Часть I. Математические модели
инерциальной навигации
А.А. Голован
Н.А. Парусников
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
НАВИГАЦИОННЫХ
СИСТЕМ
3-е издание

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В. ЛОМОНОСОВА
А.А. Голован, Н.А. Парусников
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ
Часть I
Математические модели
инерциальной навигации
3-е издание, исправленное и дополненное
МОСКВА-2011

УДК 527:519.8
ББК 39.471.1:22.18
Г61
Голован А.А., Парусников Н.А.
Г61 Математические основы навигационных систем: Часть 1:
Математические модели инерциальной навигации. - 3-е изд.,
испр. и доп. - М.: МАКС Пресс, 2011. - 136 с.
ISBN 978-5-317-03803-8
Представленные материалы составляют первую часть книги по ма¬
тематическим основам навигационных систем. Они посвящены мате¬
матическим моделям инерциальной навигации. Вторая часть охватыва¬
ет методы и алгоритмы построения интегрированных навигационных
систем. В третьей части рассматриваются математические модели
спутниковых навигационных систем.
Материалы основаны на учебно-методических разработках кафедры
прикладной механики и управления, лаборатории управления и нави¬
гации механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломо¬
носова в области теории и практики интегрированных навигационных
систем. В этих разработках применен, в свою очередь, опыт многолет¬
него сотрудничества лаборатории и кафедры с рядом ведущих россий¬
ских научно-производственных, научно-исследовательских организа¬
ций, занимающихся проектированием навигационных комплексов.
Для студентов, аспирантов и широкого круга специалистов, зани¬
мающихся прикладными задачами навигации.
УДК 527:519.8
ББК
39.471.1:22.18
ISBN 978-5-317-03803-8
© Голован А.А., Парусников Н.А., 2007
© Голован А.А., Парусников Н.А.,
с изменениями, 2011

Содержание
1	Предисловие	6
2	Теоретические основы метода инерциальной	на¬
вигации	8
2.1 Геометрические соотношения: используемые обо¬
значения, системы координат, навигационные мо¬
дели Земли	  8
2.1.1 Обозначения векторов и матриц, операции 8
2.1.2 Трехмерное евклидово пространство ....	10
2.1.3 Навигационная модель формы Земли и
связанные с Землей системы координат	.	.	12
2.1.4 Связь гринвичских и географических ко¬
ординат точки	 17
2.2 Кинематические соотношения: кинематика вра¬
щательных движений, связь линейных и угловых
скоростей	 19
2.2.1 Кинематика вращательных движений ...	19
2.2.2 Соотношения, связывающие составляю¬
щие векторов линейной относительной
скорости Vx = (Vi,V2,V3)T и относитель¬
ной угловой скорости Ctx = (ПьП2,^з)Т и
учитывающие несферичность формы Земли 24
2.3 Динамические уравнения движения материаль¬
ной точки в поле сил земного тяготения	 29
2.3.1 Характеристики поля силы тяготения и
тяжести Земли	 29
2.3.2 Динамические уравнения движения ....	33
3	Автономная инерциальная навигация	37
3.1 Приборная основа инерциальной навигации.
Определение метода инерциальной навигации	.	.	37
3.2 Модельные уравнения инерциальных навигаци¬
онных систем	 49
3.2.1 Инерциальный опорный трехгранник ...	53
3.2.2 Гринвичский опорный трехгранник ....	55
3.2.3 Модельные уравнения бескарданных
инерциальных навигационных систем ...	56
3

3.2.4 Об учете в алгоритмах БИНС относитель¬
ного смещения чувствительных масс нью¬
тонометров 	 64
3.2.5 Модельные уравнения инерциальных на¬
вигационных систем с горизонтируемой
гироплатформой 	 66
3.3	Пример математической модели инструменталь¬
ных погрешностей ИНС 	 67
4 Уравнения ошибок инерциальных навигационных
систем	70
4.1 Уравнения ошибок ИНС с инерциальным опор¬
ным трехгранником	 76
4.1.1 Уравнения в полных ошибках	 76
4.1.2 Разделение ошибок на динамические и ки¬
нематические 	 79
4.1.3 Уравнения ошибок при использовании
внешней информации о высоте	 81
4.1.4 Запись уравнений ошибок для систем с
инерциальным опорным трехгранником в
проекциях на оси географического трех¬
гранника 	 83
4.1.5 Геометрическая интерпретация	 86
4.2 Уравнения ошибок ИНС с гринвичским опорным
трехгранником 	 89
4.3 Уравнения ошибок бескарданных инерциальных
навигационных систем	 92
4.3.1 Уравнения ошибок БИНС в случае инер-
циального опорного трехгранника . . .	94
4.3.2 Уравнения ошибок БИНС для варианта с
географическим опорным трехгранником	.	95
4.4 Уравнения ошибок ИНС с горизонтируемой гиро¬
платформой 	118
4.5	Комментарий по поводу азимутальной	ошибки	аз	119
5 Определение при помощи ИНС ориентации кор¬
пуса объекта	122
4

5.1 Определение углов курса, тангажа, крена в ИНС
с горизонтируемой платформой	123
5.2 Определение углов курса, крена, тангажа при по¬
мощи БИНС	129
Литература	132

1.	Предисловие
Отправной точкой для создания данной книги послужили лек¬
ции, прочитанные авторами сотрудникам Раменского прибо¬
ростроительного конструкторского бюро, Пермской научно-
производственной приборостроительной компании, которые, в
свою очередь, были основаны на учебно-методических разра¬
ботках кафедры прикладной механики и управления, лабора¬
тории управления и навигации механико-математического фа¬
культета МГУ имени М.В. Ломоносова.
В настоящее время существует достаточно много пособий
по теории навигационных систем и, в частности, теории инер-
циальных навигационных систем (ИНС). Представленное посо¬
бие отличается от известных аналогов, во-первых, композици¬
ей (теоретико-механические основы навигации и теории оцени¬
вания отделены от изложения собственно теории навигации),
во-вторых, способом подачи материала, основанном на систе¬
ме обозначений, формах записи соотношений, интерпретаций,
традиционных для коллектива кафедры и лаборатории.
Представляемые материалы не ставят целью выяснение при¬
оритетов и установление литературных источников, в кото¬
рых впервые были изложены те или иные результаты. Поэтому
ссылки приводятся только на те источники, материалы из ко¬
торых действительно используются при изложении.
В пределах каждого большого раздела все обозначения со¬
гласованы, но оказалось совершенно немыслимым избежать ис¬
пользования одних и тех же букв для обозначения различных
физических и математических величин в разных разделах. На¬
деемся, что это обстоятельство не приведет к недоразумениям.
Пособие содержит повторы как сознательный прием, облег¬
чающий понимание.
Пособие не содержит числовых примеров и числовой ин¬
формации о точностных характеристиках используемых в ИНС
датчиков. Тем не менее, окончательный вид некоторых урав¬
нений ошибок содержит упрощения, основанные на том, что
используются современные серийные навигационные приборы.
При применении грубых микроэлектронных механических дат¬
чиков часть этих упрощений, по-видимому, неправомерна, но
6

мы надеемся, что читатель легко внесет соответствующие из¬
менения.
Книга разбита на 3 части. Первая часть — "Математические
модели инерциальной навигации", вторая часть — "Приложе¬
ния методов оптимального оценивания к задачам навигации",
третья часть — "Математические модели спутниковой навига¬
ции".
Авторы выражают благодарность сотрудникам кафедры
прикладной механики и управления, лаборатории управления
и навигации Ю.В. Болотину, Н.Б. Вавиловой, А.И. Матасову,
В.В. Тихомирову за конструктивные замечания.
С авторами можно связаться по адресу:
E-mail: aagolovan@yandex.ru, www.navlab.ru.
Предисловие ко второму изданию
Во втором издании книги была произведена некоторая пере¬
группировка материалов, исправлены опечатки в формулах и
тексте первого издания [9], а также упрощен вывод некоторых
соотношений.
7

2.	Теоретические основы
метода инерциальной навигации
Раздел содержит соотношения, служащие основой при постро¬
ении бортовых алгоритмов инерциальных навигационных си¬
стем. Ниже будет показано, что инерциальные навигационные
системы служат моделями двух механических объектов:
• материальной точки М, движущейся в поле сил земного
тяготения под действием внешней силы, доступной изме¬
рению;
• приборного трехгранника, тем или иным способом связан¬
ного с движущимся объектом.
Собственно теория инерциальной навигации начинается с
того момента, когда соотношения, лежащие в основе этого ме¬
тода, рассматриваются в совокупности со способом их алгорит¬
мизации. По существу это означает, что теория рассматривает
оба эти объекта совместно с их числовыми моделями, реализу¬
емыми в вычислителе ИНС. Поэтому, прежде чем переходить
к указанной теории, следует описать поведение обоих объектов
с теоретико-механической точки зрения. Хотя при изложении
материала все время имеется в виду теория инерциальной на¬
вигации, сама навигационная терминология не обязательна.
2.1. Геометрические соотношения: используе¬
мые обозначения, системы
координат, навигационные модели Земли
2.1.1. Обозначения векторов и матриц, операции
Способы введения переменных и систем координат в инерциаль¬
ной навигации заслуживают серьезного внимания. При введе¬
нии обозначений мы, по возможности, старались, с одной сторо¬
ны, следовать традиции, а с другой — удовлетворить трем усло¬
виям: легкости восприятия обозначений, их согласованности и
минимизации в них числа индексов. Опыт показал, что наибо¬
лее подходящей формой для записи векторов и, соответственно,
уравнений, их связывающих, является матричная форма.
8

Векторы обозначаются малыми латинскими или греческими
буквами, матрицы — большими (прописными) буквами.
Под n-мерным вектором а понимается матрица-столбец
(Zi
а = I :	I	,	где	aj	—	j-я компонента вектора.
Скалярное произведение а • Ъ двух векторов а(п х 1) и Ь(тг х 1)
определяется как скаляр
где Т — знак транспонирования.
Диадное произведение (диада) для двух векторов а(пх 1) и
Ь(тп х 1) определяется как матрица размерности (п х га)
( aibi
а\Ъ2
CZ2&1
<22^2
0>2^тп
аЪт =
:
\ ^71^1
an&2
О'пЬтп /
Квадратичная форма Q(x) записывается в виде
Q(x) = хт Ах,
где х(п х 1), А = (a,ij) — симметрическая матрица: А = АТ.
Производная вектора или матрицы по скаляру есть вектор
или матрица, составленная из производных по этому скаляру
соответствующих компонент. Например,
da / da\ da2	daл \
dt = \ dF1~dt1''^'dF) '
Производная скаляра с по столбцу а есть строка
дс _ / дс дс	дс	\
да	\dai ’ да2 ’ ” ’ дап ) *
9

Соответственно.
дс
дат
(
дс дс	дс
да\ ’ да,2 ’ ” ’ дап
Для квадратичной формы Q(x) имеем:
Производная вектора а(п х 1) по вектору Ъ(гп х 1) есть
(п х т) - матрица:
2.1.2.	Трехмерное евклидово пространство
При задании векторов в трехмерном пространстве будем ис¬
пользовать две формы обозначений: инвариантную (не привя¬
занную к системе координат) и координатную. Все системы ко¬
ординат правые и ортогональные. Синонимом термина "систе¬
ма координат" служит термин "координатный трехгранник"
или просто "трехгранник".
Пусть OS1S2S3 координатный трехгранник, s1,^2,^3 — ор¬
ты, задающие направление осей данного трехгранника. Пусть
г — некоторый вектор в трехмерном пространстве (инвариант¬
ная форма задания вектора). Тогда
Г = riS1 + Г 2 S2 + 7*3 53 ИЛИ f = Si 51 + S2~S2 + S3S3.
В координатной форме имеем
г s = (ri,r2,r3)T ИЛИ rs = S = (si,S2,S3)T.
10

Ниже будут использованы оба варианта задания вектора. Та¬
кая двухвариантность обеспечивает необходимую гибкость при
изложении материала.
В дальнейшем нам понадобится матричная форма записи
векторного произведения. Пусть
а = aip1 + а2рг + а3р6, b = bip1 + b2pl + b3p6.
-2
-3
—2
-3
Тогда
с = a x
+
P
ai
bi
CL 3 al
63	61
P2 P3
a2 a3
b2 b3
P2 +
а2
«3
ь2
Ьз
cl\ a2
bi b2
-i ,
P +
P3 = cip1 + c2p2 + c3p3,
=1 =2
где	—	орты, задающие оси ортогонального трехгран¬
ника Ор\р2рз.
Поставим в соответствие вектору-столбцу ар = (а\,а2,а3)т
кососимметрическую матрицу
I °
аз
-а2
вр — I а3
0
ai
\ CL2
—ai
0
Ср (ci, С2 з
сз)т
>0
II
Тогда
Замечание. При обозначении осей систем координат воз¬
можны два способа. При первом — каждую ось обозначают
своей буквой, при втором — оси некоторого трехгранника обо¬
значаются одной буквой с цифровым нижним индексом. Здесь
в силу очевидных удобств принят второй способ.
Для обозначения единичной (3 х 3) матрицы будем исполь¬
зовать отдельное обозначение Е.
Рассмотрим два трехгранника Ор\р2р3 (Ор) и O<71<72<73 (Oq).
Пусть 1р = (1р1,1р2,1рз)Т, lq = (lql,lq2,lq3)T ~ Два ВеКТОр-
столбца, составленных из координат проекций одного и того же
11

вектора I соответственно на оси трехгранников Ор и Oq. Тогда
имеет место соотношение
lq = Nlp , где N — ортогональная матрица:	N~x	=	NT.
Строки nfci,nfc2)ftfc3 (к = 1,2,3) матрицы N составлены из ко¬
ординат ортов qk в системе Ор. Матрица N носит название мат¬
рицы ориентации трехгранника Oq относительно трехгранника
Ор. Другое название величин nfci,nfc2,7ifc3 — направляющие ко¬
синусы.
Известно, что ориентация одного трехгранника относитель¬
но другого однозначно определяется тремя независимыми па¬
раметрами. В качестве таких параметров могут служить коор¬
динаты вектора конечного поворота
аё = aeip1 + ае2р2 + ае3р3.
Для того, чтобы совместить трехгранник Ор с трехгранником
Oq , его нужно повернуть против часовой стрелки на угол, по
величине равный модулю вектора аё, вокруг оси, совпадающей
с направлением этого вектора.
В качестве независимых параметров в теоретической меха¬
нике используются углы Эйлера. В авиационной и морской на¬
вигации чаще всего используются углы Крылова. Возможна и
иная параметризация.
Существованию трех независимых параметров ориентации
соответствует тот факт, что между девятью элементами ортого¬
нальной матрицы N существует 6 алгебраических соотношений,
в качестве которых, например, можно выбрать такие: столбцы
матрицы N имеют длину, равную 1, а попарные скалярные про¬
изведения этих векторов равны нулю. За деталями читатель
может обратиться, например, к [6].
2.1.3.	Навигационная модель формы Земли
и связанные с Землей системы координат
Применительно к системам, реализующим метод инерциальной
навигации, в качестве навигационной модели формы Земли ис¬
пользуется эллипсоид вращения, ось которого совпадает с осью
12

вращения Земли [1], [4], [7], [8]. Параметры этого эллипсоида
таковы:
а — большая полуось; Ъ — малая полуось; е = а — сжатие;
2 — h2
е2 _ а—^о квадрат первого эксцентриситета.
Очевидны соотношения: е2 = 2е — £2, b = (1 — е)а.
Перечислим модели, используемые в России.
1. Эллипсоид Красовского 1942 г. — система координат
42 года (СК-42).
а = 6378245.0 м, е = 1/298.3, е2 = 6.69342749 • 10“3.
2. Эллипсоид координатной системы Параметры Земли 1990
года (ПЗ-90), используемой в спутниковой навигационной
системе ГЛОНАСС.
а = 6378136.0 м,	е = 1/298.257839303,
е2 = 6.69436619-10"3.
3. Эллипсоид координатной	системы WGS-84 (World
Geodetic System), используемой в спутниковой навигаци¬
онной системе GPS (Global Positioning System).
а = 6378137.0 м,	е= 1/298.257223563,
е2 = 6.6943799901413 • 10"3.
С навигационной моделью формы Земли связываются три
основные системы координат: инерциальная 0£, гринвичская
От] и географическая Ох.
Инерциальная система координат	О	— геомет¬
рический центр Земли. 0£з — ось вращения Земли, направлен¬
ная на северный полюс. 0£i^2 — плоскость Земного экватора.
Ось направлена на точку весеннего равноденствия. Счита¬
ется, что такая система с высокой степенью точности неподвиж¬
но ориентирована относительно бесконечно удаленных звезд.
Гринвичская система координат Orji^Vз, жестко свя¬
занная с Землей. Ось Ощ совпадает с осью 0£з — осью вра¬
щения Земли, плоскость Ощщ — экваториальная плоскость,
13

плоскость Orjirjs — плоскость гринвичского (нулевого) мериди¬
ана.
Матрицу ориентации некоторого трехгранника Os (Os\S2Ss)
относительно инерциального трехгранника 0£ будем обозна¬
чать через А3, а относительно трехгранника От] — через В3,
так что имеют место соотношения
13 — А31$, l3 — B3lfj.
Для матрицы Ац имеем
(cos (ut + Ло) sin (ut + Ло) 0 \
— sin (ut + Ло) cos (ut + Ло) О I .
О	0	1/
Ло — угол между осями 0£i, Ощ инерциальной и гринвичской
систем координат в начальный момент времени t = 0, и — уг¬
ловая скорость вращения Земли.
Географическая система координат Ох\ХчХЪ' Для того,
чтобы определить географическую систему координат, введем
некоторую точку М, расположенную, возможно, вне земного
эллипсоида. Нормальную проекцию точки М на поверхность
эллипсоида обозначим через N. Орт	определяет	направ¬
ление географической вертикали. В случае, если точка М ле¬
жит на поверхности эллипсоида, направлением вертикали слу¬
жит внешняя нормаль к поверхности в этой точке.
Введем трехгранник Мх 1X2X3 таким образом, чтобы орт
оси Мхз совпадал с направлением географической вертикали.
Плоскость, в которой лежат ось Ощ и точка М, называется
плоскостью текущего меридиана.
Ориентация трехгранника Мх относительно плоскости те¬
кущего меридиана (азимутальная ориентация) доопределяется
тем или иным способом. Выделим частный случай, когда ось
Мх2 лежит в плоскости текущего меридиана и направлена на
Север. Такая ориентация трехгранника Мх называется ориен¬
тацией в географической координатной сетке. При необходи¬
мости этот случай азимутальной ориентации будем выделять
14

акцентом °: Мх°. Ориентацию произвольного географическо¬
го трехгранника Мх относительно Мх° будем определять ази¬
мутальным углом х: переход от трехгранника Мх° к Мх осу¬
ществляется поворотом против часовой стрелки на угол х во¬
круг оси Мх3. При этом матрица S взаимной ориентации этих
трехгранников примет вид:
Одновременно с трехгранником Мх рассмотрим систему ко¬
ординат Ох (с началом в точке О), оси которой параллельны
соответствующим осям трехгранника Мх,
Матрицы ориентации трехгранника Ох относительно трех¬
гранников 0£ и Or) в соответствии с введенным выше правилом
обозначим через Ах = (а^) и Вх = (6^), так, что имеют место
соотношения
где 1Х,	векторы-столбцы, составленные из координат про¬
извольного вектора I в соответствующих трехгранниках.
Систему Ох назовем системой, жестко связанной с геогра¬
фической вертикалью. Местоположение точки М в инвариант¬
ной форме определим вектором г. Имеем
В матричной форме местоположение точки М относительно
трехгранников 0£, Оц, Ох зададим векторами-столбцами
£ = (£ъ6>£з)т> п = (т,т,т)т, x = (xi,x2,x3)T.
Кроме того, вводятся географические (полярные) коорди¬
наты точки М: географическая северная широта восточная
долгота Л и высота h.
Широта v? — угол между Мхз и экваториальной плоскостью
Ощщ, отсчитываемый от этой плоскости к Северу. Долгота Л
(2.1)
1Х — АХ1И lx — Bxl-q,
г —	+	&£2 + £з£3 = ViV1 + Ш'П2 + 'Пз'П3 = xixl + Х2Х2 + х3х3,
где£\ rf>, х3 (j = 1,2,3) — орты соответствующих осей.
15

— угол между проекцией орта х3 на экваториальную плоскость
и осью От) 1, отсчитываемый от этой оси к Востоку. Высота h =
\NM\.
Обозначим через В° матрицу Вх в частном случае ориен¬
тации трехгранника Ох в географической координатной сетке.
Имеем:
— sin Л	cos	А О
В° = ( —cos A sin ip —sin A sin ip cosip |.	(2.2)
cos A cos ip sin A cos ip sin ip
В общем случае матрица Вх имеет вид:
— sinA cosx — cosA siny> sinx — sinA sin y? sinx + cos A cosx cos y? sinx
sinA sinx — cosA siny? cosx ~ sinX siny? cosx — cosA sinx cosy? cosx
cosA cosy?	sinA	cosy?	siny?
(2.3)
Очевидно, что при произвольной азимутальной ориентации
трехгранника Мх справедливо соотношение
£>31 = &31 = cos ^ cos V?? £>32 = £>32 = s^n ^ cos	£>зз = £>зз = s^n (Р-
В навигационной практике иногда используется ортодро-
мическая система координат. Ортодромический трех¬
гранник Ot]iт}2?7з (Or;*), жестко связанный с вращающейся
Землей, можно ввести, например, следующем образом. Пусть
У(1) = (vi 1\*?21)>т?з1))Т> т/(2) = (7?i2)>r?22)»l?32))T — векторы, опре-
деляющие положения в системе От) двух точек М\, М2, прини¬
маемых за приведенные начальные и конечные точки траекто¬
рии движения объекта. Орты г}1 , г}2 , rf вводятся в проекциях
на оси трехгранника От] и определяются соотношениями
-1* _ у{1)	-3*	_	X 77(2)	^2*	_	=3*	я1*
~ Ь?(1)Г	"	М1) х*?(2)Г	~
Направление Orj3 — ось ортодромии. Плоскость Orj^r]^ — плос¬
кость ортодромии. Аналогично тому, как определяются геогра¬
фические долгота и широта, вводятся ортодромические долгота
А* и широта ip*. Матрица ориентации В* трехгранника Ох* в
ортодромической координатной сетке имеет вид (2.2) с добав¬
лением у переменных верхнего акцента *.
16

2.1.4.	Связь гринвичских и географических координат
точки
Рассмотрим сечение навигационного эллипсоида плоскостью
Orjirjs. Линия пересечения этой плоскости с эллипсоидом об¬
разует эллипс с полуосями а и Ъ. Пусть N - проекция точки М
на поверхность земного эллипсоида, тогда ее координаты 771 и
773 связаны соотношением
F(.m,m) = Vi + YZ^ -а2 = 0.	(2.4)
Точку пересечения нормали к эллипсоиду, проходящей через М,
с осью Ощ обозначим через Е (см. рис.1). Расстояние EN обо¬
значим через Re- Далее будет понятно, что Re — длина одного
из главных радиусов кривизны навигационного эллипсоида.
Рис. 1 Географическая широта.
Имеем
771 = Re cos (p.
(2.5)
17

Получим
1	77
- gradF{r)i,773) = mv1 + Y~2 V3
где 771, ту3 — орты осей Or] 1, O773.
Отсюда следует
1 — е2 771
Из соотношений (2.4) - (2.6) получим
а
Re =
(2‘6)
\/l — е2 sin2 99 д/l — е2623
7/i = Re cos v?, 773 = Дя (l - е2) sin </?.	(2.7)
Для точки М в общем случае получим
Vi = (йя +/1)631,
772	=	(Дя +/1)632,	(2.8)
773	=	(Де + /1)633 — Д^е26зз.
С учетом соотношения lx = Bxlv получим в проекциях на оси
трехгранника Ох
xi =	— е2Д^6ззЬ1з,
Х2 = — е2Дв&зз&23)	(2-9)
£з = Дя + Л-в2ДяЬ§3.
Обычно используются приближенные по малому параметру е2
формулы (в предположении, что \ < е2). С точностью до е4
имеем:
• длина радиус-вектора г
е2
г = {vTv)1/2 ~ а + h — a— sin2 р;	(2.10)
• связь географической и геоцентрической широт. Гео¬
центрическая широта <р° определяется как угол между
18

