Л.И.Седов
МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. ТОМ 2
М.: Наука, 1970 г., 568 стр.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VIII. Гидромеханика 5
§ 1. Гидростатика 5
§ 2. Общая теория установившихся движений идеальных жидкости и газа. 20
Интеграл Бернулли
§ 3. Интеграл Бернулли для несжимаемой тяжелой жидкости 26
§ 4. Явление кавитации 32
§ 5. Интеграл Бернулли для адиабатических течений совершенного газа 36
§ 6. Влияние сжимаемости на форму трубок тока. Элементарная теория 44
сопла Лаваля
§ 7. Применение интегральных соотношений к конечным объемам 53
материальной среды при установившемся движении
§ 8. Взаимодействие жидкостей и газов с обтекаемыми телами при 63
установившемся движении
§ 9. Основные агрегаты гидродинамических и газовых машин 88
§ 10. Основные элементы теории реактивной тяги 122
§11. Потенциальные течения идеальной жидкости. Интеграл Коши 149
Лагранжа
§ 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости. Свойства 157
гармонических функций
§ 13. Задача о движении сферы в безграничном объеме идеальной 181
несжимаемой жидкости
§ 14. Кинематическая задача о движении твердого тела в неограниченном 187
объеме идеальной несжимаемой жидкости
§ 15. Энергия, количество движения, момент количества движения 192
жидкости при движении в ней твердого тела и основы теории
присоединенных масс
§ 16. Силы воздействия идеальной жидкости на тело, движущееся в 200
безграничной массе жидкости
§ 17. Движения газа с малыми возмущениями 210
§ 18. Распространение плоских волн конечной амплитуды (волны Римана) 220
§ 19. Движение шара внутри вязкой несжимаемой жидкости 228
§ 20. Движение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрических трубах 235
§ 21. Турбулентные движения жидкости 242
§ 22. Уравнения ламинарного пограничного слоя 253
§ 23. Пограничный слой при обтекании несжимаемой жидкостью плоской 258
пластинки. Задача Блязиуса
§ 24. Некоторые важные эффекты движения вязкой жидкости в 263
пограничном слое
§ 25. Определение поля скоростей по заданным вихрям и источникам 267
§ 26. Важные примеры вихревых полей 279

§ 27. Динамическая теория цилиндрических вихрей 295
§ 28. Движение системы непрерывно распределенных вихрей в идеальной 302
жидкости
§ 29. Диффузия вихрей в вязкой несжимаемой жидкости 305
Глава IX. Теория упругости 309
§ 1. Вводные замечания 309
§ 2. Модель упругого тела 311
§ 3. Задачи об одноосном растяжении упругого бруса 321
§ 4. Деформации и напряжения, возникающие в круглой трубе из упругого 332
материала под действием внутреннего и внешнего давлений (задача
Ламе)
§ 5. Постановка задач теории упругости. Уравнение Клапейрона. Теорема 341
единственности решения задач теории упругости. Принцип Сен-
Венана
§ 6. Задача об изгибе балки ЗЬО
§ 7. Кручение цилиндрических стержней 356
§ 8. Методы сопротивления материалов в задачах об изгибе балок 377
§ 9. Вариационные методы в теории упругости 388
§ 10. Упругие волны в изотропной среде 397
Глава X. Теория пластичности 410
§ 1. Некоторые эффекты, возникающие при деформировании твердых тел и 410
не описывающиеся в рамках модели упругого тела
§ 2. Остаточные деформации. Поверхность нагружения 421
§ 3. Основные определяющие соотношения в теории пластических тел 428
§ 4. Примеры моделей пластических тел 451
§ 5. Задача о кручении цилиндрического стержня из упруго-пластического 462
материала без упрочнения
Глава XI. Введение в теорию плоских задач теории упругости и теорию 481
трещин
§ 1. Плоские задачи теории упругости 4S1
§ 2. Концентрация напряжений 504
§ 3. Теория трещин 532
Литература 559
Предметный указатель 562
Предметный указатель
Аналогия задач о давлении жестких
прямоугольных штампов на
упругую полуплоскость и
нагруженной упругой
плоскости с прямолинейными
щелями 528
кручения пластического
стержня и равновесия сыпучей
среды (аналогия песчаная) 468,
471
упругого стержня и
вихревого течения идеальной
жидкости 374— 376
потенциального
течения идеальной жидкости
372,373

течения вязкой
жидкости 372
прогиба мембраны
(аналогия мембранная) 368—371, 471
— задачи кручения упруго-
пластического стержня
(аналогия песчано-мембран-
ная) 471^73
Атмосфера изотермическая 10
— однородная 10
— политропная 11
— стандартная 12
Балки 350, 355, 377-338
Вентилятор 103
Винт 35, 69, 80, 103, 144—149
Вихри, диффузия в вязкой жидкости
305
, плотность распределения 267
—, примеры движения 298
— присоединенные 299
— свободные 299
, система (пелена) 288
—, система, интегралы движения 297
—, сохраняемость в идеальной
жидкости 153, 296, 303—305
Вихрь круглый 293, 295
— прямолинейный 289
Водослив 27
Волна отраженная 213
— поперечная плоская 400
— прогрессивная 212, 404
— продольная плоская 400
— простая (волна Римана) 222, 224,
226
— сдвига вихревая пространственная
402
— сжатия 224
(расширения) безвихревая
пространственная 402
— ударная, искривленная, вихревое
движение за ней 25
Волны Римана центрированные
(автомодельные) 227
— Рэлея поверхностные 404, 408, 409
— упругие в изотропной среде 397
Гидростатика 5
Глиссирование 57, 287
Глубины проникания волн Рэлея 409
Давление гидростатическое 7, 15, 29
— динамическое 15, 29
— жесткого штампа на упругую
полуплоскость 525, 528, 529,
531
— импульсивное 154, 176, 286, 287
— полное (торможения) 28, 37
— торможения и расход топлива 127
—, связь с числом Маха (и
коэффициентом скорости) 41,
42
Двигатель воздушно-реактивный 130
прямоточный 137, 138
— ракетный 122, 130
— турбореактивный 141
Движение адиабатическое 21, 25, 36
— в идеальной несжимаемой
жидкости сферы 181
тела, кинематическая
задача 187,189,190
, динамическая
задача 200
— газа дозвуковое 40
сверхзвуковое 40
с малыми возмущениями 210
с плоскими волнами 211
со сферическими волнами 213
— жидкости несжимаемой в трубке
переменного поперечного
сечения 31
вязкой в трубе 235
— ламинарное 243
— потенциальное 150, 157
Депланация 478
Дефинитность квадратичной формы
свободной энергии 348
Деформации малые упругого тела,
совпадение лагранжевых
начальной и актуальной систем
координат 319

— начальные 310
— остаточные 412
— пластические 422
— полные 422
— упругие 422
Диаграмма всестороннего
растяжения (сжатия) 198
— одноосного растяжения-сжатия
411,
— чистого сдвига 414
Диполь точечный пространственный
158
Дислокации линейные 542
—, непрерывно распределенные по
объему 543
—, поверхности 542
Диффузор 94
— для сверхзвуковых скоростей 96
Дорожка вихрей 292
Единственность решения задач для
гармонических функций,
краевых внешних
внутренних 165
статической теории
упругости 348
задачи об определении поля
скоростей по вихрям и
источникам 269
Жесткость балки на изгиб 355
при кручении 360
Жидкость идеальная — пример
нелинейно-упругого тела 317
Задача Блязиуса 258
— Дирихле 155, 164
— краевая для гармонических
функций внешняя 165
внутренняя 165
смешанная 164
— Ламе 332
для составной трубы 338
— Неймана 164, 188
— о движении газа за поршнем,
выдвигаемым с постоянной
скоростью из трубы 228
сферы в безграничном
объеме идеальной несжимаемой
жидкости 181
— о разъединении двух гладких
прижатых друг к другу
полуплоскостей под действием
внешних сил 524
склеенных
полуплоскостей под действием
внешних сил 557
— об обтекании твердой сферы
потоком идеальной
несжимаемой жидкости 183
— равновесия балки на трех опорах
387
неразрезной на п опорах 388
— Стокса о движении шара в вязкой
несжимаемой жидкости 229
Задачи краевые в плоской задаче
теории упругости для функций
комплексного переменного 500
— статически неопределимые 386,
387
определимые 343, 384
теории пластичности,
примеры 461, 466
— теории упругости плоские, закон
Гука 483
определение 481
f перемещения 482
, уравнения Бельтрами—
Мичелла 483
типичные статические 341
Зависимости напряжений от
деформаций динамически
линейные и нелинейные 411
Закон Архимеда 13
— ассоциированный 428, 435, 446
—, — в случае поверхностей
нагружения с угловыми
точками 438
— Био—Савара 281
— Гука с учетом температурных
напряжений 320

— движения среды 309
— Паскаля 6
— сохранения энергии для конечного
тела с учетом возможности
разрывов 533— 537
— теплопроводности Фурье,
диссипативная функция 443
Законы определения пластических
деформаций, основное свойство
429^32
Запирание эжектора 120
Изгиб балки поперечной силой 377
на шарнирно-подвижной
и шарнирно-неподвижной
опорах 383
опоре, когда
второй конец ее жестко
закреплен 384
чистый 351
Изобары 7
Изостеры 7
Интеграл Бернулли 23, 26, 37, 66
, обобщение 66
— Коши—Лагранжа 150
в подвижной системе
координат 151
Интегралы движения системы вихрей
297
Источник (сток) точечный 214
, плотность распределения 267
Кавитация 32, 35, 163
Камера сгорания 98
— смешения 113
Количество движения бесконечной
массы
идеальной жидкости при движении в
ней конечного тела 192
Компрессор 102
Конвекция атмосферы 17
Консоль 378
Конус Маха 219
Конфузор 93 Концентрация
напряжений 504, 513, 528, 550,
551,555
Коэффициент восстановления
давления
в диффузоре 95, 100
— вязкости турбулентной 252
— давления 33
— интенсивности напряжений 519,
521 — 523
— линейного расширения 321
— нагрузки винта 145, 147, 148
— неравномерности потока 94
— полезного действия двигателя
идеальный 131, 147
полетный 131, 144, 148
пропульсивный 135, 140,
144, 148
термический 135, 140, 143
камеры смешения 117
компрессора адиабатический
106
турбины адиабатический 112
— Пуассона 321
— расхода 97, 147
— скорости 40
— сопротивления трения 241, 262
, способы его уменьшения
245
— тяги 94, 135
— эжекции 116
Коэффициенты присоединенных
масс 194
для тел вращения 196
с плоскостями
симметрии 196
Кривизна изогнутой балки при
изгибе 354
Кризис тепловой в камере сгорания
102
Кручение упругого стержня 356, 375
круглого поперечного
сечения 360
с концентрической
полостью 363
полого 363

эллиптического поперечного
сечения 365, 395
— упруго-пластического стержня 462
круглого поперечного
сечения 479
Крьшо конечного размаха, вихревая
система 288
Линии равного уровня 468
Манометры 8
Масса жидкости бесконечная при
движении в ней конечного
твердого тела как механическая
система 201, 203
— шара присоединенная 187
Мембрана 368, 370
Метод Бубнова 395
— конформных отображений
решения плоских задач теории
упругости 500—502
, физические
компоненты вектора
перемещений 503
, тензора
напряжений 503
— Ритца392, 393
— Сен-Венана полуобратный 357
решения частных задач о
кручении стержней 364
Методы сопротивления материалов
377
— теории упругости вариационные
388
Модель линейно-упругого тела 319
Модели сред идеальных жестко-
пластических 414
упруго-пластических 414
пластических с «памятью» 415
с упрочнением 415
Модуль Юнга 321
Момент гидродинамических сил,
действующих на тело 64, 200,
203, 205
— изгибающий 351, 378
— количества движения бесконечной
массы идеальной жидкости при
движении в ней конечного тела
192
— крутящий 351, 470
, критическое значение 472
, предельное значение 472
Мультиполь 159
Нагревание тел в потоке газа 42
Нагружение активное 426
— нейтральное 427
— пропорциональное 433
Нагрузка 411
— погонная 379
Наклеп 412
Направления главные движения тела
в жидкости 195
Напряжения вблизи концов щели,
асимптотические формулы 518,
520
— внутренние, пример конструкции
418
— касательные максимальные 361,
454, 506
— начальные в составной трубе 339
— турбулентные 251
Насадок Борда 60
Насадки Брикса-Корта 146
Насос 102
— водоструйный 31
— поршневый 9
Нить вихревая 279, 289
, потенциал индуцируемых
скоростей 281—284
Обратимость процессов теории
упругости 311
Определение перемещений по
деформациям 325
— поля скоростей по вихрям и
источникам 267—278
Опрокидывание римановской волны
сжатия 224
Опыт Рейнольдса 242
Осреднение течений в каналах 88

— характеристик турбулентного
движения 247
Ось балки нейтральная 381
Отображения конформные, их
применение в плоской задаче
теории упругости 500
Отрыв пограничного слоя 264—267
Очко (сопло простое) 47
Парадокс Даламбера 73, 75,133,185,
206
— Дюбуа 71
— Жуковского 15
Параметры Ламе 320
— состояния упругого тела 311
— торможения 28, 37, 125, 127
— упрочнения 425, 436, 439
Перемещения вблизи концов
щели, асимптотические
формулы 518, 520
— в волнах Рэлея 408, 409
задаче о кручении упруго-
пластического стержня 473
Перепад давления в трубе 237
Переход ламинарного пограничного
слоя в турбулентный 265
режима течения в трубе в
турбулентный 243—245
Плоскость с вырезом круговым,
растяжение всестороннее 504
, — одноосное 507
эллиптическим, растяжение
всестороннее 509
, —одноосное 511
— с прямолинейной щелью под
действием расклинивающих сил
523
, , — и одноосного
сжатия 555
, растяжение всестороннее
521
, — одноосное 522
— с трещиной под действием
расклинивающих напряжений,
распределенных на ее берегах
552
,
постоянном участке берегов 553
сосредоточенных
сил 554
, одноосное растяжение 552
Плотность торможения (см.
Давление)
Площадка текучести 412
Площадки максимальных
касательных напряжений 452
Поверхность вихревая, разрыв
касательных скоростей 285
— контрольная 54
— нагружения 423, 427, 434
гладкая 434
с угловыми точками 436
— равного ската 467
— разрыва возмущений слабого 220
касательных скоростей 285
перемещений 542, 543
плотности 6
— текучести 423
Мизеса458
Треска 455
— характеристическая 220
Поле скоростей, определение по
заданным вихрям и источникам
267
Ползучесть 418
Помпаж 102
Постановка задач теории упругости в
напряжениях 343
перемещениях 342
Постоянная аддитивная для
внутренней энергии 534
Потенциал векторный 275
— вихревой нити прямолинейной
289
— двойного слоя 160
— запаздывающий 216

— магнитного листка,
геометрическая интерпретация
282
— напряжений 316
— объемного распределения
источников 159
— простого слоя 160
— системы вихревых нитей 284, 291,
292
— скоростей, динамическая
интерпретация 155
системы особенностей в
полупространстве,
ограниченном плоской стенкой
179
Потери в скачках уплотнения 78
— в сопле 127
— кинетической энергии газов при
смешении 118
Поток энергии в особых точках,
совпадающих с краями трещин
538
Предел пропорциональности 411
— прочности 412
— текучести 412
— упругости 412
— усталости (выносливости) 420
Преобразование инверсии
относительно сферы 179
Приближение Стокса уравнений
движения вязкой жидкости 229
Принцип вариационный для упругих
тел в равновесии 391
— минимума работы напряжений на
пластических деформациях 434
— Онзагера, обобщение на
нелинейные связи 443
— относительности Галилея—
Ньютона 71, 209
— Сен-Венана 328, 332, 349
Приток, энергии dq ** в сложных
моделях упругих тел 313,314
к выделенному контрольной
поверхностью объему жидкости
64
к среде внешний, возможные
трактовки 68
Пропеллер идеальный 144
Пространство напряжений 423
Процесс адиабатический 398
— баротропный 150
— изэнтропический 398
— нагружения полный 438
— небаротропный, пример
вычисления функции давления
21
— пластического деформирования,
равновесность, необратимость
446
— развития трещины неустойчивый
551
устойчивый 551
Процессы деформирования упругих
тел, обратимость 311
Прочность материалов, связь с
внутренней энергией сцепления
536
Пульсации характеристик
турбулентного течения 246,
248, 249
Работа гидродинамических сил,
действующих на подвижную
решетку 87
— напряжений на приращениях
деформаций пластических 433
упругих 433
Равенство Гриффитса в теории
трещин 540
Равновесие в поле сил тяжести
жидкостей и газов 7
однородной
несжимаемой жидкости 7
совершенного газа 9
— жидкости относительное, примеры
18
Разгрузка 411, 426

Развитие трещины в плоскости со
щелью под действием
возрастающих
расклинивающих сил и
одноосного сжатия на
бесконечности 554
Разложение потенциала течения
несжимаемой жидкости в ряд
по сферическим функциям
168—172
Разрушение квазихрупкое 533
— хрупкое 533
Распространение возмущений малых
в упругих телах 397
от источника, движущегося с
постоянными дозвуковой и
сверхзвуковой скоростями
217—219
— плоской упругой волны в
изотропной среде 399
— сигналов в дозвуковом потоке 217
сверхзвуковом потоке 220
Растяжение бруса простое
(одноосноеK21
в случае жестко заделанного
торца 328
под действием собственного
веса 328
Расход жидкости 44, 168
при движении в круглой трубе
— источника объемный 214
— критический сопла Лаваля 48
— топлива удельный весовой 129
Режим работы сопла
нерасчетный 52, 124
расчетный 50, 124
Релаксация напряжений 418
Решение бигармонического
уравнения 494,
— волнового уравнения с волнами
плоскими, общее 211
сферическими, общее
213,214
— уравнения Лапласа,
фундаментальное 157
Пуассона 270
Решетка профилей 81
Свойства осреднения характеристик
турбулентного движения 248
— симметрии гармонических
функций 175, 177
Свойство пластичности 412, 413, 423
Связь между давлением и
плотностью, при которой волна
Римана не опрокидывается 226
политропная 11
пластическими деформациями
и напряжениями, отсутствие
однозначности 416, 429
Сжимаемость, влияние на
зависимость давления и
плотности от скорости 42
—, форму трубок тока 44
Сила Архимеда 13, 30, 76
—, вынуждающая несвободный
вихрь двигаться
предназначенным образом 301
— гидродинамическая, действующая
на контрольную поверхность 64
Сила гидродинамическая,
действующая на поверхность
тока 75
, решетку профилей 82
, тело в идеальной
жидкости 200, 202
, вращения в идеальной
жидкости 205
, со стороны вязкой
жидкости (приближение
Стокса) 229
—, действующая на поверхность со
стороны покоящейся жидкости
12
— перерезывающая 378
— подъемная гидродинамическая 13,
73, 85, 300
— растягивающая 379

— реакции жидкости, текущей в
трубе 68
— сопротивления при непрерывном
обтекании тел 73
при обтекании тел газом со
скачками уплотнения 79
жидкостью со срывом
струй 76
трения 74
— тяги 79
ракетного двигателя 123
Силы гидродинамические,
действующие на тело в
идеальной жидкости на глубине
208
, при наличии
массовых сил 208
, при
обтекании ускоренным потоком
209
— сцепления внутренние
микроскопические 535
Система вихревых нитей 284, 291,
292
— уравнений идеально
пластического тела,
подчиняющегося условию
пластичности Мизеса,
замкнутая 460, 461
упругого тела замкнутая 316
при адиабатических
процессах 398
Скачок уплотнения 79, 225
Скорость в реактивной струе 128, 136
— звука 39, 212, 220
максимальная 39
местная 39
—, играющая роль скорости звука 45
— истечения из сосуда газа 41
несжимаемой жидкости 26
— критическая 39
— максимальная при
установившемся движении 38,
39
— потенциальных течении
несжимаемой жидкости,
максимальность значений на
границе 162
— производства энтропии за счет
необратимости, связанной с
градиентом температуры и
пластическим
деформированием 443
— распространения малых
возмущений в газе 212
в упругих телах 400
поверхностных волн Рэлея 405,
407
постоянных значений
плотности 223
Слой пограничный 253
ламинарный на пластинке 254,
258
на искривленной
поверхности 257, 258, 263, 264
при движении газа 266
турбулентный 265, 266
Соотношения интегральные для
установившихся движений
жидкости 53
— статической теории трещин 540
Сопло Лаваля 47, 93
с регулируемым горлом 52
Сопло Лаваля расчетное,
максимальность тяги 124
— простое (очко) 47
Сопротивление индуктивное 289
— сферы при движении в идеальной
жидкости с переменной
скоростью 186
в вязкой жидкости 235
— трения 265
Состояние начальное 309, 342
— «начальное» 309
— плоское деформированное 485
как пример статически
определимой задачи
пластичности 461

напряженное 486
как пример статически
определимой задачи
пластичности 461
обобщенное 488
Среда идеально-пластическая 424
— упрочняющаяся 424
Стабилизатор в камере сгорания 102
Степень сжатия в ВРД общая 136,
137
в компрессоре 104
Стратосфера 12
Суперпозиция решений в задаче о
теле со щелью 515
в линейной теории упругости
345
Существование поверхностных волн
Рэлея 404
— функций нагружения и
ассоциированного закона 446
Схема струйного обтекания с
возвратной струйкой 78
Текстура 318
Тело анизотропное 318
— изотропное 318
— упругое однородное 312
Температура торможения (см.
Давление)
продуктов горения 125
Тензор деформаций 309
— диссипации энергии 441
— напряжений, свойства компонент
при постоянных объемных
силах и температуре 344
Тензоры деформаций пластических
421
полных 422
упругих 421
Теорема Ампера 282
— Гельмгольца о сохранении
вихревых линий 304
трубок 304
— Жуковского о подъемной силе
крыла 85, 300
профиля в решетке 84
— Клапейрона 347, 348
— Лагранжа 153
— Мориса Леви 494
— о среднем гармонических
функций 161
— Томсона 288, 296
Теории геометрически линейные
упругих тел 311
— пластичности деформационные
429, 432
, основные задачи при
построении 414
Теория идеального пропеллера 144
— трещин 532
Теплоемкость при постоянных
деформациях 398
Теплосодержание 36
— полное 64' м-
и постоянная в интеграле
Бернулли 36, 37
, сохранение при переходе через
скачок 24
Теплота реакции 125
Течение жидкости в трубке
переменного поперечного
сечения 31
— материала 415
Течения идеальных жидкости и газа
при наличии баротропии,
постановки задач 155
— сверхзвуковые и дозвуковые
Толщина вытеснения 263
— пограничного слоя 258, 262 40
Топлива, применяемые и
перспективные
Точка отрыва пограничного слоя 264
— тела центральная 195
Тропосфера 12
Трубы аэродинамические 93, 103
— кавитационные 35
Трубка вихревая 279
— Пито—Прандтля 27
Трубки тока 44

Турбина 107
Тяга двигателя 123, 127
— удельная 126, 128
Угол дрейфа 206
— закручивания 358, 359
— Маха 220
Удар плавающего тела 175,178
— по свободной поверхности воды
286
— струи о плоскую стенку 55
Упрочнение материала 412
Уравнение бигармоническое 344, 492
— вариационное для упругих тел в
равновесии 390
— волновое 157,210
неоднородное 402
— второго закона термодинамики в
теории пластичности 440
— Гельмгольца 303
— диффузии вихрей 305
— для производства энтропии в
теории пластичности с учетом
теплопроводности 443
— изогнутой оси балки 354
дифференциальное 383
— импульсов (количества движения)
при установившемся движении
жидкости 53
— Лапласа 155
— моментов (моментов количества
движения) при установившемся
движении жидкости 54
— поверхности нагружения для
упрочняющихся материалов
425
текучести для идеально-
пластических материалов 425
Мизеса 457
Треска 452
— принципа возможных
перемещений в теории
упругости 347
— притока тепла в теории
пластичности 440
— прогиба мембраны постоянного
натяжения 370
— Пуассона 160, 270, 366
векторное 276
— Рэлея для скорости
поверхностных волн 406
— сохранения массы при
установившемся движении
жидкости 53
— теории трещин основное 539
— теплопроводности 305
— энергии (первый закон
термодинамикиM4
в случае развития внутренних
разрывов при хрупком
разрушении 537
Уравнение энергии вдоль линии тока
67
для тела с трещиной в рамках
модели упругого тела 538
Уравнения Бельтрами—Мичелла 343
— волновые в двумерной задаче
теории упругости 403
— движения в форме Громеки—
Лемба 20
— Ламе с учетом температурных
напряжений 343
— ламинарного пограничного слоя
(уравнения Прандтля) 256
— модели упругого тела основные
312
— равновесия жидкостей и газов 5
упругого тела в напряжениях
343
— Рейнольдса для турбулентного
движения жидкости 251
— совместности деформаций 324,
343
— состояния упругого тела 314, 315
материала несжимаемого
315,316
Условие минимума свободной
энергии в состоянии равновесия
391

— на перемещения в плоском
напряженном состоянии 487
— на плотность внешних сил в
гидростатике 6
— пластичности для изотропного
идеально-пластического тела
465
Мизеса 457, 458
Треска 452
— прилипания 232, 253
— развития трещин 550
— теплового равновесия среды 11
Условия в бесконечности при
движении конечного тела в
неограниченном объеме
идеальной несжимаемой
жидкости 165, 201
в трубе 69
—, граничные в линейной теории
упругости, выполнения на
недеформированной
поверхности 342
—, — на свободной поверхности
упругого полупространства 403,
404
—, — для функции Эри 492
—, — для функций комплексного
переменного в плоской задаче
теории упругости 499, 504
— для напряжений на поверхности
дислокаций 543
— для исключения перемещений
упругого тела как твердого при
определении перемещений по
деформациям, возможные 327
— для определения постоянных
интегрирования в граничных
условиях для функции Эри 499
— Коши—Римана 364
— критические для внешних
нагрузок, действующих на тело
со щелью 551
— на внешние силы в плоской задаче
теории упругости 484
— на прямых скачках 66
Усталость материала 419, 420
Устойчивость ламинарного течения
245
— равновесия несжимаемой
жидкости 16
плавающих тел 18
политропной атмосферы 17
упругой системы 346
Формула барометрическая 10
— Гурса 494
— для количества движения
жидкости при движении в ней
твердого тела, удобная для
вычисления коэффициентов
присоединенных масс 197
Формула для притока энергии в
случае развивающейся
поверхностной дислокации 548
трещины 547
при образовании
разрывов 547
— Ирвина 549
— Сен-Венана—Венцеля 41
— Стокса281
— Торичелли 27
— Эйлера для момента сил,
действующих на лопатки
турбины 112
Формулы Грина 164
— Колосова 497
— Сен-Венана 357, 474
Форсаж 143
Функция гармоническая 155, 161
как сумма потенциалов
простого и двойного слоя 166
— Грина 167
в задаче Дирихле для сферы
180
для полупространства,
ограниченного плоскостью 178
— давления 20
, пример вычисления для
небаротропного процесса 21

— диссипации, вычисление с
помощью ассоциированного
закона 444
для модели пластической среды
по Мизесу 445
— кручения 359, 475
— нагружения 425
— напряжений 366, 463
Эри 490, 497
— текучести 425
Функции гармонические, условия
симметрии 173, 177
— нагружения 446
— сферические 172
Характеристики состояния
пластических тел физические
422
Характеристики средние потока
совершенного газа 90
Циркуляция скорости 83
Число кавитации 34
— Маха 40
— Рейнольдса критическое 243
— Эйлера 146
Шлепок по свободной поверхности
жидкости 286, 287
Штамп жесткий, давление на
упругую полуплоскость 525
прямоугольный, давление на
упругую полуплоскость 528
со слабоискривленным
профилем 529, 531
Щель под действием касательной
антисимметричной нагрузки
519
нормальной симметричной
нагрузки 516
Эжектор 113
Энергия кинетическая несжимаемой
жидкости при потенциальном
движении 164, 173, 192
— на разрыв 534
, плотность 537,555,558
— свободная единицы объема
упругого тела 320, 347
— сил сцепления 535
— поверхностная, плотность 536, 537
Энтальпия (см. Теплосодержание)
Эпюры изгибающих моментов 381
Эффект Баушингера 413
— Допплера218
Ядро упругое 469, 477

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VIII. Гидромеханика 5
§ 1. Гидростатика 5
§ 2. Общая теория установившихся движений идеальных жид-
кости и газа. Интеграл Бернулли 20
§ 3. Интеграл Бернулли для несжимаемой тяжелой жидкости . 26
§ 4. Явление кавитации 32
§ 5. Интеграл Бернулли для адиабатических течений совершен-
ного газа 36
§ 6. Влияние сжимаемости на форму трубок тока. Элементарная
теория сопла Лаваля 44
§ 7. Применение интегральных соотношений к конечным объемам
материальной среды при установившемся движении ... 53
§ 8. Взаимодействие жидкостей и газов с обтекаемыми телами
при установившемся движении 63
§ 9. Основные агрегаты гидродинамических и газовых машин . . 88
§ 10. Основные элементы теории реактивной тяги 122
§ 11. Потенциальные течения идеальной жидкости. Интеграл
Коши — Лагранжа 149
§ 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости. Свойства
гармонических функций 157
§ 13. Задача о движении сферы в безграничном объеме идеальной
несжимаемой жидкости 181
§ 14. Кинематическая задача о движении твердого тела в неограни-
ченном объеме идеальной несжимаемой жидкости .... 187
§ 15. Энергия, количество движения, момент количества движе-
ния жидкости при движении в ней твердого тела и основы
теории присоединенных масс 192
§ 16. Силы воздействия идеальной жидкости на тело, движущееся
в безграничной массе жидкости 200
§ 17. Движения газа с малыми возмущениями 210
§ 18. Распространение плоских волн конечной амплитуды (волны
Римана) 220
§ 19. Движение шара внутри вязкой несжимаемой жидкости . . 228
§ 20. Движение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндриче-
ских трубах 235
§ 21. Турбулентные движения жидкости 242
§ 22. Уравнения ламинарного пограничного слоя 253
§ 23. Пограничный слой при обтекании несжимаемой жидкостью
плоской пластинки. Задача Блязиуса 258
§ 24. Некоторые важные эффекты движения вязкой жидкости
в пограничном слое 263
§ 25. Определение поля скоростей по заданным вихрям и источ-
никам 267
§ 26. Важные примеры вихревых полей 279
§ 27. Динамическая теория цилиндрических вихрей 295
§ 28. Движение системы непрерывно распределенных вихрей в иде-
альной жидкости 302
§ 29. Диффузия вихрей в вязкой несжимаемой жидкости . . . 305

Оглавление
Глава IX. Теория упругости 309
§ 1. Вводные замечания 309
§ 2. Модель упругого тела 311
§ 3. Задачи об одноосном растяжении упругого бруса 321
§ 4. Деформации и напряжения, возникающие в круглой трубе
из упругого материала под действием внутреннего и внешнего
давлений (задача Ламе) 332
§ 5. Постановка задач теории упругости. Уравнение Клапейрона.
Теорема единственности решения задач теории упругости.
Принцип Сен-Венана 341
§ 6. Задача об изгибе балки 350
§ 7. Кручение цилиндрических стержней 356
§ 8. Методы сопротивления материалов в задачах об изгибе
балок 377
§ 9. Вариационные методы в теории упругости 388
§ 10. Упругие волны в изотропной среде 397
Глава X. Теория пластичности 410
§ 1. Некоторые эффекты, возникающие при деформировании
твердых тел и не описывающиеся в рамках модели упругого
тела 410
§ 2. Остаточные деформации. Поверхность нагружения .... 421
§ 3. Основные определяющие соотношения в теории пластических
тел 423
§ 4. Примеры моделей пластических тел 451
§ 5. Задача о кручении цилиндрического стержня из упруго-
пластического материала без упрочнения 462
Глава XI. Введение в теорию плоских задач теории упругости и тео-
рию трещин 481
§ 1. Плоские задачи теории упругости 431
§ 2. Концентрация напряжений 504
§ 3. Теория трещин 532
Литература 559
Предметный указатель 562

ГЛАВА VIII
ГИДРОМЕХАНИКА
§ 1. Гидростатика
Рассмотрим некоторые разделы гидростатики, т. е. теории
равновесия жидкостей и газов относительно выбранной системы
координат х).
Результаты и методы гидростатики имеют большое значение
для многих практически важных задач. В гидростатике рас-
сматриваются задачи о равновесии воды в океанах и воздуха в
атмосфере; задачи о силах, действующих со стороны жидкости
на плавающие корабли, подводные лодки и аэростаты; задачи
об устойчивости судов, плавающих на поверхности воды, и
множество других задач.
При равновесии (v = 0) из уравнения не-
Уравнения равновесия с * ч а ;я/ а ^
v разрывности получаем dp/at = и. Это оз-
начает, что в принятой системе отсчета поле плотности стаци-
онарно, т. е. р = р (х, у, г).
Легко видеть, что в случае равновесия уравнения Эйлера и
Навье — Стокса приводятся к одному и тому же уравнению
grad p = pF A.1)
или в декартовых координатах
~дх~
A.2)
IE
dz
Fx, Fv, Fz обозначены проекции плотности внешних
массовых сил (в общем случае включающие в себя плотность
сил инерции) на оси координат.
Если Fх = Fy = Fz = 0, т. е. внешние массовые силы отсут-
ствуют, то grad р = 0 и, следовательно, давление р во всех
г) Обычно и ниже рассматривается равновесие относительно инер-
циальной или неинерциальной декартовой системы координат. Иначе
говоря, равновесие относительно некоторого абсолютно твердого тела.

Гл. VIII. Гидромеханика
точках газа или жидкости одинаково. Этот вывод носит на-
звание закона Паскаля.
Из уравнения A.1) следует, что векторное
«»лплотность поле плотности массовых сил F при равно-
весии не может быть произвольным. В об-
щем случае для сжимаемой жидкости, когда плотность р явля-
ется определяемой величиной, из A.1) вытекает, что
1 1
rot F = grad — X grad p = р grad — X F, A.3)
так как для любых вектора а и скаляра с справедлива формула
rot са = с rot a -\- grad с х о,.
Отсюда следует, что
F ¦ rot F = 0. A.4)
Соотношение A.4) является необходимым условием для поля
сил F(х, у, z), при котором возможно равновесие.
Можно показать, что для заданного поля сил F, удовлетво-
ряющего условию A.4), можно определить два скалярных по-
ля: поле плотности р (х, у, z) и поле давления р (х, у, г), так,
чтобы уравнения A.2) удовлетворялись.
Если плотность р = const (жидкость несжимаема и однород-
на), то rot F = 0 и силы должны обладать потенциалом %, т. е.
F = grad %. Поэтому однородная несжимаемая жидкость мо-
жет находиться в равновесии только в потенциальном поле
внешних массовых сил.
В общем случае для сжимаемой среды, если поле сил потен-
циально, из A.1) получим
dp = pdU. A.5)
Отсюда вытекает, что при равновесии в потенциальном поле сил
плотность и давление являются функциями только %. Дей-
ствительно, по A.5) при % = const имеем р = const, т. е.
р = р (%)г но dp/d'U = р и, следовательно, р = р (%).
Из общей теории разрывов *) следует, что в покоящейся
жидкости возможны только поверхности разрыва плотности, а
давление должно быть непрерывным. Из непрерывности давле-
ния и потенциала % получим, что соотношение A.5) при
Pj ф р2 может удовлетворяться вдоль поверхности разрыва толь-
ко при d% — dp = 0, т. е. в покоящейся жидкости поверх-
ности разрыва плотности должны быть эквипотенциальными
поверхностями % = const.
») См. § 4 гл. vij т. 1.

§ 1. Гидростатики
Равновесие в поле сил Рассмотрим равновесие жидкостей и газов
тяжести в доле сил тяжести. Выберем систему
координат, у которой ось z направлена вертикально вверх.
Тогда Fx — Fv = О, FZ = —g, % = — gz -f const и p = p(z),
p = p (z). Таким образом, при действии только сил тяжести
в покоящихся жидкостях и газах поверхности постоянного
давления (изобары) и постоянной плотности (изостеры) явля-
ются горизонтальными плоскостями. Из уравнения состояния
/ (р, р, Т) = 0 получается, что температура в тяжелой покоя-
щейся жидкости также зависит только от координаты z,
Т = Т (z).
По (l.5)dp/dz = —pg< 0 и, следовательно, давление с уве-
личением высоты падает. Из уравнения A.5) для разности дав-
лений на двух уровнях z и z0 получаем
dz, A.6)
где у = pg — удельный вес жидкости. Следовательно, разница
в давлениях в двух точках, расположенных на разных высотах
2
zm z0, равна интегралу \ Tdz, т. е. весу столба жидкости с пло-
щадью основания, равной 1, и высотой, равной z — z0. Этот
вывод не зависит от вида области, в которой находится жидкость
или газ, и физических свойств жидкостей и газов.
Рассмотрим отдельно случай однородной
Равновесие однородной несжимаемой жидкости и случай совер-
несжимаемои жидкости н j r
в поле сил тяжести шенного газа.
Пусть жидкость однородная и несжимае-
мая, т. е. р = const. Из A.6) получим
Р = Ро - Pg{z — z0), A.7)
т. е. давление в покоящейся однородной несжимаемой жидкости
убывает с высотой по линейному закону.
Если в A.7) положить z0 = 0, т. е. принять, что р0 есть дав-
ление в плоскости z = 0, то
Р = Ро — pgz = Ро + pgh, A.8)
где h — глубина относительно плоскости 2 = 0. С помощью
формулы A.7) или A.8) можно рассчитать давление на дно со-
суда, заполненного жидкостью. Величина этого давления за-
висит только от глубины жидкости.
Если взять сосуды различной формы (рис. 1) и налить в них
одинаковую жидкость, то давление на одинаковой глубине

Гл. VIII. Гидромеханика
в сосудах будет одинаковым. В частности, при одинаковой глу-
бине горизонтального дна давление на него во всех сосудах
(независимо от их формы) будет одинаковым.
Если площади дна сосудов одинаковы, то и силы, действую-
щие со стороны жидкости на дно сосудов, одинаковы. Чашки
У
1.
Рис. 1. Гидростатическое давление на дно сосуда
определяется высотой жидкости h и одинаково
как в сосуде А, так и в сосуде В.
весов на рис. 2 будут находиться в равновесии, так как они яв-
ляются поршнями, воспринимающими одинаковые усилия,
хотя вес расположенной над ними жидкости различен. (Сило-
вым взаимодействием между стенками сосудов и весов и, в
У/МУЛ
Рис. 2. На поршни I ш II действуют одинаковые
силы.
частности, трением при этом пренебрегается.) Если же сосуды
I ж II просто поставить на чашки весов, то они воспримут веса
сосудов и различные веса жидкости.
На основе законов гидростатики построены манометры —
приборы для измерения давлений; они часто представляют со-
бой сообщающиеся сосуды, в которых находится покоящаяся

§ 1. Гидростатика
жидкость: ртуть, вода, спирт. На одно колено манометра по-
дается измеряемое давление, а на второе — противодавление,
с которым хотят сравнить измеряемое давление. Разность уров-
ней в сосудах определяет разность переданных давлений.
Рассмотрим поршневой насос. Пусть в на-
Поршневой насос J r
г чальныи момент поршень касается по-
верхности воды (рис. 3, а). Если переместить поршень вверх, то
вода последует за ним (рис. 3, б). Однако, поднимая поршень,
г
с) б) В)
Рис. 3. Поршневой насос.
мы заметим, что в некоторый момент вода оторвется от него.
Между поверхностью воды в трубе и поршнем образуется по-
лость (рис. 3, б), давление в которой будет равно нулю или
малому давлению pd насыщенных паров воды при данной тем-
пературе х). Воду таким путем можно поднять только на неко-
торую высоту kmax.
Положив в A.8) р0 = раш и р = 0, получим hmax = ——,
Если рат =10 000 кГ/ж2, р = 102 кГсекЧм* и g = 9,8 м/сек*
ТО Umax — Ю М.
Рассмотрим теперь равновесие совер-
шейН0Г0 га3а в °оле -л тяжести. Име-
ем уравнения dp = —pg dz и р — рНГ.
Из них легко получим
RT{z)
х) Опыты показывают, что в воде вообще могут существовать отри-
цательные давления (р < 0), соответствующие растяжению, однако в те-
чение длительных промежутков времени ограниченные отрицательные
давления могут существовать только в воде, не содержащей растворенных
газов и примесей твердых частиц.

id Гл. VIII. Гидромеханика
ИЛИ
Эта формула носит название барометрической формулы. Зная
зависимость Т (z) температуры от высоты, с помощью формулы
A.9) можно найти изменение с высотой давления.
Если условно принять, что р = const (однородная атмосфе-
ра), то р и Т согласно уравнениям равновесия будут линейными
функциями z и согласно A.7) найдется такая высота h, на кото-
рой р = 0. Высота воздушной атмосферы, если считать воздух
несжимаемой жидкостью, оказывается конечной,
pg
Если считать, что атмосфера находится в изотермичес-
ком равновесии (Т = const), то из барометрической форму-
лы A.9) следует экспоненциальный закон убывания давления
с высотой
_р _ _
Ра
Высота изотермической атмосферы получается бесконечной.
В ограниченном диапазоне высот (до 11 км) в соответствии с
опытом принимают, что температура с высотой в атмосфере
убывает по линейному закону
где То (= 288° К = 15° С) — абсолютная температура при
z = 0, а А — величина, на которую убывает температура при
подъеме на 100 м. В ряде практических вопросов можно для
действительной атмосферы принять, что А = 0,65° и что z = 0
соответствует уровню моря. В этом случае из A.10) имеем
Высота атмосферы получается конечной: р = 0 при
100-288
k -
fli
0,65
Поэтому очевидно, что допущение A.10) неприемлемо для всей
атмосферы.

§ 1. Гидростатика 11
Установим связь между плотностью р и давлением р для
такой атмосферы. Из A.11) согласно A.10) получим, что
Р _ I T \81)Я/НЛ
~р7~\То 1
а из уравнения Клапейрона
Р ^ Р Т
Ро Ро То '
поэтому
р / р \Й100/(Ш#-ДД)
То" ~ 1~р7/
или
р = Срп, С = const, n =
Такая связь между давлением и плотностью называется поли-
тпропной, но в этом случае необходимо иметь в виду, что раз-
личные плотности и давления, связанные политропой, относят-
ся к различным частицам. В гл. V были рассмотрены политроп-
ные процессы, в которых имелась аналогичная связь между
плотностью и давлением для одной и той же частицы.
При Д = 0,65° и Rig = 29,27 м/град получается, что
п — 1,2. Если п = у — 1,4, т. е. показатель политропы совпа-
дает с показателем адиабаты, то А = 0,98° С ~ 1° С.
Условие теплового равновесия среды получается из уравне-
ния притока тепла, которое при v = 0 и при учете только тепло-
проводности (см. G.17) гл. V т. 1) имеет вид
~^-^Т. A.12)
В действительности, кроме теплопроводности, распределение
температуры по высоте в атмосфере зависит от явлений излу-
чения и конвекции. В нашем случае U = су Т -\- const и
Т = T(z), поэтому-д- — 0 и из A.12) получаем, что
5 = о. а-12')
Закон A.10) линейной зависимости температуры от высоты
удовлетворяет условию A.12').
Строение действительной атмосферы связано со сложными
и вообще переменными во времени (за счет солнечного и земно-
го излучения) механизмами теплообмена и переменностью
"состава атмосферы (например, за счет диссоциации и ионизации
от солнечного излучения). Состав атмосферы и распределение

12 Гл. VIII. Гидромеханика
температуры в атмосфере постоянно изучаются с помощью
воздушных шаров-зондов, самолетов, искусственных спутни-
ков Земли и другими методами.
В технических расчетах обычно используют «стандартную
атмосферу). В первом приближении на практике принимают,
что до высоты в 11 к.и температура убывает с высотой по закону
A.10) с Д = 0,65°. Этот слой атмосферы называется тропосфе-
рой. Выше тропосферы расположена стратосфера, в которой
принимают, что Т = const = — 56° С. Для многих практических
задач эта модель стандартной атмосферы неудовлетворитель-
на, требуется обращаться к уточненным данным, которых мы
не будем здесь касаться.
Данные о стандартной атмосфере имеют большое значение
в авиации. Изменение характеристик набегающего воздуш-
ного потока с высотой полета весьма существенно. Имитация
высотных полетов в земных условиях проводится с помощью
данных о стандартной атмосфере.
Перейдем теперь к вычислению сил, дей-
Суммарные сила и момент, ствующих со стороны покоящихся жид-
действующие со стороны костей или газов на помещенные в них
рГпГо^нУ^иТее! тве?Дые тела Главный вектор А и глав-
Закон Архимеда ныи момент ш сил, действующих со сто-
роны покоящейся как идеальной, так и
вязкой жидкости на какую-либо часть граничной поверхно-
сти тела Е или на поверхность Е, выделенную внутри жидко-
сти мысленно, определяются формулами:
А = \ pnda = — \ pnda,
s s
3R = [ (г х pn)da = — [ р(г х n)da. A.14)
i i
Рассмотрим твердое тело объема V, ограниченное поверх-
ностью 2, которое полностью погружено в покоящуюся жид-
кость (рис. 4).
Найдем полную силу A.13), действующую на это тело со
стороны покоящейся жидкости или газа. Для этого воспользу-
емся следующим соображением: очевидно, что равновесие ок-
ружающей тело жидкости не нарушится (а значит, и сила А
не изменится), если мысленно или в действительности заменить
объем твердого тела объемом покоящейся жидкости с рас-
пределениями плотности и давления, удовлетворяющими урав-
нениям равновесий. Проделав мысленно эту замену, воспользуем-
ся для вычисления силы А формулой Гаусса — Остроградского.

§ 1. Гидростатика
13
Так как п = cos (п, х) г -f- cos (n, y)j -f cos (n, z) к, то
A = — \ pnda = ~ {gr&dpdx = — \ pFdr.
a v $
Если jP — сила тяжести и ось z направлена вертикально вверх,
то F = —g& и
= \ pgkdx — — 6г,
Рис. 4. К выводу закона Архимеда.
где 6? — вес жидкости, заключенной в объеме V.
Мы получили закон Архимеда: на тело, погруженное в
покоящуюся тяжелую жидкость, со стороны жидкости дейст-
вует подъемная сила, равная — — - - -
весу жидкости или газа, вытес-
ненных телом. Сила, действую-
щая со стороны жидкости на
тело, направлена вертикально
вверх и стремится вытолкнуть
его из жидкости. Она называет-
ся гидростатической подъемной
силой, или силой Архимеда.
Можно сказать, что за счет дей-
ствия силы Архимеда погружен-
ное в жидкость тело теряет в
своем весе столько, сколько ве-
сит вытесненная им жидкость.
Гидростатическая подъемная сила возникает за счет неравно-
мерного распределения давления в жидкости, давление в тя-
желой жидкости возрастает с глубиной.
Покажем теперь, что линия действия силы Архимеда А
проходит через центр тяжести массы вытесненной жидкости.
Действительно, система поверхностных сил, приложенных на
поверхности 2, уравновешивается системой сил веса частиц
среды внутри объема V. Поэтому совокупность системы сил,
действующих на поверхности тела 2, можно свести к одной силе,
равной общему весу и приложенной в центре тяжести мысленно
введенной внутрь поверхности 2 массы жидкости с распреде-
лениями плотности и давления, удовлетворяющими уравнениям
равновесия.
Таким образом, если погруженное в жидкость или газ тело
можно считать твердым, то эффект взаимодействия тела с поко-
ящейся жидкостью можно свести к силе Архимеда, прило-
женной в центре тяжести вытесненной телом массы жидкости

14 Гл. VIII. Гидромеханика
или газа. Если жидкость однородна, то центр тяжести
вытесненной массы совпадает с центром тяжести вытесненного
объема. В- этом случае для тела, полностью погруженного в
жидкость, точка приложения силы Архимеда, отмеченная в
теле, не зависит от ориентации тела. В общем случае для тел,
погруженных в среду с неоднородной плотностью, сила Архи-
меда и ее линия действия зависят существенно от положения
тела в жидкости и от его ориентации.
Если сила Архимеда меньше веса тела, то тело, погруженное
в жидкость и предоставленное само себе, тонет; если сила Ар-
химеда больше веса, то всплывает. В рамках квазистатического
рассмотрения тело всплывает до тех пор, пока его вес по срав-
няется с гидростатической подъемной силой.
Для тел, плавающих на поверхности воды, гидростатиче-
ская подъемная сила также равняется силе Архимеда. Действи-
тельно, для вычисления этой силы можно ввести замкнутую
поверхность 2, состоящую из смоченной поверхности тела и
площади сечения объема тела горизонтальной плоскостью я,
совпадающей с уровнем покоящейся жидкости. На поверхнос-
ти этого сечения тела давление следует считать постоянным и
равным р0 — давлению на свободной поверхности жидкости.
На практике при расчете гидростатических сил, действую-
щих на корабли, изменениями гидростатического давления воз-
духа в различных частях корабля можно пренебрегать и считать
это давление постоянным и равным р0 — атмосферному давле-
нию. Очевидно, что при вычислении интеграла A.13) по полной
поверхности тела мы получим силу Архимеда для части тела,
погруженной в воду и ограниченной сечением тела плоско-
стью я.
Для тела, погруженного в жидкость только частично, поло-
жение линии действия силы Архимеда относительно тела су-
щественно зависит от ориентации тела.
Наличие гидростатической подъемной силы широко исполь-
зуется в технике. Эта сила поддерживает суда, плавающие на
поверхности воды, удерживает подводные лодки на нужной
глубине, удерживает в воздухе аэростаты и дирижабли и т. д.
На основе закона Архимеда построены приборы для измерения
плотности жидкости — ареометры, измерители жирности мо-
лока — лактометры, концентрации спирта — спиртометры
и т. п.
Существенным моментом в выводе закона Архимеда является
предположение о замкнутости поверхности 2 соприкосновения
тела с жидкостью. Если поверхность не замкнута, то закон Ар-
химеда не имеет места. Например, если некоторое тело А пог-
рузить в воду так, что оно со всех сторон будет окружено водой
(рис. 5), то на него будет действовать выталкивающая сила; но

§ 1. Гидростатика
15
если то же тело опустить на дно, то подъемная сила исчезнет и,
наоборот, появится сила, которая будет прижимать тело ко
дну. С этим • явлением связаны случаи, когда подводные
лодки ложились на дно океана, теряли плавучесть и не могли
всплыть.
Рассмотрим еще парадокс Жуковского, суть которого заклю-
чается в следующем. Если в стенке сосуда с жидкостью помес-
тить цилиндр (рис. 6), который может вращаться без трения
Рис. 5. На тело А действует подъемная
сила Архимеда, на тело В действует си-
ла, прижимающая его ко дну, если
доступ жидкости под тело невозможен.
Рис. 6. К парадоксу
Жуковского.
вокруг своей оси, то, казалось бы, должна возникнуть подъем-
ная сила, действующая на часть цилиндра, находящуюся в
воде, и под действием этой силы цилиндр должен начать вра-
щаться. Однако этого не происходит, так как равнодействую-
щая сил, действующих со стороны воды на цилиндр, проходит
не через центр объема вытесненной жидкости, а через ось ци-
линдра, ибо давление в каждой точке поверхности цилиндра
направлено по нормали к ней.
С помощью формул для распределения гидростатического
давления, например A.7) или A.9), легко рассчитать суммарные
силы и моменты, действующие за счет гидростатических дав-
лений на любые поверхности или их части, находящиеся в
контакте с покоящейся жидкостью, например, на стенки со-
судов, на плотины, на различного рода аппараты, находящиеся
в воздухе и в воде, и т. п. Подчеркнем, что здесь речь идет о
силах, действующих на тела, погруженные в жидкость, только
за счет гидростатических давлений, тогда как общая сила, дей-
ствующая на поверхность тела при движении жидкости, может
зависеть и определяться не только гидростатическим давле-
нием, которое, как будет показано ниже, в общем случае
является только частью суммарного давления.

16
Гл. VIII. Гидромеханика
в поле сил тяжести
Устойчивость равновесия Рассмотрим теперь устойчивость равно-
весия несжимаемой жидкости. Если, на-
пример, в сосуде имеются слой воды и
слой ртути, то с точки зрения уравнений
равновесия тяжелой жидкости равно возможны оба состоя-
ния равновесия, изображенные на рис. 7. Но будут ли оба
эти состояния устойчивыми?
Равновесие называется устойчивым, если после произволь-
ного малого перемещения система стремится возвратиться в
прежнее состояние равновесия, неустойчивым, если найдется
Рис. 7. Примеры неустойчивого (а) и устой-
чивого (б) равновесия несжимаемой жидкости.
такое малое перемещение (возмущенное состояние) всей систе-
мы или ее части, после которого система стремится еще более
удалиться от положения равновесия, и безразличным, если в
системе можно произвести любое малое перемещение, не нару-
шая равновесия.
Для того чтобы для жидкости установить необходимые
условия устойчивости равновесия, можно мысленно перемес-
тить некоторое количество жидкости и посмотреть, что затем
будет происходить с этой частью жидкости под действием сил,
которые на нее будут действовать после сообщенного ей пере-
мещения. В указанном выше примере вода — ртуть состояние
равновесия, изображенное на рис. 7, а, будет, очевидно, не-
устойчивым, так как частица ртути, смещенная в слой воды,
в силу того, что действующая на нее архимедова сила будет мень-
ше действующей на нее силы тяжести, начнет опускаться вниз.
Наоборот, равновесие, изображенное на рис. 7, б, будет ус-
тойчивым.
Очевидно, что необходимое условие устойчивости (или без-
различности) состояния равновесия несжимаемой жидкости
Э поде сил тяжести заключается в том, что плотность среды додж-

§ 1. Гидростатика 17
на увеличиваться с глубиной (или оставаться постоянной),
т. е. др/dz ^ 0.
Для газа вопрос устойчивости состояния равновесия реша-
ется несколько сложнее, так как частица газа, смещенная из
слоя с одним давлением в слой с другим давлением, изменя-
ет свою плотность.
Рассмотрим устойчивость равновесия политропной атмосфе-
ры, в которой Pi/p2 = (Рз/Рг)™» считая, что частица воздуха
с плотностью р15 при перемещении
из слоя 1 в слой 2 (рис. 8), испы-
тывает адиабатическое сжатие или
расширение, т. е.
/f'PfZ/
pi \ pi
Через pi мы обозначили плотность
частицы воздуха А после переме-
щения ее в слой 2. Очевидно, что
для устойчивости равновесия не- Рис. 8. К устойчивости равно-
обходимо, чтобы pi< р2, так как весия политропной атмосферы.
в этом случае сила Архимеда
будет больше силы тяжести; при рх ^> р2 равновесие неустой-
чиво; при pi = p2 оно может быть безразличным. Так как
91 У Pi \ Pi
то для устойчивости равновесия должно быть п < у, равнове-
сие неустойчиво при п ^> у и может быть безразличным при
п = у. Как указывалось выше, адиабатическому (п = у)
расслоению атмосферы соответствует падение температуры
Д х 1° С на каждые 100 м высоты. Поэтому, так как
п =
100g— ДА '
получим, что при устойчивом равновесии Д < 1° С, равновесие
неустойчиво, если Д > 1° С, и может быть безразличным при
Д ж 1° С.
Конвекция в атмосфере часто является следствием неустой-
чивости, возникающей при прогревании нижних слоев воздуха.
Одной из важных задач гидростатики яв-
06 устойчивости равно- ляется исследование устойчивости равно-
весия плавающих тел J r
^^ весия тел, плавающих на поверхности воды.
Для качественного объяснения сути дела обратим внимание
на то, что плавающее на поверхности воды тело А (например,
деревянный брусок) (рис. 9) опрокинется при малом откло-

18
Гл. VIII. Гидромеханика
нении его от вертикального положения, этот же брусок в
положении В, наоборот, вернется в прежнее положение.
Теория устойчивости равновесия плавающих тел, называемая
«теорией остойчивости», имеет очень важное практическое зна-
чение для кораблей (с ее помощью рассматриваются вопросы
Рнс. 9. Равновесие плавающего тела В ус-
тойчиво, а тела А неустойчиво.
непотопляемости кораблей, их качки на волне). Теория остой-
чивости — хорошо развитая изящная геометрическая теория х),
которую мы здесь не будем рассматривать.
Рассмотрим еще равновесие тяжелой не-
Равновесие жидкости сжимаемой жидкости относительно вра-
относительно подвижных „ г
систем координат щающеися с постоянной угловой скоростью
со системы координат. Пусть мы имеем
сосуд, который вращается вокруг вертикальной оси z с постоян-
ной угловой скоростью to (рис. 10). Определим форму свободной
поверхности налитой в сосуд жидкости при условии, что она
находится в покое по отношению к сосуду. В правую часть
уравнений равновесия A.2) в этом случае, помимо силы тяжести,
следует ввести центробежную силу инерции. Уравнения отно-
сительного равновесия имеют вид
др_
дх
др
dz
= —ps-
Легко видеть, что их общее решение представится формулой
Р = С — pgz -f ¦
> + y2.
Для точки г = 0, z =
р = р0, поэтому
z0 на свободной поверхности имеем
С =
Pgz
J) См., например, П. А п п е л ь, Руководство теоретической (ра-
циональной) механики, т. III, Москва, 1911; Д. Н. К р ы л о Качка
корабля, Изд-вр АЦ СССР, 1951.

§ 1. Гидростатика
19
Р = Ро + Pg (ZO — 2) +
Уравнение свободной поверхности жидкости, на которой
р = р0, имеет вид
Z — Zn =
т. е. свободная поверхность представляет
собой параболоид вращения. Аналогичную
форму будут иметь и все другие изобари-
ческие поверхности. Вектор grad p нап-
равлен по нормали к соответствующим
параболоидам, как указано на рис. 10.
В фиксированной системе координат по-
стоянная z0 для жидкости в сосуде опреде-
ляется через объем жидкости, налитой в со-
суд. Если в жидкость поместить взвешенные
частицы разной плотности, то в результа-
те вращения более легкие частицы, имею-
щие плотность, меньшую плотности жид-
кости, под действием силы Архимеда, об- ™ п сосуде, вращаю-
условленной силой тяжести и центробеж-
ной силой, поднимутся вверх и соберутся
вблизи оси вращения, а более плотные, чем жидкость,—
опустятся вниз и расположатся у стенок сосуда.
В случае равновесия тяжелой жидкости в цистерне, двигаю-
щейся поступательно с постоянным ускорением а (рис. 11),
Рис. 10. Равновесие
несжимаемой жидкое-
9
Рис. И. Равновесие жидкости в цистерне,
двигающейся с постоянным ускорением.
уровень свободной поверхности жидкости получится наклонен-
ным к горизонту под углом ф = arctg (alg). Направления сум-
марных массовых сил (силы тяжести и силы инерции),. дейст-
вующих на каждую частицу жидкости, будут составлять, пос-
тоянный угол ф с вертикалью.

