К.П.СТАНЮКОВИЧ
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ
ДВИЖЕНИЯ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

К. П. СТАНЮКОВИЧ
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ
ДВИЖЕНИЯ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1971

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 7
Предисловие к первому изданию 7
Введение 9
Глава I. Математический и термодинамический аппарат газовой
динамики 11
§ 1. Основные термодинамические соотношения в газовой динамике 11
§ 2. Основные уравнения газовой динамики в форме Эйлера .... 20
§ 3. Основные уравнения газовой динамики в форме Лагранжа . . 31
4. Некоторые общие свойства движения среды 36
§ 5. Основные уравнения газовой динамики для некоторых
специальных случаев 44
§ 6. Вариационный метод вывода уравнений газовой динамики . . 59
Глава II. Исследование основных уравнений нестационарной
газовой динамики методом характеристик 64
§ 7. Характеристики уравнений газовой динамики 64
§ 8. Характеристики уравнений с двумя независимыми
переменными 75
Глава III. Автомодельные движения среды 88
§ 9. Автомодельные движения газа, обладающие центральной
симметрией 88
§ 10. Автомодельные симметричные движения для некоторых
специальных случаев 101
§11. Плоские и пространственные автомодельные движения ... 110
§ 12. Вариация произвольных постоянных в автомодельных решениях 120
Глава IV. Решение уравнений для одномерных изэнтропических
движений среды 126
§ 13. Основные формы уравнений. Общие решения в случае п = 3 126
§ 14. Особые решения 130
§ 15. Общие решения 139
§ 16. Общие решения в форме Лагранжа 153
§ 17. Основные физические закономерности при распространении
волн 159

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Одномерные изэнтропические движения среды . . . 166
§ 18. Основные закономерности установившихся изэнтропических
потоков 166
§ 19. Интегрирование уравнений плоских изэнтропических течений
газа 172
§ 20. Волна разрежения одного направления при истечении ранее
покоящегося газа 176
§ 21. Отражение волны разрежения 181
§ 22. Двустороннее истечение газа из цилиндрического сосуда в
трубу 196
§ 23. Истечение газа из трубы конечной длины в пустоту 202
§ 24. Некоторые случаи неустановившегося истечения газа .... 209
§ 25. Основные закономерности нестационарного истечения газа . 216
§ 26. Волны сжатия одного направления 224
Глава VI. Элементарная теория ударных волн 236
§ 27. Общие условия на разрывах 236
§ 28. Основные свойства ударных волн 240
§ 29. Ударные волны для изэнтропических (политропических) сред 251
§ 30. Плоская ударная волна 258
§ 31. Косая ударная волна 265
§ 32. Регулярное отражение косых ударных волн 280
§ 33. Нерегулярное отражение косых ударных волн 290
§ 34. Втекание газа в трубу со скачком сечения. Смешение газовых
Потоков. . . 297
§ 35. О нестационарном отражении газового потока от стенки . . 306
§ 36. Анализ основных свойств ударных волн 314
§ 37. Некоторые примеры движения среды при стационарных
ударных волнах 321
§ 38. Акустическая теория ударных волн 326
Глава VII. Теория детонационных волн 331
§ 39. Основные закономерности и уравнения теории волн детонации
и дефлаграции 331
§ 40. Анализ возможных движений среды за фронтом реакции . . 340
§ 41. О механизмах горения и детонации 343
§ 42. Рассмотрение процессов детонации и горения в изэнтропических
(политропических) средах 350
§ 43. Уравнение состояния продуктов детонации конденсированных
взрывчатых веществ 359
§ 44. Общие термодинамические закономерности для расширяющихся
продуктов детонации конденсированных взрывчатых веществ. . 378
Глава VIII. Плоские детонационные волны и разлет продуктов
детонации 384
§ 45. Распространение плоской детонационной волны 384
§ 46. Разлет продуктов детонации 389
§ 47. Основные результаты исследования детонационных волн и
разлета продуктов детонации 404
§ 48. Разлет продуктов детонации в пустоту в случае к = 3 . . . . 410
§ 49. Истечение продуктов детонации с косой поверхности заряда в
пустоту 414
§ 50. Отражение плоской детонационной волны 426

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 51. Косое отражение фронта сильной детонационной волны от
стенки 436
§ 52. Некоторые случаи распространения волны дефлаграции . . . 442
§ 53. Ударные волны с поглощением энергии на фронте 446
§ 54. Условия на фронте ударной волны в представлении Лагранжа 448
§ 55. Некоторые случаи движения среды при детонации в
представлении Лагранжа 450
Глава IX. Теория распространения нестационарных ударных волн 471
§ 56. Начальные параметры ударной волны 471
§ 57. Основные уравнения и граничные условия для плоской
ударной волны 485
§ 58. Начальная стадия распространения плоской ударной волны
при истечении продуктов мгновенной детонации в воздух . . 492
§ 59. Предельная акустическая стадия процесса 499
§ 60. Промежуточная стадия движения ударной волны 511
§ 61. Распространение ударной волны при реальной детонации.
Некоторые примеры адиабатических движений 519
§ 62. Отражение плоской нестационарной ударной волны от
преграды 532
§ 63. Полные импульсы при истечении сжатого газа или продуктов
детонации в бесконечную трубу, наполненную воздухом . . 535
§ 64. Истечение газа в трубу конечных размеров, заполненную
воздухом 538
Глава X. Пространственные движения газа 551
§ 65. Некоторые неустановившиеся плоские и пространственные
течения газа 551
§ 66. Начальная стадия двумерного неустановившегося течения
газа 558
§ 67. Цилиндрические и сферические детонационные волны .... 563
§ 68. Разлет газового шара в пустоту 571
§ 69. Теория точечного взрыва. Сильная автомодельная ударная
волна. Сходящаяся сильная автомодельная в#лна 581
§ 70. Цилиндрические и сферические волны в акустическом
приближении 604
§ 71. Приближенные методы интегрирования уравнений для
цилиндрических и сферических волн 610
§ 72. Разлет продуктов мгновенной и реальной детонации в воздух 614
Глава XI. Неустановившиеся движения в плотных средах . . . 621
§ 73. Распространение плоской ударной волны в воде при взрыве 621
§ 74. Кавитация плотной среды у свободной поверхности 632
§ 75. Распространение сферической ударной волны в воде .... 638
§ 76. Неустановившиеся движения воды в каналах 645
§ 77. Распространение сильных волн в твердых телах 650
Глава XII. Метание тел газовым потоком 669
§ 78. Задача Лагранжа 669
§ 79. Метание тел продуктами горения 680
§ 80. Задача Лагранжа при постепенном выделении энергии . . . 687
§ 81. Метание тела в случае постоянного давления на его
поверхности 697

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 82. Методы газовой динамики во внутренней баллистике 699
§ 83. Характеристики основных уравнений внутренней баллистики
и возможный метод решения этих уравнений 709
Глава XIII. Движение газа в поле тяжести 716
§ 84. Одномерные движения газа в постоянном поле тяжести ... 716
§ 85. Движение газа в ньютоновом поле тяжести 733
§ 86. Стационарные движения газа в поле тяжести 740
§ 87. Некоторые общие закономерности извержения газовых масс из
небесных тел 747
Глава XIV. Предельное движение разреженной и очень плотной
среды 766
§ 88. Решение основных уравнений газовой динамики для
разреженной среды 766
§ 89. Движение разреженной среды в поле тяжести 773
§ 90. Равновесное состояние гравитирующей среды 783
§ 91. Движение вращающихся масс разреженного газа в поле
тяжести 797
§ 92. Основные закономерности движения газа в собственном поле
тяжести 802
Глава XV. Удар с большими скоростями 814
§ 93. Физические процессы, происходящие при соударении .... 814
§ 94. Взрыв большой энергии на поверхности планеты 824
§ 95. Взрыв метеорита на поверхности планеты 834
§ 96. Приложения теории соударения 839
§ 97. О возможности выброса взорванной среды в космическое
пространство 847
Основная литература 851

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
За время, истекшее с выхода в свет первого издания книги,
развивались как теория неустановившихся движений в механике
сплошных сред, так и ее практические применения. Во второе
издание книги включены наиболее интересные из задач газовой
динамики, решавшихся за время, истекшее с выхода в свет
первого издания книги.
Прогресс, который был достигнут в методах вычислений на
машинах, внес уточнения в решения конкретных задач; эти
уточнения в основном подтвердили результаты идеализированных
точных решений.
Существенные добавления сделаны в задачи о метании тел
нестационарным потоком газа и развитие этих задач с учетом
постепенного выделения энергии (медленного горения).
Добавлена новая глава об ударе тел с космическими
скоростями; эти вопросы впервые в Советском Союзе и, по-видимому, в
мировой литературе на основании теории неустановившихся
течений газа развивались автором, начиная с 1937 года.
Добавлены некоторые новые примеры автомодельных течений
и важная задача о разлете газа в поле тяжести. Добавлен
короткий, но важный раздел о вариационном принципе в механике
сплошных сред. Глава о релятивистско-газовой динамике
исключена, поскольку предполагается написание специальной
монографии, посвященной этому вопросу.
Автор приносит глубокую благодарность Г. А. Домбровскому,
Г. С. Голицину, Л. И. Седову и Г. А. Соколику,
указавшим на ряд недочетов и погрешностей первого издания и
способствовавшим на писанию ряда новых фрагментов для второго
издания.
Автор весьма признателен редактору первого и второго
изданий книги С. Н. Шустову за серьезное и умелое редактирование
рукописи.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящей книге рассматриваются вопросы теории
неустановившихся движений какой-либо среды, причем особенное
внимание уделяется неустановившимся движениям газа. Так как в

8
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
ряде случаев области неустановившихся движений граничат с
областями покоя или с областями стационарных движений, то
определенное внимание уделяется и некоторым закономерностям
стационарного движения среды.
Изучаются как изэнтропические движения, т. е. движения,
происходящие при неизменной энтропии по всей рассматриваемой
области движения, так и движения неизэнтропические, т. е.
движения, в которых важную роль играют ударные волны.
Сначала рассматривается математический и
термодинамический аппарат газовой динамики, причем большое внимание
уделяется исследованию так называемых автомодельных (самоподобных)
движений. Этот аппарат используется для решения различных
принципиально или технически важных задач газовой динамики
неустановившихся движений.
Изучить в рамках настоящей монографии все задачи, решения
которых можно найти, пользуясь развитым аппаратом, не
представлялось возможным. Мы ограничились рассмотрением самых
важных задач.
Кроме классических вопросов газовой динамики,
рассматривается также ряд новых вопросов: теория детонации
конденсированных взрывчатых веществ, теория разлета сжатого газа и
жидкости, теория автомодельных движений газа (расходящиеся и
сходящиеся волны). Большое внимание уделяется изучению
движения газа в поле тяжести в связи с проблемами астрофизики и
космогонии. При изложении этих вопросов применены некоторые
новые методы приближенного интегрирования уравнений неизэнт-
ропического движения газа.
В последней главе излагаются некоторые вопросы движения
газа с весьма большими скоростями; в этой области удалось
получить результаты, которые, по-видимому, могут найти
применение в теории множественного образования частиц, а также в
космогонии.
Мы ориентировались на читателей, специализирующихся в
области газовой динамики. Читатель должен обладать знаниями
в области теории дифференциальных уравнений математической
физики, векторного и тензорного анализа, а также должен знать
элементы термодинамики. Даны ссылки с упоминанием дат и
авторов для ряда недавно решенных задач, имеющих
принципиальное значение; в конце книги приведена основная литература как
отечественных, так и иностранных авторов.
В заключение мы считаем приятным долгом выразить
признательность Ф. А. Бауму, А. С. Компанейцу и Г. И. Покровскому,
критически прочитавшим рукопись.

ВВЕДЕНИЕ
В газовой динамике изучаются движения любых сжимаемых
сред, в том числе жидкостей и твердых тел (последних —- при
высоких давлениях). Для изучения таких движений применяются
методы не только механики, но и других разделов физики, в
частности термодинамики.
В том случае, когда в заданной области пространства, где
изучаются движения среды, параметры, характеризующие
состояние и движение среды, неизменны во времени, говорят об
установившемся движении среды. Когда эти параметры со временем
меняются, движение называется неустановившимся.
Неустановившиеся движения представляют весьма большой интерес не только
при решении ряда прикладных технических задач, как, например,
исследование движения продуктов взрыва и среды, в которой
происходит взрыв, или исследование колебаний газа внутри
различных двигателей, но и при изучении принципиальных и
проблемных вопросов современной физики и космогонии. В самом
деле, различные процессы, происходящие в мировом пространстве,
например, образование звезд, мощные извержения, которые
происходят от Солнца и звезд, связаны именно с неустановившимися
движениями огромных газовых масс.
В классической газовой динамике среда, движение которой
изучается, рассматривается как континуум, т. е. считается, что
в каждом элементарном объеме пространства находится
континуум экземпляров частиц среды. Это позволяет рассматривать
непрерывные изменения параметров среды в пространстве и во
времени. Действительно, обычные не слишком разреженные среды,
состоящие из частиц (молекул), практически обладают таким
свойством, поскольку расстояния между молекулами малы и в
каждом элементарном объеме находится весьма большое
количество этих частиц. В случае очень разреженной среды, например
среды, заполняющей мировое пространство, подобная
идеализация среды как континуума иногда уже не имеет места; такую
среду следует рассматривать как дисконтинуум, т. е. считать ее
состоящей из отдельных частиц. Однако методы газовой динамики
дают возможность рассматривать и движение подобной
ультраразреженной среды*

10
ВВЕДЕНИЕ
Основные уравнения газовой динамики основаны на трех
фундаментальных законах природы, а именно на законах сохранения
массы, импульса и энергии. Рассматривая движения среды в
пространстве, нам необходимо получить возможность определять три
компоненты скорости, плотность и давление среды как функции
трех пространственных координат и времени. Уравнение
количества движения в проекциях дает три уравнения движения,
закон сохранения массы и закон сохранения энергии дают еще два
уравнения; таким образом, для определения пяти неизвестных
функций мы имеем систему пяти уравнений, которые, очевидно,
будут дифференциальными уравнениями в частных производных
первого порядка.
Уравнения гидрогазодинамики можно писать в двух формах:
в форме, которая позволяет определять для заданной точки
пространства и заданного момента времени величины,
характеризующие движение и состояние среды, и в форме, позволяющей
следить за судьбой отдельных частиц этой среды. Первая форма
уравнений носит название формы Эйлера, а вторая — формы Лагранжа.
Зная уравнение состояния среды, легко определить ее
температуру в каждой точке пространства для любого заданного
момента времени. В том случае, когда движение адиабатично, т. е. не
подводится и не отводится тепло для рассматриваемой массы
среды, уравнение энергии приобретает наиболее простой вид,
поскольку энтропия каждой частицы среды при этом неизменна.
Уравнение энергии становится тождественным уравнению
состояния, в котором переменными являются давление, плотность и
энтропия. В случае изэнтропических движений это уравнение
превращается в уравнение изэнтропы.
Задача математического аппарата газовой динамики
заключается в изучении системы нелинейных дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка. В случае
одномерных движений получены точные аналитические решения.
Основная цель при применении термодинамического аппарата
газовой динамики заключается в том, чтобы при помощи
термодинамических соотношений связать между собой основные
параметры газа: плотность, давление, температуру, энтропию, а также
теплосодержание и скорость звука. Для идеального газа эта
задача становится тривиальной.
В случае плотных сред задача несколько усложняется,
поскольку уравнение состояния имеет более сложный вид, чем для
идеального газа, однако соответствующая аппроксимация
уравнения состояния и изэнтропы позволяет доводить до конца
решения ряда задач о движении плотных сред.
Своим развитием газовая динамика обязана трудам
многочисленных ученых многих стран. Немалый вклад внесли в газовую
динамику отечественные ученые.

ГЛАВА I
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ
ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
§ 1. Основные термодинамические соотношения
в газовой динамике
Термодинамические соотношения и понятия входят
значительной составной частью в большинство газодинамических
исследований. В систему уравнений, описывающих движение и
свойства среды, входит уравнение состояния среды, являющееся
одним из основных термодинамических уравнений; поэтому
настоящую главу целесообразно начать с изложения основных
термодинамических соотношений, используемых в дальнейшем.
В термодинамике при постоянном числе частиц обычно
используются четыре независимые перемейные, характеризующие
состояние среды: давление р, удельный объем v, температура Г,
энтропия 5. При этом четыре независимых дифференциальных
соотношения определяют четыре основные термодинамические
функции ?*, J, F, Ф, где Е — внутренняя энергия среды, i — ее
теплосодержание (энтальпия), F — свободная энергия, Ф — так
называемый термодинамический потенциал. При известном
уравнении состояния любые две переменные, выбранные из числа
зависимых и независимых переменных, полностью определяют
состояние среды, а следовательно, и все остальные переменные.
Здесь понятие зависимых и независимых переменных, конечно,
условно. Любые переменные можно выбирать и как зависимые, и
как независимые.
В газовой динамике обычно пользуются двумя функциями —
внутренней энергией Е и теплосодержанием i. Независимые
переменные р, W, Т, S и потенциалы Е, i, F, Ф связаны между собой
следующими дифференциальными соотношениями
(термодинамическими тождествами):
dE = Т dS - р dy; di = Т dS + у dp; 1 , ,.
dF = -SdT ^ р dy; dФ = -S dT + ydp-J ^ ' ^
все эти функции определены как рассчитанные на единицу массы
среды. Первое соотношение A.1) является термодинамическим
тождеством, описывающим непосредственно закон сохранения
энергии. Остальные соотношения A.1) являются следствиями

A.3)
12 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. 1
термодинамического тождества и следующих формул,
определяющих теплосодержание, свободную энергию и термодинамический
потенциал:
i = Е + р\; F = Е — TS; Ф = i — TS. A.2)
Из тождеств A.1), определяющих Е, i, Р,Ф, имеем соответственно:
индексы внизу указывают, что соответствующие величины
предполагаются постоянными. Пользуясь указанными соотношениями,
можно без труда переходить от одной пары независимых
переменных к другой. Система этих соотношений является полной;
всякий новый введенный потенциал будет зависеть от прежних,
потенциалы же Еу i, F, Ф являются независимыми в смысле их
выражения через переменные р, v. Г, S.
Часто первое соотношение A.1) записывают в виде
dE = dQ + dA, A.4)
где dQ =Т dS — элементарное количество тепла, dA= —pdw —
элементарная работа.
В случае переменного числа частиц к правым частям
термодинамических тождеств прибавляется член |х dN, где |i —
химический потенциал, N — число частиц. Например,
dE = Т dS — р dY + li dN, A.5)
дЕ \
причем
Поскольку
dФ = --S dT + Y dp + li dN,
TO, дифференцируя no N это выражение, придем к следующей
зависимости:
_[дФ]
^^[ дМ )тУ
откуда
Ф = N\i, A.6)

§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 13
Отсюда следует, что химический потенциал среды, состоящей из
одинаковых частиц, есть термодинамический потенциал,
отнесенный к одной молекуле (частице).
При отсутствии источников выделения или поглощения тепла
движение среды является адиабатическим; если при этом в среде
отсутствуют диссипативные явления, то энтропия данной
частицы постоянна: dSldt = 0. В случае постоянного числа частиц имеем
dE^c,dT-\-{-^)^d4, A.7)
где
дЕ
преобразуя о помощью термодинамических соотношений
величину {дЕ1ду)т, можно термодинамическое тождество написать в
виде, более удобном для использования в системе уравнений
газовой динамики. Поскольку из первого равенства A.1) имеем
дЕ \ _ гр [ dS
dv /т [ дч )т
ТО
и
dS \ d^F д [ дР
[ дт л
dv JT дчдТ дТ [ dv 1т
^1-4-^1-"- ('•«>
V
следовательно,
dE = c,dT + Т i^\dv - pdv = TdS -г pdv, A.9)
что дает
dS = cydln Т + (-If-) cZv. A.10)
Таким образом, уравнение адиабатичности движения принимает
вид
Соотношение {д8/ду)т — {др1дт)у можно написать в виде
д{Т; S)/d{T; у)=д (р; v)ld {Т; v),

14 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
откуда следует удобное для запоминания и полезное для ряда
выкладок тождество
д (Т\ S)
5(P,v)
1,
связываюш;ее основные термодинамические параметры Т, S, р, v.
Применяя полученные соотношения, выведем тождество,
которое будет использовано в дальнейшем. Будем исходить из
тождества
др \ _ д {р\ Т) д (v; S)
(-
dv /т ¦" д (v; S) д (v; 7') *
Раскрывая якобианы и используя соотношение
\ ^т /у ^ ( ds \ _( Qp\
( ду \ [ ду )т [ дТ /v
[дТ js
И равенство
придем к соотношению
.т-тл- ('•'2)
др ] _/ Эр ) , Т ( др^
dv It \ dv Is^ е^ \ дТ }v
A.13)
Под уравнением состояния среды обычно понимают
соотношение, связывающее какие-либо три из четырех независимых
переменных;
Р. V, Г, S.
Уравнение состояния, связывающее /?, v, S или /?, 5, Г, является
при постоянном *S^ уравнением изэнтропы.
Для целей газовой динамики удобно пользоваться уравнением
состояния вида р = /?(р, S) или вида S = S {р, р), однако мы
часто будем использовать и уравнение состояния вида р=р{у,Т)
и вида Т = Т {р, S).
Зная уравнение состояния вида р — р (v, *Т)^ легко
определить уравнение состояния вида р = р {у, S) ж при S = const
уравнение изэнтропы. При этом мы сделаем одно замечание,
касающееся условий адиабатичности движения. Среда, в которой
отсутствуют теплообмен и источники выделения или поглощения
тепла, совершает адиабатические движения, но в случае учета
диссипативных сил, например сил вязкости, энтропия каждой
частицы среды будет увеличиваться со временем вследствие того,
что часть механической энергии среды (энергии ее направленного

§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 15
движения как целого) перейдет в тепловую энергию хаотического
движения молекул, что будет свидетельствовать о необратимости
процесса движения среды в целом. Движение среды в этом случае
не будет удовлетворять условию постоянства энтропии частицы
dSldt == О, но, поскольку мы условились не учитывать никаких
диссипативных процессов, действующих в среде, то под адиаба-
тичностью движения будем понимать именно движения, для
которых dSldt = 0. Движения, для которых S = Sq = const, причем
постоянная Sq везде одна и та же, мы дальше называем изэнтро-
пическими.
Займемся рассмотрением основных видов уравнения состояния
для газов, жидких или твердых тел. Рассмотрение начнем для
идеального газа. Идеальным газом называют такую среду, в
которой отсутствуют внутренние силы взаимодействия между
молекулами и можно пренебречь влиянием собственного объема частиц,
т. е. для которой внутренняя энергия не зависит от объема при
постоянной температуре: {дЕШ\)т = 0; отсюда из A.7) следует,
что
dE -== CyfdT,
где Су постоянно, что и имеет место для строго идеального газа;
интегрируя, получим
Е = СуТ, A.14)
при этом из соотношения A.8) видим, что
др
дт Jy ""^'
откуда
Р = r/(v), A.15)
где /(v) — произвольная функция удельного объема. Обычно в
более строгом классическом понимании идеальным газом является
газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона
ру = RT, A.16)
т. е. газ, для которого функция /(v) в уравнении A.14) равна
i?/v, где
R = Cj, — Су A.17)
— универсальная газовая постоянная.
Для идеального газа, подчиняющегося уравнению
Клапейрона A.16), имеем
dv Jp^ R ''[ др Jy'' Л '
[ dvjs I dv [ w jis V V [dwjs w [ '^ c^J V

16 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
Используя формулы A.14), A.16) и A.17), получим следующее
выражение внутренней энергии:
^ = Т^' A-18)
где к = Cj)/cy = 1 + R/cy есть так называемый показатель
степени изэнтропы; при вычислении {—dpld\)s пользуемся равенством
A.9); положив в этом равенстве dS =0, находим {дТ1д\)^\
уравнение изэнтропы Пуассона получается интегрированием
выражения {—dpld\)s = кр/у, что дает
7^v^-aE),
откуда мы получаем уравнение Пуассона цри S = const,
р/р^ = G = const. Уравнение состояния, связывающее
непосредственно значение энтропии, удобнее написать, пользуясь
соотношением
dS = Cvdln Т + (-|f ]/v = Cydln Т + Rdlnv = Mln^?v^ A.19)
откуда
S-So
^=py^ = e'- =e{S), A.20)
г
где Sq — некоторое начальное значение энтропии, функция
а = a{S) выражает некоторое относительное изменение энтропии.
Уравнение адиабатичности (изэнтропичностй) движения
dS/dt == О при этом примет весьма простой вид
-§- = ^^ = 0,илиp = ap^ A.21)
ИЛИ
д
dt
(рч^) + V. grad (pv^) = 0. A.22)
В случае, когда среда не является газом, а по своим свойствам
скорее приближается к твердым или жидким телам, уравнение
состояния среды можно написать в виде
р = ф(у)+еG')/(у), A.23)
где Ф (v) описывает потенциальную компоненту давления,
возникающую благодаря силам взаимодействия частиц среды, а член
0(Г)/(у) описывает тепловую компоненту давления,
возникающую за счет движения частиц.
Для решения ряда задач (в диапазоне давлений до 10^ кг/см^
и температуре до 10^ градусов) и притом с большой точностью
можно принять 0(Г) = Т; тогда уравнение A.23) принимает более

§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 17
простой вид
р = ф(у) + r/(v). A.24)
В этом случае
др
дТ
V
/(V);
dE = TdS - pdw = CydT - pdv + Tf (v) dv = c^dT - Ф (v) dv.
Отсюда, считая Cy не зависяш;им от температуры, получаем
Е = с^Т -.Co(v)dv; A.25)
если Cy зависит от Г, нужно писать
Е=^ ^c^dT - ^Ф{N)dч
или брать среднее значение б\ == с у в данном рассматриваемом
интервале температур. Далее из выражения дифференциала
энтропии: dS = c^d {In Т) + f(y)dY имеем
S -So = CylnT + ^f{w)dv. A.26)
Исключая из A.21) и A.23) температуру Т:
где а = 1//; р = Ф//, придем к уравнению состояния вида
^^^ = In[ap-p] + ^^/(v)dv, A.27)
которое для дальнейшего использования удобнее написать в виде
S-So 1 Г / / Ч 7
\ / (v)dv
р = ф{ч)+/е '^ е '^ . A.28)
Для большинства типичных жидких и твердых тел (вода, металл)
тепловая компонента давления при обычных условиях, т. е. не
очень высоких температурах, значительно меньше, чем
потенциальная Г/(у)/Ф(у) ^ 1, и в процессе движения среды температура
мало изменяется, а поэтому, как показывает соотношение A.26),
изменение энтропии в процессе движения среды также не
должно быть значительным. В случае совершенно несжимаемых сред
энтропия всегда постоянна при постоянной температуре. Это
обстоятельство объясняется тем, что, рассматривая несжимаемую
среду, находящуюся до начала движения в состоянии теплового
равновесия, т. е. имеющую везде одинаковую энтропию, мы не

18 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
можем совершить над ней никакой внешней работы, так как
— 1р d\ = О, поскольку d\ = 0. Так как при этом ?" =^Е(Т),
то dE = dQ =Т dS = Cy dT; таким образом, в случае
адиабатических движений внутренняя энергия остается везде постоянной,
остается постоянной также температура среды и ее энтропия.
Если несжимаемая среда до движения не находилась в тепловом
равновесии, то условие адиабатичности движения примет вид
-^==-|r + ^-Srad?==0 или-^.= -^ + 1;.gradГ^0.
A.29)
Из этих рассуждений следует, что с большой степенью точности
в случае малосжимаемых тел при чисто адиабатических
процессах можно пользоваться уравнением состояния вида
Р = Ф(у), A.30)
которое будет одновременно выражать уравнение адиабаты,
поскольку S = const.
В случае сильно сжатых газов (таких как, например,
продукты детонации) и для твердых и жидких тел при весьма
больших давлениях пренебрегать изменением энтропии уже нельзя.
Поскольку условие изэнтропического движения мы можем
написать в виде dS/di = О, то отсюда следует, что
dt
f
_Ф_^Ч7^^^
-0. A.31)
В огромном большинстве задач газовой динамики уравнение
состояния можно написать в значительно более простом и
удобном для использования виде, чем A.28), полагая, что
P=A{S)F{y), A.32)
где F(y) обычно задается в виде, рекомендованном еш;е Тетом:
F(v) = V-- - v7 = р- - р^; A.33)
здесь п — показатель политропы, Vq — начальный удельный
объем среды, ро — ее начальная плотность. Начальная плотность
выбирается так, что при р = ро давление также равно начальному,
которое часто принимают за нуль.
Поскольку заметное макроскопическое движение среды
внутри твердых и жидких тел или весьма плотных газов ввиду их
малой сжимаемости может происходить лишь при весьма
высоких давлениях, порядка сотен тысяч атмосфер, то вполне
допустимо пренебрегать начальными давлениями, порядок которых в
обычных условиях не превосходит нескольких кг1см^. Эти сообра-

§ 1] ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 19
жения применимы, например, к воде на глубине 10 ?см; даже при
давлениях порядка 1000 кг1см^ такое пренебрежение еще
вполне допустимо.
Итак, мы в дальнейшем при решении ряда задач будем
пользоваться уравнением состояния вида
p=A{S) (р»-р:^). A.34)
в этом случае условие адиабатичности движения примет
сравнительно простой вид
-L^ = 0. A.35)
Уравнение политропы при этом есть
/>=л(р--р:^), A.36)
где А == const. Назовем это уравнение уравнением обобщенной
изэнтропы.
Для исследований и преобразований уравнений газовой
динамики снова необходимо ввести весьма важную величину,
позволяющую легко устанавливать физический смысл решений
уравнений, а именно местную скорость звука с. Квадрат скорости
звука определяется как частная производная давления по
плотности при постоянной энтропии:
др_
Ф Is
A.37)
Часто пользуются также величиной
причем величина
рс = К A.38)
называется акустическим импеданцем.
В заключение следует еще отметить соотношение
di =^ Т dS + Y dp = Т dS + сЧ In р A.39)
при
S = const,
di = сЧ In р,
)nst, 1
Inp, j
A.40)

20 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
ЧТО для идеального газа дает следующее выражение
теплосодержания:
i=^ = kE. A.41)
Следует также привести полезное для дальнейшего
преобразование
J^ = c4\n^ + ^^^ = T;^cdc-^-^%-, A.42)
р ^ ^ dS ^ k — i к{к—\)с^ ^ '
при этом
S-So
с'^ке '^ р^-1. A.43)
Аналогичные преобразования имеют место и для
произвольного уравнения состояния.
В дальнейшем по мере надобности мы будем приводить
некоторые дополнительные сведения из термодинамики.
§ 2. Основные уравнения газовой динамвки
в форме Эйлера
Ряд макроскопических явлений, происходяш,их при движении
какой-либо среды, может быть изучен методами гидродинамики
или газовой динамики. При этом данная среда рассматривается
как сплошная, т. е. считается, что любой малый ее объем содержит
еще весьма большое количество молекул.
Поэтому, говоря о бесконечно малом объеме среды, мы должны
считать этот объем достаточно малым только по сравнению со всем
объемом, который занимает рассматриваемая среда (или ее
конечная часть), но одновременно допускать, что он достаточно
велик по сравнению с расстояниями между молекулами,
образующими данную среду.
В этом же смысле следует рассматривать в гидродинамике
понятие частицы; говоря, например, о перемещении какой-либо
фиксированной частицы жидкости на некоторое расстояние с
течением времени, мы должны понимать, что речь идет не о
смещении отдельной молекулы, а о смещении некоторого
фиксированного объема среды, содержащего достаточно много молекул,
но весьма малого по сравнению с объемом, занимаемым средой.
Для математического описания состояния движущейся среды
необходимо воспользоваться известными законами сохранения
количества движения (импульса), массы и энергии, а также
уравнением состояния данной среды. Законы сохранения и уравнения
состояния дают возможность в самом общем случае
пространственных (трехмерных) движений среды получить шесть основных
уравнений гидродинамики (газовой динамики); три (по числу из-

§ 2] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЭЙЛЕРА 21
мерений)^ уравнения движения среды дает закон сохранения
количества движения и по одному уравнению дают законы
сохранения массы и энергии, шестым уравнением является
уравнение состояния среды.
Указанные шесть основных уравнений определяют шесть
искомых величин, характеризуюш,их движение и состояние среды: три
компоненты скорости, плотность, давление и энтропию или
температуру среды.
При этом пространственные движения среды можно изучать
двумя методами.
Во-первых, принципиально можно для каждого
фиксированного момента времени определять распределение шести основных
параметров как функций каких-либо трех пространственных
координат, т. е» распределение этих параметров в пространстве,
или, что равносильно, для каждой заданной точки в пространстве
определять зависимость указанных шесхи параметров от времени
(их распределение по времени).
Во-вторых, можно для каждой фиксированной частицы
определять ее движение, а также для любого фиксированного момента
времени определять плотность, давление и энтропию или
температуру для этой частицы.
Первый метод носит название метода Эйлера, второй — метода
Лагранжа.
Перейдем к выводу основных уравнений гидродинамики
(газовой динамики) в форме Эйлера и в форме Лагранжа. При этом
уравнения в форме Эйлера мы сначала будем искать в векторной
форме, а затем перейдем к обычной координатной форме записи
уравнений для прямоугольной, сферической и цилиндрической
систем координат. Особое внимание будет обраш,ено на уравнения,
определяюш,ие движение и состояние, зависящие от одной
пространственной координаты, т. е. на одномерные движения среды, и
движения, обладающие цилиндрической и сферической
(центральной) симметрией. Эти уравнения описывают так называемые
плоские, цилиндрические и сферические волны.
Вывод основных уравнений газовой динамики начнем с
уравнения, характеризующего закон сохранения количества
движения.
Для этой цели используем второй закон Ньютона, считая,
что среда не подвергается воздействию внешних сил; рассмотрим
некоторый объем среды V; обозначая давление, действующее в
среде, через/?, можно силу, действующую на поверхность /
выделенного объема среды, написать в виде интеграла — §р df,
взятого по поверхности / рассматриваемого объема *).
*) Векторные величины здесь и далее будут обозначаться жирными
буквами.

22 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. 1
Теорема Остроградского — Гаусса позволяет заменить этот
интеграл интегралом по объему
— \ grad pdV.
Последнее выражение показывает, что на каждый элемент объема
среды dV действует со стороны среды, его окружающей, сила
—grad р dV^ отсюда на единицу объема среды действует сила
—grad /?, а на единицу массы среды — сила —A/р) grad р, где
р — плотность.
Величину данной силы мы вправе приравнять значению
ускорения этой единичной массы, равного dv/dt, где v — скорость,
t — время; таким образом, можно утверждать, что
-S- + ygradp = 0. B.1)
Здесь производная dvldt — ускорение заданной,
передвигающейся в пространстве частицы среды. Для того чтобы определить
ускорение частицы среды, находящейся в заданной точке пространства,
характеризующейся какими-либо координатами х^ (где i =1,2,3),
следует представить величину дифференциала dv в виде
3
dv^-^dt+ ^ ^dx,.
г=1 ^
Далее, очевидно,
dv 9^ , s^ dv dxi
-^+2
dt dt ' .^^ dxi dt
Первый член правой части этого выражения определяет изменение
скорости в данной точке пространства по времени, второй —
изменение скорости при переходе от данной точки пространства к
точке, удаленной от нее на расстояние dr, пройденное за время
dt рассматриваемой частицей.
Поскольку
г=1 * i=l ^ ^ '
и так как производная dridt = t^, то окончательно можно
написать
dv dv , . „V
_=__ + (t,V)t..

§ 2] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЭЙЛЕРА 23
Следовательно, уравнение B.1) представляется в виде
^ + {vV)v + ±-gTSidp = 0. B.2)
Уравнение B.2) является искомым уравнением движения жидкой
среды; оно называется также уравнением Эйлера.
Это уравнение, если написать его в координатной форме, что
будет сделано ниже, дает три уравнения движения соответственно
трем пространственным координатам.
В том случае, когда среда подвергается воздействию внешних
сил, например находится в поле тяжести, на каждую единицу
массы действует сила тяжести gr; эта величина должна быть
прибавлена при определении силы, действующей в среде, к величине
—1/р grad р, поэтому в данном случае уравнение B.2) примет вид
^4-(t'V)t^+-i-gradp = sr. B.3)
При выводе уравнения движения B.2) мы не учитывали дисси-
пативные силы — силы вязкости, которые могут действовать в
движущейся среде; в ряде случаев при движении газов или
жидкостей (и даже среды внутри твердых тел) влияние этих сил может
быть действительно несущественным.
Классическая газовая динамика занимается изучением таких
движений газовой среды, в которых можно пренебречь диссипа-
тивными процессами, связанными с действием сил вязкости и
теплообмена в газе. Последующие уравнения мы также будем
выполнять без учета этих сил.
Перейдем к выводу уравнения, выражающего закон
сохранения массы. Рассмотрим снова некоторый объем пространства V.
Масса среды в этом объеме есть \р dV, где интеграл берется по
V
всему объему V. Через элемент df поверхности /,
ограничивающей этот объем, за единицу времени протекает масса среды dm =
= pv-df, причем вектор df равен по величине площади элемента
поверхности df и направлен по внешней нормали к этой
поверхности, а знак «указывает, что произведение векторов v я df
является скалярным. Отсюда следует, что величина dm
положительна, если среда вытекает из объема, и отрицательна, если среда
втекает в него.
Полная масса жидкости, вытекающая из объема V за единицу
времени, равна (upv-d/, где интеграл берется по всей
поверхности /, ограничивающей объем V.

24 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
То же изменение (уменьшение) массы среды в рассматриваемом
объеме за единицу времени иначе можно выразить в виде
ж^о'*^-
Приравнивая оба выражения, определяющие секундный расход
среды через поверхность /, придем к соотношению
^^pdY + ^pvdf = 0.
Интеграл по поверхности на основании теоремы Остроградского —
Гаусса преобразуется в интеграл по объему Jdiv pv dV;
поэтому мы приходим к следующему уравнению, выражающему
закон сохранения массы:
-^ +d[YpvJdV = 0,
Так как это выражение имеет место для любого произвольно
заданного объема V, то подынтегральное выражение должно равняться
нулю, т. е.
-^ +divpt;-=0. B.4)
Мы получили так называемое уравнение неразрывности.
Величина pv ^ j носит название плотности потока среды.
Остается вывести уравнение сохранения энергии. В этом
параграфе будет рассмотрен простейший случай, когда в среде
отсутствуют источники выделения или поглощения тепла вследствие
протекания каких-либо химических реакций в рассматриваемой
среде. Заметим также, что мы пренебрегаем теплообменом между
отдельными частями среды и соприкасающимися с ней телами.
Отсутствие источников выделения или поглощения тепла и
отсутствие теплообмена означают, что движение среды происходит
адиабатически, т. е. энтропия S каждой частицы жидкости при ее
движении остается постоянной *), что в данном случае и будет
выражать закон сохранения энергии.
Обозначая энтропию, отнесенную к единице массы среды,
через 5, выразим условие адиабатичности движения в виде
-f=^T=0' B-5)
где Q — количество тепла, Т — температура. Здесь, как уже
указывалось, полная производная энтропии по времени обозна-
*) Как уже указывалось ранее, в § 1, мы пренебрегаем также действием
диссипатпвных сил.|

§ 2] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Б ФОРМЕ ЭЙЛЕРА 25
чает изменение энтропии данной перемеш;ающейся в
пространстве частицы.
Поскольку
условие адиабатичности движения в форме Эйлера можно
написать в виде
-^ +i^.grad*S=.0. B.6)
Это уравнение, используя уравнение неразрывности B.4), можно
написать в виде
4-(P'5) + div(p5^) = 0, B.7)
где произведение pSv = j\ носит название плотности потока
энтропии.
При изучении движения среды в газовой динамике весьма
большой теоретический и прикладной интерес представляют
такие случаи, когда в некоторый начальный момент энтропия
была одинакова для всех частиц. Тогда при условии
адиабатичности процесса она останется постоянной в течение дальнейшего
движения среды и
S = Sq = const, B.8)
где Sq — начальное значение энтропии.
Связывая давление, плотность и энтропию с помош,ью
уравнения состояния вида
Р = Р{Р, Т), B.9)
ИЛИ равносильного ему уравнения состояния
Р = р{9, S), B.10)
придем к замкнутой системе уравнений
-4 +{v^)v+—gv&Ap = Q, -^ + divpD = 0,
Й Я
-^ +v-grad5 = 0, p = p(p,S),
B.11)
определяющей при заданных начальных и граничных условиях
параметры v, /?, р и S, характеризующие движение и состояние
газа как функции от г и ^.

26 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
Поскольку на основании B.10) можно написать
gradj9= -|^gradp+ -^grtxdS,
то система уравнений B.11) сводится к трем уравнениям, опреде-
ляюш;им три параметра: v, р ж S.
Аналогично с помощью уравнения состояния вида
S = S{p, р) B.12)
МОЖНО исключить энтропию из уравнений B.11) и прийти к
системе трех уравнений, определяющих v, р и р.
Перейдем теперь от векторной формы уравнений газовой
динамики, которая удобна для краткого написания этих
уравнений, к координатной форме, удобной для их исследования и
решения.
В прямоугольной системе координат х, у, z эти уравнения
имеют вид
ди . ди , ди , ди , i др /^
at ^ дх ^ ду ^ dz ^ р ах
dv ^^ |_ ^^ _L ^^ _1_ •^ ^Р О
dt ~^ дх ^~ ду dz * р ду
dw , dw , dw , dw , i dp ^
dp , dp , dp . dp , f du , dv . dw \ p,
-ЭГ + "-97 + ^-й7 + ""ar + P (^ + IF + ^ = 0
ds , ds , ds . ds ^
S = S(p, p) или p = p{p,S);
B.13)
первые три из этих уравнений суть уравнения движения,
четвертое — уравнение неразрывности, пятое — уравнение энергии,
шестое — уравнение состояния; и, v, w означают проекции
скорости V на оси X, у, Z соответственно.
В дальнейшем эти уравнения будут использоваться в
различных формах. Полагая в B.13) w = О я считая равными нулю все
частные производные по z, получим уравнения плоского
движения:
B.14)
du J. ^" f_ du i dp
dt * dx ^ dy ^ p dx
dv . dv dv i dp
= 0,
= 0,
dp . dp . dp , / du , dv \ r.
dS ^ ds . dS ^
dt ^ dx ^ du

§ 21 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЭЙЛЕРА 27
Приравнивая в этих уравнениях нулю компоненту скорости v и
частные производные по у, придем к трем уравнениям
одномерного движения.
При репгении различных задач членам, выражающим проек-
i др i др i др
ции градиента давления — -^ , —-^, ^, придают
различную форму. При изэнтропическом (политропическом) течении
идеального газа по формуле A.42) имеем
-^ = c2dlnp = d^ B.15)
для идеального газа • теплосодержание i выражается формулой
A.18):
i = ^ = кЕ. B.16)
Используя формулу для скорости звука dp/dp = с^, можно выра-
1 др
зить член д^в следующих видах:
J_^ :^ .iL=: _Li?_iP.=: J_c''i-^ = C* — 1пр. B.17)
р дх дх р dp дх р дх ' дх ^' \ • /
Далее, с помощью формулы B.16) можно получить
i др ^ дЬ ^ 2 ^ дс B 18)
р дх дх к — i дх ' \ • /
Аналогично могут быть выражены члены g^ и ~- .
Различные формы можно придать также уравнению
неразрывности. Четвертое уравнение системы B.13) может быть после
деления обеих частей на р выражено в виде
д J , д , , д ^ . д 1 , ди , dv ,
-^Inp + U-g^ Inp + г;-5-lnp + и;-^Inp +-^ +-^ +
+ -Ji=0. B.19)
Уравнение неразрывности можно выразить не только через
плотность р, но и через скорость звука с, через теплосодержание i и
через давление р. Используя формулы B.15),^B.16) и с" = -^ =
=-- скр^~'^, легко получить следующие три формы уравнения
неразрывности:
дс , дс , до , дс , к — 1 f ди , dv , dw \ ^
B.20)

28
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ
[ГЛ. I
di , di , di , df , <, f du
dt
dx
dv , dw
~dj '^"dl
dp^
dt
dp_
dx
^ +^4^ + V'^+w^ +9сЦ^ +
dp^
dz
du
dx
dv
dw
dz
= 0,
B.21)
= 0.
B.22)
В сферической системе координат г; ф; 0, где г —
радиус-вектор, ф — угол в плоскости ху, 0 — угол в плоскости, проходящей
ду
Рис. 1.
через ОМ' и вектор г (рис. 1), уравнения газовой динамики
имеют вид
du , du
dt
dv
dt
du wdu
D'2- -]_ ц;2
, dv
dv , wdv , uv . vw сЩ^
rsinG аф ~^ гае
-4-
L^ =0: 1
dr "^ rsine аф
rdid ^ r ^
+
4-
prsinO Эф
dw , dw , V ^^1 ^^^ I ^^ v'^cigQ ,
4^=0;
dt '^^"a7 ~^ rsine "аф"
ap
ap
^ ar ^ r sin e аф ^
гг;ар
+ p(-ar-'-
' pr ae ^'
1 a?;
r sin e аф
w
+
г ^ dw . 2u . w , r.\ p,
dS
+ u
dS
+
dt ^^'^ dr ' rsine аф
S= S{p, p) или p = p (p, S);
dS w dS п..
ae
B.23)

§ 2]
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЭЙЛЕРА
29
здесь и\ v\ W — компоненты скорости по направлениям г; Ф; 6.
В цилиндрической системе координат г; ф; z, где г — радиус-
вектор в плоскости гф, ф — угол в этой плоскости, Z — высота,
уравнения газовой динамики имеют вид
ди , ди .
V ди , ди
г Эф ' dz
+ -4^ = 0
' р дг
1 др
dv , dv , V dv . dv . uv .
dw , dw . V dw . dw . i
-9Г + " ^7 + — a^ + "^-дГ + T
dp , V dp I ,o ^P j^ r. /^ ^^ j_ -^ ^^ _i ^"^ _L
Эф
dz
= 0
= 0
dt
dr
V dp , dp .
—-я^ + ^-аг + Р
Эф
дг
dz
+ -^ =0;
dS
dt Г- - Qr
S = S{p, p) или p = p{p,S);
dS , V dS . dS ^
B.24)
здесь и, V, w — проекции скорости на направления г, ф, z.
В случае одномерных движений, а также движений с осевой
(цилиндрической) и центральной (сферической) симметрией все
параметры среды зависят от одной пространственной координаты
и уравнения газовой динамики имеют вид
du , du , i dp
dt ¦ dr ^ p dr
dp , dp , du , Npu
dS , dS
= 0;
= 0;
= 0;
S = S{p; p) или p = p(p; S), J
B.25)
где iV = 0 для одномерных движений, N = i для движений с
цилиндрической симметрией и iV = 2 для движений со сферической
симметрией. Эти уравнения могут быть получены из B.23) и B.24).
Иногда все три указанных типа течений называют одномерными.
В уравнениях B.23), B.24) и B.25) также будут меняться и
число измерений, и члены, выражающие проекции градиента
давлений. Напишем, например, уравнения плоского движения в
полярных координатах. Для этого положим в уравнения B.24)
W = 0; положим также равными нулю все производные по z;
далее положим и == и; v = w; ф = 6 *

30 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
Члены Y' ^ ж возьмем в форме B.18). Тогда из
уравнений B.24) получим
Эм ди . W ди ^^ 1_ 2^ ^Р (V
"аГ + ^~дГ "f" ~ "аэ Г" + /с —1 "дГ ¦" »
dw dw . w dw иго 2 с dp ^^
"W + ^7" + """ае + "Т~"*" /с-1 "Г"Ж "" '
5р ^р W др / ди i dw
op W op . OU . 1 OW , и \ ЛЧ j
B.26)
dt
Последнее уравнение можно также написать в виде
Ф , 1 Г ^ / \ . ^
dt
Т-[-|г(''^Р)-г-^(Р"^)]=0. B.27)
В тех случаях, когда параметры, определяющие движение и
состояние среды, зависят от времени, движение среды называется
неустановившимся (или нестационарным). В самом общем случае
пространственных неустановившихся течений мы имеем систему
шести уравнений, определяющих шесть искомых параметров /?,
р, *S, W, Vy w как функций трех пространственных координат и
времени.
Если эти параметры не зависят от времени, то движение
среды называют установившимся (стационарным); при этом
производные указанных параметров по времени обращаются в нули и
система уравнений, описывающая установившиеся движения,
заметно упрощается, поскольку искомые параметры зависят только
от трех пространственных координат.
Систему шести уравнений, как уже указывалось, легко свести
к системе пяти уравнений, определяющих р, р, м, v, w или р,
S, и, V, W, используя уравнение состояния в той или иной
форме.
Пользуясь уравнениями движения в прямоугольной системе
координат, легко перейти к уравнениям, определяющим
движение среды в форме Лагранжа, чему посвящен следующий
параграф.
Основными начальными и граничными условиями при
использовании уравнений газовой динамики в форме Эйлера
соответственно являются заданное распределение скорости и параметров
среды в начальный момент, т. е. при ^ = О, и распределение
скорости и параметров среды во времени на заданной
поверхности.
В частности, на твердой неподвижной стенке нормальная
составляющая скорости Vn должна быть тождественно равна нулю
для любого момента времени. На границе двух неперемешиваю-
щихся сред должны быть равными нормальные к границе
компоненты скорости и давления для обеих сред.

§ 3] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЛАГРАНША 31
§ 3. Основные уравнения газовой динамики
в форме Лагранжа
Уравнения газовой динамики, написанные в форме Лагранжа,
выражают движение каждой индивидуальной частицы. Решения
этих уравнений определяют координаты и параметры состояния
этой частицы для любого момента времени t, начиная от
некоторого начального момента t^, выбранного условно.
Обычно в лагранжевом представлении пользуются
прямоугольной системой координат (другие системы координат менее
удобны) и задают для момента начала движения ^ = О значения
начальных координат какой-либо частицы в виде Xq = а, г/о = &»
Zq = с, причем текущие координаты частицы х, у, z будут
являться функциями времени t и начальных значений координат
а, 6, с.
Уравнения движения в форме Лагранжа при отсутствии
внешних сил имеют следуюш;ий вид:
ди д'^х i др ^ dv d'^q i dp \
dt ~~ dt^ ~' p dz ' J
Эти уравнения аналогичны уравнениям Эйлера. При
дифференцировании параметры а; Ь; с следует считать постоянными. При
наличии поля тяжести в правой части уравнений C.1) должна
стоять величина проекции ускорения g на соответствуюш,ую
координатную ось.
Необходимо заметить, что производная от любой функции
координат и времени по времени для заданной частицы равна
dt ~ dt ~^ ^ dx ~^ ^ dy '^ ^ dz ~" V dt )a,b,c'
где F = F{x, г/, z, t) — любая функция. В частности, например,
для функции и{х^ у, t) имеем
du да . ди , ди , ди {ди\
Ь,с
Вывод уравнения неразрывности в форме Лагранжа отличен
от вывода его в форме Эйлера. Пусть в начальный момент
времени плотность некоторой фиксированной частицы есть рд; тогда
масса среды, содержащаяся в элементарном объеме dV^ = da db dc
этой частицы, есть dm = р^ da db dc; в некоторый момент
времени t эта же масса будет определяться соотношением dm =
= р dx dy dz, где р — текущая плотность в окрестности заданной
частицы. Следовательно,
Ро da db dc = pdx dy dz. C.2)

32
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ
[ГЛ. X
Так как х = х{а, Ь, с, t), у
дх
да
дх
Иъ
у{а, Ь, с, t), Z = Z (а, fo, с, t)^ то
дх J , дх
Т 7
dx = "^da + ^db+^dc + ^dt
dt
аналогично выразятся dy и dz.
Заменяя в соотношении C.2) значения dx, dy, dz с помощью
только что написанных выражений, придем к уравнению
C.3)
есть якобиан функций х{а, 6, с, t), у {а, Ъ, с, t), z{a, b, с, t).
Уравнение C.3) выражает закон сохранения массы; при этом
начальное значение плотности Ро зависит от начальных значений
координат Xq = а; Уо = Ь; Zq = с, т. е. р^ = ро(а, Ь, с).
Дифференцируя уравнение C.3) по времени, придем к дифференциальному
уравнению неразрывности
d (рА) __ Г ^ (рА)
dx dy dz
da db dc
pA = po,
д (x, y, z)
д (a\ b; c)
dx
da
да
dz
да
дх
'db
ду
db
dz
db
dx
Ж
дс
dz
дс
dt
=p
dt
a, Ъ. с
0.
C.4)
Выполняя дифференцирование, получим
dK , do . ^
dt
dt
d^_
dt
= -^^^=-^^i%+^u + :^v + -^w^
p dt
\dt
d^
dy
EL
dz
Л = Adivi;,
C.5)
так как dpjdt = —p div v, что следует из уравнения
неразрывности. Уравнение энергии, которое при сделанных в
предыдущем параграфе предположениях является уравнением,
выражающим адиабатичность движения, принимает весьма простой вид
# = &Ь. = о. C.6)
а, Ь, с
откуда следует, что
S
S{a,b, с). C.7)
Добавляя к этим уравнениям уравнение состояния вида р =
= />(р, S) или S = S{p, р), приходим снова к системе шести
уравнений, позволяющей определить шесть искомых параметров х, г/,

§ 3l ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА оЗ
Z, /?, р, S; при этом координаты х, г/, z определяются как
функции а, Ь, с, t, а параметры/?, р, S, характеризующие состояние
среды,— как функции t, х, г/, z.
Отсюда следует, что при использовании уравнений,
написанных в форме Лагранжа, основными начальными и граничными
условиями являются следующие условия: для момента времени
^ = О мы должны знать начальные значения координат Xq = а;
Уо = Ь\ Zq = с, а также распределение параметров /?, S, р по
начальным значениям координат а, 6, с.
Далее, поскольку компоненты скорости суть
dx di/ dz ,^ r,\
то можно задавать начальные значения скорости как функции
а, Ь, с при ^ = 0; можно на некоторой фиксированной
поверхности z = Z (Xj у) задавать и, v, w, /?, р, S как функции времени.
На стенке для любых моментов времени нормальная
составляющая скорости v^ = 0. На границе раздела двух неперемеши-
вающихся сред должны быть равны давления и нормальные к
границе компоненты скорости для обеих сред.
Переход от решений, написанных в форме Эйлера, к решениям
в форме Лагранжа совершается весьма просто. Для этой цели,
зная из решений, написанных в форме Эйлера, величины
и == и{х, г/, 2, t), V = V (х, уг Z, t), IV = W (х, у, z, t) C.9)
и решая эту систему обыкновенных дифференциальных уравнений,
мы должны принять в качестве постоянных интегрирования (при
^ == 0) величины а, &, с, что дает
X = X {а, fe, с, t), у = у (а, Ь, с, t), z = z (а, b, с, t),
т. е. решения в форме Лагранжа.
Напротив, дифференцируя по времени эти выражения и
исключая из них и из выражений, полученных после
дифференцирования, константы а, 6, с, придем к решениям в форме Эйлера,
исходя из решений в форме Лагранжа.
Решение обоих уравнений в форме Лагранжа представляет
значительно большие трудности, чем решение уравнений в форме
Эйлера, поскольку, например, представление производной
давления по X через производные по а, Ь, с имеет вид
др др да . др дЪ , др дс
дх Ьа дх дЬ дх дс дх
да дЪ дс
ЧТО приводит к появлению нелинейных членов в уравнениях
движения.
др_
да
дх
+
др
дъ
дх
+
др
дс
дх

34 МАТЕМАТИЧЕСКПЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
В случае движений, обладающих симметрией и зависящих от
одной координаты, уравнения в формеи Лагранжа не менее, а
при решении некоторых задач даже и более удобны, чем
уравнения в форме Эйлера. Мы уже видели, что, исходя из уравнения
неразрывности, можно получить тождество
-тгА = /а divt^.
at
Выпишем уравнения в форме Лагранжа, характеризующие
одномерные течения и течения с цилиндрической и сферической
симметрией {N = О, 1, 2):
Р =
р(р, S) или S =- S{p\ р),
= 0;
C.10)
где г — текущая координата, R — значение г при ^ = 0. Из
уравнения C.7) очевидно, что S = S (Л), т. е. что энтропия
зависит только от начального положения заданной частицы и в
процессе движения для заданной частицы не изменяется.
Отсюда следует, что систему уравнений C.10) можно заменить двумя
уравнениями:
дг д'^г \ <^Р ^? I ^Р п.
C.11)
где в качестве независимого переменного вместо R выбрана
энтропия S = S{R).
В лагранжевых переменных система C.10) может быть
написана следующим образом:
дЯ dt^ ^~^ dp dR ^ dS dR ^ ' .о л 2)
рг^-|^ = РоЛ^=/(Л). J
Укажем на иное представление уравнений в форме Лагранжа
для течений, обладающих симметрией. Выберем вместо
независимой переменной R величину h, пропорциональную массе
среды, содержащейся в момент времени ^ = О между сечениями
R = О и R = R:
я
h = \lpoR'^dR = h(R). C.13)

3]
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА
35
Очевидно, что для любого момента времени
г{Е; О
h= 5 prNdr = h{R).
C.14)
r(o; О
Дифференцируя соотношение C.14) по /г, придем к
соотношению
^^ dh ^'
C.15)
откуда получаем дифференцированием по времени уравнение
неразрывности в виде
^Иж) = о- C-16)
Уравнение Эйлера напишем в виде
dh dt^
dh
дг
поскольку р -^ = г~^, уравнение Эйлера принимает вид
dt^ ^ dh ^ ^•
C.17)
C.18)
Система уравнений C.16), C.18) и уравнение S = S (А) являются
весьма удобными для исследования; заметим, что, поскольку
др_
dh
dp dp , dp dS
~d^~dh ~^ 'dS~~dh '
TO эта система сводится к системе двух уравнении:
гп J '
дг ,
dt^ ^^
dp dp , dp dS
[H^ ~dh ~^'Wlih
C.19)
P
dh
1.
Далее, вводя удельный объем v = 1/р, эту систему удобно свести
к одному уравнению
а^2
, ^N\^A.(EL гА 4- -^i^l ^ о C 20)
^^ IdY dh\dh ^ ]^ dS dh j ^' ^^'^""^
в случае одномерных движений {N = 0) это уравнение
приобретает весьма простой ьид
d4 , dp_d^ , dp_dS_ __ ^
df^
ду dh''
dS dh
C.21)
где X = r^

36 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
На этом мы закончим рассмотрение основных уравнений
газовой динамики; ниже, используя конкретны^е виды уравнения
состояния для идеального газа, твердых или жидких тел, мы
значительно упростим вид уравнений, написанных как в форме
Лагранжа, так и в форме Эйлера.
Для одномерных движений при N = О можно прийти к иной
форме результирующего уравнения. Так как из первого
уравнения C.10) и уравнения C.15) имеем
^ + lf-=0; 4l = v. C.22)
то, дифференцируя последнее уравнение по t, придем к
уравнению
ди dv ^
Th ~ ~dt '
C.23)
далее, исключая из первого соотношения C.22) и из C.23) и,
будем иметь
^ + ^ = 0. р.24)
Это уравнение справедливо как для изэнтропических, так и для
адиабатических движений газа.
§ 4. Некоторые общие свойства движения среды
Выше уже указывалось, что движения среды могут быть
установившимися и неустановившимися в зависимости от того,
являются ли параметры, характеризующие состояние среды,
функциями одних только координат или еще и функциями времени.
Движения среды, как установившиеся, так и
неустановившиеся, могут быть потенциальными (безвихревыми) или вихревыми в
зависимости от того, равен во всей среде вихрь вектора
скорости нулю или нет. Если вихрь вектора скорости равен нулю
в какой-либо области, то скорость имеет потенциал ф(а;, ^, z\ t)
и является градиентом функции ф(а;, г/, z\ t):
t, = grad(p=||J + |?-/+-g^.
Движение в соответствующей области будет безвихревым.
Движение будет вихревым в той области, в которой rot v ф 0.
Рассмотрим в среде так называемый жидкий контур, т. е.
некоторый замкнутый контур Г, движущийся вместе со средой и
состоящий из одних и тех же частиц. Интеграл
С = ф v-dr = ф udx + vdy + wdZy

§ 4] НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ 37
ВЗЯТЫЙ ВДОЛЬ ЭТОГО контура, называется циркуляцией скорости.
Преобразуя этот контурный интеграл согласно теореме Стокса,
будем иметь
С = j)V'dr=^\^ioiv^df, D.1)
где стоящий справа интеграл берется по поверхности,
охватываемой рассматриваемым замкнутым контуром.
Напишем уравнение Эйлера в виде
|E + (,,V)« + lgradp:^0. D.2)
Поскольку из векторного анализа известно, что
1
[vV)v = -2-grad q^ — [t^rott^],
где q = 'Уи^ + г;^ + гг;^ есть величина полной скорости частицы
среды, то уравнение D.2) можно написать в виде
-^ + -2-gradg^ — [t^rot v\ ~\ gradp = 0. D.3)
Далее, поскольку из A.1)
di=^ ^+TdS, D.4)
р
где i — теплосодержание среды, уравнение D.3) окончательно
можно написать в виде
^ + grad[j + -^] = [vvoiv] + TgrsidS. D.5)
Это уравнение для удобства дальнейших выкладок можно также
написать в виде
dv/dt + grad i = Т grad S. D.6)
Рассмотрим полную производную от циркуляции с по
времени:
ж = 4§^"-'^*' = ^f^ •^** + *'-'^^) •
Так как
dv/dt = Г grad ^ — grad i; dr/dt = v,
то
= T gv'duS'dr —grad ^dr -f-^gradg^-dr,

38 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
поэтому
-^^(^[^rgrad5'+gradD-n].dr. D.7)
Так как интеграл от полного дифференциала, взятый по
замкнутому контуру, тождественно равен нулю, то
Jgradf-^- Jj -dr -0;
отсюда
^ = ^Т grad^.dr = jjrot (Г grad 5).d/, D.8)
г L
где S — поверхность, охватываемая контуром Г.
Рассмотрение движений среды в любом гравитационном поле
не внесет изменений в наши 1|ыводы, так как § grad ф • dr =
— j) g-dr, и, кроме того, потому, что, поскольку в поле тяжести
di = Т dS + у dp — с?ф, основные уравнения D.7) и D.8) не
изменятся.
Величина производной от циркуляции равна нулю в том
случае, когда равен нулю вектор:
rot {Т grad S) = grad Т X grad 5 = 0, D.9)
где косой крест означает векторное произведение. Отсюда
следует, что циркуляция скорости вдоль замкнутого контура остается
постоянной при его движении в трех случаях: а) когда движение
изэнтропично, S = const я dS = 0; б) когда температура зависит
только от энтропии Т = T{S), так как тогда вектор grad Т
параллелен вектору grad S и grad Т X grad S = 0; в) когда Г и -S
зависят только от одной пространственной координаты, вследствие
чего grad Т параллелен grad S (одномерные движения и движения,
обладающие цилиндрической или центральной симметрией) *).
Отсюда можно сделать такой вывод. Плоские или
пространственные неизэнтропичные движения, т. е. движения,
сопровождающиеся необратимым выделением или поглощением энергии,
обязательно будут вихревыми, поскольку при этом циркуляция
скорости не остается постоянной и не может, в частности, быть
равной нулю и, следовательно, rot v =^ О (исключение составляет
случай Т = Т (S), но и тогда можно только говорить о
сохранении циркуляции скорости, а потенциальность течения не должна
обязательно иметь место).
В случае вихревого движения могут существовать замкнутые
линии тока; при потенциальном течении в односвязной области
замкнутые линии тока существовать не могут.
*) Этот результат был получен А. Фридманом»

§ 4] НЕКОТОРЫЕ 0БЩР1Е СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ 39
При сохранении циркуляции скорости, поскольку
rot (fgrad S) = О, то
Tgrad S = gTdidQ, D.10)
где Q является потенциалом поля Т grad S. В частности,
равенство D.10) справедливо и в случае потенциального движения
среды.
Рассмотрим более подробно потенциальные движения.
Уравнение Эйлера D.5) в этом случае примет вид
|f+gradD + ^'-^) = 0. D.11)
Поскольку V — grad ф, уравнение D.11) окончательно можно
написать в виде
gradf|? + 4 + ^"-^) = 0, D.12)
ЧТО дает
'-^ + ^ + 1 = 9.. D.13)
Функция времени, которая появляется при переходе от D.12) к
D.13), может без ограничения общности быть принятой равной
нулю, поскольку потенциал ф определяется соотношением v =
= grad ф с точностью до произвольной функции времени.
Уравнение D.13) является первым интегралом уравнений
потенциального движения. Уравнение неразрывности, уравнение сохранения
энергии и, в частности, уравнение адиабатичности при этом имеют
прежний вид.
В случае установившихся движений среды имеем dvldt ~ О,
следовательно, d^ldt = О, и уравнение D.13) переходит в
известное уравнение Бернулли
^ + г -Q. D.14)
Уравнение Бернулли не является уравнением, выражающим в
общем случае закон сохранения энергии, а является просто
интегралом дифференциальных уравнений движения среды. При
этом в случае адиабатических движений величина Q остается
постоянной вдоль каждой линии тока. Это очевидно, поскольку
траектория любой частицы представляет собой линию тока и
энтропия каждой частицы остается неизменной при ее движении,
т. е. вдоль любой траектории dS = О ж dQ = 0. Естественно, что
различным линиям тока могут соответствовать и различные
значения величин S ж Q,

40 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
В случае изэнтропических течений Q = Iq = const и
уравнение Бернулли C.15) принимает вид
-^ + i = io. D.15)
где Iq — теплосодержание среды в состоянии покоя. При i = О
скорость
q - УЖ D.16)
определяет максимально возможную скорость движения среды,
В случае неадиабатических установившихся безвихревых
движений для каждой линии тока
4 + ^ = Й(/*), D.17)
где I ^ — расстояние вдоль каждой линии тока от некоторого
выбранного начала.
Как мы показали, в случае неадиабатичаских процессов
циркуляция скорости может сохраняться только при соблюдении
условия Г grad S = grad Q, или при Т — Т (S), или для
движений, обладающих симметрией; в противном случае всякое
неадиабатическое движение должно сопровождаться изменением
циркуляции скорости при движении жидкого контура, а
следовательно, движение будет обязательно вихревым.
В случаях, когда движение при Т = Т {S) не обладает
симметрией, нельзя установить, исходя только из изложенных
соображений, будет движение вихревым или потенциальным. Таким
образом, условие Т — Т {S) является необходимым, но
недостаточным для существования потенциального течения.
В случае несжимаемой среды, поскольку уравнение движения
принимает вид
^ + (t?V) V + -i-gradp - О,
для стационарных движений вдоль линии тока имеем grad {ф12 +
+ /?/ро) = О» откуда
l^+^Z.^ P^^Q^ D.18)
^ ' ро ро ^ '
где Pq — плотность среды. Величина Q различна для различных
линий тока. В случае потенциальных течений Q = const.
Для того чтобы теперь лучше уяснить закон сохранения
энергии в общем виде, воспользуемся следующими рассуждениями.
Энергия, заключенная в единице объема среды, равна
2
+ Е] , D.19)

4]
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
41
где первый член рд^/2 определяет плотность кинетической
энергии в единице объема, а второй член рЕ определяет плотность
потенциальной (внутренней) энергии среды. Изменение этой
энергии определяется частной производной
де д f q^ . r.\
Поскольку
dt
(^)=4
dt ^^ 2
dt
+ PV'
dv
~dt
то, воспользовавшись уравнениями B.11) движения и
неразрывности, можно это выражение привести к виду
-Qf[^j = -[-^divpt^+ t?gradp + p(t;V) YJ '
или, так как grad р = pgrad i — p^Q = p grad i — p T grad Л",
где yQ = Т grad S^ то
i {Щ ='- [-^divpt? + pi).grad.- + p(t)VL - P(^V) q]. D.20)
Далее
dipE) = Edp + pdE^ Edp + p\dQ + p^] =
= Edp + pdQ + ^dp = idp + pdQ,
где i = E -\- pip есть теплосодержание единицы массы среды.
Отсюда следует, что
Сравнивая D.19), D.20) и D.21) и произведя очевидные
преобразования, придем к выражению
д
dt
или
_а8
dt
-d,v[p,(f+ij]+p^ = A(if + p?j, D.22)
где dO/dt = dQ/dt + vyQ. В случае адиабатических течений
dQ/dt = О, и выражение D.22) принимает вид
div
/^2
D.23)

42 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
Проинтегрируем обе части соотношения D.23) по некоторому
объему V, заменяя при этом объемный интеграл, стоящий в правой
части соотношения, по теореме Остроградского — Гаусса:
V x:
где S — поверхность, ограничивающая объем V. В результате
придем к выражению
5 (-f! + j) dV = - ^ ptj D- + i) ¦df+ Q; D.24)
соотношение D.24) показывает, что изменение количества энергии
среды в объеме V за единицу времени равно количеству энергии,
которая вытекает из этого объема через поверхность /,
ограничивающую объем, плюс количество выделяющегося тепла
94
§fdV D.25)
за единицу времени в этом же объеме. В случае поглощения
тепла Q отрицательно. Отсюда следует, что выражение
r = pi;(-^ + ij D.26)
определяет количество энергии, вытекающей в единицу времени
через единицу площади поверхности / объема V; следовательно,
это выражение можно назвать вектором плотности потока
энергии среды. Величина
^ + i = h D.27)
определяет энергию, переносимую единицей массы среды.
Перейдем к определению потока импульса. Можно заранее
предположить, чтапоскольку импульс представляет собой вектор,
то плотность потока импульса будет являться тензором второго
ранга аналогично тому, как плотности потоков энергии и массы
являлись векторами, тогда как сами энергия и масса суть
скалярные величины.
Импульс среды в единице объема равен
рг^. D.28)
г вре-
Выразим скорость изменения этого вектора за единицу вре
мени
dl д (pv)

4]
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
43
в прямоугольной системе координат, наиболее удобной в данном
случае, J-я компонента этого вектора будет меняться со временем
по закону
где J = 1, 2, 3 соответственно х, у, z.
Напишем уравнения движения и неразрывности в кратком
виде;
dt
1 dp
Р 9^i
= 0 (i = 1,2,3);
^' + Sa^(P^)c) = 0 (г = 1,2,3).
dt
fc=i t
D.31)
Исключив с помощью этих уравнений dp/dt и dvjdt из
соотношения D.30), можно написать его в виде
dt
dt
S^(P^^)^'i+pS^)c^ + ^
k=i
Поскольку мы имеем
к=1
"v^(PVfc) ¦ dp
D.32)
др
а/.
где 6г/, — единичный] тензор (бгл: = 1 при i = А:; бгл: = о при
^=^к), выражение D.32) можно окончательно представить в таком
виде:
3 _ п
5l
dt
9 (pVj)
dt
= -^[liiP^iVK + ^kP)] -~Ii^
k=i
D.33)
Здесь тензор П^- = pv^Vj^ + д^р симметричен. Смысл его
становится очевидным, если проинтегрировать выражение D.33) по
некоторому объему V, причем заменить интеграл
\
™" dV
дх^
^Ui^df^
согласно обобщенной теореме Остроградского — Гаусса; тогда
^mdV==-^Ui^df^, D.34)
dt

44 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ 1ГЛ, I
где стоящий слева интеграл определяет изменение i-u компоненты
импульса в заданном рассматриваемом объеме; интеграл, стоящий
справа, определяет поэтому количество г-й компоненты импульса,
вытекшее в единицу времени через всю поверхность / этого
объема. При этом следует заметить, что
где Uj. — проекция единичного вектора на к-ю ось, п —
единичный вектор, взятый по внешней нормали к элементу поверхности
{df представляет здесь абсолютную величину данного
бесконечно малого элемента поверхности).
Таким образом, можно утверждать, что величина Ui^idf^ есть
j-я компонента импульса, протекающего за единицу времени
через элемент поверхности df, а Ui^ представляет собой г-компо-
ненту импульса, протекающего за единицу времени через
единицу поверхности перпендикулярно к оси xj^. Тензор Пгк называют
тензором плотности потока импульса. Поскольку
то компоненты потока импульса определяются как
3 3
2 n^feAZfe = рщ+ 2 РЩ^^Щ (^' = 1, 2, 3). D.35)
3
Здесь 2 ^1кЩ =^ П| есть поток импульса, отнесенный к единице
поверхности. Это выражение может быть записано в следующей
простой векторной форме:
и = рп + pv{vn). D.36)
Итак, резюмируя изложенное выше о потоках энергии,
импульса, массы и энтропии, можно сделать вывод, что движение
среды в некоторых случаях весьма выгодно характеризовать
величинами плотностей этих потоков, когда величина какой-либо
плотности потока может некоторое время оставаться или
постоянной, или меняться заданным образом.
§ 5. Основные уравнения газовой динамики
для некоторых специальных случаев
А. Движение среды при изменении
фазового состояния
Представим себе, что мы имеем среду, в которой происходит
химическая реакция, сопровождающаяся выделением (или
поглощением) энергии, причем фазовое состояние среды при этом
изменяется.

§ 5] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ 45
Если, например, в каком-либо объеме сгорает твердый порох,
при его горении образуются газообразные продукты сгорания и
выделяется определенное количество энергии. При этом для
упрощения решения ряда задач можно рассматривать твердые
частицы пороха как неподвижные, что, вообще говоря, верно только
приблизительно, поскольку при истечении продукты сгорания
будут вовлекать в движение частицы еще не сгоревшего пороха и
последние начнут двигаться с некоторыми скоростями, правда,
значительно меньшими, чем продукты сгорания. В другом
приближении можно считать, что эти частицы, наоборот, имеют ту же
скорость в заданной точке, что и продукты сгорания.
Уравнения движения, характеризующие движение
газообразных продуктов сгорания, очевидно, не претерпят никаких
изменений по сравнению с уже выведенными нами уравнениями
^ + (vV)v + ^gvadp = 0, E.1)
где под плотностью р следует понимать массовую среднюю
плотность пороха и газа. При выводе уравнения неразрывности
необходимо учесть, что масса продуктов реакции (т) со временем
возрастает. От величины
W* = dmidt
зависит скорость реакции. Поскольку в координатах Лагранжа
имеем
dm = pdV = PoC?Vo» E.2)
то
где ро = ро (^), Д — относительное объемное расширение, р —
плотность газа.
Так как d{p/^)/dt = Д dp/dt + р dAldt, а dAldt = Д div v, то
и уравнение E.3) принцмает вид
dp , .. 1 dpo р dpo
--77- + р div 1^ = -—--ii-= Ji--Ji_
dt ^ ^ A dt po dt '
или
и окончательно
rfln p , 1. din po /K /\
__Ji + divt^=-jJi- E.4)
4B. + div(pt,) = ^(-|l + t,grad,„), E.5)

4б МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
ЧТО является уравнением неразрывности, написанным в форме
Эйлера.
При условии, что Ро не зависит от времени для каждой лаг-
ранжевой частицы, будем иметь dpjdt = О, после чего уравнение
E.5) переходит в классическое уравнение неразрывности B.4).
Выведем уравнение энергии. В случае переменного числа
молекул среды термодинамическое тождество, как известно, имеет
вид
dE = TdS - pdv + fx dN, E.6)
где ji = {dE/dN)s; v — так называемый химический потенциал,
N — число частиц молекул среды в единице ее массы. При
постоянном давлении и температуре химический потенциал
оказывается равным термодинамическому потенциалу Ф, отнесенному
к одной молекуле: \i = Ф/N. (Величина ^i может быть найдена
для каждой заданной среды.) Тождество E.6) показывает, что в
случае переменного числа частиц внутренняя энергия как бы
изменяется за счет совершения работы — pdw и изменения
некоторого количества тепла dQ^ = ТdS + \idN, происходящего
вследствие выделения или поглощения тепла в уже
существующих частицах, что характеризует член dQ = ТdS,
положительный в случае выделения тепла, и при образовании новых частиц,
что характеризует член dQ = \х dN.
Заметим, что может быть и dQ <СТ dS благодаря
неоднократным процессам, происходящим в среде при различного рода
реакциях. Тогда величина d^* характеризует некоторое фиктивное
количество тепла и вводится просто для целей удобства
написания уравнений.
Таким образом, термодинамическое тождество мы имеем
право написать в виде
dQ^ = dE + pdY, E.7)
где dQ* определяет полное количество выделенного (или
поглощенного) тепла. Далее, поскольку из A.7) мы имеем
dE = CydT + T (If W V -^pdY,
то
dQ* = Cvdr + r(|f-)^dv; E.8)
деля это уравнение на dt, придем к дифференциальному
уравнению, выражающему закон сохранения энергии:
ir^^W+^-dr^'-W+^iwh-dF- E.9)

§ 5] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ 47
В случае идеального газа это уравнение принимает вид
Необходимо указать, что скорость химической реакции,
например реакции горения, зависит от /?, v и Т, причем обычно
наиболее сильно от Т. Для ряда типичных химических реакций в
газах скорость реакции w пропорциональна величине
— i^
w^e '^ E.11)
или в других случаях для твердых тел
W ~ /?«% E.12)
где а^ = const и ag = const.
Для того чтобы сделать систему уравнений замкнутой
(полной), к ней необходимо добавить уравнения химической
кинетики, причем в большинстве задач достаточно добавить два
уравнения, определяющих зависимость числа образующихся за
единицу времени частиц другой фазы от /?, v и Т (например,
зависимость массы образующегося газа при горении пороха) и
зависимость интенсивности выделяемого тепла от тех же
параметров за единицу времени.
Обычно эти уравнения устанавливаются полуэмпирически.
Иногда, когда количество выделяющейся энергии
пропорционально количеству вещества, перешедшего в новую фазу, достаточно
одного уравнения химической кинетики.
Полная система уравнений будет содержать восемь уравнений
(три уравнения движения, уравнение неразрывности, уравнение
энергии, уравнение состояния и два уравнения химической
кинетики), определяющих восемь параметров {и, v, w, р, р, Т (или S),
Q, т) как функции х, г/, z, t.
В некоторых конкретных случаях возможны упрощения
системы указанных уравнений. Например, при горении пороха
количество выделяемого тепла Q считается просто
пропорциональным количеству образующегося газа (считается, что
основная часть реакции горения заканчивается в твердой фазе):
Q ^ rnq\ рассчитывая Q на единицу массы, получим просто
Q =q, E.13)
где q — известный потенциал пороха (количество энергии,
выделяемой при сгорании 1 г пороха), а и^ — скорость горения —
определяется как
W = Вр"", E.14)

48 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
где S и а — известные из опыта константы для данного пороха.
Тогда
^^S9w^B,p-, E.15)
где S = const -- плопцадь сгорающего пороха, зависящая от его
структуры, р — его начальная плотность, В^ 1=:^ const. При этом
уравнение неразрывности в представлении Лагранжа принимает
простой вид
4(рА) = ^=5аР«; E.16)
отсюда легко перейти и к эйлеровой форме уравнения
неразрывности
-^ + г; grа d р + р d iV t; = р г^^.
Далее, как известно, из экспериментов (и может быть
доказано теоретически), при горении пороха в полузамкнутом объеме
температура горения остается почти постоянной в продолжение
всего горения, поэтому состояние продуктов сгорания меняется
изотермически, т. е. можно считать, что
pv - 7?Гг, E.17)
где Гг = const есть температура горения. Уравнение E.17)
заменяет в таком случае уравнение энергии, что значительно
упрощает задачу решения основных уравнений. Можно также
принять, что последнее уравнение энергии для рассматриваемого
случая имеет вид dE =^ dQ — р dv — Cj dT, pw ~ RT\ считая T
переменным и полагая, что любая частица сгорает мгновенно,
будем иметь dQ =^ ^ i\ pw^ = const, где к для пороха близко к
единице. Таким образом, число уравнений сводится к пяти.
В другом случае, когда происходит горение газовых смесей,
масса газа остается постоянной и уравнение непрерывности
принимает обычный вид. Уравнение сохранения энергии сохраняет
форму E.9), если считать Q* = Q, Принимая газовую смесь
за идеальный газ, мы это уравнение теперь запишем в виде
В заключение этого раздела отметим, что особый практический
интерес представляют одномерные движения рассмотренных
процессов, что значительно упрощает задачу интегрирования
системы уравнений, описывающих эти процессы. Решению
некоторых интересных задач в этой области мы посвящаем
специальный раздел нашей работы.

§ 5J ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ 49
Б.Движение в гравитационном поле
Изучение закономерностей движения газа в поле тяжести
представляет большой интерес для ряда астрофизических и
космогонических задач, например, для изучения солнечных
протуберанцев, для изучения взрывов звезд в теории новых звезд и т. д.
Здесь мы дадим основные уравнения теории, а ниже, в главе XIII,
применим их к решению ряда конкретных задач.
Уравнение движения газа в поле тяжести имеет вид
4f+(t^V)i; + igradp-sr, E.19)
где д — ускорение силы тяжести.
Могут представиться три случая: движение в постоянном поле
тяжести, когда д постоянно; движение во внешнем переменном
поле тяжести, когда
д= --^г, E.20)
где М — масса внешнего относительно среды тела, создающего
гравитационное поле, и движение во внутреннем поле тяжести,
когда является справедливым уравнение Пуассона
4ярС = —div gr, E.21)
где G — гравитационная постоянная: G — 6,667'10"^ см^/г-сек'^.
Уравнение Пуассона связывает ускорение силы тяжести с
плотностью гравитационной среды.
Рассмотрим более подробно эти три случая.
Когда д постоянно, то соответствуюш,ие уравнения Эйлера,
отнесенные к какой-либо координатной системе, будут в правой
части содержать проекции д на соответствуюш;ие оси. Мы эти
проекции будем обозначать как g. {i=iy 2, 3) или соответственно g^, gy, gz*
В форме Лагранжа уравнение E.20) можно записать в виде
ди ^^ i др dv _, i др дю j^ i dp .г 99^
Всегда можно выбрать такую систему координат, в которой одна
из осей, например ось Z, будет направлена по линии действия
силы тяжести; тогда
g.=-8y- О, g, = g, E.23)
и уравнения E.22) примут вид
ди i др r^dvi dp ^, дю i др ^ /г о/л
Аналогичный вид будут иметь и уравнения Эйлера в этой же
системе координат.

ди
dt
+
1
Р
dp
дх
dw
'dt
+
GM
гз
1
P
X
)
dp
dz
dv
dt
+
1
P
GM'.
гз
dp
dy ~
~ ?
GMy
гз
50 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
В случае, когда gr = —GMWr^, где М—масса гравитирующего
тела, уравнение Эйлера имеет вид:
-^ + (t?v)^ + —gradp- --^ . E.25)
В форме Лагранжа в прямоугольной координатной системе это
уравнение напишется так:
E.26)
где г = У :г^ + г/^ + 2^, а xir, у/г, z/r являются направляющими
косинусами радиуса-вектора г.
В сферической системе координат в представлении Эйлера в
уравнении E.25), дающем проекцию на г, справа войдет член
—GM/r'^, другие уравнения не претерпят изменений по сравнению с
выведенными нами ранее (без учета поля тяжести). Таким
образом, уравнения, описывающие симметричные течения, могут быть
написаны в следующих формах:
а) в форме Эйлера
du du 1 dp GM ,r ^rj.
-dI+''W + T-d7 = F' E-27)
б) в форме Лагранжа
Весьма большой астрофизический интерес представляет
последний (самый общий) случай, когда среда движется во
внутреннем (собственном) поле тяжести. Поскольку
д = grad ф, E.29)
где ф — потенциал поля тяжести, то уравнение Пуассона E.21)
и уравнение E.19) примут вид
Аф = - 4яСр, E.30)
-^ + {vy)v + —gmdp= gradф, E.31)
где Дф = д\1дх^ + З^ф/^ф^ + d\ldz^. Применяя к обеим частям
уравнения E.31) операцию div, придем, исключая Аф с помощью
уравнения Пуассона, к такому уравнению:
div
^ + (^V) ^ + -^ grad р I + 4яСр = 0. E.32)

§ 5] ОСНОВНЫЕ УРАВЙЕНИЯ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ 51
Легко представить это уравнение в координатной форме;
уравнения E.31) в прямоугольной системе координат можно
написать в виде
du i dp д(р dv i dp дц> dw i cfp d(p ,^ ооч
где duldt = duldt + и duldt + v ди/ду + w duldz; аналогично
выразятся duldt и dw/dt.
Уравнение движения симметричных течений в
рассматриваемом случае можно написать в двух формах:
а) в форме Эйлера
ди ^ ди ^ i др Эф 
б) В форме Лагранжа \ E.34)
ди 1 др Э(р ^
~дГ ~^ ~'дг ^ 'дг' )
Уравнение Пуассона имеет вид
irfr^-g) = -4^Gpr^ E.35)
дг [ дг
Поскольку в форме Лагранжа уравнение неразрывности можно
написать так:
p,iv ^ = р^дл., E.36)
ТО уравнение Пуассона в этой же форме пишется в виде
dR ^
.~4яС;ро/г^, E.37)
дК
или
±{gr^)=.-^Gp,R^. E.38)
Уравнение неразрывности в случае движения в поле тяжести
имеет тот же вид, что и при отсутствии массовых сил. Закон
сохранения энергии в этом случае примет другой вид. Очевидно, в
энергетическом балансе мы должны учесть внутреннюю энергию
частиц, возникшую благодаря наличию поля тяжести. Эта
гравитационная энергия {Е^ характеризуется потенциалом тяжести ф,
рассчитанным на единицу массы; поскольку
д — grad ф, то Eg = —ф + const. E.39)

52 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. 1
Таким образом,
dE = TdS - pdw + dEg = Т dS - р dw - йф. E.40)
С другой стороны, на основании равенства A.7)
dE = CydT + Т A^) dv - р dv - йф. E.41)
На основании E.40) и E.41) условия адиабатичности движения
{dSldt = 0) могут быть представлены в виде
ИЛИ, на основании A.37), в виде
dp __ ч dp dE _ dv d(^ .с- ,оч
где с — скорость звука движущейся среды, что дает
непосредственно лагранжево представление закона сохранения энергии.
Так как d^[ldt = d^ldt + t^«grad ф и grad ф = gr, то
§ = ^ + ..^. E.44)
В случав стационарных движений, когда df^ldt — О (g = const
или g = —GM/r^),
^ = v.g, E.45)
при ЭТОМ случаю g = const соответствует значение ф = g-r,
а в случае д = — GMrlr^ значение
Ф = ^. E.46)
Для внутреннего (собственного) поля тяжести, когда поле
нестационарно, можно второе уравнение E.43), используя
уравнение Пуассона E.30), при условии адиабатичности движения
привести к следующ;ему виду:
АЕ = АЕ* - Лф = Д?* + 4jiGp, E.47)
где Л — оператор Лапласа, а АЕ* = —1р dw.
Это уравнение можно также написать в виде
Ai = Ai* + 4яСр, E.48)
где i —- теплосодержание среды, i* = ^\ dp.

5]
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ
53
в результате мы пришли к системе пяти уравнений: три
уравнения движения и уравнение сохранения массы и энергии,
причем уравнение сохранения массы третьего порядка относительно
потенциала ф, а уравнения движения при выражении g через р
станут уравнениями второго порядка.
Аналогичные уравнения можно написать, учитывая выделение
тепла в гравитирующей среде, происходящее вследствие какой-
либо реакции. В этом случае, учитывая, что Т dS/dt = dQIdt ф О,
получим на основании A.9)
dt
^^ dt+ ^ [дт)у dt '
Выражая дифференциал давления: dp == {dp/dT)ydT + (dpldy)TdY
и используя соотношение A.13), получим
dQ
dt
dp^
др\ [^ dt
-— С'
d9_
dt-
E.49)
Явления, сопутствуюш,ие протеканиям химических реакций в
гравитирующей среде, представляют значительный
космогонический и астрофизический интерес, например при изучении
строения звезд, и одна из таких задач будет нами рассмотрена в главе
об астрономических приложениях газовой динамики
неустановившихся движений.
Подобного рода явления имеет смысл рассматривать для
идеального газа, при этом уравнение E.49), определяющее энергию,
принимает вид
S^(d(E-Q)_j^j,
dt
dlnp
~1л~
= 4jtG
dp
dt
E.50)
Ha основании того, что dpip = di + d(f — Т dS; grad Ц> = g,
основные уравнения для движения среды в поле тяжести в общем
случае можно написать в виде
dv
-зг- + (vy) V + grad i = Т grad S;
dt
dt
dQ
dt
-f div p t; == 0; 4яСр + Дф = 0;
др_\
[dt ^ dt]'
E.51)
На этом мы закончим разбор уравнений, характеризующих
движения среды в поле тяжести.

54 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕ1>М0ДИНАМИ^ЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. 1
В. Одномерные движения среды в трубе
переменного сечения
Рассматривая движения среды в трубе, площадь сечения /
которой плавно изменяется с осевой координатой x\f = f{x) и
производная dfldx мала, можно допустить, что подобного рода
движение среды является как бы одномерным, происходящим
вдоль оси X трубы, и пренебрегать составляющими скорости по
осям г/, Z,
При этом уравнения движения и закон сохранения энергии в
общем (неадиабатическом) случае будут сохранять вид,
присущий соответствующим уравнениям для строго одномерных
движений:
Уравнение неразрывности при этом, напротив, изменится. Дадим
вывод этого уравнения для одномерного движения.
Рассмотрим элементарный объем, заключающийся между
двумя поперечными сечениями трубы, соответствующими значениям
хи X -\- dx осевой координаты. За элементарный промежуток
времени dt масса среды, находившаяся в момент t в рассматриваемом
элементарном объеме, изменилась на величину
-^(Jpdx)dt = -^(fp)dx dt. E.54)
С другой стороны, то же изменение массы с учетом втекания и
вытекания среды через сечения х и х + dx может быть выражено так:
[{fpu), ^ {fpu),^dx] dt = ^ ll^dxdt. E.55)
Приравнивая E.54) и E.55), получим
^(/р) + ^(/Р") = 0. E.56)
Система уравнений E.53) и E.56) при заданном уравнении
состояния полностью описывает движение среды в трубе.
Соответствующее уравнение неразрывности в форме Лагранжа будет
иметь вид
/р|^ = /оРо, E.57)
где а — лагранжева координата.

§ 5] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ 55
Г. Звуковые волны
Рассмотрим случай, когда в среде распространяются малые
(звуковые) возмущения. Выбрав систему координат, в которой
среда (или данная ее область) неподвижна, и пренебрегая в
уравнении движения членом {vV)v, имеющим второй порядок
малости, поскольку V мало, напишем уравнение движения в виде
4f + ^gradp = 0, E.58)
где Ра — плотность среды.
Аналогично, пренебрегая в уравнении неразрывности членом
V grad р, имеющим также второй порядок малости, напишем это
уравнение в виде
| + p„divt^ = 0. E.59)
Пренебрегая в уравнении сохранения энергии (энтропии) членом
V grad S, имеющим также второй порядок малости, получим
^ = 0 и S = S{x;y;z). E.60)
В случае постоянных плотности р = р^ и давления р = Ра ^
среде энтропия также постоянна. Применяя к уравнению E.58)
операцию div, дифференцируя уравнение E.59) по времени и
рассматривая малые изменения плотности, придем к результату
где А — оператор Лапласа.
Поскольку Ар = clAp, где Са — скорость
распространения звука в среде, которая постоянна, получим классическое
волновое уравнение
clAp^^. E.62)
Скорость звука, как известно, определяется выражением с =
= У{др1др)^] в случае малых возмущений энтропия с точностью
до членов третьего порядка малости остается постоянной, и
поэтому можно просто писать, что с^ = dpi dp = Д/?/Ар (см. § 38).
Следует особо отметить, что движение среды, совершающей
малые колебания, является в первом приближении
потенциальным. В самом деле, применяя к уравнению E.58) операцию rot,
получаем
— rot t; == rot grad p = 0^

56 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. I
откуда rot V = const. При колебательных движениях среднее по
времени значение скорости равно нулю, поэтому и rot v = 0.
Следoвaтeльнo,t;==gгadф,где ф—потенциал. Из уравнения E.59)
имеем
-g^- = — Ра div grad Ф = — рдДф; E.63)
дифференцируя это уравнение по времени и сравнивая с E.62),
придем к соотношениям
^ = -р„Д^=4Ар, E.64)
откуда
Лр= ^д_ ир ---ф--^. E.65)
гДе р' = р — Ра есть малое и зменение плотности в звуковой волне.
Очевидно, dp'/dt = dp/dtHSLS E.65) имеем dp4dt = — ра1с1д'^Ц>/д1'^.
Используя уравнение E.63), придем к уравнению
4Аф = -55-. E.66)
Таким образом, потенциал ф также удовлетворяет волновому
уравнению.
В случае плоских цилиндрических или сферических звуковых
волн для определения потенциала будем иметь уравнение
^«-|г('-"^) = г-?^. E.67)
Для плоских звуковых волн {N = 0) уравнение E.67) принимает
вид
Напишем общее решение этого уравнения:
Ф = F^{r - Cat) + F^{r + Cat). E.69)
где f 1 и Fg — произвольные функции. Для сферических волн
(iV == 2), поскольку A/г2) [5/г2 d^ldr) I дг"] = д^ (rф)/5f^
уравнение E.67) можно написать так:
'^lwAr4>) = -^ir<f). E.70)
Его решение имеет вид
Ф = -
Далее из равенств E.65) и E.69) видно, что для плоской волны
ф^ ^Х(^-У) + ^ИГ + У) ^5^^^

§ 5] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ 57
МЫ имеем
Р ---j-^^ — iPi-P^h u==^-F^+F,, E.72)
ДЛЯ сферической волны
Р' = ?- [i^'x - F,], и = ^ [F[ + F',] -^[F, + F,]. E.73)
Для цилиндрической волны решение уравнения E.67) можно
представить в функциях Бесселя или Ганкеля.
Для плоской бегущей волны одна из функций f ^ ^ F^ равна
нулю, например F^ir + cj) = О, и мы приходим к соотношению
u = Ap'. E.74)
При этом максимальное давление в волне не меняется с
расстоянием. Для сферической волны получаем
1г = -^ [l - Д- I , E.75)
причем амплитуда волны падает с расстоянием, как 1/г.
Для цилиндрической волны в пределе (на больших
расстояниях от источника звука) максимальное давление в волне будет
падать, как 1/]/^г.
Элементы теории звуковых волн будут использованы ниже при
изучении слабых ударных волн.
Вычислим теперь энергию звуковых волн. Так как энергия в
единице объема равна
е = ^ + р^. E.76)
где Е — внутренняя энергия, рассчитанная на единицу массы
среды, то избыточная энергия е' =8 — е^ по сравнению с
начальной энергией е^ среды с точностью до членов второго
порядка включительно определяется соотношением
е =Р|, + р^^р^?^ = ^+-^ + р'--ф- + ^-р-. E.70
Так как
dE=Tds-pdv=TdS + -^dp, E.78)
г
то, используя формулы A.3), получим
д? -js ~ + "р" -^ * - '«' l~V~js ~ [wis - 9

58 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ tPJl. t
Таким образом, избыточная энергия единицы объема среды равна
е' = ^ + р7„ + ^(ру. E.79;
С
Как мы уже знаем, для плоской бегущей волны q = и = —^- р',
Ра
поэтому, учитывая, что при малых колебаниях р ^=::: р^, имеем
с1
Ь
' = р'^а + -7Г-р' =P\+PaU\ E.80)
Ра
Член р'^о в случае малых гармонических колебаний обращается в
нуль, поскольку, исходя из уравнения неразрывности, имеем
V р dV -: ^ р^ dV, откуда С р' dV = 0.
В случае малых периодических колебаний выражение E.80)
принимает вид
8' = PaU\ E.81)
в общем случае произвольной волны можно написать
аналогичную формулу для среднего по времени значения полной
звуковой энергии; эта формула следует непосредственно из известной
теоремы механики, доказывающей, что в системе, совершающей
малые колебания, среднее значение кинетической энергии равно
среднему значению потенциальной энергии, поэтому полная
средняя звуковая энергия определится формулой
8' = 2 С ?' dV = 2 С PaV^dV, E.82)
где V — средняя скорость движения среды.
Аналогичное рассуждение можно провести для вычисления
количества движения в звуковой волне.
Импульс или количество движения в случае распространения
звука в конечном объеме пространства, так же как и энергия,
отличны от нуля и являются величинами второго порядка
малости, т. е. пропорциональны р'и -^ р'^ --' w^.
Ниже, в конкретных случаях распространения плоских
цилиндрических или сферических волн, будет определена величина
количества движения.
Легко понять, почему для слабой звуковой волны полное
количество движения отлично от нуля. Дело в том, что в области
сжатия в направлении распространения волны движется масса
т 4- т' со средней скоростью F, а в области разрежения
приблизительно с той же средней скоростью движется масса т — т' в
противоположном направлении; таким образом, наблюдается
перенос массы 2т' *^ р' со скоростью и —^ р' в направлении
распространения волны. Перенос массы как раз и свидетельствует о
том, что в звуковой волне импульс отличен от нуля.

§ 6] ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД ВЫВОДА УРАВНЕНИЙ 59
§ 6. Вариационный метод вывода уравнений газовой динамики
Основой вариационного метода вывода фундаментальных
уравнений математической физики являются так называемые
уравнения Лагранжа.
Здесь мы рассмотрим основные вариационные методы,
используемые в теории поля. Поскольку сплошная среда эквивалентна
некоторому полю, то вариационные уравнения теории поля могут
быть использованы для вывода основных уравнений механики
сплошной среды.
В основу вариационного вывода законов сохранения энергии-
импульса и уравнений движения в этих случаях, как известно,
кладется следующий формализм. В случае движения
материальной частицы под действием консервативных сил варьируется так
называемая функция Лагранжа L*, а в случае поля или
сплошной среды ищется так называемый лагранжиан (плотность
функции Лагранжа), являющийся скаляром:
ь = § F.1)
где dN = dx dy dz — объем.
В случае произвольного пространства с любой произвольной
криволинейной системой координат используется так называемая
скалярная плотность лагранжиана Х= ]/^—gL, где ^ —
детерминант, составленный из компонент метрического тензора. При
этом метрика пространства задается интервалом
— ds^ = gi^dx4x^, F.2)
где giji являются компонентами четырехмерного метрического
тензора; при этом если только пространственная сетка
криволинейна, то
— ds' = - c4t' + g^^dx^dx^, F.3)
где ga3 являются компонентами трехмерного метрического
тензора. Иными словами, в этом формализме используется
аппарат, аналогичный аппарату общей теории относительности. Зная
плотность функции Лагранжа, ищем действие
{xdQ,
F.4)
которое по определению также является скаляром. В равенстве
F.4) dQ = dx dy dz dt — dV dt есть элементарный 4-объем. Затем
ищется экстремум (минимум) действия; при этом необходимо
доложить, что
--8S = b\xdQ=0, F.5)

60 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ [ГЛ. 1
откуда получается следующее вариационное уравнение:
-dS==\[^6,+ f|6g, + ^6g,,).ifi. F.6)
где Qi = dq/дх^, q^^ = d^q/дхЮх^, а q являются независимыми
обобщенными координатами.
Сделаем некоторые преобразования, используя теорему Гаусса
и полагая, что на гиперповерхности 6q = О и 6qi = 0. Получим
уравнения Лагранжа — Эйлера
Вычислим теперь (используя теорему Эмми Нетер) в декартовой
системе координат
дЬ__дЬ дь дЬ
Исключив dL/dq из F.7), получим уравнение
^^0, F.8)
где
г =6iL-qi — + qi-j-- gujz-. F.9)
в общековариантной записи уравнение F.8) заменяется на Г/; /^ =
— О, что дает
4V-gT\ т""^ dg^^
F.10)
Y—gdx^ ^ дх^
Тензор Г| является тензором энергии-импульса рассматриваемого
поля. Уравнения F.10) дают законы сохранения импульса и
энергии, а также определяют законы движения и сплошности
(неразрывности) среды. В случае идеального газа для адиабатических
движений единственным скаляром, характеризующим этот газ,
является давление р. Таким образом, можно утверждать, что
лагранжиан сплошной среды равед L = р. Тензорная плотность
лагранжиана X = Y— S^ = У — gp.
Из уравнения F.9), считая за q величину S и полагая
dw ic J ^f ifro о- г, ^ — u-
dp^'-^ = -^dY7^^s;s„ s,^
V V ' ° ^ "-' ' С
[см. F.16)], легко находим тензор энергии-импульса сплошной
среды:

§ 6] ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД ВЫВОДА УРАВНЕНИЙ 61
Из уравнения Гамильтона — Якоби для материальной точки
легко получить аналог этого уравнения для сплошной среды.
В самом деле, напишем уравнение Гамильтона — Якоби:
j^2g'>-f-f^ = -m?c-' = -?^, F.11)
где Е — энергия материальной точки, s — действие для
материальной точки, равное
S = — тс"" \ 1/ 1 \ dt = —mc\ds,
а 5 — интервал. Отнесем действие к единице массы (энергии);
тогда S = Sim и уравнение F.11) примет вид
g'^'S.S^ = goo si + g-^Sa^S^ + 2g0a^a = " C^ F.12)
где Si = ds/dx^ и т. д. Так как для интервала F.3) gOo ^ _ j^
gOa ^ О, ТО So^ + g-^Sa^S^ = ~ с\
Из релятивистских термодинамических уравнений известно,
что в случае сплошной среды энергия, приходящаяся на одну
частицу, равна
E=mc^^mw = f-^] F.13)
где W = i + Ci^ — релятивистское теплосодержание единицы
полной массы (включая внутреннюю энергию), а — энтропия и п —
число частиц в единице объема. Из F.12) и F.13) имеем
J^ = -J = - g'% S, = si - g-^S.S,. F.14)
""= 7Г= ^" = -6-*
e = |/l--J, v' = v,v- = g,^v-v^ F.15)
a p* — компоненты импульса частиц, то, имея в виду, что с^ —> w,
будем иметь
S^^p==^u\ 8,=р^=^щ. F.16)
Из второго соотношения F.16), умножая скалярно па р^ =
= f^Pk^ сразу будем иметь уравнение w^/c'^ = g^^S^Sj^, так как
щи"^ = — 1.
Так как
S' ^У =
где
= тси^ = тс -г-
ds

62
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АППАРАТ
[ГЛ. I
Перейдем к классическому пределу, полагая, что с~> оо. При
этом положим S = Ц) — сН ^ ц) — сх^, W = i -\- с^, где i —
классическое теплосодержание. Тогда уравнение F.14) примет
вид
dt
= Ф« = -
t + 4-^^^ФаФэ] =- - [^* + 4] • F-1^)
Скалярная функция ф является потенциалом скорости.
Уравнение Лагранжа F.7) напишем теперь в виде
djV-gL) ^ д d(V-gL) ^ д djY-gL)^^^ ^g^^g^
ds
dt
ds.
дх""
ds^
Так как компоненты g^^ не зависят ни от ф, ни от ^, а
лагранжиан не зависит от ф, а только от производных ф и 5^ = ф^ — с^
и так как dS^ = d%, а -S'a = фа и, далее, dp = dih, то F.18)
перейдет в уравнение
дх"" \^Фа
д In V- g di
4r[^] + i^(^) + ^'^':^P?'-^' F.19)
Так как
i
то уравнение F.19) примет вид
^Ф,
dx"^
(р« = ^«3фр
dt ' л^а ' л^а г
dx""
dx""
F.20)
(уравнение неразрывности в кривом 3-пространстве). Так как
скорость звука, которую мы обозначим в этом параграфе через
со, определяется соотношением со^ = dp Ids = di/d In p, то
перепишем уравнение F.20) в виде
di , , dl , 2 f^^'' . <51n V—g n,
L фа 1 0J _X 1 б a
^ dx"" \ dx"" dx^ ^
dt
или, поскольку ф*^ = ^'°^^Фэ»
dt . ^f. d(p dl . 0
^^ ' "^ Px"" dx^
Так как
9lnV-g„,a] , g.a'b
dxt"
dx'^J
= 0.
di
(It
- [^t +-^ g'"'i(py%)t],

6]
ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД ВЫВОДА УРАВНЕНИЙ
63
то будем иметь
di _ _
1 dk^'^ 1 д
ф(( + Г'^Фэ
1 де'"'
2фа( + ^•"'Т^ ф,^ + -о- -fr Ф^Ф.
вг^"
со"
F.21)
Для идеального газа
со' =- (Л - 1) i - ~ (/с -.1) [ф^ + 4" ^""^ Ч^^Ч^-] •
Введя символы Кристоффеля, окончательно придем к уравнению
Ф^^ + 2^^Рфаф^ + ?^^фз [?*^^фтфаа " Г^« ^'^ ф^ф,] =
= 0)ЧГ^фаЗ -Г^ф(Ьф°"],
или
ф,, + 2ф«фа^ = (фар - ГIэФv) @)'?^^ - Ф"Ф^).
F.22)
Это одно уравнение определяет все виды пространственных изэн-
тропических течений газа в любой системе отсчета и координат;
оно очень удобно для дальнейших преобразований и
нахождения решений в каждом случае течения газа.
Приведем примеры вывода уравнений для некоторых
конкретных случаев из общего вариационного принципа.
Исследуя, например, одномерные нестационарные движения,
мы из уравнения F.22) сразу же придем к уравнениям
Ф^ +
Ф^^ + 2ф1ф1^ = Фп(с2-ф^); ф, = ф'==:гг; i
откуда, после несложных преобразований и обращая затем
переменные, получим такие линейные уравнения 2-го порядка:
i^AA - 2А ^Ав + ^вв {А^ - С^) = О,
^АА {В' - С') - 2АВ уРав + ^вв {А^ - С^) = 0.
Дальнейшее приведение уравнений к каноническому виду
является тривиальной процедурой.
В качестве другого примера можно аналогичным образом,
написав метрику в виде dP = dr^ + r^dif + dz^, рассмотреть
плоское установившееся течение.

ГЛАВА II
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК
§ 7. Характеристики уравнений газовой динамики
В этой главе мы рассмотрим методы исследований уравнений,
полученных в предыдущей главе, и продолжим изучение
закономерностей движения среды. Исследование уравнений и
рассмотрение точных решений начнем с классического случая
адиабатического движения среды в отсутствие поля тяжести. При этом
рассмотрим сначала движение идеального газа и укажем
некоторые обобщенные методы исследования и решения уравнений,
описывающих изэнтропические движения плотных сред.
Изучение движения идеального газа представляет
наибольший интерес в целом ряде как чисто газодинамических
исследований, так и в ряде физических наук: в астрофизике и космогонии,
в теории взрыва и метеорологии. Для исследования физических
закономерностей движения газа и вообще любой среды наибрль-
шее удобство представляют уравнения, написанные в форме
Эйлера. При этом для самых общих исследований предпочтительно
пользоваться прямоугольной системой координат. В этой системе
координат основные уравнения, характеризующие адиабатическое
движение идеального газа, как это показано в главе I, имеют вид
dv , dv ,
ди
ду
dv
ду
- + W
+ У^
ди
~~дТ
dv
dz
+
+ ¦
1
р
1
р
др
дх
др
ду
= 0
= 0
др
др
dt
dw , dw , дш , дш , I др п
dt дх ду dz р dz
¦S- + »^ + »-g7+«'
дх
G.1)
Последнее уравнение вытекает из A.21).
В неподвижной среде малые возмущения (например, малые
изменения давления или плотности) распространяются во все
стороны со скоростью звука. Прж_этом, если среда неоднородна и
скорость звука зависит от координат, то для определения закона
движения фронта, распространяющего возмущения, следует

§ 71 ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 65
воспользоваться уравнениями
dx dy г> dz ^^ ,f- оч
где
с = с{х; у] z) G.3)
есть местная скорость звука, ос, р, т — направляющие косинусы
скорости в заданной точке поверхности фронта возмущения.
Решение этих уравнений при заданной функции с = с{х\ у\ z) и
начальных условиях (при заданной точке возмущения)
определяет некоторую гиперповерхность
f(x] у; z; t) = О, G.4)
являющуюся поверхностью фронта возмущения.
В более общем случае, когда среда движется и скорость
движения в различных местах среды и в различные моменты времени
различна, скорость перемещения малых (звуковых) возмущений
Z), которые можно назвать также звуковыми волнами, будет в
каждой данной точке складываться из местной скорости движения
среды и местной скорости распространения звука; скорость
возмущения будет определяться тремя дифференциальными
уравнениями:
dx
dy
dz .
= u + ac;
G.5)
где dx/dtj dy/dt, dzldt — проекции скорости D распространений
фронта возмущений на соответствующие координатные оси, а
компоненты скорости w, г;, ш и с являются в самом^общем случае
неустановившихся движений среды функциями х, у, z, t; как и в
G.2) ос, р, 7" — направляющие косинусы нормали к поверхности
фронта.
Реальное значение имеет проекция скорости перемещения
фронта возмущений на направление нормали к фронту в данной точке.
Эта величина определяется соотношением
Dn = v,,± с, G.6)
где Vn — проекция скорости на то же направление. Величина
скорости звука с при этом определит скорость распространения
фронта возмущения от одной частицы среды к другой в этом же
направлении.

66 МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК [ГЛ. П
Решение системы уравнений F.5) при заданном начальном
условии и известном режиме движения среды и определит
гиперповерхность
f{x\ у\ z\ t) = О,
которая явится поверхностью фронта возмущения или
поверхностью фронта звуковой волны, распространяющейся от источника
возмущения.
В том случае, когда движение среды не определено, мы не в
состоянии решить систему уравнений G.5), поскольку не знаем
конкретного вида функций и, v, w и с от х, у, z и t. Когда фронт
волны (или фронт возмущения) приходит в какую-либо точку
среды, он возмущает существовавшее ранее движение частицы.
Поскольку фронт звуковой волны несет бесконечно малые
возмущения среды, то значение самих параметров, определяющих
движение и состояние р; р, с; и; v; w среды в этой точке, не
изменится (изменится на бесконечно малую величину), но значения
производных от этих параметров по координатам (при постоянном
времени) или по времени (при постоянных координатах)
изменяются при этом на конечную величину в течение бесконечно малого
промежутка времени. Следовательно, эти производные в момент
прихода фронта волны в данную точку среды претерпят разрыв.
Подобного рода разрывы носят название слабых разрывов в
отличие от сильных разрывов, когда разрыв терпят непосредственно
сами параметры, определяющие движение и состояние среды.
Таким образом, фронт распространяющейся звуковой волны
является фронтом распространения слабого разрыва.
В теории дифференциальных уравнений в частных
производных подобного рода фронты еще называются характеристическими
фронтами или характеристическими поверхностями, или, более
кратко, характеристиками. Основные уравнения газовой дина^1и-
ки и, в частности, уравнения G.1), отображая аналитически
физические явления, происходящие при изменении параметров
движущейся среды, должны определенным образом выражать и
движение характеристических поверхностей. К исследованию
этого вопроса мы и переходим.
Пусть
fix, у; z; t)=0 G.7)
— некоторая гиперповерхность, координаты которой меняются
со временем, и вдоль этой гиперповерхности заданы значения
функций и; v; w; р и р. Тогда этими значениями однозначно
определяются вдоль гиперповерхности G.7) все производные
указанных функций и, в частности, их внешние производные du/df;
dvldf; dw/df; др/df; др/df^ если только гиперповерхность не
является характеристической, или, коротко, характеристикой.

§7]
ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
67
Если же поверхность G.7) будет характеристической, то
производные
ди dv дш др ^ др .т г..
или не могут быть определены, или определяются неоднозначно.
Найдем условие, которому должна удовлетворять функция
f{Xj у, 2), чтобы уравнение G.7) выражало характеристику.
Будем рассматривать величины и, г, w, р и р как функции от /;
например, р = p[f{t; X, у, 2)], аналогично выразятся остальные
функции. Тогда при дифференцировании этих функций по времени их
нужно рассматривать как сложные функции. Вычислим,
например, производную
dp(f) _ dp df
dt
df dt
G.9)
или
dt
dp
- -df
+
dx
dy
dz
, dp : ^f
dz
dx
го
Из последнего равенства вытекает, что отношения частных
производных функций W и / равны
dt
IL
dt
dp
dx
Ж
dx
dp_
dz
dz
hp =
dp
If
G.10)
Аналогичные соотношения имеют место для остальных функций:
и, V, W и р. Введем обозначение
dt
dt ^
EL
Эх
df
dy
v +
dz
w = ц>.
G.11)
Тогда уравнения G.1) можно представить в виде
1 dp dp
du ,
dv
df
dp
dp
dw ,
1
dx
dp
dp
dj
dp
p dp dz
= U,
= 0,
= 0,
dp . г du df , dv df , dv df '\ _
^Ф-с^^Ф = 0.
G.12)

68
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
[ГЛ. II
Последнее из этих уравнений получается так:
dt
^ -4 =Л-^-/с
dp
так как—г- =
1
кр
dp
1Г
dp
alt+l dt
С, ТО получаем:
dp
dp
ф-
ф.
кр dp
~P~~dn
= 0;
dp
= 0.
dp — p ->-'-" ""-J -°— rf/ T -at
Уравнения G.12) можно рассматривать как пять однородных
линейных уравнений относительно пяти производных G.8).
Задача определения этих производных из уравнений G.12) станет
неопределенной только тогда, когда обратится в нуль
определитель:
6 =
Ф
О
О
Л.
дх
о
о
ф
о
1L
о
о
ф
о
дх
if
Р д.
О
о
о -!-^ о
р
_!.?/_ о
ф
Ф —с\
0.
G.13)
Случай, когда 6 = 0, определяет характеристики/(ж; у; z\ t) = 0.
Условие G.13) после развертывания определителя примет вид
^•(^•-=1DГ+(^Г+(-1-Л1=о- ('•")
Решение ф = О дает уравнения линий тока; из него также
определяются компоненты скорости и\ v ж w^ поскольку условие
df , df , df .
= 0
соответствует уравнению
dv . . V
dv
dt
= 0,
выражающему закон движения каждой фиксированной (лагран-
жевой) частицы. Отсюда следует, что v = drjdt = v (а, b, с) и
dt =
dx
dy
V
dz
w
ЧТО действительно является уравнением линий тока. Другое
решение соотношения G.14)

§ 7]
ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
69
которое мы напишем в виде
а/ , а/ , а/ , а/
= +с
где ^1 = ж, о^з = г/, о^з = 2 определяет искомую
характеристическую поверхность.
Возвратимся к первым трем уравнениям G.12). Будем
рассматривать частные производные по t, х^ у, z от функций и, г?, w, р, р
по одну какую-либо сторону от рассматриваемой
характеристической поверхности f{x, у, z, t) = 0. Тогда из равенств вида G.10)
следует, что все частные производные каждой из этих функций
пропорциональны соответствующим производным от функции
f{x, г/, Z, t) *). Из равенств G.10) имеем
дх
dp
IL
дх
G.16)
Вставляя это значение производной дрЮх в первое уравнение
G.12), получим
du
ф+—
dp
df
IL
дх
= 0
или
dp
9
дх '
du(p -\-
выражая ф из соотношения G.15), имеем
du
/К*
+
дх
dp_
рс
= 0.
*) Если рассматривать частные производные по обе стороны от
поверхности / (х, у, Z, t) = О, то можно прийти к более общему соотношению,
называемому кинематическим условием совместности. Напишем, например, это
соотношение для функции р:
riEl ri^l riLl
IL
dt
dp
IL
дх
dp_
dz
К
dz
:h ;
(dp\ (dp\
= 1^1— (¦^j- есть скачок производной
здесь, например,
рантеристической поверхности, т. е. разность значений производных с одной
и другой стороны. См.: К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Р о з е Н. В.,
Теоретическая гидромеханика, ч. II, стр. 18—20, Гостехиздат, 1948.

70
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
[ГЛ. II
Аналогично преобразуются два других уравнения G.12). Таким
образом, мы получаем окончательно:
дх,
dp_
рс
а/ dp
= 0;
ду рс
G.17)
г=1
Отсюда как следствие имеем
G.18)
Так как на характеристике имеют место соотношения
1L
ду
9f
du
^" ji df J
-^df; ^dw.
J dw J, df J dv J.
dx
Л
дх
dw
дх
df;
И Т. Д., вытекающие из соотношении для и, v, w, аналогичных
соотношению G.16) для р, то мы приходим к условию
W)'[(ж - ^)'+(^ - 4/+(^ - 4^ л=»¦
которое выполняется, поскольку с?/ = 0; если при этом еще
выполняется условие
ди ^У . 9ю ди ^ дш dv
dj дх ^ дх dz '' ду dz ^
G.19)
то движение в окрестности характеристической поверхности яв-
ляется безвихревым.
Далее, как уже упоминалось, на характеристике полная
производная по времени от /(ж, i/, z, t) равна нулю:
dt
df
dt
. f?a7 df ] ^V df
dz df
dt ду ^ dt dz '^^'
G.20)

§ 7J ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ /1
где dxldt^ dyldt, dzldt определяют компоненты скорости движения
характеристической поверхности; исключая значение dfldt из
уравнений G.14) и G.20), придем к такому важному соотношению:
где
"-^)«+(^-^jPb^>-4)r = ±^. G.21)
c^^lLjlL. n-lLIJL. ^-JLIJEL.
дх J дп ' ^ ~ ду I дп ' ' '^ dz I дп '
dn
=/ш+ш+т
суть направляющие косинусы нормали в любой заданной точке
характеристической поверхности. Отсюда видно, что проекции с
на оси координат равны
-g- -« = ±са; ^-г; = +сР; -g---"' = +cr G.22)
и что
(-5Г-^) +КЖ-'^) +№--^j ='' ^ (^-23)
Уравнения G.22) являются уравнениями, определяющими закон
движения фронта характеристической поверхности G.5). Эти
уравнения мы уже установили ранее, исходя из простых
физических соображений. Вычислим теперь величину скорости
перемещения фронта возмущений в направлении, перпендикулярном
к фронту. Поскольку
где
-ЩГ-У \ГдГ) + {-dfj + \-w) •
а dn есть дифференциал нормали в любой точке поверхности, то
искомая скорость перемещения характеристической поверхности
по нормали к поверхности есть
dt dt^
r\ dn dt dt f^ Л/Ч

12
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИ1<
[гл. и
Уравнения G.17) мы теперь напишем в виде
du+ 0L
dp
рс
О
dw + r -^ = ^
-- рс
-i- -^^^ + <xdu + ^dv + rdw = 0.
dp
}
G.25)
Найденные нами соотношения показывают, что основные
уравнения газовой динамики действительно отображают движения
слабых (звуковых) возмущений, возникающих в движущейся
среде.
Перейдем теперь к рассмотрению закономерностей
распространения энтропийных возмущений.
Уравнение адиабатичности движений при отсутствии
источников поглощения или выделении тепла dQ/dt = О показывает, что,
поскольку
1 dQ _ dS ^ dS
Т dt ^ dt ~^ dt
+ i^gradiS = 0,
G.26)
т. е. поскольку
S = S{a, 6, с),
G.27)
то энтропийные возмущения не переносятся звуковыми волнами, а
распространяются просто со скоростью среды. Это положение
также ясно, потому что энтропия каждой частицы остается
постоянной. Таким образом, заданная величина энтропии *S*
распространяется со скоростью
dr
= v,
G.28)
следовательно, вдоль линии, являющейся решением этого
уравнения, dS = 0.
Установленные нами закономерности распространения малых
возмущений параметров р; р (или с), а также S, характеризующих
состояние среды, являются чрезвычайно важными при изучении
неустановившихся движений газа.
Поскольку характеристическая поверхность
fix, у, z,t) = О
представляет собой гиперповерхность трех измерений в
пространстве четырех измерений, то очевидно, что каждый ее элемент
должен быть охарактеризован тремя независимыми направлениями.

§ 7] ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 73
Отсюда следует, что для рассматриваемой системы пяти
уравнений, определяюш,их пять функций, мы будем иметь 15
независимых характеристических направлений.
Найденные нами выше общие соотношения вдоль характеристик
не являются исчерпывающими при исследовании свойств
уравнений и их решений, но эти соотношения отображают физический
смысл явлений, имеющих место при распространении возмущений
и помогают выяснить общие свойства и природу этих возмущений.
Возмущения могут быть двух типов: волны сжатия и волны
разрежения. В газовой динамике и акустике волнами сжатия
называются такие движения среды, когда при движении какой-либо
частицы среды давление в ней возрастает. В противоположном
случае, когда при движении частицы давление в ней падает, мы
имеем дело с волной разрежения. Таким образом, уравнения,
взятые вдоль какой-либо характеристической поверхности/(х, у, z, t) =
= О, будут описывать волну разрежения или сжатия в
зависимости от того, возрастает давление в каждом элементе среды
при ее движении или, наоборот, падает. Описание характерных
особенностей волн сжатия или разрежения представляет большой
физический и практический интерес. Ниже мы подробно
рассмотрим свойства этих волн и характер их движения.
Распространение энтропийного разрыва, который мы иногда в
дальнейшем будем называть особым разрывом, совершенно не
зависит от свойств среды; как мы выяснили выше, для любой среды
энтропия в частице при адиабатических движениях всегда
остается постоянной.
В случае движения неидеального газа, поскольку [см. A.10)]
dS = c^dlnT + (-^^^dv, G.29)
основные характеристические соотношения изменятся.
Исследование этого вопроса в самом общем виде не представляет
принципиального интереса, и мы в дальнейшем рассмотрим основные
соотношения в случае неидеального газа только для одномерной
задачи. Здесь лишь укажем, что так как в случае твердых или
жидких тел при адиабатических движениях энтропия меняется
незначительно, то мы, как и прежде, вправе считать, что
-^=di. G.30)
Тогда, как легко видеть, основные соотношения вдоль
характеристической поверхности G.18) примут вид
±cf{duy + {dv)l + {dwf + di = 0, G.31)

74 МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК [ГЛ. II
где
1
\ 9 J .
k-i
В случае неадиабатических движений даже идеального газа
характеристические соотношения принимают значительно более
сложный вид, и их исследование мы проведем опять-таки только
для одномерных движений (см. §8). Решение задачи для
многомерных течений связано со значительными трудностями.
Рассмотрим теперь случай чисто изэнтропического движения
S = const. Тогда, поскольку
iL =:-^dlnp^c4lnp=^di, G.32)
мы придем к таким основным уравнениям, выполняющимся вдоль
характеристической поверхности:
Yidu)^ + (dv)' + {dwy ± cd In p = 0. G.33)
Далее, поскольку erf (In p) = l/pY^pdp = у '~~'^Р^у = di/p, то
соотношение ]Л(йгг)^ + (dv)'^ + {dwY^ ± cdlnp = О, удобно
написать в виде
Yidu)' + {dvY + {dwY ± Y-dpdw = 0, G.34)
где не предрешается выбор независимой переменной р или v, или
в виде
cYidu)' + (dv)' + {dwY ± di = 0. G.35)
В случае идеального газа на основании формул A.40) и A.41
получаем d In i = {к — i)d In р = 2d In с, откуда
dlnp = j^^dlnc и YidnY + {dvf + {dwf ± j^^dc == 0,
что после интегрирования дает
[ У {diiY + {dvf + {divY ± -^4rj с = const. G.36)
Если скорость меняется только по величине, а по направлению
не меняется, то {duY + {dvY + {dwY = dq^ и мы имеем
2
q ih -j^zTi ^ "^ const. G.37)
Таким образом, чисто изэнтропическое течение приводит к
значительно более простым характеристическим соотношениям, чем
адиабатическое.

§ 8J ХАРАКТЕРИСТИКИ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 75
§ 8. Характеристики уравнений
с двумя независимыми переменными
Рассмотрение характеристик уравнений с двумя независимыми
переменными представляет значительный интерес. К числу
подобного рода уравнений в газовой динамике относятся уравнения,
описывающие неустановившиеся одномерные движения или
неустановившиеся движения, обладающие осевой и центральной
симметрией, а также установившиеся безвихревые течения,
зависящие от двух пространственных координат (плоские и осе-
симметричные течения среды). Типичными задачами такого рода
являются разлет столба газа, детонация и т. п. Здесь мы будем
рассматривать только случаи неустановившихся движений среды.
Одномерное течение газа
Начнем рассмотрение с общего случая неадиабатических
одномерных движений. Система основных уравнений при этом имеет
вид
ди
dt дх ' p
dS
1 dp
dx
= 0]
^ dt
dQ
dt
dt
-|- и
dx
\дТ /p
dp
dt
— С
ди
dp ]
dt J'
0;
(8.1)
причем последнее уравнение есть термодинамическое уравнение
сохранения энергии E.49). Мы рассмотрим среду,
подчиняющуюся уравнению состояния вида
р==Ф{р) + ТР (р)
При этом уравнение сохранения энергии примет вид
dQ <^Y \ dp о do
dt
F(9)
[-^-^^4] = '?^(^'^Ь
(8.2)
(8.3)
мы считаем, что функция Q^ = Qi {х, t) может быть произвольно
задана. Для получения характеристических соотношений напишем
систему основных уравнений в виде
да , ди . i др
~эГ + "'9Г + Р^ дх
гр dS
dt
= 0;
_ ^2-
dt '
dQ
dt
(8.4)

76
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
[гл. II
Второе соотношение в системе уравнений (8.4) получается из
второго уравнения (8.1) при использовании зависимости
dp
dt
F{9) dQ
c.r dt
где dp/dt — dpidt + идр/дх; dp/dt == dp/dt + udpldx.
Ha основании общего метода, разобранного в предыдущем
параграфе, можно написать уравнение характеристической линии
в виде
/ {х, t) = О, (8.5)
тогда условия вдоль характеристики, аналогичные условиям,
выраженным уравнениями G.12), будут иметь вид
фйц+ 4^^ = о,
^ ^ ох о
9f
Q^ 9c4u + (i,dp
TdS^dQ.
<\, dt ''
(8.6)
Здесь Ф = df/dt -f и dfldx. Отсюда следует, что вдоль этой
линии будет выполняться следующее соотношение:
Ф
Р^ дх
1 df
р дх
Ф
= 0.
Это соотношение приводит к уравнению
дх '
(8.7)
причем на характеристике ф == О, откуда df/dt + {и ± с) dfldx = О,
или
dx
dt
= и + с.
(8.8)
Используя условие (8.7), мы сможем условие (8.6) написать
в виде
dp:jzp(^du == dQ; ]
TdS = dQ] J
(8.9)
поскольку
dQ/dt = cJF [dpIdt — c^dp/d^,

§ 8J ХАРА1кТЕРИСТИКИ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 11
то после/^нее уравнение системы (8.9) можно написать также в виде
dp — c^dp = —dQ.
(8.10)
Полученные результаты можно интерпретировать следующим
образом:
вдоль линии dx/dt = и + с имеет место соотношение
dp + pcdu = — dQ,
a вдоль линии dx/dt = u — с имеем
dp --• pcdu= dQ.
(8.11)
Далее очевидно, что вдоль линии dx/dt = u, соответствующей
скорости переноса энтропийного возмущения, выполняется
соотношение
dp — с^ dp
2^п —
dQ
TdS.
(8.12)
Это условие вытекает непосредственно из рассмотрения уравнения
(8.3). Таким образом, при одномерном движении среды мы имеем
три характеристических направления, вдоль которых
выполняются три соотношения. Так как мы имеем множество состояний
щ с\ aS, то вдоль этих трех направлений и определяются три
семейства характеристик.
Указанное обстоятельство используется при численном
решении основной системы уравнений. В том случае, когда движение
газа происходит адиабатически, характеристические уравнения
(8.1) и (8.12) значительно упрощаются; поскольку dQ = О, мы
будем иметь:
вдоль линии dx/dt =^ и-\- с соотношение
dp-\' pcdu = 0 или 'c^dp -}- pcdu-{- -^dS= О*),
a вдоль линии
dx
IT
= и-
—'dp-{-pcdu = 0 или — c^dp+ pc da ^ й/5 = 0,
соотношоние
dp
наконец, вдоль линии
d5 = О или dp = c^dp.
dx
dS
= u — соотношение
(8.13)
др_
dp
*) Так как dp = -^dp+ '^dS = сЫр + -^
EL
dS
dS,

78
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
Ггл. П
Соотношениям ± dv -{- pcdu = О можно придать вид
+ ]/ — ф dv + dw = О, откуда после интегрирования получаем
W 4- ^ Y^ dpdv = а,
и — ^ ]/¦— dp dy = C,
(8.14)
где аир — постоянные.
Для идеального газа, поскольку на основании A.12) и
уравнения Клапейрона имеем (dp/dS)y = р/су, выражение рс du ±
± [сЧр + (dp/dS) dS] = О принимает вид
du±
dc +
кс.
dS] =0.
В случае изэнтропических течений газа {S = const)
характеристические уравнения еще более упрощаются; в общем случае для
произвольной среды мы будем иметь:
dx
ВДОЛЬ линии —г- = и -\- с —
dt '
di + cdiv — О,
dx
соотношение
ВДОЛЬ линии—7г ^и — с
at
соотношение
'—di-i-cdu = О,
(8.15)
Т. е. будем иметь два семейства характеристик.
В данном случае мы видим, что двум семействам характеристик
в плоскости {х, t), определяемым уравнениями dx/dt—udtc,
соответствует два семейства характеристик в плоскости {и, с):
cdu±:di = 0, или, учитывая выражение теплосодержания i
по формуле G.32), эти семейства характеристик можно выразить
так:
и -i- \cdlnp =а,
и — \cdlnp =р, J
(8.16)
где аир — постоянные. Причем эти два семейства характеристик
в плоскости {и, с) являются так называемыми изображениями двух
семейств характеристик плоскости (х, t), причем это отображение
может не быть взаимно однозначным.
Для среды, подчиняющейся уравнению изэнтропы вида
р = А{р^^ pj),
(8.17)

8]
ХАРАКТЕРИСТИКИ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
79
на основации формул A.41) и A.43) имеем di = Ап1{п — 1) dp^-i =
= il{n — d) dc^, поэтому
вдоль линии -т^ z= и^ с имеем
2
и -f-
71 — 1
С = const,
а вдоль линии
2
dx
и
71-1
и — с
const.
(8.18)
(8.19)
В том случае, когда гг = 3, уравнения (8.18) принимают наиболее
простой вид:
вдоль линии dxidt = и~\- с имеет место соотношение \
i^ 4- с = а = const
и вдоль линии dxIdt = и — с:
г/ — с = р = const.
Случай п = 3 имеет значение при изучении детонации. Очевидно,
что при п = 3 dxIdt = const, где постоянная имеет два значения
соответственно значениям величин аир. Следовательно, фронты
возмущений (характеристик) распространяются по законам
X = iXt -^ Xi,
X = рГ —j" 3^2 >
где o^i и д:2 — константы, т. е. эти характеристики в плоскости
характеристик представляют собой прямые линии. Выражения
2
и
и
-с = а
^ = Р,
называемые инвариантами Римана, представляют собой
характеристики основной системы уравнений в плоскости (и, с) при S =
= const уравнений изэнтропы (8.17), причем в этой системе за
независимые переменные приняты и; с, а за зависимые х; t. Эти
характеристики при любом значении п представляют собой в
плоскости и\ с параллельные прямые линии (рис. 2).
В случае неадиабатических течений соотношения
dp±pcdu= —dQii TdS = dQ(dp — c^dp=: —dQ]
определяют характеристики в характеристическом пространстве
{р, р, и), выражая с через ;? и р.

80 МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК [ГЛ. II
Проанализируем теперь обш;ие физические свойству
характеристик для изэнтропических течений какой-либо произвольной
среды. Рассмотрим трубу, заполненную нестационарно
движущейся в положительном направлении оси х средой, причем параметры,
характеризующие свойства среды
(р, г;) и скорость ее движения и,
зависят в этом самом общем случае
от {х, t). Допустим, что в каком-
либо сечении трубы мы слабо
возмутили движение газа, например,
сообщили газу незначительную
дополнительную скорость du, причем
давление и плотность или
удельный объем также изменились на
бесконечно малые величины dp; dv.
Pjj^ 2 Тогда от сечения, в котором было
приложено возмущающее
воздействие направо по течению и
налево против течения среды, начнут распространяться две
элементарные звуковые волны возмущения. Метод численного
решения уравнений с использованием этих свойств характеристик
носит название метода характеристик.
Пусть причиной возмущений является бесконечно тонкий
невесомый поршень, который до момента начала возмущений {t = 0)
двигался вместе со средой, а затем при ^ = О начал плавно
изменять скорость своего движения в сравнении со скоростью среды,
например увеличивать ее (ускорение поршня по отношению к
среде при ^ = О равно нулю). Очевидно, при плавном изменении
скорости поршня в кал^дый момент времени от его поверхности будут
излучаться все новые и новые элементарные звуковые волны,
возмущающие движение среды. При этом вправо по течению скорость
и давление будут увеличиваться, т. е. пойдет волна сжатия, а
влево по течению, поскольку среда будет при увеличении скорости
расширяться, что приведет к падению давления, пойдет волна
разрежения. Состояние среды и поршня в каждый данный момент
времени ^ ^ О (после начала возмущающего воздействия поршня)
мы обозначим справа у поршня через р^, Vi, а скорость движения
через ^1, состояние среды слева у поршня через р2»^2, причем
скорость движения среды слева у поршня Ug = Щ-
Из рассмотрения характеристик очевидно, что заданная
величина ^1 + ^ у — dpid^i = ai будет распространяться вправо по
течению со скоростью

§ 8J ХАРАКТЕРИСТИКИ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 81
а заданная величина щ — Y—^Pi ^^i будет распространяться
влево против течения со скоростью
^.„._v./_^. (8.21)
В этих выражениях не предрешается выбор вида уравнения из-
энтропы р = р (v).
Совершенно аналогичная картина будет иметь место в обш;ем
случае неадиабатических движений, прибавится только третье
направление в плоскости характеристик (х, t), dxidt = и, вдоль
которого будет распространяться состояние Q = Q (х, t), причем
величина Q вдоль этой линии будет изменяться по определенному
закону; зная х = х (t) = \и dt, мы сможем определить Q = Q (х)
или Q = Q (t) на этой линии.
В случае адиабатических движений, как мы уже
неоднократно указывали, вдоль линии х = x{t) = \udt энтропия будет
сохранять свое постоянное начальное значение.
Рассмотрим теперь характеристики в лагранжевом
представлении.
Очевидно, что характеристические соотношения между р,
р, с, и, S 11 Q в самом общем случае неадиабатических течений
при этом будут иметь тот же вид, что и в эйлеровом
представлении. Изменится выражение dx/dt = и ± с ж dx /dt = и.
Если взять за независимые лагранжевы переменные
X (Л, 0) X (Л, О
h = ^ poda= ^ pdx и t, (8.22)
X (о, 0) X (О, О
ТО, поскольку dx == (dx/dh) dh + (dx/dt) dt, где dxidh = 1/p,
dxIdt = w, Мы будем иметь
При этом от соотношения dxIdt = и ±: с ^ и -{- dh/p dt,
определяющего характеристики или закон движения звуковых волн в
эйлеровом представлении, мы придем к соотношению
-^=±рс = ±К, (8.24)
определяющему характеристики или закон движения звуковых
волн в лагранжевом представлении (здесь К есть импеданц).
Для соотношения dx/dt = и = dh/p dt -f- и, определяющего закон
движения каждой лагранжевои частицы, мы придем к тривиальному

82
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
[ГЛ. II
выражению dhldt = О, что дает
h ~ const.
(8.25)
Таким образом, например, для неадиабатического течения мы
будем иметь следующие характеристические соотношения:
Вдоль линии dh/dt = рс = К будет \
выполняться соотношение
dp i'Pcdu=:-^(-^j dQ
или
1
dp
Kdu-4-dp = -^(-^)^dQ.
Вдоль линии dh/dt = -- рс — — К будет ^
выполняться соотношение
dp-pcdu = ±-(^) dQ
ИЛИ
dp-— Kdu
1l]
дТ /p
dQ.
(8.26)
(8.27)
Вдоль линии dh/dt ==0; h =const будет
выполняться соотношение
TdS^dQ (или dp^c4p^^ j"^]^ dQ\.
(8.28)
это соотношение в случае адиабатических течений показывает, что
вдоль линии h = const; dS =^ О и S = const, откуда следует,
что
S = S (h). (8.29)
Соотношения dh/dt = ±:рс и h = const определяют
характеристики в плоскости (й, t), а выражения
±pcdu^dp=-^(^]dQH TdS=:^dQ
определяют по-прежнему характеристики в пространстве р;
р; и.
Симметричные движения среды
Перейдем к определению характеристик в случае движений,
обладающих осевой и центральной симметрией. Поскольку
осцовная система уравнений в этих случаях может быть нацисана

§ 8] ХАРАКТЕРИСТИКИ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 83
в виде B.25):
ди . ды . i др f.
— +«-#- + —^=0;
dt
di ' "- дг
ди .
-0;
dQ _ rpdS_^_ Ч Г dp
dt '^ ^ dt ^ ( др\ [ dt
дТ I,
Г.2 jfPL
^ dt
(8.30)
(последнее уравнение получено из выражения dQ =^^ Т dS в
формуле A.4) и из выражения A.10) для dS), то после исключения dp
из второго уравнения с помощью третьего придем к системе
уравнений, более удобной для исследования;
ди
да
-дГ+'^ дг
'^ р дг
0;
-дГ • ""аГ"' Р'^ -дГ + —г ^Удт^ЧГ'
dQ __ гр dS
dt ~ dt
(8.31)
Напишем уравнение характеристической линии в виде!
/ (f, 0 = 0
Из первых двух уравнений системы (8.31), как и прежде,
получаем такие характеристические соотношения:
Ф
df
dt
df , ^/ ^ , л , Л^"рс2 df ^ (др\ ,^
дг
дТ
гт df df , 'df
Поскольку -~- = ф = -^ + ^"^ » ^^ последнее выражение
принимает вид
dp + pcdu~\ ¦— dt =z —
др^
дТ
dQ.
(8.32)
Отсюда следует, что
dr
dt
dp
вдоль линии
da -f-
=zu-\- с выполняется соотношение!
рс
Nuc , _ _1__
dp] dQ
дТ Jp рс
dr
а вдоль линии —тг = и — с ¦
at
du —
dp_
Nuc
dt
соотношение
1 / dp \ dQ
дТ jp pc
(8.33)

84 МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК trjt. it
Энтропийные возмущения переносятся со скоростью среды. В
случае изэнтропических или политропических течений при
уравнении политропы
эти уравнения принимают вид
(8.34)
^7*
dr J f 2 \ Nuc J. p.
при-^— =^U — С dill ~zrr ^1 ~
Эти уравнения показывают, что характеристики основной системы
уравнений не являются прямыми линиями ни в плоскости (и, с)
ни в плоскости (г, t)
На достаточно больших расстояниях от оси или центра
симметрии член ISuclr становится достаточно малым и характеристики
в плоскости (ц, с) приближаются к характеристикам одномерных
движений газа.
Легко может быть получена также лагранжева форма этих
характеристик. В качестве примера рассмотрим характеристики
адиабатических движений. Выбрав
г (Л, 0) г (Л, О
h= \ poR^dR= 5 pr^dr
г @. 0) г (О, О
и воспользовавшись выражением
dr дг dh дг dh
МЫ определим, что вдоль линии
dr . . dh
dt
pr'^dt
которая в лагранжевом представлении имеет уравнение
должны выполняться соотношения
du-\-(^4^^^^dt] = 0
(8.35)
и что вдоль линии dr/dt = и, которая в лагранжевом
представлении имеет уравнение h = const, энтропия S постоянна:
при h = const S = const. (8.36)

§18] ХАРАКТЕРИСТИКИ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕЙНЫМИ 85
Эта форма характеристик^ весьма неудобна и подтверждает
высказанные выше соображения о неудобстве пользования лагранже-
выми представлениями при решении задач неодномерного течения
среды.
На этом мы закончим исследования характеристических
выражений для классических типов неустановившихся движений газа.
Движение газа в поле тяжести
Рассмотрим движение газа в поле тяжести. Напомним, что
при этом в уравнение сохранения энергии входит дополнительный
член, характеризующий величину потенциальной энергии, что
при любых гравитационных полях сильно усложняет систему
основных уравнений, повышая ее порядок. Мы будем допускать, что
в рассматриваемой области движения давление среды является
функцией только ее плотности.
Стоящая справа в уравнении движения величина ускорения
силы тяжести в общем случае зависит от г и if. Это сильно
усложняет задачу, поскольку все частицы среды получают
дополнительное и переменное ускорение. Вследствие этого мы ниже
ограничимся рассмотрением случая симметричного движение газа,
считая
9 — 9 {^) (или д == const).
Более тщательное и строгое исследование вопроса о движении
газа в поле тяжести при рассмотрении некоторых частных задач
будет дано в главе XIII. Итак, мы будем рассматривать систему
уравнений B.25), в которой уравнение неразрывности напишем
в форме B.22) при v = w — О
ди . ди , 1 др ..V
др др
+ ^-я7- + Р^
dt ^ "^ дг
ди Nul г.
"дГ + "T^J ~ ^'
4^ = 0-
(8.37)
Полагая/) = ар^, мы тем самым приближенно допускаем, что среда
движется адиабатически. Поскольку частицы среды получают
дополнительное ускорение ^, то, переходя к системе координат
R ^ г — \\g {t) dt di, где R — новая независимая переменная, и
вводя скорость а = M — \gd^, мы будем вправе рассматривать
движение газа вне поля тяжести. Соответствующие уравнения

86
МЕТОД ХАРАКТБРЙС№1^
[ГЛ. п
при этом примут вид
да
dt
да
дк
др
дп
0;
dt
+ «^ +
+pc^f^|^-f^) = 0; \ (8.38)
ds , as „
Отсюда получаем характеристические соотношения для данной
системы уравнений; на линиях dR/dt = а±: с должны
выполняться условия
dp , Nuc
da
pc ^ г J
(8.39)
или, переходя к старым переменным, можно утверждать, что на
линиях dr/dt = и zt с имеют место условия
da^gdt±[^ + ^dt] = 0.
(8.40)
Эти характеристические соотношения значительно сложнее, чем
при движениях среды вне поля тяжести. Энтропия будет
сохраняться в каждой частице, т. е. при dr/dt = и имеем
S - const. (8.41)
Движение в трубе переменного сечения
В заключение рассмотрим характеристики одномерных
движений в трубе переменного сечения. Поскольку исходная система
уравнений B.25) с уравнением неразрывности в форме B.22)
может быть написана в виде
ди
1Г
i и
др_
dt
dp
дх
{>€'•
ди
дх
ди
дх
р дх '
и —7 1 = U;
dx
dQ-
TdS,
(8.42)
где F — площадь сечения трубы, то, очевидно, будут иметь место
следующие характеристические условия:
вдоль линий dx/dt = u:J2C должны выполняться ]
соотношения
dp , __d\nF
du-
'I 90 '
uc
dx
dt
] = 0.
(8.43)

§ 8] ХАРАКТЕРИСТИКИ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 87
Энтропия, очевидно, будет меняться для каждой частицы согласно
закону изменения тепла.
Наконец, укажем вкратце, как, используя метод
характеристик, можно вычислять параметры одномерных движений газа.
Пусть для какого-либо заданного момента времени ti ищутся
приращения Ах = (ui + ^i) А^ на характеристике и — 2с/(к — 1) =
= const и Ал: = {ui — Ci) At на характеристике и + 2с/{к — 1) =
=^ const, где Ui я Ci — значения и (х) vi с (х) при t = ti. Затем
определяются новые значения и и с для t = ti + At, что, в конце
концов, позволяет вычислить иже для любых X и t ^ ti, В случае
адиабатических движений считаем, что при t = ti для S = const
Ах = UiAt и что для Ах ~ (i^idz Ci)At имеем А (^^ ± 2/{к — I) с) =
= cAS/k (А: —1) Су; чем меньше интервалы А^, тем точнее
результаты вычислений.

ГЛАВА III
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
§ 9. Автомодельные движения газа,
обладающие центральной^симметрией*)
В современной физике и, в частности, в гидродинамике
(газовой динамике) весьма большое развитие получили методы,
позволяющие исследовать так называемые автомодельные
(самоподобные) движения среды.
Автомодельные движения среды принадлежат к такому
классу движений, когда параметры, характеризующие состояние и
движение среды, меняются так, что распределение любого из этих
параметров по координатам остается подобным самому себе при
изменении времени, причем масштаб, характеризующий это
распределение, может также по определенным законам меняться со
временем. Последнее равносильно тому, что и для координат и
для какого-либо заданного параметра, имея в заданной точке
пространства какое-либо заданное распределение любого из
указанных параметров во времени, в других точках пространства,
лежащих на определенной линии или плоскости, мы будем иметь
распределение этого же параметра во времени таким же при
определенном изменении масштаба данного параметра и
продолжительности времени.
Аналитически условия автомодельности движения
определяются, тем, что могут быть найдены определенные (несколько или
одно) соотношения между независимыми переменными, которые
играют роль новых независимых переменных. Отсюда следует,
что в случае автомодельных движений число независимых
переменных в основной системе уравнений соответственно уменьшается.
Это в значительной мере упрощает уравнения и делает иногда
возможным нахождение ряда аналитических решений, описывающих
автомодельные движения среды. В случае двух независимых
переменных, а иногда даже и в случае трех независимых переменных
основная система уравнений становится системой уравнений не
в частных, а в полных (обыкновенных) производных.
*) Теория автомодельных движений была развита К. Бехертом [74],
а также, независимо друг от друга, Л. И. Седовым [21], Г. Тейлором [75] —
[77], Г. Биркгофом [31] и автором [15]. При этом К. Бехерт рассматривал
лишь изэнтропические движения газд,

§ 9] ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ 89
Это относится ко всем неустановившимся автомодельным
движениям, обладаюш^им симметрией, а также к установившимся
плоским движениям и к некоторым типам осесимметричных
движений. Таким образом, некоторые типы автомодельных
неустановившихся плоских и осесимметрических движений описываются
системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Исследование автомодельных движений в ряде важнейших
задач современной газовой динамики позволяет делать полезные
выводы относительно более широких классов движения среды и
устанавливать закономерности движения среды для различных
практически интересных случаев. Сюда, например, относится ряд
задач о распространении детонационных и ударных волн, о
разлете продуктов взрыва, отражении ударных волн и т. д.
Исследование автомодельных движений мы начнем с
адиабатических движений идеального и политропного газа в том случае,
когда эти движения обладают симметрией.
Основную систему уравнений для случаев движения газа,
обладающих центральной симметрией, мы напишем сначала в
обычном виде B.25).
Для удобства дальнейших выкладок мы примем за зависимые
переменные и; с; 1и р. Поскольку мы условились рассматривать
движение идеального (или политропного) газа, то из уравнения
состояния A.20)
р = е "" ^" = 0^' ^^-^^
мы определим
т - Ш ¦"»<• +(-If )T^-=''""i>-T=^^
далее, поскольку с^ = кор^-^, то d In а = d In с^ — (/с — 1) d In р,
поэтому dp/p = {ilk) [dc^ + сЧ In p]. Так как третье уравнение
системы B.25) можно написать в виде
-§f fu-g-^Оили ^Aаа)Н.аАAпа) = 0, '(9.2)
то после исключения из полученной системы уравнений величин
др дз дз I dS dS
мы придем к такой системе основных уравнений:
ди
^ /1 \ . д ,. . , ди . Nu р.
(Inp) + u_(lnp)+-^+-—= 0;
dt V-- к/ : - ar ^'" ^^ ^ дг ^ г
дс^ . дс^ , ,j л\ <> ( ди . Nu \
= 0.
(9.3)

90 АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. ТП
Введем новые безразмерные зависимые переменные х] у при
помощи соотношений
и = х^, c^==yS^ (9.4)
и безразмерные независимые переменные In ^ и In г *); тогда, если
обозначить точками над соответствующими буквами частные
производные по In t, например х = дх/д In t, а штрихами —- частные
производные по In г, например х' ^ дх/д In г, то система (9.3)
примет вид
х^х+хх' + х^ + ^{у' + 2у + у{1прУ)=0; |
{lnp)~i-x{lnpy + x'+{N + i)x = 0] (^•^)
y-^xy' + 2(x^i)y + {k^i)ylx' [-{Nll)x] = 0. f
Следует обратить внимание на то, что в эту систему входят
только безразмерные зависимые и независимые переменные,
причем независимые переменные. In ^ и In г, входят только под
знаком дифференциала. Система основных уравнений, написанная
в виде (9.5), позволяет весьма просто исследовать два класса
автомодельных движений.
Положим, что X IS. у являются функцией одной независимой
переменной z:
^ = -^, (9.6)
где Ui — const, что и будет характеризовать первый класс
движений. Потребуем, чтобы г и / не входили явно в уравнения, которые
получаются при указанных подстановках. Тогда при этом
плотность р необходимо должна иметь вид
Р = t-^l {z). (9.7)
где аа = const. Поскольку did (In t) = —%, d/d (In z); did In г =
= did (In z), система уравнений (9.5) при сделанных
предположениях примет вид
у
х' {X - ai) + :г2 - :г -f 4- ^^У + У'+ У A» IY\ = 0;
(In^)' {X ~ ai) -\-a^ + x' + {N + \)x = 0;
(^_ai) + (A: - 1) x'+ [N (/c-1) + (/c + 1)] :c ^ 2 = 0,
(9.8)
*) Чтобы убедиться в безразмерности этих переменных, достаточно пррд-
i ^ г
ставить их в виде \п—м ii^ Т~ • Очевидно, производные по этим последним
переменным равны производным по переменным In ^ и In г.

9]
ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
91
где, например, х = dxld In z. Исключая из первых двух уравнений
системы (9.8) d (In g)
_ d Ing = ^^ + ^^+^Mln z + d In (X ~ ai), (9.9)
мы сможем систему уравнений (9.8) написать в виде
rf In t/
(^1 — ^) й.^ - (fe -1)
dx
[Л^(/с-1) + (/с+1)]а: —2
— :r^2 _ 1
(ai — э:)'
2 (ai — 1) + «2
¦ (Л^ + 1) a:
—x{\.—x)(a\—x)
(9.10)
При интегрировании трех уравнений (9.9) и (9.10) мы получим
три произвольные константы с^; c<i\ с^\ заменяя ^ на ^ + т, где
т = const (что мы всегда сможем сделать, так как во все исходные
уравнения t входит только под знаком дифференциала), мы
придем к выводу, что полное решение системы будет зависеть от шести
произвольных констант а^\ a<i\ т; с^\ с^\ Сд, т. е. формально это
решение будет являться полным интегралом исходной системы
уравнений.
Как мы видим, задачу интегрирования исходной системы
уравнений в частных производных первого порядка мы свели для
автомодельных движений к интегрированию одного обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка вида
^=^,4Ф4 (9.11)
и К двум квадратурам. Решая при известных начальных условиях
уравнение (9.11), мы определим у == у {х), после чего квадратурами
найдем Z — Z {х) yil, ^ ^ {х). Очевидно, что в качестве
независимого параметра удобно выбрать именно величину х. Далее, поскольку
t ^ f^ г
(9.12)
Х = и—, У=С^-
Z =
г
то г " t^^z, что определит в неявном виде
ai—1
M = -^a:(z)=<«.-i|iB) = r "' %B);
«1-1
/j/(z)=<«.-i|2(z) = r "' Т1,{г);
р=<Ч(г) = г"'л(г):
2 (oi-l) , ai_
at
"'TisB);
2 (o,-l)
ftp
~ = t^ (a,-l)-(k-l) <b|^ (г) = Г <*' ^"''^^ ^^' V,x (z).
(9.13)

92 АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. III
Таким образом, мы имеем частные решения для автомодельных
движений, которые являются как бы полным интегралом системы.
Может показаться, что, варьируя произвольные постоянные этих
решений, можно построить любые решения, описывающие все
возможные движения газа. Однако, поскольку уравнения нелинейны,
эта попытка может привести к новым уравнениям, не менее, а
возможно и более сложным, чем исходные.
Анализируя результаты ряда частных решений и устанавливая
их физическую сущность, можно предвидеть поведение газа в
случае более общих и сложных движений, не прибегая к
непосредственному решению исходных уравнений. Таким образом,
автомодельные решения как бы позволяют производить не
математическое, а, так сказать, физическое варьирование и обобщение
результатов.
Перейдем к физической интерпретации найденного класса
автомодельных движений. Определяя, например.
u = t-^-ni{z) = r "^ TliB),
мы выясняем распределение и = и (г) для какого-либо
фиксированного момента времени. Очевидно, что для другого
фиксированного момента времени вид функции и = а (г), т. е. характер
зависимости между и и г^ останется прежним, но определенным
образом изменятся масштабы гг и г со временем; масштаб и изменится
пропорционально t^^-^ и масштаб г — пропорционально t"-'. Точно
так же, рассматривая в фиксированной точке пространства (при
фиксированном г) и = и (t), можно сделать вывод, что в другой
точке пространства (при другом значении г) характер
распределения и = и (t) останется неизменным, но при этом масштаб и
изменится ^r^i-1/ai^ а масштаб t ^ r^l^K Аналогичные выводы можно
сделать и при выяснении зависимости других параметров от г
при постоянных ^ и от ^ при постоянных г.
Рассмотрим еще один класс автомодельных движений,
обладающих центральной симметрией *. Для этой цели снова
воспользуемся системой уравнений (9.5), написанной в безразмерных
переменных величинах. Положим, что xlt и Yylt являются функцией
одной безразмерной независимой переменной
Z = гe-«^^ (9.14)
где % — const, т. е. что xlt = Xi {z)\ ylt^ = y^ {z)\ для того чтобы
г и ^ не входили явно в уравнения при указанных подстановках,
необходимо положить
р == е^^'1 (z), (9.15)
Этот класс решений был найдец автором в 1944 г.

§ 9] ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
где «2 — const. Поскольку
дх L I X bxi \ . ( . dxi \
ТЕГ = 4^1 + тш) = ^ (^1 - «1* tetJ=
93
дх
ду
dxi
д\пг
= t
dxi
d\nz '
дуг
dint
d\nt
2 ^.Vl
= "^-.'7^-]^
} (9.16)
d In r d In r
a^lnp
д
= t
ainz '
dln%
^Inp __ c? In ^
dlnz
dr
TO система уравнений (9.5) при сделанных предположениях примет
вид
х[ {xi ~- %) + х1 + -j-\^y', + 2г/1 -i- ^i^j = 0; 1
-|^ (^1 - %) + «2 + ^1 + (Л^ 'Ь 1) ^1 = 0; I ^9 J7)
с/1
где, например, 3;i'= d^ri/dln 2.
Как мы видим, в эту систему г я t явно не входят, а
следовательно, автомодельные движения подобного типа действительно
могут существовать.
Исключая из первых двух уравнений системы (9.17)
-dlnl =
x[+(N + l)xi + i
xi — fli
-dlnz,
(9.18)
мы сможем эту систему уравнении написать в виде
d In 1/1
d In z («1 - ^i) S^ - Cf - 1) (a,-x,f - yl
dxi
[N (A: —l) + /c + lja7i
[2ai -\- ач
к
+ {N+i)x^^-x\{ai-xi) ^
(.9.19)
Поскольку время t определяется с точностью до произвольной
константы т, то решение системы уравнений (9.18) и (9.19) будет
зависеть от шести произвольных констант а^; «г; т; с^\ с^, с^ (где q;
С2; Cg •— постоянные интегрирования).
Решение этой системы уравнений во всем аналогично решению
системы уравнений для автомодельных движений вида z = r/t^\
при этом за независимый параметр снова удобнее всего выбрать
цараметр Ху

94
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
[ГЛ. III
Из равенств (9.13) имеем Xi = xlt
откуда
и = гх^ (z), с = rYvi B),
что определяет также и ts. с в виде
и = 6^"^% (z), с
где li = zxi, I2 = zYy^. Далее,
(9.20)
е^Ч2 B),
(9.21)
p = e«^«|B)=r%i(z);
2а1+Да
2ai—(k—l) g»
a == ^[2ai-(fc-l) аз] tg^ B) = r ''' Л4 B).
(9.22)
Ha основании найденных решений можно заключить, что масштаб
распределения, например, параметра и = и {г) меняется со
временем пропорционально e^^^ при этом масштаб г меняется также
пропорционально еР^К Масштаб распределения и = и (t) меняется
пропорционально г, при этом масштаб времени меняется
пропорционально In г.
Полученные уравнения для двух типов автомодельных
движений допускают частные интегралы в различных частных случаях.
Эти интегралы мы будем искать при решениях конкретных задач.
Дадим вывод уравнений автомодельных движений другим
методом. Это приведет нас егце к одной форме уравнений,
описывающих автомодельные движения. Необходимые выкладки мы
подробно произведем для случая z = r/t^^; при z = ге"^»' выкладки
совершенно аналогичны, и мы их не будем здесь приводить, а дадим
прямо окончательный результат.
Обратимся снова к исходной системе уравнений (9.1) и,
считая X и у функциями одной переменной z на основании (9.4), (9.6),
положим
и = t^^-^l (z), р = ^«^ri (z), о = t^*Q (z), (9.23)
где z = rt"^', «3 = 2 («1 — 1) — (/с — 1) «2; вводя, далее, вместо
переменной | переменную ф = UiZ — ^, мы сможем написать
систему уравнения (9.1) в виде
фBа1-1-ф') = «1(«1-1J + вл^-1(л51 + |:);
Ф -о- = «3= 2 («J -i)-{k-i) «2,
(9.24)

9]
ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
95
где производные берутся по z. Исключив из первых двух уравнений
этой системы с помощью третьего дифференциал
^2 = — - ,
получим
Т] ^ ф
где
а =
«2 + (iV + 1) ai
- е '
а2 + (Л^+1)Д1
(9.25)
(9.26)
аз 2 (ai — 1) — (/с — 1) а2
Последнее выражение непосредственно интегрируется
1
Т1ф2^е"'' = а-^А^-^ = const. (9.27)
Квадратура (9.27) является первым интегралом исходной системы
уравнений. В основных переменных она может быть написана
в виде
1
(«1 -х) = (ai
азА^Л^
r]z
iV+i
(9.28)
Поскольку из (9.4) и (9.23) следует, что у = /cGz^^ri^-i, то первый
интеграл можно написать в виде
1
(ai -Х)= аз^'^'" Y|-r22a>(/V+l)^-[(;c-l) а+1]^ (9.29)
что дает первый интеграл в переменных х; у; z ж t. Произведя ряд
довольно длинных преобразований, можно свести систему
уравнений (9.26) к одному уравнению:
al[Q'-[N(k-i)+k + i]Q,(Q-b)'§.] f
^-"[1
+ AQ^Q-" \i + ka -к
Здесь
Q2_ [Л: (А: - 1) + л + 1 ] 62 (Q - fe) ^
аиг
о
-kNQ
= Bfli - 1) ttsQ - % (aj - 1). (9.30)
2
1 + (fc - 1) a
N(k-l) + (k + l)
Ol —
N (fc-l) + (fc + l)
2(а1-1)-(А:-1)й2
I
(9.31)

96
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
[ГЛ. Ill
Решая это уравнение, определяем й = Q (Gg) и й == й (G^), после
чего находим dQJd In сг = Gi = о)= Gi (Q — Ь), что определяет
а = о (Gi) ж Z = Z (Gi).
Определение прочих параметров уже не представляет труда:
dz
dz
, /c-l
^35e^ = ^^5bF' ^
азб^
ф2
N
(9.32)
Мы видим, что приведенные здесь преобразования позволяют
определить решения основной системы уравнений для данного типа
автомодельных движений с помощью решения одного
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка и только
одной квадратуры, вторую квадратуру мы имеем возможность
вычислить в общем виде (см. уравнение (9.27)). Решение по-прежнему
будет зависеть от шести констант. В случае автомодельных
движений, когда Z = ra"^^^ положим, что
и = e^^^l (z), р - е^^^ц (z), S = e«»'G B), (9.33)
где «3 = 2% — «2 (А ¦— 1), и, вводя (р = UiZ — g, мы,
воспользовавшись системой уравнений (9.1), сможем написать ее в виде
Ф {2а, - ф') = alz + ц^-^в [к^+Щ;
Ф If = из = 2ai - «2 (Л; - 1);
(9.34)
здесь производные берутся по 2. Первый интеграл этой системы
будет иметь вид
1
/i-i
щ^Щ ^ = а^А '-' = const, (9.35)
где а = 1а2 + {N + 1) a^J/ag, что в основных переменных можно
написать в виде
i)-
азА
1
?с-1 ,
^iV+l
Окончательное дифференциальное уравнение будет иметь вид
dQ
«I
й,
:^-l{k-i)N+k + l]e,'li-jQ^b)\ +
+ AQ^Q''
Q2.
ка -}- i — к-
[(k-i)N + k + i]Q2^{Q-b)
0D2
й
kNQ
2a,a3Q - а^, (9.36)

§ 9J
где
ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С ЦР:НТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
97
dQ
Oi = =«"'; та- -= 9^ (^ - ^) = 0^ " ''"'^'^' ¦'
(k — i)a
^^ — yV (/с_1)+А: + 1 •
Мы снова свели решение задачи системы уравнений к решению
одного уравнения и одной квадратуры, имея вторую квадратуру
в общем виде (9.34)
Исследуем теперь вырожденный случай автомодельных
движений. Рассматривая течения газа такого типа, когда z^» == r//«S
положим, что ai = 0] это значит, что z ¦= г] далее, из (9.13)
имеем
X =::= X (г), У = У (г), р =- t4 (г),
г t
Система уравнений (9.8) при этом примет вид
1 /о , , , Л'
(9.37)
х'х + х'' - X + ~[2у +у' + у"^^ -0;
х'^ + а^ + х' + {N + i)x = Q; ^ (9.38)
ж^ + {к - \) х' ^- [N {к - \) -{- к + \]х -2=0,
где производные берутся по In г. Исключаем d In^:
d\n ]
dx
(•
din у
dx
f/с —1
[N {k-\)-\-k +i]x — 2
У
Й2 — 2
(N + i)
+ a,-2 A — x)
(9.39)
Положим теперь, что ai-> oo и z"» = r/-"-; это будет означать, что
z = z{t), x=:x{t), y = y(t),
где о = const. При этом система уравнений (9.5) примет вид
х — х+х^+^{2+а) = 0;
(9.40)
l+{a + N + i)x==0;
|-4-[iV(A;-l)+/l; + lI^~2 = 0. J
(9.41)

98
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
[ГЛ. III
Здесь производные берутся по In ^ Отсюда получаем
- й\пц^ {a + N+i)xd\Q.t. >
(9.42)
Как мы видим, в случае вырожденных автомодельных движений
решение системы уравнений (9.42) будет зависеть всего от пяти
констант и будет описывать некоторые частные случаи
автомодельных движений данного типа. Аналогично в том случае, когда
автомодельные движения относятся к типу z ~ re ^'^ при а^ — О,
мы будем иметь z — г:
u=^-li{r), c=^U{r), p = e^^%{r).
При этом основные уравнения примут вид
—-aln^= а In г;
(9.43)
С? In Г
dxi
4-2/1
(9.44)
В случае % -^ оо и 2"' =- Z-"''r мы имеем
z = z{t), Xi = xi(l), yi = yi{t),
а = Л1 @. с = Ti2 (О, Р = г-'Пс @.
где а = const. Основные уравнения напишутся так:
-Й1пт1 = {a + N + i)xdlnt.
(9.45)
(9.46)
Автомодельные движения в координатах Лагранжа. Основные
уравнения адиабатических движений, обладающих точечной
симметрией в координатах Лагранжа, имеют вид
1-Г + 1Й-0; 9.R'-9or''%, p = a(Д)p^ u = |. (9.47)
Будем искать решения в предположении, что
r=t-F (q), (9.48)

§ 9] ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ 99
где q == Rlt^, При этом
и=^ V
аР-ад'^]^-^е''ф[<1).
(9.49)
Поскольку
и - i^^-^l (z), (9.50)
где Z =^ rlt^\ то из сравнения (9.48), (9.49) и (9.50) следует, что
R
e-'o{^)-^f-'ii^\-^e-%
^а-о, р
^)\
или
f-'^'Ф{q)=.l[Г^^^FШ\ (9.51)
ЭТО соотношение может иметь смысл лишь при а =^ а^, поэтому
r^-e^F{ql u=-^f-'\aj--aq'^].
Положим, далее,
^ = /^ (д); L =. е^ (д); а {R) = АрГ''Л%
тогда уравнения (9.47) примут вид
d F
(9.52)
(9.53)
(9.54)
при этом
^2 = (^ -f-1) (^ — ^i); «3 == ^1 + ^ — 2,
as — ка2 а-\-ai — 2 — к {N-\-1) (а — ai)
d — —
(9.55)
Систему уравнений (9.54) легко упростить. Исключив т) из
последних двух уравнений, получим
отсюда
F^{dFldqYiii - Aq^^^^\
d(D _ Aq^^'-^'"' IkN + aj kdF . d^F- I dF
\dq]

100
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
1ГЛ. III
ai (ai - 1) F -f- q — (a"- - 2aa^ + a) -|- а^ф j-^ +
dq
^ /riV+a4-l
7 лг , kq dF dq^
dq) L dq -
==0.
(9.56)
Порядок этого уравнения может быть понижен подстановкой
F = q^^ (q), (9.57)
где р
уравнение
к (N -I-1) f «4 — 1
2/c + l
, И для определения г|) можно написать
{l«i («1 - 1) + Р (а - 2flai) + а^р2] ^ +
•fP^fCa^
о , \ , 2 •> '^'^I'l \ dq
2aia + а)-f «V :хг2Г =-
ЛG2^,+ 2р9ф!^+Р(Э-1)
+
dq^
dq
dqn
я'-^ + Р^
{kN + a),.
f
(9.58)
Поскольку q dS^ldq = d^ld In ^; qH^rJp/dq^ = d^il^/d In 5^ — d^jp/d In g,
TO, обозначая d\f/d In g = 9, будем иметь d^xjj/d In q^ = dQ/d lnq =
= 6 de/dij) и окончательно придем к уравнению
(9+^W)'j|„_ („^ _ 1) 4. р (« - 2аа,) + я'Р] + Р9 (За' + а - 2аа,) +
^[e^-e(i-2p) + p(p-i)i|;J
+
(/cTV + «4). (9.59)
Решая это уравнение, найдем 9 = 9 (г|)), затем найдем из
уравнения (9.58) -ф = ij) (д) и из (9.57) F = F (q), после чего
определим из (9.54) (О = (О (д) и т] = т] (д), причем решения будут
зависеть также от трех постоянных, получаемых при интегрировании
двух введенных констант «i и ag и также константы т, входяш;ейв t,
поскольку время определяется с точностью до константы. Таким
образом мы придем к полному интегралу, как и в случае
интегрирования автомодельных движений в координатах Эйлера.
Перейдем теперь к рассмотрению специальных случаев
автомодельных движений среды,

§ 10] СИММЕТРИЧНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ
101
§ 10. Автомодельные симметричные движения
ДЛЯ некоторых специальных случаев*)
А. Автомодельные движения в случае
неадиабатических процессов
Автомодельные движения при наличии в среде внутренних
источников выделения или поглощения тепла представляют
некоторый прикладной интерес, в частности, при изучении процессов
сгорания в двигателях.
Так как в случае газа (идеального или политропного) по
формуле dQ =^ Т dS и по формуле A.20)
dQ - CyTd In а - СуТ Id In с^ — (к — I) d In p],
TO уравнение сохранения энергии будет иметь вид
d\nc^ .7 -V rflrip . dQ
~~ (к — 1) —^^—f-
dt
dt
c^Tdt •
A0.1)
A0.2)
Отсюда следует, что основную систему уравнений одномерного
движения B.25) в переменных и; с; In р мы сможем написать в виде
ди
да
дГ+^д?
дг
f с'4,Aпр)]==0;
-Aпр) + а^Aпр) + з- +
dt
дг ' г
\ 9 ^ 1И ^
= 0;
dl ^ дг ' ^ ^ \дг^ г J " dt
Рассматривая класс автомодельных движений, когда
A0.3)
Z =
t'''~%{z)=-~x:
c=e-%{z)=^Yy; p = t'%{z),
A0.4)
мы должны выбрать зависимость Q от zn t таким образом, чтобы,
удовлетворяя условиям автомодельности движений, привести
систему уравнений A0.3) к виду, не содержащему явно t или г.
Для этой цели необходимо представить Q в виде
Q^e <«'-« 7г (г) + (?о или Q = L; ^ (Z) + (?о,
A0.5)
Эти движения были изучены автором.

102 АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. III
где Qq — некоторая константа, характеризующая запас
начального тепла. В частном случае, когда q B) = q^ = const,
(? = S-9o+<?o, A0-6)
т. е. во всех точках (частицах) закон тепловыделения (теплопо-
глощения) будет одинаков [<? — (?о ^ {гИ)Ц, Поскольку t ^ r^-^s
то, написав Q в виде
2@1-1)
<?='•"' ?2 + (?о, A0.7)
мы в случае ^2 == const = q^ придем к выражению
2 (ai-1)
Q=q,r "^ +(Зо, A0.8)
что будет означать независимость интенсивности выделения
(поглощения) тепла во времени.
Преобразование уравнений A0.3) к автомодельному
(безразмерному) виду не представляет труда. Заметим, что эти
уравнения будут во всем совпадать с уравнениями (9.8), за
исключением последнего, где в правой части вместо нуля должна стоять
величина, равная
к{к — \)
[(^-^i)to+2^^-^]- A^-^)
У
Поэтому окончательные уравнения можно написать в виде
•X — ai
(aг-x)i^-ik-i)-^StzR^aг-x)p
dlnz ах у ах
dx
[N ik — \)-{-k-\-i]x — 2 _.^(^ — ^) [2qx--q]
У
(ai^x)^-y^-!LZL}:{ai-x)p.
у dx
^r2(ai —1)+ Д2ц.(дг_|_1) x\-x(i^x)(ai-x) — !LlLl[2qx - g]'
Ч ^ J У
A0.10)
Рассмотрим другой тип автомодельных движений при (^ =^ О,
полагая z= rer^^^:
и = е-^%г (z) = гх,, с = е-% (z), 1

i fOi СИММЕТРРХЧНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ ЮЗ
При этом необходимо выбрать Q в виде
Q =^ е2-^' q, (z) + Qo- r'q (z) + Q,. A0.12)
В случае qi = qa = const будем иметь Q == go^^^'^ + (Jo и в случае
q = qo = const
Q = r% + Qo- A0.13)
Теперь в системе уравнений (9.17) необходимо в правой части
последнего уравнения вместо нуля написать выражение, равное
А:(А: —1)
-[(^1 -«i)"
dq
+ 2^1^
yi 1^ * "^^ dint
Система уравнений, решающая задачу, при этом примет вид
oo[ + {N + i)xi + a2
A0.14)
Xl — «1
d In yi
dxi
-din z;
(/c-1)
k(k — i)
yi
dq
dx\
[N {k — i)-\-k-^i]xi
(fll — xiY — y\
fe(fe —1)
2/1
Ja:i9
) A0.15)
yi
yi I
2ai -|- d^
{N + i) n
- a;^ (й1 ¦
•:ri)-
2/1
•2a:i^
В TOM случае, когда вид функции q (для обоих типов движений)
известен, решение ряда задач не представляет затруднений.
Для заданной газовой смеси необходимо установить зависимость
^ от р, р или Г, или, что то же самое, от р и с. Тогда можно найти
связи между д; ^ и i/; q\ а^^ и г/^ и отыскать решения выведенных
здесь уравнений.
Б.Автомодельные движения в поле
тяжести
Здесь мы рассмотрим движения в различных полях тяжести.
При этом будем полагать
р = ор^ A0.16)
Рассмотрение начнем с простейшего случая постоянного поля
тяжести.
Основная система уравнений в этом случае будет отличаться
от уравнений (9.3) лишь тем, что в правой части первого уравнения
вместо нуля будет g (ускорение силы тяжести). Если искать
автомодельные движения вида z = rjt^^ то для того, чтобы
удовлетворить эти уравнения, необходимо допустить «i == 2, иначе

104
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
[ГЛ. III
В уравнения, описывающие указанный класс движении, войдет
в явном виде время t.
В случае движений вида z = ге^'^ необходимо положить а^ =
= О, иначе t явно войдет в уравнение.
Таким образом, в системах уравнений, описывающих указанные
классы движений, мы должны положить: в уравнении (9.10)
% = 2 и в уравнении (9.19) а-^ = О, что и дает возможность
преобразовать систему уравнений A0.17) к виду, описывающему
автомодельные движения. При этом в первом уравнении системы (9.10)
справа вместо О будет стоять член g/z (во втором случае при а^ =
=^ О Z =^ г). Когда g = GM/r^^ то для движений обоих классов
Z = r/i^' и Z = ге~°"^ мы должны положить а^ == О и прибавить
к знаменателям правых частей первых уравнений (9.10), (9.19)
величины GMxIr^ и GMxJr^ соответственно (здесь также z ^ г).
Перейдем к более подробному рассмотрению наиболее сложного
случая автомодельных движений во внутреннем (собственном)
поле тяжести среды. Поскольку
div д = -4дСр, A0.17)
то для симметричных движений это уравнение примет вид
i- {gr"") = - 4яСрг^.
дг
A0.18)
Умножая почленно первое уравнение системы (9.3) с правой
частью g на 7^, мы придем к такому уравнению:
ди , и ди!^ , \
Обозначая 4яС \pr^dr = 0 -f r{t), откуда AnGpr^ = dQ/dr, мы
придем к следующей основной системе уравнении:
дЩ
ди , ди , i
Я- + С
+
дг
дЩ
дг дс
дг
+ и
ас2 , 56-2 , ..
дд_
дг
'д.
¦ +
ди_
дг
г
Положим, как и прежде,
p^f^liz) и 0 =f'l(z).
= 0;
= 0;
= 0.
A0.20)
z =
A0.21)

§ 10] СРШМЕТРИЧНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ 105
Тогда система уравнений A0.20) примет вид
х' {x-a^) + x{x-i)+± \2у + у' +yi^J^-
\ (.T-ai) + a2 + x = 0;
:!L(^x-a^) + lk- i)x' -{-[N{k-i) + k+i] -2=0, J
где
A0.22)
dx
d\nz '
^' = ^'^' = Ж-'^" = Ж- A0-23)
Заметим, что поскольку уравнение непрерывности можно написать
в виде
dt
то, подставляя сюда рг^ = 6г/4яC, получим д (dQ/dt + идд/дг)/дг —
= О, откуда
дд , дЗ г.
A0.24)
(произвольную функцию времени, появляющуюся при
интегрировании, без ограничения общности можно получить равной нулю).
Для автомодельных движений уравнение A0.24) примет вид
(х - aiL- + «2 = 0.
A0.25)
Для того чтобы первое уравнение системы A0.22) не содержало
явно t, необходимо положить
тогда
а^ + 2 = a,{N + 1),
^2+Я2-а1(ЛГ+1)|2-(А'+1)
,Л'+1
A0.26)
A0.27)
Исключая из первого уравнения системы A0.22) с помощью
второго уравнения этой же системы величину
11
X — П\
A0.28)

106 АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
МЫ сможем написать эти уравнения в виде
1
x'{j^ -ai) + x{x-i)+-rr
[гл. Ill
y^ + 2y-^y[N + i +
+
+
I
,ЛЧ1
-0;
A0.29)
^{x-a^) + {k-\)x' + {N{k-i) + k + \)x-
4-(^- «i) + ^2 = 0.
Здесь производные берутся по In z. Положим | = z^+^r], тогда
|7| = ^7^ _[- TV + 1, и система A0.29) примет вид
1-iV-l
+ Л-0;
^{х- «i) + (Л: - 1) а:Ч- [iV (А: -- 1) + /с + 1] X - 2 - 0;
Ч
{X - «i) + {N + 1) (х- - ai) 4 а, - 0.
A0.30)
Поскольку в эту систему уравнений параметр z явно не входит,
а входит только как d In z, то, исключая d In z, можно систему
A0.30) написать в виде
d\n
rflnT] (ai — а:)
c?ln V
cia: ?ia7[(A^+l)a; —2] [Л^ (/с - 1) +/с + 1] a; — 2
(ai — 07J — 2/
2/
'2 (й1 - 2)
+ (Л^ + 1) :r — а? A — ic) (ai — ic) + Г] (ai — a:)
A0.31)
где полоя^ено a^^ = {N -\- i) a^ — 2, Поскольку
^nGpr^ - ^aiiV+a.| B) = -|i = e^.-a,|' (^)^
TO, учитывая A0.26), получим «g === ^2 + ^1 (^ + 1) = {N -{- 1) «i —
—2, поэтому a2 = —2. Решение задачи, как видим, сводится к
решению двух дифференциальных уравнений первого порядка и
одной квадратуре. При этом оно будет зависеть от пяти
произвольных постоянных,

lOl СИММЕТРИЧЙЫЕ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ 107
Совершенно аналогично можно рассмотреть автомодельные
движения во внутреннем поле тяжести в том случае, когда
Z = гв-^^^ и = rxi{z), с = г Yl/l {^)i ^ = ^^'% {^)-
Основные характеризующие задачу уравнения при этом примут вид
dlaz _dlnr] ai — xi
dxi ~~ dxi (N-]-i)xi
d In yi
[N{k — i)-\-k + i]xi
(ai — rriJ — yl
у (-^ + (Л^ + 1) xi) — ^1 («1 — ^i) + ^ («1 — ^i)
A0.32)
где I = z^+ir[, a^ =- % (iV + 1) = «2 + a^ {N + 1), откуда «2 =- 0,
a следовательно,
P = i (z). A0.33)
в тех случаях, когда «1 = 0 или ai -^ оо и z = г или z = t, мы
приходим к вырожденному типу автомодельных движений, которые
являются частными случаями рассмотренных здесь общих
автомодельных движений.
В. Автомодельные одномерные движения
в трубе переменного сечения
Адиабатические течения. Система уравнений B.25) для
данного типа движений может быть написана в виде
ди , ди , i
' or ^ к
dt
dt
0;
Aпр) + 1г-^Aпр) + ^+ и-^ = 0]
Л^2 Л^2
Г ди
dt
дг
dr
dlnf
ar+^ dr
-О,
A0.34)
где роль координаты х играет r,f — площадь поперечного сечения.
Уравнение неразрывности взято здесь в виде B.19).
Могут существовать типы автомодельных движений, когда:
а) / = Лг^ и б) / - Л^«^^
A0.35)
При этом в случае одномерных движений независимую
переменную можно выбирать в одном из видов
Z — , Z = ге-^^\ Z = te^'^.
A0.36)

lOS ABf омоДейьнь1е Движения среДЬ^
Исследование начнем со случая
Z =
— и = X —
р = ^«^|, f = Аг^.
ш, m
A0.37)
Система уравнений A0.34) примет вид
X {х-а^) + х(х-\) + \-[2у + г/' + г/-|1 j = 0;
^{х^ %) + а^ + х' + {а + \)х = 0;
~j-{oc- flj + 2{х^\) + {к- 1) [х' + (а + 1) :г] = О,
A0.38)
где производные берутся по In z. Мы видим, что система
полученных уравнений во всем одинакова с системой уравнений (9.8),
описывающих автомодельные движения, обладающие симметрией,
если вместо величины N подставить величину а, которая может
принимать любые значения (см. уравнения (9.9) и (9.10)).
В том случае, когда для данного типа автомодельных движений
функция / имеет вид
Ае'^'^,
тогда
/
б? In / г> о
Для того чтобы система A0.37) описывала автомодельные
движения, необходимо положить z = г, что возможно при «1 = 0.
Исследуем другой тип автомодельных движений, когда
Z = ге-°»*, и = rxi, с = г Yui^ \
р = e^^^lj причем / = Аг'^. J
A0.39)
Очевидно, система результирующих уравнений также будет во
всем подобна уравнениям, описывающим симметричные движения
газа, если вместо N подставить а [см. уравнения (9.18) и (9.19)].
В том случае, когда / = Ле^^^, вместо величины ах^ в уравнении
неразрывности будет стоять величина ^axiT^, Для того чтобы
удовлетворить требованиям автомодельности, необходимо положить
Z = г, т. е. Ui = 0.
Неадиабатические течения. В случае неадиабатических течений
мы вправе воспользоваться уравнениями A0.10) и A0.15),
описывающими симметричные движения газа для случаев z = r/t^^ и

§ 10] СИММЕТРИЧЙ1>1Е ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ 109
Z = rв'¦«^^ заменяя в них N на а, когда / = Аг'^, и на Раг^, когда
/ = Ае^^^, полагая при этом а^ = 0.
Рассмотрим еще один тип автомодельных одномерных
движений газа, когда z = e^l^^lt (неодномерные автомодельные
симметричные движения газа при этом не существуют,
поскольку г будет входить явно в уравнения в члене Nuir). Если
положить
а?2
С =
1^?/^
, р = t^%, Z =
A0.40)
то система основных уравнений для этого случая примет
Следующий вид:
-J- (^2 - %) + ^1«2 + ^2 + «1^2 -^ = 0;
~ (.Т2 - а{) - 2^1 (fe - 1) ^Х2 + (^хХг -^^] =
к{к-\) .^dQ
1 у dt '
\ A0.41)
где, например, х^= dxjdlnz. В том случае, когда f = Аг"",
d In/ /dr = a/r, и мы, для того чтобы удовлетворить уравнению
A0.41), должны положить z = z (г), т. е. а^ = 0. При этом, вводя
Z = z^s поскольку d In z= A/ai) d In z, мы из уравнений A0.41)
должны будем вычеркнуть члены вида aiX2, «i^V^, «1^/2. В том
случае, когда / = Ае"^^^, din f /dr = a^r^-i, мы должны или снова
положить при произвольном значении р а^ = О, или положить
Р = 1 и d In f/dr = а. Поскольку dQ/dt = dQ/dt + и dQ/dr, то
необходимо положить Q = Qo -\- q {z)/t^, тогда
^1^' -^ = 9' (^ - ^i) - 2^ (д' =
dq
с? Inz
A0.42)
Систему уравнений A0.41) в самом общем случае можно привести
к виду
d\Xil ^2+«1(^2ф+«2)-^
dx4
Х2 — fll
A0.43)

Ho
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
[гл. in
где
Ф
dim
dx2
dr '
din уч
dx2
ал — X9. da
-(a,-a.,)_(A_l)_--—fe(fe-l)^
ai[(fc-l)x2<p-2 + fc(ft-l)-p-]
У2
dxo,
Л11/2,
2a\
A0.44)
-^ [2 A + (pa?2) — А^фа^^г] — «1^2 (ai — X2)—-^q (k — 1)
Ha этом мы закончим рассмотрение автомодельных движений
специального вида.
§11. Плоские и пространственные
автомодельные движения
Эти задачи были исследованы в общем виде автором [58].
Мы здесь будем рассматривать плоские и пространственные
автомодельные движения в случае адиабатического течения газа.
Изучение начнем с движений, обладающих осевой симметрией,
и плоских движений. Общие уравнения для этих обоих случаев
имеют вид B.24), если положить в уравнениях B.24) v =^ ю\
Ф = 9:
ди , ди
W ди w^ ^^
-1-^=0;
р дг
дю дш . W djp , UW . i др г^
-^+4+ .
д^
dt
дг
W др
j+p[
ди
а7
+
ds
аз
дш и
'дд +Т
u-^-w ctg 6
f-
] = 0;
A1.1)
dS , dS , w dS .^
dt ^ dr * r дд
Здесь г — радиус-вектор, 9 — угол между осью, совпадающей
с движением газа, и радиусом-вектором, и — проекция скорости
на радиус-вектор R, w — проекция скорости на перпендикуляр
к г. Член A/г) {и + W ctg 9) характеризует осесимметричность
движения; в случае плоских движений этот член из уравнений
исчезает.
Введем величину с^ = кр/р; поскольку
Р
S-Sq
-(К*-1).