радиус-вектором точки М и плоскостью экватора, отсчи¬
тываемый от плоскости экватора. Имеем
tg¥>= tg<^° (2Л1)
или
(р —	« ^е2 sin2(/? « ^е2 sin2y?°.	(2.12)
В угловой мере р — р° = 11.5' • sin 2 р.
2.2.	Кинематические соотношения: кинемати¬
ка вращательных движений, связь линей¬
ных и угловых скоростей
2.2.1.	Кинематика вращательных движений
Введем необходимые обозначения. Вектор абсолютной угловой
скорости некоторого трехгранника Os относительно трехгран¬
ника 0£ в инвариантной форме обозначим через й3
й3 = и si's1 + uj32s2 + u>s3s3.
Одновременно введем вектор-столбец ш3 = {и)31,и32,ш3з)Т1 со¬
ставленный из проекций вектора на оси этого трехгранника.
При таком способе обозначений угловая скорость любого трех¬
гранника всегда задается своими проекциями на его собствен¬
ные оси.
В частности, из равенства = cjz вовсе не следует, что
угловые скорости трехгранников Оу и Oz совпадают, поскольку
трехгранники От/, Oz могут иметь разную ориентацию.
Заметим, что в этой книге нигде не возникает необходимость
записывать угловую скорость одного трехгранника в проекци¬
ях на оси другого трехгранника. В том случае, когда ясно, о
каком трехграннике идет речь, индекс трехгранника при запи¬
си проекции угловой скорости опускается. Именно, полагается
Ша = (и>1,и>2,Ч>з)Т-
Угловую скорость трехгранника Os относительно трехгран¬
ника От/ — относительную угловую скорость трехгранника Os
— обозначим П3.
19

Введем вектор угловой скорости Земли й. В проекциях на
оси трехгранника Os получим матричное представление этой
скорости и3 = (и31)и32,и8з)т. Очевидно соотношение
и)3 — £13 ~Ь и3.
Обозначим через v вектор абсолютной линейной скорости точки
М. Имеем
v = v^1 + г>£2?2 + ^з?3 = VsiS1 + va2s2 + vs3s3.
Матричная форма задания этого вектора
V£ = (va, V&, vv)T, vs = (val, vs2, va3)T.
Обозначим через V вектор относительной линейной скорости
точки М. Соответствующая матричная форма задания этого
вектора:
Vr, = (Vvь	Vrfl,	^з)т,	V. =	(Val, V*, Va3f.
Очевидны соотношения
vs =	AsV£,	V3 =	BsVrj.
Установим соотношение, связывающее угловую скорость и3 с
матрицей ориентации А3. Из теоретической механики известна
связь линейной скорости и радиуса-вектора некоторой точки М,
в том случае, когда оба вектора заданы своими проекциями на
оси трехгранника, вращающегося относительно другого трех¬
гранника, принимаемого за неподвижный. В матричной форме
эта связь описывается соотношениями
v3 =	s + ujs1	(2.13)
V. =	8 + f%a.	(2.14)
Из этих формул следует связь между абсолютной и относитель¬
ной линейными скоростями
v3 = Vs + s = V3 - u3s,
20

/	0	и3
Us = I —Us О
\ U2 -Ui
Здесь нижний индекс 3 у проекций вектора й опускается.
Для установления связи между матрицей ориентации А3
трехгранника Os относительно 0£ и абсолютной угловой ско¬
ростью и3 воспользуемся соотношением
s = А3£ или £ = Aj s.
Имеем
V( = £ = Afs + Afs.
Умножим последнее равенство слева на матрицу получим
v3 = 5 + AsA^S'	(2.15)
Из сравнения (2.15) с (2.13) следует
Cj3 = А3АJ или А3 = ш3А3.	(2.16)
Кососимметричность матрицы A3Aj легко получить при диф¬
ференцировании соотношения
A.AJ = Е.
Соотношения (2.16) носят название кинематических уравнений
Пуассона.
Аналогично устанавливается связь между матрицей ориен¬
тации В3 трехгранника Os по отношению к трехграннику От) и
относительной угловой скоростью П3. Имеем:
В3 = й3В3.
В частности, для матриц ориентации Ах, Вх трехгранника
Мх имеют место соотношения
Ах — сихАХ1 Вх = ПХВХ.	(2.17)
21

Выведем еще одно кинематическое уравнение, важное для при¬
ложений. Пусть Os и Ор два некоторых трехгранника с матри¬
цами ориентации А3 и Ар. Матрицу ориентации трехгранника
Os относительно трехгранника Ор обозначим через С: ls = С1р.
Для С имеем выражение
с = ASA*
С учетом кинематических соотношений
А3 — u)gASi Ар — ujpAp,
получим
с = ш3С - С и р.	(2.19)
Некоторые замечания по поводу скалярной формы кинема¬
тических уравнений Пуассона. Для определенности рассмотрим
уравнение
As = й3А3.	(2.20)
В скалярной форме это девять дифференциальных уравнений.
Поскольку любое вращение определяется тремя независимыми
параметрами, система уравнений относительно — элементов
матрицы А3 должна иметь шесть первых интегралов. Они оче¬
видны и следуют из ортогональности матрицы As: суммы квад¬
ратов элементов столбцов матрицы А3 равны 1, а их попарные
скалярные произведения равны нулю.
Систему уравнений (2.20) можно переписать также в форме
шести дифференциальных уравнений и трех алгебраических
«12
=
U) з«22 —
^2 «32 j
«13
=
«*3«23 “
«*2«33>
«22
=
«Ц«32 ~
«*3«12>
«23
=
«>1«33 “
^3«13?
«32
=
С^2«12 —
^1«22,
«33
=
«>2«13 ~~
^1«23?
«11
=
«22 «33 “
‘ «23 «32
(2.18)
22

^21 = a32^13 — ^зза12,
G31 = а12^23 — «13^22-
Достоинство кинематических уравнений в направляющих ко¬
синусах dij состоит в том, что дифференциальная их часть ли¬
нейна. С другой стороны, хорошо известны системы из трех
нелинейных уравнений вращения с минимальным количеством
независимых параметров: в углах Эйлера, Крылова.
Возникает вопрос о существовании уравнений с минималь¬
ным количеством параметров, сохраняющих свойство линейно¬
сти. Один из наборов таких параметров состоит из параметров
Родрига-Гамильтона, связанных с понятием конечного поворо¬
та [6].
Введем вектор аё — вектор конечного поворота трехгран¬
ника Os относительно 0£. Пусть ае — модуль этого векто¬
ра,	— направляющие косинусы вектора по отношению к
трехграннику 0£. Параметры Родрига-Гамильтона Ао, Ai, А2, A3
вводятся соотношениями:
ае	ае	ае	ае
A0 = cos—, Ai =Zi sin—, A2 = Z2sin-, A3 = Z3sin—. (2.22)
Связь матрицы ориентации As с параметрами Aj (j = 0,1,2,3)
определяется соотношением
А = (2\1 ~ Vе + 2АоА + 2ААТ.	(2.23)
Здесь А = (Ai, А2, Аз)т, А — кососимметрическая матрица, по¬
ставленная в соответствие вектору А.
В явном виде имеем:
/	2(А§ + Af) — 1	2( А0А3 +	AiA2)	2(—АоА2 + А1А3) \
As= I	2(—А0А3 + AiA2)	2(Aq + А2)	— 1	2( АоА1-ЬА2Аз) I.
у	2( АоА2 + А1А3)	2(—А0А1 +	А2Аз)	2(Aq 4- A3) — 1 J
(2.24)
Вывод полученных соотношений, а также подробная теория
конечных поворотов содержится, например, в [6].
23

Кинематические уравнения в параметрах Родрига-
Гамильтона имеют вид
Ло — — - cjJЛ,	Л — - (Аоилр 4- и>хА).	(2.25)
2.2.2.	Соотношения, связывающие составляющие век¬
торов линейной относительной скорости
Vx = (Vi,V2,Vs)T и относительной угловой скоро¬
сти fi,x = (17i,f22,^3)T и учитывающие несферич-
ность формы Земли
Вывод указанных соотношений может быть сделан двумя спо¬
собами. В первом за исходные принимаются соотношения
Второй способ более предпочтителен. В нем за исходные
принимаются соотношения:
где Vjj = (7)1,7)2,7)3)т, и составляющие вектора 77 удовлетворяют
соотношениям (2.8)
Vx — X 0^21) Вх — QxBxi
где матрица ориентации Вх представляется в виде
и составляющие вектора х имеют вид
х\ = — е2Дя6зз&1з,
= —е2 Re &33&23)
хз = Re + h — е2 ЯеЬ23.
(2.26)
Vx = ВХУЮ
771	=	(Re	+	/ОЬзъ
772	=	(RE	+	h)b32,
773	=	(Re	+	h)b^3 —	#Ее2&зз.
24

Кроме того, используются кинематические уравнения Пуассона
в двух формах:
Вх = ПХВХ,	ВХВ% = Qx.
Имеем
7) = (Re + h) + [ &32 J — с2 (	О
V &зз /	V	&еЬзз + ЯеЬзз
Далее приводим несколько промежуточных вычислений
Вх
Из соотношения ВХВJ = Пх следует
Далее имеем
Д# =	_3~2^23	’ ДяЬзЗ + Яябзз = ^ _~^>2fo2 ’	(2.27)
и
^33 — ^2^13 — 0,623.
Используя полученные выше соотношения получим
VX= (Дд + /I) Да -	-	О**”).,
1 е O33
V3 = -{Re + h) fii - e2flEMn26i3-nib)i (2.28)
1 “ e ^33
V3 = L
Рассмотрим частный случай ориентации трехгранника Ох
(Мх) в географической координатной сетке. Для этого случая
ранее были приняты обозначения
В = В° или bij = 6^-, (i,j = 1,2,3).
25

При этом,
Ь® 3—0 И ^23	1	^зз-
Аналогично обозначим
Vx = Vx° = (у1°, У2°, У3°)Т. Пх = П2 = («?> Па, Пз)Т-
Тогда
V? = (Re + ВД, V2° = ~ (яд i 1^3	п°.	(2.29)
Обозначим
1 - е2	а(1	—	е2)
Ддг =	^£7:
1-еЧ233	(1	—	е2Ь§3)3/2
Отсюда для V^0 следует
*£ = -(Я*+ Л)П?.
Из последних соотношений следует, что Re и Rn — главные
радиусы кривизны. Величину Re будем называть долготным
радиусом кривизны, Rn - широтным радиусом кривизны.
Замечания:
1. Иногда удобно вместо обозначений V° и И2° пользоваться
обозначениями Ve (East - Восток) uVn ( North - Север).
2. Компоненты вектора выражаются через производные
географических координат <р, А следующим образом
Щ = —ф, П2 = Л cos (^, n3 = Asin(^ = n2 tg</>. (2.30)
Тогда
Ф = ir^r, А = —	.	(2.31)
Rn “I- h	{Re	-Ь	Л)	cos	(р
3. Очевидно, что для всех трехгранников Ох, в которых ось
Охз параллельна направлению географической вертикали,
то есть оси Мх3
Из = ^з = h.	(2.32)
26

Соотношение (2.28) можно представить в упрощенном виде,
если ограничиться точностью этих формул до е4. Имеем
дельных алгоритмов) требуется явная обратная зависимость
и П2 от Vi и V2. Установим такую зависимость приближенно с
точностью до е4. В качестве первого приближения положим
Второе приближение получим из (2.33). Подставим выражения
(2.34)	в слагаемые, пропорциональные е2. Будем иметь
Величину Re в этих формулах можно использовать в упрощен¬
ном виде:
Возможен также иной подход. Для произвольного трехгран¬
ника Ох, повернутого относительно трехгранника Ох° вокруг
оси Охз на угол х против часовой стрелки, где ось Охз задает
направление географической вертикали, справедливы соотно¬
шения:
(2.34)
= ~Re + H ~ ^’г>23	+	b2aV^	’
(2.35)
0,1 = cos х + Щ s*n Х>
0,2 = —И? sin х + cos X>
12з =	+	Xi
(2.36)
Vi = V° cos x + v2 sin x,
V2 = —Vf sin x + V2 cos x-
В результате получим

_	/	sin2	х cos2x\ тг .	/1	1	\
2_	1(д^Г+А	+	Д^+Ау)+	2SinXCOSX yRN + h-RE + hJ-
(2.37)
В морских приложениях часто используют еще одну форму
представления соотношений (2.35), (2.36) (в том числе для ком¬
понент cji, u>2 абсолютной угловой скорости):
= ~e|_^(1_Scosx’
= й + Ш (х ~ Ssinx>
Wl = -й-$К1~я|)совх’
Здесь для величины 1—Rn/Re можно использовать следующее
приближенное выражение
(2.38)
1 - (И =	(2-39)
Не 1 — ел sin р
— sin х cos x 0 I = BBoT = S
Из очевидного равенства
cos х	sin х	О
sin х	cos x	О
О	0	1
также следует
COS X = ЬиЬп + bl2bj2> sinX = -(b21&n + &22&12)-
В заключение приведем варианты азимутальной ориентации
трехгранника Ох (Мх), наиболее часто используемые в инер-
циальной навигации:
1.	Пз = 0 — азимутально свободная ориентация относитель¬
но Земли или относительно свободная ориентация;
28

2. О3 = —ubss — азимутально свободная ориентация или аб¬
солютно свободная ориентация: (о& = 0);
3. Оз = 02tg<p* — координатная ориентация, где в общем
случае (р* - ортодромическая широта;
4. Oi = —иЬгз — гирокомпасная ориентация (иц = 0).
2,3.	Динамические уравнения движения
материальной точки в поле сил земного
тяготения
2.3.1.	Характеристики поля силы тяготения и тяжести
Земли
Удельная сила тяжести д в каждой точке есть равнодействую¬
щая удельной силы ньютонова тяготения д° всей массы Земли
и силы инерции /м, вызванной вращением Земли вокруг своей
оси:
9 = t+lu■
По сравнению с удельной силой тяготения д° сила инерции
fu мала и не связана с распределением масс в Земле.
Поле притяжения, соответствующее земному эллипсоиду с
постоянной плотностью распределения масс, называется нор¬
мальным, а отклонения фактического поля земного притяже¬
ния от нормального - аномальным полем притяжения.
Для определения потенциала U нормального поля притяже¬
ния в точке М обычно пользуются разложением этого потен¬
циала в ряд по сферическим функциям геоцентрической широ¬
ты ip°. При этом для точности, достаточной для околоземных
навигационных приложений, ограничиваются первыми двумя
членами этого разложения.
Замечание. Теория гравитационного потенциала Земли не
является предметом данной книги. Здесь мы приводим при¬
ближенные выводы из этой теории, достаточные для прило¬
жений к инерциальной навигации.
Приближенную модель гравитационного потенциала U бу¬
дем записывать с использованием трех постоянных параметров:
29

большой полуоси а модельного эллипсоида, квадрата его перво¬
го эксцентриситета, удельной нормальной силы тяжести де на
экваторе:
и =
9е&
' е2 е2 а2
4	12	г2	г2	^
где в квадратных скобках отброшены члены порядка е4.
Если ограничиться окрестностью поверхности эллипсоида
порядка 40 км, то h/a ~ е2 и (см. (2.10))
Тогда
Нормальная удельная сила тяготения <7° вычисляется как
gradf/:
—О _ _ 9еа
п*3
V 3	4	г2	J	2	г
(2.41)
Учитывая приближенные соотношения для модуля г радиус-
вектора (2.10), географической <р и геоцентрической <^° широ¬
ты (2.12)
ip — ip° ~ ^е2 sin2ф,
с точностью до е4 получим
\ _ _Q
. (2.42)
Для модуля д° с точностью до е4 имеет место выражение
д° =де ^1 - 2^ + je2sin2vJ+ .	(2.43)
30
д° = ~-
а
h е2 е2
1 “ 3“ + У + If sin2 J £ + — sin уз £

Для силы инерции fu справедливо выражение:
fu = —й х (их г). Тогда в системе координат Оя, связан¬
ной с географической вертикалью, имеем
где йх — кососимметрическая матрица, соответствующая век¬
тору их = (ni,ii2,щ)т угловой скорости вращения Земли,
9х = (0,0,— д)т, д — модуль нормальной удельной силы тяже¬
сти.
Соотношения (2.44) есть отражение того факта, что поверх¬
ность модельного эллипсоида есть уровенная поверхность нор¬
мального поля силы тяжести.
Для модуля д с точностью до е4 имеет место выражение
В гравиметрии с 1971 года в России используется формула
Гельмерта, применяемая для точек, находящихся на поверхно¬
сти модельного эллипсоида Земли:
Для применения формулы (2.46) к точкам с ненулевым значе¬
нием высоты h используют значение вертикального градиента
удельной силы тяготения, построенного для сферической моде¬
ли поля тяготения и формы Земли:
(2.44)
(2.45)
д = 9.78030(1 + 0.005302 sin2 ip - 0.000007 sin2 2tp) -
0.00014 [м/сек2].
(2.46)
Г
Тогда для вариации
справедливо прибли¬
женное соотношение
31

— квадрат частоты Шулера (и;2 = 1.543 • 10 6сек 2,
uo = 1.243 • 10-3сек-1).
Величина 5д = —2и%}1 носит название высотной поправки.
Учитывая дх = д® — и^х = (0,0, — д)т и формулу (2.9), для
компонент вектора д® нормальной удельной силы тяготения в
осях географического трехгранника получим
Приведем также модель удельной силы тяготения, которая
рекомендована контрольным документом [8] для прогноза тра-
екторных параметров движения навигационных спутников си¬
стемы ГЛОНАСС. В гринвичской системе координат Од удель-
Здесь р = 398600.44- 109м3/с2 — константа гравитационного по¬
ля Земли; С20 = —1082.6257 • 10”6 — параметр принятой модели
гравитационного потенциала; а = 6378136 м — большая полуось
модельного эллипсоида Земли координатной системы ПЗ-90 [7].
Замечание. В инерциальных осях 0£ модель удельной си¬
лы тяготения д®, очевидно, имеет такую же структуру, как
и в (2.49).
Ранее было введено соотношение, устанавливающее связь
между географической и геоцентрической широтами. Введем
и2 (Re + h) 613633
и2 (Re + h) 623633
g(ip, h) - и2 (Re + h)(l- Щ3)
(2.48)
ная сила g® = (g°1,g^9°z)T имеет вид:
(2.49)

 off
понятие гравитационной широты <р9, как угла между ортом х ,
задающим направление силы тяготения
(2.50)
и плоскостью экватора, отсчитываемого от плоскости экватора.
Связь между географической и гравитационной широтами
находится из соотношения (2.42), откуда следует приближенное
равенство
2.3.2.	Динамические уравнения движения
Ниже приводятся уравнения движения материальной точки в
поле сил тяготения под действием силы /, записанные в проек¬
циях на оси систем координат, наиболее важных с точки зрения
инерциальной навигации. Такими системами служат инерци-
альная система 0£, гринвичская система От) и система, жестко
связанная с географической вертикалью Ох.
Уравнения движения в инерциальной системе коорди¬
нат <Э£.
Положение и абсолютная скорость точки М определяются
в матричной форме соответственно векторами £ = (£ъ£2,£з)т
и^ = (у£1,У£2,Щз)т* Уравнения движения в рассматриваемом
случае имеют вид
Далее для д® будут использоваться две записи, равноценные по
точности, а именно соотношения (2.41) и (2.42). Забегая впе¬
ред, отметим, что представление (2.42) удобно использовать в
случае, когда доступна сторонняя информация о высоте h.
В проекциях на оси трехгранника соотношение (2.41) бу¬
дет иметь вид
£ = г>€, щ = д% + Д.
(2.51)

где г = \/£т£, или в скалярной форме
реа
Зеа
9е&
е2 3 V
f У “Г ^Р1’
е2 3 2$\ Л
f У~4е ^)Ь’
(л е2 з ,й\ ,
А +_3 “4е
(2.53)
+
2 г
Соотношения (2.42) в проекциях на оси того же трехгранника
имеют вид
„2 Л2 л2 \	„2
з! =
9е
а
(2.54)
.(1-3Н + 1 + т1)« + ¥{з<0'°'1)’
или в скалярной форме
* -
* = -si{l-3-a + j + j$)b’	<2-55>
* - -f [М4Р§)^4
Заметим также, что в (2.51) можно использовать модель
нормальной удельной силы тяготения вида (2.49).
Уравнения движения в гринвичской системе коорди¬
нат Оцш
Положение и относительную скорость точки М определим
векторами т? = (т,т]2,г1з)т hVv = (Vnl, Vv2, Vn3)T.
Ранее была установлена связь между абсолютной и относи¬
тельной скоростями точки М. В нашем случае эта связь опи¬
сывается соотношением
vrJ = VT}- ЩГ],
(2.56)
где Vrj — абсолютная линейная скорость в проекциях на оси
трехгранника От?, щ — кососимметрическая матрица, соответ¬
ствующая вектору угловой скорости Земли ип = (0,0, и)т.
34

Имеют место очевидные уравнения
т)	= щ + uvr),
Щ	=	+ 9ri fr)•
С учетом (2.56) получим
V = Vi,
У-П =	2йгУг, +5° - й\г) + /ч.
Здесь д® — Щт] = Qrj — вектор удельной силы тяжести в проек¬
циях на оси трехгранника Од.
В скалярной форме будем иметь
Vi	=	Ущ,
т	=	^2,
(2.57)
(2.58)
Дз	=	КуЗ,
Vrji	=	2u Уф	+ и2 rji	+ g®i + /r^i,
Vrj2	=	—2u V^i	+ w2 772	4- g®2 + /772»
^3	=	^3	+	/t?3-
Аналогично тому, как это делалось для случая с инерциальным
трехгранником, величину д® = (<7?, #2> <7з)т будем записывать в
двух формах. Для этого в формулах (2.52), (2.54) величины
£ъ&2,£з заменяются на 771,772,773.
Здесь заметим, что модель (2.58) используется для прогно¬
за траекторных параметров навигационных спутников системы
ГЛОНАСС.
Уравнения движения в системе Ох.
Положение и абсолютная скорость точки М определяются
в матричной форме соответственно векторами х = (я1,£2,#з)Т
и vx = (vi,V2,V3)T, где х, в свою очередь, определяется соотно¬
шениями (2.9).
Уравнения движения имеют вид
х = vx + йхх, vx = ujxvx + g% + fx.	(2.59)
Здесь д° = (з?,32>3°)Т и /* = (/ь/2,/з)т — векторы удельной
силы тяготения и внешней силы в проекциях на оси трехгран¬
ника Ох.
35

Перепишем эти уравнения в относительных переменных: от¬
носительной линейной скорости V и относительной угловой ско¬
рости П, используя соотношения
Vх — vx 1lxX^	Ldx ~~ ^>x 4” ^x*	(2.60)
При этом будем использовать также соотношения
9х — 9х ^Х**' = (®> О) > ^Х = ^Х^Х	(2.61)
и матричное тождество
(ab) = ab — Ъа, где а = (ах,аг,аз)Т, Ь = (bi, &2, Ыт. (2.62)
Справедливость последнего соотношения может быть провере¬
на непосредственно. В результате получим
х = Vx + Clxx, Vi =	+	2йх^	4-	дх И- /ж,	(2.63)
или в скалярной форме
®1 =
Vl + &3Х2 — ^2х3ч
х2 =
V2 4“ ПХ£ з — П3Х1,
±3 =
V3 4- П2Х1 — Пх#2>
Vi =
(П3 4- 2из) V2 — (П2 4- 2^2) V3 4- /1,
v2 =
— (П3 4- 2из) V\ 4- (Пх -f 2ux) V3 4- /2?
V3 =
(П2 4- 21x2) Vi — (Пх 4- 2txi) V2 — g fa
где модуль д ускорения силы тяжести определяется, например,
по формуле
h 3

