклорена, получаем
(12.13)
s=0
т. е. Н(о) является производящей функцией для начальных момен-
тов целочисленной случайной величины.
71
Кроме начальных моментов ms ($=1,2, ...), для характери-
стики свойств случайной величины используются так называемые
центральные моменты. Центральным моментом s-ro порядка
|is = p,s (X) для случайной величины X называется математическое
ожидание $-й степени отклонения случайной величины X от ее
математического ожидания, т. е.
щ = М [(А' - 7)s].	(12.14)
По аналогии с (8) выражение для центрального момента s-ro
порядка дискретной случайной величины X можно записать сле-
дующим образом:
с, = 2
к = 1
Центральный момент s-ro порядка может быть выражен через
начальные моменты порядка не выше $. Так как
(а - ху=2 (- i)r Ч(Т)гхг,
г=0
то
р, = 2(-0,с;й'2м-,а,
г=0	к=1
что можно записать еще так:
(.. = 2	(12.16)
г----О
Чтобы выразить начальный момент s-ro порядка через цент-
ральные моменты порядка не выше $, воспользуемся равенством
xks — [(xk-444 = Vq (х)г (xk -7js-r.
г=0
Подставляя это выражение в (8), получим
т, =24(7)%.,.	(12.17)
г=0
Из (15) следует, что цо=1, а щ = 0.
Важной числовой характеристикой случайной величины X
является второй центральный момент цг, который называется дис-
персией случайной величины и обозначается через D(X). Таким
образом, дисперсия случайной величины X равна математическому
ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее мате-
матического ожидания, т. е.
О(^)=‘ь = Л1 [(^-Э1= 2(А-Т)’Л. (12.18)
к=1
72
Воспользовавшись формулой (16) при 5 = 2, получаем следую-
щее выражение для дисперсии D(X) через второй начальный мо-
мент т2 и математическое ожидание х:
D(X)=m2— (х)2.	(12.19)
Для целочисленной случайной величины X второй начальный
момент т2 выражается через значения производных от произво-
дящей функции G(u) формулой (9). Так как при этом x=G'(l),
выражение (19) можно записать в виде
jD(X)=G"(1)+T— (х)2.	(12.20)
Математическое ожидание линейной функции аХ+р случай-
ной величины X равно ах+р. Дисперсия этой функции будет
£)(аХ+р)=М[а2(Х — 3^)2] =аЧ)(Х).	(12.21)
В частном случае, когда а = 0, из (21) получается, что диспер-
сия постоянной равна нулю. Из (21) также следует, что дисперсия
не зависит от выбора начала отсчета случайной величины, т. е.
не зависит от неслучайного параметра р. При умножении случай-
ной величины на неслучайную постоянную а дисперсия умножает-
ся на квадрат этой постоянной.
Дисперсию D(X) можно интерпретировать как момент инерции
системы п материальных точек с массами рк, которые располо-
жены в точках с абсциссами хк (k=\, 2,.. п), вычисленный отно-
сительно оси ординат, проходящей через центр тяжести. При уве-
личении рассеивания возможных значений хк случайной величины
относительно математического ожидания, т. е. при увеличении
отклонений материальных точек от их общего центра масс, диспер-
сия («момент инерции») увеличивается. Следовательно, дисперсия
может служить мерой рассеивания случайной величины относи-
тельно ее математического ожидания.
Вместо дисперсии, рассеивание случайной величины X часто ха-
рактеризуют средним квадратическим отклонением, которое обыч-
но обозначается через ох или о и равно положительному значению
квадратного корня из дисперсии, т. е.
О = ]/£)(%).	(12.22)
Преимущество использования среднего квадратического откло-
нения в качестве меры рассеивания случайной величины заклю-
чается в том, что оно, как и математическое ожидание, имеет туже
размерность, что и случайная величина, в то время как дисперсия
имеет размерность квадрата случайной величины.
Третий центральный момент цз используется для оценки асим-
метрии распределения возможных значений случайной величины.
73
Если распределение случайной величины X симметрично относи-
тельно ее математического ожидания х, то третий центральный
момент, как и все другие центральные моменты нечетного порядка,
равен нулю.
Если сумма положительных слагаемых (хк — х:)3/\ в формуле
для рз превосходит сумму аналогичных отрицательных слагаемых,
то цз>0. При этом асимметрия распределения считается положи-
тельной. В противном случае ц3<0, а асимметрия считается отри-
цательной.
Таким образом, третий центральный момент в какой-то степени
характеризует асимметрию распределения возможных значений
случайной величины относительно ее математического ожидания.
Эта характеристика обладает определенной условностью, так как
многоугольник распределения может не обладать симметрией
в геометрическом смысле и в то же время цз = 0.
Вместо размерной величины ц3 в качестве меры асимметрии
обычно принимается безразмерное отношение Sk, определяемое
равенством
Sk=^	(12.23)
и называемое показателем или коэффициентом асимметрии рас-
пределения.
Из моментов более высокого порядка чаще всего используется
четвертый центральный момент щ или безразмерное выражение
Ех = ~ — 3,	(12.24)
называемое эксцессом. Смысл этого названия и вид выбранного
выражения будет выяснен несколько позже при рассмотрении за-
конов распределения непрерывных случайных величин.
Кроме моментов т5 и щ различного порядка, для описания
свойств случайной величины иногда используются начальные и
центральные абсолютные моменты, определяемые формулами:
а, = Л1(Ш’);	= (IX-7|S).	(12.25)
Первый центральный абсолютный момент
п
?, = Л1(|Л--л|)=	(12.26)
называется средним абсолютным отклонением. Этот момент так
же, как и среднее квадратическое отклонение, характеризует рас-
сеивание случайной величины.
Одной из характеристик, которая часто используется на прак-
тике, является мода случайной величины, обозначаемая через р, и
74
равная наиболее вероятному значению случайной величины. Если
pv — наибольшая из вероятностей рк^--Р(Х = хк) (k— 1, 2,..., n)
возможных значений дискретной случайной величины X, то мода
этой случайной величины будет р =
В приведенных выше выражениях для различных числовых ха-
рактеристик, рк является безусловной вероятностью получения при
испытании возможного значения хк дискретной случайной вели-
чины X (k= 1,2,.. /г). В некоторых случаях представляет интерес
рассмотрение вероятности появления значений хк при условии, что
имело место некоторое событие А, т. е. рассмотрение вместо рк
условных вероятностей Р (Х=хк/А). Моменты случайной величи-
ны X, вычисленные по приведенным выше формулам, но при
условных вероятностях, называются условными моментами соот-
ветствующих порядков.
Заменяя в (1) рк на условные вероятности Р (Х=хк/А), полу-
чим формулу для условного математического ожидания случайной
величины X в предположении, что произошло событие А,
М (Х/А) = 2 х>.Р (X = ^/Л).	(12.27)
к-1
Производя аналогичную замену в формуле (18), получим вы-
ражение для условной дисперсии
D(X!A) =2 Uk - М (Х/Л)]а Р(Х=х,/Л).	(12.28)
к=1	,
Предположим, что вероятности возможных значений случайной
величины X зависят не от одного события А, а от полной группы,
состоящей из т несовместных событий Н\, Н2, . . Нт. Тогда можно
определить следующие т условных математических ожиданий:
М (Х/Н,) = 2 х,Р (X =xtIHs) (/ = 1,2,. . . , m).	(12.29)
k=l
Умножим обе части последнего равенства на вероятность P(Hj)
события Я, и просуммируем получаемые выражения по j от 1 до т,
тогда
m	п	in
2 р (Я;) М (Х/Н,) = 2^2^(«?₽(Х = ^). (12.30)
j=l	k»l	j=l
Согласно формуле полной вероятности
m
2 р (яр аМ) = Р (Л=хк).
j=l
75
Поэтому из (30) следует, что математическое ожидание случай-
ной величины X связано с условными математическими ожидания-
ми формулой
М (X) = 2 Р (#i) М	(12.31)
j=i
Пример 12.1. Определить математическое ожидание, дисперсию
и среднее квадратическое отклонение числа попаданий в цель при
одном выстреле, если вероятность попадания при этом выстреле
равна р.
Решение. Случайная величина X — число попаданий при
одном выстреле. Возможные значения этой случайной величины 0
и 1, причем Р(Х = 0) = 1—р — q, а Р(Х=\}=р. Используя фор-
мулу (1), находим х=0 • 9 + 1 • р = р, т. е. математическое ожида-
ние числа попаданий при одном выстреле равно вероятности по-
падания.
Воспользовавшись формулой (8) при s = 2, находим второй на-
чальный момент /п2=0-9+1 а потому дисперсия числа по-
паданий при одном выстреле Р(Л') =т2—(x)2 = pq. Среднее квадра-
тическое отклонение а —	— V^pq.
Пример 12.2. Производятся независимые стрельбы по трем це-
лям. Вероятность поражения 6-й цели при этом равна
2,3). Определить математическое ожидание и дисперсию числа
пораженных целей.
Решение. Обозначим через X число пораженных целей. Воз-
можные значения этой случайной величины: 0, 1,2, 3. Вероятность
P(X~k) является коэффициентом при ?? (6 = 0, 1,2,3) в разложе-
нии производящей функции G(u) в ряд по степеням и, причем
G(“) = (9i + «Pi) (^ + «Р2) (9з + «Рз),
где 9k =1 ~Рк (6 = 1,2, 3).
Дифференцируя дважды выражение
з
In G (и)
к=1
получим:
3	3
G' (в) = а (в) V	; G" (и) = G' (в) V—£s_--------
9k + шръ	У* “г uPk
k=l	k=l
3
^4(^+мл)
k=l
76
Так как G(l) = 1, то при «=1с помощью последних выражений
находим:
G'(l) = Pi + Р2 + Рз‘,
G"(\) = (pi + р2 + Рз)2 — (Р12 + Р22 + Рз2).
Используя формулы (7) и (20), получаем:
х= Gz (1) — Pi+Р2+Рз;
D(X) = G"(1) +х-(х)2= (Р1 + Р2 + Рз)-(Р12 + Р22 + Рз2) =
— Р1^1 +Р2?2 + Рз?3-
Пример 12.3. Условная вероятность поражения цели после т
попаданий в нее определяется формулой
/ 1 \га
= 1 “f1"-v) ’
где оз — среднее число попаданий, необходимое для поражения
цели.
Определить математическое ожидание расхода боезапаса за
стрельбу, если вероятность попадания в цель от выстрела к выст-
релу не меняется и равна р, а стрельба прекращается при пора-
жении цели.
Решение. Если произведено п выстрелов, то вероятность
того, что будет т попаданий в цель, равна Рп-т^-Сптр'пдп~"'. Тогда
вероятность РП(Л) поражения цели при п выстрелах будет (см.
пример 6.2)
Вероятность РП(Л) поражения цели при п выстрелах равна
сумме вероятности Рп-^ (Л) поражения при п — 1 выстрелах и ве-
роятности рп поражения цели при n-м выстреле, поэтому
Л = л (Л) - W= (1 - Т-р1 т..
Пусть случайная величина X означает число выстрелов, необ-
ходимое для поражения цели. Тогда Р (Х = п) =ра (п=1,2,...).
Производящая функция для этой случайной величины
77
Тогда искомое математическое ожидание x=G/(l)= — ,т. е-
математическое ожидание расхода боезапаса равно отношению
среднего числа попаданий, необходимого для поражения цели,
к вероятности попадания при каждом выстреле.
Пример 12.4. По соединению, состоящему из п кораблей и т
ложных целей, ведется стрельба ракетами. Для потопления ко-
рабля достаточно одного попадания, а ложная цель не тонет при
любом числе попаданий. Найти среднее число ракет, необходимое
для потопления всех кораблей, если попадает каждая ракета, при-
чем равновозможно попадание в ложную цель или в любой непо-
раженный корабль.
Решение. Предположим, что остались непораженными k ко-
раблей (k= 1, 2,..., /г), и введем две гипотезы: Hi — при первом
попадании ракеты будет поражен корабль и Н2— первое попада-
ние будет в ложную цель. Для вероятностей этих гипотез имеем:
Р (Ht) -----Aj- ; Р(И,) = -	.
' ' т У k	т + k
Пусть случайная величина означает число ракет, необходи-
мое для поражения оставшихся k кораблей. Математическое ожи-
дание этой случайной величины можно определить по формуле
м (А) = Р (^) м (хк/я\) + Р{Н2} м (Х^ну
При выполнении гипотезы Hi для поражения оставшихся k—1
кораблей необходимо число ракет, равное .Так как в этом
случае Х]с=Х1с_1+ 1, то M(XJHl')^=M(Xk_l) 4-1. При выполнении
гипотезы Н2 число непораженных кораблей не изменяется, поэтому
M(XJH2) =М(Хк) 4-1. Подставляя эти выражения в формулу для
получим
м (А) = М (А-,) —2А- + М OQ —+1
TIL К	III -f- К
или
ITt
M = 1 +(£ = 1, 2, ..., n).
fv
Так как Л1(Хо)=О, искомое математическое ожидание будет
п
М(Х]=М (Л„) = V [.W (Л-„) - м (А-,)]
к=1
-з п-ут
к=1
78
к 13. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Рассмотрим несколько законов распределения дискретных слу-
чайных величин, наиболее часто встречающихся в приложениях.
Равномерное распределение. Простейшим распределением дис-
кретной случайной величины является равномерное распределение,
при котором любое из п возможных значений xk (&= 1, 2,..., п)
случайной величины X имеет одну и ту же вероятность р. Так как
n 1
~ С то Р~~- Следовательно, для равномерно распределен-
ий
ной случайной величины ряд распределения имеет вид
л = Р(Х=л1[) = -1-'(А = 1> 2,	(13.1)
Многоугольник распределения в данном случае вырождается
в прямую, параллельную оси абсцисс, а функция распределения
будет

О при х <
/г
— при хк < х < хк+1
п (& = 1, 2...........п - 1);
(13.2)
1 при X > хп.
Начальный и центральный моменты s-ro порядка для X рас-
считываются по формулам:
п	п
_ J п
Математическое ожидание х= — хк в данном случае совпа-
к=1
дает со средним арифметическим возможных значений случайной
величины X.
Пример 13.1. Датчик случайных чисел выдает с равной вероят-
ностью любое число от 1 до п. Определить математическое ожида-
ние и дисперсию величины выданного датчиком случайного числа
X. Составить производящую функцию случайной величины X.
Решение. Рассматриваемая целочисленная случайная вели-
чина имеет равномерное распределение. Ее возможные значения:
1,2,	Следовательно, /?к = ~ (k= 1, 2,. .., п).
79
Математическое ожидание случайной величины X будет
* “н = Т + 1)-
k=l
Второй начальный момент
11
«12 = тг V*2 = ф (« + !) (2я + 1)1
к=1
а потому дисперсия
D (х) = тг - (х)2 = -Д-у2~ 1- .
Используя общую формулу для производящей функции, по-
лучим
О («) "--V	"7, “°? 	(13,3)
' П	я (1 — и)	4	'
к5Г
Биномиальное распределение. Если при каждом из п независи-
мых испытаний случайное событие А может произойти с вероят-
ностью р, то число X появлений этого события при п испытаниях
подчиняется биномиальному закону распределения, а ряд распре-
деления случайной величины X имеет вид (см, § 8)
=	= Pn.k^	(>^ = 0, 1, . . • , л).	(13.4)
Число X появлений события А является целочисленной случай-
ной величиной, имеющей производящую функцию
G (и) = (q 4- up}n.	(13.5)
Вид многоугольника распределения зависит от числа п и веро-
ятности р. Если (н+1)р<1, то вероятности Pn;k с увеличением k
убывают. При (п+1)р> 1 вероятности Pn;k с увеличением k сна-
чала возрастают, достигают наибольшего значения, а затем убы-
вают (см. § 8).
Для биномиально распределенной случайной величины мода,
т. е. наиболее вероятное значение X, при дробном числе (п+1)р
равна целой части этого числа. Если (и-f- 1)р — целое число, то
наибольшая вероятность достигается при двух значениях случай-
ной величины X: р'~ (п+1)р—1 и ц"=(п+1)р.
80
Функция распределения случайной величины X, распределенной
по биномиальному закону, может быть выражена через вероятно-
сти РП;к следующим образом:
О при
f (х) =
Pn;s при k < х О + 1	/
> (fe = 0, 1, . . . , л - 1);
(13.6)
1 при X > п.
Чтобы найти математическое ожидание х и дисперсию Х)(Х),
воспользуемся формулами (12.7) и (12.20).
Так как
Gf (ti) = пр (q -ф-	Ci" (н) = п (и — 1) р2 (q -j- цр)п~2,
то
Gz(l)=np, G"(l)=n(n—1)р2.
Поэтому
х=пр, D(X)—npq,	(13.7)
Аналогично могут быть определены и моменты более высокого
порядка случайной величины X.
Пример 13.2. С подводной лодки независимо одна от другой вы-
пускается п торпед, причем вероятность попадания в цель для
каждой торпеды одна и та же и равна р. Определить математиче-
ское ожидание и среднее квадратическое отклонение числа торпед,
попавших в цель.
Решение. Случайная величина X — число попавших в цель
торпед. Эта случайная величина подчиняется биномиальному за-
кону распределения. Поэтому математическое ожидание числа по-
павших торпед х — пр, а среднее квадратическое отклонение
а = ]/D (х) — V npq.
Обобщенное биномиальное распределение имеет случайная вели-
чина X, являющаяся числом появлений события А при п независи-
мых испытаниях, которые производятся при различных условиях.
Вероятности
. Р(Х = Л) = Ра*_ (k = 0, 1, . . . , п),	(13.8)
определяющие ряд распределения, находятся по формуле
„ _ 1 04} («) I
~~м 'du* „ 
|и=0
6
81
Ё данном случае производящая функция
И
G («) ~ П(<7к + «М	(13.9)
к=1
где рк — вероятность появления события А при 6-м испытании, а
?к=1— Рк (6=1,2,..., и) (см. §8).
Функция распределения F (х) ив этом случае может быть пред-
ставлена в виде (6), но вероятности Рп,к имеют другие значения.
Найдем математическое ожидание и дисперсию, используя про-
изводящую функцию.
Логарифмируя равенство (9), получим
п
1П О (ц) = 2In (7k + «А) •
к=1
Тогда
п
'	G(«) ~	<7к + «А '
к=1
Так как <7(1) = 1, x=G'(l), а при любом k pk+<7k = l, матема-
тическое ожидание случайной величины X будет
=	(13.11)
к=1
Дифференцируя равенство (10) по « и полагая затем м=1, по-
лучим
к = 1
Так как
Z)(X) = G"(l)+x-[G'(l)K
то
£>(Ю
к=1
Поэтому дисперсия случайной величины X будет
п
D (X) =	(13.12)
к=1
Как частный случай из (11) и (12) при рк=р (6 = 1,2,..., и)
получаются формулы (7).
Пример 13.3. Групповая цель состоит из п элементарных целей.
При стрельбе по данной группе вероятность поражения 6-й цели
равна рк (6=1, 2,..., п). Определить математическое ожидание
числа пораженных элементарных целей.
82
Решение. Случайная величина X— число пораженных эле-
ментарных целей. Данная случайная величина имеет обобщенное
биномиальное распределение. По формуле (11) получаем, что ма-
тематическое ожидание числа пораженных элементарных целей
п
к=1
Распределение Пуассона. Целочисленная случайная величина Л
распределена по закону Пуассона, если ее ряд распределения
имеет вид
P(X = ft) = Pk = .^.^- (fe = 0, 1,	(13.13)
fV .
где a — заданное положительное число.
Равенства (13) действительно представляют собой ряд распре-
деления, так как любое из чисел Рк ~	е~* удовлетворяет усло-
вию 0<Pk < 1, а
СО	00
Вид многоугольника распределения, соответствующего ряду
распределения (13), зависит от величины параметра а. Если о<1,
то вероятности Рк при увеличении k убывают. При а 1 вероят-
ности Рк сначала возрастают, а затем тоже убывают. Наибольшее
значение имеет вероятность Рк при числе k, которое равно целой
части числа а. Если а — целое число, то наибольшее значение
имеют две вероятности: при k = a— 1 и при k=-~a.
Функция распределения F(х) через вероятности Рк выражается
следующим образом:
F(z) =
О при х<0;
к
УД при k < х < k 4- 1
io (k = О, 1, . . . ).
(13.14)
Используя вероятности (13), находим
Поэтому производящая функция случайной величины X, рас-
пределенной по закону Пуассона, определяется формулой
G (и) = еаО-1).	(13.15)
83
Воспользуемся производящей функцией для определения пер-
вых четырех моментов.
Имеем:
G'(u) = aG{u); [иG'(u)]' = а (1 -{-ац) 6(м);
{и [иС/(ц)У}/ = а(1 +3au-\-a2u2) G(u);
(и [и [uG'(и)У}')' = а(1 + lau + 6а2и2 + а3и3) G (и).
Полагая в этих выражениях и=1, получаем первые четыре
начальных момента случайной величины X:
mi=a;	т2 — а + а2;	т2 = а + 3а2 + а3;
т4 = а+7а2 + 6а3 + а4.	(13.16)
Так как x = m1? D(X) =т2—(х)2, р3 = т3—Зхт2 + 2(х)3, то из (16)
следует, что для случайной величины X, распределенной по закону
Пуассона, математическое ожидание, дисперсия и третий цент-
ральный момент равны параметру ау т. е.
x=D(X) =Из=ц.	(13.17)
Коэффициент асимметрии
Sk=-^ - —Д=-> 0.	(13.18)
°3	у а
Четвертый центральный момент
р4 = т4 — 4хт3 + 6 (х) 2т2 — 3 (х)4 = а + За2,
а потому эксцесс
Ех = -^--3=А-.	(13.19)
Распределение Пуассона является предельным для биномиаль-
ного распределения, если п -> оо, математическое ожидание х^пр
остается конечным, а потому вероятность появления события при
одном испытании р= -^-->0. Действительно, заменяя в произво-
дящей функции для биномиального распределения (5) вероят-
ность рна — 1^=1 — — н используя известную формулу
/	а \ ч
lim I 1 ---I = еа,
n-Ц	« /
при указанных условиях получим
G (й) = Um
П-*ОО
что совпадает с выражением (15) для производящей функции слу-
чайной величины X, распределенной по закону Пуассона, при х=а.
84
Таким образом, распределению Пуассона подчиняется случай-
ная величина X, являющаяся числом появлений события А при
большом числе испытаний (теоретически п= оо), когда математи-
—		х
ческое ожидание х ограничено и, следовательно, вероятность р = —
появления события А при каждом испытании мала. Поэтому закон
распределения Пуассона иногда называют законом редких со-
бытий.
Из вышеизложенного следует, что при малой вероятности р и
большом числе испытаний п вероятности Pn;k = Cnkpkqn~k при-
__
ближенно равны вероятностям Рк = -г- при а = х = пр, причем
/v!
степень приближения тем лучше, чем больше и и меньше р. Вслед-
ствие этого, например, вероятность появления события хотя бы
один раз можно вычислять не с помощью равенства /?п,1=1— qr\
а по формуле
(13.20)
при а —пр.
Распределение Пуассона является также предельным для обоб-
щенного биномиального распределения, когда число п независи-
мых испытаний неограниченно растет, наибольшая из вероятно-
п
стей рк стремится к нулю, а математическое ожидание х==	/7к
к=1
при п -» со остается конечным. Действительно, из (9) следует, что
1пО(«) =	[1 + (к - 1) А].
к=1
При —справедливо разложение In (14-^) = ^— 5’^2+
<и3
-о—	а потому
п	п
In G (я) = (я - 1)	- -L (и — 1)2 ^рк2 _|_
к=1	к=1
п
+!.(«_ и»
к=1
п	_
Так как рк = х — ограниченное число, а при tn > 2
k=l
n
2 Pk” < (pk.max)"1-1 X, TO При \ U — 1 |/?k, max < 1
k»l
85
|ln G (и) — (« — 1) X I < -|-X (it — I)2 Pk,max [ 1 + \ U — 1 | Pk.max
+ (« — 1)2^|,шах + • •  ]
X (it — 1 )2 Pk,tnax
2 [1 '— j U — 1 | Pk, max]
В пределе получим G(iT) = ex<u-1>.
Таким образом, если производится большое число п неза-
висимых испытаний при различных условиях, причем матема-
тическое ожидание числа появлений события А при этих ис-
пытаниях ограничено, то при малых вероятностях рк (6=1,
2,...,п) обобщенное биномиальное распределение приближенно
может быть заменено распределением Пуассона с параметром
п
а= рк> т. е. определяемые с помощью производящей функции (9)
к=1	к
вероятности Рп;к приближенно могут быть заменены на Рк = -гт- е~а
rv I
(6 = 0, 1, .. .). В частности, вероятность появления события хотя бы
Т1
один раз можно вычислить не с помощью равенства A?n;i =1— П Як>
п	к=1
а по формуле (20) при а =	Точность расчета при замене
к--1
обобщенного биномиального распределения законом Пуассона бу-
дет тем выше, чем больше число п и меньше наибольшая из веро-
ятностей рк (k~ 1,2,..., п).
Пример 13.4. Вероятность сбить самолет выстрелом из винтовки
равна 0,001. Найти вероятность того, что при 500 выстрелах, произве-
денных в одинаковых условиях, будет сбито не менее двух самолетов.
Решение. В данном случае производится п = 500 независимых
опытов, в каждом из которых событие происходит с вероятностью
р = 0,001. Математическое ожидание числа сбитых самолетов
Л' = «/У = О,5. Так как вероятность р мала, а число п испытаний боль-
шое, то при вычислении искомой вероятности можно использовать
формулы (13) при п = 0,5. Вероятность того, что не будет сбит ни
один самолет, Po = e_fl-5=0,606, а вероятность того, что будет сбит
один самолет, Р\ = 0,5е °’5 == 0,303.
Искомая вероятность
Р = 1 _(Po+Pj) =0,091.
Пример 13.5. Система автоматического регулирования включает
в себя пять элементов одного типа и два элемента другого типа.
Вероятности отказов за время Т элементов первого типа равны
0,02, а второго — 0,01, причем отказ любого элемента не зависит от
отказов других элементов. Определить вероятность того, что за
время Т выйдет из строя k элементов (6 = 0, 1,. . ., 7).
86
\ Решение. Вероятность Р7;к того, что из семи элементов за
время Т откажет ровно k, является коэффициентом при пк в раз-
ложении производящей функции
\	G(«) = (0,98 + н0,02)5 (0,99 + ^0,01)2
в ряд по степеням и.
Если учитывать четыре знака после запятой, получим
G(u) = 0,8859 + w0,l083+ «20,00 56+ w30,0002+ ..
поэтому искомые вероятности Р70 =0,8859; Р?,! =0,1083; Р7-2 =
= 0,0056; Р7;3=0,0002; Р7;к 0 при 6=4, 5, 6 и 7.
Вероятности отказов элементов малы, поэтому приближенные
значения искомых вероятностей можно найти, исходя из условия
P7;k А (& = 0, 1,..., 7). Так как в рассматриваемом случае
а=х=5- 0,02 + 2 -0,01 =0,12, то
О 192
Ро = е~<М2 = 0,8869; Л = 0,12е?-°'12 = 0,1064; Р2 =	=
О 193
= 0,0064; Р.. = ±-^-е~^2	0,0003; Р* = О (& = 4, 5, 6, 7).
О I
Пример 13.6. В аппаратурный отсек космической ракеты за
6ir
время Т с вероятностью Рг (а) = — е~а попадает г элементарных
частиц (r=0,1,...). Условная вероятность для каждой частицы
попасть при этом в уязвимый блок равна р. Определить вероятно-
сти попадания в уязвимый блок за время Т ровно k частиц и хотя
бы одной частицы. Найти математическое ожидание числа частиц,
попадающих в уязвимый блок за время Т.
Решение. Обозначим через Нг (г=0,1,...) гипотезу, означаю-
щую, что за время Т в аппаратурный отсек попало ровно г эле-
ar
ментарных частиц. По условию Р(НА= — е~я. Пусть событие А
означает, что в уязвимый блок попадет ровно k частиц из г. Тогда
Р(Л/ЯГ) = Ckpkqr~k (r—k, £+1,...), а при r<k Р(А/НГ) =0.
Используя формулу полной вероятности, находим
оо	ео
р (Л) = Р ш Р (л! й-"сгкЛ'-к =
r=k	r=k
(^p)k _а VI (qay 1 k a qa №)k an
= kTe 2j ~ = *i‘	=
r—0
87
Таким образом, число частиц, попадающих в уязвимый блок,
распределено по закону Пуассона с параметром ар, т. е.	>
Р{А)=	/
Вероятность того, что в уязвимый блок не попадет ни одной
частицы, будет Р0(ар) = е~ар. Поэтому вероятность попадания хотя
бы одной частицы
Я] ~ 1 — Ро (ар) = 1 — е~ар.
Математическое ожидание числа частиц, попадающих в уязви-
мый блок, будет х = ар.
Геометрические распределения. Предположим, что производятся
независимые испытания, при каждом из которых событие А проис-
ходит с вероятностью р. Обозначим через X целочисленную слу-
чайную величину, означающую число испытаний, предшествующих
первому появлению события А, т. е. X — число неудачных испыта-
ний. Ряд распределения этой случайной величины имеет вид
Р (X = k) = q*p (k = О, 1, . . . )	(13.21)
и представляет собой бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию. Поэтому распределение (21) называется геометриче-
ским.
Так как
— 1 _
то функция распределения в данном случае будет

О при х 0;
1 — <?k+1 при k < х < k 4- 1
(^ = 0, 1, ...).
(13.22)
Считая | и|<7<1, для производящей функции Gx(u) случайной
величины X получим
= р V {uqY = Д • .	(13.23)
к==0
Имеем:
°«'W = (T^5 G'(D = f; G"(D=^.
88
Подставляя значения G'(l) и в (12.7) и (12.20), находим
математическое ожидание и дисперсию случайной величины X:
х =	=	(13.24)
В некоторых случаях общее число проводимых испытании огра-
ничено числом п. Ряд распределения для числа X неудачных испы-
таний при этом будет:
Р (X = /г) = дкр (А = 0, 1, . . . , п - 1); Р (X = п) = да, (13.25)
а производящая функция для X определяется формулой
=	+	(13.26)
где индекс п указывает на общее число испытаний.
Дифференцируя последнее выражение, находим:
<+„(и) = ~(1	1 -пи^'ч° - “»> +
+ д [1 — (zz^)n] } + ftu.n~lqn;
g;b<d=^-	о;в(') =^(i-«"-w-1)-
Поэтому математическое ожидание и дисперсия случайной ве-
личины X при ограниченном п будут:
*=у(1-?”);	=	+2» + -^. (13.27)
Как частный случай при из (26) и (27) следуют форму-
лы (23) и (24).
Несколько отличное от (21) и (25) геометрическое распределе-
ние имеет случайная величина К являющаяся числом испытаний,
которые необходимо произвести до первого появления события А.
Если общее число испытаний не ограничено, то ряд распределения
случайной величины Е^Х+1 имеет вид
P(Y=k} = д^р (£ = 1, 2, . . . ).	(13.28)
Производящая функция этой случайной величины при |ц|^<1
определяется формулой
а, («) = ВОХ («) =	.	(13.29)
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
^=2^+1 следующие:
/=Г+1= A.; D(r) = D(X)=i.	(13.30)
89
Когда общее число испытаний п ограничено, число У проведен-
ных испытаний до первого появления события Л будет равно п,
если событие А не произойдет при первых п — 1 испытаниях. По-
этому ряд распределения случайной величины У в этом случае:
P{Y=k) = д*~'р (k= 1, 2, п- 1); P(<Y=n) = qn-1. (13.31)
Производящая функция данной случайной величины У будет
Су:п(м) = и(?Х;п-1 (и) = ир 1	+ u*qn~l. (13.32)
Математическое ожидание и дисперсию У при конечном п мо-
жно найти с помощью производящей функции (32) или воспользо-
вавшись равенством У=Х,+ 1, где X'— число неудачных испыта-
ний, когда общее их число равно п— 1. Учитывая выражения (27),
получаем:
у = у(1-9"); Р(Г)=^---^(2Я-1+^-1. (13.33)
Как частный случай при п = со из (32) и (33) следуют формулы
(29) и (30).
Введем случайную величину Z = n — У, равную числу непроиз-
веденных испытаний из общего их числа и, если испытания прово-
дятся до первого появления события А. Данная случайная вели-
чина также имеет геометрическое распределение, но отличное от
(25) и (31). Ее ряд распределения:
P(Z = 0) = qn-\ P{Z = k)^-qn-^p {k = \, 2, ..., /г-1). (13.34)
Производящая функция для Z определяется формулой
/ 1 \	/7П-1 — „п~1
Gz;n (и) = ггпСу;п (— = tf”-1 + up -—--, (13.35)
\ Uf I	(JU
а математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Z^n—У следующие:
О(2)=^--^-^2л-1+^-1. (13.36)
Пример 13.7. Стрельба независимыми выстрелами прекращается
только после первого попадания в цель. Вероятность попадания
при каждом выстреле равна р. Определить математическое ожи-
дание и дисперсию: а) числа промахов; б) случайного расхода
боезапаса.
Решение, а) Число промахов X равно числу неудачных выст-
релов. Воспользовавшись формулами (24), получаем: х = У—,
90
>2
б) Случайный расход боезапаса равен числу У проведенных
выстрелов до первого попадания в цель. Используя формулы (30),
находим: У=~-; P(Y) = ~^ •
Пример 13.8. С подводной лодки выпускаются торпеды последо-
вательно по одной до первого попадания в цель или до полного
израсходования всего боекомплекта, состоящего из п торпед. Счи-
тая все выстрелы независимыми, а вероятность попадания каждой
торпеды в цель равной р, определить математическое ожидание и
дисперсию: а) числа промахов; б) случайного расхода торпед;
в) числа неиспользованных торпед.
Решение, а) Если X —число промахов при стрельбе торпе-
дами до первого попадания в цель или до израсходования всего
боекомплекта, состоящего из п торпед, то ряд распределения этой
случайной величины определяется формулой (25). Используя фор-
мулы (27), получаем:
т = А(1_Л	=
р к v />	\	/ pl Р \	Р )
б) Случайная величина У — число израсходованных торпед —
имеет ряд распределения (31). Поэтому согласно (33) искомые
характеристики будут:	,
у = —(!—?“); О(Г) = 4-— — 1 +£).
р	к Pi р у	Р J
в) Случайная величина Z— число неиспользованных торпед.
Эта случайная величина связана с числом израсходованных тор-
пед У равенством Z = n— У. Поэтому согласно (36):
п - А-’ (1 - ?п); D (Z) = - £1 (2/г - 1 4- -^1.
р	4 pi р \	Р )
Отрицательное биномиальное распределение. Предположим, что
производятся независимые испытания, при каждом из которых
событие А может произойти с вероятностью р. Обозначим через X
число испытаний, которые нужно произвести сверх заданного их
числа т для того, чтобы событие А произошло т раз. Случайная
величина Хр-т примет значение п (п если событие А про-
изойдет т—1 раз при первых п—1 испытаниях и произойдет
также при n-м испытании, поэтому
Р (X -ф- т = п) = (Cl?r11/’m~1?n~ffl) Р‘-
Положим n — m=k, тогда
P(X = V = C^iPmq* (Zc 0, 1, . . . ).
(13.37)
91
Ряд распределения (37) носит название отрицательного бино-
миального распределения. Это название связано с тем, что выра-
жение (37) является общим членом разложения бинома
рт(1 —^)~т=] в ряд по степеням р. Действительно, имеет место
разложение (при «<1)
(!-«)-”= jX-i
к=0
поэтому
Г (1 - ?)-” =
к=0
Распределение (37) встречается во многих приложениях. Как
частный случай при т=\ из пего получается геометрическое рас-
пределение (21).
Если	то вероятности (37) уменьшаются при увеличе-
нии k. При </> эти вероятности сначала возрастают, но затем
снова убывают. Чтобы найти наибольшую вероятность, составим
отношение
Р (Х = k 4- 1) _ (т 4- k) q
P(X=k) ~ (& + 1) ’
Из этого выражения следует, что в ряду (37) будут две наи-
большие вероятности, если (m+k)q=k+1, т. е. если отношение
mq— 1
——-----— целое число. Эти вероятности соответствуют двум зна-
чениям k:
mq — 1	,	. ч q
~— и k2 = (m — 1)	,
Если указанное отношение дробное, то наибольшая вероятность
достигается при k, равном целой части числа (т—1)— •
Функция распределения Е(х) в данном случае имеет вид
10	при х 0;
Л	(13.38)
Pffl2LC£+s-i?S при k <	1
(k = 0, 1, . . .).
Производящая функция случайной величины X будет
k=0
92
что при | uq j < 1 можно записать в виде
O(») = ,.-jCr-	’	(13.39)
к1	11Ч)
Моменты случайной величины X могут быть найдены с по-
мощью функции (39).
Имеем:
/ х niqpm	,1Z /ч. а
G («) = -г.---’» G (1) ~ т ~
G" (1) = т (т 9- 1)	.
Поэтому математическое ожидание и дисперсия случайной ве-
личины X следующие:
Г=т-2-; О(%) = /и-Х.	(13.40)
Аналогично с помощью производящей функции (39) могут быть
определены любые моменты случайной величины X, подчиняю-
щейся отрицательному биномиальному закону распределения.
Зная моменты для X, можно найти моменты случайной величины
Y = X+m, являющейся числом испытаний до появления события А
ровно т раз. Закон распределения У также называют отрицатель-
ным биномиальным.
Пример 13.9. Найти математическое ожидание и дисперсию числа
выпущенных снарядов, необходимых для получения т попаданий,
если выстрелы независимые, а вероятность попадания при каждом
выстреле равна р. Стрельба продолжается до получения m-го по-
падания.
Решение. Пусть случайная величина У означает число выпу-
щенных снарядов, а X—число промахов. Тогда Y=m+X. Из
этого выражения следует, что y — tn-Yx, a D(Y) ~D(X). Согласно
(40), х~т^ , &(Х) ~, поэтому у ~ т ~ -ф т~ ,
D(F)=m-i.
Гипергеометрическое распределение. Пусть из п изделий некото-
рым признаком А (например, брак) обладают т изделий. Обозначим
через X случайную величину, означающую число изделий, обла-
дающих признаком А, среди взятых наудачу х изделий, тогда
P(X = k)=	(* = 0, 1,  . ., s).	(13.41)
93
При k>m и при s — k>n— т вероятности P(X=k) =0. Поэто-
му в (41) отличны от нуля только те вероятности, для которых
s т — k < т и 0 < А < s.
* Ряд распределения (41) называется гипергеометрическим рас-
пределением. Это название связано с тем, что производящая функ-
ция для вероятностей (41) выражается через гипергеометрическую
функцию.
Если при фиксированных числах k и k+\ вероятности (41) от-
личны от нуля, то
Р(Х=^ + 1)	(т — k) (s - k)_______
Р (X — k) (k + 1) (ц — m — s + k + 1)
ms tn —s—ti— 1
Когда это отношение равно единице, т. е.--------------—
п, + 2
целое число, наибольшая вероятность достигается при двух зна-
чениях k: и k2, где
, ms + zn-4-s — ц— 1	, /ns /п 4- s 4- 1	, . ,
К =------!-----Lr“5-------J k2 =-------11+ 1 •
п. + 2	п -ф- 2
Если указанное выше отношение не равно единице, то наиболь-
шая вероятность будет при числе k, равном целой части дробного
ms 4- т + s 4 1	(/и 4- 1) (s 4 1)
числа ---------г-77------- ----!----------•
п + 2	п 4 2
Функция распределения F(х) в данном случае имеет вид
О	при л* < 0;
к
Д Vе», Q А, при к<х<1г + 1	(13.42)
“ -“Г	(А = 0, 1. .. . , s-1);
1	при X > 5.
Производящая функция случайной величины X будет
S
«(“)=
k-0
(13.43)
Для вычисления моментов случайной величины X с помощью
производящей функции удобно представить выражение (43) в виде
производной от полинома.
Имеем
(1 + uv)m (1 + ц)п-,п
m	n -m
2 («4 q, 24-^-
k=0	j=0
94
Коэффициент при г»5= в правой части этого равенства ра-
вен С® G(u), поэтому
° ("> =	(1 + СО-”])	 (13.44)
i! Ln O‘L'	J |\ -О
С помощью полученного выражения находим

Тогда
mid3
о'(» = дУ ^-^d +
°" <» = '”(s7di 1}{^ (I + v)"~:
=- С* С-*~7Л>=Т) § **	°-
ms .
n '
__ т ps—1 -----
— f's n-1
j v=0 n
| V=0
Так как x=Gz(l), £>(X) = G"(1) + GZ(1)— [Gz(l)}2, to
7 = ^, D(X)~	03.45)
Аналогично могут быть определены и другие моменты случай-
ной величины X.
Пример 13.10. В налете участвовало а+р однотипных самолетов,
из которых а являлись носителями специального оружия. В воз-
душном бою сбито s самолетов. Определить математическое ожи-
дание и дисперсию числа сбитых носителей специального оружия.
Решение. Случайная величина X — число сбитых носителей
специального оружия. Ряд распределения этой случайной величины
имеет вид (41) при т = ц, п = а+р. Поэтому с помощью формул
(45) получаем:
- — s“ • П(У\~ (а + р — s)
«+Г и[Л) (« + р)2 (а Н- ? — 1) ’
§ 14. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ
И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ И
СМЕШАННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Прежде чем перейти, к непрерывным случайным величинам,
рассмотрим дискретную случайную величину X специального типа
с рядом распределения P(X = xk) = рк (k= 1, 2,..п), возможные
значения хк которой лежат в интервале (а, Ь). Границы а и Ъ
являются соответственно наименьшим и наибольшим из возмож-
ных значений случайной величины X и могут быть как конечными,
95
так и бесконечными. Предположим, что число возможных значений
этой случайной величины велико (п-> со), интервалы между лю-
быми соседними значениями малы (jxk+1 — xk| - 0) и мала наи-
большая из вероятностей р^ (ft = 1, 2,..., и). При этом вероятность
>0при любом ft. Однако сумма таких вероятностей для воз-
можных значений X из любого интервала на (a, ft) остается конеч-
ной, а сумма вероятностей рк по всем возможным значениям X на
п
(a, ft) равна единице, т. е. = 1.
k=l
Введенная случайная величина X не является непрерывной по-
тому, что ее возможные значения на (о, ft) не исчерпывают все
точки этого интервала несмотря на то, что интервалы между сосед-
ними возможными значениями являются бесконечно малыми. Не-
прерывная случайная величина может принимать любые значения
из заданного интервала (a, ft). Общее между непрерывной слу-
чайной величиной и введенной дискретной случайной величиной
состоит в том, что вероятность попадания их значений на любой
интервал из (а, Ь) стремится к нулю при уменьшении до нуля
длины этого интервала.
Таким образом, естественным является следующее определение
непрерывной случайной величины: случайная величина X назы-
вается непрерывной в заданном интервале (о, ft), если она может
принимать любые числовые значения из этого интервала, причем
вероятность неравенства Х<х может быть выражена через инте-
грал, который дает сумму вероятностей попадания значений слу-
чайной величины X в бесконечно малые интервалы числовой оси,
расположенные левее точки х, т. е.
X
Р (X < х)— J f (л:) dx,	(14.1)
где /(х)—неотрицательная функция своего аргумента. Данная
функция отлична от нуля только в области (a, ft) возможных зна-
чений непрерывной случайной величины X, причем границы а и b
этой области могут быть как конечными, так и бесконечными. Воз-
можны также случаи, когда имеется несколько неперекрывающихся
интервалов возможных значений. В дальнейшем, если противное
не оговорено, будем считать интервал возможных значений непре-
рывной случайной величины X совпадающим со всей осью абсцисс,
т. е. а — — со, ft=oo. Это можно делать, так как вне интервала
определения случайной величины X всегда f(x) = O.
Для непрерывной случайной величины X нельзя ввести понятие
ряда распределения, поскольку ее возможные значения не могут
быть пронумерованы. Полной характеристикой для X является
функция распределения F(x), которая, как и для дискретной слу-
чайной величины, определяется формулой
Г(х)=Р(Х<х),	(14.2)
96
т. е. функция распределения F(x) равна вероятности того, что слу-
чайная величина X примет значение, меньшее фиксированного зна-
чения х. В соответствии с (1) для F (х) справедливо следующее вы-
ражение:
F (х) = J/(х) dx.	(14.3)
Рассмотрим основные свойства функции распределения. Непо-
средственно из определения (2) следует, что
0<Л(х)<1.	(14.4)
При %2>a:i всегда Р(Х<х2)	а потому F(x)—не-
убывающая функция, т. е.
Л (х2) > F (л*;) при х2 > х{.	(14.5)
Наименьшее значение функция распределения F (х) достигает
на нижней границе, а наибольшее — на верхней границе интервала
возможных значений случайной величины X, т. е.
(1416)
так как событие Х<—оо невозможное, а событие А"<оо досто-
верное.
При x2>Xi вероятность неравенства Х<х2 можно представить
в виде суммы вероятности неравенства У<Х] и вероятности по-
падания возможного значения случайной величины X в интервал
(л'],х2), включая точку Х\, т. е.
Р (Х<х2) = Р(X^A'i) 4 Р(л'1	Х<х2).
Поэтому
Р(х}^ X<x2)=F(x2) — F(Xi),	(14'7)
т. е. вероятность попадания случайной величины X в заданный ин-
тервал равна приращению функции распределения на этом интер-
вале.
Свойства (4) — (6) и формула (7) справедливы для функции
распределения как непрерывной, так и дискретной случайной вели-
чины X. Установим дополнительное свойство функции распределе-
ния F(x), справедливое только для непрерывных случайных ве-
личин.
Из равенства (3) следует, что функция распределения F(%)
непрерывной случайной величины X имеет производную, которая
определяется формулой
Р (х < X < х 4- Sx) . ,
F (х) = hm---------—----------= f (х).	(14.8)
дх-*0	“Л
7
97
Функция f(x) при некоторых значениях аргумента х может
обращаться в бесконечность, но только при условии, что интеграл
(3) от f(x) остается конечным при любом значении верхнего пре-
дела. Следовательно, функция распределения F(x) непрерывной
случайной величины X непрерывна и имеет место следующее пре-
дельное равенство:
lim Р (х Д X < х +	= 0.	(14.9)
Дх-+0
Из последнего выражения следует, что вероятность точного ра-
венства Х = х при любом х равна нулю. Поэтому в (7) и (8) усло-
вия Х1<Хих<Х для непрерывной случайной величины X могут
быть заменены строгими неравенствами Xi<J£ и х<Х.
Утверждение о том, что для непрерывной случайной величины X
при любом х справедливо равенство Р(Х — х) =0, нуждается в по-
яснении, так как на первый взгляд это равенство противоречит
тому факту, что при испытании X может принять определенное
числовое значение х. Смысл данного утверждения состоит в том,
что любому выбранному до испытания фиксированному значению х
случайной величины X соответствует нулевая мера объективной
возможности его появления в результате испытания, поскольку'
имеется бесчисленное множество возможных значений этой случай-
ной величины. Вероятность попадания непрерывной случайной ве-
личины в заданный интервал (х1? х2) из (п, Ь) согласно (7) зави-
сит от длины этого интервала и стремится к нулю при х2—>хь
Именно в таком смысле нужно понимать предельное равенство
Р(Х=х) =0, а не как утверждение о том, что в результате испыта-
ния случайная величина X не может принять фиксированное зна-
чение х.
Вместо функции распределения F(x) в качестве полной харак-
теристики непрерывной случайной величины X можно использо-
вать функцию f(x), которая связана с F(x) равенством (8), т. е.
f(x)=F'(x).	(14.10)
Данная функция является плотностью вероятности случайной
величины X и имеет размерность, обратную размерности X. Иногда
эта функция называется также дифференциальным законом рас-
пределения непрерывной случайной величины X.
Рассмотрим основные свойства плотности вероятности /(х)..
Так как F(х) —неубывающая функция, то ее производная F' (х)
не может быть отрицательной, т. е. функция /(х) удовлетворяет
условию
/(х)>0,	(14.11)
а потому график этой функции лежит не ниже оси абсцисс (рис. 13).
Это свойство непосредственно следует и из определения функции
f(x) как плотности вероятности непрерывной случайной вели-
чины X.
98
Условие /*(оо ) = 1 с помощью (3) можно записать в виде
со
J/(x)^=l,	(14.12)
т. е. площадь под кривой y=f(x) равна единице. Если возможные
значения случайной величины X заключены в интервале (а, Ь), то
вне этого интервала плотность вероятности равна нулю, а потому
вместо (12) будет
ъ
f/(x) dx = 1.	(14.13)
а
Данное равенство весьма удобно для проверки правильности
математических выкладок при аналитическом выводе формулы для
плотности вероятности, а также при определении неизвестного
числового множителя в выражении для /(х) в том случае, когда
плотность вероятности известна с точностью до такого множителя.
Если аналогичный множитель или неизвестные слагаемые содер-
жит функция распределения Е(х), то при их определении исполь-
зуются равенства (6).
Подставляя в (7) вместо F(х2) и F(Xi) их выражения через
плотность вероятности, получим формулу для вероятности попада-
ния случайной величины X в интервал (Х],х2):
*2
Р (Xj < X < х2) = J/ (х) dx,	(14.14)
Х1
т. е. вероятность попадания случайной величины X в интервал
(хь х2) равна площади над этим интервалом под кривой y=f(x)
(см. рис. 13).
99
Для дискретной случайной величины X с рядом распределения
Р(Х = хк) = рк (k= 1, 2,. . ., п) через значения хк, пронумерованные
в порядке их возрастания, функция распределения определяется
формулой (11.4), т. е.
О при
к
при
j=l
1 при
X < Х^
-^к Х <Г -^к+1
(& — 1, 2, . . . , п — 1);
X > хп.
(14.15)
Данная функция в точках x=xk (£= 1, 2,. .я) имеет скачки
и потому недифференцируема. Следовательно, формула (10), опре-
деляющая плотность вероятности, в этом случае теряет смысл.
Однако если ввести в рассмотрение так называемую дельта-функ-
цию, то понятие плотности вероятности приобретает смысл и для
дискретных случайных величин.
Введем «единичную» функцию &(х) следующим образом:
е (х) =
1 при х > 0;
0 при х < 0.
(14.16)
Для этой функции можно построить последовательность аппро-
ксимирующих функций ipi (х), фДх), . . сходящихся к g(x) и имею-
щих первую производную при любом х. Предельная функция по-
следовательности (х), ф2 (х),. . . называется дельта-функцией
Дирака и обозначается через б(х) =	. Так как 6(х) являет-
ся производной от ступенчатой функции с единичным скачком
в точке х = 0, то
. . ч (0 при х т 0:
о(х)-	1	’	(14.17)
I со при х = 0,
причем
р ( х ) dx ~ 1.	(14.18)
Следствием (17) и (18) является равенство
J<p (х) 3 (х — a) dx = 9 (а),	(14.19)
--00
справедливое для любой непрерывной в точке х=а функции <р(х).
100
Дельта-функция Дирака 6(х) четная, а
ведливы следующие равенства:
потому при а<Ь спра-

dx —
О при b < 0 или а > О;
1, когда а < О, а b > О;
при (2 = 0 или b = 0.
(14.20)
В следующем параграфе для дельта-функции Дирака будет
получено интегральное представление путем соответствующего пре-
дельного перехода в формуле, определяющей выражение для плот-
ности вероятности.
С помощью единичной функции (16) выражение (15) для функ-
ции распределения дискретной случайной величины X можно пред-
ставить в виде
^U) =	(14.21)
к=1
тогда
f(x) = F' (х) = V/V. (х - А).	' (14.22)
к=1
Функция (22) удовлетворяет условиям (11) и (12), поэтому ее
можно рассматривать как плотность вероятности дискретной слу-
чайной величины.
Рассмотрим случайную величину X, которая может принимать
дискретные значения с отличными от нуля вероятностями рк
(£=1,2,. . ., п) и, кроме того, в определенных интервалах измене-
ния х может принимать значения, попадающие в выбранный бес-
конечно малый интервал dx с вероятностями, пропорциональными
dx. Такие случайные величины, обладающие в известном смысле
слова свойствами и дискретных и непрерывных случайных величин,
называются случайными величинами смешанного типа.
Формально случайную величину смешанного типа можно полу-
чить, написав ее функцию распределения F(х) в виде суммы не-
прерывной функции 77*(х) и функции типа (21), имеющей счетное
число скачков первого рода. Поэтому для случайной величины
смешанного типа
F (х) = F* (х) + pke (х - xk),	(14.23)
k=l
где
< 1-	(14-24)
k=l
101
Эта функция распределения также удовлетворяет условиям (5)
и (6), т. е. F(х) — неубывающая функция, Л(—оо)=0, a F(<=o) =
= 1. Так как при xk<x<xk+1 (&=1,2, ...,п—1) второе слагаемое
в правой части равенства (23) не изменяется, то F*(x) также
является неубывающей функцией, причем
Л(-°=) = 0,	=	(14.25)
k=l
От функции распределения F(x) путем дифференцирования
выражения (23) можно перейти к плотности вероятности f(x) слу-
чайной величины смешанного типа. Эта функция определяется
формулой
f (•*) = А А) +	~ А).	(14.26)
к=1
Функция А (х) = F*'(x) обладает всеми свойствами плотности
вероятности непрерывной случайной величины, исключая условие
нормировки (12), так как
ос	сю	П	00
J A A) dx = J / (х) dx —pk J В (х — xk) dx =
- оо	•—ею	1	----СЮ
= 1-2й<1.	(14.27)
к=1
Функция распределения F (х) или плотность вероятности /(х)
полностью характеризуют случайную величину X любого типа.
Для непрерывной случайной величины часто достаточно полную
информацию о виде ее закона распределения можно получить по
известным значениям моментов. Для этой же цели иногда исполь-
зуются так называемые квантили. Квантилем, отвечающим задан-
ному уровню вероятности р, называется значение х=хр, при кото-
ром функция распределения F(х) принимает значение, равное р,
т. е. К(хр)=/2. Квантиль х0,5, отвечающий уровню вероятности
/? = 0,5, называется медианой. Этот квантиль обозначается через
ТИе(Л’) или просто Me. Для такого значения случайной величины X
Р (Х> Me) = Р(Х<Ме) =0,5.	(14.28)
Геометрически медиана означает абсциссу точки, в которой
площадь под кривой y=f(x) делится пополам.
Квантили, отвечающие уровням вероятности /7 = 0,25 и /7 = 0,75,
называются нижним и верхним квантилями. Аналогично вводятся
и другие квантили, отвечающие различным уровням вероятности.
102
Если плотность вероятности f(x) имеет максимум, то значе-
ние х, при котором функция f(x) достигает максимального значе-
ния, называется модой. Когда плотность вероятности имеет два
максимума, распределение называется двумодальным, при трех
максимумах — трехмодальным и т. д. Если функция f(x) не имеет
максимума, то такое распределение называется антимодальным.
Для непрерывной и для смешанной случайной величины X на-
чальные и центральные моменты различного порядка определя-
ются так же, как и для дискретной случайной величины, т. е. как
математические ожидания соответствующих степеней X или откло-
нений X от математического ожидания х. Для вычисления указан-
ных моментов установим прежде всего правило нахождения мате-
матического ожидания х непрерывной случайной величины X. Как
и ранее, под математическим ожиданием будем понимать сумму
произведений возможных значений случайной величины на соот-
ветствующие им вероятности. При определении х всю область из-
менения возможных значений случайной величины X разобьем на
бесконечно малые интервалы длиной dx и будем считать значения
случайной величины X для всех точек интервала (x,x+dx) одина-
ковыми и равными х. Производя суммирование произведений
xf(x)dx по всем интервалам dx, т. е. интегрируя это произведение
по всем возможным значениям х, для математического ожидания х
непрерывной случайной величины X получим
х — §xf(x)dx.	(14.29)
Эта же формула используется для определения математиче-
ского ожидания случайной величины смешанного типа.
По аналогии с (12.3) для существования конечного математи-
ческого ожидания требуется абсолютная сходимость интеграла,
т. е. должно быть
\х\ f (х) dx < со.	(14.30)
Это усло'вие необходимо проверять только в том случае, когда
интервал возможных значений случайной величины X бесконечный.
Если условие (30) не выполняется, то случайная величина X не
имеет конечного математического ожидания.
Заменяя в (29) f(x)dx на dF(x), выражение для х можно пере-
писать в виде
х = JхdF(х) + xdF (х) = —§х d [1 — Л(х)] + \xdF (х).
0	-«	0	_оо
ЮЗ
Так как F(— со) =0, a F (со) = 1, то (если х существует) после
интегрирования по частям из последнего равенства получим
х - J [1 - F (х)] dx - J Л (х) dx.	(14.31)
0	— ОО
Начальный момент s-ro порядка ms непрерывной и смешанной
случайной величины X определяется формулой
т3 = М (Xs) = у xs/ (х) dx,	(14.32)
причем для его существования интеграл в правой части равенства
(32) должен быть абсолютно сходящимся.
Случайная величина X называется центрированной, если ее ма-
тематическое ожидание равно нулю. В дальнейшем для обозначе-
ний центрированных случайных величин будем использовать те же
буквы, что и для любых случайных величин, но с ноликом сверху.
Из любой случайной величины X, для которой существует матема-
тическое ожидание х, можно образовать центрированную случай-
ную величину X, отняв от нее математическое ожидание, так как
Х = Х — х.	(14.33)
Начальный момент s-ro порядка для центрированной случайной
О
величины X совпадает с центральным моментом s-ro порядка
для X, поэтому
Hs = М (Xs) =
(х — x)s f(x\ dx.
(14.34)
В частном случае, когда s = 2, из (34) получаем выражение для
дисперсии D(X) случайной величины X
D (X) = [х2 = у (х — х)2 / (х) dx.	(14.35)
При вычислении математического ожидания и дисперсии для
непрерывной или смешанной случайной величины аХ+р, являю-
щейся линейной функцией X, можно использовать формулы (12.4)
и (12.27), т. е.
Л1(аХ+р) =ах+р, £>(«Х+р) =а2£*(Х).	(14.36)
Связь между начальными и центральными моментами различ-
ных порядков дается формулами (12.16) и (12.17). В частности,
дисперсия 72 (X) связана со вторым начальным моментом т% и ма-
тематическим ожиданием х равенством
w	ВД=/п2-(х)г.	(14,37)
Среднее квадратическое отклонение ст для непрерывной или
смешанной случайной величины X определяется так же, как для
дискретной случайной величины, т. е. cr= (X) .
Если плотность вероятности f(x) симметрична, то мерой рас-
сеивания непрерывной случайной величины X может служить так-
же срединное отклонение Е, определяемое условием
Р(|Х-х| < Е) = Р(\Х-х\ > Е) = 0,5.	(14.38)
Как и среднее квадратическое отклонение о, срединное откло-
нение Е имеет размерность случайной величины X.
Пример 14.1. Может ли быть выражение
© (х) = А + В arctg ~
функцией распределения при о>0, —со < х < со?
Решение. Заданная функция неубывающая, если В>0. Из
условий F(—с»)=0 и F( со) = 1 следует, что должно быть
А — ~ В = 0, Л + В = 1. Отсюда находим Л = 4-, В — — > 0.
2	2	2 я
Поэтому ф(х) может быть функцией распределения, если Л= ~ ,
я
Тогда
f«=-y + ^-arctg^-; =
Пример 14.2. Задана плотность вероятности случайной вели-
чины X
X2
f (х) = Ахе 2а2 , где х > 0, а постоянная а задана .
Определить постоянную А. Найти функцию распределения F(x).
Р е ш е н и е.'Чтобы определить постоянную Л, воспользуемся
условием (13) при а = 0, Ь~ со.
Так как
М	X2	Ха | оо
J хе 2а' dx = —а?е 2а |о = а2,
о
& 1
то Л - —
а2
поэтому плотность вероятности
/(*) =
___х=_
х ~ 2а"
е при х>0;
о при х <; о.
105
Функция распределения
F (*) = J/(•*) dx =
о
О при х < О;
1	— е 2аа при л: > О.
Пример 14.3. Вероятность обнаружения цели за время наблюде-
ния t определяется формулой p(t)=l—e_at. Найти:
а)	вероятность обнаружения цели в течение интервала времени
(Л» ^2) '>	_
б)	среднее время наблюдения t, необходимое для обнаруже-
ния цели;
в)	среднее квадратическое отклонение времени наблюдения,
необходимого для обнаружения цели.
Решение. Пусть случайная величина Т означает время на-
блюдения до обнаружения цели, тогда функция распределения
F(t)=P(T<t)=p(t), т. е. F(t) = i — e~at.
Вероятность обнаружения цели за время от Л до t2 будет
Р = р < Т < /2) = F (t2) - F (^) =	- e-at2.
Плотность вероятности f(t) =F'(t) — ae_at. Поэтому математи-
ческое ожидание времени наблюдения
Оо
7= J tf(t)dt~±.
О
Второй начальный момент для случайной величины Т
т2(П=ф2/(О =
о
поэтому дисперсия D (Т)=m9— (t)2 — Д- . Среднее квадратическое
отклонение времени наблюдения o =	(f) =	.
Пример 14.4. Плотность вероятности абсциссы X случайной точки
окружности радиуса а с центром в начале координат имеет вид
при |х|<й;
тс у а2 — х2
О	при | х | > а.
/(•*) =
106
Определить, имеет ли это распределение моду. Найти медиану,
нижний и верхний квантиль. Вычислить срединное отклонение Е.
Решение. Плотность вероятности f(x) в данном случае не
имеет максимума, поэтому это распределение антимодальное.
X
Функция распределения F(x)= ^f(x)dx. Вычисляя интеграл,
получаем
О
1 , 1	, х
— Н--------arcsin —
2	тс	а
1
при х < —а;
при | х ) < а\
при х > а.
При х = 0 F(х) =0,5, т. е. медиана Ход = 0. Так как F(x)=0,25
г/ \ л	а]/2	а]/г2
и г (х) =0,75 соответственно при х =----— и х=—, то нижнии
а У 2	,.	а У 2
квантиль Хо.25 = ----— , а верхний квантиль -Го.75 ~— •
Математическое ожидание случайной величины X
Поэтому условие (38)' можно записать в виде
Р(|Х| < Е) = 0,5 = Р(-£ < М< Е) — F (Е) - Е (-Е)
или
2	Е
0,5 = — arcsin — .
тс	а
Отсюда следует, что sin — =	, поэтому срединное откло-
аУ2
некие Е=-------.
Пример 14.5. Стрельба независимыми выстрелами продолжается
до первого попадания в цель. Определить плотность вероятности
расхода боезапаса, если вероятность попадания в цель от выст-
рела к выстрелу не меняется и равна р.
Решение. Дискретная случайная величина X — расход бое-
запаса до первого попадания в цель — имеет, ряд распределения
P(X = k) = qk-1p (Л=1, 2, . . . ).
Воспользовавшись формулой (22), получаем
/У) = Р 2?k_ls (* -
k=l
107
Пример 14.6. На пути плоского пучка света шириной L в его се-
редине поставлен экран шириной 1\ (рис. 14). Независимо от пер-
вого экрана на пути пучка устанавливается другой экран шири-
ной /э, координата Y центра которого относительно центра первого
экрана является случайной величиной с плотностью вероятности
/у (У) =
Г" / п₽и । У । < 4" (Д “
*2
О при | у I > (Д — Д).
Найти функцию распределения F(х) и плотность вероятности
/(х) случайной величины X, характеризующей ширину оставшегося
«просвета», если Zj > Z2, a L i 212.
Решение. С помощью рис. 14 находим, что случайные вели-
чины X и Y связаны следующими соотношениями:
Д Zi Д
при -^-(Л +/2) < ] Р| (Д — Д>);
Д -	- I И ПРИ -у (A-+ Z2);
L -- I
при I (/j — Z2).
Интервал возможных значений случайной величины X есть [хьх2],
где Xi== Д — 1\ — х2 = Д — 1\. Поэтому Д(х) =0 при x<<xlr
108
Имеем
/>, = р (Х = х,) = Р [ -1- (/,+ /2) < I YI < -L (£ - Z2)
— 2 j fy (У) dy =
(W)
Рис. 15
При „Г]<х < х2 будет
F(x) =Р(Х<х) = /?1 + Р(х1<Х<х) =pi +
х1<£--^(/, + У-|Г|<х
g' (^i + ^2) — х <С I YI < £	(^i + 4)
— Pi +
4 (*i+y
7-Ц- f dy = Pl + 1U44+
L, — 1%	1	Lt ^2
L—j- (Zi+ia)—x
р
= Pi + Р L —
109
Так как
Рг = Р(Х=х2) = Р
। л<4-(/. -«]=
2
~ L — Е

^У =
Л 4
L - /2 ’
то при х>х2 F (х) =F(x2) +р2= 1.
График функции F(%) приведен на рис. 15. Плотность вероят-
ности f(x) =F'(x) в данном случае будет
/(х) —/^(Х) +Р16(Х~—X]) +р26(х — х2),
где
f* (*) -
2
L /2
О
при Xi < х < х2;
при х <Z хг или х > х2
§ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Как показано выше, полной характеристикой случайной вели-
чины X является функция распределения Г(х) или плотность веро-
ятности f(x)=r/(x), которая для дискретной случайной величины
определяется формулой (14.22), а для случайной величины сме-
шанного типа — формулой (14.26). В настоящем параграфе рас-
смотрим еще одну полную характеристику случайной величины, ко-
торая обозначается через Е(и) и называется характеристической
функцией. Данная характеристика также является универсальной,
т. е. она применима для случайной величины любого типа.
Характеристической функцией Е(и) случайной величины X на-
зывается математическое ожидание eiuX, т. е.
Е {а) - М (<?iuX),	(15.1)
где и — вещественный параметр, a i= ]/—1.
Пусть X — дискретная случайная величина с рядом распреде-
ления P(X = xk) = р,л (k= 1, 2,..., п). В этом случае возможные
значения случайной величины <?!иХ равны eIUXk (fe= 1, 2,..., «) и
имеют те же вероятности рк, что и возможные значения хк случай-
ной величины X. На основании определения математического ожи-
дания как суммы произведений возможных значений случайной
величины на соответствующие им вероятности для характеристи-
ческой функции дискретной случайной величины X получим
Е(и) =2е‘“‘Л.	(15.2)
к=1
110
Если дискретная случайная величина X целочисленная, то xk~k
(k = 0, 1,.. п), при этом
£(«; =	(15.3)
к=0
Сравнивая данное выражение с (11.6), находим, что для цело-
численной случайной величины характеристическая и производя-
щая функции связаны равенством
£ (я) = G (eiu).	(15.4)
Таким образом, если в производящей функции G(w) заменить
и на еш, получим характеристическую функцию Е(м) соответ-
ствующей целочисленной случайной величины.
Для непрерывной случайной величины X с плотностью вероят-
ности f(x) в соответствии с (1) характеристическая функция опре-
деляется формулой
£•(«)= J e™f(x)dx	(15.5)
— Сф
и, следовательно, Е(и) однозначно определяется плотностью веро-
ятности f(x).
Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, из (5)
находим
f(x) — -^7 J («) du,	(15.6)
т. е. плотность вероятности /(х) однозначно определяется через
характеристическую функцию Е(и).
Убедимся, что формулы (5) и (6) остаются в силе для дискрет-
ных случайных величин и случайных величин смешанного типа.
Для этого получим интегральное представление для дельта-функ-
ции Дирака 6(|). Пусть | — непрерывная случайная величина
с плотностью вероятности f(^), которая симметрична относительно
оси ординат и отлична от нуля только на интервале (—а, а). Так
как по свойству плотности вероятности
а
урЛМ-1,	(15.7)
—а
то ордината функции f(£) при а -> 0 должна стремиться к беско-
нечности. Поэтому при а —>0 плотность вероятности f(£) стремится
к функции, которая равна нулю при х^Ои равна бесконечности
при х= 0. Так как имеет место равенство (7), то в пределе /(£)
равна дельта-функции, т. е.
lim/(£) — 8(B).	(15.8)
а-*0
111
Предельное значение характеристической функции Е(и) со-
гласно (5) при этом будет
lim£'(w)=J £?iu£pim f (S)j di =	(5)	=-1.	(15.9)
Воспользовавшись равенством (6), получаем
lim =-^- f [limf («)! du,
a->0	J	[ a-0 J
что с учетом (8) и (9) дает
5(^)
Так как ?(%)—вещественная функция, то полученное инте-
гральное представление для дельта-функции можно переписать
в виде
«5
3 ф = J	(15.10)
Из этого равенства следует, что 6(g) — четная функция.
Производную s-го порядка от дельта-функции 6(g) можно по-
нимать как предел производной s-ro порядка от f(g) при а ->0.
Воспользовавшись равенством (6), находим
-^Я = ^-’рЛ-‘иЕ£(«)Йи.	(15.11)
Так как дельта-функция и ее производные вещественные, то для
производной s-ro порядка от дельта-функции имеет место следую-
щее интегральное представление:
o(s) 0) = Jide^du.	(15.12)
Более строгое доказательство формулы (12) можно найти
в специальной литературе по обобщенным функциям.
Если X— дискретная случайная величина, то согласно (14.22)
/ (*) = 2U — А).	(15.13)
к=1
112
Подставляя данное выражение в (5), получаем
е («)=• 2	piuxB dx =2^luXk’
к=1	— “	к--1
что совпадает с (2). Если подставить Е(м) из (2) в (6), то с уче-
том (10) получим
П	оа	п
f U) = Рк J e“lu(x“xk) dx = ^1? р^ (х — хк),
к-1	—»	к=1
Аналогично доказывается справедливость формул (5) и (6) для
случайных величин смешанного типа. Поэтому формулы (5) и (6)
справедливы для характеристик случайных величин любого типа.
Рассмотрим, какими свойствами обладает характеристическая
функция Е{и). Так как J f(x)rfx=l, то из (5) следует, что
(15.14)
£(0) = 1,
а при любом и
I£’(«)(=	<
т. е.
I £(«) I < 1.
Если У является линейной функцией
J / (х) dx,
(15.15)
случайной величины X,
т. е. Т=«Х + р, то
М (eiuY) = /И (е!и(“х+^) —	(^(«и)Х)?
а потому характеристические функции случайных величин X и
К=аХ+р связаны равенством
Еу	(15.16)
Обозначим через Ё(м) характеристическую функцию центриро-
ванной случайной величины Х=Х — х, т. е. положим
Е (и) М (ehlX).	(15.17)
Так как Х=Х+х, то с помощью (16) при а = 1 и р = получаем
Е (и) — е[п*Е (и).	(15.18)
Зная характеристическую функцию £(«), можно определить
моменты случайной величины X без вычисления плотности вероят-
ности f(x).
8
113
Предположим, что существуют начальные моменты случайной
величины X до r-го порядка включительно, тогда должно быть
j | х Is f (х) dx < оо (s — 1, 2, . . . , г).	(15.19)
Если X— дискретная случайная величина, то условия (19) при-
нимают вид
j? [-ЧОк < 00 («=1,2,. . . , г).	(15.20)
к=1
Когда справедливы неравенства (19) или (20), интеграл (5)
можно дифференцировать г раз по и как по параметру. Производ-
ная порядка s от Е(и) в этом случае существует при любом и и
может быть представлена в виде
£(8) (и) — i5 j x^e'^f (х) dx (s — 1, 2, . . . , г). (15.21)
Приняв в последнем равенстве и=0, находим
~ Е® (0) = ? J *5/ (•*) dx — isms (s = 1, 2, . . . , г).
Поэтому начальный момент s-ro порядка ms случайной вели-
чины X связан со значением s-й производной от характеристиче-
ской функции Е(и) при и = 0 соотношением
т& = {-i)s #9(0) (s = 1, 2, . . . , г).	(15.22)
Данная формула справедлива для случайных величин любого
типа.
Так как х = ть а Л(Л)=т2— (х)2, то из (22) получаем:
~х=—fE'(O); D(X)=— Е'Д0) + (ЕДО)]2.	(15.23)
Для центрированной случайной величины Х=Х~ х начальные
моменты совпадают с центральными моментами случайной вели-
чины X. Поэтому для центрального момента s-ro порядка ps слу-
чайной величины X имеет место следующая формула:

[e-iuxE (и)]
и=0
(15.24)
(s= 1,2,..., г).
В частности, когда s = 2, а г > 2, из (24) получаем выражение
для дисперсии в виде
о
D(X) =— Е'ДО).
(15.25)
114
При выполнении условий (19) характеристическую функцию
Е(и) можно разложить в ряд по степеням и и представить следую-
щим образом:
Е(гг)	к8 + йг0 (/г),	(15.26)
8 = 0
где 0(н) — некоторая функция параметра и, причем 0(0) =0. Учи-
тывая (22), это разложение можно переписать в виде
Г
Е (и)	{и).	(15.27)
8=0
Аналогичное разложение имеет место и для характеристической
функции £(и) центрированной случайной величины X, а именно
<«>=24 i‘s“’+(15,28)
S=0
о	о
где 0(w) —некоторая функция аргумента и, причем 0(0) — 0.
Иногда разлагать в ряд по степеням и удобнее не функцию Е(и),
а ее логарифм, называемый кумулятивной функцией ф(н). Послед-
няя связана с характеристической функцией Е (и) формулой
Е(и)=е^>.	(15.29)
Указанное разложение имеет вид
Г
(и) =	+ «ГХ («),	(15.30)
s=0
где х(и) —некоторая функция, обращающаяся в нуль при и=0.
Коэффициенты xs из (30) называются семиинвариантами, или ку-
мулянтами, случайной величины X. Для семиинварианта s-ro по-
рядка xs имеет место следующее равенство:
= (—0е Ф<” (0) = (-/)’ [In Е («)] |	(15.31)
J\u=O
(s= 1, 2,. .., г).
Семиинвариант xs случайной величины X может быть выражен
через начальные или центральные моменты порядка не выше s.
Чтобы получить указанное соотношение, воспользуемся равен-
ством
ф(и) =iux+\nE(u).	(15.32)
115
Имеем
In Е (и) = In
s=2
р3и8 4- пг 6 («)
поэтому (32) можно
записать
8=0
— iux
s-2
в виде
p.sus 4- «г0 (и) .
(15.33)
j=l	s=2
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и в
правой частях (33), получим:
%о = О; xi = x;	хз = цз;
Х4 = Н4--3|Л22; Х5—Ц5---- 10ц2Цз;
Хб=Цб— Юцз2— 15р,2Ц4 + 30(Х23 И т. д.
левой и
(15.34)
(15.35)
Коэффициент асимметрии Sk = ~ и эксцесс Ех=-^ — 3 через
семиинварианты выражаются следующим образом:
Sk = -S- ; Ex =-Ц- .
v.^	*.2Л
В заключение рассмотрим вычисление характеристических
функций дискретных случайных величин, ряды распределения ко-
торых приведены в § 13. Характеристические функции непрерыв-
ных случайных величин для наиболее часто встречающихся зако-
нов распределения будут найдены позже, при исследовании этих
распределений.
При равномерном распределении вероятности р^ — Р(Х ~ хк)
(&=1,2,...,«) всех п значений случайной величины X одинаковы
и равны — . Поэтому согласно (3)
п
£!xkU .
к=1
(15.36)
116
Если хк= k (£= 1, 2,. .., п), т. е. X — равномерно распределен-
ная целочисленная случайная величина, то
(15-37>
При биномиальном распределении производящая функция опре-
деляется формулой (13.5). Заменяя в этом выражении и на е’и,
получаем характеристическую функцию
Е (н) = (? + реш)п.	(15.38)
Обобщенное биномиальное распределение. Используя произво-
дящую функцию (13.9), получаем
Е («) -П + №“)•	(15.39)
k=i
Распределение Пуассона. Заменяя в производящей функции
(13.15) и на е’и, получаем характеристическую функцию в виде
Е (ti) = £?a(eiu-i) .	(15.40)
Геометрические распределения. Если ряд распределения случай-
ной величины X имеет вид (13.26), то с помощью производящей
функции (13.29) находим соответствующую характеристическую
функцию
^х;п (Я)	+ (^u)n.	(15.41)
Для случайной величины Y с рядом распределения
с помощью производящей функции (13.32) получаем
Еу;п («) = р 1-,^и - + (^ц)п-1	.
(13.31)
(15.42)
При п= со, что соответствует рядам распределения (13.21) и
(13.28), равенства (41) и (42) упрощаются и принимают вид:
<15-43)
<“> = Т^Ги •	(15-44)
Отрицательное биномиальное распределение. Используя выраже-
ние (13.39) для производящей функции отрицательного биноми-
ального распределения, получаем
от
£(«)=“----------•	(15.45)
(1 — 9еш)т
117
Гипергеометрическое распределение. Заменяя в (13.44) и на еш,
получаем характеристическую функцию гипергеометрического рас-
пределения в виде
£(«)=—+^п-”]	• (15.46)
d' Un [ (/У	J[v=O
Пример 15.1. Определить математическое ожидание, дисперсию,
третий и четвертый центральные моменты, коэффициент асиммет-
рии и эксцесс для случайной величины X, распределенной по би-
номиальному закону.
Решение. Характеристическая функция при биномиальном
законе распределения определяется формулой (38). Кумулятив-
ная функция ф(й) при этом будет
ф(й) =1п Е(и) =nki(q + up).
Дифференцируя это выражение, находим:
ф1 (») = /Тлдг-: f (и) = (и) -4-<«)।2;
У “Т"	iL
о
г (и) = /фЦ(ц)_Аф1 (и) фп(гг).
Г (й) = /ф™ (й) -	{ [ф11 (й)]2 + ф1 (й) ф”’ (й) }.
Поэтому первые четыре семиинварианта случайной величины X
будут:
— —гф1 (0) = пр\ х2 — —ф11 (0) — пр — пр2 -- npq\
*3 = /ф1П (0) = npq — 2np2q = npq (q — p\,
= ф,у (0) = npq (1 — 6/47).
Искомые числовые характеристики следующие:
x = xi=np; D(X) =X2 = npq; ^3 = %3 = npq (q — p);
p4 = x4 + Зи22 = npq (1 — 6pt/) + 3n2p272;
Sk = -^ =	; Ex	.
z22 npq	K2 npq
Пример 15.2. Плотность вероятности случайной величины X, рас-
пределенной по закону Лапласа, определяется формулой /’(х) =
j -11!
= — е а , где а — заданная положительная постоянная. Найти
характеристическую функцию и моменты случайной величины X.
118
Решение. Искомая характеристическая функция
«	оо /	1 \	0	/,	1 \
Е (и) = J e^f (х) dx = Jу е VU~ ~)Х dx + J е' dx
1
1 । •
-----k IU
а
1
1 -ф- а3и2
При аи<1 справедливо равенство
£(«) =2 (-!)•
8=0
поэтому
«2S+1 = H2S-H = (-/)2S+I £<2s+1> (0) = 0;
zn2s = p,2s = (—l)s №) (0) = (2s)! a2S
§ 16. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Наиболее распространенным законом распределения непрерыв-
ных случайных величин является нормальный закон распределе-
ния, или закон распределения Гаусса. Широкое распространение
этого закона объясняется двумя причинами. Во-первых, нормаль-
ный закон обладает свойством «устойчивости», т. е. сумма любого
числа случайных величин, распределенных по нормальному за-
кону, также имеет нормальный закон распределения. Во-вторых,
сумму п независимых случайных величин при очень несуществен-
ных ограничениях, накладываемых на виды законов распределения
слагаемых, приближенно можно считать случайной величиной, рас-
пределенной по нормальному закону, так как при бесконечно боль-
шом числе слагаемых суммарная случайная величина точно подчи-
няется нормальному закону. Не останавливаясь на условиях воз-
никновения нормального закона распределения, что будет сделано
в специальных разделах курса, рассмотрим основные свойства
этого закона распределения.
Закон распределения непрерывной случайной величины X на-
зывается нормальным, а X-—нормальной случайной величиной,
если плотность вероятности для X имеет вид экспоненты, содер-
жащей в показателе степени полином второй степени от х, т. е.
если
у(л)=.е-(«О-НМ-Т) (-со <Х< оо),	(16.1)
где а, р и у — постоянные, причем а #= 0.
119
Так как интеграл от плотности вероятности f(x) по любой об-
ласти возможных значений х ограничен, то постоянная а должна
быть положительной. Ограничений на р и у не накладывается, но
параметры а, ₽ и у между собой связаны, так как плотность веро-
ятности f(x) удовлетворяет условию
J/(x) dx = 1.	(16.2)
Заменим а на № и представим f(x) в виде
/(A:) = ce~h9<x-a)= (—оо <х< со),	(16.3)
где h, а и с — некоторые постоянные, связь между которыми опре-
деляется из условия (2), т. е.
с ^e~hi^~^dx^= 1.	(16.4)
Полагая х — а=%, представим данное равенство в виде
с/(й2)-1,	'	(16.5)
где через /(X) обозначен интеграл
J(k) =	(16.6)
являющийся функцией параметра К.
Для вычисления J(X) умножим выражение (6) на этот же инте-
грал, в котором переменная интегрирования обозначена через г],
J(X) = j e-'^d^.
Тогда получим
J2(k)= f	(16.7)
— м
Произведение интегралов в данном случае представлено в виде
двойного интеграла, что можно делать вследствие постоянства пре-
делов интегрирования.
Переходя в (7) к полярным координатам г и <р, т. е. полагая
g = rcoscp, т]=г sin ф, получим
2lC оо
О О
а потому
/ тс
ЛЧ = 1/ у	(16.8)
120
Из (5) и (8) находим, что с= —— . Следовательно, плотность
у те
вероятности (3) может быть переписана в виде
f(x)	(- ОО < X < оо) .	(16.9)
у те
Выразим математическое ожидание х и дисперсию D(X) нор-
мальной случайной величины X через а и h.
Имеем
ФО	со
— АР	АР
х=^\ хе-^*-^ dx=^ + a)e-^dt.
у те J	у те J
Так как интеграл в бесконечных пределах от нечетной функции
равен нулю, т. е.
J =
а оставшийся интеграл
h
го окончательно получаем
х = а.
(16.10)
Дисперсия нормальной случайной величины X будет
D (X) = Г (х - х)2 dx = -^= Г =
У те J	/те J
______h Д7(Х)|	_ 1
“ /те d\ |x=h3~2A2 *
Поэтому параметр h и среднее квадратическое отклонение
<5= /D(X~) нормальной случайной величины X связаны равен-
ством
3=/т.	(,6Л1)
Таким образом, при нормальном законе распределения плот-
ность вероятности f(x) может быть представлена в следующих
двух эквивалентных видах:
121
f(x) — ~^= e-h2(x-x)a	(16.12)
у те
и
1	<x-x)2
/w = _l_ e .	(16.13)
’	a/2*
Из (12) и (13) следует, что нормальный закон распределения
полностью определяется двумя параметрами: х и h или х и ст. Гра-
фик функции y = f(x'} симметричен относительно вертикальной оси,
проходящей через точку с абсциссой х = х. При изменении матема-
тического ожидания х кривая y=f(x), не изменяя формы, смещает-
ся вдоль оси абсцисс. Наибольшее значение плотность вероятности
f(x) принимает при х = х, т. е. нормальный закон распределения
одномодальный, причем мода совпадает с математическим ожи-
данием, а
Рис. 16
При изменении среднего квадратического отклонения ст сохра-
няется положение кривой у = /(х), но изменяется ее форма
(рис. 16). Из-за увеличения ст максимальная ордината кривой
y = f(x) уменьшается. Так как площадь под этой кривой равна еди-
нице, то вследствие увеличения ст кривая становится более плоской.
Это означает, что будут увеличиваться вероятности больших от-
клонений случайной величины X от ее математического ожида-
122
ния х. Наоборот, с уменьшением среднего квадратического откло-
нения о кривая у = ](х) становится более вытянутой вверх. При
а -> 0 плотность вероятности f(x) стремится к дельта-функции
Дирака.
Входящий в выражение (12) параметр h обратно пропорциона-
лен среднему квадратическому отклонению ст. Если случайная ве-
личина X является ошибкой измерения, то при увеличении h умень-
шается сг, т. е. уменьшается средняя квадратическая ошибка изме-
рений. Вследствие этого параметр h называется мерой точности.
Плотность вероятности, представленную в виде (13), будем назы-
вать канонической формой записи плотности вероятности нормаль-
ного закона распределения.
Получим выражения для центральных моментов нормальной
случайной величины X. Центральный момент нечетного порядка
h>s-i (s=l, 2,...) будет
ос	со
Г(х —л)28-1/(л)^х=—[V-’e 2^0,
J	СГ-/2ТС J
как интеграл в бесконечных пределах от нечетной функции.
Для центрального момента четного порядка y,2s (5= 1,2,...)
имеем
—1=- Г
а у 2~ J
_ (- l)s tfJ(X) '
з '|/2тг
Так как
то
ji2s = 1-3-5-... ‘(2s- 1) 32s.
Итак, для центральных моментов нормальной случайной вели-
чины X имеем:
p.2s — a2S (2s — 1)!!	(16.15)
(5=1,2,...),
где использовано обозначение
(2s — 1)!! = (2s — 1) (2s — 3) •... • 5 • 3 • 1.
Из (15), в частности, следует, что рз = О, а Ц4 = 3о4. Поэтому
коэффициент асимметрии Sk =2~ и эксцесс	—3 для нор-
мального распределения равны нулю. Первое из указанных ра-
венств является следствием симметрии плотности вероятности (13)
123
относительно вертикальной оси, проходящей через точку с абсцис-
сой х — х. Эксцесс Ех обычно используется как показатель откло-
нения кривой плотности вероятности f(x) от кривой нормального
закона распределения при той же дисперсии. Для плотностей веро-
ятности, ординаты которых при больших убывают медленнее,
чем ординаты плотности нормального закона, эксцесс положитель-
ный; в противном случае эксцесс отрицательный.
Найдем характеристическую функцию Е(и) нормального за-
кона распределения. Имеем
С 	1	{*	_
E(ti) = I е1их/(л) dx ----—I <7'1Х 2аз dx —
J	а/2тг J
<5 -j/Sir
е'т г е 2 1 ’	1 dx.
Положим ----
а
Ей =	тогда
Г7/\	1	iUX 5" /1\
£(м) = 75Г Л г)-
/ 1 \
Так как согласно (8) 7 1 — 1 = у2я, то характеристическая
функция нормального закона распределения будет
, —
lux -
Е(и}~е 2 ,	(16.16)
а характеристическая функция центрированной нормальной слу-
чайной величины Х=Х— х определяется формулой
Е (и) ~ е 2
Разложение последней функции в
(16.17)
ряд по степеням и имеет вид
с28
2S$! “
-l)s
s=0
Так как при любом s ps = (— i)s£<s) (0), то из (18) следует:
^.-, = 0; Pa = 32t^- = »2’(2s-l)!!
£ о !
(16.18)
что совпадает с (15).
124
(s = l,2,...),
Воспользовавшись (16), получаем следующее выражение для
кумулятивной функции ф(м) нормального закона распределения:
ty(it)=iux---(16.19)
а потому в данном случае все семиинварианты порядка выше вто-
рого равны нулю, т. е.
xs==0 (s—3, 4,...).	(16.20)
Найдем функцию распределения F(x) нормальной случайной
величины X. Имеем
X
Л(х) = J f(x) dx
1 Л _(х —х)3
=---------е dx.
а '|/2тг J
------------00
Полагая Х---Х- = получаем
х-х
F (х) ==  Г е 1 dl.
Так как
О £3	оо Е3
— оо	— ©о
то
х—х
(—~	\
1	+ -^= С e~~di •	(16.21)
у 2к I	/
о	/
z У
Интеграл Je 2 dt не выражается через элементарные функ-
о
ции, но может быть выражен через функцию Лапласа Ф(г), опре-
деляемую равенством
z Еа
9 Р 2
Ф(?) = —е dt.	(16.22)
у 2к J
о
Для функции Ф(г), называемой также интегралом вероятности,
имеются подробные таблицы. Используя обозначение (22), функ-
цию распределения (21) можно представить в виде
1
F(x) = ~2~
1 _i_ ф	л
\ ° /J ’
(16.23)
125
График функции распределения показан на рис. 17.
В литературе встречается несколько определений функции Лап-
ласа, отличающихся друг от друга постоянным множителем перед
интегралом или множителем в показателе степени подынтеграль-
ной функции. Чтобы избежать грубых вычислительных ошибок, на
это обстоятельство необходимо обращать внимание при использо-
вании таблиц для Ф(2). Кроме функции Ф(г), определяемой (22),
наиболее часто встречаются следующие две функции
Z	£2
Ф1(г) = -4=- [	<Й=4-Ф(г);	(16.24)
к 2л J	2
о
Z
2	Г	~
Ф2(г) = —^2^ = Ф(г/2).	(16.25)
У “ J
о
Ниже всюду под функцией Лапласа будем понимать функцию
Ф(г), определяемую формулой (22).
Рассмотрим основные свойства этой функции. При увеличении
аргумента г от 0 до со данная функция монотонно возрастает от
значения Ф(0) =0 до Ф(оз)= 1.
Имеем
Ф(-?) = -^Г e~Tdi = --£=- ГУт^ = -Ф(г), (16.26)
у 2я J	у 2- J
оо
т. е. Ф(г) —нечетная функция.
126
График функции Ф(а) изображен на рис. 18.
Получим для функции Ф(з') ряды, которые. используются при
вероятностных расчетах. Имеем
С2	00
--г-у (-1?
Zj k\ 2 ) '
k=0
Подставляя это выражение в (22), после интегрирования полу-
чим ряд, сходящийся при любых значениях z,
г*
Разложение функции е2 Ф(г) в ряд можно произвести с по-
мощью (22) интегрированием по частям. Полагая и = е 2,
dv = d%, получим
(Z2 2
ze~T + С
J
о
Принимая снова и = е 2,а	= придем к равенству
Ф(2)
127
После п + 1 аналогичных операций получим
где
(16.28)*
(2й + 1)!’ J 6 2
о
(16.29)
__
Так как е 2	1, то
iz|
I z j2n+3
(2л + 3)!!
(16.30)
Ряд (28) сходится при любом г.
Ряды (27) и (28) пригодны для вычисления функции Ф(г) при
любом z. Однако при больших значениях | z | данные разложения
становятся неудобными вследствие их медленной сходимости.
В этом случае для Ф(г) лучше использовать асимптотическое
представление. Чтобы получить указанное представление, запишем
выражение (22) в виде
Ф(г)= 1
е 2 &
(16.31)
1 f
и проинтегрируем его по частям, полагая , v= I е 2^ =
= — е 2. Тогда
Повторно интегрируя это выражение по частям при том же v и
1
и= -р- , придем к следующему равенству:
2
Ф (>т) -— 1 — — —
У 2к
128
После я+1 таких операций получим
Ф (Z) = 1
2
2к
1
— е
z
(2^—1)!!
Z2k
“Ь^П (2)
(16.32)
где
ОО	£2
/?„(г) = (—1)°*> (2/1+ 1)1! С	.	(16.33)
г
причем
I (г) I < {2/Z 4-~3) г2п'+3 е 4 '	(16.34)
Ряд (32) при п -> со расходится, так как его остаточный член
(34) неограниченно возрастает с ростом п. Однако при больших
значениям |z| остаточный член Rn (z) может быть сделан доста-
точно малым, если ограничиться таким п, при котором члены ряда
еще убывают. Поэтому
Z2
9 1-------/	1	14	\
Ф(г)~1-------~=г-—е 2 1- ' +2_£_... ;	(16.35)
y 2ii 2	\	z	2	/
где знак асимптотического равенства ~ означает, что ряд (35)
следует понимать в указанном выше смысле, т. е. его можно ис-
пользовать только при конечном числе слагаемых.
Зная функцию распределения ^(х), можно определить вероят-
ность попадания нормальной случайной величины X в любой ин-
тервал (хь х2). С помощью (14.7) и (23) для этой вероятности
получим
Р(х} < Х<х2) = i
(16.36)
Если интервал (хь х^) симметричен относительно точки х = х,
то можно принять х2— х~1, a xi~x = —I.
Тогда
Р(хх< Х<.х2)~Р(~~ 1<Х— х<Г) — Р(\Х — х|</).
Из (36) следует, что в этом случае
P(|a--Z|<0 = ®(4)
Пусть, например, l=k<j, тогда
Р( | X -	< Ь) = Ф(£).
(16.37)
(16.38)
129
9
Из таблицы находим: Ф(1) =0,683; Ф(2) =0,954; Ф(3) =0,997.
Поэтому с вероятностью 0,683 нормально распределенная случай-
ная величина Л не выйдет из интервала (х — о, х + ст) и с вероят-
ностью 0,3415 — из интервала (х, х + о). С вероятностью 0,954 слу-
чайная величина X попадает в интервал (х — 2о, х + 2а) и с веро-
ятностью 0,1355 — в интервал (х + о, х + 2о). С вероятностью 0,997
значение случайной величины принадлежит интервалу (х — За,
х + За) и с вероятностью 0,0215—интервалу (х + 2а, х + За).
Вероятность отклонения нормальной случайной величины X от
ее математического ожидания х в любую сторону больше чем на
три средних квадратических отклонения равна 0,003. Так как эта
вероятность мала, то часто приближенно можно считать, что интер-
вал возможных значений нормально распределенной случайной
величины X не (—со, оо), а (х — За, х + За), т. е. что случайная
величина X может отклониться от ее среднего значения х не боль-
ше чем на три средних квадратических отклонения.
Так как плотность вероятности f(x) нормальной случайной ве-
личины X симметрична относительно прямой х = х, то в качестве
характеристики рассеивания вместо среднего квадратического от-
клонения а можно использовать срединное отклонение Е, которое
иногда называют также вероятным отклонением. Данный пара-
метр равен половине длины интервала, симметричного относитель-
но математического ожидания х, вероятность попадания случайной
величины X в который равна половине.
Согласно определению срединного отклонения и (37)
—	/ Е\
Р(\Х-х\<Е)= Ф/-Е. =о,5.
(16.39)
Корень уравнения Ф(г)=0,5 обозначается через pj/2, где
р = 0,476936 ... *, а множитель 1/2 вводится для того, чтобы при
замене а срединным отклонением плотность нормального закона
£
распределения имела бы более простой вид. Так как— обозна-
чено р]/"2, то для нормального закона
£ = р/2а,	(16.40)
___________	2
где р j/"2 =0,675..	.
О
* Для запоминания числа р полезно заметить, что с точностью до трех де-
сятичных знаков эта постоянная совпадает с 1g 3, т, е, р ~ 1g 3.
130
Если в (13) заменить о на —7=-, то плотность вероятности для
PV 2
нормальной случайной величины X примет вид
(х—~)а
/(*)=,—Е< .	(16.41)
Еу тс
В таком виде плотность вероятности обычно используется в тео-
рии стрельбы.
Если в формуле (23) для функции распределения Е(х) заме-
Е
нить а на —-=, то получим
р/2
Р(х)=у

(16.42)
Данное выражение можно упростить, если ввести функцию
Л
Ф(г), которая связана с функцией Лапласа Ф(г) равенством
Ф(?)_ Ф (р/2г).	(16.43)
л _
Функция Ф(г), называемая приведенной функцией Лапласа
(иногда функцией Крампа), определяется формулой
Р f 2 z	z
л	о р —о о (*
Ф (г) = -^= е 2 с£= e-^dt (16.44)
у 2тс j	у те J
о	о
Л
Для Ф(г) составлены подробные таблицы.
Производя замену (43) в (42), для функции распределения по-
лучим

Л
1 4~ Ф
/ х — х \
V Е J
(16.45)
Формулы (36) и (37) для вероятностей попадания нормальной
случайной величины X в интервалы (хь х2) и (х — I, х+/) с по-
мощью приведенной функции Лапласа могут быть записаны в виде:
Р(Х,<Л<Х2) = 1	;	(16.46)
Р(|Х —х|</) = ф(2-1 .	(16.47)
С помощью (47) получаем
Р(|Х-х|<££) = Ф(£).	(16.48)
131
Из таблицы находим: Ф(1)=0,5; Ф(2) =0,823; Ф(3) =0,957;
л
Ф (4) =0,993. Следовательно, вероятности попадания нормальной
случайной величины X соответственно в интервалы (х, х+Е),
(х + Е, х±2£'), (х + 2Е, х+ЗЕ) и (х + ЗЕ, х + 4Е) равны: 0,250,
0,1615, 0,067 и 0,018. Вероятность отклонения случайной величи-
ны X от ее математического ожидания х в любую сторону больше
чем на четыре срединных отклонения равна 0,007. Так как эта ве-
роятность мала, то приближенно можно считать, что нормальная
случайная величина X отклоняется от х не больше чем на 4Е, т. е.
что интервал возможных значений для X (х~4Е, х+^Е).
Пример 16.1. При каких значениях параметров а, р и у выражение
Е(и) =ехр (ап2 + ifiu + Y) будет характеристической функцией?
Определить вид закона распределения соответствующей случай-
ной величины X и выразить параметры аир через ее моменты.
Решение. Характеристическая функция удовлетворяет усло-
виям: £(0) = 1, | £(«)]<; 1. Эти условия выполняются, если Т = 0,
а а = — a2 ^Q, тогда Е (и) = e-aV+^ .
Сравнивая эту функцию с (16), получаем, что последнее выра-
жение является характеристической функцией нормальной случай-
ной величины X при х=р и о= а/2. Плотность вероятности для X
(Х-Р)3
будет/(х) =	е .
2ау к
Пример 16.2. Высотомер имеет случайные и систематическую
ошибки. Систематическая ошибка равна 20 м. Случайные ошибки
распределены по нормальному закону со средним квадратическим
отклонением о = 40 м. Определить вероятность того, что ошибки
измерения высоты по абсолютному значению будут не больше 60 м.
Решение. Пусть случайная величина X означает общую
ошибку измерения высоты, тогда х = 20 м, о = 40 м. Искомая веро-
ятность
Р(j< 60) = Р(- 60<^<60) =
= 4 [®“ ® (~640~20^] = 4 l®(1 ’ + ®(2)I = °’818-
Пример 16.3. Боковое отклонение Z ракеты от плоскости стрель-
бы является нормальной случайной величиной с нулевым матема-
тическим ожиданием. Определить срединное боковое отклонение
Ez. если с вероятностью 0,8 случайное отклонение Z не выходит за
пределы ±400 м.
Решение. По условию P(|Z|<400) =0,8. Воспользовавшись
формулой (47) при z = 0, это равенство можно записать в виде
132
л /400\	л л
Ф1 -f- =0,8. С помощью таблицы для функции Ф(г) при Ф(г) =0,8
\ /
400 . о	р 400	о 1 л
находим -^= 1,9, поэтому £z=—= 210
Пример 16.4. На берегу моря установлена радиолокационная
станция, дальность обнаружения X которой всплывшей подводной
лодки является нормальной случайной величиной с заданными ма-
тематическим ожиданием х и срединным отклонением Е. Опреде-
лить, на каких расстояниях всплывшая подводная лодка обнару-
живается с вероятностями 0,25, 0,5 и 0,75.
Решение. Обозначим через р заданную вероятность обнару-
жения подводной лодки, а через d искомую дальность от станции
А / d — х
до подводной лодки. Лодка будет обнаружена, если дальность
обнаружения X не меньше d, т. е. р ~ Р (X d) — 1 — Р(Х < d) =
= 1-F(Gf) = l—А 14-Ф
2 ____________________
При /? = 0,25 Ф X
л / ___% \
или Ф ----F— =1   2/?.
_ \ Е /
ЛЕ	d ~— х .	*
= 0,5, т. е. —— — 1, а потому а =
Е
= * + £. При/? = 0,5	т. е. d=x. При /> = 0,75
Ф ( Е Х ) = — 0’5’ т* е‘ d= х — Е.
§ 17. ДРУГИЕ ВИДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Рассмотрим несколько законов распределения непрерывных слу-
чайных величин, которые наряду с нормальным законом часто встре-
чаются в приложениях.
Равномерным распределением называется- такое распределение
непрерывной случайной величины X, при котором плотность веро-
ятности /(х) имеет постоянное значение в конечном интервале
ь
(а, Ь) и равна нулю вне этого интервала. Так как (х)dx = 1,
а
то для равномерно распределенной непрерывной случайной вели-
чины X
1
b — а
0
/(х) =
при
при
я < х -С Ь\
х <, а или х > Ь,
(17.1)
133
Интегрируя данную плотность вероятности от — оо до х, полу-
Рис. 19
(17.2)
Рис. 20
Графики функций f(x) и F (х) приведены на рис. 19 и 20.
Для характеристической функции Е(и) с помощью (1) получим
ь
L_ С	---- (^ub_^iua) (173)
' b — a J	Ш {Ь — а)	х '
а
134
Равномерное распределение иногда называется также законом
равной вероятности, или законом равномерной плотности. Этому
распределению подчиняются непрерывные случайные величины,
для которых вероятность попадания на любой участок из интер-
вала (а} Ь) зависит только от длины этого участка и не зависит от
его расположения. Примером таких случайных величин являются
ошибки округления, значение координаты точки, выбранной на-
удачу на заданном отрезке прямой, и т. п.
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной
величины X в интервал (^ьХз), где а х2 6, определяется
равенством
Р(х1<Л'<х2) = Л(х2)-Л(х1) = ^^-.	(17.4)
Подставляя выражение (1) для f(x) в общую формулу для на-
чального момента s-ro порядка ms, получим
ъ
ms = j xsf(x) =	+	__a^ (s = 1,2,...).	(17.5)
a
При s—1 из (5) получаем математическое ожидание случайной
величины X
* = +
(17.6)
Для центрального момента s-ro порядка |is аналогичным обра-
зом находим
ъ
p.s = J(a" —ху/(х) dx =
а
(«+»(*-а) Х
/а — ZAs+r
/
Из этого равенства следует, что
(b _ M2S
1*28+1 — 0, p2s — g2s (2$ j) (s = 0, 1,...).
(17.7)
Полагая в последнем равенстве s= 1, получим выражение для
дисперсии Z)(X)=|i2 равномерно распределенной случайной вели-
чины X

(b - а)2
12
(17.8)
135
Среднее квадратическое отклонение о— /Е)(Х) этой случайной
величины будет
b — а
О — ---— •
2/3
(17.9)
Равномерное распределение не имеет моды, а медиана совпа-
дает с математическим ожиданием х. Коэффициент асимметрии
Sk= -“ = 0. Четвертый центральный момент Ц4=	, поэто-
му эксцесс Ех = -3 = —1,2.
Вместо параметров а и Ь, полностью определяющих равномер-
ный закон распределения, часто удобно использовать параметры
х= -у {аЬ) и 1 =	— а), из которых второй обычно назы-
вают параметром закона равномерного распределения. В этом слу-
чае плотность вероятности (1) может быть записана в виде
/(х)=12Г при 1-^—(1710)
( 0 при | х — л | > I.
Для характеристической функции Е(и) при этом получим
£(й) —J_ Г г/х dx = —Х—е^(ё*1 — £-luz)
I	LLv
1
или
=	(17.11)
Формулы (8) и (9) для дисперсии и среднего квадратического
отклонения принимают вид
D(X) = ~, ° = -Е	(17.12)
у 3
Нетрудно видеть, что срединное отклонение Е=~. Следова-
тельно, для равномерно распределенной случайной величины X
срединное отклонение Е и среднее квадратическое отклонение о
связаны равенством
£ =	(17.13)
136
Пример 17.1. Азимутальный лимб имеет цепу делений 1°. Какова
вероятность при считывании азимутального угла сделать ошибку
в пределах ±10', если отсчет округляется до ближайшего целого
числа градусов? Найти числовые характеристики ошибки округ-
ления.
Решение. Случайная величина X — ошибка считывания в ази-
мутальном угле — распределена равномерно в интервале (—30',
20	1
30'). Искомая вероятность Р( | Х| < 10') =	Воспользовав-
vU о
шись формулами (12) и (13), получаем: х = 0; D(X) =300 угл. мин2;
о=17',3; £=15'.
Распределение Коши. Примером непрерывной случайной вели-
чины, для которой не существуют моменты, начиная с первого,
является случайная величина X, распределенная по закону Коши
(распределение арктангенса). В этом случае плотность.вероятно-
сти имеет вид
=	(-~ <-<“)	(17.14)
где а — заданная положительная постоянная. Функция распреде-
X
ления F(х) = J f(x)dx в данном случае определяется формулой
X к а
Графики функций f(x) и F(x) приведены на рис. 21 и 22, из ко-
торых видно, что эти кривые имеют такой же вид, что и графики
аналогичных функций для
нормального закона рас-
пределения (рис. 16 и 17).
Характеристическая
функция распределения
Коши будет
eiux dx
х2 -ф а2 '
(17.16)
Подынтегральное вы-
ражение в (16) имеет два
простых полюса в точках
x=±ia. Дополняя веще-
ственную ось до полуокружности при н>0 в верхней полуплоско-
сти, а при ц<0 — в нижней полуплоскости, в соответствии с общей
теорией вычетов получим:
137
при и>0:
elux dx . eiux
x2 + a2 x-\-ia
при и
elux dx
x2 4- a2
— — 2т. i
eiux
x — ia
Поэтому при любом м характеристическая функция распреде-
ления Коши определяется формулой
(17.17)
Е (и) = е~а Н.
Ниже будет показано (см. примеры 28.3 и 28.8), что распреде-
ление Коши имеет, например, случайная величина X =	где
угол Ф является случайной величиной, равномерно распределен-
ной в интервале I---—,	1 . Такое же распределение имеет отно-
шение Х= в котором X и Y— независимые нормальные цент-
в этом случае а = —
рированные случайные величины
Используя равенство (15), для вероятности попадания случай-
ной величины X в интервал (хь х2) получим
Р (хх < X < х3) = -1- ^arctg - arctg	(17.18)
или
Р (Xj < X < х2) = — arctg	•	(17.19)
' л а2 + *1Х2
138
Из рис. 21 видно, что мода и медиана распределения Коши
равны нулю. Несмотря на симметричный вид кривой f(x), закон
распределения Коши не имеет математического ожидания. Дей-
ствительно, для существования х нужно, чтобы интеграл j xf(x)dx
был абсолютно сходящимся, т. е. чтобы выполнялось неравенство
J | х \f(x) dx < оо. Но это условие не выполняется, так как
оо.
Для рассматриваемой случайной величины X не существуют и
моменты более высокого порядка, поскольку при любом s > 1
| х |s dx
Г2 —L /72
Таким образом, несмотря на кажущееся сходство кривых ?(х)
и F(x) для закона распределения Коши с аналогичными кривыми
для нормального закона распределения, свойства этих законов
резко отличаются друг от друга.
Пример 17.2. Луч может отклоняться от
вертикали только в одной плоскости на угол
Ф, который является случайной величиной,
имеющей равномерное распределение в ин-
/ к	гх
тервале I — I  Определить вероят-
ность того, что на высоте h линейное откло-
нение X луча от вертикали по абсолютной
величине будет не больше I (рис. 23).
Решение. Случайные величины X и Ф
связаны равенством Х~ktg<D, а потому X
распределена по закону Коши с парамет-
ром а = h. Воспользовавшись формулой
2	I
(18), находим	— — arctg -у.
Если, например, l=h, то Р(|Х\<С I) =0,5.
Распределение арксинуса. Примером ан-
Рис. 23
тимодального закона распределения являет-
ся распределение арксинуса. В этом случае плотность вероятности и
функция распределения определяются формулами (см. пример 14.4):
Дх) =
_____1_
а?
0
| х | а;
j xj > а;
при
при
(17.20)
139
1

2
1
Графики этих функций
О	при х < — а;
1	, 1	. х
— Н----arcsin — при х < а;
2	л а 1 1
при х > а.
приведены на рис. 24 и 25.
(17.21)
Характеристическая функция случайной величины X будет
e^dx
(17.22Г
—а
140
Для вычисления интеграла сделаем подстановку x = acos Тогда
/ а2 * * — x2 = asin|, dx — —asin£d£, поэтому
eluacosS (ft
о
Последний интеграл равен JQ(au), где /о(^) —функция Бесселя
первого рода нулевого порядка. В результате для характеристиче-
ской функции получим
E(H)=J0(au).	(17.23)
Распределению арксинуса подчиняется, например, случайная
величина X = a sin Ф, когда Ф является случайной величиной, имею-
щей равномерное распределение в интервале -------—,-х- (см.
\ /
пример 28.3).
Так как область возможных значений случайной величины X
ограничена, то существуют все моменты этой случайной
Начальный момент s-ro порядка ms при этом будет
величины.
If xs * * В dx
т.. — —- I - г--	.
* J Va2 — х2
—а
При нечетных $ интеграл (24) равен нулю, т. е.
(& = 0,1,.. .). Так как x^m^Q, то центральный момент |i2s
дает с начальным моментом m2s (s = 1, 2,...).
Для вычисления положим	тогда
х2а dx
(17.24)
^2к+1 —О
совпа-
2 f* x2sdx	1	f s“/i \~2~r
^2S = ~ -7-7-----— — " У (1—у) dy.
J у а2 — х2	тс J
о	о
Последний интеграл является бета-функцией, которая
Ляется формулой
2? (а, = J Уа-1 (1 — у)3-1 dy
и связана с гамма-функцией
опреде-
(17.25)
(17.26)
о
равенством
В (а, 8) =
(17.27)
141
Поэтому
a2S
(17.28)
2 ’ 2
Учитывая, что при целом s
r(s+D=si. r(s+yWs“4')/'(s-4
(2s— 1)!!	/ 1
2s	I 2
(17.29)
и, кроме того,
2
2 е-t & = /2 Г е 2 dx = /2	= /к, (17.30)
о-	о
для моментов случайной величины X, распределенной по закону
арксинуса, получим следующие выражения:
n	(2s-1)!! 2S
== p-2s_ i = 0; m2s — ;j.2s =	a2s
(17.31)
В частности, дисперсия D(X) =^2=^ , а среднее квадратиче-
crf 2	TZ	,. 4
ское отклонение о= —— • Как показано в примере 14.4, средин-
ное отклонение Е в данном случае равно Е = —. Поэтому для
случайной величины X, распределенной по закону арксинуса, сре-
динное отклонение совпадает со средним квадратическим отклоне-
нием, т. е.
с-	2
В соответствии с (31) для распределения арксинуса коэффи-
циент асимметрии Sk=O, а эксцесс Ех = —1,5.
Пример 17.3. Используя условия примера 17.2, определить мате-
матическое ожидание и среднее квадратическое отклонение слу-
чайной величины y=ftsin Ф, характеризующей отклонение луча АС
от точки В (рис. 23).
Решение. Случайная величина Y распределена по закону
1/2
арксинуса с параметром a = h, поэтому у=0,	= h -7-—.
«ы
(17.32)
142
Распределение Релея. Для случайной величины X, распределен-
ной по закону Релея, плотность вероятности имеет вид
/(•*) =
при х^>0;
при х < 0.
(17.33)
Интегрируя данное выражение от — со до х, получим функцию
распределения
0 при х < 0;
Д(х)=-
_ -Д.
<	2аа
1 — е при
х > 0.
(17.34)
143
Характеристическая функция распределения Релея будет
“>	ха	о»	£3
хе dx = J &	2 d% ~ — iH' (ati), (17.35)
о	0
где обозначено
<ч?
c IvE -4-
= 2dt	(17.36)
о
Имеем
OQ	Ё“	Ё8	ОФ
г iv^-4-	- r+iv£
Н' (ц) — i I le dt = ~ ie	—
о	!о
О IV!;- у-
— v I е dl~i — vHiv).
о
Поэтому функция Н (и) является решением следующего диффе-
ренциального уравнения:
H'(v) + vH(v) =i.
Это решение имеет вид
где
Z
/ 2z Г \
1Г(2) = ^а (1+-±L- e^dt	(17.37)
\ г тс J /
о
— табличная функция, называемая интегралом вероятности от
комплексного аргумента. Тогда
=	= к/.	(17.38)
Поэтому характеристическая функция распределения Релея
определяется формулой
Г к {аи\
= 1 + iauy — W\^2 )•	(17.39)
144
Как будет показано в дальнейшем, распределению Релея под-
чиняется, например, расстояние случайной точки на плоскости от
начала координат, если прямоугольные координаты этой точки
являются независимыми центрированными нормальными случай-
ными величинами с одинаковыми дисперсиями (см. пример 28.6).
Вероятность попадания случайной величины X в интервал
где Л'1 > 0, в данном случае определяется формулой
V	х/
Р(х1<Х<х2)=-е 2а’-е 2а’ .	(17.40)
Начальный момент s-ro порядка будет
1 р - —
/и = —- I xs+ie 2а3 dx .
а J
о
Для вычисления интеграла примем^ =У> тогда
™ S
у2 е~у dy ^=(а/2)8/Дj .
о
Воспользовавшись свойствами гамма-функции (29) и (30), окон-
чательно получим:
m25 = 2ssto2’; m2s+, =(2s + 1)!! 1/ ~	(17.41)
(s = 0, 1,...).
Для математического ожидания х = т1 и дисперсии Z)(X) =
= т2— (х)2 случайной величины X, распределенной по закону Ре-
лея, из (41) получим:
Г=а|/£; О(Л)=2<Д1--£) .	(17.42)
/ ТЕ
Третий начальный момент /п3 = 3^ — а3,поэтому третий цент-
ральный момент будет
3xw2 4-2(х)3=а3(тс—3)
а коэффициент асимметрии
Sk = ^-=	— 0,631.	(17.43)
ф-Д
10
145
Четвертый центральный момент
—	-	—	/ з \
— 4x/n34~ 6(xj2/n2 — 3(х)*= а4 ( 8-—) ,
а потому эксцесс
3 /	л \	.
2 \	4 ) 1
Ех=-^-3= --------}----------^0,245.	(17.44)
а*	/ к у
Р ~Т)
Плотность вероятности f(x) принимает максимальное значение
при х=а, поэтому мода распределения Релея равна а.
X2
Условие Р(Х<х) =0,5 в данном случае имеет вид 1—е 2ai =
X3
= 0,5 или е2а’=2 = eZn2. Из последнего выражения следует, что ме-
диана распределения Релея Ме = а^In 4.
Пример 17.4. Отклонение точки падения баллистической ракеты
от центра цели подчиняется распределению Релея с параметром а.
Определить: а) вероятность того, что отклонение от центра цели
будет не меньше его математического ожидания; б) вероятность
попадания ракеты в круг радиуса R с центром в центре цели.
Решение. Обозначим через X отклонение точки падения бал-
листической ракеты от центра цели. Эта случайная величина под-
чиняется закону Релея. Следовательно, ее математическое ожида-
а)	Вероятность того, что отклонение точки падения не меньше х,
7) = 1	=0,456.
б)	Вероятность попадания в круг радиуса R равна вероятно-
сти того, что случайная величина X не больше R, т. е.
R3
Р(Х< /?) = F(R) = 1 - е~ .
Распределение Максвелла. Случайная величина X подчиняется
закону распределения Максвелла, если плотность вероятности
определяется формулой
2х2	- — е 2а2 /(x)= .a3iZ2rc 0	при х > 0; при х < 0.
146
Такое распределение имеет, например, модуль трехмерного век-
гора, если все три его составляющие являются независимыми нор-
мальными случайными величинами с одинаковыми дисперсиями и
нулевыми математическими ожиданиями.
При х<0 функция распределения F(x) равна нулю, а при х > О
2 Г — —
Л(х) =—х2е ™dx.
о
Интегрируя по частям, получим
X
J х2е 2а* dx = — ха2е 2а1 ф- а3 j е 2 dx —
о	о
_	ЛуЗ -j/”/ JC \
— — ха2е +	.
Следовательно,
(17.46)
Графики функций f(x) и Г(.г) приведены на рис. 28 и 29.
Характеристическая функция распределения Максвелла
Е {и} =
jc2eux ™dx =
у
ia?u- —
Ре 2 dz =
2
U7
Из (38) находим
Н"(у) =—Н(у)— v [t — vH(y)] = — (1 — у2) Н(о) — tv.
Следовательно, характеристическая функция распределения
Максвелла определяется формулой
=	+	-1,	(17.47)
где W(z) —интеграл вероятности от комплексного аргумента (37).
Вероятность попадания случайной величины X в интервал
(хь х2), где Xi> 0, в данном случае рассчитывается по формуле
Р(хх < X < %2) = Ф - Ф (	-----?==-( х2е~^3 —
\ я /	\ а / я/2тс \
(17.48)
Рис. 29
Начальный момент s-ro порядка ms будет
°°	2	_У_, . м
ms=—f x^e~^dx = С	=
asy	J	у тс J
г	о	г о
-+1
as22 г/5 + 3\
\ 2 /
Учитывая свойства гамма-функции (29) и (30), получим
/7.2S+1	s-l-3-
«23 = a2s(2$+1)!!, ffl2s+i = -Л- 2	2 (s-f-1)!	(17.49)
у тс
148
(5 = 0,1,...).
2 у 2а
Из (49) находим	, т2=3а2, т. е.
у тс
, D(X) = Зэт~8- а3.	(17.50)
у ТС	"Я
8 i/*9
Третий начальный момент m3 = a3 г , а третий центральный
у тс
—	'—	21/ 2бХ^
момент рз = m3 —Зхт2 + 2(х)3 = —	(16 —5л). Коэффициент
ТС К тс
асимметрии
Sk = i = 2j^(16^L ^0,486.
a3 (Зтс — 8)3'2
Четвертый начальный момент т4=15а4, а четвертый централь-
____________________________ _______
ный момент у4~1П4 — 4xm3+6(x)2m2—3(х)4 — ^-(15л2+16л—192).
Эксцесс
£х = ±4___з — ^бОтс — 12к2 — 384 Q jog
ex а4 3— (Зтг-зр —иди»
Максимального значения функция /(х) достигает при х=ауг2 ,
поэтому мода распределения Максвелла равна ау/Г2. Условие
/’(Х<х)=0,5 в данном случае имеет вид
/ х \ 2х	- —
Ф —---------^—е 2а“ = 0,5.
\ а /	а/2^
Приближенное значение корня этого уравнения (медиана)
Ме^ 1,54а.
Пример 17.5. Плотность вероятности скорости У молекул газа
определяется формулой
г, .	( Л,и2е-11М при ^>0;
/(*0 = А	Сп
[	0 при v < Q,
где h — заданная постоянная.
Определить постоянную А, среднюю скорость молекул и сред-
нее квадратическое отклонение скорости. Найти вероятность того,
что скорость молекул газа не больше ее математического ожи-
дания.
149
Решение. Сравнивая заданное выражение плотности вероят-
1	9	4Л3
ности с (45), получаем: п =	, Д=______д______ Матема-
«У2	_	а3/2^	/те	’
—	2/2 а	2
тическое ожидание скорости v=——— = —. Среднее квадра-
нте	Ауте
.	__	j f Зте — 8	1	/ Зте — 8 D
тическое отклонение j = I/ —-—«=—I/ —-------------. Вероят-
ность того, что скорость не больше v,
Р(1/<'п)=^(ц) = ф[^Х')-~е *^0,333.
Хуте/ 77
Гамма-распределение. В теории надежности и теории массового
обслуживания широко используется так называемое гамма-распре-
деление, плотность вероятности которого определяется формулой

/(х) =
при х > 0;
при х < 0,
(17.51)
где а и А-—заданные положительные постоянные, а Г (а) —обо-
значение гамма-функции (26).
Интегрируя плотность вероятности (51) по х от — со до х, по-
лучим функцию распределения
	0	при X <	СО;
F(x) =	Т (а, ^х) 1 Н*)	при X *	> о	(17,52)
где
7 (а, х)=	(17.53)
о
— неполная гамма-функция, для которой имеются таблицы с вхо-
дами % и а.
Функцию распределения можно также выразить через другую
табличную функцию
X УТ+Р
71 (₽, х) = j) J	(17.54)
о
которая также иногда называется неполной гамма-функцией. При
этом
0	при х < 0;
прих>0.	(17.55)
15Q
Имеем при а > 1
7 (а, х) = — Ха~ге~х + (а — 1) J 2 dl.
о
Поэтому при целом а
У®—1	уа—З
Т(Я, JC) = _(a-l)!^[^Tyr + f^ +
+ ... + -^+1-е- .
Следовательно, функция распределения F(%) при целом а опре*
деляется формулой
F(x) =
О	при х < 0;
п₽их>0'
к=0
(17.56)
Графики функций f(x) и F(x} при а = 2 приведены на рис> 30.
Рис. 30
Если а<1, то плотность вероятности асимптотически прибли-
жается к оси ординат. При а>1 эта функция имеет экстремальное
а ---------------------- 1 ТГ
значение в точке х = —Поэтому мода гамма-распределения
.	а — 1
существует при а>1 и равна—.
151
Характеристическая функция гамма-распределения будет
СО	Оф
f (и) = -Д— С Х‘--е* <x-lu) dx = -Д—г (-т—Д—С
4 ’ Г(а) J	/ (а) X — щ у J
о	и
Так как| ¥~Ae~'°d’z = Г(а), то окончательно получим
о
(ill \~ “
.	(17.57)
Л I
Начальный момент s-ro порядка ms для гамма-распределения
определяется равенством
т, = -Х-г- Г х5+dx =	* . [ Г*"-1 «Н <&,
Г (cl) I	ksr (a) j
6	о
т. е.
^= (s = 0’’’ •••)- (17-58)
С помощью (58) находим математическое ожидание и диспер-
сию случайной величины X:
Х = Д ; D(X} = ~,	(17.59)
-Г о	»	а (а + 1) (а2)	„
Третий начальный момент т3 = —-------Поэтому тре-
а
тий центральный момент уг3 = 2 а коэффициент асимметрии
к°
о,
Sk = -== > 0.
у а
тт <	»	а (а 1) (а -{ 2) (& -]- 3)
Четвертый начальный момент т4 = —i—I—-2———!—’ .
т-r	v	«	„ а (а 4- 2)
Поэтому четвертый центральный момент |.ц = 3	'—- ,а эксцесс
Л**
т, 6
Ех — — >0.
а
Пример 17.6. Система управления может выйти из строя только
при отказе одного элемента. Для повышения надежности работы
системы предусматривается последовательное включение m — 1
резервных элементов. Если переключающие устройства в смысле
надежности идеальные, а все резервные элементы до момента за-
мещения основного равнонадежные, то время Т безотказной ра-
152
пределение с плотностью вероятности f(t)

боты системы является случайной величиной, имеющей гамма-рас-
кт
Г(т)
Определить среднее время безотказной работы системы Л сред-
нее квадратическое отклонение времени возникновения отказов и
вероятность того, что время безотказной работы системы будет
меньше среднего. Найти эти характеристики при т = 4, л =
= 10-3 1/сек.
Решение. Используя формулы (59) при а = т, находим:
Л	-г т
среднее время безотказной работы системы t— -т—, среднее квад-
К
ратическое отклонение времени безотказной работы, или, что то же
самое, среднее квадратическое отклонение времени возникновения
/яг п	*
отказов at —~ч— • Вероятность того, что время безотказной ра-
К
боты системы будет меньше среднего,
m—1   	m—1
- F(t) = 1 -
k=0	k=0
При m=4 и л=10-3 1/сек получаем: /=4000 сек; щ = 2000 сек;
I л Д2 дз \
Р(Т< 4000) = 1 -е-Ч 1 + у + ^- + ^-1 = 0,567.
Экспоненциальное распределение. Частным случаем гамма-рас-
пределения, когда а=1, является экспоненциальное распределе-
ние. В этом случае плотность вероятности
,,	[ Х(?-Хх при х>0;
/(*)=	н	(17.60)
I 0 при х < О,
а функция распределения
/чх)=4	° при х<°;	(17.61)
( 1 — е~>х при х>0.
Графики этих функций приведены на рис. 31.
Характеристическая функция экспоненциального распределе-
ния в соответствии с (57) имеет вид
£(«) =	(17-62)
Л-- III
Используя равенство (58), получаем, что в данном случае на-
чальный момент 5-го порядка равен
si
(s=0, 1,...).	(17.63)
Л
153
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X
следующие:
X—4~; ЩХ) = ±	(17.64)
2
Третий центральный момент ц3 = —, четвертый центральный
9
момент ц4= -тт. Коэффициент асимметрии Sk = 2, а эксцесс Ех = 6.
Л*
Пример 17.7. Плотность вероятности времени безотказной ра-
боты аппарата	(^>0), где Л — заданная постоянная.
Определить среднее время работы аппарата t, среднее квадратиче-
ское отклонение времени работы и вероятность безотказной ра-
боты аппарата за время t. Найти длительность работы аппарата
при гарантийной вероятности 0 = 0,9.
Решение. Случайная величина Т — время работы аппарата.
Среднее значение этой случайной величины ^=4- , среднее квад-
К
ратическое отклонение at = Вероятность p(t) безотказного дей-
К
ствия аппарата в течение времени t равна вероятности Р(Г>/) по-
лучения отказа после истечения времени работы t, поэтому p(J) =
= Р(Т>/) = 1—F(0=e-^.
При заданной вероятности 0 гарантийного срока службы время
в течение которого гарантируется работа аппарата, находится
из условия 0 = р(/р) =е“Н[3 . Тогда U — у- In у = t In ~
Если £ = 0,9, то ? = 0,105?.
154
Распределение Вейбулла, Для случайной величины X, распреде-
ленной по закону Вейбулла, плотность вероятности имеет вид
/(х) = {
(17.65)
при х < 0,
где А и а — заданные положительные постоянные. Если а=1, то
данное распределение совпадает с экспоненциальным распределе-
нием, а при сс = 2— с распределением Релея.
Функция
мулой
распределения в данном
случае определяется фор-
0	при
1 —	при
0;
0.
(17.66)
Если а<1, то график функции
жается к оси ординат. При а>1
/а — 1
Г(х)
эта
асимптотически прибли-
кривая имеет максимум
в точке х = I __- р • Это значение аргумента х является модой
\ Ха /
распределения Вейбулла. Графики функций f(x) и F(x) при л=1
и а = 0,5, 0,75, 1, 1,5 и 2 приведены на рис. 32 и 33.
Характеристическая функция распределения Вейбулла будет
Е («) = Ха j*	dx
о
155
или
E(tt) — 1 4-ш J dx.	(17.67)
о
Последний интеграл может быть выражен через табличные
функции только при некоторых частных значениях а; при а=1 и
при а = 2 характеристическая функция Е(и) определяется форму-
лами (62) и (39).