I 111
ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ
111
ТО уравнения A1.1) мы напишем в нижеследующем, удобном для
дальнейших исследований виде:
ди ди го ди w^ i Гдс^ , с^ dpi ^
^klrdd^rpi
dw
dw
w dw
'дГ+^'дГ+ Т"Ж+ Т" +
1 dc^
c2 dt
. Ц 4- Шctg 9 _ ^.
A1.2)
J^_ap\ Q
Пусть и = rxjt, и = rxjt, w = rxjt, с = r Yy/^^ P = ^^^l »
где Xi, X2, y, S являются функциями одной независимой переменной
Z = гН^е^^.
A1.3)
Здесь мы вводим четыре независимые константы а; Ь; aly\ р/у,
но выражение для z пишем именно в виде A1.3) исключительно
для удобства анализа уравнений, к которым мы сейчас придем.
Обозначая, как и раньше, производные по In z штрихом над
соответствующей переменной, например Хх = dxjd In z^ мы после
сравнительно простых преобразований придем к такой системе
уравнений, описывающих автомодельные движения:
- ^1 + ^'i(P + ^х^ + Г^г) + х\+х1 + ^ +•
— ^2 + ^2 (P + a^i+r^2)+ 2^1^:2+ ^{у' + у\) =0'
Ь + -f- (Р + ocTi + ^х^) + B + а) .Г1 + ах\ + ^х^ + ^ (**-^)
+ (^i + ^2Ctg0) = O;
2(^1-1)+-^(Р + а.Г1 + г:г2)~

112
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
[ГЛ. III
Автомодельные движения искомого типа, обладающие осевой
симметрией, могут существовать лишь при а = О, р = О, когда z = е"^®,
в противном случае величина в не будет являться независимой
переменной, входя явно в уравнения неразрывности, как ctg G.
Если а =^ О, р =f: О, то могут существовать только плоские
автомодельные движения искомого типа, так как в этом случае член
^1 + ^2 ctg в отсутствует.
Исследуем сначала случай а = О, Р == О, при этом примем
Y = 1. Исключая из уравнений A1.4) величину
rfln^
d\vL\
6 + B + «) ^1 + (^1 + хг ctg G) +
d%
rf In 2 c?9
мы придем к уравнениям
а:2
A1.5)
I 2 2 , dx\ .
- a^i + a:i - Х2 + ага -^ +
а + 2
dxi _1_ 9 I ^
^2 ~^ ^2 "г ^^1^2 + "^3
d4
1 d^
+
+i[
2(a:i —1) Ь-\-ахх
(к — 1) аг2
а?2
г/ = 0;
] = 0;
rflnv
^^^Ж" + 2(^1- 1) +(Л: -!)[$ + (^Н- :r2Ctge)]= 0.
A1.6)
Условие потенциальности течения можно записать для рассмат
риваемого случая осесимметричных движений в виде
щ
что для автомодельных движений дает
dx\ ^ dx2
^^ а ¦
+ 2^2 (r^i = (ХХ2 + 2x2)]
* dlnz dlnz
при а = о, 7 = 1 это условие принимает вид
2x2.
dx\
A1.7)
A1.8)
A1.9)
Легко убедиться в том, что условие A1.9) совместно с уравнениями
A1.6), а следовательно, могут существовать автомодельные осе-
симметричные безвихревые течения газа.
Вихревые автомодельные осесимметричные движения газа
существовать не могут.
Перейдем к рассмотрению плоских движений. Поскольку в
уравнении системы A1.4) Z не входит явно, а лищь как d In z, то, при-

§ И]
ПЛОСКИЕ и ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ
ИЗ
нимая снова 7=0 и исключая из этой системы d (In Q)ldxi, получим
dlnz dx2
dx\ 3 + QLXi -\- Хч
остальные уравнения мы сможем написать в виде
dy
d\nz
\л и If
dxi
2 . У
2
2 + « + JZIJ- (^1 -i)-(b + axi)
dyi 1 - dx2
^3712:2 ~
1 ^
Г 2 1
Jc — i (xi — l) — (b-\-axi.)
P + OLXi -{- X2 J
dl/ (B + «371 + ^2
dxi
У
. I dx2 \
2(...-l) A1-11)
В случае плоских движений условие безвихренности движения
A1.8) совместно с уравнением A1.4) только при у — О, что
соответствует Z = {rlt^l^Y^ 0:2 = о, W = о, т. е. мы в этом случае
будем иметь автомодельные движения с цилиндрической
симметрией, уже изученные нами. Иных беавихревых плоских
автомодельных течений не существует.
Рассмотрим еще один тип автомодельных движений, когда
и = rxi, W = ГХ2, с = rYVi Р == г«е^^|, A1.12)
где Xi, Х2, г/, I суть функции одной независимой переменной
2 ^ ^a^3/^Y9 ^ ^а^ I 3 )^ A1.13)
(Здесь а; Ь; а/у; fi/y — четыре независимые константы.) Система
основных уравнений A1.2) при этом примет вид
х[ (р + ctx, + ГХ2) + 4-4 + ^ + ^(ci + 2 + (X-^'j = 0;
Х2 (Р + а.Г1 + гх^) + 2x^X2 + 'т[у' + У'\-] = ^'^
Ь + ^{^ + ссх^ + ГХ2) + B + а) Xi + ах[ + гх2 +
+ (^l + ^2Ctg0) = 0;
2х, + ^ф + ах, + гх2)-'
{k^l)\^b + ^{^ + ax, + rx2) + ax^] = 0. J
A1Д4)

114 АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. 111
В случае а = О, Р = О
Z = е^^ (Y = 1)
и возможны автомодельные осесимметричные движения. Условие
безвихренности движения имеет вид A1.8)
В случае а = О, Р == О это условие оказывается совместным с
уравнениями A1.14), что еще раз дает возможность заключить о
существовании только безвихревых автомодельных осесимметричных
движений.
Плоские безвихревые движения этого типа возможны лишь
при 7 = 0, что снова приводит к выводу о возможности только
безвихревых автомодельных цилиндрических течений.
В самом общем случае пространственных движений, зависящих
от трех координат и времени, нельзя найти автомодельных
движений, зависящих от одной независимой переменной. Можно,
однако, искать такой тип автомодельных движений, когда число
независимых переменных уменьшается на один или два параметра.
Написав, например, основные уравнения в сферических
координатах и вводя
г г г
A1.15)
где Xi^ Х2, Xq, 1/, ^ являются функциями углов ф и 6, мы
действительно придем к уравнениям с двумя независимыми переменными,
в чем можно убедиться путем элементарных, но громоздких
вычислений. Написав уравнения в прямоугольных координатах и вводя
в качестве независимых переменных величины
^^_jL, %^=-:!L^ К==~^ A1.16)
мы придем к системе уравнений с тремя независимыми
переменными, причем в качестве зависимых переменных мы должны будем
взять величины й, v, w, с и р, определяемые соотношениями
и = t^-Ы, V = t^'-^v, W = t^'-Щ, ]
A1.17)
с = t^i-'^C, р = t^^p. )
Аналогично, положив
A1.18)

llJ
ПЛОСКИЕ и ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ
115
МЫ также придем к системе уравнений с тремя независимыми
переменными, которые будут описывать определенный тип
пространственных автомодельных движений.
Некоторые типы установившихся автомодельных движений.
Хотя изучение стационарных движений среды и не входит в задачу
данной книги, мы все же вкратце исследуем несколько интересных
типов плоских и осесимметричных автомодельных установившихся
движений газа, методы исследования которых совершенно
аналогичны тем, которыми мы уже пользовались.
Уравнения установившихся осесимметричных течений могут
быть написаны в виде A1.1), если исключить из этих уравнений
частные производные по времени. Введем величину с^ — /ср/р
и выразим члены {Ир)др1дг и A/рг) dpIdQ в виде B.17). Тогда
система уравнений примет вид A1.2) без частных производных по
времени. Положим
и = г«1.Г1, W = г«».Г2, с = г^'^Уу, р = г«2|, A1.19)
где OTi, х^, Ух, ^ — функции одной независимой переменной
Z- г^^е\ A1.20)
В результате придем к системе уравнений, описывающей
автомодельные установившиеся движения газа:
а^х\ + а^х^хх + х<2х:\ ^ xl+^j^ \^а^ + а.^ -\- а^ -|-
+
азу'
0;
A + «i) х^х^ + «з^1^2 + ^2-^^i-x -Т- -Ь -^ == 0;
у
к
^1 A + «1 + «2) + ^3^1 + ^'2 + -|- {4-^1 I- ^'д +
[ A1.21)
-|- {а^х^ + х^) + B - к) а^Хх
Здесь, например,
{к
X («sTi + ^-2) = 0.
X =
A1.22)
В случае «з = О
z = e^ A1.23)
и система A1.21) имеет решения в предполагаемом «автомодельном»
виде.
Если «3 =/== О, то искомые решения могут иметь место лишь для
плоских движений газа, когда исчезает член х^ -f- х^ ctg 0,

Il6 АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. 111
поскольку в противном случае 6 явно входит в уравнения, решения
которых согласно условию автомодельности не должно зависеть
от 6.
Исследуем сначала случай а^ = 0. Если исключить |7|, то
система A1.21) может быть приведена к виду
A+аО х,х^+т,х^+ -j^ + -щ^а^ ^ = 0; I A1.24)
(l + «1+ Т^} ^1+ а-; + ^ ^ + (•гх+ ^2 ctg 9) = 0. J
Здесь, например, ^i='^«
Отсюда легко находится решение Буземана, являющееся
обобщением решения Прандтля — Майера. (Решение Буземана
относится к изучению конических течений.)
Положим, что ^1 = «2 = «3 = 0. Тогда все параметры и; w;
с; р являются функциями лишь полярного угла 9 и уравнения
A1.24) примут вид:.
первое уравнение
и' = W, A1.25)
второе уравнение
и' + w^ + у^ с^ = Л^= const; A1.26)
полученное равенство является уравнением Бернулли; третье
уравнение
^и + и") \-J- f -i]=(u + u'ctg 9). A1.27)
Можно убедиться в том, что для этих движений S = const.
В случае плоских движений член и — и ctg 9 исчезает, и мы
приходим к решению Прандтля — Майера, описывающему, например,
задачу об обтекании угла: и' = 1/ . . {А^ — и^), что дает
u:=4sinj/|^(9 + 9o), A1.28)
где 9о = const.

g 111
hilOCiiVLlS, и ЙРОС^РАЙСТВЁННЫЕ двишейия
117
в общем случае для автомодельных плоских движений, когда
«3 = О, мы будем иметь, исходя из уравнений A1.23), после
исключения
^' XI A + Л1 + йг) + азх^ + х^
^ а^1 + Х2
A1.29)
соотношения
Uj^xl + a^'jc^x[ + cr^x[ -xl + -j^ +
+ B% + «2 + ^2^41—л -T—"l -y- = 0;
A + ai) Xix^+ a^x^x^ + x^x^ + -^-^y +
} A1.30)
^1 '^1 + % + Tzrr) + ^3^1 + 4 +
аза?1 + X2 y' _c\
k-i V -^•
Очевидно, что задача сначала может быть сведена к двум
обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка, а
затем даже к одному уравнению первого порядка (поскольку
уравнения однородны).
Эти уравнения имеют вид
aix^ (fli -
aaXi
-1) +
У
к
+ Х2
[2ai
«3i
+ к —
+ Д2 +
1
2-
А:-
-к
-1
a2i(i3Xi 1
asxi -\- х^ 1
dlnz
dxi
{asxi + Х2) х^ + jc — i
A + ai) хгх2 + -^—Y k(asxi + X2)
аз + a?2 +
аза?1 -h yi y'
k — i V
I ^2 \
A1.31)
где x'= dXi/dxi, y' = dyldxi.
Введем новые величины со и Q: л:2 ^ ^^iJ У == kQxi; уравнения
A1.31) при этом примут вид
dlnxi _ Ml _ Л/2
A1.32)

118
где
М^= L - 0J + Q B^1 + «2
аз + со dO,
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЙ С{>ЕДЫ
[ГЛ. m
2 — к а2аз \
Ж'+
+
{к-}- 1) Qd(d \
^к — 1аз + (а)
kas dQ f л ,
¦IrfCD
А2
/c-l
/c + 1
Ari = (l^ai4-;^)^a3+co+|^)-i^(a3+o))X
X
«1 - со"- f Q f 2ai + a^ + ^—:j
— к агаъ
аз + со
Mo-
A-faO (О +
2 — /с a2Q
/с - 1 аз + Q
A
^-
аз + СО c?Q
(А: —1)^5со
' л , . 0,2 \ I , , к dQ
Л^2= (l + «1 + Y^) {(^3 + со) 0) +
2kQ
F
- |тГТ («3 + «) [A + %) (О +
Й
аг
/с — 1 аз + со
d-l
A1.33)
Решая уравнения A1.32), находим Q = Q {(и), Xi = х^ (оу); далее
определяем Х2 = х^ (xi), у = у (х^), а уже затем z = z (xj), В
случае безвихревых течений ди/дЬ = г dw/dr + w, что дает для
автомодельных движений
dxi
d\nz
«3
dx2
dhT
+ X2{i +%).
A1.34)
Для осесимметричных движений {а^ = 0), решая совместно
уравнение A1.34) и уравнения A1.24), найдем, что безвихревые
течения возможны лишь при di = а2 = 0; таким образом, решение
Буземана является единственным автомодельным безвихревым
решением. Тот же результат имеет место и для плоских движений
в случае безвихревых течений. Докажем это утверждение.
Сравнивая в первом и втором уравнениях A1.30) коэффициенты при
у и у\ найдем, что 2ai + аг = 0.
При этом должно быть
uix'i + a^x^Xi + :Г2:Г1 -- х^ = а^ (I + Ui)
A1.35)
Заменяя х-^ = а^^ + A + ^i) х^, придем к результату а^ (^i +
+ 3^2) ^ О, откуда следует, что а^ = О и «2 = О, что и доказывает
наше утверждение.

§ И]
ПЛОСКИЕ и ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ
119
Таким образом, безвихревые плоские течения определяются
уравнениями
аз + со dQ \ . кав dQ
din и
0J 1 +
+ .
d(x)
(k — i)Qd(u)^k — id(i)
2/саз _ ^ + 1 „
«3 + со + j^zZJ ^ + W^Ti «^(«3+ со)
к dQ
¦id(i>
2kQ
^ c^ln l + co2+5^-—f
) A1.36)
din
da
as
1+co-
dw
~d^
2k
Q
did
+
asu + w dc^
(/c —l)c2 du I
В случае вихревых течений при S = const, исходя из
уравнений Бернулли, можно прийти к результату
2у А
^1 + л:2 +
1
= Ф(^),
A1.37)
откуда А = const = ф (z) г^^», что дает уравнение линий тока
в виде ф (г«»е®) г^^^ = А. Очевидно, в частном случае для
данной линии тока г = const.
В заключение отметим, что в самом общем случае
установившихся пространственных движений, зависящих от трех
независимых параметров (функций), не существует автомодельных
движений, зависящих от одного параметра; можно лишь найти движения,
зависящие от двух независимых параметров. Например, если
написать уравнения газовой динамики в сферических координатах,
то, вводя
7^'Xi (ф, е), V^ Г«1^2 (ф. 0).
с = г«1 Уу (ф
W = r^^Xs (ф, 6),
r^'l (Ф, е).
9), р
мы придем к решениям, зависящим от двух параметров ф и 9.
Мы исследовали ряд типов автомодельных движений среды
в случае адиабатических и неадиабатических процессов,
происходящих в движущейся среде. Значительный прикладной интерес
представляют и чисто изэнтропические движения среды.
Уравнения, описывающие автомодельные изэнтропические движения
среды, представляют частный случай уравнений, полученных
нами выше, для всех типов автомодельных движений. Поскольку
G = Gq = р/р^ = с^/кр^-'^ = const, то в случае автомодельных
движений, когда Z = rlt^\ должны выполняться очевидные условия:
A{r'^lt'^)y = i^^-^^%^-'^,
где А = const, откуда
^(^,-1). A1.38)

120 АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. III
Когда Z = re~^i', должны выполняться такие условия:
1^-^ = Аг^уж «2 = ;^, A1.39)
и, наконец, когда z = (l/^)e^/^s должны выполняться условия
1'<-1 = 1уиа,= -^^. A1.40)
При этом также вполне очевидно, что уравнения, связывающие
^2, г/, Z (после исключения величин |7| или тOг)), не изменятся,
поскольку они выражают непосредственно связь между t^~^'u,
fl-a^C и r/t'^^.
В случае изэнтропических течений мы вправе пользоваться
обобщенным уравнением политропы вида р = А {р^ — р^),
справедливым для ряда жидких и твердых сред.
Для плоских и осесимметричных изэнтропических
неустановившихся течений при z = гЧ^е'^^ необходимо положить
1^-^ = Ау, a = b = j^^ A1.41)
И при
Z = r«^r^4.Y0gfc-i ^jy^ ^ _ _А_., 6^0. A1.42)
В случае таких же установившихся течений необходимо положить
|''-1 = 1г,, a, = j^^a,. A1.43)
Автомодельные движения описываются решениями,
имеющими групповой характер (группу Ли). Существуют методы и
работы, посвященные вопросу отыскания решений класса
автомодельных уравнений методами теории групп. Эти методы
основаны на том, что автомодельные решения задаются
представлениями определенной группы G*, той же самой,
относительно которой инвариантна система дифференцированных уравнений
в частных производных. Поскольку угадать эту группу всегда
гораздо проще, чем производить соответствующие расчеты, то мы
не будем здесь останавливаться на чисто групповых методах
исследования уравнений, тем более, что для уравнений классической
газовой динамики все классы автомодельных решений были нами
уже найдены в 1944 г.
§ 12. Вариация произвольных постоянных
в автомодельных решениях
Для ряда задач газовой динамики возможно, исходя из
частных автомодельных решений, которые дают полный интеграл
основной системы уравнений, найти новые решения, причем эти
решения уже не будут являться автомодельными, а цозводят

§ 12] ВАРИАЦИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ 121
приближенно описать общие решения основной системы
уравнений газовой динамики B.25) для движений, обладающих точечной
симметрией; при этом будем предполагать, что р = ар'ч
Основные уравнения, описывающие автомодельные движения,
имеют вид (9.9) и (9.10), а^, «2 — произвольные константы, кроме
того, можно еще ввести произвольную константу т, заменяя t
на ^ + т. При интегрировании уравнений (8.9) и (8.10) появятся
константы интегрирования Cj, Cg, Cg. Всего при решении системы
(9.9) и (9.10) мы будем располагать шестью произвольными
константами, что формально дает полный интеграл основной системы
уравнений.
Вариация произвольных постоянных в принципе должна
позволить искать любые (общие) решения для каждого конкретного
случая системы (8.10). Однако формальная вариация мол^ет
привести к уравнениям еще более сложным, чем исходные. Поэтому
сделаем попытку разработать приближенный метод вариации
произвольных постоянных для решения одной конкретной
задачи — распространения бегущей ударной волны.
Принцип, положенный в основу получения новых решений,
заключается в том, что любое движение газа в малом объеме
пространства за малый промежуток времени можно считать
автомодельным, а произвольное движение газа можно получить,
варьируя произвольные постоянные автомодельных решений для
фиксированного ^ по г и для фиксированного г по ^ так, чтобы
удовлетворить граничным и начальным условиям.
Таким образом, для того чтобы найти решения поставленной
задачи, необходимо варьировать начальные значения (х^, г/„),
а значения произвольных постоянных искать в виде функций от
(г, t), причем возможно искать вид этих функций не для всех
произвольных постоянных, а только для некоторых, так как сами
произвольные постоянные могут являться в ряде случаев
функциями друг от друга.
В самом деле, можно показать в общем виде, что а^ = а^ («i).
Исходя из однозначности решений, необходимо, чтобы
одновременно обращались в нули какие-либо два выражения (числители
или знаменатели, стоящие в правой части первого из уравнений
системы (9.10)). Тогда можно найти некоторую точку
X = X («1, аз), у = у («1, аз), A2.1)
через которую должно проходить решение этого уравнения.
Напишем решение в виде с =^ F {х, г/, а^, аз). Начальные условия дают
с = F {х^, г/н, ai, аз). Из условия, что решение проходит через
точку {х, у), имеем
с = F {х, у, ai, аз).
Отсюда
«2 = «2 (%). A2.2)

122 АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ СГЛ. III
Интеграционная постоянная равна с = с (а^). Значит,
необходимо искать ui ^ ui {г, t), X = X (г, ^), что может быть сделано,
исходя из граничных условий, например, из условия разрыва
непрерывности вдоль г = Vq и равенства какой-либо искомой
величины {и или р), введенной при г = г*, или, исходя из
начального условия, при t = t*. Эти условия определяют также две
интеграционные постоянные. В иных условиях может быть, что
только Ui = ui (г, t), а другие постоянные определяются из
граничных или начальных условий.
Решение задачи в общем виде представляет большие трудности
и не дает конкретных выводов, имеющих физическое значение,
поэтому необходимо рассмотреть подходящий конкретный пример.
Значительный интерес представляет изучение ударной волны
с переменной плотностью на фронте (т. е. реально существующей
волны).
Пусть из начала координат распространяется ударная волна.
Пусть, далее, на расстоянии г^ от начала координат давление на
фронте волны будет р^ (в области (О, г^) ударная волна
распространилась как сильная, а значение г^, для которого р = Pi
достаточно велико, чтобы было (к — 1) р^ = {к -\- 1) ро, определяется
всецело размерами, т. е. мощностью источника, породившего ударную
волну), тогда*)
j:i ^ _Р1 ^ {k — i)pi + {k + i)po .. 2 оч
V0 pi ¦ (k + i)pi + (k-i)po' ^ -^
D, = a,^]/^[{k + 1) р, + {к- 1) Pol, A2.4)
очевидно, что а = 21 {N + 3); таким образом, t = 2rJ{N + 3) D.
Первое уравнение (9.10) для данного случая будет иметь вид
71 Z {ai —x)d\ny — (к — i)dx
"^ "" [(k — i)N + k + i]x — 2
X
X [(a^-x)^-y]dx ^ ^^2.5)
У[ j^^'^'''' + (N + i)x ]^-x(i-x)(ai-x)
Граничные условия (условия на фронте) будут
:г^ = и,±=^а,^ = ,^^,^'^^l7/'^^ ^ A2.6)
^ г ^ Di (k + i) pi + (k — i) Ро ' ^ ^
_ t^ _ kalpiYi 2kalpi[{k-i)pi + (k + i)po]
*) См. §§ 27—29.

§ 12] ВАРИАЦИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ 123
Рассмотрим изменение р и v на фронте волны за бесконечно
малый интервал времени А^, т. е. рассмотрим движение волны за этот
1 1
же интервал времени. Поскольку р == — = ^^"% Р ^ IT ^S2^/2(ai-i)+aa
и, очевидно, что на фронте волны z = z^^ = const функции от z
при Z = Zh также постоянны, то d In v = —«2^ In t, din p =
= [2 («1 — 1) + «2! din t; отсюда
dlnp
c?lnv
^^2(ai-lI ^^2.8)
«2
Очевидно, p и V на фронте связаны уравнениями A2.3), поэтому
'-^ = - ''~''''iZ^'''' f(^ + 1) Р^ + С^- 1) ^о1. A2.9)
Из A2.8) и A2.9) имеем
i(B=d) + i^<^-^>^^+;;;+^>^°[(^ + i)P.-(^--i)P,]. A2.10)
Мы получили одно уравнение, связывающее а^ и «г; при этом
за значение р необходимо взять р^. Решим уравнение A2.5) с
граничными условиями A2.6) и A2.7). Для сохранения однозначности
необходимо одновременно приравнять к нулю выражения
[N(k-i) + {k + i)]x-2iiy pjSUl^iHli? + (дг + 1) х] -
— x(i — х) (ui — х).
Только в этом случае d (In z)/d^ ^ о, что необходимо требовать
для расходящейся волны. Применение закона сохранения энергии
уже не может дать общего выражения для «2 = ^2 (%), поскольку
на всем интервале времени движение не автомо дельно. Из условия
равенства нулю написанных выражений имеем
^ + {^ + ^)^
Решая уравнение A2.5) и требуя, чтобы решение проходило через
точки (:гн, Ун), (^, У)^ найдем «2 = «з (а^).
Решая совместно A2.10) и A2.11), определим % и «2 как
функции pi и для заданного pi непосредственно значения «i и а2. Как
видим, схема решения может быть описана следующим образом:
при О •< ^ <^ 2/{N + 3) x/Di = ti имеет место автомодельное
решение, найденное для сильной волны:
й. = 0, a,-=j^. A2.12)

124 АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. III
При t^ tx решаем систему A2.5) с граничными условиями A2.6)
и A2.7). Определяем а^ и ag» после чего для некоторого Д^^ находим
Api, исходя из формулы
^^ = [2K-l) + fl,]^. A2.13)
Далее, для Рг ^ Pi + ^Pi определяем х^, i/н» снова решаем
уравнение A2.5) и т. д.
Учитывая, что пределы изменения а^ и щ невелики, А^| можно
выбрать достаточно большим. Можно искать решение и в таком
приближенном виде. Возьмем величину А^ достаточно большой.
Пусть на интервале ti^i^ f^ ti при z = Zh все функции от z
постоянны. Тогда
Рил _ 02(а.-1)+аз^ Illl == ^ 07«а ^ A2.14)
Рг ^i Рг+1
где 9| = h^Jti^ Уравнение A2.3) дает
Решая A2.12) и A2.15), найдем а^ и «2» после чего определяем
Vi+i и Pi+j.
Решение начнем при i = 0. При 11> t^ а^ Ъ> дгтгз » ^i <С О» но
2 (а — 1) + «2 ^ — (iV + 1) %» так как при относительно малых
движениях затухание ударной волны с расстоянием уменьшается.
Оказывается, что для #=1иЛ^=2 а2 сначала убывает от нуля,
затем возрастает, приближаясь к нулю; % монотонно возрастает,
приближаясь к единице. При iV = О в пределе (при t-^oo)
«2 = О, ajL = 1. В этом конкретном случае во всей области
решения можно положить т = 0.
Для нахождения связи между ai и «2 в некаторых случаях,
например при изучении бегуш,ей от поршня или из центра
ударной волны, можно поступать следующим образом. Полная
энергия волны равна
о о
где А = \, 2я, 4я при iV = О, 1, 2; F (^) — известная из условий
задачи функция времени. Например, для точечного взрыва
Av г^'^^ Av"z^^'^
F (t) = E^ A ^ ^ , = E^ A °' ^ /ai(iv+i)

§ 12] ВАРИАЦИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ 125
где Eq — начальная энергия. Так как
I ^'^ [щЬ)+i-y^=\^ @,2н=2„ it)
о
и поскольку меняются начальные условия при
неавтомодельном движении, причем значение |ы (t) можно вычислить, то
V'ih)^?'^^^'^^^^^ = Р {h)y откуда для каждого момента времени
находим «2 = «2 (^i)-
Решение следует проводить методом последовательных
приближений, задавая в решении для ti+i значения «i и «2,
найденные для ti, а затем исправлять эти значения.
Таким образом, задача о вычислении параметров бегущей
ударной волны принципиально может считаться решенной. Точно
так же можно решать и другие задачи адиабатических движений,
обладаюш,их центральной симметрией.
Начиная с некоторого t = ti, волна становится акустической,
когда можно пренебречь уменьшением энергии (при pjpo = 1 +
+ А, где А ^ 1/2); тогда данное решение нужно сопрягать с
известным квазиакустическим. Поскольку варьируются «^ и «2?
а также начальные условия, то константы с^, С2, с^ также
автоматически подвергаются варьированию. При этом константа С2
определяется при решении уравнения первого порядка, а
константы Ci и Cq — при взятии квадратур.
В других случаях нужно варьировать и величину т.
Совершенно аналогичные рассуждения можно провести для другого случая
автомодельных движений, когда
Z = re
-art
Основные уравнения при этом снова имеют вид (9.18) и (9.19).
Вариация произвольных констант «i и «2 осуществлялась так же,
как и в первом рассмотренном случае.

ГЛАВА IV
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЦЛЯ ОДНОМЕРНЫХ
ИЗЭНТРОПИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ СРЕДЫ
§ 13. Основные формы уравнений.
Общие решения в случае п ^ 3
Одномерные изэнтропические движения среды являются одним
из самых изученных разделов газовой динамики как в области
неустановившихся, так и в области установившихся движений.
Теория одномерных неустановившихся движений среды имеет
весьма большое принципиальное значение для выяснения
физических закономерностей неустановившихся движений вообш.е.
Выводы, которые можно сделать и которые будут сделаны на
основании изучения одномерных неустановившихся движений, являются
полезными при исследовании других, более сложных
неодномерных видов движения.
Теория одномерных неустановившихся движений имеет также
большое прикладное значение в ряде областей техники и физики.
В качестве конкретного приложения этой теории мы, в частности,
далее рассмотрим некоторые вопросы неустановившихся движений
жидкости в различного рода руслах и каналах.
Система уравнений, описывающих одномерные
изэнтропические движения среды, как это следует из уравнений B.25) при
N=OHr=xii уравнения B.19) при v = w = О, может быть
записана в виде
ди ди i др __ ^
-^Aпр) + а A(lnp) + -g.^O.
A3.1)
Пользуясь формулами B.17): — —^ = —^ , и B.21) при v = w=0,
можно видоизменить уравнения A3.1) так:
ди . ди , di р. \
Укажем еш,е одну форму уравнений A3.1). Предположим, что
уравнение состояния дано долитроцой (8.17): р ^ А (р'^ — ро);

§ 13] ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ 127
градиентный член в первом уравнении B.25) выразим в форме
B.18): др/рдх= [2/(^ — 1)] др/дх, а уравнение неразрывности
напишем в виде B.20). Тогда придем к уравнениям:
ди . ди , 2 до г\
дс , де , п — 1 ди /-,
A3.3)
Так как при п — i эти уравнения использовать нельзя, то
напишем уравнения для этого случая еще в одной форме. Пользуясь
формулой B.17), выразим член с градиентом в первом уравнении
в форме
др/р дх = с^д In р/дх;
при /г = 1 по политропе (8.17) имеем
р = Ар- Аро] с^ =:=^ = А=с1;
уравнение неразрывности напишем в форме B.19). Таким образом,
получим новую форму одномерных изэнтропических движений
среды для случая п = i:
ди . ди , 2 д ,^ ч f^ \
dt ' дх ' " дх
4anp) + u^(inp)+-g-=o.
A3.4)
В § 8 МЫ вывели уравнения характеристик (8.16) для системы
(8.4), которая при dQ = О эквивалентна системе A3.1):
A(„+^cdlnp]-b(a±c) -^^^+^cdl„pj==0. A3.5)
Из уравнения A3.5) видно, что заданное состояние среды,
определяемое величиной и + \с(Ипр = а, распространяется со
скоростью и -\- ев положительном направлении оси х по течению среды,
а состояние, определяемое величиной u — \cdlnp = ^,
распространяется со скоростью и — с против движения среды. При этом
распространение возмущений при дозвуковом движении будет
происходить как в положительном, так и отрицательном
направлении оси X, при сверхзвуковом движении возмущения
уносятся течением и распространение их происходит только в одном
направлении оси х. (Начало координат мы предполагаем
движущимся вместе с источником возмущения.) Волны одного
направления, проходя через волны другого направления, будут

128 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IV
взаимодействовать с ними, т. е. распространение волн
противоположных направлений не является независимым.
В случае, когда изэнтропа выражается уравнением (8.17),
уравнения A3.5) примут вид
W ("± Г:^ '^j + (" ± '^) ^ ("+ .-^ ^) = 0. A3.6)
Так как уравнение A3.6) является частным случаем общего
уравнения A3.5) для изэнтропы (8.17), то это уравнение можно
истолковать совершенно* аналогично: состояния среды, определяемые
величинами и+ ——^ с , распространяются соответственно со
скоростями и± с. Так же как и в случае уравнения A3.5), волны,
распространяющиеся в противоположных направлениях,
зависимы друг от друга.
2
В том случае, когда ^ = 3, величина _. = 1 и система
уравнений A3.6) принимает исключительно простой вид
4^(и±с) + {и±с)^{и±с)=0 A3.7)
ИЛИ, если обозначить и + с = а, и — с = ^:
Ж+«?=0= |-+SS = 0. A3.8)
Решение системы A3.7) совершенно очевидно:
X = {и + c)t + Fi {и + с);
X = (и — c)t + F2 {и — с),
A3.9)
где Fi{u-\-c); F^ (и — с) — ц,ве произвольные функции, одна от
и -\~ с и другая от и — с. Это решение является общим решением
основной системы дифференциальных уравнений в случае п — 3.
Решение A3.9) удобно записать в виде
X = at + Fi (а), X = ^t + F^ (Р). A3.10)
Определяя при заданных начальных и граничных условиях Fi
и ^2> а затем и а и р как функции от х и t или, обратно, х; t как
функции аир, найдем
u=eL±p, с = ^-^. A3.11)
Анализируя уравнение A3.7) и его решение A3.10), можно прийти
к выводу, что заданные состояния, определяемые величинами
и -^ с — а и U—-с=р, распространяются в среде при w = 3

§ 13] ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ 129
независимо друг от друга. На это указывает и то обстоятельство,
что определение величины и -{- с = а в уравнениях A3.10)
происходит при заданных граничных и начальных условиях независимо
от определения величины и — с = р.
Эти решения также показывают, что при заданных величинах
и -{- с = (Х, и — с = ^ закон их распространения в плоскости
{х, t) изображается прямыми линиями, что уже было установлено
ранее при изучении характеристик уравнений, описывающих
одномерные изэнтропические движения среды.
Факт независимости распространения величин и + с = а
и и — с = р в случае п = 3 позволяет аналитически просто
решать самые разнообразные задачи в области одномерного изэн-
тропического движения среды.
При выводе решений A3.8) мы использовали обобщенную из-
энтропу (8.17). В ряде случаев эту изэнтропу или изэнтропу
Р — ^оР'^ можно заменить изэнтропой
р = л (р« - р1), A3.12)
не теряя сильно в точности результата при целесообразном выборе
коэффициента Aq для самых различных значений показателей п
и к.
Указанный прием — замена одной изэнтропы другой, более
удобной для интегрирования уравнений,— давно уже применяется
в газовой динамике. Еще С. А. Чаплыгин для удобства
интегрирования уравнений, описывающих плоские установившиеся
изэнтропические движения газа, предложил заменить обычную
изэнтропу вида
Р =¦ СТоР^
аппроксимирующей изэнтропой
р = 5- — = ?-Лу, A3.18)
что позволило ему весьма просто проинтегрировать
соответствующую указанным движениям систему уравнений.
Надо заметить, что предложенная здесь нами аппроксимация
вида A3.12) значительно удобнее аппроксимации вида A3.13).
Последняя может в системе координат (pv) представлять или
касательную к некоторой точке истинной изэнтропы, или секущую
и поэтому будет значительно хуже ее аппроксимировать, чем
обобщенная изэнтропа A3.12), кривизна которой (в области
аппроксимации) одного знака с кривизной истинной изэнтропы. Так дело
обстоит с формальной стороны. С физической точки зрения
аппроксимация A3.13) также значительно менее удобна, чем
аппроксимация A3.12). 13 самом деле, из A3.G) при п = —1 получаем

130 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IV
систему уравненпй характеристик в виде A3.7)
^(и±с) + (и+с)-^{и±с) = 0. A3.14)
Анализ этих уравнений показывает, что заданное состояние,
определяемое величиной w + с = а, распространяется против
течения среды со скоростью w —с = Р, а состояние, определяемое
величиной гг — с = Р, распространяется по направлению течения
среды со скоростью и -{- с ^ а, что, вообще говоря, для реальных
газов, а также для типичных несжимаемых жидкостей и твердых
тел физически абсурдно. Целесообразно применять уравнение
состояния A3.12), при которых получаются простые решения.
§ 14. Особые решения
В предыдущем параграфе мы вывели соотношения,
позволяющие изучить распространение заданных состояний среды. Мы
установили, что существуют волны двух противоположных
направлений, которые в общем случае влияют друг на друга. Только
в частном случае, когда уравнение изэнтропы имеет вид A3.5)
и д = 3, волны обоих направлений распространяются независимо.
Для получения особых решений уравнений одномерных изэнтро-
пических движений будем исходить из соотношений A3.4),
установленных нами для общего случая, когда уравнение изэнтропы
имеет вид р = р (р). Как уже указывалось, из этого уравнения
вытекает, что состояния
гг — J cd In р = р
распространяются соответственно по течению и против течения со
скоростями и + с и и — с, взаимодействуя между собой. Так
как значения а = ао или р = р^ при подстановке их в систему
A3.4) обращают эту систему тождественно в нуль, то эти значения
а© или Ро и будут являться решениями — первыми интегралами
системы A3.4)
Исследуем сначала подробно случай, когда а = ао, при этом
и — aQ — ^cdln р. Подставляя это значение во второе
уравнение A3.4), мы получим
-^Aпр) + («-с)А(Ьр) = о.
Подставляя сюда d In р = —du/c, придем к уравнению
¦^ + («-'^)?-0. A4.1)

§ 14J ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ 131
При нахождении решения этого уравнения мы должны помнить
о непосредственной сязи между и, с.
Пусть задана одна из величин, и или с, тогда будет известной
и другая из этих величин на основании уравнения u-{-\cdlnp —cCq^
являющегося уравнением характеристики. Выбранная
совокупность величин и, с соответствует некоторой точке на
характеристике. Этой точке соответствует такое решение уравнения A4.1):
х= {и- c)t + F (и), A4.2)
где W + \ cd In р = а©.
Решение A4.2) определено вдоль характеристикиu-\-\cd\np ~
= ао, так как задаваемым состояниям {и, с) соответствовали точки
этой характеристики. В случае обобщенного уравнения изэнтропы
(8.17) второе уравнение этой системы имеет вид
2
п-1
С = ао. A4.3)
Аналогично при Р = Ро» исключая u = ^Q-^\cdlnp или cd In р
из второго уравнения системы A3.4), мы придем к уравнениям
^ + (« + ^)?- = 0или4^ + (а + с)? = 0. A4.4)
Решения этих уравнений можно написать в виде
х = {и + c)t + F (и), A4.5)
где u — Kcdlnp = Ро*, при законе обобщенной (8.17) изэнтропы
второе уравнение системы A4.5) примет вид
в случае п = 1 решения, как это видно из A3.4), принимают
вид
и = -\- Coin — 4- const
ро
ИЛИ i = ±uCq -{- const, где Cq = const.
В случае п = 3 имеем
х = {u + c)t + F{u)]
w = +с + const.
A4.6)
A4.7)

132 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IY
В случае п = —1
X = {u^c)t -{- F (и)]^
и + с = const. J V • ;
Решения A4.2) и A4.8) зависят от одной произвольной функции
и от одной константы.
Обпще решения двух дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка должны зависеть от двух
произвольных функций. Таким образом, особые решения не могут
описывать произвольные процессы неустановившихся движений газа;
они в состоянии описать только некоторые частные процессы,
характер которых мы сейчас выясним.
Первый интеграл основной системы уравнений вида
^zb \cdlnp = const
является характеристикой в плоскости {и, с). Следовательно, в
особом решении уравнений движение среды может быть определено
только вдоль одной характеристики. Отсюда следует, что
возмущения среды, описываемые особым решением, могут
распространяться только в одном направлении и, следовательно, ^удут
описывать волну одного направления, так называемую бегущую или
простую (римановскую) волну.
В случае общих решений, как мы уже показали (см. (8.16)),
существует два семейства характеристик в плоскости {и, с): и +
+ \ ЫInр = const, и — \cdlnp = const, которые при изэнтропи-
ческом уравнении прямолинейны. Им соответствует вообще два
криволинейных семейства характеристик в плоскости (х, i),
являющихся решениями уравнений dx/dt =^ и -\- с\ dx/dt = и — с.
В случае особых решений одно из семейств характеристик в
плоскости {t, х), например dx/dt = и + с, отображается на одну
характеристику в плоскости {и, с): i^-{-\ cd In р = const, а
характеристики другого семейства в плоскости (^, х): dx/dt = и — с —
на некоторые ее точки.
В том случае, когда особые решения основных уравнений
определяются общими выражениями A4.5) и A4.2):
{u + c)t + Fi{u)] и- ^cdlnp = ^o\
{и — c)t -j-F^iu); u+\^cdlnp = aQ,
где Fi=f= О и F2=f= О, соответствующие прямолинейные
характеристики в плоскости {х, t) начинаются на некоторой линии х =
= Хц {t)y являющейся границей рассматриваемой волны. Напри-

§ 14] ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ 133
мер, при произвольном плавном движении поршня этой границей
является сам поршень, и уравнение х = х^ (t) будет описывать
закон его движения.
В некоторых частных случаях произвольные функции Fj или
^2 могут равняться нулю, тогда уравнения A4.3) и A4.5) примут
соответственно вид
и ~{~ с = -— ; и — \cdlnp = % или и —^^ с = |3q;
X С 2
и — С = —; ц + \сй1пр = ао или и -\——j с = ад
A4.9)
Как мы видим, в данном случае движения среды оказывается
автомодельными, поскольку и и с являются функциями лишь одной
независимой переменной z, равной отношению x/t, т. е. мы имеем
дело с уже рассмотренным ранее классом автомодельных
движений Z = x/t^^j где «1 = 1. В случае обобш;енной изэнтропы
соотношения A4.9) дают соответственно
2 X j^n — 1^ n — ifx ^
или
2 Х . n — i 71 — 1/ х\ /AF АГ\\
Соотношения A4.9) показывают, что характеристики
x^{u + c)t A4.11)
или соответственно
х=^ {й — c)t A4.12)
выходят из одной точки о: = о, ^ = 0; такие характеристики и
волны, ими описываемые, называются центрированными.
Так как в уравнении газовой динамики описывающие
одномерные движения xjs.t входят только под знаком дифференциала,
то, вычитая лг X и t произвольные константы х^я t^, мы получим
следующий наиболее общий вид центрированных волн:
2 г. х— XQ ,
при u-^j^3tC = Po j—i;-u + c,
2
X — xq
при w + ^^^c = «o 7^77^ = "-^
A4.13)
Характеристики для данных решений будут начинаться в точке
Полученные здесь результаты, как мы убедились, принципиально
справедливы для любого уравнения изэнтропы.

134 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IV
Характерной особенностью особых решений является тот факт,
что при любом уравнении изэнтропы и = и (с) или и = и{р),
В классической теории особых решений одномерных движений,
данной Ирншоу, особые решения определялись именно, исходя
из того, что и = и (р). В этом случае основным уравнениям A3.1)
можно придать вид
^Р J_7/ ^Р -L ^Р .2 ^ Ь р _ г.
^ -L 77 ^ 4- ^р- ^^ _ о
dt ~^ дх ~^ дх rflnp ~^-
A4.14)
Г\г' ta rf In р о С?М
Оба уравнения будут совместны, если -^—- с^ ~ ji— , откуда
следует, что
du = dbcd In р = Y~^P ^v»
что и подтверждает справедливость доказываемого положения.
Дадим теперь формальный вывод особых решений так, как это
принято в настоящее время в теории дифференциальных уравнений.
Прежде всего заметим (см. § 5), что при отыскании общих решений
мы можем менять роль зависимых и независимых переменных, при
этом характеристики уравнений, например, в плоскости {х, t)
отобразятся на характеристике в плоскости {и, с) (w, р) и обратно,
если якобиан преобразования переменных д {щ р)/д (t, х) ф 0.
В случае, когда д (гг, р) / д {t, х) = О, мы уже не смогли бы
менять роль зависимых и независимых переменных, а поэтому
изображения одного семейства характеристик в плоскости {х, t)
будут попадать только на одну характеристику соответствующего
семейства в плоскости {и, р) или {и, с), т. е. изображение одного
семейства характеристик х, ^ на w, р будет вырожденным. Решение,
основных уравнений в этом случае и будет как раз особым,
поскольку многообразие характеристик, а следовательно, и
начальных условий, задаваемых на характеристиках, от которых
решение зависит, будет также вырожденным (меньшим).
Перейдем к аналитическому определению особого решения,
исходя из условия
11^=0. A4.15)
Это условие дает
ди др ди др
dt дх дх dt
A4.16)
Написав основную систему уравнений A3.1) в виде
ди , dii_ ^^ с^ др ^
dp . dp . ди ^

§ 141 ОСОБЫЕ РЕШЕНИЙ 135
(здесь третий член первого уравнения взят в виде B.17), а
уравнение неразрывности — в виде B.14) при v =0), исключим из
нее прежде всего
ди
ди др дх
W ~~ 'дх~др '
дх
римут вид
до . др . с^ \ дх 1
dt ^ дх ^ р ди
дх
др . др , ди
= 0;
= 0.
Оба уравнения будут совместны в случае
|i = ±,i.|L. A4.17)
дх — р дх ^ '
Из A4.16) И A4.17) сразу же получаем
^ = ±cjr't- A4.18)
Из A4.17) и A4.18) следует, что
du = +cdlnp. A4.19)
Подстановка этого условия, например, в первое уравнение A3.1),
как мы видели, приводит к уравнению A4.1), отвечающему
значению а = ао, что приводит к решению A4.2) и второму
аналогичному решению, соответствующему значению р = Ро-
X = {u±c)t + F (и). A4.20)
Таким образом, исходя из условия, что якобиан д {и, р) / д {t, х)
равен нулю, мы действительно пришли к уже полученным другим
способом особым решениям основной системы уравнений.
Рассмотрим теперь особые решения в форме Лагранжа.
Основные уравнения C.22) для изэнтропических течений в форме
Лагранжа имеют вид
да j_ др __ ,.
дх J,
A4.21)

136 РЕШЕНИЕ УРАВНЕЙИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [гЛ. IV
где dh = pQda= p — da = p dx\ здесь po — плотность газа при
^ = 0. Продифференцировав по времени второе уравнение A4.21),
получим
W + f|f = 0- A4.22)
Поскольку первое уравнение A4.21) можно написать в виде
4^ + с^|^ = 0. A4.23)
то, полагая и = и {р),шы уравнения A4.22) и A4.23) сможем
написать в виде
Отсюда мы приходим к прежнему условию совместности уравнений
системы A4.24) dw = + ^^ In 9-> ^то и понятно, ибо условие
совместности не должно зависеть от формы представления уравнений.
Подставляя условие совместности, например, в уравнение
A4.23), мы придем к такому результату;
^^К^ = 0, A4.25)
где К = рс есть импеданц. Решение уравнения A4.25) находится
элементарно; оно имеет вид
h = ±Kt + 0{K) или h = [poda = ±pct+ Ф(р). A4.26)
В случае политропического газа, когда р = А {р'^ — ро),
и = ± —зт ^ + ^> где а = const и
п+1
К=рс = р^с^[^У~\ (U.27)
Здесь рн и Сн суть начальная плотность и скорость звука в среде,
не возмущенной движением.
Решение A4.26) принимает вид
п+1 п+1
Аналогичное выражение можно написать, связывая h, t ш и:
п+1
h = const {и - const)^-! t + Ф (и). A4.29)

§ 14] ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ 137
Поскольку соответствуюш;ее решение в эйлеровой форме есть
x = (u±c)t + F{u) = {± -^ c + ay + F{c), A4.30)
то, исключая формально из A4.28) и A4.30) величину с, мы
придем к зависимости, связываюш;ей х, t и h (или а).
Как мы видим, особые решения в форме Лагранжа менее
удобны, чем в форме Эйлера.
Рассмотрим пример перехода от особых решений, написанных
в форме Эйлера, к решениям в форме Лагранжа. Так как
dx
то, дифференцируя по t уравнение A4.30), мы придем к
следующему результату:
-г __ I du л dc [dF dc _ ^ (п + i dF \ dc
откуда
dt_ _ __\ n + i t dc
dc \7i —1 с ^ ' с J '
решение этого уравнения дает (при этом надо помнить, что
производная dt/dc берется при постоянном h)
tc-i =f(h)±\^^c-^dc = fih) + Ф (с),
откуда
f{h) = ±c''-U+ Ф(с). A4.31)
При / (h) = const h решение A4.31) действительно эквивалентно
решению A4.28). В случае центрированных волн, когда F (и) = О,
решения в форме Лагранжа также упрощаются и принимают вид
Л = ±Л:н(^]"~^, и = ±-^с + а; A4.32)
В частном случае политропического газа или в общем случае, когда
Р = Р (р).
h = ±Kt, u = ±^cdlnp. A4.33)
Поскольку при этом X = (и + с) t, то исключение из уравнений с
в случае политропического газа не представляет затруднений и

138 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IV
7 ^ n — i [ X J\
связь между х, t ип, поскольку с = =р „ _^^ [- <^]» принимает
вид
n+i[t J
h==K,
X a\ n—i
n+l
что можно записать кратко в виде
2__ п—1
h = A^xt ^+1 + Л2«^+2 ^ A4.34)
где ^1 и ^2 — константы.
В том случае, когда начальная плотность не зависит от а, т. е.
до начала движения плотность везде одинакова, мы на основании
соотношения A4.34) придем к такой зависимости, связывающей
X, а 11 t:
__ 2 п—1 ,
а = A^xt ^+1 + ^2^"+! = —, A4.35)
Ро
где ^1 и ^2 "~ снова две константы.
Поскольку характеристики в лагранжевом представлении
определяются соотношением dhldt — +к, то dhldt = hit, что
определяет одно семейство характеристик как Ы = const, т. е. это
семейство характеристик для центрированных волн является
семейством равнобочных гипербол.
Отметим теперь некоторую связь особых решений с
решениями, описывающими некоторые классы автомодельных движений.
В случае автомодельных движений типа z == x/t^' (х = г)
Очевидно, эти зависимости можно написать в виде
w^i-ai = a|)(c^i-«0, A4.36)
что в случае ai = 1 дает и = г|) (с), т. е. условие того, что эта
функция, удовлетворяющая уравнениям газовой динамики,
является первым интегралом особого решения; при этом данный тип
автомодельных движений, как мы видели выше, является частным
случаем особого решения, когда F (а) ^ О и л: = (и Hh c)t.
Точно такие же выводы мы получим при z = хе"^^^, когда
«1 = О, и при Z == e^'^/t, когда также ai = 0. Таким образом,
указанные типы автомодельных движений являются некоторыми
своеобразными обобщениями особых решений основных
уравнений газовой динамики для неизэнтропических неодномерных
движений.

^ 15j ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ 139
Движения среды, описываемые особыми решениями, имеют
большое прикладное значение, в чем мы убедимся, решая ряд
задач.
Особые решения обладают еш,е однихм важным и интересным
свойством. Движения, ими описываемые, обязательно должны
сопрягаться (примыкать) с областью покоя или, в более обш,ем
случае, с областью стационарного движения среды. Когда параметры,
характеризуюш,ие движение и состояние среды, постоянны, то
очевидно, что условия
и = const, с = const {р = const, р = const)
являются тривиальными особыми решениями системы основных
уравнений.
Волна, описываемая особым решением, является волной одного
направления, и параметры среды на фронте этой волны должны
быть обязательно постоянными, чтобы выполнялось условие
прямолинейности характеристик одного направления в плоскости
(х, t). Только в этом случае закон движения фронта х = х (t)
будет в плоскости (х, t) изображаться прямой линией х == (и^. —
— ^н) ^ + const, где г/н» ^н — скорость среды и скорость звука на
фронте волны, описываемой особым решением, равные скорости
среды и звука в стационарной волне.
Если движение с обеих сторон какой-либо волны
нестационарно, то никакая из характеристик обоих семейств не будет в
плоскости (х, t) прямолинейна, а следовательно, эта волна не будет
описываться особым решением.
Таким образом, возмущение, бегущее по стационарно
движущейся среде, действительно может быть описано только особым
решением основных уравнений газовой динамики.
Простые волны, т. е. волны, описываемые особыми решениями,
могут быть волнами сжатия в том случае, когда их фронт движется
по направлению течения среды, и волнами разрежения, когда их
фронт движется против течения среды. Простую в.олну можно
представить как систему элементарных звуковых волн, поскольку
для последних Аи = + с Ар/р, а для простой волны и — +\cd Inр;
это положение станет еще очевиднее, если решение для простой
волны мы напишем в виде и = F [х — (и ^Ь ^) ^h отсюда при
и/с<^1 имеем и = F {х + CqI), т. е. уравнение бегущей звуковой
волны.
§ 15. Общие решения
Для нахождения общих решений одномерных изэнтропических
движений среды воспользуемся уравнениями A3.3). Обратим
зависимые и независимые переменные, т. е. if и :г будем считать за
зависимые, а и и г — за независимые переменные. Для этой цели

140 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ одйомЕРНы:^ ДВИЖЕНИЙ [гл. IV
представим уравнения A3.3) в виде якобианов:
д (и, ^) ^^ ^, ^ (^ и) , д (t, i) г.
0;
д
d{i,
(«.
X)
'х)
X)
+
' d(t,
d(t,i)
" д (t, X)
X)
+
' d{t,
.2 5(«.
d(t,
X)
")
X)
A5.1)
Разделим почленно эти уравнения на якобиан д (и, i)ld {t, х), по?
лагая, что нигде в области искомых решений этот якобиан не
обращается в нуль. (В противном случае, как мы уже знаем, придем
к особым решениям системы уравнений A5.1)). В результате
преобразования получим следуюш,ую систему:
д{и,х) d(t,u) d(l,i)
д{и, i) '^ d{u,i) '^ д{и, i)
d(i,x) d(t,i) „ d{t,u)
д(и, i) '^ d(u,i) "^ d(u, i)
= 0;
= 0.
A5.2)
Раскрывая якобианы, придем к уравнениям
0;
дх dt dt
di di '" ди
дх dt , ^ dt rs
ди ди di
A5.3)
Для линеаризации этой системы проведем преобразование Ле-
жандра. Введем новую функцию 'Ур = ур {и, i) с помош,ью
соотношения
ди
Тогда уравнения A5.3) примут вид
dt_ ^ д^. i + c^:^
ди dudi ' ' di
Первое уравнение A5.5) определяет
t = dyp/di,
второе уравнение примет вид
дЦ>
ди^
_2 .ZI^i I ЛГ _
^ а/2 ^ л; —
di
du^
В случае п = i с = с^ = ]Ал = const и
2 d^ _L ^_ i!*
^Н ;;;2 ~t~ а; Л,.2 '
di^
di
du^
A5.4)
A5.5)
A5.6)
A5.7)
A5.8)

§ 15] 0Ё1ЦИЕ РЕШЕНИЙ 141
Мы пришли в результате проделанных преобразований —
перемены роли зависимых и независимых переменных в исходных
уравнениях и введения новой функции я]) {и, i) — к линейному
относительно г|) дифференциальному уравнению в частных
производных второго порядка A5.7).
Интегрировать и исследовать подобные уравнения умел еще
Эйлер, затем подробные методы их интегрирования дали Риман
и Дарбу. Полагая в случае уравнения изэнтропы вида (8.17)
п — i ^ п — 1 '
определим теплосодержание не в виде i* = (с^ — с1I{п — 1) =
= с^1{п — 1) A — po/p)^~^j а как величину, определяемую
выражением
I =
1
Назовем i эффективным теплосодержанием. Введение
величины i = с^1{п — 1) сейчас является более удобным для
производства дальнейших выкладок. Переход к истинному значению
теплосодержания, которое мы здесь обозначим как i*, не
представляет затруднений; i* = i — i^, где Го= Со/(Аг — 1) есть
эффективное теплосодержание при р = 0. В случае уравнения изэнтропы
V ~ ^оР^ оба значения теплосодержания — истинного и
эффективного — совпадают, поскольку ро = О, Cq = О и г^ = 0. Для
удобства дальнейших преобразований напишем теперь уравнение
A5.7) в двух видах, выражая все или через i и и, или с и гг. Первый
вид уравнения очевиден:
('-»)*|l + f = 0- A5.9)
Второй ВИД мы получим, определяя
di ~ 2с до ' dl^
тогда
¦1\2
^н-^-г 1^1 = 0- (')
Если вместо с ввести новую независимую переменную w ==
= 2с/{п — 1), то это уравнение можно переписать так:
|!i + i^±|i = |!|. A5.11)
Примем теперь за независимые переменные величины а и |3:
2 2'
а = 1^ -| т с = и-\- W, —8 = w т- с ^ и — W,

142 РЕШЕНИЕ УРАВНЕЙИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IV
откуда
а-3 а+3
Величины а и р в теории дифференциальных уравнений
называются инвариантами Римана. Легко убедиться, что уравнение A5.11)
в переменных аир примет вид
Такая форма уравнения называется канонической.
В случае п = i мы имеем с = с^ ^ У А + const, dt = Сн-
-d In р; вводя новую переменную
мы приведем уравнение A5.8) к виду
Снова вводя переменные а и р; 4а = ulc^ + со; —4р = ulcYi — со,
придем к каноническому уравнению Римана
4Х+-^+^ = 0. A5.14)
дад^ да д^ ^ ^
Решение этого уравнения выражается гипергеометрическим рядом
(или бесселевыми функциями).
Дифференцируя почленно соотношение A5.9) по г, придем
к такому результату:
('-i)*^+^(»-i+i)=SJ.
где ypi = d'\^/di; поскольку мы имеем d^p/di = t, то это соотношение
является уравнением, определяюпцим t:
(«-1)^-5^+ «-5^=-^. A5.15)
Заменив производные по i производными по с и учитывая, что
{п — l)j = с^, придем к уравнению
(^Г[-&+^^й=^- A5.16)

§ 15] ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ 143
Продифференцировав соотношение A5.9) г раз по i, мы получим
Интегрируя г раз по i это же выражение, будем иметь
(»-.)*|;(зд+,-.(.-.)+11,|1($)=|;(^).
где
^ = ^-'\^didi ...di.
Результаты дифференцирования и интегрирования мы сможем,
объединив их, написать так:
(»-Ф|1(д)+,±.<-.-.)+.,|^('1)=^@).
A5.17)
Перейдем снова от независимых переменных i, и к переменным
w^ и, тогда A5.14) мы напишем в виде
Соответствуюш;ее каноническое уравнение примет вид
д^ (дЩ\_ г 3-гг 1 1 г д (д'^'у^\ д (дЩ\-]
A5.19)
тт З — тг.п +2г + 3
Положив ^ . _ .. ± Г = и, определим п = Т^) [^ i где
г = О, 1, 2, 3, ..., оо; тогда уравнения A5.18) и A5.19) напишутся
так:
5гг;2
Т. е. станут обычными волновыми уравнениями.
Общим решением волнового уравнения, как известно, является
^-^ = РЛ^) + ^АЯ A5.21)

144 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. П^
при ЭТОМ знаку минус соответствует
знаку плюс соответствует
У^ =
di' [дг'-)
что можно объединить выражением
»=^Зг + 1 , г = 0,1,2,3,..., <
A5.22)
при условии
Решение A5.22) является общим решением системы уравнений
A5.1).
Поскольку
2
a = u~{~w=u-i г с ^ и -1-21/ —^—j-
— ^==u — w = u т- с = и — 21/ —^—г
^ л —1 у п —1
то, заменяя п через г, придем к таким выражениям:
A5.23)
1г
+ 1
u + Y2{2r + \)i,
-^-^^-^;:^-u-V'^{^r + i)i. J
A5.24)
(Здесь надо помнить, что корень имеет знак +.) Теперь общее
решение A5.18) мы сможем написать в виде
"^-^{Fi []/Bг + 1)^ + u] + F^ [Y2{2r + \)i - а]] A5.25)
для п= 2г A-i ' ^^® г = о, 1, 2, 3, ..., оо, чему соответствуют
значения ^ = 3, 5/3, 7/5, ..., 1, причем
X = ut —
д\р
t =
дур
Значение п = ijjrzrj соответствует реальным значениям
показателя политропы,

§ 15] ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ 145
Решение вида
'^ = ^ [^\ (У2A-^2г).- + и) + F, {Y2{l-2r)i- и)] A5.27)
будет соответствовать значениям индекса п, равным
3 —2г
п =
2г'
где для г = О, 1, 2, 3, ..., сх> значения п равны п = 3, —1; 1/3,
3/5, ..., 1, что, за исключением случаев г = О и г = оо, приводит
к нереальным значениям показателя изэнтропы п. Определенный
интерес может представлять случай г = 1, когда п = —I (для
ряда аппроксимаций). Очевидно, что ]/^2 A ¦— 2г) i — tztt ' ^' ^'
является действительной величиной, поскольку при г ^ 1
Общее решение, написанное в виде A5.22), можно
преобразовать также к виду, содеряшщему производные по а и |3. Так как
^- 2 ' ^-^r-'^V ri-1' ^" 4 V 2 У '
то производная от какой-либо функции z (i) по i определится
выражением
di ~ n~^ia+^\doL ~^ ару'
таким образом, в случае г == 1
^Ъ- ^ \F (ci\4-F m^~ ^ ^+ Ф _/i(a) + /2(P)
где /i (а) и /з (Р) — две новые произвольные функции
•'I"" п—1 аа » ^2 ^_1 ^р •
Поскольку при г = 2
^ ^ ^ /, + /, _ ^^ (оИ-^) \ii + ij-2(/i + /2) ^
_ 4 ra /i a /2
rj -1 L^a (a + pJ "^ ap (a + p)'^ J '

146 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IV
то, используя метод полной индукции, можно показать, что при
произвольном г
^ = ^г [Fi (^) + F^ т = ,^^г^, ^^ ^ р)^. + ^^т^, ^^;:рр; > A5.28)
Укажем для полноты изложения, что введенные здесь производные
функции /i (а) и /2 (а) связаны с произвольными функциями Fi (а)
и F^ (а) соотношениями!
Поставленная нами задача отыскания обш;их решений завершена.
Как и следовало ожидать, общее решение двух уравнений в
частных производных первого порядка зависит от двух произвольных
функций. Произвольные функции Fi (а), F2 (Р) или Д (а), /а (Р)
являются функциями от характеристических соотношений в
плоскостях (и, с) и {и, г). Решения, написанные в форме A5.28),
определяются производными, взятыми по характеристическим
соотношениям (инвариантам Римана) обоих семейств.
При решении конкретных задач различного типа из
соображений удобства пользуются либо решениями вида A5.25), либо
решениями вида A5.28).
Выпишем теперь решения обоих видов в форме, удобной для
использования, когда показатель изэнтропы п может принимать
реальные значениям = —1, 3, 5/3, 7/5, ..., 1, т. е. когда значение г
в решениях вида
* = f i". («) + ". (P)l = f^ г^, + S^r^
dv да (ot + P) d^"^ (^ + p)
имеет значение г = —1, О, 1, 2, ..., oo. При этом надо помнить,
что tux определяются с точностью до констант, которые мы в
решения не вводим.
В случае г = О, п = 3
^^F^{u + c) + F2(u-c) =
= [ /1 (а) da + \u (Р) dp = Fi (а) + F, (р), A5.29)
при этом
t =
F,-F^
h + h
A5.30)

§ 15] ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ
Соотношение A5.30) можно также написать в виде
ct = F\ — F^; ut = X + Fi + F2,
147
откуда
x== {u + c)t -2F[ = {u + c)t + Oi_(u + c),
X = {u — c) t — 2F2 = {u — c) t + Фс^{и — с),
A5.31)
т. е. мы пришли к уже известным решениям в случае л = 3.
В общем случае, когда г есть произвольное целое (положительное
или отрицательное) число, как мы видели,
il' = |г [^1 (/2 Bг + 1) J + и) + F,{Y2 Bг + 1) г - и)] =
яг-1
/1(a)
/2(Р)
Эа''-i (а - Pf аЭ''-i (а + РГ
A5.32)
Иногда выражение A5.32) дляо!) бывает полезно представить в виде
производной, порядок которой на единицу меньше:
где Fi и F^ — новые произвольные функции. Отсюда
df
Y'i
д-ГТх t^i (/2 Br + 1) i + u) + /^, (/2 Br + 1) i - u)] =
da' (a + ?,r^ d?' (a + p)^
r+1
X = lit —
du '
/г = Г
2r +3
2r+1 •
f A5.34)
Определим теперь общее выражение для производной дур/ди. Первое
представление дур/ди имеет вид
д\р _ д
ди ди
а^-^ Fi ( V2 Bг + 1) ^ + Ц) + ^2 ( /^ (^г + i)i — и)
ai
?^ [7^; (|/ Bг + i)i + u) + F',{ ]fl Br + 1) ^- - i^)], A5.35)
где знак ' означает производную от функций F^ и /^2 по их
аргументам. Второе представление d^pldu, выражаемое
производными по инвариантам Римана, также легко получить, поскольку

148 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IV
аф _ д' /i(a) д' /2C) _
^" да^ (a + ^f д?' (а + Р)"
~д'-^ /iw _ ?:^ /2(Р)
. аа^-1 (а + Р)''-! аЗ''-i (а + р)^"
= г
A5.36)
Мы получили, таким образом, общие решения для ряда значений
показателей изэнтроп i:
п = -1, 3, 5/3, 7/5, ..., 1.
Поясним, какой смысл имеют и когда могут при отыскании обш,их
решений употребляться эти показатели.
Случай п = — 1 имеет главным образом формальное аппрокси-
мационное значение, и только для некоторых деформируемых
твердых тел п = — 1 может иметь реальное значение.
Случай п = 3 отвечает плотным газам, например продуктам
детонации, и, как будет показано ниже, также может быть
использован при описании движения вообще плотных сред. Кроме
того, вследствие исключительной простоты решений мы часто
будем пользоваться значением ^ = 3 для аппроксимации ряда из-
энтропических законов в случае обычных газов.
' Случаи п = 5/3 и 7/5 отвечают одноатомному и двухатомному
газу при обычных температурах.
Случаи п = 9/7, 11/9, ... и т. д. отвечают нагретым газам.
Случай п = I соответствует изотермическим движениям при
постоянной энтропии.
Перейдем к рассмотрению некоторых важных свойств общих
решений. Прежде всего покажем, что при сопряжении особого и
общего решений, возможного только на одной из характеристик:
2
и = + _, с + const = itм^ + const,
функция ij) может принимать или заданное значение % (и), или
значение 1|J (О- Поскольку особое решение имеет вид х = {и + c)t -{-
-\- F (и), а. с другой стороны, в общем решении мы записывали х
в виде X = ut — д'^/ди, t = d^p/di, то из сравнения этих
соотношений следует, что
|| + ,|t + F(u) = 0. A5.37)
Так как при этом du = + cd In р = + di/c, что определяет
+с = di/du, то
ди du di ^ ^ ^

§ 15] ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ 149
ИЛИ
d^ + F (и) du = О,
откуда
я|)= -'\F(u)du = ^pl(u), A5.38)
ИЛИ
^=^2 (О, A5.39)
поскольку на характеристиках и = и (i), что и доказывает
высказанное нами утверждение.
В частном случае, когда особое решение задано в таком виде,
что F {и) = О (для центрированных волн), мы приходим к выводу,
что на одной из характеристик
1]; = const. A5.40)
Так как сама функция ^p задана с точностью до константы, то, не
ограничивая общности, можно считать, что на одной
характеристике
а|; - 0. A5.41)
Это, как мы увидим далее, означает, что одна из произвольных
функций общего решения также становится равной нулю.
Рассмотрим, например, характеристику и = w — Р, где [3 = const.
Покажем, что на этой характеристике имеет место следующее
соотношение:
\ wdw ) W 2' dw' 2z;^+i ^ ^ ^
В^самом деле, имеем
д Fi(w + и) _ К Fi
wdw w ш^ id^ ^
при U = и; — Р это равенство переходит в
К _ Fi^ ^ 1 (FBw-^)/
2w^ id^ 2 \ w'^ J
(штрихи на F' обозначают дифференцирование по w). Далее,
/ д yFiiw+u) ^ К ^К , 3Fi
\ wdw I W v^ w'^ vr* ''
при и = w ^ ^ получаем
^w^ 2 w^ w' 4 \ w^ I
И T. д., что и доказывает наше утверждение.

150 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IV
Аналогично
\г F2 {W — и) _ i д^ F2Bw + a)
\ wdw I
при
и = а — w, где а = const.
A5.43)
Найденные общие решения определяют х я t как функции
U, i или а, р в параметрической форме, что не совсем удобно и
при решении ряда задач приводит к громоздким выкладкам.
Помимо рассмотренных случаев п = 3 и п = —I, относительно
просто рассматриваются случаи, когда п = 5/3 (г = 1)ип = 7/5
(г = 2).
Область пространства, характеризуемая общим решением,
может слева и справа сопрягаться или с областями, также
характеризуемыми общими решениями, или с одной стороны с
областью, описываемой особым решением. Случай, когда с обеих
сторон области общего решения находятся области особых
решений, очевидно, исключается, ибо при этом общее решение
становится тривиальным и описывает стационарное движение среды.
Область общего решения также .может граничить с одной или
с двух сторон с областями, имеющими другую энтропию, т. е.
отделяться от них не слабым разрывом, а так называемым особым
разрывом. Обе области другой энтропии не могут одновременно
являться простыми волнами, описываемыми особыми решениями.
С одной стороны область общего решения может быть также
ограничена плоской стенкой.
В тех случаях, когда показатель изэнтропы не имеет значения,
определяемого соотношением п = ^ ' . , решения уравнении,
как показал Риман, можно представить в виде гипергеометрических
функций.
В заключение укажем еще один эффективный способ решения
основных уравнений.
Уравнение состояния при постоянной энтропии совпадает
с уравнением изэнтропы и имеет вид р = р (р).
Мы уже знаем, что если вместо уравнения изэнтропы р = Ар^
брать приближенное уравнение р = Aq {р^ — Ро), то решения
основных уравнений получаются наиболее простыми. Само
уравнение состояния р = Ар^, вообще говоря, не является точным,
поскольку при изменении плотности и температуры меняется
показатель изэнтропы к и происходят различные необратимые
потери энергии. Поэтому задачу точного интегрирования уравнений
газодинамики можно поставить следующим образом. Выяснить,
для какого вида функций р = р (р), наиболее удачно
аппроксимирующих уравнение состояния, получаются наиболее простые

§ 15] ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ 151
решения уравнений. Весьма удачное решение задачи
интегрирования уравнений в подобной постановке провел Г. А. Домбров-
ский ^). В его методе мы имеем дело с уравнениями движения для
специальных семейств функциональных зависимостей между
давлением и плотностью, допускающих простые и удобные для
решения краевых задач общие интегралы. Из семейств, каждое из
которых в методе Г. А. Домбровского зависит от четырех
произвольных постоянных — параметров, выбирается такая конкретная
связь, которая наилучшим образом аппроксимирует заданную.
Приближенное решение задачи представляет собой точное
решение для такой аппроксимирующей связи, при этом точность
решения существенным образом зависит от той точности, с какой
удается осуществить аппроксимацию исходной заданной
зависимости между давлением и плотностью. Наличие четырех
произвольных параметров, которыми можно распорядиться по своему
усмотрению, позволяет получить хорошие приближения в
достаточно широких диапазонах изменений переменной р. Ниже мы
кратко рассмотрим некоторые основные соотношения этого метода.
Пусть X — абсцисса частиц газа, t — время, и — скорость,
с — скорость звука. Введем в рассмотрение переменную Римана г?,
функцию тока h (координата Лагранжа) и потенциал скорости ф:
dh
дх ~
дх '~
Для функций
имеют
место
9^
¦- и,
и -.
V =
уравнения
dU
dv '
с
V
dh
lit
дер
dt
= X
- X
dV
ди
__\
= ¦
=
dh
дх
дф
дх
?
if^p.
-ри,
/u2
^ ^ dt
+ ^ dt
dU
ди ~
-ь5^/-
-h,
-Ф
р dV
' с dv '
A5.44)
Эта система является линейной и имеет к тому же удобный
симметричный вид.
Аналогичная система может быть записана и для функций
h {и, v), t {и, v):
dh dt dh dt , - с ,сч
1) Cm. E9].

152 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IV
Предположим, что коэффициент в системе A5.44) выбран в виде
такой функции % (г;), которая дает возможность получить общие
интегралы этой системы в простом виде. Имеем
¦^ = %iv)-
Соответствующие этой функции зависимости р = р (v) и р = р (v),
как легко можно убедиться, определяются формулами
p=\%{v)dv, p==^-±^^^^(v)dvYdv. A5.46)
При помощи этих формул определяется параметрически
(параметр г;) семейство связей между давлением и плотностью,
допускающее интегрирование системы A5.44) в простом виде. Это
семейство зависит от v + 2 произвольных параметров, где v —
количество произвольных постоянных, входящих, возможно, в
самое функцию X (^)-
Семейство связей между давлением и плотностью,
допускающее интегрирование в простом виде второй системы, получим,
положив
рс = X (v).
В этом случае
где Ci и С2 — произвольные постоянные. Это семейство также
зависит от V + 2 параметров.
В качестве коэффициентов систем A5.44) и A5.45) Г. А. Дом-
бровский предлагает следующие функции:
где пит — произвольные действительные постоянные (v = 2).
Если, например,
-?- == n^tg'^mv,
то общие интегралы системы A5.44) имеют следующий вид:
и =
nsin^mv д_ r/i (I) -Н и W
cos mv dv sin mv
]¦
У cos^mz;
n^vdrnv dv
cos mv J '
где /x (^) и /з (г]) — произвольные функции характеристических
переменных

§ 1б] Общие решейия ё форме ЛаГ1^анжа 153
По формулам A5.46) в результате выполнения квадратур
получаем соответствующее предположению A5.37) семейства связей
между давлением и плотностью:
р= -тг^
где Ci и Сз — произвольные постоянные интегрирования. Если
рс = п^ tg^ mv,
то в простом виде представляются общие интегралы второй системы:
j^^ nsm^mv д r/i(^)+/2(r])]
cos mv dv L sin mv J '
n sin mv dv \_ cos mv J *
t ==
Соответствующее семейство p = p {p\ m, n, Ci, C2) получаем в
результате выполнения квадратур
Аналогичные формулы могут быть легко получены и для
других указанных выше функций % (v).
Свободой выбора постоянных т, п, Ci, С2 можно с успехом
воспользоваться для получения достаточно высоких приближений
к заданной по условию задачи связи между давлением и
плотностью. В работе содержится регулярный способ определения этих
постоянных из условия третьего порядка касания
аппроксимирующей и заданной кривых р = р (р) в произвольной точке
(Ро^ Ро)-
Интересно отметить, что все соотношения для связей вида
р = А + Вр^ {А = const, В = const)
с показателями у = — 1, у = 1/3, у = 5/3, 7 = 3 следуют из
Теории Г. А. Домбровского в качестве некоторых частных случаев.
§ 16. Общие решения в форме Лагранжа
Некоторые задачи, например задача о кавитации
(диспергировании) жидких или твердых тел у их свободной поверхности при
прохояедении сильных ударных волн или волн сжатия, наиболее
просто и эффективно решаются в форме Лагранжа.

154 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНР1Й ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IV
Основные уравнения одномерных изэнтропических движений
среды в форме Лагранжа имеют вид
ди . др _ ^.
dt '^ dh ~~ ^'
дх
A6.1)
где dh = {dp/da)da = р dx, v = 1/р есть удельный объем.
Дифференцируя второе уравнение по времени, имеем
ди dv .лп о\
далее, дифференцируя первое уравнение A6.1) по Л и уравнение
A6.2) по ^ и исключая d^u/dt dh, приходим к уравнению
В том случае, когда р
решается, поскольку
В -
f^=0. A6.3)
Ay, это уравнение непосредственно
A6.4)
т. е. мы пришли к обычному волновому уравнению, решение
которого
V = /^1 (/г + At) + F^ih- At), A6.5)
где А имеет размерность импеданца К ^ рс.
В случае уравнения пока произвольной изэнтропы проделаем
следующие преобразования, необходимые для анализа и
отыскания обш,их решений уравнений A6.1). Поскольку
ди
W
дает
д^х ^ д^х dv dp dhu
" ~W ' 'W ~~ dp~dk ' '^^ ~dF ~
d'^X 2 2 ^^^ L.2 ^^^
dp дЧ
dy dh^ '
A6.6)
Заменяя p^c^co отношением p^c^ = рнс| (р/рн)^"^^, где рн, Сн —•
плотность и скорость звука в невозмупленной движением среде,
мы, поскольку р = dhldx, придем к уравнению
дЪ дЧ
дЧ dh^' _ 4 'di^ ..nr^.
Qt2 = Рп^п / dx^n-i-i ~ _n-i f dx .n-vi • \^^*4
Рнад] ^"^ [ж)

ди
dt
dp ду
~~ dw~dh '
ди dv
dh ~ dt
§ 16] ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА 155
Это уравнение является обобщением классического волнового
уравнения, описывающего распространение звука в среде,
характеризуемой уравнением изэнтропы /? = ^ (р^ — Ро). В случае
малых возмущений для любого уравнения изэнтропы имеем
рС-^рнСн, А~>арн,
и уравнение A6.7) действительно становится волновым:
(Впервые уравнение A6.7) было получено Ирншоу.)
Напишем теперь исходные уравнения в виде
A6.9)
Представим их для изменения роли зависимых переменных в виде
якобианов
d{u,h) dpd(t,y) _^. d(t,u) _d(v,h) /jfiim
d{t,h) "^ dyd(t,h) ""'"' d{t,h) " d{t,h) V^".-»^;
и разделим почленно эти уравнения на якобиан q^'V =hO (в
случае q\/J = о мы придем к особым решениям основной системы
уравнений), после чего придем к следующему результату:
d(u,h) dp d{t,\) ^п., д (t, и) _д (у, h) /ia Ц\
д(и,у)~^ dw d(u,v) ' d{u,v)~ д(и,\)* ^lu.ii;
Вычисляя якобианы, придем к уравнениям
Аппроксимируем теперь зависимость между р и\ соотношением
" + "•-177^- <'"^>
при этом dp/dv = — Ап/{\ + Vo)"+^; здесь /?о, Vq и А —
константы. Вводя новую переменную, которую мы будем называть
эффективной скоростью звука
п-1
V + Vo \ 2
СО = @„
v^-bvo
где сОн = Сн -^ , Сн = f-qr^ V^ (Ра + Ро) (vo + Vh), придем к

156 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IV
уравнениям
n+l
n+l
-^ + -^PbC„(-) ^ = 0. A6.14)
Продифференцируем первое уравнение A6.13) по и, а второе
уравнение — по с и исключим d'^hldu дс, тогда получим одно
линейное уравнение второго порядка относительно t
-Г(г^ + ^^:^)-*-. A6.15)
Мы, таким образом, пришли к ранее выведенному для
эйлеровой формы уравнению A5.16), что и понятно, так как
выражение t через W и с не должно зависеть от формы написания
уравнений.
Продифференцируем теперь первое уравнение A6.14) по с,
а второе —• по гг и, исключая dtldu и дН/ди дс, придем к
уравнению, определяюш;ему h\
\ 2 j U(o2 ~^ л-1 (О acoj ~ ди' •
Это уравнение отличается от уравнения, определяющего t, только
знаком при первой производной по с. Поскольку для реальных
показателей изэнтроп
t = ~:[Fi (У 2{2r + l)i + и) + F,(Y2{2r+i)i^ и)] =
За' (а + РГ^ ^ар^ {oi+W^^ ' ^ ^^
где
п = {2г + 3)/ Bг + 1), г =: - 1, О, 1, 2, 3, ..., оо,
а* = и + 2со/(гг - 1), -р* = и — 2(о / {п — 1),
то для определения h при тех же показателях изэнтропы мы
должны, как это следует из соотношений A5.17) и A5.19)
предыдущего параграфа, заменить г на —г в решениях A6.16) и поэтому
заменить дифференцирование интегрированием. Таким образом,
«• = ^^, |f; (/2Bг+1)Г + и) + F\ (f2Br+l)i-- и)] -
dsC-' (а* + ГГ^ а?*-'- (аЧЗ'Г^ '

§ 16] ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖа 157
где Fx, F2, а также /i, /2 — другие произвольные функции, чем
в A6.16); тогда п и г будут снова связаны соотношением
п = {2г + 3) / Bг + 1), где г - - 1, О, 1, 2, ..., оо.
Однако при решении задач нет необходимости определять
h непосредственно из уравнений A6.17); проще сначала определить
t = t {и, с), затем, пользуясь вторым уравнением A6.13):
п+1
^+-^РнСн — ^^0, A6.1Ь)
определить
п+1
h = "-=± Р..СН (^Т{?Ли + Ф(со). A6.19)
~^"'4%J )^
Зная t = t {и, Од), X = X {и, со), h = h {и, со), формально можно
получить
X = F {h, t), A6.20)
что определяет связь между х, h и t, т. е. текущим и начальным
значениями координаты х, а затем легко вычисляется
Т. е. находится зависимость плотности в окрестностях заданной
частицы от времени.
Так же как и в решениях, написанных в форме Эйлера,
решения, написанные в форме Лагранжа, обладают тем свойством,
что при сопряжении общего решения с особым на одной из
характеристик
2 —
СО = а* === const
какая-либо из произвольных функций стаповится равной нулю.
п+1
Поскольку со = с ^ '^ а — = -^ -^Ц— , то
n-l
Vh + Vo /'Vн + Vo^ 2
0)
Далее, зная соотношение для со, легко определить
соответствующие зависимости для v и с.
Указанная аппроксимация р -\- Ро = А1{у +Vo)'^ весьма точна
для решения различных задач. В частном случае, когда гг=3,

158 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ, IV
эта аппроксимация при большой точности приводит к простому
решению.
В самом деле, при п = 3 уравнение A6.13) принимает вид
причем
Vh + Vo Vjj + Vo дс (Vh + Vo)^
(О =: (Он 1—т— : СОн = Сн —: : со =
V + vo ' ^ " v„ ' ^ - ад Уд (V + Vo) '
где Сн = Vh Y'^iPn + Po)(vh + Vo)/(v„ + Vo); далее, уравнение A6.14)
можно написать в виде
дЧ , 2 dt _ дЧ .-^ ^оч
Решение этого уравнения очевидно:
t = Fi{u+co) + F,(u~c,) ^ ^^g 23)
Для того чтобы найти h, удобно поступить следуюш,им образом.
Из уравнения dt/dy == dhldu находим, что t = д'^/ди, h = д'у^/ду.
При этом решение A6.24) дает
^^ф,(^ + о)) + Ф2(и-со) ^ ^jg25)
где
ф^ = \ F^d {а + (о), Фг = \ ^2^ (^ - «)•
Поскольку со = В/{\ + Vo), где 5 - (vh + Vo)//3(/?h + Ро) (^н + Vq),
то
Мы видим, что в координатах Лагранжа общее решение имеет
простой вид (особенно при п = 3) при более точной
аппроксимации изэнтропы, чем в случае решений в форме Эйлера, а именно
в аппроксимации содержится лишняя константа.
На этом мы заканчиваем формальную часть определения об-
ш,их решений в случае одномерных изэнтропических течений
среды и переходим к физическому описанию основных непрерывных
волн, могущих распространяться в какой-либо среде.

§ 17] ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ 159
§ 17. Основные физические закономерности
при распространении волн
Мы уже отмечали, что возможны два вида непрерывных волн
(т. е. волн, где все величины, их характеризующие, непрерывны),
а именно волны сжатия и волны разрежения.
В волнах сжатия давление в заданной частице среды
возрастает по мере ее движения, а волнах разрежения — падает. При
этом и те и другие волны в случае одномерного движения среды
могут распространяться в противоположных направлениях.
Исследование уравнений, характеризующих одномерные из-
энтропические движения среды, показывает нам, что особые
решения описывают волны, бегущие в одном направлении, а общие
решения представляют собой волну, которая может быть
представлена в виде наложенных друг на друга двух волн различных
направлений. Обе эти волны могут быть и волнами сжатия и
разрежения или одна из них может быть волной сжатия, а другая—
волной разрежения. Таким образом, на некоторых участках
в волне двух направлений может наблюдаться сжатие, а на
других участках — разрежение среды.
В случае показателя изэнтропы п = 3, как мы убедились,
эти волны, наложенные друг на друга, распространяются
независимо, а в общем случае при распространении взаимодействуют друг
с другом.
Представляется возможным выяснить еще некоторые основные
закономерности, проявляющиеся при распространении различного
вида волн.
Исследуем сначала некоторые свойства простой волны.
Рассмотрение начнем с бегущей, например, в положительном
направлении оси X, волны. Решения основных уравнений,
характеризующих эту волну [см. A4.5) и A4.6)], имеют вид
x = {u-{-c)t + F (и),
и = ^-—f" ^ + const.
A7.1)
Если через Ur и Сп обозначить параметры среды в области
стационарного движения, с которой должна обязательно сопрягаться
справа бегущая волна, то const = и^ __.> с^^ и второе
соотношение A7.1) примет вид
и — и^ = -jj-^^ {с — Сн). A7.2)
Покажем наглядно, что скорость перемещения заданного
состояния среды в бегущей волне при заданных значениях и = й, с = о
есть й -{- с.

IdO РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДЙОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. VI
Напомним, что все параметры состояния связаны со скоростью
движения и однозначной функциональной зависимостью. Пусть
U = й, с == с в некоторой точке х = х^ ъ момент времени t = tQ,
тогда Xq = (й -\- c)tQ + F (й); очевидно, что эти же значения
и = й, с = с будут наблюдаться в момент времени t = ti в
некоторой точке X = Xi. Поскольку xi = {й -}- c)ti -{- F (й), то
очевидно, что
а?1 —д^о
h — to
= й + с, A7.3)
Это выражение показывает, что скорость перемещения заданного
состояния, определяемого значениями и = й, с = с, в бегущей
по течению волне сжатия есть й + с. Отсюда следует, что два
каких-либо различных состояния среды будут перемещаться с
постоянными для каждого из них, но различными между собой
скоростями и -\- с.
Так как и ^ с {и я с связаны соотношением A7.2)), то для
определения зависимости скорости перемещения достаточно задать
только состояние среды, например, при помощи местной скорости
звука с. В случае политропического газа скорость перемещения
какого-либо заданного состояния w = й -}- с будет выражаться
соотношением
и? = ^ЗТ ^ + ^н - j^zTT ^Н1 A7.4)
которое, заменяя с на й, можно написать в виде
w = Un+Cj, + —^ (й - и^). A7.5)
Отсюда следует, что чем больше с (или й), тем больше скорость
перемещения данного состояния, а это означает, что волна
сжатия, описываемая особым решением, не может распространяться,
не изменяя своего профиля. Различные точки ее профиля будут
перемещаться с различными скоростями; точки, где давление,
а следовательно, и с больше, будут выдвигаться вперед по
сравнению, с точками профиля, где давление меньше, в результате
чего волна будет деформировать^ т.
Пусть в некоторый начальный момент времени зависимость,
например, скорости звука в волне от х имела форму синусоиды.
В процессе движения форма волны будет непрерывно изменяться;
в одних местах волна будет становиться круче, в других,
напротив, растягиваться. Это положение является справедливым и в
случае произвольного уравнения изэнтропы, для доказательства чего
достаточно определить знак производной:
d (и-\-с) 1^ f du , dc \ 1 d (рс)
df'
_ 1 (du dc\_ 1 d(9c) fil a\

§ 17] ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ 161
Поскольку рс = рУ dpld() = ]/ —dp/d\^ то
1 d (рс) _ уЗ ci /¦ dp . rf ^ /" Jp _
с2р с?р ~ с^ dw V d\- ' rfv Г c?v ~
d^p
-./¦""^
поэтому
с^р — 26-2 /¦—^ ~ 2 "Sp"
A7.7)
В тех случаях, когда d^p/dY^ ^ О или dHldp'^ > О, имеем
d {и -\- с) I dp^ О, что и выражает большую скорость
передвижения областей большего давления, а следовательно, и плотности.
Типичные среды (газы, жидкости и твердые тела) обладают как
раз такими свойствами, что d^yjdp'^ ^ О или d^pldy^ ^ 0. Эти
производные берутся при постоянной энтропии {dHldp^)s и {d^p/d\^)s.
В случае закона обобщенной изэнтропы
р_Л(У -Voj, -^- —^, -^- — >и.
в тех случаях, когда d^p/dw^- = О, мы имеем
d(u + c) _
dp
= О, A7.8)
а это означает, что профиль волны при ее распространении не
будет деформироваться, т. е. скорость перемещения всех
параметров состояния всех точек волны при ее распространении будет
оставаться неизменной.
Условию d^p/d\^ = О отвечает закон изэнтропы Чаплыгина
р = В - Ау, A7.9)
или уравнение обобщенной изэнтропы при показателе степени
п = -1.
Вернемся снова к уравнению х = (и + с) t + F {и + с).
Определим производную дх/ди, считая, что с = с (и):
ди~ V ^ rfi/ у v" I - /' -н- - - d{u-\- с)
Отсюда находим
ди 1
A7.10)

i 0<t;<t^<l
T
/=/.
t.,_ "x;
у
¦ ~-^=.
¦^=i^
i27
^i»
162 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IV
В тех случаях, когда F' ^ О, величина duldx с увеличением
времени стремится к нулю. Волна поэтому будет растягиваться.
Поскольку в ней гг = — \ ^d In ру то
J
(при d^pldy^ ;> 0) и даннаяволна будет волной разрежения. В тех
случаях, когда F' <С О, выбирая начало движения при / = О,
всегда можно найти такой момент времени t = ty = — F\ когда
величина производной
^4 ^-^/--z^^-V д^^д^ = оо. в интервале
времени О ^ ^ ^ ^у
профиль этой волны
становится с течением времени все
круче и круче.
Стремление производной ди/дх при
t = ty к бесконечно
большим значениям
соответствует предельно возможной
крутизне профиля волны
и ~ и (х) в данном месте,
Pjj^ 3. когда фронт волны
становится вертикальным
(рис. 3).
Это явление указывает на момент начала образования и
формирования так называемой ударной волны. (Аналогичные выводы
можно сделать и для волны и — с.)
После возникновения ударной волны энтропия каждой
частицы среды изменится, и далее движение этих частиц уже нельзя
описывать уравнениями, пригодными для изэнтропических
движений среды.
С точки зрения теории характеристик простые волны сжатия и
разрежения интересны тем, что поскольку в волне сжатия
частицы, имеющие большее давление, а следовательно, и скорость
перемещения, догоняют частицы с меньшим давлением, то и
характеристики в плоскости (х, t): dxidt = и -\- с (или dxidt = и — с), вдоль
которых движутся состояния с большими давлениями, а также
скоростями, пересекают (догоняют) с течением времени
характеристики, переносящие меньшие значения давления (а также и и t:).
Точки пересечения и будут обозначать места и моменты
возникновения элементарных ударных волн. Области за местами
пересечения характеристик [в плоскости {х, t)] не имеют физического
смысла, поскольку там значения и i/l с могут быть многозначными
(обычно трехзначными), что означает несколько различных
состояний в одном и том же сечении среды.

17]
ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ
163
и
в волнах разрежения, напротив, характеристики в плоскости
(о:, t) по мере возрастания времени будут расходиться все дальше
друг от друга, что и означает растягивание волны разрежения
(рис. 4).
В случае среды,Jl;ля которой (JPpldyl<^Q, в волнах сжатия
характеристики будут расходиться, а в волнах разрежения —
сходиться, поскольку с увеличением давления величина и -{- с
(или и — с) для волны
первоначального направления будет
падать.
Из этих положений следует,
что F' ~ dFId {и + с) не меняет
знака во всей области
существования простой волны, а
следовательно, наши вычисления
величины ди/дх были вполне
справедливы.
Для волн, описываемых
общими решениями, возможны
принципиально два основных вида
движений: когда среда находится
в замкнутом объеме (в закрытой с обоих концов трубе) и когда
среда может, хотя бы в одном направлении, достаточно расширяться.
В первом случае, если написать
к
i==t^
X'
t-t.
^=2{;
00
.27
Рис. 4.
x-x^ = u{t-\-t^ + -|J-,
A7.12)
где х^ж t^ — совершенно произвольные константы, можно на
основании соотношения
х^-\-и
У1 —1 Ь"^
^ дс
+ to -
Эф
ди
A7.13)
прийти к выводу, что с течением времени производные д'\^/дс и
d^ldu, во-первых, станут одного порядка малости, а во-вторых,
скорость и будет иметь такой же порядок малости, поскольку
размеры трубы, заполненной средой, ограничены. Константа t^ для
каждой новой волны, возникающей при отражении от стенок
прежних волн, будет становиться все больше и больше по мере
того, как движение среды успокаивается и w ->0. В пределе
ди
дг|)
->о. -if-
>О и W—>0, i—>^о» x-^utQ-{- Xq, A7.14)
где Xq всегда будет иметь ограниченную величину, характерную
для данного объема, занятого средой.
Пока еще среда не успокоилась, можно считать, что d^ldc =
== т dyp/duy где т = const, и искать решения для затухающих

164 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IV
волн вида
г|) = ф (гг + тс), A7.15)
Таким образом, затухаюш,ие волны можно рассматривать как
звуковые волны одного направления в плоскости характеристики
{и, с), а среду, в которой они распространяются,— как бы
находящейся уже в покое.
Перейдем к описанию второго случая, когда среда при своем
движении может достаточно расширяться. Прежде всего отметим,
что величины производных д'Ур/ди'и. д^р/дс и в данном случае будут
стремиться стать одного порядка малости, поскольку область,
занятая волной, может непрерывно увеличиваться, а величины
и и с ограничены. Далее, очевидно, что при этом если t -^оо, то
/? ->0 и в случае газа р ->0, с -^0, а величина и остается
конечной. (В случае твердой или жидкой среды, когда р = А {р'^ — ро),
при р = О р = Ро и дальнейшее неограниченное расширение среды
может иногда привести к ее диспергированию (кавитации). Этим
вопросом мы займемся в специальном разделе достаточно
подробно.) Поэтому отношение -^ / -^ = 2с/{п — 1)и стремится к
п ~1 и д^ь . ^
нулю и х-^—2 -^-^ut. Отсюда также очевидно, что
величины д'\р/дс и с становятся одного порядка малости. Таким
образом, в пределе (при t -^ оо) х = ut, откуда
и = -^, A7.16)
что показывает на инерциальность движения. В самом деле, для
каждой частицы и = dx/dt = x/t, откуда х = UQt, где Uq — const—
постоянная скорость данной частицы. Это и понятно, так как
упругие силы внутри среды (газа) при р -^-0 (р -^0, с ->0)
перестают действовать. К соотношению A7.16) можно прийти
непосредственно из основных уравнений, полагая р = О, тогда du/dt +
-f- и ди/дх = О, откуда и = x/t; при этом уравнение
неразрывности принимает вид
^ (In р) + ^ ^ (In р) + i- = о, откуда р = Ц^, A7.17)
где Ф (x/t) = Ф (и) — произвольная функция x/t = и.
В частном случае эта функция может быть положена равной
некоторой константе и соотношение A7.17), определяюш,ее р,
примет вид
Константа А определяется из интегрального закона сохранения
массы. Принимая плош;адь сечения трубы iS = 1, находим, что

§ 17] ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ 165
масса газа/п = \pdx= Au^^i где u^^ — максимальная скорость
о
движения газа; отсюда А — mlUj^^ что определяет р = mlu^t =
= т/х^, где а:^ — координата фронта расширяющейся среды.
Когда волна, описываемая общим решением, будет являться
волной сжатия, то характеристики в плоскости (х, t) одного
семейства будут обязательно сходиться. Поведение второго
семейства характеристик в этом смысле может быть произвольным.
В том случае, когда характеристики обоих семейств расходятся,
мы будем иметь дело с волной разрежения. Заметим, что в случае
расширения среды в одном направлении даже при сравнительно
небольших интервалах времени, прошедшего с начала расширений,
давление j9, а следовательно, и плотность р, ограничивающие объем
с одной стороны стенки, должны сравнительно незначительно
зависеть от координаты и сравнительно сильно меняться со
временем; это объясняется тем, что движение среды происходит от стенки
и всякие значительные градиенты давлений у стенки должны
быстро падать. Отсюда следует, что у стенки скорость должна
приблизительно линейно зависеть от х, возрастая от нуля по мере
удаления от стенки.
На этом мы закончим формальное исследование основных
свойств неустановившихся изэнтропических одномерных движений
среды.
Прежде чем перейти к решению ряда конкретных задач,
которые будут рассмотрены в следующей главе, необходимо
предварительно сделать несколько замечаний о начальных и граничных
условиях, которыми мы будем при этом пользоваться.
В случае нахождения особых решений, описывающих простые
волны, нам необходимо знать или начальное распределение и
(или с) в заданный момент времени t по х, или распределение
и (с) при заданном :г по ^ а также начальные параметры среды,
которая возмущается этой волной.
При отыскании какого-либо общего решения нам необходимо
знать условия на характеристиках, вдоль которых это решение
сопрягается с соседними волнами двух направлений, или на одной
из характеристик с простой волной.
Если движение, характеризуемое общим решением, начинается
у стенки, то следует полагать на стенке и = 0. Если волна
разделена от других особым разрывом или ограничена движущейся
стенкой (поршнем), то необходимо знать закон движения особого
разрыва или закон движения стенки (поршня).

ГЛАВА V
ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
§ 18. Основные закономерности установившихся
изэнтропических потоков
Между установившимися и неустановившимися движениями
среды существует ряд суш;ественных отличий. Так, при заданных
кинетической энергии и массе движущейся среды ее количество
движения, как будет показано в § 25, при установившемся
движении максимально, а для различных неустановившихся движений
различно.
Скорости движения среды под влиянием разности давления
также различны в установившихся и неустановившихся потоках.
Предельные скорости истечения разреженной среды в пустоту
в случае неустановившихся движений в несколько раз превышают
соответствующие скорости истечения в установившемся потоке.
Для плотных сред может наблюдаться обратная картина.
Основное отличие между этими двумя видами движения среды
заключается в том, что в неустановившемся потоке некоторые
частицы движущейся среды имеют энергию большую, чем средняя
энергия, а некоторые — меньшую, тогда как в случае
установившегося изэнтропического потока энергия всех его частиц
одинакова. В процессе движения в неустановившихся потоках
происходит непрерывное перераспределение энергии по массам
движущегося вещества.
Для того чтобы мы могли сравнивать закономерности движения
среды в ряде неустановившихся потоков с соответствующими
закономерностями установившегося движения среды,
целесообразно сначала вкратце рассмотреть основные свойства
установившегося потока.
Рассмотрение проведем для одномерного потока, движущегося
в трубе переменного сечения.
Уравнение движения для установившихся одномерных потоков,
как это следует из первого уравнения A3.1), сразу допускает
первый интеграл
i + ~ = tH = const, A8.1)
который носит название уравнения Бернулли; здесь i^ —
теплосодержание покоящейся среды.

18]
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ УСТАНОВИВШИХСЯ ПОТОКОВ
167
Уравнение неразрывности при этом принимает также весьма
простой вид
// = ри/ = т, A8.2)
где / — плотность потока, / — сечение трубы, т — масса среды,
протекающая через любое поперечное сечение в одну секунду
(секундный расход среды).
При истечении среды в пустоту, т. е. при неограниченном
увеличении /, когда р ->0 и г -^0 [или р -^ро и / возрастает, но
ограниченно в случае закона изэнтропы р = Л (р'^ — Ро)], мы
имеем
и = Umax = ^Yin, A8.3)
где Umax — максимально возможная скорость движения среды при
заданном теплосодержании покоящейся среды i„.
Рассмотрим поток, движущийся в сопле, которое сначала
плавно сужается, а затем расширяется (сопло Лаваля). Очевидно, что
в минимальном сечении / = /^ величина плотности потока / = ри
достигает максимума. Это значит, что
dj = и dp + р du = 0.
A8.4)
Поскольку уравнение Бернулли можно представить в
дифференциальном виде
^ = di = c^^ =
9 Р
uduy
A8.5)
ТО, определяя из A8.4) dp/p = dulu и подставляя в A8.5), мы
придем к соотношениям и"
с, откуда
и = -h с
A8.6)
ЧТО показывает на достижение в минимальном сечении сопла
звукового режима течения. Это сечение называется критическим и
значение величины 1г^ = с^ — также критическим.
В случае закона обобщенной изэнтропы уравнение Бернулли
принимает вид
2/2 *>\ 2
-(tr.
n-l
4
[ap^ + p^J J
что в случае газа, когда р,, = О, п = А;, дает
к
A8.7)
A8.8)

168 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
В случае несжимаемой среды (жидкости)
и' = ±{р,-р). A8.9)
Выражая максимальную скорость истечения через с^, где с^ —
скорость звука в покоящейся среде, из формулы A8.7) при с -^0,
мы придем к известному соотношению
= |/"irlT^H- A8-10)
Выражая также критическую скорость и^ = ^к через с^. (для чего
необходимо в формулу A8.1) вставить значение теплосодержания
i — гд -J —- (с^ — с|); затем, полагая с = и = с^^, найти с^),
придем к такому классическому соотношению:
A8.11)
Из соотношений A8.7) и A8.11) можно получить выражение
^" - ^к = ^ (и' - c'h A8.12)
которое будет справедливо и для пространственных течений газа,
если вместо скорости и подставить полную скорость.
Уравнение A8.12) показывает, что если в заданном сечении
и <С Cj^, то и и <С с, если и^ с^, то и и ^> с^ поскольку
Ск = у 2/(д + 1)сн является везде в текущем газе постоянной
величиной. Продифференцировав и поделив на ргг/ уравнение
A8.2), получим
d9 .du df pj.
—+ 1Г + —==0,
поскольку из равенства A8.5) получаем значение величины dp/p,
равное dp/p = — (и^/с^) (du/u), то окончательно имеем
Из этого равенства следует, что в случае дозвукового потока,
когда и <С с, будут выполняться условия du^ О при d/ < О
и du <С О при df ^ О, т. е. дозвуковой поток тормозится в
расширяющейся трубе и ускоряется в сужающейся. В случае
сверхзвукового потока, когда и^ с, du^ О при df ^ О и du<^0 при
df <С О, т. е. сверхзвуковой поток ускоряется в расширяющейся
трубе и тормозится в сужающейся. В обоих случаях в критическом

§ 18]
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ УСТАНОВИВШИХСЯ ПОТОКОВ
169
сечении, когда df = О, достигается критическая скорость течения,
т. е. 1^-к = zb ^к = l/ —тТ ^"* Указанные здесь закономерности
движения установившихся потоков обобп^аются на неодномерные
адиабатические движения. При этом под и следует понимать
полную скорость движения среды (г;), а величина i^ будет постоянна
только для данной линии тока, изменяясь от одной линии тока
к другой.
В случае пространственных движений величина площади
сечения / будет иметь некоторое условное значение; можно
рассмотреть ряд линий тока и, выбирая некоторую поверхность,
образованную заданными линиями тока, рассматривать ее сечение так,
чтобы эти сечения были перпендикулярны ко всем линиям тока,
лежащим внутри указанной поверхности; тогда наши выводы
относительно критической скорости в случае изэнтропических
движений оказались бы верными. Для адиабатических движений
указанная поверхность должна содержать достаточно малое
количество линий тока, для того чтобы наши выводы относительно
критической скорости также оказались верными.
Продолжим рассмотрение одномерных движений. В тех
случаях, когда среда истекает через сопло Лаваля не в пустоту, а
в другую среду, давление которой Ра, в критическом сечении сопла
не обязательно моя^ет быть достигнут критический режим
движения, определяемый условием ^к = <^к = ]/^2/7г + 1 Сд. Если
противодавление внешней среды р^ определяется из соотношения
п—1
n+i
Си =
с1
1 -
A8.14)
то это означает, что в критическом сечении достигается как раз
режим критического истечения при условии, что внешнее
противодавление равно
Ра = Рк = Рп
п+1
п—1 г / 9 \ ''г—! -]
] -^Ро[1-^^) ]• A8-15)
Хотя при повышении противодавления до величины Ра > Рк
скорость истечения среды через сопло по-прежнему будет
подчиняться уравнениям A8.1) или A8.7), это истечение всегда будет
дозвуковым.
Пусть теперь Pa<.Pi{, тогда всегда можно рассчитать
выходное сечение сопла /в так, чтобы на выходе давление в истекающей

170
ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
[ГЛ. V
среде было бы р^, при этом
/в J 2 f^^UM + PaY
/:
(^-1)
1-
n—1
^9o+Ph
A8.16)
Это соотношение определяет также любое сечение сопла Д, если
в него подставить вместо величины Ра текущую величину pi.
Если для сопла заданной формы повышать противодавление
внешней среды, то на выходе возникнет ударная волна, которая будет
входить в глубь сопла, пока не достигнет критического сечения;
после этого секундный расход среды через сопло, который
определяется формулой
n+l
т = PkCiJu = Рн^н/к (тг+т) ^^"""^^ ' A8.17)
начнет уменьшаться. Секундное количество движения (тяга)
определяется соотношением
ти = тса
n — i
1 ^( ^^О+Рд
A8.18)
В случае истечения газа, когда ро = О, п = к, соотношения
A8.15), A8.16), A8.17) и A8.18) примут соответственно вид
Р:
/к
dm
/с+1
2(/f-l)
k-i
^^ ш-т'']
К-+1
2 \2(Ь-1) ^Pj^
dt
dl
dt
[k+ij
^H '
_ /
"l -
k-1
[ A8.19)

§ 18] ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ УСТАНОВИВШИХСЯ ПОТОКОВ 171
в случае к = 1, т. е. при изотермическом процессе, и^ — 2с| In pjp;
при этом в случае истечения в пустоту скорость истечения будет
неограниченно возрастать.
Соответствующие этому случаю формулы, определяющие /в,
т, I, будут иметь вид
^'к 1 /в Рв_
- > I
A8.20)
Рн Ve ' /к р^ Уё
ш= '^^^
с^Уё
Уе V Ра^ )
где в — основание натуральных логарифмов, т ~ dm/dt^ 1 = dlldt.
При рассмотрении истечения среды из большого резервуара
в пространство можно сделать вывод, что^ критическая скорость
истечения в случае р^ >> р^ достигается непосредственно на
выходе из резервуара, и поэтому выходное сечение будет являться
критическим сечением.
В несжимаемой среде скорость звука с^ = dpi dp = оо, так как
р = const, и поэтому всякое истечение среды является
дозвуковым. Отсюда в несжимаемой среде секундный расход ее через
какое-либо сечение определяется просто соотношением
причем скорость истечения определяется формулой
j;{Pn-Pu). A8.22)
где /i — площадь такого сечения трубы, в котором достигается
режим движения р = ра» Поэтому в произвольном сечении трубы
/ давление определяется соотношением
т^
И скорость движения среды — соотношением
т
Р = Ра + -^ A8.23)
A8.24)
секундное количество движения среды в сечении, где р = Ра>
выражается соотношением
/ = т« = 2А (р„ - Ра). A8.25)

172
ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
[ГЛ. V
Целый ряд полученных здесь результатов мы используем при
изучении стационарных ударных волн (что в дальнейшем позволит
нам изучать неустановившиеся адиабатические движения среды,
в которой могут возникать нестационарные волны).
В заключение этого раздела следует указать, что выражение
секундного импульса в случае газа на выходе из сопла можно
написать, используя формулы A8.19), также в виде
ти —
2к
jf^P^
1±
Рк
A8.26)
§ 19. Интегрирование уравнений плоских
изэнтропических течений газа
Основные уравнения, описывающие плоские установившиеся
изэнтропические течения газа [см. B.13)], имеют вид
дх ~^ ду ~^ р дх '
dv , dv , i dp п
dx ^ dy ^ p dy
A9.1)
dx ' dy
Из первых двух уравнений системы B0.1) следует уравнение Бер
нулли
м2+ г;2
~\-1 = 1
О»
причем
и =
Эф
дх '
^ф
ду '
A9.2)
A9.3)
где ф — потенциал скорости. Решение последнего уравнения
системы A9.1) можно представить через функцию тока ij) (:г, у):
рг; = —
дх
A9.4)
Введем обозначение для модуля полной скорости а = Уи? -\-v^
и угла 0 между направлением полной скорости и осью х^ тогда
и — а cos 9, г; == а sin 0, и уравнения A9.3) и A9.4) после простых
преобразований примут вид (уравнения Чаплыгина)
аф агь аф
^-1
A9.5)

§ 19] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА 173
Уравнения A9.5) являются нелинейными дифференциальными
уравнениями в частных производных. Они решаются графо-ана-
литическим методом характеристик в области сверхзвукового
течения при соответствующих граничных условиях. Но можно
при искусственно аппроксимированной изэнтропе найти и
точные решения для плоских установившихся течений газа.
Впервые метод аппроксимации изэнтропы в виде р = р* —
— const/p, где р* = const, предложил С. А. Чаплыгин, затем
Л. И. Седов [25], С. А. Христианович [5], Г. А. Домбровский [59]
и другие ученые предложили более точные аппроксимации
изэнтропы, при которых также можно было искать точные решения.
Мы изложим здесь свой метод, аналогичный методу Г. А. Дом-
бровского, но имеющий то достоинство, что он приводит по форме
к таким же решениям, какие имеют место для одноразмерных
неустановившихся изэнтропических течений газа.
Преобразуем уравнения A9.5); поскольку
ada=-di, a'=-2(i-io), ^ - 1 = - [l + ^^^dp] =
= -р'К(р),
где Iq — теплосодержание покоя, К (р) — функция Чаплыгина,
то систему A9.5) можно написать в виде
2(i — Iq) д^ _д^ __ аг|) _ аф 2 (i — ip)
р 'di ~"д? ' dQ ~~ di Zp *
Введем обозначение
где q и f — пока произвольные функции, тогда система A9.6)
примет вид
^ —Kf ^ ^ — — i ^
Исключая отсюда при помощи дифференцирования функцию г|;,
придем к уравнению
Если принять, что
-^/^=2Й1Т' -^/|- = 1' A9-9)
где а — любое целое (положительное или отрицательное) число,
то придем к известному уравнению Эйлера:
дд^~ дд '^ 2а+ 1 дд^' ^l».lu^
которое имеет аналитическое решение:
ф,^ 3°-^ /-,[-|А2Bа + 1)? + е]+/'2[/2Bа + 1)<?-е] ^ ^^д.И)
A9.6)

174 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
Уравнение, аналогичное уравнению A9.10), в свое время для
плоских течений нашел С. В. Фалькович, однако его вывод был иным
и более громоздким *).
Из условий A9.7) и A9.9) можно определить q (р), / (р), i = i(p),
а затем /? = р (р), т. е. вид уравнения состояния, при котором су-
ш;ествует решение A9.11). Это уравнение состояния будет
содержать семь произвольных констант, что вполне достаточно для
удовлетворительной аппроксимации истинного уравнения состояния
р = р (р). Если а^/с^ > 1, то jRT < 1 и уравнение A9.8) является
уравнением гиперболического типа, при а^/с^ < 1 уравнение
A9.8) имеет эллиптический тип. При К ^ I в решении A9.11)
2 Bа + i)q < 0. Разделив второе соотношение A9.9) на первое,
найдем, что / = AiQ^^^"^^^^^, где Ai — произвольная константа.
Исключив из первого соотношения A9.9) и A9.7) функцию К и
затем /, получим
Теперь, исключив из первого соотношения A9.9) функцию /,
можно привести его к виду
q{2<x+l)/2 ==
Отсюда имеем
йдBа+1)/2 :
{2oi + i)Al
Bа+1)/4а^_^^^^^^^^^^
Bа+1)/4а ^^--Bа+1)/4а
Bа+1)^^ J
Сравнивая это с выражением A9.12), найдем, что
J 1^-Bа+1)/4а _ jl/2a 2а + 1 Р dj
~~ 2а — 1 2 (t — to) '
где А — новая произвольная константа, причем
Поскольку
\ 2а 4-1
р di dp
то
2(i — io) Kp^ — i '
^^-Ba+l)/4a ^ 2a + 1 ^^V^a dp
2a — 1 Kp^ — 1 '
*) Cm. Прикл. матем. и мех., № 4, 1947.

§ 19] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА
откуда, вводя новые безразмерные переменные
приходим к специальному уравнению Риккати
175
•5^ = -|«+л*"/а-2«).
A9.13)
Заметим, что можно было бы к переменным 5 и т] прибавить
произвольные константы 1о и т1о, увеличив этим число произвольных
параметров, аппроксимирующих уравнение состояния.
Решение уравнения A9.13) имеет вид
^ = т:г2^^'^*'"^'^'"'"^^(^)-
A9.14)
где
^а+1
Q(T))
^ (^а/A-2а) ja+1
^^ {Ло ехр [Bа-1) т)!/^-^^)] + ехр [A-2а) ti1/<i-2^>]}
(^^а/A-2а))а (^0 ехр [Bа - iW^^^'^^^ + ехр [A - 2а) ^^А^-^^)]}
Здесь Aq — постоянная интегрирования. При этом
Из A9.12) и A9.13) имеем
A9.15)
di
Подставляя сюда g из A9.14), находим
di 2а—1
t — to
4Q
dr\,
откуда получаем решение для i:
В
i == г'о + -J ехр
(^-*)Sn^J-
где В — постоянная интегрирования.
Поскольку dp = pdi, то
dp = I^ nW(l-2a),Ba-l) ^^^Ц,
откуда
P-P* +
2В
1 +2a
С r,4a/(i-2a) gxp ГBа - 1) С -^j dt], A9Л6)
где /7^
постоянная интегрирования.

176 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
Соотношения A9.15) и A9.16) дают в параметрическом виде
связь между р и р. Эта связь содержит четыре произвольных
константы Aq, А, В, р"^ и одну целочисленную произвольную
константу а, а такя^е константы |о ^ Ло — всего семь констант.
Если рассматривать конкретные случаи решения уравнения
A9.13) для разных а, то легко установить, что при а = О мы будем
иметь уравнение изэнтропы р ~ р"^ — const/p, т. е.
аппроксимацию Чаплыгина. При + а ^ 1, 2, 3, ..., с» с большой точностью
получим
р ^ p't + const p^ A9.17)
где соответственно k = 3, 5/3, 7/5, ..., 1. Если считать, что
уравнение изэнтропы A9.17) выполняется точно, то уравнение A9.13)
незначительно изменится, так что решение A9.17) будет
приближенным (с хорошей степенью приближения) решением уравнения
A9.13).
Мы имеем решение в виде ф = ф (^, 6) или ф = ф (а, и)
(поскольку q = q (а)), а надо иметь решения
и (х, у), V = V {х, у)
или
X = х{и, v), у = у {и, и)
[х = X (а, Q), у = у {а, В)]. Для этой цели надо использовать
хорошо известное преобразование Лежандра; введение функции
Ф — — (f -{- хи -\- yv при соотношениях
г, дФ sine ^Ф . ^ ^Ф , cose дФ
х= cos6-^ ^^, г/ = sinG-^ ^s- »
да а од ^ да ^ а од
где Ф = а\-\с1а, полностью решает поставленную задачу
отыскания обш,его решения исходных уравнений.
Обычно точно решают преобразованные уравнения для
плоских течений при аппроксимированной изэнтропе. Здесь,
наоборот, для точной изэнтропы мы ищем приближенное решение
основных уравнений. Очевидно, что оба эти подхода дополняют друг
друга и могут иметь полезные применения.
§ 20. Волна разрежения одного направления
при истечении ранее покоящегося газа
Представим себе трубу, перегороженную в двух местах
стенками. Пусть область между стенками заполнена покоящимся
газом, а вне стенок — пустота. Расстояние между стенками
обозначим через /. Ось х направим параллельно оси трубы, начало
координат поместим у правого закрытого конца (рис. 5). Площадь

20]
ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ
177
сечения трубы постоянна и принимается равной единице.
Параметры покоящегося газа обозначим через /?п, рн, ^ы, и^ = 0.
В момент времени ^ = О в сечении х = О снимем правую
стенку. При этом начнется неустановившееся истечение газа в
пустоту, и одновременно возникнет волна разрежения одного
направления. Границами волны являются справа фронт истечения в
пустоту, двигающийся вправо, и фронт волны разрежения,
двигающийся влево.
В данном случае собственная скорость частиц всюду будет
направлена противоположно скорости распространения фронта
волны разрежения.
При снятии стенки вначале приходят в движение смежные с
этой стенкой слои газа, постепенно движение захватывает все
более далекие области, ле-
Пустота
«27
-I О
Невозмущенный
газ
—ш
Волна разреоюения
\
Пустота
X
О
Фронт
истечения
Рис. 5.
жащие левее того места, где
находилась снятая стенка.
Когда частицы газа с
плотностью рн,
первоначально находившиеся в
покое, начинают двигаться
вправо, постепенно
убыстряя свое движение,
плотность в той части
заполненной области, где
началось движение, очевидно,
будет падать. Этот процесс
постепенно распространяется справа налево от снятой стенки, т. е.
в указанном направлении распространяется волна разрежения.
Очевидно, уравнения, описывающие эту волну, должны явиться
решением основных уравнений газовой динамики для
неустановившихся процессов. При этом решение должно быть особым
(римановским), так как волна разрежения представляет собой волну
одного направления, распространяющуюся по невозмущенной
среде.
Здесь важно отметить то обстоятельство, что фронт волн идет
только влево от снятой стенки, внутрь заполненной области.
Фронт же газа, истекающего направо в пустоту, нельзя
рассматривать как волну, так как здесь частички газа сами движутся,
но никакой среды в движение не приводят. Распределение
скорости и плотности по обе стороны от снятой стенки описывается
одними и теми же уравнениями, область же существования волны,
описываемая данным решением, распространяется с течением
времени в обе стороны от точки х = 0.
Для решения поставленной задачи при уравнении изэнтропы
Р — ^Ф^ мы воспользуемся римановскими решениями основных
уравнений газовой динамики, полученными в § 14 [см. A4.2) и

178 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
A4.3)],
X = (и — c)t -\- F (и), \
2 , 1 B0.1)
" ¦ с -{- const. ^
Знак минус перед с показывает, что фронт волны движется налево.
Первое граничное условие, очевидно, состоит в том, что в
заполненной области между стенками газ находится в покое и
скорость звука в нем имеет некоторое определенное значение Сц.
Это условие позволяет нам определить константы во втором
уравнении B0.1). Подставляя в него значения и = и^ = О, с = Сц,
найдем
_ 2
О -= - -j^—j Сп + const,
откуда
const = 2с J {к — 1),
и второе уравнение B0.1) примет окончательный вид
u=j^(c^-c). B0.2)
Оно является как бы аналогом уравнения Бернулли. Разница
состоит в том, что в уравнении Бернулли стоят квадраты
скоростей, а здесь скорости входят в первой степени. Предельная
скорость при истечении в пустоту, очевидно, будет определяться
соотношением
^тах — у^__ I ^н* B0.о)
Сравнивая ее с предельной скоростью истечения в пустоту
при установившемся процессе, при постоянной плотности газа
в сосуде, которая определяется соотношением
B0.4)
найдем, что
"; г\-г B0-5)
max установ г п, х
При fe < 3 это отношение всегда больше единицы, т. е. для
большинства газов скорость потока при неустановившемся
истечении всегда больше по сравнению, с установившимся. Например,
для воздуха {к = 7/5) скорость неустановившегося истечения
примерно в 2,2 раза больше скорости установившегося истечения.

§ 20] ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ 179
Второе условие данной задачи состоит в том, что в начальный
момент при снятии стенки значения и и с в этом месте (т. е. при
X = 0) являются неопределенными.
Скорость скачком возрастает от нуля до своего предельного
значения и = Wmax = 2с J {к — 1), а плотность и скорость звука
скачком падают до нуля от начальных значений р = рн» ^ = ^н-
Это условие позволяет нам определить произвольную функцию
F (и), входящую в первое уравнение.
Можно показать, что эта функция должна тождественно
равняться нулю, поскольку движение при ^ = О определено в точке
(в сечении) х = 0.
Действительно, если F (и) = О, то первое уравнение B0.1)
принимает вид
X = (и- c)t, B0.6)
откуда при t = 0, X — О, и — с = О/О, т. е. значения и и с
являются любыми в указанном интервале согласно условиям задачи.
Таким образом, учитывая граничные условия задачи, мы
получили решение в виде
B0.7)
Истечение происходит в пустоту, поэтому формально мы буде^м
называть фронтом растекающихся газов те точки, в которых р
равно нулю, а др/дх не равно нулю. За этим фронтом мы, очевидно,
будем иметь некоторое распределение скорости и плотности, при
котором скорость газа всюду положительна, а плотность его не
превышает начальной плотности газа в сосуде. Таким образом,
во всей области, захваченной возмущением, плотность, а
следовательно, и скорость звука будут меньше, чем начальные
плотности и скорость звука в сосуде.
Найдем, с какой скоростью движется фронт волны
разрежения. Так как фронт волны разрежения в каждый данный момент
граничит с областью невозмущенного газа в сосуде, то, очевидно,
что на фронте с = с^, и = 0. Следовательно, для фронта волны
первое уравнение B0.7) дает
-f=-c„, B0.8)
Т. е. фронт волны разрежения движется справа налево со
скоростью Сн, равной местной скорости звука. Соотношение X — — Сц1
является характеристикой наших уравнений.

180
ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
[ГЛ. V
Этот результат вполне закономерен, так как слабые разрывы,
к которым принадлежит и волна разрежения (поскольку в ней
скачок испытывают не сами величины, характеризующие
состояние, а их производные), вообще распространяются в покоящейся
среде с местной звуковой скоростью.
Найдем теперь распределение ия с во всей области, по которой
прошло возмущение, в зависимости от времени.
Разрешая уравнения B0.7) относительно и и с, мы определим
и =
k + i
2
Ск —
к-\-\ t
Ч' + v)
/с + 1
1 ^
k~i
B0.9)
Отсюда мы видим, что в каждый данный момент распределение и и
с изображается прямыми линиями (рис. 6).
Далее мы видим, что в сечении х = О всегда
и = с =
/c + l
B0.10)
т. е. устанавливается критический режим истечения. Совершенно
ясно, что состояние, при котором и = с, должно оставаться в
покое, так как скорость распространения этого состояния и ~ с
я данном случае равна нулю.
и\с
На фронте волны разрежения, как мы видели, ц^ = О, с = с^,
фронт волны разрежения движется со скоростью —^н- На фронте
истекающего газа г^тах = 2 с J {к — 1), с = 0. Скорость
перемещения фронта совпадает со скоростью летящих впереди частиц.
В качестве примера нарисуем график распределения w и с при
к = 7/5 (двухатомный газ).

§ 21]
ОТРАЖЕНИЕ ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ
181
Уравнения (8.9) при к = 7/5 дают
с ==
и =
Сн(
1
5c^t
1 -
^н^
B0.11)
Тогда через некоторое время t после снятия стенки волна
разрежения пройдет влево на расстояние —c^^t, передние же частицы
газа пролетят расстояние bc^t, и мы получим картину
распределения и и с, показанную на рис. 6. Это движение газа является
автомодельным, поскольку все параметры, характеризующие его,
являются функциями линейными отношения x/t.
§ 21. Отражение волны разрежения '^)
Найденное в § 19 решение будет справедливо до тех
пор, пока волна разрежения не дойдет до левой стенки,
находящейся на расстоянии / от начала координат. Это произойдет в
момент времени
B1.1)
После этого возникнет отраженная волна, которая будет
распространяться по уже возмущенному газу, и, следовательно, эта
волна должна быть описана общими решениями основных
уравнений газовой динамики. Эти решения, как мы знаем [см. A5.33)
и A5.34)], можно написать в виде **)
^p
t =
д''-^ Fi [ /2 Bг + 1) / -Ь ц] + ^2 [ У":^ Bг -Ь 1) / - и]
Yi
di '
ut
ди '
-1,0,1,2,3,
B1.2)
Для определения двух произвольных функций Fi и Fg
необходимо знать два каких-либо начальных или граничных условия.
Первое условие заключается в том, что на стенке скорость газа
при любом t тождественно равна нулю. Поскольку
независимыми переменными являются (и, i), то это условие необходимо
*) Впервые эта задача была аналитически исследована Л. Д. Ландау
в 1944 г. [И], [2], §§ 101, 102.
**) Такое представление i|) удобно при п = 1, 2, ...; при п = 1 или
при л = — 1 любые решения, как мы показали ранее, находятся
элементарно.

182 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ.У
сформулировать так: при д: = — I и ^ О при произвольном
t^t = -^. B1.3)
Второе условие легко найти, рассматривая сопряжение
отраженной волны с падающей римановской волной. Линию
сопряжения, которая будет характеристикой (поскольку возмущения
распространяются по характеристикам), можно найти из
условия
^ = и + с. B1.4)
Заметим, что для определения иже мы можем и не знать
уравнения этой линии. Очевидно, что вдоль этой характеристики
значения W и с, определяемые обоими решениями, не терпят разрыва
(сопрягаются непрерывно), терпят разрыв лишь производные
ди/дх, дс/дх.
Формулы предыдущего параграфа B0.9) дают и {х, t), с {х, t)
в виде
" = ТТТ^"A + '^)' '^ = ТТТ^"(^-^^)- B1.5)
Отсюда
dx 4 . Ъ — к X /0/1 А\
Интегрируя и помня, что интегральная кривая должна
проходить через точку х = — Z, t = l/c^, находим
3—к
2 кЛ-! . f ^и^\
X
На этой линии
-^.'^-i^AW- pi.')
tIt ('«-') <2*-''
и, как мы знаем A5.41), г|) = 0.
Выразив к через г, с через г, согласно формулам к = » ]Г. ,
с = Y(k — 1) г = 1/ ' г, второе условие мы можем
сформулировать так. На характеристике сопряжения выполняются условия
и = /2Bг + 1) [УТ^ - /I], г|) - 0.
При этом произвольные функции Fi и F^ будут зависеть от
аргументов
Fi = FJ/2 Bг + 1)^н, /^2 -= ^2 [/2 Bг + 1) Bfl - /Т^)].

§ 21] ОТРАЖЕНИЕ ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ 183
Таким образом, это условие не определяет F^ и F^, поскольку Fi
на характеристике постоянно, но, исходя из него, можно показать,
что F.2 ^ 0.
Докажем это утверждение сначала для г = О (дг = 3, что
соответствует продуктам детонации) и для г = 1 (/г = 5/3
соответствует одноатомному газу). При г = О мы должны воспользоваться
общим решением, написанным в форме A5.27):
я|) - Fi [Y^i + u] + F2 [/27"— и].
Согласно граничному условию задачи на фронте нового решения
г|) ^ Fi (/2U + F, [/2 B]/"? - f ^7I ^ 0.
Поскольку функция от перелюпной величины не может
тождественно равняться нулю, то необходимо и достаточно, чтобы Fa ^ 0.
Точно так же при г = 1, воспользовавшись обпцим решением
в форме B1.2), мы получим
. _ Fi [ УЫ + и] +Гг[УЫ-и]
УТ
на характеристике
, Fx [ Kbi J + /'г [ /6 B /Г- yt^n
оЬ = 7-= — ^0.
^ yi
Отсюда также ясно, что при г|) ^ О F^^O.
Можно доказать, пользуясь интегрированием, что F<2= О для
любого & = y~Jt' ^"^^^ 2,... Таким образом, мы нашли,
что г|) должно зависеть лишь от одной произвольной функции, т. е*
^^^ЫУЩ±Л, B1.9)
где для краткости мы обозначили Л = 2 Bг + 1).
Из условия на стенке при гг ^ О и из соотношения х == ut —
— д'\р/ди имеем —х = + / = дур/ди, или, поскольку dFJdu =
= lYiJRdFJdi, имеем
l = y^^FAVRi+^h B1.10)
что дает
F. iVWi -L m =. JlA 1IL
FAViii^ + 0] = -^ Z ^Ц/^ , B1.11)

184
ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
[ГЛ. V
причем мы интегрируем в пределах от i до i^, поскольку при
и ^ О i может меняться от значения i^ до текущего значения i.
Таким образом, при и ^ О мы нашли выражение для F^.
Поскольку Fi = Fi (У.Ш + и), то при и =f= О мы придем к
выражению
Pi =
J Vr
(Ym + u)^-Ri^
R
Отсюда имеем
ti)
I a-i [(/ш + иJ-ду
B1.12)
B1.13)
2H d(Rif-^ V^i '
ИЛИ, вводя новую переменную Q = Ri = w^ = [ . _ . el [R —
= 2 Br + 1)]> получаем окончательно
lb =
IR d' [jV^ + ur-Qj
2r! дд'
t =
ut
(r-i)! aer-i
re
B1.14)
Напишем отдельно выражение г|) для случая г = 0. Из формулы
A5.27) имеем при ге = 3: ^ = F^ [/2i + u] + Fj [/27 — ul;
как уже показано выше, F^ ^ 0. Далее, на стенке х = — Z, и ^ О,
и из соотношения х = ut — д'^/ди имеем / = д'^/ди или I = F' (^i).
После интегрирования в пределах от i^ до i получим
г- Y2i^) = Fi {Y2i); таким образом, мы определили функцию F^
для случая Аг = 3; так как 2i = с^, то функция я|) будет иметь вид
г|) = Fi {Y2i + и) = 1{с-^сп + и), B1.15)
На линии сопряжения данного и особого решений на^
основании формулы B0.7) имеем и =^2 {сц — с) /{к — 1) = у&к — г 6?
откуда
B1.16)
поскольку все остальные члены правой части второй формулы
B1.14) после г-го дифференцирования при подстановке и —
=: YR lY^i — Y^ ^ Y^n "~ V^ обращаются в нули. Анало-

§ 21] ОТРАЖЕНИЕ ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ 185
гично из третьей формулы B1.14) находим
г
a: = ut-l(^'-f-y =ut-ll^-^J = {u-c)t, B1.17)
т. е. приходим к первой формуле B0.7), что является хоропшм
контролем наших вычислений.
Подставляя из B1.16) величину t в B1.17), придем к
формуле
1
I \г+1
х = {2г + 1) c^t - 2 (г + 1) c^t (-^)
3—fe
Таким образом, как и следовало ожидать, мы пришли к формуле
B1.7), выведенной нами ранее из других, более элементарных
соображений.
Поскольку правый фронт (фронт разлета) римановского
решения движется по закону х = 2cnt/{k — 1) = Bг + 1)сн^, то особое
решение при t ^ //Сд на основании B1.18) и последнего уравнения
оказывается определенным на интервале
1
Bг + 1) сн^ > ^ > Bг + 1) сн^ - 2 (г + 1) ^н^ ( -^^ '^'
Таким образом, величина интервала движуш,егося газа, не
затронутого отраженной волной разрежения, будет
г
Ax = 2{r + l)l(^-j-j . B1.19)
Представляет весьма значительный интерес найти
распределение и ж р при ^ -^ оо и определить при этом полное количество
движения газа, которое должно быть равно импульсу,
воспринимаемому стенкой. При этом можно легко показать, что масса газа,
находящегося в интервале /^х (в интервале римановского решения),
будет стремиться к нулю. Таким образом, оказывается
необходимым лишь найти распределение величин и я р для отраженной
волны.
Очевидно, плотность газа р {х) при t-^ оо при любом х будет
стремиться к нулю, поскольку масса газа конечна, а область его
распространения бесконечна. При этом величина i также будет

186 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
стремиться к нулю, а следовательно, определяя t по второй
формуле B1.14), легко убедиться в том, что все члены при
дифференцировании дадут нуль, кроме одного. В самом деле, значение t
будет равно
t^^[{Yb + uY-Ky^Q \ B1.20)
Так как
ЗЕгб ' =(-!)'¦ ;^в ^', B1.21)
порядок i или 9 (порядок нуля) в знаменателе этой производной
будет наибольший; приводя остальные члены, получаемые при
дифференцировании, к степени 9 ^ ^ ^ы должны их умножить
на 9, взятое в некоторой положительной степени, что при 9 ~> О
будет обращать эти члены в нули.
Из B1.20) будем иметь
(ен-^У ./^н .21
22)
22r+l(,jJe 2
Аналогично, используя третью формулу B1.14), найдем, что
х= UL B1.23)
Это следует из того обстоятельства, что порядок величины д'\1р/ди
соответствует порядку величины
Займемся преобразованием формулы B1.22). Поскольку
1
е„ = Bг + 1)^с2, ц = Bг + 1)(с„-с), с~р^+\
то можно написать, что
е"^^ =[Bг + 1)с„р-(^) =[Bг+1)снГ^^.
Обозначая постоянный множитель формулы B1.22): Bг)!/(г!)^2^^=5,
найдем, что
^ = *(-0Ш " = Ч'-0(п?).
откуда
что дает распределение плотности по скорости при ^->- оо.

1
§ 21] ОТРАЖЕНИЕ ВОЛНЫ РАЗРЕШЕНИЯ 187
Покажем теперь, что действительно в интервале особого
решения масса газа стремится к нулю. Поскольку р = р (с), то,
используя B1.15), найдем, что плотность в интервале особого
решения определяется формулой
Р-Рл(^—J -Рн[2Т7+Т) 2(r + l)-^J ^
при t-^ ОО р-^0, откуда x/t = Bг + 1) Сн = 2Сп/{к — 1) = Wmax-
Масса газа на интервале Ал: определяется интегралом
Хо
AM = \ pdx,
Xl
где согласно B1.17) и B1.18)
Хо = Bг + 1) c^t, Xi = Xo-2{r + 1) c^t y^j
Отсюда следует, что
где
1
г = _^, Zo = 2r + l, z, = 2r + \-2{r + i)i^-^y^\
Интегрирование дает
где рн/ = Мн есть полная начальная масса газа. Отсюда видно,
что при ^-^оо АМ-^0. Для определения полного импульса,
действующего на стенку, воспользуемся выражением
Хо
I = 5 pudx. B1.25)
—1
При t--^ оо эта формула переходит в
^0
/=5pudx. B1.26)

188
ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
[ГЛ. \
Формула B1.24) дает, поскольку и = x/t = c^z = (/с — i)uu
zjl = zurnax/i^r + 1)? следующее значение импульса /:
/ = М^В !Ц- \ (zl - z'Yz dz = .^/°., Br + 1)
Br + l)
Подставив сюда величину В, будем иметь
22'-+^! (г+ 1)!
B1.27)
Поскольку с|/А; {к — 1) = бн, где Ед — энергия покоящегося в сосуде
газа, рассчитанная на единицу массы, то Сн = Y2 B г + 3) ен/Bг -Ь
+ 1). Вводя полную энергию газа Еа = Мн^ы, приводим формулу
B1.27) к виду
/ = f 2 Bг + 3) М„Е, аДit +1I ^ ^ ^^^^^' B1.28)
где ^ = lA2r + 3 ^^ , "^ ^'— . При /с = 1, г->- сх> по формуле Стир-
линга имеем
=/^^
В таком виде формула, определяющая импульс, особенно удобна
для практического использования в ряде задач современной
газовой динамики. Значение | для различных /сиг удобно задать
табличкой
к
г
3
0
5/3 1 7/5 1 9/7 1 11/9
1 1 1
1
2
1 0,865 \0,839-1 0,825
3
0,818
4
0,816
1
оо
0,796
Как мы видим, величина ^ мало зависит от значения к или г.
Вычислим теперь давление р^ у стенки после прихода волны
разрежения. Для этого момента t ^ Z/ch, р = Рн- При t > 1/с^,
поскольку на стенке и^О, из второго уравнения B1.14) имеем
t =
IR д' Ф-%У
2г1 ае^ Yq
B1.29)

§ 21] ОТРАЖЕНИЕ ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ 189
Вводя переменную
п—1
" ~" «н ~~ V ^н j ~ V ^Н
придем к выражению, определяющему давление р^:
c^t _ 1 d' {z-iY _ 1 ^ 2(г-а)!Bа)! -^
~~7Г'^ yi '~?'^ [{г-а)!а!р2
Отсюда следует также формула для определения импульса
оо со о ^н
1 = Р^^+\ Pidt==p^^+ ^p^t--\^tdp^=^ tdp,. B1.30)
Очевидно, внеинтегральный член после интегрирования по
частям дает после подстановки пределов импульс для простой волны:
— РнЧсн- Таким образом, получаем следующее выражение
импульса:
pj - ' . ^ .-t
Cjj J Zj \р^ J р^
О О
Рн 2(г4-1—а)
О а=0
Здесь
ф = ф(, а)= 2 (г-а)! Bа)!
^ ^'^' ^' [(г - а)! а!р
Отсюда, поскольку рн = -^ = .,^^3 Р«^" '^ ^Р« "" ¦^'" ^^® •^""~
масса газа, имеем
_ 2г + 1 д, у 2(г-а)! Bа)! „1 32)
^ - ^2т- ^нСн 2j [(г_а)!а!Р(г + 1-а) ' ^^^''^'^^
а=0
Вводя полную энергию
придем к выражению

190 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
Произведя суммирование, получим уже известное по формуле
B1.28) выражение для импульса
в случае /с = 1 (г = со) сумма в формуле B1.33) равна
г-*оо 1 1
J_^ у 2(г->д)| Bг)! ^ 1 у 1 ^ 1 Г е^Р ^ .
2^^ ^ti «'' - ^)' ^^)' ^ о '^ Т^РТГ^^ ~ "" } /РA-Р)
где р = а/г; аналогично соотношение B1.30) сводится к
^==J.((?=.f_JL=, B1.34)
о
что в свою очередь выражается через функцию Бесселя нулевого
порядка Iq от чисто мнимого аргумента. Вводя переменную у:
Р = —^, придем к выражению
—1
где
т
= -77 In — , J = J (m) = \ .
Дифференцируя / (m) дважды no параметру m, имеем
1
dy
/1 - y^ '
—i
1 1
Беря последний интеграл по частям, приходим к уравнению
J" (т) + —r{m) = J (т); B1.35)
решением этого уравнения и является функция Бесселя нулевого
порядка от чисто мнимого аргумента
/ == /о (т); B1.36)

21]
таким образохМ, в случае к
ношение
ОТРАЖЕНИЕ ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ 19t
1 (г = оо) имеем окончательно соот-
B1.37)
Вычислим теперь давление р^^ в точке сопряжения отраженной
fc-i
p2fe ^ то воспользовавшись
/
2гН-3
И римановской волн; поскольку с
B1.15), будем иметь
-^= /J_\ /^+1 ^
Рп \ ^н^ j
Приведем функции t ^ t (pi) ж t = t (р^) для различных к,
определяемые из формул B1.30) и B1.38):
1 1
B1.38)
к
Рн
Р2
и ^ 'п^ 1
р
{1±
\ Р2
1_
'•н'
I \ pi
\ Я1 / \ Pi
Ян
Р2
''„'
_1_
16
л.
Pi
+ 3
+ 5
Рн
pi
+ 3Kf +
B1.39)
im
Рн
Pi
Л: =
И V
' 9 ' /
+ 18(
1
~ 128
Ж
Н^ТМ'^Т
+-№f+-(#j
+
Ч^)"
Для определенности сравним р^ и рз ^ момент t = ^2> когда
отраженная волна достигнет начала координат. При этом t ¦= t^.
В этот момент на основании B0.9) c^jc ~ (А: + 1)/2 и на основании
B1.15) имеем
fn + 1\ 2 C^-i) _ ;2(г + 1)\"^^
2 ] -[ 2г + 1 j •
^н^
B1.40)

192
ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
[ГЛ. V
В табличке, приводимой ниже, даны значения отношения pjpi
для различных к.
к
3
El 1,000
5/3
0,925
7/5
0,923
9/7
0,920
11/9
0,915
1
0,910
Табличка показывает в данном случае (при t ^ Q, что в
отраженной волне давление и скорость звука мало зависят от
координаты (рис. 7). Следует
заметить, что изменение
давления со временем в
отраженной волне, напротив,
весьма значительно. Таким
образом, график местной
скорости звука с на
участке от стенки {х = — I)
до начала координат {х =
= 0), являющийся
отрезком прямой, с течением
времени опускается вниз
со значительной
скоростью, оставаясь почти параллельным оси х,
В случае А: == 3 (г = 0) р = />i == /?2 на всем интервале
отраженной волны. В самом деле, при w = 3 из формулы B1.15) имеем
х^-1
отсюда
с другой
X ——- с^дГ
г|) = /(ц + С ~ Сн);
X = ut — ¦—' ~ut — 1\
ди '
стороны, из формул B1.7) и B1.8) при к
2Z, а = Сн — с\ из этих равенств следует
и =
х+ I
I
Рн
а
3 имеем
B1.41)
Таким образом, рис являются в случае к = 3 функциями
только времени и вовсе не зависят от х.
Мы уже говорили о том, что при неограниченном расширении
среды и, в частности, газа давление и плотность в отраженной
волне должны сравнительно сильно меняться со временем и мало
зависеть от координаты. На основании B1.23) и B1.24) мы
получили следующие асимптотические формулы, характеризующие
распределение скорости и плотности в отраженной от стенки вол-

§ 21] ОТРАЖЕНИЕ ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ 193
не по прошествии достаточно большого интервала времени после
отражения:
0-1 Bг)! Г / . у 1г B1-42)
^ V ^«22''(r!JBr + lf L '^' I V / J * -I
Поскольку вблизи стенки ц = О при ^ -> оо, то плотность
характеризуется следуюп^ей простой формулой:
/ Bг)|
P^pH-^f^iF^- B1.43)
к этим формулам можно прийти непосредственно, исходя из
основных исходных уравнений, если положить в них давление равным
нулю; тогда решения этих уравнений принимают вид
x = ut, P = ^^^ B1.44)
Первая формула сразу дает и = x/t и вторая определяет, что р
зависит не только от t, но и от x/t == w, однако вид этой функции
определить без сопряжения с простой волной невозможно.
Как мы видим, решение для отраженной от стенки волны
является весьма сложным и неудобным в ряде преобразований.
Однако, учитывая малую зависимость давления и плотности от
координаты X, можно найти приближенное, весьма простое
решение для этой волны, дающее хорошую точность. Для этой цели
аппроксимируем давление, действуюш;ее на стенку в отраженной
волне, как функцию времени соотношением
%!
1 +
Р ^
Рн I c„t
B1.45)
/
где fei и 7 — неизвестные пока константы {1/са ^ t ^ оо).
Для их определения постудим следующим образом: вычислим
для данной аппроксимации полный импульс, действующий на
стенку при истечении газа в пустоту в бесконечно длинной трубе:
'- S Р* = ^-К^- Р1.4в)

194 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. у
Поскольку Рн^/Сн = МцСи/к, где к = Ср/Суу а с» == Yk{k — l)EjM^,
то
'и'
1= /2Мн^н/^-^^^^^ B1.47)
Точное выражение, определяющее /, имеет вид
1=У2МЖ^1. B1.48)
где
^ У2г + Ъ Bг + 1)! 21 4Ш
Значение | для различных к и г мы задали таблицей.
Сравнивая значения /, определяемые формулами B1.47) и
B1.48), придем к следующей связи между ку и <:„ 7/7:
^ = ¦|/^Е(А:1 - 1) -^-1. B1.50)
Далее с целью определения второй зависимости между к^
и Сн7// вычислим значение производной d In pjd In i у стенки (при
X = —Z) в момент начала отражения t ^ 1/Сц. Уравнение
неразрывности, если его написать в виде
а значение скорости у стенки представить в виде
lг-a^^ B1.52)
дает
dlnp
"dint
= ка. B1.53)
Займемся определениями величины а в падающей особой волне
2
к + 1
f+ ^н). B1.54)
Фронт отраженной волны при х == •— I, t = — будет двигаться по
закону
_ = _ = и-Ьс = с„. B1.55)
Подставляя в соотношение B1.54) значение и из соотношения

21]
ОТРАЖЕНИЕ волны РАЗРЕЖЕНИЯ
195
B1.52), придем к такому результату: х (к + I) а/2 — а: =
= c^t — {к + i) al/2; отсюда
dx
k + i
B1.56)
a — i
сравнивая выражения B1.55) и B1.56), определяем
4 dlnp Ак
а =
k + i
dint
k + i •
B1.57)
Далее, дифференцируя давление в соотношении B1.45) по времени
и вставляя в полученную производную значение t = Z/сн, найдем,
что
dlnp ki
dint
.+ii
B1.58)
Сравнивая теперь выражения B1.57) и B1.58), определяющие
-—dlnp/dlnt при t=l/Cii в сечении х= —I, придем к выражению,
определяющему вторую связь между Л^ и c^f/l:
^н^ __ _^ к + 1 ___ -
"""" к 4 ^^
B1.59)
Далее, сопоставляя результат определения Сц1/1 по формулам
B1.50) и B1.59), находим
к,^-
1-
А: + 1
«[/i§r-.]
''н'
7~- 4А
-1.
A + l
У fc-i
B1.60)
cj
Следующая табличка дает значения ki и —у- для различных к
к
3
1 5/3
\ кг 1 3 1 1,80
? 1°
-0,28
1 7/5
1 1,55
-0,33
9/7
1,45
-0,36
1
1
-0,5

196 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
Как видим, подобный приближенный метод определения
параметров отраженной волны значительно проще, чем точный.
Введение эффективного показателя изэнтропы ki и величины 7
облегчит в дальнейшем решение ряда более сложных задач.
§ 22. Двустороннее истечение газа
из цилиндрического сосуда в трубу*)
Рассмотрим теперь задачу, являющуюся обобщением
предыдущей задачи.
Пусть газ начинает в момент ^ = О истекать из правого конца
цилиндрического сосуда длины Z; через некоторый промежуток
времени t : О ^ т ^ Z/ch, т. е. прежде чем волна разрежения,
идущая налево от правого конца, достигнет левого конца,
начинается истечение из левого конца. Как и прежде, начало
координат выбираем на правом конце, ось х направляем вправо. В
течение промежутка времени О ^ t ^ х решение описывается простой
волной, идущей влево от правого конца. В момент т от левого
конца вправо начинает распространяться вторая встречная волна
разрежения. Пусть ti — момент встречи этих волн. Очевидно,
X <' Xi<^ 1/сл. В течение промежутка времени х ^ t ^ Xi между
фронтами встречных волн имеется невозмущенная среда и решение
описывается этими простыми волнами.
В момент встречи т^ возникнет новая волна, которая должна
выражаться обЬ,им решением, поскольку она распространяется
в возмущенной среде. Найдем функцию г|), описывающую эту
волну.
Особые решения имеют вид:
для волны разрежения, идущей справа налево:
и = l^e; - ]/"е, :с = (ц - с) t, B2.1)
для волны, идущей слева направо:
u=Y^— Уе^, х= {и + c){t — x) — 1. B2.2)
Поскольку в месте встречи О = 9н, w = О, с = Сн, то встреча
произойдет при
2 ¦*с^- 2 "^4/g;'
л;= тг
/ V / /^н^
2 2 2 R
B2.3)
*) Задача была решена автором в 1948 г.

§ 22] ДВУСТОРОННЕЕ ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОСУДА В ТРУБУ 197
Как и прежде, на линии сопряжения падающей и отраженной
первой волны (идущей налево) имеем -ф ^ 0. Из этого условия, как
и ранее, следует, что одна из произвольных функций F^ и F^^
черезкоторые выражается функция t|?, равна нулю:
F^~0.
Таким образом, ij? зависит только от одной функции F^ и эта
зависимость имеет вид
д""^ FiiVm + u)
^ =
df:t Vi
Функция F^ определяется из условия сопряжения отражения
второй волны (идущей направо) с падающей волной.
Будем искать F^ в такой форме, чтобы функция ij) имела вид
/Л1 ^''\ (>^е + /§;; + ^)' (^^ - /ё; + 1г)Ч/9 + ri2 /§; + и)
B2.4)
где T]i и т]2 надлежит определить из граничных условий. Поскольку
d^ldQ = il2Y^ dy^ldu вдоль линии 1г == ]/^9 —- У^бд, то при ^ = О
X = —{и -\' с) X — р\ далее, из соотношения х ~ ut — d'^ldu при
^ = О имеем х = —d'i^/du; отсюда получаем
^"^-[l + xiu+c)] ^ -
= ^[^+^[4(г + 1I/9"-.Д/ё;]]; B2.5)
непосредственное вычисление dy^/dQ из выражения B2.4) дает
= ^^{2 (г + 1) f ё- [2г + A - Ла) Увн]}. B2.6)
Сравнивая оба выражения дляйо^/йЭ, найдем, что Чх/УО^ = 2т/Ш;
Til Bг + 1 — tia) = xY%/l — 1; отсюда
Таким образом, окончательно имеем
I QT-x (/в + у0; + «)'"(/б-|Аё;-«)'"[(/ё + «)|+B>ч-1)]
B2.8)

198 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
Поскольку 9я|)/5г = t, то легко проверить, что найденная
функция ij) правильно определяет момент встречи двух волн
разрежения
Рассмотрим теперь отдельно случай, когда истечение
начинается одновременно из обоих концов (т = 0). Очевидно, что при
этом т] = О, г]1ГJ = 1; dyp/dQ = //2|^0 и решение B2.4) будет иметь
вид
^ = 177 ~
4г! д^г-1 y-Q
4г! ае^-1 Уо
B2.9)
Легко убедиться, что эта функция действительно удовлетворяет
равенству d\|)/d9 = 1/2Уд при и = Y^ "~ У^н. Эта задача
аналогична задаче отраженной волны разрежения от стенки,
поставленной при X = — 1/2.
Займемся теперь изучением распределения параметров
правого и левого истекающих потоков газа в общем случае. Очевидно,
что при этом О ^ т ^ //Сн; при ^ -^ оо мы имеем 0 -> 0. Потоки
массы, импульса и энергии, идущие направо, определяются
интегралом
•; C„t
2а = Ра \ pU^dx;
О
при а = о, 1, 2 этот интеграл выражает соответственно потоки
массы, импульса и энергии. Значение константы Ра определяется
из балансов массы, импульсов и энергии. Вычисление Ра будет
дано ниже. Обозначим величину 2сн/ {к — 1) через А. При ^-^ оо
можно получить асимптотические формулы, аналогичные формулам
B1.23) и B1.24):
X = ut,
эти формулы могут быть получены теми же методами, что и
формулы B1.23), B1.24). Вставляя значение р в выражение для Za,
будем иметь

22]
ДВУСТОРОННЕЕ ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОСУДА В ТРУБУ
199
и для левого потока
—At
I х\ [ X \^ J X
О
ВведехМ обозначение Az = xjt, тогда
1
2^а = Ра\ A — z'^Y iz + ^ ^^ ) ^"^ dz (для правого потока),
о
—1
2^а ~ [^а \ A — z''^y\z — ^ ^^ ) z"" dz (для левого потока),
о
Вычисляя интегралы, найдем, что
N =
Уб„т
2r!
' 22'-+ir!(r + l)! '
B2.10)
здесь Ml — масса, истекающая направо, Mj — масса,
истекающая налево. (Значение Ро определяется из условия М^ + М^ =
= Мп = фн-) Очевидно, что при т = О iW i = Mg = MJ2.
тт ' -R^
При т = — = —-1= получим
Сн 2 у е„
'" ^ Г+г!(г + 1)!2^'-«
^•^2 2 [^ г1(г + 1)!22'-+1.
Предельные случаи для к дают
A = 3(r = 0)Mi = ^[l + ^], M,=^^[l-^
k = i{r-^oo)Mi = Mi = -~.
Для импульсов имеем
2^*" (г1)^
B2.11)
B2.12)
/i = Pi
/2 = ^2
, Bг + 1)г
Bг + 1)!Bг + 3) "^ уё;;т2(г + 1)
г*»" (г!)г Bг +1) ^
Bг + 1)!Bг+3) ¦^9;T2(r + l)J

200 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
Очевидно, что
/1 + Д-Рн^=—г-=-1г-т- = ш
Л^нОн
отсюда
M^Q^x Bг)!
Р1 —
I (г\у2^*^ -'
/ Bг + 1)Bг + 3) '
B2.13)
И мы приходим к следуюпщм окончательным формулам для
импульсов:
_Ma/e„r/e„T 1 Br + i)Br)i
^ 2 L ^ Bг + 1)Bг + 3)"'(г + 1)(г1)^^'-
_ i^H /0^ Г >^У 1 Bг +1) Bг)!
' 2 L Z Bг + 1)Bг + 3) 2(г + 1)(г1рг2'-
направо,
налево.
При т = О имеем
Т = -I -.- ^" ^^ ^^'' + ^)^^''^' _- ^^""" ^^'' + ^)'<^'')'
^ * 2 2(r + l)(rl)''r«'' 2 2'"'+М(г + 1)Г
при т = z/ch = д/г/ён
/х.2 =
Г -L Bг + 1)Bг)! 1
2 L2r+3^2(r + l)(r!J 22'-J
Предельные случаи для к дают
А-1 7 ^^H/e;r/e-t _1
B2.14)
B2.15)
B2.16)
B9.17)
B2.18)
Заменим У^в через энергию; так как г'я = А:8н = Bг + 3)/
/Bг + 1)ен, то 0н = 2 Bг + 3)ен, что при г-> оо (А; = 1) дает
вн = 4ген; таким образом, мы будем иметь
Ii.^^VM^En
Vs^x
2/г -^Ул\'
Далее, так как с^ = У к (к — 1)ен -^ Y^u/t, то у'^ё^т/2/ =-.

§ 22] ДВУСТОРОННЕЕ ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОСУДА В ТРУБУ 201
= Y^l/^lc^ = Y^/^'i отсюда окончательно получаем
Д=-/,=/^н. B2.19)
Таким образом, в случае к = i количества движения истекаюп1;его
газа одинаковы по абсолютной величине и противоположны по
знаку. При т = О также
B2.20)
Как видим, мы получили результат, аналогичный тому,
к которому мы пришли, рассматривая отражение волны
разрежения от стенки, где / = 2/i, поскольку истечение происходило
в.одну сторону.
Для вычисления энергий имеем формулу
^Ь2 = Р2
22^(г!J
Bг+1)/
/ё;тг Bг + 1IBг + а) -^2(г + 1)(г + 2) J'
где знак плюс — для правого и знак минус — для левого
потоков. Так как Е^ + Е^^ = Мп^н = Еп = ММ2 Bп + 3), то
Отсюда
Q _^нп /У Bг)!
Р2-—«Н--]—22r+l(^jj2'
B2.21)
^Ь2 =
^Н^н
/вн
Bг)!
L 2 Bг + 3) ± Z 22 (^+1) г! (г + 2)! J ^^^'^^^
ИЛИ, заменяя Эн через Сн, получим
^i,2 = -i^Br + l)
Bг + 1)!
1
B2.23)
^ 22^+V!(r + 2)! 2r+3j
Очевидно, что при т = О ?'i = ?2 = ^н/2. При т = //сн получим
^..^2 . ._/ Bг+1I , 1
^\,2 =
Bг +1)^
2 ^- ' *^ \ ±22^-^1 г! (г+ 2)!
Предельные случаи для к дают
2г+3
B2.24)
М с^
к = 3, ?'i,2 = —^—
c„t
-^4/^3
/с = 1, i&i,2 = МЛг [± ]/^, Т- + 1] == ^«^''^
B2.25)

202
ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. У
Заменяя с^ через е^ = E^jM^, получим
^1,2 =
^н^н
4- —
П1 о »
B2.26)
2 "" -^ 2
отсюда действительно получаем Е^ + Е^ = Е^, что является
контролем наших вычислений.
Решение задачи для произвольного показателя изэнтропы, не
определяемого соотношением к = Bг + 3)/ Bг + 1), также
возможно, однако, как мы уже указывали, это решение может быть
выражено в виде гипергеометрических функций и поэтому должно
иметь еще более сложный вид, чем решение, найденное нами для
частных значений показателей изэнтропы. Однако, поскольку
величина импульса и характер распределения массы и энергии,
истекающих в противоположные стороны, мало зависят от
величины, показателя изэнтропы, то нет никакой необходимости
отыскивать сложные решения.
§ 23. Истечение газа из трубы
конечной длины в йустоту
Рассмотрим закономерности истечения газа из трубы
конечных размеров, причем сначала рассмотрим истечение газа в
пустоту. Начальные условия возь-
Н
х^-Ь
х-о
Рис. 8.
х^Ь
мем прежние, т. е. положим,
что истечение начинается при
^ = О, о: = О, но будем
считать, что труба обрывается при
•^о==^о (рис. 8). Первая особая
(римановская) волна, как
мы знаем, характеризуется уравнениями
X
2
и =
{Сп — с)
B3.1)
в сечении ^ — О, гг^ — ^к = -ч , . с^, при а: ^ О гг ^ с,
следовательно, при X == /о> О ^^ открытого конца никакие возлхущения не
могут пойти в глубь трубы.
Отгороженная от стенки волна характеризуется функцией
[см. B1.9)], через которую выражаются t ж х:
-1 [(V^ + u)^-K^'
я|) =
2г\ д^г-1
дЬ
=^R
X = ut —
ди
B3.2)
где е = /?t = 2 Bг + 1) i = [2с/ {к - l)^].

§ 23] ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ИЗ ТРУБЫ В ПУСТОТУ 203
Линия сопряжения этой волны и первой римановской
описывается [см. B1.7)] уравнением
'=jh'-'~i^'[^)^: B3.3)
на линии сопряжения на основании B1.15) имеем
к-1 2 (к-1)
t=(i)"=(-^)"'- <^^-^)
В момент времени t = t^^ который определяется из B3.3) при
X =^ Iq, фронт отраженной волны дойдет до открытого конца;
поскольку при этом и^с, то новой отраженной волны не
возникнет. Однако с течением времени, поскольку скорость газа в
отраженной волне в любом заданном сечении будет падать быстрее
скорости звука, наступит момент, когда при х — /q будет и — с.
В самом деле, в пределе при ^ -> оо в заданном сечении и т- '^ — ,
р --, с — р^^—t ^ ,т. е. при/с <] 3 скорость газа
действительно убывает быстрее, чем скорость звука. Вычисляя oj) при
и = с = ]/б/ Bг + 1) и исключая из ^ = Rd\p/dQ; х = ut —
—d^jdu 1г и 9, найдем линию F {х, t) = О, вдоль которой и = с,
что при X = Iq определяет момент времени t = tQ, когда на
открытом конце будет и = с. При t = t^ возникнет отраженная от
открытого конца волна, которая будет распространяться налево,
причем на ее фронте будет выполняться условие и — 2с/{к — 1) =
= const или и — У^б = const, откуда
YQ - и = Ув1- щ, B3.5)
где 00 и гго — значения 0 и гг при ^=1^0^ сечении х = 1^\
очевидно, Uq == Y^J B^ + 1) = Cq\ таким образом, условие B3.5)
примет вид
Значение 0о определяется условием t^ = Rdyp/dQ при гг = с. Когда
отраженная от открытого конца волна дойдет до стенки, то,
поскольку на стенке и ^ О, мы на основании B3.5) и B3.4) придем
к соотношениям
С1 _ 2г pi _ [ 2г \2г+з
Для вычисления времени прихода волны к стенке воспользуемся

204 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
известным выражением B1.30)
г 2а-И
Сн^1 1 >п 2 (г-а)!BаI ( Рн\ 2г+з ^, ^
а=0
При ЭТОМ возникнет новая отраженная от стенки волна, которая
пойдет к открытому концу; процесс возникновения новых волн
и их отражения пойдет далее, возникнет сложная (^~>оо)
система волн, интенсивность которых безгранично убывает; эту
систему волн весьма затруднительно описать аналитически.
Приведем выражение для подсчета величины импульса,
действующего на стенку в случае трубы конечной длины. В случае
истечения в пустоту при бесконечно длинной трубе искомый
импульс может быть выражен формулой B1.31)
1= С Ырх, B3.9)
где Pi — давление на стенке. В исследуемом случае
/i = -^+ ]pdt+[pdt + ..., B3.10)
где Pi — значение давления на стенку в момент прихода первой
волны, отраженной от открытого конца, р^ — значение давления
в момент прихода второй отраженной от открытого конца волны;
функция р ^ р (t) для каждой волны своя. Выражение B3.10)
можно представить в виде, аналогичном виду формулы B1.31):
Ix=-\tdp + \tdp+ ..., B3.11)
Pi pt
или, вводя /, можно выражение B3.11) написать в виде
Vi Pi
I^=.I-^\^tdp + \tdp+..., B3.12)
где функция t = t {р) для каждой волны своя; значение функции
t = t (р) для первого интеграла дано выражением B3.8).
Очевидно, что величина импульса при конечной трубе меньше, чем
величина импульса при бесконечной трубе. Это объясняется тем,
что часть внутренней энергии переходит в кинетическую уже вне
трубы. Наибольшая разность Д/ = / — /^ будет при Iq = О,

§ 23] ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ИЗ ТРУБЫ В ПУСТОТУ 205
С увеличением Iq А/ уменьшается, при /^ -> оо А/ -^ 0. В момент
прихода волны, отраженной от открытого конца, к стенке импульс
определяется формулой
pi
1 = 1-^ tdp + p^t^. B3.13)
о
Рассмотрим предельный случай Iq = О, при этом Uq = Cq =--
= 2 Сн/ {к + 1); далее, из B3.4) имеем
Затем из формулы B3.7), учитывая, что к = Bг + 3) / {2г + 1),
получаем cJcq = (/с + 1)ci/2ch = C — /с) /2; отсюда
2fc
ci 3 — А; pi / 3 — /с \ ?c-i
т)
с^ Л + 1 ' р^ -\к +
Уравнение B3.8) определяет Cutjl, т. е. момент прихода к стенке
волны, отраженной от открытого конца. (Заметим, что в случае
А: = 3 мы не получим t, так как волна, отраженная от открытого
конца, не возникает ни при каком Zq, и остается справедливым
при любом t > 1/Сц решение для волны, отраженной от стенки.)
В случае /с = 3 pJph == О, в случае к = i отношение давлений
Pi/Ря == 1/^^^0,136 {е — основание натуральных логарифмов).
В момент прихода волны, отраженной от открытого конца, к
стенке импульс определяется формулой B3.13).
Вычислим в случае Zq = О, А: = 7/5 величину /:
J _ 35 Pj . Г/^«_ ^н^ 7.295 , р^ _/2\7,
о
^H^i 1089 , Pj 121
I "" 256 ' /^ri- Cjj 18.27 '
Y _Ph^ Г35 121 7.295 ]_ ?н^^Л __ 5356 \
^ "" Cjj" L16 -'" 18.27 18.27.6j"~ Cjj 16 ^ 25515У"
Таким образом,
7 = 1-^ = 1-0.21=0,79.
Следовательно, мы видим, что основная часть импульса создается,
во-первых, невозмущенным газом до прихода первой римановской
волны и, во-вторых, при действии первой отраженной от стенки

206 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ.У
волны; последующие волны создают лишь 0,21 импульса.
Вычислим теперь величину / в случае п = 7/5 (г = 2) для
произвольного /q. При этом на основании B3.2) функция ij? имеет вид
'^ ~ 40 di уЩ •
Значения t и х = Iq при и^^ — Ск имеют вид:
исключая ^, приходим к выражению
Отсюда
Поскольку из формулы B3.7) — = (-g-) , то
где Т1 = 10}/1 + 25/о/24/ - 1.
Далее, вычислим р^, исходя из формулы B3.8), заменяя в этой
формуле отношения pjpa через ц согласно предыдущему
равенству;
I - 8 [2^ +4^ + 32^ J-
Отсюда
„, _ -Рн^г48 8 3 1
Далее определяем сперва через Pilpnt затем через г\ интеграл
^ Рн« 7 rl6 4 3]
Сд 4 L тK "г 1^2 "Г ^ J

§ 23] ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ИЗ ТРУБЫ В ПУСТОТУ
Таким образом,
О
Отсюда следует, что
/ ~" 35 \ л^ Л^ 4т]
Результаты вычислений заданы табличкой
207
1 1о
1
I
1 /
0
0,79
1
0,86
2
0,90
5
0,93
10
0,95
оо
1,00
B3.14)
Из таблички видно, что величина Л/ = / — / быстро падает
при увеличении Iq/L Представляется интересным произвести
приближенную оценку импульса, создаваемого последующими
волнами при t^ti.
С этой целью, полагая.
Р
Pi
= (тГ.
B3.15)
где ki — const, найдем, что остаточная величина импульса
выражается так:
Д/
С pdt
Pih
/с —1
B3.16)
и полный импульс равен
I = I + М.
B3.17)
Значение к^ можно вычислить, исходя из таких условий: на
выходе из трубы (/о = 0) полный расход газа определяется формулой
to оо
ЛГн = 5 p«d< + 5 pudf; B3.18)
о h
здесь Мш — полная масса газа, М^ = Рн^; значение р в первом
интеграле определяется из условия Uk = Ск — 2cJ {к + 1)
Рн
f 2 \ к-1

208
ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
ДЛЯ второго интеграла, используя B3.15), имеем следующее
значение:
2 ft-i
Рн
где
к+1
р / 2 \ к+1 lJo_\ ^ JL _ 2 to
'-t(-
с fk + l\2 (К-1) ^
таким образом,
U1
что дает
(?+1
B3.19)
/Л+Г\2(»-1)
Например, для А: = 7/5 имеем Ai = 25/13; отсюда на основании
формулы B3.16) и полученного выше значения Piti пслучаем
М = pj (Щ-з + 8г]-^ + Зц-^) I {к^ — 1Jсгн; так как / =
= 35рнЩ6сн, а Г] = 9 при 1^ = О, то А/ = 0,123 /; отсюда /i —
= I + М = 0,79/ + 0,123/ - 0,91/.
Аналогичные расчеты можно без труда сделать для
произвольного /о ^ О и /с. При этом значение к^ определяется из
соотношения аналогичного B3.18), с той только разницей, что к моменту
tQ истекшая масса определяется интегрированием расхода в
римановской волне и в волне, отраженной от стенки.
Очевидно, что значение ki будет приближаться к значению к
при увеличении Iq, Однако, пренебрегая изменением Ai, можно
с точностью до нескольких процентов вычислить А/ для
найденного значения к^, причем значение p^ti необходимо вычислить по
формулам B3.7) и B3.8). Можно с той же точностью положить,
что для к = 7/5 А// {I — I) = const - 3146/5356 - 0,6, тогда
/^ = / + (/ - 7H,6 = 0,6/ + 0,4/1
отсюда в случае к = 7/5 придем к табличке
B3.20)
\lo
1
/l
0
0,913
1
0,344
2
0,960
5
0,972
10
0,980
оо
1,000

§ 24] СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗА 209
Таким образом, различие в импульсах оказывается
незначительным.
Полученное приближение, как мы указывали, будет
достаточно точным, поскольку при малых Iq значение ki меняется мало,
при больших /о, несмотря на то, что мы пользуемся неточным
значением &!, разность (/ — Ii)/I весьма мала.
Нахождение произвольных функций Fi и F2, описываюпщх
волну разрежения, отраженную от открытого конца, несмотря
на простоту граничных условий, представляет, за исключением
случая, когда /с = 3, большие трудности.
В случае /с = 3, поскольку волны и + с я и — с
распространяются независимо и никакого отражения волны от открытого
конца не будет происходить, весь процесс истечения газа из трубы
конечной длины в пустоту описывается двумя решениями (двумя
волнами) — особым решением, характеризующим простую волну,
и общим решением, характеризующим отраженную от стенки
волну. В самом деле, в начале настоящего параграфа мы видели,
что при А: = 3 и при ^ -^ оо имеем и — 1/t л с — l/t,
следовательно, вне трубы а>> с, и отражение особой волны от открытого конца
внутрь трубы невозможно.
§ 24. Некоторые случаи неустановившегося
истечения газа
Рассмотрим такую задачу. Пусть газ находится в трубе,
закрытой с одного из ее концов (левого) и ограниченной в некотором
сечении поршнем. В
ш
w/mm ^1^ X
этом сечении мы
поместим начало координат
и будем считать, что в
момент времени ^ = О зу^-1 w^o
поршень начинает
внезапно или плавно дви- ^^^- ^*
гаться. Длину трубы
между начальным положением поршня и левой стенкой, как и
прежде, обозначим через / (рис. 9).
Рассмотрим сначала плавное движение поршня (начальная
скорость поршня равна нулю), причем будем считать, что поршень
выдвигается вправо и объем, занимаемый газом, возрастает, так
что в газе образуется волна разрежения; поскольку ранее газ^
покоился, то волна, идущая по этому газу, будет простой волной ).
*) В системе отсчета, в которой поршень покоится, а движется газ, эта
задача имеет интересный смысл; в частном случае, когда скорость поршня пос-
тоянна, она аналогична задаче о движении стационарного потока газа, в
котором вдруг вставили преграду для той части газа, которая будет отходить
от преграды. Заметим, что в случае, когда скорость потока и > г.с^1{1г — ij,
у преграды образуется пустота.

210 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. у
Для описания этой волны мы воспользуемся уравнениями
д: = (и-— c)t + F(и), ]
2 . , \ B4.1)
и = jZTi (^н - с), 1
где Сн — начальная скорость звука в покоящемся газе.
Произвольная функция F (и) может быть легко определена,
если известен закон движения поршня, который для этой цели
удобно задать в виде
t = tu (un), X = Хи (uu), B4.2)
причем dxu/dt = х^ — Цц» где ^п — скорость поршня. Отсюда
следует, что поскольку скорость газа на поршне равна скорости
поршня, то F (и) = Хи — (и — c)tn и
X — х„
= и — с. B4.3)
П
^-^п
Характеристики dx/dt = и — с = {х — х^) / (t—tu) будут
начинаться на линии
х = хп (t). B4.4)
Поскольку скорость звука в пределе не может быть меньше нуля,
то, как это видно из второго уравнения B4.1), скорость движения
газа не может быть больше чем 2сц / {к — 1); поэтому при
достижении поршнем этой скорости и дальнейшем увеличении ее
поршень оторвется от расширяющегося газа и между ним и
фронтом газа возникнет область вакуума. Для того чтобы мы были
уверены в отсутствии волн сжатия при произвольном движении
поршня, нам необходимо положить, что величина ускорения
поршня не может уменьшаться в процессе его движения, пока его
скорость меньше чем 2сJ {к — 1), а затем скорость поршня нигде
не становится меньше этой скорости. Если эти предположения
выполняются, то критическая скорость ^к = Ск = 2с^1{к + 1)
достигается там, где
X = х^{и^) = х^{и^) = Xk = const,
т. е. в постоянном сечении х = Xj^ по прошествии определенного
времени, когда до этого сечения дойдет поршень, и затем там до
прихода отраженной от стенки волны сохраняется.
Волна разрежения, отраженная от стенки, будет отличаться
от найденных выше, поскольку простая волна в данной задаче
также отличается от волн, которые мы рассматривали выше.
Если поршень набирает скорость достаточно быстро, то
отраженная волна может не догнать поршень, и весь процесс
расширения газа опишется двумя волнами: простой и первой
отраженной.

§ 24] СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗА 211
Если поршень набирает скорость медленно, то волна,
отраженная от стенки, догонит поршень и снова отразится от него,
причем, как увидим дальше, она может дойти или не дойти до
стенки; в случае весьма медленного движения поршня (по
сравнению с начальной скоростью звука) может возникнуть система
многих отраженных волн.
Рассмотрим конкретный случай, когда ускорение поршня
постоянно. В этом случае
t-^, ^п = ^. ^п = ^; B4.5)
2 ' •"" 2а
поэтому из уравнений B4.1) имеем
а, = (и~ c)[t -^ -.] + — = (и - c)t + — ^ —
с = Сп
а J 2а ^ 'а 2а
к — 1
B4.6)
2 •
Критическое течение щ^ — с^ = 2сн/(/с + 1) достигается при
^" = ^ = JF+W "^ ' ^^^•'^^
Предельная скорость Wmax = ttzT ^^ достигается при х^ = w^max/
/2а = 2(^1 а{к — 1)^. Отраженную от стенки волну мы здесь не
будем рассматривать, хотя ее нахождение не представляет
особых трудностей.
Перейдем к рассмотрению случая, когда поршень начинает
выдвигаться внезапно с постоянной скоростью ггдо. При этом,
если Uno < ^max? возникают, как сейчас убедимся, две волны,
из которых одна, примыкающая к поршню, является
стационарной волной, как бы отраженной от поршня. Вторая волна,
идущая по невозмущенному, покоящемуся газу, является простой
волной (рис. 10).
Простая волна описывается уравнениями
у = гг — бг, и = J—J (^н — с) B4.8)
и определяется до момента отражения от стенки на интервале
при
и = ггпо, с = Сао= с^ ^— и^^\ B4.9)
таким образом, при х = {uuo — Сдо)^ : и = Uuo я с = с^о, точно
так же при х = Uuot: и = г/до» ^ = ^по» Отсюда следует, что на

212
ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
[ГЛ. V
интервале
{ujio — Спо)^ < о: < Uuot B4.10)
существует стационарная волна
и = щ^о, с = Сио- B4.11)
Не вводя эту стационарную волну, как бы отраженную от поршня,
мы не могли бы удовлетворить всем граничным условиям задачи.
При Uuo == Wmax область существования стационарной волны
становится равной нулю, так как Сдо = О и интервал B4,10)
равен нулю. При Wno ^ it^max между поршнем и фронтом расширяю-
ш;егося газа образуется область вакуума.
В момент времени t = l/c^ простая волна дойдет до стенки, и
возникнет уже известная нам отраженная волна
^=^
I а---! 1(Т^в + «)»-в„Г
2Г1 QQr-l
у-^
где
aj ~" •" ае '
X
ut —
ди
B4.12)
B4.13)
Фронт этой волны будет на основании формулы B1.7)
распространяться слева направо по закону
X =
Л —1
Cut
^'{^)
3-fc
B4.14)
Фронт раздела между простой волной и стационарной будет также
двигаться слева направо по закону х = {що — Сдо)^- Так как
2
из B4.9) имеем Wno = г (^н — ^по)» то этот закон можно выразить

§ 24] СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗА 213
В форме
X = {щ~ c,)t == j^c^t (^1 ~ Ц^^У B4.15)
При Uno < i^max фронт отраженной волны настигнет этот фронт
в точке
в момент времени ti, определяемый из соотношения
При этом опять возникнет новая волна, которая будет простой,
поскольку с одной стороны (справа) она будет сопрягаться со
стационарной волной.
Эта волна опишется соотношениями
x = {u + c)t + F{u), ^
2 , ^ , B4.18)
Отсюда, используя выражение для w^, из формулы B4.9) получим
^ к 1 ^ ^^ ^х — k — i ^^ ^^ k — i ^^" '^^по)'
Произвольная функция F (и) определяется из условия
сопряжения этой новой волны с волной B4.12) вдоль характеристики
{к - 1Iг = 2 (с + сн ~ 2спо).
Поскольку для волны, описываемой обпщм решением B4.12),
X = ut — d'^jduy то, как мы знаем (см. соотношения A5.38) и
A5.39)), вдоль этой характеристики
F(«) = F,(c) = --||-. B4.19)
Так как di|)/du = Щ1йс) (dc/du) = (dyp/dc) (к — 1)/2 = {dy^/dcJ/R,
где i? = 4/ (/с — 1) = 2 Bг + 1), отсюда следует, что
^х(с) = --§|-. B4.20)
2
При и = . __. с — р и любой функции F имеем F {w + и) =
2
^ F {2w — ^). Здесь р = д.__^ {2сио — ^н) = 2wno — "^н; далее

214 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
используем соотношение A5.42),
/ д \rF(w-\-u) __ J__^ F Bц^ — 3)
\wdw) w ~~ 2^ dw^ v/'^'^
Поскольку в рассматриваемом случае функция F равна
[гл. V
B4.21)
F(w + u) =
/ё
мы имеем
QV-l [(|Л0 + мJ -_ е^ f _ ^ QT-l [(W - w^f + w^iw- w^)Y
д^'
/б
dw"^
Отсюда следует, что
^
^ ^ du dw r\ Qy/
21 a' [(^~^по)^ + ^н(^^-"^''поI''
Таким образом.
X = (u-j- c)t
21 d' [(^-^по)^+^н(^-^Г
w = -j^-—f (c + c!h — 2c^).
B4.22)
B4.23)
Очевидно, эта волна является волной сжатия. Правый фронт
этой волны будет распространяться по закону dx/dt = Wno + ^по
и будет прямолинеен. Когда этот фронт достигнет поршня и от
него отразится, возникнет новая волна, описываемая общими
решениями. Мы ее рассматривать не будем. Левый фронт волны
будет распространяться по закону dx/dt = и — с; поскольку при
этом во всей области этой волны {к — I) и = 2 {с + с^ — 2епо)»
то у стенки, где и = О, будем иметь
с — ^2 — ^^ПО ^Н»
B4.24)
так как с ^ О, этот фронт дойдет до стенки при условии, что
2спо > ^н» в противном случае он или просто не дойдет до стенки,
двигаясь все же налево, или будет двигаться направо.

§ 24]
СЛУЧАИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗА
215
Давление на стенке в момент прихода фронта второй простой
волны выразится формулой
B4.25)
Время прихода фронта к стенке определится из выражения
г , ^ 2а+1
^ j_ - -
о2г ^
2 (г — а)! Bа)!
2'^ „f о К»- - аI («!)]'¦
-У
B4.26)
dec
/ Простая
волна
(см. B1.30)). Возникающая при этом отраженная волна обязательно
должна быть стационарной, поскольку'с ней сопрягается простая
волна. Поскольку у
стенки гг ^ О, то и
везде в волне будет
гг = О, с - С2, B4.27)
т. е. у стенки будет
существовать область
покоя до тех пор, пока
волна, отраженная от
порпшя, не придет к
стенке.
Повторим в
наглядной геометрической
форме все проведенные
рассуждения. Для этого
обратимся к рис. И.
На рис. И показана
схема областей,
соответствующих различным
волнам, и
характеристик, являющихся границами этих областей в плоскости (х, t)
для некоторых начальных стадий процесса распространения и
отражения волн. На этом рисунке мы видим:
1) Область простой волны ОАВ, ограниченную
прямолинейными характеристиками О А и ОВ и криволинейной характеристикой
АВ, Характеристика ОА, уравнение которой х = —c^t, является
фронтом волны разрежения. Уравнение характеристики ОВ:
^ = (^по — ^по)^; эта характеристика есть граница между
областями простой и стационарной волны. Когда в момент t = Z/Сн
фронт волны разрежения, распространяющийся по характеристике
О А, дойдет до неподвижной стенки, возникнет отраженная волна.
Фронт отраженной волны будет распространяться по
криволинейной характеристике АВ^ уравнение которой dx/dt = и + с.
Рис. И.

216 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
2) Область стационарной волны; эта область ограничена
прямолинейными характеристиками ОВ и 0D\ уравнение прямой ОВ
мы уже знаем, уравнение прямой 0D х = Urout выражает закон
движения поршня.
3) Область отраженной от стенки волны ограничена стенкой,
уже известной нам криволинейной характеристикой АВ и
криволинейной характеристикой ВС. Определим уравнение этой
характеристики. Отраженная волна, фронт которой
распространяется по характеристике АВ, в некоторый момент Ьв догонит
стационарную волну. В момент t = ts координата х = хв {tB и
Хв —координаты точки В в плоскости {х, t)). От точки В пойдет
новая волна. Правый фронт этой волны будет распространяться
по прямолинейной характеристике BD: dx/dt = (Uuo + Спо)у эта
характеристика является границей новой волны со стационарной
волной. Левый фронт новой волны есть криволинейная
характеристика ВС, уравнение которой dx/dt = и •— с. Таким образом,
границы области отраженной волны суть АВ, ВС и АС (стенка).
4) Область новой волны, возникшей в точке В, т. е. в момент,
когда фронт отраженной волны нагнал стационарную волну.
Эта волна является простой, так как она граничит со
стационарной волной. Правым фронтом новой простой волны является
прямолинейная характеристика BD, левым — криволинейная
характеристика ВС. На рис. 11 криволинейная характеристика
загибается назад и пересекается со стенкой. Выше указывалось,
что это возможно только при 2спо ^ ^н- Если это условие не
выполняется, то характеристика ВС может не пересечься со стенкой.
Она, в частности, может отклониться вправо, как это показано на
чертеже (пунктирная линия ВС).
Процесс дальнейших отражений на этом не заканчивается.
Мы уже указывали, что новая простая волна, возникшая в
момент tBi может отразиться от стенки. Кроме того, правый фронт
простой волны в некоторый момент нагонит поршень в точке
D, возникнет новая волна и т. д.
На этом мы закончим рассмотрение различных волн
разрежения. Решенные здесь задачи имеют важные применения, в
частности, во внутренней баллистике.
Задачи об истечении плотной среды в пустоту, если среда
подчиняется уравнению обобщенной изэнтропы, мы дадим в
специальной главе.
§ 25. Основные закономерности
нестационарного истечения газа
Проанализируем теперь полученные результаты в отношении
нестационарного истечения газов в пустоту. Прежде всего
отметим, что в случае свободного истечения ранее покояш,егося газа
в том сечении, откуда начал истекать газ, всегда автоматически

§ 25] ЗАКОНОМЕРНОСТИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗА 217
устанавливается критическая скорость истечения. Величина этой
скорости определяется соотношением
Щ = с^ =Т+Т^^^ (^^-^^
таким образом, поскольку при стационарном истечении
критическая скорость равна
B5.2)
то величина критической скорости при нестационарном
истечении относится к величине критической скорости при стационарном
истечении, как Y2/{k + 1). Отсюда давление при нестационарном
истечении в критическом сечении меньше в {2/{к + 1)) раз, чем
при стационарном.
Главной особенностью нестационарного истечения газа
является перераспределение плотности энергии по массе
истекающего газа. Если до истечения плотность энергии была везде одна
и та же и равнялась величине
k(k — i)
B5.3)
то на правом фронте особого решения плотность энергии,
рассчитанная на единицу массы, максимальна и равна
о
вшах = 2 ^^ (к 1J ^HJ (ZO.4)
отсюда
^max 2к
Л~1
B5.5)
что, например, для к = 7/5 дает значение бтах/^н = 7.
Если идти от этого фронта налево, к фронту волны
разрежения, то величина е будет монотонно уменьшаться до значения 8н.
Объемная плотность энергии в волне всегда меньше начальной,
которая равна величине Рн^н- Объемная плотность кинетической
энергий 8к = ри^/2 при истечении в пустоту на обоих фронтах
равна нулю, так как или и, или р равно нулю; следовательно,
в волне 8к имеет максимальное значение.
Будем искать максимум величины ри^/2. Для этого достаточно
2 2
найти максимум величины А = с^'^и^, поскольку р — с^"^.