3.	Автономная инерциальная навигация
3.1.	Приборная основа инерциальной
навигации. Определение метода инерци¬
альной навигации
Приборную основу инерциальных навигационных систем со¬
ставляют два устройства: ньютонометр (датчик удельной си¬
лы), чаще всего некорректно называемый акселерометром (из¬
мерителем ускорений) и гироскоп — измеритель угловой скоро¬
сти.
Моделью ньютонометра является однокомпонентный пру¬
жинный подвес с точечной чуствительной массой (см. рис.2.).
На чувствительную массу ньютонометра (точка М), распо¬
ложенную на движущемся в поле силы тяготения объекте, дей¬
ствуют две силы: сила /, приложенная к массе со стороны пру¬
жины, и сила тяготения д°. Составляющая силы / вдоль оси
чувствительности £ определяется по деформации пружины.
Блоку из трех однокомпонентных ньютонометров с орто¬
гональными осями чувствительности может быть поставлен в
соответствие пространственный ньютонометр с одной чувстви¬
тельной массой, называемой приведенной. За счет нормировки
ее можно считать единичной.
Рис. 2 Однокомпонентный ньютонометр.
Приборный трехгранник Mz.
Ортогональный приборный трехгранник Mz (Mz\Z2Z3)
определим как трехгранник, жестко связанный с осями чув¬
ствительности ньютонометров. Точка М - местоположение при¬
веденной чувствительной массы. Когда однокомпонентные нью¬
37

тонометры в приборе располагаются так, что их оси чувстви¬
тельности с точностью до погрешности установки ортогональны
друг другу, можно считать, что они совпадают с той же точно¬
стью с осями приборного трехгранника. Не вполне строго при¬
борный трехгранник может быть определен как трехгранник, в
проекциях на оси которого измеряется внешняя сила /. Понятие
приборного трехгранника является ключевым в теории инерци¬
альной навигации; соответствующее строгое определение будет
дано далее в разделе, посвященном инструментальным погреш¬
ностям ИНС.
Модель гироскопа и гироскопическая платформа.
Моделью гироскопа в кардановом подвесе может служить
быстро вращающееся симметричное тело — ротор, развязанный
от корпуса кардановым подвесом. Ось вращения ротора в идеа¬
ле ориентирована в инерциальном пространстве неизменно, ес¬
ли к осям подвеса не прикладывается никаких управляющих
или возмущающих моментов. Если по одной из осей карданова
подвеса приложить управляющий момент, то ось вращения ро¬
тора начинает вращаться (прецессировать) вокруг другой оси с
угловой скоростью, пропорциональной приложенному моменту.
8
Рис. 3 Свободный гироскоп.
38

Орт, задающий направление действия момента, ось прецессии
и направление кинетического момента ротора составляют орто¬
гональный трехгранник.
Соответственно, связывая конструктивно два или три ги¬
роскопа, можно построить так называемую гироскопическую
платформу, которая либо неизменно ориентирована в инер-
циальном пространстве, если не прикладывается каких-либо
возмущающих моментов, либо вращается с абсолютной угло¬
вой скоростью, пропорциональной действующему на платфор¬
му моменту.
С гироплатформой жестко связывается трехгранник
В идеале трехгранники Mz\z<iZz и Mz^z§z§
совпадают.
Модель датчика угловой скорости.
Моделью однокомпонентного механического датчика угло¬
вой скорости (ДУС) может служить гироскоп, установленный
на платформе в двухстепенном подвесе. Центр масс гироскопа
совпадает с центром подвеса. Кожух гироскопа связан с плат¬
формой пружиной, создающей упругий момент вокруг оси ко¬
жуха при повороте его относительно платформы. По дефор¬
мации пружины может быть определен момент, пропорцио¬
нальный составляющей угловой скорости по оси, ортогональной
плоскости, заданной направлениями кинетического момента и
оси кожуха.
Существующие датчики угловой скорости разнообразны по
своей конструкции и основаны на различных физических прин¬
ципах. В частности, в последнее время получили распростране¬
ние лазерные и волоконнооптические ДУС, в которых исполь¬
зуется эффект Саньяка.
В качестве примера приведем краткое описание лазерного
ДУС. Кольцевой лазерный гироскоп содержит замкнутый оп¬
тический резонатор, в котором с помощью лазера возбуждают¬
ся две встречные световые волны (лучи). Частота встречных
волн одинакова, если резонатор не вращается. При вращении
резонатора вокруг оси, перпендикулярной его плоскости, воз¬
никает разность частот, пропорциональная скорости вращения.
Встречные лучи сводятся на призму и образуют интерференци¬
39

онную картину, по которой оценивается величина угловой ско¬
рости. Подробное изложение теории гироплатформ и ДУС не
входит в задачу данного пособия.
Метод инерциальной навигации состоит в следующем:
1. Выбирается некоторая система координат (опорная систе¬
ма отсчета) и ставится задача определения в этой систе¬
ме координат и скоростей объекта, движущегося в поле
тяготения Земли под действием внешней силы, доступной
измерению. Под объектом всегда понимается приведенная
единичная чувствительная масса блока ньютонометров.
2. Записываются динамические уравнения Ньютона, кото¬
рым подчиняется поведение указанных координат и ско¬
ростей. В эти уравнения входят компоненты двух сил: си¬
лы тяготения, зависящей от текущих координат объекта,
и внешней силы, приложенной к чувствительной массе со
стороны корпуса ньютонометра. Координаты и скорости
определяются путем интегрирования этих уравнений при
условии, что известны начальные координаты, скорости и
текущие измеренные значения компонент внешней силы.
3. На борту движущегося объекта (самолета, морского ко¬
рабля, движущегося по земле экипажа — автомобиля, по¬
езда и т.п.) расположены платформа с жестко связанными
с ней ньютонометрами, реализующими приборный трех¬
гранник, и вычислитель, одной из задач которого являет¬
ся интегрирование указанных уравнений.
Входную информацию вычислителя составляют:
• данные о начальных значениях координат, скоростей
и начальной ориентации приборного трехгранника
относительно опорной системы;
• показания ньютонометров;
• информация, позволяющая определить текущую
ориентацию приборного трехгранника относительно
опорного. Здесь возможны два основных варианта:
— приборным трехгранником управляют так, что
он совпадает в идеале с опорным;
40

— для определения ориентации приборного трех¬
гранника используются показания ДУС.
Возможна комбинация этих вариантов.
Таким образом, автономная инерциальная навигационная
система может быть определена как числовая модель двух ме¬
ханических объектов: материальной точки М — приведенной
чувствительной массы — и приборного трехгранника Mz.
Согласно этому можно говорить о двух материальных точ¬
ках: реальной М и модельной М', координаты и скорость кото¬
рой содержатся в вычислителе, и трех трехгранниках: прибор¬
ном, жестко связанном с платформой, опорном и модельном,
который является числовым образом приборного трехгранни¬
ка.
Несовпадение модельной точки М' с точкой М, а так же
приборного и модельного трехгранников вызывается погрешно¬
стями числовой информации, вводимой в вычислитель. Уравне¬
ния, которые описывают поведение модельной точки и модель¬
ного трехгранника, будем называть модельными уравнениями.
Уравнения, которые описывают поведение модельной точки от¬
носительно реальной (опорной) и поведение приборного трех¬
гранника относительно модельного будем называть уравнения¬
ми ошибок навигации
Введение модельной точки позволяет путем простых рас-
суждений сделать важные выводы о свойствах автономных
инерциальных систем, то есть систем, входную информацию ко¬
торым доставляют только ньютонометры и гироскопы.
Неустойчивость уравнений ошибок вертикального ка¬
нала.
Рассмотрим частный случай, когда точка М неподвижна в
инерциальном пространстве. Для простоты будем считать, что
поле тяготения Земли центральное, а Земля не вращается. К
точке М приложены две силы: сила тяготения <7°, направленная
к центру Земли, равная по величине /х/r2, и уравновешивающая
ее сила /, противоположно направленная.
Пусть погрешность начальной информации такова, что точ¬
ка М' расположена на продолжении радиуса-вектора ОМ и
41

г' > г. Предполагается, что других погрешностей в системе нет.
Тогда к точке М' будут приложены модельная сила тяготения
/х/г'2 и внешняя сила /. Так как г' > г, то равновесие наруша¬
ется, и результирующая сила
действующая на модельную точку М', приводит к увеличению
скорости рассогласования А г, поскольку эта сила А/ растет по
мере удаления точки М' от М.
При малом Аг = г' — г результирующая сила А/, действу¬
ющая на точку М', в линейном приближении определяется со¬
отношением
Величина ujo носит название частоты Шулера по имени немец¬
кого ученого Макса Шулера, который ввел понятие математи¬
ческого маятника, длина которого равна радиусу Земли. На по¬
верхности Земли она равна примерно 1.25 • 10-3с-1. Величина
шо является также первой угловой космической скоростью.
Следовательно, уравнение Ньютона относительно малых Дг
имеет вид
Таким образом, решение Дг(£) содержит слагаемое, растущее
со временем экспоненциально, и при большом t ошибка Дг ста¬
новится недопустимо большой.
Можно показать, что подробные рассуждения приводят к
тем же выводам при скоростях движения объекта малых по
сравнению с первой космической (например, при самолетных
скоростях). Поэтому полностью автономные инерциальные си¬
стемы для объектов, функционирующих продолжительное вре¬
мя (самолетов, морских судов, крылатых ракет и т.п.), не при¬
меняются.
~ 2^о Дг,	где ш1 = ~ = -
г° г
Аг — 2ш%Аг = 0.
При начальных значениях Дго ф 0, Дго = 0 имеем
дr(t) =	pvW +
42

Привлечение информации о высоте. Шулеровские ко¬
лебания приборной вертикали.
Для изменения ситуации, описанной выше, привлекается
внешняя по отношению к инерциальной информация о высо¬
те (в нашем случае о величине г). Например, эту информацию
доставляют баровысотомеры, спутниковые навигационные си¬
стемы, или она вводится в навигационную систему априорно:
в частности, предполагается, что г = const. С точки зрения
механики, введение внешней информации о высоте равносиль¬
но наложению на точку М' геометрической связи, такой что
г' = г*, где г* — дополнительная внешняя информация.
Рассмотрим эту ситуацию подробнее, используя представле¬
ние о двух точках — опорной и модельной. Как и ранее, для
простоты будем предполагать, что точка М неподвижна. Тогда
сила /, действующая на точку М со стороны подвеса, равна
силе тяготения по величине и противоположна ей по знаку.
Предположим, что г* = const = г. Тогда точка М7 может
перемещаться только по сфере радиуса г, и на нее действуют
две силы: модельная сила тяготения д° и сила /7 = /. Сила тя¬
готения д° может быть исключена из рассмотрения, поскольку
ее действие уравновешивается реакцией геометрической связи.
Таким образом, движение точки М7 можно интерпретиро¬
вать как движение по сфере (играющей роль двусторонней свя¬
зи) в однородном поле сил. А это есть не что иное, как модель
сферического маятника.
Обозначим угол между направлениями ОМ и ОМ' через а,
при этом г • а есть расстояние между точками М и М7. Пусть в
начальный момент времени погрешность числовой информации
об угловом положении модельной точки М7, вводимой в вычис¬
литель, равна ао. Для малых а имеет место хорошо известное
уравнение колебаний маятника
a -f и£а = 0, и а = а о cos uot + — sin Lj0t.
v0
Величина а в нашем случае также имеет смысл угловой ошиб¬
ки построения приборной вертикали, поскольку её направление
совпадает с вектором ОМ'.
Таким образом показано, что приборная вертикаль соверша¬
ет незатухающие колебания с периодом Шулера относительно
43

положения равновесия.
Проведенные рассуждения объясняют смысл введения в на¬
вигационную систему информации о высоте - в нашем случае о
величине г. Можно показать [4], что поведение приборной вер¬
тикали, подобное сферическому маятнику, сохраняется и при
движении точки М со скоростями, малыми по сравнению с пер¬
вой космической, например, при самолетных скоростях.
Плоское движение. Кинематические и динамические
ошибки.
Далее рассмотрим решение упрощенной навигационной за¬
дачи, позволяющее продемонстрировать основные идеи метода
инерциальной навигации.
Будет рассмотрена схема, получившая в соответствующих
источниках название схемы Кофмана-Левенталя по именам со¬
ветских инженеров Л.М. Кофмана и Е.Б. Левенталя, впервые
ее предложивших.
Приборную реализацию этой схемы сами они называли гиро¬
скопической вертикалью с интегральной коррекцией и исполь¬
зовали интерпретации, отличные от представленных здесь.
Пусть материальная точка М единичной массы движется
в плоскости земного экватора на известном постоянном удале¬
нии г от центра Земли О. Положение точки М на окружности
определим угловой координатой сг.
К точке приложены две силы:
1. сила тяготения <7°;
2. внешняя сила F, горизонтальная составляющая которой
равна /, а вертикальная составляющая, уравновешиваю¬
щая силу гравитации и центростремительную силу, равна
—д° 4- &2г.
Уравнение Ньютона относительно координаты с имеет вид
от = /, или & = CJ,	и;	=	f jr.	(3.65)
Отсюда следует

Рис. 4 Движение по окружности.
Ставится задача определения текущей координаты сг. Эта
задача, очевидно, была бы решена, если бы имелась возмож¬
ность измерить горизонтальную силу /, определить начальную
координату его и скорость &о точки М. Предположим, что такая
возможность имеется.
Обозначим информацию о силе / через /', а о начальном
состоянии — через af0 и &'0. Имеем
/' = / + £/, 0о =	+	Д0О,	cr'0	=	&0	+	Aw0,	(3.67)
где Sf, Actq, Ди;о — погрешности информации.
Пусть в нашем распоряжении имеется вычислитель, позво¬
ляющий построить числовую модель движения точки М, то
есть решить уравнения вида (З.бб). Модельные уравнения, опи¬
сывающие работу вычислителя, очевидно, будут иметь вид:
Величины сг' и <т' можно рассматривать как координату и ско¬
рость некоторой модельной точки М', причем поведение мо¬
(3.68)
45

дельной точки подчиняется тому же закону Ньютона (3.65), что
и поведение реальной точки.
Уравнения, описывающие движение модельной точки М' от¬
носительно реальной, примут вид (До; = о/ — о;, Дсг = а' — а)
Да; =- [ Sfdr + Да;о, Аа = [ Да)dr + Дсг0. (3.69)
r Jt0	Л0
Если погрешности Да;о, Д<7о и Sf равны нулю, то движение ре¬
альной и модельной точек неразличимо с информационной точ¬
ки зрения.
Пусть в нашем распоряжении кроме вычислителя находятся
следующие устройства, о которых шла речь выше:
1. Гироскоп в кардановом подвесе, кинетический момент ко¬
торого обозначим через Н. Гироскоп сохраняет свою ори¬
ентацию, если к нему не приложено никаких возмущаю¬
щих моментов. Если приложить возмущающий момент 5,
например, к оси внешней рамки подвеса, то гироскоп бу¬
дет прецессировать вокруг оси внутренней рамки с угло¬
вой скоростью ф
(3-70)
2. Однокомпонентный ньютонометр, моделью которого мо¬
жет служить полый цилиндр с помещенной в него чув¬
ствительной массой, удерживаемой на оси цилиндра упру¬
гими пружинами.
Измеряя деформацию пружины можно судить о силе, с
которой пружина действует на чувствительную массу в
направлении оси чувствительности. Результирующая си¬
ла, приложенная к чувствительной массе, есть сумма трех
сил: упругой силы пружины, реакции стенок цилиндра и
силы тяготения. Но измерению доступна только первая
из них. Далее точка М отождествляется с чувствитель¬
ной массой ньютонометра.
Чтобы определить горизонтальную проекцию /, следует вос¬
пользоваться описанными выше устройствами. Ньютонометр
46

следует жестко скрепить с гироскопом так, чтобы его ось чув¬
ствительности и ось прецессии гироскопа были ортогональны.
Приложим к соответствующей оси подвеса управляющий мо¬
мент, пропорциональный вычисленной угловой скорости а/. В
начальный момент ось чувствительности ньютонометра долж¬
на по возможности совпадать с направлением горизонта.
Обозначим угловую скорость прецессии гироскопа через и/',
малое угловое отклонение оси чувствительности (приборного
горизонта) относительно истинного горизонта через а. Тогда
получим
= и/ Н- i/,	(3.71)
где через v обозначена малая составляющая угловой скоро¬
сти прецессии, вызванная неконтролируемыми возмущениями -
трением оси подвеса, погрешностью масштаба датчика момента,
взаимной неортогональностью оси чувствительности ньютоно¬
метра и оси прецессии и т.д. Очевидно,
о/' = uj + а.
Вместо (3.71), с учетом последнего равенства, можно записать
а = Аи + v = Ад 4- z/, А& = Alj.	(3.72)
Введем величину /3 = а—Аа. Геометрически эта величина озна¬
чает угол между приборным и модельным горизонтами (между
приборной и модельной вертикалями).
Интерпретация: (3 — это мера ошибки приборного построе¬
ния инерциального пространства. Предположим, что на борту
движущегося объекта установлен телескоп так, что его можно
поворачивать относительно приборного горизонта. Направим
его на некоторую звезду, угловое положение которой известно
по отношению к любому горизонту, в нашем случае к модель¬
ному. Таким образом, при повороте телескопа мы ошибаемся
дважды: поворот осуществляется относительно возмущенного
по отношению к идеальному приборного горизонта, и поворот
осуществляется на модельный угол, содержащий ошибку Дсг.
В результате такой процедуры визирная ось телескопа будет
отличаться от истинной линии визирования на угол /3.
47

Имеем
/3 = 1/.	(3.73)
Если v = const, то (3 = Ро + ut.
Уравнение (3.73) называется кинематическим уравнением
ошибок инерциальной системы, а величина /3 — кинематиче¬
ской ошибкой.
Обратимся к уравнениям (3.69). В них величина Sf скла¬
дывается из двух составляющих: собственно инструментальной
погрешности ньютонометра Д/ и проекции вертикальной силы
д° — ш2г на приборный горизонт.
При малом угле а имеем
Sf = Д/ - (#0 - и2г)а.	(3.74)
Продифференцируем первое уравнение (3.69) с учетом (3.74)
и добавим к нему уравнение (3.72). Используя обозначения
= 9° /г, £ = д f/д0, получим
Ай — — (wq — ш2)а + u)qE, а — Аш + t/.	(3.75)
Уравнения (3.75) называются динамическими уравнениями
ошибок. Они, очевидно, описывают поведение приборной верти¬
кали и приборного горизонта. Запишем их в виде одного урав¬
нения, исключив величину Аш:
а + (<Jq - и2)а = v + и\е.	(3.76)
Если инструментальные погрешности равны нулю и и2 Uq,
имеем
ct -Ь oJqOl = 0,	(3.77)
то есть в этом случае приборная вертикаль совершает незату¬
хающие гармонические колебания относительно истинной (иде¬
альной) вертикали с частотой Шулера ujq.
Полная ошибка определения координаты Дог оказывается
алгебраической суммой двух ошибок: кинематической (3 и ди¬
намической а:
Асг = а — /3.
48

Таким образом, построена инерциальная навигационная си¬
стема, в которой помимо инерциальной информации, достав¬
ляемой гироскопом и ньютонометром, использована информа¬
ция о радиусе г. При описании такой системы (ее модельных
уравнений и уравнений ошибок) использованы представления
об опорной и модельной точках и трех горизонтах (вертика¬
лях): приборном, модельном и опорном. Ошибка определения
координаты представлена в виде суммы кинематической и ди¬
намической ошибок.
3.2.	Модельные уравнения инерциальных
навигационных систем
Наиболее естественная классификация инерциальных систем
различных типов — та, при которой системы различают по спо¬
собам ориентации приборного трехгранника и опорного трех¬
гранника.
В инерциальной навигации известны такие системы, в кото¬
рых приборный трехгранник ориентирован неизменно (с точно¬
стью до инструментальных погрешностей):
• относительно инерциального трехгранника 0£;
• относительно трехгранника O77, жестко связанного с вра¬
щающейся Землей;
• относительно трехгранника Ож, жестко связанного с гео¬
графической, геоцентрической или гравиметрической вер¬
тикалями;
• относительно корпуса объекта (бескарданная инерциаль¬
ная навигационная система — БИНС).
Соответственно различаются модельные уравнения.
При описании модельных уравнений используется понятие
модельного трехгранника как трехгранника, в проекциях на оси
которого вычислитель навигационной системы определяет ко¬
ординаты и скорости модельной точки М'.
Заметим, что представленные ниже уравнения, которые мы
называем модельными, реализуются в бортовом вычислителе в
49

дискретной форме с применением различных методов интегри¬
рования и методов синхронизации информационных потоков.
Вопросы реализации требуют специального описания и здесь
не рассматриваются.
Построение модельных уравнений ИНС подчиняется следу¬
ющей схеме. Пусть поведение динамического объекта описыва¬
ется векторным уравнением
где X — вектор состояния, F — известная вектор-функция,
внешнее воздействие U доступно измерению.
Предполагается известной информация о начальном состоя¬
нии объекта X'(to). В каждый момент времени измеряется U(t),
результат измерения обозначим через U'(t).
Пусть в нашем распоряжении имеется вычислитель, способ¬
ный выполнять любые предписываемые ему операции идеально
точно. Естественный способ определения вектора состояния та¬
ков: в вычислитель вводится информация Xf(to),U'(t), и инте¬
грируется уравнение, повторяющее структурно уравнение дви¬
жения объекта
Здесь вектор X' определяет состояние модельного объекта, под¬
чиняющегося тем же законам, что и реальный объект. Послед¬
нее уравнение может быть названо модельным уравнением. При
X'(to) = X(to) и Uf(t) = U(t) модельный и реальный объекты
информационно неразличимы.
Замечание. Существуют системы, в которых при идеаль¬
ной входной информации условия неразличимости модельного
и реального объекта нарушаются, то есть законы поведения
реального и модельного объектов различны. В этом пособии
такие системы не рассматриваются.
Информацию X'(to), Uf(t) будем называть основной. В инер-
циальных навигационных системах помимо инерциальной (ос¬
новной) информации, доставляемой ньютонометрами и ги¬
роскопическими устройствами, обычно используется допол¬
нительная информация о высоте, доставляемая датчиками
X = F(X, U)
(3.78)
X' = F(X',U').
(3.79)
50

неинерциальной природы. На примере, приведенном ранее, бы¬
ло показано, что в противном случае трехкомпонентная нави¬
гационная система оказывается неустойчивой.
Привлечение в инерциальной навигации дополнительной ин¬
формации о высоте относится к частному случаю решения зада¬
чи определения вектора состояния динамического объекта, ко¬
гда объединение основной и дополнительной информации при¬
водит к тому, что совокупная информация является избыточ¬
ной.
Избыточность понимается здесь как неоднозначность спосо¬
бов точного определения состояния объекта в том случае, когда
исходная информация идеальна. Возможны три принципиально
различные схемы использования дополнительной информации
по отношению к основной.
В первом случае, хотя совокупно используемая информация
и избыточна, организуется она как необходимая и достаточная.
В этом случае в модельных уравнениях с помощью дополни¬
тельной информации образуются некоторые связи, меняющие
динамические свойства системы, но количество датчиков оста¬
ется прежним. Возможности дополнительной информации при
таком способе полностью не реализуются.
Во второй схеме часть основной информации заменяется до¬
полнительной таким образом, что совокупно используемая ин¬
формация оказывается необходимой и достаточной для одно¬
значного определения вектора состояния. Это означает, что не
используется часть датчиков основной информации.
Третья схема использования дополнительной информации
предполагает ее комплексную обработку в сочетании с основ¬
ной, так что ее возможности реализуются полностью. Избы¬
точность совокупной информации (избыточность понимается в
указанном выше смысле) позволяет решать задачу оптимиза¬
ции и тем самым потенциально повысить точность системы.
Схема 1. Пусть уравнение объекта представляется в виде
X = F(X,Y,U),	(3.80)
и в нашем распоряжении имеются основная информация
X'(t0), и дополнительная информация Z*, с точностью до
51