Вероятность попадания случайной величины X в интервал
(*1,я2), где х{ 0, в данном случае определяется формулой
Р(х, < %< х,) =	.	(17.68)
Начальный момент s-ro порядка ms будет
ms — Ха J xs+e~1 е~ЛХ а dx.
&
Положим х~ l-7-j , тогда )лха~л dx — d%, поэтому
S оо §
ms=X~^ j ^dt.
о

156
Воспользовавшись выражением для гамма-функции, получаем
ms = а	(&' = 0» !»•••)•	(17.69)
Таким образом, начальные моменты любого порядка для слу-
чайной величины X, распределенной по закону Вейбулла, выра-
жаются через гамма-функцию. С помощью выражений (69) могут
быть определены любые моменты случайной величины X. В част-
ности,
D (X) = к
-Г2
(17.70)
Пример 17.8. Длительность работы радиоэлектронной аппара-
туры подчиняется закону распределения Вейбулла
/(О = О,ОО15Л 0’5е -°’00н1,5 (£>0).
Определить среднее время работы аппаратуры t, среднее квад-
ратическое отклонение этого времени, вероятность безотказной ра-
боты в течение времени t и гарантийный срок службы аппаратуры
при вероятности р = 0,9.
Решение. В данном случае случайная величина Т — длитель-
ность работы радиоэлектронной аппаратуры. Параметры распреде-
ления Вейбулла а=1,5, 7=10 3 1/ч, поэтому среднее время работы
аппаратуры
-J- 7	1 \	/	2 \
t = \ - Г 1-Ь— =100Д 14-4 = 90,3 ч.
\ 'а /	\	3 /
Среднее квадратическое отклонение
/	2 \
Г 1 + 4] -61 ч.
\ о /
Вероятность /?(/) безотказной работы аппаратуры за время t
равна вероятности того, что отказ будет при T>t, т. е. p(t) =
—	— F (t) = e xt“. При заданной вероятности p =
— p(fy)=0,9 находим гарантийный срок службы
=	100(—In 0,9)2/3 —22,3 «t.
157
Усеченное нормальное распределение. В некоторых случаях при-
нимают во внимание только такие значения нормальной случайной
величины, которые не выходят за пределы заданного интервала
(л, 6). Получающаяся таким образом случайная величина X под-
чиняется усеченному нормальному закону распределения, плот-
ность вероятности для которого определяется формулой
/(*) =
1
уа)Л 2~
О
(х-З?
2а1
(17.71)
при х < а или х > Ь,
при а < х < Ь\
где а и р — заданные постоянные, причем ос>0. Постоянная у вы-
ражается через известные параметры а, 6, а и р, так как имеет
место равенство J f(x)</x=l, из которого следует, что
а
У =----7=^ Iе
2тг J
а
е 2“2 dx = Ф
а I \ а
(17.72)
Функция распределения F(x) имеет вид
F(x)=z
О	при х < а;
1 Гт.(х — В\ , /гг —
ф --------с 1 — ф ----l при а -< х < b;
2у I а /	\ а / I
1	при х> Ь.
(17.73)
Если, например, « = р, a £>=со, то у = -g-, а 77(х) = Ф —-—j
при х > а. При этом график f(x) имеет такой же вид, как правая
половина соответствующей кривой для нормального закона рас-
пределения, но с удвоенной ординатой. Графики функций f(x) и
F(x) для этого случая приведены на рис. 34 в зависимости от аргу-
„ х — а
мента ? =------.
Характеристическая функция усеченного нормального распре-
деления будет
1 р iux-^2!
Е(и) = ----е 2«*	(17.74)'
уа у7 2^ J
,	а
Для вычисления интеграла сделаем подстановку £ =
шх2 -j- z (х —- 0)
=--------х__—ед. тогда
а/2
;	1 г. о
£(«) =------2
7Vк J
158
где
ил- + i (д — ft)
a 2
ма2 + i (b — 3)
z2------------
(17.75)
Если воспользоваться интегралом вероятности от комплексного
аргумента (37), то характеристическую функцию Е(и) при конеч-
ных а и b можно представить в виде
= i [ez,. w (г,) -e-.'tV (г2)].	(17.76)
F<=*)
Рис. 34
Пусть, например, 6= оо, тогда исходное выражение (74) имеет
вид
П / \	f iau£—
Е (и) —-----7= I е 2	~
7/2к J
а-Р
а
eW	, г- - — С —
= —Н (ли) -j- i V 2 е 2 е2 (Е .
7/2к	J
о
/	/ OcZZ \
Так как Я(аи) = 1/ — Ж, то вместо (76) будет
£(«) =	- [1 -^.’Ж(г,)]г 3“ 1.
I \у2/	)
(17.77)
159
Математическое ожидание случайной величины X, имеющей
усеченное нормальное распределение, будет
Ь	а
*=? +	= ₽ + —7^- J
а	а—3
т. е.
(17.78)
Чтобы найти другие моменты случайной величины X, обозначим
м [(X - P)s] (s —2, 3,...).	(17.79)
Тогда
ь-З
Ь	а
Г	а8 Г „
\ = I (х — f (х) dx ——l Е8<? 2 dl.
J	ту 2w J
а	а—₽
Интегрируя по частям, получим
'2 dl=-?~'e 2 +(S-1) gs-2e 2 d^
поэтому имеет место рекуррентное соотношение
vs = (s— 1)а\_2
1 /Ь-р\2
-----(&-рг-^ 2^а L
7 у 2т: [
_ 1 М—Р\2'
2 1а
- (а — ру-’г v }
(17.80)
Так как vo= 1, a vi = x~~ 0, то с помощью равенства (80) можно
определить vs при любом s.
Начальные и центральные моменты любого порядка для слу-
чайной величины X через vK могут быть определены с помощью
следующих равенств:
s
к-0
Hs

(17.81)
160
Пример 17.9. Размер детали X до контроля подчиняется Нор-
мальному закону распределения с известным математическим ожи-
данием х и дисперсией Ох- Контроль проходят детали, размер Y
которых больше а и меньше Ь. Определить математическое ожида-
ние и дисперсию размера детали, прошедшей контроль.
Решение. Примем в (71) а = ох, р = тогда плотность веро-
ятности случайной величины Y будет
1	(у-*>
f(y)=-------е 2V ’
Гх У 2*
где	_	_
1 b — х\ _ / а — х \
7 = — Ф --------- — Ф -------
Воспользовавшись формулой. (78), находим
у — X —[—
Согласно (81)
где	_	_
Г	__ (Ь-х)3	_ (а —х)2 л
о	/ i \	2^ 2	/	% 2q 2	।
ъ =	------(b - х)е x — (a — x)e x
7)/2k L	j
§ 18. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И
ФОРМУЛА БАЙЕСА В СХЕМЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Полученная в схеме случайных событий формула полной веро-
ятности (6.3)
P(4) = 2^№)^W/7k)	(18.1)
k=l
имеет место и в схеме случайных величин, если под гипотезой /7к
понимать получение дискретной случайной величиной X возмож-
ного значения xk (k = 1, 2,.. ., и). В этом случае:
РЩ = Р(Х = лк) = pt- Р (A/HJ = Р (А{Х = Л-,)
(4= 1,2,..., и),
поэтому формулу (1) можно переписать в виде
/>(Л) = 2ЙРШ,	(18.2)
к=1
11
161
где Рк — 1 и для простоты обозначено
Р{А1хк) = Р{А1Х^=хк).
Аналогичное преобразование можно произвести и с формулой
Байеса (7.2), полученной в схеме случайных событий,
Р(/Ук/А) = Р(Нъ)Р(А1Нъ)------	(18>3)
i II1
(6=1,2,
В схеме дискретных случайных величин
Р (Нк/А) = Р(Х = хк/А) = Р ЫА)
(6 = 1,2,. . . , и),
а потому формула (3) принимает вид
Р (хи/Л)=------------------- (18.4)
j-1
(6 = 1, 2, . . . ,
Таким образом, переход в формуле полной вероятности и в фор-
муле Байеса от схемы случайных событий к схеме дискретных слу-
чайных величин, по сути дела, не вносит добавочного содержания
в эти формулы и не требует дополнительных пояснений.
Произведем обобщение формул (1) и (3) на тот случай, когда
вероятность появления события А определяется значением х не-
прерывной случайной величины X. Разобьем всю область возмож-
ных значений случайной величины X на п малых интервалов дли-
ной Ах. Под гипотезой Нк будем понимать попадание случайной
точки в 6-й интервал, т. е. выполнение условия X <	|—Длс
(6 = 1, 2,.. ., п). В этом случае вероятность гипотезы Нк опреде-
ляется равенством Р (Hk}=F (хк + Дх)— F(xk), где F(x) — функ-
ция распределения случайной величины X. При достаточно малом
Ах данную вероятность можно выразить через плотность вероят-
ности f(x), приняв Р (Ик) f (х/) Дх, где х/ —значение х из
интервала (xk; хк 4- Дх) (6=1, 2,..., п).
Обозначим через Р(А/х) вероятность появления события А при
условии, что случайная величина X приняла значение х, и будем
считать, что для любого значения х, попадающего в 6-й интервал,
условная вероятность P(A)x) события А имеет одинаковое значе-
ние, равное Р(А/хк). Тогда формулу (1) можно записать в виде
k=l
162
Переходя в последнем выражении к пределу при Дх -> 0, полу-
чим следующую формулу полной- вероятности:
Р(А) = j P(A/x)/(x)dx.	(18.5)
Аналогичные рассуждения применимы и для обобщения фор-
мулы Байеса (3). Заменяя в (3) Р(//к/А). Р(Нь) и P{AIHk) соот-
ветственно на /(хк'/А)Дх, /(хк')Дх и Р(А'хк/), с учетом (5) полу-
чаем
х/ z/лч*	Р(А/хк')/(хк') Дх
/(х/М) Дх -------Д-'	--------
J P(A/x)f(x}dx
После сокращения на Дх и замены хк' на х последнее выраже-
ние принимает вид
/(х/А) =----_f(x)P(A/x)-------.	(18 б)
j°P(A/x)/(x) dx
— с»
Формула (6) дает выражение для плотности вероятности слу-
чайной величины X после наблюдения события А через плотность
вероятности f(x) этой случайной величины и вероятность Р(А/х)
появления события А при заданном значении х случайной вели-
чины X, имевшей место до испытания.
Пример 18.1. Вероятность попадания в цель при каждом из п
независимых выстрелов равна р. Условная вероятность поражения
цели при k попаданиях в нее определяется формулой P{k) —
/ 1 \к
= 1—1-------— I , где и — среднее число попаданий, необходимое
для поражения цели. В результате стрельбы цель поражена.
Определить вероятность того, что было k попаданий (/г = 0,
Решение. Случайное событие А —поражение цели, случай-
ная величина X — число попаданий. Тогда ръ=Р(Х=К) = CXpkqr~\
I 1 \к
P(A/fc) = 1 —I 1 —j (fe=0,1,...,«).
Используя формулу полной вероятности, находим (см. при-
мер 6.2)
п
р(Д)=	= 1  (1 - -£-)° •
к=0
163
Искомая вероятность
/	1 V
P(k/A)=-P^^- =	-----L-----
\	u> /
(k — 0, 1, , . . , n) .
Пример 18.2. Корабль форсирует минное заграждение, состоя-
щее из якорных контактных мин, поставленных в один ряд через
интервал I. Пересечение кораблем линии мин равновозможно в лю-
бой точке. Определить вероятность подрыва корабля, если его ши-
рина Ь, диаметр мины d (b + d<d), а курс корабля составляет
с линией минного заграждения случайный угол Ф, равномерно
распределенный:
ч	/	\	• b -j- d
а)	в интервале (фо, л — ф0), где фо = arc sin -;
б)	в интервале (0, л).
Решение. Обозначим через А случайное событие, означаю-
щее подрыв корабля. Случайная величина Ф — курс корабля. При
фиксированном Ф = ф для вероятности события А имеем
Р(Д/?) =
b -|- d
I sin <р
при #+ d< Z sin 9;
при b 4- d > I sin <р.
а) Плотность вероятности случайной величины Ф будет
1
~ — 2ср0
О
при

при <? < ф>0 ИЛИ	— фо,
поэтому искомая вероятность
J Р(Д/?И? =
<Ро

я— ¥0
Ъ 4- d Р
I (л — 2ф0) j sin ф
Имеем
do
sin <р
—------------=intg4-,
cos2 -2- tg -S-
164
тогда
b±d
2(& + rf)
/ (п — 2ft,)
Inctg-^-.
tg^-
б) В этом случае плотность вероятности случайной величины Ф
1	п
— при 0%с < л ;
О при <р < 0 или ср > те .
Тогда
1 Л*	1 f ^Ро	гс	я г с
ри)=-~- /w)<*?=4~ р?+ J й+j
У	10" — <р0	<р0
Поэтому искомая вероятность
о/л\ 2 /	; b -\-d
In Ctg-|2-
Пример 18.3. Максимальная дальность обнаружения подводной
лодки гидроакустической станцией корабля на интервале (0,со)
подчиняется усеченному нормальному закону распределения с па-
раметрами р = 5 км и а = 0,2 км. Определить вероятность обнару-
жения подводной лодки, если ее удаление от корабля — случайная
величина, равномерно распределенная в интервале от 0 до
L = 20 км.
Решение. Случайное событие А — обнаружение подводной
лодки, случайная величина X— максимальная дальность обнару-
жения. Согласно условию для плотности вероятности случайной
величины X имеем
/(*) =
1	(W)a
1	„	2а’
-----т=-- — е
у а у 2те
при х > 0 ;
О	при х<0,
где
При фиксированном Х = х вероятность обнаружения лодки будет
Р(Д/х) =
при 0<х<С£ ;
1 при х > L.
165
Искомая вероятность
Пример 18.4. Событие А произошло т раз при п независимых
испытаниях, причем вероятность того, что оно произойдет при
каждом испытании одинакова и равна случайной величине Р, рав-
номерно распределенной в интервале (0,1). Определить вероят-
ность того, что событие А произойдет I раз при следующих s испы-
таниях.
Решение. Случайная величина Р — вероятность появления
события А при каждом из п испытаний. Плотность вероятности
этой случайной величины
1 при 0<р < 1 ;
0 при р < 0 или р > 1 .
При заданной вероятности Р = р вероятность того, что собы-
тие А произойдет т раз при п испытаниях, определяется формулой
Pn;m (Afp) = Q; рт (1 — />)п-т . Вероятность того, что событие А
произойдет т раз, будет
1
- Р11;т(Д)= J f (р) Pn;m (Ajp) Лр=С™В(т+1, ti-mAl),
о
ш =
где В (а, р) — бета-функция, связанная с гамма-функцией равен-
ством
В (а, Р) =
Г(«)Г(Р)
Г(« + ₽) •
166
Тогда
р (Л\ Гт ^(^4-1)Г(/г-т + 1)	_
Ч	Г(п4-2)
__ п\т\(п —т)\_____________1
т\(п— т)\{п + 1)! ~~ » + 1
Согласно обобщенной формуле Байеса, плотность вероятности
случайной величины Р после появления т раз события А при и ис-
пытаниях будет
/(рМ) =	=("+D C‘JP° (1 -Р)”-"
-fn;m Vе*-/
При фиксированном р вероятность появления события А ровно
I раз при s независимых испытаниях определяется формулой бино-
миального распределения, т. е.
P.,(MZP)=cip'(i-^)‘-',
тогда искомая вероятность
О
1
= (п +1) с® q pm+z(i — p)n-m+3~ldp=
о
= (лг1)	(/n-|-Z-j-1; n — m-\-s—Z + l) =
- (п 4- 1) Cm С1 г(т + 1+^г(п-mA-s-1+V _
—	л</г4-а + 2)	“
= (/г 4- 1) n!s! (тп4- Z)!(/z --m + s-- Z)! = Cm+zCn+L-m-z
~ ml (тл — zzz)!Z! (s — Z)!(w 4-s+1)!	Q+s+1
Пример 18.5. Число мин, уничтожаемых при бомбометании, под-
чиняется распределению Пуассона с параметром X. Математиче-
ское ожидание числа уничтожаемых мин при этом является слу-
чайной величиной, подчиняющейся гамма-распределению с плот-
ностью вероятности
f = Г (а) '	й > 0).
Найти плотность вероятности математического ожидания числа
уничтожаемых мин, если после одного из бомбометаний было за-
фиксировано s уничтоженных мин.
167
Решение. При фиксированном X вероятность уничтожения
Xs
s мин будет Р(Л/Х) = — е-х. Параметр X является математическим
ожиданием числа уничтоженных мин. Поэтому вероятность того,
что уничтожено s мин, будет
Р(А) = J /(Х)Р(Д/Х)Л =
О
<w
- ——^7 ч С Хз + “-’е-б+?)^л =
s! Г(a) J
о
f Е,+.-.е-^ = __ж«+д_
slZ»(14-₽)!+* J	s!(l +₽)'+’Г(а) '
О
Искомая плотность.вероятности
f WA) =	= )л+»-1₽-«+э» (^+ ^+“ (X > 0).
Пример 18.6. Рассеивание снарядов по дальности подчиняется
нормальному закону распределения с математическим ожида-
нием х и срединным отклонением B(j. Вследствие ошибок подго-
товки стрельбы х является случайной величиной, распределенной
по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и
срединным отклонением Е. При четырехорудийном залпе на одном
прицеле наблюдался один недолет и три перелета. Определить
закон распределения случайного математического ожидания х
после наблюдения знаков падения.
Решение. При фиксированном математическом ожидании
х = х вероятность недолета
а вероятность перелета
168
Пусть событие А означает получение одного недолета и трех
перелетов. При фиксированном математическом ожидании х = х
вероятность этого события
р(д/х) = с' P(i-pp_-L
X
В,
Так как плотность вероятности случайной величины х опреде-
ляется формулой
/(х) =
р4№
—е~~^ ,
Еу тс
то вероятность события А будет
Р(Л) = J Р(Л/х)/(х) dx ~
Искомая условная плотность вероятности для х
f(x)P(A!x)
Р(Д)
f^A) =

ГЛАВА 3
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 19. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ
И ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
При решении многих задач приходится иметь дело не с одной
случайной величиной, а с их совокупностью, т. е. с системой, со-
стоящей из нескольких случайных величин. В общем случае свой-
ства каждой из случайных величин системы еще не характеризуют
полностью всю систему, поэтому необходимо рассматривать эти
случайные величины в совокупности. Примером системы двух слу-
чайных величин могут быть координаты (X У) точки падения бал-
листической ракеты. Координаты (X Y, Z) точки разрыва зенитной
ракеты являются примером системы трех случайных величин.
Координаты и составляющие вектора скорости снаряда в момент
его разрыва образуют систему шести случайных величин.
В дальнейшем системы двух и трех случайных величин будем
обозначить соответственно через (X У) и (X Y,Z); общие систе-
мы п случайных величин—через (X, Х2,. .., Хп),. (У1, Уг,..Уп),
(Zb Z2,.. ., Zn) и т. д.
Случайную величину X можно интерпретировать как абсциссу
случайной точки. Систему двух случайных величин (X У) можно
рассматривать как координаты случайной точки на плоскости, си-
стему (ХУ, Z)—как координаты случайной точки в пространстве,
а систему п случайных величин (X, X, • • •, X) ~ как координаты
Случайной точки в n-мерном пространстве.
Полной характеристикой системы п случайных величин (X,
X, • - X) является функция распределения, определяемая по ана-
логии с функцией распределения для одной случайной величины
формулой
Z7(?Cj, х2, . . . , хп) ~ Р(-Х X Х> ^2 X -X» • • • > Xi X хп). (19.1)
В частном случае системы двух случайных величин (X Y)
функция распределения будет
F (х, у) =Р(Х<х, Y<y).	(19.2)
170
При интерпретации случайных величин X и Y как координат
случайной точки на плоскости функция распределения F(x,y) дает
вероятность попадания случайной точки в часть плоскости, ограни-
ченную справа прямой Х=х и сверху прямой Y—y (рис. 35).
При увеличении х или у область возможных значений случай-
ных величин X и У увеличивается, а потому функция распределе-
ния F(x,y) не уменьшается. Таким образом, функция распределе-
ния F(x,y) является неубывающей функцией аргументов хну,
т. е. при х2>Х) и У2>Уъ
F(x2, y)>F(x{, у); F(x, y3)>F(x, yj. (19.3)
Так как Р(Х<х, К< оо) = /?(Х<х), то F(x, со) является функ-
цией распределения случайной величины X, т. с.
F(x, со)=Р,(х).	(19.4)

Рис, 35
Аналогично получаем, что F (or, р) —Fy (у), где Fy (у) —функ-
ция распределения случайной величины Y. Так как /у (оо) =1, то
дополнительно получаем, что
А(со, оо) = 1,	(19.5)
Имеем:
Р(Х< —со, Г<у)=0; Р(Х<х, У<-со) = 0.
Поэтому функция распределения F(x,y) удовлетворяет усло-
виям:
F{- оо, у) = 0;	Л(Х, -со)=0.	(19.6)
171
Для системы п случайных величин (ЛД Х2, .. Лп) функция
распределения (1) является неубывающей функцией любого из п
своих аргументов. Когда один из аргументов (любой) обращается
в —со, функция распределения (1) равна нулю. Если некоторые
аргументы функции F(х15 х2, . . ., хп) обращаются в + со } например
Xj = co при / = /' + 1, г+2,..., п, то функция распределения системы
(Ль % 2, •  Л„) превращается в функцию распределения подси-
стемы (Ль Х2,..., Л'г), т. е.
Е(Xi, х2,..,, хг, оо ,,,оо) =2FХ1,	, хД-^ь -Х2, • • • > лг). (19.7)
Если все аргументы равны бесконечности, то функция распре-
деления (1) равна единице.
Как показано выше, с помощью функции распределения F(%)
вероятность попадания случайной величины X в интервал (хь х2)
определяется формулой
Р(хг < Л<х2) = К(х2)—^(xj.	(19.8)
У
При этом для дискретной случайной величины X существенно,
что в указанный интервал включается точка х—хъ
Через функцию распределения F (х, у) системы двух случайных
величин (Л, У) можно выразить вероятность попадания возмож-
ных значений этих случайных величин в прямоугольник с верши-
нами в точках (Хьг/i), (х2, У1), (хь у2) и (х2, у2). Используя гео-
метрическую интерпретацию (рис. 36), находим
P(xl<Ar<x2, yi< Y <y2) = F(x2, у2} -Е(хи у2) —
-^(*2,	+	У1)-
(19.9)
172
Для системы трех случайных величин (X У, Z) вероятность по-
падания случайной точки в параллелепипед %i <?х<х2, У\Х^У<Уъ
< z<z2 будет
Р (Xi < X < х2, У! < Y < у2, ?!<£<£.>) = Р(х2, у2, z2) —
—F(xby2iz2} — F(x2,yltz2) — F(x2, у2,г{) +
+ F(xl,y1,z2) +/7(xb «/2,zi) +F(x2ty}, zj — F(xlt r/bZj). (19.10)
В общем случае системы п случайных величин (Хь Х2, • • Хп)
вероятность попадания случайной точки в n-мерный параллелепи-
пед	(&= 1, 2, .. п) определяется формулой
Р (х?) < X < М2), Х,0 < Х2 < XX . . . , 4» < X < 4>) =
п	п—1 п	п—2 п—1 п
—1Со—2/?i,k + 2 2 ^-2 2 2F3;k,j,i+. . .
к=Я	k=lj=k+l	к=1 j=k+l l=j-fl
 • .+(-1)пХ-	(19.11)
В этом выражении первый индекс s у F означает, что в функции
распределения F(xlt х2,..xn) s аргументов заменены их наимень-
шими значениями хр, а остальные п — s аргументов — их наи-
большими значениями Последующие индексы означают но-
мера аргументов, которые следует заменить их наименьшими зна-
чениями.
Указанные свойства функции распределения F(xlt х2,..., хп)
системы п случайных величин (X, Х2, • • X) справедливы для си-
стем случайных величин любого типа: непрерывных, дискретных и
смешанных. Рассмотрим подробнее свойства функции распределе-
ния для систем случайных величин различного типа.
Пусть имеется система двух дискретных случайных величин
(X, У), возможные значения которой (xk, yj) (k— 1, 2,..., /; /=1,
2,.. ., m). Положим
Aj = P(X=xk, K = yj)	(19.12)
(& = 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . . , m).
В результате испытания система (X, К) принимает одно из ука-
занных 1т возможных значений. Поэтому вероятности (12) удо-
влетворяют условию
I m
2	= 1 	(19.13)
k=l j=l
173
Если вероятности. (12) просуммировать по всем возможным зна-
чениям /, то получим вероятность рк того, что случайная вели'
чина X примет значение безотносительно к значению случайной
величины У, т. е.
А = ? (А' - А) = Aj	(19.14)
j-i
(k=\,2,...,l).
Аналогично находим, что
л' = /’(Г=у)) = 2Л«	(19.15)
к=1
(; = 1, 2,..т).
Равенства (12) образуют ряд распределения (двойной) системы
двух случайных величин (X, У). Совокупность всех возможных
значений (хк, у3) и соответствующих им вероятностей pkj (fe=l,
2,...,l-, j = 1,2,..m) является полной характеристикой этой си-
стемы дискретных случайных величин.
Если случайные величины X и У целочисленные, то вместо (12)
будет
pki = P(X=k, Y=J)	(19.16)
(£ = 0,1,...,/; /=0, 1, .. ., т).
Для такой системы случайных величин (X, У) можно ввести
производящую функцию w2), положив
I m
G(«i, и3) = 2	(19.17)
k=Oj=O
где «1 и н2 — вещественные переменные. Так как справедливо ра-
венство (13), то производящая функция (17) удовлетворяет
условию
С(1,1) = 1.	(19.18)
При z/2=l из (17) получаем
I m	I
G(ut,	=	(19.19)
k=o j=0	k=0
где («i)—производящая функция случайной величины X.
Аналогично находим, что G (1, и2) = Gy (zz2)—производящая
функция случайной величины У.
Если случайные величины X и У не целочисленные, то для си-
стемы {X, У) также можно ввести производящую функцию (17),
но при этом k и j будут не возможными значениями случайных ве-
личин X и У, а номерами соответствующих возможных значений
•А и ур
174
Через вероятности (12) функция распределения F(x, у) системы
двух дискретных случайных величин (X, У) выражается равенством
у)= 2 Рц,	(19.20)
xk<x;yj<y
где суммирование ведется по всем значениям k и /, для которых
< х и yj < у.
Если использовать обозначение «единичной» функции
1 ПрИ Л>0;	(19.21)
( 0 при х < 0,
то функцию распределения (20) можно представить в виде
I m
F U. У) = 2	s —	(19.22)
k=i j=i
Обобщая вышесказанное, получаем, что полной характеристи-
кой системы п дискретных случайных величин (Хь Х2,. . А"п)
являются вероятности
....in=p№ = 4’> ^2 = 4^	.,^ = 44	(19.23)
(&j = 1,2,. . . , mj-; J~ 1,2,. . ., n\
где xO — возможные значения случайной величины Лф
Сумма вероятностей (23) по всем возможным значениям индек-
сов равна единице, т. е.
Mi ma
22? 	= ’	(19-24)
kx=l k^l	kn= 1
Если произвести суммирование по всем возможным значениям
части индексов, то получим вероятности возможных значений
остальных случайных величин системы (подсистемы). Например,
если просуммировать вероятности (23) по всем возможным значе-
ниям индексов &r+I,	. . , kn, то получим вероятности
рк1, к21. . ., кг - Р (Л = 41/, X, =	. . , Хг =	-
ГПГ-Ы П,ГЧ-2	тп
= S S ............................(,925)
кГ+1= 1 Ч+2=1	кп=Д
которые полностью характеризуют систему (Х1? Х2,..., Хг), являю-
щуюся подсистемой для исходной системы случайных величин.
175
Для системы п целочисленных случайных величин (Хь Х2,...
.Хп) равенства (23) имеют вид
Яд.......X2 = k2, . . . , Xn^kn) (19.26)
(^ = 0, 1, . . . , Wj; /=1,2,. . . , п).
Производящая функция этой системы определяется формулой
G(«i,«2, ••	ц1,ц2а • • • «nW к. - . . лп •
к,=о к2=о	кп=0
(19.27)
Данная функция удовлетворяет условию
(3(1, 1,..1) = 1.	(19.28)
Если в (28) принять равными единице часть аргументов и,, то
получим производящую функцию для подсистемы, состоящей из
оставшихся случайных величин. Например, положив wv=l (v =
== г-f-1, г+2,..п), получим
G (мь и2> • • • > «г, L 1, • • • , 1) =
= Охи х21. . .,хг(«1, «2, • • . «г),	(19.29)
где Gxp ха.. ,,х («ь «2,..., «г) —производящая функция подсисте-
мы (Хь Х2,..., Хг).
Через вероятности (23) для системы п случайных величин (Хь
АХ  *п) функция распределения Р’(х1, х2,..х п) выражается
равенством
F(x1? х2, . . . , хп) = 2	....к„ ’	(19.30)
<Xj
где суммирование ведется по всем возможным значениям индек-
сов fcj, при которых х^ < Xj (/= 1, 2,..п). С помощью функции
(21) выражение для функции распределения (30) можно записать
следующим образом:
_П1; Щд	ГОП
......Л”) = 2Х’ ' •	. ..кпг(Л1~4?)х
kx „ 1	kjj^l
Хе(х2 — xg)) . . . s(хп —— х<£).	(19.31)
Перейдем к рассмотрению системы непрерывных случайных
величин.
По аналогии с одной случайной величиной систему двух слу-
чайных величин (X, У) будем считать непрерывной, если сущест-
176
вует такая функция f(x,y), что ее произведение на элемент пло-
щади ДхДг/ с точностью до малых второго порядка дает вероят-
ность попадания случайной точки в этот элемент площади, причем
данная вероятность стремится к нулю, если ДхДу 0.
Установим связь между функцией f(x, у), которая называется
плотностью вероятности (иногда дифференциальным законом рас-
пределения) системы (XI7) и функцией распределения F(x,y)—
интегральным законом распределения. Для этого положим в фор-
муле (9) х1 — х! yt = y, х2 = х + Дх, у2 = у + Лу.
Тогда
Р(х < X < х -ф Дх, у К < _у-{- Ду) = [F(x + Дх, у + Ду) —
—F {х + Ьх, у)] — [F (х, у+Ду) — F (х, у)].
Заменяя левую часть последнего равенства на f(x, у)АхАу, деля
обе его части на ДхДг/ и переходя к пределу при Дх —> О, Ду -> О,
получим
№ я=-£ВУ) 	<19-32’
Таким образом, плотность вероятности f(x, у) для системы двух
непрерывных случайных величин равна второй смешанной частной
производной от функции распределения F(xt у). Непосредственно
из определения следует, что f(x, у) является неотрицательной
функцией, размерность которой обратна размерности произведе-
ния XY.
Вероятность попадания случайной точки (X, У) в плоскую об-
ласть D определяется формулой
Р[(Х, Г)СД] = fff(x, y)dxdy,	(19.33)
(D)
где символ (X, У) С D означает, что точка с координатами X и Y
находится в области D. В частности, вероятность попадания в пря-
моугольник можно записать в виде
Р(х{ < Х< х2,
Xj Уз
J J /(A y)dydx.
*1 У1
(19.34)
Положив в последнем равенстве Xi =—со, yi = —со, с учетом
Р(—оо <Х<х, —со <Y<y) — F(x, у) получим следующее выра-
жение для функции распределения F(x, у):
X у
у) — J J f(x, y)dydx.
(19.35)
12
177
Заменяя в последней формуле у или х на оо, находим выраже-
ния для функций распределения случайных величин X и Y через
плотность вероятности f (х, у):
ЛС*)= J j y)dydx; j
.	(19.36)
у co	I
^y(y)— J J f(x, y)dxdy. I
Дифференцируя эти равенства, получим выражения для плот-
ностей вероятности случайных величин X и У через плотность ве-
роятности f (х, у) в виде:
ЛС*) = J/(x, y)dyt fy(y) = J f{x, y)dx. (19.37)
---------DO	— 00
Таким образом, плотность вероятности случайной величины по-
лучается из плотности вероятности системы (X У) интегрирова-
нием в бесконечных пределах по другой переменной.
Так как F( со, оо) = 1, то из (35) следует, что
JJ/(x, У) dxdy — 1.	(19.38)
В прямоугольной системе координат xyzO зависимость z—f(x,y)
является уравнением поверхности, которая расположена выше
плоскости хОу. Эта поверхность называется поверхностью рас-
пределения. Полный объем, ограниченный поверхностью распре-
деления и плоскостью хОу, согласно (38) равен единице.
Как и для системы двух случайных величин для системы и не-
прерывных случайных величин (Хь Х2,.. ., Хп) плотность вероят-
ности (дифференциальный закон распределения) f (хь х2,..., хп)
может быть определена как частная производная n-го порядка по
всем аргументам от функции распределения F(х^, х2,..хп), т. е.
х2.......хп) =	• 'д'хХ") 	(19.39)
Вероятность попадания случайной точки (Хь Х2,..,, Хп) в п-мер-
ную область D определяется равенством
Р[(ХЬ Х2,. . Xn)CD] =
==	х3, . . xn)dxidx2. . .dxn, (19.40)
(D)
где интегрирование ведется по области D.
178
Функция распределения системы п случайных величин выра-
жается через плотность вероятности формулой
(jCj, Х2, . . . , An
— J j . . . J f(xu x2 j • • . , xn)dxi dx2. . . dxn .	(19.41)
--OO	oo	—_ oo
Воспользовавшись равенством (7), из (41) получим следующее
выражение для функции распределения подсистемы (X, Х2,..Хг):
х3,. . ., хг (хь х2, . . . , х{) ~
ОО X	Xi
= J . • . J j ... J/(X, х2,..., xn)dx1 ... dxrdxr+1 ... dxa.
— OO	- OO	—’ oo
(19.42)
Плотность вероятности этой подсистемы будет
/х„ ха...xr (xlt Х2, . . . , хг) —
= J J . J/(X, Х2, . . . , xn)dxr+i dzr+, . . . dxn. (19.43)
Из (41) следует, что плотность вероятности f(xlt х2,..хп)
удовлетворяет условию
. J/(xj, х2, . . . , хп) dxt dx2 . . . dxn = 1.	(19.44)
Существование функции f(xh х2>..хп), Для которой справед-
ливы равенства (39) и (41), является необходимым и достаточным
условием того, чтобы исходную систему случайных величин (Xb
Х2,..., Хп) можно было считать непрерывной. При этом плотность
вероятности /(хь х2,..хп) — неотрицательная функция, размер-
ность которой обратна размерности произведения XX---Х-
Если использовать дельта-функцию Дирака б(х), то понятие
плотности вероятности можно ввести и для системы дискретных
случайных величин. Подставляя в (32) функцию распределения
системы дискретных случайных величин (22), получим для плот-
ности вероятности системы двух дискретных случайных величин
(X Y) формулу
I ш
/(X У) = 2	•	(19.45)
k=l j=l
179
Для системы п дискретных случайных величин (X], Х2,..., Хп)
согласно (39) и (31) находим следующее выражение для плотно-
сти вероятности:
/ (-*-!> -^2' • • • > -^п) =
= 2 2 •  • У к-..........Ч8 <*. - 4?) 8 (Х2 - <)... 8(ЛГ„- х$">).
kj=l ka— 1 k — 1
(19.46)
Если некоторые величины системы (Хь Х2,..Хп) являются
случайными величинами дискретного или смешанного типа, то
функция распределения Е(хь х2, ..., хп) при некоторых значениях
аргументов изменяется скачками. Плотность вероятности
f(x}, х2,..хп) в этом случае будет содержать дельта-функции.
Пример 19.1. Вероятность попадания в s-й корабль соединения
при каждом из т независимых выстрелов равна ps (s= 1, 2,..., n),
n
причем =1. Составить производящую функцию для системы
s=l
случайных величин (Хь Х2,. .., Ха), где Х& —число попаданий в s-й
корабль (s=l,2,...,n).
Решение. Вероятность Р(Х\ = k\, Х2 = k2, . . Xn^=kn\ —
иа....kn того, что в 5-й корабль будет ks попаданий (5=1,2,...
...,п), определяется формулой полиномиального распределения,
т. е.
г-,	/М I	v v	к
Pkl' .....кп = Рт к1’ к*..кп =	. . &п! Рг	’ ^пП •
Производящая функция будет
°..............“")= 2	• 
к,+ ка+. . . -f-kn=m
. .	. Япп==(/>1Ц1 + Л«2 +• • .+pn«n)m-	(19.47)
Пример 19.2. Производящая функция системы двух случайных
величин (АД), подчиняющихся распределению Пуассона, опреде-
ляется формулой
G («ь м2) = ^x(ui-i)+^(u2-i)+Ku1U3-i) f	(19.48)
где Xi, Л2 и ц — заданные положительные постоянные.
Найти производящие функции случайных величин X и У.
180
Решение. Производящая функция случайной величины X
будет
Gx (mJ = G («ь 1) =
т. e. случайная величина X распределена по закону Пуассона с па-
раметром Xi + p.. Производящая функция случайной величины Y
Gy (и2)==
т. е. У имеет распределение Пуассона с параметром Хг + ц.
Пример 19.3. Известна функция распределения F(x, у). системы
двух непрерывных случайных величин (X У). Определить вероят-
ность того, что случайная точка (Л\ У) попадет в заштрихованную
область (рис. 37).
Решение. Разбивая область на прямоугольники, находим
р = Г(х4, у4) — F'(x4, г/3) — F(xh у4) +F(xit у3) +
+ F(x4, Уз) — Р(х4, y2) — F(x3, у3) +F(x3, у2) +
+ ^(*2, Уз)~ ^(*2, У1)—Р(Х1, Уз) +F(Xi, У1) .
После приведения подобных членов получим
P — F(x4, у4) -]-F(x3, у2) -FF(х2, у3)	у^)—
—F('Ч Уъ) — F(х3> уз) — F(х2, г/i) — F(хь у4).
Пример 19.4. Координаты случайной точки (X, У) являются слу-
чайными величинами с плотностью вероятности
Ле-а’х’-Ь2Уа при а?х2 4- b2y2 < R2;
О при а2х2 + b2y2 > R2,
У) =
181
где a,b и R — заданные постоянные. Определить постоянную А и
вероятность р того, что точка будет расположена в области
а2х2 + Ь2У2 < г2, где г < R .
Решение. Для определения постоянной А воспользуемся
условием (38). Переходя к полярным координатам г и <р, положив
ax=rcoscp, 6r/ = rsincp, получим:
dx dy — --у - rdrd^^
1 = А J J
a3x4-b2y2^R3
2k R
= —Г dy f e~r3r dr —	(1 — tf~R’).
ab J T J	ab
о о
Тогда
л
A~ z(l-6?-R2) ’
Искомая вероятность
p=A	—e~t3) =-y
аах5+Ь2у2<г*
Пример 19.5. Система непрерывных случайных величин (Х{,
Л2,. .., Хп) равномерно распределена в н-мерном параллелепипеде
«kC^kC^k (^=1,2, . . ., п). Найти плотность вероятности
f(x}, х2,..хп) и функцию распределения C(Xj,x2,.  .,*„).
Решение. Чтобы найти плотность вероятности х2,. • , ^п),
которая в рассматриваемом случае постоянна, воспользуемся усло-
вием (44). Тогда

при (хь х2, . . . , -хп) СО;
при (хь х2, . . . , хп) сД
(19.49)
где D — н-мерный параллелепипед объема V, причем
1П|dx^= П ~•
k“ 1 а к	к —1
Плотность вероятности (49) можно представить в виде
п
/(хп х2, . . . , Хя) = П/хк^к),
к^1
182
где
Ак (хк) —
1
—<2к
О
(А = 1,
при <2к-С хк < Ьк ;
при хк < ак или л*к > Ьк
Функция распределения
п
*2.........Л п) “ П ^xk(JCk),
к=1
причем
(хк) =
О	при хк < ак;
•Л< 1г Cvlr	.	f
—7-----— при ак < А < Ьк ;
— “к
1	при Хк > Ьк
(Aj=1, 2, . . . , л).
§ 20. УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Кроме указанных в предыдущем параграфе характеристик си-
стемы случайных величин часто используются условные законы
распределения, под которыми понимаются законы распределения
подсистем, вычисленные в предположении, что остальные случай-
ные величины системы приняли определенные значения. Рассмот-
рим сначала вычисление условного закона распределения на при-
мере системы двух дискретных случайных величин (X, У), для ко-
торой известны вероятности
pkj = P(X=xkj r=yj)r pk=P(X — Xk),pi'=P(Y=yJ) (20.1)
(£=1, 2,..., Z; /=1, 2,..m).
Используя теорему умножения вероятностей, получаем
= APtVjMk),	(20.2)
где
Р (У]М — Р(У~ y.jx = xk)	(20.3)
—	вероятность получения заданного значения У=у3 при фиксиро-
ванном значении Х=хк, По аналогии с (2) можно записать
Pkj=PjX^k/yj),	(20.4)
где
Р(хк/у^ = Р(Х = хк1У = у^	(20.5)
—	вероятность получения заданного значения при фиксиро-
ванном значении
183
В соответствии с (2) и (4) условные вероятности (3) и (5)
определяются равенствами:
Pki	)
Р= -г-7- (£ = 1,2,. .
1	(20.6)
/?к!	I
Р (у,%) = —— (/=1,2,. . . , т).
r'k	I
Совокупность вероятностей р(-Кк/уР, отвечающих одному и
тому же значению Y=y-if называется условным распределением
случайной величины X при Y—y}. Точно так же совокупность веро-
ятностей p (урл\) называется условным распределением случай-
ной величины У при X=xk.
Так как
i	i
V? wyi) = -Л- V! Pki = -Д-=1.
/j	Pi
k=l	k=l
tn	tn
j~l	j=l
то вероятности (6) удовлетворяют условию
l	tn
2 p	=2 p	1 •
k’-1	j=l
(20.7)
Условным вероятностям р(А/У)) соответствует условная произ-
водящая функция (и) для X при условии , определяемая
формулой
Gx/yj (р)
г?Р(АЛ=£/уР
(20.8)

Для целочисленной случайной величины Gx,y. (н) полностью
определяет условный закон распределения случайной величины X
при T=t/j. Аналогичным образом для целочисленной случайной
величины У условная производящая функция
m	tn
Оум,(«) = 2U‘PV и’Л) (20.9)
j^O	>0
полностью определяет условный закон распределения У при х=хк.
Условная функция распределения
/"(х/ур = Р {X < х] Y=у^)
(20.10)
184
случайной величины X при Y=y$ будет
F (Ш) = 2 Р ^х~х^-	(20.11)
к=1
Дискретные случайные величины X и Y называются независи-
мыми, если условная вероятность Г(A/Vj) —А
j = 1, 2,..т). В этом случае и р (у^хк) = р{ (j = 1, 2,..., tn-,
k = 1, 2,..I), т. e. случайные величины могут быть только взаимно
независимыми.
Для независимых случайных величин X и У Pkj=PkPi' (k=l,
2, .. I;	.., m). При этом условная функция распределения
(11) равна функции распределения случайной величины X, т. е.
^(x/yj) - Fx (х),
(20.12)
а условные производящие функции (8) и (9) равны производящим
функциям случайных величин X и Y, л*. е.
Gx/yj (й) —	(и), Gy/x^ (М) — Gy (и) •
Имеем
I m
2 2(* - А) е (у - Vj) =
k=l j-1
' /	"I Г m
= 2/M(-K-xk) 2/Y4y-yj)
_k=l	L j=l
(20.13)
(20.14)
поэтому для независимых случайных величин X и У функция рас-
пределения F(x,y) равна произведению функций распределения
этих случайных величин, т. е.
Л(х, у) =	(х) Р. (у) .	(20.15)
Таким же способом доказывается, что для независимых случай-
ных величин X и У производящая функция О(мьи2) равна произ-
ведению производящих функций случайных величин X и У, т. е.
G Ui) =	(н2).	(20-16)
Все предыдущие выводы могут быть обобщены применительно
к системе п дискретных случайных величин (Хь Х2,..Хп).
Имеем
Ркр к,...к ~Ръ , к , . . , к X
П “г+Г пг+2’	’ П
хр(4',’, х«>, . . .	л<'+’>,. . . , 4">),
2	Г ,Г+1	Г+2	П
где
Ръ к
1+1’ Кг+3’
к	Хг+2 = х<^)(. . .,А'п=х^),
 ’ Пп	г+1	г+2	11
185
a
₽(<> . . ., 4г>/4;+’1>,. . ., 4^>) =
=₽(*.= 47,. . ., x, = 4;>/xr+1 =4;+».................A'„	= 4»>)
— условная вероятность для первых г случайных величин исходной
системы, вычисленная в предположении, что остальные случайные
величины приняли указанные конкретные значения.
Данная условная вероятность может быть определена по фор-
муле
р(^- Ч2?, • • • - 4гУх«г+1’> 4;^...........4”>)	=
— -------------------1 ‘)
кГ+Г кГ4-2.кП
(^=1, 2, . . . , т}; у = 1, 2, . . . , г).
Совокупность этих вероятностей является условным законом
распределения подсистемы (X], X2,ХД когда Хг+( — х£г+1) ,
Xr+2 = л<г+2), . . . , Хп = 4") .
г+2	Кд
Если просуммировать равенства (17), например, по &s+],
£s+2,..от 1 соответственно до/д8+1, ms+2, . . . ,тг,то получим
условные вероятности
р (4?. 4?> •  • > 4?/4£’> 4;х’’......4;’>
подсистемы (Х], Х2,  - когда
xr+I=4+i)} хг+2^4г+2)) . . Л (П) .
г+1	КГ+2	кп
Условная функция распределения подсистемы (Хь Х2,..Хг),
когда A'r+j =	А\-+2 = х^+2), . . Xn = x(n), определяется
формулой
F(x{, х2, . . . ,	4г+2), . . . , х<п)) =
ЛГ+1 ПГ+2	Kn
—	;	z\
^kr+i’ kr+2’ " • 1 ’ kn
mr
. . . ka...........(X| ~	£ (ЛЗ -Ф • • • £ (A'r -
kr=1
(20.18)
186
Можно ввести условную производящую функцию, положив
Gx„ Ха,. . . , xJx^+O, Х<г+2).......“2	•	* • ’	=
r/ kr+1 kr+2 kn
TOi tna	mr
kr=0
(20.19)
Эта функция для целочисленных случайных величин (Хь Х2,...
..Хт) полностью определяет их условный закон распределения.
Подсистема дискретных случайных величин (Хь Х2, • • » Хг) не
зависит от подсистемы (Хг+1, %г+2» • • • , -^п). если условные
вероятности (17) равны безусловным вероятностям, т. е. когда
р	• • • 	 •  ’	“.......кг
(^=1,2,. . ..fflj; /=1,2,. .	(20.20)
При этом А,. к,..кп= Ах. к3..кгА к к > а потому
п	г *г+1- г+2’ • • ' ’ ПП
функция распределения и производящая функция системы рас-
падаются соответственно на произведение функций распределения
и на произведение производящих функций подсистем. Условные
функции распределения (18) и производящая функция (19)
в этом случае совпадают с функцией распределения F(X], х2,..хг)
подсистемы (Xi, Х2, . . ,, Хг) и с производящей функцией
GXnx3...х (ыь и2,.. ut) для этой подсистемы.
Дискретные случайные величины Хх,Х2,. . .,Хп называются не-
зависимыми, если условные вероятности (17) равны безусловным
вероятностям для любой подсистемы исходной системы случайных
величин. В этом случае
рь,.ь,.....=	(20.21)
S = 1
а функция распределения системы (Хь Х2,.. ., Хп) равна произве-
дению функций распределения отдельных случайных величин, т. е.
F(xn х21 . . . , xn) = FX1 (Xi)FXs (х2) . . . FXfl(xn). (20.22)
Для независимых целочисленных случайных величин Х(, Х2,...
,.Х„ производящая функция системы равна произведению про-
изводящих функций отдельных случайных величин:
G и2, . . . , zin) = GXi (#1) ОХз (а) , . . OXn (a) •	(20.23)
Перейдем к рассмотрению условных законов распределения не-
прерывных случайных величин.
187
Пусть случайное событие А означает выполнение условия
х<; Х<х + Дх, а событие В — выполнение условия у <4У<г/+Дг/.
Тогда формулу Р(АВ) =Р(А)Р(В/А) =Р(В)Р(А/В) для вероятно-
сти произведения двух случайных событий можно переписать
в виде
Р (х < X < х Ах, у < Y < у + Ду) = Р (х < X < х + Ах) X
X Р (у С Y < у Д- Ду/х < X < х 4- Дх) —
= Р(у<С У < у + Ду) Р (х < X < х + Лх/у < Y < у 4- Ду).
При малых Дх и Ху эти равенства эквивалентны следующим
соотношениям:
/(х, у) ДхДу = /х (х) Дх/(>/х) Ду = /у (у) Ду/(х/у) Дх,
где f(y/x)Xy— вероятность попадания случайной величины У в ин-
тервал (у,у + Ау), если случайная величина X приняла значение х,
a f(x/y)Xx—аналогичная вероятность для случайной величины X.
Сокращая на ДхДг/, получим формулу умножения плотностей
вероятности, аналогичную формуле умножения вероятностей слу-
чайных событий:
Ж у)=А(х)/(у/х)=/у(у)/(х/у).	(20.24)
Для условных плотностей вероятности из (24) получаем:

/(А У)__.
J / (А УИ*
f(vlx\ = У) —-
ЛУ1х) АС*) “
у)
J Ж y)dy
(20.25)
Непрерывная случайная величина X не зависит от Y, если
условная плотность вероятности f(x/y) не зависит от у, т. е. если
f(x/y) =fx(x). Из (24) следует, что при этом f (у/х) =f?(y), т. е. слу
чайные величины X и У могут быть независимыми только взаимно.
Плотность вероятности независимых случайных величин X и У
равна произведению плотностей вероятности этих случайных ве-
личин:
/(М)=А(4Ш	(20.26)
Интегрируя обе части последнего равенства по х от — седо х
и по у от — оо до у, получим
X у	X	у
f J Ж y)dy dx = J/X(x)dx j/y(y)€Zy,
— оо — оо	_оо	—- оо
188
что можно переписать в виде
F(x, y)-FAx)Fy(y),	.	(20.27)
т. е. для независимых непрерывных случайных величин X и Y
функция распределения системы равна произведению функций
распределения отдельных случайных величин.
Для системы п непрерывных случайных величин (Хь Х2,.. Хп)
плотность вероятности может быть представлена в виде произве-
дения плотности вероятности любой подсистемы на условную плот-
ность вероятности оставшейся подсистемы случайных величин,
когда случайные величины первой подсистемы приняли определен-
ные значения. Если, например, указанная подсистема объединяет
случайные величины АД.?,. . АД где	1, то
f(xi, х2, . . . , хп) =
—/хг+1, хг+2,. . хп(А+ь -^г+г, •  • , Xi) X
Х/(х, Х2, . . . , xrjxr+1J хг+2.....хя).	(20.28)
Плотность вероятности подсистемы (Хь Х2) .. Хг ) йри усло-
вии, что случайные величины Ar+1, Агг+2, ..., Хп приняли соответ-
ственно значения хг+1, Л'г1_2, . . , , хп, определяется равенством
/(Х, х2, . . . , хг1х1+1, хг+2, . . . , хв) =
/хг+г хг+2..хп (X+l, Х+2, • • • > хп)
~х* • • >	---------------------. (20.29)
J J . . .J /(хь х2, . . . , xn) dXi dx2 . . . dXf
Каждый сомножитель в правой части равенства (28) в свою
очередь может быть представлен в виде произведений различных
плотностей вероятности, но общее число сомножителей будет не
более п. В частности, плотность вероятности системы (Хь Х2,...
..., Хп ) по аналогии с общей, формулой умножения вероятностей
случайных событий можно представить в виде
/(X, х2, . . . , хп) = /Х1 (х)Лх/х)/(х/Х, х2) . . .
• • • /(хМь X- • • • , Xi-i) •	(20.30)
Подсистема г случайных величин (Хь А2,..Аг) не зависит от
подсистемы п — г случайных величин (Хг+1, Агг+2, . . АД, если
условная плотность вероятности (29) совпадает с плотностью веро-
ятности подсистемы (Хь Х2,..., Хг). При этом равенство (28)
будет
./(Х? Х2) . . . , Хп) = /Х), х2, . . . , хг (-^ь Х21 • • • » X) X
Х/хг+1, хг+2, . . . , хп (Х+П Х+2> • • • т X) •	(20.31)
189
Случайные величины Хь Х2, .. Хп называются независимыми,
если плотность вероятности любой подсистемы, образованной из
этих случайных величин, не зависит от того, какие значения при-
няли остальные случайные величины. В этом случае плотность
вероятности системы равна произведению плотностей вероятности
отдельных случайных величин:
/(хь х2, . . . , хп) = Д (хх)Д (х2) . . . Ап (хп). (20.32)
Интегрируя обе части последнего выражения по хь х2,..., хп
от —оо до Xj (j =1,2,. .., и), получим, что функция распределения
системы и непрерывных случайных величин равна произведению
функций распределения этих случайных величин, т. е.
/ЦХ!, х2, . . . , хп) = Д. (xj (х3) . . . Fxn(xn). (20.33)
Выполнение равенства (32) или (33) является необходимым и
достаточным условием независимости случайных величин Хь
Х2, • • •, х„.
Пример 20.1. Функция распределения системы двух непрерыв-
ных случайных величин (X, У) равна нулю при х<0 или г/<0, а
при х > 0 и у Д 0
F(x, у) = 1 —	—£-byP-_|_£-axk-by^
где a, b, X и ц — заданные положительные постоянные.
Определить плотность вероятности f(x,yy Существует ли зави-
симость между случайными величинами X и У?
Решение. Так как F (х, у) = FX (х)Д(г/), где
( 0 при х < 0;	[ 0 при у <0;
(•’О |	.	Д (у) ]
I 1 — е~я* при х > 0;	(1 —	при У >0,
то случайные величины X и У — независимые, причем они распре-
делены по закону Вейбулла с различными параметрами.
Плотность вероятности f(x, у) = fx (х) Д (у), где
х ( акх^-'е-™* при х > 0;
А(*) =
(	0 при х < 0 ;
. .	(Ду11- ъун- ПрИ у^О;
АМН А	/А
•	[	0 при у < 0.
Пример 20.2. Вероятности pki = P{X=k, Y=j) для системы
(X, У) целочисленных случайных величин заданы в виде
Aj^(l-a-^)q4.a^	(^,/ — 0,1,. . . ),	(20.34)
где а, р— положительные постоянные, причем а+р<1.
190
Найти производящую функцию G(uh и2), вероятности P(X — k)
и P(Y=j) (k, j = 0, 1,. ..), условные вероятности P(X = k/Y=j) и
условную производящую функцию Gx/y (и) при	У)= j •
Решение. Используя формулу (19.17), получаем
G («1? ZZ,) - (1 — а -В) 2 2 CM-j (а11^
k=0 j=0
При рн2< 1 справедливо равенство
2Ck+j(₽«2)j = (l-?«2)“(k+1),
j—О
поэтому
г. . 1	/ а«1 V
kM)
Считая a«i + p«2<l, получаем производящую функцию системы
в виде
г ,	.__ 1 —' а — р __________1__________ 1 — a — ft
И1’ Й2 1	$u2	_ aUj	1 — аих — $tt2
1 —
(20.35)
Производящая функция случайной величины X будет
Gx (^) = G (ub 1) =	=
1 Cvpvj р
со
Г^Г = (1
к=0
a
Р1= Г=^'
где
Поэтому
Р(Х = &) = (1— Р1)рк
(& = 0, 1,...), т. е.
величины Y записывается в виде Gy(K2) = т—
случайная величина X имеет геометрическое распределение.
Аналогично получаем, что производящая функция случайной
Р2	>8
- —, где р2 = г-2— .
Эта случайная величина также имеет геометрическое распределе-
ние, причем Р(У=/) = (1—Pz)P2i (/ = 0,1,...).
Условная вероятность
Р(Х=А/Г=У) =-P(ytj)- = Q+j“k(> -“)i+1
О=о. i,...).
191
Условная производящая функция (и) будет
(«)=(! -«)'+' 2 q+j(aK)k.
k=0
Так как при а«< 1
2 <aw)k = о -	,
k=0
то для условной производящей функции получается следующее вы-
ражение:
/ 1 __ п \Ы-1
^yj(«)=		(20.36)
Сравнивая это выражение с (13.39), находим, что при фиксиро-
ванном значении Y=j случайная величина X имеет отрицательное
биномиальное распределение.
Пример 20.3. Система трех случайных величин (X, У, Z) имеет
равномерное распределение внутри эллипсоида
v2 V2 22
—-----1 „У _ _L JL.. = 1 .
а2 * Ь2 ' с2
Определить следующие плотности вероятности: f(x, у, г), }х(х)>
f*. у У), f(x/y), f(x, y/z) и f(x/y, z).
4
Решение. Объем эллипсоида равен -д- лаЬс, поэтому
х2	у2	z2
ПрИ —р— -f- —75---}---7—	1 \
е	а2	£2	с2
Л2 . р2	Z2
При  2-----j-7-5— -j-s— 1 .
r	a2	b2	с2
4r.abc
У, z) =
0
Интегрируя плотность вероятности f(x,y,z) по всем возмож-
ным значениям у и z, получаем /х(*):
fA*) —
J J f(x, у, z)dydz.
T? ,	X»
ca * 1	aa
Для вычисления
Тогда при | х | < а
уа
Ь“
интеграла положим p = £rcos<jp, z = crsintp.
Л (x) = л be f
•/xv ' 4^abc J
0
3 / ,
r dr = —1
4л l
.2
а2
о
192
Плотность вероятности случайной величины X будет
А (х) =
3 / _ х2 X
4а у а2 )
О
при
при
| х | < а\
I х] > а.
Аналогичные выражения справедливы для функций /у(у) и f2(z),
если заменить х, а соответственно на у, b и z, с. Интегрируя плот-
ность вероятности f(x,y,z) по всем возможным значениям z, при
х2 V2
—5—к	< 1 находим
а2 1 Ь2
Условная плотность вероятности f(x/y) = А>у(^>У) . Воспользо-
Jy
вавшись полученными выше выражениями, находим

<	_______у2
1 а2 Ь2
/(х/у) =
ь2
/ . у2
О
1-^
1 Ь2
Имеем f(x, y/z) =	причем
по аналогии с /х (х) при
с АС2)-О, а при |z|<c А(г) =
z2
"с2
13
193
Тогда
f(x, y/z) = -
те ab
у*2	4i2	^-2
z2 \ при ~	< 1 — —
с2 /
X2 , у2 ч Z2
при —+ -- > ]---------------
г а2 1 Ь2	с1
Так как
О
/Wy. 2) =
причем по аналогии с /х,у (х, у) при
z.+
Ь2
z2
с2
1 /у,г (У, z)=0, а при	< 1
f ( X  §------- ,[ 1	У2	Z2
Л. ДУ >2)““ 2те&с 1/ 1--^2---*Т
то
/(х/у, Z) =
§ 21. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И МОМЕНТЫ
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Кроме рассмотренных выше полных характеристик системы
случайных величин и условных законов распределения, для систе-
мы (Хь Х2,..Хп ) можно ввести характеристическую функцию
Е (пь м2, •  •> ип), которая, как и для одной случайной величины,
является полной характеристикой системы случайных величин лю-
бого типа. Характеристической функцией системы п случайных ве-
личин (X], Х2,..Хп) называется математическое ожидание функ-
ции
(п	\
i 2 “i Хi ) ’
j=i	/
[/	n	X 1
exp	5	(21-b
4 j=i	/J
где П], u2,	— вещественные переменные, a — 1 .
194
В частном случае системы двух случайных величин (X У) ха-
рактеристическая функция будет
E(uit и2) = М (^x+iu2Y )ф	(21.2)
Если X и У — дискретные случайные величины, причем
Р(Х~хк, Y^yi)=pki	(21.3)
/=1,2,...,щ),
то согласно (2) получим
£(иь А) = 2 2 eitllXk+ilbyj Aj.	(21.4)
k=l j = 1
Когда X и У — целочисленные случайные величины,
Е (zz„ н2) =	2 £lu,k+iuJ Ai-
k=0 j=0
Сравнивая это выражение с (19.17), находим, что характери-
стическая и производящая функции системы целочисленных слу-
чайных величин (X, У) связаны равенством
E(ul и2) = G (eiUi, £iu ).	(21.5)
Для системы двух непрерывных случайных величин (X, У) ха-
рактеристическая функция будет
E(iiif zz2) = j*J eiu‘x+iu^f (х, y)dxdy. (21.6)
Последнее равенство является общим выражением для харак-
теристической функции системы двух случайных величин X и У лю-
бого типа, так как, например, из (6) следует (4), если для плот-
ности вероятности системы дискретных величин использовать пред-
ставление (19.45) через дельта-функции.
Рассмотрим основные свойства характеристической функции
(6). Так как
оо	оо	со
JJ f(x, у) dxdy — 1, JJ eill*x/(x, у) dx dy = J elu‘xfx(x) dx,
--OO	- 80	“-OO
TO
E(0, 0)=l, E{ult O) = Ex(u1}, E (0, zz2) = Ey (u2),	(21.7)
где ^(«i) и Ey(u2) —характеристические функции случайных ве-
личин X и У, а при любых щ и и2
[Е^ zz2)l< JJ fix, y)dxdy=l.	(21.8)
195
При любых неслучайных величинах а, р, у и б справедливо ра-
венство
Д/ ^1иДаХ+Р)+1и2(тУ+3) j —. ^iu^+iua8 уЩ£1(аиДХ + 1(7И2)¥| ,
поэтому характеристические функции систем (Х\ Y') и (X, У), где
Х^аХ+р, У'=гУ+б, связаны равенством
£Х',У'(«1, и2) = е|и>НМ Е(а.и1, уп2).	(21.9)
В частности, если X' и У' — центрированные случайные вели-
О	-- о	_
чины, т. е. Х' = Х^=Х— х, Y'~Y =Y — у, то из (9) следует, что ха-
рактеристическая функция системы (X, У) связана с характеристи-
ческой функцией Е (иь и2) системы (X, У) равенством
u2) =	и^}	(21.10)
где
£(«!, и2)-уИ[^х-^+,ц^-у)].	(21.11)
Для независимых случайных величин Хи К f(x,y)^^(x)fy(y).
Из (6) следует, что характеристическая функция системы (X, У)
при этом равна произведению характеристических функций слу-
чайных величин, входящих в систему, т. е.
Е(иг, и2) = Е^и^Е^и^.	(21.12)
Согласно формуле (6) характеристическая функция системы
двух случайных величин (X, У) любого типа однозначно опреде-
ляется плотностью вероятности f(x,y) этой системы. Применяя
к (6) обратное преобразование Фурье, получим выражение для
плотности вероятности f (х, у) через характеристическую функцию
£(«ь и2) в виде
/(*, У)= (2^р JJ	tt^dUidu^ (21.13),
— оо
Для системы п случайных величин (Хь Х2,..Хп ) любого типа
с известной плотностью вероятности f (хь х2,..хп) характеристи-
ческая функция рассчитывается по формуле
£(^1; И2> « . • , Нд) —
°°
JJ * ’  J	f {•Хъ х2, . . . xn)dxydx2 . . , dxa. (21.14)
196
Чтобы из Е(и}, и2, .. ип) получить характеристическую функ-
цию подсистемы случайных величин, нужно в этой функции поло-
жить равными нулю те параметры щ, которые соответствуют слу-
чайным величинам, не входящим в подсистему. Например, харак-
теристическая функция подсистемы (Хь Х2, . .., Хг), где 1	<
< п — 1, будет
^ХрХз,. . . Хг (#ь ^2»  • • j	u2, . . . , wr, 0, 0, . . • , 0).
(21.15)
Характеристическая функция (14) связана с характеристиче-
О
ской функцией Е (щ, и2,..ип ) системы центрированных случай-
О О	о
ных величин (Хь Х2,..Хп) равенством
'2	„
£(Wj, и2, . . . , iia) = e j Е(alt «2, . . . ип). (21.16)
Для независимых случайных величин характеристическая
функция системы равна произведению характеристических функ-
ций случайных величин этой системы:
Д(«1, и2, . . . , wn) = (ttj («2) • • • ^xn(«n).
(21.17)
Плотность вероятности f (хь х2,. .., хп) выражается через ха-
рактеристическую функцию Е (мь и2,..., ип ) формулой
/(лп х2, . . . , ха) =
п
_	00	Л -I У X1U-
1 р р р J
=	’ Г j=1	Й2’ ’  ‘ ’ u^d^du^ * ‘ • du*‘
J	J	(21.18)
Для приближенного описания системы случайных величин наи-
более часто используются моменты распределения системы, являю-
щиеся естественным обобщением моментов распределения одной
случайной величины. Для системы двух случайных величин (X, У)
начальный момент порядка s относительно случайной величины X
и порядка г относительно случайной величины У (s, r=0, 1,...)
определяется формулой
^,г = Мрт).	(21.19)
Центральный момент ps,r порядка s относительно случайной
величины X и порядка г относительно случайной величины У опре-
деляется как математическое ожидание произведения указанных
степеней отклонений этих случайных величин от их математиче-
ских ожиданий:
Rs,г = Ж[(^-л)5 (Г- 7)г].	(21.20)
197
Если X и Y — дискретные случайные величины, для которых
известны вероятности (3), то согласно (19) и (20):
I m
= 22 Аф	(21.21)
k=lj=l
I tn
!4r^22^ -^)s(yj —y)rAj-	(21.22)
k=l j=l
При Itn — oo для существования этих моментов ряд в правой
части равенства (21) должен сходиться абсолютно, т. е. должно
быть
I m
22 lAls IVjI'AiC”.	(21.23)
k=l j=l
В противном случае не существуют конечные моменты mStT
И Ps,r>
При известной плотности вероятности f(x,y) системы (А", К)
моменты (19) и (20) рассчитываются с помощью формул
ОС
= xsyr f(x, у) dx dy,	(21.24)
Kr = J J *)s (У — y)rf(x, y)dxdy. (21.25)
Для существования этих моментов необходима абсолютная схо-
димость интеграла в правой части равенства (24), т. е. должно быть
Jj \x\*\y\r f(x,y)dxdy <_ со.	(21.26)
Выполнение этого условия следует проверять в том случае,
когда бесконечна область возможных значений системы (X, У).
Если случайные величины X и Y независимые, то f(x, у) =
= /х (x)fy(</) • Из (24) и (25) следует, что в этом случае:
ms>r^ms(X)mr(Y), ps,r = ps (А’) рг (Г),	(21.27)
т. е. смешанный начальный момент независимых случайных вели-
чин равен произведению соответствующих начальных моментов
этих случайных величин, а смешанный центральный момент равен
произведению соответствующих центральных моментов независи-
мых случайных велцчин.
198
Непосредственно из определения следует, что
^о,о — Ро,о —- 1> Щцо — х, /под == у;
Р1,о = Ро,1 = 0,	ll2.0~D(X), ро,2 = Е)(У).
Математические ожидания х и у характеризуют положения
центров рассеивания случайных величин X и Y, а потому и поло-
жение центра рассеивания системы (Х,У), Если X и Y — непре-
рывные случайные величины, то в системе координат xyzO х и у
являются координатами центра тяжести объема, заключенного
между поверхностью распределения z=f(x,y) и плоскостью хОу.
Дисперсии D(X) и D(Y) характеризуют рассеивание случайной
точки (X У) соответственно вдоль осей Ох и Оу. Моменты ms$,
tnQ.ri ps,o и уо,г более высокого порядка также характеризуют каж-
дую из случайных величин X или У в отдельности. Смешанные на-
чальные или центральные моменты mStt и ps>r (при s>0 и г>0)
могут быть использованы для характеристики имеющейся связи
между случайными величинами X и У.
Простейшей и в то же время основной характеристикой связи
между случайными величинами X и У является второй смешанный
центральный момент , равный математическому ожиданию про-
изведения отклонений этих случайных величин от их математиче-
ских ожиданий:
Ид =: М [(X - х) (У - у)].	(21.28)
Эта числовая характеристика называется корреляционным мо-
ментом, моментом связи или ковариацией и обозначается через
Ху или cov (X У), так что
р-1,1 Ху = Хх = cov(X У) = 7И[(Х--х)(У — у)]. (21.29)
Для дискретных случайных величин, согласно (22),
I ш
Ху =2	(yj — у) Aj,	(21.30)
k=l j=l
а для случайных величин любого типа
Ху = JJ (л — х)(у — у)/(х, у) dxdy. (21.31)
Раскрывая в (30) или (31) круглые скобки, получим следующее
выражение для корреляционного момента Ху:
Ху — т\л — ху,
(21.32)
199
где второй начальный смешанный момент определяется формулой
I m
ИЛИ	lt = lj=I
mu = J J xy f(x, y) dx dy.
Случайные величины X и У называются некоррелированными
или несвязанными, если корреляционный момент &ху равен нулю.
Для независимых случайных величин ^ху=щ(^)ц1(У) =0, так как
р.;(Х)=0 и щ(У)=0. Таким образом, из факта независимости слу-
чайных величин X и У следует их некоррелированность. Обратное
утверждение не является верным. Если случайные величины X и У
некоррелированные, т. е. &ху = 0, то этого еще недостаточно, чтобы
данные величины были независимыми. Более того, при &ху=0 слу-
чайные величины X и У могут быть даже функционально зависи-
мыми.
Пусть, например, X — случайная величина, имеющая нулевое
математическое ожидание и симметричный закон распределения,
а У=Х2. Тогда у = ах2, a kxy = M[X(X2 — ox2)]=jn3. уак как в этом
случае все центральные моменты нечетного порядка для X равны
нулю, то и &ху = 0. Таким образом, несмотря на функциональную
зависимость между X и У, эти случайные величины некоррелиро-
ванные.
Если
У = а(Х~ х)^ + р,	(21.33)
где X — случайная величина с любым законом распределения,
v — целое положительное число, а а и р— неслучайные по-
стоянные, причем а 0,
то «/=ap2v-i + p. При этом
£ху = М{[Х — х)а [(JV— х)2'^1 — |i2v-1]} =ар.2ч =£ 0? (21.34)
причем корреляционный момент kxy имеет такой же знак, что и па-
раметр а, так как момент четного порядка ц2ч всегда положителен.
На основании (34) можно утверждать, что при обращении
в нуль корреляционного момента kxy для любых случайных вели-
чин X и У между этими случайными величинами не существует
зависимости вида (33), указывающей при а>0 на возрастание, а
при а<0 — на убывание У при увеличении X — х.
Корреляционный момент йху имеет размерность такую же, как
произведение ХУ. Из (30) и (31) следует, что данная числовая ха-
рактеристика в какой-то степени характеризует взаимную зависи-
мость случайных величин X и У. Показателем связи между X и У
20Q
служит безразмерный коэффициент гху, являющийся корреляци-
онным моментом для так называемых нормированных случайных
величин
~ и =	,
ох	пу
математические ожидания которых равны нулю, а дисперсии —
единице.
Таким образом,
= ЛГ (%* Г*) = ^1- М[(Х- х) (Г - у)],
х У
т. е.
=	(21.35)
эх °у
Данная числовая характеристика называется коэффициентом
корреляции. Если между Л и У существует линейная зависимость,
т. е.	р, то Оу = | а | аХ( a kXy = aji3 ~ а ах2. Тогда
=	(21-36)
т. е. гху = 1, если сс>0, и гху =— 1, если а<0.
В следующем параграфе будет доказано, что для любых слу-
чайных величин X и Y коэффициент корреляции гху по абсолютной
величине всегда не больше единицы.
Для системы п случайных величин (Хь Хп) вместо (19)
и (20) можно ввести начальный момент . . iS и централь-
п
ный момент i-isj.sj,. . .,sn порядка sj} где Sj —порядок момента
j=i
относительно случайной величины Xj .(/ = 1, 2,.. ., п). Данные мо-
менты определяются формулами:
.....Sn = M(X;‘X2. . .-¥„”);	(21.37)
Hsi sj,. . ., sn ==[(A\ — Xi)s,(Jf2 x2)Sj . . . (2Cn Ai)5"]' (21.38)
Используя вероятности (19.23) возможных значений системы
дискретных случайных величин (Xb Х2,. .., Хп), эти моменты мож-
но рассчитать с помощью равенств:
zraSi»s3,. . . ,Sn =
ш, m3	mn
=2 2 •  • 2 (Ч'.’мч’Т1- • •wWm....»,, (21.39)
IH k,=l	!	п
201
P'Sj.Ss, . . • ,s
till m2	mn
= -2 • • • у (ч1?-*.)5'^’-^)4 • •	...v
kj=l kj=l
П	(21.40)
n
При П mj = co для существования данных моментов необхо-
j=i
дима абсолютная сходимость ряда (39) или (40).
Через плотность вероятности системы случайных величин (Хь
Х2,.  , Хп ) любого типа моменты (37) и (38) выражаются фор-
мулами:
• •  ,sn —	•
— jj • • . J лф*!1. . . x®n/(x15 х2, . . . , xn)dxtdx2 . . . dxn-
(21.41)
P-Sj.Sj, . . . .sn =
oo
= J j • • • J (*1—*1)S,(*2--^>)S3 • • - (Xn- X„)S« X
X /(-^i, x2, . . . , xa)dx1dx2 . . . dxn,	(21.42)
причем для существования этих моментов интеграл (41), или (42),
должен быть абсолютно сходящимся. Данное условие необходимо
проверять только в том случае, когда область возможных значе-
ний случайных величин системы неограниченная.
Частными случаями моментов системы случайных величин
являются математические ожидания и дисперсии случайных вели-
чин, входящих в систему, и корреляционные моменты любых двух
случайных величин системы. Для случайных величин и Xj кор-
реляционный момент (v, j= 1, 2,. . ., п) определяется так же, как
это сделано выше для случайных величин X и У.
Совокупность вторых центральных моментов kvj (v, j= 1, 2, . . .,
. .., ц) образует матрицу К, имеющую вид
к = И м =
(21.43)
пЬ /<n2i • • • >
Данная матрица называется корреляционной матрицей системы^
(^ь ^2,...»^п).
202
Элементы k44 (v= 1, 2,..n), расположенные по главной диаго-
нали корреляционной матрицы, являются дисперсиями случайных
величин Xv (v — 1.2,. . ., п). Так как =	(v, j— 1,2,..п), то
элементы матрицы К, расположенные симметрично относительно
главной диагонали, равны, т. е. матрица К является симметричной.
Если случайные величины Х2,..Хп не коррелированы, то
=0 при k j (k,/=1,2,..., «). Тогда корреляционная матри-
ца К становится диагональной, т. е.
£(*!), о,..., 0
0, D(XJ, . . ., о
0,	0, . . . , D(Xa)
Матрица
1,	r12, fls, . . . , rln
„	,,	^21, b Г235	• • • , ^2n
(21.44)
(21.45)
Ли, fQ2, Гп3, . . . , 1
составленная из коэффициентов корреляции любых пар случайных
величин, входящих в систему, называется нормированной корреля-
ционной матрицей системы (X,, Х2,..Хп).
Математические ожидания х^ дисперсии £>(Xj), корреляцион-
ные моменты kvj (у,/=1,2,. . ., п), так же как и другие моменты
системы случайных величин (Хь Х2,. . ., Хп ), рассчитываются по
формулам (41) и (42), или (39) и (40).
Из этих формул следует, что
Aj J Xj (Xj) tZxj,
— оо
со
Df.Vji-.-j	(21.46)
U= 1,2, . . .,//),
гДе /xj (xj) — плотность вероятности случайной величины Xj, полу-
чающаяся из плотности вероятности f(x^ х2,. . ., хп) в результате
интегрирования по всем возможным значениям аргументов лу,
х2,..Ау+1, xj+2, . . . , xn. Точно так же
JJ(av—-х) (Aj — %j)/x ,х. (х, Xj)dxvciXj (21.47)
(v,/ = 1, 2..........«),
203
где /x„Xj (xv, Xj) — плотность вероятности системы (Х>, Х^, полу-
чающаяся интегрированием плотности вероятности f(xh х2,..., хп)
по всем возможным значениям ее аргументов, исключая х.> и Xj.
При вычислении моментов системы (Хь Х2,..Х„) можно так-
же использовать и другие расчетные формулы. В частности, если
все случайные величины этой системы целочисленные, то с по-
мощью производящей функции (19.27) находим
dG(ult и2, . .  , йп)
^GXj (^j)
дщ
дЧЦщи^, , . ,ип)1
ди., dtij	| ui=u2=. . . =ua=i
дЮ^(иъщ) I
du,dui p'-,="j=’
= Af(XXj),
где	— производящая функция случайной величины
a Gxvx.(^3 Z£j)—производящая функция системы (X,, JQ.
Следовательно, справедливы следующие формулы:
X;
(21.48)
(21.49)
(v, 7= 1,2, . . . , пд v^j).
С помощью производящей функции G(ult и2,..ип) могут быть
определены и моменты более высокого порядка.
Вычисление моментов системы (Хь Х2, . . ., Хп) можно
также производить с помощью характеристической функции
E(Ui,u2,. . ., un). Предположим, что данная функция дифференци-
руема Sj раз по аргументу щ (/ = 1, 2,..., п). Тогда с помощью (14)
получим
п
д j (Hj u2, . . . , ип)
dup дир* , . . duf"
l L	П
U; = U2- . . . =Un~0
Xnn/(X1,X3. ... xn)t/Xidx3. . . dxn,
204
Поэтому, если начальный момент mS1,Sj.
У si
j -j j — £2 /	\
— i) j-1 д E (uu u2, , . , , »n)
du\' du^ . . . dUna
существует,
=un=°
(21.51)
Центральный момент gS1,s,.....sn определяется по аналогич-
ной формуле, но дифференцируется характеристическая функция
Е(щ, «2, - -ип) системы (Хь Х2,..., Хп ) центрированных случай-
ных величин, т. е.
п
П Ssi
_ z -ч g1 d i=1 Е («п и2, . . . , ип)
, sn - (~ о	du^duf . ~Тд~и[п	. .=un=o ’
(21.52)
Пример 21.1. Производящая функция системы (X, У), подчиняю-
щейся распределению Пуассона, определяется формулой
G (иь и2) = ехр («! — 1) 4- Х2 (н2 — 1)4-{Цад} — 1)].
Найти математические ожидания, дисперсии случайных вели-
чин X, У и корреляционный момент kxy.
Решение. Дифференцируя функцию G(uifu2), находим:
G
— = (Xi 4“ Р^г) (wn мг)>
дЮ	д2 G 1
~д^	=(^ + н)2,	-H4-G4 + р)(х24-р).
U1=u,=l	ОН2 |111=11з=1
Воспользовавшись формулами (48) и (49), получаем:
x=Xi + |x; D(X) = (Xi + p)2+ (М + ц) — (Х1 + р)2 = %1 + ц.
Аналогично находим, что z/ = X2 + g, D(Y) =Xa + p. Корреляцион-
ный момент согласно формуле (50) будет
^ху — Р + (Ъ 4- и) (^2 + р) — (^1 4“ р) (^2 4~Р) = Р-
Пример 21.2. Плотность вероятности системы (X, У, Z) задана
в виде
.	abc
J VW,*) - Я2 Ц	а2х2 b2y2 C2Z2^2 >
где а, Ь и с — заданные положительные постоянные.
Проверить существование математических ожиданий и момен-
тов более высокого порядка случайных величин X, Y, Z,
205
Решение. Математическое ожидание случайной величины X
определяется с помощью равенства
-___ abc f f f xdx dy dz
X ~ J J J (1 + a2x2 + b2y2 + c2z2)2 •
------------00
Для существования x необходима абсолютная сходимость ин-
теграла. Чтобы проверить выполнение этого условия, произведем
интегрирование по у и z, положив by = r cos ср, cz=rsin(p. Тогда
ОО	сю	ОО
- а (*	,	(* , Р rdr	а (* xdx
к2 J J	(1 + а2 х2 + г2)2 я J 14- а2х2
00	О	Q	-оо
Последний интеграл не является абсолютно сходящимся, по-
этому х не существует (случайная величина X распределена по
закону Коши). Аналогично получаем, что не существуют матема-
тические ожидания у, z и моменты более высокого порядка систе-
мы (X Y, Z).
Пример 21.3. Случайная величина X распределена по нормаль-
ному закону, причем х = 0, D(X)—a2. Определить коэффициент
корреляции гху между X и Y=Xn, где п — целое положительное
число.
Решение. Рассмотрим два случая, когда п — четное число,
т. е. n — 2s, и когда п — нечетное, т. е. /г = 2$+1.
При n = 2s kxy=M[X(Y—//)] =7H(A2s+i — уХ) =0, так как ма-
тематические ожидания от X в нечетной степени (нечетные цент-
ральные моменты X) равны нулю. Таким образом, между X и X2S
нет корреляции.	_
Когда п = 2s + 1, будет z/ = Al(X2S+1) =0, a kx„ =М (X2S+2) —
= (2s+l)!!o2s+2. Так как D(Г) =М(Х^+2) = (4s+ l)!!o4s+2, то ко-
эффициент корреляции
/- = ^ху —	(2s + 1)!!
ху VD(X)D(Y) / (4s + 1)!!
Таким образом,
( пЛ\
—====== при нечетном п;
гху = |/ (2л —1)!!
(	0 при четном п.
Пример 21.4. Используя условия примера 19.1, найти математи-
ческое ожидание xs числа попаданий ракет в s-й корабль (s = 1,
2,.. ., п) и составить корреляционную матрицу К.
Решение. Воспользовавшись производящей функцией
Cz («!, и2, . . . , Мп) = (Р1«1 + А«2 + • . . +А1Мп)т,
206
по общим формулам (48) — (50) находим:
xs == mps (s=l,2, . . . , ri);
D (Xs) = m (m — 1) A2 + mp. — (/па)2 = rnp, (1 - a)
(s= 1,2, . . . , n);
k4i = m(m — 1) a A — (WA) (mA)= “ mP ‘ Pi
№j', v, 7 = 1,2, , . . , n).
Так как все элементы корреляционной матрицы имеют общий
множитель т, то матрицу К можно записать в виде
А(1~А),	—АА, • • •> -Р1Рп
—РъРъ	А(1—Аг), - •	— АА
-pnA, —Рп Р2,	... ,Рп(1—А.)
Пример 21.5. Система (Хь Х2, . . Хп) п случайных величин
равномерно распределена внутри гиперсферы Xi2 + x22 +	4-хп2=
= R2 (ft > 2). Найти математические ожидания всех случайных ве-
личин и составить корреляционную матрицу. Проверить зависи-
мость данных случайных величин.
Решение. Плотность вероятности f(xlt х2г. .хп) найдем из
условия
1 = Jf • • • J /(А,А, • • • , xn)dxxdx2 . . .dxn = fRaVn,
x.2W+    +xan<R2
где
V„= JJ. • - J dytdy2. . . dyn =
УТа+У/+ • - • +yJI1<l
dy1 JJ. . .J dy2dys . . . dyn =
-1	ya2+y/+ •  • + yan < (СI - y?)2
1	П—1	I _ J_	n-1
f1	2	f* 2	2
= 14-i I (1 ~ A2) dyx = l/n-1 I x (1 — x) dx.
— 1	0
Воспользовавшись выражением В (a, ₽) == J .^-’(l —x)^1 dx
о
для бета-функции и связью бета-функции с гамма-функцией
В (а, р) =
Г(а)Г(р)
Г(а + Ю
207
находим
Давая индексу п последовательно значения 2,3, ...,п и пере-
множая полученные равенства, будем иметь
Г ( 3 \
—	\ 2 I
К. V»-1V._2 . . . Vs = Ип-,У„-2 . . . Ц(/«)”-• —7~+2\ •
г (’“г-)
Так как	= 2,	а
поэтому плотность вероятности будет
Г (
\ 2 /
/?пкП/2
п
при х2 Я2;
V=1
О
п
При 2
v» i
>/?2.
Подставляя найденное выражение плотности вероятности
f(xi,xz, • •хп) в формулу для математического ожидания, получим
1
___	I	2
Х1 —//?n+1V'n-i 1л(1 — У12) dyi = 0.
^-1
208
Аналогично находим, что xv — 0 (v = 2, 3,. .n), т. e. математи-
ческие ожидания всех случайных величин X, равны нулю.
Дисперсия случайной величины X] будет
' г —
O(jrl)=//?n+2C„-1 I У?(1 -у.=) 2 dy,=------Vj-п
1	-1	П-1
Ху^2(1— х) 2 dx =
о
П2 О / "Ь
2 )	/ 3 . «4-1
"/T+i\ 8 2 ’ 2
2
/?2Г
R2
2
1 -,/Vr
“'"la	______
г/я+4\	“ я + 2 •
2
D2
В силу симметрии получаем, что D(XV) = —— (v= 1,2,..п).
И -р- 2
Момент связи между случайными величинами Xi и Х2 будет
^12=//?П+2 J J
У12+уаа
. . dyn —
П-2
2 dr — Q.
k^fRn+2
J J * ' " J *
Уа2+У?+ • • • +У3 <1—У1’- У?
п
и—2
— //?п+2/п_2 JJ ^^(1—у!2—у22) 2 dyxdy2.
У1’+Уа2<1
Полагая z/i = rcosq), y2=r sin ср, получаем
2к
J sin ср cos <р dy j
о ‘ о
Аналогично получается, что —0 при v,/= 1, 2,..., я,
т. е. случайные величины Хь Х2,..Хп некоррелированные,
рица К вследствие этого является диагональной и может
П2
представлена в виде К~
рица.
14
Мат-
быть
г где Е— я-мерная единичная мат-
ft -j- 2
209
Закон распределения случайной величины Х[ будет
• • • J*	f (хц х2, • • • > xn)dx2dx3 . . . dxn,
х,а+х32+ . . . +xan<Ra-х?
Для вычисления интеграла сделаем подстановку х„= YR2-^xt2
(v = 2,3,..п), Тогда при | xt | </?
п—1
/?п- 2
(Я2 - х.2)
Аналогично получаем, что
Р / я 2 \	п—1
\ 2 I (л х? \ 2
/д + п	при
\ 2 /
О	при
|х,|</?;
|Xv| >R.
n
Так как ПА»(Ха)^ *2, ..хп)> то случайные величины
4=1
Ai, Х2,..Хп зависимые.
Пример 21.6. Характеристическая функция нормальной системы
четырех центрированных случайных величин (Хь Х2, Х3, Х4) опре-
деляется формулой
^(«i, ц2, ц3, и4) = ехр
где ksr— момент связи Xs с Xr (s, r = 1,2, 3, 4).
Определить смешанный центральный момент четвертого по-
рядка =Л1(Х1Х2ХзХ4).
Решение. Для определения момента цыдд воспользуемся
формулой (52). Тогда
д1Е(иь иг, и3, и4)
дих ди2 ди3 ди4
I tl J	Ид^-и^“Е0
210
Дифференцируя характеристическую функцию, находим:
(?«4
= —	«1 4-	«2 + ^34 «з) Е («ь и2, us, 0);
U* = 0
дгЕ
ди3 dUi
= [“ ^34+(^14«1+Л24«2)(^3 «1 + Чз «2)1 E(uiyu2, 0, 0);
u3 = u4=o
д3Е
ди2ди2дщ Ua=U3=Ui=0
[(^14^23 + &13 ^24) 4"
поэтому
4- (й34 — £13 &14 «i2) &12] и4 Е (и{, О, 0, 0),
р-1,1,1,1 ~ kl2 k3i + &13 k2i 4-^14^23-
(21.53)
Пример 21.7. Плотность вероятности системы (^, У, Z) трех слу-
чайных величин имеет вид
abC	—а|х| -c’z2
f (х,у ,z) = ^^(b2 + У Г е
где а, b и с — заданные положительные постоянные. Определить
характеристическую функцию Е(щ, и2, и3).
Решение. Случайные величины X, Y и Z независимые, так
/(х, у, z) (х)/у (у) /г (z),
где
А (х) =	Ч ’ /у (у) =	2
т. е. величина X распределена по закону Лапласа (см. пример
15.2), У —по закону Коши, a Z — по нормальному закону. Тогда
E(ult и2, zz3) —^(ц^^уМ^Дйз),
причем (см. § 17)
(«1) =	М = е~ь11131,
‘ _ цз3
£2(и3) = * 2с\
поэтому
1 -Ь11121_
Е (иъ и2, и3) =------- е
211
Пример 21.8. Характеристическая функция системы (X, У) имеет
вид
Е(и{, и2) = I 1 —
а а и? 4- b р и2 \ “ т (“и‘3+м
2 + ^+^ )е
где а, Ь, а, и р — заданные положительные постоянные. Определить
плотность вероятности f(x, г/).
Решение. Воспользовавшись формулой (13), получаем
/(*. у) =
1	f7/ ааи^Ь^\ -П'.х-ньу-^-^Ч^)
(2«)2jj(	2+a + b f
duY du,2.
Для вычисления интеграла положим:
. х \2 , /	. у \
а Е — i -~2=. + b Hi — i —~=
\	/ <* / V / Р /
2 “J- Ч~
Так как
- у
е	d^df\.
" _Д
J £2е d£ = j/r2‘n , a
то
n . а о . b ,
2 + ~Л +ту
2тс / а р (2 4- а + Ь)
§ 22. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ЛИНЕЙНОЙ
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. УСЛОВНЫЕ МОМЕНТЫ
Установим ряд свойств математического ожидания и дисперсии
линейной функции случайных величин, применение которых су-
щественно упрощает вычисление математических ожиданий и дис-
212
персий во многих случаях. Ввиду важности этих свойств их часто
называют теоремами о математическом ожидании и дисперсии.
В § 12 применительно к дискретным случайным величинам было
доказано, что
М(аХЧ-р) = ах+р,	(22.1)
т. е. математическое ожидание линейной функции У=аХ+р слу-
чайной величины X равно этой же линейной функции от матема-
тического ожидания х случайной величины X. Это свойство остает-
ся в силе для случайных величин любого типа. Если X — непре-
рывная случайная величина, то вероятность попадания случайной
величины X в интервал (х, x+dx) и случайной величины У=аХ+р
в интервал (а%+р, a(x-j-flfx) + р) совпадают и равны f(x)dx. По
определению, математическое ожидание случайной величины равно
сумме (интегралу) произведений всех возможных значений этой
случайной величины на соответствующие им вероятности. Поэтому
М(аХ+р)= J (ах+р)/(х)б/х = ах+р,
т. е. равенство (1) также справедливо и в этом случае.
Как частный случай при сх = О из (1) следует, что математи-
ческое ожидание неслучайной постоянной р равно этой постоян-
ной, а при р = 0 —что неслучайный множитель а можно выносить
из-под знака математического ожидания М.
Равенство (1) допускает обобщение на линейную функцию не-
скольких случайных величин. Рассмотрим для этой цели сумму
Х+У двух случайных величин системы (X У) с плотностью веро-
ятности f(x, у).
В соответствии с определением математического ожидания
имеем
Оф
М (X 4- У) — УУ (х + y)f(x, у) dx dy ~
= УУ xf(x, y)dxdy + ^yf(x,y)dxdy
или
М(Х+У)=х+^	(22.2)
т. е. математическое ожидание суммы двух случайных величин
равно сумме математических ожиданий этих случайных величин.
Так как выше не делалось никаких предположений о типе случай-
ных величин X, У и о зависимости между ними, то равенство (2)
справедливо для случайных величин любого типа и при любом
характере зависимости между ними.
213
Заменяя в (2) X на аХ, a Y на рУ+r, получим
Л1(аХ+рУ+т) =ах+₽гН-Г»	(22.3)
где а, р и у —неслучайные величины.
Последнее равенство может быть обобщено на линейную функ-
(п	\
2 Kj Aj + ? I любого числа случайных величин. Выделяя
j=i	/
последовательно из суммы по одному слагаемому и применяя ра-
венство (3), получим
л(2 “1 х,+?)=2 “Л+?•	<22-4>
\j=i	J i=i
т. е. математическое ожидание линейной функции произвольных
случайных величин Аь Х2,.. Хп равно этой же линейной функции
от их математических ожиданий. При aj = l (j=l,2, ...,п) и р=0
из (4), как частный случай, следует, что математическое ожидание
суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий
слагаемых, т. е.
2 *i ) = 2*j-	(22.5)
\j=i	/ j=i
Перейдем к вычислению дисперсий линейных функций случай-
ных величин. Из У=аА+р следует, что У — у~ а(Х — х), а потому
Р(У)=М[а2(А —х)2] =а2Л4[(Х — х)2]
или
П(аХ+р) =a2D(X).	(22.6)
Таким образом, дисперсия случайной величины не изменяется
при добавлении к этой случайной величине неслучайного слагае-
мого, а постоянный множитель а из-под знака дисперсии выно-
сится в квадрате.
Для суммы двух случайных величин X и У имеем
Р(Х+У)=Л1{[(Х+У)_(7+у)]2}=Л1{[(Х-*) + (1'-у)]2}=
= М[(У-Г)2]+Л4[(У-у)2]+2Л1[(Х-х)(Г-й]
или
О(А+У) = D(X) + D(Y) +2&ху.	(22.7)
Итак, дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме
дисперсий и удвоенного корреляционного момента слагаемых.
Если случайные величины X и У некоррелированные, т. е. kxy =0,
то дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме диспер-
сий слагаемых:
D(X+Y)=D(X)+D(Y).
(22.8)
214
Следствием формул (6) и (7) является равенство
D (аХ + ₽У+ у) = a2D (X) +	(У) +2арА?ху, (22.9)
справедливое при любых неслучайных постоянных а, р и Y.
Применяя равенство (9) к линейной функции и случайных ве-
личин, получим
D | aj Xi + ₽ ) = ’S 2 ajav ki*	(22.10)
\j=l	/ j=l 4=1
или
ajXj + P ] = 2aj2D(^j) + 22 jg aja,^. (22.11)
\j=l	J	j = l	j=l 4=j+l
В частном случае, когда «j = 1 (/= 1, 2,..п), а ₽=0, из (II)
находим
(п \ п	и—1 п
2-^1 =5°(^)+22 2	(22.12)
j=l / j = l	j = l 4=J+1
t. e. дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий
и удвоенных корреляционных моментов при v>/ всех слагае-
мых. Если случайные величины XitX2.....Хп некоррелирован-
ные, то	/
(п	\	п
2^ =2°та>	(22лз>
j-l	/	j=l
т. е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин
равна сумме дисперсий слагаемых.
Аналогично предыдущему могут быть определены математиче-
ские ожидания и некоторых других функций случайных величин.
Например, можно найти математическое ожидание произведения
случайных величин, т. е. выразить начальный момент системы че-
рез математические ожидания случайных величин и соответствую-
щие центральные моменты.
Имеем
XY — (X — х) (У — у) -р хУ+уХ — ху.
Применяя к обеим частям этого равенства операцию вычисле-
ния математического ожидания, находим
т1Л = рщ + лгу,
т. е.
Л4(АУ) = xy + kxy,
что совпадает с (21.32).
(22.14)
215
Таким образом, математическое ожидание произведения XY
двух случайных величин равно сумме произведения математиче-
ских ожиданий сомножителей и корреляционного момента kxy.
Если случайные величины X и У некоррелированные, то kxy = 0, а
потому математическое ожидание произведения XY равно произ-
ведению математических ожиданий сомножителей, т. е. при Лху = 0
M(XY)=xy.	(22.15)
В случае системы п случайных величин (Хь Х2)..Хп) при
п>2 для выполнения равенства
(п	\ п
П х} = П
j=i j j=i
(22.16)
уже недостаточно некоррелированности случайных величин Хь
Х2, ...,ХП. Достаточным условием выполнения равенства (16)
является независимость случайных величин Хь Х2,. .Хп.
В качестве примера применения полученных выше формул про-
изведем оценку коэффициента корреляции гху. Для этого приме-
ним формулу (9) к случайной величине — X + У. Тогда по-
ау
лучим
Так как дисперсия не может быть отрицательной, то из (17)
следует, что всегда
Ку К 1-	(22.18)
Точное равенство | rxy | = 1 будет только в том случае, если
X ± — У является неслучайной величиной, т, е. только при
Су
линейной зависимости между X и У. Во всех остальных случаях
коэффициент корреляции |гху| < 1.
Для системы двух случайных величин (X, У), кроме начальных
и центральных моментов различных порядков, используются также
условные моменты.
Условным начальным моментом s-ro порядка ms (Х/у) случай-
ной величины X при Y=y называется начальный момент s-ro по-
рядка для X, вычисленный в предположении, что случайная вели-
чина Y приняла значение у. Условный начальный момент первого
порядка mt(X/z/) называется условным математическим ожида-
нием случайной величины X при Y=y и обозначается через М(Х/у).
Воспользовавшись условной плотностью вероятности
216
случайной величины X при Y=y, для т3{Х!у) получим
J xsf(xly)dx =
(22.19)
Если случайные величины X и У дискретные, то, обозначая, как
и раньше,
Р(Х— хк, У—yj)—pkj, Р (Y —- Vj)—Pj >
Р (A/Vj) =
/j
(6=1,2,...,/; /= 1, 2,..., m),
получим

xkspkj. (22.20)
k=l	k-1
Для системы целочисленных случайных величин (X, У) услов-
ный начальный момент (20) может быть найден с помощью
условной производящей функции Gxy. (и), определяемой (20.10),
по тем же формулам, что и для обычных начальных моментов.
В частности, условное математическое ожидание М(Х/у-л) можно
определить по формуле
~ д
ди.
моментом s-ro порядка ps (Х/у) слу-
(22.21)
Условным центральным
чайной величины X при Y = y называется математическое ожидание
s-й степени отклонения X от М(Х/у), вычисленное в предположе-
нии, что "	"
мулам:
Y = y. Данный момент рассчитывается по следующим фор-
Rs <АГ/У) = J I* ~ Л (Л/у)]=/(х/у) dx
или
Ps Шу.) = 2 (х/у^р (xk/yj).
k = l
(22.22)
(22.23)
Условный центральный момент второго порядка ^(Х/у) назы-
вается условной дисперсией случайной величины X при Y=y и
обозначается через D^Xjy), Если X и У—целочисленные случай-
ные величины, то
D (Х^) = G;/yj (1) + М{Х[у$ ~ [М (Х/у^
где М(Х/у^ вычисляется по формуле (21).
(22.24)
217
Нетрудно видеть, что при независимых X и Y из (19) — (24) по-
лучаются соответствующие выражения для моментов различного
порядка случайной величины X.
Для системы п случайных величин (Хь Х2,.. Хп) аналогично
предыдущему можно определить условные начальные и централь-
ные моменты одной подсистемы случайных величин при фиксиро-
ванных значениях случайных величин другой подсистемы. Напри-
мер, условный начальный момент порядков sb s2t.. s, для слу-
чайных величин подсистемы (Хь Х2,. . ., Хг) при условии X4 = xv
(v=r+1, r+2,..п) будет
^s1( sa,. . . , Sr (A'l, X2, • • • >	А-+-2» • • • > -*n) =
00
= JJ • • •	• • • Хг X
--00
X /(Xb x2, . . . , xr/xr+b xr+2,. . „ xn) dx{ dx2 . . . dx„ (22.25)
а соответствующий условный центральный момент
P’Sj.Sa, . , . ,Sr (2f]5 X>> • • • 5 -УгМг+Ь -^r-b2> • • • 5 <^n) =
оо	Г
~	' J П	(^jMr+b -^r+2> • • • J Xi)] j X
— oo j==l
x2, • • • , ^rMr+i, X+2, • • • , Xi) dxx dx2 . . . dx, (22.26)
В некоторых случаях рассматриваются также условные началь-
ные и центральные моменты различных порядков для одной под-
системы случайных величин при случайных значениях другой под-
системы. Рассмотрим подробнее указанные условные моменты на
примере системы двух случайных величин (X, У) с плотностью
вероятности f(x,y).
Для условного начального момента s-ro порядка mJX/У) слу-
чайной величины X при случайном У по аналогии с (19) получаем
следующее выражение:
ms(X/Y) = У xsf(xjY) dx.	(22.27)
Отличие данного момента от tns(X!y) состоит в том, что
щ5(Х/У) зависит от случайной величины У и потому является слу-
чайной величиной. Ее математическое ожидание будет
M[ms(X/Y)]= У §xsf(x/y)dx
fv(y)dy.
218
Так как
/СФ)/У(У)=/(х, у);
Jf У) dx dy = т* (X),
то математическое ожидание условного случайного момента
тДХ/У) равно начальному моменту s-ro порядка случайной вели-
чины X, т. е.
2И[/я8(Х/К)] = т&(Х).	(22.28)
При s=l как частный случай из (28) находим
х=М [M(X/Yy\.	(22.29)
Это равенство означает, что вычисление математического ожи-
дания случайной величины X можно проводить «в два этапа»: сна-
чала находится математическое ожидание X при фиксированном
(случайном) значении Y, а затем — математическое ожидание
этого условного математического ожидания. Согласно (28) такой
процесс вычисления допускается и при вычислении начального мо-
мента s-ro порядка (s=l,2,.,.) случайной величины X.
Случайный условный центральный момент ц5(Х/У) выражается
через mT(X/Y) при r<^s тем же равенством, что и обычные мо-
менты:
S
P.wr)=2 (- О'С/ |Л1(Л/Г)]г»»,-г(Х/П-	(22.30)
г—.0
С помощью этого равенства для случайной условной дисперсии
D(X/Y) =ц2(Х/У) получим
D (X/Y) = m2(X/Y) - [М (Х/У)]2.	(22.31)
Находя математическое ожидание обеих частей последнего ра-
венства, получим
М [D(X/Y) ]=т2(Х)~М{[М (Х/У)]2}.	(22.32)
Исключая из (32) tn2(X) и М {[Л4(Х/У)]2}, пользуясь равен-
ствами
m2(X)=D(X)-(.F)2, £>[М(Х/У)] = М{[М(Х/У)Р}-(х)2( (22.33)
получим
D(X) =M[D(XIY)} + D[M(X!Y)].	(22.34)
Таким образом, дисперсия D(X} случайной величины X, зави-
сящей от У, также может вычисляться в два этапа. При этом не-
достаточно найти математическое ожидание условной дисперсии,
а нужно еще к полученному результату прибавить дисперсию
условного математического ожидания.
219
Условные моменты случайных величин могут быть использо-
ваны для характеристики вероятностных связей между случай-
ными величинами. Наиболее часто в качестве меры связи между X
и У принимается так называемое корреляционное отношение
т] (Х/Y), которое определяется как положительный квадратный ко-
рень из отношения дисперсии условного математического ожида-
ния D [М(Х/У)] к ох, т. е.
7j (Д'/У) = —— V D [М (X/ К)]\	(22.35)
С помощью (33) и (34) данное выражение можно представить
в виде
т) (Xj У) =	(X} У)]2) —(л)3=1/^ 1 “	Л4 [D(Xj У) ] .
(22.36)
Рассмотрим основные свойства корреляционного отношения
П(Х/У).
Если случайные величины X и У связаны однозначной функцио-
нальной зависимостью, то при заданном У однозначно определяет-
ся X, а потому D(X/Y) =0. Из (36) следует, что в этом случае
г)(Х/У) = 1. Наоборот, если г](У/У) = 1, то M[D(X/Yy\ =0. Но так
как дисперсия D(X/Y) не может быть отрицательной, то D(X/Y) =
= 0, а потому случайные величины X и У связаны однозначной
функциональной зависимостью.
Если случайные величины X и У независимые, то г|(Лг/У)=0.
Можно доказать, что для некоррелированных случайных величин
X и У также т](Х/У)=0, а из условия г| (Х/У) =0 следует некорре-
лированность случайных величин X и У, которые могут быть зави-
симыми.	*
Пример 22.1. По соединению, состоящему из п кораблей, произ-
водится стрельба одиночными ракетами до поражения всех кораб-
лей. Найти средний расход ракет и дисперсию числа выпущенных
ракет, если вероятность попадания каждой ракеты при наличии k
непораженных кораблей равна рк (& = 1, 2,. .., и).
Решение. Обозначим через число ракет, потребное для
поражения одного корабля, когда осталось k непораженных ко-
п
раблей. Тогда общий расход ракет Х= JVk .Средний расход ра-
к=1
п
кет будет х = хк.
к=1
Средний расход ракет па поражение одного из k оставшихся
* - _п _
кораблей равен хк =----(см. пример 13.7), поэтому х~	.
Рк	Рк
Так как D(Xk)— , то D(X)== \
Рк	А
к=1
Пример 22.2. Производится стрельба одиночными торпедами до
m-го попадания. Все выстрелы независимые, а вероятность по-
падания каждой торпеды равна р. Определить математическое
ожидание и дисперсию числа израсходованных торпед.
Решение. Обозначим через X число израсходованных торпед
для обеспечения т попаданий, а через Хк число торпед, израсхо-
дованных для обеспечения k-vo попадания. Тогда
X =	х = ^хк. D(.Y)= 2 D(Xk).
к=1	к=1	к = 1
Так как
7k=-l-, D(X,) = -i-, то л =
Пример 22.3. Минное заграждение состоит из N мин, располо-
женных в одну линию. Расстояния между центрами соседних мин
одинаковые и равны 21. Взрыватели мин снабжены приборами
различной кратности, срабатывающими при прохождении корабля
на различных расстояниях от мин; п кораблей поочередно и неза-
висимо друг от друга форсируют заграждение перпендикулярно
к линии мин, причем так, что точки пересечения их курсов с ли-
нией заграждения распределены равномерно по всей длине, рав-
ной 21N. Определить математическое ожидание числа кораблей,
которые подорвутся на минах, если прибор кратности s-й мины
срабатывает при отклонении диаметральной плоскости корабля
от центра мины не больше, чем на bs (bs<_ I), а подрыв корабля
на этой мине происходит в том случае, когда при прохождении
данного корабля прибор кратности срабатывает ks -й раз (s=l,
2,...Л).
Решение. Обозначим через Xs случайное число кораблей,
которые подорвутся на s-й мине. Тогда общее число кораблей,
которые подорвутся на минах, будет
N
X = 2 X,.
S=1
Случайная величина может принимать два значения: 0 и 1,
причем Xs = 0, если s-я мина не взрывается, и Xs= 1, когда эта
мина взрывается. Поэтому xs~ps, где ps —вероятность взрыва
s-й мины.
221
Вероятность срабатывания прибора кратности s-й мины при
пересечении одним кораблем линии мин равна
2^s bs
21N ~~П\Г ‘
Вероятность того, что прибор кратности этой мины сработает
rs раз при прохождении п кораблей, будет
Рассматриваемая мина взорвется, если над местом ее уста-
новки пройдет не менее ks кораблей. Вероятность этого события
равна
Искомое математическое ожидание
N	N
X = 2 ** = 2 А-
8=1	8=1
Если все мины однотипные, то b^ — b, ks — k (s= 1, 2,.. ., N).
Тогда математическое ожидание числа кораблей, которые подо-
рвутся на минах, будет
N
— VI / b V / ь \п~г
X::=jV 2jC|‘r(~Ev~i (/“Тлг)
r=F
к—1
=И1- VcT—Yh________________—Г']
П 1 2j ” UAT Д’ IN )
7=0
Пример 22.4. По п воздушным целям с различных установок
одновременно выпущено т зенитных ракет. Наведение каждой ра-
кеты производится независимо от других. Ракета может поразить
только выбранную для наведения цель, причем вероятность пора-
жения для каждой ракеты одинакова и равна р. Определить ма-
тематическое ожидание числа пораженных целей, если случаи по-
ражения цели за счет совместного действия разрывов нескольких
ракет можно не учитывать.
222
Решение. Обозначим через случайную величину, которая
принимает значение, равное 1, если £-я цель поражена, и равное О,
если эта цель не поражена. Тогда число пораженных целей
п
А'к, а математическое ожидание числа пораженных целей
к=1
п	п
* =	Рк,
к=1	к=1
где Рк — вероятность поражения k-й цели.
Вероятность того, что наведение выбранной ракеты произво-
, . 1
дится по к-и цели, равна — , а вероятность поражения цели
равна р. Поэтому вероятность поражения &-й цели выбранной ра-
Р
кетой, равна  Вероятность поражения этой цели хотя бы одной
/ р \т
ракетой будет /эк — 1 — I 1--. Искомое математическое ожи-
дание
х— п
1--Р-
п
1 -
Пример 22.5. Площадь пораженной части берегового объекта
после серии выстрелов равна Sn. Определить математическое ожи-
дание и дисперсию приращения ASn пораженной площади для оче-
редного выстрела, если можно считать, что при попадании сна-
ряда в непораженный участок цели пораженная площадь увели-
чивается на s0, а при попадании в пораженный участок эта пло-
щадь не увеличивается. Общая площадь объекта s, вероятность
попадания в объект при одном выстреле р, точки падения снарядов
при попадании в объект распределяются равномерно на площади s,
а Ап является случайной величиной с известным математическим
ожиданием sn.
Решение. Если произошло попадание снаряда в объект, то
вероятность попадания в пораженную часть площади равна—— ,
5
а в непораженную 1 — ~. В первом случае величина пораженной
площади не увеличивается, а во втором — возрастает на s0. По-
этому
Af(ASn/S„) = O. (1-р)+р
+v /1	=
/,	Sa
=РЗ» 1-------Г
I	о
223
D^SnISa) - m2(ASn/Sn)- [M(lSn/Sn)]2 =
= />So2(l-------------------------f") =
M(AS„) = M lM(iSn/S„)] = ps^l-Л-J ;
D (AS„) = M [D (ДЗД)] + D [Л7 (AS„/S„)] =
=pv{ i -p+p-~—V<' -p) - -£- [о<ад + «л)+
+^D(5„)=/>s02(l -	(1 — p + p~—j .
§ 23. МНОГОМЕРНЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Нормальный закон распределения системы п случайных вели-
чин (Хъ Х2,. .Хп) может быть получен как обобщение нормаль-
ного закона распределения одной случайной величины X. Наибо-
лее просто это можно сделать, обобщив выражение для характе-
ристической функции £х(н), которая для нормальной случайной
величины X определяется формулой (16.16):
1UX-i uV
Ех(и) = е 2	.	(23.1)
Для системы п независимых нормальных случайных величин
(АД Х2,..Хп ), согласно (21.17), характеристическая функция
£*(«1, и2,
т. е. в этом случае
Е (щ, «2, . . ., un) = exp
• , #п) = П (»j) >
(23.2)
где x^AfGYj),	(/ = 1,2,. . . , n).
В общем случае, когда случайные величины Х2,..Хп мо-
гут быть зависимыми, характеристическая функция системы (Xi,
%г, •. .Дп) также имеет вид экспоненциальной функции, в показа-
224
теле степени которой кроме квадратов ^должны появиться пар-
ные произведения UjUs. Поэтому систему п случайных величин (Xj,
X, . • *„) будем называть нормальной, если ее характеристиче-
ская функция имеет вид
. . ,яп)~ехр +
где
Q(«i, и2.
п
Wj^sPjs
j, S=1
(23.3)
(23.4)
£(«!, и2, .
. , «п)
a otj и pjs (/', s = 1, 2,. .ti) постоянные.
Свободного члена показатель степени не содержит, так как ха-
рактеристическая функция удовлетворяет условию Е(0, 0,. .., 0) =1.
Выразим постоянные «j (/ = 1, 2,.. ., п) через моменты системы
(Хь Х2,. .., %п). Для этого воспользуемся формулой (21.51), со-
гласно которой
/ дЕ \
\	/|Ц1=иа= . . - = un-0
(/=1, 2, .... п).
Дифференцируя обе части равенства (3) по получаем
— i
du,~
. =un=o
= — ia.:
поэтому
aj— iXj (у = 1, 2, . . . , /i).
(23.5)
Чтобы выразить через моменты системы постоянные pjs (j, s=l,
2,..., я), воспользуемся формулой (21.52), согласно которой для
корреляционного момента £JS—М [(Xj—Xj)(Xa—,rs)] имеет место
равенство
д2Е
дщди..
(23.6)
В выражении (6) £(t/i, и2, . . ., ип) —характеристическая функ-
ция системы (Хь Х2,..Хп), где Х = Х— х, (v = 1, 2,..., п). Для
этой функции с помощью (21.16) получим
I	(/, $=1, 2, . . . , п).
/Uj=u3= . . . =un=0
Е (^b ^2, •
п
-1S uj*j
. , кп) = е j=1 Е (яь и2........................«„) =
= ехр [Q(«j, и2, • . ., «п)].
(23.7)
15
225
Имеем
О
дЕ
дщ
W2,
«п),
поэтому в соответствии с (6) Z?JS = — 2{3is, т. е.
Pjs=	2~ ^js (/, s = 1, 2, . . . , л).
(23.8)
Подставляя выражения (5) и (8) в (3) и (4), получим харак-
теристическую функцию нормальной системы п случайных величин
(^ь^2,..А’п) в виде
Е(иъ «2, . . . , ип) = ехр
j-я
1
2
п
WjWs^js
j- 8=1
(23.9)
Характеристическая функция нормальной системы п центриро-
0	0	о
ванных случайных величин (Хь Х2,..Ха) будет
(	п	\
---Г (23.10)
j, 8=1	/
Если случайные величины Х2,..Хп некоррелированные,
т. е. fejs = 0 при j s (/, s= 1, 2,..., п), то формула (9) совпадает
с (2), т. е. Хь Х2,..Хп—независимые случайные величины. Так
как независимые случайные величины всегда некоррелированные,
то для нормальных случайных величин понятия независимости и
некоррелированности совпадают.
Если в характеристической функции Е(щ, и2,..пп) некоторые
из аргументов и-> положить равными нулю, то получим характери-
стическую функцию подсистемы случайных величин, соответствую-
щую остальным переменным и». Например, характеристическая
функция подсистемы (Хь Х2,..Хг) будет
E(ult и2, . . . , йг) = Е(и^ и2, . . . , аг, 0, 0. . . . , 0),
С помощью (9) для этой функции получим
Д(мь
(23.11)
Данное выражение является характеристической функцией
нормальной системы г случайных величин (Хь Х2,..Хг ). Поэто-
му любая подсистема случайных величин, образованная из нор-
мальной системы (Хь Х2,..., Хп), также является нормальной.
226
Чтобы найти плотность вероятности f(x\, х2,..хл) нормальной
системы п случайных величин (Л\, Х2,,.., А^), воспользуемся фор-
мулой (21.18). Тогда
оо	Г	П
f (-^1» -^2> • • • > -^n)	(2к)П
'JS
ехр
— I
1
2
б/Нэ • • • t/Иц .
(23.12)
Для вычисления n-кратного интеграла с помощью линейного
преобразования от переменных интегрирования и2,..ип пе-
рейдем к новым переменным г>ь v2,..гп таким образом, чтобы
в показателе степени у экспоненты исчезли произведения перемен-
ных интегрирования. В результате такого преобразования п-крат-
ный интеграл распадается на произведение и однократных инте-
гралов, каждый из которых может быть легко вычислен.
Сложность проведения указанных преобразований состоит
в том, что не известны линейные соотношения, которыми связаны
переменные интегрирования. Для определения этих соотношений
воспользуемся методами матричного исчисления.
Введем матричную строку
^=11»!, а2, . . . , мп||,
состоящую из п элементов, и корреляционную матрицу
^11> ^12» • • • , ^1п
&21> ^22) • ’ • > ^2п
Определитель | К\ этой матрицы может равняться нулю, что
будет, например, в том случае, если две случайные величины си-
стемы связаны между собой линейным соотношением. Такие осо-
бые случаи будут рассмотрены отдельно. В дальнейшем, когда
противное не оговорено, будем предполагать, что |/С|т^О.
Если в К заменить все п строк на соответствующие столбцы,
т. е. транспонировать эту матрицу, то матрица не изменится, так
как kis = ksj (j, s — 1, 2,..., n). Поэтому матрица К и транспони-
рованная матрица К' совпадают, т. е. К' = К.
Произведение строки U на корреляционную матрицу К дает
п
матричную строку UK с элементами
j=i
n
л
n	I
2 wi^jn
j=i	ll
w= 2 «Л
227
Если транспонировать строку U, то получим матричный стол-
бец U';
u2
U' «
Тогда
wn
ukv = 2 Й1“Л«-
j, 8=1
(23.13)
Введем также матричную строку
1Г = ||^1 — Xi, х2 — х2, . . . , хп — хп ||.	(23.14)
Так как
И77' = Щ (*j — ^j),
j=i
то выражение (12) для искомой плотности вероятности можно пе-
реписать в виде
/(•*•!> х2, . . . , xn) = (2тс)й~
X JJ . • . Jехр(— ZIVZ7'------^UKU' j duxdit2 . . . dan. (23.15)
Обозначим через Xv (v= 1, 2,..., и) характеристические числа
матрицы К, т. е. корни алгебраического уравнения
^11 X, ^12	» • • • > ^1п
^21,	^22	• • • • ^2п
^п1»	^п21 • * ’ > ^пп
= 0 .
(23.16)
Введем также диагональную матрицу
о,. . ., о
О, О, • . . , Хп
228
Корреляционная матрица К является «положительно опреде-
ленной» матрицей, т. е. при любых вещественных числах (v= 1,
2,..., «) имеет место неравенство
так как
п
j, s=l
В теории матриц доказывается, что для таких матриц все корни
уравнения (16) вещественны и положительны. Кроме того, сущест-
вует такая вещественная матрица С, через которую матрица К мо-
жет быть выражена по формуле
К=САС\	(23.17)
причем транспонированная матрица С' для С равна обратной мат-
рице С-1. При этом det С- | С | = 1.
Покажем, что указанное выше линейное преобразование сле-
дует брать в виде
V=UC,	(23.18)
где V= || vlf v3,..vn||.
При этом якобиан преобразования от переменных интегриро-
вания щ, и2,..ип к новым переменным Оц v2tбудет
Поэтому
du}	dux	
		