20 Гл. VIII. Гидромеханика
§ 2. Общая теория установившихся движений
идеальных жидкости и газа. Интеграл Бернулли
Перейдем к изучению движения идеальных сред. Установим
важное конечное соотношение — первый интеграл уравнений
движения идеальной жидкости или газа в случае установив-
шихся движений. Для этого возьмем уравнения движения Эй-
лера в форме Громеки — Лемба
¦|!l+grad-f H-2©X«=--igradp+li\ B.1)
Так как движение установившееся, то
dv -
Кроме этого примем, что внешние массовые силы обладают по-
тенциалом F = grad %.
~ Рассмотрим в потоке жидкости некоторую
Функция давления г ,? ^J
произвольную линию X и введем вдоль
нее направление отсчета длины I, начиная от некоторой точки
О. Заданием I будут фиксироваться точки на линии X. Через
dl обозначим элемент касательной к линии X в произвольной
точке М (рис. 12).
Проектируя уравнение B.1) на направление касательной к
X в произвольной точке М с учетом сделанных предположений,
получим
, 1 dp Ъ%1 „ . . ... оч
Вдоль данной линии X плотность и давление являются
функциями длины дуги I. Эти функции различны для разных
линий X, т. е.
р = р (I, X) и р = рA, X).
Очевидно, что вдоль данной линии X. плотность р можно
считать функцией давления:
Р = Р (Р, *),
и можно всегда ввести функцию давления 5s
$> = $>{р,?) = ^ р(^} , А = const B.2')
Pi

§ 2. Интеграл Бернулли 21
так, что
р dl ~ 61 '
причем это равенство и определенная по B.2') функция З5 (р, X)
имеют место только для данной линии X. Очевидно, что функция
давления определена только с точностью до аддитивной постоян-
ной, которая связана с выбором рх и может зависеть от X. За-
метим, что в случае баротропных процессов, если извест-
на зависимость р = р (р), так введен-
ная функция давления 9й легко вычис-
ляется и не зависит от линии X, если
Рх не зависит от X.
Например, для однородной несжи-
маемой жидкости
& = Р /р + const.
Для изотермических процессов в со- „ ,„
вершенном газе, когда р = р I (RT), Рте-Д
9 = RT lnp +const.
Важным примером небаротропного процесса, при котором
функция 53 (р, X) легко вычисляется вдоль неизвестной зара-
нее линии тока X, может служить случай адиабатических об-
ратимых течений совершенного газа, когда dq^ = Tds — 0, и
поэтому энтропия s в каждой фиксированной частице сохраня-
ется постоянной, s = const. Однако у различных частиц энт-
ропия может быть различной, и процесс тогда не будет баро-
тропным. Так как движение установившееся, то все частицы,
движущиеся вдоль одной и той же линии тока, будут иметь оди-
наковую энтропию.
В самом деле, при установившемся движении линии тока и
траектории совпадают, и если бы вдоль одной линии тока дви-
гались частицы с разной энтропией, то, проходя через фик-
сированную геометрическую точку линии тока, они создавали
бы изменение энтропии со временем в этой точке пространства,
т. е. движение не было бы установившимся. На разных лини-
ях тока энтропия может быть различной.
Уравнение состояния совершенного газа можно представить
в виде (см. § 5 гл. V т. 1):
Так как в рассматриваемом случае энтропия s вдоль линии
тока постоянна, то, вычисляя функцию давления 5s для

22 Гл. VIII. Гидромеханика
какой-нибудь линии тока, получим
+ const. B.3)
Используя уравнение состояния, можно представить SP (p, X)
в виде
виде
&(РСО
'• const-
В формуле B.3) зависимость функции давления от линии
тока проявляется через значения двух параметров — постоян-
ной для каждой линии тока энтропии s и постоянной интегри-
рования. Подчеркнем, что формулы B.3) и B.3') для функции
давления 9й (р, X) справедливы только вдоль линии тока.
„ „ Введя функцию давления 3* (р, X),
Интеграл Бернулли вдоль '^ ,.-, о\
линии тока и вихревой уравнение B.2) можно записать в виде
линии
4г [4 + ® (Р> ff) - ^'] = - 2 (ю X v)t. B.3")
Пусть теперь X есть линия тока. В этом случае стоя-
щая справа в B.3") проекция векторного произведения (to X v)i
обратится в нуль, так как вектор о> X v перпендикулярен к
линии тока.
Аналогичный результат получится, если X будет вихревой
линией.
В общем случае функции 3* (р, X) на линии тока и на
вихревой линии различны.
Таким образом, вдоль линий тока и вихревых линий имеем
= 0, B.4)
т. е.
Подчеркнем, что стоящая справа постоянная ?*, вообще го-
воря, различна для разных линий тока и вихревых линий: i*
зависит от X. Эта зависимость i* от X связана не только с тем,
что в случае небаротропных процессов SP зависит от X, но и с
тем, что постоянная интегрирования выражения B.4) вдоль

§ 2. Интеграл Бернуллп 23
разных линий может быть разной и в том случае, когда функция
SP не зависит от линии тока *).
В тех случаях, когда функция давления .9s известна, соот-
ношение B.5) является первым интегралом уравнений движе-
ния идеальной жидкости и называется интегралом Бернулли.
Этот интеграл имеет фундаментальное значение в теории движе-
ния идеальных жидкостей и газов и является основой во многих
практических расчетах.
Если функция давления &{р) и значение постоянной i*
вдоль данной линии тока или вихревой линии известны, то,
пользуясь интегралом Бернулли, можно в любой точке линии
тока или вихревой линии, зная скорость, найти давление, или
наоборот. Для определения постоянной i* в интеграле Бернул-
ли достаточно знать значения характеристик движения жидкос-
ти, входящих в левую часть интеграла Бернулли, только в од-
ной точке на линии тока или на вихревой линии.
При наличии баротропии постоянная ин-
Случаи, когда постоянная теграла Бернулли одинакова для части
интеграла Бернулли 1 „ * J
не зависит от линии или всеи массы жидкости и не зависит от
линии тока или вихревой линии, если век-
торное произведение (ч X v в этой массе жидкости равно нулю.
Это может быть в трех случаях; либо когда v= О (гидро-
статика), либо когда to = 0 (движение потенциально), либо
когда вектор вихря о> коллинеарен вектору скорости v.
Последний случай не может иметь место при движении твер-
дого тела и плоскопараллельных движениях2) жидкости, в кото-
рых о> ортогонально V. Многообразие возможных движений жид-
ких сред гораздо богаче многообразия возможных движений
твердых тел; для деформируемых тел случай, когда to парал-
лельное, может иметь место. Например, если непрерывное поле
скоростей задается формулами:
и х х
~~ — — Sin -- СОЗ — ,
V I V , z\ . X /с, р\
Уо \ а ' a J а
w I у . z\ х
-=- = — И COS — ,
Уо { а ' а ) а '
J) Аддитивную постоянную, входящую в определение функции дав-
ления {Р, удобно включать в постоянную интегрирования г*.
2) Как показано в конце этого параграфа, плоскопараллельные дви-
жения сжимаемой жидкости при наличии баротропии, если ?* = const,
являются потенциальными; при отсутствии баротропии из равенства
i* = const не следует, что движение потенциально.

24
Гл. VIII. Гидромеханика
где Vo и а — постоянные, то легко проверить, что <й = -^v, сле-
довательно, в поле скоростей B.6) линии тока совпадают с
вихревыми линиями.
Очевидно, что в трех перечисленных выше случаях для оп-
ределения постоянной в интеграле Бернулли достаточно знать
входящие в левую часть интеграла характеристики движения
жидкости только в одной произ-
вольной точке жидкости.
Отметим еще, что постоянная i*
в интеграле Бернулли одна и та
же на таких линиях тока, которые
начинаются или проходят через
область, где все характеристики
движения одинаковы. Так, напри-
мер, если из большого сосуда, за-
полненного идеальной жидкостью
или газом, через небольшое отвер-
стие вытекает струя, обтекающая
некоторое тело (рис. 13), то постоян-
ные i* интеграла Бернулли на
различных линиях тока будут оди-
наковыми.
В задаче об адиабатическом обтекании тел газом, когда па-
раметры в набегающем потоке в бесконечности одинаковы, ве-
личина i* (определенная для семейства линий тока) постоянна
во всем потоке даже при наличии в потоке скачков уплотнения.
Действительно, если согласно B.3') для адиабатических
движений газа положить
Рис. 13. Постоянные в инте-
грале Бернулли одинаковы
на различных линиях тока.
то из условий на неподвижных скачках в случае совершенного
газа (см. F.4) § 6 гл. VII) легко получим, что вдоль линии тока
пересекающей поверхность .разрыва, величина
у* , т . р
2 + т-1 Р
остается непрерывной, поэтому постоянная i* с обеих сторон
скачка одинакова, тогда как энтропия, функция давления
SF> (s, p) и скорость частицы терпят разрыв. Таким образом,
наличие в потоке совершенного газа скачков уплотнения не
меняет значение постоянной i* интеграла Бернулли вдоль ли-
нии тока, но меняет энтропию на линиях тока, пересекающих
скачок.

§ 2. Интеграл Бернулли 25
В этом случае при различных значениях энтропии на раз-
ных линиях тока в потоке газа нет баротропии.
тт - di'
Иаидем полную производную ~щ- в любом направлении для
величины i*, определенной формулой B.5) для линий тока при
отсутствии баротропии. Определим функцию 91 (р, X) как функ-
цию давления на некотором семействе линий.
Из формулы B.5) при дифференцировании в любом направ-
лении I следует равенство
p=Const
В случае адиабатических движений определим 3* (р, s) на
семействе линий тока, тогда можно написать
/ д?Р \ _ д?_ ds_ g
ds dl ' V • /
где s —• энтропия, которая может принимать различные зна-
чения на разных линиях тока. Этот член равен нулю при диф-
ференцировании вдоль линии тока, но, вообще говоря, отли-
чен от нуля при дифференцировании в направлениях, не каса-
тельных к линиям тока.
Если i* = const в рассматриваемой области потока, то в этом
случае из B.7) и B.8) следует
B.9)
т. е. при dsldl =f= 0 поток обязательно вихревой. Таким образом,
если однородный поступательный поток пересекает искривлен-
ную ударную волну, то скачки энтропии на различных линиях
тока получаются разными, поэтому вообще dsldl =/= 0 и, следо-
вательно, за искривленной ударной волной обязательно обра-
зуется вихревое поле скоростей.
Если движение непрерывно и на всех линиях тока величина
i* и энтропия одинаковы, то с учетом B.8) из равенства B.7),
примененного к любым направлениям I, найдем, что
g>X«> = 0. B.10)
Отсюда вытекает, что в этом случае либо движение потенциаль-
но, либо линии тока совпадают с линиями вихря. Если движение
плоскопараллельно, то из B.10) следует, что движение потен-
циально.

26
Гл. VIII. Гидромеханика
§ 3. Интеграл Бернулли для несжимаемой
тяжелой жидкости
Рассмотрим некоторые приложения интеграла Бернулли.
Пусть мы имеем однородную несжимаемую жидкость, дви-
жущуюся в поле сил тяжести. Направив ось z вертикально
вверх, получим % = — gz, и интеграл Бернулли примет вид
C.1)
Выбрав на линии тока точку с координатой zv можно определить
постоянную i* интеграла Бернулли по значениям параметров
рх и vx в этой точке:
+ f+** =
C.2)
Скорость истечения
несжимаемой жидкости
из сосуда
Определим скорость истечения несжимае-
мой жидкости из сосуда (рис. 14). При
истечении жидкости из сосуда уровень
жидкости понижается и движение явля-
ется неустановившимся, но если предположить, что сосуд дос-
таточно велик, а отверстие мало, то движение в течение не очень
Ратм
Рис. 14. Истечение жидкости из сосуда.
большого промежутка времени можно приближенно считать
установившимся.
Возьмем некоторую линию тока и напишем для точек вдоль
нее интеграл Бернулли. Все линии тока начинаются, очевидно,
на свободной поверхности жидкости в сосуде, где р = pt и
vx^: 0. На свободной поверхности вытекающей струи р = ра™-
Будем приближенно считать, что на выходе из сосуда давле-
ние внутри струи всюду равно ратм, а скорость равна v.

§ 3. Интеграл Вернул ли для несжимаемой жидкости
27'
Тогда
откуда (см. рис. 14)
2 (pi -,
2gh.
C.3)
Если давление на свободной поверхности жидкости в сосуде
равняется атмосферному, то
Y C.4)
v =
Как известно, такую же скорость получает материальная точка,
падающая с высоты h свободно или при наличии идеальных свя-
зей, когда силы реакции связей не совершают работы. Формула
C.4) носит название формулы Торичелли.
R Определим теперь скорость на свобод-
одослив но1„ поверхности жидкости, перетекаю-
щей через вертикальную стенку (рис. 15).
Предположим, что объем водоема очень велик, и можно счи-
тать, что уровень жидкости далеко от водослива практически
Поверхность
сдобаШй струи
Рис. 15. Водослив.
не меняется и равен zx. Движение можно считать установившимся.
Свободная поверхность жидкости является поверхностью
тока, на которой давление равно атмосферному ратм, а скорость
в точках водоема, далеких от стенки водослива, равна нулю.
Из интеграла Бернулли следует, что
где v — скорость в произвольной точке А на свободной поверх-
ности жидкости с координатой z. Следовательно,
у = Y2gh, где h — zx — z.

28
Гл. VIII. Гидромеханика
Трубка Пито — Прандтля Скорость течения жидкости измеряют
обычно с помощью трубки Пито —
Прандтля, схема которой изображена на рис. 16.
Трубка Пито — Прандтля представляет собой тонкое вы-
тянутое цилиндрическое тело со скругленной передней частью.
При такой форме трубка слабо искажает распределение скоростей
в потоке. Для измерения скорости трубку Пито — Прандтля
помещают в жидкость и располагают ее вдоль потока. На теле
трубки Пито — Прандтля имеются отверстия, через которые
по каналам, расположенным внутри тела трубки, жидкость
может поступать в два колена манометра. Одно из отверстий
расположено в передней точке трубки Пито — Прандтля
(точка 1). Другое — на ее цилиндрической части, на достаточ-
ном удалении от первого, (точка 2) так, чтобы искажение поля
щ
Рис. 16. Схема трубки Пито — Прандтля.
скоростей за счет обтекания скругленного конца трубки Пито —
Прандтля можно было не учитывать при рассмотрении тече-
ния вблизи второго отверстия. При обтекании трубки потоком
жидкости передняя точка 1 будет критической точкой, в ней
скорость v будет равна нулю, а давление р — р± = р*- Давле-
ние в критической точке иногда называют полным давлением
или давлением торможения. В точке 2 скорость и давление при-
ближенно равны скорости и давлению в набегающем потоке при
отсутствии в нем трубки, v2 = vn р2 = р.
Применив интеграл Бернулли к точкам 1 ж 2, лежащим,
очевидно, на одной линии тока, будем иметь
где zx и z2 — вертикальные координаты точек 1 и 2, Прене-

§ 3. Интеграл Бернулли для несжимаемой жидкости 29
брегая членом g (z2 — zx) ввиду малой толщины трубки,
получим
Разность давлений рх — р2 равна, очевидно, удельному весу
жидкости, используемой в манометре у = pxg, умноженному
на разность Ah высот уровней жидкости в вертикальных коле-
нах манометра, поэтому, если рг = р, то
v = Y2gk~h.
В рассмотренных выше примерах (истечение жидкости
из сосуда, водослив, трубка Пито — Прандтля) интеграл Бер-
нулли использовался для определения скоростей по имею-
щимся сведениям о давлениях.
Рассмотрим теперь вопрос о зависимости
Динамическое и гидро- давления от скорости вдоль линии тока.
статическое давления vy ^ rt
Для этого возьмем на данной линии тока
две точки с вертикальными координатами z и z-f, давление и
скорость в этих точках обозначим соответственно черезр,рхи v,v-l.
Из интеграла Бернулли получим
P = Pi + Pg (*i - *) .f -у- ~ Цг ¦ C.5)
Видно, что давления в двух точках на линии тока, как и в гид-
ростатике, отличаются друг от друга на величину pg (zx — z),
вызванную разностью уровней, и, кроме того, на вели-
чину (рг^/2) — (рг>2/2), связанную с разностью скоростей в этих
точках. Назовем член рг -)- pg {zx — z) = рГСТ гидростатиче-
ским давлением, а член (p^i/2) — (рг?2/2), зависящий от скорости
v, динамическим давлением.
Если поместить тело в поток жидкости или газа, то на тело
будут действовать силы, связанные, во-первых, с неравномер-
ностью распределения гидростатического давления (сила Ар-
химеда) и, во-вторых, с неравномерностью распределения дина-
мического давления по поверхности тела. Во многих случаях,
например при полете самолетов, динамическая подъемная сила
оказывается во много раз больше гидростатической.
Сравним порядки величин разностей гидростатического и
динамического давлений в различных точках тела при уста-
новившемся обтекании его поступательным потоком жидкости
или газа с постоянной не слишком большой скоростью на бес-
конечности, равной v оо.
Рассмотрим обтекание несимметричного профиля крыла
горизонтальным потоком воздуха со скоростью гг<х> ~ 100 м/сек ^а
= 360 км/час (рис.17). Как будет показано ниже (см. §5), для
таких скоростей при вычислении давления в установившемся

30
Гл. VIII. Гидромеханика
движении воздух с большой точностью можно считать несжимае-
мой жидкостью.
При обтекании несимметричного профиля крыла скорость
на его верхней поверхности больше, чем на нижней, а давление,
как это следует из интеграла Бернулли, наоборот, больше на
нижней поверхности. Предположим, что скорости в точках 1 и
2 на верхней и нижней поверхностях крыла (см. рис. 17)
отличаются на величину порядка 10 м/сек. В точке 1
скорость, например, равна 105 м/сек, а в точке 2 — 95 м/сек.
Тогда, так как плотность воздуха при обычных условиях
Рис. 17. Обтекание несимметричного крылового профиля.
psr; 0,125 кГсек2/м4, разница в давлениях за счет разницы ско-
ростей в точках 1 и 2 будет около 130 кГ/м*. В то же время разни-
ца гидростатических давлений в этих точках при вертикаль-
ном размере крыла порядка 1 м будет всего около 1,2 кГ/м2.
Мы видим, что разность давлений в точках 1 и 2 на верхней
и нижней частях крыла за счет даже сравнительно небольшой
разницы в скоростях (~-- 10 м/сек) на два порядка больше раз-
ности давлений за счет разницы уровней.
Несущественность гидростатических давлений по сравнению
с динамическими в аэродинамике самолетов можно еще ощутить
с помощью следующих соображений. При установившемся го-
ризонтальном полете самолета полная подъемная сила, обус-
ловленная распределением полных давлений, равна, конечно,
весу самолета, а сила Архимеда, обусловленная распределением
по поверхности самолета гидростатических давлений, равна
только весу воздуха с плотностью, отвечающей высоте полета,
в объеме самолета. Ясно, что сила Архимеда меньше тысячных
долей полной подъемной силы, равной весу самолета.
При движении больших по объему тел с малыми скоростями,
например, воздушных шаров и дирижаблей в воздухе, кораб-
лей и подводных лодок в воде, роль динамических давлений в
создании подъемной силы незначительна. При движении в воде,
плотность которой в 800 раз больше плотности воздуха, сила
Архимеда оказывается достаточно большой, и именно эта сила
удерживает корабль или подводную лодку. Заметим, что за
Счет плотности динамические давления при движении в воде

§ 3. Интеграл Бернулли Для несжимаемой жидкости
также возрастают в 800 раз по сравнению с динамическими дав-
лениями в воздухе при тех же скоростях. Подъемная сила ди-
намической природы удерживает суда над водой при движении
их на подводных крыльях и при глиссировании (скольжении)
по поверхности воды судов, имеющих днище, смоченная часть
которых имеет «плоскодонную» форму. Эти случаи соответству-
ют большим скоростям движения по воде.
Рассмотрим теперь движение несжимае-
мой жидкости в тонкой трубке перемен-
ного поперечного сечения (рис. 18).
Будем считать, что течение в такой
трубке одномерно, т. е. скорости жидкости
в различных точках каждого сечения S приблизительно одинако-
вы и могут отличаться при установившемся движении только при
переходе от одного сечения к другому. В силу неразрывности
течения через каждое поперечное сечение в единицу времени
должен проходить одинаковый объем
жидкости, т. е. вдоль трубки верно
равенство
vS = const.
Видно, что с уменьшением сеченгя
Течение несжимаемой
жидкости в трубке
переменного поперечного
сечения
Рис. 18. Трубка переменного
поперечного сечения.
Рис. 19. Схема водо-
струйного насоса.
скорость растет. В минимальном сечении Smin скорость имеет
наибольшее значение vma.x.
Из интеграла Бернулли (при z = const) имеем
^ + 4=const. C.6)
Следовательно, с уменьшением сечения S давление р уменьша-
ется, и в минимальном сечении давление минимально.
Это свойство жидкости используется в водоструйных на-
сосах (рис. 19). При подаче воздуха в трубку переменного по-
перечного сечения / в области минимального сечения Smm мо-
жет возникнуть давление меньшее, чем давление в сосуде 77.
Под действием образовавшегося перепада давлений жидкость
из сосуда // поднимается в трубку / и вместе с потоком воздуха
капли жидкости будут выбрасываться в окружающую среду.

32 Гл. VIII. Гидромеханика
§ 4. Явление кавитации
Из интеграла Бернулли следует, что при установившемся
движении газа или несжимаемой жидкости распределение дав-
лений в потоке существенно зависит от распределения скоростей.
При решении математических задач о движении несжимаемой
жидкости в некоторых частях потока давление может полу-
чаться отрицательным или даже равняться минус бесконечности,
если в потоке имеются точки, в которых величина скорости об-
ращается в бесконечность. Жидкости, встречающиеся в приро-
де и применяемые в технике, содержат взвешенные твердые
частицы и растворенные газы. В большинстве случаев такие
жидкости неспособны воспринимать растягивающие усилия
(отрицательные давления). В особых условиях удается наблю-
дать течения, при которых возникают растягивающие напря-
жения в двигающейся жидкости, но обычно давление р в потоке
не может стать ниже некоторой положительной величины рд,
близкой при обычных температурах (—20° С) к нулю *).
В тех местах потока, где давление падает до этого значения,
происходит нарушение сплошности течения и образуется об-
ласть, заполненная пузырьками, внутри которых находятся
пары жидкости или газ, выделившийся из раствора. Это явле-
ние называется кавитацией. Начальную стадию кавитации мож-
но трактовать как явление закипания жидкости при пониже-
нии давления. При дальнейшем понижении давления мелкие
пузырьки объединяются и в потоке возникают большие полости—
каверны, заполненные выделившимися из жидкости газами и
парами жидкости.
Величину давления ра можно рассматривать как физиче-
скую характеристику, которая не влияет на движение жидкос-
ти при р ^> pd. При р = pd в жидкости может возникать кави-
тация, оказывающая существенное влияние на законы движе-
ния жидкости. Кавитация может возникнуть, например, вблизи
минимального сечения в трубке с пережатием (см. рис. 18),
в поршневом насосе (см. рис. 3), когда давление за поднимаю-
щимся поршнем стремится к нулю, а также при обтекании раз-
личных тел потоком жидкости.
2) Вместе с тем опыт и физические теории указывают на то, что даже
в обычных условиях в короткие промежутки времени в жидкости могут
возникать ограниченные по величине отрицательные давления, вызыва-
ющие внутренние растяжения, при отсутствии действительных разрывов
:или кипения. Могут возникать состояния перегретой жидкости. Хими-
чески чистая вода может выдерживать растяжения до 200 атм. Обычная
водопроводная вода может выдерживать очень короткое время растяжения
,до четырех атмосфер, но в обычных условиях можно принимать р^ рав-
ным давлению насыщенных паров.

§ 4. Явление кавитации 33
Число кавитации Для установившихся движений тяжелой
несжимаемой жидкости на основании ин-
теграла Бернулли C.5)
_ , Р"ю Р»а
Р — Ргст т 2 ЗГ
можно написать
9, (т> — тЛ
= 4--1. D.D
2 (^гст ~ Р> »а
В ряде случаев отношение v/vao определяется кинематическими
условиями задачи, в частности, ниже мы увидим, что так об-
стоит дело при непрерывном потенциальном обтекании тел неог-
раниченным потоком идеальной несжимаемой жидкости. В этом
случае максимальная скорость vma% достигается на гра-
нице текущей жидкости, т. е. на поверхности тела (см. § 12), и
отношение i>max/p°° зависит только от геометрических свойств
поверхности тела и его ориентации относительно скорости набе-
гающего потока1). Максимальной скорости i/max частиц жидкости
в потоке соответствует минимальное давление pmm- Величину
2 (ргст— р)/р^оо в точках поверхности тела называют коэффициен-
том давления и обозначают через ср.
На основании D.1) для коэффициента давления, соответст-
вующего точке минимального давления, можно написать
2 (Ртст — Pmia) y
х) Как было показано в гл. VII (т. 1), при обтекании тел поступатель-
ным потоком беразмерные характеристики поля скоростей в идеальной
несжимаемой жидкости определяются системой безразмерных параметров
x/d, y/d, z/d, а, р\ где d — характерный размер тела, а, р1 — углы, задаю-
щие ориентацию тела относительно скорости набегающего потока. Без-
размерное отношение v/v^ не зависит от скорости, плотности и давления
в набегающем потоке и получается постоянным при фиксированных
безразмерных координатах x/d, y/d, z/d, a, p\ Максимальное значение
Утах/г;оэ соответствует вообще одной вполне определенной точке на по-
верхности тела. При учете сжимаемости в случае адиабатических движе-
ний совершенного газа полумется
а — Ж. — м — —
"max „ ..
—— = /i (а, Р, Мто).

34 Гл. VIII. Гидромеханика
Наступление кавитации определяется условием
Безразмерное число
2(Ргст-,
PyL
называется числом кавитации. Число кавитации определяется
заданными условиями обтекания. Значения х зависят от дав-
ления в бесконечности через ргст, которое зависит от глубины
погружения тела в жидкость. При фиксированной разности
Ргст — Pd число кавитации х резко падает с увеличением
скорости набегающего потока v<x>.
В тот момент, когда и становится равным ?Pmin, в обтекающем
потоке в том месте, где достигается максимальная скорость,
возникает кавитация, которая может привести к резкой пере-
стройке всего течения жидкости. Если х <; Cj>mjn, то безразмер-
ное число кавитации приобретает существенное значение как
определяющий безразмерный параметр. В этом случае число
кавитации необходимо вводить наряду с числом Рейнольдса
и числом Фруда в качестве основного параметра, характеризую-
щего гидродинамический поток, и основного критерия подобия
при моделировании.
Очевидно, что при движении в жидкости любого профиля
при увеличении его скорости неизбежно наступление кавита-
ции. Кавитация наступает тем позже, чем ближе к единице от-
ношение 1>Шах/»°о) т. е. чем меньше профиль возмущает поток.
Как видно из D.3), кавитация может возникнуть не только
при увеличении скорости данного профиля, но и при умень-
шении ргот- Очевидно, что с погружением на глубину, когда
Ргст растет, наступление кавитации затрудняется.
Для экспериментального исследования
Моделирование кавитации используются различные экс-
явления кавитации j ±-
периментальные установки, например
гидродинамические, или кавитационные, трубы. Принципиаль-
ная схема гидродинамической трубы замкнутого действия при-
ведена на рис. 20. Поток воды в такой трубе создается с помощью
пропеллерного или центробежного насоса, расположенного в
нижней части трубы и приводимого во вращение электродвига-
телем. Обтекаемое тело размещается в верхней части трубы.
Нужное значение числа кавитации при испытании тела в
такой трубе создается в основном посредством изменения рГст-

§ 4. Явление кавитации
35
Рабочий
¦участок
Для этого в трубе устраивается специальная шахта со свобод-
ной поверхностью воды. Уменьшая давление над свободной
поверхностью воды в шах-
те, уменьшают давление во
всей массе жидкости, за-
полняющей трубу, и та-
ким образом моделируют
кавитационный поток при
значительно меньших ско-
ростях обтекания модели,
чем в натурных условиях.
В настоящее время в
связи с возрастающим зна-
чением проблемы движе-
ния тел в воде с большими
Рис. 20. Принципиальная схема кави-
тационной трубы.
скоростями исследование
явления кавитации стано-
вится весьма актуальным.
С явлением кавитации, в частности, при-
Эффекты кавитации ходится встречаться при движениях с
на практике ^ „ у г «
г большой скоростью на подводных крыль-
ях, при работе гребных винтов и турбин на повышенных обо-
ротах, при движении жидкости в насосах и других гидравли-
ческих машинах. Кавитация встречается и в гидравлических
системах на самолетах, когда при подъеме их на высоту ргот
сильно уменьшается.
Возникновение кавитации на подводных крыльях, лопас-
тях гребных винтов и водяных насосов приводит к резкому
ухудшению их гидродинамических характеристик, в частности,
подъемная сила подводных крыльев резко падает.
При возникновении кавитации на поверхности тела в об-
ласти j9min образуются пузырьки, заполненные паром с давле-
нием, близким к нулю, затем они перемещаются вместе с жид-
костью и попадают в область больших давлений. В области
повышенных давлений жидкость со значительной скоростью
устремляется внутрь пузырей, происходит их охлопывание,
сопровождающееся большими приращениями местных давле-
ний (порядка сотен атмосфер). В результате этого возникает
разрушение поверхности обтекаемых тел, которое носит на-
звание кавитационной эррозии.
В некоторых случаях это разрушение может быть столь
интенсивным, что после нескольких часов работы винтов ко-
рабля в режиме кавитации их лопасти оказываются полностью
разрушенными.
Кавитация обычно сопровождается рядом нежелательных
явлений: появляются вибрации, сильный шум.

36 Гп. VIII. Гидромеханика
Процесс образования и развития пузырьков связан с некото-
рым характерным линейным размером (размеры центров обра-
зования пузырьков, постоянные поверхностного натяжения и
т. д.), за счет этого подобие при моделировании может нарушать-
ся. На малой модели время образования и жизни пузырьков
от момента их образования до момента схлопывания мало.
В явлениях большого масштаба эти времена могут возрастать;
за счет этого нарушается подобие, возникает масштабный
эффект.
При развитом кавитационном обтекании тела образуются
резко выраженные границы между жидкостью и парами газа,
заполняющими большую полость вблизи тела — каверну. Вдоль
поверхности раздела каверны и жидкости давление с большой
степенью точности можно считать постоянным и равным pd.
Поэтому такие поверхности можно рассматривать как поверх-
ности струй, образованные частицами жидкости, сошедшими с
обтекаемого тела (см. § 8).
§ 5. Интеграл Бернулли для адиабатических течении
совершенного газа
Рассмотрим теперь интеграл Бернулли для совершенного
газа. Свойство весомости газа учитывать не будем. Отметим,
что есть области приложения интеграла Бернулли (например,
метеорология), где газ нельзя считать невесомым.
Будем рассматривать обратимые адиабатические течения
совершенного газа. В этом случае
где s = const в частице газа, поэтому для функции давления
Ф (р, X) вдоль линии тока легко получаются следующие вы-
ражения 1):
ар _ р« У (s-so)/cy v_i _ T ft) ^"-"dAWy-iyy _
pVT-1 V T — 1 po
Величина срТ для совершенного газа, как легко видеть,
равна внутреннему теплосодержанию (энтальпии) 2) i = U -f-
+ р/р. Заметим, что в случае установившихся адиабатических
движений произвольных двухпараметрических идеальных сред,
J) Постоянные интегрирования в E.1) опущены.
») См. § 6 гл. V. т. 1.

§ 5. Интеграл Бернулли для течений газа 37
так как согласно уравнению притока тепла вдоль линии тока
т. е.
di = — dp,
Р ^'
функция давления также представляет собой не что иное, как
энтальпию.
С помощью E.1) интеграл Бернулли вдоль линии тока для
адиабатических движений при пренебрежении массовыми сила-
ми можно записать в виде
у"- . . ..j.
или для совершенного газа
? +срТ = »*. E.2)
Из интеграла Бернулли E.2) и E.1) видно, что давление,
плотность и температура с ростом скорости вдоль линии тока
падают.
„ Очевидно, что самая высокая температура
Параметры торможения иа линии тока будет там, где
значив температуру в этой точке через Т*, можно записать
постоянную интеграла Бернулли E.2) в виде i* = cpT*. Тем-
пература Т* называется температурой торможения, а г* —
полным теплосодержанием. Полное теплосодержание, как и
энтропия s, может быть различным вдоль разных линий тока.
Если воспользоваться выражениями E.1) для функции 9*
через давление или плотность, то из интеграла Бернулли будет
следовать, что в точке, где v = 0, не только температура, но и
давление, и плотность имеют значения, максимально возможные
на линии тока. Обозначив эти значения давления и плотности
через р* и р*, можно представить постоянную интеграла Бер-
нулли еще в одном из следующих видов:
l/v
i*=c Т* = т Ро e(s-s»)/=pp*(v-i)/v _
р Т — 1 Ро
_ "< ро /*-*»Усуп*ч-1 _ Т Р* /t: Q\
6 P (°O)
Величины р* и р* называются давлением торможения и плот-
ностью торможения соответственно.
При установившемся адиабатическом обратимом истече-
нии газа из большого сосуда скорость v в далеких от отверстия

38
Гл. VIII. Гидромеханика
р<р*
Т<Т*
Рис. 21. К истечению газа из
сосуда.
точках равна нулю, а давление, плотность и температура соот^
ветственно равны давлению торможения, плотности торможе-
ния и температуре торможения (рис. 21).
Очевидно, что при заданном значении полного теплосодер-
жания i* температура торможения полностью определяется
через i*. Давление и плотность торможения зависят на линии
тока не только от г*, но и от зна-
чения энтропии s — s0. Если энт-
ропия возрастает за счет пересе-
чения частицами скачков уплот-
нения, то давление и плотность
торможения уменьшаются. Этот
эффект, связанный с потерями
механической энергии, имеет суще-
ственное значение для практиче-
ских приложений.
При обтекании профиля крыла потоком газа на крыле об-
разуется критическая точка, в которой v = 0, а р = р*,
р= р*, Т= Т*. Если на линии тока в действительности нет точ-
ки, где v = 0, то параметры торможения можно ввести мыслен-
но, как параметры, которые имела бы частица газа, если бы ее
из данного рассматриваемого состояния затормозили обрати-
мым адиабатическим путем до состояния покоя.
Постоянную интеграла Бернулли можно
Максимальная скорость определить и по значению его левой части
в любой другой характерной точке, имею-
щейся на линии тока в действительности или вводимой мысленно
с помощью некоторого идеального процесса, например в точ-
ке, отвечающей состоянию полного разгона в адиабатическом
процессе до нулевого давления р = 0 и нулевой плотности
р = 0.
Из интеграла Бернулли видно, что в точке р = 0 скорость
газа имеет максимальное значение. Обозначив ее через vmSiX,
видим, что постоянная в интеграле Бернулли будет равна
истечения газа
E.4)
Скорость vmax можно, очевидно, трактовать как скорость исте-
чения газа из баллона в пустоту, где р = р = Т = 0.
Приравнивая два выражения постоянной интеграла Бер-
нулли, получим
iW=/2^T*, E.5)
т. е. максимальная скорость vmax зависит только от температу-
ры торможения Т*. При установившемся движении скорость

§ 5. Интеграл Бернулли для течений газа 39
газа не может быть больше утах = у2срТ*. Этот вывод сущест-
венным образом связан с установившимся характером движе-
ния газа. При неустановившихся адиабатических движениях
в потоке могут получаться скорости, температуры, давления и
плотности большие, чем vmax, T*, р* и р*.
_ т. Введем скорость звука г) а — v(dpldp)..
Скорость звука. Критиче- ~ " ^ х / \
екая скорость Она зависит от вида функции р =р (р, s).
Для совершенного газа
т. е. скорость звука зависит только от температуры Т.
Интеграл Бернулли можно записать теперь в виде
E.7)
Отсюда видно, что при изменении скорости частиц v скорость
звука вдоль линии тока меняется. Если скорость вдоль линии
тока растет до своего максимального значения vmax, то скорость
звука убывает до нуля.
Наибольшее возможное значение скорости звука на линии
тока получается в точке торможения. Обозначим это значение
скорости звука через а*. Теперь постоянную в интеграле Бер-
нулли можно записать еще в виде
<¦ — «-p-* T-—1 — 2 ' \"-v-v
Поэтому
a*= УЩТ* E.9)
|гга*. E.10)
Значение скорости частицы газа, равное местной скорости
звука, называется критической скоростью и обозначается че-
рез vKp = акр. Из интеграла Бернулли при v = vKP = aKp
имеем
,.2 „2
кр , укр
2 ' Т — 1 Т —
откуда
EЛ1)
г) См. § 6 гл. VII т. 1.

40 Гл. VIII. Гидромеханика
Значение vKP зависит только от температуры торможе-
ния Т*.
Сравним значения a*, vmax и г?кр при Т* = 288° К = 15° С
и у = 1,4. Имеем
a*zx 340 м/сек, г>шах ^ 756 м/сек, укр ^ 310 м/сек.
Введенные выше параметры a, a*, vms,x и г?кр играют важную
роль в газовой динамике.
Течение газа называется дозвуковым, если скорости движе-
ния частиц меньше местной скорости звука (v < а), и сверх-
звуковым, если v ^> а.
Отношение скорости движения частиц
Число Маха. Коэффициент к местной СКОрости звука via = М назы-
скорости т, г j-\
вается числом Маха. Очевидно, что для
дозвуковых течений М.<^ 1, а для сверхзвуковых М ^> 1.
Поскольку скорость v может изменяться от нуля до г?тах,
а скорость звука от а* до нуля, то число М может изменяться
от нуля до бесконечности.
Наряду с числом Маха или вместо числа Маха часто исполь-
зуют отношение скорости движения частиц к критической ско-
рости
- г>кр У Т - 1 г;тах '
Величина А, называется коэффициентом скорости. Знаменатель
в выражении для X в различных точках на линии тока одинаков,
так как г;кр = акр зависит только от температуры торможения
Т*, которая при адиабатических обратимых движениях по-
стоянна вдоль данной линии тока. Легко видеть, что коэффициент
/у I ^
_ . .
Изучим зависимость скорости от значений
Формула для скорости параметров торможения и давления
истечения газа из сосуда тт
вдоль линии тока. Для этого возьмем
интеграл Бернулли в виде
V2
и разделим первое слагаемое и постоянную на —к— , а второе —
на равную ей величину

§ 5. Интеграл Бернулли для течений газа
41
Получим
откуда
или, так как
»* / р \(y-i)/y _
v2 X\p* '
"max r
(t-Dhl'h
E.12')
E.12)
Формула E.12), называемая формулой Сен-Венана—Вен-
целя, может быть использована для определения скорости ус-
тановившегося истечения газа через насадок из сосуда, в кото-
ром р = р*, Т = Т*, в пространство с давлением р. Но для
того чтобы действительно иметь на выходе из насадка заданное
давление р, необходимо сделать насадок специальным образом.
Этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе.
Формула E.12) является обобщением на случай совершен-
ного газа формулы Торичелли у = у 2gh для скорости установив-
шегося истечения тяжелой несжимаемой жидкости из сосуда.
Аналогичным образом интеграл Бернул-
ли можно разрешить относительно дав-
ления, плотности и температуры и полу-
чить формулы:
Связь р, р, Т с параметрами
торможения и числом М
= р* 1
"max
Т -
E.13)
Введем в эти формулы число Маха. Для этого запишем ин-
теграл Бернулли в виде
и разделим обе части этого равенства на г?2/2; получим
~v2 = 2 1 ~ 1*~+~1 '
max I + т _ i M2

42 Гл. VIII. Гидромеханика
Формулы E.13) запишутся теперь следующим образом:
E.14)
т = :
Нагревание тел в потоке С ростом скорости потока температура в
газа потоке падает. Однако если в поток газа
поместить неподвижное твердое тело, пер-
воначальная температура которого равна температуре газа, то
оно будет нагреваться.
В самом деле, для воздуха (у = 1,4) температура вблизи
критической точки тела будет равна х) Т* = Т A + 0,2 М2).
Если температура потока вдали от тела Т = —23° С = 250° К,
то при скорости потока порядка скорости звука (М ¦zz. 1)
Т*~ 290° К, т. е. температура газа вблизи критической точки
тела будет на 40° выше температуры набегающего потока. При
МжЗеГ= 250° К имеем Т* да 700° К, а при М = 5 имеем
Т* = 1500° К.
(При обтекании тел газом с большими сверхзвуковыми ско-
ростями большие температуры получаются не только в крити-
ческой точке. Действительное распределение температур по
поверхности обтекаемого тела связано с процессами диссоциа-
ции и ионизации газа и с отсутствием адиабатичности, что обус-
ловлено свойствами вязкости, излучением и теплообменом меж-
ду газом и обтекаемым телом. Поверхность тела при движении
его в газе может сильно нагреваться, плавиться и испаряться.
Головные части баллистических и космических ракет при входе
в плотные слои атмосферы сильно оплавляются, головки бал-
листических ракет или космические аппараты не сгорают пол-
ностью только благодаря кратковременности их движения в
атмосфере в таких условиях. Проблема борьбы с нежелатель-
ными эффектами сильного нагревания тел на больших сверхзву-
ковых скоростях полета в атмосфере является одной из основных
аэродинамических проблем. Она связана с выбором материалов
и разработкой форм конструкций летательных аппаратов.
С другой стороны, при засасывании покоящегося воздуха
с Т* да 290° К в области больших скоростей можно получить
очень малые температуры Т, например, при М я^ 5 будет про-
исходить такое охлаждение, что воздух в потоке начнет кон-
денсироваться в жидкость.
г) При наличии в газовом потоке скачков уплотнения на линиях тока,
проходящих через скачки, величина i* сохраняет свое значение (см. стр. 24).

§ 5. Интеграл Бернулли для течений газа 43
Влияние сжимаемости Покажем теперь, что в случае установив-
на зависимость давления шихся движений с достаточно малыми ско-
ростями, (v2/ г^шах) *^ 1, учет сжимаемо-
сти жидкости оказывает слабое влияние
на зависимость давления и плотности от скорости. Сначала
покажем, что при малых скоростях движения давления, оп-
ределяемые по формулам
Р = Р*—Ро -у E.15)
(случай несжимаемой жидкости) и
2 >v4Y-1> E.16)
(адиабатические обратимые движения совершенного газа), до-
статочно близко совпадают. Для этого разложим выражение
E.16) в ряд Тейлора по параметру г?2/г?тах. Пользуясь тем, что
2а*2 ТР* *2
1>хпах = т- и -^Г =<* > ПОЛуЧИМ
= D* 1 —
"max
Т / Т
Т —1\Т —
' 2!
¦— п* _L
Отсюда видно, что динамические давления в сжимаемой и не-
сжимаемой жидкости с плотностью, равной плотности торможе-
ния в сжимаемой жидкости, отличаются друг от друга членами
порядка р*г>4/8а*2.
Разница не будет превышать : одного процента, если
1>2/4я*2<0,01, т. е. если v <(a*/5). Так, если а* ж 340 м/сек, то
при скоростях v <С 68 м/сек = 240 км/час разница в динами-
ческих давлениях, вычисленных по формуле для несжимаемой,
жидкости и по формуле для сжимаемого газа, меньше 1 %.
Аналогично для плотности будем иметь
Легко проверить, что р будет отличаться от р* меньше чем на
2% приv,<!-т-- = 68м/сек. Таким образом, если мы будем

44 Гл. VIII. Гидромеханика
считать газ несжимаемой жидкостью, то при одной и той же скоро-
сти v = а*/5для давлений мы получим ошибку в 1 %, а для плот-
ностей — в 2%.
Еще тридцать лет назад в аэродинамике изучались в основ-
ном движения только несжимаемой жидкости. В настоящее
время, когда скорости движения самолетов достигли и значи-
тельно превзошли скорость звука, учет сжимаемости приоб-
ретает первостепенное значение.
Вместе с тем нельзя думать, что всегда при v<i 58 м/сек
можно пренебрегать сжимаемостью среды. Этот вывод был сде-
лан на основании интеграла Бернулли только для устансвив-
шихся движений газа. Если движение газа неустановившее-
ся, то учет сжимаемости может оказаться существенным уже
при весьма малых скоростях движения среды. Например, при
распространении звуковых волн скорости движения частиц
малы, но все основные эффекты в этом случае связаны со свой-
ством сжимаемости среды.
§ 6. Влияние сжимаемости на форму трубок тока.
Элементарная теория сопла Лаваля
Рассмотрим теперь вопрос о влиянии сжимаемости на фор-
му трубок тока при установившемся движении газа. Предпо-
ложим, что трубка тока тонкая, и поэтому будем считать харак-
теристики движения в разных точках каждого сечения одинако-
выми. Пусть S — площадь произвольного поперечного сечения
трубки тока, причем сечение берется перпендикулярно к скоро-
сти движения частиц газа.
Если жидкость однородная и несжимае-
Форма трубок тока мая, то из уравнения неразрывности сле-
в несжимаемой жидкости «¦¦"¦"•, « j r v~
дует, что массовый и объемный расхо-
ды через трубку тока постоянны v1S1 = v2S2 = vS = const;
Pi = P2 и
^ F.1)
т. е. чем больше скорость, тем меньше сечение; график этой за-
висимости — гипербола (рис. 22).
Если жидкость сжимаемая, то вдоль
Форма трубок тока трубки должен сохраняться только мае-
в сжимаемой жидкости v:> „ м ^ с с
совыи расход жидкости
= pvS = const, откуда
S = C-^L (б 2)
pv ч '

§ 6. Влияние сжимаемости на форму трубок тока
45
Для сжимаемой жидкости плотность зависит от скорости.
Для адиабатических обратимых течений совершенного газа
имеем
р=р*A_ *
Подставив это выражение в F.2), можно получить зависимость
S = S (v) и найти форму трубок тока.
Выясним вопрос о форме трубок тока несколько иным пу-
тем для любых, вообще не адиабатических, движений произ-
вольной идеальной сжимаемой жидкости. Для этого вычислим
и,<иг
Рис. 22. Изменение поперечного сечения трубки тока
в зависимости от скорости в несжимаемой жидкости.
d (pv) следующим образом. Спроектировав уравнения движе-
ния Эйлера на линию тока, при установившемся движении по-
лучим
, dp „dp
vav — — = —• а' —— ,
Р Р
где а2 = dp/dp вдоль линии тока. Для адиабатических движе-
ний а совпадает со скоростью звука, определяемой какУ(др/др)я.
В общем случае величина а отлична от скорости звука, но в по-
следующем для неадиабатических движений играет роль ско-
рости звука.
Таким образом, вдоль линии тока будем иметь
vdp = —№pdv, F.3)
где М = via. Для неадиабатических процессов введенное здесь
число М вообще не равно числу Маха, определяемому как отно-
шение vjY(9p/dp)a. Из F.3) непосредственно следует равенство
d (pv) = pdv + vdp = p A — M2) dv.
F.4)
Видно, что с ростом скорости, когда dv ^> 0, величина pv рас-
тет при дозвуковых скоростях, когда v <^У dp/dp (M<^1), и

46
Гл. VIII. Гидромеханика
>1
убывает при сверхзвуковых скоростях, когда v ^> у dp/dp
(М^»1). Очевидно, что в той точке, в которой v = Ydp/dp,
т. е. М = 1, величина pv имеет максимум (рис. 23).
Из формулы F.2) и характера изменения pv можно сделать
ряд важных выводов. Если поток дозвуковой (М< 1), то, так
же как в несжимаемой жидкости, поперечное сечение трубки
тока с ростом скорости v уменьша-
ется, а с уменьшением скорости —
увеличивается. Наибольшая скорость,
которая может быть достигнута при
дозвуковом потоке в сужающейся
трубке тока, равна скорости звука.
Если поток сверхзвуковой (М ^> 1)
и скорость потока вдоль трубки тока
растет, то pv убывает и трубка тока
расширяется. Наоборот, если трубка
тока расширяется, то скорость сверх-
звукового потока в ней растет. Если
же скорость сверхзвукового потока
вдоль трубки убывает, то pv растет
и поперечное сечение уменьшается,
следовательно, сверхзвуковой поток в сужающемся канале за-
медляется. Мы видим, что имеется принципиальное различие
между поведением трубок тока в до- ¦.
звуковом и сверхзвуковом потоках.
Полученные выводы справедливы для
произвольных установившихся дви-
жений любого идеального газа.
При адиабатических обратимых
течениях совершенного газа попереч-
ное сечение трубки тока S связано
со скоростью формулой
COnSt ,n г-\
v
Рис. 23. Зависимость pv от v
при дозвуковых и сверхзву-
ковых скоростях течения.
с _
v=a
1 —
v Рис. 24. Зависимость попе-
речного сечения трубки тока
от скорости при адиабати-
График S = S (v) приведен на рис. 24. ческих обратимых течениях
Кривая S (v) имеет две асимптоты: совершенного газа.
У=ОИ1)= Ушах-
Мы показали, что площадь поперечного
Простое сопло, сопло сечения трубки тока, в которой скорость
аваля непрерывно растет от значений, меньших
скорости звука, до значений, больших скорости звука, на дозву-
ковых режимах течения уменьшается, а на сверхзвуковых —
увеличивается, и трубка тока имеет минимальное сечение

§ 6. Влияние сжимаемости на форму трубок тока
47
5min при М = 1 (рис. 25). Это обстоятельство нужно иметь
в виду при проектировании насадков, в которых происходит
адиабатический переход от дозвуковых скоростей течения газа к
сверхзвуковым. Такой насадок, называемый соплом Лаваля,
Рис. 25. Трубка тока в сжимаемой
жидкости.
Рис. 26. а) Сопло Лаваля и
6) простое сопло (очко).
Течение в простом сопле
Исследование величины
расхода через сопло
должен иметь сужающийся участок, минимальное сечение и
расширяющийся участок (рис. 26, а).
Насадок, состоящий лишь из сужающегося участка
(рис. 26, б), называется простым соплом, или очком. Наибольшая
скорость, которую можно получить, выпуская адиабатически
газ через простое сопло, равна скорости звука, и достигается
эта скорость в наиболее узком сечении, т. е. на срезе сопла.
Простые сопла и сопла Лаваля пшроко применяются в технике;
сопло Лаваля является необходимым элементом конструкций
ракетных двигателей, сверхзвуковых аэродинамических труб
и т. п. Рассмотрим подробнее адиабатические течения в простом
сопле и в сопле Лаваля.
Пусть имеется большой сосуд (рис. 27),
заполненный газом, который может выте-
кать из него через простое сопло в про-
странство с давлением р0. Величина р0
называется противодавлением. Значения характеристик тече-
ния на срезе сопла обозначим через р',р', г/', а в сосуде да-
леко от насадка — через р*, р*, 71*, г?*; примем, что v* = 0.
Если р* = р0, то течения в сопле не будет. Если противо-
давление р0 будет несколько меньше р*, то возникнет
течение.
Установим зависимость массового расхода газа Q = pvS че-
рез сопло от отношения давлений pjp* при постоянных зна-
чениях температуры Т* и давления р* в сосуде, когда отсутствует
теплообмен между газом и окружающей средой. Если pofp* = 1,
то Q = 0 (точка А на рис. 28); при ро/р*, несколько меньшем
единицы, скорость течения в сопле будет дозвуковой и наиболь-
шее значение скорости будет достигаться на срезе сопла. Пусть
на рис. 28 этому режиму соответствует точка Ь. При дальней-
шем уменьшении pjp* скорость на срезе сопла, оставаясь

48
Гл. VIII. Гидромеханика
дозвуковой, будет увеличиваться и расход также будет увеличи-
ваться. Наконец, при некотором значении ро/р* = ркр/р*
Ро
Рис. 27. Обозначения параметров га-
за, используемые при изучении ис-
течения газа через простое сопло.
0,528
Рис. 28. Зависимость расхода
через простое сопло от отноше-
ния давлений. %„_
скорость на срезе сопла станет равной местной скорости
звука v' = »кр = акр. Подсчитаем критические значения
плотности и давления, которые достигаются на срезе сопла при
v' = ^кр! согласно E.13) и E.11) будем иметь
= Ркр=Р* 1-
г \i/(Y-i)
Р' = Ркр = Р*
F.6)
F.7)
Как показывает опыт, до тех пор, пока р0 !> ркр, давление
на срезе сопла практически совпадает с противодавлением
(р' ^ р0). Поэтому при достижении в минимальном сечении
скорости звука можно считать, что
ро ^кр / 2
р* ~ р* ~ [ у +
при у = 1,4
-^г ^ 0,528.
F.8)
На рис. 28 этому режиму соответствует точка D. Критический
расход, согласно F.6) и E.11) или E.3) и E.11), будет равен
(?кр = ркрУкр^тШ = р51
Т + 1/
VRT*
F.9)
При дальнейшем понижении противодавления р0 течение внут-
ри сопла перестает меняться. Расход также остается неизмен-

§ 6. Влияние сжимаем ости на форму трубок тока 49
ным и равным критическому. Величина QKV, как видно из F.9),
определяется значениями параметров торможения и размером
минимального поперечного сечения сопла. Скорость на срезе
сопла остается равной местной скорости звука. Таким образом,
через данное простое сопло (Smin задано) при отсутствии отвода
тепла через стенки сопла и при
заданных р*, Т* нельзя пропус- S' *\. Горло
тить расход, больший (?кр. \шт
Невозможность изменения
режима течения в простом con-
ле путем изменения противодав-
ления р0 после достижения на
срезе сопла скорости звука име-
ет простое физическое объясне-
ние. Действительно, слабые воз- Рис- 29- Обозначения параметров
кущения, а следовательно, и ^^^I^SKSSZ!
небольшие изменения противо-
давления распространяются по частицам среды со скоростью
звука. Но сами частицы на срезе сопла имеют скорость, равную
скорости звука, и возмущения не могут проникнуть внутрь соп-
ла, они сносятся потоком. Частицы, находящиеся внутри соп-
ла, после достижения критического режима течения «не зна-
ют» о том, что происходит вне сопла.
Однако изменение противодавления р0 будет сказываться на
течении газа вне сопла; в свободной струе вне сопла скорость при
понижении р0 может стать сверхзвуковой, но поток в сво-
бодной струе не будет однородным (скорость существенно меня-
ется по сечению струи).
_ Рассмотрим теперь случай истечения газа
Течение в сопле Лаваля ^ сосуда qepe3 сопдо Лаваля (риС- 29).
Сохраним те же обозначения, что и в предыдущем случае.
Используя основные соотношения на линии тока, справедли-
вые для непрерывных адиабатических установившихся тече-
ний E.11), E.12') и уравнение состояния
Р
напишем выражение для плотности потока массы рг; как функ-
ции отношения pip*, где р — давление в произвольной точке
на линии тока:
/„I А / _ \1/Y г / „ \(Y-1)/Y -1V2
^P'{f) »-P [l-(f) ] ' F-10>
График этой зависимости рг' от pip* приведен на рис. 30.
Очевидно, что точке максимума на этом графике соответствует
точка на линии тока, в которой М = 1 и р = ркр.

50
Гл. VIII. Гидромеханика
Правая ветвь рг; соответствует дозвуковым (М<;1 и р
а левая — сверхзвуковым (М ^> \ и р<С ркр) режимам течения.
Каждому сечению сопла Лаваля соответствует определенная
чения газа из сопла
Лаваля
Рнр/Р
Рис. 30. Зависимость плотности массы pv от pip* вдоль линии
тока при адиабатических обратимых течениях.
точка кривой pv = f (р/р*); каждому перемещению по оси соп-
ла соответствует определенное перемещение вдоль этой кривой»
Рассмотрим качественно течение в сопле
Расчетные режимы исте- Лаваля при условии, что давление на сре-
зе сопла равняется давлению в окружаю-
щей среде. Такие режимы течения в соп-
ле называются расчетными режимами, а сопло в этом случае
называется расчетным. Нас будут интересовать распределения
давления и скорости по оси сопла (рис. 31) и характер изменения
расхода через сопло Q = pvS от ро/р* (рис. 32). При р0 = р*
газ через сопло Лаваля не течет и Q = 0 (точка А на рис. 32).
Если противодавление р0 несколько уменьшить, то в сопле нач-
нется дозвуковое течение с некоторым расходом Q (например,
точка В на рис. 32). Распределения скорости v и давления р по
оси сопла в этом случае показаны на рис. 31 (кривые 1—1').
Наибольшая скорость и наименьшее давление будут достигаться
в минимальном сечении сопла Лаваля.
Перемещению вдоль оси сопла по направлению к его выход-
ному срезу 5Вых будет соответствовать перемещение по кривой
pv (рис. 30) от некоторой точки Ъ к точке с, соответствующей Smm,
и обратно от точки с к точке d, соответствующей /SW- Еще
уменьшая противодавление, опять получим дозвуковой ре-
жим течения в сопле, но с большим расходом Q (например, точ-
ка Е на рис. 32); кривые распределения скорости и давления
по оси сонла имеют вид 2—2' на рис. 31. Перемещению по оси
сопла будет соответствовать перемещение по кривой pv (рис. 30),
аналогичное предыдущему, но конечная точка g подъема по до-
звуковой ветви кривой pv будет лежать несколько выше точки с.

§ 6. Влияние Сжимаемости на форму трубок тока
51
Наконец, при некотором, еще меньшем значении противо-
давления, в самом узком сечении сопла Smin, скорость газа ста-
нет равной скорости звука v = а = yKp, а давление р = ркр
(кривые 3—3' или 3—4' на рис. 31, точка/) на рис. 32). Переме-
щению по оси сопла будет соответствовать перемещение по кри-
вой рис. 30, при котором точка g попадет в точку М = 1. За
минимальным сечением — горлом сопла Лаваля — поперечное
сечение увеличивается, a v может либ0 уменьшаться, и мы тогда
должны идти назад по дозвуковой веТви кривой pv на рис. 30,
либо увеличиваться, и тогда
мы должны перейти на сверх-
звуковую ветвь кривой pv
на рис. 30. Давление вдоль
сопла при этом будет соответ-
ственно либо расти (кривая
3—3' на рис. 31) до давления
на срезе сопла рз, либо умень-
шаться (кривая 3—4') до
Рис. 31. Распределение скоростей
и давлений по оси сопла Лаваля.
Рис. 32. Зависимость расхода
через сопло Лаваля от отноше-
ния давлений.
давления на срезе сопла р[. Только при этих двух определен-
ных давлениях на срезе сопла (SBUX/Smm задано) возможно
непрерывное течение газа.
При pQ = pi в сопле осуществляется полностью дозвуковой
режим течения, а при р0 = р'& — дозвуковой до минимального
сечения и сверхзвуковой за минимальным сечением; на срезе
сопла при этом возникает определенная сверхзвуковая скорость
г>4. Отметим, что получить в данном сопле сверхзвуковой режим
течения с другой скоростью на срезе сопла, не меняя парамет-
ров газа в баллоне, а меняя только давление на выходе р0, не-
возможно. Для того чтобы получить другую сверхзвуковую ско-
рость истечения, не меняя параметров торможения потока,

52 Гл. VIII. Гидромеханика
необходимо воспользоваться другим соплом с другим отноше-
нием выходного сечения к минимальному.
Если р' =/= р0, то режим течения газа в
Нерасчетные режимы ис- сопле и сопло называются нерасчетными.
n2S%L7g?Z? При рГ< Ро сопло наз-ается пеРеРас-
мым горлом ширенным, а при р > р0 — недорас-
ширенным. В первом случае во внешней
среде должно происходить дополнительное торможение по-
тока и свободная струя при выходе из сопла сужается, во
втором случае — дополнительное ускорение потока и сво-
бодная струя расширяется. Если для заданного ро/р* сопло
нерасчетное, то истечение газа из сопла теряет характер
одномерного движения и сопровождается образованием скачков
уплотнения. При ро<С pi скачки уплотнения образуются во
внешней газовой струе за срезом сопла, при р4< Ро< Рз
скачки могут образовываться за горлом в сверхзвуковой час-
ти потока внутри сопла. Нарушение непрерывности неодно-
мерного потока в сопле, связанное с формой сопла и движением
газа на входе в сопло, может происходить при любых ро< р'з-
Как только в минимальном сечении сопла скорость потока
становится равной скорости звука,расход через сопло Лаваля
перестает меняться при дальнейшем уменьшении р0. Это значе-
ние расхода равно QKP = Ркр^кр^тш (см. F.9)). Предельный
расход, как и в случае простого сопла, зависит только от па-
раметров торможения и величины минимального сечения. Дан-
ное сопло при заданных параметрах торможения обладает
определенной пропускной способностью, т. е. через него нельзя
пропустить расход газа, больший (?кр. При проектировании со-
пел по заданным расходу (?кр и параметрам газа в баллоне под-
бирают SmiJSBHX-
Заметим, что если параметры торможения газа меняются,
а расход пропускаемого через сопло газа должен оставать-
ся неизменным ((?кр = const), то сопло, вообще говоря,
должно иметь регулируемое горло, 5mm должно изменяться.
Согласно F.9) получается, что при QRV = const должно быть
^IL = const.
Если температура торможения увеличивается (за счет по-
догрева газа в баллоне), а р* = const, то горло сопла необхо-
димо расширять. При Т* = const за счет потерь может проис-
ходить уменьшение р* (рост энтропии); при уменьшении р*
горло сопла также необходимо расширять. Если сопло не мо-
жет пропустить расход, задаваемый внешними условиями, то
установившееся движение газа становится невозможным. В этом
случае в газовом потоке могут возникать резкие колебания.

§ 7. Применение интегральных соотношений 53
§ 7. Применение интегральных соотношений
к конечным объемам материальной среды
при установившемся движении
В главах III и V применительно к произвольным конечным
объемам среды сформулированы основные интегральные соот-
ношения механической и термодинамической природы. Для неп-
рерывных движений они эквивалентны соответствующим фун-
даментальным дифференциальным уравнениям; в гл. VII ин-
тегральные соотношения были использованы для получения ус-
ловий на поверхностях сильных разрывов.
Рассмотрим теперь некоторые важные приложения интег-
ральных динамических соотношений и закона сохранения энер-
гии, записанных в гл. VII в виде уравнений D.8) — D.11).
Пусть объем V* — подвижный конечный объем, располо-
женный целиком в конечной части пространства и состоящий
из индивидуальных частиц данной среды; через V обозначим
неподвижный объем, ограниченный некоторой замкнутой конт-
рольной поверхностью 2. Применим интегральные соотноше-
ния к такому объему V*, который в рассматриваемый момент
времени t совпадает с фиксированным в пространстве объемом V
и ограничен подвижной поверхностью 2*, совпадающей в мо-
мент t с неподвижной контрольной поверхностью 2.
Из общей формулы (8.15) гл. III следует, что индивидуаль-
ные производные от объемных интегралов х) для установивших-
ся движений в любой данный момент времени представляются
поверхностными интегралами по контрольной поверхности 2.
Таким образом, для любого установив-
Основные интегральные со- щегося движения, сопровождаемого лю-
отношения для установив- - Г
шихся движений быми физико-химическими процессами,
в любой среде для произвольной замкну-
той контрольной поверхности 2, ограничивающей объем V,
можно пользоваться следующими интегральными соотно-
шениями.
Уравнение сохранения массы
\.pvnda = 0. G.1)
Уравнение импульсов (количества движения)
pnda. G.2)
x) Дальше подразумевается, что в тех случаях, когда вводятся идеа-
лизированные потоки с особенностями у подынтегральных функций, рас-
сматриваемые объемные интегралы сходятся и имеют конечные значения

54
Гл. VIII. Гидромеханика
Уравнение моментов (моментов количества движения)
p(rxv+k)vnda= \(rxF+h)pdx+ [(rxpn+Qn)da.
G.3)
Уравнение энергии (первый закон термодинамики)
G.4)
Все обозначения обычные и были подробно разъяснены раньше.
Приложения уравнений G.1) — G.4) связаны главным образом
с тем, что с помощью подходящего выбора контрольной поверх-
ности 2 можно точно или приближенно вычислить или выразить
Рис. 33. Схема контрольной поверхности.
поверхностные интегралы через известные или искомые величи-
ны, для которых соотношения G.1) — G.4) могут служить оп-
ределяющими уравнениями или формулами. Контрольная
замкнутая поверхность 2 может состоять из нескольких замк-
нутых поверхностей 2 = 20 + 2Х + ... (рис. 33).
Внутри объема V и на некоторых поверхностях Б t установив-
шееся движение среды и физические процессы могут быть
сколь угодно сложными. Например, могут происходить хими-
ческие реакции, горение, различные фазовые превращения,
могут быть внешние механические силовые воздействия и т. п.
На всей или на некоторой части выбираемой контрольной по-
верхности для вычисления поверхностных интегралов можно
пользоваться некоторыми асимптотическими выражениями или
допущениями. В связи с этим соотношения G.1) — G.4) полез-
ны для вычисления суммарных сил и притоков энергии по задан-
ному или по предполагаемому движению, которое требуется знать
только в точках контрольной поверхности 2.