инструментальных погрешностей равная величине Y:
Z* = Y + w.
В этом случае вектор состояния динамического объекта мо¬
жет быть определен при помощи алгоритма, описываемого мо¬
дельным уравнением:
X* = F(X\ Z*, С/'),	X*(t0) = X'(t0).	(3.81)
Схема 2. Пусть векторы X, U представляются в виде
а уравнение (3.78) в таком виде:
Xj = F1(XI,XII,UI), Xii = F2(Xi,Xii,Uii), (3.82)
и в нашем распоряжении есть дополнительная информация Z*,
которая с точностью до инструментальных погрешностей сов¬
падает с величиной Хц.
Тогда вектор состояния динамического объекта X опреде¬
ляется при помощи модельных уравнений
х; = Fi(xixh, и'г), х*п = z*.
Здесь через Xj, обозначены новые модельные переменные.
Схема 3. В этом пункте рассматривается следующий, весь¬
ма частный, случай этой схемы.
Пусть W* = О(Х) + р*, где W* - вектор дополнительной
информации, р* - инструментальная погрешность этой инфор¬
мации. Образуем вектор коррекции
w = W* -в(Х').
Модельные уравнения выбираются в этом случае в виде:
X' = F(X',U') + Kw.	(3.83)
Цель введения обратной связи Kw - изменение динамических
свойств модельных уравнений.
Далее переходим к описанию модельных уравнений ИНС.
52

3.2.1.	Инерциальный опорный трехгранник
Приборный трехгранник Mz\z^zz (Mz) ориентируется так, что¬
бы в идеале, без инструментальных ошибок и ошибок установ¬
ки, направления его осей Mzi,Mz2,Mzs совпадали с направ¬
лениями осей 0£i, 0^2? Ф£з инерциального трехгранника 0£. В
этом случае трехгранник 0£ одновременно является и опорным
трехгранником, и модельным трехгранником.
Носителем приборного трехгранника выступает гироплат¬
форма, с которой жестко связаны три однокомпонентных
ньютонометра с осями чувствительности в идеале совпада¬
ющими с осями инерциального трехгранника М£. Ньютоно¬
метры доставляют информацию /' = (fzi,fz2i Лз)т о силе
/г = (fzi,fz2,fz3)T, причем /' = fz + Afz. Здесь Д/, — век-
тор инструментальных погрешностей.
Поведение приборного трехгранника Mz подчиняется урав¬
нению
где vz = (i/zi, vZ2, vzz)T — неконтролируемое возмущение.
Основой построения бортового алгоритма служат уравне¬
ния (2.51). Модельные уравнения имеют вид
В зависимости от формы представления удельной силы тяготе¬
ния д£ можно использовать один из двух равноценных по точ-
(3.84)
ности вариантов выражений для модельных значений д® :
1.	За основу принято соотношение (2.55). Тогда
(3.85)
53

где
h'
r'-a + a¥^’ г' =
V(W).	(3.86)
2 a2
2.	За основу принято соотношение (2.53). Тогда
:/2
.3 •
(3.88)
Пусть доступна дополнительная информация ft* о высоте ft. То¬
гда в модельных уравнениях (3.85) варианта 1 величина Ы за¬
меняется на ft.*, а соотношение (3.86) из модельных уравнений
исключается. В варианте 2 исключается соотношение (3.88) и
добавляется соотношение
Как уже говорилось, опорный трехгранник 0£ служит од¬
новременно модельным трехгранником Оу, переменные £з
являются координатами модельной точки М' в осях этого трех¬
гранника, то есть можно положить:
Подобное "двуязычие" будет использоваться и далее, посколь¬
ку, как нам кажется, оно позволяет легче уяснить тот факт, что
инерциальная навигационная система определяет движение мо¬
дельной точки в параметрах, привязанных к модельному трех¬
граннику.
Кроме того, использование для обозначения переменных,
связанных с модельным трехгранником всегда буквы ”у”, а для
(3.89)
£ = 2/, £' = 2/.
54

обозначения переменных, связанных с приборным трехгранни¬
ком всегда буквы ”z”, позволяет сделать систему обозначений
логичной и внутренне не противоречивой.
При этом соответствующие буквы могут использоваться как
самостоятельно, так и в качестве индексов. Более подробно этот
вопрос будет рассмотрен при описании модельных уравнений и
уравнений ошибок БИНС.
Описанные выше модельные уравнения требуют задания на¬
чальных условий координат £'(0) и скоростей г>£(0). Приборный
трехгранник Mz должен быть установлен так, чтобы его ори¬
ентация как можно точнее совпадала с ориентацией опорного
трехгранника 0£. Иной вариант: приборный трехгранник в на¬
чальный момент ориентирован в инерциальном пространстве
произвольным образом, и тогда должна быть задана его на¬
чальная ориентация относительно трехгранника 0£.
Задача формулирования начальных; модельных условий,
установки приборного трехгранника в некоторое начальное по¬
ложение, а также возможное определение его ориентации к на¬
чальному моменту называется задачей выставки; она рассмат¬
ривается во второй части пособия.
В заключение параграфа заметим, что вариант ИНС с инер¬
циальным опорным трехгранником позволяет наиболее нагляд¬
но продемонстрировать суть метода инерциальной навигации.
3.2.2.	Гринвичский опорный трехгранник
Приборный трехгранник Mz\z<iZz (Mz) ориентируется так, что¬
бы в идеале, без инструментальных ошибок и ошибок установ¬
ки, направления его осей Mz^Mz^Mzs совпадали с направ¬
лениями Orji,Or]2^0rjs гринвичского трехгранника От). В этом
случае трехгранник От] одновременно является опорным трех¬
гранником, а также модельным трехгранником.
Носителем приборного трехгранника выступает управляе¬
мая гироплатформа. В этом случае угловая скорость прибор¬
ного трехгранника uz в идеале совпадает с угловой скоростью
Шп = щ = (0,0, и)т. С гироплатформой жестко связаны три
однокомпонентных ньютонометра с осями чувствительности, в
идеале совпадающими с осями приборного трехгранника Mz.
55

Основой построения бортового алгоритма служат уравнения
(2.58). Модельные уравнения имеют вид
Ъ
V2
Пз
К,'2
v*
где компоненты дJJ* вектора удельной силы тяготения вычисля¬
ются по формулам (3.85) или (3.87), в которые надо подставить
координаты 7]'{ вместо
Уравнения, определяющие поведение приборного трехгран¬
ника, имеют вид
Wzl = Vzl, UZ2 = Vz2, Vz3 = U + VzZ.
Величины i/^i, i/Z23 vZ3 описывают неконтролируемые возмуще¬
ния, действующие на платформу.
Если доступна дополнительная информация h* о высоте Л,
то для устранения экспоненциальной неустойчивости модель¬
ные уравнения изменяются (в части формирования вектора
удельной силы тяготения) аналогично тому, как это было сде¬
лано в случае с инерциальным опорным трехгранником.
Заметим, что в рассмотренных выше двух случаях выбора
опорного трехгранника дополнительная информация о высоте
может быть введена в модельный алгоритм в соответствии со
схемой 3. Здесь этот вариант не рассматривается, поскольку он
обсуждается ниже при выборе в качестве опорного географиче¬
ского трехгранника.
3.2.3.	Модельные уравнения бескарданных инерциаль-
ных навигационных систем
Далее будут рассмотрены ИНС в которых используется один из
двух способов ориентации приборного трехгранника:
• Приборный трехгранник жестко связан с корпусом дви¬
жущегося объекта (бескарданная инерциальная навигаци¬
онная система, аббревиатура - БИНС).
56

• Приборный трехгранник горизонтируется таким образом,
что его идеальная ориентация служит ориентацией гео¬
графического трехгранника.
Системы с такими видами ориентации получили самое ши¬
рокое распространение в навигационной практике.
Переходим к описанию модельных уравнений БИНС. Основ¬
ным признаком БИНС является то обстоятельство, что плата,
с которой жестко связаны ньютонометры и ДУС,' крепится на
корпусе движущегося объекта. На нашем языке это означает,
что с корпусом объекта жестко связан приборный трехгранник
Mz.
Входной информацией для модельных уравнений слу¬
жит информация, доставляемая датчиками угловых скоро¬
стей и/г =	о проекциях угловых скоростей
(л)z = (vzi,vZ2, Шгз)т трехгранника Mz на его собственные оси и
показания ньютонометров /' = (/Д, /'2, /*з)т, оси чувствитель¬
ности которых совпадают (с точностью до ошибок установки)
с осями приборного трехгранника.
Входная информация:
<4 =	-	vz,	f'z	= fz + Afz.
Здесь vz, Afz — инструментальные погрешности.
Обратим внимание на выбор знака инструментальной по¬
грешности ДУС vz. Такой выбор, как будет видно далее, позво¬
ляет согласовать уравнения ошибок для систем с горизонтиру-
емой платформой и бескарданных систем.
В соответствии с нашими правилами Az — матрица ориен¬
тации приборного трехгранника относительно инерциального.
Поведение матрицы Az подчиняется кинематическому уравне¬
нию
Az =U)ZAZ.	(3.91)
Пусть в результате решения задачи выставки определена ин¬
формация о начальной ориентации приборного трехгранни¬
ка A'z(0) (см. [10]). Тогда может быть введен модельный трех¬
гранник Ау, определяемый кинематическим уравнением
Ay = tiyAyi
57

где cjy = oj'z с начальным условием -Ау(0) = A'z(0).
Модельные уравнения, определяющие координаты и скоро¬
сти модельной точки М', зависят от выбора опорной системы
координат. Опишем два варианта.
1. Инерциальный опорный трехгранник 0£. Модель¬
ные уравнения в этом случае повторяют ранее выписанные
уравнения (3.84) и имеют вид
£' = <, i(=9f+fi	(3-92)
Здесь определяется соотношениями (3.85) или (3.87), или
(2.49).
Величины находятся перепроектированием измерений /'
из приборной системы Mz при помощи матрицы Ау.
=	(3-93)
Для модельных уравнений (3.92), (3.93) должны быть заданы
начальные условия.
Замечание. Введем трехгранник Mz^ (Oz^), ориентацию
которого относительно приборного трехгранника Mz (Oz)
определим соотношением:
U =	(3.94)
2. Географический опорный трехгранник Ох(Мх).
При описании модельных уравнений ограничимся только вари¬
антом, когда в число переменных включаются модельные значе¬
ния относительной линейной скорости Vx = (Vi,V2,Vs)T точки
М и относительной угловой скорости = (П1,П2?^з)Т трех¬
гранника Мх.
Иные варианты модельных уравнений (с иными переменны¬
ми) легко могут быть получены по аналогии.
Модельные переменные будем выделять верхним акцентом
’’штрих”. В соответствии с формулами (2.63), (2.17) получим
уравнения в векторной форме
х' = V’ + П'хх',	У±=(п'х + 2г7x)v±+g'x + f'x,
58

В'х = %B'X, В'Х = (Ь^), i,j = 1,2,3-
Ранее было показано, что уравнение х' =	может
быть заменено на соотношения, связывающие относительные
скорости Vi, V2 с угловыми относительными скоростями Oi, Q2
(формулы (2.35)- (2.38)), а также соотношением h = V3.
На основании сказанного может быть записана следующая
скалярная форма модельных уравнений:
V?	=	Фз + 2ub'33)Vi	-	(П'2 + 2иЪ’23Щ +
Vi	=	-(n'3 + 2vb'33)V(	+	(n,1 + 2ub,13)Vi + fi,	(3.95)
Vi	=	(П’2	+	2ub’23)V{	-	+ 2ub'13)Vi -g’ + /',
где g' = (1 - 2^ + § е2Ь(,23 ) и
h' = Vi.	(3.96)
Скалярные формы модельных уравнений, эквивалентных
кинематическому уравнению Вх = ПХВХ, могут быть раз¬
личными (в направляющих косинусах, в параметрах Родрига-
Гамильтона, в углах Эйлера, Крылова).
Одна из используемых форм такова (см. (2.22))
&12
=
^3*>22 — ^2 *>32)
&22
=
^1*>32 “ ^3*>12)
&32
=
^2*>12 — ^1*>22)
bis
=
^3*>23 ~ ^2 *>33)
623
=
^.*>33 — nibi3>
&33
=
^2 *>13 — ^1*>23)
b'n
=
*>22 *>33 — *>23 *>32
621
=
*>32 *>13 ” *>33 *>12
*>31
=
*>12 *>23 “ *>13 *>22
(3.97)
Модельные уравнения, определяющие широту у/ и долготу А'
таковы:
COS (f
cos ip1
s=} =*■л - "ctan ite |o'2,ri'
}	31	(3.98)
[7Г 7T"|
~2> 2J '
59

Модельный угол х/;
cos (р
cos р‘
sinx bi3, 1	/	_	arctan	^з	е	[0	2т,-].	(3.99)
COS X = ^23 J	*>23
Модельные соотношения, связывающие линейные и угловые
скорости:
SV2
Vi	е2
—  1
а + Л/	а
V{	е2
—  1
а + hf	а
-b[3b'23V{ + ф'2з - 6'2з)^
*>13*>23^2 — (^зз ~ *>1з)^1
(3.100)
=
\J\ — е2&зз
Для того, чтобы замкнуть систему уравнений необходимо опре¬
делить ориентацию трехгранника Мх (соответственно модель¬
ного трехгранника Мх') в азимуте, то есть задать азимуталь¬
ную угловую скорость 03 (соответственно 03). Как уже гово¬
рилось, наиболее употребительные варианты такого задания:
1. Относительно свободная ориентация
03 = 03 = 0.
2. Абсолютно свободная ориентация
из = 0,	0,3	= —ub33,	03	=	—ub33.
3. Ориентация в географической координатной сетке.
03 = A sin ip = f^tg ip и —
Наиболее простой и наиболее употребительный - первый: О3 =
Г2'3 = 0.
Входной информацией при интегрировании модельных
уравнений служит вектор fx - вектор удельной силы, прило¬
женный к модельной точке М'. В идеальном случае fx = fx.
60

Но измерение удельной силы осуществляется в проекциях на
оси приборного трехгранника Mz, жестко связанного с корпу¬
сом объекта.
Обозначим через Lz матрицу ориентации приборного трех¬
гранника Mz относительно опорного Мх. Тогда:
Lz = AZAX и fx = Ljfz.
Реально мы располагаем информацией /' - показаниями
ньютонометров БИНС. Информацией (числовым образом) мат¬
рицы Lz служит матрица
L = АУА'ХТ,	(3.101)
где матрица Ау - это матрица ориентации модельного трех¬
гранника Му - числового образа приборного трехгранника Mz,
удовлетворяющая уравнению:
Ау = QyAy, шу = ш'х.	(3.102)
Начальное условие Ay(to) определяется на этапе начальной вы¬
ставки БИНС.
Матрица А!х\
А'х = В'Д,,	(3.103)
Ап
cosf u(t — to) + Aoj
- sinf u(t — to) + Ao)
0
sinf u(t — to) + Ao)
cos (u(t — to) + Ao)
0
(3.104)
где Ao - угол между плоскостью Ощщ и плоскостью Of 1^3 в
начальный момент времени to.
Теперь мы можем написать модельные соотношения, связы¬
вающие информацию /' динамических модельных уравнений с
первичной информацией /', доставляемой ньютонометрами:
К = LTf'z-
(3.105)
61

Таким образом полный набор модельных соотношений опреде¬
ляется формулами (3.95)-(3.105).
Указанные модельные соотношения могут быть реализова¬
ны в несколько иной эквивалентной форме. А именно, соотно¬
шения (3.101)-(3.104) могут быть заменены на следующие
их =	4" и (^13j ^235 ^33) »	(3.106)
L = Q'ZL-Lu)'x.	(3.107)
Сделаем замечания по поводу способа введения обозначе¬
ний. Отчасти эти замечания повторяют сделанные ранее.
При введении систем координат и переменных здесь исполь¬
зуется "двуязычие". С одной стороны признаком "модельно-
сти" переменных и систем координат служит верхний акцент
"штрих" , добавленный к реальным переменным. С другой сто¬
роны - "модельность" фиксируется появлением с тем или иным
индексом и без него буквы ”2/”. Такое "двуязычие" не только не
вносит путаницу, но, напротив, помогает лучше понять смысл
введения трехгранников и переменных, которые имеют "вирту¬
альный" характер.
В нашем случае трехгранник Ох' естественно назвать ква-
зимодельным. Его будем также обозначать Оух. Тогда, в част¬
ности,
Ах = Аух, шх = Шух, Q,x = Q,yx.
Матрица L определяет ориентацию модельного трехгранника
Оу относительно квазимодельного Оух.
Введем также квазиприборный трехгранник Ozx. Матрицей
его ориентации относительно приборного Mz служит матрица
LT. Термин "квазиприборный" вызван тем, что входящие в ди¬
намические модельные уравнения (3.95) силы /' = (Л,/2>/з)Т
получены как бы измерением в осях этого трехгранника.
Полученные выше соотношения (3.96)-(3.105) сами по себе
не могут составить рабочий бортовой алгоритм навигационной
системы из-за так называемой "неустойчивости вертикального
канала". Смысл этого жаргонного выражения был пояснен ра¬
нее при упрощенном описании метода инерциальной навигации.
62

Тем не менее, указанные соотношения служат основой для по¬
строения такого рабочего алгоритма.
Неустойчивость проявляется в том, что даже при отсутствии
инструментальных погрешностей модельная точка М' со време¬
нем как угодно далеко удаляется от идеальной точки М. Поэто¬
му в любой реальной ИНС, в том числе и БИНС, используется
в той или иной форме дополнительная информация о высоте.
Один из способов привлечения информации о высоте был
описан выше для случая, когда в качестве опорного выбирается
инерциальный трехгранник, и используется схема 1 (см. п.3.2).
Ниже описываются алгоритмы, соответствующие схемам 2 и 3.
В простейшем варианте полагается h! = const, V£ = 0 и не
используется информация /3. Тем самым, из модельных урав¬
нений исключаются уравнения
ti = О,
Другой вариант — привлечение дополнительной информации о
высоте, доставляемой высотомером, например, баровысотоме¬
ром. Обозначим дополнительную информацию о высоте h*:
h* = h + p*,
где р* - инструментальная погрешность дополнительной ин¬
формации.
В этом случае из числа модельных вновь исключаются те
же две переменные с соответствующими модельными уравнени¬
ями, a V3 определяется дифференцированием дополнительной
информации.
Оба эти варианта означают наложение на движение модель¬
ной точки М' геометрической связи Ы = const в первом случае
и h! = h* - во втором.
Иной вариант (схема 3) - введение в модельные уравнения
обратных связей, образуемых при помощи дополнительной ин¬
формации.
Соответствующие модельные уравнения в этом случае име¬
ют вид:
hf = V£ + ki(ti -h*),	(3.108)
63

Уз —	(^2	+	2гхЬ2з)^1	~	(^i	Н"	^ubi3)V2	—	д	Л-	/з	-\-	k2(h	—	h	),
где fci, к2 - коэффициенты усиления.
В последующем будет показано, что вариант с введением
обратных связей при достаточно больших к\ и к2 практически
соответствует наложению геометрической связи h! = h*.
3.2.4.	Об учете в алгоритмах БИНС относительного
смещения чувствительных масс ньютонометров
При описании модельных уравнений для бескарданных инерци-
альных систем в том случае, когда они могут быть установлены
на высокоманевренные объекты, у которых угловая скорость
вращения корпуса может составлять сотни °/сек и более (а
значит, такой же порядок имеет абсолютная угловая скорость
шг приборного трехгранника Oz), приходится учитывать то об¬
стоятельство, что чувствительные массы ньютонометров кон¬
структивно находятся друг от друга на некотором расстоянии
(обычно на расстоянии единиц сантиметров). При этом гово¬
рят, что ньютонометры смещены относительно друг от друга
или разнесены.
В этом случае к показаниям ньютонометров следует добав¬
лять компенсирующие поправки, которые зависят от парамет¬
ров углового движения объекта. Ниже выводятся соотношения,
которые служат основой для вычисления этих поправок.
Рассуждения здесь таковы. Сравним движение двух точек
М и М*. Положение точки М в осях приборного трехгранника
Oz определяется вектором z = (zi, 22,23)т, абсолютная линей¬
ная скорость определяется вектором vz = {yz\,vz2, угз)т.
Соответствующие фазовые параметры для точки
Предполагается, что векторы z, z* связаны соотношением:
Уравнения движения точек М и М* в осях Oz таковы:
z* = z + и pz = const.
(3.109)
Z = Vz + CjzZ,
Vz = uzvz+ gz + fz-
(3.110)
64

i* = v*z+u)zz*,
V* = uzv*z+g*z+f*z.
Здесь uz = (wzi1u>Z2)WZ3)T — вектор абсолютной угловой скоро¬
сти трехгранника Oz\ gz = (дяидг2,9гз)т, 9*z = (ЙнЙ2>Йз)Г “
векторы, определяющие удельные силы тяготения, приложен¬
ные, соответственно, к точкам М и М*; fz = (fzi, fZ2, Лз)Т?
fz = (/*ij/z2»/z3)T ~ векторы, определяющие внешние удель¬
ные силы, действующие на точки М и М*.
Близость точек М и М* позволяет с высокой степенью точ¬
ности считать, что д\ = gz. Это суждение основывается на ха¬
рактерных значениях вторых производных гравитационного по¬
тенциала. Так, наиболее значимая вертикальная вариация уско¬
рения силы тяготения составляет величину ~ 3- 10_6м/сек при
изменении высоты (или при смещении по высоте) на 1 м.
Введем величину Sf = fz—fz. Вычитая из уравнений (3.111)
уравнения (3.110) с учетом pz = const несложно получить, что
Sf = ujz + pz.	(3.112)
Величина Sf является искомой поправкой к показанию /* про¬
странственного ньютонометра, связанного с точкой М* поэто¬
му:
При практическом использовании этой формулы за точку
М, например, можно выбрать положение чувствительной массы
первого ньютонометра, тогда точка М* последовательно прини¬
мает положение чувствительных масс второго и третьего нью¬
тонометров.
В приложениях следует учитывать и другое обстоятельство.
Интерес представляет не собственно поправка Sf, а, ее интеграл
на интервале [U, U+i] съема показаний ньютонометров, посколь¬
ку показания последних используются для интегрирования ди¬
намических уравнений инерциальной навигации.
Введем обозначение
*г + 1
Avf = J f*dt.	(3.113)
U
65

Здесь заметим, что величину могут доставлять так назы¬
ваемые интегрирующие ньютонометры.
Тогда поправка показаний интегрирующих ньютонометров
примет вид:
3.2.5.	Модельные уравнения инерциальных навигаци¬
онных систем с горизонтируемой гироплатфор¬
мой
Приборный трехгранник Mz жестко связывается с гироплат¬
формой, управляемой таким образом, чтобы приборный трех¬
гранник совпадал с трехгранником Мх, жестко связанным с
географической вертикалью.
Управление осуществляется приложением к осям карданова
подвеса гироплатформы моментов, пропорциональных состав¬
ляющим угловой скорости модельного трехгранника, вычисля¬
емым в бортовом вычислителе. Это означает, что в качестве
опорного трехгранника выбирается тот же трехгранник Мх.
Примем в качестве переменных для модельных уравнений те
же переменные, что и в предыдущем случае БИНС. Тогда со¬
вокупность модельных соотношений составляют соотношения
(3.96)-(3.100). К этим соотношениям следует добавить соотно¬
шения, определяющие закон управления гироплатформой:
где vz - инструментальная погрешность, порожденная трением
в осях карданова подвеса, погрешностями нулей и масштабных
коэффициентов усилителей, погрешностями геометрии и т.п.
Изменение алгоритма в связи с привлечением информации
о высоте осуществляется по тем же правилам, что и в случае
Итак, при описании ИНС с горизонтируемой гироплатфор¬
мой фигурируют три трехгранника:
(3.114)
U
(3.115)
БИНС.
66