			= I c-11 = i
dua		
	' dva	
ditx da2 . . . dun — dz\ dv2 . . . dvn.
Положим
||^, y2,.,., «Ml,	(23.19)
тогда W=YC4 — YC', a
iWU' + UKU' = iYC'LT + -L UCKC'U' =
£	A
= iY(UCy + 4-(tfC)A(tfC)' = zrV' + A_ УД1/'.
Так как
n	n
rv" = 2w, VAV' = 2W-
. J=1	j=l
229
то равенство (15) можно представить в виде
f(*i, х2, . . . , хп) =
поэтому
п	_ у3
f -^2» • • • > -*-п) — I I /- п ,  е * •	(23.20)
х * у 2тсЛ:
j=l
Полученное выражение показывает, что случайные величины
У1, У2, -  -,Уп образуют систему независимых нормальных случай-
ных величин, математические ожидания которых равны нулю, а
D(Kj)=Xj (/= 1, 2,..., п). Эти случайные величины связаны с Хч
(v=l,2,.. п) тем же линейным соотношением (19), что и соответ-
ствующие переменные, т. е.
Иь Г2>. .	Хг~х2, . ..,^П-ГП||С.
(23.21)
Следовательно, можно сделать вывод, что от любой нормаль-
ной системы случайных величин (Хь Х3,..Хп) путем линейного
преобразования всегда можно перейти к системе независимых нор-
мальных случайных величин (Уь У2,. . ., Уп).
Преобразуем правую часть равенства (20) таким образом, что-
бы вместо и (/= 1, 2,.. ., п) туда входили элементы корреля-
ционной матрицы К и переменные хх—х2—х2,.. ,,ха —хп.
Из (17) следует, что определитель корреляционной матрицы К
п
равен | К j = | Л|= П \ , а потому в (20)
i=i
п
П-----7=^- = —•	(23.22)
11	у к
230
Матрица /V, обратная Л, отличается от Л только тем, что эле-
менты 7, , стоящие на главной диагонали, заменены на -т—
М
(v = 1, 2,..., п), поэтому
п
= ГЛ-1 Y' = (ТГС) л-1 (WC)' = WCA~lC'W'.
j=i
Из (17) находим, что
= (еде-’)-’=сд-’с-’=сл“1с;
Следовательно,
п	п
-Л2 = WK~> W' = V (X, - Xj)(xs - Т,)	. (23.23)
j=i	М==1
где ^s-1) (/,5=1,2,..п) — элементы обратной матрицы Л-1, т. е.
д.
W (У’ S = 1’ 2’ * ’ ' ’ П)’	(23/24)
где —алгебраическое дополнение элемента &js из |К|.
Подставляя (22) и (23) в (20), для плотности вероятности нор-
мальной системы (Хь Х2, • • , *„) получим следующее выражение:
/(хи х2, . . . , лп) = ——X
J 1	2	’	/(2ir)n|/C|
(23.25)
Если в (25) подставить из
принимает вид
/(хъ х2, . .
(24), то последнее выражение
• » -^п) ~
1
/ (2к)"|ЛГ|
ехр
(-Vj ^j)(xs
j, S=1
Убедимся, что
•^s) ^js
(23.26)
n
(-^j	^s) -^js =	(-^i, -^2, • • • » ^-n) ~
j,
231
^21»	^22,	•
^nl> ^n2»	•
Xj—71, x2 — X, .
• ’ ^2ni ’^'2	-^2
• , ^nn, Xn Xn
• , *^n	^-n ,	®
(23.27)
Действительно, данная функция и все ее частные производные
первого порядка по xs при Xj = Xj (/=1,2,..., п) равны нулю. Вто-
рые частные производные от А постоянные, а потому производные
выше второго порядка равны нулю. Следовательно, разложение
функции (27) в ряд по степеням отклонений х^ — Xj (/=1,2,...
...,«) имеет вид
A (Xj, Х2, . . . , Хп) —
1	/	- \t ~ \ д2А
“ 2	dXjdxs ’
i. s=i
причем
d2A
_______ __— 9Д.
dxjdxs JS ’
где Ajs — определитель, получающийся из А, если в его последнем
столбце /-й элемент и в последней строке s-й элемент равны еди-
нице, а все остальные элементы указанного столбца и указанной
строки — нули.
Поэтому
^11;	• • • 5 ^1, 3—1,	^1, s-J-1,	• • • >	&|ц
1,	1,	•	•	•	,	ky—i, s—1,	^j—1, s4-l,	•	•	•	,	ky -1, n
Ajs ~	1,	•	•	•	,	^j+l, s—I,	^j + 1, s-J-l-j	•	•	•	,	^j + 1, n
1,	.	.	.	,	kn, s—1,	kn, s+1,	•	•	•	,	ka,n
—'	^js
(/, s=l, 2. . . . , n).	(23.28)
Следовательно, справедливо равенство
A (Xj, X2, . . . , Xn) —	(Xj Xj)(xs Xs) Др,
j, 3=1
-232
и потому выражение (26) для плотности вероятности нормальной
системы п случайных величин (%ь Х2,..Хп) можно переписать
в виде
1
2\К |
Хехр
Если |R
рицы R,
(23.29)
^п2>	• • • •> ™Пп, Хп—Хп
JCj	'	-^'2> • • * 5	"^П» О
— определитель нормированной корреляционной мат-
1, Г12, • > • , Ип
д __	^*21»	1 , • • • > ^2п
Гп\, гп2, . . . , 1
то
К1 = |Я|ГЪ2, где =	(7^1,2,..
(23.30)
/г).
Поэтому выражение (29) можно также представить следую-
щим образом:
f(xlfx2f. . . , хя) =------------------5---- X
/ (2к)”|/?| ГЬ)
j=l
1,	Г12	, . . . , гщ ,	------Е
233
Итак, плотность вероятности нормальной системы п случайных
величин (Хь Х2,. . Xn) может быть представлена в виде (25),
(26), (29) и (31). Из этих выражений видно, что плотность вероят-
ности нормальной системы является произведением постоянной на
показательную функцию, показатель степени которой — полином
второй степени от Aj—х-} (/=1,2, . . ., п). Поэтому в качестве опре-
деления нормального закона распределения системы можно было
бы принять требование, чтобы в показателе степени плотности ве-
роятности системы случайных величин стоял полином второй сте-
пени переменных х2,..., хп. Однако такое определение менее
удобно, так как в этом случае значительно сложнее выяснить
смысл постоянных коэффициентов, от которых зависит функция
ИХЬ*2, .  .,ХП).
Плотность вероятности любой подсистемы случайных величин
из (Хь Х2,. •Хп) определяется теми же формулами, что и для об-
щей системы, только с меньшим числом слагаемых в показателе
экспоненциальной функции и с уменьшенным порядком определи-
теля. Например, для подсистемы (Хь Х2,.. ., Xv ) плотность вероят-
ности f(xb x2t..., xv) определяется полученными выше формулами
при n = v. В частности, при использовании выражения (26) по-
лучим
f (хи х2,. . <, л\) =
1
ехр
x^j)(xs
где
^11,
^21 >
^12, •
^22, •
(23.32)
(23 33)
• , kv
/г,1,
. , k.

а Д — алгебраическое дополнение элемента этого определи-
теля, причем 1 .
Из выражения (32) для плотности вероятности подсистемы
(Хь Х2,.. ., Xv ) следует, что эта подсистема нормальная. Следова-
тельно, и любая подсистема нормальной системы случайных вели-
чин является также нормальной.
Зная плотности вероятности системы (Хь Х2,. .., Хп) и подси-
стем, можно найти условные плотности вероятности. Например,
условная плотность вероятности подсистемы (X4+i, XV42, .
при Xj=Zj (/ = 1,2,..., v) будет
xv+2, . . . , ха/х
_ f (-^1, X2t *
У(х1? x2, .
(23.34)
234
Данная плотность вероятности равна произведению некоторой
постоянной на экспоненциальную функцию, показателем которой
является полином второй степени otxs-xs (s= 1, 2,..., и). Сле-
довательно, условный закон распределения также нормальный.
Моменты этого распределения могут быть найдены с помощью из-
вестной плотности вероятности (34). Однако значительно проще
это сделать с помощью соответствующей характеристической
функции.
Характеристическую функцию системы (Хь Х2,. .., Хп)

Х/(л:ь х2, . . . , xn)dxldx2 . . . dxn (23.35)
с помощью (34) можно переписать следующим образом:
£(#1, и2, . . . , ип) =
(23.36)
Заключенное в квадратные скобки подынтегральное выражение
представляет собой условную характеристическую функцию
zz^+2, . . . , tin/Xi, х2, . . . , л\) подсистемы (X,+i, Х+2,
. . . , А'п) при zXj (j= 1, 2, . . . , v), т. е.
Е +	, «пМ1, -*2,
х /(Xv+1, л\+2, . ..} Лп/Xl, х2.xJdx^dXv+2... dxat (23.37)
235
Поэтому равенство (36) эквивалентно следующему
Е (ll^ ^2» . . . , Мп) •—
и^+2, • • • , мп/х15 х3, . . . , x4}dxtdx2 . . . dx>.
(23.38)
Применяя к данному выражению обратное преобразование
Фурье, получим
f (Xj, •^'2, • • • > Ху) Е (Мч-f-l, йч4-2, • • • ; iin/Xj, Х2, • • • > Xv) ---------------------------
1
(2ч)
е
-'2 Vi
j=i
Е (йь м2,
tin) dii{ dii,. .. dii<
(23.39)
Для вычисления последнего v-мерного интеграла запишем ха-
рактеристическую функцию (9) следующим образом:
£(«ь «2,
«„) — ехр
MjXj
п
ZZjtts^js
j, s =1
Примем
п
+ i	(/= 1, 2, . . . , v).
s=v-4-i
(23.40)
Тогда равенство (39) преобразуется к виду
/(Xi, х2, . . . , xv)E (и v-|-l( Mv^-2, * • • > Мп/Xj, Х21 . • . ,Ху) —
( п	п	х
Z V MjXj - -1- X	| X
j = v +1	j, S=*+l	/
236
x-^rf f ••fexp
—00	- j = i

1
2
J, S=1
dutdu2 . . . du,
Интеграл в правой части последнего равенства совпадает с (12),
если положить « = v и заменить xi на <Xj (/= 1, 2,..., v). Поэтому
в результате его вычисления получим функцию, отличающуюся от
плотности вероятности (32) только тем, что Xj заменено на ctj
(/= 1, 2,..v). Для условной характеристической функции при
этом получим
f (Mv+I,	Х^, • • • , Ху) —
= exp
21 КД	aj^Xs
j, S=I
(Xj Xj) (xs	xs) Л
j> S=1
(23.41)
Имеем
(Xj Xj)(xs xs) [(Xj Xj) (otj Xj)] [(xs xs) (as xs)] —
— (-Xj — ^)(as — xs) +(xs — xs)(aj — Xj) — (a,- — Xj)(as — xs) =
n	n	n
 Д-Xj Xj)	T Д-Xs -Xg)	?
l, m,-=:v-f-i
поэтому равенство (41) можно переписать еще так:
(^v-j-l,	• • «j ^n/*Xi, -Xg? * • • , *Х$) 
= ехр
237
*
и.
I = y 4-1
j, s-i
(23.42)

Введем следующие обозначения:
хг (х1? х,, . . . , xv) = xt + у— (Xj - x3)kslA<g
j, s =1
(/ = v+ 1, v + 2,.. n);
V
(^"l, -^2> • • • » •*'*) ” k(m । д' ।
j, s=l
(/, m = v+l, v + 2,. . ., n).
(23.43)
(23.44)
Тогда условную характеристическую функцию (42) можно за-
писать в виде
25*(Mv + 1; ZZy-J-2, Wn^Xj, Х2, . . . , Хч) —
= exp
^Х;(ХЪХ2,
1—v-|-l
. , Xv) -
n
-^2?
I, m=v +1
(23.45)
Из сравнения данного выражения с характеристической функ-
цией
Е (Им4-1, Мч-|-2э
Z/n,
1
2

(23.46)
подсистемы (Х>+ь Х4-2, • • • , Хп) следует, что по формуле (43)
определяются условные математические ожидания, а по формуле
(44) — условные корреляционные моменты для подсистемы
(А;+1, Х+2, . . . л ^п) при Xj = Xj {j = 1, 2, . . , , v).
23&
Пусть (Zb Z2,... Zn) —система случайных величин, образован-
ная из нормальной системы (Хь Х2,. .Хп) в результате линей-
ных преобразований;
п
Z. = 2aJ.Xi + k (s = l, 2, . . - , m) (23.47)
j=l
с неслучайными коэффициентами ajs и ps.
Докажем, что система (Zb Z2,..Zm) также нормальная.
Характеристическая функция этой системы определяется фор-
мулой
Ziz (lli, u2f
Подставляя в это равенство Zs из (47), получим
(ць «2, .
m	/ п
I	aj	-f- Ps
S =1	\j =>1
{	n f tn
M exp 2
Последний множитель в правой части полученного выражения
связан с характеристической функцией и2>..., ип) нормаль-
ной системы (Хь Х2,.. .,Хп) следующим соотношением:
In / ш
exp *2(2Wsais
(m	m
S=1	3=1
Поэтому
£z(«t, и2, . . . , wm) = exp	x
\ s = l	J
X KS“1S, ^s^2s> • • • f ^sans I 
\s=l s=l	s=l /
(23.48)
Правая часть равенства (48) является экспоненциальной функ-
цией, в показателе которой стоит многочлен второй степени от
ц2,...» «ш-Поэтому функция Е? (Uj, и2,..., ит), определяемая
формулой (48), является характеристической функцией нормаль-
ной системы (Zb Z2,. . .,Zп).
Итак, любая система (Zb Z2,..., Zm) случайных величин, обра-
зованная из нормальной системы (Хь Х2,.. ., Ха) в результате ли-
нейных преобразований вида (47), также является нормальной.
239
При этом математические ожидания случайных величин системы
(Zb Z2,..., Zm) будут
=	+ (s = l, 2, . . . , m),	(23.49)
j=i
а корреляционные моменты
kv, = M[(Z,-z,)(Z, - z,)] = 2	(23.50)
j. 4-1
(s, v=l, 2,..., m).
Следует отметить, что при т>п случайные величины системы
(Zb Z2,.. Zm) связаны между собой линейными соотношениями.
Вследствие этого определитель корреляционной матрицы, состав-
ленный из элементов (50), равен нулю, а потому плотность веро-
ятности fz (zb z2,.. ., zm) системы не может быть записана непо-
средственно с помощью полученных выше формул. При этом плот-
ность вероятности fz (zb z2,..., zro) содержит п — т множителей
в виде дельта-функций, которые можно выделить при интегриро-
вании характеристической функции (48), используя для определе-
ния fz (Zi, z2,.. ., zm) формулу вида (12) (см. пример 23.4).
Произведенное выше линейное преобразование (21) нормаль-
ной системы (Хь Х2,..Хп) в другую нормальную систему (Уь
У2,..., Уп) является весьма важным частным случаем преобразо-
вания (47). Чтобы выяснить его геометрический смысл, будем рас-
сматривать системы (Хь Хг,..А'п) и (Уь У2,..Уп) как коорди-
наты случайной точки в пространстве п измерений соответственно
в прямоугольных системах координат xtx2... хпО и У\у2 ... упО'.
Тогда преобразование (19) системы координат Х]Х2 . . . хаО в
уху2 • • • УпО' соответствует переносу начала координат из точки О
в точку О' с координатами Xj (/—1,2,..., и) и повороту осей системы
координат на углы, определяемые элементами матрицы С. При
этом оси прямоугольной системы координат у^2... упО' направ*
лены так, что координаты случайной точки (Уь У2,.. .,КП) явля-
ются независимыми случайными величинами. Найденные указан-
ным способом направления координатных осей О'уь О'у2,..О'уп
будем называть направлениями главных осей распределения.
Плотность вероятности f(xh х2,.. х„) нормальной системы
(Хь Х2,..Хп) имеет постоянное значение на n-мерной поверхно-
сти 5Э , уравнение которой имеет вид
п
^is —~	= X2 = const.	(23.51)
j7s-i
240
При этом на поверхности
„	.. xL 1	.“4-*3
f*^2? • * • » *n) — г	—— &	'—
У	/ (2я)" |Д7|
_   ___________ —L- хз
— f (•Л-!, %2 • • • , -^n)	>
так что постоянная z из (51) связана со значением плотности ве-
роятности на поверхности 5Э равенством
х2 = 21п —, хп) ,	(23.52)
J\^ir Х2, • • • » -^n)
Выражение (51) является уравнением /i-мерного эллипсоида,
который будем называть эллипсоидом распределения.
Из (20) следует, что в прямоугольной системе координат
у\У2...ул(У уравнение этого же /i-мерного эллипсоида распреде-
ления имеет вид
2^ = ’2-	<23-53)
1=1
поэтому оси O't/i, О'у2,..., О'уп этой системы направлены по глав-
ным осям «-мерного эллипсоида распределения, полудиаметры ко-
торого равны х j/kj (/= 1, 2,..., п).
При х=1 n-мерный эллипсоид распределения называется еди-
ничным. Его главные полудиаметры равны j/kj (/= 1,2,...,/г) и
полностью определяют нормальный закон распределения системы
(У1} ^2,..Уп) независимых центрированных нормальных случай-
ных величин. Общая нормальная система (Хь Х2>..., Хп) пол-
ностью характеризуется /i-мерным единичным эллипсоидом рас-
пределения, т. е. положением его центра, размерами и направле-
ниями его диаметров относительно осей координат системы
Х1Х2...хпО. Направив оси прямоугольной системы координат по
указанным направлениям, в качестве координат случайной точки
получим независимые нормальные случайные величины, средние
квадратические отклонения которых равны главным полудиамет-
рам единичного /i-мерного эллипсоида распределения. Математи-
ческие ожидания этих случайных величин равны нулю, если на-
чало координат совпадает с центром /i-мерного эллипсоида.
Вместо средних квадратических отклонений Oj случайных ве-
личин Xj иногда используют срединные отклонения Е-}, где £/ —
= pj/2aj (/= 1, 2,..., и). В этом случае за характеристику нор-
мальной системы можно взять /i-мерный эллипсоид распределе-
ния, главные полудиаметры которого равны Vkj (/=1,2,....
.н). Этот эллипсоид в отличие от единичного эллипсоида рас-
16
241
2р2|/С| V
пределения будем называть «-мерным единичным эллипсоидом
рассеивания. Его уравнение получается из (51) или (53) при
х = pyf 2 . Тогда уравнение «-мерного эллипсоида рассеивания
с главными полудиаметрами в х раз большими главных полудиа-
метров единичного эллипсоида рассеивания будет
п
(*j - Xj)(xs — xs) = X2.	(23.54)
i. s=i
Если вместо средних квадратических отклонений Oj использо-
вать срединные отклонения Ej (; = 1, 2,.. ., «), то выражение для
плотности вероятности системы (Хь Х2,..Хп ) можно получить из
«SZ?ES
(25)", (26), (29) или (31), произведя замену 6js на —-- J2 s—
zp
(j, s— 1,2,.. ., «). Сделав, например, такую замену в (31), получим
/(Хр *2,
• •> Хп) —
		1,	Г12>  •
Хехр	Р2 1*1	^21,	1,. -
			f n2, • •
		Xi — Xi	x2 x2
		El	
Уравнение (54) «-мерного эллипсоида
«1п,
« 2п»
— х2
можно также переписать в виде
. Хп Хп
Ь	Р
Хп Хп	«
Е	’	U
(23.55)
рассеивания при этом
1,	«12, • • •	,	«In,	Ex
r2i,	1, . - .	,	«2n,	«Xg *^2 E2
................................................................ =	X2 .
1Я|
« nl,	Гп2, . .	1,	Xn Xn	
			Ea	
Xj — Xt	x2 — x2 E2 ” ’	Xn — Xn	0	
(23.56)
242
На поверхности Sp этого эллипсоида плотность вероятности
f (-*-!» Х2, • • • -^п) --У(-^Ь Х2, • • • » Хп) & Р Х >
поэтому вместо (52) будет
1 <	/(*1, X* . . . , Хп)
р2 /(*1, Х2, . . . , Хп)
(23.57)
Зная плотность вероятности f(Xi, х2,..хп), можно найти веро-
ятность попадания случайной точки (Х1? /У2,. .X,) в любую об-
ласть D. Для этого нужно воспользоваться равенством
Х2,. . . , Jfn)CD] =
и..	х3, . . . , хл) dxt dx3 . • . dxn, (23.58)
* (Ь)’
где интегрирование ведется по области D.
В качестве примера найдем вероятность Р 3(п) попадания слу-
чайной точки в н-мерный эллипсоид распределения £)э(х), т. е.
вычислим вероятность
Л(*) = $$•• $ Лхи х2, . . . , xn)dxidx2 . . . dxn,
(d9w)
(23.59)
где интеграл берется по объему, ограниченному поверхностью S9.
Для определения Р э(х) положим:
_ - к-1
Xj — Xi = г cos ; xk — xk = г cos sin
j=i
(6 = 2, 3, . . . , n~ 1),
_ n-*1
xn — xn = г П sin <pj.
j=i
(23.60)
При этом
dx{dx3 . . . dxn — rn~l sin""2©! sinn-3<p2 . . .
. . . sin <pn-2 dr d^t d^2 • • *
Расстояние г изменяется от нуля до —i, где
n
---^(?1» *Р25 • • • > ’рп—1) = ^.2 | Д' |	^)(-^8 Xs) Xjs,
j, 8=1
243
поэтому
ft	ft
J sin"-2©! dvr f sinn-3tp3 dy2'
о	0
2ft
—-5-r’H
•n-1e dr.
о — r~ 0	0
Полагая ry H = у 25, получим
----— r=H
e 2 tZr= [H (<pb <p2, . . . фп-0]
n
0
2
p JL-i
2 I 5i2	e~^5.
0
Обозначим произведение постоянной j===- на результат
интегрирования по угловым переменным <рь срг, • • фп-i через а.
Тогда вероятность Р3 (и) будет
/>.«=«( 52 е-5<я=’к(-г>-г)-	<23'61)
о
где через т(₽, z) обозначена неполная гамма-функция,
7(р, г)= р-Ц3-1 dt	(23.62)
о
Еслих=со, то вероятность Ра (и) равна единице, а

оо
поэтому постоянная а в (61) равна
Следовательно, ис-
1
р (
("2"
комая вероятность определяется формулой
Рэ(*) =
(23.63)
244
Имеем:
Z	_ ]	fl
z) --	J e~~dt = /T ® (/2г);
о	0
y(l, z) — 1 —e~\
При n>2 из (62) интегрированием по частям находим
J-5-, И = (зГ-1Ы^-1-г'|-г’Т'',‘г‘г- (23.64)
С помощью последних равенств вероятность Рэ (х) может быть
вычислена при любом п.
Обозначим через Рр(х) вероятность попадания случайной точки
(Хь Х2,.. ., Хп) в п-мерный эллипсоид рассеивания, уравнение по-
верхности которого имеет вид (54) или (56). Данная вероятность
получается из Рэ(х), если в выражении (63) для этой вероятности
заменить х на хр / 2. Следовательно,
7	Р2*2)
Рр («) =-----, „ \	•	(23.65)
Г1 — I
\ 2 /
Пример 23.1. Каждая из п случайных величин Xj (/=1, 2,..п)
подчиняется нормальному закону распределения с заданными ма-
тематическим ожиданием Xj и дисперсией oj2. Можно ли утвер-
ждать, что и система случайных величин (Хь Х2,..Хп) нор-
мальная?
Решение. Если известно, что случайные величины Хь Х2,...,
..., Хп независимые, то плотность вероятности системы (Хь Х2,...
...,Хп) будет f{Xi,X2, . . .,хп) =/Х1 (Xj)/x3(X3) . . . Д Дхп),
где
<xi-V
1 2з?
A. (*j) =----7^=~е	(7 = 1, 2, ... , п).
При этом система (Хь Х2)..Хп) будет нормальной.
Когда случайные величины Х1}Х2, ..., Хп зависимые, система
(Хь Х2,..Х„) может и не быть нормальной. Действительно, пусть,
например, плотность вероятности системы (Хь Х2,..., Хп) имеет
вид
Ж, х2, . . . , Хп) = П ?j Ц) + П (^j) ,
j-1	j=l
245
где 2 т < п,
(xj_₽?a
2
<?(*?=-------7=^е	(/ = 1,2,. . .,/?),
0Cj у 2к
a (jCj) (/= 1, 2,.... m) — некоторые функции, удовлетворяющие
ос
условию J ф] (xj) dx^Q- При этом система п случайных величин
(Хь Х2,.. Хп) не будет нормальной. В то же время каждая из
случайных величин Х8($= 1, 2,..п) нормальная, так как плот-
ность вероятности Xs равна
А ы =
— j* у ... j f (^i,	• 1 хп) dx^ dx2.. • dx$—j	. dxn — ^s(jcs).
Пример 23.2. Доказать, что для нормальной системы п случай-
ных величин (Хь Х2,. . ., Хп) любой центральный момент нечетного
порядка равен нулю.
Решение. На основании (21.52) для центрального момента
K,Sj,. . .,sn имеем
п
S sk
P-Sj, s2, . . . ,Sn= ( l) X
^s,-f-s3+ . . . 4-sn
у/ .___________________
ди*’ди% . . . dusnn
Разлагая экспоненциальную функцию в ряд, получим
Общий член этого ряда является однородным многочленом сте-
пени 2m относительно переменных мь «2,.. ип. После его диффе-
(п \
при 2т > I одно-
j=i J
родный многочлен нечетной степени, обращающийся в нуль при
u,t = ti-2 = ,. t =ип =0. Следовательно, в этом случае pS11S3.s = 0,
что и требовалось доказать.
24§
Пример 23.3. Для нормальной системы четырех случайных вели-
чин (ХЬХ2,Х3,Х4) известны математические ожидания xlfx2, х3, х4
и корреляционные моменты &i2, &13, ki4, &23, ^24> &34- Определить сме-
шанный начальный момент М(А'1Х2Х3Х4),
Решение. Смешанный центральный момент М(Л'1Х2Л'зХ4) для
этой системы согласно (21.53) равен
ЛГ (Х1Х2Х3Х4) = ^12^34 + ^13^24 + ^14^23.
Так как
X iX3X^X4 = (^1 ~РХ[) (Xg-p-^) (Х3 +Х3) (Х4 + Х4),
а для нормальной системы случайных величин центральные мо-
менты нечетных порядков равны нулю, то
.М (Х]Х2Х3Х4) = ^12^34 + ^13^24 + ^14^23+^1^2^34+
+ X j ^3^24 + % I X4k23 + X2X%k 14 + X2X4k j 3 + X3X4k j 2 + X i X2X3X4.	(23.66)
Пример 23.4. Определить закон распределения системы (Zb
Z2,..., Zm), если Zj — -j- (/= 1, 2,..., m), где aj и Pj — неслу-
чайные коэффициенты, a X — нормальная случайная величина
с математическим ожиданием х и дисперсией о2.
Решение, Так как случайные величины Zj (/= 1, 2,..., m)
связаны линейными соотношениями с нормальной случайной ве-
личиной X, то система (Zb Z2,..Zm) нормальная. При этом
(/,5=1,2,. . . , m) .
Характеристическая функция этой системы согласно (9) будет
Так как определитель корреляционной матрицы в данном слу-
чае равен нулю, то для определения плотности вероятности систе-
мы (Zj, Z2,.. ., Zm) воспользуемся формулой (12). Тогда
, zm) =
со	Г"	П1
247
Чтобы произвести интегрирование, сделаем замену перемен-
ных, положив
ш
—	(_/ = 2, 3, . . . , т).
Тогда
f(Zl'Z21' • • > Zm)
1
£Zj (^i)	X
j=2	— «•
где — характеристическая функция нормальной случайной
величины Zj.
Так как
~ - ( e~lvxdx = 3 (х),
2я J
где б(х) - дельта-функция Дирака, то искомая плотность вероят-
ности будет
(Z,—я,~х—З,)3
1	2а^3
f (^15 Z2i • • • 7 Zm) — ' у т	6
[| а У 2ъ
m
X П 8 <г1
)=2
ai
Pl)—г- (^-р.)
а1
248
§ 24. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
Рассмотрим применение полученных в предыдущем параграфе
формул для частного случая при « = 2, т. е. применительно к дву-
мерному нормальному закону распределения, или нормальному
закону распределения на плоскости. Случайные величины Xi и Х2
этой системы будем обозначать соответственно через X и У. Тогда
х3 = у; kn=:D(X) = ах2; k22 = D(Y) — оу2;
Чг — Чу — Vy^xy
Для характеристической функции нормальной системы (X, У)
согласно (23.9) получим
£ (Mj, иг) = exp i (щх -f- м3у) - -^-(ЧЧ2 +	+ и2\2)
К =
Корреляционная матрица имеет вид
°Х2 Чу I
Чу ау2 I
Определитель этой матрицы
а алгебраические дополнения его элементов
Д= Зу2, Д12 == ^21	Чу <^уГху? -^22 =~ ах2
(24.1)
(24.2)
Поэтому согласно (23.26) для плотности вероятности системы
(X, У) имеем
г.	.	,_ 1	[	1
/Ч: У) = —еХр -	X
2^у/1-г2у	2(1—г )
{х — х)2
2гху (х- х)(у — _у) (у - у)2
3*ау	ау2
(24.3)
Данное выражение может быть также получено с помощью
равенства
/(*> У) = (2к)2'- J je~{^^E{u^u,2}duxdit2
непосредственным интегрированием, например, сначала по а
затем по и2.
249
Случайная величина У при Х=х распределена нормально, при-
чем соответствующая условная плотность вероятности
(У - Ух)а
/(УМ) =--------.	(24.4)
<5у,Х V 2п
где согласно (23.43) и (23.44) при v=l
_ _ &xv -
Ух — У 4 (х ’•*)> ау/х = оу2	>
т. е.
-	-	<3у	-	f-------
Ух = У + ^ху— (•* — *), Зу/х — ау У 1 — ск •	(24.5)
°х	J
Условная плотность вероятности случайной величины X при
У=У будет	_
(х - ху)3
1	2а2,
/(Л/У) = ------~==-е	,	(24.6)
°х/у У
где
Ху = гху^(у-У) , ОХ/У — °х / 1 -	.	(24.7)
Оу
Выражения (4) и (6) для условных плотностей вероятности
могут быть получены также непосредственно с помощью равенств
ftylx) =
где /х (х) и /у (у) — плотности вероятности
и Y, т. е.
случайных
е
величин X
_ (У ~ У)2
.
(24.8)
Формула (7) для условного математического ожидания ху слу-
чайной величины X при Y=y называется уравнением линии регрес-
сии X по Y. Аналогично этому выражение (5) для условного мате-
матического ожидания ух случайной величины Y при Х = х назы-
вается уравнением линии регрессии Y по X. Линии регрессии для
нормального закона распределения являются прямыми. Они ха-
рактеризуют положения центров рассеивания одной нормальной
случайной величины при изменении значений другой случайной ве-
личины. Из (5) и (7) следует, что условные средние квадратиче-
ские отклонения <?х/у и су/х случайных величин X и Y соответственно
250
при Y—y и Х—х не зависят от указанных значений случайных ве-
личин и отличаются от ох и ау постоянным множителем ]/1 — г?у .
Если ГхУ = 1, то f (х/у) = 3 (х — ху), a f (у/х) = 8 (у - ух).
При этом плотность вероятности (3) будет
f(x, у)=А(*)8
Су	_
(У - у) - Гху — (Х — X)
°х
Характеристическая функция (1) и плотность вероятности (3)
нормальной системы двух случайных величин (X, У) полностью
определяются пятью параметрами: х, у, зх, <зу и гху. Геометрически
функция z=f(x,y) представляет собой поверхность в виде холма
с вершиной в точке (х,у). Эта поверхность называется поверх-
ностью нормального распределения. Сечение поверхности плос-
костью х = const, перпендикулярной к оси Ох, дает кривую, урав-
нение которой имеет вид z = /x (x)f(y/x). Из этого выражения сле-
дует, что в сечении получается кривая типа нормальной с центром
в точке
-	-	Су	_
у = ух = у + гху—(х — х).
Максимальная высота кривой равна----/Х(х). В зависи-
sy/xi/ 2«
мости от х наибольший максимум семейства кривых будет при
х=х, где функция /Х(х) достигает наибольшего значения, равного
---->—Если провести сечение поверхности распределения
ах/ 2я
плоскостью у = const, перпендикулярной к оси Оу, то в сечении
также получится кривая типа нормальной с максимальным значе-
нием в точке
—-	М-	^Х	“
X = Ху = X + гху — (у - у) .
В сечении поверхности распределения z = f(x,y) плоскостью
2 = const, параллельной плоскости хОу, получается кривая, уравне-
ние которой имеет вид
Н—~—2 "	= *2 = const.
CJ
уУ J
(24.10)
251
При этом постоянный параметр х определяется выбранным зна-
чением х по формуле
= 2'1п	— •	(24.11)
Выражения (10) и (11) совпадают с (23.51) и (23.52) при п — 2.
Равенство (10) является уравнением эллипса распределения.
Центр этого эллипса совпадает с точкой (х, г/). Его размеры зави-
сят от величины параметра х, т. е. от высоты х сечения поверхно-
сти распределения. На направление главных диаметров эллипса
распределения величина параметра х не влияет. Если случайные
величины X и Y некоррелированные (а следовательно, в данном
случае и независимые), то rsy= 0. При этом направления главных
диаметров эллипса распределения совпадают с направлениями
осей Ох и Оу. Для зависимых случайных величин X и Y направле-
ния главных диаметров эллипса распределения составляют с осями
Ох и Оу некоторый отличный от нуля угол, который обозначим
через а (рис. 38).
Как показано в предыдущем параграфе, от нормальной систе-
мы зависимых случайных величин (X, Y) с помощью линейного
преобразования можно перейти к системе независимых нормаль-
ных случайных величин (и, V). При этом U и V являются коорди-
натами случайной точки {X, У) в системе координат uO'v, оси ко-
торой параллельны главным диаметрам эллипса распределения.
252
Поместив начало координат этой системы в центр эллипса рас-
пределения, получим:
U = (X — х) cos а -ф- (Y — у) sin а ;
V — — (X — х) sin а -ф- (Y — у) cos а .
(24.12)
Из этих равенств следует, что u = 0, v = 0,
аи2 = ах2 cos2a + гхуахоу sin 2а ф- ау2 sin2 а; 1	(24 13)
sv2 = ах2 sin2 а — гхуахау sin 2а -ф- sy2 cos2 а, /
a корреляционный момент
kav = M (UI/) =	(ау2 — ах2) sin 2а -|- гхуахау cos 2а.
Так как U и V— независимые случайные величины, то &uv =0.
Поэтому для угла а имеем
2Т ху3№у
‘g2« =	•	(24.14)
При определении угла а по формуле (14) получается два зна-
чения, отличающиеся на . Выбор любого из этих значений без-
различен, поскольку увеличение угла ана у
соответствует пово-
роту осей координат на—у- и означает просто изменение наимено-
вания осей.
В частном случае, когда ах~ау и гху =0, из (14) угол а не опре-
деляется, так как это выражение становится неопределенным. Слу-
чайные величины U и V в этом случае независимые при любом а,
a % =	= °х = бу Нормальное распределение системы (X, У) или
(П, V) при таких условиях называется круговым.
Итак, если от случайных величин X и У нормальной системы
(Л", У) с помощью линейного преобразования (12), в котором а
определяется из (14), перейти к U и V, то нормальные случайные
величины U и V будут независимыми, а их математические ожида-
ния равны нулю. При этом плотность вероятности v) системы
(U, У) имеет вид
_ 1,3 _
1	9сг2	9rt2
/(«*) = ^7*	“	’ >	(24-15)
где su и ov определяются формулами (13).
Выражение (15) является канонической формой для плотности
вероятности нормальной системы двух случайных величин.
253
Функция распределения F(x, у) нормальной системы (ХУ)
определяется формулой
F (х, у) = J J f (х, у) dy dx .
(24.16)
Если гху т^О, то в (16) удается произвести интегрирование
только по одной переменной. Вычисление другого интеграла про-
изводится приближенными или численными методами. Для систе-
мы (£/. V) независимых нормальных случайных величин функция
распределения F(и, ц) равна произведению функций распределе-
ния отдельных случайных величин. Следовательно,
F{ut t») = -1
(24.17)
где Ф(г) —функция Лапласа, определяемая формулой (16.22).
Для дисперсий <зца и av2 вместо (13) можно получить другие вы-
ражения. Так как
1 1
cos2 а = -у (1 + cos 2а), sin2 а = -у- (1 — cos 2а),
то
ап2 = -у К2 Д- ау2 + (зх2 — ау2) COS 2а + 2гхуахау sin 2а];
®v2 =	[°х2 + зу2 — (°х2 — °у2) cos 2а — 2гхуахау sin 2а] .
Из (14) следует, что
= (ах2 — ау2) tg 2а,
поэтому
2	1
a i = ——
2
3v'
°х2 + ау2 4-
COS 2а
г - У)
cos 2а
(24.18)
2 ----
£
2
Так как
2^xvax3V \2
I----— V 1 + tga 2а = I/ 14-1 —
| COS 2а I	& У ‘ \ ах2 — ау2
к2 - °у2)2 + 4г2уах2ау2
I «х2 - -«у2 I
254
то, выбрав в качестве решения уравнения (14) значение угла а,
при котором cos2a>0, если ах>ау, и cos2a<0, если ох < ayt по-
лучим:
°и2 = 4- [°х2 + зу2 + / (зх2 - ау2)2 + 4г2уах2зу2 ] ;
Ул
°v2 =	[°х2 4-	~ V « - Оу2)2 + 4г* *уах2зу2 1.
При указанном выборе угла а всегда ац > sv.
Уравнение эллипса распределения (10) в системе
uO'v имеет вид
> (24.19)
координат
(24.20)
Площадь этого эллипса 5э(х) = rz.2sujv . Из (19) следует, что
ouav = oxa /1 — г2	(24.21)
J	лу
поэтому площадь эллипса распределения (10)
S3 (х) = 77х2ОхОу У 1 — г2у .
Вместо средних квадратических отклонений <зх и ау случайных
величин X и У можно использовать срединные отклонения Е* и Еу
этих случайных величин. Так как
fx^p/2^,	£’у=р/2зу,
то плотность вероятности (3) будет
/(•*» у) =
р» |(х-£)у 2глу(х-7ху-У)	(у_у> '
=_________Р2	„ (1-Гху) [ Ех	ЕхЕУ	ЕУ - ,
У1 — Г*
(24.22)
В сечении поверхности распределения z—f(x, у) плоскостью
z = const при этом получается кривая, уравнение которой имеет
вид
1 У -- -У)2 _ 9г (х-х)(у - у) , (у - у)2	_ 3
(1-ry fx2	ЕУУ	£У2	’
(24.23)
где постоянный параметр х определяется выбранным значением z
по формуле
*2 = -L In	(24.24)
ра z 7	'
255
Равенство (23) является уравнением эллипса рассеивания.
Плотность вероятности f(u, v) системы независимых нормаль-
ных случайных величин (U, V), связанных с X и У равенствами
(12), будет
/(«, р)= е VE" Ev	(24.25)
причем
£u2 = £х2 cos2 я + rxy£x£y sin 2а-р ^у2 sin2 а ; I	/од оп\
Ev2 = Е2 sin2 а — rxyExEy sin 2а 4- Еу2 cos2 а, J
где
2r^E*Ev
tg2a=	(24.27)
Вместо (26) при расчете £и и Ev можно использовать эквива-
лентные им равенства:
Е.г = -А- [£? + Е,г + / (£х2 - Е^г + 4г’у£12£/ ];
£„’ = -1- [£? + Е* -/ (£? - £у2)2 + 4rJr£?£y2 ].
(24.28)
За значение угла а, определяющего направление оси О'и,
в этом случае взято решение уравнения (27), при котором
cos 2a >0, если £х>£у, и cos2a<0, если £х < Еу. При этом
всегда Еи Ev.
Функция распределения системы (U, V) будет
£(«, -f) = -i-
(24.29)
В системе координат uO'v уравнение эллипса рассеивания (23)
имеет вид
и2 v2
-gT- + -gT- = ««.	(24.30)
Z-»v
Площадь этого эллипса
Sp (х) = itx2£u£v z= кх2£х£у	1 — г2у .
Как показано выше, существует единственная прямоугольная
система координат uO'v, в которой координаты U и V случайной
точки (X, У) являются независимыми нормальными случайными
Величинами. Косоугольных систем координат, в которых коорди-
наты этой случайной точки также являются независимыми нор-
256
мальными случайными величинами, существует бесчисленное мно-
жество. Оси координат такой системы нужно направить парал-
лельно любым двум взаимно сопряженным диаметрам эллипса
распределения.
Для доказательства этого утверждения введем косоугольную
систему координат £0% начало которой возьмем совпадающим
с центром эллипса распределения. За ось абсцисс этой системы
примем прямую, которая составляет с осью Ох произвольный угол
р (рис. 39). Угол, который составляет ось О'ц косоугольной систе-
мы с осью Ох, обозначим через л — у и определим его таким
образом, чтобы косоугольные координаты | и ц случайной точки
(X, У) были независимыми.
Прямоугольные координаты X и У случайной точки связаны
с ее косоугольными координатами £ и ц равенствами
X — х = $ cos р — vj cos 7 ;
У — у = $ sin р 4“ vj sin 7
дли
Е = sln(P + t) I(X — BinТ + <к — cosт] ;
Ч = sin (p4-\)	I “ (A’ - Л sin ? + (Г - У) cos И .
(24.31)
(24.32)
Случайные величины | и ц—линейные функции нормальных
случайных величин X и У. Следовательно, они являются нормаль-
17
257
ными случайными величинами. Их математические ожидания рав-
ны нулю, а для корреляционного момента получим
(?7]) =
1
sin2 (Р + 7)
[— <зх2 sin р sin 7 4- сту2 cos ₽ cos 7 +
4- k*y (sin 7 cos p — sin p cos 7) ].
Чтобы случайные величины g и т] были независимыми, должно
°у2 “ °х2 tg Р tg 7 + rxyox3y (tg 7 — tg р) = О
или
V f1 — rxy V^tg'p)
tg 7 =----—------------У g •	(24.33)
°х2 (jg ₽—
Вычисляя дисперсии случайных величин £ и т] из (32), получйм:
V = ~sin2(p+4j~ № sin2 7 + rxy0xay sin 27 + ay2 cos2 7) ;
— '81П2(Р + t)' Sin2 ₽ ~ ГХУ°Х3У Sin 20 + °y2 COs2 0) •
(24.34)
Таким образом, если от нормальной системы двух случайных
величин (X У) перейти к системе (g, rj) с помощью линейных со-
отношений (32), в которых р— любой угол, а у определяется из
условия (33), то £ и г| являются независимыми нормальными слу-
чайными величинами с нулевыми математическими ожиданиями.
Дисперсии этих случайных величин определяются формулами (34).
Плотность вероятности системы (£, т]) будет
& ,1а
/(И) =Л (В)AW =	е .
(24.35)
Докажем, что направления осей координат косоугольной систе-
мы совпадают с направлениями пары взаимно сопряженных
диаметров эллипса распределения. Для этого достаточно убедить-
ся, что при найденных выше параметрах^, и у справедливы
соотношения, вытекающие из известных двух теорем Аполлония.
258
Первая из этих теорем утверждает, что сумма квадратов любой
пары сопряженных полудиаметров эллипса есть величина постоян-
ная и, следовательно, равна сумме квадратов его главных полу-
диаметров. Согласно второй теореме- площадь параллелограмма,
построенного на любых двух сопряженных полудиаметрах эллип-
са, также является постоянной и, следовательно, равна площади
прямоугольника, построенного на его главных полудиаметрах.
Используя выражение (31), находим:
<зх2 = a2 cos2 р + cos275
jy2 ±= з2 sin2 р -J- a2 Sin2 7 ;
&ху = -у- (°2 sin 2р - а2 sin 2i).
(24.36)
Складывая первые два равенства, получим
+	+ •	(24.37)
Из (19) следует, что а2°у = + °2. Следовательно,
—au24-av2,T. е. условия первой теоремы Аполлония выполняются.
Перемножая первые два равенства (36) и вычитая из резуль-
тата квадрат последнего равенства, получаем
°у (1 ~ гхУ) — (°2cos2 ₽ + cos2 т) (GIsifl2 P+a2 sin2t) ~
----(a2 Sin 2p — o2 Sin 2ч)2 = з2з2 (cos2 p sin2 7 -f-
-f- sin2 p cos2 7 + sin 2p sin 27 j = sin (P -J- 7)]2.
Учитывая (21), из последнего равенства находим
Sin (Р 4- 7) = зхзу / 1 — Г2у = зизу ,	(24.38)
т. е. имеет место и вторая теорема Аполлония.
Итак, действительно и являются сопряженными полудиа-
метрами эллипса распределения, а потому оси О'% и О'х\ косоуголь-
ной системы координат направлены по взаимно сопряженным
полудиаметрам этого эллипса.
Угол f>, определяющий направление одного из сопряженных
диаметров, выбран произвольным. Поэтому существует бесчислен-
ное множество косоугольных систем координат, в которых косо-
угольные координаты случайной точки, подчиняющиеся нормаль-
ному закону распределения, являются независимыми нормальными
случайными величинами.
259
Соотношения (37) и (38) могут быть использованы вместо (34)
для определения средних квадратических отклонений и слу-
чайных величин £ и гр Из (34) и (38) также следует, что
/ 1 - Г2ху
<5£ = -- ------------- .	--J	—L„_  ,
V ах2 Sin2 Р — rxyaxay sin 23 + <Jy2 COS2 Р
/'ах2 sin2 7 + rxyaxay Sin 2? + Oy2COS27
Нужно отметить, что вид формул (33), (34), (37), (38) и (39)
не изменится, если вместо средних квадратических отклонений
нормальных случайных величин использовать их срединные откло-
нения.
Вероятность попадания случайной точки (X У) в плоскую об-
ласть D определяется формулой
Р [(2С, К) С D] = JJ/ (х, у) dx dy ,	(24АО)
(D)
где интегрирование ведется по области D. Вычисление данного
интеграла в общем случае производится приближенными или чис-
ленными методами. Найдем вероятность попадания случайной
точки (X У) в некоторые области частного вида, для которых
удается произвести интегрирование по обеим переменным.
Вероятность Р [(X, У) СД(х)] попадания случайной точки
(X, У) в эллипс распределения /)э(х), граница которого в коорди-
натной системе хОу описывается уравнением (10), а в координат-
ной системе uO'v — уравнением (20), определяется с помощью ра-
венства
Р[(Х, У)СО8(»)1 = (у /(«, \ °и	%	/ Для вычисления этого интеграла положим- — rsintp. Тогда ditdv — suovr dr dy, a 2~	x	j J J	/(«» v) dudv = —J dy J e 2 \ ®u	’v	/	, г») du dv. и	V — — Г COS % 	— ’u	r rs	~v7-- r dr — 1 — e 2 .
260
Таким образом, вероятность попадания случайной точки (X, Y)
в эллипс распределения, уравнение границы которого имеет вид
(10), определяется формулой
Р[(Х, Г) СД(х)] = 1-е 2\	(24.41)
Данная формула является частным случаем общей формулы
(23.66) и получается из последней при п=2.
Вероятность попадания случайной точки (X У) в эллипс рас-
сеивания Dp(x), уравнение границы которого имеет вид (23), по-
лучается из (41), если заменить х на р У 2х . Следовательно,
Р [(X У) С Dp (х)] = 1 - е - Р'2.	(24.42)
Данная формула получается также из (23.68) при п = 2.
При х= 1,2,3 и 4 по формуле (41) получаются следующие ве-
роятности: 0,3935, 0,8647, 0,9889 и 0,9997. Вероятность того, что
случайная точка (X, У) не попадет в эллипс распределения (10)
при х = 3, равна 0,0111. Так как эта вероятность мала, то указан-
ный эллипс иногда условно называют полным эллипсом распреде-
ления. По формуле (42) при х= 1, 2, 3, 4 и 5 получим: 0,2035, 0,5974,
0,8709, 0,9737 и 0,9966. Вероятность того, что случайная точка
(X, У) не попадет в эллипс рассеивания (23) при х=4, равна
0,0263. Данный эллипс условно называют полным эллипсом рас-
сеивания.
Пусть область D представляет собой бесконечную полосу Dn,
ограниченную прямыми у = х tg р 4- уj (/=1,2), или, что то же са-
мое, х = у ctg р + хj (/=1,2,), где р— заданный угол наклона к оси
Ох прямых, ограничивающих полосу, а х, и yj (/=1,2), — коорди-
наты точек пересечения этих прямых с осями Ох и Оу (рис. 40).
261
Проведем из точки О прямую Ow, перпендикулярную к границам
полосы, и примем ее за координатную ось. Точкам пересечения
этой оси с границами полосы соответствуют координаты Wj =
— Vj cos р — — Xj sin 3 (У= 1, 2). Координата случайной точки (X У)
при этом будет
W = —X sin р + Y cos р.
Данная случайная величина нормальная,
w==-xsin₽+ycos₽;	I (2443)
aw2 = <jx2 sin2 р — Гхузхзу Sin 2(3 + ay2 COS2 P . J
Вероятность попадания случайной точки (X, У) в область Da
равна вероятности попадания случайной величины W в интервал
(ауьго2). Следовательно, вероятность попадания случайной точки
(X У) в бесконечную полосу определяется формулой
РЦХ, Г)с£>п] = 4~[ф ( ГС’2-*'" W|~W 1] (24.44)
2 L \ ow /	\ aw / J
или
Р[(Л,	,
L V	/
(24.45)
где
£w = Р 2 ow = /Х-3 sin2 р — Гу.уЕхЕу sin 2р £у2 cos2 р .
Рис. 41
Найдем вероятность попадания случайной точки (X У) в па-
раллелограмм Driap, стороны которого параллельны сопряженным
диаметрам эллипса распределения (рис. 41). Данная область
262
является общей частью двух бесконечных полос, уравнения гранич-
ных линий для которых имеют вид
y = xtg£4-_yi, У = ~-Ktgi + yf С/=1, 2)
или
х = у ctg ₽ 4- Xj, X = — у ctg у 4- Xj' (/ = 1, 2),
где р и л — Y—углы, составляемые этими прямыми с осью Ох,
a Xj, _Vj, x'j, yj'—координаты точек пересечения соответствующих
прямых с осями Ох и Оу. Так как стороны параллелограмма парал-
лельны сопряженным диаметрам эллипса распределения, то углы
р и y связаны между собой равенствам (33).
Введем координатные оси Ow и Ow', перпендикулярные к со-
ответствующим граничным прямым. Относительно этих осей коор-
динаты точек пересечения обозначим через Wj и w/, так что
Wj =jj cos р = — Xj sin (3, жт/= Xj'sin 7 = >7'cos 7 (j = 1, 2).
Координаты случайной точки (X, У) при этом будут:
W=—^sinp + Ycosp;	W~=X sin Y + У cos у.
Данные случайные величины нормальные. Их математические
ожидания равны
w = —xsin p + t/cos р,	w' = xsinr+^cos Y, (24.46)
а дисперсии
— ax2 sin2 j + rxyaxsy sin 2y -j- ay3 cos3 7 .
Так как углы p и y связаны равенством (33), то корреляцион-
ный момент &WW' =0, т. е. случайные величины W и W' независи-
мые. Поэтому вероятность попадания случайной точки в паралле-
лограмм DMp равна произведению вероятностей попадания этой
случайной точки в бесконечные полосы, ограниченные прямыми,
являющимися продолжениями сторон параллелограмма, т. е. про-
изведению вероятностей попадания случайных величин W и W' со-
ответственно в интервалы (Wi, w2) и (wi',w2').
Таким образом, вероятность попадания случайной точки (X, У)
в параллелограмм, стороны которого параллельны сопряженным
диаметрам эллипса распределения, определяется формулой
Р |(Л", Г) С Dnap] = 4- Г ®	-
_ Ф (^'1—	Ф /	^2—	\ _ ф /
\ . \ / \
%2 = зх2 sin2 р — rxyoxsy sin 2р 4- оу2 cos3 р ;
24.47)
263
или
Р[(Х K)cDnap] =
Evi'
w/-- ни'
(24.49)
где
£^==1^ £х2 sin2 рrxy £ХЕУ sin 2 р + £у2 cos2 р ;
(24.50)
Ew>=^ fx2sin27 + rxyjE'xZ?ysin2T-J-£y2cos2Y
Тот же результат можно получить, введя косоугольную систему
координат £От], оси Ос, и Ог| которой параллельны сторонам па-
раллелограмма (рис. 42). При этом по аналогии с (31) и (32) на-
ходим:
X = gcosp — t]Cosy; sin |$ + т| sin Y;
e-sintf + -[j-<X8inTt+rcos't); |
.	}
Vj = /Q I----Г (— X Sin P + /cos p). I
5in(p4-Y)	I
}
(24.51)
264
Нормальные случайные величины g и т] независимые. Их мате-
матические ожидания:
I=5MFHr(xsinT+?COST):
(24.52)
а средние квадратические отклонения определяются формулами
(34) или (39).
Найдем наименьшие и наибольшие значения координат £ и т],
соответствующих границам параллелограмма.
В системе координат хОу уравнение оси 0g имеет вид y=xtg$.
Решая это уравнение совместно с уравнениями сторон па-
раллелограмма у = — xtgY +#/ или х=—z/ctgY + ^j/ (/=1,2), на-
ходим координаты точек пересечения этих прямых:
у/ cos 9 cos у	Xi sin 9 sin у
X sin(p4~T) * sin (p + y)
Тогда
t. = >’/C0ST - x/sinT (7=12)	(24 53)
'J sin (P 4- T) ” sin (P + y) U ’ ?( J
Аналогично с помощью уравнений y = —xtgy и y = xtg |3+ Vj
или x = yctg p + ^j получаем:
— Vi cos P cosy	— X; sin 3 sin у
X “ sin (p 4- у) ’ У sin (P + y) ’
поэтому
— X.slnp Vi cos p	.....	,n. -
= -• 7о"Т V U — 1 >2 •	24.54
J sin(P + y) sin (p 4- y)
Искомая вероятность будет
(; — 5 )a	Tlj ('] — T])1
P[(X, ncD„ap]=—4= f e di -4= t e dr,
s£ У 2 л J	у 2к j
s.	*11
Выражая интегралы через функцию Лапласа, находим
Р|(Х, Г) CD„lp| = 4-
265
или
Р[(Х, и=опаг.] = А- Ф
(24.56)
Е< — р 2 ,
Е,,— р V 2
где
Данные формулы отличаются от соответствующих выражений
(48) и (49) только обозначениями.
При выводе полученных выше расчетных формул для вероят-
ностей попадания случайной точки (X У) в различные области не
делалось никаких предположений о зависимости случайных вели-
чин X и У, т. е. они могут быть как независимыми, так и зависи-
мыми. Рассмотрим случай, когда гху=0, т. е. X и У — независимые
случайные величины. В этом случае f (х, у} = fx(x)fy (у) и потому
вероятность попадания случайной точки (X У) в прямоугольник
£>пр с вершинами в точках (хьух), (хьу2), (х2,у{) и (х2,у2), где
х2>х1г Уг>У1, определяется формулой
Р(х1<Х<х2, y}<Y<y2) =P(x1cX<x2)P(yI<Ycy3).
Следовательно, вероятность попадания случайной точки (X У)
в прямоугольник со сторонами, параллельными осям Ох и Оу,
определяется формулой
₽[(.¥, ncD„p]= АГф
(24.57)
или
Р[(х,г)со„р]=А-
(24.58)
Данные формулы являются частными случаями формул (55) и
(56), когда [3 = 0, а г =	.
Если точка (х, у) является центром прямоугольника, то фор-
мулы (57) и (58) упрощаются и принимают вид
р[(а-, г)со„р] = ф(А^)ф[ДД=ф[ДА)ф(4Д , 
V ах /	\ ау /	\ Ех )	\ Еу ) ’
(24.59)-
266
где
/Х = х3 —х = х —х^ /У = у2 — У = У — Ур
Найдем вероятность попадания случайной точки (X У) в об-
ласть £)см(х), ограниченную эллипсом
(х - х0)2 (у - у0)2 _
°х3	V ~
(24.60)
с полуосями у.зх и *зу. В отличие от рассмотренного ранее случая
центр этого эллипса не совпадает с центром рассеивания (х, у}, а
расположен в произвольной точке (х0, у0) с заданными координа-
тами %о и Уо. Данный эллипс будем называть смещенным. Имеем
- „ _ ДГ(Х- х)3 (у - у)3 1
Р[(Х, Г)СДсм(х)]^-^А— Ь 4 °* V ]dxdy.
/(х-Хр)3 (У-Уо)3	а\
I а 3 а a I
к X	у	/
Для вычисления этого интеграла примем:
х — х0	у — Уо
-------L-=rcoso, —---------™ = rsin?.
°х	°У	•
Тогда
.	= г2 + 2rd cos (<p - <р0) -f- d2,
°х	°у
где обозначено:
(х0—х)2	(Уо—J)2
°х3	V
cos ?0 = dX ; sin <р0 =	•	(24.61)
ох а	<зу а
Поэтому
_ d3 х_____Г3	2к
/’[(А', Г) С£)сн (х)J = -А- е 2 J е 2 г d г J c°s dy.
о	о
Если воспользоваться выражением
2ic
/0 (?) = —i— Г е~г cos
2т: J
о
267
для функции Бесселя первого рода нулевого порядка чисто мни-
мого аргумента, то для искомой вероятности получим
d3 х г3
Р\(Х, Г)сГ>см(х)]==е 2 J е 2 /0(dr)rtZr = P(x, d). (24.62)
о
Для функции Р(х, d} составлены таблицы в зависимости от без-
размерных параметров к и d.
Обозначим через Псм,р(х) область, ограниченную эллипсом
	+ JV -_УрР_ =	(24.63)
Вероятность попадания случайной точки (X, У) в эту область
определяется по формуле (62), если заменить х на pj/2*. Следо-
вательно,
Р[(Х,Г)аОсм.р(«)] = Р(Р /“2 », d) = Л («, </,).	(24.64)
Для этой вероятности также имеются таблицы в зависимости
от х и
d — d- - i / U-^'o)3 । (У-Уо~
1 — Р/2	Е*	Е/
Точно вычислить двойной интеграл (40) удается также и для
некоторых других областей частного вида. В тех случаях, когда
область D не может быть составлена из областей указанного вида,
приходится прибегать к приближенным способам расчета вероят-
ности, т. е‘. к приближенным методам вычисления двойного инте-
грала (40).
Рассмотрим несколько приближенных способов расчета веро-
ятности попадания случайной точки (X У)в область О, считая для
простоты, что направления координатных осей Ох и Оу совпадают
с направлениями главных диаметров эллипса распределения, т. е.
что гху =0.
Применяя к двойному интегралу (40) теорему о среднем, для
вероятности попадания случайной точки в область D с площадью
получим
Р[(Х,	[/(х, y)]cpSD,	(24.65)
где [f(x, f/)lcp—некоторое среднее значение плотности вероятности
f(x, //) в области D. При использовании этой формулы для прибли-
женного расчета искомой вероятности принимают [/(я, «/)]ср =
= 1(хо,Уо), где xDи 4/d— координаты центра тяжести области D
или точки, приближенно совпадающей с центром тяжести.
268
Тогда
Если точка (Xd, Vd) совпадает с центром распределения (х,у),
то
Р[(Х, K)CD]
W
л Е .,Е.,
А J
(24.67)
2 л зх ау
Формула (66) применима для расчета вероятности в том слу-
чае, когда размеры области D в любом направлении не превосхо-
дят 0,6—0,7 от среднего квадратического отклонения в том же на-
правлении. Более точной по сравнению с (66) является следующая
приближенная формула:
1 К"*)3	<ур-у>31
р[(-¥, п со]	е 21	+ J=
с \	. 'УП-»’1
= ~|°Р£у~е	Ех' еу .	(24.68)
где
(24.69)
В (69) через 2а и 2Ь обозначены стороны прямоугольника, рав-
новеликого области D, определяемые равенствами
(24.70)
где О] и Ьг — средние хорды области D в направлениях осей Ох и
Оу. От «1 и £>i искомая вероятность зависит относительно слабо, а
269
потому можно брать приближенные значения этих параметров. Их
точные значения рассчитываются по формулам:
Sp
•^max ' Xmjn
а
h —
,
Утах У min
ymax	xmax
So = J A x (y) dy = J Ay (x) dx,
ymin	xmin
(24.71)
где (xmin, ^max) —диапазон изменения абсциссы x в области D, а
(Утш, Утах)—соответствующий диапазон для ординаты у; Лх(у)
и Д//(х) являются диапазонами изменения одной координаты при
фиксированном значении другой (рис. 43).
Формула (68) применима для расчета вероятности в том слу-
чае, когда размеры области D в любом направлении доходят До
двух средних квадратических отклонений в том же направлении,
если центр этой области расположен вблизи точки (х, у).
Если область D выпуклая и ее ориентация мало отличается от
направления осей Ох и Оу, то при расчете вероятности попадания
случайной точки (X, У) в D эту область приближенно можно заме-
нить прямоугольником со сторонами 2а и 2Ь, значения которых вы-
числяются по формулам (70). Тогда
Р[(Х, KC)D]^-|
xd -j- а — х
ах
Ф
270
_ ф [ -*р — л — *
I Оу
yD + — у
°у
л / xD + а —X
V В.
Фр^й.._У.
(24.72)
При совпадении центра тяжести области D с точкой (х, у) фор-
мула (72) упрощается и принимает вид
(/? \	/ h \	/ л \ л / h \
-т“)фН— Нф(-4- фНН •
(24.73)
В том случае, когда область D имеет относительно большие
размеры (больше соответствующих средних квадратических от-
клонений), ориентирована не по координатным осям или имеет
сложную форму, точность расчета по формулам типа (72) можно
повысить, если эту область заменить несколькими прямоугольни-
ками. С целью упрощения расчетов можно использовать специаль-
ные сетки, которые удобно строить на кальке или на том же ри-
сунке, где и область D. Для построения простейшей сетки средние
квадратические отклонения ох и <зу (или срединные отклонения £х
и Еу) выбираются, за единицы измерения координат х и, соответ-
ственно, у, а вся плоскость хОу делится на малые квадраты оди-
наковой площади, в каждом из которых записана вероятность по-
падания случайной точки в этот квадрат. Если при построении
границ области выбран тот же масштаб, что и при построении
сетки, то для определения искомой вероятности достаточно про-
суммировать числа в квадратах, которые оказались внутри обла-
сти D. Если квадрат пересекается границей области, то при сум-
мировании учитывается часть числа, пропорциональная площади
квадрата, оказавшейся внутри области D.
Для определения вероятности попадания случайной точки
(X Е) в область D можно также использовать способ функцио-
нального преобразования.
271
1 — е
Пример 24.5. Найти вероятность попадания в фигуру, <\ /раиаИчен.
ную концентрическими дугами, проведенными радиус^Мли /у и R
(/<₽), и лучами, выходящими из общего центра О, Рассеи-
вание случайной точки на плоскости нормальное кругов^ Ь соо сре-
динным отклонением Е, а угол между лучами равен а. ЦЧ'Нтр) рас.
сеивания совпадает с точкой О.	V
Решение. Вероятность попадания в круг радиуса роавиа
 ЕК Вероятность попадания в кольцо будет
. R* \	/	-rs\	/₽rV	( R\a
!_гН~ 1-Г₽=е-М _(-к).
Искомая вероятность
a
P = -2^
- fpR-V~
— е Е'
Пример 24.6. Поражение неподвижной подводной лодк{ отвесно
падающей глубинной бомбой с контактным взрывателе) р, кгогда
глубина погружения цели определяется гидролокатором, ч лро^схо-
дит при попадании точки взрыва бомбы в пределы пр^Ь ^оугголь-
ника, центр которого совпадает с центром подводной *цмодк<и< а
стороны длиной 2/х и 2/у параллельны соответственно пр^Гдолщной
(Ох) и поперечной (Оу) осям подводной лодки. Ко^Мидищаты
(X, У) центра взрыва являются независимыми нормальными слу-
чайными величинами с заданными математическими ожц^данщями
х, у и срединными отклонениями Ет, Еу. Определить веД Трятнюсть
поражения подводной лодки одной глубинной бомбой, еслиЬ 5х=(60л,
/у =5 м, ’x=y^Qt Ех=30 м, Еу= 10 м.	/
Решение. Воспользовавшись формулой (59), получу ум
Р=Ф -J2L- Ф	= Ф (2) Ф(0,5) =0,21?
Пример 24.7. При обстреле аэродрома за центр рассеив^ /ия щри-
нята точка пересечения центральной линии взлетно-по^ ^дощной
полосы с плоскостью стрельбы. Ширина этой полосы 2а, Л/тол ме-
жду полосой и плоскостью стрельбы Ф. Определить вер>/ ятнсость
попадания во взлетно-посадочную полосу при одном вА^лстр^еле,
если отклонение X по дальности и боковое отклонение У\г/т плос-
кости стрельбы являются независимыми нормальными ^-случай-
ными величинами с заданными срединными отклонениями иг
Найти эту вероятность при а = 15 м, Ф=60°, Е* =40 м, Еу 30 ли.
Решение. Пусть ось Ow перпендикулярна к грани, ^дам по-
лосы. Тогда случайная величина W7=(X — x)sin^± (Y-'- y z/)ccos$
274
Корреляционная матрица этой системы имеет вид
д 2	h	h
ux	Лху	™xz
£>	з 2	£>
rtXy	/VyZ
k	k	5 2
^xz	^yz	Jz
(25.2)
Определитель данной матрицы
I к I = К ь о2 (1 + 2	~ ''xy-'-i " ^)-	(25.3)
Алгебраические дополнения элементов этого определителя:
Au = ay2az2(l-r2yz); А22 =:	(1 - Az); А33 = V (!-<);
A2 — Ai —
Аз — Ai —
Ay
Az
А23 А 2 “
k
№ху
k
^xz
’у2
Az
AyZ
az2
- . °x3yaz (rxy /"xz ryz);
— ax °y az Axz ^*xy ^*yz)j
2 k 1
:	xy = — a 2j a (r —r r \
д — ux yy UZ v yz 'xy'xz/
^yz I
3x‘
Az
Поэтому согласно формуле (23.26) для плотности вероятности
системы (Л, К Z) получим
(2тг)3Ч ay az /1 - r2y - r2z — r2z+ 2rxy rxz ryz
I	1	/1	2
exp| 2(l-rly-^-r,2x + 2rxyrcrJl)((1 r^>
- z)2
a?
uy
o ,	v (x — x) (y — y)
2 (rxy	fxz ryz)
°x 5y
2 (rxz	ГxyT'yz) -
°x’l
~2lr _r r /У-У) (z-*)
(25.4)
276
Система двух случайных величин (У, Z) при Х = х нормальная.
Условная плотность вероятности этой системы будет
/(у, z/x) = --------------у т X
sy|x<TzlxV 1—^
(У ~ Ух)2
о2.
у[х
X exp )-----:----
I 2(l-rJzlx)L
__2r	~	+ JldJzE
y	0y|x <*zjx	CTZ/X
где в соответствии с (23.43) и (23.44)
ху"7“ U — *);
(25.5)
Ух
ху »
2!х = 2: + гхг-^-(х-х);
°х
аг/х — ог V 1 “ f2z;
(25.6)
(25.7)
feyz/x
_____	__	- ‘yz rsy rxz
yZ/X Cy/xCz/x	/ (f— 72y)(l — Г2г)
Выражение (5) можно также получить непосредственно из (4),
воспользовавшись равенством
Плотность вероятности случайной величины Z при Х = х и Y=y
будет
(25.8)
_ (z - zx
/ (г/х,у) =-------е 2*z/x'3
Сг/х,уИ 2^
где условное математическое ожидание
7ху ^х 4“ ^yz/x ~~ ~~ (У Ух) ~~
Зу/х
(•У— X) .	Г г >	~
Г V yz Cty ^xz)	>
ах	ду
(25.10)
(25.9)
az
0.—	) (Ciz Ccy '"yz)
а условное среднее квадратическое отклонение
-^г/х = -==Х=т'/1 ~ Г^-Г1-Г^ + 2ÄÄÄ .
У 1 Г^у
(25.11)
277
Положим в (40):
Е = Ф (	(24.74)
2 V зх /	‘	2	\ °у J
Тогда dtdx\==f(x, y'jdxdy, а потому
Р[(Х, У) CD] = Д,	(24.75)
где А — площадь преобразованной области Da, которая может
быть построена с помощью равенств (74) по значениям х и у, со-
ответствующим границам области D. Искомая вероятность чис-
ленно равна величине площади этой области и может быть най-
дена, например, с помощью планиметра.
Пример 24.1. Случайная величина X представляет собой откло-
нение точки падения снаряда от центра цели по линии наблюде-
ния, а случайная величина Y — в направлении, перпендикулярном
к линии наблюдения. Система (X, У) нормальная с известными
числовыми характеристиками х, у, ау, ау, гху. Найти математиче-
ское ожидание отклонения точки падения по направлению линии
наблюдения, если боковое отклонение снаряда равно у.
Решение. Так как система (ХУ) нормальная, то в соответ-
ствии с (7) искомое условное математическое ожидание будет
ху = ^4-гху-^-(у-у).
аУ
Пример 24.2. Привести нормальный закон распределения систе-
- 1Лз
мы (ХУ) к каноническому виду, если x = 0, y = Q,oy~2—^—зх,
гху=0,25, а ох задано.
Решение. Воспользовавшись формулой (14), находим
= “=30°'
поэтому независимые нормальные случайные величины V и V свя-
заны с X и У равенствами:
t7 = Xcosa+ Esina = -^(У'ХХ+ У);
£
V — — .Xsin a 4- Ycos a =	(— X-p ]/ 3 Y),
— — Л n	9 ft	9	5	9
при этом u = v = 0, au2=	-о 2	о/ = -3— a/.
о	о
272
Плотность вероятности системы (U, V), т. е. канонический вид
нормального закона распределения исходной системы, будет
Если вместо значения а = 30° взять другой корень уравнения
«=120°, то получим:
и = -1-(-Х+/ЗК),	V = ^-tf~3X+Y),
т. е. выбор другого корня для угла а эквивалентен изменению
наименования случайных величин U и V, что несущественно.
Пример 24.3. Координаты (X У) точки падения снаряда обра-
зуют нормальную систему случайных величин с заданными мате-
матическими ожиданиями х и у. Средние квадратические откло-
нения этих случайных величин и коэффициент корреляции даны:
ах — 55 л/,	= 70 ж, гху = 0,6. Определить вероятность того, что
точка падения снаряда будет в единичном эллипсе распределения,
и найти площадь этого эллипса.
Решение. Воспользовавшись формулой (41) при х=1, полу-
чаем искомую вероятность Р—1 —е~°-5=0,3935.
Площадь единичного эллипса распределения
(1) =	/ 1— г2у = 9660 м2.
Пример 24.4. Координаты (X, У) точки падения баллистической
ракеты являются независимыми нормальными случайными вели-
чинами с известными математическими ожиданиями х, у и средин-
ными отклонениями £х, Еу. Событие А означает попадание в трой-
ной эллипс рассеивания (при х = 3), событие В — в эллипс
(х-х0)2 , (у —у0)2
Г 2	'	1>
^х	^у
где х0— х = 0,4£"х, у0 — у~0,ЗЕу. Определить вероятность собы-
тия АВ.
Решение. Используя формулу (42) при х = 3, находим
Р(А) =0,871.
Согласно (63) параметр	— у 0,42 + 0,32 = 0,5. Тогда
РК 2
по t/1=O25 и х~ 1_с помощью таблицы Р(В) =Л(х, или Р(В)~
= P{pj/r 2 /-, р]/2^1) получаем Р(В) =0,193. Искомая вероятность
Р(ЛВ)=Р(А) — Р(В) =0,678.
18	273
Пример 24.5. Найти вероятность попадания в фигуру, ограничен-
ную концентрическими дугами, проведенными радиусами г и £
(г<£), и лучами, выходящими из общего центра О, если рассеи-
вание случайной точки на плоскости нормальное круговое со сре-
динным отклонением Е, а угол между лучами равен а. Центр рас-
сеивания совпадает с точкой О.
Решение. Вероятность попадания в круг радиуса R равна
-р2 (-g-J
1 —е ' / . Вероятность попадания в кольцо будет
Искомая вероятность
а
Пример 24.6. Поражение неподвижной подводной лодки отвесно
падающей глубинной бомбой с контактным взрывателем, когда
глубина погружения цели определяется гидролокатором, происхо-
дит при попадании точки взрыва бомбы в пределы прямоуголь-
ника, центр которого совпадает с центром подводной лодки, а
стороны длиной 2/х и 2/у параллельны соответственно продольной
(Ох) и поперечной (Оу) осям подводной лодки. Координаты
(X, Y) центра взрыва являются независимыми нормальными слу-
чайными величинами с заданными математическими ожиданиями
х, у и срединными отклонениями £х, £у. Определить вероятность
поражения подводной лодки одной глубинной бомбой, если /х=60л/,
/у =5 м, ~х = у~Ог £х = 30 м, £у = 10 м.
Решение. Воспользовавшись формулой (59), получаем
л / / \ л / /	\ л л
р=ф I ~~ |Ф (	= Ф (2) Ф(0,5) =0,217.
Пример 24.7. При обстреле аэродрома за центр рассеивания при-
нята точка пересечения центральной линии взлетно-посадочной
полосы с плоскостью стрельбы. Ширина этой полосы 2а, угол ме-
жду полосой и плоскостью стрельбы й. Определить вероятность
попадания во взлетно-посадочную полосу при одном выстреле,
если отклонение X по дальности и боковое отклонение У от плос-
кости стрельбы являются независимыми нормальными случай-
ными величинами с заданными срединными отклонениями Ех и Ег
Найти эту вероятность при а=15 м, ft = 60°, £х=40 м, £у=30 м.
Решение. Пусть ось Ow перпендикулярна к границам по-
лосы. Тогда случайная величина W=(X— х)з1пй±(У— у)cos О
274
нормальная, причем w = 0, а срединное отклонение по направле-
нию, перпендикулярному к полосе, будет
^^j/^sin^ + ^/cos2» = ]/402 -0,75 + 302 • 0,25=37,8 м.
По формуле (45) при &у = 0, w2 = a и	= —а получаем
Р=ф ( -тД- = ф =Ф (0,397) = 0,211.
\	/	\ 01,0 I
Пример 24.8. Проверить применимость формулы (66) на при-
мере вычисления вероятности попадания в квадрат, одна из вер-
шин которого совпадает с центром рассеивания, а диагональ —
с осью ординат. Срединные отклонения Ех -= Еу — 40 м, гху — 0,
сторона квадрата 2 = 24 м.
Решение. При указанных условиях система (ХУ) подчи-
няется круговому нормальному распределению. По точной фор-
муле (59) при Ех = Еу = Е, lK — ly~l получаем
р = JL Ф 2 / —-L Ф2 (0,6) = 0,0248.
\	£1 I тг
Если использовать формулу (66), то при
x=y = xD==0; Yd = 12 / 2 м\ Sa = Е
находим
0 2275 288
‘“=0,0250.
тс 1600
Таким образом, точность формулы (66) в данном случае вполне
удовлетворительная.
§ 25. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Трехмерный нормальный закон распределения, или нормаль-
ный закон распределения в пространстве, является частным слу-
чаем многомерного нормального закона распределения при п = 3.
Случайные величины X],X2, Х3 этой системы обозначим соответ-
ственно через X, Y,Z, их математические ожидания х, у, г, средние
квадратические отклонения <зх, зу, аг, а коэффициенты корреляции
гху, rxz,-ryz • Характеристическая функция системы (X, Y, Z) опре-
деляется формулой (23.9) при п = 3, т. е.
Е (ult и2, us) = exp [/ х + и2у + «3 г)-----(tti2 ах2 +
+ «2г ау2 + W32 az2 4- 2Kj и2 ау Гху 2И!«3 ах sz гхг 4-
4* 2w2^3 оу cz ^"yz)] •	(25.1)
275
Корреляционная матрица этой системы имеет вид
Определитель данной матрицы
I Л' I = (=z V3,.)- (1 + 2 'и '-«г г,г - г\-Г^ - гу.	(25.3)
Лц = °уЧ2(1 “ryz); А22
Алгебраические дополнения элементов этого определителя:
~ах2
Oz2 ( J ___ Г2^;	Д зз = Ох2 Зу2 (1 __гу.
Д12 — А21 —
^13 — ^81 —
^ху
^x-z
Д23 — Д32 _
^ху
^Х2
°?
^X^y^z2 (^ху
ах
&xz
°у2
&уг
2 k
^ху
^yz
— — 3 0“
— ^х иу
--- ах2!3у 3z (>>	?ху
Поэтому согласно формуле (23.26) для плотности вероятности
системы (X, У, Z) получим
1
/(х,у,2)=	г--------------------------_
(2*)3Ч зу oz у 1 — r2y - r2z — r2z + 2rxy rxz ryz
еМ 2(1-^у-г?г-гу2г + 2гхуг„гу2)[(1 ГУ( □/’ +
+а -	+(1 - -~г~ -
иу	^2
~<2I, г ) (^-^)(У-У)	:
— 2 (Гху	ГxZ Гуг)
их иу
Л,	, (х — х) (z — г)
2 (Гхг ^xyryz)
°х Jz
-2(ryz -rxy rxz)	] I 	(25.4)
иу UZ	J J
276
Система двух случайных величин (К Z) при Х = х нормальная.
Условная плотность вероятности этой системы будет
2л oy|x3ZIx/1—r2yz|x
X ехр
1 Г (У — У.)2
2d-^|х)1	<4
(У— Ух)(^~ gx)
°y|x3z|x
U — zx)2
(25.5)
где в соответствии с (23.43) и (23.44)
У^У + ^у~-(х — х)-, zs = z-|-rxz-^-(x-x);
°х	°х
Оу/х = Оу /1 — г*у ; сг/х — Oz У 1—г2г;
^yz/x _	Гyz	Gy Gz
<Jy/x Oz/X	У (1 _ r2y)( 1 _ ry
(25.6)
(25.7)
(25.8)
Выражение (5) можно также получить непосредственно из (4),
воспользовавшись равенством
Плотность вероятности случайной величины 2 при Х = х и Y=y
будет
_ (z — zx,y)’
1	2а2
/(г/х,у) =---------^==-е	(25.9)
®г/х,у V 2^
где условное математическое ожидание
Gy = G + zyz/x (у — ух) =
ау/х
— z -1-----Jz к  r f \— -у) I /г  r г \{У У)
~ fl — Г2 ) I V xz *ху 'ут.)	г V yz ^ху ^xz)	_	>
' ху' L	°х	°у
(25,10)
а условное среднее квадратическое отклонение
= ^/х V 1 - гг	1 - r\ -r\-r^ + 2r„y r„ r„ .
(25.11)
277
По аналогии с (5) и (9) могут быть записаны условные плот-
ности вероятности для других случайных величин нормальной си-
стемы (X, Y, Z).
Функция распределения F(x,y,z) в данном случае будет
X у 2
5(л:,у,г) = f С [ /(х, у, г) dzdydx. (25.12)
Если коэффициенты корреляции /*ху, rxz и ryz отличны от нуля,
то в (12) удается произвести интегрирование только по одной пе-
ременной. Для системы некоррелированных, а потому в данном
случае и независимых случайных величин X, Y, Z, функция распре-
деления системы равна произведению функций распределения от-
дельных случайных величин и, следовательно, F(x,y, z) выра-
жается через функции Лапласа.
Уравнение (23.51) эллипсоида распределения (при п = 3) имеет
вид
______________!______________Г (1 _ ri \	х)2 г
(1 -	- r*z + 2rsyrxz ryz) L1	ф
У
о/„	„ . ' (х-х)(у— у) _9(r г y{x-x}(z-z)
— 2 (Гху — rxz ГyZ) -—--------- v xz 'ху'угУ------—-----------
°у	az
-2(ryI-r,yr„) (V ~?)(J~-Z)- =«2,	(25.13)
где постоянный параметр x связан co значением плотности веро-
ятности f(x, у, г) на поверхности этого эллипсоида равенством
(23.52) при /г —3.
Произведем линейное преобразование системы (X, Y, Z) таким
образом, чтобы получающиеся при этом нормальные случайные
величины U, V и W были независимыми и имели нулевые матема-
тические ожидания. Для этого систему (X,Y,Z) будем рассмат-
ривать как координаты случайной точки в прямоугольной системе
координат xyzO. Введем также прямоугольную систему координат
uvwO', начало которой совпадает с точкой (х, у, z), а координат-
ные оси О'и, O'v и O'w будем считать совпадающими с искомыми
главными диаметрами эллипсоида распределения (13).
Обозначим через aj; (/=1,2,3) косинусы углов, состав-
ляемых соответственно осями О'и, O'v и O'w с Ох, Оу, Oz. Тогда
278
указанное выше линейное преобразование можно представить
в виде
и, = (X-х) «, + (К— у) Р, + (Z-z).Tj (25.14)
(7 = 1,2, 3),
где Ui = U, U2=V, Us=W.
Значения ajt ph (/=1,2,3), при которых U, V и W являются
независимыми случайными величинами, можно найти по общим
формулам § 23 при п = 3. Рассмотрим другой более наглядный
способ их определения без использования матричного исчисления.
Обозначим дисперсии au2, Л-2 и sw2 случайных величин U, V и W
соответственно через ai2, в22, оз2-
Из (14) находим
= O^j2 4- 3У2 в2 + V + 2^ху «1 в +
4-2£xzaj7j4-2£yzMj	(25.15)
(/=1,2,3).
Среднее квадратическое отклонение Oj равно расстоянию от
центра единичного эллипсоида распределения до касательной
плоскости, проведенной к этому эллипсоиду перпендикулярно к на-
правлению оси O'Mj. Поэтому Oj2 имеет экстремальное значение,
когда ось О'и^ совпадает с направлением главного диаметра эллип-
соида распределения.
Найдем значения направляющих косинусов ctj, pj, 7j, при кото-
рых дисперсии (15) имеют экстремальные значения. Так как
+ ₽? + 7Г = 1 (/=1,2,3),	(25.16)
то для этого нужно найти условный экстремум функции оД зави-
сящей от трех переменных. Воспользовавшись известным методом
неопределенных множителей Лагранжа, нахождение условного
экстремума сведем к нахождению безусловного экстремума функ-
ции
А (Л, ?п Tj) — Л2 (aj> ₽j, Tj) ~ х («j2 + ?j2 + Tj2),	(25.17)
где к— неизвестная постоянная.
Из условия равенства нулю частных производных от Д по aj,
pj, 7j получим:
(3Х2 Х) aj Pj “I" ^XZ Tj -------------- 0 j
kXy + (cry2 - X) Pj +	= 0;
+ Д.г pj + (V — X) 7j = 0; ,
(7 = Ъ 2, 3).
(25.18)
279
ее определитель равен нулю,
Система (17) при любом j (/=1,2,3) имеет отличные от нуля
решения только в том случае, если
т. е. когда
-х2 —
ь
Лху
^xz
ь
ЛХу
Гу2 - к
^yz
^xz
^yz
□ 2 — к
= 0.
(25.19)
где
Раскрывая определитель, получим кубическое уравнение
к3 —«к2 + Z?k — |/С| = 0,	I
(25.20)
а = бх2 - г оу2 4- аг2;
Ь =	+ зхЧ2 + ауЧ2 - &2у — k\z — &2Z,
(25.21)
а |ЛГ| определяется формулой (3).
Решением уравнения (20) являются три положительных ве-
щественных корня. Для их определения положим	Тогда
уравнение (20) принимает вид
р3 + рр + q = 0,
(25.22)
где
Р^ь---з-
а b	2а3
~3	27~
Решение кубического
мулам:
уравнения (22) можно найти
по фор-
где
/ тс —Ф
р2 = 2r cos ----
Из = 2r cos
а знак г совпадает со знаком q.
Если в (22) сделать замену,
кубическое уравнение
v3+/lv — А =0,
q
положив Р =---— У, то
р
(25.23)
получим
(25.24)
Р! = — 2г cos
+ ?
3
q
COS Ф = 	,
г 2г3
280
где А = -~ <0. Для корней vi, v2, V3 этого уравнения имеются спе-
циальные таблицы (Б. М. Шумягский. Таблицы для решений ку-
бического уравнения. ГИТТЛ, 1950).
Корни уравнения (20) будут
xl = V-j+-4- =---0=1. 2,3).	(25.25)
о	р	о
Умножая первое равенство (18) при X=Aj на ар второе — на flj,
а третье — на Тр после сложения получим
ах2 aj2 4 Зу2 + $г2 Ij2 + 2&ху Pj +
+ 2Z?xz aj 4- 2£уг pj Tj - kj (a,2 Д- fy2 -f- Tj2) = 0
или, учитывая (15) и (16),
Oj2 = kj (/ = 1,2,3).
Следовательно, полуоси единичного эллипсоида распределения
будут:
=	av =	; aw = j/X3.	(25.26)
Для определения направляющих косинусов aj5 Pj, (/=1,2,3)
воспользуемся уравнениями (18) при Х = ХР Определитель этой си-
стемы равен нулю, вследствие чего из трех уравнений независи-
мыми являются только два. Отбрасывая, например, третье уравне-
ние и присоединяя к первым двум соотношение (16), для опреде-
ления aj} pj и 7j получим:
(3Х.2 ' \j) aj 4~ ^ху Pj + ^XZ Tj - 0’
^хУ aj 4~ (ay2 “ ^j) Pj + ^yz ij “ 0.;
aj2 + Pj2 + 7j2 = 1
(/=1,2,3).
(25.27)
Из этой системы параметры otj, 8j, находятся с точностью до
знака. Совокупность на_йденных таким образом девяти параметров
aj> Tj (/=1,2,3) однозначно определяет положение главных
диаметров эллипсоида распределения относительно осей коорди-
нат системы xyzO. Косинусы углов, которые составляет с осями
Ох, Оу и Oz каждая из осей прямоугольной системы координат
uvwO', при этом будут известны с точностью до знака. Направле-
ния осей О'и, О'и и O'w вдоль главных диаметров эллипсоида рас-
пределения могут быть выбраны произвольно.
Определив направляющие косинусы aj, pj, "fj (/=1,2,3), тем
самым найдем коэффициенты линейных соотношений (14), с по-
мощью которых координаты случайной точки (У, Y, Z) преобра-
зуются в независимые нормальные случайные величины [/, К W7.
281
Плотность вероятности системы этих случайных величин будет
Данное выражение называется канонической формой плотно-
сти вероятности трехмерного нормального закона распределения.
Уравнение эллипсоида (13) в системе координат uvwO' имеет
вид
и2 . и2 , w2
(25.29)
которой
незави-
Кроме прямоугольной системы координат uvwO', в
координаты U, К W случайной точки (X, Y, Z) являются
симыми нормальными случайными величинами, существует бес-
численное множество косоугольных систем, в которых координаты
этой случайной точки также являются независимыми нормальны-
ми случайными величинами. Оси координат такой системы дол-
жны быть параллельными любым трем взаимно сопряженным диа-
метрам эллипсоида распределения.
Вместо средних квадратических отклонений <зх, су, oz случайных
величин X, Y, Z можно использовать их срединные отклонения Ех,
Еу, Ez. Так как
Ех Р 2 ох, Еу — р 2 Зу, Ez — р "J/" 2
то плотность вероятности (4) будет
л3/3 F	F F V 1	— г2____г2	— г2	4- 2г г г
r'	1 Лху	/хг Ayz	AxzAyz
Ip
(1 -	~ ГУ^ E~2	+
+ (1-^)
(y - У)2
E 2
(g-g)3
EJ
ci	\ (* — x) (У — y)
2 (Gy	GzGz)	p p
n/	. (x — x) (z -- z)
2 (Gz	Gy Gz)	j? j?
-2(r -г г	11
^vyz 1 xy ' xz; PF	I
^z JJ
(25.3(5
282
Уравнение (13) эллипсоида распределения при этом заменяет-
ся следующим уравнением эллипсоида рассеивания:
(i _ r2 .._r2
' xy xz
-	+ 2rsyr„ r„) L °	£? *
(x - x) (у - у)
(г — г)2
—2 (rxz
Е Е
L-,x J^y
(х — x)(z — z)
yz r xy
E*EZ
(у y)(Z-Z) '
(25.31)
1
Е 2

= А
где постоянный параметр x связан co значением плотности веро-
ятности f(x,y,z) на поверхности этого эллипсоида равенством
(23.57) при п = 3.
Каноническая форма плотности вероятности трехмерного нор-
мального закона распределения имеет вид
/(я/р,®/)
_ й»	/и3		у3 । wa \
/\3	Р	I р 2	•	Р 5 "Г р 3
Р„	\cu	nv nw }
rftiF ЕЕ
(25.32)
где
£и = р
— Р 2 ;
— Р 2
Уравнение (31) эллипсоида рассеивания в системе координат
uvwO' будет
и2
+
F 2
V2 । W2
~Р~2 I Ё~2
V	w
(25.33)
Вероятность попадания случайной точки (X, Y, Z) в трехмерную
область G определяется формулой
Р[(А', У, Z) СО] = JJJ/(x, у, z)dx dy dz, (25.34)
х	J(Q)
где интегрирование ведется по области G.
Интеграл (34) при произвольной области G в конечном виде
вычислить не удается.
283
Рассмотрим несколько частных случаев, когда этот интеграл
выражается через элементарные или табличные функции. Пусть
областью G является эллипсоид распределения Сэ(х), уравнение
поверхности которого имеет вид (13) или, что то же самое, (29).
В этом случае
' Р [(*, Y, Z) аСэ (х)] = P[(Ut V, W) C2G3 (х)] =
f(u, v, w) du dv dw.
Для вычисления данного интеграла положим:
и • <i
----------- г sin v cos ;
V	. а -
----— г sin w sin ф:
----- = Г cos
3w
г2 sin О' dr d$dq>.
Тогда
Поэтому
du dv dw
Оц Ту Tw
Р[(Х, у, Z)aG9 (*)];=
Интегрируя по частям, находим
Следовательно, вероятность попадания случайной точки
(X, Y, Z) в эллипсоид распределения определяется формулой
/2	2
(25.35)
являющейся частным случаем общей формулы (23.66) при п = 3.
Вероятность попадания случайной точки (X У, Z) в эллипсоид
рассеивания (?р(х), уравнение поверхности которого имеет вид (31),
получается по формуле (35), если заменить х на ру 2х. Следова-
тельно,
Р|(Л, Y,Z) CGP (x)J = Ф («) -	«-Р-.
У 7С
(25.36)
284
Рассмотрим случай, когда областью G=Gn является часть
пространства, расположенная между двумя параллельными плос-
костями. Уравнения этих плоскостей представим в виде
xcosa+z/cos p + zcos Y =	(/=1,2),	(25.37)
где а, р и Y —углы, составляемые осями Ох, Оу и Oz с осью О£,
перпендикулярной к плоскостям (37), а |1 и |12| —расстояния
от начала координат до этих плоскостей, причем Ь>^-
Координата | случайной точки (X X Z) будет
g=X cos а+ Ycos р + Z cos у.
Так как координата £ линейно связана с нормальными слу-
чайными величинами, то она также является нормальной случай-
ной величиной. Ее математическое ожидание
f=xcos о + z/cos р-|-г cos у,	(25.38)
а дисперсия
<J52 = ах2 cos2 а су2 cos2 р + X" cos2 y + cos a cos р +
+ Xz cos а cos y + Xzcos P cos I-	(25.39)
Искомая вероятность попадания случайной точки в область Gn
равна вероятности попадания случайной величины | в интервал
(^i,^2). Следовательно,
PKA'.KZJCDJ =-g- Ф
где
= р V 2
При выводе формул (35), (36) и (40) не делалось никаких
предположений о зависимости случайных величин X, Y, Z, т. е. эти
случайные величины могут быть как незаь^гчмыми, так и зависи-
мыми. рассмотрим случай, когда одна из сл^ 1айных величин не
зависит от двух других. Пусть, например, независимой является
случайная величина Z. Тогда плотность вероятности системы
(X, Y, Z) равна произведению плотности вероятности системы
(X Е) и плотности вероятности случайной величины Z, т. е.
f(x,y,z)=f(x, у) Ъ (2).
(25.41)
285
Предположим, что G является цилиндрической областью (?пил,
ограниченной плоскостями z = z{ и z = z2, z2>zlf Плоскую область,
лежащую в основании 6ЦИЛ, обозначим через D. Вероятность по-
падания случайной точки в цилиндрическую область GUHJI равна
произведению вероятности попадания случайной величины Z в ин-
тервал (z}, z2) и случайной точки (X, У) на плоскости хОу в плос-
кую область D. Следовательно,

Р\{Х, У)CD],
(25.42)
где вероятность Р[(Х, У) CD] определяется формулами предыду-
щего параграфа.
Найдем вероятность попадания случайной точки (X, Y, Z) в об-
ласть GK0H, ограниченную плоскостями Z — Zi, z~z2 и конической
поверхностью, заданной уравнением
(л —л)2	(х~л^)(_у—у) t (у-у)3 _
2ху W +	~
=	.	(25.43)
где z0, zit z2 и х — постоянные; z2>z}.
При фиксированном z равенство (43) является уравнением
эллипса распределения для системы (X, У). Главные полудиамет-
k — z0|
ры этого эллипса в*----— раз больше главных полудиаметров
^z
единичного эллипса распределения этой системы. Воспользовав-
шись формулой (24.41) для вероятности попадания случайной
точки (X, У) в эллипс распределения G3 (x), получим
Р {X, Г) CDa х
| ^ — gQ |
Искомая вероятность
Za (z — z)a	_	Zo)^ "j
P[(Xr,y,Z)CGK0H] =---------I-*	2’? \dz.
az V 2k J	j
Так кай
_	_ <z—b)a
e	=ce 2a’ ,
286
где
In с —
*2 (z-ztf
2аг2(1 +х2)
(25.44)
то
Р[(Х,Г,2)сСК0Н] =
Следовательно, вероятность попадания случайной точки
(X У, Z) в коническую область определяется формулой
Пусть теперь X, Y и Z — независимые нормальные случайные
величины, а потому плотность вероятности системы (X У> Z) равна
произведению плотностей вероятности отдельных случайных ве-
личин:
/ (*, У, z) = /х (х) /у (у)(г).	(25.46)
Если область G является параллелепипедом Gnap, координаты
вершин которого Xj, yz, zk (j, I, k=l, 2; x2>Xj; Уъ>У\ и Z2>Zi), то
для вероятности попадания случайной точки (X У, Z) в эту об-
ласть получим
Р[(Х,У, Z)CGnap]=-i-.
(25.47)
или, что то же самое,
х P[(X,y,Z)CGMf] = -^-
(25.48)
287
В частном случае, когда X, У и Z — независимые случайные ве-
личины и, кроме того, их средние квадратические отклонения рав-
ны, т. е. ax = oy==oz = з, трехмерное нормальное распределение
называется шаровым. При этом можно просто найти вероят-
ность попадания случайной точки (Л> У, Z) в параллелепипед,
имеющий произвольное положение относительно осей координат-
ной системы xyzO. Для этого нужно от xyzO перейти к другой си-
стеме координат оси которой параллельны ребрам паралле-
лепипеда в одной из его вершин, и воспользоваться формулой вида
(47) при
□ t ~ 3 — 3. = 3.
4	>] С
Найдем вероятность попадания случайной точки (X, У, Z)
в «смещенный» эллипсоид Осм , уравнение поверхности которого
имеет вид
где %о, Уо, 2о и и — заданные постоянные.
Для искомой вероятности имеем