§ 7. Применение интегральных соотношений
55
Продемонстрируем типичные
„ „ Рассмотрим
воздействие струи жидкос-
ти и газа на плоскую
стенку
приложения на примерах.
установившееся движение
жидкости или газа в струе, натекающей
на плоскую стенку и растекающейся по
стенке (рис. 34). Пусть далеко от стенки в
набегающей струе с поперечным сечением S давление р0, плот-
ность р0 и скорость v0 заданы и постоянны по 'сечению струи,
причем вектор скорости v0 составляет угол а с плоской стен-
кой. Для простоты рассмотрим случай идеальной "и невесомой,
Рис. 34. Удар струи о плоскую стенку.
но вообще сжимаемой жидкости. На свободной границе струн,
изображаемой схематически кривыми ВА и EF, имеем гранич-
ное условие р = Ро, где р<> — постоянное давление, равное дав-
лению в окружающей среде и равное по условию давлению в
сечении S набегающей струи.
Для любой замкнутой поверхности Q, ограничивающей объ-
ем Vq, верно часто используемое равенство
G.5)
где п = nxi -\- nyj -f nzk — единичный вектор внутренней
или внешней нормали к элементам поверхности Q.
Сила, действующая со стороны струи на стенку, перпенди-
кулярна к стенке, ее величина представляется интегралом
где 2 * — часть поверхности стенки, смоченная растекающейся
струей. Направим ось координат х перпендикулярно к стенке.
Если принять, что на задней (не смоченной) части 2** стенки

56 Гл. VIII. Гидромеханика
давление равнор01то очевидно, что величина общей силы, обус-
ловленной распределением давлений на 2* -|-2**, действую-
щих на обе стороны стенки, в силу равенства G.5), представится
формулой
P=\pda- \ ройз= \ (p-po)dcj. G.6)
*) *J »'
Покажем теперь, как определенную таким образом силу
можно вычислить с помощью уравнения импульсов G.2).
В качестве контрольной поверхности 2 возьмем поверхность,
изображаемую контуром ABCDEFA на рис. 34, включающую в
себя площадь сечения струи S, смоченную площадь стенки CD,
свободную поверхность струи АВ, FE и сечение растекающейся
струи (на рис. 34 ВС и ED), в котором скорости жидкости ста-
новятся параллельными стенке, а давление выравнивается *) с
давлением на свободной поверхности р0.
С учетом G.5) и формулы рп = —рп, где п — единич-
ный вектор нормали, внешней по отношению к жидкости, соот-
ношение G.2) дает
G.7)
так как на контрольной поверхности 2 давление р =/= р0 только
на смоченной части стенки CD. Кроме того, vn = 0 везде, кроме
сечений струи AF, ВС и ED; на FA имеем vn= —v0, vx— v0 sin a,
на ВС и ED имеем vx = 0, поэтому
Р = PoWo'S' sin a = Gv0 sin a, G-8)
где G — массовый расход струи в единицу времени. Формула
G.8) определяет динамическую силу воздействия струи на пре-
пятствие — стенку. Эта сила пропорциональна квадрату ско-
рости в струе и связана с изменением величины и поворотом
вектора количества движения жидкости набегающей струи.
Формула G.8) применима для струй идеальных жидкостей или
газов при любой форме сечения S.
2) Здесь и дальше соответствующие предельные значения при точных
вычислениях могут достигаться теоретически только в бесконечности, но
всегда можно проводить приближенно вычисления в сечениях, находя-
щихся на конечных расстояниях, имея в виду, что допускаемые при этом
ошибки в пределе равны нулю.

§ 7. Применение интегральных соотношений 57
Воздействие на стенку Рассмотрим теперь детальнее случай, ког-
плоскопараллельной струи жидкость идеальная и несжимаемая,
несжимаемой жидкости " rt M „ '
а движение плоскопараллельное. В этом
случае, применяя к слою жидкости еди-
ничной ширины уравнения расхода, импульсов и моментов
относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения,
кроме формулы G.8) для силы, действующей на единицу ши-
рины пластинки, получим еще другие соотношения.
Уравнение расхода дает
plv0 = plyVo -\- pl2v0 или I = Zj -\- Z2,
где I, 1Ъ, 12 — толщины струи в сечениях AF, ВС и ED соэтвет-
ственно.
Уравнение количества движения в проекции на ось i/, направ-
ленную вдоль пластинки, дает
pZi>oCOS a = pl2vl — р/хг;о или I cos а — 12 — 1%.
Отсюда следует, что
, 1 — cos a ,
1 2 '
2
1 + cos а
7
Обозначим через h расстояние точки приложения силы JP от
точки О пересечения пластинки с осью струи (см. рис. 34).
Уравнение моментов G.3) относительно точки О при
k = F = h = Qn = 0 дает
отсюда и из формулы G.8), в которой надо положить G = plv0,
следует, что
А
Таким образом, в рассматриваемой задаче общие теоремы
позволяют определить не только величину равнодействующей
силы Р, но и точку ее приложения на стенке.
Рассмотрим движение с постоянной го-
Глиссирование плоской ризонтальной скоростью vn полубеско-
пластинки « -
нечнои пластинки бесконечного размаха,
наклоненной к горизонту под углом а и соприкасающейся своим
краем с жидкостью на ее поверхности. Такое скользящее дви-
жение днища тела по поверхности жидкости называется глис-

58
Гл. УШ.|Гидромеханика
сированием. Край пластинки, след которого на рис. 35 обоз-
начен точкой В, представляет собой горизонтальную прямую,
перпендикулярную к плоскости чертежа и, в рассматриваемом
случае, вектору скорости глиссирования.
Рассмотрим установившееся относительно пластинки плос-
копараллельное движение жидкости, одинаковое во всех плос-
костях, параллельных плоскости ху. Относительное движение
Рис. 35. Глиссирование пластинки по поверхности
несжимаемой жидкости.
жидкости является движением относительно системы коорди-
нат, связанной с пластинкой неизменно. Обозначим через Н
глубину плоского горизонтального дна перед пластинкой (см.
рис. 35). Для простоты пренебрежем силой тяжести и будем
считать жидкость идеальной и несжимаемой. По условию, далеко
перед и за пластинкой в абсолютном движении жидкость покоит-
ся, в относительном движении жидкость в бесконечности имеет
постоянную горизонтальную скорость v0, направленную спра-
ва налево (см. рис. 35). В относительном движении в сечении
плоскостью ху свободные поверхности АВ и DE, обтекаемая
твердая граница пластинки ВС и дно GF представляют собой
линии тока. Примем, что на свободной поверхности давление
постоянно и равно р0 (атмосферное давление). Из интегра-
ла Бернулли для невесомой жидкости следует, что величи-
на относительной скорости на свободной поверхности
постоянна.
Впереди пластинки образуется тонкая брызговая струя
толщины б, очевидно, что на поверхности струи и в бесконеч-
ности в струе величина скорости жидкости равна v0. Следова-
тельно, брызги, образующиеся впереди глиссирующей поверх-
ности в относительном движении, имеют скорость vQ, равную
скорости глиссирования, а в абсолютном движении (соот-
ветствующем неподвижной жидкости в бесконечности впе-
реди пластинки) при малых а скорость брызг приближенно
равна 2v0.

§ 7. Применение интегральных соотношений 59
Возьмем в качестве контрольной поверхности цилиндриче-
скую поверхность единичной ширины с образующими, нормаль-
ными к плоскости ху, и плоскими сечениями, параллельными
этой плоскости, изображенными в плоскости ху контуром
ABCDEGFA, в которой сечения AF, EG и CD расположены
достаточно далеко, так что в этих сечениях можно принять,
что давление равно р0, а скорость равна v0.
Из уравнения сохранения масс следует г)
h = H — б. G.9)
Из уравнения импульсов в проекции на ось х (силы,
действующие на жидкость со стороны дна, исключаются)
найдем
— рЛг?о+ Р^^о cos а = —Р sin ос, G.10)
где Р — величина силы, действующей на единицу ширины
глиссирующей пластинки
Р= jj (P~Po)da.
Из идеальности жидкости следует, что общая сила, дейст-
вующая со стороны жидкости на глиссирующую пластинку,
перпендикулярна к ее плоскости.
Из G.9) и G.10) легко найдем
Р = рб^о ctg -д- • G.11)
Эта формула показывает, что величина силы воздействия
жидкости на глиссирующую пластинку тесно связана с толщи-
ной брызговой струи б, которую можно рассматривать как
функцию а, Н тз. h* (см. рис. 35).
Полное теоретическое решение соответствующей задачи
при заданных Huh* показывает, что при малых а толщина
струи у переднего края имеет порядок а2, и поэтому при малых
а величина силы Р имеет порядок а (так как при малых а
ctg-f «2/а).
Из формулы G.11) следует, что сила сопротивления
R — составляющая силы Р против скорости движения,
т. е, против оси х, и подъемная сила А — составляющая Р,
х) Очевидно, что при применении интегральных соотношений инте-
гралы по Двум плоским сечениям поверхности 2, параллельным плоскости
ху, равны нулю или сокращаются в соответствующих уравнениях.

60 Гл. VIII. Гидромеханика
R = P sin a = p6i>o A + cos a)
A — P cos a = рбУп ctg -pr- cos a.
перпендикулярная к скорости движения, представляются
формулами:
G.12)
Формулы G.12) не зависят явно от // и верны в случае бесконеч-
но глубокой жидкости при Я=оо,/г=оои/г* = оо. Для бес-
конечно глубокой жидкости величина б остается произвольной,
однако ее можно выразить через угол а и «длину» смоченной
поверхности I. Определение величины I ясно из чертежа
на рис. 35.
В действительности сила сопротивления глиссированию уве-
личивается почти вдвое за счет силы вязкого трения, возникаю-
щей на обтекаемой поверхности пластинки. Силы вязкого
трения при малых а оказывают пренебрежимо малое влияние на
подъемную силу А. Выше мы пренебрегли весомостью жидкости.
Можно показать, что при больших скоростях глиссирования
влияние весомости жидкости вообще очень мало г).
„ „ Рассмотрим струйное истечение несжимае-
мои жидкости из большого, в пределе из
бесконечного, сосуда через насадок Борда (рис. 36). Примем,
что сосуд с невесомой жидкостью занимает все левое полупрост-
ранство, ограниченное стенкой ABEG. В стенке имеется отвер-
стие с площадью S, контур отверстия может быть любым. В от-
верстие вставлен цилиндрический достаточно длинный наса-
док ED — ВС, который называется насадком Борда. Вдали от
отверстия в сосуде с жидкостью имеется давление plf во внешнем
пространстве давление ро< Pi- Под влиянием перепада дав-
ления рг — р0 происходит установившееся струйное истечение
жидкости из сосуда во внешнее пространство. Образуется струя
с поверхностью DN — СМ. Обозначим через So площадь по-
перечного сечения струи, которая вырабатывается асимптоти-
чески на далеких расстояниях от отверстия в сосуде. Опре-
делим величину коэффициента сжатия струи, равного отноше-
но
нию -т.
Обозначим через v0 скорость на поверхности струи, соответ-
ствующую постоянному давлению р0, и в предельном сечении
х) См. Л. И.Седов, Плоские задачи гидродинамики и аэродина-
мики, Изд-во «Наука», 1966 и 1950. В книге дано полное решение плоской
гидродинамической задачи о глиссировании с учетом весомости жидкости.

§ 7. Применение интегральных соотношений
61
струи с площадью So, в котором устанавливается давление р0.
Интеграл Бернулли, примененный к любой линии тока в ис-
текающей струе несжимаемой жидкости, дает
Pi = Ро + V" • GЛЗ)
де р — плотность жидкости; здесь принято, что на больших
, —. — ¦—*—*— ь_;.
в
?
Ро
Рис. 36. Схема истечения жидкости через наса-
док Б орда.
расстояниях от отверстия скорость жидкости в сосуде в пределе
равна нулю, а давление равно ръ.
Для нахождения величины коэффициента сжатия струи
применим уравнение количеств движения G.2) к контрольной
поверхности 2, составленной из пунктирной поверхности (см.
рис. 36), стенок сосуда, поверхности струи и площади So; схе-
матически на рис. 36 поверхность 2 изображается контуром
ABCMNDEGFA. С учетом соотношения G.5) уравнение G.2)
можно написать в виде
\ vvn da = — \ (р — рь) п из.
Спроектируем теперь это равенство на направление скорости,
которое параллельно образующим цилиндрической вставки
насадка Борда. На пунктирной части Б, удаляемой в бесконеч-
ность от отверстия, можно принять, что скорость v стремится к
нулю и что поэтому поток количества движения по этой части
S обращается в нуль. В других частях поверхности Б, за иск-
лючением So, имеем vn = 0. Поэтому и в силу того, что жидкость
идеальная, можно написать
(Р — Ро) cos (п, v0) da = Q?! — р0) S, G.14)
BA.FGE

62 Гл. VIII. Гидромеханика
так как по замкнутой поверхности BAFGEB верно равенство
BAFGEB
и поэтому
\ (Pi - Pa) cos (n, v0) da = — \ (pt — p0) da.
BAFGE S
Из G.13) и G.14) сразу находим
Л 1
G.15)
Таким образом, для несжимаемой жидкости коэффициент
ноджатия струи, вытекающей через насадок Борда, равен 1/2.
В общем случае (для насадков другого вида) этот коэффициент
зависит от геометрической формы насадка.
Для газов при непрерывном дозвуковом истечении с обра-
зованием струи, на поверхности которой р = р0, формула G.14)
сохраняет свой вид. Для совершенного газа ее можно перепи-
сать в виде
So
So pi — po _ f pi ,
где Мо — число Маха в сечении So.
Теперь вместо уравнения Бернулли в форме G.13) нужно
использовать уравнение Бернулли для газа. На основании
первой из формул E.14), в которой надо положить р* = рх
и М = Мо, получим
л D+-4-мо) -1 /пла,
Формула G.16) в пределе при Мо ->¦ 0 переходит в формулу
G.15).
Дозвуковое истечение будет происходить при
_
+
При больших перепадах давления, когда (ро/р*) < (Ркр/р*),
в струе получаются сверхзвуковые скорости. При достаточно
малых pjp* в струе будут возникать скачки уплотнения:
в связи с этим решение задачи усложняется.

г
§ 8.\Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми телами
63
§ 8. Взаимодействие жидкостей и газов
с обтекаемыми телами при установившемся
движении
Рассмотрим установившееся движение материальной среды,
обтекающей некоторое тело или систему тел (рис. 37).
Возьмем в качестве части контрольной
SSSSSTTiSL™ поверхности 2 трубку тока 20, содер-
и «отдаваемой» потоком жащую внутри себя оотекаемые тела,
энергии W ограниченные поверхностями 2Х, 22,.--,
которые включим в контрольную поверх-
ность 2. Трубка тока 20 может быть выделена в движущемся
потоке материальной среды мысленно и, в частности, может
представлять собой стен-
ки действительной тру-
бы, внутри которой про-
исходит рассматривае-
мое движение материаль-
ной среды. Выделяемая
трубка тока 20 может
также совпадать только ^ , >„ т\ о,
в отдельных своих час-
тях с некоторыми
твердыми границами.
Плоские сечения Sx и
^2 трубки тока 2 0 тоже
включим в контрольную
поверхность 2. Таким
^* ^хема установившегося движения
материальной среды в трубе с обтекаемыми
препятствиями. Контрольная поверхность
2 = 20 + 2j + ... + 5j + St.
р
образом, контрольная поверхность, к которой мы применим
соотношения G.1) — G.4), представится суммой 2 = 20 +
+ Si + 22 + ... + S± + S2.
Предположим, что на достаточно далеких расстояниях от
внутренних тел, ограниченных поверхностями 21? 22, ¦¦., в
плоских сечениях Sx и S2 (с конечными площадями, которые
будем обозначать также через Sx и S2) трубки тока поток жид-
кости (или газа — сжимаемой жидкости) выравнивается и в
этих сечениях получаются постоянные плотности рх и р2 и по-
стоянные скорости vx и v2, нормальные к 5|1и5|2 соответственно.
Кроме этого, предположим, что в сечениях Sx и S2 внутренние
напряжения сводятся к давлениям г) рх и р%. Внутри трубы и на
стенках трубы можно допустить наличие различных механиз-
мов энергообмена с внешними телами и наличие касательных
х) Это предположение удобно и во многих случаях вполне приемлемо.
Однако можно обобщить последующие формулы на случай, когда на Sr
и S2 могут быть касательные напряжения.
L

64 Гл. VIII. Гидромеханика
напряжений, так как в общем случае нам не потребуется пред-
положение об идеальности жидкости.
Далее воспользуемся следующими обозначениями:
-¦В= J Pndo, (8.1)
S0+?i+S2+...
-М= J (r*Pn + Qn)d3, (8.2)
(8.3)
r = ^-bf/ + -f. (8.4)
Очевидно, что — R представляет собой главный вектор по-
верхностных сил, действующих на жидкость со стороны внут-
ренних тел на границах 2Х, 22, ••• и со стороны границ труб-
ки тока 20. Вектор R представляет собой соответствующую
суммарную силу противодействия, т. е. силу, с которой жид-
кость действует на внутренние тела и на поверхность 20. Ана-
логичное толкование применимо к векторам суммарных момен-
тов относительно некоторой неподвижной точки, —М и М.
Скалярная величина — W представляет собой не что иное,
как общий «приток» (a W — «отток») механической, тепловой и
других видов энергии в единицу времени к объему жидкости,
выделенному контрольной поверхностью 2, отличающийся
от полного «притока» энергии к индивидуальному объему жидко-
сти V только за счет «притоков» энергии к жидкости в сечениях
S1 и S%.
Величина, обозначенная через i*, представляет собой по
определению полное удельное теплосодержание с учетом кине-
тической энергии движения (см. формулу F.7) гл. V, т. 1).
При учете силы тяжести, если положить F = д, будем иметь
(8.5)
и
— Jlv'-g,
где Jt — масса жидкости внутри объема F, г* и v* — соот-
ветственно радиус-вектор и скорость центра тяжести этого

§ 8. Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми телами 65
объема жидкости (плотность может быть переменной по
объему V).
Во многих приложениях можно принимать, что h = О,
dq'ujdt = 0 и F = 0.
Из закона сохранения масс G.1) получим
p1v1S1 = p2i>258 - G, (8.6)
где через G обозначен дгассовый расход в единицу времени через
рассматриваемую трубку тока.
Так как на 20 и по условию на обтекаемых поверхностях
2Х, 22,..., ь\ = 0, то уравнение импульсов G.2) приводит к
следующей формуле:
В = (Pl + Plyj) ^-f - (ра -Ь р.2У22) S,^. (8.7)
Здесь вместо единичных векторов внешних нормалей щ и п2
на сечениях .S^ и S% введены единичные векторы vjv-^ = — щш
v2lv2 — щ. Для учета силы тяжести жидкости на основании
(8.1) и (8.5) справа в (8.7) необходимо только добавить силу веса
жидкости, находящейся между сечениями S1 и S2.
Введем теперь радиусы-векторы ?\ и т\ центров тяжести
площадей сечений iS2 и S2 и положим к = 0 на St и iSV Урав-
нение моментов G.3) приводит к следующей формуле:
М = (рл 4- Pi^i) Si (p., j- Рг^г) ^2 • (8.8)
Для учета весомости жидкости в (8.8) нужно добавить момент
силы веса, приложенный в центре тяжести жидкости между
сечениями Sx и S2 (см. (8.5)). Если на всю поверхность 20 (по-
верхность трубы и струи в целом) извне действует постоянное
давление р0, согласно сказанному выше, в формулах (8.7) и (8.8)
можно заменить рх и р2 через рх — р0 и р2 — р0. В дальнейшем
можно считать, что р1 и р2 равны полным давлениям или
добавкам к постоянному давлению р0.
Наконец, уравнение энергии при естественном допущении,
что Qn = 0 на iSj и S2 (наличие q*n =f= 0 на Sx и ^2 легко учесть,
однако для многих приложений в этом нет надобности), приво-
дит к равенству простого вида:
W=(il-i*2)G. (8.9).
В этой формуле легко учесть также работу сил тяжести (изме-
нение потенциальной энергии жидкости между сечениями S1
и St). -
3 Л. И. Седов, т. Ч

66 Гл. VIII. Гидромеханика
Отсюда при W = 0 получим, что i\ = ц,. Для совершенного
газа в раскрытом виде это равенство совпадает с уравнением
Бернулли E.2). При W ф 0 мы имеем обобщение уравнения
Бернулли на более сложные среды с учетом изменения констан-
ты энергии вдоль линий тока за счет «оттока» энергии W от
жидкости к внешним телам.
Соотношения (8.6) — (8.9) применимы в общем случае как
для непрерывных движений, так и движений с наличием раз-
личных разрывов внутри рассматриваемого объема. Они играют
фундаментальную роль в инженерной гидравлике и инженерной
газовой динамике. Эти основные соотношения, уравнения и
определяющие формулы положены в основу одномерной теории
всевозможных расчетов газовых и гидравлических машин.
Легко видеть, что для установившихся движений соотношения
(8.6) — (8.9) для конечных масс среды между сечениями Sx и
<?2 выражают собой связи той же природы, что и соотношения
на сильных скачках. При сближении и совпадении сечений
St и S2 равенства (8.6) — (8.9) переходят в условия на прямых
скачках, последнее связано с принятым выше условием:, что
скорости в сечениях Sx и ?2 перпендикулярны к ним.
Соотношения (8.6) — (8.9) выведены для трубки тока с
конечными сечениями St и S2 в предположении, что на этих
сечениях скорость, плотность и давление выравниваются.
Если для точных решений соответствующих гидродинамических
задач эти предположения выполняются, то равенства (8.6) —
(8.9) являются точными. Если в точных решениях или по дан-
ным опытов эти предположения выполняются приближенно,
то полученные соотношения имеют приближенный характер,
однако во многих случаях эти приближения практически
вполне удовлетворительны. Вместе с этим нужно иметь в виду,
что с точки зрения приложений к действительности вообще все
теоретические расчеты всегда имеют только приближенный ха-
рактер. Эти соотношения приложимы к бесконечно тонким
трубкам тока без всяких предположений о выравнивании ско-
рости, плотности и давления. В общем случае, когда характери-
стики движения в сечениях Sx и S2 существенно переменны,
можно написать аналогичные формулы, в которых справа не-
обходимо проводить интегрирование — суммирование правых
частей (8.6) — (8.9), написанных для бесконечно малых пло-
щадок hSx и А52, по S1 и #2.
Для каждой трубки тока при установив-
Уравнение энергии вдоль дшхея адиабатических движениях иде-
ЛИНИИ ТОКЭ t, 7 <ie г\
алънои жидкости, при ад* = О и при
отсутствии притока механической энергии за счет работы мас-
совых сил из (8.3) получается, что W — 0, если граничащие
с жидкостью тела неподвижны, так как поверхностные силы

§ 8. Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми телами 67
в идеальной жидкости (давление) на неподвижных поверхностях
20 и 2lt 22> ... работы не совершают. Поэтому на основании
(8.9) вдоль линии тока верно уравнение энергии в виде равенства
о
Vl _l 77 I pi — v* ' П _i_ P (HA (w
-2"-r tVl-f —-"X-rt/ + —• (8.10)
В рассматриваемом общем случае удельная внутренняя энер-
гия U (р, р, %i> %2i •••) может зависеть от различных механиче-
ских и физико-химических вообще переменных параметров
7ъ %2!---! характеризующих происходящие в частицах жид-
кости внутренние процессы. Эти параметры могут меняться
вдоль линии тока. Равенство (8.9) и соответственно (8.10)
сохранятся и в том случае, когда внутри потока в объеме V
имеются сильные разрывы — скачки.
В вязкой жидкости поверхностные силы не совершают ра-
боты на неподвижных твердых границах (S1, 22,..., и, возмож-
но, всей или части поверхности 20) при условии прилипания
жидкости к обтекаемым стенкам. Однако на свободной границе
(всей или части поверхности 20) поверхностные вязкие силы
внутренних напряжений совершают работу и поэтому W =f= 0.
Кроме этого, в вязкой и, например, теплопроводной жидкости
значение W зависит еще от эффектов теплообмена в потоке.
В связи с этим в вязкой жидкости вдоль элементарной трубки
тока справа в (8.10) будет присутствовать в общем случае
член вида W /G, причем W —*- 0, если расход через данную труб-
ку тока стремится к нулю.
Для теплоизолированной неподвижной твердой трубы ко-
нечного сечения (при равенстве нулю точно или приближенно
работы сил вязкости в сечениях S± и S2) можно принять, что
W = 0.
В связи с практикой применения уравнения (8.9) сделаем
еще следующее примечание.
Для газов часто можно пользоваться фор-
Возможные трактовки мулой U = cvT + Uo. При химических
внешнего притока энергии J ° r
реакциях и, в частности, при горении
в уравнении (8.9) нужно рассматривать разность
U2 — U1 = cViT2 — сух Тх -f Uог — U01
и учитывать изменение аддитивной постоянной UQ2 — U01.
Соответствующее приращение энергии за счет изменения пара-
метров %и %2> ••• истолковывается как изменение внутренней
химической энергии, это — «теплота химической реакции»;
аналогичным образом можно вводить энергию плавления и
энергию испарения, энергию ионизации и т. п.
3»

68
Гл. VIII. Гидромеханика
В практике инженерных расчетов нередко для внутренней
энергии газа пользуются формулой
U = cvT,
а изменение энергии за счет химических реакций и других
аналогичных процессов вводят как внешне заданные притоки
или оттоки энергии, которые проявляются в уравнении (8.9)
через величину WIG. При таком, на практике удобном, спосо-
бе действие внутренних физико-химических процессов, по су-
ществу, заменяется задаваемыми внешними притоками энергии.
Рассмотрим теперь несколько важных
Сила реакции жидкости, примеров.
текущей в трубе тт / \
rj Пусть жидкость (или газ) движется
по неподвижной, в общем случае искривленной, трубе 20
(рис. 38). Согласно формуле (8.7) сила реакции жидкости на
стенки трубы (сосуда) представляется вектором, являющимся
диагональю параллелограмма, построенного на векторах
и
Если расход жидкости
G = p1v1S1 =-
отличен от нуля, р1
0 и р2
О, площадки Sx и S2 не парал-
лельны, то сила R заве-
домо отлична от нуля.
Очевидно, что всякий по^
ворот потока связан с на-
личием силы реакции, дей-
ствующей на стенки трубы.
Легко видеть из фор-
~ег,р мулы (8.8), что если век-
торы Vx и vz, приложенные
в некоторых определен-
ных точках сечений St и
S2, пересекаются в точке
О, то суммарный момент
сил реакции жидкости на стенкь трубы относительно точки
О равен нулю, поэтому равнодействующую силу R можно рас-
сматривать как силу,' приложенную в точке О, связанной с
трубой.
Рис. 38. Сила реакции жидкости на
трубу.

г
§ 8. Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми телами
Об условиях в бесконеч-
ности при движении тела
в цилиндрической трубе
Для определения силы сопротивления,
испытываемой телами, движущимися в
безграничном потоке, рассмотрим сначала
тело или систему тел, движущихся по-
ступательно с постоянной скоростью v в бесконечной ци-
линдрической трубе (рис. 39) параллельно образующим тру-
бы. Возмущенное движение жидкости зависит от формы
тел и трубы, расположения тел относительно трубы, скорос-
ти тел, свойств жидкости (вязкость, сжимаемость и т. п.) и
первоначального невозмущенного состояния жидкости. Для
решения этой гидроаэродинамнческой задачи необходимо, в со-
ответствии с опытом, сделать некоторые допущения, которые
и
и
'- —х
Ро
Рис. 39. Схема обтекания тел в цилиндрической трубе.
должны быть выставлены в качестве добавочных условий, опре-
деляющих решение соответствующей задачи.
Для тел, малых по сравнению с поперечными размерами
трубы, во многих случаях можно считать практически и теоре-
тически приемлемым следующее основное допущение. Перед
телом в бесконечности в пределе возмущения, вызываемые
в жидкости движущимися телами, затухают, и поэтому можно
выставить условие о том, что перед движущимися телами
впереди в бесконечности жидкость покоится 1).
Предположим далее, что абсолютное и относительное (в си-
стеме координат, связанной с телами) движения жидкости
установившиеся, теоретически это означает, что рассматривае-
мое движение жидкости является предельным для тел, движу-
щихся в жидкости с данной скоростью бесконечно долго, т. е.
-1) В некоторых случаях для тел, помещенных в трубу, это «естественное»
допущение невозможно! В частности, если тело неподвижно, но проса-
сывает с помощью винта жидкость, то впереди образуется струя, поэтому
нельзя считать, что для такого неподвижного тела жидкость впереди по-
коится, т. е. при удалении вперед в бесконечность скорость стремится
к нулю во всех точках сечения трубы. В безграничном потоке указанный
эффект пропадает. Однако для бесконечной системы тел (например, решет-
ки) этот эффект может быть и в безграничной жидкости.
1

70 Гл. VIII. Гидромеханика
что тела побывали в бесконечности сзади, откуда они пришли
в данное место трубы.
В связи с предположением об установившемся характере
движения сильно осложняется вопрос об условиях в бесконеч-
ности сзади за движущимися телами. На первый взгляд можно
предположить, что возмущения, вызываемые телами, затухают
при удалении в бесконечность назад так же, как и при удалении
в бесконечность вперед. Более глубокое изучение вопроса о
схеме потока жидкости показывает, что в рамках употребля-
емых моделей жидкости, например, для идеальной жидкости,
можно находить различные возмущенные движения в зависи-
мости от условий за телами в бесконечности. В ряде важных
случаев опыту отвечают именно такие схемы потоков, в кото-
рых возмущения в жидкости не затухают в бесконечности за
телами.
Для более глубокого понимания проблемы схематизирова-
ния и постановки задач о возмущенных движениях жидкости,
вызываемых движущимися внутри жидкости телами, рассмот-
рим сначала вопрос о сопротивлении, испытываемом телами,
в предположении, что жидкость идеальная и что далеко сзади
за телами возмущения затухают.
Дальнейшую теорию удобно развивать,
Обращение движения, па- обратив движение, т. е. сообщив системе
радокс Дюбуа F rt ^
г жидкость — тела поступательную ско-
рость, равную скорости тел, но направленную в противополож-
ную сторону. Иначе говоря, рассматривать задачу о движении
жидкости относительно тел. После обращения получим, что
тела неподвижны, а жидкость в силу условия на бесконечности
впереди тел набегает на тела из бесконечности со скоростью,
равной, но противоположной скорости тел при абсолютном
движении.
Очевидно, что после обращения движения или, что то же
самое, просто при изучении движения жидкости относительно
неподвижных тел все силы и внутренние напряжения останутся
неизмененными. Согласно принципу Галилея — Ньютона
такое обращение с сохранением всех силовых взаимодействий
можно делать всегда для любой модели жидкости. В случае
вязкой жидкости из-за условия прилипания необходимо после
обращения движения двигать трубу вдоль ее образующих,
если при абсолютном движении труба была неподвижной.
В идеальной жидкости такое движение трубы никакого влияния
на движение жидкости не оказывает, поэтому при обращении
движения трубу можно сохранять неподвижной. В вязкой
жидкости влияние граничных условий прилипания на стенках
трубы конечной длины существенно проявляется в обычных
случаях только вблизи стенок трубы, и поэтому для обтекания'
J

г
§ 8. Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми телами 71
небольших тел, расположенных вблизи оси трубы, эти присте-
ночные эффекты не имеют существенного практического зна-
чения.
Таким образом, задачу о движении с постоянной одинако-
вой скоростью тел в жидкости можно заменить эквивалентной
задачей об обтекании неподвижных тел набегающим потоком
жидкости со скоростью, противоположной скорости движе-
ния тел.
В опытах отсутствие полной эквивалентности при наличии
других тел, не участвующих в обращении движения, например,
стенок аэродинамической трубы или стенок канала, лотка, при-
водит к парадоксу Дюбуа, состоящему в том, что сопротивления
тел, движущихся в неподвижной жидкости, и обтекаемых не-
подвижных тел различны. Для устранения парадокса Дюбуа
при моделировании необходимо устранить (снизить) влияние
посторонних тел, что связано, вообще говоря, с увеличением
размеров рабочих частей испытательных устройств.
„ _ , Так как движение среды установившееся,
Парадокс Даламоера г
а обтекаемые тела твердые и непроница-
емые, то линии тока, совпадающие с траекториями и приходя-
щие из бесконечности, должны уходить в бесконечность за
телами. Для простоты рассмотрим случай, когда внешних мас-
совых сил нет, а жидкость является идеальной несжимаемой
жидкостью или идеальным совершенным газом, движущимся
адиабатически. В этих случаях на каждой линии тока имеет
место интеграл Бернулли. На всех линиях тока, приходящих
из бесконечности, в бесконечности имеем плотность рх, давление
рх и скорость ь\, одинаковые на всех линиях тока, поэтому ин-
теграл Бернулли и условие адиабатичности можно представить
в виде двух (см. E.13)) соотношений:
'-1) P*
где
1 „2 _ - т" - /•• d-C-D'y _ Pi T —1 ;*e~(s~Sl)/Cp (8 \2)
-jj-^Diax — cpl —li P ——Щ ~~z—le i К0-1*1)
а величины i*, T* и vmax постоянны и одинаковы на всех линиях
тока, причем это верно как для непрерывного движения, так
и для движения со скачками уплотнения. Эти величины могут
меняться только за счет подведения к частицам внешней энер-
гии W, отличной от работы сил давления. Величина р* может
изменяться только за счет роста энтропии, который будет
происходить в рассматриваемом адиабатическом движении при
пересечении линиями тока скачков уплотнения.

72 Гл. VIII. Гидромеханика
Рассмотрим характеристики движения в сечениях Sx и
1^2 при х -> —оо и х —> -(-о°- На всех линиях тока, прости-
рающихся ОТ Sx ДО S2, Верно равенство ^maxl = vmax2
(Tl=Tl); кроме этого, для линий тока, на которых движение
непрерывно, имеем р{ = р\, на линиях тока, которые пересе-
кают скачки уплотнения, будем иметь р*2 <^ р{.
Рассмотрим теперь движение жидкости или газа в сечении
S2- Основное допущение, которое хорошо соответствует опы-
там, состоит в том, что давление далеко от тела выравнивается
во всех точках S2, и поэтому р2 — одно и то же во всех точках
сечения S2. Отсюда и из (8.11) следует, что, если движение
жидкости везде непрерывно, т. е. в сечении S2 pi = .Pi = const,
то на iS2 будем иметь v% = const и р2 = const; причем уравнение
расхода дает соотношение
p1v1S1 = p2v.2Sz. (8.13)
Если поток далеко впереди и сзади тел занимает всю пло-
щадь сечения цилиндра, т. е. S1 = 5'2 = S, то из (8.13) найдем
Отсюда, так как вдоль каждой линии тока pv согласно (8.11)
легко выразить через р*, Г*, vmax и pip*, следует, что pjpl =
= pi/pl, или, так как р{ = р\, что рг = р2, pt — p2 и vx = v2.
Таким образом, из предположения о непрерывном обтекании
тела в цилиндрической трубе при отсутствии полостей, распро-
страняющихся за телами в бесконечность, т. е. при Sx = S2,
как следствие условия о выравнивании давлений получилось,
что все характеристики потока в переднем и заднем сечениях
S-l и S2 далеко от тел одинаковы. Этот вывод установлен
для непрерывных адиабатических движений газа: очевид-
но, что для несжимаемой жидкости это положение также
верно.
Отсюда на основании формулы (8.7) следует, что
В = 0. (8.14)
При отсутствии внешних массовых сил сила R представляет
собой суммарную силу реакции жидкости на внутренние тела
Вг и на стенки цилиндрической трубы Z?2
В = J?! '+ В2.
Формула (8.14) верна для трубы любых очертаний, когда 5Х =
= S2 в бесконечности. Ввиду того, что труба цилиндрическая,
из предположения об идеальности жидкости следует, что сила
Ж2, действующая на стенки трубы, нормальна к образующим
трубы и, следовательно, перпендикулярна к оси трубы и ско-

§ 8. Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми телами 73
рости потока жидкости в бесконечности. Поэтому на основании
(8.14) верен следующий фундаментальный вывод:
RiJ_t»oo. (8.15)
Таким образом, установлено, что в рассматриваемой поста-
новке задачи общая сила воздействия потока газа или жидко-
сти на помещенные в него неподвижные тела при установив-
шемся обтекании может быть отличной от нуля, но эта сила
перпендикулярна к скорости набегающего потока v^, = v1 = v2.
////////////////////////////////////////////////Л У////
Рис. 40. Схема обтекания тела со срывом струй.
Иначе говоря, подъемная сила Т&х может отличаться от нуля,
но общее сопротивление обтекаемых тел равно нулю.
Этот вывод противоречит данным опытов, в которых всегда
наблюдается сила сопротивления, поэтому он носит название
«парадокса» Даламбера. Парадокс Даламбера получается как
следствие сформулированных выше допущений о том, что жид-
кость идеальна, что обтекание непрерывно и поток в бесконеч-
ности впереди тела поступательный с постоянной скоростью,
а сзади тела получается выравнивание давлений (отсутствуют
полости, тянущиеся назад за обтекаемыми телами в бесконеч-
ность, например такие, как на рис. 40).
Несмотря на то, что вывод об отсутствии сопротивления для
тел, движущихся в жидкости с постоянной скоростью, на пер-
вый взгляд резко расходится с опытом, можно усмотреть его
соответствие опыту, если обратить внимание на то что для дан-
ной скорости набегающего потока и фиксированного объема
тела в опытах можно добиваться путем придания телу «обтека-
емой формы» (рис. 41) очень значительного снижения силы
сопротивления. Обтекаемость внешней формы тела необхо^
дима для обеспечения непрерывности обтекающего пото-
ка, для обеспечения отсутствия срывов линий тока с поверх-
ности тела, аналогичных срывам, наблюдающимся при обте-
кании, представленном на рис. 40. За счет обтекаемости формы
тела можно снижать сопротивление тела в сотни раз по срав-
нению е сопротивлением такого плохо обтекаемого тела, как
шар. Однако полного исчезновения сопротивления для тел,

74 Гл. VIII. Гидромеханика
ограниченных неподвижными и непроницаемыми поверхно-
стями, обтекаемыми воздухом или водой, нельзя получить из-за
наличия на поверхности тел касательных составляющих
напряжений — сил трения, обусловленных свойствами вяз-
кости. Полное устранение сопротивления для хорошо обтека-
емых тел, вероятно, можно получить в сверхтекучих, лишенных
вязкости жидкостях.
Выше парадокс Даламбера (8.15) установлен для обтекания
тела идеальной жидкостью в цилиндрической трубе независимо
Рис. 41. Тела обтекаемой формы: а) симметричное
обтекание тела с очень малым сопротивлением, б) не-
симметричное обтекание с подъемной силой.
от формы сечения S трубы. Этот основной вывод не зависит так-
же от размеров площади сечения трубы, в частности, для круг-
лой трубы от радиуса трубы. Устремляя радиус трубы в бес-
конечность, получим, что выводы, заключенные в формулах
(8.14) и (8.15), сохраняют свою силу в пределе, поэтому пара-
докс Даламбера имеет место и в случае обтекания системы тел
непрерывным установившимся безграничным потоком жидкости
или газа, в котором происходит выравнивание характеристик
потока в бесконечности, вдали от тела, и который можно рас-
сматривать как предел обтекания той же системы тел в цилин-
дрической трубе.
Парадокс Даламбера установлен для любой системы тел.
При наличии в потоке нескольких тел нельзя утверждать, что
составляющая силы воздействия потока, параллельная ско-
рости, для каждого тела в отдельности равна нулю. Подчерк-
нем, что было доказано равенство нулю только общей суммар-
ной составляющей силы, параллельной одной и той же посту-
пательной скорости системы тел.
Отметим также, что при доказательстве парадокса Далам-
бера, вообще говоря, не предполагается, что движение жидко-
сти потенциально и что в жидкости нет конечных полостей, за-
полненных газом, паром и жидкостью (см. схемы на рис. 42).
Очевидно, что для установившихся обтеканий идеальной
жидкостью, аналогичных указанным на рис. 42, общая сила

§ 8. Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми телами
75
сопротивления изолированного тела (или системы тел) равна
нулю, так как из общего уравнения G.2) очевидно, что равна
нулю общая сила, действующая со стороны тела и жидкости
на области в потоке, ограниченные системой поверхностей, на
которых vn = 0. Например, равна нулю общая сила, дейст-
вующая на движущуюся или покоящуюся жидкость в объеме х)
внутри замкнутой поверхности, изображенной контуром
ABCDEA на рис. 42.
Рассмотрим еще отдельно слу-
чай обтекания тела для простоты
несжимаемой жидкостью с учетом
силы веса, когда цилиндрическая
труба и соответствующий поток
вертикальны. Для определенности
примем, что имеется только одно
Газ-
Рис. 42. Обтекание тел с образованием
вихревой зоны (схема а)) и каверны, за-
полненной газом или покоящейся жид-
костью (схема б)).
Рис. 43. Схема обтекания тя-
желой жидкостью тела с
присоединенным газовым «пу-
зырем».
тело, которое, всплывая, движется с постоянной скоростью
вверх; соответственно скорость обтекания неподвижного тела
направлена вниз. Общую схему обтекания усложним введением
за телом застойной области — «пузыря», наполненного газом,
весомостью которого можно пренебречь (рис. 43).
В этом случае уравнение (8.7) с учетом силы тяжести для
проекции на ось z силы, действующей на тело, приводит к фор-
муле
Rz = - (ft + pvl) S + (p2 + pvl) S - Jtg, (8.16)
где JC — масса жидкости между сечениями S1 и 52.
Очевидно, что для величины Л, верна формула
M = pSh — p(Fi-t-V2), (8.17)
1) Если в некоторых точках этого объема в схематизированном дви-
жении скорость жидкости обращается в бесконечность, то предполагается,
что интеграл, определяющий количество движения жидкости в этом объе-
ме, сходится.

76 Гл. VIII. Гидромеханика
где h — расстояние по вертикали между сечениями Sx и S2,
a Fx и F2 — соответственно объем тела и пузыря за телом.
Далее, на основании уравнения Бернулли C.5), условия
выравнивания давлений в сечениях S± и S2 и из уравнения не-
разрывности сразу найдем, что
иг = v2 и р2 — Pl = pgh.
Пользуясь этим, из (8.16) получим
Rz = 9(Vl + Vi)g. (8.18)
Таким образом, вертикальная компонента общей силы, Иг,
представляет собой просто силу Архимеда для общего объема
тела и пузыря. Эта сила будет переменной, если объем пузыря
изменяется либо за счет вдува газа, либо за счет'падения
гидростатического давления при вертикальном движении.
Если благодаря предварительному или перманентному выпус-
канию газа за телом образуется пузырь, то общая сила Rz
может значительно превышать вес тела. При отсутствии пузы-
ря тяжелое тело тонет, а при наличии пузыря тело может вспы-
вать, причем с увеличивающимся ускорением, если при подъе-
ме вверх пузырь расширяется и сила Архимеда увеличивается.
Вычислим силу сопротивления при обте-
Сила сопротивления при кании идеальной несжимаемой жидко-
сбтекании тел жидкостью , н . " „
со срывом струй стью (Pi = Ра) тела в Цилиндрической
трубе по схеме на рис. 40. В этом случае,
в ^соответствии с опытными данными, предполагается, что
за телом образуется ограниченная свободной поверхностью
тока область (область SB на рис. 40), в которой имеется газ
или пары жидкости с некоторым давлением р^. Как и
раньше, примем, что в набегающем потоке далеко впереди
имеется однородное поступательное движение жидкости,
далеко сзади также получается однородное поступательное
движение с давлением р2 и скоростью v2, но сзади асимптоти-
ческое значение площади сечения жидкости равно S* <С S.
Из уравнения неразрывности и несжимаемости следует, что
v1S_ = S*v2, т. е. г;2 > vx.
\Из уравнения Бернулли получим
отсюда следует, что р2 <С .Pi- Если приравнять р2 = pd, то
этим определится скорость v2.
Для силы сопротивления из (8.7) получим

§ 8. Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми телами 77
или
Таким образом, при струйном обтекании в идеальной жид-
кости тело испытывает сопротивление, отличное от нуля. При
движении в трубе величины давлений ргш р2 = pd можно задать
произвольно при условии рг <^ рх. Для получения величины
сопротивления изолированного тела при обтекании со срывом
струй, с образованием за телом полости с постоянным давле-
нием, необходимо рассмотреть предельное движение жидкости
при S —>¦ оо. В этом случае при S —>• оо для изолированного тела
в пределе *) получается, что v.2 -»- vx и, следовательно, pd —у рх.
Таким образом, обтекание изолированного тела невесомой
идеальной жидкостью с полостью, простирающейся в беско-
нечность, возможно только в том случае, когда давление в по-
лости рй точно равно давлению в жидкости на далеких расстоя-
ниях от тела, т. е. рх = р «, = pd. Если в полости задать давле-
ние Pd=hp<xi то соответствующие обтекания тел с полостью
можно построить, но в этом случае полость не будет прости-
раться до бесконечности. Можно показать, что если ^ > р«,
то получается обтекание по схеме б рис. 42. В этом случае
в идеальной жидкости гидродинамическое сопротивление равно
нулю.
Если pd <^ рю, то можно рассматривать различные схемы
установившегося обтекания, например, обтекание по схеме,
изображенной на рис. 44, с образованием струйки, уходящей
в бесконечность на второй лист математического простран-
ства. Эта струйка впервые была введена и изучена в работе
Д. А.Эфроса2). Очевидно, что в действительности такое теорети-
чески построенное пространственное движение неосуществимо,
и это означает, что в случае pd <C P оо установившееся обтекание
невозможно. Однако опыты ясно демонстрируют возникновение
этой струйки, которая, попадая на поверхность границы поло-
сти, обусловливает клокочущий неустановившийся характер
движения жидкости за телом. При обтекании с образованием
струйки за счет расхода жидкости в струйке получается гид-
родинамическое сопротивление.
1) Здесь принимается, что предельное обтекание со срывом струй
изолированного конечного тела представляет собой обтекание по схеме
Кирхгофа, в которой vx = v2.
2) См. А. Д. Эфрос, Гидродинамическая теория плоскопараллель-
ного кавитационного течения, ДАН СССР, т. 1, № 4, 1946. Более подроб-
ное изложение соответствующей теории см. Л. И. С е д о в, Плоские
задачи гидродинамики и аэродинамики, изд. 1950 и 1966; см. также
М. И. Гуревич, Теория струй идеальной жидкости, 1962.

78
Гл. VIII. Гидромеханика
Переход к формуле для сопротивления изолированного
тела при обтекании со срывом струй и с образованием полости
за телом, когда р^ = р х, с помощью рассмотрения обтекания
тела в цилиндрической трубе без опоры на решение соответст-
вующих гидродинамических задач провести невозможно.
Рис. 44. Схема струйного обтекания с образованием
обратной струйки.
Сила сопротивления при
обтекании тел газом
со скачками уплотнения
в потоке
Выше рассмотрены некоторые вопросы об обтекании несжи-
маемой идеальной жидкостью тел в трубе со срывом струй.
Аналогичную теорию легко построить для адиабатических
струйных обтеканий тел газом в цилиндрической трубе, когда
скорости в потоке изменяются непрерывно, т. е., вообще говоря,
для дозвуковых скоростей.
Рассмотрим еще раз обтекание тела уста-
новившимся потоком идеального совер-
шенного газа при наличии адиабатич-
ности, но в данном случае предположим,
что либо набегающий поток сверхзвуко-
вой, либо в возмущенном потоке вблизи тела образуются сверх-
звуковые зоны. В этих случаях обычно возникают скачки уп-
лотнения, и поэтому нельзя пользоваться принятым выше ос-
новным допущением о непрерывности движения. При наличии
в потоке скачков уплотнения на линиях тока, пересекающих
скачок, температура торможения Т* по-прежнему сохраняется,
а давление торможения р* падает, так как при переходе через
скачок благодаря росту энтропии появляются необратимые
потери, связанные с переходом механической энергии в тепло.
Наличие этих потерь в скачках, характеризующихся убыва-
нием давления торможения, влечет за собой появление сопро-
тивления при обтекании тел газом.
Рассмотрим более подробно величину сопротивления с уче-
том изменения давления торможения и температуры торможе-
ния в далеких сечениях впереди и сзади тела, т. е. того, что
р% =j= р{, Т\ =j= Tl. Изменение температуры торможения может
происходить за счет химических реакций и, в частности, горе-
ния в газовом потоке или за счет работы внешних сил, сообща-
ющих газу или отбирающих у газа энергию. Предположим,
что на далеких от тела расстояниях движение адиабатическое,

§ 8. Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми телами 79
давление выравнивается, а скорости становятся параллельны-
ми скорости набегающего потока *).
Для проекции на ось х силы, действующей со стороны газа
на обтекаемое тело в цилиндрической трубе, согласно G.2)
для неравномерно распределенных р2 и v2 на S2 можно написать
= (Л - Pi) S + [ (wi - »а) р2у2 da. (8.20)
Выше мы показали, что при Т{ = 7*2 и р{ = pi имеем
р1 = р2 и ь\ — v2, поэтому Rx = 0, и таким образом получился
парадокс Даламбера. При изменении полного теплосодержания
_ гр* _
— Ср1 —
и давления торможения, pi =/= /?2> согласно (8.20) получим силу
Rx, вообще говоря, отличную от нуля, величина силы Rx
зависит от характера изменения Т* и р* на линиях тока. Если
(см. рис. 39) Rx ^> 0, имеем сопротивление, если Rx <[ 0,
получается тяга. Тяга в общем случае связана с подводом энер-
гии и увеличением теплосодержания ?2 ^> h-
Рассмотрим случай, когда ц, = i{, но в потоке имеются
потери, снижающие в некоторой области на линиях тока
вблизи тела давление торможения р2 <^ р\. Давление далеко
вниз по потоку р2 вообще отлично от р1 — давления далеко
впереди в набегающем потоке. Если задать р1? vu рг и р2, то
из уравнения расхода для определения р2 получается довольно
сложное уравнение. Это уравнение согласно F.10) можно
написать в виде
Pi
'a /
(8.21)
Из этого уравнения можно усмотреть, что если р2 4= Pi только
в ограниченной области площади S, то при S —>¦ сю получим,
что р2/р1^1. Для изолированного тела в безграничном
потоке при S = оо во многих случаях, в том числе и при
х) Можно и нужно рассматривать также такие теоретические схемы
обтекания, когда в бесконечности за телом эти предположения не выпол-
няются, например, схему крыла конечного размаха (см. § 26), а также
вихревую схему винта с учетом закрученности потока в следе за винтом.

80 Гл. VIII. Гидромеханика
подводе энергии в ограниченной области потока J), можно при-
нять, что
Поэтому на практике для силы сопротивления (или тяги) Rx
в безграничном потоке газа можно пользоваться формулой
w1(vl-vi)te, (8.22)
причем для Tj и v2 верны формулы E.12)
Если Т'х = Т*2, а р2 <^ Ръ то v2 <\ vt и получается сопро-
тивление. Если Т11> Т{ и p\zz р2 или pi ^> pi, то v2 ^> vt
и, следовательно, тело будет испытывать тягу. Таким образом,
выясняется механизм зависимости сопротивления и тяги от
необратимых потерь и подвода энергии к главному потоку.
Исследованию и использованию различных выгодных спо-
собов подвода энергии к потоку при различных условиях
полета посвящены теория и практика реактивных двигателей,
к которым можно отнести также воздушные и водяные винты.
Ниже мы рассмотрим некоторые элементы теории двигателей.
Здесь отметим только, что для получения тяги подвод энергии
можно производить, например, с помощью вращающихся
винтов или путем сжигания в газовом потоке топлива. Сжига-
ние можно осуществлять в специальных камерах сгорания
внутри двигателя, через которые протекает внешний воздух,
но можно получать тягу с помощью сжигания топлива прямо
во внешнем потоке, обтекающем тело, например, вне крыла и
фюзеляжа самолета.
J) Если Т*хф 71*, то в (8.21) под знаком интеграла появится множи-
тель У Т*2/ Т*г t отличный от единицы только на ограниченной области
в сечении S. Это обстоятельство не меняет предыдущих выводов, аналогич-
ныи множитель представляет собой отношение
V Pi

§ 8. Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми телами
81
Гидродинамические силы
при обтекании решеток
профилей
В гидродинамической теории газовых и
гидравлических машин большое значение
имеют решения задач о движении жид-
через решетки профилей. Пусть имеем
бесконечную систему одинаковых цилиндрических крыльев
с параллельными образующими, расставленных периоди-
чески (рис. 45).
костей или газов
Рис. 45. Схема решетки профилей в сечении цилиндрических
крыльев плоскостью, перпендикулярной к их образующим.
В плоскости сечения профилей возьмем декартову систему
координат, которую для определенности свяжем с каким-либо
из профилей. Обозначим через I вектор периода решетки; пусть
Р — угол наклона вектора I к оси х. Угол Р называется выносом
решетки. На рис. 45 изображена решетка, образованная посту-
пательными смещениями двойного профиля (биплана) на вектор
kl, где к — любое целое положительное или отрицатель-
ное число. Все последующие выводы применимы и в том слу-
чае, когда периодическая решетка состоит из сдвигаемой на
период любой системы полипланов.
Рассмотрим обтекание решетки профилей установившимся
плоскопараллельным потоком жидкости или газа. Относитель-
но движения жидкости или газа предположил! еще, что поля
плотности, скорости и напряжения периодические с периодом I
и что на далеких расстояниях от решетки (по нормали к пери-
оду I) перед решеткой и за решеткой потоки выравниваются
к поступательным движениям с постоянными векторами ско-
рости vx и v2 соответственно (см. рис. 45).
Для применения интегральных соотношений выделим ци-
линдрическую контрольную поверхность S единичной ширины
вдоль образующих профилей решетки, изображенную на рис. 45
контуром ABCDA в плоскости ху и включающую в себя кон-
туры обтекаемых неподвижных профилей. Сечения AD и ВС
параллельны вектору периода I, а контуры АВ и DC — любые
кривые, сдвинутые поступательно друг относительно друга на
один период; из свойств периодичности и плоскопараллельно-

82 Гл. VIII. Гидромеханика
сти потока следует, что на АВ и DC, а также на площадках
поверхности S, параллельных плоскости ху, все характеристи-
ки потока в соответствующих точках одинаковы. В отличие
от предыдущих приложений в этом случае части контрольной
поверхности АВ и DC не являются поверхностями тока, а се-
чения AD и ВС не перпендикулярны к соответствующим ско-
ростям потока.
Закон сохранения массы дает
m = lpiV2n = G, (8.23)
где vln и vin — проекции скорости жидкости на направление
единичного вектора п, вектора, полученного от поворота на
прямой угол почасовой стрелке вектора периода I (см. рис. 45),
а б — массовый расход жидкости в одном периоде в слое еди-
ничной ширины.
Уравнение количества движения при отсутствии массовых
сил х) с учетом периодичности и плоскопараллельности потока
для силы R, действующей на единицу ширины системы обте-
каемых профилей в одном периоде, приводит к формуле
Е = (Pi - Pa) l™ + G (»! - t»2). (8.24)
Эта формула проста и удобна для приложений на практике или
в теории гидродинамических решеток. В этой формуле первый
член дает силу, перпендикулярную к вектору периода решетки,
второй член связан с изменением величины и направления ско-
рости потока, протекающего сквозь решетку. Этот член дает
составляющую силу вдоль периода решетки, т. е. силу, стремя-
щуюся двигать решетку в направлении ее периода. Формулы
(8.23) и (8.24) в рамках сформулированной выше постановки
задачи приложимы в общем случае как для жидкостей, так и
для газов с любыми свойствами, как для идеальных, так и для
вязких сред 2). Они приложимы при наличии в потоке (внутри
S) различных физико-химических процессов. В частности, эти
формулы позволяют вычислить силу R по данным эксперимен-
тальных измерений характеристик потока на входе и выходе
из решетки. Далее при допустимых предположениях мы пре-
образуем формулу (8.24) для получения важных следствий от-
носительно подъемной силы, действующей на изолированные
полипланы в безграничном потоке жидкости.
*) Массовые силы инерции при рассмотрении относительных движе-
ний в соответствующих приложениях теории решеток легко учесть до-
полнительно.
2) Так как в бесконечности в поступательных потоках вязкие напря-
жения равны нулю.

§ 8. Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми телами 83
Введем теперь в рассмотрение циркуляцию скорости Г
по замкнутому контуру ABCDA в направлении против хода
часовой стрелки. Нетрудно видеть, что для Г верна формула
Г = Ы-ииI, (8.25)
где v2i и vlt — проекции скоростей v1 и v2 на направление век-
тора периода I. В общем случае для вихревого движения жид-
кости или газа циркуляция Г зависит от выбора контура инте-
грирования 1). Если движение жидкости или газа вблизи кон-
тура ABCDA потенциально, то контур интегрирования при
определении циркуляции можно деформировать, а в случае
непрерывного потенциального потока во всей плоскости вне
обтекаемых контуров контур ABCDA можно деформировать
в контуры обтекаемых профилей. Таким образом, в этом случае
циркуляцию Г, для которой справедлива формула (8.25),
можно рассматривать как суммарную циркуляцию по контуру,
состоящему из всех контуров полиплана в одном периоде, каж-
дый из которых проходится против часовой стрелки.
Формулу (8.24) удобно переписать в комплексной форме,
в которой векторы рассматриваются как комплексные числа,
т. е.
Л = Rx -f- iRy; n — пх -f inи = — ie^,
Vi = vix + ivly = (vu — ivln) ei?'\ v2 = у2ж 4- iv2V = (v2i — iv2n) ei(B.
Нетрудно проверить, что в этих обозначениях можно на-
писать
•К = [(р-2 — Pi) ie№ -f
и отсюда
П= —i piVl + PiV* Г + \
2 ¦ L 2 '
V2l-Vll J V '
Второй член в формуле (8.26) перпендикулярен к периоду
решетки; в общем случае при обтекании решеток как сжима-
емой, так и несжимаемой жидкостью, этот член отличен от нуля.
х) В общем случае циркуляция Г не зависит от выбора конгруэнтных
кривых АВ и DC, однако значение Г вообще зависит от вида кривых АВ
и DC внутри одного периода, если эти кривые не конгруэнтны; при потен-
циальном обтекании циркуляция Г не зависит от вида этих неконгруэпт-
ных кривых.

84 Гл. VIII. Гидромеханика
Теорема Н. Е. Жуковского Рассмотрим теперь отдельные частные
о гидродинамической силе случаи Пусть имеем обтекание неподвиж-
воздеиствия на профили в t J a „.,,,„
решетке и о подъемной силе нои решетки идеальной однородной не-
изолированного полиплана сжимаемой жидкостью (рх = р2) без под-
или отдельного профиля вода внешней механической энергии.
В этом случае имеется часть потока, обра-
зованная системой линий тока, приходящих из бесконечности
перед решеткой и уходящих в бесконечность за решеткой. Из
условий в бесконечности и из уравнения Бернулли следует,
что движение жидкости в области потока, образованного этой
системой линий тока, потенциальное (см. конец § 2). Вместе
с тем в потоке могут быть области с вихревым движением. Мож-
но рассматривать различные обтекания с вихревыми областями
или кавернами, а также и такие, когда движение жидкости
везде вне профилей потенциально. Для полипланов такие по-
тенциальные обтекания могут быть разными в зависимости от
различного задания циркуляции по отдельным планам при
заданной суммарной циркуляции Г.
Из уравнения Бернулли на линиях тока, приходящих и
уходящих в бесконечность, имеем
Pi -I  = РаН
На основании (8.27) и (8.23) следует, что в (8.26) второй член равен
нулю, и поэтому формула (8.26) приобретает вид
22 = _ipf!i+^ir. (8.28)
Равенство (8.28) представляет собой теорему Н. Е. Жуков-
ского для решетки, обтекаемой потенциальным потоком с цир-
куляцией Г в бесконечности. Обычно рассматривается движе-
ние, потенциальное всюду вне профилей. Согласно этой фор-
муле имеем, что сила R перпендикулярна к средней скорости
(vi + vz)l% и пропорциональна плотности и циркуляции по
контуру, охватывающему один раз профили и внутренние вих-
ревые области или каверны в одном периоде. Согласно формуле
(8.28) направление силы R получается поворотом вектора сред-
ней скорости на прямой угол против направления циркуляции Г
(т. е. в данном случае, при Г ^> 0, по ходу часовой стрелки, по-
ворот характеризуется множителем — i).
Переход от решетки к изолированным профилю или поли-
плану профилей можно осуществить в (8.28) предельным пере-
ходом при I ->• оо. Очевидно, что в пределе при конечной
циркуляции Г получим vx = vz = Vao. Формула (8.28) в пре-

§ 8. Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми телами 85
деле дает знаменитую теорему Н. Е. Жуковского для изоли-
рованного профиля или для системы профилей в обычном виде:
U = — гр«теГ, (8.29)
где Г — общая циркуляция, равная циркуляции по бесконечно
удаленному контуру.
Для изолированной системы профилей или для изолирован-
ного профиля можно рассматривать различные предельные те-
чения, в частности, обтекания с вихревыми зонами или с кавер-
нами. Для любого из таких обтеканий формула (8.29) верна.
Эта формула представляет собой фундаментальный резуль-
тат, ставший основой аэродинамики крыльев самолетов. Фор-
мула (8.29) находится в согласии с парадоксом Даламбера,
так как из (8.29) следует, что составляющая силы, параллель-
ная скорости, (сопротивление) равна нулю, но подъемная сила
в идеальной жидкости может отличаться от нуля, наличие ее
тесно связано с циркуляцией Г =/=¦ 0.
Для определения действительного значения подъемной силы
необходимо указать методы определения циркуляции Г. Этот
вопрос был изучен и разрешен тоже в работах С. А. Чаплы-
гина и Н. Е. Жуковского.
Данный выше вывод теоремы Н. Е. Жуковского для изоли-
рованной системы профилей можно распространить на случай
их непрерывного обтекания газом при любых значениях числа
Маха в набегающем потоке х), когда непрерывное обтекание
газом осуществимо. В самом деле, рассмотрим некоторую по-
следовательность обтеканий некоторой системы полипланов
в решетках, в которых период I стремится к бесконечности.
При построении этой последовательности важны только следу-
ющие два допущения. 1°. При I —>¦ о° существует предельное
движение. 2°. В решетке и в пределе все линии тока, приходя-
щие из бесконечности впереди решетки, образуют все линии то-
ка, уходящие в бесконечность сзади решетки, причем на этих ли-
ниях тока движение газа непрерывно и имеет место баротропия.
Из предположения 2°, из уравнения Бернулли и из условий
в бесконечности следует, что движение газа потенциально
в области, заполненной линиями тока, приходящими из бес-
конечности и уходящими в бесконечность (см. § 2 этой главы).
Пусть для определенности циркуляция Г по любому контуру,
который в области потенциального движения может быть де-
формирован в контур ABCDA, имеет фиксированное значение
для всей данной последовательности обтеканий решеток.
!) См. Л. И. С е д о в, Гидроаэродинамические силы при обтекании
профилей сжимаемой жидкостью, ДАН СССР, т. LXIII, № 6, 1948 г.,
стр. 627.