218 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. Y
2
Обобщим задачу и будем искать максимум величины А =^ с
Так как
2 / I ^\ _ 2 / fe — l а:\
^ - т+т г= + ту» ^ - Т+Т \^« "" '~TJ »
то, дифференцируя А по z = xjt "r приравнивая полученное
выражение нулю, имеем скорость распространения максимальной
величины f^u^:
2(а—1)с„
^ ^ B5.6)
=ш
2 + а(А: —1) '
что дает
^=а(;с-1) + 2' ^= а(/с-1) + 2 " (^^'^^
Очевидно, что значение а = 1 соответствует распространению
плотности импульса, при этом z = (x/t) = 0. Значение а = 2
дает скорость распространения максимума плотности энергии,
при этом z = (x/t) = Сц/к, Значение а = 3 дает скорость
распространения максимума плотности мощности, при этом z =
- (X/t) = 4с„/C/с - 1).
Таким образом, мы действительно видим, что скорость
отдельных частей потока является функцией массы этих частей.
Небольшая масса имеет скорость, значительно превышающую
среднюю скорость, соответствующую начальной плотности
энергии бн = c\lk{k — 1); напротив, основная часть массы движется
со скоростями меньшими, чем средняя скорость.
Поскольку и = и {М), то ясно, что при нестационарном
движении величина количества движения (импульса) будет меньше,
чем при стационарном движении этой же массы газа Мл с тем же
запасом энергии Ец-
В самом деле,
/= Г udM, je:h = 4- 5 ^'^^1 B5.8)
о о
где и = и {М), dM = р dx,
В случае одномерного движения для каждого заданного
момента времени tM = М (х), Е = Е {х), откуда М = М (Е) или
Е ^ Е (М), поэтому соотношение B5.8) можно написать в
наиболее общем виде
Мн
/= С Y^dEdM. B5.9)
о
Для фиксированного сечения имеем Е = Е (t), М = М (t), и мы

§ 25] ЗАКОНОМЕРНОСТИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗА 219
снова придем к соотношению B5.9). Однако значения импульса
из-за изменения функции М =' М (Е) могут быть различны.
Найдем условие максимума /, если Е^ и Мк заданы. Составим
выражение для импульса
1 = %Е==Ф= Uu+^\dM,
о
где X — множитель Лагранжа.
Дифференцируя выражение и == Хи^/2 по w и приравнивая
результат нулю, имеем i + Ки = 0; отсюда и = —1/Х = const.
Таким образом, / достигает при заданной энергии максимума,
если скорость газа не зависит от М, иначе говоря, если скорость
постоянна, т. е. в случае стационарного течения газа. Можно
показать, что этот экстремум дает именно максимум. При этом,
поскольку при истечении в пустоту ?'н = Млй^/2, /ст = Мф,
то мы имеем, что
/с, = f 2М^, B5.10)
где й— средняя скорость.
В случае нестационарного течения для определения импульса
при заданной энергии мы пришли к выражению
/ = 1/'2Bг+3)Мн^н Jf"^^^-— . B5.11)
Исследуем это выражение. При А: = 3, г = 0/ = ]АЗ/2Л/н^н>
при А: = 1, г->- ос, применяя формулу Стирлинга для
выражения Bг + 1)!/г! (г + 1)!, имеем
Напишем формулу B5.11), в виде
где
Для определения | мы имели табличку на стр. 188.
Величина g = /нест/-^ст показывает отношение импульса
нестационарного потока к соответствуюш;ему стационарному *).
Мы видим, что действительно это отношение всегда меньше
единицы. Для грубых сравнений, поскольку при высоких
*) Определения импульсов при неустановившемся явижении впервые
произвеаены автором.

220 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
температурах сгорания газа (в условиях взрыва и сгорания)
п = 1,2, можно полагать, что ^ = 0,8.
Истечение покоящегося газа из сосуда может быть
интерпретировано как истечение продуктов реакции какой-либо газовой
(или жидкой) системы или конденсированного взрывчатого
вещества в случае мгновенного взрыва или сгорания. Тогда бн =
= Q, где Q — теплота реакции (сгорания).
В реальной задаче труба не простирается (направо) до
бесконечности, а обрывается где-то при х = Iq. Тогда, как мы знаем
из § 20, величина импульса, действующего на стенку, будет на
18—20% меньше импульса при неограниченно длинной трубе,
так как часть внутренней (потенциальной) энергии переходит
в кинетическую энергию газа вне трубы.
При стационарном истечении и при ограниченной длине трубы
будет иметь место аналогичная картина. Грубо говоря, можно
положить, что как при стационарном, так и нестационарном
истечении только около одной трети оставшейся внутренней энергии
газа в свободном пространстве пойдет на создание осевой
составляющей количества движения.
Однако при нестационарном истечении, кроме того, будут
происходить перераспределения кинетической энергии по массе
газа, и поэтому разница в полном количестве движения по
сравнению со стационарным истечением газа будет того же порядка
(или несколько меньше), что и при неограниченной длинной трубе.
Отметим также, что если комбинировать определенным
образом стационарное истечение газа с нестационарным, то
предельная скорость истечения будет выше, чем просто при
нестационарном истечении. Пусть, например, сначала покоящийся газ
истекает через сопло стационарно, тогда имеем ul = 2 (с| —
— с1)/{к — 1). Далее начинается нестационарное истечение, при
этом и = щ -\- 2{ci — с)/(к — 1). Очевидно, величина
имеет максимум, если с1 = с% = 2сУ{к + 1); тогда
И при истечении в пустоту и = Y{k -Ь 1)/2 Umax» т. е, предельная
возможная скорость в ]А(& + 1)/2 раз больше максимальной
скорости только нестационарного истечения.
.Итак, из изложенного вытекает фундаментальный вывод, что
количество движения (или импульс) в случае нестационарного

§ 25] ЗАКОНОМЕРНОСТИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗА 221
потока при заданных массе и энергии всегда меньше, чем в
случае стационарного потока. Для дополнительной иллюстрации
этого положения приведем элементарное рассуждение.
Допустим, что мы имеем два тела массы т^ is. т^-, движущихся со
скоростями щ и щ] их полное количество движения и кинетическая
энергия будут соответственно равны
Если предположить, что мы имеем тело массы т = т-^ + т^,
движущееся со скоростью а = Y*^^J{^i + '^г)» где Е^ —
кинетическая энергия массы та же по величине, что и в первом
случае, то количество движения этого тела будет
Iq = тй = У (rriiul + ^2^2) (Щ + ^г) •
Очевидно, что Iq/I всегда больше единицы. В самом деле,
{miul + m^ul) {mi + ш^ > {т^щ + rn^Jn^j^,
поскольку после преобразований мы приходим к очевидному
неравенству Wi + Wg > 2щи2, или {щ — щ)^ > 0.
Попытаемся оценить для ряда случаев, насколько количество
движения нестационарного потока отличается от количества
движения стационарного потока при заданных массе и энергии. Пусть
в случае нестационарного потока р = const, а скорости
распределяются пропорционально координате а;, при этом Xi^x^^x^,
и = ах для фиксированного момента времени, где а = const.
Тогда кинетическая энергия стационарного потока равна
Ек = Y^P^ (^2 - ^i) = -у- ,
где й — скорость стационарного потока, / — сечение.
Количество движения этого потока равно
/о = fsu {х2 — Xj) = Мй = Y'2MEZ
В случае нестационарного потока по-прежнему
М = fp {Х2 — Xi),
но
Ek=-Y/Р^^ )x^dx^ "-^^^(^2 + ^2^1 + ^i)»
/о = /pfl^S ^dx = -j-aix^ + ^2) = l/ -f-^^K
xl + 2a:ia:3 -f- a;J
a?5 + a?ia?a + a?^

222 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [гл. Y
При Xi = о и произвольном Х2
I==y^^Mt^ B5.12)
что соответствует минимуму количества движения. Максимальное
значение количества движения будет, как легко убедиться, при
Xi = X2J что в пределе соответствует стационарному движению
бесконечно малой массы.
Пусть теперь р = Ъх, и = ах^ где b = const, тогда в случае
нестационарного потока
M = fb^ xdx ^-^ixl^xl),
Xi
3 Xi-\- X2 *
,-, Л/а2 ^l+^lx2 + xixl + xl
4 0?! + 372
отсюда
¦=4|/m^„
(xl + xix^ + xl)'
2\2
(Xi + X2) {xl + XIX2 + Xix\ + Xl )
Минимальное значение / достигается при х^ = Q
I^^Y'ME^. B5.13)
Аналогично можно исследовать и другие более сложные
случаи. Мы остановимся еще лишь на одном. Пусть р = р^ + Ъх,
и = Uq + ах. Тогда
^ = /$ (Ро + Ъх) dx = f{x2-' Xj^) fpo + — {x^ + X2)
Xl ^
Если положить Xl = 0, т. е. искать минимальное
значение /, то
_ Ма^х\ ipoax%
Лк - -4 2~" •
Отсюда

§ 251 ЗАКОНОМЕРНОСТИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗА 223
В случае ро = О приходим к соотношению B5.13), в случае р =
= const — к соотношению B5.12). Преобразовав соотношение
B5.14), придем к выражению
I Ъхг 1 / ро
1ро+^ Т +
Ьхч
При Ъх2 =" —Ро величина р = О для х = x<i\ в этом случае имеем
предельное распределение энергии по массе, когда минимальная
плотность (р -^ 0) соответствует максимальной скорости. При
этом
/ - |/4- МЕ^. B5.15)
Как нетрудно убедиться из приведенных примеров, при самых
различных случаях распределения ^ = ^ {х)\\и — и {х) величина
количества движения нестационарного потока несуш^ественно
меньше, чем при стационарном движении. Этот вывод имеет
весьма важное практическое значение.
Попытаемся теперь в общем случае установить связь между
количествами движения стационарного и нестационарного потоков.
_ \udu \ —
Поскольку / == Mil, где и = -^-^— , а ?*« = -^^^ •> то,
устанавливая связь между средним значением квадрата скорости v}
и квадратом средней скорости (й)^ в виде (uf =" 9^г^^, таким
образом, 9 = 1г/У (гг^), придем к соотношению
/ = е У 2М?к. B5.16)
Очевидно, что при самых разнообразных законах распределения
плотности по скорости величина 9 будет мало отличаться от
единицы, будучи всегда меньше нее.
В заключение остановимся на втором способе определения
массы, количества движения и энергии нестационарного потока.
С этой целью в фиксированном сечении для интервала времени
^2, ^1 определим следующие величины:
ii и h
Можно также написать уравнение для потенциальной энергии fi'n*
поскольку плотность потенциальной энергии в единице объема

224 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
для идеального газа plx^, то
dx
Импульс /р, действующий на какую-либо преграду, в случае
нестационарного движения определяется очевидной формулой
и
Ip = f^pdt, B5.17)
если с другой стороны преграды действует противодавление р^ =
= Pi (t). В частном случае, когда с другой стороны стенки
действует атмосферное давление, импульс, действующий на стенку
за время t^ -— ti, будет равен
t2
Ip==f\pdt -fPii{h-ty),
Поскольку в теории нестационарных движений газа обычно
давление (а также плотность и скорость) не выражается явно через
время t (за исключением простых, римановских волн), а, напротив,
t может быть явно выражено через /?, то соотношение B5.17)
удобно написать в виде
и Рг
Ip^f\pdt^f[pt(p)]l\--f\tdp. B5.18)
и Pi
Закон перераспределения энергии и импульса при нестационарном
истечении имеет и важное принципиальное значение, и чисто
технические использования.
§ 26. Волны сжатия одного направления
Как уже было показано выше, в плоскости характеристик
(от, t) пересечения фронтов элементарных волн сжатия
характеризуются пересечением характеристик.
Формально, рассматривая огибающую данного семейства
характеристик, проведенную через крайние точки пересечения
характеристик, можно считать, что эта огибающая является
фронтом образующейся ударной волны. (Заметим, что, как правило,
образуются две огибающие, имеющие начальную угловую
точку.)
На самом же деле необходимо учесть, что при пересечении
каких-либо двух характеристик от точки пересечения отойдут но-

§ 26] ВОЛНЫ СЖАТИЯ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ 225
вая характеристика другого семейства и линия особого разрыва;
пересечение этих характеристик в более поздние моменты
времени с новыми характеристиками изменит их направление; даже
для простой волны характеристики уже перестанут быть
прямолинейными, а поэтому огибающая, которая является фронтом
образующейся ударной волны, для искаженных характеристик
будет отличаться от огибающей первоначального семейства
характеристик.
Для определенности рассмотрим следующую задачу.
Бесконечно длинная труба, заполненная покоящимся газом,
ограничена поршнем. Движение поршня слева направо начинается
при i = О в сечении д: = О, в процессе движения ускорение поршня
не убывает. При ^ = О ускорение поршня равно нулю. Тогда
бегущая от поршня простая волна опишется уравнениями
X = {u + c)t + F{u), I
и =
•j—Ti ^ ~^ const.
Прежде всего найдем значение постоянной. Поскольку при и = О
с = Сд, где Са — начальная скорость звука в газе, не
возмущенном движением, то постоянная равна 2с J {к — 1) и
u = ^^(c-cj. B6.2)
Значение произвольной функции F (и) определится из закона
движения поршня, который удобно задать», в виде
X = Ха (Wn), t = tu (Un), B6.3)
где dxjdt = Un. Тогда F {и) = Xu — {и + c)tn и первое
уравнение B6.1) примет вид
-^—JL==u + c. B6.4)
Считая, что в начальной стадии образования ударной волны
идущие от нее возмущения мало влияют на характеристики
X =^ Хи + {и + c){t -^ tu), B8.5)
мы легко определим уравнение огибающей. Поскольку х^ и t^
являются функциями Wn, то, продифференцировав по и^
выражение
X — Хп — {и + с) {t — tn) = о,
придем к уравнению
("п+^")|;^=^ьA+:?)(.-м. B6.6)

226 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. V
Поскольку
где g = dujdt есть ускорение поршня, то уравнение B6.6) при*
нимает вид
^-^n^-J^-Vc- B6.7)
Отсюда
(и -{- с) c^du c^dt ^^ ,^^
х-х^^ Т/ ," , = ,,^ , , . B6.8
" grf (м + с) flJ In (м + с) ^ '
Если мы не знаем уравнения изэнтропы, то величину 1 + dcldu
на основании A7.7) можно представить в виде
^ '" du ~~ ~2~ т;^ •
Уравнения B6.7) и B6.8) и представляют искомую огибающую
в параметрическом виде, причем и = Uq является параметром.
Этим уравнениям можно придать более простой вид;
вычислим частную производную по и от выражения
'--Х + {и + c)t + F {и + с) =^ 0; B6.9)
приравнивая ее нулю, получим
отсюда
и
_ d(u + c) dF d(u + c) ^ ^.
du ~^ d(u + c) du
t = - ,/^ , =-F' B6.10)
d{u-\-c) ^ ^
^ = F ^(^u + c)F\ B6.11)
Уравнения B6.10) и B6.11) снова представляют огибающую в па~
раметрическом виде. Будем искать минимальное время, когда
образуется ударная волна; для этой цели необходимо приравнять
производную dtid {и + с) нулю; отсюда
^'^ F' = 0. B6.12)
d(u + c)
Найдем теперь частные производные дх/ди и д^х/ди^; очевидно,
они пропорциональны производным дх/д {и -\-с) и д^х/д {и + с)^.

§ 26] ВОЛНЫ СЖАТИЯ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ 227
Из уравнения B6.9) имеем
"" t + P'^ Т7^^ = Р''' B6.13)
Из условия, что на огибающей t = —F\ вытекает, что на этой
огибающей дх/д {и + с) = 0; отсюда имеем
ЧТО подтверждает наше предположение относительно огибающей
как фронта ударной волны. Далее, поскольку для t = i^min F'^ =
=^ О, то дЪ/д (и + с)^ = О, следовательно,
15- = о, B6.15)
ЧТО показывает на перегиб линии х = х (и) или и = и (х) у места
образования ударной волны. Из уравнений B6.10), B6.11) и
B6.12) можно определить три неизвестные величины Хц, t^j
йп + %» характеризующие место и момент образования ударной
волны, а также скорость газа плюс скорость звука в месте ее
образования.
При определении F {и + с) необходимо знать, конечно, связь
между и я с, например, в общем виде для произвольного
уравнения изэнтропы
и = \cdlnp + const. B6.16)
Однако не всегда вдоль ударной волны вторая производная равна
нулю. В самом деле, пусть например, F = Aq + А^ {и + с) +
+ А^{и + с)\ тогда F' = А^ + 2А^ {и + с), Г' = 2^2 =^ 0.
В том случае, когда F" =f= О, необходимо найти характеристику
X = (и + с) t -{- F (и) с максимальным наклоном к оси х в
плоскости {х^ t) (т. е. с минимальным значением и, а также с), которая
пересекает огибающую. Точка пересечения и определит
координаты начала огибающей, т. е. ударной волны.
От места образования ударной волны пойдет криволинейная
характеристика, определяемая уравнением
^=и-с. B6.17)
Ее уравнение может быть найдено без труда, поскольку иле
в волне известны; линия особого (энтропийного) разрыва
определится из уравнения
-^ = U. B6.18)

228
ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
[ГЛ.У
В области между линиями, описываемыми уравнениями B6.17)
и B6.18), движение газа будет изэнтропическим и может, вообще
говоря, быть определено сравнительно просто. В области между
линией особого разрыва движение уже не будет изэнтропическим,
так как энтропия при образовании ударной волны возрастает.
Это движение можно также определить сравнительно просто,
полагая, что образующаяся ударная волна слабая, и пренебрегая
поэтому ростом энтропии. Нормальное решение задачи после
и, с
Рис. 12.
пересечения характеристик абсурдно, поскольку это решение
становится многозначным: одной и той же координате будут
соответствовать обычно три значения скорости газа и других
параметров состояния газа.
Рассмотрим теперь некоторые примеры, имеющие
принципиальное значение для понимания описанных процессов.
I. Пусть, например, поршень движется с постоянным
ускорением g, тогда
2g '
^п =
Ххл
2
B6.19)
отсюда следует, что
:г = (а + с) (< - ^) + -|- = (« + с) < - i^ - |. . B6.20)
Графическое изображение и = и (х), с ~ с (х) для заданного
момента времени дано на рис. 12. В случае уравнения адиабаты
р = ОоР'^ имеем
^ = ^а +
¦и.
^== [Са-\ J^^]^
B6.21)
B6.22)

26]
ВОЛНЫ СЖАТИЯ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ
229
Для нахождения огибающей на основании B6.7) и B6.21) будем
иметь
t =
-(k + i)i('a + ku),
B6.23)
откуда
X =
(k + l)g
(Со + ки) (с„ + -Ц^ '^)~ Y ," + "!¦) =
{k + i)g
cl + kcau + ^^^!^u']. B6.24)
Исключая из последнего выражения и, придем непосредственно
к уравнению огибающей
х = cj +
2kg
k + i
4-1 12
ku^
2g
B6.25)
Отсюда очевидно, что минимальное время образования ударной
волны есть
2с
(/c + l)g '
B6.26)
когда W = О, т. е. на
характеристике X = Cat место
образования ударной волны
определяется отсюда как
К
{k + \)g
B6.27)
(^о,^о)
Заметим^ что для этого
примера вторая производная не
равна нулю: д^х/ди^ = —к/2у
что означает одностороннюю Рис. 13.
кривизну линии и = и (х),
II. Рассмотрим теперь другой интересный пример, когда все
прямые характеристики пересекаются в одной точке (хо, to),
т. е. мы имеем дело с центрированной волной сжатия (рис. 13).
Зададимся местом и временем образования ударной волны, т. е.
точкой пересечения всех характеристик в плоскости (х, t). Пусть
это будет точка {xq, t^). Очевидно, что Xq = с^^, поскольку
первая элементарная ударная волна распространяется в
невозмущенном газе.
До наступления сильного разрыва мы вправе воспользоваться
особым решением, которое, как мы уже указывали, является

230 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ [ГЛ. Y
уравнением характеристик
^-1 ^ ""^ B6.28)
x = {u + c)t + F(u). j
Напишем уравнение характеристик в плоскости (а;, t),
проходящих через точку (xq, tc):
^^ = и + с=^Са+ A+i и. B6.29)
Таким образом, F (и) = Xq — {и + с) Iq, Заменяя и через dxidt
для поршня, получим уравнение
/i{x — хо) 2 fx — хо
d(t — Го) ~ Т+Т ' t — to ~" ^^
Решая это линейное дифференциальное уравнение, получим
x-Xo = {t-to)^-^^
= Л (^ - дйт - ^ сл^ ~ g.
Константа А определится из начальных условий при ^ = О, д: = 0:
^Xo=Ai-t'^)+j^Cato.
Вставляя в последнее равенство Xq = с J, можно выразить из
него постоянную А. Вставляя полученное значение А в общий
интеграл, выразим закон движения поршня
^==^0 + -j,-^ 'а (to - О - ^ cj^ (to - t) W. B6.30)
III. Рассмотрим теперь задачу о распространении колебаний
газа в бесконечно длинной трубе перед периодически
колеблющимся поршнем.
В качестве несколько идеализированного примера допустим,
что в сечении х = О скорость газа колеблется по закону
и = Uo sinco^,
где Uq — конечная величина, (о — частота колебаний.
Таким образом, мы будем рассматривать колебания конечной
амплитуды, а не весьма малой, как это обычно считают в
задачах акустики. При этом поршень должен испытывать заданные

§ 26J ВОЛНЫ СЖАТИЯ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ Й31
колебания в окрестностях сечения х = О, с той же частотой со.
Очевидно, что эти колебания будут распространяться в газе
в виде бегущей волны одного направления (бегущей слева
направо), описываемой римановским решением:
Произвольная функция в первом уравнении B6.31)
определится из граничного условия, согласно которому при х = О
и = f (t) = uq sinco^ B6.32)
В данном случае t ^ ц) (и) = l/co arcsin u/uq, и для F (и) согласно
первому уравнению B6.31) получим
F{u) = -^(u + c)-^
Решение можно записать следующим образом:
X = (и -А- c){i arcsin —)
^ ' ' \ (О ио J
или в более удобной форме
и = UQsminU ^j-) . B6.33)
Мы видим, что при X = О это решение дает и — щ sin©^, что
является контролем его правильности. Поскольку на поршне
--7Т- = Wn = г^оsin0) / ^ ——— \ = UftSin(О / f —
-arcsin —
(О Uo
ТО из решения этого уравнения (в неявном виде) можно
определить закон колебания поршня.
Уравнение B6.33) описывает бегущую волну произвольной
амплитуды. Отсюда как частный случай можно получить решение
для волны малой амплитуды. Если смещение частиц очень мало,
т. е. величины и л с — Са можно считать малыми (здесь важно,
что и есть величина порядка с—с а), то, пренебрегая этими
величинами по сравнению с с а, найдем обычное уравнение звуковой
волны
и = UoSinO)
('-t)

Й32
ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНР1Я СРЕДЫ
[ГЛ. V
Полученное нами решение B6.33) для колебаний конечной
амплитуды в начальный момент представляет собой гармоническое
синусоидальное колебание и отличается от звукового колебания
лишь величиной амплитуды. Через некоторое время в
результате деформации волна потеряет свою синусоидальную форму,
фронт ее, как мы уже указывали, будет становиться все более
крутым и волна станет в некоторый момент времени ударной.
Приравнивая нулю производные dxidu и д'^х/ди^, найдем
и
1
со^ = arcsin h г
-fj'- + '\
= ттт±/
А; + 1
+ 2а^
B6.34)
Уравнения B6.33) и B6.34) определяют координату и скорость в
момент образования ударной волны. В рассматриваемом случае
благодаря периодичности колебаний ударные волны начнут
образовываться в разные моменты времени в различных местах
независимо друг от друга.
Рассмотрим задачу о периодических колебаниях поршня.
Пусть даны
х^ = x^smidt, Un = -jt = ^п = 0)^*0 cos @.'= Uq COS 0).%
отсюда
=4^''<^'=««^' '"° = '"«|/^~'^'
X z= (^u -{- c) it arccos —) + X
uq
B6.35)
В случае малых колебаний (при Xq -^ 0) это соотношение
переходит в уравнение бегущей звуковой волны
Uq cos со U —
Из последних двух примеров можно заключить, что при
периодическом движении поршня возникают попеременно волны
сжатия и разрел^ения. В том случае, когда волна сжатия
наталкивается на какое-либо препятствие, например на стенку, при
отражении от этого препятствия обязательно возникают ударные
волны. При внезапном движении поршня, когда его ускорение
бесконечно в момент начала движения, у поршня сразу же
возникают ударные волны.

§ 26] волны СЖАТИЯ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ 233
IV. в заключение решим еще одну интересную задачу,
связанную с прохождением волны разрежения по движущемуся газу
(по волне сжатия), и проиллюстрируем метод решения для
показателя изэнтропы к ^ 3. Пусть поршень движется
равноускоренно. В некоторый момент времени t = Ijca фронт волны
сжатия доходит до конца трубы {х = Zq), который в этот момент
открывается, и начинается истечение газа; требуется определить
движение газа после начала его истечения в пустоту.
Движение газа в волне сжатия при /с = 3 на основании B6.20)
и B6.21) определяется уравнениями
x = {u + c){t - -Y^+Y^^ и-с= -с^. B6.36)
Так как и = {и — с — Cq)I2, то
[3 (м + с) + с ] [uЛ-c — c^
x = (u + c)t- ^ ^ ^ ^^ ап -г ^j_ ^ ^26.37)
Поскольку волны и -}- с и и — с при к = 3 распространяются
независимо, то в образующейся при истечении волне разрежения
соотношение B6.37) будет сохраняться. Волна же опишется
уравнением
и^с^^^; B6.38)
"" "^
фронт этой волны будет двигаться по волне разрежения по
закону
X — In
= — Са,
ЧТО следует из сопряжения волн B6.36) и B6.38), откуда
^ - 2Zo — Cat. B6.39)
В сечении х = Iq при t = lolca скорость газа и скорость звука
испытывают разрыв.
Для полноты исследования вычислим теперь давления и
плотности в простой волне сжатия. При этом будем считать, что в
более общем случае волна сжатия распространяется по стационарно
движущемуся газу с параметрами р^, р^, Са, Ua, где u^ —
скорость движения газа до его возмущения бегущей волной сжатия.
Поскольку в этом случае а = а^ + 2 (с — с^)/ {к — 1), то
c = Ca+^^{u^Ua). B6.40)

234 ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ
Отсюда
[гл. у
2к
к—1
i=(i)^(^+
2к \
k-i " - "а \ ''"^
^ = (JLl'-'_fl+ '-•"-".>'-'
B6.41)
Для дальнейших вычислений нам понадобятся первые члены этих
выражений при разложении их в ряд:
_p_==i + A;-!iz_:^ + ^^^^^'^^ '"""¦ ^''
Ра
Ра
t = ' +
С
(
и — и
+.
B6.42)
Применение координат Лагранжа в качестве примера.
Рассмотрим снова задачу с равномерно движупщмся поршнем. Соот-
ношение с = Сд +
и при этом сохраняет силу. Поскольку газ
-а I 2
ДО начала движения имел постоянную плотность, то уравнение,
описывающее волну сжатия, имеет вид
А = р^а = р^Са (-^У"^ t+ F (с),
где а — координата Лагранжа (начальная координата любой
частицы), или
а = с J ( ~] '"' + F (с).
B6.43)
Поскольку на поршне имеем а = а^ = const и и — gt
= 2 (с - СаI {к - 1), то ^ - 2 (с - с^)/{к + i)g и
fc-fi
F (с) = an
2^а (^ - ^а) / С \ к-1
(k+i)g
-V
откуда
ИЗ чего находятся
1ТСЯ
с = с (а^ t) и и = W (а, ^) = I -^ 1 ;
B6.44)

2б1
ЙОЛНЫ СЖАТИЯ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ
235
последнее уравнение
х= х{а, t) B6.45)
полностью решает задачу в координатах Лагранжа и определяет
траектории частиц газа.
Проще решать эту задачу можно, как мы указывали в начале
нашего исследования, зная из уравнений, написанных в форме
Эйлера,
dx . .V
и^-^ = и(х, t)\
решение этого уравнения и определяет х = х {t, а).
Действительно, поскольку
X =
/с + 1
u + cJt
ТО
dx
w
ЧТО дает
А; + 1 , , k-\-i . du
dt
ки^
2?'
du
ки du
d^
du
k + i
k — i
+ 9 "
+ •
c^ + ku
откуда
где A
t = A \j^ c, + u\
Jc+i
k + i
k~l " • J ' g
const, которая определяется из условия t ~
2
" + ТТТ
/с—1
-C+^t) [t-^^]+
g
0. Отсюда
B6.46)
Таким образом, мы получили решения, определяющие траектории
лагранжевых частиц в параметрическом виде, причем параметром
является и — скорость движения газа.
Изучая простые волны сжатия, мы вплотную подошли к
понятию так называемой ударной волны. В следующей главе мы
подробно изучим свойства этих волн и основные закономерности
их распространения. Необходимость введения ударных волн
обусловлена не только физическими требованиями, но и
продиктована формально математическими причинами —
невозможностью однозначного описания волн сжатия после пересечений их
характеристик.
Исторически необходимость введения ударных волн при
изучении неустановившихся движений газа, а следовательно, и
возможность их существования, была установлена до их
экспериментального обнаружения именно благодаря математическим
исследованиям Ирншоу и Римана.

ГЛАВА VI
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
§ 27. Общие условия на разрывах
Дальнейшее изучение неустановившихся течений какой-либо
произвольной среды, и особенно газа, невозможно без
рассмотрения ударных волн, которые, как мы показали, могут возникать
при распространении волн сжатия. Введение ударных волн
сильно расширит класс изучаемых движений среды. Мы здесь будем
в основном рассматривать условия, имеюш,ие место на фронте
произвольной, не одномерно движуш,ейся ударной волны. Кроме
того, мы также ознакомимся со свойствами уже известных нам
особых (или энтропийных) разрывов и так называемых
тангенциальных разрывов. Движение среды при возникновении
ударных волн будем считать адиабатическим.
При движении среды в ней могут возникать различного рода
разрывы непрерывности ряда параметров, характеризуюш,их
состояние и движение этой среды. Разрыв непрерывности этих
величин имеет место вдоль некоторой поверхности, которая
называется поверхностью разрыва.
При неустановившихся движениях среды поверхности
разрыва, вообще говоря, движутся, причем направление движения и
скорость движения этих поверхностей могут существенно
отличаться от направления и скорости движения самой среды. Так,
частицы среды при определенных условиях движения могут
пересекать поверхность разрыва. На поверхностях разрыва
должны выполняться определенные граничные условия,
выражающие основные законы сохранения количества движения, массы
и энергии. При этом необходимо на основании второго закона
термодинамики помнить, что энтропия частицы при пересечении
поверхности разрыва, если это происходит, никогда не может
убывать.
Для вывода основных зависимостей, имеющих место на
поверхности разрыва, в самом общем случае неустановившихся
движений среды рассмотрим какой-либо элемент поверхности
разрыва в течение бесконечно малого интервала времени в системе
координат, движущейся вместе с рассматриваемым элементом.
Рассмотрение проведем в прямоугольной системе координат.

271
ОБЩИЕ УСЛОВИЯ НА РАЗРЫВАХ
237
причем ось X направим по нормали к изучаемому элементу
(рис. 14).
Исходя из закона сохранения массы, мы должны сделать
вывод, что на поверхности разрыва должен быть непрерывным поток
вещества через рассматриваемый элемент поверхности. Поток
вещества в этом случае, отнесенный к единице площади
поверхности разрыва, есть ри\ поэто-
Иормаль /г noeepjr-
ности разрыва
Рис. 14.
му, обозначая соответственно
индексами 1, 2 состояние среды
до пересечения этой
поверхности и после пересечения ее, мы ^ ^^>ч^
напишем уравнение, выража- разрыва
ющее закон сохранения массы
на поверхности разрыва, в виде
Pi^i - p2i^2. B7.1)
Далее очевидно, что должен
быть непрерывен поток
импульса на поверхности разрыва,
поскольку должны быть равны
силы, с которыми действуют
друг на друга элементы среды по обеим сторонам поверхности
разрыва.
Поток импульса через единицу площади на основании D.35)
выражается соотношением
3 3
2 ^шПу, -=рщ+ S Р^г^кЩ^ B7.2)
где г = 1, 2, 3 — единичный вектор нормали на рис. 14
направлен по оси X. Поэтому непрерывность :г-компоненты потока
импульса определится соотношением
Pi + РЛ^ = Р2 + Р2^^2^- B7.3)
Непрерывность [/-компоненты и z-компоненты потока импульса
даст такие соотношения:
Pl^l^l =^ Р2^2^2^ Pl^l^l = Р2^2^2-
B7.4)
Условие непрерывности потока энергии, выражающее закон
сохранения энергии, мы сможем на основании D.26) написать в виде
р^щ
4+н
РгЩ
я1
+ Ч
B7.5)
есть полная ско-
где q^l= ц2 4- г;2 + и;2, q^
рость среды. Учитывая условие B7.1), мы можем соотношение
ul + vl + wl

238 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
B7.5) написать просто в виде
4- + h=^ + h- B7.6)
Уравнения B7.1), B7.3), B7.4) и B7.6) полностью определяют
условия на поверхности разрыва. Зная давление и состояние
среды с одной стороны поверхности разрыва, мы на основании этих
пяти уравнений и уравнения состояния среды, которое
предполагается известным, смоя^ем определить шесть величин: U2i v^^
^2у Р2у 921 hi характеризующих движение и состояние среды с
другой стороны поверхности разрыва.
Анализируя полученную систему уравнений, можно сделать
вывод, что существует три вида поверхности разрыва: особые
разрывы, тангенциальные разрывы и ударные волны.
Рассмотрим случай, когда
и,= щ^ 0; B7.7)
это будет означать, что через поверхность разрыва нет потока
среды. При этом уравнения B7.1), B7.4) и B7.5) удовлетворяются
автоматически. Из уравнения B7.3) следует, что
Pi - Р21 B7.8)
т. е. давления одинаковы с обеих сторон поверхности разрыва
При этом как плотности, так и касательные компоненты
скорости v^, w^ и V2, W2 могут быть любыми С обеих сторон поверхности
разрыва и, в частности, некоторые из этих параметров могут
быть одинаковыми. В том случае, когда они все одинаковы с обеих
сторон, разрыва не существует. Если одинаковы компоненты
скорости Vi = 2^2 и Wj^ =^W2, а плотности различны
Pi Ф Р2, B7.9)
ТО такой разрыв называется особым. Энтропия и другие
термодинамические параметры, кроме давления, в этом случае также
различны с разных сторон поверхности разрыва.
Если значения хотя бы одной из касательных компонент
скорости г; и и; не равны между собой по обеим сторонам разрыва, то
такой разрыв носит название тангенциального. При этом
плотности и энтропии могут быть как одинаковыми, так и
различными по обеим сторонам поверхности разрыва. Тангенциальный
разрыв является своего рода обобщением особого.
Если поток вещества через поверхность разрыва существует,
то Ui и U2 отличны от нуля. При этом из уравнений B7.4) имеем
Vi = V2, Wi = и>2, B7.10)

27] ОБЩИЕ УСЛОВИЯ НА РАЗРЫВАХ 239
Т. е. тангенциальные компоненты скорости непрерывны на
поверхности разрыва. В .том случае, когда Ui = U2, очевидно, что
Pi — р2» Pi ^ Рч и разрыва не существует. Если Ui ф U2=f= О,
то плотность, давление и другие термодинамические параметры
действительно испытывают скачок на поверхности разрыва, как
это очевидно из выведенной нами системы уравнений, которая
для данного случая принимает вид
2 2
ы и
PiWi = p2i^2, Pi + Piul = P2 + P2UI, -^ + ^i = -Y+i2. B7.11)
Разрывы указанного вида называются ударными волнами.
Поверхность разрыва в этом случае будет называться фронтом
ударной волны. Поверхность разрыва может, как мы указывали (см.
G.24)), обладать собственной скоростью движения D, причем
всегда можно считать, что эта скорость направлена по нормали
к поверхности, так как в любом случае можно выбрать такую
подвижную систему координат, чтобы собственное движение
поверхности разрыва происходило по нормали к ней. В этом случае
в неподвижной системе координат скорости щ, U2 будут иметь
соответственно значения
Uio = щ + D, U20 ^ U2 + D. B7.12)
Перейдем от подвижной к неподвижной системе координат. Тогда
основные уравнения B7.11) примут вид
Pi{uio — D) = P2iU20'- D)^
Pi + Pi Ко - D)^ = P2 + P2 {Uio - D)\
h + \ (^10 - o)' = ^2+4- (^20 - ^)'.
B7.13)
В тех случаях, когда i^i = Гз = О J^ w^ = W2= ^, поток среды
движется по нормали к поверхности разрыва и мы будем иметь
так называемую прямую ударную волну. Если тангенциальные
компоненты скорости не равны нулю, мы будем иметь дело с
пространственной косой волной; если одна из тангенциальных
компонент равна нулю, то такая волна называется просто косой
волной.
Основные зависимости, которые мы вывели, являются
формально общими для поверхности разрыва любой формы.
Тангенциальные и особые разрывы мы здесь подробно рассматривать не
будем. Для дальнейших исследований достаточно только знать,
что давление и нормальные компоненты скорости по обеим
сторонам поверхности тангенциального и особого разрывов
одинаковы, а плотности энтропии могут быть различцыми. В тех

240 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. Y1
случаях, когда v^ = V2 ^^ w^ = W2 = О, особый разрыв является
прямым, в противном случае — косым. При равенстве
тангенциальных компонент скорости тангенциальный разрыв
вырождается в прямой особый разрыв.
§ 28. Основные свойства ударных волн
Здесь мы исследуем основные свойства ударных волн при
различных уравнениях состояния и выясним, как меняются
основные параметры, характеризующие состояние среды при
изменений интенсивности ударной волны. При этом будем изучать чисто
адиабатические процессы.
Найдем из первых двух уравнений B7.11) величины скоростей
Ui и ^2:
2 Р2 ~ Pi Р2 _ 2 Р2 — Pl
Р2 — pl Pl ^ Vl — V2
7/2 Pi — Pl Pl ,,2 P2 — Pl
tin ——' Vo
P2 — Pl P2 "^ Vl — V2
B8.1)
где Vi == 1/pi, Vg = l/p2 суть удельные объемы. Отсюда следует,
что
щ — U2= Y(P2 — Pl) (vi = V2) =- Wy, B8.2)
где Uy есть скорость среды за фронтом ударной волны
относительно фронта.
Далее из B8.1) имеем
ul — ul=^ (Р2 — Pl) (vi + V2);
используя в этом последнем равенстве формулу B7.11), придем
к фундаментальному уравнению
i,-j,= -Pl=:fl-(v, + v,). B8.3)
Далее, так как на основании A.2) i = Е -{- pv, то отсюда и из
B8.3) следует, что
E,-E\=^.^^±^{v,-y,). B8.4)
Последние два эквивалентных друг другу соотношения
называются уравнениями Гюгонио, В соотношения B8.3) и B8.4) входят
только параметры, характеризующие состояние среды, и не
входят скорости. Так как Е или i являются функциями р, v, то эти
соотношения связывают р2, V2 с р^, Vi, т. е. связывают давления
и удельные объемы за фронтом ударной волны с давлением и
удельным объемом среды перед фронтом ударной волны.
Поскольку мы рассматривали чисто адиабатический процесс, то со-

§ 28] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УДАРНЫХ ВОЛН 241
отношения B8.3) или B8.4), описывая именно адиабатический
ударный процесс, являются уравнениями так называемой
ударной адиабаты. Ударную адиабату часто в литературе называют
адиабатой Гюгонио. Эта адиабата, выражая закон сохранения
энергии, является аналогом обычной изэнтроны и справедлива для
любой ударной волны.
Будем считать теперь термодинамические параметры перед
фронтом ударной волны постоянными и продифференцируем
уравнение B8.4); принимая во внимание, что dE ^ Т dS ¦— pd\,
придем к выражению
dE^-= T^dS^ — p^dv^^ -[^^2 (vi — V2) — dv2(p2 +a)],
или
2^2 dS^ = dp^ (vi - vo) + dy^ip, - pi). B8.5)
Поскольку, далее, дифференциал давления можно выразить
в форме
''P = (^)s->^ + <Ml'"'
придем к выражению
dS2
dY2
или
др^.
др2
2Т, - ^^ (V, - V,) = ^ (V, - V,) + (р, - р,),
д\о
^Р2 , Р2— Pi
, ;^' l2T,-^(Y,-y,)\ = ?p+ Р'-Р' ¦ B8.6)
^V2(Vl —V2) L ^'^2^ ^J 5V ' Vl —V2 ^ '
отсюда, переходя к плотностям, имеем
dS^H^i Гот ^Р2 Р2 — Р1
а02Р2р1 ["qT ^Р2 Р2 — Р1 I _ I OP'l Р2 — pi Pi /90 -7\
dpi (Р2 — Pl) L ^ ^^2 Р2р1 J ~ ^Р2 Р2 — Pl Р2 * ^ ' ^
Величина 27'а—^ ——^всегдаможет быть выбрана так, чтобы
0^2 р2р1
она была больше нуля при соответствующем значении р^ — Pi-
Ниже будет показано, что эта величина положительна везде на
ударной адиабате. Поскольку согласно второму началу
термодинамики энтропия не может убывать, то dS2 ^ О и р2 !!> Pi
(по смыслу явления ударной волны). Отсюда следует, что
ОР2 -^Р2 — pi pl
^Р2 "^ Р2 — Pl Р2
B8.8)
Слева в этом выражении стоит величина, определяющая
квадрат скорости звука с1, а справа — квадрат скорости среды ul
за фронтом ударной волны (см. B7.11)).
Таким образом, это условие дает
с, > 1^2. B8.9)

242 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. Л I
Мы установили, что за фронтом ударной волны скорость должна
быть дозвуковой. Аналогично, фиксируя термодинамические
параметры среды за фронтом ударной волны, посмотрим, какое
условие должно выполняться перед фронтом ударной волны, чтобы
состояние за ее фронтом могло осуществиться, т. е. чтобы ударная
волна вообще существовала.
Будем теперь считать постоянными значения параметров за
фронтом и продифференцируем уравнение B8.4):
- di?! - - Ti dS^ + pi dvi = -^ [dpi (Vi - V2) + (pi + P2)dvj,
откуда
- 2Тг dS^ = dp, К ^ v^) + dy, {p, - p,); B8.10)
отсюда следует, что
-^[2г'. + жК-'.)]-^К-'.) + (р.-л) B8-11)
и
c?vi(vi~ Уг)
или
dSг9.9г ^Г^ j^flZlPil ^ --. ^ + g^Zl?L.^ ; B8.12)
1(P2~P1) L ^ ^^1 P1P2 i ^P ' p2 — Pl Pl ^ ^
dp
поскольку dSi ]> 0, dpi ^ 0, то
^Pi ^P2 — pi P2
^pi p2 — pi pi
B8.13)
Слева, в этом выражении стоит величина квадрата скорости звука
с1, а справа — величина квадрата скорости среды ul перед
фронтом ударной волны. Поэтому условие B8.13) определяет, что
перед фронтом ударной волны должно иметь место неравенство
Сг < ui. B8.14)
Покажем теперь, что знак равенства в B8.9) и B8.14)
соответствует исчезновению поверхности разрыва, а следовательно, и
ударной волны. В самом деле, из последних выражений мы в этом
случае имеем
2 __ ,2 _ Р2 Р2 — Р1
^ ^ р1 Р2 — Pl
B8.15)
При этом, если мы имеем дело с чисто изэнтропическим процессом
- ^2 р^ р^_р^ 1 р2 1 р2"

§ 28] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УДАРНЫХ ВОЛН 243
а следовательно, если |^-^1 >0, то х^корость звука должна
возрастать вместе с плотностью:
^>0. B8.16)
Условие же B8.15) показывает, что скорость звука падает при
возрастании плотности.
Противоречие между B8.15) и B8.16) исчезает при
Si = S^j pi = р2, 111 = щ = Ci = ^2, pi = Р2, т. е. тогда,
когда нет поверхности разрыва. Отсюда следует, что ударная
волна может существовать только при выполнении условий
ui > Съ Щ < ^2- B8.17)
Эти требования, как мы показали, выводятся также из условий
dS > О, dp > 0. Следовательно, будет наблюдаться возрастание
энтропии любой частицы среды, проходящей через фронт
ударной волны.
Из неравенства B8.17) и уравнения pi^i = р^щ, выражающего
закон сохранения потока вещества, следует, что при переходе
через фронт ударной волны плотность и, если {d^p/dp^)s > О,
скорость звука возрастают, а скорость среды падает, т. е. что при
Р2>Р1
^2!>^1» щ<'^щ. B8.18)
Неравенства с^ ^ Ci, щ ^ щ, Са < с^, щ < щ исключаются из
рассмотрения на основании закона сохранения потока вещества.
Совокупность неравенств с^, < Ci, щ > щ также исключается,
поскольку она противоречит условиям B8.17); в самом деле,
имеем U2 ^ щ^ Ci^^ с^^ но с^ ^ щ<, т. е. мы пришли к
противоречию. Неравенство же B8.18) является единственным не
противоречащим неравенствам B8.17).
Следовательно, если {d^p/dp^)s > О, то при переходе через
фронт ударной волны давление и плотность возрастают. Заметим,
что если {d^p/dp^)s > О, то и {d^p/dy^)s > О, так как {d^p/dw^)s =
= 2р^ [с^ + 1/2р {d^p/dp^)s]' Ударная волна называется ударной
волной сжатия, если при переходе фронта такой волны в сторону
движения среды давление и плотность повышаются, а скорость
среды падает. (В дальнейшем мы будем рассматривать также
ударные волны разрежения, в которых плотность и давление при
переходе через фронт убывают, а скорость среды увеличивается.) Так
как скорость среды при переходе через фронт падает, то, выбрав
систему координат, в которой щ = О, можно сделать вывод, что
фронт ударной волны будет передвигаться со скоростью щ в

244 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
сторону меньших давлений; при этом скорость среды за фронтом
ударной волны будет выражаться формулой B8.2)
Щ = ui = —Uy = —Y{P2 — Pi) (vi — V2), B8.19)
т. е. среда за фронтом волны движется в ту же сторону, что и сам
фронт, но с меньшей скоростью.
Если {d^p/dp^)s = dc^/dp < О, то и dc/dp <; О, поэтому с
увеличением скорости звука уменьшается плотность и увеличивается
скорость среды при переходе через фронт волны. Следовательно,
на поверхности разрыва должны выполняться условия или Ug ^
> Uli ^2> о» или Щ < i/i, С2< Ci.
Оба эти условия не противоречат росту энтропии при переходе
среды через поверхность разрыва, т. е. условиям B8.17); щ ^ Ci,
Щ <С ^2- Они показывают, что за фронтом поверхности разрыва
при {d^p/d\^)s <С О и при возрастании энтропии мы можем иметь
дело или с ударной волной разрежения (i^2 > щ), или с ударной
волной сжатия, в зависимости от знака второй производной
{d^p/dY^)s. Если {d^p/dw^)s > О, то, как увидим ниже, возможны
только ударные волны сжатия, если {d^p/dv^)s <С О,—то только
ударные волны разрежения.
Вспоминая, что в случае, когда (д^р/др^) > О, а следовательно,
и (d^p/dv^) ^ О, имелась ударная волна сжатия, мы можем теперь
окончательно сказать, что ударные волны сжатия могут
существовать как при положительных, так и отрицательных (d^pldp^)s,
если выполняется условие
(В),>0. B8.20)
При выводе неравенства щ < с^ мы допустили, что
выражение
ЗТ'гРхРг - а?2(Р2 -Pi)
всегда положительно, поскольку всегда можно выбрать соответ-
ствуюш^ее значение р2 таким образом, чтобы
27'2pip2> ||-(p2-pi).
Очевидно, что это неравенство равносильно следуюш,ему:
г, ^гГ, -g?(vi-v,)>0. B8.21)
Так как производная dpJdS на основании A.12) может быть
выражена следующим образом:
дрч Тч
dS с^ 'дТг!^^'

§ 28] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УДАРНЫХ ВОЛН 245
то неравенство B8.21) можно записать и в таком виде:
^2 _ 2 - — (vi - V2) >0. B8.22)
Тг с.
V
При Vi = V2, Pi= Р2 величина f^ во всяком случае положительна.
Посмотрим, при каких условиях §2 обращается в нуль. Пусть
давление /?2 стремится к бесконечности при V2 ^ 0. В этом
случае ударная волна становится неограниченно сильной. Из B8.3)
видно, что ^2 -^ с»; далее из соотношения B7.11) i^ — /1 = {и\ —
— и^I1 заключаем, что щ -^ оо.
Теперь рассмотрим левую часть равенства B8.7)
[2Г,Р,Р. - If (Р, - рО] j?^, = 4- uI - F, j?^^ .
B8.23)
Величина dS^Jd^c^ (vi — Vg), как мы знаем, всюду положительна
при Р1^Р2<С СХ). Предположим, что при каком-либо конечном
значении р^ = р2 f ^ обращается в нуль. Тогда при этом
значении /?2 имеем щ = с^, а также на основании B8.6) имеем
Р1^Р}^(-^) . B8.24)
Но это условие является условием того, что прямая линия,
выходящая из точки j^i, Vi, является касательной для ударной
адиабаты в точке /?2*> ^2*? так как уравнение B8.6) было получено
дифференцированием уравнения ударной адиабаты. При этом
угол наклона прямой экстремален (минимален), а следовательно,
поскольку значение угла наклона а определяется выражением
{Pi — Pi) I (vi — V2) = —dpjdw = tg a, TO
( Pi — pi\ dp
fdtga] __ Гл"Т^^2 _ a¦г^, (VI - V2) 7 + (ft - Pi)
dvi /s \ dvi J s dv^ (Vi — V2)^
B8.25)
Напишем теперь основные уравнения, вводя плотность потока:
/¦ = Pl"l = Р2. Pi-Pl = i^ (Vi - V2), \
12 f'l — -Y v^i ^2)» J
Продифференцируем эти выражения, считая, что pi, pi
постоянны. Тогда dp2 = dp (vi — V2) — P dw^, T^ dS^ + V2 dp^ = [dp x
X (vi — V2)]/2— 72V2dv2. Отсюда, очевидно, имеем
тф = ^:^1:^1>0, B8.27)

246 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРН^ЛХ ВОЛН [ГЛ. Vt
Таким образом, величина р, а следовательно, и / растут вместе
с энтропией. Из соотношения B8.25) следуют важные выводы.
Отметим сначала, что поскольку в точке касания dj = О, то и
dSz = О (что следует из B8.27)), поэтому мы берем производные
при постоянной энтропии. Далее, отсюда видно, что при любом
конечном значении р^ = р^* обращение в нуль величины ^^ ~
= 2Г2 — dpJdS (vi — V2) влечет за собой обращение в нуль
величины производной dS/dp2- Ударные волны сжатия могут
существовать только при условии, что вторая производная {ff^p/dv^)s
везде положительна. Мы приходим к выводу, что точка касания на
ударной адиабате существовать не может, поскольку в точке
касания на основании B8.25) {d'^pjdw'^s = О, так как (dfldv<^s = О,
а в окрестности точки касания величина (d^p^/dw^) должна менять
знак.
Отсюда следует, что нигде на адиабате, ни при каком конечном
значении р^* не выполняется условие
Г2 = 27',-g?(vx-v,) = 0.
Поскольку при V2 = Vj ^2.^ О, то и везде вдоль ударной адиабаты
^2 > 0. Поэтому наше предположение, высказанное выше при
выводе основных неравенств, оказалось справедливым.
В точке /?1, Vi величины d^p/dw^ и др/д\ не обращаются в нуль
при dS = О, как это видно из соотношений B8.11), B8.27), где
и числители и знаменатели обращаются в нуль. Эти величины
соответствуют величинам др/д\ и д^р/д\^ для обычной изэнтро-
пы в этой точке.
Покажем теперь, что величина
fi = 2-±-,^(v,-v,) B8.28)
обращается в нуль в пределе при р.2 -^ оо. Строгое доказательство
заключается в следующем. Поскольку
-^^5§ = (^^-^^)(^^) = (^^-^^I'^^'-^'Ь B8.29)
а величины ^2» dS^ и d\ положительны, то величина clpl — р
также больше нуля. Мы уже указали ранее, что при рз -^ оои V2 ^ О
мы имеем щ ->• с», отсюда / ->- со, а так как Cg > V2/ и V2 ^ О,
то и 6^2 -> ОС, а следовательно, величина — ^2 ^^^г^^^з становится
неопределенной, вида оо — оо. Поскольку величина V2
ограничена снизу, то при р2 -^ оо dv2 = 0. Отсюда следует, что

§ 28] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УДАРНЫХ ВОЛН 247
— dS^ldw^, ->- оо, а величина
В самом деле^, из B8.28) имеем
V2 = vi + agg • B8.30)
дТ
Очевидно, что наименьшая возможная величина Vg, если
др^1дТ ^ О, достигается при fj'^^ — 0. Эта величина
дт
V2 = Vamin = Vi - ^ . B8.31)
Величина Vgmin? вообще говоря, не равна нулю. Таким образом,
предельная плотность на фронте ударной волны может оставаться
ограниченной величиной. То же будет иметь место при {д^р/др^)з <
< О для ударной волны разрежения.
Итак, мы провели подробный анализ свойств ударной адиабаты
и показали, что в случае {d^p/dw^)s^O ударным волнам
соответствует часть ударной адиабаты, лежащая над точкой (pi, vj.
Легко убедиться в том, что часть ударной адиабаты, лежащая ниже
точки (pi, Vi), нереальна, поскольку, обращая наши рассуждения,
можно показать, что для нее энтропия будет падать по сравнению
со своим начальным значением, соответствующим точке (pi, Vi).
Эта часть ударной адиабаты будет при {d^pld\^)s < О
соответствовать волне разрежения.
До сих пор мы предполагали, что {dpJdT<^y^ > О и вообще
(др/дТ)у > 0. Разберем теперь случай, когда {др/дТ)у < 0.
Тогда имеем
v2-=vi-cv r^^^; B8.32)
очевидно, величина ^JT^ уже не может быть равной нулю,
поскольку при этом V2 > Vi, р2 < Pi, что НО может иметь места для
ударных волн сжатия, когда {d^p/d\^)s ^ 0.
Необходимо предположить, что величина
^2 _ (VI — У2)@2 —и1)^У2
^3 ~" T^,\ldS<, ^ •

248 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
Поскольку величина fJT^ при {dp2ldT<^^Q стремится к нулю,
если р<^ -^ оо л величина Vg -> г;2т1п =^ О? то для того, чтобы
§JT2 не стремилось к нулю, нужно предположить, что Vg ->0,
т. е. что р ->- оо. Таким образом, условие (др/дТ)у < О приводит
к тому, что предельная плотность на фронте ударной волны
стремится к бесконечности. Но при этом, поскольку энтропия падает
при росте давления (при р = const), в тех областях адиабаты Гю-
гонио, где {d^p/dw^)s < О, могут существовать ударные волны
разрежения, где {д^р/ду^)з > О -- ударные волны сжатия. Если
величина ^УГ2 — О? то, поскольку Vg^ Vi, могут существовать
только ударные волны разрежения. В тех случаях, когда {dpJdS2)\^ =
= Ticy (dpJdT<^yf^ = О, величина f^. не обращается в нуль, в
противном случае в волне сжатия V2 будет неограниченно возрастать,
т. е. плотность р^ -^0, что противоречит основным условиям,
которые должны выполняться на фронте волны сжатия.
Очевидно, что при этом ^2 — 2^2, тогда для определения V2
получаем выражение V2 = Vi + О/О. Если давление не зависит
от энтропии (или температуры), а только от плотности, то ни
ударные волны сжатия, ни ударные волны разрежения вообще не
могут существовать, поскольку dS = О и щ = Ci = щ = с^, т. е.
ударные волны вырождаются в обычные волны сжатия или
разрежения (за исключением среды, для которой справедливо
уравнение состояния р = — А^ -\- В, где А ж В — константы, когда
может существовать ударная волна разрежения с предельной
плотностью на фронте, равной нулю).
Для реальных волн разрежения реальна нижняя часть ударной
адиабаты [под точкой {р-^, Vi)]. Верхняя часть нереальна, так как
для нее dS < О, что противоречит второму началу термодинамики.
Исследуем вопрос о предельной плотности в случае ударных
волн разрежения. Очевидно, что наименьшее давление, которое
при этом возможно, равно нулю, т. е. р^ = О, при этом Е^ = 0.
Следовательно, уравнение Гюгонио B8.4) принимает вид Е^ =
= V\ (уг — Vi)/2, отсюда
V2 = V, + —.
Так как величина 2EJpi конечна, то и значение V2 == V2min =
= Vi + 2Exlpi также конечно. Определим величину §^ из
равенства B8.12):
^х = 2Г, + ('^1^ (V, - V,) = g---^^ [и\ - c\V B8.33)
М
Поскольку
дрЛ ^ Ti_ fdpi\

28J
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УДАРНЫХ ВОЛИ
249
то
V2 = Vi +
/dpi
[dTijv
2-
Ж1_
Ti
B8.34)
р к\
Очевидно, что максимальное значение V2 будет при f-^=0. Таким
образом,
2с
V2max = Vi -f- —щ- . B8.35)
Значение .f i = О достигается при dSJUN^ -> с», т. е. для сильной
ударной волны разрежения. На основании того, что при jt?2 ~~^ оо
V2min выражается формулой
B8.30) и при Рз =- О V2max ВЫ-
ражается формулой B8.35),
можно сделать вывод, что ударная
адиабата над точкой (pi, Vi)
лежит выше изэнтропы Пуассона,
а под точкой (pi, Vi) — ниже ее
(рис. 15).
Нам теперь остается
исследовать свойства ударной адиабаты
в окрестности точки (р^, Vi).
Из соотношения B8.5) видно,
что при р2 — Ръ ^2 = Vi имеем
dS = 0. Разложим значение Sg—fi'i
вблизи точки (jpi, Vi) в ряд
по степеням S^ — Si и у^ — Vi, причем разложение по степеням
V2 — Vi проведем до членов третьего порядка, а в отношении
членов со степенями ^2 — ^i ограничимся только одним членом.
*^V
Рис. 15.
Поскольку
I 1 f^^^\ / \^
{дЕ/dS)^ = Т, {-dE/dw)s
B8.36)
Р^
то
Е,-Е, = Т, {S, - S,) + Р, (vi - V2) - -f fIf )^ (V, - V2)^ +
^.f
B8.37)
С другой стороны, E2 — El = (p.y + Pi)/2 (vi — V2). Разложим
теперь в ряд по степеням Vi — V2 и ^2 — Si значение
Р2 ~~ Pi вблизи той же точки; очевидно, в отношении членов

250 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. Vt
с Vi — V2 разложение достаточно вести до членов второго порядка:
р. - й - - (|?), к - V,) +-1-(g; (V. - V,). +
Пользуясь теперь формулой B8.37) и исключая Е2 — Ei, получим
Поскольку S2 — Si^ О и в случае ударной волны Vi > Vg,
то должно быть {d^p/dw^)s ^ 0. Аналогично, используя уравнение
B8.3) ^2 — ^1 == {Р2 — Pi)/2 (vi + V2), можно показать, что
S^-Si = i4r (Р^ - л)' E)«. B8-40)
Т. е. энтропия в случае малого скачка является малой величиной
третьего порядка, а следовательно, адиабата Гюгонио и изэнтропа
имеют в точке {pi, Vi) не только общую касательную, но и
соприкосновение второго рода. Так как вблизи точки (pi, Vi) при
{д^р/д\^)з ^ О суп1,ествует ударная волна сжатия, то и всюду,
где Р2 > О, при этом условии также могут существовать ударные
волны.
Анализируя соотношения B8.39), можно сделать вывод, что
поскольку S^ — Si^^ (vi — Vg)^, то разложение давления по
степеням плотностей или удельных объемов в точке (pi, Vi) для
ударной адиабаты с точностью до членов второго порядка
включительно совпадает с соответствующим разложением для изэн-
тропы.
Точно так же покажем, что с точностью до членов второго
порядка включительно совпадает величина скорости щ — щ для
обеих адиабат. В самом деле, поскольку для ударной адиабаты
иу = и2-Щ = y"-(P2~A)(V2-Vi) =|/ - (If + 4" IS^^) ^
д^р
г ^ 1 ^(^VJ
x^^ = /-~l7 •^^ + -7=^ + - B^-^^)
первые два члена в этом разложении имеют тот же вид, что и для

§ 29] УДАРНЫЕ волны ДЛЯ ИЗЭНТРОПИЧБСКИХ СРЕД 251
изэнтропы, то отсюда непосредственно вытекает справедливость
нашего утверждения *).
Для инвариантов Римана на основании сделанных разложений
можно заключить, что их изменения на фронте ударной волны,
так же как изменение энтропии, являются величинами третьего
порядка малости относительно Av или Д/?. В самом деле, так как
Wy + \^ = ^2 — г^х + \^, щ — щ=: Y'— ApAv,
то
ydinp-^ )/-дрДу= -{^^^ш:
/(--^
ду Js
Анализ разложения величины А5 по Av или по Ар показывает,
что возрастание энтропии для ударной волны сжатия, когда Ар ^
>0, происходит только при {d^p/dY^)s^O. Напротив, для
ударной волны разрежения, когда Ар <С О, энтропия возрастает при
{d^p/d\^)s < О, что лишний раз подтверждает ранее сделанные нами
выводы. Вопрос о физических причинах возрастания энтропийно
потерях свободной энергии, происходящих при ударных
процессах, мы рассмотрим дальше.
§ 29. Ударные волны для взэнтропических
(политроптеских) сред
Рассмотрим основные соотношения, которые имеют место при
переходе среды через ударный фронт в тех случаях, когда
уравнение изэнтропы среды можно написать в виде
р = ар^ B9.1)
Для этой цели нам необходимо прежде всего вычислить значения
внутренних энергий Ez и Ex. При этом необходимо помнить,
что энтропия среды после прохождения через ударный фронт
повышается, а поэтому величина а для среды перед фронтом и за
*) Для изэнтропы из (8.14) имеем
w? - U1 = ^ V-dpdw = ^ j/ --^ rfv = J,/ - д| Av =
d^^P
/dp ^ rfv2 Лу2

252 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
фронтом ударной волны имеет различное значение, а именно
а^ > ai.
Так как и перед фронтом ударной волны и за фронтом ударной
волны состояние среды меняется изэнтропически dS = О, то из
A.4) имеем dE = — pdv = — 7? —^ ; отсюда и из B9.1) следует, что
г
^. = lS' ^^-i^-1- B9.2)
Значения показателей изэнтропы /ci и &2 в случае ударной волны
произвольной силы (при произвольной величине рз) должны быть
различны, поскольку различны температуры по обе стороны от
поверхности разрыва. Подставляя найденные значения Ei и Е2
в уравнение энергии B8.4) и производя элементарные
преобразования, придем к выражениям
Р2 __ ki—i pi _PL ^ Zi ^ k2—i pi +
pi — k2+ 1l _P2_ ' pi V2 /Cl + 1 P2 • V^^»^)
/сг — 1 ~~ pi A:i — 1 "> pi
Принимая ^1 = ^2 = /с, получим
P2 ^ (A; + l)p2 —(fe —l)pi 9^^ J2.= {^ + ^) P2 + (k — i) pi
Pi (k + i)9i-(k-i)p2 ' pi V2 (k + i)pi + (k-l) Р2'
B9.4)
В таком виде эти уравнения носят названия ударных адиабат
Гюгонио для политропических сред.
Укажем другой, весьма изящный и простой вывод этих же
формул. Поскольку скорость звука в идеальном газе (скорость
распространения фронта малых возмущений) определяется
формулой
/^=/^.
dp
ТО для случая больших возмущений газа (для случая ударной
волны) напишем это выражение в виде А/?/Ар = кр/р, где р и р —
средние значения /? и р^, а величина к считается постоянной.
Отсюда находим
PL=lIl==kP^±Pl; B9.5)
Р2 — pi Р2 + Pl
ИЗ этого равенства и получаются формулы B9.4).
Если рз стремится к бесконечности (или просто велико по
сравнению с pi), то величиной pi можно пренебречь, и тогда для
предельного значения рз/рх найдем
Р2 А:2 + 1
р1 /сг — 1
B9.6)

§ 29] УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ДЛЯ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИХ СРЕД 253
Отсюда, например, при ^2 = 7/5 (двухатомный газ) имеем
Pa/pi = 6.
Часто делается вывод о том, что при возрастании давления
плотность двухатомного газа не может возрасти более чем в шесть
раз. Значение Рг/рх заметным образом зависит от интенсивности
ударной волны, так как при сильном сжатии газа в ударной волне
существенно возрастает и его температура, а величина к^
соответственно уменьшается. Так, вычисления с использованием
уточненных формул и уравнения состояния идеального газа
показывают, что в случае воздуха при pjpi = 3000 за ударным
фронтом достигается температура Т^ = 38 000° абс. Однако при таких
значительных температурах получают сильное развитие
процессы диссоциации и ионизации газа, связанные с поглощениелг
энергии, благодаря чему изменяется энергетический баланс,
а действительная температура газа за ударным фронтом окажется
заметно ниже, чем при классических методах расчета (для
указанного выше примера — около 20%).
При столь высоких температурах диссоциация и ионизация
газа весьма значительна, и вследствие этого число частиц в нем
существенно возрастает, а плотность газа соответственно падает.
Поэтому при весьма больших давлениях плотность р2 стремится
к меньшему пределу, чем {к^ + 1)р/ (к^ — 1), но, однако, при этом
уменьшается величина /^2 и р2 становится больше, чем дает
формула B9.6).
Подробные вычисления, проведенные Буркхардтом и Дэвисом,
показали, что в случае воздуха при p^pi ^ 3000 значение pg/pi
мало меняется и приблизительно равно 10, скорость же ударной
волны и давление р^, напротив, мало зависят от величины /Cg,
и результаты классических расчетов значений этих параметров
близки к результатам уточненных вычислений указанных выше
авторов.
Напишем теперь снова основные соотношения, которые имеют
место для ударного перехода [см. B8.1), B8.2) и B8.4I:
B9.7)
ul
= щ —
-V2'
_ P2V2
1^2
-<'^-
y(;>2-Pi)(vi
PlVl _ /72
¦Pi .
-V2'
-V2);
1
где Uj = щ — Ui есть скорость газа за фронтом ударной волны
относительно самого фронта.
Исходя из этих уравнений, можно выразить величины
Щ — Щ = Uy, Р2 — Pi, Vi — Vg

254 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
как функции величины начальной нормальной компоненты
скорости среды щ (в случае плоской ударной волны нужно задать
просто начальную скорость,! которая и равна величине щ).
Исключая из первого уравнения B9.7) величину Уг, мы придем
сначала к такому уравнению:
B9.8)
(заметим здесь, что величина ki ^ Aj, поскольку 7*2 > Ti)-
Отсюда
Р^-Рг = к;+1{^--ш — ]^
X
,.2
¦ 2(h + i)(ki-h) П ,
"^ A;i(A:i —1) - 9.9.
{'-'Ц)
B9.9
Обозначим половину величины в последних круглых скобках через
А. Тогда выражение B9.9) напишется в виде
Р.-/'. = 5^A-&^)A + ^)- B9.10)
При ^2 -^A:i Д -^0, при Ui -> оо (т. е. для сильных ударных волн)
также Д ~>0. Поэтому величина
2(h + i)(k2-h)cl
вообще говоря, всегда мала по сравнению с единицей, и,
следовательно, величину Д можно представить в виде Д :^ 1/2 A +
+ а/2 — 1) = а/4, а величину Р2 -^ Pi — ^ вице р^ — р^ —
= 2ри1/{к2 + 1) + ^ъ где величина Дх = lul {ki — U2)P2^iI/
/t(^i — 1) (^1^1 ~" ^2^i)l всегда мала в сравнении с величиной
2pi ihul - k^cD/k^ {к^ + 1).
Итак, для определения величины рз — Pi можно
воспользоваться приближенным выражением

§ 29] УДАРНЫЕ волны ДЛЯ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИХ СРЕД 255
Поскольку на основании B7.11)
Р2— Pi = Piz^i — p2ul = Pi^^i (ui — U2) = piUiUj, B9.12)
TO
Uy = Щ
Щ
2ui
/^2+1
('-1^M^- P9.13,
Далее, поскольку (vi — V2)/vi = (po — Pi)/piul, то
Vi — v« -=
^('-^l)+#'" ''"*'
Рассматривая соотношения B9.10), B9.13) и B9.14), мы
видим, что все они имеют одинаковую структуру. Выпишем все эти
формулы вместе в таком виде:
2р17/2
2ui
P2-Pi= k^jn 6 + Pi*' иу = щ- г/2 - ^^цг{ 0 + Р21
2vi
'i-^^=i5H«+p-
где
{^-^^)
B9.15)
B9.16)
Если пренебречь для не очень сильных волн изменением
величины к, то, полагая /с^ = ^2 = к, мы значительно упростим эти
соотношения. Величины pi, Р2 и Рз соответственно равны:
р1 = 2piulQM{k2 + i)j Р2 = Ai/pi«^i, Рз = ViAi/piM?; так как
при ki = к2 = к имеем А = О, Ai = О, то р^ = Pg = pg
и соотношения B9.15) напишутся так:
О
где
«1-
щ
2и1 л 2vi л
B9.17)
B9.18)
Для достаточно сильных ударных волн, когда можно пренебречь
величиной pi по сравнению с величиной р^, отношение Ci/ui мало,

256
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[гл. VI
1, И соотношения B9.17) примут вид
2piul ^
Р2
А:2 + 1 '
Р2
Р1
V2
А:2+1
2ui
^1 — ^2 — г^у — д.^ _^ ^ .
B9.19)
В том случае, когда величина к ^ к^ = к^ стремится к единице^
соотношения B9.15) принимают вид
Pi — Pi = pulQ; щ — щ = Uy = UiQq] vi — V2 = ViGo- B9.20)
Дополним выведенные нами соотношения выражением,
определяющим температуру на фронте ударной волны для идеального
газа. Так как ру = RT, то, выражая отношение Рг/рх по формуле
B9.3), получим
^2+1 Р2
Т'У. Р2 Р1 />2 /С2 — 1 Pl "^ /90 2\\
Tl
Р2 Р1
Pl Р2
Р1 kl+ 1 jP2
1"^
ki-
Р^
где Гх = Pi/i?pi.
Для сильной ударной волны по формуле B9.6) температура
на фронте ее определяется соотношением
^ 2У
/С2 + 1 Р2
ho,
1 /^1
B9.22)
Когда происходит обычный (медленный) адиабатический
процесс сжатия газа, то и температура и плотность растут с
увеличением давления: Т
, рAс-1)/к. р ^р1/?с. При внезапном
ударном сжатии газа, как мы показали (исключая случай к = 1),
даже при бесконечно сильной ударной волне плотность на ее
фронте стремится к конечному, вполне определенному пределу,
возрастая примерно в десять раз по сравнению со своим
начальным значением (для одноатомного газа, к которому стремится
любой газ при высоких температурах и давлениях). Вследствие
этого рост температуры при ударном сжатии газа более значителен,
чем при обычном сжатии.
Найдем связь между температурой Т^у ударного и
температурой Т^а обычного адиабатического процесса сжатия газа.
Поскольку
^ 2а
?с-1
к
-Ш •

§ 29] УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ДЛЯ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИХ СРЕД 257
то
^2V f Р2 \ ^ f Р2 \ / Р2 \ / Р2 \ / Р2 \ ^ ^2 — 1 pi
^2У __ ( Р2 \ ^ (_92_\ _ /_Р2_\ /_Р2_\ ^ /_Р2_\ ^ ^2~^ ^
^2а ~ WW \ Pi Уу ~ \ Pja ^ РJy ¦ \ /'l j ^^1±1
A:i — 1 ' pi
B9.23)
При /?2 "^ оо ЭТО соотношение принимает вид
j_
^2У __ ^2 + 1 [ Р2 U __ h + i ( Р2 \ ,r,Q 9/Л
Напишем теперь основные формулы, позволяюпцие оценить
изменение энтропии на фронте ударной волны. Поскольку р =
= ар^, то, используя B9.23) при ki ^ к2 = к, найдем
/ к + 1 р^ у
^^IlI^^^_ ^ k-i + р,
cJi pi^ 92 1 pi\ k + i ^ . , ] ' ^ '
\ k-i />i + W
где Oi = Pi/pi характеризует энтропию газа перед фронтом
ударной волны. При
JD2 С2 _ Р2 / к — 1 Y
-> ОО
/>1 Ci /?1 \ /с + 1
B9.26)
Так как в окрестностях точки (pi, \j) Og ->ai, то ударная волна
переходит в обычную звуковую волну. Выведем основные
соотношения для звуковой волны, считая, что
Ар = р2 — Pi ->0, Av = V2 — Vi ->0, Аи = Ui — щ -->0;
тогда первая и третья формулы B9.7) дают соответственно
^" = '/-^' B9-27)
и\=-у'^=с1 B9.28)
Уравнение энергии, поскольку dS = О, сводится к виду dE =
= — р dw, что в случае идеального газа дает адиабату Пуассона
ру^ = G. B9.29)
Поэтому
Ди = с,^. с? = ^. B9.30)

258 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
В заключение выведем еще одно полезное соотношение для
ударных волн. Исходя из условия
будем иметь следующее выражение для скорости звука
заторможенного газа за фронтом и перед фронтом ударной волны:
2 2 I Л — 1 2 2 I к — 1 2 I ^ — 1 / 2 , 2ч /по ол\
Ст -= ^1 + -у- qi=^c^+ —J- г^1 + —т- К + "^i)- B9.31)
Выразим величину Ст через плотности и давления рз, pi; Рг» J^i-
Соответствующее выражение будет иметь вид
р1 ' 2 р1 Р2 —Pi 2 ^ -^ ' ^-^
= -^ ?^ + ^ (^'^ + "'^)- B9.32)
Поскольку критическая скорость звука с^к = ХТТ ^^' ^^ ^^^
критической скорости мы будем иметь выражение
2 _P2 — pi
Р2-
^ + ТТТ(''?+"'^)' B9.33)
Отсюда мы видим, что критическая скорость не меняется при
переходе через скачок.
Поскольку произведение скоростей на основании B9.7)
может быть выражено так
"^"^ = g^' B9.34)
ТО мы приходим к соотношению
cl = u,u,-^^{vl + wb. B9.35)
В это выражение входят только величины скоростей; в случае
плоской ударной волны, поскольку Vi = Wx — О, это соотношение
принимает еще более простой вид: с^^ = щщ,
§ 30. Плоская ударная волна
Для того чтобы связать более тесно теорию ударных волн и
простых волн сжатия, мы здесь рассмотрим также вопрос об
отражении ударной волны от стенки и заново дадим вывод основных
соотношений для плоской стационарной ударной волны.

30]
ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА
259
Пусть в цилиндре сечением, равным единице, наполненном
какой-либо средой, распространяется плоский скачок давления.
Для определенности положим, что он движется слева направо, и
условимся скорости движения слева направо считать
положительными. Скачок давления может быть образован при
внезапном толчке и последующем равномерном движении поршня.
В
РгРг^г
PiS^i
ЧП-и^о) "(D-Ujo)
Рис. 16.
Невозмущенное состояние среды справа от скачка давления
характеризуется величинами р^, р^, щ. За фронтом скачка
будем иметь параметры /j^, р.,, и.. Скорость перемещения скачка
(фронта ударной волны) обозначим через D (рис. 16).
Напишем снова законы сохранения массы, импульса и
энергии, причем рассмотрим спстелту координат, которая движется
вместе с фронтом скачка. В этой системе граница АВ (рис. 16)
между невозмущенным и воялгущенным состояниями среды
останется неподвижной, а вся среда будет двигаться справа налево
со скоростью Z), на которую накладывается собственная скорость
частиц газа. Невозмущенная среда справа от фронта волны {АВ)
будет двигаться налево со скоростью D — щ, а сжатая волной
среда слева от фронта — также налево со скоростью D — щ.
Через единицу времени частицы газа, которые заключались
в объеме D — щ, займут объем D — щ, так как правая граница
рассматриваемого объема займет положение АВ, а левая его
граница, пройдя расстояние D — г^з, переместится в положение
CiZ^i. Очевидно, масса газа, заключавшаяся первоначально в
объеме D ~ щ при плотности р1, равна массе, которая будет занимать
объем D —- що, плотностью р2, т. е.
Р1 Ф - ^i) = р2 {D - щ) - /. C0.1)
Рассматриваемая масса есть масса, проходящая через
сечение, равное единице, за одну секунду, т, е. так называемый

260 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. V3
секундный расход массы. Уравнение C0.1) представляет собой
выражение закона сохранения массы.
Выведем теперь закон сохранения количества движения.
Воспользуемся уравнением
Ft = Ми, C0.2)
где F — сила, t — время ее действия, Ми — количество
движения, приобретенное рассматриваемым телом. В нашем случае
силой, действующей на газ, надо считать перепад давления
Р2 — Pi* Время, в течение которого она действует, положим
равным одной секунде. Скорость, которую приобретает газ, есть
щ — Wi. Масса рассматриваемого объема газа, как мы видели,
равна р (Z) — Ui). Тогда теорема об изменении количества
движения выразится равенством
Р2 — Pi = Р1 Ф — ui) {щ — Ui). C0.3)
Обратимся теперь к закону сохранения энергии. Обозначим
через Е полную внутреннюю энергию, отнесенную к единице
массы среды. Кинетическая энергия среды, отнесенная к единице
массы, будет и^12. При движении среды в единицу времени
затрачивается работа, равная Р2^2—j^iWi. Отнеся эту работу к единице
массы, получим
Тогда общий баланс энергии напишется в виде
и\ 1 ^1
^1 + ^ + (/>2^2 - PiUx) ^,(D-ui) = ^2 + -у-. C0.4)
Займемся преобразованием выведенных соотношений. Выведем
сначала формулу, определяющую разность скоростей щ -— щ.
Из закона сохранения массы имеем {D — i^i)v2 = (Z) — 1^2)^1,
где vi = 1/рь V2 = 1/р2, откуда D = (wvg — щУг) I {v^ — vj.
Вычитая Ui из обеих частей последнего равенства, найдем D —
— i^j = Vi {щ — ui)/{vi — V2). Отсюда можно представить
величину / в виде
/ = (/) — Ui)/Vi = (^2 — Ui)/{\i — V2).
Из закона сохранения импульса имеем
' U2 — Ml *
Сравнивая два последних выражения, найдем
и^ — ui = V (Р2 — Рг) (vx — v^), C0.5)

30]
ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА
261
Из найденных соотношений легко получаем выражение для ско-
рости распространения фронта ударной волны
^ -^ г VI — V9
VI— V2
Далее преобразуем уравнение B7.4), представив его в виде
C0.6)
Е^ — Е^
что дает
U2 — их
р РчЩ — PlUi 1 (щ — Ulf Р2 + pi
^ Р.~Р1 -(^i + ^2)J = 2 jr=Ti'
Е,-Е,= Е^(у,-у,). C0.7)
штт//шшг//тш///<'/и^///и/Ш(
и^^Ор^ Р2
^iPi в
Перейдем к рассмотрению вопроса об отражении газового
потока от стенки. Пусть плоский фронт стационарного газового
потока движется к
неподвижной стенке. Скорость потока
перпендикулярна к стенке.
Между фронтом и стенкой до
удара потока о стенку—вакуум.
После удара от стенки
пойдет ударная волна, ее фронт —
/-/(рис. 17).
Введем снова подвижную
систему координат,
движущуюся вместе с фронтом ударной
волны. Тогда скорость перед
фронтом ударной волны будет
Ui — D, а за фронтом щ — D (величины щ и щ рассматриваем
как проекции скорости на ось х).
Для определения параметров за фронтом ударной волны мы
можем применить формулы, полученные ранее и также
выведенные для подвижной системы, движущейся вместе с фронтом
ударной волны. К этим формулам нужно еще добавить условие Ug = О,
так как среда у стенки после отражения должна быть неподвижна.
Из формулы C0.5), учитывая условие Wg = О, получаем
Рис. 17.
Ui
-V{P2
откуда
Wl = (Pi
— Pi) (vi — V2),
Pi) (vi — V2),
C0.8)
C0.9)
где индексами 1 и 2 соответственно обозначены параметры
падающего и отраженного от стенки потоков газа. Для параметров от-
ражедного потока прц законе pv" = а п к^ = kj. — к, как ц р

262 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
формулах B9.3) и B9.4), будем иметь
V2 ^ (k-i)p2 + (k + i)pi .
VI (k+i)p^+(k--i)pi^
[гл. VI
C0.10)
очевидно, что для падающего потока pi и vi никак не связаны ни
взаимно, ни с Ui. Исключая Vg из C0.9) и C0.10), получим
^'{Р2. — Pl)^
P2{k + i)+pi(k--i)
= pi^i;
отсюда
Р2
Pi + —т- Pl^l
/'
1 + 1/ 1 +
fc + i
^4
C0.11)
C0.12)
При малых Ci/ui (а следовательно, и малых pi) формула
переходит в
Pi
C0.13)
aj До отрамсения
I.
i
in
"г
Рг
б) После отраокеиия
II
^
Л
Таким образом, зная параметры Wi, pi, /?i потока, набегающего на
стенку, мы легко определяем все
необходимые параметры рз» р2» Щ "= ^
отраженного потока.
В рассматриваемой задаче
предполагалось, что как поток, так и отраженная
ударная волна являются стационарными.
На самом деле подобного рода поток,
который распространяется в пустом
пространстве, как мы видели выше, не может
быть стационарным, и поэтому
вычисленные нами параметры для отраженной
ударной волны будут справедливы только
для первого момента удара фронта потока
о стенку. Отраженная ударная волна
также не будет стационарной.
Если между стенкой и движущимся
стационарным потоком находится какая-
нибудь среда, например газ, то могут
представиться различные случаи отражения этого потока от
стенки, поскольку к стенке может приближаться или волна
сжатия, или ударная волна.
Рассмотрим отражение от стенки плоской ударной волны
сжатия *).
Пусть к стенке приближается фронт ударной волны.
Состояние невозмущенного газа у стенки характеризуется величинами
Рз
Рз
^2
Р2
Рис. 18.
вым.
*) Эта задача была решена в 1935 г. С. В. Измайловым и О. Е. Власо-

§ 30j
ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА
263
щ:=: О, Pi, Pi, состояние газа за фронтом ударной волны
характеризуется значениями U2, Р2? /?2> значения тех же величин за
фронтом .отраженной волны обозначим и^, рд, рз (рис. 18).
Если падающая на стенку ударная волна стационарна, то
отраженная волна также должна быть стационарна. Это следует и
из смысла самой задачи, а также по чисто формальным причинам,
так как отраженная стационарная волна удовлетворяет, как мы
это сейчас покажем, всем необходимым условиям, которые имеют
место на фронте произвольной волны, а также автоматически
основным уравнениям газовой динамики, являясь их тривиальным
решением.
Поскольку на стенке скорость за фронтом отраженной волны
должна быть равна нулю: и^ = О, то и везде в отраженной
ударной волне скорость должна быть тождественно равна нулю.
Основные уравнения рассматриваемой задачи, используя
формулы C0.5), C0.6) и C0.7), можно написать в виде
Щ=^ /(P3-P2)(V2 — Vs)
Р3~ Р2 .
V2 — V3 '
C0.14)
/J — Uo =- V2 j/
E,-E,^P^iv,-v,); Е,-Е,= ЦР-^{у,-у,);
отсюда (рз — Р2) (vo — V3) = (Р2 — Pi) (vi — V2) == ul или
= ul. C0.15)
J
РЗ — P2
P2
^ P2_\ ^ P2 — Pi I I
Pi
Pi
P2
Поскольку для изэнтропической (политропической) среды на
основании формулы C0.10)
л PL ^ 2 (р2 — pi) .
Р2 (/<: + 1)/>2 + (Аг-1)р1 »
ТО мы имеем
(РЗ - /^2J
у| р2_ ^ ^^(ps — Р2)
РЗ (k + i)P^ + (k-i)p2 '
(/?2 — PlJ
(k + i)ps + {k-i)p^ (k-i)p^ + (k + i)p.
Представим первые два члена равенства в виде
(А/:з-Ар2J (Ар2)^
Р2
2 •
9чи1
C0.16)
C0.17)
где
2upi + (/с + 1) А/73+ (А: — 1) Л/?2 (к — 1) Ар2 + 2kpi
ДРЗ = Рз— Ри АР2 = Р2 — Pi,

264 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
отсюда найдем, что
¦V. = 2Ар, + „IMi^'X = 2АР. + ^ Р.»1. C0.18)
Приведем теперь выражение C0.18) к виду, определяющему
величину давления, образуемого скоростным напором.
Поскольку внутреннее давление падающей волны есть р^,
то можно написать равенство, аналогичное C0.18), в виде
P,-P, + [iP.-p.)+ ,,^%1%^1,Л. (^.'9)
где величина, стоящая в скобках, и определяет величину
давления, создаваемую потоком при его торможении.
Преобразуя формулу C0.19), напишем ее в виде
„ _ „ J 2А:/?а (^2 — Pi) _ ^ (Ък — i) р^^ — (к — i) рх ол ^^ч
Р^-Р^-^ (Л-1)р2 + {^ + 1)р1 ~ Р' {k-i)p,+ {k + i)p, ^^^-^^^
или в виде
^p^^^p.^^^Pй^h±?^, C0.21)
2/с
¦^Pч + Pl
Поскольку Ар2 с помощью основных уравнений можно написать
в виде
ТО
' + 1/> + ,-А-.-^]- (^-^г)
i^kpi
C0.23)
В пределе при р<^и^^ ^ р^
Aps - Ар2 + ^^92^1 = y?j Д]:?2 или просто рз = x?y Р2» C0.24)
что следует также из C0.20).
В случае слабой ударной волны
Ар,= Ар, +'L-lp^ul-/ -^j^ ^^,^2Ар„ C0.25)
ЧТО также следует из C0.20), т. е. мы приходим к результату,
известному в акустике.

§ 31] КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА 265
Из соотношений C0.14) мы получаем формулы, определяющие
D^ и рз, где D^— скорость фронта отраженной ударной волны:
А = / p,Kfe + i)f'+(fe-i)fil K^-^)p-^ + Pii=
V3 _ р2 _ А; — 1 pi
V2 рз /с ' крч
C0.26)
Поскольку Рз — Р2 — щ1 (^2 ~ ^^з)^ то для давления в
отраженной ударной волне можно написать такое соотношение:
/>з = Р2 + -^. C0.27)
Если падающая ударная волна сильная, то мы получаем
следующие предельные выражения для отраженной волны:
-^=1^^ Ог-/Щ^- C0.28)
Энтропия в отраженной ударной волне определяется
соотношением
бз _ PZ ( 92^ ^{Ък-\)р^,-{к-\)рг Ik-i pi \fc ror^ OQ)
C32 ~ Р2[рг1 (k~i)p2 + (k + i)pi [ к '^ kp^ j.^oKj.^v)
Анализ его показывает, что рост энтропии в отраженной волне
конечен, так как амплитуда ее относительно падающей волны
также всегда конечна (за исключением случая, когда pi->oo). При
Pi"^ оо мы придем к следующей предельной формуле для
энтропии:
Эти формулы показывают, что в случае бесконечно сильной волны
величина 03/02 остается конечной.
§ 31. Косая ударная волна
Будем рассматривать плоскую косую волну, считая, что ее
пересекает плоский поток среды, направление которого указано
на рис. 19 под некоторым углом. Этот угол между направлением
скорости потока и поверхностью фронта ударной волны мы
обозначим через ф.
Пусть gi, да —величины скорости перед фронтом и за фронтом,
Wi, U2 — соответствующие проекции скорости на ось х,
перпендикулярную к фронту волны, Vi и V2 — проекции скорости на ось,

266
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[гл. YI
параллельную фронту волны. Тогда основные уравнения для
этого случая примут вид (плоская задача)
Pii^i -: р^щ; ii+ -4- = i*2 + -т" 5
После прохождения
правление движения
C1.1)
через фронт косой ударной волны па-
потока должно
Pi + PlUl = Pz + P2^h
фронт ударной
волны
измениться (рис. 19).
Это происходит потому,
что величины
нормальных компонент
скорости сменяются: ач<^щ,
а величины
тангенциальных компонент
равны между собой.
Обозначим угол
между направлением
движения потока среды
за фронтом ударной
волны и поверхностью
фронта через со. Тогда
очевидны такие
соотношения:
C1.2)
Рис. 19.
Ul = Qi Sin ф,
Vi = Qi COS Ф,
щ = ^2 sin со;
г?2 = ^2 cos со,
где ?1 и 52 — величины скоростей потоков до фронта и
91 = ^1 + v\.
Из соотношений C1.2) имеем
поскольку г?1 = v^, р^и^ = ра^а,
Ц2 __ Pl _
Ui ~ Р2 ~"
ql = fA + vt
—--tgco;
TO
V2 tgO)
vi ""tgqp*
C1.3)
C1.4)
Так как щ <i Wi, то tg со <^ tg ф, со <[ ф, отсюда видно, что угол
между направлением движения потока и фронтом волны после
прохождения через фронт косой ударной волны уменьшается по
сравнению с начальным углом, т, е, поток как бы приближается

31j
КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА
26 7
К фронту ударной волны. Угол поворота потока (угол между
направлением его движения до фронта и за фронтом) есть
Э = Ф
Из уравнений C1.1) имеем
(О.
Р2 — А ^ pi^i — Р2^2 == pi^^i (^ - "^j;
C1.5)
C1.6)
C1.7)
Зная, далее, для заданного уравнения состояния из уравнения
Фронт удаоиой
волны'
/7ервош1/ал^нге hcwpae ^J ^^ж1^^%^'1Ъ
Рис. 20.
энергии C1.7) связь между f^lpx и Р2/Р1» мы, исключив из
уравнений C1.4) и C1.6) величины рг/Рх и рг/рх, придем к уравнению
вида
^(ф, Pi^Pi. ^1, «)-= О, C1.8)
определяюп;ему зависимость между углами ф, со и начальными
параметрами потока pi, Pi, а^. Это дает возможность сразу же
определить величины р2, и^ и затем величину р^-, что полностью решает
задачу об определении параметров потока за фронтом ударной
волны (если величины Pi, Pi, ^i, ф заданы).
Так как направление движения потока перед и за фронтом
ударной волны прямолинейно, то подобное явление может
произойти при обтекании потоком среды, движущейся с определенной
сверхзвуковой скоростью какого-либо вогнутого угла (я — G)
(рис. 20).
Образование косой ударной волны при обтекании подобного
угла, как мы уже знаем, может иметь место лишь при выполнении

268 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРЙЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
условия Ui^ Ci. При этом всегда Qi^ Ci, поскольку Vi ^ 0.
При Qi ^ Ci ни косая, ни прямая ударные волны не образуются.
Рассматривая задачу обтекания угла сверхзвуковым потоком,
мы должны считать заданными параметры Pi, Pi, gi и угол
поворота потока 6 = ф — со.
Тогда соотношение C1.4) удобнее написать в виде
 _ Р1 _ tg (ф - Э)
Ui р2 tg ф
И соотношение C1.6) в виде
C1.9)
Р,-Рг = Pxglsm'^[^l--^j. C1.10)
Зная pjpi =- / (p2/pi)i мы сможем исключить из этих
соотношений pjpi, Р2/Р1 и найти связь между ф, р^, р^, q^, после чего
определяется рз, и^, щ и р^, что полностью решает задачу об
определении движения среды при обтекании угла. За фронтом ударной
волны должно быть ^2 <С ^2' НО отсюда не следует, что
обязательно ^2 <С ^21 т. е. при косом отражении ударной волны скорость
после отражения может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой.
Взяв соответственную систему координат, начало которой
скользит с определенной скоростью по линии фронта ударной волны,
можно по произволу сделать ^2 ^ ^2 или q^ <С <^2- Итак, в косой
ударной волне приходящий поток всегда сверхзвуковой, а
уходящий может быть и дозвуковым и сверхзвуковым.
Перейдем к более подробному рассмотрению свойства косых
волн для политропического (изэнтропического) закона
р - ар'^*. C1.11)
При этом отметим снова, что энтропия и величина а перед фронтом
ударной волны имеют значение iS^ и Oj, а за фронтом S^ и о^^
причем 02 ^ Oj. Поскольку для этого закона отношения давлений
pJPx и плотностей pg/pi выражаются формулами B9.3), то из
формул C1.10) и B9.3) получаем
P^^-Pi-T^j^TiPiqi
sm^ ф J ^
Р2 — Р1 ^ h д2 J
C1Л2)
При к^ ^ ki = к уравнение B8.14) принимает более простой вид
C1.13)
Pi — Pi = xqrr Pi^i
81п''^ф —
9?
Определим теперь связь между углами ф и 6. Для этой цели
воспользуемся соотношениями C1.9), C1.10) и C1.12). Соотношение

3lj
КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА
269
C1.10) при исключении pjpi из C1.12) дает
2ki 2кг Pi
Ы1
к\ — 1 /С2 — 1 Р2
р1_ V-M
Р2 А'2 — 1
¦Sin'
1
¦ff'-ir)
C1.14)
подставляя сюда значение pi/p2 из C1.9), приходим к
соотношению
Ari-l
кч /С1 — 1 tg (ф — 6)
к\ ki — i tg ф
/С2 + 1 tg (Ф - 6)
^1
1
tg (Ф - 6)
tgф
/сг — 1 tg ф
В случае к^— к^ = к уравнение C1.15) принимает вид
2 я1 .. , rfe + 1 tg(ф-e)
с? "" ^L^-i 1§ф ^J-
C1.15)
C1.16)
Ударная
волна
Для анализа найденных соотношений и упрощения ряда
дальнейших выкладок можно поступить следуюв^им образом.
В классической теории
косой ударной волны
доказывается, что при определенных
значениях угла раствора
клина (или конуса), а именно
при углах 0, превосходящих
некоторое определенное
значение 00, которое мы
вычислим ниже, ударная волна
перестает касаться носика
клина (или конуса) и отходит
от него на определенное
расстояние (рис. 21), причем на
оси симметрии ударная волна становится прямой. На участке
00' происходит дополнительное, уже чисто адиабатическое
торможение воздуха. Давление в точке О', таким образом, может
быть найдено из соотношения
fe-i
Ч Л т" J
2
н
/_2
Р2
где 12 и /?2 — теплосодержание и давление
Отсюда следует, что
к
lt = d + tzl^]
рч V 2А; /?2 У
C1.17)
воздуха в точке О'.
C1,18)

270
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ЁОЛН
[гл. VI
Значения и^, Рг и Р2 определяются формулами прямой ударной
волны, т. е. из соотношений C1.1), если положить в них v^ = V2 =
= 0. Поскольку p^ul = Pitii/p2i а отношение р^/ра определяется
соотношением C0.10), то
P2^2 _ Р^ (k-'i)p2 + (k + i)pi _ (k — i)piul + 2kpi
Pi ~ Р2 (k + i)p2 + (k — i)pi ~ 2piul — (k — l)pi
Отсюда
Pi
/,_1 {k-i)ul + 2,'l\lk-i
2к
2ul
Л-1
C1.19)
C1.20)
При Ui = Ci, р2 = Pi имеем
Pi
~pl
Н
k — i\ fc-i
1 +
При 1^1 ^Ci
= 1 + 4 + ^ +
k B — к)
48
+
= 1
/с — 1 \ Ic-l
I /. ~t 491. ~r ЧЯА1-2
C1.21)
В пределе при /с — 1 в первом случае р'^1рг = pJPi = V^^ ^^
втором — pjp2 = 1. Таким образом, рост давления в зоне
обычного адиабатического сжатия незначителен.
Значение критического угла 9 = 6о, при котором скачком
меняется режим обтекания, определяется из соотношения C1.18),
которое мы теперь напишем в виде
tg(9-e)
tg9
+
ч
/с + 1 ' (/c + l) ^^зшЗф
C1.22)
Отсюда для определения tg ф приходим к кубическому уравнению
tg^9
-^P + lJ-tg^фctg0[P~l] +
/с + 1
+ tg9
2
Р + 1 +с^^^ = 0, C1.23)
где Р = qJcX = Ml является квадратом числа Маха потока до
скачка.
Принимая к = 7/5 и обозначая дополнительно ctg 0 = а,
tg ф = г/7 приходим к уравнению
у^ (Р + 5) - Ъау^ (Р - 1) + Fр + 5) г/ + 5а - 0. C1.24)

§ 31] КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА 271
При Q = о у^" ^ р _ , для любого к (и вообще любого уравнения
изэнтропы), откуда получаем тривиальный результат, имеющий
место для звуковых волн:
^'^^-1: = ж- C1.25)
Значения у всегда должны быть положительны, поскольку
реальная область существования угла ф задается как О ^ ф ^ jt/2.
В случае сильной волны (Р^1) приходим к квадратному
уравнению
^^-i4t«^ + 4^=0. C1.26)
откуда
y==Tzri±Vjrrif-r=ri- C1-20
Решение имеет смысл при а > "(/"/с^ — 1, откуда
y<VWi' C1.28)
Исследуем в общем случае уравнение C1.23). Для
фиксированного значения угла поворота потока 6 == б^ зависимость между
Риг/ определится соотношением
/с + 1 ^ /с + 3
—9—2/^+ -^^2/ + ai
Р-^-— /fe-l fe + l W C1-29)
где tti = ctg 01, г/ = tg ф. При конечном положительном а ^ ао,
где ао определяется условием C1.28): ао = Y^^ "~ 1' уравнение
C1.29) изобразится некоторой кривой (рис. 22).
Реальный смысл имеет часть кривой (изображенная в левом
верхнем угле жирной линией), для которой г/ > О, Р ]> 0. Если
рассматривать всю кривую в этом угле, то при этом каждому
значению Р ^ ро будут соответствовать два значения у,
выражаемых верхней ветвью. При Р = Ро величина у определится
однозначно. Действительному процессу, как правило, соответствует
меньшее из двух значений ^ == tg ф, т. е. меньшее значение угла ф.
Величина Ро = (^i/^i)o определяет наименьшее возможное
значение (qi/ciY для заданного значения угла поворота потока 9 =9i
(третье значение у при Р > Ро будет отрицательным и,
следовательно, смысла не имеет). Можно сделать вывод, что при Р ^^ Ро
два положительных корня уравнения C1.23) совпадают. При

272
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. VI
ЭТОМ дискриминант этого уравнения или уравнения C1.29)
А = д2 + р='=0, C1.30)
где q = b^llla^ — bcl^a" + dl2a, p = с/За — bV9a\ причем a =
= (/c-l)p/2; b=_a(p-l); с = (A; + l)p/2 + 1; d = a.
n (f
Рис. 22.
Значение совпадающих корней уравнения C1.23) при этом
определяется соотношением
За
^0
C1.31)
или, поскольку V— q = 1^— Р»
^o=-f-p~^.
За
C1.32)
Условие C1.30) и выражение C1.32) при переходе к основным
параметрам а и Р напишутся в виде
аМР-1)^^
а-
27('^P-hlLl8('i=ip + l)(^P + l)x
х(р-1)-(Ц^р + 1)'(р-1)=]-
-(Щр + lf f^P + l)=0; C1.33)
_ а C — 1)
^» - f /с - 1
fJ.+.jL
I/ aMp-lf "^
C1.34)

§ 31] КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА 273
Решение уравнения C1.33) напишем в виде
^ =^0= 8A^-1K—» C1.35)
причем перед радикалом выбираем знак плюс, в противном случае
придем к мнимым значениям а. Здесь
-('L+ip+lj^p-l^
Подставляя значение ао в уравнение C1.34), придем к связи между
Уо и Р:
,0 = ^^+^fr ^ -[l + /l g^.^].C1.36)
где с - 24 (р - 1) [{к - 1) р/2 + 1] [{к + 1) р/2 + 1].
Выражение C1.35) определяет предельный допустимый угол поворота
9 = Эо в зависимости от величины р = (^i/^i)^- Выражение C1.36)
определяет предельный угол наклона ударной волны ф = ф^
также в зависимости от величины р. При значениях 9 ^ Эо и
Ф ^ фо, как мы указывали выше, меняется режим обтекания.
Найдем непосредственно связь между предельными углами
9о и фо. Для этой цели воспользуемся выражением C1.29) и,
приравняв соответствующую производную нулю, найдем условие,
при котором значение Р становится экстремальным
(минимальным):
'/c + ll+Уо 3 —/с
ао — ао
yf ^'^
+ у1 = 0. C1.37)
Соотношение C1.37) является также следствием соотношений
C1.35) и C1.36).
Теперь легко определить значения (p2/pi)o и (p2/pi)o»
соответствующие значениям 9о и фо, т. е. предельные значения
плотностей и давлений, как функции Р = {qJciY* Заметим, что если для
этой цели воспользоваться соотношением C1.9)
_Р1_^ tg (ф - 9)
р2 tg9
и определить отсюда
^,^Щ^.,)±/'Щ^^^,^-^^

274 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
ТО при
ctge
(¦g~l)</e- C1-38)
значение tg ф станет комплексным. Однако значение 0,
определяемое из C1.38), при знаке равенства будет больше критического:
0 ^ 00, т. е. изменение режима обтекания произойдет при меньшем
угле поворота потока. Следовательно, значение tg ф =^ YpJPi
не будет давать значение tg фо. Лишь при qjci -^ оо [т. е. при
Рг/Рх = {к + 1) /{к — 1)] мы получим правильный результат.
Для вычисления (pJp^Q воспользуемся соотношением C1.15),
которое напишем в виде
(^) =^р_^^^. C1.39)
Соотношение C1.36), определяювз,ее уо и фо, можно написать так:
^'''^^-X^-ih'- C1.40)
где
72C~1)[0,5(;Ь-1)C + 1Р
N = N{^, к)
Отсюда с помощью равенств C1.39) и C1.25) имеем
К^) + ШA + ^)=5^Р- ('1-'1)
Далее, поскольку
\ Р1/0
{к +1) р 81п^фо _ i___ ^ ^31.42)
(А; —l)Psiii2 9o + 2 /с — 1 2
к + 1 '^ (/с + 1)Р8т2фо
то
Шо = 4^ + (ГТ1)рA + ^)- C1-^3)
Давление в прямой волне определяется соотношением C1.39);
принимая в нем фо = л/2, получим
\ Pi /п
'"^ Р-та- C1-44)
k+i^ k+i
Здесь индекс «п» указывает на то, что параметры относятся к
прямой волне. Скачок давления Apjpi = {pJPih — {p2/pi)o опреде-

Slj
ЙОСАЯ УДАРЙАЯ ВОЛЙА
ляется выражением
Отношение давления р2о /рап равно
2t5
C1.45)
C1.46)
где, как и прежде, р = 5i/ci. Отношение скоростей qjqi равно
Я2
Я1
8Шф
W2
sin (ф — 0) Ml
C1.47)
для косой волны и 1^2/^1 = qJQi для прямой. Найденные
зависимости
1) ctgBo = ао - Л (-|-) ; 2) tg9o - ^о = /2(^) ;
Щъ-fM: 4)(^)=,.(|) . 5)?^-/,(|)
иллюстрируются на рис. 23, 24, 25, 26, 27. Величина ql/cl
обозначена на этих рисунках через р.
Определим теперь, при каких условиях скорость потока за
фронтом косой ударной волны может быть больше или меньше
скорости звука. Для этой цели воспользуемся следуюш,им
уравнением:
А
Pi Р2
Р2 Pi
2 , Я1
А:-1
Ml.
Заменяя величины pjpi, Р2/Р1 из соотношений C1.14), C1.11),
мы придем к такому выражению:
м? =
2к
"i Г 2 ^1 1
-тст- (З!-"^^)
Так как 1^1 = g^sin ф, то из уравнения C1.48) можно найти
связь между числами Маха М^ = qjci, Mg = ^2/^2 и sin ф; при
Mg = 1 будем иметь
C1.49)

2?6
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРЙЫХ ВОЛН
[ГЛ. VI
2 4 6 6 10 12 14 16 18 го2Z 24 26 2830 32 34 % 38°
Рис. 23.
J I I I I I _J I L_ I L L_
-1 Ц
2 4 6 8 70 12 74 76 78 20 22 24 26 28 3D 32 34 36 p
Рис. 24.
4 8 12 76 20 24 28 32 36 40 44^-90
Рис. 25.

§ 31]
КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА
211
2 4 6 8 10 1Z 14 16 18 20 222426 га J
Рис. 26.
10о\
оА
ом
Oj\
оА
оА
оа\
о.з\
оА
оА
г^
1
1
1
1,
Z 4 6 8 10 12 ц 16 18 го гг Z4 ге гв зо^°0
Рис. 27.

278 Мементарйай теория ударных волн [гл. VI
Поскольку мы можем написать соотношения
^2 _ ^2 ^1 Д12. ^2 _ СОЗ^ф ^ол гАЧ
Ч Я1 ^ k-i J^ ГЛ Ql ^^s ^Ф ^^
то из них будет следовать, что
sin>= -rj. . C1.51)
sin^ е
Из соотношений C1.49), C1.51) следует связь между величинами
Ml и 0:
М^
sin^e _^^
1-
MJ
^^^м^, + ^
= i[2^^) + '^^J + /x[g^ + ^^r + 4-- C1-52)
При заданном угле поворота потока 6 с увеличением величины М^
величина М2 будет уменьшаться, т. е. станет меньше единицы. При
заданной величине М^ с увеличением угла 8 величина М2 также
станет меньше единицы.
Обычно в теории косых ударных волн пользуются несколько
иным представлением искомых параметров. Исключая из
основных уравнений C1.1) величины рз? Рг» h^ ^1» можно прийти к
соотношению, связывающему скорости за фронтом косой ударной
волны ^2, V2 с величинами д^, с^. Произведя эти элементарные
выкладки, получаем
/?2 _ Л — 1 • . „2 _ 2
2.
Ч; Ui = qi- vl\
Р2 к
I .V^\—\^2-V -^ПУ^ — ^) ^1 М2 М2 /2 2ч ,2
о\ , [q\-{ul + vl)]{k^i) с\ и, ^ U2
2k к Y^zT^i V^vl
Далее введем компоненты скоростей по осям х ж у: и^^ = Qi,
^iv — О, W25c = ^2 sii^ ф + 2;2 cos ф, U2y = г72 sin ф — U2 cos ф, и,
исключая величину ф, а также и^ и г;2, в результате можно прийти

31]
КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА
279
к уравнению так называемой ударной поляры
Щу = (^1 - U2xf
k + i
"гл)
C1.53)
(^1 — Цчх) +
к + \ qi
Мы получили уравнение так называемой гипоциссоиды.
Изобразим одну ветвь гипоциссоиды (рис. 28), откладывая по
оси абцисс и^х'» а по оси ординат Ugy Остальные ветви
ее не имеют физического
смысла. Направление
вектора скорости ^2 определяется
соотношением
%\
tg9:
C1.54)
Построенная кривая
пересекает ось абсцисс в точках
*2л:
41 ^-= Сь
А —1 ,
2 ci
fc + 1 ^1 91
9о.
.^^"J '
9f
lif^
¦тд
\q
'^B
fX
-^гх
Рис. 28.
первое равенство соответствует вырожденной ударной (звуковой)
волне. Проведя из точки О прямую под углом 9 к оси абсцисс,
мы видим, что эта прямая пересекает кривую в двух точках А ж В.
Это значит, что при данных начальных параметрах 9, Cj, q^
принципиально возможны два режима обтекания, что мы определили
из предыдущих рассуждений. Обычно осуществляется режим
обтекания, соответствующий точке В. Из рис. 28 видно также, что
величина угла 9 при заданных с^, q^ не может превышать
определенного значения 9о, соответствующего касательной, проведенной
из точки О к кривой. Этот результат также был нами получен
выше. При 5i/^i "=" 1 9о = О, при возрастании величины q^lc^
величина 9© также растет и при q^lc^ -> оо стремится к конечному
пределу
sin9o--^. C1.55)
Из двух режимов возможного обтекания угла со режим,
соответствующий точке >4, может осуществляться при обтекании тупого
угла, когда его величина 9 > 9о. При этом очевидно, что прямому
скачку уплотнения будет отвечать точка Q на ударной поляре,
поскольку именно для нее щ^ = гг^у = О и ЩхЩх ^ ^?' Окодо такого

280
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. VI
тупого угла возникает криволинейная ударная волна, и вдоль
нее, поскольку угол между ее фронтом и осью абсцисс будет
уменьшаться, стремясь к углу Маха, будут осуществляться
состояния, изображающиеся на ударной поляре точками, лежащими
между точками Q и Т,
Теория подобной криволинейной волны представляет
значительные трудности, и в настоящее время эта задача не имеет
полного решения.
§ 32. Регулярное отражение когых ударных волн
Пусть фронт плоской ударной волны подходит к какой-либо
плоской же преграде со скоростью D под некоторым углом. Обо-
J значим параметры невозму-
л
Р
и
Фронт огг1раэюеи-
иой ударной волны D-u,
щепного газа
соответственно р^^Ра^ ^а = О» те же
параметры за фронтом
ударной волны обозначим
Pi, Pi, и^. Определим
начальные параметры р2^ р2»
^2 отраженной ударной
волны, которая при этом
возникает, а также
рассмотрим состояние газа
(воздуха) в окрестностях
точки отражения.
Для этой цели
рассмотрим движение газа в
ударной волне в подвижной
системе координат, для
которой точка О
пересечения фронта ударной
волны и поверхности
преграды неподвижна (рис. 29).
Будем обозначать
скорости относительно этой
подвижной системы индексом г; таким образом, и^г означает
относительную скорость невозмущенного газа, q^^ — относительную
скорость за J фронтом падающей ударной волны, 1^2;, —
относительную скорость за фронтом отраженной ударной волны*).
Очевидно,
^ C2.1)
Рис. 29.
W,
ат
sin v|) *
*) Мы берем различные буквы в обозначениях ^д,., q^^., Wgr потому, что
направление стенки мы можем считать совпадающим с направлением оси х\
Uar И, 1^ак увидим далее, и^г параллельны стенке, а д^^ не параллельна.

§ 32] РЕГУЛЯРНОЕ ОТРАЖЕНИЕ КОСЫХ УДАРНЫХ ВОЛН 281
Величины составляющих этой скорости, перпендикулярной и
параллельной фронту волны, равны соответственно D и Dlig г|).
После перехода частицами газа фронта ударной волны скорость
Uar изменится по величине и по направлению, при этом
составляющая скорости Dlig i|), параллельная фронту ударной волны, не
изменится, а составляющая, перпендикулярная к фронту, станет
D — Ui {ui — абсолютная скорость). Отсюда
^,, = ]/(Z)-u,r+(j^/
Угол между направлением скорости д^^. и скорости и^г обозначим
через Э. Мы видим, что при переходе фронта ударной волны
скорость среды изменяет направление, поворачиваясь на угол 6
влево (если смотреть по движению). Направление скорости
вблизи стенки должно быть параллельно стенке, поэтому направление
скорости д^;. должно измениться и стать параллельным стенке, т. е.
скорость gir должна повернуться на угол 6 в противоположную
сторону. Такое изменение направления возможно только при
переходе через фронт // второй — отраженной ударной волны.
Фронт этой волны пройдет через точку О.
Скорость q-^j. встретит фронт // под углом ф. Величину этого
угла заранее определить нельзя; мы определим ее в процессе
решения задачи. После пересечения фронта // скорость Ugr вновь
станет параллельной стенке. Угол -ф между стенкой и фронтом /
падающей ударной волны называется углом падения^ а угол
0J = ф — 6 между стенкой и фронтом // — углом отражения.
Мы видим, что задачу отражения ударной волны от
неподвижной стенки можно интерпретировать как обтекание двух вогнутых
тупых углов я — 9. Последняя задача решена в предшествующем
параграфе. Поэтому мы можем перейти к составлению уравнений,
решающих задачу.
Угол между вектором скорости движения газа за фронтом
ударной волны и поверхностью в рассматриваемой системе
координат будет 9, причем
tg(i|)-9)=.tgaj;(l--^), C2.2)
где Ui — скорость воздуха за фронтом ударной волны в обычной
неподвижной системе координат, D — скорость фронта ударной
волны в этой же системе координат. Поскольку/)рд — (D — щ) р^,
где Ра — начальная плотность воздуха, р^ — плотность на фронте
падающей ударной волны, то
1-^ = 7Г' (^2.3)

282 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
Из C2.1) и C2.2) имеем
Р2
Pi
[гл. VI
C2.4)
Значение скорости движения воздуха за фронтом ударной волны
в подвижной системе координат определится формулой
C2.5)
или формуло11
C2.6)
Перейдем к анализу закономерностей отражения косой
ударной волны от преграды, учтя ранее выведенные зависимости C1.9)
и C1.15). Для этой цели воспользуемся следующими основными
соотношениями:
, k~-i 2 2-0
Р2+ TqrT^ = x+TPi^iSin^cp =
, А: —1 2 2 ' о .
tg (Ф-Q) __ _pi_ . tg {^ - 0)
cl
g^^ + (-^;];
tg9
tglj)
Pg
Pi
? C2.7)
C2.8)
Прежде всего определим значение Р ^- q{rlc\. На основании
формул C2.7) и C1.12) имеем
P-[fef+'^*^''^]^
1 +
(tct..I
(^+1)^-('=-
¦1)
C2.9)
Рассмотренные выше регулярные режимы обтекания угла
возможны при Р ^ 1. Это условие на основании C2.9) принимает вид
ctgi|)>/^-e^(l-^). C2.10)
Обозначим величину угла г|) при выполнении равенства C2.10)
через я)?/,, тогда при значениях угла i]) > 'ф^ рассмотренный выше
режим обтекания (с косым или прямым скачком) невозможен,
поскольку будет иметь место дозвуковое обтекание угла.
Исследуем область значения угла "ф <^ -ф/^. Зависимость if^ от pi/pa
дана ниже на рис. 32 (правая кривая). Эта зависимость
показывает, что при определенном значении Pi/pa угол г|)/^ имеет
минимальное значение.

32]
РЕГУЛЯРНОЕ ОТРАЖЕНИЕ КОСЫХ УДАРНЫХ ВОЛН
283
Исключая из соотношений C2.8) tg Э, придем к новому
соотношению
Pi
^ Р2 ^ ^
Р1
Р2
tg9
l+-^tg^-t (l--^jtg^f
C2.11)
Соотношение C2.7) при выражении отношения давлений pjpi
через отношение плотностей pJPi после некоторых преобразований
дает
I^Pi /с - Г
Р1
Р2
+
9а
^-pYJC^+tg'^)^^'^
tg^9
tg2i|; +
т
C2.12)
Исключая из соотношений C2.11) и C2.12) значение pi/p2, придем
к кубическому уравнению, определяюп|;ему tg ф:
+ tg9tgi|;[^-l
+ tg4(
rtg^t + -?-t.^^ + (-g-r
+
s\Pa
P^ +tg2ii;)=0. C2.13)
Прежде чем переходить к анализу этого уравнения, мы можем
выяснить ряд важных элементов теории отражения более просто.
Воспользуемся снова вторым соотношением C2.8) и определим
из него ctg 0:
-Р^ + Ctg2 1|)
ctge = y-?^— . C2.14)
далее из соотношения C2.9) определяем
ctg'^Tl, = If {^ [{к + \)-{k-i)^]- ^} C2.15)
и значение ctg г|з подставляем в соотношение C2.15); при этом
соотношение C2.15) принимает вид
ctg^e = -у^ ^ ^—^р" '\ . C2.16)

284
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[гл. VI
Воспользуемся теперь формулой C1.35), определяющей а =
=^ ctg 6 = ctg Эо = /i (Р), т. е. предельный угол поворота потока,
при котором меняется режим обтекания, когда косая ударная
волна перестает существовать, т. е. отражение перестает быть
регулярным и образуется отстоящая от тела криволинейная
ударная волна с прямым фронтом на оси симметрии (рис. 21).
Сравнивая оба выражения, определяющие ctg 6 = ctg 9о,
мы в результате придем к соотношению, определяющему
предельную зависимость между p^/pg и р при изменении режима отражения.
Поскольку само значение Р зависит от pJPi и ctg ij), то в
результате мы найдем предельную связь между (pa/pi)o» "Фо ^ во»
а также, используя формулу C1.23), найдем предельную связь
этих параметров с углом фо.
Связь между (Pi/pa)o и Ро определяется, с одной стороны,
формулой C1.35)
А+ Ya^ + B
ctg^Oo
ао =
где
А = 27Г-=^^, + 1
+ 18
8(Зо-1)з
\ /^ +1
C2.17)
Ро + 1
2
X (Ро - 1)
fe + 1
2
Ро + 1)
X
Ро + 1 (Po-^)^
5=.64(Ро-1)з(Шро + 1O^Ро + 1),
Ро =
C2.18)
С другой стороны, на основании формулы C2.16) та же связь может
быть выражена так:
гг Mil / pi
IL 2
-'].+'
^-b(t-').F
(i7-'):{№(t-•).+']--
1
C2.19)
Преобразуя уравнение C2.19) и обозначив величину (pi/pjo — 1
через Xq, придем к кубическому уравнению
• М4 + х1 [al (Ро - 1) - (Ц^ Ро + 1
2a;oPo(^Po + l)-PS = 0.
При к = 7/5 это уравнение принимает вид
дОРоD4 + 4 [25с4 (Ро -1) - (бро + 5)^] -
-10РоХо(бРо+5)-25р?=0.

32]
РЕГУЛЯРНОЕ ОТРАЖЕНИЕ КОСЫХ УДАРНЫХ ВОЛН
285
Решение уравнения C2.19) проще всего осуществить следующим
образом: дадим Хо (для к = 7/5) определенное значение Xq = Xq^
в интервале О ^ Xq^ ^ 5, тогда уравнение C2.19) примет вид
(V^o + l+^j
Л + 1
C2-.20)
"—Poa:oi+Po—Ij
Нанесем на график, по осям которого отложены: по оси
ординат а?, а по оси абсцисс Ро> Две кривые: кривую /, выражаемую
30 А ocf
уравнением C2.17), и кривую //, выражаемую уравнением C2.20);
тогда точка пересечения кривых дает значения Ро и «о,
соответствующие данному значению Xq^ = (—— 1 j . Эти кривые
изображены на рис. 30.
Из соотношения C2.16)
«.'«•*«=(^).№[('+"-('-')(^).]-(Й.Ь

286
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. VI
которое теперь напишем в виде
ctg4^
4
Зо
k + i
а:о + [1
-1
(я:о + 1)'
C2.21)
определяем далее величину Zq = ctg tj)©. Зная величину Ро» по
формуле C1.38) определяем величину г/о- Значения ?о = tg фо
в зависимости от 6о приводим графически на рис. 31.
Далее определяется отношение (p2/pi)o как функция г|)о.
Зависимость -фо от (pi/pJio дана на рис. 32 (левая кривая), при
г|) > 'Фо регулярное отражение невозможно.
Перейдем теперь к выяснению
пределов изменения угла 6. Из
второго уравнения C2.8) имеем
бО^^во
Рис. 31.
ctge =
k-i
9а
Р1
+ Ctg2l|)
Ра
/с + 1
Di
ctg2 ф
C2.22)
[i-(^;]ctgt
Величина Р = Ра в данном случае равна
Р« = (ti^
D\
C2.23)
Укажем условие, при котором величина угла Э достигает
максимального значения; вычисления показывают, что максимальное
значение tg 9 равно tg бшах = (Pi — 9a)l'^Y(>a9i и достигается при
.gt=/t.
C2.24)
Абсолютный максимум величины угла 6 достигается при pi/po =
— {к -{- ^I{к — 1), т. е. для предельно сильной волны. При этом
величина р, определяемая выражением р = 2 (р^ + р^1[{к + 1) р^ —
— (fe — 1) Рд] равна единице.
Как мы уже указывали, при углах "ф > "ф^ для данного
отношения Pi/po угол р <^ 1, а следовательно, сверхзвуковое обтекание
второго угла 9 уже невозможно. (При этом 9 <^ 9тах0
Определим экстремальное (минимальное) значение угла ij)^ ==
= 'Фтш и отношение Pi/po для р — 1. Поскольку из формулы C2.10)
имеем
ctg^^.,„^[i_(|.)J[^j. C2.25)

32]
РЕГУЛЯРНОЕ ОТРАЖЕНИЕ КОСЫХ УДАРНЫХ ВОЛН
287
то
I—] = 2,
V Ро /10 кр
C2.26)
откуда ctgipkmin =^ (Л + 1)/8, например, при к = 7/5 этот угол
равен гр^ iiiin = 61°20' (рис. 32, правая кривая). При (Po/Oi)io = 1 угол
я|) - я/2. При (p>i)io - (А: - i)/{k + 1) ctgip^ = /(й-1)/(/с +1),
при А: = 7/5 ij)fe = 67°50'.
/li ^'^^'-s
'=iJ
9-<Ра
^:?к
Ш
FJ
(BJ
ново отражения \ляриогоогра\ го ompaofce-
j/сеиия I мия
30" Ф
Рис. 32.
Резюмируя полученные результаты, можно сформулировать
следующие утверждения:
1) Регулярное отражение возможно лишь в области {А)
значений величин pi/pa, "Ф (рис. 32). Справа эта область ограничена
кривой г|) = i|)o. Регулярное отражение косой ударной волны
соответствует такому (регулярному) обтеканию острого угла
сверхзвуковым потоком, при котором фронт отраженной ударной волны
начинается от вершины угла 0. Такое обтекание, как известно,
возможно, если обтекаемый угол не превосходит известной
величины.
2) Сверхзвуковое нерегулярное отражение имеет место при
значении величин Pi/pa» 'Ф» соответствующих области E),
ограниченной справа и слева кривыми ф = ifo, i|) = '^^. Этот режим
обтекания аналогичен такому обтеканию острого угла сверхзвуковым
потоком, когда фронт отраженной ударной волны становится
криволинейным и отходит от вершины угла. Это обтекание имеет место
тогда, когда обтекаемый угол превосходит некоторое предельное
значение, при котором еш,е возможно регулярное обтекание.
3) В случае, когда значения величин pi/pa» "Ф соответствуют
области {В), ограниченной слева кривой г|) = af^, имеет место
дозвуковое нерегулярное отражение.

288
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. Y1
Задача об отражении косой ударной волны решена полностью
только для области регулярного отражения.
90-ср
SO^'Q''
Перейдем к анализу основных результатов и составлению схемы
расчета параметров отраженной косой ударной волны при
регулярном отражении.
Для расчета этих параметров мы имеем две системы формул:
одну для зоны косого регулярного отражения и другую для зоны
прямого нерегулярного отражения сверхзвукового и дозвукового.

§ 32] РЕГУЛЯРНОЕ ОТРАЖЕНИЕ КОСЫХ УДАРНЫХ ВОЛН 289
Выпишем первую систему формул; пусть даны pjpa и i|).
Определяем 9 и р = ql/cl
tgQ=.'IliEl^, C2.27)
р = i^a^i'i ^ 4^1 _ .32.28)
Далее, определяем угол ф из уравнения
tgЧ[^(i+l]-tg^Фctge(P-l) + tgф[A±i + l) +
+ ctge = 0. C2.29)
Для определения угла ф удобно пользоваться номограммой,
изображенной на рис. 33, построенной для значения к = 1,4.
Для данного отношения Pi/pa суш,ествует предельный угол
'Ф ='Фтах; данное решение не имеет места при 'ф ^'ф^. Связь
между Pi/po и -ф^ дана на рис. 32 (правая кривая; при переходе
через if) = "фтах угол ф возрастает скачком). Далее определяем
давление на фронте отраженной ударной волны, что соответствует
давлению на стенке в момент прихода ударной волны и в последу-
юш,ие моменты времени:
P2 = Pi-r^{?sin^Ф - 1) = л [^Рsin^ ф - ^]. C2.30)
C2.31)
Далее определяем
Р1 (k-i)p^ + (k + l)pi (k-l)^sm^ff + 2 18(ф-в)
2 2
^2 _ ^1 Р2-Р1 /| I Рр 3^
С2 с2 /C^l I ' Р
ИЛИ
^р_/ 2 у (psin4-l)(fcNin4 + l) C2.32)
^^ = ^^-^^^§^^ C2.33)
Скорость в абсолютной (неподвижной) системе координат будет
^^-^-^- C2.34)
Таким образом, мы определили все необходимые параметры косой
отраженной ударной волны.
В качестве контроля определим давление при отражении
прямой волны, полагая для этой цели в написанных выше формулах

290 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
г|) = 0. Тогда
e/t|) = 1 - pjp,; р = 2р1/[{к + 1) pip„ - {к - 1) р^1 г|)^
2pli(,yr [(Л + 1) PiPa - № - 1) Р«1 -
-Ф (^ + 1) Pi (Pl - Pa)/#1 [(^ + ^)9l- Ф- 1) P2l-
Отсюда
ф/ij) = Цк + i) р^-{к- 1) р J/2pi = (& + 1)/2 - (Ус - 1) р„/2р,.
Далее, поскольку p^Dl = 2/(;piPi/[pi (А; + 1) — р^ {к — i)], то
Р2 = Л [к {к + 1)р,- к{к - 1) Ра - (А - 1) pj/p„ (Л + 1) =
= /?1 [A;pi — Ра (к — 1)]/ра; отсюда (рг — PlVPi = Л; (р^ — Ра)/ра =
= 2А; (р, - рМ(к -i)p,+ {k + 1) р J
И
Р2 (U — i)pi — (k — i)p^ .оо цгч
7Г - (к-1)р, + (к + 1)р, • (^^"^^^
Мы пришли к формуле, выведенной выше.
В случае слабой волны из C2.35) будем иметь
Р2-Рх=-2 {р, - р J. C2.36)
Для слабой волны при любом угле падения Арг == 2A/?i,
исключая случай i|) = я/2 (волна скользит вдоль поверхности). Как
показывает рис. 28, при -ф = я/2 в случае р^ -^ р^ области всех
трех режимов отражения совпадают, что и объясняет внезапное
изменение режима отражения слабой волны.
Таким образом, задача определения регулярного отражения
описывается сравнительно простыми соотношениями и поддается
полному анализу.
§ 33. Нерегулярное отражение косых ударных волн
Мы установили, что при отражении косых ударных волн могут
иметь место три режима отражения, определили границы областей
(А), (Б), (В) (рис. 32), соответствующих этим режимам, и решили
задачу регулярного отражения. Задача нерегулярного отражения
не может считаться окончательно решенной математически,
поэтому при ее рассмотрении мы будем использовать качественные
соображения физического характера.
Дадим сначала краткое качественное описание режимов
нерегулярного сверхзвукового и дозвукового отражения.
Мы уже говорили о том, что область (Б) сверхзвукового
нерегулярного отражения соответствует обтеканию сверхзвуковым
потоком большого острого угла (клина) с криволинейным фронтом
образующейся ударной волны, не проходящим через вершину
угла. В случае, когда отражение соответствует режиму (В),

§ 33]
НЕРЕГУЛЯРНОЕ ОТРАЖЕНИЕ КОСЫХ УДАРНЫХ ВОЛН
291
точка О, где соединяются две ударные волны (падающая и
отраженная), лежит вне стенки (рис. 34); от этой точки к стенке
отходит третья ударная волна, причем касательная к фронту этой
волны у стенки перпендикулярна к ней, поскольку здесь поток
движется параллельно стенке. От этой же точки отходит и
тангенциальный разрыв, который разделяет газ, пересекающий
падающую и отраженную ударные волны и ударную волну, идущую от
стенки.
Область (В) — область существования слабого нерегулярного
отражения, что соответствует как бы режиму обтекания тупого
Рис. 34.
угла дозвуковым потоком. При этом падающая волна не
соприкасается с носиком угла. Отраженная волна вырождается в линию
Маха. От точки О, лежащей как и в случае (Б), вне стенки,
отходит волна Маха и к стенке — ударная волна, аналогичная волне
в случае (Б) (рис. 35). От этой точки идет также тангенциальный
разрыв.
Таким образом, для определения давления ^2 У стенки в
случаях (Б) и (В) можно воспользоваться формулой прямой ударной
волны
Вывод этого соотношения очевиден: не возмущенный ничем поток
воздуха с параметрами рд, рд движется в переносной системе
координат со скоростью jDi/sint|} и проходит у стенки через фронт
прямой волны. В пределе при i|? = 90° имеем
C3.2)
2^2 - Ра = Y+i Р«(^1 "¦ ^«)'

292
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. VI
т. е. ^2 "= Pi- Скорость за фронтом ударной волны (в переносной
системе координат) определяется соотношением
Q2
1 D
2 с1 sin Ф
k + i sini|5 ^ k + i Di
C3.3)
Перейдем теперь к подробному исследованию случаев
нерегулярного отражения. Начнем со случая нерегулярного
сверхзвукового отражения. Фронт падающей ударной волны в этом случае
Рис. 35.
будет оканчиваться на некотором расстоянии от стенки, т. е. не
будет соприкасаться с ней. Из точки О, где этот фронт
заканчивается, будет отходить под некоторым углом к стенке
криволинейная ударная волна. Эту точку называют точкой разветвления
ударных волн, В системе координат, в которой точка разветвления
неподвижна, поток газа будет пересекать для одной своей части
непосредственно падающую ударную волну под углом ф, а для
другой части — пересекать криволинейную ударную волну,
идущую от точки разветвления к стенке.
Первая часть газа в том случае, когда поток за фронтом
падающей волны сверхзвуковой, будет пересекать «отраженную»
ударную волну.
Вторая часть газа около самой стенки, поскольку она и до
и после прохождения фронта ударной волны движется параллельно
стенке, будет пересекать фронт ударной волны под прямым углом;
таким образом, участок фронта этой ударной волны у стенки
является прямой ударной волной по отношению к движущемуся
газу.

33]
НЕРЕГУЛЯРНОЕ ОТРАЖЕНИЕ КОСЫХ УДАРНЫХ ВОЛН
293
Очевидно, что энтропия как первой части газа для различных
линий тока после пересечения «отраженного» фронта, так и
второй части газа после пересечения фронта ударной волны у стенки
должна быть различна. При этом «справа и слева» от границы
раздела между этими двумя частями газа энтропия и скорости
течения (тангенциальные) газа должны быть различны. Давления
же должны быть одинаковы, а нормальные компоненты скорости
равны нулю. Таким образом, линия раздела между двумя
различными частями газа должна являться тангенциальным разрывом.
Около точки разветвления можно считать, что фронты ударных
волн и линия тангенциального разрыва прямолинейны (рис. 34
иллюстрирует картину отражения ударной волны от стенки для
даннрго случая). Для описания состояния газа в различных
областях (между различными фронтами и поверхностью, от которой
отражается ударная волна) мы будем иметь следующие
зависимости.
За фронтом падающей ударной волны
tg(t|)-e)
Po.
pi
2Va
A + 1
Vl
v„ ¦
1-
Dl
C3.4)
3a фронтом отраженной ударной волны (у точки разветвления)
где ф = е + (Oi,
Р2
Р1
qx Sin ф
tgф
qi sin @I — 5)
tg(coi-5)
C3.5)
P2/P1 связаны с pJPi ударной адиабатой. За фронтом ударной
волны, идущей от стенки, вблизи стенки
^2
- - - 2 ( Р\ л \
Я2 =
/с —1 Di
2 cl sin г|)
/e + l sint|) ^ Л + 1 Di
C3.6)
3a фронтом ударной волны, идущей от стенки, у точки
разветвления

Pill.
Ро
¦1
Ра =
2Ра^1 sin^@2
А; + 1 sin2a|) '
k + i
Ul qi sin CO2
~ «2 ~" $2 sin (CD2 — 5)
P2 = P2;
tgC02
tg (coi — §)
C3.7)

294 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
Так как за фронтом «отраженной» ударной волны даже у самой
точки разветвления поток газа может двигаться не параллельно
стенке, то положение (угол наклона (Oi = ф — Э) этого фронта
пока является неопределенным, так же как является
неопределенным положение (угол наклона .cog) фронта ударной волны, идущей
от стенки, в окрестностях точки разветвления. Для того чтобы
сделать задачу определенной, мы можем воспользоваться тем
обстоятельством, что давление «справа и слева» от линии
тангенциального разрыва одинаково. Тогда для определения
направления движения газа за точкой разветвления, что равносильно
определению угла наклона линии тангенциального разрыва, мы
будем иметь следующую систему формул:
Р2 =
C3.8)
k — i ^ 2Ра^1 sin^ 0J .
~ /с + 1 ^^ ' Аг + 1 sin2a|) '
Ра (k + i)p2 + {k-'i)pi tg9
Pi~ (k + i)pi + {k-^i)p^ - tg(9-e^5) »
p2 ^ (k + i)p2 + (k'-i)pa^ tgcog
Pa (f^ + i)Pa + (^-^)Pi tg@J~^) •
Мы имеем четыре уравнения с четырьмя неизвестными pg, ф, Шг
и ?. Решая эти уравнения, мы определяем искомые углы, а также
скорости различных частей газа по обе стороны линии
тангенциального разрыва, давление и плотности.
За точкой пересечения ударных волн движение среды будет
неодномерно и неизэнтропично, поэтому описание движения газа
за точкой разветвления не может быть произведено простыми
методами.
Указанная конфигурация не всегда может быть стационарной,
так как взаимодействие падающей ударной волны со стенкой может
породить возмущения нестационарного вида. Задача отбора
стационарных и нестационарных режимов нерегулярного отражения
требует еще своего разрешения. Поэтому в случае нестационарного
режима отражения в рамках рассмотренных зависимостей мы имеем
право говорить лишь о режиме отражения, справедливого для
данного момента времени.
В тех случаях, когда за фронтом падающей волны скорость
течения газа дозвуковая, ударная волна, как мы уже указывали,
превратится в линию Маха.
Конфигурация соответствующих разрывов, которые при этом
возникают, изображена на рис. 35. Соотношения, которые
описывают состояние газа за различными разрывами в различных местах,
аналогичны системе формул C3.6) и C3.7). При этом только надо
иметь в виду, что поскольку отраженная волна исчезает, то пара-

§ 33] НЕРЕГУЛЯРНОЕ ОТРАЖЕНИЕ КОСЫХ УДАРНЫХ ВОЛН 295
метры газа около точки разветвления соответствуют просто
параметрам за фронтом падающей ударной волны для части газа,
лежащей над линией тангенциального разрыва. Направление линии
тангенциального разрыва у точки разветвления и давление р^ = Pi
определяются соотношениями:
откуда 0J = '^1 'iTo противоречит условиям отрыва волны от
стенки; поэтому и нужно считать, что фронт падающей волны у стенки
искривляется. Далее,
Р2 _(k + i)pi + {k — i) ра_ tga|) ГЧЧ1т
Ра ik + i)Pa + {k-i)pi^ tg(t|)-5) ' ^^''•^''^
ЧТО и определит направление вырожденной линии тангенциального
разрыва (угол |). Очевидно, и тангенциальный разрыв при этом
вырождается в слабый разрыв.
Указанные соотношения помогают решить поставленную
задачу.
В заключение рассмотрим более подробно, как меняется
давление за фронтом ударной волны при различных режимах отражения.
В случае регулярного отражения для вычисления давлений мы
имеем формулу
А: — 1 2piD^ / , / Ра V
Исследуем величину Л = sin ф ctgif), входящую в это уравнение.
Когда эта величина возрастает, то возрастает и давление в
отраженной волне. Для исследования экстремума этой величины
воспользуемся уравнениями
^ = sin9ctg'i|p; 1
tg№~e) ^ Ра ^ tg(9-e) _ pi C3.12)
tg"* pi ' tg9 Pa * '
Для экстремума отсюда будем иметь соотношения
['- sm2(f J ^ [ sin2t|) У ^' C3.13)
Отсюда видно, что равенство угла падения ударной волны \|) углу
ф при ij; = О, ф = О является одним из решений этой системы
уравнений. Это соответствует случаю прямого отражения ударной
волны. Другое решение, которое выражается достаточно громоздко,
определяет минимум величины Л. Минимум А наступает при
\|) 5> ф — 0 = со. Максимума величина А не имеет.

296
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[гл. VI
Проследим, как меняется давление в отраженной волне при
изменении угла падения волны г|). Когда величина а(р увеличивается
от нуля (прямое отражение), то величина ф—-Э = (о<^'фи
давление ^2 <^ Рзо» где /?2о — давление при прямом отражении, т. е.
величина Р2 давления становится меньше, чем при прямом
отражении; при некотором г|) давление Р2 достигает минимума, а затем
снова начинает возрастать и при некотором значении угла -ф^г!)*
становится снова равным давлению при прямом отражении.
/71
Область
регулярного отраокения
I
I
I Область
I нерегулярного
I отраоюения
-л-
О
%
^5°
Рис. 36.
90"
После этого происходит дальнейшее повышение давления по срав-
. нению с прямым отражением, но это явление имеет место только для
сравнительно слабых ударных волн.
При давлении р^ = Р20 = ^V\ угол равен г|)* = ф — 9 = -ф
(для к = 7/5), т. е. углы падения и отражения становятся равными
и вместе с тем они равны своему критическому значению я|)о,
когда уже невозможно регулярное отражение; поэтому для более
сильных волн величина давления при косом отражении уже не
может достичь значения, которое имеет место при прямом
отражении, следовательно, при 1|з* <^ '^^ давление при отражении
косой волны превышает давление при прямом отражении.
Когда наступает нерегулярное отражение, то давление имеет
наибольшее значение в прямой волне у стенки; при этом изменение
максимальных давлений происходит скачком, поскольку
изменение режима отражения также меняется скачком. Однако это
давление также меньше, чем давление при прямом отражении.
Отметим, что значение i[o* = ф — 0 = со не зависит от
амплитуды падающей волны:
cos2ij)* = :5^^. C3.14)
При к = 7/5 я|)* = 39°.
С увеличением угла г|) величина давления падает и при -ф =
= я/2 становится равной просто давлению в падающей ударной

§ 34]
ВТЕКАНИЕ ГАЗА В ТРУБУ СО СКАЧКОМ СЕЧЕНИЯ
297
волне, поскольку никакого отражения уже не будет происходить.
Зависимость давления на фронте отраженной волны от угла
падения схематически изображена на рис. 36.
Рассмотрим также, как меняется угол отражения со = ф — 9
в зависимости от угла падения. Сначала, как мы указывали,
справедливо неравенство со <^ -ф, затем для несильных ударных волн
со* == г|)*, далее со > г)), но потом наступает изменение режима
отражения. При нерегулярном отражении с увеличением угла
\|) + (я/2) угол со отраженной ударной волны также стремится
к величине я/2.
§ 34. Втекание газа в трубу со скачком сечения.
Смешение газовых потоков
Задача, которую мы здесь будем рассматривать, является
аналогом классической задачи о плоской ударной волне и о
гидравлическом ударе жидкости.
Пусть газ из трубы сечения Д втекает со скоростью
значительно меньшей, чем скорость распространения звука, в трубу
сечением/2]>/i (рис. 37). Параметры .
газа на контрольной поверхности
A) будем обозначать индексами
1, на контрольной поверхности
B) — индексами 2.
При выводе основных
уравнений мы будем по-прежнему
исходить из трех законов сохранения:
массы, количества движения и
энергии, аналогично тому, как
это делается в теории ударных
волн. При этом мы воспользуемся
экспериментально установленным фактом, что в месте
скачкообразного изменения сечений давление на стенку трубы большего
диаметра равно давлению исходного потока (р^).
Это объясняется тем обстоятельством, что скорость газа у
вертикальной стенки переходного сечения мала по сравнению со
скоростью звука, поэтому элементарные волны быстро выравнивают
давление во всем сечении вблизи места втекания газа.
Напишем основные законы сохранения:
т
I
fSJ
Рис. 37.
Pl^l/l = р2^2/2;
Pl/l + 9lU\fl = Р2/2 + p2ulf2',
C4.1)

298 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. V
Требуется, зная pi, Pi, щ^ i^, /1//2, найти р^, Рг, Щ^ i^,. После
преобразования первых двух уравнений C4.1) можно прийти к
соотношениям
2
, JIHIL («v,)^ и\ = J^iZ:^ , C4.2)
1^1 = va — V2 ^ ^^ va — V2 ^ ^
где а = /2//1 ^ 1 есть отношение площадей сечений. После этого
третье уравнение C4.1) принимает вид
h-h==^^(yi^-v,). C4.3)
Как видим, уравнения C4.2) и C4.3) аналогичны уравнениям
теории ударных волн; отличие заключается лишь в том, что
вместо удельного объема v^ в данные уравнения входит величина
v^a = V /2//1. Уравнение C4.3) является уравнением энергии
рассматриваемого процесса. В случае идеального газа ii — kip{4j
/{ki — 1), ^2 = ^2^2^2/(^2 — 1) и уравнение C4.3) принимает вид,
аналогичный виду уравнения ударной адиабаты (адиабаты Гю-
гонио). Разрешая это уравнение относительно Pi/Pu получим
л-^А
^^ifc^ — l —(^2 — 1) а
-v2(/.2-l)_^ C4.4)
pi (fca + 1) V2 — (/С2 — 1) Via
Разрешая уравнение C4.3) относительно Vg/v^, будем иметь
_Р1_ _ V2_ _ Р' [^^' /сГ^ - (^^ - ^) ^] + (^^ - ^) ""Р^. C4.5)
Р2 VI (А:2 —1)р1 + (Л:2 + 1)/?2
Подставляя значение V2 в уравнение C4.2), придем к
соотношениям
^P^^l _ (P2-/^l)[(fe2 + l)jP2 + (^2-l)jPl] . ,34.6)
p,-pi{k,-i) (o,(;k/_i)-l)
(/?2 — pi) рЛ^^^^Т, T — (^2 — 1) a) + a (A:2 — 1) /?2
2apii.2^= ^ ^ ^'-^^ ^ ^^ I ^ J . C4.7)
P2-Pi(A2-l)(^(^t^_l)-lJ
Зная Pi, pi и гг^, можем определить из соотношения C4.6) величину
Рз, а затем из соотношений C4.5) и C4.7) — величины Vg и щ,
что полностью решает поставленную задачу.
Эти уравнения, похожие на классические уравнения теории
ударных волн, становятся тождественными с ними, если положить
а = 1. В случае к^ = к^ = к, что имеет место для значений а,

34] ВТЕКАНИЕ ГАЗА В ТРУБУ СО СКАЧКОМ СЕЧЕНИЯ 299
близких К единице, уравнения C4.4), C4.5), C4.6) и C4.7) заметно
упроп];аются и при замене v на 1/р принимают соответственно вид
Pi ^ р2 [2/с — (А; — 1) а] ^ р1 {к — 1) ,
р\ pi(/c + l) —ар2(А: —1) '
р2 _ (k'{-i)p2 + (k — i)pi ^
pi а(/с —1)/?2 + [2/с —(/с—l)a]/?i' I C4.8)
^P^^i ^ (/^-pi)[(fe + l)/>2 + (fe-l)/^i]
а Г А: 1
/^2 —7?i[—— {A:-~1)J
2 (Р2 — pi) [g (fe — 1) j^2 + Pi Bfe — g (fe — 1))] ..>/ Q4
2api^; = -Tk ^ • (^^-^^
P2 —;?i(^—— (A: —l)j
Необратимые потери энергии здесь, в отличие от потерь в ударной
волне, имеют место и при дозвуковых скоростях, а при
сверхзвуковых скоростях, в случае одинаковых начальных условий, эти
потери больше, чем в ударной волне, вследствие завихренности
потока в месте внезапного изменения сечения. Давление р,^ при
заданной скорости щ меньше, чем было бы в случае плавного
адиабатического расширения, а температура соответственно выше.
Это обстоятельство имеет важное значение при изучении
втекания газа в трубы, размеры сечения которых на входе резко
меняются в смысле преобразования энергии в этих трубах с целью
создания тяги. При этом тяга резко уменьшается.
Выясним, как меняется энтропия газа при переходе его через
скачок сечения. Поскольку
pv^ = a = e 'V , C4.10)
то относительный рост энтропии будет определяться соотношением
If 8г—Sx
piY^ Ci
==е'^ . C4.11)
После подстановки в это соотношение значений p^/Pi и yj^i
становится очевидным, что рост энтропии значителен даже при малых
изменениях сечений и дозвуковых скоростях; природа
необратимых потерь свободной энергии похожа на природу потерь
энергии в случае ударных волн. Явления, связанные с этими
необратимыми потерями энергии, поддаются анализу.
Для этой цели рассмотрим процесс нестационарного втекания
газа из узкой трубы в широкую, считая, что в широкой части
трубы до этого была пустота.
Очевидно, расширяющийся при таком втекании газ после
удара о боковые стенки трубы затормозится и от стенок пойдет

300 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
ударная волна, которая будет нестационарной. Вследствие этого
энтропия ударившегося газа будет повышаться и за фронтом
ударной волны движение станет вихревым, что вытекает из доказанного
нами положения о том, что всякое неодномерное и изэнтропическое
движение должно быть обязательно вихревым.
Если процесс втекания происходит длительно и втекающий
поток стационарен, то в области скачка сечения также установится
Q^ 1 стационарный режим, в непосредствен-
у^ L— ной близости к стенкам движение будет
тщ г— '^ вихревым (и притом турбулентным),
^ "—— ^ причем эта часть газа не будет обла-
2 •^гкрг— дать поступательным движением, а на
¦""¦~~"~~~~^ границе с движуш;имся газом будет
^, —--——_«—« вовлекаться в движение силами вязко-
^ I сти, вследствие чего вся выходяш;ая
yj^Y г ^"^ ж струя газа должна быть завихрена.
/ ? /^р ^__ »- На образование вихрей и тратится не-
I - обратимо часть энергии.
Покажем теперь, что в области скач-
^^^* ^^* ка сечения давление должно быть вдоль
всего сечения одинаково. Допустим, что
у боковой стенки давление меньше, чем на оси; нормальная
компонента скорости газа у стенки равна нулю, а волны сжатия,
идущие от оси, которые должны при таком режиме возникнуть,
в конце концов выравняют давление вдоль всего сечения.
Точно так же, считая, что у боковой стенки давление больше,
чем на оси, мы придем к выводу, что сжатый в этой области газ
начнет двигаться от стенок к оси и давление во всем течении вы-
равняется. Равенство давления по всему течению в области
скачка сечения хорошо подтверждается различными экспериментами.
В случае несжимаемой среды или относительно небольших
дозвуковых скоростей движения газа на основании выведенных
нами формул легко получить классические уравнения
гидравлического удара. Для этого достаточно положить в уравнениях
/cj = /cg = А: = оо.
Смешение газовых потоков. Рассмотрим случай стационарного
смешения. Пусть имеем два сосуда (рис. 38, а)\ через сечение ^кр
одного из них вытекает газ в атмосферу, тогда
^ = [^f: «.-Ар.»,;
jri^ = dm/dt — секундный массовый расход; в случае критиче

§ 34j ВТЕКАНИЕ ГАЗА Б ТРУБУ СО СКАЧКОМ СЕЧЕНИЯ
ского истечения
^1 = /iPlKpPlH^lH
2 "^2 (fe-l) .
/с + 1
^1=]/ Y+T ^1«' ^1"" ^1^1'
301
C4.12)
где Ра — атмосферное давление, р^, и^ — плотность и скорость
истечения газа, Д -- плоп^адь сечения на выходе, р^н, ^ih —
начальные параметры газа в сосуде. Аналогичные уравнения будем
иметь для другого сосуда, из которого вытекает другой газ:
k-l
и\
^=f/i)^; m, = /,p,.,;
Г2Н \^2Н/
В случае критического истечения
Если мы предварительно смешаем оба газа, то будем иметь
»2 = /ар2нС2н(-т-^^''"^^ Щ = ]/ j^c^h; h=rni'h. C4.13)
Рн
Vi + Va
, Рн =
Vi + Va ^
C4.14)
где Fx и F2 — объемы сосудов. Далее скорость истечения будет
к-1
2 С^
/с-1 ""
l-(tI'''=^p"-
в случае, когда /кр = Акр + /гкр и истечение является критическим
т = rhi -\- т2
1 = ти C4.15)
Количество движения, рассчитанное на единицу массы газа, при
этом, как правило, возрастает. Это объясняется тем, что
количество движения одного (смешанного) потока при постоянной полной
энергии больше, чем сумма количества движения двух раздельных

302 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
потоков для той же массы газа, поскольку в последнем случае
различные массы газа имеют разные скорости, а максимум количества
движения, как мы знаем, достигается лишь при условии, что весь
газ имеет одну и ту же скорость. Правда, в случае смешения
вследствие возрастания энтропии кинетическая энергия газа при
атмосферном давлении будет несколько меньше, чем для непере-
мешанных потоков, что может несуш;ественно снизить количество
движения по сравнению с потоком, энергия которого не
уменьшается. Однако, как показывают расчеты, для наиболее типичных
случаев смешения газов первый фактор (ликвидация
распределения масс по скоростям) превалирует над вторым фактором (потери
свободной энергии), поэтому результирующее количество
движения для смешанного потока
"" несколько больше, чем для
Область
смешения „ несмешанного
%
Рассмотрим [^теперь
случай смешения двух потоков,
- ¦¦ имеющих некоторые
скорости движения в области сме-
Рис. 39. шения (рис. 39).
Если при смешении
давление повышается, то при
дозвуковых скоростях вверх по течению газов пойдет волна
сжатия; дойдя до резервуара, из которого вытекают газы, эта волна
изменит режим истечения; установившийся режим истечения
можно рассчитать, исходя из трех законов сохранения: массы,
количества движения и энергии:
771 = ^1 + ^2, щет=:/рщ Щ^ирхи^, Wa = /292^2;
Pifi + Щ^! + PiU + ЩЩ =^ pf + mu=: mj;
m
C4.16)
где j'lT и 12т — параметры заторможенных потоков; напомним, что
т = dmjdt = fpu — секундный массовый расход. При этом
следует учесть, что до смешения и в области смешения давления
должны быть одинаковы: р^ = р^
= р
К- —1
к "
, поскольку
Pi _ / Р
pHi V Рш
{'-Ш'\' ^=Ш"<«-"'

34]
ВТЕКАНИЕ ГАЗА В ТРУБУ СО СКАЧКОМ СЕЧЕНИЯ
363
(причем индекс i = I, 2), то окончательно система уравнений
примет вид
Ш'
Р (Л + /2 — /) + Щи^ + т^и^ = fpu^ = mu]
щс1л + тА = гпс\ -= fpucl == kfup -\ ^ /ргг^;
C4.18)
Из этой системы легко исключить плотность, и задача сведется
к решению двух уравнений с двумя неизвестными.
Следует отметить, что для типичных случаев подобного
смешения газов результирующее количество движения смешанного
потока, рассчитанного на единицу массы, больше суммы количества
движения несмешанных потоков. Однако в случае стационарного
и дозвукового перемешивания секундный расход может и
уменьшиться, а поэтому секундное количество движения (тяга), как
правило, уменьшается при тех же проходных сечениях.
Рассмотрим случай смешения двух сверхзвуковых потоков.
Секундный расход при смешении не меняется, а общее количество
движения, как правило, возрастает. Система уравнений C4.16)
дает
AzlL t + гг^ = ]Щ 2i + и^ = 28, C4.19)
отсюда
или
2/с , , 2(Л-1) ^
k + i
k + i
k + i
}±
ViTTTi)
2(k — i)
/c + l
8,
C4.20)
после чего определяются все остальные параметры. Числовой
расчет в кая^дой конкретной задаче не представляет ни малейших
затруднений. Случаи смешения газов интересны с точки зрения
влияния на баланс количества движения двух противоположно
действующих факторов — падения свободной энергии и
ликвидации перераспределения масс га^а по скоростям.

304 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. Л^1
'Дцно из интересных применений теории установившихся
движений и смешения газа относится к области реактивного движения,
когда стационарный поток газа истекает через сопло ракеты.
Здесь мы рассмотрим новую задачу из этой области, имеющую
принципиальный интерес.
Известная формула Циолковского, основанная на законе
сохранения импульса и определяющая текущую скорость ракеты при
стационарном истечении из нее газов, имеет вид
М du= -щ dM, C4.21)
где щ — скорость истечения газов из ракеты (относительно нее),
М — текущая масса ракеты, гг — ее текущая скорость.
Интегрирование C4.21) дает
M=-Woln^. C4.22)
где Мн — начальная масса ракеты. Скорость истечения щ
зависит от калорийности применяемого топлива и относительного
количества вводимых инертных примесей;
^0=1/"^, C4.23)
V 1+-^
где Q — количество тепла, выделяемого 1 г топлива, jHq — масса
сожженного топлива в момент ^, [х^ — инертная масса,
выброшенная вместе с топливом в момент t. Поскольку
Мн - М + ji, C4.24)
где \i = \kQ -\- |j|, то, исходя из C4.23) и C4.24), соотношение
C4.22) можно нчписать в виде
"=/?'" ('+^)- <з>
Максимально я скорость ракеты будет при полном сгорании
топлива
и = л/^Шы A + -|-) • C4-26)
где М — конечная масса ракеты, 'fi — полная масса истекших
газов, jlo — полная ^асса топлива. Очевидно, что при [1 = 0
(jlo = 0) и fl -> сю скорость и = О, следовательно, скорость имеет
максимум при определенном значении отношения 6 = р/УИ.

§ 34] ВТЕКАНИЕ ГАЗА В ТРУБУ СО СКАЧКОМ СЕЧЕНИЯ
Напишем C4.26) в виде
Дифференцируя й по 0, получим
^^ In A + 6)
Уе A + е) 2 у^ез
приравнивая производную нулю, найдем, что
26
In A + 6)
Отсюда находим, что при
1 +
1 + е •
м
скорость имеет максимум
и — l,6i^o.
305
C4.27)
C4.28)
C4.29)
C4.30)
C4.31)
Известно, что при скорости около 11—12 км/сек ракета навсегда
покинет Землю; учтя потери скорости на сопротивление атмосферы,
следует несколько увеличить эту предельную скорость. Таким
образом, если и имеет это значение, то полная масса ракеты после
набора скорости должна быть в пять раз меньше, чем начальная.
Обычные топлива дают скорость Uqi ^::^ 2 км/сек, где Uqi = Y^Q*
При этом к продуктам сгорания топлива не надо давать инертных
примесей. Для более мощных топлив, если Uoi >> 15 км/сек^
следует давать инертные присадки для увеличения коэффициента
полезного действия ракеты.
Для будущего атомного двигателя, когда, например, может
быть Uqi ^^ 2000 км/сек,
м
н
М '
отношение
4М„
V'i/V^o = 5-10^, при этом
г=— =0.
10*^10
C4.32)
При таких данных 1 кг «атомного топлива» может выбросить в
межпланетное пространство ракету весом около 60 т. Если требуется
большая начальная скорость, чем 15 км/сек, то можно давать
меньший секундный расход инертных примесей, при этом
коэффициент полезного действия ракеты несколько уменьшится, а
количество атомного топлива, потребного для выброса ракеты в
пространство, несколько увеличится.

306
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. VI
§ 35. О нестационарном отражении газового потока
от стенки*)
Здесь мы рассмотрим важную в физическом отношении задачу,
показывающую на интересные особенности перераспределения
энергии при неустановивпгахся движениях среды.
Пусть слева на абсолютно
твердую стенку набегает со
скоростью Uq одномерный поток
газа. Начало координат
поместим в точке пересечения
стенки с осью X (рис. 40).
Такой поток газа может
быть получен при разлете
продуктов детонации или при
истечении газа из сосуда, когда
ранее газ покоился, причем в
ЗА:-1
первом случае Uq
где D
/с2-1
D,
скорость детонации; во
2
Фронт ompaofceHHOu
волны
Рпс. 40.
втором случае щ
1,где
k-i
^он — скорость звука в невоз-
мущенном газе, заполняющем
сосуд.
Удар газа о стенку произойдет при t^ == a/i^o, где а —
расстояние между сосудом и стенкой. Для простой падающей волны
имеем X ^ (и — с) t ~\- F (и); так как при ^ = О а: = —а, то
F (и) =^ —а, откуда и
= щ — {2со/{к — 1)), а с
с = {х -\- a)lt. Полагая
Со, получим
и
— х-{- а X -{- а
Un — Сп — —-— — —-— Ut
О!
где
отсюда
Un= м,
Cq Uq-
X /с — 1
а /c + l
(^<0).
C5.1)
C5.2)
C5.3)
В том случае, когда мы рассматриваем малую область вблизи
стенки, xja мало, с^ также мало, а йо :^ щ, т. е. можно считать,
что в этой области поток движется с постоянной скоростью щ.
Поэтому можно ожидать, что отраженная ударная волна в
рассматриваемой области должна подчиняться законам автомодель-
*) Эта задача была' решена Я. Б. Зельдовичем и автором в 1947 г. [23].

§ 35] О НЕСТАЦИОНАРНОМ ОТРАЖЕНИИ ПОТОКА ОТ СТЕНКИ 307
ного движения газа, что, как мы ниже увидим, действительно
выполняется.
После удара от стенки налево пойдет отраженная ударная
волна. Ниже мы покажем, что эта волна будет сильной, а поэтому
на ее фронте рн = Ро (^ + 1)М — 1)> где ро — плотность газа
в падающем на стенку потоке; в том же приближении для малых
2 2
xja можно считать, что р ~ (а; / ау—^, поскольку ро — c^-"^.
Отсюда ясно, что
Рон ^-1
Мо
А: + 1 а
1^1, C5.4)
где Рон и Сон — плотность и скорость звука в невозмущенном
движении газа.
Скорость фронта отраженной ударной волны на основании
формулы C0.6) равна
у vo-Vg
или
?>. = '^o-(fe+l)Kifej. C5.5)
Отсюда
(fc-1)'
W--o-iJc+i)-/^^~, C5.6)
где г/н = PhVh'^7^^- Предположим, что на фронте х = Zh^^S тогда
dx .п ч ^
-ж = «i^Hi^'-i - «1 —;
w„-(u+l)K 2(Л1ГТ)-Г = «1-Г
или
и,-'{к+ 1) Ущ^П) ^н^'^"' = «l^н^'-^ C5.7)
но на фронте у^ и Zn должны быть постоянны, поэтому а^ == i
ж Dy — const. Воспользуемся, далее, уравнениями автомодельных
дви>кений (9.23), (9.24). Положив w = g, ф = z — u, получим
pfc-i — r^ .^ ^2. отсюда вытекает, что «2 = 2/{к — 1), а^ = —2,
а = —-{к + 1)/2 {к —- 1). Применим для изучения законов
движения отраженного газа уравнения (9.26) и (9.27), из которых
нетрудно получить, учитывая, что из формулы (9.25) следует

308 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
Z = —ф/2, для данного случая {N = 0) следующее уравнение:
где производные берутся по In 0; 0 = fp/p^. Поэтому, поскольку
2' = —ф/2, уравнение C5.8) примет вид
Введем *) новую величину q:
q = Л1-^ф^+19 2 ^ C5.9)
тогда уравнение примет вид
Отсюда
Т^Йт+^ = 0- C5.10)
Интегрируя, имеем
0=Бд ic=+i r_L±i._5j k^i. C5.11)
Выразим (p:
Далее определяем г] (из 9.27); поскольку
г|ф2^0-« = Л - const, C5.13)
то
т1^-1 = А ^^+1 Б ^+ig /С.+1 j^_±l ^ gj ^ . C5.14)
Зависимость z от введенного параметра g дается формулой
^=^+-2-Ы 1)^ '^'-^'\Thr--V {q-k)dq.
C5.15)
Этот интеграл в конечном виде не берется.
*) Мы здесь берем иной коэффициент, чем в формуле (9.27); вместо
величины а^А^^^^~^^ в этой формуле берем величину А.

§ 35] О НЕСТАЦИОНАРНОМ ОТРАЖЕНИИ ПОТОКА ОТ СТЕНКИ 309
Из условия, ЧТО на стенке при х = О и и — О, имеем
ф = 2, 2 = 0, ф = О, ^ = О, C5.16)
а следовательно, постоянная интегрирования также равна нулю.
Условия на фронте отраженной волны дают
D = 2н = Wo — Y±Y У —2—Мн = г^н + фн =
= ^0 - y^j^nl'X + Фн. C5.17)
Отсюда
Фн = -|/-^г1Гвн, C5.18)
что дает
qn=^. C5.19)
Вводя функцию
Q(q)==^q-^(i^) (^ - q) "'"^''"' {Ч - к)dq C5.20)
(Q<0),
будем иметь
fc—1
1 /Л2.2(й=^+1) __ , А: + 1
^у = + -2" [-В-] Qb = Uq + ~^^Фн =
/с + 1 / Л2 \ 2(fe2+ 1) / A; — 1 .2(fc2+l) / (/c + 1J \ 2(/C2+l)
= ^0- ^—Г Ы) I-T^j l^rrar) = ^'« + ^«^
C5.21)
отсюда
^ = + "°^" .(.+x) ^ • C5.22)
,л- //c + lX ''"+1 fA2\li+l
Теперь определим p, p, и как функции <7, давление p опреде-
2
лим из соотношения р = t'^p^ = t ^—'^ т)^^. Используя выражения
бит] через q 1C5.11) и C5.14)] и вспомнив, что ^н == (^^ — 1)/2,

310
получим
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. VI
1 4te
p^ - U~ij u + iy
1 '^(/c-i)(/c'+i) .til
X
//c2 +1
2?C
> C5.23)
-q
ik-i) (/C2+1)
k2—?f+2 .,
JL=Q+2g«.^^)(^-,
причем, поскольку z„ ^ Dy {t — to), где ^q есть момент удара,
то на основании C5.4) имеем
Рн
Рон
/с + 1
Рд 2 (/с — 1)
2
1 Г
(/>.<0),
> C5.24)
или рн = рон = 2 (г^о — Dy)
k + i Щ ^у (^ - 'о)
k^i с^
к—1
Wh =
/с + 1 ^У
fe-1
/с + 1
Формулы C5.20), C5.23) и C5.24) дают полное решение
поставленной задачи.
Интересно отметить, что отношение р/р^ всегда близко к
единице. В самом деле, у стенки
р^ -[ (/с + 1)^ ) •
C5.25)
При /с ^- 1 Рс/Рн = 1? при /с -> оо Рс/Рп = 1, при Л: = 3
Рс/Рп = 1Д2, при /с = 7/5 рс/р„ - 1,07.
Отношение давления на фронте ударной волны к давлению в
потоке перед фронтом задается формулой
Ри _ 2(/с^1) 9п(^о^Ру)^ Г Ро^ Y
ро (k + i)^ р^^ \ ро
C5.26)

35]
О НЕСТАЦИОНАРНОМ ОТРАЖЕНИИ ПОТОКА ОТ СТЕНКИ
311
д. 1
где ро = —]^тг\— Рн; поскольку
то
k + i Рон
^-1 Рн
Г ^
- 1 щ Dy(t — to) -|
k + i с^^ а J
Рп 2k{k + i)
Ро- (fe~l)^
-щ—D^^ а
щ Dy (t - to) _
k-l
l2
C5.27)
Мы видим, что ударная волна действительно является сильной,
так как величина a/D {t — to) в окрестностях точки 2 = 0 весьма
велика.
Поскольку мы рассматриваем отражение от стенки
малоплотного потока, то значение к ^ 7/5; для величин А:, близких к
единице, интервал изменения q весьма мал:
0<? =
1
C5.28)
Таким образом, функция Q (д) может быть вычисленд в пред-
положении, что 5 стремится к нулю в членах (¦ . д\
и (д — /с). Вычисление дает
2/с2—1?+3 К*—к-\-2
П — — 2к(к^ + 1) /k^ + i\ т'+1) 2(fc2+i)
V — (Д;2 „ /с + 2) \ /с -1 у ^
Отсюда, так как д^ = (/с — 1)/2, имеем
__ 27f2—fc+3 к^—к+2
2А:(/с2 + 1) /fe2 4-1 '\ 2(ft2-M) ^fe —1\2(к«+1)
к^ — к + 2 \к
U(
поэтому мы получаем
Р^/^н;-
гAс-1)
' «7 ~
C5.29)
C5.30)
C5.31)
_?_\ 2AD-1)
Здесь
Рн fe + 1
fH _ fe-^
Рн ^
2
Wo
/е(/с-1K г/2(г_#о)-]'^-1
k-i
_2(k + iW + i)
/сз + fe + 2
(fc + l)(fc2 + l)
12 ^
J ' «0
ft*+ 1
C5.32)
C5.33)

312 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 1ГЛ. IV
Значение величины pjp^ равно
Ро~ к 1 (А:-1K i/o(i-^o)J • Коо.оч.)
Определим величину температуры Т при малых z. Очевидно,
что поскольку при малых давлениях газа имеет место уравнение
состояния р = RTp, то
^ _ _4_ _ 2(fc^l) Гк^ + к + 2 а 12
Он
Поскольку
^он г к(к — 1)^ "о (^ — ^о) 1
ЛГо-с^(/с —1)Го-— |^2(/с2 + 1)(/с + 1) '^ J ' (^5.36)
т. е.
то
Если 1^0= -7—"Г ^он, то
^н ^ ^^ ¦/ А;3 4-/с + 2 \2
^ОН ^-1 i (k^+i)(k + i) ] '
где Гои — температура невозмущенного истечением газа.
За фронтом ударной волны
__ 2(fe-l) _ 2(fc-l)
2 \ fe2-/C+2 f X ^ ?C'-/i*+2
C5.39)
Тн I 2„ i I ^u
C5.40)
отсюда нетрудно найти распределение температуры газа в
зависимости от его плотности, а следовательно, и в зависимости от его
массы. При к = 7/5 TJTq^ = 5,3. Определим значение z, для ко-
. торого Г/Гон принимает заданное значение. Так как
2(А;-1)
^2 _ /с + 2
0,312;^4-' ^^ ^^^«^д^^ = (w;:)"'' ^^^-^^^
например, при Гон = 3000° абс Г = 16 000° абс имеет место,
когда 2 = ^4, Г = 48 000° абс достигается при z = 2н/27.

35]
О НЕСТАЦИОНАРНОМ ОТРАЖЕНИИ ПОТОКА ОТ СТЕНКИ 313
Рис. 41.
Следовательно, при ударе газа, истекающего из сосуда, о
стенку температура небольшой части газа становится значительно
большей, чем начальная. Здесь мы снова имеем дело с интересным
случаем перераспределения энергии при нестационарных
процессах.
Отметим еще раз, что и при отражении потока газа давление
мало зависит от х. Таким образом, можно считать, что вообще
для различных отраженных волн (волн разрежения, ударных и
детонационных) р
является слабой функцией
от X и сильно зависит
от t,
В данном случае при
увеличении t после от-»
ражения р возрастает,
как ^2/(/с-1)^ q^Q при
к = 7/5 дает р ~ t^.
Результаты
исследования параметров ия р
отраженной волны ил-»
люстрируются рис. 41.
Мы рассмотрели
первую стадию отражения
головной части
простой волны от стенки. Дальнейшее рассмотрение задачи для
тыловых частей особой волны представляет значительные
трудности, и мы здесь ограничимся лишь некоторыми выводами,
относящимися к этому вопросу. Представим себе цилиндрический
сосуд, перегороженный в произвольном сечении. Пусть в левой
части сосуда находится сжатый газ, а в правой — пустота. В
некоторый момент времени убирается перегородка и начинаются
истечение газа в пустоту и отражение волн от правой стенки сосуда.
Волна разрежения и фронт разлетающегося газа будут
многократно отражаться от противоположных стенок сосуда и
взаимодействовать друг с другом до тех пор, пока не установится новое
равновесное состояние с повышенной по сравнению с начальной
энтропией. Этот рост энтропии обязан своим происхождением в данной
задаче ударным волнам.
Сам сосуд при этом процессе сначала получит импульс,
направленный налево, поскольку после снятия перегородки на правую
стенку не будет действовать никакое давление, а затем, поскольку
силы, действующие в сосуде, являются внутренними, этот
отрицательный импульс будет полностью скомпенсирован
положительным импульсом, который создает поток газа, ударяющийся
о правую стенку. При этом центр массы системы сосуд — газ не
сместится, сам сосуд совершит некоторое перемещение.

314 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. YI
§ 36. Анализ основных свойств ударных волн
Как мы показали выше, ударные волны могут существовать
в среде, для которой справедливы неравенство {d^p/dp^)s > О
и автоматически следующие из него неравенства {d^p/dY^)s ^ О
и (др/дТ),>0.
В области, где значения этих производных неположительны:
'^^-^<0;f-g-)<0,
ау21/"^ ' \^ др
не может существовать устойчивых ударных волн. Возникнув
где-либо при определенных условиях, например при внезапном
движении газа, и предоставленные самим себе, эти ударные волны
будут немедленно вырождаться в волны сжатия (в звуковые
волны).
При {др/дТ)р У> О плотность на фронте ударной волны
остается конечной при р-^оо; (др/дТ)р <^0 плотность при р-^-оо
также неограниченно возрастает.
При (др/дТ)р = О, поскольку {dp/dS)p = О, давление является
функцией только от плотности, откуда р= р (р), Е == Е {S). Так
как согласно B5.4) изменение внутренней энергии при переходе
через фронт волны зависит только от плотности, то энтропия
среды при переходе через фронт ударной волны не изменяется,
т. е. dS = О, но, как мы показали выше, отсюда следует, что
Mj = Ci = 1^2 = ^2j т. е. ударная волна вырождается в обычную
волну сжатия.
Заметим, однако, что при значительном возрастании давления
и температуры свойства среды могут резко изменяться по
сравнению со свойствами при обычных небольших давлениях, и поэтому
наши утверждения о роли некоторых термодинамических
производных в природе ударных волн относительны. Для одной и той же
среды при изменении условий знаки указанных производных могут
меняться (например, для воды при низких температурах и
высоких давлениях), поэтому следует, говоря о роли знака этих
производных, относить их к данным местным давлениям уже за
фронтом волны.
Выясним сначала причины роста энтропии в ударной волне
при чисто адиабатическом процессе движения среды. В тех
случаях, когда состояние среды при адиабатических процессах
изменяется достаточно медленно, адиабатическое движение становится
изэнтропическим, поскольку, как мы сейчас покажем, при
медленных адиабатических процессах энтропия среды не изменяется.
С термодинамической точки зрения при этом существенно,
чтобы изменение внешних воздействий происходило таким образом,
чтобы термодинамическое равновесие среды устанавливалось
гораздо быстрее, чем изменяются эти внешние условия. Другими

§ 36] АНАЛИЗ основных СВОЙСТВ УДАРНЫХ ВОЛН 315
словами, равновесие должно успевать устанавливаться между
двумя близкими по времени внешними воздействиями.
Например, при Сжатии газа поршнем необходимо, чтобы
скорость порпшя была меньше скорости звука в данной среде,
поскольку равновесное состояние среды устанавливается благодаря
обмену ее состояний при помощи движуш;ихся в различных
направлениях звуковых волн.
Вместе с тем процесс изменения внешних воздействий должен
происходить и таким образом, чтобы среда не успела вступить
в теплообмен с внешней средой, т. е. происходить быстрее
процессов теплообмена (диффузии и прочих свободных явлений).
Для реальных сред, особенно газов, эти условия всегда имеют
место, поскольку скорость процессов теплопередачи, диффузии
и т. д. значительно меньше скорости звука для данной среды.
Будем характеризовать внешние условия, воздействие которых
изменяет состояние данной среды, некоторыми параметрами
^1» ^2? ^3» •••> являющимися функциями времени. Достаточно
рассмотреть влияние одного какого-либо параметра, который мы
обозначим просто через Л. Производная от энтропии по времени
dSldt должна зависеть определенным образом от скорости
изменения величины параметра Я: dKldt] поскольку мы условились
рассматривать медленные изменения внешних воздействий, то
величина dXjdt должна быть мала, и мы можем разложить
величину dSjdt в ряд по степеням d'kjdt. Итак, положим, что
dS , dX , f d%Y , ,oa 4\
-^ = ao + ai-^+a2(-^) +... C6.1)
Поскольку при dX/dt = 0, т. е. когда внешние условия постоянны,
S = const, то dS/dt = О и должен тождественно быть равным нулю
первый член разложения C6.1) uq, т. е. uq ^ 0. Далее, на
основании второго начала термодинамики, всегда dS/dt ^ О, поэтому
член «1 dX/dt также должен равняться нулю, т. е. а^ = О, в
противном случае, поскольку величина dX/dt может быть и
положительна и отрицательна, величина dS/dt сможет менять знак.
Таким образом, разложение величины dS/dt по степеням dX/dt
должно начинаться с членов второго порядка. Пренебрегая ввиду
малости величины dX/dt членами выспшх порядков, мы сможем
написать, что
dS I dX Y /ОД оч
Отсюда
Следовательно, когда величина dX/dt-^O, то и величина dS/dX-^0,
т. е. энтропия становится постоянной, что доказывает

316 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
обратимость медленного адиабатического процесса, т. е. его
изэнтропичность.
Если внешние воздействия на среду изменяются достаточно
быстро, то скорость изменения параметра X: dk/dt уже не будет
малой величиной и ряд C6.1) при dk/dt ^ О уже не будет
сходиться к нулю, а следовательно, энтропия при быстрых
адиабатических процессах начнет возрастать.
Представим себе, что мы имеем некоторый объем среды,
которая подвергается не очень слабому воздействию внешнего
давления, сжимающему ее. Тогда частицы, находящиеся на периферии
этого объема, при не бесконечно малом сжатии получают
дополнительные конечные скорости; при соударении с другими
внутренними частицами произойдут выравнивания скоростей, а
следовательно, и рост энтропии системы. Другими словами,
направленный определенным образом внешними силами поток частиц среды
частично потеряет энергию направленного движения за счет
возрастания энергии беспорядочного теплового движения частиц
(молекул).
Проиллюстрируем высказанные здесь соображения примером.
Пусть мы имеем некоторый объем покоящейся среды,
например, идеального газа, причем одна из его частей была
предварительно подвергнута конечному адиабатическому сжатию таким
образом, что энтропия этой части газа не изменилась по
сравнению с ее начальным значением (процесс обжатия протекал
медленно). Таким образом, мы будем иметь среду с одинаковой
энтропией, но с различными давлениями и плотностями.
Пусть объем одной части среды есть Vj, давление и плотность
среды в нем Pi и р^. Объем другой части среды есть Vg, давление
и плотность в нем /?2» Рг» причем р2 Ф Рх, Рг =j^ Pi» Смешаем теперь
оба объема и оценим изменение энтропии, которое при этом
произойдет. Законы сохранения массы и энергии для данного
процесса примут вид
p(Vi + V2) = PiVi + paV2;l .^,.
(мы считаем, что /с^ = ^2 = /с и весь объем изолирован от
всяческих внешних воздействий). Поскольку Si = S2, то
^¦ = AГГ- C6.5)
Здесь pup — давление и плотность после смешения. Из этих
соотношений имеем
„_ faVa + PiVi . „.__ PiiVa + piVi _ Pi \ ( Р^ V V 4-V 1
Р- v«+Vi -' Р-—vT+vi vT+vrLl'Trj ^2i-vij.
C6.6)

§ 36] АНАЛИЗ основных СВОЙСТВ УДАРНЫХ ВОЛН 317
Далее, определяем величину .^ =^ _^ jli. гдеа1 = ^ ^^ харак-
S-S
теризует энтропию до смешения, а б = е ^^ — величину
энтропии после смешения.
Очевидно,
61 V2 + V1 _
C6.7)
Легко убедиться в том, что для любого значения отношений Vg/Vi
и Pz/pi и для реальных значений показателя изэнтропы к
величина a/oi >> 1.
Почти аналогичный процесс происходит при образовании
ударной волны (например, при ускоренном движении поршня,
сжимающего среду). Частицы среды, обладающие большими скоростями,
непрерывно обмениваются энергиями с частицами среды,
имеющими меньшие скорости; при выравнивании скоростей, т. е. при
процессе смешения частиц и отдельных объемов среды, обладающих
различными энергиями, энергии выравниваются, а энтропия
возрастает, характеризуя стремление среды к равновесному
состоянию.
То же происходит и при прохождении частиц через фронт
ударной волны благодаря его малой толщине. Толщина фронта
ударной волны характеризуется областью резкого изменения
параметров движущейся среды. Математически толщина фронта
ударной волны должна стремиться стать сколь угодно малой,
поскольку состояние элементов среды при больших давлениях и
плотностях распространяется.со скоростями и -\- с, т, е. с
большими скоростями, непрерывно увеличивая крутизну профиля
волны (§ 17).
С другой стороны, толщина фронта может быть
интерпретирована как ширина области, где за счет обхмена энергиями частиц,
пересекающих ударную волну, с частицами за фронтом волны
происходит практически полное выравнивание их средних скоростей,
а следовательно, и всех прочих параметров. В молекулярной
физике доказывается, что подобного рода процессы, особенно,
если они стационарны, происходят на расстояниях порядка
нескольких длин свободного пробега молекул, т. е. на таких
расстояниях, где каждая молекула может соударяться несколько раз
с ^другими молекулами. На основании высказанных соображений
можно считать, что толщина фронта ударной волны по порядку
величины именно должна равняться нескольким длинам
свободного пробега молекул.

318 Э ЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
Энергия частиц среды, пересекающих разрыв, преобразуется
таким образом, что кинетическая энергия их уменьшается, а
внутренняя энергия среды при этом возрастает, т. е. часть энергии
направленного движения частиц переходит в энергию
хаотического их движения и полностью обратно в энергию направленного
потока уже превращена быть не может.
Вследствие необратимости подобного процесса происходит
рост энтропии среды.
Гипотеза постоянства энтропии в среде до и после пересечения
ею ударной волны, в частности, при произвольной изэнтропе
противоречит закону сохранения энергии. В самом деле, полагая
энтропию постоянной (dS = 0), будем считать, что
2
h-h-^]-^ C6.8)
1
вместо
2
H-H = \[-^+TdS), C6.9)
1
где пределы интегрирования 1, 2 показывают на состояние среды
до и за фронтом ударной волны. Тогда уравнение энергии B8.3)
Ч-h = -^^^ (Vi + V2) C6.10)
дает \Vdp= ^^ Г ^^ (V^ + V2) или, на основании B8.4),
1
2
-JpdV= ^ + ^' (Vi-V^). C6.11)
1
Отсюда после дифференцирования при постоянных р^^ v^, как
мы знаем, получается уравнение]
dp^ рч — Pi
dV2 "^ V2-V1 '
что дает
/?2 - Pi = Л (V2 - Vi) {А = const), C6.12)
т. е. уравнение изэнтропы Чаплыгина. Всякая другая изэнтропа,
например изэнтропа вида р — А (р'^ — ро), будет противоречить
закону сохранения потока энергии при прохождении им фронта
ударной волны, если считать, что энтропия постоянна.
Определим величину энергии, необратимо переходящую в
тепловую. Для этой цели рассмотрим процесс сжатия среды ударной
волной и затем процесс расширения этой сжатой среды.