(2'У'-	2 [	+
I (у — у)2 . (z — z)2 11 , , ,
4———-------— ---— г dx dy dz.
°У2 °Z J J
Положим:
x-x^ _	У~Уь _	z — Zq
°X	ay	^2
Тогда
P [(X, Y, Z) CGCM] =
ffi exp|-4-i(s-«!+
(64-T)’+C’<*a)
+ (Д — ''io)2 + G — £o)2] \dld^d^.
(25.50)
288
Вместо системы £^£0 введем новую систему координат £iT]i£iO,
ось 0£i которой проходит через точку (£о, Ло, £о). Расстояние d от
начала координат до этой точки d =	^о2 + 'По2Ч-^о2 или
d =
о?
(У~Уо)2 , (z--.
+ У
В новых переменных равенство (50) будет
Р[(Х, У, Z)cG„] =
Ш ехр|--L-IV+V + K.-
(25.51)
тогда
Для вычисления интеграла положим:
= r sin $cos(p; yj i = г sin зО1 sin ф; £i=rcos$,
(2я)э/з j
о
Р[(Х, Y, Z)cGCM] =
2it
—	(г2—2rd cos B-}-d2)
е
r2 sin &d$dr —
y(r-d)'
__Law i
;	г dr.
о 0
e
— e
Имеем
о
~-|-aw	-4 aw
е	г dr = — е
о
d8 _ (x-d)3	___
г ~е 2 +dy Л_[Ф(х-й) + Ф(й)],
поэтому вероятность попадания случайной точки (X, Y, Z) в сме-
щенный эллипсоид определяется формулой
Р[(Х, r.z)coCM] =2_[Ф(х + й)н-Ф(х-й)]-
1
У 2тг d
(х—d)3	(x+d)1
2	“2
— е
(25.52)
19
289
Для этой вероятности имеются таблицы в зависимости от х и d.
Аналогично предыдущему находится вероятность попадания
случайной точки (X, У, Z) в смещенный эллипсоид 0См.Р, уравне-
ние поверхности которого имеет вид
Эта вероятность находится по формуле (52), если в ней заме-
нить х на pi/2х . Введем вместо d параметр
,1 _ d — 1 /	— хо)2 . (У — Уо)2 . Zo)2
1	р/~2 V ES +	£у2	+ Ez2
(25.54)
Тогда
р [(X, Y.Z) со„.р] = ф- [ Ф (Z + </,) + ф (« -</,)| -
------7?=— [«-«*.	(25.55)
2ру 77 dx
Рассмотрим некоторые приближенные способы определения ве-
роятности попадания случайной точки (X, У, Z) в область G. При
этом будем считать, что направления осей Ох, Оу и Oz совпадают
с направлениями главных диаметров эллипсоида распределения,
т. е. что случайные величины X, У и Z независимы.
Если размеры области G относительно невелики, то в (34)
функцию f(x,y,z) можно вынести средним значением. Тогда
Р[(Х, Г, Z)CG] = |/(л, у, г)]ср Ко,
где VQ—объем области G.
В качестве среднего значения плотности вероятности прибли-
женно можно принять значение этой функции в точке (х0, ус5 ^о),
совпадающей с центром тяжести G. Тогда
Р [(Л, Y, Z) СО] =	-----
(2тг)<зх ау
Xе
290
Эта формула имеет наиболее простой вид в том случае, когда
точка (jc0, ус, Zg) совпадает с центром рассеивания, т. е. с точкой
(х, у, z). При этом
Vc	o3Fn
Р [(%, Г, Z) СО) ~	• (25.57)
Точность формул (56) и (57) обычно бывает достаточной для
практики, если размеры области G в любом направлении не пре-
восходят половины среднего квадратического отклонения в том же
направлении.
Другой приближенный способ расчета вероятности (34) осно-
ван на замене области G цилиндрическими областями, основания
которых параллельны одной из координатных осей. При этом ве-
роятность попадания в каждую цилиндрическую область находит-
ся по формуле (42). Иногда область G может быть заменена па-
раллелепипедом с ребрами, параллельными координатным осям,
или смещенным эллипсоидом, уравнение поверхности которого
имеет вид (49). Объемы этих фигур выбираются равными объему
области G.
Пример 25.1. Координаты X, У, Z точки взрыва ракеты образуют
систему трех зависимых нормальных случайных величин с извест-
ными математическими ожиданиями, средними квадратическими
отклонениями и коэффициентами корреляции. Определить вероят-
ность попадания точки взрыва ракеты в единичный эллипсоид рас-
пределения.
Решение. По формуле (35) при х=1 получаем
/У
— е-о,5 =о,199.
тс
Пример 25.2. Система (X, У, Z) имеет шаровое нормальное рас-
пределение со срединным отклонением Е. Определить вероятность
попадания случайной точки в куб со стороной 2а, из которого вы-
резан шар радиуса R<a. Центры шара и куба расположены в точ-
ке (х, у, г}.
Решение. Вероятность попадания в куб находим по фор-
муле (48);
р й _ фз _2_ I
“куб * I j? I •
Вероятность попадания внутрь шара согласно формуле (36)
будет
р — ф {_ 2p#  (р е )
'шар * I р I _ ,............ с
\ 73 / Е у ТС
291
Искомая вероятность
(Р \ 2
Р "р” I
-	- куо * шар  I р j	I р I (	/--~
\	/	\	/ Е у ~
Пример 25.3. При использовании глубинных бомб с дистанци-
онными взрывателями и определении глубины погружения подвод-
ной лодки гидролокатором можно считать, что уничтожение под-
водной лодки происходит при взрыве бомбы внутри параллелепи-
педа, центр которого совпадает с центром подводной лодки, а сто-
роны длиной 2/х, 2/у и 2/z параллельны осям Ох, Оу и Oz прямо-
угольной системы координат с началом в центре подводной лодки.
Определить вероятность уничтожения подводной лодки оди-
ночной глубинной бомбой, если координаты X, У, Z точки взрыва
являются независимыми нормальными случайными величинами
с заданными математическими ожиданиями х, y,z и срединными
отклонениями £х, Еу, Ez. Рассчитать эту вероятность при х = у =
= z = 0,
Ех = 30 м, Еу = 10 м, Ez — 20 м, 1Х = 60 м,
- tz — 5 .и.
Решение. По формуле (48) находим
При указанных числовых данных
Р=Ф(2)Ф(0,5)Ф(0,25) =0,029.
Пример 25.4. Цель представляет собой призму с ребрами, парал-
лельными оси Oz, и основаниями в плоскостях z—±h. Сечение
призмы плоскостью хОу состоит из треугольника с вершинами
в точках (О, О), (хь ±t/i) и прямоугольника с вершинами в точ-
ках (xi, ±у%), (х2, ±t/2). Определить вероятность попадания слу-
чайной точки (X У, Z) в цель, если X, У и Z являются независи-
292
мыми центрированными нормальными случайными величинами
с известными срединными отклонениями
£х, и Ez, если -=Л — — , х, > х,.
у	Еу У1
Решение. Искомая вероятность
h pazs
Р3
к3/»£х Еу Е7
—h
dx
РаУ
y2dy
Так как
Р3ха Уз раУа
Е? dx
—Уз
h _ paza
О С	Е _2	/ h \
—\ е z dz = Ф -Б~
EZV к J	\	/
—h
Р2Х
1 Л
dx = d Ф
ТО
Р =
Пример 25.5. При вЗ(рыве специального заряда подводная лодка
погибнет, если ее геометрический центр попадет в область пора-
жения, которая представляет собой расширяющийся с глубиной
усеченный конус х2 + */2 = х2(г+/?)2, ограниченный плоскостями
z = 0 и z = Ht где х и R — заданные постоянные. Положение центра
тяжести подводной лодки относительно центра взрыва характери-
зуется прямоугольными координатами X, Y и Z, которые являются
независимыми нормальными случайными величинами с известны-
ми математическими ожиданиями x,y,z и срединными отклоне-
ниями £х, Еу, Е7. Определить вероятность гибели подводной лодки,
если x = w==0, a E, — Ev — E.
293
Решение. Искомая вероятность
_ ра(ха+у2)
Еа
е dxdy—
поэтому
-4
са
где	_
£z .	z-R*2
а —	, b — ——:—1г- ,
У 1 + v	1 +zr
In с —
Р2 *13(R+ z}2
(14-VW
Пример 25.6. Найти вероятность подрыва боевой части ракеты
зенитной ракетой со специальным зарядом, если ошибки опреде-
ления координат X, У, Z ракеты являются нормальными случай-
ными величинами с известными математическими ожиданиями
х, у, z и средними квадратическими отклонениями зх = 500 м,
Оу = 400 м, nz=300 м. Смещение точки разрыва (х0, Уо, Zo) зенит-
ной ракеты относительно центра распределения (х, у, z) характе-
ризуется величинами: х — хо=1000 м; у — z/o = 6OO ж; z— z0 = 0.
Подрыв боевой части ракеты происходит при ее попадании в эллип-
соид с полуосями а = 1000 м, 6 = 800 м, с = 600 м с центром в точке
взрыва зенитной ракеты.
Решение. Искомая вероятность равна вероятности попада-
ния случайной точки (X У, Z) в смещенный эллипсоид, полудиа-
метры которого в два раза превосходят полудиаметры единич-
ного эллипсоида распределения. Следовательно, параметр х = 2.
При этом
л _ 1 /	- хо)2 t (У - Уо)2 , (z - z0)2
I/	П 2	2	'	„2
|/	<зх	ау	az
По формуле (52) находим
= 2,5.
р=4
Ф (4,5) -Ф (0,5)
----L_^_ (g-0,125 _ е-10,125) = О 1б7^
2,5 V 2к
294
ГЛАВА 4
МОМЕНТЫ И ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 26. МОМЕНТЫ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть X— дискретная случайная величина с рядом распреде-
ления
Р(Х = хк) — рк (£=1,2,. . . , п).	(26.1)
Найдем моменты дискретной случайной величины У, связанной
с X однозначной функциональной зависимостью У=<р(Х). Вероят-
ность того, что случайная величина У примет значение Ук = 'р(хк),
равна вероятности выполнения равенства Х=хк, т. е.
Р(У=ук) = рк (£ = 1,2,. . . ,/г).	(26.2)
Используя определение математического ожидания как суммы
произведений возможных значений случайной величины на соот-
ветствующие им вероятности, для начального момента s-ro поряд-
ка случайной величины У=ср(Х), получим
п
«. (О = т, Wl = МW] = 2 (-«к) Рк- (26.3)
к=1
Таким образом, начальный момент s-ro порядка однозначной
функции ф(Х) дискретной случайной величины X равен сумме
произведений s-й степени значения tp(xk ) этой функции при X = xk
на вероятность рк возможного значения хк случайной величины X
по всем возможным значениям X.
Для существования ms [ф(А)] при п — со ряд (3) должен схо-
диться абсолютно, т. е. должно быть:
«50
2 l?s(*k)IPk<	(26.4)
к=1
В противном случае начальный момент s-ro порядка случай-
ной величины У=ф(А’) не существует.
295
Как частный случай при _s=l из (3) получаем формулу для
математического ожидания у случайной величины У = ф(Х) в виде
п
у = М [f (X)] = 2 ? (х„) pt.	(26.5)
k=l
Центральный момент s-ro порядка
п
ь[<р(Х)]=м(МЛ)-у]') = 2 [?(а)-уГл. (26.6)
к=1
где	_
Между начальными и центральными моментами функции
У=ф(?0 случайной величины X справедливы те же соотношения,
что и между моментами любой случайной величины:
S
р. [? wi=2 (-1 >' с> &)' т>- И WJ;	<26-7)
г=0
S
»». [?(*)] = 2 Сг(у)Ч-, М-П].	(26.8)
г—О
Эти равенства являются следствием формул (3) и (6).
В частном случае, когда s = 2, из (6) и (7) получаем
п	п
r>[f W] = 2 If (*“) - л2 А = 2 Г	- W- (26.9)
к=1	к=1
Когда X — непрерывная или смешанная случайная величина,
все предыдущие формулы для моментов однозначной функции
У=ф(Х) этой случайной величины остаются справедливыми, если
вероятность рк заменить на f(x)dx, где f(x) — плотность вероят-
ности X, а суммирование по k заменить интегрированием по всему
возможному интервалу значений х. Вместо (5) для математиче-
ского ожидания функции случайной величины У = ф(Х) получим
7=М[ф(Х)]= J ф(х)Цх)£/х,	(26.10)
а для момента ms^(X)] вместо (3) будем иметь
zns[<p W] = W] = J <гЛ (х)/(х) t/x. (26-11)
296
Для существования этого момента интеграл (11) должен схо-
диться абсолютно, т. е.
J I ?s(x) l/C*) dx < 00•	(26.12)
При определении центрального момента s-ro порядка функции
<р(/) непрерывной случайной величины X можно воспользоваться
соотношением (7) или формулой
ь [Т(Х)| = М {[<р (Л) —УГ) = J |Т W-y]VW dx. (26.13)
В частности, для дисперсии непрерывной случайной величины
У=ф(Х) имеем
Z)[(p(Ar)]= J [?(*) — y]2f(x)dx = j <?2(x)f(x)dx — (у)2. (26.14)
— oo	— 00
Все полученные выше формулы легко обобщаются на случай,
когда случайная величина Y является однозначной функцией не
одного, а п аргументов, т. е. когда У=<р (Хи Х2,..Хп). Если
Xi, Х2,..., Хп — дискретные случайные величины, то для началь-
ного момента s-ro порядка случайной величины Y получим
щДГ) = ?И[<ЛА\, Х2, . . .,*„)] =
т( т2	тп
=2 2 • • • 2 [тм1?.	• •.	....-„.(26.15)
12	kn 1
где
А,*,.. .лп==Р(^=хО), *2 = 42;,. . ., а;=4"п)) (26.16)
(kj = 1, 2, . . .,т,, j= 1, 2, . . . , п),
а суммирование ведется по всем возможным значениям аргу-
ментов.
Если случайные величины Х2,.. Хп непрерывные, то
^n==W<xlf^2..... ^п)1=
— JJ *  'J ? ("^1»	• • • » хп) f (xh х2, . • . ^^dx. dx2 . . . dxn>
(26.17)
где f(xh x2,.. jvn)—плотность вероятности системы (Xi,X2,...
..Xn). Для существования момента ms (У) сумма (15) или соот-
ветственно интеграл (17) должны сходиться абсолютно.
297
Центральный момент s-ro порядка
I», (Г) = М | [?	......АЦ - Я’) =
m, т3	тп	*
=2 2 • • • 2	....
k,=4 к3=1	iTL,	п
(26.18)
при системе дискретных случайных величин и
Н5(Г) = Ж{[т(А-1,Хг......Х,)-уП =
= JJ ' ' * .И? (*!’ ХЪ> * * ' ’ Хп)
— y]s/(xi> х2, • • • > *п) dxr dx2 . . . dxa (26.19)
для системы непрерывных величин.
Формулы (7) и (8), устанавливающие связь между централь-
ными и начальными моментами, сохраняют свою силу и в этом
случае.
Вместо одной случайной величины У=ф(Л'1, Х2,..Хп ) может
быть задана система I случайных величин (Уь У2, • - Уг), каждая
из которых является функцией Хь Х2,. .., Хп, т. е.
У^ТгРС, х2, . . ,,Хп) (г = 1,2, . . .	(26.20)
где фг (хь х2,.. хп)— заданные однозначные функции своих аргу-
ментов. Моменты каждой из случайных величин Уг (r= 1, 2,.. ., I)
этой системы находятся по тем же формулам, что и для случайной
величины У=ф(Хь Х2,.. .,МП). Смешанный начальный момент по-
рядка sb s2,.. ., sz для системы (Уь У2,..Уг), когда Хь Х2,..., Хп —
непрерывные случайные величины, будет
....S, (Ун У2, . . .,	. гг5/) =
оо	I
" J J ‘ ’  J П ^гг (''!’ Xz' *  ‘ ’^n) X
— 00	Г=1
X/(м, х2> • • • , x^dxx dx2 . . . dxn. (26.21)
Центральный момент того же порядка вычисляется по формуле
P'S,,Si.sz (У]J У2, • • • , У/) =
= Л1[(У,-^Г(У2-у>. . .(Уг-5?)Ч =
0О	I
= JJ ’  ' J П Х2’ ’ ' ' ’ А'п^
г=1
— yr ]Sr/(M> х2, • • ^xjdxidxs. . . dxn. (26.22)
298
Если случайные величины Хь Х2,..Хп дискретные, то вместо
интегралов будут суммы, а вместо f (хь х2,..., хп)</Х]... dxn — веро-
ятности (16) различных значений случайных величин, входящих
в систему (Л-!, Х2,..А"п). Для существования моментов необхо-
дима абсолютная сходимость соответствующей суммы или инте-
грала (21).
Рассмотрим частный вид функциональной зависимости между
случайными величинами — линейную зависимость. В случае линей-
ной зависимости между двумя случайными величинами У=аХ+р,
где аир — постоянные. Так как у~ах+ р, Y — у = а(Х — х), цент-
ральные моменты s-ro порядка для случайных величин У и X свя-
заны равенством
М^Ч(Д	(26.23)
Для начального момента ms (У) по формуле (8) получим
т. (. О = 2 С' (Д'Г,_г (X).	(26.24)
г=0
При линейной зависимости случайной величины У от п аргу-
ментов Х2,..., X имеем
У — 2 aj 4- ₽.	(26.25)
j=i
В соответствии с доказанными в § 22 общими теоремами о ма-
тематическом ожидании и дисперсии линейной функции случайных
величин получим:
+	(26.26)
i=i
п п	п
° < и=2 2 “< ки=2 °>п w+
+ г2 2 “i “1	(26.27)
где =	— xi')(Xl —xz)] —корреляционный момент ме-
жду случайными величинами Х} и Xh a ki} = D (Xj).
Формула (26) получается также из (15) или (17) при s= 1, а
формула (27) — из (18) или (19) при s = 2.
Из (25) и (26) находим
(п	\ 3 п п п
2 «j Xj = 2 S S XjXsXz,
j=l /	Z=1 s=l j=l
где Xj = Xj —	(/= 1,2,..., n).
299
Поэтому третий центральный момент случайной величины Y
будет
п п п
222«л а,Л1(Л)ад).	(26.28)
Z = I s=l j=l
Если случайные величины Хь Х2,..Хп независимые, то по-
следнее равенство упрощается и принимает вид
п
1*3 (П = 2 (Jfj).	(26.29)
j=l
Для четвертого центрального момента случайной величины
имеем
п п п п
I*. (г)=2 — ——“1 а> ^-м иЛ *Л.)-	(26-3°)
m=l 1=1 s=l j = l
При независимых случайных величинах Хь Х2,..Хп
и	п—1 п
|*4(п=2“1‘н.(^) + б2 2 .ч’ощога. <26'31>
j=-l	8=1 j=S+l
Аналогично могут быть получены выражения для центральных
моментов любого порядка случайной величины Y, являющейся ли-
нейной функцией случайных величин Хь Х2,. . ., Хп.
При линейной зависимости системы (Уь Y2,..Y1 ) от системы
(Хь Х2,..., Хп) имеем
п
^3-2 asi + Ps (s = 1,2, . . . , Z),	(26.32)
3=1
где asj и —постоянные. В этом случае моменты каждой из слу-
чайных величин У8 (s= 1, 2, . . I) определяются теми же форму-
лами, что и моменты линейной функции (25).
Для нахождения корреляционного момента между У5 и
воспользуемся равенством
п п
( Уз) ( .Ут)---------	asj ®тг -^j
r=l j=l
Вычисляя математическое ожидание обеих частей этого равен-
ства, получим
и п
^ysym = a«j йтг ^Зг	(26.33)
Г = 1 j=l	г
(s, т= 1, 2,..., /).
300
Если случайные величины Хь Х2>.. ., ЙГП некоррелированные, то
последнее равенство упрощается и принимает вид
п
(26.34)
j=l
Аналогично могут быть определены и другие моменты системы
случайных величин (Уь У2,. . Уг ).
Из (23), (24), (26) — (31), (33) и (34) видно, что при линейной
зависимости между случайными величинами любого типа моменты
одних случайных величин просто выражаются через моменты дру-
гих случайных величин. Это означает, что для определения момен-
тов случайной величины У или системы случайных величин
(Уь У2,..., К;), связанных линейной зависимостью со случайными
величинами системы (Хь Х2, .. ., Xt), достаточно знать только со-
ответствующие моменты последней системы. Это обстоятельство
существенно упрощает вычисление различных моментов линейно
связанных случайных величин, так как не требует предваритель-
ного определения закона распределения системы случайных вели-
чин (Хь Х2,. .., Хп).
При нелинейной зависимости между случайными величинами
моменты функции удается выразить через моменты аргументов
только в некоторых частных случаях. Пусть, например, Х2,. ..
п
. ..Дп—независимые случайные величины, а У = |~[ Xj , тогда
„	j=1
п	п
у = [%j. Так как в этом случае Л4(У2) = ]~|Л4(А/), для дисперсии
j-i	_	j=i
D(Y)=M(Y2)— (у)2 получим
п
D (П = П Ю (*j) + (Ч)!1 - (У)!-	(26-35)
1=1
Пример 26.1. Дискретная случайная величина X имеет геометри-
ческое распределение P(X = k) = pq* (k = 0, 1,. . .). Определить ма-
тематическое ожидание случайной величины У=ях, где а — задан-
ное положительное число.
Решение. Используя формулу (5) при ср(Х)=а , находим
к=0
301
Если а > -у-, то этот ряд расходится, а потому случайная ве-
личина X имеет бесконечное математическое ожидание. При П<у
получим
у \—aq
Пример 26.2. Случайная величина Ф равномерно распределена
в интервале ~ j . Определить, существуют ли моменты
случайной величины Y = tgO.
Решение. Для плотности вероятности случайной величины Ф
имеем
II	те	те
при	;
О при
2 '
Тогда математическое ожидание случайной величины Y будет
2
У
2
Полагая tg<p = £, получим
- 1

Данный интеграл не является абсолютно сходящимся, поэтому
случайная величина Y не имеет конечного математического ожи-
дания. Следовательно, моменты более высокого порядка этой слу-
чайной величины также не существуют.
Пример 26.3. Согласно параболической теории, максимальная
дальность X полета снаряда в безвоздушном пространстве связана
V2
с начальной скоростью V равенством Х= — , где g — ускорение
силы тяжести. Определить математическое ожидание, дисперсию
и начальный момент s-ro порядка дальности X, если начальная
скорость V — нормальная случайная величина, а ее математиче-
ское ожидание v и среднее квадратическое отклонение щ даны.
302
Решение. Если f (v) — плотность вероятности случайной ве-
личины V, то начальный момент s-ro порядка максимальной даль-
ности X будет
г» 1 ^2 у	।
(—— I f(v)dv =--r-m2s(V),
J \ о /	о
— co
где m2s(l/)—начальный момент порядка 2s случайной величины V.
Последний момент выражается через центральные моменты
с помощью равенства
2s
т2,(У) = М (Г>)=2И[( V+5р] = 2 н (И).
к=0
Центральные моменты нечетных порядков нормальной случай-
ной величины равны нулю, поэтому начальный момент s-ro по-
рядка максимальной дальности будет
zns (X)
S
k=0
где цо= 1, а при &>0 р2к=(2£—l)!!o2k.
С помощью этого выражения получаем:
/ уч (^)2
X = OTi (Д’) =
О
—	4 (тЛ2 □ 2
D {Х) — т2{Х} —	14
о L
(\ 2 1
-&-) 1;
V / J
Пример 26.4. Индикатор кругового обзора навигационной стан-
ции представляет собой круг радиуса R. При наличии помех на
индикаторе появляется пятно, положение центра которого равно-
возможно в любой точке круга. Определить математическое ожи-
дание, дисперсию и начальный момент s-ro порядка отклонения
центра пятна от центра круга.
Решение. Обозначим через X и Y прямоугольные коорди-
наты центра пятна. По условию плотность вероятности f(x,y) этой
системы случайных величин
/(х, у) =
1
к/?2
О
при X2 + у2 < R2;
при х24"У2>^2-
Если Z — отклонение центра пятна от центра круга, то
Z = /X2+ Г2.
303
Начальный момент s-ro порядка этой случайной величины будет
= Jj (х2 + y2fdxdy =
(x’+y’<R>)
2к R
1 Г . С s., .	2/?s
= —D2	d o rs+1 dr = —
“KJ T J	s -f-2'
б 0
Положив s=l и s = 2, получим:
-	9
z = W1(Z)
О
-	1	4
D (Z) = tn2 (Z) - (z)2 =	R2-----R2 = A-
Пример 26.5. Материальная точка под действием центральной
силы движется по эллиптической орбите, большая полуось кото-
рой а, а эксцентриситет е. Дальность от одного из фокусов эллипса
до движущейся точки равна R = a(l —ccosZ), где Е— эксцентри-
ческая аномалия. За период обращения Т угол Е увеличивается на
2л, причем 7?E = const. Предполагая, что с одинаковой вероят-
ностью возможно наблюдение движущейся точки в любой момент
промежутка Т, определить математическое ожидание и дисперсию
дальности R в момент наблюдения, если наблюдатель находится
в фокусе эллипса.
Решение. Если RE = c, то период обращения точки будет
2к
Г=4-С RdE=-^.
о
Время наблюдения за движущейся точкой является случайной
величиной, равномерно распределенной в интервале (О, Г). Мате-
матическое ожидание дальности в момент наблюдения
Т	2-
1 Л	1 Р	/	f>2 \
Af(R) = -i-	= R‘dE=a 1 + 4- .
Л I	Vv I	\	£ f
о	0
Математическое ожидание квадрата дальности
2 тс
1 Р	/ Q
М(#2) = ——	R2 dE = а2 1 4- -4—е2
' '	2 т: a J	^2
о
304
поэтому дисперсия дальности
1 / \
Пример 26.6. Вероятность появления события А при j-м из п не-
зависимых испытаний равна Pj (/= i, 2,..., п). Определить мате-
матическое ожидание, дисперсию, третий и четвертый центральные
моменты для числа X появлений события при этих испытаниях.
Решение. Обозначим через Xj случайную величину, которая
принимает значение, равное 1, если при /-м испытании событие А
происходит, и равное 0, если это событие не происходит. Тогда
число появлений события А при п испытаниях будет
j-1
отсюда
п
j=l
Случайные величины Х2,..., Хп независимые, поэтому
п	п
D(J0=2^(Tj);	=
j=l	j=l
m*)=2i*<w+62 2 d(x1)d(xi).
j=l	1=1 j=i+l
Так как
Р>(^=0) = ^ P(Xj = l)=Pj, то
Xj—Pf, D(Xj)=Pjqj-, Нз=Pj(?j — Pj);
14 (^j)=Pj7j(Pj8 + ^j3).
Тогда для искомых моментов получим:
п	п
x = Jw о(*)=2лл;
j=l	j=l
n
Нз W = 2	(^J~Pj)»
j=l
n	n—1 n
W + ft8)4- 6 S Pi^Pj^j.
j=i	i=i j=i+i
20
305
Если pi = р (/=1,2,..., и), то х = пр; D(X)^npq- ц3(А') =
— npq(q — р); ц4(Х) = np<7(p3 + t73) +6Cn2pV = W(l “6р + 6р2) +
+ 3п2р2</2.
§ 27. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ МОМЕНТОВ ФУНКЦИЙ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН МЕТОДОМ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Как показано в предыдущем параграфе, при определении мо-
ментов линейной функции случайных величин не нужно знать их
закон распределения, а достаточно знать соответствующее число
моментов случайных аргументов. В случае нелинейной функцио-
нальной зависимости при определении моментов функции случай-
ных величин, как правило, необходимо знать закон распределения
аргументов.
При решении практических задач закон распределения случай-
ных аргументов часто бывает не известен. Если же этот закон рас-
пределения и удается определить, то возникают добавочные вычис-
лительные трудности, связанные с определением моментов по при-
веденным в предыдущем параграфе общим формулам. Поэтому
возникает потребность в приближенных методах вычисления мо-
ментов функций случайных аргументов. Наиболее простым мето-
дом получения приближенных значений моментов нелинейной
функции случайных величин является метод, основанный на ли-
неаризации исходной функциональной зависимости.
Произведем сначала линеаризацию функции одной случайной
величины У=ф(Х), где ф(х) — нелинейная функция, которую будем
считать непрерывной и дифференцируемой в точке х = х. Для этого
разложим функцию г/ = ф(-^) в ряд Тейлора в окрестности точки
х = х и учтем только первые два члена разложения, т. е. примем
£/ = ф(х)ф(х) + (х — х)ф'(х). При случайных значениях функции
и аргумента это приближенное равенство принимает вид
У=ср(Х) ф(х) + (Х-х)ф'(х).	(27.1)
Точность приближенного равенства (1) тем выше, чем меньше
разность |Х— х| . Поэтому, если мала вероятность того, что слу-
чайная величина X примет значения, лежащие вне интервала, где
функцию У=ф(Х) можно считать линейной, вероятность больших
ошибок при использовании равенства (1) будет мала и, следова-
тельно, нелинейную функцию У=ф(Х) можно заменить линейной
функцией (1), В этом случае приближенные значения моментов
случайной величины У выражаются через моменты случайной ве-
личины X по формулам (26.26) и (26.27). В частности, для мате-
матического ожидания и дисперсии случайной величины У получим:
D(Y) « [f' (x)l2D(X).
(27.2)
306
Таким образом, при допустимости линеаризации функции ф(^)
приближенное значение математического ожидания функции слу-
чайного аргумента равно этой же функции от математического
ожидания аргумента, а ее дисперсия приближенно равна произве-
дению дисперсии аргумента на квадрат производной от исходной
функции, вычисленной при значении аргумента, равном его мате-
матическому ожиданию.
При замене функции ф(Х) линейным выражением (1) мы пока
руководствовались только качественными соображениями о «ма-
лой» вероятности «больших» отклонений случайной величины X от
ее математического ожидания х. Чтобы произвести количествен-
ную оценку возможной ошибки линеаризации функции, проще
всего сохранить в ряде Тейлора следующие члены разложения и
определить, насколько изменятся моменты случайной величины У,
например математическое ожидание у и дисперсия D(Y), по
сравнению с полученными выше их значениями (2).
Учитывая, например, не два, а три члена ряда, вместо (1) по-
лучим
У Ф (х) + (X ~~ х) ф' (х) 4-	(X - х) V (Г).	(27.3)
Воспользовавшись теоремой о математическом ожидании, на-
ходим более точную формулу для у
У=Ч>« + 4“ <f"WD(X)-	(27.4)
Применяя к (3) теоремы о дисперсии и учитывая при этом, что
k =и (*); й	- X) 2] = ц4 (X) - (%),
получим уточненную формулу для дисперсии
£>(У) ~ [ф'(7)]ф(Х) +<р'(Чф"(Ч|хзОЧ +
+ -}-[<₽"	(27.5)
В частном случае, когда q/(x)=0, первые два слагаемых в (5)
исчезают и для дисперсии функции ф(Х) справедливо приближен-
ное выражение
О(П“4- fo/'WHM*)—£>2(х)].	(27.6)
Из (4) и (5) следует, что при учете трех членов разложения
функции У=ф(Х) в ряд Тейлора для определения математического
ожидания и дисперсии случайной величины У нужно знать мате-
<107
магическое ожидание, дисперсию, а также третий и четвертый
центральные моменты случайной величины X. Если учитывать сле-
дующие члены разложения, то при расчете у и D(Y) потребуются
моменты более высокого порядка.
Формула (5) существенно упрощается в том случае, если слу-
чайная величина X нормальная. При этом цз(Х)=0, а ц4(Х) =
= 3D2(X). Следовательно, выражение для дисперсии функции
У=ф(Х) с учетом трех членов в ряду Тейлора при нормальном
случайном аргументе X будет
Л(У)~ [q>'(7)pD(X) + ±[ф"(х)]’^(Х).	(27.7)
При линеаризации функции У=ср(Х) за основу было принято
разложение этой функции в ряд Тейлора в окрестности точки Х = х.
Выбор точки, около которой производится линеаризация функции,
в известном смысле является произвольным. За такую точку
можно было бы выбрать, например, моду распределения, медиану
или какую-либо другую точку, если вероятность попадания слу-
чайной величины в область вблизи этой точки, где функцию ф(Х)
можно считать линейной, достаточно велика. Произведенное выше
разложение около точки Х — х имеет преимущество, состоящее
в том, что для моментов случайной величины У получаются более
простые выражения.
Формулы (2), (4) — (7) обобщаются на тот случай, когда слу-
чайная величина У является функцией не одного, а нескольких
аргументов, т. е. У=ф(Хь Х2,.. ., Хп). Если мала вероятность того,
что отклонения случайных величин Хь Х2, ..., Хп от их математи-
ческих ожиданий Xi, х2,..., хп выйдут из области, где функцию
У=ф(Хь Х2,.. .,ХП) можно считать линейной, то, разлагая эту
функцию в ряд Тейлора в окрестности точки (хь х2,.. .,хп) и огра-
ничиваясь только линейными членами ряда, приближенно получим
У — <р (*1, х2,
где обозначено
п
<27-8)
j=l
(7=1,2,. .	п).	(27.9)
Находя математическое ожидание обеих частей равенства (8),
имеем
у — (X;, х2, • . • > -^п)>	(20.10)
308
т. е. приближенное значение математического ожидания функции
случайных аргументов равно этой же функции от математических
ожиданий соответствующих аргументов. Применяя к (8) теоремы
о дисперсии, получим

dxj dxt
(27.11)
n—1 n
dxt )	dx,
j=i /=j+i
где kji —корреляционный момент между случайными величинами
Xj и Xz (/,Z=l,2,...,n).
Если случайные величины Х2,..Хп некоррелированные, то
формула (11) упрощается
D(O~V MS-YoW (27-12)
dxj /
Так же как и для функции одного аргумента, при оценке допу-
стимости линеаризации функции нескольких аргументов необхо-
димо в ряду Тейлора сохранить следующие члены разложения.
Так, например, сохраняя в этом ряду квадратичные члены, получим
п
Г-Т(х„л2, ...,ГП)+(Л-,-5() +
дху
j=i
п п
-х,),	(27.13)
tfXj dxt
где обозначено
д2о __ д2ф(х,,х2, . . . , хп)
dxt dxt	dXj dxt
Определяя математическое ожидание обеих частей равенства
(13), находим более точное выражение для у
.......
j=l z=l
309
n
==?йь ъ, • • • > *n) +	D PG) 4-
j=i
-=-X=-^jZ
dxj dxt
(27.15)
Если случайные величины X2,. .Xn некоррелированные, то
формула (15) упрощается
n
V~-?(X„ ...........+	(27.16)
>1 3
Применяя к (13) теоремы о дисперсии, с учетом равенств
о о = Ж(ЛЛЛ);
xs; Xjxz
kooao = м (адед)- kslk}l
xs xi;xj XZ
получим
n n
d <p
^jz +
+ УУУ2М'Х-Л!
dx-^dxi
S—1 j=l l—l
(WGH
jl Sb Sb Sb Sb ??
dx3 dxt
s = I Ь-l j=l Z--I
d2 <p
дх^ dxj
[M (хЛ^-k^].
(27.17)
Если случайные величины Xt, X2,. . Xa независимые, послед-
няя формула упрощается
dy
dxj
д2 у iyx,
~=^ Нз Hj) +
j=l	j=l
(27.18)
31Q
В случае, когда (Хь Х2,.. X )—нормальная система,
М (Xs Xi Хг) =0, М (Х8 Л XjXz) = £si ku + £sj kit + ku k*
Для дисперсии D(Y) при этом из (17) получим
п
дх, дх.
£?-------d2X~k,tku. (27.19)
dxs дх-г дх$ дх{
При независимых нормальных случайных величинах последняя
формула принимает вид
п	п
2я2(Х|) +
2
п—1 п
^ДХЪ(29£>(Х,).
(27.20)
Пример 27.1. Приближенное значение скорости полета ракеты
в момент окончания работы двигателя определяется формулой
Циолковского
1/	< G 4~ Q
V и In —~~~
G
где и — эффективная скорость истечения газов;
G — вес ракеты без топлива;
Q — вес топлива.
Пользуясь методом линеаризации, определить математическое
ожидание и среднее квадратическое отклонение скорости ракеты
в момент выключения двигателя, если Q-—случайная величина
с известными моментами q, oq, p3(Q) и pi^Q).
Решение. Согласно формуле (2) приближенное значение ма-
тематического ожидания скорости будет
— т О -f- q
Ц In----тт-2- .
(j
Так как
дУ и. д2У __ и
dq G + ~q ' dq*~ (<? + 7)2 ’
311
то по более точной формуле (4) находим
. G + q
v и In------------~-
(j
Ошибка бо определения v методом линеаризации приближенно
равна
aaq2
о V =---------.
2(G+<?)2
По формуле (2) имеем
т. е.
\ G-\-q }
По более точной формуле
/ и. \ ®	ZZ2
Р(У)- —U2
и
" —,	г
G + q
(5) получим
п2
,г . =Г, I*» (Q)+-777ТЛГ Ь* ™ - VI •
(<? + ?)’	4(0+?)*
Q"
Если случайная величина Q нормальная, то
°q2
2(0+ <?)2 J ’
т. е.
2(G+qY J*

\ o + q
av = Haq_-1/ 14-----.
G+q V 2(0+ qY
Ошибка 6ov определения ov методом линеаризации будет
.	1/14_____------1 -___“
v G-^q	2(0+ q)2 J 4(0+ qf
Пример 27.2. Период Т обращения космического аппарата но'
невозмущенной орбите в зависимости от скорости V в перигее и
удаления R перигея от центра Земли определяется формулой
где
т к / R у/з
/YV-X/ ’
. RV- о П2
х = ——H = 2g0fl02;
Ro~ средний радиус Земли;
go — ускорение силы притяжения Земли на ее поверхности.
312
Известны математические ожидания v, г, дисперсии D{V), D(R)
и корреляционный момент kvr. Пользуясь методом линеаризации,
определить математическое ожидание и дисперсию периода обра-
щения Т.
Решение. Период обращения Т является нелинейной функ-
цией двух случайных величин V и /?. Применяя формулу (10), на-
ходим
—	/ г \э/а
^-7=- ------= t
V И \1 —к/
где	__
х-=	.
Воспользовавшись формулой (11), получим
i дТ \2	/ дТ V	I дТ\( д Т \
D(D-( 44-) £>(1/) + JLL) о{/?) + 2 4t -4Ь¥,
\ dv J	\ dr /	\ dv ) \ д г /
Так как
д Т _ 3k / д Т _	3t
dv 1/(1— к) ’ дг 2г(1—X) 5
то окончательно
О(Л~(-Ц=У[(-Х-)’о(П + -=7 D(R) + ~k,
\1 —k/LV-n/	4 v)	vr
Пример 27.3. Дальность полета баллистической ракеты в без-
воздушном пространстве определяется формулой
v on - k sin 20
X — 2R arc sin-------,
е
где
1 — 4к (1 — k)cos20 ; к=--------— ; р,— 2£ТОЛ?2,
I1
г — расстояние от центра Земли до начальной точки траек-
тории;
V—скорость, а 0 — угол наклона вектора скорости к гори-
зонту в начальной точке;
R — средний радиус Земли;
gT0— среднее значение ускорения силы тяжести на земной по-
верхности.
Скорость V и угол 0 являются независимыми случайными ве-
личинами с известными математическими ожиданиями и, 0 и сред-
ними квадратическими отклонениями av, а9. Определить методом
линеаризации х и цх.
313
Решение. По формуле (10) имеем
где
г----—----=----—	-	г(*и)2
e=vi-4k(l — X) cos2 9 ;
Согласно формуле (12)
Так как
X sin 2 0
2R
cos — (1 — 2Xcos20),
2
dX 2^/?sin20 Г 1	2X(1-2X) 2OJ 2X
~ 1 — 2X cos2 0 p---------cos20j-^ =
дХ =	4б/?Х Г cos 2 0 _ Х(1 -X)
d 0	1 — 2 X cos2 0 e	e3

Следовательно,
<j	1/ —Lr- sin229+[1—2(1 — X) cos2 9]2ae2 .
(г)2 У W
§ 28. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Рассмотрим сначала определение закона распределения слу-
чайной величины Y, являющейся однозначной функцией У = ф(Л)
случайного аргумента X, закон распределения которого будем счи-
тать известным.
Если X — дискретная случайная величина с рядом распреде-
ления
Р(Х= л-к) — рк
(£=1,2,..п),
(28.1)
314
то возможные значения случайной величины У=ф(Х) будут
Ук=ф(хк) (£= 1, 2,..п). Ряд распределения этой случайной ве-
личины
=	(/—1, 2, ...» г),	(28.2)
где г —число возможных различных значений У;
Pi = 2 А (/ = Ъ 2, . . . , г),	(28.3)
ч> (V=yj
а суммирование в (3) ведется по всем значениям индекса k, для
которых выполняется равенство <p(xk) = yj.
Пусть аргумент X является непрерывной случайной величиной
с плотностью вероятности /Х(х) и функция ф(х) непрерывна. Тогда
У=ф(Л) будет непрерывной случайной величиной. Определим ее
плотность вероятности /у(р) сначала для случая, когда функция
р = ф(х) монотонная, т. е. монотонно возрастает или монотонно
убывает с ростом х. Функция x = ty(y), обратная функции У = ц>(х),
в этом случае является однозначной и имеет такой же характер
монотонности, что и исходная функция р = ф(х).
Выберем значения у и х, связанные между собой равенством
// = ф(х). Тогда при dy>0 имеем
[ Р (х < X < х + dx) при dx > 0;
Р (у < К -С у + ау) — {
I Р (х + dx X <х) при dx < 0,
что можно переписать в виде
/v(y)rfy = ! f'{x)dx при dx>0’
I —А (•*) dx при dx < 0.
Так как х = ф(р), a dx^ty'(y)dy, то искомая плотность вероят-
ности будет
А (У) = Л (У)] I У (У) !•	(28.4)
Итак, при монотонной функции y = q(x) плотность вероятности
случайной величины У = ф(Х) равна произведению плотности ве-
роятности fx(x) случайной величины X при х = ф(р), где ф(р) —
обратная функция для #=ф(х), на абсолютную величину произ-
водной от функции ф(р).
Если функция у = ф(л') не является монотонной на всем интер-
вале (а, Ь) возможных значений X, то этот интервал всегда можно
разбить точками «j, соответствующими экстремумам функции ф(х),
на интервалы (#j_h aj (/= 1,2,.. ., m), где a0 — a, am = b, внутри
каждого из которых функция у = у(х) будет монотонной (рис. 44).
При этом функция x==ipj(p), обратная функции у = у(х) на /-м
интервале (tij-i, «j), будет однозначной и монотонной.
315
Выберем произвольное значение Y = y и проведем прямую, па-
раллельную оси абсцисс, с постоянной ординатой у. Эта прямая
пересечет график функции у = у(х) в точках с абсциссами Xj — ф]-(у).
Количество этих точек зависит от выбранного значения у и всегда
не больше т. Проведем также другую прямую с постоянной орди-
натой y + dy, где ой/>0. Абсциссы точек пересечения этой прямой
с графиком функции р = ср(х) по отношению к абсциссам х}=^{у)
сдвинутся на dx}~ ${{y)dy, где знак dx* совпадает со знаком про-
изводной Вероятность попадания случайной величины X
в интервал J dxy I равна
А (^) | dx} | = /х [<Pj (у)] j ф/ (у)| dy .	(28.5)
Суммируя эти вероятности по всем интервалам jnfxj, получим
вероятность попадания случайной величины X в интервалы, соот-
ветствующие интервалу (y,y + dy) изменения случайной величины
У. Последняя вероятность равна fy(y)dy. Следовательно,
А (У) ^У = 2 А [% (У)] W (У) I dy.
Сокращая обе части последнего равенства на dy, для искомой
плотности вероятности случайной величины У получим
/у(У) = 2А [фДу)] I Ф/ (У)|.	(28.6)
j
Количество слагаемых в правой части этой формулы зависит
от значения у и определяется по графику функции у = (р(х).
Функция распределения Fy (у) может быть получена интегри-
рованием найденной плотности вероятности fs(y) или выражена
через функцию распределения Fx (х) случайной величины X без
нахождения выражения для /У(у), если воспользоваться тем обстоя-
тельством, что неравенство Y<y накладывает определенные огра-
ничения на область возможных значений X.
316
Если г/ = ф(л')—монотонно возрастающая функция, то При
Y<.y должно выполняться неравенство Х<ф(#). Следовательно,
Fy (у) = Р [X < ф (у)] = Fx [ф (у)].	(28.7)
При монотонно убывающей функции у=ф(х) получим
F, (у) = Р [X > ф (у)] = 1 - [Ф (у)] - Р [X = ф (у)]. (28.8)
Когда функция г/ = ф(х) не является монотонной, функция рас-
пределения Fy (у) определяется как вероятность попадания слу-
чайной величины X в область значений х, для которых У<ф(х).
Указанная область определяется по графику кривой y = q>(x). Если,
например, кривая у = <р(х) имеет вид, приведенный на рис. 44, то
при выбранном на рисунке значении Y=y получим
(У) = р (а < х < -*i) + Р (*2 < X < х5) + Р (хс < X < х7).
Так как Xj = фДу), то в этом случае
Ру (У) = Р la < X < ф! (у) | + Р [ф2 (у) < X < ф5 (у)] -Ь
+ Р 1Фб (У) < X < ф7 (у)]	(28.9)
или
F, (У) -	[ф. (у)1 + Fx [ф5 (У)] - F. |ф2 (у)] + F* [ф, (У)] -
- F. [Фо (У)]-Р [X = ф2 (у)]-Р[Х = ф8(у)].	(28.10)
Характеристическая функция Еу (и) случайной величины
У=ф(Х) есть математическое ожидание функции ^iutp(X). Следова-
тельно, если X—дискретная случайная величина, то согласно
формуле (26.5)
Е,(и) = J}	(28.11)
к=1
Если X — непрерывная случайная величина, то
Еу («) = J «/х (х) dx.	(28.12)
— 00
Последняя формула справедлива и для случайных величин лю-
бого типа, если для дискретных и смешанных случайных величин
использовать плотность вероятности, содержащую дельта-функции.
Несмотря на простой вид формулы (12), вычисление характе-
ристической функции Еу (и) может быть связано с существенными
трудностями. Переход от характеристической функции Еу(и)
к плотности вероятности fy (у) также связан с вычислением инте-
грала, так как
Л(у) Г («) du.	(28.13)
— 00
317
В случае линейной зависимости между X и У, т. е. при
У=аЛ+р,	(28.14)
где а и р — постоянные и а Ф 0, функция у —ф(х) = ах+ ₽ моно-
тонная. Обратная функция х = ф(г/) =—, ty'(y) = ~ •
В соответствии с (4) для плотности вероятности случайной ве-
личины У в этом случае получим
(28,15)
Формулой (15) можно пользоваться для приближенного опре-
деления плотности вероятности нелинейной функции У=ф(Л) слу-
чайной величины У в том случае, когда эта функция линеаризо-
вана, т. е. заменена приближенным выражением
Y ф(х)+ф'(х)(Л —х).	(28.16)
При этом в (15) ц = ф'(х), (3 = ф(х) —ах.
Если, например, X— нормальная случайная величина, то
У=аЛ+р также будет нормальной; // = ах+р, = |а| ах. Случай-
ную величину (16) в этом случае приближенно можно считать
нормальной.
Рассмотрим методы определения закона распределения случай-
ной величины Y, связанной однозначной функциональной зависи-
мостью с п случайными величинами Ль Л2, . . ., Лп, т. е. У =
= ф(Л1,Л2,,,„Ля).
В случае, когда (Ль Х2,.. ., Лп) — система дискретных случай-
ных величин, ряд распределения дискретной случайной величины У
находится непосредственным определением ее возможных значе-
ний t/j и вероятностей этих значений. Делается это подстанов-
кой всех возможных значений (х£Д	, х^) системы (Ль
Л2, ...,ЛП) в выражение У=ф(Ль Л2,..., Лп) и суммированием
тех вероятностей, для которых получаются одинаковые значения
Yj случайной величины У. Ряд распределения для У имеет вид
(/=1, 2, .	г),	(28.17)
где г—число возможных различных значений случайной вели-
чины У;
Pi =2л.>........V	(28.18)
а суммирование ведется по всем индексам k\, k2,..., kn, при ко-
торых ф(х6), Arg)....д-tn)) =
318
Если (Xb Х2,,.., Xn)—система непрерывных случайных вели-
чин и ф(Хь Х2,. .Хп)— непрерывная функция, то Y будет непре-
рывной случайной величиной. Ее плотность вероятности fy(y)
можно выразить через плотность вероятности f (xif х2,..., ха) ис-
ходной системы. Для этого представим плотность вероятности си-
стемы (Хь Х2,. .Xn, У) в виде произведения известной плотности
вероятности системы (Хь Х2, . . ., Хп) и условной плотности веро-
ятности случайной величины Y при заданных значениях случайных
величин системы, т. е. положим
/(лгь х2,	, хп> _y)=/(xb х2, .... хп) Ду/ xit х2, ... , хп). (28.19)
По условию У является однозначной функцией случайных ве-
личин Хь Х2, .. ., Хп. Следовательно, при любых фиксированных
значениях аргументов случайная величина Y имеет единственное
возможное значение у = ср(хь х2,. .., хп).
Условная функция распределения для Y имеет вид
Д (у/хъ х2, . . ., хп) == е \у — (хь х2, . . ., хп)],
где е(£) — единичная функция, равная нулю при ^<0и единице—
при £>0. Условная плотность вероятности будет
/(У/Х„ х2......=
= о [у — (хь х2, . . . , хп)],
поэтому равенство (19) можно переписать в виде
f&i, х2, . . ., хп, у) = /(хь х2, ... , хп) 8 [у-<р (х15 х2, ..., хп)].
(28.20)
Интегрируя это выражение по всем возможным значениям слу-
чайных величин системы (Хь Х2,. .., Хп), получим плотность веро-
ятности случайной величины Y
еа
fy (у) =J J . . . J/ (^1, Х2, . . ., Лп) X
X 3 [у — <р (хь х2, . . . , xn)] dxY dx2 . . . dxa. (28.21)
Предположим, что функция <р(хь х2,.. ., хп) является монотон-
ной по отношению хотя бы к одному из аргументов. Если, напри-
мер, этим аргументом является Xj, то равенство у=<р (хь х2,.. ., хп)
можно разрешить относительно Xi и получить Xi =ф(у, х2, х3,..., хп).
Произведем в (21) замену переменной интегрирования х} на
приняв Х1=ф(|, х2, х3,..., хп), тогда при d£>0
dXi
Ф	• • • > -^n)
Ф [ф (£, х2, Х3, . . . , ха), х2, ., ,, хп] £.
319
Для любой непрерывной в точке £, = у функций Q(£) справед-
ливо равенство
jQU)8(</-5)^ = Q(y),
(28.22)
поэтому для искомой плотности вероятности из (21) получим
/у (V) = J j . • • J f [ф(у,	Х3, . . . , Х„), Х2, Х3, . . . , Хп] X
(28.23)
Если уравнение y = q>(xl, х2,..хп) нельзя разрешить одно-
значно, то область интегрирования, например, по Xi в (21) следует
разбить на интервалы, в каждом из которых функция (хь х2,..., хп)
монотонная относительно хь Пусть, например, весь интер-
вал (а0, ат) возможных значений Xi разбит на т таких интерва-
лов (^_и tZj) (/ = 1, 2,.. т). Тогда на j-м интервале получим
однозначное значение Xi =ф| (г/, х2, х3,,.., хп) (j= 1,2,..., m). При
этом
х2, . . ., хп) 3 [у — <р (Xi, х2, . . ., xn)] dxt =
= 2 J ft*1' Х^ * * ‘ ’ Х^ 3	Х2' * ’ ’ ’ dxi =
X 8 (у ?)	(?J х2, х3, . . . , xn)
где
yj = o (ajt x2, x3, . . . , xn) (/ = 0, 1, . . . , m).
Если выбранное значение у таково, что
mln (yj-х; yj) < у < max (уН1, у,),
то в (24) j-e слагаемое в соответствии с (22) равно
лГ. ,	х	. д .	,
(28.24)
(28.25)
/	(У;	*з. •   > -^п); -^2, • • •, *n]	{У, х2, х3, . . . , хп)
320
В противном случае этот интеграл равен нулю, так как подын-
тегральное выражение равно нулю. Следовательно, искомая плот-
ность вероятности будет
Л (У) =2 И ’ " J • 1 • ’	• 1  > Хп1 X
j	—м
X
<^J
dx> dx3 . . . dxn,
(28.26)
причем суммирование ведется по номерам только тех интервалов,
где выполняется условие (25).
Применим полученные выше формулы для определения закона
распределения случайной величины
Z=XQ(Y),	(28.27)
где 0(У) — заданная функция случайной величины У, а плотность
вероятностных,//) системы (Х,У) известна. В этом случае воз-
можные значения х, у, z случайных величин X, К Z связаны равен-
ством z = xQ(y), из которого однозначно находим х = ф(г, у) =	,
поэтому плотность вероятности fz (z) определяется формулой (23)
при п — 2, Xi=. х, х2 = у.
Следовательно, искомая плотность вероятности случайной ве-
чины 7=Х0(У) будет
лМ'НИжгг-
(28.28)
Если, например, 0(У) = У, т. е. Z=XY, то из (28) находим
z \ dy
У ’ /1у1 :
1	X
при 0(У) = -у , т. е. когда Z= —у ,
’	J f(zy, у) I у I dy,
— ао
(28.29)
(28.30)
Формулы вида (29) и (30) могут быть получены другим, более
наглядным, способом. Если, например, Z=-pr, то условие
<z+/Zz выполняется в области, лежащей между прямыми x=zy
и х= (z+dz)y (рис. 45). Интеграл от f(x> у) по этой области равен
вероятности попадания случайной величины Z в интервал (z; z-f-rfz),
т. е. равен fz (z) dz.
21
321
Следовательно,
“> (z-|-dz)y	0 zy
fz (2!) dz = J J f (x, y) dx dy + J J f(x, y) dx dy —
0 zy	—oo (z-j-dz)y
Рис. 45
Сокращая обе части последнего равенства на dz, получим плот-
ность вероятности fz(z), определяемую формулой (30).
Если Z = XY, то условие z <CZ	z + dz выполняется в области,
заключенной между гиперболами xy = z и xy = z + dz (рис. 46).
Рис. 46
322
Следовательно, в этом случае
z + dz	2
«у	Оу
f2 (z) dz — J J fix, y) dx dy + j J f (x, y) dx dy =
—oo z-j-dz
У
0
о
dz.
о
Сокращая обе части последнего равенства на dz, получим плот-
ность вероятности (29).
Аналогично может быть определена плотность вероятности
случайной величины Z = cp(X, У) и при другом виде функциональ-
ной зависимости Z от X и У.
Иногда вместо непосредственного определения плотности веро-
ятности fy(y) случайной величины У=ф(Х1? Х2,..Хп) по формуле
(26) проще сначала найти функцию распределения Ау(г/), а затем
путем дифференцирования Лу (у) найти и fy (у). Рассмотрим этот
метод определения закона распределения, применимый для слу-
чайных величин любого типа.
Функция распределения случайной величины У=ф(Хь Х2,. .2Q
будет
Гу(у) = Р(У<у) = Р[?(^1, ад .... ^) < у].
Условию ф(Х[, х2,..ха)<у в пространстве п измерений соот-
ветствует некоторая область Z)y, которая может состоять из отдель-
ных областей. Уравнение границы этой области имеет вид
<р(*ь *2, • •*п) =у. Искомая функция распределения равна веро-
ятности попадания случайной точки (Хь Х2,. .Xй) в область Dy.
Следовательно,
G (У) — J j • • • j f (*ь *з. • • • » *n) dxx dx2 ... dxa,
где интегрирование ведется по области £)у. Сложность определения
закона распределения Fy(y) в данном случае связана с установ-
лением пределов интегрирования в (31) и с вычислением соответ-
ствующих интегралов.
Формула для характеристической функции Еу(и) имеет более
простой вид, чем формула (31) для функции распределения Fy(y).
В соответствии с (26.17)
£у («) = J J ... j eiup(X1,Xa..xn) /(ль x2, ..., xn) dxt dx2 ... dxn.
(28.32)
323
Плотность вероятности /у(#) через Ёу(и) выражается форму-
лой (13).
Рассмотрим методы определения закона распределения систе-
мы случайных величин (Уь Y2,..., ¥г), каждая из которых являет-
ся однозначной функцией случайных величин Х2,   •, X, т- е-
П = ?s (Хь Х2) ... , Хп) ($ = 1,2,.... /). (28.33)
Функция распределения этой системы
Г, (У1. Уг. • • • . Л) = P(Yi < У1, У2 < у2, . . . , Г, < у,) =
= Р [Т1 (Х„ Хг, .... Х.)<у,.........т, (Хи Х2, .... X.) < у,].
По аналогии с (31) имеем
Fy (Ув у2> • • • ? Уг) = J J • • • J f (хь -^2? • • • ? *^n) dx± dx2 . . . dxn,
<Dyi- y3.
(28.34)
где под £)У1, y9..yt понимается область в пространстве п измере-
ний, соответствующая неравенствам
<ps (-^i» -Х2, . . . , -Я-n) X Уз == 1, 2, • . . , /).
Вычислив функцию Fy, для плотности вероятности получим
/у (Уь у2, • • • , Уг) =
dlFy (у{, у2, . • . , Уг)
dyt ду2 . . . dyt
Характеристическая функция системы (У)( Уг,..У/) в соответ-
ствии с (26.21) определяется формулой
i
~ "S W*11 Хз......хп)
£у (иь ц2, .... цг) = J J ... Je8-1	X
X/Ub х2, . . ., -кп) dxrdx2 , . . dxn, (28.35)
Зная эту функцию, плотность вероятности можно найти по
формуле
i
1 Р г “ f -’Sv*
/,(у„ у2>	у,) = -(2^гН ...р X
X Еу (»ь и2, •. ., щ) dux du2 . . . dU[.
324
Рассмотренные методы определения функции распределения,
характеристической функции и плотности вероятности системы
(Ур У2,   Yi) случайных величин обычно связаны с громоздкими
и сложными вычислениями. В некоторых случаях удается значи-
тельно проще найти закон распределения этой системы, используя
другие способы. Получим выражение для плотности вероятности
/у (Уъ Уъ,  • •, У1) системы I непрерывных случайных величин
(Ур У2,..., yz), обобщая рассмотренный выше метод определения
плотности вероятности fy(y) по формуле (23) или (26).
Плотность вероятности объединенной системы (Хр Х2,..Хп,
Уь У2,..., У/) можно представить в виде
/(Хр х2, . . . , хп, у2, . . . , yz) =
= /(хр х2, . . . , хп)/(ур у2, . . . , уг/хь х2, . . ., хп). (28.36)
Если случайные величины Хр Х2,   Хп приняли значения
Х1,Х2, ...,хп, то К8 = ys = ?s(Xp х2,..., xn) (5=1,2,...,/).
Следовательно,
г
f (У1, Уз, • • • , yil*i, х2, . • . , х„) =П 5 [Уз “?з Up х2, ..., хп)].
8=1
Для искомой плотности вероятности в результате интегрирова-
ния (36) по возможным значениям случайных величин Хр Х2,...
..., Хп получим
/у (У1, У2, -   , У<) = j* J • • • J f (Хр х2, . . . , хп) X 
— со
I
х п ЧУз — ?s (Хр Х2, . . ., xn)] dxr dx2 . . . dxn. (28.37)
8=1
Пусть а функции ys = <ps(Xp х2,.. ., хп) могут быть одно-
значно разрешены относительно каких-либо I аргументов. Предпо-
ложим, что это можно сделать, например, относительно Хр х2,. ..
. ..,xz. Тогда в области возможных значений случайных величин
Хр Х2,..., Xt и при любых возможных значениях xz+1, xz+2, ..., xn
случайных величин Xz+1, Xz+2, . . . , Хп
Xs == фв (У1> Уг? • • • 5 Ун xz+p xz+2, . • . , xn) (s = 1, 2, . .  , /).
(28.38)
Для вычисления I интегралов в (37) произведем замену пере-
менных Хр х2,..., xz на |р ^2, • • •. положив
х8 = фз (5р 52, . . * , £z, XZ4-p xz+2, . . . , xn) (s = 1, 2, •..,/).
325
Якобиан преобразования при этом будет
<?tpj
Ж? ’ Ж ’ ’ * * ’
1 ~ д (Sn ?2.......
’ я2 ’ * ‘
Поэтому
/у (Уь Уз, ...» Vi) =
~ J J ’ ’ ' J Фз, • • • > Ф/> Х1+1> Х1+2ч • • • , Хп) X
— во
I
X I / I I~[ (у&	?s)	• * . d^i dxl+l dxl+2 .. . dxn.
S=1
После вычисления l интегралов получим
А (Ув У2, • • • . У/) =
— J J •  * у / (Фь Фз, • • •, xi+i> xt+’i • • • ч хп) х
X
д (фь ф2, • • , Ф/)
д (Ув Уз, •  • , У/)
dxi+i
dxl+2
(28.39)
. . dxn,
где ф8 = 'X (у,, у2, . . ., yz, xl+1, xl+2, ..., лп) (s = 1,2, . . ., /).
В частном случае, когда 1 = п, из (39) находим
/у (Уь Уа> •  • > У и) — f (Фв Фз» • • • ч фп)	у z
- ? Фп)
• • , Уп)
(28.40)
где ф5 —	(у(, у2, . .. , уп) (s = 1, 2, .. ., п).
Эта часто используемая формула имеет место только в том слу-
чае, когда между двумя системами непрерывных случайных вели-
чин (Уь У2,..Уп) и (Хь Х2,..Хп) установлено взаимно одно-
значное соответствие
Ks — (ps (Xit Х2, , . Хп) (s=l,2,..., п),
^ = ФЛП, ...... ^п)	(7 = 1, 2,».., «).
.336
Если в (37) 1~>п и, например, первые п уравнений ys =
х21 . . . ,xn)(s = 1,2,. .п) могут быть разрешены однозначно,
Xj—'pj (z/i, у2,. • > уп) (/= 1, 2,. .., п), то после выполнения интегри-
рования получим
А (Ув у2, • • •, yz) =
= /(-). %,  • • .	V*) П 8 (У. — <?.), (28.41)
О' (Уь у2, . • • , Уп) !
где = % (уь у2, .... Уп) (J = 1/2........п);
?8 = <?8 (фп Фг» • • •, Фп) (S = п + 1, П + 2, . . , , I).
Если уравнения ys= <ps (%i, х2,..хп) (s = 1, 2,..I) не могут
быть однозначно разрешены относительно xh х2,..х( (или Xi,
х2, ...,хп) в области возможных значений случайных величин
Xi, Х2,.. то формулы (39) — (41) не справедливы. В этом
случае плотность вероятности /у (z/i, у2,..yt) вычисляется непо-
средственно по формуле (37). Разбивая область интегрирования
на части, как это сделано при выводе формулы (26), при 1<п
можно вычислить I интегралов в (37), а при I У>-п— все п инте-
гралов, не используя при этом выражения для плотности вероят-
ности f(xlf х2,.. хп) системы (Xj, Х2, • Хп).
Пример 28.1. Ряд распределения случайной величины X задан
п
в виде P(X=+k) =рк (6 = 0, 1,..., п), где р0 + 2^А = 1- Найти
k=I
ряд распределения случайной величины У=Хт, если т — целое
положительное число.
Решение. Возможные значения случайной величины У
Ук = (+&)т (6 = 0, 1,.. ., п). Если т—нечетное число, то все эти
значения различные, поэтому ряд распределения случайной вели-
чины У будет Р(У=+6т) = рк (6 = 0, 1,..., п). Когда т — четное
число, (±6)m=6m, т. е. при 6^=0 двум значениям +6 случайной
величины X соответствует одно значение 6т случайной величины У.
Поэтому в данном случае ряд распределения будет
Р(Г = 0) = А> P(K=6ffl) = 2pk (6= 1, 2, ..., /г).
Пример 28.2. Случайная величина X равномерно распределена
в интервале (0;1). Определить закон распределения случайной
величины У, если
/ У — а \ ~
! + ф -----л----1 >	(2842)
2 Г
где а и Ъ — постоянные, 6>0, а Ф(г) = —1 е 2 dX
V 2к J
о
327
Решение. Из (39}следует, что при Л=О К~—оо, априХ==1
У~ оо, т. е. интервалом возможных значений Убудет (— оо, оо).
Заданная обратная функция
х = ф (у) = -L 1 + Ф У —
монотонно возрастающая,
Ф'(У>
Так как
А (*) =: | *
то согласно формуле (4)
А (у) = А [Ф1
<	(У-а>3
1	2bs
----==- е
£]/2к
при 0 -< х -С 1;
при х < 0 или х > 1,
1	_ Д:
)] ф' (у) = —е 2
о у 2тс
Таким образом, случайная величина У нормальная, у=а, ау—Ь.
Формула (42) широко применяется, например, в методе Монте-
Карло (метод розыгрыша) для получения реализации нормальной
случайной величины по реализации равномерно распределенной
случайной величины, которая может быть получена сравнительно
просто.
Пример 28.3. Случайная величина Ф распределена равномерно
/ ic -\
в интервале I—- , Определить законы распределения слу-
чайных величин X=atgO и Y~asinO, где я>0.
Решение. Для плотности вероятности случайной величины Ф
имеем
А (?) =
1 । । *
- при |Т|С— ;
О при I ? | > 4" •
В заданном интервале изменения случайной величины Ф вели-
чины X и У являются возрастающими функциями угла Ф. Интер-
валы возможных значений случайных величин X и У следующие:
(—оо, со), (—а, а).
Выразив значение ср случайной величины Ф через значение х
„	„	v	1 х d®_______ а
случайной величины X, получим: <p = arctg— ; -f- = —j—т-—— .
dx d -j“ X
326
В соответствии с (4)
. , . г , х \ do	а
Гх — fv arctg-------- ~г"~ ------,
х \ / j <?	& а / dx тс («“ + х2) ’
т. е. случайная величина X распределена по закону Коши.
Возможные значения у и ср случайных величин У и Ф связаны
равенством у = a sin ф.
Следовательно,
. У do	1
<? = arcsin —, -f- £=  	,
a dy /а2 — у2
/у (У) = A arcsin
—	при |у| < а;
тс / а2 — у2
О при |у| > а,
т. е. случайная величина У распределена по закону арксинуса.
Пример 28.4. Плотность вероятности случайной величины X
равна /Х(х). Определить плотность вероятности случайной вели-
чины Y=a2X2, где cz>0.
Решение. Если плотность вероятности /х (х) отлична от нуля
при х<0, то обратная функция х = ф(у) для у — ф(х) = а2х2 не одно-
значная, и потому при определении (у) нужно использовать фор-
мулу (6). Разбивая интервал возможных значений X на два ин-
тервала (—со,0), (0,со) и принимая ф1 (г/) = —
получим при z/>0
А (у)
2ауу I А	)
При у<_0 А (у)-о, так как случайная величина У не может
принимать отрицательные значения.
Пример 28.5. Случайная величина X распределена по экспонен-
циальному закону /х (х) =	х>-0. Определить закон распре-
деления случайной величины Z, которая равна целой части XX.
Решение. Плотность вероятности случайной величины У = АЛ
будет
л(у)=а(4)4~^ е~у,
Тогда
к+1
P{Z = Aj) = К< & Ч- 1) = е-У dy = е~к (1 - е~]).
к
329
Таким образом, ряд распределения для Z: P(Z — k) — е~к(1—е-1)
(& = 0, 1,...), т. е. Z имеет геометрическое распределение при <7 = е~т.
Пример 28.6. Две системы случайных величин (Хь Х2,. . .,ХП) и
(Ун Уь  • Уп) связаны между собой линейными соотношениями:
+ (у = 1, 2, . . ., л);
4=1
^=2^ + 8) (/ = 1,2,...,»),
4=1
где ajv, Pj, —постоянные. Известна плотность вероятности
/х (хь х2, • • •, яп) системы (Хь Х2,..Хи). Найти плотность вероят-
ности fy(t/i, Уъ системы (Уь Уг,   Уп).
Решение. Воспользовавшись формулой (40), находим
A (Х1, Уг, . • • , Уп) =
(п	и
2 м1’ +	2 a2^ +•
4 = 1	4 = 1
где
а1Ь а12» • • • » а1п
а21 > а22> • • • > а2п
апЬ ап2^ • • • > апп
Пример 28.7. Отклонения X и У точки падения ракеты от центра
цели по дальности и в боковом направлении образуют нормаль-
ную систему центрированных случайных величин со средними квад-
ратическими отклонениями ох, зу и коэффициентом корреляции гху.
Определить закон распределения системы (/?, Ф), характеризую-
щей отклонение точки падения ракеты от центра цели в полярных
координатах, и законы распределения случайных величин R и Ф.
Решение. Плотность вероятности системы (X, У) имеет вид
Системы (X, У) и (R, Ф) связаны взаимнооднозначными соот-
______________________________________________	у
ношениями: X — R cos Ф, У=R sin Ф и R= Х2 + У2, ф = агс tg	,
0 R < °о, 0 <С Ф 2я).
330
В соответствии с (40) имеем
/п? (>*, ?) = /х,у (г COS 9, г Sin 9) I
где
дх дх
дг ’ д<р
ду ду
dr ’ ду
поэтому плотность вероятности системы (/?, Ф) будет
ft,<? (^*5
г’ /cos’<p гху sin 2<р sin’tp
т) =_______/2 (>Л) (т-" Т
—г|у
Плотность вероятности fv (ср) случайного угла ф получается из
/г1? (г, <р) интегрированием по г от 0 до оо. Так как
« а’г3	,
Гге' 2 dr =----------Fе
v	а
о
а’г3
2
а2 '
о
то плотность вероятности для Ф
(
____________]/1
''„si"??
sin2 9
V
при 0 < 9 < 2л;
О
Если
реляции
вид
при 9 < 0 или 9 > 2л.
рассеивание круговое, т. е. ах = зу — j и коэффициент кор-
гху = 0, то последнее выражение упрощается и
принимает
Л(?)=|^ при
О при 9 < 0 или 9 > 2л.
Плотность вероятности fr(r) случайной величины R
из /г,<р(б<р) интегрированием по <р от 0 до 2л, поэтому
rxy sin 2?
°х°у
получается
f (г\ =_____ —.....
2^ау/1-г2у5,
sin3 у\
+ п2 I
У / с/?.
cos’ (f>
331
Имеем
cos2 <р глУ sin 2<р ,
---------------	----------[-
°х2------------Wy
Положим
-U-) cos 2<? — sin 2<р.
3У /	°х3у
л	1 / 1	1 \	л	Г ху
cos 2?0	д- - —5-J , Sin 2?0 =	,
тогда получим
/г (И =
Интегрирование по <р может быть выполнено, так как
2 (?-<р0) (Ц = 1ц (г),
где Iq{z)—функция Бесселя нулевого порядка мнимого аргумента.
Учитывая последнее соотношение, получим
при г > 0;
0	при г < 0.
Если случайные величины А' и Y некоррелированные, то гху = 0,
а потому
при г > 0;
при г < 0,
332
При круговом рассеивании
в этом случае:
cjx=ay —а. Так как /о(0) = 1, то
Л (г) =•
при г > 0;
/<р (?) —
при г < 0;
1
2тс
О
при 0 < у < 2я;
при <р<0 или <р > 2^,
— е 2а*
z-
О
т. е. расстояние 7? распределено по закону Релея, а угол Ф, состав-
ляемый радиусом-вектором R случайной точки с осью абсцисс,
распределен равномерно в интервале (0,2л).
Пример 28.8. Известна плотность вероятности f(x,y) системы
(ХУ). Определить и Д (г2), где Zi=-yr, a Z^=XY, если:
а) X и Y — центрированные нормальные случайные величины
со средними квадратическими отклонениями ох, ау и коэффициен-
том корреляции гху;
б) X и Y — независимые случайные величины, распределенные
по закону Релея с параметрами а и b соответственно;
в) X и Y — независимые случайные величины, распределенные
равномерно в интервале (а,Ь), где а>0.
Решение. Плотность вероятности fZl(zi) случайной величины
= определяется формулой (30), а для случайной величины
Z2 = XY плотность вероятности fZa(z2) имеет вид (29).
а) В этом случае
f (х, у) —-------1 - .  ~ X
2^ахау ]/1 - г2ху
X ехр
1
2 (1 - ^у)
Следовательно,
ос
А. (г|) = у)1уЫу =
= ——1	f v ехр Г J'"	- 2г‘г" +
о
333
„	r,	"x X	<3X
т. e. случайная величина Z]—rxy — —	---распределена
ay Г ay
по закону Коши с параметром а— — 1Л1 —	. При гху=0 слу-
X	'
чайная величина Zi = -y распределена по закону Коши с парамет-
°х
ром а = —— .
°у
Для случайной величины Z2 = XY имеем
л , х ? ,/ s2 \ dy
— 00
Чтобы вычислить последний интеграл, воспользуемся интеграль-
ным представлением для функции Макдональда нулевого порядка
КДг), являющейся цилиндрической функцией мнимого аргумента,
Следовательно,
Уху
f (7 \ = ______1_______„ ’хоу(1-гху) К (____5?--------
2	Г*	Ч ^ауО"Гху) /
А у
б) Имеем f (х, y)—fx (х) fy (у), где при л > 0 и у > О
при x<0 fj.(x) = Qt а при д<0 /у (у) s= 0.
334
Искомые плотности вероятности /z. (£j) = 0 при 2j< 0 (/ = 1, 2).
При 2] > О
A,
2zt (ab)2
(a2 -I- 6-zrT
Для случайной величины Z2 получим
” И У УП
f (z ) —	- е 2 v2a“ b'J / d\! — Zli К I -^2-
J e	ay— (ab? /<0 ab
0
в) В этом случае f (x, y)—fx (x)/y (j), где
(1 „
. , . Г-- при a<x<D;
/x(x)=M-6Z r
( 0 при x < а или x > b;
(1	/	/ f-
, . . т--- при а < у < о;
О при у < а или у > Ь.
X
Для плотности вероятности случайной величины Zj = -y имеем
B(zi)
A <^i) = J у А (^у) А (у) dy>
А(гх)
где пределы интегрирования 4(zi) и В(г}) являются границами
области изменения у, в которой подынтегральная функция отлична
от нуля.
Функция fx(ziy) не равна нулю, если a ^,zty b, т. е. при
а	&	,
— < У < —. Так как а<Су < b, то интервал возможных значе-
Zj	Zr
а	г:	й /	,	а
нии Z\ будет	Если у <С zx < 1,	то должно быть
— < У < ь, т. е.
ь
1 Р	1 Г / а \2 ’
Л(г1) == J >’dy=2(ъ -а? рг- (гт)
Если 1 <; z{ , то должно быть а у , т. е.
6Z	Zy
ь
. . х 1 Г .	1 Г / b у 21
А (г1) = —ГТ--------77“ I У ау = =Г7Т-------ГГ —	— а2 .
•/г*' и (£ _ #)2 j л z 2(Ь — а)2 Ц*1/ j
а
335
Следовательно,
Zj = -р- будет .
плотность вероятности случайной величины
	а	. а 0	при 21 < у		ь или zr >— ; 1 а
А(^) =	1 2 (Ь - а)2	1	1 Сч « I н 1 ем О	при у < zt < 1;
1	17 ь V 21	1 / ь
2 (b -~aF [(тг) - “ ] ПРИ 1 < г‘ « V
Для Z2 = XY аналогично находим
B(z2)
Д (z2) = j у /х А (у) dy,
A(*a)
где при а2 < z2 < ab Л (z2) — а, В (г2) =: ~, а при ab < z2 <
>= Д(г2) = ^-, B(z2) = b.
Поэтому
при z2 < а2 или z2 > ft2;
О
Л (Z2) —
1
(b - a)2
In при a2 < z2 < ab\
(b — a)2
b2
Z2
Пример 28.9. Траектория блуждающей частицы состоит из от-
резков длиной lk (k— 1, 2,..п); углы ak, составляемые этими
отрезками с осью Ох, независимы и равномерно распределены
в интервале (0; 2л). Величины 1\,12,.. 1а заданы. Найти характе-
ристическую функцию и плотность вероятности приращения X
абсциссы конечной точки траектории.
Решение. Приращение X абсциссы конечной точки траекто-
рии будет
п
х = cos ak*
k=l
Так как
/«k (ak) —
-Д- при 0 < ak < 2л;
0 при ak < 0 или ak > 2л,
336
то характеристическая функция случайной величины X, в соответ-
ствии с (32), имеет вид
п	2п	П
<«)=П f e’u,k"’ “i - ГР»(и4)’
к=1	0	Ы
где /0(г)—функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Плотность вероятности
©о	и
A W =	J	П	du-
— 00	к«4
§ 29. КОМПОЗИЦИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Применим формулы предыдущего параграфа для определения
закона распределения суммы двух случайных величин, т. е. по-
ложим
Z-ХуУ.	(29.1)
Плотность вероятности f (х, у) системы (X, У) будем считать
известной.
Если, например, X и У — дискретные случайные величины, то
согласно формуле (19.45)
I tn
у)=2	&-уд*
k=l j = l
где
р^ = Р(Х = хкУ = ^) (k= 1, 2,. .., I; j=l,2,..., m).
Чтобы найти плотность вероятности /z (д) случайной величины Z,
воспользуемся формулой (28.23). Возможные значения х, у и z слу-
чайных величин X, У и Z в данном случае связаны равенством
z = x+y, из которого однозначно следует, что x = z — у. По фор-
муле (28.23) при n = 2, Xi= х, х2= у и ф(2, у) — г— у находим
A(z) = J/(z —У>У)^У-	(29.2)
Учитывая, что в (1) X и У входят симметрично, формуле (2)
можно также придать вид
/Z(z) = J/(x, z — х) dx.	(29.3)
—-о©
22
337
Произведем другой вывод формул (2) и (3), исходя из геомет-
рических соображений.
Области, в которой z < z+dz, на плоскости хОу соответ-
ствует бесконечная полоса, заключенная между прямыми x+y = z
и x+y=z+dz (рис. 47). Следовательно,
P(z <Z<z-bd2) = P(2!<A' + Ydz^dz) —
00 Z-j-dZ—У	оо
= j J f(x,y)dxdy = dz^f(z — y,y)dy
— oo	—• oo
или
oo z4-dz—x	OO
P(z <Z <z + dz) = J j f (x, y) dy dx~ dz ^f(x,z—x)dx,
—	2—X	—
Так как P(z^Z^. z+dz) =f^ (z)dz, то последние выражения
после сокращения на dz дают формулы (2) и (3).
В частном случае, когда X и У — независимые случайные вели-
чины, для плотности вероятности fz(z) случайной величины Z=
=X+Y из (2) и (3) получим
00	оо
А(г) = J fMfy(z-x)dx~	- y)fy(y)dy. (29.4)
Нахождение закона распределения суммы двух независимых
случайных величин X и У по законам распределения слагаемых на-
зывается композицией законов распределения и символически обо-
значается в виде
Л(г) = ДИ* /у («)•
(29.5)
338
Интеграл (4) называется «сверткой» функций/х и /у.
Для случайной величины Z = X+Y характеристическая функция
определяется формулой
^г(«) =	y)dxdy.	(29.6)
Если X и Y — независимые случайные величины, то
£г (и) = J eil,x/x (х) dx J £iuy/y (у) dy,
т. е.
(«) =	(«)^у («)•	'	(29.7)
Таким образом, характеристическая функция суммы Z^X-yY
независимых случайных величин равна произведению характери-
стических функций слагаемых. Из формулы (7) также следует
формула (4) для плотности вероятности	Действительно,
имеем
Л (г) f e~"“Et (и) Es (и) da.	(29.8)
Подставив в данное равенство явные выражения для характе-
ристических функций случайных величин X и У и воспользовав-
шись интегральным представлением для дельта-функции, полу-
чим (4).
Если X и У — дискретные случайные величины, то
£х(«) = VpkeiuIk; £у(м) = ^pj'eluyi,
k=l	j-1
где	рк = Р(Х — хк) (&== 1,2,...
р/ = Р(У-^.)	(/ = 1,2,..., т}.
В соответствии с (7) характеристическая функция случайной
величины Z = X + Y будет
I m
£2(«) = 22лл'е'“<Хк + У?’	<29-9)
к=1 j=l
Возможные значения zs случайной величины Z совпадают с воз-
можными значениями хкД- Vj суммы Х+У. Если все 1т таких сумм
различные, то вероятность 75(Z = zs), где zs = zk,j = хкД-.Vj, равна
Pkpj', т. е.
P{Z = zk,j) = Р (X- хк) Р( У = Jj).
339
Если возможное значение zs случайной величины Z может быть
получено при различных комбинациях возможных значений и У;
случайных величин X и У, то
P(Z — z,) = ^Р[Х = х^Р(У=г,~х^	(29.10)
к = 1
или, что то же самое,
m
Р(2 = г,) = 2₽<Г=Л>/><-¥=г‘(29.11)
j=l
где суммирование ведется по всем таким значениям хк (или
при которых хк -J- yj — za.
Плотность вероятности для Z имеет вид
I m	г
2p<z=	(29.12)
k=lj—1	s=l
где г — число различных возможных значений Z = X+T.
Если X и У — независимые целочисленные случайные величи-
ны, то для характеристики случайной величины Z—X+Y удобно
использовать производящие функции. Так как производящая функ-
ция 6(н) связана с характеристической функцией Е(и) равенством
Е(и) —G(etu ), то по аналогии с (7) получим, что производящая
функция случайной величины Z=X-j-Y равна произведению произ-
водящих функций слагаемых, т. е.
Gz(zz) = Gx(«)Gy(tf).	(29.13)
Под композицией п законов распределения понимается нахо-
ждение закона распределения случайной величины Z, являющейся
суммой п независимых случайных величин Xj,
Z =	(29.14)
j=i
Если fz(z) является плотностью вероятности случайной вели-
чины Z, определяемой равенством (14), a /Xj(Xj) —плотность веро-
ятности Xj {/ = 1, 2,..., п), то композиция п законов распределе-
ния сокращенно обозначается в виде
A(z)=A.(z) */J*)* • •• */хп(2г).	(29.15)
340
Применяя последовательно формулу (4) для композиции двух
законов распределения, можно получить формулу для композиции
любого числа законов распределения. Так, например, если Z=Xj +
Н-Х2 + Х3, то, полагая Х2 + Х3=Е, по формуле (4) получим:	t
fi (^)= J A. C^i) fy (%	-*Т)	;
— 00
/у(У)=
— со
Следовательно, в этом случае
fi (z) = JJ A(*i) А(*з) Аз (г - Xj — x2) dxxdx2.
---------60
При композиции п законов распределения
Л (z) = JJ • • • J A. (xj А (х2)... An_t (*n-i) X
(n—1 \
z — I dx{ dx2 ... dxn^.	(29.16)
j=i /
Если Aj (u)—характеристическая функция случайной величи-
ны Xj (/= I, 2,..., n), то характеристическая функция случайной
величины Z, определяемой равенством (14), будет
А(«) = П^(«).	(29.17)
j=i
Плотность вероятности случайной величины Z определяется
формулой
оо	11
Л (г) = J е-*“ П ЕЧ <“>du- <29’ 18>
— К)	j=l
При целочисленных случайных величинах Xj (/= 1, 2,..п)
с производящими функциями Gx. (и) (/= 1,2,..., п) для производя-
п
щей функции Gz(w) случайной величины Z=^X^ получим
j-i
А(«)=ПОх.(и).	(29.19)
341
Последние формулы - несколько упрощаются, если все слагае-
мые распределены по одному и тому же закону. В этом случае
формулы (17) — (19) принимают вид:
Е^и^ЕЦи}-,	(29.20)
оо
Л (г)=i
2^ J
— ao
Gz(m)^G"(zz),
(29.21)
(29.22)
где E(u) и G(w), соответственно, характеристическая и производя-
щая функции случайной величины Xi (/= 1, 2,..., п).
Применим полученные выше общие формулы к некоторым част-
ным случаям. Пусть каждая из п целочисленных случайных вели-
чин Xj (/= 1,2,.. п) с одинаковой вероятностью — может при-
нимать одно из т значений: 0, 1,..., т—1. Производящая функ-
1 —
ция для Xj имеет вид G(w) = ——-----г, тогда производящая функ-
/72- ( 1 ' ' 22)
п
ция случайной величины Х= будет
Gx (и) =
(1 — «т)п
тп(1 — и)п‘
(29.23)
Коэффициент при и1 в разложении этой функции по степеням
параметра и равен вероятности того, что случайная величина
п
х — V A'j пр имет значение х = / (/ = 0, 1,(т— /)п). Так как
j=i
И	оо
(1 _ «»)" = 2 (_	(1 - «)-” = У «1,
j=-0	j=o
то вероятность этого значения
г
Р (Л = 0 = V (- 1,	(29.24)
s==0
I
где г— целая часть отношения — .
т
Вероятность Qt того, что случайная величина X примет значе-
ние, не превосходящее I, является коэффициентом при и1 в разло-
жении по степеням и обобщенной производящей функции (см. § 1 I)
Г)_ (\-итУ
1 -и. Wn(l -zz)n+1 ’
(29.25)
342
Нетрудно видеть, что
Г
Ql=m5 2(~ 1)!cn’c?+”-s” 	(29-26)
s-0
/
где г — целая часть числа — .
т
Аналогично с помощью производящих функций вида (23) и (25)
могут быть решены и некоторые - другие задачи, которые более
сложно решаются путем непосредственного применения формул
полиномиального распределения (см. § 9).
Если каждая из независимых случайных величин Xj (/=1, 2,..
..п) распределена по биномиальному закону, то производящая
функция для Xj имеет вид Gx. (ц) = (^ + up^i . Производящая
п
функция случайной величины Х= ^Xj будет
j=i
(«) -= П («) = П (?i + tfPjP-
j=i	j=i
Из этого выражения следует, что при композиции биномиаль-
ных законов распределения получается обобщенное биномиальное
распределение. В частном случае, когда pj — p (j= 1, 2,..п), по-
лучим
Gx(u) = (q + up)m,
где
j=i
Следовательно, при композиции биномиальных законов рас-
пределения с одинаковыми вероятностями pj снова получается би-
номиальное распределение.
Предположим, что каждая из независимых случайных величин
Xj (/= 1,2,. .., п) распределена по закону Пуассона. Производя-
щая функция для Xj имеет вид Gx. (it)=exi (u-1\ Воспользовавшись
формулой (19), находим, что производящая функция случайной
п	_	п
величины X=^Xj равна Gx(tt) = ex<u-1) , где	Следо-
j=i	j-i
вательно, при композиции законов распределения Пуассона снова
получается распределение Пуассона.
343
Если случайная величина Xj имеет геометрическое распределе-
ние с производящей функцией G*. (и) =	~— (/= 1, 2,..п),
п
то производящая функция случайной величины Х= Xj будет
j=i
0х(«)=П-7Г^--------Г •
Х '	11 (1 -^j)
j=*l
При /?j = р (/= 1,2,..., «) данная производящая функция сов-
падает с производящей функцией отрицательного биномиального
распределения. Следовательно, отрицательное биномиальное рас-
пределение является композицией геометрических распределений
при равных вероятностях pj. Нетрудно видеть, что композиция от-
рицательных биномиальных распределений при одинаковых веро-
ятностях в свою очередь приводит к отрицательному биномиаль-
ному распределению.
Пусть каждая из п независимых случайных величин Х1( Х2,. ..
..., Хп распределена по закону Коши, причем плотность вероятно-
сти для Xj имеет вид
А(Л')= к(а/ + л/) '
Характеристическая функция этой случайной величины опреде-
ляется формулой Ех. (ц) = e~ai,u|. В соответствии с (17) харак-
п
теристическая функция суммарной случайной величины Х= Xj
j=i
n
будетЕх{и) — е~а 1и|, где а}. Следовательно, при компози-
j=i
ции законов распределения Коши также получается распределение
Коши.
Предположим, что каждая из п независимых случайных вели-
чин Xi, Х2, . . ., Хп распределена по экспоненциальному закону, т. е.
/х. (^) = kje~xisj при Xj > О
(/=1,2,... , ft),
344
Характеристическая функция случайной величины Xj опреде-
ляется формулой Ех. (#) =--’ ПОЭТОМУ характеристическая
п
функция суммы X— будет
Hi
п
£‘<и)=ПтЛ«т-
/	1и\~п
Если Xj = X (/ = 1, 2,. .п), то Ех (и) = f 1-I , что сов-
падает с характеристической функцией гамма-распределения
(17.57). Следовательно, композиция одинаковых экспоненциаль-
ных распределений приводит к гамма-распределению. В свою оче-
редь, композиция гамма-распределений с одним и тем же пара-
метром X также приводит к гамма-распределению.
В § 23 было доказано, что линейная функция нормальных слу-
чайных величин (независимых или зависимых) подчиняется также
нормальному закону распределения. Как частный случай из этого
утверждения следует, что при композиции нормальных законов
распределения также получается нормальный закон.
Если каждая из случайных величин Xj (/= 1, 2,..., п) распре-
делена по одному и тому же закону и суммарная случайная вели-
п
чина Х= ^^j распределена по закону того же типа, то говорят,
3=1
что этот закон распределения обладает свойством устойчивости.
Приведенные выше рассуждения показывают, что свойство устой-
чивости присуще не только нормальному закону распределения, а
и целому ряду других законов. К ним относятся, например, рас-
пределение Пуассона, распределение Коши, биномиальное распре-
деление, отрицательное биномиальное распределение, гамма-рас-
пределение.
Рассмотренные выше формулы для композиции одномерных за-
конов распределения можно обобщить применительно к законам
распределения систем случайных величин любого числа измерений.
Пусть, например, имеются две независимые системы случайных
величин (ХЬХ2,...,ХП) и (Ki, Y2,.. Уп), которые можно рассмат-
ривать как компоненты n-мерных векторов /?1 и R2. Образуем но-
вый вектор /?, положив /? = /?] Ч-7?2- Компоненты этого вектора бу-
дут (Zb Z2,. .., Zn), где Zj—Xj-f-Kj (/= 1, 2,..., n). Определение
закона распределения системы случайных величин	Zn)
345
по известным законам распределения независимых систем
(Хь Хг, • • ., *п) и (Уь У2, • • > А) называется композицией п-мерных
законов распределения.
Предположим, что известны плотности вероятности fx(xb х2,..хп)
и /у (У1, У2, •  Уп) исходных систем. Через z2,.. .,zn) обозна-
чим плотность вероятности получающейся системы (Zb Z2,..., Za)t
тогда, используя обозначение (5), композицию n-мерных законов
распределения символически можно представить в виде
fz (*2, %2) ’ ' ’ f Zn) ~~fx (Zj, %2> • • - , %п) * fy %2r ' - ' i Zn) '	(29.27)
Чтобы найти плотность вероятности fz (zb z2,..za), восполь-
зуемся формулой (28.39), приняв
/(х}, X2 , • . . , Xa, V], y2,' • •, Уп) — A (-^1, x2,... ^ xn)fy (y15 у2,..., yn)
и
Xj = ^ = zi-yj (/ = 1,2,
Тогда получим
ft (zit z2,..., zn) = у J... J f^Zl - yp z2 - y3,..., za - yn) x
X fy (У1, y3,..., yn) dy}dy2... dyn.	(29.28)
Если принять yj =	— Xj (/= 1, 2,..n), то аналогично
предыдущему получим
fz (zb z2, •  •, Zn) — J J . • • jAUi> *2, ..., xn) X
X А (г1 ~ xi’ z2 — x2,..., ztt — xn) dx{dx2.. • dx,.t. (29.29)
Характеристическая функция Ег (zzlt u2, . .	«п) системы
(Zb Z2,..Zn), где Zj = Xj -j- Ej, в соответствии с (28.35) по извест-
ной плотности вероятности f (х1г х2,..., хп, у^, у2,.. уп) системы
(/Yb Х2,.. Хп, Уь У2,..Уп) определяется формулой
«	12 иНЧ+уР
^(«i, M2}...,iZn) = JJ..-J ej=1 X
— фф
X f (Xj, х2,..., хп, у1( у2,..., уп) dxt dx2... dxa dyr dy2.,. dyn
346
или
Ег {ц^ и2, • •., Кд) —
= JJ ... Je j=1 fAxi> х2.....Xn) dxxdx2.. .dxn X
— эо
» *2“^
X jj... p j :1	/у(УьУз>.-..Уп)^У1^2...^п-
— ao
Следовательно,
Ez («i, м2>..., «п) —	(«1. «2. • • •» Ип) £у («1, «2» • • •» “п), (29.30)
где Ех («!, и2,..ип) и Еу, (ыь и2,..«п)—характеристические
функции систем (Хь Х2,..Хп) и (Fi, У2,..., Уп).
Используя формулу (30), иногда удается установить закон рас-
пределения системы (Zb Z2, • - , Zn) без вычисления интегралов (28)
или (29). Пусть, например, исходные системы случайных величин
(Хь Х2,. .Хп) и (Уь ¥2,..., Уд) нормальные. Тогда характеристи-
ческие функции этих систем будут экспоненциальными функциями,
показателями степеней которых являются многочлены второй сте-
пени от «ь и2,. . ип. Произведение этих функций также является
экспоненциальной функцией указанного типа. Следовательно, си-
стема случайных величин (Zb Z2,..., Zn) также нормальная. Для
полного определения закона распределения этой системы необхо-
димо знать математические ожидания 2j (/= 1, 2,..., п) и элемен-
ты корреляционной матрицы kZjZ( (j, 1= 1, 2,..., п). Эти моменты
можно найти без использования формул вида (28) — (30). Действи-
тельно, из Zj ~ Xj + Kj следует, что
= Xj 4-ул (/ = 1,2.....п).	(29.31)
Так как
О О	ООО	о
ZjZt^Xj + И)(Хг+-П),
а исходные системы случайных величин независимые, то
= Af (ZjZ;) — ky.^i ~f~	(29.32)
(/Л-1,2,..., и).
Таким образом, при композиции n-мерных нормальных законов
распределения также получается n-мернос нормальное распреде-
ление, моменты которого определяются формулами (31) и (32).
347
Пример 29.1. Определить закон распределения случайной вели-
чины Z — X+Y, если X — нормальная случайная величина с мате-
матическим ожиданием х и срединным отклонением Ех, a Y рас-
пределена равномерно в интервале (а, &). Найти при х=0, —а=
— b = kE* (k = 1, 2, 3) их = 0 относительную ошибку
4"(г)-------ЛЙ 
возникающую при замене плотности вероятности случайной вели-
чины Z=X4-F плотностью вероятности нормального закона рас-
пределения
7(z) = —1=-,
V2*
где
Р
Решение. Воспользовавшись формулой (4), находим
Ь	b (z_y_x)2
Z(z)= f/y(y)/x(2-y)tZy= ------
J	(b~a)ExVv J
а
4 dy =
а
Ех
- ——~77=- e-^’dl,
(Ь — а)Ут: J
г—Ь—х
Ех
поэтому плотность вероятности случайной величины Z будет
Л (z)	——_______Гф ( Х — Ф (
/гЛ }	2(b — a) L \ £х )	\ £х Л ’
Если д —0, « = —kEx, b = kEx, то

ФI g + ф I z —
\ £х )	\ Ех ) '
Относительная ошибка Ak (z) при z = 0 будет
4к (0)==! _ —
Л	А ф (^)i/ 1 + -|р2£2
348
Oo	9	Л	Л
Так как -0,538, ~ р2-0,152, ф(1) = 0,5, Ф(2)-0,8227,
у 7Г	3
Ф(3) -0,9570, то А1(0)=—0,003, Д2(0)=—0,03, А3(0)=—0,1.
Пример 29.2. Подводная лодка с равной вероятностью может
находиться в любой точке завесы длиной 21. Отклонение центра
ордера кораблей от середины завесы распределено нормально со
срединным отклонением Е. Определить вероятность того, что под-
водная лодка обнаружит соединение кораблей, если ширина ордера
2b, а дальность обнаружения равна d.
Решение. Обозначим через X случайное отклонение центра
ордера кораблей от середины завесы, а через У — случайное от-
клонение подводной лодки от этой точки (рис. 48).
0	лл
------ЕЗТ* .. ?Т7
- 21 ------------
Рис. 48
По условию случайная величина X распределена нормально, а
У—равномерно в интервале (—1,1}, поэтому
A(-v)
Е2
/у(У) =
1
21
0
при |y|<Z;
при | у I > Z.
Отклонение центра ордера от подводной лодки обозначим че-
рез Z, так что Z—У — X. Плотность вероятности для X и для —X
одна и та же. Поэтому плотность вероятности случайной величи-
ны Z будет (см. пример 29.1)
р	1 Г л / ? -I - / \	л / z —- Z \
А (г) = j-/x W A <z~x)dx = ± I ф(тР) - ф (^-f-j
— оо
d+b
Искомая вероятность/» = P{\Z\<id-\~b} = J fz(z}dz.
-(d+b)
Так как
d+b
pm
- (d+b) 4
E
dz^E j’<D(?X
a— (d+b)
E
A	A	1	a*a
Ф(^^==$Ф(£) + -±=ге-р\
p V *
349
то
где
аф («) — р Ф (Р)4- —L= (г-Р^ - £-Р’П
Руп
__I + d -р b __ I — d — b
~ Ё * Р ~ Ё
Пример 29.3. Две подводные лодки движутся навстречу друг
другу. Дальности X и У обнаружения противника для них явля-
ются независимыми нормальными случайными величинами с мате*
магическими ожиданиями х, у и срединными отклонениями Ех, Еу.
Определить вероятность того, что первой будет обнаружена вторая
подводная лодка.
Решение. Искомая вероятность равна вероятности того, что
случайная величина Z = X — Y будет положительной. Так как X и Y
нормальные случайные величины, то Z также нормальная случай-
ная величина; z~x — у, a Ег~у/ Ех2 + Еу~ .
Тогда	__
f2(z) = —,
P(Z>0] = {fz(z)dz = ~ Г1 + ф(^=^=) .
J	2	Ex2 + Ey2 / J
Пример 29.4. Два корабля независимо один от другого ведут
огонь по одной мишени: каждый до первого попадания. Найти
функцию распределения числа промахов, если вероятность попада'
ния в мишень при каждом выстреле для первого корабля равна
а для второго р2.
Решение. Обозначим через Xt число промахов первого, а че-
рез Х2 число промахов второго корабля при стрельбе каждого из
них до первого попадания. Каждая из этих случайных величин
имеет геометрическое распределение, так как P(Xi —
(& = 0, 1,...; j = l, 2). Математические ожидания и дисперсии слу-
чайных величин Xi и Х2 следующие:
*=•£;	=	D(X)=^_; D{X2)=^.
Pl	Р2	Pl	P2
Производящие функции для этих случайных величин определя-
ются формулами:
1	1	1 И-у2
350
Суммарное случайное число промахов Л'=Л,1 + Х2. Математиче-
ское ожидание числа промахов x = %i + x2 = —+ “ • Так как
Pi Р?
и Х2 независимые случайные величины, то дисперсия числа прома-
хов£>(Х)=В(Х1)+О(Хг)=	+
Р\ Р2
Производящая функция для случайной величины X будет
G (и) =___________________
х (1 — «71) (1 -«^2)
Если Р\=Р2 = Р, то
к=0
Поэтому для ряда распределения случайной величины X по-
лучим P(X = k) = (&+ l)p2^k (/? = 0, 1,...).
При Х=т функция распределения определяется с помощью ра-
венства
F(m)=P{X<m)=^ Р(Х = Л) = рз2^ + 1)?А
k=0	к=О
Имеем
k=0	\k-0	/
~ U — - mPQmY
Г
Следовательно, функция распределения
F (tn) — 1 — q"' — mpqm (m > 0).
Если Pl #= p2, TO
Q ia) = -PlP?.. ( 4,	_	\ =
И ' fl — ?2 V — «?1	1— »?2 /
00
=	" V} (??+1 - ?2k+1) «k-
У1 ~ 42
k=0
В этом случае ряд распределения для X будет
дк-Н — (7^4-1
Р(Х = Л) = р1Л	(* = о,1,...).
351
Так как
tn—1
V. P{X = k) = —±— |(1-?,'")?1р2-(1-?гт)мг|,
71	72
k=0
то функция распределения для X
^(w)= —-1— [(1 — q™)qdh~<S “^2m)Pi^] (w>0).
71 “ У2
Пример 29.5. Найти ряд распределения и функцию распределе-
ния для суммы трех однозначных случайных чисел.
Решение. Обозначим через Xi первое случайное число, через
Х2 — второе, а через Х3— третье. Тогда их сумма Х = Хх + Х24-Х3.
Дискретная случайная величина Xj с вероятностью может при-
нимать любое из 10 своих возможных значений: 0,1,2,..., 9. Ее
производящая функция
Ы=1.2.з).
Производящая функция случайной величины X равна произве-
дению производящих функций Gx. (п), т. е.
О м = О—»10)3
10’(!—«)’ 
Используя формулу (24) при /г = 3 и т=10, для ряда распреде-
ления случайной величины X получим:
при 0<&<9 Р(X = k) = IO"3q+2;
при 10 < k < 19 Р(Х = k) = IO"3 (C2b+2 ~ ЗС|_8);
при 20 < k < 27 р {X = k) = 1 о-3 (q+2 - ЗС2_8+3q_18).
Имеем F(k) = Р(Х < £) = Р(Х^_ k—l) = Qk_1. Воспользовав-
шись равенством (26), находим
при £<0
при 1 < k <,10
при 11 < k < 19
при 21 < k < 27
при k > 27
F(^) = 0;
F{k} = 10~3q+2;
F(^) = io-3(q+2-3q_8);
F(k) = io-3 (q+2 - 3CL8 + 3q_I8);
F(k) = l.
352
Пример 29.6. Случайные величины Х2, . .Хп независимы и
одинаково распределены. Определить при п -> оо закон распреде-
ления случайной величины
п
V — пх
у ____ ^ = 1_____
1 П	-	>
оу П
где x = xk, o = Gxk (k = 1, 2,..п), если Хк распределена:
а)	по нормальному закону;
б)	по экспоненциальному закону;
в)	по закону Пуассона;
г)	по биномиальному закону.
Решение. Если Е(и)—характеристическая функция случай-
ной величины Хк (Л = 1, 2,.. ., п), то характеристическая функция
Гп будет
_ uV
а)	Когда Хк—нормальная случайная величина, Е(и) —е 2 .
U3
В этом случае ЕУп (и) ~ е 2 и не зависит от п.
Следовательно, если Хк (k= 1, 2, .. и)—нормальные случай-
ные величины, то при любом п случайная величина Уп также
является нормальной случайной величиной с нулевым математиче-
ским ожиданием и единичной дисперсией.
б)	Если случайная величина Хк распределена по экспоненци-
альному закону, то Е(и) =-------, о = х = -А. Тогда
1 — iux	* '
Г? I \	— iu VП I 1 tli
fy («) = е 1---------------------Г
\ у г
Логарифмируя это выражение, получим
In Еу (и) — — in Уп — и In fl — ~^=-
п	\ уп
При 121 < 1 справедливо разложение
1п(1 — z) =
тогда
limlnfy (я) = lim
П-*- ОО	Л	П-> ОС
«2
2~’
S=1
23
353
т. е. lim£'yn = e 2, а потому в пределе случайная величина
И** оо
распределена по нормальному закону.
в)_Когда случайная величина Хк распределена по закону Пуас-
сона, х — а, Е(и) =еа(е‘и~1'), а
£yn («) = ерх{ — iu yfn -|- па
В этом случае
limln£yn («) = 11m
П-+ оо	П—*• оо
— in V п + па
к=1
И2
V’
Нт£у (и) — е 2
П»оо 11
г) Если Хк распределена по биномиальному закону, то х=трг
а=\/ mpq ,
Е (и) — (qpeia)m,
Тогда
. к	—1U
£yn(w) = 6?
1 u \mn
q 4- ре J
Игл In Еу — lim j — iu
-f-m/zln
n2 j J.__£\ 
2 q q J 2 '
__ jp
t. e. 11m £yn (и) == e 2 .
Таким образом, для всех четырех рассмотренных примеров при
большом числе п закон распределения случайной величины Кп
близок к нормальному с нулевым математическим ожиданием и
единичной дисперсией.
354
§ 30. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Рассмотрим ряд законов распределения функций случайных ве-
личин, находящих свое применение при решении различных задач
теории вероятностей.
Композиция законов равномерного распределения.
Распределение Симпсона	•
Пусть ..., Хл—независимые случайные величины, каж-
дая из которых равномерно распределена в интервале (а,Ь), т. е.
плотность вероятности для Хк имеет вид
Ак (а) =
при
а С С Ь ;
(ЗОЛ)
при л'к < а или хк > b
{k = 1, 2, . . ., я).
п
Найдем закон распределения случайной величины Х= ^Л~к,
к = 1
т. е. произведем композицию п законов равномерного распределе-
ния. Наиболее просто это можно сделать с помощью характеристи-
ческих функций. Для случайной величины Хк характеристическая
функция Ехк(и) определяется формулой (17.3), т. е.
piub__ Лиа
(й) = * g .
k' ’ iu(b — а)
Так как случайные величины Х2,..Хп независимые, то
п
характеристическая функция Е(и) для Х= будет
к-1
*(«) =
^iub___^iua
iu (b — a)
(30.3)
Применяя обратное преобразование Фурье, для плотности ве-
роятности случайной величины X получим

^iub___^iua n
iu (b — a)
(30.4)
355
Дифференцируя последнее равенство п раз по х, находим
ФО
/<"><*> = -91,7),- -„V- Г е~‘“*<е‘“ ~du =
27Г \U ~ U) J
П	00
= -£~rS<~,)kC"t'2^ J e-^-^du
к=0	—«
или, учитывая интегральное представление дельта-функции,
п
/<»> (А-) = (fe 2 а/ ^(- DkC„kS \x-na-k(b- а)].	(30.5)
к=0
Чтобы найти плотность вероятности f(x), в последнем равен-
(х_____________________________________£)n-i
стве заменим х на |, умножим обе части на -цр- и проинте-
грируем по £ от — оо до х. Тогда получим
X
• (д ”1)!  J <х - (Ч di =
-----------ОО
П	X
° (n-W-а)" ~S(~ 1>RC? f<ЛX
k=0	—oo
X8[$— na — k{b — a}\ dt.	(30.6)
Так как при x = —co функция f^(x) при k <1 ti обращается
в нуль, то, интегрируя по частям, находим
X
(Д_1П1	С(х-5)"-'/<»1(5)<й = /(х).
— во
При любой постоянной а имеем
JU- Е)"-^ (I — a) dl = (х - а)п-Ч (х - а),
где е(х)—единичная функция, т. е.
. . fl при х > 0;
е(х)= г
( 0 при х<0.
356
С учетом этих равенств из (6) для искомой плотности вероят-
ности получим
п
/(•Ч = (в_15Г(-»_а)п У (- DkCnk - па - k (b - а)]”- X
к=0
Хф- па — k(b — a)].	(30-7)
Воспользовавшись для функции распределения F(x) равен-
ством F(x) — (f(x)dx, из (7) находим
F W = nW-af У(“ 1)i,C»k \x-na-k(b- а)]" X
k-0
X е [х — па — k(b — а)] .	(30.8)
Моменты случайной величины X можно найти непосредственно
п
из равенства Х= Например, для математического ожида-
к=1
ния и дисперсии имеем:
- VI - {а + Ь)
х = j хк = п-------2--- 5	(30.9)
к=1
п
D (X) = V D (Xt) = п -	~ 	(30'10)
к=1
Применим формулы (7) — (10) к сумме двух равномерно рас-
пределенных случайных величин и Х2. В этом случае:
2
f И = a,l„v  У,(- 1>k^k \x-2a-k(b- 0)1 X
а,)
к=0
X Ч-* — 2а — k (b — а)];
2
/?<Л) = 2 (Ла)* У (“ 1 )кС*к [•« - 2а - * (Z- - а)]’ X
к=0
X е[х— 2а — k(b — а)].
357
т. е. •- _
/(*) =
О
х — 2а
(Ь — а)2
2Ь — х
(b-ay
при х<2а или х^2Ь ;
при 2а <С х -у а b ;
(ЗОЛ 1)
при а 4- b <С х 26 ,
О
(х — 2а)2
2(Ь-аУ
(26 - х)3
1	2(6 — а)2
при х<;2«;
при 2а х С а 4- 6;
при а -|- 6 < х <; 26 ;
(30.12)
F(x) =
1 при х > 26.
Распределение, плотность вероятности которого имеет вид (11),
называется распределением Симпсона. График функции y = f(x)
имеет вид треугольника с вершинами в точках (2а; 0), ^а4-Ь;
и (26; 0). Поэтому это распределение иногда называют также рас-
пределением треугольника.
Мода и медиана распределения Симпсона совпадают с мате-
матическим ожиданием х—а + Ь. Дисперсия случайной величины
(h_____________________________а\2
X = Xi + X2 равна D(X)-=----------.Третий центральный момент
цз = 0, а потому коэффициент асимметрии Sk= ~j-=0. Четвертый
центральный момент
н (X) =- М [(Л 4- Л)*] =
= 2|>.(А",) + f>D‘	+ 6 [ -*r2?)3T =	
т1 и	1Z I	10
Эксцесс этого распределения
Ех = -4-3 = -0,6.
<?
358
Логарифмически нормальное распределение
Распределение случайной величины X называется логарифми-
чески нормальным, если ее логарифм при основании а, где а — за-
данная положительная постоянная, распределен нормально, т. е.
если плотность вероятности случайной величины y=logaA' имеет
вид
(у - у)3
1	9-г2
fy(y) =-----2ау	.	(30.13)
оу у 2л
Возможные значения х и у случайных величин X и У в этом
случае связаны равенствами z/ = logax, х=аУ, из которых следует,
что X— неотрицательная случайная величина. Функция #=logax
монотонно возрастает. Следовательно, плотность вероятности слу-
чайной величины X равна нулю при х<0, а при х>0
, . . х х d\ogax	. М
fx(x)=fy (10gaX) ---------- =/y(10ga*)-^- ,
где
М = loga е = -7-^— .
йа Ina
Используя равенство (13), получим
(logax — logaxcV
м
А(*) =------2 У (х>0),	(30.14)
_ хоу ]/ 2л
где х0=ау .
Логарифмируя и затем дифференцируя функцию fx(x), нахо-
дим
fx (X)	1 Г 1 !	/1	1	\
-дат = - — [ 1 +	
Из условия fx' (х) = 0 следует, что мода логарифмически нор-
_____________________________°у
мального распределения равна xQa м .
График функции fx(x) при оу=0,2 и <уу = 0,5 и а=10 приведен
на рис. 49.
Функция распределения случайной величины X равна нулю при
х<0, а при х>0
х	(i°gax- 1°ках»)3
F^) = —7= ау у 2л _ 1 <JV^ 2тг	= \е	— • J	х 0 logax	(y-logax0)3 С	2<j2 - i е	у dy.
359
Следовательно,
ли=4-Ги-ф
&
lOga-*— lOga-^0
ау
(х>0).
(30.15)
Воспользовавшись условием Fx(Me) =0,5, находим, что медиана
распределения 7Ие = х0.
Начальный момент s-ro порядка ms случайной величины X
определяется равенством
оо 8у (у - у)3
Имеем
(у - У)2	__ 2sy	_ /	у—у	__ му V	2$у	/ у
Су2	714	\ оу	714 ) М	у	М 7
поэтому
Ж
Так как
1L
2 d' = у/ 2л ,
то окончательно получим
1 ( 8ДУ )2	s3°y
т% = х^е 2 м — х0&а 2М’ .	(30.16)
Математическое ожидание случайной величины X равно
2
__	_ау
x = tn1 = xQe 2МЗ ,	(30.17)
поэтому выражение (16) для начального момента ms можно пред-
ставить в виде
Зная начальные моменты ms, можно найти любой центральный
момент щ. В частности, дисперсия случайной величины X будет
D(X) = m2
(“ \4	_ Г / ~ \2
—) = -±- -1
Ло /	L \ Ло /
(30.19)
Если принять а = е, т. е. взять натуральные логарифмы, то
У=1пХ, а во всех приведенных выше формулах нужно положить
М=1. Если в исходной формуле взять десятичный логарифм, т. е.
принять У=lg X, то М = 1g е=0,4343 .. ..
Обобщенное распределение Релея
Обобщенным законом распределения Релея называют закон
распределения, которому подчиняется расстояние	j/"X2+Y2 от
начала координат до случайной точки (X, У), если ее координаты
подчиняются круговому нормальному закону распределения с цент-
ром распределения, не совпадающим с началом координат. Если
х и у — математические ожидания случайных величин X и У, а их
средние квадратические отклонения стх = ау=а, то для плотности
вероятности системы (X, У) имеем
1	—™ цх- 7)"ч-(у-7)?]
Л,у(*, У) = 2Дт~е	'	(30'20>
361
Чтобы найти плотность вероятности случайной величины R, по-
лучим сначала плотность вероятности полярных координат (/?, Ф)
случайной точки (X, У). Так как ^ = ЛсоэФ, У = R sin Ф и
_____________	у
/? = }/Х2+У2, Ф = агс(£^ , то якобиан преобразования
ZL
дх	дх
дг	дъ
ду	ду
дг	ду
Поэтому для плотности вероятности системы (/?, Ф) получим
f^{r, <р) — Ду (г cos ср, г sin ср) г,
т. е.
г	- -Д- [(Г cos <р - Х>=+ (г Sin <Р - У>“]
Интегрируя последнее равенство1 по ср от 0 до 2л, находим плот-
ность вероятности случайной величины R в виде
Г ------L- 1га+(х’+у’Ир -Т-(х cos ? + у sin у)
/'(r)=2^e	J е	d^’
О
Положим
а — /(л)3+(у)2, cos<p0 = -~,	sin<p0=-^-,	(30.21)
тогда
г __	_ 2л га
1 Г -р- (х cos ? 4-у sin ip)	] р cos	/ /•# \
~2тГ” J е	" “Д’ J е	~2“ j »
О	О
где /0(г)—функция Бесселя нулевого порядка мнимого аргумента.
Следовательно, плотность вероятности случайной величины R опре-
деляется формулой
_ г8 + а° / \
Ш = ~е 2”	(/->0).	(30.22)
__- —	/ dr \
Если параметр « = 0, т. е. = то /01 I =1, а потому из
(22) как частный случай получается плотность вероятности рас-
пределения Релея.
362
Функция распределения Ft (г) случайной величины R равна
нулю при г<0, а при
(зо-23)
о
Этот интеграл не выражается через элементарные функции. Так
как Ff (г) есть вероятность попадания случайной точки (X, У)
в круг х2+у2	г2, то при расчете Гг(г) можно использовать таб-
лицы для вероятностей попадания в круг при смещенном центре
г>	-	г
рассеивания. В данном случае относительный радиус круга х= —,
относительное смещение d= Следовательно,
а
fr(r) = p('^-, JLV	(30.24)
где Р (и, d)— табличная функция.
Графики функций /г(^) и FT (г) при различных в зависи-
г
мости от приведены на рис. 50 и 51.
Начальные моменты четного порядка случайной величины R
можно найти непосредственно, если учесть, что
Я2* = (X2 +	= 2 СЛ¥2кГ2<8-к> .
к=0
Применяя к обеим частям этого выражения операцию вычисле-
ния математического ожидания, находим
(Л) = 2 С*тл(Х> т‘<’-»>(*')-	(30.25)
к=С
где
2к	_
1=0
2к	_
'«21,(Г) = 2С'к|*,(П(у)2|‘-'.
1~0
а центральные моменты нормальных случайных величин X и У
определяются формулами:
1г2/ (^0 — P-2J ( У) (2/	1)!!	|а2/+1 (^0 — l*2Z+l (У) = 0.
363
Рис. 50
Рис. 51
364
Таким образом, все начальные моменты четного порядка можно
считать известными. В частности, второй начальный момент
т2(Д) =т2(Х) +т2(У) = 2о2 + а2.	(30.26)
Для начального момента нечетного порядка случайной вели-
чины /? имеем
1	а!1 р . т2 ,	.
т2,_( (Л) =-jj-е Ил 2”	(30.27)
(s=l, 2, . . . ).
Введем вспомогательную функцию
р Sra
W)= е 2s’ Zo[-^-W,	(30.28)
о
производная s-ro порядка от которой определяется формулой
^(s)g) - J r2*e~ (HF)dr 
Тогда для m2s_; (/?) получим
w2s_1(/?)= (-	(30.29)
(5=1,2,...).
Если в (28) подставить интегральное представление функции
Бесселя
Z0(z) —JLJ e-zcos^<p	(30.30)
о
и переменить порядок интегрирования, то получим
ТС	со	tr2	аг
4	/э	П	— —-_— cos	9
Л(Е) = -^(Чр 2” °' dr-
О	 СО
Дополняя показатель степени до полного квадрата и интегри-
руя по г, придем к равенству
а3 л a3 cos 2tp
Я(Е) = уйге& Р ‘*р=
о
а3	2п a3 cos
= 1/С е 4£“’
I/ ое 2к J	т
о
365
Последний интеграл также выражается через функцию Бесселя,
следовательно, для И(£) окончательно получим
___ аа
(зо-з!)
Дифференцируя эту функцию, с учетом свойства функций Бес-
селя Iq'(z) = Ц (г) находим
_	а2
поэтому математическое ожидание случайной величины R будет
—	1	/-----~ а* г	/ 2 \
r= (R) =	|/ ~ г ** [(2^ + ^)/,	+
/ а2
+ а2Л I ~4?
(30.32)
Аналогично могут быть определены и другие начальные момен-
ты нечетного порядка. В частности, для начального момента треть-
его порядка с помощью (27) и (31) получается следующее выра-
жение:
/ а2 я4 \	\ ,
Зз3 ( 1 “Ь би4 ) \ 4а2 )
/	/у- \	\
+ 2аа2( 1 + -А- Л (-ГТ 
\	4з- / \ 4о2 /
(30.33)
Зная начальные моменты, по общим формулам можно опреде-
лить центральные моменты случайной величины R.
^-распределение Пирсона
Пусть Xi, Х2,	— независимые нормальные случайные ве-
личины, математические ожидания которых xi, а средние квадра-
тические отклонения oXj> (j— 1, 2,..., n). Обозначим
°ч
(/=1, 2, . . . , л).
366
Эти случайные величины также независимые и нормальные,
причем у у — 0, Оу. = 1 (/= 1, 2,..п).
Положим
Z:=z2 = jr.2	(30.34)
j=l
и найдем закон распределения этой случайной величины, широко
используемый в математической статистике и известный под на-
званием ^-распределения Пирсона.
Плотность вероятности нормальной случайной величины Pj
имеет вид
1
Характеристическая функция У/2 будет
£?(«)= | еЧ /1(y1)rfyj =
ОО	v2
1 С --g-(l-2iu)	1
= —I е	dy = -- — .. .
у 2л J	1 — 2ш
Характеристическая функция случайной величины Z равна про-
изведению характеристических функций независимых и оди-
наково распределенных случайных величин УД т. е.
_Л_
Ег (и)~ П Е2 («) = (1 — 2/д) 2 .	(30.35)
11 -Vj
j=M
Для плотности вероятности fz (z) имеем
£-iuz(i—2iu) 2 du.