Гл. VIII. Гидромеханика
В каждом из обтеканий верны следующие соотношения:
условие баротропии
Р2 = / (р8) и pi =
уравнение расхода
Р2
Р1
П
уравнение Бернулли
2 I 2 2 Рг
2 2 f" ^ "ф Т =
(8.30)
угг — yiz — "у •
Соотношения (8.30) можно рассматривать как уравнения
для определения рх, р2, /?2' ^гт %> если величины pl: vin, vu
и Г/1 заданы.
В общем случае система уравнений (8.30) имеет несколько
решений. При наличии принятой по условию баротропии изме-
нение всех характеристик движения вдоль линий тока непре-
рывно (условием о баротропии появление скачков уплотнения
исключается). В некоторых случаях, в частности, при больших
сверхзвуковых скоростях обтекания, предположение о баро-
тропии слишком сильно, так как в рамках теории идеального
газа нельзя построить теоретически непрерывных обтеканий:
в этих случаях теорема Жуковского не верна, и поэтому мы
ограничиваемся только непрерывными баротропными и, в част-
ности, адиабатическими движениями в указанной выше об-
ласти.
Дальше мы принимаем, что при достаточно больших I
имеются линии тока, вдоль которых изменения скорости очень
малы (размеры возмущающих тел и вихревых областей малы
по сравнению с /). Отсюда ясно, что характеристики течения
за решеткой при достаточно больших I отвечают решению си-
стемы (8.30), близкому к характеристикам течения перед ре-
шеткой. Поэтому при переходе к пределу, когда I ->• оо, будем
иметь
Все величины с индексом 2 согласно уравнениям
(8.30) можно рассматривать как функции отношения Til =
= v2l — vu. На основании этого предельное значение выра-
жения в скобках второго члена формулы (8.26) можно

г
§ 8. Взаимодействие жидкостей с обтекаемыми телами 87
написать в виде
d ,
"¦U2l
На основании (8.23) имеем
Из уравнения Бернулли (см. (8.30)) получим
dm dv
* = - pjjujs, - p2yan _— .
dvil dl\l
Отсюда следует, что при конечном Г в пределе второй член
в (8.26) обращается в нуль; таким образом, доказано, что при
непрерывном обтекании газом изолированных профиля или
полиплана также верна формула (8.29).
Формула (8.24) определяет общую гидро-
Работа гидродинамических динамическую силу воздействия потока
5Т;^^На П°~ идеальной жидкости или газа при уста-
новившемся обтекании на неподвижную
решетку. Эта сила выражается простой формулой (8.24) че-
рез характеристики потока перед и за решеткой. Очевидно,
что силы, действующие на элементы неподвижной решетки,
никакой работы не совершают.
Уравнение энергии в этом случае, примененное к контроль-
ной поверхности S (см. рис. 45), дает
Исходя из изученного установившегося относительного
обтекания неподвижной решетки, можно рассмотреть обтека-
ние решетки, движущейся поступательно с постоянной скоро-
стью относительно некоторой системы координат. Для этого
достаточно сообщить всей системе, состоящей из решетки и дви-
жущейся относительно решетки жидкости или газа, постоянную
поступательную скорость vaep-
Рассмотрим для простоты важный для приложений случай,
когда поступательная скорость t?nep параллельна оси решетки,
т. е. наклонена к оси х под углом р, равным выносу решетки.
В этом движении перед и за решеткой получаются асимптоти-
ческие скорости
Va6c 1 = Vi + г>пер И t?a6c 2 = Щ + *>пер.
L

Гл. VIII. Гидромеханика
На основании принципа Галилея — Ньютона очевидно, что
в относительном обтекании и в абсолютном движении газа или
жидкости, обтекающей неподвижную решетку, все силы воз-
действия и приток энергии W за счет внутренних процессов
одинаковы, но для абсолютного и относительного движения
кинетические энергии разные, теплосодержания Са5с и Готн
разные, общая сила воздействия потока на решетку одинакова,
но для абсолютного движения эта сила совершает работу, рав-
ную B-vnev.
Рассмотрим теперь полное изменение теплосодержа-
ния йбс в абсолютном движении жидкости или газа в одном
периоде.
На основании простых преобразований легко найдем
"a6cl L ТТ -L. Pl '"'абц 2 тт ft U
= (?:othi — г'отнг) G + -К -^пер == И7 -f- R ¦ Vnep-
Таким образом, уравнение энергии в абсолютном движении
показывает, что в этом случае появляется дополнительный рас-
ход энергии абсолютного потока, который в точности равен
работе гидродинамической силы, действующей на подвижную
решетку.
§ 9. Основные агрегаты гидродинамических
и газовых машин
Выше были изучены важные для приложений приме-
ры и закономерности силовых взаимодействий между потока-
ми жидкости и газа и ограничивающими их стенками и
внутренними телами.
Основные результаты получены с по-
Осреднение неравномерных мощью предположений о выравнивании
движении жидкости и газа ^ r r
в каналах потоков в сечениях контрольных поверх-
ностей, расположенных в пределе в бес-
конечности. В действительности все каналы, в которых дви-
гаются жидкости и газы, конечные и зачастую даже очень коро-
ткие. Поэтому при выборе контрольных поверхностей необ-
ходимо иметь в виду, что на характерных сечениях плотность,
давление и скорость распределены неравномерно.
В частности, из-за прилипания, обусловленного свойством
вязкости, на неподвижных стенках скорости газа и жидко-
сти всегда равны нулю, поэтому вблизи стенок и поверхно-
стей обтекаемых тел всегда имеет место существенная неравно-
мерность в распределении скорости частиц жидкости и газа.

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин 89
На практике, однако, часто получается так, что неравномер-
ность распределения скорости вблизи границ потока, например,
на стенках канала проявляется только в узких слоях с массо-
вым расходом, очень малым по сравнению с общим характер-
ным расходом в канале.
Кроме этого, на практике невозможно дать точные гид-
родинамические расчеты пространственных течений жидкостей
и газов в различных агрегатах, составляющих в целом газо-
вую машину. В связи с этим развиваются инженерные методы
гидравлических расчетов, в которых поток жидкости или газа
в каждом рассматриваемом сечении характеризуется неболь-
шим числом глобальных характеристик. Эти характеристики
можно вводить как некоторые средние действительных нерав-
номерно распределенных характеристик течения, которые можно
измерять в опытах.
Даже в тех случаях, когда в отдельных элементах газовых
машин можно учесть и рассчитать пространственный поток
протекающего газа, связь между различными элементами ма-
шины при анализе работы машины в целом устанавливается
гидравлически — по средним значениям параметров жидкости
или газа. В связи с необходимостью повышать точность расче-
тов, а также в связи с высоким совершенством создаваемых
в современной технике агрегатов и машин в целом практиче-
ское значение приобретает каждый процент характерных пока-
зателей, которые могут и должны вводиться как некоторые сред-
ние величины.
Можно применять и рассматривать средние характеристики
для различных величин, например, для плотности и темпера-
туры, для расхода газа по сечению, различного рода коэффи-
циенты полезного действия (к.п.д.) и т. п. Значения этих вели-
чин в одном и том же процессе зависят от метода осреднения
неравномерного потока и могут сильно различаться при разных
способах осреднения. Очевидно, необходимы специальные ус-
ловия для единообразного метода осреднения, причем приме-
няемые единообразные методы осреднения должны базироваться
на разумных основах так, чтобы соответствующие средние,
во-первых, представляли бы собой характеристики, удовлет-
воряющие основным механическим и физическим законам и,
во-вторых, были бы действительно величинами, характеризу-
ющими нужные с точки зрения приложений эффекты и свойства
агрегатов и машин. Эта проблема осложняется еще тем, что
малое число средних характеристик никогда не может пол-
ностью описать сложные взаимодействия неравномерных пото-
ков с частями элементов машин, которые могут становиться
существенными при более детальном анализе явлений для раз-
работки и постройки изделий повышенного качества.

90 Гл. VIII. Гидромеханика
Вопросы осреднения *) и теории элементов газовых машин
здесь затрагиваются только в самой общей форме, по сути дела,
только с точки зрения механического определения названий
гидравлических и газовых машин и разъяснения самых общих
гидродинамических принципов их действия 2).
Основная идея принципов введения средних характеристик
потока совершенного газа в данном сечении канала состоит
в определении термодинамических характеристик в мысленно
адиабатически обратимым путем заторможенном до состояния
покоя газе (давления торможения р* и удельного теплосодер
жания i* для идеального совершенного газа) или введении
некоторого мысленно определенного поступательного движения
газа в данном сечении с постоянными по сечению скоростью
vcp, давлением р и температурой Т. Вместо поступательного
движения в некоторых приложениях требуется введение про-
стых канонических течений с закруткой.
В каждом сечении канала с неравномерным потоком газа
можно ввести следующие важные характерные величины.
Полный массовый расход газа
G = \ pvnds. (9.1)
S
Средний поток удельного теплосодержания
^ 4$. (9-2)
G S
где i* —теплосодержание в газовых струйках, проходящих
через сечение S.
Средний поток энтропии
4S
G
где s — энтропия частиц газа, пересекающих данное сечение
канала.
*) Об осреднении потоков более подробно см. Л. И. С е д о в и
Г. Г. Черный, сб. статей № 12, вып. 4, «Теоретическая гидродинамика»,
Оборонгиз, 1954; см. также Л.И.Седов, Методы подобия и размер-
ности в механике, 6-е изд., 1966, Изд-во «Наука».
2) Теория и практика гидравлических и газовых машин — это об-
ширная инженерная наука, богатая своим огромным опытом, многочис-
ленными результатами и достижениями. Качественные показатели совер-
шенства газовых и гидравлических машин связаны с их экономичностью,
прочностью, надежностью регулирования и действия, причем для авиаци-
онных и ракетных конструкций остро стоят проблемы компактности их
габаритов и минимума веса. Решения, оптимальные в целом, получаются
как компромиссы, в возможность достижения которых совершенство
аэрогидродинамических процессов дает основной вклад.

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин 91
Средний поток импульса сквозь данное сечение
Jop = -q Ц (рп 4- pvvh) do, (9.4)
где п — единичный вектор нормали к элементу сечения da.
Здесь мы не рассматриваем среднего потока момента количества
движения, который важен только в том случае, когда канони-
ческий поток не поступателен.
Из предыдущего обсуждения понятно, что сохранение ве-
личин (9.1) — (9.4) для действительного потока и для потока,
мысленно вводимого как средний, очень необходимо для полу-
чения правильных характеристик, обусловливающих силовые
и энергетические взаимодействия потока с обтекаемыми тела-
ми, которые в свою очередь определяют нужные свойства газо-
вого потока. В связи с этим важно отметить, что, например, при
замене в данном сечении трубы с площадью S данного нерав-
номерного потока поступательным потоком нельзя получить
одинаковые значения всех величин (9.1) — (9.4) в обоих по-
токах.
Действительно, состояние газа при поступательном движе-
нии в цилиндрической трубе определяется тремя параметрами.
Р, Р, v. (9.5J
Если заданы площадь S, расход G, удельное теплосодержание
i* и удельная энтропия s, то все величины (9.5) можно вычис-
лить по формулам газовой динамики. Если теперь по данным
р, р, v вычислить еще импульс I и абсолютную температуру по
формуле Т = р/Rp, то I не совпадает с -ГСр, вычисленным по
формуле (9.4) по данным измерений в опытах, а вычисленная
температура Т = p/Rp не совпадет со средним значением тем-
пературы по площади сечения или по массе, или со средним
значением, определенным каким-либо другим независимым от
первоначального введения способом.
Средние величины р, p,v для характерного поступательного
потока можно было бы вычислить и из других условий, напри-
мер, из условия сохранения г) G, i* и компонент импульса
1Х, /у, Iz. В этом случае удельную энтропию s соответствую-
щего поступательного движения можно вычислить с помощью
термодинамических формул. При наличии неравномерностей
при этом получим, что s ^> scp, где scp определено по формуле
г) Более детальное исследование показывает, что вообще такое вы-
числение не всегда возможно. Это означает, что уравнения для опреде-
ления р, р и v из условий сохранения G, i'dIb некоторых случаях не
имеют решения, тогда как аналогичные уравнения с заданными по сече^
нию G, V* и s всегда имеют решения (см. работы, цитированные выше).

92 Гл. VIII. Гидромеханика
(9.3), так как энтропия $~соответствует мысленному (или дей-
ствительному) выравниванию неравномерных скоростей в ре-
зультате необратимых внутренних процессов смешения пото-
ков в различных струйках в цилиндрическом канале при
отсутствии сил трения на стенках канала (переходу к поступа-
тельному потоку). Такое смешение, связанное с потерями, вы-
зывающими рост энтропии и падение давления торможения,
вообще говоря, не всегда возможно даже теоретически. Соот-
ветствующее обесценивание располагаемой энергии может по-
лучаться в действительности при дальнейшем развитии течения
газа, а может и не получаться в действительности, если со-
ответствующего выравнивания скоростей не происходит. От-
сюда понятно, что осреднение путем введения соответствующего
поступательного движения в некоторых случаях выгоднее и
правильнее производить при сохранении G, i* и sCp.
Указанные различия в средних на практике могут заметно
проявляться только в случаях больших неравномерностей по-
тока. Для слабо неравномерных потоков различие соответству-
ющих средних может проявляться слабо, иногда только в пре-
делах точности измерений и расчетов, однако это не всегда так,
и ясно сформулированные условия введения средних обяза-
тельны как для общего понимания сути дела, так и для исполь-
зования в расчетах экспериментальных данных.
Ниже мы будем пользоваться средними характеристиками
газового потока в данном сечении канала при сохранении G,
i* и энтропии scp. Этим определяются р, р и величина скорости
v; что же касается направления скорости, то в осесимметричных
каналах обычно можно принимать, что средняя скорость на-
правлена по оси канала, в общем случае направление скорости
можно подчинить условию сохранения в неравномерном потоке
и в моделирующем поступательном потоке направления сред-
него импульса, определенного по формуле (9.4).
Всякое осреднение и сокращение числа характеристических
величин связано с утратой ряда свойств рассматриваемого яв-
ления. Для более подробного анализа и для решения задач
о профилировании каналов и о выборе очертаний обтекаемых тел
требуется, вообще говоря, увеличивать число характерных
для потока средних величин, рассматривать не поступатель-
ные моделирующие течения, и в связи с этим усложнять
модель, представляющую в среднем данный поток. Однако
эти усложнения относятся к деталям, нужным для разработ-
ки уточненных расчетов.
„ , Потоки жидкости или газа с требуемыми
Сопло и конфузор " г j
скоростями получаются с помощью при-
менения специальных профилированных каналов или насад-
ков. Для ускорения потоков при дозвуковых скоростях при-
J

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин 93
меняются суживающиеся сопла (конфузоры), для получения
сверхзвуковых скоростей — сопла Лаваля. Эти вопросы для
идеальных жидкостей и газов при обратимых адиабатических
процессах в частицах были подробно рассмотрены в §§ 3 и 6.
Здесь отметим только, что сопло является важной состав-
ной частью множества всевозможных машин и устройств.
В частности, сопла применяются в аэродинамических трубах,
ракетных и реактивных двигателях, создающих тягу за счет
истечения с повышенной скоростью через сопло реактивной
струи жидкости или газа, в различного рода направляющих
каналах и аппаратах, в водяных, паровых и газовых турбинах,
в различного рода испытательных стендах и т. д.
К соплам предъявляются различного рода требования.
В частности, для аэродинамических труб обычно требуется боль-
шая равномерность потока на выходе из сопла в рабочую часть,
в которой поток, приготовленный в сопле, используется для
исследования обтекания различных тел и устройств. Равно-
мерность потока в реактивной струе двигателей способствует
повышению тяги двигателей. Вопросы расхода, скорости исте-
чения и равномерности потока, выходящего из сопла, тесно
связаны с выбором геометрических размеров сопла и профи-
лированием направляющего канала.
В §§ 3 и 6 были рассмотрены идеальные процессы. На прак-
тике при движении жидкостей или газов в каналах проявляется
влияние свойства вязкости и внешних по отношению к потоку
сил трения на стенках канала. Это влияние сильно возрастает
для длинных каналов, в связи с этим характерно стремление
делать короткие сопла. С другой стороны, при очень коротких
соплах сильно нарушается равномерность распределения ско-
ростей, возникают резко выраженные неравномерные простран-
ственные движения с возможными отрывами потока от стенок
и появлением «карманов» с противотоками. Не только основ-
ные размеры и соответствующий градиент давления, но и форма
контуров канала оказывают большое влияние на распределение
скоростей внутри канала. Необходимо также учитывать шеро-
ховатость стенок канала и в некоторых случаях тепловые по-
токи сквозь их стенки (например, в соплах ракетных двигателей
движущийся газ имеет температуру порядка 3000° К). В сверх-
звуковых потоках основным источником потерь и неравномер-
ностей могут являться скачки уплотнения. Внутри сопла такие
скачки могут образовываться в зависимости от некоторых
геометрических свойств контура канала и независимо от формы
канала на нерасчетных режимах^ истечения (см. § 6). В связи
с этим в значениях средних по сечению характеристик потока
в сопле могут наблюдаться отклонения от значений, рассчитан-
ных по идеальной теории, изложенной в §§ 3 и 6.

94 Гл. VIII. Гидромеханика
Обозначим через р{ значение давления торможения на вхо-
де в сопло и через pi — значение на выходе. В идеальном сопле
имеем pl/pl = 1; при действительном движении за счет необ-
ратимых потерь, обусловливающих рост энтропии в частицах,
имеем
а = -^-<1. (9.6)
Pi
Коэффициент а является одной из важных характеристик ка-
чества сопла и отклонения соответствующего действительного
режима истечения жидкости или газа через сопло от идеального.
На практике для хороших сопел величина а близка к единице,
а « 0,98.
В применяемых для двигателей соплах коэффициент а
высок и основное значение для сопел двигателей имеет коэф-
фициент тяги В = R/Ran, т. е. отношение тяги R двигателя
с данным соплом к тяге /?вд двигателя с идеальным расчетным
соплом, в котором нет потерь и обеспечена равномерность по-
тока на выходе при том же перепаде давления в сопле. Для
хороших сопел В порядка 0,98—0,996.
Для аэродинамических труб существенное значение имеет
величина коэффициента неравномерности потока
где Av — среднее по сечению и по времени отклонение скорости
в рабочей части струи от ее среднего значения. В хороших
аэродинамических трубах значение е имеет порядок 1 %.
Во многих случаях на практике для обеспечения нужных из-
менений расхода или скорости потока на выходе из сопла тре-
буется применять регулируемые или сменные сопла (например,
в аэродинамических трубах).
Основной регулируемой характеристикой для дозвуковых
сопел является площадь сечения на выходе, а для сверхзвуко-
вых сопел — площадь сечения горла сопла, в котором дости-
гается критическая скорость потока (см. § 6).
Торможение потока, происходящее при
движении жидкости или газа против воз-
растающего давления, может решаться с помощью примене-
ния специальных каналов, называемых диффузорами.
Так же как и сопла, диффузоры являются составной частью
реактивных двигателей, всевозможных машин и испытательных
установок. В частности, в аэродинамических трубах поток,
прошедший рабочую часть, дозвуковую или сверхзвуковую,
обладает значительной механической; энергией. Этот поток дол-

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин 95
жен быть заторможен 1), поэтому в аэродинамических трубах
имеются диффузорные каналы. Проблема уменьшения потерь
в диффузорах — это проблема сохранения ценной механиче-
ской энергии для обеспечения в случае аэродинамических труб
экономичности установки, а в случае реактивных двигателей
для получения тяги.
В диффузорах мы имеем дело с процессами, обратными про-
цессам в соплах, и в связи с этим при дозвуковых скоростях
диффузорные каналы расширяются вниз по потоку; при сверх-
звуковых скоростях на входе диффузорные каналы вначале
суживаются, затем имеют горло, отвечающее скорости потока,
равной скорости звука, после чего, при дальнейшем торможе-
нии, расширяются для уменьшения дозвуковых скоростей
потока.
Получение регулярных потоков с малыми потерями при
торможении в диффузорах —¦ задача гораздо более трудная,
чем получение ускоренных потоков с малыми потерями в соп-
лах. В диффузорах идеальные обратимые движения нарушаются
за счет тех же причин и свойств среды, что и в соплах, однако
при торможении потоков влияние перечисленных выше факто-
ров проявляется в более сильной степени. В диффузорах из-за
движения против возрастающего давления условия отрыва
потока от стенок более благоприятны, чем в соплах, в которых
движение ускоряется — частицы стремятся двигаться по по-
току за счет падения давления. Для избежания отрывов на
контурах диффузоров в дозвуковой части они должны быть
плавными, без стыков и изломов и без слишком больших углов
расширения. В сверхзвуковых диффузорах поток газа на входе
сверхзвуковой и поэтому, как правило, у входа в диффузор
образуются скачки уплотнения, в которых возникают большие
потери механической энергии.
Основной характеристикой диффузора является коэффи-
циент восстановления давления:
*
Pi
В идеальном диффузоре 0 = 1, на практике даже в очень хо-
роших диффузорах значения а меньше, чем в соплах с анало-
гичными перепадами давлений.
*) Торможение необходимо либо при выбрасывании струи воздуха
в атмосферу, в которой давление выше, чем давление в рабочей части
трубы, либо для повторного использования воздуха через вентилятор.
В замкнутой трубе воздух надо тормозить, чтобы снизить сопротивление
стенок трубы и улучшить условия работы вентилятора.

96
Гл. VIII. Гидромеханика
В реактивных двигателях впереди имеется воздухозабор-
ник, представляющий собой переднюю часть диффузора. Ниже-
мы покажем, что скорость забираемого воздуха надо умень-
шить с тем, чтобы сообщить ему энергию для создания реактив-
ной струи большой скорости, благодаря чему создается нужная
тяга.
Потери в потоке газа при подходе к диффузору или в са-
мом диффузоре могут быть очень большими при больших
сверхзвуковых скоростях полета.
При полете со сверхзвуковыми скоро-
стями в относительном сверхзвуковом по-
токе при подходе к диффузору реактив-
ного двигателя или в самом диффузоре образуются скачки
уплотнения, в которых могут получаться большие потери
механической энергии. На рис. 46 показан прямой скачок
перед входом в простой диффузор.
Диффузор для сверх-
звуковых скоростей полета
Скачок
.У-
Рис. 40. Схема и фотография ударной волны перед входом в диффузор
при сверхзвуковых скоростях обтекания.
С помощью условий на прямом скачке (см. § 6 гл. VII)
и общих газодинамических формул §§ 5 и 6 легко получить
формулу для отношения давления торможения pi за скачком
к давлению торможения pi перед скачком в зависимости от
числа Маха Мх = vx/ax в набегающем потоке (число Маха Мх
отвечает скорости полета).
Это отношение равно
У-'
т + 1 h-
Pi
4Т
2 (т-1) 1 №-«
(Т + 1J (ТГ
м?
Т-1
(9.8)

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин
97
Из этой формулы при у = 1,4 следует, что
при M1 = l,4 a = 0,96,
при
при
Мх = 2
Мх = 3
о = 0,72,
а = 0,33.
Отсюда ясно, что при увеличении числа Маха полета потери
растут очень сильно. Для того чтобы избежать таких больших
потерь, диффузор делают с передним острым краем и централь-
ным коническим телом, перед которым возникают косые скач-
ки уплотнения (см. схемы на рис. 47).
Обечайка
Пряной
' срачон
¦Центральное
тело
Рис. 47. Схемы входа сверхзвукового потока в диффузор.
Прямой скачок в этом случае образуется лишь после серии
косых скачков. Так как число М, подсчитанное по нормальной
скорости для косого скачка, мало, то и потери в косом скачке
невелики. Перед замыкающим прямым скачком, в котором
происходит переход к дозвуковой скорости, число М в этом
случае уже близко к единице и поэтому потери в нем также
малы. Чем больше будет косых скачков, тем меньше будут
потери полного давления при торможении сверхзвукового
потока. На практике для чисел Мх полета до Мх т 3 оказы-
вается достаточным одного-двух косых скачков, чтобы снизить
потери до приемлемой величины.
Другой важной характеристикой диффузора является коэф-
фициент расхода ф. Величина ф определяется как отношение
фактического расхода через диффузор к максимально возмож-
ному расходу при сверхзвуковом полете. Максимальный рас-
ход будет, если в диффузор входит струя газа, имеющая на
бесконечности площадь, равную площади входа в диффузор.
При дозвуковых скоростях полета возможно засасывание
струи, поэтому максимально возможное значение ф и, следова-
тельно, максимальный расход через диффузор отвечают кри-
тическим значениям скорости на входе в диффузор. Отсюда
следует, что
=
Ттпят
4 Л. И. Седов, т. 2

Гл. VIII. Гидромеханика
Если в сверхзвуковом диффузоре косые скачки приходят
в точности на кромку обечайки (рис. 47, а), то ф = 1. Если
полностью закрыть канал, то весь поток пойдет вне диффузора
и ф = 0. На практике может оказаться, что на некоторых режи-
мах работы самое узкое сечение — горло диффузора не про-
пускает всего расхода, который может войти в диффузор, тогда
0 <1 ф <" 1. При этом линии тока крайних струек газа, идущих
в диффузор, разворачиваются и проходят вне диффузора.
Косые скачки могут проходить или пересекаться перед обечай-
кой, тогда у обечайки образуется ударная волна (рис. 47, б).
Все это приводит к возникновению дополнительного внешнего
сопротивления диффузора. Если это сопротивление велико и
его необходимо избежать, то применяют регулируемые диффу-
зоры, в которых можно изменять площадь горла, например,
изменением положения конуса внутреннего тела относительно
обечайки или другими путями.
т. Как было показано выше, воздействие
Камера сгорания '
потока совершенного газа на внутренние
тела может приводить к тяге, если к газу подводится внешняя
энергия или в потоке выделяется энергия за счет химических
реакций, например, горения. В двигателях, создающих тягу,
всегда происходит подвод энергии. Обычно к потоку подводится
либо некоторое количество тепла, либо над потоком совершают
работу внешние поверхностные или массовые силы. Тепло
потоку можно сообщить, сжигая топливо в воздухе, протека-
ющем через специальные каналы внутри двигателей. Такие
каналы называются камерами сгорания.
При сжигании топлива в движущемся воздухе в поток вво-
дится дополнительная масса топлива; при сгорании топлива
в воздухе выделяется тепло и образуется газ — продукты го-
рения. В детальных расчетах можно учесть появление этой
дополнительной массы газа и связанное с этим изменение фи-
зико-механических характеристик газа. На практике эта масса
и изменение свойств часто относительно малы, так как массо-
вая доля топлива по сравнению с массовой долей воздуха, уча-
ствующего в химической реакции, даже в случае стехиомет-
рической смеси мала, например, отношение массы керо-
сина к потребной для его сжигания массе воздуха равно
астехион~1/15. В действительности в камерах сгорания воз-
душно-реактивных двигателей (ВРД) весовая доля воздуха
значительно больше стехиометрической, отношение а имеет по-
рядок 1,5—3%.
Рассмотрим основные эффекты и элементы теории движения
совершенного газа в камерах сгорания, причем учтем только
количество тепла, поступающее в установившийся поток иде-
ального совершенного газа. Изучим изменение параметров

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин 99
газового потока в канале камеры сгорания на основе гидрав-
лической теории, иначе говоря, примем в расчетах, что канал
цилиндрический и что в нормальных к его оси сечениях все
характеристики потока одинаковы.
При подводе тепла энтропия газа, рассчитанная на единицу
массы, всегда возрастает, так как
2 2
T и <#'>>0, (9.9)
индекс 1 здесь относится к параметрам на входе в камеру сго-
рания, а индекс 2 — к параметрам в рассматриваемом сечении
или на выходе; dqC> — приток тепла, рассчитанный на единицу
массы в промежуточных положениях частиц газа.
Согласно уравнению энергии (8.9) имеем
и (9.10)
dq& = cpdT'.
Здесь через д<е) обозначен общий приток тепла на единицу
массы газа между рассматриваемыми сечениями.
Отношение давлений торможения через температуры тор-
можения и энтропию выражается формулой (см. E.15) гл. V)
() (9Л1)
Pi XTi'
Из этой формулы следует, что при заданных начальном тепло-
содержании i\ = cvT\ и подводе тепла q(e\ т. е. при заданном
отношении Т1/Т{, коэффициент а получается тем меньше, чем
больше возрастает энтропия s2 — sx ^> 0. Определив темпера-
туру торможения Т* как температуру, которую имел бы газ,
если его адиабатически затормозить из данного состояния с тем-
пературой Т до состояния покоя, при i — i" — const, будем иметь
Т=Т' — -?- (9.12')
и с помощью (9.9) и (9.10) получим
¦ (9.12)
2cp
Формула (9.12) показывает, что рост энтропии, а следователь-
но, и потери давления торможения могут быть тем меньше, чем
А*

100 Гл. VIII. Гидромеханика
при меньшей скорости подводится тепло. Очевидно, что мини-
мально возможный рост энтропии соответствует обратимому
процессу подвода тепла при скорости потока, равной нулю,
т. е. v = 0, и при отсутствии других диссипативных потерь.
В этом идеально выгодном случае имеем
: cpdT* , Т'
s2-Sl = ^-^ = cvln^,
1 1
поэтому
и, следовательно,
*
а=А = 1. (9.13)
Pi
В реальных условиях в камере сгорания всегда а <^ 1.
Полученные важные выводы установлены с помощью одно-
мерной гидравлической теории, причем очевидно, что в рамках
такой теории эти выводы верны и тогда, когда камера сгорания
вообще не цилиндрическая. Подчеркнем, что снижение гидрав-
лических потерь и выгодные условия подвода тепла в камере
сгорания соответствуют процессу, в котором в пределе скорость
газа относительно камеры равна нулю. В связи с этим, а также
в связи с необходимостью организовать сгорание впрыскива-
емого топлива в движущемся воздухе требуется поступающий
в камеру сгорания воздух предварительно затормозить. Пред-
варительное торможение воздуха можно осуществить частично
или полностью с помощью диффузора, расположенного перед
камерой сгорания. В сверхзвуковом полете для этого нужно
применять специальные диффузоры для торможения сверхзву-
ковой скорости (см. выше стр. 96).
Из анализа вопроса об образовании тяги (формула (8.22))
ясно видно, что для ее увеличения необходимо повышать раз-
ность Т\ — П и стремиться к увеличению или сохранению
отношения рУр{. Выше показано, что при подводе к потоку
тепла в идеальном случае отношение рУр\ сохраняется и его
нельзя увеличить. Ниже мы покажем, что при подводе к потоку
работы внешних сил отношение рУр\ можно значительно уве-
личить по сравнению с единицей.
Для дальнейшего анализа свойств движения газа в камере
сгорания рассмотрим законы изменения скорости, плотности,
давления и числа Маха потока в цилиндрической камере сго-
рания. Уравнения установившегося движения идеального со-
вершенного газа в цилиндрической трубе имеют вид:
J

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин 101
уравнение расхода (для простоты без учета массы поступа-
ющего топлива)
dpv = pdv -f- vdp — 0;
уравнение импульсов при отсутствии внешних сил
dp -\- pvdv = 0;
уравнение притока тепла, так как для внутренней энергии
верна формула U — -—-г f-const, можно написать в форме
т — * р
dU
= —pd i- + dq^ или -4-j d (¦?-') -{ pd— =
Разрешая эти три уравнения относительно дифференциалов
dv, dp и dp, найдем
dv^ _ 1 (г — i\ dgi) ¦ ^L~ dv- ¦
v 1—M2 U ' a2 ' p у '
dp__ TM2,^,,^ (9.14)
p ~~ A — M2) Kl > a2 '
где a2 = (dp/dp)s = ^p/p и M = y/a — число Маха; причем
согласно (9.10), (9.12') и уравнения состояния совершенного
газа р = pRT легко получается, что
^. (9.15)
Из формул (9.14) видно, что в цилиндрическом канале при
подводе тепла (dq (e) ^> 0) на дозвуковых режимах движения
скорость потока возрастает, а давление падает, на сверхзвуко-
вых — наоборот.
На основании (9.14) и определения числа Маха М =
, do dp I-
V
ТР/Р
легко найдем
следовательно, в дозвуковом потоке при подводе тепла число
Маха М возрастает, а в сверхзвуковом — падает. На основании
(9.15) равенство (9.16) легко проинтегрировать и заменить
конечным соотношением.
Таким образом, при подводе тепла к дозвуковому потоку
в цилиндрическом канале (камере сгорания) скорость может
возрастать только до тех пор, пока не достигнет критического
значения г>кр. После достижения критической скорости даль-

102 Гл. VIII. Гидромеханика
нейпшй подвод тепла к частицам газа в цилиндрическом канале
оказывается невозможным. Это явление носит название теп-
лового кризиса. Если же попытаться подвести большее коли-
чество тепла (например, продолжать сжигать топливо), то про-
изойдет одно из двух: либо течение перестроится, параметры
на входе в камеру изменятся, скорость на выходе упадет до
такой величины, что при новом подводе тепла скорость будет
равна скорости звука в кон-
це камеры; либо, если такая
перестройка течения невоз-
__ можна (например, специаль-
Стабилизатор ными устройствами обеспечи-
Рис. 48. Принципиальная схема дей- вается подача газа в камеру
ствия стабилизатора в камере его- со строго определенными па-
Рания- раметрами), при принуди-
тельном подводе тепла ста-
новится невозможным стационарное течение; возникает неу-
становившееся колебательное движение газа (в частности,
помпаж).
Скорость распространения фронта пламени по частицам
имеет порядок всего нескольких метров в секунду. Поэтому
даже при небольших скоростях потока прямой фронт пламени
не может удерживаться в потоке и будет выноситься из камеры.
Для обеспечения устойчивого горения приходится ставить
в камере сгорания стабилизаторы, т. е. тела, на которых про-
исходит поджигание потока и от которых отходит косой фронт
пламени (см. схему на рис. 48).
Угол наклона фронта пламени определяется равенством
скорости пламени по частицам проекции на нормаль к фронту
скорости набегающего потока.
Так как этот угол небольшой, то для того, чтобы камера
не оказалась слишком длинной, в сечении камеры сгорания
необходимо ставить несколько стабилизаторов.
Компрессор (насос) Компрессор представляет собой газовую
г машину, в результате действия которой
за счет переданной газу механической энергии происходит,
вообще говоря, повышение его внутренней или кинетической
энергии, или повышение его полезной работоспособности.
В случае жидкости действие подобной машины нередко сво-
дится к подъему жидкости на высоту и, следовательно, к уве-
личению ее потенциальной энергии. Такие машины называются
насосами.
При медленном квазистатическом сжатии газа происходит,
вообще говоря, увеличение его внутренней энергии. Однако
если процесс сжатия газа сопровождается его охлаждением,
например, за счет теплообмена с окружающей средой, то внут-

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машпн 103
ренняя энергия газа может и не увеличиваться. В самом деле,
для совершенного газа внутренняя энергия единицы массы
зависит только от его температуры и поэтому является тепло-
вой энергией. Если процесс медленного сжатия газа происходит
при постоянной температуре, то к газу подводится механи-
ческая энергия и отводится такое же количество тепла, так что
полная энергия единицы массы газа не меняется, а энтропия
газа
s = cpln ^11)h 4-const
при этом падает. Однако практическая полезная работоспособ-
ность газа, т. е. непосредственная возможность превращения
его внутренней энергии в работу механических сил или в кине-
тическую энергию, помимо запаса внутренней энергии зависит,
очевидно, еще от давления. С практической точки зрения при
данной температуре и массе газа энергия газа с высоким дав-
лением (т. е. с более низкой энтропией) более ценна х), хотя
в обоих случаях для совершенного газа эта энергия является
тепловой.
Существуют различные типы газовых компрессоров. Это
могут быть поршневые машины, в которых поступающий газ
низкого давления сжимается в цилиндрах поршнем. Поршневые
компрессоры часто применяются для получения газа с очень
высокими давлениями. В авиационной технике и в промышлен-
ности вообще большое распространение получили компрессоры
непрерывного действия, в которых передача энергии протека-
ющему газовому потоку в направляющих каналах или прямо
в открытом объеме производится с помощью специальных вра-
щающихся лопастей или систем лопаток. Вращающееся колесо
с системой лопаток, или вентилятор, или воздушный винт,
или водяной винт являются основными и типичными элементами
компрессоров, передатчиков энергии газу от двигательных
систем: электромоторов, двигателей внутреннего сгорания,
турбин и т. п.
Воздушные и водяные винты предназначаются также для
получения тяги. Они передают механическую энергию газу и
создают непосредственно сзади себя область повышенного дав-
ления, которая в свою очередь обусловливает развитие реак-
тивной струи. Промышленные и бытовые вентиляторы часто
используются для создания перепадов давлений, нужных для
организации требуемых потоков. Например, внутри аэродина-
мических труб с замкнутым контуром вентиляторные установки
используются для обеспечения непрерывной циркуляции воз-
См. т. 1, стр. 243.

104 Гл. VIII. Гидромеханика
духа, необходимой для преодоления различных сопротивлений
и компенсаций потерь механической энергии. Заметим также,
что в процессе действия аэродинамической трубы происходит
непрерывный переход механической энергии в тепловую, по-
этому, если отток тепла естественным путем недостаточен, мо-
жет возникнуть необходимость специального охлаждения.
В аэродинамических трубах с потоком воздуха на выброс
необходимо предварительно с помощью компрессоров заготов-
лять запасы сжатого воздуха, накачивая его в специальные
баллоны, из которых этот воздух выпускается через трубу в
атмосферу или в вакуумные камеры. В различных системах
реактивных и поршневых двигателей, особенно в случаях работы
их на большой высоте в разреженной атмосфере, воздух, за-
бираемый диффузором, перед его поступлением в камеру сго-
рания выгодно предварительно тормозить и сжимать с помощью
компрессора.
Существуют два основных типа компрессоров непрерывного
действия, это — центробежные и осевые компрессоры. На
рис. 49 даны их схемы.
В центробежном компрессоре основное движение газа через
профилированные колеса — радиальное, в относительном дви-
жении газ ускоряется и сжимается центробежными силами.
В осевом компрессоре основное движение газа происходит по
цилиндрическим поверхностям через систему вращающихся
лопаток, действующих на газ подобно решетке в рассмотренном
выше плоскопараллельном обтекании.
Ответственными элементами компрессоров являются направ-
ляющие аппараты на входах во вращающиеся колеса и выход-
ные диффузорные каналы.
Практически очень трудно получить без больших потерь
большие степени сжатия, т. е. большие значения величины
в одном колесе, поэтому приходится прибегать к последователь-
ному сжатию в нескольких колесах с промежуточными направ-
ляющими аппаратами. Для получения больших степеней сжа-
тия конструируются многоступенчатые компрессоры.
Основными параметрами, характеризующими режим работы
компрессора, являются: массовый расход газа
G = PiPxS]. = ргг;25а,
где St и ?2 — площади на входе и выходе компрессора соот-
ветственно; температуры торможения Т{, TZ и достигаемая
степень сжатия я = рУр{ (вместо величины я можно вводить
другие эквивалентные характеристики действия компрессора).

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин
105
Ниже мы рассмотрим перечисленные величины для движе-
ния газа относительно неподвижных каналов компрессоров.
Из]уравнения энергии следует, что общая работа, подведенная
/-^4
0 1
—е-*
Рис. 49. Схемы компрессоров: А) одноступенчатый центробежный ком-
прессор (а — входной патрубок, Ь — рабочее колесо с крыльчаткой,
с — диффузорный выходной аппарат, d — выходные патрубки); Б) осевой
компрессор (% — входной и сх — выходной направляющие аппараты,
Ь1 — рабочее колесо, SB — ось вращения рабочего колеса). Внизу изобра-
жена решетка, образующаяся в результате развертки на плоскость поверх-
ности круглого цилиндра с озьго SB, пересекающего лопатки компрессора.
Если радиус этого цилиндра велик по сравнению с размерами сечения ло-
паток, то в ряде случаев можно пренебрегать радиальным движением
газа и с хорошим приближением рассматривать движение газа по цилин-
дрической поверхности как плоскопараллельное движение через решет-
ки. На рисунке указаны направления абсолютных, относительных и
переносных скоростей в соответствующих сечениях.
к газу в единицу времени, в действительном процессе равна
Легко показать, что эта работа всегда больше идеальной работы,

106 Гл. VIII. Гидромеханика
которую необходимо подвести к газу в обратимом процессе
без потерь для того, чтобы получить ту же степень сжатия я.
В самом деле, для совершенного газа верны следующие общие
формулы:
У—1 8i—fo У—1 5g—Sn
и r;=
(а — размерная постоянная), причем из-за потерь в проточной
части компрессора (вязкость, скачки уплотнения, срывы потока,
смешения неравномерных потоков и т. п.) имеем
So.
Введем мысленно адиабатический обратимый процесс, в ко-
тором достигается переход от р\ к р\. В этом идеальном про-
цессе нет потерь и, следовательно, энтропия сохраняется по-
стоянной, поэтому для температуры торможения получим дру-
гое значение Т*2ад, определяемое формулой
т* „ Т п* р р ^ т*
2ЭД — " ^^^^^^ ir'Z ^^ 2»
Соответствующая механическая работа Ат, которую надо
затратить в идеальном процессе, равна
^х q тт ¦ ^*"г) \ 2ЭП " J- л } \JT "^-^ ^х ' ю \ ¦* 2 "*~~ * 1 / •
Отношение
называется адиабатическим коэффициентом полезного действия
(к.п.д.) компрессора в целом, этот коэффициент можно рас-
сматривать также для каждой ступени в отдельности. Адиа-
батический к.п.д. является главной характеристикой техни-
ческого совершенства компрессора.
Для данного компрессора т]ад и степень сжатия я зависят
в основном от расхода G, который можно в общем случае регу-
лировать внешними условиями (скорость полета, площади
проходных сечений и т. п.), и от числа оборотов рабочих колес,
создающих напор. Для данного компрессора существуют рас-
четные наивыгоднейшие режимы работы, для которых цач
имеет наибольшее значение. Максимальные значения цап
зависят от типа, назначения и условий работы компрес-
сора. В лучших авиационных ^компрессорах в одной ступени
со степенью сжатия я ss 1,5—1,4 достигаются значения
т,ад « 0,87-0,88.

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин 107
Из общей формулы при наличии в установившемся движе-
нии газа внешнего притока или оттока энергии
Y-1 1.,-я,
Л-ь (?(е) = СрГ; (я у е ср ~ljG (9.17)
можно вывести, что для получения данной степени сжатия я
можно уменьшить потребную работу А с помощью уменьше-
ния энтропии s2 путем охлаждения газа ((?<е) <^ 0) в процессе
сжатия, так как при отборе тепла энтропия падает. В этом слу-
чае сжатый газ может оказаться первоначально при заметно
пониженной температуре, однако при создании запасов сжа-
того газа в баллонах его сниженная температура впоследствии
все равно выравнивается с температурой окружающей среды
за счет теплопроводности.
Для установления количественных оценок возможных
выгод сжатия газа с охлаждением применим формулу (9.17)
к квазистационарному (обратимому) изотермическому процес-
су сжатия газа. В этом случае формула (9.17) и равенство
TdS = dQW дают
А^о, = - Q(e) = -T(s2- Sl) G.
Так как в изотермическом процессе имеем
Y—1
-Si 1—1
• 1 -г—°1
If
= —;-= — е р , то sa —»! = —ср1пя
Ti v Pi
Следовательно, в этом случае получим
( Л Y IV
¦LJ-wACtT С-гС«х 1 1П Jt <! Лоту —— LrCri-* 1 \ Jb JL
•изот
так как при х = п^-М ^> 1 имеет место очевидное нера-
венство:
1пх
С dx -С ,
= \ — <\dx — x-
1 1
-, . В противоположность компрессору, в ко-
уроина тором энергия сообщается потоку, тур-
бина применяется для отбора механической энергии от потока
жидкости или газа. В адиабатическом (@(е) = 0) потоке, про-
ходящем через турбину, А <^ 0, поэтому согласно (9.17) в тур-
бине я <^ 1 и, следовательно, в газе, проходящем через тур-
бину, происходит падение полного давления р2 <^ рх. На рис. 50
показаны типичные схемы осевой и радиальных турбин.

108
Гл. VIII. Гидромеханика
Простыми примерами турбин могут служить уже много
веков используемые мельничные воздушные ветряные роторы
и водяные колеса. Водяные турбины разнообразных мощностей
вплоть до миллиона киловатт в одном колесе широко исполь-
зуются на гидроэлектростанциях. Паровые и газовые турбины
о
иОаба
Рис. 50. Различные схемы турбин: А) радиальная
центростремительная турбина; Б) радиальная цент-
робежная турбина; В) ступень осевой турбины
(о — сопловые аппараты, b — рабочие колеса), вни-
зу справа показаны соответствующая развертка и
направления скоростей).
получили большое распространение в технике для решения
множества важных промышленных задач. В современных ави-
ационных двигателях для вращения компрессоров или воздуш-
ных винтов применяются мощные газовые турбины (порядка
сотен тысяч киловатт). Во многих случаях турбины исполь-
зуются как корабельные двигатели.

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин 109
Турбинные колеса несут на себе специально спроектиро-
ванные лопасти или лопатки, которые поворачивают протека-
ющий через них водяной или газовый поток. Благодаря этому
лопатки и колеса воспринимают большие реактивные силы,
совершающие положительную работу. Таким путем энергия
от газа или жидкости переходит к телу вращающегося колеса.
Во многих случаях для получения наиболее благоприятных
скоростей поток предварительно закручивается перед колесом
и выпрямляется за ним с помощью специальных неподвижных
направляющих сопловых аппаратов, которые регулируют также
и величины скоростей жидкости или газа (см. схемы на рис. 50).
Так же как и компрессор, турбина может состоять из несколь-
ких ступеней, имеющих одинаковую или разные угловые ско-
рости вращения.
Рассмотрим вопрос о моменте (относительно неподвижной
оси вращения) гидродинамических сил, действующих на колесо
одной ступени турбины (или компрессора), вращающееся с
постоянной угловой скоростью.
Заметим прежде всего, как это было много раз уже указано
и использовано выше, что в относительных движениях в раз-
личных инерциальных системах отсчета силовые взаимодействия
в каждой точке среды, а также и суммарные силы и моменты
одинаковы. Если рассмотреть теперь два движения жидкости
или газа: первое относительно неподвижной инерциальной
системы координат и второе относительно неинерциальной си-
стемы отсчета, связанной с колесом турбины, вращающимся
с постоянной угловой скоростью со около неподвижной оси,
то в последнем случае необходимо ввести в рассмотрение дей-
ствующие на среду внешние массовые центробежные силы инер-
ции и внешние массовые силы инерции Кориолиса. Наличие
массовых сил инерции в относительных движениях связано
с появлением обобщенных «архимедовых сил» и их моментов.
Эти силы действуют не только на газ или жидкость, но и на
тело вращающегося колеса и на укрепленные на нем лопатки.
Большие (из-за большой угловой скорости вращения со колеса
турбины) массовые силы инерции приводят к огромным разры-
вающим напряжениям в теле колес и, особенно, в лопастях
(лопатках) турбин. В основном именно поэтому приходится
ограничивать величину угловой скорости вращения турбин и
воздушных винтов. В связи с этим условием прочности турбин
в их стальных лопастях и лопатках не допускаются окружные
скорости, превышающие 700 м/сек. Это является серьезным огра-
ничением, которое необходимо учитывать при проектировании
воздушных винтов и вращающихся колес. Очевидно, что в про-
филированных элементах неподвижных направляющих аппа-
ратов такого рода разрывающих напряжений не возникает.

110
Гл. VIII. Гидромеханика
С практической точки зрения рассмотрение сил и моментов,
действующих на неподвижные части конструкции, надо про-
изводить в неподвижных системах координат, а силы и моменты,
действующие на подвижные части, необходимо определять и
рассматривать в сопутствующей подвижной системе. При опре-
делении суммарного гидроаэродинамического момента, дейст-
вующего на вращающееся
колесо турбомапшны, мо-
жно воспользоваться до-
пущением о том, что дви-
жение жидкости и газа от-
носительно колеса устано-
вившееся х).
Для определенности
рассмотрим одно колесо
турбины (рис. 51) и возь-
мем в качестве контроль-
ной поверхности поверх-
ности лопаток турбины,
осесимметричного кожуха,
части тела обтекателя ва-
ла (соприкасающейся с
потоком) и поверхности
Рис. 51. Схема проточной части турбины круглых конусов Sx и S2,
и соответствующих элементов контроль- пересекающих поток на
ной поверхности. входе и выходе из турби-
ны соответственно.
Произведем расчет момента относительно оси турбины
z гидродинамических сил, действующих на лопатки турбины,
для простоты в рамках теории идеальной жидкости. Поэтому
пренебрежем силой трения на неподвижном кожухе, обте-
кателе и сечениях Sx и S2.
Очевидно, что все силы давления, действующие на части
контрольной поверхности, являющиеся поверхностями вра-
щения около оси z, пересекают ось z или параллельны ей, и
поэтому их момент относительно этой оси равен нулю. Следо-
вательно, отличный от нуля момент гидродинамических сил
давления относительно оси z дадут, вообще говоря, только силы
давления, действующие на вращающиеся лопатки турбины.
Вал
*) Это допущение при наличии направляющих аппаратов хорошо
согласуется с действительностью только в среднем, так как положение
лопаток турбины относительно каналов направляющих аппаратов пери-
одически меняется и движение газа или жидкости будет периодическим,
неустановившимся. При большой угловой скорости вращения соответст-
вующий период очень мал, увеличение числа лопаток также приводит
к его уменьшению.

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин 111
Центробежные силы, действующие на лопатки, пересекают
ось z и также не дают момента относительно оси z. Отличный
от нуля суммарный момент сил Кориолиса, действующих на
частицы жидкости, обозначим через Miz. В случае устано-
вившегося движения этот момент легко вычисляется. Для это-
го представим в каждой точке потока относительную скорость
среды ¦Уотн в виде
где vr, vt и vz — радиальная, трансверсальная и осевая отно-
сительные скорости. Через vr, vt и vz будем обозначать вели-
чины этих скоростей. Легко видеть, что момент MRz будет равен
С (* dr d С
М Лг = — 2@ V rvrpdx == — 2« \r-rrd/ra=— ffl -gr \ г2с?да,
V *И ^(
где F — объем, а М — масса, ограниченные контрольной по-
верхностью.
Отсюда, так как движение принято установившимся и на
екнтрольнои поверхности vn 0Тн ф 0 только в сечениях Sx и ?2,
получим
МН2-
= (о С r\dG — со С rtdG = ^ r^dG — [ r2u2dG, (9.18)
Si S« Si S»
где G — массовый расход, dG = pvndo, ихжиг — значения пере-
носной линейной скорости в сечениях Sx и S2 соответственно,
а направление нормали п к Sr и S2 указано на рис. 51.
На основании уравнения моментов количества движения
для установившегося движения G.3) (при U = h = Qn = 0)
найдем момент сил давления, действующих на лопатки ротора,
Мг = \ Г1Р(ютн*?— ( r2vt20TBdG + МНг. (9.19)
? i.
ф э„ Вместо относительных трансверсальных
скоростей ^ можно ввести абсолютные
трансверсальные скорости
и с помощью (9.18) и (9.19) получить
Мг = J rxvna(ScdG - J rtVnacflG. (9.20)
s> s,

112 Гл. VIII. Гидромеханика
Формула (9.20) называется формулой Эйлера, ее легко
получить непосредственно из формулы (9.19), если рассмотреть
установившееся абсолютное движение жидкости или газа,
для которого Mfa = 0. Естественно использовать этот простой
и непосредственный вывод формулы Эйлера, однако предыду-
щий вывод тоже несложен и вместе с этим полезен для более
глубокого понимания сущности этой задачи и относительного
движения.
Крутящий момент Mz тесно связан с расходом газа или жид-
кости через газовую или гидравлическую машину и опреде-
ляется закруткой потока г;Aабс и г>Bаос на входе и выходе из
вращающегося колеса. Пропускная способность, расход и
закрутка определяются геометрическими параметрами подво-
дящих каналов направляющих аппаратов и рабочего колеса,
а также заданными параметрами газа и угловой скоростью
ротора.
По аналогии с т]ад для компрессора можно определить ади-
абатический коэффициент полезного действия т]ад турбины как
отношение полученной мощности к мощности идеальной, до-
стижимой при адиабатическом обратимом процессе без потерь,
без роста энтропии,
¦¦¦.-
р
Организация совершенного гидроаэродинамического про-
цесса в турбинах легче, чем в компрессорах, к.п.д. турбин
обычно высок и, вообще говоря, превышает к.п.д. компрес-
соров. В лучших газовых турбинах достигается
ты ^ 0,94.
Качественное соотношение между турбинами и компрессо-
рами приблизительно такое же, как между соплами и диффу-
зорами.
В газовую турбину поступает газ из камер сгорания с вы-
сокой температурой торможения ТА и статической температурой
7\, поэтому в газовых турбинах лопатки работают в более тя-
желых условиях, чем в компрессорах. В связи с этим возни-
кают важные задачи охлаждения лопаток и дисков турбин
и обеспечения прочности и долговечности турбинных дисков
и лопаток 1).
В гидравлических турбинах при больших скоростях обте-
кания возникают опасности, связанные с образованием кави-
х) Потери, связанные с охлаждением, снижают к.п.д. турбин на
2-4%.

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин 113
тации. При отборе большой энергии от жидкости или газа
в турбине происходит большое снижение температуры газа.
Этим эффектом можно пользоваться для охлаждения газа
в установках для сжижения газа (турбодетандерах).
Данная турбина может работать на различных режимах
при разном числе оборотов в секунду и в зависимости от регу-
лирования расхода газа или жидкости путем заданной подачи
массы газа в единицу времени, регулирования давления или
проходных сечений на выходе.
э Эжектор представляет собой специаль-
ный канал, во входное сечение которого
поступают струи жидкости или газа с различными давлениями
торможения и, как правило, с различными скоростями; эжек-
тор обычно применяется для того, чтобы повысить полное дав-
ление струи одного газа за счет струи другого. Разнородные
/>г,Р„Т,,и, „ Ди/р/рцзор
* * Камера смешения \
Рис. 52. Схема эжектора. На входе поступают эжек-
тирующая (в сечении Sj) и эжектируемая (в сечении 52)
струи. В сечениях S3 и S* после камеры смешения поток
однороден.
струи жидкости и газа смешиваются в части канала эжектора,
который называется камерой смешения. В камере смешения
происходит обмен энергией, выравнивание давлений, плотно-
стей и температур, в результате чего вырабатывается однород-
ный поток смеси, который затем можно тормозить или уско-
рять с помощью диффузора или сопла, примыкающих к камере
смешения. Схема эжектора приведена на рис. 52. Эжекторы
применяются также в тех устройствах, во входное сечение
которых требуется засосать жидкость или газ.
Эжектирующий высоконапорный поток с параметрами,
обозначенными индексом 1, вытекает через сопло с площадью
Sx в камеру смешения — канал постоянного (или изменяю-
щегося по длине) круглого (или другой формы) сечения и увле-
кает частицы эжектируемой жидкости или газа, поступающие
в ^камеру смешения через сечение с площадью S2. Параметры
этого потока отмечены индексом 2. Между струями происходит
смешение, которое приводит к практически равномерному
потоку на расстоянии 8—10 диаметров камеры в сечении ?3.
Характер выравнивания профиля скорости показан на рис, 53.

114
Гл. VIII. Гидромеханика
На рис. 52 и 53 эжектирующая струя показана как внутренняя,
но могут быть различные случаи, когда эжектирующая струя
является внешней или когда каждая из струй подводится к ка-
мере смешения через несколько сопел. Последний способ по-
зволяет достигнуть перемешивания при более короткой камере
смешения.
Механизм смешения потоков с разными скоростями на
входе в эжектор обусловливается в ряде случаев неустойчиво-
стью начальной поверхности разрыва скорости и тесно связан
Рис. 53. Типичные профили распределения ско-
ростей в эжекторе при дозвуковых режимах
смешения.
с эффектом вязкости и явлением диффузии, а в некоторых
случаях с физико-химическими процессами, например с горе-
нием внутри камеры смешения. Несмотря на это, в случае
цилиндрической камеры смешения при пренебрежении силами
трения на границах камеры смешения во многих случаях,
когда смешение в действительности осуществляется, характе-
ристики результирующего потока в сечении ?3 можно рассчи-
тать независимо от промежуточных процессов в камере смеше-
ния. По аналогии и по существу в эжекторе параметры потоков
в сечениях ^ -}- S2m S3 связаны универсальными уравнениями
сохранения так же как на сильных разрывах — скачках, кото-
рые тоже во многих случаях (но тоже не всегда) можно вводить
и рассматривать в рамках моделей идеальных жидкостей или
газов независимо от внутренних непрерывных, но резко меня-
ющихся процессов в действительных явлениях, связанных со
свойствами вязкости, теплопроводности, с кинетикой химиче-
ских реакций и т. п.
Проблема смешения потоков в струях имеет важное значе-
ние при проектировании камер смешения и, в частности, при
установлении их длины. Тем не менее ответ на вопрос о возмож-
ности или невозможности осуществить смешение заданных на
входе в данный эжектор потоков в некоторых случаях можно
дать на основании написанных ниже общих уравнений сохра-

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин 115
нения. Однако в некоторых важных случаях, например при
наличии сверхзвуковых струй в камере смешения, для ответа
на этот вопрос требуется анализировать меняющуюся форму
струй и механизм их смешения внутри эжектора.
Для камеры смешения с установившимся потоком общие
интегральные соотношения, примененные к контрольной по-
верхности, состоящей из цилиндрической поверхности камеры,
сечений Sl -\- S2 и ?3, независимо от характера внутренних
процессов в камере смешения, записываются следующим об-
разом.
Уравнение сохранения массового расхода
Gx + O2 = G3, гДе Gi = p4Mi. (9.22)
При отсутствии внешних притоков энергии уравнение энер-
гии имеет вид
Gjl + G2H = G3f3, (9.23)
где
— полное удельное теплосодержание, i{ и & — удельные теп-
лосодержания, вообще говоря, разных сред на входе, й —
термодинамически определенное удельное теплосодержание для
смеси данного состава на выходе.
Уравнение импульсов для цилиндрической камеры
P*Si + G\vi + P2S2 + G^ = p3S3 + G3v3. (9.24)
Если камера смешения не цилиндрическая, а, например,
поверхность вращения около оси х, то слева в (9.24) необхо-
димо приписать член вида
— \ р cos (n, x) do = —
где п — направление внешней нормали к боковой поверхности
камеры смешения 20, ар — давление на 20, величина которого
связана с деталями явления смешения в камере. Величина i?s0
представляет собой силу сопротивления (или тягу) эжектора,
действующую на часть его поверхности 20. В некоторых слу-
чаях уравнение (9.24) можно использовать для определения
i?E0. В других случаях можно задаваться величиной Де0 на
основании опытов или апробированных опытами допущений.
Введением добавочного эмпирического члена в уравнение
(9.24) можно приближенно учесть наличие сил сопротивления,
обусловленных силами вязкого трения на 20. Площади Sx,

116 Гл. VIII. Гидромеханика
$2 и S3 — характерные геометрические параметры эжектора.
Если камера смешения цилиндрическая, то
S1+S2 = S3. (9.25)
Отношение расхода эжектируемого потока G2 к расходу
эжектирующего потока G% называется коэффициентом эжекции
(9.2о)
Величина коэффициента эжекции п является одной из основ-
ных характеристик рабочего процесса в эжекторе, от п зависит
величина й, если газы или жидкости на входе разные. Соот-
ношения (9.22) — (9.26) одинаковы как для жидкостей, так и
для газов. Если некоторые из характеристик потока (например,
при дозвуковом истечении — давление) заданы на выходе из
диффузора, то выписанная система уравнений должна быть
дополнена соотношениями, характеризующими движение жид-
кости или газа в диффузоре (на практике с учетом данных о по-
терях в диффузоре). В четырех соотношениях (9.22) — (9.25),
содержащих 12 параметров рг, pi, vt, Su специфика жидкостей
и газов проявляется через выражение для теплосодержания
ц (р, р, v).
Теория и расчет эжекторов с целью их проектирования или
установления свойств текущих в них жидкостей или газов тес-
но связаны и в значительной мере основаны на анализе и раз-
решении указанных выше уравнений относительно соответст-
вующих неизвестных параметров *). Системы известных задан-
ных и неизвестных искомых параметров могут быть различными
в зависимости от постановки задачи. Действительный переход
в эжекторе от неравномерного «раздельного» потока во входном
сечении S^ -f- S2 к смешанному однородному потоку в сечении
S3 в цилиндрической камере смешения можно рассматривать
как осредненное течение при условии сохранения импульса
(9.24) в действительном и осредненном движениях.
Анализ уравнений (9.22) — (9.25) показывает, что при
заданных р%, pj, v%, S%, p2, pa, v2, S2 (или pi, Т[, Я,х =
Vl
"Sii Рг> Т2, %2, S2) эта система при Sa = St -\- S2 не всегда
имеет решение для р3, р3, v3 (ялп p*s, 7%, Я,3). Таким образом,
-1) С применяемыми методами и результатами решения можно озна-
комиться в специальных книгах и статьях. См., например, Г. Н. А б р а -
м о в и ч, Прикладная газовая динамика, Изд-во «Наука», 1969,
С. С. Г р и г о р я н, К теории газового эжектора, сб. статей № 13, «Те-
оретическая гидромеханика», изд. Мин. авиац. промышленности СССР,
1954.