§ 36] АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ УДАРНЫХ ВОЛН 319
Сохраняя обычные обозначения, мы индексом 3 будем
обозначать состояние расширяющейся среды до внешнего
противодавления, которое будем полагать равным р^. Процесс расширения
будем считать стационарным. Сравним этот процесс с аналогичным
чисто изэнтропическим процессом истечения среды при изменении
давления.
Значению давлений р^ соответствует теплосодержание среды
J3 = /,+ ^--|-. C6.13)
Поскольку ?2 = h + (^i/2) — {ul/2), то
^3==.-, + ^--^. C6.14)
При изэнтропическом процессе величина теплосодержания в со-
2
стоянии 2 есть ^2 ^ ii + \—^ , при ударном адиабатическом про-
1
цессе
2 2
h = ^'i + S (-у- + ^ ^-^ j = «2 + 5 г' ds. C6.15)
1 1
2
Величина \ Г diS = d(?* определяет величину энергии среды, по-
1
шедшей на необратимое возрастание энтропии, т. е. на добавочное,
по сравнению с изэнтропическим процессом, тепло. Выражая
ц — ii из C6.10), получим
Q*=.^TdS= .ZiZlZL(V, + V2)-- ^Ydp^
1 1
2
_.fi±?L(v,_V2)+ JpdV. C6.16)
1
2 2
Здесь интегралы \ —— или \ p dV берутся вдоль изэнтропы
1 i
S = Si= const. При расширении среды будем иметь
3
2

320 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
3
где интеграл \ —— берется вдоль изэнтропы для 8 = 82 = const.
2
Отсюда следует, что
^•» = h = 5^+ S-^+ [TdS. C6.18)
12 1
Для изэнтропического процесса при расширении получим, что
3
^3 = ^i + S^. C6.19)
1
где
интеграл \—^ берется при S = Si = const.
Таким образом, скорость истечения для ударного процесса при
р = р^ определяется соотношением
^^+5-^ + 5гй5 ]. C6.20)
1 2 1 J
ul ul
Скорость истечения при р = Рз для изэнтропического процесса
определится соотношением
1
Отсюда
"^^^^ = 4-11= \ ^+\^^^ + \TdS. C6.22)
Здесь очевидно, что поскольку величина i^^ i^, то и величина
тому
из > из. C6.23)
^3 > ^'з (при Рз > 0), а поэтому
При Рз = О г'з = ^3 = О и
Щ = из = ^зтах. C6.24)
Итак, величина необратимо потерянной энергии равна
Ае = i
i,-i;^\.^P—-\.^+[TdS; C6.25)

§ 37] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ 321
эта величина уменьшается до нуля при истечении среды в пустоту-
В том случае, когда давление среды р^ = pi, имеем
2 2 2
Де_С_^^ C_^Z_4- [TdS, C6.26)
»' P(S-S,) ;' P(S-S2) ^^
1 ' ' 1
или
Де = _Pi^(V, + Y,)-\-^P- , C6.27)
J P(S=S.o)
или окончательно
Аг = h — ij_, C6.28)
где ix есть теплосодержание среды при р = р^^ S = 82-
Это последнее соотношение является чрезвычайно важным в
целом ряде расчетов, связанных с механическим действием ударной
волны. Поскольку при S = S^ Ti^ ^1^ Р* <С 9 ^h^ hi то,
следовательно, величина потери энергии Ае ^ 0.
§ 37. Некоторые примеры движения среды
при стационарных ударных волнах
I. Определим необратимые потери энергии, происходяш,ие при
торможении газа перед летяш,им в нем телом. При изэнтропиче-
ском торможении имеем
U?
где Ui — скорость движения тела, ig — теплосодержание
заторможенного газа.
В случае сверхзвуковой скорости движения тела перед ним
возникает ударная волна, которая у оси тела может быть прямой.
В этом случае теплосодержание ^2 за фронтом ударной волны равно
h-h + $~-4- C7.2)
У тела по-прежнему ig выражается формулой C7.1). Вычислим
давление газа у поверхности тела для обоих случаев. Для этой
цели сначала вычислим давление газа на ударном фронте при
скорости газа за фронтом щ и сравним величину этого давления с
величиной давления для изэнтропического процесса при той же
скорости; обозначим
1  и^
2 2Г •

322 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. VI
Тогда для обоих случаев
h = h+-^. C7.3)
Поскольку 52> iSi, то для ударной волны изменение
теплосодержания 1*2 ~~ h выражается формулой C6.9), а для
изэнтропического торможения оно равно
ч-н=5 р
dp
1
где состояние 2* в смысле давления неравноценно состоянию 2,
поскольку энтропии в этих состояниях различны. На основании
этого имеем
\TdS=\^; C7.4)
1 2
2 2*
поскольку \TdS^O, то и \—^^0; отсюда следует, что давле-
1 2
ние при постоянной энтропии S = S^ должно быть больше,
чем давление /?2 при величине энтропии 5 = «Sg. В самом деле,
при S2 > Si интеграл
dp_
Р
Pi
может быть больше нуля только при р2 ^ P2i если dc/dp ]> 0.
Таким образом, вследствие торможения газа у тела при
прохождении газа через фронт ударной волны (при и^ ^ с^) давление на
поверхности тела будет меньше, чем при чисто изэнтропическом
торможении.
П. Пусть стационарный поток среды (газа) движется в трубе
и наталкивается на стенку, при этом, как уже было выяснено в § 30,
возникнет ударная волна, идуш,ая от стенки. Давление в
возникающей ударной волне в случае политропического газа
определяется соотношением C0.12)
Рг _ А I fe + 1
1+'-^/» + (^4^)'^- <М.5)
Сравним давление, развивающееся на стенке при ударе, с
соответствующим давлением рг Для чисто изэнтропического торможения

§ 37] ' НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ 323
среды. В последнем случае
C7.6)
При малых скоростях удара, когда Ui/ci <^ 1, разлагая C7.5) и
C7.6) в ряды, будем соответственно иметь
___1_^А-^+—^л —+ 32 li-;
1|!
Очевидно, что при малых ujci р^ ^ Рч^ а именно
^2 — ^2 , Ml , Л —1 , «^^ А;(/с + 1)^ "i ^
--(-Ч^Л
„J
4
C7.7)
C7.8)
C7.9)
Напротив, при ujci ^ 1 имеем
Р2 _ /с + 1 I, - 1 .
|^^=(^^)""'' '-'»'
откуда
fc 2
Рз / /с - 1 \ '^-^ 2 / Ml \ ^-^
рг \ 2 / к(к -Y \) \ с\
C7.11)
Величины давлений Ра и Рг становятся равными при ujci ^^ 2,
когда /?2//>1 = 4[?5 (А: = 7/5). В случае нестационарного
торможения в простой волне
^=A + ^-^]"" • C7.12)
Разложение в ряд при малых ujc^ дает
^1

324 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. Yi
Разность
/?2 — /^2 _
Pi
/с(/с + 1)E-
12.8
2 '
k(k + i)C — k)
12-8
„J
4
C7.14)
При к <^ 5/3 рз ^ 7^2? при й > 5/3 Р2 <С Рг- В случае
больших Ui/Ci
-* 2?С 2
Рг / /с — 1 \ fe-i 2 / wi ^ FT
;?2 [ 2 I к{к + 1)\сг
-* к
Рг
C7.15)
C7.16)
Следовательно, при к <^ 5/3 ^2 всегда больше /?2.
При Л ^> 5/3 в случае малых ujc-^ сначала р^ > p^i ^ затем,
с увеличением ujc-i, величина f^ становится больше чем р^-
Возрастание давления у стенки или на фронте отраженной
ударной волны при стационарном набегающем потоке по
сравнению с давлением изэнтропического торможения объясняется тем,
что теплосодержание у стенки при ударном процессе больше, чем
при изэнтропическом. В самом деле, для ударного процесса,
выбирая систему координат, в которой фронт ударной волны
покоится, найдем, что стенка и газ у стенки должны двигаться со
скоростью /^2; поскольку газ перед фронтом волны теперь движется
со скоростью щ + D^, то
i, = t^ + -(^Ц^ _ :| = .-, + ^ + u,D,. C7.17)
Теплосодержание же при изэнтропическом процессе равно
^'2 === ^1 + -Y = Ч — ^1^2 < Н- C7.18)
Таким образом, при сравнительно небольших значениях
скорости набегаюш,его потока щ, т. е. при небольших давлениях /?2,
ударное торможение хотя и сопровождается повышением
энтропии, но приводит к большим давлениям торможения, чем изэн-
тропическое.
При стационарном истечении газа, сжатого ударной волной,
в пространство с начальным давлением р^ скорость истечения
определится соотношением
2
ti — J3 = h + ^ + ^2 — «3. C7.19)

§ 37] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ 325
где 1^3 и Гз — скорость истечения и теплосодержание газа при
Р — Pii ^^ = '^2- Очевидно, величина i^ ^ h, поэтому скорость
истечения и^ может быть в некоторых случаях больше, а в
некоторых случаях меньше скорости щ. В самом деле, оценим величину
разности
Д - щП, - (^3 - ^*i). C7.20)
Поскольку
U1IJ2 = — , ^3 ^^ ^2 (~~;;Г1 i
то
Р2 " ''[ Р2
К-1
Отсюда
д ^ /?2 — Pi к Р2 1 Pl\ '^ , fe Pi
р2 /с — 1 Р2 \ J32 / '~ Л — 1 pi
/'I Pi "^ /с — 1 L pi i Pi У J
Так как при малых {р^ — Pi)/pi разность — pa/pi + {pJPiY^'^
пропорциональна (рз — РгУ/Ръ то величина А > 0. Для /с =
— 7/5 с возрастанием давления величина Д уменьшается;
приблизительно при pjpi ^=^ 3,0 величина Д = 0. Таким образом, при
давлениях до p^/pi <С 3,0 мы имеем Ui/ci <^ 1,5 и величина щ >>
> Ui, При больших давлениях скорость изэнтропического
истечения начинает возрастать по сравнению со скоростью при ударном
процессе. Однако эти вычисления относятся к скорости
стационарного истечения; поскольку объем газа, сжатого в ударной волне,
ограничен, то последуюш,ие стадии истечения будут происходить
при меньших давлениях и с меньшими скоростями. Волна
разрежения, которая при этом появится, всегда догонит фронт
отраженной волны и будет его ослаблять.
В заключение этого раздела рассмотрим еще один интересный
пример.
III. Пусть покоящийся газ стационарно истекает из сосуда
в пустоту и поток газа отражается от стенки, при этом образуется
ударная волна.
Рассмотрим частный случай; пусть стационарное истечение
при выходе из сопла является критическим. Тогда pi = pjc» Щ =
-= Cj^, и соотношение C7.5) примет вид
Pi
^i + ^^k + k/'i + [^f . C7.21)
Поскольку Pi/рн = B/А: + l)'^V('^-l), где рн — начальное давление

326
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. VI
В камере, то
-\к + Ч
к-1
l + 4^u+^A:|/l + (
А; + 1
C7.22)
Отношение давлений при любых значениях fe > 1 также больше
единицы. Например, при /с = 1 pjp^i = C + УЪI2Уе = 1,6.
С увеличением к величина pjpa также увеличивается. То же
явление может иметь место и при нестационарном истечении.
Полученные выводы, как. и в предыдущем примере, относятся
только к сравнительно небольшой части газа.
§ 38. Акустическая теория ударных волн
Мы видели, что для слабых ударных волн, т. е. при небольшой
амплитуде, энтропия среды при переходе через фронт ударной
волны меняется мало. В этом случае закономерности
распространения ударной волны можно рассматривать в акустическом
приближении, т. е. рассматривать ударную волну как волну сжатия,
имеющую разрыв на фронте, но пренебрегать при этом изменением
энтропии среды при ее переходе через фронт волны. Пусть слабая
ударная волна распространяется по стационарно движущейся
среде, что позволяет рассматривать ее как простую волну сжатия.
Выпишем основные уравнения для ударной волны и простой волны
сжатия. Для ударной волны мы имеем формулы C0.5) — C0.7)
*L.c, = „. + v./a=i;;
V2 '
Vi— V2
Щ = Щ + Y{P2 - Pi) (Vl -- V2) = 1^1 +
^2-^l = ^-4^(Vx--V,).
(^y-^i); ?C8.i)
Для простой волны сжатия, на основании равенств (8.13), (8.14)
и A.1), имеем
Ра
= щ + с^\ ^2 = ^1 — \ Y'- ^Р ^v;
pi
р»
?•= -J pdw.
dx
Pi
C8.2)
Поскольку для ударной волны и цростой волны сжатия
разложение в ряд в окрестности точки (pi, Vi) приводит к выражению
Р2-— Pi .
Vl — va
-/i^ + i
dv2

S 38} АКУСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 327
а величины dpldv и d^^p/dv выражаются так:
Ас
ТО
др <^1 .
ду ^2 '
D„ = г/, 4-
1 av ^1~^1^1а7
2 ду2 ^3
1/ с2 1 \~-пЛс:
далее, так как +CiAv/vi = Аи — U2 — щ; Ас = с^ — q, то
C8.3)
Ввиду малости величин Дм и Ас
В^ = щ±С^+ -^±с.-{г1г±с,) ^ »x±.i + u.±c. ^ ^38.4)
При этом на фронте ударной волны должно выполняться второе
уравнение C8.2). Так как Y—^P ^у = У^—(dp/dp) dp A/р^) dp =
= с/р dp, то этому уравнению можно придать вид
2
Щ = и1±^С'^. C8.5)
1
Здесь знак плюс соответствует волне, бегущей направо, и знак
минус —волне, бегущей налево. Заметим, что разложение величины
Dy и dx/dt = U dh ^ °<> степеням Ар или Ду совпадает до членов
первого порядка малости включительно, поскольку такова
точность разложения величины с или с^ = —{Ар/Aw) vl =
= 1^1 + ^i^p/Pi + CiAc]. Члены порядка (Ар)^ и высших порядков
уже зависят от энтропии, так как величина с^ представляет собой
отношение двух величин: Ар и Ар.
Таким образом, скорость движения фронта слабой ударной
волны определяется полусуммой скоростей распространения
состояний среды у основания и у вершины ударной волны.
Это обстоятельство позволяет провести геометрическую
интерпретацию определения скорости фронта слабой ударной волны.
Пусть ударная волна в некоторый момент времени имеет
однозначное распределение параметров за фронтом. Тогда (рис. 42, а)
в последующие моменты времени благодаря тому, что различные
состояния в волне движутся с различными скоростями, вершина
ударной волны продвинется дальше ее основания и распределение
параметров в ударной волне^ станет многозначным (трехзначным)
(рис. 42, в, промежуточная стадия дана на рис. 42, б).

328
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЬХХ ВОЛН
1ГЛ Vt
Мы изображаем профиль волны в координатах и, х^
откладывая и по оси ординат.
Для ликвидации этой многозначности решения необходимо
срезать волну таким образом, чтобы площади, ограниченные
кривой и = и {х) У1 прямой, определяющей положение фронта
ударной волны, лежащие справа и
слева от этой прямой, были бы равны
(рис. 42, в)
Докажем это утверждение.
Разность этих площадей можно
выразить интегралом
l = \{x-Xo)du, C8.6)
где Xq определяет положение
фронта ударной волны (положение
призмой, «срезывающей» ударную
волну), а X определяет положение
заданного состояния и -{- с.
Вычислим производную от I
их
здесь dxjdt = Dy\ dxidt = и -]- с.
Докажем, что величина dl,ldt = О,
т. е. что ^ = const, тем самым,
поскольку в момент образования
многозначности S = О, мы докажем, что и всегда величина | = О,
а следовательно, докажем наше предположение о равенстве левой
и правой площадей на рис. 42, в.
Поскольку величины и^, с^, щ, ^2 являются заданными, то
щ
-—- = Dy = const; \ Dydu = Dy {щ — и^).
гл
Величина интеграла равна
Рис, 42.
и<1 U2
\-?-du^\ {и + с)du.
Поскольку в простой волне di = с du, то
\ {и + c)du== -^ + ^2 — h^

§ 38]
АКУСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
329
но для ударной волны справедливо уравнение энергии
1 о о "? — 
h - h = -2 f ("^У ~ ^i) "" (^У - ^2) ] = -^ + ^У (^2 - Ui),
где Dy — щж Dj — U2 — скорости потока среды до фронта волны
и за ним. Поэтому
^ = ^{u + c)du = Dy {щ -щ) =^
и, следовательно,
U2
C8.8)
что и доказывает высказанное предположение.
Перейдем теперь к описанию слабых волн в политропических
газах. Выпишем разложения, определяющие основные параметры
движущегося газа. Для этой цели воспользуемся классическими
уравнениями теории ударных волн C0.3) и C8.1)
U2-Ui= YiPz - Pi) (Vi - V2);
P2- Pi = Pi {^2 - щ) {Dy - ih);
Р2У2 — Р1У1 P2 + P1 (^, ^, Ч
k — i
Отсюда при {u^ — u^lui <^ 1 имеем
k — i
C8.9)
Co — c. =
{Щ — u^) f
A: 4- 1
Щ + C2 = Ih + Ci-j ^ {U2 - Uj) + . . .\
к A- i
Pi -Pi = Pi^i (^2 - Wi) + --J- Pi (^2 - l^iV +
U2— Ml
Vo. = Vi
<^1
'¦ + \^ju^^ +..
C8.10)
Для удобства дальнейших исследований дадим также разложение
величины Dm
щ по степеням щ — и^\
= \ui + Ci + Y (^2 + С2 — {ui + Ci))
J (щ - UlJ
Cl
+
1 (^2 + ^2 — {Ul + Ci)J
ИЛИ
i9y - Щ
8 Cl
Wl + Cl + «2 + ^2 , 1 [^2 + C2 — (Wl + Cl)]2
+ T
Cl
C8,11)

330
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИ Я УДАРНЫХ ВОЛН
[ГЛ. VI
Как мы показали выше, только первые два слагаемых,
заключенных в скобки, тождественны с такими же слагаемыми для
аналогичного разложения, которые имеют место для простой волны.
Однако мы вводим дополнительное третье слагаемое в
разложение, поскольку при этом точность результата несколько
улучшится. Приведем сравнительные данные, вычисленные для простой
и ударной волн при давлении на их фронте (рз — Pi)lpi =
= 1,5 {к = 7/5). Для ударной волны, вычисляя по точным
формулам, имеем
M2— Ml
С2 — Cl
= 0,71;
_fc-l.
C2 — Cl
Cl
U% — Wl
Cl
Cl
= 0,15;
= 0,01;
«1
Cl
= 1,51;
C8.12)
вычисляя те же величины по приближенным форму лам C8.10
и' C8.11), получим
U2— Ul
= 0,70;
С2 — Cl
Cl
= 0,14;
С2 — Cl к — iU2, — U\
= 0;
!>,,
Wl
= 1,52.
C8.13)
Cl 2 Cl ' Cl
Для простой волны вычисления по точным формулам дают
U2 ~ Ul _ с\ ПС\. С2 — Cl
Cl
0,70;
Cl
С2 — Cl к — 1 М2 — Ul
Cl
Cl
= 0:
A.
¦ Ul
Cl
= 0,14;
1,52.
C8.14)
Вычисления, проведенные для простой волны по формулам C8.10)
и C8.11), совпадают с вычислениями C8.3), которые мы провели
для ударной волны. Как видим, даже для ударных волн с
относительной амплитудой порядка 1,5 получается хорошее совпадение
параметров простой и ударной волн.

ГЛАВА VII
ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ ВОЛН
§ 39. Основные закономерности и уравнения
теории волн детонации и дефлаграции
Детонационная волна представляет собой ударную волну,
которая при своем распространении по взрывчатому веществу
возбуждает в относительно узкой зоне за своим фронтом интенсивную
химическую реакцию, за счет энергии которой поддерживается
постоянство режима на фронте волны. Скорость распространения
фронта подобной волны при заданных параметрах исходного
вещества является, следовательно, постоянной величиной и носит
название скорости детонации. Наряду с детонационными волнами
мы исследуем в этой главе так называемые волны дефлаграции
(горения). Теория детонации была развита в работах В. А. Ми-
хельсона, А. А. Гриба и Я. Б. Зельдовича и ряда других
советских ученых.
Будем считать, что при движении среды в некотором, не очень
широком, слое выделяется или поглощается определенное
количество энергии в виде тепла. Если толщина этой зоны достаточно
мала по сравнению с данной областью, в которой изучается
движение среды, то всегда условно можно считать, что параметры,
характеризующие давление и состояние среды внутри этой зоны,
резко меняют свои значения.
Для описания состояния среды после прохождения этой зоны,
мы, как и прежде, воспользуемся основными уравнениями
сохранения.
В системе координат, где какой-либо участок рассматриваемой
зоны покоится, мы будем иметь
Pl + PlUl = P2 +
12l
2
C9.1)
Индексы 1 и 2 соответствуют среде до и после зоны химической
реакции, в которой выделяется количество тепла (?. Величина Q
характеризует количество тепла, выделяемого единицей массы

332 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн 1ТП. VII
среды. При этом мы считаем, что фазовое состояние среды не
меняется. Далее, мы выясним, что это допущение приемлемо для ряда
конкретных случаев горения и детонации.
Как мы видим, первые два уравнения C9.1) таковы же, что и
для обычной ударной волны. Меняется лишь уравнение энергии,
поскольку к потоку энергии, проходящему через зону реакции,
прибавляется величина выделяемого в этой зоне тепла.
Из первых двух уравнений C9.1) мы приходим к тем же
уравнениям, что и в теории ударных волн:
«. = v,/gi|, ., = v,/f^;. C9.2)
Третье уравнение C9.1) после преобразований, аналогичных тем,
которые мы произвели в § 28, примет вид
или
h-h-Q = ^^(yi + yd
C9.3)
Зная уравнение состояния, мы, исключая из C9.?) величину Е
или г, придем к уравнению, связывающему величины р2, Vg, с pi,
Vi, Q, Это уравнение будет являться аналогом уравнения
адиабаты Гюгонио.
Исследуем основные свойства этой кривой, которую мы будем
называть адиабатой Гюгонио для продуктов реакции. На самой
кривой величина Q везде постоянна и, следовательно, эта кривая
действительно будет адиабатой. Изучение проведем для среды,
подчиняющейся условию
д\^^ ' дТ ^
Допустим, что величина Q не зависит от параметров,
характеризующих состояние среды, например от р^, v^. Такое допущение
приемлемо для описания общих процессов, связанных со
структурой фронта реакции (фронта волны). Тогда при
дифференцировании уравнения энергии C9.3) мы имеем право, поскольку Q =
= const, положить dQ = 0. Таким образом, исследование
уравнений C9.2) и C9.3) будет аналогично исследованию уравнений
B8.1), B8.3), B8.4) в § 28; из B8.5) мы будем иметь, полагая
сначала постоянными величины /?! и Vj;
dE^ = у ldp.2 (vi - V2) - (Р2 + J^i) dwoj = Г2 dS^ - p^ dv^. C9.4)
Отметим, что величины /?i, Vi не лежат на адиабате Гюгонио, по-

§ 39] ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ И УРАВНЕНИЯ 333
скольку при Vi = V2, Р2 = Pi
Е, Ч- ^1 (при vi = у, Е, = Е, + Q).
Отсюда имеем
[2n-|g(v.-v,)]^^ = ^^Jv,-v,) + (p,-;,,). C9.5)
В отличие от простой ударной адиабаты ударная адиабата для
продуктов реакции, когда Q ^ О, может иметь две точки, в
которых dS^ = 0. В этих точках, как это следует из C9.5), имеем
{-^] =P1Z1P1, C9.6)
Назовем эти точки точками касания, а условие C9.6) — условием
касания. Предположение о существовании двух точек касания
вытекает из анализа уравнения ударной адиабаты C9.3), который мы
сейчас проведем.
Рассмотрим процесс горения при постоянном объеме (иногда
этот процесс называют процессом детонации в постоянном объеме),
тогда V2 = V и из уравнения C9.3) мы имеем
E, = E^ + Q или i, = ц + {р^ -Рг)у + Q\ C9.7)
отсюда следует, что р^ = р^ (v) ^ Рх, поскольку с увеличением
внутренней энергии в постоянном объеме должно увеличиваться
и давление.
Рассмотрим теперь процесс горения при постоянном давлении
(этот процесс называют процессом дефлаграции при постоянном
давлении). Тогда /?2 = /?1 = р, и из C9.3) следует, что
i^ = i^ + (?, Е,==Ех+р (vi - Y,) + Q, C9.8)
Для реальных сред величина теплосодержания i должна
возрастать при постоянном давлении с увеличением удельного объема.
Поскольку при р2 = Pi ц >> ^1, то V2 == V2 (/?) > V-^. Из условий
C9.7) и C9.8) следует, что ударная адиабата для продуктов
реакции, если ее изображать в координатах р, v, будет расположена
так, что точка (pi, Vi) находится вне области, лежащей выше этой
адиабаты, а следовательно, из точки {р-^, v^) можно провести две
прямые, касающиеся этой адиабаты в двух точках, одна из
которых лежит выше и левее точки {р-^, Vi), а другая — ниже и правее
ее. Можно показать, что других точек касания [для точки
(Pi' Vi)] эта адиабата иметь не будет (рпс. 43).
Это положение равносильно тому, что из какой-либо точки,
лежащей на самой адиабате, нельзя провести касательную к какой-
либо другой точке адиабаты, в чем мы можем убедиться из
следующих соображений: при р^ -^ оо имеем г72^0, при /?2 = О имеем

334 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ ВОЛЁ [гл. VII
Е^ — 0. Из равенства C9.3) заключаем, что при /?2 = О мы имеем
-f-{v2-Vx) = ?i + Q, C9.9)
ЧТО определяет значение величины
V. = ''-SSl±^ + V,; C9.10)
эта величина ограничена. Таким образом, адиабата Гюгонио
для продуктов реакции обладает теми же свойствами, что и
обычная ударная адиабата Гюгонио.
Существование одной такой точки на адиабате, в которой
касательная к адиабате пересекает ее в какой-либо другой точке,
приведет к тому, что величина производной dp/dy, взятая вдоль
адиабаты, должна принимать экстремальные значения, т. е. по крайней
мере в одной точке адиабаты должно быть д^р/д\^ — О, при этом
всегда должны найтись такие участки кривой, где д^р/д\^ <^ О,
что противоречит нашему основному условию положительности
этой второй производной. Кроме того, подобное существование
нижней точки касания будет противоречить для верхней части
кривой условию /?2 -> оо при Vg > 0. Для нижней части кривой
существование точки, где д^р/ду^ = О, не будет противоречить
условиям C9.9), но противоречие со знаком второй производной
д^р/ду^ останется.
Таким образом, кривая C9.3) не должна иметь точек, в которых
д^р/ду^ = О, а следовательно, из точки (р^, Vi) к ней можно
провести всего две касательные.
Если мы будем рассматривать среду с д^р/ду^ <^ О, то между
точками, где д^р/ду^ j> О, и точкой на адиабате, из которой мы
условились проводить касательные, найдутся области на адиабате,
где д^р/ду^ ^ О, что также показывает на невозможность
существования точек, где д^р/ду^ = 0.
Итак, для любой среды, если для нее d^p/dy^ =f= О, адиабата
Гюгонио для продуктов реакции не имеет точек, к которым можно
провести касательные из других точек адиабаты. Только в тех
случаях, когда вторая производная d^p/dy^ может менять знак
при различных р и v, на адиабате возможны такие точки.
Теперь покажем, какие режимы течения среды могут иметь
место для различных участков адиабаты C9.3). Разобьем адиабату
на участки (рис. 43). Обозначив точки касания — верхнюю буквой
Д, нижнюю буквой Г и точки пересечения с адиабатой прямых
линий V = Vi и р = pi буквами F и Р, мы разобьем адиабату на
пять участков: выше точки Д, между Д и F, между F и Р, между
Р и Г и ниже Г.

SO]
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ И УРАВНЕНИЯ
335
Прежде всего очевидно, что на участке F, Р, поскольку/?2>/?i,
V2 ^ Vi, величины скоростей щ и U2, как это видно из формулы
C9.2), оказываются мнимыми, и поэтому данный участок мы из
рассмотрения исключаем. (Ниже мы укажем, что при горении
в нестационарно движущейся среде этот участок приобретает
реальный физический
смысл и описывает
определенный
нестационарный процесс
горения).
Мы показали, что
линия C9.3) не имеет
экстремальных точек,
но, несмотря на это,
производная dSJdy^ на
различных участках
кривой C9.3) может
менять знак.
Исследуем зависи- Рис. 43.
мость величины S^ от
Vg или от /72. Для этой цсли сначала рассмотрим величину
2Г2
^2
dpJdS^ (vi — V2).
C9.11)
В точке V2 = Vi == V, Р2 = Р2 (v) при увеличении р^, если считать'
что dpJdS^ > О (случаи, когда, dpJdS^, <С О или dpJdS^ = О'
мы не будем рассматривать, поскольку они мало интересны)'
величина ^2 также остается больше нуля и обращается в нуль при
/72 -> оо. В противном случао, если §2 — О при конечном значении
величины /72» мы на основании C9.3) придем к тому, что
др2
dV2
Р2— Pi
V2 —Vl
Т. е., как это следует из C9.5), dS2 = 0. Равенство же dSi = О
в какой-либо точке означает условие касания. Мы показали, что
может быть только две точки касания, причем в этих точках ^2 Ф О»
В самом деле, считая, что в этих точках %2 = О, мы придем к двум
условиям:
др2 __ Р2 — pi
дУ2 V2 — Vl
2 = ia-S(vx-v.)
f(fe)(^^-^^)- C9.12)
Каждое из этих условий определяет совместно с адиабатой C9.3)
точку /72, V2, в которой §2 = О И ^/^2 = 0.
в общем случае эти точки не должны совпадать. Нижняя точка
касания этим условиям заведомо не удовлетворяет, поскольку для
^е Vg ^ Vl, ив ней должнр быть ^/^Vg {др2/дТ2) < О или dp^/dS^ < О,

336 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ ВОЛН [гл. VII
что противоречит поставленному выше условию dpJdS^ ]> 0.
Для верхней точки касания оба решения совпадут лишь при
условии
^РЧ' _ Р2 — pi ^РЧ.
дУ2 2Т2 dS2
C9.13)
ЧТО приведет к частному виду уравнения состояния, и,
следовательно, для произвольного уравнения состояния в точке, где
dSJdw^ = О, имеем ^$2 ^ 0> так как в начальной точке §2 ^ О-
Из соотношений C9.12) следует, что ^/^^[(рз — Pi)/(v2—• Vi)] =
= dldY<^2TJ{Yi ~" Vg)]; вычисляя производные, придем к
выражению {dpJdT^)^f, = 2cv/(vi — V2), откуда Р2 — Pi = 2с^1{\^ — Vg) Т.
Этому уравнению соответствует такое уравнение состояние:
Р2— Pi = —2с^а (v2 — vi), C9.14)
т. е. уравнение типа уравнения Чаплыгина, которое реально не
выполняется. Лишь при этом уравнении состояния величина ^^2
обра1цается в нуль одновременно с величиной dSJdY^- Но при этом
{d^p/d\^)s = О, причем волны сжатия для верхней части адиабаты
Гюгонио вообще невозможны.
Величина ^2 обращается в нуль только при р2 -^ оо* В самом
деле, определим из C9.5) величину V2. Поскольку
K-|g(-x-v.)]^^==^(v,-v,) + (p,-p,)=^.J|;, C9.15)
ТО V2 = Vi + BГ2 — S2)* QpJdS^, При /?2 -^ сю величина V2
должна быть минимальна, поскольку {—dpld\)s > 0; так как на
интервале /?2 (v) ^/?2 < с» величина f^a !> О» то V2 = Vgmin именно
при ^2 = 0. Итак, применяя равенство A.12), имеем
l^2min = Vi + -g- == Vi + ^ . C9.16)
dS^, дТ
При Р2<^ V2>Vi; поскольку ^>О, то всюду 52>0-
Проследим теперь за производной, выраженной равенством C9.15):
др
dV2~~ §2 ~ g2 L^v "^ VI - VaJ • V'^^--^';
в точке V2 = Vi, поскольку величина др/dw конечна, имеем
dSJdY^ > 0; при Jv2< О должно быть dSc^ < О, а при dv2 > О имеем
dS^ ]> 0. Так как в точках касания выполняются соотношения
dpidv + (/?2 — РхI{^1 —- V2) = 0; dS^ = О, то в интервале адиа-

§ 39] ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ И УРАВНЕНИЯ 337
баты между точками F и Д при dv,^. < О имеем dS^ < 0; в
интервале адиабаты V, Г, так как dv2 > О, dS^ >> 0.
Докажем, что в точках касания Д и Г величина энтропии
экстремальна, т. е. что вторая производная d^SJdvX не равна нулю.
Так как в точках касания мы имеем
^^^2 Р2 — Pi I dp2 Vl — V2 г\
dY2 2T2 ' rfva 2T.
2
TO
d'^S __ Vl — V2 d^p2 _, J_ dp2 1_ dp2 _,
^ "~ 2T2 rf^ •" 2T2dwl 2T2dY2~^
+ l[(p.-''0+aS('.-^-)rS^^
поскольку величина (рз — Pi) + (vi — Vg) dpj{\i — Vg) = 0, a
dTJdw^ не обращается в бесконечность, то
d'^S2 _ Vl — Va d'^p2
dw\ 2T2 rfv^
C9.18)
Так как d?pjd\\ ^ 0, то в точке Д, где Vg < Vi, мы имеем
d^Sldy\, т. е. энтропия минимальна, а в точке Г, где Vg > Vi,
d^Sldw\ < О, т. е. энтропия максимальна.
Итак, выше точки Д dSJdy,^ < О, между точками Д и Г dS2ldN<^
>> О и ниже точки Г dS^/dy^ < 0. Так как
g ^ ^1_ _ ^i^n^L v2 + $i у2 = ul^ ch C9.19)
"'^c^VaVi— V2 Vl —V2 2 ' av 2 2 2' V ^
a ^2 ^ 0, TO выше точки Д г^з < Cg, между точками Д и F Wg > Cg
в точке Д 1^2 = ^2, между точками Р и Г ^2 < ^2> ниже точки Г
U2 ^ ^2 н, наконец, в точке Т U2 = Cg.
Для того чтобы определить соотношения между скоростью
движения среды и скоростью звука до фронта волны, мы будем
считать параметры р^ и Vg заданными и варьировать начальные
параметры pi, Vl- Тогда мы, как в § 28, придем к соотношению
- [2Г, + II (V, - v,)]^; = ^ (vx - V,) + {р, - А). C9.20)
Используя формулы C9.2) и —^ = с^ = — -^^ъ перепишем это
уравнение в виде
C9.21)

338 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [гл. VII
Рассмотрим величину %i = 2Ti + g^ (^i — Vg). Знак этой величины
ниже точки Р мы определим далее. В точке V при v^ = V2 имеем
из формул C9.2) Ui = 00, U2 = 00, следовательно, в этой точке
заведомо Wi ^ q.
При возрастании давления выше точки F, как мы сейчас
покажем, величина щ имеет экстремум, который может быть только
минимумом, так как на одном из концов интервала щ = сю.
Определим величину производной d [i^ldv^] дифференцируя
C9.2), получим
rfV2 (Vi — V2)'
'- V^[(v.-v,)g^ + te-Px)]. C9.22)
В точке касания Д вследствие C9.5): dul/dw^ = О, и,
следовательно, минимум скорости щ достигается в точке касания, в чем можно
убедиться и непосредственно из рис. 43, поскольку величина ^^ __^^
минимальна именно в точке касания. В этой точке
K--l{-'^)-^l^' C9-23)
И очевидно, что щ ^ Cj. Таким образом, всюду выше точки V
В самом деле, допустив обратное, мы придем к выводу, что выше
точки V где-то должно быть ^ti = с^, т. е. dSJdwx — О, что
невозможно. Величина Щ^ выше точки Д всюду положительна. В точке
jP, где Рз = Ръ имеем щ = 0^ щ = 0. Поэтому в точке Р заведомо
щ < ^1- Ниже этой точки величина щ имеет экстремум. Этот
экстремум является максимумом величины i/i, поскольку на одном
из концов интервала i^i = О, и достигается согласно C9.23) в точке
касания Г (в этом можно убедиться непосредственно из рис. 43).
В этой точке Wx = ^гРг/р? и, очевидно, щ < с^. Допустив
обратное, мы придем к выводу, что ниже точки Р где-то имеем и^ ~ q,
а следовательно, Щ-^ = О, поскольку величина dSi/dvi =f= 0; но
условия Si = О и dpi/dvi = {р^ — pi)/{w2 — Vi) являются
противоречивыми для произвольного уравнения состояния и могут
выполняться одновременно лишь для уравнения C9.14)
Р2 — Pi = —2осу (V2 — Vi),
когда d^pldv^ — О, однако этот случай мы условились не рассмат-
риз^Т!?.

§ ^9J ОСНОВНЫЕ SAKOHCMEPIJOCTH и УРАВНЕНИЯ 339
Итак, всюду Si =f= о, а следовательно, всюду ниже точки Р
UjL <; Ci и С2Р2/Р1 < Ci. Для ударной адиабаты выше точки V
производная dSi/dwi отрицательна, поскольку dvi < О, а dSi > 0.
Для участка ударной адиабаты ниже точки Р производная dS/dvi
положительна, поскольку
dvi > О и dSi > 0. C9.24)
Отсюда следует, что ниже точки Р величина ^i < 0.
При ^2 = О величина Vg должна иметь максимальное
возможное значение. Так как
^2 max
., + ^El^^., + JQ±llz:I±, C9.25)
dSi
ТО
dpi
dS
Pi
-%1 = -%1ша.-- 2Т^ + -^(Q + ?, _ ?,). C9.26)
Покажем теперь, что выше точки V имеет место неравенство щ ^
> 1г2 и ниже точки Р ~ неравенство щ < щ- В самом деле,
поскольку
2 2
^1"- ^2 _ ,. _ ; _ Л _ P^^Z^Pl
2
^^2-^'i-Q-^V^K + v,),
то при /?2 ^ Pi ДОЛЖНО быть Ui > 1^2» ^ ^ри Р2<С Pi имеем щ < U2,
что и доказывает наше утверждение.
Выше точки V не только c^Pz > ^ipi? но и Cg ^ Cj; в самом деле,
в точке F, где р2 = pi, имеем ^2 ^ с^, но с увеличением рз
производная {dpjdp2)s2 может, как мы показали выше, только
монотонно возрастать, следовательно, выше точки F действительно Сд > с^.
В точке Р, поскольку ц =" Н -{- Q, Рч = Ръ р2 < Pi» также
должно быть Сз > ^1. При /?2 = О величина р2 имеет конечное
значение и потому ^2 = О, следовательно, в некоторой точке р2{0 <
< ^2 < Pi) имеем ^2 = Ci,
В зависимости от вида уравнения состояния изменение знака
неравенства между с^ и Ci может происходить или ниже точки
касания Г, что имеет место для большинства реальных сред и, в
частности, политропических сред, или выше ее при относительно
малых Q.
Перейдем к физическому анализу тех явлений, которым могут
отвечать различные участки ударной адиабаты для продуктов
реакции.

34б ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [гл. VII
§ 40. Анализ возможных движений среды
за фронтом реакции
Прежде всего рассмотрим режимы движения среды,
соответствующие точкам касания Д и Г. Мы уже показали, что в этих
точках dS^ — О, dui = О, 1^2 = ^2 и в точке Д i^i = Uimin» а в точке Г
щ = i^imax (но абсолютнос значение скорости в точке Д выше,
чем в точке Г). Система уравнений, описывающая движения,
соответствующие этим точкам, имеет вид
г^9. =
^У vi — V2
Р2 — pi
Vl — V2
(? = -^^^K + V2);
D0.1)
/ др2 \ __ Р2 — Р1
^Vo /S ~ Vl — V2
причем скорость движения среды за фронтом волны реакции
относительно самого фронта равна
щ — щ== ViP2 — Pi) (vi — V2). D0.2)
Поскольку скорость звука равна с^ = у^ {V~'^PJ^^2)^ скорость
фронта волны в неподвижной системе координат равна D =
= ^1У{Р2 — Рг) I (^1 — V2) = Ui, скорость сгоревшего за
фронтом газа Щ = У {Р2 — J^i) (vi — V2), то имеем D — щ =
= ^21^(^2 ~ Pi)l{^i ~ V2) = Vg]/^— dpjd\2 = ^2» откуда снова имеем,
что в точках Д и Г
D = щ + с^. D0.3)
Дополнительно покажем, что в точках Р и Г вдоль адиабаты
Гюгонио мы имеем
d^P2
dvl
>0.
Это положение нетрудно доказать, так как величина —dpJdYc^. =
= Р2С2 меняется! монотонно вдоль кривой и экстремума в точках
Д и Г не имеет. Это следует также и из того, что в этих точках
наклон прямой, проведенной из точки р^, Vi к точке на адиабате
Р21 ^2, экстремален (максимален), а следовательно, при меньшем
угле эта прямая будет пересекать адиабату Гюгонио в двух точках
вблизи Д и Г. Таким образом, вдоль адиабаты Гюгонио должно
быть d (pV)/dp > 0. Отсюда р dcVdp + с^ \> О или d^p/dw^^O, что
и доказывает наше утверждение.

§ 40] АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЙ СРЕДЫ ЗА ФРОНТОМ РЕАКЦИИ 341
При известном уравнении состояния для определения
параметров за фронтом волны реакции в точках Д и Г мы имеем четыре
уравнения. Считая pi и Уд заданными величинами, мы из этих
уравнений сможем определить однозначно р2, Vg, Ui и и^. Таким
образом, в точках Д и Г скорость движения среды перед фронтом
волны может иметь только одно вполне определенное значение.
В системе координат, в которой среда перед фронтом волны
покоится, скорость ui определяет скорость движения самого фронта Z),
а именно Ui = ~D, Таким образом, скорость распространения
фронта реакции в точках Д и Г имеет вполне определенное
значение, причем, как было показано выше, в точке Д величины Ui,
а следовательно, и Z) по модулю минимальны, а в точке Г
максимальны. Таким образом, скорость распространения процесса
детонации, соответствующая точке Д, имеет стационарное
относительное минимальное значение, а скорость распространения дефлагра-
ции, соответствующая точке Г, имеет стационарное относительное
наибольшее значение. Скорость движения среды за фронтом
детонационной волны в этой системе координат равна
^н = Щ — и^^ Y{P2 — Pi) (Vi — V2)
и направлена в сторону движения фронта, причем
u^ + c^ = D. D0.4)
Скорость движения среды за фронтом дефлаграции направлена
относительно движущегося фронта в противоположную сторону,
чем скорость самого фронта, поскольку щ ^ щ. Таким образом,
и^ = щ — щ= —YiPi — Pi) К — Vg) = iD — Сн и i^H + ^н = D.
Будем обозначать величину с^ в системе координат, где щ = —D,
через Сн- Соотношение D0.4) показывает, что в точках Д и Г
скорость распространения фронта волны D равна скорости
распространения элементарных волн щ -f ^3.
Рассмотрим теперь участок адиабаты Гюгонио выше точки D.
На этом участке щ ^> Cj, и^ < с^, что делает в некотором смысле
волну реакции, которую мы будем называть детонационной
волной, эквивалентной ударной волне.
В системе координат, где среда перед фронтом волны
неподвижна, имеем
D>c^, u^ + c^>D; D0.5)
таким образом, скорость фронта детонационной волны выше точки
Д меньше, чем скорость распространения элементарных волн.
При таком режиме движение фронта не будет происходить
стационарно, так как любое состояние за фронтом детонационной волны
й -\- с '^ D догонит фронт волны и возмутит его движение. Лишь
в случае волны, подпираемой сзади поршнем, можно добиться

342 tEOPHfl ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [гл. VII
стационарного режима движения ее фронта; такая волна
называется пересжатой. Пересжатыми нестационарными
детонационными волнами являются сферические и цилиндрические
сходящиеся детонационные волны, а также детонация,
распространяющаяся из трубы с большим сечением в трубу с меньшим сечением.
Ниже точки Д, на участке ударной адиабаты ДF, имеем щ ^ q,
U2 ^ ^2- В системе координат, где среда перед фронтом
неподвижна, должно быть
/)>^1, щ, + с,,<П. D0.6)
Подобный режим называют режимом слабой детонации. Он
нестационарен. Поскольку D '^ и^ + с^, то фронт детонационной
волны не будут догонять элементарные волны и, следовательно,
этот режим будет неустойчивым. Ниже будет показано, что
процессы детонации, соответствующие участку ДУ ударной адиабаты,
с физической точки зрения вообще не могут быть реализованы.
Участок адиабаты между точками F и Р, как мы указали выше,
не соответствует никаким случаям фронтального горения (т. е.
горения или взрыва с резко выраженным фронтом), поскольку на
этом участке скорости щ, щ ii поток вещества / = р^щ — р^^-Н
являются мнимыми величинами.
Участок адиабаты ниже точки Р соответствует области так
называемой слабой дефлаграции, т. е. области медленного горения.
Поскольку между точками Р и Г имеем гг^ << q, щ<^ с<2^, щ J> щ,
то в системе координат, где среда перед фронтом реакции
медленного горения покоится, мы будем иметь соотношения
^н = ^1-г^2=-У(Р2-лЖ-У2) <0; 1 ^^
D<^c^\ и^ + с^уО. J
Эти выражения показывают, во-первых, что состояние перед
фронтом волны зависит от реяшма в самой волне, поскольку Ci<i D^
и возмущения, идущие от фронта, будут обгонять сам фронт, и,
во-вторых, что режим движения будет нестационарен. На эту
нестационарность режима будет влиять и нестационарность
условий за фронтом, поскольку и^ + с^^ D, и нестационарность
условий перед фронтом.
Ниже точки Г, поскольку щ <; Ci, щ^ С2В системе координат,
где среда перед фронтом волны покоится, мы будем иметь
D <:ci и Uji + с^< D (U2 > Ui, Wh < 0). D0.8)
Этот режим горения, называемый сильной дефлаграцией или
быстрым горением, нестационарен и неустойчив, поскольку с^^ D
и Z) ^ Цц + Сд. Наибольший интерес для дальнейшего
рассмотрения представляют участки адиабаты Гюгонио для продуктов реак-

§ 41] О МЕХАНИЗМАХ ГОРЕНИЯ И ДЕТОНАЦИИ 343
ции, лежащие над точкой Д и между точками Р и Г. Первый
участок соответствует процессам детонации, второй — процессам
медленного горения.
Перейдем к краткому рассмотрению механизма этих процессов.
§ 41. О механизмах горения и детонации
Скорость химической реакции и, в частности, реакции горения
часто весьма сильно зависит от температуры среды, в которой
происходит реакция.
Для газовых смесей, могущих гореть, скорость реакции w
в основном зависит от температуры по экспоненциальному закону
т^е-^ш!^'^, D1.1)
где ?'ак есть так называемая энергия активации; величина этой
энергии для заданной реакции остается более или менее
постоянной (х — постоянная Больцмана).
Любой процесс горения или взрыва обыкновенно
сопровождается движением газа. Для полного решения задачи о движении
горящего газа необходимо совместное использование уравнений
газовой динамики и химической кинетики. В случае процессов
медленного горения передача тепла от сгоревшего газа к несго-
ревшему осуществляется путем теплопроводности, диффузии,
конвекции и излучения.
Как известно, не всякое столкновение молекул сопровождается
реакцией; лишь незначительная доля активных молекул может
вступать в реакции друг с другом.
Область сгоревшего газа отделена от области несгоревшего
газа переходной зоной реакции, которая продвигается вслед за
фронтом распространяющейся реакции горения.
Это движение газа, вообще говоря, не является одномерным,
даже если горение происходит в трубе постоянного диаметра,
поскольку направления д&ижения активных молекул
разнообразны и из области воспламенения газ будет двигаться по различным
направлениям. Вследствие этого, хотя бы в небольших областях,
движение газа будет завихряться, поскольку всякий
неадиабатический неодномерный процесс обязательно является вихревым и
турбулентным. Турбулентное движение газа, возникшее в
результате горения, приводит к сильному конвективному перемешиванию
сгоревшего и несгоревшего газа в области реакции, что, вообще
говоря, увеличивает скорость распространения реакции горения.
Таким образом, если в начальной стадии горения передача
тепла от сгоревшего газа к несгоревшему осуществлялась путем
теплопроводности, то в последующих стадиях тепло со
значительно большей скоростью будет передаваться посредством
конвективного перемешивания газа. Поскольку турбулентное движение

344 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [гл. VII
зависит от размеров области, где оно может происходить, то,
рассматривая горение газа, например, в трубе, можно утверждать,
что с увеличением размеров (диаметра) трубы интенсивность
турбулентного движения, а следовательно, и интенсивность
конвективного перемешивания газа будут возрастать, вместе с тем
возрастет и скорость его горения.
Таким образом, с увеличением диаметра трубы, где
происходит горение газа, скорость горения будет также увеличиваться.
Рассматривая, например, процесс горения газа, могущий
распространяться на значительные расстояния от места начала
горения, мы придем к выводу, что область реакции здесь мала по
сравнению с размерами области, занятой газом, и что мы вправе
рассматривать зону реакции как некоторую поверхность разрыва,
где параметры, характеризующие состояние и движение газа до
реакции горения и после нее, достаточно быстро изменяются.
Распространение фронта медленного горения по газу должно
сопровождаться появлением перед ним волны сжатия, которая при
увеличении скорости распространения фронта становится ударной
волной. В самом деле, для медленного горения величина D — ^i <С
< О, поэтому скорость распространения звуковых волн будет
в любой движущейся или неподвижной среде больше, чем скорость
распространения фронта реакции.
Если горение газа происходит в среде значительных размеров,
то величина D будет увеличиваться, а поэтому звуковые волны,
излучаемые поверхностью горения, в последующие моменты
времени будут догонять звуковые волны, излучаемые в предыдущие
моменты времени. Таким образом, перед фронтом горения
возникает область сжатого газа, движущегося в ту же сторону, что и
фронт, с возрастающей скоростью, что, как известно, всегда ведет
к образованию ударной волны.
Эта ударная волна будет увеличивать не только скорость
движения и давление несгоревшего газа перед фронтом горения, но
и повышать его температуру, вследствие чего процесс горения будет
самоускоряться. Если размеры области, где происходит горение
газа, достаточно велики и ничто не препятствует подобному
увеличению скорости, то рано или поздно ударная волна приобретет
такую интенсивность, что температура на ее фронте окажется
достаточной для непосредственного воспламенения газа; в этом
случае произойдет изменение режима процесса, а именно переход
горения газа в его детонацию. При этом скорость распространения
фронта детонационной волны и скорость распространения фронта
ударной волны будут совпадать.
Если горение происходит в открытой с обоих концов трубе, то
впереди горящего газа уже не возникает ударная волна; при этом
может установиться любой (в смысле скорости) устойчивый режим
медленного горения.

I 41) О МЕХАНИЗМАХ ГОРЕНИЯ И ДЕТОНАЦИИ 345
Отсюда также очевидно, что если горение распространяется,
например, в трубе, закрытой с одного конца (откуда начинается
горение), то при достаточно большом диаметре трубы по
сравнению с толп^иной зоны реакции процесс горения будет
нестационарным. Этот вывод полностью согласуется с положениями
предыдущего параграфа.
Для описания подобного (нестационарного) процесса горения
мы теперь должны считать параметры, характеризуюш,ие
движение и состояние газа перед фронтом горения; pi, Vi и щ,
переменными. В системе координат, в которой газ перед фронтом
ударной волны покоится, мы для описания параметров на фронте
ударной волны получим уравнения
% = ViPl - Ра) (Va - Vi); Dy = Vay -^
- Vi
^x-^. = -^^i^(Vi-vJ,
D1.2)
где Pa, Уа — давление и удельный объем покояш,егося газа.
Считая, что между фронтом ударной волны и фронтом горения
параметры ударной волны постоянны (что, вообш;е говоря,
неверно, поскольку эта волна нестационарная), для описания состояния
газа за фронтом горения будем иметь уравнения
D1.3)
Мы пришли, таким образом, к системе шести уравнений D1.2)
и D1.3), при этом нам требуется определить восемь неизвестных:
Pi, vi, Uy, Z)y, P2, V2, Uh, D.
Еш;е одно из уравнений можно получить из соображений
химической кинетики. Это уравнение должно связывать относительную
скорость движения фронта горения D — Uy с величинами р2 и
V2 {Т2)- Для того чтобы данную задачу сделать вполне
определенной, нужно задать еш,е одно какое-либо условие. Например, при
движении фронта горения с небольшими скоростями от стенки
можно положить, что
Uh = О, D1.4)
поскольку у стенки газ должен покоиться.
Эту задачу можно обобщить, полагая, что стенка движется
с некоторой скоростью Uu, такую движущуюся стенку можно
рассматривать как некоторый поршень, который может сжимать газ

34б ТЕОРИЙ ДЕТОНАЦИОННЫХ ЁОЛН [ГЛ, Vlt
или, наоборот, разрежать его. В этом случае необходимо
положить, что
Wh = ггн. D1.5)
При таком условии режим движения газа при медленном горении
для не очень больших интервалов времени можно считать
квазистационарным, а если скорость горения для данного диаметра
трубы достигнет своего возможного предельного значения
(определяемого диаметром трубы), то процесс движения горящего газа
станет просто стационарным.
В тех случаях, когда горение начинается у открытого конца
трубы, может установиться режим, при котором давление за
фронтом горения будет равно внешнему давлению ра-
Р2=-Ра' D1.6)
Это условие также будет достаточным для однозначного описания
процесса. Можно найти однозначно определенные режимы
горения, задавая не непосредственно величины, характеризующие
сгоревший газ за фронтом горения, а связывая эти величины одним
каким-либо соотношением волны разрежения (часто
центрированной) с условиями в каком-либо сечении трубы, обычно в
выходном сечении или у стенки или, в более общем случае, на поршне
(§ 52).
Рассмотрим теперь, каким условиям должен подчиняться
процесс дефлаграции при переходе в процесс детонации. Поскольку
горение при этом будет начинаться непосредственно на фронте
ударной волны, т. е. ударная волна и волна горения сольются,
то должно выполняться соотношение
D = Dy. D1.7)
Кроме этого, поскольку перед фронтом детонационной волны газ
находится в покое, скорости за фронтом обеих волн должны
удовлетворять соотношению
Uy = l/'(P2-Pl)(Vi-V2) + f(P2-/>a)(Va-V2), D1.8)
при этом Wh = I (Р2 — Ра) (Va — V2). Соотношения D1.7) и D1.8)
при подстановке в них величин Z) у, Wy из D1.2) и D1.3) примут вид
о - V, /|Щ + /(ft - р.) (V„ - V,) =
-v./p| = v./p|; D1.9,
V iPl - Pa) (Vg - Vl) = У (Pi - Pi) (Vl - Va) +
+ /(P2-Pa)(Va-V2). D1.10)

§ 41] О МЕХАНИЗМАХ ГОРЕНИЯ И ДЕТОНАЦИИ 347
Очевидно, что D = Уа]/ —з~^ ' поскольку газ перед фронтом де-
тонационной волны находится в покое. Из D1.9) и D1.10) имеем
Pi- Ра = 2{Р2- Ра), V„ - Vi = 2 {Уа - Vg). D1.11
Эти соотношения удобно написать и в таком виде:
p.^'-L^. г,^Ц^. D1.12)
Отсюда видно, что давление и удельный объем на фронте
детонационной волны равны полусуммам начальных значений этих
величин на фронте ударной волны.
Из первой формулы D1.3) и первой формулы D1.2) получим
следующее выражение для и^^:
Uh = ^. D1.13)
Т. е. скорость движения газа за фронтом детонационной волны
в два раза меньше, чем скорость за фронтом ударной волны в
момент слияния обеих волн.
Выведенные здесь соотношения оказываются чрезвычайно
полезными при изучении механизма образования ударной волны.
Процесс детонации, таким образом, можно представить как
процесс предварительного сжатия газовой смеси ударной волной
и весьма быстрого выделения тепла вследствие протекания
химической реакции за фронтом этой волны, что приводит к последую-
ш,ему быстрому расширению продуктов детонации и падению
давления в них.
Мы уже знаем, что толщина фронта ударной волны' ничтолшо
мала. Она имеет порядок нескольких длин свободного пробега
молекул, что составляет 10~', 10~^ см. Отсюда следует, что фронт
реакции действительно сливается с фронтом ударной волны, образуя
одно целое — фронт детонационной волны. Толщина фронта
детонационной волны (зоны химической реакции) может быть на
несколько порядков больше, чем толщина фронта собственно
ударной волны.
Таким образом, точка на адиабате Гюгонио для исходной
газовой смеси сжатой ударной волны р^, Vj расположена выше точки Д,
и поэтому точка Д, играя по отношению к точке Ра, Уа роль точки
стационарной детонации, по отношению к точке /?i, Vi играет роль
точки Г, являясь точкой наиболее быстрого процесса
стационарной дефлаграции. Следовательно, и с формальной точки зрения
процесс детонации для исходной газовой смеси тождественен с
процессом дефлаграции для газовой смеси, предварительно сжатой

348 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [гл. ли
ударной волной. Отсюда можно сделать вывод, что весь
участок кривой адиабаты Гюгонио для продуктов реакции выше точки
Д эквивалентен в этом смысле участку этой же адиабаты выше
точки Г (до точки Р), т. е. сильная детонация как бы эквивалентна
слабой дефлаграции, если в последнем случае за исходную точку
брать pi, Vi. По этим же сообралчсниям можно утверждать, что
слабая детонация (между Д и У) эквивалентна сильной
дефлаграции (ниже Г) для начальной точки /?i, v^.
Докажем теперь невозможность осуш;ествления режимов
слабой детонации, что будет свидетельствовать о невозможности
существования режимов сильной дефлаграции.
Так как давление на фронте ударной волны всегда должно
быть больше для любого процесса детонации на участке адиабаты
выше точки V (рис. 43), чем в точке F, то, расширяясь при
выделении тепла, продукты детонации изменяют свое состояние,
подчиняясь условию, что скорость фронта детонационной волны равна
скорости фронта ударной волны; это условие выражается
уравнением
1:11- = 12~и^ D1.14)
являюш,имся уравнением прямой линии, проведенной из точки
Ра, Уд к точке р2, Vg. При этом величина скорости фронта волны
0 = ^УЩ,-^УЩ («Л5)
является действительно постоянной. Следовательно, изменение
состояния среды при выделении тепла происходит вдоль прямой
D1.14), которая носит название прямой Михельсона.
В. А. Михельсон [6] впервые установил возможность
получения режима устойчивой детонации, используя именно свойства
прямой D1.14), А. А. Гриб [18], [19] и Я. Б. Зельдович [9], [10]
показали, что состояние среды при полном выделении теплоты
реакции соответствует точке пересечения прямой Михельсона
ВРа D1;14) И адиабаты Гюгонио для продуктов детонации, т. е.
точке {р2, Vg) (рис. 44).
Очевидно, всякая прямая, не являющаяся касательной к этой
адиабате, обязательно пересекает ее в двух точках: ^2 {р2^2) ^
в1{р1у1).
Отсюда следует, что возможны режимы детонации,
отвечающие лишь верхней точке пересечений, которую мы и будем
обозначать как /?2, V2 (/?2 < Р21 ^2 ^ Уг)- В самом, деле, дальнейшее
понижение давления вдоль прямой Михельсона (при сохранении
постоянства скорости процесса) уже становится невозможным,
поскольку для этого потребовалось бы дополнительное выделение
тепла сверх теплоты реакции. Это положение очевидно, так как

§ 41]
О МЕХАНИЗМАХ ГОРЕНИЯ И ДЕТОНАЦИИ
349
прямая Михельсона между точками {р^, Vg) и {р1, \\) проходит
выше адиабаты Гюгонио для продуктов детонации, т. е. для данных
р, V величина Q вдоль прямой больше, чем вдоль адиабаты.
Только подведя сначала до-
Р\^
Адиабата^ Гюгонио
' для ударной волны
Адиада/па Гюгонио
для продуктов детонации
Ра(РаУа)
-^V
Рис. 44.
полнительное тепло, а затем
отведя его, можно прийти в
* * тт
точку рз» V2. По этим же
причинам исключается сильная де-
флаграция. В самом деле,
прямая Михельсона, идущая ия
точки рд, Va может пересечь
ударную адиабату для
продуктов детонации в двух точках,
из которых ближняя к точке
/?1, Vi соответствует режиму
слабой дефлаграции, а дальняя
по отношению к точке /7д, Уд —
сильной дефлаграции. Только
подводя сначала
дополнительное тепло, а затем его отнимая, можно осуществить режим
сильной дефлаграции. При обычных условиях горения этот режим не
может осуществляться.
При естественных условиях распространения плоской
детонационной волны или детонационной расходящейся волны режимы
сильной детонации не являются устойчивыми и стремятся перейти
в режим стационарной детонации, соответствующей точке Д
(рис. 43). Это объясняется следующим. Выше точки Д ^2 + Cg ^ Z>,
вследствие чего при указанных случаях детонации за фронтом
волны могут существовать лишь волны разрежения. Это вытекает
непосредственно из закона сохранения массы. Поскольку на
фронте детонационной и ударной волны плотность возрастает по
сравнению с начальной, то сзади плотность должна быть меньше
начальной, т. е. по среде должна проходить за фронтом
детонационной волны обязательно волна разрежения. Эта волна разрежения
и будет уменьшать давление на фронте волны, вследствие чего
скорость фронта начнет уменьшаться до тех пор, пока
элементарные волны разрежения уже не смогут догонять фронт волны, что
наступит в точке Д, где D — и^ ¦\- с^.
Когда движение происходит во все уменьшающемся объеме
или подпирается поршнем, за фронтом волны будет существовать
волна сжатия и подобное движение может быть устойчивым,
причем в случае сходящихся волн оно будет вообще нестационарно
и давление на фронте волны будет все увеличиваться. При
подпоре детонирующей среды поршнем и при постоянной скорости
поршня можно создать стационарный режим сильной
детонации.

350 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [ГЛ. VII
Аналогично, рассматривая режимы слабой дефлаграции, мы
придем к выводу, что поскольку для них скорость фронта ударной
волны больп1е, чем скорость фронта волны горения, то подобная
волна будет увеличивать свою интенсивность до тех пор, пока не
установится скорость фронта горения, характерная для данных
размеров области горения (диаметра трубы). Если размеры области
горения велики, то раньше, чем наступит режим медленного
стационарного горения, горение может перейти в детонацию.
В случаях малых размеров области горения точка Г
стационарного горения может быть достигнута до перехода горения в
детонацию. Заметим здесь, что для различных веществ характерные
размеры области горения, при которых медленное горение
переходит в детонацию в какой-либо точке, например в точке Г, зависят
от кинетики реакции горения данного вещества.
При относительно малых скоростях фронта горения,
распространяющегося от стенки, везде за фронтом горения может
существовать область покоя; при скоростях выше определенного
предела область покоя может существовать только у стенки,
сопрягаясь с областью волны разрежения (обычно центрированной или
простой), простирающейся до фронта волны горения.
В тех случаях, когда горение происходит в открытой с обеих
сторон трубе, как мы уже указывали, перед фронтом горения
ударная волна не образуется и горение никогда само по себе не
перейдет в детонацию. Стационарное медленное горение в случае
стационарного потока перед фронтом горения сможет
осуществиться для любой точки в интервале Р, Г.
Ниже рассмотрим ряд задач, относящихся главным образом
к распространению плоских, цилиндрических и сферических
детонационных волн. При этом мы всюду будем рассматривать среды,
для которых
§ 42. Рассмотрение процессов детонации и горения
в изэнтропических (политропических) средах
Используя формулы B7.12—13) и B8.1—4), составим
основные уравнения, связывающие параметры за фронтом волны
детонации (горения) с параметрами перед фронтом волны для
политропической среды, для двух систем координат:
а) в системе координат, где фронт неподвижен, имеем
^ ^ Г Vi — V2 ^ ' У \i — Vi
D2.1)

§ 42] РАССМОТРЕНИЕ ПРОЦЁССОЁ ДЁТОЙАЦИИ И ГОРЕЙИЯ 351
б) в системе координат, движущейся вместе с жидкостью
перед фронтом, основные уравнения примут вид
Z) - Wo = Vi yil—^ ; Wh - i/o =- ViP^ - Pi) (Vi ~ Va);
1 1ГГТ~-У- 2 ^^1 ^2).
Л2 '
D2.2)
В первом случае щ и U2 суть, как известно, скорости движения
среды перед и за фронтом волны, а во втором случае Uq определяет
скорость движения среды перед фронтом волны; D — Uq —
скорость фронта и г^н — Uq — скорость движения среды за фронтом
волны. Очевидно, что щ — щ = и^ — UqU D — Uq = щ. Условия
касания, определяющие параметры волны в точках Д и Г,
поскольку мы пользуемся уравнением состояния среды вида pw^ =
= const, определяются уравнением
/ ^р^\ _ hp2 ^ Р2 — Pi D2 3)
\ ^V2/S2 V2 Vl —V2 * V • ;
Значение показателя политропы для продуктов реакции /cg при
выделении тепла может существенно отличаться от значения к^
в исходной среде (/^2 <С к^).
Прежде всего преобразуем уравнение ударной адиабаты;
элементарные преобразования приводят к выражениям:
ki + i Р1 , ОА. Pi
+ 2Q-
Р2 _ fel —1 ?2 ~^ ^ Pi . /ДО Л\
Р1 ~ h+i Pl _ ' ^^^-^^
^2 — 1 Р2
I^9L= ^'-^Z^' '" . D2.5)
Vl P2 h + i P2 ^ ^
A:2-l Pl ^
Исключая, далее, величину Vg из первых двух уравнений
системы C9.2), придем к соотношениям:
/ /С2 + 1 \
(Р2 — Pl) [ k. — i Р^ + ^ J
{D - i^o)^ = —7-^^ ^^ -^ ; D2.6)
{un-u,r = ''\l_^, '' \ ^. D2.7)
pi[-s^iiT^^+H

352
ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ ВОЛН
[гл. YII
В точках Д и Г условие C9.3) определяет значение отношения
удельных объемов
V2
Vi
Pi
Р2
(h + i)^-i
D2.8)
отсюда, сравнивая D2.8) с выражением D2.5), можно определить
Р2 и рз как функции /?i, pi и Q. Однако проще поступить
следующим образом: из соотношения D2.8) определяем
v« = Vi
Р2 — Р1
откуда вытекают два равенства:
Pi{D - щУ = {h + i)P2-Pi,
Р2 — Pi
pi{D-u)^f^ к,
h + i
ki (D-Uo)^
Далее сразу определяются
(D-uo)
Uv Ыл —
Vi — v«
k2+l
Vl
h+i
1-
1-
k2
ki (D - uof J '
/>2
ki (D — woJ; *
D2.9)
D2.10)
D2.11)
Подставляя в соотношение D2.6) величину, выраженную из
первого равенства D2.9), мы придем после простых преобразований
к уравнению
/'?» —цо\4 _ I D — uqY
ci I
сч
kl-k, , {k\-i)Q
"I I
(A:i-l)A:i
+ |-==0. D2.12)
(Здесь всюду c\ = к^р^^/р.) Решение этого уравнения можно
написать в таком виде:
D — Uq /" /^2 — 1 Г/г. I i Ч Q I ^2 + ki
+ •
А:2+1
2
'(^2-1L-
L с1
ki — к2.
~/ci(A;i-l)_
, D2.13)
где знак плюс перед вторым корнем соответствует стационарной
детонации в точке Д, а знак минус — стационарной дефлаграции
в точке Г. Изменение знака у первого корня повлечет за собой

§ 42]
РАССМОТРЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕТОНАЦИИ И ГОРЕНИЯ
353
просто изменение направления движения. Отсюда мы видим, что
действительно скорость распространения стационарной детонации
превосходит скорость распространения стационарной
дефлаграции. В тех случаях, когда можно пренебречь изменением величины
к и положить ki = к2 = к^ мы придем к уравнению
D2.14)
Определив величину D — Uq, легко из соотношений D2.9),
D2.10) и D2.11) определить значения р^ — Piy и^ — Uq, Vj -— V2
для стационарных волн детонации или дефлаграции в зависимости
от того, какое значение D —- ^о мы подставим в эти уравнения.
Представляется интересным определить зависимость между
параметрами волн детонации и дефлаграции. Будем обозначать
теперь параметры на фронте детонационной волны через D^,
PvLi Рн» Vh, Uh и т. д., а на фронте волны дефлаграции — через
?^Н7 /?Н7 Рн» Vh, Uu и т. д. Из соотношения D2.13) имеем
(Дн — tio) Фн — Uo) = clkjk^.
а; (Z)h — Uo) I Ci
Обозначив, далее, (Dh — Uo)/ci
чательно придем к зависимости
а^
аа =
А.
D2.15)
окон-
D2.16)
Приняв величину скорости детонации в качестве основной
характеристики взрывчатого вещества, выразим параметры, характе-
ризуюш,ие детонацию и дефлаграцию, через величину а; для
процесса детонации приходим к выражениям:
Pi
ki
•^н
Vi
ci
—
c*u
^я
fc2_\ .
1
D2.17)
vi /сг + 1
Для процесса дефлаграции приходим к таким выражениям:
Р^ - Ря
Pi
т('-
kia^l
Vi
k2+i\ kia. J '
D2.18)

354 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [гл. VII
Для типичных взрывчатых систем величина энергии, выделяемая
единицей массы веш;ества Q в процессе реакции, значительно
больше, чем начальная плотность энергии среды, которая
характеризуется величиной cjk^ (к^ — 1); таким образом, можно считать, что
ki (ki — 1) Q/cl ^ 1 или тем более Q/cl ^ 1. При этом все
основные уравнения, которые здесь приведены, значительно
упрощаются.
Уравнение D2.13) для скорости детонации принимает вид
D^-Uo= V2 {kl -i)Q - с,а. D2.19)
Для скорости дефлаграции, используя D2.16), будем иметь
^н - ^0 = -It . f' = с,а\ D2.20)
^1 y2{kl-i)Q
Соотношения D2.17) для детонационной волны принимают вид
Рк kl
a' = 2k,(k,-i)-^, D2.21)
pi k2 + ki 1^ ^ ^ cl
откуда, пренебрегая величиной/?i, малой в сравнении с р„,
получаем
pi (D„ — woJ
Рн = 2(А;,-1)р1B=Ц^рр^.
Далее
или
или
но (Vi -
а - к2 + 1~у k2+i
1 ^н — 
-H--o-/2|^Q,
- Vh)/vi = 1/ (/С2 + 1), откуда
1н __ VI _ А:2+1
Рг Vg /сг •
D2.22)
D2.23)
Соотношения D2.18) для волны дефлаграции принимают такой
вид: (pi — р'в)/р1 = kJih + 1), откуда
# = етТ= D2.24)

§ 42] РАССМОТРЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕТОНАЦИИ И ГОРЕНИЯ 355
далее, {uq — Uh)/^i = а/ ih + 1) = 1^2 {к^ — i) Q / {h + 1) ^ь
или
^ - ^; = |/2 1^ (? = Uh - 1^0, D2.25)
но так как (Vh — Vi)/vi = к^ a^lk^ (/Сг + 1) = 2fei {к^ — ^) Ql^^^b
то, пренебрегая величиной Vi, малой по сравнению с
величиной Vh, будем иметь
Температура на фронте этих волн определяется наиболее просто
по скорости звука. Поскольку для политропических сред
с2 = kRT = к{к^1) с^Т ж c^^D -- и^, D2.27)
то для детонационной волны мы будем иметь
с Т - ^н _{D-u^Y _ и, с\ / 1X2 ^2.28)
^^^•^«"~/с2(А:2-1)~" А:2(/с2-1)~ (А:2+1)^ А:2 -1 \ W*
Поскольку средняя температура реакции Т^, в постоянном объеме
связана с теплотой реакции соотношением Су^Г^ = Q, то
'-'¦»- '"¦ 'с-^У. D2.29)
Определяя из уравнения D2.12) величину
(Я
-')f-^["' + ^^]-'-^ '''¦'"'
и подставляя ее в D2,29), получим соотношение для вычисления
температуры на фронте детонационной волны
gy. Ун _ 2к^ r + 'to) М2Ч1^
"'+ jfc^a" ~fci(fci-l)
При Qic\ ^ 1 и величина а ^ 1, поэтому равенство D2.31)
переходит в
Ч Т^ 2кг
Г, ~кг+\-
D2.32)

356 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [гл. VII
Поскольку это отношение для обычных газовых смесей немногим
превосходит единицу, то можно считать, что теплоемкости Су^ и
Суу равны, тогда
Т^ h + i
или
Аналогично для волны дефлаграции мы будем иметь в равенстве
D2.31), заменяя по формуле D2.16) величину а* на k^lk^a:
^н 2h
к2 ^ ha J
\ ^г ^2 + 1 kl 2{к1-^кг)
D2.34)
/с2а2 ki(ki--i)
ЧТО для Q/cl ^ 1 дает
S^_^_ 2
D2.35)
Считая, что Суа ^^ Су , получим -^ =
А:2(Л2 + 1)
или
»••= *.(*. + ., о. ¦ (^2.36)
Из соотношений D2.33) и D2.36) видно, что температура на
фронте детонационной волны выше, чем температура реакции Tj,.
Температура же на фронте волны дефлаграции меньше, чем
температура реакции.
Под температурой реакции Tj, мы должны в данных случаях
понимать ту температуру, которая соответствует выделяемому
теплу при условии, что во время выделения тепла объем не
меняется. Эта температура с точки зрения рассматриваемых процессов
является в некотором смысле фиктивной температурой и
характеризует просто калорийность газовой смеси или вообще
взрывчатой системы. Температура при процессах стационарной
детонации и дефлаграции характеризуется температурой на фронте
волны.
Поскольку для стационарной дефлаграции температура на
фронте волны мало отличается от температуры реакции, то
скорость звука на фронте волны дефлаграции выразится так:
Ся = К i]^% -^ 1) с^.Тя = 2су^Гг "^qpr ^ Аа-Н1 ^'

§ 42] РАССМОТРЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕТОНАЦИИ И ГОРЕНИЯ 357
Поскольку cllQ = k^Pi/pi (? << 1, то и Ci/сн = с1 {к^ + 1)/С^2 (/сг — 1) <<
<^1. Следовательно, и везде на участке адиабаты Р, Г скорость
звука за фронтом волны с^^ с^.
Рассмотрим теперь состояние газа в точке v, т. е. при
мгновенной детонации. В этой точке
v, = v,; 0-щ = у,-/^ЩЕК=.оо:, D2.37)
откуда
Р2 = -|^ Pi + Pi (^2 -1) (?;
далее, используя соотношение Е2= Е^ + Ej., имеем Су^Т2 =
= Су^Тг + Cv.^i, где CyJi = PiVi/^i — 1), откуда, считая с^, ;^ с^^,
получаем
^41+^?f^- D2.38)
Отсюда видно, что величина давления при мгновенной детонации jPg,
выражаемая D2.37), что соответствует взрыву в постоянном
объеме, значительно (почти в два раза) меньше, чем величина давления
при стационарной детонации^рн по формуле D2,21).
В случаях, когда Q/cl ^ 1, имеем
^ = 2, Г2=Г,; D2.39)
при уменьшении отношения Q/cl величина отношения pjp2
также уменьшается, стремясь при ^ -^ О к единице, при этом обе
величины Рн и Р2 стремятся к величине pi»
В точке Р, где рг = Pi, D — щ = О, и^^ — Uq = О,
к2Р2^г1ф2 — 1) = J^iPi^iKK — 1) + <?. откуда
кг Л2-1 ,^ , {h-i)Q
Vc
"~ h А?! -1 ^1 +
^ Лг А?! —1 *1 "^ Л2]31
Поскольку Лру / (й — 1) = СрГ, то Ср, Га = Срг ^1 + Qi откуда
"^^=^,^+-^-=7,^ + ^. D2.40)
Ра Рг У%
При ^/с? ^ 1 удельный объем V2 и температура Т^ выразятся так*
Vo =
Л1
т - Q -^^
Ра *
D2.41)

58 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [гл. YII
Интересно отметить, что в точках V ж Р имеется следующая связь
между давлениями и плотностями
рГ^рГ = ЛР1, D2.42)
где р^Р — давление в точке У, а р^"^ — плотность в точке Р.
Выведенные выше соотношения, как будет показано в § 43, могут
быть использованы при вычислении всех параметров, характери-
зуюп1;их состояние и движение среды за фронтом детонации, кроме
температуры, не только для газовых смесей, но и для
конденсированных взрывчатых веш,еств, поскольку для продуктов
детонации последних справедливо уравнение изэнтропы вида р — Лр^,
где п = 3.
Рассмотрим теперь зависимость для процессов детонации
между давлениями на фронтах детонационной волны и
предшествующей ей ударной волны.
Для этой цели проведем из точки р^, Vj луч (рис. 43)
Р2 — Р1 _ (D — UqY
Vi —V2 ~ vj
Решаем это уравнение совместно с уравнением энергии (адиабата
Гюгонио):
исключая величину Уг, придем к такому уравнению:
Р^ Pi - УС2 + 1
I ^2
.2
ki {D-uoY
±/(
ki (D- uoY J '^ (D- uo)^
(ki — k2)cl
=^-(*.-')<?]
(ki
D2.43)
Для ударной адиабаты, характеризующей фронт волны
детонации (горения), оба знака перед корнем имеют смысл и
показывают, что могут быть две точки пересечения адиабаты и прямой.
Для ударной волны, когда Q = О, имеет смысл лишь знак плюс,
поскольку при обратном знаке должно быть рз "= Pi (^2 = ^1)»
т. е. может быть лишь одна точка пересечения. Процессу сильной
детонации соответствует знак плюс перед радикалом, поскольку
знак минус приводит к меньшему значению давления (то же имеет
место и для процесса слабой дефлаграции), так что знак минус
вообще исключается.
Когда величина, стоящая под знаком радикала, обращается
в нуль, то получается касание адиабаты и прямой, что
соответствует точкам Д и Г, При этом для определения скорости распростра-

§ 43] ДЕТОНАЦИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ 359
нения процесса D мы приходим к уравнению D2.13) и,
следовательно, получаем два значения D: большее для процесса детонации,
меньшее для процесса дефлаграции.
Таким образом, уравнение D2.43) при Q = О соответствует
уравнению B9.9) теории ударных волн, а при обращении радикала
в нуль — уравнению D2.9) теории детонационных и дефлагра-
ционных волн. Рассматривая детонационные волны при (? -^ О,
можно сделать вывод, что они становятся просто слабыми
звуковыми волнами, поскольку при этом D — Uq-^ Cq, р2-^ Pi, Y2~^ ^l-
В самом общем случае уравнение D2.43) позволяет вычислять
давления на фронте сильной детонационной волны и при Q = О
давление на фронте ударной волны, которая предшествует
детонационной волне.
В заключение отметим, что при распространении
детонационных волн и волн дефлаграции энтропия любой частицы за фронтом
этих волн уже не изменяется (исключая какие-либо особые
случаи движения), и поэтому для описания процессов
распространения этих волн можно пользоваться теорией адиабатических
движений среды. В случае стационарных волн детонации и
дефлаграции, поскольку их скорость распространения, а следовательно,
и амплитуда постоянны, энтропия на фронте этих волн также
постоянна и за фронтом волн движение среды изэнтропично, что
позволяет с успехом исследовать ряд задач о движении этих волн.
§ 43. Уравнение состояния продуктов детонации
конденсированных взрывчатых веществ*)
В современной науке действие взрывов представляет важную,
но еще далеко не изученную область. Технические приложения
науки о взрыве весьма многочисленны.
Особенно большой интерес в прикладном отношении
представляет собой вопрос о процессах детонации и разлета продуктов
детонации (ПД) так называемых конденсированных твердых или
жидких взрывчатых веществ (ВВ) типа тротила. Поскольку их
начальная плотность (в твердом, а иногда жидком состоянии) в
отличие от взрывчатых газообразных веществ достаточно высока
и обычно превышает плотность воды, то после реакции
взрывчатого разложения, когда выделяется значительная энергия в
сравнительно малом объеме, давление резко возрастает, доходя для
типичных конденсированных взрывчатых веществ до сотен тысяч
кг/см^.
*) Эти результаты получены Л. Д. Ландау и автором (см. [12]) в 1944 г.
Экспериментальная проверка справедливости выведенных здесь законов была
впервые проведена Г. И. Покровским в том же году.

360 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ ВОЛН [гл. VII
Отсюда следует, что состояние продуктов детонации этих ве-
ш^еств должно резко отличаться от состояния тех же продуктов для
газообразных взрывчатых ветцеств.
В самом деле, считая, что детонация происходит при
постоянном объеме, и допуская, что состояние продуктов взрыва
описывается уравнением изэнтропы вида pw^ = const, мы для оценки
развивающегося при этом давления придем к соотношению рз ==
= {к — i) poQ; полагая, что для типичных взрывчатых веществ
Ро = 1,6 г/см, Q = i кал/г = 420-10^ эрг, мы даже в случае п =
= А = 1,4 придем к результату ра = 30 000 кг/см^,
показывающему, что развивающиеся давления весьма высоки.
На самом деле вычисленное нами давление значительно меньше
обычного, поскольку, как мы увидим ниже, показатель
изэнтропы д ^ /с и для типичных взрывчатых веществ равен
приблизительно 3; при этом действительное значение давления р^ ^^
^::=^ 10^ кг/см^. Для ТИПИЧНЫХ конденсированных взрывчатых веществ
достаточно точно установлена экспериментальная зависимость
скорости детонации D от начальной плотности взрывчатого вещества
ро, а также зависимость скорости детонации D от теплоты
реакции Q, Поэтому для построения теории, определяющей
состояние продуктов детонации при больших давлениях, возникающих
в процессе детонации, целесообразно базироваться на этих
экспериментальных зависимостях. Эти зависимости для типичных
взрывчатых веществ иллюстрируются рис. 45, где по оси абсцисс
отложена Ig ро, а по оси ординат Ig D.
Анализируя зависимости D = D (ро, Q), мы можем установить
следующие факты. Во-первых, взрывчатые вещества с большей
теплотой реакции при заданной плотности обладают большей скоро-
ростью и, во-вторых (что для нас является самым важным), с
увеличением плотности скорость детонации резко возрастает на
интервале больших плотностей, а при ро > 0,5 г/см^ величина
{д In D/d In Po)q = a практически остается постоянной, т. е. а =
= const. На интервале малых плотностей величина а
уменьшается с уменьшением плотности таким образом, что в пределе при
ро = О а = 0. Величина (OD^/dQ)^^ = Ъ при малых плотностях
стремится к величине 2 {к^ — 1), что следует из теории
идеального газа. При больших плотностях (р© ^ 0,5 г/см^) величина Ъ
также остается почти постоянной.
Найдем теперь связь между параметрами, определяющими
фронт детонационной волны, и частными производными
значения которых для взрывчатых веществ с различными ро
и Q нам известны из эксперимента. Используем для этой цели еле-

§ 43] ДЕТОНАЦИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ 361
дующие уравнения гидродинамической теории детонации:
o2ZJ ^ j5!_ = р^ — ро ^ [_ ^]
^0 у2 Vo —V2 \ 5V2/g
D3.2)
Поскольку элементарная внутренняя энергия выражается
равенством (здесь и дальше опускаем индекс 2)
dp
ds
(Vo — \)dS + {p + po) (dvo — dv)j +dQ — podvo,
где Vo = 1/po есть начальный удельный объем взрывчатого ве-
П1,ества, ро — его ^начальная плотность, то, пренебрегая здесь
40000
33000
-0,6500
'04000 -0,2000
Рис. 45.
0.20001др^
и дальше величинами ро и Е^ ввиду их малости по сравнению с
величинами р ж Е, будем иметь
dS
^Т=-ёА^Л
ds
Vo +V
X>2
+ -T- [Bv — Vo) dvo — Vodv],

362
ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ ВОЛН
^ГЛ. Y1I
ЧТО также определяет
др_
ds
^^ = '^М^У^' + {жН + ^^'-''^''^'-'
исключая dS, имеем
dS
2D{^) dv, + i^] dQ
'Q
+
Л2 Bv — vo) dvo
Vo
ZJ (Vo - V) o?Vo + 2wldQ
[2T-(vo-v)
dp
dS
D3.3)
Поскольку \q л Q являются независимыми переменными, то
dp
dS
Vo
д f dlnD \ 2v — Vo , uu / /^4
dQ
2 (vo ~ v)
д fdp^
avo \ dQ
2[2r_(vo-~vLf
2у2-^
^^0 dS
D3.4)
Заметим, что
(vo — v)
dlnD
dlnpojQ
22'-(v„-v) Qg
dlnD
a^ = &(vo, (?). D3.5)
d In Vo /q
a,
что и приводит к уравнению D3.4). Выполняя замену
dp __ J_ I dp \ _ _T_ _a_ l^dpX __ T_ _dp_
dS ~ dy[dS ) " ~^ dy[ dT J ~ c^ dT '
окончательно получим
2v — Vo
f dlnD\
[ dlnvo /q~~ '^
Vo-
dp_
dT
2 (vo — v)
д f dD'^
dvo \ dQ J
¦\ =
dp
2су - (Vo - V) -^
^^0 dT
- = — a; D3.6)
(Vo — v) |^2c^, - (vo — v) -^J
Отсюда следует также, что
dp _ ^v Ba + l)(vo-v) —V _ 2c^b(vo —V)
dT Vo — V a (vo — v) — V
2v2 + b(vo-~-vy
D3.7)
D3.8)

§ 43] ДЕТОНАЦИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ
И что
363
^^_Jy^r2v-v^_2a],
Vo — V L Vo — V J
D3.9)
Исключим теперь из уравнений D3.8) и D3.9) величину Vq,
которая, как известно из условий касания, равна
Vn = V
Так как
д
ds
dS \JvJ
/др\ __а_(др_]__т__^/_др_\^^^_т__ 1 др \2
\ду )" дт ^ dv J с^ ду[дт) ду с^\дт) '
то будем иметь такие уравнения:
dlnD
^Inpo
- p ду с^[дТ )
dp
дТ
Г (dp т (Spy. ]
о. (ЕЕ JL(Jp.Y\
др_
дТ
2а:
г dp
dp Г
dT [^
др_
dy
\ш
^'^у[ду ~' c^\dT ) )'~'Р dT J
D3.10)
b. D3.11)
Решая одно из этих уравнений, например D3.10), как
имеющее большую экспериментальную достоверность, принципиально
можно, зная
aip„Q) = a{y,T,^, ^
)¦
ДЛЯ каждого данного взрывчатого вещества с известным Q
определить уравнение состояния
р = р {у, Г) или р - р E, V) D3.12)
для продуктов детонации соответствующего взрывчатого
вещества. Допуская, что уравнение состояния ряда различных
конденсированных взрывчатых веществ, имеющих различные Q,
но близких по составу, имеет один и тот же вид, можно вычислить
величину производной
ЧТО является контролем точности указанного метода. Таким
образом, принципиально для определения вида уравнения состояния

364 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [гл. VII
и его числовых параметров в области сильно сжатых продуктов
детонации достаточно воспользоваться при этом допугцении одной
экспериментальной зависимостью E In Did In p^q ~ a. Однако
такой путь достаточно сложен и не может быть осуществлен
аналитически в общем виде. Поэтому мы поступим иначе. Положим,
что
Vq = ху, D3.13)
где X ^ X (ру) = X (Sy),
Тогда соотношение -q^I—w^] — —z:— ^^^^
ж{-Щ=п^' <«¦">
откуда
pv^-i =С5E), D3.15)
где X — некоторое среднее значение х, причем х = х (S).
Очевидно, что по аналогии с политропическим видом подобного
уравнения состояния следует положить х == {к -{- 1)/к, тогда
pY^ = а E), D3.16)
но считать в этом уравнении к == к (S). При этом
Vo=-^v. D3.17)
Соотношения D3.6) и D3.7), если разрешить их относительно
др/дТ, примут вид
"^v
D3.18)
дТ ~ (к-а)у ' дТ ~ [2 (Л+ 1J +6] V
Отсюда следует, что
b = 2{k + i)[{k + i) - 2а] = 2 {к^ - i) - 4а {к + 1). D3.19)
Интегрируя первое уравнение D3.18) и полагая, что выражение
fc-Ba + l) j^^
к-- а ^
не зависит от Г, мы придем к уравнению состояния вида
p = 0(v) + /(v)^, D3.20)
где
/(v) = -*z^Hi±lL,,,.

§ 431 ДЕТОНАЦИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ 365
Уравнение состояния вида S = S {у, Т), которое соответствует
уравнению состояния D3.20), как очевидно из тождественных
термодинамических преобразований dE = CydT — pdv +
+ Т{др1дТ) dw = Т ds — р dw; dS = c^ dTIT + {dpIdT) dy,
примет вид (при этом полагается, что v = const)
^-/^0 __i^^^ 1 С /Jvl^^
или
= i"^ + iS
с
T = e "^ e "^ -^ . D3.21)
Исключая из уравнений D3.20) и D3.21) величину Г, придем к
уравнению состояния вида
р = ф(у) + е "'' ^е ''^^ " . D3.22)
Считая, что / (v) = const, упростим уравнения D3.21) и D3.22):
S-So _J_
р=ф{у) + е '" /V ^ '^Л J
D3.23)
Допущение о постоянстве / (v) оправдывается тем, что при
больших начальных плотностях взрывчатых веществ (ро > 0,5 г/см^)
величины а я b для типичных взрывчатых веществ постоянны, а
нас сейчас интересует именно интервал больших плотностей (при
которых эти взрывчатые вещества реально применяются), а
следовательно, и больших давлений. Ниже мы покажем более точно
справедливость этого допущения.
Уравнение D3.20) показывает, что вид уравнения состояния,
к которому мы пришли, является достаточно общим и позволяет
рассматривать продукты детонации конденсированных
взрывчатых веществ при больших давлениях как некоторую среду,
подобную жидкости, атомы или молекулы которой совершают
определенные колебания около положения равновесия.
Значительные отталкивательные силы, которые при этом действуют в
подобной среде, и определяют в основном величину ее внутреннего
давления, т. е. определяют ее в большей степени, чем тепловое
движение молекул.
Механизм детонации подобных конденсированных
взрывчатых веществ значительно отличается от механизма детонации
газовых смесей; если в газовой смеси детонация происходит на
фронте ударной волны вследствие значительного повышения

366 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ ВОЛН [ГЛ. VII
температуры, то в конденсированных взрывчатых веществах
детонация происходит вследствие того, что ударная волна, идущая
от инициатора, деформирует молекулы взрывчатого вещества.
Молекулы, распадаясь, выделяют при этом некоторую
энергию (теплоту реакции Q), За фронтом ударной волны начинается
одновременно с выделением теплоты реакции расширение
продуктов детонации, и на фронте собственно детонационной волны
давление в два раза меньше, чем на фронте ударной волны. При этом
могут возникнуть местные высокотемпературные очаги; вследствие
весьма неоднородной структуры начального соединения эти
очаги также будут способствовать развитию энергии и, следовательно,
детонации.
Для описания состояния продуктов детонации необходимо,
как мы показали, воспользоваться уравнением состояния твердой
(или жидкой) среды.
Статистическая физика дает следующее выражение для
свободной энергии F твердого тела:
^^ = Ф(у)+П1Т1п-^, D3.24)
где О) — средняя частота колебания атомов, L — число степеней
свободы одной молекулы, к — постоянная Больцмана, h —
постоянная Планка.
Отсюда для давления получаем выражение
где
— ф = 4-»
dv
причем на основании теории твердого тела можно считать, что
со = со (v) и со' = д(о/д\.
Вид Ф (v) может быть установлен, поскольку силы
взаимодействия между частицами описываются выражением
где г — среднее расстояние между частицами; первый член
определяет силы отталкивания, а второй — силы притяжения. Так как
Пх > 7Z2, то при малых г силы притяжения несущественны, и мы
поэтому можем принять, что
Ф (v) = AfoV-^%
причем этот член в уравнении состояния описывает именно
внутренние силы, действующие между частицами. Уравнению состоя-

§ 43] ДЕТОНАЦИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ 367
НИЯ D3.25), как легко видеть, соответствует уравнение состояния
вида
RL
p^O{y)+N(S)(o'co '^ , D3.26)
причем
RL
RLT = -N{S)(^y"\ D3.27)
Поскольку оба эти уравнения являются уравнениями состояния
одной и той же среды, они совершенно тождественны уравнениям
D3.21) и D3.23); сравнивая уравнения D3.26), D3.27) с
уравнениями D3.21) и D3.23), приходим к выводу, что
Су J \ ^v J г ^v
" ; /V ^ ^ = СО (О
или
RLy "^"^ = - (О
RL/Cy
Вводя для краткости обозначения / (v)/v = ф (v), будем писать
основное уравнение состояния в виде
р = ф (v) + ф (v) Г. D3.28)
Определим теперь величину внутренней энергии при заданном
уравнении состояния D3.28):
dE = CydT —pdY + T-^dv = CydT — Ody, E = СуТ — Ф^,
где
ф^ ={ody.
Исключая величину Т из D0.28) и последнего равенства,
придем к выражению
Е = с,[-Р^]-Ф,. D3.29)
Исключая величину Е из D3.29) и уравнения энергии
найдем, что
2[с> + Ф + с„-?-1
D3.30)
Е-
Р —
-(? = -f-(Vo-v),
^[q+^+<^.-y]
2с,
— _(vo-v)

368 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн
Поскольку R^ = ^1 p/{vo — v), то
D^
ф
Q + Oi + c^ —
vo — V 2c_,
[гл. VII
D3.31)
ф
• (vo — v)
Подставляя в последнее уравнение величины
ф = MqV-^o^ Ф^
А:о-1
Ф= "Т
и считая, что / постоянно, придем к такому уравнению,
определяющему скорость детонации:
D^ =
2vl Q
Vo — V
Mo ,_^,
" ko-l ^ -
2c^v
' ^Л7
1 " 1г1~'^0
^ / '
D3.32)
/
Примем теперь в уравнении D3.32), что Yq = {к-{-i)y/k; тогда
это уравнение можно написать в виде
D'- = 2{k + iy
Q + MoV^-^o(_!l^_i_)
2кс^
-1
2(fc + l)^
2кс
-г-'
'Q + MT-1^){Ч^^^^)
feo-1
D3.33)
Отсюда, принимая для упрощения на некотором интервале к =
= const, определяем
2(^^Y ^2а= ^»(*»-^)
\ д In ро /q
dQ
Ao+Qp^-^^ '
2 (А:+1J
2А;с„
¦1
D3.34)
где
^.=^.(^-^)(^Г
Выведенные формулы показывают, что действительно при больших
начальных плотностях взрывчатых веществ скорость детонации
сильно зависит от плотности; при малых плотностях скорость
детонации практически от плотности не зависит и является функцией

§ 43] рЕТОНАЦИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ 369
лишь тепдоты реакции. Действительно, в случае идеального газа
2J _ 2 (/с^ - 1) (?. D3.35)
Необходимо теперь определить параметры уравнения состояния
Mq, Uq, f, к с тем, чтобы это уравнение, с одной стороны, хорошо
описывало бы поведение плотного газа и, с другой стороны, в
пределе — состояние идеального газа.
Для решения этой задачи поступим следуюш,им образом.
Введем некоторую гипотезу относительно средней частоты колебаний
молекул со; на основании соображений размерности положим, что
(о~^, D3.36)
где с — скорость звука в продуктах детонации, г — среднее
расстояние между молекулами.
Заметим, что частота колебательных степеней свободы
действительно обратно пропорциональна г, а частота вращательных
степеней практически от г не зависит; приближенно формулу
D3.36) можно написать в виде
(О
-^-i-%)"\ D3.37)
где а = 1/3 для колебательных степеней свободы и а = О для
вращательных степеней. Так как {—dp/du)s = p/i^o — v) = kp/w, то
—fc+l—2a
^-«(-f)'~v ^ . D3.38)
Дифференцируя уравнение состояния D3.25) по Т, имеем
^ = -RL^= i-k+\-2a)RL ^3.39)
Сравнивая это выражение с первым выражением D3.18),
приходим к уравнению, определяющему к:
"' =^[к-{2а + 1)]. D3.40)
~ (а + 1)] - A - 2а) а = О, D3.41)
где р = 2cy/RL. Как мы видим, при данном а значение к зависит
от параметров аир. Если положить, что в пределе при
больших сжатиях RL = Су, то р = 2, при этом а ^^ 1/3, так как
Отсюда
/сМр-1)-
(ft_l_2«)-?^
- к [{2а + 1) р - 2а

370 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [гл. УП
основном почти все степени свободы колебательные. Тогда
к = 9д + 5+/81а^ + 102а + 25 ^ D3.42)
(Знак минус перед корнем соответствует нереальному значению.)
Если считать, что в среднем а = 1/6, то
к = 9д + 4+"К81а^ + 96а + 16 ^ D3.43)
Если же считать, что р — 2,5, а = 1/6, то будем иметь
к = 24а+ 11+ /B4а+ 11)^+ 144^ ^ D3.44)
в случае Р == 2 мы получаем из D3.27) в согласии со
статистической физикой, что (О '-«- Г. Зная к, мы сразу же определяем
параметры фронта детонационной волны, а также постоянную а {S)
в уравнении D3.16), поскольку
pv^ = PhVh. D3.45)
Эта постоянная будет являться функцией ро, а следовательно,
функцией энтропии. Сравнивая изэнтропу р\^ = о с изэнтропой
D3.25), которую теперь можно написать в виде
p^MoV-^^ + No{S)y ^ ^ К D3.46)
мы устанавливаем несовместность обоих выражений при к = const,
так как /cq =f= 1 + (^ — 1 + 2а)/р. Однако практически в
широком интервале изменения Ро всегда можно изэнтропу D3.46)
приближенно аппроксимировать изэнтропой D3.16) даже при
постоянном к.
Перейдем к вычислению остальных параметров уравнения
состояния, а также температуры. Поскольку внутренняя энергия
определяется выражением
dE = CydT - Mov-^odv, D3.47)
то
? = c,7' + -^vi-4 D3.48)
Сравнивая это выражение для внутренней энергии с первой
формулой D3.2), будем иметь
^=4(^o-v) + B = ^^ + Q = c.r + Jg^. D3.49)

§ 43] ДЕТОНАЦИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ 371
Поскольку
= -k^ 1*^'/(^ + ir-RLik-i+ 2а) т/2],
то соотношение, определяющее температуру на фронте
детонационной волны, будет иметь вид
с^Т = С.Т. = ^ T-'ilt-''''- . D3.50)
^"" Р(/со~1)
Так как р/ (Vq — v) = D'^Jyl, то давление на фронте волны будет
определяться соотношением
Вспомним выражение для плотности на фронте, вытекающее из
D3.17):
Рн=^Ро. D3.52)
Зная 7?н, рн? ^н» легко определить слагаемое давление в
уравнении, не зависящее от температуры:
М„у- = (;с„_1)р„[^(^+(?-с^Гн] = ^§^^Х
fc-l+2a-2fep р(ftp- 1) [(А-1 + 2а)] (fe +1) ppQ ,о гоч
^ fc-l+2a-p(fco-l) "*" A;{fc-l+2a-3)(fto-l) * V'*^"^'^'^
Из формулы D3.50) видно, что когда
то Гн =0*). При этом определяется, как мы сейчас увидим,
величина /cq. Приближение температуры к абсолютному нулю
может произойти при значительно больших давлениях, чем те,
которые развиваются при детонации; во всяком случае с
увеличением плотности (а следовательно, и детонационного давления)
температура на фронте детонационной волны будет заметно
падать. Поскольку при малых температурах тепловая компонента
давления будет мало влиять на величину давления, то в пределе
*) Точнее говоря, при этом Т^ = Tq, где Tq — начальная (комнатная)
температура ВВ.

372
ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ ВОЛН
[ГЛ. VII
при Т = о можно считать, что
Р = MoV-^0,
D3.55)
т. е. уравнение изэнтропы будет совпадать с уравнением
состояния; отсюда следует, что в пределе к = к^, о = Mq. Таким
образом,
Dl = 2 (Л? - 1) Q.
Значение /cq мы будем вычислять по формуле D3.42) или D3.43)
и для типичных взрывчатых веществ получим в первом случае
ко = к = 4, во втором к^ = к ~ 3,6. Далее, вычисляем D^^,
Зная D = D (ро), определяем рнпр и затем р^р. В случае А^ =
= 4 имеем
/?кр = 11,200 м/сек; рокр = 2,25 г/см^, ркр = 6,25-10^ кг/см^.
В случае Aq = 3,6 имеем
Dux, = 10 000 м/сек; ропр = 2,25 г/см^, р^^ == 5*10^ кг/см^.
Таким образом, окончательно наше уравнение состояния примет
вид
p=:MoP^o^RLTp 2 , D3.56)
или в числах для случая к^ = 3,6 в системе GGS
где ф (р) = 1; 1,4; 3,5; 3L/2 при р = 1; 0,5; 1,0; 1,6; \i —
молекулярный вес, Rq — универсальная газовая постоянная.
Заметим, что результат вычисления детонационных
параметров мало Зависит от изменений значения к^.
Результаты вычислений для различных ро заданы табличкой:
ро г/см^
D м/сек
а
к
Рн ^/^-^^
Мд м/сек
с{Г как ал/г
0
2180
0
1,27
0
0
910
490
0,1
2500
0,04
1,30
0,17
2600
1040
487
0,50
33000
0,45
2,22
0,73
17000
1030
453
1,С0
5350
0,76
3,05
1,33
70000
1330
416
1,25
6500
0,76
3,21
1,65
1250С0
1540
381
1,70
8000
0,76
3,40
2,20
248000
1800
265
2,25 1
10000
0,6976
3,60
2,87
500000
2200
^50
Значение А:, согласованное с уравнением р\^ = а и уравнением
D3.46), определяется из формулы D3.43) (при р = 2,5) или из
вычисления Mq, Рн» Т^, и Рн- При этом видно, что для диапазона
давлений в пределах 50 000—300 000 кг/см^ 2су/КЬ ;:^ 5/2, т. е.
Су ^^ 5i?Z//4. За исходные параметры взяты: Q = 490 кгм/г =
= 1,15 кгм/г, ко = 3,6, ц -= 30. При Ро = О а = О и величины

§ 43] ДЕТОНАЦИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ 373
к и СуГн равны: к — с^с^^\ с^Т^ = 2kQ/ {к + 1). При этом
величины а, р, Су, Ср и к имеют следуювз^ие значения:
а. — и, р — -nf — 1, Су — 9 » ^Р ^5 > —
L + 2
L
До сих пор мы не использовали уравнение D3.19). Так как нам
известны величины а к к для различных начальных плотностей
взрывчатых веществ, то мы теперь сможем определить величину
b как функцию начальной плотности, считая, что для типичных
взрывчатых веществ, близких по своим свойствам, имеет место
одно и то же уравнение состояния.
Зададим результаты вычислений величины b табличкой:
Ро
b
6г 10-10
0
1,8
0
0,1
2
2
0,50
4
8
1,00
6
10
1,25
8
20
1,70
9
25
2,25
12
26
Считая для данного Ро величину b заданной и одной и той же
для различных конденсированных взрывчатых веществ, мы,
интегрируя уравнение D3.19), придем к результату
D^ == [2 {к^ - 1) - 4а {к + 1I Q + Ь, (р,) = bQ + Ь, (ро).
D3.57
Функция &1 (ро) стремится к нулю при Ро = О, при этом а->-'0,
к = Ср/су, и для определения D получаем классическое уравнени
D3.35). Для типичных сильных взрывчатых веществ Q =-
= 490 кгм/г и при ро = 1,6 г/см^ D = 8000 м/сек; поэтому,
считая, что к = 3,6, определяем 6 = 12 и Ь^ = 25 «Ю^® Ро/1»6 в
системе CGS, в системе MKS Ь^ = 25-10* Ро/1»6.
Таким образом, можно считать, что
ZJ = i2Q + 25.101« Ро/1,6 D3.58)
в системе GGS.
Если сравнивать скорости детонации типичных
конденсированных взрывчатых веществ при одних и тех же начальных
плотностях, то, полагая Ь^ = const, придем к удобной
интерполяционной формуле
D^ = Dl + 12 {Q - Qo), D3.59)
где Dq я Qq — известные параметры какого-либо взрывчатого
вещества, а Z) — искомый параметр для другого взрывчатого
вещества, причем величина Q для него считается известной. Наоборот,
зная для какого-либо взрывчатого вещества его плотность и
скорость детонации D по интерполяционной формуле D3.59), можно
определить теплоту реакции Q, сравнивая это взрывчатое
вещество с каким-либо стандартным.

374 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [гл. VII
Скорость движения продуктов детонации за фронтом
детонационной волны по известной скорости детонации определяется из
соотношения, вытекающего из формул D2.19), D2.22), если
положить в них Uq = О и к2 = к:
u = u^ = ^^D = -j^. D3.60)
Уместно отметить, что поскольку на фронте и за фронтом
стационарной детонационной волны энтропия постоянна, то в тех
случаях, когда более точное уравнение изэнтропы D3.46) для какого-
либо конденсированного взрывчатого вещества (при Ро = const)
нельзя хорошо аппроксимировать уравнением изэнтропы вида ру^ =
= const, аппроксимируя эту изэнтропу с большей точностью в
виде
р = 4v-^ — const = Ар"" — В, D3.61)
мы придем к точно таким же уравнениям, что и при
аппроксимации р = -4ор^, так как давление в уравнениях изэнтропических
течений входит под знаком дифференциала.
Особенное значение аппроксимация р = ор^ или
аппроксимация D3.61) приобретает в том случае, когда к = 3 (^ = 3); при
этом решения основных уравнений для одномерных движений, как
мы знаем, являются чрезвычайно простыми и наглядными. Если
аппроксимация изэнтропы D3.46) вида
р - 0оР^ D3.62)
является подчас грубой, то аппроксимация вида
р = Ар' - В D3.63)
будет уже значительно более точной.
Однако, как показали исследования, для наиболее типичных
и часто употребляемых взрывчатых веществ приближенная изэн-
тропа р = GqP' достаточно хорошо характеризует свойства
расширяющихся продуктов детонации.
В руководствах по теории взрывчатых веществ и внутренней
баллистики иногда употребляется для описания продуктов
детонации конденсированных взрывчатых веществ уравнение
состояния вида
р (V - а) = RT, D3.64)
где а — а (Г, v) есть так называемый коволюм, определяющий
учетверенный собственный объем молекул. В случае а = const
уравнение D3.64) при больших давлениях не имеет физического
смысла, поскольку оно не учитывает отталкивательных сил,
действующих в сильно уплотненных продуктах детонации. Величина

§ 43] ДЕТОНАЦИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ 375
коволюма заметно уменьшается при увеличении плотности и
давления, непосредственное же его определение при больших
давлениях весьма затруднительно. Мы эту величину учитывали
автоматически, считая, что в уравнении р = Ф (v) -|- ф (v) Г
функция ф (v) имеет вид / (v)/v; поскольку v — а = v A — a/v), то
n^) = V^- (^3.65)
С достаточной точностью мояшо положить а = aoV, где ао =
= const; тогда / (v) = 1/A — ао) ^ 1, как это и следовало из
наших вычислений.
Выведенное нами уравнение состояния базируется на
достаточно точных экспериментальных данных и удовлетворяет требованиям
статистической физики в смысле правильного учета сил,
действующих в плотной среде. Поэтому можно считать, что данное
уравнение должно удовлетворительно описывать не только поведение
продуктов взрыва при больших давлениях, но и вообще состояние
любой среды, похожей по своему химическому составу на
продукты детонации в том же диапазоне давлений.
Мы уже убедились в том, что при малых давлениях,
соответствующих малым начальным плотностям конденсированных
взрывчатых веществ, это уравнение состояния правильно определяет
предельные формулы, которые имеют место для идеального газа,
например связь между скоростью детонации и теплотой реакции.
Поскольку при этом значение показателя политропы
приближается к значению показателя изэнтропы, то можно утверждать,
что данное нами уравнение состояния является
интерполяционным уравнением состояния, достаточно правильно описывающим
диапазон больших и малых давлений и дающим приемлемое
приближение в диапазоне промежуточных средних давлений.
Особо следует отметить, что вычисления давлений, плотностей
и скоростей движений газа можно проделать с большой
точностью, а вычисление температуры не может быть особенно
надежным, поскольку величина Су известна только приближенно. Во
всяком случае, нижний предел указать можно, считая, что Су =
= 6 для одноатомных молекул, Су = 12 и 18 соответственно для
двух- и трехатомных молекул.
Поэтому значение температуры при детонации
конденсированных взрывчатых веществ оказывается меньшим, чем при детонации
газовых смесей с той же теплотой реакции, поскольку для газовых
смесей значение теплоемкости меньше; Cy равно 3 для одноатомных
молекул, 5 для двухатомных молекул и 7 для трехатомных
молекул при низких температурах; при высоких температурах
значения теплоемкости больше указанных, но все же эти
значения не достигают тех, которые имеют место для
конденсированных систем. Рассмотренное нами уравнение состояния является

376 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [ГЛ. VII
частным случаем более об1цего уравнения состояния D3.20). Это
уравнение, учитывая как силы отталкивания, так и силы
притяжения, действуюш;ие между молекулами, а также собственный
объем молекул, можно написать в виде
р = 4iV-«. - Л,у-"= + ^ /(V), D3.66)
где член А-^у'^'- учитывает силы отталкивания, член А^у'^^
учитывает силы притяжения, а — коволюм, зависяш,ий от
собственного объема молекул. При очень больших давлениях, выше
20 000 кг1см^, величина ^2V"^2 мала по сравнению с АхУ"^"", а
коволюм уменьшается с увеличением давления, и мы приходим
к полученному нами уравнению состояния для конденсированных
взрывчатых веш;еств. При меньших давлениях, порядка
нескольких тысяч атмосфер, что соответствует давлению пороховых газов
в орудии, пренебрегая членами ^^у^» и ^gV-^S необходимо
учитывать величину а, причем ее можно считать постоянной. Тогда
мы придем к уравнению D3.64). При малых температурах и
малых давлениях, особенно при процессах конденсации газа,
необходимо учитывать силы притяжения, и тогда мы придем к
уравнению ван-дер-Ваальса.
Для пороховых газов и продуктов детонации сжатых
газообразных взрывчатых веш;еств можно пользоваться данным выше
уравнением
p{v -а) ^ RT. D3.67)
При этом основные уравнения теории детонационных и ударных
волн примут вид (при выводе этих уравнений мы везде заменяем
величину V на v — а): уравнение изэнтропы
р{у ^ а)^ = (т, D3.68)
уравнение ударной адиабаты
vo — а Po{k—i) + Pjj (к +1)
Скорость за фронтом детонационной волны
D3.69)
^=V^^Q' (^3.70)
Скорость фронта детонационной волны
?' = ^^/2(/c^-l)Q. D3.71)

§ 43] ДЕТОНАЦИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ 377
Удельный объем на фронте детонационной волны
Давление на фронте детонационной волны
Рн = 2(/с-1)-^^. D3.73)
При еще меньших давлениях мы придем к уравнению идеального
газа.
Как видим, при использовании уравнения состояния D3.67)
основные уравнения теории ударных и детонационных волн,
определяющие параметры на их фронтах, мало меняются; форма
этих уравнений остается прежней, однако пользоваться этим
уравнением состояния с коволюмом при решении
дифференциальных уравнений газовой динамики чрезвычайно неудобно. Для
того чтобы учесть собственный объем молекул и удобно
проинтегрировать уравнения, следует видоизменить уравнение D3.67).
При малых давлениях, до 1000 кг/см^, величина коволюма мала
по сравнению с удельным объемом, при больших давлениях
величина коволюма, как это известно из экспериментов, начинает
уменьшаться при увеличении давления; поэтому можно допустить,
что, начиная с давлений в несколько тысяч кг/см^^ величина
коволюма убывает пропорционально удельному объему а = pv,
где р = const; тогда уравнение состояния можно написать в виде
- ^^ ^; D3.74)
v(l-p)
поскольку при этом д/дТ (дЕ/ду) =- р — Тд/ду {др/дТ) = О,
то справедливо следующее равенство: dE/cyf Т = dT/T =
= {dS/c^y (dv/v) (Л*/^у), откуда
fc-3 S-Sf,
pv^-P =e 'у . D3.75)
Мы видим, что вместо уравнения D3.67) можно пользоваться
уравнением D3.74), вводя величину эффективной газовой постоянной
S-S,
i?* = i?/(l — Р), И уравнением политропы pv^ = б = е ^^ ,
вводя показатель политропы п = {к — Р)/(Ь — Р) ^ /с. Указанная
аппроксимация позволяет с достаточной точностью решать задачи
газовой динамики для продуктов горения пороха при давлении
в несколько тысяч кг/см^ классическими методами газовой
динамики идеального газа.

378 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [гл. YII
§ 44. Общие термодинамические закономерности
для расширяющихся продуктов детонации
конденсированных взрывчатых веществ
После завершения процесса детонации продукты реакции
взрывчатого вещества будут расширяться, при этом их давление
и плотность будут быстро падать и они по своим свойствам будут
приближаться к идеальному газу. Другими словами, надо
допустить, что показатель изэнтропы к будет уменьшаться с
уменьшением плотности. Однако законом изэнтропы с переменными к
пользоваться неудобно, и мы рассмотрим процесс расширения
продуктов детонации, аппроксимируя его двумя изэнтропами,
для каждой из которых к имеет различное значение,
приблизительно равное с-р и также постоянное.
Для выбора точки сопряжения обеих изэнтроп
воспользуемся законом сохранения энергии
^ = S-|eV-^-^(v.-v.)+0; D4.1,
величина Pk^ul (Y — 1) — Pjz^hl (/с — 1) = А(?о ^ О (поскольку
у <^к) характеризует энергию сжатия, перешедшую в тепло, в
точке сопряжения; Ри^^и — координаты точек сопряжения обеих
изэнтроп. Далее, из D4.1) можно прийти к такому соотношению
^ = с^Т, = ^Q = tzl.{Q^ _^) , D4.2)
где c,fTk = ^Q — полное остаточное тепло в точке сопряжения.
Поскольку на интервале Vh < v < v^ имеем
ру^ = p^vl^pA. D4.3)
то D4.2) и D4.3) определяют р^- и V/^. На интервале v^ < v < оо
имеем
pv^ = рУ^. D4.4)
Сравним теперь Сун^'н и с^^^Т^^, Для Р = 2, пренебрегая
значением а и считая, что к = /cq, имеем
СунТ'н = 2 [(? - щ^] ^ 2с,,Т,. D4.5)
Поскольку Сун ^^ 2cvfe, то Гн ^^ Tfe, т. е. в первой стадии
расширения температура убывает незначительно, так как
потенциальная энергия сил отталкивания переходит в кинетическую
(тепловую) и компенсирует убывание температуры за счет
расширения. При больших давлениях (как видно из таблицы на стр. 372)

§ 44] РАСШИРЯЮЩИЕСЯ ПРОДУКТЫ ДЕТОНАЦИИ 379
температура на фронте волны падает, поскольку в этом случае
превалирует потенциальная энергия.
Для типичных взрывчатых веществ р^ = 2500 кг/см^,, р^ =
= 0,5 г/см^. Введем понятие о среднем значении показателя
изэнтропы А: = А:о на любом заданном интервале расширения
продуктов детонации. При полном расширении их в пустоту или в
воздух, что в данном случае несущественно, это значение /tq может
быть определено из соотношения
Z)^ = 2 (k7-l)Q, D4.6)
которое мы пишем по аналогии с идеальным газом. Из этого
соотношения будем иметь
k; = ]/i + ^. D4.7)
При неполном расширении, как легко убедиться, величина
среднего значения будет возрастать, приближаясь к величине к.
Определение среднего значения к^ основано на том
обстоятельстве, что при постоянном показателе изэнтропы А, как мы знаем
из теории детонации идеального или политропического газа,
Еп = PhVh / (А: - 1) = Рн (vo - Vh)/2 + Q; Vh - Avo / {к + 1);
D^ == Vo/?H / (vq — Vh), откуда и следует уравнение D4.6) (для
сильной детонационной волны).
В случае неполного расширения продуктов детонации
величина внутренней энергии для конденсированных взрывчатых веществ
будет определяться, например, для точек р^, v^^ как
Е. = с.Т,+^^^^ + с,Т, = -^ + с.П, D4.8)
поэтому
D' ^2 {к'- 1) (ZJ - CvJh) - 2 (Г - 1) BJ -Cv^ft),
откуда к* ;^ к. При расширении до р < Ри имеем D^ — 2 {к* —
— 1) GJ — Су Г), отсюда получаем
ГJ (. J»
fe;-i<r-i = (/c-i) д,_;^у"<&-1. D4.9)
Для типичных взрывчатых веществ значение к^ = 2,7; 2,8.
Заметим, что среднее значение к^ будет зависеть от начальной
плотности взрывчатого вещества, поскольку при постоянном Q с
возрастанием плотности возрастает и скорость детонации. При
ро = О kQ = к = Cq/cv, при достижении предельной плотности
Ро = Рпр, когда Гн = 0> величина ко = А^.

380 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [гл. VII
Перейдем теперь к рассмотрению вопроса об истечении
продуктов взрыва в пустоту. Если газ идеален и вначале покоился, то
скорость истечения этого газа определяется следуюп1,им
соотношением:
2
^Kp = -j3:r^«» D4.10)
где для мгновенной детонации с\1к {к — i) = Q = D^/2 {к^ -— 1),
откуда Сн = ?>//с/2 (к + 1), ЧТО определяет
в случае истечения продуктов детонации для первой порции
продуктов детонации, истекаюш,их с фронта, будет справедлива
формула
WKp = WH + Tf^CH = j^4-^i^2?=-?ffz?. D4.12)
В случае истечения продуктов детонации конденсированных
взрывчатых веществ необходимо учесть, как мы показали, вопрос о
переходе неидеальных продуктов детонации в идеальный газ,
поэтому основные соотношения для рассматриваемой задачи примут
вид
ДЛЯ реальной детонационной волны и
"«р-|/ A(ft + 1) A-l (T-1)(A-1) (^^.IV
ДЛЯ мгновенной детонации. Заметим, что величина С/, для
мгновенной детонации будет иной, чем для реальной; в этом случае
имеем
Л —1 k — i ^ т —1 '
отсюда
Vk - ^ л7^ Л-1
Т-1
СуГй = Д(? =
к-1
D4.15)
Поскольку рн = Рн/2 = PoOV2 (к + 1), то ркУ^/G — 1) ==
= 1{к - 1)/{к - Y)] [Q - D42 (Р - 1)], т. е. имеет вид D4.2),

§ 44] РАСШИРЯЮЩИЕСЯ ПРОДУКТЫ ДЕТОНАЦИИ 381
но
Рк^к = ру = PhVo = — ^0 = — (—F~ ^«у ' D4.16)
что не равно р^У^.
Для типичных газовых смесей, считая, что Q = i кал/г, к =
г= у =: 5/4, будем иметь для мгновенной детонации икр =
= 9000 м/секу для реальной детонации ^кр =11 000 м/сек;
для типичных конденсированных взрывчатых веществ, считая, что
Q = i кал/г, к с^::^ 3, у =' 5/4, будем иметь для мгновенной
детонации Wkp = 10 000 м/сек, для реальной детонации и^р =
= 12 000 м/сек; как мы видим, скорости истечения для различных
взрывчатых веществ получаются весьма большими.
Не развивая пока теории разлета продуктов взрыва, можно
утверждать, что при взрыве какого-либо заряда взрывчатого
вещества в неограниченной среде, заполненной воздухом (например,
в атмосфере), продукты взрыва через некоторое время после
начала разлета займут некоторый предельный объем Vqo, отвечающий
остаточному давлению продуктов взрыва, равному давлению
окружающей среды Ра-
Если среднее начальное давление продуктов взрыва (в случае
показателя политропы к = 3)
и остаточное давление Роо ^ Ра при v = Vqo, то величину
предельного объема Voo легко определить из следующих соображений. Для
типичных взрывчатых веществ до давления рк^^ 2000 кг/см^
продукты взрыва, как нам теперь известно, расширяются по
закону
Р^^ = ^hVo = Ph^k D4.18)
при
Vft> v> Vo,
где Vft — объем, соответствующий давлению fk\ затем мы
считаем расширение происходящим по закону
pv^ = 1>^1 = Pa^lo D4.19)
при Voo > V > Vfc.
Сопряжение двух законов при р = рц, v = v^ дает
Здесь у о — начальный объем продуктов взрыва. Поскольку для
типичных взрывчатых^ веществ ро = 1,6 г/см^^ D = 7000 —

382 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ волн [гл. vn
8000 м/сек, то р^ i=^ 10^ кг/см^; так как Ра = ^ кг/см^, у = 7/5,
то Voo/vo = 50V3.20005/' = 800. В случае у = 5/4 имеем yJyq =
= 1600. Отсюда можно заключить, что продукты взрыва
типичных взрывчатых веществ расширяются приблизительно в 800 —
1000 раз. В случае сферического взрыва конечный радиус объема,
занятого продуктами взрыва, будет в 10 раз больше начального
радиуса. В случае цилиндрического взрыва это отношение будет
равно приблизительно 30. Таким образом, можно утверждать, что
непосредственное действие продуктов взрыва в реальных случаях
взрыва ограничено весьма небольшими расстояниями.
Зная величину Уоо, легко определить величину остаточной
энергии Еоо продуктов взрыва к моменту предельного их расширения
Ео. = ^: D4.21)
Поскольку начальная энергия взрыва Е^ определяется
соотношением
E^ = MQ^ PoVo(?, D4.22)
где М — масса взрывчатого вещества, то энергия, перешедшая
в среду (в ударную волну), будет
^. = ^„ - ^« = MQ (l - (,_"°;;,„J ; D4.23)
отсюда
El^j Es: !21. D4.24)
Принимая для типичных взрывчатых веществ Q = I кал/г, v/vq =
= 800, ро = 1,6, Y == 1»4, найдем , что EJE^ = 0,97. В случае
V = 1,25 имеем yJvq = 1600 и Еу/Е^, = 0,91.
Подавляющая часть энергии взрыва переходит в среду,
окружающую область взрыва, но, разумеется, вследствие
возрастания энтропии и соответственного уменьшения свободной
энергии «полезно» в ударную волну преобразуется значительно
меньшая часть энергии взрыва (как мы увидим ниже, около 70%).
В том случае, когда продукты взрыва представляют собой
идеальный газ, предельный объем вычисляется по формуле
= {Ь)\ D4.25)
Vo
причем ^н = {у ~ 1) ро Q, В ударную волну перейдет энергия

§ 44] РАСШИРЯЮЩИЕСЯ ПРОДУКТЫ ДЕТОНАЦИИ 383
Величина отношения перешедшей энергии к внутренней энергии
покоящейся среды равна
В случае Q = I кал/г, ро = 16, у = 1?^ имеем Vqo/v = 800.
Имеем Еу/Е^ = 0,94; если у = 1,25, то Еу/Е^ - 0,86.
Таким образом, вычисления, проведенные для неидеального
и идеального газа, практически совпадают.
Мы видим, что предельный объем, который могут занять
продукты детонации при заданном внешнем противодавлении, не
равном нулю, зависит только от потенциальной энергии взрывчатого
вещества Q и его начальной плотности ро. Вследствие этого для
конденсированных и газообразных взрывчатых веществ
приблизительно совпадают и энергии, отдаваемые при расширении
продуктов взрыва во внешнюю среду, т. е. работоспособность
взрывчатых веществ не зависит от их фазового состояния в том случае,
когда величина Q = const.
Неидеальность продуктов детонации конденсированных
взрывчатых веществ сказывается лишь на весьма незначительных
расстояниях, приводя к тому, что при равных энергиях реакции
конденсированные взрывчатые вещества развивают вблизи места
взрыва несравненно большие давления и большие скорости
движения, чем продукты детонации газовых смесей, т. е.
неидеальность продуктов взрывчатых веществ сказывается лишь на
местном (бризантном) действии взрыва. Это происходит благодаря тому,
что при детонации газообразных взрывчатых веществ в продуктах
взрыва развиваются температуры, в несколько раз
превышающие температуру детонации конденсированных
взрывчатых веществ, что является следствием преобладания тепловой
части энергии над энергией потенциальных сил, действующих
между молекулами.
В случае истечения в пустоту продукты детонации как
конденсированных взрывчатых веществ, так и газовых смесей в среднем
имеют одинаковые скорости, определяемые из баланса энергии.
Перейдем теперь к более подробному рассмотрению движения
продуктов детонации.

ГЛАВА VIII
ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
И РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ
§ 45. Распространение плоской детонационной волны *)
Вопрос о распространении детонационных волн и разлете
продуктов детонации (ПД) представляет интерес не только с
чисто газодинамической точки зрения, но и для теории взрывчатых
веществ и баллистики.
Процесс детонации и разлета продуктов детонации может быть
довольно точно описан уравнениями газовой динамики, так как
единственное допущение, которое делается при изучении этого
процесса, заключается в пренебрежении потерями на трение,
теплопроводность и теплообмен. При чрезвычайной быстроте
процесса эти потери действительно исчезающе малы.
Рассмотрим плоскую сильную детонационную волну. Для
этой цели воспользуемся особым решением основных уравнений
газодинамики
2
X = {u±:c)t + F (и), и = + Т^ГТ^ + const. D5.1)
Для описания детонационной волны можно пользоваться
первыми двумя уравнениями газовой динамики, несмотря на то, что
на фронте волны, как мы знаем, энтропия возрастает по сравнению
с невозмущенной средой. Существенно, что всюду на фронте (для
любого момента времени) энтропия постоянная, а за фронтом
волны начинается изэнтропическое расширение газа.
Пусть детонационная волна начинается в начале координат
в момент времени t = О у стенки и распространяется слева
направо. Следовательно, мы в уравнениях D5.1) выбираем знак
плюс. Поскольку движение в момент времени t = О определено
в точке а: = О, то F (и) = 0. На фронте сильной детонационной
волны имеем на основании D3.60), а также D3.51) и D3.52):
D кВ
Следовательно, постоянная в уравнении D5.1) равна D/k — 1.
Таким образом, детонационную волну, распространяющуюся на-
*) Эта задача была впервые решена А. А. Грибом в 1941 г. [18].

§ 45]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ 385
право, описывают уравнения
X 2с— D
D5.2)
В случае, когда /с = 1, имеем и = с^\п (р/рн) + const, на фронте
Wh = DI2, с^ = D/2. Отсюда
""T^+'-t]
^ _ ^
Уравнения D5.2) дают
2 /х D
и =
/с + 1
X XJ \
T~"TJ
к—\ X , D
С = -г-пг-гЛ-
/c + l t ^ /с+1 •
D5.3)
D5.4)
с\и
Очевидно, на фронте волны имеем х
ния, вдоль которой 1г = 0.
Уравнение этой линии
имеет вид х == Dtl2 и на
ней с == DI2, Таким
образом, графики
распределения скорости и и
скорости звука с за фронтом
детонационной волны
изображаются в функции xlt
прямыми линиями на
интервале
Dtl2 ^x^Dt.
Dt. Существует такая ли-
Рис. 46.
j:=I?t
На интервале О :< л: ^
^Dt/2 и = 0, c=D/2, т. е.
скорость везде равна нулю, а скорость звука постоянна (рис. 46).
Таким образом, при распространении волна будет как бы
растягиваться подобно самой себе, т. е. мы будем иметь
автомодельное движение газа. Кроме того, следует отметить, что для
детонационной волны характерны: 1) область покоя ОК (рис. 46),
протяжение которой равно х — Dt/2; скорость с в этой области
постоянна, и 2) область Dt/2 <С х <i Dt, где параметры и и с
меняются.
Графики распределения плотности и давления будут
степенными кривыми. На фронте волны на основании D3.52) и D3.51).
мы имеем
Рн
/с + 1
РО» Рп =
k + i
где ро — плотность невозмущенной среды
того вещества).
D5.5)
(плотность взрывча-

Рн
р
ро
р
\c^J -\ 2к
2
/k + iU-i k + i
~~[ 2к ) к
2к
7 /с + 1 U-1
-[ 2к ) •
-; '
к+1
386 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. VIII
Для слабой волны можно получить аналогичные, но более
сложные выражения, В точках, где и = й = О, с = с = D/2,
имеем
2 2
р _ / с \ fc-i _ / А: +1 \ fc-i .
D5.6)
При к = 3 имеем р/рн = 2/3; Рд/ро ^ 4/3; р/ро ^ 8/9; ^/рд ==
= 8/27. При к = I получаем: р/рн = 1/е; рн/ро ^ 2; р/ро =
= 2/е; р/рп — 1/^> где е — неперово число. Те же значения р и
Р будут иметь место у стенки, откуда началась детонация.
При истечении продуктов детонации образуется уже не простая
волна разрежения, поскольку эта волна разрежения
распространяется в пространстве, в котором прошла детонационная волна,
а за фронтом детонационной волны параметры переменны.
Однако элементарные закономерности истечения в пустоту могут быть
легко изучены в двух случаях.
I. Допустим, что детонация идет из бесконечности (длинная
труба). Тогда изменение параметров за фронтом волны будет
сколь угодно мало. При детонации заряда конечной длины это
утверждение эквивалентно тому, что рассматривается слой
разлетающихся продуктов детонации бесконечно малой толщины.
Применяя уже известные формулы, найдем, что при истечении из
начала координат
(мы прибавляем величину и^, поскольку за фронтом волны газ
движется со скоростью и^). Отсюда
u=^D-^. D5.8)
П. Пусть детонация начинается у открытого конца трубы (при
X = 0). Тогда также возникает особая волна разрежения,
поскольку фронт этой волны будет двигаться направо со скоростью с —
= D/2 по покоящемуся газу, и точка, где параметры
детонационной волны начинают меняться, движется с той же скоростью также
вправо. При этом процесс детонации и истечения опишется
одними и теми же уравнениями D5.2): и = Ujj -\- 2 (с — с^1{к — 1) =
= {2с — D)l{k — 1); и -\- с = xlt. Из формул D5.8) и последней

§ 45] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ 387
формулы ВИДНО, что наибольшая величина скорости разлета
при распространении детонационной волны вправо будет
Цтах = А;2_1 ^> ^ °Р^ распространении в противоположную
сторону наибольшее значение модуля скорости равно^2max = т—г*
Отсюда отношение этих максимальных величин скоростей будет
k + i
Если детонация начинается внутри газа, то она симметрично
распространяется в обе стороны (это условие эквивалентно тому,
что детонация идет от стенки в обе стороны). Если длина столба
слева и справа неодинакова, то в этом общем случае возникнет
несимметричное истечение газа.
До сих пор мы рассматривали распространение детонационной
волны большой амплитуды, которую мы называли сильной
детонационной волной. Рассмотрим теперь распространение плоской
детонационной волны произвольной амплитуды и, в частности,
распространение так называемой слабой детонационной волны.
Отметим, что введенные нами здесь понятия сильной и слабой
детонационной волны не имеют ничего общего с понятиями сильной
и слабой детонации, введенными в § 40, так как мы имеем здесь
дело всегда со стационарной детонацией. Итак, сильной
детонационной волной мы будем называть волну большой амплитуды,
когда можно пренебречь начальным значением давления, а
слабой волной — волну меньшей амплитуды, когда начальным
значением давления уже пренебрегать нельзя.
В данном случае константа во втором соотношении D5.1)
должна определяться из следующих соотношений:
так как г/н + ^н = ^; далее, поскольку из C9.10) при Uq = О
имеем Wh = [Dl{k^ + 1)] [1 — {k'^IK){c\ID^)], то const =
= - [Dl{k^ - 1) + {kjk^) {clID)].
Таким образом, детонационная волна описывается в случае
произвольной амплитуды следующими уравнениями:
2
I ^ 2 D . кг Н //с. Af\\
Если амплитуда очень велика, членом -^-^ можно пренебречь,
ц мы приходим снова к уравнениям D5.2). Значение скорости

388 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [гл. YII1
W = о, как видно из этих уравнений, достигается при
1.-С- — 4- hizLLhi.3:. D5.11)
т. е. на расстоянии, большем половины пути, пройденном
фронтом детонационной волны. С уменьшением амплитуды волны член
1(^2 — 1)/2] (kjf^i) {c\ID) увеличивается и область, где происходит
движение среды за фронтом детонационной волны, уменьшается
за счет увеличения области покоя.
В пределе при малых Q величина и = О достигается при
— - 2 D ^1
t — ^ — k — i ^ А:-1 D '
откуда определяется нижний предел для 2), при меньших D
подобный режим не может существовать.
В случае к = i для слабой детонационной волны мы будем
иметь следующие соотношения:
, D X D
1 + 1п-^
Рн
D5.12)
при и = О имеем x/t = D/2; р/рн = i/e. При этом для волны
произвольной амплитуды область покоя всегда образуется на
половине пути, пройденном детонационной волной.
Движение среды за фронтом детонационной волны
соответствует волне разрежения, что можно видеть непосредственно из
уравнений, характеризующих детонационную волну. Движение
каждой лагранжевой частицы, происходя со скоростью с, будет
более медленным, чем распространение состояния и-\-с, величина
которого убывает со временем. Таким образом, давление и
плотность в каждой лагранжевой частице за фронтом детонационной
волны будет падать.
Движение детонационной волны является интересным
простейшим случаем автомодельного движения среды. В самом
деле, в начальные условия, определяющие движения детонационной
волны, величины, имеющие размерности длины и времени, входят
лишь в комбинации, имеющие размерность скорости, т. е. в
комбинации x/t\ поэтому можно предполагать, что искомые
параметры i^ и с должны зависеть только от одной независимой
переменной Z = x/t. Это обстоятельство, как будет показано ниже,
позволяет изучать распространение не только плоской, но и
цилиндрической и сферической детонационных волн, исходя из ypag-
щений^ описывающих автомодельные движеняя,

S 46] РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ 389
§ 46. Разлет продуктов детонации*)
Схему разлета продуктов детонации можно представить
относительно просто. При произвольном положении детонатора,
находящегося внутри цилиндрического заряда, площадь сечения
которого примем за единицу, в процессе детонации возникают две
детонационные волны, одна из которых движется направо от
детонатора, а другая — налево.
Рассмотрим сначала, что происходит с волной,
распространяющейся направо. Эта волна, как мы уже знаем, является
простой, т. е. описывается особым решением и характерна тем, что ее
параметры являются функциями xlt.
Когда детонационная волна доходит до границы заряда,
начинается разлет продуктов детонации. При этом характерной
особенностью разлета является то, что скорость движения частиц
скачком достигает своего максимального значения,
определяемого, как мы знаем, особым решением. Плотность или
пропорциональная некоторой степени ее местная скорость звука, напротив,
скачком уменьшается до нуля. Распределение скорости и
плотности в продуктах детонации может быть найдено, только исходя
из общих решений уравнений газовой динамики, что объясняется
следующей причиной. Когда детонационная волна достигнет
границы заряда, возникают две волны; одна из них может быть
интерпретирована как волна разрежения, идущая от границы
заряда вглубь, а другая распространяется в пространство. Таким
образом, особое решение здесь уже не может иметь места,
поскольку оно справедливо лишь для волны, бегущей в одном
направлении с постоянными параметрами на фронте, а в глубь заряда
бежит волна разрежения, параметры которой на фронте
постепенно убывают. Это общее решение необходимо подчинить двум
граничным условиям.
Первым условием является распределение параметров иже
по вертикали, т. е. движение начинается в точке х = а; вторым
условием является сопряжение нового решения со старым особым
решением. Если разлет продуктов детонации происходит в
пустоту, то для полного описания этого процесса достаточно тех двух
уравнений газовой динамики, которыми мы пользовались по
настоящее время. Если разлет происходит не в пустое
пространство, а в среду заданной плотности, то перед фронтом продуктов
детонации возникнет ударная волна переменной амплитуды,
вследствие чего энтропия на ее фронте будет непрерывно меняться, и,
чтобы получить полное решение задачи, необходимо исходить уже
из трех уравнений газовой динамики. Ограничимся пока
изучением разлета продуктов детонации в пустоту.
Эта задача была решена автором в 1945 г»

390 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [гл. VIH
Новое решение, о котором мы говорили, будет иметь место до
тех пор, пока фронт волны разрежения не дойдет до точки слабого
разрыва особого решения для детонационной волны. При этом
возникает новое решение.
Нетрудно видеть, что это новое решение будет опять особым
решением, так как за точкой слабого разрыва плотность или
местная скорость звука остаются постоянными, а скорость движения
частиц тождественно равна нулю. Следовательно, бегущая внутрь
заряда волна будет обладать постоянными параметрами на фронте,
т. е. свойствами, которыми как раз характеризуется особая волна.
Это особое решение дает зависимость скорости и местной скорости
звука уже не как функции от отношения xlty а более сложной
функции от X ж t.
Аналогичное рассуждение можно провести и для левого конца
заряда, в результате чего мы придем к тому, что две простые
волны разрежения, одна из которых бежит от правого конца справа
налево, а другая — от левого конца слева направо, встретятся.
Тогда в момент встречи возникает новое решение, которое опять
не будет особым и может быть найдено только из общего интеграла
уравнений газовой динамики. Этот общий интеграл можно найти,
исходя из двух граничных условий сопряжения его с правой
и левой простыми волнами.
В результате мы будем иметь пять решений, сопряженных
между собой на четырех линиях.
Как мы увидим дальше, крайние и средние общие решения
будут распространяться с течением времени на интервалы,
растущие пропорционально времени, а средние простые волны будут
продолжать существовать на интервалах, сохраняющих
ограниченные значения. В силу этого при ^, стремящемся к бесконечности,
массы, находящиеся в этих интервалах, будут стремиться к нулю,
и мы их из дальнейшего рассмотрения можем исключить.
Таким образом, полное решение состоит из пяти отдельных
решений (включая детонационную волну, будем иметь семь решений,
не считая тривиального а = 0).
Найдем решения для разлета продуктов детонации газа,
занимающего некоторый цилиндрический объем при произвольном
положении детонатора в случае
2г + 3
Начало координат, как и в предыдущих задачах, поместим в
точке, где началась детонация, длину правого участка заряда
обозначим через а, левого — через Ь.
Сначала будем вести рассуждения для правого участка.
Детонационная волна, как мы знаем, характеризуется уравнениями
j = u-\-c, и=Ц^. D6.1)

§ 46) РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИЙ 391
Для удобства дальнейших преобразований и вычислений
выразим с через теплосодержание ink через г. Тогда, поскольку
с = >С(А; — 1) i = |А2г/ Bг + 1), получим
D6.2)
где Д = 2 Bг + 1), N = ув = Ул"?.
Значения и и i на фронте детонационной волны будут
D 2г + 1
" к + 1 2(г+1)
кЮ^ _ 2г + 1 / 2г + 3 \2
/2B7+1OГ=^4:1_|±з_^,.
В момент времени t = alD в точке х ^ а начнется разлет
продуктов детонации, т. е. возникает новое решение. Это решение может
быть определено наиболее просто следуюш;им методом. Выпишем
(см. гл. IV, § 15) общее решение в обычном виде A5.33) и A5.26)
Э^'^ Fi [ yi Br 4-1) t + Ц] + -^2 [ Y2 Br + i)i — и]
D6.3)
^ - di ' ^-^^ du
Для определения F^ и F2 имеем следуюпцие условия:
1. Вдоль линии и = Y^^ —г-—D имеем
X = (u-i- c)t = ut — -^;
отсюда с = di/du и (di/du) (dyp/di) + д^/ди = О или йг|) = О,
tj) = const. Поскольку -ф определяется с точностью до постоянной,
то всегда можно полагать, что вдоль указанной линии tj) = 0.
Отсюда вытекает предположение, что при этом
F^ = 0. D6.4>
Это предположение, как мы покажем ниже, является
справедливым.
2. При t =^ д'^/дг = a/D имеем
а д\р
D ди

392
ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
[гл. YII1
т. е. dy^ldi = alD должно быть
ди
= -^iu-D).
D6.5)
Это условие позволяет определить jPg- Поскольку -ф = О вдоль
особого решения, то можно предположить, что 7^2 имеет вид
F^ = F^ [Ym - гг + А^Т\
причем, так как
аг-1
di'
===0,
df L yi
Il^[YRi-u+ А^Г
D
где 7^2 — некоторая новая функция прежнего аргумента, то ai =
= г, ^1 - Uh ~ /^ - - Bг + 1) DI2.
В свою очередь можно предположить, что
F^ = (J [УШ -и + А^Г\
При i -> О величина скорости и стремится к определенному
пределу Л2, поскольку при t = alD х =^ а, ij? ^ 0.
Значения р, ^2 и а^ определяются из следующих условий. На
линии
и
^^._^г + 2 2Г + 1
г + 1
2
D.
которая является характеристикой уравнения, определяющего if),
имеем
'=^^
¦4
2 р а" L
2^ аг
X
/Г
2 + г 2г + 1
2Bг + 1)с + Л-7+1 ?^^
X
^L±lDi\ + ^'^
r + l
М=^
Исходя из того, что на этой характеристике всегда t = a/D, в
частности и при с-^ О (г -> 0), определяем а^ = г + i, А2 =
= (г + 2) Bг + 1) D/2 (г + 1). Характеристика
- Ym +
77-. , г + 2 2r+i
г + 1
2
Z)

§ 46] РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ 393
определяется из следующих условий. В начальный момент
разлета в пустоту ^ = О всегда возникает особое решение
и= и^ + 2 (сн-с) / {к- 1) = (ЗА: - 1) 2) / {к^ - 1) - 2с/(й: -1)
или
»--/ffi+f±f^^-
"+1
Предельная скорость разлета, таким образом, будет
^пр — -12 — ^ I I 2
Далее мы увидим, что определенная нами функция г])
удовлетворяет граничным условиям и, следовательно, она единственным
образом описывает процесс разлета, ибо не может быть двух
физических процессов при одинаковых начальных и граничных условиях.
Это делает обоснованными все написанные выше предположения.
Нетрудно обосновать и положение о том, что при t = alD
имеет место именно особое решение. Поскольку параметры
детонационной волны не зависят от длины заряда а, а при а-^оо
всегда будет иметь место особое решение, поскольку за фронтом
детонационной волны и — const, с = const, то при конечном а
бесконечно тонкий слой продуктов детонации будет описываться
особым решением для бесконечно малого интервала времени при
1^ = a/D; с увеличением t процесс будет описываться функцией -ф,
и решение все дальше будет отходить от особого.
Остается определить значение р. На характеристике и =
= {2с — D) / {к — I) будет иметь место формула
так как при дифференцировании уравнений D6.3) все другие
члены при условии, что и= {2с — D)l{k — 1) = /Ж — Bг + 1) Я/2
дадут нули, а ^1 + ^2 = Bг + 3) Bг + 1) DI2 (г + 1) = 2/Д^„,
следовательно, р = а/2/)г!Л^+о.5, Таким образом,
/ /- г+ 2 2г + 1 У+1/,л— 2г+1 ^2
^= —т
2Dr\R 2
дГ^ VT
D6.6)
Теперь сделаем проверку того, что действительно найденная
функция г|) удовлетворяет написанным выше условиям, т. е.
цокажем, что при d-^ldi ^ alD эыцодцяется равенство d'^ldu ===

394 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны гл. VIII
= (alD) {и — D). На характеристике
и= {2г + 1) (г + 2) D/2 (г + 1) - f Лг
имеем
.'-I - '+'
•2 л V! = 4--
Далее,
-?^ = -(^ + 1)Р
ди
X
.—, г + 2 2г4-1 У Г , 2г + 1 V
^>^^'-« + 7+Т 2^^j (/^t-«--^DJ
/ , г+2 2г+1 V+1/ ,_ 2г4-1 \'"
'^ ее-" уг
Отсюда следует, что
А--»;+;' С,2.д-^[2/ж-
2г + 3 2г + 1
г + 1 2
-^,^ 2™«^ ^Г[2/Ж - i^ ^С]- ¦
Производя вычисление, получим
- 2рг! Л ' "^[2 (г - 1) (YRi -^rti ^'t^ ^) + 2 УЩ
Отсюда
дУр ^ g 2г4-3 2г + 1 т^ 2г 2 Bг+1) >^Жа
ам Х) г + 1 2 2Bг + 1) 2Br + l)i) '
или
^^Г2г + 3 ^^1 а _Г . 2Г + 3 Bг+1) (г+2) д1 а
а« [2(г + 1)'^^ '^^4i> ""L +2(г + 1)^^ 2(г + 1) ^J:D,

§ 46] РАЗЛЁТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИЙ 395
откуда d'^ldu = а (u/D — 1), т. е. функция i|) действительно
удовлетворяет написанным выше условиям и Fi^ 0.
Когда волна разрежения, описываемая функцией ij), дойдет
до точки слабого разрыва, возникнет новое решение; очевидно, что
это решение будет также особым, поскольку за точкой слабого
разрыва и и с постоянны.
Определим координаты точки слабого разрыва и возникаюш;ее
особое решение. Поскольку при этом имеем и = ]Ai?t — Bг -|-
+ 1) D/2, причем м = О, то /Д^ = Bг + 1) D/2; отсюда
^~^«"" дг '^ D L2(r-hl)J ' ^"^ 2 L2(r + l)J ^^''^
Особое решение напишем в виде
^ = T^ = ^^^^~"V'^» ^;=>-c)^ + F(c). D6.8)
Поскольку д: = ut — 5i|)/<9i^ = гг^ + (di Idu) (дурШ) + F (i), то /?'(c) =
= F{i) = — д^р/ди = с 5\l)/5t — дур/ди (с = — di/du). Отсюда
Поскольку du = — 1/2 \^R/idi = — l/^i?d y^i, то
й-фШ = д^/ди — 2 ]/7Zff д^/di = —Id'^ldi УТШ или _A|)/di^ =
- - (d/i|?/d]/0 1//Д.
Таким образом,
или, раскрывая вдоль характеристики и = — У Ri + Bг + i)D/2
величину производной dap/dy^i, придем к результату
X =
2г + 1 д^ 4(г+1J'Г^
г+1 о?*-!
У^Л • 1)г1{Л)'"'^2
D6.9)
Формулы D6.8) и D6.9) определяют полностью особое решение,
возникшее при подходе волны разрежения к точке слабого
разрыва детонационной волны. Для волны разрежения, идуш,ей от
левого конца заряда, мы получим аналогичные решения. Для того
чтобы их написать, достаточно в соответствующих формулах,

396 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. VIII
написанных для правого конца заряда, заменить а на Ь, д: на —х
и U на —и.
Тогда будем иметь
ъ д'-^
2/)г! R ^
X
г + 2 2г + 1 ^у+1/^^_ , 2г + 1 ^У
D6.10)
Vr
Для координат точки слабого разрыва будем иметь
7 _ b , 2Г + 3 \г*\ _ 6 /2Г + 3 у^1 ......
Особое решение, возникшее при подходе волны разрежения к точке
слабого разрыва, опишется формулами
x = ^^Lp-Dt-i^ 4(г + 1)/Г_^
^ Yr
Dr\n''^^2' ^ j/f
г /-_- 2г + 1 7+1Г /-_ 2г + 1
D6.12)
Определим теперь координаты точки встречи двух волн
разрежения D6.9), D6.12). Очевидно, что при этом ii = О, с = 2]/^i/R =
= D/2. Далее,
^ = ^а 2~ ( ^ ^^"~~ ^^^ правой волны,
X = ^ь + "Т" I ^ "~ ^ь) — Д*^я левой волны.
Нет необходимости вычислять значения поскольку
скорость фронта особой волны разрежения определена; для
правой волны она равна —Z)/2, для левой D/2. Из полученного
находим
2г + 3 Y^i а-Ь . =_/2г + Зу'+1 а + Ь
После встречи двух волн разрежения возникнет новое решение,
область существования которого будет лежать между этими
двумя волнами разрежения. Это решение определяется весьма
просто. Нужно найти такую функцию гро, которая обращается в нуль

46]
РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ
397
на характеристиках + ^г = Bг + i)DI2 — У*/?1. Поскольку
д; = {и — с) t -\- F {i) = ut — д\^о/ди, то
^w=^^-l^
di д\ро д\ро
du di "^ ди
du
HO F (с) = — d'^/du; отсюда для правой характеристики имеем
^0 = "Ф + const. _
__ Далее, поскольку х = {и + с) t + F (i) = ut — dy^Jdu, то
F {с) =^ — d'^^oldu = — д^/Ои; отсюда для левой характеристики
'Фо = "ф + const. Теперь легко видеть, что
^0 = ^ + Ч^.
D6.14)
В самом деле, поскольку при и ^ {2г -\- 1) D/2 — |Ai?i мы имеем
\р = О, то 1|?о = ^1» а при W = — Bг + 1) D/2 + ]/ Ri имеем-ф =
= О, откуда г|?о == М^» Никакая иная комбинация \|) и ij) не
удовлетворяет поставленным условиям. Итак,
'Фо =
1
^r-l
Ь1%
а е,+
г + 2
г + 1 4
г + 2
г + 1
Az,-
е,-4'')-рт +
(е.-4^
/г
D6.15)
где 01 = /Л1 — 1^; 02= /Лг + i^; Д = 2 Bг + 1).
Координаты точек сопряжения различных решений можно
определить, исключая вдоль соответствующих характеристик из
уравнений t = dy^/di и х = ut — д^^/ди величину i. Однако
уравнение линий сопряжения проще определяется из условия dx/dt =
= и±: с, где на характеристиках особых решений и и с заданы.
Здесь нас не будут интересовать значения х = х (t) для любых ty
а только значения х для ^ -> оо, поскольку в основном
необходимо выяснить распределение масс, импульсов и энергии при
полном разлете продуктов детонации в пустоту.
Определим значение написанных выше функций при ^ ^- оо.
Очевидно, при ^ -> оо теплосодержание i стремится к нулю;
поэтому, определяя t из функции г|), получим
1
^ = (-1Г-
2Dr\R
т+
т[
г4-2 2г + 1
г + 1 2
D
2г + 1
1^ d
(другие члены при дифференцировании необходимо при
приведении выражения к общему знаменателю i^^^'+'A) умножить на i*^,
где а ^ О и при i —> О все они стремятся к нулю).

398 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [гл. VI11
Далее, х = ut ^ ду^/ди; по указанной выше причине можно
при i ->¦ О пренебречь членом д'^/ди и положить и = xlt. Отсюда
t=-
. (^^д-^Г(^^+^/р-+'>
D6.16)
Поскольку скорость фронта разлета равна и — и^^ =
= (г + 2) Bг + 1) DJ2 (г + 1), то закон движения этого фронта
выразится так:
г + 2 2г + 1 г^, ЗА: —1 у^, ,/аАп\
^1Ф = -у^^ ^ Dt = -^^—^ Dt. D6.1 /)
Для особого решения будем иметь и = xlt, а = Bг + 1) DI2\
отсюда
X =J!i±l-Dt. D6.18)
Таким образом, в области особого решения, размеры которой при
^ -> оо возрастают, как с~^, масса, количество движения и
энергия будут стремиться к нулю, поскольку AM ^ рАх ^ с'^+^.
Таким образом, при с -^ О действительно ДМ -^ 0.
Решение, характеризуемое функцией i|)o, будет определено в
интервале —(г + 0,b)Dt ^ х ^ {г + 0,5) Dt, причем везде и = О
при конечном х, поскольку и = xlt. Таким образом, используя
результат D6.16), будем иметь
а Гг + 2 2г + 1п ^ 7^1г2г+1 п , ^ 7 Br + i)l
i 2(r!Ji?^ 2 22Г
6 ГГ + 2 2Г + 1 y^ , xY-iVlr + i^ , a: r B^+^)i
i ^{r\fR 2 2^''
D6.19)
Займемся теперь вычислением масс, импульсов и энергий,
движупц1хся в противоположные стороны. Сначала проведем
предварительные преобразования. Очевидно, что
или
Ч-v)'-'
—k— Po -7— — Po
2r + 3

46]
РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ
399
Отсюда
/Ч
2г + 3 .'•+'
Поскольку теплосодержание на фронте волны равно
то
г+-_
2г + 3
4(г + 1)
2г+1 >
D
2г + 1
ро I 2 j
^ 2
?JГ+1
Bг+ 3J(^+1)
Обозначим значение р на различных интервалах индексами:
на интервале решения -ф — индексом а (ро), на интервале яр —
индексом b (pb), на интервале волны "фо = "Ф + "Ф — индексом
аЬ (Раь)^ при этом, очевидно, Раъ = Ра + Рьу ^то следует
непосредственно из определения г|)о ==, "ф + г|), тогда
A^i
Wi
= \ра
Att
W2
-A,i
-Ait
Ai At
Ai 0
--A,t
I 0 ^
-Аг -Ax
= /И P5Z^d2:+ \^ Ра^^йД
D6.20)
0 0
Здесь области -ф и (ф соответственно) являются областями
первых волн разрежения, а г|)о — областью срединной волны, причем
Z = хП\ А^ = Bг + 1) Р/2; А^ = Bг+ 1) (г + 2)/2 (г + 1);
D = {г + 2) А^/{г + 1).
Интегралы D6.20) при а = О дают значения масс Mi и Mg,
идущих в сторону айв сторону Ь; при а = 1 они дают значения
импульсов /i и /з и при а = 2 — значения удвоенных энергий Ei и Е2.
Займемся вычислением интегралов D6.20). Определим
сначала, исходя из проведенных выше преобразований, значения
Ро и рь:
Ра а {А, - zf^^ (^1 +^ f Bг + 1)! (г + 1)^ <'^^> 2^'^^ ,
Ро
А.
ро
т
ь
D^'^"- Bг + if (^"^> Bг + 3)^ ('•^^> (г1J
(Ла + ^)'"'^ (^1 - zf Bг + 1)! (г + 1)^ (^-^1J^^^^
/>^ />2''+1 Bг + 1J (^+1) Bг + 3J ^''^^> (г!J
D6.21)

w,
400 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны
Тогда будем иметь
Аз
и '-о
Ai
о
-Ai
-t a ^ {A^-zy^^{A^ + zyz^dz
[гл. YIIl
D6.22)
w;o
где
B =
Достаточно вычислить только значение Wi, так как из условия
симметрии коэффициентов можно определить значение
интегралов для w^' коэффициент при а перейдет в коэффициент при Ъ
и обратно.
Займемся теперь вычислением интегралов
|а= \ {A^-^zy'^{A, + zyz-dz^,
о
Ах
1,= 5 (Л1 + ^Г1(Л1~- zyz-dz.
D6.23)
Очевидно, достаточно вычислить |о, тогда задача вычисления
li и ^2 интегрированием по частям легко сведется к задаче
вычисления |о- Интегралы |а также легко сводятся к интегралам ^а.
Вычислим Iq. Интегрируя по частям, будем иметь
Аг
^0= \{A,--zy'^[A,--^zydz =
о
' о '
далее, производя последовательные вычисления, получим
|„ = ЛГ'-«>(г+1)!
' +f^r^.:r^ +
г + 2/ (г + 2)! ' \г + 2; (г + 3)!
Г+1 \'-2 Г(Г —1)
"^i/4-2/ (г
+ 4I
+
г (г+1))! J-

§ 46] РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ 401
Так же определяются ^о*
? - 1: , л2(т) г!(г + 1)! / 2г + 3 \4^-^i)
feo - — feo i- ^2 B(г+1))! V 2r + 2 У
Остальные интегралы приводим к аналогичным выражениям:
|2Г+3
> + 1 у-2 Зг(г —1)
t t /BГ+3 / , 4 41 Г/'' + l Z 1 • f'^+iY-'^ 2r ,
+
Г+2
('• + 5)! ^•••"^ Br+3)l
]^
4-
62-^2 ('4-l)![[^^2J (r + 4)!^lr + 2,) (.r + 5)!
r + 1 '•-2 12r(r —1) , (r + 2)l 1.
-j (,- + 6)! T-'-'-l- [2(r+2)]!j'
+
|2=-?2 +
Г + 2У (г + 6)!
[2(r+2)]!
r + 2
Отсюда, принимая во внимание, что для политропического газа
имеет место соотношение i5^=2 (А;^—1) ^=16 (г+1) ^/Bг+1),
получаем
я^ Г/ 14 [2(г + 1)]! / г + 2 «aC+Dv , i,1
M, = po[{a-b) ' \, ' [jFTs] ^o + b\;
Mi = Mo = Ml]
T -T - oi/ M,E, (r + 2)[2(r+l)]! / r + 2\2(m)
P ^'^'\'?(n M(^+2f [2(r+l)l! /r + 2 ^2(m) -
E^ = Eo-E^; M, = {a + b)po; ^o = ^^o<?.
Здесь
D6.24)
a=0
r
r + 1
r + 2
r!
a=0
2,= S
a=0
(r-a)I(r+a + 2)!
r + 1 \"-^ r!(a + l)
+ 2; (r + a)(r + a + 3)I
г +1 у-"" г!(а + 1)(а + 2)
r + 2 У (r-a)! (r + a + 4)l
D6.25)
Вычислим значения интегралов ^а и g,^ при г -^ со для ft = 1^

402 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [гл. YIII
вводя при этом обозначения Zi = zlA^-
la = АГ'^^^ \ A - zr' [^ + Ч) 4 dz,-
о
h = ^Г«^" \ A + чУ'' (т±1- - ^х)^ ^? dz,.
о
Легко показать, что для любого а |а = i«. Для этой цели
преобразуем выражения, стоящие под знаком интегралов; опуская
члены, содержащие Zi в степенях, больших единицы (законность чего
мы покажем ниже), придем к таким интегралам:
и = АГ^^^^ (-^j- \ A - zir A - ^) zt dz,;
О
|„ = ЛГ«^- [I±^J \ A - zlY A + ^) zt dz,.
о
Не производя дальнейших вычислений, легко показать, что
для любого а |а = la* Рассмотрим интегралы
1 1
Фа = 5 A - Z?)"" Z? dz, И фа+1 = J A - Z?)"- zf'dz.
О о
Интегрируя по частям так, чтобы показатель степени выражения
1—^1 уменьшался, придем к результату
Фа^1 _ (а + 1)(а + 3)...(а + 2г + 1) _^ ппи г-> оо
Фа {а-Ь2)(а + 4)...(а + 2(г + 1)) -"^ °^^ "^
Следовательно, и -±tl±l = О, где
Фа+i
отсюда следует законность пренебрежения членами, содержащими
Zi в сделанном выше разложении, а также , что la = ?«•
Поскольку при г -^ ОО ?а = 1а, ТО
М, = М,=^, Е^=-^Е^ = ^. D6.26)

§ 4G]
РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИЙ
403
ь^2,5' Ю'^сек
Ь<^5-Ю'^сек
ыгзЮ'^сек
ЫЮ-Ю'^^сек
Ы12,б'Ю''''сек
t—W-W^ceK
t^1Z5-W°ceK
t^20'70'^ceK
t^22.5'f0^ceK
Ь^25'10'^сек ^^j^
t^ZZS'W^ceK ^^^
ЫдО-Ю'^сек
-j:
и-сллошшялиния
-X
^^^
X
Рис. 47.

404 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [гл. VIII
Вычислим значение g, необходимое для определения импульса /:
2{r + l) ^г + 2
о
-\ 2 i U + iy 2(г + 1) •
Отсюда
. _ MoD{2r + i) '/г + 2у+з Bг + 1)! / г + 1 \2(^^i).
2(г + 1) ir + iy (г!J \2г + ЗУ
вставляя значение скорости распространения детонационной
волны D = , . ]/^(г + 1) Q > придем к выражению
^""^К r + ll^r + iy \2'' + 3/ (г!J '
что при г ~> ОС дает, если применить формулу Стирлинга:
D6.27)
/^
В заключение заметим, что при 6 = 0 справа возникнет всего
одна волна я}?, при t -^ оо масса газа в интервале особой волны
стремится к нулю и, следовательно, движение при этом
определится исключительно волной-ф. Таким образом, решение при b =
= О является и аналитически более частным, чем разобранное
нами.
Выведенные нами общие формулы пригодны для любых
значений к = [У. • Полученные результаты иллюстрируются рис. 47,
где даны распределения 1г и с по оси х для наиболее простого
случая А: = 3 (г == 0) для различных моментов времени. Таким
образом, эта фигура иллюстрирует разлет продуктов детонации
конденсированных (бризантных) взрывчатых веществ. Общие
закономерности разлета продуктов детонации газовых смесей
совершенно аналогичны приводимым.
§ 47. Основные результаты исследования
детонационных волн и разлета продуктов детонации
При детонации и разлете продуктов детонации происходит
перераспределение энергии по массе, в основном аналогичное
разобранному в § 25. Надо только заметить, что в данном случае это
перераспределение происходит дважды: один раз при
прохождении детонационной волны, по исходному веществу, второй раз при
разлете продуктов детонации.

§ 47] ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 405
Это, как мы сейчас убедимся, влечет за собой дополнительное
уменьшение количества движения по сравнению с количеством
движения разлетающегося газа, ранее находившегося в покое.
На фронте детонационной волны не только плотность энергии,
приходящаяся на единицу массы Ен, но и объемная плотность
энергии рн8н больше начального значения этих величин. В
самом деле,
Ч = Q^ Ро^о = Ро^- ('47.1)
На фронте детонационной волны на основании формул B8.1,3,4)
и B9.2) имеем
/с —1 ' 2 /с —1 (/c + l)^ k + i
Таким образом.
3/с —1 ^
Рнбн = ]^ PoQ-
3/с —1 Рн^н ЗА: —1
ео /с +1 ' ро8о к
D7.2)
D7.3)
при к = 3 имеем 8н/ео = 2; Рн^/ро^о = 8/3, при к = i получаем
eJEq = 1; рнен/робо = 2.
При истечении продуктов детонации плотность энергии на
фронте разлета равна
и
2
max
Cfe-l)^ . 7Г2_C^-1)^ . 7i_ З/с-1 7
ЧТО при к, близком к единице, дает весьма большое значение для ё^.
Наиболее интересной особенностью процесса детонации и
разлета продуктов детонации является влияние места
инициирования (начала детонации) на распределение масс и количеств
энергии, разлетающихся в противоположные стороны. Оказывается,
что в сторону более длинной части заряда (газовой смеси) идет
большая часть энергии, несомая меньшей массой. В
противоположную сторону разлетается большая часть массы, которая несет
меньшую часть энергии.
Импульс (односторонний) не зависит от места инициирования.
Используя формулы D6.22), при к = 3 имеем
М2 ~" 5а + 46 ' Ez ~~ 11а+ 166 ' ^ ~ 27 К ^^"^0^0 — 27 '
при к = 5/3,
Ml _ 297а + 328Ь , Ei _ 21«81а+89-166 ^
Ж~ 328а+ 2976 ' Е^ ~ 89.16а + 21-816 '
5-625 ^ « ® 1^2.5.625

406
при к = I
ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ЁОЛНЫ
[ГЛ. VIII
Ml _ Ег .
Mi Е2 ~ '
i^y
/^ МоЕо
Таким образом, импульс незначительно уменьшается при
уменьшении к.
Отношения MJM^t EJE^ масс и энергии, идущих в разные
стороны, при этом также уменьшаются, и при А: = 1 эффект
перераспределения стремится к нулю.
Величина / для данного к в рассмотренном в § 46 случае всегда
меньше, чем при истечении газа, ранее покоящегося в сосуде
(случай мгновенной детонации).
При вычислениях / учтено то обстоятельство, что при разлете
продуктов детонации мы имеем движение газа в обе стороны, а
при разлете газа из сосуда газ движется в одну сторону. Поэтому
мы должны выражения для / в случае детонационной волны
умножать на два, чтобы движущиеся массы в обоих случаях были
одинаковы. Это эквивалентно рассмотрению волны, идущей от
стенки в одну сторону. Приведем таблицу значений величин ^^
и ^2> определяющих значения коэффициентов в выражении / =
= УЛ ^Е, причем ^1 характеризует истечение ранее
покоящегося газа (мгновенная детонация), а ?2 ¦— истечение продуктов
детонации.
и
1х
3
1,185
1,390
1,225
1,500
5/3
1,170
1,370
1,185
1,405
7/5
1,150
1,320
1,170
1,365
9/7
1,132
1,272
1,160
1,345
1
1,130
1,270
1,130
1,270
Интересно отметить, что при отражении волны разрежения от
стенки (случай а=6) давление в отраженной волне так же мало
зависит от х^ как и в ранее разобранном случае истечения
покоящегося газа. Это дает возможность для отраженной волны
аппроксимировать давление формулой
D7.5)
Здесь ^0 "" величина давления в момент образования отраженной
от стенки волны, 1^ — момент времени начала отражения (см.

§ 47] ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 407
формулу D6.13), считая в этой формуле 1 = 1q):
2Г + 3 \-(^>'^з) _ __^ . т _ о « / 2Г + 3 У^'_ 2 Л^г.1.
^0 - Рн ^^(F+iy
2г + 3
2(г + 1)
Величина импульса при такой аппроксимации может быть
определена соотношением
оо
I = Poto + lpdt. D7.6)
to
Здесь величина PqIq определяет импульс у стенки для состояния по-
оо
коя за фронтом детонационной волны, а интеграл \ pdt
опрело
деляет импульс для отраженной волны разрежения. Проделав
элементарные преобразования, мы величину импульса сможем
записать в виде
/ = Pot о + i'Ha-(^+3) toj__ _ р^«.Bг«). 2 ^ «n-i
1-^
1 J *±.
D7.7)
Поскольку точная величина импульса при истечении в пустоту
нам уже известна, то, сравнивая величину импульса,
определяемую формулой D7.7), с точным значением импульса, мы приходим
к уравнению, связывающему величины ^2 ^ '^'
/./^2<.-..«[1^] = /.=
;^\ = Т,= \Г1,М^,. D7.8)
Для того чтобы получить второе уравнение, связывающее эти
величины, мы поступим следующим образом. Будем искать
величину скорости движения продуктов детонации у стенки в виде
U = «„_?-, D7.9)
где Uq — некоторая безразмерная величина. Поскольку
уравнение неразрывности приводит к соотношению
din р 1 ди као
dt дх а

408
ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. YIII
а, с другой стороны, d (In p)ldt = — ^bg (^ — т), то в момент
времени t = 1q мы будем иметь kjk = a^D (Iq — t)(i??o — ^)-
Отсюда определяем величину
/Сл = Q/fJt
to-
D7.10)
to —
D
Далее, написав решение для отраженной от стенки волны в виде
'2 2г + 1 ^ г! ^гг'
1-
2и
2(г + 1)
D Bг + 1)Bг + 3) J
r+l
2и
Br + l)i)
i.= .5^i)-~f2Br+l)^
мы, считая, что величина и у стенки достаточно мала, и
пренебрегая члена]
му виду:
гая членами с и^, v? и т. д., сможем это решение привести к тако-
-+f=^^ ¦"+»"'«['
2 (г + 2) (г + 1) и
Bг+1)Bг + 3) D
_ 2(г + 1)
2МГГ"^ + --
Поскольку скорость фронта отраженной волны равна dxidt —
= U -|- с = Z>/2, то X — + D {t — t^l2, С другой стороны, так
как и = UQ Dxl{Dt — а) = uqD^ (t — to)/2{Dt — a), то мы будем
иметь
и =
D(t — to)
t —
«о
D (^ — to)
D
2г + 1
^-6
откуда
dfi =
2Bг-Ь1)
г + 1
« —
D
Bг + 1) ,
^ — о о
здесь величина b имеет размерность времени и равна
''-« ''Br + l)Br+3)D •
Следовательно, второе уравнение, связывающее к^ и т, можно на-

§ 47]
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
409
писать в виде
/с о
г + 1
2а^+1-а^
,^, (г+ 2) (г + 1)
2г + 3
D7.11)
Например, для г = О, А: = 3, Dxia = 1 мы имеем к.^ = к, В случае
Л: = 3 сделанная аппроксимация является точной, как мы
покажем это в следующем параграфе.
Укажем, что, рассматривая случай мгновенной детонации, т. е.
детонацию, происходящую в постоянном объеме, мы придем к
выводу, что плотность энергии, рассчитанная на единицу массы,
будет всюду в этом объеме постоянна и равна количеству
выделяемого единицей массы тепла Q, При этом давление продуктов
детонации определится очевидной термодинамической формулой
Рн == Ро (* - 1) Q'
D7.12)
Можно сделать вывод, что величина давления в данном случае
ровно в два раза меньше, чем на фронте реальной детонационной
волны.
Таким образом, в смысле получения максимальных
разрушительных эффектов при взрыве мгновенная детонация менее
выгодна, чем нормальная детонация. При мгновенной детонации газ
в сдетонированном объеме будет до начала истечения неподвижен.
В заключение укажем, что, рассматривая движение
детонационной волны, можно показать применимость выведенных уравнений
для случая, когда сзади, за фронтом детонационной волны,
расположен движущийся поршень. В самом деле, пусть скорость
поршня постоянна и равна и^. Тогда волна разрежения,
распространяющаяся за фронтом детонационной волны, которая, как
мы показали, является центрированной волной, будет
определяться в области
- +
2 ^
к + 1
X
т
\D,
D7.13)
в области же Uji ^ xlt ^ D12» -f~ (/с -(- 1) Wn/2 параметры
продуктов детонации будут постоянны и = и^, с = DI2 + (/с — 1) uj2.
В тех случаях, когда скорость движения поршня равна скорости
движения продуктов детонации за фронтом детонационной волны
^п — ^т мы придем к предельному случаю, когда зона
существования волны разрежения становится равной нулю.

410 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. VIII
При скоростях движения поршня больших, чем и^, мы придем
к случаю сильной детонации; параметры фронта детонационной
волны при этом будут определяться из соотношений
4 = (P2-Px)K-v,); Z)«=v?^^;
D7.14)
За фронтом детонационной волны, в области между ней и поршнем,
движение продуктов детонации будет стационарным:
и = Un, р = Р2, р = р2. D7.15)
В тех случаях, когда скорость движения поршня непостоянна,
движение детонационной волны и продуктов детонации за ее
фронтом будет также нестационарным.
Случай ускоренного движения поршня при этом будет
приблизительно соответствовать случаю сходящейся детонационной
волны, когда давление на фронт возрастает по мере движения.
§ 48. Разлет продуктов детонации в пустоту
в случае fc = 3
В качестве примера мы рассмотрим случай разлета продуктов
детонации в пустоту, когда Лс = 3. Этот случай как раз и
соответствует продуктам детонации конденсированных взрывчатых
веществ и поэтому представляет большой практический
интерес.
Исходя из рассмотренного выше общего случая, мы уже
получили закономерности в распределении масс, импульсов и
энергий и имели, в частности, эти распределения для к — 3, Однако
для того чтобы наглядно показать закономерности в процессе
движения и взаимодействия различных волн, необходимо более
детально рассмотреть простейший случай интегрирования
основных уравнений, когда к = S,
Общие решения для этого случая имеют вид
X = {и + c)t + F^{u + с) = (и — c)t + F^{u — с), D8.1)
Особое решение имеет вид
X = (и + е) t + F (и); и = ±с + const. D8.2)
Пусть детонация плоского заряда в трубе начинается в
некоторой плоскости, проходящей через начало координат. Длину
правой части заряда обозначим через а, а левой — через Ь. Тогда
детонационная волна, идущая направо, как мы видели, в случае

§ 48] РАЗЛЕТ В ПУСТОТУ В СЛУЧАЕ Л= 3 411
к = 3 может быть описана такими уравнениями: х = (и + с) t,
и — с = — D/2 или
X D
при ^<!-</);
D8.3)
при Ot^x/t^D/2
и = 0, с = ^. D8.4)
В момент времени t = a/D детонационная волна дойдет до
правого конца заряда, после чего начнется разлет продуктов
детонации. Исходя из общих решений, можно утверждать, что процесс
разлета будет характеризоваться такими уравнениями:
« + с=|. u-c = D^^. D8.5)
Первое уравнение очевидно, второе находим, исходя из второго
уравнения D8.1) и граничных условий: при t = a/D и х = а
F2 {и — с) = а — a/D {и — с), откуда и имеем для и — с второе
уравнение D8.5).
Волна разрежения, возникающая при разлете, идущая справа
налево, в момент времени t = 3a/2D при х = За/4 встретит точку
слабого разрыва в решении, написанном для w + с. При этом
возникает новое решение. Это решение будет иметь вид
и + с = —^ w-c = J[)^=^; D8.6)
решение для и -- с сохраняется. Решение и + с — D/2 также
сохраняется и является тем же, что и в случае стационарной
(неподвижной) волны. Волна D8.6) является простой
центрированной волной.
Аналогичная картина будет иметь место для левого конца
заряда. Для написания соответствующих уравнений необходимо
только заменить а через Ь, и -{- с через —и-\-си и — с через
-(и + с).
в момент времени t = 3 {а + b)/2D в точке х = 3{а — Ь)/4
встретятся правая и левая волны разрежения, причем возникает
опять новое решение; оно, очевидно, будет характеризоваться
уравнениями
ц + с = В ^/ . ; u — c = D
щ-f, ' "- " " щ.

412
ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. YIII
В случае а = b (что равнозначно детонации, идущей от
стенки) имеем
Dx ^ Da ^^g^^
и =
Dt—a
Dt — a'
ЧТО показывает на независимость с от х ъ отраженной волне
(на это было указано в § 47).
Выпишем теперь все решения и укажем области их
существования для правого конца заряда:
и = -^
X
2t
1
2
, X — а
а
С =
х-\-Ь
X
It
1
2
X — а
Го ^~" 1
а
1
+
t —
D
а
IT
С =
' X -^-Ь
Ъ~
'--D
t —
D
i[z,_3|]>i>l[z.-i]
D8.8)
Аналогичная картина будет иметь место для левого конца
заряда.
Рассмотрим, как будут распределяться энергия, импульс и
массы продуктов детонации, разлетающихся в противоположных
направлениях при достаточно большом t (t -^ с»). Для этой цели
рассмотрим выражения вида
Dt Dt/2
Д = ^^[ J cu^dx+ J. cu^dx'^ , D8.9)
Dt/2 0
где первый и второй интегралы берутся соответственно для первой
и третьей волн в системе D8.8). При а = О Д равно Mj —
разлетающейся направо массе, при а = 1 /а = Д — количеству
движения этой массы, при а = 2 /« = 2Ei — удвоенной энергии
этой массы. Вычисляя аналогичные интегралы для левого
конца, в результате будем иметь
Мг 1 Г4а + 56] . Л/2 _ 1 [Ъа + Ш . г _ г _ 4 ,. ^
Яо ~ 27 [ a-\-b J '
D8,10)
Ж~ 9
Eo ~ 27
^1.
a + b J '
16g + 1161
a + b J'

48]
РАЗЛЕТ В ПУСТОТУ В СЛУЧАЕ к = 3
413
Л/о02
16
полная
где Mq = Pq (а + Ь) — масса заряда, Eq = MqQ =
энергия заряда (площадь сечения заряда принята равной единице).
t^ZS'fO ""сек
Рис. 48.
Равенство импульсов очевидно, поскольку в процессе
детонации действуют лишь внутренние силы. Отношения масс и
энергий определяются формулами
Ml __ Ы-\'ЪЪ . Ех^ _ 1Ы + ПЬ (Л9К \\\
Л/2 ~ 5а+ 46 ' Е2,~ 11а+ 166 * D:0.11;
При 6 = 0 имеем М^/М^ == 4/5; Е-^/Е^ = 16/11; отсюда видно,

414 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны. [гл. VIII
что в случае крайнего положения детонатора в сторону заряда
идет меньшая масса, чем в противоположную, но зато эта масса
несет в себе большую энергию. Таким образом, можно сказать,
что в процессе детонации происходит перераспределение энергии
и этим перераспределением можно управлять, меняя положение
детонатора, что хорошо согласуется с экспериментальными
данными. Распределение скорости звука с (пунктирные линии)
и скоростей продуктов детонации w (сплошные линии) оси х для
различных моментов времени и при крайнем положении
детонатора показано на рис. 48.
В случае, когда детонация начинается у одного из концов
заряда, система волн значительно упропцается, а именно остаются
лишь волна разрежения, идущая от другого открытого конца,
которая описывается уравнениями D8.5), и волна разрежения,
идущая от конца, где началась детонация. Надо заметить, что эта
волна описывается теми же уравнениями, что и детонационная
волна, т. е. уравнениями D8.3); при этом максимальная скорость
истечения продуктов детонации, очевидно, равна и = — D/2.
Случай, когда детонация начинается посредине заряда,
эквивалентен случаю детонации, идущей от твердой стенки; при этом
количество движения, которое получают истекающие продукты
детонации, равно импульсу давления, действующего на стенку.
Этот импульс, как мы видели, определяется из соотношений D8.10).
Если скорость детонации выразить через потенциальную энергию
взрывчатого вещества Q, то из уравнения D3.35) имеем
D = /2 {к^ - 1) (? = ^VQ
и поэтому импульс определяется соотношением
/=i| ум;щ=§ УЩё;, D8.12)
где Ml ^= Mq/2 есть масса продуктов детонации, истекающая в
одном направлении Ei = EJ2.
§ 49. Истечение продуктов детонации
с косой поверхности заряда в пустоту
Рассмотрим весьма интересный случай истечения продуктов
детонации с боковой поверхности заряда взрывчатого вещества и
вообще с любой поверхности, к которой детонационная волна
подходит под некоторым углом а (рис. 49).
Для определения параметров продуктов детонации,
разлетающихся с поверхностных слоев вблизи заряда, можно получит^^
Трчные решения уравнений г^зоэоц динамики,

§ 49] ИСТЕЧЕНИЕ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ С КОСОЙ ПОВЕРХНОСТИ 415
В системе полярных координат, для которой точка пересечения
детонационной волны с поверхностью заряда покоится и
является началом координат, будут иметь место уравнения
ди
дг ' г
dw
w ди
1 dp
ae r ^ p дг
?i; Эг^; , Mii? , 1 dp r.
D9.1)
где r — радиус-вектор, 9 — полярный угол, и — радиальная
компонента скорости, W — тангенциальная компонента скорости, р —
плотность, р — давление газа.
При сделанных предположениях вблизи поверхности разлета
при малом г все параметры мало
зависят от г. Положим, что
параметры являются функциями
только одного полярного угла 9;
в этом случае движение газа будет
автомодельным, поскольку число
независимых переменных в
уравнениях уменьшится на единицу.
Подобный вид плоских движений
газа носит название движений
Прандтля — Майера (см. § И,
уравнения A1.25), A1.26), A1.28).
В этом случае уравнения примут
вид
du
Ж
р did
= w;
f , dw
rfO
P^ + -50-(pw^)==O-
D9.2)
Рис. 49.
Вводя скорость звука и сделав следующие
преобразования:
сЮ In р
дд
+ »(»+^) = 0;
и +
dw u'd In р
rfe
dQ
==0,
мы, умножая последнее выражение на w и сравнивая его с первым,

416 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [ГЛ. VIII '
получим
W = с, D9.3)
Таким образом, решение нашей конкретной задачи нужно искать
исходя из условия, что тангенциальная составляюхцая становится
равной местной скорости звука.
Поскольку заданы начальная скорость потока q^ и начальная
скорость звука Сн, то, исходя из уравнений Бернулли, легко
определить максимальную скорость §•«» которую приобретает газ,
истекая в пустоту, а также зависимость скорости от угла 9:
^l = ^l + т^ = K + i^<^l=^' + i^c\ D9.4)
Поскольку
du
-5ё- = «^=с,
то
откуда следует, что
i=/m-(^K-"^)' (^^-5)
отсчет углов 9 будет вести от линии, где и = q^ (на рис. 49
линия ОС), по часовой стрелке. Далее из уравнений D9.5) и D9.6)
следует, что
w==c=^^qj, }/|^ sin ]/|^е. D9.7)
Местный угол Маха определяется уравнением
tgM = i = ^ = /|ET.,/|E|:9. D9.8,
Определим область сухцествования решения для
рассматриваемого случая. Как видно из рис. 49, в принятой подвижной
системе координат, обладаюхцей скоростью D/sin а, мы будем иметь
Сн tg a/D = (tg d) (tg Мпр), откуда, производя замену Cjj =
= kD/{k + 1), получим
чем определяется положение линии ОА. Вне линии О А имеем
область постоянной скорости. Значение угла у, определяющего об-

§ 49] ИСТЕЧЕНИЕ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ С КОСОЙ ПОВЕРХНОСТИ 417
ласть существования решения, найдем, исходя из формулы D9.8):
tg^ = /m*g/TTfr = TTrtg« = tg«.
откуда
*g/Tf^r=-^^tg«. D9.10)
В области у все параметры являются функциями только угла 6.
Линия ОС обозначает границу разлета. Очевидно, что при Q = у
с = Cji, причем, используя формулы D9.7) и D9.10), получим
9i< = у J^ ^н cosec }/1^ Г. D9.11)
Отсюда, введя обозначения:
f{k - Щк + 1) е = ё; V{k - i)//{k + 1) у = ъ
получим
sin 6
т /" /с +1 COS в
и=у -тг-Чг ^н -г^г-, w = с= с^
г К — 1 S1JJ -у
k + i / sin б \
'^ \ sm т /
sm т sin т
2
D9.12)
Определим теперь значение скорости в обычной, неподвижной
системе координат. Угол между радиусом-вектором и
первоначальной границей заряда есть
ф = р-^-Ь9-а. D9.13)
Зная угол расчета и учитывая переносную скорость D/sin а,
придем к результату:
Проекция скорости на радиус-вектор будет
•"^^i^iV k^-i cos/^^-p^e-cos(P-r + e-a)J.
D9.15)
Проекция скорости на перпендикуляр к радиусу-вектору будет
D9.16)

418
ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. VIIl
Угол между границей заряда и вектором скорости г|)
определяется формулой
tg (^ - ф) = - .
D9.17)
Полученные формулы дают возможность определить, как скорости
и плотности разлетающихся продуктов детонации зависят от угла
и)
к-3
л Граница заряда
' у/////////////////////^////у
1
1
1
1
^
^^ к-3
1
в>
Г«\ Граница заряда
Рис. 50.
разлета и от угла встречи. Анализ решений показывает, что
радиусы-векторы, соответствующие максимумам плотности илшульса
(^рд, где д* = й^ + г>^), энергии (~р^^), мощности (~р^^), со-

§ 49] ИСТЕЧЕНИЕ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ С КОСОЙ ПОВЕРХНОСТИ 419
ставляют почти один и тот же угол 8 с нормалью к поверхности
заряда. Этот угол зависит от а и /с. На рис. 50 даны максимумы
плотности энергии при а = 90 и 45° и к = 3, 7/5. С увеличением
А: и а этот угол уменьшается. В случае к = 3 для а = 90° угол
е составляет 9°, для а = 45° угол 8 = 14°, что хорошо
согласуется со специально поставленными экспериментами.
Наибольший интерес представляет более детальное
рассмотрение случая разлета продуктов детонации с боковой поверхности
взрывчатого вещества, т. е. тогда, когда угол а = я/2. В этом
случае
±e/sin7/
; + 1 V k + i 2
D9.18)
Возможно также приближенное, очень наглядное решение этой
же задачи, основанное на предположении, что после прохождения
детонационной волны через заданное сечение заряда разлет
поверхностных слоев под действием внутреннего давления в системе
координат, движущейся вместе с фронтом волны, происходит
перпендикулярно к поверхности заряда. Тогда в неподвижной
системе координат разлет продуктов детонации будет происходить под
углом г|) к поверхности заряда, причем этот угол определяется из
очевидного соотношения
tgt))=^, D9.19)
где Uq = 2cJ{k — 1) = 2kD/{k^ — 1) есть скорость, направленная
по нормали к поверхности заряда, а Wh ^ ^/{к -\- 1) есть скорость,
направленная вдоль поверхности заряда; полная скорость
разлета, очевидно, определяется соотношением
Отсюда
Для типичных взрывчатых веществ /с ==: 3, ip = 18°, q ^^ 0,8Z).

420 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [гл. VIII
Указанные закономерности особенно часто проявляются при
детонации какого-либо протяженного заряда взрывчатого вещества.
Если мы, например, желаем получить фронт разлетающихся
продуктов детонации плоским, то для этой цели необходимо взять
протяженный заряд в виде угла, причем величина этого угла Q,
очевидно, определяется соотношением Q = 180 — 2\|p (рис. 51).
Заканчивая исследование
процессов, происходящих при
разлете продуктов детонации в
пустоту, следует отметить, что
применение уравнения изэнтропы р\^ =
= const, где fe :^ 3, как мы знаем,
справедливо, лишь при давлениях
р ^ 2500 кг/см^, при давлениях
р <; 2 500 кг/см^ необходимо
пользоваться уравнением
изэнтропы pv^ = const, где у = Ср/су = 7/5; 5/4. Однако головная часть
продуктов детонации, для которой справедливо уравнение
изэнтропы pv"^ = const, весьма мала по массе, а именно ее масса
составляет не более 5% от всей массы продуктов детонации, что
позволяет не рассматривать отдельно ее действия.
Интересно отметить, что при косом истечении продуктов
детонации происходит распределение масс и скоростей истекающих
продуктов детонации по углам. Рассматривая движение продуктов
детонации при косом истечении не только с головной части
детонационной волны, но и с тыловых частей, мы придем к тому
заключению, что будет иметь место перераспределение масс и
скоростей по углам и по расстоянию от фронта детонационной волны.
Определим поверхность фронта волны разрежения в том
случае, когда детонационная волна распространяется
перпендикулярно к боковой поверхности заряда. Будем рассматривать
задачу в прямоугольной системе координат. Заметим, что на фронте
волны разрежения компонента скорости г?, направленная по оси г/,
равна нулю.
Проходящая детонационная волна характеризуется
уравнениями
Из теории характеристик для определения фронта волны
разрежения будем иметь уравнения
где ф (х, у, t) = О есть уравнение характеристической
поверхности, т. е. фронта волны разрежения (§5, уравнения G.12) -— G.14)).