1. Опорный трехгранник Мх, жестко связанный с географи¬
ческой вертикалью.
2. Приборный Mz, жестко связанный с гироплатформой.
3. Модельный Ох' = Оу, ориентация которого относитель¬
но гринвичского трехгранника Orj определяется матрицей
в'х.
Можно положить
Пх = Q,y,	ш'х	= Uy,	х'	=	у'.
Векторы у = (уиУ1,Уз)т И Vy = (Vyl,Vy2,Vy3)T определяют
положение и относительную скорость точки М в модельной си¬
стеме координат.
3.3.	Пример математической модели
инструментальных погрешностей
ИНС. Уточнение понятия приборного
трехгранника
Задача выбора адекватной математической модели инструмен¬
тальных погрешностей инерциальных датчиков — ньютономет¬
ров и гироскопов — плохо формализуется. Здесь важны хорошее
знание электромеханики приборов и инженерная интуиция. На¬
вигационный прибор может считаться прибором высокого ка¬
чества при условии стабильности инструментальных погрешно¬
стей, по крайней мере, при однократном запуске, а еще лучше
от запуска к запуску.
Ниже, в качестве примера, приводится одна широко распро¬
страненная математическая модель инструментальных погреш¬
ностей БИНС.
Как известно, после сборки инерциальной системы прово¬
дится калибровка ее чувствительных элементов — ньютономет¬
ров, гироскопов, соответствующих датчиков моментов, синусно¬
косинусных трансформаторов (СКТ), датчиков углов кардано-
ва подвеса. Результатом этой технологической процедуры яв¬
ляются оценки геометрических и инструментальных погреш¬
ностей указанных выше приборов. Далее в рабочих режимах
67

функционирования ИНС — режимах начальной выставки и на¬
вигации — применяются соответствующие алгоритмы компен¬
сации оцененных погрешностей.
Введение математической модели инструментальных по¬
грешностей позволяет уточнить понятие приборного трехгран¬
ника. Вообще говоря, такое доопределение неоднозначно, но
коль скоро оно принято, все математические соотношения, ис¬
пользуемые при анализе и синтезе навигационной системы, вы¬
водятся строго в рамках этого определения.
Математическая модель инструментальных погрешно¬
стей БИНС с лазерным ДУС.
При установке ньютонометров и ДУС на платформе, кото¬
рая в свою очередь, жестко крепится на корпусе объекта, стара¬
ются сделать так, чтобы оси чувствительности ньютонометров
и ДУС составляли ортогональные трехгранники. И эти трех¬
гранники совпадали бы друг с другом.
Точно выполнить такую установку практически невозмож¬
но. Трехгранники не строго ортогональны и рассогласованы
друг с другом. Но тогда требуется уточнение понятия прибор¬
ного трехгранника.
Ось Mz\ выберем так, чтобы она совпадала с направлением
оси чувствительности ньютонометра, который назван первым.
Ось Mz2 выберем в плоскости, образованной осями чувстви¬
тельности первого и второго ньютонометров так, чтобы ось Mz2
была ортогональна оси Mz\.
Ось Mzz составляет с осями Mzi, M.Z2 правый ортогональ¬
ный трехгранник. Угол между осью чувствительности второго
ньютонометра и осью M.Z2 и угол между осью чувствительности
третьего ньютонометра и осью Mz^ предполагаются малыми.
Полагается также, что собственные инструментальные по¬
грешности каждого из ньютонометров включают в себя ошибку
нулевого сигнала (ошибку нуля), ошибку масштабного коэффи¬
циента (ошибку масштаба) и высокочастотную составляющую,
которая считается белым шумом.
С учетом сказанного вектор инструментальных погрешно¬
стей
д/. = Л - Л = (ДЛь Д/й, д/,з?
68

описывается соотношением
Afz = Д/° + Г/, + Д/*,
где А/° = (Д/°ц Д/°2, Д/°з)Т - вектор погрешностей нулей,
/	Гц	0	0	\
Г = I	Г21	Г22	о	1	,
\	Гз1	Г32	Г33	)
Г и - погрешности масштабов, Г^*, (г ф. j) - погрешности
установки ньютонометров ( погрешности геометрии, перекосы),
Д/| = (Д/| 1, Д fz2i Д/*з)Т высокочастотные погрешности ти¬
па белого шума.
Для погрешностей ДУС vz =	i/Z2,	^гз)т	принимается
аналогичная модель:
vz = uz + QuJz + К-
Физический смысл величин
1Уо	_	л.о о	О	\Т
Vz	\1/zl^z2^z3) J
/	011	#12	013	\
©	=	I	#21	022	023	1	,
\	031	032	033	/
К	=
понятен без пояснений.
Все параметры модели за исключением Д/*, i/J - неизвест¬
ные постоянные величины.
69

4. Уравнения ошибок инерциальных
навигационных систем
Как уже говорилось, инерциальная навигационная система мо¬
делирует два механических объекта:
• точку М, отождествляемую с движущимся объектом, но¬
сителем которой служит приведенная масса блока ньюто¬
нометров;
• приборный трехгранник Mz, носителем которого являют¬
ся платформа и жестко связанные с ней оси чувствитель¬
ности ньютонометров.
Следует отличать реальную (опорную) точку М и приборный
трехгранник Mz от их. численных образов, информация о кото¬
рых содержится в вычислителе навигационной системы.
Собственно теория инерциальной навигации возникает то¬
гда, когда вводится такое различие.
Мерой ошибки в определении местоположения и скорости
движения объекта служат векторы, определяющие движение
модельной точки М! и ее скорость относительно реальной точки
М в той или иной системе координат. Мерой ошибки ориента¬
ции служит отклонение приборного трехгранника относительно
модельного.
Поскольку движение точки М описывается 6-ю диффе¬
ренциальными скалярными уравнениями, уравнения движения
точки М' относительно М — уравнения ошибок — представля¬
ют также систему шести дифференциальных уравнений перво¬
го порядка. В двухкомпонентной системе за счет исключения
из модельных уравнений вертикального канала число уравне¬
ний сокращается до четырех.
Взаимная ориентация приборного и модельного трехгранни¬
ков определяется тремя независимыми параметрами — компо¬
нентами вектора малого поворота, которые удовлетворяют трем
дифференциальным уравнениям 1-го порядка.
Замечание. В некоторых работах вводилось дополнитель¬
но четвертое азимутальное уравнение ошибок и игнорирова¬
лась его зависимость от трех других уравнений, что приво¬
дило при расчетах к ошибочным результатам.
70

Уравнения ошибок допускают многообразие форм и, в част¬
ности, динамические и кинематические уравнения могут быть
перевязаны через общие переменные.
При выводе уравнений ошибок будем придерживаться трех
гипотез:
1. Инструментальные погрешности рассматриваются как
аддитивные добавки к измеряемым величинам. Пусть
I — измеряемая величина, V — результат измерения, то¬
гда V = I + Д/, где А1 — инструментальная погрешность.
В нашем случае исходной информацией для решения на¬
вигационной задачи служит информация / о векторе
внешней силы /, действующей на точку М, и информа¬
ция йу об абсолютной угловой скорости uz приборного
трехгранника.
Имеют место соотношения
fz = fz + А/г, шу = шг- vz.	(4.116)
Замечание. Повторим уже сказанное о выборе знака у
величины vz. Естественнее в (4-116) было бы написать
Wy = LOz + Vz,
но принятая здесь запись традиционна и порождена
тем, что в управляемых гироплатформах угловая ско¬
рость приборного трехгранника складывается из сигна¬
ла управления и неконтролируемого возмущения. Так по¬
лучилось, что системы с горизонтируемой платформой
предшествовали бескарданным системам.
2. Уравнения ошибок могут быть получены как результат
линеаризации уравнений движения в окрестности модель¬
ного движения.
3. При выводе уравнений ошибок не учитываются несферич-
ность Земли и нецентральность ее поля тяготения. Удель¬
ные силы тяготения и тяжести также не различаются.
71

Гипотезы могут быть проиллюстрированы следующей об¬
щей схемой, отчасти уже использованной выше. Пусть динами¬
ческий объект описывается уравнением
X = F(X,U) + eF1(X)i
где е — малый параметр.
Пусть доступна числовая информация об объекте
X'(t0) = Х0 + х0> ' U\t) = U(t) + u(t),
где xq — ошибка задания начального состояния объекта,
U\t) — результат измерения величины U(t) с инструменталь¬
ной погрешностью u(t).
Модельные уравнения в этом случае примут вид:
X’= F(X',U')+ eF1(X').
Под ошибкой определения вектора состояния X традицион¬
но понимается величина х = Xf — X. Хотя с формальной точки
зрения более целесообразно было бы понимать под ошибкой ве¬
личину противоположного знака, а именно величину X — X'.
В процессе определения вектора состояния известным ока¬
зывается модельный вектор X\t), и за опорную траекторию, от¬
носительно которой осуществляется линеаризация, естественно
было бы принять траекторию, описываемую этим вектором.
Поведение вектора х подчиняется уравнению
х = F(X + x,U + u)~ F(X, U) + е [F^X + х) - Fi(X)]. (4.117)
В соответствии с гипотезой 2 величины хо и u(t) считают¬
ся настолько малыми, что допустимо пренебрежение при раз¬
ложении правой части уравнения (4.117) в ряд Тейлора всеми
членами кроме линейных. Тогда получим:
х = (А + еА\)х + q,
где
А =
dF(X, U)
дХ ’
Аг =
dF^X)
дХ 5
Q =
dF(X, и)
dU
и.
72

В силу гипотезы о допустимости линейного разложения
можно положить, что
,	dF(X',U')	л dFi(X')	dF{X’,U')
А== дх> ’	=	q= ди> и-
В инерциальной навигации слагаемое с малым параметром е
в уравнении (4.117) порождается, в том числе, несферичностью
навигационной модели формы Земли и нецентральностью ее по¬
ля тяготения, и в соответствии с 3-ей гипотезой этим слагаемым
в дальнейшем будем пренебрегать. Многочисленные расчеты,
проведенные с пренебрежением этими слагаемыми, никогда не
приводили к существенным ошибкам.
Приведем в общем виде уравнения ошибок с учетом допол¬
нительной информации при реализации схем 1, 2, 3, описанных
в предыдущем разделе.
Схема 1. Сравниваются уравнения, которым подчиняется
поведение динамического объекта
X = F(X,Y,U), Y = G(X),
с модельными уравнениями
X* = F{X\Y\Uf), Y* = Z\ Z* =Y + w,
где Z* — вектор дополнительной информации.
Введем вектор ошибки х*
х* = X* - X.
Сравнение приводит к уравнениям
х* = А\х* + A2W + Ви,
где
л _dF(X\Y\Uf) _ dF{X*,Y\U’) р _ dF(X\Y\Uf)
1 дх* ’	2	dY*	’	duf
Таким образом, внутренние свойства системы (свойства од¬
нородных уравнений ошибок) определяются матрицей А\ вме¬
сто прежней матрицы А.
73

Схема 2. Сравниваются уравнения, которым подчиняется
поведение динамического объекта
Xj = F^XuXjuUj),
Хп = F2(XI,XII,UII)9
с модельными уравнениями
X*j = Fi(Xj,Xjj, Uj),
Х*п = Z*, Z* = Хп + w,
где Z* — вектор дополнительной информации.
Введем вектор ошибок х:
X* = (xf,x}f)T, х} = х;-х!, х*п = Х*и-Хп.
Сравнение приводит к уравнениям
dF1(XJ,Z*,U'I)
i*i =	+	Ai2w	+	Biu,	Ац	=
dX*j
dF1(X*I,Z*,U'I)	dF1(X*,Z*,U'I)
Au =  axf, ’ Bl = Щ ' x,l = w-
Таким образом, динамические уравнения ошибок определяются
здесь матрицей Ац.
Схема 3. Сравниваются уравнения объекта
X = F(X9U),	X{t0)	=	X0
с модельными уравнениями
X' = F{X\ U') + Ка,	Х%)	=	X',
где а - вектор коррекции (см. (3.83)):
£* = в(Х) + р*, а = Е* - в(Х'),
Е* - вектор дополнительной информации, р* - инструменталь¬
ная погрешность этой информации.
Уравнения ошибок имеют вид:
х = Ax-KHx + Kp* +q, х = Х’-Х,
74

9F(X',U') и_дв{Х') _dF(X',U')
дх> ’ дх> ’ q ~ ди> ‘
Матрица усиления К выбирается так, чтобы по возможно¬
сти обеспечить выполнение условий x(t) —> 0 при t —> оо и q = О,
р*=0.
При этом обычно решается задача компромиссного выбо¬
ра между скоростью затухания переходных процессов и вели¬
чиной установившейся ошибки, вызванной инструментальными
погрешностями.
Понятие вектора малого поворота. Для формализации
условий малости нам понадобится понятие вектора малого по¬
ворота. Пусть Os (OS1S2S3) и Ор(Ор\р2Рз) два трехгранника и
матрица С - матрица ориентации первого трехгранника отно¬
сительно второго:
13 = С1Р.
Трехгранник Os может быть получен из трехгранника Ор пу¬
тем последовательных поворотов на углы aei, эег, аез. Угол aei
- поворот вокруг оси Opi, угол эе2 - поворот вокруг нового
положения оси Ор2, полученного после первого поворота, угол
аез - поворот вокруг нового положения оси Орз, полученного в
результате первых двух поворотов.
Элементы матрицы С составлены из произведений синусов
и косинусов углов aei, *25 Повороты не коммутативны. Это
означает, что если сделать первый поворот на угол аег вокруг
оси Ор2ч а далее поворот на угол aei вокруг нового положения
оси Opi, то полученная матрица ориентации не будет совпадать
с матрицей, соответствующей обратной очередности поворотов.
Три парциальных поворота могут быть заменены одним по¬
воротом вокруг некоторой оси. Направляющие косинусы этой
оси и величина угла определяют вектор конечного поворота.
Повороты считаются малыми, если допустима замена коси¬
нусов углов на единицу, синусов — на радианную меру их углов.
Рассмотрим, например, поворот против часовой стрелки на
угол аез вокруг оси Орз. Матрица С в этом случае будет иметь
75

При малом аез имеем
Соединяя три малых поворота и пренебрегая произведениями
малых углов, получим
где
1
ае3
-эе2
-ае3
1
aei
ае2
aei
1
(
0
аез
=
-ае3
0
V
ае2
-aei
: Е -Ь 36-
aei
О
- кососимметрическая матрица, которой может быть поставлен
в соответствие вектор аер = (aei,ае2, зез)Т? называемый вектором
малого поворота.
Малые повороты (ае1,ае2,аез) коммутативны.
4.1. Уравнения ошибок ИНС с инерциальным
опорным трехгранником
4.1.1. Уравнения в полных ошибках
Пусть ориентация приборного трехгранника Mz, носителем ко¬
торого служит гироплатформа, должна повторять ориентацию
инерциального трехгранника 0£. Соответственно введем инер-
циальную систему координат М£ с началом в точке М и осями
М&, параллельными осям М£ЦО£.
Обозначим через /?$ =	0£2>Р&)Т вектор малого поворо¬
та трехгранника Mz относительно М£, порождаемый ошибка¬
ми начальной выставки гироплатформы и неконтролируемым

дрейфом самой гироплатформы из-за инструментальных по¬
грешностей гироскопов:
/	.4	.	/ 0	-Рь\
lz = [Е + рЛ k, Pi = -Рь	0 Рь	.	(4.118)
\	о )
Напомним, что трехгранник 0£ (М£) служит в нашем слу¬
чае модельным трехгранником.
Уравнение, которому подчиняется вектор ошибки /%, имеет
вид:
& = ”*>	(4.И9)
где vz = {yz\,Vz2,Vz?)T — вектор абсолютной угловой скорости
гироплатформы или приборного трехгранника Mz — дрейф ги¬
роплатформы.
Уравнение (4.119) носит название кинематического уравне¬
ния ошибок. Вектор малого поворота /3 служит мерой ошибки
ориентации гироплатформы.
Для вывода динамических уравнений ошибок выпишем
уравнения движения точки М, пренебрегая несферичностью
формы Земли и нецентральностью ее поля тяготения:
,f	t*	£	(4.120)
«€=# + /€» где 9i = -~a--. r=(ZIt) ■
Здесь д — гравитационная постоянная.
Модельные уравнения имеют вид:
£ =	^=9s	+ f'z,	(4.121)
где
9( = ~^2 V’	W	•
Здесь /' — входная информация о векторе Д, поступающая в
вычислитель навигационной системы.
Имеем:
Л = (В + Д€)Д + ДЛ,	(4.122)
77

где Afz — вектор инструментальных погрешностей ньютоно¬
метров.
Введем векторы
определяющие положение и скорость точки М' относительно
М в системе координат 0£.
Векторы Д£ и Ау$ служат, таким образом, мерой ошибки в
определении местоположения и скорости точки М навигацион¬
ной системой.
Из сравнения (4.120) с (4.121) получим:
Введем величину ujq:
Эта величина ранее была названа частотой Шулера.
Применительно к приземным летательным аппаратам мож¬
но положить Uq = fxjа3 = const (а - длина полуоси земного
эллипсоида).
В результате окончательно получим
Соотношения (4.125) будем называть динамическими урав¬
нениями в полных ошибках. Уравнения (4.119) и уравнения
(4.125) в совокупности составляют полную систему уравнений
ошибок ИНС.
Д£ =	—	£,	Дис	=	v'z	-
(4.123)
Д£ = Д^,
Ащ = Ад% + /%Д + Д/г>
(4.124)
Л£ = Av{,
Av( = -ц* Д£-з(^Д^ +fcU+Af,. (4-125)
78

4.1.2.	Разделение ошибок на динамические
и кинематические
Уравнения (4.125) не удобны как при их численном моделиро¬
вании, так и при построении бортовых алгоритмов коррекции
(см. [10]). Это неудобство связано с наличием в них величин
Д в качестве коэффициентов, так как модельные или экспе¬
риментальные траектории движения объекта (точки М) зада¬
ются фазовыми параметрами — координатами и скоростями.
Выходными параметрами являются также координаты и ско¬
рости. Существует возможность избежать появления Д в ка¬
честве коэффициентов без каких-либо упрощений, записав для
этого уравнения ошибок в форме, в которой однородная часть
динамических уравнений оказывается независимой от кинема¬
тической ошибки /Д.
Пусть z, vz — векторы координат и абсолютной скорости
опорной точки М в осях приборного трехгранника Oz. Напом¬
ним, что абсолютная угловая скорость трехгранника Oz равна
вектору гироскопического ухода vz. Тогда уравнения, описыва¬
ющие движение точки М в подвижной системе Oz, примут вид
Z = Vz + VzZ,
Vz=9z + fz + t>zVz,	(4.126)
9z = ~^z, r = (zTz)1/2 , fz = (E + /%)/«•
Представим ошибки Д£ и в следующем виде:
Д£ = £' — z + z — £,	Дг>£ = — vz + vz — v$.	(4.127)
Введем величины
6£ = £' — z,	6v£ = v£ — vz,	(4.128)
и назовем их динамическими ошибками.
Аналогично предыдущему получим уравнения, которым
подчиняется поведение величин ££ и 5v^:
5£ = 6v( -j>z£,
(4.129)
6ve =	—	U>n
5Z- 3
-uzvz + A fz.
79

Замечание. Числовые расчеты и приближенные оценки
показывают, что применительно к современным навигацион¬
ным системам последнее уравнение можно упростить, прене¬
брегая малым по уровню членом Ozvz. Тогда уравнение (4-129)
может быть записано в виде
6vt =	—и&
3
+ Д/*.	(4.130)
Для величин z — £, vz — с учетом (4.118) справедливо:
z-£ = /%£, vz-V£ = Рщ.	(4.131)
Назовем эти вариации кинематическими ошибками местополо¬
жения и абсолютной скорости.
Таким образом, полные ошибки Д£, Av% местоположения и
скорости представляются в виде суммы динамических и кине¬
матических ошибок:
Д£ = $€ +	(4.132)
и для замыкания этой модели необходимо добавить полученное
ранее кинематическое уравнение ошибок
/% = Vz-
Полученные уравнения при математическом моделировании
требуют задания начальных значений фазовых переменных в
точке М. Разумеется, в коэффициентах уравнений ошибок ве¬
личины £, z, vz могут быть заменены на модельные перемен¬
ные €',v£.
Обсудим полученный результат подробнее. Разделение оши¬
бок на две группы — динамическую и кинематическую, так что
соответствующие однородные уравнения (без учета инструмен¬
тальных погрешностей) оказываются не связанными друг с дру¬
гом, полезно для понимания внутренних свойств метода инер¬
циальной навигации. Но для прикладных целей при матема¬
тическом моделировании этих уравнений, а также при постро¬
ении алгоритмов коррекции ИНС с использованием дополни¬
тельной информации неинерциальной природы более важно то,
80

что коэффициенты в указанных уравнениях содержат только
фазовые переменные. Часто удобно использовать другие фор¬
мы уравнений, в которых последнее свойство сохраняется, од¬
нако выбираются такие переменные, в которых разделение на
две независимые группы не происходит. Для того, чтобы ука¬
занное свойство имело место, необходимо включение в состав
переменных одной из следующих векторных величин:
• динамических ошибок Svy, SVy определения абсолют¬
ной или относительной скорости, связанных с понятия¬
ми опорного трехгранника Ор и соответствующих ему мо¬
дельного Оу и приборного Oz трехгранников;
Svу = v'y — vz, SVy = Vy - Vz.
• динамических ошибок Sv£, 5V£ определения абсолютной
или относительной скорости, связанных с понятиями ква-
зимодельного Оур и квазиприборного Ozp трехгранников:
<к = v'f-vl, 5Vf = V?-V?.
Замечание. Избежать появления в коэффициентах урав¬
нений ошибок величин /' в общем случае не удается, если в со¬
став переменных включаются инструментальные погрешно¬
сти масштабов ньютонометров, а также погрешности типа
дебаланса. Но это обстоятельство часто можно обойти тем
или иным образом. Читателю предлагается вернуться к вы¬
шесказанному после изучения подразделов, содержащих вывод
уравнений ошибок в системах с гринвичским опорным трех¬
гранником и опорным трехгранником, жестко связанным с
географической вертикалью.
4.1.3.	Уравнения ошибок при использовании внешней
информации о высоте
Запишем теперь уравнения ошибок для случая, когда привлека¬
ется дополнительная информация h* о высоте h, и она исполь¬
зуется в модельных уравнениях ИНС по Схеме 1. Модельные
уравнения в этом случае имеют вид (по-прежнему действует
81

гипотеза о сферичности Земли и центральности ее поля тяготе¬
ния):
где R — приведенный радиус Земли.
Обозначим через р* погрешность дополнительной информа¬
ции о высоте
р* = h*~ h.
Тогда, сравнивая последние соотношения с уравнениями движе¬
ния (4.120) точки М, получим следующие уравнения ошибок:
д£ = Д^,
= -а,зде + &/€ + ДД + 3 w0V^.	(4'Ш)
Аналогично, в разделенном варианте получим
6£	=	Svz	-	vz£,
8щ =	+	Afz - Ozvt + Зш$р*	(4Л34)
Как уже говорилось, в последних уравнениях величиной
vzv^ можно пренебречь. Проведем сравнение динамических
уравнений ошибок без привлечения и с привлечением допол¬
нительной информации о высоте, то есть сравним уравнения
(4.129)	и (4.134).
В первом случае соответствующие однородные уравне¬
ния неустойчивы. Строгое доказательство этой неустойчивости
здесь не проводится. Ее характер обсуждался при упрощенном
описании метода инерциальной навигации.
Во втором случае динамические уравнения ошибок приво¬
дятся к виду
5£j +	=0,	j	=	1,2,3.
Величины 6£j совершают гармонические колебания с частотой
Шулера. Уравнения устойчивы, но не асимптотически.
82