Перейдем от переменной интегрирования н к £, положив
, п-
1 —2ш= — , тогда получим
_____________1 __
Л(«) = z 2 е 2 <p(z),
367
где обозначено
z + l”
?(*) = 4'J J s 2 dz.
Z—loo
Имеем при z2>£i>0
__1 г» — . n
cp(z2) - cp (Zj)——2
L
где интегрирование ведется по контуру, ограничивающему беско-
нечную полосу, лежащую между прямыми t,=zt и £=z2. В этой об-
ласти подынтегральная функция комплексного переменного не
имеет никаких особенностей, а потому последний интеграл равен
нулю. Следовательно, функция <р(г) не зависит от z, а потому
<p(z) = c = const.
Тогда
Л— 1 —_
fz(z) = cz2 е 2.
Из условия J /Z(z)t/z=l находим
о
1	Г —----1 _ z	~	/ и \
------ С z 2 е 2 dz = 22 Г (-А.) ,
с J	\ 2 /
о
поэтому искомая плотность вероятности
2	_ JL
Л (г) ----А---------е "	(г>0).	(30.36)
-Т-	7 п \
2 Л"2")
Выражение (36) можно получить без интегрирования характе-
ристической функции (35). Действительно, из сравнения (35)
с (17.57) замечаем, что характеристическая функция случайной ве-
личины Z совпадает с характеристической функцией гамма-распре-
1	п „	„
деления при % а ==—. Следовательно, х-распределение
является частным случаем гамма-распределения, а потому его
плотность вероятности в соответствии с (17.51) имеет вид (36).
Число п в этом выражении носит название числа степеней сво-
боды.
При п= \ и при п = 2 функция fz (z) убывает с ростом z. Если
и>2, то эта функция имеет максимум при z = n— 2. Графики функ-
ции fz (г) при п= 1; 2 и 6 приведены на рис. 52.
368
Функция распределения Fz(z) равна нулю при ^<0, а при z > 0
1
F2(z) =-----—-----—	? е 2 dz. (30.37)
2Тг[4~] J
\ z } °
Воспользовавшись формулой (17.52), получаем выражение для
Л(*) через неполную гамма-функцию в виде

Если п— четное число, то интеграл (37) выражается через эле-
ментарные функции. При нечетном п функция F2 (z) может быть
выражена через интеграл вероятности .
В руководствах по математической статистике приводятся таб-
лицы функции
оо
, Р JL-!
/V (£,Л)=-------5— -----— I z2 е 2 dz, (30.38)
24
369
связанной c F г (z) формулой
(z) = 1 —	(z, n).
Используя формулу (17.58) при X= и a=-^-, для началь-
ного момента s-ro порядка ms случайной величины Z получим
ТГ ( 4- + 3 )
(30.39)
т& —
(30.40)
Для первых четырех моментов из (40) находим:
mi = n; m2 = n(n + 2); m3 = n(n + 2) (n + 4);
m4=n(n+2) (n+4) (n+6).
Тогда
(30.41)
-
а4
Коэффициент
12
п
z—n\
цз = 8п;
асимметрии
Z)(Z) =2п;
р4= 12п(п+4).
Из 2 У 2	т-
~	эксцесс Ех =
-гО	/	'
(30.42)
(30.43)
Sk =
3
^-распределение
Введем случайную величину %, связанную с независимыми
центрированными нормальными случайными величинами Tj (/=1,
2,...,/г), имеющими единичные дисперсии, равенством
2	-	(30.44)
i=i
Закон распределения этой случайной величины называется
Х-распределением с п степенями свободы.	д
Так как х связана монотонной функциональной зависимостью
X = ]/Z с неотрицательной случайной величиной (34), то плот-
ность вероятности случайной величины х будет
dz
т. е.
Л (х) =-------„ _Z"~\-----С е~ > 0) .	(30.45)
’л-11	1	1	\
2
370
Величину х можно рассматривать как длину случайного век-
тора в n-мерном пространстве, составляющие которого по осям
прямоугольной системы координат являются независимыми нор-
мальными случайными величинами с нулевыми математическими
ожиданиями и единичными дисперсиями. При zz=l/z (х) является
плотностью вероятности модуля центрированной и нормирован-
ной нормальной случайной величины. Если /г = 2, то функция
/Х(х) совпадает с плотностью вероятности распределения Релея,
параметр которого п=1, а при п = 3 f7 (%) является плотностью ве-
роятности распределения Максвелла также при а=1.
Если п—1, то функция fx(x) убывает с ростом х- Когда п>1,
Х-распределение является одномодальным, причем мода р = п.— 1.
Функция распределения случайной величины х равна нулю при
Х<0, а при х > О
х
Л (/) =----5---------—	Xn-«~ d-l. 	(30.46)
2	2 Мтг)
Произведем замену переменной интегрирования, положив х2=г-
Тогда для Ez (х) получим
X3
1	Р Л—1 —г1_
=------------- I z 2 е 2 dx~Fz (х2) ,
2	2 J
\ ^ / 0
через табличную функцию
где Fz (2) определяется формулой (37). Следовательно, для Fz (х)
имеет место следующее выражение
P^{z, п):
(х) = 1 ~
Начальный момент s-ro порядка
будет
(х2, п).	(30.47)
ms случайной величины х
=----т
»	л
2^
___yJ
yti-s-ie 2 dy =
S
Г
2
371
т. е.
г(n+s \
— 1 I 2	/
ms = 22 -----Ц----—	(30.48)
41)
(5=1,2,...).
С помощью (48) для математического ожидания и дисперсии
случайной величины % получим:
/2~г( ?-ф-А. )	_
Х =--------' £>(х)=«-(х)2.	(30.49)
Г I —
\ 2 )
Формулу (45) для плотности вероятности случайной величины
(44) можно вывести и без ссылок на полученные ранее результаты,
если рассматривать случайные величины Yj как прямоугольные
координаты случайной точки в n-мерном пространстве. В этом слу-
чае % будет расстоянием этой случайной точки от начала коорди-
нат. Чтобы найти закон распределения этой случайной величины,
перейдем от прямоугольных координат случайной точки к сфери-
ческим координатам, положив:
j-i
К] = х cos <р! ,Yj = X cos	]~[ sin <pk (/ = 2, 3, . . . , n — 1);
k=l
n-1
1 = хП Sin?k*
k=l
Якобиан этого преобразования равен х""1 Z>(cpi, <р2,. .., <pn—i) >
где £>(ф1, ф2, . • Фп)—определенная функция своих аргументов
(см. § 23). В соответствии с (28.40) с помощью известной плотно-
сти вероятности
П	yj
/у(Уо У2. • • , Уп)= П /ф“ е
у 2т:
j=i
системы (Уь Y2>..., Гп) находим плотность вероятности сфериче-
ских координат
f(x, <?i. ?25 - • • , ?п-1) =-----Л~е 2 хП~1£>	?2’' ' • ’	‘
(2гс) 2
*372
Из этого выражения следует, что плотность вероятности слу-
чайного расстояния % имеет вид
_ J-L
Л(х)=^п“^ 2 .
Чтобы найти постоянную с, воспользуемся равенством
j7z(x)<*Z=l, тогДа
о
1 р -X-	—-1 Р	—-1
_Л-= zn-ie 2	= 2 2 IP е-^^22 Г
о	о
Следовательно,
Л (х)  ---------------------г- е 2 >
2“”г-5-
что совпадает с (45).
Распределение Стьюдента
Распределением Стьюдента с п степенями
свободы называется
закон распределения отношения
(30.50)
где Уо, Л,.. , Уп — независимые центрированные нормальные слу-
чайные величины с единичными дисперсиями.
Учитывая обозначение (44), равенство (50) можно переписать
в виде
=	(30.51)
Л
где Х~ YnYQ. Плотность вероятности случайной величины /
-Определяется формулой (45). Случайная величина X нормальная,
х = 0, сгх = ’К«. Следовательно,
Л (*)
(30.52)
373
Таким образом, определение закона распределения случайной
величины £ сводится к определению закона распределения отноше-
ния двух случайных величин, для которых известны плотности ве-
роятности. Воспользовавшись формулой (28.30), находим
ЛЮ = J хА(а)Л(х№
о
или
Для вычисления последнего интеграла положим
”	п-1
С Е 2
О
то для плотности вероятности распределения Стьюдента оконча-
тельно получим
Г I п+1
I 2
Л (0^—3------
	/	• I/
пт: Г I ~2~
(30.53)
При п— 1 распределение Стьюдента совпадает с распределением
Коши. При больших п функция Д (£) мало отличается от плотно-
сти вероятности нормальной случайной величины с нулевым мате-
матическим ожиданием и единичной дисперсией,
374
Функция распределения случайной величины £ определяется
формулой
г. { п +1 \ Г*	- л±2_
Г ----9--- /	£2 \	2
л (X) =___\____-—L— I ( 1 + Т ) dz • (30-54)
(-f-) J
В руководствах по математической статистике для 7ч (£) при-
водятся таблицы в зависимости от £ и числа степеней свободы п.
Для начального момента s-ro порядка случайной величины £
имеем
„ [ п, 4-1 \ Р	____л±1_
Л —-------j	/ Г2 \	2 dt.
т& =______\I Н 1 + —	(30-55)
г___ ( п \ I \ п /
/лкН-у) J
— со
Этот интеграл сходится абсолютно, если s<n, и расходится,
если s £> п. Следовательно, для случайной величины £, распреде-
ленной по закону Стьюдента, существуют моменты порядка не
выше п — 1.
При нечетном s п—1 интеграл (55) равен нулю, а потому
все существующие моменты нечетного порядка равны нулю. Мате-
матическое ожидание случайной величины £ при п>1 существует
и равно нулю, вследствие чего начальные и центральные моменты
для £ совпадают.
Для вычисления интеграла (55) при s = 2k положим £=
, Г пу
= । / _—— 5 Тогда
V 1 — у <& =	У 2 (1 У) 2 dy, Поэтому к— / п -|- 1 \	/э 2 f w2k '12k—	( tl \	1 —	J 0 = в (- где В (a, p)— бета-функция.	1 	-	-1- 1	St 0	1 1	~ r	1 ¥*	4 ii
375
Воспользовавшись равенством
— k
ь > I П, ,
k + ^T'^r-k
2
окончательно получим
6 +
п*
LAr[~^-~k
2 / ( 2
Г f—)
I 2 J
_ k (2fe — l)(2fe — 3) . . .3-l _
П (n — 2)(n — 4) ... (n — 2k)
Если, например, n > 5, то по формуле (56) находим:
П /гх п	З^2
W п — 2 ’ N (п — 2)(л-4) '
(30.56)
(30.57)
Так как цз = 0, то коэффициент асимметрии Sk = O. Эксцесс рас-
пределения Стьюдента
Ех = --------3 ------6-т-
п — 4
Распределение Стьюдента впервые было рассмотрено Стьюден-
том (псевдоним английского ученого Госсета) при решении одной
из основных задач математической статистики и широко приме-
няется при обработке результатов наблюдений.
Распределение Фишера
Распределением Фишера называется закон распределения от-
ношения
/тг 2
1	,	(30.58)
где Х2,...,	К], У2,..., Ут — независимые нормальные случай-
ные величины, имеющие нулевые математические ожидания и еди-
ничные дисперсии,
376
Положим
X = 2 А2,	У = j? Kj2.	(30.59)
k-I	j=I
Тогда
Ч = Z,,	(30.60)
где
Из сравнения выражений (59) и (34) следует, что случайные
величины X и У подчиняются ^-распределению соответственно с п
и т степенями свободы, Следовательно, плотности вероятности для
X и У имеют вид:
Л—1 _ 2L
2	2
А (-^) й -		(л: 0);
-у-	7 п \
2
tn ____У_
2	2
А (у) = - -—*,—-	(У > 0) •
2 г (~2)	'
В соответствии с формулой (28.30) имеем
У/х(2-1У)/у(у)б/у
о Тогда ой —	1 ’	2	j	п 4- га Л. И =	+ . г‘ . z m	У 2 л	1	\ Г~> 1	1	1 2 'h-rhrj J ОС п	п + tn * 2 и л_, \	2	Л.+SL .. __	(1+Zj)	 1 5 2 г/ п \ р/ т \	1 Ц 2 J Ц 2 J	J 0	-1 -4<1+г,) е	ау = e~idl.
377
Поэтому ДЛЯ ПЛОТНОСТИ вероятности Д (Z1) получим

Так как в соответствии с (60) (^) = Д	то искомая
плотность вероятности будет
<Л>0).
Функция распределения для закона Фишера
(30.61)
Для этой функции составлены таблицы в зависимости от iq и
параметров п, т, которые называются числами степеней свободы.
Начальный момент s-ro порядка случайной величины ц опреде-
ляется равенством
	»	J п.± /п\	р	п ,	,
772s =	/ п \ 2 	\	^	/	1	7) 2	dfj 1 т 1	/ п \ / т\ 1	-п+у. ’ k 1	Д-Л - J	2 0	\	т ‘) (30.63)
Для	тЛ вычисления последнего интеграла положим ii = —-г.	 л(1 — £)
тогда	,	тс&	. । п	1 “ -«(1 - Ё)2	Ч т	l-Е ;
378
Последний интеграл сходится только при т>2х и равен бета-
,	п . т
функции от	—Ни ~2---------- 5, т. е.
Следовательно, для случайной величины тр распределенной по
закону Фишера, начальные моменты ms существуют только при
1Т1
s < -~2~' Если это условие выполняется, то
(30.64)
Пусть, например, т>4, тогда существуют математическое ожи-
дание и дисперсия случайной величины тр причем
т rw \	2т2 (пт — 2)
yj — ------ £) (?j) = ГП->  (т;)2— --------.	(30.65)
т — 2	п (щ — 2)2(т — 4)	'
Закон распределения Фишера был впервые рассмотрен Р. Фи-
шером и широко применяется в математической статистике.
379
§ 31. ВЕКТОРИАЛЬНЫЕ ОТКЛОНЕНИЯ
Пусть (Ль У1) и (Л2, У2)—две независимые нормальные систе-
мы случайных величин с параметрами
Л-s» axs» °ys> ^xsys (S==l, 2).	(31.1)
На плоскости хОу этим системам случайных величин соответ-
ствует два вектора Rs—Xst + Ysj (s=l,2), где z и / — орты си-
стемы координат хОу. Рассмотрим систему случайных величин
(X У), где Л=Л]+Л2, У=У1 + Уг- Этой системе на плоскости хОу
соответствует вектор
+ =	У>.	(31.2)
Определение закона распределения системы случайных величин
(X, У) по законам распределения систем (Л1( У1) и (Х2, У2) назы-
вается композицией двумерных законов распределения. Как было
показано в § 29, система (X, У) является нормальной и полностью
характеризуется пятью параметрами
«
У> 3Х, °у> ^ху 5	(31.3)
которые связаны с параметрами (1) суммируемых законов распре-
деления формулами:
х = Х1 + х2; У = У1+^2;
о. — ]/"а2 -4- а2 ;	3V — т/"а2 4- а2 •
X у х, I х3 ’	У г у, 1 у3 ’
(31.4)
Аху — ^XjY; + &х3у3 •
Рассмотрим частный случай, когда z/i = oyi=0 и х2 = о% =0, т. е.
когда первая система случайных величин состоит из одной случай-
ной величины Ль а вторая — из одной случайной величины У2
Тогда =X1z,_^2=2.^Z2/> в 7?=/?1+7?2=Л11’+Уг/, т. е. X—Ль У—У2.
В этом случае x = xh у = у2, ах = °Х1, <зу — оУ2, £ху = 0, а плотность
вероятности системы (Л, У) имеет вид
_	х)3	(у- У)3
1	2	2
 <ЗЬ5>
Полученное выражение является плотностью вероятности систе-
мы двух независимых нормальных случайных величин. Следова-
тельно, нормальный закон распределения на плоскости для неза-
висимых случайных величин можно рассматривать как компози-
цию «вырожденных нормальных законов распределения на плос-
380
кости», т. е. таких законов распределения, для которых рассеива-
—->
ние конца радиуса-вектора возможно только по одному направ-
лению, совпадающему с направлением оси Ох или Оу. Каждый из
вырожденных законов распределения полностью характеризуется
направлением оси рассеивания, математическим ожиданием и сред-
ним квадратическим отклонением соответствующей нормальной
случайной величины. Поэтому для определения нормального за-
кона распределения системы (X, У) двух независимых случайных
величин достаточно задать два отрезка, равные по величине <зх и ау,
которые направлены по главным осям рассеивания Ох и Оу и при-
ложены соответственно в точках с координатами (х, 0) и (0, у).
Эти отрезки будем обозначать через и ~у и называть вектори-
альными отклонениями. Введенное таким образом понятие векто-
риального отклонения не обладает однозначностью, так как за на-
правление векториального отклонения можно принять положи-
тельное или отрицательное направление соответствующей коорди-
натной оси. Однако эта неоднозначность не имеет значения, так
как при любом выборе направлений векториальных отклонений
и ау закон распределения нормальной системы независимых
случайных величин X и У остается неизменным.
Таким образом, векториальное отклонение является геометри-
ческим изображением вырожденного нормального закона распре-
деления. Целесообразность введения векториальных отклонений
связана с тем, что их использование часто позволяет произвести
наглядное и более простое решение многих задач, в которых встре-
чаются системы нормальных случайных величин.
Чтобы установить общие правила действия с векториальными
отклонениями, рассмотрим сначала одно векториальное отклоне-
ние Д, которое характеризуется величиной Д и приложено в точке £
на оси составляющей с осью Ох заданный угол 0 (рис. 53).
381
Вырожденный нормальный закон распределения, характеризуе-
мый векториальным отклонением А, означает, что случайная точка
А может перемещаться только по направлению прямой 0%, а ее от-
клонение £ от начала координат является нормальной_случайной
величиной, математическое ожидание которой равно а среднее
квадратическое отклонение = А. Прямоугольные координаты X
и У случайной точки А через ее случайную координату % выража-
ются равенствами:
A"=£cos0; y=£sin0.	(31.6)
Эти координаты являются нормальными случайными величи-
нами. Их математические ожидания:
x = £cos0; t/=£sin0,	(31.7)
а дисперсии и корреляционный момент определяются формулами:
сх2 = Д2 cos2 6; <зу2 = Д2 sin2 б; £ху = Д2 sin б cos6 .	(31.8)
Таким образом, математическое ожидание прямоугольной коор-
динаты случайной точки, заданной векториальным отклонением,
равно проекции координаты точки приложения векториального от-
клонения на соответствующую ось. Дисперсия этой прямоугольной
координаты равна квадрату проекции векториального отклонения
на соответствующую координатную ось, а корреляционный момент
между прямоугольными координатами равен произведению проек-
ций векториального отклонения на оси координат.
Пусть имеется п независимых векториальных отклонений Aj
(/= 1, 2,..п), которые характеризуются их величинами А}, коор-
динатами gj точек приложения на осях OS; и углами 0j, составляе-
мыми этими осями с осью Ох. Прямоугольные координаты (Xj, К,)
любой из этих п случайных точек образуют систему нормальных
случайных величин, моменты которой определяются формулами
(7) и (8). При сложении векториальных отклонений Aj (/=1,2,...
п
..п) получим нормальную систему (X У), где Х= £j cos 6j ,
j=i
Y—2 ^sin er
Математические ожидания случайных величин этой системы
определяются равенствами:
— п —п_
х—2 cos Qj; у - 2SJn 6j ’	(3l-9)
j“i	j=i
382
а дисперсия и корреляционный момент будут:
ах2 = Aj2 COS2 6j;	°у2 ~ 2 Д]'2 SiH2
j-1	j=l
£ху = S Д12 Sin ei C0S 6i •
j—1
(31.10)
Произведем линейное преобразование системы (X, Y) в систему
(U, V) с помощью равенств:
U — (X — х) cos а 4- (Y — у) sin а ;
V = — (X — х) sin а -j- (Y — у) cos а,
(31.11)
где угол а определяется из условия (24.14), т. е.
tg2a =
ху
Зх2 —°у2
(31.12)
Тогда U и V будут независимыми центрированными нормаль-
ными случайными величинами. Выберем корень уравнения (12) та-
ким, чтобы было cos2a>0, если ах > оу, и cos2a<0, если ох<зу.
В этом случае среднее квадратическое отклонение ои случайной
величины U будет больше среднего квадратического отклонения
случайной величины V. В соответствии с (24.13) и (24.18) или
(24.19) для этих параметров имеем:
au2 = зх2 cos2 a 4~ ^ху Sin 2a 4- оу2 sin2 a —
_ 1 (	2 ,	2 , gx2 — ay2 .
2 \ °x °y cos 2a / ’
av2 =: ax2 sin2 a — kxy sin 2a 4- ay2 cos2 a =
1	/ °x2 —' ay2 \
2	\ * y cos 2a J
или
V = 4- w +	+ 1;
= 4~ I«? +	.
(31.13)
(31.14)
383
Нормальный закон распределения системы ((Л V) двух незави-
симых случайных величин IJ и V можно рассматривать как компо-
зицию двух вырожденных нормальных законов, или, что то же са-
мое, как сумму двух векториальных отклонений зи и приложен-
ных в начале координат системы uO'v и направленных по соответ-
ствующим осям этой системы.
Итак, сумма п векториальных отклонений на плоскости экви-
валентна двум взаимно перпендикулярным векториальным отклоне-
ниям ои и ov, которые приложены в точке (х, у) с координатами,
определяемыми по формулам (9). Величины этих векториальных
отклонений рассчитываются с помощью равенств (13) или (14).
Угол а, характеризующий наклон оси О'и к оси Ох, находится
исходя из равенства (12), где ах2, ау2 и Лху вычисляются по форму-
лам (10).
Из изложенного следует, что любую нормальную систему двух
случайных величин (X, У) можно рассматривать как сумму двух
векториальных отклонений аи и av, которые приложены в центре
рассеивания, т. е. в точке (х, у), и направлены по главным осям
эллипса распределения. Поэтому композиция нормальных законов
распределения эквивалентна сложению векториальных отклонений.
При изучении нормального закона распределения на плоскости
было показано (см. § 24), что если оси косоугольной системы коор-
динат выбрать направленными параллельно любой паре со-
пряженных диаметров эллипса распределения, то косоугольные
координаты g и т| случайной точки (X, У) будут независимыми нор-
мальными случайными величинами, средние квадратические откло-
нения которых равны величинам соответствующих сопряженных
полудиаметров единичного эллипса распределения. Следовательно,
нормальный закон распределения на плоскости эквивалентен не
только сумме двух взаимно перпендикулярных векториальных от-
клонений, но может рассматриваться и как сумма любой пары век-
ториальных отклонений, равных по величине и направлению любой
паре взаимно сопряженных полудиаметров единичного эллипса
распределения. Точка приложения этих векториальных отклонений
также совпадает с центром распределения.
Для определения указанных векториальных отклонений введем
косоугольную систему координат £От], ось 0% которой составляет
с осью Ох прямоугольной системы координат хОу произвольный
угол р. Угол л-—у, который составляет ось Оц с осью Ох, опреде-
ляется условием (24.33), т. е.
a,2(l-rw-J-tgp)
' tg7 =-----\?	{ 	(31.15)
<2( tgP- rxy	I
V	/
384
Величины и сопряженных полудиаметров единичного
эллипса распределения по направлениям осей 0% и От] могут быть
определены, например, по формулам (24.39), т. е.
а =	г ^гхУ___________.
/ ах2 sin2 р - Лху sin 23 + з/То? р ’	(3116)
°х°у /1 - г2^
=---- . — ......................—- .
у v sin2 7 -f- ^ху sin 2т -г <зу2 cos2 7
Для этой цели можно также использовать равенства (24.37) и
(24.38), т. е.
V + 3? = <зх2-Ну2> GGsMP4~t) = Gv/1 ~ Gy • (31.17)
Пользуясь формулами (15) — (17), можно найти величины и на-
правления векториальных отклонений з. и vTjf на которые разла-
гается двумерное нормальное распределение при заданном направ-
лении одного векториального отклонения.
Если нормальные случайные величины X и Y независимые, т. е.
гху=0, то формулы (15) — (17) упрощаются и принимают вид:
°у2
tg Т = -^2“ Ctg р;	(31.18)
я ,	°х3У__________ .	__ ___ ах°у
VV Sin2 р + Sy2 COS2p ’	‘	)/ах2 sin2 7 + Зу2 COS2 7
(31.19)
V + 3Л2	+ v; V^sin (Р + 7) = ахау .	(31.20)
Если из выражения для исключить угол у, воспользовавшись
равенством (18), получим
ох4 sin2 р + V cos2 р	(31.21)
сх2 sin2 р оу2 cos2 р
Векториальные отклонения появляются естественным образом
при решении задач методом линеаризации в том случае, когда
координаты X и Y случайной точки на плоскости являются функ-
циями ряда независимых нормальных случайных величин |2» • • •
.. т. е. когда
х=т(Е„ е2, . . ., ед r=t(e„ ег,. . ., ц. (31.22)
25	385
Если возможна линеаризация этих выражений вблизи точки
(Вь Вг» • • •, £п)> соответствующей математическим ожиданиям слу-
чайных аргументов, то
X — <р (5П 52,
к^Ф(5], г2,
(31.23)
Так как линейная функция нормальных случайных величин
является нормальной случайной величиной, то в соответствии с (23)
X и У приближенно можно считать нормальными случайными ве-
личинами, приближенные значения математических ожиданий ко-
торых будут:
У ~ Ф (51, 52,
• , 5П);
* - ? (51, 52,
Л).	(31.24)
При отклонении случайной величины |jOT ее значения £j на ве-
личину cij = У D (Sj) случайные величины X и У получат прираще-
ния Ajx и Ajy, определяемые равенствами:
= (3L25)
(/=1,2,..., л).
Параметры Ajx и Ajy являются проекциями векториального
отклонения Aj на оси Ох и Оу, приложенного в точке (х, у), коор-
динаты которой определяются формулами (24). Если сложить п
векториальных отклонений Aj (j = 1, 2,..п), то получим два вза-
имно перпендикулярных векториальных отклонения, соответствую-
щих суммарному закону распределения нормальной системы (X, У).
Определение главных полудиаметров единичного эллипса рас-
пределения и параметра, характеризующего его ориентацию, т. е.
расчет средних квадратических отклонений ах, ау случайных вели-
чин X, У и корреляционного момента &ху, удобно производить по
схеме, приведенной в табл. 4. Первые шесть столбцов этой таб-
лицы необходимы для расчета параметров зх2, kxy и зу2. Последние
два столбца служат для контроля правильности проделанных вы-
числений.
386
Таблица 4
Согласно данному выше определению, векториальное отклоне-
ние-отрезок, имеющий направление вектора, перемещение вдоль
которого является нормальной случайной величиной, и равным
среднему квадратическому отклонению этого нормального закона
распределения. В некоторых приложениях (например, в теории
стрельбы) за величину векториального отклонения принимается не
среднее квадратическое отклонение, а срединное отклонение Е,
связанное с о равенством Е = р ]/2 о. Полученные выше формулы
(8), (10), (12) —(24) остаются применимыми и к этому случаю,
если все входящие в них средние квадратические отклонения за-
менить на соответствующие срединные отклонения, а корреляцион-
ные моменты — на произведение коэффициента корреляции и двух
срединных отклонений. Например, если в формулу входят парамет-
ры <тх, sy и гхуахау~Лху, то их следует заменить соответственно на
Еу и г1у£,£\.=,	.
Векториальные отклонения, при определении которых берутся
средние квадратические отклонения, обычно используются в тех
приложениях теории вероятностей, где они возникают вследствие
наличия различных ошибок измерения. Учитывая это обстоятель-
ство, условимся векториальные отклонения, величины которых
равны соответствующим срединным отклонениям, называть векто-
риальными ошибками, оставив термин векториальное отклонение
для того случая, когда за основу выбрано среднее квадратическое
отклонение.
Понятие векториального отклонения на плоскости обобщается
на пространство трех измерений. Трехмерный нормальный закон
распределения для системы (X, У, Z) может рассматриваться как
387
композиция трех вырожденных нормальных законов распределе-
ния, характеризующих законы распределения независимых косо-
угольных координат случайной точки в пространстве, если за оси
координат этой системы выбраны сопряженные направления еди-
ничного эллипсоида распределения. В частном случае, когда в ка-
честве сопряженных направлений выбраны главные диаметры
эллипсоида распределения, вырожденные законы распределения
характеризуют законы распределения независимых прямоугольных
координат случайной точки.
Таким образом, нормальный закон распределения в простран-
стве является суммой трех векториальных отклонений. Компози-
ция нормальных законов распределения в пространстве эквива-
лентна композиции векториальных отклонений и осуществляется
так же, как Й на плоскости. Так как в результате сложения п век-
ториальных отклонений Aj (j = 1, 2, ..., и) получается нормальный
закон распределения для системы (X, К, Z), то для его полной ха-
рактеристики нужно знать девять параметров: три математических
ожидания х, у, z, три дисперсии ох2, оу2, аг2 и три корреляционных
момента &ху, &xz, kyi. Математические ожидания определяются фор-
мулами:
п	п	п
х=2	7= 2~г,	2
j=i	j=i	j=i
(31.26)
где .xj, Vj, z-} — заданные координаты точек приложения вектори-
альных отклонений Aj (/= 1,2,../г).
Дисперсии зх2, ау2, о/ случайных величин X, Y, Z и корреляцион-
ные моменты kxy, kX2, kyi равны сумме квадратов и сумме парных
произведений соответствующих проекций векториальных отклоне-
ний, т. е.
п	п	п
(31.27)
j=l	j=l	j=l
где AjX, Ajy, AjZ — проекции векториального отклонения Aj на
оси Ох, Оу, Oz произвольно выбранной прямоугольной системы
координат xyzO. Для определения этих проекций должны быть за-
даны величины Aj векториальных отклонений Aj и углы, составляе-
мые ими с координатными осями при /=1,2,...,«.
388
Расчет параметров- (27) и (28) удобно производить по схеме,
приведенной в табл. 5. Последние два столбца этой таблицы слу-
жат для контроля правильности вычислений. Располагая величи-
нами sx2, зу2, az2, kxy, &xz, kyz, можно определить направление глав-
ных диаметров эллипсоида распределения. Выбрав их за оси коор-
динат, получим в качестве координат случайной точки в простран-
стве независимые нормальные случайные величины. Необходимые
расчетные формулы для этого приведены в § 25.
Необходимость в сложении векториальных отклонений в про-
странстве возникает в тех задачах, когда координаты случайной
точки являются функциями нормальных случайных величин и до-
пустима линеаризация соответствующих выражений. Пусть, на-
пример, £i, ^2,  • ., in—независимые нормальные случайные вели-
чины, а
• • - До), Г=<|>(гь
2 = в(|,Л........?„).	(31.29)
В этом случае по аналогии с (25) компоненты векториальных
отклонений Aj определяются равенствами:
д ф	д Ф	д 6
^JX = °J’ Ajy ”	Ajz — — Oj (31.30)
(/=1,2,...,«).
389
Пример 31.1. Заменить систему (Л", У) независимых центриро-
ванных нормальных случайных величин с заданными средними
квадратическими отклонениями зх и оу: а) двумя векториальными
отклонениями, одно из которых составляет с осью Ох угол р;
б) двумя векториальными ошибками, одна из которых состав-
ляет с осью Ох угол р. Рассчитать векториальные отклонения и
векториальные ошибки для случая, когда сгх= 40, оу = 30, р —45°.
Решение, а) Обозначим через и о,. векториальные откло-
нения, на которые разлагается двумерное нормальное распределе-
ние. Так как X и Y — центрированные случайные величины, то эти
векториальные отклонения приложены в начале координат систе-
мы хОу. Угол, составляемый векториальным отклонением
с осью Ох, по условию равен р. Векториальное отклонение
с осью Ох составляет угол л—г, где в соответствии с (18)
fg I = ~т- ctg Р ~ 0,5625,
ах
т. е. y = 29°20', а л—г = 150°40'.
Воспользовавшись первым равенством из (19), находим
а = —== 33,9.
ах2 sin2 [3 + зу2 cos2 (3
Величина другого векториального отклонения
+	—36,7.
б)	Векториальные ошибки и имеют те же направления,
что и векториальные отклонения и . Их величины будут:
— Р К 2 х = 22,9;	= рУ 2 = 24,8.
Пример 31.2. Сложить два векториальных отклонения а и & с об-
щей точкой приложения, если угол между ними равен ф. Привести
получающийся при этом нормальный закон распределения к кано-
ническому виду и рассчитать параметры этого закона при а = 50,
6 = 30, ф = 30°.
Решение. Введем систему координат хОу с началом в точке
приложения векториальных отклонений. Ось абсцисс этой системы
для простоты направим по векториальному отклонению а. Тогда
компоненты векториальных отклонений а и b по осям Ох и Оу бу-
дут = я, ау = 0, b cosф, by = b sinф. В соответствии с (10)
находим:
<зх2 —а2 + &3со83 б; ау2 = sin3 ф; —sin б cos
390
Чтобы найти главные полудиаметры аи и ov единичного эллипса
распределения, воспользуемся формулами (14). Тогда получим:
-j- к2 + V + /(V - ’у2)2 + 4^у ] -
= |/ -к(а2 + &2 + V& + #4 + 2а262соз2Ф);
av = j/4- + "у2 “ kk2-V)2 + 4^y] =
= ^/~-к (а2 + b2~— Vа4+ b4^- 2а2 b2 cos 2 ф).
Угол а, который составляет ось Ои с осью Ох, находим по фор-
муле (12), т. е.
, о 2/.. Z>2sin2^
tg 2 а = —5—^-5 =- —д— -----7— .
& ах2 — ау2 а2 + b2 cos 2 Ф
Подставляя числовые данные примера, получим:
ои = 101/ ^(34 + /931) = 10 /3^26 = 56,8;
□v = /174=13,2;
tg 2а = 0,2642, т. е. 2а=14°48', а а = 7°24'.
Параметры зи и av можно найти другим способом, воспользо-
вавшись формулами (17).
Имеем:
□u av = ab sin ф; ou2 + / — a2 + b2,
тогда
(ou + ov)2 = a2 + b2 + 2ab sin ф, (su — av)2 = a2+#3—2ab sin +
Поэтому
®u + °v=/ #2 + b2 + 2ab sin Ф ,
<ju — tiv ~ / a2 + b2 — 2ab sin ф ,
т. e.
<ju = -i- a2 + b2 + 2ab sin ф +/ a? + b2 — 2ab sin ф j,
+ b2 + 2ab sin ф — /a2 + b2 — 2ab sin ф^ .
391
Пример 31.3. Положение цели С на плоскости определяется пу-
тем визирования с двух наблюдательных пунктов А и В (рис. 54).
Определить закон распределения ошибок в положении цели отно-
сительно точки А, если известны: расстояние 1=АВ\ углы 0], 02;
ошибки визирования, являющиеся нормальными случайными ве-
личинами с нулевыми математическими ожиданиями и заданными
срединными отклонениями Е^,	, и закон распределения ошибок
в определении положения точки В относительно точки А, характе-
ризуемый срединным отклонением Е{ вдоль АВ и срединным от-
клонением Е2 в направлении, перпендикулярном к АВ. Рассчитать
закон распределения ошибок в положении цели, если 1=10 000 м,
01 = 60°, 02 — 30°, Е^ =0,001, £\ = 20 м, Е2=Ю м.
Решение. Ошибки в углах 01 и 02 и координатах точки В
можно считать малыми и применить метод линеаризации функций
случайных аргументов. При изменении, угла 01 на величину Еа
возникает линейная ошибка СС' в определении положения точки С.
Соответствующая векториальная ошибка направлена вдоль пря-
мой ВС.
Имеем:
СС' _ АС АС _ I
sin£\ sin Cr ’ sin 62 sin *
Так как sin — Ец1 , a sin C' sin(0i + 02), то величина этой
векториальной ошибки будет
sin 02
392	§in2(si + e3)
Аналогично получаем, что величина а2 векториальной ошибки
а2, возникающей из-за ошибки в угле 02 и направленной по АС,
будет
— sin
sin2 (64 -ф- ®г)
Смещая последовательно точку В на величины векториальных
ошибок и Е2, получим смещения точки С, равные векториальным
ошибкам а3 и сц, направленным по АС (рис. 54). Воспользовав-
шись подобием соответствующих треугольников, находим:
___ Ег sin 02	.
3 sin (6i -J-Qa)
В2
ai =
. _ £, cosO;
g 2 sin(e, + o2) 
Для сложения четырех векториальных ошибок а}- (/=1,2, 3,4)
спроектируем их на оси прямоугольной системы координат хАу,
выбрав ось абсцисс, совпадающей с прямой АВ. Имеем;
<т1х =— «xCOsQa'. а2и~ «2cos Of, <z3x = а3cos Of a4x = <z-4 cos Of
«iy = sin 0^; a2y = a2 sin Of a3y = a3 sin Of a4y = a4sinOI.
Воспользовавшись формулами (10) после замены в них ох на £х,
ау на Ву и /гху на гху£х£у, находим:
£х2 = aS cos2 02 -ф- (аг2 -ф й32 ф- <z42) cos2 Of
By2 = aS sin2 02 f- (as2 ф- a32 -ф- aS) sin2 Of,
Gy £x By[— aS sin 204 4- (a22 + a-S + <z42) sin 202].
Чтобы найти главные полудиаметры £u и £v единичного эллипса
рассеивания, воспользуемся формулами (14). Сделав в них анало-
гичные замены, получим:
£„2= ф- [£,= + Е/ + /\^-£/)= + 4^у£?£у2|;
<V= ф- IC5! £? -/(£?- E/Y- + 4r2y Е? Еу‘\.
Угол а, который составляет векториальная ошибка Еи с осью Ох,
находится из условия
tg2a =
Еу
ES - Еу2
393
Подставляя числовые данные примера, получаем: «1 = 5; а2 —
= 5/3; о3=Ю; а4 = 5 / "3. Тогда £х3 =81,25, £у2 =193,75, rxyExEv =
= 56,25 / 3. Имеем
9г F F	г~
tg2a= ДУ Ду, = -/3,
°	г*	А* а
^Х "
т. е. ai = —30°, «2 = 60°. Так как Ех < Е у, то (для £U>EV) дол-
жно бытьсоз2а<0. Тогда a = a2 = 60°,
Еи2 = -1“ (275 + 225> = 250>	= 4‘ <275 ~ 225)= 25’
т. е. Еи = 15,8 м, Е v = 5 м.
При числовых данных примера значения Eu, Ev и угла а можно
определить проще, если заметить, что в данном случае векториаль-
ные ошибки а2, «з и щ параллельны между собой и перпендику-
лярны к «1. Поэтому, сложив первые три ошибки, получим две век-
ториальные ошибки а и Ь, где a = «i, Ь= / «22 + «з2+«42• Эти век-
ториальные ошибки взаимно перпендикулярны и потому совпадают
с главными полудиаметрами эллипса рассеивания. Следовательно,
jE’v=«i = 5, £u = b = 15,8. Ось Аи при этом направлена по прямой
АС, а ось Av параллельна прямой СВ.
Пример 31.4. Для нахождения скорости и истинного курса ко-
рабля определяют его место по береговым ориентирам в двух точ-
ках через промежуток времени Т. Закон распределения ошибок
определения места корабля круговой с известным срединным от-
клонением Е. Найти срединные ошибки определения скорости и
курса корабля, если расстояние между точками, в которых .опре-
делялось место, равно D.
Решение. Введем прямоугольную систему координат хОу.
Если (Хь У]) и (Х2, У2)—координаты корабля при определении
его места, то составляющие вектора скорости по осям Ох и Оу
будут:
К=4-(^г-^1); v,= X-(y2-y,).
Так как /, Х2, Y}, У2 — независимые нормальные случайные ве-
личины с заданным срединным отклонением Е, то IZX и Иу
нормальные случайные величины, срединные отклонения которых
одинаковы и равны срединному отклонению в скорости
Е.^ — Е^У.
394
Ошибка в составляющей скорости корабля, перпендикулярной
D
к вектору скорости, равна величине скорости —, умноженной
на срединную ошибку Eq в курсе, т. е. Ev = vEq, тогда Еч~-^- .
Пример 31.5. Сложить три векториальных отклонения а, b и с,
2	1/2*
не лежащих в одной плоскости, если b = - г—- а, с= |/ —а, вели-
/ 3	г 3
чина а задана, и все три векториальных отклонения приложены
в одной точке. Векториальное отклонение а перпендикулярно к b
и к с, а угол между b и с равен 60°.
Решение. Возьмем прямоугольную систему координат xyzO,
начало которой совпадает с точкой приложения векториальных от-
клонений, ось Ох направлена по а, а ось Oz — по с, тогда
а* — а, ау = 0, а7 ~ 0,
Ь* = 0, Ьу ~ а, Ьг =	,
у	/3
-й~ а .
о
Используя формулы (27) и (28), находим:
зх2 = а2; ау2 = а2; аг2 = а2;
h —л- ь —л-	Ь — а
nxy —— v 5 «хг —	fvyZ— .—__ »
Чтобы привести полученное нормальное распределение к кано-
ническому виду, воспользуемся формулами § 25. Уравнение (25.20)
в данном случае будет
X3 _ За2 х2 + 4-- аП------ п,; = 0.
о	о
Коэффициенты уравнения (25.22) равны: р = —
довательно, это уравнение имеет вид
Pi— 0; Р2,з =
— п4, q = G. Сле-
3
Его корни,-
Тогда корни исходного кубического уравнения будут
— Pj "Ь °2’
т. е.
395
Полуоси единичного эллипсоида распределения совпадают
с yf Хр Следовательно, в соответствии с (25.26):
Уравнения (27) в рассматриваемом случае имеют вид:
При /=1 первое равенство выполняется при любом си. Возь-
мем, например, си = 1, тогда pi = Yi=O. При / = 2 и /=3	а1,
а потому а2 = аз = 0. Оставшиеся четыре параметра р2, Та и р3, Тз
находятся из уравнений:
— + ъ — 0;
?з+ Тз = 0;
iV + Тз2 = 1,
„	, V 2 0	]/ 2 т
откуда следует, что р2 = Та = + 2 , р3 =—т3=±-~-. Так как
а2 = «з = 0, то главный диаметр о суммарного эллипсоида совпадает'
с направлением векториального отклонения а. Это является след-
ствием того, что по условию векториальное отклонение а перпен-
дикулярно к b и к с.
ГЛАВА V
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
§ 32. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Практическая ценность результатов, получаемых методами тео-
рии вероятностей, состоит в том, что существует связь между веро-
ятностными характеристиками случайных величин и их реализа-
циями, получаемыми в результате испытаний. Эта связь устанав-
ливается рядом общих теорем, которые называются предельными
теоремами теории вероятностей. В зависимости от содержания ука-
занные теоремы делят на две группы. К первой группе относят тео-
ремы, устанавливающие соотношения между средними арифмети-
ческими реализаций случайных величин и их математическими
ожиданиями. В них доказывается, что при определенных условиях
и достаточно большом числе испытаний среднее арифметическое
реализаций практически не отличается от математического ожида-
ния соответствующей случайной величины. В теоремах второй
группы устанавливаются законы распределения для сумм случай-
ных величин при большом числе слагаемых. Из этих теорем основ-
ное значение имеет центральная предельная теорема, согласно ко-
торой, при достаточно общих условиях, сумма большого числа не-
зависимых случайных величин имеет закон распределения, близкий
к нормальному. В настоящем параграфе рассмотрим предельные
теоремы первого типа. Основной теоремой этой группы является
теорема П. Л. Чебышева, которая была доказана им в 1867 п До-
казательство теоремы Чебышева основано на применении элемен-
тарного неравенства, доказанного тоже Чебышевым и называемого
леммой или неравенством Чебышева.
НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА. Для любой случайной величи-
ны X, имеющей конечную дисперсию D(X), при любом е>0 спра-
ведливо неравенство
Р(|Х-х|>в)<-°Ж,	(32.1)
т. е. при любом положительном числе е вероятность того, что слу-
чайная величина X отклонится от своего математического ожида-
D(X)
ния не меньше чем на в, ограничена сверху числом-.
397
Справедливость этого неравенства доказывается следующим
образом. Пусть f(x)—плотность вероятности случайной величины
X которая может быть как непрерывной, так и дискретной, тогда
имеет место следующее равенство:
Р(|Х - Х| > s) = J
I х— х | > е
где интегрирование ведется по всем возможным значениям случай-
ной величины X, исключая интервал |х— х|<е. В области интегри-
|х — х| . .
рования !----L > 1 , поэтому
J /(x)iZx<~- J (х — х)2/(х) dx <
] х — х |> s	|х — x~i > S

т. е. действительно справедливо неравенство (1).
Применим неравенство Чебышева для доказательства теоремы
Чебышева.
ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА. Если X, X, • •  — последовательность
независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, то
п
среднее арифметическое	случайных величин X, Х> -. .,Хп
при п. ->со сходится по вероятности к среднему арифметическому
1 ’V-	-	а -.л
у Xj их математических ожидании, т. е. при любом е>0
i=i
п	п
limp/ 4-=	(32.2)
J-1	>1
Для доказательства теоремы положим
j=i
(32 3)
398
и обозначим через п^ах максимальную из дисперсий случайных ве-
личин Xj. Математическое ожидание и дисперсия случайной вели-
чины (3) будут:
п	и
DDm с  (32-4)
j=l	>1
По условию о^ах—ограниченное число, а потому к случайной
величине (3) можно применить неравенство Чебышева. На основа-
нии (1) получим
п
J=l	j=l
Переходя в последнем выражении к пределу при и -» оо, придем
к равенству
п	п
которое эквивалентно (2).
Непосредственно из доказательства следует, что теорема Чебы-
шева имеет место и в том случае, когда случайные величины после-
довательности Хь Х2,... зависимые, но некоррелированные.
Во многих задачах существенно не только установить факт на-
личия предельного соотношения (2), а требуется еще и оценить
порядок величины отклонения вероятности
от единицы при конечном числе слагаемых п. Формула (5) позво-
ляет получить такую оценку, но часто с большим завышением.
Происходит это потому, что формула (5) получена на основании
неравенства Чебышева (1), которое дает оценку вероятности от-
клонения случайной величины от ее математического ожидания
с завышением.
При некоторых добавочных предположениях о случайных вели-
чинах Xi, Х2,..., Хп оценку (5) можно уточнить. Пусть, например,
центральные моменты p-k(Aj) независимых случайных величин Xj
(/ = 1,2,..., п) при всех значениях /г > 2 удовлетворяют условиям
ь\
Ы^) | < -4- Hk~2D{Xi),	(32.7)
£
где H — некоторое положительное число.
399
Тогда имеет место следующее неравенство, доказанное
С. Н. Бернштейном:
(32.8)
В этой формуле 8—положительная постоянная, удовлетворяю-
щая условию
n	t
(32'9)
j=l
В частном случае, когда все случайные величины Xj имеют оди-
наковые дисперсии, т. е. D (Xj ) = о2 (/ = 1,2,. .п), неравенство (8)
принимает вид
П	П	П S-
(32,10)
J=1	J=1
где
£<—•	(32.П)
При малых е и достаточно больших п формулы (8) и (10)
обычно дают более точную оценку, чем неравенство (5).
Рассмотрим две теоремы, представляющие частные случаи тео-
ремы Чебышева. Первой теоремой является теорема Я. Бернулли,
доказанная им еще в 1705 г.
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ. При неограниченном увеличении
числа п независимых испытаний частость р появления события А
сходится по вероятности к вероятности р появления события при
каждом испытании, т. е.
limP(|p—р|<е)= 1.	(32.12)
П-+ оо
Для доказательства этой теоремы перейдем от схемы случай-
ных событий к схеме случайных величин, введя систему независи-
мых случайных величин XIt Х2,. .., Хп, где Xj означает число появ-
лений события А при /-м испытании. Так как Xj = 1, если при /-м
испытании происходит событие А, и Xj = 0, если происходит про-
п
тивоположное событие А, то сумма J^Xj .равна числу появлений
i=i
события А при п испытаниях, а частость появления этого события
п
(32.13)
400
Каждая из введенных случайных величин Aj имеет конечное
математическое ожидание и конечную дисперсию, так как
Ъ=р,	(7=1,2,. . . ,д).
Следовательно, условия теоремы Чебышева выполнены. Сред-
нее арифметическое случайных величин Х2,..Хп в данном
случае является частостью (13), а среднее арифметическое их ма-
„ 1 VI- п
тематических ожидании — ^Xj = р. Поэтому предельное равен-
j=i
ство (12) эквивалентно (2).
Если число испытаний п ограничено, то в соответствии с (5)
для оценки вероятности отклонения среднего результата (часто-
сти р) от математического ожидания (вероятности р) получим
.	(32.14)
Чтобы получить оценку этой вероятности исходя из неравен-
ства (10), рассмотрим сначала, при каком наименьшем значении
положительной постоянной Н выполняется условие (7). Обозна-
чим через а наибольшее из чисел р и q= 1 — р. Тогда
|Х; -7,1 <a, Hk W) <	рд,
а потому условие (7) будет
ь\
ak-2	//к-2
Нетрудно видеть, что при любом 2 это неравенство выпол-
няется, если только Н > -5- •
О
Из (10) и (И) следует, что при	имеет место следую-
щая оценка вероятности отклонения частости р от вероятности р:
— bllL
Р(|р — Pl>e)<2e 4pq.	(32.15)
26
401
Второй из указанных выше теорем является теорема Пуассона,
обобщающая теорему Бернулли на случай независимой серии ис-
пытаний с различными вероятностями появления события при от-
дельных испытаниях.
ТЕОРЕМА ПУАССОНА. При неограниченном увеличении
числа п независимых испытаний частость р появления события А
сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятно-
стей pi, р2,. .рп появления события при этих испытаниях, т. е.
lim Р
П -* <50
S
(32.16)
Доказательство этой теоремы производится аналогично доказа-
тельству теоремы Бернулли. Случайная величина Xj, означающая
число появлений события А при j-м испытании, имеет конечное
математическое ожидание Xj= pj и конечную дисперсию D(Xj) =
— PiQi ’С Следовательно, для случайных величин Xh Х2,..Хп
4
выполняются условия теоремы Чебышева. Среднее арифметическое
этих случайных величин совпадает с частостью (13), а среднее
п
арифметическое их математических ожидании равно——	р-^
j=i
Поэтому из (2) непосредственно следует (16).
Теорема Чебышева может быть обобщена применительно к за-
висимым случайным величинам, если наложить некоторые ограни-
чения на дисперсию среднего арифметического этих случайных ве-
личин. Это обобщение получено А. А. Марковым в теореме, нося-
щей его имя.
ТЕОРЕМА МАРКОВА. Если последовательность в общем слу-
чае зависимых случайных величин ХЬА2,... такова, что
п
V.A'j') =0,	(32.17)
n -» ОФ тЪ \	}
J=1
то при п -> оо среднее арифметическое случайных величин А1? Х2,...
..Хп сходится по вероятности к среднему арифметическому их
математических ожиданий, т. е. при любом положительном е
lira Р
(32.18)
402
Для доказательства этой теоремы рассмотрим случайную ве-
Так как по условию теоремы дисперсия D(X) ограничена, то
для X применимо неравенство Чебышева, согласно которому
W)
Если перейти к противоположному событию, то получим
Переходя в последнем выражении к пределу при п~> со , с уче-
том (17) и того, что вероятность не может быть больше единицы,
придем к равенству (18).
Для справедливости всех доказанных выше теорем необходи-
мым условием является существование дисперсий рассматривае-
мых случайных величин. От требования ограниченности дисперсий
можно отказаться в том случае, если рассматривать независимые
случайные величины, обладающие одним и тем же законом рас-
пределения. При этом достаточным условием справедливости за-
кона больших чисел является существование математического ожи-
дания случайных величин. Впервые закон больших чисел для сум-
мы одинаково распределенных случайных величин, не обладающих
конечной дисперсией, был доказан А. Я. Хинчиным в теореме, но-
сящей его имя.
ТЕОРЕМА ХИНЧИНА. Если случайные величины XhX2,...
независимы, одинаково распределены и имеют конечное математи-
ческое ожидание х, то
lim Р
(32.19)
403
т. е. среднее арифметическое одинаково распределенных случай-
ных величин с конечным математическим ожиданием при п -> оо
сходится по вероятности к их математическому ожиданию.
Доказательство теоремы произведем с помощью характеристи-
ческих функций. Обозначим через Е(и) характеристическую функ-
цию любой случайной величины X, исходной последовательности.
Тогда характеристическая функция случайной величины
будет
(32.20)
По условию случайная величина Xj имеет конечное математи-
ческое ожидание х. Поэтому характеристическую функцию Е(и)
можно представить в виде
£(M) = l+ME/(0)+w9(«)t	(32.21)
где Ez(0)=zX a 0(a)—некоторая функция, обращающаяся в нуль
при н = 0.
Тогда
Ч<«) = (1 + ~
. - . с / и
I X + 6 —
I fl
(32.22)
Переходя в этом выражении к пределу при оо, для харак-
теристической функции случайной величины У=1ш1Уп получим
П оо
Еу (и) — lim Еуп (и) = е|их
П~* оо
(32.23)
Соответствующая плотность вероятности определяется фор-
мулой
fy~ J 6?~1иУ Е* ~2V" J е“1и(У”Х) dtt = 8	~ х)•
(32.24)
Сравнивая полученное выражение с плотностью вероятности
дискретной случайной величины, находим, что У — неслучайная ве-
личина, так как она принимает единственное значение Y=x с ве-
роятностью, равной единице.
404
Таким образом, действительно, при п оо среднее арифмети-
п
ческое	Ау сходится по вероятности к неслучайной
j=T
величине х.
В заключение приведем теорему, устанавливающую общие усло-
вия применимости закона больших чисел, доказательство которой
можно найти, например, в [9].
Теорема. Для того чтобы к последовательности Х2,. .. как
угодно зависимых случайных величин был применим закон больших
чисел, т. е. чтобы при любой постоянной е>0 выполнялось предель-
ное равенство
(32.25)
необходимо и достаточно выполнение следующего условия:
Закон больших чисел имеет большое практическое значение,
так как дает возможность при достаточно большом числе испыта-
ний вместо математического ожидания случайной величины брать
среднее арифметическое значений этой случайной величины, полу-
чаемых при независимых испытаниях. Этот закон является также
теоретической основой для метода статистических испытаний, или
метода Монте-Карло, при котором многократно реализуются усло-
вия возникновения события, вероятностные характеристики кото-
рого требуется определить. Этот метод широко применяется в тех
случаях, когда аналитическое определение вероятности интересую-
щего нас события или вероятностных характеристик случайной ве-
личины сопряжено с большими трудностями. Метод Монте-Карло
находит свое применение и при решении задач, физический смысл
которых не связан с наличием случайных явлений. В этом случае
используется аналогия между уравнениями, описывающими эти
явления, и уравнениями, имеющими место при решении соответ-
ствующей вероятностной задачи.
405
Метод статистических испытаний может быть применен, напри-
мер, для вычисления определенных интегралов. Предположим, что
нужно вычислить определенный интеграл
ъ
I = J ? (Л) dx,	(32.27)
а
в котором а и b — заданные конечные постоянные, а ф(х)— задан-
ная функция.
Введем случайную величину X, равномерно распределенную
в интервале {а, Ь), тогда математическое ожидание случайной ве-
личины У=ф(Х) можно определить по формуле
ь
у =	— I m (х) dx = ----- I.
' b — a J r v ' b — a
a
Из этого выражения следует, что вычисление интеграла (27)
эквивалентно определению математического ожидания случайной
величины У=ф(Х).
Чтобы найти приближенное значение 1, нужно произвести п не-
зависимых испытаний, в результате которых получить и значений
случайной величины X: XItX3, .. ,,Хп; по этим величинам опреде-
лить значения Kj — <р (Xj) (/= 1, 2,.,п) случайной величины У
и составить выражение
п
<32-28)
При большом числе испытаний п интеграл I можно заменить
приближенным значением /п, если справедливо предельное равен-
ство
11шР(|/я —/| < е) = 1.	(32.29)
П-><м
Полученные случайные значения Хь Х2,.. Хп можно рассмат-
ривать как п независимых, одинаково распределенных случайных
величин. Тогда случайные величины У^, У2,..., Уп также незави-
симы и одинаково распределены. Согласно теореме Хинчина пре-
дельное равенство (29) имеет место, если существует математиче-
ское ожидание случайной величины У=ф(Х), когда X равномерно
распределена в интервале {а, Ь), Поэтому при большом числе п
приближенная замена / на /п возможна, если исходный интеграл
абсолютно сходится, т. е. если
ь
j ) ср (эс) | dx < оо,
а
(32.30)
406
В том случае, когда условие (30) не выполняется, формула (28)
не может быть использована для получения значения инте-
грала (27).
Пример 32.1. Используя неравенство Чебышева, оценить вероят-
ность того, что случайная величина X отклонится от своего мате-
матического ожидания х меньше чем на kc, где k~ 1,2,3.
Решение. Из (1) следует, что
pk=₽(ix-xi<M>i-4r-
Тогда
Л>о,	Р3>4
Если, например, X — нормальная случайная величина, то
Рк =ф(&), а потому Pi = 0,683, Р2 = 0,954, Р2 — 0,997. Следователь-
но, неравенство Чебышева дает очень грубую оценку вероятности
отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Пример 32.2. В результате каждого испытания событие А проис-
ходит с вероятностью 0,8. Оценить вероятность того, что при 300
независимых испытаниях событие А произойдет от 230 до 250 раз.
Решение. Пусть случайная величина X означает число появ-
лений события А при п — 300 испытаний. Математическое ожида-
ние этой случайной величины х = пр = 240. Искомая вероятность
Р=Р(| X—х| < 10) =Р[ 1р -р\<
\	ои
Воспользовавшись формулой (14) при п = 300, /7 = 0,8, 7=0,2 и
е = -Д-, находим Р > 1---? %- = 1 — 0,48 = 0,52.
30	«г
Формула (15) в данном случае дает значительно худший ре-
зультат, а именно Р > 0.
Пример 32.3. При суммировании ста независимых чисел каждое
число округлялось до целого. Оценить вероятность того, что ошиб-
ка суммы по абсолютной величине будет не меньше 15, если
ошибка округления подчиняется закону равномерного распределе-
ния в интервале (—0,5; 0,5).
Решение. Обозначим через Xj ошибку округления /-го числа
(/=1,2,. . ., 100). Математическое ожидание этой случайной вели-
чины равно нулю, а дисперсия Z)(Xj) =ст2 = -=—• 0,52. Если А —
О
100
ошибка суммы, т. е. Д = ^ Xj, то Л4(А) =0, а искомая вероятность
j=i
Р=Р(|Д|>15) = Р
0,15
j-i
407
л 9 е;
По формуле (5) при и=100, е = 0,15, D(Xj) = о2 = —
52 _	0,25	_	1
/г s'-	3-100-0,152	27 '
находим
По формуле (10) получим
Р^2е
mi
4s3
2е-б,75~
1
427 '
Таким образом, в данном случае оценка по формуле Берн-
штейна значительно лучше, чем по формуле Чебышева.
Пример 32.4. Каждая из независимых случайных величин Хк
с одинаковыми вероятностями может принимать два значения:
— ks и ks (#=1,2,...), При каком s для последовательности Xt,
Хг, . . выполняются условия теоремы Маркова?
Решение. К заданной последовательности применим закон
больших чисел, если выполняется условие (17).
При k= 1,2,... имеем:
А = ^- (As - « = °; D (Л) =	(k* + А2') = k№.
Тогда
£23 	~4~~ О
В этом случае
lim4-n(Vxk)=4-.
к=1
Таким образом, при s=-“,
г,-	/ 1
не выполняется. Если s<—, то
—, условие (17)
а потому и приs
2 s= 1 — v, где v>0.
Тогда
n
При этом lim—2~ jD(Xk) =0, и потому к заданной последова-
п
тельности применим закон больших чисел.
Пример 32.5. Случайные величины • •  имеют одинаковые
математические ожидания и ограниченные дисперсии. Применим ли
к этой последовательности закон больших чисел, если все корреля-
ционные моменты (i ¥= i, J=h 2,...) не положительны?
Решение. Если о^ах наибольшая из дисперсий случайных ве-
личин Хь Х2,..., то
(п \ и	п—1 п	п
2^ =2од)+г2 2
j=l / j~i	i—1	j = l
Тогда
11
n .x. П2	J
j=l
Следовательно, к заданной последовательности закон больших
чисел применим.
Пример 32.6. Можно ли интегралы
1 1
. Г sin ~х ,	. Г 1	. к ,
/1 — I ------ах и 1> — I ----------sin — а х
J	X	J X X
о	о
вычислить методом статистических испытаний соответственно’ по
формулам:
и
где Xj (/=1,2,. .., п)—случайные числа из интервала (0,1)?
П	Т Z	Л	г s i n S /е.	—
Решение. Интеграл Л = I —— at сходится абсолютно, по-
1 ч
0
этому при его приближенном вычислении можно использовать ме-
тод статистических испытаний.
409
Заменив в /2 переменную интегрирования х на -т— , получим
Таким образом, интеграл /2 не является абсолютно сходящим-
ся, а потому при его вычислении нельзя использовать формулу,
приведенную в условии примера. Однако этот интеграл все-таки
можно вычислить методом Монте-Карло, так как
Г sin £ «. л
J -ТЛ=Т’
о
т. е. /,=-2---
Карло.
где величину Д можно найти методом Монте-
§ 33. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА.
ТЕОРЕМА МУАВРА—ЛАПЛАСА
Центральная предельная теорема устанавливает предельный
закон распределения суммы большого числа случайных величин
при весьма общих предположениях о свойствах случайных сла-
гаемых.
Пусть Х\,Х2,... — последовательность взаимно независимых
случайных величин, имеющих конечные математические ожидания
лу и конечные отличные от нуля дисперсии су2 (/ = 1,2,...).
Положим
7 i^2
k=l
(33.1)
410
Если Х]у Х2, . . ., Xn—нормальные случайные величины, то Еп,
как линейная функция нормальных случайных величин, также бу-
дет нормальной случайной величиной при любом числе слагае-
мых п. Когда законы распределения слагаемых отличны от нор-
мального, закон распределения случайной величины Уп зависит от
вида этих законов и от числа п слагаемых в сумме (1). Централь-
ная предельная теорема устанавливает, что закон распределения
суммы (1) при неограниченном росте числа слагаемых п стано-
вится нормальным независимо от вида законов распределения сла-
гаемых, если только эти законы удовлетворяют некоторым весьма
общим ограничениям.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда все случайные
величины исходной последовательности X, Х2,... распределены по
одному и тому же закону, а потому Xj = х, sj= а (/= 1,2,.. .),
2 — п°2>т-е-
к=1
п
Ц=—^V(X)-x).	(33.2)
j=l
Докажем, что в этом случае при п -> <х> закон распределения
случайной величины Уп стремится к нормальному закону распре-
деления с нулевым математическим ожиданием и единичной дис-
персией, т. е. что плотность вероятности /Уп(«/) случайной величи-
ны Уп удовлетворяет условию
Уа
Iim/yn(y) = -1= е~ - .	(33.3)
П-»«	у 2,К
Иными словами, докажем, что при неограниченном увеличении
числа одинаково распределенных слагаемых закон распределения
суммы (2) асимптотически нормален.
Доказательство этого очень важного частного случая цент-
ральной предельной теоремы легко может быть произведено мето-
дом характеристических функций. Обозначим через Е(и) характе-
ристическую функцию центрированной случайной величины
Xj — Xj — х (/= 1, 2,...). Тогда характеристическая функция слу-
чайной величины Уп будет
£уп(/г)=Л7
Е
(33.4)
411
Так как Е(0) = 1, Е'(0) =0, а Е"(0) =—о2, то разложение функ-
ции Е(и) в ряд по степеням и имеет вид
°	1Z23“
£(«) = 1 ~ +
где 0(п) —некоторая функция, обращающаяся в нуль при и = 0
независимо от вида закона распределения Xj. Подставляя это
разложение в (4), получим
И
(33.5)
Так как при любом конечном значении аргумента и
Нт Г1 + © f—1 = 1, lim = \
П +	\з]/ /I /	П -* оо I 12п /
то имеет место предельное равенство
_ _и2
lim£y	2 .	(33.6)
П » ОО п
Последнее выражение совпадает с характеристической функ-
цией нормального закона распределения при нулевом математи-
ческом ожидании и единичной дисперсии. Следовательно, при
п -* со закон распределения случайной величины (2) приближает-
ся к нормальному, причем математическое ожидание предельной
случайной величины У=Игп Уп равно нулю, а дисперсия —единице.
п->«
Вероятность попадания этой случайной величины в любой интер-
вал (а, Ь) определяется формулой
Р (а < У < Ь) = -1- [Ф (&) - Ф (а)].	(33.7)
Доказанная теорема является весьма частным случаем общей
центральной предельной теоремы. Однако этот частный случай до-
статочно хорошо иллюстрирует метод доказательства общей тео-
ремы и позволяет сделать предположение о том, что в случае, когда
слагаемые в (1) имеют различные законы распределения, но обла-
дают в известном смысле слова свойством однородности, закон
распределения случайной величины (1) при п~»со также должен
стремиться к нормальному. Различные формулировки централь-
ной предельной теоремы отличаются одна от другой условиями,
принятыми в качестве характеристики «однородности» слагаемых
в сумме (1). Одной из первых общих формулировок центральной
предельной теоремы является теорема А. М. Ляпунова, доказан-
ная им в 1900 г. Согласно этой теореме случайная величина Кп,
412
определяемая формулой (1), асимптотически нормальна, если для
последовательности взаимно независимых случайных величин Хь
Х2, .. . можно подобрать такое положительное число 6, что
lim
П -+ оо
2 Ж (|^.-л^+«)
j=l
(33.8)
В частном случае, когда 6=1, условие (8), при выполнении ко-
торого справедлива теорема Ляпунова, принимает вид
lim	= 0,	(33.9)
\к=1	/
где	p3;j = М (|	— Xj |3) — третий центральный абсолютный мо-
мент случайной величины Xj (/=1,2,...).
При выполнении условия (8) плотность вероятности/Уд (t/) и
характеристическая функция £yn(w) случайной величины Уп, опре-
деляемой формулой (1), удовлетворяют условиям (3) и (6). Ве-
роятность попадания предельной случайной величины У=ИшКп
в интервал (а, Ь) в этом случае также может быть определена по
формуле (7), т. е.
2 (X - xj)
1=1____________
Ь = -|-[Ф(&)-Ф(а)] .(33.10)
Более общим по сравнению с (8) условием, при выполнении
которого справедлива центральная предельная теорема, т. е. вы-
полняется предельное равенство (10), является условие Линде-
берга, сформулированное им в 1922 г. и имеющее вид
(33.11)
где /х (х) — плотность вероятности случайной величины Xj (/ = 1,
j	.
2,...), а т — любое положительное число.
413
Когда все случайные величины исходной последовательности
распределены одинаково, условие Линдеберга эквивалентно ра-
венству
lim। (х — х)2 f (х) dx = О,	(33.12)
| X—X >та1' п
которое выполняется, если существует конечная отличная от нуля
00
дисперсия о2 = t (х— x)2f(x)dx. Поэтому доказанная выше тео-
рема для одинаково распределенных случайных величин может
рассматриваться как следствие центральной предельной теоремы,
справедливой при условии Линдеберга (11).
Убедимся, что из условия Ляпунова (8) следует условие Линдс-
берга (11), т. е. что условие Линдеберга является более общим,
чем условие Ляпунова. Для этого воспользуемся следующими оче-
видными неравенствами:
Сравнивая левые и правые части последней цепи неравенств,
получаем, что из (8) следует предельное равенство (11).
Опуская доказательство центральной предельной теоремы при
указанных общих условиях (11), которое можно найти, например,
в [9], рассмотрим физический смысл условия (11). Пусть Ai —слу-
чайное событие, означающее выполнение неравенства
| Aj Xj |
414
Тогда вероятность того, что хотя бы для одной из п случайных
величин Хь Х2, .. Хп будет выполнено это неравенство, равна
р (2 л).
\j=l /
Имеем
При выполнении условия (11) последнее выражение стремится
к нулю при любом т>0. Поэтому условие Линдеберга эквивалент-
но требованию равномерной малости слагаемых	в сумме
У
к=1
(1). При его выполнении вероятность того, что хотя бы одно из
слагаемых
JCj —
превзойдет величину т, стремится к нулю при
возрастании числа слагаемых до бесконечности.
Следует отметить, что и при выполнении условия (11) централь-
ная предельная теорема справедлива только в том случае, когда
случайные величины Xj взаимно независимы. При некоторых до-
полнительных ограничениях центральная предельная теорема рас-
пространяется и на зависимые случайные величины. Рассмотрение
соответствующих ограничений на зависимые случайные величины
и более слабых условий для независимых случайных величин, при
выполнении которых имеет место центральная предельная теоре-
ма, выходит за рамки данной книги.
При доказательстве центральной предельной теоремы для оди-
наково распределенных случайных величин не делалось никаких
предположений о типе случайных величин Xj из (2). В общем слу-
чае центральная предельная теорема справедлива как для непре-
рывных, так и для дискретных случайных величин Xj, входящих
В (1).
415
Рассмотрим частный случай, когда в (2) случайная величина Xj
является числом появлений события А при /-м испытании (/=1,
2,..п) в серии из п независимых испытаний. Вероятность р по-
явления события А при каждом испытании будем считать отлич-
ной от нуля и единицы. Тогда х = р, о=]/pq =# 0, а потому слу-
чайную величину Yn можно представить в виде
1	\	т — пр
(33.13)
у npq	J V npq
где число появлений события А при п испытаниях
« = 2^-	(33.14)
j=i
Согласно (7) получим
lim Р ( а < ^7=^ < /Л = 1- [Ф (Ь) - Ф (<2)1. (33.15)
п^оо \ У npq ]	*
Выражение (15) было получено в 1730 г. Муавром для частного
случая Р=~^~ и обобщено в 1812 г. Лапласом на случай любой
вероятности р, 0<р<1. Предельное равенство (15) часто исполь-
зуется при вероятностных расчетах и является математическим вы-
ражением соответствующей теоремы, называемой теоремой Муав-
ра—Лапласа.
Рассмотренные выше теоремы для последовательности взаимно
независимых случайных величин могут быть обобщены примени-
тельно к случаю, когда производится суммирование взаимно неза-
висимых /-мерных случайных систем (Л^, Х2р ..Хц) (/=1,2,...).
При этом вместо одной случайной величины Уп, определяемой
формулой (1), следует ввести /-мерную систему (У1а, l<2n> •  Ущ)
аналогичных случайных величин. Когда все системы исходной по-
следовательности распределены одинаково,
И
r.„ = —^=-V(Xri-7.) (s=l,2...............I), (33.16)
j=l
где
x, = M(X„), os = /D(Xsi)	(33.17)
(3=1,2,...,/; /=1,2,...).
Докажем центральную предельную теорему для простейшего
случая одинаково распределенных систем случайных величин, т. е.
убедимся, что если /-мерные системы случайных величин (Хц,
X2j> . .Хц) (j= 1,2, ...) взаимно независимы и одинаково распре-
делены, а случайные величины Xgj имеют конечные отличные от
416
нуля дисперсии, то при неограниченном увеличении числа п сла-
гаемых в (16) закон распределения системы (К1п, У2п, ..Yln)
асимптотически нормален.
Произведем доказательство этой теоремы при 1 = 2, т. е. когда
/-я система исходной последовательности состоит из двух случай-
ных величин X]j и %2j (/=1,2,. . .). При этом случайные величины
(16) будут:
п	п
Обозначим через E(wbu2) характеристическую функцию систе-
мы (JGj —Xi, X2j — х2). По условию теоремы существуют диспер-
сии случайных величин Лц и поэтому существуют вторые про-
изводные от £(ui,w2). Тогда разложение этой функции по степе-
ням ZZ] и и2 можно представить в виде
«2) =?£ (0, 0) +	(0, 0) + «2^'а(0, 0)+ у «124М11 (0, 0) 4-
+	(0, 0) 4--^-ц22Е'и и2 (0, 0) + 0 (иь и2),
причем функция 0(«i, w2) при и = и1 = и2 -> 0 стремится к нулю
быстрее, чем и2.
Имеем:
Е (0, 0) = 1;	№ 0) = 4, (0, 0) - 0;	(О, 0) = - V;
4,„,(0. 0) = -^;
4.J0. 0) =	= -М [(А1,, - А) (Х21 - 7Д.
Поэтому
Ё(и„ иг) = 1	- -у"	+ ®<“*’ “2>- (ЗЗЛ9)
Характеристическая функция системы (У1п, У2п), составленной
из случайных величин (18), определяется формулой
j=l
27
417
т. е.
u2

£уп (Щ, «а) = И|------77=^ ' ----77
L \ ai VЛ а2 ]/ П
Разлагая логарифм этого выражения в ряд по степеням аргу-
ментов ui и п2, с учетом (19) получим
lim In Еу
г.	Л
(uit и2) — lim п In 1--------------
п—>ео	ЛИ
иг _ г12щи2
2п п
и22
2п
_|_ 6 ( —Ц
 И-!2
2п
п
к=1
т j 2
Е2----о
2п
«1

к 1 1
= — у (Mi2 + Zr^tiz + ц22),
Zli 2
где г12 = — .
°132
Потенцируя данное выражение, находим
.. с. ,	,	— 4-(u^+Sr.aUjUa+Uj2)
lim £уп («I, я2) — е 2
(33.20)
Полученное выражение является характеристической функцией
нормальной системы (Уь У2) двух случайных величин приу1 = у2 = 0,
аУ1 —аУа—1, ky^ — Гп, т. е. предельная теорема доказана.
Широкое применение центральной предельной теоремы при ре-
шении практических задач объясняется тем, что часто случайные
величины, определяющие характер исследуемого явления, могут
рассматриваться (точно или приближенно) как суммы большого
числа слагаемых, каждое из которых вызывается различными слу-
чайными факторами. Условия предельной теоремы обычно выпол-
няются. Поэтому, если бы число слагаемых было бесконечным или
если бы каждое слагаемое суммы подчинялось нормальному за-
кону распределения, можно было бы утверждать, что интересую-
щие нас случайные величины нормальные. Оба эти условия на
практике, как правило, не выполняются. Однако обычно бывает
достаточным убедиться, что суммарный закон распределения бли-
зок к нормальному и, если это возможно, оценить отклонение этого
закона от нормального. Оценку относительно просто можно про-
извести в том случае, когда все слагаемые распределены по одно-
му и тому же закону.
418
Предположим, что для случайной величины Xj из (2) сущест-
вуют моменты порядка не ниже четвертого. Тогда характеристиче-
скую функцию Е(и) центрированной случайной величины Xj—х
(/=1,2,.. .) можно представить в виде
£ (й) — 1 __ -L	+ w4 + ei («)
где 0((«)—некоторая функция, обращающаяся в нуль при м = 0.
В соответствии с (4) для логарифма характеристической функ-
ции случайной величины УП) определяемой формулой (2), имеем
In Еу (и) = п In 1--------------п'ч 7 4----i-т- 4гг + е1 —~
п 4	|	2/z	‘ а4/р [24	1 п
Разлагая это выражение в ряд, приходим к равенству
In Еуп (и) =
V 1 И + iu^
k ( 2п + б?3/^
к=1
И4 [ N / К \1 )к
а4/г2[ 24	'
Оставляя в последнем выражении отношение — в степени, не
выше первой, получим
/ И2
1п£Уп («)	—+
ш3р3
6з3 \гп
11^  И4 \
24а4/г ' 8/г у
или
„	/ iuaSk
Еу^ (w) е е
ц*Ех А
24n J
где Sk=—коэффициент асимметрии, а Ех= —3 — эксцесс
s°	о*
случайной величины Xj (/=1,2,.. .,п).
Имеем
( iu3Sk u*Ex\
" [б Уп 24г1 ] _ 1	/#3Sk н4Ех ifi (Sk)2
е	^6	+ 24л	72/г ’
поэтому приближенное выражение для характеристической функ-
ции случайной величины Уп будет
г / \ Г1 z'Sk о , Ex ,	(Sk)2
Еу (и) е 2 I----------— н3 +-^г— «4 —	• (33.21)
4 1	[	6 Vn 24л	72/i
419
Чтобы найти плотность вероятности Л (у) случайной величины
Кп, воспользуемся формулой
од
/Уп (V) =	du-	(33.22)
— во
Для вычисления этого интеграла положим
1 р _iuy—_
/(y) = p7=-le 2du = e I.	(33.23)
Тогда в соответствии с (21) и (22)
A w= ' р(у)-А Л«(у) +
п У 2гс [	6 у п
+	+ 757Г	1 >
где
/ _£Л	_.L2
/(8)(У)=^Ие 2J = (-1)^ 2 Н3{у),
a (У) — полином степени s, причем
Я3(г/) = У3 — Зу, /Д(*/) =t/4 —6//2+ 3:1
/7б(£/) =£/6— 15л/4 + 45г/2 — 15.	)
(33.24)
(33.25)
(33.26)
Подставляя (25) в (24), для плотности вероятности случайной
величины Уп получим
1	_ Z! Г Sk	Fy
f (у)^^е * 1 + _^//3(у) + -^-//4(у) +
п у 2к L 6 у п
+ 757Гя»(у)] 	<33.27)
Если третий центральный момент |тз(^-) равен нулю, то фор-
мула (27) упрощается и принимает вид
1	-^Г Ex 1
А.М“йге Т+ш-я‘Оо]- <33-28’
Выражения (27) и (28) позволяют оценить отклонение плот-
ности вероятности случайной величины Уп, определяемой форму-
лой (2) при конечном числе слагаемых п, от плотности вероятно-
сти нормальной случайной величины У=Нт Уп. При этом уп= у —
П-* 00
= О, % = », = !.
420
Во многих прикладных задачах при 10—20 одинаково распре-
деленных слагаемых можно считать, что сумма имеет закон рас-
пределения, практически не отличающийся от нормального. Однако
при такой замене всегда следует учитывать, что при некоторых
значениях аргумента отличие ординаты плотности вероятности
суммы от ординаты плотности вероятности соответствующего нор-
мального закона распределения может оказаться существенным.
Поэтому точность определения вероятностей попадания случайной
величины Уп на различные интервалы с использованием форму-
лы (7) может быть различной и в некоторых случаях недостаточ-
ной для рассматриваемой задачи.
Пусть, например, каждая из случайных величин Х2, .. .,Хп
распределена равномерно в интервале (—I, I). В этом случае Xj=O,
Л
= 77= (7=1> 2,..., п), а Гп— -J- 1 ЛА V %j. Так как |Xj| <Z,
j=i
то интервал возможных значений случайной величины Уп будет
(—1/3/г, У Зп). Если составить, например, Уп из 12 равномерно
распределенных случайных величин, то диапазон ее возможных
значений будет (—6; 6). Следовательно, Р(1 К12| >6)=0, в то вре-
мя как для нормальной случайной величины У=ИгпУп эта вероят-
ность равна 1—Ф(6), т. е. хотя и весьма мала, но отлична от
нуля. Ясно, что в этом случае при определении по формуле (7)
вероятностей попадания случайной величины Уп в интервалы, рас-
положенные на большом удалении от начала координат, будут по-
лучаться относительно большие ошибки. Однако, как правило,
весьма малыми вероятностями больших отклонений случайной ве-
личины от ее математического ожидания можно пренебречь и счи-
тать, что величина Уп подчиняется нормальному закону распреде-
ления. Последнее обстоятельство часто используется для получе-
ния реализаций нормальной случайной величины. Для этого на
цифровой вычислительной машине создается реализация равно-
мерно распределенной случайной величины, что осуществляется
относительно просто. В результате суммирования таких независи-
мых равномерно распределенных случайных величин получается
реализация случайной величины, близкая к нормальной. Указан-
ный метод создания нормальной случайной величины широко ис-
пользуется в методе Монте-Карло.
При выводе предельных теорем выше рассматривались только
суммы центрированных и нормированных случайных величин, т. е.
случайных величин, математические ожидания которых равны
нулю, а дисперсии — единице. Суммарная случайная величина К„
также центрированная и нормированная, т. е. уп= 0, зУп = 1.
421
Вместо Уп введем другую случайную величину Zn, которая равна
сумме случайных величин Aj, т. е.
zn =2	(33.29)
j=i
Ее математическое ожидание и дисперсия будут:
=2	= 2 а/.	(33.30)
j=l n j=l
В частном случае, когда все слагаемые распределены одина-
ково,	_	_
Za = tlX, а	(33.31)
zn
где x = Af(Xj), а = l/DjA'j) (/= 1, 2,..п).
Случайные величины Уп и Zn между собой связаны следую-
щими равенствами:
7 — Т
Гп =	, Zn = гп + Гп0, .	(33.32)
О	n
zn
Так как линейная функция нормальной случайной величины
также нормальная, то в тех случаях, когда случайную величину Уп
можно считать асимптотически нормальной, случайную величину
Zn при достаточно большом числе слагаемых п в (29) приближенно
можно считать нормальной случайной величиной с параметрами,
определяемыми формулами (30) или (31). Приближенное выра-
жение для плотности вероятности Zn имеет вид
(Z~M2
1
-—r= e zn .	(33.33)
n % у 2к
Можно произвести оценку отклонения плотности вероятности
случайной величины Zn от (33). Если, например, все слагаемые
в (29) распределены одинаково, то более точное выражение для
f.e (г) получается из (27) путем замены у па -—и дополни-
п	а]/ П
1	dy
тельного умножения на постоянный множитель —=
aV tt	dz
Следовательно,
1	_ С2-»*)3 г Sk ! z - пх\
f^z) = —^=e	1 + -J*
□ У 2к«.	бу п \ а У п /
! Ех U ! z~ !1Х\ ! (Sk)2 „ / z —
(3334)
Выше уже отмечалось, что при 10—20 одинаково распределен'
ных слагаемых случайную величину Уп приближенно можно счи-
тать нормальной. Это же справедливо и для случайной величины
Zn. Как и для У„, в этом случае нужно учитывать, что при некото-
рых значениях аргумента z ордината действительной плотности ве-
роятности случайной величины Zn может существенно отличаться
от соответствующей ординаты функции (33). Обычно относительно
большие расхождения в указанных ординатах бывают при боль-
ших отклонениях аргумента z от гп. Вследствие этого вероятно-
сти попадания случайной величины Zn в интервалы, расположен-
ные вблизи точки г = 2п, по формулам нормального закона распре-
деления находятся с значительно большей относительной точ-
ностью, чем в интервалы, расположенные на большом удалении от
точки z=zn.
Пусть, например, случайная величина Xj является числом по-
явлений события А при j-м испытании (/= 1, 2,. .п), при каждом
из которых это событие происходит с вероятностью р, причем р Ф 0
и р 1. В этом случае величина Zn, определяемая формулой (29),
есть число появлений события А при п независимых испытаниях.
Данная случайная величина распределена по биномиальному за-
кону. Ее ряд распределения имеет вид
Р (Za = т) ~ C™pn,qn~m (т — 0, 1, . . . , п).	(33.35)
При относительно большом п, как показано выше, случайную
величину Za приближенно можно считать нормальной с парамет-
рами zn = пр и Qin = Vnpq. Вероятность (35) того, что случай-
ная величина Zn примет значение т, в этом случае приближенно
можно считать равной площади под кривой f (z) в ^интервале
/ i , 1 \
I т — - ; т + дг I > т. е.
.1
m-Ь —-	т+ —
Р	1 Р _ (z~nP)3
P(Zn = m)^ j Д (z) dz =	J e 2прч dz. (33.36)
i	u i
m-T	m-T
Если из-под знака интеграла функцию /z (z) вынести средним
значением, приняв [/Zn(z)]cp = fzn(ni), то получим
P(Zn = m)^Pn.m^—==^e 2”рт .	(33.37)
у ‘Zr.npq
Данное приближенное равенство называют локальной предель-
ной теоремой Муавра—Лапласа.
423
Используя при вычислении интеграла (36) функцию Лапласа,
для искомой вероятности получим
Р (Zn = tn)
/ m 4-	— пр\ т — — — пр
Ф ----Ф ---------±=—
\ у npq J \ у npq
(33.38)
Эта формула, как правило, дает более точный результат, чем
формула (37). Ее точность зависит от числа испытаний п и веро-
ятности р. Чем больше дисперсия —npq, тем точнее замена би-
п
номиально распределенной случайной величины Zn нормальной
случайной величиной с тем же математическим ожиданием и с той
же дисперсией. Поэтому точность формулы (38) улучшается при
увеличении произведения npq. Расчеты по этой формуле приводят
к достаточно точным результатам, если число т относительно
мало отличается от математического ожидания 2П = пр. При боль-
ших отклонениях числа т от пр расчет по формуле (38) может
привести к относительно большим ошибкам.
Результаты расчетов по формулам (36) и (38) при большом
числе испытаний п практически совпадают, если значение т слу-
чайной величины Zn не выходит из интервала (гп —Зз2п
zn 4- 3aZn), причем этот интервал должен лежать на положитель-
ной части оси z ближе точки так как биномиально распреде-
ленная случайная величина Zn всегда не меньше нуля и не боль-
ше п. Следовательно, должно быть
О < пр — 3 Уnpq < т < пр 4- 3 Vnpq < п,
т. е.
т — пр\ .	„
—7=^ <3, пр^> 9q, nq > 9р.
V npq
(33.39)
Если эти условия не выполняются, то при использовании фор-
мулы (38) для расчета вероятности P(Zn=m) можно сделать от-
носительно большую ошибку.
Вероятность того, что случайная величина Zn примет значение
из интервала от mf до т2, включая и эти значения, в соответствии
с (35) определяется формулой
т9	т>
Р < Zn < т2) = V Р (Z,, = т) =	(33-40)
424
С помощью (38) для этой вероятности получим приближенно
P(Wi <Zn<m2) "'у
/ । 1
/ tn2 4- v — пр
ф|-----4=—
\ V npq
1
—у - пр
Vnpq
(33.41)
Использование формулы (38) вместо (36) и формулы (41) вме-
сто (40) существенно упрощает вычисления соответствующих ве-
роятностей при большом числе испытаний п.
В заключение рассмотрим случай, когда в (29) слагаемые Xj
являются независимыми случайными величинами, распределен-
ными по закону Пуассона с параметром а, т. е.
P(Xj = ^) = —е"а (/ = 1,2,..., п- k= 1, 2, ... ). (33.42)
Как показано в § 29, случайная величина Zn также распреде-
лена по закону Пуассона. Так как zn = па, то ее ряд распределе-
ния имеет вид
=	=	(*=1, 2, ...).	(33.43)
Наличие формулы (43), как и (35) для соответствующей слу-
чайной величины, распределенной по биномиальному закону, не
противоречит центральной предельной теореме, согласно которой
Z — z
в обоих случаях случайная величина Уп = —2----2 асимптотиче-
%
ски нормальна, а потому и случайную величину Zn при достаточно
большом п приближенно можно считать нормальной случайной ве-
личиной. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что при
большом математическом ожидании zn, которое в данном случае
равно па, значения вероятностей (43) при — za |<3?zn, т. е. при
\k — na\<i‘S\'rпа, мало отличаются от соответствующих значений
плотности вероятности нормального закона распределения с тем
же математическим ожиданием и той же дисперсией. При
| k—ла|> 3 ]/ па между указанными вероятностями может быть
большое отличие, но эти вероятности сами очень малы и часто их
можно не учитывать.
425
Таким образом, если произведение па достаточно велико, то
случайную величину Zn с рядом распределения (43) приближенно
можно считать распределенной по нормальному закону. Тогда ве-
роятность (43) того, что случайная величина Zn примет значение k,
можно найти по следующей приближенной формуле:
k+f
P(Z„ = *) =	=
‘-4-
(33.44)
Точность этой формулы зависит от величины произведения па
и отклонения числа k от математического ожидания zn = па. Чем
больше произведение па и меньше величина \k — па\, тем точнее
результат. Формулой (44) следует пользоваться в том случае, когда
значение k случайной величины Zn не выходит из интервала
(zn — 3jZji; zn 3cZn), причем этот интервал должен лежать пра-
вее точки 2 = 0. Тогда
0 па — 3 У па k па + 3 У па,
к
(33.46)
а потому должно быть
1 ^7—< 3> па >9-	<33-45)
У па
Из (43) следует, что
ка
к=к.
Если воспользоваться формулой (44), то для этой вероятности
получается следующая приближенная формула:
(33.47)
При больших k2 — #1 расчет по этой формуле значительно про-
ще, чем по формуле (46).
426
Пример 33.1. Проверить выполнимость условий центральной пре-
дельной теоремы для последовательности Х2,... одинаково рас-
пределенных случайных величин, если:
а)	они распределены по закону Коши;
б)	случайная величина Yi = распределена по экспонен-
циальному закону с параметром А.
Решение, а) Если случайная величина Xj распределена по
закону Коши, то не существуют математическое ожидание х и
дисперсия о2. Условия теоремы не выполняются.
б)	Плотность вероятности случайной величины Ej равна нулю
при у<0, а при у > 0 /у (у) = Xg-’y.
Следовательно,
aw=a(y)
dy
dx
Так как
е х при х > 0;
О при х < 0.
- ,f -У dx
х = к\ е х — =
J х
о
то условия теоремы не выполняются.
Пример 33.2. Вероятность попадания в цель при каждом из 100
независимых выстрелов равна 0,3. Используя точные и приближен-
ные формулы, определить вероятность того, что произойдет:
а) ровно 30 попаданий; б) от 40 до 42 попаданий; в) от 21 до 45
попаданий.
Решение, а) Если случайная величина Zn—число попада-
ний при п — 100 независимых выстрелах, то по точной формуле (35)
находим
р (Zn = 30) = qooO,33o-O,77° =	10-100• З30-770.
oU I i U!
Используя таблицы логарифмов для факториалов чисел, полу-
чаем
IgP(Zn =30) = 157,970 — 32,424 — 100,78 — 100 +
+ 30 • 0,4771 + 70 • 0,8451-= — 1,062 = 2,938.
Искомая вероятность P(Zn =30) =0,0867. В данном случае
130 ftsO I
ир = 30, npq = 2l. Условия ——‘ < 3, np^>$q и nq'^p выпол-
У npq
няются, поэтому можно использовать формулу (38). Имеем
/ 05 \
Р (Zn = 30) = Ф I = Ф (0,109) = 0,0867.
427
В соответствии с (37) находим P(Zn—30)	__= 0,087.
]/2к /21
б) По приближенной формуле (41) получаем
P(40<Z„<42) = 2-
ф / 42,5 - 30 \ _ ф / 39,5 -30 \
\ /21	)	/21	/
= -5- [Ф (2,729) - Ф (2,073)] = 4г (0,99365 - 0,96172) =
~ 0,01596	0,016.
По точной формуле (40) получим Р(40 + Zn < 42) =0,017.
Отличие в последнем знаке получилось потому, что в данном слу-
чае значения случайной величины Zn лежат вблизи одной из гра-
ниц интервала (гп — 3?гп, zn + 3oZn).
в) Используя формулу (41), находим
^(21 <Zn
45) = 4-|W45?%23O1
2	\ /21	/
ф / 20,5 - 30 V
\ /2? Л
= ~-[Ф (3,382) + Ф (2,073)( = 0,9805.
По точной формуле (40) в этом случае получим
45
Р (21 < Zn < 45) = 2 Cioo°«3k-OJloo-k= 0,9829.
k=21
Пример 33.3. Случайная величина X распределена по закону
Пуассона с параметром «=16. Определить вероятность того, что
в результате испытания значение случайной величины попадет
в интервал [10; 20].
Решение. Используя таблицу для вероятностей случайной
величины X, распределенной по закону Пуассона, находим
20
Р (10 < X < 20) = е~а = 0,01 (3,4098 +
к=10
+ 4,9597 + 6,6129 + 8,1389 + 9,3016 + 9,9218 + 9,9218 +
+ 9,3381+8,3006 + 6,9899 + 5,5920)	0,825.
По приближенной формуле (47) при па=16 получаем
Р (10 < X < 20) [Ф (1,375) + Ф (1,625)]	0,863.
428
Пример 33.4. Вероятность попадания в корабль каждой сбрасы-
ваемой с самолета торпеды равна 0,2. Для гибели корабля необ-
ходимо не менее трех попаданий. Какое количество торпед необ-
ходимо сбросить, чтобы вероятность гибели корабля была рав-
ной 0,9?
Решение. Обозначим через Zn суммарное случайное число
попавших в корабль торпед, если их сброшено п, тогда в соответ-
ствии с (41)
Р (3 < Z„ < л) 0,9 ~ 1-
ф (	—- 0,2га\
\ /0,2-0,8и	/
/2,5 - 0,2/А
\/0,2-(W /
Так как /г —достаточно большое число, то Ф
—0,2л
0,2/1 — 2,5
/п ои___о	_
То,гда ф	= 0,8, т. е.	А’" = 1,28. Из
V 0,4 Vп )	_	0,4 /п
квадратного уравнения п — 2,56 п—12,5 = 0 находим ]//г —
= 1,28 + / 14Д4" = 5,04, т. е. п 25.
Пример 33.5. Определить необходимое число испытаний для того,
чтобы с вероятностью 0,9 погрешность в вычислении методом ста-
1 _
тистических испытаний интеграла / = J е 2 tZx была не более 0,01.
о
Решение. Исходный интеграл можно рассматривать как ма-
_ —
тематическое ожидание функции е 2 случайной величины X, рав-
номерно распределенной в интервале (0; 1). Поэтому приближен-
П .
1	_ 2-х2
ное значение интеграла I — /п, где Л — ~ е 2 j, a Xj
(/= 1,2,..., п)—случайные числа, равномерно распределенные
в интервале (0; 1).
Имеем:
М (/„) = /; D (/„) = Д- nD (е * Xj =
1 (	Г /____КхД121 1
= — ЛЦе-х2) - Же 2	(Л,-/2),
п[	L \ /J J п
где
I* — J e~*'dx.
о
429
Поэтому центрированная и нормированная случайная величина
Кп в данном случае будет
, Е п
(4 - /)•
Если п велико, то согласно центральной предельной теореме
Р{\ Г„! <е) - Ф (в).
По условию Р ([ Еп | г) = 0,9. С помощью таблиц для функ-
ции Ф(г) при Ф(в)=0,9 находим 1,645.
Из | Yn |=е следует, что
z- ...| 4 — /| — 1,645, т. е. п =
/4-/2
(1,645)2(4 - /2)
(4 - 42
По условию должно быть I/п—/|<, 0,01, поэтому п 164.52 X
Х(4-/2)-
Имеем:
/ = ±^-Ф (1) = 0,85562; Ц =Ф (/2) = 0,74608,
тогда 4 = ^2 =0,014. Следовательно, необходимое число испыта-
ний 379.
ГЛАВА VI
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 34. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ
Случайной функцией X(t) неслучайного аргумента i называет-
ся функция, которая при каждом фиксированном значении t
является случайной величиной. Будем обозначать, по возможно-
сти, случайные функции большими буквами конца латинского
алфавита, указывая в качестве аргумента неслучайный параметр/,
т. е. Х(/), У(/), Z(t) и т. д. Функции аргумента t которые полу-
чаются в результате испытаний при исследовании случайных
функций, называются реализациями случайных функций и обозна-
чаются соответствующими малыми буквами, т. е. x(t), y(t), z(T)
и т. д. Аргумент случайных функций обычно обозначают через t и
условно называют временем. Если аргумент t может принимать
любые значения из некоторого интервала, то случайную функцию
X(t) называют случайным процессом. Если аргумент принимает
только дискретные значения, то случайную функцию Х(7) назы-
вают случайной последовательностью. В данной главе мы будем
рассматривать только случайные процессы.
Примерами случайного процесса являются ошибки измерения
координат объекта радиолокационной станцией, углы крена и
дифферента корабля на волнении, скорость ветра в данной точке
атмосферы и т. п. Примерами случайной последовательности мо-
гут служить годичный урожай, получаемый данным хозяйством,
среднее число солнечных пятен в году, ежегодный прирост населе-
ния в году и т. п.
Частным видом случайной функции Х(/) является заданная
функция X(/) =qj(/J V) времени t и случайной величины V. Такую
случайную функцию называют квазидетерминированной случай-
ной функцией. Реализацией этого процесса является заданная
функция времени, зависящая от значения, которое в результате
испытания приняла случайная величина V.
Ординаты случайной функции при фиксированном значении ее
аргумента могут быть случайными величинами непрерывного или
дискретного типа (могут быть также случайными величинами сме-
шанного типа, однако этот случай мы не будем рассматривать).
431
В зависимости от типа случайных величин говорят о случай-
ных функциях с непрерывными или с дискретными ординатами.
С понятием непрерывности ординат случайной функции не сле-
дует смешивать понятие непрерывности самой случайной функции.
Случайная функция называется непрерывной по вероятности, если
для любого положительного е выполняется равенство
limP( |ЛГа+ Д)-Х(О|>М = 0,	(34.1)
Д-0
которое показывает, что вероятность получения конечной разно-
сти между двумя ординатами случайной функции стремится к нулю
при уменьшении разности аргументов этих ординат.
Вместо условия (1) в качестве определения непрерывности слу-
чайной функции часто принимают условие
ИтЩХ(М-Д)—Х(/)]=0,	(34.2)
Д-0
которое при соблюдении условий применимости неравенства Чебы-
шева (32.1) к разности Х(/+Д) — т¥(/) эквивалентно (1). Выпол-
нение равенства (2) называется условием непрерывности случай-
ной функции в среднем квадратическом. В дальнейшем непрерыв-
ность случайной функции будет пониматься только в смысле сред-
него квадратического.
Рассмотрим методы, с помощью которых можно определить
свойства случайной функции X(t). Полной характеристикой орди-
наты случайной функции X(F) при любом t является ее закон рас-
пределения. Следовательно, для характеристики вероятностных
свойств ординат случайной функции достаточно указать функцию
распределения F(x,t}, а для непрерывного процесса — плотность
вероятности f(x;Z), Как и для случайной величины, F t) =
dF(x't}
— P[X(t) <x], f(x, t) ~	>где время t играет роль параметра.
Функция F(x\ t) называется одномерной функцией распределе-
ния случайного процесса Х(^), a f(x; /) — одномерной плотностью
вероятности соответствующего случайного процесса. Одномерный
закон распределения случайной функции является достаточной ха-,
рактеристикой случайной функции в том случае, когда по смыслу
решаемой задачи необходимо определить значение одной орди-
наты случайной функции. Однако этот закон является недостаточ-
ным, если при решении задачи необходимо учитывать значения не-
скольких ординат случайной функции. Если требуется учесть зна-
чения двух ординат случайной функции, то необходимо знать
функцию распределения системы случайных величин X(fi) и X(t2),
являющихся ординатами случайной функции X(t) в моменты вре-
мени ti и t2. Функция распределения этой системы
Л(хь *г; *1,	= Р[Х(Л) <хь X(t2) <x2]
432
и плотность вероятности
4. 4. \ д2 /Дх,, х2; t,, t2)
fix., х2\ tx, t2) — —?Д b 27
J v 15	’ 11 '	dxxdx2
называются двумерной функцией распределения и двумерной
плотностью вероятности. Эти функции зависят каждая от четырех
аргументов, из которых t\ и t2 играют роль параметров.
Аналогичным образом можно ввести понятие трехмерных, че-
тырехмерных и т. д. законов распределения случайной функции
(иногда говорят: законы распределения второго, третьего и т. д.
порядков).
Если взять п произвольных моментов времени tx,t2, то
аналогично предыдущему можно ввести n-мерную функцию рас-
пределения
* • • > -^-п> ^1»	 •  т А1)
= />[X(O<xb^(/2)<x2,...,	,	(34.3)
зависящую от 2п переменных, из которых /ь t2,  tn играют роль
параметров. Для случайной функции с непрерывными ординатами
существует n-мерная плотность вероятности, определяемая фор-
мулой
JUi, х2,..., хп; £1; tn}~
dnF(xx, x2, . . xn; t2, tn)
dxxdx2... dxn
(34.4)
Будем считать случайную функцию X(t) заданной, если заданы
законы распределения любого числа измерений для любых момен-
тов времени t2,....
Функция распределения (3) и плотность вероятности (4) обла-
дают теми же свойствами, что и для системы, состоящей из слу-
чайных величин. В частности, если известна функция распределе-
ния или плотность вероятности для п значений случайной функ-
ции в моменты /i, t2,.. ,ДП, то можно определить функцию распре-
деления и плотность вероятности для меньшего числа значений
ординат случайной функции.
Закон распределения п измерений может быть задан также ха-
рактеристической функцией Е(П], и2,..., nn; flt t2,.. ., tn), которая
определяется формулой
п
£ (^1» ^2» • • * ?	^2’ '
п
1 V uixi‘
оо	J J
.. . Je J“7(X1, х2,..., xn; tx,t2,..., tn) dxt dx2... dxa. (34.5)
28
433
Подобно тому как выше были введены многомерные законы
распределения, характеризующие случайную функцию X(I), мож-
но ввести многомерные законы распределения, характеризующие
две и большее число случайных функций. Так, для характеристики
случайных функций X(t) и Y(t) необходимо задать совокупность
(п + ш)-мерных законов распределения системы случайных вели-
чин Х(^2),.. .,X(tn), У(/1'), K(/2Z), - •	) для любых мо-
ментов времени t\, h,   , tnt t\, tz',  • •> t'a-- Эти законы распределе-
ния определяются или (п+т) -мерными совместными функциями
распределения
F (Х19 Л'з, . . . , Хп, У1, У2, • • . , Ущ’,	> ^2 5  • ‘ 5 ^т) ~~
= P[Xa1)<x1, X(t2)<x2,..., X(tn)<xn-,
*W)<yb < у2,..., У(О<уга]
или (п+пг)-мерными совместными плотностями вероятности
/(*1, Х2, • • . , Х,,, У15 У2> • •  > Ут> Л, ^2 > • • • ,	^1	> • ••) ^т)
3 + f^Xy, Л?2, . • . , Хп, У1, У2, . • • , Ут; ^1» ^2» ' • • 5 4, ^1 5 ^2 > • • • , ^т)
дХ} дх2.. . дхп дуг ду2... дут
Вместо полной характеристики случайных функций с помощью
многомерных законов распределения во многих задачах можно
ограничиться приближенной их характеристикой, указав только
первые два момента ординат случайных функций. Разделы теории
случайных функций, оперирующие только первыми двумя момен-
тами ординат случайных функций, называются корреляционной
теорией случайных функций. Корреляционная теория является
основным математическим аппаратом, применяемым в технике при
исследовании случайных процессов, так как во многих технических
задачах знание первых двух моментов ординат случайных функ-
ций бывает достаточным, а их определение во многих случаях (на-
пример, для линейных динамических систем) может быть осущест-
влено без привлечения законов распределения ординат случайных
функций.
Рассмотрим особенности, связанные с определением моментов
ординат случайной функции. Зафиксируем аргумент t случайной
функции X(t). Тогда, в соответствии с определением случайной
функции, X(t) будет случайной величиной, математическое ожи-
дание которой x(t) будет детерминированной (неслучайной) функ-
цией параметра t и определяется формулой
F(0=W(0].	(34.6)
434
Функция x(t) называется математическим ожиданием случай-
ной функции Х(/). Рассмотрим теперь два фиксированных момента
времени t\ и t2. Ординаты случайной функции X(t) в эти моменты
времени и X(t2) являются случайными величинами. Корре-
ляционный момент между этими случайными величинами в общем
случае будет зависеть от t\ и и, следовательно, может быть обо-
значен (Z1, t2) или просто	Функцию Лх(^,/2), опреде-
ляемую равенством
ЯХ(Л, h) =М{[Х^)-7(Zi)] рф2)-х(/2)]},	(34.7)
называют корреляционной функцией или автокорреляционной
функцией случайной функции X(t). В том случае, когда исследу-
ются две случайные функции, например X(t) и Y(t), наряду с кор-
реляционными функциями (^, t2) и t2) необходимо ввести
в рассмотрение корреляционный момент между ординатами слу-
чайных функций Х(Ц) и У(/2). Этот корреляционный момент,
являющийся функцией t, и t2, называется корреляционной функ-
цией связи между случайными функциями Х(() и У(0, обозна-
чается Т?ху(Л,^2) и определяется формулой
(t,, /2) = Л4 {[X(/,) - x(t,)] [У(/2)	]}.	(34.8)
В соответствии с формулами (6), (7) и (8) математическое
ожидание x(t), корреляционная функция (/],/2) и корреляцион-
ная функция связи t2) выражаются через плоскости вероят-
ности ординат случайных функций формулами:
x(O = J xf(x-,t)dx;	(34.9)
— оо
оо
К*(Л, Рч (ЛИ	х
X/U1, х2; tb t2)dx1dx2-,	(34.10)
/?xy(Zi, t2) ~ J j [x —х(Л)] \y — y(t2)] X
--------------00
Xf(x, y; tlt t2) dxdy.	(34.11)
Из приведенных формул видно, что для определения математи-
ческого ожидания x(t) достаточно знать одномерный закон рас-
пределения случайной функции; для определения же Кх (fb t2) и
Л) нужно располагать соответствующими двумерными за-
конами распределения.
435
По аналогии с 'первыми двумя моментами ординат случайной
функции X(t) могут быть введены функции, являющиеся момен-
тами ординат случайной функции более высокого порядка. Эти
функции, определяемые равенствами
т,,.„... ,М = М ([*(!,)]’'	•  • [Л- (/„)]’”!. (34.12)
могут быть выражены через n-мерную плотность вероятности
"4 S3„ . . , S„ (Л, 4 • . . , 4) =
=	...X
--00
X /<хь x2,. .., xn; 4, 4,... tn) dx{ dx2... dxlv (34.13)
Как всегда, для существования моментов случайных величин
интегралы (9), (10), (11) и (13) должны сходиться абсолютно.
Прежде чем переходить к рассмотрению свойств 4Х (4, t2) и
Rxy (4 4), обобщим формулы (9), (10) и (11) на тот случай, когда
ординаты случайной функции X(t) являются комплексными вели-
чинами. Отделяя вещественную и мнимую части, получим
Х(0 =U(t)+iV(t),
где случайные функции U(t) и V(t) имеют вещественные ордина-
ты и в общем случае могут быть взаимно зависимыми. Математи-
ческое ожидание случайной функции X(t) будет
x(Z) =u(t) +iv (t),
где u(t) и v(0 — математические ожидания случайных функций
U(t) и У(/).
Определим корреляционную функцию комплексного случайного
процесса X(t) как математическое ожидание произведения сопря-
женного значения случайной функции X(Q = X(t) — х(t) в мо-
мент t\ на значение этой функции в момент 4, т. е. положим *'
Лх(4,4)=АЦЬ(^)Х(^)],	(34.14)
где звездочка сверху означает комплексно сопряженное выра-
жение.
Подставляя вместо X(t] сумму U (t) + iV (t), получим
y = ^(t1, У + К, (<„ t,) + Ы-ftv» (t„ «1,
* Иногда корреляционную функцию для комплексной X(t) определяют фор-
мулой Лх(4, 4) =ЛТ[^(Л)Х*(4)1.
436
где Лц (6, Д) иЛДДьД)—корреляционные функции веществен-
ных случайных функций U(t) и V(t), a l?Uv(/i,^)— взаимная кор-
реляционная функция, или корреляционная функция связи слу-
чайных функций U(t) и У(0. Очевидно, что для вещественной слу-
чайной функции определение корреляционной функции (14) сов-
падет с данным ранее определением (10).
Аналогичным образом для двух комплексных случайных
функций:
АД) = СЛ Д)+*% Д) и Y(t) = U2(t)+iV2(t)
корреляционную функцию связи будем определять формулой
7?ху(/,.6)=Л1{[Х*(/,)-Г«(/])][Г(/2)_7(У]).	(34.15)
Выполнив очевидные преобразования, получим
ЯХу(Д, Д)-[/?и,и3Д1, Д)+7?у,уДД, Д)] + i [#U,V2 (Д, Д)“/?У,и3(Д, Д)].
Рассмотрим основные свойства корреляционной функции
ЛХД1,Д). Полагая ix — t2=t^ из (14) получим
ЛХ(Д Z) = M{|A^) — хД)|2}.	(34.16)
Для вещественной случайной функции А(Д
Ax(t д=щад)].
Таким образом, корреляционная функция при одинаковых зна-
чениях ее аргументов всегда есть вещественная положительная
функция, которая для вещественной АД) равна дисперсии этой
случайной функции. Условимся и для комплексной случайной
функции выражение (16) называть дисперсией случайной функции
и обозначать D [АД)], т. е. положим
Лх Д,/) =£) [А Д)].	(34.17)
Из (14) следует, что ЛХ(Д, Д)=М [А* Д2) АДД] =ЛХ*ДЬ Д), по-
этому
КХ(Д, Д) = /^(Д, Д),	(34.18)
т. е. при перестановке аргументов в корреляционной функции по-
лучается функция, комплексно сопряженная с исходной. Если
АД)—вещественная случайная функция, то из (18) следует, что
Лх Д2Д1) =ЛХ Дь Д), т. е. в этом случае корреляционная функция
является симметричной функцией аргументов Д и t2.
Установим неравенство, связывающее значение корреляционной
функции /ДДьД) при Д =# h с ее значениями 7Д(Д,Д) и ЛХ(Д, Д).
О	о
Для этого рассмотрим случайную величину А=аА(Д)—6А(Д), где
а и b постоянные. Дисперсия этой комплексной случайной вели-
чины будет
D (Z) = М (Z*Z) = | а |3 D [АГ (Д)] Д-
+1 b I2 D [X (Д)] - [а*МД (Д, Д) +	(Д, Д)] > 0,
437
поэтому при произвольных а и b справедливо неравенство
ИгЩ*(Л)1 + ИР-0[*0|.	(34.19)
Примем а = /£> [JV (£2)] Кх (^i, t2), b ~ VD [X (^) ] К* (^, £2) >
тогда из (19) следует, что при любых t\ и t2
\KA^,t2)\<VD{X «,)] О[ЛГ(<2)],	(34.20)
т. е. модуль корреляционной функции К* (Ju /2) при любых значе-
ниях ti и t2 не больше среднего геометрического из дисперсий
D[X(t})] и D[X(t2)].
Иногда вместо корреляционной функции Ax(/i,/2) удобнее
пользоваться нормированной корреляционной функцией kx(ti,t2),
которая определяется формулой
(£„ t2) —	---- (34.21)
/£W,)]D.[X(t2)]
Из (18) и (20) получаем
*х*(<,Д2) = ^(«г.Л); 1МЛ.*г)1<1.
Непосредственно из определения корреляционной функции
связи следует, что
/?ху(/2, ^) = /?;х(Л, t2\	(34.22)
Рассуждая примерно так же, как при выводе формулы (20),
получим, что для любых значений t\ и 6
I Яху (*, л2) | < /О [%(<,)] D [ Г (£JT .	(34.23)
Аналогично нормированной корреляционной функции ^Х(6,А)
можно ввести нормированную взаимную корреляционную функ-
цию гху(^,А), положив
г	_______ (34.24)
У /О[Л(Л)]С[Г(Л)|
Из формул (22) и (23) следует, что
гху(Л2, ^) = г;ха1( t2)‘, |rxy (^, f2) 1 < 1.	(34.25)
Рассмотрим несколько типов случайных функций, исследование
которых упрощается вследствие того, что эти функции обладают
особыми свойствами,
438
Весьма важным свойством случайных функций является их ста-
ционарность. Стационарными случайными функциями называются
такие функции, все многомерные законы распределения которых
не зависят от начала отсчета времени и, следовательно, не меня-
ются, если все значения моментов времени A, t2, . . ,,tn, входящие
в эти законы распределения как параметры, уменьшить на одну и
ту же произвольную величину t0. Так, например, для плотностей
вероятности стационарной случайной функции X(t) справедливы
равенства:
/Оа; A)=/(*i; k - A); f(^x2- A) =
= f(xb x2; t2 — 4);...;
/(х15 x2, . . ., xn; tx, t2,. tn) =
—f x2, . • • > xU) — t0, t2 tff, •. •, Ai A) (34.26)
при любом значении t0. Полагая в первых двух этих равенствах
А = А, получим:
/От; A)=f(*i;O); f(xbx2; ti,h) =f(xbx2;Q,t2 — A),	(34.27)
т. е. одномерный закон распределения для стационарной функции
не зависит от момента времени t\, для которого рассматривается
ордината случайной функции Х(А), а двумерный закон распреде-
ления зависит только от разности t2 — А моментов времени, для
которых рассматриваются ординаты функции Х(А) и А’(О).
Понятие стационарности распространяется и на совокупность
случайных функций. Случайные функции ХД) и У (А называются
стационарными и стационарно связанными, если их совместный
закон распределения любого порядка не зависит от начала отсчета
времени. При этом, например, для совместной (n + m)-мерной
плотности вероятности при любых п и т (п>0, т>0) имеем
/(Х}, Х2, . • . 5 у1 у2 > .  . ? Ут? А , А» • • • । Ар А > A i • * • > Аг? -
=/(л,, х,,.... х,„ у„ №.... у,„; Л — t„, t2 — t„,...
t.'-t,,	(34.28)
где A — произвольное число.
Для того чтобы случайные функции были стационарно связан-
ными, недостаточно выполнить условия стационарности каждой
из рассматриваемых функций в отдельности. Таким образом, тре-
бование стационарной связи между функциями накладывает на
них более жесткие ограничения, чем требования стационарности
каждой функции.
Подставляя (26) в формулы (9) и (10) для математического
ожидания и корреляционной функции, получим, что у стационар-
ной случайной функции
х — const, /Сх(А» А) = Л'Х(А —А),	(34.29)
439
т. е. математическое ожидание стационарной случайной функции
величина постоянная, а корреляционная функция является функ-
цией одного аргумента x=t2— t\. Положив t^=tx = tt находим
KAt, f) — D[X(f)] = КАО) = cosnt,
т. е. дисперсия стационарной функции величина постоянная.
Аналогичным образом, взяв в формуле (28) т = п=1 и положив
t2—t\ и tQ = ti, на основании (11) получим
/?ху(Л,	=	(34.30)
Следовательно, если случайные функции стационарно связаны,
то корреляционная функция связи является также функцией од-
ного переменного т=С — Л.
На основании формул (18) и (20) для стационарных случайных
функций имеем:
Кх(Ч = Кх*(-Ч; К(Ч|<Ях(о).	(34.31)
Для вещественных случайных функций
КМ-КЛ-^).	(34.32)
т. е. корреляционная функция является четной.
Для стационарно связанных случайных функций на основании
(22) и (23) имеем:
«.„« = «;(-О; |/?,у(ЧК/л7(0Уку’(0).	(34.33)
Для вещественных функций
/?Ху(^) = /?ух(-Д.	(34.34)
Условия (29) и (30), будучи необходимыми для стационарно-
сти и стационарной связанности, не являются достаточными, так
как эти условия могут выполняться, а условия (26) и (28) могут
быть невыполненными. Однако, учитывая, что во многих случаях
ограничиваются применением корреляционной теории случайных
функций, целесообразно несколько расширить понятие стационар-
ности, приняв (29) за определение стационарности, а (30) за опре-
деление стационарной связанности случайных функций. Такое
определение, предложенное впервые А. Я. Хинчиным, носит назва-
ние стационарности в широком смысле.
Таким образом, случайная функция X(t) называется стацио-
нарной в широком смысле, если ее математическое ожидание по-
стоянно, а корреляционная функция зависит только от разности
— 0 моментов времени, для которых рассматриваются ординаты
случайного процесса. Аналогичным образом стационарные слу-
чайные функции Х(/) и У(/) являются стационарно связанными
в широком смысле, если
^ху (^1!	= Rxn (^2	^1)*
440
Вторым важным классом случайных функций, исследование
которых существенно упрощается, являются нормальные, или гаус-
совские, случайные функции, т. е. такие функции, ординаты кото-
рых подчиняются нормальному закону распределения. Закон рас-
пределения системы нормальных случайных величин X(^i), X(t2)...
..., Л”(/п) полностью определяется математическими ожиданиями
и корреляционными моментами этих величин, т. е. значениями
ординат математического ожидания случайной функции x(t) и
значениями корреляционной функции /(х (tj, tt) при /, 1= 1,2, . . ., п.
Таким образом, нормальная случайная функция полностью харак-
теризуется ее математическим ожиданием x(t) и корреляционной
функцией К* (t{, t2) и, следовательно, для нормальных случайных
функций исчезает разница между корреляционной теорией случай-
ных функций и общей теорией. В соответствии с этим для нормаль-
ных функций понятие стационарности и стационарности в широ-
ком смысле совпадают.
Наконец, в качестве третьего частного случая, когда исследо-
вание случайных функций существенно упрощается, рассмотрим
случайные функции, свойства которых полностью определяются
несколькими первыми законами распределения. Простейшие функ-
ции такого типа — случайные функции с независимыми ордината-
ми. В этом случае полной характеристикой случайной функции
X(t) является ее одномерный закон распределения. Если Х(^)
является случайной последовательностью, т. е. аргумент t прини-
мает только дискретные значения, то любые ординаты случайной
функции JV(/j) образуют систему независимых случайных величин,
плотность вероятности которой равняется произведению плотно-
стей вероятности f(x}‘, tj) для каждой ординаты. Когда X(t) яв-
ляется случайным процессом с независимыми ординатами, все мно-
гомерные плотности вероятности для различных моментов времени
t\, h,   , tn будут равны произведению одномерных плотностей, т. е.
п
/(Xj, х2,xn; tit t2,. . • ,4)=П/(хь *j)-	(34.35)
j-i
В частном случае двумерной плотности вероятности при t2 Ф tt
получим
f(x1,x2;^1J2)=/(x1;^)/(x2;/2).	(34.36)
При t\ — t2 — t случайная величина Х(/2) совпадает с X(/i). Если
X(/i) приняла значение хь то X(t2) принимает это же значение,
а потому соответствующая условная плотность вероятности являет-
ся дельта-функцией, т. е.
f(x2/^i) =6(*2 — *1).
Тогда
f(xbx2; t, t) = f(xb f)6(x2 —xt).	(34.37)
441
Если в (35) (1 = /'2=.••• =tn =t> то по аналогии получим
/(х15 х2,... , xn; t, t, .. ., t)~/(х^ t} П 8 (*j xi)« (34.38)
j=2
Так как в рассматриваемом случае случайные величины А"(^)
и Х(/2) при ti^t2 независимые, то при ti 4= h корреляционная
функция	равна нулю. При t[ = t2 = t получим
АГХ (^ t) ~ JJ [хх — х (О] [х2 ~х (0] /(хн 0 8 (*2 — -^j) ^1 dx2 —
— j [Xj -х(/)]2/(х5; t)dxx = D [X (/)].
Случайный процесс, ординаты которого являются независи-
мыми величинами, а корреляционная функция имеет вид
KA^h')=c2(tl')6(t2-ti),	(34.39)
называется «белым шумом». Процессы такого типа впервые были
использованы в радиотехнике для характеристики шумов, возни-
кающих в радиолиниях. Для стационарного белого шума
Кх(т)=о026(т),	(34.40)
где с0 = const.
Подобно тому как вводится понятие стационарной функции
в широком смысле, формулу (39) или (40) можно принять в ка-
честве определения белого шума в широком смысле, понимая под
этим такой случайный процесс, корреляционная функция которого
пропорциональна дельта-функции. В этом случае некоррелирован-
ные ординаты случайного процесса могут быть зависимыми.
Вторым примером случайного процесса, свойства которого пол-
ностью определяются конечным числом многомерных законов рас-
пределения, является марковский процесс, или процесс без после-
действия, для характеристики которого достаточно знать только
первые два закона распределения. Случайный процесс называется
марковским*, если при любом п и 6<7г<7з<    <Х для услов-
ной плотности вероятности случайной величины X(fn) при задан-
ных значениях случайных величин X(^),X(/2),...,X(/n-i) спра-
ведливо равенство
/(хДхп х2,..., хп_,) =f(x,Jxn_i),	(34.41)
т. е. закон распределения для момента времени /п зависит только
от значения ординаты процесса в момент времени Zn-i и не зави-
сит от хода процесса в предшествующие моменты времени
^2, • •	—2‘
* В честь А. А. Маркова, впервые рассмотревшего процессы такого типа
(для дискретного времени).
442
В этом случае
...У=7(^;Л)П—
(34.42)
Марковские процессы находят широкое применение, так как
особые свойства этих процессов позволяют сравнительно просто
найти решение ряда задач, представляющих большие трудности
в общем случае, а многие случайные процессы, возникающие в при-
ложениях, можно считать марковскими.
Пример 34.1. Определить «-мерную плотность вероятности для
квазидетерминированного процесса X(t) = ср (t, У), если q>(Z, t/)—
монотонная функция от у при любом t, а плотность вероятности
случайной величины Y задана.
Решение. Для случайного процесса X(t) n-мерная характе-
ристическая функция будет
Е(«ь «2,..., пп; tx, t2....,	— м\е j_1	1 =
« '2v(tj’y)
= Р j=1	А(У)^У-
Искомая плотность вероятности f(xlt х2>,. ., tlt t2,..t ) =
= (2г)11 1 I •' • Ie 11 I I e J 1 fi (y) dy jdut du. .. datl =
— oo	\--oo	/
oo	n
= J/y(y)ri8kj-?(^ v)W
— oo	j.J
Так как x = cp(t у)— монотонная функция от у, то можно одно-
значно определить у через х и t, т. е. получить зависимость
y=ty(x,t), Случайная величина У не зависит от времени t. Следо-
вательно, и у не зависит от t, а потому в функции ф(х,/) можно
заменить t, например, на t\, заменив одновременно х на хь
Произведем под интегралом замену переменных, положив
*/=ф(х,6), тогда
x2i
OO
zi) I
дх Iх

443
n
X П Mxj — ? Ф (x, ^i)l 1 dx —
j=i
= /yH (*!> O]
(*1, ^1)
dxt
n
]”[ 5 (Xj— ?	Ф(х15 ^)]}.
j = 2
Пример 34.2. Определить математическое ожидание и корреля-
ционную функцию квазидетерминированного процесса
X (И - cos wj s*n
j=i
где Wj—заданные постоянные, a Kj и Zj —независимые случай-
ные величины с известными математическими ожиданиями Zj
и средними квадратическими отклонениями ау } az. (/= 1,2,..., т).
При каких условиях Х(/) является стационарной в широком
смысле случайной функцией?
Решение. Так как X(t)—линейная функция случайных ве-
личин, то
П1
X (t) — (yj COS «>/ -J- Zj Sin (OjZ).
j=l
Имеем
о "L о
X (t) =	(Yj cos o>jt -f- Zj sin tDj- /).
j=i
Тогда корреляционная функция будет
(/ь t2) = М [Xtfm] =
ГЛ
= cos o>j cos	sin o>j tx sin %T2).
j=i J	J
Чтобы случайная функция Z(Z) была стационарной в широком
смысле, должно быть х=const, а (/ь ^2) =/<х (/2 — ZJ. Это бу-
дет только при yj = Zj = 0, Зу. =	= Oj (/= 1, 2,. .., m). Тогда
А' = 0, а
А'х — ^i) = 2 *j cos "’i	—
j=i
Пример 34.3. Найти корреляционную функцию случайного ста-
ционарного телеграфного сигнала Z(/), который может принимать
два значения: а и —а. Число перемен знака случайной функции
Л’(0 подчиняется закону Пуассона с постоянной временной плот-
ностью X. Математическое ожидание x(t~) =0.
444
Решение. Рассмотрим случайную величину Y—X(t)X(t+x),
где t и т— фиксированные моменты времени. Эта случайная вели-
чина может принимать только два значения: а2 и —а2. Вероят-
ность того, что случайная величина Y примет значение а2, равна
вероятности того, что на интервале от t до t + x будет четное число
перемен знака. Вероятность значения —а2 равна вероятности не-
четного числа перемен знака.
По условию на любом интервале (t,/ + т) число перемен знака
не зависит от t и подчиняется распределению Пуассона с пара-
метром 7.т, тогда
©О	СС
к=0	к=0
Искомая корреляционная функция при т>0
ЛГХ (т) = М (Г) = а2Р( Y— а2) -a2P(Y= — а2) =
(XT)2k+l
(26 + 1)!