§ 49] ИСТЕЧЕНИЕ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ С КОСОЙ ПОВЕРХНОСТИ 421
Поскольку движение этой волны автомодельно и зависит
только от одной независимой переменной z^ = xlDt, то можно искать
решение уравнения D9.23), предполагая, что оно зависит от двух
независимых переменных Zi = x/Dt, Zg = yIDt, Подставляя из
D9.22) значения и is. с, придадим уравнению D9.23) следующий
вид:
Производя преобразования, приведем уравнение к виду
dzi 1 ^1 + 2 хг
d(f i Zi 1 '
поскольку d^ldzi = — {dzjdzj) (dif/dz^), то будем иметь
dzl 2z^
dzi
D9.25)
V-1(^i + t)- (^9.26)
zi + Y
Решение этого уравнения напишем в виде
где А =с^-7, или, возвращаясь к прежним переменным, в виде
= (f.+.)/lzM|liL)
J = I ^ + *) к 2 ¦ <*'-2')
Константа, входящая в это уравнение, определяется из следующих
условий: при t = Xq/D х = Xq, у = О, где Xq — текущая
координата. Начало отсчета у ведем от поверхности заряда, радиус
заряда обозначим через у^. При этих условиях решение уравнения
примет вид
При у = у^ значение координаты х = х определится из
соотношения
Величина Д^ == Xq — ^, характеризующая глубину волны

422
ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
[гл. vm
разрежения, определится из соотношения
^ = (х-^)/х[>"х-ь(|-^
D9.30)
При ^0 -> ос будем иметь Ал: = 4г/2/Зл:о -^0, т. е. по мере
увеличения расстояния, проходимого детонационной волной,
относительная глубина фронта волны разрежения будет убывать.
В случае детонации от
J) д стенки при небольших
значениях х^у^ волна разрежения,
идущая с боковой
поверхности заряда, будет пересекать
область стационарного
состояния продуктов детонации
и нарушать ее форму; в
стационарной области этот
фронт будет прямолинеен,
причем эта волна будет сложной или отраженной. Поскольку
стационарная область распространяется по закону х = Dill,
то, начиная со значений х^ = Х^, определяемых из соотношения
^=1/4-In-
D9.31)
фронт боковой волны разрежения будет пересекать область
нестационарной волны D9.22). Вид простых волн разрежения АС
и jBC, идущих с боковых поверхностей Z)-4 и BE, изображен на рис.
52. В случае мгновенной детонации фронт волны разрежения
будет распространяться параллельно боковой поверхности в глубь
заряда с постоянной скоростью, равной местной скорости звука.
Левее точки С пойдут отраженные волны сначала по волне D9.22),
а затем по стационарной.
Развитое здесь представление о разлете продуктов детонации с
косого среза и с боковой поверхности заряда помогает и в более
сложных задачах анализировать основные закономерности
неодномерных движений продуктов детонации.
Задача движения продуктов детонации после встречи волн
разрежения, идущих с разных поверхностей заряда, является весьма
сложной и может быть решена методом характеристик. В том
случае, когда мы имеем линейный длинный заряд и детонация началась
на значительном расстоянии от рассматриваемой части его, можно
допустить, что за фронтом детонационной волны газ движется
стационарно со скоростью и^ = Dl(Jk + 1), причем его давление
постоянно. В этом случае в системе координат, в которой фронт
детонационной волны неподвижен, движение продуетов детонации

§ 49] ИСТЕЧЕНИЕ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИЙ С КОСОЙ ПОВЕРХНОСТИ 423
(газа) будет стационарным. Поэтому разлет продуктов детонации
также будет стационарным.
Рассмотрим задачу о разлете продуктов детонации, несколько
обобщая ее в том случае, когда заряд представляет собой
параллелепипед, поперечные размеры
которого малы сравнительно с ^"^^^на"^ в^'на^
длиной. В этом случае движение
разлетаюп];ихся продуктов
детонации можно считать плоским.
Будем рассматривать более общую
задачу, считая, что за фронтом
детонационной волны в выбранной Рис. 53.
системе координат скорость газа
больше звуковой, а не равна
звуковой, как это имеет место именно для продуктов реальной
детонации.
В этом случае (рис. 53) волна разрежения будет являться
простой волной, подчиняющейся известному решению Прандтля —
Майера, которое мы рассмотрели ранее:
с = «; = |/^ Со cos |/^ F - бо),
где Со — скорость звука заторможенного потока. Константа Bq
определяется из условия, что на фронте волны разрежения
скорости иж V известны.
Напишем снова уравнения плоских установившихся движений
//л ^ч 1 Э/?
газа D9.1) в полярной системе координат, взяв члены —-^»
^|§-в виде B.18) и полагая в B.24) г; = 1/;, и; = 0, ф = е
2 дс ..
С -—- = О
и
ди ,
dw , W
w ди
дю
+
г
UW
г
+
+
k — idr
2 сдс
/с-1 гае
= 0;
^ (рг^^) + :ж(Р^)==0.
Для потенциальных течений
ди dw .
Эф дг ^
иЦи'' - с'') -\-2uw -^ ^^ L^ + 'a^J'
D9.32)

424 iijiocjkHE де'1^онационные волны [гл. Mil
Пусть уравнение характеристик будет
/ (г; в) = О, D9.33)
тогда вдоль характеристик эту систему уравнений можно написать
в виде
ди dr , дт , du г. \
ди , ^ 2\ I о dw . iw^ — с*) V , dw dm drl ^ (
D9.34)
Отсюда мы придем к уравнениям характеристик
dlnr
D9.35)
определяющим два семейства характеристик. Поскольку для
простой волны W — с, то, рассматривая фронт отраженной волны
разрежения от плоскости симметрии, мы придем к уравнению
фронта
причем du/dQ = с. Так как для падающей простой волны нам
известны функции U = гг (9), с = с (9), то можно проинтегрировать
уравнение, определяющее фронт отраженной волны:
D9.37)
где Го — константа, определяемая из того условия, что фронт
начинается при заданных г и 9, известных по падающему фронту
первой волны разрежения. Аналогичные решения можно
написать для другой (нижней) половины заряда. Фронт падающей
(первой) волны разрежения будет прямолинейным, причем угол
падения фронта определяется соотношением sin 9 = cju^^
где Сн и Wh — начальные параметры в переносной системе
координат.
Отраженная волна является волной, где необходимо
рассматривать оба семейства характеристик; нахождение ее решения в
аналитическом виде не представляется возможным в общем слу-

§ 49] ИСТЕЧЕНИЕ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ С КОСОЙ ПОВЕРХНОСТИ 425
чае. Однако можно приближенно изучить свойства этой волны,
считая, что на фронте отраженных волн разрежения значения
параметров с или pvLq известны, и допуская, что в
рассматриваемом сечении х эти параметры являются неизменными. Наклон
линии тока следует считать плавно меняющимся от крайнего
значения на фронте отраженной волны до нуля на оси. При этом мы
как бы рассматриваем задачу одномерного движения газа в трубе
переменного сечения. На основании всех этих допущений при
достаточно большом расширении давление стремится к нулю;
характеристики D9.35) приближаются к линиям тока. Эту задачу
удобно решить в прямоугольной системе координат. Пересчет
скоростей из полярной системы координат в прямоугольную не
представляет труда.
Зная полную скорость q, найдем, что проекции q на оси х
и у будут q cos 6 и ^ sin 0. Отсчет углов 0 производим от оси х.
Переход к неподвижной системе координат после этого будет
заключаться в том, что к компоненте скорости q cos 0 прибавляется
переносная скорость подвижной системы координат D,
Уравнения линии тока в полярной системе координат имеют
вид
-^ = -^ = ^. D9.38)
Отсюда и из D9.12) мы будем иметь для простой волны
разрежения
fe+i
¦7- = (с«^|/^(в-0о)) '"', D9.39)
где константа Го определяется из связи параметров г и 0 на
фронте первой волны разрежения. При D — Uj^ = с^ решение задачи
совершенно аналогично проделанному.
Для сложной (отраженной) волны при р -^0 имеем с -^0,
dQ/dr = О, откуда 0 = const и линии тока будут представлять
собой прямые линии.
Решенная задача представляет определенный практический
интерес. Доведение результатов решенной задачи до числа не
представляет затруднений.
Следует заметить, что совершенно аналогично можно
рассмотреть более реальную задачу о разлете продуктов детонации
удлиненного цилиндрического заряда, однако в этом нет большой
необходимости, поскольку известно, что результаты рассмотрения
аналогичных плоских задач и задач с осевой симметрией
достаточно близки друг к другу.

426 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [ГЛ. VIII
§ 50. Отражение плоской детонационной
волны *)
В том случае, когда детонационная волна, распространяясь по
заряду взрывчатого вещества (рис. 54), достигнет абсолютно
твердой стенки, произойдет отражение детонационной волны. Легко
рассмотреть случай отраже-
х=т
VA ПИЯ плоской детонационной
р волны от стенки. Для этой
—р— цели мы воспользуемся урав-
р нениями теории ударных
у^/ волн, так как можно считать,
что отраженная детонацион-
Р^^- ^4. ная волна будет волной
ударной, поскольку
детонационная волна является поверхностью разрыва. На границе
раздела продукты детонации — стенка гг = О, причем и^и^ — щ,
где щ — значение скорости щ на фронте отраженной волны;
при этом основные уравнения для отраженной ударной волны,
на основании уравнений B8.2,4), C0.6,7) будут иметь вид
ul-^ul = (р„ - ро) (vo - Vh) = (Р2 - Рн) (Vh - V2); E0.1)
Лн — /^0 = о (Vo — Vh);
р Р Р2 + Рн ,,. ^ , E0.2)
Ь^ — Ьи^ Г) (Vh —Va); ^ ^
(D,-u,,f==-fl--^vl. E0.3)
Здесь индексы О, н, 2 обозначают соответственно состояние среды
до начала детонации, на фронте детонационной волны и на фронте
отраженной ударной волны.
Для сильной детонационной волны (конденсированные
взрывчатые вещества) из формул D5.2), D5.5) имеем
^н = -т-гт D;
поэтому
Ul = {Р, - Рп) (Vh - V2) = -^ . E0.5)
* Эта задача была решена Я. Б. Зельдовичем и автором [23].

§ 50] ОТРАЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ 427
Считая, что для продуктов детонации справедливо уравнение
ру^ = const, напишем уравнение адиабаты Гюгонио B9.4) в виде
V2 Рн (к + 1)р^ + (к-1)р^
Vh Р2 (k-i)p^+(k + i)p^ »
E0.6)
исключая, далее, величину V2, с помощью уравнения E0.5)
получим
k + i (k + i)p2 + p^(k-i)
Поскольку для сильной детонационной волны
E0.7)
к
V„=: Vn
то
2к, {р, - Рн)' = Рп [Р2 {к +i) +Рп {h - 1)]. E0.8)
Отсюда 2кр\ — р^рг E/с + 1) + (^ + 1) Рн = О, что определяет
отношения рг/Рн? Рг/рн и DiiD^:
I2l
Рн
±1
Рн
5/с + М- УПк^ + 2к + 1
4А:2 _}- /с + 1 + У 17/с2 4- 2/с + 1 .
~" 2[2k^ + k-i] '
D2 к-
E0.9)
-3+ У17/с2+2А: + 1.
4(/с+1)
E0.10)
при /с = 3 рг/рн = 2,4, р2/рн = 4/3,
ZJ//)h = - 0,77;
при /с = 1 р2/рп = 2,6, р2/рн = 2,6,
D^/D^ = -0,31;
при к = оо р^/рп = 2,3, рг/рн = 1,
D^/D^ = -1,28.
Таким образом, видно, что величина р2/ро мало зависит от к
(второй корень, дающий значения р2<Рн для любых /с > 1,
не дает решения, имеющего физический смысл).
При ударе детонационной волны энтропия повышается весьма
незначительно. В самом деле, до удара имеем: {Si — 5о)/су =
= In (PhVh), после удара: (^2 — So)/cy = In (P2V2). Отсюда
^-b^f^^j'^ln^, E0.11)

42S
ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. VIIl
где
5/С + 1 + Yilk^ + 2k + i
Ак
X
X
2{2k^ + k^i)
4А;2 + /с + 1+ /47/^2 + 2к + i
E0.12)
Исследуем величину г\; при /с = 3 т) = 1,08, при /с = 1 т| =
== 1,00, при к-^ оо г\ = 1,00. Следовательно, при i ^ к ^ оо
имеем Yi<^l,l. Для слабой детонационной волны т] еще меньше.
Таким образом, в данном случае действительно можно пренебречь
изменением энтроыпи. Поэтому расчет параметров отраженной
волны можно легко упростить, если использовать формулы,
справедливые для совокупности акустических волн (т. е. пользоваться
так называемыми особыми решениями). В этом случае, как мы
знаем [см. C8.10)], Ai^ = ± 2Ас/(/с — 1), что дает
— щ + и^=+ yZT (^2 — ^н); E0.13)
на стенке щ = и ^ 0. Поэтому имеем
^2 — ^Н "Г
или
отсюда
k-i
З/с-
ЗА:-
2^
2(k + i)
D;
11-.= (-^Y =
Ря V рн ;
З/с
2fc
¦ 1 U-1
2/с
E0.14)
E0.15)
E0.16)
Скорость фронта отраженной волны определится формулой C8.4)
"н — ^Н + — С2 J) 5/с — 3
D,=
2 —
2
4 k + i
Для А: = 3 имеем: С2 = D, D2 = — SDJA; pjpn = D/3)^ = 2,37;
Рг/рн = 4/3. Для к = 1: с^ = 0,52); D^ = -/)/4; p^lp^ =
= Рг/рн = е = 2,72. При fe = оо: с^ ^ 1,52); D^ = —1,25Z);
Рг/Рн = 1,5^ = 2,25; рг/рн = 1- Как мы видим, полученные
результаты весьма близки к точным. Определим температуру у
стенки в момент отражения:
Т2 ^ ^^ ^ / З/с -1 \^
Тп Р^ Ря I 2/с j »
E0.17)
что для /с = 3 дает Tz/T^ = 16/9, а для /с = 1 Ta/T'i = 1. Для
неидеальных продуктов детонации температура при отражении

§ 50] ОТРАЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ 429
повысится значительно меньше, чем дает уравнение E0.17) при
/с = 3. Этот вопрос потребует специального рассмотрения.
Выясним теперь, как будет распространяться отраженная
детонационная волна, если рассматривать задачу в акустическом
приближении. При этом мы будем считать, что полный импульс,
который принимает стенка, равен удвоенному количеству
движения продуктов детонации за фронтом детонационной волны. Это
предположение основано патом, что, как мы уже знаем, изменение
импульса при вторичных перераспределениях энергии по массе
(что произойдет при отражении) всегда достаточно мало.
Параметры падающей на стенку детонационной волны определяются
уравнениями (стенка поставлена на расстоянии I от места
инициирования, т. е. начала процесса детонации)
« + c=-f, «=i|^, E0.18)
откуда
2 X D к — i X . D ,ГА л(\\
" = ТТГ—-Т+Т' ^=I+TT- + fe+r' E0.19)
Начальные параметры отраженной волны определяются этими
же уравнениями, если в них положить и = U2 = О, Тогда, как
мы знаем,
5А: — 3
JP2 ^ /Р2 /^ /З/с-1 U-1 . ?»2 ^
Р \9 ) \ 2к ) ' D
4(/с + 1)
Необходимо определить параметры отраженной волны по всей
области. Для этой цели воспользуемся общим решением
одномерных течений газа A5.26) и A5.33):
д'"^ /^1[1/'2Bг + 1)^'2-Ьц]-Ь^2[У'2Bг + 1)^2--Ц2]
где d^ldi<i = ^\ d'^ldu^ = U2t — х.
Произвольные функции F^ и F2 определяются из двух условий:
того условия, что у стенки, т. е. при х = I, должно быть U2 = О,
и из условия, что на фронте отраженной волны выполняется
равенство
 +j^C3 = «i + j:|^q = ^^+^l^; E0.20)
при этом должно быть (в акустическом приближении)
dx j^ 7 —А: ^ _t 5 — 3/с j^ k-\-i .г/л 94 \
4t-^^- 2{k + i) Т + 2(/с2-1) ^ - 2(/с-1) ^2» К^^^^Ч
ЧТО определяет закон движения фронта отраженной волны.

430 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [1'Л. VIII
в частном случае /с — 3 эта задача имеет весьма простое решение.
В самом деле, общие решения, описываюш,ие отраженную волну,
имеют при к = 3 вид (§ 13)
X = {U2 + С2) t + F^ {U2 + C2); \ .rr^ 994
X = (U2- C2) t + f 2 {U2 - C2). J ^^^-^"^^
Падаюш,ая детонационная волна характеризуется уравнениями
a:^(u + c)t, и-с^^. E0.23)
Поскольку волны и -\- CVL и — с распространяются независимо, а
на фронте отраженной волны величина и -\- с сохраняется, то
¦^i(^2 + ^2) = 0. Следовательно, в отраженной волне имеем
X = {U2 + С2) t. E0.24)
Функция р2 {щ — Сг) определяется из того условия, что на стенке
при X ^ I имеем ггг = О при любом t > IID\ тогда
/ = @-С2) ^ +/'2@-С2);
в момент удара t = l/D, Cz =" D; отсюда
F2 {U2 -C2) = + 2/.
Таким образом,
X = {U2- С2) t + 21. E0.25)
Отсюда и из E0.24) имеем
и^ = -^-^ , ^2 = Y E0.26)
или
где Р20, С20 — значения рг и С2 в момент начала отражения. При
этом импульс определяется интегралом
1=^ pdt = -^MoD=^yJUEo. E0.28)
что в точности равно импульсу давления для волны, идуш,ей от
стенки [см. D8.12)].
Анализируя полученные результаты, можно прийти к выводу,
что давление и скорость звука в отраженной волне в случае к = 3
не зависят от координаты, а зависят лишь от времени. Отсюда
естественно предположить, что и при любых значениях к скорость,
давление, а также скорость звука с будут слабо зависеть от х,
т. е. полагать, что приближенно в отраженной волне р2 = Р2 @>

50]
ОТРАЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ
431
и пренебрегать зависимостью от х по аналогии с результатами,
полученными для отраженных волн разрежения (рис. 55, где
даны зависимости и{х) ж с {х) для различных моментов времени).
На рис. 56 показана зависимость давления от времени.
-га -а
^ '2а
Рис. 55.
Будем, по идее М. Арецкина, аппроксимировать давление в
отраженной волне выражением вида
E0.29)
Здесь т и Ад — компоненты /?2о? ^го значения рг и ^2 в момент
начала отражения. В этом случае импульс, который воспримет
стенка в процессе отражения детонационной волны, определится
интегралом
Р20
E0.30)
где llD определяет момент начала отражения.
Как и прежде, считается, что со стороны противоположной
стенки продукты детонации истекают в пустоту. Поскольку
чМ.
Р20
<^20 \ '^—1 / 3/с —
3/с — 1 \ ^-1

432 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны
то, вводя Mq и Eq, найдем, что
З/с-
= ]/2^М„^.
/с + 1
0^0
2к
Тгг 1
Dx
2к
кз-i
[гл. VIII
E0.31)
Этот импульс должен в точности равняться количеству движения,
которое имеют продукты детонации при одномерном
расширении в пустоту (§ 47) для заряда удвоенной массы, поскольку
стенка как бы удваивает массу в смысле импульса. Точное
значение импульса нам известно:
/ = /1Ж^. E0.32)
где величина ^2 была задана
табличкой (стр. 406). Сравнивая
E0.31) и E0.32), определим связь
между искомыми константами т
.2\
Г i^'*'**,,J^'^-*. J
2fe
12 3
Рис. 56.
E0.33)
Поскольку для отраженной волны имеет место соотношение
dlnc2 к
dint
— 1 . du2
2 дх
E0.34)
то, полагая, что вблизи стенки скорость может быть
аппроксимирована выражением вида
^2 = «^^1 E0.35)
мы получим
или
dlnc2 _
dint ~
dlnp2
dint
k-i
= — ka.
E0.36)
E0.37)
С другой стороны, дифференцируя выражение E0.29) по f,
придем к результату
dlnpz ks
dint
1 +
Dx
I
E0.38)
Сравнивая выражения E0.37) и E0.38), найдем вторую связь
между константами т и к^. Однако в этом связующем выражении
останется неопределенной величина а. С целью ее определения рас-

50]
ОТРАЖЕНИЕ плоской ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ
433
смотрим движение фронта отраженной волны вблизи стенки;
поскольку мы имеем
С2 = с
А:-1
к — 1 о/с — 1а? , 3 — к
к + 1
2(/с + 1)
D ^— и
2
E0.39)
и U2 = а {х — l)lt\ d (In c^ld (In ^) = — (/с — 1) a/2, что при
t = IID дает
k — i C2 _ fc —1 S/c ~ 1 D^
2 ^ t ~ 2 ^ 2(k + i) I
aD.
TO, дифференцируя E0.39), будем иметь при t = IID
— ^ ^Jl^ — I — 4 \ rf^ , 4 ^ _ 3fe —1
/c —1 dt D ~"i^ A; + lyrf* ^"/c + l^— 2(A: + 1)
С другой стороны,
/ 4 ^ rfa; _ 8 —(ЗА; —l)g y^
i/c + 1 ^j rff - 2(/c+l) ^'
так как dxidt = D2 = — {Ък -\- 3) Z)/4 (& +1), то отсюда будем
иметь выражение, определяющее величину а:
4 9А; + 1
а
Л + 1 И/с —5
E0.40)
Таким образом, значение производной d (In p^^ld (In ^) в момент
отражения определяется соотношением
d\np2
4/с 9/с +1
rflni А;+ 1 И/с —5
Зададим величину Ь следующей табличкой:
= -Ъ.
E0.41)
к
Ъ
3
3
5
3
3
7
5
3,051
9
7
3,077
1
3,333
оо
3,276
Из таблички видно, что в среднем Ь ^^ 3. Таким образом,
второе соотношение, связывающее величины к^ и т, теперь можно
будет написать в виде
J_ Л Dx\ _ J_^ _ /с 4-1 life-5
кЛ '^ I 1" Ь ~ 4 9/с +1
E0.42)
Этим полностью решается задача о зависимости давления от
времени в отраженной ударной волне.

434 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны
Значения Dxll и /с, заданы табличкой.
[ГЛ. VIII
к
Us
\dx
I
3
3
0
5
3
2
-0,33
7
5
1,8
-0,41
9
7
1,58
-0,49
1
1
-0,7
Следовательно, для аппроксимации величины скорости звука в
отраженной волне мы придем к такому уравнению:
(fc-l)?Ca
E0.43)
С2
С20
Г ЬЛ-Рх 1
2?е
Теперь возможно определить закон движения фронта отраженной
ударной волны, исходя из уравнения E0.21):
dx
4t
= D,
7 — к ^_L ^ — ^^
2(/с + 1) Т""*" 2(А:2 —1)
fe + 1
2 (/с — 1)
с^. E0.44)
Однако для упрощения интегрирования этого уравнения, пола-
гая, что с^/с^о = (^/i?0 ^^ ¦ т. е. полагая величину т — О, мы из
соотношения E0.33), выражающего закон сохранения импульса,
определяем величину к^:
/Со
1+(
2fc
3k — i \fc-:
2/с
У Ь(к
¦1)
52(/с + 1)
E0.45)
Для /с = 3; 5/3; 7/5; 9/7;... имеем к^ = 3; 2,506; 2,280, 2,140
соответственно. При этой более точной аппроксимации
производная dxidt может быть выражена так:
?С-1 -
dx j^ 7 — к ^ _\
W~ ^2 - 2{А: + 1) ~Т + ¦
5 —3/с
ЗА:-1
D
I
2/с
2(А;2 —1) ^{k — \)^\Dt
E0.46)
что сразу позволяет написать решение этого уравнения при
начальных условиях X = I, t = IID в виде
7-fc
2(fc+i) 1 D^
-[
1
ЗА; —1 /
.2(^-1) В
Dt
I
2/f
E0.47)

§ 50] ОТРАЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ 435
откуда
ь—зк
Р.= Л7\.Р{к ¦ 3fc-l./D*..(^+i) D
k — i
D ( Dt \ 2k "' 1
Q [ I 1 J»
1 kjk. Отсюда для
D
2
^ У t '
E0.48)
/c = 3
E0.49)
2(^2 — 1) ^ V ' 26 у V /
__ Г ЗА; —1 Л __ k — i ,
L2(/c-l)i^ 2k •
где 0 = C/c - 5)/(k + 1) - (^' -
имеем такой точный результат:
Для к = 1 имеем
х= —^ Z (-4^]'^' + ^^<; D^ = 2D-^D ]/-^ . E0.50)
В случае более точной аппроксимации E0.43) соотношения
E0.49) сохраняются, а соотношения E0.50) принимают вид
Анализируя полученные результаты, прежде всего следует
отметить, что рассмотренный случай отраженной от стенки
детонационной волны соответствует случаю лобового столкновения двух
плоских детонационных волн. Как было показано, при этом почти
независимо от значения показателей изэнтропы к давление при
отражении возрастает приблизительно в 2,4 раза; поскольку
давление на фронте детонационной волны для типичных взрывчатых
веществ составляет приблизительно 2 «10^ кг/см^, то при
отражении давление доходит до 5-10^ кг/см^. Такое давление является
весьма значительным и может оказывать сильное воздействие на
различные материалы; даже плохо сжимаемые металлы вроде
стали при этом сжимаются, изменяя свой объем на 10—15%.
Изменение давления со временем показано на рис. 56, где также
дано для сравнения р = р (t) для разлета при волне, идущей от
стенки (пунктир).
В случае слабых детонационных волн будет иметь место
соотношение
поскольку Uji = D {i — k2cl/kiDl)/{k2 + 1), то, полагая /с^ = /сг =
— /с, получим
^_ М1^-|^^ .^JL-lV E0.53)

436
ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. VIII
Щюит падающей\
дгтонационной
волны
Таким образом, в случае слабых детонационных волн рост
давления при отражении будет незначительным и в пределе при малых
теплотах реакции мы придем к
акустическому результату.
Перейдем к рассмотрению
отражения детонационной
волны от преграды под некоторым
углом.
§ 51. Косое отражение фронта
сильной детонационной волны
_ _ от стенки
Фронт
ompaoweHHoui
волны
Рис. 57.
Рассмотрим закономерности
отражения плоского фронта
сильной детонационной волны,
подходящей к плоской стенке
под некоторым углом -ф (рис. 57). Решение этой задачи во всем
аналогично решению задачи о косом отражении плоской ударной
волны (§32). Выберем такую систему координат, в которой точка
пересечения фронта детонационной волны и отражаюш,ей
поверхности неподвижна. Основные уравнения C2.4), C2.7), C2.8) и
C2.31), которыми мы будем пользоваться и при решении,
имеют вид
tg№-e)
tgi|)
-1
D
PQ
Рн
P2 +
tg (Ф - 6) _ Рн
Рн
Рн^^зш^Ф;
А: + 1
(A:-1)J^2 + (A + 1)J^H
tga|5
Р2
Ро
Рн
_ fe + i
~ к '
Ро/>^
¦D/^H
А:+1
E1.1)
E1.2)
E1.3)
E1.4)
Здесь 0 — угол между вектором скорости движения продуктов
детонации за фронтом детонационной волны и отражающей
поверхностью, ф — угол между вектором скорости движения продуктов
детонации за фронтом детонационной волны и фронтом
отраженной ударной волны. Индексы 2 характеризуют параметры
отраженной волны. Таким образом, i|) есть угол между фронтом падаюш;ей
волны и поверхностью, а со = ij? — 9 есть угол между фронтом па-
даюп^ей волны и вектором скорости движения продуктов
детонации за фронтом детонационной волны.

§ 51] КОСОЕ ОТРАЖЕНИЕ ФРОНТА ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ 437
Полная скорость движения продуктов детонации за фронтом
падающей детонационной волны равна
gu=V{D-u^r + D4tg'^ = D}/[j^y + clg'y^. E1.5)
Скорость движения среды до фронта детонационной волны в
рассматриваемой системе координат равна
Определим из E1.1) величину tg 9:
Далее из E1.2) из E1.3) определяем
tg (Ф - 6) _^ Рн^н sin^ Ф + 2А:/?н ^
*&Ф {k-\-l)p^qlsm^(p ~
"~Ь А. . 4 i.2 _U /А. О- 1 \2 пЛгтЗ ih «iTi2 m ' V'^-^'"/
A: + l ~ k + i Л2_j.(A: + lJctgЗя|)sin2ф
Отсюда и из E1.7) следует важное уравнение
A:tgфtg^t|) + (/^ + l)tgф-tgt ^
tg ф [ А: tg21|) + А; + 1 — tg ф tg г|з]
• /А. J_4^ ГА-а i/A-a-n2pf„2ibQin2ml ' @1.У;
k-\-i ' (^ + l)[/c2 + (A: + lJctg2•^|)sш2ф]
Это уравнение определяет зависимость между углами ф и-ф.
Анализ уравнения E1.9) показывает, что при значении угла ур>
> i|)o, где, например, для /с = 3 ij^o ^^ 60°, не существуют
значения ф в области действительного переменного, что физически, как
и в теории отражения косых ударных волн, означает отрыв волны
от стенки.
Другими словами, это означает, что невозможен режим
отражения, при котором плоская детонационная волна
непосредственно не может подойти к стенке. Так же как и в случае отражения
косой ударной волны при углах ij) > 'фо? около стенки должна
появиться прямая детонационная волна, соединяющаяся с
основной в некоторой точке разветвления, причем от точки
разветвления должны отходить еще отраженная ударная волна и
тангенциальный разрыв; в некоторых случаях отраженная ударная волна
может вырождаться просто в совокупность слабых волн (волн
Маха).
Определив из E1.9) угол ф: ф = ф (if) и из E1.7) угол 9: 6 =
= 9 (i|)), далее из E1.3) определяем рг/рн и р^Рн- При-ф = О имеем

438 ПЛОСКИЕ ДЕТОЙАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ [гл. VI11
прямое отражение детонационной волны. Поскольку при г|) = О
е 1 . . е Рн _ {к — ^)Р2 + (к + ^)Ри л ^
г|) k + i * " Ф Р2 (k + i)p2 + (k-i)p^ (А: + 1)Ф
и
то, исключая из последних двух выражений 1|)^/ф^, придем к
соотношению, определяющему pzi
гЬ2 2 Рк [2(/?2 —Рн)]^
(/с + 1Jф2 к {к + 1)р, + {к-1)р^ [(k + l)p^ + {k^i)p^]^ '
E1.10)
отсюда
Wh + 1)Р2 +{к- ^)Рп]рп - 2/ь {р, - р,)\ E1.11)
т. е. мы пришли к выражению E0.8), определяющему/?2
непосредственно из соотношения теории плоской волны, что является
контролем проделанных выкладок.
Определим теперь величину Р = ^|/с|, характеризующую
поток за фронтом детонационной волны. Очевидно,
P = 4 = l+(^<'tg^r- E1-12)
Это соотношение показывает, что в случае сильной детонационной
волны поток за фронтом волны всегда сверхзвуковой. Это
обстоятельство является весьма важным при анализе нерегулярного
отражения.
При нерегулярном отражении сильной детонационной волны
всегда будет иметь место отраженная ударная волна, идущая от
точки разветвления, которая не будет ни при каком значении угла
i|) > 'фо вырождаться в линию Маха.
Детонационная волна, образующая у стенки прямой фронт,
при нерегулярном отражении будет сильной — пересжатой
детонационной волной, поскольку скорость ее фронта D2 = D/sin ф > Z).
Для определения параметров на фронте этой волны
воспользуемся уравнением D2.43), считая, что Q ^ с?:
9oDl
/"^
1 + ,/1_1й!^
E1.13)
Зная р2, из уравнения энергии определяем р2 и из соотношения
U2/D2 = 1 — Pi/p2 = 1 — V2/V1 определяем величину U2.

§ 51] КОСОЕ ОТРАЖЕНИЕ ФРОНТА ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ 439
Давление на фронте пересжатой детонационной волны всегда
превосходит давление на фронте обычной стационарной
детонационной волны, но обычно не превышает давления, которое
развивается при прямом отражении стационарной волны. В самом
деле, поскольку
= p„^+';»f^ = ,''",. E1.14)
^" ЗШ^-ф 1 — COS я]) ' ^ '
то при А: = 3, iJ^Q = 60° будем иметь /?2 = 2рн» тогда как при
прямом отражении -рч = ^АРн-
При нерегулярном отражении детонационной волны значения
энтропии по обе стороны тангенциального разрыва, идуш,его от
точки разветвления, будут сильно различаться, поскольку
возрастание энтропии за фронтом отраженной ударной волны будет лишь
незначительно превышать энтропию на фронте падаюш,ей
детонационной волны, а энтропия за фронтом пересжатой (сильной)
детонационной волны будет значительно превышать энтропию на
фронте обычной детонационной волны.
В этой задаче выясняется физическое значение термина
пересжатая детонационная волна. Действительно, часть детонационной
волны при нерегулярном косом отражении как бы дополнительно
сжимается внутри угла, образованного отражаюш^ей поверхностью
и остальной частью фронта падающей волны.
Вычислим значение р для волны произвольной амплитуды.
Поскольку
2
P = ^=l + ^ctg^^|p, E1.15)
то всегда Р ^' 1.
Так как при косом отражении энтропия за фронтом отраженной
ударной волны и при регулярном и при нерегулярном отражении
возрастает незначительно (приблизительно так же, как при
прямом отражении и даже в среднем несколько меньше), то
представляет интерес рассмотреть задачу косого отражения детонационной
волны в акустическом приближении, т. е. пренебрегая изменением
энтропии, иначе говоря, так, как это было сделано в задаче прямого
отражения.
Дл:я этой цели воспользуемся следуюш;ими уравнениями
акустической теории ударных волн [см. формулы C8.1 — 38.4)]:
2 _ 2
^1Н к л ^Н ^S
/с-1
= V
2»
1
/)з = -у [^1Н + Си + Щ + С^],
E1.16)

440
ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. YIII
где гг1н=дн8Шф, г;1н=?нС08ф, 1^2=^2 sin (ф—0), 1^2=^2 cos (ф—9).
Здесь мы считаем, что в неподвижной системе координат фронт
детонационной волны движется слева направо и в системе
координат, в которой точка пересечения фронта волны неподвижна
{Dz = 0), поток среды имеет движения справа налево и сверху
вниз. Исходя из соотношений E1.16) и считая, что D2 = О
(поскольку мы выбираем такую систему координат), придем к
следующим уравнениям, определяющим состояние среды за фронтом
отраженной ударной волны:
дн sin Ф = ?2 sin (Ф — е) + -j^j-^ (сн — Сз);
/с + 1
дн81пф -f- q^sin (ф — 6) + ^н + ^2
дгн cos Ф = ^2 cos (ф — 9),
0;
откуда
{к + 1) С08ф tg (ф — G) + C — к) sin ф =
E1.17)
E1.18)
что определяет ф = ф F). Далее, определяем q^ и Сг, а затем
2fc 2
IL = (Л.) *-^ и -^ = (-^] *"' ; E1.19)
здесь ^н < о и ^2 < 0. Из этих уравнений видно, что отражение в
акустическом приближении также не всегда будет регулярным,
т. е. при известных условиях будут происходить отрыв
отраженной ударной волны от стенки и искривление около нее
детонационной волны. В случае к = 3 это наступит приг)) ;:::^:^ 50°. Отсюда
можно сделать вывод, что пренебрежение незначительным изменением
энтропии при отражении детонационной волны от стенки не
изменит резко качественную картину явления отражения.
В области регулярного отражения акустическое приближение
довольно близко подходит к точному результату.
Перейдем снова к анализу результатов точного решения. В тех
случаях, когда пересжатая волна, имеющая большую амплитуду,
чем нормальная детонационная волна, при своем движении
набегает на какую-либо стенку, возникает новое отражение —
отражение этой пересжатой волны от стенки. Рассмотрим случай
нормального отражения пересжатой волны от стенки. Для этой цели
воспользуемся следующими уравнениями (считая, что Q "^ с1):
Р2 =
9оЩ
/с + 1
1
-Г
2 (к^ -l)Q
Dl
]¦
Р2У2
==Q
г
(vo—Vg);
Vq— V2
E1,20)

§ 511 КОСОЕ ОТРА}КЕНИЕ ФРОНТА ДЕТОЙАЦИОНЯОЙ ВОЛНЫ 441
Отсюда
^^24^М4-А=1; E1.21)
E1.22)
V2
VO
JH_ _ _2 2 (А: — 1) poQ
Л2~"А:+1 /с + 1 р2
Преобразуя уравнение, придем к соотношению для определения
давления, возникающего при отражении пересжатой волны от
стенки:
_P2^2 __ (/?з - jPa) (V2 - Уз) _ (/>з - Р2)^
^ 2 (k + i)p3+(k-i)p2
(/с + 1)^
1_.(/,_1)_Р^?
E1.23)
где рз, V3 -— значения в отраженной волне. Анализ этого
соотношения показывает, что отраженное давление для пересжатой
волны превышает начальное давление на фронте этой волны всегда
более чем в 2,4 раза (для /с = 3) и вообще для любого к отношение
давления на фронте отраженной волны к давлению на фронте
падающей волны для пересжатой детонационной волны больше, чем
для нормальной.
Если пересжатая волна образуется при косом отражении
нормальной волны, то на основании соотношения E1.14) имеем
Р2 =
- C0S1|)
Отсюда можно прийти к выводу, что давление в отраженной волне
будет описываться соотношением
ps
1 — cos 1|?
рг fe —1 — sin2i()(A: —COST])) [^ ^^ 2 J' (^^-2^)
(^ + ^O;7 + l-cost|?
Явления, описанные выше, могут произойти при столкновении
детонационных волн, когда один и тот же заряд инициируется в
различных местах. В пределе, когда г|) -^ О, рз ^^ 2,4рн при прямом
отражении; при косом отражении, когда яр = я/2, р2 = Ри-
Явления отражения детонационных волн достаточно похожи
в основном на явления отражения обыкновенных ударных волн,
хотя при нерегулярном отражении, как было показано, имеются
и некоторые различия.
Аналогичными приемами можно рассмотреть отражение и волн
дефлаграции, подходящих к какой-либо преграде под различными
углами; при этом, если волне дефлаграции предшествует ударная

442 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [гл. \1П
волна, то отражение ударной волны изменит режим горения и
явление станет весьма сложным. По-видимому, наличие стенки
всегда будет приводить именно к такому режиму движения волны
дефлаграции и режиму ее отражения. Эту задачу в настоящем
исследовании мы рассматривать не будем.
§ 52. Некоторые случаи распространения
волны дефлаграции*)
Принципиально возможен такой случай, когда в трубе, диаметр
которой невелик, сможет установиться стационарный режим
дефлаграции (соответствующий точке касания на ударной
адиабате), который еще не в состоянии перейти в детонационный
режим.
Для такого режима стационарной дефлаграции ударная волна,
которая распространяется впереди волны дефлаграции, будет
также стационарна. Рассматривая процесс в наиболее общем
случае, поместим за фронтом волны дефлаграции поршень,
движущийся с постоянной скоростью. Будем считать, что в пределе эта
скорость не превосходит скорости движения продуктов сгорания за
фронтом волны дефлаграции. Тогда в зависимости от диаметра
трубы за фронтом волны дефлаграции могут иметь место различные
условия; поскольку скорость волны дефлаграции в данном случае
будет зависеть от диаметра трубы, в которой распространяется
процесс дефлаграции, то за фронтом волны скорость движения газа
может быть направлена в неподвижной системе координат как в
сторону движения фронта, так и в противоположную и в
частном случае может равняться нулю.
Так как на фронте волны дефлаграции, соответствующей точке
касания, на ударной адиабате выполняется условие и^ -\- Сц =
= Z)*, то волны разрежения, распространяющиеся сзади фронта,
ослаблять фронт не могут, что и показывает на стационарность
процесса.
Система уравнений, описывающая этот процесс, как было
показано, имеет вид D2.1), D2.2) и D2.13)
= /(Pl-Pa)(Va —Vi); Dy = Ya}/ ^,
Vi
/с —1
Pa^a P^ + P.
-,=^^Ц^{-а--^.У. E2.1)
K-u,^^Y{p,-p,) (V, ^v,); D*~uy=.v,]/.^i—g ;
*) Эти случаи рассматривались независимо Я. Б. Зельдовичем,
Г. М. Бам-Зеликовичем [27] и автором.

§ 52]
РчУч
h-i
D^-u^
СЛУЧАИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ ДЕФЛАГРАЦИИ
/'ivi _ Pi + Pi
443
/ci-
(Vi-V2) + (?;
n A:i 4- A:
(/^1-^1L+ "
*a(*a-l)J
A:i4-1
(^1-1L '^
«^1 ''a(^a-l)
E2.1)
Будем считать, что скорость фронта волны дефлаграции D*
задана и также задана скорость движения среды за фронтом этой
волны i^H. Задание двух этих величин позволяет полностью решить
систему уравнений E2.1). Сначала определяем из этих уравнений
величины /?1, Vi и Uy, пользуясь третьим, первым и седьмым
уравнениями системы, а затем определяем величину Dy\ далее легко
определяются из четвертого и пятого уравнений си темы величины
Р2? ^2. В том случае, когда скорость поршня меньше чем скорость
движения среды за фронтом волны, между поршнем и фронтом
будет существовать область волны разрежения; при постоянном
движении поршня эта область является областью суш;ествования
центрированной волны разрежения и стационарной волны.
Эти волны могут быть описаны уравнениями:
а) волна центрированная
X 2 _ * 2 * _ А+А *
эта волна определяется в области
E2.2)
:d*;
б) стационарная волна
k-i
с = —^— Un •
k + i
Un -+ D*\
E2.3)
эта волна определяется в области
Укажем на неоднозначность существования указанного режима
движения, так как при заданной скорости фронта дефлаграции
скорости движения среды за фронтом волны могут быть различны.
Процесс распространения указанной системы волн будет одиозна^
чен лишь при задании двух величин: D* и щ. Лишь привлекая

444 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [гл. VIII
уравнения химической кинетики, можно из указанного
многообразия режимов выбрать единственный удовлетворяющий этим
уравнениям, которые иногда можно свести к одному уравнению.
Рассмотрим теперь процесс распространения произвольной
волны дефлаграции в трубе, открытой с двух сторон. Как было
указано выше, ударная волна впереди волны дефлаграции при этом
не возникает. Для описания состояния газа за фронтом волны
дефлаграции удобно перейти к системе координат, в которой этот
фронт неподвижен; тогда, обозначая, как обычно, индексами 1 и 2
параметры газа до фронта и за фронтом соответственно, придем
к известной системе уравнений:
Pi^i = р2^2; Pi + pi^i = Р2 -\- p2ul;
2 .2 I E2.4)
при ЭТОМ
^ + Q = 4 + 4
hpiWl . к2Р2У2
и =
ki — i
т. е. уравнение ударной адиабаты будет иметь прежний вид и
описывается шестым уравнением E2.1).
Определение параметров газа за фронтом реакции в данной
системе координат удобно вести, исходя из следуюш;их соотношений:
2 2
Uj — 1^2 , /-. г\ , ^2 / \ , ^2 кг— i . U2 ^
h^ii + -—^— + Q=^Q + j;zrr''^^^i-u,) + ^-^^—^H —
E2.5)
что определяет U2 и ig» после чего из уравнения рг = р^и^щ
находится р2, а из уравнения р^ = {^2 — 1) ргН вычисляется рг-
Однако можно несколько упростить эти классические
вычисления. На участке адиабаты PV ее отрезок (рис. 43) почти
прямолинеен. Поэтому имеет смысл писать приближенно ее уравнение в
виде
Р2 = А\2 +В, E2.6)
где коэффициенты А я В в случае аппроксимации всего участка
РТ могут быть найдены, исходя из следующих условий. В точке
касания Г значения р == рн, v = Vh известны; заменяя в
уравнениях D2.9) и D2.11) D — UqHsl щ, получим
рн ~ Pi =-iirrT 11 --ir";:f/'
A:2 + l
Vi — v„ =
Vi
k2 + i
^1 uir
E2.7)
*2
При P2 = Pi В точке p из уравнения D2.1) определяем зна-

§ 52] СЛУЧАИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ ДЕФЛАГРАЦИИ 445
чение V2 = V2:
V2(^2 4 1)-Vi(/C2-1) =
= Vi
{к. + 1)
что дает
л
*
'2-V1 _
(^,-M) + 2^]-v;(A,--i) + ii^^^
1 ^ (fe2-l)^iQ ^ E2.8)
VI A:2(A:i —1) ' Ajgc^
Из условия, что прямая р^ = Aw^ + ^ проходит через точки
{Pv V2) и (рн, Vh), и определяем коэффициенты А и В:
Л = -4^; 5=-^4^4^. E2.9)
Уравнение E2.6) мы теперь напишем в виде
P2'-Pi = A (V2 ^ v;). E2.10)
В тех случаях, когда скорость потока щ перед фронтом реакции
невелика, что и встречается наиболее часто в практических задачах,
имеет смысл для небольшого участка ударной адиабаты в
окрестностях точки р (ниже этой точки) определять коэффициенты Л и В,
исходя из условий, что ударная адиабата совпадает с касательной
в точке (pi, V2).
Из второго уравнения D2.1), дифференцируя при р^ — const и
Vi = const, определяем
d4^__^ ^¦^2;^2Vi + (^2+l) ^^l Pi^i + (kl-i)Q E2.11)
в точке p2 ~ Pi
dp"- -^KpI
"^''^ 2fc2PiVi + (fc + 1) \^ piwi + (kl - 1) Q
E2.12)
Далее,
В = pi- Apl E2.13)
Уравнение E2.6) мы теперь снова напишем в виде E2.10)
Р2 — Pl = А (V2 — V2).
Решая систему уравнений
PiUi = P2W2; Pi + Piul = Pi + Piul; p, = —- + B, E2.14)
г2

446 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [гл. YI11
мы легко определим
1/2 ^ Р1 _ Pi-B + piul _ А (pi + piu{) + Bp{ul
Ml "" Р2 ~ 2 , ^ ' Р2 — [Л 1
E2.15)
Напомним, что основной особенностью медленного сгорания
топливо-воздушной смеси является понижение давления за фронтом
реакции.
Выясним, как будут себя вести полные (заторможенные)
давления. Величина заторможенного давления рт, как известно,
определяется уравнением
к
i I ^-^ ^М '^-^ . E2.16)
Поэтому
^-0
E2.17)
В случае Ui и i^2> малых в сравнении с с^ и Сз, имеем
J^2T ^ jP2 -1 2~ * ^^^ = Л i 2— ' (OZ.lb)
поскольку уравнение сохранения импульса дает
Р2 = Pl + Pl^l — Р2^2»
то
Р.Т = Р.Т -г ^^^^i^ = ;>.г i- ^^^ • E2.19)
Так как р2 < Pi, то рзг < Pit» т. е. полное (заторможенное)
давление после сгорания газа меньше, чем до сгорания; этот вывод
имеет место для любых скоростей щ и i^2, поскольку при этом
процессе горения энтропия возрастает, что приводит к уменьшению
свободной энергии и, следовательно, к уменьшению полного
давления. Разобранный здесь режим горения является, по-видимому,
единственным режимом стационарного горения.
§ 53. Ударные волны с поглощением
энергии на фронте
До сих пор рассматривались задачи классической теории
ударных волн или ударных волн, сопровождаюш,ихся выделением тепла
на фронте (детонационная и дефлаграционная волны).

53]
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ С ПОГЛОЩЕНИЕМ ЭНЕРГИИ НА ФРОНТЕ 447
Представляет интерес хотя бы краткое рассмотрение таких
ударных волн, когда на небольшом протяжении за фронтом волны погло-
ш;ается некоторая часть энергии, например, вследствие излучения
или протекания эндотермических химических реакций,
обусловленных высокой температурой среды на фронте ударной
волны. Считая, что зона, где
выделяется или поглоп^ается конечная
величина энергии, действительно мала,
можно, идеализируя задачу,
считать, что мы имеем дело с ударной
волной, сопровождаюш,ейся
поглощением энергии (тепла) на ее
фронте. Изменение энергетического
баланса за фронтом волны вызовет
изменения в параметрах волны
разрежения, следующей за фронтом.
Основные уравнения для этого
случая будут точно такими же, как
и в случае волн, сопровождающихся
выделением тепла, с той лишь разницей, что величина Q будет
отрицательна. Эти уравнения в неподвижной системе координат
имеют вид
Ударная адиабата
Ударная адиабата
при поглои^ении
энергии
В
Рис. 58.
V\
У ^ V VI — V2
= /(P2-/'i)(vi-V2);
Q\
E3.1)
где (?* = (? < О (величина и^ принята равной нулю).
Анализ уразнения энергии для среды, в которой (d^p/5v^)s >
> О и {dPldS)^f > О, показывает, что поскольку кривая АВ,
выражаемая этим уравнением (рис. 58), лежит левее и ниже точки
\Ръ Vi), то никакая прямая, проведенная из этой точки, не
является касательной к ней и пересекает ее при рг > Pi в одной точке
(вторая точка пересечения лежит при рз < Pi или даже при /?2 <
< О, что не имеет физического смысла).
Для политропической среды уравнения E3.1), как известно,
могут быть написаны в виде D2.43)
/>2 —Pi
9iDl
/С2+1
1
/С, и\
+
+
)/(--^1У
2(/c2+l)(/ci-fe2)c* 2{k\-i)Q'
ki
Vl — V2
Vl
Pi— Pi
h{ki-i)Dl
Uy = Dy
^l
Vl— V2
Vl
E3.2)

448 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [гл. VIII
Первое уравнение E3.2) показывает, что при одинаковой
амплитуде (т. е. величине рг — Pi) У классической ударной волны и у
ударной волны, поглощающей энергию на фронте, для последней
скорость распространения фронта меньше.
В случае сильной ударной волны имеем
Vi /22 + 1
Л2+1
+ ^)^^ = /AГТТ + ^)-^'
E3.3)
где
Д =
fta+l
j/^_^2(*^-l)Q*
I^\
(Л>0).
Отсюда следует, что при одинаковой амплитуде классической
ударной волны и рассматриваемой волны плотность на фронте и
скорость течения за фронтом выше у волны, поглощающей энергию;
температура будет соответственно меньше.
§ 54. Условия на фронте ударной волны
в представлении Лагранжа
При изучении ударных волн, особенно нестационарных,
необходимо знать условия на фронте ударных волн, выраженные в
координатах Лагранжа.
Так как в лагранжевом представлении независимыми перемен-
X
ными считаются величины А = \ pd:r и ^, то, выбирая за
зависимо
мые переменные а; v = 1/р и обозначая координату фронта
плоской ударной волны через X, можно полагать, что
Z = Z (А; t), E4.1)
где h = h (t). Поскольку dX = (dx/dt) dt -{-{dxldh) dh, то скорость
фронта ударной волны в неподвижной системе координат будет
где h = dh/dt; так как уравнения в форме Лагранжа имеют вид
ТО
Dy = и +hv, E4.4)

§ 54] УСЛОВИЯ НА ФРОНТЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 449
откуда
Dy = щ +h{^i =' U2 +^2V2, E4.5)
где щ, Vi и U2, V2 — скорости и удельные объемы среды перед фрон-
«•ом и за фронтом ударной вол^ соответственно. Переписав
соотношение E4.5) в виде
D — Ml
^^ = —Vi == (^У ~ ''i) Pi' E4.6)
J) — «2
^2 = ~\ = (^У — Щ) Р2.
легко заметить, что только в том случае, когда величина h не
терпит разрыва при переходе через фронт ударной волны, т. е. когда
^1 — ^2» соотношение E4.6) выражает собой закон сохранения
массы. Но величина h и определяет собой массу, поэтому h^ = ho "=
== /г. Таким образом, окончательно закон сохранения массы в
координатах Лагранжа для фронта ударной волны можно написать в
виде
Dy — Y^h -{- щ = У2^ + U2. E4.7)
Очевидно, величина h представляет собой массу, проходящую через
фронт ударной волны за единицу времени. Закон сохранения
импульса может быть выражен соотношением
Р2 — Pi = h {u2 — Uj). E4.8)
С помощью E4.7) закон сохранения импульса можно записать
в следующей форме:
Pz-Pi- h' (vi ~ V2). E4.9)
Поскольку закон сохранения энергии в неподвижной системе
координат можно написать в виде
4" (^у - ^2Г + h = ^ {Dy - щГ + h, E4.10)
то, используя снова соотношение E4.7), окончательно выразим
закон сохранения энергии в форме Лагранжа в виде
^^l+h = ^^l + h. E4.11)
Соотношения E4.7), E4.9) и E4.11) в одинаковой мере
справедливы как для неподвижной системы координат, так и для любой
подвижной системы координат.

450 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [гл. VIII
§ 55. Некоторые случаи движения среды
при детонации в представлении Лагранжа
Здесь мы рассмотрим ряд задач о движении продуктов
детонации за фронтом детонационной волны и при одномерном разлете
продуктов детонации как в случае реальной детонации, так и в
случае мгновенной детонации.
Как было показано выше, для этой цели нет необходимости
непосредственно интегрировать уравнения, написанные в форме
Лагранжа, а значительно прош,е использовать решение в форме
Эйлера, полагая, что и = dxldt\ в результате интегрирования этого
соотношения мы будем иметь
X = X {t\ а) или X = X {t\ h), E5.1)
где а или h есть лагранжева координата частиц. Однако для
полноты рассмотрим две задачи, пользуясь непосредственно
уравнениями в форме Лагранжа. Рассмотрим сначала простейшую
задачу. Пусть мы имеем цилиндрический заряд взрывчатого
вещества и детонация начинается у стенки. Выберем в заряде некоторую
плоскость с координатой h = роа и рассмотрим ее передвижение в
пространстве. Начало координат выбираем у стенки. При этом
имеем следующие граничные условия: на фронте волны детонации
по формулам D5.2)
Поскольку плотность перед фронтом волны постоянна, то мы
всюду заменяем /г на а = h/pQ, Выразим Cq через D; так как
С ~ р 2 И рн = (А: + 1) ро/к, то
Со
E5.3)
Решение для простой центрированной волны, каковым является
решение, данное в форме Лагранжа A4.29), имеет вид
При этом в уравнении A4.29) принято Oi{u) = 0. Подставляя в
E5.4) значения и^ и {x/t)^ из E5.2) и заменяя Cq его выражением
через D, найдем

§ 55] СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛАГРАНЖА 451
откуда
const = -7—7-1 Г5—т- D =
k + i k^ — i k-^i '
Таким образом, для случая реальной детонации уравнение E5.4)
примет вид
Jc-l
и ___ 1 г 2/с (_±\ ^^+1 __ il
D '^ k-i [k + i \ Dt J ^J-
E5.5)
Для /с = 3 получим
D '^ 2
1
Т(-5ГГ-']- '''•''
Выясним, для какого интервала времени справедливо данное
уравнение.
Согласно нашему предположению частица находится в покое,
пока до нее не дойдет фронт детонационной волны; так как на
фронте волны a/t = D, то рассматриваемая частица придет в движение в
момент ^0 = ^/Dy причем в этот момент она, как мы видели,
скачком приобретает скорость и^ = D/ {к + !)• При дальнейшем
движении рассматриваемая частица будет постепенно все более
отставать от волны детонации, так как скорость среды за фронтом
меньше чем D. Из особого решения мы знаем, что через некоторое
время скорость частицы вновь станет равной нулю. Найдем, когда
это будет. Полагая и = О, получим из E5.5)
j_ f 2к \ fc-i /55.7)
^ D[k+iJ ^ ^
Для А: = 3 будем иметь
f=4-J-. E5.8)
Таким образом, решение E5.5) справедливо для промежутка
времени
E5.9)
jt_^ а / 2к \к-1
D ^^^'D'\k + Tj
Чтобы найти закон движения частицы, т. е. ее координату в
зависимости от времени, проинтегрируем E5.5) по t\ поскольку и =
= dxldt^ то
?С—1 2
x^\^udt = -J^ [к {-^у^{^-1 + const].
Константа определяется из условия, что волна детонации доходит
до данной частицы с координатой а в момент времени t^ = alD.

452
ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. VIII
Таким образом, при Iq = alD координата равна х = а.
Использовав это условие для определения постоянной и вставляя
найденную постоянную в результат интегрирования E5.2), получим закон
движения:
D
k — i
К--1
/с+1
М^)"*''"'-'] = тст[*(
Для к
Dt Го-|.
Г
Dt
Dt )
»
-1}
E5.10)
E5.И)
причем это решение также справедливо для промежутка времени
E5.9). Отсюда максимальное смещение частицы, получаемое в
момент 7, когда и — О,
7 — (..JlL^V^JL
^ -[ /с + 1 ) D '
равно
X Хгпях —
к+1
2 [ k+i ) "" 2
Для к = 3 максимальное смещение равно
^тах — ~тт~ ^.
E5.12)
E5.13)
Мы видим, что максимальное смещение пропорционально
начальной координате частицы а. Частица, которая первоначально
находилась в точке а = О, вовсе не получает смещения (в самом деле,
мы знаем, что у стенки и ^ 0). Прочие частицы, когда до них
дойдет волна детонации, скачком приобретают некоторую скорость
и начинают двигаться, замедляя свое движение, пока в момент
времени t не придут в точку с координатой х = Хщах» где
успокоятся.
Когда волна детонации дойдет до конца заряда, т. е. в момент
времени t = IID (где / — длина заряда), последняя частица,
достигшая максимального смещения, в этот момент первоначально
находилась в точке, для которой
?Г4-1
t=-0--D[-TTi) ' т. е. а = /
2к
/с-1
Как мы видели, в момент? = IID ее координата станет равной х =
== Dtl2 = 112, Эти соотношения дают распределение частиц в
момент, когда волна детонации дошла до конца заряда. Графичв-

55]
СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛАГРАНЖА
453
ски траектории отдельных частиц можно изобразить следуюш;им
образом (рис. 59). На оси абсцисс будем откладывать смещение
X = а -{-I, ось ординат направим вверх и по ней будем
откладывать время t. Проведем из начала координат прямую, тангенс угла
наклона которой к оси t равен скорости детонации Z).
Пока волна детонации не дошла до частицы, ее состояние
изображается на графике прямыми, параллельными оси
ординат. В момент пересечения
этих прямых с прямой D
частица начинает двигаться,
причем ее движение изображается
кривой линией, тангенс
наклона которой к оси t непрерывно
уменьшается от значения /)/4и
достигает нуля при х = Хт&х в
момент t = tj выражаемых
формулой E5.12) и формулой для
7, предшествующей формуле
E5.12).Точки,вкоторыхразлич-
ные частицы достигают своего
максимального смещения, лежат
на прямой, тангенс угла наклона
которой к оси t равен 2)/2. Тангенс угла наклона кривых,
представляющих движение частиц к оси ординат, выражает их скорость.
Густота линий дает представление о плотности продуктов детонации.
Рассмотрим решение еще одной задачи с помощью указанного
метода. Пусть в начальный момент в сосуде имеется газ,
находящийся в покое; плотность газа постоянна. Найдем движение
заданной частицы при неустановившемся истечении из сосуда. Для
этой цели воспользуемся уравнением
х=а'^$
Рис. 59.
и =
Т-(^н-с).
E5.14)
Начало координат выберем у стенки. Поскольку при этом
1
с _[1 — ау
fc-1
то
и =
-(
I — а
Н-1
?с+1
E5.15)
Решим теперь эти задачи, исходя непосредственно из
готовых решений, написанных в форме Эйлера. Для детонационной
волны имеют место следующие уравнения: и '\- с — х lt\ и =

454 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [ГЛ.УШ
= Bс — D)l{k — 1). Поскольку и = dxidt, то, вводя z = x/t, мы
придем к такому уравнению:
и = dxidt =^ Z +t dz/dt = {2z — D)/{k + 1);
отсюда
dt {k + i)dz
(k — i)z+D'
E5.16)
Таким образом, мы пришли к уравнению с разделяющимися
переменными. Интегрируя его, найдем
lr,t = -^l^ ^^ + const=-|iiln[. + ^]+const,
А: —1
откуда
— 7 D \
^"""^ (^ + Г=т) ^ ^^^^^' E5.17)
Константа определяется из условия, что на фронте волны
детонации X и t связаны соотношением
X = а при tQ = alD.
Подставляя эти значения в E5.17), найдем постоянную
интегрирования; вставляя эту последнюю в общее решение, придем снова
к закону движения E5.10).
Рассмотрим теперь аналогичным методом вторую задачу.
Имеем сосуд, заполненный газом с постоянной плотностью. В
некоторый момент стенка сосуда открывается и начинается истечение.
Рассмотрим движение отдельных газовых частиц. Скорость
частицы равна duldt. Для особого решения имеем выражения
^ / 2
и -С-—р-; и =:.^-__(сн-с).
откуда и = 2 [{х ~ l)lt + с^]1{к + 1) и, следовательно,
dx 2 fx — I \_
Интегрируя, получим
2
._/ = ,т[л + ^_.„5^-
2
At'^' + -тЛг cd.
Мы знаем, что волна разрежения движется со скоростью —с^.
Для частицы с координатой а, находящейся в начальный момент в
сосуде у границы разлета, найдем: х = с — I — c^t. Поэтому коне-

§ 55] СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛАГРАНША
танта А равна
455
А= ~{-ai~b)
Отсюда
2
к+1
(l-a)'
к — 1
2
¦fc+1
Х =
V-1
E5.18)
При t -^ ос получим снова предельную скорость Unp
= 2с J {к — 1). Таким
образом, через достаточно ^^f
большой промежуток вре- ^
мени скорость любой ^
частицы становится рав- ^
ной предельной. Это оз- ^
начает, что потенциальная ^
энергия газа переходит в ^
кинетическую и чем глуб- Щ
же частица расположена в ^
сосуде, тем медленнее
набирается скорость. Таким л7=-2
образом, передние слои
газа расширяются
быстрее, а задние
медленнее, и в , этом состоит автомодельность полученных решений.
Если частица с координатой а находилась внутри сосуда, то
ее скорость равна
и =
dx
2с„
1
1 -
a\fc+i
^н^ /
E5.19)
таким образом, мы снова получили формулу E5.15).
Большой практический интерес представляют случаи, когда
k = Зик = 7/5 (двухатомный газ). Формулы при этом примут вид:
для к = 3
для к = 7/5
x = v(l-2/'-r3).
П — хо\Ч.1
Л V ) У
X — oCiit
6 [1 — хоУи
5
E5.20)
E5.21)

456
ПЛОСКПЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. VII
Результаты построения траекторий частиц илллюстрируются
рис. 60, аналогичным рис. 59.
Выясним теперь поведение отдельных частиц в общей схеме
разлета продуктов детонации, когда детонатор находится в
произвольном месте заряда. Для этой цели воспользуемся снова уже
полученными нами ранее решениями в форме Эйлера и определим,
исходя из этих решений, траектории отдельных частиц.
Для детонационной
волны задача нами была
уже решена и мы
получили для скорости и и
смещения X частицы,
начальная координата которой
была Xq = а, выражения
E5.6) и E5.11),
справедливые для интервала
времени
а ^ , ^ 9 а
До момента t^ < alD
волна детонации еще не дошла
до частицы и частица еще
находится в покое; координата ее равна начальной; при ^^ = 9a/id
частица достигает предельного смещения х^ = 9а/8, а скорость ее
становится равной нулю. При этом частица некоторое время
может находиться в покое, пока до нее не дойдет волна,
определяемая новым решением.
Картина движения частиц при прохождении волны детонации
изображена на рис. 61. В момент, когда волна детонации доходит
до конца заряда, начинается разлет продуктов детонации. Если
длина правой части заряда есть 1^ и мы рассматриваем процессы,
происходящие направо от детонатора, то разлет продуктов
детонации, как мы помним, может быть описан следующими
уравнениями:
Рис. 61.
т-^ h'
откуда
=4(-
+ D
Dt — h
Применяя тот же метод, что и ранее при исследовании волны
детонации, можем написать
dx
+ D
X — I
т
^)
E5.22)

§ 55]
СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ В ПРЕДСТАВЛЕН]^И ЛАГРАНЖА
457
Полагая х = zt, найдем
dx X ^ dz
dt
или
-^ — _L г л ^^'~ ^1 _ л -- -А
dt ~ 2t [^ Dt —h \~ 2t
— D
Dt — li*
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными
hdt
dz
z — D
интегрируя его, найдем
2t(Dt~-li) '
о.л/'^.
откуда, возвращаясь к старым переменным, получим
f-c)"
Dt
Dt— I:
= A'
E5.23)
Константа может быть определена из следующих соображений.
Как мы уже знаем, волна разрежения, возникая в момент
t = IJD в точке X = l-i, движется в глубь заряда со скоростью
— DI2 и, таким образом, в некоторый момент времени t^ она
придет к частице с координатой х^, определяемой равенством
2(^1 — ^i) -- — {Dt^ — /i) или xi = 3/i/2 — DtJ2. Таким
образом, в точку с координатой х^ волна разрежения придет
в момент
к
3/i — 2^1
D
Подставляя значения х-^, t^ в уравнение E5.4), получим
9 XI —¦ h
А^ =
3/i — 2г1
D\
откуда
X
Dt
г 2 Dt 3/i — 2xi
E5.24)
E5.25)
E5.26)
Перед корнем взят знак минус, так как всегда х ^Dt.
В последней формуле х есть координата частицы в любой момент
интервала изменения времени, где действительно данное решение,
а Xi обозначает не координату частицы в начальный момент, а ее
координату, определяемую из первого решения в момент
сопряжения его с волной разрежения.

458
ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
[гл. YIII
Первое решение дает для момента сопряжения
в точке сопряжения, как мы видели, х^ и ti связаны с
соотношением E5.25). Исключая из этих двух уравнений ti, найдем связь
между координатой частицы в момент сопряжения Xi и ее координатой
в начальный момент а:
откуда
3/i *— 2a;i
2
3
l^y 3h^2xi -^
/?
^ 2 ^ 2a ^ a
E5.27)
E5.28)
Мы видим, например, что для частицы, для которой а = Z^, имеем
Xi = Zi, т. е. частица на конце заряда остается в покое до того
момента, пока детонация не дойдет до конца заряда и не
возникнет волна разрежения. Далее найдем, какая частица встретит
волну, описываемую новым решением, в тот момент, когда она
достигнет своего максимального смещения. Очевидно, что для такой
частицы X — 9а/8, и поскольку х^и а всегда связаны соотношением
E5.27), то из двух уравнений найдем два неизвестных XiH а. В
самом деле, Xi = 9а/8 = 3/i/2 — Z?/2a, откуда а = 2/i/3^ = 3Zi/4;
при этом Zi = 3li/2D. Этот результат нами был получен ранее при
решении уравнений Эйлера.
Таким образом, из решения E5.26), связывающего
координату частицы X в данный момент с ее координатой в момент
сопряжения, может быть получено соотношение, связывающее
координату частицы в данный момент с ее координатой в начальный
момент. Для этого в формулу E5.26) следует подставить выражение
Xi через а из E5.28). Тогда мы получим
т
1
i/
Dt_—_li
Dt
«-Х
E5.29)
Для контроля полояшм а =-- 2Zi/3, t = 21J2D и тогда из E5.29)
будем иметь х = SIJA, что подтверждает правильность
полученного решения. Таким образом, в момент времени t^ == ?tlJ2D
волна разрежения доходит до частицы с координатой х = 3Zi/4,
которая в этот момент получила максимальное смещение, т. е. ее
координата равна 9/8 первоначальной координаты. Все частицы,
лежащие за ней, т. е. имеющие в момент t = 3li/2D координаты
< 3Zi/4, очевидно, находятся в покое, так как для них а << 2Zi/3.
Момент времени, когда они достигают максимального смещения,
равен т = 9а/AD < ?>IJ2D^ и, следовательно, они уже достигли

§ 55] СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛАГРАНЖА 459
СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ ранее момента времени t^ = 'dlJlD. Поэтому,
начиная с этого момента, волна разрежения встречает перед собой
покоящуюся среду с постоянной плотностью. В этот момент
возникает, как мы помним, новое, третье решение, которое является
особым, так как параметры волны на фронте постоянны.
Очевидно, что второе решение справедливо для интервала
времени с момента своего возникновения до бесконечности, т. е. при
l\laD <t<oo.
Следует, однако, помнить, что это решение захваты&ает лишь
частицы, для которых начальная координата а > 2Zi/3 или
координата в момент сопряжения Xi > 3/i/4.
Частицы же с координатой Xi < SZjM или, что то же, с
начальными координатами а < 21^/3 в момент времени ti = ?>IJ2D
находятся, как мы только что показали, в покое, и вторая волна
до них не доходит.
Эти частицы начнут снова двигаться, когда до них дойдет
третья (особая — простая) волна. Волна эта, как известно,
описывается уравнениями и — с = D {х — 1^1 {Dt ~ /i); и -\- с = Z)/2,
откуда
Пользуясь тем же методом, что и раньше, можно написать
dt ~ 2 I 2
+ Й^)- E5-31)
Полагаема — Zi == i, Dt — /^ = rj. Тогда из E5.31) получим
dц 2 (^ 2 "^ Г]
Далее, полагая ^ = zr\, приходим к уравнению с разделяющимися
переменными
dz _ i dr]
1 ~~ 2"~гГ '
интегрируя которое, найдем, что Bz — i)Y^ ^ const.
Возвращаясь к переменным х и t, получим
{07. - Т-) ^^^^^ = ^«"«t- E5-32)
Константа определяется из того условия, то простая волна,
начинаясь при ti = 3li/2D в точке Xi = SIJA, идет в глубь заряда
со скоростью — D/2. Таким образом, в точку с координатой х^

460 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. YIII
она придет в момент времени ^2» определяемый равенством
- Т- ^ - 4-4) = ^^ - 4- ^1- E5.33)
Поскольку для частиц в простой волне связь между х тз. t дается
уравнением E5.32), то это уравнение должно удовлетворяться,
если мы в него подставим координату точки сопряжения Х2 и время
^2. В результате получим
'^^'^ = AЙ1 - 4-) VDtr=^,. E5.34)
Из двух уравнений E5.33) и E5.34), исключая t^, найдем
выражение для константы через х^. Из соотношения
h = ^~^ E5.35)
видно, что чем больше координата частицы Х2, тем скорее до нее
дойдет третья, простая волна.
Подставляя E5.35) в E5.34), найдем, что
const = УЦк^^) (,-f^) -4-) = - >^2(^x-^.).
И, следовательно,
Dt
откуда
X - ?i±Il - Y2{l^-'X^){Dt^l^). E5.36)
Для контроля положим Х2 = 3Zi/4, ^2 = SIJ2D и из E5.36) получим
X = За/4, что подтверждает правильность решения.
Для частиц, до которых доходит эта третья, простая волна,
т. е. для которых а < 21J3, очевидно, имеем х^ = 9а/8 и, таким
образом, окончательно мы придем к соотношению
Dt— h 2 ~ у Dt — h'
Эта волна возникает в момент времени, определяемый из E5.37):
^2 ~ CZi — 2x^lD = 3Zi/Z) — %aliD, и решение, ее описываюш;ее,
действительно лишь для точек, для которых а < 2Zi/3.
До сих пор мы рассматривали лишь движение продуктов
детонации направо от детонатора. Слева от него наблюдается
аналогичная картина и, в частности, направо пойдет также простая
волна, которая должна будет встретиться с простой волной, иду-

§ 55] СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛАГРАНЖА 461
щей справа налево. Как мы уже знаем, момент времени и точка
встречи этих волн определяются соотношениями
Отсюда а = 2 (Zi — 1^1Ъ, В момент встречи двух простых волн
возникает новое решение, которое мы будем называть седьмым,
так как до него мы имели три решения справа и три — слева.
Для этого, седьмого, решения имеем следующее уравнение,
написанное в форме Эйлера:
U'~c = Dy- г; u + c^D ^
Dt- h' "^^^ - -^ jDt-k'
откуда
dx Dfx — h , X + /2
Для интегрирования этого уравнения положим х — 1^ = '^,
Dt — 1^ — ц. Тогда найдем
2г] п "^ т] + /i — /2 '
Далее, полагаем ^ = ztj, что дает уравнение с разделяющимися
переменными, имеющее после разделения переменных следую^ций
вид:
г> dz _ dy\
{k-lijz + h + k ~ Ц(Ц-+ li- к) '
интегрируя, находим
i^-'i^)/^^, = <^onst E5.40)
И, возвращаясь к старым переменным х и t, получаем
Теперь перейдем к определению константы. Вдоль линии
сопряжения третьего особого решения справа с седьмым решением t
и X связаны соотношением ^з ^ B^з + 3/^)//). Выразив условие,
что точки сопряжения удовлетворяют седьмому решению,
получим
, / хз — h ^1 + ^2 '\ -, /" 2xi
2xz 4- 3/2 — ^1
2хъ + 2к

462 плоские детонационные волны
Но из E5.37) следует, что
[гл. VIII
Хп
Dt3 + h
}/2(Dt,-k){l,--^ay,
подставив сюда значение t^, получим связь между х^ и а:
Хп
C/а + /i)^ , /i - 3/2 .
'3 2 (8/1 —9а) "^ 2 '
отсюда следует, что
[ хз — к _ h + k] -|/ 2x3 +
З/о
+ 2/2
^ / ^? + ^1 -|/Л^а(/х-/.) — ^^ - !-^ (^^ - ^1)
2 (/i - /2)
и окончательно получаем
y"(Z>/-/i)(i)/-/2)
д: =
i), (/, + /,) _ 2/,/, _ ^у ^ 12 _j^ ;2 _ ^1^^^ - а (/i - /,)](/)^-./i)(i)/- /,):
/1-/2
E5.42)
Это решение справедливо в интервале скоростей w > 0; при и ^
:^ О справедливо аналогичное решение, в котором константа
находится из условия сопряжения с третьим решением слева.
Однако, как мы знаем, нет необходимости вновь искать эти
решения для левого конца. Нужно лишь в соответствующих
формулах заменить х на — а:, а на — а, 1^ на 1^ и 1^ на 1^. Дадим
сводку формул всех решений как для правого, так и для левого
концов.
I. Волна детонации:
правый конец
=^к^
1
а ^ . ^ ^ а
левый конец
п. Разлет продуктов детонации:
правый конец
1?|
D
9 \а\
И 2

§ 55] СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛАГРАНЖА
левый конец
х= -Dt
463
^1
1-4/^A+х)]; i7fF«~;H>i^.
III. Разлет продуктов детонации (особое решение):
правый конец
^= -|/2(/i~|a)(Z)^-y +
Dt + h , 3Zi - 4 а
D
;^<оо;
-q-(^l — ^2)^^ "^"q-^li
левый конец
3^2 — -7- U I
1/0/7 I 9 \,^, ;v Dt + h '^^'"" 4 '"^l , .
x = y 2[li+~^aj{Dt — l^) ^; ^ <^<oo;
3-^2<^<-3-(^i —^2).
IV. Решение, возникаюш,ее между двумя простыми волнами
разрежения:
правый конец
X =
Dt (h + h)- 2hk —]/[ ll +11--^ hh- a (h^h:
(Dt—li){Dt~-h)
h — h
9
(/1 + ^^-9^1^-12/1/2 ^,^^^. 8 , 2
(8/i — 9a)
левый конец
Dt (/i+/2)+2/i/2-1. -^ [^ /2 ^ /2 _ |. i^i^ +a(Zi-Z2)] (Dt - /i)(i)^ - Z2)
ml + 9/^ + 6/1/2 +9/2^
(8/2 + 9a) D
/1 — /2
9 8
<i<oo; -o-(/i —y>^> —-c^^2
Покажем, каким образом вычислялись интервалы существования
последнего решения для разлета направо и налево. Мы имеем
связь
Ш^ - ^Х^ — OL^ - 8/1 - 9а "^ ^1 - 8/1 - 9а '
при ^3 -^ оо находим предельное значение а = 8Zi/9 для правого
конца и а = — Ы^% для левого конца. При ^ -^ оо особые решения
исчезают, так как их догоняет волна последнего решения.

464 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [гл. VIII
Остается определить значение точек, для которых и = О, Из
эилеровских уравнений мы имели для этого случая
"-¦JUvl+H- <5'-«>
с другой стороны.
X =
(/,+/,) nt - 2/iZ.- -|- у^^ Z2 + ^2 _ _|. у^ _ , (^^_;^)
(Dt—li)(Dt—h)
отсюда, исключая последовательно х и Dt, можно найти связь
между X, t, с одной стороны, и а, с другой: х = х (а) и t = t (а)
для к ^ 0. При t -^ оо
_ h — h _ Dt
li + h-^'/ll + ll-'^hh-a{l^-h)
Отсюда а = 5 (/i — У/Э- Очевидно, все частицы, лежащие в
интервале Zi — а, идут направо. Длина этого интервала равна
Zi — 5 (Zi — Z2)/9 = DZi + Ы^12, Таким образом, масса продуктов
детонации, идущая направо, определяется выражением
масса, идущая налево, равна
Т. е. мы пришли к ранее полученному из эилеровских уравнений
результату.
Случай, когда 1^ = Zg, должен быть для последнего решения
разобран отдельно; в уравнении E5.42) необходимо сделать
предельный переход. Рассмотрим этот случай особо. При 1^ = Zg
имеем
и = -тг = D
dt ' Dt — h '
интегрируя, найдем x/{Dt — I) = const. Поскольку вдоль линии
сопряжения с третьим, особым, решением х и t связаны
соотношением
т. ш «'з+1^_/2~^з-^х)(/.-4-«).
^*'" 2 2
ТО мы найдем, что const t = Xg /2 (xg + ^i); выражая x^ через a,
найдем Хз = 9lia/{8li — 9a); отсюда
^ ^ -^ ШГ ^^ - ТК'^- E5.44)
Dt— h 16/i KUi 16

§ 55] СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛАГРАНЖА 465
Это решение, очевидно, справедливо для всего интервала между
точками сопряжения с особыми решениями как справа, так и
слева.
По аналогии с решением для li =f= l^ заключаем, что полученные
решения определены на интервалах
2Ы\ — 9a/i 8
ДЛЯ правого конца и
24/? + 9а/2 8 ,
ДЛЯ левого конца. Очевидно также, что w ^ О будет всегда иметь
место при X = О,
Рассмотрим теперь случай, когда детонатор занимает крайнее
положение в заряде, т. е. положим в предыдущей схеме 1^ == 0.
Как мы знаем, от детонатора направо пойдет воЛ[на детонации,
причем движение частиц, в нее входящих, определяется
уравнением
^Wi
справедливым для интервала времени alD ^t^ 9al^D. Мы ранее
показали, что это же решение будет справедливо и для разлета
продуктов детонации, происходящего налево, поскольку разлет
продуктов детонации налево при крайнем положении детонатора
описывается теми же самыми уравнениями Эйлера, что и волна
детонации:
и + С== — ] и — С^ '~~'
Покажем, что и уравнения в форме Лагранжа в данном
случае также будут теми же самыми, что и для волны детонации.
В самом деле, из написанных уравнений получим dx/dt — и =
= {x/t — D 12I2 и, интегрируя, найдем
Т" + х) 1^ ^ const. E5.45)
Константа определяется из следующих соображений: для точек
сопряжения второго и первого решений имеем
^1 = -7"^! = "8"^' E5.46)
что очевидно, так как волна разрежения от левого конца движется
в глубь заряда со скоростью DI2 и, следовательно, приводит в

466 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. YIII
движение частицы в тот момент, когда они достигают своего
максимального смещения, полученного ими в результате
прохождения волны детонации, т. е. в тот момент, когда их скорость
обращается в нуль.
Таким образом, в момент, когда волна разрежения достигает
какой-либо частицы, направление движения частицы может
изменяться на обратное. Поскольку точка сопряжения Xi, t^ должна
удовлетворять также второму решению, получим из E5.45) для
точки сопряжения, подставляя вместо х^ и t-^ их значения из
E5.46), выраженные через а:
const = Dy X "'
Таким образом, константа нами определена и движение частиц
описывается уравнением
^ = ^[з/^-1]| E5-47)
ЧТО и доказывает наше предположение. Очевидно, найденное
решение справедливо, начиная от момента, когда волна разрежения
дойдет до частицы, т. е. от момента времени ti — да/AD. Поскольку
волна детонации описывается тем же самым уравнением, следует
сказать, что это решение справедливо, начиная с того момента,
когда до частицы дойдет волна детонации, т. е. момента t^ = a/D.
Выясним теперь, до какого момента будет действительно
полученное решение.
Когда волна детонации дойдет до конца заряда, начинается
разлет продуктов детонации направо, описываемый, как мы
видели, уравнением
.= Dt[i-±. /^^A-f)]. E5.48)
справедливым для интервала времени ф aD ^ t <^ оо.
Рассматриваемая волна разрежения идет от правого конца в глубь заряда и,
как мы видели раньше, в момент времени t — 3li/2D доходит до
частицы с координатой :с = 3Zi/4, первоначальная координата
которой была а = 2Zi/3, причем в момент времени t = 31J2D скорость
этой частицы и = 0. При дальнейшем своем продвижении, т. е.
при t > 3Zi/2Z), волна разрежения, идущая справа, будет
захватывать частицы, которые уже успели изменить знак своей скорости и
летят налево. Эта волна разрежения, идущая справа, постепенно
будет захватывать все частицы, и чем меньше начальная
координата частицы, тем позже догонит ее волна разрежения.
Как мы только что видели, момент времени, когда частица
с начальной координатой а попадает в волну разрежения, есть t^ ==

§55] СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛАГРАНЖА 467
= l\laD, Таким образом, частицу, для которой а = О, волна
разрежения догонит лишь в момент ^^ = оо.
Попав в волну разрежения, идущую справа, частица начинает
двигаться по закону E5.48). Как мы видели раньше, скорость в
этом движении определяется уравнением
1/07 ,n^~"^l\
где X и t — текущие координаты частицы.
Приравняв выражение для скорости нулю, мы получим линию,
на которой частицы имеют нулевую скорость. Эта линия
выражается уравнением
- = Ш^' E5.49)
Попав на эту линию, частицы, очевидно, пройдя через состояние
покоя, меняют знак своей скорости на обратный, т. е. изменяют
направление своего движения.
Таким образом, если волна разрежения настигла частицу в тот
момент, когда она успела уже изменить знак своей скорости и
движется налево (из чего следует, что начальная координата частицы была
<; 2Zi/3,* то, начав двигаться по закону E5.48), частица в этом
новом своем движении будет еще некоторое время двигаться налево,
т. е. скорость ее будет оставаться отрицательной, а затем, попав
на линию E5.49), частица еще раз переменит направление своего
движения и окончательно улетит направо.
Существуют, однако, частицы, которые, попадая в волну
разрежения и начав двигаться по закону E5.48), никогда не
попадут на линию E5.49). Такие частицы, очевидно, окончательно
улетят налево. Найдем, каковы должны быть их начальные
координаты. Для этой цели исследуем линию E5.49). Мы сразу
видим, что при и = О t --^ оо, X -^IJ2, Таким образом, при ^ -> оо
рассматриваемая линия будет асимптотически приближаться к
прямой Zi/2. Для того чтобы найти момент времени t и координату
^, для которой частица с первоначальной координатой а попадет
на линию E5.49), мы должны из двух уравнений E5.48) и E5.49)
исключить поочередно х ж t, после чего получим соответственно
выражения
X — X (а),
7=7 (а).
Приравняв выражения E5.48) и E5.49), найдем
h
1--|-/(»-ж)('-х)
2Dt—h
Возводя это равенство в квадрат и произведя элементарные

468
ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
[ГЛ. VIII
преобразования, мы получим квадратное уравнение
(^*)^[т
1
i)-'
+ 0,l,[i-±{i-f)] +
+ w'S(i-x) = °'
решая которое, найдем
Dt =
1 +
/'¦¦
i4--5 I
Таким образом, мы нашли, что частица, начальная координата
которой была а, попадает на линию E5.49) в момент времени
2D
1 +
V^^-''
E5.50)
Здесь взят знак плюс, так как мы знаем, что точка с начальной
координатой а = 2уЗ попадает на линию E5.49) в момент времени
J lj_
2 D '
t =
Найдем теперь координату х^ для которой частица с
первоначальной координатой а пересечет линию E5.49). Для этого
подставим в E5.49) найденное значение t из E5.50). Тогда найдем
E5.51)
Из выражений E5.50) и E5.51) видно, что частица, для которой
а = 5Zi/9, встретит линию E5.49) при х = IJ2, т. е. при ^ -^ оо;
таким образом, эта частица будет иметь скорость, равную нулю,
через бесконечно большой промежуток времени, находясь при этом
в середине заряда. Очевидно также, что частицы, начальные
координаты которых а <^ 5Zi/9, вообще не попадут на линию E5.49),
так как в этом случае в выражениях E5.50) и E5.51) для 1 тя. х
под корнем будут отрицательные выражения. Таким образом,
частицы с начальными координатами а < 5Zi/9, начав двигаться
по закону E5.48), никогда не изменят направления своего
движения и и улетят налево.
Мы пришли к выводу, что все частицы, для которых а > 5/i/9,
окончательно улетят направо, а все частицы, для которых а <
<^ 5/i/9, улеуят налево. Частица, для которой а = 5/^/9, при
^ ->- оо окажется в середине заряда. Отсюда заключаем, что 5/9
всей массы заряда пойдет налево, а 4/9 массы ~ направо. Как мы

§ 55] СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛАГРАНЖА 469
РЮ^сек
Рис. 62.
.27
01 2345678 9см
t'W^ccK
Рис, 63.

470 ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ волны [гл. VIII
помним, тот же результат был получен, когда мы исходили из
уравнений Эйлера.
Интересно отметить, что частицы, первоначально заключенные
в области 5/^/9 <; а <; 2/i/3, составляющие 11% всей массы, в
процессе своего движения два раза меняют знак своей скорости, т. е.
совершают некоторое колебательное движение.
Здесь мы дали решение задачи о движении индивидуальных лаг-
ранжевых частиц при разлете продуктов детонации
конденсированных взрывчатых веществ в том случае, когда /с = 3; для
головной части продуктов детонации при малых давлениях, где к i=^
?^ 5/4; 7/5, и вообще для поздних стадий разлета, когда везде
к ^^ 5/4; 7/5, это решение становится уже недействительным.
Однако решение задачи для произвольного значения А, хотя
принципиально оно и может быть дано, большого интереса для изучения
поздних стадий разлета продуктов детонации уже не
представляет.
Рис. 62 и 63 иллюстрируют движение отдельных частиц заряда..
Рис. 62 соответствует крайнему положению детонатора. Рис. 63
соответствует положению детонатора в точке х ^ О,

ГЛАВА IX
ТЕОРИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН
§ 56. Начальные параметры ударной волны
Распространение нестационарных ударных волн является
одним из наиболее интересных, но вместе с тем и трудных вопросов
газовой динамики неустановившихся движений.
Многочисленные явления природы сопровождаются именно
нестационарными ударными волнами; к числу подобных явлений
можно в первую очередь отнести распространение продуктов
взрыва в тех или иных средах, различные процессы,
происходящие на солнце и звездах, связанные с выбросом из них газовых масс
при их обратном падении на поверхность небесного тела, а также
разнообразные случаи сверхзвукового полета тела, например,
метеора в атмосфере Земли или другого небесного тела, и т. д.
В настоящей главе мы будем изучать распространение плоских
ударных волн.
Основные уравнения, описывающие распространение ударных
волн, т. е. уравнения адиабатических одномерных течений, как мы
знаем, имеют вид B.14) при г; — 0; уравнение неразрывности
напишем в форме B.22), полагая v = w =^ 0:
dt +" дх +Р^ дх -^'
Из первых двух уравнений получаем
Эти два новых уравнения показывают, что заданное значение
величины dp -\- pcdu = О распространяется со скоростью dxidt =
= и-{- с, а заданное значение величины dp— рс du
распространяется со скоростью dx/dt = и ~ с. Заданное значение энтропии S
распространяется со скоростью dx/dt = и.

дс
дх
ди
с
к{к-
0;
2
-1)^
dS
дх
472 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
Укажем еш;е один вид основных уравнений, также удобный
для анализа; в этих уравнениях член с градиентом мы выражаем в
форме B.18), а уравнение неразрывности — в виде B.20), полагая
при этом V = W = 0:
ди J ди j^ 2 дс
дс . дс [ /с — 1
~аГ + ^ 7 ^^ ~2~ и..
dS , dS ri
откуда следует, что заданное значение величин d [ гг +-тг—г ^ ) =
= тЬ ип _iw~~ распространяется со скоростями dxidt = i^ + с,
что эквивалентно в этих переменных соотношениям, полученным
выше.
При истечении каких-либо газовых масс в произвольную среду
в последней, как мы увидим, всегда возникает ударная волна
непосредственно в момент начала истечения; в истекающем же газе
на границе раздела в зависимости от физических свойств газа и
среды, в которую он истекает, может образоваться либо ударная
волна сжатия, либо волна разрежения.
Представим себе, например, процесс детонации какого-либо
взрывчатого вещества, помещенного в произвольную среду. Когда
детонационная волна дойдет до поверхности заряда взрывчатого
вещества, начинается истечение продуктов детонации. В момент
начала разлета частиц среды на границе раздела вследствие удара
продуктов детонации частицы мгновенно приходят в движение, т. е.
получают неограниченно большие ускорения, вследствие чего в этой
среде сразу же возникает ударная волна. Аналогичная картина
будет иметь место и при подходе к границе раздела двух сред
ударной волны.
Для исследования свойств возникшей ударной волны и
характера ее дальнейшего распространения необходимо прежде всего
определить начальные параметры этой волны. Для этой цели
воспользуемся условием, которое должно выполняться на границе
раздела между продуктами детонации и произвольной средой, а именно
тем, что по обеим сторонам границы раздела скорости и давления
долл^ны быть одинаковы.
Данную задачу можно несколько обобщить, а именно
предположить, что скорость, плотность и давление продуктов детонации
между собой никак не связаны, что соответствует как бы удару
одной среды о другую *).
*) Развиваемые здесь соображения принадлежат Ф. А. Бауму и автору.

§ 56] НАЧАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 473
Прежде чем переходить к аналитическому описанию
рассматриваемого явления, необходимо физически представить себе, что
в зависимости от свойств обеих сред у границы раздела в одной
из сред после удара может возникнуть ударная волна или волна
разрежения. В самом деле, при истечении продуктов детонации в
разреженную среду давление на фронте возникающей в ней
ударной волны будет меньше, чем начальное давление на фронте
продуктов детонации, и поэтому при разлете продуктов детонации
давление в них будет падать, т. е. по ним будет распространяться
волна разрежения, уменьшающая давление и увеличивающая скорость
их движения. Напротив, при истечении продуктов детонации в
какую-либо плотную среду, например, в металл, горную породу,
давление на фронте возникающей ударной волны может быть
больше, чем начальное давление на фронте детонационной волны, что
приведет к торможению двил^ения продуктов детонации и к
образованию в них ударной волны. (Например, при детонации в воде
вблизи поверхности в продуктах детонации распространяется
еще волна разрежения, но при детонации на некоторой глубине —
порядка нескольких сотен метров — в продуктах детонации будет
распространяться уже ударная волна.) Аналогичная картина
будет иметь место и при истечении в произвольную среду ранее
покоящегося газа (или лшдкости). При соударении двух
каких-либо твердых тел в обоих телах будут распространяться
ударные волны, в случае жидких или газообразных тел могут
распространиться как ударные волны, так и волны разре-
л^ения.
Решение задачи о начальном состоянии на границе двух
сталкивающихся тел можно проводить методами теории ударных волн,
т. е. пользуясь основными законами сохранения массы, импульса
и энергии, не только для газообразных или л^идких, но и для
твердых тел, поскольку в начальный момент столкновения фазовое
состояние среды никак не отражается на составлении основных
уравнений; это физически очевидно, поскольку в начальный момент
удара никакие силы, действующие внутри среды, еще не
проявляются.
Перейдем к аналитическому рассмотрению поставленных
задач. Пусть на границу раздела двух сред, которую мы будем
считать пока неподвижной, через одну из сред (среда /) приходит
какое-либо возмущение, которое, в частности, может быть
детонационной или ударной волной. Тогда, обозначая индексами н и 1у
состояние среды / на границе раздела до взаимодействия и после
взаимодействия со средой // и индексами а и 2у состояние среды //
до взаимодействия и после взаимодействия ее со средой /
соответственно, мы на основании формул B8.2) и C0.6), полученных из
трех законов сохранения, смольем написать систему следующих
уравнений для случая, когда j^iy '^ Pui т. е. когда в обеих средах

474 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
образуются ударные волны:
(uiy — и^)^ = (piy — рн) (Vh — Viy); uly = (р2у — Pa) {уа — Vgy);
причем E6.1)
^ly "^ ^2У — ^y> Ply — Р2У — Pj-
Для вычисления начальных параметров обеих сред, т. е. для
вычисления величин Uy, Ру, Viy, V2y,Z)iy, ZJy» где/Iу и Dgy ~~
скорости фронтов, необходимо знать уравнения состояния обеих сред
Ply == /i (viy, 5'iy); Р2У ^ /2 (vsy, '^зу), E6.2)
что позволит написать уравнение энергии для обеих сред в виде
B8.4)
Е,у - ?„ = ^^'-^ (Vh - viy); E,y = ¦^^i^(v„ - v,y). E6.3)
Для удобства дальнейших вычислений напишем величины
удельных объемов Viy и Vgy в виде v^y — а^Уц, Vgy — «2^0- Тогда
система уравнений E6.1) примет вид
Рн {uy — Uuf = {ру — Рп) A — oci); paUy =- (ру — Ра) A — «а);
1
Oiy-
"у-
Vh
^н ¦"' ^1у
1
^ 1 - ai'
^2У
"у
Va
^а ^2у
1 — аг *
E6.4)
Исключая из первых двух уравнений этой системы величину ру,
придем к такому уравнению:
1 -а2 - Рн - Ра i ^3-^-
Решейие этого уравнения удобно написать в виде
= Рп-Ра + -^^'^\^^-- E6.5)
|/ р„ 1-а2+ р^„| [ РнA-«2)
(l-ai)-l
. E6.6)
"п p„(l-ai) _^
Рн A - «2)
Это решение определяет величину скорости движения границы
раздела между двумя средами. Зная величину Му, легко
определяем
Зная уравнения энергии обеих сред в виде
El = Ej, (pi; vi); E^ = ?^2 {p^; v^), E6.8)

§ 56] НАЧАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 475
мы ИЗ уравнений E6.3) определяем связь между величинами
PV = Ply Ку) И /?у = р^у (V2y)- E6.9)
Решая затем совместно первое уравнение E6.7) и оба уравнения
E6.9), находим величину/?у и значения безразмерных параметров
ai и «2- Далее определяются величины Z^iy и D^y, что и решает
полностью поставленную задачу. Выведенные нами здесь
соотношения являются наиболее общими в смысле определения
начальных параметров ударных волн, образующихся при взаимодействии
(столкновении) каких-либо двух сред.
Выведем теперь соответствующие соотношения для
взаимодействия между двумя средами, при которых только в одной среде
распространяется ударная волна. Для этой цели прежде всего
выясним предельный режим взаимодействия, при котором (для среды
/) Ply = рд. Уравнение энергии
в данном случае дает Eiy = Е^\ так как р^у = Рн, то v^y = Vh-
Из уравнения
(Ри - Ра) (Va - V,y) = ul E6.10)
определяем величину у^у С другой стороны, между величинами
Рл и Узу имеет место связь, устанавливаемая уравнением энергии
для среды //:
Е2у-Еа = ^^^(Уа-У2у)- E6.11)
Соотношение E6.10) однозначно определяет величину скорости
соударения двух сред йд, при которой имеет место то условие, что
состояние среды / не изменяется, т. е. ру = р^.
Очевидно, что если скорость соударения двух сред меньше, чем
определенная только что величина предельной скорости
соударения, то в среде / после соударения пойдет волна разрежения.
Для определения начальных параметров обеих сред в момент
соударения в этом случае необходимо воспользоваться следующей
системой уравнений, вытекающих из равенств E6.1) и E6.3):
duy = }[— dpy dvy ; (Z)iy — u^f = cly ;
Py-Pa
l2 ,.2_
^y = (Py - Pa) (Va - V2y); ^гу = V« y^ - y^^ '
P ~\~ P
dEiy = — Py dviy ; Eiy — Ea=^ ^ ^ ° (Va — Vjy).
E6.12)

476 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
После незначительных преобразований с учетом того, что
начальная скорость удара равна Uh, зная уравнение изэнтропы для среды
I Рх = Рх (vi), мы сможем систему уравнений E6.12) написать
в виде
/^
¦Ра
A —«а) = Uy = \^Y —'dpudvy + Ua,
E6.13)
Z>,, = .н - е., = u„ - |/^ ; i),, = |/^^^ ;
E^y — Еа= —2^; A — ОСз).
Обозначая \ у'— dpy dvy = ф (ру) и исключая из соответствующих
уравнений величину и у для определения давления в момент
соударения, придем к такому уравнению:
^1^ A - а,) = [и„ + Ф {ру)Г, E6.14)
где
«2 = «2 (Рт)'
Зная величину ру, легко определить значение величин Uy, р^у,
Р2у» ^1У» ^2У
Рассмотрим теперь также для общего случая взаимодействия
двух сред, приводящие к незначительным изменениям давления в
обеих средах (акустическое приближение); при этом необходимо
прежде всего положить, что /?н -^Ра- Тогда, воспользовавшись
известными соотношениями:
с- = — v^ _А? . __ Ау ^ Ар . I __ ^ ^ Ар
Ду ' V рс^ ' рс^ *
после элементарных преобразований уравнений E6.4) будем иметь
Ару = Рн^н {Uu — Uy) = paCaUy, ОТКуда
^= ^-:- ; ^Py = Py-Pa=^^^^^^. E6.15)
Далее очевидно, что
Diy = и^ — Сн, i?2y = ^о- E6.16)
Эти соотношения справедливы независимо от того,
распространяется в среде / ударная волна или волна разрежения.
Для решения различных частных задач, связанных с
определением начальных параметров на границе раздела двух сред при
их взаимодейстии, выведенные нами общие соотношения не всегда

56]
НАЧАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
477
являются удобными, и поэтому целесообразнее в ряде случаев
заново выводить более удобные соотношения.
Перейдем к рассмотрению ряда конкретных случаев.
А. Соударение двух твердых тел
В данном случае выведенные нами общие соотношения
являются как раз наиболее удобными для вычислений. Будем считать,
что при не чрезмерно высоких скоростях соударения двух тел
энтропия на фронте ударных волн, возникаюш;их в этих телах,
не возрастает, т. е. будем рассматривать эти ударные волны как
сильные волны сжатия. С большой степенью точности,
аппроксимируя связь между плотностью и давлением в виде Ру = А^ (pjj/
/рГА — \) + Ра для тела 1 ж р^ = А^ (р?^/ра' — i) + Ра для тела
2, а также полагая начальные давления в обоих телах
одинаковыми, мы для определения начальных параметров на границе раздела
соударяюш;ихся тел придем к такой системе уравнений:
и.. 1
1 +
V Рн 1
— ai
Ру — Ра =
— «г
A-0B)
1 +
-ai)
1
A - 02)
1);
E8.17)
^1У-"
(^-)[^V^^
D,
2У
A-а2)
Ы^т
— «1
0B
При малых начальных скоростях соударения двух тел соотношения
E6.17), как мы показали выше, перейдут в
Рн^
D
1У
Рн^ + Ра^а'
Ру
РаРн^а'^н^н
Ра^а + Рн^я '
E6.18)
D^Y — Со.
При этом связь между давлением и плотностью, поскольку
изменения плотности невелики, будет выражаться законом Гука
Ру - Ра = "l^i
Ply-Pi
- = П.А,
Pay - Pa
E6.19)

478 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
В том случае, когда соударяющиеся тела состоят из одной и той
же среды, основные соотношения примут более простой вид:
г,2
1
= — ; Ру — Ра
РаК
4 A — а)
Для акустического приближения имеем
= Л (а^ - 1).
Ру — Ра =
(^1
^1у-"н
1
д
2У
2 ' и^ 2A-а)' Мд 2A-а)
dg = а; щ = щ = щ ^1 = ^2 = ^)-
В тех случаях, когда твердое тело ударяется об абсолютно
твердую преграду, то, полагая величину ад = 1 {у^у = v^), мы в ре-
таким соотношениям: щ = 0; ру — Ра =
зультате придем к
= Рн4/A - aj) = At, {аТ
1);
(Z)iy - Uh)/Uh = 1/A -oci);
Для иллюстрации и понимания процессов соударения двух
твердых тел мы приведем некоторые вычисления. Прежде всего
вычислим параметры на границе двух одинаковых соударяющихся тел
для небольших скоростей соударения, полагая для типичных
металлических тел р = 8, с ^ 6000 MJcen и для других типичных
тел р = 4, с = 3000 MJcen. Результаты вычислений
иллюстрируются табличкой
Пд м'сеп
1 0
10
102
5-102
103
2.103
1 5-103 1
(Ра •=^)
Ра
' 0
24.102
24.103
12.10*
24.104
48.10*
12.10^
Wy MJcen
0
5
5.10
2,5.102
5.102
103
2,5.103
^'?а'='Ч
Ра
0
6.102
6.103
3.10*
6.10*
12.10*
3-10^
В случае больших начальных скоростей соударения (при Uq >
> 1—2 км/сек) сжимаемость соударяющихся тел уже необходимо
учитывать; тогда, полагая, что величина а определенным
образом меняется с давлением, мы придем к таким результатам:
ttg км/сек
1
5,0
10,0
20,0
50,0
100,0
а (Ра =* 8)
0,92
0,90
0,70
0,50
0,40
0,30
а (Ра = ^)
0,83
0,80
0,60
0,40
0,30
0,20
Ру —Ра
24.10*
5.106
6,7.10^'
16.103
87-10^
29.107
Uy км/сек
0,5
2,5
5,0
10,0
25,0
50,0
^^"^%г .i)
Ра ^'" ^
1 6.10*
1,25-10^
2,5.10^
6,7.106
36.106
125.107

§ 56] НАЧАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 479
Величины а взяты приближенно, на основании отдельных
экспериментальных данных.
При высоких давлениях (> 10^ атмосфер) энергия будет резко
возрастать, при этом точность вычислений будет невысока,
поскольку у нас нет надежных данных о сжимаемости при таких давлениях.
Совершенно аналогично можно провести вычисления для
соударения двух различных тел.
В природе и технике мы часто имеем дело с соударением
различных твердых тел, например, с ударом снаряда о броню со
скоростями до 1,5 KMJceK и с ударом больших метеоритов о
поверхность Земли со скоростями, которые могут достигать величины
50—70 км/сек. В космическом пространстве скорости соударений
могут быть еш,е значительнее.
Б. Истечение продуктов детонации
в воздух
При истечении продуктов детонации в воздух или в иную газо-
образую среду в этой среде пойдет ударная волна, а по продуктам
детонации — волна разрежения. Для определения начальных
параметров ударной волны Uy и ру мы будем иметь следующие
уравнения:
2Сд / Су \ 3/с — 1 2
Uy = U^+ д.__1 (^ 1 — — j = -jrzrr ^н — /,_! ^у
2(Ру-Р.)^ 1E6.20)
Эти уравнения получаются после простых преобразований E6.13),
если принять во внимание, что
^а _ Ply _ (Т+1)Ру + (Т-1)Ра
И что скорость волны разрежения в продуктах детонации равна
viy Pji ^ ^ . izL
ц^ ~- \ I/ пп г1\т — \ —t— — ::: i л i _ У • '
$,/^^iM^=5^=j^[i-(ii
VH Py
fc-l
или поскольку (Ру/Рн) ^^ = Cylc^i, TO Щу = 2k l{k" — 1) [1 — Су/Сц].
После некоторых преобразований E6.20) молшо прийти к таким
соотношениям:
тШ"--*|/
Ру_
3/с -1 2/с ^ - ^ -^^ - - ' - . -г- -1
D /С'^ — 1 k'^-L \р„ J и Ш/ р.
т[(т + 1) i~ + (T~i)]
га
E6.22)

480 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
причем у = Ср/Су для воздуха может быть принято равным 5/4 для
больших давлений и 7/5 для малых. В случае сильной ударной
волны, что практически имеет место при детонации взрывчатых
конденсированных веш,еств и ряда сжатых взрывчатых газовых
смесей, уравнение E6.22) упрощается и принимает вид
?Г-1
D
3/с—1
2к
/с2 —1
А;2.
1
Рп
2fc
D у т(Т + 1) Ра Г) у
Рн
II , E6.23)
-((f + i) Ра Рн ^ '
Вычисления начальных параметров по указанным уравнениям не
представляют труда.
Приведем результаты вычислений начальных параметров для
истечения продуктов детонаций некоторых газовых смесей и
конденсированных взрывчатых веществ.
Газовая смесь
2Н2 -f О2
2Н2 + О2 -Ь N2
2Н2 -Ь 02 + 3N2
2Н2 + Ог -Ь 5N2
D м/сеп
2820
2400
2060
1800
т°
46С0
3900
2700
2700
Рд кг/см^
19
19
18
17
Uy м/сек
1350
1200
1000
900
Ру пг/см^
19
18
16
14
Для конденсированных взрывчатых веществ типа тротила,
принимая, например, р^ = 1,6 г/см^, Q = i кал/г, к = 3, D =
= 7300 м/сек, будем иметь
/х=:700, -^ = 0,9, т.е. Uy = 6500м/сек.
Как мы видим, начальные давления на фронте ударной волны в
случае газовых смесей близки к начальным давлениям на фронте
детонационной волны; в случае же истечения продуктов детонации
конденсированных взрывчатых веществ давление на фронте
ударной волны в среднем почти в сто раз меньше, чем начальное
давление на фронте детонационной волны.
При истечении продуктов детонации конденсированных
взрывчатых веществ в газообразную среду необходимо учитывать их
неидеальность. Для этой цели необходимо уравнение,
описывающее простую волну разрежения в продуктах детонации [см. D4.12)],
писать в виде
2 2
«7 = "н + Г (^Н • - ' '
ft-1
3fe-l
'ь)+ гггг(^»-^у)
А2.
D-
k-i
Ск +
^^4
1
E6.24)

§ 56] НАЧАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 481
где C]i я pk — скорость звука и давление в точке сопряжения.
Решая это уравнение совместно со вторым уравнением E6.20), мы
определим искомые параметры Uy и ру (значение к можно принять
равным 3).
Приведем расчеты по определению Uy и ру для истечения
продуктов детонации какого-либо стандартного взрывчатого вещества,
например тротила. Принимая ро = 1,6 г/см^, Q = 1 кал/г, D =•
— 7300 м/сек, к = 3 при р > р^як == 7/5 при р<СР/с» будем иметь:
Ри/Ра = 2.10^; Рк/Ра = 2150; щ -= 6600 м/сек; Uy = 8000 м/сек.
При истечении в пустоту (ру = 0) Uy^^^ = 11 500 MJcen, Поскольку
значение давления на фронте образующейся ударной волны, а
следовательно, и в продуктах детонации, соприкасающихся с
газообразной средой, лишь незначительно меньше, чем давление в
условной точке сопряжения изэнтроп р\^ == const и pv^ — const,
то для несколько приближенных расчетов всегда можно полагать,
что для продуктов детонации в начальной стадии расширения
справедлив закон изэнтропы pv^ = const, и лишь для дальнейшей
стадии расширения пользоваться изэнтропой pv*^ = const.
В. Истечение продуктов мгновенной
детонации в воздух
При истечении продуктов мгновенной детонации в воздух
величина Uh = О, и поэтому основные уравнения будут иметь вид
/ 2(^-1
E6.25)
где с\ = 3Z)V8» ?н = Ро/2 = Po^V2 (/с + 1) — некоторые
средние скорости звука и давление в продуктах взрыва. В случае
сильной ударной волны уравнения бдут иметь такой вид:
к—х
J!z=_2_ri_/Zl\ ^4=iai/__i_?lLZL. E6.26)
Приведем результаты вычисления начальных параметров
ударной волны для некоторых газовых смесей и конденсированных
веществ.

482 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
Для газовых смесей будем иметь (при к = 7/5)
|\ ^°
1,5
2,0
5,0
10,0
0.5
Ру/Ра
1,06
1,12
1,43
1,88
"У/^Н
0,24
0,40
0,82
1,06
1.0
Py/Va
1,05
1,09
1,3
1,6
«у/Сд
0,25
0,42
0,87
1,14
2,0
Vy/Pa
1,03
1,06
1,22
1,44
Uy/C^
0,26
0,43
0,91
1,21
5
Ру^Ра
1,02
1,04
1,14
1,28
ггу/Сд
0,27
0,45
0,95
1,27
10
Ру/Ра
1,01
1,03
1,1
1,2
Пу/Сд
0,27
0,44
0,97
1,31
Для конденсированных взрывчатых веществ, например для
тротила, полагая ро = 1,6 г/см^, <? = 1 кал/г, к = 3, будем иметь
^ = 10^
-1^^ = 600,
Ра
0,8,
500 м/сек,
_ _Х
Ра~ ^^ ' Ра """' ^н
В случае учета неидеальности продуктов детонации
конденсированных взрывчатых веществ необходимо воспользоваться уравнением
Y—1
/с-1
1
*}/
^^ш"]
2|-Ь_1
Г 0+1)у- + (Т
-']
E6.27)
где Cj^H Ph — скорость звука и давление в точке сопряжения.
Приведем соответствующие расчеты в случае мгновенной детонации
для стандартного конденсированного взрывчатого вещества
тротила. Полагая к=3 при р > р^ и к=7/5 при р<СРк1 будем иметь:
Pн/Pa = 10^ pjpa=n00', Wfe=3600 м/сек; Uy = 4000 м/сек.
При истечении в пустоту г/щах = 9500 м/сек. Анализ вычислений,
сделанных нами для случаев мгновенной и реальной детонации,
показывает, что начальные параметры ударной волны при
мгновенной детонации несколько ниже, чем при реальной детонации.
Г. Истечение продуктов детонации
в плотную среду
При истечении продуктов детонации в какую-либо плотную
среду, например в воду или иную жидкость, возможны два
случая: а) в среде и в продуктах детонации распространяются
ударные волны; б) в среде распространяется ударная волна, а в
продуктах детонации— волна разрежения. Составим сначала систему

§ 56]
НАЧАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
483
уравнений, необходимую для вычисления начальных параметров.
В первом случае: прежде всего и^ — U2 = Uy, что равносильно
соотношению
ViPn - Ра) (Ун - Ур) - У(Ру - Рн) (Ун -- Viy) =
= Uy= ViPy - Pa) (Уа - У2у). E6.28)
Далее имеем
^Рн
1У
Е
ik-i)p^+{kJ^\)p
E6.29)
Во втором случае необходимо воспользоваться следуюш;ей систе
мой уравнений:
у- T^3r^-li^IIT^(]^) '' = /(Ру - Ра) (Уа - У2у).
и
k^^i ^ k^ — i - Ур^ j — г v/-y
E6.30)
В реальных условиях энтропия в плотной среде при
прохождении через нее ударной волны, как мы знаем, почти не меняется.
Поскольку это обстоятельство имеет место и для продуктов
детонации, то, используя для произвольной среды изэнтропическии
закон, связывающий р и v в виде
"''НШ-^]
E6.31)
и уравнение изэнтропы для продуктов детонации вида ру =
= Рн ЦУн/У1у)'^Ь придем к системе уравнений, справедливой
для обоих случаев а) и б) и пригодной для решения реальных
задач:
/i-i
^у _ 3/с —1 2к
D
к^-
/С2 — 1
Рц
/р:--|/С:-')['-(J^.y.]-
E6.32)
или, пренебрегая для сильной ударной волны единицей по
сравнению с величиной Ру/Ра^ получаем
li—i
3/с ~ 1 2к [ Рп\ a.'v
D
/f2_l
/С2_1
/i^'i'
[l/n ( Р\\
Pa
E6.33)

484 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
Если давление на фронте образующейся ударной волны в точности
соответствует начальному давлению на фронте детонационной
волны, то прочие начальные параметры ударной волны вычисляются
по очевидным соотношениям Uy = и^] у^ = Vh; ?'у = Еа = (Рн +
+ Ра) (Vq -- V2y)/2 или при законе E6.31)
этом
/у \^
у (Ри — Ра) (Va -
- Vzy) = «н-
E6.34)
E6.35)
Уравнение E6.35) является критерием того, какой процесс будет
происходить в продуктах детонации; при большей начальной
плотности среды в продуктах детонации образуется ударная волна,
при меньшей — волна разрежения.
Д. Истечение продуктов мгновенной
детонации в плотную среду
В этом случае в продуктах детонации пойдет волна разрежения.
Соответствуюш,ая система уравнений будет иметь вид
/г—1
Р^ \ 2/С
E6.36)
Принимая для среды закон E6.31), а дли продуктов детонации
закон jp^^ = const и пренебрегая единицей в сравнении с PylPai
окончательно придем к системе уравнений
fc-i
V Ра^"н У Ра \ "^Ра
E6.37)
Подчеркнем еще раз, что знание начальных параметров при
истечении продуктов детонации в какую-либо среду совершенно
необходимо для последующего изучения распространения
продуктов взрыва и ударной волны. Более подробно свойства
стационарного разрыва В ддотной среде будут рассмотрены
р главе XI.

§ 57] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 485
§ 57. Основные уравнения и граничные условия
для плоской ударной волны
Система основных уравнений газовой динамики,
описывающая распространение плоской ударной волны в форме Эйлера,
имеет вид B.14) при V = 0
ди . ди , 1 др г\
E7.1)
Система уравнений в форме Лагранжа соответственно имеет вид
C.22), C.23)
Ж + Ж = 0; h = his); ^ = ^; р=.Н(Н).-К E7.2)
Принципиально известно, что решение системы трех
дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка
должно содержать три какие-либо произвольные функции. Однако до
настоящего времени не удалось найти точных решений указанных
систем уравнений для ударной волны, распространяющейся в
идеальном или политропическом газе. Можно попытаться найти
решения, которые все же имеют смысл общих, а также особые решения
для определенного уравнения состояния или вернее для
определенного процесса распространения ударной волны. При этом
решения пригодны для изучения движения неоднородной среды.
Уравнение состояния или процесса мы напишем в виде
1^ Sk—l
V - а (h) = кА^р ^ {h+ho) '^ , E7.3)
где а (h) — некоторая произвольная функция, играющая роль
переменного коволюма, введенная для общности, А = А {h)\ h^ —
константа. При этом уравнения E7.2) перепишутся таким образом:
^ + Ж = 0; i + ^^/'''^('^ + ^o)-'^S=0. E7.4)
1
Вводя новую независимую переменную X — , , . , новую
зависимую переменную z = рт и исключая из уравнений скорость и,
можно прийти к такому уравнению:
Это уравнение при постоянном А по форме в точности
напоминает уравнение для изэнтропичсских точений, если рместо гит

486 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
подставить р и ^, и легко поддается интегрированию. Его можно
представить в виде двух уравнений:
где W = W {t;T) — новая выведенная функция.
Обратив зависимые и независимые переменные, мы придем к
уравнениям
т. I 1
at^_a^. а^^^а^—г JJL ^ /57.7)
dz dw ^ dz dw * v • /
Если принять, что А == const, и ввести новую переменную 6,
определяемую соотношением
Z =
2к
(/с-1N ]lF=r
2кА
]'-"\ E7.8)
ТО, исключая т, придем к простому уравнению A6.15) типа
уравнения Дарбу
дЧ _ дЧ /c-t-1 dt (^1 Ci\
dw^ '~ 562 + (/c_i)e дв ' ^ '^^
решение которого при^=9X1 ' ^^® ^ ~ "~^' 0, 1, 2, 3, ..., 00,
как известно, есть
t = -J^ [fi^ + ^) + РЛ^ - w)], E7.10)
или, аналогично решению A5.33):
__ a^ Oi(Vlo + w) + 02(V'^-'w)
где
2kA \2 i'-'
E7.11)
Определим теперь w: так как
— dz /7 I 7 \ч ^v /7 I 7 \ ^^^
TO
4io = pdt + {h + K)[^^ dt + ^dh],

i 57] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 487
откуда
dw = pdt + (h + ho) du. E7.13)
Найдем теперь особые решения уравнения E7.5). Полагая
^ , ' = 0, из уравнении E7.6) найдем
w = ±Q + const. E7.14)
Далее, придем к уравнению
решение которого очевидно:
к+1
Ax = ±z 2?с t+ F{z). E7.16)
Возвращаясь к старым основным переменным, получим
к-1
Р
Уравнение du/dt -\- dp/dh = О в независимых переменных (р, h)
имеет вид ди/др — dt/dh. Отсюда и из E7.17) следует, что
причем dOjdz = — zdOjdz, где z = р/ {h ~\- h^).
Уравнение
в независимых переменных (р. К) имеет вид
Легко убедиться в том, что особые решения E7.17) и E7.18)
ему тождественно удовлетворяют.
Для более простого использования найденных решений полезно
сделать некоторые преобразования. Прежде всего уравнение
состояния E7.3) напишем в виде
Р = , ,г^° /,-|(з.+1) . E'-19)
где Ло = {kA^)^hl^^^'^^\ при Ло -^ оо и о = а (А) это уравнение

4:§S РАСПРОСТРАНЕНИЕ ]НЕСТАЦИ0ЙАРНЬ1Х УДАРНЫЗС ВОЛН [гЛ. IX
переходит в обычное уравнение изэнтропы. Далее, особые
решения напишем в виде
1
A^^^ho -±tl
K-l
, = ±^p--{i+^) *' + Ф.J-Vj; <".20)
¦W if-i ^''-^^
V+ ho I
причем --^ = —ТГ''Т~ ' ^^® теперь z = ——--. Пусть
1 + ^
1
A ^^ К - .^'+^
где J^i B) "— новая произвольная функция. При этом
"Г "' 2
E7.23)
причем по-прежнему dFJdz = — (z/ho) dFJdz, При Aq -^ оо эти
решения переходят в известные точные особые решения для
изэнтропических движений. Общие решения E7.10) при Aq -^ оо
также переходят в точное общее решение для изэнтропических
движений, поскольку при этом w = h^u:
E7.24)
'=-^Нй^о+и)-^и[^с-и)]. E7.25)
Как видим, мы нашли решение, зависящее от двух
произвольных функций и двух констант. Общее решение задачи должно со-

§ 57] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 489
держать три произвольные функции. Но мы все же можем назвать
найденное решение в известном смысле общим, поскольку для
целей практики выбор констант А\ Hq действительно позволит
хорошо изобразить зависимость р = р (s) = р (h) на фронте волны для
любых ударных волн, как сильных, так и слабых. Функцию а {h)
при этом можно при изучении ударных волн в газах положить
равной нулю или выбрать ее таким образом, чтобы улучшить
аппроксимацию р — р (h) на фронте любой волны. Для уравнения
состояния E7.3) решение в точном смысле является общим; так
же можно говорить и о решении E7.10) как о точном и общем, если
считать, что ударная адиабата Гюгонио аппроксимируется
несколько иначе, чем обычно.
Величина Hq определяет силу ударной волны или степень
неоднородности газа, в котором рассматривается движение, при Ао *~^
-^ оо ударная волна вырождается в волну сжатия или среда
становится однородной; напротив, при малых значениях константы
йо сила ударной волны или степень неоднородности газа
возрастает.
Можно найти еще один класс решений для уравнения состояния
или процесса:
р = -A^{h)Y + B{h), E7.26)
т. е. полагая А: = —1. При этом основные уравнения принимают
вид
^и . др ^. да __ dv __ i dp ^ ,r„ «„v
исключая из них /?, придем к уравнению
= ^Н^ж]- E7-28)
Введем переменную т; dr = dh/A{h), тогда E7.28) примет вид
Если А — Лoт2^^"^^ где А^ = const, п — любое целое число, то
E7.29) перейдет в уравнение
а^м дЧ , 2(n — i) да /С7 Qn\
-w^-d^ + —X—Ж' (^^-^0)
решение которого может быть представлено в виде
^--^^{РЛ^ + '') + Рг{1-х)Ь E7.31)

490
РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
при ЭТОМ
X2(n-l)dx =
h + ho = Ао^
Зная и, легко определим v, поскольку
Aot
2П-1
2п —1
2 (п—1)
2гг—1
ди I ^v
E7.32)
E7.33)
Для бегущей волны одна из функций Fj или F2 равна нулю. Далее,
из уравнения состояния определяется р. Укажем, что легко
находится класс точных решений, если положить, что
V = / (k).
Тогда из уравнения du/dh = dy/dt следует, что и = ур (t).
Подставляя это условие в уравнение du/dt + dp /dh = О, находим, что
р = —hdip/dt + ф (i). Поскольку р = о {h)v~^ = F {h), получаем-
ф (t) = const. Таким образом, мы приходим к решениям вида
V = / (h), р = Pq — ah, и = а {t — t^), E7.34)
Эти решения могут быть полезны при изучении ряда задач; одну
из таких задач мы рассмотрим ниже.
Можно указать еще некоторые точные и приближенные реше
ния, но мы их дадим для случая более общих течений газа —
течений, обладающих точечной симметрией.
Для того чтобы решать различные задачи, надо сформулировать
начальные и граничные условия для адиабатических течений газа.
Мы их сформулируем не только для ударной волны, но и для
адиабатических течений без ударных волн.
Рассмотрим сначала условия на фронте ударной волны. Как
известно, на фронте [см. B8.1), B8.2) и B8.4)]
Uy =- YiPy — Pa) (Va — Vy) + U^]
D,
-/^
-Pa
+ Ua\ Ey
_Py±Pa,^ .
^a — о \^a
Vy).
E7.35)
Для политропической среды имеем [см. B9.10), B9.14), B9.17)]
2 г / с. \2л
Ру — Ра
к + 1
2
PaiDy-UaY^i
-О.
¦ щ
¦]¦
E7.36)

§ 57J ОСНОВНЫЕ Уравнения для плоской ударной волны 491
Для сильной волны будем иметь
k + i
Py=IzrrP«-
E7.37)
Обозначая координаты фронта ударной волны через Z, мы для
скорости фронта будем иметь соотношение
^=?>у. E7.38)
В случае неоднородной среды
^,=-1-^, E7.39)
где Ра = Ра {h).
Для заданной границы ударной волны также выполняются
вполне определенные соотношения. Если ударная волна
образована при движении соответствующего поршня, то под задней
границей ударной волны мы будем подразумевать область ударной
волны, непосредственно примыкающей к поршню, и при этом,
очевидно, скорость на границе между поршнем и ударной волной
должна быть равной скорости поршня. Зная закон движения
поршня в виде Хп = Хп {t), мы это условие можем записать так: и^ =
== и = dXn/dt, где и^ — скорость движения среды на границе
с поршнем.
В том случае, когда ударная волна образуется при расширении
какой-либо сжатой среды, под задней границей ударной волны
мы будем подразумевать границу раздела между ударной волной
и данной расширяющейся средой. На границе раздела должны
выполняться следующие очевидные условия:
Ру = р^, Uy = щ, E7.40)
где /?2» Щ — соответственно давление и скорость движения
расширяющейся среды на границе раздела.
Указанных условий достаточно для однозначного
определения процесса распространения нестационарной ударной
волны.
В случае просто адиабатических течений надо для простых волн
знать условия на одной из характеристик (на линии слабого
разрыва), для сложных волн — либо условия на двух
характеристиках, либо на одной характеристике и на стенке или на линии
особого разрыва.
В наиболее сложных случаях решения можно найти при
условии на линии слабого разрыва, еще не зная закона движения

492
РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
линии разрыва; при этом совместно определяется движение по обе
стороны от линии разрыва, после чего уже определяется закон
движения этой линии. То же обстоятельство может иметь место и
на заднем фронте ударной волны.
§ 58. Начальная стадия распространения
плоской ударной волны при истечении продуктов
мгновенной детонации в воздух
Рассмотрим задачу о распространении плоской ударной волны
при истечении ранее покоившегося газа в трубу, заполненную
воздухом. Давление в тру-
Проптвя волт
Стацтицртп
волна раэременшг
^\с TTfinnmna пппип п^ппппиппи»^ бс првдполагается
равным атмосферному. Для
этой цели необходимо
рассмотреть не только
движение воздуха (что
соответствует
истечению продуктов
мгновенной детонации), но
и движение самого газа.
Пусть истечение начинается в сечении :с = О в момент времени
^ = О и происходит слева направо. Волна разрежения, возника-
юш;ая при истечении, как мы знаем, описывается особым решением
(§ 19):
и^ , _ . {с^ — с), X = {u — c)t. E8.1)
Поскольку истечение происходит в атмосферу, то перед фронтом
растекаюш,егося газа образуется ударная волна с начальными
параметрами ру, Uy. Граница раздела между газом и ударной волной
будет двигаться со скоростью Uy, Таким образом, положение
границы раздела определяется соотношением
Х\
Uyt,
E8.2)
Теперь определим координату х левой границы волны разрежения.
Значение скорости звука газа (продуктов детонации) при и =
= и.
равно с = Су = Сн — (А: -— 1) и/2. Отсюда
г = («у - Су) t = j^cj(^i-ttL^y E8.3)
Точка с координатой Х может двигаться как вправо, так и влево.
Таким образом, значения и = Uy, с = Су передвигаются в
продуктах детонации по закону E8.3). Поскольку х < Ху, то необходимо
положить, что на интервале Ху — Т = Cyt параметры газа
постоянны и равны Uy, Су, Таким образом, при истечении покоившегося

§ 58] ИСТЕЧЕНИЕ ПРОДУКТОВ МГНОВЕННОЙ ДЕТ0НАЦЙР1 В ВОЗДУХ 493
ранее газа в воздух вследствие возникновения стационарной
ударной ВОЛНЫ от границы раздела внутрь газа идет стационарное
возмущение, что и приводит к образованию двух волн разрежения в
истекающем газе: стационарной и простой (рис. 64 и 65).
\ $олиа
\ разрежения
Праатая\ w
еолна \ .^
Стато/щш^
Piic. 65.
Поскольку слева от ударной волны движение газа
стационарно, то и сама ударная волна будет стационарной. Закон
движения фронта и давление ударной волны полностью определяются
значением щ\
_ 2
Для сильной волны
'^i-^)
E8.4)
Т + 1
2
Т + 1
1у,
paUy.
E8.5)
Таким образом, ударная волна определена на интервале Uyt ^
X ^ Dyt, причем величина Uy, Ру определены формулой
Ру
Ч^
2к
к-1
И равенствами E8.5). Движение продуктов детонации задано так:
на интервале (г^у — Cy)t ^ х ^ Ujt мы имеем: и — Uy = const;
с = Су = const; на интервале — c^t ^ х ^ {uy — Су) t величины
и, с определяются особым решением E8.1).
Если сосуд, содержащий газ, ограничен слева стенкой,
поставленной на расстоянии I от начала координат, то, как мы знаем.

494
РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
В момент времени t — Исц волна разрежения дойдет до стенки и
возникнет отраженная волна B1.2)
Z/2Br + l) д'-^ [(/2Bг + 1I + ^)^-2Bг + 1)^-н]' .
2г![2Bг + 1)Г аГ-1 Yi
^
t =
di
X = ut
ди
E8.6)
Фронт этой волны будет распространяться слева направо по зако-
ну B1.7)
х =
E8.7)
Поскольку левая граница стационарных значений Wy, Су для
продуктов детонации распространяется по закону E8.3), то
отраженная волна настигнет эту границу в точке
2 ^ + 1 s^ / ^н\2(^-1)
У1 _
/ "~ \^ /с —1 /с —1 с
В момент времени ^i, причем
E8.8)
ь-+1
/
^\ 2(/i-l)
При этом снова возникнет новая волна, которая будет особой,
поскольку фронт ее будет двигаться по газу с постоянными
параметрами. Для этой волны можно написать
= /2 Br + 1) [ /^ + f Z - 2 YQ;
{u-\- c)t —
r\ dc'
E8.9)
==f2Br+l)f^j^fI+//H-2lAy^-
21 d' i(Vi -V^y)(V^+Y^y+ V\)V
Уравнения E8.9) полностью описывают движение простой волны.
Эта простая волна будет распространяться в обе стороны,
причем если Uy < 2су1(к — 1), то левый фронт волны пойдет к стенке
влево; если Uy ^ 2су/(к — 1), то левый фронт будет двигаться от

§ 58] ИСТЕЧЕНИЕ ПРОДУКТОВ МГНОВЕННОЙ ДЕТОНАЦИИ В ВОЗДУХ 495
стенки направо. Для определения закона движения ее левой
границы необходимо из E8.6) определить t = t (i) при первом
условии E8.9), далее определить х = х {(); исключая отсюда i,
можно найти X = X (t). В общем виде эта задача технически
сложна. Однако нетрудно определить момент времени, когда фронт
волны достигнет стенки, что будет показано ниже.
Закон движения правого фронта определяется легко.
Поскольку возмущение передается со скоростью звука плюс скорость
среды, то
X = Xi + (uy + Су) (t — tj). E8.10)
Граница раздела между ударной волной и газом движется по
закону X = Uyt, следовательно, простая волна в точке х^ = 2uytj^
при ^2 == 2^1 догонит заднюю границу ударной волны. Далее,
возникнет новая волна уже переменной энтропии. Легко подсчитать
время и место, когда возмущение, идущее от стенки, достигнет
фронта ударной волны. Это возмущение также распространяется
со скоростью Uy + Су по ударной волне. Таким образом, закон
движения будет
х = х, + {uy + Су) {t - Q, E8.11)
Y—1
где Су = fо (PyiPa) ^'^ ^сть скорость звука в ударной волне.
Поскольку фронт ударной волны движется по закону
It = Dyt, E8.12)
то волна разрежения догонит фронт ударной волны в точке х^ =
= 2DyCytJ{uy -f Су — Dy) в момент времени
E8.13)
Так
как
-2 ТРу
h =
4 =
2Fy^i
Wy + ^у— i^y
кру С
¦¦ —^ , то -^
л. E8.14)
Для сильной волны найденные выражения упростятся: Dy = (у -\-
+ 1)ыу/2 - Uy + Dy = {у- l)uy/2; ру = р„ (у + 1)/(y - 1);
отсюда
с1 = 'Jy.lz± = llLz±al. E8.15)
Таким образом,
'У~ Р„ Т + 1 - 2 "'У-
хз= —-у=4=—; h = ^=- E8-16)

496 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
После того как волна разрежения догонит фронт ударной волны,
давление на фронте последней начнет уменьшаться и дальше будет
распространяться волна переменной амплитуды.
Определим давление на задней стенке, ограничивающей объем
первона^чально покоившегося газа. Давление в отраженной волне,
как мы знаем [соотношение B3.8)], определяется соотношением
V 1 у [2(г-аI1BоеI /Рн ^lй? /«;« 17^
-Г = ^ ? [(г_аIа!Р \Т ) ' ^^^-"^
В том случае, когда Uy < 2су/{к — 1), левая граница простой волны
будет распространяться налево; поскольку в волне имеет место
соотношение
с i~^ = Ч i~^y' E8.18)
то на стенке при и — О давление р^ определится из очевидного
соотношения
ЭТО давление будет соответствовать моменту времени t = t^ (при
р = /?i) прихода фронта второй простой волны к стенке:
_fH^_J__ у B(г^а)IBа)! fPny^J, fe-1 ^^у\-<2«+^)
E8.20)
в том случае, когда щ ^ Су, левый фронт простой волны
разрежения пойдет направо и давление на стенке будет изменяться
согласно закону E8.17) до тех пор, пока фронт волны разрежения,
отраженный от ударной волны, не достигнет стенки; аналитическое
описание этого процесса представляет значительные трудности.
Сравнительно легко рассмотреть аналитически движение
границы раздела между продуктами детонации и ударной волной в
интервале времени между моментами прихода к границе раздела
фронта простой волны E8.9) и фронта волны разрежения,
отраженной от фронта ударной волны. В самом деле, поскольку для
ударной волны имеет место соотношение
и—у—j-c = i^y— jziib^ E8.21)
где с, Су — текуш;ая скорость звука и начальная скорость звука
воздуха на границе раздела, а для простой волны справедливо
решение E8,9), то мы, проделав элементарные преобразования,

§ 58] ИСТЕЧЕНИЕ ПРОДУКТОВ МГНОВЕННОЙ ДЕТОНАЦИИ В ВОЗДУХ 497
можем написать
Uxy — -ут — и; Сху — с;
^ = („ + ,)<___ 1 Т .
С
fc(v-l)
и = Uy -\-
т-1 "У
Очевидно также, что
[(-)""'-<].
- — - I т —1
^у — ^а~\ 2— ^^'
Здесь Су,у и Сху — текущие значения скорости звука в воздухе и
в продуктах детонации соответственно на границе раздела, и^у —
текущая скорость границы раздела.
На основании этих преобразований можно прийти к
следующему соотношению между t и с:
2/ rf^+i {{o-c^)'' + o,,{c-c)Y
r\ dc'"^^
fc-Y
Решение этого линейного уравнения не представляет труда.
Начальные условия таковы: при t ^ t^ с ^ Су^ х == Х2. Уравнение
E8.22) описывает закон движения границы раздела.
В тех случаях, когда Uy < Су, как мы указывали, к стенке
пойдет левая граница простой волны. При этом отраженная волна
может быть только волной стационарной, поскольку слева она
будет ограничена стенкой, а справа будет сопрягаться с простой
волной; так как на стенке скорость равна нулю, то эта
стационарная волна вырождается просто в область покоя. Фронт этой области,
очевидно, будет распространяться со скоростью с = Су —Uy
направо; внутри области покоя тоже будет скорость звука с = Су—
_— Uy, Через некоторое время, которое в общем случае трудно
вычислить точно, к стенке придет фронт последующей волны и
область покоя исчезнет. Существенно при этом отметить, что
поскольку простая волна будет являться волной сжатия, то
давление на стенке после ликвидации области покоя будет сначала
зозрастать со временем.

498
РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
Выведенные нами выше соотношения значительно упростятся,
если рассмотреть случай, когда для продуктов детонации
показатель политропы к = 3. Выпишем для этого случая все основные
соотношения, описывающие различные волны:
X
^-с = —
u-j-c=c^ = yk(k'-i)Q
и = Су
И = Иу
X
«-с = —,
х + 21
х + 21
и — с = My — Су
— C^t^X^ (Wy — Су) i
("у —C^)t^X^ U^t
"у^ < ^ < Dyt
— Z < а; < Сц^ — 21
(Wy — Су) it < а; <
< ("у + S) (^ - ^1) + ^1= ^1н^ - 2^
Простая
волна

Стационарная волна
Ударная
волна
Первая
отраженная
от стенки
волна
Простая
волна
сжатия
При Цу <^ k — i ^У ^ стенки образуется область покоя, при этом
с = Су — Uy. При Uy^ k — i ^У ^ стенки суш;ествует отраженная
волна достаточно продолжительное время.
Выпишем теперь значения a^^, t^^ Xg, t^:
X2
I
2Иу
Значения x^ и fg мы не выписываем; они вычисляются по
соотношениям E8.13) или для сильной волны по E8.16). Значение ta
определяется формулой
'^-ШЧ^-^У

§ 59] ПРЕДЕЛЬНАЯ АКУСТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ ПРОЦЕССА 499
Уравнение E8.22) принимает вид
откуда
-^ = 2e'^^^[(-bLJ^_l] . E8.24)
Дальнейшее рассмотрение системы волн аналитическими
методами принципиально возможно лишь для области изэнтропическо-
го движения газа, т. е. для продуктов детонации, однако это
рассмотрение чрезвычайно сложно аналитически. Сложность
подобного рассмотрения проистекает, во-первых, из того, что число
волн непрерывно возрастает; новые волны образуются при
взаимодействии предыдущих волн, а также при отражении их от стенки
и от границы раздела. Вместе с тем для продуктов детонации
конденсированных взрывчатых веществ при падении давления будет
изменяться показатель политропы (изэнтропы), что также
приведет к дополнительным трудностям.
Как мы, однако, покажем дальше, всю эту сложную
совокупность волн вследствие уменьшения градиентов давления со
временем можно будет осреднить, заменяя ее одной фиктивной волной,
и, исходя из этого приближения, определить дальнейшую стадию
расширения продуктов детонации и движения ударной волны.
Предварительно мы рассмотрим предельную стадию как процесс
при достаточно больших значениях t, когда амплитуда на фронте
ударной волны мала и можно пренебречь изменением энтропии
в ударной волне, т. е. будем рассматривать ударную волну в
акустическом приближении. Зная предельный закон распространения
ударной волны и закономерности ее распространения в начале
процесса, мы сумеем оценить и промежуточную стадию движения
продуктов детонации и ударной волны.
§ 59. Предельная акустическая ста'^ия процесса
В пределе при достаточно большом интервале времени,
прошедшем от начала процесса (при t -^ оо в бесконечной трубе),
продукты детонации будут занимать вполне определенный объем
Voo, поскольку их давление должно быть /?д.
Этот объем для продуктов детонации конденсированных
взрывчатых веществ, очевидно, определяется соотношением
.E9.1)
'^с»_
^н
_ Рн
" Ра
_^_
~ / ~
(?е.'
\Рн^
1
1'
)
(Рн'
VPo>
1
г
f

500
РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. ТХ
и;с
где индекс «ш характеризует параметры продуктов детонации в их
начальном состоянии; в случае идеального газа А: == у, в случае
конденсированных взрывчатых веществ А = 3, у = 7/5, Ph —
давление в точке сопряжения идеального и неидеального газов.
Давление воздуха, вовлеченного в движение в зоне ударной
волны при больших ^, также должно быть близко к /?о (но не
тождественно равно р^ во
всей области,поскольку
ударная волна при этих условиях
вырождается в звуковую
волну, которая должна
представлять собой волну
сжатия.
Эта звуковая волна
должна нести вполне определен-
ос=0 'х-1 Х-Хп
<27
ную энергию, а именно Е
у»
Pjj^ g(^ которая определяется из
следующих соображений.
Продукты детонации в пределе имеют внутреннюю энергию Бос, причем
Таким образом, энергия, отданная в атмосферу, будет
E9.2)
Е,.Е.-Е„.Е.[.-.^^{1^У{^У]. E0.3,
Энергия Бу складывается из энергии Eq и собственной энергии
воздуха в ударной волне Е^:
Бу == Бо + Бв.
E9.4)
Для плоской звуковой волны не бесконечно малой амплитуды
при Арн = Ри '— Ра < Paj как известно, справедливо особое
решение основной системы уравнений
2
X =. {и-}-c)t + F{и + с); и =—-J (с — Со). E9.5)
Если величина и -\- с в волне монотонно зависит от х, так что
д {и + сIдх ^ О, то с течением времени величина и + с
становится линейной функцией х, каково бы ни было F {и + с); в
самом деле, д (и + с)/дх = i/{t + Е') ¦— 1/^ —> 0. Отсюда х =
= {и + с) t -\- const (рис. 66), причем это выражение для удобства

59]
ПРЕДЕЛЬНАЯ АКУСТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ ПРОЦЕССА
501
при дальнейшем его использовании запишем в виде х — А, =
= {и -j- с) t, где X == const. Тогда отсюда и из второго
соотношения E9.5) будем иметь
2 fx — X Л. _ 2 /т —1 х — Х
Т + 1
С =
т + 1 V 2
+ .J. E9.6)
Скорость фронта не бесконечно слабой звуковой волны
определяется уравнением C8.4)
D,
dx
и + с + г^ _Т + 1
2
^ + ^«=4;^ + -^, E9.7)
откуда, интегрируя, приходим к соотношению, определяющему
закон движения фронта ударной волны:
X — X = Cat -V AYt,
E9.8)
где постоянная интегрирования А определяется из того условия,
что в некоторый момент времени t = t^ известна координата
волны :з; = Хо (или скорость Dqy), т. е.
Из E9.6), E9.8) и E9.9) имеем для фронта волны
2А
_ , А
E9.9)
Г ~ Т + 1 [ /V "У t \^
D ~г I -^ - /¦ I ^0 - ^ ^а 1,/ ^0 •
> (о9.10)
л — 2 А
2 Жо — Я-
7г~Т+тР^^«17йГ
^ 2 1 /" ^0
где индексом «ун>^ обозначаются параметры на фронте волны.
Полная энергия звуковой волны сжатия может быть определена
формулой
E,JUE^ + ^dx. E9.11)
Поскольку Ар = р — Ра <^ Ра^ ТО подынтегральнос
выражение с точностью до членов второго порядка можно представить

502 РАспрострАйЕНиЕ нестациойарйых ударных волн Ггл. IX
в виде
но в том же приближении и = Са— , поэтому PaW?/2 = Са(Лр)^/2ра.
Ра
2
Для Ар, исходя из E9.6), выражая с через р — с^-^^ и производя
разложение в ряд до членов второго порядка, придем к
выражению
^^=ih^l'-^ -'-]+ifS-4 ['-^ - '-]'¦¦ (^'¦"'
при Ар = о л; — А; = Cat, при Ар = Арун х — 'к =^ cj + А ^t,
поэтому
о о ' J
Очевидно, избыточная масса воздуха Mq (по сравнению с
невозмущенной), содержащегося в области, охваченной волной,
определяется выражением
Арну
о
^Рну
- f Apd^^ , fP^ [i + l^^l. E9.15)
Определим теперь количество движения воздуха Iq в этой волне:
Рун Амун АРун
/о = ^pudx = pQ С udx-{-— с {^p)'^dx =
POO
_jl!p«.ri + ifl—^1 E9.16)
т + 1 L ^3(^ + i)coYt J- ^ ^
Выразим Eq и /q через Mq-:
Заметим, что члены в этих выражениях, содержащие
ЯВЛЯЮТСЯ точными при условии, что за ударной волной р = Ра-
При ^ —> сю мы будем иметь точные предельные соотношения
Е, = ^^= Moia; /о = МоСа. Мо = ^ -^, E9.18)
откуда Л = (т — ^)УEJpaCa. Падение энергии при увеличении
времени связано с тем, что при распространении не бесконечно
слабой звуковой волны часть энергии необратимо переходит в теп-

§ 59] ПРЕДЕЛЬНАЯ АКУСТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ ПРОЦЕССА 503
ловую энергию, которая задерживается сзади волны, прошедшей
через данный объем воздуха.
Можно учесть и этот эффект; мы знаем, что при определении
Eq, Mq и Iq неточность, связанная с пренебрежением изменения
энтропии, не сказывается в членах второго порядка малости
— (Др)^ и Г^, которые после интегрирования в области ударной
волны становятся членами первого порядка малости — Ар и
f-V'. Неточность, связанная с пренебрежением энтропии, скажется
лишь в членах третьего порядка малости, которые после
интегрирования становятся членами второго порядка малости Г^.
Полагая, что за волной при и ^ О р =j= ра, мы придем к тем же
выражениям для Eq и Mq, но величина Iq несколько изменится.
Заметим, что изменение состояния за ударной волной, вообш;е
говоря, может отразиться на членах по порядку малости --if-'A.
За волной при р = Ра должно выполняться условие V > Va,
что дает с > Са, где v и с — удельный объем и скорость звука за
волной, причем величины Av = v — v^ и Ас = с — Са должны
быть пропорциональны величине (А/?н)^.
Найдем эти соотношения: очевидно, что объемная плотность
энергии за волной постоянна, поэтому Д (ре) = О, где е —
плотность внутренней энергии, рассчитанная на единицу массы;
отсюда Дре^ + раДе = 0. Поскольку Де = Т'аДр — РоД^, то
приходим к выражению
^ [е„ + Р„Уа] = ^ ^« = Т, ^S. E9.19)
Для определения величины AS по скачку давления на фронте
волны имеем известное соотношение
поэтому
^--Ш7а^- E9.20)
В случае идеального газа ia = ТРа^ЛХ — 1); д'^у/др^ =
(Т + 1)Уа/Т^Ра и выражение E9.20) принимает вид
^^Hlf^ii^. E9.21)
Поскольку при постоянном давлении Ду/Уд = 2Дс/са, то
д?^^(Др^. E9.22)
Са Л^^ ра^ ^ '
Итак, для того чтобы удовлетворить более точно балансу
сохранения энергии, т. е. сделать так, чтобы сумма полных энергий масс

504 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
воздуха, содержащегося в волне и за волной, была бы постоянна,
необходимо положить, что за волной плотность р < рд. Порядок
разности р — ро определяется соотношением р — р^ = Др =
= (А/?н)^, причем Ар <С 0. Подробных вычислений баланса
энергии мы производить не будем.
Если выразить импульс Iq через Mq и Eq, то при ^ -^ оо
/о = /(т - 1) МоЕо. E9.23)
Так как количество движения воздуха равно импульсу давления,
действующего на стенку при t —> оо (т. е. при завершении
процесса истечения газа), то этот импульс определяется формулами
h = MoC,; Мо = ^^^-^^. E9.24)
Очевидно, что величина Eq = Еу складывается из энергии
продуктов детонации, отданной в атмосферу Е^, и энергии вытесненной
массы воздуха Е^^ т. е. Eq ^ Е^ -{- Е^, причем
?:, = (voo-v„)^. E9.25)
Подставляя в выражение для Eq из выражения E9.3)
величину
мы придем к формуле
/o = (r-l)^ = V^L-^(Voo-VH) + ^„-
п. /1 ' *
т
откуда после преобразований имеем
¦тпт
I, = l^E,-^-f^ E9.26)
ИЛИ
/о
Рн
= (r-l)f^-, E9.27)
причем Е^ = MaQ , где Рн = Ро и ^„ — начальная плотность
взрывчатого вещества и среднее давление детонации, М„ — масса
сдетонированного взрывчатого вещества и принимается к = 3

§ 59] П4>ЕДЕЛЬНАЯ АКУСТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ П^>ОЦЕССА 505
(для типичных взрывчатых веществ). При к = f будем иметь
точное соотношение
" * Рн /'а ^ ^
Сравнивая величину импульса Iq с импульсом при истечении
продуктов детонации в пустоту /н, придем к выражению
где для типичных конденсированных взрывчатых веш,еств 5= 0,83
и для газовых смесей g = 0,80.
Сравним массу воздуха в ударной волне с массой продуктов
детонации. Для типичных взрывчатых веш;еств имеем MqIMu =
= (Т — 1) Q/c^a ^^ 40. Поскольку кинетическая энергия ударной
волны равна
Е„ = ^[иЧх- "'
2 ^ "" "^-^ ^_ 3(т + 1) •
о
а полная масса, движущаяся в ударной волне, есть Ма = PaAYt>
то
/о= У^МоЕ^, E9.29)
ЧТО по своему значению близко к выражению нестационарного
импульса через М и Е для расширяющегося потока продуктов
взрыва.
В процессе расширения газа наступает момент, когда на
границе раздела будет/? = ра; но w ^ О, и расширение газа
продолжается до значения р <С Ра (когда на границе раздела между газом и
воздухом становится w = 0), после чего начинается обратное
движение газа (его сжатие) до значения р ^ Ра^ затем снова
расширение и т. д., пока везде не станет/? = р^. Происходят
затухающие колебания газового столба. Очевидно, достаточно рассмотреть
первое расширение и сжатие, после чего практически процесс
прекращается и устанавливается давление р = Рач при этом на
стенке в течение некоторого интервала времени оказывается, что
р < Ра- Таким образом, и величина импульса испытывает
колебания около значения Д.
Рассмотренный нами случай предельной ударной волны дает
приближение к значению р^, сверху, а это значит, что при
продвижении ударной волны давление на стенке, будучи <.Paj
приближается к значению Pal после первого расширения начинается

506 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
обратный процесс сжатия газа, а затем снова процесс расширения
и т. д. В процессе второго расширения ударная волна будет еш,е
обладать заметной амплитудой. Сжатие газа происходит вследствие
того, что давление за ударной волной, как мы показали, больше
начального {р ^ Ра)»
При нестационарном расширении продуктов детонации будет
происходить неравномерное распределение энергии между
головной и тыловой их частями. Вследствие этого и произойдет
расширение продуктов детонации до давлений меньших, чем атмосферное.
Можно предположить, что величина пульсационных колебаний
энергии будет порядка десяти процентов от остаточной энергии
в продуктах детонации при р = Ра-
Попробуем теперь приближенно рассмотреть некоторые
основные закономерности, связанные с пульсационными колебаниями
газа, и оценить границы наибольшего расширения газа.
Энергия при л: 3 ^со равна Еоо = '^нA + Хоо/1)~^^~'^\ энергия
при X = Хшах есть Е = Е^^ (i + ХптхИ')~^^~'^\ разность энергий АЕ
равна
А^ = Е^
к-1
или
Г
АЕ = Еп
(t)'-(!)']• <^^-*'>
где Ра — давление при х = Хщах* Поскольку Pa — Va<Pai то,
обозначая Ра — Ра ~ ^Pj придем для определения Л^ к
выражению
к-1
A^;^b\A:zi^(^y или А?^ 5,3-^^. E9.31)
^ Ра\Рп1 ^ Ра
Принимая AE/Eii ^^ ill, мы видим, что Aplpa ^^ 0,5; таким
образом, величина разрежения приближенно равна 0,5/?о, величина
наименьшего давления ;::::: 0,5/?а и XmaJxoo ^^ 1,8, следовательно,
величина пульсации не очень значительна. (Поправка на
неидеальность, как мы далее увидим, для начальных больших давлений
здесь несуш;ественна.)
Сейчас для нас существенно, что величина амплитуды энергии
весьма невелика и даже при полном разрежении (при ^^ = 0) не
будет превосходить нескольких процентов от полной энергии
взрыва, а следовательно, этой долей энергии при расчетах,
связанных с изучением основной и второй ударных волн, можно
пренебречь. Однако еще неизвестно, сколько энергии оттекает из зоны
первой ударной волны обратно и идет на образование второй
ударной волны

§ 59] ПРЕДЕЛЬНАЯ АКУСТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ ПРОЦЕССА 507
Резюмируя полученные результаты, можно сделать
существенный вывод, что количество движения ударной волны при ^ ~> оо
стремится к вполне определенному пределу. Величина этого
количества движения превосходит количество движения продуктов
детонации, которое они имели бы при истечении в пустоту. Это
объясняется тем, что масса воздуха, вовлеченного в движение,
в десятки раз превосходит массу продуктов детонации. Отсюда
также вытекает вывод, что из-за пульсации энергия, перешедшая
в ударную волну, движущуюся вперед, будет на 20—25% меньше,
чем вычисленная нами выше.
Вследствие затухающего пульсационного движения продуктов
детонации перед ними будет распространяться не одна, а
несколько ударных волн. В самом деле, так как граница раздела между
продуктами детонации и ударной волной, достигнув своего
предельного (наиболее дальнего) положения, начнет некоторое время
двигаться назад и затем, достигнув своего предельного (наиболее
ближнего) положения, снова начнет двигаться вперед, то перед
границей раздела образуется новая волна сжатия, которая или
сразу, или через некоторое время станет ударной волной. Этот
процесс может, затухая, повторяться несколько раз, однако лишь
вторая ударная волна может обладать некоторой заметной
энергией; последующие волны не будут иметь реального значения,
поскольку их энергия ничтожна.
Рассматривая совокупность первой основной и второй
ударных волн, можно прийти к выводу, что на достаточно большом
расстоянии от точки взрыва будет иметь место следующая
картина: за фронтом первой ударной волны давление и скорость будут
падать, затем на фронте второй ударной волны давление и
скорость снова возрастут и за фронтом второй ударной волны на
некотором от него расстоянии давление станет атмосферным, а
скорость равной нулю, т. е. будет иметь место состояние покоя. При
этом температура воздуха будет больше начальной, а плотность
меньше начальной. При охлаждении воздуха давление будет
падать, вследствие чего снова начнется довольно медленный
приток воздуха с периферии к центру, и лишь после этого наступит
уже окончательное состояние покоя (подобный процесс будет
протекать весьма медленно и при обычных взрывных явлениях не
играет роли).
Иногда (например, в книге Г. Куранта и К. Фридрихса
«Сверхзвуковое течение и ударные волны») используют для изучения
слабой ударной волны более точный закон движения ее
фронта, который можно написать в виде соотношения C8.11)
л?т 1 i f и 4-с — с^\2 „_«
^у=-5г=^«+ 4-("+"-"«)+4-(-^V"^) • ^ ^ ^
Однако, производя интегрирование, мы в результате очевиднизс

508 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
преобразований
dx __ и + с + с^ {и + с- c^f __ ^_х _1_ ( х-ХУ _^
dl ~' 2 "^ Ъс^ ~ 4^ + 8с^ V i ; + 8 ^«'
что дает
X — %
jБ^A?^5c,-^,
или
4с V't 4с 4г
--^-cJ + -^--^ + ^_, E9.33)
можем прийти к выводу, что закон движения фронта ударной
волны будет отличаться от полученного нами выше лишь в члене,
содержанием t~'^^, но мы знаем, что погрешность, происходяш,ая
вследствие пренебрежения изменением энтропии на фронте
ударной волны, будет сказываться для зоны ударной волны в членах
именно этого порядка малости (а интегральная погрешность даже
в членах порядка yt), поэтому член, содержаш;ий t~'^', в
уравнении E9.33) не является абсолютно точным.
Мы знаем энергию ударной волны (кинетическую и
потенциальную), а также величину энергии взрыва и ту ее часть, которая
переходит в первую основную ударную волну. Зная энергию
ударной волны из E9.14) при ^ -^ оо, мы в состоянии определить
константу А, входящую в уравнение энергии
/¦
(r'-Jia E9.34)
с другой стороны, закон движения фронта ударной волны мы
получили в виде
х-х = cj + луг,
выбрав произвольную постоянную X таким образом, что движение
ударной волны мы рассматривали в момент времени ifg и в сечении
,Го; при этом константа А равна (xq — Xj/y t^ — CaYto, Величина
давления на фронте ударной волны определяется из соотношения
^Руп = T-Tj Ра {D\ — Са), которое при D -^ Cq принимает вид
^Ру^ ^ Y+T Р«^« (^У " ^«)' E9.35)
что при t = tQ, X = Xq дает
А 2 2 г ^ —^ -, /
Друн = Y+T ^-'^ I ГУт^ " у
. t \ т+1
Ра^а
-^-1
E9.36)

§ 59] ПРЕДЕЛЬНАЯ АКУСТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ ПРОЦЕССА 509
Задавая время ;^01протекшее с начала взрыва, мы, зная из E9.34)
величину Л, определяем из уравнения E9.9) значение Xq — К, r
затем и величину давления
АРуи ^ Y+T PaCa^-yf^ = 2^ :^,-^ . E9.3/)
Очевидно, после этого из E9.10) можно определить значения
плотности, скорости воздуха за фронтом и скорости фронта
ударной волны для этого момента времени. Это обстоятельство, как
мы увидим несколько дальше, позволит нам достаточно точно
определить расстояние х^ фронта волны от центра взрыва для
заданного момента времени t^. Для больших х^ и t^ величина %
должна быть мала по сравнению с величиной х^, а потому в пределе мы
сразу же в состоянии определить значение х^, зная ^о-
Из наших соотношений следует, что амплитуда ударной волны
как в отношении давления и плотности, так и в отношении скорости
убывает обратно пропорционально корню квадратному из времени;
длина ударной волны, т. е. расстояние между фронтом волны и
областью покоя, возрастает пропорционально корню квадратному
из времени. В самом деле, координата фронта х — % -\- Cat +
-\- AYt, координата точки, где скорость равна нулю, как это
следует из E9.6), равна a^i = X + СаЦ отсюда длина волны выразится
так:
L = л /? = ]/ ITzili^ . E9.38)
Далее, снова отметим, что величина количества движения в
пределе при i^ -^ оо стремится к вполне определенному значению
/ = М„с, = (г-1)^.
Представляет значительный интерес рассмотреть
взаимодействие двух слабых ударных волн треугольного профиля,
догоняющих одна другую, что может быть сделано на основе найденного
решения для слабых ударных волн. Эта задача была впервые
решена М. А. Цикулиным *).
Фронт первой ударной волны распространяется так же, как
при отсутствии догоняюш,ей волны:
4L = c+I±1^. E9.39)
Здесь Л/?1 ~ амплитуда на фронте первой волны. Скорость фронта
*) См. ПМТФ № 2, 1960,

510 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН ГГЛ. IX
второй ударной волны в квазистационарном случае равна
dr_ ^ C1 + U1 + U2 + С2 ^ ^ I Т + 1 Api + Ара .^д ^
где Ci, ^2, i/i, щ, tS.p^, Ар2 — скорости звука и газа и амплитуды
непосредственно перед и за фронтом второй волны.
Вычисляя отсюда приращение длины первой б^ и второй волны
(%, получим координату догона г^ по условию: 62 == ^i + ^1
1 (Ар2о)^
(Д/>?o)^
с dr__ _4Аа_ _рс^ (А^ Г J_ Л , Ар20_^\ , /"Арао A.i
!^ L ~" т + 1 А/?1о (А/?2о)Ч ^ \ ^^10 ^зУ "^ |/ А/?1о ^2
E9.41)
Здесь Z = 1 для плоских волн, L = V^/^o ~" Для цилиндрических
и L = г/Го для сферических волн.
Амплитуда волны в момент догона увеличивается по
отношению к амплитуде первой волны:
где / — импульс волны.
Импульс суммарной волны равен сумме импульсов взаимодей-
ствуюш;их волн. Возрастание амплитуды в результате догона двух
волн произвольного профиля на большом расстоянии также
следует этому соотношению. В случае многих догоняющих волн
последовательное рассмотрение пар волн приводит в конечном итоге
к тому же результату:
^-/W' E9.43)
Приведем пример двух волн треугольного профиля
одинаковой амплитуды и длины. Координата догона вычисляется из
соотношения
С dr k\
^A + /2). E9.44)
L т + 1 Aj9o
При Я/Го = 0,1 и для волны Д/?о = 0,1 атм получим для
воздуха (рс^ = 1,45 атж) в плоском, цилиндрическом и сферическом
случаях: {г^ — г^I% = 58; (г^ — Го)Д = 142; (г^-- г^IХ = 3300.
Амплитуда волны во всех случаях возрастает в ]А2 раз по сравне-
цию с одиночной волной,

§ 60] ПРОМЕШУТОЧНАЯ СТАДИЯ ДВИЖЕНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 511
§ 60. Промежуточная стадия движения
ударной волны
При расширении продуктов детонации и движении ударной
волны, возникающей при этом, свободная энергия воздуха
уменьшается, а энтропия соответственно возрастает, однако величина
полной энергии, перешедшей в ударную волну, как мы видели,
сравнима с начальной энергией взрыва (отличается от нее лишь
немногими процентами); это объясняется тем, что происходит
определенное перераспределение энергии в самом воздухе,
вытесняемом продуктами детонации.
Энергия ударно-сжатого воздуха, находящегося вблизи от
заряда, описывается известным соотношением:
Еау - Е, = ^^^(v„ - vy„) = ^^"Y-Г/— • F0.1)
При расширении этих порций воздуха до атмосферного давления
плотность его р^пр становится меньше, чем начальная плотность
невозмущенного воздуха, а температура соответственно выше, чем
Та, что описывается формулами
9а
пр
Т
^ а пр
(Т + 1)^
(Т-1)Р
УН + (Т - 1) Р^
ун + (Т + 1)р„ ¦
(T-l)j'y„ + (T
(Т + 1) Рун + (Т
-!)/'„ •
F0.2)
Для типичных конденсированных взрывчатых веществ эта
предельная плотность рапр ^^ 0,025ра = 5-10"^ г/еле, температура
^апр ^^ 25Гд с:::^ 7000°. По мере падения давления в ударной волне
предельное значение плотности и температуры приближается
к их начальным значениям. Очевидно, величина вытесненной
массы складывается из массы, непосредственно вытесненной
продуктами детонации и занимавшей ранее объем Voo — v^, а также из
массы воздуха, вытесненного вследствие необратимости ударного
процесса, т. е. вытесненной из области так называемого
энтропийного следа. Под энтропийным следом мы понимаем область
успокоенного (при ^ -> оо) воздуха, ранее сжатого и поэтому нагретого
ударной волной. Вся эта масса в начальном положении имела
энергию
^a = ^^^^Y^f^, F0.3)
где Vaoo — объем от начала координат до начала ударной волны.
В пределе (при ^ -^ оо) баланс энергии может быть написан в виде
^Ea =Еа + Е^- Еоо, F0.4)

512 РАС11Р0СТРАЙЕНПЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
где Д^а — та часть энергии, которая пошла на создание
внутренней энергии воздуха, находящегося в области энтропийного
следа. Очевидно, величина плотности этой энергии определяется
соотношением
Будем считать, что изменение давления на фронте ударной волны
в среднем подчиняется закону
Рун-Ра _ f^H Y [ I
V , . ... ' F0.6)
У
где а — постоянная, подлежащая определению, /?ун — начальное
давление на фронте ударной волны. Тогда изменение плотности
на фронте ударной волны должно подчиняться закону
F0.7)
Изменение плотности при расширении воздуха до атмосферного
давления выразится соотношением
Ра
(Т + 1)РуноD-Г + 2^^а Ра l^Y .fin «N
ГтЬ^ 1^~\'Т) ' F0.8)
Наконец, изменение температуры при этом должно происходить
по закону
(T-DPynp f4-)" + 2ir;'a
''одр ^^ \ ^А ^уно/ / \« F0.9)
Отсюда следует, что величина массы, вытесненной из области
энтропийного следа, равна
Т + 1 1Ра ffnpV-^' __ ^
.(Т-1)(а+1)Ру„Д I ) / .
Zpa. F0.10)
с другой стороны,
Мо = ДМ = Мо - Ра (Voo - V J. F0.11)

§ 60] ПРОМЕЖУТОЧНАЯ СТАДИЯ ДВИЖЕНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 513
Сравнивая F0.10) и F0.11), определяем связь между Хпр и а.
Величина энергии, задержавшейся в энтропийном следе, т. е.
величина потерянной свободной энергии, должна определяться
выражением
Рун I I Y й—^ ^^уно
T + lW/^'^^a-l
Pa^np
Ea^Y=^' F0.12)
Сравнивая соответствующие величины потерянной свободной
энергии и вытесненной массы с определенными выше E9.14), E9.15),
можно определить константу а в уравнении F0.6) и величину Хп^:
[
1Г + 1 /т- ,
(T-l№ + l)Ua-lj
''пр.
\««
1
_ Т —1 ^'уно .
^ 2а-1 р„ '
('PyHoV 1 ^'уно"
i, р„ ; 2а-1 р„ J
_ Qpo_
где ро — начальная плотность взрывчатого вещества, f^ —
среднее давление детонации. Отсюда а ;:^ 0,8; х^^И = 150. Таким
образом, закон изменения давления с расстоянием в числах может
быть написан в виде
Рун-Ра __(_LY'\ (g0.13)
''уно""^- ^ ^
Закон изменения скорости ударной волны с расстоянием может
быть написан в виде
Di=ci+-^+' \-^° =4+^ '^°;;""° D-Г- F0.14)
Интересно отметить здесь, что закон распределения плотности
в энтропийном следе при ^ -> со является следствием закона
изменения давления на фронте ударной волны. На рис. 67 даны законы
распределения плотности в энтропийном следе и давление на
фронте ударной волны.
Выпишем снова последнее уравнение, не предрешая пока
вопроса о величине показателя степени при х:

514 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
Решая это уравнение, можно найти зависимость между х и t.
Рассматривая уравнение F0.6) и выражая х через t, мы придем
к зависимости между ру^ и t. Эта зависимость характеризует
изменение давления на фронте ударной волны со временем на всем
интервале распространения ударной волны — от места взрыва
до любого заданного момента времени Iq. При показателе степени
а= 1,3, грубо говоря, р
пропорционально Г^. Вблизи от места
взрыва зависимость давления от времени
будет более сильной, а на больших
i/'-Zfe расстояниях от места взрыва для
слабой ударной волны эта
зависимость будет более слабой, чем
усредненная. Зная для какого-либо
большого промежутка времени,
протекшего с начала взрыва tQ, значение
/?ун, мы, исходя из связи между XHt,
Рдс. 67. определим величину Xq,
соответствующую данному моменту времени tQ,
При больших ^0, пренебрегая
значением Я (см. E6.9)), мы сразу определяем Xq. Тем самым мы
полностью решаем поставленную задачу о движении фронта ударной
волны.
Перейдем к рассмотрению закономерностей движения границы
раздела между продуктами детонации и ударной волной.
Прежде всего отметим, что в случае детонации
конденсированных взрывчатых веществ при падении давления в продуктах
детонации ниже 1000 кг1см^ показатель изэнтропы, характеризующий
их состояние, резко уменьшится с 3 до 7/5. Для простоты
дальнейшего решения, мы будем начальные параметры ударной волны и
параметры на границе раздела вычислять, принимая значение к
равным 3; далее, когда давление на границе раздела начнет падать,
а именно, после того как волна разрежения, отраженная от стенки,
дойдет до границы раздела, мы везде в продуктах детонации будем
принимать показатель изэнтропы равным 7/5 или 5/4.
Те неточности, которые будут проистекать от пренебрежения
реальным законом изменения показателя изэнтропы, постепенно
ликвидируются по мере разрежения продуктов детонации.
Для того чтобы изучить движение границы раздела, мы
должны, если решать задачу точно, как уже указывалось выше,
сопрягать волны, распространяющиеся в продуктах детонации и в
ударной волне на этой границе, используя то обстоятельство, что слева
и справа от нее давление и скорости одинаковы, и при этом
полагать, что точное решение задачи благодаря сложности
аналитического описания этих волн практически невозможно. Вследствие
этого займемся приближенным аналитическим описанием движе-

§ 60] ПРОМЕЖУТОЧНАЯ СТАДИЯ ДВИЖЕНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 515
ния границы раздела. Для этой цели воспользуемся законом
сохранения импульса, который мы напишем в следующем виде:
i<^ = p,_p.. F0.16)
Здесь как бы рассматривается задача о движении переменной
массы воздуха М, распространяющегося в зоне ударной волны под
влиянием переменной силы давления продуктов детонации
(площадь сечения здесь, как и раньше, принята равной единице).
Будем считать, что после того, как отраженная от стенки волна
достигла границы раздела, в зоне продуктов детонации давление
в среднем мало зависит от координаты х и меняется лишь со
временем. Положим, что закон изменения давления со временем, как
это мы делали и раньше (§ 21), может быть написан в виде
^У2
= ("т)'^- F0-17)
Здесь /?у2, ^2 "" давление и момент времени прихода к границе
раздела волны разрежения, отраженной от стенки. Величина /?у2
равна начальному давлению на границе раздела.
При такой аппроксимации уравнение F0.16) непосредственно
интегрируется:
Ми^ = М,щ + -^[1 - (-f ]'"'] -Pa{t^ у. F0.18)
Здесь ^2 и Mg — скорость на границе раздела и масса воздуха
в ударной волне в момент прихода отраженной волны. Очевидно,
величина 1^2 равна начальной скорости границы раздела.
До сих пор везде в ударной волне плотность и скорость были
постоянны, после же прихода отраженной от стенки волны к
границе раздела, по мере приближения ее фронта к фронту ударной
волны, плотность и скорость различных частей ударной волны
будут различны, и поэтому мы под величиной Ми должны понимать
ее среднее значение на всем интервале ударной волны:
X м
,dM dx
х^ о
Мпу = ^^_^ , F0.19)
где и = и (х), М = М (х), X -^ координата фронта ударной
волны, Xj — координата границы раздела.
Для простоты, не слишком теряя в точности, можно положить
Muy = a^Mujf F0.20)

516 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
при ЭТОМ величина коэффициента а^ будет зависеть, во-первых, от
распределения скорости в зоне ударной волны и, во-вторых, от
закона распределения элементарных масс в ударной волне по
скоростям; первое обстоятельство будет способствовать
увеличению коэффициента а^ по мере приближения к фронту ударной
волны, делая его больше единицы, а второе обстоятельство, напротив,
способствует уменьшению а^, стремясь сделать его меньше
единицы; в обш;ем, величина а^, по-видимому, будет не слишком
превышать единицу. Вблизи от места взрыва aj = 1.
Будем теперь также полагать, что масса воздуха, движущегося
в ударной волне,
X X
М= {pdx = pSdx = PaX F0.21)
Ху о
может быть приближенно выражена в виде
М = a^PaXj F0.22)
(начало координат здесь мы выбираем у стенки). Входящий в это
выражение коэффициент «2
а^ = ^ F0.23)
будет зависеть от длины ударной волны; грубо этот коэффициент
можно положить постоянным; величина его растет при Ху > Xg,
где Хз — координата границы раздела в момент времени ^g
прихода отраженной от стенки волны разрежения. Вблизи от места
взрыва «2 "== Dyluy = {х 4- 1)/2.
При аппроксимации F0.22) уравнение F0.16) может быть
проинтегрировано:
^^4-^Ь-Ч^^^^^^-^^) + -l^^t-^^)-
^,.Лп1.,[(хГ-']-^<'-'-)'. (в»-^)
где Мз = (г + 1) PaV2.
После того как отраженная волна разрежения достигнет
границы раздела, давления продуктов детонации можно
аппроксимировать, ис:ходя из классического термодинамического закона
расширения
«У2
(-|^)'\ F0.25)
Величину показателя степени пока мы не будем указывать,
заметив только^ что она должна- быть близка к величине цоказателя

§ 60] ПРОМЕЖУТОЧНАЯ СТАДИЯ ДВИЖЕНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 517
изэнтропы Х- Аппроксимируя массу воздуха в ударной волне по-
прежнему соотношением F0.20), мы сможем уравнение
сохранения импульса F0.16) написать в виде
^ ^ (^ uy) = -^^ (^f ^^. F0.26)
у dxy ^ ' у^ aia2P2 \ X 1 aia2p2 ^ ^
Это уравнение непосредственно интегрируется:
акхгр^и^ BXl
Ра Х|
+ у:^(^)^-1- F0.27)
Константа В определяется из условия, что при Xj = Xj
Uy = щ. F0.28)
Окончательно уравнение F0.27) принимает вид
aiOBP2"y _ «lOtzPo"! ¦X'j / Xl
Pa
+
Проанализируем теперь уравнения F0.28) и F0.29), дающие
закономерности движения границы раздела: анализ начнем с
уравнения F0.18).
Прежде всего выясним, на каком расстоянии скорость
движения границы раздела может стать равной нулю. (Здесь следует
заметить, что значения а^ и ag при Uj и ul должны быть, вообще
говоря, различны.)
При г^у = О из уравнения F0.18) мы будем иметь
Отсюда, пренебрегая малыми членами, будем иметь
*2 Pj2 ' /ci —1 2 Pa h ^ ' A:i —1 ^ '
Это соотношение определяет момент времени, для которого
скорость границы раздела становится равной нулю.
Уравнение F0.29) при Ыу = О дает
Р^ ' 2-'
^Г' J ч

518 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ волн ГЛ. IX
Пренебрегал в этом уравнении малыми членами, будем иметь
1
F0.31)
Утах / Ру2 ^2 \ ^^2
Х2 \ /?„ 2-А:,
а
Это уравнение определяет значение координаты максимального
расширения продуктов детонации. Заметим, что скорость
движения границы раздела постепенно падает от значения i/g до нуля.
На окончательном результате незнание точного значения
величин а^ и а^ практически не сказывается.
Очевидно, величина области, занимаемой продуктами взрыва,
когда в них всюду и ^ О, определяется соотношением
у
Таким образом, отношение —~^^^ равно
Утах
-{j^T- F0-33)
При этом величина максимального разрежения определяется как
Ра 2 - А:2
/С2
F0.34)
а величина амплитуды колебаний остаточной энергии определяется
из соотношения
что при к^ ^ к ^ 7/5 дает
Д^ = 0,16=1; ?«=0,45; ijH2L = l,82.
На основании проделанных вычислений мы видим, что
соответствующие данные, принятые нами выше (E9.31)), достаточно
справедливы.
Когда граница раздела между продуктами детонации и
ударной волной достигнет своего максимального удаления от места
взрыва и затем начнет двигаться обратно, то волна разрежения,
идущая по ударной волне, будет тормозить движущийся воздух и
даже увлекать его частично в обратное движение. При этом
основная ударная волна как бы оторвется от продуктов детонации и

§ 61] УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ РЕАЛЬНОЙ ДЕТОНАЦИИ 519
начнет распространяться самостоятельно. В зоне ударной волны
всегда найдется область, где скорость движения воздуха будет
равна нулю; с течением времени давление в этой области будет
приближаться к атмосферному, поскольку сзади процесс будет
успокаиваться и давление везде будет стремиться к атмосферному,
за исключением области возникающей второй ударной волны,
однако ее амплитуда вряд ли будет значительной. Основная ударная
волна становится слабой акустической при X 1::=^ 1000/.
На этом мы закончим рассмотрение плоской нестационарной
волны, возникающей при мгновенной детонации, т. е. при
расширении какого-либо объема ранее покоящегося газа. Рассмотренная
нами задача имеет важные приложения.
§ 61. Распространение ударной волны при реальной детонации.
Некоторые примеры адиабатических движений
Здесь мы рассмотрим в основном начальную стадию
истечения продуктов реальной (не мгновенной) детонации в воздух и
выясним закономерности распространения возникающей при этом
ударной волны.
Мы установили, что (§ 58) по продуктам детонации, после того
как детонационная волна дойдет до конца заряда, пойдут две
волны разрежения: левее пойдет волна, левый фронт которой
движется по закону dxldt = и — с, правее ее пойдет волна,
отраженная от границы раздела с воздухом; граница раздела будет
двигаться по закону dx/dt = и. При реальной детонации правая
волна будет ударной, причем фронт этой волны будет
распространяться относительно налево по продуктам детонации. Поскольку
энтропия в детонации меняется при этом мало, ударную волну
можно рассматривать в акустическом приближении. По воздуху
при этом пойдет ударная волна. Волна разрежения,
примыкающая к воздуху, определяется, если исходить из общих решений
для изэнтропических течений, причем в решении необходимо
определить обе произвольные функции, сопрягая эту волну с левой,
известной волной разрежения и учитывая, что на границе раздела
с воздухом скорости и давления в продуктах детонации и в
воздухе соответственно одинаковы.
Ударная волна определяется также общими решениями для
адиабатических течений газа, причем необходимо сопрячь слева
эту волну с волной разрежения, а на фронте волны должны
выполняться соответствующие условия. Поскольку мы получили
решения, зависящие только от двух произвольных функций и от
двух констант (а не от трех произвольных функций), то одно из
условий тоже не может быть выполнено, однако точность решения
может быть сделана достаточной.

520 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
Заметим, что возможно лишь принципиальное решение задачи
для любого показателя адиабаты. Практически задачу можно
решить, лишь считая, что всюду т = А: = 3, иначе мы
натолкнемся на затруднение аналитического порядка.
Здесь мы рассмотрим приближенный метод, принадлежащий
Я. Б. Зельдовичу и автору, который позволяет выяснить затухание
ударной волны в области, близкой к месту взрыва,
протяженностью не более чем 50 Z, где / — длина заряда; на больших
расстояниях решения для мгновенной и реальной детонации будут
приближаться друг к другу.
В случае детонации конденсированных взрывчатых веществ
(при т = А: = 3 для продуктов детонации) мы будем иметь для
первой волны разрежения такие уравнения:
и-\-с = -^] и — с = —^^^-—1—; F1.1)
для второй волны разрежения, лежащей правее первой, имеем
и + с =-^; x = {u — c)t + F{u — c). F1.2)
Не определяя эту функцию и считая, что в области ударной
волны всюду и — и (t), р = р (t), выразим р:
Напишем условие для границы раздела, вытекающее из теоремы
импульсов:
djMu) « ^ / с \з
dt
= Sp = Sp,I^^J, F1.4)
где ру, Су — начальные значения давления и скорости звука в
продуктах детонации на границе раздела, р, с — значения этих
величин на границе раздела, и — скорость движения границы раздела,
М — масса воздуха, вовлеченного в движение в ударной волне,
М = 5 (г + 1)Ра^/(Т — 1)» для % — длина ударной волны;
i t
X = \ (?)у _ u)dt. Поскольку Z)y г= (у-|- 1)гг/2, то А, = "Г \ udt =
о о
— ±^—(^х — 1), где а: — положение границы раздела.
Таким образом, масса воздуха может быть выражена так:
M = S^^p^(x-l). F1.5)

§ 61] УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ РЕАЛЬНОЙ ДЕТОНАЦИИ 521
Из F1.2), F1.4) и F1.5) будем иметь
где T = Dt^ D — скорость детонации, py —- плотность продуктов
детонации на границе раздела в момент образования ударной
волны, ру = A6/9) Ро (CylD), Ро — начальная плотность
взрывчатого вещества.
Окончательно F1.6) мы напишем в виде
{^ Ч ах^ +[dx) ~ 27(т + 1) р^ I т dx]' ^^^-^^
Начальные условия нетрудно установить: при t = l/D, х = I,
dxidx = Uj или
T = Z, x = l, W = -^' (^*-S)
причем значение щ находится непосредственно из F1.7),
поскольку при X ^ I
F1.9)
*)¦
27(т + 1)
^ D
Для нахождения закона движения границы раздела можно
поступить несколько иначе. На фронте волны
Поскольку мы приняли, что в области волны р = const, и = const,
то на границе раздела
и^ = —?-1-—; F1.11)
Т + 1 Рд ' V /
поскольку
и _ dx __ [ с \^ _ Pj^f X dx ^^
-D-dx'^ ^~^^W; ~~V~ dx) ^
TO
ldx_Y _ 2 Py D I X dx\^ __ 32 po I X dx \^
\dx) ~ 3(T + 1) p^ Cy I T dxl ~ 27(T + 1) Рд V t dx) •
F1.12)
Это уравнение отличается от F1.7) членом {х — I) (Pxldx^,
который относительно других невелик; малость его служит мерой
точности сделанных допущений.

522
РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
Ю
Рис. 68.
Ifj
^/г
Уравнение F1.7) приводится к уравнению первого порядка,
которое интегрируется численно, уравнение F1.12) интегрируется
непосредственно.
Результаты вычислений для изменения давления и скорости
с расстоянием даны на рис. 68, причем там принято согласно
вычислениям /?у = 780 атм, щ = 0,9 Z) = 6600 м1сек.
Указанные решения
будут достаточно
справедливы до тех пор,
пока следующая волна
разрежения не
достигнет границы раздела
между продуктами
детонации и ударной
волной; однако после этого
давление в продуктах
детонации
выравнивается, и процесс
дальнейшего их расширения и
движения ударной
волны будет уже мало
отличаться от
разобранного выше при мгновенной детонации. Различие между реальной
и мгновенной детонацией перестает быть заметным, начиная с
расстояний порядка десятков начальных длин заряда.
В том случае, когда заряд инициируется посредине, в обе
стороны пойдут симметричные ударные волны; в случае, когда заряд
инициируется несимметрично и, в частности, с одного из краев,
ударные волны будут несимметричны; в ту сторону, где находился
детонатор, пойдет более слабая ударная волна. Однако с течением
времени эта несимметричность будет относительно уменьшаться.
Как мы указали, при ударе детонационной волны о воздух по
продуктам детонации пойдут две волны, причем эти волны будут
различаться в смысле распространения состояний и — с. Ъ
продуктах детонации довольно быстро образуется волна сжатия,
которая может стать ударной волной, идущей к центру
инициирования.
При детонации газовых смесей решение задачи указанным
методом уже невозможно, но, считая, что для первой справа волны
разрежения
" - 1ГГГ ('^H - ^) + "H = l^^TT ^ - Т:гг ^
F1.13)
задачу можно решить также достаточно просто. Приняв прежнюю
гипотезу о постоянстве давления и скорости в зоне ударной волны

§ 61j
УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ РЕАЛЬНОЙ ДЕТОНАЦИИ
523
по ее длине, снова используя уравнение
d(Mu) _ d{Mu)
dt
= и
dx
= Sp
И принимая, что в области волны разрежения
ЗА:-
/с2 —1
к-1 D
D
,[
Sk-i
2к
/с2-
А:2-
_Р_
2к
F1.14)
, F1.15)
где /?„ = PqD^ /(к + 1), придем к уравнению
{х-1)
Отсюда
dx
D^
dx
2ро
2к
D^ -(/c + l)(r + l)p^
r/3A:-l _ _u_\ k^-il
LU^-1 ^J 2/c J
F1.16)
X — /
Г 2 I po / 3/c -1 j\
[(k + i)(y + i) |p^ U^-l - D)
2fe
/C2 _ 1 ^ fc-1
2A:
F1.17)
что и решает задачу о движении границы раздела.
Перейдем к рассмотрению примеров адиабатических движений.
Рассмотрим вначале интересную и важную задачу о движении
ударной волны в неоднородной политропической среде. Пусть по
однородной среде распространяется стационарная ударная волна.
Обозначим, как обычно, параметры среды до фронта через ра\
Pay Ua = О, на фронте через /?н; Рн; ^н- Далее, будем
рассматривать такой случай, когда, начиная с некоторого момента, ударная
волна падает в неоднородную среду. Допустим, что эта среда
движется по закону
й = Ы. F1.18)
Давление ее меняется по закону
V^Pa- bh. F1.19)
Распределение плотности
Р = Ра/ (h)
F1.20)
мы пока не задаем. Соотношения F1.18), F1.19) и F1.20)
являются точными решениями основных уравнений одномерных
адиабатических движений (§ 57).
Таким образом, мы считаем, что движение стационарной
ударной волны происходит при h <^0; при Л ]> О движение волны

524 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
В неоднородной среде мы должны исследовать. Предположим, что
в рассматриваемом случае всюду в области новой волны
Р = Рн = const; W = Wh = const; р = Ф (Л). F1.21)
Поскольку на фронте волны
Uu = ll + {pa — p)y -^
l(k+i)p^ + (k--i)p]
F1.23)
то, исключая из F1.22) с помощью F1.23) р и заменяя и и ^ с
помощью F1.18) и F1.19), придем к уравнению
dh Рн^Р , 2й (Ря~Р)^
dt и^^й • (и^-й)^ (k + i)p^ + (k^i)p
u^^bt ' (u^-bt)^ {k + i)p^ + (k-i)lp-bh\ '
F1.24)
решая его, найдем на фронте h = h {t) или t ^ t {h)y после чего
из F1.23) определяем
Р = 1(к + 1)р^ + (к-^ 1) (р^ - bh)] [и^ - bt]^ ' (^1 -2^)
где t = t (h). Затем определяем плотность на фронте, причем это
значение плотности одновременно определяет ее текущее значение
и за фронтом:
^(k + i)p^ + {k^i){p^-^bh)
Р Р (k--i)p^ + {k + i)(p^^bh) ~
2[/?д —/?^ + 6Д]2
^ [(к ^1)р^+(к + 1) (р^ - bh)] [и^ ~ bt]^ ' (^^-2^)
ЧТО и решает полностью поставленную задачу. Таким образом, в
области между фронтом волны и линией dxidt = и или
X = ut + const F1.27)
имеем р = Ря = const, р = р^ = const, а р определяется из
F1.26). При этом значения/? и U действительно равны их значениям
в начальной стационарной волне, что оправдывает сделанное выше
предположение.