4.1.4.	Запись уравнений ошибок для систем
с инерциальным опорным трехгранником
в проекциях на оси географического трехгранника
Нижеследующий подраздел носит поясняющий характер и на¬
прямую не используется в дальнейшем изложении.
Уравнения ошибок иногда оказывается удобнее записывать
не в той системе координат, в которой решается навигацион¬
ная задача в соответствии с модельными уравнениями, а в
некоторой другой, выполнив соответствующие преобразования.
Смысл перехода к другой системе координат в уравнениях оши¬
бок может состоять, например, в простоте их анализа или в
удобстве их математического моделирования в новой форме.
В качестве примера приведем такое преобразование к систе¬
ме координат Ох, жестко связанной с географической верти¬
калью. При выполнении этих преобразований по-прежнему, в
соответствии со сказанным выше, будем пользоваться сфери¬
ческой моделью Земли. Орт х3 опорной вертикали в данном
случае определяется координатами	Введем	квази-
г г г
модельный трехгранник Оух (напомним, что в нашем случае
модельный трехгранник Оу совпадает с трехгранником 0£),
 з
жестко связанный с модельной вертикалью, орт ух , которой
£' £' £'
определяется координатами (-7, -7, -7), и зададим некоторую
ориентацию этих трехгранников Ох и Оух в азимуте.
Далее для простоты, без риска внесения путаницы, верхний
индекс "х" для обозначения квазимодельного трехгранника, а
также любых параметров, с ним связанных, будем опускать.
Модельные векторы £' и позволяют определить матри¬
цу ориентации Ау трехгранника Оу относительно трехгранника
0£, а также его угловые скорости Пу.
Для этого:
• при помощи модельных инерциальных координат ££» £з>
определяются географические координаты Л', у/, Ы мо¬
дельной точки М';
• строится соответствующая матрица ориентации Ау с при¬
нятым законом азимутальной ориентации;
83

• для этого, в свою очередь, интегрируется соответству¬
ющее кинематическое уравнение для модельного азиму¬
тального угла
• в осях Оу перепроектировкой определяются векторы аб¬
солютной v', относительной VL скорости движения точ-
ки М';
• при помощи компонент последних определяются векторы
абсолютной и>у и относительной Пу угловой скорости трех¬
гранника Оу.
Читателю представляется возможность самостоятельно прове¬
сти необходимые преобразования, задав ту или иную ориента¬
цию трехгранника Оу в азимуте.
Введем величины
Ау	=	АУА£,	Avy	=	AyAv£y	/Зу = Ау(3
5у	=	Ау6£,	Svy	=	Ay5v£,	(4.135)
Afy	=	AyAfz,	vy	=	Ayvz.
Воспользуемся соотношениями
fly = Ay (3$ Ay , vy = AyV^Ay.
Прежде всего получим:
Ay = Л (<*£ + /%£') = бу + 42/,
Дг>у =	=	Svy	+	PyVy.
Дифференцируя первые три соотношения из (4.135), получим:
А у = АуА£ + АуА£,
Avy = AyAv£ + АуАщ,
fly — Ayfl^ 4- Ay/3%.
Подставляя в них соотношения (4.125), получим уравнения
Ау = йуАу + Avy,
Avy = UyAvy — и%(Ау1, Дуг? ~~2Ауз)т 4- flyfy 4- А/у, (4.136)
fly = &yfly 4"

Уравнения (4.136) в совокупности составляют уравнения оши¬
бок трехкомпонентной ИНС, записанные в проекции на оси по¬
движного трехгранника, связанного с вертикалью.
В случае использования информации о высоте по схеме 1
перепроектированные уравнения ошибок (4.133) примут вид
Д у = йуАу + Ауу,
Avy = u)yAvy - u$(Ayi,Ay2, Ау3)т+	(4.137)
+ 3wqA/i(0, 0, 1)т + flyfy + Afy.
Аналогичным образом могут быть перепроектированы урав¬
нения ошибок, в которых полные ошибки в определении фа¬
зовых переменных представляются как алгебраическая сумма
динамических и кинематических ошибок. Последние, следует
отметить, описываются уравнениями, однородные части кото¬
рых не зависят друг от друга.
Перепроектирование уравнений (4.129) приводит их к виду
5у = 5vy + u)ySy - vyy,
Svy = Q)y6vy - u)^(Sy1,5y2, -26у3)т+	(4.138)
+ Afy — VyVy.
С учетом информации о высоте уравнения (4.138) примут вид
5у = Svy 4- шу8у - 0уу,
Svy = CbySvy - и>%(6уи6у2,8у3)т + 3u;gp*(0,0,1)т+	(4.139)
4- Afy — VyVy.
Выпишем однородную часть дифференциального уравнения
для ошибки Ауз (ошибки определения высоты) при использо¬
вании модели уравнений ошибок (4.136):
Ау3 - 2шдДуз = ....	(4.140)
Решение этого уравнения показывает экспоненциальную
неустойчивость уравнений ошибок вертикального канала
автономной трехкомпонентной ИНС:
Ау3 ~ Се^ш°г.
85

Напротив, при использовании информации о высоте имеем
Ауз + Ц} Дуз =	(4.141)
и решение однородного уравнения уже носит колебательный
(шулеровский) характер:
Ду3 ~ Ci cosuot + С2 sincjo^-
4.1.5.	Геометрическая интерпретация
Обсудим проделанные преобразования с геометрической точки
зрения. Матрица Ах определяет здесь ориентацию трехгранни¬
ка Ох, жестко связанного с вертикалью. Этот трехгранник мы
называем опорным. Матрица Ау = Ах + Д^4. — числовая ин¬
формация о матрице Ах, ДА — погрешность этой информации.
Матрица Ау определяет ориентацию модельного трехгранни¬
ка Оу.
Каждый элемент матрицы Ау не может изменяться по срав¬
нению с элементами матрицы Ах произвольно, поскольку обыч¬
но Ах определяется тремя независимыми переменными (углами
Эйлера, Крылова и т.д.) или даже двумя независимыми пара¬
метрами (широтой и долготой) в случае ориентации трехгран¬
ника Ох в географической координатной сетке (Ох —► Ох°).
Поэтому погрешности в задании Ау не должны нарушать ее
ортогональность.
Ориентацию модельного трехгранника Оу относитель¬
но опорного Ох определим вектором малого поворота
7* = (7ъ72,7з)Т:
(О	7з	-72	\
—7з	0	7i	1	-	(4.142)
72	-71	0	/
Очевидно соотношение
7* = A AAl-
Кососимметричность матрицы АААх формально следует из ва¬
рьирования тождества
АХАТХ = Е =>■ АААХ + АХААТ = 0.
86

Обратим внимание на следующее: уравнения (4.136) и
(4.138) описывают движение точки М' в модельной системе ко¬
ординат Оу. Формально это следует из соотношений
А у = АуА£ = Ау(£ — £), Avy = AyAvf = Ay(v^ — vf).
Поскольку приборный трехгранник Oz (Mz) материализо¬
ван, а матрица Ау известна, можно представить новый ква-
зиприборный трехгранник (см. (3.94)), который мы обозначим
Ozx, такой, что его матрица ориентации Azx относительно инер-
циального трехгранника 0£ будет иметь вид:
Лгх = АУ(Е + Р(),
lz* = Aylz, lz = Az*k=(E + fc)k.	[ '	>
При проектировании силы f на оси квазиприборного трех¬
гранника Ozx задача навигации решается, когда в качестве
опорного трехгранника выбран трехгранник Ох.
Ориентация трехгранника Ozx относительно модельного
трехгранника Оу находится из соотношения:
lzх =Ay{E+foATvly = (E+Ay^Al)ly = (Е+ру)1у. (4.144)
Таким образом, вектор /Зу, введенный ранее соотношением
(Зу = АуР^,
есть вектор малого поворота квазиприборного трехгранни¬
ка Ozx относительно модельного Оу.
Ориентацию трехгранника Ozx относительно опорно¬
го трехгранника Ох определим вектором малого поворота
а* = (аьа2 ,«з)Т:
(О	а3	-d 2	\
-а3	0	ац	I	.	(4.145)
а2	-ац	0	/
Легко видеть, что ах = (Зх + 7х*
Орт zx3 определим как направление приборной вертикали.
Тогда величины «1,0:2 — ошибки рассогласования приборной
вертикали с опорной, а3 — азимутальная ошибка.
87

Установим связь между координатами векторов Ау, 8у и ко¬
ординатами векторов 7х* Прежде всего напомним, что в рам¬
ках гипотезы о сферичности формы Земли точка М в трехгран¬
нике Ох определяется вектором х = (0,0, г)т, г = ОМ. Вектор
у' = Ау£', составленный из координат модельной точки М' в
осях модельного трехгранника Оу, имеет аналогичный вид
уГ=-(9,0У)т, г' = ОМ’,
Имеем
„> _Й п> -Ъ я/
°31 - г/ >	а32-^7>	“33-^7-
Ау = у' -у = I о I — (Е + 7х) [ 0 | ,
Г
Sy = у' - Zx = ( 0 ) — (Е + ах) ( 0
Г
Отсюда следует
Д</1	=	72^,	Дуг	=	-71 г,
^2/1	—	о^т*,	^2/2	=	—очг
(4.146)
Ду3 = Дг = <5у3 = Д/г.
С точностью до малых второго порядка соотношения (4.146)
можно записать в виде
Дуг	=	72 а,	Дз/2	=	-7ia,	,4147х
дуг	=	а2а,	£у2	=	-ада,
где а — большая полуось модельного эллипсоида Земли.

4.2.	Уравнения ошибок ИНС с гринвичским
опорным трехгранником
Приведем уравнения ошибок ИНС с гринвичским опорным
трехгранником только в относительных переменных.
Ориентация приборного трехгранника Mz, носителем кото¬
рого служит управляемая гироплатформа, должна повторять
ориентацию гринвичского трехгранника От). Обозначим через
/Зг) =	/Зп2) Рг}з)т вектор малого поворота трехгранника Mz
относительно М77, порождаемый ошибками начальной выстав¬
ки гироплатформы и неконтролируемым дрейфом самой гиро¬
платформы из-за инструментальных погрешностей гироскопов
и датчиков моментов.
h = {Е + (Зт})1тт
Угловая скорость опорного трехгранника Mr] определяется
соотношением
U)r) = 'U'rji	—	(0,0, и) .
Угловая скорость ujz приборного трехгранника Mz в соответ¬
ствии с выбранным законом управления платформой опреде¬
ляется соотношением
Uz =^71 + Vz ИЛИ <jJz = Urj + Vz.
vz = (i/zi, vz2, ^з)т, vZi (i = 1,2,3) — малые величины. Посколь¬
ку угловая скорость приборного трехгранника относительно
опорного (он же и модельный) равна vz, то очевидно, что с точ¬
ностью до малых второго порядка поведение вектора подчи¬
няется уравнению
Д1 =	(4.148)
Формальный вывод этого уравнения приведен в следующем
подразделе 4.4.
Далее используются величины
Ау = у'-у, 5у = у'- z, AVy = V'-Vy, 5Vy = V'-Vz.
89

Имеем
Ay = у'-z + z-y = Sy + Д,у,
Дvy = V£ -Vz + Vz-Vy = SVy + 0vVy.
Уравнение, которому подчиняется поведение величины по¬
лучается из сравнения модельного уравнения
с уравнением
Z = Vz + (lzz,
описывающим движение точки М в приборной системе коорди¬
нат.
Оно имеет вид
Sy = SVy - flzz.	(4.149)
Здесь при обозначении модельных переменных используется
"двуязычие": поскольку модельный трехгранник Оу совпада¬
ет с трехгранником От/, можно положить yf = 77' и Vy — V^.
Используем соотношение
nz=tJz-uz = uv + i/z-(E + 0n)uv = vz- Д,uv.
Тогда
Sy = 6Vy - (vz - 0vuv)z.	(4.150)
Учитывая, что uv = (0,0, и)т, слагаемое 0vuv можно предста-
вить в виде:
fiyUr, = и0*, где 0* = (-02,0 i,0)T.
Уравнение (4.150) перепишем, используя вектор 0* и заме¬
нив z на у', в виде
Sy = SVy - (uz - u0*)y'.	(4.151)
90

Уравнение, которому подчиняется поведение величины
SVy = Vy — Vz, получается из сравнения модельного уравнения
с уравнением, описывающим поведение вектора относительной
линейной скорости Vz точки М в приборной системе Oz.
В результате имеем:
Для SVy получим (напомним, что при выводе уравнений ошибок
удельные силы тяжести и тяготения не различаются)
готения.
Явное выражение для 5д® выводится аналогично тому, как
это было сделано в случае с инерциальным опорным трехгран¬
ником. Имеем
Пренебрежем в уравнении (4.152), так же как это было сде¬
лано в случае с инерциальным опорным трехгранником, малы¬
ми по уровню величинами 0ZVZ, и j3*Vz. Окончательно замкну¬
тая система уравнений ошибок примет вид:
6у = 6Vv-(Pz-up*)y',	/3*	=	(/32,-А,0)г,	(4.153)
SVy = 2 uvSVy + 8д° + Afz.
Читателю предоставляется записать эти уравнения в скаляр¬
ном виде. Читателю также предлагается исследовать самосто¬
ятельно вопрос использования внешней информации о высоте,
поскольку ранее была детально обсуждена аналогичная задача
для ИНС с инерциальным опорным трехгранником.
где
5у = yf — z = г]' — z = 5г].
Рт} —	^77/^77	VZi
91

4.3.	Уравнения ошибок бескарданных
инерциальных навигационных систем
Ввиду важности для приложений нижеследующего материа¬
ла, он написан так, чтобы его можно было читать независимо
от предыдущего материала, связанного с уравнениями ошибок.
Поэтому текст содержит повторы.
Приборный трехгранник Mz БИНС жестко связан с корпу¬
сом объекта. В осях приборного трехгранника измеряется:
• сила /z, приложенная к опорной точке М; /' = fz + Sfz -
результат измерения этой силы;
• абсолютная угловая скорость uz\ результат ее измерения
w'z=wz- vz.
Введем модельный трехгранник Му как числовой образ при¬
борного трехгранника Mz. Абсолютная угловая скорость этого
трехгранника иу = ((^У1^У2^уз)т^ заданная своими проекция¬
ми на собственные оси, определяется соотношением: иу =	.
Начальное значение матрицы Ay(to) является результатом
решения задачи начальной выставки БИНС.
Предполагается, что рассогласование модельного и прибор¬
ного трехгранников мало. Введем вектор малого поворота /Зу
трехгранника Mz относительно трехгранника Му. Обозначим
через С матрицу взаимной ориентации этих трехгранников так,
что имеет место соотношение
lz = С1у, С = Е + /3у.
Поскольку и)у = wz — vz, величина vz - относительная угловая
скорость (с точностью до малых второго порядка) трехгранни¬
ка Mz относительно трехгранника Му, и она является полной
производной от угла /Зу, причем дифференцирование осуществ¬
ляется в подвижной системе координат. Поэтому имеет место
соотношение:
Ру + иу Ру = Vz или /3у — U)y(3y + vz.
Приводим строгий вывод этого уравнения. Имеем С = AzAy , и
поведение матриц Az: Ау подчиняется уравнениям
Az — u)zAz, Ay — ujyAy.
92

Отсюда
C = uzC-uyC.	(4.154)
Подставляя в это уравнение
С = Е + j3y и u)z = сОу + vz,
и пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим
Ру = йуру - РуШу + Vz.
Отсюда с учетом соотношения
ШуРу = ШуРу - РуШу
получаем требуемое.
Выясним свойство этого уравнения. Нетрудно написать яв¬
ное его решение. Введем замену переменных
р^=4/v
Относительно /?£ уравнение запишется в виде
Р( = i/€ где V£ = AyVz.
Отсюда следует
г
Pe(t) = Ре(* о) + У	(t)i/z(t)<17
to
ИЛИ
А/М “ ^2/М
ъ
Ay(to)Px(to) + J AT(t)vz(t)cIt
to
В частности, если vz — 0, то вектор /3 неподвижен в инерци-
альном пространстве, то есть /3^ = const.
В грубом приближении при vz — const и нулевых началь¬
ных условиях величину /3y(t) можно положить равной vz • t, то
93

есть кинематическая ошибка растет со временем линейно. Этот
вывод может быть использован при грубых оценках точности
БИНС.
Далее выведем уравнения ошибок БИНС для двух вариан¬
тов выбора опорного трехгранника:
1. Используется инерциальный 0£ опорный трехгранник.
2. Используется опорный трехгранник Ож, жестко связан¬
ный с географической вертикалью.
4.3.1.	Уравнения ошибок БИНС в случае
инерциального опорного трехгранника 0£
Соотношением Zze = Aylz вводится квазиприборный трехгран¬
ник OzОриентацию трехгранника Ozt относительно трех¬
гранника 0£ определим вектором малого поворота /?£
lzt = (E + fc)ls.	(4.155)
Имеют место соотношения
0i = A%0x,	=	=	Ау^г-	(4.156)
Путем перепроектирования определяются силы Д и /'с
h =	fU	= Ayfy = Avf* + Av&f*-
Динамические уравнения ошибок полностью повторяют уравне¬
ния из раздела, описывающего уравнения ошибок ИНС с при¬
борным трехгранником, в идеале — неподвижным в инерциаль-
ном пространстве.
Повторим эти уравнения, используя вариант разделения
полных ошибок местоположения Д£ и скорости Av% на дина¬
мические <5f, 6v£ и кинематические составляющие
94

Имеем
А£ = Ч +	АЧ	=	Svf:	+	0tv'v
5vt = —uj\
- 0(v'z + ДД,
(4.157)
/%	=	i/€.
Здесь, как указано выше, инструментальные погрешности ДД,
есть результат перепроектировки погрешностей ньютономет¬
ров ДД и датчиков угловой скорости vz из приборных осей на
оси инерциального трехгранника
А/с = АуА /*>	^	=	Ayv*-
4.3.2.	Уравнения ошибок БИНС для варианта с геогра¬
фическим опорным трехгранником
В силу инвариантности законов механики относительно выбо¬
ра систем координат, уравнения ошибок ИНС можно записать в
проекциях на оси любого подходящего трехгранника, а не обяза¬
тельно на оси трехгранника, в которых реализованы модельные
уравнения. Название подраздела просто отражает факт соот¬
ветствия между модельными уравнениями и уравнениями оши¬
бок.
Итак, предполагается, что в бортовом вычислителе реализо¬
ваны модельные уравнения (3.95)-(3.105).
При выводе уравнений ошибок будем использовать интер¬
претации указанных модельных уравнений.
Параметризация ошибок. Прежде чем выводить уравнения
ошибок, приведем исходные представления и соотношения.
Исходные трехгранники:
• опорный трехгранник Мх(Ож), жестко связанный с гео¬
графической вертикалью. В проекциях на оси этого трех¬
гранника записываются динамические уравнения Ньюто¬
на, подлежащие интегрированию в бортовом вычислителе.
95

Ах - матрица ориентации этого трехгранника относитель¬
но инерциального трехгранника 0£.
приборный трехгранник Mz (Oz), в проекциях на оси ко¬
торого измеряется внешняя сила Д, приложенная к точке
М и проекции его угловой скорости ш2.
Результат измерения:
/' = Д + ДД, w'z=uz- vz,
где ДД = (ДДъ ДД2, ДДз)т - вектор погрешности из¬
мерений ньютонометров, vz = (vz\,vZ4,Vzz)T ~ вектор по¬
грешности измерений датчиков угловой скорости.
Az - матрица ориентации этого трехгранника относитель¬
но инерциального трехгранника 0£.
модельный трехгранник Му (Оу) как числовой образ при¬
борного трехгранника Mz. Ау - его матрица ориентации
относительно инерциального трехгранника 0£, шу = uz
- его абсолютная угловая скорость, информация о кото¬
рой доставляется датчиками угловой скорости. Начальное
условие Ay(to) определяется начальной выставкой БИНС.
квазимодельный трехгранник Оух (Ох*) как числовой об¬
раз опорного трехгранника Мх.
Вух (В'х) - его матрица ориентации относительно трех¬
гранника Or/, жестко связанного с Землей.
Аух (А!х) - его матрица ориентации относительно инерци¬
ального трехгранника 0£.
ftyx, иух - относительная и абсолютная угловые скорости
этого трехгранника.
Матрица L = АуАуХ - матрица ориентации модельно¬
го трехгранника Оу относительно квазимодельного трех¬
гранника Оух.
В проекциях на оси квазимодельного трехгранника в бор¬
товом вычислителе определяются координаты и скорости
модельной точки М'.

• квазиприборный трехгранник Mzx, на оси которого пере¬
проектируются результаты измерения внешней силы fz.
Результат такого перепроектирования - величина /'* слу¬
жит входной информацией при интегрировании модель¬
ных динамических уравнений Ньютона:
Я* = LTf'z.
Еще раз подчеркнем, что независимо от того, в каких пере¬
менных записываются модельные уравнения, которым подчи¬
няется движение точки М', переменные для описания движе¬
ния модельной точки относительно опорной выбираются исходя
из целесообразности (например, из условия простой записи).
В соответствии с условиями для вывода уравнений ошибок,
сформулированными в начале раздела, предполагаются мало
отличающимися друг от друга ориентации модельного и при¬
борного трехгранников, а также опорного, квазиприборного и
квазимодельного трехгранников.
Ориентацию приборного трехгранника Oz относительно мо¬
дельного Оу определим матрицей С:
l2 = С1у, С = AZA*.
Поскольку трехгранники Oz и Оу близки, можно положить
С = Е + /Зу,
где /Зу = (/?у1,/3у2> А/з)т ~ вектор малого поворота.
Ориентацию квазиприборного трехгранника Ozx относи¬
тельно квазимодельного Оух определим матрицей Сх:
lzX = СХ1УX.
В силу малого отличия матрицы Сх от единичной положим
Сх = Е + рх,
где рх = (Дгъ Дг2, Асз)т - вектор малого поворота.
Почти очевидно, что
Рх — L Ру
97

Формально это следует из цепочки соотношений:
Сх = Д,.Л£. = LT AzAy АуАу* = LTCL.
Отсюда следует для малых углов
Ах = L?(ЗуЬ
или Ах = LT(3yL.
Геометрический смысл вектора Ау (соответственно Ах) таков
- это мера точности, с которой можно привязаться к инерци-
альному пространству при помощи ИНС.
Более точно сказанное означает следующее. Инерциальный
трехгранник 0£ связан с приборным трехгранником Oz соот¬
ношением
k =
Приборный трехгранник материализован на борту объекта.
Вместо матрицы Az в бортовом вычислителе доступно ее мо¬
дельное значение Ау, поэтому гипотетически может быть по¬
строен трехгранник 0£*, ориентация которого определяется со¬
отношением
k-=ATylz.
Откуда
1(.=А$Аж1е=(Е + %),
где /% = АуРу.
В частности, легко видеть, что если попытаться направить
телескоп на некоторую известную звезду, поворачивая его от¬
носительно приборного трехгранника с учетом информации, со¬
держащейся в ИНС, то угол между направлением на звезду и
визирной осью телескопа будет равен величине проекции век¬
тора А на плоскость, ортогональную направлению на звезду.
Положение квазиприборного трехгранника относитель¬
но опорного определим вектором малого поворота ах =
(ai,a2,a3)T.
Положение квазимодельного трехгранника относитель¬
но опорного определим вектором малого поворота ух =
(71,72,7з)Т:
lz* = (Е + ах),	1ух = (Е + 7Х).
98