к=0
При любом т — а2е^ И.
Пример 34.4. Стрельба ведется с корабля, испытывающего бор-
товую качку. Залп возможен, если угол крена корабля ©{/) по ве-
личине не больше 0пр. Угол 0(/) является нормальной случайной
функцией с нулевым математическим ожиданием и корреляцион-
ной функцией
/С (т) =	1т| f cos {Зт 4- -j?- sin в | т | А ,
\ Р /
где дай р— заданные постоянные. При t = значение угла 0(Z)
известно и равно 0ь Определить вероятность того, что залп воз-
можен в момент t2 = t\ + Xt, где Xt задано. Рассчитать эту вероят-
ность при 0пр = 12°, о = 6°, а = 0,2 l/сек, р = 120 градjсек, 0i=— 8°,
Д/=2 сек.
Решение. Две случайные величины X = 0(/i) и У=0(/з) рас-
пределены нормально, причем х = г/ = О, ах = ау = а,
г = -^—2- = е~а At (cos р Xt 4- si n р AZ 'j •
\	p	/
445
В соответствии с формулой (24.4), плотность вероятности для 0
при условии, что @1 задано, будет

1
е 2о\'Э1

где 0В1 = 0^ (Л^), ае 8 = □ /1 — (Д£), ге (д/) = гху.
Искомая вероятность
При указанных числовых данных re (АО =—0,39, а
P(|0 WK 0„р)= j [ф (1,61) + Ф (2,74)1 =0,943.
Пример 34.5. Случайным процессом с независимыми прираще-
ниями называется процесс, для которого при любой совокупности
моментов ti, t2, . . t п и произвольном п > 3 разности X(Zj)—X(/j_1)
(/=2, 3,. ..,/г) являются взаимно независимыми. Доказать, что
в этом случае n-мерный закон распределения полностью характе-
ризуется двумерным законом распределения.
Решение. Для случайного процесса Х(0 n-мерная характе-
ристическая функция имеет вид
п
£ («и и2,
> > ^п; ^1,	• - - > ^п) — -М
’2 uiX(t0
, i=1
Имеем
2 «)*(/,)=+2 ». I* а.) - х«5-,)],
j = l	s=2
где обозначено
п
Vs =	($- 1, 2,..., n).
j=s
Так как, согласно условию, разности взаимно независимы, то
М
е
п
= М [е'^х
s=2
-wsx as_p-i-ivsx (t8)
446
Поэтому
Е (й], Ну,  < • >	^2, •  • j ^п) = Е (^1 > ^1) П ( ^st ^'sj ^s—1» As)-
s=2
Таким образом, n-мерная характеристическая функция выра-
жается через двумерные и одномерную характеристические функ-
ции. Следовательно, действительно, для случайного процесса с не-
зависимыми приращениями полной характеристикой является дву-
мерный закон распределения.
§ 35. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Любую стационарную случайную функцию можно представить
в виде суммы гармонических колебаний со случайными амплиту-
дами и фазами, называемой спектральным разложением случай-
ной функции. Спектральное разложение является весьма удобным
методом исследования стационарных случайных функций, так как
позволяет получать ряд формул более простым образом и дает
возможность более наглядно интерпретировать некоторые свойства
стационарных функций.
Прежде чем получить общую формулу для спектрального раз-
ложения стационарной случайной функции, рассмотрим случай-
ную функцию Х{1) специального вида, положив
X (/) = х -Р Hjcos + Bi sin “jO>	(35.1)
j=i
где Xj, — случайные величины, ®j — заданные постоянные
(/= 1,2, .. ., п), а х = const.
Найдем условия, при которых случайная функция (1) будет
стационарной в широком смысле, т. е. при которых
тИ[Х(О] = const, KAti, =
Находя математическое ожидание обеих частей равенства (1),
убеждаемся, что математическое ожидание X(Z) будет постоянным
только в том случае, если
М (Xj) = М (£j) = 0	(7=1,2,..., я).	(35.2)
Для корреляционной функции Х"(0 имеем
= [М (XjXJ cos tx cos <0/2 + XI (£j£z) sin sin ®^2"b
i.j=i
+ M (XjBz) cos Wj^ sin «)^2 + M (Aft) sin cos co^2] -	(35.3)
447
Для того чтобы выражение (3) было функцией только разно-
сти (/2 — /J, необходимо выполнение равенств:
М (ЛЛ) = М (ед) М (А&) = О
(J, I - 1, 2, ..., л; / =/= I);
В этом случае
KAti, Z2)=-/Cx(T) = 2Dicos%x>
j=i
(35.4)
(35.5)
где т = ^2 — Л, a £>j — дисперсия случайной величины Л.- и В<
(/=1,2,...,и).
Таким образом, квазидетерминированная функция (1) будет
стационарна в широком смысле, если математические ожидания
случайных величин и В} равны нулю, эти случайные величины
некоррелированные, а дисперсии D(Xj) и D{B^) одинаковые.
Положив в (5) т==0, получим
^(0) = D[X(Z)] = JjDj,	(35.6)
j=i
т. е. дисперсия случайной функции X(t) равна сумме дисперсий
случайных амплитуд Aj (или Bj).
Имея в виду удобство дальнейших преобразований, перейдем
в сумме (1) от тригонометрических функций к показательным, вос-
пользовавшись формулами Эйлера:
coswj^ —	1<о^); sin wjt =	(е!ш? — е '“j4).	(35.7)
Выполнив очевидные преобразования, получим
X(f) = jt+ 2®/'*,	(35.8)
I=-11
где обозначено:
ф< = 4-И'~гй'): Ф-,=4-(Л, + 1В,)=Ф?; |
*	z	(Зо.У)
Фо = 0,	.	j
Введенные таким образом комплексные амплитуды Фг на осно-
вании (4) удовлетворяют условиям:
ЛГ(Фг) = Л4(Ф? )=0; П(Ф/) = П(Ф*)=4Р1;
Л1(Ф/Фк) = Л4(Ф/Ф£)=0 (/,£=1,2,..., л; l^k).
(35.10)
448
Учитывая эти условия и формулу (8), дисперсию D[X(t)] мож-
но представить в виде
D[Z(/)]=	(35.11)
Z = —n
В приложениях математическое ожидание квадрата модуля
комплексной амплитуды Ф{ обычно пропорционально энергии, при-
ходящейся на гармоническое колебание с частотой со;, а сумма
п
£*(Ф/) пропорциональна полной энергии спектра.
1=— п
Любую стационарную случайную функцию Х(1!) с конечной дис-
персией можно рассматривать как предел конечной суммы (8),
если при увеличении числа слагаемых п до бесконечности число
частот соь приходящееся на любой малый интервал частот Дсо, так-
же увеличивается до бесконечности, а сумма (11) дисперсий всех
комплексных амплитуд Ф; остается конечной.
При таком предельном переходе каждая из дисперсий D($i)
будет стремиться к нулю. Следовательно, комплексные амплитуды
Ф/ можно рассматривать как бесконечно малые величины ^Ф(со)
и вместо суммы (8) в пределе получим
X(t)^x+ p!“W(«>),	(35.12)
где интеграл, стоящий в правой части равенства, отличается от
обычного интеграла (интеграла Римана) тем, что роль дифферен-
циала играет не дифференциал аргумента подынтегральной функ-
ции со, а дифференциал функции этого аргумента Ф(со) (которая
в данном случае является случайной функцией параметра со).
Интегралы такого типа, носящие название интегралов Стилтьеса,
являются обобщением интегралов Римана, поскольку они имеют
смысл, когда функция Ф(со), стоящая под знаком дифференциала,
дифференцируема и когда эта функция не имеет производную (бо-
лее подробное рассмотрение показывает, что случайная амплитуда
Ф(со) в данном случае является недифференцируемой функцией и,
следовательно,, применение интеграла Стилтьеса для дальнейшего
необходимо).
Возвращаясь к условиям (10) и заменяя в этих равенствах Фг
на сГф(со), получим, что дифференциалы t/Ф (со) при наличии ста-
ционарности случайной функции X(t) должны, во-первых, иметь
нулевые математические ожидания, во-вторых, быть некоррелиро-
ванными случайными величинами для неперекрывающихся интер-
валов изменения аргумента со и, в-третьих, дисперсии с/Ф(со) дол-
жны быть пропорциональны выбранному интервалу изменения со,
так как при предельном переходе от дискретного спектра к непре-
рывному с увеличением с/со увеличивается число дискретных частот
29
449
попадающих в этот интервал. Первое условие дает М [с?Ф(со)] = 0.
Чтобы удовлетворить второму условию, При любых (01 и со2 дол-
жно быть
М ^Ф(Ш| )б/Ф((02)] = М [аф*(®1)йФ*(о>2)] =0,
а при (Ot #= со2
М [^*((Oj)^(co2)] =0.
Так как при (0i= (о2 = со
М[(/Ф*((о)(/Ф((о)] =Р[^Ф(®)],
то для выполнения требования пропорциональности этой диспер-
сии величине выбранного интервала (/со необходимо положить
М [(/Ф* («Oj) б/Ф (0>2)J = Sx («j) 8 (СО2 — (0j) (Ztt)j d<s>2-
w-f-d<o
Действительно, так как с/Ф(ш) = J б/Ф((о), то в этом случае
получим
o)4-d<*> co-J-dco
£[^Ф(®)] = j J М [дГФ* ((Oj d® (w2)] =
(O co
(D-j-dto co-|-dco
== J J Sx 8 (o)2 — “J d®! c/w2 = Sx (<o) dvo.
Ш Ш
Таким образом, дифференциалы с/Ф((о) удовлетворяют следую-
щим условиям:
М [t/Ф (<о)] = 0; М [(/Ф ((oj б/Ф (ад2) ] =0;
М [б/Ф* (u)j) б/Ф (ш2)] = 5х(ш1) 8 (<о2 — ejj) d^d^,
где 5Х (го) — неотрицательная функция, соответствующая «плот-
ности энергии», приходящейся на бесконечно малый интервал .час-
тот (Z(o. Заменяя в (И) Ф( на б/Ф(со), переходя от суммы к инте-
гралу и учитывая (13), получим
оо
D [Х(0] = JSx(®) dv,	(35.14)
— о©
т. е. действительно функция Sx (со) играет роль «плотности энер-
гии, приходящейся на единицу частоты». Эта функция называется
спектральной плотностью стационарного случайного процесса
X(t), а формула (12)—спектральным разложением случайной
функции X(f).
(35.13)
450
Вывод этой формулы, полученной выше путем предельного пе-
рехода от конечной суммы (1), не является строгим и приведен
здесь только для уяснения существа вопроса. Существует общая
теорема, согласно которой любую центрированную стационарную
случайную функцию можно представить в виде ее спектрального
разложения (12), в котором дифференциалы с^Ф(со) удовлетво-
ряют условиям (13), а спектральная плотность Sx (со)—неотрица-
тельная вещественная функция, вид которой определяет свойства
случайного процесса Не останавливаясь на доказательстве
этой теоремы (его можно найти, например, в [20]), примем фор-
мулу (12) и (13) за основу при дальнейших рассуждениях.
Подставляя спектральное разложение (12) в формулу для
корреляционной функции и меняя порядок интегрирования и на-
хождения математического ожидания, с учетом (13) получим
^(т) = Л4[Л:*^)Х(С + г)| =
(ОО	'l
(* f е—irojt 4- i«>a(t+T) ф* (щ J ф	I —
= j j rM+Wl+T) M\d®* (mJ с/Ф (to2)] =
= JJ e~Ia>lt+iUi(t+T) ((Oj) 3 (w2—c/(02 =
— oo
*	eo
= J e'"2'Sx(«2) c/<n2,
t. e.
^x(T)= J *SX (oj) e'wz doi.	(35.15)
Если Кх(т)— абсолютно интегрируемая функция, то существует
преобразование Фурье, обратное (15), т. е.
М“>) = -£Г С /<,«« -"’Л. (35.16)
Положив в равенстве (15) т = 0, приходим к формуле для дис-
персии
00
К,(0)= j 5, («>)<*>>,	(35.17)
совпадающей с формулой (14), полученной выше при рассмотре-
нии предельного перехода от (1) к (12).
451
Остановимся на основных свойствах спектральной плотности
вещественной случайной функции X(t). Непосредственно из опре-
деления следует, что спектральная плотность Зх.(со) является неот-
рицательной функцией, т. е. Sx(<o)^0. Эта функция четная, т. е.
Sx (— <о) = Sx (ш), что следует из физического существа данной
функции, а также из формулы (16). Для случайной функции X(t)
с ограниченной дисперсией спектральная плотность является инте-
грируемой функцией, т. е. в этом случае
J Sx(<o)du>< оо.	(35.18)
Это неравенство следует из (17).
Если стационарная случайная функция X(t) дифференцируема
один раз, то, как будет показано в следующем параграфе,— /С/ (Д
существует и является корреляционной функцией производной
X'(t). Воспользовавшись равенством (15), получим
/G’(t)==-^(t)= J	(35.19)
Существование К* (0) является необходимым и достаточным
условием дифференцируемости (один раз) случайной функции X(t).
Из (19) следует, что необходимым и достаточным условием диф-
ференцируемости X(t) один раз является выполнение неравенства
j" <i>2Sx (со) r/co < со.	(35.20)
При существовании производной порядка I от стационарной
случайной функции X(t) из (15) находим
\(/)W = (-W(x2,) W = J ^SA^e^dv. (35.21)
Необходимое и достаточное условие существования производ-
ной порядка I от случайной функции Х(/) будет
У ш2г Sx (<«) dw < со.	(35.22)
— оо
Последнее неравенство выполняется, если функция Sx (со) при
со со стремится к нулю быстрее, чем	(21) следует, что
'	2 те I x
452
Правая часть этого равенства является спектральной плот-
ностью производной порядка / от стационарной случайной функ-
ции X(t). Поэтому спектральная плотность производной порядка I
от стационарной случайной функции Х(/) связана со спектральной
плотностью этой функции равенством
Sx(I) (®) = Sx (ш).	(35.23)
Рассмотрим две стационарные случайные функции X(t) и У(0..
Для каждой из этих функций существует спектральное разложе-
ние, т. е.
= J Л/Фх(«)); K(Z)=74- J о?Фу («>).
Подставляя эти разложения в формулу для взаимной корреля-
ционной функции -/?ху(^Д+т), получим
(t, t + Ч = M|b(f) Hi + г)] =
= е-м+ад+х’ M (о>)</фу(Ш1)].	(35.24)
Если случайные функции X^t) и У(/) стационарно связаны, то
случайные приращения г/фх (со) и </Фу (со) должны удовлетворять
условию, аналогичному условию (13) для каждого из дифферен-
циалов <^ФХ (<о) и ^Фу (<о), т. е. должно быть
М [</Ф* (ш) б?Фу («>!)]= Sxy (®) 8 (<о - (oj (fa d^,	(35.25)
где Sxy (со) — взаимная спектральная плотность случайных функ-
ций X(t) и Е(0. Подставляя (25) в (24), находим
/?ху + т) = ^ху (т) = J e'wx S^fa) d&.	(35.26)
Обращая этот интеграл, получаем выражение для взаимной
спектральной плотности Sxy (<в) через корреляционную функцию
связи Яху (т) в виде
s*yW=~^-J	(т) Л.	(35.27)
Функция 5ху((о) в отличие от Sx (о) может быть комплексной,
так как взаимная корреляционная функция 7?ху(т) в общем случае
не является четной даже при вещественных Х(^) и Y(f). Из (27)
следует, что
оо
<35-2S)
— 00
453
Так как
/?ху (т) ^ух (— Т)’
то
«:У(“) = -^Г Г e-^R,Mdz=S„(°>).
Поэтому взаимная спектральная плотность Sxy(co) удовлетво-
ряет условию
5:yH=Syx(w).	(35.29)
В частном случае, когда Y(t) = X(t), из (29) следует, что
S* (ш) = Sx (w) , т. е. спектральная плотность является веществен-
ной функцией и для комплексной случайной функции X(t).
В некоторых источниках под спектральной плотностью и под
взаимной спектральной плотностью понимаются функции Six (со) и
•S\Xy(co)> связанные с введенными выше функциями Sx(co) и Sxy (со)
равенствами:
Slx (ш) = 2 Sx (®); S]xy (а>) = 2Sxy (®).	(35.30)
Для этих функций справедливы следующие выражения:
Six(<») =
_1_ Г
К |
(35.31)
51.,М = -4-(’	(35.32)
--00
Когда A'(Z)—вещественная стационарная случайная функция,
/Сх(т)=А"х(—т), и выражение (31) принимает вид
Slx ("О = 25х («») =	—у Кх (т) cos ют dx. (35.33)
о
В этом случае спектральная плотность 5Х (со) также является
четной функцией, и, следовательно, формуле (15) можно придать
вид
Л'х(т) — 2 J Sx («)) cos <от с/ш = J Sjx(<o) cos (от (35.34)
Q	О
454.
а для дисперсии случайной функции Х(/) получим
(£)] = /<х (0) = 2 J $,(«>) Ж> = f Slx (<•>) d*>.	(35.35)
о	о
Спектральная плотность линейной функции стационарных и
стационарно связанных случайных функций просто выражается
через спектральные плотности и взаимные спектральные плотности
аргументов линейной функции. Действительно, пусть, например,
Z(t)=aX(t)+bY(t),	(35.36)
где а и b постоянные (не обязательно вещественные), a Sx(ro),
Sy(w) и Sxy(<o) известны.
Находя корреляционную функцию Z(f), получим
Кг (т) = М {[Z (0 - Z] * [Z (^ -Н) “ 2]} =
= I a Is Кх (Т) +1 b |2 Ку (Т) + a4Rxy (Т) -Ь ab* Ryx (г).
Применяя к последнему равенству обратное преобразование
Фурье и учитывая (16) и (27), получим
5г(<й) = |бг|25х(о))-1-| 6|3Sy (<*>) + a*b Sxy (w) Д- ab* Syx (ш).
Спектральную плотность нелинейных функций стационарных
случайных функций удается выразить через спектральные плотно-
сти аргументов только в некоторых специальных случаях, напри-
мер, если аргументы являются нормальными случайными функ-
циями. Пусть Z(t) =X(t)Y(t), где X(t) и Y (t)—вещественные ста-
ционарные и стационарно связанные нормальные случайные функ-
ции. В этом случае
z=M[X(t)Y(t)] —M[X(t)Y(t) +JX(t)+xY(t)+xy] -
=Яху(0) +xyt
поэтому
Kzb)-=M\Z(t}Z (^ + т)]==
= М {[X (Z) Y (t) - Rxy (0) - х у] [X(t + ^Y(t + т) -
— Яху(0) - *у]} =
= М ПЛ (О Y (Z) + х Y (0 + у X (t) ~ Rxy (0)1 (t 4- т) Y(t + *) +
+ х Y{t + ^) + yX(t + т) -Rxy (0)]}.
455
Математическое ожидание произведения четырех нормальных
величин может быть выражено через их корреляционные моменты.
Воспользовавшись равенством (21.53), получим
М [X(Z) X(t 4- т) Г(0 Y(t + т)] =
=	(О Ку (т) + R$y (0) + Яху (г) Яух (т).
Следовательно,
(-) = К, (г) ку (г) + /?*у (0) + /?ху (г) /?„ (г) -	(0) +
+ W=A'y (г)+ X y[R„ (т) + Я,у (г)] +(У)2 К.Ы-Л!,(0) +	(0).
После приведения подобных членов
Кг (О = К* (т) Ку (т) + /?ху (Т) Ryx (т) + (7)2 /Сх(т)+
+ (х)2 Ку (т) + х y[Rxy (т) + /?ух (т)].
Применяя к этому равенству обратное преобразование Фурье и
учитывая (16) и (27), получим
+ (y)2Sx(®)+(x)2Sy (®)4-xy[Sxy(®) 4-Syx(«>)].
Имеем
__1_ Г i<« 2к J - Л .f' + = JJ [SxWSy^)- = f [Sx (<•>!) Sy — 00 456-	ЧЛГх(г)А'у(т) + /?ху(т)7?ух(т)]^ = [5x(<1)1)Sy((1)2)-|- cy (wi) Syx (w2)]	dw2 = 4- Sxy (u)j) Syx (w2)] 5 (<*>! 4- ®> — ,)J) dw{ if®, = (ш _ Wi) ф 5xy (Ш1) syx (® — oj] tZ®P
Поэтому для спектральной плотности Sz (со) случайной функции
Z(t) —X(t) Y (t), являющейся произведением двух вещественных
стационарных и стационарно связанных нормальных случайных
функций, получим окончательно
5г(®)= J 5х(«>1)5у(ш— а, + J Sxy(®i)Syx(® —	+
— ОФ	--00
+ (у)2 Ж<*>) ф- (х)2 Sy (ш) +7 у [Sxy (ш) + Syx (<«)].	(35.37)
В частном случае, когда =	Z(t)—X2(t), 5ху((о) =
= SX (<о), и из (37) находим, что спектральная плотность квадрата
вещественной стационарной нормальной случайной функции Х(0
выражается через спектральную плотность Sx (со) этой функции
по формуле
5х3(ш) = 2 J	+ 4(x)2Sx («>).	(35.38)
Если У (0	то ^(0	~	‘ ^ак как ПРИ
любой постоянной а спектральная плотность aX'(i) связана со
спектральной плотностью А(/) равенством
Sax- (®)==|a|2<o2Sx(«>),	(35.39)
то для спектральной плотности случайной функции
получим
Оф
$» =	«>2 f S, (ш,) S. (ш - ш,) Л>, + (Т)2	(«>). (35.40)
Аналогично предыдущему можно найти спектральную плот-
ность и для более сложных случайных функций, выражающихся
через стационарные случайные функции.
В заключение вычислим спектральные плотности для наиболее
часто встречающихся частных видов корреляционных функций.
Пусть корреляционная функция имеет вид
/Сх(т)=а2е-«Ы.	(35.41)
457
В этом случае спектральная плотность будет
----------------------------00
ВО	f	О
—.	— i 0-(»+ь)^т 4. I 1<Ф dz = *
2* U	J	J
О	— оо
__ о2 /	1	.	1	\__ аз2
2к ( а-J-Zo) ~ а — Z® I тс(а3-|- <°2)
Таким образом, корреляционной функции (41) соответствует
спектральная плотность
’ (35-42)
В приложениях часто встречается корреляционная функция
Кх (х) — а2е~~а ।т 1 cos р т -sin р | т | .	(35.43)
Соответствующая ей спектральная плотность
Положим
JeaT(cos рт b sin р т) dx — ея\А cos р т 4- В sin р т) -|- const,
где А и В — неизвестные постоянные.
Дифференцируя это равенство по т, получаем
cos рт+& sin рт= (Ла + Вр)соэ рт+ (Ba— Ар)sin рт.
Поэтому постоянные А и В определяются уравнениями
Лп + Вр=1; — А^ + Ва = Ь,
откуда находим
л _ ci-^b .	р + а^
а24рз ’	а24-р2 '
458
Тогда
JeaT (cos pt + b sin pt) dx —
e&T
~ X Д2~ Ka — ?*) cos + Ф + Sin Pt] + const. (35.44)
U “Г p
Используя это равенство, получим
2а -]- До	2а — /ш
(а-|-/Ш)2 + Р2(а — /а))3-]-?2
Так как
2а 4~ м* _ 2а (а3 4~ Р2) 4“ /<» (Р2 — 0)2 — За2)
(а i®)2 4“ Р2	| (а2 + р2 — со2) 4- 2/<» а |2 ’
то выражение для искомой спектральной плотности может быть
записано в следующих трех видах:
2аз3 (а3 + Р2)	2аа2 (а2 + р2)____________
те [ (а2р2 — ш2)2 + 4а2 <«2] те [{а3 + р2 4-со3)2 — 4р2 ю2]
2а а2 (а2 4- Р3)
Х[(а2- р34-<о3)2+4а2 р2] '
(35.45)
Таким образом, если корреляционная функция имеет вид (43),
то соответствующая ей спектральная плотность определяется фор-
мулой (45). В частном случае, когда 0 = 0, после раскрытия не-
определенности в формуле (43) получим
К,(т) = о*(1 + «И|),	(35.46)
а для спектральной плотности Sx (со) из (45) будем иметь
ОлЗ Ср
S» = .V 24 2 •	(35-47)
4 7 те(шг4-аг)2
При вычислении корреляционной функции по заданной спект-
ральной плотности в том случае, когда 5х.(и) является дробно
рациональной функцией частоты со, вычисление интегралов Фурье
проще всего может быть выполнено с помощью теории вычетов.
Рассмотрим применение этого метода для спектральных плот-
ностей вида (42) и (45). В первом случае

ас2 С	d о> ar I	с-	,
- I ----------___--- । ________________
те J ш24-а3 те J (z4-«)(2-w)
459
При т>0 интегрирование по вещественной оси можно заменить
интегрированием по замкнутому контуру, состоящему из вещест-
венной оси и полуокружности бесконечного радиуса, лежащей
в верхней полуплоскости. Внутри этого контура интегрирования
подынтегральная функция имеет простой полюс в точке z = ia. Сле-
довательно, применяя теорему о вычетах, получим при т>0
/Сх(гН2^
а о2
77
Z + za
= з2
z=la
Учитывая равенство /Сх(—т) =/<х(т), находим, что при т<0
^(т) = з2еах, а потому при любом т искомая корреляционная
фуйкция имеет вид (41).
Если исходная спектральная плотность задана в виде (45), то
определение корреляционной функции сводится к вычислению
интеграла
„ .  2a a2 (a2	р2) Г	e]7'dz
х Т	к J (z—- Р~ za)(z + р—za)^—p4-za)(z-|-p4-za ’
— оо
Заменяя, как и в предыдущем случае, интегрирование по ве-
щественной оси интегрированием по замкнутому контуру, лежа-
щему в верхней полуплоскости, замечаем, что подынтегральная
функция внутри контура интегрирования имеет два простых по-
люса в точках г = + р + г'а. Следовательно, применяя теорему о вы-
четах, получим при т>0
Kx(r) = 4W(a2-|-P)
eizt	I
(г - Р — za)(z - р + /a)(z -J- р~-ЬЩ"|2=_3+1а
— а2 £~ат ( COS рт + ..д  Sin р т
Так как	= Кх (т), то при любом т корреляционная
функция имеет вид (43).
Когда исходная спектральная плотность задана в виде (47),
находим
*х(т) =
2 a3 a2
2izx
(z — ia)2 (z -}- za)2
dz.
460
Отличие от рассмотренных выше случаев состоит в том, что
подынтегральная функция в точке z = ia имеет полюс второго по-
рядка, поэтому при т>0 получим
/<х(т) = 4/а3 а2
d
dz
eiZT
[z -J- ia.)2
= а2£?-“т(1 -|-ат).
Z = la
Учитывая четность 7(x (т), находим, что при любом т в данном
случае корреляционная функция имеет вид (46).
В заключение настоящего параграфа определим спектральную
плотность «белого шума». Как было условлено в предыдущем па-
раграфе, стационарным «белым шумом» в широком смысле назы-
вается такая случайная функция X(t), корреляционная функция
которой пропорциональна дельта-функции, т. е. Дх (т) =2лс6(т),
где c = const. Подставляя это значение для корреляционной функ-
ции в формулу (18) для спектральной плотности и учитывая свой-
ства дельта-функции, получим
Sx((o) = c,	(35.48)
т. е. «белый шум» имеет постоянную спектральную плотность.
Из формулы (35) и (48) следует, что дисперсия «белого шума»
/Сх(0) = со. Так как технически реализуемые случайные функции
всегда имеют конечные дисперсии, то понятие «белого шума»
является математической абстракцией, которая не может быть реа-
лизована на практике. При воздействии случайных процессов на
реальные динамические системы высокочастотные компоненты
процесса вследствие инертности систем практически не оказывают
влияния на поведение систем. Поэтому иногда можно сделать
предположение о том, что случайная функция имеет характер
«белого шума». Замена случайной функции «белым шумом» может
быть произведена в том случае, когда в достаточно широкой по-
лосе частот спектральную плотность можно считать постоянной.
Пример 35.1. Исследуя спектральную плотность для стационар-
ной случайной функции X(t), определить, сколько производных
имеет эта функция, если
/Сх (т) = а2е~Ф1 fl -f- а | т j-|—a2t2 \ .
\ /
Решение. Учитывая
ной плотности получим
равенства (41) и (42), для спектраль-
Sx(“) = -2^
ДЛх(т) dt —
.a2 d2 \ cca3 ' ___________________________	8 a2 a5
‘ 3 да2 ) к (ш2 -j- a2) 3л (a>2 -|- a2)3
461
Так как произведение <в4^х(со) является интегрируемой в бес-
конечных пределах функцией, a co6Sx(co) не удовлетворяет этому
условию, то случайная функция X(t) дифференцируема дважды.
Пример 35.2. Команда поступающая на органы управления
автоматически управляемого объекта, связана с отклонением па-
раметра управления от его программного значения U(t) формулой
Л(0 = aU(t) +bU (t),
где а и b — заданные постоянные, п = 0,
(х) = °2(1 + «h|).
Найти спектральную плотность (<»).
Решение. Так как М [£/(/) L7(^+t)]+М [£/(/) £/(/ + т)] ==0, то
корреляционная функция входного сигнала
Кь (т) = М[A (£)Д (t + т)] a2 Ки (т) 4- Ь2 Кй (Д.
Если Su (со)—спектральная плотность случайной функции £/(/),
то искомая спектральная плотность будет
$д(<Д = (я2 + 62<»2)5и(“>).
Воспользовавшись формулой (47), получим
„ , .__ 2а3о2 (д2-ф- &2 ч>2)
л (ш2а2)2
Пример 35.3. Динамическая система используется для воспроиз-
dk
ведения функции У(/) — <^-(7(/ + то) по входному сигналу Х{1) =
— U(t) + V(Z). Случайные функции U(i) и V(t) (полезный сигнал
и помеха) — центрированные стационарные и стационарно связан-
ные. Определить взаимную спектральную плотность Sxy(o)), если
Su(w), Sv(<«) и Suv(to) заданы.
Решение. Корреляционная функция связи между случайны-
ми функциями X(t) и Y(t) будет
/?ху W = М	+т)] =	+ ЦО! W -Н-Но)} ==
дк
= [Ku + х0) + Kvu Ь + -о)1 =
e^+'^.S^u) ф- SVu (w)]	.
J
= J ^{(Z(o)M-o[Su («>) + Svu(uj)] } du>t
462
поэтому
5Ху(ш) = (/ш)к г’“*о [Su (cd) + Svu (®)] .
Пример 35.4. «Карданова ошибка» А/, возникающая при исполь-
зовании карданова подвеса в некоторых стабилизационных кора-
бельных устройствах, связана с углами крена ©(/) и дифферента
V(/) корабля соотношением A(Q = 0(f)T(f). Считая ©(/) и Т(0
независимыми стационарными случайными функциями, опреде-
лить корреляционную функцию и спектральную плотность ошибки
Д(/), если 0 = 0, ф = 0,
ЛГе (t) — Sj2 е~a‘lTi ( cos т 4------------
\	ю
(т) = О22 е~^ I f COS Р2 х И------------ЕГ~
sin Pi |т|
sin р21 т J
Решение. Так как ©(/) и Чг(^)—независимые центрирован-
ные случайные функции, то
ЛГд(т) = 7И	+	+ =АГф(т)ЛГ9(т) =
— (а1 °2)2 £-(ai+“a)li:| ( COS PiT COS [>2 x 4"
sin Pi | т | cos p2 x +
Pi
+ —7Г— COS Pl T sin p21TI 4- sin | т | sin pa | т |
P2	Pi P2

Положим a = cti + a2, ₽ = Pi + ₽2, Y=₽i — ₽2, тогда корреляци-
онную функцию Кд(т) можно записать в виде
’-^k)cos?t +
(“i , сс9 \	। I . /. a, <х2 \
TT + -Msin₽N+ l.1 + KMC0S‘
Г—) Sin7HI
'2 /
Чтобы найти спектральную плотность Sa (со), воспользуемся
формулой
со
Sa (ш) = 2 д J e-i“T (х) .
— со
463
Имеем
т| — 1шт+)(3|т
£-(“+!<>-|£)т ^т_|_
^(а_1(0_ф)т ^т=_.
а -|- А« — а — it» — /|3

= а -	— Р) , «Ч-^ + З) .
(<й — Р)Ч а2 + («> + р)2 4- й2 “
_ 2 а(а2 + Р + а>2) + 2/р (а2 + р2 — а>2)
(ш2 _j-а2 — Р2)2 + 4а2р2
Поэтому искомая спектральная плотность будет
S1W=±^LX
ф2-Н24- о2) (1	+P(a2+p2-«>2) (-£l +
\ Pl ?2 /	\ Р1 г2 /
(а2 + Р2 + Ш2)2 — 4pw
а(а2+ f + ш2) (1 4-	7(а2 + f-ш2) (-%--------
\ Pl г2 /	\ Р1
(а2 + у2 ~Н ш2)2 4у2 <о2
§ 36. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Рассмотрим прежде всего линейные операции над случайными
функциями, наиболее часто встречающиеся в приложениях: диф-
ференцирование и интегрирование. Так как понятие производной
и понятие интеграла вводится путем соответствующих предельных
переходов, то сначала необходимо ввести понятие предела для по-
следовательности случайных функций.
Будем понимать под пределом последовательности случайных
функций такую новую случайную функцию, математическое ожи-
дание квадрата модуля разности между которой и элементами
последовательности стремится к нулю при выполнении условий,
для которых находится предел. Подобное определение предела,
называемое пределом в среднем квадратическом (часто обозна-
чается 1. i. т.), является не единственным возможным определением
понятия предела в теории случайных функций, но обладает наи-
большей простотой и соответствует интуитивному смыслу понятия
464
предела, так как при таком его определении вероятность сколь
угодно малого отклонения последовательности случайных функ-
ций от ее предела стремится к нулю. Данное в § 34 понятие непре-
рывности случайной функции в среднем квадратическом исполь-
зует введенное выше понятие предела, так как вместо определе-
ния непрерывности неслучайной функции /(/), приводимого в ана-
лизе
lim[f(/+A0-f(0]=0,
At-0
случайная функция Х(/) считается непрерывной, если
lim Ж [I JV 4- ДО — Х(0|2] = 0.	(36.1)
At-0
Установим, какие условия накладывает требование непрерыв-
ности случайной функции X(t) на ее математическое ожидание
х(0 и корреляционную функцию Кх (^,0). Представив случайную
функцию Х(/) в виде суммы центрированной случайной функции
X(t)=X(i)— x(t) и математического ожидания х(/), условию (1)
можно придать вид
lim {М [|JT (*4- ДО — X (ОН + |x(Z+A0 — * (0 Г } =0.
At-*O
Так как оба слагаемых последнего выражения неотрицательны,
то отсюда следует, что математическое ожидание х(0 непрерыв-
ной случайной функции Х(0 является непрерывной функцией
аргумента t.
Докажем, что необходимым и достаточным условием непрерыв-
ности случайной функции X(t) в среднем квадратическом, кроме
непрерывности математического ожидания x(t), является непре-
рывность корреляционной функции Лх (ti,t2). Чтобы убедиться
в необходимости этого условия, составим разность
(/Д- М, О)-АГХ(О ^2) = Ж{[^*(^ + Д/)-^(0] X(t2)}.
Согласно (34.23) для любых двух случайных функций X(Q и
Y(t) справедливо неравенство
I Яху (Л, УI = IЛ [£♦ (ti) Y («11 < /ВрДШЩЖД
поэтому
1 кх (t + Д/, t2) — K^(t,
< М {[X (t + ДО - X (012} D [X (0)] •	(36.2)
Если дисперсия Д [%(/)] ограничена, то при непрерывном мате-
матическом ожидании x(t) и выполнении условия (1) из (2) сле-
дует непрерывность корреляционной функции (0,0) относи-
30
465
тельно первого аргумента. Аналогично доказывается необходи-
мость непрерывности и по второму аргументу. Поэтому из непре-
рывности случайной функции в среднем квадратическом следует
непрерывность корреляционной функции.
Чтобы убедиться в достаточности этого условия, рассмотрим
соотношение
Af {[X (t + Д/) - X (/)|2} = Кх (t 4- Д/, t + ДО - К* (t + ДА /)-
- (A t + ДО + /Сх (О о.
Если корреляционная функция /(х (0,А) непрерывна, то из
этого равенства при непрерывном х(0 следует условие (1).
Таким образом, случайная функция X(t) непрерывна в среднем
квадратическом, если непрерывны ее математическое ожидание
х(0 и корреляционная функция ЛХ(А, А). Непосредственно из до-
казательства следует, что необходимым и достаточным условием
непрерывности случайной функции X(t) в точке t является непре-
рывность математического ожидания x(t) и непрерывность корре-
ляционной функции КХ(А, при t\ — t2 = t. Из непрерывности кор-
реляционной функции AX(A,A) при = t следует ее непрерыв-
ность по любому из аргументов t\ и t2. Для стационарного случай-
ного процесса х=const, а Кх(t, t) — Кх (0). Поэтому необходи-
мым и достаточным условием непрерывности стационарного про-
цесса при любом t является непрерывность корреляционной функ-
ции Л"х(т) в точке т=0. При выполнении этого условия корреля-
ционная функция Лх(т) непрерывна при любом т.
Следует отметить, что непрерывность в среднем квадратическом
не означает, что реализации случайной функции являются непре-
рывными функциями. Пусть, например, случайная функция X(t)
может принимать только два значения: а и —а, а число перемен
знака подчиняется закону Пуассона с постоянной временной плот-
ностью Л (см. пример 34.3). В этом случае реализациями Х(/) бу-
дут ступенчатые функции, меняющие свои значения на +2а в слу-
чайные моменты времени. Но так как х = 0; А’х(т) = а2^-2Х|т|, то
данная случайная функция непрерывна в среднем квадратическом.
Введем понятие производной от случайной функции. Будем на-
зывать случайную функцию Х(А дифференцируемой в точке А
если существует такая случайная функция X'(t), называемая ее
производной в точке А что
lirn М ----------—------------л (I)	=0. (ЗоД)
At-О	At
466
Таким образом, производной от случайной функции X(t) бу-
дем называть случайную функцию X'(t), которая определяется
предельным равенством
..	X(t + Д£) —- X (t)
X' (t) = lim---—77---------— ,
dt->0	ы
причем предел понимается в среднем квадратическом, т. е. в виде
предельного равенства (3).
Случайную функцию X(t) всегда можно представить в виде
О	- о
суммы Х(7)=Х(й+х(7) центрированной случайной функции X(t)
и математического ожидания x(t). Если x(t) — недифференцируе-
мая функция, то из определения (3) следует, что и случайная
функция X(t) недифференцируемая. Поэтому одним из условий
существования производной от случайной функции является диф-
ференцируемость математического ожидания х(/).
Чтобы выяснить другие условия, при которых существует про-
изводная от X(t), будем для простоты считать, что X(t)—центри-
рованная случайная функция, т. е. что x(t) ==0.
Докажем, что необходимым и достаточным условием существо-
вания непрерывной первой производной от центрированной слу-
чайной функции X(t) является существование непрерывной второй
смешанной производной от корреляционной функции Лх(^, t2) при
4—^2-
Чтобы убедиться в необходимости этого условия, рассмотрим
центрированную случайную функцию
Л (<) =	.
Предположим, что производная существует и что она не-
прерывна в точке t. Тогда в пределе при А О корреляционная
функция случайной функции AT (Q существует и совпадает с кор-
реляционной функцией для X'(t). Имеем
Л"хд (^1) ^2) = д2" [А'х (^1 + А, ^2 4~ А) —
-к* + л, t2) - К* (^, Ъ + А) + К, (^, ^)].
Из этого выражения следует, что для существования Kx'(^b^)
корреляционная функция ЛДТДг) случайной функции X(t) дол-
жна иметь вторую смешанную частную производную, тогда
lim (tt, t2) = Кг. (<„ t2) = d"Kd^'tl} .	(36.4)
467
Если эта производная непрерывна, то случайная функция X'(t)
будет непрерывной в среднем квадратическом. Для доказательства
достаточности указанного выше условия убедимся, что при сущест-
вовании непрерывной второй смешанной частной производной от
корреляционной функции /СДЛДг) выполняется условие (3).
Имеем
D [X,(t)-X' (^)] =	(Л t) - /?ХдХ. (t, 0 - /?Х-Хд (t, t) -ф К* (t, t),
(36.5)
где
Ях'хд (f, t) = M [Л7* (/) X, (01, /?ХдХ' (Л 0 -	*>•
Так как
₽х4х«1, »=м	X(t2)\ =
КхО. + А,
то в пределе получим
lim йхдх (Л, <2) = ₽х'х (it, tj =	
Д-0	Vti
Используя это равенство, находим
о // 2. \_____ К* (^i> 0 4" А) К* Un
^х'хд (0, t2) -	д
При А —> 0 и /] = /2 = ^ эта функция стремится к дисперсии
D[X'(/)] =Av(£,Z) случайной функции X'(t), Учитывая (4) и по-
следнее равенство, из (5) получим
lim D [Хд (О — X' (0]
д-0
д2КЛ^
dtt dt2
д2Кх (Л, /2)
dtt dt2
a^x(/bQ). , Wx(0^2) 1| _п
dttdt2 -г dtvdt2
т. е., действительно, имеет место равенство (3).
Таким образом, если существуют производная от математиче-
ского ожидания x(t) случайной функции X(t) и вторая смешан-
ная частная производная от корреляционной функции t2) при
^i = ^2, то существует первая производная от случайной функ-
ции X(t).
В этом случае:
М [A" W] =-^-; ЛГ«' 01, У =	; (36-6)
Цф	Ui-j Ul'2
(t„ у =	; Д„, (Z„ t2) = ^хОвД) (36 7)
(7Г1	vtg
468
Если функции (6) непрерывны, то производная Х'(£) является
непрерывной случайной функцией.
(t)
Когда существуют непрерывные производные -----df^ ~~ и
д2тК (t t)
—> случайная функция X(t) дифференцируема т раз,
причем все производные порядка не выше т являются непрерыв-
ными случайными функциями.
При этом
М (/)] — —, Ax(s) = dt*dt2* (36.8)
(s — 0, I, . . tn);
Hb t2) = —dtfdt^—
(a, 3 — 0, 1,..m).
Для стационарной случайной функции X(t) математическое
ожидание х постоянно, а корреляционная функция Кх(^1? t2)~ ЛДД,
где x~t2— ti. Если вторая производная от Ах(т) существует и не-
прерывна, то существует первая производная X'(t), являющаяся
непрерывной случайной функцией, причем согласно (6) и (7)
М \Х' (0] = 0;	(г) = —Л/" (?);	1
/?х'х (т) = -АГ/ (г);	(т) = АГ/ (г). j
Если при т = 0 производная от корреляционной функции Кх(т)
порядка 2т существует и непрерывна в этой точке, то случайная
функция X(t) дифференцируема т раз. При 5 т случайная
функция X&(t) непрерывна, причем согласно (8) и (9)
\(s) (х) = (- 1)S ATS) (О;	=	(36.11)
(s, a, 0 = 0, 1,. .., m).
Корреляционная функция АГх(т) стационарной случайной функ-
ции принимает наибольшее значение, равное £>[Х(/)], при т=0.
Поэтому для дифференцируемой случайной функции X(t) К/(0)—
= 0. Из (10) следует, что в этом случае
/?xH0)=W*(0*'(0]=0.	(36.12)
Таким образом, взаимная корреляционная функция стационар-
ной случайной функции X(t) и ее производной X'(t) в один и тот
же момент времени равна нулю, т. е. эти функции некоррелиро-
ванные,
469
Рассмотрим дифференцируемость случайных функций с наибо-
лее часто используемыми корреляционными функциями. Пусть, на-
пример,
/<х (Т) =	,	(36.13)
где о и а — заданные положительно постоянные.
Данная корреляционная функция дифференцируема любое
число раз, поэтому стационарная случайная функция Х(/), для
которой корреляционная функция имеет вид (13), дифференцируе-
ма любое число раз.
Если
^(т) = б3гвН,	(36.14)
то
Кх' (т) — —т2а -Ш- е~а 1Т1.
Эта функция имеет разрыв в точке т = 0, так как
К* (т) к=-о = а (т) [т=+0	~а2а.
Поэтому вторая производная от Лх(т) при т=0 не существует,
вследствие чего случайная функция X(t) не имеет производных.
Примером такой функции является случайный телеграфный-сигнал
(см. пример 34.3).
В приложениях часто используются случайные функции, для
которых корреляционная функция имеет вид
АГХ (т) =02e--“N ^cos рт + ~ sin Р ,	(36.15)
где а, а, р — положительные постоянные.
В этом случае:
с2
Д'/ (т) =---ft— (а2 4~ Р2) £~а|г1 sin pt;
/с/ (т) ~ — а2 (а2 4- р2) е* 1x1 / COS рт — -у sin р | х | j .
В окрестности точки т = 0 функция /<х"(т) непрерывна, поэтому
случайная функция X(t) имеет непрерывную первую производную.
Корреляционная функция производной X'(/) в этом случае будет
а
(36.16)
Имеем
т
-« щ Q32	я2^ Sjrt (зт [_ 2ар -!—!• cos pt .


При т = 0 эта функция терпит разрыв, поэтому случайная функ-
ция с корреляционной функцией вида (15) дифференцируема
только один раз.
Если р -> 0, то из (14) получим
(т) = з2е~а 1x1 (1 -]- а | т |).
Стационарная случайная функция X(Q с такой корреляцион-
ной функцией также дифференцируема только один раз, причем
корреляционная функция ее производной может быть получена из
(16), если положить р = 0 и раскрыть неопределенность 4-sin р Ы .
Р
Выполнив эти преобразования, получим
ЛГХ- (т) =	(1 - а (т|).
Перейдем к определению понятия интеграла от случайной функ-
ции X (/).
Рассмотрим для этой цели сумму
= 2 ф х д^’	<36-17)
j
где ф(/, £)—заданная неслучайная функция;
суммирование производится по всем возможным интервалам Д^-
из области (а, Ь), а и b — постоянные.
Если независимо от выбора граничных точек участков Д^,
на которые разбивается интервал (а, Ь), имеет место равенство
lim М [I Ед (0 - Y (0 i2] = 0,	(36.18)
max Д^ -.0
то случайная функция Y(t) =lim Уд (/) называется интегралом от
max Д£j -0
случайной функции Х(£) с весом ф (Z, |) на интервале (а, Ь) и обо-
значается
у(о =	(36.19)
а
Докажем, что необходимым и достаточным условием сущест-
вования интеграла (19) является существование интегралов:
ь
у (t) - [ Ф (t, £) х (?) бй;	(36.20)
а
b ь
/<у (Л, у = [	(А, 5) Ф (С ’l) к, (5, Ч) <ЯЛ),	(36.21)
а а
которые являются соответственно математическим ожиданием и
корреляционной функцией для случайной функции (19).
471
Чтобы убедиться в необходимости этих условий, найдем мате-
матическое ожидание и корреляционную функцию случайной функ-
ции Уд (О- Так как эта функция зависит от случайных величин
X (£j) линейно, то
Ь V) =2 Ф (Л У х (М Д;
j
Ay «„ У = 2 — Ф* V» О ф (<2. м К* X Ы1 Д *V
i s
В пределе, когда max Д^- -*0и max Дг|3 -> 0, если только соот-
ветствующие предельные выражения существуют, г/д (/) и Лу (^, t2)
определяют математическое ожидание и корреляционную функцию
случайной функции Y(t). Для существования этих предельных вы-
ражений необходимо существование интегралов (20) и (21), что
и доказывает необходимость указанных условий.
Чтобы убедиться в достаточности условий (20) и (21), пока-
жем, что при существовании математического ожидания и корре-
ляционной функции Ку (Л, ^г) справедливо равенство (18).
Имеем
М И П (0 - V (0121 = м [| n (t) - Y (0Р1 + |у4 («) - у«)|2 „
= K4(t, t) - t) - /?ууД, t) + Л', (t, t) + | y> (t) - ~y (t) |2.
(36.22)
Взаимная корреляционная функция
j
в пределе при тахД^-> 0 стремится к взаимной корреляционной
функции
Л,у («! С) = J Ф (<3, 5) Кх (Л, S)	(36.23)
а
Тогда в пределе взаимная корреляционная функция
t,) = 2 Ф’ (Л, О Я-у (5). ДЕ,
j
будет равна корреляционной функции
ь
К, (t,, t2) = J г (t„ 0 Rv (i, t2) <& =
a
b b
a a
472
Аналогично получаем, что взаимная корреляционная функция
^2) в пределе стремится к взаимной корреляционной функ-
ции
ь
Лук «1, ti) -J Г Ui, 6) Лх (5. *г) <й,	(36.24)
а
а функция Ryy (^i, ^2) будет равна корреляционной функции
/Су(^,/2). В этом случае правая часть равенства (22) стремится
к нулю, а поэтому справедливо предельное равенство (18).
Таким образом, необходимым и достаточным условием сущест-
вования интеграла (19) является сходимость в обычном смысле
интегралов (20) и (21), которые определяют математическое ожи-
дание и корреляционную функцию случайной функции Y(t), Вза-
имная корреляционная функция Аху (/ь /2) при этом определяется
формулой (23), а взаимная корреляционная функция ^ух(^ь^)—
формулой (24).
Так как всегда f) >0, то из (21) следует, что при сущест-
вовании интеграла (19)
ь ь
JJ Ф* (t, £) ф (*, ч) (I, 4) cRdrt > 0.	(36.25)
а а
Последнее условие является одним из ограничений, которые на-
кладываются на корреляционную функцию	Оно исполь-
зуется для проверки возможности замены Ах(/ь/2) различными
аппроксимирующими выражениями.
Введенное выше понятие определенного интеграла без труда
обобщается на тот случай, когда пределы интегрирования а и b
являются функциями переменной t. В частном случае, положив
п = 0, & = ф =s 1, получим
Г(/)=	(36.26)
о
Рассмотрим случай, когда Х(£)—стационарная случайная
функция. Если ее математическое ожидание х отлично от нуля, то
математическое ожидание случайной функции Y(/) зависит от вре-
t
мени, так как y(t)~ J x(Qd^ = xt. Корреляционная функция инте-
о
грала (26) от стационарной случайной функций будет
t.t,
Ку (Л, У = f fЛх(1 - Е) (Rd-ч.	(36.27)
о 6
473
Чтобы произвести одно интегрирование, перейдем во внутрен-
нем интеграле от переменной интегрирования £ к новой перемен-
ной т, положив ц —£ = тогда получим
О 7J—ta
Полагая и= J Kx(t)dx, dv~dx\ и интегрируя по частям, прихо-
—ta
дим к равенству
Ку (Л, t2) = J Кх (т) dx - ^К* (?]) dx\ + J т]/<х (к] — £3) dx\
 '	о	о
интеграле ц — t2 на —т,
или, после замены в последнем
t,
о
tj
+ J (t2 - т) Кх (~т) dx.	(36.28)
L-Ч
Если X(Z)—вещественная функция, то Хх(—т)=Хх(т), тогда
дисперсия случайной функции Y(t) будет
t
D [К (Z)] = Ку (Z, о = 2 (е - Т) КМ dx. (36.29)
6
Из этого выражения следует, что
d	*
О
т. е. D[Y(t)] в общем случае не является постоянной, поэтому слу-
чайная функция (26) нестационарна не только потому, что ее ма-
тематическое ожидание есть функция времени (при х ^=0), но и
потому, что ее корреляционная функция зависит не только от раз-
ности (i2-—Zi), а дисперсия D[Y(t)] является функцией времени.
Таким образом, случайная функция, получающаяся путем инте-
грирования стационарной случайной функции с переменным верх-
ним пределом является нестационарной случайной функцией.
Кроме дифференцирования и интегрирования случайных функ-
ций, во многих задачах встречаются и другие линейные операции,
применяемые к случайным функциям. Примерами таких операций
могут быть: умножение на постоянную или на известную функции^
последовательное дифференцирование и интегрирование, прибавь
ление неслучайного слагаемого и т. п.
474
Рассмотрим применение к случайной функции линейных мате-
матических операций. Для этого введем понятие линейного опера-
тора. Будем называть оператором совокупность математических
операций, в результате выполнения которых функция ф(^) приво-
дится в соответствие с другой функцией <р(/). Оператор будем обо-
значать через L, так что ф(0=^[ф(0]- Если например, ф(/)
r dm
является производной порядка m от ф(0, то в этом случае	.
Оператор L называется линейным и однородным, если при любой
постоянной А и произвольных функциях ср(/) и ф(^) справедливы
равенства:
L [4ф(0] =Л£[<р(О]; £[ф(0 +Ч>(0] =£[ф(0] +£[*(01.
Линейный однородный оператор в дальнейшем будем обозна-
чать через Lo-
Линейным неоднородным оператором называется оператор L,
связанный с линейным однородным оператором Lo соотношением
Е [ф(0] =Е0[ф(0] +Е(0>
где F(t)—заданная функция, не связанная с ф(/).
Операторы, которые не удовлетворяют указанным условиям,
называются нелинейными. Простейшим примером нелинейной опе-
рации является возведение в степень.
Пусть L — линейный оператор, X(t) —случайная функция с из-
вестным математическим ожиданием x(t) и корреляционной функ-
цией ЛХ(Л,6), а случайная функция У(/) связана с X(t) равен-
ством
Y(t) = L [X(t)].	-	(36.30)
Будем считать, что применение линейного оператора L к слу-
dm
чайной функции X(t) возможно. Если, например, L=, то, как
etc
показано выше, применение этого оператора к случайной функции
X(t) возможно, когда корреляционная функция Кх (Д /2) имеет
непрерывную смешанную частную производную
dtrmdt2m ПрИ Z1 ~ г'
При выполнении указанного условия математическое ожидание
y(t) и корреляционная функция Ку (ЛЛг) могут быть определены
относительно просто. Действительно, применяя к обеим частям
равенства (30) операцию вычисления математического ожидания,
получим

475
При применении линейного оператора L случайная функция
X(t) рассматривается как функция t, а оператор М нахождения
математического ожидания является также линейным, но произ-
водит усреднение ординат случайной функции при фиксирован-
ном t по возможным значениям X{t).
Поэтому порядок применения линейных операторов М и L
можно поменять местами, т. е. можно написать
Г(0 =L [х(0].	(36.31)
Таким образом, математическое ожидание линейного оператора
от случайной функции равно этому же линейному оператору от
математического ожидания соответствующей случайной функции.
Имеем:
f(0=MX(0]-L[7(0]=Lotf(0J;
Г» («,) Г(У =	«,)] (MJ = L^LW, [X* (/,)%(/,)],
где Ло — линейный однородный оператор;
Lo — оператор в котором все входящие в него параметры
заменены на комплексно сопряженные, а индексы 6 и
в обозначении операторов показывают, какие перемен-
ные рассматриваются в качестве аргументов функций,
к которым эти операторы применяются.
В соответствии с определением корреляционной функции имеем
Ку (^,	= Y* (^) Y О = М [Л* (^) X О
Меняя порядок применения оператора A*tZ-ot3 и математиче-
ского ожидания, получим
АГУ(Л, 4) - L;tL0t2 [Хх (tr, 4)].	(36.32)
Таким образом, для нахождения корреляционной функции ре-
зультата применения линейного оператора L к случайной функции
X(Q нужно применить линейную часть £0 этого оператора дважды
к корреляционной функции Кх (6Дг) случайной функции X(t),
рассматривая сначала 7<х (Л, /2) как функцию ее первого аргу-
мента, а затем как функцию второго аргумента, предварительно
заменив в первом линейном операторе все входящие в него пара-
метры на комплексно сопряженные.
Дисперсия D [У (/)] случайной функции У (Z) —L [%(/)] опреде-
ляется формулой
D[r(0J=tf,(U).
Из (32) следует, что для определения D [У (01 недостаточно
знать дисперсию	случайной функции X(Q, а нужно знать
корреляционную функцию Кх
476
Формулы (31) и (32) являются общими для любых линейных
операций. Частными случаями этих формул являются выражения
(6), (20), (21).
Если X(t)—нормальная случайная функция, то У(t) = L[X(t)]
также нормальная случайная функция. Действительно, так как
оператор L линейный, то У(/) выражается линейно через конечное
или бесконечное число ординат случайной функции X(t), а так как
линейная комбинация нормальных величин подчиняется нормаль-
ному закону, то У(/)—нормальная случайная функция. В частно-
сти, если X(t)—нормальная случайная функция, то производная
т-то порядка —, если она существует, также является нор-
мальной случайной функцией. При этом, если X(t)—стационар-
ная случайная функция, то и —— стационарная случайная
функция не только в широком смысле ( как всякая производная от
стационарной функции), но и в узком смысле. Для нормальной
случайной функции Y(t) закон распределения любого порядка пол-
ностью определяется математическим ожиданием y(t) и корреля-
ционной функцией Лу (^1Да)- Поэтому выражения (31) и (32) опре-
деляют закон распределения любого порядка нормальной случай-
ной функции Y(f), если известны математическое ожидание и
корреляционная функция 7<х (/b t2) нормальной случайной функции
X(t), к которой применен заданный оператор.
Когда L — нелинейный оператор, моменты случайной функции
Y(t)=L[X(t)] в общем случае не могут быть выражены через мо-
менты случайной функции X(t) в конечном виде. Исключение со-
ставляет только некоторые частные случаи, когда моменты Y(t)
определяются относительно просто.
Пусть, например, X(t)—нормальная случайная функция с ма-
тематическим ожиданием x(t) и корреляционной функцией КХ(6Л)»
a Y(t)=X2(t). Тогда
0(О=ЛЩЧО]=-К,(М)+[хИГ.
Если X(t)— вещественная функция, то
Д', (A. y = 41[r(Z,) Г(«]=Л ([№«,) ~KAt„ t,) -
- (х (*,))s] [№ (« - К. (f2> t2) - (x (У)2]) -
= M ([Xs (£,> + 2X(W X (« - Xx (Л, <2)J [X2 (f2) +
+ 2X (t2) x(t2)~ K* (t2, fs)J) = /И [X2 «,) X‘ (i2)J +
4x (^) x (£2) Kx (ti,	ti) K* ^г)«
477
Так как в соответствии с (21.53) математическое ожидание про-
изведения четырех центрированных нормальных случайных величин
определяется формулой
Л1 (X]Х2Х3Х4) =^12^34 4“ ^13^24	4^23,
TO
Л1 [2Г (^) X2 О - Хх (^, ^)	(t2, /2) + 2/Сх2	f2).
Следовательно,
Ку (Л, t2) = 2Л? (^, t2) + 4х (Л) х а2) Кх (Л, t2).
Пример 36.1. Дано: Х(/) = V (t) Xj (t), где <Zj (/) заданные
j=l	_
функции времени t. Известны: математические ожидания x^(t) слу-
чайных функций Xj(^), корреляционные функции Кх. (^Д2) и вза-
имные корреляционные функции 7?x.xs (/ь/2) (/=#$; /, $= 1,2,. .п).
Определить математические ожидания и корреляционные функции
случайных функций X(t), У (?) — п Z{t) = J &(£, £)X(£)d£,
где b(t, I) задано.
Решение. Математическое ожидание случайной функции
X (0 будет х(/) =	(t) Xj (t).
i=i
Так как
X’ <Л) х (« =2 2 а1* а‘
j=l s=(
ТО
к, a,, t2) = 2 2aj*(ti} a‘(<г> 4(<i’fa)’
j=lS=1	J s
где /?«. (^, /2) -= /CXj(/b t2).
Зная x(t) и	по общим формулам находим: y(t) =
~ dt,dt2 ’
z^t) = ^b(t, £)л(=)
a
₽ |3
K. (t„ W = j j b* E> 6 ’I) Kx a •>)) <R du.
478
Пример 36.2. Определить математическое ожидание и корреля-
ционную функцию случайной функции
Y(t)=a(t)+b(t)X(t)+c(l) dX^- ,
где a(t), b(/), с(/) — заданные функции параметра
X[f)—случайная функция с известным математи-
ческим ожиданием и корреляционной
функцией Кх (Z1, t2).
Решение. В данном случае Y(t) =L[X(Z)] =a(t) + L0[X(Q],
где L0=b(t) +c(t)^. Используя общие формулы (31) и (32), по-
лучим:
у(1)=а(1)+ЬЩхЩ+сЩ	
K,(th t2)=L‘mL<n, К (Л, /2)| =
=	(/,) + с	К, (t„ t2\
d
dt
b (t2) К, (t2, у + с (t2)	'‘-*1
=	(/,) b (6) Ks (t, t2) + c* b (Z,)
д2К. (Z„ Z2)
+ b* с (У	+ с* (Л) с (tit —я-^-
Пример 36.3. Найти корреляционную функцию случайной функ-
ции
v,„	... dX (Z) ,
K(Z) = a(Z)—АД + J,
«(t)
где a(t), a(t), p(Q и b(t, £) — детерминированные вещественные
функции, a X(t)—центрированная вещественная случайная функ-
ция с известной корреляционной функцией Kx(t\,t2).
Решение. Так как У(/)—вещественная центрированная слу-
чайная функция, то искомая корреляционная функция будет
. It dX I
а<Л)“йГ~ +

P(t,)
«(tj)
А V // Ч Wj)
2	«(О
479
tz (Zj) a (Z2)	+ «(Л) J b (A _/i)	^7i 4~
1	2	»(t2)	1
₽(t.)	ЛК (t f X 3<t.) 3(t2)
+ a (Ы j b (/„ 5) J di + j j b (Л, 5) b (4, r,) K, a 1) Л, di.
a(tj	2	a(t>) a(t3)
Пример 36.4. Вертикальное отклонение автономно управляемого
снаряда от программной высоты полета является нормальной ста-
ционарной случайной функцией, корреляционная функция которой
имеет вид
/<х (т) = a2e~aiTi (cos рт -f- sin § | т .
Определить вероятность того, что вертикальная скорость
т/.dX (Z)	п
и (I) = —будет больше п0. Рассчитать эту вероятность для слу-
чая, когда о = 2 м, а=0,3 1/сек, £ = 0,4 \/сек., о0=1 м[сек.
Решение. Скорость V(Z) является нормальной стационарной
случайной функцией с нулевым математическим ожиданием. Со-
гласно формуле (16) для ее корреляционной функции получим
XY (т) — а2 (а2 + ^2) £-“|т| fcos Зт--sin Р | т ['j ,
а потому
av — а )/а2 4- ,82.
Одномерная плотность вероятности для V(t) будет
1	“ 2?
А(^)= 3vV^ е
Искомая вероятность
av
При указанных числовых данных ov = 1 м/сек, тогда
Р(Г>1) = ±[1-ф(1)] =0,159.
р = р (у > ф0) = J/v С?) dv =
1 — Ф
Пример 36.5. Скорость полета самолета определяется гироско-
пическим интегратором, который дает ошибку AV(Z) =g J A®(£)rf£,
о
480
где g — ускорение силы тяжести, а Д0(/) — ошибка стабилизаций
оси интегратора, являющаяся центрированной стационарной случай-
ной функцией. Корреляционная функция Д8(/) имеет вид ЛДв(т) =
—a2e~“iT,e Найти дисперсию ошибки определения скорости за время
полета Т.
Решение. Используя формулу (29), находим
т
D |ДР (Г)] = 2g2 J (7 — г) Км W Л.
О
Так как
Т	/7*	1 \
( (Т — т)е-а1:dt — [------— -I—5- ] е~а\
J	I а 1 а2 I
о	\	/
то
D [ДУ (Г)] = 2^- (7а - 1 4- е "т).
Пример 36.6. Стрельба ведется с корабля, испытывающего бор-
товую качку. Угол крена 0(4 является центрированной нормаль-
ной случайной функцией, имеющей корреляционную функцию
Ка (?) = <з2е~а 1,1 ^cos рт 4- -|-sin р | т .
Найти вероятность того, что в момент выстрела угол крена по
абсолютной величине будет не больше 0пр, если команда «Залп»
дана в момент, когда 0(/) = 0О, 0(0	0. Время от момента подачи
команды до выстрела равно Т. Дано: о = 6°, а = 0,25 1/сек, р =
^сек, 6пр =10°, 0о = 2°, 7 = 2 сек.
Решение. Введем следующие обозначения:
Х = 0(4, У=0(£+Т), Z=0(4,
где t — время подачи команды. Эти случайные величины нормаль-
ные, причем
= су2 = а2; °z2 = К; (0) = о2 (а2 4- 82);
КУ = М [8 (0 8 (£ + Г)] = Ке (Г); kxz = 0,
Л,г = М [0 (t + т) ё (01 = М [0 (Е) ё (Е - 7)1 =
= -^,Л1[0(Е)0(Е-7)1 = -'-^К.(7) =
3^
==-у (а2 4- ?2) е~аТ s*n
31
481
Обозначим через f(x, у, z) плотность вероятности системы
(X Y, Z), тогда
(х, у, z) dz = J/x,z (x, z) dz z > 0),
о
где Az (.v, 2)— плотность вероятности системы (X, Z), a
f(y/x,z^ 0) —плотность вероятности случайной величины Y при
условии, что случайная величина X приняла значение х, а случай-
ная величина Z неотрицательна.
По условию случайная величина Х = 0(/) приняла значение 0й,
тогда
J/(A У» *) dz
f (Уlx = К z > 0) = ------------------- .
J/x,z (0О> z) dz
о
Искомая вероятность
®пр
Р = Р [| 0 (f 4- Т) I < епр] = f f (у/х = 60, Z > 0)	=
~Ар
®пр “
J J f (%, У, Z) dz dy
j A* (e0, z) dz
0
При указанных числовых данных &yz — 0. Так как kyz тоже ра-
вен 0, то случайные величины X и Y не зависят от Z. Это означает,
что на искомую вероятность не влияет угловая скорость 0(£).
В этом случае
®пр
J А,у (%, У) dy
—6	Пр
епр
где
_ (у~У~х)а
1	9,2
= —775=е	у/х ;
°у/х у
ух у 4- Гху (х - х)= Me (Г);
482
°yl* = о, /1 - г2у = а /1 -	(ту,
к, (Г) = К,№ = е^т (cos рт- + у Sin pH = -е-°.5.
Искомая вероятность будет
Р — J— ф f ^чр ~1~.Ух\ | ф рпр ~ Ух\
= -i- [Ф (1,842) + ф (2,351)] =	(0,9345 + 0,9813) = 0,9579.
Пример 36.7. Возмущающий момент Х(1), действующий на ро-
тор корабельного гироскопического прибора, связан с углом крена
0(/) и углом дифферента Чг(/) корабля соотношением
X (0 а& (/) 4- 6Ф2 (0 4- с® (0 Ф (0,
где а, b и с — заданные постоянные. Определить математическое
ожидание и корреляционную функцию случайной функции X(t),
если (т) и 70 (т) известны, 7?о^(т) ~О,а0(/) и Ф(0 — центри-
рованные нормальные стационарные случайные функции.
Решение. Так как 0(0 иФ(0—некоррелированные случай-
ные функции, то математическое ожидание случайной функции
X(t) будет
х = лав2 4~
где
V -D [0(0], аФ2 = Я[Ф(0].
Имеем
/<х(0, 0) = Ж][А'(0) -х] [Х(0) - х]} =
= М [.¥(0) X (0)] - (х)2=Ж [а202 (0) О2 (0) +
+ а№ (0) 02 (0) + асе (0) О2 (0) Ф (0) + ab^ (0) Ф2 (0) +
4- &2Ф2 (0) Ф2 (0) 4- Ьсе (0) Ф (0) Ф2 (0) +	(0) 0 (0) Ф (0) 4-
+ 6сФ2 (0) 0 (0) Ф (0) + <40 (0) Ф (0) 0 (0) Ф(0)]-(х)2.
Для нормальных случайных величин центральный момент не-
четного порядка равен нулю, а
М (Х1%2^3^4) = ^12^34 + ^13^244-^14^23-
483
Поэтому, полагая т = /г"Л, получим
К, W = «=	+ 2Я? <т>] + 2аЬ^ + ft2 |»ф‘ + 2Я* (г)] +
+ с’К, (г)	(Д=.
Так как Л^(т) =—(т), то
Хх (т) = 2а2К1 (т) + 2Ь2К2(у) - с2Кв (г) К’ (т).
§ 37. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ НА ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Предположим, что имеется линейная динамическая система,
т. е. система, работа которой описывается линейным дифференци-
альным уравнением. Сигнал на входе этой системы обозначим че-
рез %(/), а сигнал на выходе — через У (О - В общем случае X(t) и
Y(/) являются случайными функциями. Так как между ними имеет-
ся известная функциональная зависимость, то вероятностные ха-
рактеристики сигнала на выходе Y(t) могут быть определены через
вероятностные характеристики входного сигнала X(t). Покажем,
что в этом случае первые два момента сигнала У(^) на выходе ди-
намической системы, т. е. математическое ожидание y(t) и корре-
ляционная функция	могут быть выражены через х(£) и
/Сх(/1,/2). Иными словами, покажем, что эта задача может быть
решена в рамках корреляционной теории без определения законов
распределения Y(t).
Запишем дифференциальное уравнение, связывающее входной
сигнал X(t) с сигналом У(/) на выходе динамической системы,
в виде
+ «1 (0	+ • •  + «и (О У (0 = Z (i), (37.1)
где
dmX(t) . , ... dm~lX(t) ,	, , ... v...
^(0	^0 (0	dtm~l “У • • •	(^) X (0»
(37.2)
а (ц (0 (/‘=1,2,.... и) и Ь3 (0 (s = 0, 1,..., т)— детерминированные
функции параметра t или постоянные.
Выразим решение дифференциального уравнения (1) через слу-
чайную функцию Z(Z), стоящую в правой части уравнения. Не бу-
дем пока учитывать особенности, возникающие в связи с тем, что
правая часть уравнения (1.) и его решение являются случайными
функциями времени, и перепишем это уравнение в виде
У(п) (0 +	(0 у11-1 (0 + . . . + ап (t) y(t) = z (0.	(37.3)
484
Общее решение дифференциального уравнения (3) можно пред-
ставить в виде суммы двух функций, положив
У^~У* (О + Ун(О,
где //*(/)— общее решение однородного уравнения
/п> (0 + di (t)	(0 + . . . + ап (0 у (t) = о, (37.4)
удовлетворяющее заданным начальным условиям;
уи (^)—частное решение неоднородного уравнения (3), удо-
влетворяющее нулевым начальным условиям.
Обозначим через yi(t), у2(1),  Уп (0 систему линейно неза-
висимых решений однородного дифференциального уравнения (4).
Тогда
У, (t) =2 qy, («).	(37.5)
j=l
где Cj (/= 1, 2,..., n)—произвольные постоянные, значения кото-
рых определяются начальными условиями.
Чтобы найти частное решение неоднородного дифференциаль-
ного уравнения (3), удовлетворяющее нулевым начальным усло-
виям, воспользуемся методом вариации произвольных постоянных.
Для этого будем искать решение неоднородного уравнения (3)
в виде
'	(37-6)
j=l
где функции Cj (t) выберем таким образом, чтобы выполнялись ну-
левые начальные условия для t/H(Z) и первых (п— 1) ее производ-
ных и имели место равенства
5^ (0	vp)(<| (s=l, %	/г-1).	(37.7)
j=i
Дифференцируя выражение (6) последовательно п—1 раз,
убеждаемся, что равенства (7) будут выполняться в том случае,
если
2 <7/ (0 у^(0 = 0 (s = О, 1, . . . , п - 2).	(37.8)
j=i
Дифференцируя (7) при $ = /г—1, получим
У<">(0 =2	(Г) у<"-0(0 + 2 q (?) У<п) (О-	(37.9)
485
Подставляя выражения (6), (7) и (9) в дифференциальное
уравнение (3) и учитывая при этом, что каждая из функций t/j(O
является решением однородного дифференциального уравнения
(4), приходим к равенству
2 6Y (0	(*)==* (О-	(37.10)
j-1
Соотношения (8) и (10) можно рассматривать как алгебраи-
ческую систему п линейных уравнений относительно неизвестных
Cj (*)•
Обозначим через Д(/) определитель этой системы, т. е. по-
ложим
	У1 (*), у2 (0. • •	, Уп (^)	
д (0 =	у/ (С. у/ (0, • 	, Уп'(0	(37.11)
		...УГ'ЧО	
Для линейно независимых решений однородного уравне-
ния (4) этот определитель, называемый определителем Вронского,
отличен от нуля. Поэтому из рассматриваемой системы функции
с/(£) находятся однозначно.
Положим
Dj (0 =
У! (О, ...» У]-1 (t), о, yj+I (t).......... уп (О
у/ (0. • ., yj_i (О, о, у:+1 (0, .... у/ (t)
у<Г2>(^...	(/), о, у{-2> (t), • •., у'п~2) W
О, . . . ,	0,	1, о, . . . , о
Тогда решение уравнений (8) и (10) можно представить в виде
C/W	(7=1, 2, .... я).
Интегрируя это равенство и учитывая нулевые начальные усло-
вия для получим
t
О
Подставляя найденные функции Cj(t) в (6), получим частное
решение уравнения (3) в виде
Ун(<)==1 ^м0~)у'(Ог('М
486
или
Ун Ю = J Р (t, ?) г (?) dt,
о
где через p(t, £) обозначена так называемая весовая функция урав-
нения (3). Эта функция определяется формулой
Р (Л 5) =
У1 (?),	у2 (?),	..., уп (?)
Ух' (?),	Уг (?).	• • • , Уп' (?)
Ух (?).	у2(?),	.... Уп(?)
Ух'(?), У3'(?), .... уп'(?)
y(n-2W ^n-2)(^ . ...y(n-2) (5)
У1 (О» ь (t), . •., уа (О
У^’Ч?), у(п-1)^), . . . , у(п-1) ($)
(37.12)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения
(3) может быть представлено в виде
у от = 2 с>у> w + J р (* у г ®di’ <37лз>
j-l	о
где Cj — постоянные, определяемые начальными условиями;
У1 (Z)—независимые частные интегралы однородного дифферен-
циального уравнения (4);
p(t, £) —весовая функция, определяемая формулой (12).
Так как
Ух (?Х	У2 (5)?	• • • , Уп (?)
?)_ 1 ......................................
dts A (?) У(1П-2) (?)> Уг^2)	• • • > Уп" '2) (S) ’
y<s) (t), y<s> (i),	. • -, У*?) (О
то весовая функция р(б £) удовлетворяет следующим условиям:
В частном случае, когда все коэффициенты ak (k= 1, 2,. .и)
дифференциального уравнения (3) постоянные, для определения
системы линейно независимых решений (/) (/ = 1,2,.. ., «) одно-
родного уравнения (4) нужно найти корни характеристического
уравнения
Хп	-р = 0.	(37.14)
Пусть, для простоты, все корни (/= 1,2,.,п) этого уравне-
ния простые, тогда
У, (0 =	(37.15)
487
В этом случае формула (12) дает
р(Л l)=p(t-5) =
1	1	. 1
Xi	Х2 . .	. хп
V	V ..	. 'V
kn-2	, ХГ2, ..	, X"-2
		
1 1 ... 1
Л1	^2 • •	• К	
Xj2 х22 . .		, (37.16)
т. е. весовая функция зависит только от разности аргументов
Таким образом, для уравнения (3) с постоянными коэффици-
ентами общее решение может быть представлено в виде
У (t) = V с/а*( р Z й, (37.17)
>1	о
где Cj — произвольные постоянные;
Xj—корни уравнения (14);
p(t—£) —весовая функция, определяемая формулой (16).
Вернемся к уравнению (1) со случайной правой частью. Если
случайная функция Z(t) примет реализацию z(t), то соответствую-
щая реализация случайной функции У(/) определится формулой
(13). Следовательно, заменив в этой формуле z(t) на Z(t)r полу-
чим явное выражение случайной функции Y(t) через Z(t)
у W=2 (Z) + jр (t'z (Е) di- (37-18)
j=l	о
Функции Pj (0 (j==l, 2,,.п), а потому и весовая функция
p(t, £), зависят только от коэффициентов ak(t) (k= 1, 2, .. и), и,
следовательно, являются неслучайными. Постоянные Cj (j = 1, 2,...
. .., п) в (18) определяются начальными значениями случайной
функции У(£) и ее первых п— 1 производных формулами
У С;//) (0) = r<s40) (s = 0,l........я —1). (37.19)
j=i
Если значения Уб) (0) (д=0,	—1) являются случайны-
ми, то постоянные Cj в равенстве (18) будут случайными вели-
чинами.	_
Чтобы найти математическое ожидание y(t) и корреляционную
функцию Лу (С,/2) сигнала Y(t) на выходе динамической системы,
486
применим к выражениям (2) и (18) формулы § 36 для линейных
операторов. Из (18) для математического ожидания y(t) сигнала
У(0 на выходе динамической системы получим
У W = 2 Л & + j р (*< О * (О	(37.20)
j=l	о
где Cj — математическое ожидание случайной величины Cj, а мате-
матическое ожидание z(t), в соответствии с равенством (2), опре-
деляется формулой
ш	_
Г(0 =	(37.21)
s=0
Для определения корреляционной функции Кг (t\, ^2) случайной
функции Z(f) введем линейный оператор
dm	d™-1	d
Ц = b. W	+ b.	Ю + bm (Z).
Тогда равенство (2) можно представить в виде
Z(t) = Ц [Л- (0].
Воспользовавшись формулой (36.32), находим корреляционную
функцию Az (С, 12)
Къ (Л. Ы = Ц, it, [К, «„ ад| 	(37.22)
Предположим для простоты, что случайные величины Cj (/=1,
2,..п) не коррелированы со случайной функцией Z(0- Тогда для
корреляционной функции Лу (С,/2) выходного сигнала Y(f) с по-
мощью (18) получим
ку (<„ ад = 2 Vi* улад *i. +
j, S=I
t> t,
+ J [p* to, 5) P (5, г) d^ (37.23)
о 6
где
Ajs = M [(C)* - a;») (C8 - Cs)l (/, s = 1, 2....re).
Итак, математическое ожидание y(t) и корреляционная функ-
ция Лу (/[, С) случайной функции Y(t) на выходе динамической
системы выражаются через математическое ожидание х(/“) и кор-
реляционную функцию Xx(^i,C) входного сигнала соответ-
489
ственно формулами (20), (21) и (23). Если коэффициенты ак диф-
ференциального уравнения (1) постоянные, то весовая функция
р(/, £) в равенствах (21) и (23) зависит только от разности своих
аргументов, т. е. p(t, £) =p(t— £). Это позволяет упростить вычис-
ление математического ожидания и корреляционной функции К(/)
в том случае, когда Y (t) можно считать стационарной (в широком
смысле).
Покажем, что Y(t) можно считать стационарной в том случае,
если правая часть уравнения (1) Z(t)~ стационарная функция,
все корни Xj характеристического уравнения (14) имеют отрица-
тельные вещественные части (динамическая система устойчивая)
и переходный процесс после начала работы системы закончился
(решение (5) уравнения (4) практически перестает зависеть от на-
чальных условий).
Действительно, так как в этом случае Re Xj <0 (j= 1, 2,..., n),
а время t велико, можно считать = 0. Поэтому решение
п
у* (Z) —	однородного уравнения можно считать равным
j=i
нулю, а общее решение дифференциального уравнения (1) можно
будет записать в виде
у(0= f'P(/-5)za)^
о
или, что то же самое,
У(0=	(37.24)
О
Весовая функция р(|) в рассматриваемом случае является ли-
нейной функцией частных интегралов Vj (£) = eV уравнения (4).
При больших значениях В эти интегралы малы, а весовая функция
р(£) с увеличением £ быстро убывает. Поэтому в (24) верхний
предел интегрирования можно положить равным со, т. е. написать
Z(0 =	(37.25)
о
Применяя к последней формуле формулу (36.32), получим
ОС оо
Ку W = И Р* <Е) Р (Т|) Кг е + Е ~ -G) di d-ц, (37.26)
6 о
т. е. корреляционная функция Ку(т) зависит только от разности'
моментов времени x=t2 — Л-
490
С другой стороны, находя математическое ожидание обеих час-
тей равенства (1), получим
day . dn~ly ,	. - —
dtn + ai dtn~l +  • • + апУ ~ z-
TT	A	1 -
Частным интегралом этого уравнения будет — г, а так как
общий интеграл при сделанных предположениях об окончании пе-
реходного процесса равен нулю, то
у — —z = const.	(37.27)
Таким образом, Y (t) в данном случае действительно является
стационарной и, следовательно, для определения ее корреляцион-
ной функции можно воспользоваться результатами спектральной
теории случайных функций.
Заменив в равенстве (1) Y(t) ее спектральным разложением
к (О =У+ J ^6/фу(о)),
с учетом (27) получим
Z (/) — z = J Qn (Ло) ei<BT б/Фу (<о), 1	(37.28)
где обозначено
Qn G°>) = 2 an“k я0 = !•	(37.29)
k=0
Подставляя (28) в выражение для корреляционной функции
получим
Кг (Т) = М {[Z* (t) -z*J [Z (Г+ г) - z ]} =
= JJ Qn (-/«)) Qn (iwj	^фу* (ш) d<Dy (37<30)
Дифференциалы б/Фу(<о), в соответствии с (35.13), удовлетво-
ряют равенству
7И[г/Фу (w) б/Фу (о),)] = Sy («>) 8 (« — п>|) б/'об/со,. (37.31)
Следовательно, одно интегрирование в (30) может быть выпол-
нено, тогда
Хг (т) = J [ Qn (бш) р 5у (®) d<o.	(37.32)
491
С другой стороны, Kz (т) как корреляционная функция стацио-
нарной функции связана со спектральной плотностью Sz (со) ра-
венством
#г(т) =	(ш) cfo.	(37.33)
— 00
Сравнивая правые части (32) и (33) и учитывая единствен-
ность спектрального разложения, получим
$,(-») =	(37-34)
т. е.
<37-35’
В соответствии с формулой (2) случайная функция Z(t) свя-
зана со случайной функцией X(l') линейным соотношением. Если
коэффициенты этого соотношения Z?j = const, а случайная функция
X(t) стационарна, то спектральная плотность	по аналогии
с (34), выражается через спектральную плотность Sx (to) фор-
мулой
S,W = |Pm (to) l! $,( -»).	(37.36)
где обозначено
Рт ('») = 2 *«-i W-	(37.37)
j=0
Подставляя (36) в (35), получим
s’w=®s-w	<37-38’
Отношение
=	(37-39)
называется передаточной функцией динамической системы, работа
которой описывается уравнениями (1) и (2) с постоянными коэф-
фициентами. С помощью этой функции равенство (38) можно пред-
ставить в виде
\ (ш) = |£ (Ao) psx («),	(37.40)
т. е. спектральная плотность выходного стационарного сигнала
равна произведению квадрата модуля передаточной функции ди-
намической системы на спектральную плотность входного сигнала.
492
Зная спектральную плотность Sy (со) сигнала У(Z) на выходе
динамической системы, для корреляционной функции Ку (т) по-
лучим
оо
ку(т)= j el“xSy (<в) du>.
(37.41)
При выводе формулы (38) предполагалось, что случайные функ-
ции X(t) и У (/) дифференцируемы не меньше т и не меньше п раз
соответственно. Но эта формула справедлива и при менее жестких
условиях. Достаточным условием для ее применения является огра-
ниченность дисперсии /Су (0) выходного Сигнала У (/), т. е.
| L (/о)) |2 Sx (со) £?со
(37.42)
оо.
В реальных динамических системах, работа которых описы-
вается дифференциальным уравнением вида (1), (2), всегда п т.
При этом неравенство (42) выполняется, а поэтому формула (38)
оказывается применимой.
Чтобы убедиться, что формулой (38) при п т можно пользо-
ваться, не налагая ограничений на вид корреляционной функции
/Сх(т), получим выражение для выходного сигнала У(/) непосред-
ственно через входной сигнал X(t).
Подставляя в правую часть (25) случайную функцию Z(/) из
(2), получим
уса W o.h С ^dsX^ —
^(0	1) ^m—s I Р (£)
s=0	0
Имеем при s > 1
При оо весовая функция и производные любого порядка от
нее обращаются в нуль, а р^ (0) =0, когда 6=0, 1,. .., п—2. По-
этому, если п>т, можно записать
У(()= jw(a)X(/-5)d£,
о
(37.43)
493
где обозначено
ш
s=0
(37 .44)
Так как р<п (0) = 1, то
СО	во
Р (S) d"X^~«Я=Л (fl + f р<"> (5) X (t - В) <й =
о	о
=jH«)+i(W-W.
0-
Следовательно, при п = т также имеет место равенство (43), но
при этом функция ш(^) дополнительно содержит слагаемое
(—1)П6П6(|), пропорциональное дельта-функции. Выражение (44)
называется импульсной переходной функцией динамической си-
стемы (1).
Таким образом, при п т стационарное решение дифферен-
циального уравнения (1), (2) может быть представлено в виде
(43), причем импульсная переходная функция определяется только
через коэффициенты пк и bs этого уравнения. При определении ве-
роятностных характеристик случайной функции Y (t) выражение
(43) можно взять за исходное соотношение между входным и вы-
ходным стационарными сигналами X(t) и Y(/) динамической си-
стемы. Никаких производных от случайных функций равенство (43)
не содержит.
Корреляционная функция Ку (т) выходного сигнала Y(t) при
этом определится формулой
/Су (t) = J J ад* (£) w № К* (т + $ - 7j)	(37.45)
о о
Чтобы доказать эквивалентность формул (45) и (40), найдем
сначала связь импульсной переходной функции го(£) с передаточ-
ной функцией L(itis). Если положить в (2) X(/)=eitut, то стацио-
нарным решением уравнения (1) будет К(/) =J4ehot, где А не зави-
сит от t. Подставляя это решение в исходное уравнение, получим
>lQn (z‘u>)= Рт (i<o). Поэтому при A'(/)=ei“t стационарным реше-
нием уравнения (1) будет Y(t) =£,(йо) eIa)t. Если указанные выра-
жения для X(t) и Y(t) подставить в (43), то получим
L (iu>) eiu)t = j w (5) ei<u dz.
о
494
Поэтому передаточная функция Л (гео) связана с импульсной
переходной функцией w(^) равенством
L (/«>) = J w (£) e-^dt	(37.46)
о
При /<0 w(t) =0, а при / ^> 0 из (46) для импульсной переход-
ной функции w(Z) получим
w (/) = J- J L (Zw)eio)t dm.	(37.47)
Выражая в (45) импульсную переходную функцию w(t) с по-
мощью формулы (47) через передаточную функцию, а корреляци-
онную функцию Kx{t)— через спектральную плотность Sx. (<о), по-
лучим
^у(т) = 4^Jf (-z4)Z(z«>2)Sx(<g)X
у £1	(•=+£-1)1 dl d'f) d^i dm., dm.
Так как
3(л:) = ~ f^±Ux^,
2^ )
то четыре из пяти интегралов вычисляются. После их вычисления
получим
А’у (т) — J L (/со) L (— zu>) Sx (ш)	dm = J J L (/®) |2 Sx («>) е'т dm.
Из этого выражения следует формула (40).
Итак, если в исходном дифференциальном уравнении (1), (2)
п > пг, то формула (40) применима и в том случае, когда входной
сигнал X(t) нельзя дифференцировать т раз.
Вычисление математического ожидания y(t) и корреляционной
функции Ку (/j, t2) выходного сигнала У(/) можно упростить и
в том случае, когда входной сигнал Х(/) является стационарной
случайной функцией, но коэффициенты «к и bs уравнения (1), (2)
зависят от времени t. Будем считать начальные условия для У(/)
нулевыми, т. е. положим TW(0) = 0 (& = 0,1,. . п—1). В этом слу-
чае постоянные Cj в формуле (18) будут равны нулю, а потому ре-
шением уравнения (1) с учетом (2) будет
t	t	tn
Г(П = Cp(t,E)Z(E)dE = j pit, E)	(37.48)
0	0	s=0
493

Подставив в правую часть равенства вместо случайной функции
X(t) ее спектральное разложение

получим
Г(/)=У(О+ J y(t,
где обозначено:
y(/)=7Jp(^E)im(E)dE;
О
У (А ш)= J p{t, £)
о
V*„^S(E) (/«,)'
^s=0

(37.49)
(37.50)
(37.51)
Неслучайная функция является решением дифференци-
ального уравнения (1), в котором случайная функция X(t) заме-
нена экспонентой £itut, т. е. решением уравнения (3), в котором
z =	2 (^°)8^m-s(0’ Следовательно, функция у(t, to) является
8 = 0
решением уравнения
п	m
(t) —d^— —	(0-
k=0	8=0
(37.52)
В этом уравнении частота <п играет роль параметра, а началь-
ные условия нулевые, т. е.
Функцию y{t, (о) можно представить в виде суммы
у (t, «о=2 t“m-s +/Vm~s
8=0
(37.54)
где
t
ws (Л «>) = J Р ')	«>) cos <»£
о
t
vs w) = J p (t, ba (t, <o) sin cfc.
0
(37.55)
496
Функция ns(Z, со) является решением дифференциального урав-
нения
п
«п-k (t)	= b, (Z) cos <»t	(37.56)
к=0
при нулевых начальных условиях
= 0 (Аг = О, 1,... ,л— 1),	(37.57)
о
a vs(t, со)— решение дифференциального уравнения
VI Л3(К «О , ... . ,
^^.^п~к(0	—Z>s (/) SIH
к=0
также при нулевых начальных условиях
dkv& (t, о>)
dtk
=0 (& = 0,f,..п — 1).
t—о
(37.58)
(37.59)
При использовании цифровых вычислительных машин, а также
.в некоторых частных случаях функции ws (t, со) и us (t, со) проще на-
ходить непосредственно из уравнений (56) и (58), не используя
формулы (55).
Если y(t, со) известна, то для корреляционной функции Ку (КДг)
получим
КуЛ. У =$?•(«!, »)у<»,)«[йф; wd®,
------------ФО
Так как
М [с/Фх («>) с/Фх (й)1)] = •Sx (<°) 8 (со — coj d<o c/coj,
то окончательно формула для корреляционной функции Ху (tx, t2)
может быть представлена в виде
со
#у(^ь^)==	“)у(^2. °>) Sx(o))c/o>.	(37.60)
Итак, если входной сигнал X(t) является стационарной случай-
ной функцией, то математическое ожидание y(t) и корреляцион-
ная функция Ку (К, t2) выходного сигнала Y(t) могут быть вычис-
лены по формулам (50) и (60). В этих формулах p(t, £)—весовая
функция, определяемая формулой (12), a y(t, со)—решение диф-
ференциального уравнения (52) при нулевых начальных усло-
виях-(53).
32
497
В частном случае, когда все коэффициенты ак и bs уравнения
(1) постоянные, функция y{t, ш) имеет вид
п
У (t, ») =	е’"‘ +У Л| (<>) Л*,	(37.61)
j=l
где
Pm G'®) = 2 6m“s	= 2 a"~k
t	s=fi	k=0
a Xj (/= 1, 2,..., ft)— корни уравнения (14), которые считаем раз-
личными. При этом постоянные Aj (ю) находятся из условия обра-
щения в нуль функции y(t, со) и ее первых п — 1 производных при
/=0. Указанные условия приводят к следующей системе:
п
(37.62)
( fc=0,1,..ft—1).
Когда время t велико по сравнению со временем переходного
процесса, можно принять
Qn (z<°)
В этом случае из (60) получаем
' Sx («>) <fe,
а потому спектральная плотность Sy(<o) выходного стационарного
сигнала Y(t) определяется формулой (38).
Работа динамической системы во многих случаях описывается
не одним дифференциальным уравнением вида (1), а системой сов-
местных линейных дифференциальных уравнений различных по-
рядков. Такую систему всегда можно свести к одному дифферен-
циальному уравнению более высокого порядка для каждой из
искомых функций и, следовательно, воспользоваться формулами,
приведенными выше для математического ожидания и корреля-
ционной функции решения одного дифференциального уравнения.
Однако часто целесообразно производить непосредственное иссле-
дование исходной системы уравнений.
Рассмотрим, как можно определить вероятностные характери-
стики решения системы линейных дифференциальных уравнений,
не приводя эту систему к одному уравнению.
498
Не уменьшая общности, можно считать, что все исходные диф-
ференциальные уравнения системы первого порядка. В противном
случае к такому виду исходная система приводится элементарны-
ми преобразованиями. Если, например, в уравнения входит функ-
ция У(/) и ее производные до порядка т включительно, то следует
dkY
положить —	— 1). Тогда вместо функ-
ции У(/) уравнения будут содержать т неизвестных функций:
Г<,(О=Г(О, Г,(0=^, r2(t)= dY£t} ....
v _______ dYm~2 (^)
' ‘’ m~1' > ~ dt
Общее число уравнений при этом увеличится на m— 1, но зато
производные от искомых функций будут только первого порядка.
Аналогичные преобразования следует произвести и с другими функ-
циями, если они дифференцируются более одного раза.
После указанных преобразований система дифференциальных
уравнений примет вид
п
+ У^ак]Г,(О = Хк(О.	(37.63)
jSi
(& = 1,2,
В этой системе: nkj (&,/= 1, 2,..., п)—заданные функции вре-
мени t или постоянные, а Хк (О—случайные функции с известны-
ми вероятностными характеристиками. Эти функции будем назы-
вать сигналами на п входах динамической системы. Тогда случай-
ные функции являющиеся решением системы (63), будут сиг-
налами на п выходах динамической системы.
Прежде чем находить вероятностные характеристики случай-
ных функций Tj (/), рассмотрим, как производится решение систе-
мы вида (63) с известными правыми частями, т. е. рассмотрим
систему обыкновенных дифференциальных уравнений
п
^ + VakJyi = ^(O	(37.64)
(6=1,2,...,n).
Для простоты ограничимся только случаем, когда akj
2, •..п)— постоянные коэффициенты.
499
Решение системы (64) находится относительно просто, если из-
вестно решение однородной системы
п
+	= 0	(37.65)
j=l
(&= 1,2,.. п.),
получающейся из (64) при xk(t) =0.
При постоянных коэффициентах решение системы (65)
имеет вид y^lf) = А^е'л, где Ак и X — постоянные. Подставляя это
выражение в (65) и сокращая на ext, приходим к следующим ра-
венствам:
ХЛк + 2<»»И1 = 0 (А = 1,2,..., л).	(37.66)
j=l
Эти равенства можно рассматривать как систему алгебраиче-
ских уравнений относительно постоянных Ак.
Обозначим через D(h) определитель этой системы, т. е. по-
ложим
4- X, а12, . . . , н1п
Л2Ь #22 + X, . . . , Л2п
£>(Х) =
(37.67)
#П1,	#п2 » • • • >«пп + Х
Система (66) имеет отличное от нуля решение только в том слу-
чае, когда D(X) =0. В результате для определения Л получим алге-
браическое уравнение n-й степени. Будем рассматривать только
случай, когда все корни Zs (s= 1, 2,.. ., п) этого уравнения различ-
ные, тогда для решения системы (65) получим
П (<) = 2 (А = 1, 2,..., п),	(37.68)
S = 1
где постоянные связаны между собой равенствами- (66), т. е.
при любом s (s = 1,2,..., п)
Xs^ks 2 js= 0 (£ = 1, 2,..., rt).
i=i
Определитель последней системы равен нулю, так как
Z)(XS)=O. Следовательно, уравнения системы между собой зави-
симы. В то же время D'fXs) 0, поэтому по крайней мере один из
диагональных миноров (и—1)-го порядка отличен от нуля. По-
этому при любом s (s= 1, 2,..., п) можно выразить п — 1 постоян-
ных /1к8 (k= 1,2,..., п) через одну из них.
500
Пусть, например, отличен от нуля минор Л1П(>.8), получающийся
из O(ZS) после вычеркивания последней строки и последнего
столбца, т. е.
Afn(Xs) =	#п + А л12, л21,	л224~^,з> • 	> Лцц—1 ,	Л2,п-1	#= 0.	(37.69)
	Лп—1,1 ,	Лп~1,2 , . .	» Лп-1,п^1 4~ Ч		
В этом случае первые п— 1 уравнений системы будут незави-
симыми. Отбрасывая последнее уравнение, получим систему
п—1
^s-^ks 4“ ^"kjA's ==	(Ч)	(37.70)
j = l
(£=1,2.....п1),
где через cs обозначена произвольная постоянная.
Обозначим через &ks (&= 1, 2,.. ., п—1; s=l,2,...,n) опреде-
литель, получающийся из Afn(Xs) при замене элементов &-го столб-
ца соответственно на а1п, а2п, • • ч &n-i,n , т. е. положим
^ks —
#11 “F ^s, • • ч #l,k—1 > #in, #l,k+l , • • •, «1,п-1
#n—1,Ь • • ч #n—l,k—1, #п—1,п 5 #n—l,k-H, • • • » #п—1,п—1 4“
(37.71)
Тогда для постоянных Лк8 получим
As = bkscs (Aj, 5 = 1, 2,..., л),	(37.72)
причем bns = — Mn (Xs) (s= 1, 2,..., n).
Подставляя (72) в (68), получим решение однородной системы
дифференциальных уравнений (65) в виде
УкС) = j-	(37.73)
8=1
Входящие в это выражение произвольные постоянные cs могут
быть найдены из начальных условий, которые дают
2^А = Л(0) (*=1, 2............л).
8=1
Определитель
£1.1, t>l,2,' • ч Ан
__ Al » ^2’2 ’ * • ч Ап	(37.74)
£п, 1, А,2 > • • ч А,п
501
этой системы отличен от нуля, так как функции	образуют
систему линейно независимых решений. Поэтому постоянные cs
однозначно определяются через заданные значения ук (0).
Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений
(64) является суммой общего решения (73) однородной системы
и удовлетворяющего нулевым начальным условиям частного ре-
шения неоднородной системы. Чтобы найти частное решение систе-
мы (64), воспользуемся методом вариации произвольных постоян-
ных. Для этого будем искать частное решение в таком же виде,
что и общее решение (73), но постоянные cs заменим на функции
cs (t) и выберем их таким образом, чтобы удовлетворить неодно-
родной системе дифференциальных уравнений (64).
Повторяя выкладки, аналогичные выкладкам при выводе фор-
мулы (18), получим общее решение неоднородной системы диффе-
ренциальных уравнений (64) в виде
Ь W = 21<? а/1 ' + (« - ?) ^ (?) <й]
J-1	о
(^= 1, 2,.. .,Ц),
где введены обозначения
(37.75)
(37.76)
а В определяется (74).
Для получения решения неоднородной системы дифференциаль-
ных уравнений (63), содержащей в правых частях равенства слу-
чайные функции Xk(Z), достаточно в (75) заменить хД£) на ХД£),
а неслучайные функции рк(^)—случайными функциями Kk(t).
Таким образом, имеем
Г, (0 = 2[С^/1* -ь fри (t - 5) Л, (?) <Й1
j=l	О
(k=\,2,...,n),
(37.77)
где постоянные Cj определяются начальными условиями.
502
Непосредственно из (77) следует, что математическое ожида-
ние ^(0 сигнала Y^(t) на выходе динамической системы опреде-
ляется формулой
й (О = 2	+ / A) (t - 4 *1 («) Л]	(37.78)
Ы	0
(k=\,2,...,n).
Будем для простоты считать, что случайные коэффициенты не
коррелируют со случайными функциями Xs (t). Тогда для корреля-
ционной функции связи случайных функций Ук (0 и YT(t) на осно-
вании (77) и (78) получим
/?укуг(^, f2)= 2 [Мй *r/i*,,+k't,+
j,s=l
+ j" (к, (4 - 5)(7г - у))	(Е, У1) *1 <Й]	(37.79)
О О
(k, г=1, 2,.. п),
где	_	_	•
£js = М [(Cj* - Cj*)(Cs- f8)].
Частным случаем формулы (79) является выражение для кор-
реляционной функции Ку (Л, t2) выходного сигнала Уг(0> так как
А*уг (^i, ^2) — /?уг уг (^1» ^2) (г== L 2,..п).
Общие формулы (78) и (79) в частных случаях могут быть
упрощены.
Рассмотрим для примера случай, когда каждый из входных
сигналов (0 можно представить в виде произведения Xj(/) =
= 0^ (t) Z j(0, где ctj(O—заданные функции, a Z}(t) (/=1,2,...
..., n)—стационарные и стационарно связанные случайные функ-
ции. Начальные условия для простоты будем считать нулевыми.
В этом случае постоянные Cj =0, а потому вместо (77) получим
n w=21(z _ S) (5) z> ®	<37'80)
j = 10
(&= 1, 2,..., n).
Математическое ожидание ук (t) выходного сигнала Ук (/) в дан-
ном случае будет
ук (0 = 2^1 ffti(i-E)=4(E)«
1=1 о
(k= 1, 2,..., п).
503
Чтобы получить формулу для корреляционной функции связи
/?укуг (^ъ h), заменим спектральным разложением
j е1ш‘£/Фг.(«))л
— оф
тогда
ПЮ — У» W = 2 / Рч - Е)«) (Е) J e^d<S>tj («.) rfl
j = l 0	— оо
Введем вспомогательные функции
t
Уч V, ®) = f />Ч (t - Е) a, (Е) e'"s dl	(37.81)
О
(k, j= 1, 2,. . ., n),
с помощью которых выражения для центрированных случайных
О
функций Ук(/) могут быть представлены в виде
Л(() = 2 f Уч	“)	(“)•	(37.82)
j=l —ОО
Следовательно,
Л (Л) Ь (t2) = 2 J j Vkj (^i, «>) Угз (*2, ®i)	(«>) ^Zs
j,S—1 — «>
Так как
M [г7Ф^. («>) ^Ф?8 (Ш1)] = & zg («) 3 (<« — mJ <Z<o ,
где 5Z Zs(<o)—взаимная спектральная плотность случайных сигна-
лов Zj{t) и Zs(/),to для корреляционной функции связи /?ykyr(Z1, t2)
между случайными функциями Ук (t) и /Дополучим окончательно
П	«5
^ykyr ~ 2 J (^15 ш) Угз (^2> 0J)*^zjZs(37.83)
j,S=l — ОО
(k, r= 1, 2,..п).
Из сравнения выражений (81) и (75) следует,, что при фикси-
рованном j (j= 1,2, . . ., п) функции ykj(t, со) (k= 1, 2, . . ., п) явля-
ются удовлетворяющими нулевым начальным условиям решениями
системы дифференциальных уравнений, получаемой из (63) путем
приравнивая нулю всех правых частей уравнений кроме пра-
вой части J-ro уравнения, для которого принято Ау(£) = aj (t) eiu>t.
504
Эту систему дифференциальных уравнений можно записать
в виде
п
(t, ») = V) (37.84)
S=1
(*=1,2,..., л),
где 6kj = О при j, а 6jj — 1. Частота со при этом играет роль па-
раметра.
Решение системы (84) определяется формулой (81), однако
в некоторых частных случаях функции z/kj (t, <о) удобнее находить
непосредственно из (84), не используя общую формулу для ре-
шения.
Если все входные сигналы Хк (/) являются стационарными слу-
чайными функциями, то согласно (77) математические ожидания
выходных сигналов при нулевых начальных условиях определя-
ются формулой
Л С) = 2*1 j А, (*-«)<«	(37.85)
j=l о
(* = 1,2,..., л).
Для устойчивой динамической системы при стационарных вход-
ных сигналах и для большого t t/k= const. Эти постоянные проще
определять непосредственно из системы (63). Взяв математические
ожидания обеих частей этих уравнений, получим
п
=	(* = 1,2,...,П).	(37.86)
j=l
Когда входные сигналы Ху (/) являются стационарными и ста-
ционарно связанными функциями, корреляционная функция связи
/?ykyr между выходными сигналами Кк(^) и Рг (£), согласно
(83), может быть представлена в виде
11 оо
/?Укуг(*i, М = .2 J	«>)SVs(«>)(37.87)
j,5 = l — оо
(k, г— 1, 2,..., и).
При большом i можно считать выходные сигналы стационар-
ными и стационарно связанными случайными функциями. В этом
случае
ykj (*, ~	0й) (&, j = b 2> ..., л),
(37.88)
505
причем в соответствии с (84) функции (w) являются решением
алгебраической системы
Л»?м + 2°|А = гЧ (*./=>• 2........Я).	(37.89)
S—1
Подставляя (88) в (87), находим
П оо
(Л, ы=яУкУг №-/,)= 2 J е'“ w sv. <“>
j,S=l —ОО
Воспользовавшись выражением для Rykyr (х) через взаимную
спектральную плотность 5УкУг (о), получим
SV,(“) = 2 й (ш) (ш) SVs W	(37.90)
j,s=l
(k, r=\,2,..п).
При k~г из (90) получим выражение для спектральной плот-
ности выходного сигнала Kk(Z), так как
Ч (ш) ~ ^УкУк (“J'
Итак, математические ожидания, корреляционные функции и
спектральные плотности выходных стационарных сигналов можно
считать известными. С помощью выражений (18) и (77) по общим
формулам могут быть также определены и моменты более высо-
кого порядка, чем второй.
В некоторых случаях необходимо знать не только моменты, но
и законы распределения выходных сигналов. Эта задача решается
просто только в некоторых частных случаях. Пусть, например,
входной сигнал Х(0 является нормальной случайной функцией, а
начальные значения К(к)(0) (& = 0, 1,..., п— 1) выходного сигнала
У(0 и его первых (и—1) производных — нормальные случайные
величины. Согласно (18) выходной сигнал Y(/) — линейная ком-
бинация нормальных случайных функций (величин) и потому
является нормальной случайной функцией. В этом случае закон
распределения для Y(t) однозначно определяется через y(t) и
АГу (^Дг). Эти же выводы справедливы и применительно к функ-
циям Ук (/) (k~ 1,2,. . ., и), определяемым (77).
Если входные сигналы не являются нормальными случайными
функциями или начальные значения выходных сигналов — не нор-
мальные случайные величины, то закон распределения любого вы-
ходного сигнала отличен от нормального, несмотря на то, что эти
функции можно рассматривать кйк суммы большого числа случай-
ных величин, так как слагаемые в этом случае будут зависимы, и
потому условия центральной предельной теоремы не выполняются.
506
Как правило, закон распределения выходного сигнала ближе
к нормальному, чем закон распределения входного сигнала. Для
приближенного определения закона распределения сигнала на вы-
ходе можно воспользоваться разложением плотности вероятно-
сти (или функции распределения) ординат случайного процесса на
выходе по моментам этих ординат, вычислив необходимое число
моментов указанным выше способом.
Пример 37.1. Определить дисперсию ошибки Y(t) «невозмущае-
мой» гироинерциальной системы через время Т после ее включе-
ния, если случайная функция УД) связана с ошибкой акселеро-
d^Y
метра X(t) уравнением	+v2/(/)	где v= 1,24 • 10 3 \/сек—
частота М. Шулера; У(0) = УДО) =0.
Случайная функция X(t) имеет нулевое математическое ожи-
дание и корреляционную функцию Кх (ъ) = <52£-“1т|. Рассчитать
Р[УД)ф если <7=0,01 м/сек2, а=0,1 \/сек, Т=1 ч.
Решение. Исходное дифференциальное уравнение соответ-
ствует неустойчивой динамической системе. Поэтому при расчете
дисперсии D[Y(t)] следует использовать общий (первый) метод.
Характеристическое уравнение (14) в данном случае имеет вид
Х2 + м2 = 0. Следовательно, Z]=zv, —tv. Согласно (16) получаем
весовую функцию
1, 1
1, 1
ZV, — ZV
1 .
= — Sin vr.
у
Воспользовавшись формулой (23) при ti = t2=T, находим
т	т
D [ Y( Г)] = у sin v ($ — 7) Г е~“I7!~И sin у (vj — Т) d-q j di.
()	о
Имеем
т
/Д) = J sin v (vj — Г) d-t] —
о
Е	Т
= J е~а ^sin у (у — Т) dv( -ф j* е “sin v (tj — Т) dy\.
0	е
Для вычисления этих интегралов воспользуемся равенством
£ах sin v (х — T)dx =	[a sin v (х — Г) -- у cos v (х — Г)],
тогда
(a2 -ф v2) J (?) — 2а sin v (? — Т) -ф (а sin уГ-ф v cos уТ) —	.
507
Поэтому
П[Г(Г)]
т
= v2 (а2 + v2)	[2а Siil V(S— Т) + £-“4asinvT+^cosv7’)—
о
_ Ve«(E-T) ] Sjn у (£ _ г)с& —
а2
v2 (а2	v2)
a sin ЪТ ,1	„ ~ .
~4-------+2 cos 2,74
3v2 - а2
2 (а2 + v2)
2^ (a sin v Т	v cos v Т)
а2 v2
При указанных числовых данных
3у=/О[Г(0]=2.|/ «7’-“-^-7' =
— 100 , Л„а 100sinl51°	,
1,24 ]/ 360	2,48	1500 М'
Пример 37.2. Ошибка е(/) измерения ускорения самолета аксе-
лерометром определяется уравнением
e(t)+2he(t)+n2e(t)=X(t),
где h и п — заданные постоянные (н>Л>0).
Случайную функцию Х(/), которая характеризует случайные
возмущения, испытываемые чувствительным элементом акселеро-
метра, можно считать обладающей свойствами «белого шума», т. е,
•Sx (tt>)=c2. Время Т работы акселерометра значительно больше
времени переходного процесса. Найти спектральную плотность
Se (ш) и корреляционную функцию Кг (т) ошибки е(/) измерение
ускорения, а также дисперсию скорости самолета, определяемой
путем интегрирования показаний акселерометра в течение про-
межутка времени Т, если при интегрировании дополнительных
ошибок не возникает.
Решение. По условию время переходного процесса значи-
тельно меньше Т, поэтому ошибку е(^) можно считать стационар-
ной случайной функцией. В рассматриваемом случае передаточная
функция динамической системы
L	(/ш)2 + 2Л (zw) 4-п2 ’
508
Воспользовавшись формулой (40), получаем спектральную
плотность ошибки е(0 в виде
(со) — IL (zio) |2 Sx (ш) =	.
Чтобы привести данную функцию к виду (35.45), положим
₽=/«г-Л2,
тогда
SB(w)
2Ь2 (ft2 + А2)
те [ (us2 — ft2 — А2)2 -ф 4Л2ю2]
Данное выражение для спектральной плотности получается из
корреляционной функции (35.43) при а = й, поэтому
Ошибка в скорости за время Т определяется формулой
81/=
о
Дисперсия это$ случайной величины
\ тт
D(W)> = JJ /<Е(7]-$)^^ = 2
о о
Если Т велико, то
т
о
Г	2тсс2
D [81/] 2Т KtWdx = 2*T&W
и
Пример 37.3. Определить корреляционные функции ^yl (^,/2),
(^ь и корреляционную функцию связи /?У1У:1 (6, случайных
функций У1(/) и У2(f), связанных с независимыми центрирован-
ными стационарными случайными функциями АД/) и X2(t) диф-
ференциальными уравнениями:
dY^t} + 3₽ г, (t) - r2 (t) = tx. (t);
dYM} +yr,W = A-2w.
где ft — заданная положительная постоянная;
П(0) = У2(0)=0.
509
Случайная функция XJ/) является «белым шумом», т. е.
SX1 (ш) = с2,
„2
a Sx2 (°>) = ", 2 -----2V •
я (ar -j- а2)
Решение. Искомые вероятностные характеристики будем
определять по формуле (83). Так как Xi(t) и Х2(/)—независимые
случайные функции, то
Ку. (Л» ^2) ~ j* У*,1 (*1, ш) У1,1 (^2> °*)	(°>) d<o 4~
--ОО
+ f У*2 (Л, “>) У 1,2 (*2, ш)*$ха (w)
Куа(^1, ^2)— J У2,]	“) У2,1 (^2> Ш) ^Х, (ш) </ш 4 '
— ЛЭ
оо
+ J ?2,2 (^1. ш) Уч,2	ш) 5Ха(<«)^Ш;
— Оо
оо
Ку„уа(^1, ^2)“ J У*,1(^1, ш) У2,1 (^2>	(ш)	+
do
~Ь У У1)2 (^1> °*) У2,2 (^2» ®) *^ха (®) d^,
где z/kj(Лю)—решения систем уравнений (84) при сц(О = А
а2(/) = 1 и нулевых начальных условиях. В соответствии с (67)
характеристическое уравнение в данном случае будет
Z>(X) =
Зр + Л - 1
2Р2, X
= k2-J-3§X + 2p2 = 0.
Корни этого уравнения: %i=—7^ = —2р. Так как Af2(Xs) —
= 3pTXs, то Ь21 =—M2(ki)=—2р, Ь22 = —М2(Х.2)=—р. Согласно
(71) Ьу д — ЬХ 2 —	— 1.
Тогда
Воспользовавшись формулой (76), находим:
л,1 е)=-у
^2,1 >
6i2^
^2,2
— 2tf-2^ — е~?*;
510
Pl,2 N = —	1	b	^i,i’ 1,1^4	*1,2 *1,2	-=у(е-г”-е-*);	
p211 w - -	1 ₽		Ь2Л '	*2,2		= 2^(e^— e-^);
P2,2 (T) ~	1		Ь\Л ’ *2,1	*1,2 T,		=	— e~2$\
Используя равенство (81), получим:
j [2е^ М - е-«	&?ia>W£ =
о
([*(/»)A W + (“>2 + 2F)| £w+
+ 2 (Р + /«>)! е-w — (2р + /«>)=«-(»);
= J Pl,2 У ~	= J <Ut) “
о	О
[Ре« - (2? 4 й) е~«>+ (р + й») e-WJ;
y21 (t, «0 — J р2Л (t — £) 0	t ей — 2₽ J [e2P tf-t) — e? tf-П]	= Q
= -2? j A2 (co) 1 + Ф +	' [— <йд (ш) + зр2 + 2р/ш]	+ 2£-23t —(2р + й)2<н*} ;
t	t
у2)2 (tt <•>) = ]* p2i2 (t — I) e'^dl = f [2e? M - e2? M] =
о	о
~д (^у I + iu>)elu)t + (P + *w) e“2‘?1 — 2 (23 + iu>) e~^],
где A (co) = (р + /ш) (2p + iw).
511
Таким образом, все подынтегральные функции, входящие в вы-
ражения для искомых корреляционных функций, известны. Вычис-
ление интегралов может быть произведено с помощью вычетов.
При этом интегрирование по вещественному параметру со заме-
няется интегрированием по верхней или по нижней полуплоскости
комплексного переменного z, где функции (t, z) имеют полюсы
в точках z=$i и г = (или 2 =	и г=—2р0, а спектральная
плотность SX2(z)—в точке г = ш (или z = —at).
Приводить указанные вычисления не будем вследствие их гро-
моздкости.
§ <38. ВЫБРОСЫ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Выбросом случайной функции Л(/) за данный уровень а назы-
вается пересечение снизу вверх графиком этой функции горизон-
тальной прямой Х = а, отстоящей от оси абсцисс Ot на расстоя-
ние а (рис. 55).