§ 61] УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ РЕАЛЬНОЙ ДЕТОНАЦИИ 525
В случае сильной волны все вычисления упрощаются:
i dh dxo , , _. А: + 1
у5г = -гг = "= + ("н-и)-^- =
= А+1„, + 1г±й = -Ц±ин--Ь11г,^ F1.28)
Отсюда, полагая при Xq = О t = О, будем иметь
Xo=-^UH<--^bi^ (G1.29)
ы
р
F1.31)
/с —1
/с—1
после чего легко определяется h = \ pda:o.
Переход к координатам Эйлера не представляет труда,
поскольку
S==F{x-\udty F1.32)
что в данном случае дает
S = F {х — ut) ж Xq ^ X — ut. F1.33)
Рассмотренная задача имеет значительный астрофизический
интерес. При 6>0 р>Ра; Р<Ра; й>0, при 6<0 р<ро;
Р^ Ра\ » < 0. При 6 = 0 приходим к первоначальной ударной
волне.
Рассмотрим теперь задачу об истечении неоднородного газа
в пустоту. Допустим, что в какой-либо части трубы вследствие
нестационарной химической реакции в среде выделялось в
различных сечениях трубы различное количество энергии, вследствие
чего среда начала двигаться по закону
u--=^-.^^-at F1.34)
и давление в среде распределилось по закону
Р = Ро (l + -^) = Ро + <^h. F1.35)
Тогда закон распределения плотности в среде будет р =
= ЛоР^ A + h/ho)^^'^, что дает
Р - ^ = 1. F1.36)
p^(i+-ty p^{^+i)

526 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
Здесь /?о, ро —- значения давления и плотности при t = О, А = О
{х = 0). Далее, в момент времени ^ = О (сразу же после
окончания процесса выделения энергии) в сечении h = О начинается
истечение газа направо. Налево пойдет волна разрежения.
Для определения* движения среды в волне разрежения
воспользуемся решениями E7.20) и E7.21), выбирая для волны
разрежения, идущей налево, знак минус:
1
2- k + i h
2YkA^ ^+-21ГТо / р \-1н
к-1
и= j^zri 1—/ —\ +^
F1.38)
Поскольку движение начинается при ^ = О в сечении А = О,
то Fi = О, F2 = const. На фронте волны разрежения phj{h -f h^ =
= /?Q, и мы будем иметь следующие уравнения:
_1 fe+i
' = -^ V = гЧг. F1-39)
1 fc_i 1 fc + l h
и = const - -|^ Afi^ ^^ '""
1+Й
0
k
= const-^ + ^-^. F1.40)
где Cq = Ykpo/pQ — скорость звука при t == О, h = 0. Поскольку
на фронте волны должно быть
А А
^- ho ~ / h \ - к h ^ ^ol.4l^
то const = 2с J {к — 1), и мы имеем окончательно следующие урав-

§ 611
УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ РЕАЛЬНОЙ ДЕТОНАЦИИ
527
нения, описываюш^ие волну разрежения:
2со
/с-1
1-
F1.42)
fc-i
2к
F1.43)
Поскольку мы не имеем точных решений для произвольного
уравнения состояния, то, вычисляя, с одной стороны,
dh . .
и из F1.39), с другой,—
dh (м , h
F1.44)
F1.45)
мы увидим, что будет допуш,ена небольшая погрешность в
определении р на фронте волн разрежения или в определении закона
движения самого фронта.
В самом деле, на фронте волн разрежения мы имеем: р/ро =
= A + h/hoY; с = Y^P/P == ^oV(^o + й); и = cjilk (h + Hq),
а из F1.44) и F1.4»:
h
dh Л , /г \3
dt
ho
ho
Ы'+i)
1+^
-Ро^о 1+-Т
h \2
откуда 1 — hIkhQ = 1; лишь в пределе при Hq-^ оо, когда
движение становится изэнтропичным, решения переходят в классические
особые решения для бегуньей волны и становятся точными. Однако
неточность при большом значении Hq или для относительно
небольших размеров зоны, где произошла реакция, незначительна.
Аналогичными методами можно рассмотреть закон движения
бегущей нестационарной ударной волны как в однородной, так
и неоднородной средах. При этом один из законов или связь между
рии или между р и р на фронте волны не будет точно выполняться,
но и в этих случаях погрешность можно сделать сравнительно
небольшой, меняя Aq и Hq на различных интервалах. Вариация Hq в
зависимости от изменения Л о на малых интервалах в пределе
приведет к точному решению.
Введем новую переменную dQ = dh/pQCQ и положим в самом
обш;ем виде, что до фронта волны р^ = clAqpI, где безразмерная

528 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
величина а = а (S) = а (h); тогда, поскольку на фронте
и
будем иметь
где 9 = dQ/dt. Очевидно, величина (к + i)/2ka A + к1к^)<^^-^^ =
= / (Э), где / @) — некоторая функция отЭ, легко определяемая,
если известны ро = "ф (А) и Cq = Ф (Л). Уравнение
легко интегрируется в параметрическом виде.
В самом деле, из F1.49) имеем
в = F F); F1.50)
дифференцируя F1.49) по t, будем иметь 6 = dF/dt, откуда
^=^-^?^ = Ф(ё). F1.51)
Таким образом, исключая из F1.50) и F1.51) параметр 6, мы
придем к зависимости
f{Q;t)=0; f(h;t) =0, F1.52)
определяющей закон движения фронта ударной волны. Далее,
зная на фронте р = р (h), мы тем самым определим р = р (z),
далее t = t (z), где 2 = . _jLh/h ' после чего легко определить
Ф^ B), а затем уже и Og B), что полностью решает задачу о
бегущей волне; однако один из законов, как мы указали выше,
например связь между р и и или р и р, не будет точно выполняться
на фронте волны.
Для сильной волны решение задачи значительно упрощается.
Из F1.48) будем иметь
JL 1. 3fc—1

§ 61] УДАРНАЯ ВОЛНА ПРИ РЕАЛЬНОЙ ДЕТОНАЦИИ 529
откуда
sk—i
Поскольку Со = kpJpQ-, а = pJApo; Y^IPo<^o = VilkA^pl*^, то
F1.54) принимает вид
3I.-1
/ h ] 2
^=F (F+imo'ttt) !) ш • ^^*-^^^
Po^
Зная Po ='Ф (h), мы сможем сразу же вычислить этот интеграл.
Особенно просто решается задача о бегущей сильной волне
в среде с постоянными начальными параметрами. Тогда 0 = MpqCq,
а = (Xq = const и из F1.18) имеем
> Ik — i \fe _ /с + 1 Л h х(з/.-
или
откуда, интегрируя при условии /г = О, если ^ = О, получим
3fc+l
(^+i)' =fi + l):' F1.56)
где
2Ло -I /" 2vao //с —1 \ft 2/io -, / 2 ^ ^—
<> C/с + 1)роСо Р" /с + 1 (/c + lj "/c + lK (А:-1)ЛоР
2
Далее, поскольку на фронте
Р- ^ = ^4il^^- F1.57)
то

530 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
где
2 —
h
F1.58)
подставляя эти выражения в решение E7.20)
/4
Кр
2к
__ к—1
h \ 2к
^+i: +^W—V-' F1-59)
определим
3fc+l А J-
3fe+l
ф.(ю=^(^)"-1]-
1+V
__1 3?С+1
=v '*
(змЛК Т^гг ут)'*»'''
1 1^
3
2/го т / 2 л 2 ^ 2
ЗА: +
.Т" fc-i
ft—1
Отсюда находим
1
F1.60)
^0 Р ^ 6/с 2
//с
^ 1 / 2 J 2 2
Далее, из E7.21) определим
V
Г г
Т ±il
зк—1
Поскольку на фронте волны
F1.62)
то
Ф2B) =
_1 1_ 3fc-~l
Af р 3 ^ в/^
/т#г+'

§ cij
УДАРНАЯ ВОЛНА НРП РЕАЛЬНОЙ ДЕТОНАЦИИ
331
откуда окончательно
/4р^(^+^
Ло)
Зк—1
2к
+
J; 1_ 3fc—1
+ п [Ут1^ + ^\'
F1.63)
Поскольку
то будем иметь
dOJdz = — Z dOJhQ dz,
(З/с + 1)
б/с У к
Ък
-hi V А:-1 ^
C/с — 1)
6А; У к
[V^
+ 1
откуда находим значение А: := 1, при котором это выражение
удовлетворяется. При прочих значениях к решение уже не будет
являться точным, однако эта неточность при А: ^ 1 незначительна.
Небольшое изменение уравнения адиабаты Гюгонио ее вполне
скомпенсирует. Сопряжение на заднем фронте волны может быть
сделано с помощью константы, но это сопряжение будет также
приблизительным.
Более подробно рассматривать закон об адиабатических
одномерных движениях газа мы не будем; этому вопросу будет
посвящено специальное исследование.
При понижении давления ниже определенного уровня, в
зависимости от желаемой точности результата, необходимо в уже
выведенных соотношениях изменить лишь величину константы h^.
Следует отметить особо, что падение давления на фронте ударной
волны в случае реальной детонации будет происходить сразу же
после ее образования, т. е. с момента времени конца детонации.
При этом начальное давление на фронте ударной волны, как
известно, будет больше, чем в случае мгновенной детонации; на
расстоянии порядка десятков начальных длин заряда давление для
обоих видов детонации приблизительно выравняется и далее
законы распространения ударной волны для обоих этих случаев
станут достаточно одинаковыми. Начальная стадия истечения
продуктов детонации при инициировании с одного из концов
заряда с этого конца ничем не будет отличаться от разлета продуктов
мгновенной детонации, причем Сн = DI2, После взаимодействия
волн разрежения, идущих от обоих концов, режим разлета станет
иным, чем при мгновенной детонации. Однако через некоторый
промежуток времени процесс разлета будет мало отличаться от
разлета при мгновенной детонации.

532 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
§ 62. Отражение плоской нестационарной
ударной волны от преграды
Наличие точных решений в координатах Лагранжа для
описания плоской ударной волны позволяет принципиально
рассмотреть ряд задач об отражении нестационарных ударных волн от
преграды при нормальном падении ударной волны. Однако эти
задачи имеют сравнительно небольшое значение и в настоящем
исследовании мы ограничимся лишь некоторыми общими
замечаниями, относящимися к ним.
Прежде всего заметим, что в общем решении для
отраженной волны будут участвовать обе произвольные функции
Fj^{h — At); F^ {h + At); одна из этих функций должна быть
определена из условия равенства нулю скорости на преграде, а
другая — из условия на фронте отраженной ударной волны. Оба
эти условия можно записать в виде:
при X = L (где L — координата стенки) и = 0; F2.1)
^2y-^/i = v,|/|j^;; a,~z/,^f(p,-ft)(vi-v,), F2.2)
где индекс 1 обозначает падающую волну, а индекс 2 обозначает
отраженную ударную волну. Амплитуда давления при отражении
возрастает всегда больше чем в два раза, а отраженный импульс
должен быть равным удвоенному падающему количеству
движения; поэтому падение давления со временем на стенке будет
происходить достаточно быстро — быстрее, чем в каком-либо сечении
для падающей волны.
Далее, следует отметить, что давление в отраженной волне
должно сравнительно слабо зависеть от координаты х. Указанное
обстоятельство следует из общих соображений теории
неустановившихся движений газа. Подобного рода режим отражения, по-
видимому, будет иметь место не для всех видов падающих ударных
волн, однако для типичных ударных волн, давление и скорость
которых уменьшаются от фронта к тылу, указанный режим имеет
место; в этих случаях можно сравнительно легко найти
приближенное решение для отраженных ударных волн. В самом деле,
аппроксимируем давление в отраженной волне зависимостью
? = (!-)"• <в2-3)
где т — момент времени начала отражения, /?2о •— начальное
давление при отражении.
Пусть нам задано количество движения для падающей ударной
волны /(). Тогда, исходя из F2.1) и F2.3), мы будем иметь
т
5(Р2 - Ра)dt = j^\i - Ш''~'1 -р,{Т-х)= 2/„, F2.4)

§ 62] ОТРАЖЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ОТ ПРЕГРАДЫ 533
где Т — время конца отражения (иногда Г = оо); член Ра{Т — т)
учитывает атмосферное противодавление на стенку. Далее, исходя
из условий F2.2) на фронте отраженной ударной волны, мы
получим
причем
dXo л/ ^20 (—) ' — pi{x\t)
dt ^^ 1V ' / I 1 г vi(a?; о — V2 '
_V2_ __ (Т + 1) 7^1+ (Т —1O^2 . ,пр rv
VI (T-l)i^i + (T +1O^2 ' ^^-^^
отсюда определится закон движения фронта отраженной ударной
волны
Ф {х^\ t) = 0. F2.6)
Зависимость плотности от ж и if в отраженной ударной волне может
быть легко найдена сначала в лагранжевых координатах,
поскольку для заданного /г имеем р — р^^^. Пересчет этой
зависимости для координат хж t яе представляет труда, так как
зависимость скорости от X при аппроксимации F2.3) можно изобразить
в виде линейной функции от X, а значение скорости на фронте
отраженной ударной волны нам известно. Определяя отраженное
количество движения, мы определяем и величину к^.
Аппроксимацию F2.3) можно уточнить, если написать
Р20
- (;4-^)"'. F2.7)
где величины к^ и Tq ищутся из условия сохранения импульса и
величины производной d In p/d In t при t == 6.
Представляет еще интерес рассмотреть некоторые
закономерности отражения акустической слабой ударной волны от стенки.
Прежде всего мы, очевидно, имеем право как для падающей,
так и для отраженной ударных волн использовать уравнение
изэнтропы в виде
р = ЛГ„рЗ _ Во F2.8)
вместо изэнтропы р = Np^. Для малых изменений давления
имеем Ар ~ SNqpIAp = т^Ра'^Др, откуда следует, что
Л^о = А^-|-Ра-<^-^^. F2.9)
Поскольку слабая падающая ударная волна может быть описана
уравнениями
4- = Щ + С1] Ci —Ui = Ce, F2.10)

534 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
ТО для отраженной волны, полагая, что стенка расположена при
X = L ж ударная волна подходит к стенке в момент времени т,
мы будем иметь следующие уравнения:
-^ = ^2 + ^2; 1^2-^2=^^ . F2.11)
Отсюда мы видим, что для слабой ударной волны скорость
действительно представляет собой линейную функцию х^ а скорость
звука (а следовательно, и плотность и давление) не зависит от х:
и^=^; ^2=4"- F2.12)
Поскольку на фронте имеют место соотношения
dX2 1 / I V
•;5Г == Т" (^1 ~ ^1 + ^2 - ^2) и 1^1 - Ci
X-2L
Ua Сл
t »
фронт отраженной ударной волны будет распространяться по
закону
Принимая во внимание начальные условия отражения х = L,
^ = т, мы будем иметь для координаты отраженного фронта
соотношение
х^ = Са /it -cJ^L Y^ + 2L. F2.14)
Точка для падаюш,ей ударной волны, где w = О, с = Сд, движется
по закону
X = Cat. F2.15)
в момент времени t^^ определяемый уравнением
в сечени i
X
произойдет встреча отраженной ударной волны и фронта слабой
волны (где W = 0), после чего возникнет новая волна:
Щ + с^ = Са\ ^-^—^Щ'-с^. F2.18)

63]
ИСТЕЧЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНУЮ ТРУБУ
535
В момент времени t = L/ca эта волна достигнет стенки, на которой
в этот момент времени будет с == с^, следовательно, от стенки
начнет распространяться зона покоя, причем всюду в этой зоне
скорость звука равна начальной скорости звука с а-
Подсчитаем теперь импульс, который примет стенка при
отражении ударной волны; очевидно,
где
-н=^[Ш-^]
Pa [ 'а J [ ^а J
F2.19)
1
Здесь /?1н» ^1н и Сщ — давление, скорость и скорость звука на
фронте падающей ударной волны; Рзн» ^2^ """ то же для отраженной
волны.
Поскольку, с другой стороны, на стенку действует все время
давление Ра^ то полный избыточный импульс определится
выражением *)
Д/:
^Ра^ /Д^н
F2.20)
где Дсн = CiH — Са есть избыточная скорость звука на фронте
падающей ударной волны. Процесс отражения, после того как
к стенке придет волна F2.18), закончитст.
Можно было бы рассмотреть еще целый ряд задач, связанных
с отражением ударных волн от стенки, однако рассмотренная
задача является вполне типичной именно для слабых ударных
волн, поэтому мы здесь ею и ограничимся.
§ 63. Полные импульсы при истечении сжатого газа
или продуктов детонации в бесконечную трубу,
наполненную воздухом
Вычислим импульс, который действует на стенку
цилиндрического сосуда диаметра d, помещенного в трубу того же диаметра,
при истечении из сосуда ранее сжатого газа в воздух, имеющий
меньшее начальное давление, чем сжатый газ. При вычислении
этого импульса необходимо учесть все рассмотренные нами
закономерности, связанные с расширением газа и движением
возникающей при этом ударной волны. Необходимо также помнить, что
с другой стороны на стенку сосуда будет все время действовать
*) Это соотношение является приближенным; оно справедливо с
точностью до членов второго порядка.

536 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
давление воздуха р = Ра^ так что избыточный импульс,
действующий на стенку, определится соотношением
^h= liP-Pa)dt= [pdt-p^{t,-t^), F3.1)
и h
где tiHt^ — моменты времени начала и конца изучаемого процесса
(^1 "= О, t^--^ оо), р = р (t), причем вид функции р (t) будет
различен для различных волн.
Как мы указывали выше, столб газа будет совершать некото*
рые колебания около положения равновесия, прежде чем это
равновесие установится. При этом давление, действующее на
стенку, также будет колебаться около значения Ра- Как только
давление в процессе истечения, понижаясь, достигнет значения
Ра ^ будет продолжать понижаться, то обязательно начнется
обратное движение газа и воздуха, сжатого в ударной волне, иначе
не будет удовлетворен закон сохранения импульса. В этот момент
времени именно на границе раздела между газом и ударной волной
скорость станет равной нулю, т. е. остановится сама граница
раздела, достигнув своего максимального удаления.
Например, в случае истечения продуктов мгновенной
детонации, т. е. в случае истечения ранее покоящегося сжатого газа,
легко определить этот момент времени. В самом деле, в том случае,
2
когда Uj >-т—г ^у» имеем для отраженной волны разрежения
соотношение
2а+1
^ _ _1_ у B (г ^ а))! Bа)! ( ^\ ^^+3 ^ 2)
В том случае, когда Uy < 2/(к — 1) Су, этот момент времени можно
подсчитать, исходя из следующих соотношений:
l = ct- ^^ ^' [(^-^)' + ^н(^-^I'
дс'
к-1
с = 2.,-с.; i^=(i^y.
F3.3)
где с Ht — скорость звука и момент времени прихода к стенке
простой волны; если р ^ Ра^ то лишь в новой волне разрежения
станет р = Ра, эта задача сложна и аналитически, за исключением
случая /с = 3, не решается. Если р <. Ра^ то задачу решает
соотношение F3.2), поскольку давление становится равным
атмосферному уже в первой отраженной от стенки волне разрежения. При

§ 63] ИСТЕЧЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНУЮ ТРУБУ 537
условии 2(ру/рл)"'^ — ^ = (Р2^Рв)^^ давление у стенки становится
равным атмосферному в момент прихода к ней второй простой
волны. Следует учесть, что время действия давления на стенке
р <С Ра TS. импульс, сообш;аемый стенке, будет меньше, чем при
наступлении режима р >> Ра, поскольку полный импульс при
истечении в воздух больше, чем при истечении в пустоту.
Исключение составят случаи, когда начальное давление р^
незначительно отличается от ра- Когда давление на стенку достигнет своего
минимума и затем начнет повышаться и достигнет снова значения
Ра^ ТО обратное давление газа и воздуха начнет постепенно
замедляться и при р = Ра совершенно прекратится — появится новая
волна сжатия.
Нетрудно подсчитать в случае истечения продуктов
мгновенной детонации полный импульс, действуюп];ий на стенку.
Очевидно, импульс будет равен количеству движения в ударной волне.
Это количество движения мы определяем, пользуясь
формулами § 59.
Импульс, образуюш,ийся при отражении слабой ударной
волны, мы также знаем (см. соотношение F2.20)). Преобразуем
несколько это соотношение, справедливое для у = 3:
Величина импульса, определяемая этим соотношением, должна
быть равна удвоенному импульсу, действуюп|;ему на стенку
сосуда, из которого и происходило истечение продуктов мгновенной
детонации:
М = 2/о. F3.5)
Поскольку при Y = 3 количество движения на основании
E9.27) равно
/o=^^ F3.6)
^а
Д/^4^, F3.7)
то мы действительно убеждаемся в том, что отраженный
избыточный импульс при у — 3 равен удвоенному количеству движения.
Д/ = 2/о = 4^. F3.8)
Этот вывод, конечно, справедлив и для сильных ударных волн.
Подчеркнем снова, что величина полного избыточного импульса
с увеличением расстояния, проходимого ударной волной на боль-

538 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
ших расстояниях, становится постоянной и конечной. Вспомним,
что, начиная с некоторого большого рассеяния от места
истечения, энергия ударной волны также изменяется слабо.
Как мы знаем, энергия ударной волны складывается из
энергии продуктов взрыва, отданной в атмосферу, и энергии воздуха
вытесненного продуктами взрыва. Избыточная масса воздуха
в ударной волне при этом также становится достаточно близкой
к постоянной и складывается из вытесненной массы воздуха и
части массы воздуха, вытесненного из области энтропийного следа.
Полная масса воздуха Ма в ударной волне возрастает
пропорционально Y^ — Y^i избыточная масса остается конечной.
Несмотра на то, что при t --^ оо полная движуш;аяся масса Mq
пропорциональна ]А^, поскольку полная избыточная кинетическая
энергия E]i пропорциональна I'iYi, величина полного избыточного
импульса остается конечной, а сам импульс определяется
соотношением
А/о=|/-|-^о^к. F3.9)
В заключение заметим, что при истечении продуктов
детонации в пустоту полный импульс определяется хорошо известной
формулой:
/ = lY2M^, F3.10)
где ^ .^^ 0,82 (см. § 25). Этот импульс равен также удвоенному
количеству движения газа в детонационной волне, в чем легко
убедиться, вычислив количество движения.
§ 64. Истечение газа в трубу конечных размеров,
заполненную воздухом
Перейдем к рассмотрению закономерностей истечения ранее
покояп^егося газа из трубы конечных размеров в воздух. Длину
трубы обозначим через Zq, длину,
которую занимает газ,— через /.
Начальное давление газа обозначим, как и
прежде, через рн- Объем трубы между
сечениями х = Iq и х = I заполнен воз-
духом при нормальном атмосферном
"^ давлении ра (рис. 69).
Пусть истечение газа начинается в
Рис. 69. момент времени ^ = О в сечении х = 0.
Начальная стадия истечения ничем не
будет отличаться от уже рассмотренной в § 58 для бесконечно
длинной трубы. Движение газа на интервале —Cyt ^ х ^ {uy —

§ 64] ИСТЕЧЕНИЕ В ТРУБУ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ 539
— Cj)t будет описываться простой волной разрежения
X 2
г^ — с = -т- ; и =
Г' ^-^^(Сн-с). F4.1)
На интервале (% — Cj)t ^ х ^ Ujt движение газа описывается
стационарной волной
и = ггу; с = Су; р = ру = const, F4.2)
причем Uy = 2 (сн — Су)/{к — 1). На интервале Uyt < х ^Dyt
будет двигаться стационарная ударная волна с параметрами
Р = Ру'у Р = Pay; ^ = ^у; с = Сау, F4.3)
причем
где Са — начальная скорость звука в воздухе, Dy — скорость
фронта ударной волны. Давление и плотность определяются
хорошо известными соотношениями.
Особый разрыв (граница раздела двух сред) движется по
закону
X = Uyt. F4.Ь)
В момент времени t = to = X/Dy, где X = Iq — I, фронт ударной
волны доходит до открытого конца трубы; при этом начинается
истечение воздуха, сжатого ударной волной, в невозмуп1;енный
атмосферный воздух. Очевидно, в этом случае в воздухе
образуется расходящаяся осесимметричная ударная волна. Однако эта
волна нас не интересует, и мы не будем заниматься ее
исследованием.
Вычислим лишь начальные параметры этой волны в момент
ее образования t = t^. Для этой цели воспользуемся
уравнениями
2Y
Y-1-
(т-1)-5^+(г-1)
F4.6)
где йу, Су, ^у — соответственно скорость звука и давление на
фронте этой волны. Решая эти уравнения, определяем искомые
параметры
Йу, ?у, Су.

540 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
В том случае, когда Су/су < (у + 1)/2, по первой стационарной
ударной волне при истечении воздуха, сжатого в ней, в
невозмущенный атмосферный воздух пойдут две волны разрежения —
простая и описываемая общим решением нестационарная; при
этом на открытом конце будут выполняться условия р = Ра,
и <а с. Простая волна разрежения будет определена на интервале
x + iuy- Су) (^t - ^j <х<?. + {йу -Су) (^ - :^). F4Л)
При этом для простой волны будут справедливы уравнения
и — d: и = и^
+ :7irii<=y-'^)- F4.8)
Нестационарная волна разрежения будет определена на
интервале
^-(иу-су) (t-^\^x^X. F4.9)
В том, что эта волна будет нестационарной, легко убедиться,
поскольку на линии ее сопряжения с простой волной р ^ р^, а на
открытом конце р ^ Ра- В случае, когда Су/Су > (т + 1)/2,
возникает одна простая волна и на открытом конце устанавливается
режим и = с, р "> Ра-
Простая волна описывается уравнениями F4.8). Интервал ее
существования легко установить, поскольку закон движения ее
левой границы тот же, что и в первом рассмотренном случае.
Система волн, возникающая при отражении первой простой
волны от стенки, и ее взаимодействие со стационарной волной
разрежения, т. е. вторая простая волна в газе, стационарная волна
разрежения, идущая от стенки, и другие волны (рис. 70) ничем не
будут отличаться от системы волн, возникающих в случае
бесконечно длинной трубы, при условии, что сигнал, идущий от
открытого конца трубы налево в начале истечения, пересекает
стационарную волну (в газе) позже, чем отраженная от стенки волна
разрежения. В противном случае система волн несколько
изменится. Предельная волна трубы К, когда указанные фронты волн
встречаются одновременно в выходном сечении этой трубы,
определяется из соотношений:
-- =^ Uyt^^ =l^(Uy - Су) (t^ - —
^1
Xj^ = X + {uy- Су) lt^~ —] -f- {щ - Су) {t - ti) =
F4.10)

64]
ИСТЕЧЕНИЕ В ТРУБУ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
541
здесь Xi, ti — координата и момент встречи волны разрежения,
идущей от открытого конца и особого разрыва.
Указанное выше сходство волн будет иметь место до тех пор,
пока сигнал в том, что труба ограничена (т. е. фронт волны
разрежения, идущий сначала по ударной волне, а затем по газу),
не пересечет фронта отраженной волны от стенки. После этого
система волн станет значительно сложнее, чем в случае бесконечно
длинной трубы.
Область волны,
отражениой от
' открытого
"^ конца
Точное рассмотрение этой системы и даже различных
возможных комбинаций взаимодействия волн в общем виде, без
вычислений, не имеет смысла. При громоздкости вычислений и
рассуждений мы сможем выиграть лишь незначительно в точности
достигаемых результатов. Необходимо искать разумные приближенные
способы решения поставленной задачи.
Предварительно выясним более подробно, чем мы это сделали
в физическом описании процессов нестационарного движения
газа, всевозможные условия, которые могут иметь место на
открытом конце трубы. Наиболее общим случаем истечения газа
является его истечение при условии, что давление на фронте ударной
волны при подходе ее к открытому концу больше критического,
т. е.
Y-1
Л + 1
(^)"
= -^>
F4.11)

542 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
При этом на открытом конце наблюдается такой режим истечения
воздуха, сжатого ударной волной: р ]> Ра, w — с. В общем случае
нестационарной ударной волны скорость звука и скорость
течения, вообще говоря, будут зависеть от времени: и = с = f (t),
следовательно, и р = р (t). При этом возможны два случая.
Случай 1. Давление падает со временем. Тогда возможно, что
до подхода границы раздела (воздух — газ) к открытому концу
наступит такой момент времени t = х, когда будет выполнено
условие р = Ра] далее, на открытом конца будет существовать
режим
и <С, р = Ра»
При этом, поскольку давление будет продолжать падать со
временем, то в момент времени т от открытого конца налево пойдет
слабая волна сжатия, которую с достаточно большой точностью
можно рассматривать как особую волну сжатия и пренебрегать
изменением в ней возмущений. Эта волна сжатия, проходя по
воздуху, сжатому первой ударной волной, будет повышть его
давление и уменьшать скорость истечения.
Далее, в рассматриваемом «лучае возможны такие варианты.
Вариант а. Волна сжатия остановит истечение воздуха, уже
сжатого ударной волной до времени прихода границы раздела
к открытому концу, после чего начнется частичный процесс
втекания воздуха через открытый конец в трубу. На этом вопросе мы
ниже остановимся отдельно. Такой случай возможен при малых
начальных давлениях газа (ри) и больших объемных (длинах),
заполненных инертным воздухом, т. е. при больших К == Iq — 1,
Приближенно можно считать, что это произойдет при
t<m"
F4.12)
В том случае, когда давление в исходном газе не было постоянным
по длине к моменту начала его движения, необходимо заменить
в выражении F4.12) рд через
Pu = Pn = {k-i)PnQ, F4.13)
где ^н и рн — средние начальные давление и плотность газа.
Вариант б. Волна сжатия не уменьшает скорости истечения
воздуха до нуля ко времени прихода границы раздела к открытому
концу. Эта волна переходит в газ и движется в нем.
В тех случаях, когда энтропия газа больше, чем энтропия
воздуха, сжатого ударной волной, скорость звука в газе выше, чем
в воздухе, и при р = Ра "^ газе, подошедшем к открытому концу,
будет соблюдено 'условие и < с. В некоторый момент времени на

§ 64] ИСТЕЧЕНИЕ В ТРУБУ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ 543
открытом конце скорость истечения станет равной нулю: и = О,
после чего начнется процесс втекания воздуха в трубу.
Случаи, когда энтропия воздуха больше, чем у газа,
возможны только при больших начальных давлениях и в данном варианте
практически (за исключением надуманных или особых случаев)
невозможны.
Случай 2. Условие р ^ ра, и = с выполняется на открытом
конце трубы все время, до тех пор, пока к нему не подойдет
граница раздела газ — воздух.
Только в истекающем газе, когда по нему пойдет новая волна
разрежения от открытого конца, давление на открытом конце
падает до атмосферного. Тогда волна сжатия пойдет
непосредственно по газу, тормозя его истечение. В некоторый момент
времени на открытом конце будет выполнено условие и = О, после
чего начнется втекание в трубу воздуха.
Здесь, как мы только что установили, возможны тоже два
принципиально разных варианта.
Вариант 1. Втекание происходит в трубу, из которой воздух,
заполняющий часть ее объема, еще не был весь вытеснен.
Вариант 2. Втекание происходит в трубу, заполненную только
исходным газом.
Для упрощения решения задачи об истечении газа и воздуха,
выталкиваемого этим газом из трубы конечной длины, поступим
следующим образом: пренебрежем частью волны разрежения,
идущей по воздуху, начиная с момента ее прихода к границе раздела.
Это пренебрежение не отразится на балансе энергии и массы, что
является очевидным; оно лишь изменит (и то в очень
незначительной степени) величину количества движения истекающих масс,
поскольку несколько изменится распределение скорости по массе.
В такой же незначительной степени изменится
продолжительность истечения. Пренебрежение частью волны равносильно тому,
что мы как бы изменили скорость движения фронта волны
разрежения (скорость звука) таким образом, что фронт движется влево
по ударной волне со скоростью, равной скорости течения, т. е.
таким образом, что в неподвижной системе координат фронт стоит
неподвижно у отрытого конца. В этом случае весьма просто
подсчитать количество движения воздуха, сжатого в ударной волне
при его истечении. Для этого необходимо лишь определить
скорость истечения, которую мы вправе назвать усредненной эф-
|)ективной скоростью (uq).
Поскольку при сделанном упрощении истечение будет
стационарным, то
2 2
Uq =Uy
+ 7^4A-(^)'). F4.14,

544 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
Количество движения воздуха будет
1а = ГПаЩ, ГПа = Ра'^, F4.15)
где то есть масса воздуха, заполнявшего трубу (площадь сечения
принята равной единице).
В момент времени, когда граница раздела пойдет к открытому
концу, начнется истечение сжатого газа (продуктов горения).
При этом, как уже упоминалось, по газу пойдет справа налево
интенсивная волна разрежения, которая не будет особой,
поскольку плотность, давление, скорость звука и скорость течения
в самом газе не постоянны, а зависят от х nt.
Перейдем к определению количества движения или импульса.
Сначала рассмотрим простейшую задачу, когда Iq = I, т. е. когда
в трубе нет участка с воздухом. При этом, учитывая расширение
газа от давления рн До давления Ра, мы как раз и определим
полный импульс (/д), поскольку дальнейшее падение давления
импульса будет уменьшаться (если учесть противодавление) на
определенном интервале времени; далее, на другом интервале времени
за счет втекания импульс будет опять возрастать и т. д.; таким
образом, величина импульса будет колебаться около значения (/д).
Очевидно, втекание не изменяет общего импульса, поскольку
при этом действуют внутренние силы.
При истечении газа или движении ударной волны в воздух
некоторая масса воздуха получает количество движения,
направленное по оси, что несколько увеличит общий импульс. Однако
изменение импульса при относительно больших начальных рд не
будет заметным. Точное определение прироста импульса весьма
затруднительно.
Величина
/а = V- + S Р'^^-Ра^а =^+ \ Р^ ^ J ^ ^Р - PJa-
"^ Ра ^ Рн Рн
F4.16)
Здесь площадь сечения S принята за единицу, и при написании
этой формулы мы учитывали противодавление ра, ta — момент
времени, когда на стенке давление становится р — ра*
При истечении газа в пустоту имеем
I о о Рн
° Рн ° Рн Рн о
Из сравнения соотношений F4.16) и F4.17) имеем
Ра о
/а = -^0 + \pt+ ydp- pJa,
О Ро

§ 64]
ИСТЕЧЕНИЕ В ТРУБУ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
545
при этом
pt = pj^; при подстановке нижнего предела pt
обращается в нуль, поэтому
/„ = /о- ^tdp.
F4.18)
о
Вычислим значение интеграла
2а+1
^Рн \ 2а+3 dp
Ря
о ¦* о «=о ^ " ^
^ 2г + 3 г, fPa \
2(г+1-а)
<'и^'''\^0
F4.19)
где Fa = 2 {г —а)! Bа)!/1(г — а)!а!]*. Откуда следует, что
. 2(г+1-а)
1Ри
Г - Г --ZE- У 2г+3 р (Ра\
F4.20)
Поскольку
Рн г
''на=0
то
2(г+1-а)
2г+3 ^j, /Ра \ 2Г+3
-^ = Лу = 1
0=0 __^
Zj г + 1 —а "^
F4.22)
а=0
При г = 2, /с = 7/5 выражение F1.22) принимает вид
/о 5
6 4
+
т
F4.23)
В случае, например, pJPk = 1/5 имеем /а//о = 99/200 ;::г: 1/2.
Продолжительность действия импульса равна:
2аЧ-1
,^Ян \ 2Г+3
а
F4.24)

546 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
При к = 7/5, г = 2 выражение F1.24) принимает вид
^f3(^)'+2(^)'+3(|)'j. ,6..25,
В случае, когда pJPn = 1/5, мы имеем c^tjl = 2,15.
Можно показать, что порядок интервала временя пульсацион-
ных колебаний лишь незначительно превышает значение ^д.
Перейдем к определению импульса при учете массы
выталкиваемого воздуха.
Будем считать, что энергия более или менее равномерно
распределяется между газом и инертным воздухом; для вычисления
импульса придем к приближенному соотношению:
1а
= Ьп\ 2Bafl
+^)(-ш )=
в случае /Пд = О
отсюда
^Im^lQa^ (l + ^). F1.26)
1а-1ао=1тУЩ, F1.27)
где а = / (Pu/Pai ^а/Щ характеризует потери свободной энергии
в ударной волне. Величина Y^ ~ Цу может быть приближенно
положена равной величине У I — (Ра/Рн) ^ • Очевидно, величина
Л
-1-(-~^) F4.29)
характеризует коэффициент использования энергии газа при его
истечении в воздух в смысле перехода энергии в кинетическую.
Для стационарного потока соотношение F4.29) является точным.
В случае больших начальных давлений может наблюдаться
выигрыш в импульсе. В случае малых начальных давлений всегда
будет проигрыш. Заметим, что в случае постепенного
выталкивания воздуха без образования ударной волны а = 1 и всегда до
момента образования ударной волны будет иметь место выигрыш в
импульсе. Поэтому в случае выталкивания инертного воздуха
падение давления со временем при р <. Ра будет не столь
значительным, как при истечении в пустоту; напротив, будет наблюдаться

§ 64]
ИСТЕЧЕНИЕ в ТРУБУ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
547
новый рост давления при подходе волн к стенке (рис. 71).
Колебания давления около значения р = рд не будут гармоническими
даже приблизительно.
Для вычисления импульса без учета инертного воздуха мы
имеем два равноценных способа. Учет движения инертного
воздуха с большой степенью точности может быть произведен согласно
Р=Р.
Истечение в пустоту
Истечение в воздух
^г?
Рис. 71.
соотношению F4.28), которое мы теперь напишем в виде
F4.30)
Поскольку величина потерь энергии зависит от отношения /Пд/Л/,
то можно приближенно считать, что
F4.31)
где р — малая величина, зависяш;ая от давления в ударной
волне; для Ру/Ра '^ 5, например, Р ж 1/4. Для более слабых волн
значение р enije меньше.
Для оценки продолжительности истечения при изменении
давления от рн ДО давления Ра мы имеем достаточно точные
соотношения F4.24). Далее можно сделать вывод, что поскольку при
переходе величины давления у стенки через значение Ро к
меньшим значениям импульс уменьшается, то где-то должно начаться
обратное движение газа или воздуха.
Если труба коротка \l^<il (Рш/РаУ^^Ь при t = ta начнется
втекание воздуха через открытый конец. Продолжительность
втекания будет порядка Твт ^^ lo/^a^ следовательно, полное время
релаксацри (время истечения и втекания) будет порядка
Г = <а + ^вт- F4.32)

548 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
В случае весьма длинной трубы IIq ^ I (Рн/РаУ^^^ раньше, чем
начнется втекание через открытый конец, должно начаться при
^ = 1^0 обратное движение границы раздела между воздухом и
газом, что увеличит время установления равновесного режима.
В заключение выясним возможность использования формул,
которые определяют продолжительность истечения газа из сосуда
при гипотезе квазистационарного истечения. В рамках этой
гипотезы рассмотрим предельный случай истечения газа из сосуда
через отверстие, площадь сечения которого S, в пустоту. Очевидно,
именно в этом случае истечения может быть наибольшим
различие между определением времени по гипотезе квазистационарного
истечения и точным его определением методами нестационарной
газовой динамики.
Пусть сосуд имеет цилиндрическую форму с площадью
сечения Sq и длиной I (см. рис. 69); тогда масса газа, его
наполняющая, будет
^н = SqpJj F4.33)
поскольку при истечении в пустоту в выводном отверстии
истечение всегда будет критическим, то для этого сечения имеем
Щ = сн = ]/ xifT ^' F4.34)
где с —- местная переменная скорость звука в сосуде. Мы будем,
как это делают при гипотезе квазистационарного истечения,
считать, что скорость газа в сосуде везде, за исключением выходного
сечения (и области, к нему прилегающей), равна нулю, а скорость и
давление при различных х одинаковы для данного момента
времени и меняются только со временем; текущая масса газа в сосуде
равна
t
т = Ши — S\ р^^щ dt\
о
2 1
далее,р/рн = 7п/тн,при этом также pjj/p = (cjcy-^ = [2/{к -f 1)]'^"^,
поэтому
к+1 ^ Ji+1
т
""--^{-khJ " р-'А{^) ^^^
откуда
к+1 -у- ?С+1
-=1_^( 2 \^<-" C(J!LVi!?L. F4.35)

64]
ИСТЕЧЕНИЕ В ТРУБУ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
549
Дифференцируя выражение F4.35) по т = c^tjl, приходим к
уравнению
_ К'+1
d\x.
S
So
к +
т)
2(к-1) !^
F4.36)
где (Л = т/шц] интегрируя уравнение F4.36) при условии [х = 1,
т = О, приходим к соотношению, определяющему зависимость
|х от т:
Далее, поскольку \i = р/рн = {р/РиУ^^1 определяем зависимость
р от т или т от р, что для нас удобнее, когда мы будем сравнивать
эти результаты с результатом точной теории; таким образом,
придем к соотношению
В случае iS = ^о, т. е. в случае истечения из трубы,
fc+l к-1
_V _ __J__/A; + l>^2(fe-i)
т"-
F4.39)
Последний результат мы сможем сравнить с результатом точной
теории, считая, что газ истекает из сосуда сечения Sq = S в
пустую трубу такого же диаметра. При истечении в пустое
пространство время истечения будет на несколько процентов (до 5%)
меньше, что для нас несущественно. Точная теория для этого случая,
как мы видели, приводит к соотношению
I
2а+1
2Г+3
2'' ±1 ((г-а)!а!J [ р ) • ^^^'^^^
Проведем конкретные сравнения соотношений F4.39) и F4.40)
для г = 2, /с = 7/5; тогда эти соотношения принимают
соответственно вид
1
" 216
F4.41)
F4.42)

550 РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. IX
Приведем результаты вычислений по этим формулам для случаев
PilIp = 1» 2, 5, 10, 50; следующая таблица дает эти результаты,
причем в первой строчке даны значения p^lp, во второй —
значение т для квазистационарной теории, в третьей — значение г
для точной теории.
pjp
'^прибл
тонн
1-
1
0
1
2
1
1,4
5
2,16
2,16
10
3,4
3,3
50
8
13,8
Как мы видим, при отношениях Рн/Р> близких к единице и весьма
больших, расхождение в определении т ползгчается
значительным; при 20 ^ p^Ip ^ 2 это расхождение уже невелико и не
имеет практического значения.
В случаях, когда Sq ]> S^ результаты теории
квазистационарного истечения с большой точностью приближаются к
результатам точной теории, поскольку становится больше отношение
полной массы газа, занимающей сосуд, к массе, истекающей за
единицу времени.
Если искать зависимость истекающей массы газа как функцию
времени, пользуясь точными и квазистационарными методами, то
легко убедиться, что и при малых перепадах давления (когда
Pulp > 1) разница между этими методами будет незначительна.
f^^ Отсюда можно сделать вывод, что в подавляющем большинстве
случаев при не очень больших перепадах давления
квазистационарные методы могут при определении времени истечения
привести нас к желаемому результату; однако до последнего времени
в этом еще не было полной уверенности, поскольку тарировка
квазистационарных методов точными методами газовой динамики
была сделана лишь в самое последнее время.

ГЛАВА X
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
§ 65. Некоторые неустановившиеся плоские
и гространственные течения газа
В настоящей гдаве мы рассмотрим некоторые типы
пространственных неустановившихся изэнтропических течений газа и,
в частности, неодномерных плоских течений. Мы начнем с
рассмотрения плоских течений. Затем рассмотрим движения,обладающие
симметрией; здесь мырассмотримзадачу о распространении
цилиндрических и сферических волн. После этого будет изложена теория
точечного взрыва, рассмотрены цилиндрические и сферические волны
в акустическом приближении и приближенные методы
интегрирования уравнений для цилиндрических и сферических волн. В
заключение рассмотрим задачу о разлете продуктов мгновенной и
реальной детонации в воздух.
Переходим к рассмотрению неодномерных плоских течений газа.
Основные уравнения этих течений имеют вид B.14), при этом члены
с градиентом давления взяты в одной из форм B.17); уравнение
неразрывности напишем в форме B.19) пригг; = 0:
да
дх
дх ' "^ ду ^ ду
Э In р , д In р ^^ ди , dv
дх
ди .
, ди . 9 5 In р
+ ^97 + ^^'^
dv , dv ,
dip
dt
• ^v. 1 йи 'Лу'Ли
дх
ду
ду
0.
0.
0.
F5.1)
Рассматривая потенциальные течения, когда
и =
дх
V = ¦
ду
гдвф =ф (t, X, у, z) — потенциальная функция течения,
дя из первых двух уравнений системы F5.1), придем к
ншо Бернулли
5ф- , q-
et +Х + ^' = 0-
F5.2)
и исхо-
уравне-
F5.3)
где
q = Yu'' +
Y-^-\c^.,.

552
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЙА
[ГЛ. X
Отсюда легко определить р = р (ф), что даст возможность
представить третье уравнение системы F5.1) в виде
д /аф
д /аф
dt\dr + ") + ^ i^ 1"^ +
'^^ + ^'^A + 4) = с^Аф.F5.4)
где в случае закона/? = Ар^ с'^ = {к — \)i = — {к — i) (-^ + Л-) •
Однако искать решение этого уравнения бесполезно, в виду его
сложности. Рассмотрим класс автомодельных движений, полагая
^1» -^
F5.5)
Подобные течения могут встретиться в различных задачах истече»
ния газа или при обтекании некоторых поверхностей. При этом
уравнения системы F5.1) принимают вид
ди
ди
; а In р
..x-("-^^) + ^("-^'') + ^-ir = ^'
dv
dv
— {U-^Z^)+ _(y-Z2) + C
ain p
dz<2,
0,
a In p / V , a In p / . . ди . dv r.
F5.6)
Полагая ф = Щ, запишем F5.3) в виде
Условия потенциальности течения F5.2) примут вид
Поэтому равенство F5.7) можно писать в виде
UZ^ + VZ^i
^+\+i.
Последнее уравнение системы F5.6) напишем в виде
di
di
ди
dv
ИЛИ, поскольку
di = d {uzi + vz<^ — (di|? -\-u du + i; dv)
и принимая во внимание F5.8), получим
di = du (zi — и) -^ dv {z^ — v).
F5.7)
F5.8)
F5.9)
F5.10)
F5.11)

65] НЕКОТОРЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА 553
Представим теперь F5.10) в виде
dzx
J
dzi
^"[(u-z,r-c^] + f^-|-)(u-.,)(.-z,) +
+ ^[{v-z,Y-cn=0 F5.12)
(при этом надо иметь в виду, что dv/dzi = dujdz^). Обратим
зависимые и независимые переменные, а именно, будем считать, что
Zi, z^ суть функции гг, v\ тогда F5.12) примет вид
dz>
а"
^[(u-z,r-c^]-(^+^^](u-.,)(.-z,) +
+ |^[(i;-z,r-c==]=0. F5.13)
Условия потенциальности F5.8) запишутся в виде
где ij5 = г|) {и, v). Уравнение F5.11) теперь перейдет в dt == dij? 1- ,
откуда
iJ^^=.^^ F5.15)
Таким образом, уравнение F5.13) сведется к уравнению
причем для закона р = Ар^
c^ = (ft-l)[^-4]-
Мы пришли к квазилинейному уравнению второго порядка
относительно функции i|). Напишем уравнения характеристик в
плоскости (гг, v) (в плоскости годографа) для данного уравнения:
dv _ —{и — Zi) (у —Z2)±C у (и — ZiJ +(У — Z^f — С^ ,gg lyv
du {v — Z'l)^ — c^ ' \ * )
При с = 0 характеристики переходят в уравнение траектории
или, для переменных z^, Zg,— в линии тока; уравнение этих линий
в плоскости (гг, v) имеет вид
dv и — z\
du V — ^2
F5.18)

554
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[ГЛ. X
Это уравнение легко получить из F5.11), полагая в нем
i = О, di = О,
Напишем обш;ее уравнение траекторий
dt
dx
и
F5.19)
В рассматриваемом случае F5.5)
и
откуда следует, что
Z2dt -{-1 dz
dzi
dz2
Уравнение
и — Zi V — 22
dzi dz2
=^ dint.
F5.20)
и — Zi V — 22 ^ ^
и является уравнением линии тока в плоскости (zi, z^ (это
уравнение не тождественно уравнению F5.18)).
Нахождение общего решения F5.16) невозможно, хотя это
уравнение проще уравнения F5.4). Попытаемся найти какое-либо
частное решение основной системы уравнений для автомодельных
движений.
Рассмотрим прежде всег.о пространственные автомодельные
течения газа, а затем, как частный случай,— плоские. Пусть и, v\ и
с зависят от
X _ у Z
^1 - — , ^2 — ^ , -;, ^
F5.21)
Тогда в независимых переменных Zj, Zg, с придем к уравнениям:
/ \ ^ (^, 2:2) , / Ч ^^ I /
ч)
д B2, и)
д (с, 2з)
^2 d (In р) ^22 ^ Q
dc dz\ '
{и - Zi)
д B1, с)
dv
+ {^ — 4)j^+{^ — Ч)
д B2, V)
+
д (с, 2з)
"^ ^ dc ~ ^'
f у. д (w, Z2) , / . dw . . V Э B2, w)
д Bi, с
д (с, гз)
___ ^2 ^ (^П Р) ?fi _ П
^ dc dzz ~ ^'
(^ - ^l) ё + ("^"" ^2) - (^ - %) ё +
"^ с? (In р) L ^ B1. с) "^ дс "^ а (с, 28) J ~" J
F5.22)

§ 65] НЕКОТОРЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
Пусть и = и (с), и = V (с), W =w (с); полагая, что
^2 = 2i/i (с) + 2з/з (с) + и (с),
придем к системе уравнений:
F+h
du
rf Inp
dv f dw ^
555
F5.23)
F5.24)
где F = ufi -\~wfs + /2 "~ ^- После несложных преобразований
легко прийти к уравнениям:
Vi + fl+fl
dv =
dw
^3
'сЧЫр
Vi+fl + fl'
fzcd In p
/1 + /? + /з' '
h==v- {uh+ wU) dz с f 1 + /? + tl
F5.25)
F5.26)
F5.27)
F5.28)
Из уравнений F5.25), F5.26), F5.27) можно получить
соотношение
{duY + {dvf + {dwY = {cd In pJ, F5.29)
которое является соотношением вдоль характеристик и в данном
случае выполняется во всей области найденного решения; это
решение можно назвать особым.
Итак, мы пришли к решению с двумя произвольными
функциями Д (с), /з (с), задавая на двух каких-либо поверхностях условия:
Ч ~ ^2 (^1» ^з)> и = й (с), V = V (с), W = W (с). F5.30)
Можно определить эти функции. Если Д ^ О, то
У = ^fiic) +2/3 (с),
F5.31)
и мы придем к обобп1,енному решению Буземана для
стационарного обтекания линейчатых или конических поверхностей.
Следовательно, нестационарные течения при Д ^ О не существуют.
Если рассматривать плоские течения, то необходимо положить
/з (с) ^ 0; тогда
/2 = v-^uU±cVl +Л. F5.32)

556 ЙРОСТРАНСТВЕНЙЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
Задавая на какой-либо линии условия:
^2 = ^2 (zi), и = й (с), V = V (с), F5.33)
мы легко определим произвольную функцию
^ ^ ^ (ii - йJ - с2 • V • ;
Рассмотрим важный частный случай, когда
тогда
откуда
Zi — U ± с = 0;
Z2 - У = ± c/i + c/l + л,
/1 ^''/ г~;= =%— '
2с (га — V)
[с' - (гг - У^)] (zi - и) ± с [с' + (г» -
-"»>)']
F5.35)
F5.36)
F5.37)
F5.38)
V =
2с B2 — г?)
Далее, определяем при условиях с = а^; к = «g» ^ — ^з
^^+^^-(?-!)%dlnp, ^ = + CJi(?lzi,dinp. F5.39)
— J с2 + B2 - г;J ^ ^ ,^2 + B2 - г;)*^
Уравнения F5.38) и F5.39) дают решение указанного частного
случая.
Если /2 ^ О, то мы придем к обобщенному решению Прандт-
ля — Майера для обтекания какого-либо профиля или угла
стационарным потоком газа. Следовательно, нестационарные
течения при /з ^ О не существуют.
Можно легко найти обобщения указанных решений
(пространственных и плоских), если принять, что
и = ^«-ig, V = ^^-Ч), W = ^^-^е, с = t^'^'^w, F5.40)
где ?, т), 6, со зависят от z^, Zg, Zg, даваемых равенствами F5.21).
Указанные решения могут иметь приложение, в частности, при
изучении процесса разлета продуктов детонации фигурных
зарядов.

§ 65] НЕКОТОРЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА 557
Рассмотрим еще один случай точного решения уравнений,
описывающих пространственные изэнтропические
неустановившиеся движения газа).* Основную систему уравнений возьмем в
виде B.13), а уравнение неразрывности в виде B.19).
Перейдем к независимым переменным {t; х; у\ р) и положим,
что
и = и (р); V = V (р); w = w (р);
тогда система основных уравнений примет вид
'^ dp ' о дх ' '^ dp ' о ди '
/ -7 я ^7 л ^ F5.40')
i^ dp ^ '¦' ^^-dlnp dx^ d\Ti9 dy dlnp 'I
z = tfo (P) + xh ip) + yh ip) + /з (P), F5.42)
тогда Ф = fo + ufi -j- vf2 — w 11 система F5.41) примет вид
рФ1^ + /1 = о. рф-^ + Л = о,
оф i!fL _ 1 = о Ф + А -^ + /, — ^^ = О
F5.43)
Отсюда следует, что
и
ф = с /l + /i + /I а также
f !+/? + /!
F5.44)
При /о = 0 движение газа будет стационарным. При /з = О
движение будет автомодельным в обычном смысле. Если j/ = О
(v = 0), то при /о = О будем иметь обобщенное течение Прандтля—
Майера; когда z = xfi (р) + /s (р), при /з = О получаем обычное
течение Прандтля — Майера.
*) Этот вид течений был найден Г. С. Голицыным.

558
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕЙИЯ ГАЗА
trji. X
§ 66. Начальная стадия двумерного
неустановившегося течения газа
Рассмотрим задачу о плоском неустановившемся истечении
сжатого газа из трубы (рис. 72). Газ будем считать подчиняющимся
уравнению политропы р = const р".
Пусть в момент времени t ~ О убирается стенка и газ начинает
истекать вправо. Очевидно, что течение газа будет изэнтропиче-
ским и нестационарным. При этом по газу справа налево пойдет
волна разрежения, фронт которой будет параллелен оси у.
Скорость фронта равна —Сн, где Сн — скорость звука в невозмущенном
газе. В момент времени t = Ijc^ эта волна дойдет до левой стенки
-^
ОНлиишь нетзму-
щеиного2азп ^
к^-г
Рис. 72.
трубы, где I — длина трубы. В случае истечения газа в плоскую
трубу движение его описывается уравнениями одномерного
неустановившегося движения газа. Однако в нашем случае будет
иметь место расширение газа в стороны. Расширение вначале бу-
деть происходить в двух боковых волнах разрежения.
Определим изменение положения фронтов этих волн во
времени. Очевидно, что эти фронты боковых волн разрежения будут
являться характеристиками уравнений газовой динамики: первых
двух уравнений B.14) и уравнения B.20) при гг; = 0.

§ 66] НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ ДВУМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА 559
Уравнение характеристик / (х, у, t) = О при этом, как
известно, имеет Вид
Так как в нашем случае фронт боковой волны разрежения будет
примыкать к области одномерного движения, где составляющая
скорости вдоль оси у V = О, то уравнение характеристик примет
вид
+»§-/Ш'+(«гГ- с^-^^
Вследствие неразрывности параметров потока при прохождении
волны разрежения значения и и с на фронтах боковых волн
разрежения должны быть равны значениям гг и с в одномерном
неустановившемся римановском потоке, для которого
X
u — c=^Y^ и= YITiic^ — c). F6.3)
Поскольку движение в начальной волне разрежения автомодель-
но и зависит от одной независимой переменной ti = x/t, то в нашем
случае, поскольку в определении параметров потока в боковой
волне разрежения не участвуют боковые размеры трубы, то
параметры этой волны будут зависеть от двух независимых
переменных: Zi = x/t; ^2 = y/t.
Уравнения B.14) и B.20) в этих переменных примут вид
dv . \ , ^^ / . , 2с дс ^
5ir("- ^i) + ^(^ - ^^) + Т^гг ЖГ = °'
дс . ч , 5<^ / . , к — 1 f ди , dv \ f^
? F6.4)
Движения газа, описываемые уравнениями F6.4), будут
автомодельными. Уравнение F6.2) теперь примет вид
и после преобразований, поскольку

560 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
его можно будет переписать в виде
dzl z\-^c^ z\ ^ ^ (fe + i)^2
^ + с =- ^ 4-
Решение полученного уравнения при условии Zqi = О, 2^2 =0
примет вид
?с-1 (А;-1J г/ 2с^\ /с-1
3-?С
-1 ^'V C-^0(^ + 1)
2с' \~^=Г
з-?с
]. F6.7)
В случае к = Ъ решение F6.7) принимает вид
.2 1 /_ _ V,, «1
(Zi-c„Ln-^-^ F6.8)
при
с —— Z
или, для к = 3, при In -^^ = — 1/2,
zl = 0,39с?н; 4 == 0,30сн F6.10)
значение Zg == ^2 становится минимальным для верхней боковой
волны разрежения.
На основе анализа полученных данных картина
неустановившегося течения газа в рассматриваемом случае изображена на
рис. 72.
Неустановившееся течение газа в начальный момент можно
себе представить следующим образом: в центральной зоне идет
так называемая римановская волна, основные зависимости между
параметрами которой известны из теории одномерного
неустановившегося потока; снизу и сверху расположены боковые волны
разрежения.
Полученные решения справедливы до момента времени t^, в
который обе боковые волны разрежения сойдутся в точке, где
z^ = Z2 = 22min (для верхней волны), при этом Z2 = —а/2^1, где
а — боковые размеры трубы. Момент слияния этих двух
фронтов боковых волн разрежения соответствует моменту времени, при

§ 66] НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ ДВУМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА 561
котором одновременно выполняются условия:
z = —- = Za; Zi = Zi
2ti "'' -1--1- Л-1 L 2A:
t[<
откуда получаем
2o„ '^ ^ ^-^ '^-i
что определяет значение t^, и далее Zg i^ х* = Zit^. Аналогично
для к = 3
-;|-=(CH-z;)j/iln^-^ =0,30с„. F6.12)
После встречи этих волн разрежения между ними, симметрично
оси X при у = —а/2, возникает новая cpe(9i/?i7ia^ волна разрежения,
которую можно описать общим решением. Это решение не будет
автомодельным. Приближенно его можно искать, полагая, что
параметры этой волны не зависят от г/, а зависят только от х ж t.
Найдем теперь внешние характеристики или внешние границы
расширяющегося газа. Для этой цели преобразуем систему
уравнения F6.5), введя потенциал скоростей, поскольку изэнтропиче-
ское движение газа всегда потенциально*). При этом
где ф* -— обычный потенциал;
uzj^ + ^^2 == Ф + -YZTi + "^ f ' F6.13)
что является уравнением Бернулли для рассматриваемого класса
течений. Здесь с^1{к — \) = i — теплосодержание.
Обращая зависимые и независимые переменные, после обычных
преобразований, используя уравнение неразрывности, придем
к уравнению
F6.14)
причем Zi = д\1ди; z^ — d%ldv, где | — новая потенциальная
функция, так что
i + l^±Jt = I. F6.15)
*) Для полноты изложения мы повторяем некоторые вычисления § 65.

562 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
Окончательно можно получить одно уравнение второго порядка
являющееся обобщением уравнения Чаплыгина для данного класса
течений газа [см. F5.16)]:
где с^ = (к — 1) [г|) — (и^ + v^)/2]. Вблизи начала координат
(вблизи точки Zi = 0; Zo = 0), поскольку дур/ди ->0; dy^/dv -->0
это уравнение переходит в обычное уравнение Чаплыгина [21,
при этом с^ =^ (к — 1) [ypQ — {и^ ~ г^)/2], где -ф^ ^ const. По-
2с
скольку при X = 0\ щ == с^ =: ". , то, взяв систему отсчета,
в которой газ в сечении х ^ Q покоится, мы вправе использовать
решение Прандтля — Майера для исследования бокового
истечения [31 вблизи точки X ^ 0\ у ~ О, Все уравнения, описывающие
движения газа, и уравнения неразрывности при этом остаются
прежними, если положить, что х -^х — Uj^t, и -^и — и^,
Z -^z — Uf^, в этой системе отсчета внешняя линия, на которой
с = О, будет окружностью радиуса z* — 1<2,_^л » ее уравнение будет
/c + l
+^^=(^Г- F6-1'^)
Решение Прандтля — Майера для левой крайней характеристики,
на которой с = О, дает значения угла разлета
где 4с F^-1^)
Отсюда легко найти и и г;*. Поскольку уравнение характеристики
при с — О есть
-j— = или Z<i^ — V = —^{Zл—Щ,
V*
ТО при и = и ; V = v ; z = -nr%, что определяет уравнение
прямолинейной границы разлета газа. Полное решение для
боковой волны нужно искать с помощью уравнения F6.16), что,
однако, является трудной задачей, которая может быть решена
лишь приближенно.

§ 67) ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ Й ДЁТ0ЙАЦЙ0ЙНЬ1Е ВОЛНЫ 563
в заключение интересно отметить, что только при ^ -^ оо
правая часть газа подчиняется римановскому решению и будет
поглощена последующими волнами; при конечных временах,
прошедших после начала разлета, эта часть будет существовать.
§ 67. Цилиндрические и сферические
детонационные волны *)
При изучении неустановившихся пространственных движений
среды наибольший интерес и практический смысл представляют
движения, обладающие симметрией. В классе задач, относящихся
к этому типу движений, наиболее важными являются задачи о
распространении цилиндрических и сферических волн, которые в
природе встречаются весьма часто. Наиболее простыми вопросами
в этой области газовой динамики являются задачи об
автомодельном движении среды.
Изучение автомодельных движений, как мы увидим, позволит
подойти к исследованию произвольных, неавтомодельных волн.
Сначала рассмотрим две задачи, относящиеся к изэнтропическим
автомодельным движениям газа.
Система основных уравнений, описывающих одномерные
сферические, цилиндрические или плоские волны, при постоянной
энтропии, как мы знаем (§ 2), имеет вид B.25). Напишем два первые
из этих уравнений, выражая член A/р) dpidr первого из них
в форме B.18), а уравнение неразрывности — в виде B.20); при этом
в уравнении B.20) полагаем х = г\ v = w = О
ди . ди . 2 до л \
dt ' дг ' k-^i дг
дс , дс . к — i / ди , Nuc \ л I V • /
здесь N ~ 2 для сферических волн, N = I для цилиндрических
волн и 7V = О для плоских волн.
Система уравнений (9.10), описывающих автомодельные
движения, имеет вид
din у ^
d\nz («1- *)-rf7^-(*-!)
dx [N(k—i) + k + i]x — 2
A^^-'^l^il F7.2)
, |^li?l__il±f? + ^ (Л^ ^ 1)J _ ^ A _ ^) („J _ ^)'
*) Впервые переменное z = r/t ввел 0. E. Власов в 1937 г., задачу о
сферической детонационной волне решил Я. Б. Зельдович в 1940 г. [9].

564 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
где, в соответствии с (9.4) и (9.6), имеем
х = и-^, у^с^-^, z^^rt-^K F7.3)
Поскольку энтропия S ^ р/р^ за фронтом детонационной волны
должна быть постоянна, то р ^ c^/^-i. Плотность определяется выра-
1 2
жением р = I (z) ^°% поэтому 1^^^ ^— [у^^] ^~^t ^"^ * • Энтропия
S ^ p/Pfe ~ yZ^l -<^-Щ^ (ai-l)-(^-l) a,^Q B) ta,^ ОТКуда «3 = 2 {й^— 1) —
— (А: — 1) ttg. При5'=соп81мыимеемаз = О, 2(^1—1) = (А: — 1) «g.
Так как на фронте детонационной волны плотность должна
быть постоянна, то «2 = 0; отсюда следует, что ai = 1, т. е.
независимая переменная z = r/t, а отсюда также следует,
поскольку на фронте детонационной волны имеем
D = -^=-^=2 = Zh^ F7.4)
что детонационная волна будет распространяться с постоянной
скоростью. Напротив, полагая, что устойчивая детонационная
волна распространяется с постоянной скоростью, и исходя из
условий C9.9—39.11), которые имеют место для фронта
детонационной волны:
Рн — Ра - Х+Т V ^ "^ Т'') ' ^« ~ А; + 1 \^ "" ZJ ; '
Vn — v„
2vq
fe + 1
F7.5)
мы придем к выводу, что давление, плотность и скорость за
фронтом детонационной волны постоянны и что энтропия за фронтом
детонационной волны везде постоянна, так как ее возрастание
на фронте везде одинаково. Очевидно, что поскольку движение
начинается при г = О и начальные условия зависят только от
величин, имеющих размерность скорости, то давление должно
зависеть от z == rit.
Итак, для описания детонационной волны мы придем к такой
системе уравнений:
dx [N(k—i)+k + i]x — 2 x[(N-{-\)y — {X-'xY] • V • ;
Условия на фронте сильной детонационной волны будут иметь вид
. _ poD^ _ D _ k + i ^ ^
или 7 I к \г F7-^)
^Н — их л » у
/c + l » ^« \А; + 1
и = (

§ 67]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
565
в случае N = О приходим к тривиальному особому решению;
в самом деле, приравнивая числитель и знаменатель правой дроби
нулю, получим A — хУ — у = О и, учитывая, что х = ut/r,
у = cH'^lr^^ будем иметь: xlt = и -\- с. Определяя z, находим
/c + l
и -\- const = —^ ^ + -
В случаях N = 2 11 N = \ задача решается численно; необходимо
проинтегрировать уравнения F7.6) при условиях
— 1 _ (_li_Y ^н _
/с + 1
Результаты вычислений для сферической и цилиндрической волн
при к = 3 даны на рис. 73, 74, 75.
ссрерическая Волна
АС
jy
.^^
h Он=Р
j"H=f
/l
x=Di
Рис. 73.
f
гМ
сферическая баяна
I
х-т
Рис. 74.
Анализ решения показывает, что в точке ;Гн, у^ имеем dz/dx = 0.
Отсюда следует, что в этой точке du/dz = оо и dc/dz = оо.
При и = О имеем х = О, у = i, поэтому с = z = z. Покажем,
что в этой точке du/dz = 0; dc/dz = 0. В самом деле, прежде
всего имеем dz = dr/dt; dx = (t/r) {du — и dr/r) = du t/r (при
и = 0); так как при t = const = ^о ^У = 2^^ {cdc — с^ dr/r)/r^,
то из F7.6) получаем 1 = 1 — {г/с) dc/dr, откуда dc/dr = О или
dc/dz = 0. Далее из F7.6) сразу же следует, что при х = Q у ==^ \
и du/dr = 0.
В области О ^ Z ^ 2 имеем гг = О, с = 2. Линия х = zt
является линией слабого разрыва для вторых производных. В точке,
где и ~ О, с имеет значение несколько меньшее, чем D/2, В случае
к = i имеем
сЛп2 _ d\\iy A — xY—y
dx
2dx
x[(N + i)y-{i-^x)^]
F7.8)

566
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ i АЗА
[ГЛ. X
Первое уравнение дает тривиальный результат z у У — const,
откуда
D
Далее,
с-с^-~ .
Плотность определяется уравнением
eld In р = (z — и) du.
Характерной особенностью сферических и цилиндрических
детонационных волн является быстрое падение давления за
фронтом волны. На фронте детонации давление имеет ту же величину,
F7.9)
F7.10)
F7.11)
^kc
цилиндрическая 8олна
Рис. 75.
что и в плоской волне; в центре для сферической и цилиндрической
волн давление несколько меньше, чем в случае плоской волны.
Уравнения, описывающие распространение сферической или
цилиндрической детонационной волны, позволяют решить одну
интересную задачу. Пусть из начала координат в момент времени
^ = О (момент начала детонации) начинает расширяться с
постоянной скоростью Wq сферический или цилиндрический поршень.
При этом перед поршнем возникает ударная волна. Очевидно, что
движение газа в области между поршнем и движуш,ейся перед ним
ударной волной будет автомодельным, причем z — rlt\ параметр ai
должен обязательно быть равным единице вследствие того, что
скорость газа у поршня постоянна и равна скорости поршня Wq.
Можно изучать волны любой амплитуды, но мы для простоты
рассмотрим случай сильной волны. На фронте волны
D z=z const; Uii — ,. , ^ D
z = z^
Ph
A; + l
У
F7.12)

§ 67] ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
Отсюда на фронте
Хи
/c + l
Уп =
(/с+ 1J
567
F7.13)
На поршне z = и^ = xz, откуда х = 1. Для определения
параметров движения в области 2/{к + 1) << а: ^ 1 решаем уравнение
F7.6) и находим сначала ф1 (х, г/, bj) = О, учитывая, что линия
(раектэрии часптц
Рис. 76.
Рпс. 77.
проходит через точку х^, у^. Далее, находим z ¦= щ^ (х, г/, Ъ^^
учитывая, что линия проходит через точку z ^=^ и^, х — \, Затем
легко определяются иже (или р) как функции z. На рис. 76 дан
пример распределения скоростей и давлений вдоль оси г. На рис. 77
изображены траектории ^ частиц.
Решения для сферического (iV = 2) и цилиндрического (N =
= 1) поршней совершенно аналогичны. Поскольку мы не можем
найти аналитического решения уравнений F7.6) при данных
граничных условиях, задача должна решаться обычными численными
методами. Данная задача может быть полезна при изучении
нестационарного обтекания некоторых осесимметричных поверхностей.
Анализируя результаты вычислений для цилиндрических и
сферических волн, можно прийти к выводу, что всюду в волне
величина и — 2с/{к — 1) = р остается приблизительно
постоянной, причем на фронте детонационной волны эта величина равна
—D/{k — 1); при г/ = О |3 == ^ — D/(k — 1); для плоской волны,
как мы знаем, величина р = —Dl(k — 1) = р^ = const всюду
в волне. Подобные волны по аналогии с плоскими будем называть
простыми волнами.
\ Попробуем теперь найти приближенное аналитическое
выражение, описывающее детонационную волну. Для этой цели
напишем исходную систему уравнений в виде
да . fk + i^ , 3 —ЛоХ act , д. fe —1а2 —р2 ^
dt
д^
dt
+(
Ъ-к , А: + 1о
ар
дг
+ 1^
2 4г
k — l^i — gi
2 4г
= 0.
F7.14)

568
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[ГЛ. X
Положим теперь, что р = Ро = const = —Dl{k — 1); тогда общее
решение первого уравнения этой системы будет иметь вид
* .d'"
f IPo j
+ *Ki+')"(i-rn- <«'•«'
где
'(i) = (i+')""(lr-'
(fc-DN
4-1
Интеграл берется при к = {2r -{- 3)/Br + 1)^ где г = О, 1, 2, 3, ...
Произвольная функция может быть легко определена, исходя из
условий:
при г = Z)^ 0^= j^^^jD = а^. F7.16)
Отсюда следует, что
2 4
, ^(fc-l)iV
¦-T^I.(i-v')''""'(l-'r''^"'4i
причем
5
где
В
-te+•)"(*-')""""•
В качестве примера проведем до конца вычисления для продуктов
детонации конденсированных взрывчатых веществ (/с = 3). При
этом решение будет иметь вид
что для волны дает
т
Ф
•l]], F7.17)
ро
F7.i&)

§ 67]
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
569
Рассмотрим теперь другое приближение, которое позволит
также в случае А: = 3 получить решения в ево^е более простом виде.
Полагая снова, что везде в волне и — 2с/(/с — 1) = р^ = const,
мы, исходя из основной системы уравнений F7.1), будем иметь
ж + (Р«-г
dt
l^J дг
^^ I fn . k + i \ дс ^
+
Nc
А:-1
А:—1
дг
Ро + ^] - 0.
F7.19)
Первое уравнение соответствует одномерному движению. Решая
второе уравнение, придем к выражению
Л^^
= Ф
2 1
Л-1 N
А: —1
.)"]
).n/-i
с + ^Ро
dc
2 1
к-1 N
+1 / k — i \N
+ 1
F7.20)
В рассматриваемом случае для детонационной волны произвольная
функция вырождается в константу, которая определяется как
Ф = const
Л^
D
^i^-^^^+'-i-'
+
dc
с 2 1 J ,
к —I
— Ро)
..-ir + i
Здесь с„ = kD/{k + !)• В случае к = 3 имеем
J» do
/m + /
[o + MJ
Отсюда следует окончательное решение задачи:
4^ = l+2f^-l/3[EL)'-l].
F7.21)
Легко убедиться в том, что оба приближенных выражения,
описывающих детонационную волну F7.15) и F7.20), при и = О
определяют закон движения слабого разрыва как х =^ Dtl2, при
этом с = DI2.

570 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
Второе приближение является несколько менее точным, чем
первое, поскольку в первом приближении мы лишь полагаем, что
Р = Ро = const, а во втором, помимо этого, полагаем, что duldc =
= 21{к - 1).
Знание хотя и приближенных, но простых аналитических
решений полезно при изучении детонации сравнительно
небольших зарядов и, особенно, при изучении характера разлета их
поверхностного слоя, который при этом лишь частично участвует
в реакции горения.
Указанные два вида приближений могут быть с успехом
использованы в задаче о поршне, а также при решении ряда задач, опи-
сываюш,их и неавтомодельные решения, в которых приходится
иметь дело с волной, бегуньей в одном направлении. Для волны,
бегущей слева направо, необходимо полагать, что и — 2с/{к — 1) =
= ро = const, а для волны, бегущей справа налево, и + 2.с/{к —
— 1) = ао = const.
Можно было бы также рассмотреть задачу о цилиндрическом
или сферическом распространении фронта пламени. Эта задача
решается столь же элементарно, как и задача о детонационной
волне, однако она не имеет большого практического значения, и мы
на ней здесь останавливаться не будем. Заметим только, что
условия на границах (на фронте ударной волны и на фронте пламени)
будут теми же, что и в одномерном случае. Фронт пламени,
распространяясь от центра, будет образовывать впереди себя ударную
волну. Область между этими фронтами является областью
неустановившегося движения несгоревшего газа. За фронтом пламени
будет или просто область покоя, или область покоя,
сопрягающаяся с областью простой волны, распространяющейся за фронтом
пламени.
Решение соответствующих уравнений, в которых полагается
Z = rlt, не представляет труда.
В заключение остановимся еще на двух задачах,
рассмотренных Л. И. Седовым [25] и представляющих интерес.
Пусть в некоторый начальный момент времени все частицы
какого-либо газа, заполняющие пространство, имеют одинаковую
скорость, направленную от центра. В этом случае движение будет
автомодельным, причем от центра будет распространяться
сферическая поверхность слабого разрыва со скоростью
¦^ = («0+0, F7.22)
где Uq — скорость разлета частиц, с — скорость звука на
поверхности слабого разрыва (эта скорость переменна). Внутри области,
ограниченной слабым разрывом, газ будет находиться в покое.
Плотность газа в этой области будет уменьшаться с увеличением
скорости и при достижении скоростью некоторой величины и^^

§ [68 РАЗЛЕТ ГАЗОВОГО ШАРА В ПУСТОТУ 571
станет равной нулю. Вне области покоя плотность и давление газа
будут уменьшаться с течением времени и с расстоянием.
Аналогичную задачу можно рассмотреть, считая, что газ
движется с постоянной скоростью -\-Uq к центру симметрии. В этом
случае при соударении газа в центре симметрии возникает ударная
волна, распространяющаяся от центра симметрии с такой
скоростью, что сзади нее остается область покоя. Вторая задача, как
мы увидим далее, имеет важное приложение.
§ 68. Разлет газового шара в пустоту
Весьма большой интерес и значение, в частности
астрофизическое и космогоническое, имеет решение задачи о разлете
газового шара в пустоту. Задача может быть поставлена следующим
образом. Имеется сферический объем газа, внутри которого
вследствие быстрого выделения энергии внезапно повышается давление,
распределяясь равномерно во всем объеме, причем газ в этом
объеме остается в покое. В некоторый момент начинается разлет.
Требуется определить возникающее движение газа вне указанного
объема — в пустоте.
Очевидно, истечение начнется с периферии сферы; в глубь
ее пойдет волна разрежения со скоростью, равной местной
скорости звука. Через некоторый промежуток времени фронт волны
разрежения достигнет центра сферы, после чего из центра сферы
начнет распространяться новая отраженная волна.
Р Аналогично ставится и задача о разлете цилиндрического
объема газа.
Аналитическое решение задачи, по-видимому, невозможно даже
для первой бегущей к центру волны. Мы воспользуемся
приближенными решениями, используя для этой цели сначала уравнения
F7.14) и полагая, что для бегущей волны имеет место соотношение
2
а = w + к_л с = ао = const;
тогда общее решение второго уравнения F7.14) можно будет
написать в виде
2 4^3
ОТ""
^- iV(A:-l)ao\ao "^ / \.ао ^) \(-^]
+
где

572 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
Произвольная функция определится из следующего условия:
при ^ = О г = Го, F8.2)
где Го — радиус шара.
В качестве примера приведем решение задачи, полагая к = 3.
В этом случае оно имеет вид (ао = Сн)
t =
2с„
(t-')'"b+4
+ Ф
^'4-'
)]¦ F8.3)
Произвольная функция при указанном начальном условии равна
0=-^[W-i)lnjf^ + 2t], гдех=|/^(|-1)+1.
После некоторых преобразований мы сможем написать
окончательно решение для простой бегущей волны в виде
t =
г Р , 1 Го
t + TT(x^-i)b
--0^ +
Z.^1 ^н^^
+ |(Х^-1Iп-|^
F8.4)
где X имеет то же значение, что и в предыдущей^формуле. Заметим,
что на границе истекающего газа при г = Tq + Cj^^t мы будем иметь
с = О, и = Сл, ^ = Сн; на фронте волны разрежения при г = Vq —
— c^t будем иметь гг = О, с = Сд, р = —^н» 'ito служит контролем
физической правомерности сделанного приближения.
Рассмотрим теперь несколько менее точное приближение,
используя для этой цели уравнения F7.1) и полагая снова а ==
2 2
= 1г + . с = yzTT ^н = ^0 = const. В этом случае мы
отбрасываем первое уравнение и интегрируем второе, которое
принимает вид
дс , ( k + i \дс , Nc Vk-'i I г.
F8.5)

§ 68] РАЗЛЕТ ГАЗОВОГО ШАРА В ПУСТОТУ 573
Его обш,ее решение мы напишем следующим образом:
2
г\с
(k-l)N N fk — i
-oto
в случае к = 3 и N = 2 решение упростится и примет вид
t=. -^!^111^г + Ф1г'с(с^-сI F8.7)
4
Произвольная функция при указанном выше начальном условии
может быть определена так:
Отсюда после некоторых преобразований напишем решение
поставленной задачи в следуюп1;ем весьма простом виде:
1-1 — -^^^
Го Го
4 — -^
Го Го
F8.8)
г cJY
-^ + -5- _1
л = 1 _ J_ = \11 :i-L . F8.9)
_ ^
То Го
При г = Vq + c^t имеем с = О, w = Сц, при г =^ г^ — ChI^ получаем
е =z с^, и — 0. Если графически изобразить закон распределения
и — и {г), с = с (г) при заданном t, то мы получим следуюш,ую
картину (рис. 78). Внутри волны величина а будет несколько
меньше чем 2с J {к — 1), и, в частности, при /с = 3 — меньше чем
Сн; полагая, что в волне
а=-^^-:^сн{1-е
/г ^ ^
2 ?. Cli"
Го ; к-\
3 —
5f(i-')-^J). (^-W)

574
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[ГЛ. X
где 9 ^^ const, мы сможем улучшить написанное выше решение,
поскольку задача сведется к решению одного линейного
дифференциального уравнения в частных производных первого порядка.
Как мы уже говорили,
через некоторое время, а
именно при ti = Tq/Ch, фронт
волны разрежения дойдет до
центра сферы, после чего
возникнет новая волна.
Постараемся также приближенно
найти^ее аналитическое
выражение. Для этой цели
прежде всего рассмотрим
задачу при достаточно
большом времени, протекшем
с начала процесса (при t = об). При этом газ, неограниченно
расширяясь, займет весьма большой сферический объем в пределе,
стремящемся к бесконечности, и давление газа будет стремиться
к нулю.
Рассмотрим систему уравнений газовой динамики B.25) при
if -> ос, р -^0:
ди , ди
Рис. 78.
_ + ^_=0;
до , до , ди . Nup
F8.11)
0.
Поскольку уравнение неразрывности можно написать в виде
F8.12)
4-(г'^р) + «^(г^р) + рг^^=0.
а уравнение движения дает очевидный интеграл
г
F8.13)
что и свидетельствует об инерциальности движения, мы будем
иметь следующее выражение, определяющее плотность газа:
ш
г^*
F8.14)
Определим вид произвольной функции F (r/t); по аналогии
с одномерным движением в трубе можно предположить, что эта
функция имеет вид

§ 68] РАЗЛЕТ ГАЗОВОГО ШАРА В ПУСТОТУ 575
причем
»Т'  » Т^---' 2(/с-1) "'^'
а = О, 1, 2, ..., оо. Константу А можно определить, исходя из
закона сохранения массы:
2
м,
= 2N.lr'',<lr = 2N.A 5 [(^c.)--S-]"-^
О
о
(при iV = 1, 2). Произведя интегрирование, мы придем к
выражению
. _Мо^ Bа+ 1)!
откуда
_ Л/о Bа) I
1 —
2Л^яг^^ 22^(а!J L \ 2 / с^г
2/2
F8.16)
Закон сохранения энергии при этом тождественно удовлетворяется;
в самом деле,
?•„ = 15 иЧМ = Nn^^r^pdr =
О о
2
Сд
Заметим, что отношение потенциальной энергии к кинетической
энергии при г -^ оо стремится к нулю, поскольку при t -^ оо
отношение плотностей энергии 2р1{к — i)pu^ ^ р^~^У71^ стремится
к нулю, а в любом конечном объеме полная энергия равна нулю.
При цилиндрическом или сферическом разлете газа полное
количество движения можно определить в пределе при t ->¦ оо
как сумму количеств двияления отдельных частиц или объемов
газа; при этом следует помнить, что центр массы газа остается
неподвижным, поскольку при разлете газа действуют лишь
внутренние силы.

576 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
Величина полного количества движения газа определяется
интегралом *)
А/о г
= 2/УяЛ \ 4-(т^^н-^и^ —! ^/ F8.18)
И в точности соответствует количеству движения при разлете газа
в трубе.
Окончательное выражение для количества движения мы
напишем, как и прежде, в виде
М„.„ Bа +1)! B« + 1) _ г Bа +1)!
^' - 2^«+1а! (а +1) '^ ^^«^» ^^^ + ^^ 2^«««!(« + 1) *
F8.19)
Исходя из вида предельного выражения F8.14) для плотности,
можно считать, что при не очень больших значениях t плотность
можно аппроксимировать формулой
Р = fjj' , F8.20)
где а = const, а F (r/t) — произвольная функция, которая
должна стремиться к выражению А [{2с^ /к — 1)^ — r^/t^^, когда
^ -> оо. Тогда указанная аппроксимация при t -^ оо
действительно приводит к предельному соотношению F8.16), а при
конечных значениях t около центра приводит к выражению
с F I—
" - "" ^^' 6.21)
^0
При t = rjc^, г = О мы получаем, что р = Рн = ^н^ @)/аг ^\
что определяет константу а. Скорость может быть
аппроксимирована выражением
U = гф (О, F8.22)
*) Этот интеграл не выражает количества движения рассматриваемой
системы частиц газа (количество движения системы равно нулю). Он выражает
сумму абсолютных величин количеств движения частиц. Эта величина не
рассматривается в механике твердого тела.

§ С8]
РАЗЛЕТ ГАЗОВОГО ШАРА В ПУСТОТУ
577
причем на основании F8.13) ф (t) должна стремиться к i/t при
^ -> оо. Данное соотношение полностью решает поставленную
задачу о разлете газа при Л^ = 1 и iV = 2.
Следует обратить внимание на то, что в центральных областях
плотность и давление газа всегда более высоки в отраженной
волне, чем на периферии.
При решении некоторых задач можно пользоваться
значительно более простыми, хотя и менее точными выражениями,
определяющими плотность и скорость в отраженной волне. Предположим,
что во всей области отраженной волны плотность не зависит от г
и является функцией только времени, а скорость по-прежнему
является линейной функцией г. Тогда для сравнительно больших
моментов времени, протекших с начала процесса разлета газа, мы
на основании решения F8.14) можем прийти к следующему
соотношению:
Ф
Р==
д+лг
АМо
^-(^v)T-
F8.23)
Константы А и ^ могут быть определены из закона сохранения
массы и энергии:
2nNMoA
k—l
^N
k-i r
2 c^t
4^
Mo
0
NnMoA
2
.iV+2
II 0
,N+2
k-i r \^f , r
2 c^
Ш
Отсюда имеем:
для N=i p = 2/^+1, 4 = (A=lifA(i±lI;
B3 + 3I
ДЛЯ iV = 2 р-ЗЙ! + 2, 4 =
PI(P + 1)!2*P+1 \ 2 / 4я
A: — 1 \3 1
В случае нецелых значений р в последнем выражении придем
к гамма-функциям от р (Г (р)). Напишем выражение

578 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
После некоторых вычислений будем иметь:
для N = i при целых значениях к
для N = 2 при целых значениях к
о - 3.26^^+1) (ЗА; + 2I (к +1) (З/с + 4) '
или, окончательно, вставляя значение Сц из F8.17), получим
/о ^ V2M,E,B/с + 3)^^^"" ^^^;+?gP ^' + '^^^ 1 («8.26)
F8.25)
D/с + 5I
(при N = 1)
и
/o-/2M.g.Bfc + 3)... . ..... . (^'+.^1^.. .....ЛF8.27)
-' Y2MoEo {2k + 3) 3 (^ ^ ^j ^3^t + 4) (З/с + 2)! C (к + 1))! 2^^^-^^>
(при N= 2).
В случае нецелых значений к величинь! Iq будут выражаться
через Г (к), однако поскольку величина Iq мало зависит от /с,
то нет необходимости прибегать к гамма-функциям. Удовлетворяя
при аппроксимации F8.23) законам сохранения массы и энергии,
мы не вполне точно удовлетворяем закону сохранения количества
движения. Однако погрешность для обычных показателей изэнтро-
пы невелика и при /с = 1 составляет всего +10% (максимальная
погрешность). Если в аппроксимацию плотности ввести третью
константу, тогда было бы возможно удовлетворить всем трем
законам сохранения, однако это не повысило бы фактической
точности результата, но привело бы к дополнительным осложнениям
решения задачи. Рассмотренная аппроксимация интересна тем,
что при N = О мы получаем точное решение.
^Определяя массу, количество движения и энергию в
отраженной волне, мы молчаливо допускали, что в области особой (первой)
волны эти величины равны нулю. Покажем, что это действительно
так; поскольку фронт отраженной волны движется по закону
dr/dt = 1г + с, а при ^ -> оо с = О, W = 2cJ(k — 1), то в пределе
фронт отраженной волны будет двигаться по закону г =
= 12/{к — 1)] c^t, а отношение ширины области особой волны к
отраженной будет порядка l/t^, где р > О, как и в одномерном
случае; при t -^ оо это отношение стремится к нулю.
Следует заметить, что фронт отраженной волны относительно
быстрее догоняет впереди лежаш.ие области особой волны в случаях
цилиндрического и сферического разлета по сравнению с
разлетом в трубе, поскольку происходит более интенсивное расширение
газа и потенциальная энергия быстрее переходит в кинетическую.

68]
РАЗЛЕТ ГАЗОВОГО ШАРА В ПУСТОТУ
579
Так как вопрос о разлете газового шара чрезвычайно важен, на что
мы указывали выше, то рассмотрим еш,е два приближенных
решения для отраженной волны. Считая по-прежнему, что и = r/ty
аппроксимируем плотность следуюш,им выражением:
Мо
I 2 \л^+1 ,
1+^2
+ А,
/с-1 ^н
CJ
k-i ^-н-
cj
. F8.28)
В случае iV = О, 5 = 1, при N = 1 В = 2тс, при N = 2 В == An.
Здесь константы Ai, А^, А^ будем искать, исходя из трех законов
сохранения: массы, количества движения и энергии:
г
Мо= B\r^pdr\
о
О
Е^
причем г = [2/{к — 1)] c^t; после некоторых преобразований и
вычисления интегралов будем иметь
(Л^ + 1)^х = 1+#±^Л+^
/с-1
(N+2)
2{N+3){-
А,
/о
Л^ + 2
- 1+ЛЧГз ^2 +
/с —1J
+ 3
iV + 4 "^3.
^yV + 5 "^3
F8.30)
Решая эту систему уравнений, определяем константы Ai, А2, А^.
Сделанная аппроксимация в равной мере может быть
применена и к задаче о расширении газа в трубе {N = 0).
Данное приближение, удовлетворяя всем трем законам
сохранения, в среднем должно удовлетворительно описывать
расширение газа в отраженной волне.
Сделаем теперь еш;е одно наиболее простое приближение,
которое позволяет, в частности, рассматривать задачу о расширении
газа в любой подвижной системе координат, что имеет важное
космогоническое значение. Положим, что
МрЛ
лг+1
(^н^)
в
и =
F8.31)

580
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[ГЛ. X
и допустим, далее, что фронт отраженной волны разрежения
распространяется по закону г = a^t, где а^ — некоторая скорость,
значение которой мы определим ниже.
Законы сохранения массы и энергии приводят к выражениям
Мо =
МоЛ
iV+l
^0 =
(«н')
МоЛ
т
r^dr
МрА .
N+i '
лЛГ+1
^o4
2(a iV''*'^ - ^' ^i^-t-^v; /c(A;-l)
причем r = a^t. Отсюда определяем ^н ^ ан*
A -N + i a -c l/IM+SZI. -
При этом количество движения будет
N + i
F8.32)
F8.33)
/о =
\^
^о^«п
iW„a„
= МоСн
О"-" Л'+ 2 ~
N+i ^/'~2{3 + N)
F8.34)
Л' + г У k(k-i)(N + l)
Выражая Iq через М^ и ?'о, придем к значению
/o=-'J^y(iv + 3)(yv + i).
Как видим, при такой аппроксимации, удовлетворяя законам
сохранения массы и энергии, мы допускаем некоторую
погрешность в количестве движения, которая, однако, не превышает
18% дляЛ'' = 2. Как мы видим, скорость движения фронта
отраженной волны в сделанном приближении получается меньше, чем
истинная, что приводит к недоучету некоторого количества газа,
находящегося в первой простой волне; однако, поскольку в
среднем расхождение в количестве движения получается
небольшим, следует полагать, что это обстоятельство несуш;ественно.
Укажем в заключение, что при инерциальном расширении
газовой сферы или цилиндра относительная скорость, с которой
удаляются друг от друга две какие-либо частицы, возрастает
пропорционально их расстоянию.

§69] ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА 581
§ 69. Теория точечного взрыва.
Сильная автомодельная ударная волна.
Сходящаяся сильная автомодельная волна *)
Допустим, что в некотором бесконечно малом объеме, который
занимает бесконечно малая масса какого-либо вещества,
происходит мгновенное выделение энергии, причем величина выделенной
энергии конечна и значительно превышает плотность энергии
окружающей среды и, в частности, воздуха. В этом случе в
области выделения энергии, которую можно считать точкой,
произойдет внезапное повышение давления и температуры воздуха.
Из этого центра начнет распространяться сильная ударная волна,
поскольку начальные давления и температура весьма велики.
Очевидно, эту волну в процессе ее распространения мы можем
рассматривать как сильную, до тех пор пока собственная энергия
воздуха, вовлеченного в движение в зоне ударной волны, будет
мала по сравнению с начальной энергией взрыва, что равносильно
утверждению о малости начального давления воздуха по
сравнению с давлением на фронте ударной волны. Плотность на фронте
ударной волны может при этом считаться постоянной. Так как
движение не зависит ни от каких характеристических величин,
имеющих размерности длины или времени, то можно рассматривать
это движение как автомодельное, причем независимым переменным
должна являться некоторая величина z = rlt^K
Рассматриваемый случай можно уподобить точечному взрыву,
когда энергия взрыва конечна, а масса продуктов взрыва
бесконечно мала (равна нулю).
Для сильной ударной волны, как мы знаем, на фронте имеют
место соотношения
Ру = ТТТ Р»^'' ^ == ^^ = u, = .^Z)y. F9.1)
Уравнения, описывающие автомодельные неизэнтропические
движения, имеют вид (9.10)
, d\ny
d\nz (<'1-^)-5^-('г-1)
dx [Л'(т-1) + (Т + 1)]^-2
(ах — х)^ — у
F9.2)
X — fll
*) Эта задача была решена в 1944 г. независимо Л. И. Седовым [21] и
автором; аналогичное решение найдено также Г. Тейлором [75], [76]. См.
также [36] и [53].

582
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[ГЛ. X
где X = ut/r, у = сН^/г^, I = pi«^ Z = rt-^к При р,
^2 = 0. Условия на фронте волны имеют вид
const
Xtj
Ун
2 п _L
Т + 1 ^У г
2ai
Т + 1
h
2Т(Т-1)а^
(Т +1)^
2Т (Т -1)
(Т +1)"
D - —
¦i-'v .о
F9.3)
Задача, таким образом, сводится к отысканию решения первого
уравнения F9.2), проходящего через точку (огн, i/н). Уравнение
F9.2) при сделанных предположениях принимает вид
dim
dx
d In V
[iV(T-l) + (T + l)]^-"
(ai — ж)^ — у
' [-^^^y--^ + ^ (iV + 1)] - X A - X)
(«1 — x)
d In z + d In (ж - fli) +-^^^^i^ din z = 0.
F9.4)
X — a\
В этих уравнениях остается неопределенной константа %, которая
в данном случае может быть определена из энергетических
условий, что и будет сделано ниже. Однако представляется
необходимым указать на типичный метод нахождения этой константы
в более общем случае.
Очевидно, знак производной din z/dxRe должен изменяться на
всем интервале интегрирования, в противном случае функция
и = и (z) не будет однозначной, что исключается по чисто
физическим соображениям. Для однозначности необходимо и достаточно
допустить, чтобы или числители и знаменатели каждой дроби
первого уравнения F9.4) обращались в нули одновременно (но
не обязательно все сразу) или обращение двух числителей или
знаменателей в нули происходило бы вне интервала интегрирования.
В обоих случаях из равенства нулю двух каких-либо выражений
в первом уравнении F9.4) мы имеем условие того, что
интегральная кривая проходит через точку X (%), у («i). Таким образом,
интегральная кривая должна проходить через точки
^, ? и а:„, г/н. F9.5)
Напишем решение первого уравнения F9.4) в виде
F {х, у) = q. F9.6)

§ 69l ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА 583
Из условий F9.5) имеем
F {X, у) =F (^н, У и). F9.7)
Поскольку координаты обеих точек зависят от %, то имеем из
F9.7), что некоторая функция от а равна нулю:
Ф (%) = О, F9.8)
что и определяет %. В случае, если «з =^ О, мы поступаем
аналогичным образом, при этом координаты точек, вообще говоря, будут
зависеть от ах и ag. Поэтому из условия F9.7) мы найдем
некоторую функцию
Ф («ь «2) = О, F9.9)
что определяет связь между % и ag.
Прежде чем перейти к энергетическому методу определения «i,
выпишем выражения для и, р и р. Очевидно,
у т
F9.10)
Напишем теперь выражения для полной энергии (т. е. суммы
внутренней и кинетической энергий) ударной волны в любой момент
времени (пока волна сильная)
E = B]lj^ + ^)r'^dr, F9.И)
О
Здесь 5 = 2 при N = О, В = 2л; при N = 1, В = Ал при N = 2,
Гн — координата фронта ударной волны, Е — полная энергия
в указанном выше смысле. Выражение F9.11) сразу приводится
к виду
Е=.В^ ^2(a,-l)+a,+(iV4-l)a, / ^'У? ^ J^) ^^dz. F9.12)
б
Поскольку полная энергия постоянна и, вообще говоря, задана,
то интеграл не должен зависеть от ^ и поэтому
{N + 3) ai + «2 = 2. F9.13)
В рассматриваемом случае а^ = Q vi
«1 = yvTJ . F9.14)

584 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
Следовательно, для плоской волны ai = 2/3, для цилиндрической
Ui = 1/2, для сферической % = 2/5. При этом уравнения F9.10)
принимают вид
iV+3 iV+l \
U = XZ ^ г 2 _^2^(а,-1)^ P=1{Z), F9.15)
р = t^(a,^^) z'^yp = ?/pZ^+3 Г-(^+1) . J
Таким образом, на фронте волны
ЛГ+1
Ру_г-(^+1), uj^r 2 F9.16)
и скорость фронта
Z)y~r 2 . F9.17)
Этот результат был впервые получен Л. Д. Ландау [11].
Решение первого уравнения F9.4) при условиях у = Ун =
= 2y (y — 1) a\l{y + 1J, X — х^ = 2ai/{y + 1) можно написать:
как это показал Л. И. Седов, в простом аналитическом виде-
y^J^x'-^lSZj^, F9.18)
В самом деле, воспользуемся уравнением энергии F9.11);
рассмотрим изменение энергии в некотором объеме а, ограниченном
двумя сферами (цилиндрами или плоскостями):
dE
dt „, .
Q
i\[^ + ^h-- <в9-»9)
При этом будет справедливо следующее соотношение:
где S — поверхность, движущаяся со скоростью Dy, Q^ —
новый объем. Поскольку
dt
Qi
\{-^ + lf)dv=-lpuiS,
TO окончательно будем иметь
^^][iD,-u)(^+^-!f)-pu]dS. F9.20)

69]
ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА
585
Так как полная энергия постоянна, то последнее выражение
приводит к следующему результату:
[(^у - ^) ( 7^ + ^j -Р^^]г''=- const = о. F9.21)
Отсюда для автомодельных движений следует, что
(% - ^)
-1) + 2 У Г
т(т-1)
ух
Qt
pz
iV+3
F9.22)
При начальных условиях F9.3) имеем, что Q = О, откуда
непосредственно и следует решение F9.18).
Имея это решение, квадратурами определяем
Z ~ с.
Р = Л = ^2 (% — ^) ^
ai
2 ( ai
2 \ «^
1-а,
= c^(fi(x)]
_ _^yv-2)«^+l X
X
х +
й1
«1{Т-2)+1
F9.23)
Далее определяем
Y-1 at
2 (т~2)аг+1
X
-=^1Фз(^);
т-1
2т
CiC2^^(« ^-1) :r2(i-«i) («1 — :r) "^-2 X
X
х +
ai
Здесь
а =
ai(T-2)+ 1-Т.
Т-1
т — 1
С?С2ф4 (Х) .
\ F9.24)
Й!
«1 (Т - 2) + 1 - Г
b = 2a[i + ^.
2 ai (т - 2) + 1
+ l]+ai;
2)ai
Отсюда определяется температура
^^' - (Y-l)p - 2т
X
= --i- ^2(а,-1) ^2A-аг) /^ _ ^) у
2т \ 1 /
ai-1
/ ^ __._^\ (-/-2)ах+1 ,' J 01 \2
V Т 1 \ ~^ ai{T^2) + l-T 1
F9.25)

586
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[ГЛ. X
Проанализируем теперь найденные решения; при х = ajy — х
имеем
I/ -> оо, Z = О, U = О, р = О, р = const, Г = оо. F9.26)
При этом величина р = f = const определяется из второго
соотношения F9.24):
-^=9
Г + 1 \2(l-Oi) / Т +
2Г
1у^{1±1
2aiT — 4ai + 3 — Г
F9.27)
Можно указать асимптотические выражения для г^, р, р и Г
вблизи центра: и ^r/t; отсюда имеем
JV-H _ 2(N+1) __ 2(JV+1) _ N+1 2B-Y)(JV+l)
p^r-Y-M (^+3)(v-i)^ p^^ iv+3 ^ T'^.;. Y-i# (iv+3)(Y-i) , F9.28)
Следует заметить, однако, что излучение при высокой
центральной температуре может сильно изменить указанные зависимости.
Рассмотрим два предельных случая: 1) при ^ = 1 имеем
a = ai-l, b = -^(ai--i)\-^ = -^
ai
F9.29)
для любого N; 2) при у {2а^ — 1) = 4ai — 3 или у =
= CiV + 1) (TV — 1) знаменатель последнего сомножителя
формулы F9.27) обращается в нуль, при этом & < О, следовательно,
в случае N = 2 у = 1, ^=0.
Следуюш;ая таблица дает значение Э для различных у ж N:
N =0
N = i
N = 2
1
1
2
1
2
1
2 1
9/7
0,45
0,42
0,39
7/5
0,39
0,36 ,
0,33
5/3
0,35
0,32
0,30
2
0,24
0,18
0,1б|
3
1
0,18
1
0,16
0,15
7
0,11
0,10
0
При у = 2 + 8, где s-^0, а = — ai, 6 = — 2 (% + l/e),
2iV+l 4
О _ /^\ ЛГ+з / 2 \ ;v4-2
Вычислим теперь величину интеграла в выражении F9.11):
Е = В
С p2iV+3
Т(Т-1)
^''''| —. F9,30)

§69] ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА 587
На основании F9.18) и F9.23) имеем
У 1 ^ — (Т - 1) ^^ - __ „ _Ф1, . ^ _ Т+1 _ _ф2_
где ф1н и ф2н —- значения функций ф1И фз при х = х^^. Таким
образом,
Е==В^{1±^ р,.н^-з(jPi_f-^^ ^ -^!-d:r. F9.31)
X ^ Т
Обозначим через | интеграл
? f^l^Y^' ^^_^L_ d^ = I. F9.32)
a; —-
Тогда
i^^-^^^gPa^r^. F9.33)
Преобразуем это выражение; поскольку
1 ^1^ ЛГ+3 -(iV+1) .an о/\
Py = Yqrr Р^^н ги" \ F9.34)
то будем иметь
Е^ iI±il^Sgpyrr. F9.35)
Обозначив через ^^величину: Iq = [{у + l)/2ai]2 A — 1/г) (iV + l)g,
получим
^=1vTT^o^^ = Eo^. F9.36)
Величина BrS^^/{N + 1) = F представляет объем,
занимаемый ударной волной, величина Ру/{у + 1) дает плотность
объемной внутренней энергии на фронте ударной волны. Поскольку
Ру/{у — 1) = Ру^у/2, то плотность полной энергии на фронте
волны равна 2ру/{у — 1) = бу. Следовательно,
E = loV'^. F9.37)
Рис. 79 дает величину 1^ в функции от у для различных N.
Так как Е можно представить в виде Е = Fe, где величина ё

588
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[ГЛ. X
обозначает среднюю объемную плотность энергии, то величина
f F9.38)
2
показывает отношение средней плотности энергии к плотности
энергии на фронте ударной волны. Рис. 80 и 81 иллюстрируют
распределения р, р и и для цилиндрической и сферической волн при
у = 7/5.
3
-J 1 1 1_
О 0J 0,2 0,3 0,4 0,5 0,0 0,7 0,8 0,9 /,0 $/
Рис. 79.
Задача о точечном взрыве в координатах Лагранжа решается
аналогично решению в координатах Эйлера (см. § 9). При Рн ==
= const имеем «2 = 0; отсюда а = %, «з = 2 (а^ — 1), «4 = ^ .
Из условия сохранения энергии находим, что а^ = ^ , ^ , да-
лее, ».=-^^^. », = -(^ + 1). Р="-Т+Г-'-
Поскольку
то на фронте
R
Чп\
л-^
таким образом,
F{qii) = z^, и = z;^ >
Основное уравнение [см. уравнения (9.59)] при этих условиях
легко решается в общем виде.

§ 69]
ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА
589
Перейдем к определению импульсов сильных ударных волн.
Рассмотрим сначала плоскую волну. Предположим, что в центре
симметрии имеется плоский бесконечно тонкий очаг взрыва и
ударная волна от него распространяется в обе стороны.
Вычислим интеграл
t t
I = ^{p-Pa)dt^[pdt,
F9.39)
определяющий величину импульса, действуюш;е^о на стенку.
Прежде всего заметим, что из формулы F9.27) р = 9ру. Далее
очевидно, что поскольку N = О, а^ = 2/3, 5 = 2, то Е =
= 21оРуГп1{у - 1). Так какру = 2paDV{y+i) - 8pazl/{y +1) Гн, то
8 3 _ Т-1 ^
ЧТО дает выражение z^ через Е. Таким образом, получаем
F9.40)
/=$в
т-1 Е dt 3 ,.. ,, 0 Е ^3
Яо
V'
= ^<r-»)i-t' •
или
' - 29/4^ -J|f г„ = 2е /^ 1М.?, F9.41,
где Мо = Гнра есть масса воздуха в ударной волне,
распространяющаяся в одну сторону от стенки. Поскольку в ту же сторону идет

590 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
энергия Е/2 = Eq, то
1 = 2%-/2 1^ 1- М,Е,. F9.42)
Далее, так как отношение кинетической энергии к потенциальной
постоянно: EJE^ = со = const, причем
со = -^ = -^ , F9.43)
н н oj.iv
^ Р N,, с РУ^ ^
то
/ = 2е |/ 21^ ^ -^ Мо^к . F9.44)
Подсчитаем теперь количество движения газа в ударной волне,
распространяющейся в одну сторону:
I = \ pudr. F9.45)
о
Это выражение принимает следующий вид:
.1 г„
I = t
\ ^ с pxz dz = У/ "f- \ pxz dz =
о о
- - / ""«
- 2н Г„ ^^ __ ^^ ^^ _j_-
С_Р_Л^^. F9.46)
Произведя некоторые преобразования, мы придем к формуле
т
где введено обозначение
/ = п/|±}-^;Мо = РаГ„, F9.47)
р X Z dz
л р X Z az
Поскольку количество движения в ударной волне равно импульсу,
действующему на стенку, то мы вправе приравнять выражения

§69] ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА 591
F9.41) и F9.46), откуда будем иметь
^ == 20 -^^ . F9.48)
Определим теперь, как мы уже делали это в § 68, сумму
абсолютных величин количеств движения частиц рассматриваемой
системы для сферических и цилиндрических волн; для этой цели
воспользуемся выражением
'н
JV+2 2ai ^ р X z^'^^dz
" X
N+1 , ЛГ+З
4
2
^PaTTv^WW-TT-^H—r,., F9.49)
'"" """^ (W + 3)(T-1)
Xu
р X г^+^Йл
SP X Z -
где Til = \ 7Г Т ШГ- Поскольку
п - 2 2J1 _ 8ра ^н ^ (Т-1)(Л^ + 1)
/'У- ^^1 Ра«1 j2 - (-). + l)(/V_|.3J j.N+1 ^ p^N+1
н н
F9.50)
бразов.аний, исклв
F9.49) величину z^^ , будем иметь
то в результате элементарных преобразований, исключая из
iV+3
/ = 2{iV + l)%]/^^
EMq
25о
= 2(М + 1)щ/'^^^, F9.51)
причем Мо = ВраГп*^1{Ы + 1).
Рассчитаем теперь количество движения, приходяш;ееся на
один квадратный сантиметр поверхности радиуса г„:
X-N
Вг^
г„ 2
2rii У 7^ Pa ^2gJ . F9.52)
Отсюда в частном случае для плоской волны, поскольку 5 = 2,
будем иметь
. /г„ра^ т + 1 -^/Мр^; т+1
т. е. в результате придем к соотношению F9.47).

592 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
До сих пор мы определяли количество движения воздуха в
ударной волне для заданного момента времени; интересно выяснить
величину потока количества движения, проходящего через один
квадратный сантиметр поверхности, отстоящий от центра взрыва
на расстоянии Гд; эта величина определяется формулой
Ii = B \ puh^ dt =
Вра
^2__1
8
Л^ + 3
N+1
2
X
Рн
Ш
лг+1
Z 2 dz
N+3
, F9.53)
где ti — время прихода ударной волны к Гд. Произведя некоторые
преобразования, мы в результате придем к выражениям
^MN + iU.V^'^^^'^ F9.54)
Л - 4т1,Гн~^/1^^±11, F9.55)
?1 =
где
^^=St i
z ^ dz
iV+3
Анализируя эти выражения, можно прийти к выводу, что для
сферической волны i л ii ^ Гн^^^, для цилиндрической волны i и
ii ^ const и для плоской волны i ж ii ^ У^^н-
Как видим, лишь для сферической волны количество
движения, рассчитанное на 1 см^, убывает с расстоянием, для
цилиндрической волны количество движения постоянно, а для плоской —
возрастает с расстоянием.
По мере того как ударная волна будет распространяться все
дальше и дальше от центра взрыва и давление на ее фронте падать,
движение воздуха в ударной волне будет все более значительно
отличаться от автомодельного. Оценим примерные границы
применимости найденного решения; можно допустить, что при давлении
на фронте не менее чем 20 кг на квадратный сантиметр указанным
решением еще можно пользоваться, так как при этом плотность
на фронте ударной волны будет всего лишь не более чем на 10%
отличаться от предельной постоянной плотности. Эта величина

§69] ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА Ьдо
И будет характеризовать примерную точность полученного
решения.
Кроме того, необходимо также учитывать и собственную
энергию воздуха, вовлекаемого в движение ударной волной; с
увеличением расстояния эта энергия возрастает. Однако влияние
собственной энергии воздуха будет сказываться на значительно ббль-
ших расстояниях, чем влияние переменной плотности. В самом
деле, Е = ^o/^yV /{у — 1), а собственная энергия воздуха в
единице объема равна рЛУ — 1) = 2,5-10^ эрг/см^, следовательно,
на указанном расстоянии собственная энергия воздуха будет
равна
При Ру/ра = 20 кг/см^ и go = 0,6 для сферического взрыва,
например, имеем EJE = 1/12 ^::=^ 0,08.
Можно приближенно учесть влияние переменной плотности
на параметры ударной волны. Поскольку aj = i^Z^l » то будут
N + 3
иметь место соотношения
2(ai-l)+a2
F9,57)
о, _ ^-(JV+1) J
py~r«^. F9.58)
а>
Отсюда следует, что на фронте должно быть
iV-fl
2@1-2) jv+Я--^
Ру^Ру <^г ^р^"^' а. . F9.59)
Коэффициент % теперь необходимо определять из связи между Ру
и ру для фронта ударной волны (по ударной адиабате); на
различных участках адиабаты величина % будет различна. В пределе
для слабой волны мы должны прийти к обычной изэнтропической
связи между давлением и плотностью р '^ р"^, т. е. будем иметь
2 («1 -— 1) = (v — 1) ^2, что также следует из соотношения а^ —
= 2 (% — 1) — (y — 1) ^2 при ^3 = О» имеюп^его место, если
S = const.
Попытаемся теперь в первом приближении учесть влияние
собственной энергии вовлеченного в движение воздуха. Баланс
энергии можно написать в виде
Е = В^ i ^~J^ + -P^j r^dr, F9.60)

594 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
Отсюда следует, что изменение с расстоянием давления на фронте
волны будет подчиняться закону
Однако движение воздуха за фронтом ударной волны на больших
расстояниях от места взрыва, как мы уже указали, будет
отличаться от автомодельного. Уменьшение плотности на фронте приведет
к тому, что и за фронтом ударной волны плотность будет падать
более резко по мере удаления от фронта, а это должно привести
в свою очередь к тому, что передняя часть ударной волны как бы
оторвется от своей тыловой части и начнет распространяться по
совершенно иным законам, чем те, которые мы только что вывели.
Этот вопрос мы более подробно рассмотрим в § 72.
В заключение отметим, что при детонации реальных зарядов
взрывчатых веществ всегда существует такая область, для которой
распространение фронта ударной волны почти в точности
подчиняется законам автомодельного движения. В самом деле, полная
начальная энергия взрыва может быть выражена так:
E=MoQ = j^^r^*'Qp,, F9.62)
1
/ V \N+1 ^
На расстояниях свыше ( —^^ I ;::::: 1000^+1 (§ 59) ударная волна
оторвется от продуктов детонации и начнет распространяться
самостоятельно, при этом давление на фронте будет еще выше, чем
20 кг/см^, а движение фронта будет почти автомодельным;
поскольку волна начнет двигаться самостоятельно, изменение давления
с расстоянием будет подчиняться закону
Р.-Ра= '^';^Х'-'' -^^ {-^У' F9.63)
(коэффициент Iq может иметь несколько иное значение, чем при
строго автомодельном движении). Как мы знаем, для плоской
волны имеет место почти в точности указанная закономерность
(Ру — Ра "^ r"^>85j Более подробно вопрос о переходе сильной
ударной волны (цилиндрической и сферической) в слабую мы
рассмотрим в следующем параграфе.
Теория точечного взрыва имеет применение в ряде
технических задач и, в частности, при изучении электрических разрядов
в воздухе. Результаты вычислений распределения параметров и
и с за фронтом автомодельных ударных волн иллюстрируются
рис. 66,

§:69l tEOPHHiT04EtlHorO ВЗРЫВА 595
Аналогичным образом может быть решена задача о
распространении ударной волны в неоднородной среде.
Пусть распределение плотности в этой среде подчиняется
закону
Ра = Лг\ F9.64)
где А = const, а = const; тогда на фронте болны
Рн = 4^ ^'•"- F9-65)
Поскольку р = /•«!) (z) и г = zt^\ то
«2 = aai, F9.66)
Далее, из уравнения баланса энергии F9.12) следует, что
справедливо соотношение F9.13)
C -\- N) а^ + а^= 2; F9.67)
из F9.66) и F9.67) находим
F9.68)
Начальные условия останутся неизменными. Так как
р, ур ^a2-2+2ai __ f 3+iV+a r=r ^-«i(^+l)
TO будем иметь, что на фронте волны
р ^ г-(^+1), F9.69)
т. е. прежнюю зависимость.
Скорость двия^ения фронта волны
_ or-l _ iV+1+oc
Dy = a^-^^r ^^ =r 2 . F9.70)
Начальное значение Zj^ находится из баланса энергии.
Решение задачи о движении среды за фронтом ударной волны
сводится к решению уравнений (9.10)
din у
dx [N(k — i)+'r+i]x — 2
У
2(ai —l)-f-otai
(«1 -j^'^y F9.71)
+ {N + i) x\— X (i ~ x) (ai — x)

596 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
при условиях д:н = 2V(Y + 1); ^н = 2 G — 1) al/{y + 1) 2;
Z = z^, после чего квадратурой определяется
Inri = - [in{X - а,) + 5 ^^^Х-^'^' ^] ' (^9- ^2)
причем начальное значение
^ = ^н = Y^Azn-^ = -1±L Azl F9.73)
Рассмотренная задача может иметь применение при изучении
движения ударной волны, например, в атмосфере, плотность
которой убывает с высотой. Однако при этом сильная ударная
волна с предельным сжатием на фронте распространяется на
такие расстояния, где плотность меняется во много раз по
сравнению с плотностью в месте взрыва. При этом волна перестает
быть автомодельной. Численное интегрирование задачи с тремя
переменными очень затруднительно даже при счете на
электронной машине.
Можно предложить полукачественный подход, остроумно
развитый А. С. Компанейцем [46] и основанный на одной
существенной особенности точного центрально-симметричного решения.
Именно, в этом решении энергия распределена почти равномерно
по всему объему взрывной волны и только вблизи самого ее
фронта в два-три раза превышает среднее значение по объему. В этой
последней области сосредоточена и вся масса вещества.
Естественно предположить, ^о это же свойство имеет и
взрывная волна в неоднородной атмосфере. Действительно, если
давление внутри волны постоянно в пространстве (давление
пропорционально плотности энергии), а плотность массы равна нулю, то
уравнения гидродинамики в основной части объема выполняются
тривиальным образом. Тогда, чтобы описать распространение
волны, надо воспользоваться условиями на самом ударном фронте.
Если уравнение фронта волны в цилиндрических координатах
есть / (г, Z, t) == О, то нормальная составляющая скорости фронта
Dn определяется известным равенством G.24) и равенством C0.6),
вытекающим из условий B7.13):
D„--|-/iwi = |/-;Trixr~. (в"^)
7)
Здесь, как обычно в задаче о сильном взрыве, отброшено начальное
давление по сравнению с давлением на фронте волны р, В этом
приближении плотность за фронтом р' связана с плотностью перед

69] ТЕ0РИЯ8Т0ЧЕЧН0Г0 ВЗРЫВА 597
F9.75)
фронтом р постоянным отношением
Р^ _ Т + 1
р т—1 *
где у = Ср/су.
Давление выражается через плотность энергии е
p=(r-l)8==(r-lM^-f, F9.76)
где Е —- полная энергия взрыва; v — объем, занятый взрывной
волной; Я. ^ Я (y) — коэффициент, показывающий, во сколько раз
плотность энергии около фронта больше, чем средняя плотность
по объему. Допущение о постоянстве X по поверхности лежит
в основе предлагаемого здесь метода.
Будем считать уравнение фронта волны в цилиндрических
координатах разрешенным относительно радиуса: г == г (z, /). Тогда
полный объем волны есть
v@ = ^5 r^zj)dz, F9.77)
где г Bi, t) = г (za, t) = 0. Подставляя F9.75), F9.76) и F9.77)
в F9.74) и выражая плотность по барометрической формуле,
приходим к уравнению в частных производных для функции г:
Здесь Zq — эквивалентная толщина атмосферы; у —
вспомогательная переменная, определяемая равенством
о
ро — начальная плотность воздуха в точке взрыва (z = 0).
Уравнение F9.78) решается по методу разделения переменных
г = |г/ + Jd^ К 1^ ^0 - 1 ; F9.80)
о
. При малых t или у волна должна быть сферической. Для этого
достаточно положить функцию F (^) равной нулю. Исключая

598
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[ГЛ. X
тогда I из F9.81) и подставляя в F9.80), получим
г =- 2^0 arccos Г^ е'^'^'о {I — х^ + е-'^^^)\; F9.82)
здесь X = yl2zQ.
Отсюда получаем положения верхней и нижней точек волны
2i и Zg:
e-z.j2x,^ 1=F^, F9.83)
а также положение и значение ее максимального радиуса
g-W^o ^ 1 _ ^2^ ^^ _ 2^0 arcsin х. F9.84)
Таким образом, максимально возможный радиус волны равен
jxzq. При этом X = i^ так что верхний край волны уходит на
бесконечность. Но это происходит за конечное время т, которое
определяется из F9.79) как
где
-2 In A-х)
Iff
Q{x)= ^ arccos^ Г - ~ ^^/2 A - а:^ + ^-^)] du. F9.86)
-2 1ПA+Х)
Время ухода волны вверх на бесконечность оказывается
конечным благодаря тому, что скорость волны, согласно F9.74),
стремится к бесконечности при z -> оо. На
рис. 82 изображены кривые для пересчета от
х к t n[Q(^)]V2. На рис. 83 нанесены в
некотором масштабе рассчитанные сечения волны
вертикальной плоскостью, проходящей через
точку взрыва, для нескольких моментов
\0,5 времени.
Разумеется, решение теряет смысл раньше,
чем Zi обратится в бесконечность. Тем не
менее можно сделать следующий вывод: как
ни была велика полная энергия взрыва,
сильная ударная волна может распространяться
согласно полученному здесь закону вниз не
более чем на 1,38 Zq, или примерно на 11 км.
При дальнейшем распространении вниз
ударный фронт будет ослабляться быстрее за счет волн разрежения,
уходящих от него вверх по открытой в пустоту области,
захваченной волной. Распространение волны по невозмущенному
воздуху будет напоминать короткий удар по веществу,
граничащему с вакуумом, рассмотренный Я. Б. Зельдовичем [7].
Рис. 82.

69]
ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА
599
Таким образом, значительная часть энергии взрыва будет
выноситься в верхние слои атмосферы; атмосфера как бы защищает
нас от основной части энергии разрушительного действия взрыва.
Перейдем к рассмотрению задачи о сходящейся к центру
симметрии сильной ударной волне. Эта важная и новая задача была
впервые поставлена и решена Л. Д. Ландау и автором в 1944 г.*)
[12]. Если эта волна распространяется из
бесконечности, то движение газа за
фронтом волны будет автомодельным.
Наибольший интерес представляет
изучение сферической сходящейся волны.
Основные выводы, которые можно получить
на основании решения поставленной
задачи, например об изменении давления на
фронте волны, легко перенести на
неавтомодельную сходящуюся волну и на
детонационную сходящуюся волну.
Ряд вычислений и некоторая часть
задачи (в смысла определения условий на
фронте волны) аналогичны задаче о
точечном взрыве, когда мы имеем дело с
сильной расходящейся волной.
Уравнения и начальные условия на
фронте волны такие же, как в задаче о
расходящейся из центра симметрии сильной
ударной волне, однако область
существования решения в последнем случае
определяется неравенством О ^ z ^ z^^ {z = rt~^')^ так как при
заданном t = t^r меняется от величины г ~ r^^js^o г = 0. Параметр
«1 вычисляем, исходя из закона сохранения энергии; он
определяется выражением F9.14) а^ = 2I{N + 3). В нашем случае,
когда движение волны также автомодельно, но волна идет к центру
из бесконечности, область существования решения определяется
неравенством Zh ^ 2 ^ оо, а значение параметра % уже нельзя
найти, исходя из закона сохранения энергии; оно должно быть
определено из других соображений, причем решение z^ также
должно быть иным, чем в случае расходящейся волны.
Величина z^ зависит от давления на фронте волны, заданного
на определенном расстоянии, т. е. от полной энергии сходящейся
волны, которая стремится к бесконечности.
Прежде всего посмотрим, существует ли решение в области
^н ^ 2 <С оо» нри этом — сю <^ ^ 0. Поскольку за фронтом
ударной волны скорость должна падать (или во всяком случае не
возрастать), то, рассматривая процесс для какого-либо фиксиро-
Рис. 83.
*) Это решение было найдено независимо от Гудерлея.

600 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
ванного момента времени t = Iq, можно сделать вывод, что
X = utjr падает за фронтом и при г->- оо х-^ 0. Следовательно,
X должно определяться в области О <^ д; ^ х^^ а величина
производной d In zldx <;0 (в случае расходящейся волны d In zldx > 0).
В точке х^, 1/н имеем
dhiy ai
1
rfliiz_Y —1 dx Т + 1
dx 2 / Т-
F9.87)
l(fe + l)^ 1
2 4aiT + 2N'xai + 4ai - 3 (T +1)'
отсюда, если имеет место неравенство
ai [4r + 2iV7 + 4] > 3 (Y + 1),
TO d In zldx <<0, T. e. искомое решение действительно суш;ествует.
Величина производной должна сохранять знак, так как
изменение ее знака свидетельствовало бы, что д: есть многозначная
функция Z или что и — многозначная функция z, а последнее
исключается по чисто физическим соображениям. Следовательно,
необходимо, чтобы в исходных уравнениях F9.2) числители и
знаменатели дробей обраш;ались в нули одновременно.
Потребуем, чтобы в нуль одновременно обратились выражения
(«1 -xf^y^O; у [2 (ai ~- 1) + (Л^ + 1) ух] -
^ух{\ — х) («х — л:) = 0;
отсюда, исключая г/, находим, что
X ~ X =^
_ aiY(A^+l)-T + 2(l---ai)+ /[^ГГ(Л^-Ь1)---Г+2A-а1)]^~8тЛ^а1^
2ТЛ^
F9.88)
У = У = {(^1 — ^)
2
Далее,
Корни
X — Х-^ —
__ aiT (Л^ + 1) - Т + 2 A - fli) - У[^ (N+i) -т+2 A-ai)]^ -SrA^ai A-fli)
2ТЛ^
И
Х2 = «1
не удовлетворяют искомому решению, поскольку значения ai
получаются меньше предельных. При ^2 = %> ^2 = О мы имеем
случай расходящейся волны. Следовательно, если решение уравне-

§ 69] ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА G01
ния написать в виде
F {х, у, ai) = с, F9.89)
то необходимо потребовать, чтобы линия F9.76) проходила через
точку х^, Ун и точку ^, у. Поскольку х^, Ун и ^, у — функции «1,
можно написать что
РМ = с, F^{a{) = c, F9.90)
откуда Fi (ai) = F^ («i), что и определяет однозначно величину а^.
Поскольку одно из уравнений F9.2) между л: и у не имеет
аналитического решения, удовлетворяющего поставленным условиям,
то указанная операция нахождения величины Ui должна
проводиться численно.
Приближенное значение а^ можно найти, допуская
одновременное обращение в нули выражений
(а, - xf ~ у; у [2 (ai -- 1) + ^ (^ + 1) ^] - ?^ A - ^) К ~ ^)\
[N (Y - 1) + (Y + 1I х-^2; F9.91)
отсюда
2
X
а\ [iV(Y - 1) + у +1]2_ C - ЛГ) а, [JV(г-1) + Г + 11 -
- 2 (iV ~ 1) - Г (г - 1) (Л^ + 1) = 0.
F9.92)
Заметим также, что подкоренное количество в выражении F9.88)
должно быть > О, в противном случае корни х будут мнимые.
Значение %, определяемое из условия равенства корней х
и ^1, очевидно, также должно удовлетворять условиям задачи.
Определим это значение. Итак, пусть [2 A — %) — V +
4- aiY {N + 1)]^ = SNya^ A — a^); отсюда
ai {[у {N + i)- 2]2 + ЪМу) -
- 2ai [{y - 2) [y (Л + 1) - 2] + 4viV] + B - 7)^ > 0; F9.93)
одно из значений a^ почти совпадает со значением, определяемым
формулой F9.92), другое, близкое к нулю, не удовлетворяет
условиям задачи.
Определив приближенное значение % = а^ {у, N), а также
значения Xhi, у hi и ^|, yi и численно решая уравнения F9.2)
между а; и у, например, методом Рунге -- Кутта, проверяем, лежит
ли точка (^4> У\) на интегральной кривой. Поскольку это
приближение не является вполне точным, то, внося поправки к xi,
yi и исправляя значение а^, решаем задачу методом
последовательных приближепий до тех пор, пока точка не будет находиться на

б02 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
интегральной кривой. Эти соображения далеко не тривиальны к
принадлежат авторам задачи. Следует отметить, что наш
математический аппарат в дальнейшем подвергался несуш;ественным
усовершенствованиям, сделанным уже чистыми математиками,
усложнившими задачу ради математической чистоты, но не
добившимися, естественно, новых результатов, поскольку единственное
решение уже было найдено нами.
Как показывают вычисления, если исходить из значения %,
определяемого формулой F9.92), то достаточно двух приближений.
Значение же, определяемое формулой F9.93), является почти
точным.
Интересно рассмотреть, какие значения принимает а^ для раз-
личных Y и TV. Соответствуюп1,ий анализ и вычисления показывают,
что при Y = 1 «1 == 1 для iV = О, 1, 2; при у -> сх) имеем ai = 1
в случае iV = О, % = 1/2 в случае N = i и Ui = 3/8 в случае
N = 2. Для сферической ударной волны {N = 2), рассмотрение
которой представляет наибольший интерес, были вычислены
такие значения: а^ = 0,717 для у == 7/5 и ai = 0,638 для 7 — 3.
В случае iV = 1 % = 0,834 для 7 = 7/5 и «i = 0,810 для 7 == 3.
Для того чтобы свойства явления оказались вполне выясненными,
необходимо проанализировать решения в окрестности точки 1/z =
= О при t ф 0. При этом, очевидно, из уравнения F9.2) dx/d In z —
= О, и уравнение между хи у в окрестности точки х — О, г/ = О
можно представить так:
dx _ X j^ i — «1 ^
dy ~~ '~2у^ ' Т«1 *
откуда решение имеет вид
х = А,Уу+2 -^^ y=A^Vy или у = А,х\ F9.94)
Далее, определяем
z = А^х-^^ F9.95)
S = A^ («1 - х)«^(^+1Ы . F9.96)
Следовательно, при l/z = О, z = оо имеем
р^^= const; и= Лз^«-1:г1-«* = 0; Р =-у i2(a,-i)^2(i-ao _ о F9.97)
или
l-Qi 2(l-ai)
w--r" «* ,p~r" «* . F9.98)
Температура Г = 0. Предельное значение плотности может быть
найдено только численно. Поскольку z = r/t^\ то в окрестности

69]
ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА
603
точки (l/z) = о имеем
ai-l 1_ 2@1-1)
Г °» ; р ~ A — const tr «» )ai(iV+2)-b р ^ р/
Oi
На фронте ^^^^(«i-D/^i == г"^, где & = 2 (а^ — 1)/^!. Для
сферической волны (Л^ = 2) значение b и предельной плотности рпр
может быть задано табличкой.
Y
b
Рн
1
0,7
2,72
7/5
0,8
2,70
3
1,1
1,45
оо
3
1
Результаты вычислений, описывающие характер
распространения сферической волны для у = 7/5 и у = 3, даны на рис. 84,
85, 86, 87, 88. На рис. 84 дано распределение плотности, давления,
температуры и энтропии за фронтом сходящейся сферической
волны детонации; на рис. 85 дано распределение скорости для той же
волны в различные моменты времени при 7 == 3; на рис. 86 —
распределение давлений для различных моментов времени при 7 == 3;
на рис. 87 — распределение скорости для различных моментов
времени при значении 7 = 7/5; на рис. 88 — распределение
давлений в различные моменты времени при 7 = 7/5.
Интересно отметить, что при 7 = 7/5 давление за фронтом
сходящейся волны сначала возрастает, а затем уже начинает падать»
Плотность за фронтом при любом 7 монотонно возрастает.
Весьма важно отметить, что не существует сильной сходящейся
волны с постоянной энтропией на фронте аналогично
детонационной волне. В самом деле, в этом случае «i = 1, поскольку «2 =
= О, и основные уравнения F9.2) принимают вид
dlnz
dx
In г/
A
dy
ydx
-(ft-i)
(i-x)
у
[N (k — i) +fc + l] X
' + 1
-\^-
x[{N + i)y-
din z + ln(l — x).
•{i-xf]
F9.99)
Решение нужно искать в области z^^ z <^ оо. Однако решение,
удовлетворяющее начальным условиям и^ = Dl{k + 1), с^ =
= kD/{k + I), z^=-rlt или X
существует только в области О
Z = z^ имеем dzldx = 0; dyldx = (к — 1)/к {к -}- 1), и как было
показано выше, du/dz == dcldz = 00; d^uldz^ ф 0; d^cldz^ ф 0.
Отсюда следует, что в этой точке линии и = и {z), с = с {z) яе имеют
^ 1/{к + 1), 1/н = Ш{к + 1)Р,
Z ^ ^д. В самом деле, в точке

604
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[ГЛ. X
перегиба, а просто касаются прямой z — z^. Следовательно, в
области Z = z^ решения не существует.
Представляется возможным очень просто рассмотреть движение
газа после отражения волны от центра симметрии (при ^^О).
В момент отражения при ^ = О имеем: г = О, z — О/О = const,
р-^оо, р = рпр, и = О, при г>0: 2-> ос, р = г2(«1-1)/а1,
Р = рпр> ^ "^ j<o,x-''^)IO'i, Очевидно, что при ^ = о конечное
15
7
0,5
<^^
1 1 1
J4_
"^
_. .!_ 1
0,5
1,5 2
Рис. 84.
2.5
^%ir^/t^'
количество энергии сходящейся волны сосредоточено в точке
,(полная энергия волны бесконечна). Таким образом, движение
газа после отражения эквивалентно движению газа при точечном
взрыве с той только разницей, что ударная волна, идущая от--
центра симметрии, в рассматриваемом случае распространяется
по движущему неоднородному газу.
Численное решение задачи не представляет особых трудностей.
§ 70. Цилиндрнческие и сферические волны
в акустическом приближении
Рассмотрим сначала сферическую волну.
Для бегущей сферической звуковой волны, как мы знаем (§ 5),
имеются следующие соотношения:
Ф
Fy(r-cJ)
Др^
,.2 dt
дг г г^ г \ 2F^J
G0.1)

§ 70] ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В АКУСТИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 605
и
V2000M/C
4=3; N=2
г= Юсм
П=2000м/сек
и=8 юЛ
10 ГСМ
t^26-W''''ceK
Ыв-Ю'^сек
^1^32-Ю''Ъек
Ю ГСМ

606
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[ Л. X
2000м/с
а=07/7
1000м/с
1=20'10'^сек
t^dO-W^cefc
t^SeiO'^ceh
5см г
Рис. 87.
Юсм
-2'Ю'^
^ 5
N^2
1=Ю-7оЛек
Ую
10
t^20'l0^^ceK
t=30-ro''''ceK
t=35,35'rO ^сек
t'C^i
Юсм
Рис. 88,

§ 70] ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В АКУСТИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ б07
Сферическая волна, занимающая конечную область пространства
И имеющая малую длину по сравнению с расстоянием ее от центра,
может быть описана более простыми соотношениями
а
Ар
G0.2)
при этом в выражении для скорости мы пренебрегаем вторым,
малым по сравнению с первым членом.
Так как скорость распространения фронта ударной волны
описывается выражением
Г) ~ ~а а
Р-Ра
{Ua = 0),
G0.3)
которое с точностью до членов первых двух порядков равно
значению производной d (pa)/dp, где аргумент й равен полусумме
{и + Ua)/2, то, так же как и для плоской слабой ударной волны,
мы будем иметь выражение, определяющее скорость фронта
сферической слабой ударной волны:
Z?y=|[(« + P^)+(u + p^jJ
= l[u + c + cj=c„+-f
Др . Дс
в случае идеального газа, поскольку с = Сд + (т
это выражение принимает вид
П -г 4-1+1,/ -г -L-1±L-
Ас.
G0.4)
1) и/2,
G0.5)
Так как на фронте волны имеем и = F^Jr и значение функции
i^iH может быть для фронта принято постоянным, то
dt
=^Dy = c,+
т + 1 К
G0.6)
Интегрируя это выражение, придем к следующей зависимости
между координатой фронта волны и временем:
r = ro + cJ+l+±^\n
г +
.. 1
'0 +
т + 1
4с,
Кп
к.
G0.7)
где при t = О г = Tq (считая, что движение начинается на сфере
радиуса г о). Из этого выражения видно, что длина ударной волны

608 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
возрастает пропорционально логарифму расстояния: X —
In (г + const). Поскольку энергия волны постоянна и для
рассматриваемого приближения равна
с J-\-A In (г-{-const)
4я \ р^и^Чг = Ео, G0.8)
то амплитуда волны и, в частности, амплитуда скорости будет
меняться с расстоянием по закону
1
У In (г
Т + 1 '
Из G0.2) и G0.9) следует, что Гц
G0.9)
Таким образом, дополнительное падение амплитуды в слабой
ударной волне по сравнению со звуковой происходит
пропорционально величине - . Следует заметить, что в том
У In (г + const)
случае, когда нельзя пренебречь в выражении для скорости вторым
членом, пропорциональным г""^, при переходе амплитуды
плотности через нуль скорость будет иметь еще некоторое
положительное значение, однако в рассматриваемом приближении на балансах
энергии и импульса это никак не отразится.
Вычислим теперь величину количества движения для
сферической слабой ударной волны. Очевидно,
2 2 2
Д/=4я \ pr'^udr — Ал ^ pr^udr = 8л ^ Apur^dr
или
А/ ~ (ДрJ X ~ ^Щ± . G0.10)
Произведя некоторые преобразования, можно прийти к
выражению
Д/^
y^iAMf^, G0.11)
где Ма = 2роЯ; AM = 2АрА,. Как видим, величина количества
движения падает обратно пропорционально квадрату расстояния,
пройденного волной.

§ 70] ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В АКУСТИЧГСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 609
Аналогичные выводы можно сделать и для цилиндрической
слабой ударной волны. Поскольку в пределен ^ i./Yr, Ар ^ 1/]/г,
то Dy = dr/dt = Са {i + А/УТ), откуда
г = Го + CJ + 2А iVi - Yro] -2АЧп^^^^^
Уго+А
1
G0.12)
y"?VVr- Vro
Таким образом, дополнительное падение амплитуды
пропорционально величине
1
YVr-v^o'
что впервые было установлено автором в 1954 г. Для количества
движения будем иметь такое соотношение:
А/ ~ (АрJ % ~ i^P^ . G0.13)
Необходимо отметить, что если плоская волна может быть или
волной сжатия или волной разрежения, а также представлять собой
комбинацию обеих волн, то сферическая (цилиндрическая) волна
конечной ширины обязательно должна содержать и зону сжатия
и зону разрежения. Это вытекает из таких соображений: при г -^ О
потенциал ф должен оставаться конечным; отсюда функция
Fi (г — Cat) при г-> о должна стремиться к нулю при любом t.
Следовательно, при г > О потенциал ф (г — Cat) при t -^ оо
также должен стремиться к нулю.
Так как Ар = с^ Ар = — р^ -^ , то
5 Apd^ =: — Ро[ф(оо) — ф(— ОО)] = о,
—00
поскольку при ^ = — оо волны вообш;е нет. Следует заметить, что,
точнее говоря, величина ф (оо) пропорциональна (Ар)^, как мы
установили выше для количества движения, равного импульсу
давления. Отсюда вытекает, что по мере прохождения волны через
заданную точку пространства будут как области сжатия {Ар > 0),
так и разрежения (Ар <;0).
К этому заключению можно прийти и на основании следующих
соображений; избыточная масса растет в волне пропорционально
^РдГ^йг'^г. Поэтому, исходя из закона сохранения массы,
необходимо положить, что за областью сжатия должна быть область
разрежения.

610
Пространственные движения гайа
[гл. X
§ 71. Приближенные методы интегрирования уравнений
для цилиндрических и сферических волн
Исследуем сначала возможность нахождения общих решений.
Для этого воспользуемся уравнениями, написанными в форме Ла-
гранжа:
dt
dh
dh
G1.1)
причем
'О '
G1.2)
Будем искать решения, предполагая, что имеет место связь
r^'P=B{h)-^[A-'^r-«], G1.3)
заменяющая уравнение состояния; тогда система уравнении
примет вид
'"=iM^vr-^]-5(A) = i
dt
^ dh
-B{h); G1.4)
дифференцируя по t, придем к уравнению E7.28)
dh
Л2^
^ dh
Как мы показали в § 57, при Л = Лд —^я^—С^ + ^о)
решение этого уравнения имеет вид E7.31)
G1.5)
2(П—1)
2П—1
^-¦^^^[PAt + '^) + F,{t^x)],
где
т =
2гг —1
{h + ho)
2п—1
G1.6)
Для бегущей волны одна из функций равна нулю. Для г имеем
из F6.6) решение
ап-1
г=ТЧ(^^1Фг{^+'С) + ФЛ^-'^)] + Н{к),
G1.7)
где Oi,2 = ^^l,2<^^ а Н (h) связано cB{h) = -yj^[A
dh

§ 71] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 611
Далее определяем v = r^drldh и из уравнения G1.3) р, причем,
определяя р, мы вводим еще одну произвольную функцию
времени Т (t).
Таким образом, мы находим решение в виде
G1.8)
Поскольку функция Т (t) произвольна, то ее следует
определять таким образом, чтобы полученная зависимость между р,
\,hmt наиболее слабым образом зависела от t. Для бегущей волны
одна из произвольных функций, например F^ (^ — т), равна
нулю, и решение G1.8) позволяет, полагая Т (t) = О, найти связь
между р, V и й. Поскольку
Р = р[{1 + г),
v=v[(< + T),
« = W [(< + т),
(t-x),
(t - т),
(t -1),
H(h),
H(h),
H(h),
тт,
T{t)];
Tit)].
G1.9)
p = p[{t + x), H(h)];
v = v[(< + T), H(h)],
TO будем иметь, исключая {t + т):
p = / [v, Я(/1)] = / (V, A). G1.10)
Указанные аппроксимации уравнения состояния, например, на
различных интервалах давления могут быть различны.
Как видим, предлагаемый здесь способ отличается от
классических способов интегрирования уравнений газовой динамики тем,
что остается вначале произвольным уравнение состояния; ищется
некоторая связь между р, v, /^, г, при которой получающееся
уравнение элементарно интегрируется. Далее, необходимо задать
граничные и начальные условия, например, на границе раздела двух
сред или на поршне таким образом, чтобы оставались один или
несколько произвольных параметров, надлежащий выбор которых
позволил бы приблизить связь между р, V и /i к истинному
уравнению состояния при наиболее слабой зависимости от t, причем
на различных интервалах давления произвольные параметры могут
быть различны.
Ниже мы рассмотрим пример, иллюстрирующий предлагаемый
метод.
Для изучения изэнтропических потоков этот метод менее
удобен, чем для адиабатических, поскольку при этом труднее
исключить t.
Рассмотрим теперь класс решений, которые в некоторых
случаях являются точными. Предположим, что давление зависит
только от времени: р = р {t). Напишем систему уравнений в

612 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
форме Эйлера B.25)
[гл. X
ди , да , i др г\
dt ^ дг ^ р дг '
5 In р , Э In р , ди
Nu
dt
дг
д\пр
д\п р
к
ди
г
Nu
0;
0.
G1.11)
dt ' "^ дг
Первое уравнение при р = р (t) дает
г = ut + F (и) G1.12)
Остальные два уравнения преобразуем к независимым переменным
(t; и), тогда они примут вид
dlnp __ 1 dinр
dt ~ к dt
Принимая во внимание G1.12), получим
dlnp i dlnp
= -[7Т^ + .ТТг]- ("¦«)
[t+F' "^ г J
dt к dt
Отсюда
Р = Ф1 (и) r-^it + FT';
Для того чтобы выполнялось требование р -
допустить, что
G1.14)
F(u) =
{N ^i)(N — 2)
Го — UtQ] ф2
где а = const. Тогда
р = а {i — to)
-lc(iV+i)
G1.15)
G1.16)
=^ р (t), необходимо
G1.17)
Если рассматривать решения G1.12), G1.15) и G1.16) как
приближенные, расширяя этим класс разрешимых задач, то можно
не удовлетворять уравнению сохранения импульса; ошибка,
допускаемая при этом, может быть сделана достаточно малой.
Найденные здесь решения могут быть с успехом применены при
изучении отраженных волн для изэнтропических течений, тогда
Ф, ~фх* и р = И^ - ^о)-^'^^", G1.18)
где р = const. Будем теперь искать решения, предполагая, что
„=Д + ^А-Л"Ф, G1.19)
1-а

§ 711 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 613
где / = / (t), ф = ф (t), f = f (t) = df/dt, Ф = d((}/dt, a = const.
Подставляя G1.19) во второе и третье уравнения системы G1.11),
придем к такому результату:
p^,-(N.a,^»-X)^,^(^jI-«_^j. G1.20)
р = ,-М^+.у(а-1)ф|-^^^1-« _ ^j ^ G1.21)
Здесь F и Ф — произвольные функции. Первое уравнение системы
G1.11) — уравнение движения — при этом не выполняется,
однако погрешность в определении импульса соответствующим
выбором введенных функций может быть сделана малой. Для изэн-
тропических течений, очевидно, Ф ^ F^.
Положим теперь ф = О, тогда решения принимают вид
u = rj-; G1.22)
1
f
р = r-YV [j.) ; G1.23)
p==r-''Vo(j), G1.24)
при этом уравнение движения может быть написано в виде
г 1 + г-[(^-1)^+1]М^-1) ^^j.^kN^\^0. G1.25)
Если
или
ff-^ = a/-K''-W'^«J; а (?.у'^-»'"« Р = кМФ- Ф'^-
+-S
df
-[(fc-l)iV+l] ф'
^=^(f)-"'-"'*"*-(fj
то уравнение G1.25) тождественно выполняется, и мы приходим
к точному решению, найденному Л. И. Седовым:
Р =
[kNiJj-) Ф-(|) Ф];
р^г-'^'Г'Ф,
G1.26)

614 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. X
причем
^+г=5
df
2а ,-ffc_iWN4.n ' G1.27)
l/ а^ — — /-(fe-l)(iV+l)
В самом деле, общее решение для адиабатических движений
должно содержать три произвольные функции. Мы нашли решение,
зависящее от двух произвольных функций времени и одной
константы.
При подстановке найденных решений в уравнения Эйлера
мы связываем эти функции и константу одним условием. Поэтому
для уменьшения погрешности мы располагаем, во всяком случае,
одной функцией.
§ 72. Разлет продуктов мгновенной
и реальной детонации в воздух
Дадим вначале качественное описание процесса разлета
продуктов мгновенной детонации сферического заряда в воздух,
что эквивалентно разлету сжатого газа, который ранее был
покоящимся и занимал сферический объем радиуса г^. Так же как и
в случае одномерного разлета, по продуктам детонации пойдут
две волны разрежения, одна из которых, расположенная ближе
к центру, будет простой (бегущей) волной разрежения, а другая,
примыкающая к воздуху, будет волной сложной, определяемой
общим решением. По воздуху при этой пойдет ударная волна.
Поскольку плотность и давление в продуктах детонации будут падать
весьма быстро, в среднем подчиняясь закону
г
iV+l
-?с(ЛГ+1)
G2.1)
вытекающему из закона сохранения массы, а в ударной волне
давление будет падать несколько медленнее, в среднем согласно
закону
Ру_г-(^+1), G2.2)
вытекающему из закона сохранения энергии, то в продуктах
детонации возникнет волна сжатия, фронт которой относительно самих
продуктов детонации будет двигаться в направлении к центру
взрыва. При определенных начальных условиях фронт этой
волны сжатия может и в абсолютной системе координат начать
двигаться по направлению к центру взрыва, что будет
способствовать ее превращению в ударную волну.
Продукты детонации в процессе своего расширения будут
некоторое время оказывать воздействие на воздушную ударную волну

§ 72J РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ в ВОЗДУХ 615
передавая ей постепенно свою энергию; так же как и в одномерном
случае, продукты детонации при расширении займут некоторый
предельный объем, соответствующий их среднему давлению,
меньшему, чем атмосферное, после чего начнется процесс сжатия
продуктов детонации до давления выше атмосферного. Этот процесс
пульсации продуктов детонации довольно быстро затухнет, и
продукты детонации займут некоторый объем, соответствующий
их равновесному состоянию при атмосферном давлении. Как было
показано ранее (§ 44), этот предельный объем, который занимают
продукты детонации при атмосферном давлении для типичных
конденсированных взрывчатых веществ, составляет
приблизительно 700—1300 начальных объемов взрывчатого вещества.
Этому объему соответствует для сферической волны сфера с
радиусом, равным приблизительно iOrQ^ для цилиндрической волны
радиус предельного цилиндра, который будут занимать продукты
детонации, составит приблизительно ЗОгд.
Как будет показано ниже, максимальный радиус сферы или
цилиндра действия продуктов детонации будет в полтора-два
раза превышать предельные радиусы.
В тот момент, когда начнется сжатие продуктов детонации, т. е.
в момент достижения продуктами максимального расстояния от
центров взрыва, по ударной волне побежит волна разрежения,
постепенно останавливающая воздух, движущийся за фронтом
ударной волны; произойдет как бы «отрыв» фронтовой части
ударной волны от ее тыловой части и продуктов детонации.
Как показывают расчеты для сферической волны в момент
отрыва, ее длина, т. е. расстояние от границы раздела до фронта
волны, составляет в случае детонации типичных конденсированных
взрывчатых веществ приблизительно 10—15го, при этом энергия
продуктов взрыва почти вся переходит в энергию ударной волны.
Лишь не более 10—15% начальной энергии задерживается в
продуктах взрыва и затем частично расходуется на образование второй
ударной волны.
Рассмотрим приближенно закономерности движения границы
раздела. Для этой цели воспользуемся уравнением F0.16)
d (Mil) е / ч /79 q\
Здесь для сферической волны в обозначениях § 60 имеем: М =
= D/3) яраССг^; ^ = 4ягу; Muy = а^Мщ. Принимая, что на
границе раздела в среднем Pylp^ = {^J^yY\ придем к уравнению
ГрнГ^^-Г^-^"-^]. G2.4)

616
ПРОСТРАЙСТЁЕЙНЫЁ ДВИШЕЙИЯ ГАЗА
tM. X
Интегрируя это уравнение при условии, что при г = Tq нам задана
скорость и у = UQy, будем иметь
Wv =
W-Oy
1
Роаг»!
Рн
л ^2
-Ра
+
+
Р0С(»0A
2
3fe
Pa
G2.5)
Полагая скорость Uy равной нулю, найдем максимальное
расстояние, достижимое продуктами детонации:
G2.6)
/г \а
/ max \
V Го /
Рп
2 — к2 »
Поскольку при равновесном состоянии продуктов детонации, когда
их давление всюду р =
имеет место соотношение
то при ^2
/'•ooV'^„ Рп
\^J "Та'
11Ъ получаем
{ ^та;
2—/с
G2.7)
G2.8)
откуда соответственно для сферической и цилиндрической волн
имеем
1,3,
1,75.
G2.9)
При этом максимальное разрежение будет приблизительно
составлять 0,5 кг/см^.
Следует оговорить, что законность использования значения
к = 7/5 с самого начала расширения продуктов детонации
вытекает из возможности предположения р^ = Pq (к — 1) Q, где снова
принимается к = 7/5. Справедливость этого допущения
обоснована в § 44.
Совершенно аналогично будет протекать процесс разлета
продуктов реальной детонации лишь в начальной стадии вследствие
того, что давление при реальной детонации на фронте
детонационной волны в два раза превышает среднее давление продуктов дето-

§ 72]
РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ В ВОЗДУХ
617
нации; давление на фронте ударной волны в этом случае будет
выше. Однако более быстрое падение давления на фронте ударной
волны в сравнении со случаем мгновенной детонации, происходя-
ш;ее благодаря более быстрому падению давления в продуктг^х
детонации на сравнительно большом расстоянии от места взрыва,
приводит к тому, что поля взрыва в отношении давления и
скоростей будут в обоих случаях примерно эквивалентны (волна
сжатия, идущая от границы раздела к центру, при реальной дето
нации будет сильнее).
Несмотря на то, что мы еще не знаем достаточно хорошо
процессов распространения сферических и цилиндрических волн,
весьма легко оценить количества движения воздуха в этих волнах.
В самом деле, для сферической волны, например, начальное
количество движения продуктов детонации нам известно. Оно точно
такое же, как и в случае распространения плоской детонационной
волны:
G2.10)
/ = eY.^M^Eo (е = 0,8).
Здесь Л/о и ?'о — масса и энергия продуктов взрыва, Е^ == MqQ =
= MqDV2 {п^ •— 1). Это количество движения продукты детонации
могут получить при разлете в пустоту. В случае разлета в воздух
необратимые потери энергии будут приблизительно
компенсироваться собственной энергией воздуха, вовлеченного в движение,
в справедливости чего мы убедились, рассматривая плоскую
ударную волну. Поскольку масса, вовлеченная в движение, при этом
возрастает, мы будем для определения импульса иметь
соотношение
4яг2
4яг2
G2.11)
где Му — масса воздуха, вовлеченного в движение. В случае
сферической волны на расстояниях до ISr^
М^
4
Яра(г^-Го)^уЯр^Л
G2.12)
на расстояниях же свыше 15го, т. е. после отрыва ударной волны
от продуктов детонации, мы будем иметь My ;:;::: АкраГ^Х, где X —
длина ударной волны, причем в среднем
I'-o
12г„
G2.13)

618
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[ГЛ. X
Поэтому выражение для количества движения примет вид при
г < 15го
7 = е У 2МоЕо [\
+
I =
^У 2M,E,[i
+
-о-Прг^
Мо
при г > 15го
'/¦
/=01/ 2Мо^о 1 +
Мо
е
4яг2
]/2М„^„ (l + '"^«^^'
Мо
Преобразуем последнее соотношение:
J
1
г =
_2_ /~ _2_
G2.14)
G2.15)
G2.16)
где Ро — ПЛОТНОСТЬ взрывчатого вещества, /г ;:^ 3. В пределе на
больших расстояниях от места взрыва будем иметь *)
QDM^ /", ^ 3/-
4лг У
3
4яро
G2.17)
Последнее соотношение справедливо до расстояния порядка бООгд;
на больших расстояниях ударная волна будет вырождаться в
звуковую волну и давление будет испытывать гармонические
колебания около значения /?„. Зависимость импульса от расстояния будет
выражаться формулами акустики, т. е.
i^-L. G2.18)
Вблизи от места взрыва при г < 20го для сферической волны
зависимость давления от расстояния будет выражаться
соотношением
P-^TTi
G2.19)
*) Это соотношение впервые было получено автором аналитически в

§ 72]
РАЗЛЕТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ В ВОЗДУХ
619
следующим из закона сохранения энергии. На расстояниях свыше
20го, поскольку длина ударной волны будет мало изменяться,
Р-тг-
G2.20)
На расстояниях свыше 50го зависимость давления от расстояния
станет акустической:
1
G2.21)
Рассмотрим в случае несильной ударной волны, как будет меняться
зависимость давления от расстояния; поскольку для этого случая
приближенно можно положить Uy = 2 {с — Са)/{у — 1), то отсюда
следует, что в волне имеют место соотношения
2Y
4j>n
l+i^iV-_l;
^Pmin Pmin—Pa
Pa
Pa
4'-^^) -
S G2.22)
Аппроксимируем для волны скорость в виде функции и ==
= ПуГ/Х, где 2Х — длина волны, X полагается малым; тогда, исходя
из закона сохранения энергии, будем иметь, например, для
потенциальной энергии в области волны (—к ^ х ^ X)
Е = Алг^ ^Apdr = Апг^РоХ 5 [ (l + ^^ ^у)"""' - 1
-X -X ^а '
X
ЗУ—1
Y—1
Отсюда сразу же заключаем, что для слабой волны
Уе
Д1г~ Др-
а для сильной волны
Е
G2.23)
G2.24)
G2.25)

G20 прострАйствЕйныЕ движЕйпя ГаЗа [гл. 3t
где величина Е постоянна для волны, рассматриваемой в акус1И-
ческом приближении. Мы видим, что действительно по мере
падения амплитуды ударной волны зависимость давления от
расстояния становится акустической.
Вблизи от места взрыва длина ударной волны быстро
возрастает, так как скорость ее фронта больше, чем скорость границы
раздела (эта граница на расстоянии iOr^ — \Ъг^ вообще
останавливается). На относительно больших расстояниях от места
взрыва, как мы уже неоднократно указывали, длина волны, напротив,
слабо возрастает со временем.
Область движения ударной волны после ее отрыва от
продуктов детонации может быть приближенно описана уравнениями
автомодельных движений, до тех пор пока давление на фронте
ударной волны еще не очень мало (больше 20 кг/см^).
Более точная теория сферической и цилиндрической ударных
волн может быть построена путем использования ряда
приближенных приемов интегрирования основной системы уравнений.

ГЛАВА XI
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ
§ 73. Распространение плоской ударной волны
в воде при взрыве
В настоящей главе мы будем рассматривать неустановившееся
движение в плотных средах, например в воде, принимая во
внимание, что при больших начальных давлениях, возникающих,
в частности, при взрывах, необходимо учитывать сжимаемость
среды.
Задачи распространения волн разрежения и, в особенности,
ударных волн в плотных средах решаются несколько проще, чем
для газа. При распространении ударных волн в плотных средах
можно в большинстве случаев пренебрегать изменением энтропии
и температуры среды и рассматривать ударную волну как бы в
акустическом приближении.
Основной целью, которую мы преследуем в этой главе,
является установление основных зависимостей, связанных с
распространением продуктов взрыва и возникающих при этом ударных волн
в какой-либо плотной среде, например в воде.
Будем сначала изучать одномерные движения жидкости при
взрыве. Особый интерес представляет изучение поведения
жидкости у свободной поверхности.
Прежде чем перейти к решению поставленной задачи,
предварительно выясним основные параметры фронта ударной волны в
жидкости. При этом установим критерий, позволяющий судить о
возможности пренебрежения изменением энтропии. Для этой
цели воспользуемся уравнениями энергии и состояния B8.4)
^y-^a=^^-^(Va-Vy), P = P(V,S). G3.1)
Написав уравнение состояния в виде A.33)
р =А {S){p- - р2), G3.2)
где S ^^ const, А = const, будем иметь
E'<i z=
р
у
р^ — р'^
п^-1 _ /7п^-1 Р
Ру ^Рд I j^
Л—1 Ру
Е, = 0 G3.3)

622 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ в плотных СРЕДАХ [ГЛ. Xt
и, пренебрегая значением раВ уравнении энергии, получим
уравнение ударной адиабаты для сильной волны
^ Р„Ру 1РГ' - РГ'1 = РГ - РТ'- G3.4)
Отсюда для сильной ударной волны придем к результату Ру = Ро?
т. е. к противоречию, поскольку при Ру — р^ вообще нет ударной
волны. Отсюда следует, что при уравнении состояния G3.2) не
может быть ударной волны конечной силы. В пределе для слабой
ударной волны мы снова придем к результату ру = Ра, т. е. к тому,
что бесконечно слабая акустическая волна может существовать
(§ 25) при уравнении состояния G3.2). При dpi OS = О (или др/дТ =
= 0) конечная ударная волна, как мы убедились, невозможна.
Поэтому воспользуемся более точным уравнением состояния для
жидкости
р = Ф (V) + г/ (V). G3.5)
Тогда, как мы знаем (§ 1), внутренняя энергия выразится так:
E = c^T-'\Ф{v)dv, G3.6)
Принимая для функции Ф (v) выражение вида
ф = 5 (рп _ р-) G3.7)
и полагая Та = О, найдем, что
V
Е-Е„ = с^Т- [o(v)d\ = 0,-^^;^- \OMdv
-Е^ = с,Т- jJo(v)dv = Cv^^-^- ^Ф(у)
а о
Ф
/
Су + ^v
И —1
+ vr -^«^ТГТ- (^3.8)
Отсюда уравнение энергии (ударной адиабаты) примет вид
7 (Va - V) = -^^-j— Су + Bv
1
+ vr
-Вп-^. G3.9)
Определим теперь такое значение функции / (v), чтобы уравнение
состояния G3.5) приводило к уравнению состояния вида G3.2).
Используя выражение A.13)
/др\ ^(др\ __Т_1д?\^
[dvjs [dvJT с^ [дТ j^,'
найдем сначала уравнение состояния в виде
_С lit
p = 0(v) + iVE')/e О 'V ,

§ 73] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ВОДЕ
623
Сравнивая это выражение с G3.2), будем иметь
г fdv
l+aN(S) = A{S)] fe ^ '^ = аФ,
где а = const.
Интегрируя последнее уравнение, найдем
/(v) =
Су Ф (V)
ко ¦
Лф (v)dv '
G3.10)
G3.11)
где к(, = const. Таким образом, уравнение состояния G3.5)
можно написать в виде
^9 = Ф(У) 1 +
с^Т
ко— \ Ф(у) d\ j
а уравнение ударной адиабаты, используя G3.9),— в виде
G3.12)
4K-v) =
h+^v(^ + v-/)] +
+ Bv
Отсюда для сильной волны (р -^ оо) мы имеем
ко
Вп
-^зт + -Г
;^vr. G3.13)
G3.14)
что определяет значения (Vo/v)np или (р/Ра)пр. В случае к^, = О
приходим к уравнению
Р(Р"-Р2)=^Р«(Р"+^Р2
Например, в случае гг — 3 имеем
-^Г-2
р\'=^+1,
G3.15)
G3.16)
откуда
2,3.
а /пр
Значению р/р^ = 2,3, например для воды, соответствует давление
порядка многих миллионов кг1см}. Для обычных давлений при
взрывах р/ро ^^ 1,5, при этом энтропию можно считать на фронте
волны постоянной и ударную волну заменять волной сжатия.

624 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ в плотных СРЕДАХ [ГЛ. XI
Укажем, что при сверхбольших давлениях среда приобретает
газовые свойства и энтропия резко повышается, однако при этом
газ будет не идеальным, а вырожденным *).
Установим критерий, какую ударную волну можно считать
сильной. В случае распространения волны в атмосфере в любой
разреженной среде плотность на фронте волны приближается
к своему предельному значению уже при отношении давления на
фронте к начальному порядка 30—50. В случае распространения
в плотной среде при огромных давлениях, порядка 10^ кг/см^,
ударная волна отождествляется с акустической. Очевидно, что
величина давления на фронте волны сама по себе еш;е не дает
возможности заключить, является волна сильной или нет. Таким
критерием может быть число и/с = М, называемое числом Маха,
где и — скорость потока на фронте ударной волны, с — местная
скорость звука. При М < 1 волна может считаться слабой, при
М > 1 — сильной. Например, для ударной волны, распростра-
няюш;ейся в разреженной среде, из формулы C0.8) и формулы
с = ]Аф/ф = Y^P^ получаем
кру
ЧТО для сильной волны дает
м^/'^-"-:!:-"". G3.17,
" = / Mirny. (И.18)
7
(при А: = р- Мд = 1,9)
5
Для волны произвольной амплитуды, выражая v через /?,
получим
При
/..r.^.-lnin ^.^u' G3.19)
kplp(k-i) + p^(k + i)'
k(k — l)
G3.20)
величина M = 1. При к = 7/5 значение М = 1 достигается при
р/Ра = 3. Для детонационной волны М = i/k, т. е. число М
всегда <^ 1.
Дальше мы воспользуемся уже известным положением, что
при отражении детонационной волны от твердой стенки энтропия
*) О вырожденном газе см. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц,
Статистическая физика. Изд. «Наука», 1967.

§ 73] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ВОДЕ 625
на фронте отраженной ударной волны возрастает весьма
незначительно, а следовательно, эта задача рассматривается в
акустическом приближении. Это вытекает также непосредственно из того
обстоятельства, что число Маха для детонационной волны
всегда <1.
Для плотной среды, где справедливо уравнение изэнтропы
G3.2),
р = 4 (р« - р1); G3.21)
Поэтому
(р-
\dp Is'
-Pa) ("а-")
пр\
=^ пАр"^-^ =
^ а
у-П
у-П
' а
-п _
v"
-V-''
^а
-п '
G3.22)
G3.23)
откуда следует, что даже для волны, имеющей предельное
значение V G3.16), на фронте имеет место неравенство
ЧТО при п = 3 дает Мд < 1/|/^3 ^^ 0,52, т. е. число М^ всегда
значительно меньше единицы и всегда ударная волна в подобной
среде может быть рассмотрена в акустическом приближении.
Рассмотрим строго одномерные движения*). Пусть в сечении
X = О в момент времени ^ = О начинается детонация линейного
заряда bbj длина которого L Мы будем рассматривать три случая:
а) случай, когда левый конец открыт и ничем не загружен
(слева —- пустота); б) случай, когда весь процесс симметрично идет
направо и налево, что сводится к задаче детонации у стенки, и
в) случай, когда слева (при ж < 0) — та же среда, что и справа,
у конца заряда.
В начале решения первые два случая могут рассматриваться
одновременно. Бегуш.ая детонационная волна, характеризуемая
законом изэнтропы
Р = 4„р", G3.25)
В случае /г = 3 будет описываться уравнениями
x=:{u + d)t] {и-с) = -^, G3.26)
*) Эти задачи были рассмотрены автором.

626 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. XI
В момент времени t = IID в сечениях х = / детонационная
волна доходит до границы раздела двух сред. При этом возникает
следующая система волн.
В продуктах детонации, как уже известно, в зависимости от
граничных условий возникают две волны разрежения или волны
сжатия и разрежения, отделенные слабыми разрывами: первая
волна сопрягается с волной G3.16) и описывается уравнениями
^=:,и-\-с\ —^~~ 1 = и — С. G3.27)
Правее расположена вторая волна:
^=:u + c\ X = {u — c)t + F2{u — с), G3.28)
которая справа отделена от среды сильным разрывом.
Воспользовавшись для рассматриваемой среды уравнением
изэнтропы G3.21), рассмотрим возникающую в этой среде бегу-
щую волну. Эта волна, очевидно, может быть охарактеризована
уравнениями
и = -^ (с - сJ; x = {u + c)t + F, (а), G3.29)
Слева и справа от границы раздела
где р — давление в среде. Исходя из этих условий, определим
закон движения границы разлета, а также вид функций F^ и Fg.
Для продуктов детонации имеем
р =АоР^ - Л^с\ G3.31)
Для произвольной среды
2п 2п
р^А (с^"^ — с^^, G3.32)
что следует из G3.22). Отсюда на границе разлета
2п 2п
(г1с)з = с^ - с«^ G3.33)
где
^=1^0

ё 73] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ Ь ЁОДЁ б27
Поскольку
X dx X . _ J п -\- i .
то
2п
г^з (^ _ ^у = ^с„ + i^ *)"'' - с„^. G3.34)
Мы получили дифференциальное уравнение, определяющее закон
движения границы раздела двух сред.
Начальными условиями являются по-прежнему: t = I/D^
X = L При этом
2п
ri^ (D - uyof = (са + Ц^ "уо)"'' - г»^. G3.35)
ЧТО определяет начальное значение скорости границы раздела
двух сред UyQ. Начальное значение давления определяем формулой
Руо = Рн (^"сУ)'' ^^^"^''^
где /?н = PoDV4, Си = 3Z>/4 являются значениями /? и с на фронте
детонационной волны, р^ — начальная плотность взрывчатого
вещества. Решая уравнение G3.34), определим для границы раздела
X = X (t), и = и (t).
Отсюда можно написать для продуктов детонации:
t = t2 {и — с), X = Х2 (и •— с),
где индекс 2 относится к волне с функцией F^ {и — с), t^ и х^
суть функции и — с\ они определяют h\ в уравнении G3.28).
Для определения F^ {и — с) будем иметь
¦ Х<2,
С. G3.37)
Для произвольной среды можно вычислить
t ~ ti (и), X = Xi (и),
где ti и Xi — функции величины и; эти функции определяют
i^i (и) в уравнении G3.29). Для определения F^ (и) приходим
к уравнению
^^ = и + с, G3.38)
где fj и Xj — функции w и с.

628 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ в плотных СРЕДАХ [ГЛ. XI
Остается определить закон движения фронта ударной волны,
возникающей в произвольной среде (Dy),
В рассматриваемом приближении
где X — координата фронта ударной волны. Из G3.38) имеем
¦XI п — 1
с = пгС
«+—
что определяет
n + i ^ ' t — h n + i
— = J±. -[- — ^.ZlIl. ^ G3 40)
решая это уравнение, находим закон движения фронта ударной
волны
Ф (X, t) = 0. G3.41)
В случае открытого левого конца (истечения продуктов
детонации в пустоту или воздух) найденные решения будут иметь
место при любых t. В случае детонации у стенки волна разрежения
G3.27) в момент времени t = 31/2D в сечении х = 3//4 дойдет до
точки слабого разрыва в самой детонационной волне, поскольку
в этом случае решение G3.26) определяется лишь на интервале
x/t > D/2. При x/t < D/2
и=0, с = DI2. G3.42)
Возникает новая, простая волна
x^l = (u^c){t^^y, и-\-с = ^, G3.43)
которая догонит точку слабого разрыва между волнами G3.27) и
G3.28), после чего вновь образованная волна, распространяясь
в обе стороны, догонит границу раздела двух сред и изменит
параметры ударной волны. Далее, при t = 31ID произойдет
отражение волны G3.43) от стенки, что приведет к образованию новых и
новых волн при встречах различных точек слабых и сильных
разрывов. Начальные системы волн, соответствующие первому,
второму и третьему случаям а, б и в, рассмотренным на стр. 625,
показаны на рис. 89, а, б и в соответственно.
Будем теперь рассматрив^ать конкретные случаи. Примем для
произвольной среды л = 3, тогда основная формула G3.34)
примет вид
г,з (-^ _ ij = (с„ + iK _ ёз. G3.44)

§ 731
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ВОДЕ 62Й
Полагая x/t = D^ определим t^y = Щу в момент удара
детонационной ВОЛНЫ о плотную среду. Уравнение G3.44) допускает
б)
Фроит золнь/
разрежет/я ^
х^1
X
е)
^^.
t
волиш^у^
Ш
W
с27-/7
c27=Z
Рис. 89.
аналитическое решение. Поскольку
^ = ut + — [{u + cJ3 _ cl] 3, G3.45)
То, дифференцируя G3.45) по ^ и затем интегрируя, имеем
"S-
du
x + ^"i-
{(u + r^r-al)
3\ 3
((« + Oa)'-^a)'
0,

630 ЙЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. Xt
где ^0 = const; из последнего равенства получаем
t = t,
(и+\Г-'^1
i^ + cj-[(и+ ^)^-01]
X
YI
•П .4
arctg —
X е
(г^+~с«)-[(и+СдK-сЗ]
G3.46)
Константа ^о определяется из того условия, что при х = I мы
имеем 1^ = ^оу и t = l/D; формулы G3.45) и G3.46) и дают
решение задачи в параметрической форме.
Теперь возможно определить значения F^ и F^^ причем F^^
определяется сравнительно просто; поскольку X — {и + с) t + F^{u),
а. t = ti (и) и мы имеем тождество и ^ {и -{- с -— Са)/2, то
F^ (и) = ut, + ^ [{и + с,Г - с1] 3 - Bи + cj t^,
что дает
х = {и + с) (t - h) + [и+\ [{и + c,f - с^1з ] t^. G3.47)
Для определения F^ [и — с) поступим следующим образом. На
границе раздела двух сред
{и + Oaf -с1=Ц^{и- [i)^
где ^ = и — с\ решая это уравнение относительно и^ найдем
и = и {^)\ подставляя последнее выражение в G3 45) и G3.46),
найдем
t = t^iu — с)^ X = Х2 {и — с),
что и определяет функцию Fg-
^2 (W — с) = ^2 — (W — с) t^.
G3.48)
Если рассматривать первую схему истечения, т. е. истечение
налево в пустоту, то при t -^ оо скорость и -> 0. В окрестностях
точки 1/t = О имеем
t = t^
(u + ~c^r^cl
3 -p=-arctg---
G3.49)

73]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ВОДЕ
631
где tQ — константа, определяемая из начальных условий, при
этом
*'пр
(«+^а)'-<
i^ + '^af-'
X
X е
~-р= arctg --
Уз 3
где Xq = Cat^; отсюда, поскольку w -> О, имеем
^пр —
V» ,тг"^*^т
— е
G3.50)
Таким образом, при t -^ оо Хпр стремится к положительной
константе. Это означает, что граница раздела перемещается на
конечное расстояние. Если бы мы рассматривали истечение
продуктов детонации в среду, обладающую заметным
противодавлением, то пришли бы к пульсационным движениям газовой полости.
Решим задачу для случая, когда г[ мало. Из G3.44) видно, что
X мало и может быть выражено так:
dx
Интегрируя G3.51), найдем
Вычисления дают для tj* = 0,1, Са = D/2:
G3.51)
G3.52)
^ = 4-^0.22, ^ = 1,12, ^ = (§)'= 1,06, G3.53)
ЧТО приблизительно соответствует случаю распространения волны
в алюминии.
Аналогичные вычисления по точным формулам для случая
rf
1,0, Са = D/5,
что приблизительно соответствует случаю распространения
ударной волны в воде, приводят к результатам
JD
0,4, J^^0,51, ^ = 2,5.
^н
I
G3.54)

632 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ XI
Основными рабочими формулами здесь являются G3.44) и G3.50);
пользуясь ими, мы и определили щ^Ю, Хщ^И, после чего из
обычных формул вычисляем с^у и /?оу.
Рассмотрим теперь случай, когда детонация начинается на
границе с плотной средой, при этом сначала в среде возникает
стационарная волна, параметры которой определяются из
соотношений
2м 2п
и + с=^; w = _A^(c-cJ; р = А^с^ = А{с»-^ -ё'r^)•
2
Отсюда
G3.55)
D
2 i^i^-^a)r4'-c^-^-oV, G3.56)
что при гг = 3 дает
2тг
vD+'
«;.
Очевидно, в этом случае скорость движения границы раздела
и давление на границе будут меньше, чем в предыдущих случаях.
Фронт волны разрежения, идущий по продуктам детонации,
через некоторое время встретится с фронтом волны разрежения,
идущим от другого конца; фронт волны, образующийся после
взаимодействия указанных волн, догонит границу раздела, затем
фронт ударной волны и ослабит его и т. д.
Эта задача также может быть доведена до конца, однако
большого практического интереса она не представляет.
Если рассматривать задачу в неограниченной среде до конца
и учитывать противодавление среды, то можно показать, что
область, занятая продуктами детонации, будет пульсировать около
некоторого значения объема, причем амплитуда этих пульсаций
будет постепенно затухать.
Важно выяснить другое. Ударная волна рано или поздно
примет такую форму, что давление и скорость будут падать от ее
вершины к тылу.
В случае удара детонационной волны о среду в ней сразу же
возникает такая волна; в случае детонации, идущей от границы
раздела со средой, ударная волна примет указанную форму только
после взаимодействия хотя бы с одной отраженной волной.
§ 74. Кавитация плотной среды у свободной поверхности
Когда какая-либо плотная среда, расширение которой
описывается уравнением
р=А{р-- р"а), G4.1)
движется таким образом, что головные ее части имеют больщие

§ 74l КАВИТАЦИЯ ПЛОТНОЙ СРЕДЫ 633
скорость и давление, чем тыловые, то в случае полного ее
расширения до внешнего давления возможны явления, аналогичные
кавитации, т. е. такие явления, когда происходит разрыв среды на
отдельные части (капли). В самом деле, когда в случае полного
расширения давление среды падает до внешнего давления, то
при этом плотность не может стать меньше заданной начальной
плотности (ра) среды. Поскольку различные части среды при
расширении движутся с различными скоростями, то происходит
интенсивное растяжение среды.
В случае жидкости среда распадается на ряд отдельных
капелек — происходит кавитация жидкости. В случае твердого
(металлического) тела кавитация сможет развиться только при
достаточно большом градиенте скоростей.
Рассмотрим сначала кавитацию в какой-либо жидкости.
С большой достоверностью можно ожидать следуюш,его
распределения скоростей течения среды и скоростей звука в ударной
волне, подходящей к свободной поверхности жидкости (для ^г = 3):
, X — а
и + С ^ —7—;
^ G4.2)
где и — скорость среды, с — скорость звука в среде, а —
константа, определяющая протяженность ударной волны. Здесь мы пишем
параметры среды без черты наверху. Все эти величины могут
быть найдены из сравнения аппроксимации G4.2) с более точными
выражениями для ударной волны, найденными в предыдущем
параграфе. Однако главный интерес для нас представляет
качественное исследование задачи о кавитации, и мы не будем
останавливаться на численном ее решении.
Возникающая после прихода ударной волны к свободной
поверхности жидкости волна разрежения характеризуется
уравнениями
где I — значение координаты свободной поверхности, т — момент
и время подхода к ней ударной волны. Фронт волны разрежения,
очевидно, также будет двигаться по закону
X -^ 1 = —. Са {t — Х).
Значение координаты х = х, при которой с — Сд,
из соотношения
1 f X — а X — l\
^^-~ \ ~t т=^) •
G4.4)
определится
G4.5)

634 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. XI
При этом
1 (х — а , x—l\ х~а /п/ Q\
" = " = —1-7- + -ГГт]=-1 ^- G^-6)
Решая эти соотношения, найдем
x^l^-^{t-r) + 2c,-^{t-x). G4.7)
Это выражение дает закон движения фронта кавитации. Далее,
определяем
« = -Ц^-Зс„ + 2с«4-• Г'4.8)
Здесь значение и определяет скорость среды на фронте кавитации.
Для дальнейших вычислений перейдем к координатам Ла-
гранжа; для этой цели положим и = dxldt и определим связь
между значениями х и а;^, где Ха — лагранжева координата. Для
исходной ударной волны
_^ _ ^ — ^ ^ (ПА Q\
dt ~~ 2t t ' ^ ^^
Интегрируя G4.9), придем к выражению
х = а- Cat +AYt. G4.10)
Значение константы А определится из условий: в момент времени
т прихода ударной волны к свободной поверхности х = Xq, тогда
Ут
отсюда
X = a-cj + CaVtx + {х^^ а) ]Л^т. G4.11)
Далее, для волны разрежения будем аналогично иметь
Интегрируя, получаем
x = -Lt-^(t-x) + AYt{t-x). G4.13)
Константа А определяется из условий
x=:^l — Ca{t'-x) = a + {xo-'a)y'-^ + Ca ]^^т — cj,

§ 74]
откуда
что дает
Xq
КАВИТАЦИЯ ПЛОТНОЙ СРЕДЫ
= '/-^ + («-<^.т)(^-)/-f).
отсюда
1 =
С Л
l:i^±^V-1
А = 4-1^^0 - ^' + 2(^0 - OKt - а)
635
G4.14)
G4.15)
G4.16)
На линии G4.7) заданная частица среды приобретает максимально
возможную скорость й, при которой с = Са, р = Ра) Далео,
каждая частица разлетается с этой скоростью, независимо одна от
другой, поскольку происходит кавитация среды.
Определим эту максимально возможную скорость. Для этой
цели, сравнив выражения G4.7) и G4.16), найдем, что
Aclt (t-x) = (хо -I) lxo + l + 2 {саХ - а)]. G4.17)
Это выражение дает зависимость между значениями Xq и t вдоль
линии, где происходит кавитация. Далее, из выражения G4.8)
находим, что
^"^'^ G4.18)
t
Хи
"Ж"
, Зт
2с^
а а
Подставляя найденное выражение для t в G4.17), придем к связи
между XqH й:
{х^-1)[Хо + 1 + 2{с^х-а)] =
^^^\ 2с ^ 2 ^ 2с
L о а
их . X
с7"^~
/
2с^
а J
. G4.19)
Займемся теперь некоторыми вычислениями: если в момент подхода
к свободной поверхности на фронте ударной волны имеем
и = и^, с = Сн, то 1^н — ^н = — ^а» 2Сн — С^ ^ —-— ,
откуда Сн = Со/2 + (Z — аI2х\ при разлете первая частица
получит скорость
«шах = -^ - ^а = 2и^. G4.20)

636
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. XI
Соответствие G4.19) дает такой же результат, что является
контролем.
Установим область существования найденного решения;
очевидно, при и = О и с = Са^ь! имеом
х = а + Cat. G4.21)
Это выражение дает закон движения задней границы ударной
волны. Скорость движения фронта равна
D ~ —
откуда
2 2t
X = a + cj + AYt,
G4.22)
G4.23)
Фронт бслны
разреэюзния
Граница
кавитации
при этом константа А определяется из таких условий: при ^ = т
X — L Отсюда окончательно для закона движения фронта ударной
волны получаем выражение
x^a + Cat + il-a- CaX)Yif^' G4.24)
Рис. 90 дает схематическое изображение движения всех трех
фронтов: фронта задней границы ударной волны, фронта волны
разрежения, линию, на
которой начинается
кавитация, а также траектории
частиц жидкости.
Когда до задней
границы ударной волны доходит
волна разрежения, режим
истечения меняется,
однако мы не продолжим далее
решения, поскольку оно не
представляет большого
интереса. Можно только
отметить, что после этого
кавитация практически
закончится.
В случае металла
кавитация может начаться
значительно позже достижения нулевого давления, поскольку в
металле будут действовать значительные силы сцепления между
частицами, противодействующими растяжению. Разрыв начнется
тогда, когда растягивающие усилия, возникающие вследствие
градиента скоростей, будут превосходить силы сцепления.
Следует рассмотреть еще один интересный случай кавитации.
Пусть жидкость, уравнение состояния которой
Рис. 90.