Очевидно, что (Зх=ах-'ух.
Величины ai, <*2 могут быть интерпретированы как ошиб¬
ки построения квазиприборной вертикали, аз - азимутальная
ошибка построения квазиприборного трехгранника. Точно так¬
же величины 7i, 72 могут быть интерпретированы как ошибки
построения модельной вертикали. Величина 73 - азимутальная
ошибка построения квазимодельного трехгранника.
Вектор (Зх назовем кинематической ошибкой в проекциях на
оси опорного трехгранника Мх.
Возвратимся теперь к формализации ошибок в определении
местоположения. Ошибка в определении местоположения - это
вектор ММ', заданный своими координатами в том или ином
трехграннике.
Совокупные модельные уравнения БИНС описывают дви¬
жение модельной точки М' в квазимодельной системе коорди¬
нат (квазимодельном трехграннике). Чтобы сравнивать движе¬
ние двух точек М и М', уравнения их движений должны быть
записаны в одной и той же системе координат. Удобнее в каче¬
стве такой системы выбрать квазимодельный трехгранник Оух.
Положение точки М в системе Ох определяется вектором
х = (х1,Х2,жз)т. Положение этой же точки М в квазимодель¬
ной системе Оух и в квазиприборной системе Ozx определяется,
соответственно, векторами ух = (2/1,2/2,2/з)Т, zx = (z\,Z2,z$)T
(индекс х в координатах для простоты записи опускается).
Положение модельной точки М' в квазимодельной системе
Оух определяется вектором ух' = (у1,У2,Уз)т •
При выводе уравнений ошибок (и только в этом случае) пре¬
небрегая несферичностью навигационной модели Земли, можно
положить
х = (0,0,г)т, ух> = (0,0,/)т,
где г = ОМ, г' = ОМ'.
Ошибка в определении местоположения точки М - величина
Ау = (Д2/1, Ау2> Ауз)т определяется равенством
Ду = ух> - ух •
Напомним, что сравнение движения точек М и М' производит¬
ся в квазимодельной системе координат. Из соотношений
ух = {Е + %) X
99

получим
Ay =
О
О
А г
Здесь Аг = г' — г.
Имеем также
Ayi = 7 2r, Ау2 = -7ir, Д2/3 = Аг,
или с достаточной степенью точности
At/i = 72а, Ау2 = -71а.
Для дальнейшего величину Ау оказывается удобным предста¬
вить в форме
Величину 5у назовем динамической ошибкой. Смысл названия
ясен из предыдущего, а также еще раз будет пояснен несколько
ниже.
Таким образом полная ошибка определения местоположе¬
ния представлена в виде суммы двух ошибок: динамической и
кинематической.
Определим связь между динамической ошибкой и вектором
малого поворота ах:
Ay = yx'-yx=yx'-zx+zx-yx =
= 6у + (Е + ах) х - (Е + 7х) х =
= 5у +
ИЛИ
А у = 6у + 0хх.
Откуда следует
5ух = а2г, 6у2 - -агг, 5у3 = Аг - Ау3.
С достаточной степенью точности
буг - а2а, 6у2 = -ага.
100

Кинематические уравнения ошибок.
Прежде всего запишем уравнения, которым подчиняется по¬
ведение вектора /3, названного кинематической ошибкой ИНС.
В начале данного раздела было получено векторное уравнение,
описывающее поведение вектора Ру - вектора малого поворо¬
та приборного трехгранника Oz относительно модельного Оу,
и приведены свойства этого уравнения. Это уравнение запишем
еще раз
Ру = шу(3у + vz.	(4.158)
Оно названо кинематическим уравнением ошибок.
Запишем уравнение, которому подчиняется поведение век¬
тора рх - вектора малого поворота квазиприборного трехгран¬
ника Mzx относительно квазимодельного Мух (Мх'). Имеем
рх = LT(3y.	(4.159)
Из последнего следует
Рх = ш'х/Зх + vz*, vz* = LTvz>	(4.160)
или, что тоже самое,
Рх = LUyx Рх + Z/^x.	(4.161)
Формально уравнение может быть получено путем прямого
дифференцирования соотношения (4.159) с учетом (4.158) и
уравнения (3.107), которому подчиняется поведение матрицы
L:
L — со у L — Lujyx.
Уравнение (4.160) или (4.161) также называется кинематиче¬
ским уравнением ошибок.
Введем величины
Да)х = соух - а;*, 6шх = о)zx — их-
Аналогично тому, как были получены уравнения для /Зу, /Зж,
будем иметь:
А 0>х = jx+^x'Tx,
Sojx = ах+шхах.	(4.162)
101

Динамические уравнения ошибок.
Дальнейшая цель - вывод уравнений, которым подчиняется
поведение величин Ду, £у. Возможны различные эквивалент¬
ные формы этих уравнений. Будут представлены те из них, ко¬
торые нашли практическое применение при анализе точности
ИНС, при построении алгоритмов коррекции, а также при ре¬
шении задач калибровки и выставки.
Динамические уравнения ошибок в абсолютных пере¬
менных.
В силу инвариантности законов механики относительно вы¬
бора систем координат и переменных уравнения ошибок могут
быть записаны во многих эквивалентных модификациях, кото¬
рые отличаются друг от друга как выбором системы координат,
так и выбором переменных В частности, в качестве переменных
могут использоваться как абсолютные линейные и угловые ско¬
рости, так и относительные, причем системы координат и пе¬
ременные не обязательно должны совпадать с системами коор¬
динат и набором переменных, в которых записаны модельные
уравнения, реализуемые в бортовом вычислителе.
Возможны два подхода к выводу уравнений ошибок с прене¬
брежением несферичностью формы Земли и нецентральностью
ее поля тяготения, а также пренебрежением другими составля¬
ющими той же степени малости. В первом случае уравнения
выводятся сначала без пренебрежения указанными факторами,
а потом в них отбрасываются малые слагаемые.
Во втором случае движение модельной и опорной точек сра¬
зу записываются с нужными упрощениями, а затем уравнения
ошибок получаются как результат сравнения уже упрощенных
уравнений. Второй подход оказывается предпочтительным, и
он последовательно используется в этом пособии.
Речь идет о выводе динамических уравнений ошибок, под
которыми будем понимать уравнения, порождаемые моделиро¬
ванием в бортовом компьютере динамических уравнений Нью¬
тона. Предполагается ряд модификаций, полезных с той или
иной точки зрения.
В начале выведем уравнения ошибок в абсолютных перемен¬
ных. В качестве фазовых переменных, определяющих движение
102

точки М в системе координат Ох, выбираются абсолютная ли¬
нейная скорость vx = (г>1, ^2, ^з)т? абсолютная угловая скорость
= (^ъ^2,^з)т- Положение точки М в системе Ох определя¬
ется вектором х
х = (0,0, г) , г = ОМ.
Вывод уравнений ошибок в указанных переменных основан на
использовании следующих упрощенных уравнений движения
опорной точки М в системе Ох:
X = Vx+ и)хХ,
Vx = WxVx Н" 9х “I" Д»
Модельные уравнения, описывающие движение модельной точ¬
ки М' в квазимодельной системе координат Оух, имеют вид:
Ух'	=	vy*+vyxyx',
Vyx	=	UyxVyX + дух + fyx ,
д'у*	=	(o,0	f^=fz*=LTf'z.
Уравнения движения точки M в квазимодельной системе коор¬
динат имеют вид:
ух = vyx + u)yx ух,
vyx = QyxVyx + дух + fyX ,
** уХ
9ух — о 	•
г2 г
Положение точки М' относительно точки М ранее было опре¬
делено вектором
ДУ = Vх' ~ Vх-
Введем также вектор
Avy = v'yX -V*.
103

Учитывая, что г = г' — А г, Дг = Дгз, ух = 2/х' — Ду, и разлагая
разность
9у*	9у*	-	r,2 r, + r2 г
в ряд Тейлора в окрестности модельных значений, получим в
линейном приближении
9у* - 9ух —	[	Ду	-	3
Обозначим
2 _
0 “ г'3 “ г'
(gf - модуль модельного значения ускорения силы тяжести).
Поскольку г' и г мало меняются во времени (h/а < е2) мож¬
но положить
2	9&
UJq = — = const
а
(де - ускорение силы тяжести на экваторе).
Принято считать
ш0 = 1.25 • 10-31/сек, ц} = 1.56 • 10_61/сек2.
Тогда
9ух ~ 9ух
Найдем выражение для разности /'х — /у*:
я. - fy. = д/гх + Дх/'*, дд. = ьтдд.
Окончательно получим (с добавлением кинематических урав¬
нений ошибок) полную систему уравнений ошибок
Д у	=	Avy+QyxAy,
(
АЬу	=	oJyx Ai)y lUq I	Ay2	J + 0x fzx	4“ Afz*,
\ —2Ауз
104

Рх — Шух Рх + Vz* )
ДД. = LTAfz, vzx — LT vz.	(4.163)
Не занимаясь пока выяснением свойств полученных уравне¬
ний, отметим их особенности, связанные с формой представле¬
ния этих уравнений, повторив ранее сказанное. Эти уравнения
не удобны как при их численном моделировании, так и при по¬
строении алгоритмов коррекции. Неудобство связано с наличи¬
ем величин /'* в качестве коэффициентов, так как модельные
или экспериментальные траектории движения объекта (точки
М) задаются фазовыми параметрами - координатами и скоро¬
стями. Выходными параметрами также являются координаты
и скорости.
Существует возможность избежать появления величин /'х
в качестве коэффициентов без каких либо упрощений, записав
для этого уравнения ошибок в форме, в которой полная ошибка
определения местоположения Ау представлена в виде суммы
двух ошибок
Ау = 8у + %ух'.
Величина 6у = (8у1,5у2,8уз)т была названа динамической
ошибкой и введена соотношением
6у = ух' - zx,
где вектор zx составлен из координат точки М в квазиприбор-
ной системе координат Ozx.
Для вывода соответствующих уравнений ошибок модельные
уравнения
ух' = v'yX+Qy*yx\
vyX = oij,*v'yX+g'yX+ fyX,
gfy = (o,0,-^2) >	/;«=/'*=	LT/'.
сравниваются с уравнениями движения точки М в квазипри-
борной системе координат Ozx
zx = vyz +Qzxzx,
105

vzx — cjzxvzx + gzx + fzx,.
Аналогично предыдущему получим
Обозначим Svy = vyX — vyz = (5vi)Sv21Svs)t. С учетом того, что
uzx = шух 4- vz* и fzx = fy* + A fzx получим
В дальнейшем понадобится скалярная форма этих уравнений
(vzx = (vi,V2,V3)T, А Л* = (Д/ьД/2,А/з)т)
6yi	=	5v 1 + ш36у2 - Ц<5уз + VzS,
5i)2	=	Sv2 - ш36ух + и>(5у3 - vZlr',
5уз = Sv3 + cu'26yi - ш[ду2,	л
5v 1	=	w35v2 -l)'28v3 - wfiSyi + Д/i,
Sv 2	=	U>[Sv3 — U!36vi — и>36у2 + Af2,
5v3 = ui^Sv i — (JiSv2 + 2wq(5i/3 + Д/з-
Полная совокупность уравнений ошибок получается добавлени¬
ем к приведенным уравнениям кинематических уравнений оши¬
бок (4.161) и соотношений, связывающих величины Ду и 6у.
Их скалярная форма (/Зх = (Pi, Р2, Рз)т, wy* = (u>'1,u)2,oj3)t)
02 = —U3Pl +U)[p3 + V2
03 =	и 2 01 —и>102 + V3
Ayi	=	Syi - p2r'
Дуг	=	&У 2 + Pi r'
Дуз	-	Sy3-
Отметим возможное упрощение. Числовые расчеты и прибли¬
женные оценки показывают, что применительно к современ¬
ным навигационным системам можно пренебречь слагаемыми
(4.164)
Pi =	и'3р2	-	ш'2Р3	+	VI

Уравнения в позиционных переменных 6у обладает двумя
полезными достоинствами:
• во-первых, однородные части динамических и кинемати¬
ческих уравнений оказались не связанными друг с другом;
• во-вторых, и это главное, коэффициенты уравнений зави¬
сят только от фазовых переменных - координат и скоро¬
стей, и не зависят от составляющих внешней силы /.
Но полностью автономные навигационные системы таковы, что
их динамические уравнения ошибок оказываются неустойчивы¬
ми. Характер этой неустойчивости уже обсуждался, когда мы
рассматривали упрощенные модели инерциальной навигации.
Отметим, что неустойчивость вызывается наличием в уравне¬
ниях ошибок слагаемого 2и%6уз.
Характер этой неустойчивости можно проиллюстрировать
на примере частного случая движения объекта по экватору с
постоянной скоростью. В рассматриваемом случае имеем:
и>1 = и>з = О, U)2 =
Динамические однородные уравнения ошибок, соответствую¬
щие уравнениям (4.165), будут иметь вид
буг =	6уг -ибу3,
Sy3 =	6v3+u>6yi,	. л
Sv 1 = -uj6v3 - ш%6У1,	(4Л66)
Sv3 =	ujSv i + 2u)q ду3.
Уравнения оказываются расщепленными на две группы:
• уравнения "продольно-вертикального" канала;
• уравнения "бокового" канала.
Для нас интересны уравнения первой группы. Характеристиче¬
ское уравнение, соответствующее этой группе, имеет вид
— Л -h(2cj ——2cjq — О
А
ш
-1
0
—ш
А
0
-1
0
А
ш
0
—2а»о
—ш
А
107

Относительно Л получили биквадратное уравнение. Из него сле¬
дует:
корня в ряд Тейлора по малому параметру £2, получим
Неустойчивость решения вызывается корнем характеристиче¬
ского уравнения
Во всех реально функционирующих инерциальных навига¬
ционных системах для устранения указанной неустойчивости
привлекается в той или иной форме дополнительная инфор¬
мация о высоте. Например, априори полагается, что высота
в процессе движения мало меняется, и допускается гипотеза
h = const. Или привлекается информация о высоте, доставляе¬
мая датчиками неинерциальной природы, например, баровысо¬
томером или спутниковой навигационной системой.
Один из вариантов построения системы исключает из со¬
става модельных уравнений ИНС уравнений вертикального ка¬
нала. Другой вариант - введение в уравнения вертикального
канала обратных связей, сформированных при помощи допол¬
нительной информации.
В первом случае введение дополнительной информации о
высоте означает с точки зрения теоретической механики, что
движение точки М' стеснено геометрической связью Ы = /i*,
где h* - дополнительная информация о высоте.
Рассмотрим второй случай. Как уже ранее говорилось, мо¬
дельные уравнения вертикального канала с введением обрат¬
Ai = л/2и>о	-	^2ш0	^1	-
108

ных связей имеют следующий вид:
'Ы = И3' + ifei (ft' - h*),
И3' =	(П'2 + 2^'2)И1'-(П'1+21/'1)И2'-у' + /'| +*2 (Л'-Л*).
Соответствующие уравнения ошибок вертикального канала в
этом случае с учетом переобозначений Дуз = буз = Ah = Ы — h
таковы:
Д/i = Sv'3 + <jj2Syi - Ui5y2 + ki (Ah - р*),	(4.167)
6vз = uj26v\ — LJiSv2 -f- 2cJqAh -|- Д/з 4- &2 {Ah — p*).
Здесь p* - погрешность в дополнительной информации о высо¬
те.
Далее проведем весьма нестрогий анализ. Выберем к\ и А;2
настолько большими, чтобы уравнения (4.167) можно было при¬
ближенно заменить следующим:
Ah = 6v3 + к\ {Ah — р*),
Svз = fc2 {Ah — p*).
Корни характеристического уравнения
А2 — к\Х — fc2 = О
выберем, например, такими, чтобы это уравнение имело вид
(А + Ао)2 = О,
откуда fci = — 2Ао, /с2 = А§, при этом Ао шо-
Тогда по истечении короткого переходного процесса практи¬
чески будет выполняться h' = h*.
В этом случае дополнительную информацию можно также
рассматривать как геометрическую связь, которой подчиняется
модельная точка М'.
В том случае, когда дополнительная информация о высо¬
те используется как геометрическая связь, уравнения ошибок
получаются путем подстановки вместо величины 6уз ее пред¬
ставления (4.165)
Sv з = -(jo'2Syi + ш[5у2 + Ah*,
109

отражающего наложенную связь
<5j/3=P*, Sy3 = Ah*-p*.
В результате будем иметь
Syi - Sv 1 + и>'36у2 - ш2р* + v2r',
Si/2 = Sv2 - uj'35yi + ш[р* - 1/1 г',
Sv 1 = -	- ^2) Syi - и>'1и}!25у2 + lj'36v2 - w2p* + ДД,
Sv2 =	- (u>Q - ш[2) Sy2 - to'^Syi - U)'3Svi + U)[p* + Af2.
(4.168)
На практике в уравнениях (4.168) слагаемыми, зависящими от
/9*, /9* в стандартных ситуациях можно пренебречь. Вопрос о
допустимости такого пренебрежения здесь не рассматривается.
Для выяснения свойств полученных уравнений рассмотрим
их поведение при отсутствии инструментальных погрешностей
в азимутально свободной системе координат:	=	0. В этом слу¬
чае величины, входящие в уравнения, будем отмечать верхним
индексом с (от слова "свободный"). Исключив Sv^Sv£, полу¬
чим
Syi + ulSyl = w'2{l- «iCfy§),	/А	lfiQ'l
Sy2 + vjjSy% = w'flu'iSyZ - bJ2cSy{).
При самолетных скоростях величины и>\, и>2 имеют порядок
величины и. Следовательно
+и'22	и2	.	_ о
——5-^	,	< 4 • 1(Г3,
и значит, членами в правых частях уравнений (4.169) можно
пренебречь. Тогда
W = &У\ (0) cos cvot +	sin u>ot,
UJQ
^2/2 № = ^2/2(0) coscJot +	sincjo^-
u>0
Таким образом, проекции &/£, Sy£ вектора динамической ошиб¬
ки на оси азимутально свободного трехгранника совершают гар¬
монические колебания с частотой Шулера cjq. Аналогично ведут
110

себя ошибки построения приборной вертикали
а{ = -дуЦа, <*2 = Syf/a.
В общем случае, очевидно, имеет место следующий факт: на
шулеровские колебания угловых ошибок а\, ос\ накладывается
вторая частота, связанная с выбранным законом формирования
шз(Ь). При этом возникает эффект биения колебаний.
Например, рассмотрим относительно свободную ориентацию
трехгранника Мх в азимуте: сиз = и sin (р. Поворот трехгранни¬
ка Мх относительно Мхс определим углом х°:
(Иногда говорят, что на шулеровские колебания приборной вер¬
тикали накладываются суточные колебания).
Уравнения ошибок в относительных переменных.
При построении и анализе алгоритмов коррекции ИНС ча¬
сто оказывается удобной форма уравнений ошибок ИНС в от¬
носительных переменных, когда в соответствующих уравнени¬
ях используются ошибки относительной скорости V движения
объекта, особенно в случае, когда в качестве дополнительной
привлекается скоростная информация.
Соответствующие уравнения ошибок можно вывести
несколькими способами. Далее этот вывод будет проведен
аналогично предыдущему путем сравнения модельных уравне¬
ний, записанных с использованием относительной скорости, с
аналогичными опорными уравнениями.
При выводе уравнений для простоты записи опустим индекс
х как замену слова "квази" , надеясь, что это не приведет к
недоразумению.
t
о
Тогда ац, с*2 будут связаны соотношением
оц =	а\ cos х + &2 sin Х>
Oi2 = —Ol\ sin X + <*2 cos X-
111

Упрощенные модельные уравнения в относительных пере¬
менных с использованием гипотезы сферичности навигацион¬
ной модели Земли и центральности ее поля тяготения, имеют
вид:
у'	=	Vy	+ &уу',
Vy	=	(f2y + 2йу) Vy + д'у	+	fz,
где
/ = __М_ 2/
9У г/2 ' г/ ‘
Уравнения движения точки М в относительных переменных
в квазиприборной системе Oz имеют вид:
z	=	Vz	+ flzz,
Vz	=	+ 2Uz'j Vz + gz	+	fz-
Выведем сначала уравнения, которым подчиняется поведение
величины 5у = у' — z:
Sy =	SVy + Пуу' - Qzz.	(4.170)
Выразим flz через Sly. Имеем три соотношения:
U)y — Пу	Uy, CVZ = Qz + Uz, Ldz — LOy “b	Uz.
Из этих соотношений,	с учетом равенства uz =	(Е + Дг)%,
получим:
= Пу -+-	—	(i£	-Ь	Рх)иу^ =
= Пу	-/3*% + z/*.	(4.171)
Подставляя (4.171) и равенство z = у' — 5у в (4.170), получим
<5у = JV'j, +	+	(j3xuy)y' - г>2у'
или в несколько иной форме, используя соотношение
(ab) = ab — Ъа,
112

получим
Sy = SVy + £Ly8y + (рхйу - uyfix - Oz^j y'.	(4.172)
Далее выведем уравнение для величины 5Vy:
SVy = (fly + 2йу^ Vy —	+	2u^j Vz + (g'y — gz) + Afz.
Ранее получили:
9y~9z = -^o №/ь ^У2, -2Sy3)T .
Используя соотношения
vz = Vy - 8Vy, uz = (e + /3x) Uy,
а также соотношение (4.171), получим:
&Vy — (^2/	"P	{.fix^y 'U'yfix ^z)Vy
(4.173)
- и1{8у\,5у2, -28y3)T + Д fz.
Величиной фхйу — uyfix — v^jVy, как и ранее, пренебрегаем.
К уравнениям (4.172), (4.173) следует добавить кинематиче¬
ские уравнения ошибок относительно вектора fix:
fix = bJyfix “Ь Vz’
Отсюда уравнения ошибок (4.172), (4.173) в относительных пе¬
ременных запишутся так:
Sy = SV-ij “h VLySy -|- ^fix^y 'Uyfix У j (4.174)
SVy = (Cly + 2Uy)5Vy - vZ(5yll6y2, -2Sy3)T + Afz.
Скалярная форма уравнений ошибок имеет вид:
5yi= SVi+n'3Sy2-П'25уз + (fi3u'i ~ fiiu'3 + vz2)a,
&У2= 5У2-П'36у2+П'15у3 + ((33и'2 - fi2u'3 - vzi)a,
Sy3= SV^tySyx-^Sy^
SVx = (fi' + 2ur3)SV2-{M2 + 2u'2)6V3-u%6yi+Afzl,	^Ub)
SV2 = —(ft3 + 2u'3)5Vi + (n'1 + 2ui)5V3—UQSy2-\-Afz2,
sv3= (П'2 + 2u'2)6V1-{n'1 + 2u'1)5V2+2Lj$6y3+Afx3.
113

Запишем эти уравнения для случая, когда привлекается до¬
полнительная информация о высоте так, что движение модель¬
ной точки стеснено геометрической связью h' = h*.
Дополнительная информация:
h* = h + p\
р* - погрешность дополнительной информации.
В этом случае в уравнениях (4.175) вместо величины 5у$
следует использовать р*, вместо величины 8V3 надо подставить
ее выражение
SVз = р* —	+	П[6у2.
В результате получим
Syi = SV! + М3*У2 ~ Щр* + (/Зз«1 ~ P1U3 + vz2)а,
6у2 = SV2 - Оз6у2 +	+	(P3U2	-	/З2М3	-	Vzi)a,
SV\= (Г2з+2^3)51^2 — (О2+2u'2 ) р*—f2j(fl24" 2112)^2/2— (4.176)
-	+	2u2))	Syi+^fzu
6V2 = - (CVa+2 u'3)SV2+(П[+2u[)p* - П'2 (Hi ■+ 2u[) 6Vl -
- (wl -	+	2ui))	6y2	+	A/z2-
В этих уравнениях обычно пренебрегают слагаемыми, завися¬
щими от р*. Кроме того, учитывая, что величины Ях, Я2 не
превосходят порядок величины и, можно пренебречь слагаемы¬
ми tfyi, 5у2, входящими в уравнения с коэффициентами порядка
V?.
Перепишем уравнения (4.176) с указанными упрощениями
для случая относительно свободной ориентации трехгранника
Мх в азимуте (Яз =0):
Syi= SV\ + (/?3iti — f5iu'z + vz2)a,
5уг = SV2 + (/?з«2 - P2U3 - Vzi)a,
(4.177)
8V1 = 2u'3SV2 - ul&yi+Afzl,
8V2 = —2u'38V2 — Wq£J/2 + A/z2-
114