Рис. 55
К исследованию выбросов сводится решение многих приклад-
ных задач, при которых наличие выброса нарушает исправную ра-
боту механизмов или устройств, спроектированных в предположе-
нии, что поступающая на вход этих устройств случайная функция
не превысит некоторого уровня. Подобные задачи возникают, на-
пример, при исследовании надежности работы корабельных при-
боров в условиях качки, работы радиотехнических средств при на-
личии определенного уровня помех, при исследовании случайной
высоты полета крылатой ракеты или глубины хода торпеды и т. п.
При изучении выбросов случайной функции возникает необхо-
димость определения среднего времени пребывания случайной
функции выше заданного уровня (среднего времени выброса),
среднего числа выбросов в единицу времени, числа экстремумов
случайной функции, а также закона распределения времени вы-
броса, вероятности получения за данный промежуток времени не
менее заданного числа выбросов и ряда других характеристик.
512
Первые три из указанных выше задач решаются просто для
случайных процессов любого вида. Остальные задачи требуют для
своего решения или специальных предположений о виде случай-
ной функции или применения сложных методов расчета.
Для нахождения среднего времени выброса та и среднего числа
выбросов в единицу времени va рассмотрим произвольный момент
времени t и определим вероятность того, что выброс произойдет
в достаточно малом интервале (б / + А/).
На интервале (t, Z + Д/) выброс будет в том случае, если Х(/) <п,
а Х(/+Д/)>а. Если функция X(t) имеет производную V(t) =	'
то для достаточно малого Xt X(t+Xt) = X(t) + V(t)Xt. Условия,
при которых в рассматриваемом интервале должен произойти вы-
брос, могут быть записаны в виде а — V(t)Xt<.X(t)<a. Обозна-
чим через f(x,v;t) двумерную плотность вероятности для X(t) и
V(/) в один и тот же момент времени /. Тогда для вероятности
выброса на малом интервале (£Д+А£) получим
о©	а
Р\а—V(£) Д/ < X(/) < а\ = ^dv j /(х, <v\ t) dx ===
0	a—vAt
ss M J vfla, v; t) dv,
о
(38.1)
где интегрирование no v выполняется только по положительным
значениям, так как неравенство а — пА/<х<а может быть спра-
ведливым только в этом случае. Полученная вероятность пропор-
циональна длине интервала Xt, поэтому удобно ввести временную
плотность вероятности выброса за уровень а в момент t, положив
р {а\ t) = lim-1-----M-т-——	- — .	(38.2)
At-o	Дг
Для этой функции из (1) получим следующее выражение:
р(а; t) = J vf(a, v, t)dv.	(38.3)
о
Рассуждая аналогичным образом, получим, что вероятность
пересечения случайной функцией X(t} уровня Х = а сверху-вниз
будет:
P[X(t)>a; X(t+Xt)<d\ = P[a<X(t)<a — V(t)Xt] =
0 a—vAt	0
= J dv J f (x, v\t}dx^—Xt vf(a, v, t) dv.
—co	a	—
33
513
Поэтому временная плотность вероятности р\ (а, /) пересечения
случайной функцией X(t) в момент t уровня а сверху вниз опреде-
ляется формулой
о
Px(a\t)~— J vf(a,v-,t)dv.	(38.4)
-00
Обозначим через ЛГа число выбросов случайной функции Х(1)
за время Т на интервале (0; Т). Чтобы определить математическое
ожидание этого случайного числа, разобьем интервал (0; Т) на п
неперекрывающихся малых интервалов (^-, ^+1) (/= 1, 2,. .п).
Для каждого из интервалов определим случайную величину
которая равна единице, если на /-м интервале имеет место выброс,
и равна нулю, если выброса нет. Выберем интервалы настолько
малыми, чтобы вероятностью более одного выброса на каждом из
них можно было пренебречь, тогда общее число выбросов будет
ЛГа = 2^г	(38-5)
i=i
Вероятность выброса на интервале (^, £J+1) равна p(a;fj)A^,
поэтому ряд распределения для случайной величины Afj можно за-
писать в виде:
P(JVj==O)—1 — р(а‘, £j)A^-; Р(Л^ =1)=/»(й;	(38.6)
Математическое ожидание этой случайной величины будет
— р(а\ tj) Afj. Так как N& —линейная функция случайных вели-
чин, то математическое ожидание числа выбросов на интервале
(0; О
И	п
==	^j)
j-1	j=i
Переходя к пределу при п -> со, для среднего числа выбросов
случайной функции X(t) за уровень а на интервале (0; Т) получим
(38.7)
о о
о
Обозначим через va(0 среднее число выбросов за уровень а
в единицу времени. В соответствии с формулой (7) имеем
7а(0=р(йД).	(38.8)
Для нахождения среднего времени пребывания случайной функ-
ции X(t) выше уровня а на интервале (0; Т) введем случайную ве-
личину Дj, которая равна Д/j , если на /-м интервале (^, ^j+1)
514
Х(0>о, и равна нулю в противном случае. Тогда время Та пребы-
вания случайной функции X(t) выше уровня а можно представить
в виде

(38.9)
Математическое ожидание этой случайной величины будет
Обозначим через f(x; /) одномерную плотность вероятности
случайной функции ^(0- Тогда вероятность того, что на малом
интервале (^, ^+)) случайная функция X(t) будет больше а,
можно записать в виде
Р[Х(Л >«] = J/(x; t-^dx. .
Эта вероятность равна вероятности — Д^), а потому
Д^ — Д/j f /(х; t-^dx. Тогда
Переходя в этом выражении к пределу при п -> со, для среднего
времени пребывания случайной функции X(t) выше уровня а на
интервале (0; Т) получим
(38.10)
Обозначим через та среднюю длительность выброса, т. е. сред-
нее время пребывания случайной функции X(t) выше уровня а
в течение одного выброса:
(38.11)
Если Х(/)—стационарная случайная функция, то одномерная
плотность вероятности f(x;t) и двумерная плотность вероятности
f(x, v; t) не зависят от /, т. е.
f(x-,t)=f(x), f(x1v;t)=f(x,v).
515
В этом случае временная плотность вероятности /?(«;/) выбро-
са за уровень а, а следовательно, и среднее число выбросов в еди-
ницу времени va не зависят от t и определяются формулой
уа = р {а) = J т/ (а, v) dv.	(38.12)
о
Среднее число выбросов стационарной случайной функции X(Q
в течение промежутка времени Т будет
ла = Тр (а).	(38.13)
Для среднего времени пребывания стационарной случайной
функции Х(/) выше уровня а на интервале (0; Т) с помощью фор-
мулы (10) получим
оо
7,= T^f(x)dx.	(38.14)
а
Средняя длительность вцброса стационарной случайной функ-
ции определяется формулой
(38.15)
" п, р{а) J
а
Таким образом, для определения среднего числа выбросов
в единицу времени и среднего времени выброса необходимо знать
закон распределения ординат случайной функции X(t) и закон
распределения системы случайных функций Х(1}, V(t). Если X(t) —
нормальный случайный процесс, то для \ и та могут быть полу-
чены окончательные формулы. Пусть X(t)—стационарная нор-
мальная функция с математическим ожиданием х и корреляцион-
ной функцией (т).
В этом случае
л с*-*)3
f(x) = —7=е
2<С
где <JX =	(0).
Стационарная случайная функция %(/) и ее производная
..... dX(t)
V(г) = —в один и тот же момент времени являются некорре-
лированными случайными величинами. Так как они нормальны, то
X(t) и V(t)—независимые величины. Тогда f(x,v')=fx(x)fv(v),
причем
где 6V = / — КУ (0) .
516
Л(®) =-------т==-е
<зч У 2тг
2а2
Имеем:
оо	ее	V3
С . , . ,	1 С	. «V
I ^/v (^) dv —----^=- I ve v dv — - r—-.
J	sv/2k J	/2tv
Поэтому формула (12) для стационарного нормального случай-
ного процесса дает
Р («) = va =
2tojx
(а-х)3
2а2
х
(38.16)
Так как
для среднего времени пребывания случайной функции выше
уровня а за время Т справедлива формула
Т ~ — Т
а 2
1 I я —
1 — Ф ----------------
\ я,
(38.17)
Для средней длительности выброса стационарной нормальной
случайной функции получим
(а-х)»
—	2а2	ч rh (а —
та =------£ е X	1 — Ф —
L \
(38.18)
Используя полученные выше формулы, можно определить и не-
которые другие характеристики случайной функции X(t). Напри-
мер, можно найти среднее число максимумов или минимумов
дважды дифференцируемой случайной функции X(t) на интервале
(0; 7). В точке, где X(t) принимает максимальное значение, про-
1Z,,. dX(t) .
изводная V(г) =...обращается в нуль, при этом кривая
V=V(t) пересекает ось абсцисс сверху вниз. Поэтому среднее
число максимумов (минимумов) nmax случайной функции X(t) на
интервале (0, Т) совпадает со средним числом выбросов случай-
517
ной функции V(t) за нулевой уровень на этом же интервале. Если
X(t)—нормальная стационарная случайная функция, то для лтах
в соответствии с (16) получим
(38.19)
Z7t5v
где «?= - ХДО), ^ = Л'<Д)(0).
Таким же способом можно найти среднее число точек перегиба
трижды дифференцируемой случайной функции X(t). При пере-
Л	m/л d2X(t)
ходе через точку перегиба вторая производная w (t) = ——
меняет знак. Поэтому среднее число нпер точек перегиба случайной
функции X(t) равно удвоенному числу выбросов случайной функ-
ции ............. "	~
ной
IF(/) за нулевой уровень на интервале (О, Г). Для нормаль-
стационарной случайной функции
_ Га-
______ W
ер
(38.20)
где
Найдем законы распределения ординат дважды дифференци-
руемой случайной функции X(t) в точках ее экстремумов.
Для того чтобы на малом интервале + случайная функ-
ция имела максимум, должно быть V(/)>0, а У(/ + А/) <0, Кроме
d'X(t) _
того, в точке максимума вторая производная w (/) = —< 0.
Так как 1Д/ + А/)	У(/)+1Г(/)А/, указанное неравенство можно
записать в виде
0<К(/)<—Г(/)А/.
Вероятность того, что на малом интервале (/Д + А/) случайная
функция X(t) будет иметь максимум, величина которого попадет
в интервал (х, х + Ах) . совпадает с вероятностью
Р (х<Х(/) <х+Ах; 0< V(t) <—W(t) АД	(38.21)
Обозначим через f(x, v, w,t) трехмерную плотность вероятно-
сти случайной функции X(t), ее первой производной V(/) и второй
производной МД/) в один и тот же момент времени. Тогда при ма-
лых Ах и А/ вероятность (21) можно представить в виде:
Р [х<Х(/) <х + Ах; 0< V(t) < — W(t) А/] =
хЧ-Дх - wit О	0
— J dx J dv J f (л, t) dw = — ДхД/ j wf(x, 0, w; /) dw.
X	0	— w	•— oo
(38.22)
518
По аналогии с (2) в данном случае можно ввести временную
плотность вероятности максимумов, попадающих в интервал
(х, х + Дх), для случайной функции X(t). Эта плотность является
пределом отношения вероятности (22) к Д/ при Д^ —> 0. Обозначим
эту плотность через y(x; t)Ax, тогда
о
Y(x;Z)=—§wf(x, 0, w; t)dw.	(38.23)
Для стационарной случайной функции X(t) трехмерная плот-
ность вероятности f (х, v, w; t) не зависит от t, т. е. f(x, и, w; t) —
~f(x, v,w). Тогда т(х;/)=у(х), причем
о
у(х) = J I w|/(x, 0, w) dw,	(38.24)
— oo
а произведение г(х)Дх равно среднему числу максимумов случай-
ной функции X(t) в единицу времени, величина которых попадает
в интервал (х, х + Дх).
Обозначим через Л (а) среднее число максимумов случайной
функции X(t) в единицу времени, величина которых больше а,
тогда
X (а) = j у (х) dx = J J | w |/ (х, 0, w) dw dx. (38.25)
а	ct — оо
Среднее число максимумов любой величины в единицу времени
будет
оо 0
Х = Х(— со)" у у \w\f(x, 0, w) d&dx —
о
— у | w !/(0, w) dw,	(38.26)
где f(v, w) — двумерная плотность вероятности V(/) и Wz(/) в один
и тот же момент времени t.
Плотность вероятности максимумов <р(х) равна отношению
функции у (х) к среднему числу максимумов любой величины
в единицу времени, поэтому для плотности вероятности максиму-
мов получим
о
tp (х)—	t"0,	(38.27)
Л Л. I
Аналогично определяется и плотность вероятности ф(х) мини-
мумов:
w/(x, 0, w)dw; р. = Jwf (0, w)dw.	(38.28)
о	о

519
Среднее число экстремумов стационарной случайной функции
X(t) равно Z+p = 2X, так как в этом случае f(u, w) =f(v,— аа) и из
(26) и (28) следует, что 7. = щ Когда Х(^)— стационарная нормаль-
ная случайная функция с математическим ожиданием х и корре-
ляционной функцией Кх (т), интегралы (27) и (28) могут быть
вычислены.
Так как случайные величины Х(/) и V(Z), а также К(/) и W(t)
взаимно независимы, то для корреляционной матрицы системы
(X, V, IF) трех нормальных случайных величин (ординаты функ-
ции и ее первых двух производных в один и тот же момент вре-
мени) получим
где о? = /С(0);	= -V(0); ^ = ^(0).
Имеем
(Ч=М [X (Ч w а + Ч] = [X (<) X (t+Ч] = К." (Ч,
т. е. /?„(0) = A7(0) = -°v2
Следовательно,
II ы =
<2 О — V
0 Ov2	о
— а 2 0	о2
v м W
Определитель этой матрицы
I *f, 1=^.4 - Y).
а алгебраические дополнения элементов определителя будут:
Д(1 = av-a2 ; Л12 —0; Л13 =- а/; А22 <Jx2o^ а/;
•А 23 —' j ^33 '—~ ^х <5у-.
Поэтому, используя общую формулу (25.4) для плотности веро-
ятности системы трех нормальных случайных величин, получим
1
f{x, 0,	=	---/- 2 о---Х
(2^)3Ч /^x4"“3v4
Yexol 4(x-7)2H-2av2(x-x)w + axW 1	(
X expj	j ’	(	’
52Q
Так как V и W — независимые случайные величины, то двумер-
ная плотность вероятности f (О, w) будет
w’
1	2а2
W’	(38.30)
Подставляя (29) в интеграл (27), получим
о
J wexp
3X2W3 2sv2w (х — х) 4- ai (х — х)2
2«Ч-3/)
dw.
Для вычисления этого интеграла положим
। av2 /	“ч
w» d~ U - -*)
~ К ах2а^ — а/
тогда согласно формуле (24)
4<х-х)
(х	°х "l/"
, УА л'	г X W V
, ч - 1	с*
т ~ (2к)3'Ч3х2 е Х	J е
3V2 f -ч
(х - X)
d^..
Введем обозначение
— о4
(38.31)
тогда
_(х... Х21	- (х-хг
а	2а2	(	2с’
Т« = (2^)3аде х («’	+
+U-X) 1/ ” [1+ф(д_д.
I/ Лл	\ V
(38.32)
521
Среднее число максимумов любой величины в единицу времени
согласно (26) будет
О w3	w3 О
,	1	(’	2°*	,	<5	2ff2
к —--------------- I we w dw — —w- e w
2tt<Jvaw I	2tc3v
gw
2^
(38.33)
Окончательно, учитывая (31) и (32), для искомой плотности
вероятности ординат стационарной нормальной случайной функ-
ции Х(0 в точках ее максимумов получим
(X -х)а [	_ (х-~х)\
О2	2а2	2°s
?(•*) = —-----------е х се +
I/	—: Г к , , ,г / х — X
+ (^-х)|/ -2- [1 + Ф(——
(38.34)
Выполнив аналогичные преобразования в формуле (28), можно
убедиться, что для нормальной стационарной случайной функции
Х{1) плотность вероятности минимумов ф(х) равна плотности ве-
роятности максимумов, т. е. в этом случае
ф (лг) = <р (л).
(38.35)
Как было отмечено в начале данного параграфа, определение
вероятности того, что в течение данного интервала времени будет
заданное число выбросов, в общем случае связано с большими ма-
тематическими трудностями. Однако если среднее число выбросов
в единицу времени достаточно мало, чтобы можно было считать
ординаты случайной функции в моменты соседних выбросов неза-
висимыми случайными величинами, для определения вероятности
того, что за время Т имело место ровно m выбросов, при-
ближенно можно пользоваться законом Пуассона, т. е. формулой
(38.36)
где па — математическое ожидание числа выбросов в течение вре-
мени Т, определяемое в общем случае формулой (7) или форму-
лой (13) для стационарной случайной функции.
В частном случае для вероятности отсутствия выброса в тече-
ние времени Т формула (36) дает
Р0(Т)=<ГЧ
(38,37)
522
Если вместо среднего числа выбросов па функции X(t) в фор-
мулы (36) и (37) подставить среднее число выбросов ее производ-
ной V(t) за нулевой уровень, определяемое формулой (19), или
среднее число выбросов ее второй производной за нулевой уровень,
определяемое формулой (20), то получим соответственно вероят-
ность заданного числа максимумов и вероятность заданного числа
точек перегиба в течение времени Т.
Пример 38.1. Угол крена корабля ©(/) является нормальной слу-
чайной функцией с нулевым математическим ожиданием и корре-
ляционной функцией
/Св (т) = а2е-“М cos р х -|—sin р | т |	,
0 = 7,5°, а = 0,1 1/сек, р = 0,7 1/сек.
Определить: сколько раз в среднем в течение времени Г=10жмн
угол ©(/) по абсолютной величине становится больше 0пр = 15°;
среднее время, в течение которого 16 (t) | > 6пр, и среднюю про-
должительность одного выброса т.
Решение. Общее число выбросов случайной функции 0(/)
снизу вверх за уровень «i = 0np и сверху вниз за уровень а2=—9пр
равно 2н9пр= 2Тv9 Используя формулу (16) при х = 0, зх = о,
получим
»,=у-а';(о)=’/*2-н2.
„2
2 Z = V а? -J- Р2 е ~2’’ .
пр тг
6пр, согласно (17)
. Средняя продолжительность
Среднее время, в течение которого | В(/) |
равно 2 Го — Т I 1 —- Ф f
пр	\	°
2 Те	Т
одного выброса будет т=  _ -р = __пр . При указанных число-
2 й0пр	лпР
вддх данных находим:
2«15 = -^-]Л0,5 е-2 = 18,1;
7t
2Т15 = 600 [1 — Ф(2)] = 27,3 сек;
— _2Б . = 1,51 сек.
523
Пример 38.2. На самолете установлен прибор (акселерометр),
измеряющий ускорения, нормальные к оси фюзеляжа в плоскости
крыла. Программа, заданная автопилоту самолета, — горизонталь-
ный прямолинейный полет с постоянной скоростью. Вследствие
ошибок управления угол Ф (О, составляемый направлением век-
тора скорости самолета с неизменной вертикальной плоскостью,
становится случайным. Определить, сколько раз в среднем в еди-
ницу времени чувствительный элемент акселерометра будет дохо-
дить до упора, если это имеет место в том случае, когда мгновен-
ный радиус кривизны траектории самолета в горизонтальной плос-
кости становится равным минимально допустимому радиусу ви-
ража г0. Скорость самолета v можно считать постоянной, а Ч^) —
центрированная нормальная стационарная случайная функция,
корреляционная функция которой
Решение. Радиус кривизны траектории I? связан со скО'
ростыо v и производной от угла W равенством j Ф (t) | =	,
Н
Чувствительный элемент акселерометра доходит до упора, если
<Сг0. Тогда I Ф (/) | > -, т. е. это будет при выбросах случай-
но
ной функции Ф(/) за уровни
и	v
at =------ и а2 =----------.
го	го
Согласно формуле (16) при х = 0, ох = а,
а= +	«,= •/«’ + ₽'
'О
для общего среднего числа выбросов в единицу времени за уровни
. 'У
± ----получим
г о
г________________________________ V3
- У а2 +	~ 2аз г03
2 п v = ----—— е
_	К	*
Пример 38.3. Ошибки наводки артиллерийской системы нормаль-
ны, имеют нулевое математическое ожидание и характеризуются
корреляционной функцией
Кх СО =	“1 т 1 (1 + а|х1).
524
Определить, на сколько секунд в среднем будет отключаться
цепь стрельбы, если выключение производится автоматически при
получении ошибок, больших а. Рассчитать это время при о = 2',
«=1,5 1/сек, а = 3'.
Решение. Используя формулу (18) при ov = oa, х = 0, для
средней длительности выброса случайной функции за уровни а и
—а (сверху вниз) получим
1 — Ф —
I a
—	Tt 2а2
т + а = ---е
а
При указанных числовых данных
т+а= -г^-е1’125 [1 — Ф (1,5)] =0,86 сек.
~	1 f О
Пример 38.4. Высота полета самолета H(t), управляемого авто-
пилотом, является нормальной случайной
ское ожидание которой h равно заданной
ляционная функция
функцией, математиче-
высоте полета, а корре-
o’ I a
COS вЧ-^5-
sin ,8 | т
Определить, какую наименьшую высоту h можно установить
в системе приборов автономного полета, чтобы за время полета Т
вероятность аварии самолета вследствие столкновения с поверх-
ностью моря была меньше 6. Рассчитать эту высоту, если ст= 10 м,
а = 0,01 l/сек, р = 0,1 \/сек, T=\Qmuh, 6 = 0,0001.
Решение. Среднее число выбросов случайной функции H(f)
за уровень й = 0 равно п0=Ту0. Пользуясь формулой (16) при
= ov = a>/' a2-|-P2, а = 0, x = h, получим
-------------------------
2х
/t0
Выбросы (сверху вниз) за уровень Л = 0 должны быть редкими,
поэтому можно считать, что число выбросов подчиняется закону
Пуассона. Вероятность гибели самолета равна вероятности появ-
ления хотя бы одного выброса за уровень /г = 0, поэтому
Р [И (t) < 0] = 1 - е ПЧ В ~ 1 - е~\
Таким образом, должно быть
п0 <8, т.е. 7Г>,/2|пП^ + £
При указанных числовых данных h 48 м.
525
Пример 38.5. Радиолиния управления может обеспечить передачу
команды без искажения в том случае, если помеха X(t), поступаю-
щая на вход приемника в течение передачи, по абсолютной вели-
чине ни разу не превзойдет некоторого уровня а. Определить ве-
роятность Р передачи команды без искажения, если X(t)—нор-
мальная стационарная случайная функция с нулевым математи-
ческим ожиданием и корреляционной функцией
Л'х (т) = о2г?-а-! (1	а | т |).
Время передачи команды Т.
Решение. Число выбросов за уровни +п считаем распреде-
ленным по закону Пуассона. Математическое ожидание этого
числа равно
т - —
2/га =-----е
К
Искомая вероятность совпадает с вероятностью того, что не бу-
дет ни одного выброса, поэтому
_	_а«_
г»	—2 Па	/ СС Т 2<з2 \
Р— РГ) = е а=ехр------------е
л	\ 'Tt	/
Пример 38.6. Определить закон распределения максимумов нор-
мальной случайной функции X(t) с известным математическим
ожиданием х и корреляционной функцией
ЛГх(т) = ох2^.
Найти среднее число максимумов и точек перегиба на участке
(О, Т) для этой функции.
Решение. Так как
/С/ (т) = -2аЧ/<х(т);
К* (т) = 2а2 (2а2 — 1)	(т); К" (т) = 4 а4 т (3 — 2а2 х2) К* (г);
д-iv — 4а4 (3 _. 12а2 т2 + 4а4 ?) /Сх (т),
то
3, = / — К/'(0)	=
С — —V—	о2 а2 — з4 = а, 1/" 2 .
02 '	X W V X г - •
Воспользовавшись формулой (34), для плотности вероятности
максимумов случайной функции ^(/) получим
, (Х-Т)а (	(X- Г)а	- Г- ,	-\-]1
<?х(х) = --7^=е 2V ]е 4gx2 +	/ 7Г 14-Ф f •
ах V 3 п	[	2ах	|_ \ах)Л2/Л
526
Согласно формуле (19), среднее число максимумов для случай-
ной функции X(t) равно
-	_	_ Га
Лтах ~ 2“ av —
Имеем:
КУ (т) = - 8 аЧ (15 - 20 а1 2 * * * т2 Д- 4а* т*) Кх (т);
/<VI(O)==_ |20 а6 а2 = -а2..
Х	Х	W
Используя формулу (20), для среднего числа точек перегиба
случайной функции X(t) на интервале (0, Г) получим
- _	_ а Т /~ЙТ
^Пер—	~ К
§ 39. МЕТОД ОГИБАЮЩИХ
Всякую стационарную нормальную случайную функцию X-(t)
можно представить в виде
X(O=X(/)cos[(di/ + 0(/)]+х,	(39.1)
где значения огибающей Л(/) и фазы Ф(/) = он/+ €>(/) для одного
и того же момента времени являются независимыми случайными
величинами, а
1	С	2 Г
^2— \ | ш | Sx («>) d/о) =—j— I coSx (<e) {/о.	(39.2)
X J	°x J
’— oo	U
Замена случайной функции X(t) случайными функциями Л(/)
и @(Z) является основой метода огибающих, применяемого при ис-
следовании стационарных случайных процессов, имеющих спект-
ральные функции с резко выраженными максимумами. В этом слу-
чае производные от случайных функций 4(Z) и @(Z) имеют малые
дисперсии, а случайный процесс X(Z) приближенно можно рас-
сматривать как гармоническое колебательное движение с медлен-
но меняющимися амплитудой и фазой.
Для доказательства возможности представления (1) рассмот-
рим спектральное разложение случайной функции (примем для
простоты х = 0), т. е. положим
X (Z) = J d® («),	(39.3)
где дифференциалы tZO(co) в соответствии с (35.13) удовлетворяют
соотношению
М [rZO* (<») tZO (ш1)] = SX (<о) о (ш — со1) du) d^i. (39.4)
527
Формулой (1) амплитуда X(Z) и фаза Ф(^) определяются не
однозначно. Поэтому наряду с функцией рассмотрим вторую
функцию Y(/), определяемую равенством
У(/) =.4 (Z)sin [<diZ+0(/)],	(39.5)
и потребуем, чтобы эта функция была нормальной и чтобы ее
ординаты при одинаковых значениях аргумента t не зависели от
ординат Л(/). Покажем, что в качестве спектрального разложения
функции Y(Г) можно взять интеграл
Y(0 = —3— J	-ру- d® (ш),
(39.6)
где с/Ф(<о) — дифференциал той же функции, что и в формуле (3).
Так как линейная комбинация этих дифференциалов в формуле (3)
дает нормальный случайный процесс j(Z), то функция Y (t) также
является нормальной.
Определим корреляционную функцию связи	Перемно-
жая для этой цели (3) и (6) и находя математическое ожидание
произведения, с учетом соотношения (4) получим

оо
—-— Г f е~i<utт)  —1 - б/Ф* (ю)б/Ф (ш.)
1 JJ Ы
I gi«)t ш 5 (ш) б/ю — 2 I Sx(to) sin сотб/о),
1	| О) |	' '	J ' '
— оо	О
т. е. окончательно
^ху(т) —2J Sx(co) sin (отб/cu = <j2r (т).	(39.7)
о
Положив в последнем равенстве т=0, заключаем, что случай-
ные величины X(t) и Y (t) при одинаковых значениях аргументов t
некоррелированы, а так как они являются нормальными величи-
нами, то и независимы.
Таким образом, действительно, для нормальной случайной
функции Y(t), не зависящей от X{t) при том же аргументе t, спек-
тральное разложение можно взять в виде (6).
Будем рассматривать X(t} и У(/) как прямоугольные коорди-
наты случайной точки на плоскости. По доказанному выше, эти
координаты являются независимыми и нормальными. Обозначим
корреляционную функцию X(t) Л(т)=ох^(т). Непосредственной
проверкой можно убедиться, что случайная функция Y(t), опреде-
ляемая формулой (6), имеет ту же корреляционную функцию, что
628
и X(t). Формулы (1) и (5) показывают, что случайные функции
Л (О и Ф(/) =<oit + 0(Z) можно рассматривать как полярные коор-
динаты случайной точки на плоскости. Так как прямоугольные
координаты этой точки подчиняются круговому нормальному за-
кону распределения, то (см. § 28) случайная величина Л(/) имеет
закон распределения Релея с плотностью вероятности
/.«*)=(39.8)
а полярный угол Ф(0 распределен равномерно в интервале (0; 2л)
и не зависит от X(Z).
Рассмотрим два момента времени t и / + т и введем обозна-
чения:
Xi — X{t)', X2=X(f + ^ Yv=Y{ty, У2=Г(^+т);|
Al = A{t)\ Л2 = Л(^ + г); Ф1==Ф(^); Ф2 = Ф(^ + т)./
Система четырех величин ^1Д2)	^2 является нормальной, а
ее нормированная корреляционная матрица имеет вид
	1	^(г)	0	г (т)	
	Ж	1	— г (т)	0	
II Or П =	0	-Г(т)	1	Ж	(39.10)
	г(т)	0	k (0	1	
Поэтому, используя общую формулу (23.26) для плотности ве-
роятности системы нормальных величин, получим
уи х„ у2) = -	2- exp | - gij [х?-|- у? +
+ *22+ у22“2& (*) (*1*2 + У1У2) — Зг^Хх^г-ХгУ!)] j, (39.11)
где введено обозначение
Р2=1 _£2(Т)_Г2(Т)	(39.12)
Переходя от прямоугольных координат хь ух к полярным alt <рх
и от прямоугольных координат х2, у2 к полярным а2, ф2, для плот-
ности вероятности системы случайных величин ЛЬЛ2, Фь Ф2 по-
лучим
. /(«1, «2, 91, 9г) = 43~оу ехр {“ 2°>а	+ "Ч
— 2 у 1 —	— ?i — т)] j ,	(39.13)
где
, г(х)
•< = arCtS 4W •
34
529
Интегрируя плотность (13) сначала по переменным epi и фг» а
потом по переменным и «2, получим еще две плотности вероят-
ности:
у/	ч.	^2
/(«., «г) = dd е
КГ
(39.14)
1
/(?ь ?2) = “р2
-g- + arcsm х
1-х2"1	(1—х2ря
(39.15)
где обозначено
х2= т/^1 — р2 cos (ф2 —(pi — Г)-	(39.16)
Пользуясь формулами (13), (14) и (15), путем замены
а2 = o-i + ar t, <р2 = <Pi ~Ь ?iT и перехода к пределу О можно по-
лучить формулы для плотности вероятности скорости изменения
амплитуды A(t) и фазы Ф(0- Опуская промежуточные выкладки,
приведем окончательные формулы:

________а2-
4?Г2 ((О2--го2)
ехр
а2 д2(<р2 — 2<»х у 4~ ^а2) i
2°2 (®2 “ wi) I ’
(39.17)
1
f (а, <р) =-т=->== е
2тг У 2u — 0^2
2’ха(ш?—<"?)
(39.19)
_ аЯ
/(п,а) = /а(й)/- (d) = --y-e 2"х
аа
1 е_2ах’(ш?-а>/) .
°х	—ю12 V 2к
(39.20)
А(?)=
(39.21)
____________«>22 — №12_____________
2 [(<? — ш1)2 + W — ш12)Ра’
(39.22)
530
где обозначено
(39.23)
«> Sx (со) с/ш.
Выведенные выше формулы справедливы для любого нормаль-
ного стационарного процесса. Однако для случайного процесса,
имеющего спектральную плотность с резким максимумом, эти фор-
мулы приобретают характерные особенности, позволяющие в ряде
случаев применить приближенные методы расчета. Особенность
этого случая заключается в том, что для узкополосного спектра
разность
Д2 = (022 _(012	(39.24)
можно считать малой сравнительно с юь
Действительно, рассмотрим выражение
У (со — coj2 (со) d(ot
о
аналогичное выражению для дисперсии величины со, если рассмат-
2
ривать неотрицательную функцию —Sx(«s) как плотность веро-
ятности неотрицательной величины со. Раскрыв под знаком инте-
грала в этом выражении скобки и учитывая обозначения (23), по-
лучим разность ((022 — СО!2) .
Таким образом, определенная формулой (24) величина Д мо-
жет быть представлена в виде
(со — сох)2 Sx (<о) dw.
(39.25)
Следовательно, величина Д2 всегда неотрицательна и является
«средней шириной спектра», т. е. величиной, показывающей на-
сколько велика область значений со, при которых ординаты кривой
Sx (со) имеют порядок величины, не на много меньший максималь-
ного значения спектральной плотности. Для случайных процессов,
имеющих один острый максимум, Д < соь а процесс называется
узкополосным.
531
Итак, предположим, что условие А < выполняется. Как вид-
но из формулы (21), дисперсия скорости изменения А(/) ампли-
туды огибающей, равная ох2 («22— «>!-)= Зх242, есть величина малая,
и, следовательно, при дифференцировании функции X(t), представ-
ленной в форме (1), слагаемые, содержащие множителем A (t),
в первом приближении можно не учитывать.
Формула (22) показывает, что скорость изменения фазы
Ф(0 = W+®(0	(39.26)
имеет математическое ожидание, равное соь
Действительно, имеем
Ж [ф (0 ] = -4- f -:-=
2 J [(у-^ + ДТ-
-00
А2
2
(? —Д1)

так как первый интеграл равен нулю вследствие нечетности подын-
тегрального выражения, а второй интеграл равен 1 как интеграл
от плотности вероятности.
Положив в формуле (22) qp = a>i, получим, что плотность веро-
ятности скорости изменения фазы имеет максимальное значение,
равное Следовательно, при уменьшении А вероятности боль-
ших отклонений Ф(0 от математического ожидания <oi должны
уменьшаться. Учитывая формулы (22) и (26), получим, что ско-
рость изменения случайной функции ©(/) имеет плотность вероят-
ности
/(0) =
А2
2[62 + Д2Р*
(39.27)
причем математическое ожидание 0(/) равно нулю, а максимум
/(0), расположенный вблизи точки 0 = 0, становится тем более
острым, чем меньше А.
532
Таким образом, при дифференцировании выражения (1) для
X (Г) производными Л(/) и ©(/) в первом приближении можно пре-
небречь, положив
+	(39.28)
т. е. поступать так, как-будто функция Л"(0 описывает регуляр-
ное гармоническое колебание.
Учитывая это обстоятельство, можно приближенно определить
закон распределения промежутков времени между последователь-
ными нулями функции Х(0 (считая по-прежнему х = 0), т. е. ре-
шить задачу, которая в общем случае решается весьма сложно.
Будем рассуждать следующим образом: так как скорость измене-
ния функции A(t) мала, то можно считать, что функция X(t)
обращается в нуль только тогда, когда фаза Ф(0 становится крат-
ной 2л. Следовательно, учитывая медленный характер изменения
функции ©(/), Для определения промежутка времени Т, в течение
которого фаза изменяется на 2л, получим
©17’+0(О7’^ 2л,
т. е. время т между двумя нулями функции приближенно опреде-
ляется равенством
7Г
ОЦ + 0 (О
(39.29)
Так как т обратно пропорционально coi + ©(/) =Ф(0, то, учиты-
вая (22) и применяя формулу (28.4) для плотности вероятности
обратной величины, получим
/(0 =
(39.30)
Особый вид законов распределения для огибающей Д(/), фазы
Ф(0 и их скоростей для узкополосного спектра позволяет прибли-
женно решать и ряд других задач, представляющих существенные
трудности в общем случае.
Например, применение метода огибающих является весьма пло-
дотворным при анализе прохождения случайного сигнала через
линейную динамическую систему, «полоса пропускания» которой
лежит в области низких частот (сравнительно с <»]), и, следова-
тельно, функция, получаемая на выходе, в основном определяется
свойствами огибающей высокочастотного сигнала, т. е. свойствами
функции Л(/). Подобные случаи являются типичными для радио-
техники, где метод огибающих находит широкое применение.
533
Пример 39.1. Корреляционная функция угла крена корабля на
нерегулярном волнении имеет вид
/б (т) = а2^-аН j cos pt 4
Sin Р ! т | j ,
где ст зависит от интенсивности волнения, а определяется парамет-
рами корабля и характером волнения, а р в основном зависит от
собственного периода качки корабля.
Проверить возможность применения метода огибающих для
определения плотности вероятности времени между двумя после-
довательными горизонтальными положениями палубы корабля,
если а = 0,1 1/сек, р = 0,7 1/сек, а угол крена можно считать нор-
мальной случайной функцией с нулевым математическим ожида-
нием.
Решение. В соответствии с формулой (35.45) для спектраль-
ной плотности имеем
S (<•>) =
Применяя формулы
2 о2 а (а2	р2)
Г[(^2-р24-а2)3 4-4а3р2] ‘
(23), получим:
2а (а2	р2) <о
тс [(ш2 — р2 4- а2)2 4- 4а2 р2]
1	1	Й2 - а2
Г —afdgLp
= а2 4- З2,
т. е.
оя = 0,65 1/сек;
Д2 = 0,075 1/сек2;
(п22 = 0,50 Мсек2-
А = 0,274 1/сек.
Сравнивая А с ан, видим, что, хотя спектр и узкополосный,
А сравнимо с (щ. Поэтому формула (30) может быть использована
только как первое приближение. Подставляя числовые данные, по-
лучим
г, ,	0,0143х
[(х-0,85)2 +0,1291^ '
где для краткости обозначено х= —
534
Пример 39.2. Определить среднее число выбросов в единицу вре-
мени огибающей нормального случайного процесса, имеющего
спектральную плотность, приведенную в предыдущем примере, за
уровень А (/) =су.
Решение. В соответствии с общей формулой (38.12) для
среднего числа выбросов v имеем
a da.
Подставляя вместо f(a, а) выражение (20), получим
v =-----------е
где в данном случае
ГЛАВА VII
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ
§ 40.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИСПЫТАНИИ
При обработке результатов испытаний (опытов), дающих кон-
кретные реализации случайных величин, возникают следующие
общие задачи:
а)	оценить значения числовых параметров законов распреде-
ления исследуемых случайных величин или, как принято говорить,
найти оценки числовых параметров законов распределения;
б)	определить точность полученных оценок;
в)	установить вид закона распределения исследуемой случай-
ной величины или системы случайных величин;
г)	проверить согласие предполагаемого закона распределения
с данными, полученными при испытаниях.
Решение указанных задач составляет основное содержание
прикладного раздела теории вероятностей, называемого матема-
тической статистикой. В настоящем параграфе рассмотрим первую
из этих задач.
Условимся обозначать оценки параметров законов распреде-
ления, получаемые при обработке экспериментальных данных,
теми же буквами, что и оцениваемые параметры, но с волнистой
чертой сверху. Например,
х или Л1 (X) — оценки математического ожидания х;
D(X) или о2 — оценки дисперсии D(X) = сц2;
—оценка среднего квадратического отклонения ох;
ms(X) — оценка начального момента s-ro порядка (X);
P's (А) ~ оценка центрального момента s-ro порядка ps(A)
случайной величины X.
Оценки, как правило, не совпадают с оцениваемыми парамет-
рами, так как они искажены случайными результатами испыта-
ний и, следовательно, сами являются случайными величинами. По-
536
этому прежде чем рассматривать методы получения оценок в раз-
личных случаях, введем некоторые общие характеристики, позво-
ляющие сформулировать основные требования к оценкам.
Оценка х параметра х называется несмещенной, если при лю-
бом п
М(х)=х,	(40.1)
т. е. если оценка х не содержит систематической ошибки. В том
случае, когда равенство (1) не выполняется при конечном п, но
при увеличении числа реализаций случайной величины имеет
место предельное равенство
ИтМ(х)=х,	(40.2)
П-* со
оценка х называется асимптотически не смещенной. Наличие
асимптотической несмещенности означает, что при достаточно
большом п систематической ошибкой оценки можно пренебречь.
Оценка х называется состоятельной, если при неограниченном
увеличении числа испытаний п оценка х сходится по вероятности
к оцениваемому параметру х, т. е. если
Игл Р( [ х — х | < г) = 1	(40.3)
И-* оо
при любом е>0.
Воспользовавшись неравенством Чебышева (32.1), получим, что
условие (3) будет выполнено, если
limP(x)=0.	(40.4)
П —» оо
При выполнении этого условия можно утверждать, что любое
отклонение оценки х от ее математического ожидания может быть
сделано сколь угодно маловероятным при достаточно большом
объеме опытного материала.
Сравнительную эффективность оценок, рассчитываемых по од-
ним исходным данным, принято характеризовать их дисперсиями.
Из двух оценок более эффективной считается та, дисперсия кото-
рой меньше, т. е. меньше ее рассеивание относительно математи-
ческого ожидания. Оценка называется эффективной, если ее дис-
персия имеет наименьшее значение, не зависящее от величины
оценки. Следует отметить, что требование эффективности часто
приводит к излишнему усложнению расчетных формул.
Рассмотрим получение оценок в простейшем случае серии не-
зависимых испытаний.
537
Предположим, что при п независимых испытаниях получены
следующие п значений случайной величины X: хьх2,.. хп. Сово-
купность этих значений принято называть независимой выборкой
из генеральной совокупности, число п — объемом выборки, а каж-
дое из чисел Xj — элементом выборки. Элементы выборки, являю-
щиеся после реализации испытаний определенными числами, при
рассмотрении серии возможных испытаний можно рассматривать
как систему независимых случайных величин, обладающих тем же
законом распределения, что и случайная величина X. Поэтому
в дальнейшем конкретные числовые значения элементов выборки
будем обозначать малыми буквами, т. е. Xj (/= 1, 2,. .., и), а при
их рассмотрении в качестве случайных величин будем обозначать
их теми же, но большими буквами, т. е. Xj (/= 1, 2,..., и).
Покажем, что в качестве несмещенной состоятельной оценки
математического ожидания можно взять среднее арифметическое
элементов выборки, т. е. что х, определяемая формулой
п
i=^-Vx,	(40.5)
является состоятельной несмещенной оценкой х.
Будем считать, что математическое ожидание х существует.
Применяя к (5) операцию вычисления математического ожидания,
находим
М(х)= -^-пх — х,
т. е. действительно оценка (5) является несмещенной.
Для доказательства состоятельности этой оценки предположим
сначала, что случайная величина X имеет дисперсию. Так как
Z)(Xj)=Z)(X) (/= 1,2,..., п), то
п
=	О(Х,)=-±-пО(Х) = ^-О(Х).
j=l
Из этого выражения следует, что limZ)(X)=0, т. е. оценка (5)
состоятельная.
Предположение о существовании дисперсии /)(Х) не является
необходимым условием состоятельности оценки х. Действительно,
согласно теореме Хинчина, среднее арифметическое одинаково
распределенных случайных величин сходится по вероятности к ма-
тематическому ожиданию этих величин. Следовательно, оценка (5)
состоятельная, если существует математическое ожидание х.
538
Таким образом, несмещенной и состоятельной оценкой матема-
тического ожидания х случайной величины X является среднее
арифметическое наблюденных значений Xj (/= 1, 2,..п), т. е.
п
Х~ <40-6)
j=l
В целях упрощения расчетов последнюю формулу иногда удоб-
но преобразовать к виду
11
~х = с + V (х, - с),	(40.7)
j=l
где с — произвольное число, вводимое для удобства вычислений
(«ложный нуль»). Упрощение, связанное с применением ложного
нуля, заключается в том, что отпадает необходимость в сложении
одинаковых цифр, повторяющихся в выборке, и уменьшаются ве-
личины слагаемых.
Можно доказать, что для нормальной случайной величины X
дисперсия D(x) является минимально возможной, т. е. оценка (6)
математического ожидания х в этом случае также и эффективная.
Если случайная величина X распределена по какому-либо другому
закону, то эта оценка может быть и не эффективной.
Рассмотрим определение оценки дисперсии по данной выборке.
Предположим сначала, что математическое ожидание х известно.
Так как, по определению, дисперсия есть математическое ожида-
ние случайной величины (X — х)2, то на основании (5) в качестве
оценки этого математического ожидания следует взять среднее зна-
чение этой случайной величины, т. е. положить
п
5(Х)=^ = _1_	(40.8)
j=l
Если дисперсия £)(Х) существует, то при п -> со случайная ве-
личина D(X) по вероятности сходится к D(X), а потому данная
оценка состоятельная. Так как
М[0(Х)]= 4«°(М=-О(М.
539
то эта оценка является несмещенной. Следовательно, при извест-
ном математическом ожидании х состоятельной
оценкой дисперсии D(X) будет
п
O(X) = S =-L-
несмещенной
(40.9)
При расчетах D(X), как и в (7), можно вводить «ложный нуль»,
т. е. уменьшать все элементы выборки на одну и ту же постоян-
ную с. Формула для оценки D(X) в этом случае принимает вид
п
5(Х) = —L.	Д-с)!.	(40.10)
j=l
Зная оценку дисперсии, можно определить оценку цх среднего
квадратического отклонения ох , положив
’«=1/	.	(40.11)
Г	j=.i
Однако при этом оценка ох, оставаясь состоятельной, перестает
быть несмещенной при любом п. Для оценки (11) справедливо пре-
дельное равенство
limAf (ах) = ах,
т. е. эта оценка асимптотически не смещенная.
При сравнительно малых значениях п формула (11) будет да-
вать заметную систематическую ошибку в сц. Для ее устранения
можно ввести поправочный множитель, который зависит от числа п
и закона распределения X. Найдем этот множитель для случая,
когда X—нормальная случайная величина. Известно (см. §30, п. 5),
что при независимых нормальных случайных величинах Х(, Х2,..X п
с математическим ожиданием х и дисперсией оД случайная'вели-
чина
х)2
подчиняется %-распределению с п степенями свободы, причем
(40Т12)
540
Введем обозначение
(40.13)
Тогда равенство (12) можно представить в виде
Из этого выражения следует, что, для того чтобы оценка (11)
была несмещенной, нужно ввести поправочный множитель, рав-
ный
Таким образом, при известном математическом ожидании х
нормальной случайной величины X в качестве состоятельной не-
смещенной оценки ах среднего квадратического
получим
отклонения сгх
(40.14)
Значения коэффициента kn при различных п приведены в табл. 6.
Таблица 6
n	&П	n	k-n.	n	
3	1,1284	10	1,0280	30	1,0087
4	1,0853	12	1,0230	35	1,0072
5	1,0640	15	1,0181.	40	1,0064
6	1,0506	20	1,0134	45	1,0056
7	1,0423	25	1,0104	50	1,0051
Если математическое ожидание х не известно, то представляет-
ся естественным для оценки D(X) воспользоваться формулой (8),
заменив х оценкой х. Однако при такой замене оценка станет сме-
щенной. Действительно, рассмотрим случайную величину
n
j=l
п
1
п
(40.15)
541
являющуюся средним арифметическим квадратов отклонений слу-
чайных величин Xj от оценки х математического ожидания х. Что-
бы найти математическое ожидание перепишем выражение для £
в виде
п
Е=Ц- V КЛ-) - х) - (х - х) Р =
j=l
Так как при j=£s случайные величины Xj и Xs независимые,
a Z)(Xj) = £>(Х) (/=1,2,. ..,«), то
п
г= Чг 2 [° W- 4 D <*>+
j=l L
n '
Из этого выражения следует, что состоятельная оценка диспер-
сии будет несмещенной, если вместо (15) принять
п
о W = < =	(40Л6)
j=l
Вводя «ложный нуль», расчетную формулу для этой оценки
получим в виде
п
В(Х) = ^ =	V <•*! - с^~- dh & - СУ- (40.17)
j=l
Если число п достаточно велико, то в качестве оценки ох сред-
него квадратического отклонения ох можно взять D(X). Однако
эта состоятельная оценка будет только асимптотически не смещен-
ной, а при малом п содержит заметную систематическую ошибку.
Как и при известном математическом ожидании, для нормальной
случайной величины X оценку ох можно сделать несмещенной,
если перед &(Х) ввести поправочный коэффициент. Чтобы
найти этот коэффициент, покажем, что правую часть выражения
(15) можно представить в виде суммы квадратов п—1 одинаково
распределенных независимых нормальных случайных величин.
542
Выражение (15) для £ перепишем в виде
п
E = -^-V(X)-J)2-£-*)’.	(40.18)
Слагаемые Xj—х (/= 1, 2,..., и) в правой части этого равен-
ства являются независимыми центрированными нормальными слу-
чайными величинами с одним и тем же средним квадратическим
отклонением о\. Система п случайных величин Xj —х (/=1,2,...
..., п) имеет шаровое n-мерное нормальное распределение. Следо-
вательно, в любой прямоугольной системе координат в простран-
стве п измерений координаты случайной точки будут независимы-
ми нормальными случайными величинами с одной и той же дис-
персией ох2.
Выберем прямоугольную систему координат ^£2 .. . £п О с нача-
лом в точке (хь х2,..., хп) так, чтобы координата случайной
точки определялась формулой
п
Е„ = /»(* —х) =л).	(40.19)
г «
j=l
В этом случае
1 = 0,	O(E„) = -i-«D(X)=O(X) = ^,
а остальные n— 1 прямоугольных координат |2, •  |n-i случай-
ной точки также будут независимыми центрированными нормаль-
ными случайными величинами, дисперсии которых равны ох2.
п
Сумма (Xj —- х)2 равна квадрату расстояния случайной
j=i
точки от центра распределения. В новой системе координат это
п
расстояние равно ^2- Следовательно, выражение (18) преобра-
зуется к виду
П	П--1
г=-4- 2 v
j=l
где gi, £2, •  ^п-1 — независимые центрированные нормальные слу-
чайные величины, средние квадратические отклонения которых
одинаковы и равны ох.
Случайная величина
543.
подчиняется ^-распределению с п — I степенями свободы. Ее
математическое ожидание
Воспользовавшись выражением (15) и обозначением (13), по-
следнее равенство представим в виде
Из этого выражения следует, что, для того чтобы оценку
сделать несмещенной, нужно перед D(X) ввести поправочный
коэффициент, равный kn.
Таким образом, при неизвестном математическом ожидании х
нормальной случайной величины X в качестве состоятельной не-
смещенной оценки Ох среднего квадратического отклонения ох по-
лучим
/	П
°Х ~	__ j Cty -^)2 ,
r	i=i
(40.21)
где поправочный коэффициент kn определяется формулой (13) или
выбирается из табл. 6 по известному п.
По п значениям хь х2,..хп случайной величины X, получен-
ным при п независимых испытаниях, можно найти оценки для су-
ществующих моментов более высокого порядка, если математиче-
ские ожидания степеней случайной величины заменить соответ-
ствующими средними значениями. При этом для состоятельных
оценок начального момента а-го порядка т$(Х) и центрального
момента а-го порядка ps(X) получим:
п	п
(X) = —i—	Hs(X)— —(Xj — x)s.
jSi	>=i
Так как
/	n	\
M ( M = ГГ nm'
\	j5i	/
(40.22)
544
то оценка (22) начального момента
пч(Х") несмещенная. Оценка
p.s(X) центрального момента ц5(ЙС), определяемая формулой (22),
является только асимптотически не смещенной, т. е. справедливо
предельное равенство
Несмещенную оценку ps(Ar) при любом 5 можно найти примерно
таким же способом, как это сделано при получении формулы (16).
Оценки моментов системы случайных величин могут быть опре-
делены аналогично.
Пусть, например, произведено п независимых испытаний над
системой (X, Y) двух случайных величин и получены значения
(Xj, yj) (/= 1,2,. . ., п). Тогда в качестве оценок математических
ожиданий случайных величин X и У в соответствии с (6) получим
п	и
х = ~7Г У = ЛГ V У<-	(40-23)
Если математические ожидания х и у случайных величин X и Y
известны, то состоятельные несмещенные оценки дисперсий этих
случайных величин определяются по формуле (9):
п	п
5(^)=-J_	я<г) = ~ Y(y.-y)3.
j=l	J=1
(40.24)
Когда х и у не известны, состоятельные несмещенные оценки
дисперсий определяются формулой (16):
п
ЯРО =
нг
п
V(M-y)3.	(40.25)
В обоих случаях оценки ах и ау средних квадратических откло-
нений ах и Ду, определяемые формулами
35

(40.26)
545
будут только асимптотически не смещенными, а потому для выбо-
рок малого объема могут давать большие систематические ошиб-
ки. Если случайные величины X и Y нормальные, то, введя попра-
вочные коэффициенты, как это сделано в формулах (14) и (21),
можно получить несмещенные оценки ах и оу средних квадрати-
ческих отклонений случайных величин X и У.
Повторив рассуждения, которые были приведены выше при ис-
следовании состоятельности и несмещенности оценки D(X), можнб
убедиться, что при известных х и у несмещенной состоятельной
оценкой корреляционного момента &ху будет
Л>у = -1-V (X, - X) (У) - у).	(40.27)
j=l
Если х и у не известны, то состоятельная несмещенная оценка
kxy определяется формулой
V (Xj - х)(у, -у).	(40.28)
j5l
Оценка гку коэффициента корреляции гху может быть найдена
по формуле
(Xj - X)(>j —
___________ ________ . (40.29)
D(X)5(Y) yi(XI-~xri(yi-^
j=l	j=l
Эта оценка состоятельная, но только асимптотически не сме-
щенная. При нормальной системе (X, У) справедливо приближен-
ное равенство
Л4(;ху)-гху--^(1-гу.
(40.30)
Если в результате каждого испытания фиксируются значения
системы (Х1? Х2,..., XJ, состоящей из т>2 случайных величин, то
оценки моментов этой системы также рассчитываются по форму-
лам вида (23) —(29).
Когда объем выборки п велик (например, произведено не-
сколько сот независимых испытаний), полученные выше формулы
для оценок моментов неудобны, так как требуют нахождения сумм
большого числа слагаемых. Вычисления можно упростить, если
546
разбить все элементы выборки на разряды (группы) и считать
значения элементов х^ попадающих в один разряд, равными не-
которому среднему значению. Для этого весь интервал возможных
значений случайной величины X или интервал от наименьшего до
наибольшего из полученных в результате независимых испытаний
значений Xj (j= 1,2,.. ., п) этой случайной величины делится на k
обычно равновеликих интервалов (x/-i;x/) при 1= 1, 2, . . ., k. Под-
считывается численность mt каждого разряда (группы), т. е. число
значений Xj случайной величины X, попавших в каждый интервал.
Если какое-либо значение xj совпадает с границей интервала х/,
то численности (/—1)-го и /-го интервалов увеличиваются на 0,5.
Определяются частости (или частоты) всех разрядов р1г т. е. отно-
шения численности mz к общему числу п проведенных испытаний:
А=-^- С = 1,2........*).
Кроме того, вычисляются средние значения хД случайной вели-
чины для каждого разряда по формуле
^*==-^-(^1+х/) ПРИ * = 1,2, • . . . k.
Результаты вычислений удобно свести в таблицу, составленную
по схеме, приведенной в табл. 7.
Таблица 7
№ разряда	1	1 2	| 1		k
Границы разряда	х0'; х/	х/; х3'	. . .	хк
Среднее значение для разряда, хр	хг*	у* Л2		хк*
Численность разряда, /тц	т.	т2		тк
Частость разряда,				
mi Pl= —	Р1	Р2	. . .	Рк
Оценки математического ожидания х и дисперсии 0(20 слу-
чайной величины X рассчитываются по формулам:
к	к
x^^xppp D(X)^^t{x^~x)2pl.	(40.31)
2=1	2=1
547
Аналогичным образом вычисляются и оценки моментов более
высокого порядка. В частности, оценки начального и центрального
моментов s-ro порядка определяются по формулам:
k ~ k
(V)SA; Hs (A) ~ 2 (x* ~	(40.32)
1=1	/=i
Разбивка на разряды существенно облегчает расчет оценок мо-
ментов случайных величин. Однако точность получаемых при этом
значений уменьшается. Чем меньше число разрядов k, тем грубее
результат вычислений. Чтобы получить достаточно точные оценки
моментов, рекомендуется брать 10—20 разрядов. Длины интерва-
лов проще выбирать одинаковыми. Однако соседние разряды с ма-
лыми численностями рекомендуется объединять. Численность каж-
дого разряда должна быть не менее 6—8.
Рассмотрим, как можно уточнить формулы (31) и (32) в том
случае, когда весь интервал изменения Xj разбит на k равновели-
ких разрядов длины h.
При замене любого значения х , попавшего в /-й интервал
(^;_р •*/)> средним значением
допускается ошибка, эквивалентная введению дополнительной
случайной величины Y, закон распределения которой можно счи-
/ h h \
тать равномерным в интервале I---Следовательно, при
определении оценок по формулам (32) фактически находятся
оценки моментов случайной величины = а не X.
Имеем
h
Т
wr(K)^-^-J yTdy =
U h
2
hT
2r при четном
(40.33)
О при нечетном г.
Кроме того,
S
ms (X*) = М [(Х+ Г)’] = У q т^Х) т, (К);
г=0
S
Hs И*)=5 с;р_г(Л)мП.
г=0
548
Так как моменты нечетного порядка случайной величины У
равны нулю, то для первых четырех начальных и центральных мо-
ментов случайной величины X из последних равенств находим:
х~т} (X) =тх (X*);
т2(Х) = т2(Х*) — т2(У);	ц2(Х) = Н2(Х*) — т2<У);
тг(Х) = т3(Х*) — зВп2(У); цзИ) = ц3(Я*);
m4 (X) = m4 (X*) — 6т2 (X*) т2 (У) — т4 (У) + 6т22 (У);
Р4 (X) = (X*) - 6И2 (X*) т2 (У) - т4 (У) + 6т22 (У).
Подставляя в эти равенства т2(У) и т4(У) из (33), а вместо
и ps (Х*) —соответствующие оценки из (32), получим
уточненные формулы для оценок первых четырех моментов слу-
чайной величины X при разбиении выборки на разряды:
к
x*Pi>
тг(Х)~ V(x,*)sA-
Z=1
Уз(Х') (xt* — x^pi--------
д=1
(40.34)
Из
(*z - x^pi,
___к	к
0-1	ZSF
к	к
R. (X) = V щ - xy'Pl - X- V(%; - ч
1=1	1=1
Полученные поправки к формулам (31) и (32) носят название
Поправок Шеппарда.
i49
Найденные выше оценки моментов случайной величины X мо-
гут быть использованы для определения других числовых парамет-
ров закона распределения, например срединного отклонения, ко-
эффициента асимметрп Sk= —у, эксцесса Ех= —3 и т. д.
При вычислении оценок коэффициента асимметрии и эксцесса ис-
пользуются формулы:
Sk — /3 (Х) ; Ех = -М20- _ з.	(40.35)
D^(X)	D 2 (X)
Если X — нормальная случайная величина, то ее срединное от-
клонение	2<\, а потому при неизвестном математическом
ожидании х в соответствии с (21) получим
/'	п
7?х—р/ 2зх-р/2йп j/ ^-j-(xj — х)2 .	(40.36)
Изложенный метод получения оценок называется методом мо-
ментов. Этот метод был предложен К. Пирсоном и широко приме-
няется в статистике вследствие своей простоты. Однако этот метод
не является наилучшим, так как при его применении никогда нет
гарантии, что будет получена наиболее эффективная оценка. На-
оборот, метод моментов иногда приводит к получению малоэф-
фективных оценок.
Более совершенным методом получения оценок является метод
максимального правдоподобия, который введен в математическую
статистику Р. Фишером и позволяет получать оценки, обладающие
рядом положительных свойств. Этот метод всегда приводит к со-
стоятельным, хотя иногда и смещенным, оценкам, которые распре-
делены асимптотически нормально, имеют наименьшую возмож-
ную дисперсию по сравнению с другими, также асимптотически,,
нормальными оценками, и наилучшим образом (в некотором'
смысле) используют всю информацию о неизвестном параметре,
содержащуюся в выборке. Не рассматривая свойств этих оценок,
что можно найти, например, в [21], остановимся на кратком изло-
жении сущности этого метода.
Пусть известен вид закона распределения случайной величи-
ны X, но не известны параметры си, а2, . . ., as этого распределения.
Для их определения составляется так называемая функция прав-
доподобия L, которая зависит от выборки хъ х2,.. ., хп и неизвест-
ных параметров
('^'1, -^2, • • • j Xnj ^2, • • • , as)< (40.37)
550
Если X — непрерывная случайная величина с плотностью веро-
ятности /х, которая зависит от х и а}, а2, к as, т. е. /х =
= А (х! аь «2, •  •» а8), то принимается	**
п
£ =	Л1’ а2’ • • • ’	(40.38)
Если X — дискретная случайная величина с рядом распреде-
ления
Р(Х — xt) - A(ai, a2, • • . , a8) (Z—1,2, . • • , r),
причем в выборке (xb x2,..xn) значение X=xt повторяется mt
раз, где
Г
2 ml — я»
1=1
то принимается
г
«2, • •	(40.39)
Z=1
Считая значения х2,..хп заданными, получим, что функ-
ция L зависит только от неизвестных параметров ak (^=1,2,...
Сущность метода максимального правдоподобия состоит
в том, что в качестве оценок параметров ab аз, • .., as берутся зна-
чения, при которых функция правдоподобия достигает своего наи-
большего значения. Исходя из этого условия, для определения па-
раметров ab аз,. . as получим следующие s уравнений:
-^- = 0 (£ = 1,2, . . . , $).	(40.40)
Пусть, например, случайная величина X принимает только два
значения: 0 и 1, причем .Р(Х = 0) = I—р, Р(Х=1)=р, а вероят-
ность р неизвестна. Если при п испытаниях значение полу-
чено т раз, то функция правдоподобия будет
L=pm{\ — /7)п~т,
(40.41)
тогда
д I
Считая р ф 0 и р 1, из условия =0 получим единственное
т
решение р = рпр = ~^-. Это значение является несмещенной, со-
551
стоятельной и асимптотически нормальной оценкой вероятности р
появления события при одном испытании в серии п независимых
испытаний.
Если X—нормальная случайная величина с неизвестными па-
раметрами х и Ох, то в соответствии с (38) функция правдоподо-
бия будет
п
(40.42)
Имеем:
О Л
дх
dL
<^)
(Xj - х)2
Из условия —= =0 находим
дх
что совпадает с полученной выше несмещенной оценкой (6) мате-
Tz	dL л
матического ожидания. Из равенства -р-2у = 0 следует, что
п
= —-j-	(х> -
j=l
Это выражение отличается от формулы (16) для несмещенной
~9	ч	/г — 1	~
оценки от дисперсии о2 множителем —-— . Следовательно, для
дисперсии нормальной случайной величины X получилась асимпто-
тически не смещенная оценка.
Применение метода максимального правдоподобия, несмотря
на его теоретические преимущества, часто осложняется тем, что
решение системы (40) сопряжено с добавочными трудностями.
Кроме того, при определении функции правдоподобия необходимо
знать вид закона распределения случайной величины X.
552
В заключение данного параграфа отметим: рекомендации ме-
тодов моментов и максимального правдоподобия исходят из пред-
положения, что значения случайной величины, получаемые при
испытаниях, подчиняются одному и тому же закону распределе-
ния. Если это условие не выполнено, то может оказаться, что ме-
нее эффективные оценки дают более надежный результат. Рас-
смотрим с этой точки зрения метод получения оценки математи-
ческого ожидания по упорядоченной выборке.
Предположим, что элементы выборки пронумерованы в порядке
их возрастания:
< х2 < х3 < . . . < хп.	(40.43)
Если число п нечетное, т. е. и = 26 4-1, где k — целое число, то
за оценку х математического ожидания х можно принять средний
элемент выборки:
х —	•	(40.44)
При четном п, т, е. при n = 2k, в качестве х можно принять по-
лусумму средних элементов выборки:
(40.45)
Получаемая в этом случае оценка является несмещенной и со-
стоятельной, однако менее эффективной, чем оценка по среднему
арифметическому. Тем не менее эта оценка, кроме своей простоты,
имеет то преимущество, что анормальные значения Xj, получае-
мые, например, вследствие неисправности измерительной аппара-
туры, менее сильно сказываются на величине оценки (44), (45),
чем на значении среднего арифметического. Действительно, пусть,
например, один из элементов выборки вследствие неисправности
измерительной аппаратуры, неправильных действий эксперимента-
тора или каких-либо других посторонних причин оказался иска-
женным на большую ошибку Д. При оценке х по упорядоченной
выборке это может привести к изменению оценки х только на
величину разности между двумя соседними элементами, располо-
женными в середине упорядоченной выборки. Следовательно, гру-
бая ошибка в одном (или нескольких) значении элемента выборки,
как правило, не влияет на величину оценки х, полученной по упо-
рядоченной выборке, или влияет мало. При оценке по среднему
арифметическому будет ошибка —, которая при малом п или
большом А может оказаться значительной.
553
В качестве второго примера, при котором целесообразно отойти
от классических формул для оценки дисперсии случайной величи-
ны, можно привести метод обработки результатов испытаний «по
разностям». Пусть величины х, (j — 1,2, . . п) пронумерованы в по-
рядке их получения, а математическое ожидание х не постоянно,
а медленно изменяется от испытания к испытанию. В этом случае
оценку D(X) дисперсии D(X) можно найти по формуле (см. при-
мер 40.6)
п —1
5(Х) = V (xj+1 - X,)’.	(40.46)
J=1
Пример 40.1. При 15 пусках крылатых ракет получены следую-
щие значения их максимальной скорости (в м/секу 422,2; 418,7;
425,6; 420,3; 425,8; 423,1; 431,5; 428,2; 438,3; 434,0; 411,3; 417,2;
413,5; 441,3; 424,0. Определить оценки математического ожидания
и дисперсии максимальной скорости ракеты. Найти оценку сред-
него квадратического отклонения максимальной скорости, считая
ее нормальной случайной величиной.	,
Решение. Для упрощения вычислений введем «ложный
нуль», положив с = 420. Согласно формуле (7) оценка математиче-
ского ожидания максимальной скорости крылатой ракеты будет
у = 420 + ^(2,2—1,3^5,6 + 0,3 + 5,8 + 3,1 + 11,5 + 8,2+18,3 +
15
+ 14,0 — 8,7 — 2,8 — 6,5 + 21,3 + 4,0) =420 + 5 = 425,
т. е. о = 425 м/сек.
Воспользовавшись формулой (16), находим оценку дисперсии
максимальной скорости;
П(У) = А. (2,82 + 6,32 + 0,62 + 4,72 + 0,82 + 1,92 + 6,52 + 3,22+
+ 13,32 + 92 +13,72 + 7,82 +11,52 +16,32 +12) =
=	. 1032,08 = 73,7 (.и2/сек2).
Так как ki5= 1,0181, то в соответствии с (21) оценка среднего
квадратического отклонения максимальной скорости будет
°v = ^15^ D (IZ) — 8,74 м/сек.
554
Пример 40.2. Для определения точности работы системы управ-
ления баллистической ракетой по дальности произведено пять не-
зависимых измерений скорости ракеты в момент выключения дви-
гателя и получены следующие значения (в ж/сек): 5001,4; 5001,3;
4998,7; 4999,5; 5000,6. Определить оценку среднего квадратического
отклонения скорости ракеты в момент выключения двигателя, если
эту скорость можно считать нормальной случайной величиной:
а)	с математическим ожиданием ц = 5000 м/сек;
б)	с неизвестным математическим ожиданием.
Решение, а) Используя формулу (14), находим
— ^6 j/	~ 5000)2 =
= 1,0506 1/ 4- (1,42 + 1,32 + 1,32+0,52 + ОД2) =
= 1,0506 /1Д9 = 1,146 (м/сек).
б)	Оценка математического ожидания скорости
v = 5000 +4 (1 >4 +1,3 — 1,3 — 0,5 + 0,6) = 5000,3 м/сек.
О
По формуле (21) получим
°v = ^j/ 4г(^-п)2^
= 1,064 • у /1,12-J-12+1,62+0,82+0,32 =
--= 0,532/5Д= 1,248 (м/сек).
Пример 40.3. При 16 независимых выстрелах ударными снаря-
дами получены следующие координаты (Xj, у}) точек падения
(в метрах): (55; 77), (43; 46), (63; 34), (57; 61), (44; 84), (26; 54),
(59; 53), (72; 21), (41; 31), (36; 60), (56; 48), (72; 78), (48; 62),
(16; 49), (49; 31), (36; 64). Для случайных величин X и У опреде-
лить оценки математических ожиданий (координат центра рассеи-
вания), дисперсий, срединных отклонений и корреляционного мо-
мента, если система (X, У) нормальная.
Решение. По формулам (23) получаем:
х=тД- (55 + 43 + 63 + 57 + 44 + 26 + 59 + 72 + 41+36 +
16
+ 56 + 72 + 48+16 + 49 + 36) =48,3 (эи);
555
y-= _L (774-46 + 34 + 61 + 84 + 54 + 53 + 21 + 31+60 +
16
+ 48 + 78 + 62 + 49 + 31+64) =53,3 (м).
Используя формулы (25), находим:
5(Х) = А. (6,72 + 5,32 + 14,72 + 8,72 + 4,32 + 22,32 + 10,72+
1о
+ 23,72 + 7,32+ 12,32 + 7,72 + 23,72 + 0,32 + 32,32 +
+ 0,72+12,32) =238,5 (л+);
5(Г)	(23,72 + 7,32+ 19,32 + 7,72 + 30,72 + 0,72 +
1 о
+ 0,32 + 32,32 + 22,32 + 6,72 + 5,32 + 24,72 + 8,72 + 4,32 +
+ 22,32+10,72) =328,0 (ж2).
Так как £ = р]/2о, a = 1,017, то для оценок срединных от-
клонений в соответствии с (21) получим:
Ех — р У2 й16']/'D (х) = 10,6 л;
Z?y = р У2 &16 у D (у) — 12,4 м.
Оценку корреляционного момента #ху находим по формуле (28):
16
к, = ТГ V, - М (л - Й = + (6,7  23,7 + 5,3  7,3 -
>1
— 14,7 • 19,3 + 8,7 • 7,7 — 4,3 • 30,7 — 22,3 - 0,7 — 10,7 • 0,3 —
— 23,7 • 32,3 + 7,3 • 22,3 — 12,3 • 6,7 — 7,7 • 5,3 + 23,7 • 24,7 —
— 0,3 • 8,7+32,3 • 4,3 — 0,7-22,3 — 12,3- 10,7)=—21,4 (ж2).
Пример 40.4. С помощью таблицы случайных однозначных чисел
образовано 250 сумм по 5 чисел. Случайные значения + получен-
ных сумм распределены по разрядам, длина каждого из которых
равна h = 3. Определить оценки математического ожидания, дис-
персии, коэффициента асимметрии и эксцесса суммы пяти случай-
ных однозначных чисел. Результаты испытаний, разбитые на груп-
пы, приведены в табл. 8.
556
Таблица 8
№ разряда	1	2	3	4	5	6	7	8
Границы разряда	0-3	3-6	6-9	9-12	12—15	15-18	18-21	21-24
Среднее значение, х*	1,5	4,5	7,5	10,5	13,5	16,5	19,5	22,5
Численность разряда	0	0,5	1,5	10	17,5	28,5	39	41
Частость разряда, /у	0	0,002	0,006	0,040	0,070	0Д14= 0,156		0,164
Продолжение табл. 8
№ разряда	9	10	11	12	13	14	15
Границы разряда	24-27	27—30	30—33	33—36	36-39	39—42	42—45
Среднее значение, х*	25,5	28,5	31,5	34,5	37,5	40,5	43,5
Численность разряда	45	30,5	27	7,5	1	1	0
Частость разряда pt	0,180	0,122	0,108	0,030	0,004	0,004	0
Решение. Используя приближенные формулы (31) и (32),
находим:
15	~	15	_	~
Л “ 2 X*Pl 22)85; °	~ Л’)2 Pl = 40’09;
/=i	i=i
15	~	~
Г. т = 2 to* - *)s Л = -24,18;
Z=1
15	_	~
Н РО - 2 to* - Л)‘А = 4093,08.
1=1
С учетом поправок Шеппарда получаем:
1- = 22,85; Ь(Х) -40,09 — 0,75 = 39,34; ц3(Х) =—24,18;
iu(X) =4093,08 — 4,5 • 40,09+	=3915,03.
557
Для оценок Sk и Ех коэффициента асимметрии Sk =
и эксцесса Ех —
Н4 W
1£>W]2
[Я (Х)]^
3 получим:
Sk = —— -0,098;
Ех =	-----3= -0,47.
[D (X)]*
Пример 40.5. Произведено п независимых стрельб, каждая до
первого попадания. Число стрельб, при которых попадание произо-
шло при l-м выстреле, оказалось равным тг (/= 1, 2,..., г), где
Г
тг =н. Используя метод максимального правдоподобия, найти
z=i
оценку р вероятности р попадания при одном выстреле, если веро-
ятность р от выстрела к выстрелу не меняется.
Решение. Случайная величина X, являющаяся числом про-
изведенных выстрелов до первого попадания, имеет геометрическое
распределение
Р (X = k) = q^p (^==1,2,...).
Функция правдоподобия будет
г	п
i = П<?'“>)"'=Р" <> -рУ='
1=1
Имеем
dL	S'”<-n-Ч	Г.Л
= />"-' (1 — р)'-1	|л(1— р)— р — n
Считая р 0 и р 1, из условия находим
i=i
558
Пример 40.6. При п независимых испытаниях получены следую-
щие п значений нормальной случайной величины X; хь х2,. . .,хп.
~	П1	~	п	_
При каких аир оценки Di (X) = а (Л]-ы и °i = ? Xj—x |
j-л	j-i
(п \
х	I дисперсии D(X) и среднего квадратического откло-
j=i /
нения сгх случайной величины X будут несмещенными? Являются ли
эти оценки более эффективными по сравнению с соответствующи-
ми оценками D(X) и ох, определяемыми формулами (16) и (21)?
Решение. Оценка Di(Z) дисперсии D(X) несмещенная, если
М[Д(Х)]=Я(Х).
Имеем
~	(п.—1	1
М [Di (X)] = аМ	- *) “ (^j ~ *)]2 = 2а (й - 1) D (X),
I j=i	)
поэтому должно быть а=	.
Положим Zj = Xj — х (/=1,2,..., п). Эта случайная величина
нормальная, причем 2^=0, а при любом /
Из условия M(oi) =стх получаем, что должно быть
1/ 2п (п — 1) '
559
Чтобы проверить, какая из оценок эффективнее, нужно опреде-
лить их дисперсии.
Если воспользоваться выражениями (15) и (20) для случайной
величины то формулу (16) для оценки Т)(Х) дисперсии D(X)
можно представить в виде
п	п—1
~D =
J=1	S=1
п — 1
где =	подчиняется ^-распределению с ft—1 степе-
3=1
нями свободы (см. § 30, п. 4).
Так как £)(У2) =2(п — 1), то
—	/ q 2	\ 2	Q
D Ю W] = (^г) 2 (л - 1) =	о/.
Имеем
D [А (Л)] = М [О,2 (Л)] - 3? =
.. 1 ,,, ж
4 (п — I)2
2	+ 2 -х? -
j=l	j=l
= 4(д11)2 <2 [3 (« - 1)+2С2_, 1 + 4 (л - 1) +
+ 2 [(л - I)2 _ (» - 2) + 3 (л - 2)]) -
1}
При п>2 отношение
D [В (X)] = 2(/г - 1)
d G¥)j Зп ~ 4
меньше единицы. Поэтому оценка £)] (X) менее эффективная, чем
Р(Х).
Оценка ох среднего квадратического отклонения стх будет
560
Дисперсия случайной величины У, имеющей й‘РаспРеДеление’
равна
\	"'ll /
поэтому
h 2	/	1 \
D = °* 1Г±т{п ~ п (1 ~ v (V “ u
Имеем
D = M - ~х2
т
2п (п — 1)

=м[ 1 z?+22
|_j = l	j = l s=j4-l
= 2« (/- 1) № + 2C№ <1 Z> H Z21)1 - "Л
Так как
то коэффициент корреляции г12 будет
М (ZtZ2) _	1
' 1 р	,
1
Тогда
Ai(|Z,||Z2|)=:—‘ ff |5| hl е	did-ц =
2тсэ2у т — Г22 J J
со
= 2wVl-r2 f М г’ । s,n ? cos Т 1 е
О о
Имеем
Га (1—Па sin 2ср)
dr.
о
о
36
561
поэтому
□ 2	р
О
| sin 9 cos 91 б?9
(1 — r12 sin 2<р)2
9а 2
sin <р cos 9 <f<p
(1 — r12 sin 2ф)2
sin <р cos 9
(1 — r12 sin 2ф)2
(1 __ r2 y/s $ Г______dy.....
тс 12^ dr12 J 1—r12sin29
Lo
J 1 — r12 sin 29
n/2
— arctg
12	A'2/ -
1
———arcsin r12
12
3. d
/2 ____________
O?J 2
= . _________________________
*	12	^12 [/1-^,
__ 2az2 --------
----7“ [ V 1 — ^12 + ^12 arcsin r12].
Тогда
~	2 Г я	________ 1
= Y-«+	(« - 2) + arcsin	—p .
Так как/) (oj) >Z>(ox), то оценка среднего квадратического
отклонения crx менее эффективна, чем ох.
Пример 40.7. Определить дисперсию оценки х математического
ожидания х, полученную по упорядоченной выборке из результа-
тов измерений 2&+1 приборов, если приборы равноточны, лишены
систематической ошибки, а их случайные ошибки подчинены нор-
мальному закону распределения с дисперсией о_х2. Рассчитать D(x)
при k=\ и сравнить ее с дисперсией среднего арифметического.
Решение. В соответствии с условием задачи имеем х = хк+1.
Если f~(x) — плотность вероятности случайной величины х, то про-
изведение f- (x)dx совпадает с вероятностью того, что *<*k+i <* +
+ dx, когда
. . . cj Xk -'С А', а Х Хк+2 -^к+З	-^к+Р
562
1	2
Имеем при f(x) ----2<гх
3хУ 2тг
р Uj < х) = j/(x) dx = у
1 + Ф
Р (*j >х) = J f (х) dx = у J1 — Ф
Тогда
(х) dx = с l-t
' + "Й|Г
1 - ф
x+dx
/(х) dx =
22к
где с — постоянный коэффициент, учитывающий возможность по-
падания отсчета каждого прибора на любое место упорядоченной
выборки.
Сокращая на dx, находим
(х) =
с
ax/27-221f
1— ф2/А\1\ 2\
\'х /J
Постоянная
Имеем
с находится из условия
J /~(х)й?х= 1.
]_
с
1
зх ]/ 2^22к
X3
п 2 j
2sx dx.
Полагая Ф
= 5, получим
---—~ е	2 dx — dl.
у 2к
563
Тогда
1	к
W й = С? (2^НТ 
О	т=0
Так как
714 (х) —- j xf~ (х) dx =. О,
искомая дисперсия
D (х) = —
ах
Если k = 1, то с = 6, а
х2 1 — Ф2
1k
е 2ах dx.
ф2
X2
е 2°х dx.
OW = —Y5F 1
ах у 2" J
о
х
Заменим — на £ и произведем интегрирование по частям, по-
?жив:
й=Ц1 - ф2(0], =
Тогда получим
Е2
Е2
2
D (х) =
Е1
е 2
4
1_фг(5)__^ЕФ(Е)
_iii
е 2 dl.
Имеем:
г
е 2
чм
о
Е2
V 2^
6 ’
e-?dl= - 4~«' г=ф О)Г-Ь
о
1 р _ А р
-7~ е 2	=
/2* J
о
__Н
е 2 dt =
2/3
О
X
о
о
о
3
о
о
—е
следовательно,
b/й _ /И2Г ]/2?_______________4_
\ 2	6	/27
2 /3
а
Дисперсия Z)cp среднего арифметического -^-(Х1 + х2 + *з) равна
1	1/3
jDcp =-5- ах2. Так как 1---«0,45, то дисперсия оценки х по упо-
F о	тс
рядоченной выборке примерно на 36% больше, чем дисперсия сред-
него арифметического.
§ 41. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ
Пусть х — оценка некоторого параметра х закона распределе-
ния случайной величины X. Чтобы определить точность этой оцен-
ки, нужно знать ее закон распределения, являющийся полной ха-
рактеристикой этой случайной величины. Закон распределения х
зависит от закона распределения случайной величины X, объема
выборки п и вида функциональной зависимости оценки от случай-
ных значений элементов выборки Xj (/ = 1,2,.. ., п).
Характеризовать точность оценки х ее законом распределения
не всегда удобно. Поэтому в математической статистике приме-
няется другой способ характеристики точности получаемых оценок,
называемый методом доверительных интервалов. Этот метод обла-
дает большей наглядностью и более удобен вследствие своей про-
стоты.
Сущность метода доверительных интервалов состоит в следую-
щем. Выберем интервал (хн, хв), нижняя и верхняя границы ко-
торого, т. е. хн и хв, являются функциями случайных элементов
выборки Xj (j= 1,2,. . ., п). Пусть этот интервал обладает тем свой-
ством, что с заданной вероятностью а внутри него находится оце-
ниваемое значение параметра х. Иными словами, будем считать,
что
Хг, Х„) < х < % (У,, А",, .... Хо)] = «. (41.1)
Введенный указанным способом интервал (хн, хв) называется
доверительным интервалом, соответствующим доверительной веро-
ятности а. Случайные параметры хн и- хв называются соответст-
венно нижней и верхней границами доверительного интервала.
Равенство (1) определяет вероятность а, с которой случайный
интервал (хн, хв) накроет точку с координатой х. При заданной
вероятности а и выбранном виде функциональных зависимостей
*н (Хь Х2,. .., Хп) и хв (Хь Х2,..., Хп) это равенство определяет
границы хн и хв доверительного интервала, в котором с вероят-
ностью а находится оцениваемое значение параметра х.
565
Вид функциональных зависимостей хн и хв от Х^Х2,...,Ха
может быть выбран в различных случаях по-разному. Конкретные
числовые значения параметров хн и хв вычисляются по значениям
х2,. . хп случайной величины X, полученным при п независи-
мых испытаниях.
Пусть, например, принято хн = х — в, а хв = х + б, где е — задан-
ное положительное число. В этом случае ширина доверительного
интервала не случайна и равна 2s, а его середина, т. е. точка х,
случайная. Условие (1) при таком определении нижней и верхней
границ доверительного интервала принимает вид
Р(|х ~ х| < е) = а.	(41.2)
Если известна плотность вероятности /(х) случайной величи-
ны х, то вероятность (2) может быть вычислена по формуле
J/(x)dx = а.	(41.3)
X—S
В тех случаях, когда интеграл (3) не зависит от неизвестных
параметров закона распределения X и может быть выражен только
через ширину доверительного интервала и элементы выборки
л-], х2,. . ., хп, формула (3) позволяет установить функциональную
зависимость доверительной вероятности а от ширины доверитель-
ного интервала 2е или обратную зависимость е от а, т. е. можно
определить функциональные зависимости а=а(в) и e = e(ci). Пер-
вая из этих зависимостей позволяет для каждой ширины довери-
тельного интервала указать вероятность а, с которой можно га-
рантировать, что ошибка |х — х| оценки х параметра х не пре-
взойдет заданной величины е. Зависимость Е = е(а) позволяет найти
по заданной доверительной вероятности а величину ошибки е
в определении х, которая не будет превзойдена с заданной вероят-
ностью а. Для наиболее часто встречающихся распределений оце-
нок в математической статистике приводятся таблицы функций
ct = a(s) и е — e(g), что существенно облегчает применение метода
доверительных интервалов.
Возьмем доверительную вероятность а настолько большой, что
событие, имеющее вероятность 1 — а, можно считать практически
невозможным. Тогда предположение о том, что параметр х нахо-
дится в интервале (хн, хе), границы которого определяются веро-
ятностью а, следует считать согласующимся с данными выборки,
т. е. не противоречащим им. Наоборот, предположение о том, что
значение параметра х не попадет в указанный интервал, т. е. что
х<хн или х>хв, следует считать практически невозможным, т. е.
противоречащим данным выборки. Значение вероятности а, кото-
566
рое следует считать достаточно большим, чтобы быть уверенным
в том, что оцениваемый параметр не выйдет за границы довери-
тельного интервала, определяется из физических соображений и
существа решаемой задачи. Для многих задач, решаемых на прак-
тике, принимается а = 0,90 —0,95.
В качестве первого примера применения понятия доверитель-
ного интервала рассмотрим случай, когда оцениваемым парамет-
ром является математическое ожидание х нормальной случайной
величины X с известным средним квадратическим отклонением ах,
В этом случае оценка
математического ожидания х является нормальной случайной ве-
личиной. Ее математическое ожидание Л4(х)=х, а дисперсия
D (х) =	<зх2. Вероятность (2) выражается через функцию Лап-
ласа формулой
Р(\х — х| < s) =	,	(41.4)
а потому доверительная вероятность а и параметр е, характе-
ризующий ширину доверительного интервала, связаны равенством
а = ф(1ЕЕ). '	(41.5)
Если задана доверительная вероятность а, то из (5) с помощью
таблиц функции Ф(г) по известному значению а этой функции
е-/ п	z\ _
можно наити z=—----- и е= . Тогда нижняя и верхняя грани-
у п
цы доверительного интервала будут: хи=х— в; хв=х4-е. При за-
данной ширине 2е доверительного интервала с помощью этих же
е у,гп	,	_ . .
таблиц по известному значению z=---- аргумента функции Ф(2)
может быть найдена доверительная вероятность а.
Формулой (5) можно пользоваться для определения прибли-
женной зависимости а = а(е) или е = г(а) и в том случае, когда
среднее квадратическое отклонение ох нормальной случайной ве-
личины X не известно, но объем выборки п достаточно большой
567
(п>20~30). При этом в формуле (5) среднее квадратическое
отклонение ох заменяется его оценкой
°х = Ап|/	
При неизвестном среднем квадратическом отклонении ох нор-
мальной случайной величины X и любом п можно получить точ-
ную формулу для доверительной вероятности а, если границы до-
верительного интервала выражать не через неизвестную величину
среднего квадратического отклонения стх, а через оценку этого
среднего квадратического отклонения, определяемую по данным
той же выборки. Идея этого способа, принадлежащая В. Госсету,
основана на том, что при нормальной X случайные величины х~х
и Ох являются независимыми, а их отношение распределено по
закону Стьюдента (псевдоним В. Госсета).
Положим
т	Vп. (х — х) __	— 1 Кп
---- р
v D {X)
(41.6)
где
В предыдущем параграфе при выводе формулы (40.21) пока-
зано, что У и Уя можно представить в виде:
где —— (j— 1,2, . . /г)—независимые нормальные случайные ве-
личины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными
дисперсиями. Следовательно, Y подчиняется ^-распределению
сп — 1 степенями свободы, а случайная величина Т распределена
по закону Стьюдента с п— I степенями свободы (см. § 30, п. 6).
568
Плотность вероятности этой случайной величины f(t) = Sn_j (t)
имеет вид
Sn-l (*) =
1
j/то (п — I)
(41.7)
и не зависит от неизвестных параметров х и ох нормальной слу-
чайной величины X.
Обозначим через о вероятность того, что случайная величина Т
по абсолютной величине меньше некоторого значения ta, т. е. по-
ложим
Р(| Л < Л) = а.	(41.8)
Выражая эту вероятность через известную плотность вероятно-
сти (7), получим
a = j* Sh-j (t) dt = 2 J (/) dt.	(41.9)
Таким образом, найдена функциональная зависимость довери-
тельной вероятности а от параметра и числа п. Расчеты по по-
следней формуле упрощаются вследствие наличия специальных
таблиц для /я в зависимости от вероятности а и числа степеней
свободы п—1. Этими же таблицами можно пользоваться и для
определения а по известным ta и п—1.
Выражая в равенстве (8) Т через х и D(X) из (6), получим
(41.10)
Поэтому доверительный интервал (хк, хв) для математического
ожидания х нормальной случайной величины X букет (х — е, х + е),
где
. «/у?
(х5 — х)3.
(41.11)
Итак, чтобы найти доверительный интервал (х — 8, х + е) для
математического ожидания х нормальной случайной величины X,
нужно по заданной доверительной вероятности а и объему выбор-
ки п из таблицы ta=ta (a,n — 1) найти ta, а затем, пользуясь вы-
569
ражениями (II), рассчитать е. Если задано е и п, то нужно сна-
чала найти параметр ta, воспользовавшись равенством ta =
= / —'------, а затем из таблицы ta (а, п — 1) по ta и п—1
V D(X)
найти доверительную вероятность а.
При большом п распределение Стьюдента мало отличается от
нормального, что и оправдывает применение формулы (5) при при-
ближенной замене на ох. При относительно малом п необхо-
димо пользоваться распределением Стьюдента, для которого дове-
рительный интервал получается шире. Следовательно, при прибли-
женном расчете доверительного интервала по формуле (5) полу-
чается завышенная точность оценки х.
Перейдем к определению доверительного интервала для дис-
персии D(X) нормальной случайной величины X.
Рассмотрим случайную величину
п	П—1
которая связана с оценкой D(X) дисперсии D(X') равенством
У2 = Д.Т!,.ШХ),	(41.13)
V
Так как — (/= 1, 2,..., п — 1)— независимые нормальные слу-
чайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и
единичными дисперсиями, то случайная величина У2 подчиняется
^-распределению Пирсона с п—1 степенями свободы. Плотность
вероятности У2 известна, поэтому можно найти вероятность по-
падания этой случайной величины в любой заданный интервал.
Вследствие того, что плотность вероятности ^-распределения не
симметрична относительно математического ожидания случайной
величины, распределенной по этому закону, в качестве доверитель-
ного интервала для D(X) удобнее принять интервал, границы ко-
торого расположены не симметрично относительно оцениваемой
величины D(X), а так, что вероятности выхода этой величины за
нижнюю и за верхнюю границы интервала одинаковы и равны
-g- (1— а), где а — доверительная вероятность. Для выполнения
этого условия координаты Хх2 и Х22 (Zj2 > Z22) граничных точек со-
ответствующего интервала для У2 нужно определить, исходя из
равенств (рис. 56)
P(F< V)=P(Y1>V) = ~ (1-а)
570
или эквивалентных им условий:
Р(Г > V) = 4-0 +“);	> Хг’) =-1-(1 — «). (41.14)
Расчет по последним формулам упрощается наличием спе-
циальных таблиц, дающих значение %2 в зависимости от вероятно-
сти Р(У2>%2) и числа степеней свободы п— 1.
получаем
(41.15)
(41.16)
Для найденных указанным способом границ доверительного
интервала (ХД Х22) выполняется равенство
Р (X/ < У2 < Х22) = а.
Заменяя в этом равенстве У2 его выражением (13),
Р lv < 4^4-0 W < v) = а
\ и (Л)	]
или
/’CY125(^)<Z)(X)<r225(J)]=a,
где обозначено:
j/n— 1	п — 1
Т1 = ------- • Ъ = ---------- .
Л2	Aj
Для Yi и у2 также составлены специальные таблицы в зависи-
мости от доверительной вероятности а и числа степеней свободы
п — 1.
Из (15) следует, что при заданной вероятности а доверитель-
ный интервал для дисперсии D(X} будет [Yi2^(^); Ya2^(^)1- Про-
изведенный выбор постоянных Yi и Y2 обеспечивает накрытие оце-
ниваемого значения D(X) случайным доверительным интервалом
571
с вероятностью а, причем вероятности выхода D(X) за правую или
1 /1 ч
левую границы этого интервала одинаковы и равны ~(1 —«)•
Равенство (15) можно переписать в виде
Р [ъ Уд (X) < о, < Тг Vd (X) ] = а. (41.17)
Из этого выражения следует, что при заданной вероятности а
доверительный интервал для среднего квадратического отклоне-
ния ох будет [ъ D (X) ; ъ 5 (X) ].
По заданной доверительной вероятности а и известному числу
степеней свободы можно построить и другие доверительные интер-
валы для среднего квадратического отклонения ох или дисперсии
D(X). Возьмем, например, доверительный интервал для ох в виде
[ (1 —~q)	(1 +q) ^/"В(Х)] , где q — некоторая постоян-
ная, значение которой определяется из условия
а = Р [(1 _ 0 Уд(Х) < ах < (1 + ?) /о(Х)],
ИЛИ
а = Р
1
V Р(Х) 1
1 q.
(41.18)
а = Р
(41.19)
г	у	у
Согласно (13)	--------------— = Y, где Y — случайная вели-
ах
чина, подчиняющаяся ^-распределению с п — 1 степенями свобо-
ды. Поэтому равенству (18) можно придать вид
У И — 1 v	1
' 1 + ?	< 1 — q
Для этой вероятности составлены специальные таблицы в за-
висимости от числа степеней свободы п— 1 и параметра q. Зная
доверительную вероятность а и п—1, с помощью этих таблиц
можно найти q. Если положить q =	, то границы
(1-7) УD(X) и (1+7)]/5(М доверительного интервала будут
"J^D(X)— е и D(X) +₽, Этот доверительный интервал для сред-
него квадратического отклонения ох симметричен относительно
D(X). Преимущество этого способа построения доверительного
ЬТ2
интервала перед рассмотренным выше проявляется при определе-
нии числа испытаний п, необходимых для обеспечения заданных
границ доверительного интервала при заданной вероятности а.
Все приведенные выше формулы для доверительных вероятно-
стей и доверительных интервалов справедливы только в том слу-
чае, если X — нормальная случайная величина. При определении
точных доверительных интервалов для оценок параметров случай-
ных величин, распределенных по другим законам, иногда удается
получить формулы, аналогичные выведенным выше для нормаль-
ных величин, и использовать те же таблицы, что и для нормаль-
ного закона.
Пусть, например, случайная величина X распределена по экспо-
ненциальному закону, и требуется найти доверительный интервал
для математического ожидания х. Оценку х математического ожи-
дания х возьмем в виде х= — \ х. Обозначим
п. 7 j J
Известно, что композиция п экспоненциальных законов распре-
деления приводит к гамма-распределению (см, § 29), поэтому слу-
чайная величина U подчиняется гамма-распределению с плот-
ностью вероятности
х (и > 0).
Положим V=-=-U. Плотность вероятности этой случайной ве-
личины
А(^) = МтМт’
т. е.

Полученное выражение совпадает с плотностью вероятности
^-распределения с 2п степенями свободы. Поэтому доверительный
интервал для математического ожидания х, оценка х которого свя-
зана со случайной величиной V равенством
(41.20)
может быть построен таким же образом, как это сделано выше для
дисперсии нормальной случайной величины.
573
С помощью таблицы вероятностей Р(У2>х2) в данном случае
можно найти два числа х52 и х?_й, первое из которых соответствует
вероятности
P(V> W) = 8 = -l(l^a),
а второе — вероятности
Р(Г > х?-_,)= 1 -8=4-<1+“)-
Число степеней свободы при этом равно 2п. Так как
1 - р (v < xLJ - р (И > х82) = р (xb <v< хД
то справедливо равенство
Заменив в этом выражении случайную величину V на х, вос-
пользовавшись для этого равенством (20), получим
„ / 2пх - 2пх I	...
Р \ Х52 <Х < Х2_5 J ~ а-	(41.21)
Из этого равенства следует, что доверительный интервал для
математического ожидания случайной величины X, распределенной
по экспоненциальному закону, будет I	I .
\	'Ч—о /
Таблицы вероятностей Р(У2>х2), из которых определяются зна-
чения %2 при заданных вероятностях, составлены при числе степе-
ней свободы k 30. Когда &>30, х2'РаспРеДеление можно заме-
нить нормальным с математическим ожиданием k и дисперсией 2k,
В рассматриваемом случае такую замену необходимо делать при
2п>30, т. е. при п>15. Так как v = 2n, a cv=2]/«, то после ука-
занной замены получим:
8 = Р(1/> V) ^4-f1 “ ф( ;
2 L \ 2/тг /]
1	/X2 s— 2п
1 - 5 = Р (V > X2 )	4- 1 — Ф -1--5	.
Так как 6— ~ (1—а), то последние выражения эквивалентны
равенствам
а ~ Ф
/ X? —2/г \
V 2 Уп )
/ 2п - Х2 6 \
\ 2 У п /
а — Ф
а потому X 2 — 2/г = 2п — У? х или X.2 4- X2 = 4п.
•> 6	1—О	о * 1—0
574
X5S — 2n
Положим £=---------и найдем этот параметр по заданной ве-
2 у п
роятности а из уравнения а = Ф(е). Тогда
'/,? — 2 (/г -j- £ У^),	= 2 (/г — е Vп).
(41.22)
Рассмотрим теперь приближенный метод нахождения довери-
тельного интервала для математического ожидания х случайной
величины X с произвольным законом распределения, пригодный
только для выборок достаточно большого объема (/г>20~30).
В соответствии с центральной предельной теоремой при выпол-
нении соответствующих условий случайную величину
j=l
при достаточно большом числе слагаемых приближенно можно
считать нормальной случайной величиной, математическое ожи-
дание которой Л1(х)=х, а дисперсия £)(%)=-^-D(X). Среднее
квадратическое отклонение <тх случайной величины X приближен-
но можно заменить на D(X) и считать известным. При таких
упрощениях из выражения
а ~ Р ([х —	Ф (s)	(41.28)
\	1/ п I
следует, что доверительный интервал для математического ожида-
ния х случайной величины X будет
\ Г П ’	r П I
(41.24)
где g определяется из уравнения а = Ф(е).
Аналогично можно найти приближенные границы доверитель-
ного интервала для дисперсии D(X). При достаточно большом п
выражение
п
j=l
приближенно можно считать нормальной случайной величиной, для
которой математическое ожидание М =D(X).
575
Так как в рассматриваемом случае оценка х мало отличается
от математического ожидания х, то при определении оценки D[X)
с достаточной точностью можно считать, что х = х, а потому
(Xi
Находя дисперсию этой оценки, получим *
2 1
- D2 (X) =
1
ЩО(Х)]=-Сл< ^(Х.-хУ
111=1
= jr [^. т + п (и - 1) D’- (X)] - О’- (X),
т. е.
(41.25)
з-
D
Чтобы найти числовое значение онужно в (25) заменить D(X)
известной оценкой Р(Х), а вместо ц4(Х) также подставить соот-
ветствующую оценку, т. е.
п
п51
Точность вычисления а~ повышается, если можно выразить
ц4(Х) через D(X} и х, что при некоторых законах распределения
может быть сделано просто. Если, например, X—нормальная слу-
чайная величина, то р4(Х) =3D2(X), поэтому вместо (25) будет
Г 2" ~
== 1/ — D(X). При равномерном законе распределения ц4(Х) =
ц у л.	___
= 1,8£>2(Х), а потому о-—D(X).
По аналогии с (23) в данном случае получим
а = Р (|D (X) - D (Х)| < ео~) - Ф (г).	(41.26)
* Если не делать указанной замены х на х, то
что при больших п практически не отличается от (25).
576
Доверительный интервал для дисперсии D(X) будет
5(Х)Д-езД. (41.27)
О	D
При этом приближеннее значение параметра е по доверитель-
ной вероятности а находится из условия а = Ф(е).
Для доверительного интервала среднего квадратического от-
клонения <тх в соответствии с (27) получим
(Kw) -	; Yd (X) +	.	(41.28)
Доверительный интервал можно определить и для вероятно-
сти р появления события А при каждом из п независимых испыта-
~ /и
ний. Оценкой этой вероятности является частость р = ~,т. е- от~
ношение числа m появлений события А в данной серии к общему
числу п независимых испытаний этой серии.
Определение доверительного интервала для вероятности р
можно свести к определению доверительного интервала для мате-
матического ожидания случайной величины X, равной числу появ-
лений события А при каждом испытании. В этом случае состоя-
тельной, несмещенной и асимптотически нормальной оценкой веро-
ятности р появления события А при одном испытании в серии из п
независимых испытаний является частость
где Xj — число появлений события А при /-м испытании.
Как показано в § 33, распределенную по биномиальному за-
п
кону случайную величину tn Х}, где Xi — число появлений
i=r
события А при /-м испытании, приближенно можно считать нор-
мальной случайной величиной с математическим ожиданием пр и
дисперсией npq, если npP>9q и nq>9p. При таких условиях оцен-
ку р приближенно можно считать нормальной случайной величи-
VQ
ной с математическим ожиданием р и дисперсией—. Тогда из
выражения
а = р -р| < £	Ф (е)	(41.29)
37
577
следует, что если в выражении для дисперсии
p(J—p)
заменить р
на ее оценку р, то в качестве доверительного интервала
ятности р приближенно можно принять
-р)).
\ г п	1 г п /
Параметр е при этом находится по доверительной
сти а из условия а = Ф(е).
для веро-
(41.30)
вероятно-
Когда число испытаний п относительно мало, замена р на р
может привести к существенным погрешностям. Их можно умень-
шить, если учесть, что для более точного получения суммы вероят-
ностей различных значений случайной величины нужно произво-
дить интегрирование плотности нормального закона распределе-
ния, приближенно заменяющего биномиальный закон, не между
крайними целыми значениями случайной величины, а между зна-
чениями, которые отличаются от целых соответственно
«а +4-
(см. § 33). Тогда получим, что при заданной доверительной веро-
ятности а более точные границы рг и р2 доверительного интервала
определяются равенством
пр + -j-) — пр\ ~ г-/пр (1 — р).	(41.31)
Возводя обе части этого уравнения в квадрат и собирая члены
при одинаковых степенях /?, приходим к уравнению
/ е2 \	/~	1 г- \	/ ~	1 V
(1 + v)/'2-2/’(/,+ 2^ + ^) + (/'+ 2т) = 0’
откуда получаем
(41.32)
Верхний знак в этом выражении определяет нижнюю границу,
т. е. pi, а нижний знак — верхнюю границу, т. е. рг. Как и выше,
е находится из условия а = Ф(е). Вместо (32) для расчета pi и р2
можно использовать следующие приближенные выражения:
arcsin i/pi-2 — arcsin 1/ р д- ч----------
’ к	2 V п
которые следуют из (31).
(41.33)
578
Когда число испытаний п относительно мало, а также при веро-
ятности р, близкой к нулю или к единице, рассмотренные способы
расчета доверительного интервала для р неприменимы. В этом слу-
чае нельзя считать частость р нормальной случайной величиной, а
нужно исходить из того, что случайное число т появления собы-
тия А при п независимых испытаниях подчиняется биномиальному
закону распределения с неизвестной вероятностью р.
Предположим, что р = ро. Тогда можно найти такое число tnx(p^)
(0<т1<п), что с вероятностью-^ (1—а) случайная величина
п
от Xj будет не больше mi(p0). Это значение однозначно опре-
j=i
деляется уравнением
Ш.(ро)	ч
2 Qp* (1 -А)"-Ь = -J- (1 - »)	(41.34)
к-0
Можно также найти такое число т2(р0), что с вероятностью
—- (1— а) случайная величина от будет больше m2(pQ). Это зна-
чение определяется уравнением
2 С‘(1 - А)"-к = у (1 - “)	(41.35)
k=ms(p,)
Следует отметить, что решениями уравнений (34) и (35) будут
не обязательно целые числа тх и от2, так как вероятность р0 за-
дана произвольно.
Задавая различные значения вероятности р, можно найти функ-
ции тх = тх(р) и т2=т2(р), для которых
Р [от< тх (/?)] = Р [от > от2(р)] = ^-(1-а).
Тогда
И1(р) </п < ot2(/j)] =а.	(41.36)
Зависимости тх=тх{р) и от2 = от2(р), для фиксированного а,
можно представить в виде кривых (рис. 57). Полученное в резуль-
тате испытаний число т = пр появлений события А графически
изображается в виде прямой линии, параллельной оси абсцисс.
Эта линия пересекает построенные ранее кривые в точках, абсцис-
сы которых соответственно равны рх и р2. Найденные таким обра-
зом вероятности рх и р2 являются нижней и верхней границами до-
верительного интервала для вероятности р.
579
Действительно, предположим, что истинное значение вероятно-
сти р равно р*. Тогда согласно (36) вероятность того, что случай-
ная величина т примет значение из интервала [тх (p.t); /и2(р*)1,
равна а. Если тх (р*) <пр<т2(р*), то интервал (рь р2) накры-
вает точку р = р*. В противном случае интервал (р/, р2), соответ-
ствующий значению т = т', не накрывает эту точку. Следователь-
но, с вероятностью а интервал (рь р2) включает истинное значе-
ние р* вероятности р, т. е. рх и р2 являются искомыми границами
доверительного интервала.
Из рис. 57 видно, что в рассматриваемом случае определение
доверительного интервала сводится к нахождению таких значений
pi и рг вероятности р, для которых
m2(Pi) =тх(р2) =т,
где т = пр — известное число. Эти условия с помощью (34) и (35)
можно записать в виде следующих уравнений:
У -А)”-к= 4- (I — «);
£
m	1
У с>к (1 -А)п"к= тг (!-*)•
(41.37)
580
В [II] приведены таблицы значений рА и рг, являющихся реше-
ниями уравнений (37), в зависимости от т и п — т для двух зна-
чений доверительной вероятности а: 0,95 и 0,99. При а ==0,9 и а = 0,8
приближенные значения pi и р2 могут быть определены с помощью
вспомогательных графиков, которые приведены на рис. 58 и 59.
Для этого нужно провести вертикальную прямую, соответствую-
т
щую полученной частости р= наити ординаты точек пересе-
чения этой прямой с двумя кривыми для известного числа п. На
рис. 58 и 59 показан способ определения нижней и верхней границ
доверительного интервала при р = 0,74 и п= 15.
Если при п независимых испытаниях событие А не произошло
ни разу, то нижняя граница доверительного интервала pi = 0. Сов-
местимыми с результатами испытаний являются те вероятности р,
для которых вероятность 1 —(1 —р)п произойти событию А хотя
бы один раз не больше а. Поэтому верхняя граница доверитель-
ного интервала р2 находится из условия 1 —(1 —рз)п =а. Тогда
= 1 —-^1 — а.	(41.38)
Если при п независимых испытаниях событие А произошло
п раз, то верхняя граница р2=1- Совместимыми с результатами
испытаний являются те вероятности р, для которых вероятность
581
I-—pn не произойти событию А хотя бы один раз не больше а.
Тогда pi находится из условия 1 —pin = a, а потому
Pi =	1 — а.
(41.39)
Соотношение (38) может быть использовано для определения
числа п испытаний, которые при нужно произвести для того,
чтобы верхняя доверительная граница для вероятности р была
равна заданному значению р2. Это число определяется формулой
п . - ln d ~ а)
In (1 - р2)
(41.40)
Рис. 59
Аналогично этому формула (39) определяет число п испытаний,
которые при /7з=1 нужно произвести для того, чтобы нижняя до-
верительная граница для вероятности р была равна заданному
значению ph
Рассмотрим определение точности оценок моментов системы
(X У) двух случайных величин.
По данным (Xj, yj) при j= 1,2,.. ., п, полученным в результате п
независимых испытаний, оценки моментов случайных величин X
и У определяются формулами § 40. Доверительные интервалы для
математических ожиданий х, у, дисперсий D(X), D(Y) и средних
квадратических отклонений <эх, строятся рассмотренными выше
582
способами. Поэтому нужно только найти доверительный интервал
для коэффициента корреляции гху, оценка которого определяется
формулой (40.29).
Чтобы найти доверительный интервал для гху, необходимо знать
закон распределения оценки гху. Если число испытаний относи-
тельно велико (н>50), а коэффициент корреляции гху небольшой
(оценка гху <0,5), то случайную величину гху приближенно можно
считать нормальной с математическим ожиданием /И (гху) — гху
1—Г2
и средним квадратическим отклонением о-	. В этом слу-
г у П
чае из условия
следует, что доверительный интервал для коэффициента корреля-
ции гху имеет вид
(1 _______ f	~	1 _ F \
(rxy - е A-Ji ; rxy + в	.	(4! .42)
Приближенное значение е по доверительной вероятности а на-
ходится из уравнения а = Ф(е).
Рассмотрим определение доверительного интервала для гху
в том случае, когда предположения, положенные в основу фор-
мулы (42), не выполняются, но система (X, У) нормальная. Можно
показать, что случайная величина £, связанная с гху соотношением
£ = -L1П L±_^y (Gy = th е) ,
1 Гху
имеет закон распределения, близкий к нормальному. Математиче-
ское ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случай-
ной величины определяются следующими приближенными равен-
ствами:
Е =-
-Мп-1 +
2	1- гху
^ху
2 (п - 1)
+
1
i V n -- 3
Считая £ нормальной случайной величиной, получим
а = Р (| Е — Е | < еа£) = Ф (е).
583
Следовательно, границы доверительного интервала для мате-
матического ожидания | будут:
sB = £ + ед,
где
Так как
1 1 n 1 4~ Гху _______________гху
2	! - Гху	2(П - 1)
то для доверительного интервала гху получим
th | ~ In -fo.
\	1 Сху
^ху
2 (ц - 1)
8
]/п — 3
(41.43)
th
_______I__s„.
2 (/г — 1)	/ц—3
где е связано с доверительной вероятностью а уравнением а = Ф(е).
Пример 41.1. На основании четырех независимых измерений по-
стоянной глубины h погружения подводной лодки получено среднее
значение h— 150 м. Найти доверительный интервал для глубины h
при доверительной вероятности а = 0,95, если ошибки измерений
нормальные, со срединным отклонением Eh — Юл/ и нулевым ма-
тематическим ожиданием.
Решение. Истинная глубина погружения является матема-
тическим ожиданием результатов измерения. Поэтому искомый до-
верительный интервал (h — е; h4-е), где е определяется из условия
А / о iCи \	Л / 8 \
а = ф(—-р—) . Так как а = 0,95, n = 4, Eh= 10, то 0,95 = Ф1_^~к Из
X /	Xй/
S
таблиц для приведенной функции Лапласа находим — 2,9, а по-
О
тому е—14,5 м. Доверительный интервал для глубины погружения
подводной лодки будет (135,5 ж; 164,5 м).
Пример 41.2. Определить, сколько высотомеров должно быть
на крылатой ракете для того, чтобы с вероятностью не менее 0,99
отклонение средней высоты h от расчетной было больше —25 ж.
584
Ошибки высотомеров независимые и нормальные, со средним квад-
ратическим отклонением oh = 15 м, а систематические ошибки от-
сутствуют.
Решение. Обозначим через высоту, которую показывает
/-Й высотомер (/ = 1,2,. . ., п). Тогда средняя высота
п
а отклонение средней высоты от расчетной Y=h— h, где h = M(h).
—	Ck
Эта случайная величина нормальная, причем у —О,	— —- — .
у п
По условию должно быть Р(—25<У<то) > 0,99, т. е.
_1 Г14- Ф f ДД') 1 > 0,99 или Ф [> 0,98.
2 [	\ 1о / J	\ 3 /
5 i/" /z
Из таблиц находим—ту— > 2,33. Поэтому п > 1,96, т. е. нужно
О
иметь не менее двух высотомеров.
Пример 41.3. По данным 15 равноточных независимых измере-
ний получены следующие оценки математического ожидания о,
дисперсии П(У) и среднего квадратического отклонения crv скоро-
сти V (см. пример 40.1): о = 425 м/сек; D(V) = 73,7 м2/сек2; ov =
= 8,74 м/сек. Определить доверительные интервалы для v, D(V)
и 3V при доверительной вероятности а = 0,9, считая скорость V нор-
мальной случайной величиной. Найти вероятности, с которыми
можно утверждать, что ошибки от замены v и av оценками v и crv
не превзойдут 2 м/сек.
Решение. В данном случае точное значение ov не известно, по-
этому при расчете доверительного интервала для математического
ожидания v будем использовать формулы (9) —(11).
С помощью таблицы 4=^ (а, п — 1) по п — 1 = 14 и а = 0,9 на-
ходим ta = 1,761. Тогда
ev =	|/ D-<V)- = 3,9 м/сек.
Поэтому доверительный интервал для математического ожида-
ния скорости будет (421,1 м/сек; 428,9 м/сек).
585
Используя таблицу для коэффициентов Yi и Хг, при а = 0,9 и
п—1 = 14 находим Yi = 0,769,	1,460. Доверительный интервал
[Y[2Z) (V); У22-^(Ю] Для дисперсии D (У) при этом будет (43,6 м2/сек2\
157,1 Л!2/се№). Доверительный интервал	1	5(F))
для среднего квадратического отклонения щ. при этом будет
(6,6 м/сек-, 12,5 м/сек).
Чтобы найти симметричный относительно D(V) доверитель-
ный интервал [(l—t/)	(У); (1 + q) }'/<£)(У) ] для среднего квад-
ратического отклонения ov, с помощью таблиц для вероятности
а = р (	< у <	----1 по а = 0,9 и п— 1 = 14 находим
\ 1 + q	1 —Я /
<7 = 0,36. Тогда доверительный интервал для ov будет (5,5 м/сек-,
11,7 м/сек).
/Л
--------—
5(F)
= 0,87. Из таблицы по /р =0,87 и и— 1 = 14 находим доверитель-
ную вероятность
Pv = Р (j <и — г» | < 2 м/сек) — 0,6.
Если допустимая ошибка в с\ равна 2 м/сек, то </ =—	— =
1	- D(V)
= 0,23. По этому значению q и п—1 = 14 из таблицы находим до-
верительную вероятность р:
Р = Р ( D(V) — av < 2 м/сек) = 0,76.
Пример 41.4. Используя условия предыдущего примера, при
а = 0,9 рассчитать приближенным способом доверительные интер-
валы для v, D(V) и сц.
Решение. Из условия а = Ф(е) при а = 0,9 находим е= 1,645.
Тогда согласно формуле (24) приближенные границы доверитель-
ного интервала для v равны
+ г	= 425	1,645	= 425 + 3'65'
Таким образом, доверительный интервал для математического
ожидания с будет (421,35 м/сек-, 428,65 м/сек).
586
Воспользовавшись формулой (25) при рДХ) —3D(X), находим
/
б_=1/ — 73,7=26,9. Тогда согласно (27) для границ доверитель-
D V 10
кого интервала дисперсии приближенно получим Z) (V) +
= 73,7 + 44,2, а доверительный интервал будет (29,5 м2/сек2;
117,9 м2/сек2). Доверительный интервал для среднего квадратиче-
ского отклонения скорости при этом приближенно будет (5,43 м/сек\
10,87 ж/сек).
Пример 41.5. Случайное время Т поиска подчиняется экспонен-
циальному распределению с неизвестным математическим ожида-
нием t. На основании 16 независимых поисков, проведенных в оди-
наковых условиях, для t получена оценка t. Определить довери-
тельный интервал для математического ожидания t времени поиска
при доверительной вероятности а = 0,8.
Решение. Из условия а = Ф(во) по а = 0,8 находим ео= 1,282.
Так как 2н>30, то, используя равенства (22), получим:
/,2 = 8(44-1,282) =42,256; у2 6 = 8(4 — 1,282) =21,744.
(2и ~ 2и ~ \
——y—t при этом будет
Хв	Xi.а /
(0,757?; 1,472?).
Пример 41.6. Среди поступивших на позицию десяти ракет две
оказались неисправными. Определить при доверительной вероят-
ности а = 0,95 доверительный интервал для вероятности того, что
очередная поступающая ракета будет неисправной, если число та-
ких ракет подчиняется биномиальному распределению.
Решение. Из таблиц для решений уравнений (37) при а = 0,95;
fn = 2 и n —т = 8 получаем следующий доверительный интервал:
(0,025; 0,556).
Рассчитаем этот интервал по приближенным формулам.
Из условия а = Ф(е) при а = 0,95 находим е=1,96. В данном слу-
чае р = 0,2. Согласно наиболее грубой формуле (30) доверительные
границы будутр + е Р~^ = 0,2 + °’248- Так как всегда р > О,
то для доверительного интервала получим (0; 0,448).
По более точной формуле (32) получаем: р\ =0,035; р2 = 0,558.
s 1 96
Используя формулу (33) и учитывая, что —рад =
2	у п о
= 17°46/, находим
arcsin у/pij2 — arcsin / 0,2 + 0,05 + 17°46z,
т. e. доверительный интервал равен (0,008; 0,548).
587
Пример 41.7. Группа вертолетов п. раз обследовала район, в ко-
тором находилась ' подводная лодка, ни разу не обнаружив ее.
Найти при а—0,9 доверительный интервал для вероятности р обна-
ружения подводной лодки при однократном обследовании района,
если а) п = 5; б) п= 10.
Решение. Так как подводная лодка не обнаружена ни разу,
то в обоих случаях нижняя граница доверительного интервала
/?1=0. Верхняя граница находится по формуле (38), т. е. р2 =
П-----
— 1 — у 1 — а. Подставляя числовые значения, находим
а)	Р2=1—1^0,1=0,369;
б)	р2=1 — ^0j=0,206.
Пример 41.8. Сколько выстрелов нужно произвести для того,
чтобы при отсутствии отказов взрывателя с вероятностью а =0,98
можно было утверждать, что вероятность отказа взрывателя не
больше 0,01?
Решение, Воспользовавшись формулой (40) при а = 0,98 и
/72=0,01, получаем
tn(l-a)	2-1g 2 2 - 0,3010
1п(1- />3) 2-1g 99 2—1,9956
Пример 41.9. По данным обработки результатов 28 стрельб по-
лучена оценка rsz = 0,36 для коэффициента корреляции rxz случай-
ных величин X и Z, характеризующих отклонения ракеты от цели
по дальности и в боковом направлении. Найти доверительный
интервал для коэффициента корреляции rxz при доверительной
вероятности а = 0,9.
Решение. Из условия а = Ф(в) по а = 0,9 находим е= 1,645.
Согласно (43) нижняя граница доверительного интервала
Pi = th In
1 + 0,36
1 - 0,36
0,36	1,645 \
2-27	5 /
= th (0,3769 — 0,0067 — 0,3290) =th 0,0412 = 0,041.
Верхняя граница р2 — th 0,6992 = 0,604.
Таким образом, искомый доверительный интервал будет (0,041;
0,604).
j __г2
Так как 8-------— ~ 0,27, то по приближенной формуле (42)
У п
в данном случае получается следующий доверительный интервал
Для rxz: (0,09; 0,63).
588
§ 42. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ
Предположим, что произведено большое число п независимых
испытаний, в результате которых получено п значений случайной
величины Х\ х1( х2, . . хп. Рассмотрим, как с помощью этой вы-
борки можно определить закон распределения случайной величи-
ны X и проверить согласие получаемого результата с данными ис-
пытаний.
Если известен вид закона распределения, то задача сводится
к определению параметров этого закона распределения. Пусть, на-
пример, известно, что случайная величина X распределена по за-
кону Пуассона. Тогда для определения ряда распределения X нуж-
но найти только параметр о, который совпадает с математическим
ожиданием х. Если X — нормальная случайная величина, то для
определения ее закона распределения достаточно найти математи-
ческое ожидание х и среднее квадратическое отклонение ох. При
достаточно большом объеме выборки п математическое ожидание
и среднее квадратическое отклонение приближенно можно заме-
нить соответствующими оценками. Следовательно, при известном
виде закона распределения и большом объеме выборки задача
приближенного определения закона распределения решается отно-
сительно просто.
В тех случаях, когда вид закона распределения случайной ве-
личины не известен, возникает задача определения функции рас-
пределения F(х) или плотности вероятности Дх). Эта задача слож-
нее рассмотренной выше, и для ее решения необходимо иметь зна-
чительно больший объем выборки, чем это требуется при опреде-
лении параметров закона распределения известного вида.
Вместо действительной функции распределения случайной ве-
личины X с помощью выборки может быть определена так назы-
ваемая статистическая функция распределения F(x), которая опре-
деляется как отношение числа элементов Xj выборки, удовлетво-
ряющих условию х3 < х, к общему объему выборки п. Независимо
от того, является ли случайная величина X непрерывной или дис-
кретной, статистическая функция распределения имеет вид ступен-
чатой кривой со скачками при значениях х, совпадающих с полу-
ченными при испытаниях значениями Xj. Для непрерывной случай-
ной величины X ступенчатый характер функции F(х) связан не
со свойствами функции распределения, а является следствием дис-
кретного числа испытаний. Поэтому возникает задача определения
непрерывной функции F(х), наилучшим образом согласующейся
со статистической функцией распределения. Эту непрерывную
функцию распределения называют сглаженной или теоретической
функцией распределения. Для дискретной случайной величины X
функция /Дх) не является непрерывной. Однако она, как правило,
589
не совпадает и со статистической функцией распределения F(x),
так как последняя искажена случайными результатами испытаний.
Таким образом, задачей обработки данных выборки является
получение статистической функции распределения F(x), нахожде-
ние по этой функции сглаженной функции F (х) и проверка согла-
сия полученного результата с данными испытаний.
Рассмотрим основные методы, применяемые при решении этой
задачи.
Пусть X — дискретная случайная величина. В этом случае по
элементам выборки лу (/ = 1,2,. .н) можно найти частости ps
(s= 1, 2,. . ., т) для каждого из т различных возможных значе-
ний х/случайной величины X. Таблица, в которой любому возмож-
ному значению х/поставлена в соответствие частость ps, является
статистическим рядом распределения дискретной случайной вели-
чины X. Согласно закону больших чисел при п -> оо частость /у по
вероятности сходится к вероятности /у =-= Р{Х — х/). Поэтому
в пределе статистический ряд распределения по вероятности схо-
дится к действительному ряду распределения для X.
Имея частости р3> можно определить статистическую функцию
распределения F(x), которая при заданном х равна сумме часто-
стей р8для всех значений xs', меньших х, т. е.
F(x)=P(X<x)= 2 Р.-	(42.1)
XS<X
При п -> со статистическая функция распределения (1) по веро-
ятности сходится к действительной функции распределения случай-
ной величины X.
Если X — непрерывная случайная величина, то для определения
статистической функции распределения Е(х) нужно в совокупно-
сти Х],х2, ...,хп подсчитать число значений, которые меньше вы-
бранного значения х, и разделить это число на объем выборки п.
Графически F(х) представляет собой ступенчатую кривую, скачки
которой совпадают со значениями xj5 причем в точке х = х-} скачок
равен отношению числа элементов с одинаковыми значениями Xj
к числу п. С увеличением п число скачков функции Е(х) для не-
прерывной случайной величины X возрастает, а ее график прибли-
жается к плавной кривой, близкой к действительной функции рас-
пределения.
590
При большом числе испытаний п (несколько сот) определение
функции распределения является трудоемким, а ход функции F(x),
как правило, недостаточно нагляден для того, чтобы судить о ха-
рактерных особенностях закона распределения случайной величи-
ны X. Расчеты можно упростить и получить более наглядные ре-
зультаты, если все элементы выборки Xj разбить на разряды, как
это было сделано в § 40 при определении оценок моментов случай-
ной величины (см. табл. 7). В этом случае получается статистиче-
ский ряд (xz*pi) (/ = 1, 2,.. ., k), соответствующий не непрерывной
случайной величине X, а дискретной случайной величине X*, воз-
можными значениями которой являются средние значения х* для
каждого разряда. Полученный таким образом ряд при достаточно
узких интервалах разрядов характеризует и общие свойства слу-
чайной величины X.
Рис. 60
Статистический ряд распределения (xz*, pt) можно по-разному
изобразить графически. Если, например, соединить отрезками
точки с координатами {^*,р1), где /=1,2,. . ., k, то получим гра-
фическое изображение статистического ряда, называемое полиго-
ном. Один из таких графиков приведен на рис. 60. Другой способ
изображения статистического ряда состоит в построении на каж-
дом из интервалов (^z*,pz) прямоугольника, высота которого равна
отношению частости pt l-го разряда к его ширине = х/— xz-1
(/= 1,2, ...,&). При этом площадь /-го прямоугольника равна pz,
а суммарная площадь /?z всех k прямоугольников равна еди-
1—1
591
нице. Получающаяся в результате такого построения фигура на-
зывается гистограммой. На рис. 61 приведена гистограмма для
примера, по данным которого построен полигон на рис. 60.
С помощью статистического ряда распределения дискретной
случайной величины X* можно приближенно построить статисти-
ческую функцию распределения F* (х) случайной величины X (дис-
кретной или непрерывной), соединив угловые точки статистиче-
ской функции распределения величины X* прямыми, т. е. положив
0