§ 74] КАВИТАЦИЯ ПЛОТНОЙ СРЕДЫ 637
сжата в некотором цилиндрическом объеме длиной /. В момент
времени ^ = О в сечении х = О жидкость начинает истекать из
этого объема в трубу такого же сечения. При этом в области
—Сн^ < :г < (сн — 2са) t G4.25)
будет иметь место движение жидкости, подчиняющееся решению
и + с == с^; и — с = xlt. G4.26)
В области
(Сн - 2са) t^X^{Cn-Ca)t G4.27)
скорость движения частиц жидкости будет постоянна и равна
величине Wo = Сн — Са, поскольку В НеЙ всюду с = Са, Р "= Ра
(ниже давление в жидкости упасть не может).
В момент времени t = t^ = 1/сц фронт волны разрежения
дойдет до стенки (х = — I) и отразится от нее; возникнет новая волна
(отраженная)
и + с = -^-i— ; и — с = ~, откуда и = -^-i— ; с» -= — . G4.28)
Фронт отраженной волны будет двигаться по закону
х = c^t- 21. G4.29)
В момент времени t = t2 = Не а всюду в области отраженной
волны будет
с = с,; ^ = ^Ц^. G4.30)
в этот же момент времени отраженная волна догонит границу
области постоянных значений с = Са-, и = Ua* При этом X =
— I [cjca — 2]. Дальше процесс пойдет так, что в области G4.27)
значение скорости сохранится, а левее начнется кавитация
жидкости, поскольку там скорости различных частиц жидкости
различны. Каждая частица жидкости будет иметь свою скорость:
JL = ^?+i_. G4.31)
Переход к лагранжевым координатам не представляет труда.
В простой волне мы имеем
2]f- XaCnt, G4.32)
где Ха — лагранжева координата; в отраженной волне
x = c^t^^^^-l, G4.33)

638 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. XI
при этом
х + 1 ^\+i G4.34)
и
Таково распределение скорости в волне кавитации по лагранжевои
координате.
§ 75. Распространение сферической ударной волны в воде
Наиболее просто решается задача для случая мгновенной
детонации. В этом случае можно приближенно считать, как это мы
делали ранее, что для продуктов детонации справедлива
зависимость
и = -^(с„-с). G5.1)
С еще большей степенью точности можно полагать, что для воды
справедлива связь между скоростью течения н местной скоростью
звука (с):
"=--^(«-5»). G5.2)
Это выражение с течением времени (до прихода какой-либо
отраженной волны) становится все точнее и точнее, поскольку
увеличивается расстояние от центра симметрии.
Принимая для продуктов детонации конденсированных
взрывчатых веществ уравнение изэнтропы в виде
Р = АоР\ G5.3)
а для воды уравнение изэнтроны в виде
р = Л (рз _ рЗ), G5.4)
придем к таким волнам (см. §§ 67 и 68):
а) для продуктов детонации
t = - ^'~'" г + Ф,[г^с{с^-с)\; и-=с„-с; G5.5)
''^н
б) для В0ДЫ1
t = ^^-=^ г + Фа [Л (с - сJ]; и==с^Са. G5.6)
^а

§ 75]
РАСПРОСТРАНЕЙИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
639
Произвольная функция Ф определяется из условия: при ^ = О
г = rQ. При этом волна G5.5) имеет вид
1-
го Го
Го Го
= i-
G5.7)
в случае необходимости можно воспользоваться более точными
решениями §§ 67, 68;
2с„
Р
-1
+ Ф,
, G5.8)
где ^ = и — с = Сл — 2с;
t = ^^
2с„
а
¦1
+ Ф2
l)].G5.9)
где а = ы + с = 2с — Са- При этом волна G5.8), исходя из
условия, что при t = О должно быть г = Го, имеет вид
г
1^
+
+=(^-/^(f
1+1
G5.10)
Правее волны разрежения G5.7) или G5.10) должна находиться
волна, отраженная от границы раздела.
Согласно гипотезе А. А. Булгаковой и Н. И. Поляковой эту
волну можно аппроксимировать как стационарную, т. е.
описываемую уравнениями
2
/с —1 ~ 2
В случае к =^ 3 эти уравнения принимают вид
и^ + с^ =А; 2ис =В1г\
4-; 2ис^-^=^-^. G5.11)
G5.12)

б40 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. XI
откуда
а = |/л+4-- Р = |/л-4- G5.13)
Для того чтобы определить произвольные функции Ф в G5.6)
или в G5.9), надо знать закон движения границы раздела. Как
показывают вычисления, скорость движения границы раздела,
как и следовало ожидать, падает быстрее, чем в случае плоской
волны. Вычисление произвольной функции Ф при этом не
представляет труда.
В случае детонации газовых смесей начальные давления на
фронте ударной волны будут невелики и жидкость можно считать
несжимаемой. При детонации конденсированных взрывчатых
веществ в случае сферического взрыва на расстояниях около 2го
давление в продуктах взрыва на фронте ударной волны уже
значительно упадет и при дальнейшем развитии процесса жидкость
можно будет считать также несжимаемой.
Существенно отметить, что в рассматриваемом приближении
для сжимаемой жидкости мы в случае сферической волны имеем
право использовать соотношение
dr i
При произвольном п
гч 1 / , _ , - V л +1 _ 3 —/г _ „ , л + 1
?'у = ^К + с + Оа) = ^(ТГ—[)-^ - 2(^:Г1)-«а = Са +-i-"y
Для того чтобы определить закон движения фронта ударной волны,
необходимо знать произвольную функцию Ф1. Закон движения
фронта сферической ударной волны будет отличаться от закона
движения фронта плоской ударной волны тем, что скорость фронта
будет быстрее убывать с расстоянием, поэтому длина сферической
ударной волны будет меньше, чем длина плоской ударной волны.
Это вполне естественно объясняет сходство законов движения
границы раздела сферической и плоской волн от места взрыва.
Приближенно можно положить, что, начиная уже с небольших
расстояний от места взрыва (при а" = Ti ]> 2го), закон движения
фронта сферической ударной волны выражается соотношением
где величина r^ujr равна скорости Uy'.
-^ = uy, G5.14)

§ 75]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ
С41
причем Ui — значение скорости Uy при г = г^. Из этого
соотношения видно, что, начиная с расстояний порядка бг^, скорость
фронта ударной волны становится практически равной начальной
скорости звука.
Из соотношения, выражающего закон движения фронта
сферической ударной волны, и уравнения изэнтропы следует, что
зависимость давления на фронте волны от расстояния может быть
выражена формулой
(Ру
,,K-,,,.<Z^D_?.)„„
G5.15)
Отсюда на малых расстояниях от места взрыва, где жидкость еще
сжимаема, ру
G5.16)
На больших расстояниях, где жидкость практически
несжимаема, или, точнее сказать, ее сжимаемость подчиняется линейному
закону
^p = пЛрГ^Ар, G5.17)
давление будет зависеть от расстояния следующим образом;
1
71 -^,
1.2
Г''
fl * 1
[ te-rj
^p^
VnA^l^4,u^
G5.18)
т. е. будет иметь место акустическая формула.
Совершенно аналогичные выводы можно сделать и для
цилиндрического взрыва.
Более сложной является задача о расширении в жидкости
продуктов реальной детонации. Однако, так же как и в случае их
распространения в воздухе, уже на малых расстояниях от места
взрыва поле взрыва приближается к полю в случае мгновенной
детонации; поэтому мы этот случай рассматривать не будем.
Рассмотрим теперь задачу о расширении сферы продуктов
детонации, считая, что процесс расширения, начиная с некоторого
расстояния Гх = 2го, будет эквивалентен процессу расширения

642
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. XI
идеального газа в несжимаемой среде, поэтому будет иметь место
следующее соотношение:
G5.19)
где
к = 7/5, /?! = Pn{rjr^^, а рн = Ро^^8.
Поскольку для несжимаемой среды основные уравнения
гидродинамики в сферических координатах имеют вид
и допускают следующее общее решение:
О
иг
,2
/@;
¦ф(<)
/
Ра '• 2г' '
G5.20)
G5.21)
где для данного случая ф (t) = ра, то закон движения границы
раздела можно написать в виде
причем на границе раздела
/
Р
2г*
G5.22)
поэтому уравнение G5.22) принимает вид
dr
.3fe
3 u2 ^ 2pi г- 2p^
G5.23)
Его решение при условии, что и = и^ при г = г^, имеет вид
v3
/2 _
и{ +
2 Pi , ^Ра\[ П \ _
3(/с-1) Р« "^ 3pJ\r )
2 j.1 ^ri\^^ 2р n
3(^-1) р V г j ^ Зр I
G5.24)
Предельное расстояние^ которого достигают продукты детонации,
определяется из этого соотношения, если положить в нем и = 0:
pi
(/с-1) \ г
sk
+ Ра=[-^ PaUl +J^ + Pa] {-^f • G5.25)

§ 75] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ 643
Пренебрегая малыми величинами, окончательно придем к
выражению
Р1 9оР^ f ^оУ _ 9oD^ 1
[irh
ni ^ {k-WPa ~^h-i)p^ Vnl 8(/c>-i)p^ i6;i32 • С^^-Зб)
Для типичных конденсированных взрывчатых веществ будем
иметь, полагая р^ = 1,6, D = 7000 м/сек, А = 1,4, (г/г^У = 500
или (г/го)^ = 500«8 = 4000, что дает г/го = 16, Таким образом,
мы видим, что предельное расстояние мало отличается от
расстояния, достижимого продуктами детонации в воздухе. С
увеличением глубины, на которой может происходить взрыв в воде,
внешнее противодавление возрастает, и поэтому предельный и
максимальный объемы продуктов детонации уменьшаются в отношении
(/? д//? JVfe, где Pf^ — противодавление на глубине h. Следует указать,
что пользоваться решениями G5.21) для ударной волны,
распространяющейся даже в очень мало сжимаемой среде, не имеет
физического смысла, поскольку скорость распространения звука в
такой среде всегда конечна, а не бесконечно велика, как это следует
формально из решений. Кроме того, из решений G5.21) следует,
что скорость в ударной волне (в волне сжатия) падает от границы
раздела к фронту волны; при учете сжимаемости картина должна
быть обратная.
Поэтому для описания акустической стадии распространения
волны следует пользоваться уравнениями акустики с учетом
нелинейных членов, т. е. полагать, что в бегущей волне выполняется
соотношение
1^ = - ^ Y-dpdv =5^ — 5 G5.27)
которое для малых давлений принимает вид
^^<^-^ = -wh:(<^-'^a), G5.28)
причем и — 1/г. Количество движения, которое имеет вода за
фронтом ударной волны, может быть определено соотношенийми,
аналогичными тем, которыми мы пользовались в § 72:
= 1^]/ 2M.?.(l + -l^^
'-¦z^r 2М^.И + ^Чгг^; ('5.29)
при г <^ 45г0;
,=^/2M.?.(l+i^) G5.30,
при г ^ 15го, причем, как показывают эксперименты, X ^^ Югд.
Длина ударной волны в воде будет несколько меньше, чем в
воздухе. При отражении ударной волны от какой-нибудь преграды

644
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. XI
количество движения будет в пределе для бесконечно
протяженной преграды удваиваться.
В заключение рассмотрим случай точечного взрыва в воде.
Поскольку уравнение состояния для воды можно писать в виде
p^A{S) {рп ~- р2), G5.31)
причем показатель степени п можно выбирать довольно
произвольно, меняя соответствующим образом величину Л, то, допуская
приближенно, что
р =A{S) p^ G5.32)
легко найти решения для случая точечного взрыва. Эти решения
становятся особенно простыми при п = 7.В самом деле, используя
основные уравнения для автомодельных движений § 69
din'.
din у
dx [Л^(п —l) + n + l]a: —2
__ («1 — xf — y
И отыскивая решения в виде
_ _ 2ai
G5.33)
2л in — 1) ai
У = Уя = ^^ —
n + i ' г/ - i/H- (л+ 1J i
мы сразу же придем к такому результату^
и ¦
2ai
С =
У2л(П--1) г
л + 1 t ' л + 1 t '
при этом должны выполняться условия
[iV(/i~l) + n + i]xn=^2;
Уп (^^V^^ + ^« (^. + *)) = ^н A - ^п) («1 - ^н).
Отсюда мы видим, что, поскольку а^ = 21 {N + 3),
37V + 1
G5.34)
п =
N-^i
при iV == 2 мы получаем тг = 7, При этом
р ~ 2 = rlt.
G5.35)
G5.36)

76]
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В КАНАЛАХ
645
Закон движения фронта ударной волны выражается
соотношением
1
^у-=«11 -Tjr. G5.37)
Зависимость давления от расстояния выражается соотношением
Ру ~ 1/гЗ. G5.38)
Соответствующие константы могут быть определены из уравнения
энергии. Зависимости
и = и{г)
и
Р=Р{г)
для заданного t даны на
рис. 91.
На этом мы закончим
краткое рассмотрение основных
закономерностей наиболее
важных неустановившихся
движений в жидкостях.
Отметим, что после
прохождения фронта ударной волны
через свободную поверхность Рис. 91.
жидкости начнется кавитация
жидкости, приводящая к выбросу некоторого
пыленной жидкости в атмосферу.
количества рас-
§ 76. Неустановившиеся движения воды в каналах*)
Исследования движений воды в каналах и реках и, в частности,
неустановившихся движений представляют большой технический
интерес.
Используя развитый аппарат газовой динамики, можно с
большим успехом применить его к исследованию неустановившихся
движений воды в призматических каналах, пренебрегая боковым
растеканием воды и считая, что отсутствуют силы трения. При
этом необходимо также допустить, что глубина воды не очень
велика, а длина волны в среднем, напротив, значительна по сравнению
с глубиной канала.
Основные уравнения для рассматриваемого течения будут
иметь вид
ди
W
дР
dt
+ U
ди
'дх
+-1^ = 0;
' р дх '
I dF , „ ди f.
G6.1)
dt ^ ¦* ах ^' дх ~^' )
*) Поароб&о эта вопросы были рассмотрены С. А. Христиааовичеи [4].

646 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ 1ГЛ. XI
Здесь по-прежнему и — скорость, р — давление, р — плотность,
F — площадь сечения канала, занимаемая водой. Первое
уравнение является уравнением движения, а второе следует
непосредственно из уравнения неразрывности для трубы переменного
сечения, если считать, что плотность воды постоянна.
Рис. 92.
Поскольку dp== gp dA, где h — глубина канала, то уравнение
движения можно написать в виде
ди , ди , dh f.
G6.2)
Преобразуем написанные уравнения; введем новую переменную к
g dh = dij и поскольку для призматического канала F= F (h) =
'= F (i), то, вводя производную dF/di =^ dF/g dh, будем иметь
ди , ди , di /ч
at ' ах ' dF дх
G6.3)
Рассмотрим так называемые параболические русла; пусть
форма русла в поперечном сечении описывается уравнением
(рис. 92)
у = az*, G6.4)
причем значение z при у = h обозначим через Ы2;
L _( h \1/«
2 -\а) •
G6.5)
В этом случае, как нетрудно видеть, площадь сечения русла
выражается так]
G6.6)
F-2(|'..,= ^(i)"'»
2а(х
аЧ-1

§ 7б] НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В КАНАЛАХ 647
Отсюда следует, что
а а
И система уравнений G6.3) может быть написана в виде
ди , да , di ^
di . di . ,j ... ди ^
G6.9)
/Г
X =^ ut -
Эф
ди
dt дх ^ ^ ^ дх
где
Для значений Л: == /*]", а = т—, где г = О, 1, 2, ..., сю.
Обш;ее решение этой системы, как известно [см. A5.33) и
A5.34)], имеет вид
а^-1 /-1[/2Bг + 1I + ^]+/2[У2Bг + 1)^-1г]^ G6.11)
причем
G6.12)
Особое решение этой системы для произвольного значения а
(или г) (§ 14) имеет вид
и=- ± l/ Bг + 1) t + const,
:z: - [ w ± У2Bг+ 1) i] t + F (и) ^^^-^^^
или
i^- + 2|/"^^i +const, x= l^u±2-l/^-^i) t + F(u).
G6.14)
Вводя 2 7/ —i—г = с, где с — скорость распространения
возмущения, напишем систему уравнений G6.9) в виде
dt дх а dz , ^^g_^5)
5с j^ Эс а ди ^
"аГ + ^ Ж + 2(а+1) ^ а^ ~ ^'

648 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ в плотных СРЕДАХ [ГЛ. XI
отсюда следует такая форма записи уравнений:
д I , 2(ot+l) \ , , , V а / , 2(а + 1) \ (\ та лак
Анализируя эту систему, можно сделать вывод, что всякое
движение воды в канале можно разложить на две волны; в одной волне
заданные значения i^ + 2(а + 1) с/а распространяются вправо со
скоростью и -\- с, ъ другой волне заданные значения w — 2 (а +
+ 1) с1а распространяются влево со скоростью и — с. При этом
обе волны взаимодействуют друг с другом.
При внезапном понижении дна или при разрушении
какой-либо плотины, например в канале, образуется так называемая
прерывная волна, являющаяся как бы аналогом ударной волны. На
фронте этой волны давления и скорости будут терпеть разрыв,
поскольку плош;адь, занимаемая водой, также терпит разрыв.
Выведем основные соотношения для прерывной волны,
справедливые для описания состояния по обе стороны фронта, в случае
параболических русел. Уравнение неразрывности в системе
координат, в которой фронт разрывной волны покоится, будет иметь
вид
щРх — щР^ или щ1х ^ —u^i<2^ '*• G6.17)
Здесь индекс 1 обозначает состояние до фронта и индекс 2 —
состояние после фронта волны, й — скорость в этой системе
координат.
Уравнение сохранения импульса дает соотношение
V Li/2 У LiJ-l
2pgJ J (h — y)dydx + pulF^ = 2?g\^ J {h--y)dydx + 9ulF^\
G6.18)
0 0 0 0
отсюда для параболического русла, поскольку
(а+1)Bа + 1) V2ga7
2$ \ {h-^y)dydx= '''^' . f-L-V"r
о о
1+~
ag ) а + 1 '
будем иметь
^1 + ^1 Ui= г,„ ,4 h -г ^2 Щу
2а+ 1 ^ 1 «^1 -1- 2а + 1

§ 76] НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В КАНАЛАХ 649
или
-^ ghl + L^Kul = ^^ ghl + L,h,ul G6.19)
Уравнения G6.18) и G6.19) дают соотношения между четырьмя
параметрами г^, Щ, 12 и й^, два из которых должны быть заданы.
В системе координат, связанной с неподвижным наблюдателем,
выведенные уравнения будут иметь вид
1+4- 1+^
2+4- 1 2+-^- 1
2а
^+^1 '(^-^i)'=l^ + ^'i ""{D-u^f
G6.20)
Здесь D — скорость фронта разрывной волны.
При переходе через фронт разрывной волны энергия жидкости
необратимо уменьшается, часть энергии идет на повышение
температуры жидкости. Поскольку плотность потока энергии равна
e=2 5(-^ + |-)pudF, G6.21)
О
то, производя интегрирование и исключая, например, щ и и^,
найдем выражение для величины потерянной энергии г^ — г^ как
функции h^iih^. Однако эти вычисления довольно длинны и
большого интереса не представляют.
В частном случае, когда а ->• оо, имеем русло с постоянной
глубиной. При этом
.^ . 'iL = *,+4'
Wi^i = щК\ u\h^ + —i- = ulh^ -\——- G6.22)
и
Ч-Ч = ^^ {hi + К) (К - h,). G6.23)
При этом также формально будем иметь, что уравнения G1.1)
переходят в уравнения газодинамики с уравнением изэнтропы
h
р г^ р^, где р = р/г, р = \pdy.
о
Тогда
р = ^^. G6.24)
Следует отметить, что устойчивые ударные волны разрежения
при распространении воды в каналах невозможны.

650 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. XI
Выведенные нами соотношения позволяют решать самые
разнообразные задачи, связанные с неустановившимися движениями
воды. При этом пригодны полученные нами ранее решения ряда
задач, описываюп^их неустановившиеся движения газа. Величина
i в формулах для движения газа обозначает теплосодержание, а
в данном случае величина i = gh пропорциональна глубине
жидкости. Площадь сечения можно уподобить плотности газа (р);
для параболических русел, как мы видели, суш;ествует, так
сказать, изэнтропическая связь между глубиной и плош;адыо. Соот-
ветствуюш;им образом можно применить граничные и начальные
условия задач газовой динамики к задачам движения воды в
каналах. Следует только особо отметить некоторую разницу между
распространением ударных волн в газах и разрывных волн в
жидкостях. В первом случае уравнение изэнтропических движений
уже неприменимо, во втором случае оно сохраняет силу. Это
объясняется тем, что связь между давлением или глубиной канала и
площадью сечения (плотностью) сохраняется и в случае
разрывных движений.
Для того чтобы определить закон движения фронта разрывной
волны, необходимо знать скорость воды и глубину до фронта, а
также, в случае сопряжения ударной волны с простой, связь
между гг и i в простой волне или, в случае сопряжения со сложной
волной, связь между и, г, х, t для сложной волны; тогда из
уравнений сохранения, определяющих состояние на фронте разрывной
волны, и указанных условий можно определить три искомые
величины г^з, i^, D, причем в случае сопряжения с простой волной мы
приходим к трем алгебраическим уравнениям, а в случае
сопряжения со сложной волной нам необходимо, поскольку D = dxjdt,
решить одно обыкновенное дифференциальное уравнение первого
порядка и два алгебраических уравнения.
Следует особо отметить, что реальным руслам соответствуют
значения а = 2, 2/3, 2/5 и т. д., г = 1, 2, 3, . . ., —1 (рис. 89,
где показано параболическое русло для а = 2), для русла
прямоугольного сечения, поскольку х = (у/аУ^^ = const, мы получаем
значение 1/а = О, что, как мы указали, соответствует показателю
изэнтропы к = 2. В этом случае волны двух направлений можно
определять или приближенно, или методом характеристик.
§ 77. Распространение сильных волн в твердых телах*)
Теория распространения слабых волн, продольных и
поперечных, в твердых телах развита достаточно полно. Точно так же
имеются многочисленные экспериментальные сведения в области
*) Эти вопросы были рассмотрены X. А. Рахматулиным и независимо
от него автором. За границей подобные задачи также рассматривались (см.
книгу: Г. Курант иК,Фридрих с, Сверхзвуковые течения и ударные
волны, ИЛ, 1950),

§ 77} РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ ВОЛН В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 651
поведения твердых тел при сравнительно небольших
динамических и статических нагрузках.
Изучение поведения твердых тел при больших нагрузках,
возникающих при взрывах, начато сравнительно недавно, и в этой
области наши сведения как теоретические, так и практические
еще крайне недостаточны.
Здесь мы делаем попытку развить и углубить некоторые
известные результаты теории распространения сильных (нелинейных)
волн в твердых телах, возникающих при больших быстро
меняющихся взрывных или иных нагрузках.
В отличие от жидкости, которая после любой практически
достижимой нагрузки, когда эта нагрузка снята, возвращается в
исходное состояние, так что лишь температура конечного состояния
может несколько отличаться от температуры начального состояния,
твердые тела обладают так называемой остаточной деформацией;
кроме того, сама кристаллическая структура твердого тела при
достаточно больших давлениях может видоизменяться или даже
исчезнуть. При этом остаточная деформация при растяжении
обычно больше, чем при сжатии.
Даже в случае распространения слабых волн влияние
остаточной деформации может быть значительным. Поэтому теория
распространения волн в твердых телах имеет свои трудности по
сравнению с теорией распространения волн в жидкостях, однако
в ряде случаев малая сжимаемость твердых тел облегчает решение
задачи.
Известно, что при воздействии какой-либо силы,
приложенной к твердому телу, например металлу, в поле возникает
бегущая волна деформации (нагрузка); в зависимости от величины этой
силы, рассчитанной на единицу поверхности, т. е. в зависимости от
величины приложенного давления, эта волна имеет различную
интенсивность.
При отражении волн от свободной поверхности тела или
снятия (полного или частичного) нагрузки возникают новые
волны — волны разгрузки.
В настоящее время для решения ряда принципиальных
теоретических и технических задач представляется необходимым
исследовать вопрос о воздействии весьма высоких давлений на металлы
или иные твердые тела, когда в этих телах возникают сильные
волны и уравнение, связывающее деформации и напряжение, не
подчиняется закону Гука. Зависимость плотности тела от
давления или деформации от напряжения лишь при не очень больших
давлениях (деформациях) подчиняется закону Гука. При
давлениях в десятки и сотни тысяч атмосфер закон Гука уже
недействителен. Для ряда твердых тел наклон кривой а = а (е) в некоторой
зоне при сжатии уменьшается. При давлениях порядка миллионов
атмосфер твердое тело фактически становится квазижидким и даже

652 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ в плотных СРЕДАХ [ГЛ. XI
газообразным и в этой области давлений р — р^, где п —
показатель политропы; в пределе при еще больших давлениях этот
показатель стремится к значению п ;^ 5/3 (рис. 93).
Если закономерности распространения слабых деформаций
в пределах применения закона Гука хорошо исследованы, то,
напротив, закономерности распространения сильных волн
нагрузки и разгрузки, когда тело находится в пластическом состоянии
и необходимо учитывать сжимаемость материала, из которого
состоит тело, изучены недостаточно подробно и обстоятельно.
Рис. 93.
Здесь делается попытка аналитического изучения
распространения сильных волн нагрузки и разгрузки в металлах.
Напишем основные уравнения в форме Лагранжа,
характеризующие движение деформируемой среды; очевидно, что таких
уравнений будет два — уравнение движения C.1) и уравнение
сохранения массы (уравнение неразрывности) C.18) приЛГ= 0. Итак,
имеем уравнения
dt '^ Р дх " ^'
др
G7.1)
0. G7.2)
К уравнению G7.2) следует добавить очевидное уравнение
ди ,
дх
и,
G7.3)
где производная dx/dt берется при постоянном fe, т. е. для
заданной частицы. Вводя удельные объемы
Vq = — и V = —
G7.4)

§ 77] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ ВОЛН В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 653
И дифференцируя по времени второе уравнение C.22), получим
Итак, окончательно, в координатах Лагранжа движение среды
описывается уравнениями G7.2) и G7.5). При этом необходимо
учесть связь между р и р или /? и v, т. е. уравнение состояния
среды
Р = р{р) G7.6)
или
Р = Р (V). G7.7)
Изменениями энтропии для твердых тел даже при относительно
больших давлениях можно пренебречь, и поэтому уравнение
состояния имеет простой вид G7.6) или G7.7).
Уравнения G7.2), G7.5) и G7.7) имеют обычный
газодинамический вид. В теории упругости и пластичности обычно вместо
давления вводят так называемое техническое напряжение
а = -р G7.8)
и величину деформации
8 = -21 ~ 1 = .^^=;^ = -1^ - 1. G7.9)
р Vo дхо ^ '
В этих параметрах уравнения G7.2), G7.5) и G7.7) можно
написать в виде
ди _ 1 ^g __ ^3 ^ /77 10^
dt ро 9^0 ^^ ' \ ' )
G = G (е). G7.12)
Поскольку да/дх^ = {do/dt) {дг/дх^, то уравнение G7.10) примет
вид
ди ,}_^^ ^^ (ПП \*\\
dt Ро ^8 дхо * V • /
Характеристики уравнений G7.11) и G7.12) в форме Эйлера
определяются хорошо известными соотношениями [см. (8.15)].
Вдоль линий
f = »±/f = »±(l+e)/2: G7.14,
имеют место соотношения

654 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ в ПЛОТЙЫХ СРЕДАХ [ГЛ. XI
Поскольку
X = X (Xq\ t),
ТО
Отсюда dxjdt = {dx/dt — u)/{i + е) = j^do/po de. Таким образом,
в координатах Лагранжа имеют место следующие
характеристические соотношения: вдоль линии
имеет место связь между а, е и и:
du = |/i^. G7.18)
Очевидно, величина
определяет скорость распространения возмущений от частицы
к частице. Эта скорость связана с местной скоростью звука с
следующим соотношением:
^ = ^г/^^^с = -г^. G7.20)
ро Г ар Ро 1+8 ^ '
В случае слабых возмущений р = ро, х ^^ XqVl
W = Со, G7.21)
где Со — обычная скорость передачи продольных колебаний в
рассматриваемой среде, и мы приходим к волновому уравнению
G7.22)
причем X —> Xq, поскольку величина смещения частиц бесконечно
мала.
Решение уравнения G7.22) общеизвестно:
и = F^{x + c,t) + F^{x^ Cot), G7.23)
где F^n F^ — произвольные функции.
В случае малых возмущений имеет место закон Гука,
связывающий а и 8:
а = Ег, G7.24)

§ 77] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ ВОЛН В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 655
Черту над букво^? мы ставим для того, чтобы не путать модуль
с энергией, где Е — модуль упругости. Скорость звука слабых
возмущений равна
В случае сильных возмущений (деформаций) закон Гука уже не
имеет места и связь между а и 8 становится более сложной.
Интегрирование уравнений G7.11) и G7.12) в общем случае мы
проведем ниже.
При движении среды возможно, как мы увидим ниже,
возникновение ударных волн разгрузки, поэтому напишем основные
соотношения для ударных волн. Закон сохранения массы выражается
уравнением
poZ) = рн(^5 - Wh) или и^ + г^П = О, G7.26)
где рн — плотность на фронте волны, D — скорость
распространения фронта волны, Uji — скорость течения среды за фронтом
волны. Под бн здесь следует понимать величину е на фронте волны.
Закон сохранения импульса также легко выразить:
— огн = Рп — Ро = Po^hD, G7.27)
где Pq — начальное давление среды (до прохождения ударной
волны), Рн — давление на фронте ударной волны.
Ниже мы увидим, что скорость фронта ударной волны
разрежения определяется как скорость распространения обычных
малых (линейных) возмущений:
D=y^-^>Wo, G7.28)
поэтому уравнения G7.26) и G7.27) полностью определяют
свойства ударной волны разрежения, если задан один из параметров,
например /д.
Уравнение сохранения энергии также имеет классический вид
Е, - Ео = ^-^ (vo - Vh), G7.29)
где ЕожЕа — внутренние энергии до фронта и за фронтом волны
соответственно.
Зная рн> Ро> ^н и Eq, можно определить энергию Е^ на фронте
волны.
Для того чтобы проинтегрировать уравнения

656 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Б ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. XI
примем за независимые переменные и ж г, r Xq ж t будем считать
искомыми функциями. Для этой цели, как обычно, представим
уравнения G7.30) в виде якобианов
д (и, хо) ^ 2 ^ (^ g) . ^ (^ ц) ^ ^ (е. д^о)
д (t, Хо) д (t, Хо) ' д (t, Хо) д {t, Хо)
И разделим эти уравнения почленно на д (и, г)/д (t, Xq)^ считая,
что
д{и, 8)
^0.
д (t, Хо)
Случай, когда д (и, г)/д (t, Xq) = О, мы рассмотрим ниже,
отдельно. При этом уравнения примут вид
д (и, Хо) _ ^ д {t, е) , д (t, и) д (е, Хо)
д (и, е) ~~ ' д{и,е) ^ д (и^ &) д (и, е)
или
дхо 2 ^^ . ^^ ^•^'0 /77 41 ^
д& ди ^ д& ди ' \ • /
Пусть t = д\р/ди, Xq = -~- у где }р= \|) (и, е), тогда второе
соотношение G7.31) удовлетворяется тождественно, а первое уравнение
G7.31) примет вид
^=-^ -д^' G7.32)
Поскольку w^ = da^Pode, то возможно, определенным образом
аппроксимируя зависимость а = а (е), решить уравнение G7.32);
так как w^ = (р (е), получим уравнение вида
^_Ф(.H; G7.33)
для определенных частных видов ф (е) это уравнение имеет
аналитическое решение.
Заметим, что поскольку исходные уравнения, описывающие
распространение сильных волн в твердых телах, аналогичны
уравнениям газовой динамики, то и решения этих уравнений при со-
ответствуюш;ей аналитической аппроксимации закона о = о (е)
должны быть такими же по форме, как и хорошо известные
решения уравнений газовой динамики.
Пусть
а = ао + а (8 - 8о)«, G7.34)
где Oq, бо, а и а — константы; тогда
и;'= °"'(«-^)°"\ G7.35)
Ро

§ 77] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ ВОЛН В ТВЕРДЫХ ТВЛАХ
657
Возьмем в качестве новой независимой переменной переменную:
Z =
G7.36)
где i и Р — константы; тогда
дг
z^'"^
При этом уравнение G7.32) примет вид
'' ^4^-^ + '^""^ ^"^
Э dz]
аа Ь«+1 ^ ^2^ ,
пусть р = а + 1 и 6^+1 = Ро(а + l)Vaa; тогда
дЦ>
а дур а^ф
^ Лт2 + л» _L_ 4 Лг
G7.37)
^22 ~ а + 1 dz да^'
Продифференцируем по z уравнения G7.37); получим
Дифференцируя G7.37) /с раз по z и обозначая d^'yp/dz^ = "Ф/и
получим
dz^
ct + i
+^)?^
ди^
G7.38)
Интегрируя G7.37) к раз по z и обозначая операцию к-то
интегрирования как i|?_fe, получим
a^ijj
dz2
+
a + l
kV-^
а2г|)
7 dz
ди'
G7.39)
Вводя вместо z новую переменную 6 = 2 ]Az, придем к
уравнению
а —1
^02
е
ае
G7.40)
где при индексе к устанавливается соответствие уравнению
G7.38), а при индексе —к — уравнению G7.39). Пусть
q= А: = (а — 1)/2 (а + 1) или а == A + 2к)/{\ + 2А:), где верхний
знак соответствует операции интегрирования, а нижний —
операции дифференцирования; тогда уравнение G7.40) принимает вид
ае2 ди^ *
G7.41)

658 НЕУСТАН0БР1ВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ.XI
откуда
ур±к = F,{Q + u) + F, (9 - и). G7.42)
Отсюда
^ = -^lFi B V~^ + u) + F, B Yz - u)l G7.43)
где знак плюс соответствует операции дифференцирования, а
знак минус — операции интегрирования.
Поскольку
_ got (е — 80)"^+^
Ро(а + 1J '
то при
G7.44)
а = -Щ^ G7.45)
мы получим решение уравнений в виде G7.43), причем теперь
всюду верхние и нижние знаки в выражениях G7.43) и G7.45)
согласованы. При /с = О, 1, 2, 3, . . ., оо мы будем иметь а = 1,
—3, —5/3, —7/5 ... и в G7.43) должны применить операцию
дифференцирования; при к = —1, —2, —3, ..., — оо мы будем
иметь а = —1/3, —3/5, —5/7, . . ., —1 и в G7.43) должны
применять операцию интегрирования. При а = i {к = 0) мы имеем
обычный закон Гука (GQ=aEQ), Наибольший интерес представляет
случай к = i, а — —3; этот случай достаточно близко отвечает
реальной зависимости а=о (г) для большинства металлов и ряда
твердых тел.
При а = —3 (к = 1) имеем
б = бо - . ""'чз ; ц; = т/^ , \. > G7.46)
" (8— 8оK ' ^ РО (8—8оJ ^ ^
При этом Uq — — а, причем а <^ О,
12ао (8—8оJ ' ^ Yz
Заменив 2 на е, получим
^ = (е — бо)
при этом
[ф.(/?т^+¦')+*'(/? .4
8о
G7.48)
^о-^=^Фг + Ф. --^T^i^i + Ф.); G7.49)

G7.51)
§ ni РАСЙРОСТРАЙЕНИЕ СИЛЬНЫХ ВОЛН б ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ б59
здесь черта над знаком функции обозначает операцию
дифференцирования по аргументу.
Мы нашли общие решения основной системы уравнений.
Будем искать теперь особые решения этой системы. Как известно,
в случае особых решений
11^=0. G7.50)
Раскрывая якобиан G7.50), найдем, что
ди
ди д& дхо
дхо
Подставляя G7.51) в G7.30), найдем
ди _ v^ /_^\2 _ _^ .
дха дг \дхо) dt '
отсюда
где W = W (е); решение G7.52) очевидно:
е — бо = f {xo±wt), G7.53)
где / — произвольная функция.
Далее, мы имеем
ди _, де ^ ди , дг
'д^о^—^'д^о'Ж^^^'дГ'
Отсюда следует, что du = +wde и
и= + ^wde + const. G7.54)
Легко убедиться в том, что особое решение определено вдоль
характеристик уравнений G7.30) при переменном w. Удобно для
дальнейших преобразований уравнение G7.53) писать в виде
х^ = :fwt + F (е). G7.55)
В случае а = I w = Wq = const, в случае а = — 3
и=±-/^ '
рО 8 — 8о
-|- const.

660 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. XI
Волны, описываемые особыми решениями, являются простыми
(римановскими). Существует два семейства характеристик, вдоль
некоторых распространяются простые волны. Простые волны
называют также бегуп1,ими, поскольку они могут распространяться
только в одном направлении (справа налево или слева направо)
по еш,е невозмущенной среде (или среде, движущейся
стационарно).
При отражении простых волн от открытого конца стержня, от
свободной поверхности, стенок и взаимодействии их друг с другом
в случае простых волн разных направлений образуются сложные
(отраженные) волны, которые описываются общими решениями
основных уравнений.
Аппроксимация
а = ао-а{г- e^)"^ G7.57)
достаточно удовлетворительно описывает зависимость о = а (г)
для большинства металлов и твердых тел в области нелинейных и
пластических деформаций.
В самом деле, при достижении так называемого предела
упругости, когда перестает быть справедливым закон Гука, величина
производной do/de в некотором диапазоне давлений уменьшается,
т. е. уменьшается скорость w — у ^. Из уравнения
(П,Ъ1) мы имеем м;^= da/pQde = Зао/ро(е — 8о)^; при увеличении
|81, полагая, что 8о <С О при е ^ О и г^^ О при 8 <^ О, мы
действительно придем к результату, что с увеличением | 8 | уменьшается
скорость. В дальнейшем вместо 8 — во всюду будем писать
8 + 8о, полагая, что 8о < О при 8 > О и 8о > О при 8<^ 0. При
больших давлениях скорость w возрастает с давлением (см.
рис. 93).
Рассмотрим такую задачу. Пусть на одном из концов,
например левом, какого-либо прямолинейного стержня мгновенно
приложено большое давление (площадь стержня будем считать равной
единице и пренебрегать поверхностными эффектами, что
равносильно неограниченной среде) и пусть это давление меняется
каким-либо образом со временем. Требуется определить движение
среды в стержне.
Пусть на некотором интервале времени О <^ t <^ t^ давление
возрастает, не переходя предела зоны в (рис. 93). Тогда, поскольку
более сильные деформации распространяются с меньшей скоростью,
чем более слабые, будет иметь место следующая картина
движения. В головной части волны деформации будет разрыв,
распространяющийся с максимально возможной скоростью
i^„ = i/X|l = |/A. G7.58)

§ 111 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ ВОЛН В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 661
Максимальная деформация на разрыв, очевидно, равна предельной,
при которой еще соблюдается закон Гука; левее разрыва будет
область нестационарной волны сжатия, уравнение которой можно
определить из решения
Xo = wt+ F (w)] и + j/^ -—^ + const, G7.59)
Произвольная функция F (и) определяется из таких условий: на
фронте разрыва
0 = 0, е = 8,
где а, 8 — предельные значения а и е. Для них имеет место
соотношение
ц = — WqS, G7.60)
при этом
1 1
^ Ро 8 + 8о ^ Ро L е +
8 + 8о 8 + 8о J
Слева нам дано а = о (t) (при Xq = 0); начало отсчета координаты
Xq будем вести от левого конца стержня.
Зная а = а (^), мы определим е = 8 (^) и ц; = ц; (^), и обратно
t = 1 (w), поэтому F (w) = = wi (w); таким образом,
x^=w lt-l{w)]. G7.61)
Уравнения G7.60) и G7.61) полностью описывают простую
волну сжатия. При очень больших давлениях скорость фронта
ударной волны определится обычным акустическим
приближением.
Пусть теперь давление, приложенное к концу стержня, при
t = ti начинает падать. Слева направо по стержню пойдет волна
разгрузки. Эта волна обладает интересными свойствами.
Из опыта известно, что всякая волна разгрузки и при
начальном сжатии и при растяжении распространяется со скоростью
Wq = Y^/po- В случае внезапного снятия нагрузки волна
разгрузки будет распространяться как ударная волна, поскольку
Wq^w, в случае постепенного снятия нагрузки волна разгрузки
будет сначала непрерывной, но крутизна ее фронта начнет
возрастать со временем (поскольку Wq^w) и при некотором законе
уменьшение нагрузки сможет превратиться в ударную волну
разгрузки.
Если изменение давления происходит непрерывно, то простая
волна G7.60) и G7.61) сохраняется; если изменение давления
происходит скачком, то возникает новая волна в случае падения
давления. Эта волна, как мы указали, будет устойчивой волной
разрежения. В случае внезапного повышения давления взрыв будет

бб2 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [гЛ. Xt
сглаживаться и пойдет новая непрерывная волна сжатия. В тех
случаях, когда давление изменяется непрерывно, но производная
d-pjdt терпит разрыв, пойдет также новая непрерывная волна
(нагрузки или разгрузки). Во всех этих случаях (разрыва давления
или его производной) возникнет новая волна, которая уже не
будет простой и должна описываться общими решениями основных
уравнений. Пусть q = E {() задана в виде
о = а,[1+^-(^У]. G7.62)
где а^ ]> бпр, бпр — предельное давление, при котором закон Гука
перестает быть применимым, т — некоторая положительная
константа.
При ^ = О, а = а^ нагрузка приложена мгновенно, при t = t/2
нагрузка |а| достигает максимального значения, при t >- т/2 она
начинает уменьшаться, при ^ = t а = Go, и пусть при этом
значении t нагрузка мгновенно снимается. Рассмотрим до конца эту
задачу (считая стержень достаточно длинным):
2 dQ Зао Зао / (З — ао \ з
Поэтому
отсюда
W ¦
porfe ро(е+ 8о)* ро \ flo
^«0^ Ро /
<2 t '^а — '^о ш 3 / 3 \ *
т' т а„ а„
^В— Aw
2
^PoV
таким образом, уравнение G7.61) примет вид
x^=wit-Wv^V i^k{B-Aw-^)\ G7.63)
При этом
' У Ро [е+ео 8+ео J

§ 77] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ ВОЛН В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 663
Уравнения G7.63) и G7.64) полностью решают задачу, во всяком
случае для интервала времени О <^ ^ <^ т.
Волну разгрузки исследуем отдельно.
Прежде всего перейдем от координат Лагранжа к координатам
Эйлера. Поскольку и — dx/dt, то, исключая из G7.63) и G7.64)
W, найдем
-— =и = и (xq, t). G7.65)
Интегрируя G7.65) при условии t = О, х = Xq, определим
х=^ X (xq, t) G7.66)
и затем
и^ и{х, г). A1Щ
Выясним, может ли в волне разгрузки при законе G7.62)
сформироваться разрыв. На разрыве ди/дх = сх) или дх/ди = 0;
очевидно, при этом(9л;о/51^=1^ О, поскольку частицы, расположенные левее,
вовсе не догоняют передних (с большей скоростью
распространяются лишь состояния).
Переход к координатам Эйлера от координат Лагранжа
неудобен даже для простой волны; значительно целесообразнее
определить соотношение для простой волны в форме Эйлера
непосредственно из основных уравнений; как известно, особые решения в
форме Эйлера имеют вид
x = {u±c)t + F{c)] du = c^. A1.Щ
Поскольку
W =
р р _
/3flo 1 r — l/"— ^+А
Ро (8 + еоJ ' ^ " У Ро '
Ро (8 + еоJ ' У Ро (8+еоJ '
ТО, очевидно, связь между 1г и гг; остается такой же, как и в
координатах Лагранжа:
' У Ро [б+ ^0 ^Зйо/ J
Произвольная функция F (с) определится из таких соображений:
F (с) = ос — \и (с) + ^1 t, где х = х (с), t^t (с), причем
поскольку известно ^ = 7 (а), т. е. ^ = ^ (с), и на свободной
поверхности стержня и = dx/dt, то х =^u(t)df= х(с). Таким образом,
определяется/^ (с). Следовательно, принципиально задача решена,

664 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. XI
Определяя, далее, dxjdu = A + дс/ди) t + {dF/dc) (dc/du) и
приравнивая дх/ди = О, найдем
момент времени образования ударной волны разрежения. При
этом значение с нужно брать таким, чтобы 7 было минимальным.
Подставляя t = 1 {с)в первое уравнение G7.68), найдем х = х{с) —
координату образования ударной волны разрежения. Если 7 будет
действительным, то ударная волна образуется, в противном
случае ударной волны не будет. Доводить решение задачи до конца
при аппроксимации
мы, однако, не будем, поскольку получаются громоздкие
соотношения. Достаточно выяснить возможность образования ударной
волны разрежения при более простой для данной задачи
аппроксимации
x = l-^(i--L], G7.69)
где I = const. Здесь х определяет положение левого конца
стержня как функции времени, при этом скорость конца
В момент времени t = t/2 и ~ 0; при t — О стержень мгновенно
нагружен и тут же начинается разгрузка. Из G7.70) имеем
далее, очевидно,
x = i(u) = -i[J-_„][i_^(A_u^].
Связь между с я и дается соотношением
= {(l_e.)[(„-H)(/?+,-^)]-l)
Поскольку
Z == {и + с) {t — J) -\- X, с ^ А^и^ + А^и + А^, t = А^и + Ащ,

§ 77J РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ ВОЛН В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 665
то
-g. = Б,и' + B,u + B,^t {В,и + В,) == О,
где коэффициенты Bf легко вычисляются; отсюда
^ - ^ ~~ В.и+Въ
Наименьшее значение 1 достигается при условии
Вф^и" + 2В^В,и + В^В, - 5з54 = О-
Значение х = х легко определяется, поскольку х = WqI, Таким
образом, при достаточно длинном стержне волна разгрузки станет
ударной волной.
Представляется необходимым исследовать влияние
внезапного снятия нагрузки, когда сразу же образуется ударная волна
разгрузки.
Сначала рассмотрим такую задачу. Пусть стержень весь
равномерно нагружен, т. е. везде о = Gii = const. При этом о^=
= Oq — aJ{Ef^ + 80)^, где 8ft — величина деформации при сжатии.
Как только нагрузка будет снята, на конце а обращается в
нуль; при этом 8 = е^ = 8^ — су^/^Б, где ё^ — значение
остаточной
е = 8ft = 8fe — oJE
деформации. Скорость движения конца стержня uft определится
соотношением
щ = :^ =.^^ = Wo{e^- 80). G7.71)
Состояние Oq = О будет распространяться в виде скачка (ударной
волны разрежения) слева направо вдоль стержня. Если стержень
имеет конечную длину и правый его конец вначале упирается в
стенку, то как только волна разгрузки дойдет до этой стенки,
стержень отскочит от стенки со скоростью uj^. Если же разгрузка
начинается одновременно с обоих концов, то при встрече волн
разгрузки в середине стержня возникает новая волна, которая будет
являться как бы отраженной волной разгрузки; поскольку
правая и левая части стержня двигались в противоположных
направлениях, то стержень будет растягиваться и в зависимости от
начальных условий (величин начальной нагрузки) или просто
растянется, или может разорваться.
Отраженная волна разгрузки будет так же ударной волной,
как и падающая; для нее справедливы следующие соотношения:

666 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЛОТ^НЫХ СРЕДАХ [ГЛ. Х1
8 = 28ь — €ь, б = — бй при и ==0 ]
и '^ ^ _ . G7.72)
u = i^;o[8fe+e—28fe] j
при любых е и гг. Здесь величины ё, а, й = О относятся к фронту
отраженной волны. Если величина напряжения о превышает
некоторое критическое значение (напряжение разрыва), то стержень
разорвется. Подчеркнем, что в месте встречи двух волн из условий
симметрии следует, что скорость течения материала тождественно
равна нулю, и поэтому во всей области отраженной волны
разрежения скорость течения также равна нулю слева и справа от
плоскости симметрии. Поскольку разрыв может наступить раньше,
чем фронты отраженной волны разрежения дойдут до концов
стержня, а следовательно, некоторые части стержня при разрыве
будут обладать еш,е достаточными скоростями, то эти части стержня
разлетятся в противоположных направлениях.
Из выведенных соотношений видно, что разрыв стержня может
наступить в тех случаях, когда начальная величина разгрузки
превышает критическое напряжение, необходимое для разрыва.
Рассмотренные здесь задачи дают необходимый
предварительный материал для изучения более сложных задач распространения
сильных волн в твердых телах. Ниже мы рассмотрим эти задачи,
сейчас же сделаем лишь вывод о том, что взаимодействия
различных волн в металлах значительно более просты, чем в газах,
поскольку течения в металлах, по сути говоря, изэнтропичны.
Только в случае весьма больших давлений, порядка миллиона
атмосфер, когда сжимаемость металлов становится значительной,
необходимо учитывать изменения (возрастания) энтропии.
Теория цилиндрических и сферических волн деформации
(нагрузки и разгрузки) почти во всех деталях напоминает теорию
цилиндрических и сферических волн в жидкостях. Исключение
составляет явление остаточной деформации и описание волн
разгрузки в смысле условий на фронте волны.
Фронт волны разгрузки любой формы движется с постоянной
скоростью:
-0 = ^0 = /^ = /?. G7.73)
Ро
В случае очень сильных деформаций необходимо учитывать
сжимаемость среды. Поскольку при распространении
цилиндрических и сферических волн среднее давление или напряжение
быстро падает с увеличением расстояния от центра деформации,
то уже на расстояниях порядка 1,5го, 2rQ и больше, где г^ —
радиус деформированной вначале области, можно пользоваться
линейной теорией или теорией звуковых волн. На меньших расстояниях
можно воспользоваться или теорией одномерных движений, что

§ 77] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ ВОЛН В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 667
несколько грубо, или, что точнее, для бегущих волн считать
постоянными инварианты Римана, т. е. положить di^ + ее? In р = О,
что в других обозначениях имеет вид
du ±l/^^ = 0. G7.74)
' ро
Уравнения Эйлера для цилиндрических и сферических волн
имеют такой же вид, как и для плоских, уравнение же
неразрывности необходимо вывести.
Поскольку в координатах Лагранжа закон сохранения массы
имеет вид dh/dt = О или |
h = h (го), G7.75)
для сферической волны
dh = Anr^pdr = 4ягорой'*о (П Л&)
и du = 2nrpdr = 2ягоРойго для цилиндрической волны, то
уравнение G7.75) принимает вид
'•''PWo = '^Po, G7.77)
где Ро = Ро ('*о) или в частном случае до начала движения
Ро = const. Для цилиндрической волны N = I, для сферической
волны iV = 2 и для плоской волны iV = 0. В других обозначениях
уравнение G7.76) имеет вид
Пусть, как и выше, уравнение состояния имеет вид
а — Go = а (е — 8о)«; G7.79)
тогда da = аа (е — 80)°^"^ и du + У^аа/ро(е — SQ^'-^y^e = 0;
отсюда инварианты Римана выразятся так:
и ± ^ |/^ F - 8о)^' = const. G7.80)
Напишем {77 Л) в виде
r^|j^^ = ro^(l + eo+8-8o) =
-r-[i^±uf^ /^]-ЧгоМ+8). G7.81)

668 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Б ПЛОТНЫХ СРЕДАХ [ГЛ. XI
Поскольку и = dr/dt, то уравнение G7.81) окончательно напишем
в виде
Решение этого уравнения при любых начальных условиях или
гипотезе р = const не представляет труда, поскольку это —
нелинейное уравнение первого порядка. Полный интеграл этого
уравнения легко находится, затем для известных начальных условий
с помощью вариаций произвольных постоянных ищется
необходимое решение.
Наиболее простыми случаями являются: 1) а = 1 (закон типа
закона Гука), при этом уравнение линейное и 2) случай а = + 3,
когда в координатах (г, Tq) уравнение можно сделать линейным.
Для отраженных волн справедлива с большой точностью
аппроксимация
-Р- = ^ G7.83)
или
1 + 8 = Ф (w) r^L G7.84)
Исследования цилиндрических и сферических волн разгрузки
представляют особенный интерес.

ГЛАВА XII
МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ
§ 78. Задача Лагранжа
Мы здесь рассмотрим несколько задач об одномерном
расширении газа в трубе, сопровождающемся выталкиванием из этой
трубы тела. Эти задачи имеют приложение во внутренней
баллистике, а также представляют интерес для теории двигателей и,
в частности, поршневых, где нестационарно расширяюп^иеся газы
толкают поршни или, напротив, поршни сжимают газ.
Эти задачи рассматривали Ляв и Пиддок [67], С. А. Бетехтин
и автор [56].
Будем решать так называемую задачу Лагранжа. Представим
себе пока бесконечную трубу, определенный объем которой
заполнен сжатым
покоящимся газом. Пусть стенка,
ограничивающая газ слева,
неподвижна, а поршень,
ограничивающий газ
справа, имеющий массу М,
начинает в момент времени
^ = О двигаться из
сечения X = О под действием
давления сжатого газа. Правее поршня в трубе пустота.
Выберем начало координат у поршня в начальном положении
(рис. 94). Необходимо исследовать движение тела и газа.
Первая волна разрежения, которая возникает при движении
тела, будет простой волной, поскольку она будет
распространяться по покоящемуся газу. Для этой волны будут справедливы
уравнения
и=-^(сн-с); G8.1)
.27=-/
х=о
x^L
Рис. 94.
X ~ {jii — с) i -\- ? (и — с)\
G8.2)
здесь Сн — начальная скорость звука в газе, F (и — с) — пока
произвольная функция, которую можно определить, исходя из
условия на поверхности метаемого тела:
G8.3)

670 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
здесь площадь поперечного сечения трубы S принята за единицу.
Преобразуем это уравнение:
с \П-1 Slp^
" kl
окончательно
здесь m — масса газа, I — длина участка трубы, занятого газом
до начала его разлета, рн —- начальная плотность газа, рн —
начальное давление газа. Для к следует выбрать «политропическое»
вначение для сжатых продуктов горения (§ 43).
Введем безразмерные величины: ^ = х/1, х = c^t/l, г; = | =
== w/ChI с/Сн = а, тогда уравнение G8.4) примет вид
2к 2fc 2fe
.. . fk — i\1t-i т f 2 f\fe-i fk — i\K-i m f 2 \
^ = ^ = 1-^-) ш1тзт-^) =\-2-) ш(тзТ-^)-
G8.5)
Проинтегрируем это уравнение, задаваясь начальными условиями:
при t = 0, х = 0, и = 0 или
fS = 0,
прит = 0{;_^^^ G8.6)
Последовательно интегрируя, находим
2fe
здесь fn — безразмерное ускорение. (Истинное ускорение G =
»= ^п — • I Давление на поверхности метаемого тела определяется

§ 78] ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА 671
соотношением
Здесь индекс «п» обозначает значение соответствующих величин на
поверхности тела.
Определим теперь произвольную функцию F (и — с).
Поскольку из G8.2)
F {и — с) = X — {и —• с) t или F {v — а) = I — {v — а) X,
а г; — а и ^ выразятся так:
fe-i
2
то будем иметь]
F iv^— а) = -3 1 A +г; — а) = -: -. v—г^— =^к — v.
^ ' /с —1 W ^ ' ' /с — 1 т 2 т
G8.11)
Отсюда следует, что
с. , V , кМ
или
соотношение G8.1) в безразмерных величинах имеет вид
Таким образом, соотношения G8.12) и G8.13) полностью решают
задачу об определении первой волны разрежения.
Интересно отметить, что это решение аналогично решению в
задаче о разлете газа в пустоту с той только разницей, что разлет
как будто бы начинается в сечении [2к/{к -\- 1)] М1т = |о ^ ^^'
мент времени —\2к/{к + i)] М/т = Tq, сама же волна
центрирована.
Выясним, для каких газов в смысле их уравнения изэнтропы
волна разрежения при метании тела является центрированной.
Для этой цели воспользуемся соотношениями dujdt = и du/dx =
= р/М; X — Xq = (и ^ с) (t — to); поскольку на основании (8.32)

672 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
N = 0,dQ = О, w = -Cc-^, тог = М^—,х = Л/^—; отсюда
F(u-c)==Xo-{u-c)to = M[^'^-{u-c)^f].
Производя некоторые преобразования, можно прийти к
уравнению
у dp . d У dp f.
dp
откуда легко находится решение
Ар^ А
(i+Bpf (У + В)^
G8.14)
дающее уравнение состояния с учетом коволюма. Мы видим, что
уравнение изэнтропы, при которой волна центрирована, является
лишь на один параметр более общим, чем обычное уравнение
изэнтропы, и учитывает коволюм.
Левая граница волны разрежения в момент времени t = Z/сн
достигнет левой стенки, отразится от нее, после чего возникнет
отраженная волна, которая опишется уже известными нам
уравнениями B1.14):
l(i+l,)Y2Br + i) д'-^ [( V2{2r + i)i +и)^ 2 Bг + 1) ij
^
2rl[2Br + l)]'' дГ^ Yi
^=f- + To; x = u{t-^x,)^'^+x,. G8.15)
При написании уравнений этой волны мы учли то обстоятельство,
что центрированная волна начинается в сечении х ^^ х^ при
t=- to.
Фронт отраженной волны будет, очевидно, двигаться по закону
^ = и + с или ^=.v + a, G8.16)
что после интегрирования при условии т = 1, ^ = —1 (§ 21) дает

§ 78] ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА 673
Из соотношений G8.7) и G8.17) следует, что фронт отраженной
волны достигнет метаемого тела в момент времени ti и в сечении
li, определяемых соотношениями
при этом
t=«" = (^+T^) "; ^х = ,4та-«х). G8.19)
После того как волна, отраженная от стенки, догонит метаемое
тело, возникнет новая волна, отраженная от тела. Эта новая
волна уже не может быть просто найдена с помощью общих
решений уравнений, поскольку возникают непреодолимые трудности
при вычислении произвольных функций.
Фронт волны, отраженной от метаемого тела, будет
распространяться от тела и в зависимости от начальных условий задачи
может распространяться как налево, так и направо. Выясним
условия, при которых отраженная от тела волна не дойдет до стенки.
Для этого воспользуемся очевидным условием, что в волне,
идущей к стенке,
v-^^a = v,-^a, = j^[i^2a,]. G8.20)
Поскольку на стенке г; = О и в пределе должно быть и = О, то
2(te-l)
Таким образом, при
т ^ 2.к
М
>j^[22(fc-i) - l] G8.22)
волна не дойдет до стенки. Для различных значений /с = 3, 5/3,
7/5, 9/7 мы будем иметь соответственно ЛГ/т ^ 2/3, 4/15, 6/49,
8/135. В случае больших значений М/т, чем вычисленные, волна
дойдет до стенки, от нее отразится и снова пойдет к телу и т. д.
Для того чтобы просто и достаточно точно решить
поставленную задачу об определении движения тела, поступим следующим
образом. Будем считать, что, после того как первая волна
разрежения, отраженная от стенки, догонит метаемое тело, внутри

mul
6 '
G8.24)
G8.25)
674 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
газа установится режим
Допуская, что давление, а следовательно, и плотность в
среднем в газе не зависят от координаты и меняются только со
временем, мы прежде всего вычислим кинетическую энергию газа:
X
?'к = — $ pu^dx = — p{x + lf =
—г
где
т = р {I + Хп).
При этом потенциальная энергия равна
^n=^^^^i:V^. G8.26)
Если учесть, что у стенки давление может быть несколько выше,
чем у метаемого тела, то величина кинетической энергии может
быть выражена формулой
mut
^K=-gf, G8.27)
где 0^1— коэффициент, зависящий в свою очередь от
величины М/т, Известно, что при истечении в пустоту (что отвечает
случаю М/т = 0) этот коэффициент должен быть равен
0 = 2к/3{к —- 1), что вытекает из закона сохранения энергии
v2
/ 2 \2
\jl^zl4_ _ _j^ G8.28)
^ 1 т. 7 с„ 1 rncl
60 /с(/с—1) •
При времени, стремящемся к бесконечности, отношение
потенциальной энергии к кинетической стремится к нулю, и поэтому вся
энергия переходит в кинетическую.
При очень больших значениях М/т величина 0 = 1. Напишем
теперь уравнение баланса энергии
„ тс1 »_ (X +1) ти^ Ми^ ^^ ^^
k(k—i) k — i '66
Здесь Е — полная энергия (начальная энергия газа).
Поскольку на поверхности метаемого тела рп = Mdu^jdt^ то
уравнение баланса энергии теперь можно написать в таком виде:
м'^-^,+${^+м\=,г^. G8.30)
dt k — i^ 2 \ЗЭ ^''^ ) /c(fc —1) •

§ 78] ЗАДАЧА ЛАГРАНША 675
Но du^fdt = du\l2dx, и последнее уравнение принимает следую-
ш,ую форму:
Решение этого уравнения при условии, что при х = х^ должно
быть и — щ^ имеет вид
L ^ + зол/ J
Далее, очевидно, давление на поверхности метаемого тела после
прихода первой отраженной волны от стенки может быть
выражено формулой
_ М
\_Мк 2 JW + Z
+ ^^ . G8.33)
В пределе при Mint ->¦ оо мы получаем обычное уравнение изэнтро-
пического расширения. В другом предельном случае при М/т = О
получаем, что Рп = О, r ul = cl6Q/k (/с — 1) = [2сн/(А —- 1)]^, т. е.
закон сохранения энергии. Таким образом, в этих двух
предельных случаях решение является точным, а в промежуточных
случаях будет давать достаточно хорошее приближение.
Можно было бы для уточнения учесть некоторую переменность
давления с расстоянием и в величине потенциальной энергии.
Выражая потенциальную энергию через среднее давление и через
давление на границе метаемого тела, которое меньше чем среднее,
мы придем к соотношению
^.='^^.5V^.J^<i±i. ,,,.34)
где величина г|^1, однако можно не вводить в уравнение
величину Г), а несколько изменить значение показателя изэнтропы,
полагая, что этот измененный показатель к^ = i -\- {к — 1)/ц <. к.
В этом случае, когда труба, в которой происходит движение
газа и метаемого тела, имеет конечную длину д: = L, мы должны
решение наших уравнений оборвать при достижении телом этой
границы. Величины скорости и давления на границе тела
вычисляются по уравнениям G8.32) и G8.33), если положить в них
X = L, При этом в глубь трубы пойдет волна разрежения. Однако
эта задача представляет второстепенный интерес, и хотя ее
решение не встречает затруднений, мы его давать не будем.

676 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
Интегрируя уравнение G8.32), полагая, что х = L, найдем
закон движения метаемого тела.
Рассмотрим теперь более точно задачу о метании тела в случае
Л = 3, учитывая волну, отраженную от поверхности метаемого
тела. Для этой цели выпишем сначала уже полученное уравнение
для первых двух волн, полагая в них к = Ъ.
Простая волна:
. + а = 1; |--|-^ = (.4-a)(t + 41). G8.35)
Отраженная волна:
5 + -I--+2 1-^^
^ + « = —-ТЖГ' "-"==—ЕЖ' ^^^-^^^
Фронт отраженной волны догоняет метаемое тело при t = 2 +
, 2 ш
+ -о- 17" ® сечении
^ = 1+-Г-Г' G8.37)
при этом
«. = (' + 4^)". ''. = (' + i"r- G8-38)
Возникающая отраженная от тела волна будет
характеризоваться уравнениями
— —
%^^ =v + a- l=.(v^a)x + F{v^a). G8.39)
Первое уравнение очевидно, поскольку при отражении от какой-
либо преграды, находящейся справа, волна i; + ^ не должна
меняться.
Для того чтобы определить произвольную функцию/" {v — а),
воспользуемся снова уравнением Mdu/dt = р, которое в данном
случае можно написать в виде
В М \з
дЗ
т
^ + ^-;г + 2
\ '^¦" 2 m
Его решение при условиях ^ = li, т = т^, у = Vi будет иметь вид
М Г'
зм
Ъп от т ш / oivi \ '^
G8.41)
t I о I 5^ _ __^_^l/ v*^ ""^ 2 m j 2m / 3 M\
^ "^ + •>- " 3M ml/ /3M v2 M V + 2 m ]
2 + — r —+ 2 ^

78]
ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА
677
Зная закон движения метаемого тела, легко при помощи
алгебраических преобразований определить произвольную функцию
F{v-a) = 2
2 + 9-
М
• + '
гм
2 + 3 —
+
+ ¦
4 + 12
т ~~ ^ \ т )
12-
М
2 + 9-
М
2 + 3
-{v-a)
G8.42)
Таким образом, полное решение для волны, отраженной от тела,
будет иметь вид
М
I-
^ -f- у
2 + 3
3 м
т
~М
т
-.{V
('
—
т
~"зЖ~"
а) (х +
3
4
3
4
М
т
М
т
^ ^ 2 т
-1-
3 М^
G8.43)
Можно убедиться в том, что любые последующие отраженные
волны будут также характеризоваться уравнениями вида
V -{-а
X —Xi
V — а =
l-li
G8.44)
Область
отраженной волны
_ X—Xi
где ^^, ^г, Xi и Xi — постоянные величины, поскольку все
характеристики при /с = 3 прямолинейны. Эти постоянные определяются
для каждой волны v -\- а
или V — а, исходя из двух
условий: одного
алгебраического, получаемого
приравниванием момента и
координаты отражения
значения V шаизвестным
значениям для падающей
волны, и второго,
дифференциального, получаемого из
сравнения законов
движения тела по известной
волне и по волнам G8.44).
Система волн, возникающих при движении тела, изображена
на рис. 95.
Перейдем снова к рассмотрению задачи при произвольном
значении к. Большой интерес представляет вычисление количества
д?=-г

678 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
движения газа и метаемого тела. Легко видеть, что в пределе при
бесконечно длинной трубе полное количество движения
определится соотношением
/т
-^- №45)
Очевидно, эта величина количества движения равна импульсу,
действующему на стенку.
В случае конечной трубы, зная оставшуюся в газе энергию,
можно рассчитать импульс, действующий на стенку, при помощи
следующих приближенных соотношений:
J = /^ j/*! - ^ + S 0,8 У*2^^, G8.46)
где -&П = k-^i оставшаяся потенциальная энергия газа,
величина ^ ^^ 0,9 учитывает различие между количеством
движения газа, истекающего в бесконечную и конечную трубу (§ 23).
Член 0,8^]/^2mJ5'n характеризует количество движения газа,
истекающего после вылета тела из трубы. Аналогично можно было
бы рассмотреть задачи для трубы, открытой с одного конца, или
наиболее общую задачу о метании сжатым газом двух тел
различной массы, движущихся в противоположных направлениях.
Существенно подчеркнуть, что, особенно при метании тяжелых
тел Mint ^ 1, сделанное упрощение решения задачи, когда
предполагается, что в отраженной волне приблизительно р = р (t),
достаточно хорошо оправдывается и физически обосновывается.
В самом деле, при малой скорости метаемого тела взаимодействие
волн происходит многократно, пока тело проходит малую часть
пути и давление во всем объеме успевает выравниваться.
Рассмотрим еще одну задачу, имеющую важное прикладное
значение (задачу о фауст-патроне). Представим себе, что в
бесконечной трубе в объеме, длина которого Z, мгновенно сгорел
заряд пороха, масса которого т. Слева продукты сгорания
могут свободно истекать (в пустоту), справа они толкают тело
массы М,
Слева направо в объеме, занимаемом продуктами, пойдет волна
разрежения (см. § 20):
и=^^{с^с,); ^ = и+с. G8.47)

§ 78] ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА 679
От метаемого тела направо пойдет волна разрежения (см.
соотношения для классической задачи Лагранжа):
2 / ч 2/с М , ,
^==Z т(^и — П\ ^ = 7—ГТ 1 +
к — 1^ "¦ ^' /c + lm '
+ ("-'^)(' + /cfr^v)- (^8.48)
В момент t = Z/2cn в сечении х = — 1/2 фронты волн 1 и 2
встретятся и возникнет сложная волна разрежения, которая
может быть описана соотношением, аналогичным B1.14),
2/с М I
X
/с +1 т с„
^^—^ ^ X
2/г! [2Bд + 1)]
а^-1 [(Г272;;ТТМ+^)^-2Bгг + 1)/нГA^2B^ + ^)^' + ^+/ .
G8.49)
^ ~ di ' ^ -ui ^^ .
Закон движения метаемого тела, пока его не догонит правый
фронт волны G8.47), будет описываться соотношением G8.7):
— ^^"^ 2fe М
~ к — 1 ~^ к — 1 т
2
Когда правый фронт волны G8.49) догонит метаемое тело,
возникает новая сложная волна и закон движения метаемого тела
изменится. Найти аналитическое выражение для этой новой волны
не представляется возможным.
Реальные системы, где газ может свободно истекать в одну
сторону, применяются для метания относительно тяжелых тел
(когда М/т >> 1); при этом к моменту прихода фронта волны G8.47) к
метаемому телу оно практически еш,е не успеет набрать сколько-
нибудь заметную скорость. С большой степенью точности можно
вообш^е пренебречь собственным смеш^ением метаемого тела и
рассматривать отражение волны G8.47) от этого тела, как от
неподвижной стенки. При этом, как мы знаем, отраженная волна будет
характеризоваться выражением B1.14):
//2B.1 + 1) Э"-1 [(/2Bг + 1)^ + ^)^-2Bп + 1)^нГ ^78 51)
^ 2;г![2Bл+1)р at^-i /Г
Давление на стенке будет меняться по закону, который
описывается равенством B1.30).

680 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
Импульс в любой момент времени получим, производя
вычисления, аналогичные тем, которые производились для получения
формулы B1.31):
Pi» , ^ 2(п-а+1)
о 1 о ; " 2 (п-а+1)
, 2/г + Зр„г ^ [2(«-аIBа)!] f^ / /> \-1;Г:5-^1 /70 C9^
Отсюда
7- _ г Рн' VI [2 (п-а)! Bа)! Bа+ 1)] / р У^Щ^_ , ,, ,
G8.53)
Л/но = /, G8.54)
Поскольку
то скорость метаемого тела определится соотношением
ЩР^. G&.55)
^0" ~~М
Значения р и г) определятся следующим образом. Полагая
сначала и = Uq, найдем время, когда метаемое тело вылетит из
трубы, ^пр == 2'k/uQ. Далее из B1.30) найдем рпр, после чего из
G3.52) найдем т)пр и определим из G8.54) более точное значение
_M1-V
Если труба слева ограничена, импульс и скорость метаемого тела
незначительно уменьшаются,
§ 79. Метание тел продуктами горения
Рассмотрим теперь весьма важную задачу, имеющую
непосредственно прикладной интерес для внутренней баллистики.
Пусть в неограниченно протяженной в обе стороны трубе на
расстоянии I друг от друга находятся две массы, справа Мi, слева
Л/з, вне масс — пустота. Между массами мгновенно сгорает
какая-либо горючая смесь массы т и калорийности Q; таким
образом, при горении выделяется энергия
Е = mQ
или для идеального газа
Е = т "
к (к—!)'

§ 79] МЕТАНИЕ ТЕЛ ПРОДУКТАМИ ГОРЕНИЯ 681
где Сн — начальная скорость звука в мгновенно сгоревшем
веществе. Необходимо найти движения газа и обоих тел. Эта задача
является обобш,ением так называемой задачи Лагранжа, которую
мы только что рассмотрели. Однако здесь мы рассмотрим лишь
предельное движение при ^ -^ оо и выясним величины
разлетающихся направо и налево масс газа, скорости обоих тел и
одностороннее количество движения газа и метаемого тела (общее
количество движения равно нулю, поскольку действующие силы
являются внутренними).
Если, например, М^ ->- оо, то мы придем к предельному
случаю классической задачи Лагранжа, если М^, = О, то налево газ
будет свободно истекать, и мы придем к другому предельному
случаю задачи Лагранжа (для так называемого идеализированного
динамореактивного орудия или к задаче о фауст-патроне (см.
конец § 78)).
Характерной особенностью движения газа при t-^ оо, когда
р -> О, является икерциальность этого движения даже при
наличии масс, метаемых газом. При этом, как мы знаем,
и = x/t.
При истечении газа в пустоту направо предельный закон
распределения плотности описывается следующим выражением:
{2п)\
Р =
c^t 22^ (w!J
['-ii>
+ 1)''н'
G9.1)
Очевидно, что при истечении газа налево в пустоту закон
распределения плотности будет таким же, поскольку при замене х
на —X выражение G9.1) не меняется. В случае, когда газ истекает
свободно (в пустоту) и налево и направо, найдем, что
_ т {2п)\
^ ~ Сд*22^+^ (n]J
1-
Bn + i)c^t
G9.2)
(величина плотности в два раза меньше, чем при одностороннем
истечении, поскольку интервал, где находится газ, в два раза
больше). Напишем выражение G9.1) в виде
р^ ^ ' ^
¦[^-ШГ- "^¦')
где Uq = 2cJ{k — 1) = Bп + 1) ^н — предельная скорость
разлета.
Напишем уравнения газодинамики при р -> О в виде
ди , ди г. др , др , ди ^

682 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
При и = xjt первое уравнение выполняется, как и следовало
ожидать, тождественно, а второе даст решение для р в виде
р=4-ф(^) = ^/^. G9.4)
Таким образом, при инерциальном движении произвольные
функции в решении для р зависят только от гг и при постоянном и
обратно пропорциональны t. При ^ -^ оо естественно
предположить, что в случае одного метаемого тела М^ при М^ -> оо
_т Bд + 1)! Г, _ /^V]^ /79 5^
где Wi — предельная скорость разлета газа, равная предельной
скорости движения метаемого тела массы М^. В самом деле, масса
газа в этом случае определится выражением
Utt 1
{2n + i)\ "
где z^ — x/ujt. Поскольку
m= J pdx = m %'tj,ll ^ A - zl)"dzi,
0 \ 1 /
TO m ^ m, что является контролем нашего предположения
относительно аппроксимации плотности соотношением G9.4).
Естественно положить, что при М^ —^ оо и Mg ф О
р_ m Bn + i)\
-шг
U2t 22^(гг!J
(причем мы берем значение Wg по абсолютной величине);
iht 1
т= 5 pd:,^^i||+^
о ^ ^ о
где ^2 = x/u2t.
Если обе массы конечны, то можно положить, что
ж, = '{fdx = Am [(-21)«"'у _„')&, +

§ 79] МЕТАНИЕ ТЕЛ ПРОДУКТАМИ ГОРЕНИЯ 683
где А — константа, которую мы определим, исходя из баланса
массы
U2t 1
Щ = 5 pdx = Am I (^) "" i (^ "" ^2) dz2 +
Мы уже знаем, что
1 1
5 A - zl)^dz^ ^ S A - ^2Г ^^2 = 22п(д!J/Bп + 1)! = а,
о о
далее
1 Ut/Ut
о о
п 2(дг-аI 1-
Ml 22^(/г!J у^ \ / _^
W2 Bл + 1)!^^^ [(дг-а)!]222(^-°^>
Аналогично находится выражение
1
щ/и^ J A — zlu\lu\Y dz^ -= а^.
о
Таким образом, получаем
Поскольку
(mi +m2)/m = 1 = Al{uJuo)^^^'^'\a + а^) + {uju,Ln^^)(a + а^)]^
G9.7)
то отсюда находим А. Аналогично вычисляются величины энергии
масс, идущих направо и налево:
G9.6)

6S4 Метание тел газовым по1:'оКом [гл. хп
В результате вычислений будем иметь
-^-:|П]-1
G9.8)
Нам остается еще определить количества движения газа и
метаемых тел:
J^ = I^= M{u^ + \ pudx = M^U2 + \ pudx.
0 0
Вычисления интегралов приводят к соотношениям
г г пуг ^ Am rf ui >2(n+i) / M2\2(n+l) Л w? X"""^^"
,2 \ n+l
Поскольку A зависит только от u^ и Wg? то из уравнений G9.8)
и G9.9) определим щ, щ, затем 1^ = 1^ и из уравнений G9.6)
Ml и ^2, что полностью решает поставленную задачу.
В предельных случаях будем иметь
а) при М2-> оо ^2 == 0; а2 = 0; а^- 1_^^(^—j ;
. _ Bуг + 1I/ Цо\2(^'И) .
б) при Mi-> оо; 1^1 = 0; «1 = 0; «2 = fc^fl (^)
2(п+1)
в) Если Afi = Ma, то 1^2 = ^i; % = а2 = а; Л = -т—
л _BMj^/^\2(n+l),
B/1 + 1I
22(п+2) (п1J '
г) если ilfg = О, то ^2 = Uq, если М^ = О, то щ — щ\ при этом
значения а^ и «2 конечны. Величины А при этом легко
определяются из уравнения G9.7).
Вычисление масс, количеств движений и энергий в этих
предельных случаях не представляет труда.

§ 79] МЕТАНИЕ ТЕЛ ПРОДУКТАМИ ГОРЕНИЯ 685
Рассмотрим подробнее эти случаи. Когда М^ -> О, имеем
т Ti/r I Bл+ 1I
/ = Мла^ + шил -Г-Г7—-^—^ ;
1 1-г 1 22^+1 (л!) (л+ 1)! '
2Bп+3)'
Таким образом,
_ --/ 2Я B71 + 3) _ ¦,/" 4ycQi
^1 ~ К Bл + 3) Л/i + m ~ К 2;сЛ/1 + /ti
1^2
+ m(A:—1)
2mQ B/г + 3)
22^+1 (Ы) (л+ 1I ^ Bл + 3) Л/i + ш
G9.10)
G9.11)
Если Afi ^ т, то й^ = У2Е1т^, т. е. мы приходим к
классическому выражению, которое часто используется во внутренней
баллистике. Если М^ = О, то
^4A:Q
2с„
и -1/ -5^ - —^
G9.12)
и мы получаем предельное соотношение для истечения газа в
пустоту. Обычно в соотношениях внутренней баллистики полагают,
что р = р (;^) и не зависит от х, что соответствует в наших
соотношениях значению А = 3; п = О, при этом соотношения G9.10) и
G9.12) принимают вид щъ = у о д^ ? » Вычислим отношение
Щь1щ = f {MJm) для к = 5/4. Результат проиллюстрируем
таблицей
Mi/m
Ml
сю
1
2
0,95
1
0,91
0,5
0,86
^0,25
0,78
0,1
0,68
0,05
0,63
0
0,55
Очевидно, что если MJm < 1, то разница получается
существенной, и в пределе для относительно легких снарядов предельная
скорость оказывается в полтора раза больше, чем это следует из
отношений классической внутренней баллистики. Если труба не
бесконечна, но достаточно длинна (А. > Z), то при вылете метаемого
тела внутри тела остается давление:
p-{rhf'

686 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. ХИ
при ЭТОМ оставшаяся энергия
^=^-[*-ш
к
Ей
= Л^н.
Таким образом, в случае конечной трубы предельная скорость
движения метаемого тела определится из соотношения
/¦
^"^^н G9.13)
(в других формулах нужно соответственно брать не JS = ?'н,
а ti^h).
В случае Mi = М2 следует воспользоваться только что
выведенными соотношениями, уменьшив в них Е ш т в два раза.
Случай, когда Mg = О, более подробно нами был рассмотрен
ранее (см. § 78).
Рассмотрим в заключение наиболее простой случай разлета^
когда можно положить, что п = О (к = 3) или, что равносильно,
соотношению рн = i/t. При этом а = I; а^ == uju^; а^ — l/^ij;
А — ul/{ui -\- и^)^; р = m/(wi + Mg)^. Далее, поскольку и = x/ty
имеем rriilm^ = u^ju^. Напишем законы сохранения количества
движения
М^и^ -\~ miuJ2 = M2U2 + m2uJ2
и энергии
Miul/2 + niiul/Q + M2UJ2 + m^ul/G = mQ ^ Е,
причем Q = Сн/6, где Сн —- эффективная (средняя) скорость звука.
Решая совместно последние уравнения, получим
2т {т + 2М^,^)^ В
С!м.\ =
где ^1,2 = m+2iWi,2; В = М^ + М^+т.
Определим теперь односторонний импульс:
Д = _ /^ = U, (л/,+ ¦!-) = - щ [М,+ f),
В частном случае, когда М^ = О,

§ 80] ПОСТЕПЕННОЕ ВЫДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ 687
поскольку в рассматриваемом случае
т.
ТП'
2
'1 2 (Ml + т) '
W1 т г г
-г^ = . - , то L = —I^ =
mc„ {m + 2MyY
"^ ~~^{m + Ml) /(w + Л/i) (m + 4Mi) *
При il/i --^ 0 /i = mc^jk., при M -^ oo I = mCii. Эти результаты
очевидны, поскольку при отражении от абсолютно твердой стенки
(Ml -> оо) импульс удваивается. Если М^ == Mg = М, то т^ =
= т2 = т/2; при этом w^ = — ?^2 =" ^п Yml{m + ЗМ); /х =
= — /з = Сн(т + 3M)Ym/{m + 4М)/4, Если М^ = О, то /i =
= Сн/4; при ikfi ->. с» /j = (сн/2)|ЛМт/3 -> оо, что вполне
естественно, поскольку при Ml = Л/з == М -^ оо давление на стенке
будет действовать в течение неограниченного промежутка времени.
§ 80. Задача Лагранжа при постепенном
выделении энергии
Решим задачу, аналогичную предыдущей, считая, что во всем
объеме газа энергия выделяется не мгновенно, а потому и давление
повышается не мгновенно.
Допустим, что метаемое тело достаточно тял^ело, т. е. что
отношение М/т^ 1. В этом случае можно пренебречь первой
простой волной разрежения и считать, что довольно быстро
устанавливается режим, когда внутри газа
п = {х +1)ц> (О, р = p{t). (80.1)
В самом деле, в случае мгновенного сгорания волна разрежения
догоняла метаемое тело на расстоянии (начало координат выбрано
по поверхности тела до начала движения)
ЧТО, например, при М/т ^ I и к = 7/5 дает xjl < 35. Можно
предполагать, что в рассматриваемом случае это расстояние будет
того же порядка. Несмотря на значительность расстояния Xi,
первая простая волна будет иметь сравнительно небольшие
градиенты давления и скорости. В самом деле, при х = Xi ujc^ =
= 0,9, Ci/cu = 0,82, pi/рп = 1/4. В случае необходимости
уточнения решения всегда можно положить, что в простой волне
скорость и скорость звука распределяются линейно по координате.

688
МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ
[гл. XII
Напишем уравнение баланса энергии
(80.3)
здесь Xji — координата тела, Мд — скорость тела, и будем считать
величину к равной к = {cjc^ — 1) (l/r]) + 1, как и в
предыдущем параграфе.
Поскольку Mduji/dt = j^n, то уравнение (80.3) примет вид
?(,,.)=!%±5 + 4-(ж+'")*'п- (80.4)
Продифференцируем теперь это уравнение по времени:
1 ЭЕ ^n(^n + 0 + Vn _,( т , .U^
М dt
k-i
(80.5)
На границе метаемого тела это уравнение можно представить
в виде
М dt ~ М дх^~~ ^° \_dx^ \dx^ /с -1 J "^ \ШМ "^ j 2rfa:„
(80.6)
Считая функцию Е ~ E{t, х) заданной, необходимо решить
дифференциальное уравнение второго порядка (80.4).
При горении, например, пороха можно считать, что
dE _ ^dm _ Л
dt
dt k — i
(80.7)
где Q — калорийность пороха, А = const, и, как это часто
делают, приближенно положить а = 1; тогда для поверхности
метаемого тела будет иметь место уравнение
^ = Aun = UUu
(й-1)
зел/
+к
+ {х + 1){ии')\ (80.8)
где, например, Мд = du^ldx^* Далее, мы опускаем индекс «п».
Решение этого уравнения не представляет труда; в самом деле,
положим, что (х + О ^' = 2 = dujd In {х + I), тогда уравнение
(80.8) примет вид
(80.9)
(80.10)
его решение
ж + т = 4-('-<){1 + жг)^
(' + 5?г)»-
и '
/c—l

§ 80] ПОСТЕПЕННОЕ ВЫДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ 689
В начальный момент времени ^ = 0; когда начинается горение
и = О, Z = (du/u dt) {х + Z), то константа А^ должна равняться
нулю, поскольку ускорение равно нулю, а величина z должна
быть конечной. Далее, поскольку z = du/d In (х -\-1), то мы
должны проинтегрировать уравнение
^ = ЛЙМ^ = ^ 2-11 + Ш7;": (80.11)
его решение при начальных условиях и = Q, х ~ Q имеет вид
1\ 2 V ^39М/-|
к — 1 т
1-
]. (80.12)
Далее, легко написать формулу, определяющую давление:
п
k-li
Анализ этой формулы показывает, что при значении xjl = A -J- N)^
давление достигает максимума и определяется выражением
где
д, _ (А;-1)(ЗМе + т) 2 3^9
^ — бме + (л —1) (зме + т)' f^"" л —i3M6 + m •
В момент окончания горения величина dEjdt обращается в нуль и
закон движения становится таким же, как при расширении ранее
покоящегося газа (§ 78):
2кЕ^ (А:~1)З.Т/9
М ЗМ0 + т
Й^Г(^4^?^--<«'-»^)
здесь |х имеет значение, указанное в (80.14), Е^ — полная
выделившаяся энергия Ец = mQ, При этом необходимо знать величины
Ui и Xi для момента конца сгорания, поэтому необходимо
проинтегрировать уравнение (80.12), полагая в нем и^ = dxjdt.
Интегрирование дает
? dxi А. 2 ЗМе А. ,сс\Аа\
о
ч

690
МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ
[ГЛ. XII
здесь Xi — х/1^ причем при t = О, х — О, Зная положение
метаемого тела в момент времени, когда горение окончилось, мы можем
вычислить величины скорости и давления и^ и р^.
В том случае, когда закон горения более сложен, чем (80.7),
численное решение уравнений не представляет труда.
В случае, когда метаемое тело относительно легко, т. е. когда
М/т < 1, возможно высказать некоторые суждения о методике
расчета первой волны разрежения при медленном сгорании пороха.
Рассмотрим закономерности горящего пороха, считая, что
зерна несгоревшего пороха вовлекаются в движение пороховыми
газами и движутся в каждом сечении с той же скоростью, что
и пороховые газы.
Для этой цели напишем уравнение газовой динамики в
координатах Лагранжа (§ 4)
ди . 1
dt
да
дх '
"'• ж = "-
(80.17)
Последние два уравнения следуют из закона сгорания dm/dt ~ р^
Эти уравнения дают
(Рг + Рт)
дх
Ро-
(80.18)
Здесь Рг, Рт, ро — плотность газа, плотность пороха (массовая
плотность) и начальная плотность пороха соответственно. Примем,
далее, а == 1 и изотермический закон горения
Сорт
(80.19)
где Со — скорость звука в газо-пороховой смеси; Cq = const. В
результате некоторых преобразований можно прийти к такой
системе уравнений:
df^ >" dh ^'
(80.20)
где h = Рой, Bq = Bcl/pQ. Условие на границе метаемого тела
примет вид
Ми = р= ^М
др_
dh
(80.21)

S 80j ttOCTErtEHHOE вь1деЛейие эйергйй 691
Условие на фронте волны разрежения: при х = — c^t
h = PqX. (80.22)
Вводя новую переменную dQ/dt = р, систему уравнений
(80.20) можно написать в виде
Ж+Ж-^од (80.23)
или в виде
где dy^jdt = — 0, d'^^jdh = х.
Решение системы уравнений (80.20) или уравнения (80.24) при
условиях (80.21) и (80.22) можно получить или численными,
или приближенными аналитическими методами.
Нет необходимости, далее, искать отраженную от стенки
волну, необходимо лишь найти закон движения фронта этой волны,
что легко сделать, поскольку на фронте волны
^ = 11 +с, (80.25)
а значения иле известны из предыдуп^его решения.
Определив момент и место встречи фронта отраженной волны
с движуш.имся телом, далее уже можно применять найденные выше
приближенные решения, основанные на гипотезе, что в среднем
в отраженных волнах и = {х + /)ф@» Р = Р (О*
Следует указать, что на фронте первой волны разрежения, там,
где и = О, давление выражается следуюп1;им образом*):
clBp = ^ , откуда -f = е'>. (80.26)
Рассмотрим теперь некоторые закономерности медленного
горения газа; в этом случае удобнее воспользоваться уравнениями,
написанными в форме Эйлера, которые, как мы знаем, имеют
вид (§ 4)
W+^^^+TШ = °¦¦ 4('»rt + "l"(t) + ^ = 0. (80.27)
Эти уравнения и уравнение энергии удобно написать теперь в
таком виде:
(80.28)
*) Этот круг задач в более общем виде и подробнее рассматривается
ниже в § 82.

692 МЕТАННЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
Двя определения характеристик этой системы мы, поступая
обычным способом, придем к уравнениям
^-S±cdu = {k-i)dQ; ~ = u + c. (80.29)
Поскольку
^ = di — dQ, то di + cdu = kdQ. (80.30)
Характеристики системы (80.29), как мы видим, не обладают
интегрируемыми комбинациями, однако вследствие их очевидного
физического смысла решения ряда задач методом характеристик
не представляет труда. Мы видим, что состояние газа, описываемое
выражением
di -\- с du = к dQj
распространяется направо со скоростью dx/dt == и -}- с^ а.
состояние газа, описываемое выражением di — cdu = kdQy
распространяется налево со скоростью dx/dt — и — с. При значениях
А, близких к единице, что всегда справедливо для горения газа
при значительных температурах, можно считать, что с =^ с^ —
= const, причем с\ =^RTj., где Т^ — температура горения, т. е.
считать процесс горения и движения газа, пока происходит
горение, изотермическим. Тогда мы сразу же на характеристиках
имеем интегрируемую комбинацию
i ±с^и =- Q + const, (80.31)
где const может быть без нарушения об1цности принята равной
нулю. Для доказательства этого напишем уравнения (80.28) в
параметрах tt, с, i:
ди , ди , di дО
3t дх дх дх '
di , di , ^ди у (дО , dQs
|iLu(|iL(^-l)c%^: = .(^-l)(t+ug).J
(80.32)
Введем величины а = i — Q, тогда система (80.32) в случае
/с = 1, с = Сн примет вид
В результате мы пришли к системе уравнений, которая может быть
без особого труда проинтегрирована общими методами
интегрирования уравнений газовой динамики (например, с помощью
интеграла Римана). Особые решения этой системы находятся
элементарно.

§ 80] ПОСТЕПЕННОЕ ВЫДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ 693
Положим, ЧТО а — а (и); тогда, вставляя а (и) в уравнения
(80.33), будем иметь
о
где а' = dajdu; из сравнения этих выражений имеем
а = ±: СнМ + const = i — Q -{- const, (80.35)
т. е. мы пришли к соотношению (80.31). Подставим в первое
уравнение (80.34) значение а, тогда будем иметь
решение этого уравнения имеет вид
х = {u±c^)t +F {и)\ (80.36)
отсюда следует, что решение
i = Q + wch + const, X = (и ~\-c)t ~\-F {и) (80.37)
описывает бегущую волну, распространяющуюся направо, а
решение
i = Q ^ ис,, + const, X = {и — с) t +F (и) (80.38)
— бегущую волну, распространяющуюся налево.
После того как процесс сгорания заканчивается, дальнейший
процесс, связанный с движением (расширением) газа, уже не
будет изотермическим; расширение газа будет подчиняться обычному
адиабатическому закону р --' р^. Для перехода от одного режима
движения газа к другому мы должны сопрячь решения,
справедливые для горящего газа и химически инертного газа (продуктов
сгорания) на границе, где горение закончилось. Для этого
требуется определить движение самой границы раздела между
горящим и сгоревшим газом. Мы сейчас не будем рассматривать
подробно общих решений для горящего газа в случае /с = 1,
поскольку метод интегрирования подобных уравнений при к = I нам уже
хорошо известен, тем более, что главный интерес для нас будут
представлять элементарные особые решения. Вместо сложных
общих решений мы воспользуемся также приближенными
простыми решениями.
Займемся теперь некоторым анализом особого решения.
Прежде всего очевидно, что выражение (80.36) определяет скорость
течения газа гг, а выражение (80.35) сразу же определяет величину
а = i — Q; далее, пользуясь соотношением
c\d \п р = da = d (i — Q),

694 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ, ХП
определяем величину
с2 In — = ^ + const = г — Q + const; (80.39)
н Рн
так как а = ± ucj^ + const, то
±Сп\п-^ = и + const. (80.40)
При всех этих вычислениях, как видим, нет необходимости знать
даже закон выделения тепла (?, за исключением случая
определения
i = а -\- Q — Q dz си -\- const.
Точно так же закон тепловыделения безразличен для определения
давления в горящем газе, поскольку
р = pel (80.41)
Описанный изотермический процесс горения и расширения газа,
разумеется, не будет пригоден для изучения всех случаев горения;
можно считать, что в среднем для всего газа он будет выполняться
при условии, что сначала какое-то количество тепла выделяется во
всем объеме газа достаточно быстро, после чего давление везде
становится р = Ро^ Ра^ а затем остальная часть выделяемой
энергии (также по всему объему, но уже несколько неравномерно,
больше там, где больше скорости истечения, т. е. расширение газа)
расходуется на преодоление какой-либо внешней работы,
например на выталкивание инертного воздуха, который мог заполнить
часть трубы до начала процесса. При этом в первой стадии
процесса Q не должно зависеть от координаты х, а во второй — зависеть
от X сравнительно слабо, но значительно изменяться со временем.
Можно также, приближенно считать Сд постоянным, положить, что
при и = О р = {к — I) рн Q = р (t). Подобный процесс, конечно,
несколько идеализирован.
Прежде чем перейти к описанию более общих закономерностей
объемного сгорания, изучим еще одно точное решение исходной
системы уравнений также для случая некоторого
идеализированного процесса. Будем считать, что давление во всем объеме
горящего и расширяющегося газа везде одинаково для данного момента
времени и изменяется со временем, т. е, р = р (t); тогда решение
уравнения движения будет иметь вид
х = ut +F (и). (80.42)
Перейдем к независимым переменным (ty гг), что позволяет до
конца исследовать предполагаемое решение, при этом основная си-

ftO]
ПОСТЕПЕННОЕ ВЫДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ
695
стема уравнений (80.28) примет вид
-l^{lnp)[i + F'iu)] + i=0;
кр
дх ^'
dt
Отсюда следует, что
-f'-(^-^)p§'
р
А (и)
t + p' ¦
При этом последнее уравнение (80.43) перепишется так:
<р . кр _ , .. А {и) dQ .
dt ^ t+F'~^'^ '¦> t + F' dt '
решение этого уравнения имеет вид
В(и) jk-i) Aju) С ,.,dQ
{t + F'f ^ (t + F')^ У ^ ^ dt '
причем, поскольку р = р (t), имеем
dQ_dQ_(dp ikp \ {t + F') __ ^
dt~ dt~\dt~^ t-^F'j {k-i)A {u') ~ ^ ^^' ^^
(80.43)
(80.44)
(80.45)
(80.46)
(80.47)
что равносильно определенной зависимости Q = Q {t, х). В
случае, когда Q = Q (t) и Q яе зависит от и, мы придем к весьма
простому решению
В ¦ (k-i)A
(t + rf (t + xf
\{t + xf-4Q{t), (80.48)
где A иВ — константы; т = F' = dF/du, откуда/"(м) = ггт — а,
где т и а — также константы. Следовательно,
Р=-;
t-\-x '
X -\- а = u{t -{-х).
(80.49)
К этому решению можно прийти сразу из исходной системы
уравнений (80.28), если положить, что не только р = р (t), но и
р = р (^), причем
X -{- а ^
и =
t +х
тогда первое уравнение системы удовлетворяется тождественно,
второе дает р = р (t), а. третье р = р (t).
Не представляет труда обобщить эту задачу на случаи
цилиндрических и сферических движений горящего газа. В этом случае
в уравнениях для р и /? прибавятся члены Nup/r и kNup/r, что

696 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
В окончательных уравнениях приведет к дополнительным членам
(Nap/г) (дг/ди) и (kNup/r) (дг/ди), и основная система уравнений
примет вид
??[1 +F')+ (кр Ь N,pji±^) ^(k-l)i,§(t + F').
откуда
р = А^ ; (80.50)
В (и)
При F = ut — а, В (и) — const, А (и) = const и Q = Q (t)
получим точное решение р = р (t).
Применим теперь найденные решения для простой волны к
решению задачи Лагранжа. Воспользовавшись соотношением (80.40)
и полагая константу равной нулю, мы найдем связь между гг и р
или и и р. Если нам задано Q = Q (t), то мы, воспользовавшись
уравнением движения Mdu/dt = /?, сможем принципиально его
проинтегрировать, поскольку
(t+F^)(ut + Ff '
du р{и) __ р^е "
ЧГ ~ ИЙГ ~ М '
откуда
м ,
х=- — с1
Ро «
l+(l+$f^)(l-(l + ^^)-l
(80.52)
(80.53)
где Ро "^ начальное давление ранее сгоревшего газа.
Зная уравнение движения метаемого тела, можно определить
произвольную функцию
F (и — с^) = X -- {и — Сн) t, (80.54)
что и решает полностью поставленную задачу.
Для найденного точного решения, когда р = р (t), мы вправе
поступить следующим образом: зная Q = Q {t) и р {t)y сразу же
из уравнения движения определяем скорость движения на границе
метаемого тела.
Развитый здесь метод может быть уточнен и применен к
решению разнообразных задач газовой динамики горящего газа, а
также к задачам, связанным с действием газа на движущиеся поршни
или метаемые им тела.

§ 81] МЕТАНИЕ ТЕЛА В СЛУЧАЕ ПОСТОЯННОГО ДАВЛЕНИЯ 697
В заключение этого параграфа отметим, что классические
методы расчета движения газа в цилиндрах, поршневых двигателях
хотя и являются достаточно точными, но при больших скоростях
движения уже возникают потребности в уточнении этих методов,
что можно сделать только с помощью теории неустановившихся
движений газа.
§ 81. Метание тела в случае постоянного
давления на его поверхности
Предположим, что на поверхность метаемого тела действует
некоторое время постоянное давление. Рассмотрим, какое при
этом должно быть движение сгоревшего газа.
Будем искать точное решение одномерных движений газа,
предполагая, что скорость газа зависит только от времени:
u = u{t). (81.1)
При этом для изэнтропического движения уравнение движения
A3.3) дает
c' = bit)-{k-i)^x. (81.2)
Далее из уравнения неразрывности A3.3) получаем
f =(.-!)[„ ^+.^]. (81.3)
Отсюда следует, что d^u/dfi ~ О и что решение имеет вид
и = at, с'' = {к- 1) \^ -ах'^ + с^, (81.4)
где а — const. Рассмотрим теперь закон движения тела при
условии, что давление, действующее на него, постоянно. Поскольку
М^ = р = р^ = const, (81.5)
то
если считать, что движение началось при х = О в момент времени
^ = 0. Отсюда зависимость скорости от проходимого расстояния
имеет вид
« = |/5^ (81.7)
Мы видим, что найденные точные решения удовлетворяют
поставленному требованию о постоянстве давления на поверхности

698 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
метаемого тела, поскольку при
что
При
следует
из
(81.4),
: этом величина а
X =
'' 2
мы получаем
с = Сд,
равна
а —
Р =
Рн
М '
»
Рн
(81.8)
(81.9)
Анализируя смысл полученного ршения, легко прийти к выводу,
что в сечении трубы х = О скорость подаваемого в это сечение
газа должно возрастать пропорционально времени, разность
квадратов текущей и начальной скорости звука в этом сечении также
должна возрастать пропорционально времени.
Интересно отметить, что уравнение энергии подаваемого газа
можно записать в виде
или
i = ^ + j„, (81.10)
ЧТО является как бы аналогом уравнения Бернулли; но только в
этом уравнении теплосодержание и кинетическая энергия одного
грамма массы в обеих частях равенства стоят с одинаковыми
знаками и зависят от времени.
Найденное решение является общим решением уравнения
газовой динамики. Данная задача интересна тем, что она
показывает, каков должен быть режим подачи газа и плотности его
энергии для поддержания постоянного давления на поршне или на
поверхности метаемого тела. Подаваемая в одну секунду масса
должна быть равна
~ ,2 '
т =
^Р.^A+^)-'=м(.-^)-. (81.И,
В случае более быстрого темпа подачи массы газа и плотности его
энергии давление на поршне будет возрастать со временем, а при
более медленной подаче — падать.

§ 82] МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ВО ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКЕ 699
§ 82. Методы газовой динамики во внутренней баллистике
Внутренняя баллистика изучает процессы, происходящие при
выстреле. Качественная картина этих основных процессов
заключается в следующем. После воспламенения пороха (процесс
воспламенения допускается во внутренней баллистике мгновенным по
всей поверхности пороха) начинается постепенное превращение
его в газ; если сосуд, где находится газ, замкнут со всех сторон,
то процесс горения происходит в
постоянном объеме. Если горение
пороха происходит в каморе, причем
с одной стороны каморы находится
свободное инертное тело (снаряд), то
это тело под действием все
увеличивающегося давления пороховых газов Рлс. 96.
начнет двигаться. Объем, в котором
происходит горение пороха,
возрастает; при этом, поскольку увеличение объема происходит про^
грессивно, а порох сгорает до конца, наступает такой момент
времени, когда давление газов в каморе начинает уже не возрастать,
а уменьшаться.
Рассмотрим конкретную схему движения пороховых газов в
начале ствола (рис. 96).
Поместим начало координат на границе порох — снаряд.
Длину заряда обозначим через I, вес пороха — со, вес снаряда — д.
Будем считать, как это принято, что движение снаряда
начинается при некотором давлении р (давление форсирования),
необходимом на преодоление различных сопротивлений.
Мы придем к выводу, что движение снаряда начинается в
некоторый момент времени ^=7, если начало воспламенения пороха
соответствует времени t ^^ Q, Как только снаряд начнет^
двигаться, по горящему пороху пойдет справа налево волна
разрежения. Поскольку при горении образуются газы, то можно
говорить о распространении волны разрежения по газо-пороховой
смеси. При этом должны наблюдаться две волны, одна из которых с
большей скоростью распространяется по продуктам сгорания
(газу), другая с меньшей скоростью по еще не сгоревшему пороху.
Первая волна разрежения, дойдя до неподвижной
газо-пороховой смеси, просигнализирует о том, что правее началось движение
этой смеси, поскольку снаряд уже начал двигаться. При этом
частицы смеси также вовлекаются в движение. Существенно
заметить, что вторая волна, идущая с меньшей скоростью,
незначительно изменит режим движения, и мы ее в дальнейшем не будем
учитывать.
Волна разрежения через некоторое время в момент t = х
дойдет до стенки (до дна каморы), от нее отразится и пойдет напра-

700 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
ВО, догоняя снаряд. В момент времени t = Т эта отраженная
волна догонит снаряд и от него отразится. Поскольку закон
движения волн, идуш;их направо, выражается дифференциальным
уравнением
где и — скорость движения газа, с — скорость звука, а скорость
движения волн, идущих налево, есть
dx
то волна, отраженная от снаряда, может идти как налево, так и
направо (отставая от снаряда), в зависимости от того, что больше,
и или с. Волна, идущая налево, дойдет до стенки, от нее
отразится, и процесс отражений как бы будет повторяться. Однако это
может быть при неограниченном стволе и относительно тяжелом
снаряде (по сравнению с весом пороха); в случае легкого снаряда
для какой-либо из волн, пришедших к нему, обязательно
будет и> с и очередная отраженная от снаряда волна пойдет
направо (рис. 97).
Если снаряд относительно тяжел, то первая отраженная от дна
каморы волна разрежения догонит снаряд вблизи начала
координат, когда он будет иметь еще небольшую скорость, и учет первой
волны разрежения, под
р^ влиянием которой снаряд
движется, будет
несущественным (рис. 98). Если
же снаряд относительно
легок, то под влиянием
первой волны он пройдет боль-
а;='1 х=0 х>Я а; шой путь и наберет
большую скорость прежде, чем
его догонит отраженная от
дна канала ствола волна разрежения, и поэтому учет воздействия
первой волны разрежения в этом случае совершенно необходим.
Очень легкий снаряд успеет покинуть ствол, прежде чем его
догонит отраженная волна (рис. 99).
На основании решений уравнений газовой динамики и
баллистического опыта известно, что после того, как первая отраженная
от дна каморы волна разрежения дойдет до снаряда, установится
так называемый термодинамический режим расширения
продуктов сгорания пороха, т. е. можно будет считать, что средняя
плотность газов в заснарядном пространстве будет падать обратно
пропорционально объему этого пространства, а давление с
плотностью будет связано законом изэнтропы (адиабаты).

f 821 МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ВО ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКЕ 701
Этот термодинамический закон расширения пороховых газов
и применяется обычно во внутренней баллистике. Учет влияния
волн (которые явно не учитываются) характеризуется
несколькими коэффициентами, которые описывают неравномерность
распределения давления по координате; при этом давление у дна каморы
(канала ствола) принимается
на 10—20% больше, чем у
снаряда, в зависимости от его
веса. Так же учитывается
неравномерность распределения
плотности; изменение
скорости допускается по
линейному закону в зависимости от
координаты (см. рис. 98)..
Очевидно, что область
применимости
термодинамического закона расширения ограничена. Лишь для относительно
тяжелых снарядов, когда о)/д<^ 1, т.е. когда в области действия
первой волны разрежения снаряд не набирает сколько-нибудь
значительной скорости, им можно пользоваться. При со/д>1, когда
в области действия первой
волны разрежения снаряд
проходит значительный
путь и набирает
значительную скорость, нужно
учитывать эту волну, что
невозможно сделать
методами классической
внутренней баллистики.
В ряде работ было
показано, что при со/д <: 1
методы внутренней
баллистики действуют достаточно
хорошо, если только длина
каморы не очень велика, в противном случае все же необходимо
учитывать первую волну разрежения. Но обычно при со/д ^ 1
каморы не бывают слишком удлинены, так что методы внутренней
баллистики практически всегда применимы для расчета движения
тяжелых снарядов и вычисления давлений в канале относительно
недлинного ствола. При а)/д>>1 применение методов
классической внутренней баллистики приведет к уже значительным
ошибкам, избежать которые можно, лишь учитывая волновые
процессы, происходяш;ие при выстреле, т. е. применяя методы газовой
динамики неустановившихся движений.
При постепенном горении пороха основная задача внутренней
баллистики не имеет аналитического решения, если искать его в
x^-l
Рис. 99.

702 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
классическом смысле, т. е. пытаться найти решение всех
уравнений поставленной проблемы. Однако, так как некоторые
уравнения не являются точными, поскольку они зависят от неточного
в строгом аналитическом смысле (эмпирического) закона горения
пороха, можно не удовлетворять неточному аналитическому
выражению закона горения пороха, а попытаться найти
решение основной задачи внутренней баллистики в аналитическом
виде.
Прежде всего необходимо вывести основные уравнения
внутренней баллистики для цилиндрического ствола без учета потерь
энергии в виде, удобном для решения. Такими уравнениями
являются уравнения, написанные в форме Лагранжа. Сначала
выведем уравнение неразрывности. Считая, что скорость горения
пороха W является функцией от давления р:
«; = Ф (р), (82.1)
придем к тому, что в среднем величина сгоревшей массы пороха
для одного зерна
dm = 5ро^ dt, (82.2)
где S — средняя площадь поверхности порохового зерна, ро —
плотность пороха. При горении в постоянном объеме плотность
пороховых газов при их образовании равна
рог = mvQ, (82.3)
где Vq — объем одного зерна. Скорость горения пороха отсюда
определится как величина, пропорциональная частной
производной dpoJdt:
w-^, (82.4)
откуда
%=^(/'). (82.5)
где функция г|5 (р) пропорциональна функции ф (р) в формуле
(82.1):
г|) (р) -- ф (р).
В более общем случае в выражении для г|) (р) можно учесть и
переменность площади s, тогда t|) (р) уже не будет просто
пропорционально функции ф (р) = м;, t|) = -ф (р; t) или г|5 = -ф (а; t),
где а — координата Лагранжа. При горении в переменном
объеме текущая плотность пороховых газов выразится так:
-^ Рг - Рог. (82.6)

§ 82] МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ВО ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКЕ 703
Из (82.5) и (82.6) получим
Считая, что несгоревпгий порох и пороховые газы при сгорании
в постоянном объеме перемешаны неравномерно, будем иметь
-|г(Р«п) = -^(/'), (82.8)
где роп — начальная массовая плотность горящего пороха; если
порох движется вместе с газом, то будем иметь
-^Рп = Рош (82.9)
где Рп — текущая массовая плотность пороха.
Из (82.8) и (82.9) получим
dt
Из (82.7) и (82.10) имеем
[(Рг + Рп)-|^] = 0,
j9_ г /_ , . ^ дх
dt
откуда
(Pr + Pn)-g- = Po(a), (82.11)
где ро — начальная плотность пороха, которая в общем случае
зависит от координаты Лагранжа, в частном случае ро = const.
Из этих уравнений следует, что
Рог + роп = Ро. (82.12)
Обозначим
р; + Рп - Р. (82.13)
где р — массовая плотность газо-пороховой смеси, и окончательно
общее уравнение неразрывности напишем в классическом виде
р-|^ = Ро. (82.14)
Если несгоревший порох отстает от движения газа, то в пределе
при неподвижном порохе
Рп = Роп (82.15)

704 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
и мы придем к соотношению
д I , дх
откуда
Рп + Рг-^ = Ро. (82.16)
В общем случае, когда порох движется со скоростью иной, чем газ,
будем иметь
(Рп + Рг)-4^ = Ро, (82.17)
где
* дх дх* .о«ч .Q.
причем рп -— эффективная плотность пороха, движущегося как бы
со скоростью
u = -g-. (82.19)
а л:* — текущая координата частицы пороха, движущегося из
положения а со скоростью
и'=-^. (82.20)
Введем фактор / = Po/poi где ро — эффектная плотность
газопороховой смеси, имеющая скорость и. Очевидно, что
/ = ^ = -^-Ро_^ (82.21)
Ро Роп + Рог
* * дх дх* .оо OOV
Роп = Рп -от- = Рп -дг-. (82.22)
где
"" ~ "" 1^ ~^'^ 'да
Таким образом,
дх*
Роп _ да _ д (x*,t) д {a,t) _
Роп ^^ ^ (^»*) ^ (^»*)
да
_ ^^* — ^ (Д^*>^) ^ (^^Д) _ Ц* _ о /оо 9^\
Следовательно,
Ро ^ Ро
РРоп + Рог Ро-Роп(^-!^^
(82.24)

§ 82] МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ВО ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКЕ 705
Теперь перейдем к выводу уравнения движения. Классический
вид этого уравнения в форме Лагранжа, написанный только для
газа, таков:
P«4+-S-=0, (82.25)
где р0 -— начальная плотность газа, а — координата Лагранжа,
характеризующая начальное положение данной частицы газа.
В случае газо-пороховой смеси, образующейся при горении
пороха, уравнение (82.25) также будет иметь место, если частицы
еще несгоревшего пороха движутся вместе с газом,
образовавшимся при сгорании какой-то части пороха.
Если же пороховые частицы отстают от газа, то в общем
случае, когда частицы несгоревшего пороха движутся со скоростью
1^*, отличной от и, уравнение надо написать в форме Эйлера в
таком виде:
+ Р.(^+»-^)+4^=0. ,82.26)
Напишем закон сохранения импульса — количества
движения для двух близких сечений:
рг udx -f рпгг*йа: -\- -р dt = (Рг + фог)(^^ + ^^ X
Y.(dx + dd^:) + (рп + dpon)(^* + du*)x
X {dx + d'^dx) + (p + Ф) d^ = 0. (82.27)
Слева и справа написаны величины импульса и количества
движения двух близких моментов времени, причем величины d^dx ^
Ф d dx, поскольку изменения интервала для пороха и газа
различны при их различных скоростях движения.
Уравнение (82.27) легко привести к виду (82.26), учитывая, что
Л_ dx_ _ ^ d* ^^ _ ^Ц*
ЧГ dt ~~ дх ' dx dt ~~ дх '
Поскольку dpor/dt =— dp^Jdt, то уравнение (82.26) можно
написать в виде
(--«*)^+Рг4+Рп^+-Й- = 0 (82.28)
или в форме Лагранжа

706 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
Если а* = и, то, поскольку рг + Рп = Р» будем иметь
^ да . др г.
или на основании уравнения (82.11) придем к уравнению
Po4^+-If = 0- (82.30)
Если и* = О, то придем к уравнению
^Рог . ^ ди . др ^
или, поскольку рг dx = Рог da, к уравнению
Теперь нам остается написать уравнение энергии. Из
термодинамического тождества видно, что для каждой частицы будет
иметь место соотношение, при условии, что вся газо-пороховая
смесь движется со скоростью и:
Здесь V = 1/р — удельный объем; внутренняя энергия,
рассчитанная на единицу массы пороховых газов:
Е=: ^ с^Т, dQ = ^ СуТ,. (82.32)
Ро Ро
Здесь Т — текущая температура горения; (?г = ^уЗ^г —•
калорийность пороха; Гр — температура горения. Но даже если несго-
ревший порох движется со скоростью и*, то уравнение (82.31)
сохраняет свой вид, если только пренебрегать тепловыми и
прочими потерями. Учитывая (82.32), уравнение энергии можно
написать в виде
Если теперь написать eni;e уравнение состояния Клапейрона для
пороховых газов
pvr = RT (82.34)
или более общее уравнение состояния
р = р (рр, Г), (82.35)

§ 82] МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ВО ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКЕ 707
ТО МЫ придем к системе уравнений, описывающих процесс
движения газо-пороховой смеси. При условии, что известна скорость
1^* =г 1^* (^; а) или по крайней мере постоянное отношение
Р = ц*/гг, система уравнений будет замкнута.
Вычисление и* представляет задачу огромной сложности;
для этой цели придется рассмотреть движение пороховых зерен
переменной (уменьшающейся) массы и переменной формы в
нестационарном потоке газа, масса которого также переменна
(возрастает).
Выпишем теперь систему основных уравнений для
произвольного случая движения несгоревшего пороха:
Рг-аГ+Рп-^+(и-Ц*)^+4|-=0,
^Рог ^ дх .,./^.,4 ^Рг
dt
dt
^Рг дх , / ^ч
дх
дх
да
dt
^Рог
и ¦
dt
РРо-
дх
да
ду
dt '
(82.36)
Система семи уравнений (82.36) является полной (если дано
Р = и*/и), поскольку она определяет семь искомых функций:
W» Рог, р, Рг, Роп» Рп» ^* При этом пять уравнений являются
дифференциальными, одно сводится к квадратуре и одно уравнение —
алгебраическое. Эта система уравнений сводится к четырем:
dt
дх
} (82.37)
/с —1
Здесь
dt
^ Рог ^ ri д ( дх \ dv
k = i
R
В предельных случаях для р
сте с газом, имеем
^ да . др л
1, когда порох движется вме-
и =
dx
-^(PnXa) = y^iP\th
dt
k — i
д^
dt
[р
Рог
Ро
_d_
dt
(Рг^а)
du ^ , du
(82.38)

708 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [гл. хи
Для Р = о, когда порох неподвижен, имеем
Рг-^+«Рог + ^=0 или _+ -^ +
ОГ
9 /1 ч Л dx д
k-i dt V^'"^"^ ^^^ ^^0 Qi
(82.39)
Перейдем к некоторой детализации полученных уравнений.
В классической внутренней баллистике закон горения различных
порохов обычно аппроксимируют уравнением
w= ^(р)== А + Вр\ (82.40)
Считая, что i|) (р)^ ф (р), и пренебрегая зависимостью р от ^,
будем аппроксимировать i|) (р) выражением такого же вида:
г|) (р) = Л + Бр\ (82.41)
Для ряда порохов оказывается, что Л = О, v = 1; тогда
^ (р) = Вр, (82.42)
что упрощает решение баллистических задач.
Можно положить, что при горении пороха (даже при движении
пороховых газов) поддерживается постоянная температура за счет
реакции горения; тогда
р == 5оРг, (82.43
где Во = RTj., и мы приходим к простому уравнению,
заменяющему значительно более сложное уравнение энергии.
Из двух крайних гипотез о движении еще несгоревшего
пороха более вероятна гипотеза, согласно которой порох движется с
той же скоростью, что и газ. В самом деле, в начальной стадии для
реальной задачи внутренней баллистики, когда впереди
газопороховой смеси имеется метаемое тело, скорости малы, давления
быстро возрастают, и массовая плотность пороха (частицы
пороха) быстро убывает; при увеличении скорости газа эти убывающие
по массе частицы вовлекаются в равновесное с газом движение.
Лишь при малой начальной массе метаемого тела в начальной
стадии частицы пороха могут отставать от газа.
Покажем теперь, что даже упрощенная задача при
соотношениях (82.41) и (82.42) не имеет аналитического решения. При а* =
= и имеем
Рог: + ё = 0, « = g. ^ = РоР. (82.44)

§ 831 ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ
709
При а* = о имеем
-л7 5^ Н ^ ^7" (In Рог) = О,
с?а; д / дх \ rt ту
^=-^' WVP^-aTJ^P^' Р = 5оРг.
(82.45)
Для доказательства преобразуем уравнения систем (82.44)
и (82.45). Прежде всего произведем замену: р^ = pIBq, тогда
придем для случая и — и* т уравнениям
ди . др ri с?а:
dt
да
dt
dt
(82.46)
X =
вид
Из первого уравнения этой системы имеем и = д(р/да; р =
— Ро -^ » где ф = (р {t; а). Второе уравнение дает ф = 59/5^
= дв/да, & = Q {t, а). При этом третье уравнение принимает
(82.47)
dt^ да^
=№4-
Как известно, это нелинейное уравнение не линеаризуется ни
в каких новых переменных и не допускает аналитических или
особых и общих решений. В случае w* = О имеем, исключая р
и заменяя и = dx/dt,
^ дх дЧ , р др , Qp2 дх п.
Р -дГ ~5f^ + ^o'Q^ + ?Bo-Q^-^.
dt
др__
да
{р^)-^в,р.
(82.48)
Эта система не имеет аналитических решений.
§ 83. Характеристики основных уравнений
внутренней баллистики и возможный метод
решения этих уравнений
Приведем теперь основную систему уравнений (82.28) к виду
ди
+«A-р)|-+,-^^
= 0.
dt
_, кр ди . i Рог др
~^' k^i да "^k^l р„ dt
^^Qt
(83.1)
(83.2)

710 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ
Здесь принято р = u^ju = const и заменено
[гл. XII
dv = —d
Ро
дх
да
дх
Далее вместо Pr-g— подставлено рог, что сводит систему к трем
уравнениям, определяющим и, р ж рог-
Напишем систему уравнений (83.1), (82.2) в форме Эйлера и
соответствующие уравнения характеристик. Для этой цели от
независимых переменных {t\ а) перейдем к независимым
переменным (t; х); тогда система (83.1), (83.2) примет вид
['+Kt-')](T+"-e-)+«c-»i
1 dp
^Рог , „ ^Рог
-f- и
= 0,
(83.3)
dt
дх
. J ди , др , др
(83.4)
Аналогично тому как это было сделано в § 7, легко получить
соотношения, имеющие место вдоль характеристических линий:
о и — ?
кр О
[l + p(^-ljj«+«(l-p)
JlL
Рг
Рог— ^IJ
Рог
Рг
о
и — X
о
и — X
о
О,
Рг
о
и
= 0.
Отсюда имеем, что вдоль линий
dx
"'' /:
кр
1 + р
(рОГ Ч\
имеют место соотношения
du
~df
-if -(^-1)^^г7:;
"A-3O^
"г
1.
Рг
)^'"'h'(p^-')] ^<t-^
(83.5)
(83.6)

§ 83] ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ 711
Аналогично легко написать уравнения характеристик в
координатах Лагранжа.
При решении задач для уравнений в частных производных
(или обыкновенных), з^вт/^сящих от приближенно заданных
функций, используется следующий метод. Решение задается в виде, со-
держаш,ем произвольные постоянные (или функции) в таком числе,
чтобы можно было удовлетворить начальным и граничным
условиям и аппроксимировать с достаточной точностью
приближенно заданные функции. Поясним сказанное примером. Допустим,
что мы имеем обыкновенное нелинейное уравнение второго
порядка:
F{y\ у\ у, Ф(х), X) =0, (83.7)
где ф (х) — приближенно известная функция х. Пусть решение
этого уравнения есть
у = f (х, ф (х), «1, «2, ..., aj, (83.8)
где «1, «2» "м ^п —" постоянные параметры. После подстановки
' (83.8) в (83.7) будем иметь
F (Г, /', /, Ф (х), X, ai, а2, ..., aj - 0. (83.9)
Начальные условия дадут два уравнения
^1,2 (Л,2, Л.2, /i,2, ф(^), X, «1, ^2, ..., an) = 0. (83.10)
Уравнения (83.10) дают две связи между коэффициентами
«1, а2, ..., а^. Решая (83.9) относительно ф (х), будем иметь
(f{x) = l{x, 6i, 62» •••» V2), (83.11)
где &1, b^, ..., bn-2 — независимые параметры. Эти параметры
нужно выбрать таким образом, чтобы функция | {х) наиболее близко
на каком-либо заданном интервале Л^ ^ д: ^ ^2 приближалась
к заданной приближенной функции ф (х).
Указанный метод решения уравнений легко применить к
решению задач внутренней баллистики. Рассмотрим вкратце
классическую задачу внутренней баллистики в координатах Лагранжа.
Пусть в цилиндрической закрытой с одного конца трубе (камора
ствола) в момент времени ^ = О начинается одновременное
горение пороха, занимаюш;его пространство от стенки до метаемого тела.
Начало координат выбираем у дна метаемого тела, координата
стенки будет тогда — /, где /—длина порохового заряда. При
горении пороха начнет повышаться внутреннее давление в объеме,
занятом порохом; под влиянием этого давления снаряд начнет
двигаться направо. Налево побежит волна разрежения.

712 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
Сформулируем аналитические условия на границе раздела
газо-пороховая смесь — снаряд и на фронте волны разрежения.
На поверхности метаемого тела (при а = 0) должно выполняться
соотношение
m|^ = sP, (83.12)
где М — масса тела, s — пло1цадь сечения канала ствола.
На фронте волны разрежения должны выполняться такие
соотношения:
X = а= —г (t); W - О, (83.13)
где функция т (t) определяет закон движения фронта волны
разрежения. Поскольку слева от фронта этой волны газ неподвижен,
то, решаем для него уравнение пиростатики, которое мы запишем
в виде
%^ = ^(Р); (83.14)
поскольку р = RpTr, где Т^ = const, уравнение (83.14) можно
написать в виде
р
С dp
^{Р)
RT^t. (83.15)
При этом уравнение энергии удовлетворяется автоматически.
Так как на фронте р = р (t) и рог = рог @>
мы найдем Cq^ —
~ У^^Р/Рот* Далее, поскольку на фронте этой волны dx/dt =
— da/dt = —Рог» получим
t
х = а=-^ p^dt = - т (О, (83.16)
о
что определяет функцию т = т (^).
После того как фронт волны разрежения дойдет до стенки, а
это случится в момент времени t = 1, который определяется из
соотношения I = т (?), возникнет отраженная волна разрежения.
Ее фронт будет двигаться по закону
Ш-'^ + 'г, (83.17)
где Сг — скорость звука в газе. Зная и я Cj^ справа от падающей
волны, мы сможем проинтегрировать уравнение (83.17) при
условии t = tif X = X = —с я определить затем момент времени и
место, когда отраженная волна догонит метаемое тело: t = 1у

83]
ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ 713
д: = X. Закон движения тела определится при интегрировании
уравнения (83.12).
Для решения поставленных задач необходимо выполнить
решение основных уравнений для первой волны (особое решение)
и для второй отраженной от стенки волны (общее решение).
После отражения второй волны от снаряда возникает новая
отраженная волна, которую будем аппроксимировать классическим
способом, давно применяемым во внутренней баллистике.
Будем изучать решения для случая, когда частицы еще несго-
ревшего пороха движутся вместе с газом (случай, когда р = 1).
Основная система уравнений (82.30), (82.36), как мы показали
в предыдущем параграфе, имеет вид
ди j^ i др
dt *" ро da
^^ ^- dt' dt
k-idt\ 9j. )~^'' ^t Рда' ^г да - ^^
Зададим искомое решение в виде
ог"
(83.18)
x=^F(a\t)^
дФ (а; t)
да
Отсюда
_дР _ д^Ф
^"^ dt " dtda
(83.19)
(83.20)
при
Эти решения должны удовлетворять таким условиям:
F (а; t) = F {а; t), где а = —т (t),
а = -г (О, и = 0; (83.21)
кроме того, будем требовать, чтобы функция F была ограничена
во всем интервале рассматриваемого решения.
Из первого уравнения системы (83.18) найдем
д^
^'=-Роя7ЛФ+/),
dt^^'
(83.22)
где f z= f (t) — новая пока произвольная функция времени. При
X = а = —т (t), т. е. на фронте волны разрежения.
d^f
- Ро/.
Поскольку мы имеем в области покоя
dp
^(Р)
(83.23)
(83.24)

714 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [ГЛ. XII
ТО из (83.23) и (83.24) определяем: при а = О (на границе газ —
тело) имеем
P=-PoirA^o+fh (83.25)
где Ф(^ = Ф @; t); при этом
Используя условие (83.12) —— = /?, получим
(83.26)
^S^ + 5№ + ')-0 (83.27)
или
где а^ и «2 ~ произвольные функции. Таким образом, на функцию
Ф (или на F) мы накладываем три условия: два — для фронта
волны разрежения и одно — из условия на границе газ —
снаряд. Поскольку ро = Ро (л), то, вводя новую независимую
переменную S = 7i? \ Р^ ^^' придем к линейному уравнению
^-^ + Фо = Т{1; а), где Т {t; а) = a,t + а,-^ fit), (83.29)
Решение этого уравнения, если а^ = const, ag = const, имеет вид
Фо== ~T,{t)e-^ + T{t), (83.30)
Далее
При д; — а
ri(i) = О,
ЧТО уже дает соотношение для выяснения вида функции Т^ (t).
Далее, подставляя найденные решения в остальные уравнения,
легко, используя предложенный метод, найти Т^ (t) и T{t)
наилучшим способом аппроксимирующими эмпирический закон
сгорания.

§ 83] ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ 715
Если а^ и а2 не константы, а функции от |, то поступим
следующим образом. Основное уравнение (83.29), напишем в виде
^ + Oo = aii + a,-/@. (83.33)
Введем новую переменную z = а^Фо, тогда уравнение примет вид
| = еЧ«1<+ %-/). (83.34)
Решение этого уравнения:
z=^[e^(a^t + a^-f)dl-T^{t), (83.35)
отсюда
Фо = - ё-^Т^ (О + е-' [5 е^ {a,t + a^-f) dl] .
Далее находим ^ = -^ = JL^; г, = __ = _
и снова получим два соотношения для выяснения вида функций
Т (t) я ai = а^ {I); а^ = а^ (|).
Подставляя найденные решения в цепочку остальных уравнений,
найдем эмпирический закон сгорания w = w {t; а),
В зависимости от величины соотношения М/т, могут
возникнуть различные ситуации. При М/т > 1 до выхода тела из трубы
его может настичь отраженная волна разрежения, что изменит
режим горения, и т. д. Однако здесь мы не будем дальше
детализировать задачу ([56], гл. V).

ГЛАВА XIII
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
§ 84. Одномерные движения газа в постоянном
поле тяжести
Здесь мы рассмотрим несколько задач, относящихся к
движению газа в поле тяжести. Сначала мы рассмотрим одномерные
нестационарные движения газа в постоянном поле тяжести. Эта
задача имеет принципиальное значение, поскольку она позволяет
выяснить ряд интересных закономерностей, относящихся к более
общим случаям движения газа в поле тяжести.
Далее рассмотрим одномерные неустановившиеся движения
газа в ньютоновом поле тяжести, потенциал которого убывает
обратно пропорционально расстоянию. Эта задача имеет важное
астрофизическое значение, поскольку позволяет выяснить, хотя
и в идеализированном случае, какая масса газа и при какой
начальной энергии может покинуть навсегда тело, из которого она
истекает.
Мы исследуем также некоторые вопросы стационарного
движения газа в различных полях тяжести, рассматривая как
адиабатические, так и неадиабатические течения. Этот круг задач
также может иметь приложение в астрофизике.
И, наконец, в заключение будет рассмотрена комбинированная
задача, описывающая дальнейшее движение газовых масс,
изверженных из какого-либо вращающегося небесного тела. Будет
показано, что при определенных начальных условиях выброса
небольшая часть изверженного газа остается около этого небесного
тела, двигаясь вокруг него с большим моментом количества
движения в сторону собственного вращения тела. Эта задача имеет
важное космогоническое значение.
Переходим к рассмотрению нескольких задач об одномерных
движениях газа в постоянном поле тяжести.
Будем исходить из уравнений, описывающих изэнтропические
движения газа, состояния которого р = Ар^; напишем уравнения
одномерного движения и неразрывности B.14) при г; = О,
градиентный член возьмем в форме B.18):
ди , ди , 2 дс

§ 84] ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОСТОЯННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 717
где а — ускорение силы тяжести. Умножая второе уравнение на
2
и_л 1 складывая его с первым уравнением или вычитая его из
первого уравнения, получим равенство, аналогичное равенству A3.6);
li[^±khc) + {u±c)l.^{u±^^c) + a = (i. (84.2)
Отсюда находим особые решения этой системы:
li + а/ = + ^:i:^ с + const. (84.3)
Подставляя (84.3) в уравнение G6.1), будем иметь
щ + {и±с)%+а = ^, (84.4)
ЧТО дает второй интеграл системы
X := (u±c)t ^''-j + F {и -\- at). (84.5)
Найденные особые решения без труда обобщаются на случай поля
тяжести, меняющегося со временем а = а {t)\ тогда (84.3) и (84.5)
принимают вид
x = {u + c)t + t\^adt--^adtdt + F {u-\-\^adt) . (84.6)
Рассмотрим теперь общие решения системы (84.1). Напишем
ее для наиболее общего случая переменного во времени поля
тяжести, выразив член с градиентом давления через dijdx и написав
уравнение неразрывности в форме B.21) при у = ?/; = О
ди . ди , di , ..V ^
9F + "to + 55 + «W = 0.
Введем переменную
w = u+^adt, (84.8)
тогда система (84.7) примет вид
дго , дю . di г.
W + "aF + a5 = 0, ^^^
di . di . ^дю f. \ \ ' )

718
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА Б ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
[ГЛ. XIII
Обратив переменные, придем к системе
дх ^' I ^^ _ л
di
дх
-X и
dw
dt_
dw
dw
Пусть теперь
^ = Ж' ^ = "'^-||-fr
dtdt.
(84.10)
(84.11)
Тогда первое уравнение (84.10) удовлетворяется тождественно, а
второе принимает вид
5^2 "Т" Я/ Л,„2 '
di dw^
(84.12)
решение этого уравнения нам известно из § 15: см. A5.33)
где к == 1^^, г = 0,1, 2, 3,. .
Рассмотрим такую задачу: пусть в некотором объеме газа
происходит мгновенный взрыв и продукты взрыва могут свободно
истекать в одном направлении.
Тогда задача может быть поставлена так: в моменты времени
^ < О газ покоится, при ^ ==^ О происходит мгновенное повышение
давления (взрыв) и начинается движение всей массы газа и исте-
чение. Пусть истечение начинается в сечении х = 0. Направим
ось X в сторону ускорения. Тогда движение всей массы газа под
влиянием силы тяжести описывается уравнениями
с = с^
и + at = О,
(84.14)
где Сн — скорость звука в покоя1цемся газе. Истечение газа может
быть описано из найденных решений: если истечение происходит
в сторону положительных значений Ху то на основании формул
(84.3) и (84.5) имеем
u + at = ^311 (^н - с)у
X = {и— c)t -{- — .
(84.15)
Фронт волны разрежения при этом движется по закону (на фронте
с = с^ и U = —at)
= - [Cnt +
а?
2
(84.16)

§ 84] ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОСТОЯННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 719
фронт газа [на фронте газа с = О, и =^ 2,cJ{k — 1) — at]— по
закону
x = c^t--^. (84.17)
2 Сд
В момент времени t^ = j^iTi — при щ = О, с^ ^ О газ достигает
наивысшей точки подъема:
2 ^^
^тах = (д._1J — • (84.18)
Мы рассматриваем истечение газа в пустоту. Если объем газа не
ограничен в сторону отрицательных значений, то написанные
решения справедливы для любого интервала времени. Если же объем
ограничен стенкой, поставленной при х — — I, то при ^ = О от
стенки в сторону возрастающих значений х пойдет волна сжатия,
которая может быть описана уравнениями
2
x=:{u + c)t + ^ + F{u + at), J
(84.19)
причем произвольная функция может быть определена из того
условия, что при X = —I, и ^ О скорость тождественно равна
нулю, отсюда
x = {u + c)t + ^ -l^f^(u + at)-~{u + at)\ (84.20)
Если ди/дх =1= оо в некоторой заданной области, то фронт этой
волны будет двигаться по закону
^ = И^н<-/-^- (84.21)
В момент времени t = 1/2сц в точке х = ^[у k^i "^ i"^)
обе волны встретятся, и возникнет решение, которое может быть
найдено, только исходя из общих решений системы (84.1).
Оставаясь пока в рамках особых решений, легко рассмотреть
случай, когда при х = О также имеется стенка, которая после
взрыва не снимается; тогда
u + at = г—7 (Сн — с), ]
at^ (84.22)
x = iu-c)t+^+F{u + at), J

720 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. XIII
где F {и + at) определяется из того условия, что при х = О
скорость равна нулю: и = 0. Очевидно, что
X = (и -^ c)t +^ +^{и + at) - ^{и + at)\ (84.23)
Фронт волны разрежения движется, как и в первой задаче, по
закону (84.16), следовательно, встреча двух волн имеет прежние
координаты.
Общие решения системы (84.1) могут быть найдены при любых
к = B/г + 3)/B^ + 1) и особенно просто при А = 3. Однако
поскольку политропу р ^ Ар^ можно приближенно
аппроксимировать политропой р = ^ip — ^2» то наши выводы, полученные из
обш,их решений для /с = 3, могут не только качественно, но и до
известной степени количественно быть использованы при анализе
движения газа с произвольным значением к, В случае /с = 3
уравнения (84.2) примут вид
|(u + c) + (w + c)|(w±c) + a = 0, (84.24)
откуда, обозначая w + c = ot, 1г — с=р, будем иметь
^ + ~=/i(a + ^0. ^ + | = /2(Р + ^0- (84.25)
Задавая Д (и соответственно /g) в виде /i = (ос + at)^/2a +
+ Fi{<x + at), получим
x = at + ^-^^+F^(a + at), x = ^t + ^ + F^^ + at). (84.26)
Волны аир распространяются, как видим, независимо друг от
друга.
Продолжим решение первой задачи. Разлет газа в этом случае
описывается уравнениями
a~{-at = c^, x = ^t + ^, (84.27)
движение газа в первоначальном объеме — уравнениями
а + at = с^, ^ + at = —с^ (84.28)
волна, идущая от стенки,— уравнениями
Р -f а/^ = — Сн,
, , 3 '( ^^^'^^^
д; = а^ ^ Z -Ь — — -^f- (<5^ 4- «^ - ^н) - 8J (ot + «^ - Сн).

§ 84] ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОСТОЯННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 721
В момент времени t = 1/2сл в сечении х = —{1/2) A + al/ic^i)^
как мы уже знаем, обе волны встречаются и образуется новая
волна, которая описывается уравнениями
(84.30)
При этих вычислениях существенно, чтобы значения дЬс/дх или
д^/дх в волне (84.20) нигде в рассматриваемой области не
становились бы сколь угодно большими. Для волны, идущей от стенки
X — —/, имеем
если дх/д(Х = О, то а^ + ^н " За; отсюда находим
ЧТО определяет окончательно
За2 , , , (at + c^)^
2а ' 6а •
Необходимо, чтобы выполнялось неравенство
-1 + —65— > - ^ + ^н^ - Т '
отсюда t < cJ2a, при этом должно быть cja >• 1/2с^, т. е.
4>1, (84.31)
В противном случае в волне появится разрыв и она станет ударной.
Сопряжение волны (84.30) с первой волной разрежения
определяется уравнением
x = c^t-^-^-l. (84.32)
Сопряжение волны (84.30) с волной (84.22) определяется
уравнением
x = -(cH< + f'). (84.33)

722 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА в ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. XIII
В момент времени t = cja [У 1 + 2at/c\ — 1] левый фронт
волны (84.30) достигает дна; при этом возникает новое решение
a + at = 2 lY2a{x+l) + a^] - /2а^^^^,
Сопряжение волны (84.30) и (84.34) определяется первыми
соотношениями уравнений (84.30) и (84.34). Можно показать, что эта
линия сопряжения не пересекает линию сопряжения между
волнами (84.22) и (84.30), а загибается к стенке сосуда, причем
образуется такая же волна (84.34); но в волне (84.30) образуется
ударная волна, поскольку рано или поздно величина да/дх станет
бесконечно большой; это произойдет при
Появление ударной волны нарушает ход дальнейшего решения
задачи, поскольку необходимо учитывать изменение энтропии и
при этом пользоваться уравнением
|f-f^g = 0, (84.36)
где S == р/р^. Однако точных аналитических решений в этом
случае найти нельзя, и здесь мы вынуждены прервать наше решение.
Очевидно, ударная волна, взаимодействуя с волнами,
лежащими правее и левее ее, будет порождать серию волн до тех пор,
пока не наступит равновесие при t = оо. Это состояние легко
определяется.
До момента начала движения энергия была равна Ei = Мс%/
/к {к — 1), а включение поля тяжести добавило энергию ?2 =
= Mal/2, где М = /рн; таким образом, полная энергия системы
равна
J-, Mai
1 + kV^) f=] ' (84.37)
где F =^ Сн/al есть число Фруда.
После установления равновесия газ занимает объем (— /, А),
а масса и энергия определяются выражениями
h h
М = ^ 9dx, ^ - \9[а{х + I) + щ^^ dx. (84.38)
-I -I

§ 84]
ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОСТОЯННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
723
Поскольку с^ = 2а {h — х), d = 2а {h + /), где с^ — значение
скорости звука у стенки, х = —/, то
M = '-^(l + h)p„ E = Ma(h + l)''-u;^'
BА;-1) (Л —1)"
(84.39)
Отсюда определяем Л и р;^ из соотношений
h + l __ Bfe —1)(А: —1) / 2F
\к{
I 2(А:2 —2А: + 3) \k{k — i)
Рк __ 2к(к'^^2к+ 3) 1
+ 1Ь
{k — ifBk — i)
2
F + 1
Далее определяется
2 ^ ^ _ alBk-i){k-^i)
ст р^^ А;2-2А: + 3
ЧТО в свою очередь определяет
_ 2
k{k — i)
Г 2F
\к(к--\)
(84.40)
l], (84.41)
^-И^Рн
/с-1
аД/.
(84.42)
Это состояние равновесия должно, однако, вследствие
выравнивания температур в столбе газа перейти в состояние теплового
равновесия. Высоту столба газа и температуру для этого
состояния можно также подсчитать, пользуясь снова законами
сохранения массы и энергии.
Будем теперь рассматривать задачу об истечении газа из
сосуда, в котором этот газ находился в состоянии адиабатического
равновесия:
Сц — 2ах^ и = О,
т. е.
(84.43)
(84.44)
При этом мы, как и прежде, полагаем, что истечение начинается
в сечении х = О в момент времени ^ = 0. Тогда для первой волны
разрежения имеем
а = У с| — 2ах, Р = — г 4 — 2ах.
а = ]Лс2 — 2ах,
Р^ + ?
(84.45)
Если сосуд ограничен сзади стенкой, поставленной при х = —/,
то в момент времени t = (У с^ + 2а1 — с^)/а возникает
отраженная волна а, которая находится из условия, что гг ^ О при
X = —/.
Эта волна может быть описана уравнением
at + (Х = 2/2а {х + I) + а^ - Y2axT~olF. (84.46)

724 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА в ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. XIII
Волна р сохраняется. Граница волны разрежения движется по
закону
х=- [c^t + ^j , (84.47)
Граница разлета, как очевидно, определяется соотношением
X
В момент времени t = cja
x = c^t^^. (84.48)
X — Д^тах — "оТ ¦
граница газа достигает наибольшего подъема, при этом м = О,
с = О, а также dxjda = О, но д^х/да^ = —1/а ф О,
следовательно, поскольку w = О и с = О, то образуется не ударная волна,
а слабый разрыв. Очевидно, волна а будет сохраняться:
а=Кс| —2аа:, волна Р определяется из условия: при
Р = а:/^ — at/2 имеем dx/dt = и ^ с =^ р. Отсюда
x = cnt-^, р + а^ = Сн. (84.49)
Поскольку X + р72а = Д (Р + at) = Д (сд), то /g (Сд) = с|/2а.
Таким образом,
Р = ~ Yd - 2ах. (84.50)
Отсюда следует, что во всей области волны, отраженной от
верхней границы, имеем
W = О, Сн = /4 -. 2ах. (84.51)
Точка сопряжения волн (84.45) и (84.46) определяется
соотношениями
2ах + а^ = 4, а^ + а = 2Y2al + а^ + 2ах — У2а.г + а^
(84.52)
Отсюда
а^ + а = 2/2а/ + с| + Сн = aTi,2 (84.53)
и
причем для данного решения выбираем наименьший корень.
Решая совместно (84.49) и (84.54), найдем координаты встречи

§ 84] ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОСТОЯННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 725
ВОЛН (84.46) и (84.50):
1
4 . „ ^ _ Л Ycl+2i
3 -iL+ 2chTi - ат2 J = —^ [2сн - /с| + 2а/],
После этой встречи возникает новая волна
at + a = 2/2а {х + I) + cf? - /2аа: + а^ (84.55)
Координаты точки сопряжения, движущейся направо,
определяются уравнением (84.54). Координаты точки сопряжения,
движущейся налево, определяются уравнением (84.49).
Волна (84.55) достигает точки х ^ с%12а в момент времени Xi,
определяемый уравнением (84.54).
с_+ Y с1 + 2а1
В момент времени t = волна (84.55) достигает
стенки сосуда х = —/. При этом возникает волна
а = -р = Vcl - 2ах, (84.56)
что даст
U = О, с= Ус'' - lax. (84.57)
Граница волн (84.55) и (84.56) движется по закону (84.54), где для
т берется больший корень т = Xg.
Граница разлета [верхняя граница волны (84.55)] движется
также по закону (84.54), причем для х снова берется меньшее
значение X = Xi-
Значения х = О фронт волны (84.56) достигает одновременно
с границей разлета. В самом деле, для волны (84.55) имеем
для волны (84.56)
Отсюда следует, что
с^ = a{t — Xi),
—Сн = а (^ — Xg).
а (хз —- Xi) = 2сн
а это равенство, как можно убедиться соответствующей проверкой,
непосредственно вытекает из (84.52).
Следовательно, в момент времени
f = T3 = Ti+-^ =1/^11:^^ (84.58)
газ занимает исходное покоящееся положение, после чего процесс
неограниченно повторяется снова с периодом времени Хд.

726
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
[ГЛ. XII
Анализ полученных результатов показывает, что
характеристики, описываемые уравнениями
2а
-Ut.
ч)\
-=^-^it-r,)\
могут быть приведены к виду
x==Cn{t — x^) — -^{t- Tз)^
^ = - Сн (^ - Тз) — -J (^ - Тз)"
(84.59)
Очевидно, характеристики любой волны описываются
уравнениями
^ = + ^н (^ — ^т^з)
¦|(г-nтз)^
(84.60)
где п — любое целое число.
Полученные результаты иллюстрируются рис. 100.
Для того чтобы перейти от показателя адиабаты, равного трем,
к произвольному показателю к для данного класса задач, удобно
проделать следующие вычисления. Пусть адиабаты р = Ay~^
я р = AiY^ — А2 проходят через начальную точку (р^, v^).
Выберем на первой адиабате точку (рн? ^и) и потребуем, чтобы вторая
аппроксимирующая адиабата проходила через эту точку; тогда
— 1
А,
А\^
Ш-
;)
— 1
(84.61)
Для внутренних волн разрежения состояние р^ может быть вполне
определенным (например, наименьшее значение давления в
области этой волны). Для крайних неримановских волн, где давление
мало, за состояние Pi можно взять, наоборот, верхнее значение
давления. На линии сопряжения волн с римановской волной,
параметры которой находятся в общем случае для любого /с, нижним
значением р будет, очевидно, р = 0; для того чтобы и плотность
равнялась нулю, в этом случае следует просто считать, что
р = ЛхУ-з, где
А,
(84.62)

§ 85]
ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОСТОЯННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
727
Начальная скорость звука будет определяться формулой
-/
3 (/? - Лз)
(84.63)
«27=-г
Рис. 100.
Таким образом, зная решение задачи для /с = 3, мы с
относительно хорошей точностью сможем решить задачи для произвольного
/t, определяя коэффициенты аппроксимирующей адиабаты
формулами (84.61) и начальную скорость звука формулой (84.63).
Заметим, что в случае быстро
протекающих процессов не будет
успевать устанавливаться
тепловое равновесие.
В случаях, когда процессы
колебания газа являются
периодическими, теплообмен будет
уменьшать колебания, а газ придет
постепенно в состояние равновесия.
Роль стенки, находящейся внизу,
могут играть нижние более
плотные слои газа, не участвующие
в процессе извержения.
Интересным результатом изэн-
тропического движения в поле
тяжести является установление
периодичности колебаний
газового столба и закономерностей падения газа при достижении им
максимальной высоты. Мы видели, что, достигнув максимальной
высоты, частицы газа не сразу начинают падать обратно, а
некоторое время могут пребывать в состоянии покоя; это объясняется
тем, что газ, находящийся внизу, не достигнув еще возможного
полного расширения, как бы подпирает верхние слои газа, не
давая им двигаться вниз до тех пор, пока не придет волна
разрежения.
Мы этот факт обнаружили, решая задачу в случае к =
3,однако можно думать, что и при произвольном показателе изэн-
тропы аналогичные явления также должны иметь место.
При истечении газа в воздух (а не в пустоту) впереди газа
образуется ударная .волна, приводящая воздух в движение.
Поскольку при этом общая движущаяся масса увеличивается, то
максимальная высота, на которую поднимается газ, уменьшается.
Весьма существенно рассмотреть более подробно хотя бы первую
волну разрежения в поле тяжести для/с = 2г 4-1 "^^ ^ = 1» 2, 3,... *).
Из решения для к = 3 видно, что эта волна не будет простой, если
*) Эта задача была решена К. П. Станюковичем и К. Джусуповым [55].

728 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА в ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. ХШ
ее фронт движется по газу, находяш;емуся в равновесии, т, е. если
при и = О
at — -^—Г ^ = — уиг^н ^^^ w = at = -^—^ (с — Сн), (84.64)
то закон движения фронта будет
х=- (сн^ + AziL atA . (84.65)
Поскольку (84.64) можно написать в виде /2 Bг + 1) i
= У2 Bг + 1) jjj = const, то на фронте имеем ^2 []/^2 Bг + 1) г —
—о;] — ^2 (const) = const, а следовательно, эта функция не может
быть определена из условия на левой характеристике (84.3).
С помощью этой характеристики можно найти вид функции
Fi []А2 Bг + 1) i + w]. Поскольку на характеристике
(84.66)
и имеет место условие
/ д \г Fi(<o-w) 1 д'- /•iB(D-p) /QЛfi7^
где
(й = jriT^ = /2Bг + 1)г, р = (о — ш = (о„= ¦^¦3:j-<?H = const,
(84.68)
то решение для г|) примет вид
^ = ^г=т YT • ^^-^^^
где ф(г, г, iH,u') = ]/^2Bг + 1)г + ^ + У^2Bг + 1)?h • При этом на
характеристике (84.68) должно выполняться условие Fg ^ О, а
^ cd-cOh _ [2Bг + 1)Г+'/« а^ ^B(oJ^^"i>-2B0jjB(DJ''+i
2^^ асо''
= [2Bг + l)]^+v. [4(г + 1)! 4@ - 2г15а)„1,
откуда
А = -^, 5 =
4о (г + 1IB Bг +1)]*"**'' ' 2аг1 [2 Bг + 1)]''*'''

{ 84] ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОСТОЯННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 729
Таким образом,
Ч> = тл! -^{iV^i^r + i)i + W +
^ 4a(r + l)![2Br + l)f+'/. at'-l^^' V "г / i "г
+ /2Bг + 1)гн]'^'"*" - [2 Bг + i)r''VT^'2(г +1) [/2B_г_+1)г +
+ и; + /2Bг + l)i^Y'*' + ^J/ Y.i. (84.70)
Функцию i|) можно также написать в виде
1 аг_ /[|BBг + 1)< + «'+У2Bг + 1IнГ*^
^ 4а(г + 1I[2Bг4-1)Г+1 а»''! 2г + 3
-сОн[/2B7+1O + и; + /2Br + l)i„]«'-^^> + F,} . (84.71)
Для г = О Xq = 0. В общем случае (при г = 1, 2, ...) значение
Xq может оказаться не равным нулю. Для вычисления поступим
следуюп^им образом. Поскольку при гг = О
х = (с1-^ с^)/{к - 1) а = ((Он? - о)^)/2 Bг + 1) а, л: =
= аго + ^^-/2 — dy^jdw,
то отсюда, сравнивая выражения для л:, будем иметь
0I^@^ (ш-со^)^ аф
^0 = 2Bг + 1)а 2^— + -5^ (^^-^2)
и после вычисления получим выражение для dyp/dw на
характеристике (84.68). Так как
^ = ___!___ X
Qv-i [со -^и; + (o^l^^-n -Bг + 1) (o^la> + w +%]""
то, используя условие (84.76), можно написать
аг|) 2" gr-i 2со^"-*-^-Bг + 1)й)Х' _
аи; "^ аг12 Bг + 1) ((od(of~^ ^
= arl2Br + l) S^ 12С0-1 _ B, + 1) соХ] =
= 2Br + l)at(r+l)<»-Br + l)@H],
ЧТО сразу определяет XqI
г(о1
-o=-BF+IW- ^^^-''^^

730 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. XIII
Определим функцию F^, что можно сделать, полагая при
^ = О, о: = О выполняющимся условие
2
w = u= у-—J- (Сн — с) = сОн — 0). (84.74)
Поскольку по левой характеристике (84.68) F^ = О, то очевидно,
что выражение для Fg нужно искать в виде
F^ - F^ [/2 Br + 1) i -w- /2 Br + 1) ^„] -
= /^2 fo)— (l^ + COh)].
Тогда при выполнении условия (84.67) F^ ~ /^2 @) " 0. Можно
задавать для г=0,1, 2, ..., ^2 в виде i^2 = S-^nl^ "~ (^+^н)]^«
При этом значение F^ равно
F^ = F^[(y^-\-w + С0н1 - F^Bсо„) = 22(^+1)r(o|(^+i). (84.75)
Написав выражения t = d^jdi = 0^^X = х^ — -^ = О или d'\^Jdw =
= Xq^ при выполнении (84.73) легко для каждого определить
An и степень п в выражении для ^2-
Для г = О ^2 ^ О, для г =^ 1, 2, 3 вычисления проводятся
сравнительно просто, усложняясь с увеличением г, и уже для г = 4
они достаточно громоздки. Приведем значения -ф для г = О, 1,
2, 3, 4:
1|Зг=о = 85" К^ + "^ + '^и)' — 3@„ ((О 4- И? + «„)^]/3,
) + U? + W„)* — 4(D„ (о
+ 4(o'„[o)-(u; + (o„)l2}//i;
+ 12 0J [(О - (ш + ©нI'- 8@^ [(О - (и; + (Он)]'}/1^^
1 5^
''''¦=* " 96-14^ Г14а dF^^'^ + "^ + '^н)' - 8«н(со + Ш + @н)' +
+ 24 (о| [СО - (ш + о)н)р + 32 0| [0) - (ц; + (Он)]*+
+ 16(о|[@-(ц; + @„)]*}//г,
'''^=* = Ш^^УШ^ {(^^ + ^ + «и)" - 10 (Он ((О + и; + (Он)« +
+ 40 @^ [(О - (ц; + @„)]« + 80 (^ [(О - (и; + о)„)]'+
+ 80 (О* [(О - (и; + (Он)]« + 32 (о| [ш - (и; + (о„)]*}/У^:
^'•=1 = /о .Га {(^ + "' + Ы* — 4@„ ((О + ш + @нK +
4о У Ьа

§ 84] ДВИЖЕНИЯ ГАЗА Б ПОСТОЯННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 731
Мы видим, что число слагаемых в Fg равно г. Максимальная
степень равна 2г, минимальная г + 1. Таким образом, в общем
виде можно написать
* = 4. (, + 1I [2B. + .Л'*"' 1^' {<" + "' + "">**" -
. -2(г + 1)(Он(о) + ш + оЗнГ-^1+ S Л(о)-ш-сОн)Ч/1/7;
n=r-|-l ^
(84.76)
где коэффициенты Л„, как мы только что указали, алгебраически
вычисляются для каждого г.
Фронт разлета газа будет подчиняться закону с = О, w =
= 2с^/(к — 1) = сОн или dx/dt = и = со^ — at, откуда х = (Он^ —
— at^/2] при t = (oja, х = (о%/2а газ достигает максимальной
точки подъема и начинает падать вниз. При этом возникает новая
волна, которая может быть просто найдена, поскольку в ней
и = 0, с2 = с| - (/с - 1) ах. (84.77)
Вблизи точки 1^ = о, с = О, например для к = 5/3, будет
иметь место асимптотическое выражение
и; = ((Он — (о)/2 + -|- YK + 2^^ - 2о)со„ = (Он - 0) + ^ . (84.78)
Рассмотренная задача имеет и практический и п^ринципиальный
интерес, поскольку для первой же волны разрежения приходится
определять обе произвольные функции Fi и Fg, что в обычных
задачах нестационарной газовой динамики не встречается.
В заключение надо отметить, что если бы мы решили задачу
о движении газа с постоянным ускорением, то решения уравнений
для этой задачи были бы эквивалентны (84.13), но начальные
условия и система волн были бы иными, поскольку начальная
плотность газа всюду одинакова *).
Представляет интерес рассмотреть в наиболее общем случае
предельное состояние газа при тепловом равновесии. Поскольку
при состоянии теплового равновесия мы имеем
^ = -d(p = ^ adx, р = RTp, (84.79)
где Т = const, то RTdln р = —а dx, откуда
ах ах
р = р„е~Жр = р^е "й^, (84.80)
*) Совместно с К. Джусуповым также решена задача об отражении
волны разрежения от стенки.

732 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. ХШ
где Рн и Рн — плотность и давление в сечении х = 0; полная
масса, содержащаяся в столбе длины /, площадь сечения которого
5 = 1, определяется интегралом
л __ оде RTo __ ^^
т = Рну RT'dx = —^ii-e «^). (84.81)
о
Полная потенциальная энергия (внутренняя и гравитационная)
определяется также интегралом
?:=^СуГ^1г1+Ja^pd^^^T^^pHry^^Cl-e ''^)-е ^^],
откуда следует, что
E = mRT
_к al 1 1
; —1 RT ^
в«^^1 J
(84.82)
Полная энтропия, рассчитанная для всей массы газа,
определяется из выражения dpjp + Т dS = di — d(f = Т dS — а dx;
поскольку d (i — (р) = CpdT = О, то
A5 = -f-, (84.83)
где AS — энтропия, рассчитанная на единицу массы; далее,
очевидно, полная энтропия равна
i ^ ах
S = \^ASdm^^Pn^xe'^^ = mRh^^^ 1. (84.84)
о L в«^-1 J
В том случае, когда нам заданы массы газа, его полная энергия
и длина столба, т. е. заданы величины т, Е я I, можно однозначно
определить параметры газа Рн и Г, а также его полную энтропию.
Если газ занимает бесконечно большой объем {I = оо), мы придем
к следующим соотношениям:
т=^^, E = j^mRT, S = mR, (84.85)
причем температура определяется выражением
Rk т '
^=^-|-- (84.86)

§ 85] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В НЬЮТОНОВОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 733
В ТОМ случае, когда газ занимает бесконечно малый объем / = О,
мы придем к такому результату:
Е 1
е =
Вт к е
А: —1 ~7^
= al/RT -> 0; отсюда следует, что
У_ fe-l Е
R т •
(84.87)
Очевидно, в последнем случае температура идеального газа будет
в к раз больше, чем температура газа, занимающего бесконечно
большой объем.
Перейдем к рассмотрению одномерного движения газа в
ньютоновом поле силы тяжести.
§ 85. Движение газа в ньютоновом поле тяжести
Будем рассматривать одномерное движение газа,
подчиняющееся изэнтропе
р - Л;р»~5, (85.1)
в поле тяжести с потенциалом
Ф = ^^^. (85.2)
Здесь М — масса гравитирующего тела, причем сила тяжести
направлена по оси х. Тогда уравнения (84.24) примут вид
да j^ да а \
dt '^ ^ дх '^ х^ ' )
где <х = и + с, fi = u — с, ускорение d(p/dx = —а/х^. Уравнения
характеристик а имеют вид
Поскольку
л ^ da а г, а >- /бГ1 , 2 /ьГ а

734 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
ТО, ВВОДЯ обозначения
[гл. XIII
(85.4)
общее решение можно написать в виде
а 1„ а — /3ia, х) , ах
* =1/8(а%)]» '^^а+Ма.'^) + [/з («Гх)Р +^10/з(«. ^)П.
(85.5)
Аналогичное решение имеет место для р:
е
1/8(Р, а;)Р
^"р+мр:^!+т7Г(га^+^-^f/'(p'^"'>' (^^-^^
Поставим задачу: пусть при ^ ^ О газ находился в состоянии
адиабатического равновесия, при этом из первого равенства (85.3),
полагая в нем и = О л dc/dt = О и интегрируя его
в пределах {х, Xq), получаем
с^ = с^н + ^ - f- = [/ (Си, X, Хо)]\ (85.7)
«27
\
\
"х^
^D
О
Рис. 101.
Z^Q
где Сн — начальная скорость звука в сечении х ~
= ^0, х^ — верхняя граница газа (рис. 101).
Начало координат выбираем в центре тела, в
котором происходит рассматриваемый процесс
одномерного движения газа (в трубе). Начальная
область, занятая газом, на чертеже заштрихована.
Отсюда следует, что в состоянии равновесия
а = - Р = |/ с| + 2а ^~ - -^) = [/2 (Сн, X, х^\^.
В момент времени ^ = О в сечении х =^ х^ начинается движение
(разлет) газа; при этом волна а сохраняется.
Волна р, удовлетворяющая условию: при ^ — О должно быть
д; = Xq, если рассматривать гиперболический случай, т. е.
полагать, что при х-^ оо имеет место (^ = Сн \> О, откуда следует,
^ -, /'а'
что Сн > 1/ — , имеет вид
г а^о
, _ а , 3-/8 (Р. X) /i (Р, X, До) + /з C. X) '^х - х^у C. X, жр)
[/8 C, X)f ^"^ 3 + /З C. X) /1 C, X, Х^) - и C, X) "^ [/а C, Х)]^
(85.8)

§ 85] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В НЬЮТОНОВОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 735
Фронт волны разрежения движется по закону,
определяющемуся из условий: при и = О имеем с^ = Сн + 2а {1/х — 1/xq);
отсюда
^ = -]/cl + ^-^ = -U{c,,x,x,), (S5.9)
ЧТО дает
^ ^ а ^^ и К. ^. ^о) + /з {р^. ^^ ^н - /з (^н> ^р) ,
[/з (^н' ^оI^ ^ /2 (^,р а:, а:о) - /з (Cjj, ог^) Сд + /з (Од, a:(j)
+-^Лт^^-^^Ч^-^^ • (85.10)
Пусть в сечении х = I находится стенка; тогда в момент времени
t, который определяется из (85.10) заменой х на /, волна
разрежения достигает стенки и отражается от нее. Возникает отраженная
волна а (волна р сохраняется).
Волну а ищем из условия, что при и ^ О должно быть х ^ L
Она определяется соотношением
[/з(а
а j^ r/i(a, X, /) + /з(а, х) р а ^ /з (а, х) /i (а, а:, Хр) — /з (а, а:) ,
^ ^)]^ [ /i ('^^ ^' О — /з (а» ^) J а + /з (а, х) /i (а, а:, хо) + /з (а, гг) "^
, oix + a^o/i (g, ^> а^о) — 2//i (а, х, I) (85 11)
[/з(а, а:)Р * V • /
Граница разлета движется по закону
[/з (^н» ^оI^ ^ ^2 (Сд, а:, а:о) + /з (с^, Xq) с^ — /3 (с^, а:^) +
, a:/i(ci, аг, а:о)^а:с^
+ /з(^н,-о) • («^-12)
Линия сопряжения отраженной волны с первой определяется
соотношением
[/з (с„, ^o)l' /1К^ ^0- О - /з ('^н' V /i ("н- ^' ^о) + /з (''н- ^о)
Разность временных координат границы разлета и фронта
отраженной волны является постоянной величиной, и эта разность
определяется значением времени прохода отраженной волны в
сечение X = Xq, В самом деле, положение границы разлета и фронта
отраженной волны определяется одинаковыми функциями t =
= t (х) + const, различны лишь сами константы. Отсюда ясно,

736
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
[ГЛ. хц!
ЧТО при ^ -> оо разность координат границы разлета (xj) и фронта
отраженной волны (org) конечна и больше нуля.
Рассмотрим асимптотические выражения для а и р в
отраженной волне при t-^ оо. Очевидно, в конечной области первой волны
содержится нулевая масса газа. Решения (85.8) и (85.11)
существуют лишь при конечных значениях времени t. При t-^oo,
полагая
а = -Р = ]/-
2а_
X
найдем, что
2
t
t =
'==' 1^0 — ^0 1
при р
3 У2а
2 Lr-lx^'+xJ'^2t^*] при а:
3 Y2i
-V'4--
(85.14)
Таким образом, координата х возрастает, как ^'/». При ^ > (т }^2аЛ
имеем W > О, т. е. масса газа, заключенная в интервале
Yc\-^t>.>^{\^fЩ
не возвращается к источнику взрыва и навсегда покидает тело,
из которого она истекает. Остальная масса газа занимает объем
некоторой конечной высоты.
Очевидно, как это следует из уравнений (85.8) и (85.11), в
некоторый конечный момент времени в определенном сечении
скорость становится равной нулю. Область, где и ^ О,
увеличивается, возникает новая волна, ее левый фронт достигает стенки,
отражается от нее, возникает новая волна и т. д.
Правый фронт при 1-^ оо движется по закону
%Щ':
Таким образом, мы можем вычислить массу газа, покинувшего
тело.
При х-^ QO и ^-> со имеем из (85.8) и (85.11) соответственно:
Р*
._ а 1„/4(Р,Д^о) + Р ,
^"-¦рГ^^/4([^,:го)-Р +
/ -. -^In r//*(Qt>0+Qt \^ А(а, а?о)-а] ,
аЗ LW4(a, О-аУ /4 (а, а:о)-Ь а J "^
' 2//4 (а, /) Ч- До/4(а, Д^о)
"^ рз ^^ 2а;р2
(85.15)
+
а«
, а I а
(85.16)

§ 851
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В НЬЮТОНОВОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
737
Отсюда и = x/t и
_ Xofi {и, Хо) — Ifi (и, I)
tu
+ -lnJ±pJ^!lp-E2^, (85.17)
где с — текущая скорость звука. Масса, покидающая тело, из
которого она истекала, определяется выражением
Моо -=\^dx = ~\cdx =-
Хх Х\
Xt
^ Рн с [Xofi (ц, Хо) — //4 (и, I) а ^^ /4 (и, I) + ц/4 (ц, Хо) — и1 ^^, /85 18^
здесь a:i = (^g Т^Згг/^'Г'^', дгз = Т^^н "^ 2а/дго, Рн — начальная
плотность газа в сечении х = Xq, Отсюда
м^=Щ\хои{и, Хо) - ihiu, I) + -In ;^!"' ;!7" ^!"' '"l 7"
Cj, JL в^*^ ' "^ J4V ' / I „ /4(ц,/) + « /4(м, а:о)+и
Преобразуя это выражение, найдем, что
М^
+
л^о^^н — lf\ (Сн, ^0. 0 — 2 /2д^о + 2 /2аг +
/i («н' ^0' ') - /з (^^н- *о) «н + /з («н- ^о)
¦In
/з ('=Н' V /l («Н- =^0- ^) + /з (''Н- V ^И - /з ('^И- ^о) J
Очевидно, полная масса определяется интегралом
Хг
(85.19)
М
н — -— \ /i (Сн, ^, ^о) ^'^ — ТГ"
^'н v^ н
/
/1(^н'^0'^)+/з(^н»^о)
•In
/з(^^о) /i(^H'^o'^)-/3(^H'^o)J
Отсюда
М — —
^О^н 41 (^Н5 ^0» *^) ч
а , /г («н' ^0' О - /з (''н' ^р) "н + /з ("н- ^о)
"^ /з <«н' »^о) " h ("н' *0' О + /з («^н- ^о) '^н - /з (^н. V
Из (85.19) и (85.20) имеем
ДМ = Л/„ - Моо = 2 f2S-^ [/Fo - V'l].
(85.20)
(85.21)

738 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. XIII
где ДМ — масса, падающая на тело, ее выбрасывающее. Масса,
уходящая на бесконечность, определяется выражением
М^ = М^^2^ У2а {^fx^ -^ УТ]. (85.22)
Поскольку плотность внутренней энергии газа равна Вн = Сд/б,
то
Моо == Л/н - 21/| [/7о - Y'l] -^ ; (85.23)
при
вся масса газа остается на конечном расстоянии от источника
взрыва.
Наиболее существенным результатом проделанных
вычислений является установление факта, что при взрыве на поверхности
какого-либо гравитирующего тела в том случае, когда мгновенная
начальная скорость разлета головных частиц газа превосходит
предельную скорость Unp, необходимую для того, чтобы эти
частицы навсегда улетели от тела, определенное количество массы газа,
находящейся ниже границы разлета, также может уйти навсегда
от тела.
Напротив, какова бы ни была скорость разлета головных
частиц, всегда тыловые частицы будут иметь скорость ниже
параболической Unp и упадут на это тело обратно. При этом является
существенным, что средняя энергия газа, рассчитанная на
единицу массы, может быть меньше, чем предельная энергия,
рассчитанная на единицу массы, т. е. меньше чем и\^12. Наоборот, какова
бы ни была средняя энергия, рассчитанная на единицу массы,
всегда тыловые массы будут падать обратно на тело, из которого
они истекали. В случаях, когда длина столба газа, разлетающегося
под действием внутреннего давления, мала по сравнению с
расстоянием его от центра гравитирующего тела, то рассмотренные
нами выкладки значительно упрощаются. В этом случае всегда
можно считать для начальной стадии разлета гравитационное
ускорение всех частиц одинаковым и поэтому рассматривать
классический одномерный разлет сжатого газа, считая затем, что центр
тяжести этой массы газа движется в поле тяжести по закону
du du и /or осч
йГ=Г = -1^' (^5.25)

§ 853 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В НЬЮТОНОВОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 739
откуда для извержения с гиперболическими скоростями будем
иметь
1 _ 1 w2
? - а:о + 27 ' ^ - — ^0
2а
+
/|arctgu/g], (85.26)
где Xq — —2ali^ < О, причем Uq есть скорость на бесконечности.
Поскольку действие давления кончается сравнительно быстро, то,
начиная с некоторого момента времени, когда ускорение частиц
под действием внутренних сил давления станет малым, можно,
напротив, пренебрегая давлением, рассматривать движение
частиц в поле тяжести, что представляет весьма простую задачу. Как
мы знаем, давлением можно пренебрегать, начиная с первой,
отраженной от -плоскости симметрии или от стенки волны.
Для того чтобы выяснить, какое распределение скоростей по
лагранжевой координате ^ будет в момент прихода к данной
частице фронта отраженной волны, мы воспользуемся результатами
§§ 21 и 55. Скорость газа определяется соотношениями в
координатах Эйлера
"=^^нA + ^-^") (85.27)
И в координатах Лагранжа
2с„
§-=^[l-(^V"]- (»5.28)
Интегрируя последнее соотношение, определим текущее
положение данной частицы ^ = g (а:, t):
fc—1 2
х-х ^ 2 ^н^ __ А; + 1/а:о-^\ ^-^^ I V ^+1 /35 29)
Хо~ I k — ixo — l k — i\хо — I) \хо — и ^ ' '
(при X = \ = Xq — Cat). Поскольку фронт отраженной волны
движется по закону
3-fc
х^хо^ 2 s^ fe + 1 f "н^ \ ^-^^ (85.30)
Xq^ I k — ixQ — l k — i\xo — lJ ' ^ '
ТО, сравнивая оба последних уравнения, найдем, что фронт волны
разрежения догоняет данную частицу с лагранжевой координа-
о t ^ (хо — 1)^
той § в момент времени t = / g/— , поэтому
{Хо — ^) Cjj
2(JC--1)
2
'"['-B^)"" J- <^-^"

740 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ» ХШ
Отсюда мы имеем, что в случае гиперболической скорости должно
иметь место неравенство
u>Uj^==-l/^, (85.32)
поэтому
2 (?с-1)
^[•-(|^)"']>i/f- («5.33)
Таким образом, нижний предел массы, улетающей на
бесконечность, определяется выражением
м^-хо^1^(^ 2с, У То) • (85.34)
Верхний предел этой массы найдется из условия, что после
действия отраженной волны, дающей, за исключением случая
ft = 3, дополнительные ускорения частицам газа всюду и = x/t =
= Uq, причем также
поэтому
^=2Lz|<l_!bii/^. (85.35)
Результаты, полученные здесь, могут быть обобщены и на случай
осесимметрического истечения газа; некоторые вопросы,
связанные с закономерностями подобного истечения, мы выясним дальше.
Развитые здесь положения являются фундаментальными для
некоторых вопросов астрофизики и, в частности, имеют прямое
отношение к изучению процессов выброса газовых масс звездами
и Солнцем.
§ 86. Стационарные движения газа в поле тяжести *)
Можно допустить, что при мощных выбросах газа,
происходящих на Солнце и звездах, особенно тогда, когда истечение газа
происходит со всей поверхности звезды длительное время, движе •
ние будет являться квазистационарным. Для изучения подобного
рода движений газа, обладающих точечной симметрией, мы будем
исходить из общих уравнений газовой динамики, при этом учтем
также влияние теплового излучения газа, которое будет
значительным при высоких начальных температурах.
") Развиваемые здесь соображения принадлежат Л. А. Вулису и автору.

§ 86] СТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 741
Сначала мы рассмотрим общий случай неадиабат^ических
неустановившихся движений в поле тяжести. Основные уравнения
напишем в виде B.25), соответственно изменив вид третьего уравнения:
(86.1)
Гравитационный потенциал выразится так: ф = GM/r, где G —
гравитационная постоянная, М — масса тела, из которого
происходит выброс газа.
Для идеального газа, когда р = RTp ж р— е ^^ р'^, будем
иметь
^ = c'^ + ik-i)dQ, (86.2)
ди ди ^. i др 5ф
^' dt
rpdS
а также
1 dc-^dp_^j^dq^ ^gg3)
k — ic^ р « с2
с учетом этого равенства и уравнения неразрывности, которое
удобно написать в виде
_1_ар __/l.^,^l,J:_M
р дг \и дг ^ г ^ up dt j ^
ИЗ ЭТОГО уравнения с помощью первого уравнения (86.1) получим
W J и дГ С2 дг С^ дг ~^ Г '^ \updt С2 dt) • V^^-^v»
Уравнение (86.4) представляет наибольшие удобства для
качественного анализа явления. Ограничимся случаем
квазистационарного движения, к которому можно свести, например, выброс
газа при наличии длительно действующего источника. Полагая
в уравнении (86.4) dp/dt = О, du/dt = О, получим
Простейшее исследование этого уравнения приводит к ряду
любопытных выводов, являющихся, в сущности, следствиями так
называемого общего закона обращения воздействий для
стационарных одномерных газовых течений.
Отметим прежде всего, что изэнтропическое одномерное {N = 0)
дозвуковое течение газа (случай и < с, dQ/dx = 0) замедляется
при движении в направлении действия силы тяжести d^ldx =
= —GMIx^ < О (движение против оси г) и ускоряется при
движении против направления силы dx > 0.

742 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА в ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. ХШ
Противоположное по знаку влияние оказывает
гравитационное поле на сверхзвуковой газовый поток: при движении в
направлении действия силы тяжести (к поверхности звезды) последний
ускоряется, при движении против силы (от звезды) — замедляется.
В общих случаях при отсутствии теплообмена пределом
ускорения дозвукового потока или торможения сверхзвукового будет
достижение критической скорости движения, равной местной
скорости звука и = с\ непрерывный переход через скорость звука
в таком (адиабатическом) процессе оказывается невозможным. Это
видно из того, что при и = с dQIdx = 0 | d In uldx \ -> оо, причем
знаки различны при подходе к и ^ с со стороны и<С с ж и> с.
Возможным является, разумеется, переход скачком из
сверхзвукового в дозвуковой поток.
Характер стационарного движения в рассматриваемом случае
аналогичен, например, адиабатическому движению с трением
в цилиндрической трубе, поскольку и здесь движению присуща
некоторая предельная длина. Наличие последней имеет в этом
случае более принципиальное значение, так как свидетельствует
о невозможности стационарного одномерного адиабатического
течения газа в поле тяжести. Действительно, из (86.3) и (86.5)
при dQIdx = О следует
"^-^'о + га^?
2 „ r/j^Y'-^ _ ^
= 2(ф-(р„). (86.6)
При и = с в этом случае наступает кризис течения, для которого
характерно предельное значение потенциала
(86.7)
причем
__,оо или ^-^ = 0, а j^^O.
При ф == GM/r величине фт1п из уравнения (86.7) отвечает
предельное (максимальное) значение координаты Гтах = GM/ip^m-
Поскольку, однако, предельное значение координаты Гтах
(рис. 102) в рассматриваемом процессе истечения газа в
неограниченное пространство лишено физического смысла, полученный
вывод указывает на невозможность подлинно стационарного
одномерного адиабатического течения газа в поле тяжести. Это
означает, по-видимому, что при наступлении кризиса движения газа
вблизи места, где и = с, должна образоваться новая
нестационарная волна, разрешающая этот кризис и разрежающая газ,
давая ему тем самым возможность перейти через скорость звука.

§ 86J
СТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
743
Возвращаясь к анализу уравнения (85.4), заметим, что влияние
излучения (dQ/dr < 0) на газовое течение сказывается при
отсутствии поля тяжести в торможении дозвукового {и < с) я
ускорения* сверхзвукового (и > с) потока.
Наибольший интерес представляет совместное действие
гравитационного поля и излучения. В этом случае при обоих режимах
течения {и <с с, и> с) принципиально возможно как замедленное,
так и ускоренное движение газа от поверхности. Знак
производной ди/дх определяется преобладающим эффектом; например,
если при сверхзвуковом потоке {к — l)dQ/dx\^ '
дх
то будет
и; с
и^с
происходить ускорение газа, при
обратном соотношении между
отводом тепла и силой тяжести—
замедление.
Существенно, что при
движении газа от поверхности, т. е.
против силы тяжести, возможен
также непрерывный переход
через скорость звука при
замедленном движении потока, имевшего
первоначально сверхзвуковую
скорость, или при ускорении
дозвукового течения.
Непрерывному переходу через скорость
звука в обоих случаях будет отвечать
Рис. 102.
равенство при и = с
?1 =(^
дх \и=с ^
1)
dQ
дх
dQ\
дх \и=
GM
(86.8)
При движении газа в направлении действия силы тяжести (к
поверхности) влияние излучения будет, очевидно, таким же, как и
влияние силы тяжести, поэтому непрерывный переход через
скорость звука в этом случае невозможен; дозвуковое течение будет
всегда замедленным, сверхзвуковое — ускоренным.
Все эти замечания относятся к стационарному движению.
Для оценки влияния нестационарности процесса отметим, что
сумма слагаемых {i/up){dp/dt) — (i/c^) {duldt) в правой части
уравнения (86.4) будет положительной для первых порций
истекающего газа и отрицательной в начале движения для тыловой части
струи.
Однако за достаточно малое время (порядка IJcq, где Iq —
начальная длина газовой струи и Cq — начальная скорость звука)
установится такой режим течения почти для всей массы газа,
исключая головную часть струи, при котором {l/up){dp/dt) — A/с^) X
X {duldt) > 0. Таким образом, влияние на скорость движения
нестационарного члена в уравнении (86.4) качественно аналогично

744 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА в ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. XIII
ВЛИЯНИЮ отвода тепла, но не сопровождается, разумеется, потерей
полной энергии.
Следует заметить, что принятое здесь представление движения
как одномерного существенно упрощает рассмотрение задачи.
При учете расхождения потока могут быть получены иные выводы,
в особенности при учете силы тяжести и излучения (в общем
случае подвода или отвода тепла). Не рассматривая эти задачи,
заслуживающие отдельного исследования, ограничимся кратким
замечанием об установившемся изэнтропическом движении с
центральной симметрией в поле тяжести.
В этом случае с учетом уравнения неразрывности в виде
l|L + JLJi+l = 0 (86.9)
р or ^ и дг ^ Г ^ '
вместо уравнения (86.5) следует написать
Как видно из этого уравнения, качественно влияние
геометрического расширения струи газа при движении от поверхности
совпадает с влиянием излучения, т. е. приводит к ускорению
сверхзвукового и замедлению дозвукового течения. Наоборот, при
движении газа к поверхности (падающие массы) влияние сужения
потока сказывается в ускорении дозвукового и замедлении
сверхзвукового течения и, следовательно, как и для отходящих масс,
противоположно по знаку влиянию силы тяжести и излучения.
Заметим также, что учет расхождения потока может изменить
полученный выше вывод о невозможности стационарного
адиабатического движения газа в поле тяжести. В этом случае из
уравнения сохранения энергии и массы нетрудно найти связь между
скоростью движения и координатой в виде
¦"-к+^.'г т"'" т""' -1]=2вм (i - ±). (8в.и)
Кризис стационарного течения может при этом не иметь места;
вопрос о наличии его решается соотношением между начальными
значениями Uq, Cq и Tq и параметрами М ж к, А именно, при
кризиса не будет; здесь Гх определяется из уравнений (86.9), (86.10)
при условии, что и = с:
5-~3/с GM GM ul eg
4(А:-1) п ^ Го

§ 86] СТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 745
Из (86.12) и (86.13) имеем
4>^-3. (86.14)
При неадиабатических движениях газа в поле тяжести,
обладающих центральной симметрией, можно прийти к таким основным
уравнениям:
(86.15)
(86.16)
где
в =
и^-.
и"
= к-^
~ фе
4
_ 1GM
г
2GM _
Го ~
+ в,
= const,
новое переменное q вводится с помощью равенства
с2_ dq
¦fc—?
dQ = ^^' (86.17)
Исключая из (86.15) и (86.16) величину w^, придем к
уравнению
д^Г ^ г"'^ + ^ с^ = 2^^ + 5. (86.18)
Отсюда следует, что поскольку из (86.17) с^ = к dQ/d In g, то
(86.18) является уравнением, связывающим q и Q (г), решая
которое определяем q = q {г), после чего определяются с = с (г)
и и = и (г).
Обратимся теперь для примера к частному случаю
одномерного стационарного движения в поле тяжести при наличии
излучения. Для того чтобы нагляднее выяснить роль отвода тепла,
рассмотрим простейший частный случай критического истечения
^0 = ^0 ^ поверхности г = Tq при непрерывном соблюдении
дополнительного условия 1г = с, т. е. соотношений (86.8), на всем
протяжении процесса. Этому примеру отвечает
предположение о политропическом процессе с показателем политропы
п = —1; в самом деле, из уравнения (86.3) при и = с следует с?(? =
= (/с + 1) dcV2k{k - 1), сн = dQ/dT = {к + 1)су/2, откуда
где Сп — удельная политропическая теплоемкость.
Отсюда следует и сравнительно слабая зависимость теплоот-
dO дО --л^ дТ гт
дачи от температуры: -^ = и, ~— у -^ q~ - Далее все вычисления

746 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА Б ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. ХШ
легко доводятся до конца. Полное количество тепла, отданное
единицей массы газа, найдем из уравнения (86.3) при и = с:
Го
В соответствии с этим закон изменения скорости движения по
координате имеет вид
^' = '^'-K + l^iGM{^-S.). (86.20)
Заметим, что при г-> оо скорость движения имеет конечное,
отличное от нуля значение
и =с =ul~-j^,^, (86.21)
оо 00 о /с -[- 1 Го ^ '
если ul > 2kGMI{k + 1) Tq (но не обязательно ul > Unp =
= IGMItq), При ul < 2kGMI{k + 1) r^ скорость движения упадет
до нуля на конечном расстоянии.
Значению г^оо будет отвечать полное количество потерянной
газом вследствие излучения энергии, равное
/1 _ Фо „ GM ^gg 22)
^"^ k — i (А; —1)го •
Рассмотрим в заключение несколько подробнее процесс
энергетического обмена в истекающем газе при одномерном движении.
При изэнтропическом (сверхзвуковом) истечении газ, двигаясь
против силы тяжести, совершает работу в ее поле. При этом, как
было показано выше, происходят уменьшение его кинетической
энергии и рост теплосодержания. В разобранном примере {dQ/dr <
< О, и = с) наличие излучения приводит к замедлению падения
кинетической энергии и одновременному снижению
теплосодержания; несмотря на потерю энергии излучением, складываюш.иеся
в процессе соотношения приводят к тому, что становится
возможным потеря звездной массы газа даже при начальной скорости,
меньшей предельной. В общем случае, когда дополнительное
условие и == Cj ограничивающее теплоотдачу, отсутствует и
последняя происходит значительно интенсивнее {dQ/dt — Т^), излучение
может приводить к ускорению выбрасываемых газовых масс,
поскольку происходящее в таком процессе перераспределение
энергии при определенных начальных условиях может сопровождаться
ростом кинетической энергии сверхзвукового потока за счет
падения теплосодержания, несмотря на возрастающие потери. Этот
вывод находится, по-видимому, в качественном согласии с хорошо

§ 87] ИЗВЕРЖЕНР1Е ГАЗОВЫХ МАСС ИЗ НЕБЕСНЫХ ТЕД 74?
известным в астрофизике увеличением потери массы при
повышении температуры поверхности звезды.
При реальных взрывах, которые происходят на Солнце и
звездах, длительность взрывов может меняться в широких
пределах. В случае мало продолжительного взрыва в поверхностных
слоях звезды движение продуктов взрыва будет заведомо
неустановившимся. В случае большой продолжительности взрывного
процесса истечение продуктов взрыва, будучи в начале процесса
неустановившимся, постепенно установится и станет
квазистационарным. При этом начальные условия взрыва могут меняться,
что приведет к квазистационарному движению отдельных объемов
газа. Возможны случаи, когда определенные объемы газа,
изверженного из звезды, будут некоторое время удаляться от нее с
постоянной скоростью, поскольку силы внутреннего движения
нижних слоев газа могут компенсировать силу тяжести.
Причины мош,ных извержений, происходящих на звездах или
на Солнце, могут быть различны; в случае наиболее мощных
взрывов различные ядерные процессы, приводящие к
значительному выделению энергии, могут служить причиной извержений.
§ 87. Некоторые общие закономерности извержения
газовых масс из небесных тел
Здесь мы рассмотрим весьма важную задачу о поведении
изверженных газовых масс из какой-либо звезды, в частности из
Солнца, учитывая при этом собственное вращение звезды.
Итак, предположим (это предположение имеет достоверное
фактическое обоснование), что какая-либо звезда извергает из
какой-либо части поверхности мощные потоки газа,с достаточно
большими скоростями. Поскольку газ расширяется не мгновенно,
то боковое расширение газовой струи будет происходить и на
некоторых расстояниях от звезды (из теории и экспериментов
известно, что каждая струя расширяется и в осевом и в радиальном
направлениях). Если бы газ, составляющий струю, не
расширялся, то он или упал бы на Солнце обратно, или ушел бы от него
навсегда. Так как расширение происходит не только вблизи от
звезды, но и на все увеличивающемся расстоянии от нее, то часть
выброшенной газовой массы начнет двигаться по таким орбитам,
которые не будут пересекать Солнце и вместе с тем будут
эллиптическими.
Сделаем предположение, что некогда Солнце могло извергать
столь интенсивно значительные массы газа. Ниже мы покажем, что
для того, чтобы масса газа, выброшенная Солнцем, была
достаточной для образования планет, необходимо предположить, что масса
Солнца в то время была в 5—15 раз больше современной.

748
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
1ГЛ. XIII
Учитывая собственное вращение Солнца, мы придем к выводу,
что при расширении газовой струи, выброшенной из Солнца,
орбиты, не пересекаюш;ие Солнце, чаще встречаются у частиц,
расширяющихся в направлении вращения Солнца. Частицы,
расширяющиеся в противоположном направлении, могут иметь
орбиты, пересекающие Солнце. Падая на Солнце, они будут
несколько тормозить его вращение, уменьшая его момент количества
движения.
Для удовлетворительного описания процесса с точки зрения
согласования с наблюдаемым сейчас распределением моментов
Рис. 103.
Рис. 104.
достаточно предположить, что в эпоху больших извержений
угловая скорость вращения Солнца была в 5—15 раз больше
современной (что будет показано ниже).
Таким образом, в результате мощного выброса из Солнца
вследствие нестационарности процесса может произойти
перераспределение масс по моментам количества движения аналогично
тому, как при чисто поступательном нестационарном движении
газа происходит перераспределение масс по количествам
движения.
Аналитическое рассмотрение происходящего процесса при
известной его идеализации может быть произведено достаточно
просто. Предположим, что из экваториальной области
вращающегося Солнца, массу которого обозначим через М (рис. 103),
выбрасывается струя газа. Для изучения процесса расширения
струи воспользуемся основными уравнениями газовой динамики,
описывающими неустановившиеся изэнтропические движения
газа в поле тяжести.
Сначала мы несколько упростим задачу и рассмотрим
закономерности одномерного расширения газа. Далее мы покажем, что
разница между истинным (цилиндрическим) расширением и
одномерным незначительна.