К этим уравнениям следует добавить кинематические урав¬
нения ошибок:
01 = и'3Р2 -ш'2Рз + ^г1,
02 = —‘ч'зРг + Рз + vz2,	(4.178)
03 = и'фх - ш[р2 + vz3,
и уравнения,	определяющие полные ошибки	Ayi,	Ay 2	как ал¬
гебраические	суммы динамических и кинематических ошибок:
Дг/1 = <fyi - ^2а, Ау2 = 6у2 + fiia.
Комбинированная форма уравнения ошибок.
На практике используются, помимо описанных выше, иные
модификации уравнений ошибок. Приведем одну из таких мо¬
дификаций, получившую распространение.
Рассматривается вариант БИНС с привлечением дополни¬
тельной информации о высоте по схеме геометрической связи и
с относительно свободной ориентацией опорного трехгранника
Мх в азимуте (Пз = 0).
Набор переменных:
• Дух, Ду2 ~ полные ошибки местоположения;
• 5\1, SV2 - динамические ошибки определения горизон¬
тальных составляющих V\, V2 относительно скорости дви¬
жения;
• oil, а2 - угловые ошибки построения приборной вертика¬
ли;
*/2	5yi
Oil =	,	OL2 =
а	а
• /?з - азимутальная кинематическая ошибка.
Переход к уравнениям в указанных переменных может быть
осуществлен различными способами. Приведем, по-видимому,
наиболее простой.
По-прежнему, для простоты записи будем опускать индекс
х как символ, заменяющий слово "квази".
115

Уравнения для Ayi, Ay2 получим путем сравнения модель¬
ных уравнений
y' = V' + Qyy'
с аналогичными уравнениями для опорной точки М, записан¬
ными в квазимодельной системе координат
У — Vy + ПуУ.
Отсюда следует
Ay = AVy + йуАу.	(4.179)
С другой стороны
AVy = 8Vy + PyVv.
Кроме того, имеем связь
А у = 6у + Д,у',
где можно положить у' — (0,0, а)т. Откуда следует
я „ л. Ау2 я	Ayi
Pi =	<*1	Н	, Р2 = «2	•
а	а
Окончательно, переходя к скалярной форме в уравнени¬
ях (4.179), с учетом
116

получим
Д»1=	SV1+f33V^-n'2p*-(a2-^jVl
Ау2 =	SV2-03V{+Q[p* + (a, +	V>,
6Vi = 2 u’3SV2 - (П'2+2и'2)р* - (П'2+2и'2Щаг-
- (9 ~ (^2 + 4)^l) “2 + A/zl,
6V2 = -2u^Vi + (f2i +2ui)p* - (n[+2u[)V{a?¥
+ (g + (П'х + 2ui)V2) ai + Afz2,
SV2 , /	,	a	, Aj/1 n/ /9*
«1 =	1-	u’3a2	-	и2рз	-	u'3	Щ — + uzi,
CL	CL	CL
$V\	,	,	, Ay2	p*
a2= u3ai + и'фз - u’3	02	h uz2,
a	a	a
03'-
+ ^T) ~ ^ (“2 “ ^г) + UZ3'
(4.180)
На практике обычно в этих уравнениях не учитываются слага¬
емые, зависящие от величины р*. Не учитываются также слага-
( АуЛ ( АуЛ
емые I ol\ Н—— 1 к3 и I аг — J Уз на основании того, что
вертикальная скорость (в типовых ситуациях), по крайней мере,
на порядок меньше, чем горизонтальная. Кроме того, возможно
пренебрежение малыми по уровню членами вида (ЗД+2и[)У^ак,
117

(4.181)
(?', j, к = 1,2). После указанных упрощений получим:
Aj/i	=	S^+foV'
Ау2	=	6V2-(33V{,
SVi	=	2u3SV2	— QOC2 + A/Zi,
JV2	=	—2u'35V\	+ gai + Afz2,
sv2 .	,	, д	, Ay,
<*1	=	\-u3a2	- u’2p3	- u3	h vzX,
a	a
^	/	_l / д	/ A^2 _L
a2	=	Ц»!	+	и'^з	-	Ц	1- i/22,
a	a
/?3	=	^2 (al +	—	Ш1	(a2	-	+	Vz3.
4.4.	Уравнения ошибок ИНС с горизонтируе¬
мой гироплатформой
При выводе уравнений ошибок ИНС с горизонтируемой гиро¬
платформой не требуются понятия квазиприборного и квази-
модельного трехгранников.
Повторим сказанное ранее при описании соответствующих
модельных уравнений.
Используются три трехгранника:
• опорный Ох;
• приборный Oz, жестко связанный с платформой;
• модельный Оу (Ох'), ориентация которого относительно
трехгранника От/, жестко связанного с Землей, определя¬
ется матрицей Ву (В'х).
Ориентация приборного трехгранника относительно опорного
задается вектором малого поворота ах, ориентация модельного
относительно опорного - вектором малого поворота 7Х, ориен¬
тация приборного относительно модельного - вектором малого
поворота (Зх.
118

Очевидно соотношение:
Ot-x — fix *Ух •
Ранее были получены соотношения (см. (4.162))
= 7х + u^lx, Scjx = ах + и)^ах.	(4.182)
Соотношение, в соответствии с которым осуществляется управ¬
ление гироплатформой, имеет вид
U)z = (dy +
ИЛИ
Slох — Aci)х “Ь	(4.183)
Подставляя (4.182) в (4.183) получим кинематическое уравне¬
ние ошибок
fix = vxfix +	(4.184)
Заметим, что уравнение (4.184) может быть получено непосред¬
ственно так, как это было сделано в п. 4.3.
Поскольку модельные динамические уравнения ИНС с го-
ризонтируемой платформой полностью повторяют модельные
динамические уравнения БИНС, соответствующие уравнения
ошибок также повторяют динамические уравнения ошибок
БИНС. Необходимо только опустить в последних уравнениях
индекс х как символ слова "квази".
4.5.	Комментарий по поводу азимутальной
ошибки аз
В завершение раздела — важное, по нашему мнению, замечание.
Для определенности будем говорить о системе с горизонтиру-
емой платформой. В БИНС, как уже говорилось, роль плат¬
форменного приборного трехгранника играет квазиприборный
трехгранник.
Были введены три вектора малого поворота:
119

• ах = (а1,а2,«з)т — вектор поворота приборного трех¬
гранника Mz относительно опорного Мх\
• рх = (/3i, /32, /?з)т — вектор поворота приборного трехгран¬
ника Mz относительно модельного Му\
• 7® = (7ъ72,7з)т — вектор поворота модельного трехгран¬
ника Му относительно опорного Мх.
Здесь
• oji, #2	— ошибки построения приборной вертика¬
ли, пропорциональные линейным динамическим ошиб¬
кам 8у1,5у2:
Syi = га2,	&/2 = -rai,
где можно положить г = а (большая полуось навигацион¬
ного эллипсоида);
• Ph Р2, Рз — составляющие вектора кинематической ошиб¬
ки, порожденной построением на борту объекта приборно¬
го трехгранника как материализованного образа опорного
трехгранника;
• 7i) 72 — ошибки построения модельной вертикали, пропор¬
циональные проекциям Ayi, Ау2 вектора ММ' на плос¬
кость местного горизонта:
Дуг = <*72, Ау2 = -сгуь
Обратимся к величинам аз и 73. Из равенства Рх = olx — 7Х
следует:
Рз =	—	73.
Если опорный трехгранник ориентируется в географиче¬
ской координатной сетке (обозначение Мж°), то вектор
'Ух = (7?)72)7з)Т однозначно определяется двумя параметрами
7 J = — Д<£,	7§	=	ДЛсо8</?,	7°	=	ДА	sin	(р.
120

Рассмотрим иную ориентацию (например, азимутально свобод¬
ную). Пусть заранее предполагается, что начальная выставка
приборного трехгранника должна приводить в идеале к сов¬
падению этого трехгранника с трехгранником Мх°, ориентиро¬
ванным в географической координатной сетке и, в соответствии
с этим предположением, в вычислитель введена начальная чис¬
ловая информация.
Пусть в результате выставки приборный трехгранник ока¬
зался повернутым вокруг вертикали на малый азимутальный
угол ае. Величину ае можно интерпретировать двояко:
• либо как ошибку начальной ориентации приборного трех¬
гранника и аз (to) = эе при "правильно” введенной число¬
вой информации;
• либо как результат неправильно введенной числовой ин¬
формации об азимутальной ориентации, и 73(to) = ~зе при
"правильно" ориентированном приборном трехграннике:
<*з(£о) = 0.
При этом в обоих случаях кинематическая ошибка /?з(^о) = ае.
Таким образом, величина аз определяется неоднозначно,
и к тому же не является независимой. Следует признать
некорректным включение в состав уравнений ошибок ИНС
уравнения относительно аз, что встречается иногда в
некоторых публикациях.
121

5. Определение при помощи ИНС
ориентации корпуса объекта
Раздел посвящен определению параметров ориентации корпуса
объекта относительно трехгранника, жестко связанного с вер¬
тикалью, как задачи самостоятельной по отношению к.задаче
навигации. Цель такого определения — доставить информацию
для управления движением объекта вокруг центра масс.
Введем понятие связанной с корпусом объекта системы ко¬
ординат Ms. Для определенности в качестве объекта рассмот¬
рим самолет. Тогда ось Ms2 коллинеарна продольной строи¬
тельной оси самолета и направлена от хвоста к носу. Ось Ms$
расположена в плоскости симметрии и направлена вверх по от¬
ношению к летательному аппарату. Ось Ms\ направлена в сто¬
рону правого крыла.
Ориентация трехгранника Ms относительно трехгранника
Мх°, ориентированного в азимуте в географической коорди¬
натной сетке, определяется углами истинного курса ф, крена 7
и тангажа 'д.
Углом истинного курса ф назовем угол между осью Мх2
(направлением на Север) и проекцией продольной оси Ms2 ле¬
тательного аппарата на горизонтальную плоскость Мх 1X2, от¬
считываемый против часовой стрелки с областью изменения
[0,2тг].
Замечание. В навигации курсовые углы — углы истинного
и гироскопического курсов (последний будет определен позже)
— традиционно отсчитываются по часовой стрелке. Для это¬
го случая во всех нижеследующих формулах, где будут фигури¬
ровать эти углы, перед ними следует поставить знак минус.
Тангаж 1? — угол между продольной осью Ms2 и горизон¬
тальной плоскостью Мх ix2, отсчитываемый от этой плоскости
против часовой стрелки. Крен 7 — угол поворота плоскости
Ms2$3 вокруг оси Ms2 против часовой стрелки относительно
плоскости Мхзв2.
В морской навигации угол $ называется углом килевой кач¬
ки или дифферентом, угол 7 — углом боковой качки.
122

Имеем
яр
7
—►
—>
—►
3
1
2
Мх°	—►	—► —►	Ms.	(5.185)
3	12
и, соответственно, матрица ориентации S = Ssxо примет вид
cos яр cos 7 — sin яр sin # sin 7	sin яр cos 7 + cos яр sin # sin 7
— sin яр cos #	cos	яр cos #
cos яр sin 7 + sin яр sin # cos 7	sin яр sin 7 — cos яр sin 1? cos 7
— cos $ sin 7
sin#
cos # cos 7
(5.186)
По элементам Sij матрицы S значения углов ориентации вы¬
числяются, например, из формул:
яр =	—	arctg S21 е [0, 27г],
S22
о	^23	_	г	7Г	7Г,
= 873ГТЖ	<5Л87>
7	=	—	arctg— G [—7г,7г].
«33
5.1.	Определение углов курса, тангажа, крена
в ИНС с горизонтируемой платформой
Пусть опорным трехгранником ИНС с горизонтируемой плат¬
формой служит трехгранник	Мх. В идеале	переход от	этого
трехгранника к трехграннику	Ms осуществляется	путем	трех
последовательных поворотов кардановых колец гироплатфор¬
мы, соответственно, на углы	и	7S:
Фд $9	Ъ
Мх	—►	—►	—>	Ms,
3	1	2
123

причем fig = i), 7fl = 7.
Величину ярд будем называть гироскопическим курсом. Ин¬
формацию об этих углах доставляют измерители углов (синусо¬
косинусные трансформаторы — СКТ). Но измерения осуществ¬
ляются относительно приборного трехгранника Mz. Определе¬
ние величин ярд, д и 7 осуществляется с ошибками двух типов:
• инструментальными погрешностями СКТ;
• ошибками, порожденными тем, что приборный трехгран¬
ник Mz не совпадает с трехгранником Мх.
Истинный курс яр с гироскопическим курсом ярд связан соотно¬
шением
Ф = Фд + X-
Соответственно, модельное уравнение для определения величи¬
ны яр имеет аналогичный вид
где х' — модельное значение азимутального угла, доставляемое
бортовым вычислителем ИНС, ъ'Фд — результат измерения при
помощи СКТ приборного гироскопического курса ярд.
Выведем уравнения ошибок, описывающие поведение вели¬
чин
Д яр = яр' — яр, А$ = $' — т9, А'у = 7' — 7.
Вывод уравнения ошибок при определении истинного курса
и азимутального угла выделим как самостоятельную задачу,
поскольку использование информации о курсе играет в нави¬
гации особую роль. Воспользуемся поясняющими рисунками.
Имеем
Фд	=	Фд + &Фд,	Фд	=	Ф9 ~ «3,
Ф'	=	Фд+х',	х'	=	Х-7з+7з-
(5.188)
Здесь А ярд — инструментальная погрешность измерения при по¬
мощи СКТ угла гироскопического курса.
Отсюда следует
&<ф=1р'-ф = -а3+']/3-'у$+Афд = -13з-')[3+Аф*, (5.189)
124

N
Рис. 5 Ошибка определения угла истинного курса.
где
7з = ДА sin <^'.	(5.190)
Величина 7® носит также название ошибки сходимости мери-
дианов — идеального и модельного.
Таким образом, ошибка Аф курсового угла складывается из
динамической ошибки 8у = х! — Xz определения азимутально¬
го угла и инструментальной погрешности Аф* измерения при
помощи СКТ угла гироскопического курса ф”:
Аф = 5Х + Афгд, 5у = — Рз — ДА sin у/.	(5.191)
Рассмотрим частный случай, когда идеальный и модельный
трехгранники ориентированы в азимуте в географической ко¬
ординатной сетке. Тогда, по определению,
х' = X = 0,
из представленных выше формул следует:
7з =7з = АА sin у/, Xz = -Sx = a3 = P3 + AAsinv?'. (5.192)
125

Рис. 6 Ошибка определения угла истинного курса.
Перейдем к выводу уравнения ошибок в общем виде. Введем
величину Sg — матрицу ориентации трехгранника Ms относи¬
тельно трехгранника Мх. Эта матрица образуется из матрицы
S заменой величины яр на величину ярд. Модельное значение
этой матрицы обозначим через S'g:
Пока будем считать, что инструментальные ошибки при изме¬
рении углов ярд, д, 7 отсутствуют. В этом случае несовпадение
матрицы Sg с ее прообразом Sg порождается только тем, что
измерение ярд, 7' осуществляется относительно приборного
трехгранника Mz, а не опорного Мх. Введем модельный трех¬
гранник Ms*, определив его соотношением
lsf = Slglx.
Ориентацию трехгранника Ms' относительно трехгранника Ms
определим вектором малого поворота ё3 = (S3i,SS2,Sss)T:
lsr = (Е + Ss)ls.
126

Вариацию матрицы 5' обозначим через ДSg:
ASg = S'g-Sg.
Тогда
6а = ASgSj.
Введем также вектор 6Х = (6Х1,5Х2,5хз)т: 5Х = Sj5a.
Имеем
Sx = SjASg.	(5.193)
Выпишем соотношения, связывающие величину ASg с величи¬
нами
Афд =Фд- Фд, Atf = t?' - t?, Д7 = 7' - 7.
Имеем
<5'ш)
где
dSg
Э’Фд
- sin фд COS7—cos фд sint? sin7	совфд COS7—sin sint? sin7	0\
—cosфд cost?	— sinфд cost?	0
sin^5 sin7+cost/>5 sint? COS7 cosфд snry+sin^ sint? COS7 0j
gg I — sin фд cost? sin 7
-gf= I	sin ‘фд sirn?
sin фд cos t? cos 7	—	cos	фд	cos	t?	cos	7	—	sin	t?	cos	7
cos фд cos t? sin 7
— cos фд sin t?
sin t? sin 7
cost?
on	/ —cost/^ snry—sin^ sint? C0S7	—sint/^ sinTfcost/^ sint? C0S7
0 0
'	у cos'ijjg COS7— sini/Л; sim? sin"/	sin^g cos/yf cosV>g sintfsnry
127

— cos т? cos 7
0
— cos t? sin 7
Выпишем также выражения для Sj
cos фд cos 7 — sin фд sin т? sin 7	— sin фд cos 7?
Sj = I sin фд cos 7 + cos фд sin 7? sin 7 cos фд cos
— cos 7? sin 7	sin	7?
cos фд sin 7 + sin фд sin 7? cos 7
sin фд sin 7 — cos фд sin 7? cos 7
cos 7? cos 7
(5.195)
Подставляя (5.194) и (5.195) в (5.193), с учетом
(О	<5x3	—<5x2	\
<5x3	0	5Х\	I	)
5x2	—5x1	0	/
получим
<5x1	=	cos фд — Д7 sin фд cos т?,
<5x2	=	sin фд + Д7 cos фд cos т?,
<5x3	=	Афд + А*7 sin 0 •
С другой стороны, имеем
= S'CE + OIx),
где Е + &х характеризует (в линейном приближении) матрицу
взаимной ориентации приборного Mz и опорного Мх трехгран¬
ников.
Отсюда следует
<5х = Sj (Sfg - Sg) = -а, или Д£ = -Sga.
Далее несложно получить
Дт?	=	— а\ cos фд — <*2 sin^y,
128

Д7 =  a (al sin Фд - а2 cos Фд) >
COS V
А фд = — аз — A7sin#.
Окончательно, с добавлением инструментальных погрешностей
СКТ А грд, Atfz, Ayz в измерении углов гироскопического курса,
тангажа, крена, следует
Д$ =	— ац cos фд — а2 sin фд + Atiz,
A7 =	—- (ац sin фд - a2 cos фд) + Д7z,	(5.196)
cost/
А ярд = —as — Д7 sin $ + Афгд.
Учитывая связь (5.188)
Ф' = Фд+Х\ Х/ = Х-7з+7з,
для ошибки Аф определения угла истинного курса ф	получим
Аф = —/Зз — ДА sin (р — A7sin$ + Аф*.	(5.197)
Формула (5.197) отличается от формулы (5.191) наличием со¬
ставляющей A7sin$, которая называется кардановой ошибкой.
В обычных ситуациях этим членом можно пренебречь в силу
его малости.
5.2.	Определение углов курса, крена, тангажа
при помощи БИНС
Приборный трехгранник Mz в БИНС жестко связан с корпу¬
сом объекта (самолета). Пусть Lq — матрица ориентации это¬
го трехгранника относительно трехгранника Мх°, ориентиро¬
ванного в географической координатной сетке. Предполагает¬
ся, что ориентация трехгранника Mz совпадает с ориентацией
трехгранника Ms, привязанного к строительным осям самоле¬
та. (Обобщение на случай несовпадения трехгранников Mz и
Ms не составляет труда.)
Ранее матрица ориентации трехгранника Ms относительно
Мх° была обозначена через S. Таким образом, в нашем случае
L0 =	7).
129

Из предыдущего следует
cos х sin х О
L0 = LzE(x), где S(x) = | -sin* cos* О
О 0	1
X — азимутальный угол, характеризующий азимутальную ори¬
ентацию опорного географического трехгранника Мх относи¬
тельного географического трехгранника Мя°, ориентированно¬
го в азимуте в географической координатной сетке.
Вычислитель БИНС доставляет значения модельной матри¬
цы Lfy и модельное значение х! азимутального угла х* Образуем
матрицу S' — Lq
S' = L'0 = L'y~(X').
Далее при помощи элементов матрицы S" находятся модельные
[7Г 7Г “I
— —, —J ,
тангажа	€ [—7г,7г], например, по формулам (см. (5.187))
/	—Soi
ф	=	arctg——,
S22
* =	arctg ' -/~пТ72'	(5-198)
V 21	22
7'	=	—	arctg	-р-	е	[—7г, 7г].
533
Равносильной модификацией этого алгоритма служит следую¬
щий алгоритм. Положим Lz = 8д(фд^'&1/у), Модельная форма
этого равенства такова
L'y = Sg^\ 7').
Откуда при помощи обратных тригонометрических функций по
элементам матрицы Lfy вычисляются величины ^,$',7'.
По аналогии с предыдущим, величину фд будем называть
гироскопическим курсом . Соответственно ф'д — модельное зна¬
чение (виртуального) гироскопического курса.
130

Модельное значение истинного курса определяется соотно¬
шением
^' = ^ + х'.
Перейдем к выводу уравнений ошибок. Он основывает¬
ся на представлениях о ранее введенных квазиприборном
трехграннике Mzx и квазимодельном трехграннике Ох'. Вза¬
имная ориентация этих трехгранников совокупно с опор¬
ным трехгранником Мх определяется многократно исполь¬
зуемыми ранее векторными величинами ах = (axi, аХ2> <Хгз)Т5
/Зх = (Аеъ Де2,#гз)т5 = (7яъ7х2,7хз)т “ векторами малых
поворотов.
Вывод уравнений ошибок в точности повторяет вывод по¬
добных уравнений для инерциальных систем с горизонтируе¬
мой гироплатформой. Не учитываются только инструменталь¬
ные погрешности Аф*, A#z, A^z "отсутствующих" СКТ.
Итогом служат соотношения:
Аф = -/Зх3 - Тхз ~ д7 sin •&', 7x3 = АХ sin <р',
= —qx1 cosipg — аХ2 sin ,	(5.199)
А7 = cos??' (Qxl sin V'g — ах2 cos?//).
131

Литература
1. Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации. (Автоном¬
ные системы). М.: Изд-во "Наука", 1966.
2. Девянин Е.А., Парусников Н.А. Об устойчивости движе¬
ния материальной точки в поле сил притягивающего цен¬
тра. "Изв. АН СССР, МТТ", 1969, N 3.
3. Андреев В.Д., Парусников Н.А. Об упрощении уравне¬
ний инерциальной навигации, связанном с несферичностью
Земли и ее поля тяготения. — "Изв. АН СССР, МТТ" ,
1970, N 1.
4. Парусников Н.А., Морозов В.М., Борзов В.И. Задача кор¬
рекции в инерциальной навигации. М.: Изд-во МГУ, 1982.
5. Голован А.А., Горицкий А.Ю., Парусников Н.А., Тихоми¬
ров В. В. Алгоритмы корректируемых инерциальных на¬
вигационных систем, решающих задачу топопривязки. М.:
Изд-во МГУ, Механико-математический факультет, Пре¬
принт 2, 1994.
6. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.
7. Параметры Земли 1990 года (ПЗ-90). Координационный
научно-информационный центр. М., 1998.
8. ГОСТ Р 51794-2001. Аппаратура радионавигационная гло¬
бальной спутниковой системы и глобальной системы пози¬
ционирования. Системы координат. Методы преобразова¬
ния координат определяемых точек.
9. Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы
навигационных систем. Часть I. Математические модели
инерциальной навигации Изд-во Московского университе¬
та, 2007.
10. Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы на¬
вигационных систем. Часть II. Приложения методов опти¬
мального оценивания к задачам навигации. Изд-во Москов¬
ского университета, 2008.
11. Savage P. Strapdown analytics. Strapdown Associates, Inc.
Maple Plain, Minnesota, 2000.
12. Панов А.П. Математические основы теории инерциальной
ориентации.- Киев: Наукова Думка 1995.— 280 с.
132

Научное издание
ГОЛОВАН Андрей Андреевич
ПАРУСНИКОВ Николай Алексеевич
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ
Часть I
Математические модели
инерциальной навигации
3-е издание, исправленное и дополненное
Оригинал-макет изготовлен
издательской группой механико-математического факультета МГУ
Технический редактор Ж.Г. Гаврилова
В оформлении обложки использована фотография Н.Н. Молчанова
Подписано в печать 09.08.2011 г.
Печать офсетная. Бумага офсетная.
Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 8,5. Тираж 200 экз. Изд. № 357.
Издательство ООО “МАКС Пресс”
Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г.
119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы,
МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к.
Тел. 939-3890,939-3891. Тел./Факс 939-3891.
Напечатано с готового оригинал-макета
Типография МГУ
119991, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, стр. 15
Заказ 1116.