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин 117
такое осреднение вообще может быть невозможным. В слу-
чае дозвуковых струй задаваемые давления на входе должны
быть одинаковыми, т. е. р% = р%. Если обе струи (или одна из
них) сверхзвуковые, то равенство р± = р2 может не выпол-
няться. Значения рх, pj, vx и рг, р2, v2 при заданных р{, Т{
и />|, Т1 зависят от профилей подводящих каналов.
В тех случаях когда смешение возможно, в соответствии
с уравнениями (9.22) — (9.25) можно вычислить изменение
энтропии
(<?! + G2) ss = AS. (9.27)
В результате вычислений должно быть
AS > О,
что связано с необратимым характером процесса смешения.
Можно рассмотреть идеальный обратимый процесс смеше-
ния (при наличии внешних массовых сил), когда вместо сохра-
нения импульса (9.24) можно взять уравнение (9.27)
при Ail? = 0 и определить соответствующее давление тормо-
жения рзид. Тогда в качестве основной характеристики каме-
ры смешения (к.п.д. камеры смешения) можно ввести коэф-
фициент
*
^ (9.28)
рз ид
где р*3 — давление торможения в действительном процессе,
а р*з ид — давление торможения в случае идеального смешения,
при одинаковых данных на входе в эжектор.
Рассмотрим еще некоторые важные ка-
Погери кинетической чественные эффекты течений в эжекто-
июни™ Га3°В ПРИ Ше Рах- Предположим, что в эжектор вхо-
дят струи одной и той же несжимаемой
жидкости рх = р2 = const с разными скоростями, но с одина-
ковыми давлениями рх = р2.
Для несжимаемой жидкости
где с — теплоемкость, а сТ — внутренняя энергия. Форму
осесимметрической части эжектора можно подобрать так,
чтобы в смешивающемся потоке давление везде сохранялось
постоянным, р = р% = рг. Примем, что смешение в камере,
происходит из-за вязкости (вязким трением на стенках камеры
эжектора и в сечениях 5^, S% и ?3 пренебрегаем). В такой по-
становке задачи уравнения энергии (9.23) и импульсов (9.24)
L

118 Гл. VIII. Гидромеханика
дают
Gi^- + Gt^- + GxcTx -f G2cT2 = (Сг + Gt)-^--f (Ga + G%) cT3
Givi + G2v2
так как постоянное на S%, S%, S3 и 20 давление дает общую
силу, равную нулю.
Из этих двух соотношений непосредственно получим
AE=G1^-+Gi%— (Gx + G2) ^ = (9.29)
Из-за постоянства давлений в камере при смешении несжи-
маемой жидкости величина А? — потеря кинетической энер-
гии, представляет собой общие потери механической энергии.
Эта потерянная энергия идет на нагревание, подобно энергии,
теряемой при неупругих ударах, когда также происходит
выравнивание скоростей. Справа в (9.29) стоит увеличение
внутренней энергии после смешения. Из (9.29) можно вычис-
лить температуру смеси Т3-
Рассмотрим эжектор, в котором проис-
Газовый эжектор со ходит смешение газовых струй совер-
сверхзвуковыми скоростями шенного газа. С ростом отношения дав-
в камере смешения лений торможения р\ I pi, а также при
снижении противодавления на выходе
из диффузора в сечении Si (см. рис. 52) скорость газов на входе
в камеру увеличивается. При определенных соотношениях
указанных параметров скорость высоконапорного (эжектиру-
ющего) газа, если сопло суживающееся, становится звуковой,
Mj = Xj = 1, или, если в эжекторе для этого газа применено
сопло Лаваля, сверхзвуковой, когда %ъ = ^расч ^> 1, где ^расч —
расчетное значение коэффициента скорости на срезе сопла.
Дальнейшее повышение Р\1р% или Po/Pi, где р0 — давление
покоящегося газа далеко перед соплом, не может изменить этой
величины ^-j.. При некотором значении pJPi в горле сопла дости-
гается скорость звука и, начиная с этого момента, расход
в эжектирующей струе становится критическим. В этом случае
статические давления на входе в эжектирующей и эжектируе-
мой струе могут быть различными и в соответствии с этим коэф-
фициент скорости Я2 можно задавать, вообще говоря, произ-
вольно. Из экспериментов, однако, известно, что существует

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин
119
только определенный диапазон изменений значений Я2, для
которых возможно движение газа в эжекторе с G2 =f= 0. Для
определения возможных значений Я,2 необходим анализ течения
газов в начальном участке камеры смешения. При звуковых
или сверхзвуковых режимах в эжектирующеи струе (при
Я,х > 1) возникают эффекты, качественно отличные от эффектов,
наблюдающихся при движе-
нии газа с дозвуковыми ско-
ростями или при смешении
струй несжимаемой жидко-
сти.
Звуковая или сверхзву-
ковая струя эжектирующего
газа со статическим давлени-
ем р1 на выходе из сопла
большим, чем в эжектируе-
мом газе, после выхода в ка-
меру продолжает расширять-
ся, при этом средняя сверх-
/'
Рис. 54. Схема движения газов в на-
чальном участке камеры смешения,
когда внутренняя сверхзвуковая
эжектирующая струя расширяется;
а — граница струи, Ъ — скачки уп-
лотнения.
звуковая скорость растет, а
площадь сечения струи уве-
личивается. В сечении 1' — 1'
(рис. 54) площадь сечения эжектирующеи струи достигает мак-
симума, а статическое давление в ее ядре становится значи-
тельно меньше, чем во внешнем потоке. Далее струя вновь
сжимается и образуется характерная периодическая «бочко-
образная» структура струи со значительными изменениями дав-
ления и скорости как в продольном, так и в поперечном направ-
лениях.
Для основных законов эжектирования весьма существенны
характеристики движения эжектирующего газа от среза сопла
до максимального сечения первой «бочки»; это сечение B'—1'
на рис. 54) называется сечением запирания. С помощью ряда
допущений, основанных на опытных данных, течение в началь-
ном участке поддается приближенному расчету. Оставляя
в стороне количественные расчеты, отметим в общих чертах
некоторые качественные особенности эжектирования при обра-
зовании в камере смешения сечения запирания. Ускоряющаяся
эжектирующая струя между сечениями 1—1 и 1'—1' увлекает
эжектируемый газ, который при дозвуковых скоростях исте-
чения в сечении 1—1 ускоряется главным образом за счет
перепада давлений до сечения V—Т при сравнительно слабом
смешении с эжектирующим потоком.
В наиболее узком для эжектируемого потока сечении
1'—1' коэффициент скорости Я2 эжектируемого газа достигает
максимума ^а *ч 1- Наибольшее значение Л,? = 1 соответствует

120
Гл. VIII. Гидромеханика
критическому значению Я2 на входе в эжектор, которое
нельзя повысить уменьшением противодавления /?4 на выходе
из диффузора эжектора. Коэффициент Я,2 для эжектируемой
струи в зависимости от давления на выходе из эжектора может
меняться произвольно, оставаясь меньше, чем Я,2. Установив-
шееся движение в эжекторе при ^2 = ^2 (в сечении 1—1),
зависящем от отношения
рУръ, называется крити-
ческим режимом.
На рис. 55 представле-
ны экспериментальные
t,o
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Рис. 55. Характеристики эжектора при
разных р\1р\. Участки кривых типа А В
соответствуют докритическим режимам,
участки типа ВС — критическим режи-
мам, на которых коэффициент эжекции
п не зависит от противодавления.
Рис. 56. Схема расширения
эжектирующей струи при за-
пирании эжектора.
данные для эжектора со сверхзвуковой струей эжектирующе-
го газа.
При критическом режиме с уменьшением pl/pl и повыше-
нием pllpl струя эжектирующего газа расширяется более ин-
тенсивно и поэтому сужается проходная площадь для эжекти-
руемого газа. В связи с этим падает коэффициент эжекции
п = GJGX. При некотором значении p'Jpl, зависящем от отно-
шений pl/pl и S^/Su расширяющаяся струя в сечении Г—Г
заполняет полностью площадь камеры смешения (рис. 56),
вследствие этого коэффициент эжекции п обращается в нуль,
происходит явление запирания эжектора. На режиме запирания
эжекция отсутствует. Явление запирания исключает возмож-
ность реализации некоторых режимов смешения в цилиндри-
ческой камере, которые можно получить расчетом по уравне-
ниям (9.22) - (9.25). i
На практике критические режимы смешения в эжекторе
являются наивыгоднейшими, так как они соответствуют мак-
симальным коэффициентам эжекции и минимальным потерям
из-за наименьшей разности скоростей в смешиваемых струях.

§ 9. Основные агрегаты гидродинамических машин 121
Так же как и в случае условий на скачках, решение системы урав-
нений (9.22) — (9.25) при смешении совершенного газа дву-
значно. Одно из решений соответствует дозвуковому, а другое —
сверхзвуковому режиму течения смеси на выходе из камеры.
Отбор требуемого решения связан с анализом потока в камере
смешения. Можно показать, что осуществляемый режим исте-
чения на выходе из камеры смешения определяется в значи-
тельной степени условиями в сечении запирания.
Применение эжекторов Эжектор представляет собой простое
и удобное для применении устройство,
широко используемое на практике. Например, эжекторы при-
меняются в аэродинамических трубах для засасывания по-
тока воздуха на выходе из трубы. Эжекторы часто употреб-
ляются в сверхзвуковых трубах, действующих на выхлоп
в атмосферу и рассчитанных на большие значения числа Маха.
ч
Рис. 57. Схема аэродинамической трубы с эжек-
тором: 1 — баллон со сжатым воздухом, 2 —
эжектор, 3 — рабочая часть трубы.
В рабочую часть сверхзвуковых труб подается сжатый и силь-
но подогретый воздух с большими давлением и температурой
торможения, соответствующими по условиям полного или
частичного подобия большим скоростям полета. При больших
значениях числа М в рабочей части трубы при дальнейшем
торможении потока неизбежны большие потери полного дав-
ления. С помощью диффузоров и эжектора, действующего как
компрессор или эксгаустер, с использованием запаса сжатого
воздуха в баллонах, в аэродинамической трубе обеспечивается
требуемый поток воздуха (рис. 57).
Эжекторы применяются для дополнительного использова-
ния энергии реактивной струи, смешиваемой с засасываемым
атмосферным воздухом. На входе и внутри специальной камеры
смешения создаются благоприятные распределения давлений,
способствующие увеличению тяги. Однако наряду с тягой,
развивающейся на входе и внутри дополнительно присоединя-

122 Гл. VIII. Гидромеханика
емого эжектора, при этом появляется дополнительное сопротив-
ление на внешних поверхностях системы эжектора. Это и не-
которые другие обстоятельства ограничивают области приме-
нения эжекторов для увеличения тяги. Эжекторы использу-
ются также как насосы для создания глубокого вакуума. На-
пример, с помощью эжекторов, работающих на парах ртути,
можно получать разрежения порядка миллионных долей атмо-
сферы. Эжекторы широко используются во многих системах
добычи и транспортировки по трубам различных газов.
§ 10. Основные элементы теории реактивной тяги
Классическим типом реактивного двигателя является ра-
кетный двигатель.
„ „ Рассмотрим неподвижное тело или тело,
Ракетный двигатель „
движущееся поступательно с постоянной
скоростью. Пусть в теле есть камера — полость, в которой
имеется или образуется при горении из запаса веществ, входя-
щих в состав массы тела (обычно твердое или жидкое топливо),
Рис. 58. Схема ракетного двигателя.
сжатый газ с давлением торможения р* и температурой тор-
можения Т*. Допустим, что сжатый газ вытекает из камеры
через специальное сопло во внешнее по отношению к телу про-
странство, в котором имеется давление р0 <^ р* (рис. 58).
Если отношение р*/р0 ~ 1, то на выходе из сопла скорость
истечения дозвуковая; если р*/ро ^» 1> то возникнет сверхзву-
ковая струя (при применении сопла Лаваля).
Обозначим через S площадь сечения на выходе газовой струи
из тела во внешнее пространство. Если скорость истечения га-
за относительно тела дозвуковая, то на выходе в однородной
(по предположению одномерной теории) струе давление будет
равно внешнему давлению р0. Если сопло представляет собой
расчетное сопло Лаваля, то давление в сверхзвуковой струе
на выходе тоже равно р0. Поток газа в сопле Лаваля может до-
стигать сверхзвуковых скоростей за критическим сечением и
затем внутри сопла Лаваля переходить в дозвуковое движение
через систему скачков уплотнения. В этом случае на срезе
сопла (в рамках одномерной теории) в истекающей дозвуковой

§ 10. Основные элементы теории реактивной тяги 123
струе также будет образовываться давление, равное внешнему
давлению р0. При чисто сверхзвуковом нерасчетном истечении
давление в струе р' на площади S будет получаться не равным
р0; если р' ^> р0, то имеем недорасширенное сопло, если
р' <С Ро — перерасширенное. В одномерной теории можно
принять, что вектор относительной скорости истечения газа
на выходе из сопла v постоянен по сечению S и перпендикулярен
к нему.
Рассмотрим общую силу, действующую на тело по поверх-
ности 2, состоящей из стенок сопла и границы камеры сгора-
ния, со стороны движущегося газа, и по внешней поверхности
тела 2 0 от распределенного по ней постоянного давления р0.
Определим силу тяги Е ракетного двигателя как сумму
поверхностных сил, действующих на тело по поверхности
2 -|- 20. Так как
— \ ponda — \ ponda = p0Sn,
i i
то для силы тяги Е (см. определение (8.1)) верна формула
ее с
Е «= — \pnd3 — \ p0nd5 = — \ pnds + p0Sn, A0.1)
где n — единичный вектор внешней нормали к S, параллель-
ный вектору скорости истечения. Для вычисления силы тяги
применим уравнение количества движения к движущейся
относительно тела массе газа, ограниченной замкнутой кон-
трольной поверхностью, состоящей из поверхности 2 и сечения
сопла на выходе S. Предполагая движение относительно дви-
гателя ракеты установившимся и пренебрегая массовыми сила-
ми, напишем
J J nds - ^ p'nds. A0.2)
S+S L S
Так как vn — 0 на твердых границах, то, пренебрегая малым
количеством движения поступающих в камеру сгорания в жид-
ком или твердом виде с большой плотностью компонент горю-
чего, из A0.1) и A0.2) найдем основную формулу для тяги ра-
кетного двигателя:
В = -\(р' -po)S + pv*S] n. A0.3)
Знак минус перед скобкой показывает, что при положительном
значении выражения в скобках вектор R направлен против
направления внешней нормали п к S ж, следовательно, действи-
тельно имеется тяга.
I

124
Гл. VIII. Гидромеханика
В частности, если режим истечения расчетный, то для ве-
личины тяги верна очень простая формула:
R = pv^S = Gv,
где G = pvS — расход газа через сопло.
„, Покажем, что при заданном расходе ко-
Максимальность тяги рас- - г м ' rt ' u
четного сопла торыи определяется полностью площадью
сечения горла сопла, тяга расчетного
сопла имеет максимальное значение. Рассмотрим разницу
в тяге при истечении на различных режимах. На рис. 59
Рис. 59. Схема сечений на выходе из сопла при
различных режимах истечения.
схематически показаны сечения сопла, соответствующие различ-
ным режимам истечения.
Из общей формулы A0.1) следует, что, если не учитывать
сил трения по поверхности сопла, то при недорасширении недо-
бирается часть тяги AR, представляемая интегралом по уча-
стку А В:
AR
= — \ {р — Ро) cos (roar) do
А
0,
так как р^>ра, cos(rox)<^0 на АВ. При перерасширении
тяга получает отрицательное приращение AR
AR
= — \ (р — р0) cos (гож) da <[ 0,
вЪ
так как р < р0, cos (roar) < 0 на ВС. Отсюда следует, что рас-
четное сопло теоретически наиболее выгодное.
Однако на практике в ракетных двигателях, предназначен-
ных для работы на больших высотах (и тем более в космиче-
ском пространстве), невозможно обеспечить расчетные режимы
истечения газа из сопла, так как требуемая для этого площадь
выходного сечения оказывается чрезмерно большой. Напри-
мер, при давлении внутри камеры сгорания р* = 100 кГ1смг

§ 10. Основные элементы теории реактивной тяги 125
и высоте полета 30 км (р0 = 0,01 кГ/см2) площадь выходного
сечения должна быть примерно в 500 раз больше критического,
а при pQ-y 0 S/SKp -+¦ оо. Поэтому сопла ракетных двигателей
работают, как правило, на режимах недорасширения.
Обозначим через Т'* и р'* температуру
прод^оТго^ияТ и Давление ™рможения в газовом потоке
плота реакции на срезе сопла ракетного двигателя. Рас-
смотрим газ горячей реактивной струи
как совершенный и обозначим через i'* его полное удельное
теплосодержание. Если пренебречь небольшой теплоотдачей
через стенки камеры сгорания и сопла, то можно написать
V* = срТ'* = i{ = i\ + h. A0.4)
Здесь ср — средняя теплоемкость при постоянном давлении
продуктов горения; i{ — полное удельное теплосодержание
при исходной начальной температуре композиции топливных
компонент, подаваемых в камеру сгорания х); ц, — полное
теплосодержание при той же начальной температуре продуктов
химической реакции (соответственно при полном или неполном
сгорании, в зависимости от организации процесса горения);
h — соответствующая теплота реакции, рассчитанная на еди-
ницу массы газа, истекающего через сопло2).
Теплосодержание, так же как и внутреннюю энергию, для
данной системы компонент топлива и, соответственно, продук-
тов горения можно рассматривать с точностью до аддитивной
постоянной. Использование для газа (продуктов реакции)
формулы i* = срТ*, где Т* — температура адиабатического
торможения, связано с определенным фиксированием этой ад-
дитивной постоянной.
Величины i* и h — основные химические характеристики
применяемых топлив; эти величины существенно зависят от
весового отношения компонент топлива, поступающего в ка-
меру сгорания двигателя, и от полноты сгорания 3), обуслов-
ленной процессами испарения, смешения и, вообще говоря,
свойствами кинетики химических реакций. В зависимости от
состава топлива величину i* можно рассчитать по опытным
1) В полном теплосодержании ^ доля кинетической энергии компо-
нент топлива, поступающего в камеру сгорания, ничтожна и на практике
меньше 10~4 части от h.
2) Во многих практически важных случаях, особенно при применении
жидких топлив при низкой температуре (например, жидкий кислород и
водород), в современных двигателях имеет место неравенство i2 <^ h.
3) В современных двигателях достигается очень высокая степень
полноты сгорания.
L

126
Гл. VIII. Гидромеханика
данным химической термодинамики. Наибольшее удельное
значение Й отвечает стехиометрической смеси. Стехиометрич-
ность можно обеспечивать с помощью систем подачи компонент
топлива в камеру сгорания. Сравнение различных комбинаций
ракетных топлив и их оценку можно производить для стехио-
метрических смесей или для некоторых заданных диапазонов
весовых соотношений компонент.
Таблица
Теплота реакции горючих компонент топлив
при стехиометрической смеси г)
Горючее
Жидкий водород На
Литий
Керосин
Этиловый спирт
Гидразин
Водород Н2
Литий
Гидразин
Керосин
Керосин
Атомарный кислород О
Атомарный водород Н
Атомарный водород Н
Окислитель
Жидкий кислород О2
» »
» »
» »
» »
Жидкий фтор F2
» »
» »
Азотная кислота.
Четырехокись азота
Атомарный кислород О
Атомарный водород Н
Атомарный кислород О
Удельная
теплота
реакции,
, ккал
hldr~
3 030
3 500
2 270
2 0?0
1940
3 030
3170
2 4:0
1440
17:0
3 800
51600
11300
Удельная
тяга Дуд ид ,
kV
"кГ/сек'ПрИ
р' 1
р- 100
400
370
310
300
320
420
420
370
265
285
4500
') Подробные термодинамические данные для различных систем горючего и
окислителей можно найти в
G. Sutton Rocket propulsion
elements 1
М. Баррер и др., Ракетные двигатели, ООоронгиз, 1962; ?
Propellant chemistry, N. Y.,
1987.
Ч. Y.—L., 1963;
. F. S агпе г.
В таблице представлены некоторые данные о применяемых
и перспективных топливах. Из таблицы видно, что водород и
литий являются высококалорийным топливом. С механической
точки зрения наибольшее преимущество по сравнению с кис-
лородом имеет фтор. Однако фтор ядовит и химически очень
агрессивен. Значительное выделение теплоты получается при ре-
комбинациях атомов кислорода и водорода.
При использовании топлив имеют значение не только дан-
ные, указанные в этой таблице. Большое значение имеют также
вопросы организации процесса горения в камере ракетного
двигателя, токсичность и агрессивность компонент, их взрыво-
опасность, вопросы удобства и возможности хранения топлив,

§ 10. Основные элементы теории реактивной тяги 127
цены их приготовления и некоторые другие обстоятельства.
Например, в настоящее время из-за трудностей приготовления
и сохранения на практике не используются указанные в таб-
лице реакции с большим выделением тепла для атомарных кис-
лорода и водорода.
За счет теплоотдачи или использования части выделяющейся
энергии для систем подачи топлива происходит некоторое сни-
жение i{ и Т{ до i'* и Г* (ir* < k* и Г* < ТУ), которое можно
учесть в специальных расчетах.
Если результирующее полное теплосо-
Давление торможения держание в идеальном процессе сгорания
и расход топлива r y „ У
связано только с величиной освобожда-
ющейся химической энергии, то для идеального процесса в дви-
гателе давление торможения при заданном критическом сече-
нии сопла iS'kp зависит в первую очередь от массового расхода
компонент топлива. Кроме этого, давление торможения зависит
от необратимых особенностей процессов в камере сгорания и
потерь, связанных с ростом энтропии при движении газа в
сопле.
Для массового расхода газа (см. F.9)) верна формула
уф
"кр>
где р* и Т* — давление и температура торможения в крити-
ческом сечении.
Если сгорание заканчивается до критического сечения соп-
ла и можно пренебречь теплоотдачей, то Т*= Т*. Из формулы
для расхода G ясно, что величины G и р* практически пропор-
циональны.
Регулированием подачи топлива в камеру сгорания можно
менять давление торможения.
Как указывалось выше (см. § 9), отношение
характеризует потери в сопле между критическим сечением и
сечением на срезе сопла. Обычно величина а близка к единице.
В хороших соплах коэффициент а имеет значение 0,98—0,99.
_ Из основного равенства A0.3) для тяги
Тяга двигателя т
ракетного двигателя на основании фор-
мул § 6 можно написать
R = (Gv -f p'S) - p0S = [p'7 (Я) - Po] S, A0.5)
L

128 Гл. VIII. Гидромеханика
где S — площадь на выходе из сопла,
И
При/?* ;>> т?0 (p* имеет порядок 50—100 атм, р0 ~ 1
на Земле и р0 х; 0 на большой высоте) второй член в скобках
в A0.5) мал по сравнению с первым.
Коэффициент скорости Я, на выходе из сопла при пренебре-
жении малыми потерями в сопле по формулам § 6 выражается
через конструктивно определяемое для сопла отношение
SKp/S из соотношения
Отсюда следует, что
Скорость истечения в реактивной струе зависит от тепло-
ты горения и от показателя адиабаты Пуассона у продуктов
горения.
Из A0.5) следует, что при р0 ~ 0 тяга пропорциональна
расходу G или давлению торможения р*, все потери в давлении
торможения — это прямые потери в тяге.
Регулирование расходом давления торможения р* равно-
сильно регулированию тяги.
ЛГ Важнейшей практической характери-
Удельная тяга „ г г
стикои данных компонент топлива, совер-
шенства процесса горения и истечения газа в ракетном дви-
гателе является удельная тяга, представляющая собой вели-
чину тяги, снимаемой двигателем с килограмма расходуемого
за одну секунду топлива:
Л — R кГ
уд ~~ gG кГ/сек '
где gG — секундный весовой расход продуктов сгорания через
сопло.
Для расчетного сопла, когда р' = р0, из A0.5) имеем
п т> v У 2f
¦"УД — ""УД Z „
О О
или Луд = ДуД ~ 0,1 v.

§ 10. Основные элементы теории реактивной тяги 129
Для нерасчетного сопла (см. A0.3) и рис. 59) имеем
R — И' ' р' ~ Р° -- И
Луд Луд -+- -7^ \ Луд 1]рИ р'=р<).
Из двух последних формул ясно, что удельная тяга сущест-
венно зависит от калорийности топлива, т. е. от величины
i", от перепада давления р'/р* в двигателе и довольно чувстви-
тельно зависит от показателя адиабаты Пуассона у продуктов
горения. Из формулы для л*уд в случае расчетного сопла выте-
кает, что при прочих равных условиях удельная тяга растет
с ростом 7- (Для атомарных газов у = 5/3, для газов с молеку-
лярным строением, молекулы которых имеют повышенное число
степеней свободы, имеем 1 <С 7 <С 5/3.) Очевидно, что удель-
ная тяга ракетного двигателя совсем не зависит от скорости
полета и слабо зависит от высоты полета (через величину р0).
При увеличении высоты полета давление р' сохраняется, а
давление р0 падает, поэтому удельная тяга несколько возрас-
тает за счет уменьшения р0.
В приведенной выше таблице указаны расчетные удельные
тяги различных комбинаций топлив стехиометрического состава
для идеальных процессов в двигателе при полном сгорании и
при обратимом процессе истечения из сопла для перепада дав-
ления р'/р" = 1/100. Из этой таблицы следует, что получение
большой удельной тяги связано не только с большим тепловы-
делением при горении. Например, гидразин с кислородом
имеет лучшую удельную тягу, чем этиловый спирт с кислоро-
дом,— это связано с различными свойствами молекулярного
состава продуктов горения.
В современных жидкостно-реактивных двигателях (ЖРД)
у Земли достигнуты удельные тяги
Луд ^ 240 — 420 кГсек/кГ,
в ракетных двигателях на твердом топливе (РДТТ) имеем
Луд ^ 220 — 250 кГсек/кГ.
В перспективных двигателях эти показатели могут быть лучши-
ми. Удельные тяги на высоте могут быть большими.
В качестве характеристики топлив и двигателя вместо удель-
ной тяги можно рассматривать и использовать величину, обрат-
ную удельной тяге
_ 1 _ gG кГ/сек
с
которая дает весовой расход топлива в одну секунду для по-
лучения тяги в один килограмм (удельный весовой расход
топлива).
5 Л. П. Седов, том 2

130 Гл. VIII. Гидромеханика
Основные особенности Удельный расход топлива суд в ракет-
ракетных двигателей ных дВИГаТелях большой, запасы хими-
ческого топлива при полетах на очень
большой высоте должны находиться на борту летательных ап-
паратов, поэтому ракетные двигатели могут работать, вообще
говоря, только очень короткое время. Даже для сверхмощных
современных ракет время действия главных двигателей изме-
ряется всего несколькими минутами. При полетах в атмосфере
другие типы двигателей, забирающие кислород из атмосферно-
го воздуха, имеют много меньший расход запасов топлива, на-
ходящихся на борту летательного аппарата, и поэтому в этом
отношении они выгоднее ракетных двигателей.
Ракетные двигатели легки, могут работать в пустоте и спо-
собны развивать в течение короткого времени очень большие
тяги, практически недостижимые для двигателей других типов.
Например, в настоящее время имеются жидкостные ракетные дви-
гатели с одним соплом, развивающие в полете тягу до 800 Т.
На больших современных космических ракетах на первой сту-
пени ставится несколько таких двигателей. Существуют ракет-
ные двигатели на твердом топливе, которые развивают тягу в
несколько тысяч тонн.
При полетах в атмосфере Земли в каче-
Воздушно-реактивные стве 0КИСлителя можно использовать ат-
двигатели (ВРД) и другие - г, -
типы двигателей мосферныи кислород. Забираемый для
этой цели из атмосферы воздух вместе с топ-
ливом, имеющимся на борту летательного аппарата (в перспекти-
ве вместо энергии горения для подогрева рабочей среды можно
использовать энергию ядерных реакций), можно использовать
для образования реактивной струи, создающей тягу. Важно,
что обычно в рабочем газе вес воздуха значительно превыша-
ет вес топлива. Этот процесс непосредственно осуществляется
в воздушно-реактивных двигателях (ВРД). Атмосферный воз-
дух используют также в поршневых и газотурбинных двига-
телях, в которых энергия продуктов горения с помощью тур-
бины преобразуется в механическую энергию, используемую
в свою очередь для вращения винта (компрессора), пере-
дающего механическую энергию воздуху или воде для
создания реактивной струи, обусловливающей появление
тяги.
Существует множество различных схем и типов двигателей,
создающих тягу, для полетов аппаратов в воздухе или для дви-
жения в воде, для движения различных транспортных средств
по поверхности земли или воды. Опыт и теория показывают, что
в зависимости от условий движения и эксплуатации двигатель-
ных систем целесообразно и возможно применять различные
типы двигателей. Например, сразу ясно, что в пустоте (в кос-
J

§ 10. Основные элементы теории реактивной тяги 131
мосе) можно применять пока только ракетные двигатели, но
рабочий процесс, источники энергии (в частности, ядерная энер-
гия) и рабочая среда, создающая реактивную струю в ракетных
двигателях, могут быть разнообразными: продукты горения
химических топлив, подогретые газы, плазменные струи, потоки
ионов и т. п.; можно говорить даже о реактивных струях фото-
нов и других элементарных частиц (в этих случаях возникают
проблемы создания двигателей, использующих разреженную
космическую среду, подобно тому как в ВРД используется атмо-
сфера Земли). В общем случае проблема выбора и конструиро-
вания оптимальных двигательных систем теснейшим образом
связана с конкретными условиями их применения. Однако су-
ществуют некоторые универсальные соотношения, которые по-
ложены в основу представлений о свойствах и выгодных услови-
ях работы любых определенных двигательных систем. Обратим-
ся теперь к установлению подобных универсальных понятий
и характеристик применительно к различным системам ВРД.
„ _ _ Полетный коэффициент полезного дейст-
олетныи к.п.д. д вия (кп_д ^ двигателя можно определить с
помощью следующей формулы
R-V полезная мощность ,.п е.
Т1 = ¦ = A0 О)
' W затраченная мощность ' ч • /
где -В — тяга двигательной системы, v — скорость полета, W —
мощность энергии, подведенной к потоку. Величина W вообще
пропорциональна весу топлива, расходуемого в единицу вре-
мени.
Подобно к.п.д. цикла Карно (см. гл. V) можно ввести иде-
альный к.п.д. двигателя. Идеальный к.п.д. вводится с целью
получения критерия, который позволил бы дать оценку возмож-
ных пределов наивыгоднейшего использования подводимой
энергии и степени приближения к этому пределу при работе в
практически осуществляемой конструкции. Как известно из тер-
модинамики, идеальный к.п.д. меньше единицы. Идеальный
к.п.д. достигается при идеальном обратимом процессе. Действи-
тельный к.п.д. вследствие неизбежной необратимости явления
всегда будет меньше, чем идеальный. Однако в ряде случаев в
правильно сконструированных машинах можно подойти к иде-
альным условиям весьма близко. Величина отклонения дейст-
вительного к.п.д. от идеального характеризует техническое со-
вершенство машины. Характеристики идеального двигателя
могут послужить указанием для выбора основных параметров
при проектировании двигателей и для правильных способов
организации процесса их работы. Значения идеального к.п.д.

132 Гл. VIII. Гидромеханика
могут быть использованы также для оценки различного рода
перспективных возможностей.
На рис. 60 представлена схема установившегося движения
воздуха относительно летательного аппарата с воздушно-реак-
тивным двигателем. На этом рисунке заштрихованы условно
изображенные элементы конструкции двигателя и летательного
аппарата, пунктиром проведены линии тока частиц воздуха, при-
нимающих непосредственное участие в энергетическом взаимо-
действии с элементами двигателя, сплошными линиями — линии
тока частиц воздуха, которые непосредственно не получают внеш-
нюю (тепловую или механическую) энергию от топлива или под-
вижных элементов конструкции двигателя или движителя (на-
пример, винта). Совокупность первых линий тока, простираю-
щаяся от —оо до -foo, условно назовем внутренним потоком,
а совокупность вторых — внешним потоком.
Опыт показывает, что при больших скоростях полета силы
воздействия воздуха на летательный аппарат от внешнего и
внутреннего потоков тесно связаны между собой и механически
неразделимы. Это видно и из общей картины потока. Получение
фактических значений к.п.д. возможно из опытов или расчет-
ным путем с помощью подробного анализа и построения взаим-
но связанных обоих потоков с учетом необратимых эффектов.
Эти пути сложны и тесно связаны со спецификой конкретных
объектов.
Проведем дальнейший анализ в предельных случаях идеаль-
ных и обратимых процессов для вычисления идеальных к.п.д.
В частности, как было показано выше, в идеальных условиях
при обратимом установившемся непрерывном обтекании газом
любых тел конечных размеров в случае отсутствия подвода энер-
гии к газу извне тяга и сопротивление равны нулю (парадокс
Даламбера). Поэтому при наличии энергетического взаимодей-
ствия под тягой в идеальных условиях в рассматриваемом случае
необходимо понимать величину общей силы воздействия потока
газа на внешние и внутренние поверхности всех элементов ле-
тательного аппарата.
Покажем прежде всего *), что если внешнее обтекание во
всем пространстве вне поверхности ABT)EE-J)]BXAX с конечны-
ми площадями Sx и S% сечений в бесконечности (см. рис. 60)
представляет собой непрерывное установившееся адиабатиче-
ское баротропное движение идеального газа 2), то имеет место
х) См. Л. И. С е д о в, О полетном коэффициенте полезного действия
идеального винта и идеального воздушно-реактивного двигателя, сб.
статей № 13, «Теоретическая гидромеханика», изд. Мин. авиац. промыш-
ленности СССР, 1954.
2) Легко показать, что решения задач о таком обтекании тел под-
ходящих очертаний в рамках теории идеальных жидкостей и газов при

§ 10. Основные элементы теории реактивной тяги 133
парадокс Даламбера в более общей формулировке. Эта формули-
ровка заключается в том, что при указанных условиях равна
нулю общая сила сопротивления или тяга, действующая со
стороны внешнего потока на внешние поверхности летательного
Внешний патпап__
Рис. 60. Схема потока воздуха относи-
тельно летательного аппарата с ВРД.
аппарата и на поверхности струй внутреннего потока, прости-
рающихся от бесконечности перед телом до бесконечности за
телом.
Из этого предложения, которое доказывается ниже, следует,
что общая сила тяги (или сопротивления), действующая на об-
текаемые поверхности летательного аппарата со стороны внеш-
него потока, вообще отлична от нуля. Она равна с обратным зна-
ком общей силе сопротивления (или тяги), действующей со
стороны внешнего потока на поверхности струй внутреннего
потока, граничащие с внешним потоком.
Как и раньше при доказательстве парадокса Даламбера для
конечных тел, рассмотрим изучаемое внешнее движение идеаль-
ного газа как предел движений в цилиндрической трубе с обра-
зующими, параллельными скорости потока в бесконечности,
и примем, что давления в бесконечности впереди рг и сзади
р2 выравниваются и постоянны на площади сечения трубы,
которую обозначим через S*. Уравнения расхода и количества
движения газа в проекции на ось канала, примененные к объ-
ему внешнего потока между сечениями S* — St и S* — S2
в бесконечности, дают
Pi»i E* - SJ = 92v, (S* - S2), A0.7)
R = (P*- Px) (S* ~ S2) + рЛ (S* - SJ (»a - Vl), (Ю.8)
дозвуковых скоростях существуют, при сверхзвуковых скоростях в обте-
кающем потоке образуются вообще скачки уплотнения. Однако можно
подобрать теоретически такие формы обтекаемых тел, чтобы эти скачки
отсутствовали или вносили в поток сколь угодно малые потери. При по-
строении идеального к. п.д. потерями во внешнем потоке следует прене-
брегать.
L

134 Гл. VIII. Гидромеханика
где R — сила сопротивления, определяемая формулой
(P — Px) dzx,
ABCDEEiDiCiBiAi
в которой dax — проекция элемента обтекаемой поверхности
на плоскость, нормальную к набегающему потоку (скорость v
параллельна оси х).
Из A0.7) при 5j ф S2 имеем
е* с pl#I (i?2 — Si) q* О Р2у2 (Si Si)
О и 2 == ' , *^ *^1 — •
Пользуясь этим, из A0.8) находим
R = Л1—EL-J^lJl—ii_ PlUl Ea — Sx) =
Iv, A0.9)
так как вдоль линий тока верно равенство
pvdv = — dp.
Если площади S-l и S2 конечны, а площадь S* стремится
к бесконечности, то р2 -> рг -> р х и г;2 -> »x. Отсюда следует,
что Л -> 0, так как интеграл в A0.9) стремится к нулю при
Если Sx = 52, то p^j = р2г72. Отсюда и из баротропности
следует, что pt = p2 и vx = v2 и, следовательно, Л = 0, т. е.
в этом случае сопротивление обращается в нуль не только при
обтекании в безграничном потоке, но и при обтекании в трубе
при любом S*.
В предыдущих выводах существенны только баротропность
и непрерывность движения газа, причем все линии тока прости-
раются от х = —°о до х = -f 00 (нет возвратных токов из бес-
конечности). Вывод (R = 0) сохраняется и при неадиабатиче-
ских движениях при наличии баротропии. Полученный обобщен-
ный парадокс Даламбера верен и в тех случаях, когда внутрен-
ний поток необратим, а обратим только внешний поток. Отсюда
вытекает, что сила сопротивления, действующая со стороны
внутреннего потока на границах с внешним потоком, точно
равна внешнему сопротивлению летательного аппарата.
| Обозначим через G = р^.^ = Рг^а расход газа во внут-
реннем потоке, где рх, г?х и р2, v2 — плотности и скорости во вну-
тренней струе впереди и сзади в бесконечности соответственно.
Из постановки задачи и формул § 8 следует, что для общей силы

§ 10. Основные элементы теория реактивной тяги 135
тяги R и для общего притока энергии W к газу верны формулы
R = G (v2 - Vl), A0.10)
W=G (il - Ц). A0.11)
Таким образом, установлено, что формулы A0.10) и A0.11)
верны для случая обратимого адиабатического внешнего потока
и любого необратимого внутреннего потока.
Если подводимая извне энергия W тепловая, то полный по-
летный коэффициент полезного действия, идеальный или факти-
ческий, определенный равенством A0.6), всегда можно пред-
ставить в виде
Ц = ПтерЛщхш, A0.12)
где т]тер — термический к.п.д.,
1 Пироп — пропульсивный к.п.д. или полетный механический
к и.д., который с учетом A0.10) можно представить в виде
V 2 2
Если двигательная система может быть разделена на систе-
му двигателя, вырабатывающего механическую энергию (на-
пример, поршневой двигатель), и движителя (например, винт),
то, согласно A0.12), общий к.п.д. представляется произведе-
нием термического к.п.д., являющегося основной характери-
стикой теплового двигателя, и пропульсивного к.п.д., являю-
щегося характеристикой движителя. Для ВРД такое разделе-
ние может носить только условный характер, так как оба коэф-
фициента, г|тер и г|проп, представляют собой характеристики
одного и того же объекта — двигательной системы в целом.
На практике в стационарных условиях, на кораблях и само-
летах наивысшее значение Г|тер у поршневых двигателей до-
стигается для дизелей и имеет порядок т]тер ~ 0,45; для
паровых машин наивысшее значение ftaep ~ 0,35; современ-
ные мощные авиационные газотурбинные двигатели имеют
0,35 - 0,45.
Так как для получения тяги необходимо, чтобы имело место
неравенство

136 Гл. VIII. Гидромеханика
то очевидно, что пропульсивный к.п.д. будет получаться наи-
большим, когда величина г>2 мало отличается от vt. В общем
случае для уменьшения величины г?2 при данной тяге необходимо
увеличивать массовый расход G реактивной струи. Большие
расходы G можно получать за счет увеличения площади про-
ходных сечений двигателя или диаметра винта, однако это свя-
зано с увеличением сопротивления обтекаемых каналов, веса
и габаритов двигательных систем, а для вращающихся частей
с уменьшением их угловой скорости, т. е. допустимого числа
оборотов в единицу времени. Эти и некоторые другие обстоятель-
ства заставляют искать и применять компромиссные решения.
В ВРД величины vl7 р\, T\, px, i\ задаются условиями полета
(скорость и высота полета при известных атмосферных данных).
Для определения общего массового расхода G нужно знать
коэффициент расхода ср:
G =
где S — площадь входных каналов двигателя, которая опреде-
ляется устройством двигателя и режимом его работы.
Скорость в реактивной струе v2 можно вы-
Скорость в реактивной разить через давление торможения и ста-
тическое давление. Для несжимаемой жид-
кости из определения р* имеем
^] ; Рст = р2. A0.15)
Для совершенного газа
Давления торможения р\ и pi могут различаться за счет
потерь или подвода механической энергии к потоку жидко-
сти или газа. Отношение я = рУр\, полную степень сжатия,
удобно взять в качестве основной характеристики аэрогидро-
динамического процесса работы ВРД или винта.
Вместо формул A0.15) и A0.16) из условия рг = Ръ легко
получим для несжимаемой жидкости
\ + t^-™ , A0.17)
а для газа, согласно формулам E.13) и E.14), можно написать
л I ' ад2 л *¦ п

§ 10. Основные элементы теории реактивной тяги 137
Отсюда получим
A0.19)
м,-
Я? -
т-1 •
Формулы A0.19) дают выражения для М2 и Я2 через
я = pl/pl, общую степень сжатия в ВРД, и через задаваемые ве-
личины Mj^ и Я1 набегающего встречного потока воздуха. Оче-
видно, что всегда М, )> Мх и А2 > J,1? если я ^> 1. При я < 1
получается, что М2 <; Мх и Я2 <^ А,1#
Отношение площадей Найдем еще в самом общем случае отно-
в бесконечности для шение «SV^ площадей струи в бесконечно-
внутренней струи сти во внутреннем потоке.
Для несжимаемой жидкости на основании A0.17) имеем
Si vi
Vl 1 =г. A0.20)
V
2|
1+-
Для газа из формул E.13) и E.14) получим
Si __ piPi _ q (Mi) Pi -I / T2
Si - ptvt q (M2) p^V т' '
где
т"Х) М
Далее из уравнения состояния имеем
где
i? = сР — cv — удельная газовая постоянная, a Sj и s2 - энтро-
пии, рассчитанные на единицу массы в сечениях St и S2. Обычно
и <^ 1, так как энтропия растет вследствие потерь или подогре-
ва газа в камере сгорания. Для винта, компрессора или турби-
ны величина я равняется отношению давлений торможения

138
Гл. VIII. Гидромеханика
^отн = а в установившемся относительно вращающихся час-
тей потоке. В идеальных обратимых процессах это отношение
равно единице.
На основании A0.23) соотношение A0.21) можно переписать
в виде
g(Mi)
о
Рис. 61. Зависимость отношения S?JS\ от
степени повышения полного давления п
в реактивной струе и от числа Маха
полета Мх.
•>i q (М2)
= /(Мь Я, х), A0.24)
где М2 определено форму-
лой A0.19), a q (M) — фор-
мулой A0.22). На рис. 61
дано графическое изобра-
жение / (Мх, я) при к — 1.
Потери механической
энергии по тракту двига-
теля и подогрев приводят
к увеличению отношения
S2/Sv Однако это увели-
чение, вообще говоря, не-
значительно, так как по-
казатель у х мал
,'Т-1
( 2Т
Выше установлены не-
которые универсальные
определения и соотноше-
ния, применимые к раз-
личным типам ВРД, к во-
дяным и воздушным вин-
там. Дальнейший анализ и конкретизацию соответствующих
связей нужно давать с опорой на механизмы подвода энергии и
с учетом потерь во внутреннем потоке.
Рассмотрим простейший с точки зрения
Прямоточный общей схемы тип ВРД — прямоточный
воздушно-реактивный двигатель (ПВРД).
Схема ПВРД изображена на рис. 62.
ПВРД с аэродинамической точки зрения представляет собой
профилированный канал, состоящий из диффузора, камеры
сгорания и выхлопного сопла. Диффузор необходим для орга-
низации выгодного режима горения в камере сгорания при ма-
лых скоростях потока воздуха. Сопло необходимо для разгона
газа за счет перепада давлений в подогретом газе в камере сго-
рания и во внешнем пространстве. В соответствии с тем, что дает
воздушно -реактивный
двигатель (ПВРД)

§ 10. Основные элементы теория реактивной тяги
139
анализ работы диффузоров и сопел, диффузоры и сопла для
больших сверхзвуковых скоростей существенно отличаются по
форме от диффузоров и сопел для дозвуковых скоростей
(см. § 9).
При пренебрежении массой топлива, впрыскиваемого в ка-
меру сгорания (см. A0.13), A0.14), A0.11), (8.4) и интеграл
а)
Рис. 62. Схема ПВРД: а) для дозвуковых скоростей поле-
та, б) для больших сверхзвуковых скоростей полета. 1 —
входной диффузор, 2 — камера сгорания, 3 — реактивное
сопло.
Бернулли), можно написать
v\ - v\
ер* Л2~ А1
^ 1
1*
'Лпроп
так как по определению
A0.25)
V*
Т-1
Т + 1 2срТ' '
Формула A0.25) для т|тер введена в общем случае реального
ПВРД. Формулы A0.25) дают выражения %ер и тЬроп через от-
ношение ТУТ{ (которое легко выразить через количество тепла,
подводимого в двигателе к единице массы газа внутреннего по-
тока) и через коэффициент скорости к (или число Маха) полета.

140 Гл. VIII. Гидромеханика
Согласно E.13) Яа выражается через потери полного давления
я = рУр\ = 0. Отношение а для прямоточного двигателя за-
висит от аэродинамических качеств процессов в диффузоре, в
камере сгорания и в сопле. Это отношение особенно чувствитель-
но к потерям в сверхзвуковом диффузоре, которые могут быть
значительными из-за скачков уплотнения. В частности, из фор-
мулы A0.19) можно указать такие значения я <[ 1, когда не
только Я2 <; Я1? но и v2 ^ vx, и вместо тяги получается соп-
ротивление.
При идеальном обратимом процессе в ПВРД имеем, что в
диффузоре, камере сгорания, сопле и внешнем потоке давление
торможения сохраняется. Отсюда вытекает, что р\ = р\.
Поэтому из A0.19) получим, что М3 = Мх и Я2 = Яа, но г;2 ^> г^,
так как Tt ^> Т[ из-за подогрева. Таким образом, для идеаль-
ного ПВРД получим
< 1. A0.26)
l/
5- +
т"
С помощью формулы A0.26) легко оценить тугер для идеального
ПВРД. Для воздуха при у = 1,4 и Ях = Mj == 1 ^гер =17%,
при %г = 1,93, Mj = 3 11теР = 64% и при Х1 = 2,39, Mj = Ю
Птер = 99%.
Из сделанного выше анализа следует, что даже идеальный
ПВРД не может создавать тягу «на месте» (при v% = 0).
Приведенные значения для г|тер и, вообще говоря, приемле-
мые значения для т]щюП ПРИ больших Т{ и, следовательно, при
(ТУТ1) ж 1, но при существенной разности Т\ — Т{, показы-
вают, что при малых скоростях полета (малые Xt и большие Т\)
применение прямоточного двигателя нецелесообразно, при боль-
ших же сверхзвуковых скоростях прямоточный двигатель мо-
жет быть весьма эффективен. Однако нужно иметь в виду, что
при возрастании числа Маха свыше М = 4 температуры тормо-
жения становятся очень большими. Статические температуры в
потоке внутри двигателя можно сохранять в приемлемых пре-
делах регулированием величины скорости потока газа внутри
двигателя.
Путем изменения схемы можно рассматривать двигатель, в
котором «внутренний поток» находится во «внешнем простран-
стве» и отделен от поверхности тела соответствующим защит-
ным слоем.
Из всего сказанного следует, что применение ПВРД воз-
можно лишь при больших скоростях полета. Для того чтобы ре-
активный двигатель мог работать и при малых скоростях по-
лета (в том числе и при нулевой скорости, т. е. на старте), не-

§ 10. Основные элементы теории реактивной тяги
141
обходимо существенно увеличить полное давление газа, входя-
щего в камеру сгорания. Для этого перед камерой сгорания
ставится компрессор, а для получения работы, необходи-
мой для приведения его в действие, за камерой сгорания
ставится турбина. Двигатель такой схемы называется турбо-
реактивным двигателем (ТРД).
Схема ТРД, основного двигателя совре-
менных самолетов, в простейшем вариан-
те показана на рис. 63. В турбореактив-
ной двигателе компрессор совершает над воздухом работу LK,
которая повышает давление торможения и температуру тормо-
жения
,A0.27)
Туроореактивный двига
тёль (ТРД)
где зк = е я — характеристика потерь в'компрессоре. В приме-
няемых двигателях як имеет значение 8—15 и много выше.
* Т * г, * Т * л * Г *
Ptf'tt Рю>Чг Рг ''г
Рис. 63. Схема турбореактивного двигателя. Указаны
характерные основные сечения и соответствующие
давления торможения и температуры торможения.
1 — диффузор, 2 — компрессор, 3 — камеры сгорания,
4 — турбина, 5 — выхлопное сопло, возможно, с фор-
сажной камерой.
Турбина устанавливается для вращения компрессора за счет
энергии подогретого газа. Для турбины имеем
LT = cp (f12 - Tl) =
- 1],
A0.28)
«12-8 2
где<зт = е R — коэффициент, характеризующий потери в турби-
не. Температура Т*п имеет порядок 1200—1500° К. Наиболь-
шие значения температуры Т*ч лимитируются жаропрочностью

142 Гл. VIII. Гидромеханика
лопаток турбины, работающих при больших напряжениях рас-
тяжения, и возможностью организации их охлаждения.
Для полного притока энергии к газу можно написать
W = cp(Tl -T[)G = ср(Гц - Т'п) G > 0; A0.29)
из равенств работ *) компрессора и турбины
LK = LT
следует, что
cPTl [(^-)(Y~1)/Y - l] = cpTl [(ятзт)(^У - 1].
Ввиду того, что Т\ ]> Т1, получим
A0.30)
В камере сгорания происходит подвод тепла и поэтому
4
Ри
причем знак равенства имеет место в обратимом идеальном про-
цессе.
Для полного сжатия в двигателе я можно написать
я = 4 = 444 = ^аСГ0, A0.31)
Pi Ри Рп Pi Ят
В идеальном процессе, когда <тк=1,о> = 1и аОГОр = 1, со-
гласно неравенству A0.30) получим
я = ^->1. A0.32)
Таким образом, за счет того, что турбина работает на газе с
более высокой температурой, на выходе из турбины Т1 ^> Т{,
работа турбины, передаваемая компрессору, получается при
меньшем перепаде ят давлений торможения, чем повышение
давления як в поступающем в компрессор низкотемпературном
воздухе. За счет этого эффекта общий перепад давлений
п=рУр1 в двигателе ТРД получается большим единицы, тогда
*) На практике работа Ьт немного больше работы LK в связи с необ-
ходимостью обеспечить энергией некоторые приводы (в частности, подачу
топлива в камеру сгорания).

§ 10. Основные элементы теории реактивной тяги 143
как для ПВРД это отношение в идеальном процессе равно еди-
нице, а за счет потерь меньше единицы. На практике значение
я в формуле A0.31) имеет порядок 2—3. Так как я > 1, то, со-
гласно A0.19), в ТРД получается ^>1jhM8> Mx. Поэтому
ТРД может работать на старте, компрессор засасывает воздух,
возникает внутренняя струя при ф ^> 1 и получается тяга.
При я ж 2,3 скорость на срезе расчетного сопла получается
близкой к скорости звука. Если сопло сужающееся, то возмож-
но истечение струи со скоростью звука с неполным расшире-
нием. Из-за больших температур торможения Т\ величина ско-
рости истечения получается большой.
Увеличения тяги ТРД при практически неизменном перепа-
де давления я можно достичь с помощью повышения температу-
ры торможения на выходе из выхлопного сопла, для этого
можно дополнительно доншгать топливо за турбиной в сопле и
таким путем форсировать тягу двигателя. При форсаже темпе-
ратуру газа, вытекающего из сопла, можно поднять до 2000е К
и более, т. е. значительно выше, чем в основной камере сгорания,
где температура не может быть больше значений, при которых
обеспечивается прочность лопаток турбины. Для полетов с ТРД
на значительных сверхзвуковых скоростях, как было указано
выше, необходимо применять специальные диффузоры со сни-
женными потерями на сверхзвуковых скоростях.
Следует иметь в виду, что при указанных условиях увеличе-
ния тяги можно добиться также переходом к другим, более
сложным, схемам двигателей. В настоящее время широко при-
меняются турбовинтовые и двухконтурные ТРД. В двухкон-
турном двигателе часть воздуха, сжимаемого компрессором,
минуя турбину, после подогрева поступает в сопло. Двухконтур-
ные двигатели получили в последнее время широкое распрост-
ранение в связи с тем, что они сочетают положительные качест-
ва обычного пропеллера на малых скоростях и турбореактив-
ного двигателя на больших крейсерских скоростях.
Для вычисления к.п.д. т)тер, "Ппроп и г| для ТРД в идеальном
или действительном режиме работы можно пользоваться форму-
лами A0.25). В этом случае величину Я,2 ^> Я,15 обеспечиваемую,
вообще говоря, расчетным соплом, можно выразить через общую
степень сжатия яж^в набегающем потоке, согласно формуле
A0.19). Очевидно, что термический к.п.д. ТРД зависит от сте-
пени сжатия я, от числа Маха в полете и отношения ТУТ%.
При скорости полета, равной нулю, когда я ^> 1,
Г1тер>0.
Для данного фиксированного двигателя ТРД при заданном
значении числа Маха (или Я.х) в полете степень сжатия я и, соот-

144 Гл. VIII. Гидромеханика
ветственно, число оборотов турбины и компрессора можно ре-
гулировать подачей топлива в камеру сгорания.
В заключение рассмотрим идеальный про-
Теория идеального пульсивный к.п.д. для водяного и воздуш-
пропеллерэ / v
ного винта (пропеллера), как движите-
лей, которые создают тягу, но приводятся в движение специаль-
ным двигателем (электромотором, поршневым двигателем или
газовой турбиной), когда энергетические характеристики двига-
теля заданы или известны из его отдельного технического пас-
порта. Рассмотрим идеальный пропульсивный к.п.д. в случае
установившегося непрерывного адиабатического обтекания бес-
предельным потоком идеальной несжимаемой жидкости (или
идеального совершенного газа) некоторого устройства с наивы-
годнейшими формами. Примем, что в результате работы этого
устройства образуется струя, к которой обратимым путем под-
водится механическая энергия в виде работы сил, действующих
на жидкость или газ со стороны тел этого устройства.
В соответствии с данными выше определениями тягой этого
устройства, представляющего собой идеальный компрессор, по
определению назовем суммарную силу воздействия внешнего
потока и внутренней струи на компрессор в целом. Примем, что
в бесконечности статические давления выравниваются и что в
сечениях S1 и 52 на бесконечности во внутренней струе скорости
одинаковы по сечениям, причем далеко впереди в набегающем
потоке в пределе характеристики внешнего и внутреннего пото-
ков совпадают.
Из непрерывности движения, адиабатичности и однороднос-
ти набегающего потока следует, что удельная энтропия всех
частиц в потоке одинакова. Поэтому за телом в бесконечности
во внутреннем и во внешнем потоках в пределе из равенства дав-
ления и энтропии в частицах следует равенство плотности и
температуры. Таким образом, в этом случае во внутренней струе
в сечениях <S1 и S2 имеем
Pi = Р21 Pi = Рг> Si = s2, Тъ = Г2.
За счет работы внешних сил
причем согласно равенствам (8.4), A0.10) и A0.11)
W = GV-^± и R = G(v,-v1). A0.10')
Следовательно, в рассматриваемом случае идеальный полет-
ный|т] = -^^ (см. A0.6)) и пропульсивный (см. A0.14)) к.п.д.

§ 10. Основные элементы теории реактивной тяги 145
совпадают и определены формулой
л = —V, AОЛ4'}
которая верна как для несжимаемой жидкости, так и для газа,
как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях полета.
Очевидно, что т] -*- 1 при v2 —*- vx; в этом случае для получе-
ния конечной тяги R необходимо увеличивать расход во внут-
ренней струе, G—*- со. В общем случае, как мы покажем ниже,
при заданной тяге идеальный к.п.д. растет с увеличением рас-
хода во внутренней струе. Реактивная струя тем выгоднее, чем
больше ее массовый расход.
Введем в качестве характеристики винта или компрессора
коэффициент нагрузки
¦ oiv\S
где S — площадь входа в компрессор или площадь внутренней
струи на входе в движитель. Для воздушных или водяных вин-
тов примем, что S равняется площади круга, ометаемого лопа-
стями винта. Коэффициент В — важная характеристика режи-
ма работы винта.
На основании формулы A0.10) можно написать
A0.33)
piv\Si
где ф = SXIS. Введя отсюда коэффициент нагрузки В в форму-
лу A0.14'), получим
Коэффициент расхода ф, вообще говоря, зависит от геомет-
рических особенностей форм движителя и от режима его работы.
При заданном В наилучшие возможные к.п.д. ц соответствуют
максимально возможным значениям ф. Иначе говоря, при за-
данных габаритах и тяге наивыгоднейший случай соответствует
наибольшему количеству воздуха или жидкости, которое можно
пропустить через движитель.
В случае несжимаемой жидкости имеем
pv\ , pv*
P = P + Р=Р +

146
Гл. VIII. Гидромеханика
На основании этих формул получим
2
4 =
A0.35)
Безразмерное число Эйлера pv\/2pi, аналогичное числу Маха,
определено условиями полета. В A0.35) единственным пара-
метром, зависящим от компрессора, является отношение
я =*рУр1; при я -> 1 имеем г\ -*- 1.
Рис. 64. Пунктиром показана струя без направ-
ляющих насадков, сплошными линиями — с на-
правляющими насадками. На фото двухвинтовой
буксир с насадками на винтах.
В формуле A0.34) вместо отношения я можно задаваться ф,
необходимые значения которого для винта в идеальном процес-
се можно обеспечивать с помощью специальных кольцевых на-
садков (насадков Брикса-Корта на водяных винтах), изобра-
женных на рис. 64. С помощью такого рода насадков можно
увеличивать площадь потока, забираемого в струю винта. Оче-
видно, что применение таких насадков может быть выгодно
при больших значениях коэффициентов нагрузки В (большие тя-

§ 10. Основные элементы теории реактивной тяги 147
ги и малые скорости движения). На буксирных судах при боль-
ших В применение насадков увеличивает тягу до 50%, а к.п.д.—
до 60%. Фактическое использование таких насадков ослож-
няется внесением в систему добавочных сопротивлений, обус-
ловленных силами вязкого трения на увеличенных площадях
обтекаемых поверхностей.
Коэффициент ф можно определить, когда действие винта мож-
но свести к действию внешних сил, распределенных по диску
винта, в предположении, что осевая скорость г/ па диске винта
постоянна. Определим эту скорость. Обозначим через р2 и pi
давления на разных сторонах диска, разность р\ — р[ урав-
новешивается внешней силой со стороны винта, мощность этой
силы, передаваемая жидкости, равна
?2 —¦ Pi) ds = Rv' = G (v2 — Vj) v' = -^- (i>a — v\).
Отсюда получим
V\ ¦
V =
Из уравнения расхода найдем
in 51+Ч n rr S\ 1 f V% ,\
I'D = !; D = Z71O1 ИЛИ ф == -—= ^— f- 1 .
Подставляя это значение для ф в A0.33), получим
И-)-1 или IL^/ПГВ.
VI I VI '
Следовательно, в этом случае для т] по A0.14') верна формула
г] = 1= . A0.35')
Отсюда вытекает, что ц = 1 при В = 0. В схеме несущего
диска наилучшие идеальные к.п.д. соответствуют малым В,
для этого при заданной тяге R и расчетной скорости v% надо уве-
личивать S, однако требования прочности и возможности воз-
никновения кавитации заставляют ограничивать диаметр водя-
ных винтов. С помощью кольцевых насадков по схеме рис. 64
при больших В можно получить идеальный к.п.д. и фактический
к.п.д. больше, чем к.п.д., рассчитанный по формуле A0.35'),
отвечающей идеальному к.п.д. схемы несущего диска.
При движении в воздухе, так как рг = р2, р2 = pi и, следо-
вательно, аг = а^ (а — скорость звука), на основании A0.19)

148
Гл. VIII. Гидромеханика
получим
-^i/^-D/Y-l)
(т -1) м;
Подставляя это значение v2fv1 в формулу^A0.14') для т), найдем
г| (л, Mj). Соответствующий график г| (я, Мх) дан на рис. 65.
При полете в воздухе легко указать правила для определе-
ния наивыгоднейшего значения коэффициентов ф. По свойству
1
0,8
0,6
0?
0,2
О
1
\
\
ч
s
ч
Ч
——_
—^
*— —
—-^
——™
>—^i
—¦».
- —
щ-з
—-.
——.
«.ни
— -
——
Рис. 65. Полетный к.п.д. винта или вентилятора-компрес-
сора как функция я = ^2/рх и числа Маха Мх.
сверхзвуковых потоков при М ^ 1 надо положить <р = 1. Для
дозвуковых скоростей максимум ф получается в том случае, ес-
ли скорость газа при входе в двигатель (в сечении S) равна ско-
рости звука. В современных авиационных компрессорах ясно
выражено стремление приблизиться к выполнению этого усло-
вия. В этом случае получаем
Si PKp vk]
q (Mi)
Таким образом, находим
Т] =
A0.36)
для сверхзвуковых скоростей и
Bq (Mi)
A0.37)
для дозвуковых скоростей.