§ 87]
ИЗВЕРЖЕНИЕ ГАЗОВЫХ МАСС ИЗ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
749
Основные уравнения газовой динамики в полярной центрально-
симметричной системе координат (рис. 104) для случая осесиммет-
ричного расширения газа имеют вид
ди , ди , V ди
dt
дг
дф
г
ас2
GM
/с—1 дг
dv . ^^ I Л ^ f JliL J 1
"а^ + ^"а7+ г аф + г '^ г(к-
дс^ . дс"^ у дс'
'дГ '^^ дг '^ г аф "^
дс^
-1) ^ф
= 0,
Второе уравнение (87.1) можно написать в виде
д^
аф
(87.1)
Это уравнение можно назвать уравнением сохранения
углового момента количества движения. Здесь и т v — радиальная и
тангенциальная компоненты скорости, с — скорость звука. Ве-
1 дс^ 1 дс^
= а характеризует боковое ус-
/с —1 dz
корение какой-либо частицы газа.
В системе координат, в которой радиальная компонента
скорости равна нулю, уравнения (87.1) с большой степенью точности
будут описывать цилиндрическое расширение газа.
z^O
z^'l
Рис. 105.
Как мы условились, сначала определим величину бокового
ускорения в случае одномерного расширения газа. Как известно,
процесс разлета ранее покояш,егося газа в пустоту может быть
описан двумя волнами, простой и отраженной от стенки или от
плоскости симметрии, которую можно заменить стенкой, если газ
разлетается в обе стороны. Начало отсчета координаты, которую
мы обозначим через z, поместим у стенки, время будем
отсчитывать от момента начала разлета. В этом случае простая волна
будет характеризоваться соотношениями (рис. 105)
V — с
Z--1
А:-1
(87.2)

750 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 1ГЛ. XIII
Здесь V — скорость движения газа, / — полудлина столба газа
поперечного сечения, равного единице (или длина сосуда,
заполненного газом), Сн — начальная скорость звука.
В момент времени t — 1/с^ фронт волны разрежения,
возникший при разлете и движущийся по закону
z = I — с J, (87.3)
достигает стенки и образуется отраженная волна, которая
характеризуется для
h — ^ — 1. ^ 1
уравнениями B1.14)
I V2{2n + i) а^-1 к V2{2n + i)i + иГ - 2 Bп + 1) ij^
г|)
(87.4)
On I Q
здесь к = 7" 4 ^ гг == 0,1, 2, 3,. . . , oo, причем
ATI —j— X
есть теплосодержание газа. Фронт отраженной волны движется
по закону
dz
Поскольку из (87.2) мы имеем
2 /z —Z , \ 2
^- к + 1\ t 1 ^"j' ^- y^ + l ^н
ТО
dt~k + i'^k4-i i '
k—i z—l
k + i t
(87.6)
, (87.7)
(87.8)
Интегрируя это уравнение при условии, что z = О, при t = llc^
мы придем к уравнению, выражающему закон движения фронта
отраженной от стенки волны:
3—fc
(87.9)
Найдем теперь величину ускорения каждой частицы газа,
движущегося согласно уравнениям (87.3). Для этой цели перейдем к
Z—1 2 Cg<
1 ~ k — i 1
k + i j
k — i '
3—ft:
)

§ 87] ИЗВЕРЖЕНИЕ ГАЗОВЫХ МАСС ИЗ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 751
представлениям этих уравнений в форме Лагранжа. Поскольку
при этом
то, интегрируя это уравнение при условии, что z = Zq = / — Сн^,
где Zq —• координата начального положения заданной частицы,
мы придем к такому соотношению:
Это соотношение характеризует текуш,ие положения заданной
частицы.
Определим теперь значение скорости и ускорения заданной
частицы:
V = Z =^ -
^^,_^1^у.^у ,37.12)
Фронт волны разрежения, отраженной от стенки, догоняет любую
заданную частицу в течение конечного интервала времени, за
исключением частицы с координатой Zq = I; для нее этот интервал
времени становится неограниченно большим; после этого, как мы
сейчас покажем, в волне, отраженной от стенки, величины
ускорения становятся уже незначительными.
В самом деле, фронт отраженной волны разрежения догоняет
любую частицу при условии, что
/с —1 / к-1 \ I
2 S* /с + 1 //-2о\-ЩТ / V
(^) m ^ (87.14)
/с — 1 / /с — 1 \ /
Отсюда
3-fc
^н^а _ I 1^,-1 _ 2 I k + i ( I \-1нЙГ /07 15^
где t2 ж Z2 — момент времени и координата, при которых фронт
волны догоняет данную частицу Zq, При этом величины v = v^,

752 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА в ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. XIII
а = «2 определяются соотношениями
2(fc-l)
272 2
/C-I
l-{t=Jl) '^'], (87.16)
3fc—1
2
а
i^i^)"''" • (87.17)
 - Т+ ^
Плотность в простой волне определяется соотношением
2 2
^~l^J "[k + i-k + i c^t ) -[ c^t )
(87.18)
^Дв рн — начальная плотность газа. В момент, когда фронт волны
догоняет частицу, имеем
В отраженной волне предельное распределение г; и р при ^ —>- оо
определяются соотношениями, следующими из (87.4):
к-
Х^нУ-г;^]\ (87.20)
где
g_ Bп)\
^н = Фн —¦ начальная масса газа до истечения, рассчитанная
на единицу площади. Поскольку при этом dz/dt = v = z/t, то
v—v{zq), что свидетельствует об инерциальности движения.
(При t-^ оо давление р ->¦ 0.)
В представлении Лагранжа уравнение неразрывности, как
известно, имеет вид
^' Рн, (87.21)
поэтому
IT ['Tj ^ 'Ш^ ^ ^' (87.22)
подставляя в (87.22) значение р из (87.20), будем иметь
dzo - IB LU-1  J '

§ 87] ИЗВЕРЖЕНИЕ ГАЗОВЫХ МАСС ИЗ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 753
ЧТО дает распределение Zq = Zq (v) в виде
V
zo = ¦^\[[-k^<^n)' - v'Jdv. (87.23)
о
Из (87.16) имеем
4+1
^ = l_ri_lzLL^\^<^-«. (87.24)
Преобразуя (87.23), будем иметь
¦г = -ёЙ^$A-9')"^в. (87.25)
G
где 0= —2 > здесь \A-—6^)^d9 есть известный интеграл
о
Уэллиса.
Из этого соотношения следует, что распределение скоростей
(87.25) мало отличается от распределения (87.24). Таким образом,
мы будем в дальнейшем пренебрегать дополнительными
величинами ускорения, которые испытывают частицы в отраженной
волне; тем самым условия задачи становятся менее выгодными
в смысле определения максимальных моментов.
Почти аналогично решается несколько более сложная, но более
реальная задача о боковом разлете цилиндрического объема газа.
Решение этой задачи невозможно в аналитическом виде и мы
его здесь проводить не будем. Из теории неустановившихся
движений газа известно, что при разлете цилиндрического объема
газа фронт отраженной волны разрежения будет достигать какой-
либо частицы несколько позже, чем в случае одномерного разлета,
поскольку плотность и скорость для какого-либо заданного
интервала времени в любом сечении z в случае цилиндрического
разлета меньше, чем в случае одномерного.
Следует еще заметить, что в случае цилиндрического разлета
в первой волне разрежения ускорения несколько больше, чем
в случае одномерного разлета, но убывает ускорение со временем
быстрее, зато в отраженной волне разрежения, поскольку в ней
давление больше в центральных областях, будут также
действовать силы давления, приводящие к дополнительному ускорению
частиц. В среднем зависимость ускорения от времени и координаты
частицы будет приблизительно такой же, как и в случае
одномерного разлета. Следует заметить, что предельное состояние
движущегося газа в обоих случаях приводит к одинаковому
распределению масс газа по скоростям. В самом деле, это распределение

754
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
[ГЛ. XIII
ДЛЯ осесимметричного разлета газа имеет вид
В^^и Г/ 2 \2
V =
к-
г;^]\
(87.26)
причем Мн = npj} — начальная масса газа, рассчитанная на
единицу толщины газового слоя; величина В имеет то же значение,
что и в случае одномерного разлета.
Анализ предельного распределения масс газа при f -> сх) по
скоростям показывает, что в случае цилиндрического разлета это
предельное распределение точно такое же, как и в случае
одномерного разлета. В самом деле, поскольку величина dM = 2nzp dz
для цилиндрического разлета и dM = р dz для одномерного
разлета, то
dM =
[(т^г^нУ-^'^^
для обоих случаев, и в интервале скоростей г^г, ^i (^^2 > ^i) в обоих
случаях будет содержаться масса
м
Ж"
'-Ih^^'^y-'']'^''
где М — масса газа, содержащаяся в интервале скоростей г?2, Vi.
В случаях А: = 3, 5/3, 7/5 мы будем соответственно иметь
М
м
Г2 — V\
3 V<2. — Vi
м
м^ -
1 ^2-
4: 25
V2 — V\ ^2 "" ^1
2с„ 2Cc„f
-г;3 3 ''a-^i
.3 + 8 Eс„M •
(87.27)
Итак, разница между цилиндрическим и одномерным разлетом
будет наблюдаться в основном лишь в зависимости величины
ускорения от времени, но и эта разница не будет значительной.
После того как расширение газа практически прекращается,
что соответствует моменту времени ^2 = ^^/^н (' — ^о), частицы
газа начинают двигаться по кеплеровскимърбитам. В дальнейшем
нас будут интересовать эллиптические орбиты, не пересекающие
звезду. Для этих орбит мы будем иметь очевидные неравенства
' min > Го, Z < 1.
Поскольку уравнение орбиты имеет вид
1 = />[1+/соз(ф-|^]],
(87.28)
(87.29)

§87] ИЗВЕРЖЕНИЕ ГАЗОВЫХ МАСС ИЗ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 755
где ф = d^ldr при г = [р1{^ + ОЬ, причем
^=/l + #(^^ + ^^-^)' (87-30)
р — параметр орбиты, то неравенства (87.28) можно написать
в виде
rmin = if>ro, ul + vl^^. (87.31)
Для простоты положим / = 1, тогда
¦j->ro, (87.32)
что несколько усиливает последнее неравенство, приводящее к
некоторому уменьшению массы газа, движущегося по искомым
орбитам.
Введем теперь предельную (параболическую) скорость Wq,
необходимую для того, чтобы тело, улетающее от Солнца, ушло от
него навсегда:
2 2GM /Q7 оо\
Щ = -77" '• (87.33)
Тогда окончательно оба неравенства можно написать в ви/^е
— r^^'^r^w^, u\-\-v\^^w\. (87.34)
Интегрируя уравнения моментов, мы придем к выражению
''2^2 — ^0^0 = у^ ^^ (87.35)
где
2К-
Гог^о — начальный момент на поверхности вращающегося Солнца,
Уо — скорость на его экваторе, ^i = (/ — 2о)/сн — время начала
действия ускорения.
Рассмотрим теперь такую задачу. Будем считать, что
радиальная компонента скорости в течение рассматриваемого интервала
вращения постоянна: гг = Uo *)» тогда, поскольку г = Го + Щ1,
*) Под постоянной скоростью Wq следует понимать среднюю скорость на
всем интервале движения газа.

756 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. XIII
соотношение (87.35) примет вид
+ u„(/-z„)[l-(^)^]. (87.37)
Подставляя вместо ^2 величину P/c^ {I — Zq), придем к
соотношению
2 (k-^l)
П I — Zn\
+ щ{1 - z,) [l - (t4^)^] , (87.38)
при этом принимается, что г? < О и что угол ф уменьшается со
временем.
Анализируя найденный результат, следует особо отметить, что
частицы газа с координатой Zq — I испытывают в момент времени
t — О бесконечно большое ускорение, а далее движутся лишь под
действием силы тяжести. Частицы О ^ Zq ^ / имеют всегда
конечные убывающие со временем ускорения. В пределе при Zq^>- I
времй действия силы, приходящейся на единицу массы,
неограниченно возрастает.
Используя первое неравенство (87.34), придем к результату
2 (fc-l)
3-fe , 2 Г (l-^zo\ /t+i 1
Го \l —zo J
> ^-^—b—'—^-^ --h
Uq ' Го
(87,39)
Поскольку для типичных мощных взрывов, приводящих
к истечению части газа на бесконечность, величина 2cJ{k — \) с^
;::^ Wq (близка к iVq), ТО всегда можно найти такую величину Zq ¦=
— I — 1^, где /i < /, что при Zo > z^ газ будет двигаться по
орбитам, не пересекающим Солнце. Условие эллиптичности орбиты
/ ^ 1 дает 1^2 +г;^^м^|Го/г2; отсюда следует, что
r^iPi ^ roU?o
/-j('-fl)- (8«»)
Таким образом, для эллиптических орбит, не пересекающих
поверхность Солнца, угловой момент количества движения должен

§ 87] ИЗВЕРЖЕНИЕ ГАЗОВЫХ МАСС ИЗ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 757
лежать в пределах
rowo < - г^, < r,w, у ^ ^1 _ II ^^ . (87.41)
Пренебрегая при I — Zq <С I относительно малыми величинами
и считая, что Uq <^ Wq, мы придем к неравенству
Поскольку
2 C—К)
rl4-ur[j±^) '+' <rW^. (87.42)
ТО
Г2 Uo I I
Il^l + iil_L_L. (87.43)
Го ' С„ Го / — 20 » ^ ^
Го С„ Го I — 2о *
Из (87.42) и (87.44) имеем
н
5—3?С
о2
(87.44)
1у+^^.^1. (87.45)
что определяет наибольшее возможное значение Zq = Zq^ при
котором орбита еще эллиптична. Из (87.44) и (87.45) следует, что
4 (fc-1) , 2 ^ ^+1
7.)"" D)"'- <^'-«'
Г2 ^^ Up
го *^ Cg
Таким образом, максимально возможный момент определяется
соотношением
Го?
2''2
'.»./^D)"'D)"'""- <*"•"'
С другой стороны, — r2V2 ^ rQiVo, что дает
Минимальное перигелийное расстояние, очевидно, определяется
формулой
r.. = .o-^ = ^^. (87.49)

758 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. XIIl
ЧТО при сделанных допущениях дает
Г2
(87.50)
Го 2го
Рассмотрим следующий пример: пусть
Wq = 1500 км/сек, с^ = 300 км/сек, Uq = 100 км/сек;
тогда, полагая для простоты /с = 1, будем иметь: Гг/го = ^llc\ =
25, //(/ — Zq) = TqwIIIuqC^ = Tbrjl] пусть I/vq = 0,01; тогда
отношение //(/ — Го) удовлетворит неравенству 1/{1 — г^) ^ 7500. Из
(87.48) при /с = 1 имеем
I
l — Zo
> 1500.
Следовательно, для частиц газа, лежащих в интервале,
получаются эллиптические орбиты, не пересекающие Солнце.
Максимальный момент при этом равен 7500 rQVo* (Начальный момент
есть — Гог;о.) Перигелийное расстояние равно 12,5 Tq. Более
точный расчет без пренебрежения относительно малыми величинами
при более реальном значении А: ;:^ 7/9 приведет приблизительно
к таким же результатам, при этом количество газа, движущегося
по эллиптическим орбитам, несколько увеличится.
Интересно отметить, что с уменьшением начальной скорости
звука в газе, уже выброшенном из Солнца, увеличивается
максимально возможный момент. Причина этого заключается в том, что
с уменьшением скорости звука увеличивается время действия
бокового ускорения, и, таким образом, боковые скорости хотя и
уменьшаются, но набираются на больших расстояниях, что и
приводит к увеличению момента.
Укажем снова, что при решении поставленной задачи следует
под постоянной скоростью Uq понимать среднюю скорость на всем
интервале движения газа.
Вычислим теперь величину массы газа, движущегося по
эллиптическим орбитам, не пересекающим Солнце. Очевидно, эта
масса, рассчитанная на единицу площади поверхности столба
газа, вырывающегося из Солнца, равна
M=p^Cz- zo) = Мя ^^ . (87.51)
В случае, когда Zq = I — 1^, где /^ <^ /, имеем
м
_^j^ 1__н_ . (87.52)
Для разобранного выше примера М1М^ = 1/100-15 A — 1/5) ;::г;
;:^1/2500.

§ 87]
ИЗВЕРЖЕНИЕ ГАЗОВЫХ МАСС ИЗ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ
759
Рассмотрим вторую задачу, считая, что радиальная скорость
выброса постепенно убывает с расстоянием; для удобства
вычислений аппроксимируем связь между г и t соотношением
г = Г2 —
Г2— Го
(87.53)
где Г2 — максимальное расстояние, на которое может удалиться
газ от Солнца, Uq — начальная радиальная скорость газа. При
этом
Тогда в случае переменного ускорения
о
+.)¦
(87.54)
а =
2fc
k + i I
-Zo[ Cj^t )
мы, вычисляя момент количества движения, придем к такому
результату:
/2
/с + 1 /
2fr
-20 (^ с^ )
Го
Г2— Го
( ^ot fe + 1 , Л /С+1
\г2-го 2 +V
d^ (87.55)
откуда
/c-l
''2^Н
/f-1
V2 ^"""Fh^j
/ — Zq
+
+ TZT^h(''2-^o)[(i +
/c-l
A; + 1 / — zo Wo \ 'f+l
Г2 —¦ Го C„
k-1
_ [ LzJl J_ ^ + ^ Z —zo i/o\ /c+l 1
• ( C^h + 2 Г2-Г0 c^j J
Как мы видим, при сделанной аппроксимации (87.53)
интеграл моментов берется легко. При t^ = l^/c^ (Z — z^) мы придем к

760 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. XIII
выражению
2(fe-l)
/с + 1 Wo I — Ч \ k+1
[V / У "^ 2 Сд ra-roj }• V • ;
Вычислим теперь, какая избыточная масса будет двигаться
около Солнца в сторону его вращения. Как мы указывали, при
расширении газового столба несколько большая масса начнет
двигаться по эллиптическим орбитам, не пересекающим Солнце,
в сторону его вращения, а меньшая масса будет двигаться в
противоположном направлении. Разность этих движущихся в
противоположных направлениях масс и будет-.являться искомой
избыточной массой.
В случае постоянной скорости поступательного движения для
этой цели (при Z — ^0 <^ Z) можно воспользоваться предыдущими
неравенствами, которые теперь запишем в виде
ГоМ^о <Щ^ 1—г + Vo <^оЩ ~- • (87.57)
Здесь знак минус соответствует движению по вращению Солнца,
а знак плюс — движению против вращения Солнца.
Из этих неравенств следует, что масса газа, которая движется
в сторону вращения Солнца, масса, движущаяся против вращения
Солнца, и избыточная масса определяются соответственно
соотношениями:
а) масса, движущаяся в сторону вращения Солнца:
UolroWo [ —~ — 1
н
(гоюо + Гог;о) ( гри^о — + Грг^о I
(87.58)
б) масса, которая движется против вращения Солнца:
-^ = ^ =- 7^^^^—^-—Г; (ЭТ.59)
{roWo — ГоГо) rowo — — roVo

§ 87] ИЗВЕРЖЕНИЕ ГАЗОВЫХ МАСС ИЗ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 761
избыточная масса
АЛ/ Ml —Л/г о / uovo
Л/д Л/н Го ^2
Ml
Л/2
(87.60)
Эта избыточная масса имеет момент количества движения,
лежащий между величинами VqWq, r^WoWjc^, откуда средний момент
этой массы равен {r^wJ2){i + г^о/^н)- Для рассматриваемого
выше примера, полагая Vq = —100 км/сек, получим АМ/М^^ = 10~*.
Заметим, что всегда можно выбрать такие начальные условия
для эллиптического выброса с эллиптическими скоростями, что
вся масса газа, расширяющаяся против вращения Солнца, упадет
на него обратно, а сравнительно небольшая периферийная часть
массы, расширяющаяся по вращению Солнца, станет двигаться,
не пересекая поверхность Солнца, с соответствующим большим
моментом.
В том случае, когда скорость радиального движения газа
переменна и аппроксимируется соотношением (87.54), для
определения избыточной массы при I — Zq <^ I мы приходим к
следующему выражению *):
2(fo--l)
— ^2^2 — JZIY Vh [1 — (--7^) J + ^0^0 >Го^о. (87.61)
Отсюда следует, что относительная масса, движущаяся в сторону
вращения Солнца, равна
-д^ = — = A - -^ ^j ' (87.62)
причем ДОЛЖНО быть 2/{k — I) Cj^^ Wq + Vq; относительная масса,
движущаяся в противоположном направлении:
Л/2 _ Д202 _ f. k — i u?o-yo\2(^-^>
л/2 Д202 [л k — iwo—Voy^"'^'-^ /Q7 А'Д\
2с
причем , " ^Щ — ^0' Избыточная масса определяется-соотно-
*) При этом мы допускаем, что отсутствуют гиперболические орбиты,
такие орбиты, в самом деле, будут отсутствовать при не очень больших с^'

762 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. XIII
шением
АЛ/ _ Ml — Мч _
м, - м^
к+1 к+1
_ I А fe — 1 ц;о + г^о
~ ' 2 " с^
2(/f-l)
|^l__i^-_o^oy<^->^ (87.64)
4^;^ 1 _ l±i ?^ _i_ . (87.65)
" 1 — —гт
При /с - 1 V^H<1, AM/Mn^^V^nr'^^^^"". При V^H==0,1,
u?o/2c,i = 2,5 (напомним, что здесь Wq — параболическая скорость)
будем иметь АМ/М^ = 0,01. Момент этой массы лежит в интервале
Ir^WQ; rQiVf^yy^Fol, отсюда средний момент есть ;:^ -^^^ (^ + V^^/^o)-
Проведенные нами рассуждения и подсчеты доказывают, что
действительно при нестационарных извержениях из Солнца
определенная часть газа, составляющая до Vioo от всей выброшенной
массы, получает такие скорости, что начинает двигаться по
эллиптическим орбитам, не пересекающим Солнце, и при этом
может иметь моменты вращательного движения, превосходящие
в тысячи раз начальные моменты, рассчитанные на единицу массы.
Существенно отметить, что различные участки выброшенного газа
при нестационарном извержении будут иметь различные
радиальные скорости выброса вследствие того, что при нестационарном
процессе головная часть газа, имеющая сравнительно небольшую
массу, приобретает за счет внутреннего давления тыловых частей
газа значительные скорости, превосходящие средние
энергетические, а тыловые части газа, отдав свою энергию, приобретают
скорости меньшие, чем средние энергетические.
При этом головная часть может приобрести гиперболические
скорости и улететь от Солнца навсегда, и процесс формирования
устойчивых орбит может начаться лишь для последующих частей
газа.
Интересно отметить, что принципиально можно найти такие
начальные условия выброса газа из Солнца, которые приводят
к последующему полному падению на Солнце той части газа,
которая расширялась против вращения Солнца. При этом
сравнительно небольшая часть (около ^/юо) газа, расширяющаяся в
направлении вращения Солнца, находящаяся во внешних частях
струи, на Солнце не упадет и будет двигаться около него по
эллиптическим орбитам (рис. 106).
Допустим, что в рассматриваемый момент времени некоторая
масса газа, удалившаяся от Солнца на определенное расстояние
Гз, характеризуется предельным распределением скорости и плот-

§ 87] ИЗВЕРЖЕНИЕ ГАЗОВЫХ МАСС ИЗ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 763
ности, выражаемым формулой (87.20). Допустим, более грубо, что
плотность везде постоянна, р = рд. Рассматривая часть газа,
которая расширялась в направлении, параллельном экватору
Солнца, и учитывая собственное вращение Солнца, мы придем
к следующим простым соотношениям:
Здесь мы принимаем, что скорость
центра тяжести выбранной массы есть Vq =
= у^г^/г2, где Vq — начальная скорость
массы, равная линейной скорости
движения точек экватора Солнца, г;2 —
предельная (тангенциальная) скорость
расширения, ^1, ^2 — границы расширения
газа по вращению и против вращения Рис. 106.
Солнца соответственно.
Отсюда следует, что масса, расширяющаяся по вращению
Солнца, определяется выражением
Мх = Po^i = Ро^ {Щ + vo), (87.67)
а масса, расширяющаяся против вращения Солнца,— выражением
^2 = Ро^а = Ро^ {V2 - Vo) (87.68)
(площадь сечения выбранной массы газа принята равной единице).
Момент массы Mi, очевидно, равен
М,г -5^ = p,t <Hi+f2)!., (87.69)
а момент массы М2
М,г -i^i^ = р„<г ^-^^^ . (87.70)
Начальный момент этой массы равен
{Ml + М2) v,z, = {Ml + М2) rv,. {Ъ1Л\)
Скорость бокового расширения можно выбрать таким образом,
чтобы вся масса, расширяющаяся против вращения Солнца,
имеющая предельную скорость на границе v^, — v^, упала на Солнце;
тогда часть массы, расширяющаяся в сторону вращения Солнца,
а именно масса AM = 2рог;о^ лежащая в интервале скоростей
^2 + ^0» ^'2 — -г)о» на Солнце не упадет и будет обладать моментом
^Mrv2 = 2poVotrv2 = г {Ml + М2) Vq, (87.72)

764 ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ [ГЛ. XIII
Мы видим отсюда, что до извержения масса М = М^ + Mg
обладала моментом количества движения MvqTq, причем удельный
момент, рассчитанный на единицу массы, был VqVq; после процесса
расширения изверженного газа при указанных условиях около
Солнца осталась масса AM, обладающая моментом MvqVq, равным
начальному моменту всей изверженной массы; таким образом,
удельный момент для оставшейся массы ^v^MlkM ^ Vq. Эта
оставшаяся масса, как мы уже указали, будет двигаться около
Солнца в сторону его собственного вращения.
Для того чтобы при помощи указанного механизма объяснить
большой удельный момент планет Солнечной системы, который
почти в 8000 раз превосходит удельный момент солнечных масс,
мы поступим следующим образом: предположим, что Солнце в
стадии, когда оно могло извергать большие массы газа, имело радиус
i?* и массу М*. Тогда удельный момент для масс, движущихся
около Солнца в сторону его собственного вращения, будет
/2СМ*Л* = 8000г®г;о®,
где Г0, ^00 — радиус современного Солнца и экваториальная
скорость вращения.
Отсюда следует, что поскольку предельная скорость для
современного Солнца равна 600 км/сек, а г?о0 == 2 км/сек, то ]/^2GAf*i?* =
= 8000/300 /2М0Г0, где М(^ ~ масса Солнца.
Следовательно,
м*л* = ^|^м0r0. (87.73)
Таким образом, предполагая начальную массу Солнца в 10 раз
большей, чем современная, и начальный радиус в 70 раз больше
современного, мы получим удовлетворительное согласие между
удельным моментом изверженных им масс и удельным
моментом современных нам планет.
Рассмотрим дальнейшую судьбу масс, изверженных звездами
или Солнцем. В течение определенного времени благодаря
квазистационарному выбросу вещества из Солнца около него будут
постепенно накапливаться, как мы показали выше, газовые
массы, движущиеся по различным траекториям с различными
эксцентриситетами, но преимущественно в сторону вращения
Солнца. Благодаря убыли солнечной массы размеры орбит будут
увеличиваться.
Рассматривая более общий случай извержения газовых масс
из Солнца, а именно случай, когда после расширения газовые
массы будут двигаться около Солнца в противоположных
направлениях (по вращению и против вращения Солнца), мы придем к
выводу, что лишь избыточная масса, которая будет двигаться по

§ 87] ИЗВЕРЖЕНИЕ ГАЗОВЫХ МАСС ИЗ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ 765
орбите с большей полуосью, чем вся остальная масса, не упавшая
на Солнце, практически не будет взаимодействовать с этой
остальной массой. Массы газа, двигаясь по противоположным, в смысле
направления, орбитам, будут, соударяясь друг с другом или иным
способом, обмениваться своими моментами, что приведет, в конце
концов, к их падению на Солнце.
Оставшаяся масса будет обладать значительно большим
удельным моментом, чем в разобранном выше примере, когда около
Солнца сразу же оставалась только избыточная масса. Поэтому
начальная масса и радиус Солнца, необходимые для образования
современных планет, могли быть меньше, чем вычисленные выше
для объяснения относительно больших кинетических моментов
этих планет.
Массы газа, остаюш^иеся около Солнца, расширяясь по закону
более сильному, чем изэнтропический, вследствие необратимых
потерь энергии могли затем гравитационно объединяться и
образовывать планеты.
Как мы видим, сделанные нами газодинамические вычисления
помогают объяснить одну из важных стадий образования планет,
а именно объясняют возможность выброса Солнцем масс вещества,
обладающих весьма большим моментом количества движения, если
принять гипотезу извержения планет из Солнца, но и помимо этого
данные здесь соображения представляют вообще интерес для
космогонии. Концепция, лежащая в основе проведенных расчетов,
не является твердо установившейся, но и при ином механизме
образования планет, например при их совместном образовании
вместе с Солнцем из единого газопылевого облака (§§ 91 и 92),
механизм извержения помогает объяснить распределение моментов
объектов Солнечной системы, различно удаленных от Солнца.

ГЛАВА XIV
ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ
И ОЧЕНЬ ПЛОТНОЙ СРЕДЫ
§ 88. Решение основных уравнений
газовой динамики для разреженной среды
Изучение движения разреженной среды, особенно в поле
тяжести, создаваемом этой же средой, представляет значительный
интерес для некоторых разделов физики и, особенно, астрофизики.
Как известно, пылевая и газовая среда, заполняющая мировое
пространство, весьма разрежена, ее плотность колеблется в
пределах от 10"^^ до 10"^^ elcM^ и, может быть, еще меньше. Очевидно,
при таких малых плотностях длины свободного пробега частиц
этой среды, т. е. расстояния, проходимые частицами между Двумя
последовательными соударениями, весьма значительны, поэтому
давление среды практически равно нулю.
Для изучения движения пылевой или газовой среды,
находящейся в крайне разреженном состоянии, можно применять
основные уравнения газовой динамики, учитывая собственное поле
тяжести этих частиц, полагая, что давление среды равно нулю.
Мы рассмотрим также некоторые основные закономерности
движения и менее разреженной среды, имеющей заметное
внутреннее давление, которое, однако, все же мало по сравнению с
другими действующими силами в среде.
В этих случаях рассмотрение движения частиц среды удобнее
всего проводить в координатах Лагранжа, поскольку эта среда
является дискретной (рассматривается как дисконтинуум) и нас
интересует движение ее отдельных частиц.
Здесь мы рассмотрим несколько задач, имеющих конкретный
характер; результаты этих задач могут иметь космогонический
интерес. В этой же главе мы рассмотрим задачу о равновесном
состоянии плотной среды, а также некоторые основные
закономерности движения очень плотного газа. Начнем с изучения давления
различной среды.
Прежде всего выпишем основные уравнения газовой динамики,
учитывая собственное поле тяжести среды с потенциалом ф как
в форме Эйлера, так и в форме Лагранжа для прямоугольной
системы координат:

§ 88j
РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
767
а) в форме Эйлера B.13)
ди , ди , ди
, ди , i dp
+ ^ -^ н—-^
' az * р дх
дц>
дх
dv ^^1 ^^ _1_ dv i др ^ф
'dt '^ ^1^ ~^ ^ ~ду ~^^~дГ~^~'д^~~~д^'
dw ^. дю ди)
dt
dt
дх
W
dz
dw
+ р az ~ az '
> (88.1)
+ 1'
ду
ds
+ "'1г+р
Эа
аг^
дх ' Оу
-О,
I ^^ п
б) в форме Лагранжа C.1) и C.3)
. , i др дФ
^ р дх дх
где Ро = Ро(«» *. ^)»
рД = Ро,
. , 1 dp
• , 1 dp
' р dz
s = o.
аф
dt/
?ф_
Л-
da: da: дх
да дЬ дс
ду ду ду
да дЬ дс
dz dz dz
da db dc
a (X, y, z)
d (a, 6, c) '
(88.2)
Здесь a, b, с — лагранжевы координаты частицы.
Поскольку величину dp/p можно представить в виде A.42)
?E, = di-^TdS = c4lnp + [%)
dS_
9 Р
'dT,
(S8.3)
то, полагая температуру среды малой, т. е. полагая малыми
хаотические движения частиц по сравнению с их макроскопическим
движением, мы сможем пренебречь членом dpip в уравнениях
движения. Пока что мы наложили на среду наиболее сильные
требования, для того чтобы пренебрегать членом dpip, однако даже
при относительно высоких скоростях макроскопического
движения частиц в том случае, когда соударения частиц редки, величина
dpip также может быть очень малой по сравнению с величинами
сил тяготения или сил инерции.
Воспользуемся системой уравнений, написанной в форме
Лагранжа. Сначала будем рассматривать движение среды при
отсутствии поля тяжести. Очевидно, что при этом уравнения движения
сразу же дают следующий результат:
X = и = щ{а^ Ь, с),
y = v = v,{a,b,c), I (88.4)
Z = W = Woia, b, с),

768 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
который показывает, что компоненты скорости зависят от частицы,
оставаясь для каждой данной частицы постоянными со временем.
Интегрируя уравнения (88.4), мы придем к результату
X — UqT -\- Xq, I
Z ^Wot + Zq, J
где
Xq = х^{а, b, C), ]
г/о ^ г/о (a, b, c),
Zq = ZQ{a, b, c).
(88.5)
(88.6)
Этот результат также очевиден, он показывает, что положение
инерциально движущейся частицы полностью определяется
начальными значениями ее координат (при t = 0) а, Ь, с и
начальными значениями скорости этой частицы.
Уравнения неразрывности сразу же определяют плотность
среды
р = ^, (88.7)
поскольку нам известны функции
X = X {а, &, с), У = у {а, 6, с), z = z (а, b, с).
Уравнение энергии выполняется тождественно, поскольку
движение разреженной среды практически изэнтропично, так как
р ->0.
В представлениях Эйлера найденные решения для скоростей
можно написать в виде
х — Хо ^, У — 2/0 ,, z — zo
v=^^\ w = ^-^, (88.8)
It t t
где Xq = Xq {u, V, w),yQ = z/o (w, v, w), Zq = Zq {щ v, w), что следует
из (88.4) и (88.6).
Уравнение неразрывности в координатах Эйлера уже нет
необходимости интегрировать, поскольку решение, написанное
в форме Лагранжа, сразу же дает желаемый ответ. Для перехода
к координатам Эйлера необходимо лишь из уравнений (88.4) и
(88.5) выразить
а = а (t, X, у, z), ]
b = b{t, X, I/, z), (88.9)
с = c{t, X, г/, 2), J

§ 88l
РЕШЕНИЕ основных УРАВНЕНИЙ
769
после чего определяется плотность:
Р = Р (^ X, у, z) = Ро {t, X, у, z)
да да да
дх ду dz
дЪ дЬ дЬ
дх ду dz
дс дс дс
дх ду dz
Ро d(x,y,z) - РоД-
(88.10)
При движении разреженной среды в каждой точке пространства
или, вернее сказать, в некотором объеме пространства может
находиться несколько частиц, обладающих различными массами и
скоростями. Тогда за координаты данного объема пространства
можно принять координаты центра масс, находящихся в этом
объеме. В этом случае можно прийти к выводу, что будем иметь
дело с многозначными значениями скоростей в данной области
пространства.
Рассматривая решения соответствующих уравнений, мы также
можем обнаружить, что одному значению плотности в данный
момент времени и в данной области пространства будет
соответствовать иногда не одно, а ряд значений скорости.
Очевидно, что плотность, являясь величиной скалярной, будет
просто суммироваться из «плотностей» отдельных частиц,
заполняющих данный объем пространства. При этом под
«плотностью» р^ каждой частицы следует понимать величину
р = -т
(88.11)
где rui — масса i-u частицы, v — рассматриваемый удельный
объем пространства.
В частности, можно встретиться с такой задачей: два облака
газа или пылевой материи проходят друг через друга, тогда можно
рассматривать задачу определения скоростей и плотностей для
каждого облака независимо и, вычисляя Pi и рз, получить
результирующую плотность для каждой точки пространства в заданный
момент времени простым суммированием плотностей каждого
облака:
Р = Р1 + Р2-
Значения скоростей в определенной области пространства, где
облака проходят друг через друга, будут двузначными.
Возможна и такая задача: имеется одно облако газа, но
скорости в нем распределены таким образом, что одни частицы перего-
няют другие, и с некоторого момента времени решение
становится многозначным.

770 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕШЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
Определяя плотность для каждого значения скорости, мы снова
определим результирующую плотность простым суммированием
отдельных плотностей. Эта задача является несколько более
сложной, чем первая. Рассмотрим ее на примере одномерного движения.
Пусть в момент времени ^ = О нам дано р == Ро = const,
u^Uo=--oih---^J; (88.12)
тогда при ^ ;> О
а; = а Г1 - ^J t + хо, (88.13)
причем О ^ Xq ^ L Решение задачи приводим к результату,
согласно которому при ^ ]> О имеем
l[i±
:]/l-.4(Z-~
a* 1
2at
Ро
/7-
A{x — l) at
Ь /2
(88.14)
Из решения видно, что при ^ > О значения скоростей становятся
двузначными, при этом плотность в интервале двузначных решений
определяется формулой
р -===М====- . (88.15)
^у^^ , 4:{x — l)at
! + ¦
В момент времени ^ -> оо решение снова становится
однозначным, поскольку наиболее быстрые частицы обгоняют все
медленные.
Разобранные случаи характерны для типичного
дисконтинуума, когда одни частички могут обгонять другие. Таким образом,
когда среда является дисконтинуумом, несмотря на то, что в
начальный момент времени ^Tqi > Xq2, в какой-либо другой момент
времени может быть Xi (xqi) < Х2 (^02)- В случае среды,
представляющей собой континуум (сплошная среда), всегда, если при ^ = О
^01 ^ ^02? то и при любом t Xi (Xqi) ]> Х2 (^02)-
Рассмотрим еще одну задачу, связанную с движением
разреженного газа, однако мы будем полагать, что, несмотря на малость
давления, среда еще является сплошной и одни частицы не могут
обгонять другие. Рассмотрим взрыв, происходящий в пространстве
и обладающий точечной симметрией. Как мы знаем, в некоторый
момент времени, когда продукты взрыва займут объем, прибли-

88]
РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
771
зительно в тысячу раз превосходящий начальный (г = Юго),
движение газа будет описываться уравнениями
и =
t '
Р =
АМ„
4яг2
f=tv
[(iCT^Hy-^f. (88.16)
где А = {2п + 1)! 2'^^ [2cJ{k - 1)]-2п/(,г!J.
Легко показать, что, выбирая произвольную точку
пространства за новый центр, мы придем к выводу, что любая частица имеет
относительно этой точки скорость,
пропорциональную ее расстоянию отточки.
(Данное положение будет иметь место
как для одномерного, так и для
цилиндрического и сферического расчета
частиц.) В самом деле, вектор
скорости, ^соединяющий две произвольные
частицы, всегда пропорционален
вектору расстояния (поскольку г = ut),
т. е. распределение скорости (до
границы разлета) будет изотропным
относительно любой точки пространства.
Закон распределения плотностей
изотропным не будет.
Рассмотрим распределение масс по скоростям в какой-либо
неподвижной системе координат, относительно которой центр
тяжести газа движется с некоторой скоростью Uq.
Поскольку ориентация осей неподвижной системы
сферических координат безразлична, то удобно выбрать ее таким образом,
чтобы центр тяжести газа двигался по оси z. В этом случае мы
придем к следующим соотношениям (рис. 107):
Рис. 107.
Wx = и cos ai sin ф^,
Wy — и sin «1 sin 4)i,
W2 = и cos Ф1 + Uq,
w^ = u^ + ul + 2uqU cos Ф1,
u^ = iv^+ ul — 2uqW cos Ф1.
(88.17)
Здесь Ф —- угол (широта) в неподвижной системе координат,
ф1 и ai — полярные углы, широта и долгота в подвижной системе,'
W = ri/t — скорость относительно неподвижной системы
координат, Vi — расстояние от центра этой системы.
Поскольку масса, содержащаяся в заданном интервале
скоростей du = d (щ — Ui)y в системе координат, связанной с цен-

772 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
тром тяжести, равна
dM = 4jtr2pdr =4я1г2рdut^ = '^^^^\L^ChY -vP^du,
(88.18)
/c —1 ^H
TO относительно неподвижной системы координат масса газа,
движущаяся в интервале скоростей dw^ определяется выражением
dM = 2pi/;2 dw sin ф йф da =
2 AM „vP' dw sin ф йф dfa ( . _. c„) — (м?^ — м^ — 2wom; cos ф)
= !! ^ ^^^ ^—'- L^ (88.19)
4jt д._| Сд (м.^2 _|_ j^2 _ 2mom; cos фх)
Производя интегрирование по долготе, придем к соотношению
"^-^l <?jj 16.^2 + wj— 2i;ow; созф
— {w^ + ul — 2uoW cos ф)]^ (88.20)
определяющему массу в интервале скоростей dw и в поясе йф.
В случае постоянной плотности, не зависящей от г, задача
сильно упрощается:
dM = MH^, (88.21)
где Unp — предельная скорость разлета газа в системе координат,
связанной с центром массы. Этот случай может иметь место,
например, при соударении двух космических тел, приводящем к их
полному разрушению, в частности при падении метеоров. Заметим,
что движения разреженной среды могут быть и вихревыми и
потенциальными. В случае потенциальных движений должны
выполняться следующие условия:
дх _ ду ^^ _ 2L ^ ~ — /ЯХ 99\
dv " ди ' Tw ~~ ди ' dw ~ dv ' (оо.^^)
откуда и из (88.8) следует, что должно быть
дхр дуо дхр dzp дуо dzp .q^ «оч
dv dv ^ dw ди ^ dw dv ' ^ ' '
Вихревые движения должны быть устойчивы ввиду редкости
соударений ч астиц.

§ 89] ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 773
§ 89. Движение разреженной среды в поле тяжести
В случае разреженных сред можно пренебречь давлением в
основных уравнениях; если при этом массовые силы потенциальны,
основную систему уравнений можно написать в виде
^ + (i?v) V = grad ф;
dt
+ div (pv) = 0.
(89.1)
Поскольку в случае любого поля тяжести, создаваемого средой,
имеем
grad ф - sr, (89.2)
где д — ускорение гравитационной силы, а потенциал ф в случае
внутреннего (собственного) поля тяжести удовлетворяет
уравнению Пуассона
div sr = Дф = —4яСр, (89.3)
то систему уравнений (81.1) можно написать так:
^^(vy)v = g; div(-^ + t.divg) = 0. (89.4)
Поскольку уравнение неразрывности имеет вид
^+V'gTdidM=0, (89.5)
где М — некоторая масса, заключенная внутри определенной
«жидкой» поверхности, а из уравнения Пуассона следует, что
AnGM = AnG[pdV=-ldiYgdV,
то получим следующую систему уравнений, описывающую
движения разреженного газа в поле тяжести:
^-l-t^gradM = 0; у
(89.6)
Весьма простой вид система уравнений (89.6) будет иметь в
координатах Лагранжа, если в качестве независимых переменных
выбрать (t, М):
^=g]^ = 0; -4jtGM= 5div^dV = 5AdivsrdVo, (89.7)

774 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
при ЭТОМ, очевидно,
л —
А = ^, (89.8)
где dV = dx dy dz^ dV^ — da db dc.
Рассмотрим движения газа, обладающие точечной симметрией,
Т. е. плоские, цилиндрические и сферические волны, порожденные
гравитационным полем.
В этих случаях, поскольку
iiyg^r-'^-^ir^g) (N = 0,1,2),
будем иметь
— inGM = 5 div gr dV = 4я 5 d (r^g) = inr^g,
откуда
g=-^^, M==An^p^^dro. (89.9)
Поэтому основные уравнения в координатах Лагранжа примут
вид
г = г1=-^,М = М(го). (89.10)
Здесь М (го) — масса среды, заключенная внутри сферы
(цилиндра) радиуса г^ или, в случае одномерных движений, разность
масс среды, находящихся правее и левее данного сечения г^ = Xq.
Наибольший космогонический интерес представляет изучение
движений, обладающих точечной сферической симметрией, хотя
ряд качественных выводов, относящихся к плоским одномерным
движениям, которые изучаются наиболее просто, может быть
перенесен и на сферические симметричные движения.
Уравнения, написанные в форме Лагранжа, являются наиболее
естественными для изучения движения именно разреженной среды,
когда в уравнения не входят силы давления. Для удобства
дальнейших вычислений следует от независимых переменных (г^, t)
перейти к новым независимым переменным (г^, г). Тогда уравнения
(89.10) примут вид
д(и^) _ 2GM ,
i at ^ (^^-l*)

89] ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 775
Решение этих уравнений не представляет труда:
а) для iV = О, 2
2 о/^л^С dr IGM ( \ 1 \ , ,
V^i'-'-'V^+'i'
б) для N ^ i
S
-2GM\n— + ul
Го
dr
Здесь Uq определяется начальными условиями, а именно, в момент
времени ^ = О нам необходимо знать распределение скоростей по
лагранжевой координате и = Uq = гго(го). Плотность будет
определяться выражением
Р _ '^о
Ро N 1_ (^\
^ дг \droj
ИЛИ в переменных (гд, г)
dt
р '^0 дг
(89.13)
Ро ~ г^ dt^ '
дго
При этом необходимо знать начальное распределение плотности
р = Ро = РоС^'о)- Очевидно, решение любых задач о движении
разреженного газа в случае точечной симметрии сведется к
решению обычных задач теории потенциала, если одни частицы не
обгоняют другие. В самом деле, движение каждой частицы
происходит независимо от движения других частиц; поскольку масса
частиц, находящихся ближе к центру (оси или плоскости)
симметрии, неизменна, неизменна и масса частиц, находяш,ихся
дальше от центра (оси или плоскости) симметрии, чем данная. Так
как суммарное притяжение частиц, внешних по отношению к
заданной частице, приходящееся на нее, равно тождественно нулю,
а притяжение частиц, внутренних по отношению к заданной,
эквивалентно притяжению точки, находящейся в центре
симметрии (или оси, или поверхности), обладающей массой внутренних
частиц, то решение задачи в случае центральной симметрии

776 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ ГГЛ. XlV
сводится К интегрированию уравнения
¦г = и=-.2МЖ, (89.14)
где М(го) — масса внутренних частиц, являющихся функцией
координаты Го, {г = Tq) в момент времени ^ = О, когда
рассматривается начальное состояние системы частиц.
Рассмотрим такую задачу: пусть при t = О щ = О {^ — Го)^
тогда 1/г = 1/го + u^/2GM, причем и = drjdt, откуда
^ - - [^ /w(t--I) + '•о /5к arctg /yri] .
(89.15)
В случае везде постоянной начальной плотности ро = const
закон сохранения массы приводит к соотношению
Р / ''о *
. , ^ (89.16)
Очевидно, уравнения системы (89.15) и уравнение (89.16)
эквивалентны решениям (89.12) и (89.13), если положить там N = 2.
В случае р^ = Ро(''о) необходимо вычислить производную
d/dt {drjdr)t, исходя из уравнения (89.15); тогда из первого
уравнения (89.13) определим
р г д (дго\
Ро г^ dt \ дг
Аналогично можно рассмотреть задачу одномерного движения
газа, сжимающегося к своей плоскости симметрии. Пусть при
^ = О имеем х = Xq, Uq = О, причем, поскольку плотность газа
везде одинакова, мы имеем право провести плоскость симметрии,
делящую всю массу пополам.
Решение задачи основано на уравнениях
¦§-{u^) = -8nGM; ]
Решая их при указанных условиях, найдем
и = Y8nGM{xo — x) + ul = Y^J^GMixo — x);
' = У ' 2ясл.;""'"=у
2nGM ~~ V 2nGM
9 ^ 1 ^ _^
Ро 1 — 2nGpot^ X
(89.18)

§ 89] ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 777
Сравним теперь время сжатия газа в случае сферического объема
и в случае одномерного сжатия. В случае сжатия сферического
объема из формулы (89.15) имеем ^= ^оу Jqm "Т" » ^^и
~'=W^- (8^•l9)
В случае одномерного сжатия из второй формулы (89.18) имеем
'* = /^ • (89-20)
Отсюда имеем t = iY?tl3n = OJt. Как видим, времена сжатия
мало отличаются друг от друга.
Когда плотность станет большой, темп сжатия за счет сил
внутреннего давления должен уменьшиться, однако, как видно из
структуры формулы, время сжатия увеличится лишь
незначительно, причем процесс прихода всей газовой массы в состояние
равновесия может длиться довольно долго и превышать по
длительности процесс первоначального сжатия.
В случае движения среды во внешнем поле тяжести,
создаваемом массой М, мы придем к уравнениям
рА = Ро,| (89.21)
причем div ^ = О, g = g{r) = g{x, г/, z).
Существенно здесь то, что ускорение зависит только от
расстояния данной точки от центра гравитирующей массы. Решение
конкретных уравнений при этом не представляет труда.
Траектория каждой частицы будет являться кеплеровской траекторией,
т. е. эллипсом или гиперболой, в зависимости от начальных
условий; в частных случаях траектория может быть окружностью
или параболой.
Зная для каждой частицы х = х{а, Ь, с), у = у {а, Ь, с),
Z— z{aj b, с), легко определить плотность.
В случае постоянного поля тяжести g = const, выбрав
систему координат, центр которой является центром тяжести
рассматриваемой массы и движется по закону
Z - ^ (89.22)
(сила тяжести направлена по оси х), мы сведем задачу в этой
системе координат к задаче о движении среды вне поля тяжести.

778
ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
Перейдем к приближенному рассмотрению более общего
случая движения среды, когда среду можно рассматривать как
дисконтинуум. Следует сначала отметить, что при движении среды в
постоянном или во внешнем поле тяжести мы придем к
результатам, только что полученным для сплошной среды. Необходимо
рассмотреть движение дискретной среды в собственном
внутреннем поле тяжести. Рассмотрение начнем для случая, когда в
каждой точке пространства скорость может иметь два значения:
Щ и Ug.
В этом случае задача сведется к решению следующих
уравнений:
dui
причем величины А^ и Ag суть якобианы:
dt *'
НМг,М^)\
Р = Pi + Р2 =
Ро
. Д1 ^ Аг.
t J
(89.23)
Ai-
д (х, у, z)
д («1, bi, ci) '
А.=
где «1, &1, Ci — лагранжевы координаты частиц, имеющих
значения скорости и^\ «2, Ъ^, с^ — то же для скорости ^2'
Для частных случаев центрально-симметричных движений
система уравнений (89.23) сведется к системе (независимых
переменных будет три: t, М^, М^:
dui __du2 _ G (Ml + Л/г) A __
(89.24)
Здесь число независимых переменных равно трем: ^, Mi, Mg.
Перейдя к независимым переменным (г, Mi, Mg), пишем систему
(89.24) в виде
откуда
?1
ро
dt
Ml
1
~" дг
дго1
' dt J.N t,>
-Mi(roi), М2 = М2(Го2);
. Р2_1. Р_^|1
' ро ~~ 5г » Ро ~ дг ~^ дг
дго2 дго1 дго2
9D)
дг
ul
9
Ро
^ (А) 2G {Ml + Ah) А
дг ~ j,N '
= ul + f{M^;M^); )
г dt dt -]
дг , дг
_дГо1 ^'*02^
1 dt
' и ~ dr -
(89.25)

891
ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
779
Приближенное решение последней системы не представляет
принципиальных трудностей:
2 2 , 2GAM /1 1 \
2 2 , 2GAM /1 IN
= Sv=S
cfr
у^20Аш ^^i-N_^i-N
2GAM
(Л^-0, 2). (89.26)
2
01; 2
Аналогично находится решение для Л^ = 1. Здесь М = Mi + ilfg.
Для примера рассмотрим случай одномерного движения,
когда один поток среды проходит через другой. Выберем следующие
начальные условия: при t = О г = г^^, и^ = Uqi{xqi) для одного
облака и г = Го1, 1^2 = ^02(^02) — Для другого. Тогда
ul - u?o == - SG (^^^^1 + ^2) (^ - ^oi);
ul ^ulo=- 8G {Ml + M2) {x - :го2);
- 1/ ''^'""'' + "8i^5M _ 1/ !^
8яСМ
Далее определяем плотность
2nGM "^
+ '^(^01» ^QV*
(89.27)
р
Ро
+
8яС (Л/i + Л/2J
1
^ ^ СгЛ/2 , , 2"^Ж^^^^-"%1^^;Г
(89.28)
8jiG (Л/i + М2)
Очевидно, что при определенных начальных условиях в моменты
времени t^ и t^,
и-
rfMi
01 с?а:о1
ВлС (Ml + MiY
2nG
dMi_
dxoi
1 +
о ^2 2 ^^2
2^02Л^М2-1г^2-51о7
8я6! (Ml + М2J
2яС
rfj:^02
(89.29)

780
ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕШЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XlV
полученная плотность может стать неограниченно большой (или,
учитывая р, просто большой).
К подобному выводу можно прийти, рассматривая и один
поток, однако при взаимодействии двух потоков эти случаи более
вероятны.
Через некоторое время два потока могут разойтись. В самом
деле, пусть Uoi = О» ^ ^02 = ^о = const, тогда мы будем иметь.
Рис. 108.
считая, что при t
наковы (р = Ро):
А
h
О плотности обоих потоков были везде оди-
/2я^ро
1.
V 2яро^ L
"?Ро
ЗяСро (а?о1 + х^ч)
(89.30)
После момента времени t<^ <, ^i, когда плотность станет весьма
большой, решения перестают быть точными, поскольку
необходимо учитывать давление.
Выбрав начальное расстояние двух потоков и скорость щ так,
чтобы время ^2 было меньше собственного времени сжатия
второго потока (в данном случае это всегда возможно), мы придем
к тому, что после расхождения двух потоков останется область
среды повышенной плотности. Этот факт может быть
распространен и на случай пространственного движения газа и имеет
важное космогоническое значение (рис. 108).
В том случае, когда в каком-либо объеме пространства могут
находиться частицы, имеюш,ие различные скорости, например
звезды, следует применять законы статистической физики для
того, чтобы рассмотрение задачи движения этих частиц было
наиболее обш,им.
Известно, что, изучая динамическую систему, состоящую из п
материальных частиц, массы которых могут быть различны,
поведение этой системы удобнее всего отыскивать с помощью
фазового пространства 6п измерений, считая, что каждая частица
характеризуется тремя координатами х, у, z и тремя
составляющими скоростей и, V, W или импульсов. Вводя в качестве обобщен-

§ 89] ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 781
ных координат гамильтоновы координаты д^, gg»--., Qn^Pi^ Р^^^чРп^
где Qi — координаты, р^ — импульсы, можно сказать, что
состояние систем полностью задано для фиксированного
момента времени ^, если определена точка с координатами ^i.-.g^, /?i..f.
... Рп в этом пространстве.
Очевидно, что число точек (частиц), расположенных в
интервале пространства д., д. + dg. и имеющих импульсы, лежащие в
интервале /?., /?. + d/?., определяется соотношением
7V = а|) dr =-ф dg dp = ij? а?! dq^..,dqndp-j^ dp^,.,dpr^,
где dV — элемент объема фазового пространства, -ф — плотность
точек в фазовом пространстве.
Очевидно также, что полная производная плотности точек
фазового пространства по времени должна равняться нулю, как
этого требует закон сохранения массы
^ = ii) = 0. (89.31)
Отсюда имеем
* = f + |(^?,+:^A)=0. (89.32)
Поскольку уравнение движения можно написать в форме
Гамильтона
A=-if' ^^=lg' (89-33)
TO уравнение неразрывности (89.32) примет вид
где Н — так называемая функция Гамильтона рассматриваемой
системы частиц. Поскольку функция Гамильтона, рассчитанная
на единицу массы, есть
Я= :il±4±Jf!_cp(a:,y, Z), (89.35)
где ф является потенциалом гравитационного поля, а /?. = w., то

782 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ТП. XlV
Таким образом, окончательно уравнение неразрывности можно
написать в виде
dt '^ дх ^ '^ ду ^ '^ dz ^ ~^ \ди дх '^ dv ду '^ dw dz " '
(89.37)
Это уравнение носит название уравнения Лиувилля. Уравнение
Лиувилля можно рассматривать как линейное однородное
дифференциальное уравнение в частных производных первого
порядка для г|) или как линейное неоднородное уравнение в частных
производных для ф.
Это уравнение является фундаментальным уравнением теории
дисконтинуума и, в частности, звездной динамики, поскольку
систему звезд можно уподобить дисконтинууму материальных
частиц.
Из уравнения Лиувилля легко получить все основные
уравнения газовой динамики дисконтинуума. В самом деле,
интегрируя уравнение (89.37) по всем скоростям, так как
•^ududvdw = -^y\'\iiududvdw = -^(Nu) ит. д.;
i-^dudvdw = \\('ф)м=-оо^2;им; = О и т. д.,
мы получим
f- + ж (^«) + i (^^) + ж (Л^^) = о (89.38)
(причем роль плотности среды играет число частиц N <^ р) —-
классическое макроскопическое уравнение неразрывности. Здесь
величины й, V, iv представляют средние значения скоростей.
Умножим теперь почленно уравнение (89.37) последовательно на
и du dv dw, V du dv dw^ w du dv dw и, проинтегрировав по всем
скоростям, принимая во внимание соотношения
-^ududvdw = \\ [ifi^]n=-oo dv dw — U\ ypdudvdw = — N\
¦^vdudvdw = \\\ [i|)]JJ=!!oo vdvdw^O
и аналогичные соотношения, получаемые циклической
перестановкой U, V, W, получим классические макроскопические
уравнения движения
I
(89.39)

§ 90] РАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯНИЕ ГРАВИТИРУЮЩЕЙ СРЕДЫ 783
Из (89.39) и (89.38) собственно и получаются обычные уравнения
газовой динамики.
Мы видим, что возможны два подхода к решению задач теории
дисконтинуума. Во-первых, можно пользоваться классическими
уравнениями газовой динамики, а во-вторых, можно использовать
методы усреднения статистической физики.
Методы газовой динамики более удобны и позволяют решать
большее количество задач в явном виде. Однако, когда в каком-
либо объеме пространства мы встречаемся с несколькими
значениями скоростей, ввиду многозначности задачи можно
использовать и уравнение Лиувилля, задавая или гравитационный
потенциал ф, или функцию -ф, определяюш;ую плотность частиц в
фазовом пространстве, при этом решение задачи не будет
являться точным; функцию ур для квазиустановившихся движений берут
обычно из наблюдений; так поступают, например, в звездной
динамике.
Нам представляется наиболее целесообразным использовать
все же методы газовой динамики, разбивая систему движуш;ихся
частиц на две подсистемы, каждой из которой в заданном объеме
пространства присуш;е только одно значение скорости; при этом
ряд задач может быть решен сравнительно просто и вместе с тем
более точно, чем при простом усреднении скоростей без разбиения
системы на две.
Здесь мы наметили лишь основные пути исследования. Для
упрош,ения решения имеет смысл систему уравнений использовать
для решения различных задач в различных системах координат —
цилиндрической, сферической. Написание соответствуюш;их
уравнений в указанных системах координат общеизвестно. Наиболее
целесообразным, как мы уже неоднократно указывали, является
использование лагранжевой формы уравнений.
§ 90. Равновесное состояние гравитирующей среды
Гравитационное сжатие среды, находяш;ейся в первоначальном
разреженном состоянии, может привести, в конце концов, в
случае большой массы этой среды к образованию сравнительно
плотного сферического тела. Укажем, что в случае тел малой массы,
обладающих относительно большой кинетической энергией,
подобный процесс формирования тела может и не произойти. При
сжатии частицы среды, проходя через центр тяжести в случае
большого разрежения, не будут испытывать заметных соударений
и смогут снова удалиться в симметрично противоположную
периферийную часть тела. Это очень хорошо видно из уравнений
предыдущего параграфа, описывающих сжатие сферического
объема среды и процесс одномерного сжатия плоского облака. В
самом деле, например, в случае сжатия плоского облака при

784 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
условиях, что Uq = о, р= pQ = const при t = о, мы приходим к
следующему уравнению:
X = Xo{i-2nGpQf). (90.1)
Из этого уравнения видно, что в момент времени
^1 - ,1 (90.2)
частицы проходят через плоскость симметрии, в момент времени
уходят на максимально возможное расстояние от плоскости
симметрии, после чего задача решается снова при тех же условиях.
В случае более плотной среды при сжатии среда может уже
приобретать свойства континуума. В центральных областях среды
заметный рост давления, в конце концов, совершенно изменит
первоначальный характер движения. Очевидно, при этом вследствие
соударения частиц в центре или в области симметрии возникнет
ударная волна, фронт которой будет распространяться от центра
к периферии (§ 67), при этом произойдут необратимые потери
кинетической энергии, которая перейдет в тепловую, что еш,е
больше будет способствовать гравитационной конденсации этой
среды.
За фронтом ударной волны в областях, близких к центру,
среда придет практически в состояние покоя, причем область покоя
будет распространяться вместе с ударной волной от центра к
периферии. Во всяком случае, за фронтом ударной волны скорость
движения частиц среды будет значительно меньше, чем до него.
Таким образом, можно сделать вывод, что крайне разреженная
среда будет испытывать периодические колебания около
собственного центра тяжести. В случае менее разреженной среды
возможно появление центральной плотной области, что приведет к
затуханию колебаний.
Ниже мы рассмотрим этот вопрос подробнее.
Представляет значительный интерес исследовать равновесное
состояние, которое может принять среда. Мы будем рассматривать
как разреженные (газовые) среды, так и твердые. Для этой цели
следует воспользоваться уравнением равновесия произвольной
среды в собственном поле тяжести. Это уравнение можно получить
из уравнений (88.1), полагая скорость движения частиц среды
равной нулю, получим
— grad р = grad ф = g. (90.4)
Р

§ 90] РАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯНИЕ ГРАВИТИРУЮЩЕЙ СРЕДЫ 785
Поскольку
Дф == —4лСр, (90.5)
то, применяя операцию div к обеим частям уравнения (90.4),
придем к результату
div rJIiiZj + 4яСр = 0. (90.6)
Вводя величину теплосодержания di = dp/p, найдем, что
div grad i = М == —inGp = Аф, (90.7)
откуда
J - Ф - Фо, (90.8)
где, в частности, ф^ = const.
Обычно полагают, что давление является функцией плотности
в какой-то зоне среды, находящейся в равновесии:
Р = /(Р), (90.9)
поэтому р = р(^) и
М = 4яСр@ - 0. (90.10)
Таким образом, мы приходим к уравнению, определяющему при
заданных граничных условиях i как функцию координат.
В случае несжимаемого тела di = dp/p, где р — постоянная
плотность тела; следовательно, просто i = р/р, при этом
уравнение (90.8) принимает вид
р = р(ф-Фо); (90.11)
применяя операцию А к обеим частям равенства (90.11), будем
иметь
А/? = р Аф - -AnGp\ (90.12)
Это уравнение определяет зависимость р от координат в случае
несжимаемых тел.
Очевидно, что практически любая среда, имеющая достаточно
большую массу, находясь долгое время в состоянии, близком
к состоянию гидростатического равновесия, должна
приобрести сферическую или близкую к ней форму. В этом случае,
поскольку
M^) = ^^(tW) = -^^(r^^W);
grad (f) = ^ ; div W = ^4f ('¦'(^))'

786 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
уравнения (90.6), (90.10) и (90.12) примут соответственно вид
^' (гг) + 4яСгр@ = 0; (90.14)
^(rp)+inGp'r = 0, (90.15)
причем
^•-Ф-Фо-Ф-^^'. (90.16)
где фо = GMJRq — потенциал на поверхности тела массы Mq и
радиуса R.
Вычислим для сферических тел гравитационную и
внутреннюю энергию. Под потенциальной полной гравитационной
энергией следует понимать энергию, которую необходимо затратить на
то, чтобы при заданном внутреннем строении перевести всю
материю, составляющую рассматриваемое тело, в бесконечность.
Очевидно, что эта энергия выделяется при сжатии вещества,
образующего данный шар, из бесконечности до заданных
размеров при заданном уравнении изэнтропы.
Поскольку сила притяжения слоя dMj находящегося на
расстоянии г от центра массы, есть
dF = ^i^, (90.17).
ТО элементарная работа, идущая на перенос этого слоя в
бесконечность, равна
dE=-G^; (90.18)
далее, поскольку
то
R R
Е = 4я5 гЫр = 3^ Vdp, (90.19)
о о
где V — объем, ограниченный радиусом R.
Проинтегрируем выражение (90.19), по частям. В
результате придем к формуле
R R
Е = ^Ъ^ pdv = -^ 12^1 рг^dr. (90.20)
о о
(Выражение pv = -g- я рг^, получающееся при
интегрировании до частям, очевидно, равно нулю, поскольку при г == О

§ 90] РАВЙОВЕСНОЁ СОСТОЯНИЕ ГРАВИТИРУЮЩЕЙ СРЕДЫ 787
рг^ = о, а при г = R pR^ = О, если считать на границе тела
Выражая гравитационную энергию через потенциал, легко
прийти к выражению
R
E=-^^^dM. (90.21)
о
Выражая ф через i, придем к соотношению
R
^ = - (^ + -L 5 г dM ) . (90.22)
^ о '
Очевидно, что интеграл
R
Ei=l idM (90.23)
о
дает значение полного теплосодержания данного тела,
следовательно,
Е=-[^+Ёр^. (90.24)
Поскольку
t = е + /'v = 8 + -|-,
где V = 1/р — удельный объм, е — внутренняя энергия
единицы массы, а фо = GMq/Rq, то вместо соотношения (90.24)
можно написать
Е= -г
<^< 1 L... 1 е\.„^ Е GMI
^.ш-Ц,а.= ^-^^-Ц.ш,
2Яо 2
о о
отсюда
Во
Е=--^ [^^ +^EdM'\. (90.25)
о
Здесь интеграл
По
5 EdM = En (90.26)
дает значение полной внутренней энергии данного тела. Для
большого числа твердых тел достаточно обш,им уравнением изэнтро-
пы (для каждого определенного слоя, заключенного между
радиусами Ги Tg) является уравнение политропы или обобщенной
изэнтропы
р = А{р- - p2), (90.27)

788
ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XI
где Ро — поверхностная плотность (которая для газа равна
нулю). В этом случае
di^^ = Л/гр"-2; i = А-^(р-1 -pV), (90.28)
при этом основное уравнение (90.14) принимает вид
1
^ (ri) + inGr [^ i + pT'J'" = 0; (90.29)
более удобный для интегрирования вид это уравнение
принимает, если его писать для определения р:
д^
?^(rp-i) + aVp-0,
дг^
(90.30)
где а^ = AnG{n — 1I An.
Перейдем к вычислению внутренней энергии; поскольку
de
Pdy = p^
(считаем, что энтропия S везде постоянна; это допущение может
быть оправдано и для твердых тел и для газообразных тел), то
(п -1) р
<-'
п—1
Аналогично
п — 1 р
Обозначим величину ^^^i^
Ра
S Р"""'Ра
п—1
а=0
Р; очевидно,
(90.31)
(90.32)
S Р""""Ра
R
Ei = \ -тг^ A _ р) ;,dV = - ^i^5r- ^^ (90-33)
где
Во
(90.34)
иричеиР представляет некоторое среднее значение величины р.

§ 90] РАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯНИЕ ГРАВИТИРУЮЩЕЙ СРЕДЫ 789
В случае Ра = О будем рассматривать газ, подчиняющийся
уравнению политропы:
р =Лp^ (90.35)
Р = р = 0 и Е, = -^Е. (90.36)
Из уравнений (90.24) и (90.33) имеем
Е=-^4' 3(.--1)
В случае ро = О
Внутренняя энергия теперь определяется выражением
1—р»
«E + р)-
1
GM2
-6 Ло '
GM^
при Ра = о
Полная энергия
?:„ = ^ + ^п (90.41)
определяется выражением
_C+_p)«-4^g (90.42)
при Ро = О
3n-4GMg
Выясним теперь, чему может равняться приближенное значение
р. Поскольку
'"-' + р"-Ч + --- + ррГ + рГ
то В случае хорошо сжимаемых тел р^ <^ р, р = р = 0; в случае
плохо сжимаемых тел /г ^ 1, при этом также р = Р = 0. Таким
образом, всегда можно считать, что значение р мало отличается
от нуля, а поэтому с большой точностью р ;:::::; Ро, где

790 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИ}1{ЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
ар — среднее значение плотности в рассматриваемом интервале
плотностей. В случаях Ро == О или w -> оо (несжимаемая среда)
Р = Ро = 0.
Перейдем теперь к решению и исследованию основных-
уравнений. В том случае, когда связь между давлением и плотностью
имеет вид
р = л(рп ^ р2),
основное уравнение (90.14), как мы видели, принимает вид
|l(^n-i)+aVp = 0, (90.45)
где а^ = AnG{n — 1)/Ап, Очевидными граничными условиями
являются р = Ра при г = R или при Ра == О должна быть задана
R
полная масса тела Mq = 4я \ рг^ dr, причем, если при г = Е
о
р = Рд ^ О, то Л конечно, при р = ро = 0 R ->- оо. Далее,
dp/dr = О при г = 0; необходимо также, чтобы плотность в
центре имела конечное значение. Это уравнение, как хорошо
известно, имеет аналитические решения в случаях п-^ оо (случай
несжимаемой среды), п = 2 (уравнение имеет вид волнового
уравнения), п == 6/5 (случай нагретого газа). При этом потенциал ф
определяется из уравнения
<Р = Фо + -^(Р"-'-рП = Фо + ^ (90.46)
Рассмотрим более подробно эти случаи.
А. Несжимаемая среда. Уравнение (90.29) принимает вид
^^M + 4nGrp^ = 0, (90.47)
поскольку i = pip.
Решение этого уравнения очевидно:
р = ^ nGp' {R' - г^) + А . (90.48)
Очевидно также, что при г = О (в центре сферы) давление
должно быть конечным, поэтому 6 = 0. На границе сферы /? = О,
поэтому константа R представляет собой радиус сферы. Таким
образом,
где Mq — масса тела. Давление в центре
Ро = -^ . (90.50)

§ 90] РАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯНИЕ ГРАВИТИРУЮЩЕЙ СРЕДЫ 791
Потенциал ф определяется выражением
Ф = Ф« + |- = ^"C-^)- (90.51)
Потенциал в центре
Фс=-|-^^- (90.52)
Гравитационная энергия Е равна полной энергии и определяется
выражением
^ = 4-7Г- (90-53)
Б. Случай п = 2. Уравнение (90.45) принимает вид
^ (гр) + aVp = О, (90.54)
где а^ = 2nG/A.
Решение уравнения (90.54), дающее конечную плотность в
центре, имеет вид
л sin аг
(90.55)
при г ^ R имеем: р = Ра; отсюда
р aR sin аг
Рд ~" аг sin аЯ
Масса шара при п = 2 определяется из выражения
ikfo = ^ ai? [1 - aRcigaR]. (90.56)
В случае ра = О Мо = AnAJa^ (sin aR — aR cos aR); отсюда
определяем
A, = ""о"'
4jt [sin аЛ — ai? COS аЛ] '
Mqu^ sin ar
4jt ar [sin aR— aR cos a/?] *
(90.57)
Считая, что при г = R р = ра = 0, мы придем к выводу, что
р == -^ -J- ^ ; (аЛ = я) и что всюду р ^ 0. Считая, что при
г = R р = Ра!>0, мы придем к выражению
Р^ = -Sr aR{i-aRcigaR) ' (^^'^^^

792 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
откуда, зная ро и Mq, определяем R. Плотность в центре
определяется выражением
Рс = Ра 5 или р = Ai= , , . ^ 5 dT = 7ЪТ » (90.59)
^^ ^"sina/? ^^ ^ Ы [sm aR — aR COS aR] AR^ * ^ ^
где в первом случае Ро > О и во втором рд = 0. Потенциал
Ф = Фо + ^-= ^^^+24(р-р,). (90.6
Гравитационная и полная энергии определяются уравнениями
при Ра = О
^ 2B + Р) Л 2 + Р ' ^ ^
p = P = 0;^=-^f?4^ ^o=-^V (90.62)
Д. Случай п = 6/5. Приведем уравнение (90.45) в том случае,
когда Аг ^ 2, к виду
где
2 (п-1)
l = pn-ij, п-2 ^ Q==\ri — , Го = const. (90.64)
''о
в случае п — 6/5 уравнение (90.63) непосредственно интегрируется.
Введем переменную z: dl/dQ = z; ^^^/99^ =zdz/dl = z^g/2,
тогда уравнение (90.63) примет вид
^ = ^_2а|«, (90.65)
откуда
Применим подстановку (90.64):
р = l^r-'l^. (90.67)
Значение а^ = 2nG/3A (Iq и Гд — произвольные постоянные).
Условие конечности давления и плотности в центре планеты
определяет константу 5о, а именно, ее нужно положить равной
нулю, тогда при г = О |'--' У^г = 0; р = l^r"''/^ остается конечной

§ 901 РАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯНИЕ ГРАВИ^'ИРУЮЩЕЙ СРЕДЫ 793
величиной. При этом интеграл (90.66) сразу же берется:
* =1п . . •*' 77.. (90-68)
/|._«^- /4-«'5'+^'
отсюда
г а^2
что определяет
Т^З г 1
(90.69)
|2_л^^ f—^ (90.70)
И окончательно получаем
5
0=^?—Ь^Г. (90.71)
При г = R р = Ра\ отсюда находим значение константы Tq:
г. = -!^ + , /1ЕГГ7>, (90.72)
2ар/ Г 4aVj
при этом должно также выполняться условие
R^ <-^— = ^-^ . (90.73)
Вычислим массу шара при п — 6/5:
4 о4 .,,. v-4-Л , ЛМ"'!'
Л/о = 4  * Д' («Го) ' и + ^) ' ¦ (90.74)
Плотность в центре равна
р, = ЗТ(аго)~^; (90.75)
выражая массу шара через Рс, получим
_з_
М„ = -|-яр,дЧ1+^) '. (90.76)

794 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕШЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
Из выражений (90.71) и (90.74) приходим к такому соотношению:
Mo^'^лpaR'[i+^^y, (90.77)
поскольку средняя плотность (р) определяется из выражения
4
Мп
3
яр R\
то, сравнивая (90.77) и (90.78), определяем
Далее, поскольку 1 + R^/rl = (рс/р)^/% то
Р^ = ра рс.
(90.78)
(90.79)
(90.80)
В случае Ра = О значение константы Tq надо определить из
выражения (90.74), зная Mq и R; как мы покажем ниже, Л -> со
в случае любой массы, при этом Mq = А/Зл3^^ш~'^^г'^% откуда
9М2 3'
/
/4яа2 \5
« "' 16^V '
5
2
/4яа^5
Р^ ~ \ ш) •
Потенциал Ф = Фо+ h что дает
G
Ф = -
^о^6Л(р'^-р]
>
^t^V/.V-fJ-y
(90.82)
(90.83)
(90.84)
Гравитационная и полная энергия определяются уравнениями
GMl
Е = ^; Ео
зря
(90.85)
Когда Ро = 0 р = Р = 0, и в случае конечной массы энергии
могут иметь конечное значение лишь при i? -^ оо (в этом случае
средняя плотность становится равной нулю); отсюда следует,
что газ, образуюш,ий шар конечной массы, в случае п = 6/5 и
рд = О может находиться в равновесии, занимая лишь
бесконечно большой объем. При конечных значениях R равновесный
газовый шар не может существовать. Шар, состоящий из
сравнительно плотного газа, т. е. тогда, когда уравнение изэнтропы этого шара

§ 90] РАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯНИЕ ГРАВИТИРУЮЩЕЙ СРЕДЫ 795
можно написать в виде р — 4(р'^ — Ра), может быть
равновесным и в случае показателя степени п = 6/5, имея при этом
конечные размеры.
Газ, находящийся в состоянии не только статического, но
и теплового равновесия, подчиняется закону р = RTp, где
Т = const, при этом основное уравнение (90.13) примет вид
^(rlnp) + ahp = 0, (90.86)
где а^ = 4kG/RT. Решение данного уравнения может быть
проведено только численно. Его исследование приводит к следующим
результатам. Положим, что на бесконечности i? = со, плотность
имеет конечное значение; тогда в случае конечности массы мы
придем к выводу, что эта масса практически должна сосредоточиться
в одной точке г = О, в случае бесконечно большой массы
плотность в центре становится неограниченно большой и сохраняет
постоянную конечную величину на бесконечно большом
расстоянии. Эти результаты, очевидно, лишены физического смысла.
Реально такие условия также не могут выполняться для
достаточно большой массы, поскольку при весьма больших значениях
плотности в центре этой массы состояние вещества резко меняется
и, как правило, при этом происходят различные неадиабатические
процессы, меняющие температуру среды. При давлениях порядка
миллиардов кг/см^ среда приобретает свойства вырожденного
электронного нерелятивистского газа, который при еще больших
давлениях надо рассматривать как релятивистский газ*).
Среда, имеющая очень большие давления, способна за счет
различных ядерных реакций вырабатывать большое количество
энергии. В некоторых случаях избыток энергии может привести
к разрушению, взрыву звезды.
Формальный анализ равновесных состояний больших грави-
тирующих тел показывает, что при заданном уравнении
состояния и при заданных массах и энергиях не может существовать
сферическое тело произвольных размеров, и более того, при
заданной массе для того, чтобы существовало устойчивое
сферическое тело, необходим вполне определенный запас энергии. При
другой величине энергии тело будет неустойчивым. Однако этот
анализ является чисто формальным, поскольку мы не имеем
права рассматривать большие тела, допуская для них
универсальный закон состояния; этот закон может меняться от одного слоя
твердого или газообразного тела к другому.
Ряд существенных результатов, связанных с изучением
закономерностей между массой тела, его средней плотностью и разме-
*) О вырожденном газе см.: Ландау Л., Лифшиц Е. Статистическая
физика. Изд. Шаука»^ 1968.

796 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
рами, мы получим, применяя простые соображения о размерности
параметров, входящих в основное уравнение
или
1
dr V dr I
(90.87)
"о
Обозначим AnG ^ = b\
to
Решение этого уравнения должно содержать всего два
произвольных параметра, постоянную Ь^ и радиус тела R. Заданием
этих двух параметров однозначно определяется выбор решения.
Поскольку из этих двух величин одна имеет размерность длины,
2 (г-п) j 2
а другая — размерность сек ^-^ / см ^~i, то для того, чтобы найти
решение в безразмерном виде, определяющее теплосодержание
или энергию как функцию расстояния, необходимо из параметров
Ь^ и R образовать величину, имеющую размерность энергии.
Такой величиной, очевидно, будет
2(п—1) 2(п—1) 2(п—1)
(о = Ь 2-п д 2-п =(bR) 2-п ^ (90.88)
Таким образом, мы будем иметь право записать решение в виде
Нг) = W/i(-i)- (90-89)
(aR) 2-»
1
Поскольку р — г", то
Р(г) = Zir/^l-^)- (90-90)
(aR) 2-^
Очевидно, средняя плотность при заданном значении параметра а
будет пропорциональна R ^-^ , полная масса тела будет пропор-
4-Зп
циональна R ^-^ ; отсюда также следует, что радиус сферы,
находящейся в равновесии, пропорционален такой степени М:
2—п
Rr^M^^^, (90.91)
а ее средняя плотность
p~flf *-''\ (90.92)

§ 911 ДВИЖЕНИЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ МАСС РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА 797
В случае электронного газа п = 5/3 и в равновесии может
находиться сфера при любом значении ее полной массы. В других
случаях, например при п = 4/3 или п = 2, это положение уже
не имеет места.
Кроме найденных выше решений уравнения
удовлетворяющих условию конечности плотности и давления в
центре, можно легко найти решения этого уравнения вида
р = 5г«, (90.93)
где 5 и а — константы. При этом будем иметь
а ^ ^ ; (90.94)
2{п - 1)D - Здг) - а^?2-пB - nf.. (90.95)
Поскольку плотность должна возрастать к центру, то а •< О и
п <С.2\ далее,, из (90.55) имеем, что п <^ 4/3, что уменьшает
границы изменения w, которое должно быть к тому же больше
единицы. При этом, поскольку р = 4р^, имеем
2П
р = ЛрР = Яг^^=^. (90.96)
При п = 4/3, 6/5, 1 значения а и Р соответственно равны: а = —3,
—-5/2, —2; Р = —4, ~3, —2. Эти значения а и Р лишь
приблизительно соответствуют закону изменения плотности и давления
в звездах.
§ 91. Движение вращающихся масс разреженного газа
в поле тяжести
Рассмотрим задачу о движении разреженного газа, когда
можно пренебрегать силами давления в собственном поле
тяжести, учитывая вращение газа около центра тяжести. Можно точно
рассмотреть эту задачу в случае осевой симметрии, т. е. считая,
что некоторый протяженный цилиндр, состоящий из
разреженного газа, вращается около своей оси, причем различные частицы
газа, находящиеся на различных расстояниях от оси цилиндра,
могут иметь различные угловые скорости вращения (рис. 109).
Реально эта задача описывает вращение экваториальной области
какого-либо разреженного гравитирующего тела, имеющего
приблизительно сферическую форму.

798
ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
Для этой цели воспользуемся уравнениями газовой динамики,
написанными для полярной системы координат; поскольку
компонента скорости W, направленная
по оси Z, равна нулю, то уравнения
B.24), в которых положено м?=0,
р = О и все частные производные
по ф равны нулю, примут вид
ди . ди г;2
dt
dv . dv , uv ^
dt
dm
Ж
dr
dr
1^
= g\
dm , dm ^
i
Рис. 109.
(91.1)
скорости, V
причем
где и — радиальная компонента
трансверсальная компонента скорости, т = GM,
г Го
д
(91.2)
dm
^М = -4яСрг^ = -^.
Перейдем от независимых переменных (t, г) к новым независимым
переменным {т, г); тогда систему уравнений можно написать в
виде
" m dv , V
5м __ 27^ т dv . V г.
— -g^ = 4яСг^р^т.
Решение этих уравнений очевидно:
5* А \
(91.3)
или
^ + „;(i_4-)+^(^-i);
) (91.4)
dr
'•/-Я^(^-«)-»!D-') J

5 91] ДВИЖЕНИЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ МАСС РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА
799
Здесь Uqj Vq —- начальные значения величин и, v в момент
времени t = 0. Введем безразмерные параметры х = г/го, т = c^tlrQ\
ulc^ = а, тогда уравнение траектории, которое в случае /? = О
совпадает с уравнением характеристик, можно написать в виде
X
xdx
}Yx''{al+al-al) + a,x--al
(91.5)
Введем, далее, обозначения а = ai + а? — аз, Ь = ад, с = —а\
А = —[Aalal + (аз — 2af)^, причем Л < 0. Решение уравнения
(91.5) очевидно:
при а < О
Yax^ + 6а: + с — ai .
Т — -р
при а > о
_ У^ао;^ + 6а: + с — ai
аа: + Ь
& Г
7==г- arcsin —^
2aV-a l /- А
arcsm
2а Ya
In
/. 2аа: + b
ai +
2a+ 6
2Ya
a + b
(91.6)
(91.7)
Выберем теперь начальное значение величины Сц таким образом»
чтобы аз = 1, и исследуем до конца случай, когда Uq == О, т. е.
а^ = 0. Обозначая al = а, напишем уравнение траектории в виде
л.
xdx
Vx^(i—OL) + X — OL '
/_^f; а = а-1, 6 = 1,
Г Го Го
с = _ а, Д = -A - 2аJ < 0.
При ос < 1 будем иметь
при а > 1
Yx^{OL — i) +Х-
1
2 V(i - а)з
arcsm
2 A — а) а: — 1
1-2а
2 J'
(91.8)
т =
2 /(а —1K
In
,^ 2(а —1)а: + 1
2а —1
(91.9)
2 /а-

800 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
При a^al + al-— а^ = а1 + а—1=0 т равно
+ 2 A - а?) [{X - A - al)f - а,]. (91.10)
Рассмотрим подробнее движение при а <^ 1, что соответствует
неравенству vjc^<i 1 или, поскольку 2т1г^с\ = 1,— неравенству
Из (91.8) получаем
2 A — а) а; — 1
—1—-—L = sm
1 —а
(91.11)
При а = О
2:с-1 = 8т2Гт + -^ + /а;A-а;)]; (91.12)
приходим к периодическим колебаниям с периодом
¦]/ 2т
^ = 2nJ/-2^. (91.13)
За четверть периода частица достигает центра из любого крайнего
положения. При а = 1/2, очевидно, при любом t х = i ж г — Tq^
vl = 7п/го, т. е. расстояние г частицы остается неизменным (крз'^-
говая орбита). При а = 1 орбита становится параболой, при
а > 1 —- гиперболой. Рассмотрим теперь более общий случай.
Положим, что щ = const > О, тогда «i = Р > 0. Пусть а + Р <; 1,
что снова соответствует случаям периодического движения
(эллиптический случай). Решение основного уравнения траектории
для этого случая примет такой вид:
^~ 1-(а + Р) "^
Н — arcsin ¦ ^ ^ ^ ^^
2 ^[l — (а + Р)]з lA4aC + A — 2аJ
Здесь а = г;оГо/2т, Р = щг^2т\ условие а + Р < 1 дает
{ul + vlX^. (91.15)

§ 91] ДВИЖЕНИЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ МАСС РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА
801
При X = 1 будем иметь
т =
тсгп,
где п
О, 1, 2, 3, что определяет период колебаний
Т =
2л
\'h У 2т '
(91.16)
(91.17)
[1-(сс + Р)Г
При а + Р = 1 Г = оо.
Анализируя полученные результаты, придем к выводу, что
вращающаяся около оси симметрии среда испытывает пульсацион-
ные колебания, которые будут периодическими. При этом
наибольшая абсолютная вели- ,
чина амплитуды колеба- ^
НИИ наблюдается для
частиц, находящихся
на периферии;
колебания будут иметь место
также для частиц
газа, для которых г <
< г* = m/vl (рис. 110).
В том случае, когда
^0 + ^? > 2mlrQ, ч а-
стицы, для которых
выполняется это
неравенство, не будут
участвовать в пульсационных
колебаниях, а будут двигаться в пределе при выполнении
знака равенства по параболическим орбитам около центра
симметрии. В том случае, когда выполняется знак неравенства
(гиперболический случай), частицы будут двигаться по
гиперболическим (в пределе по параболическим) орбитам.
Вычисления плотностей не представляют труда:
1 дг
Р =
Рис. 110.
^лОгНт
4яг2
dt
dm
(91.18)
где частная производная дЦдт может быть легко вычислена для
различных видов движений.
Если решать данную задачу для бесконечного цилиндра, то
закон тяготения необходимо брать в виде
g = ^, m = 4nGJprdr.

802 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
Качественные выводы для этого случая ничем не будут
отличаться от только что полученных. В случае среды, представляющей
собой дисконтинуум, одни частицы могут пересекать пути
других, однако качественные выводы, характеризующие процессы
движения, при этом также не изменятся*
§ 92. Основные закономерности движения газа
в собственном поле тяжести
Прежде всего укажем, что при движении плотного газа в
собственном поле тяжести могут возникать волны сжатия или даже
ударные волны; примером этого является падение масс к центру
симметрии.
Рассматривая реальную задачу о сжатии газовой среды к
центру тяготения, можно прийти к простому и вместе с тем
существенному выводу о том, что при определенных начальных
условиях часть газа может образовать плотное нагретое ядро
внутри зоны ударной волны, идущей от центра симметрии; при
этом скорость движения газа в ядре будет значительно меньше
начальных скоростей. Другая часть газа, которая находилась на
периферии, может частично рассеяться в пространстве и частично
образовать внешнюю оболочку около ядра (атмосферу).
Рассматриваемые случаи движения газа в собственном поле тяжести
имеют реальный смысл для больших масс газа порядка массы газа»
содержащегося в звездах или Солнце. Чтобы гравитационное
сжатие газа могло произойти, энергия тяготения должна иметь
порядок полной (потенциальной и кинетической) энергии газа до
конденсации.
Можно представить себе более ясно механизм конденсации,
рассмотрев следующую задачу. Пусть некоторое количество газа
движется с какой-либо скоростью к центру; от центра пойдет
отраженная ударная волна, оставляя за собой область покоя (как
это было показано Л. И. Седовым [25]).
Пусть теперь толщина газа, падающего на центр, ограничена;
тогда после падения последних частиц газа на покоящееся ядро,
вследствие сил внутреннего давления газа, сжатого в ядре,
начнется разлет этого ядра. Очевидно, средняя плотность энергии
газа, сжатого в ядре, будет ull2 = с%/к{к — 1), где Uq —
начальная скорость частиц газа, с^ — скорость звука в заторможенном
газе. Максимальная скорость истечения газа из ядра будет
Umax = yItt ^н = |/ yiTT "о > "о- (92.1)
Если же считать торможение по уравнению Бернулли, то
4 = 1с4г и «max =}/л4т "<•>"<>• (^2.2)

S 92] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА Б СОБСТВЕННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 803
В случае гравитационного поля величина
У Го
^ . (92.3)
где Го ~ радиус области заторможенного газа для данного
(любого) момента времени. Таким образом, масса газа, обладающая
скоростями, лежащими в интервале Uq< и <, г^тах» уйдет от
звезды навсегда.
Как мы знаем из теории неустановившихся движений газа,
при подобном разлете периферийные части газа получат
плотность энергии, превосходящую начальную, а центральные части
газа — меньшую, чем начальная. Если подобный процесс
происходит для большой массы газа, обладающей заметным полем
тяжести, то определенная часть газа, находящаяся в центральных
областях, передав часть своей энергии периферийным слоям газа,
сможет остаться в более или менее стационарном состоянии,
образуя устойчивое ядро. При этом начальная энергия газа может
даже несколько превосходить его гравитационную энергию.
В случае разреженного газа, который мы рассматриваем как
дисконтинуум, в центральных областях хотя и не образуется сразу
классическая ударная волна, все же благодаря более частым
столкновениям температураг газа повысится более значительно, чем
при обычном изэнтропическом процессе, а поэтому произойдут
необратимые потери энергии. Тепловое излучение будет уносить
часть этой энергии, другая часть хотя и останется в сжатом ядре,
но будет способна в меньшей степени, чем при изэнтропич[еском
процессе, снова переходить в энергию направленного движения
частиц.
В случае вращающихся газовых масс процесс формирования
устойчивого тела (звезды) будет еще более многообразным.
Периодические колебания для частиц, движущихся по замкнутым
орбитам около центра тяжести, будут вследствие действия сил
давления и необратимых потерь энергии постепенно затухать,
периферийные частицы будут в меньшей степени испытывать на себе
роль диссипативных процессов вследствие меньшей плотности
среды и могут оторваться от ядра; точнее говоря, ядро, сжимаясь
более интенсивно, чем периферийные слои, вследствие
необратимых потерь энергии отойдет от периферийных слоев. При этом
может происходить перераспределение моментов количества
движения; ядро вследствие приливных сил будет отдавать часть
момента количества движения периферийным слоям газа.
В результате может образоваться звезда, окруженная более
разреженным облаком газа, вращающимся около этой звезды
с большим моментом количества движения.
Наиболее периферийные части газа могут рассеяться в
пространстве. Указанная схема несколько помогает в объяснении

804 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
происхождения планет совместно со звездой из одного газового
или пылевого облака. До формирования звезды энергия
периферийных частиц газа в среднем должна быть больше, чем
центральных, за счет гравитационной энергии. После формирования
ядра звезды в нем должны происходить процессы
перераспределения газа вследствие действия гравитационного поля,
приводящие, в конце концов, к тому, что в центральных областях ядра
звезды плотность энергии будет несравненно выше, чем на
периферии. Часть газа, обладающая скоростями порядка Uq, будет
вращаться около звезды.
Как мы указывали выше (§ 87), вследствие начальных пуль-
сационных колебаний газа и образования сжатого ядра часть
вещества должна выкидываться из этого ся^атого ядра, чему,
кстати, будут способствовать различные ядерные процессы,
происходящие в ядре при больших температурах и давлениях.
Вычислим хотя бы приближенно основные параметры
ударной волны, идущей от центра симметрии и возникающей при
падении к центру газовых масс.
Прежде всего очевидно, что ударная волна является всюду,
за исключением ближайших окрестностей центра, сильной,
поскольку скорость падения велика. Считая, что за фронтом волны
газ приходит в состояние покоя, найдем, что
__ k + i 2. _ fe + 1 ^ . г _ "о . Л _ fe —1
Ря — —2— Ро'^о» Р — ^ ^ Ро> ^V"* н — ~2~ ' ^у — — """^ ^®'
(92.4)
где рн» Рн? 2^н — давление, плотность и температура на фронте
ударной волны, ро — плотность падающего газа перед фронтом
волны, Uq — скорость падения, Dy — скорость ударной волны
относительно центра. Поскольку
Ро = 9о{г), Щ = Uo{r); (92.5)
^У- dt
Dy = ^. (92.6)
то будем иметь
г
^^ JLzL t, (92.7)
uo(r)
о
что дает закон движения фронта ударной волны. Учитывая, что
„„=_/i«^, (92.8)
окончательно закон движения фронта ударной волны напишем

§ 92] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В СОБС ТВЕННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 805
В виде
г
dr= -Ц^ Y2Gt. (92.9)
S/
Г_ J /с —1 ,/-о7?.
М(г)
Вычислим для примера температуру на фронте волны при
скорости падения Uq = 1000 км/сек. Очевидно, что для одноатомного
газа
3.8,3.107 V^ AU ; .
Таким образом, температура на фронте волны при конденсации
звездных масс может достигать десятков миллионов градуд^ов.
В качестве наглядного примера допустим, что в зоне сжатого
газа
Ро = Рон(^У, (92.10)
где рон и Го — некоторые компоненты; тогда
М
4яронГ?г; {-/-^ dr = \ % = ;_ A:^i Y2Gt,
откуда
-f = (ft-l)f2Gpo„^, (92.11)
т. е. радиус сферы возрастает пропорционально t. В
рассматриваемом случае, поскольку Uq = const, то Т^ = const.
Определим теперь приближенно величину разлетаюш,ейся на
бесконечность массы. Поскольку в процессе расширения
давление в начальной стадии создает более значительные ускорения
частиц газа, чем гравитация, то примем, что сразу же после
расширения устанавливается режим
как в отсутствие поля тяжести.
Поэтому для распределения плотности можно принять закон
р = -4г"°^, где А = const, а = const. Далее, предположим, что
силы давления уже не действуют, а силы гравитации, напротив,
тормозят расширяющийся газ. Тогда можно считать, что масса
равна
М
= 4я ^ ргЧг = -^ гЗ-«, (92.13)

806 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
причем дг < 3; отсюда полная масса равна Mq== -gir" ^о »
где Го — начальный радиус. Таким образом,
Поскольку предельная скорость газа, разлетаюш;егося на
бесконечность, равна
ТО
Поскольку к = r/t, то
и г
(92.17)
Из (92.16) и (92.17) имеем
откуда
3—а
^-(А^) ¦ . (92.19)
Таким образом, масса
3—а
AM = Mo-M=M„{l-^'l = M,[i-[!^y ] 92.20)
разлетается на бесконечность»
Например, при к = 5/4, а = 2 АМ/М = 0,65, т. е. 65% всей
массы разлетается. При а = 3 и при любом к разлетается вся
масса, при а = О также разлетается вся масса при всех
значениях /с < 3.
Так как в самом общем случае плотность всегда убывает по
направлению от центра к периферии, то в зависимости от закона
изменения плотности большая или меньшая часть массы газа
уходит на бесконечность.

S 92] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В СОБСТВЕННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 807
Возможно И более точное решение задачи, однако
принципиально ВЫВОДЫ о разлете части массы газа, который гравитационно
конденсируется, при этой не подвергнутся изменениям.
В реальных случаях при прохождении газа через фронт
ударной волны скорость его не будет равна нулю, но она будет
действительно малой по сравнению с начальной. Учет этой скорости
также не скажется на сделанных нами выводах.
Представляет значительный интерес рассмотреть ударную
волну, которая может возникнуть в центре уже
сформировавшегося газового шара (когда газ внутри него находится в покое)
вследствие какой-либо мощной реакции, распространяюп1;ейся от
центра к периферии.
При определенных условиях такая волна будет автомодельной.
Для изучения свойств этой волны прежде всего напишем снова
основные уравнения газовой динамики B.25), полагая S = р/р^г
ди , ди , 1 др
Э In р , д In о . ди . Ми ^
\di^ ' дг ^ дг ^ г '
(92.21)
Здесь iV = О, 1, 2 для плоских, цилиндрических и сферических
волн соответственно, g = GM/r^.
Далее введем, как мы это делали раньше (§ 9), одно
независимое переменное z = rt"^^ и новые зависимые переменные
X = и±г ^ у = с^^ , GM = f%{z) == f\{z)z"-"* (92.22)
»дв
Г
о
Подставляя вместо р, р, г и t новые переменные х, у, т) и ^, при
дем к таким уравнениям (§ 9):
dint]
dlnz _ dlny\(ai-x) ^(^^-^^ dx -(fe-^)^
~ШГ '^ l(N+i)x^ 2] dx lN(k-i) + k + i]x-G
^[-^ - + {N + i)x\--x(i--x){ai--x) + r\(ai-x)
причем оказывается, что ag = (iV -[- l)ai — 2. Очевидно, что
— _J_^ — j!!l!Lii _ t^'-^'^-^^^^' di
P "" 4яг2 dr ~ 4лСг2 ^2 ~ 4яСг2 dz i

808 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
откуда
Определим значение коэффициента %. Поскольку величина
объемной плотности энергии имеет порядок е — ргг^ — р — pGM/r и
полная энергия в объеме ^^r^+i сохраняется, то величина,
пропорциональная pu^r^+i, является постоянной, откуда выражения
ДОЛЖНЫ быть постоянными, т. е. энергия не доляша зависеть от
времени. Поэтому
в случае сферической волны % = 4/5, в случае цилиндрической
волны «х = 1, а в случае плоской а^ = 4/3, при этом jO'^ i^^^'~^^ .^
^ 4_
,^ г" —^^-(^+1)^ В случае сферической волны р'-^ г~^, в
случае цилиндрической волны р ^^ г~^, в случае плоской р — г~^^.
Далее, ясно, что
iV+3 iV—1 3?f—2—iVB—fc)
(92.26)
Как видим, температура на фронте сферической ударной
волны сравнительно медленно падает с расстоянием от центра:
Т — ilY г\ плотность и энтропия зависят от расстояния
следующим образом: р г^ г~^/^, S <?- гE'с-б)/2^ Поскольку
Для изучения распределения параметров за фронтом волны
необходимо решить систему уравнений (92.23) при условиях
Далее, поскольку

92]
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В СОБСТВЕННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
809
где Рон и Го — некоторые параметры, то
7V+3 ЛГ--1 iY+3 iV—1 4 N—1
М8Я 2 2
= д^_1 РонГо Г
8я
Л^-1
Рон^о
2 л iY+3 2
(iV+l)-2
Так как GM = z^-^\j ^+^ , то
Лн
ЛГ+З iV+3
SkG _ 2 2
iV-1
Рон^о
(92.29)
Зная величину выделенной энергии, легко определить значение Zr.
Решенная задача имеет смысл при весьма большом количестве
мгновенно выделенной энергии по сравнению с начальной
энергией газа, включая и гравитационную. При этом для автомодель-
ности движения суш;ественно, чтобы начальное распределение
плотности в случае сферической волны подчинялось закону
р — 7-'/2. Этот закон распределения качественно может быть реален;
он, в частности, выполняется при к = 6/5 для стационарного
состояния шара (см. (90.96)).
Закон распределения давления с расстоянием аналогичен
закону распределения при точечном (автомодельном) взрыве без
учета поля тяжести, т. е.
r-i^+i).
(92.30)
Значительно больший интерес, чем только что разобранная
задача, когда энергия взрыва полагалась настолько большой,
что пренебрегалось собственной энергией сильно нагретого газа
в звезде и ее гравитационной энергией, представляет другая
задача, в которой эта собственная энергия газа учитывается; при
этом условия на фронте ударной волны примут вид
Vn — Vh =
к +
2
/c + l
J PoDj
1
1-
k + i
Pq\
(92.31)
где CQy Po, Po — начальные значения скорости звука^ плотности
и давления для стационарного состояния.
Полагая, что начальное распределение плотности и давления
подчиняется законам ро — г-'/г, р^ — г~^, найдем, что с1 ~ г~'^к

810 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ, XIV
Для /?у имеем такой же закон: D\ — r~V*, поэтому
^У
L. = const = X, (92,32)
отсюда
P'^-TTiPDy{'-^ir)-TTTPoDl[i-
V Рн_ к + 1 . „ „ 2Dy
v„ - ро ~ /С + 1-2Х ' ""- fc + n^ ^^
А; —1
(92.33)
Таким образом, безразмерные условия на фронте примут вид
Значение Гд снова вычисляется по соотношению (92.29), а
значение Гн == (^^""**0н — из закона сохранения энергии; как
показал Л. И, Седов,; можно в рассматриваемом случае на
основании закона сохранения энергии найти первый интеграл системы
(92,23). Учитывая гравитационную энергию и воспользовавшись
уравнениями F9.19) и F9.20), будем иметь аналогично случаю
точечного взрыва
^-l[@,-u){j^ + !^~^)~pu]c,S. (92.35)
причем dS = Snrdr. Поскольку полная энергия Е складывается
из энергии взрыва Е^ и собственной начальной энергии газа -Eg»
г
а эта энергия возрастает пропорционально xpr^dr is. поскольку
о
р — г~^, то ^2 — In г или
dE^ dE 1 ^ ^^
-dT=4r- — ' (^2.36)
Так как на фронте волны dr = UiZt^-^-^t -^ r^-^l^^dt^ то
^^ ^^ г "\ (92.37)
dt dr
Сравнивая (92.36) и (92.37), имеем
dE 1 1
dt i.
(92.38)

5 92] ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В СОБСТВЕННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ 811
Из (92.35) и (92.38) имеем
{(Ог-и)[^ + ^-^]-риу^=^, (92.39)
где постоянную сравнительно легко вычислить, зная после
полного решения задачи для любого t распределения р = р(г),
р = р(г), и — ц{г) и Dy = Dy{r). Заменяя р, р, и я Dy через
соответствующие введенные функции и полагая при этом Dy =
= uir/t, придем к уравнению
Это выражение является интегралом системы уравнений (92.23).
Если энергия взрыва значительно превосходит начальную
энергию газа, то, поскольку постоянная пропорциональна величине
^о(Зу — ^)/Dy, эта константа обращается в нуль. То же имеет
место приу = 4/3, что значительно упрощает решение задачи.
Аналогично можно найти интеграл закона сохранения массы в зоне
ударной волны.
Подробный анализ решений при различных у был сделан
Л. И. Седовым [25]. Автор данной книги ограничился лишь
установлением зависимости на фронте волны. Можно показать, что
при определенных условиях в центре звезды при взрыве
образуется пустота.
В заключение параграфа рассмотрим качественно, что
произойдет при гравитационном сжатии разреженной массы газа,
обладающей вращательным моментом. Прежде всего необходимо
отметить, что при совершенно произвольном задании и = и{го),
и = и{го) одни частицы могут при своем движении к центру
обгонять другие, если газ крайне разрежен, т. е. представляет собой
так называемый дисконтинуум.
Можно считать, что для любого момента времени имеет место
некоторое определенное распределение числа частиц (молекул) по
вращательным моментам количества движения. Поскольку при
сжатии общий момент количества движения не изменяется, то
легко прийти к выводу, что результирующая угловая скорость
вращения газовой массы увеличивается и эта газовая масса, как
известно, уплотняется, т. е. более интенсивно сжимается у
полюсов, где центробежная сила меньше, чем у экватора.
Ударная волна, идущая от центра этой уже эллипсоидальной
газовой массы, будет более интенсивна в полярных направлениях.
Процесс разлета, зависящий и от интенсивности ударной
волны, и от величины центробежных сил, в экваториальной
плоскости должен быть (хотя и не всегда) достаточно интенсивен. После
разлета, как легко убедиться, часть газа будет вращаться в виде

812 ПРЕДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕДЫ [ГЛ. XIV
экваториального кольца около центральной оставшейся массы
газа (звезды), так как при любом произвольном распределении
частиц газа по моментам всегда найдутся частицы, для которых
при радиальном выбросе угловой (вращательный) момент будет
соответствовать угловому моменту движения по замкнутой
орбите около центра масс.
Как мы уже указывали, качественно процессы сжатия
цилиндрического столба или эллипсоида в экваториальной области
будут мало отличаться друг от друга. В процессе разлета в обоих
случаях периферийные частицы будут радиально ускоряться под
влиянием давления газа, истекающего из внутренних слоев звезды.
При этом периферийные частицы будут отдавать часть
вращательного момента истекающим из внутренних слоев частицам^
Часть газа, обладающего большим вращательным моментом, бу-^
дет уходить на бесконечность, другая же часть газа,
результирующая скорость которого меньше параболической, останется
около звезды; расстояние, на котором останется эта часть газа,
от центра звезды должно быть достаточно большим, так как все
частицы, находящиеся на малых расстояниях, будут увлечены
потоком газа, падающим обратно на звезду, вследствие того, что
скорости этих частиц относительно малы.
Плотность газа в конце должна иметь максимум на какой-то
средней части кольца, поскольку во внутренних частях кольца
при формировании часть газа будет падать на звезду, а для
периферийной области кольца плотность газа будет мала
вследствие закона неразрывности, по которому плотность резко падает
с расстоянием.
Рассмотренная здесь схема позволяет сделать вывод о том, что
подобным образом из рассеянной материи могла образоваться
Солнечная система. Процессы сжатия и частичного обратного
извержения газовых масс могут повторяться значительное число
раз, прежде чем диссипативные силы приведут к затуханию
подобного пульсирующего процесса, после чего может начаться
этап образования планет экваториального кольца. Поскольку
такого рода процессы могут быть типичны во Вселенной, то следует
думать, что совместное образование звезды и планет не является
чем-то исключительным, а, напротив, является закономерным.
Если рассматривать большие масштабы газового облака, то
можно прийти к выводу, что в подобном облаке будет не один, а
ряд центров сгущения. В зависимости от закона распределения
вихрей в первоначальном газовом облаке образовывающиеся
сгущения, которые можно назвать звездами, могут находиться на
различных расстояниях друг от друга, как относительно
небольших, так и значительных.
При этом, как известно, газовое облако, сохраняя свой общий
момент количества движения, будет уплотняться.

92]
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА В СОБСТВЕННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ
813
Заметим в заключение, что при разлете газа в поле тяжести
могут существовать движения, для которых скорость в каждой
данной частице практически сохраняется. Это обстоятельство
точно выполняется в случае политропического газа с показателем
политропы п = 4/3. Для доказательства этого воспользуемся
следующими основными уравнениями: уравнением Пуассона
{5.30), уравнением неразрывности, условием адиабатичности B.25),
где положено S = р/р'^,
1 д
г"
/•2 дг
к2 f ^ I
dt "^
ди , 1 др \
+ 4nGp = 0;
до , до , ди , 2ир „
_д_
dt
дг
= 0.
Будем искать решения в виде
и =
а.Э
а.Ь
(92.41)
(92.42)
Подставляя эти величины в уравнение, придем к результату
Р = 2fc, а = 2 (а + 1), Ь = — (д + а),\
2ia + i)ia + S) = -AnG^. ) (^2.43)
Отсюда окончательно будем иметь
^^2(а+1)^-2(а+3)
Р
(92.44)
Указанный вид движения будет автомодельным. Решение имеет
смысл в том случае, когда выполняется следующее неравенство:
(а +1) (а + 3)< О, откуда —3 < а < —1.
Данное решение показывает, что при определенном
распределении р и р движение происходит как инерциальное. Когда р
растет к центру симметрии слабее, чем в указанном случае,
скорость частиц газа будет уменьшаться с расстоянием для
определенной части газа. В противоположном случае скорость частиц
газа будет увеличиваться. При к ф 4/3 указанный режим
движения также будет выполняться для соответствующих р и р.
Уравнения газовой динамики для заряженных частиц могут
быть обобщены путем расчета влияния электромагнитных полей
на движение этих частиц.
Поскольку небесные тела состоят в основном из газовой
материи, применение методов газовой динамики к изучению
эволюции и формирования этих тел является совершенно необходимым.

ГЛАВА XV
УДАР С БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ*)
§ 93. Физические процессы, происходящие при соударении
Как известно, при соударении твердых тел со скоростями,
превышающими несколько километров в секунду, наблюдается
явления, близкие к явлениям взрыва. При скорости удара более 3--5
KMJceK кристаллическая структура метеорита и некоторого объема
среды, с которой метеорит соударяется, разрушается и
происходит либо переход вещества в другое фазовое состояние (плавление-
или испарение), либо механическое дробление вещества с
последующим разлетом, т. е. происходят процессы, обладающие
всеми существенными свойствами взрыва.
Рассмотрим, какие процессы могут наблюдаться при ударе со
скоростями большими, чем несколько километров в секунду.
От места удара начнет распространяться сильная ударная
волна, начальные параметры которой можно определить из
соотношений E6.17):
р ^1
Р,н = ; •; , (93.1)
(.-»)(.+/^45S)
Wo
1 +
у Рн 1—«2
(93.2)
где а^ = Рн/р1у; oCg = Ра/Ргу; Ра и Рн начальныс плотности
первой и второй сред; р^у, pgy — плотности этих сред на фронте
ударной волны; Рун — давление на фронте ударной волны; Uy^ —
скорость движения раздела обеих сред; щ —- скорость удара.
Давления и плотности связаны уравнением состояния.
Скорости распространения ударных волн в обеих средах D^y и D^y
также определяются соотношениями E6.17)
^ = \ + ,, \ i/fg(^-°'^>; :^ = --^_. (93.3)
"О A -- «4) uo У Рд A — аг) "о A — аг) мо ^ '
•) Физическая теория удара с большими скоростями впервые разраба-
тывалась автором в 1936—37, 1947, 1950 и 1960 годах.

§ 93] ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ СОУДАРЕНИИ 815
Из этих соотношений можно установить минимальные
величины давления и скорости Uq, необходимые соответственно для:
а) простого взрывного разрушения среды (механического
дробления)
Щ = щ = f 28„ (93.4)
б) плавления среды
Щ = Щ = /28fc, (93.5)
в) испарения среды
щ = т = /28^ (93.6)
Параллельно величинам щ, и^ и Ui мы ввели три величины 8^^,
8;^ и 8^'. Поясним смысл ЭТИХ величин.
8^ -— энергия (в эргах), идущая на дробление одного грамма
среды; когда еще не происходит превращения твердой фазы в
жидкую, среда будет дробиться на мелкие упругие твердые
частицы, которые по своим свойствам подобны квазигазу и при
разлете также создают взрывные явления (механический взрыв,
когда упорядоченная энергия ударяющегося тела переходит в
неупорядоченное движение его частиц). Можно считать, что
средние размеры «частиц» квазигаза должны соответствовать
размерам так называемых зародышей твердой фазы при переходе в нее
жидкой фазы. Размеры зародышей на несколько порядков пре
восходят размеры молекул. Для металлических тел й^^ и 8j^ ь
среднем больше, чем для каменных.
8jt — плотность энергии кристаллической решетки (энергия,
необходимая для превращения 1 г среды в жидкость, включая
скрытую теплоту плавления), целостность твердой решетки
нарушается и при этом среду после удара можно уподобить некоей
жидкости. В этом случае кинетическая (упорядоченная) энергия
удара переходит в неупорядоченное движение частиц жидкости,
что будет создавать ее внутреннее давление; жидкость будет
расширяться и разрушать взрывным образом окружающую среду.
Величина 8^^ для металлических тел в среднем меньше, чем для
каменных (силикатных).
8^ — энергия, потребная на испарение 1 г среды, включая
скрытую теплоту испарения, вещество среды будет испаряться.
Для металлических тел в среднем 8,- меньше, чем для каменных.
В таблице 1 приведены значения для 8^^, 8^ и 8^ (эрг/г).
В уточненной теории удара большое внимание следует уделить
волне разгрузки (волне разрежения) (см. § 77). Как было
показано Рахматуллиным [54], автором настоящей монографии и
позже, более тщательно, Зельдовичем, Райзером и, независимо, Зла-
тиным и др., диспергирование среды и ее взрывной разлет
начинают быть особенно интенсивными при сильной волне разгрузки,
что для твердых тел достигается лишь при скоростях 10 -~ 12 км/сек.

816
УДАР С БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ
Таблица 1
[гл. XV
среда
Песок ....
Глина ....
Гранит . . .
Алюминий . .
Железо . . .
- орг
5-107
108
10»
109
109
эрг
5-109
5-109
7.109
4-10»
3-109 j
Р . эрг
1011
1011
2-1011
1011
7-1010 1
При этом испарение происходит, собственно говоря, в волне
разгрузки. Однако начало взрывных явлений имеет место еш;е до
фазы разгрузки — испарения, и в этом смысле наши расчеты
являются достаточно правомерными.
В процессе расширения газа температура его будет падать
согласно адиабатическому соотношению
(^r=^=(t)'-''
(93.7)
где Vh, Рн, ^н — соответственно начальные удельный объем,
давление и температура на фронте ударной волны.
Процесс конденсации описывается уравнением Клапейрона —
Клаузиуса:
dp ^ QI
dT T(Vj,-v^) '
(93.8)
где Qi — скрытая теплота испарения, Vr — удельный объем
газа, Vt — удельный объем твердой фазы.
^ ^^г dp Q\P
Поскольку Ут<<Уг, а Vr = —р-, то -5^-=;^2^» откуда
(93.9)
где Го — температура конденсации при атмосферном давлении.
Так как Q\ — СуТ"^, где Г* — эффективная температура
испарения, то
^ ^ \ (93.10)
т*
_?. ^ AK-DTo
Сравнивая (93.7) и (93.10), придем к соотношению, определяюще-

§ 93] ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ СОУДАРЕНИИ 817
му условия конденсации:
То \Рп)
к-1 Т« / Т„\
(93.11)
Очевидно, что это уравнение имеет решение при Т^ ^ I о, Причем
То/То = 1 + Д» где А < 1, при этом р << р^.
Таким образом, процесс конденсации начинается при
давлениях относительно малых (по сравнению с начальными), когда
процесс расширения практически закончится, и конденсация уже
не сможет повлиять на динамику расширения и, в частности, не
изменит заметно реактивный импульс отдачи (давление
истекающих продуктов взрыва).
Итак, при скоростях удара порядка 10 км/сек и больших
происходит процесс полного превращения в газ ударявшегося тела
и некоторой части среды, с которой произошло соударение.
Энергетический баланс при этом следующий: часть
кинетической энергии идет на превращение тела в газ, включая скрытую
теплоту газообразования (парообразования). Затем, после
расширения, эта теплота частично вновь возвращается в среду.
В зависимости от размера сконденсировавшихся капель
большие (когда камни большие) и меньшие (когда камни малые)
части энергии скрытой теплоты газообразования, возвращаясь в
среду, идут на увеличение ее кинетической энергии. Вся
поверхностная энергия частиц только тогда приближается к
объемной, когда размеры частиц становятся соизмеримыми с
молекулярными.
Уже для частиц, размеры которых на один-два порядка
больше молекулярных, их поверхностная энергия во много раз
меньше объемной. При расширении среды размеры частиц, которые
конденсируются, значительно превосходят молекулярные.
Поэтому практически вся энергия испарения возвращается в среду.
Итак, баланс энергии, идущей на испарение, имеет
следующую схему:
где Ei —- скрытая теплота испарения (и плавления), Е^ — общая
поверхностная энергия частиц, ?03 — энергия,
возвращающаяся в среду. При Ей -^ Ei имеем Е^^^ ^^ Ei,
Оценим теперь глубину h проникания тела (метеорита) в
среду при ударе с большой скоростью.
Поскольку сила сопротивления равна

818 УДАР с Большр1ми СКОРОСТЯМИ [гл. XY
с«
ОС 9^'^^ __ „ ^^,^ ( "-х РЖ
ТО
u = Uoexp^—^-^J = Uoexp^-^-^j, (93.12)
где Uq и и — соответственно начальная и текущая скорости,
Mq — масса метеорита, х — пройденный в процессе удара путь,
б и р — плотности соответственно метеорита и среды, I —
средний размер метеорита, s — площадь его миделева сечения, с^ —
безразмерный коэффициент «обтекания».
В рассматриваемом случае удара с большой скоростью всегда
можно принять, что с^ = 2. Поэтому
__ ??.
-^ = е ^^ (93.13)
Можно положить, что при скорости порядка 3—5 км/сек
проникание практически кончается и начинается фаза «взрыва».
ч<Взрыв» начинается непосредственно в момент удара, но мы
условно будем считать, что фаза взрыва начинается после окончания
фазы проникания.
Здесь под взрывом мы будем понимать не разлет газа,
образовавшегося в результате полностью испарившейся
кристаллической решетки, а просто переход направленного «одномерного»
движения целого тела в «ненаправленный» объемный разлет его
раздробившихся частей. Это сразу же увеличивает миделево
сечение, Sxj ЧТО приводит к резкому торможению центра инерции
тела, т. е. к его остановке. Полагая
— = Л- (93.14)
"^что для Uq = 30 км/сек дает гг ;^ 4 км/сек), найдем рх/б1, откуда
х = — . (93.15)
При б ;::^ р л; = 2/, т. е. глубина проникания — порядка радиуса
метеорита г* (для шара / = г*/3 и д; = у /-* j . При проникании на
указанную глубину, т. е. при скорости менее 4 км/сек, соударив-
шееся тело (метеорит) уже практически испарится.
Образовавшиеся газы начнут расширяться, что увеличивает площадь миделя s
{величина /уменьшится), а это, как сказано выше, приведет к
более резкому торможению ударяющегося тела. Поэтому можно
полагать на основании имеющихся данных, что глубина
проникания вряд ли будет (в зависимости от скорости удара)
превышать 5 -т- Юг*, где эффективный радиус тела
г*
= /-^-Ж' (93-1^)

§ 93] ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ СОУДАРЕНИИ 819
Теперь следует более подробно описать, как зависит глубина
проникания от скорости удара.
При малых скоростях удара твердых тел (каменных или
металлических) до 1 KMJceK радиус вмятины R^^f* (ударные кратеры).
Расстояние, на которое проникает тело, имеет порядок
^^0^0
'2p(rVQ^^ PQ.
Т. е.
6"о _ Рул
пр
(93.17)
^пр ^пр
где ^уд — давление, развиваемое при ударе, Qnp — плотность
прочностной энергии, рдр — давление, характеризующее
прочностные свойства среды.
Глубина проникания
h = XCOSZ, (93.18)
1де 2 — зенитное расстояние радианта метеорита (угол между
касательной к его траектории и вертикалью).
Если удар метеорита происходит под углом 90"° — z к
плоскости горизонта, то при больших значениях угла z нормальная
проекция скорости метеорита Wh = щ cos z может быть
достаточно малой, и тогда взрывные явления могут не наблюдаться.
Поскольку взрыв происходит при ul/2 ^ г^ = (гг/с)^/2, то
существенно, чтобы Uq cos z ^ щ. Поскольку щ приблизительно
равно скорости звука в среде с^, можно сказать, что взрывные
явления будут наблюдаться при щ cos z >> с^-
С увеличением скорости, когда начинается дробление
материала, миделево сечение, а следовательно, и удельное сопротивление
(пропорциональное s/Mq) возрастают; при этом глубина растет
медленнее, чем Wq, часть кинетической энергии соударяющегося
тела расходуется на движение среды в боковых направлениях,
причем количество «выбитого» материала растет по-прежнему
пропорционально кинетической энергии удара (взрывные кратеры).
При еще большем возрастании скорости, когда начинаются
взрывные явления, боковой выброс становится превалирующим
по сравнению с движением по траектории удара, поскольку газ
расширяется во все стороны, и имеет место закон (93.12), оста-
ющиися справедливым до тех пор, пока Uq р> гг/с, где и^ —
скорость, при которой кончаются взрывные явления. Такшх образом,
"=1^"'?- (93.19)

820 УДАР с БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ [гл. XV
Уточним теперь условие взрыва при ударе. Рассмотрим
сначала «взрыв метеорита» в неограниченной среде. Очевидно, что
задачу можно поставить следующим образом.
Пусть мгновенно в объеме, равном объему метеорита,
выделяется энергия Eq = MquI/2. Масса Ifi]^, внутри которой будет иметь
место испарение вещества, определяется очевидным
соотношением:
М и'^
МоЧ + TOfcifc = Ч -V- = ^^0- (93.20)
где т) — коэффициент полезного использования энергии {ц < 1);
— плотность-энергии, необходимой для испарения соответственно
вещества метеорита и среды; Uj^, щ — предельные скорости,
необходимые для «испарения» единицы массы вещества метеорита и
среды.
Если Uq'^ и^ ^=:::^ щ, ТО МОЖНО НО делать различия между
величинами 8jf и г^ для ударяющего тела и тела, принимающего
удар. Тогда уравнение (93.20) примет вид
Мо+А^, = -Ц^. (93.22)
Поскольку величина е/с близка к плотности энергии Q,
выделяющейся при взрыве конденсированных (твердых или жидких)
взрывчатых веществ {г^^ ^=^ Q), а для эффекта взрыва на
поверхности и внутри различных тел известны экспериментальные
соотношения, связывающие массу ВВ(тв) и плотность энергии {Q) с
радиусом, глубиной и формой воронки в различных средах, то
имеет смысл в соотношениях (93.21) и (93.22) вместо 8;^ и г^
писать Q. (Для типичных ВВ Q ^^ 1 -ь 1,5 Кал1г\ е^-, например, для
железа, алюминия и гранита имеют значения 2; 2,5 и 5 Кал/г.)
Поэтому можно написать, что
2
m,Q = Ti^o = -^Y"^ = ^в. (93.23)
Отсюда следует
^ = 2Q • (Уо.24)

§ 93] ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ СОУДАРЕНИИ 821
После расширения газа до значения плотности энергии ^^ Q
дальнейшая стадия расширения может быть уподоблена расширению
продуктов взрыва ВВ, но несколько иной плотности, чем
обычное ВВ.
В самом деле, плотность пород ;^ 4 г/сле^, плотность железа
;::::; 8 ejcM^, ПЛОТНОСТЬ стандартного ВВ ;::^ 1,6 ejCM^, Таким образом,
объемная плотность энергии в рассматриваемом случае будет в
несколько раз больше, чем в случае взрыва обычных ВВ.
Теперь несколько уточним поставленную задачу. При ударе
и взрыве образуется ударная волна, которая будет
распространяться по среде. Поскольку на фронте ударной волны часть
энергии будет тратиться на разрушение среды, то эту потерянную
энергию необходимо учитывать при написании закона
сохранения энергии для фронта этой ударной волны.
Для сильной волны эти условия будут иметь вид (Ец —
энергия на фронте волны)
^H = ^(vo-v„)-8:, (93.25)
Wh = Ph(vo-v„), (93.26)
Dl = _!^ = ( '"»"" У . (93.27)
Причем связь Eg = ЦРи, Vh) зависит от уравнения состояния
среды и в некотором смысле от начальной скорости удара, поскольку
при разных давлениях уравнение состояния можно
аппроксимировать по-разному.
Из (93.25) и (93.26) имеем
^„ = ^-8;. (93.28)
В этих соотношениях под 8к следует понимать энергию, идуп1;ую
на то или иное нарушение и разрушение кристаллической
решетки. Очевидно, что этот процесс разрушения решетки будет
продолжаться до тех пор, пока на фронте ударной волны
Ед-\-^>г1. (93.29)
Иа (93.28) и (93.29) следует, что процесс разрушения решетки
будет иметь место при
^>8;. (93.30)

822 УДАР с БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ [гл. XV
Вводя Wk = уточним условие, сформулированное выше:
поскольку из (93.30) следует, что
Wh > ul (93.31)
а. Ыц Я:::^ uj2, ТО Uq > 2u*^, ИЛИ
о
-|->2С = 48;. (93.32)
При ударе в первые моменты времени, пока eni;e не
установился режим движения и обтекания, испарение будет происходить
при условии Uq ^ гг^; затем достаточно быстро, в течение
интервала времени
т = |-, (93.33)
установится такой рел^им движения, когда испарение будет
происходить при условии
Wo > 2ul (93.34)
Уточним теперь еп^е раз, что нужно понимать под 8к. При
испарении 8к = 8j-, при плавлении 8к = 8к, при простом
размельчении (диспергировании) среды 8к = 8к.
В первых двух случаях, в процессе расширения, затраты
энергии, идуш;ие на скрытые теплоты испарения и плавления, воз-
врап1;аются обратно в среду, исключая небольшую часть среды,
которая расширяется уже при выходе из плотной среды (воронки)
в атмосфере или пустом пространстве. Однако этими потерями
можно в обп1,ем пренебречь, тем более, что начальная энергия при
этом относительно больше, чем в случае простого диспергирования
среды.
В конце концов, необратимо будет затрачена энергия Бк = е^.
Можно считать, как это принято было выше, что приблизительно
для разных сред 8к ^ Q. Следовательно, всегда можно ввести,
как и в случае изучения атомного взрыва, тротиловый эквивалент,
исходя из закона сохранения энергии, т. е. кинетическую
энергию ударяюп1,его тела с учетом потерь (вводя к.п.д.) приравнять
энергии В В (тротила), имеюш;его массу т^ и калорийность Q,
полагая, что m^Q = цЕ^,
Для простоты можно считать процесс детонации в плотной
среде мгновенным. Процесс разрушения условно будем называть
процессом испарения.

§ 931 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ СОУДАРЕНИИ 823
При детонации плотность энергии на фронте детонационной
волны
енд = ^на + -^ , (93.35)
где
Е^^ = ^нд(^од_^-^нд) _ ^ (93.36)
есть потенциальная энергия; таким образом,
е„д = и|д = 2(?. (93.37)
При мгновенной детонации средняя плотность энергии
i^ = ф- = <?• (93.38)
Во втором случае, когда ёд = Q^ задача сводится к сравнению
действия удара с действием взрыва с массой ВВ 2^в и
калорийностью B/2 при гипотезе мгновенной детонации.
В первом случае задача приблизительно сводится к случаю
реальной детонации с массой т^ и калорийностью Q, если под
реальной детонацией подразумевать случай, когда давление на
фронте детонационной волны в два раза больше среднего дав-
ленр1я и плотность энергии на фронте есть и\ =' 2Q.
Оба случая достаточно эквивалентны друг другу, как это
следует из теории взрыва.
Первый случай поддается более простому анализу, и дальше
мы именно его и будем рассматривать.
Итак, эквивалентная масса ВВ т^ взрывчатого вещества с
калорийностью Q будет для дальнейших расчетов определяться
соотношением (93.24).
При ударе метеорита от центра взрыва распространяется
ударная волна. В первом, но достаточно хорошем приближении она
будет автомодельна при i^J2 ^ е^. При этом давление на фронте
ударной волны
^^ = ^^^||г, (93.39)
где Е — энергия удара (см. § 69), 1^ л? 0,8 ~ 1,0, для
А = 3 -т- 5.

824 УДАР с БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ [гл. XV
Если по мере прохождения ударной волны часть энергии
будет необратимо теряться, то
Е= г^о-у^'-'реь (93.40)
где Eq = MquII2\ тогда
здесь Ра — давление, соответствующее границе зоны разрушения.
При ру = f*a эффекты сильного разрушения (испарение и
плавление) закончатся; тогда
где 4/Зя/?^б = Mq, R — радиус метеорита. Поскольку
ТО окончательно
(т)*-|^,|г(^Г- <^5-«)
Средняя плотность во всем объеме зоны разрушения
кристаллической решетки
l^z^^q, (93.44)
поэтому дальнейшие процессы можно уподобить взрыву
соответствующего по энергии количества ВВ, что нами и было сделано
выше,
§ 94. Взрыв большой энергии на поверхности планеты
Прежде всего необходимо рассмотреть основные
закономерности эквивалентного взрыва заряда обычного взрывчатого
вещества, помещенного на некоторую глубину h^ от поверхности
планеты. Затем легко перейти к изучению закономерностей взрыва
ударяющегося метеорита. Предварительно используем основные
закономерности взрыва в неограниченной среде.
При изучении заглубленного взрыва часто может быть
существен учет силы тяжести. Вычислим энергию, которая тратится на
преодоление силы тяжести при взрыве заряда на глубине Aq, в том
случае, когда выемка, образованная после взрыва, представляет
собой конус радиусом основания R^ (рис, 111).

§ 94]
ВЗРЫВ БОЛЬШОЙ ЭНЕРГИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАНЕТЫ
825
Мы вычислим гравитационную энергию для случая выноса
грунта на поверхность земли ЛЛ'. Поскольку элемент массы грунта,
R AR
Рис. 111,
ограниченный конусами радиусами оснований (i? + ДД, Л),
равен
dM = f ярЛоД ЙЛ = I лрЛ^ Щ^ , (94.1)
ТО полная масса
M = ^phltg'(fo, (94.2)
а элемент массы, ограниченный, кроме того, сечениями {h + dh, h)
^ * cos^ Ф
(94.3)
Очевидно, что гравитационная энергия, необходимая для выноса
элемента массы dM^ на поверхность АА', определяется
выражением
dEg = g(ho- h) dM^ = 2npg '^^ (h, - h) h^ dh, (94.4)
где g — ускорение силы тяжести. Интегрируя (94.4) в пределах
от До до О и от О до фо, найдем, что
Е,=
n9gh*tg\o _ Mgho
12
(94.5)
В области, ограниченной конусами радиусами оснований R -^ dR
и Л,
S 6 cos' ф 4
(94.6)

826 УДАР G БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ [гл. XV
Если условно считать, что энергия взрыва распространяется
изотропно, то в этой же области будет распространяться энергия
взрыва
dE^ = QdM = -^ sin ф йф, (94.7)
щеЕ^ — полная энергия взрыва, Q — калорийность взрывчатого
вещества. Энергия взрыва, распространяющаяся внутри конуса,
будет
^ф^^^^ЬрРр. (94.8)
Выразим отношение элементарных энергий dEg и dE^
dE ^9g^l
Ш^ ^ гЕ^ cos» ф • (^'^-^^
Очевидно, если не учитывать потери энергии на дробление
грунта, выброс грунта будет осуществлен при условии, что
dE^ > dEg, откуда следует, что
3 coss ф
Таким образом, при заданной глубине Hq
3^ ^ j • (94.10)
Наибольшая возможная глубина определится из этого
соотношения при Фо = О
'^" '''\ (94.11)
hom — I -
npg
С помощью (94,11) напишем (94.10) в виде
созфо>^^У^ (94.12)
С помощью соотношений (94.10) и (94.11) даются оптимальные
значения для h^ и угла раствора конуса фо. Если учесть
необратимые потери, то значения Л© и фо будут меньше.
Вычислим теперь остаточнуюЦ скорость Wq, с которой части
грунта будут выбрасываться из выемки под углом ф к нормали.
Максимум выброса мы подробнее рассмотрим ниже, а сейчас лишь
допустим, что частицы грунта достаточно быстро набирают
скорость, но при этом часть скорости теряется на преодоление силы
тяжести*

§ 94] ВЗРЫВ БОЛЬШОЙ ЭНЕРГИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАНЕТЫ
827
Исходя из закона сохранения энергии, можно написать
выражение
-^dM + dEg = dE^,
откуда
или
-у '^[dM dM ) -у i
^ 2 I_i|L (94.13)
ярй»
«.-/-т[(^Г-'^-'
При cos ф = {hJhQjy^^f^ получаем щ = О, при ф = О имеем
\/ч
о f W
о
1
Если Hq — Hq^, то при ф = О Щт = 0. Отношение
/'о
О"»
tg9
^7
при ф = Фо переходит в
а отношение
яр^'^о tgV яр^Л^ A + cos Фо)
ho \*1
(94.14)
(94.15)
(94.16)
(94.17)
(94.18)
¦Ё'фо ЬЕ^ A — cos фо) ' GjBg cos2 фо
при COS Фо = {лрghl/SEp)'/'' переходит в
Я^ = -2 1-3?Г; 1^+[^Ё^1 ]=ТС08ф,A+С08фо).
При некотором определенном значении Ао/^от = S величина Eg/Ев
достигает максимума. Исходя из (94.17), легко находим, что
-?з^-Й~0,1; cos фо = (и^';^0,58; ^ = tgфo = f2 = l,4.
При этом
На основании выведенных соотношений можно рассчитать
параметры образующейся при взрыве и последующем выбросе

828
УДАР С БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ
[гл. XV
разрушенных масс воронки выброса. Однако сначала займемся
некоторыми уточнениями рассмотренной выше схемы взрыва и
выброса.
Уточним первую схему выброса. Первоначальная форма
воронки должна быть конусообразной, что вполне естественно,
поскольку выброс среды
происходит примерно вдоль
радиусов г. Однако у поверхности
воронки возникает волна
разгрузки, которая приводит к
тому, что у самой поверхности
могут дополнительно
разрушаться и быть выброшены
некоторые массы среды (см.
заштрихованные места на рис.
112). При этом радиус воронки
несколько возрастет (от Rq до Ввт) и форма воронки изменится.
Численно учесть этот эффект не очень просто, и мы его здесь
не учитываем.
Все выведенные выше соотношения имеют смысл, если
h ^ Hqj^ ^ Ввтч Щ^Впт — максимальный радиус зоны разрушения
с учетом влияния свободной поверхности (зоны нелинейных
деформаций). Из этого условия и из условия (94.11) следует, что
Рис. 112.
npg
Rm
3V
Rm
4я
7з
ЗМ
Rm
4яр
7з
(94.19)
где Yrtti и Мвт — соответственно объем и масса максимальной
зоны разрушения. Далее имеем:
М
Rm
Ат^,
(94.20)
где А определяется из по л у эмпирического соотношения:
А=-^аА(^
Ро
Ра
(94.21)
причем Voo = ЛVQ(:i^-] , где Foo—предельный объем продук-
Ра
тов взрыва при р = р^, F^ —их начальный объем._ Для
технических В В А = 1000. Эмпирический коэффициент а определяет
зону нелинейных деформаций; теперь неравенство (94.19) можно
написать в виде
^''вв ^/ н \' „-V. (94.22)
где Гвв -=
_3_[%
4я Ро
V»
4Q
>Ш"'^-"^
радиус заряда взрывчатого веш;ества.

§ 94] ВЗРЫВ БОЛЬШОЙ ЭНЕРГИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАНЕТЫ 829
Отсюда следует, что чем больше калорийность взрывчатого ве-
п^ества Q, тем при большем ускорении силы тяжести выполняется
неравенство (94.22). При отсутствии силы тяжести неравенство
(94.22) вообш,е не выполняется.
Рассмотрим теперь различные возможности образования
воронки при взрыве.
1. Если hQ>rnmi топри Aq^Aot^, воронка не образуется,
получается так называемый камуфлет.
2. Если Hq < rjijy^, Hq > Aq^, to будет наблюдаться частичное
вспучивание поверхности в окрестностях эпицентра (над местом
взрыва).
3. Если Hq < г-ц^, Hq < hQjn, то мы будем иметь
рассмотренный выше случай образования воронки. С уменьшением/^0 профиль
воронки будет изменяться (угол фо будет увеличиваться).
Первые два случая сейчас не представляют интереса, и мы
непосредственно займемся более подробным анализом третьего
случая.
Итак, пусть Hq ^ Лот < ^Rm* Угол раствора конуса воронки
определяется из соотношения (94.9)
cos
при этом-og—^1. Радиус воронки
л, = ho tg Фо = к ]/{-^f -1 • (9^-24)
Указанные соотношения будут справедливы лишь при условии,
что
Таким образом, значение угла раствора конуса определится
из соотношения
созфо ^ созфо/ ^ • (94.26)
К
Если фо^ ^Фо» тосозфо^Т—и радиус воронки будет равен
R,i = h tg Фог = y^rln. - hi (94.27)
Предельное условие (94.26) приводит к такому соотношению:
4я pQ
Таким образом, при интегрировании угол ф меняется от О до фо,
если Го < гкт, и от О до фог, если г^ > гд^.

830 УДАР с БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ [ГЛ. XV
Выведенные выше соотношения полностью характеризуют
воронку, которая образуется при взрыве заряда массы Шв на
глубине ^Q, если Hq < гп^» Если Tq ^ гв^, то cos фо вычисляется
из соотношения (94.23), если Tq > гд^, тосозфо = созфо;
вычисляется из соотношения (94.28). Далее вычисляются Rq = Hq tg%
Критерием того, какой случай мы будем иметь при
образовании воронки, будет безразмерная величина
_ созЗфо _ Aghp
Если г1ф>> 1, то Фо/> Фо и мы имеем дело со случаем, когда
^0 <^ ^Rm (при этом основную роль играст сила тяготения); если
т1ф <; 1, то фог < Фо и мы имеем дело со случаем, когда Го > гд^^
(при этом основную роль играет радиус разрушения среды). Если
поле тяжести отсутствует, то мы всегда будем иметь дело со
вторым случаем. То же самое будет при наличии поля тяжести, если
использовать высококалорийные взрывчатые веш;ества. Лишь в
случае очень податливой среды, когда значение А велико даже
при больших значениях (?, может иметь место первый случай.
При наличии сильного поля тяжести могут иметь место оба
случая, в зависимости от соотношения между g, Q и 4.
Определим теперь окончательно зависимость между массой
среды, выкинутой взрывом из воронки, и массой взрывчатого
вещества, его калорийностью (или энергией взрыва), начальной
глубиной заложения заряда, а также выясним оптимальную
глубину, при которой выбрасываемая масса оказывается наибольшей
для обоих случаев: т)^ > 1 и % -< 1.
При 'Пф > 1 будем иметь
M--JpA2tg4o, (94.30)
где 1 > cos Фо > I g^ I • Если со8^фо= ^^
Очевидно, что масса выбрасываемого вещества при
определенной глубине Rq будет максимальной:
то
(неравенство -ов—<^ 1 при этом, очевидно, удовлетворяется).
в

§ 94j ВЗРЫВ БОЛЬШОЙ ЭНЕРГИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАНЕТЫ 831
Подставляя найденное значение Л^ в (94.23), (94.26) и (94.31),
придем соответственно к выражениям
cosfo=f; % = Ж; Я = 2 >^2йо - 2/2 (-g^y*; (94.32)
9npg J
M = ^p(iV'-
При Т1ф < 1 будем иметь
М = ~рг1 sin^фоcos Фо = -f рКtg2фо, (94.33)
где 1 > cos Фо > —^. Если cos фо = —^- , то
М = -J prkAo (l- -^) . (94.34)
\ ^Rm }
Как и в предыдуп].ем сл^^чае, масса выбрасываемого вещества
при определенной глубине Я^ имеет максимальное значение. Эта
¦/з
глубина будет /г© == гкт» При этом
tg%=/2;
cos Фо = -щ ; sin Фо = ]/1-; Фо = 55°;
,^ 2 Уы ^3 2я ^,3
(94.35)
Как видим, в зависимости от того, принимает критерий ц^
значение большее или меньшее единицы, получаются различные
оптимальные углы конуса (Фо ^^ 70° при "Пф > 1 и Фо ^^ 55° при
Лф < 1).
Свяжем теперь полученные чисто теоретически результаты с
основными экспериментальными данными. Известно, что при
некотором заглублении (которое не всегда оптимально в смысле
получения наибольшей выбрасываемой массы), радиус воронки
равен
R^ = Хт^% (94.36)
где i?c — экспериментальное значение радиуса воронки, sl X —
экспериментально определяемый коэффициент. Полагая, что
R^ = R^^ = J?Q, мы напишем (94.36) в виде
Rim = Х'т^. (94.37)

832 УДАР с БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ [ГЛ. xV
Далее очевидно, что
Мйт = 4 npRlm = J прХ^т^. (94.38)
Сравнивая (94.20) с (94.38), найдем
Л=-|ярХз. (94.39)
С другой стороны, используя равенство (94.21), получаем
|яро?.« = раЛ(^) . (94.40)
Эти соотношения устанавливают связь между различными
эмпирическими параметрами: а, А, А я К.
Поскольку величина А достаточно хорошо известна, %
определяется из опыта, то из (94^39) находим Л, а из (94.40) находим
весьма важный коэффициент а. Заметим, что а = fipJPa)*
Определим теперь количество движения веш;ества, выбрасываемого при
взрыве. Сначала определим так называемое полное (скалярное)
количество движения /п^). Если пренебречь в (94.13) членом
gAo/2, то, используя (94.14) и (94.1), получим
d/n ==udM = UodM=.y ^з^'еоУф ^Ф«1^Ф- (9^-^1)
Отсюда, интегрируя в пределах изменения угла ф от О до фо
(полагая, что Фо = фо^), найдем, что
/п = 2т/|пр^Х( ^--.li^'W^flMg:, (94.42)
где
Имеет смысл вместо полной энергии взрыва Ев ввести ту часть
энергии ^фо, которая распространяется внутри заданного конуса
с углом при вершине 2фо.
Исходя из (94.7), найдем
E,„=E.'-';'"f\ (94.44)
^) Речь идет здесь не о главном векторе количеств движения системы \dln
«/
и не о проекции этого вектора, а о скалярной величине \ | dl^ \, не
используемой в механике твердого тела.

§ 94] ВЗРЫВ БОЛЬШОЙ ЭНЕРГИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАНЕТЫ 833
при этом (94.42) примет вид
/п =^Y2ME^, (94.45)
где
п _ 2 Y2 cos фо
]/*! + cos фо [1 + "Kcos фо]
(94.46)
При Фо = О имеем О =- 1 и Е^^/Е^ = О, при ф^ = 60° -& ;:^ 0,95,
Ecpq/Eq = 1/4. Теперь определим проекцию количества движения
Iz на ось Z, перпендикулярную к поверхности планеты АА\
Очевидно ^^
/2лрк1Е^
-З^^.зшфйф. (94.47)
Отсюда
/, = 2 j/|- jcp/гХ [1 - V^^o] - *i /глЩ, (94.48)
(94.49)
где
д 2 A — /cos Фо)
где
"• tgфo
Далее, заменяя ? через ?'ф„, найдем, что
/, = ^f 2ЖС, (94.50)
_ ^1^2 cos фо ^ ^9^ 5^^
A + У cos фо) у 1 + cos фо
При Фо = о имеем -©i = 1, а при ф^ = 60° '&i = 2/3. Можно
написать, что -6»^ = '& "[Лсозфо, причем коэффициент является мерой
распределения скоростей под разными углами в зависимости от
величины выбрасываемой массы. Если бы этого распределения не
было @ = 1), то
In, = f 2М^Фо. (94.52)
Теперь можно окончательно выразить /^ и 7^:
In = '&^о; ^z = In /сБзф^ = '& V 2МЕ^, cos Фо = 0/„о/со8фо.
(94.53)
Однако для практических вычислений удобнее пользоваться
соотношениями (94.42) и (94.48). Из этих соотношений, например,
следует, что при ф^ = 60°
/, ^ 0,48 У-2МЁ^, 1,^{ yiME^ = { \12МЩ,.

834
^ДАР С БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ
[ГЛ. XV
в общем виде, не предрешая закона распределения скоростей по
массам, можно написать, что
Фо
/„=5а(ф)ЙМ(ф), (94.54)
4^0
/^ = \ С08ф.а(ф)ЙМ (ф),
(94.55)
где а = а[М(ф)] = а(ф) закон распределения скоростей по
массам.
§ 95. Взрыв метеорита на поверхности планеты
Выясним теперь, как определится максимальная глубина
воронки — кратера, образующегося бри ударе метеорита, о
поверхность какой-либо среды.
Очевидно, что эта глубина определяется глубиной проникания
и радиусом испаренной массы среды. Надо еще учесть, что после
прекращения процесса испарения на
фронте затухающей ударной волны
будет происходить просто
размельчение среды, и часть этой размельченной
среды может быть выброшена наружу,
что еще увеличит глубину воронки,
однако для металлов эта
дополнительная глубина будет меньше, чем
глубина испаренной зоны; для грунтов и
скальных пород она будет больше.
Рис. ИЗ.
Таким образом, полная глубина воронки (рис. ИЗ)
где по формулам (93.18), (94.19)
(95.1)
2Мо , щ
COS 2,
fe*
3mg
^0 ~^
Ло>1. (95.2)
Здесь Aq — эмпирический коэффициент, а Гг — радиус зоны
испарения — разрушения. Вставляя значение Wb из (93.24), получим
, 2Л/о
Cxps
COSZ
1п^ + >^.
8npQ
(95.3)
(Ux ~ Uk).
(Здесь и дальше мы под величиной Q = ull2 = ец будем подра-

§ 95] ЗРЫВ МЕТЕОРИТА. НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАНЕТЫ 835
зумевать плотность энергии, необходимой для разрушения связей
решетки или мелкого дробления породы.)
Так как Mq = 6Z«s, то можно написать, что
где а* — коэффициент формы метеорита; для шара, например
а* — 1, р — плотность метеорита, I — средний размер, s — пло-
ш;адь миделева сечения. Теперь (95.3) удобно привести к виду
'•'-УШ- f^'-^)
Выбрасываемая из воронки (считается, что форма воронки
конусообразная) масса среды определяется соотношением (93.2)
и формулой (95.5)
M = ^phltg^фо = ^!^ . tg^ф,. (95.6)
Определим теперь нормальную проекцию импульса взрыва по
формуле (94.48)
/, = ^У2Л№, (95.7)
Учитывая (95.6), равенства ?'ь = цЕо, М = -Щ^ tg^ фо и
выражая '&1 по формуле (94.49), получим
1г = ]/!*- -^1^0A - /^^^). (95.8)
При т1ф, определяемом формулой (94.29): г]^ = AghJ^Q^ 1,
косинус угла фо выразится на основании (94.26) так:
ho
COS Фо ===
[W- ('^-^^
Это наиболее реальный случай. При ц^^ I по формуле (94.10)
(95.10)

836 УДАР с БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ [гл. XV
Оценим безразмерные величины Ао,у\у т], входящие в эти
соотношения.
Как мы указывали выше, величина г\ коэффициента полезного
использования энергии меньше единицы
при Uq = Ux получим г\ = Aq. Если z = О, с^ = 2, а* = 1,
р — 6, будем иметь
^х ) ^0 V УЩо / и^
* * _ 3
Пусть Uq = e^Ux X 20ux, ц:^!, тогда rjVa —1 4- -у^^1,4 (Ло^1).
Величина ц'^^== iQmax^^l + ^~'^' при Uq = eux^ Величина Aq
зависит от свойств среды; для металлов она ближе к единице,
чем в случае более податливых сред. Интервал изменения ц не
очень значителен. Оценим теперь величину А, Поскольку
ТО, имея экспериментальные данные для ?t, легко вычислить и
величину ^{Ра/РаУ^^*^ где Ра — консчнос давление в среде, при
котором заканчивается расширение продуктов взрыва.
В таблице 2 приведены значения р, А;, Л и дpyгJ[x величин для
различных сред, причем принято /?д = 1 кг1см?\ А = 1000; А:* =
= 7/5; ро = 1,6 г1см^, (Эти данные носят приблизительный
характер).
В колонках для X и Л первый столбец характеризует воронку
выброса, второй — зону нелинейных деформаций; здесь
а = Vb/Voo = const; А = {9l9^^{pJPaY'^*\
причем Vk — объем зоны разрушения, Voo ^ бОУ^—_конечный
объем продуктов взрыва ВВ (в воздухе Foo ^ lOOOVo), а —
коэффициент, определяющий зону нелинейных деформаций (см. § 44).
Скорость разлета взорванной среды определится соотношением
(94.13)
\ 2яр/13 2 j [ 2 \^ яр^/г^ j
i^n
(95.11)

§ 95] ВЗРЫВ МЕТЕОРИТА НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАНЕТЫ 837
Таблица 2
Среда
Песок
Глина
Гранит
Алюминий
Железо
г
2ч-3
3,5
4
2,6
8
X
10
8
5
2
1
100
50
10
10
5
А
10*
7.103
2.103
80
4.10»
107
1,7.10-
16.10*
104
30
1
АоЗ
84-5
5-^4
3-^2
1,5
4.103
1
1
0,64
0,4
0,05
0,033
1 1
--Ш\
6,4
3,3
0,8
5-10-2
6,4.10-3
6,4-103
800
6,4
6,25
0,8
Заменяя величины h^ и Е^ по формулам (95.5) и (93^23), придем
к выражению
При ф = О
Масса, которая распространяется в области, ограниченной
конусами с радиусами оснований i? + <^й» ^» т. е. внутри
соответствующего элементарного телесного угла, определится
соотношением, вытекающим из формул (94.1) и (94.6):
л ТУ/Г 2 ,з81ПфС?ф ЛЛ^О^о 8Шфб?ф
3 ^ " созЗф 4Q созЗф
(95.14)
Эта масса и будет иметь скорость щ, определяемую из (95.12).
Легко убедиться в том, что безразмерная величина tIc^,
определенная выше по формуле (94.29), может быть выражена с помощью
формулы (95.5)
Aghp __ Ag_ ( ЗщЕрУ^'
4Q - 4(? V 4яр(?
Tlcp
(95.15)
Из последнего выражения видим, что при относительно
небольших энергиях падения г1ф и угол раствора, образующийся при
ударе и взрыве воронки, не зависит от силы тяжести*).
*) В работе Л. Б. Ливанова (Космические исследования, 1965, вып. 4)
показана сприведливость вычисления воронки по нашему методу и
несостоятельность критических замечаний Бьорка но этому поводу (Bjork R. L.,
Astr. Congr. 1952, London, p. P).

838
УДАР С БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ
[гл. XV
Напротив, при большой начальной энергии падения
предельный угол определяется ускорением силы тяжести на данной
планете.
При т) ^ 1 по формуле (95.8) будем иметь
••=ЩУщ
'-I1
(95.16)
Минимальная скорость будет при соз^фо ~ Л/^> тогда
Uq — Uq min —
Полная разлетающаяся масса
_2Q
Л
gf^o
>0.
При т1ф > 1
(95.17)
(95.18)
''^•/fh(^)"'J- (»5-*"
Минимальная скорость будет равна нулю при
Полная разлетающаяся масса
(95.20)
М
—SQ~
MQWa/ SnpQ Y l]
\^g) \ЗщИои1) J
_ Щ^^и; г/ 4Q ,
(95.21)
Сравним теперь проекцию на нормаль количества движения
падающего тела Iqz
Iq, = MqUq cos z (95.22)
и реактивную силу выброса /^
"^ г]Мои1 A — /соз'фо)
fe=/-
Q ZMqUqCosz |/ Q 2cosz
/2г] Що A — T^cos фо)
Q 2 cos z
(95.23)
Поскольку Q = u*V2, то окончательно
= /л
= Т) A — Усозфо) Mo
COS z
(95.24)

i 96] ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СОУДАРЕНИЯ
Так как в среднем У^Л'Л ^^ 2, фо ;^ 60°, то при z == О
.0,6-^,
839
(95.25)
Например, для каменного метеорита, ударяющего в алюминий со
скоростью Uq = 40 км/сек (для алюминия Uk ^=:::^ 2 км/сек),
IJ Io,^i2. (95.26)
При больших скоростях удара реактивный импульс всегда
превышает количество движения падающего тела, и поэтому общее
количество движения, приобретенное средой при ударе,
практически не зависит от угла. Отсюда также очевидно, что взрывные
кратеры должны быть круглыми, а ударные — не обязательно.
§ 96. Приложения теории соударения
Рассмотрим*) интересную с астрофизической и космогонической
точки зрения задачу о разлете частиц взорванной среды][в"пустоте.
В самом общем виде
необходимо рассмотреть
классическую задачу небесной механики
о движении материальной точки
под действием центральной
силы тяготения (масса, которая
выбрасывается при взрыве,
неизмеримо меньше массы,
подвергшейся воздействию удара).
Случаи ударов двух
соизмеримых по размерам больших
тел мы не будем рассматривать.
Уравнение орбиты сначала напишем в полярных координатах
(рис. 114)
г = -1 —г, (96.1)
1 — е cos д ' ^ ^
где р = Ь^/а — фокальный параметр, е = Y^ —b^/a^ —
эксцентриситет, О — полярный угол, г — радиус-вектор, а и 6 —
соответственно большая и малая полуоси.
В декартовых координатах уравнение (96.1) принимает вид
Рис. 114.
Г
р^ + 2рех + х^{е^ — 1).
(96.2)
Параметр р и эксцентриситет е находятся из начальных условий:
в точке М {xq, г/о), когда г = Rq и и = Uq, скорость выброса Uq
*) Совместно с Бронштэном В. А,

840 УДАР с БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ [гл. XV
и начальный угол наклона вектора скорости к плоскости
горизонта «о заданы. Поскольку на основании закона сохранения
энергии
"о = ^^(ж-т) (96.3)
{М — масса тела, G — гравитационная постоянная), а
tg Ро = If L = tg (90° +% + «„) = ^^ + (;;-^>-" , (96.4)
причем из формулы (96.1) при г = Rq, тЭ* = ^q имеем
cos 1^0 = -^^^. (96.5)
то отсюда находим, что
-^--ШГ^^^'^о; e' = i SiT^^^'^o + T^^^^'^o. (96.6)
Так как ускорение на поверхности тела, принимаюш,его удар,
равно
g-^, (96.7)
а круговая скорость
то
ul = ^, (96.8)
Р _ I Uo
-^Vcos^ao- (96.9)
Координаты точки M{xq, i/q) определяются соотношениями
-; уо- ^«V^-{-^7^rf• (96-10)
^0 — ;
Координаты точки падения частиц обратно на поверхность тела,
если 1 > ^ ^ О, будут
__ i?o— /?
X •— Xq —
^ = -^o=-i?o|/"l-(^)" (96.11)
При е > 1 тело не упадет обратно на поверхность планеты.
Написанные соотношения полностью решают поставленную выше
задачу определения орбит вылетающего из воронки «взорванного^
веш;ества.
Если Uq/uc<^ 1, то можно пренебречь кривизной поверхности
цланетщ и изменением силы тяжести с расстоянием, В этом слу-

§ 96] ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СОУДАРЕНИЯ 841
чае основные уравнения можно преобразовать к более простому
виду, однако еще проще написать сразу уравнение траектории в
декартовой системе координат.
Это уравнение определится из очевидных соотношений
у = UotsinaQ — ^ ] X = UQt cosaQ, (96.12)
откуда
y = xtgao- ^J'^l^^ . (96.13)
Падение происходит в точке
2wj cos^ ао
^=i^sin2ao. (96.14)
Не представляет труда в обоих случаях определить расстояние, на
котором будет насыпано вещество, выброшенное из воронки, и
высоту насыпания Н этого вещества на поверхности планеты,
т. е. определить профиль насыпного кратера.
Когда взрыв происходит у самой поверхности, можно считать,
^то
dM = --j- cos ао dao. (96.15)
Тогда для второго случая, когда ujuc ^ 1, мы придем к
соотношению
М^ cos «о
Н= ^ , (96.16)
8ярц sin 2ао cos 2ао
где Lq = v\lg — максимальная дальность выброса. Поскольку
sin 2ао = LILq = %, то cos 2ао = + ]Al — А,^ и cos^ а^ = 1/2 A +
+ ]Al -— К^), и мы имеем из (96.16)
Н
~ ^^ 1 /l±Vl:^^ /96 17)
При О ^ ао ^ я/4 надо брать знак плюс, при я/4 ^ ао ^ я/2 —
знак минус. Суммируя по обоим значениям Я, придем
окончательно к соотношению
м^
¦ (/i j^Y^->^^ + Y^-V^- '^')
я ^
^0 - 8ярЛ^ У2 A - Л2)
(96.18)

842 УДАР с БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ [гл. XV
Легко убедиться в том, что при 'к=0шХ=+1Н->-оо, при
Х=0,9 Н = Яп,1п.
Однако в реальном случае высота насыпания продуктов
выброса, конечно, не будет при Я=0иЯ=±1 стремиться к
бесконечности.
Масса продуктов выброса в малой области около значений
К — О ж X =+ i бесконечно мала и поэтому при А, = О и Л/ =
= + 1 вследствие сыпучести при наличии силы тяжести значение
Н будет конечным. Таким образом функция Н{Х) может быть
изображена кривой, имеющей три максимума: в центре и по краям
(вал). При образовании кратера энергия выброшенных частиц
может быть достаточной, чтобы возбудить в месте их падения
процесс вторичного кратерообразования. Часть выброшенной
при этом вторичной массы может привести при возвращении на
поверхность последующий «взрыв» и т. д. Ясно,что процесс такой
своеобразной диффузии будеть сильно затухающим. Развитие
этих представлений было впервые проделано А. К. Мухамеджа-
новым [57].
Пользуясь условием сохранения массы, можно записать
следующее выражение для высоты насыпания Нр в произвольной
точке Р, определяющее рельеф кратера:
1 (dMf. dM% dMl\
где Mo —- масса среды, выброшенной из точки О падения
метеорита и падающей в точку Р, Мр — масса, выброшенная при
вторичном взрыве в точке Р, Мр — масса, насыпающаяся в точке
Р при вторичном взрыве в произвольной точке Q, р — плотность
среды. Высоты насыпания обозначим соответственно Нр^ Нр, Нр-
Для упрощения расчетов рассмотрим пока только первые два
каскада явления. Для Нр имеем соотношение (96.17), которое
запишем в виде
ffp-Zr^^Vlf/[^y"^ (96.20)
где Кор = НорШот — координата точки Р относительно центра
взрыва, Rom —радиус основного вала (расстояние максимального
выброса из точки падения метеорита, при изотропном
распределении скоростей R = Rom^ как известно, при ф = я/4), Мо —
масса среды, взорванной в точке О, Среднюю толщину слоя веще-
ртва, выбрасываемого из окрестности точки Р, можно оценить

§ 96) Приложения теории соударения 843
следующим образом:
vising
и р =
2peo V^p)-bn,^RlJ.oP^ 2A-X?,^) • ^"'^•^^^
Здесь учитывается только нормальная к поверхности
составляющая скорости. Для высоты слоя грунта, насыпаемого в
окрестности точки Р при вторичном выбросе из произвольной точки
Q, вполне аналогично равенству (96.20) можно записать
Н$- ^ l/'^^^-.t- (96.22)
При центральном разлете из точки Q
Mq=^Mo—^ %J^ , (96.23)
где Vq — скорость выброса из точки О. Следовательно,
Н, ^ Мо^>-^<^, W 1 ±riz^ ^ (96.24)
Чтобы получить полную высоту слоя в точке Р за счет действия
всех вторичных источников Q, необходимо проинтегрировать
(96.24) по углам выброса из точки О.
Выразим вначале Xqp и Rqj^ через Xqq и Rom (параметры точки
Q относительно центра кратера). Из теоремы косинусов имеем
7? л
^Qp=- д^ = Г- I^op + ^Ьо ±2 COS (Лор, ^oq) W^oq14 (96.25)
где ^Qm = RQm/Rom — отношение радиуса вала, образованного
при вторичном разлете из точки (?, к радиусу основного вала,
lop = RoplRom И KoQ = RoqlRom- Из уравнсний динамики для
частиц, разлетающихся из точки О и точки Q, следует, что
5q^=4S^' (96.26)
где uq шио — начальные скорости разлета из точки Q и точки
падения метеорита. Для упрощения расчета в (96.26) заменим пока
и ид(ф) и uo{^) через средние скорости разлета Uq и uq» Очевидно,
среднее значение скорости выброса основной массы из точки равно
 = »--^-. (96-27)

844 уда1> с большими скоростями СГЛ. XV
где масса Мо (масса, выброшенная из окрестности точки О)
соответствует наименьшей плотности энергии 8о, при которой еш;е
имеет место дробление среды.
Плотность энергии падает с расстоянием от центра взрыва
примерно по закону
'-^J, (96.28)
и
2
где г и R — радиус метеорита и радиус зоны дробления среды,
Uoo — скорость удара. При 7? = 7?о е =^ ео, и из (96.27) и (96.28)
имеем
М^б 28о М^ 28оР
-Ж^<^^, или ^^<-^;^ (96.29)
(р, б — плотность среды и метеорита соответственно).
Следовательно,
и1^2го-^. (96.30)
Вполне аналогично для точки Q при вторичном ударе имеем
й%= 4(Ф) ^ 7^ J . (96.31)
где распределение массы по углам выброса из точки О дается
соотношением (96.15), Mq — масса, выбрасываемая с единичной
плош;адки из окрестности точки Q,
dM^ ul (ф)
^«=^^- (96.32)
Здесь ио(ф) = йо-81пф согласно принятой схеме. С учетом
(96.29), (96.30), (96.31) и (96.32) для |q„ имеем
Urn = -—-^i^lie—. (96.33)
-y-.sin^ + l
Поскольку максимальная дальность выброса имеет место при
угле ф = я/4, из (96.33) непосредственно получаем для расстояния
между первым и вторым валом следующую оценку:
В0т = Яош^Г1Г Г- (96.34)
iib+^)'

i 96j ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СОУДАРЕНИЯ 845
При р/б ^^ 1 (каменный метеорит) Rqm^^ 0,ЗЗДот» Для
железного метеорита р/б ^^ 3/8 и Rq^ ^:^ 0,42/?от-
Полагая р ::^ б и на основании имеющихся снимков
кольцевых лунных кратеров, по которым можно определить gg^,
нетрудно оценить характерные скорости и размеры метеоритов,
ответственных за образование того или иного кратера.
Вернемся теперь к соотношению (96.25). При ^q^ я^ 0,3 -f- 0,4
значение cos {Rp, Rq) ^=^ 1. Тогда для расстояния точки Р падения
среды, вторично взорванной в произвольной точке Q, относительно
центра симметрии получим
'^QP ^ -г— C^OQ ± W), (96.35)
ЧТО существенно упрощает задачу.
Соотношение (96.24) запишется теперь следующим образом:
При Xqq = 1 (граница первого вала) решение возможно лишь
при условии 1 + Iqm > '^ор > 1 и при Хор = 1 + ^Qm ^р ->
—> оо, что соответствует координате центра второго вала.
При Xqq = О решение существует только для значений
О < Хор ^ Igm» т. е. внутри области максимальной дальности
вторичного выброса.
Наконец, случай Хор = ^oq> когда Нр ->• сх), означает
образование центрального «холма» в точке Q при вторичном взрыве
в этой точке.
Принятое здесь обозначение Нр -^ оо имеет, очевидно, лишь
тот смысл, что оно соответствует образованию насыпи, высота
которой в результате осыпания грунта будет иметь вполне
конечное значение.
Рассмотренная теори^! многокаскадного разлета позволяет
объяснить строение лунных кратеров с расщепленными валами
и, что весьма существенно, строение кратерных полей. Основная
предпосылка применения теории «тонкой» структуры кратеров к
анализу кратерных полей состоит в том, что при разлете осколков,
образующих вторичные кратеры, для координат последних
должны иметь место те же соотношения, которые выполняются при
континуальном разлете мелкораздробленного грунта.
Вторичный характер этих кратеров по отношению к кратеру
Коперник установлен в результате тщательного анализа связи их
с лучевой системой последнего и не вызывает сомнений. Далее

846
УДАР С ЁОЛЫПИМИ СКОРОСТЯМИ
[гл. XV
это распределение представлено в согласии с этой гипотезой в
виде
1 dN
N
ds
= f{R)^
(96.37)
где В = RIRq, Rq — внутренний радиус кратерного поля,
равный у Коперника 41 км^ N —- суммарное число вторичных
кратеров, иногда доходящее до тысячи (согласно Шумейкеру, для того
же Коперника N = 931).
Аналогичным образом была обработана фотография части
кратерного поля в окрестности Моря Нектара и Моря Облаков в
квадратах 18, 19, 24, 25 по атласу Уиттекера и др. Число
кратеров в окрестности Моря Нектара составило iV" = 115, в
окрестности Моря Облаков N = 400, средние радиусы этих
образований соответственно — 140 и 385 км. Изменялись расстояния от
центра симметрии до центральной точки данного кратера. Во
всех трех случаях эта зависимость обнаруживает четкую
периодичность стру^стуры кратерного поля в согласии с гипотезой о
многокаскадном характере процесса разлета осколков грунта,
взорванного при ударе.
Значения параметров тонкой структуры кратерных полей да
ны в таблице 3.
Таблица 3
Область
Коперник
Море Нектара
Море Облаков
^1
0,3
0,386
0,273
12
0,41
0,45
0,3
^3
0,242
0,172
0,176
^4
0,185
Каждое последующее значение ^^ вычислялось по координате
предыдущего максимума кривой распределения плотности
кратеров.
Данные таблицы 3 показывают, что во всех трех случаях
Si < ^2» ^^т^я последующие значения параметра |д и
уменьшаются в согласии с теорией. Такое расхождение наблюдаемых
расстояний между вторым и третьим максимумами кривой
распределения с выводами теории можно объяснить лишь различным
соотношением плотности грунта и осколков на соответствующих
расстояниях i?i и Ё^. Изменение соотношения плотностей в свою
очередь связано с ростом плотности грунта с глубиной и с
большей глубиной проникания при ударе осколков, имеющих большие
размеры. Осколки второго каскада, образующие кратеры на
расстоянии i?2(^?2 = 2,0 ~г- 2,2 для трех исследованных здесь кра-

§ 97] О ВЫБРОСЕ В КОСМИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 847
терных полей) проникают на меньшую глубину, где p{h)/d <, 1,
и поэтому, согласно (96.33), ^2 > ^i ^^ 0,30. Более крупные
осколки первого каскада проникают соответственно на большую
глубину, где p{h)/d я:::; 1, а изменение плотности грунта с глубиной
становится несущественным, так что ^^ :::^ 0,3.
§ 97. О возможности выброса взорванной среды
в космическое пространство
При ударе метеорита о небольшое небесное тело,
притягиваемое другим телом (Луну, малую планету, не говоря уже о
небольших астероидах) часть, а иногда и все выброшенное вещество
может приобрести скорость большую, чем предельная
параболическая, присущая данному телу, и улететь по гиперболической
траектории в космическое пространство.
Поскольку предельная параболическая скорость
uc. = ]/-^ -= /2^ (97.1)
где jF?q — расстояние от рассматриваемого малого тела до
притягивающего центра, то на основании формулы (94.14), условие
выброса в космическое пространство примет вид
^1= ::z -¦^>2gR,. (97.2)
2_ 2Е^^^ jh,
2nphl
Отсюда следует, что
соз^Ф > cos^oo = ingRo (l + -^) -^ . (97.3)
Для относительно больших тел, принимающих удар, к^<^Я (для
малых тел несущественна сила тяжести и разлетится вся масса)
и, поскольку Ао = Зт1?'в/4л;р^, будем иметь
1
cos фоо = Sin аосо > [-^^ ) ' . (97.4)
Отсюда следует, что на бесконечность улетает масса
2
M^ = ^9hW^.o=^[[-^y -1], (97.5)
причем Q/rigRo > 1.
Для Земли это неравенство не выполняется (имеет место
обратное соотношение, так как Ql^gRQ ^^ 1/20) и вся масса даще

848
УДАР С БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ
[ГЛ. XV
при отсутствии атмосферы осталась бы у Земли, исключая неболь
шое количество частиц, разлетаюш;ихся и во фронтальной об
ласти.
Для Луны Qfr\gRo ^=:::^ i,i ^ часть взорванного материала
улетает на бесконечность. Для малых планет относительное
количество улетающего на бесконечность вещества еще увеличивается.
Очевидно, что уже начиная с Луны при определении угла
раствора воронки практически можно не учитывать влияния силы
тяжести, поэтому полная выброшенная масса будет
М^
4Q
^^i-
-]
(97.6)
При условии QI'TigRo ^ А получаем отношения
л/о
8Q
M„
ngRo
-1
(^)
1
(97.7)
где Mq — масса метеорита.
При Qly]gRo > A получим Мое/Ми = 1.
(97.8)
Для Луны при ударе каменного метеорита Моо/Ми ^^ 1/10;
MJMoo = 10 (при Uq ;^ 40 км/сек). Для астероидов и более
мелких тел Мсо / Мп =-1, а для Марса Моо/Мп = 0,02. В. В. Федын-
ский и автор в 1947 г. показали, что поверхность Марса,
подвергающаяся метеоритным бомбардировкам, должна быть
похожей на поверхность Луны [43].
Рассмотрим теперь вопрос о возможном времени полного
разрушения относительно небольших космических тел под влиянием
метеорных ударов. Эта задача более приближенно
рассматривалась нами ранее.
Допустим, что площадь среднего сечения летящего в
космическом пространстве тела есть s, плотность метеорного вещества
есть рм, средняя скорость соударения, определяемая в общем
относительной скоростью движения тела, есть Uq] тогда э;^ементарная
масса метеорного вещества, встречаемая телом за время dt,
будет
фпф1 = s-puu^dt, (97.9)

9*7]
О ВЫБРОСЕ в КОСМИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
849
Изменение массы тела за время dt^ которое произойдет в
результате столкновений, взрывов и выброса взорванного вещества,
будет
2
dM„=-
8Q
м
dt.
(97.10)
Поскольку 5 = а*(Ма/р)'/% где Ма — масса тела, а* — фактор
формы тела, для шара, например, а* = C]/^я/4)'/% то
dMn
м:
а*лРм"о
8Qp
\1% Г
А \^
1
dt.
(97.11)
откуда, интегрируя, получим, что
Ма
Т а«^Рм"о^
М'а -
24QP
(97.12)
здесь Моо — начальная масса тела.
Тело полностью разрушится за время
1 2
24М,з р 3 Q
_1 2_
3 , *2
12Л/,,^ Р ' и,-
Для шара
-1
^ЛРм^о
16ЛорМ;^
^Рм^о
-1
в частности, принимая т) = 2,
8i?opM^^
Рм"о
(97.13)
(97.14)
(97.15)
Принимая в среднем для каменных тел Л = 16; W)c=2-10^ см/сек,
найдем, что
У_ згДор-Ю!» ^^Qu До Р (97 16)
Рм

850 ^ДАР с БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ [ГЛ. XV
Для тела радиусоМ Rq = 1 см при средней скорости удара щ =
= 4-10® см/сек
1,5.10"^-^ . (97.17)
юн
Принимая
найдем, что
р = 4 е/см^, Рм = 10"^^ e/cM^j
Т = 4^?^ ^ 6.10^3 сек = 2.10« лет,
т. е. каменное тело радиусом I см и массой 16 г разрушится за
время порядка миллиона лет.
Можно сделать важный космогонический вывод, что малые
тела как Солнечной системы, так и вообще малые тела,
находящиеся в пространстве, непрерывно разрушаются —
дезинтегрируют за счет взаимных столкновений.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Гурса Э., Курс математического анализа, т. III, ч. I, Гостехиздат,
1933.
2. Ландау Л., Лифшиц Е., Механика сплошных сред, Гостехиздат,
1944.
3. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая
гидромеханика, ч. II, Гостехиздат, 1943.
4. Христианович С. А., Некоторые новые вопросы механики
сплошной среды. Неустановившиеся движения в каналах и реках, Изд-во АН
СССР, 1938.
5. Христианович С. А., Обтекание тел газом при больших
дозвуковых скоростях, Труды ЦАГИ, вып. 4, 1940.
6. Михельсон В. А., О нормальной скорости воспламенения
гремучих газовых смесей, 1889.
7. Зельдович Я. В., Теория ударных волн и введение в газовую
динамику, Изд-во АН СССР, 1946.
8. Седов Л. И., О некоторых неустановившихся движениях сжимаемой
жидкости, Прикладная математика и механика, т. IX, вып. 4, 1945.
9. Зельдович Я. Б., О распределении давления и скорости в
продуктах детонации, ЖЭТФ, 9, 389, 1942.
10. Зельдович Я. Б., Теория горения и детонация газов, Изд-во АН
СССР, 1944.
И. Ландау Л. Д., Ударные волны на далеком расстоянии от места их
возникновения, Прикладная математика и механика, т. IX, вып. 4, 1945.
12. Ландау Л. Д., Станюкович К. П., Об изучении детонации
конденсированных ВВ, ДАН, 46, № 9, 1945.
13. Ландау Л. Д., Станюкович К. П., Определение скорости
истечения продуктов детонации некоторых газовых смесей, ДАН, 47, № 3,
1945.
14. Ландау Л. Д., Станюкович К. П., Определение скорости
продуктов детонации конденсированных ВВ, ДАН, 47, № 4, 1945.
15. Станюкович К. П., Автомодельные решения уравнений
гидромеханики, ДАН, 48, № 5, 1945.
16. Станюкович К. П., Применение частных решений, ДАН, 52, № 7,
1946.
17. Станюкович К. П., Об отражении фронта детонационной волны,
ДАН, 52, № 9, 1946.
18. Гриб А. А., О распространении плоской ударной волны, Прикладная
математика и механика, т. VIII, 1944.
19. Гриб А. А., О влиянии места инициирования на параметры ударной
волны, Прикладная математика и механика, т. VIII, вып. 4, 1944.
20. Кибель И. А., Франкль Ф. И., О прямолинейных движениях
газа, Бюлл. ЦАГИ, № 52, 1934.
21. Седов Л. И., Распространение сильных взрывных волн,
Прикладная математика и механика, т. IX, вып. 2, 1946»

852
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
22. Станюкович К. П., Двухстороннее истечение газа из
цилиндрического сосуда в трубу, ДАН, 58, № 2, 1947.
23. Зельдович Я. Б., Станюкович К. П., Об отражении плоской
детонационной волны, ДАН, 55, № 7, 1947.
24. Коtschine N., Sur la theorie des ondes de choc dans un fluide, Ren-
diconti del Circolo Nat. di Palermo, 50, 1926.
25. Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, Гостехиздат,
изд-во «Наука», изд. 4, 1957.
26. Станюкович К. П., К вопросу об угловом моменте количества
движения планет солнечной системы, ДАН, 61, № 2, 1948.
27. Бам-Зеликович Г.М., Распространение сильных взрывных волн,
сб. «Теоретическая гидромеханика», Оборонгиз, 1949.
28. Курант Г., Фридрихс К., Сверхзвуковое течение и ударные
волны, ИЛ, 1950.
29. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, изд. 2-е,
Гостехиздат, 1951.
30. Коул Р., Подводные взрывы, ИЛ, 1950.
31. Г. Биркгоф, Гидродинамика, ИЛ, 1954.
32. Станюкович К. П., Теория неустановившихся движений, Изд-во
Бюро новой техники, 1948.
33. Станюкович К. П., Элементы прикладной теории
неустановившихся движений газа, Оборонгиз, 1953.
34. Станюкович К. П., Газовая динамика неустановившихся
движений и теория детонации, Докторская диссертация, 1946.
35. Крашенинникова Н.Л., О неустановившемся движении
газа, вытесняемого поршнем, Изв. АН СССР, ОТН, № 8, 22—26, 1955.
36. Черный Г. Г., Задача о точечном взрыве, ДАН, 112, 213, 216, 1957.
37. Компанеец А. С., Точечный взрыв в неоднородной атмосфере,
ДАН, 130, № 5, 1001, 1960.
38. Имшенник B.C., Изотермический разлет газового облака, ДАН,
131, 1287, 1960.
39. Зельдович Я. Б., Компанеец А. С., Райзер Ю. П., Об
охлаждении воздуха облучением, I — Общая картина явления и слабая
волна охлаждения, ЖЭТФ, 34, вып. 5, 1278, 1958.
40. Зельдович Я. Б., Компанеец А. С., Райзер Ю. П., Об
охлаждении воздуха облучением, II — Сильная волна охлаждения,
ЖЭТФ 34, вып. 6, 1447, 1958.
41. Забабахин Е. И., Заполнение пузырьков в вязкой жидкости,
Прикладная математика и механика, т. XXIV, 1129, 1960.
42. Зельдович Я. Б., Движение газа под действием кратковременного
давления (удара), Акустический журнал, 1, 28, 1956.
43. Вторая конференция по кометной и метеорной астрономии, а)
Станюкович К. П., Об образовании метеоритных кратеров,
Астрономический журнал, т. XIV, № 3, 249, 1937.
б) Станюкович К. П., Федынский В. В., О разрушительном
действии метеоритных ударов, ДАН, 57, № 2, 1947.
в) Станюкович К. П., Элементы физической теории метеоров и кра-
терообразующих метеоритов, Метеоритика, № 7, 1950.
г) Станюкович К. П., Элементы теории удара твердых тел с
большими космическими скоростями, сб. «Искусственные спутники Земли»,
вып. 4, 86, 1960.
44. Станюкович К. П., Изв. АН СССР, ОТН, Механика и
машиностроение, № 5, 3, 1960.
45. Лаврентьев М. А., Искусственные спутники Земли, вып. 3, 61,
1959.
46. Компанеец А. С., Ударные волны в пластической уплотняющейся
среде, ДАН, 109, № 1, 1956.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
853
47. Зельдович Я. Б., Цилиндрические автомодельные акустические
волны, ЖЭТФ, 33, 700, 1957.
48. 3абабахин Е. И., Нечаев М. Н., Ударные волны поля и их
кумуляция, ЖЭТФ, 33, 442, 1957.
49. Андрианкин Э. И., Коган А. М., Компанеец А. С.,
Крайнов В. П., Распространение сильного взрыва в неоднородной
атмосфере, ПМТФ, № 6, 1962.
50. Райзер Ю.П., Распространение ударной волны в неоднородной
атмосфере в сторону меньшей плотности, ПМТФ, № 4, 49, 1964.
51. Л. И. Седов Методы подобия и размерности в механике. Изд. пятое,
«Наука» 1965.
52. Райзер Ю. П., ПМТФ, № 6, 19, 1963.
53. Коробейников В. П., Мельникова Н. С, Рязанов
Е. В., Теория точечного взрыва, Физматгиз, 1961.
54. Рахматуллин X. А., Шапиро Г. С., Распространение
возмущений в нелинейной упругой и неупругой среде, Изв. АН СССР, ОТН,
№ 2, 68, 1955.
55. Станюкович К. П., Джусупов К., Неустановившееся
течение газа в постоянном поле тяготения, ДАН, 177, № 4, 1967.
56. Бетехтин С. А., Виницкий А. М., Горохов М. С., Ста-
нюкович К. П. и Федотов И. Д., Газодинамические основы
внутренней баллистики, гл. V и VI, Оборонгиз, 1957.
57. Мухамеджанов А. К., Станюкович К. П., К теории
лунных кратеров. Космические исследования т. IV, вып. 3, 1966.
58. Станюкович К. П., Автомодельные, плоские и осесимметричные
установившиеся движения газа, ДАН, 64, № 1, 1949.
59. Домбровский Г. А., Приближенное интегрирование уравнений
одномерного неустановившегося движения газа, Изв. АН СССР,
Механика и машиностроение, № 6, 1963.
60. Горшкова И. Н., Станюкович К. П., Начальная стадия
двумерного неустановившегося течения газа, ДАН, 176, № 6, 1967.
61. Rimann, Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlichen
Schweinungsweite, 1860 (русский перевод: Pиман Б., Сочинения, Гос-
техиздат, 1948).
62. Hadamard J., Lecons sur la propagation des ondes, Hermann, Paris,
1903.
63. Earnshaw S., On the mathematical theory of sound, Transactions of
the Royal Society of London, 150, 133—148, 1860.
64. Rankine N. J., On the thermodynamic theory of waves of finite
longitudinal disturbance, Transaction of the Royal Society of London, 160,
277—288, 1870.
65. Hugoniot H., Sur la propagation du mouvement dans les corps
et specialement dans les gaz parfaits, Journal de l'Ecole polytechnique,
58, 1—125, 1889.
66. Becker R., Stosswelle und Detonation, Zeits. fur Physik , 8, 321—362,
1922.
67. Love A. F. H. and Pidduck F. В., Lagrange's ballistic problem,
Transactions of the Royal Society of London, 222, 167—226, 1922.
68. Сhandrasekhar S., On the decay of plane shock waves,
Ballistic Research Laboratories, Report No. 423, Aberdeen Proving Ground,
Maryland, 1943.
69. Сhandrasekhar S., The normal reflection of a blast wave,
Ballistic Research Laboratories, Report No. 439, Aberdeen Proving Ground,
Maryland, 1943.
70. Neumann J., Proposal and analysis of a new numerical method for
the treatment of hydrodynamical shock problems, National Defence Research
Committee, Applied Mathematics Panel Memo, 38, 7M, 1943.

854
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
71. Jouguet Е., Mechaniques des explosifs, О. Doin et Fils, Paris, 1917.
72. Jоuguet E., La theorie thermodynamique de la propagation des
explosions, Proceedings of the International Congress for Applied Mechanics,
12-22, 1926.
73. Chandrasekhar S., On the conditions for the existence of three
shock waves, Ballistic Research Laboratories, Report No. 367, Aberdeen
Proving Ground, Maryland, 1943.
74. Bechert K., Zur Theorie ebener Storungen in reibungsfreien Gasen,
Annalen-der Physik, 37, 89—123, 1940; 38, 1—25, 1940. См. также Annalen
der Physik, 39, 169—202, 357-372, 1941.
75. Taylor J. G., The formation of a blast wave by a very intense
explosion, Ministry of Home Security, R. G. 210 A15—153), 1941.
76. Taylor J. G., The propagation and decay of blast waves, British
Civilian Defence Research Commitee, 1944.
77. Taylor G. J., The air wave surrounding on expanding sphere,
Proceedings of the Royal Society (A), 186, 273—292, 1946.
78. W. D. Hayes, R. F. Probstin, Hypersonic flow Theory, Acad.
Press, New Jork and London 1959.

Кирилл Петрович Станюкович
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
М., 1971 г., 856 стр. с илл.
Редактор С. Н. Шустов
Техн. редактор Л. А. Пыжова
Корректор И. Я. Кришталь
Сдано в набор 7/х 1970 г. Подписано к
печати 5/Ш 1971 г. Бумага 60x90i/w. Физ. печ. л. 53,5.
Условн. печ. л. 53,5. Уч.-изд. л. 50.89
Тираж 6000 экз. Т-02232.
Цена книги 3 р. 26 к. Заказ № 1249
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
2-я типография издательства «Наука».
МоскЕа, Шубинский пер.. 10.