при х
Л+i при
(s = 0, 1, . .
1	при х х* .
Рис. 61
График такой функции приведен на рис. 62.
Частости разрядов pt при достаточно большом числе эле-
ментов выборки, попадающих в данный разряд, мало отличаются
от вероятности попадания случайной величины X в Z-й разряд, т. е.
от вероятности
Pi—$ f(x)dx (/=1,2,. . к'),
где f(x)—плотность вероятности случайной величины X,
592
С другой стороны, при достаточно малой величине интервала
= х/ — будет Pi hif(x*). Следовательно, ординаты гисто-
р,
граммы примерно равны ординатам плотности распределения
в средних точках интервалов. Поэтому, проводя через середины
верхних сторон прямоугольников гистограммы непрерывную плав-
ную линию (см. рис. 61), можно составить представление о ходе
графика искомой плотности вероятности. Для того чтобы такая
кривая действительно была близка к функции f(x), необходимо
выполнение двух условий: во-первых, число элементов в каждом
Рис. 62
разряде должно быть достаточно велико (обычно считают доста-
точным не менее 15—20 элементов) и, во-вторых, нужно, чтобы
разрядов было достаточно много (не менее 8—10). Если первое из
указанных условий'не будет выполнено, то ординаты гистограммы,
как правило, сильно исказятся за счет случайного отклонения
частости от вероятности. При невыполнении второго условия веро-
ятности /убудут сильно отличаться отhtf (xz*); кроме того, по ма-
лому числу ординат функции не удается составить достаточно
точного представления о ходе этой функции. Поэтому гистограмма
может дать достаточно надежное представление о виде закона
распределения случайной величины только в том случае, если
объем выборки п достаточно велик.
38
593
Предположим, что по виду статистической функции распределе-
ния F*(x) случайной величины X или с помощью гистограммы уда-
лось установить вид закона распределения этой случайной вели-
чины. Тогда нужно найти числовые параметры этого закона рас-
пределения. Неизвестные параметры определяются по методу мо-
ментов путем приравнивания соответствующих моментов их оцен-
кам, определяемым по формулам § 40. В том случае, когда пред-
полагаемый закон распределения определяется г независимыми
параметрами, их выбирают из условий равенства первых г момен-
тов случайной величины соответствующим оценкам, полученным
по данной выборке. Если, например, закон распределения зависит
от одного параметра х (г=1), то его нужно найти из условия ра-
венства математического ожидания случайной величины с предпо-
лагаемой плотностью вероятности f (х) оценке х, т. е. исходя из ра-
ОФ
веиства х= J xf(x)dx. Когда таких параметров два: х и D(X), их
следует находить из условий
xf(x)dx; D(X)=	(х—x)2f(x}dx.
Метод моментов обычно дает хороший результат, если исполь-
зуются моменты не выше четвертого порядка.
Если вид закона распределения не удается установить с по-
мощью статистической функции распределения, гистограммы или
исходя из физических соображений, то можно произвести его
аппроксимацию каким-либо законом распределения, соответствую-
щее число первых моментов которого равно их оценкам. В качестве
аппроксимирующих выражений могут быть использованы специаль-
ные кривые Пирсона, при подборе которых учитываются первые
четыре момента. Можно использовать для этих целей также раз-
ложение искомой функции распределения или плотности вероятно-
сти по системе специально подобранных функций. Если, например,
статистический закон распределения мало отличается от нормаль-
ного, то функцию распределения можно аппроксимировать выра-
жением вида
FW = 4- [ 1 + Ф (г)] - 4" Sk <(z) +	Ех <г).	(42.3)
где
х — х
z =------- •
V~D (Л)
q/'(z) = (z2 —1)ф(г),
q/"(2) = (3z —23)ф(2). ,
(42.4)
594
Для функций q/k) (z) имеются таблицы. Оценки коэффициента
асимметрии и эксцесса могут быть выражены через оценки цент-
ральных моментов второго, третьего и четвертого порядка по фор-
мулам:
Sk =	; Ех =	------3.	(42.5)
т Ъ3(Х)	&(Х)
Аппроксимирующее выражение для плотности вероятности [(х)
случайной величины X в этом случае будет
/(*) =
?(г)--|-5к?"'(г) + ^Ех^(г)
(42.6)
где
<pIV (г) = (3 — 6z2 + 24)cp(z).
Предположим, что одним из указанных выше способов опреде-
лена функция распределения или плотность вероятности случай-
ной величины X. Будем называть соответствующий им закон рас-
пределения теоретическим. Имея теоретический закон распределе-
ния и выборку, по которой определен этот закон, можно произве-
сти оценку «согласия» между ними. Необходимость в такой оценке
возникает в том случае, когда при статистическом исследовании
проверяется правильность предположений о свойствах случайных
явлений, приводящих к возникновению случайной величины, т. е.
при исследовании вопроса о механизме возникновения рассматри-
ваемой случайной величины. Если будет согласие теоретического
закона распределения с законом, следующим из предполагаемого
механизма возникновения случайной величины, то это является
основанием для применимости теоретического закона распределе-
ния при определении конкретных вероятностей для случайной ве-
личины X.
Может оказаться, что теоретический закон распределения не со-
гласуется с данными испытаний в указанном смысле. Тем не менее
найденный теоретический закон распределения все-таки иногда мож-
но использовать для расчета конкретных вероятностей, так как этот
закон достаточно хорошо характеризует действительный закон
распределения случайной величины X. Здесь то же явление, что и
при приближенных расчетах, когда для упрощения вычислений из-
вестная функция заменяется аппроксимирующим выражением,
достаточно близким к известной функции на основном интервале
изменения аргумента. Теоретический закон распределения анало-
гичен указанному аппроксимирующему выражению. Если на
основном интервале возможных значений случайной величины X
этот закон близок к действительному, то его можно использовать,
595
например, для расчета вероятностей попадания случайной вели-
чины X в различные области. Однако имеющееся отличие между
законами может оказаться причиной несогласия между теоретиче-
ским законом распределения и выборкой большого объема.
Пусть, например, случайная величина X является суммой ко-
нечного числа случайных величин, каждая из которых распреде-
лена равномерно на одном и том же интервале. Если таких сла-
гаемых не менее 6—8, то при расчетах часто с достаточной точ-
ностью можно считать X нормальной случайной величиной, что и
используется в методе Монте-Карло. По выборке большого объема
п для этой случайной величины в качестве теоретического закона
распределения почти всегда может быть взят нормальный закон.
В то же время при тщательной проверке достаточно большой вы-
борки здесь неизбежно будет обнаружено «несогласие» теоретиче-
ского (нормального) закона распределения с данными испытаний.
Таким образом, допустимость использования теоретического за-
кона распределения для расчета конкретных вероятностей и «со-
гласие» теоретического закона распределения с выборкой — это
разные вопросы. При решении первого из них должны учитываться
конкретное содержание рассматриваемой задачи и требуемая точ-
ность. Проверка согласия теоретического закона распределения
с выборкой производится с использованием так называемых кри-
териев согласия.
В математической статистике используются различные крите-
рии согласия; часть из них будет рассмотрена ниже. Все эти кри-
терии основаны на применении следующих общих принципов. Вы-
бирается некоторый положительный параметр х, значение которого
может служить мерой расхождения теоретического закона распре-
деления с результатами, полученными при испытаниях. В качестве
такого параметра можно выбрать, например, наибольшую вели-
чину абсолютного значения разности ординат теоретической и ста-
тистической функций распределения или какую-либо другую по-
добную величину. Так как этот параметр зависит от случайных
значений элементов выборки х-)} то его значение является случай-
ным. Закон распределения случайной величины х зависит от объ-
ема выборки п и определяется характером выбранной зависимо-
сти х от элементов выборки.
Сделаем предположение о том, что случайная величина X рас-
пределена по найденному теоретическому закону. Для проверки
правильности этого предположения при известном законе распре-
деления х для любого значения вероятности б определим , такой
уровень xs параметра х, чтобы выполнялось условие
Р (»>»,) = 8.	(42.7)
Выберем значение вероятности б достаточно малым для того,
чтобы появление события, имеющего вероятность не более б, мож-
но было считать «маловероятным», где понятие «маловероятно»
596
подлежит уточнению в зависимости от физического содержания
рассматриваемой задачи. Этой вероятности согласно (7) соответ-
ствует такой «большой» уровень xs , что случайная величина х мо-
жет принимать значения, превосходящие х5, только с «малой»
вероятностью 6.
Обозначим через xq фактическое значение параметра х, полу-
ченное для данной выборки и принятого теоретического закона
распределения случайной величины X. Если окажется, что xq > xs,
то при сделанном предположении о справедливости теоретического
закона распределения произошло событие, вероятность которого
меньше б, т. е. «маловероятное» событие. Такое расхождение xq
считается значимым и принимается, что теоретический закон рас-
пределения не согласуется с данными испытаний.
Вероятность того, что при этом будет отвергнут правильный за-
кон распределения случайной величины X, при малом б мала.
Если xq<Cxg, то это означает, что произошло событие, вероят-
ность появления которого равна 1 —би при выбранном б не яв-
ляется малой. Такое отклонение xq считается незначимым, а вы-
борка — не противоречащей сделанному предположению о виде
закона распределения случайной величины X. Как и в первом слу-
чае, здесь не получается полной гарантии согласия теоретического
закона распределения с выборкой, а только устанавливается, что
предположение о виде закона распределения с вероятностью 1 — б
не противоречит выборке.
Проверку предположения о характере распределения случай-
ной величины X с помощью критерия согласия можно вести и в дру-
гой последовательности, определяя по найденному значению xq
вероятность 6q =P(x>xq). Если получаемое при этом значение
Sq < б, то отклонение xq значимое, а при 3q > 3 отклонение xq
незначимое. В первом случае предположение о законе распреде-
ления X не согласуется с данными испытаний, а во втором прини-
мается, что данные испытаний не противоречат сделанному пред-
положению о виде закона распределения.
Как указывалось выше, выбор уровня значимости, т. е. вероят-
ности б, производится из физических соображений. Эта вероят-
ность должна быть настолько малой, чтобы событие с вероят-
ностью, не большей б, можно было считать практически невозмож-
ным. При практических расчетах обычно берут б в пределах от
0,05 до 0,10.
Если вероятность 8q — Р (х > xq) получилась весьма близкой
к единице, например 6q =0,999, или, что тоже самое, xq < xg,
то согласие с данными испытаний следует признать очень хоро-
шим. Однако наличие такого хорошего согласия обычно наблю-
дается в том случае, когда экспериментальный материал предва-
рительно «подчищен», т. е., например, отброшены элементы вы-
597
борки Xj, сильно отклоняющиеся от среднего значения х. Действи-
тельно, если бч близко к единице, то это значит, что с такой веро-
ятностью случайная величина я принимает значения, большие зна-
чения xq, полученного при данной серии испытаний. Это означает,
что произошло весьма маловероятное событие, появление которого,
возможно, вызвано какими-то особыми причинами.
Рассмотрим наиболее часто используемый критерий согласия
К- Пирсона, или критерий %2.
Разобьем п элементов выборки лй, х2, ..хп дискретной или
непрерывной случайной величины X на k разрядов	где
/=1, ,2 . . ., k. Через pi обозначим вероятность попадания этой слу-
чайной величины в /-й интервал, вычисленную в предположении,
что имеет место теоретический закон распределения, причем в пер-
вый интервал будем включать все значения X, меньшие х/, а в по-
следний интервал — все значения X, большие х’к г, так что
к
2^ pt =1. Как и раньше, число элементов, попадающих в /-и раз-
ряд, будем обозначать через , а частость попадания элемента
mt
в этот разряд, т. е. отношение —через pi.
За меру расхождения х между статистическим и теоретическим
распределениями в критерии согласия Пирсона принимается слу-
чайная величина х = %2, определяемая формулой
к
«=z2=2z,i’	(42-8)
1=1
где
Zt =	(/-1,2........k),	(42.9)
V nPi
причем
Af(Zz) = 0; D(Zl)~\—pl (Z=1.2,. . . , k).	(42.10)
Предположим сначала, что при определении параметров теоре-
тического закона распределения не использовались результаты
данной выборки. Если случайная величина X подчиняется теоре-
тическому закону распределения, то в этом случае можно дока-
зать, что случайная величина (8) имеет распределение, стремя-
щееся при н->оо к ^-распределению с k—1 степенями свободы.
Доказательство основано на том, что определяемая формулой (8)
случайная величина %2 является суммой квадратов асимптотически
нормальных случайных величин , связанных между собой ли-
нейным соотношением. Действительно, численность Z-го разряда mt
является случайной величиной, распределенной по биномиальному
598
закону. При достаточно большом объеме выборки п приближенно
можно считать, что тг подчиняется нормальному закону распре-
деления. Тогда асимптотически нормальными будут и случайные
к	к
величины (9). Так как тг = п, а ~ Ь 70 из (9) следует,
1=1	i=i
что
к
(42.11)
1=1
т. е. случайные величины Zz связаны линейным соотношением.
В § 40 было доказано, что сумма квадратов k центрированных
нормальных случайных величин с единичными дисперсиями, свя-
занных линейным соотношением, подчиняется ^-распределению
с k — 1 степенями свободы. В рассматриваемом случае дисперсии
случайных величин Zz не равны единице, а между этими случай-
ными величинами существует линейное соотношение, отличаю-
щееся от линейного соотношения, рассмотренного в § 40. Однако
и в этом случае при /г->со закон распределения суммы (8) стре-
мится к ^-распределению с k— 1 степенями свободы. Если пара-
метры теоретического закона распределения определяются по той
же выборке, со статистическим законом распределения которой
производится сравнение теоретического закона, то кроме соотно-
шения (11) имеют место другие линейные соотношения между
случайными величинами Zz.
Действительно, пусть, например, теоретический закон распре-
деления зависит от двух неизвестных параметров х и т2(Х), ко-
торые заменены их оценками х и т2(Х):
к	гк
=	= -^	(х^)2.	(42.12)
i=i	i=i
Так как mt является линейной функцией Zz, то равенства (12)
в этом случае являются дополнительными линейными соотноше-
ниями между случайными величинами (9). Предположим, что тео-
ретический закон распределения зависит от г параметров, опреде-
ляемых по данной выборке через первые г начальных моментов
случайной величины X, Так как оценки этих моментов выражают-
ся через mz линейно, то случайные величины Zz удовлетворяют г
дополнительным линейным соотношениям. В этом случае сумма (8)
при п-*со по-прежнему будет подчиняться /^-распределению, но
число степеней свободы этого закона распределения уменьшится
на число связей г, т. е. будет равно не k—- 1, a k~r— 1. Близость
закона распределения суммы (8) к ^-распределению определяется
только объемом выборки и и не зависит от вида предполагаемого
599
теоретического закона распределения случайной величины X. По-
этому критерий согласия Пирсона может быть применен для лю-
бого вида теоретического закона распределения, если только объем
выборки п достаточно велик. При практических расчетах можно
считать, что сумма (8) подчиняется ^-распределению с k — г— 1
степенями свободы, если п'Тр- 50 4- 60, а численность любого раз-
ряда mz>6 -ч- 8. Чтобы добиться выполнения последнего условия,
в некоторых случаях разряды с малой численностью следует объе-
динять.
Таблица 9
№	(xl—i’t xi)		Pi	npt	т^—пр^	(п^—пру	(рп—прУ у 2 _	I	* 1- npt
1	{Xq, Xj)		Pi	ПР1	np—np1	(tni—npip	(тг-пр^
							ПР1
2	(XjJ x2)		Pi	np2	m2—np2	(tn2-—np2p	(m2—np2^ np2
							
k	c4-p 4)	mk	p*	npk	тк-прк	(тк~пр^	прк
		e II eT	k Z = 1				03 I— N II
Расчет меры расхождения xq=yq3 по исходным статистическим
данным удобно вести по схеме, приведенной в табл. 9. Первый
столбец этой таблицы—номера разрядов, второй — границы раз-
рядов, третий — численности т1. В четвертый столбец заносятся
вероятности pt, которые рассчитываются по теоретическому закону
распределения. Следующие четыре столбца необходимы для опре-
деления числового значения соответствующего данной вы-
борке. В некоторых случаях это значение проще вычислять по фор-
муле
к
<42лз>
Z-1
эквивалентной равенству (8).
6QQ
В том случае, когда число степеней свободы (k—г—1) 30,
вероятность oq ~Р (у2 > Zq2) может быть найдена по таблице этих
вероятностей в зависимости от числа степеней свободы k — г—1
и известного значения/q2. Если число степеней свободы (k—г—1)>
>30, то закон распределения для Z2 практически не отличается от
нормального. В этом случае можно считать случайную величину %2
нормальной с математическим ожиданием k — г—1 и дисперсией
2 (А— г—1), а потому
i	Г	/	у2 _ ____ у_ | \	\
8q = P(Z2 > Zq2) = 4- 1 - Ф -А............... (42.14)
2	L	\	]/2(£ — г — 1)	/	J
Если найденная указанным способом вероятность 6q не меньше
заданной малой вероятности б, т. е. 5q2>8, то теоретический закон
распределения X не противоречит выборке. В том случае, когда
30 < б, предположение о виде закона распределения случайной ве-
личины X не согласуется с данными испытаний.
Как указывалось выше, проверку предположения о характере
закона распределения X с помощью критерия согласия можно
вести не по вероятности 6q, а по величине хо = z2. В этом случае
при (k — г—1) <30 по таблице ^-распределения находится зна-
чение Zg в зависимости от числа степеней свободы k — г— 1 и за-
данного уровня значимости б. Если [k— г—1) >30, то в соответ-
ствии с (14)
$ = k - г - 1 4- s / 2 (/г — г - 1),
где екорень уравнения Ф (в) = 1—26.
Если в результате указанных расчетов получится, что Zq-<X?,
то при выбранном уровне значимости б предположение о законе
распределения случайной величины X не противоречит данным про-
веденных испытаний. В случае, когда X2 > ^предположение о виде
закона распределения случайной величины X не согласуется с дан-
ной выборкой.
Перейдем к рассмотрению другого критерия согласия, назы-
ваемого критерием согласия А. Н. Колмогорова.
За меру случайного расхождения и между статистическим и
теоретическим законами распределения в этом случае принимается
наибольшее значение D абсолютной величины разности между ста-
тистической и теоретической функциями распределения:
D ~ шах |	— Е’(х) |,	(42-15)
где F(х)—теоретическая функция распределения;
F(я) —статистическая функция распределения, определяемая
без группирования элементов выборки.
601
При п -> оо закон распределения случайной величины D^n
независимо от вида закона распределения X стремится к закону
распределения А. Н. Колмогорова, т. е. справедливо следующее
соотношение:
10	при X 0;
jg (_ 1)^-2^	при х>0.
!с= — оо
(42.16)
Для удобства расчетов составлена таблица функции Р(Х) =
= 1—К(Л), которая при достаточно большом объеме выборки п
мало отличается от вероятности того, что D п X:
Р(Х)^Р(Г)/я > X).	(42.17)
Для применения критерия согласия Колмогорова нужно по-
строить статистическую функцию распределения Е(х), на этот же
график нанести теоретическую функцию распределения Е(х) и
определить максимальное расхождение Dq =max } F(x)—F(x)|
наблюдаемое для данной выборки. Если элементы выборки раз-
биты на разряды, то при расчете £>q вместо F(x) приближенно
можно взять функцию F* (х), определяемую формулой (2). Зная Dv
можно найти параметр	п} а затем по таблице Р = Р(Х)
определить вероятность
г,=Р(х,) = Р(О/«>х,).
Если получаемое при этом значение 6q меньше уровня значи-
мости б, то предположение о законе распределения X не согла-
суется с выборкой. При 3q > 3 данные испытаний не противоречат
сделанному предположению о виде закона распределения X.
Как и в критерии согласия Пирсона, в данном случае оцейку
согласия можно вести и в другом порядке. Задавшись уровнем
значимости б, с помощью таблицы Р = /Э(Х) при Р(Х)=б находим
параметр и соответствующее ему отклонение Da — —— .Если
•j/ п
D(iyDt, то отклонение теоретического закона распределения ог
статистического считается значимым, т. е. предположение о законе
распределения А не согласуется с выборкой. При Dq Ds (или
Xq < Ха) теоретический закон распределения не противоречит вы-
борке.
Следует отметить, что в критерии согласия Колмогорова не учи-
тывается наличие добавочных связей, возникающих вследствие
определения параметров теоретического закона распределения по
602
данным той же выборки. Поэтому применение этого критерия,
строго говоря, допустимо только в том случае, когда параметры
теоретического закона распределения определяются по другой вы-
борке или устанавливаются теоретически, исходя из механизма
возникновения случайной величины. Если применять критерий
Колмогорова для оценки согласия теоретического закона распре-
деления с выборкой, определяя параметры этого закона по той же
выборке, то всегда будет получаться согласие лучшее, чем это есть
на самом деле, причем искажение будет тем более существенным,
чем меньше объем выборки п.
Близким по своей идее к критерию согласия Колмогорова
является критерий согласия Н. В. Смирнова, предложенный им для
оценки предположения о принадлежности двух выборок к одной
генеральной совокупности, т. е. предположения о том, что законы
распределения случайных величин, значения которых получены
в двух независимых выборках, одинаковы.
Предположим, что получено «1 независимых значений х},х2,.. .
..., хп случайной величины X и п2 независимых значений у2,. ..
• • > Уп2 случайной величины У, по которым определены статистиче-
ские функции распределения Fx (х) и Еу(у). Примем в качестве
меры расхождения х = ОПнПа максимум разности между статисти-
ческими функциями распределения Ех (х) и Еу (у) при одинаковых
аргументах, т. е. положим
£>ппп3 = П1ах I Ех(х) — Еу (х) I.	(42.18)
И. В. Смирнов установил, что случайная величина п2 удо-
влетворяет условию
lim Р(1/-Т5йг£)"—>Х') = Р(Х),	(42.19)
где Е(Л)—та же табличная функция параметра Л, что и в крите-
рии согласия Колмогорова.
При практическом использовании данного критерия нужно по-
строить совместно графики статистических функций Ех(х) и Еу(х),
найти наибольшее расхождение	q = max | Ех (х)—Еу (х) |
для данной выборки, вычислить параметр kq—1/ —Dn„na,q
|/ tiL -у п2
и по таблице Р = Р(Х} определить вероятность oq = Р (Aq).
Если 6q< б, то считается, что предположение об одинаковом
распределении случайных величин X и У противоречит данным
испытаний. При 6q> б считается, что данные проведенных испыта-
ний не противоречат предположению о том, что случайные вели-
чины X и У распределены одинаково.
603
Пример 42.1. В табл. 10 приведены числа ms участков равной
площади (0,25 км2) южной части Лондона, на которые пришлось
соответственно по s (s = 0, 1,...) попаданий самолетов-снарядов
во время второй мировой войны. Построить статистический ряд
распределения и статистическую функцию распределения F(x) для
числа X самолетов-снарядов, приходящихся на произвольно вы-
бранный участок. Проверить согласие полученных данных с зако-
(х)8 —
ном распределения Пуассона P(X = s)= —х (s = 0, 1,. . .), при-
няв уровень значимости 6 = 0,1.
Таблица 10
	0	1	2	3	4	5	>5
	229	211	. 93	35	7	1	0
5
Решение. По условию задачи произведено п ms =576
s=0
испытаний, каждое из которых состоит в подсчете количества са-
молетов-снарядов, попавших на один участок. Всего в южную
часть Лондона попало sms = 535 самолетов-снарядов. Случай-
s=0
ная величина X — число самолетов-снарядов, приходящихся на
каждый из участков, целочисленная. Ее возможные значения:
0, 1, . . .. При испытаниях данная случайная величина не приняла
значений, больших пяти. Статистический ряд распределения, по-
строенный по данным табл. 10, приведен в табл. 11. В этой же таб-
—	ь
лице приведены значения F (х) статистической функции распреде-
ления F(x) =Р(Х<х) для случайной величины X.
Таблица 11
X	0	1	2	3	4	5	>5
Ps	229 576	211 576	' 93 576	35 576	7 576	1 576	0
?(Х)	0	229 576	440 576	533 576	568 576	575 576	1
604
Чтобы проверить предположение о том, что случайная величина
X распределена по закону Пуассона, воспользуемся критерием
согласия К. Пирсона. Неизвестное значение х математического
ожидания случайной величины X заменим оценкой
5	5
- Х^ IV 535
x=y^ps = —	= —
s=0	s=l
В связи с тем, что при испытаниях получено всего одно зна-
чение случайной величины X, превосходящее число 4, все возмож-
ные значения для X разобьем на пять групп. Первые четыре из них
пусть соответствуют значениям 0, 1, 2 и 3, а пятая — значениям
Теоретические вероятности pt находим по формулам:
_	з
p(=-^Le-x (1 = 0, 1, 2, 3); A = 1-Va-
Эти вероятности и расчет значения Xq2 приведены в табл. 12.
Таблица 12
N	*1	т1	Pl	пРг	mz—npt	(r^-np^	(m—npj)2
							прг
1	0	229	0,3950	227,52	1,48	2,19	0,0096
2	1	211	0,3669	211,33	—0,33	0,11	0,0005
3	2	93	0,1704	98,15	-5,15	26,53	0,2703
4	3	35	0,0527	30,36	4,64	21,57	0,7107
5	4	8	0,0150	8,64	-0,64	0,41	0,0474
		«=576	1Н	•^=1.04			
Воспользовавшись таблицей для вероятности Р = Р( х2 /q2),
поxq2 = 1,04 и числу степеней свободы /г = 5 — 1 — 1 = 3 находим
Sq = 0,79. Так как 60> 0,1, то предположение о том, что случайная
величина X распределена по закону Пуассона с математическим
ожиданием х = 0,9288, не противоречит выборке.
Пример 42.2. Используя данные примера 40.4, построить полигон,
гистограмму и статистическую функцию распределения F* (х) для
случайной величины X, являющейся суммой пяти однозначных
случайных чисел. При уровне значимости 6 = 0,08 проверить пред-
положения о том, что случайная величина X распределена:
а)	по нормальному закону;
б)	равномерно на интервале (0;45).
605
Решение. Исходные данные для построения полигона, т. е.
координаты (-£{*; а), где 2,. .15, имеются в табл. 8. Соответ-
ствующий график приведен на рис. 60.
В рассматриваемом случае h = х\—xz'_j=3 (/= 1,2,..., 15). По-
этому высота /-го прямоугольника гистограммы равна (/=1,
О
2,..	., 15). Гистограмма, построенная по данным табл. 8, приве-
дена на рис. 61.
Статистическая функция распределения F* (х) рассчитывается
по формуле (2). В табл. 13 приведены значения этой функции
в граничных точках разрядов. График этой функции показан на
рис. 62.
Найдем первые два момента случайной величины X. Так как
5
X = где —значение /-го числа, то x = 5xj ; D(X) =5D(Xj).
Случайная величина Xj с одинаковыми вероятностями принимает
значения: 0, 1, ..., 9. Поэтому
9	9
2Л = 4,5’	-^j2 = 8,25.
k=0	k=0
Следовательно, х = 22,5; D (X) =41,25.
а)	Предположим, что случайная величина X подчиняется нор-
мальному закону распределения. Теоретическая функция распре-
деления в этом случае будет
H0₽mW 2	'
Так как эта функция определена без использования статисти-
ческих данных, то при проверке сделанного предположения можно
воспользоваться критерием согласия А. Н. Колмогорова. Резуль-
таты расчетов теоретической функции распределения в граничных
точках приведены в табл. 13. Там же приведены значения модуля
разности между теоретической и статистической функциями рас-
пределения. Максимальное значение этого отклонения Z)q = 0,040.
С помощью таблицы для вероятности Р = Р(Х) по kq = Z?q]/« =
= 0,4]/^250 = 0,632 находим 6q = 0,82. Так как 6q>0,08, то предпо-
ложение о том, что X — нормальная случайная величина, не про-
тиворечит выборке (хотя в данном случае закон распределения X
не является нормальным).
606
ю	f			—	о
42 j	—1	0,999	100*0	0,933	0,067
39	966'0	0,995 j	0,001 1		0,800 0,867	0,192 0,129
1 36 1	1	0,992	0,982	0,010		
33	0,962	0,948	0,014	0,733	0,229
	0,854	0,879	0,024	0,600 0,667	1 0,187
	0,732	0,758	0,026 i			1 0,132
24 |	0,552	0,592 |	0,040	0,533	0,019
18	21	0,232 ' 0,388	0,242 0,408	0,010 0,020	0,400 0,467	0,168 0,079 1
12	0,118	0,121	0,003	0,333	0,215
12	0,048	0,050	0,002	0,267	0,219
о	800*0	0,018	0,010	0,200	0,192
to	а	о	0,003	0,133	1 0,131 1
со	о	100*0	0,001	0,067	о
о	о	о	о	о	о
X		(х)	я 1 *	ч" а ь?	V к? I 5 *
607
б)	Если случайная величина X в интервале (0;45) распреде-
лена равномерно, то теоретическая функция распределения
FpaBH (*) =	(0 < х < 45). Значения этой функции и модуля раз-
“гО
ности F*(x) —Еравн(%) приведены в табл. 13. Из этой таблицы сле-
дует, что в данном случае Z)q = 0,229. Тогда Xq — D4^n—3,Q. Уже
при Л = 2,5 Р(К) ~0, поэтому в данном случае 6q=0, т. е. гипотеза
о равномерном распределении случайной величины X, как и следо-
вало ожидать, не согласуется с выборкой.
Пример 42.3. Случайные величины X и Y означают соответствен-
но вес изделия из первой и второй партий. На основании произве-
денных взвешиваний по 100 изделий из каждой партии определены
статистические функции распределения Fx(x) и Fy(y) и найдено
максимальное расхождение Dn> n; q = max | Fx (х) — Fy (х) j. При
уровне значимости 6 = 0,1 проверить предположение о том, что слу-
чайные величины У и У распределены по одному и тому же за-
кону, если £>п, n;q =0,1.
Решение. В данном случае П1 = н2=100. Поэтому
4=1/ —^-Ui.n;q=/50-0,l=0,707.
Г Щ ~Г ^2
Из таблицы Р=Р(к) находим 8q = P(Xq) =0,71. Так как
Sq>0,l,TO предположение о совпадении законов распределения
случайных величин У и У не противоречит данным, полученным
при испытаниях.
§ 43. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ
ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Рассмотрим две переменные х и у, связанные функциональной
зависимостью
z/ = ip(x; «1,ц2,. .., ат),	(43.1)
где функция ф(х) зависит от конечного числа параметров ah а2, ...
..ат. Эта функция может быть, например, полиномом от х,
коэффициентами которого являются параметры аг, тригонометри-
ческим рядом с этими коэффициентами или выражением более
сложного типа, вид которого предполагается известным, и потому
функция ф(х) полностью определяется значениями параметров at.
Предположим, что произведена серия определений п пар зна-
чений (Xj, yj) аргумента х и функции у. Если эти определения не
содержат ошибок; то получим систему уравнений
Vj = © (хр Яр а2, . . . , аго)	(43.2)
(/=1,2,...,и).
608
из которых (исключая особые случаи) при п^т можно определить
т неизвестных коэффициентов at и тем самым полностью опреде-
лить вид функции ф(х; alt а2,..czm). Когда	и отсутствуют
ошибки в величинах Xj и у^п— т значений (х^, j/j) являются лиш-
ними и никак не могут быть использованы для определения пара-
метров аг.
Дело существенным образом меняется, если обе величины Xj
и yj или одна из них искажены ошибками, возникающими, напри-
мер, в процессе измерения. В этом случае при л>т для систе-
мы (2) возникает задача использования всех этих п уравнений для
получения наиболее точных значений параметров а1} а2, .. ., ат.
Метод наименьших квадратов позволяет установить общий подход
к решению этой задачи, являющийся в определенном смысле слова
оптимальным.
Этот метод применим как в том случае, когда вид функции (1)
известен точно, так и тогда, когда функция ф(х; аь а2,. .ат)
в формуле (1) является аппроксимирующим выражением для ве-
личины у. Переход от точной функциональной зависимости к при-
ближенной применяется в том случае, когда точная зависимость
не известна или тогда, когда вид этой зависимости является слиш-
ком сложным, а из общих соображений можно быть уверенным,
что применяемое аппроксимирующее выражение обеспечивает до-
статочную точность.
Итак, предположим, что известны п значений аргумента и соот-
ветствующие им значения функции, искаженные случайными ошиб-
ками (например, ошибками измерения). Будем по-прежнему обо-
значать эти значения Xj, у^ Если подставить эти значения в фор-
мулу (1), то, предполагая, что величины at известны точно, полу-
чим расхождения между левыми и правыми частями равенства,
которые обозначим 8j.’
Zj^yj — at, a2, . . . , am).	(43.3)
В методе наименьших квадратов в качестве оценок параметров
а\, а2, .. ., аП1 выбираются такие их значения, которые обращают
в минимум сумму квадратов «невязок» ej , т. е. которые удовле-
творяют условию
S 2£j2 —min •	(43.4)
j=i
Прежде чем рассматривать теоретическое обоснование метода
наименьших квадратов, рассмотрим формальную сторону этого
метода.
39
609
Учитывая обозначения (3), необходимые условия обращения
функции S в экстремум,
5S Л
^-=0, можно представить в виде
г ,	(-Уб ^2? • • • 5 ^т)
я2} . . . , tzm)]	^di	О
]=i
(/=1,2,.. .,т).	(43.5)
Уравнения (5) дают систему т уравнений с т неизвестными
й\, а.2,..., ат. Рассмотрим сперва решение системы уравнений (5)
для простейшего случая, когда функция ср(х; d-i, #2, • • , от) являет-
ся линейной относительно параметров at, т. е.
У = 2
s=l
где ф8(х) —известные функции.
Тогда равенства (5) можно представить в виде
2 bj—	W 'h W ~ °
j = 1 |_	S = 1	J
(/=1, 2,..., tn).
Введем следующие обозначения:
^s( —	’
j=l
= 2 Vj'Pi (*j) (O = 1, 2. . . • , ^)-
j=i
(43.6)
(43.7)
(43.8)
Уравнения (7) в этом случае примут вид
'^a3dl3 = vl (/=1,2,. . . , т) .	(43.9)
8-4
Обозначим через А определитель системы (9), т. е. положим
A = det ||£/Zs || и выберем функции ips(x) такими, чтобы определи-
тель А не обращался в нуль. Через As обозначим определитель,
который получается из А, если в нем заменить s-й столбец столб-
цом из элементов правых частей уравнений (9). Тогда значения
параметров а1} являющихся решением системы (9), определятся
равенствами
аг=-%-	4=1.2.....Л).
610
Положим
Л482 =	(s, I = 1, 2, . . . , т) ,	(43.10)
где As/ — алгебраическое дополнение элемента dsl определителя А.
Тогда
m
<г, = 2Л«„г-.	(/ = 1,2.......т).	(43.11)
S—1
m
Таким образом, если функция у — ср (я) имеет вид у— «MU*)»
8=1
то согласно методу наименьших квадратов постоянные ai опреде-
ляются равенствами (11).
Наиболее часто функция Р = ф(х) имеет вид полинома, т. е.
?(*; ah а2,
m
• , ат} =	•
S =1
(43.12)
В этом случае (х) = xs~l (s= 1, 2,..т), а потому
= dl+s=2 ZI+I~2;	= 2 М'1	(43-13)
j=i	j=i
(/, s = 1, 2,..tn).
Определитель А в этом случае будет
д =
d2,
d^
d^
di
dm+i
dm+2
^m+l» ^m+2 , •
d^m
Пусть, например, tn — 2, т. e.
функцией x. Тогда
// = п1 + а2х является
линейной
= i я;
n
=2лл1;
где
n
d2 =
d2
d^
с/3
di
-4=2
Д =
— d2d^ d32,
п
^=2xi8
6u
Для коэффициентов сц и а2 в этом случае получим:
а2 = M21Vi + M22v2 ,
где
М —	•
уи23= А.
(43.14)
(43.15)
Если т = 3, т. е. функция ср(х) является полиномом второй сте-
пени, У = у(х) = а} +а2х + а3х2, то
ПИ	П.
’	= 2 УЛ 5	=2 у л2;
j=i	j=i	j=i
d^ d^ d^
t/4 d&
d4 d5 d§
где
n
-— d2d.d,,	Qd^d^d^ ~~~ dd
d^d^ d2db2
n	П	П
d\ =	-^j2; db — xy; dC) _ Xj4.
j==i	j=i	j=i
Коэффициенты й1,а2 и a3 в этом случае определяются равенст-
вами:
=Л111У1 +7И12У24"-^13^з;
(32 = 442101 + M22^2~i~ ^23^3)
G-3 — 44^101 4- Л1з2О2-Ь M33V3,
(43.16)
где
</4 d^
df> de
1 d3
A d4
д (.d4d&	d&2) ;
= 4- (- d-A + dM-
4422 = -t-
ZJ	Д
di d6 I Д
Л42д — 4432 —
1	d2 d3
д	di d5
— ~T~ kd3d^ d2d^);
4433 —
t/2 d3
d^ d4

^11 ~ д
44j2 — 442i —
£
Д
61
Если величины Xj и yj не содержат ошибок, а формула (1)
устанавливает точную зависимость функции у от аргумента х, то
решение системы уравнений (5) даст точные значения парамет-
ров at, как и решение системы уравнений (2) для любых т пар
значений (х^ у3).
В том случае, когда функция tp(x; Qi, as, . . аш) дает только
приближенную зависимость у от х, система уравнений (5) позво-
ляет получить аппроксимирующее выражение для функции у, удо-
влетворяющее требованию обращения в минимум суммы квадра-
тов невязок, которые в данном случае являются ошибками аппрок-
симации. Определение аппроксимирующего выражения методом
наименьших квадратов во многих случаях имеет преимущество
сравнительно с другими методами аппроксимации, например мето-
дом интерполирования.
Будем считать в дальнейшем, что функциональная зависимость
(1) или известна точно, или точность аппроксимации достаточно
велика, чтобы ее ошибки можно было не учитывать сравнительно
с ошибками в величинах и Xj.
Рассмотрим подробнее наиболее часто встречающийся на прак-
тике случай, когла значения аргумента х3- известны точно, а ошиб-
ки имеются только в значениях у3 функции у. Каждое из этих зна-
чений можно записать в виде
У) = Л -Hj,	(43.17)
где t/j — истинное (неизвестное) значение функции в точке с абс-
циссой x=Xj (j— 1, 2, . . п), а —ошибка определения z/j. Будем
считать ошибки 6, независимыми нормальными случайными вели-
чинами с нулевыми математическими ожиданиями. Когда все из-
мерения равноточны, дисперсии случайных величин равны ме-
жду собой, т. е. Z)(5j)=D (/ = 1, 2,. Будем считать, что эта
дисперсия не известна, а ее оценка находится по полученным в ре-
зультате испытаний значениям Xj, yj.
При сделанных предположениях плотность вероятности случай-
ной величины pj имеет вид
f } =	’ ат)Г =	1	--21Г
(/-1,2,..., п).
Функция правдоподобия L = L(yl, у2, . . . ,yn; alf a2, . . . , am),
являющаяся произведением этих плотностей вероятности, в данном
случае будет
,	-4-2
Ь = П/у/л) =-------•
‘	(2*D) 2
613
В соответствии с принципом максимального правдоподобия
оценки параметров at должны быть выбраны так, чтобы функция L
приняла наибольшее значение. Из последнего выражения следует,
что это будет в том случае, если
^Sj2 —min ,
j=i
т. е. выполняется условие (4). Следовательно, в рассматриваемом
случае метод наименьших квадратов действительно дает оценки
параметров at, соответствующих принципу максимального прав-
доподобия.
Если значения Xj аргумента х не содержат ошибок, то постоян-
ные dis из (8), а потому и не случайные. Так как в соответ-
ствии с (8) величины vt линейно зависят от случайных величин у у,
то ,цг являются случайными нормальными величинами, а формула
(11) дает не истинные значения коэффициентов at, а их оценки
ТО
ai=^^Mtsvs.	(43.18)
S=1
Учитывая, что у^ = yj + , случайную величину vt можно пред-
ставить в виде
z 8j
j-i
(/=1,2,..., m).
В качестве оценки аг получим
(43.19)
(/ = 1, 2,. . . , /тг),
где
az = Al(az) = 2MZs^s; = j? Ы*з) й •
8=1	j=l
Учитывая независимость случайных величин <у-, из (19) получим
k— =-М [(а5 — а5)(<тг—-аг)] —
аг
= D V У Л4„М„ 2 (х,) t, (х,) = = D 2 2 <i-W«
i = l Z —1	j-1	1=1 Z=1
614
Имеем
tn
i=l
где D s получается из определителя Л, если в нем заменить s-й
столбец на l-й. Поэтому
(43.20)
1 = 1
(s, 1= 1,2,,.m),
где 6sf--0 при $=#/,a8ss=l.
Тогда
ft- _ = D V M,8„= DM,, .	(43.21)
as’ Эг Z=1
Таким образом, корреляционный момент между случайными
величинами as и определяется формулой
~ =2Wrs	(43.22)
V аг
(s, r= 1, 2,.. ., т).
В частном случае, когда s = r, находим^ что дисперсия оценки as
равна
D(a3) — DM^
(43.23)
(s = 1, 2,..m).
Если заменить в (3) функцию ф(хр alf а2,. .ат) на (х^) ,
i=i
то получим минимальное значение для S(ab а2,. . ., ага) при данной
серии испытаний, т. е. найдем оценку
~ п Г m -	12
*^min ~ У] '	^/'J>/(Aj)
j=i |_
(43.24)
Подставив из (17) в (24) и учитывая, что
tn
1=1
получим
~ п Г m ~	_	"I2
Smln —
j=l L X-l
615
С помощью (19) и (8) последнее равенство можно представить
в виде
п	n n	m m
s„in = 2 v -2	28- 2 2 м (*i’+
j=l	j=l r=l s=l Z=1
4- 2 2 ^s~ as)(ai - <й) dsl.
s=l z=l
Находя математическое ожидание обеих частей последнего ра-
венства и учитывая при этом формулы (8), (22) и (20), получим
(т m
Л — 2 2 Msi dis -f-
s=l
mm	1	/	m \
+	D= «~28(s ]D = (n-m)D.
S=1I=1	J	\	/
Следовательно, Smin можно рассматривать как несмещенную
оценку (и — tn)D, т. е. положить
Ds5(8j)=-^±^-Sml„.	(43 25)
Полученная оценка дисперсии 6j является состоятельной,
так как
lim Z) [5(8j)] -0.
11-> ОФ
Подставляя вместо дисперсии случайной величины 6j ее оценку
(25) в (23) и (22), получ'им оценки дисперсий оценок параметров
at и их корреляционных моментов:
—	— Smi„ (/=1, 2, . . . , и);	(43.26)
Д4,
Ь~~ = М(Х> = —Ц-5„,п (/, s= 1, 2, . . . , т).	(43.27)
а„	fl — ill
Чтобы найти доверительные интервалы для дисперсии D слу-
чайной величины 6j и для коэффициентов пг, можно воспользо-
ваться тем, что отношение
Jmin / _
р— = (« — т)
616
D
D
подчиняется ^-распределению с п — т степенями свободы, а от-
ношение
I'D (а,)
— распределению Стьюдента с п — т степенями свободы. Поэто-
му, задавшись доверительной вероятностью а, с помощью таблицы
вероятностей /э(х2>Хч21 по а и k = n— т можно найти такие два
числа Z/ и Д2, чтобы было:
Р(Х2>М=4-<1 + “). P(V.2>V}=~ (1-а).
Тогда
Р [ Х,! < (« - т) < v , = а
или, что то же самое,
Р (у^Р < D < у32/)) — а ,
где	_______ _____________________
__ у п — т _	_ п — т
11 “ Д ’ ь ““ Z' •
Числа 71 и Y2 можно найти и с помощью специальной таблицы
по доверительной вероятности а и числу степеней свободы k = n—т.
Доверительный интервал для дисперсии D случайной величины
(/ = 1,2,. . ., н) имеет вид (Yi2Z); Ya2-^)- Доверительный интервал
для среднего квадратического отклонения 0=1/D будет (Yi D\
ъ'Кь).
Из равенства
следует, что доверительный интервал для математического ожида-
ния коэффициента at можно представить в виде
(/-1,2, . . ., т),
где находится по доверительной вероятности а и числу степеней
свободы fe —n — tn из таблицы ta = to. — 1), составленной в со-
ответствии с равенством (41.9).
617
По закону Стьюдента с п — т. степенями свободы распределена
Ъ ~ У1
также случайная величина —>-=---где
У 5(КО
m
5(К0 = УЛ ~ ШМ (*j).
аГ аг
Z, г=1
Поэтому доверительный интервал для значений функции
У (*)==
z=i
в точках x—Xj (/= 1, 2,..п) будет
m	________ ш	_______
£>(Kj) ;	+ ^]/ ^(Kj)
i=i
(43.28)
Параметр ta также находится из таблицы ta = ta (a; n— 1) no
доверительной вероятности a и числу степеней свободы k — ti — т.
Доверительные границы (28) образуют полосу, которая с дове-
рительной вероятностью а включает в себя график функции
У = 2 а^1 
г=1
Расчет оценок at коэффициентов at и соответствующих довери-
тельных интервалов упрощается, если брать равноотстоящие зна-
чения Xj (/=1,2,..., п) аргумента х и вместо х ввести другой аргу-
мент %, связанный с х равенством
t _^mln
h
где h= - - — — (xmax—лт1а), а лтах и xmin— наибольшее и наимень-
7^	1
шее из значений Xj (/ = 1, 2,..п).
Тогда
£	-^j -^min
принимает только значения 0, 1, 2,..п — 1.
618
За функции ф8 (£) в этом случае можно выбрать полиномы,
ортогональные на множестве значений аргумента %, т. е. такие, что
при i 4= «
(43.29)
j=i
(г, s = 1, 2,..т).
Условия (29) выполняются, если
ф8(Е) = Р8_1,п_1(^) (s = 1,2, ...,т),
где Л,п (£) — полиномы П. Л. Чебышева, определяемые равенст-
вами
Р„ „ (5) = 2 (-1)-	-.(Г-Л'тг (s < й) 
l=Q
Вычислив первые пять из этих полиномов, получим:
Р0,п(Е) = 1; Pi,n(E) =
ft, »(Е) = 1 -6-1- + 6
це-1) .
п (л — 1) ’

ЦЕ-1)(Е-2)	.
n(ji — 1)(я-2) ’
п (£) = 1 — 20 — + 90  Ц - 140 — -~-
’ w	п 1	п(п~~ 1) п(п — 1)(п — 2)
И^1)(Е-2)(Е--3)
' п (п — 1)(я — 2)(п — 3)
Всякий полином степени («—1) можно представить в виде
суммы полиномов Чебышева степени не выше (п— 1)-й. Поэтому,
если функция (6) является полиномом степени (п—1) или доста-
точно точно аппроксимируется полиномом этой степени, то можно
положить
m
у = '^alPi-i, (Е).
i=i
(43.30)
Так как вследствие ортогональности полиномов (29) все недиа-
гональные элементы матрицы |] dts || обращаются в нуль, то алге-
браическая система (9) распадается на т независимых уравнений
=	(5 = 1, 2, . . . , т).
619
Поэтому для оценки at получим
ai = ~l~	(/=1,2,. . . , от),
ан
(43.31)
где
= 2	«:>’ d“ = 2Р?-!. п-1 «1) • (43.32)
j=l	j=l
Так как
j=l
то вместо (19) будем иметь
п
as	п—1 (£j)
J=1
(s = 1,2,..т).
Дисперсия этой оценки
п
Заменив в этой формуле дисперсию D ошибок 6j ее оценкой D
и учитывая (25), для оценки дисперсии az получим
Ь(а,) = -,
_______‘S’inin
(/г - т.) du
(43.33)
где в соответствии с обозначением (24)
При г I получаем
М [(«!“«/) («т — #г)] =
б/гг
т. е. оценки at (1=1, 2,. .m) являются некоррелированными слу-
чайными величинами.
620
Для полиномов Чебышева составлены специальные таблицы,
которые упрощают расчеты по формулам (32) и (34).
Если функция z/ = qp(x; а2г . . йп) не является многочленом,
" то расчеты оценок коэффициентов at усложняются В некоторых
частных случаях их удается упростить, если от х и у перейти к дру-
' гим переменным, подобрав соответствующим образом формулы пе-
рехода.
Пусть, например,
п
= 2 й^’
s=0
s где а — заданное число,
п
Положив и = ха, получим ^asust т. е. полином. Когда
'	s=0
п
у == ^<7sesax, к такому же выражению приводит подстановка н = еах.
s=0
_ (к—a)2	j
Если у = Ае 2Ь2 , то, положив: г = 1пу; п0 = 1п А —	;
й2	. v2
«2 = — 777V, ПОЛУЧИМ 2 = «0 + (71Х+ й2Х<
2Ь-
При у = айх~а + arx$ замена и = ха+з, z=yx<* приводит к линей-
ному соотношению z= а0 + ayi. Аналогичные преобразования позво-
ляют получить полиномиальную зависимость и в других частных
случаях. Иногда искомую функцию можно представить в виде мно-
гочлена приближенно, используя разложение в ряд по степеням
отклонения аргумента от его среднего значения.
Итак, изложено применение метода наименьших квадратов
к определению оценок параметров at функции (1) в том случае,
когда функция <р(х;	а2,. . «т) зависит от этих параметров ли-
нейно, значения аргумента х известны без ошибок, а значения
функции у искажены ошибками, подчиняющимися нормальному
закону, имеющими нулевые математические ожидания и равные
дисперсии. Полученные в этом случае оценки пг являются наилуч-
шими с точки зрения принципа максимального правдоподобия, и,
следовательно, этот метод не только целесообразен в силу просто-
ты расчетной схемы, но и имеет теоретическое обоснование.
Выводы, полученные для равноточных ошибок 5Jt могут быть
обобщены и на тот случай, когда дисперсии D (8j) = а}2 различны.
Предположим, что
О0,) = -А’»2.	(43.35)
621
где rj — заданные числа. Тогда, умножив обе части равенства (2)
на Г}, получим в левых частях равенств величины искаженные
ошибками гД-, дисперсии которых одинаковы, так как
Таким образом, случай неравноточных измерений сводится
к рассмотренному выше случаю равноточных измерений.
В том случае, когда параметры аг входят в выражение функции
ср(х; П], а2,. .ат) нелинейным образом, задачу обычно можно све-
сти к линейной, линеаризуя функцию ф(х; а2,. .., ят) по пара-
метрам а,. Для этой цели можно выбрать из п пар значений Xj, yj
(m<n) т пар, по которым, решив систему уравнений (2), можно
определить значения параметров at. Обозначим найденные таким
образом значения аг через и будем рассматривать их как при-
ближенные значения оценок at. Если ошибки определения Xj и у5
можно считать «малыми», то и отклонения (#f — а/0)) будут малы-
ми, а при разложении функции ф(х; й], а2, . . ., от) в ряд по степе-
ням этих отклонений можно ограничиться только линейными сла-
гаемыми, т. е. положить
tp(x; а15 а2, . . . ,	. . . ,	+
т
Z=1
и в дальнейшем пользоваться формулами метода наименьших
квадратов для линейных выражений типа (4).
В некоторых случаях искомая функция у зависит не от одного,
а от нескольких аргументов. В простейшем случае линейной зави-
симости имеем
(43.36)
z 1
где аг (Z= 1,2,. . ., т)—неизвестные коэффициенты. Исходными
данными при определении оценок этих коэффициентов являются
п значений функции z/,, полученные при п совокупностях значений
аргументов zijt z2j, • • . ,	(/= 1, 2,..., п).
Выражение (36) совпадает с выражением (4), если положить
zi = Ф/ и считать 'ЫХ|) = £г]- (/= 1, 2, .. ., т; j= 1, 2,. .., п). По-
этому оценки at коэффициентов а,из (36) определяются как реше-
ние линейной системы
(i = l,2,. . . , т),	(43.37)
622
в которой
п	п
j=i	i=i
(43.38)
(z, I = 1, 2, . . . , /и) .
Окончательная формула для ctt и в этом случае имеет вид (18).
Когда значения известны без ошибок, а измерения (/=1,
2,..., п) равноточные, оценка дисперсии at определяется форму-
лой (26), т. е.
D (а,) = MUD =	$ш|„ (1 = 1,2........т).
В этом выражении: D — оценка дисперсии D — D(ys) (/=1,2,..
_ n / tn ~ X
.. ., н); Srain= I у^ — atzti I , а Мц — отношение алгебраи-
j=i \ i=i /
ческого дополнения элемента du в определителе A = det ||djJ| к это-
му определителю.
Если алгебраическая система (32) решается без помощи опре-
делителей, то Мц является решением этой системы при условии,
что V[ = 1, а все остальные = 0.
Полученные выше формулы для оценок коэффициентов at (Z= 1,
2, . . ., m) справедливы в том случае, когда значения Xj (/=1,2,...
.. ., п) не содержат ошибок. Если значения Xj случайны, то оценки
тп
коэффициентов аг линейной функции у =	(х) также могут
i=i
быть найдены по формулам (11). Однако в отличие от рассмотрен-
ного выше случая эти оценки не будут несмещенными оценками
соответствующих коэффициентов, так как величины dn и Мц
(z; l~ 1, 2,. .., т) зависят от случайных значений аргумента х
Пусть, например, т = 2 и аппроксимирующая функция имеет
вид у = а{ + а2х. При этом согласно (14) коэффициенты (ц и а2 рас-
считываются по формулам:
^4^1 ~	— d2<ut 4- d2v2
d2d4 — d22	’	2 d2d4 — d22
(43.39)
Так как aid2+a2d3=vlt то коэффициент сц можно выразить че-
рез коэффициент а2 по формуле
#1 = — --------— а2 d^.	(43.40)
623
Если в (39) и (40) подставить явные выражения для о, и dit то
получим явные выражения для этих коэффициентов через значения
лф у;.
а а
n	/ n	\ / п
j=l	\j=l	/ \ j=l 
Il	/ n	\ 2
« V X/ - 2 Al |
j=l	\j=l	/
= у — xa2,
k
IVxy
5(X)
> (43.41)
J
где
j=l
n
C*i ~ Л)С\'3- - У).
j=i
Когда случайные величины Xj и >'j нормальные с известными
дисперсиями D(X) и 7?(У), в качестве оценки «2 целесообразно
взять корень уравнения
+ _5(Х)О(Г)-в(Г)О(^) ~2 _ в (у = 0	(43 42)
п lY\h	U
Из двух корней этого уравнения выбирается один в зависимо-
сти от конкретных условий задачи. Оценка а{ коэффициента
при этом определяется с помощью равенства
—у -- х а2.
(43.43)
Существуют также и другие расчетные формулы для оценок
Ц] и а2.
Положим: £j — Xj — Xj, Aj = yj — yj (j— 1, 2,...,«). Пусть эти
отклонения не связаны между собой, т. е.
7И (ejSj) = М (AjAj) — М (Ejdj) = 0 при i ф J.
624
Математические ожидания Xj и случайных величин Xj и
связаны равенством = at -ф- а2х~} (/= 1, 2,. .., п).
При указанных условиях состоятельная оценка коэффициента
а2 может быть определена по формуле (при четном п)
/У1 + Уэ + • • • + У „ \	( У п + У п , + •  • +Уп\
~ _ j___________\ т~ + 1	~г~2_______/
а2~	/*1 + *2+- • -+^n)-fXn +ХП +• • . +ХП\ '
k	“/	\ ~+1	“+2	)
(43.44)
если только знаменатель этого отношения отличен от нуля. Со-
стоятельная оценка коэффициента щ определяется с помощью ра-
венства a-i—y — а2х. Состоятельные оценки дисперсий D и
D(Aj) при этом рассчитываются с помощью следующих равенств:
D(=,) = О (X)(43.45)
(/=1,2..................и),
где я2 определяется по (44).
Если ошибки Sj и Aj являются нормальными случайными вели-
чинами, то для математических ожиданий коэффициентов щ и а2
можно построить доверительные интервалы. Вывод соответствую-
щих формул можно найти в работе [16].
Пример 43.1. Результаты равноточных измерений глубины h про-
никновения тела в преграду при различных значениях его удель-
ной энергии Е (энергии, приходящейся на единицу площади соуда-
рения) приведены в табл. 15 (второй и третий столбцы). Подо-
брать линейную зависимость вида h = al + a2E, определить оценки
D (aj) дисперсий оценок коэффициентов at (/=1,2), оценку корре-
ляционного момента ~ и оценку D дисперсии D, характери-
а2
зующей точность отдельного измерения. При доверительной веро-
ятности а = 0,9 определить границы доверительных интервалов для
дисперсии D и для математических ожиданий коэффициентов at
(2=1,2).
Решение. В данном случае произведено н=13 испытаний,
поэтому d2 = n = 13. Расчет постоянных d2, d4, Vi и vz произведен
в табл. 15. По этим данным находим ^ = d2di — of32=l 125 582.
Тогда Мп= =0,38931; М]2 = М21 =-= —0,0018995; М22 =
д	д
= -^- = 10 5 • 1,1550. Оценки коэффициентов сц и а2 при этом будут:
«1 = М11У1 + Л412о2=0,67;
а2=М21 4- M22v2=0,1241.
40	625
Таблица 15
У		*1			h=a1-]-Eja2	ej=Aj-Aj	
1	41	4	164	1681	5,8	—1,8	3,24
2	50	8	400	2500	6,9	1,1	1,21
3	81	10	810	6561	10,7	-0,7	0,49
4	104	14	1456	10816	13,6	0,4	0,16
5	120	16	1920	14400	15,6	0,4	0,16
6	139	20	2780	19321	17,9	2,1	4,41
7	154	19	2926	23716	19,8	-0,8	0,64
8	180	23	4140	32400	23,0	0,0	0,00
9	208	26	5408	43264	26,5	—0,5	0,25
10	241	30	7230	58081	30,6	—0,6	0,36
11	250	31	7750	62500	31,7	—0,7	0,49
12	269	36	9684	72361	34,1	1,9	3,61
13	301	37	11137	90601	38,0	— 1,0	1,00
2	4—2138	щ=274	1>2=55805	438202			Smin=16,02
13	_	13
Расчет Smin =	IA—(at 4- a2£j)]2—J? sj2 произведен в табл. 15.
j=i	j=i
Так как m = 2, то оценка D дисперсии D будет D= -—^^min ~
= 1,456. Используя формулы (22) и (23), получим:
D(a{) = MnD = 0,5668; D(a2) = M22D = 0,00001682;
L ~ = M!25 = —0,0027657.
31, aa
По доверительной вероятности a = 0,9 и числу степеней свободы
k=n— m= 11 из таблицы находим: у i = 0,748; у2=1,550. Тогда до-
верительный интервал (гг21); y22£>) для дисперсии £>=£>(6j) будет
1 f ~	-] Г —
(0,8146; 3,4980). Доверительный интервал (Yi у D; у D) для
среднего квадратического отклонения сг= у^~D получается следую-
щий: (0,9027; 1,8706).
Из таблицы £* — ta (a; п ~ 1) по а=0,9 и k~n — т—11 находим
ta =1,796. Тогда p^bfaj) = 1,35; ta ]/^D(a2) =0,0074. С помощью
этих данных получаем следующие нижние и верхние доверитель-
ные границы для математических ожиданий коэффициентов Hi и а2:
й1н — ta
«1В
= 2,02; а2п = 0,1167; а2в = 0,1314.
626
Пример 43.2. В табл. 16 приведены значения и и w скорости
ветра на двух высотах по данным измерений в различные моменты
времени. Считая справедливой зависим°сть u = a\ + a2w, опреде-
лить оценки коэффициентов tzi и а2, если дисперсии ошибок изме-
рения скорости ветра на обеих высотах одинаковые.
и = -I" (8,7+8,4 + 8,04-7,8 + 7,3 + 7,0 + 6,5 + 6,3) =7,5;
о
w =4“ (7,2 + 7,0 + 6,5 + 6,4 + 5,9+5,3 + 5,0 + 4,7) =6,0;
о
Ь{и)=-~ (1,2&4-0,92 + 0,52 + 0,33+0522 + 0,52 + 1 + 1,22) =
~ у--5,32;
Б(до)	1 -|-О,53-4-ОЛ2 +- 0,12 4-
+ 0,72 + 1 + 1,32) =	-6,04 ;
кw = у- (1,2 • 1,2 + 0,9 + 0,5 • 0,5 4 0,3 • 0,4 4- 0,2 • 0,1 -|-
4-0,5-0,74 1 4-1,2-1,3)у--5,64.
По формулам (41) получим:
о2 = 14 = 0-934; ^ = 7,5— 6-0,934^1,9,
6,04
т. е. и= 1,9 + 0,934to.
Так как по условию D(u)=Z)(to), то уравнение (42) дает
~ , 6,04 - 5,32 ~ .а
+------Т64-----
£27
Положительный корень этого уравнения а2 — 0,938. Тогда
^=7,5-6-0,938=1,87.
По формуле (44) находим: я2 = 0,935; аг= 1,89, т. е. практиче-
ски то же самое, что и в первом случае.
§ 44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИСПЫТАНИЙ
При обработке реализаций случайных функций для получения
вероятностных характеристик случайных функций применяются
методы, принципиально не отличающиеся от методов обработки
реализаций случайных величин. Однако здесь возникают некото-
рые особенности, связанные с тем, что ординаты реализаций слу-
чайных функций являются реализациями зависимых случайных ве-
личин.
Рассмотрим сперва определение первых двух моментов случай-
ной функции X(t) по п независимым реализациям х-} (/) одинако-
вой длительности.
При фиксированном t ордината случайной функции X(t) являет-
ся случайной величиной. Следовательно, ординаты реализаций
xj(0 (/= С 2,. .., п) можно рассматривать как значения случай-
ной величины X(t) при п испытаниях. Поэтому для оценки x(t) ма-
тематического ожидания x(t) случайной функции X(t) получим
II
VxjW,	(44.1)
j=l
а оценка D[X(t\\ дисперсии D определится формулой
п
=	(44.2)
или
n
D [X«)] = Д |iy (0- (0J“) .	(44.3)
гь — 1 / Z-	I
j“l
Доверительные интервалы для математического ожидания и
для дисперсии D[X(i)] определяются так же, как для математи-
ческого ожидания и дисперсии случайной величины.
В произвольные моменты времени tx и t2 величины А (С) и X(t2)
являются случайными, оценки х(С) и x(t2) математических ожи-
даний которых определяются формулой (1). Корреляционный мо-
628
мент между этими случайными величинами является значением
корреляционной функции случайной функции Х(0- Поэтому оценка
t2) корреляционной функции t2) определяется формулой
п
К, (t„ tj = -Ц V [xj (Л) - х й)] [Xj «,) - х №)]
или
(44.4)
£х(^, ^) =
Xj (^i)	(^2)	(Л)(^2)
(44.5)
Как частный случай при tx = t2 = t из (4) и (5) получаются ра-
венства (2) и (3), так как (t, t) =D [Х(0]-
Известные значения х} (/) (/ = 1, 2,..., п) случайной функции
Л”(/) в фиксированный момент времени t могут быть использованы
для определения одномерного закона распределения для X(t).
Если использовать эти значения в два различных момента, то мо-
жно найти двумерный закон распределения и т. д.
Для того чтобы оценки математического ожидания x(t), дис-
персии Z)[X(/)] и корреляционной функции	получаемые
указанным выше способом, были бы достаточно точными, необхо-
димо иметь на рассматриваемом интервале (0; Т) изменения аргу-
мента t относительно большое число п реализаций х-3{t) (/=1,2,...
Если никаких добавочных сведений о свойствах случайной
функции X(t) не известно, то приведенные выше оценки x(t) и
КД^Дг) не могут быть улучшены. Когда функция X(t) имеет не-
которые особые свойства, такое уточнение возможно. Рассмотрим
возможность уточнения оценок математического ожидания и дис-
персии для стационарных случайных функций, обладающих свой-
ством эргодичности.
Стационарная случайная функция X(t) называется эргодиче-
ской, если любая ее вероятностная характеристика, полученная
с помощью совокупности реализаций x}(t) при /=1,2, с ве-
роятностью, сколь угодно близкой к единице, равна соответствую-
щей вероятностной характеристике, полученной с помощью одной
реализации x(t) за достаточно большой промежуток времени Т.
Одним из условий эргодичности является достаточно быстрое убы-
вание корреляционной функции Кх(т) при возрастании т, так как
в этом случае одна достаточно длинная реализация заменяет со-
бой совокупность независимых реализацийГ Более подробно эти
условия будут рассмотрены ниже.
629
Рассмотрим одну реализацию x(t) эргодической стационарной
случайной функции, полученную на интервале (0; Т). Разобьем этот
интервал на m равных частей длины А. По значениям ординат реа-
лизации х(0 3 граничных точках полученных таким образом ма-
лых интервалов оценка хд определяется формулой
m
<446>
j=0
которая аналогична формуле (1), а индекс А у оценки математи-
ческого ожидания поставлен для того, чтобы отметить, что оценка
найдена по т+1 ординате реализации x(t). Формуле (6) можно
придать и следующий вид:
ш
j=0
При m ->оо последняя сумма стремится к интегралу и для хд
получим окончательное выражение
т
о
Формулы (6) и (7) для эргодической случайной функции дают
несмещенную состоятельную оценку математического ожидания.
Действительно, находя математическое ожидание обеих частей
равенств (6) и (7), получим:
т
Л1 (х.) —	7—1,	,  х (m 1) = х; М (х)	— 4^ С х dt	х.
д	(тф1) '	1	' Т )
о
Следовательно, оценки хд и х являются несмещенными.
Для проверки состоятельности этих оценок определим их дис-
персии. Применяя к (6) теорему о дисперсии суммы коррелирован-
ных случайных величин, получим:
m—1 т
D (хд) =	(т + 1) К. (0) + 2 V V К. ((у-s) А) =
s=0 j—s+l
т
(Щ-/+ 1)АГХ(/Д)
j=i
И+TF (т + 1)^(0) + 2 у
630
или
m
О(хд) = Щ (' -	l/i) - У (0)) А. (44.8)
Применяя формулу (36.29) для дисперсии интеграла от стацио-
нарной случайной функции к (7), получим
т
В(;)=1Г(1~Л}вдй.	(44.9)
о
Выражение (8) отличается от (9) на величину второго порядка
малости относительно 4?. Следовательно, если limZ)(x)=0, то и
1	Т-» оо
IimD(x .) =0, т. е. если состоятельна оценка (7), то состоятельной
T -* ОО
будет и оценка математического ожидания (6).
Обращаясь к выражению (9), видим: для того чтобы оценка х
была состоятельной, достаточно выполнение условия
т
lim 4г (7	=	(44.10)
Т-юо 1	1 у I
о
Стационарные функции, удовлетворяющие условию (10), назы-
ваются эргодическими в широком смысле. Рассмотрим, какие огра-
ничения на корреляционную функцию Лх(т) накладывает это усло-
вие. Пусть, например, случайная функция X(t) не меняется со вре-
менем, т. е. X является случайной величиной. В этом случае х сов-
падает со значением х, которое в результате испытания приняла
случайная величина X, а Кх (т) =ох2 0, и, следовательно, условие
(10) не выполняется. Если X(t) = Y(t) +Z, где Y(t)—случайная
функция, корреляционная функция К? (т) которой удовлетворяет
условию (10), a Z — случайная величина, не связанная с У(/), то
lim/Cx (т) =ог3, т. е. предельное равенство (10) для X(t) также не
т •+ «
выполняется.
Случайные функции, встречающиеся в приложениях, в боль-
шинстве случаев имеют корреляционные функции, для которых
11тЛх (т) = 0. Докажем, что в этом случае справедливо условие
(10). Для этого представим корреляционную функцию /<х(т)
в виде
где а =£ 0, 0<а<1, а <р(£) — ограниченная функция, т, е. [ <р (т) | < с.
631
Тогда
т	т
2 [Vi т \ iz Z 2с (7< Т \ t/т 2с
£>(х)— ГД1 т j	< т Д1	- Гиц_а)(2__а) 
о	о
При Т -> со дисперсия D(x) стремится к нулю, а потому пре-
дельное равенство (10) выполняется.
Таким образом, достаточным условием для эргодичности слу-
чайной функции ^(Z) по отношению к ее математическому ожида-
нию является стремление абсолютного значения корреляционной
функции Лх(т) к нулю при т -> со.
Итак, если lim Лх (т) =0, то оценки (6) и (7) являются состоя-
t-ч, хз
тельными. Часто получение дискретных ординат реализаций слу-
чайных функций осуществляется проще, чем получение непрерыв-
ной реализации х(/). Поэтому представляет интерес сравнение
эффективности этих оценок при одинаковой общей длине реализа-
ций процесса Т и различных интервалах дискретности А. Восполь-
зовавшись формулой для остаточного члена формулы трапеций и
выполнив ряд преобразований, получим
/)(хд)-О(х)^ (ЛД*-2£Д)
(44.11)
где
т
А = 1 |1 + ВД - Tk„(0)] + у f А - yR (г) Л;
О
т
в =	- у j К (т) Л; kx (t) = А, «•
О
Формула (11) показывает, что (при Я>0) разность £>(хл) —
— £)(х) имеет минимум при
Л - А - А
** ~ -*опт д •
Следовательно, если В>0, то можно выбрать такой шаг дис-
кретности А, чтобы оценка (6) была бы более эффективной, чем
оценка (7), полученная по непрерывному графику реализаций
случайного процесса. Выигрыш в дисперсии, который при этом мо-
В2 а 2
жет быть получен, приближенно равен -j-- ~~, т. е. убывает
V1 1
с ростом длины реализации случайного процесса Т.
632
Таким образом, при увеличении числа дискретных ординат
т+1 (т. е. с уменьшением А) дисперсия оценки (6) сперва умень-
. В
шается, достигает минимума при А=-^-, а затем начинает увели-
чиваться, асимптотически приближаясь к дисперсии оценки (7).
Формула (11) позволяет определить шаг дискретности А, при
котором оценки (6) и (7) становятся практически одинаковыми.
Соображения, положенные в основу при получении оценок ма-
тематического ожидания, применимы и при получении оценок кор-
реляционной функции Кх(т). Выберем т таким, чтобы отношение
— =1 было целым числом. Тогда для эргодической случайной
функции по m —Z+1 парам ординат реализации х(^), х т),
при 7=0, 1,. . ., m—I оценку /Сх (т) для /Сх (т) можно определить
по формуле
m-Z
к(^) —х] [х+г)—х]. (44.12)
м
Переходя от суммы к интегралу, получим
Т-т
Kx(T)r=	j [х(/)-х] [х(£-Н) dt. (44.13)
о
При Т '+ т последнее равенство приближенно можно преобра-
зовать к виду
Т т
Л'х('с) = J х (£) х(£ + т) dt — (х)2,	(44.14)
о
если принять, что
т	Т-т	т
х — Дт- Г х (0 dt ------ Г х (Z) dt ----- С х (Z) dt. (44.15)
/	1 — т 1	1 — Т I
0	0т
Из (14) и (15) следует, что
Т—т
К* (т) — 	[х (/) — х] [х (t -+ т) — х ] dt — (х — х )2,
о
поэтому
633
Если случайная функция X(t) эргодическая по отношению к ее
математическому ожиданию, то согласно (9) и (10) D{x) О,
когда Т-^со. В этом случае
ИтЛП£х(т)]=/<х(т),	(44.16)
а потому оценки (13) и (14) будут асимптотически не смещен-
ными.	_
Если математическое ожидание х известно, то несмещенной
оценкой (т) будет
Т-т
/Сх (т) — -у—J (0 — * ] Iх (^ +т) — *] dt
о
T-t
s* т~	(44.17)
о
где при приближенной замене положено х = х и учтены приближен-
ные равенства (15). Находя дисперсию оценки (17), получим
П[Кх(т)] =
T-т Т-т
о о
где Х(0=Х(/) —7
Пусть, например, X(t)—нормальная случайная функция. Тогда
М	(7) X(t + т) X (?) X (? + 0] =
= [^W]2+Kx(/-?)]2 + Кха-^-т)^(^-? + т),
а потому
Т-т
о Р
= J (Г-t-т) [АГХ2 (0+ х)]^.
(44.18)
Если корреляционная функция Кх(т) удовлетворяет условию
11тА'х(т) = 0, то, повторяя рассуждения, которые были приведены
t -+ оо
выше при доказательстве состоятельности х, получим, что
lim£)|y<x (т)] =0, т. е. оценка (17) состоятельная.
Т -* ео
634
Таким образом, достаточным условием эргодичности нормаль-
ной стационарной случайной функции X(t) по отношению к ее
корреляционной функции также является стремление к нулю при
т-> со абсолютного значения корреляционной функции Кх(х).
Когда X(t) не является нормальной, указанное условие может
быть недостаточным для эргодичности X(t).
В некоторых случаях для повышения точности определения
оценок х и Кх (т) используется не одна реализация х(Г) эргодиче-
ской случайной функции X(t), а несколько реализаций. Пусть, на-
пример, взято г реализаций у-(О, где /=1, 2,..., г, причем длитель-
ность j-й реализации хД£) равна Tj. Если все Tj (/=1,2,..., г)
равны, то с помощью каждой реализации рассмотренными выше
способами находятся оценки Xj и /Ц(т), где / = 1,2,..., г, а в ка-
честве искомых оценок х и (т) нужно взять их средние арифме-
тические, т. е. положить:
; =	(44.19)
j=l	j=l
При различных Т j усреднение оценок Xj и KXj (т) следует про-
изводить с «весами», т. е. вычислять оценки х и Кх (т) по фор-
мулам:
* = 2 sw вд = 2 gjZ^xj(х) ’	(44,20)
j=i	j~i
где веса gj и g/, в соответствии с общими правилами усреднения
независимых неравноточных величин, должны быть выбраны
обратно пропорциональными дисперсиям слагаемых, т. е. нужно
положить:
1 Vi 1	,	1 ул 1
gf = ---— : V---------—; gi =-------: У--------------z-----•
Wj) «Г D(x,)	D\KSjW ^fiDlK^)]
Веса gj' являются функциями аргумента корреляционной функ-
ции т. Приближенно эти веса можно взять постоянными, равными
их значениям при т = 0. При достаточно больших значениях Т} дис-
персии D(Xj) и D [Кх. (г)], в соответствии с (9) и (18), можно счи-
тать обратно пропорциональными длинам реализаций Ti и, соот-
ветственно, —т. В этом случае можно положить:
, Ti-t
Si
635
где Т = Tj. Формула (20) для оценки х в этом случае примет
j=i
вид
r Tj
х = у	(44.21)
jsr fj
а вместо оценки (14) для Кх (т) получим
' r Тгт
^(4 = ^77^!	+ Ч -x]dt. (44.22)
J=1 о
Так как реализации x^t) при /=1,2, ...,г независимые, то
дисперсия оценки (21) будет
r Ti
йЙ=2у|(7;-^,(.)й.	(44.23)
о
Если все Tj одинаковы, то Т = гТ^. В этом случае из (23) сле-
дует, что при использовании г реализаций одинаковой длительно-
сти дисперсия оценки х в г раз меньше, чем при использовании
одной из этих реализаций.
Когда математическое ожидание нормальной случайной функ-
ции X(t) известно, по аналогии с (18) для дисперсии оценки (22)
получим

j = I о
+ /<x(f-T) /<х(^+т)]^.
(Tj-т-о [/cw +
(44.24)
При одинаковых Tj (j= 1,2,. . ., г) эта дисперсия также в г раз
меньше дисперсии оценки D (Л’х. (т)], вычисленной по одной реали-
зации.
Имея реализации x}(t) и Vj (0 (/= 1,2,..., г) для двух эрго-
дических стационарно связанных случайных функций Х(/) и Y (t)
на интервалах (0; Tj ) или реализации х(1) и у{1) на достаточно
большом интервале (0; Т), можно, кроме х, у, /<х(-с) и Ky(Y) > найти
636
оценку /?ху(т) корреляционной функции связи ^ху(т), воспользо-
вавшись формулой (т > 0)
Т—с
#ху(4 "14т J Iх (0 — *1 [у 4- ^) — у] dt^
о
Т—т
— С x(t) у (t + x)dt — xy .	(44.25)
1 — т j
о
При нахождении оценок х, и /?ху(х) по формулам (7), (13),
(14) или (17) и (25) используются специальные вычислительные
приборы (корреляторы), предназначенные для вычисления приве-
денных выше интегралов от реализаций случайных функций. В ре-
зультате расчетов по указанным формулам получается постоянная
оценка х математического ожидания х стационарной случайной
функции X(t). Оценки /<х (т) и /?ху (т) являются функциями т и,
следовательно, должны быть вычислены для достаточно большого
числа значений т, чтобы можно было построить графики этих функ-
ций или подобрать для них надежные аппроксимирующие выра-
жения.
Для получения оценки Sx(со) спектральной плотности стацио-
нарного процесса Х(^) можно взять за основу оценку корреляци-
онной функции Кх (т) или получить оценку Sx (со) путем непосред-
ственной обработки реализации случайного процесса.
В первом случае можно сперва аппроксимировать (т) под-
ходящим аналитическим выражением Кх (т), а затем воспользо-
ваться формулой
£
2к
АГХ (Д ‘l<ot dx
(44.26)
или подставить в формулу (26) вместо Кх(т) ее оценку 7(х(т). Пер-
вый способ дает хорошие результаты тогда, когда из общего ана-
лиза условий возникновения случайного процесса X(t) вид корре-
ляционной функции не вызывает сомнения. Однако в том случае,
когда определение оценки Sx (со) производится для того, чтобы
выяснить свойства процесса, этот способ совершенно непригоден.
Если в формулу (26) вместо /<х(т) подставить оценку /Сх(т),
то хороших результатов, как правило, тоже не получим. Дело
в том, что если оценка Кх (т) находится по реализации длины Т, то
637
точность определения оценки уменьшается с ростом т, а при т>/
вообще нельзя получить никакой информации о виде корреляцион-
ной функции. Поэтому вместо формулы (26) в данном случае вы-
числение Sx (со) придется производить по формуле
т
Д (а>) = J- J Кх (т) dz.	(44.27)
-т
Переход от бесконечной области интегрирования в (26) к ко-
нечной области интегрирования в формуле (27) неизбежно при-
водит к возникновению «паразитных» частот в спектральной плот-
ности, а наличие весьма низкой точности определения ординат
ЛУ(т) при больших значениях т может привести к существенному
искажению вида Sx(<i>).
Формулу (27) можно улучшить, частично избавившись от ука-
занных выше ее недостатков, если под знаком интеграла ввести
в качестве добавочного множителя весовую функцию й(т), по-
ложив
SxW = jH'Ж к,
(44.28)
где й(т)=0 при | т | > Т, а вид весовой функции подбирается так,
чтобы формула (28) давала, в определенном смысле слова, наи-
лучший результат.
Для того чтобы выяснить желаемые свойства весовой функции
й(т), рассмотрим сперва определение оценки спектральной плот-
ности непосредственно по реализации случайной функции X(t).
Учитывая общую формулу (35.12) для спектрального разложе-
ния стационарной случайной функции ХД) (будем считать х = 0) и
тот факт, что спектральная плотность в соответствии с формулой
(35.13) пропорциональна математическому ожиданию квадрата
модуля комплексной амплитуды б/Ф(со), можно предположить, что
в качестве оценки Sx (oj) целесообразно взять величину, пропор-
циональную квадрату модуля интеграла Фурье от реализации слу-
чайного процесса x(t). Исходя из этих общих качественных сообра-
жений, рассмотрим функцию /(со), называемую «периодограммой»
(или «периодограммом») и определяемую формулой
/(«>)
(44.29)
о
638
Имеем
т т
Л1 [/ (»)] = ~ f f е-'“ л-‘.) Кх (t2 - t,) dt, dt, =
о о
т
-Д Д-Д) Л,
-т 4
поэтому
Hm М !/(«>)] =5х(ш).		(44.30)
Т —> со
Следовательно, /{ш) может рассматриваться как асимптотиче-
ски не смещенная оценка спектральной плотности. Однако эта
оценка не является состоятельной. Действительно, считая для про-
стоты Х(/) нормальным процессом, можно показать, что (при
ш 4= 0)
lim £>[/(«)] =\2(«),	(44.31)
Т ОО
т. е. дисперсия периодограммы стремится к постоянной величине,
а не к нулю, как это должно было бы быть для состоятельной
оценки.
Несмотря на это, функцию /(«) все-таки можно принять за
основу при вычислении оценки спектральной плотности, если вос-
пользоваться следующим искусственным приемом. Разобьем всю
реализацию длины Т на п равных частей длиной TQ и вычислим
для каждого из п полученных таким образом интервалов выраже-
ние (29), которое обозначим для /-го интервала через Zj(w). Тогда
в качестве оценки спектральной плотности можно взять выражение
п
V/j(«>).	(44.32)
1-1
Действительно, в соответствии с (30) имеем lim Sx (w) = Sx (ш),
~	То-* оо
т. е. оценка 5х(ы) является асимптотически не смещенной и, сле-
довательно, при достаточно большом значении TQ систематическая
ошибка при вычислении спектральной плотности по формуле (32)
будет малой. Если считать То достаточно большим, то случайные
величины /j(w) для различных индексов можно считать независи-
мыми и, следовательно, на основании (31) и (32) можно напи-
сать (считаем для простоты X(t) нормальной)
limD [Sx(<o)] = lim -Usx2 (to)n = 0.
Tq-> co
П-* co
639
Таким образом, если общая длина реализации Т настолько ве-
лика, что ее можно разбить на достаточно большое число п интер-
валов достаточно большой длины То, то оценка (32) является
асимптотически не смещенной и состоятельной. Практически длина
Т всегда бывает ограниченной. Поэтому при выборе числа п при-
ходится идти на компромисс, выбирая число п таким, чтобы дис-
персия (32) была бы достаточно малой, но чтобы при этом длина
интервала То была бы достаточно большой для того, чтобы оценку
(со) можно было бы считать несмещенной.
Расчет Sx (со) по формуле (32) неудобен с вычислительной точ-
ки зрения. Однако если подставить в эту формулу вместо /j(co) ее
выражение (29) и произвести ряд преобразований, то эту формулу
можно привести к виду (28), где оценка Кх(т) вычислена по всей
реализации х(1) длины Г, а весовая функция Л(т) обращается
в нуль при ] т | > 7’0. В литературе имеется ряд формул для оценок
спектральной плотности, отличающихся друг от друга видом весо-
вой функции Л(т).
Приведем несколько подобных оценок:
1)	«усеченная оценка»
/ф) = 1-	при 14 < То ;
. О	при | т | > Та;
2)	видоизмененная оценка Бартлетта
при |т[ > Го;
3)	оценка Хэмминга
Л(т) =
1 — U-ч | 0;54 -ф- 0,46 cos ~ | .
1 о / \	1 о/
Так же как при оценке Sx (со) по формуле (32), при использо-
вании практически эквивалентной ей формулы (28) необходимо
выбрать прежде всего интервал То. При практическом выборе
этого интервала целесообразно производить параллельные расче-
ты с интервалами разной длины: при малом То случайный разброс
ординат Sx (со) будет, как правило, невелик, однако систематиче-
ская ошибка оценки будет большой — в этом случае график будет
иметь вид плавной кривой, характерные особенности (пики) кото-
рой будут сглажены. По мере увеличения То случайный разброс
ординат (со) будет увеличиваться, но параллельно с этим начнут
640
выявляться характерные особенности спектральной плотности
Sx (to). Увеличение То нужно производить до тех пор, пока систе-
матическая ошибка станет «достаточно малой», а случайный раз-
брос не станет «значительным». Очевидно, такое компромиссное
значение То можно будет найти только в том случае, если общая
длина реализации Т достаточно велика.
Какими из трех указанных выше весовых функций при этом
пользоваться, не является принципиальным: каждая из этих функ-
ций имеет свои преимущества и недостатки. Поэтому иногда целе-
сообразно выполнить расчеты, используя несколько весовых функ-
ций, и затем произвести сравнение полученных результатов.
Вместо весовой функции й(т) удобнее пользоваться преобра-
зованием Фурье для этой функции k’(gj), связанной с й(т) фор-
мулой
од
А (т) = -1 С w (<») сАо.	(44.33)
«£ J
Подставив (33) в (28) и выразив (т) через реализацию слу-
чайного процесса х(/), получим формулу, практически эквивалент-
ную формуле (28), но часто более удобную для вычислений,
Функция w(q) для приведенных выше трех оценок имеет вид:
— для «усеченной оценки»
. 2 «’Т'о
4 Г
W (со) — - . —-----—----- ;
т со2/0
— для видоизмененной оценки Бартлетта
/ ч 2
W (“) = ----ТТг"
4	тг«Г/70
(Т + Го) о) — (Т — Т^) со cos co TQ 2 sin <о То
— для оценки Хэмминга
ТО (со)
0,54 .	„	0,46
—----- Sin со / 0--------
77С0	и 7Г
СО sin СО ТС)
со2
Аналогичные рассуждения применимы и к нахождению оценки
взаимной спектральной плотности Sxy (со).
В заключение рассмотрим проверку согласия предположения
о виде закона распределения ординат случайной функции с полу-
ченной реализацией. Предположим, что имеется реализация x(t)
41
641
случайного процесса длины Т. Разобьем интервал изменения орди-
нат реализации (xmin, xmax) на m равных интервалов и обозначим
границы /-го интервала через , 8j) при $0 = xmin, = хотах.
Обозначим суммарное время пребывания реализации процесса
в j-м интервале через tj. Тогда частость р-} попадания ординаты
случайной функции в этот интервал определится равенством

tj
Т '
Пусть F (х)—функция распределения ординат процесса, согла-
сие которой с полученной реализацией нужно проверить. Тогда ве-
роятность попадания ординаты процесса в /-й интервал будет
Составим сумму
tn —
Z,3^	’	(44.35)
r==i
которая по виду отличается от аналогичной суммы в критерии
согласия К. Пирсона отсутствием множителя п, который в данном
случае не может быть введен, поскольку понятие объема выборки
теряет смысл.
В том случае, когда длительность реализации Т достаточно ве-
лика, времена являются суммами большого числа отрезков вре-
мени, соответствующих времени каждого пребывания случайной
функции между уровнем Bj_j и Поэтому величины прибли-
женно можно считать нормальными, а так как при сделанном пред-
положении о виде закона распределения Л4 (ps) = pj. то выражение
(35) можно рассматривать как сумму квадратов центрированных
нормальных величин. Поэтому, положив
X3 = аХД	(44.36)
можно так определить множитель а, чтобы произведение aXt2
имело закон распределения %2. Для определения постоянной а за-
метим, что математическое ожидание и дисперсия %2 связаны
с числом степеней свободы k соотношениями: Л!(%2) = k, D(x2) =2&.
Подставляя в последнее равенство aXj2 вместо %2, получим фор-
мулы для определения а и k\
2	Ж) ’	(44.37)
642
Если предположить, что X(t) подчиняется нормальному закону
распределения, то М(^i2) и D0Q2) могут быть сравнительно просто
вычислены, а следовательно, и определено число степеней свобо-
ды k. В дальнейшем применение критерия согласия Пирсона к дан-
ному случаю не отличается от применения этого критерия к оценке
закона распределения случайных величин.
Пример 44.1. Для эргодической случайной функции Х(/) с из-
вестной корреляционной функцией (т) определить длитель-
ность Т реализации *(/), которую необходимо иметь при опреде-
лении оценки х математического ожидания х, если D(x)=eKx(0),
где е — заданная постоянная.
Рассчитать Т, когда
а) =
£) АГХ (т) = М f cos рт + sin р | т | ,
\	Г	/
если а = 0,2 1/сек; а = 0,05 1/сек; р = 0,5 1/еек; £ = 0,01.
Решение. Дисперсия оценки х определяется формулой
D(x) =
о
а)	Подставляя заданную корреляционную функцию, находим
О
Произведение аТ I, поэтому
9д2
' аТ
Из последнего выражения следует, что должно быть
о
= Ю00 сек.
га
б)	В данном случае
т
D (х) =	f (1 —е~ах ( cos рт + -5" sin рт | dt.
/ J I 1 }	\	Р )
о
Интегрируя по частям, находим
ГЧ	Т
VM~7>2 + p2)H Т
I 1
— 2а COS Рт 4- р------- sin р-с
из
1
Г(а2 + р2)
2o2
/	а®
(Р2 — За2) COS рт 4-	( Зар----г
\	р
if
'о
2a+..£-y.
Z Г(а2 + р2)
Поэтому должно быть
-----------------------	
'---------------------/ Й \э
ea 14-
4a2
аТ 1 4- U-|
I \a ) J
80 сек.
Пример 44.2. Оценка/Се (т) корреляционной функции /б0(т) угла
крена корабля 0(Z) имеет вид
А'е (т) = а2е~а |т| ^cos рт 4- -у sin р [ т |
где ст = 6°; а = 0,05 1/сек; р = 0,75 \!сек.
Определить дисперсию D[D(&)] оценки Z)(0) дисперсии D (0),
если угол 0(Z) является центрированной нормальной случайной
функцией, а оценка (т) получена в результате обработки записи
качки корабля за время 7 = 20 мин.
Решение. Согласно формуле (18) при т = 0 искомая диспер-
сия определяется формулой
т
О[5(0)]=4 f
о
Подставляя вместо ^e (т) известную оценку Л4 (т), получаем
т
~	(* I т \ Г / сс^ \
£>[0(0)1 = 4-] (’ - т Iе "' [(1+И +
о
(2 \
1 -- J cos 2рт4~2 у- sin 2рт dt.
Интегрируя по частям, приходим к следующему выражению:
—	9(5^ / т \	(	1	/	\
L»[D(0)]--^ ^1 — —	^14-р] +
ГВ2 —a2l	1
2p2(a2~4-p2)	+ b^>cos “ ba) sin 2N j +
644
т
2о4 Г (	1 / а2 \ З2 — а2 Г
+ yr J е-2ат {“ 2Ц1 + pj + 2р2 (а2 + ?2) [ “ + C°S
о
+ (Р— &a)sln2pr | dx,
где
Так как е~2вТ=^0, то
D[5(9)]-
a4(p2 + 5a2)
аТ (a2 4~ Р2)
(Р2 — a2) (a-j-	р — fra \
4Р2 (а2 + р2)2	ФР а + ^р )
Окончательно получаем
пгг>/£Л\1	°4 Q9 , г? 2	9a4 + 2a2p2-|-Р4 ] оо Л2
D Z) (0) = =7--. ,	р2 + 5а2 _ ' /. ‘кг- — 22 град2.
J /a(a24~p2) г	2а/ (а2Р2)
• Пример 44.3. Проверить эргодичность по отношению к корреля-
ционной функции для квазидетерминированной функции
п
X (Z) = (Лксоз Bksin ®к/)>
к=1
где со к—заданные постоянные, а Лк и Bk— некоррелированные
центрированные нормальные случайные величины с одинаковыми
дисперсиями, т. е. D (Лк) — D (5к) — ок2 (k= 1, 2, .. ., п).
Решение. Корреляционная функция случайной функции X(t)
равна
п
Ку- (т) = 2 °k2 C0S ®kX-
k=l
Дисперсия	оценки D(X) дисперсии X(t) находится по
формуле
О[О(Х)] =±Г(1-4
ak4 COS2 a>kT -f-
+ 2 22 ak26r2 COS a)kT COS ay
k=l r=k+1
dx.
645
то
Так как при любом w
cos m dt —
1 — cos а) Г
7W
ti	Т	п
lim D [D (.¥)]
Т -► ОО
поэтому кйазидетерминированная нормальная стационарная функ-
ция X(f), эргодическая по отношению к математическому ожида-
нию, не является эргодической по отношению к корреляционной
функции.
Пример 44.4. Дана реализация стационарного случайного про-
цесса X(t) длиной Т — 50 сек; % = 0; /Сх(т) =	; ц = 0,1 \/сек.
Определить: а) оптимальный шаг дискретности Допт, при кото-
ром дисперсия оценки (6) математического ожидания х была бы
минимальной; б) на сколько процентов дисперсия оценки х, вы-
численной по формуле (7), будет больше дисперсии оценки при
оптимальном шаге дискретности; в) наибольший шаг дискретно-
сти Дь при котором дисперсия оценки (6) будет не более чем на
5% превышать дисперсию оценки (7).
Решение. Переходя к безразмерному времени п = ат,
Т{ = аТ = 5, в соответствии с (11) имеем:
5
1	2 Г /	Ч \
Л = — (1 + 5е 5-|- 5) + -^=- I | 1 —?гт1 I е':	— 1,21;
О	О I I	О	/
6
5
D_r/i 2'=1\т Л _ПЙ1 л _	0,61
5/	‘^~0,61, д0П1-т--^,
о
, 1	5-1,21 , 1 it
т. е. оптимальное число ординат tn+\ =—-------р 1	11.
Дисперсия оценки (7)
5
-	2 Р / т \
D(x)=^~ А ^^^ = 0,321^.
5 J \	5 у
о
646
Относительное увеличение дисперсии при переходе от оценки
(6) при оптимальном шаге к оценке (7)
)-£>(*)  #1Ч2 =
Щх)	A7\2D(x)
Для определения Ai в соответствии с (И) имеем
1,21Д12— l,22Ai=0,05-25-0,321, т. е. AisH,26,
что соответствует пяти ординатам.
ЛИТЕРАТУРА
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
АбезгаузГ Г, ТроньА ГТ, КопенкинЮ Н, КоровинаИ А
Справочник по вероятностным расчетам Воениздат, 1966
БартлеттМ С Введение в теорию случайных процессов Изд во иностр
лит, 1958
Бернштейн С Н Теория вероятностей Гостехиздат, 1946
ЬольшевЛ Н и СмирновН В Таблицы математической статистики
«Наука», 1965
Бунимович В И Флюктуационные процессы в радиоприемных устрой-
ствах «Сов радио», 1951
Ван дер Варден Б Л Математическая статистика Изд во иностр
лит, 1960
ВентцечьЕ С Теория вероятностей «Наука», 1964
Володин Б Г, Ганин М П, Динер И Я, Комаров Л Б,
Свешников А А, Старобин К Б Сборник задач по теории ве
роятностей, математической статистике и теории случайных функций Изд
ВМОЛА, 1961
Гнеденко Б В Курс теории вероятностей Физматгиз, 1961
Гренандер У Случайные процессы и статистические выводы Изд во
иностр лит 1961
Дунин Барковский И В, Смирнов Н В Теория вероятностей
и математическая статистика в технике (общая часть) Гостехиздат, 1955
Коуден Д Статистические методы контроля качества Физматгиз, 1961
Крамер Г Математические методы статистики Изд во иностр лит, 1948
Левин Б Р Теоретические основы статистической радиотехники «Сов
радио», 1966
Лившиц Н А, Пугачев В Н Вероятностный анализ систем авто-
матического управления «Сов радио», 1963
Линник Ю В Метод наименьших квадратов и основы теории обработки
наблюдении Физматгиз, 1962
Лэнинг Дж X иБэттинР Г Случайные процессы в задачах авто-
матического управления Изд во иностр лит, 1958
Пугачев В С Теория случайных функций и ее применение к задачам
автоматического управления Физматгиз, 1960
Романовский В И Математическая статистика ГОНТИ, 1938
Свешников 4 А Прикладные методы теории случайных функций Суд-
промгиз, 1961
Смирнов Н В, Дунин Барковский И В Курс теории вероят
ностеи и математической статистики «Наука», 1965
Ф е 1 ле р В Введение в теорию вероятностей и ее приложения «Мир»,
1964
Хальд А Математическая статистика с техническими приложениями
Изд во иностр лит , 1956
X е н н а н Э Анализ временных рядов «Наука», 1964
Ш о р Я Б Статистические методы анализа и контроля качества и надеж
ности «Сов радио», 1962
Янко Я Математике статистические таблицы Гостехиздат, 1961,
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение..............................................................   3
Глава 1. Случайные события
§ 1.	Соотношения между случайными событиями ........................... 6
§ 2.	Классическое определение вероятности. Непосредственный подсчет
вероятностей ................................................... .	.	11
§ 3.	Геометрические вероятности........................................15
§ 4.	Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей ...	21
§ 5.	Теорема сложения вероятностей.....................................26
§ 6.	Формула полной вероятности........................................32
§ 7.	Вычисление вероятностей гипотез после испытания (формула Байеса) 35
§ 8.	Вычисление вероятностей появления события при серии независимых
испытаний с двумя возможными исходами...................................38
§ 9.	Вычисление вероятностей появления событий при серии независимых
испытаний с числом возможных исходов, большим двух ...	45
§ 10.	Определение вероятностей исходов серии испытаний с помощью алге-
браических уравнений .................................................  51
Глава 2. Случайные величины
§11.	Ряд распределения, функция распределения и производящая функ-
ция дискретной случайной величины ..................................... 58
§ 12.	Числовые характеристики дискретных случайных величин ...	67
§ 13.	Различные виды распределений дискретных случайных величин .	.	79
§ 14.	Функция распределения, плотность вероятности и числовые характе-
ристики непрерывных и смешанных случайных величин ....	95
§ 15.	Характеристические функции .	............................ПО
§ 16.	Нормальный закон распределения...................................119
§ 17.	Другие виды распределений непрерывных случайных величин .	,	133
§ 18.	Формула полной вероятности и формула Байеса в схеме случайных
величин ...............................................................161
Глава 3. Системы случайных величин
§ 19.	Функция распределения, плотность вероятности и производящая
функция системы случайных величин....................................  170
§ 20.	Условные законы распределения....................................183
§ 21.	Характеристическая функция и моменты системы случайных величин 194
§ 22.	Математическое ожидание и дисперсия линейной функции случайных
величин. Условные моменты .««<*.<«..,	212
649
Стр.
§ 23.	Многомерный нормальный закон распределения....................224
§ 24.	Нормальный закон распределения на плоскости...................249
§ 25.	Нормальный закон распределения в пространстве	.....	275
Глава 4. Моменты и законы распределения функций
случайных величин
§ 26.	Моменты функций случайных величин.............................295
§ 27.	Приближенный расчет моментов функций случайных величин мето-
дом линеаризации ................................................... 306
§ 28.	Законы распределения функций случайных величин................314
§ 29.	Композиция законов распределения..............................337
§ 30.	Примеры вычисления законов распределения функций случайных
величин ..................................................... .....	355
§ 31.	Векториальные отклонения......................................380
Глава 5. Предельные теоремы
§ 32.	Закон больших чисел...........................................397
§ 33.	Центральная предельная теорема. Теорема Муавра—Лапласа .	.	410
Глава 6. Случайные функции
§ 34.	Законы распределения и корреляционные функции случайных функций	431
§ 35.	Спектральное разложение стационарных случайных функций . . 447
§ 36.	Линейные операции над случайными функциями....................464
§ 37.	Вычисление вероятностных характеристик случайных функций на вы-
ходе линейных динамических	систем.............................484
§ 38.	Выбросы случайных функций.....................................512
§ 39.	Метод огибающих...............................................527
Глава 7. Методы обработки результатов испытаний
§ 40.	Определение числовых характеристик случайных величин по резуль-
татам испытаний......................................................536
§ 41.	Доверительные вероятности и доверительные интервалы	.	.	. 565
§ 42.	Статистические законы распределения. Критерии согласия	.	.	. 589
§ 43.	Обработка результатов наблюдений по методу наименьших квадратов 608
§ 44.	Определение вероятностных характеристик случайных функций по
результатам испытаний................................................628
Литература..........................................................649
Приложение 1. Дискретные распределения
Приложение 2. Непрерывные распределения
Приложение 3. Некоторые корреляционные функции и соответствующие
им спектральные плотности
Дискретные распределения
Вероятнейшее значение	1		Целая часть или (/г+1)р —1и (» + 1)р	Определяется зна- чениями вероят- ностей j»,-	Целая часть а или а — 1 и а	О	A V S, S, s cl И Е О s		Целая часть т — 1 	 или р т—\	, т—1 	1 и 	 Р	Р		Целая часть (та-J- 1) (s-Ц 1)	п 4- 2 (/»-{-1) (s-Ь 1) 	. /г + 2 „ (^+D(s+ 1) /г+ 2	
(Дисперсия, D{X)			npq	С	<3	4ft.	X ik ± 1 t *1ячЛ X				(I— (s — w) (и/ — и) SW		
	7	сч											
									£	"ft.			
													
Математическое ожидание, х	g («+1)		&	j=l	<3	о| ft.							
									£				
							I-н						
							о						
													
Производящая функция, G(m)	1	s' 1 Й	+	II « t ’Н] II		s’ 1	uV ’ ' L(^) - I] d	- 1		(1-И7)“	а + -IS		0"л/{	-F-1) X I
1 Ряд распределения	(£= 1, 2, ..., я)		(w	10==?) = (?=Х)<7	(и	‘0 = г/)	1 X II	7 X	~ си	€ л I 1! 1 -Щ of	To же при k n~ 1,	II 's' II X А а	P(X = k) — 		 /"’tn— lnmzjk—га (k = m, m + 1,...)		* Е 1 с ис 215 8 и * Q		Gc j ' т
1 Случайная вели- 1 чина X означает, 1	например	Число, выбранное наудачу из первых	п чисел натураль- ного ряда.	Число появлений события при я ис- пытаниях	Число появлений события при п ис- пытаниях	1 Число появлений 1 события	i Число неудачных испытаний до пер-	вого появления события		Число испытаний до появления собы- тия равно т раз 1			зГ CQ CQ S S О S Tv	оорке оо ема ь из совокупности об’ема п.
Наименование распределения		и D Е S Е 23 о	Биномиальное	Обобщенное бино- миальное	Пуассона	(	Геометрическое а) при п = со	б) при конечном п		Отрицательное	и э Е х J3 к ч Q Л S * Е Е, °		Гипергеометри- ческое	
Вклейка 2
Приложение 2
Непрерывные распределения
Наименование распределения	Область возможных значений	Плотность вероят- ности, /(л)	Функция распределения, Л(х)	Характеристическая функция, £(«)	Математиче- ское ожидание	Дисперсия. Л(Х)	Среднее квад- ратическое от- клонение, ех	Срединное отклонение, £х	Коэффициент г асимметрии, Sk ( Эксцесс Их	Начальный момент s-ro порядка, m8r(a¥)	Центральный момент s-ro порядка, p-s(A)	Мода	Медиана
Нормальное	-со;	(X-7)= 1	За2 	=='' х = ’,/2т	др _|_ф ( -t —х j j __	, — и5»2 Jux	- е	2	л*	0?		Р /2 \	0 0		1ь->*.+1 — o> i.2, = /(2s -1)!!	X	X
Равномерное	а; b	1 b — а	х — а b — а	^hib 		 £>iu3 iu (b — a)	а-\-Ь	<ь - а}2 12	b — а 2/3	Ь — а 4	°	-1,2	1)41 _ as + l (« + !)(/>-«)	I^S+l = 0, (b-a/ r2s~2ss(2s4- 1)	-	a4^b ~2~
Коши (арктангенса)	— оо: со	а ct(x2 + а2)	| + LarctgA		-	-	-	-	-	-	-	0	0
Арксинуса	— а\ а *	1 т/ а2 — х2	1,1	. X = 4	arcsin — 2 я	а	Л (Яй)	0	а2 2	а |/ ~2 2	а /2 2	°	-1,5	'»2s+l=0, _ (25- 1)!! 2s	(2s)l! a	H2s+1 = 0) (25—1)1! 9S (2s)!!	-	0
Релея	0; оо	X - -г е а-	№ 1 -е'™1	/”7 / аи \ 1 + ш«|/ 2 ИЦ 7?)	«/i	2а2(1~т)	й|/ 2Ч	-	//г)-' -у “ — 0,631	1,	4 ) ~ 0,245	(й/2)!Г^А±Д_^	k=0	a	o/ln4
Максвелла	0; со	2л_ а3 У 2т:	ф (Д	‘^=_е-'Ь \а ! а у 2^	(!-аМ^~С) + + iau	2-/2 а	Зк — 8 9 —я	й	й/3-4	-	2/2(16 - 5/ ~ 60ч-12т2 —384 (3"-8/	(Зт-8)2	 °’486	=«0,108	а"2т+’ r/s + 3\ /^ I 2 )	2(~l)k^Wkm.-t(X)	a /2	1,54a
Лапласа 1	— со; оо	1 - Щ 2а е	1 -- е 4 при х < 0 1 я при х > 0	1 1 + а?и?	0	2а2	а-^2	a In 2	0	3	^2s+l —0 mas= (2s)’a2s	^’s+l — 0, И25 .= (2s) I	-	0
Гамма	0; со	IV-1 г (а) е «> о, х > о	При целом а —w к=0		а	IT	/ "	-	. А /а	а	г (g + S) XT(«)	k=0	Нет при a при a >1 a —I	
Экспоненциаль- ное	0; со	Хе-=', X > 0	1 — е~',Л	1	1	1 к3	_1_	-	’	2	6	s! Xs	s! V (~l)k x5 Zj ki k=T	-	Ц1п2
Вейбулла	0; со	О % л л » с	1—	1Д-/« j* eiux“iA“ dx			/ЩУ)	-	М-У)	у4(Х)	„/s + a4! X a г 	 I a )	£(-l)kc!((T)‘ms_k (X) k-0	*<.V, при a > 1 / « — 1V \ }'a /	

Наименование распределения	Область возможных значений	Плотность вероятности, f (х)	Математическое ожидание, x	Дисперсия, Г) (X)	Начальный момент s-ro порядка, от3(Х)
/2-Пирсона	0; оо		п	2 и	2sr(j-+sj 	ГШ
/-распределение	0; оо	X"-1	-£	ГШ	п — (А')2	s_	2 j
					
Стьюдента	1	Г М+ Ц	п+1 dioi-gp	0	(при п>2)	m2s+i = 0, •тН(гН OT2S =  		—Ц  Ar(v) (при 2s<a — 1)
Фишера	0; со	w (1чН-		77- (при т > 2) т — 2 ' 1	“2 т? (п -(- от — 2) п (т — 2)2 (от — 4) (при от > 4)	1 „	 g|<N Що) 		 v "г '	' S е |<м 1 t—	о. VI S | е
Симпсона	2а; 2Ь	х — 2а	.	, , уг	?2 ПРИ	О 2Ь — х	~	. . {ь_а? при х>а + Ь	а-+-Ь	(Ь - а)'1 6	(2a.)s+2 + (2/>)s+2 -2(а + Z>)s+2 (s-H)(’ + 2) (Z>-a)2
Бетта	0; 1	Г(<* + Р)	_j ..	а. “ + ?	ар (а^р)2(а.4-р+ 1) '	Г (as) Г (a + P)
		Г(а)Г(р) Х U Х> а >о, р > 0			Г (a) Г (a + P +s)
Логарифмически нормальное	0; со	м 	—— е	* Х<зу у 1 М — ,— , х0 = аУ. Ina 0	хое2М’	<М|дгУ_11 L \ ло /	J	X°Sfe)
Усеченное нормальное	а: b	-——=- е	2“‘ , а > 0, 7а/2*	_2(а~Н’	_ Lp-H’i р 4.	л Г е 2 ( « ) _ е 2 ( , 1 7/2т: [	J	а2-(,3-х)2	 х[(6-₽)е 2 ' “ '-(а-в)е а ' j	2^wps-\	ч=(й-1)а2ук_2- k=0 - —vv [b ~ e 2	~ Г|/2я L _ 1 М-РУ 1 - (a - P)k-! Г 2 M J
Обобщенное Релея	0; оо	х _ У+У /ах\ 2°2Ф)	2х/и^[<“г+2Мй+ + a2/1f^-r')l \ 4я2 / 1	а2 + 2а2 — (х)2	cm. (30.25) и (30.29)
Накатами (а-распределение)	0; со	J3 to R R i V P td| R V -cc1 я	Lhi),/E Г (а)	|/ а	р - (7)2	г(“+4кД Г (a) h J
Вклейка 3
Приложение 3
Некоторые корреляционные функции и соответствующие им спектральные плотности
Корреляционная функция, ^(т)	Спектральная плотность, М»)	Наибольший порядок п существую- щей X^(t)	Корреляционная функция производной X (/)
	ао2 те (со2 -j- а2)	0	-
2	я Н -н V 	i	0	-
(1 +ф|)	2а2а3 я(ш24-а2)2	1	a2a2g-«|[|	_ a|T|)
^cos 8т-f- у sin р | -с | j	2ао2(х24-Р2)	1	о2 (a2 4- р2) e~a|1l (cos рт — у sin р | т |
	я [(<»-’ -1- аг4- Р2)2 — 4р2®2] _	2аа2 (а2 4- р2)	_ - г [(ш2 - а2 - р2)2 4- 4aV] ~ 2аа2 (а2 4- ?2)		
	л [(ш2 4- а2 — р2)2 4- 4а2р2]		
ог^—«|т| с03 р.	си2 (<п2 + а2 4- 82) я[(о>24-а2-р2)24-4а2р2]	0	-
	8Л’ Зт7 (ш2 4- а2)3	2	у г2а2е~“ I’i (1 4- а | т | - а2т2)
02е-«|-| (1 4- а | т | — -2а2т2ф.1а3|т|3)	16а3а2ш4 («>24-аг)‘	1	а2а2е~«|7| ^5 — 11а | т | 4~ 4А2 —g-a3143^
	з2	3,. 	р—wJ/4« 2-/"аг	СО	2а2а(1-2ат2)е—1
32(1-|х|), !т|<1	/	1	V / Sin-TT® 1 2а2	2 те \ со	/	0	-
9 sin ат я*	 ат	2^- при | (о [ я; 0 при | со 1 > а	со	3^ -^5- [2ат cos ат — (2 — агтг) sin ат]
4Х cos рт	0 -gP	(ц+£)3 Ге 4’ 4-е 4“ 1 4 У ате |_	J		о2е-"’’ [(2а 4- Р2—4а2т2)соз рт — 4артз!п рт]
sin Йт о“ —7,— cos ат рт	при |в> ± а| Ср; 0 при | <о ± а [ > р	со	3_[|1со8рт+.(р4-у-^)81прт]х X cos ат -ф- 2а ^cos рт — s~^' j sin ат^
2-г-г (т)	с2