§ 11. Потенциальные течения идеальной жидкости
149
Формула A0.37) при малых значениях М2 не совпадает с
обычной общеизвестной формулой идеального к.п.д. винта, по-
лученной в теории несущего диска. Это объясняется тем, что
рассматриваемая постановка задачи носит более широкий ха-
рактер и охватывает случай работы винта в насадках, когда
0,9
0,8
0J
пя\ I .1
О 0,5 1,0 1,5
—
Идеальный к.л.д.
присдв/
+
1-X3L
1
1ииодых сн
- fM,?/j
__
——.
бинта
чростя»
:?
г дм?/"
_р
м,=
м,-
1И,-
7G
-0
'0,2
F=—
¦—
—»
"¦—1
^^,
¦ 1.
__
¦—
2,0
2R
"f>,v'S
Рис. 66. Полетный к.п.д. идеального механического движите-
ля (винта) для дозвуковых и сверхзвуковых скоростей полета
как функция коэффициента нагрузки.
часть тяги может образовываться в результате применения насад-
ков. Зависимости'A0.36) и A0.37) представлены графически на
рис. 66.
На основании изложенной выше теории идеального винта
можно сделать вывод о том, что при конструировании дви-
гателей с наименьшим весом входные устройства и проточная
часть двигателя должны обеспечивать на расчетных режимах ра-
боты при входе в компрессор скорость потока, близкую к ско-
рости звука. Разобранные выше закономерности для к.п.д.
имеют фундаментальное значение для оценки построенных ма-
шин, для выяснения возможных перспектив и конструктивных
тенденций.
§ 11. Потенциальные течения идеальной жидкости.
Интеграл Коши — Лагранжа
Для потенциальных течений идеальной жидкости как уста-
новившихся, так и неустановившихся, может быть получен
первый интеграл уравнений Эйлера. Этот интеграл носит на-
звание интеграла Коши — Лагранжа.

150 Гл. VIII. Гидромеханика
Рассмотрим движение идеальной жидкости, определенное
по отношению к некоторой системе отсчета, и запишем уравне-
ния движения в форме Громеки — Лемба:
-я- -f- grad -д- 4- 2«> X V = grad р {- F. A1.1)
01 L р ° * ' ч '
Предположим, что 1) движение потенциально, т. е. ю = 0 а
v = grad ф, где ф — потенциал скоростей; 2) имеет место баро-
тропия, р=р (р), и, следовательно, можно ввести единую для
всего потока функцию давления
р grad р = grad Зь.
\Р(Р) ' Р
При этих предположениях уравнение Громеки — Лемба
записывается в виде
Отсюда видно, что массовые силы в этом случае должны обла-
дать потенциалом. Обозначим потенциал внешних массовых сил
через %. Если же предположить, что движение потенциально,
v = grad ф, и внешние массовые силы обладают потенциалом,
то из A1.1) как следствие получится, что движение должно
быть баротропным. Уравнение A1.1) приобретает вид
(И.2)
Отсюда следует
где / (t) — некоторая произвольная функция времени t.
Соотношение A1.2), выполняющееся во всех точках области
потенциального движения жидкости или газа, и есть интеграл
Коши — Лагранжа.
Для того чтобы найти функцию/(t), достаточно знать левую
часть интеграла как функцию времени в какой-либо одной точке
потока. Иногда такой точкой может служить некоторая точка,
принадлежащая границе потока. В случае безграничной жид-
кости функцию / (t) можно определить по заданным значениям
потенциала ф и других характеристик на бесконечности. Поль-
зуясь тем, что потенциал ф определен с точностью до произволь-
ной функции времени, вместо потенциала ф можно ввести по-
тенциал ф! = ф -f- \f(t)dt. Введение в потенциал ф добавоч-
ного члена \ / (I) dl не влияет на поле скоростей, так как
v = grad ф = grad ц>г.

§ 11. Потенциальные течения идеальной жидкости 151
После замены в A1.2) dyldt через dyjdt получим, что функция
/ (t) в интеграле Коши — Лагранжа равна нулю. В этом случае
потенциал ф определяется с точностью до аддитивной постоян-
ной по времени и по координатам.
Интеграл Коши — Лагранжа может служить для тех же
целей, что и интеграл Бернулли; если потенциалы скоростей ф
и внешних сил % известны, то с помощью интеграла Коши —
Лагранжа можно определить распределение давлений.
В частном случае, когда потенциальное движение жидкости
или газа установившееся, интеграл Коши — Лагранжа имеет
вид
-^- -f 3s — % = const = i*
и совпадает с интегралом Бернулли, в котором постоянная i*
одинакова для всей массы жидкости, а функция давления зави-
сит только от давления (из-за баротропии).
Интеграл Коши — Лагранжа A1.2) был
Интеграл Коши — Лаг- получен в предположении, что потенциал
ранжа в подвижной си- скоростей ш представлен как функция
стеме координат ^ т ^ *' ч
г времени и координат системы отсчета,
по отношению к которой рассматривается движение. Одна-
ко для описания движения относительно некоторой системы
отсчета можно пользоваться (и это часто делают) другой,
подвижной по отношению к системе отсчета, системой коор-
динат, например системой координат, жестко скрепленной с
телом, движущимся в жидкости.
Формулы преобразования координат
х = х (I, т), ?, t), у = у (I, ц, ?, t), z = z (|, т], I, t), (И.З)
где х, у, z — декартовы координаты относительно системы от-
счета, а ?, г}, ? — декартовы координаты относительно подвиж-
ной системы, можно рассматривать как закон движения подвиж-
ной системы относительно системы отсчета. Потенциал скоро-
стей можно представить как функцию х, у, z, t или как функцию
I, г\, I, t:
ф (х (|, т), I, t), у (I, ц, I, t), z (I, т), ?, t), t) = ф (I, т], ?, t).
A1.4)
Интеграл Коши — Лагранжа A1.2) является следствием урав-
нений импульса и поэтому в него входит частная производная
потенциала ф по времени t, вычисленная в той системе коорди-
нат, относительно которой рассматривается движение. Заметим,
что
Зф_|
, у, 2 = const ot k, я, X. =oonst

152 Гл. VIII Гидромеханика
Действительно, первая берется в предположении, что х, у и z
постоянные, т. е. в фиксированной точке пространства х, у, z;
вторая при ?, г} и ? постоянных, т. е. в точке, которая по от-
ношению к системе отсчета х, у, z движется по закону A1.3).
Легко установить связь между этими производными; из A1.4)
имеем
3<Р (I, % ?, t)
dt
_ ftp (x, у, z, t) ,d^(dx_) d_V_l<k\ , dJL(J±\
dt dx [ dt k, -n, t, T dy [dt ,h, „,;; "' dz [ dt /5, „, ^
A1.5)
причем
5ф _ ?!. — ,, дЛ- - „
дх ~ л"' ду ~~ '¦" dz — V"
а
dx \ __ I dy\ _ 1 dz \
~dT)~-Vxacp \Tk~~V'JneXh \T
являются компонентами в системе отсчета х, у, z скорости дви-
жения точки, жестко связанной с подвижной системой, т. е.
переносной скорости vnev. Поэтому равенство A1.5) можно пе-
реписать в виде
#Ф (?, 1, t, t) дт(х, у, z, t) . , ... ...
--l-gradtp-Pnep. (ll.o)
dt dt lgradtp-Pnep.
Скалярное произведение grad ф-г)Пер является инвариант-
ной величиной и может быть записано как через компоненты
векторов в системе ?, ц, ?,, так и через компоненты в систе-
ме х, у, z.
Если потенциал ф определяется как функция \, ц t, и t, то
интеграл Коши — Лагранжа A1.2) принимает вид
*fb*t-t)-v.Vmv+? + P-.V, = f(t). A1.7)
Если предположить, что подвижная система координат движет-
ся как абсолютно твердое тело, то, как известно,
fnep = VOl + Q X Г,
где VoL — скорость начала координат 01 подвижной системы
относительно xyz, Й — мгновенная угловая скорость враще-
ния подвижной системы is. r — радиус-вектор рассматриваемой
точки относительно подвижной системы координат. В частном

§11. Потенциальные течения идеальной жидкости 153
случае, когда подвижная система движется поступательно с по-
стоянной скоростью V вдоль оси х, интеграл Коши — Лагран-
жа A1.7) представится в виде
В частном случае для несжимаемой жидкости, когда 3^ = р/р,
интеграл Коши — Лагранжа A1.8) имеет вид
Наличие потенциала скоростей существенно облегчает реше-
ние математических задач гидродинамики и в то же время
потенциальные течения представляют собой очень важный
физический класс течений.
О сохраняемости В § 7 гл. VI были изложены теоремы о
потенциальных течений свойствах вектора вихря
(о = -у rot v
в случае непрерывных баротропных течений идеальной жидкос-
ти в поле потенциальных массовых сил. В частности, была до-
казана теорема Лагранжа о сохраняемости потенциальности
течения во времени.
Многие движения можно рассматривать как движения, воз-
никающие из состояния покоя, когда в начальный момент вре-
мени v = О, а следовательно, и (о = 0. Такие движения должны
быть потенциальными и во все последующие моменты времени.
В приложениях движения жидкостей и газов во многих задачах
рассматриваются как потенциальные. Таковы, например, волно-
вые движения воды, движения воздуха в случае распростране-
ния акустических (звуковых) волн, различные непрерывные
движения жидкостей и газов, вызванные движением в
них твердых тел, струйные движения жидкости и многие
другие.
Подчеркнем, что изложенные в § 7 гл. VI теоремы основа-
ны на определенных допущениях о свойствах среды и о характе-
ре процессов. Невыполнение сформулированных при этом
условий может привести к нарушению свойств потенци-
альности течений. Например, наличие вязкости может ока-
заться источником возникновения вихрей. В идеальном газе
могут появляться поверхности разрыва скорости и нарушаться
баротропность течения вследствие разрывов и т. д.

154 Гл. VIII. Гидромеханика
Динамическая интерпрета- Дадим теперь динамическую интерпре-
^Яа,а°Д^еоКдЕЙ; таЧию потенциала скоростей в случае
нии идеальной несжимае- потенциальных движений идеальной не-
мой жидкости под дейст- сжимаемой жидкости.
вием импульсивных дав- Пусть на некоторый объем идеальной
ленин несжимаемой жидкости в течение малого
промежутка времени т действовали бес-
конечно большие давления р', импульс которых за бес-
т
конечно малое время конечен и равен pt = lim С р' dt.
т->0 •)
О
Напишем уравнения Эйлера в виде
i? = jF_-Lgradp, A1.10')
проинтегрируем A1.10') по времени от 0 до т и возьмем предел
при т, стремящемся к нулю.
В результате, так как интегралы от нуля до т от обычных
конечных сил давления и массовых сил в пределе обратятся
в нуль, получим
т
v' — v = — lim[—gradp'dt, A1.10)
т-*0 « Р
0
где v и v' — скорости одной и той же частицы жидкости до и по-
сле действия импульсивных давлений соответственно. Скорость
частицы за бесконечно малое время т изменится на конечную
величину, если импульс сил давления конечен. В пределе при
т —>-0 смещение частицы отсутствует и скорости v'viv являются
значениями скорости в фиксированной точке пространства. Ско-
рость частиц изменяется скачком, мы имеем течение жидкости,
которое возникает в результате удара. Поменяв в A1.10) после-
довательность выполнения операций градиента по точкам про-
странства и интегрирования по времени для индивидуальной
частицы жидкости, что в пределе возможно, так как координаты
частиц во время удара не изменяются, получим
v' — v = — grad —- = grad cp, A1.11)
где
Если начальное состояние было состоянием покоя, то в ре-
зультате удара возникает потенциальное поле скоростей. Соот-
ветствующий потенциал скоростей ф (х, у, z) и импульс дав-
ления связаны равенством A1.12). Это равенство можно рас-

§ 11. Потенциальные течения идеальной жидкости 155
сматривать как динамическую интерпретацию потенциала ско-
ростей.
Для несжимаемой жидкости из уравнения неразрывности
div v -~ 0 следует, что потенциал скоростей <р (х, у, z, t) удовлет-
воряет уравнению Лапласа
Аф = 0. A1.13)
Функция ф, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называет-
ся гармонической функцией.
Решение уравнения Лапласа в некоторой области 3) опреде-
ляется заданием значений функции ф на поверхности 2, огра-
ничивающей область 3). Задача об отыскании гармонической в
области 3) функции по ее значениям на границе области 3)
называется задачей Дирихле. Эта задача в односвязной области,
вообще говоря, всегда имеет однозначное единственное решение.
Поэтому движение жидкости и импульс давления внутри
области полностью определяются, если на границе заданы зна-
чения внешнего импульса давления pt = — рф.
Приведенное истолкование потенциала скоростей с помощью
понятия импульса давления существенно связано со свойст-
вом несжимаемости жидкости и, в частности, с мгновенностью
распространения всяких изменений давления на всю массу не-
сжимаемой жидкости.
Рассмотрим теперь некоторые вопросы общей теории потен-
циальных движений.
Потенциальные течения Основными уравнениями потенциальных
идеальных жидкости течений идеальной жидкости в случае
и газа при наличии баротропных процессов (р = / (р)) яв-
баротрошш ляются: уравнение неразрывности
и интеграл Коши — Лагранжа
**+-*-(grad<p)a+ #>(?)-%=<>. A1.15)
Для дифференциала функции давления 5s = \ т-т—; имеем
d& = *?. = *- dp,
р р
где а = 1/ -р- . Следовательно,

156 Гл. VIII. Гидромеханика
Систему уравнений A1.14) и A1.15) можно переписать в виде
+ ,_ «и =о.) (ИЛ)
Неизвестными в этой системе являются функция давления 3s
и потенциал скоростей ф. В общем случае эту нелинейную систе-
му дифференциальных уравнений проинтегрировать трудно.
Однако существуют важные классы движений, для которых мето-
ды решения системы уравнений A1.16) подробно и хорошо раз-
работаны. Перечислим такие классы потенциальных движений
жидкости.
Потенциальные течения несжимае-
мой жидкости. В этом случае а2 = (dp I dp) -> оо и
первое уравнение системы A1.16) сводится к уравнению Лапласа
Аф = 0.
Второе уравнение системы A1.16) служит в этом случае для оп-
ределения давления. В такой постановке рассматриваются такие
важные задачи, как задачи о движении воды, возникшем при
перемещении в ней твердых тел, задачи о волнах на поверхно-
сти воды, задачи о струйных течениях воды и многие другие.
Ниже подробно будет рассмотрена задача о движении твердого
тела в несжимаемой жидкости.
Движения сжимаемой жидкости или
газа, представляющие собой малые
возмущения некоторого известного со-
стояния равновесия или движения. Такие
движения изучаются, например, в акустике (задачи о распрост-
ранении звуковых волн) и в некоторых задачах аэродинамики
тонких тел с плавными «обтекаемыми» обводами.
При решении задач о движении среды с малыми возмущения-
ми предполагается, что скорость, плотность, давление и их про-
изводные по координатам и по времени представляют собой
известные функции плюс неизвестные малые добавки. Если пре-
небречь малыми величинами порядка выше, чем первый, то си-
стема уравнений становится линейной.
Если движение представляет собой малое возмущение около
состояния покоя, то система уравнений A1.16) с точностью до
малых первого порядка может быть записана в виде
1 Ъ&> . . п .
-? тг+ *»-«¦

г
§ 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости 157
где al = const — значение производной dp /dp, вычисленное
для невозмущенного состояния покоя.
Из этих двух уравнений можно получить одно уравнение для
ф, которое, если потенциал массовых сил не зависит от времени,
имеет вид
^0
"о
Это линейное уравнение называется волновым уравнением. Ес-
ли жидкость несжимаемая, то а0 —*- оо и волновое уравнение
A1.17) переходит в уравнение Лапласа.
Установившиеся движения сжимае-
мой жидкости. Наибольшее развитие в этом случае по-
лучила теория плоскопараллельных течений, когда искомые
функции зависят лишь от двух переменных х и у. Уравнения
движения в этом случае специальной заменой переменных и ис-
комых функций также удается преобразовать к линейным. Это
преобразование было предложено и использовано в 1902 г.
С. А. Чаплыгиным в его знаменитой работе «О газовых струях»1).
Эта работа стала основной для развития многих современных
теорий в газовой динамике.
Одномерные неустановившиеся тече-
ния. В этом случае все параметры движения зависят только
от одной пространственной координаты г и времени t. На по-
верхности г = const все характеристики движения одинаковы.
Это — движения с плоскими, цилиндрическими и сферическими
волнами.
К задачам этого класса относятся рассмотренные в гл. VII
т. 1 задачи о вытеснении газа поршнем, о распространении
взрывных волн и многие другие важные практические задачи.
Система уравнений в этом случае нелинейна.
§ 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости.
Свойства гармонических функций
Рассмотрим теперь потенциальные течения идеальной
несжимаемой жидкости.
Изучим некоторые основные решения урав-
Основные час™^ нения Лапласа. Ранее (см. § 3 гл. II) было
Лапласа уравнения рассмотрено фундаментальное решение
уравнения Лапласа
Ф= —
Я-, г = У(х - х,Т + (У - VoY + (z - z0J A2.D
4я:г
х) G. А. Ч а п л ы г и н, О газовых струях, Собр. сочинений, т. II,
Гостехиздат, 1948; отдельное издание, Гостехиздат, 1949.

158 Гл. VIII. Гидромеханика
и установлен его физический смысл как течения от источника
(при Q ^> 0) или стока (при Q < 0), расположенных в точке
Xqj У(н Zq.
Решения уравнения Лапласа в силу его линейности, очевидно,
можно складывать, дифференцировать и получать таким путем
новые частные решения уравнения Лапласа. Например, частное
решение уравнения Лапласа можно получить путем дифферен-
цирования решения ф = 1/г по некоторому направлению s.
Таким образом получаем решение
„ (х — х0) а + (у — ?/о) 3 + (г — z0) 7 ^ г-so
A2.2)
„ . dx n dii dz
где С = const, а = -=— , |з = -г—, Т = -з косинусы углов на-
cts cis as
правления s с осями координат х, у, z соответственно, т —
радиус-вектор, проведенный из точки х0, yo,zo,ns° —единич-
ный вектор направления S. В частности, выбрав в качестве на-
правления S ось х, получим следующее решение уравнения
Лапласа:
г д
Решение ф = С-о-(— имеет простой физический смысл.
OS Ач А" /
Оно получается в пределе из суммы течений от стока и источни-
ка с равными расходами Q, расположенных на расстоянии As
в направлении s друг от друга, при условии, что As ->0, a
Q _>_ оо Так, что j—Q As стремится к конечной величине С.
Это течение называется течением от точечного диполя в прост-
ранстве, С называется моментом диполя, а направление * — его
осью. Точка х0, z/0, z0, где расположен диполь, является особой
точкой, в ней, как легко проверить, скорость бесконечна. Жид-
кость, если С i> 0, вытекает из этой точки по направлению S и вте-
кает в ту же точку с противоположной стороны (рис. 67).
Я /А \
Решение С -~- (—), уравнения Лапласа, как и решение (?/4лг,
играет важную роль при построении других, более общих реше-
ний уравнения Лапласа.
При повторном многократном дифференцировании потенциа-
ла A2.1) по различным направлениям «х, в2, ..., «„получаются
новые решения уравнения Лапласа

§ 12. Потенциальные движения ^несжимаемой жидкости 159
Соответствующие течения жидкости при постоянных х0, у0, z0
регулярны во всем пространстве х, у, z, кроме точки х0, у0, z0;
потенциалы A2.3) и их производные имеют повышенный порядок
исчезания в бесконечности по
сравнению с 1/г.
Точка х = х0, у — yo,z = z0
(г = 0) является особой, в этой
точке скорость жидкости обра^
щается в бесконечность. Постро-
енные таким способом течения
называются течениями от мулъ-
типолей. Свойства течения от
мультиполя определяются по-
стоянной Сп и направлениями
дифференцирования slt S2,...,sn,
которые можно выбирать произ-
вольным способом.
С помощью сложения реше-
ний вида A2.3) можно пост-
роить сходящийся при всех г
бй
р д
дящим образом выбранный радиус) ряд вида
Рис. 67. Течение от диполя.
г0 (где г0 — некоторый подхо-
= 2^
LJL
ди„
A2.4)
содержащий значительный произвол. Соответствующий потен-
циал определяет регулярное течение жидкости вне сферы ра ¦
диуса г0 с центром в точке х0, у0, z0.
Возьмем некоторый объем Vo вне области
Потенциал объемного g)f занятой движущейся несжимаемой
распределения источников жидкостью и не совпадающей со всем бес-
конечным пространством. Пусть координаты х0, у0, z0 соо-
тветствуют точкам объема Vo. Очевидно, что функция ф (х, у, z),
определяемая интегралом
o dz0
V(x - xof + (V -
A2.5)
где Q (x0, y0, zn) — некоторая произвольная интегрируемая
функция, является гармонической функцией в Ж. В некото-
рых случаях при решении гидродинамических задач можно ис-
ходить из формулы A2.5) и с помощью выбора функции Q
находить нужный потенциал ф. Можно показать х), что, если
х) См. § 25 этой главы.
1

160 Гл. VIII. Гидромеханика
функция Q (х0, z/0, z0) непрерывная кусочно гладкая внутри Vo,
то в объеме Vo потенциал <р(х, у, z) удовлетворяет уравнению
Пуассона
АФ = Q (х, у, z). A2.6)
Внутри Vo имеется распределение объемных источников с
плотностью Q (х, у, z). При продолжении движения несжимае-
мой жидкости в объем Vo получим, что в объеме Fo условие не-
сжимаемости (div v = 0) не удовлетворяется.
Пусть имеем некоторую поверхность 2,
простого замкнутую или незамкнутую, расположен-
СЛОЯ —¦ S7S.
ную вне области движения жидкости SD
(рис. 68). Поверхность 2 может в некоторых случаях совпадать
со всей границей области Ж> или с некоторой ее частью. Рассмот-
рим интеграл
Ф =
где q — некоторая произвольная интегрируемая функция точек
поверхности 2. Очевидно, потенциал A2.7), полученный с по-
мощью распределения источников по поверхности 2, является
гармонической функцией вне 2. Решение уравнения Лапла-
са, представляемое формулой
A2.7), называется потенциалом
простого слоя.
Аналогичным путем можно
(x'y,z) построить решение с помощью
распределения по поверхности
2 диполей, оси которых направ-
лены по нормали п0 к 2. По-
лучим
Рис. 68. Схема для построения » 3 / 1 \
потенциалов простого и двойного ф = \и(М)-~—(—) d50. A2.8)
слоя. J °п° , г I
Здесь )х (М) — некоторая интегрируемая функция точек по-
верхности 2. Функция ф, определяемая формулой A2.8),—
гармоническая функция вне 2. Потенциал A2.8) называется
потенциалом двойного слоя.
Во многих приложениях задачу об отыскании потенциала
Ф (х, у, z) сводят к задаче об отыскании функций точек поверх-
ности 2, входящих под знаки интегралов в формулах A2.7)
или A2.8), т. е. к задаче об отыскании плотностей распределения
источников q (M) или диполей \i (M). В этом случае неизвест-
ные функции входят под знак интеграла, поэтому соответству-

§ 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости 161
ющие уравнения для определения этих функций получаются
интегральными уравнениями.
Рассмотрим несколько очень важных
Свойства гармонических свойств гармонических функций.
I Пусть S — некоторая замкнутая по-
верхность, расположенная в области Т), внутри которой
происходит регулярное потенциальное течение несжимаемой
жидкости.
Непосредственно из уравнения неразрывности видно,
что всегда имеет место следующее равенство:
= 0, A2.9)
где V — объем, ограниченный поверхностью S, т. е. поток
несжимаемой жидкости через любую замкнутую поверхность,
расположенную в области 3), равен нулю. Поверхность S может
совпадать с границей области 3).
Возьмем в качестве поверхности S сферу радиуса R с цент-
ром в некоторой точке М. На основании формулы A2.9) можно
написать
СЦ-Д2<^ = 0 или R2 ~{ц>Aм = 0,
где da> — телесный угол, ?2 — единичная сфера, концентриче-
ская S, значения подынтегральных функций берутся в точках
S, соответствующих точкам ?2. Отсюда следует, что независи-
мо от радиуса сферы S
\ фЛо = const, т.е. ^фЛо = ум 4я. A2.10)
п а
Последнее равенство A2.10) можно еще переписать в виде
следовательно, значение гармонической функции в данной точ-
ке М равно среднему по поверхности любой сферы с центром в
точке М.
Это — важное свойство гармонических функций. Можно по-
казать, что всякая функция, непрерывная вместе со своими
вторыми производными и удовлетворяющая в области @) теореме
о среднем, выраженной равенством A2.11), для сфер S с 3) с
б Л. И. Седов, том 2

162 Гл. VIII. Гидромехааика
произвольными радиусами является гармонической функцией,
т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа.
Пусть 3) —область, в которой функция р (х, у, z) гармонична;
пользуясь свойством A2.11), легко показать, что функция
Ф не может достигать ни максимума, ни минимума внутри
области 25.
В самом деле, предположим противное. Пусть в некоторой
точке М внутри 3) потенциал ф достигает минимума, тогда во
всех точках N сколь угодно малой окрестности точки М должно
выполняться неравенство
Фм<флг, A2.12)
но при наличии такого неравенства формула A2.11) не может
выполняться, следовательно, неравенство A2.12) для всех точек
N в малой окрестности точки М недопустимо. Аналогичным об-
разом получим, что внутри 3) нет точек максимумов функции
ф. Следовательно, максимальные и минимальные значения по-
тенциала ф регулярного течения несжимаемой жидкости в об-
ласти Ж достигаются только на границе области %. Это спра-
ведливо для всех гармонических функций, в частности, это свой-
ство выполняется и для производных Зф/Зх, ду/ду, дф/dz.
Рассмотрим теперь квадрат величины скорости при потен-
циальном движении несжимаемой жидкости:
V -\-dx~) ' \dj) ^\8zJ
Величина скорости и квадрат величины скорости не являются
гармоническими функциями, тем не менее максимальное значе-
ние величины скорости при потенциальном движении несжимае-
мой жидкости достигается на границе регулярного потока жид-
кости.
Докажем это. Предположим противное: пусть в некоторой
точке М внутри 3) величина скорости достигает максимума.
Тогда v\i ^> г>дг, tr&N — любая точка в достаточно малой ок-
рестности точки М. Направим ось х параллельно скорости в
точке М, тогда будем иметь
Эф \ . А [Эф \ п /Э<р ) А
tox /м ' \оу JM \ oz 1м
Так как гармоническая функция dyldx в точке М не может
иметь максимума, то в любой малой окрестности точки М най-
дется такая точка N, в которой
дх JN ^ \дх /м '

г
§ 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости 163
Но при наличии этого неравенства подавно должно выпол-
няться неравенство
> \2 /Эф \2 /5ф \2-| /0ф \2 2
т. е. внутри потока невозможна реализация максимума скорости.
Максимальные значения скорости при потенциальном движении
несжимаемой жидкости всегда достигаются на границах потока.
При обтекании тел безграничным потоком максимальное
значение величины скорости достигается на поверхности обте-
каемых тел. При установившемся обтекании согласно интегра-
лу Бернулли максимальной скорости в потоке соответствует
минимальное значение давления. Следовательно, точка с
минимальным давлением находится на поверхности тела. Кави-
тация впервые возникает в области, близкой к минимуму дав-
лений, поэтому кавитация возникает вблизи поверхности обте-
каемых тел.
Минимальное значение скорости может возникать как на
границах, так и внутри потенциального потока. В частнос-
ти, критическая точка со скоростью, равной нулю, может на-
ходиться во внутренних точках потенциального потока. На-
пример, во внутренней точке х = у — z = 0 для течения
с потенциалом ср = — {х1 -\- у2) — z2 скорость имеет минималь-
ное значение, равное нулю.
Выведел! формулы Грина, представляющие
Формулы Грина. Кинети- собой простые полезные следствия из фор-
ческая энергия жидкости -^ ,-. гт
мулы Гаусса — Остроградского. Пусть в
некотором конечном объеме V, ограниченном регулярной
поверхностью S, даны три функции Р, Q, В, однозначные
и непрерывные внутри V вместе со своими частными произ-
водными первого порядка. Формулу Гаусса — Остроград-
ского можно написать в виде
\ [ Р cos (п, х) + Q cos (п, у) + R cos (n, z) ] da=
s
""">_, Щ , dR\ dx /12.13)
х ду oz I
где cos (n, x), cos (n, у), cos (и, z) — компоненты единичного
вектора внешней к объему V нормали п к поверхности S. Под-
ставим в A2.13) Р, Q, R, определенные формулами
где ф (х, у, z) ит|5 (х, у, z) — произвольные однозначные ф^ нкции,
1

164 Гл. VIII. Гидромеханика
непрерывные вместе со своими производными до второго по-
рядка включительно внутри V. После подстановки получим
первую формулу Грина
\ фДф^т+ \ gradq>-gradi|;dT = V^-^-da. A2.14)
V V S
Вторая формула Грина легко получается из первой. Для этого
в A2.14) поменяем местами <р и ty и вычтем результат из перво-
начальной формулы, тогда получим
Пусть ф — потенциал скоростей течения идеальной несжи-
маемой жидкости, из формулы A2.14), если положить ф = г|э,
получим
±±\ 4$ A2Л6)
Очевидно, что величина Е равняется кинетической энергии жид-
кости в объеме V. Формула A2.16) показывает, что кинетичес-
кая энергия жидкости в объеме V представляется поверхностным
интегралом по граничной поверхности S. По смыслу формулы
A2.16) существенно предположение об однозначности потен-
циала ф.Если объем V, в котором потенциальное движение регу-
лярно, односвязный, то однозначность потенциала ф получается
автоматически. Если V — многосвязный, то предположение об
однозначности ф существенно.
Если на замкнутой поверхности S — границе конечного объ-
ема V функция ф равна нулю или производная ду/дп равна ну-
лю, или на одних частях этой поверхности ф = 0, а на других
ду/дп = 0, то из A2.16) следует, что Е = О, поэтому в этих
случаях имеем | grad ф | = 0, или ду/дх = dyldy = ду I dz = О
внутри V; отсюда ф = const, т. е. жидкость покоится.
Пусть дана некоторая область 3), ограни-
Задачи Дирихле, ченная поверхностью 2. Задача об опре-
неимана и смешанная делении гармонической функции ф (х, у, z),
регулярной внутри SD, по заданным значениям функции ф на
границе 2 называется задачей Дирихле.
Задача об определении гармонической функции ф (х, у, z),
регулярной внутри S, по заданным значениям нормальной
производной dffldn на S — границе 3) называется задачей
Неймана.
Задача об определении гармонической функции ф (х, у, z)
в ф, называется смешанной, когда на одних частях границы

§ 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости 165
2 задана функция ф, а на других — нормальная производная
д<р/дп.
Задачи называются внутренними, когда внутри области 3)
не содержится бесконечно удаленная точка, в противном случае
задачи называются внешними.
В случае внешней задачи необходимо задавать добавочные
условия в бесконечно удаленной точке. В качестве такого ус-
ловия можно принять требование об исчезании скорости, т. е.
| grad Ф loo = 0 A2.17)
в пределе при удалении в бесконечность по любому пути.
Теперь легко доказать единственность ре-
Единственность решения шений указанных выше внутренних за-
внутренних задач
' г дач о потенциальном движении несжима-
емой жидкости в предположении, что потенциал ф однозначен и
что кинетическая энергия конечна, область 3) может быть мно-
госвязной.
В самом деле, пусть две однозначные гармонические функции
Фх и ф2 дают два решения рассматриваемой задачи. Рассмотрим
гармоническую функцию ф = фг — ф2. Очевидно, что для
однозначной функции ф получается та же задача, что для функ-
ций фх и ф2, но только с нулевыми значениями на границе 2.
С помощью формулы A2.16), примененной к функции ф = фх —
— ф2, получим, что ф = const. Для задачи Дирихле или для
смешанной задачи ф = 0. В задаче Неймана постоянная может
быть отличной от нуля, но движение жидкости определяется
однозначно.
Полученные выводы о единственности решения опираются
существенно на формулу A2.16); справедливость этой формулы
основана на допущении, что интеграл
\2dx A2.18)
существует. Единственность решения нарушается в классе ре-
шений, для которых этот интеграл не существует, за счет ус-
ложненных свойств решения вблизи границы S.
Для доказательства единственности внешних задач на основе
формулы A2.16), кроме условий о поведении решения вблизи
2, необходимо еще учесть, что область 3) содержит беско-
нечно удаленную точку, и необходимо показать, что добавоч-
ное требование о регулярности и конечности потенциала ф
вблизи бесконечно удаленной точки гарантирует сходимость
интеграла A2.18), распространенного на бесконечную область
интегрирования 3). Для решения этого вопроса ниже мы

166
Гл. VIII. Гидромеханика
рассмотрим более подробно поведение регулярной гармонической
функции ф в бесконечности для пространственной задачи.
Заметим еще, что для многосвязной области 3) задача Ней-
мана и некоторые смешанные задачи наряду с единственным од-
нозначным решением для потенциала могут иметь еще решения
с неоднозначным потенциалом ср. В случае неоднозначных
функций ф в многосвязных областях единственность решения
не имеет места. В этом случае для выделения единственных
неоднозначных решений требуется выставлять дополнитель-
ные условия, фиксирующие периоды неоднозначности —
циркуляции по контурам, не стягиваемым в точку внутри
многосвязной области 25.
G помощью второй формулы Грина можно
дать формулу, выражающую однознач-
ную гармоническую функцию ф (х, у, z)
внутри объема V через значения ф и ду/дп
на границе S этого объема.
Возьмем в качестве функции i|> (х0, у0, z0, x, у, z) некоторую
гармоническую функцию по переменным х0, у о, z0 и по перемен-
ным х, у, z, имеющую при х = х0, у = у0 z = z0 такую особен-
ность, что вблизи этой точки верна асимптотическая формула
Функция Грина.
Гармоническая функция
как сумма потенциалов
простого и двойного слоя
— z0)
/о, z0, х, у, z) = — +А
A2.19)
где & — регулярная гармоническая функция по каждой тройке
своих аргументов в объеме V. Дальше при использовании фор-
мулы A2.15) будем подразу-
мевать, что переменные ин-
тегрирования обозначены че-
рез х„, у о, z0. Так как функ-
ция тM имеет особенность в
точке г = 0, то будем писать
формулу A2.15) применитель-
но к объему Vlt из которого
удалена внутренность весьма
малой сферы St радиуса е с
центром в точке г = О
(рис. 69).
Так как ф и i)> — по усло-
вию регулярные однозначные функции в объеме Vx, то по фор-
муле A2.15) получим
,*?._ФЁ
дп ' д
Рис. 69. Область интегрирования
для получения потенциала.

§ 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости 167
Интеграл по сфере Ss вычислим, устремляя радиус сферы
е к нулю и используя асимптотическую формулу A2.19). При
е -> 0 будем иметь
у, z), A2.20)
поэтому
Эта формула даст решение внутренней задачи Дирихле, если
принять, что поверхность S совпадает с 2 и что гр = 0 на
2. Эта же формула даст решение задачи Неймана, если гармо-
ническая функция г|э определена условием dty/dn — О на 2. Две
различные функции 1|з, определенные такими условиями, назы-
ваются функциями Грина для задачи Дирихле или для задачи
Неймана. Гармонические функции ф (?<ъ 2/о> 2<ь х, у, z) имеют
особенности внутри 3); соответствующие условия на 2 для ре-
гулярной гармонической функции h имеют вид
. я, д —
Л = -— или 4^= /-. A2.22)
г дп дп v '
Таким путем решение общих задач Дирихле и Неймана для
функции ф с произвольными граничными данными сводится к
решению частных задач Дирихле и Неймана для функции h с
граничными условиями A2.22). Очевидно, что таким же путем
можно строить функцию Грина для смешанной задачи.
Если положить г|э = 1/г, т. е. h = 0, то формула A2.21)
принимает вид
A2-23)
Здесь можно принять, что S — любая поверхность внутри об-
ласти регулярности функции ф или что S совпадает с Т —
границей области 3). Формула A2.23) дает представление
потенциала ф в виде суммы потенциалов простого и двойного
слоя.

168 Гл. VIII. Гидромеханика
Разложение потенциала Теперь можно показать, что гармониче-
вию A2.17), вне всякой сферы достаточно
большого радиуса, охватывающей все границы 2 области
3), может быть разложена в ряд вида
m П М . ClX -f- C2'/ + C3Z , . ?Р„ (х, V, Z) , ,лпп/\
ср = t, — (- ! _ ! j_ # _ > i "v ' я' ' 1 A2.24)
где Я = yV" -j- г/2 -|- z2, С, сь c2, c3 — постоянные, 5s n — од-
нородный гармонический полином степени п и
причем 2Х — любая замкнутая поверхность, охватывающая
один раз внутренние границы области 3), т. е. поверхности 2.
Поверхность 2j, может совпадать с поверхностью 2, так как
по A2.9)
если между 2j и 2 функция ср регулярна. Знак минус у второго
интеграла связан с тем, что нормаль на 2 взята внутренней к 3).
Очевидно, что величина М равняется расходу жидкости через
поверхность 2, т. е.
м =
где dV/dt — изменение объема внутри 2, которое может быть
вообще отличным от нуля. Расход М = 0, если 2 состоит из
поверхностей твердых тел, движущихся внутри жидкости.
Величина М будет конечной и отличной от нуля, если мы будем
рассматривать, например, задачу о расширении сферы в несжи-
маемой жидкости.
Обратимся теперь к доказательству справедливости разло-
жения A2.24). Пусть 2Х — сфера с центром в начале коорди-
нат радиуса i?lt охватывающая поверхности 2, и 22 — сфера с
центром в точке х, у, z, весьма большого радиуса R2, содержа-
щая сферу 2Х внутри себя (рис. 70).
Потенциал ср (х, у, z) является гармонической функцией вну-
три объема, ограниченного сферами 2^22, и поэтому согласно
J

§ 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости 169
(8.23) можно написать
/ 1
A2.25)
Устремляя радиус R2 к бесконечности, определим предельные
значения интегралов, взятых по сфере 22.
Так как
~-dj = M, то lim =— \Tr^-G?a = 0. A2.26)
Для элемента сферы 22 имеем da = R^dio, где w — телесный
угол, поэтому первое ра- z
венство из A2.26) дает
OR"
откуда
М
и, следовательно,
1 = 4яС, A2.27)
где С — постоянная рис, 70. Схема к доказательству раз-
интегрирования по 7?2- ложения A2.24).
Покажем теперь, что
величина С не зависит от координат х, у, z центра сферы 22-
В самом деле, возьмем сферу 22 радиуса R2 = R2 с центром в
точке с координатами х ~}-Ах, у, z. Для этой сферы будем иметь
&
Можно написать, что
Дх
Дх

170 Гл. VIII. Гидромеханика
где |, т], ? — координаты точек на сфере 2а-В пределе при
Ах -*~ 0 получим
m , . дС
По условию A2.17) имеем, что производная dcp/dt, исчезает при
Rz ->- оо, следовательно, дС/дх = 0. Аналогичным образом
можно показать, что дС/ду = dCldz = 0, откуда вытекает, что
С есть не зависящая от координат х, у, z, постоянная.
Из формулы A2.25) на основании A2.26) и A2.27) получим
—Г-&)* + С. A2.28)
Эта формула представляет собой обобщение формулы A2.23) на
случай внешней задачи. Очевидно, что после замены произ-
водной ЫдВ.г через производную д/дп поверхность интегрирова-
ния (сферу 2Х) в формуле A2.28) можно заменить любой другой
замкнутой поверхностью, охватывающей все внутренние гра-
ницы области 2).
В окрестности всякой внутренней точки области 3) с конеч-
ными координатами х', у', z' функции 1/ги д (ijr)ldn разлагаются
в ряды Тейлора по х — х', у — у', z — z', сходящиеся об-
сольотно и равномерно внутри некоторой сферы, в которой г =/=> 0.
Отсюда следует, что вблизи точки х', у'', z', в которой потенциал
Ф регулярен, потенциал ф (х, у, z) представляется сходящимся
степенным рядом по ж — ж', у — у', z — z'. Следовательно, гар-
монические функции в точках регулярности х', у', z' являют-
ся аналитическими функциями, имеющими производные любых
порядков.
С помощью рис. 70 легко усмотреть, что
— = 1 - = / (а - В,),
причем / (а) = MR. Функция
f(a-Bl)=-L
является регулярной всюду, где г =f= 0. Считая, что точка х, у, z,
в которой определяется потенциал ф, расположена достаточно
далеко от сферы 21; разложим функцию / (а — i?x) в ряд Тейло-
ра по i?j
4 1 В\ 4 1 д [ 1 \ Д О- 4 5' ( 4 \ R2
A2.29)

§ 12. Потенциальные Движения аесжимаемой жидкости 171
Производная по направлению а, очевидно, равна
д д , „ д , . Э
где а, Р, 7 — направляющие косинусы вектора Ж1, соединяю-
щего начало координат с переменной точкой] |, т], ?, лежащей
на сфере 2^. Для первой производной
да \ R J да \ V"jz i ,,2 1 .;
будем иметь
/' Ся1» = — ах "*" ^у "^* Тг = Я1(ж' у- г)
где п1 — однородный полином от х, у, z первой степени. Исполь-
зуя метод математической индукции, легко показать, что
где яп+1 — однородный полином от ж, г/, z степени гг -)- 1 с коэф-
фициентами, зависящими от |, r\, Z,, если верно, что
где яп — однородный полином х, г/, z степени w с коэффициентами,
зависящими от ?, ii, ?.
Таким образом, разложение A2.29) можно записать в виде
1 1 ах-\- Р.у + Tz n , Я) {х, у, z) „а ,
4(_1)п«2^?)дГ + ;.. A2>30)
Каждый из членов этого ряда является гармонической функцией
и представляет собой течение от источника, диполя и мульти-
полей более высокого порядка, расположенных в начале коорди-
нат О. Этот ряд сходится равномерно, и его можно почленно
дифференцировать и интегрировать.
Подставляя разложение A2.30) для 1/г в формулу A2.28)
для потенциала ф, получим разложение A2.24). Гармоничность
каждого члена в разложении A2.24) непосредственно очевидна
из вывода.

172 Гл. VIII. Гидромеханика
Гармоничность однородных полиномов ?Рп (х, у, z) в A2.24)
вытекает из равенства
\(х, у, z)\ Д^>„(х, у, z)
которое получается в результате дифференцирования.
Л Y ЛП(Я, у, 7.)
Однородные гармонические функции д2«+1 , получаю-
щиеся при дифференцировании 1/R и путем их суммирования,
Зьп (х, у, г)Шгал1, называются сферическими функциями. Та-
ким образом, любая гармоническая функция, удовлетворяющая
условию A2.17), может быть разложена в ряд по сферическим
функциям &>п (х, у, z)/i?2171 вне сферы 2*.
Несущественную для определения поля
Порядок убывания потен- скоростей аддитивную постоянную, вхо-
Гн^и^сГаГэГрГя1- ДЯШУ- в разложение A2.24) для по-
неограниченного объема тенциала <р, можно определить из условия
жидкости при скорости, фоо = 0. Тогда С = 0, и ясно, что потен-
равной нулю в беско- циал ф в случае течения жидкости, вы-
нечности званного движением в ней твердого тела
(т. е. при.М = 0), будет стремиться в бес-
конечности к нулю по крайней мере как 1/.R2, а решение
внешней задачи Неймана в случае М ф 0 — по крайней мере
как 1IR.
Для кинетической энергии Е некоторого объема V идеальной
несжимаемой жидкости, ограниченного поверхностью S, имеет-
ся формула A2.16). Рассмотрим случай, когда объем V не огра-
ничен, а на бесконечности выполняется условие A2.17). Тогда
для потенциала ф в окрестности бесконечно удаленной точки
будет справедливо разложение A2.24). Возьмем поверхность
S, состоящую из 2 — поверхности тел, находящихся в жидкости
и охватывающей их поверхности 21; которую потом устремим
в бесконечность, тогда
Первый интеграл будет конечной величиной, если мы будем рас-
сматривать такие течения, для которых на поверхности тел 2
произведение ф (dq>/dri) интегрируемо. Второй интеграл по 2:
в силу разложения A2.24) при М = 0 или при С = 0 будет стре-
миться к 0 при 2Х ->- оо, так как подынтегральное выражение
будет убывать при этом по крайней мере как 1/i?3. Для кинети.

§ 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости 1?3
ческой энергии Е неограниченной массы жидкости при этом бу-
дем иметь *)
5 ^g<b. A2.31)
Таким образом, кинетическая энергия неограниченного объема
несжимаемой жидкости конечна, если в этом объеме происходит
регулярное потенциальное течение и скорость течения в беско-
нечности равна нулю.
Из существования конечной кинетиче-
Единственность внешних ской энергии следует, что приведенные
рГ'смешшшой когда выше доказательства о единственности
(grad (p)^ = 0 однозначных решений внутренних задач
Дирихле, Неймана и смешанной при на-
личии условия A2.17) автоматически распространяются на слу-
чай внешних задач.
Заметим, что если граничная поверхность 2 простирается
до бесконечности, то проведенное выше рассуждение о поведе-
нии гармонических функций в бесконечности недействительно.
В этих случаях требуется отдельное специальное аналогичное
исследование, в частности, это необходимо для плоских задач,
в которых поверхности 2 — бесконечные цилиндры. Однако и в
этом случае требование об исчезновении скорости при уда-
лении от внутренних границ области в бесконечность и требо-
вание об однозначности потенциала гарантируют единственность
решения рассматриваемых основных краевых задач.
Пусть гармоническая функция ф (х, у, z),
Условия зеркальной регулярная вблизи точки х', у', z', на
симметрии для гармо- сколь угодно малом элементе плоскости
НИЧеСКИХ фуНКЦИИ г г г г
z = z , проходящем через точку х , у , z ,
обращается в нуль. Очевидно, что все частные производные
от ф, содержащие дифференцирование только по х и у, обра-
щаются в нуль в точке х', у', z'.
Полагая х — х' — \, у — у' = т] иг — z' = ?, в силу до-
казанной выше разложимости функции ф (?, т], ?) в ряд Тейло-
ра получим, что вблизи точки \ = т] = ? = 0 потенциал
Ф (L^. V) разлагается в ряд следующего вида:
оо оо
. Ф = ?2^п(Е,гЬ Г") + ?2Е@ЛЕ,Л, V), A2.32)
. п=0 "=2
х) Если С ф 0 и М ф 0, то справа в A2.31) появится добавочный член
СМ
р ~~2~- Напомним, что если объем, ограниченный поверхностью 2,
постоянный, то М = 0. Так как потенциал <р определен с точностью до
аддитивной функции / (t), то всегда можно принимать, что С = 0.

174 Гл. VIII. Гидромеханика
где &>п и (Щп — однородные полиномы степени1 п по |, ц, Z,.
В первом члене A2.32) сгруппированы все члены ряда Тейлора с
нечетными степенями ?, во втором — с четными степенями ?.
Покажем теперь, что в нашем случае из свойства гармонич-
ности функции следует, что все @п = 0. Путем дифференциро-
вания легко проверить, что после применения оператора Лап-
ласа к однородному полиному по ?, т], t, опять получается
однородный полином, причем степень этого полинома будет на
две единицы меньше степени исходного. Таким образом,
Д (?#>„) = ?-Я„-2(?, Л. О A2.33)
A (V@n) = VSn-t (I, 4, V) + 2С, (б, Л- С2), A2.34)
где J?n_2 и iSn_2 — однородные полиномы по Е, Ц, ? степени
п-2.
Так как для любых п степени однородных полиномов A2.33)
нечетные, а степени полиномов A2.34) четные и так как однород-
ные полиномы по |, т],? с различными показателями однородно-
сти линейно независимы, то правые части в A2.33) и A2.34)
в силу гармоничности функции <р должны обращаться в нуль
тождественно. Отсюда следует, что полиномы ?,2Шп (?, Ц, ?2)
должны быть регулярными гармоническими функциями во всем
пространстве, но это невозможно, так как они не удовлетворяют
теореме о среднем в точках плоскости ? = 0. В самом деле, пусть
12<Шп F, П- ?2) = ?рШп F, л, ?2). где @„ (|, П, 0) отлично от нуля
при некоторых |, т], не равных нулю, причем целое число
р ^ 1. По теореме о среднем должно иметь место точное равен-
ство:
0 = 1?р®'„(|, ть ^) dS, A2.35)
где 5 — сфера любого радиуса с центром в фиксированной точке
li Ф 0, Л1 ^= 0 на плоскости ^ = 0, принадлежащей области,
где ф = 0. Для достаточно малого радиуса е > 0 сферы 5 имеем
5SP@nd, Л, 53) = С&п&х, %, 0) [1 + О(г% A2.36)
где О (е) — величина, стремящаяся к нулю вместе с е. После
подстановки A2.36) в A2.35) получим, что интеграл в A2.35)
отличен от нуля при достаточно малых е, не равных нулю. От-
сюда следует справедливость утверждения о том, что @п = 0 для
любых п.
Другое доказательство обращения в нуль @пдля любых п
можно получить непосредственно из A2.34) после приравнива-
ния правой части этого выражения нулю.

§ 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости 175
Равенство A2.32) приобретает следующий вид:
Ф = ?»(?, Ч, S2), A2.37)
где ю (|, т], ?2) — некоторая аналитическая функция своих
аргументов. Из этой формулы, полученной из предположения,
что ф обращается в нуль на некоторой сколь угодно малой
площади в плоскости ? = 0, непосредственно вытекает следую-
щее свойство симметрии для потенциала ф (?, т|, ?):
Ф (Б, П, С) = - Ф (I, Ч, -С) или ф (/>) = - ф (/>'), A2.38)
где Р и Р' — точки, симметричные относительно плоскости
? = 0. Точки Р ш Р' являются зеркальными изображениями
друг друга относительно плоскости ? = 0 (см. рис. 71). Из свой-
ства симметрии A2.38) легко выводим
Свойства симметрии A2.38) и A2.39), доказанные выше толь-
ко в области сходимости ряда A2.32), после аналитического про-
должения функции ф будут выполняться во всей области 3)
определения гармонической функции ф, причем область 3) по-
лучится симметричной относительно плоскости ? = 0.
Внутри сферы радиуса сходимости ряда A2.32) на плоскости
? = 0 функция ф обращается в нуль. Однако это не означает,
что ф = 0 во всех точках плоскости ? = 0. Если возможно ана-
литическое продолжение функции ф, то при достаточно боль-
ших |, т] на плоскости ? = 0 могут появиться части плоскости
? = 0, на которых ф ф 0; при подходе к этой части плоскости
? = 0 с разных сторон значения ф будут отличаться знаком.
Область 33 может быть многолистной, на плоскости ? = 0
могут появиться особые точки и т. п.
Пусть имеем твердое тело, плавающее на
Задача об ударе плаваю- горизонтальной поверхности несжимае-
шего тела - «
мои жидкости, занимающей все нижнее
полупространство (рис. 71). Для простоты примем, что вначале
жидкость и тело покоились. В результате внезапного приложе-
ния внешних импульсивных сил тело и жидкость начинают
J двигаться. Движение жидкости после удара будет потенциаль-
ным и потенциал этого движения сразу после удара будет
равен
ф(ж, у, 2) = --^-,

176
Гл. VIII. Гидромеханика
где
Pt
= lim\pdt
— импульс давления, подействовавший на жидкость в момент
удара.
Для определения гармонической функции ф (ж, у, z) в момент,
следующий непосредственно после удара, имеем условия: на
Рис. 71. К задаче об ударе тела, плавающего на го-
ризонтальной поверхности жидкости.
свободной границе жидкости (на части плоскости хОу вне тела)
Ф = 0; A2.40)
на смоченной поверхности тела 2]. импульс давления pt
отличен от нуля, но вообще неизвестен заранее. Однако, если
движение тела, возникающее в результате удара, известно, то
при отсутствии отрыва жидкости от тела, т. е. при сохранении
контакта тела с жидкостью, да поверхности 2Х имеем условие
дп
~ "'
A2.41)
где Vn — известная составляющая скорости тела по направле-
нию нормали к его поверхности.
Примем еще, что в бесконечности жидкость покоится, и по-
этому
(grad ф) = 0.
A2.42)
Таким образом, определение потенциала ф (х, у, z) сводится
к решению смешанной задачи.

§ 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости 177
В силу условия A2.40) с помощью соотношения A2.38) по-
тенциал ф можно продолжить аналитически в верхнее полу-
пространство. В результате аналитического продолжения полу-
чим, что потенциал <р (х, у, z) будет определен во всем простран-
стве вне симметричной поверхности 2„ -f 22; причем согласно
равенствам A2.39) и свойству симметрии поверхности 2j -{- 22
получим, что в симметричных точках Р и Р' будут выполняться
соотношения
?) =-№) ¦ A2.43)
дп/р \dnlp' v '
В самом деле, пусть a, C, у— направляющие косинусы норма-
ли в точке Р'\ тогда направляющие косинусы в точке Р будут
а, Р, — у (см. рис. 71). Учитывая это и равенства A2.39), по-
лучим A2.43).
На основании A2.41) и A2.43) смешанная задача об определе-
нии потенциала скоростей возмущенного движения жидкости,
возникшего в результате удара тела, плавающего на горизон-
тальной поверхности жидкости, равносильна задаче Неймана,
поставленной в симметричной области — внешности замкну-
той поверхности 2а, -j- 22 с симметричными краевыми данными
A2.41) и A2.43).
Из единственности решения задач Неймана и смешанной за-
дачи нетрудно усмотреть, что так поставленная симметрич-
ная задача Неймана и соответствующая смешанная задача пол-
ностью эквивалентны. Отсюда следует, что задача Неймана
с данными, удовлетворяющими равенству A2.43) на симметри-
чной замкнутой поверхности 2г -J- 22, имеет решение1), об-
ладающее свойствами симметрии, выраженными равенствами
A2.37), A2.38) и A2.39).
Если для потенциала <р (?, г\, ?) вместо
Случай, когда потенциал равенства A2.37) верно равенство
в симметричных точках 2 . _ ...
имеет одинаковые значения ф = <в (g, Ц, С, ), A*4.44)
то будут удовлетворяться следующие
свойства симметрии:
\
(Hi.) (dJL) -1?*-) A2.45)
p — [ dl /p-' [ дг) jP — { dr\ )p >
A2.46)
J) См. Л. И. Седов, Об ударе твердого тела, плавающего на
верхности несжимаемой жидкости, Труды ЦАГИ, № 187, 1933.
по-

178 Гл. VIII. Гидромеханика
Из равенства A2.46) следует, что на плоскости Z, = О внутри
жидкости
^- = 0, а ф(?,тьО)=?-О. A2.47)
Очевидно, что в этом случае задача Неймана для внешней по
отношению к симметричной поверхности Ъх -\- 22 области с
симметричными на 2г -)- 22 данными
эквивалентна следующей задаче Неймана:
-*— = Vn на 2\ и -?- = -~г = 0 вне тела при L = 0. A2.49)
on " an "? г» \ /
Эта задача соответствует задаче об определении движения жид-
кости, возникшего в результате удара тела, погруженного в жид-
кость, когда жидкость ограничена не свободной поверхностью,
а горизонтальной неподвижной плоской непроницаемой стенкой.
Основываясь на рассмотренных здесь
дляНК2олупро™ранства, свойствах зеркальной симметрии, по-
ограниченного плоскостью строим функции Грина для задач Ди-
рихле и Неймана в области 3), представ-
ляющей собой верхнее или нижнее полупространство, ограни-
ченное ПЛОСКОСТЬЮ 2 = 0.
Легко видеть, что для точек х, у, z и ж0, г/0, zo при z)>0 и
z0 ^> 0 функция Грина грх для задачи Дирихле в области z ."> 0
представится формулой
fr
У (х- хоJ -Г (у- УоJ + (z - zoJ
г = J *_, A2.50;
У (х — г0J + (г/ — г/оJ + (z + zoJ гмр гш>'
так как функция г^ удовлетворяет условию A2.19), а на гра-
нице 2 (плоскости z = 0) r|3j, = 0. Из условия A2.19) ясно, что
соответствующая функция Грина для нижнего полупространст-
ва z< 0 будет равняться r|>i = — г]^.
Очевидно, что функция Грина г|J при z > 0 и при z< 0 для
задачи Неймана одна и та же, она представляется формулой
!' A2.51)
так как при z = 0 выполняется краевое условие

§ 12. Потенциальные движения несжимаемой жидкости 179
Потенциал скоростей Рассмотрим задачу об отыскании потен-
ГпГУпрТстрОанствНеНГ>^, Чиала Простей движения несжимаемой
ограниченном плоскостью жидкости в верхнем полупространстве,
z = 0 ограниченном плоской стенкой z = О, от
системы заданных особенностей: источ-
ников, диполей и мультиполей.
Для удовлетворения условия обтекания
^- = 0 при z = 0 A2.52)
достаточно наряду с течением от заданных особенностей в верх-
нем полупространстве ввести еще фиктивное течение в нижнем
полупространстве. Внизу под стенкой в зеркально симметрич-
ных точках следует поместить такую же систему особенностей.
Очевидно, что суммарное течение будет удовлетворять краево-
му условию A2.52).
Например, если искомое течение обусловлено источниками
в точках Pk и диполями в точках Qj, то соответствующий по-
тенциал течения несжимемой жидкости в точке М с коорди-
натами х, у, z представится формулой
A2.53)
где qk и rri] — заданные постоянные, a Ph и Pk,QjiiQj ,dSj и
dSj — зеркально симметричные точки и направления относи-
тельно плоскости z = 0.
Пусть дана сфера S с центром в начале
Преобразование инверсии координат и радиусом Л.
относительно сферы ?м «?
Рассмотрим преобразование координат
хй2 уЛ2 zi?2
? = —, ti = V' С =-75-, где r2 = x2 + ^+z2.
A2.54)
Нетрудно усмотреть, что точке Р с координатами х, у, z и
радиусом г внутри сферы соответствует точка Р' с координатами
|, т], \ и радиусом г' = i?2/r вне сферы; точки Р ж Р' лежат на
одной прямой, проходящей через центр сферы.
Легко проверить, что из A2.54) следуют аналогичные об-
ратные формулы:
Щ, *-Э?, * = ?, где ^ = 64 Л'-1 Г A2.55)

ISO Гл. VIII. Гидромеханика
Точки Р и Р' называются зеркально симметричными относи-
тельно сферы S. На сфере S имеем Р' = Р, так как в этом слу-
чае I = х, т] = г/ и ? = z.
Рассмотрим расстояния гРМ и гР<м от
н^ТТад^^рихл?1" симметричных относительно сферы S то-
для сферы чек Р (х, у, z) и Р' (?, г\, ?) с радиусами-
векторами гиг' относительно центра
сферы, соответственно, до некоторой точки М (ж„, у0, z0) с ради-
усом-вектором т0 внутри сферы:
гРМ = (х- х0K + (У ~ г/оK -h (г - Я"' = г' + г* - 2г • г0,
Г1'м = F ~ ^оJ Н- A - УоУ + (S - zoJ = ^ + г'2 - 2г' • г0 =
Очевидно, в том случае, когда точка М лежит на сфере
S (г0 = R), верно равенство
^м=?г%м. A2.58)
Симметричная относительно переменных х, у, z и х0, у0, z0
функция
1 Д 1 Л /ЯП К-\
\f ==. A2.51)
1 2
ГРМ ГГР'М ГРМ у
является гармонической внутри 5, имеет особенность типа
1/Грм вблизи точки Р, не имеет внутри S других особенностей
и обращается в силу A2.56) в нуль на сфере S. Следовательно,
функция r|)l5 определенная формулой A2.57), является функцией
Грина для задачи Дирихле внутри сферы.
Легко усмотреть, что функция Грина для задачи Дирихле
вне сферы представится формулой
ГР'М пгРМ
Таким образом получается полное решение внешней и внут-
ренней задач Дирихле для сферы с помощью формулы A2.21), в
которой функции г^! или i|)i определены формулами A2.57) и
A2.58).

г
§ 13. Задача о движении сферы 181
§ 13. Задача о движении сферы в безграничном объеме
идеальной несжимаемой жидкости
Рассмотрим задачу о движении абсолютно твердой сферы
в безграничной массе несжимаемой идеальной жидкости, когда
на жидкость не действуют внешние массовые силы. Пусть сфера
радиуса а движется поступательно относительно некоторой не-
подвижной системы отсчета (х±, уг, гг) со скоростью V (t) в неог-
раниченном объеме идеальной несжимаемой жидкости. Дви-
жение жидкости, вызванное движением сферы, относитель-
но этой системы отсчета будем называть «абсолютным» дви-
жением.
Изучать «абсолютное» движение жидкости будем, пользу-
ясь подвижной системой координат х, у, z, которая жестко
скреплена со сферой и имеет начало в ее центре.
Возмущенное движение жидкости будет
Постановка задачи потенциальным, если оно непрерывно и
о движении сферы ^ К-,г
возникло из состояния покоя. Потенциал
Ф в силу уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости
должен удовлетворять уравнению Лапласа всюду вне сферы
Аф = 0 A3.1)
и следующим добавочным условиям: в бесконечности жидкость
покоится и, следовательно,
(grad 9)^ = 0, A3.2)
на поверхности сферы 2 должно выполняться условие непро-
ницаемости и безотрывности течения жидкости, т. е. нормаль-
ная составляющая скорости vn жидкости должна равняться
нормальной составляющей скорости точек поверхности
сферы Fn.
Если сфера движется поступательно со скоростью V вдоль
оси х (так выбираем ось х), то условие обтекания запишется
следующим образом:
, A3.3)
где через 6 обозначен переменный угол между тих. Заметим, что
с точки зрения условия обтекания случай движения сферы вдоль
оси х со скоростью V (t) является, в силу полной симметрии
сферы, наиболее общим случаем движения сферы в идеальной
жидкости. Таким образом, требуется решить простейшую част-
ную задачу Неймана.

182 Гл. VIII. Гидромеханика
Потенциал абсолютного Решение поставленной задачи единст-
движения венно; его легко сконструировать с по-
мощью рассмотренных выше частных ре-
шений уравнения Лапласа. Решение типа источника —1/г,
очевидно, для этой цели не годится, так оно не удовлетворяет
условию непроницаемости. Попробуем воспользоваться тече-
нием от диполя с осью, параллельной оси х, расположенного в
начале координат О. Положим
. д [ \\ . х - cos 9 ,i о /\
Ф = А-~ — = — А-^ = — А —5— , A3.4)
дх \ г
где А — некоторая постоянная. Так подобранная функция ф
удовлетворяет вне сферы уравнению Лапласа и в бесконечности
стремится к нулю вместе со своими производными, т. е. удовлет-
воряет граничному условию в бесконечности.
Посмотрим, нельзя ли подбором постоянной А удовлетво-
рить и граничному условию непроницаемости A3.3). На поверх-
ности сферы, очевидно, будем иметь
Г_Э_ / ^ cos ОМ 2^cos9
Подставляя это значение в A3.3), получим
2^cos9 лг Q
— = Fcos0,
т. е. условие A3.3) будет удовлетворено, если положить
А - Va*
А - — .
Таким образом, функция
Va3 х a3 Fcos9 ,ло сч
ч>=--2-;т=—2~75- A3>5)
дает решение поставленной задачи о движении сферы в жидко-
сти. Линии тока построенного течения показаны на рис. 72.
Если сфера движется поступательно со скоростью, направлен-
ной как угодно относительно осей координат, то для потенциа-
ла скоростей возмущенного движения жидкости будет верна
формула
где через Fl5 F2, F3 обозначены компоненты скорости V сферы
на оси координат. Если скорость поступательного движения

г
§ 13. Задача о движении сферы
183
ее
сферы зависит от времени, то для потенциала скоростей это
проявится только через функции Fx (t), F2 (t), V3 (t).
Если сфера вращается около некоторой оси, проходящей
через ее центр, то, очевидно, нормальные составляющие скоро-
сти сферы на ее поверхности будут равны нулю. Поэтому при
таком вращении идеальная
жидкость не будет возму-
щена.
В общем случае при про-
извольных движениях сферы
как твердого тела потенци-
ал скоростей представляется
формулой A3.6), в которой
Fx, F2, F3 являются компо-
нентами скорости центра сфе-
ры в подвижных осях.
Для определения распре-
деления давлений по поверх- „ _о „
у г Рис. 72. Линии тока при движении
ности сферы следует восполь- сферы в идеальной жидкости,
зоваться интегралом Коши —
Лагранжа. При поступательном движении вдоль оси х, когда
функция ф (х, у, z, t) определена в подвижной системе координат
(см. A1.7)), имеем
A3.7)
где функция / (t) уже определена на основании данных в беско-
нечно удаленной точке, в которой принято, что ср = 0, |gYad ф] =0
ир= роо. Зная распределение давления по поверхности 2, мож-
но найти силу, действующую со стороны жидкости на сферу 2.
Рассмотрим теперь задачу об обтекании
Постановка задачи неподвижной сферы потоком идеальной
об обтекании сферы ^ г ,-,
v несжимаемой жидкости. Пусть скорость
потока в бесконечности равна — V и направлена параллель-
но оси х. Движение жидкости в этом случае можно назвать «от-
носительным». Именно такую картину течения жидкости будет
видеть наблюдатель, движущийся вместе со сферой. Потенци-
ал скоростей (обозначим его фотн) должен всюду вне сферы
удовлетворять уравнению Лапласа
Афохн = 0
и следующим граничным условиям: в бесконечности

184
Гл. VIII. Гидромеханика
и на поверхности 2 сферы
Потенциал относительного
движения
Для того чтобы получить решение этой
задачи, воспользуемся решением преды-
дущей задачи о движении сферы в непод-
вижной жидкости. Легко видеть, что мы получим решение зада-
чи об обтекании сферы, если всей системе жидкость плюс сфера
в предыдущей задаче сообщим скорость —V, где V —скорость
движения сферы. Сфера при этом остановится, а на имевшееся
Рис. 73. Линии тока при обтекании сферы идеальной
жидкостью.
ранее движение жидкости наложится поступательный поток,
параллельный оси х, потенциал которого <px, = — Vx.
Потенциал полученного таким образом течения
и Т7 -^ Т7 IT Л / - "
= V -,- — Vx = — Fco30 r -f-'y-j-
2 г3 \ 2г2
A3.8)
будет гармонической функцией, удовлетворяющей как условию
в бесконечности
5<Ротн .
так и условию на поверхности сферы
Ч = —
дг Jr=a
— ^ = о.
Г3 /г=а
Таким образом, формула A3.8) дает решение поставленной
задачи. Линии тока этого течения начерчены на рис. 73. Поверх-
ность сферы в этом случае является поверхностью тока.

§ 13. Задача о движении сферы 185
Очевидно, что как в абсолютном, так и в относительном дви-
жении при неустановившемся движении линии тока в любой
фиксированный момент времени t1 будут совпадать с линиями
тока установившегося движения, соответствующего скорости
V = F(ix). Картина линий тока связана с вектором скорости
центра сферы, сиртема координат в общем случае может быть
повернута относительно вектора скорости и соответствующего
поля скоростей на любой угол.
Найдем распределение относительных
Распределение относи- „ r r -
тельных скоростей по по- скоростей по поверхности сферы
верхности сферы
= -FsinO. A3.9)
Таким образом, ц точках А и D (см. рис. 73), где Э = 0 и
6 — я, скорость v — 0, это — критические точки. Самая большая
скорость достигается при 6 = я/2 и8 = уЯ, т. е. в точках боль-
шого круга, плрскость которого ортогональна V, напри-
мер в точках В ж С. Эта скорость равна -tV-i т. е. в полтора
раза больше скорости набегающего потока.
Зная распределение скоростей по поверх-
Парадокс Даламбера ности сферы, можно вычислить распреде-
ДЛЯ СфСРЫ u т~1 т г
ление давлении. Ьсли скорость V не за-
висит от времени, то движение установившееся и можно поль-
зоваться интегралом Бернулли:
Р = Рто + \<У*- v*) = рж-г ^(l - -|sin»ej . A3.10)
Обратимся теперь к вопросу о вычислении силы, действующей
со стороны жидкости на движущуюся в ней со скоростью V
сферу. Если скорость V постоянна, то распределение давлений
на сфере одинаково в абсолютном и относительном движении
(см. A3.7)) и его можно вычислять по формуле A3.10). Из формулы
A3.10) следует, что давления в симметричных точках, например
Е, Е', F и F', одинаковы. Отсюда ясно, что суммарная сила,
действующая со стороны жидкости на обтекаемую сферу, точно
равна нулю. Сфера не испытывает сопротивления. Подъемная
сила также равна нулю.
Выше уже было показано (см. § 8), что этот результат, из-
вестный под названием парадокса Даламбера, справедлив не
только для сферы, но и для любого конечного тела произволь-
ной формы, движущегося с постоянной скоростью в идеальной
жидкости при отсутствии отрыва от поверхности тела и при ус-

186
Гл. VIII. Гидромеханика
ловии, что скорость жидкости в бесконечности равна нулю. Па-
радокс объясняется тем, что в действительности безотрывное
потенциальное движение жидкости вокруг сферы не осуществ-
ляется. С поверхности сферы сходят вихри, картина течения ви-
доизменяется и нарушается симметрия в распределении давле-
ния по передней и задней частям поверхности сферы.
Рассмотрим теперь случай, когда центр
Сопротивление сферы, сферы движется в жидкости прямолиней-
С переменной но вдоль оси х с переменной скоростью.
В этом случае движение жидкости неуста-
новившееся, для определения распределения давлений мож-
но пользоваться интегралом Коши — Лагранжа в форме
A3.7), а для потенциала скоростей жидкости — формулой
A3.5).
Нетрудно усмотреть, что при вычислении суммарной силы в
формуле A3.7) необходимо использовать только член с
дф
a cos 6 dV
2 IF
Рис. 74. К вычислению
силы сопротивления при
движении сферы с уско-
рением.
так как остальные члены дают части
давления, одинаковые в симметричных
точках Е, Е' F, F' (те же давления, что
и при установившемся движении с рас-
сматриваемым мгновенным значением
скорости).
Разбив поверхность сферы на эле-
ментарные полоски (рис. 74) с площадью
da = 2ла2 sin6d0 и проводя интегрирование по всей повер-
хности сферы, для силы сопротивления получим следующее
выражение:
= —ра3я^ cos2 6 sinG dQ = -
а о
A3.11)
Составим уравнение движения шара массы т под действием
некоторых сил Fx и силы сопротивления, будем иметь
dV г, 2 „ dV
тРпаР
2
Обозначив —яа3р через и, перепишем это уравнение в виде

§ 14. Кинематическая задача о движении твердого тела в жидкости 187
Присоединенная масса Отсюда следует, что шар в жидкости будет
сферы двигаться под действием некоторых сил Fх
так же, как он двигался бы в пустоте,если бы его масса из-
менилась на ц. Величина ц называется присоединенной массой
шара. Она равна половине массы жидкости, вытесненной сферой.
Присутствие внешней среды (жидкости) сводится только к
увеличению инерции шара.
§ 14. Кинематическая задача о движении твердого тела
в неограниченном объеме идеальной несжимаемой жидкости
Пусть в неограниченном объеме 3) идеальной несжимаемой
жидкости движется одно конечное твердое тело произвольной
формы. Поставим задачу об определении непрерывного возму-
щенного движения жидкости, возникающего из состояния по-
коя под действием заданного движения твердого тела. Для опи-
сания абсолютного движения жидкости относительно неподвиж-
ной системы координат, в которой жидкость в бесконечности
покоится, выберем подвижную сопутствующую телу декартову
систему координат х, у, z, через *,./,& обозначим единичные век-
торы, направленные вдоль соответствующих осей этой подвиж-
ной системы координат.
Скорость TJ любой точки твердого тела в
Распределение скоростей случае его произвольного движения, как
в твердом теле известно, определяется формулой Эйлера
Z7 = Z70-fQxr, A4.1)
где Uo — скорость некоторой точки О твердого тела, Q — мгно-
венная угловая скорость вращения тела, а г — радиус-вектор,
проведенный из точки О в ту точку твердого тела, скорость кото-
рой определяется.
Введем проекции скоростей Uo и Q на оси подвижной
системы
Uo = U4 + U2j + U*k, A4.2)
Q = U4 -f Uhj -f Uek = пЧ + Q-j + Q3k. A4,3)
Поле скоростей в твердом теле будет известно, если будут
известны шесть функций U1 времени t.
Если движение идеальной несжимаемой
Постановка задачи жидкости, вызванное движением твер-
движении жидкости дого тел3) ВОЗНикло из состояния по-
коя и непрерывно, а внешние массовые силы потенциальны
или отсутствуют, то это движение будет потенциальным

188 Гл. VIII. Гидромеханика
v = gladф, причем потенциал ф будет однозначной1) функцией
координат.
Для определения движения жидкости достаточно опреде-
лить потенциал скоростей ф (ж, г/, z, t), который должен удов-
летворять всюду в области 3) вне твердого тела уравнению
Лапласа
^Ф = "—г ~Н я~т "Ь я~т == 0 A4.4)
и следующим граничным условиям: в бесконечности должно
быть
(grad ф)то = 0, A4.5)
так как по условию скорость движения жидкости, вызванного
движением твердого тела, должна затухать в бесконечности,
на поверхности 2 твердого тела должно выполняться условие
непроницаемости и безотрывности течения
^ — Un = U0-n -j- (Oxr)-n — Un-n -j- Q-(rxn), A4.6)
где n — внешняя по отношению к области, занятой жидко-
стью, нормаль к поверхности тела 2. Таким образом, искомый
потенциал должен быть решением внешней задачи Неймана.
В § 12 мы показали, что кинетическая
Сведение задачи о дви- энергия такого возмущенного движения
жении жидкости к шести жидкости конечна, если скорости частиц
задачам Неймана, завися- r ^
щим только от геометрии жидкости конечны, и что так поставлен-
тела ная задача Неймана имеет единственное
решение.
Пользуясь линейностью поставленной выше внешней за-
дачи Неймана, потенциал ф можно искать в виде суммы
Ф = EAfi A4.7)
A4.8)
A4.9)
или в
где
виде
Ф = V
Ф1==Ф
Ф2 = Ф
"о-Ф1 + П-
1* + Ф2./ +
4* + Фб,/ ->'-
х) Внешность поверхности тела, область, в которой происходит не-
прерывное возмущенное движение жидкости, может быть многосвязной.
Однозначность потенциала, связанная с равенством нулю циркуляции по
любым замкнутым контурам, следует из теоремы Томсона и условия не-
прерывности движения жидкости.
J

§ 14. Кинематическая задача о движении твердого тела в жидкости 189'
и Фи Ф2> Фз> ф4> Фб зависят от х, у, z — координат сопутствую-
щей точкам тела системы.
Для определения каждого из однозначных потенциалов ф;
имеем внешнюю задачу Неймана:
АФ| = О
всюду вне 2; в бесконечно удаленной точке
(grad (pi)m = 0
и на границе 2 твердого тела (см. условие A4.6))
5? = П1 (i = 1,2,3), A4.10)
^ )} (/ = 1,2,3). A4.11)
С помощью A4.9) условия на поверхности 2 можно также за-
писать следующим образом:
? = » и ? = гх». A4.12)
Таким образом, вместо одной внешней задачи Неймана для оп-
ределения потенциала ф, в формулировку которой (в условие
на поверхности тела) входило время t, мы получили шесть внеш-
них задач Неймана для определения шести потенциалов фь
в формулировку каждой из которых время уже не входит.
Из линейности и единственности решения задачи Неймана
непосредственно вытекает, что решение одной задачи об опре-
делении потенциала ф для произвольных U1, U2,..., Ue экви-
валентно решению этих шести задач. Замечательно, что функ-
циональная связь потенциалов ф15 ф2, ф3, ф4, ф5, ф6 и
координат х, y,z в скрепленной с телом системе координат опре-
деляется только геометрическими свойствами поверхности твер-
дого тела и не зависит от кинематики движения. Следовательно,
потенциалы фх, ф2, ф3, ф4, фв> фб для тела заданной формы могут
быть вычислены раз и навсегда.
Потенциал ф будет равняться ф1; если U1 — 1, a U1 = 0
при i = 2, 3,..., 6, т. е. ф], является потенциалом возмущенного
движения жидкости в случае поступательного движения тела
в направлении оси х с единичной скоростью; аналогично ф2 и
Фз представляют собой потенциалы- возмущенного движения
жидкости в тех случаях, когда тело движется поступательно
с единичной скоростью в направлении осей pz соответственно.
Потенциалы ф4, фб и ф6 являются потенциалами возмущенного
движения в тех случаях, когда тело вращается с единичной

1E0
Гл. VIII. Гидромеханика
угловой скоростью вокруг координатных осей х, у и z соот-
ветственно.
Формула A4.8) устанавливает зависимость потенциала ф
от времени. Потенциал скоростей в подвижной системе коор-
динат зависит от времени t только через компоненты вектора
скорости U0 и мгновенной угловой скорости Q твердого тела.
Свойства потенциалов ср. Если Тело симметрично относительно плос-
для тел, имеющих кости ХУ, то нетрудно усмотреть, что для
плоскость симметрии точек Р и Р', лежащих на поверхности тела
и симметричных относительно плоскости
ху, справедливы следующие соотношения (рис. 75):
дп/р \ дпjр'
(* = 1,2, 6),
дп р
= -№l (A = 3,4, 5).
A4.13)
A4.14)
Из соотношений A4.13), A4.14) вытекает, что на части плоскости
Рис. 75. Схема поверхности 2, сим-
метричной относительно плоскости
ху, находящейся внутри жидкости, справедливы равенства
"^ = -Й" = Ж= °' Фз = Ф4 = Фо = 0. A4.15)
В точках, симметричных относительно плоскости ху (см. § 12
этой главы), имеем
Фг (Q) = Фг (Q') A = 1,2,6), A4.16)
ФК(<2) = —ФК(<2') (Л = 3, 4, 5). A4.17)
Очевидно, что для тела вращения отно-
Свойства потенциалов <р, сительно оси х ( щ потеНциал ф1
для тел вращения не заВисит от угла 0 @ - полярный угол
в плоскости yz), и имеются только три различных потенциала:
Ф1, Фг> Фв- ^ самом деле, вращение около оси х несущественно,

§ 14. Кинематическая задача д движений твердого тела в жидкости 191
поэтому ф4 = 0; потенциалы ф3 и ф6 в силу симметрии выра-
жаются через потенциалы ф2 и ф5 по формулам
фз (•?> У, z) = ф2 (х, z, —г/), ф6 (х, у, z) = ф5 (х, z, —у).
В цилиндрических координатах эти соотношения принимают
вид
Фз (х, г, 0) = ф2 (х, г, 0 — ¦?• I , ф6 (х, г, 0) = ф5 (х, г, 9 — -?) .
здесь г — полярный радиус в плоскости yz.
Определим теперь зависимость потенциалов ф2 и ф5 от
угла 0. Потенциалы ф2 и ф3 соответствуют поступательным дви-
жениям с единичными скоростями в направлении осей у и z.
Рис. 76. Схема расположения осей координат в случае тела вращения.
При поступательном движении с единичной скоростью в нап-
равлении, перпендикулярном к оси х, под углом О к оси у,
имеем
(х, г, 0) = ф2 (х, г, 0 — ft) = cos
(х, г, 0) +
-+- sin
(?, г, 0).
Отсюда получаем
ф2(ж, г, 0 — ft) = cosft4>2(a:, r, 0) + sin'dsp2 (x, r, 0— -?Н .
Положим 9 = 0 и заменим угол ft на —0; заметив еще, что
m (г г — — \ — 0
Фз \%i ' > 2) — и>
A4.18)
A4.19)
получим
Фз (х, г, 0) = ф2 {х, г, 0) cos 9.
Отсюда
Фз (х, г, 9) = ф2 (х, г, 0) sin 0.
Аналогично легко получить формулы
Ф5(ж, г, 0) = ф5 (х, г, ~) sin 9,
Фв(х, г, 9) = — ф5(ж, г, —\ cos0.

192 Гл. VIII. Гидромеханика
Таким образом, для произвольного движения тела вращения
потенциал скоростей можно представить в форме
Ф ^ Ф1 (х, г) Vх + ф2 (х, г, 0) (С/2 cos 0 + U3 sin 0) -Ь
+ Ф5 (х, г, -J) (fia sin 0 - fi3 cos 6). A4.20)
§ 15. Энергия, количество движения, момент количества
движения жидкости при движении в ней твердого тела
и основы теории присоединенных касс
Выше было показано, что всякое потенциальное движение
однородной несжимаемой жидкости можно рассматривать как
возникшее внезапно из состояния покоя в результате удара,
причем потенциал скоростей связан с импульсом давления
формулой
Л = —РФ. A5.1)
где р — плотность жидкости (плотность р одинакова и постоян-
на для всех частиц жидкости).
Задача Дирихле об определении однозначной гармонической
функции — потенциала ф (х, у, z) по ее значениям на границе
2 области, которой принадлежит бесконечно удаленная точка,
имеет единственное решение при ф = 0 в бесконечности.
_ Кинетическую энергию Е, вектор коли-
Энергия.^количество дви- г\
жения и момент количества чества движения Q и вектор момента
движения бесконечной количества движения К бесконечной мас-
массы жидкости сы жидкости определим через импульс
давления pt, подействовавший на жид-
кость на поверхности твердого тела, а следовательно, и через
Ф следующими формулами1):
$ \i, A5.2)
i
К = — \.(rxptn)d3 = р \(p(rxn)do = р ^^fo
a s s
где п — единичный вектор нормали к 2, внешней по отноше-
нию к области 3), занятой жидкостью, а г — радиус-вектор,
х) В следующем параграфе показано, что эти величины играют такую
же роль, как соответствующие величины в динамике системы конечных тел.

§ 15. Основы теории присоединенных масб
193
проведенный в переменную точку на 2 из точки О, относитель-
но которой вычисляется момент. Векторы О и Я равны сум-
марному импульсу и моменту импульса относительно точки
О внешних сил, подействовавших на жидкость со стороны
твердого тела, ограниченного поверхностью 2.
Так как Un = U0-n -f Q-(r x n), где Uo — скорость под-
вижной точки О, скрепленной с твердым телом, из формул
A5.2) и A5.3) с учетом A4.8) следует, что
причем для компонент Qh (к
ны формулы:
11 — ^j Aj^C U , (ID.4)
i, (?=1
1,2, 3)h«m(* = 4,5, 6) вер-
A5.4')
где Uo = U4 + U"j + U3k, Q =
-f
Энергия, количество
движения и момент
количества движения
твердого тела
соотношением, аналогичным A5.4):
В теории движения абсолютно твердого
тела вводятся живая сила Ео, количе-
ство движения Qo и момент количества
движения Ко твердого тела. Они связаны
4
причем
г=1
miltUlU\
i, к
-1,2,3),
= 4, 5, 6).
A5.6)
L
Матрица коэффициентов mi^ характеризует свойства инерции
твердого тела и в общем случае, когда начало координат взято
в некоторой произвольной точке О тела, имеет следующий
7 Л. И. Седов, том 2

194
Гл. VIII. Гидромеханика
специальный вид:
т
0
0
0
тъ*
ту*
0
т
0
— mz*
0
тх*
0
0 -
т
ту*
— тх*
0 -
0
— mz*
ту"
Jx
-Dz
-А,
mz*
0
— тх*
-Dz
Ju
-Ac
— my
mx
0
-Dy
-Dx
A5.7)
где m — масса тела, x*, у*, z
— координаты центра масс тела,
J x, Jy, Jz — моменты инерции тела относительно осей коорди-
нат, &D х, Dy, Dz — центробежные моменты инерции. Например,
Л - J (У* + z2) dm и Dx=\ yz dm.
Коэффициенты присо- Матрица A5.7) симметрична, матрица
единенных масс и их A5-5) \\Kik\\ также симметрична, так
свойства как на основании ВТорой формулы Грина
A2.15), примененной к двум гармоническим функциям ф,
и cpfe, каждая из которых исчезает в бесконечности как 1/г2,
получим
Полная кинетическая энергия системы тело плюс жидкость
представится в виде
г, 4=1
Величины Kik называются коэффициентами присоединенных
масс. Матрица присоединенных масс \\X.ih\\, характеризую-
щая более сложные, чем свойства инерции твердого тела, свой-
ства инерции жидкости, имеет более общий, чем матрица
A5.7), вид.
Очевидно, что для системы координат, неизменно скреп-
ленной с телом, величины Xift (см. A5.5)) не зависят от времени,
а зависят только от выбора такой системы координат и от гео-
метрических свойств поверхности 2 тела. Число независимых,
отличных от нуля элементов симметричной матрицы || hth\\,
равно с общем случае двадцати одному. Симметричная матрица

§ 15. Основы теории присоединенных масс 195
||ь A5.7) содержит только десять независимых и вообще
отличных от нуля элементов. Формулы преобразования эле-
ментов матрицы fXjjJ при переходе от одной системы координат
к другой легко получить с помощью формулы A5.4) и формул
преобразования компонент векторов U и Q. В частности, при
изменении направления осей координат и положения в теле
точки О будем иметь
Нетрудно усмотреть, что коэффициенты Я,п, Л22, *к33, Я.12, K%i
и Я,23 зависят только от направления осей координат, а осталь-
ные коэффициенты зависят как от направления осей координат,
так и от положения в теле точки О (т. е. от компонент
вектора rOl — г о).
При поступательных движениях твердого
Главные направления тела его количество движения Qo = mU0
движения и центральная направлено по скорости движения, при-
точка тела qeM масса Тела не зависит от направления
движения тела.
Количество движения жидкости и скорость поступательного
движения тела вообще не параллельны. Величины %ih (s, к =
= 1, 2, 3) образуют симметричный тензор второго ранга, по-
этому существуют три взаимно перпендикулярных главных нап-
равления таких, что при поступательных движениях тела вдоль
этих направлений векторы количества движения жидкости и
поступательной скорости тела параллельны, в других случаях
такой параллельности вообще нет. Если декартовы оси коор-
динат направлены по главным направлениям, то Х12 = Я,13 =
= Я,23 = 0, причем вообще
Таким образом, коэффициенты присоединенных масс зависят
от направления поступательного движения тела.
Матрица A5.7) для твердого тела сильно упрощается, если
точка О совпадает с центром масс х* = у* = z* = 0. С этим
связана особая динамическая роль центра масс твердого тела.
Возьмем систему координат, оси которой направлены вдоль
главных направлений. Нетрудно проверить, что три компо-
ненты вектора г о*— fo, определяющие положение точки О*,
можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства
Кб = ^24» *1в = ^34» *-2в — ^36- A5.10)
Точка О*, для которой выполняются эти равенства, называется
центральной точкой.
7*

196 Гл. VIII. Гидромеханика
Если оси координат направлены по главным направлениям,
а начало координат (центр моментов) совпадает с центральной
точкой, то согласно A5.9) и A5.10) симметричная матрица
|XjJ содержит только пятнадцать независимых элементов.
Если поверхность твердого тела 2 об-
Коэффициенты присос- ладает некоторыми свойствами симметрии,
диненных масс для тел т часть коэффициентов присоединенных
с плоскостями симметрии . -. ^^ ^ т>
масс Aih обращается в нуль, о самом деле,
пусть поверхность тела 2 допускает плоскость симметрии,
которую мы примем за плоскость ху (рис. 75). Можно напи-
сать, что
где 2Х и 2 2 — симметричные части 2.
На основании соотношений A4.13), A4.14) и A4.16), A4.17)
очевидно, что в симметричных точках поверхности 2
?),.--(*?), A-1.2.6. *-8,4.S).
Следовательно,
X« = XM = O (i = l,2, 6, ft = 3,4, 5). A5.11)
Если поверхность 2 симметрична относительно плоскости
XZ, ТО
%.ч = %ы = 0 (» = 1, 3, 5, ft = 2, 4, 6). A5.12)
Если поверхность 2 симметрична относительно плоско-
стей ху и xz, то только следующие коэффициенты присоеди-
ненных масс отличны от нуля:
™11> ^2> "'33^ 4> 51 в> «2e, A35. A5.13)
Для поверхности 2, обладающей тремя плоскостями сим-
метрии ху, xz и yz, например, для эллипсоида, в этой системе
координат будут отличны от нуля только следующие шесть
коэффициентов присоединенных масс: Яи, Я2а, Я33, Я44> ^55> ^вв-
„ ., Когда поверхность 2 является поверх-
Коэффициенты присоеди- «г v
неиши: масс и цен- ностью вращения около оси х, из сим-
тральная точка тела метрии дополнительно получаем Я 2а =
вращения == Я33, Я55 = Явв и Я44 = 0. Так как при
вращении тела около оси х жидкость не
возмущается, то ср4 = 0. Кроме этого, Я2в = — Я85, так как при
вращении около оси z или около оси у с одинаковыми угловыми

§ 15. Основы теории присоединенных масс 197
скоростями проекции количеств движения на ось у в первом
случае Qy = X2eQs и на ось z во втором случае Qz = K36Q2 от-
личаются только знаком.
Таким образом, при движении в жидкости тела вращения
для соответствующих компонент количества движения и мо-
мента количества движения жидкости имеем
Qx = XnU\ Qy = W2 + К&3, Qz = KzU*-X26Q\
A5 14)
а для кинетической энергии жидкости
2Е = Xu*7l2+ Kt (Р*+ U*%) f ^
A5.15)
Если перенести начало координат вдоль оси х на величину
?, то для проекций скорости нового начала будем иметь
U'1=U1, U'2 = ?/2 4- ^3?, U'3=US — Q%.
Коэффициенты присоединенных масс для новой системы коор-
динат согласно A5.4) будут связаны с коэффициентами присое-
диненных масс для старой системы формулами:
Центральная точка лежит, очевидно, на оси х, ее координата
|* определяется формулой
Формула для Q, удобная Установим теперь для количества дви-
для вычисления %ik жения жидкости Q следующую формулу,
справедливую при произвольном дви-
жении в идеальной несжимаемой жидкости твердого тела любой
формы:
Q = _ pVU* - 4ярс, A5.17)
где
v
JJ — скорость движения любой точки твердого тела, V — его
объем, с = схъ 4- c^j + сз^> си С2 и сз — коэффициенты одно-
родного полинома первой степени, входящего в разложение

198 Гл. VIII. Гидромеханика
A2.24) потенциала <р течения жидкости в окрестности беско-
нечно удаленной точки.
Из первой формулы A5.3) имеем
<p|?do, A5.18)
где г = хъ -f- yj -f zfc. Введем сферу Ех с центром в некоторой
точке О тела, охватывающую поверхность 2 тела, и к конеч-
ному объему жидкости между 2 и 21 применим вторую фор-
мулу Грина для функций ф и г. Так как ф и т в области между
2 и 2j — гармонические функции, получим
Поэтому согласно A5.18), так как на 2 выполняется условие
d = Un, будем иметь
$(?§). A5.19)
Вектор скорости точек тела JJ определен внутри объема аб-
солютно твердого тела, ограниченного 2. Пользуясь теоремой
Гаусса — Остроградского, получим
}Г п )[ дх Т" dj ~*~ dz j J
A5.20)
Радиус сферы 2Х устремим в бесконечность. При вычислении
в A5.19) интеграла по сфере 2j можно пользоваться разложе-
нием A2.24) для потенциала ф, при этом в связи с тем, что
С = М = 0, только член разложения (схх -\- с2у + c3z)/R3 бу-
дет существенным, так как остальные члены убывают как 1/R3.
Заметим, что на сфере 24
С-В _ сп дф _ дф 2сп
и, следовательно,
а»* Зф\ , о с из
St ?, §

§ 15. Основы теории присоединенаых масс 199
где S — сфера единичного радиуса, концентрическая 2Х. Ин-
теграл по S преобразуем по формуле Гаусса — Остроградского:
Следовательно,
Для получения формулы A5.17) достаточно подставить вы-
численные интегралы A5.20) и A5.21) в равенство A5.19).
Если известен потенциал скоростей, то обычно легко опре-
делить векторе, а следовательно, по формуле A5.17) и Q. С по-
мощью формулы A5.17) удобно также определять коэффициенты
присоединенных масс. Таким путем можно вычислить все ко-
эффициенты У*1ъ при i <С 4 и к любых или при А< 4и i любых.
Например, в случае подробно рассмотренного выше дви-
жения в жидкости сферы радиуса а потенциал имеет вид
Ф = — oPlP-xfer*, т. е. сх = — asU1/2, с2 = с3 = 0, из-за полной
симметрии сферы
где согласно A5.17)
0 _ 2яа3 „г
и поэтому присоединенная масса сферы, как выше было не-
посредственно получено, равна
. . . _ 2яа3р _ pV
Ли — Л22 — Лзз — —§ — ~2~ '
где V — объем сферы. Остальные %ik равны нулю.
Коэффициенты присоединенных масс
дп
можно определить как теоретически, так и экспериментально.
Как было показано выше, для тел специальной формы неко-
торые из коэффициентов K^h обращаются в нуль.

200 Гл. VIII. Гидромеханика
§ 16. Силы воздействия идеальной жидкости на тело,
движущееся в безграничной массе жидкости
В проблемах, связанных с движением тел внутри жидкости,
необходимо рассматривать движение жидкости и учитывать
силовые взаимодействия между жидкостью и телом.
При решении; задач о движении абсо-
&Де:р лютно твеРД0ГО тела в безграничной
дого тела в жидкости массе идеальной несжимаемой жидкости
можно действовать двумя способами.
1. Рассматривать тело и жидкость как единую механичес-
кую систему с шестью степенями свободы. Кинетическая
энергия этой системы представляется формулой A5.8), в
которой величины Uk (к = 1, 2,..., 6) представляют собой
обобщенные скорости, равные проекциям на подвижные
оси векторов поступательной и угловой скорости твердого
тела. Располагая формулой для кинетической энергии системы
и данными об элементарной работе внешних к системе тело—
жидкость сил, действующих на твердое тело (предполагаем, что
подобные внешние силы на жидкость не действуют), можно
составить уравнения Лагранжа второго рода и с их помощью
ставить и решать различные задачи. Получающаяся при этом
система уравнений аналогична уравнениям движения свободно-
го твердого тела, однако она имеет более общий вид, так как
инерция системы (тело—жидкость) задается матрицей ||7nift+A;J,
имеющей более общую природу, чем специальная матрица
||mft| для свободного твердого тела.
Если написать уравнения движения системы тело —
жидкость в целом и уравнения движения твердого тела отдель-
но, то после этого из сравнения этих уравнений легко выделить
суммарную силу и суммарный момент воздействия жидкости
на тело.
2. Можно прямо с самого начала рассматривать уравнения
движения твердого тела, в которых учитываются суммарная
сила А. и суммарный момент 5Ш0 воздействия жидкос-
ти на тело. В этом случае необходимо воспользоваться форму-
лами
А= [рп da и 50?о = \.p(rxn) dc, A6.1)
где 5Ш0 — момент гидродинамических сил относительно неко-
торой произвольной фиксированной подвижной точки О, скреп-
ленной с телом неизменно. Единичный вектор п и радиус-
вектор г определены так же, как и в формуле A5.3). В прило-

§ 16. Силы воздействия идеальной жидкости на тело 201
жениях в качестве точки О можно брать центр масс твердого
тела, центральную точку или какую-либо другую точку тела.
Интегралы A6.1) можно вычислить, когда распределение дав-
лений по поверхности тела известно.
Этот способ рассмотрения пригоден и в тех случаях, когда
жидкость имеет другие границы, кроме 2, и когда движение
жидкости не потенциально. Замечательно, что для потенци-
альных движений несжимаемой жидкости, занимающей все
пространство, внешнее к поверхности 2, интегралы A6.1) для
любой данной формы тела, задаваемой поверхностью 2, с по-
мощью интеграла Коши — Лагранжа можно выразить через
компоненты ТТп и Q и их производные по времени.
„ Соответствующие формулы для тела произ-
Нестрогие, но верные .. - i ,»
допущения для рассмот- вольной формы и любого вида движе-
рения бесконечной ния, легко написать, если восполь-
массы жидкости как зоваться следующими двумя положе-
механическои системы ниями, справедливость которых будет
обоснована ниже.
A. Бесконечную массу жидкости можно рассматривать
как механическую систему с суммарным количеством дви-
жения Q и суммарным моментом количества движения К,
определенными в предыдущем параграфе формулами A5.3).
B. Суммы всех внешних сил и внешних моментов, действую-
щих на бесконечную массу жидкости, по условию покоящуюся
в бесконечности, равны векторам —А и—5Ш0 A6.1). Условие
об исчезании потенциала ф и grad ф в бесконечности можно рас-
сматривать как накладываемую дополнительную внешнюю
связь, которая могла бы, вообще говоря, стать источником
внешних сил реакции. В действительности такие внешние силы
реакции отсутствуют.
_, Эти положения существенны, так как,
Трудности в определении J ^ ' -
количества движения например, количество движения беско-
и момента количества нечной массы жидкости, определенное
движения бесконечной С
массы жидкости интегралом д pv ax, вообще не имеет смыс
ла, так как этот интеграл сходится условно из-за того, что
подынтегральная функция при М = 0 в A2.24) в бесконеч-
ности имеет порядок 1/R3. В самом деле, рассмотрим^предель-
ное соотношение
\pvdx= lim \ pvdx,
где 3)п — конечная область, ограниченная поверхностью тела
2 и поверхностью 2П, устремляющейся всеми своими точками
в бесконечность; в зависимости от свойств последовательности

202 Гл. VIII. Гидромеханика
2П этот предел может вообще не существовать, или если он су-
ществует, то зависит от вида поверхностей 2П. Для вектора
момента количества движения жидкости, определяемого ин-
тегралом \ (г X pv) dx, при 3)п —>¦ 3) дело обстоит еще хуже,
так как этот интеграл вообще расходится.
При действиях в рамках способа 1 необходимо иметь дело
только с кинетической энергией жидкости, в этом случае нет
затруднений, связанных со сходимостью интеграла для кине-
тической энергии. Однако и в этом случае требуется обоснование
отсутствия притока энергии к жидкости из бесконечности за
счет условий ф«, = 0 и (grad ф) оо = 0.
На основании положений РА и В можно
Общие формулы написать
для гидродинамической
силы и момента _^ = ^_ = 1? + Ох?, A6.2)
где производная dQ/dt определяет изменение вектора Q по
отношению к инерциальной системе отсчета, а производная
d'Q/dt взята по отношению к подвижнной системе координат,
скрепленной с телом неизменно. Формула A6.2) определяет
суммарную силу воздействия жидкости на тело, так как соглас-
но A5.3) вектор Q выражается через kik и U1 по фор-
муле
Q = P\ViU -4-da= 2j KhU э , A6.3)
X i=l,2 6
fc=l, 2, 3
где эк — векторы базиса в подвижной системе (э1 = г, э2 = ^',
э3 = к).
Для получения уравнения, определяющего момент сил, дей-
ствующих на тело, обратим внимание на то, что центр моментов
(точка О) —подвижная точка. Введем неподвижную точку Ох
и радиус-вектор г, проведенный из точки О1 в точку О. Пусть
К1 и К — моменты количества движения жидкости соответ-
ственно относительно точек Ог и О. Очевидно, что между Кг
и К имеется следующая связь:
Кх = К + г X Q. A6.4)
Обозначим еще через ЗКа и 5Ш0 суммарные моменты гидродина-
мических сил, действующих на тело, относительно точек Ох
и О. Наряду с равенством A6.4), очевидно, имеет место
равенство
тг • A6.5)

г
§ 16. Силы воздействия идеальной жидкости на тело 203
Уравнение моментов количества движения жидкости относи-
тельно неподвижной точки Ох с учетом A6.4) можно написать
в виде
^ ^ -frx^; A6.6)
здесь использовано очевидное равенство U0 = drldt. Из A6.6) и
A6.5) следует окончательная формула:
-а»о = ^ + охх-М7-0хО. A6.7)
Эта формула дает искомое выражение для вектора ?0?о момента
гидродинамических сил, действующих на тело. В эту формулу
для О можно подставить его выражение из A6.3), а для .К — на
основании A5.3) следующее выражение:
К = р \%иг °*L da = 2 WffV. A6.8)
^ °П 1=1,2, ...,6
hi23
Формулы A6.2) и A6.7) показывают, что задача об определении
суммарных сил сводится к выяснению коэффициентов присое-
диненных масс kik. Коэффициенты kik и все силы пропорцио-
нальны плотности жидкости р.
Теперь в порядке обоснования предпо-
Обоснование сделанных ложений А и В докажем справедливость
допущении v /л а о\ /л с с\ л an
J^ формул A6.2) и A6.6), в которых А и Ш±
определены формулами A6.1), a Q и Кх — формулами A5.3)
(в обоих случаях в качестве центра для вычисления моментов
берем одну и ту же неподвижную точку 0^). Для доказательства
применим теоремы о количестве движения и о моменте коли-
чества движения к мысленно выделенному из бесконечного объ-
ема 25 конечному индивидуальному объему жидкости 3)п,
ограниченному подвижной поверхностью 2 и поверхностью
2„. Имеем
d С d (* d С
— А -\- Fs — -г- \ gradcpoT: =-т- p\q>nda-\- -г- р \
n at ,j at j at j
— ?3?! + ?3?sn = ft p ^ (rx x grad <p) dx = i A6.9)
L

204
Гл. VIII. Гидромеханика
Здесь на основании интеграла Коши — Лагранжа в неподвиж-
ной системе координат
3<р pv2
Cft di
можно написать
и
е д<р , , г ф
n=P )Ttnda + P ) Т
nds
a, A6.10)
так как интегралы по 2П от постоянного слагаемого/»0 равны
нулю.
Далее,
= lim~W \ y'n'do' — \
= р \ -~nd<5 i- lim -?-1 \ ф?г do — \
\ grad ф d-r =p \-^nda + p \ t«;n da,
где A2)n — объем между 2й и 2П, причем для малого элемента
объема dx имеем dx = vn da dt. Аналогичным путем получим
формулу
(rxxv)vnda.
С помощью этих преобразований, с учетом A6.10) и определений
Q и Кх A5.3) уравнения A6.9) приведем к виду
' A6.11)

§ 16. Силы воздействия идеальной жидкости на тело 205
Интегралы по поверхности 2П в этих формулах не зависят от
выбора поверхности 2П и, следовательно, от выбора объема
3)п. Это следует из того, что остальные члены в этих формулах
не зависят от выбора 2П. На основании асимптотического раз-
ложения для потенциала A2.24) при М =j= 0 ясно, что при уда-
лении точек 2П в бесконечность подынтегральные величины
в первом и втором равенствах A6.11) имеют порядки 1/г4 и
1/г3 соответственно. Отсюда следует, что для любой удаляющей-
ся в бесконечность поверхности 2 „ эти интегралы точно равны
нулю.
Обращение в нуль этих интегралов можно получить с по-
мощью формальных выкладок на основании асимптотической
формулы A2.24) и с применением формулы Гаусса — Остро-
градского к области, внешней к поверхности 2П, в которой
потенциал скоростей регулярен.
Таким образом доказана справедливость уравнений A6.2)
и A6.6). Поэтому конечные векторы Q и К, определенные ра-
венствами A5.3), можно рассматривать как количество движе-
ния и момент количества движения бесконечной массы жидко-
сти. Одновременно с этим установлено, что условие о покое
жидкости в бесконечности не связано с введением отличных от
нуля сил реакции или притоков энергии из бесконечности.
На основании уравнений A6.2), A6.7)
Гидродинамические силы, и формул A5.14) для проекций на под-
тГ™оУЮ1ЦИе На теЛ° Вра" вижные оси координат силы А и момента
Шо, действующих со стороны жидкости
на движущееся в ней тело вращения, легко получаем
л л dm , dQ3 . Г71„„ . , „1Г7.
A6.12)
A6.13)

206 Гл. VIII. Гидромеханика
Эти формулы дают явное выражение для гидродинамических сил
и моментов через проекции скорости центра моментов, лежа-
щего на оси х, совпадающей с осью вращения, и проекции уг-
ловой скорости тела вращения на подвижные оси. Если центр
моментов совпадает с центральной точкой, то в формулах A6.12)
и A6.13) необходимо положить kza = 0. В частности, при по-
ступательном движении с постоянной скоростью U, лежащей
в плоскости хОу и составляющей с осью х угол а (а — угол
дрейфа), будем иметь
Ul = U cos a, U2 = С/sin я, Us = 0,
X ^=* V ~= Z ==~
гж = 50ги = 0, g»z = _ * (X22 — %X1) U" sin 2a.
> A6.14)
При действительных движениях гидродинамические силы
отличаются от сил, определенных в рассматриваемой теории
непрерывных потенциальных возмущенных движений идеаль-
ной жидкости. Отличия обусловлены главным образом силами
вязкого трения, появлением разрывов внутри поля скоростей
жидкости, влиянием сжимаемости для газов и наличием границ
других тел. Несмотря на эти добавочные влияния, развитая
выше теория и ее основные идеи имеют важное значение. Эта
теория кладется в основу дальнейших более точных теорий и
непосредственно используется во многих приложениях.
_ Для поступательного движения с посто-
арадокс Далам ра янной скоростью твердого тела любой
формы из уравнений A6.2) и A6.6) непосредственно выте-
кает, что
A6.15)
Первое из этих равенств составляет парадокс Даламбера
для потенциальных течений. Суммарная сила, действу-
ющая со стороны идеальной несжимаемой жидкости на по-
ступательно движущееся в ней твердое тело, равна нулю, если
скорость движения тела постоянна, жидкость в бесконечности
покоится и течение непрерывно и потенциально. В общем
случае на поступательно движущееся в идеальной несжимае-
мой жидкости с постоянной скоростью твердое тело действует
пара сил с моментом 59?0 = — (Uo X Q). Этот момент равен нулю,
если Q коллинеарно Ло, т. е. если тело движется вдоль одного
из трех главных направлений движения.
Подчеркнем, что здесь мы показали наличие парадокса Да-
ламбера для потенциальных течений, но он спра-

§ 16. Силы воздействия идеальной жидкости на тело 207
ведлив и во многих других случаях, когда течения не потен-
циальны (см. также §§ 8 и 10). В самом деле, если течение жидко-
сти установившееся, то количество движения жидкости, если
только его можно рассматривать, т. е. если оно является конеч-
ной величиной, не зависит от времени. Поэтому и в общем слу-
чае его производная по времени, равная силе, с которой
жидкость действует на тело, равна нулю 1):
Отсюда следует, что при установившемся движении жидкости
силы, действующие на тело, находящееся внутри бесконечной
жидкости, могут получиться отличными от нуля только в том
случае, когда количество движения жидкости, определенное
как сумма количеств движения ее частиц, представляется
расходящимся интегралом. Очевидно, что этот вывод верен не
только для идеальной жидкости, но и в общем случае для лю-
бых движений, любых жидкостей, газов и вообще для произ-
вольных сред, внутри которых рассматривается данное уста-
новившееся движение тела и движение которых установив-
шееся.
С другой стороны, известно, что в действительности при
практически установившихся движениях сопротивление тел,
движущихся в различных средах, отлично от нуля. Все схемы
движения вязких или идеальных жидкостей или газов (в том
числе и с ударными волнами), при которых получается сопро-
тивление, связаны с тем, что бесконечная масса жидкости, за-
нимающая все пространство вне тела, имеет бесконечное ко-
личество движения не только для относительного, но и для
абсолютного поля скоростей.
Однако бесконечность количества движения жидкости не
обязательно связана с наличием сопротивления. Например,
в рассмотренной выше задаче о потенциальном возмущенном
движении идеальной жидкости сила сопротивления отсут-
ствует и в относительном обтекании тела, для которого коли-
чество движения жидкости бесконечно.
Накапливание бесконечного количества движения в уста-
новившемся абсолютном движении жидкости при конечном
сопротивлении связано с тем, что установившиеся движения
получаются только как пределы неустановившихся движений,
продолжавшихся теоретически бесконечное время.
*) Величина А равняется силе воздействия жидкости на тело, если
условия на бесконечности не связаны с введением внешних сил. Ниже мы
рассмотрим задачу об обтекании сферы вязкой жидкостью, в соответст-
вующем решении появятся внешние силы как следствие условий в беско-
нечности.

208 Гл. VIII. Гидромеханика
О гидродинамических При потенциальных движениях идеаль-
силах при наличии Hog жидкости наличие массовых сил
приводит к появлению в интеграле Коши —
Лагранжа добавочного гидростатического
давления, выражающегося через потенциал массовых сил. По-
этому, а также и по другим причинам, во многих важных слу-
чаях массовые силы влияют на поле скоростей. Например, это
влияние может сказаться за счет граничных условий на сво-
бодной поверхности, которые формулируются с помощью ин-
теграла Коши — Лагранжа, содержащего член, зависящий от
массовых сил.
В связи с этим при непрерывном потенциальном возмущен-
ном движении идеальной тяжелой жидкости, возникающем в слу-
чае горизонтального поступательного движения с постоянной
скоростью твердого тела (корабля) по ее свободной поверхно-
сти или внутри нее вблизи свободной поверхности (подводной
лодки), парадокс Даламбора не имеет места. В этих
случаях возникают волновое сопротивление и подъемная сила,
а количество движения жидкости при установившемся течении
представляется расходящимся интегралом.
При движении подводной лодки на боль-
О гидродинамических шой глубине влияние существования сво-
силах при движении тела бодной поверхности жидкости на поле
в воде на значительной « <5
глубине скоростей вблизи тела ничтожно мало.
В этом случае наличие сопротивления
связано с силами вязкого трения и с возникновением в потоке
жидкости вихрей, что при малых скоростях хода обусловли-
вается свойством вязкости воды. Если в рамках теории иде-
альной жидкости можно принять, что влияние свободной по-
верхности несущественно, то потенциал скоростей вблизи тела
можно считать таким же, как и в бесконечной массе жидкости.
На этом основании при установившемся поступательном дви-
жении лодки с постоянной скоростью из формулы A6.1) после
подстановки в нее давления, выраженного по формуле Коши —
Лагранжа, получим, что сила А будет отлична от нуля только
за счет гидростатической части давления и будет точно равна
силе Архимеда (см. также § 8). Момент гидродинамических сил
Ж будет равен моменту силы Архимеда, определенному по
правилам гидростатики, и добавочному динамическому мо-
менту, определенному по формуле A6.15).
Если движение неустановившееся, то в рассматриваемом
случае полная сила А и полный момент 99? будут определены
формулами A6.2) и A6.6), в которых справа нужно добавить силу
Архимеда и ее момент. В случае тела вращения можно восполь-
зоваться формулами A6.12) и A6.13) с добавлением данных
о силе Архимеда,

§ 16. Силы воздействия идеальной жидкости на тело 209
О силах при обтекании Выше мы рассмотрели вопрос об обра-
тел ускоренными щении движения в случае поступатель-
ного движения тела с постоянной ско-
ростью. Согласно принципу Галилея —
Ньютона добавление ко всем точкам системы постоянной ско-
рости не сказывается на распределении давления и на силах.
Задачу о движении тела в жидкости можно заменить эквива-
лентной задачей об обтекании неподвижного тела набегаю-
щим потоком жидкости со скоростью, противоположной скоро-
сти движения тела.
Рассмотрим теперь вопрос об относительном обтекании во-
обще подвижных тел ускоренным потоком несжимаемой жидко-
сти. Во многих приложениях приходится иметь дело с движе-
нием тел в жидкости, которая на далеких от тела расстояниях
находится в движении, обусловленном внешними обстоятель-
ствами, механически не связанными с данным телом. Напри-
мер, обтекание дирижаблей воздухом при порывистом ветре
или движение кораблей при наличии водяных течений, движе-
ние сравнительно небольших частиц — тел в сложных неуста-
новившихся потоках воды и т. п.
В задачах о потенциальном движении несжимаемой жидко-
сти потенциал скоростей всегда, независимо от краевых усло-
вий на поверхности тела и от условий в бесконечности, является
гармонической функцией. Пусть скорость жидкости в беско-
нечности конечна, отлична от нуля и переменна по времени,
т. е. мы имеем дело с порывистым движением жидкости на да-
леких от тела расстояниях. Возьмем подвижную систему коор-
динат л, движущуюся поступательно с переменной скоростью
Споет (t), равной скорости набегающего потока.
Пусть имеем тело, которое движется как угодно, обозначим
через Vа различные переменные во времени скорости точек
тела, определенные относительно «неподвижной» системы коор-
динат — той же самой системы, относительно которой опре-
делена скорость жидкости Е7"пост. При определении ТТа воз-
можность вращения тела учитываем. Рассмотрим задачу о
движении тела относительно неинерциальной системы коорди-
нат л. Относительные скорости точек тела в системе я пред-
ставятся формулой
U = Ua-UB0Ot{t). A6.16)
Легко видеть, что для несжимаемой жидкости задача о возму-
щенном движении безграничной массы жидкости относительно
системы я — та же задача, которую мы подробно изучили
выше. Следовательно, соответствующий потенциал скоростей,
построенный для распределения скоростей JJ, определенного

210 Гл. VIII. Гидромеханика
формулой A6.16), будет в точности совпадать с потенциалом,
рассмотренным раньше для абсолютных скоростей.
Задачи об относительном движении в неинерциальных систе-
мах отсчета отличаются от соответствующих задач о движении
в инерциальных системах только тем, что в уравнениях дви-
жения первых задач будут присутствовать массовые силы инер-
ции, подобные силе тяжести. Наличие этих сил инерции при-
ведет к появлению соответствующего, связанного с гидростати-
ческим давлением члена в интеграле Коши — Лагранжа. Если
обратиться к формулам A6.1), то станет очевидным, что сум-
марная сила и суммарный момент будут отличаться от соответ-
ствующих сил и моментов, определенных для относительных
скоростей U A6.16), только «гидростатическими» слагаемыми,
определенными по значениям сил инерции. При определении
этих сил нужно учесть, что роль ускорения силы тяжести д те-
перь будет играть величина — dUUOCT/dt, где производная по
времени берется относительно «неподвижной» инерциальной
системы координат. В частности, если тело в порывистом потоке
идеальной жидкости неподвижно, то на него со стороны жидко-
сти будет действовать сила Архимеда, равная — pVdUn0CT/dt,
где V — объем тела. Эта сила направлена не по скорости ветра,
а по его ускорению. Очевидно, что эта сила может быть проти-
воположна скорости ветра. Однако надо иметь в виду, что
в данном случае рассматривается непрерывное движение иде-
альной несжимаемой жидкости и при отсутствии ускорения
внешнего потока имеет место парадокс Даламбера.
Сделанные выше выводы о различии гидродинамических сил
при обращении ускоренных потоков только за счет «силы Ар-
химеда», вызванной силами инерции, сохраняют свою силу
в общем случае для других схем течения и других сред, когда
условия, определяющие поток, имеют кинематический характер
и не зависят от добавления каких-либо массовых сил в уравне-
ния движения.
§ 17. Движения газа с малыми возмущениями
В § 11 было показано, что задача об определении потенциала
скоростей ф (х, у, 2, t) возмущенного баротропного движения
газа в случае малых возмущений сводится к решению волно-
вого уравнения
*-?3- <"¦•>
"о
При рассмотрении конкретных задач необходимо находить
решения волнового уравнения, удовлетворяющие соответ-
ствующим дополнительным условиям: краевым, начальным
или другим.

§ 17. Движения газа с малыми возмущениями 211
решение волнового Рассмотрим сначала случай движений
уравнения с плоскими газа с ПЛ0СКими волнами, когда потен-
вили cumx
пиал ф зависит только от одной коор-
динаты х и от времени t. В этом случае волновое уравнение
A7.1) приобретает следующую простую форму:
Легко видеть, что общее решение этого уравнения имеет вид
Ф (х, t) = Д (х - aot) + /2 (* + aot) = Д (|) +/2 (тО, A7.3)
где /х (|), /2 (ti) — произвольные дважды дифференцируемые
функции своих аргументов
I = х — aot и г) = х -f aoi
соответственно. Действительно, в результате дифференци-
рования A7.3) будем иметь
0 = ?(!) + /"* (л), Йг=«о1Ш + ЫгШ.
Отсюда непосредственно видно, что A7.3) удовлетворяет урав-
нению A7.2) при произвольных функциях /х и /2, вид которых
при решении конкретных задач необходимо определять из
дополнительных условий.
_ Установим теперь некоторые основные
Прогрессивные волны „ r « ,i. »
r r свойства решении уравнения A7.2).
Рассмотрим сначала случай
ф = А (* — «о') = /i (I)
и допустим, что в момент времени t = 0 потенциал возмущен-
ного движения ф (ж), а следовательно, и /х (?) имеет вид, изо-
браженный на рис. 77, т. е. функция fx (?) отлична от нуля
только на участке от 0 до х0 = ?0- В любой последующий мо-
мент времени t ^> О
Ф (х, t) =fi(x- aot) = Д (|)
и потенциал ф (х, t) отличен от нуля только при
О <Сз: — aot <: х0, т. е. при aot <! а; ^ х0 -|- а0^ (рис. 78). Видно,
что область возмущенного движения переместится по оси х
вправо на расстояние х = aot. Ясно, что существенной особен-
ностью решения уравнения A7.2) для плоских волн при малых
возмущениях является свойство сохранения в плоскости xt
формы возмущения. Рассматриваемое возмущенное движение

212
Гл. VIII. Гидромеханика
представляет собой перемещающуюся поступательно вправо
прогрессивную волну неизменного вида (см. рис. 78). Поступа-
тельная скорость распростране-
.ft(?) ния первоначального возмуще-
(\t-o ния вдоль оси х будет равна
а0 = у (dp/dpH — «скорости
звука» в невозмущенном со-
стоянии покоя. Отсюда непосред-
ственно видно, что скорость ай
действительно представляет собой
скорость распространения слабых
возмущений, этим оправдывается
название а0 — «скорость звука»,
так как, в частности, звуковые
колебания можно рассматривать
как малые механические возмущения в жидкостях, газах и
вообще деформируемых средах.
Аналогично решение
by Xg ":
Рис. 77. Начальное значение
потенциала возмущенного дви-
жения.
Ф
= /. (л)
представляет собой прогрессивную волну, распространяю-
щуюся поступательно влево со скоростью а0, а сумма решений
> О =
+Ш
представляет собой сумму двух прогрессивных волн, одна из
которых, /t(!), распространяется вправо, а вторая, /2 (г)),
Рис. 78. Возмущение в произвольный момент времени.
влево вдоль оси х со скоростью звука а0 (рис. 79). В общем
случае, если /х (?) и /2 (i\) отличны от нуля только на конечном
интервале 0^|^х0 и 0 ^ т) ^ х0, с течением времени про-
изойдет разделение первоначального возмущения на две от-
дельные прогрессивные волны, распространяющиеся в разные
стороны; это разделение произойдет за конечное время

г
§ 17. Движения rasa с малыми возмущениями
213
tx= xjaa. Эффект разделения возмущения, заданного в конечной
области, на две бегущие в разные стороны прогрессивные волны
будет сохраняться, начиная с некоторого момента времени, до
f(x, t)
Рис. 79. а) Начальное возмущение, б) две прогрессивные вол-
ны, распространяющиеся вправо и влево со скоростью о0.
t = оо в том случае, когда вначале покоящаяся среда беско-
нечна по оси х вправо и влево. Если на оси х имеются граничные
точки (плоская стенка, свободная граница и т. п.), то прогрес-
сивные волны при подходе к границе будут взаимодействовать
с ней и могут возникнуть «отраженные» волны, распростра-
няющиеся от границы внутрь среды.
Если возмущенное движение газа обла-
дает сферической симметрией относи-
тельно начала координат, то потенциал
возмущенного движения ф зависит только
от г = Уа + 2
Решение волнового
уравнения со сферическими
волнами
\- г/2 -f- z2 и от времени t. Покажем, что волновое
уравнение A7.1) в случае возмущенного движения со сфери-
ческими волнами имеет решение вида
ф(г,0 = /-^?^, A7.4)
где / — произвольная дважды дифференцируемая функция
своего аргумента г + dot. Действительно, в результате диффе-

214 Гл. VIII. Гидромеханика
ренцирования A7.4), так как дг/дх = х/r, дг/ду = у/г и drldz =
= zlr, получим
дф fx , f'x
~д~х ~ г*~ " "г2"" '
д*д> = _ _/_, З/г^ __ Г?_ , У_ _ 2/'д2 /"д3
flT*1 v3 ' т*5 >i4 у"^ >*4 ' )«3 '
Отсюда непосредственно видно, что выражение A7.4) удовлет-
воряет волновому уравнению A7.1) при любой функции / от
r+ aot. Для исследования решения A7.4) запишем это решение в
виде
Примем вначале, для простоты, что Q — аналитическая функ-
ция своего аргумента. Нетрудно усмотреть, что потенциал ско-
ростей A7.5), удовлетворяющий волновому уравнению, можно
рассматривать как обобщение соответствующего потенциала от
источника в несжимаемой жидкости ф = —Q (t)IAjir, удовлет-
воряющего уравнению Лапласа. Действительно, при малых
г, разложив Q в ряд Тейлора, получим выражение
Q (apt) Q(aot)
ф - Шг 4Й г u (г;,
главный член которого совпадает с выражением для потенциала
скоростей течения от источника, расположенного в точке г = О
в несжимаемой жидкости. Переменный объемный расход этого
источника определяется функцией Q (aot).
Для характеристики основных особенностей соответствую-
щего сферически симметричного движения среды предположим
теперь, что в точке г = 0 безграничной массы жидкости имеется
источник, который действует некоторый малый промежуток
времени т. Зависимость расхода этого источника Q {aot) от вре-
мени t имеет вид, изображенный на рис. 80, расход отличен от
НуЛЯ ТОЛЬКО При 0 sg.' t ^ Т.
Посмотрим, как со временем будут распространяться по
объему жидкости возмущения, посланные этим источником. Из
вида решения A7.5) ясно, что при г>0иг>0 потенциал воз-
мущенного течения будет отличен от нуля только тогда, когда
aot — г будет лежать в пределах 0 ^ aot — г ^ а0 т. В каж-
дый фиксированный момент времени t ^> 0 потенциал ф будет
отличен от нуля только для тех г, которые удовлетворяют

§ 17. Движения газа с малыми возмущениями
215
неравенству
«о*
О
Таким образом, область возмущенного (ф ф 0) течения бу-
дет расположена между двумя сферами Si и S2 радиусов
r1=a0 (t — т) и r2=a0t = гг + «о^ с центрами в точке г = 0
(рис. 81).
Указанная область возмущений
подвижна, передний S2 и задний
#! фронты возмущения распрост-
раняются по жидкости со ско-
ростью ап:
dr\ dri
dt
dt
Рис. 80. Пример зависимости
расхода источника, действую-
щего в начале координат, от
времени.
В противоположность плоским
волнам, форма которых при их
распространении сохраняется, ин-
тенсивность сферических волн при
их распространении со временем
падает благодаря наличию множителя 1/г в формуле A7.5). Это
связано с тем, что, распространяясь, возмущения захватывают
область пространства между двумя сферами б^ и St, объем
которой возрастает пропорцио-
нально г2.
Решение волнового уравне-
ния A7.5) представляет собой
движение с расходящимися от
точки г = 0 сферическими вол-
нами. Аналогичным путем мож-
но рассмотреть решение волно-
вого уравнения вида
Ф =
Рис. 81. Заштрихована область которое представляет собой схо-
возмущенного в .момент времени дЯЩИеся из бесконечности к
t> т движения жидкости от ис- п ,
точника с расходом, отличным от точке г = 0 сферические волны
нуля только в конечный проме- (источник в бесконечности). Для
жуток времени т. сходящейся волны интенсив-
ность возмущений нарастает
при подходе к центру симметрии. Для многих приложений осо-
бенно важен случай расходящихся сферических волн. Однако
эффект усиления возмущений в сходящихся волнах во многих
вопросах также интересен и используется на практике.
Возмущения, посланные источником, в несжимаемой жидко-
сти мгновенно распространяются на всю массу жидкости.

216 Гл. VIII. Гидромеханика
В сжимаемых средах возмущения распространяются с конеч-
ной скоростью, причем малые возмущения распространяются
со скоростью звука а0 = yr(dp/dp)p=p,. Выше (см. гл. VII
т. 1) было показано, что в сжимаемых средах скорость распро-
странения конечных возмущений (скачков) больше соответ-
ствующей скорости звука а = г(др/дрM, но тоже конечна.
Возмущения, посланные из точки г = О,
Запаздывающие потен- доходят до некоторой точки г =?= 0 толь-
циалы. Способы констру- q 3 определенное время. Поэтому
ирования решении волно- v /лп <?\
вого уравнения решения вида A7.5) называются запаз-
дывающими потенциалами.
С помощью решений A7.4) или A7.5) можно строить другие
решения волнового уравнения. Например, если ф (х, у, z, t)
является решением волнового уравнения, то ф (х — х0, у — у0,
г — z0, t — ?0), где х0, у0, z0, t0 — некоторые произвольные
постоянные, также будет решением волнового уравнения. Та-
ким образом, например, функция
ф* (х и z Л= — Q fa (t - h) - Y(x - xof + (y - yof + (z ZT^5)
4rt У(х - xof + B/ - y«? + (z - z0J
A7.6)
будет решением волнового уравнения A7.1). Это решение при
условии, что функция Q (aot) определена графиком рис. 80,
соответствует источнику, который в момент t0 начинает дей-
ствовать в точке с координатами х0, у0, z0. Волновое уравнение
A7.1) является линейным уравнением, поэтому сумма решений
волнового уравнения также является его решением. Пользуясь
этим, можно строить новые решения волнового уравнения с по-
мощью сложения решений вида A7.6), в которых х0, у0, z0, t0
принимают различные значения. Можно рассматривать со-
вокупность точек х0, у0, 20, в которых в разные моменты вре-
мени t0 вспыхивают и некоторое время продолжают действо-
вать различного вида источники с постоянной или переменной
интенсивностью Qt . (Функция Qtot помимо аргумента, ука-
занного в A7.6), может зависеть еще как угодно от параметра
jf0.) С помощью сложения потенциалов таких источников воз-
мущения можно конструировать решения различных задач
аэродинамики тонких тел, когда применима теория малых воз-
мущений. Например, можно рассмотреть кривую х0 — х0 {t0),
Уо — Уо (*о)> Ч = Ч (*о)) представляющую собой траекторию
движения тонкого снаряда, и моделировать движение снаряда
с помощью источников, вспыхивающих в каждой точке этой
кривой в момент t0 прохождения через нее снаряда и продол-
жающих действовать в этой точке некоторый малый промежу-

г
§ 17. Движения rasa с малыми возмущениями 217
ток времени. В некоторых случаях закон движения х0 = х0 (?0),
у0 = у0 (t0) и z0 = z0 (to) тела — возбудителя возмущений можно
отождествить с законом движения подвижного источника. При
этом потенциал возмущенного движения сжимаемой среды
можно определить формулой
t
Ф = $ tp-dt0,
о
где ф* определено равенством A7.6). Возмущения, возбуждае-
мые в каждой точке х0, у0, z0, через которую снаряд проходит
в момент t = t0, в последующие моменты времени t^>t0 рас-
пространяются в пространстве. Граница каждого такого воз-
мущения в момент времени t ^> t0 представляет собой поверх-
ность сферы радиуса г = а0 (t — ta) с центром в точке
х0, г/о* «о.
Рассмотрим более подробно задачу о распространении возму-
щений от источника, движущегося вдоль прямой с постоянной
скоростью Uo. Весьма важно, что картина распространения
возмущений будет существенно различной в случаях движения
источника с дозвуковой (Uo < а0) и со сверхзвуковой
(?/0> а0) скоростью.
Остановимся сначала на изучении поля
Распространение воз- возмущений от источника, движущегося
кущений от источника, в бесконечной массе жидкости вдоль пря-
п^ГсСостоХой мой с постоянной дозвуковой скоростью
дозвуковой скоростью. ?/о<ао(рис 82, а). Пусть в некоторый на-
Эффект Дошшера чальный момент t01 источник находится в
точке Мъ с координатой х01, все возмуще-
ния от него в этот момент времени также сосредоточены
в этой же точке Мх. Возьмем некоторый другой момент времени
' = ^ог ^> ^01- Источник за промежуток времени t02 — jf01 про-
двинется на расстояние {t02 — tol)Uo и попадет в точку М2
с координатой х02. Возмущения от источника, находившегося
в момент t01 в точке Мх, за время t02 — t01 распространятся до
поверхности сферы радиуса rt = (t02 — t01) a0 с центром в точ-
ке Мх и обгонят источник (rt > МХМ2 = х02 — х01).
Отметим следующие особенности рассматриваемой картины
распространения возмущений от источника, движущегося вдоль
прямой с дозвуковой скоростью. Во-первых, возмущения от ис-
точника обгоняют сам источник, и он движется по уже возму-
щенной среде; среда перед источником возмущена. Во-вторых,
возмущения, посланные источником из его предыдущих поло-
жений, всегда обгоняют возмущения, посланные из его после-
дующих положений, и если источник двигался бесконечно
долго, то вся среда перед и за источником возмущена.

218
Гл. VlH. Гидромеханика
В-третьих, картина распространения возмущений от по-
движного источника, в противоположность картине распростра-
нения возмущений от неподвижного источника (см. рис. 81),
несимметрична; очевидно, что впереди источника звук имеет
большую частоту, чем за ним (см. рис. 82, б). Последнее обстоя-
тельство объясняет так называемый эффект Допплера, кото-
рый заключается в том, что наблюдатель /, стоящий впереди
а) б)
Рис. 82. Распространение возмущений от источника, движу-
щегося с постоянной дозвуковой скоростью.
приближающегося подвижного источника звука, слышит звук
более высокого тона, чем наблюдатель//, стоящий позади уда-
ляющегося источника звука. Аналогично подвижный, удаляю-
щийся от Земли источник света (например, звезда) дает отклоне-
ния в сторону красных спектральных линий, соответствующих
световым волнам большей длины, в то время как прибли-
жающийся к Земле подвижный источник света дает отклоне-
ния в сторону фиолетовой части спектра, соответствующей более
коротким световым волнам. По величине отклонения спект-
ральных линий можно определить величину скорости движе-
ния звезды относительно Земли.
Изучим теперь картину распростране-
ния возмущений от источника, движуще-
гося вдоль прямой со сверхзвуковой ско-
ростью Uo ^> а0 (рис. 83). Пусть, как
и в первом случае, источник в момент
времени t01 находится в точке Мг с коор-
динатой х01. В момент времени t = t02 > t01 источник будет
находиться в точке М2 с координатойxO2=xol-j-C/o (t02 —*oi)-
Возмущения от источника, расположенного в момент
t01 в точке Мг, в момент времени tot достигнут поверхности
сферы радиуса rt = а0 (jf02 — A>i) c центром в точке Мх. В силу
Распространение воз-
мущений от источника,
движущегося вдоль
пряной с постоянной
сверхзвуковой скоростью

г
§ 17. Движения газа с малыми возмущениями 219
того, что Uo ^> а0, путь, пройденный источником за время
Чг — Чъ будет больше гх.
Возмущения, посланные источником в моменты времени
t0, большие t01 и меньшие t02, в момент jf02 достигнут, очевидно,
Рис. 83. Распространение возмущений от источника, движу-
щегося с постоянной сверхзвуковой скоростью.
поверхностей соответствующих сфер радиусов г = (jf02 — to)ao,
tOi<t< t<M, с центрами в точках М (х0) (х01 < х0 < я02)
(см. рис. 83), и все эти возмущения будут оставаться позади
источника.
Таким образом, среда впереди источника, движущегося со
сверхзвуковой скоростью, остается невозмущенной; наблюдатель
А, стоящий впереди движущегося со сверхзвуковой скоростью
источника, «не знает», что к нему приближается источник воз-
мущений; он не может слышать звуковых сигналов, посылае-
мых движущимся со сверхзвуковой скоростью источником.
Таким образом, имеется фундаментальное различие между рас-
пространением возмущений от источников, движущихся со
сверхзвуковой и дозвуковой скоростями.
„ ., Очевидно, что все возмущения от источ-
Конус и угол Маха
J J ника, начавшего двигаться с постоянной
сверхзвуковой скоростью бесконечно давно, в произвольный
момент времени jf02 будут заключены внутри кругового конуса,
вершина которого находится в точке М2, а боковая поверх-
ность является огибающей сфер радиусов г = а0 (toi — t0),
где t0 <^ t02. Этот конус, отделяющий возмущенную область
от невозмущенной, называется конусом Маха. Синус а — по-
ловины угла раствора конуса Маха — равен обратной вели-
чине числа Маха М = U0/a0. Действительно,
П по 1
MM У о М

220 Гл. VIII. Гидромеханика
Этот угол а называется углом Маха. Заметим, что если сверх-
звуковое движение источника началось, например, в момент
t01, то в момент t02 все возмущения от источника будут располо-
жены внутри области, ограниченной частью поверхности конуса
Маха X и частью сферы S радиуса rt = а0 (t02 — t01) с центром
в точке Мх.
На поверхности X конуса Маха сопрягаются два решения
волнового уравнения, соответствующие состоянию покоя,
Ф= 0, и состоянию возмущенного движения, ф = ф (х, у, z, t).
Подобные поверхности сопряжения решений с различными
аналитическими свойствами называются характеристическими
поверхностями уравнений с частными производными. Харак-
теристическая поверхность — конус Маха является в общем
случае поверхностью разрыва возмущений; в рамках рассмат-
риваемой теории эта поверхность будет поверхностью, на ко-
торой разрывы скорости, давления и других величин невелики,
В пределе такие поверхности соответствуют слабым разрывам,
на которых искомые функции непрерывны, но их производные
по координатам вообще терпят разрыв. Очевидно, что скорость
распространения поверхности характеристического кону-
са по неподвижной среде, нормальная к его поверхности,
точно равна скорости звука.
Если на течение, изображенное на рис. 83,
Распространение сигналов наложить постоянное поле скоростей
в сверхзвуковых потоках тт г
— и0, то среда, заполняющая все прост-
ранство, будет двигаться с постоянной сверхзвуковой
скоростью Uo вдоль отрицательной оси х, а источник воз-
мущений будет покоиться. Возмущения от источника, рас-
положенного в точке М2, в сверхзвуковом потоке будут ска-
зываться только внутри поверхности конуса Маха с верши-
ной в точке Мг, расширяющегося вниз по потоку, а перед этим
конусом Маха будет иметь место поступательное невозмущен-
ное движение среды с постоянной скоростью Uo. Параметры
движения среды в произвольной точке сверхзвукового потока
могут изменяться только от возмущений, возникающих в точ-
ках, лежащих внутри поверхности конуса Маха с вершиной
в рассматриваемой точке и расширяющегося вверх по
потоку.
§ 18. Распространение плоских волн
конечной амплитуды (волны Римана)
В предыдущем параграфе рассматривалось распростране-
ние слабых возмущений. Уравнения движения были линей-
ными и сводились к волновому уравнению.

§ 18. Распространение плоских волн 221
Решение Римана системы В случае плоских волн мы рассмотрели
ба^™0Дд?и^ий Решения волнового уравнения, завися-
идеального газа Щие только от х ± aot, что соответство-
с плоскими волнами вало прогрессивным волнам, которые без
изменения своей формы распространяют-
ся вдоль оси х с постоянной и одинаковой для всех
возмущений скоростью а0. Скорость, плотность, дав-
ление (а также и другие характеристики движения) в такой
волне являются функциями только х + aot и, следовательно,
могут быть выражены как функции друг друга в виде соот-
ношений, не содержащих явно ни координат, ни времени t
(например, и = и (р), р = р (р) и т. д.).
Выпишем нелинейную систему уравнений одномерных дви-
жений идеальной сжимаемой жидкости в случае баротропных
процессов. Она состоит из уравнения Эйлера
*L+I^ = O, A8.1)
дх ' р дх ' v '
уравнения неразрывности
и условия баротропности
Р = / (Р), A8-3)
которое в случае адиабатических процессов в совершенном газе
имеет вид
р -= Apr, A8.4)
где А — постоянная, одинаковая для всех частиц газа.
Система уравнений A8.1) — A8.2) с учетом условия баро-
тропности течения A8.3) представляет собой систему двух
уравнений для определения плотности р и скорости и в зави-
симости от координаты х и времени t. Проводимые ниже рас-
суждения справедливы, вообще говоря, при любой зависимо-
сти A8.3) р от р. Случай адиабатических движений совершен-
ного газа A8.4) мы будем рассматривать'далее для]иллюстрации
полученных выводов только в качестве частного примера.
Выписанная система уравнений движения газа A8.1) —
A8.3) не имеет решений, зависящих только от х + aot, но ока-
зывается возможным найти решение этой системы, представ-
ляющее собой плоскую волну и являющееся обобщением реше-
ний вида / (х + aot), которые имеют место для приближенных
линейных уравнений.

222 Гл. VIII. Гидромеханика
Будем искать такие частные решения системы уравнений
A8.1) — A8.3), для которых скорость и является функцией
только плотности р, т. е.
и = и(р), A8.5)
где р = р (х, t). Такие частные решения системы уравнений
A8.1) — A8.3) носят название решений Римана; соответ-
ствующие этим решениям движения называются волнами Римана.
В результате сделанного предположения A8.5) систему
уравнений можно переписать в виде
du dp . I du , 1 dp \ dp п
^_^_ ¦ * _ I 71 I _^_ * \ ' I I
dp dt \ dp p dp} dx '
do , I , du X do /-.
-w+\u + p-dp-)-di; = 0-
Очевидно, что эти два уравнения будут согласовываться между
собой, если будет выполнено равенство
1 dp
du
«to p^ A8?
r dp du \ • i
Равенство A8.7) обязательно должно выполняться для того,
чтобы сделанное выше предположение о существовании реше-
ний вида и = и (р) выполнялось.
Таким образом, согласно A8.7) имеем
и, следовательно, скорость и как функция р в случае волн Ри-
мана может быть найдена независимо от интегрирования урав-
нений движения A8.1) — A8.2). Для скорости и (р) будем
иметь
^ j—; ,
A8.9)
Для определения плотности р (х, t) можно использовать
уравнения A8.6), которые в силу A8.7) сводятся к одному не-
линейному уравнению. Это уравнение после обозначения
|1 = аМр) A8.10)
и использования пока только одного из решений A8.9)
может быть переписано в виде
% + (u-i «)|J = O. A8.11)

§ 18. Распространение плоских волн 223
Введем в рассмотрение величину
с = и +а, A8.12)
которая имеет, очевидно, размерность скорости и на основании
уравнения A8.11) может быть истолкована как скорость рас-
пространения постоянных значений плотности р.
В самом деле, уравнение A8.11) можно переписать в
следующем виде:
dp (x, t) _ dp dx dp __ n
dt dt r dt dx
где
dx _
dt -c-
Аналогично можно рассмотреть и скорость с, равную и — а.
Согласно A8.9) и A8.10) величина с для баротропных про-
цессов является известной функцией плотности р.
Для определения плотности р (х, t) имеем нелинейное
уравнение
% + с(Р)-? = 0- A8.13)
Подсчитаем величину с = и -f а, для случая адиабатических
движений совершенного газа.
Из A8.4) получим
Ф = ± 1^Г "Y—j-p(Y-1)/2 + const,
с (р) = ц + а = Y~M П + -у^т] P(y~1)/s + const. A8.14)
Отсюда видно, что скорости а я с являются монотонно возра-
стающими функциями плотности р. Аналогичное исследование
характера зависимости а и с от плотности р можно провести для
произвольной зависимости р от р A8.3).
Так как постоянные значения плотности р и скорости
и—и (р) перемещаются в пространстве со скоростью с, можно
написать, что
Отсюда после интегрирования получим
х = U (р) + F (р), A8.15)

224 Гл. VIII. Гидромеханика
где F (р) — произвольная функция плотности, а функция
с(р) = и+о A8.16)
определяется, например, равенством A8.14).
Формулы A8.15), A8.16) и A8.14) дают решение Римана.
В этом решении функция F (р) произвольна, этой функцией
можно распорядиться и удовлетворить некоторым добавоч-
ным частным условиям.
В полученном]решении Римана плотность, а следовательно,
и другие параметры течения найдены как неявные функции
от i и t. Для каждого определенного значения р имеем
х = cxt-\- с2, где сх и Сг — постоянные, т. е. точка, в которой
скорость и плотность имеют фиксированные значения (фазо-
вая характеристика состояния), передвигается в простран-
стве с постоянной скоростью. В этом смысле построенное решение
представляет собой волну. Скорость перемещения возмущений в
пространстве равна с= и + аилис = и—а; скорость распростра-
нения возмущений по частицам равна-fa или —а. Два знака
соответствуют двум разным решениям для волн, распростра-
няющихся относительно частиц газа либо в положительном,
либо в отрицательном направлениях оси х. Найденные частные
движения получены как точные решения нелинейных уравне-
ний движения; соответствующие движения часто называют
простыми волнами.
Пусть в некоторый фиксированный мо-
сРГти„ мент вРемени ' ПР°ФИЛЬ Распределения
плотности р от х в распространяющейся
вправо (с = и -\- а) волне] Римана имеет вид, изображен-
ный на рис. 84, а. Слева от точки М плотность р рас-
тет с ростом х и мы имеем волну разрежения, а справа от
точки М плотность р убывает с ростом х и мы имеем волну сжа-
тия. Скорость с распространения определенных значений
плотности р зависит от величины плотности р, поэтому профиль
распределения плотности р будет меняться с течением времени.
Рассмотрим случай, подобный адиабатическому движению
совершенного газа х), когда скорость с растет с ростом р и убы-
вает с уменьшением р. Волна сжатия, т. е. та часть волны Ри-
мана, в которой плотность р при распространении волны возра-
стает, так как точки Nt и N2 будут сближаться, становится все
короче, а профиль волны сжатия становится все круче, в то
время как волна разрежения, т. е. те части волны Римана, в ко-
торых плотность при распространении волны убывает, так как
х) Для упрощения рассуждений примем, что постоянная в A8.14)
положительна или равна нулю. Прибавление любой постоянной к с (р)
не может изменить всех последующих выводов.

§ 18. Распространение плоских волн
225
точки N't и JVa раздвигаются, удлиняется, а профиль волны
разрежения становится все положе (см. рис. 84, б). С матема-
тической точки зрения возможно наступление такого момента
времени t2, когда в некотором месте х будет наблюдаться не-
сколько значений плотности р (см. рис. 84, в), что физически
недопустимо.
Ясно, что однозначное непрерывное решение, соответ-
ствующее волне Римана, может существовать только до момен-
та времени t, когда профиль распределения плотности р от х
а) Распределение ^ от х
в фиксированный момент
времени t
б) Распределение js(x)
в момент t, >t
9) Нарушение однозначности
распределения плотности
jo(oc)
Момент дозникнодения
скачка уплотнения
д) Скачок уплотнения ""
Рис. 84. Опрокидывание римановской волны сжатия.
приобретает вертикальную касательную (см. рис. 84, г). На-
чиная с этого момента времени, непрерывное решение Римана
теряет силу. Как показывают опыт и теория, в этом случае
непрерывное решение Римана должно быть заменено более
8 Л. И. Седов, том 2

226 Гл. VIII. Гидромеханика
общим разрывным решением со скачком уплотнения (рис. 84, д).
Опрокидывание волны сжатия приводит к появлению скачков
уплотнения.
Таким образом, если в решении Римана имеются участки
волны сжатия, в потоке идеальной (невязкой) среды обяза-
тельно будут возникать скачки уплотнения. Разрывы не будут
образовываться, если плотность в волне Римана монотонно
возрастает в направлении распространения волны на всем ее
протяжении, как, например, в случае волны, возникающей
при непрерывном выдвигании поршня из заполненной газом
длинной трубы. Скачки уплотнения могут, а скачки разрежения
не могут возникать, так как профиль волны разрежения ста-
новится все более пологим.
При использовании второго решения со знаком минус
все выводы сохраняют свою силу после изменения направ-
ления оси х на противоположное. Предыдущие выводы
существенно связаны с видом функции р = / (р).
_ _ Можно поставить задачу об отыскании
которой* волна^Римана ТаК0Й зависимости Р = f (Р). ПРИ кото"
перемещается посту- Рои не будет иметь место эффект опроки-
пательно дывания волны сжатия Римана. Так бу-
дет, например, если скорость с получает-
ся постоянной, т. е. del dp = 0. В этом случае на основании
A8.8), A8.10) и A8.12) для определения вида зависимости р
от р будем иметь следующее простое дифференциальное урав-
нение:
уш+4 уш ° A8Л7)
7
После интегрирования A8.17) найдем
р = /(р) = 4-|-. A8.17')
где А и В — произвольные постоянные. Уравнение A8.17')
можно рассматривать как уравнение процесса с некоторым
подходящим притоком тепла для совершенного газа или во-
обще другой среды. Уравнение A8.17') можно рассматривать
также как уравнение прямой, касательной к адиабате. Таким
путем можно задавать адиабату приближенно, но при таком
приближении теряется важная тенденция к опрокидыванию волн.
Теорию простых волн Римана можно при-
0 волнах Римана менять непосредственно в некоторых
й
Других сложных моделях сплошной среды
для движений с плоскими волнами, когда
деформированное состояние определено одним переменным па-
раметром, связанным однозначно с плотностью, и когда напря-

§ 18. Распространение плоских волн 227
жение на плоскости фазы волны перпендикулярно к этой пло-
скости и определено деформированным состоянием, т. е. плот-
ностью.
В частности, теория волн Римана непосредственно примени-
ма в нелинейной теории упругости для движений с плоскими
волнами, перпендикулярными к оси х, когда перемещения па-
раллельны оси х. В этих приложениях нет необходимости ис-
пользовать плотность как основную неизвестную величину,
вместо плотности можно взять в качестве искомой величины
любой другой параметр, связанный известным способом
с плотностью. Соответствующие видоизменения решения
Римана очевидны.
Как узнать, когда и где необходимо вос-
Автомодельные или пользоваться решением Римана при кон-
центрированные волны ..
Римана струировании решении задач о движении
сплошной среды?
Из постановки задач с помощью теории размерности можно
установить случаи, когда имеет место автомодельность иско-
мого решения. Легко видеть, что в автомодельных движениях
(см. гл. VII, т. 1) с плоскими волнами, когда переменные аргу-
менты х и t входят только в комбинации x/t, т. е. когда имеют
место формулы!
,(х\ Рх\
и = uof [-jj и Р = РоФ (—J •
будет
и = и (р).
Следовательно, такие автомодельные движения являются вол-
нами Римана или кусочно гладкими комбинациями решений
Римана, но автомодельные волны соответствуют случаю, когда
в формуле A8.15) функция F (р) равна нулю. Соответствующие
решения, называются центрированными волнами, так как
в плоскости xt на каждой прямой, проходящей через начало
координат,
— = const,
величины и и р постоянны.
В общем случае при и и р постоянных соотношение A8.15)
также определяет прямую, однако если F (р) Ф 0, то п и раз-
личных и и р прямые этого семейства не проходят через начало
координат. Очевидно, что вдоль каждой такой прямой решение
Римана можно склеивать непрерывно с покоем или с поступа-
тельным движением среды. (Поступательные движения также
являются простейшими примерами решения Римана.) Таким
образом, эти прямые являются характеристиками, и решения
8»

228 Гл. VIII. Гидромеханика
Римана можно определить как такие решения, для которых
имеется семейство прямолинейных характеристик.
Указанные выше особенности решений Римана служат
главной основой для конструирования решения ряда задач
с использованием решений Римана. В частности, с помощью
решений Римана легко построить решение автомодельной за-
дачи о движении газа за поршнем, выдвигаемым при t > О
с постоянной скоростью из цилиндрической трубы, заполненной
совершенным газом, в предположении, что при t «с; 0 поршень
и газ покоились, а при t > 0 движение газа адиабатично или
вообще баротропно.
В различных приложениях существует очень много задач,
при точном или приближенном решении которых необходимо
опираться на рассмотренную выше теорию простых волн
Римана.
§ 19. Движение шара внутри вязкой несжимаемой жидкости
Эффективная разрешимость задачи о движении тела в иде-
альной несжимаемой жидкости обеспечивается условием о по-
тенциальности движения. При этом для определения потен-
циала скоростей получается линейная задача.
В аналогичных задачах для вязкой несжимаемой жидкости
движение непотенциально, требуется интегрировать нелиней-
ную систему уравнений Навье — Стокса и уравнения нераз-
рывности. В точной постановке задача о движении тела в вяз-
кой жидкости математически очень трудна. При аналитиче-
ских исследованиях получение соответствующих решений всег-
да связано с введением дополнительных предположений.
В частности, многие теории связаны с линеаризацией
уравнений движения.
Простейшим примером такой линеари-
Приближенная зации, пригодной только для очень ма-
постановка Стокса п, «• о ттл /тт
лых чисел Реинольдса К = Uajv (U —
скорость тела, d — характерный линейный размер, v == ц/р —
кинематический коэффициент вязкости), является прибли-
жение Стокса, когда в уравнениях Навье — Стокса пренебре-
гается нелинейными конвективными членами.
В этой приближенной постановке система уравнений уста-
новившегося движения в декартовых координатах имеет вид

§ 19. Движение шара ьнутри вязкой жидкости 229
При постоянном коэффициенте вязкости (л в рамках системы
уравнений A9.1), A9.2), условий прилипания на поверхности
тела и условия об исчезании абсолютных скоростей жидко-
сти в бесконечности можно решить ряд конкретных задач.
Рассмотрим задачу об установившемся об-
Формула для силы, текании неподвижного тела набегающим
?оЙстортнТЙ в™коГ потоком жидкости с заданной скоростью
жидкости U при заданном давлении р0 в беско-
нечности. Для тела заданной геометри-
ческой формы все размеры тела определяются через харак-
терный размер d, который может быть различным для геометри-
чески подобных тел.
Очевидно, что в постановке Стокса (система уравнений A9.1)
и A9.2)) глобальные характеристики потока в целом зависят
только от следующих параметров 1):
\i, d, U, а, р\ р0,
где а, |3 — углы, определяющие ориентацию тела относительно
набегающего потока. Очевидно, что постоянная р0 — давление
в бесконечности — входит в решение для давления аддитивно
и является несущественной при определении суммарной силы
А, действующей со стороны жидкости на тело.
Из изложенной в гл. VII теории подобия и размерности
следует, что для тела любой формы должны иметь место фор-
мулы вида
А1 = 4 («, Р) U* ixd, A9.3)
где А1 ¦— проекции силы, a Uk — проекции скорости на декар-
товы оси координат, с\ — отвлеченные коэффициенты —
компоненты постоянного тензора, зависящие от формы тела.
В общем случае векторы силы А и скорости JJ не коллинеарны.
Возникают подъемная сила и боковые силы воздействия по-
тока жидкости на тело. Для определения постоянных с\ не-
обходимо решить математическую задачу или произвести соот-
ветствующие измерения в опытах.
Рассмотрим теперь в приближенной по-
Задача о распределении становке Стокса решение задачи об об-
давлевии при г „
движении шара текании шара вязкой несжимаемой
жидкостью.
Из уравнений A9.2) и A9.1) вытекает, что
Др = 0. A9.4)
г) Здесь и дальше считаем, что коэффициент вязкости ц не зависит
от координат.

230 Гл. VIII. Гидромеханика
Следовательно, р — гармоническая функция. Рассмотрим
свойства функции р (х, у, z) в предположении, что р обращается
в нуль в бесконечности. При р <*> = р о 4= 0 достаточно к най-
денному решению с рм = 0 прибавить р0.
Так как задача линейная, то в случае произвольного нап-
равления набегающего потока очевидно следующее равенство:
Р = WPi + U*p2 + U*p3, A9.5)
где рх (х, у, z), р2 (х, у, z) и р3 (х, у, z) — функции, аналогич-
ные потенциалам фх, ф2, ф3, введенным в § 14.
Поместим начало декартовой системы координат в центр
шара, тогда из осевой симметрии каждой из задач для pt (х, у, z)
следует, что
Pi=Pi(x,
Ps = p3(z,Yx* + y*); A9.6)
с другой стороны, соображения, приводящие к формуле A4.18)
для потенциалов <рг, в этом случае также применимы и дают
Рз = / (x, У zz + у1) —;==• . A9.7)
Из равенства
р., (у Уz1 + ж2) = / (ж, ]/ к2 + У2) У -
У У3 + z2
следует, что
F(y, Yz* + x*) = g(x, VV+z/2), A9.8)
где ^
Ра = ^""j/ и / = g f/~22 +• у'.
Функциональное соотношение A9.8) может удовлетворяться
только в том случае, когда
F = g = г (Ух* -|~ I/2 + z2), A9.9)
гДе X (г) — некоторая функция радиуса г = Ух% -\- у2 -)- z2-
В самом деле, при z/ = 0, a; = |Hz=ii имеем
? (I, t\) = F @, yr|a + if) = % (/Е2 -f П2)-
Отсюда, полагая| = хж r\ = ]Az2+. г/2, получим A9.9). Таким
образом, для Pi (x, у, z) верны формулы следующего вида:
где положено X = — 'Ф' (г)-

§ 19. Движение шара внутри вязкой жидкости 231
Так как давление удовлетворяет уравнению Лапласа, то
легко усмотреть, что единственно возможной функцией о|з (г)
является функция
где а1 и Ь — постоянные; знак минус и множитель ц приписаны
для упрощения последующих выкладок.
Дальше, не ограничивая общности, примем, что скорость
набегающего потока в бесконечности параллельна оси х. В этом
случае для давления получим следующую формулу:
р = Ро + Н. х. A9.11)
V
Задача об определении Подставляя выражение для давления
поля скоростей A9.11) в уравнения A9.2), получим про-
стые уравнения Пуассона с известной
правой частью для компонент скорости u, v, w.
Обозначим через R радиус обтекаемого шара и положим
( R~\ , а , аЛ2 , дф
Т Ь ~ ~ 1х' ~ Тг + "бит + "i = ~Ш
а ( I
v= T\-?r—
а ( 1 № ,
т (т»- - —jxz +
1 A9.12)
Первые члены в формулах A9.12) соответствует потенциально-
му движению с потенциалом ф, определенным формулой
Этот потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона
Для определения добавочных членов в формулах A9.12),
обозначенных через uv v1 и wv no A9.2) имеем следующие ус-
ловия:
Дих = Дг7х = Ди?], = О,
т. е. и% (х, у, z), i?j (х, у, z) и ц>х (х, у, z) — гармонические функ-
ции. В бесконечности на основании A9.12) имеем следующие
условия:
и% = и, да» = и?» = 0. A9.15)

232
Гл. VIII. Гидромеханика
На сфере условия прилипания на основании A9.12) дают
0 = и = -
0 = v = vx,
О = w=wi.
оо
откуда щ = ¦
A9.16)
Отсюда ясно, что задачи Дирихле для v1 и wx, обращаю-
щихся в нуль на сфере и в бесконечности, имеют решения, тож-
дественно равные нулю
vl=Wl = 0. A9.17)
Компонента скорости иг обращается в a/CR) на сфере и имеет
постоянное значение U в бесконечности. Обоим этим усло-
виям можно удовлетворить, если взять для иг гармоническую
функцию:
где с — постоянная. На сфере первое из условий A9.16) дает
откуда с = у —
A9.18)
Для определения а осталось использовать и удовлетворить
уравнение A9.1), которое имеет вид
— -f -д-!- + ~- + Аф = 0. A9.19)
дх ду ' dz ' т ч '
Так как ^ = wx =0, то это уравнение на основании A9.14)
приводится к виду
ах
сх . ах
дх rs ^ г3
Отсюда и из A9.18) найдем
WR
а — с — —
Таким образом, полное решение задачи
об установившемся обтекании шара по-
током с постоянной скоростью Т7, па-
раллельной оси х, представится в виде формул:
WRixx
Формулы для давления
и скорости
= Ро
-l-U,
3 ит7 ( 1 Л2\
v = т RU (-=¦ —)
4 \ г3 г5 У
W ¦
xz.
A9.20)

§ 19. Движение шара внутри вязкой жидкости 233
Из формул A9.20) следует, что распределение характеристик
движения несимметрично относительно плоскости yz, перпен-
дикулярной к скорости набегающего потока.
Формулы A9.20) позволяют вычислить
Вычисление сопротивления г j \ j ц
распределение напряжении в любой
точке потока и, в частности, на поверхности сфе-
ры. Зная напряжения на сфере, легко вычислить силу
сопротивления. Полная сила А воздействия вязкой жид-
кости на шар представится интегралом:
Л = J Plld5, A9.21)
где 2 0 — поверхность сферы х2 -f- у2 -\- z2 — R2 (здесь и даль-
ше направление нормали выбирается в сторону возрастания ра-
диуса) .
Уравнения Стокса A9.2) для установившегося движения
можно записать как статические уравнения в виде
дх ^ ду Г" dz
Отсюда следует, что для любой замкнутой поверхности 2*,
ограничивающей любой конечный объем непрерывного движе-
ния жидкости, в приближении Стокса верна формула
==О> A9.22)
дх ' ду ~ dz
Это соотношение можно рассматривать как уравнение коли-
чества движения, так как в приближенной постановке Стокса
в установившемся движении пренебрегается ускорением, и
поэтому для любого объема необходимо пренебрегать изме-
нением количества движения жидкости:
dQ
dt
= \ pvvndo.
В общем случае при любых 2* dQ/dt=fc 0, но является малой
второго порядка по сравнению с малыми величинами скоростей
жидкости. Ниже мы выбираем поверхность 2* так, чтобы
dQIdt = 0, и поэтому соотношение A9.22) можно рассматривать
как точное уравнение количества движения для решений о дви-
жении жидкости и о внутренних напряжениях, определяемых
из приближенных уравнений Стокса.

234
Гл. VIII. Гидромеханика
Примем теперь, что поверхность 2 * состоит из поверхности
сферы 20 и любой взятой в жидкости замкнутой поверхности
2, охватывающей сферу. Из A9.22) следует, что
>nda. A9.23)
So 2
В качестве поверхности 2 возьмем поверхность параллелепипе-
да с центром в начале координат и со сторонами, параллельны-
ми координатным плоскостям. Пусть 21 — размеры ребер,
параллельных оси х, а 26 — размеры ребер, параллельных осям
у и z (рис. 85). Формула A9.23) в проекции на ось х на основа-
нии свойств симметрии реше-
ния дает х)
= PF = 4 \
+
A9.24)
здесь через Sx и S2 обозначены
передняя и задняя грани парал-
лелепипеда, перпендикулярные
к оси х, а через S3 — грань,
перпендикулярная к оси z (см.
рис. 85). В силу симметрии силы
по всем четырем граням, пер-
пендикулярным к осям z и у,
одинаковы, поэтому интеграл по S3 взят с множителем 4. Для
вычисления интегралов от поверхностных сил найдем pzx и
рхх. На основании закона Навье — Стокса и решения
A9.20) имеем
.., A9.25)
A9.26)
Рис. 85. Выделенный объем жид-
кости ограничен параллелепипе-
дом и сферой.
ди
Рхх = — Р -Г 2[A-S— = — Ро + -Aj -т-
Ьх
ди ,. dw\ 9
1) Для изменения проекции на ось х количества движения имеем
dQJdt = \ uvnds, где интеграл взят по поверхности параллелепипеда.
Из-за симметрии интеграл по всем боковым граням обратится в нуль,
интегралы по равноудаленным от центра сферы передней и задней граням
отличаются только знаком, так как в силу решения A9.20) и (х) — и (—х),
a vn = и на передней грани и vn = —к на задней грани. Следовательно,
при таком выборе контрольной поверхности 2 * = % „ + 2 ддя решения
A9.20) верно точное равенство dQJdt = 0.

§ 20. Движение жидкости й цилиндрических трубах 235
В этих формулах указаны только главные члены. Следующие
члены при больших г имеют более высокий порядок малости.
Сначала перейдем в A9.24) к пределу при Ъ -> со. Из A9.26)
следует, что при конечных х величина р2х при г ->- оо имеет по-
рядок —, поэтому при Ь —>- оо получим, что
lim \ pzxd<s = 0.
Ь->ОО V
Учитывая это равенство и формулу A9.25), из A9.24) при
Ъ = оо получим
где т] и 0 — полярные координаты в плоскости Sx. Пер-
вый член в скобках имеет порядок 1/Z2, следующие не выписан-
ные явно члены имеют порядок 1/Z4. Полагая т] =ZA. и переходя
к пределу при / -> оо, найдем
оо
W = 18ut/AtC —^— = 6nu.RU, A9.27')
так как не выписанные члены в A9.24) в пределе при /-> со равны
нулю, а определенный интеграл в A9.27') не зависит от I и равен
1/3. При движении шара в вязкой несжимаемой жидкости сопро-
тивление получилось отличным от нуля. В этом случае очевидно,
что коэффициенты с\ в формуле A9.3) сводятся к сЬ\, причем
при d = R с = 6я.
Выше была решена задача о движении сферы внутри вязкой
несжимаемой жидкости. Это решение соответствует действи-
тельности только при малых значениях числа Рейнольдса
R = (URIv) <^ 1. Границы применимости формулы A9.7) мож-
но усмотреть из графика, приведенного на стр. 419, т. 1.
§ 20. Движение несжимаемой вязкой жидкости
в цилиндрических трубах
Рассмотрим движение несжимаемой вязкой жидкости в длин-
ной цилиндрической трубе произвольного поперечного сечения.
Выберем декартовы оси координат так,
Система уравнений чтобы ось z была направлена по оси
трубы. Обозначим через 2 поперечное
сечение трубы плоскостью ху и через С контур, ограничиваю-
щий 2 (рис. 86). Будем искать решения уравнений движения,
1

236
Гл. VIII. Гидромеханика
предполагая, что линии тока — прямые, параллельные оси
z, иначе говоря, примем, что и = v = О, w=f= 0.
У
г i
Рис. 86. К течению вязкой жидкости в цилиндричес-
кой трубе.
Полная система уравнений движения жидкости, состоящая
из уравнения неразрывности
div-y = 0
и уравнений Навье — Стокса
-?¦ = —-
в этом случае сильно упрощается и принимает следующий вид:
dw — П
dw
dp dp
dx dy
1 дР , „
d"-w
И
Из B0.1) и B0.2) непосредственно вытекает, что
w = w (х, у, t)
p = p(z, t).
B0.1)
B0.2)
B0.3)
B0.4)
B0.5)
Ясно, что равенство B0.3) может иметь место только тогда,
когда
dp
17
дги> d2w
dw
является функцией только одного времени t в случае неуста-
новившихся движений и постоянной величиной в случае уста-
новившихся движений.

§ 20. Движение жидкости в цилиндрических трубах 237
Распределение давлений Обозначив dp/dz через — i, будем иметь
вдоль оси трубы
р = - iz + Сх, B0.6)
Где постоянная интегрирования С1 зависит вообще от t, если
движение неустановившееся. Таким образом, вдоль трубы дав-
ление изменяется в зависимости от z по линейному закону и
имеет одно и то же значение во всех точках сечения, перпен-
дикулярного к оси трубы.
[ Величина
*=--5L B0-7)
представляет собой изменение давления вдоль оси трубы, отне-
сенное к единице длины трубы, и называется перепадом давле-
ния вдоль оси трубы. Для полного определения вида прямой
B0.6), характеризующей изменение давления вдоль оси трубы,
т. е. для определения перепада i и Сх, достаточно задать зна-
чения давлений в каких-либо двух сечениях трубы.
Рассмотрим теперь задачу об определении
»"^f г 0ПРеДелешш скорости движения жидкости в труба при
скорости •
условии, что перепад давления i задан.
Для определения w (x, у, t) на основании B0.3) и B0.6) имеем
следующее уравнение:
-д— = — + — &w, B0.о)
и граничное условие прилипания на контуре С:
w = ¦«/„, B0.9)
где w0 — заданная, параллельная оси z скорость стенок трубы.
Если стенки трубы неподвижны, то w0 = 0. В общем случае
контур С может быть составлен из нескольких замкнутых кон-
туров, некоторые из которых могут быть подвижными. Если
движение жидкости неустановившееся, то для определения дви-
жения следует задать начальное условие при t = t0
w (х, у, t0) = f(x, у),
где / (х, у) — известная функция.
Если рассматривается задача об установившихся колеба-
ниях вязкой жидкости в цилиндрической трубе, когда
i =-- Reel (ioeia"),
где i0 и со — заданные постоянные, то для w можно искать ре-
шение в виде

238 Гл. VIII. Гидромеханика
Если движение жидкости установившееся, то i = const,
dw/dt = 0; скорость w (х, у) должна удовлетворять уравнению
Пуассона с постоянной правой частью
Дм>= —(- B0.10)
и граничному условию B0.9) на контуре С. Поставленная та-
ким образом задача об определении функции w (x, у) простой
заменой искомой функции
w(x, у) = Ц (х, у) - ± (*2 + у*) B0.11)
сводится к задаче Дирихле об определении гармонической функ-
ции г|э (х, у) в области 2, ограниченной контуром С. Действи-
тельно, подставив B0.11) в уравнение Пуассона B0.10), ви-
дим, что функция 1|) (х, у) должна удовлетворять уравнению
Лапласа
? + ?-о. B0.12)
и, согласно граничному условию B0.9) для и>, получим, что
функция i|) на С должна принимать значения
У^Щ + ^Ф + У*). B0.13)
Очевидно, что на заданном контуре С функция ар изве-
стна, когда скорость w0 известна. Решение внутренней задачи
Дирихле, а следовательно, и задачи об определении скорости
w (х, у) единственно.
Поставленная задача решена для многих контуров, напри-
мер, для труб круглого, треугольного, прямоугольного, эл-
липтического поперечных сечений, для труб, поперечное се-
чение которых ограничено двумя концентрическими и не-
концентрическими окружностями, и т. д.
По известным компонентам вектора скорости v @, 0, w)
можно легко вычислить компоненты тензора скоростей дефор-
маций
ди. ди.
В нашем случае, очевидно,
„ _ 1 Эю 1 dw
е11 = е22 = еЗЗ — е12 = "i е13 == ~2 "Зх" ' 6%Z == ~2 ~~ду~ '

§ 20. Движение жидкости в цилиндрических трубах 239
Зная компоненты тензора скоростей деформаций, с помощью
закона Навье — Стокса
Рц = — Pgij + xih
легко вычислить компоненты тензора напряжений. В рас-
сматриваемой задаче будем иметь
тп =- г22 = т33 = т12 = 0, t13 = \i -?-, Т33 = и- -^ • B0.14)
Отсюда ясно, что тг;- не зависят от z и что компоненты тензора
вязких напряжений т13 и т23 вызваны градиентом скорости w.
Скорость движения жидкости w не зависит от z. Каждый
элемент жидкости при установившемся движении будет дви-
гаться с постоянной скоростью, без ускорения dv/dt = 0, и по-
этому сумма всех внешних сил, действующих на любой выде-
ленный объем жидкости, будет равна нулю. Таким образом, си-
лы вязких напряжений, действующие на границе каждого вы-
деленного элемента жидкости, будут уравновешиваться силами
давления, действующими на поверхности этого элемента.
Нетрудно убедиться, что рассматриваемое движение жидко-
сти вихревое, несмотря на то, что линии тока являются пря-
мыми; вектор вихря со можно вычислить по формуле
1 . 1 / dw . dw
Решение задачи для не- Пусть поперечное сечение неподвижной
подвижной трубы круглого /w = о) трубы представляет собой круг
поперечного сечения радИуСа а. Поместив начало координат
в центр круга С, согласно B0.И) будем иметь
w (х, у) = $ (х, У)~-^ г2.
где г = Ух'2+ у2. По условию B0.13) функция г|э (ж, у) на кон-
туре С, т. е. при г = У#2 -\- г/2 = а, должна принимать постоянное
значение, равное ia2/i\i.
Очевидно, что
будет представлять собой решение поставленной выше задачи
Дирихле, так как постоянная величина га2/4^,, как легко ви-
деть, удовлетворяет и уравнения) Лапласа, и граничному усло-
вию на окружности С,

240 Гл. VIII. Гидромеханика
Определив таким образом функцию г|э, для распределения
скорости w по поперечному сечению круглой цилиндрической
трубы получим формулу
ю = Л-(а*-г*). B0.15)
Профиль скоростей B0.15) в поперечном сечении круглой трубы
представляет собой параболоид вращения.
Максимальная скорость достигается на оси трубы при г = 0,
причем
^шах = ^. B0.16)
Подсчитаем объемный расход жидкости Q, т. е. объем
жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в еди-
ницу времени. Имеем
Q = [ w2nr dr = -?- \ (а"- - г2) г dr = ^- . B0.17)
0 и
Заметим, что расход Q сильно зависит от радиуса трубы а, он
пропорционален радиусу а в четвертой степени.
Средняя скорость течения жидкости в круглой трубе будет
равна
Общие свойства решения Рассмотрим теперь аналогичную задачу
задачи в случае трубы og установившемся движении несжи-
произвольного J „ „ -
поперечного сечения маемой вязкой жидкости в трубе с про-
извольным фиксированным поперечным
сечением. В этом случае определяющими параметрами те-
чения несжимаемой вязкой жидкости в целом в неподвиж-
ной цилиндрической трубе, очевидно, будут
a, |i, i, B0.19)
где а — характерный линейный размер поперечного сечения.
Плотность р в систему определяющих параметров включать
не требуется, так как в рассматриваемом течении ускорение
жидкости равно нулю и, следовательно, ее инерционные свой-
ства несущественны. Из определяющих параметров B0.19) нель-
зя составить безразмерной комбинации, поэтому на основании
теории размерности для трубы произвольного поперечного се-
чения получаются следующие формулы:
?i—. <2 = й2 —, ^сР = /с3—-, B0.20)
[i Jl (A

§ 20. Движение жидкости в цилиндрических трубах 241
где кх, /с2, к3 — постоянные безразмерные коэффициенты, и
ia?/\i и ш4/^ имеют соответственно размерности скорости и объ-
емного расхода. Таким образом, максимальная скорость, рас-
ход и средняя скорость зависят от i, а и |х в случае трубы про-
извольного поперечного сечения, так же как и в случае круг-
лой трубы. Для трубы круглого поперечного сечения, как
видно из приведенного выше решения, имеем
к - i к — я к - 1
"-1 — ^ ) "-а — ^ ' 3 — 8 '
Для определения постоянных кх, к2, к3 в других случаях необ-
ходимы либо теоретические расчеты, либо данные опытов.
Вычислим силу R, действующую со сто-
Сила, действующая на роны жидкости на участок длины I тру-
^;ТУбЫРУЛОГ° бы КРУГЛОГО поперечного сечения. С од-
ной стороны, из уравнения количества
движения для жидкого цилиндра радиуса а и длины I будем
иметь
R = (Pl - р2)ла\ B0.21)
где р1 и р2 — давления в сечениях трубы, отстоящих друг от
друга на расстоянии I (см. рис. 86). С другой стороны, каса-
тельное напряжение, действующее со стороны жидкости на
стенку, можно вычислить по закону Навье — Стокса
dw
г or
откуда по B0.15) при г = а будем иметь
T = -f = t<>' B0.22)
т. е. касательное напряжение на стенках трубы постоянно, и
сила сопротивления R будет равна
R = 2ла1г0. B0.23)
Коэффициент трения Коэффициентом трения с/ называется отно-
шение силы R к скоростному напору р«^р/2
и к некоторой характерной площади S
R
Если за S принять площадь участка боковой поверхности тру-
бы, на которую рассчитывается сопротивление, то в случае

242
Гл. VIII. Гидромеханика
круглой трубы для с/ по B0.21) и B0.23) получим
2to ia
ci
Р^ср
или, с помощью B0.18), придем к формуле
с, = ^ = ii
' pawcp R •
B0.24)
где R = (dwCXl)/(\x/p) — число Рейнольдса, а d = 2а — диа-
метр трубы.
Рассмотренное течение жидкости было впервые изучено
Пуазейлем и Гагеном в середине прошлого столетия. На прак-
тике оно в основном осуществляется только в случае течений
при малых числах Рейнольдса и особенно важно для исследова-
ния течений в трубах малого диаметра — капиллярах.
§ 21. Турбулентные движения жидкости
Опыт Рейнольдса Рассмотрим следующий классический
опыт. Из большого бака (рис. 87) через
длинную стеклянную трубу круглого поперечного сечения
под действием перепада давлений рг — ?>атм > 0 вытекает неко-
торая жидкость. Из воронки А в текущую жидкость попа-
дает тонкая струйка той же, но подкрашенной жидкости. Рас-
ход вытекающей жидкости можно изменять за счет поднятия
а.) Профиль б) Профиль
Скоростей средних
при ламинарном скоростей
движении при турбулент-
ном движении
Ратм
Рис. 87. Опыт Рейнольдса.
или опускания уровня жидкости в баке, или за счет удлинения
основной трубы (при этом изменяется градиент давлений i).
Определяя расход вытекающей из трубы жидкости и зная
радиус трубы, можно, очевидно, вычислить среднюю скорость
wcp течения жидкости по трубе. Наблюдая за течением жидкости
в трубе, мы увидим, что при малых скоростях течения wav под-

§ 21. Турбулентные движения жидкости 243
крашенная жидкость тонкой струйкой протянется по всей тру-
бе, течение жидкости в трубе будет спокойным, слоистым и
будет хорошо соответствовать рассмотренному выше решению
Пуазейля.
Увеличивая скорость wcp, мы заметим, что, начиная,
с некоторого значения скорости, струйка подкрашенной жид-
кости начнет размываться, жидкость во всей трубе окрасится,
т. е. у частиц появятся составляющие скорости и и v, перпен-
дикулярные к оси трубы; возникнет движение жидкости с пере-
мешиванием в поперечном направлении.
Подсоединив к баку трубу большего диаметра, чем первая,
и проведя тот же опыт (значение соответствующего перепада
давлений сохраняется), мы установим, что при малых скоростях
в трубе опять будет слоистое течение, которое потом также нару-
шится, и начнется перемешивание окрашенной и неокрашенной
жидкости. Однако, во втором случае перемешивание жидкости
наступит при меньшей, чем в первом случае, скорости шср.
Повторив опыт с первой трубой на другой жидкости, имеющей
больший, чем первая, кинематический коэффициент вязкости
v = ^,/р, заметим, что перемешивание жидкости в трубе нас-
тупит при большей, чем в первом случае, средней скорости те-
чения жидкости шср в трубе.
Серия подобных экспериментов позволя-
^еСвдТл^Гарные ет Установить, что нарушение режима
и турбулентные течения слоистого течения происходит во всех
экспериментах с различными средами (с
водой, воздухом, маслом, нефтью и т. д.) при одном и
том же значении числа Рейнольдса R = wcp r/v (r — радиус
трубы), которое называется критическим числом Рейнольдса
и обозначается через RKp.
При R < RKP подкрашенная струйка жидкости не размы-
вается и мы имеем слоистое течение, а при R > RKp вся жид-
кость в трубе быстро окрашивается, т. е. течение перестает
быть слоистым. Для круглых труб в обычных условиях крити-
ческое число Рейнольдса имеет порядок 1200—1400.
Спокойные упорядоченные слоистые течения жидкости, без
интенсивного нерегулярного перемешивания поперек направле-
ния основного движения называются ламинарными. Беспоря-
дочные, нерегулярные, неустановившиеся течения, при которых
частицы жидкости, кроме скорости основного среднего направ-
ленного движения, имеют еще и беспорядочно отклоняющиеся
от нее скорости, называются турбулентными. В описанном выше
опыте ламинарное течение при R = RKp переходит в турбулент-
ное. Вполне естественно, что переход от ламинарного течения к
турбулентному происходит при определенном числе Рейнольд-
са, так как в качестве определяющих параметров движения в

244 Гл. VIII. Гидромеханика
целом вязкой жидкости в трубе можно взять параметры:
г. М-, р, м'ор,
из которых можно составить только одну безразмерную комби-
нацию — число Рейнольдса. Поэтому эта безразмерная комби-
нация является основной характеристикой режима движения и
критерием подобия рассматриваемых течений вязкой жидкости.
Турбулентные течения имеют место не только в трубах. Многие
течения, встречающиеся в природе и в технических приложениях,
являются турбулентными. Типичными примерами турбулент-
ных течений могут служить движение воздуха в атмосфере, дви-
жение жидкостей и газов в гидравлических и газовых машинах
и, в частности, в аэродинамических трубах, движение воды в водо-
проводе, нефти в нефтепроводах, движение воды в реках, в пог-
раничных слоях на телах больших масштабов — на поверхно-
сти самолетов, кораблей и т. п. В последнее время проявляется
большой интерес к турбулентным движениям плазмы в различ-
ного рода лабораторных и технических устройствах, к турбу-
лентным движениям в астрофизике — в космических облаках
и звездах и т. д.
Опыт и общая теория показывают, что среднее давление вдоль
оси неподвижной трубы как при ламинарном, так и при турбу-
лентном движении распределено по линейному закону. Рассмот-
ренное в предыдущем параграфе течение жидкости с параболи-
ческим профилем распределения скоростей по сечению круглой
трубы имеет место только при ламинарных течениях; при тур-
булентных течениях профиль распределения скоростей ста-
новится менее вытянутым, благодаря перемешиванию и обмену
количеством движения поперек трубы средняя скорость w ока-
зывается почти постоянной по всему сечению трубы и только в
узком слое около стенок трубы, благодаря прилипанию, скорость
резко падает до нуля (см. рис. 87, б).
При числах Рейнольдса, значительно
Об устойчивости и неус- меныпих RKD, ламинарные течения не
тоичивости ламинарных КР' - г
течений в трубе чувствительны к небольшим возмущени-
ям. Ламинарный режим течения сохра-
няется (не переходит в турбулентный) при наличии
небольших внешних вибраций, шероховатостей внутрен-
ней поверхности трубы, недостаточно плавного входа из
бака в трубу и т.д. При значениях числа Рейнольдса, близких
к RKp, ламинарные течения весьма чувствительны к влиянию
такого рода факторов. Существование ламинарного режима
можно затянуть, т. е. добиться того, чтобы течение было лами-
нарным при больших, чем 1400, числах Рейнольдса, избегая
внешних вибраций, используя очень гладкие трубы, обеспечи-
вая спокойствие жидкости в баке и организуя очень плавный

§ 21. Турбулентные движения жидкости 245
вход в трубу. Если принимать все эти меры предосторожности,
режим ламинарного течения удается затянуть до чисел Рейнольд -
са порядка 20 000. Таким образом, мы приходим к идее о воз-
можной неустойчивости ламинарного течения в трубе и к мыс-
ли об объяснении возникновения турбулентного движения как
результата неустойчивости течения Гагена — Пуазейля. Этот
вопрос является предметом интенсивного изучения уже более
ста лет, и до сих пор в этой области появляются новые интерес-
ные работы. Большинство работ посвящено исследованию ус-
тойчивости течения Гагена — Пуазейля в бесконечно длинных
трубах. Течение является устойчивым, если малые возмущения
с течением времени затухают, и неустойчивым, если эти возму-
щения с течением времени нарастают. Однако более подробный
анализ показывает, что бесконечная длина трубы очень сущест-
венна в этой теории. Развитие неустойчивости течения Гагена —
Пуазейля без учета условий на границах конечной трубы может
проявиться только в нереально длинных трубах. Поэтому и в
связи с тем, что опыт указывает на существование достаточно
большого (до R = 20 000) запаса устойчивости, тесно связанного
со специальными устройствами плавного входа в трубу, наибо-
лее интересны и, видимо, перспективны те работы, в которых
рассматривается устойчивость течения Гагена — Пуазейля в
конечных трубах с учетом условий во входном и выходном се-
чениях трубы. Постановка и исследование таких задач гораздо
труднее постановки и исследования задач об устойчивости в
бесконечно длинных трубах, так как зависимость возмущений
от времени в конечной трубе существенно зависит от вида и ком-
бинации условий в конце и в начале трубы в связи с тем, что,
распространяясь по трубе, возмущения подвергаются влиянию
этих условий, происходит отражение возмущений на концах
трубы и возникает взаимодействие условий на концах трубы.
Затягивание ламинарного режима тече-
нкя до больших значений числа Рейнольд-
са имеет большое практическое значение.
Опыт и теория показывают, что коэффициент трения, характе-
ризующий сопротивление вязкого трения на поверхности тела
при движении тела в жидкости, при одном и том же числе Рей-
нольдса значительно меньше при ламинарном пограничном слое
(см. § 22), чем при турбулентном. В связи с этим предприни-
мается множество исследований для разработки мер по затяги-
ванию ламинарного пограничного слоя и получения таким об-
разом большого выигрыша в снижении сопротивления.
Увеличение гладкости поверхности тела до зеркальной спо-
собствует затягиванию ламинарного режима обтекания; при
турбулентном обтекании повышение гладкости также приводит
к снижению сопротивления. Затягивание ламинарного течения

246
Гл. VIII. Гидромеханика
можно обеспечивать с помощью соответствующего отсоса жид-
кости из пограничного слоя внутрь тела через специальные щели
или поры.
Экспериментально было установлено, что введением в дви-
жущуюся вблизи тела жидкость весьма малых (до сотых долей
процента) количеств специальных полимерных веществ (при-
садок) можно значительно повлиять на движение жидкости
в пристеночном слое и уменьшить сопротивление трения на стен-
ках трубы. Добавление присадок в столь малых количествах
фактически не изменяет плотности и вязкости жидкости и не
сказывается заметно на распределении скорости в ламинарном
движении при малых значениях чисел Рейнольдса, но может
влиять на свойства турбулентного движения вблизи обтекаемых
стенок. Поэтому ясно, что в этом случае принятая до сих пор
теория движения вязкой жидкости Навье — Стокса нуждается
в существенных видоизменениях. Можно вполне определенно ска-
зать, что в некоторых областях при турбулентных движениях мо-
гут проявиться некоторые свойства среды, которые несущест-
венны для описания ламинарных движений.
Турбулентные движения характеризу-
О моделях сплошной ются тем, что поле истинных скоростей час-
среды для описания __ тиц. ЖИДКости, которая рассматривается
турбулентных движении r r
JF ' как сплошная среда-континуум, имеет
нерегулярный пульсационный характер, является неустановив-
шимся и напоминает хаотическое поле скоростей отдельных мо-
лекул, из которых состоят тела. Траектории частиц жидкости
при турбулентном движении в
' - высшей степени извилисты. Точ-
ные измерения указывают на то,
что изменения всех параметров
течения при турбулентном дви-
жении во времени имеют вид,
изображений на рис. 88, где для
примера дано характерное для
турбулентных течений измене-
ние плотности в данной точке
х, у, z с течением времени t. На
основное изменение плотности
(на рисунке — плавная пунк-
тирная пиния) накладываются
нерегулярные пульсации ^большой частоты. Подобные измене-
ния плотности могут также наблюдаться при некоторых
движениях в твердых телах, сейсмографы регистрируют такого
рода кривые при распространении колебаний в земной коре.
В случае турбулентного режима течения изучать истинные
движения частиц жидкости весьма сложно, да, вообще говоря, и
Рис. 88. Характерное для турбу-
лентных течений изменение плот-
ности с течением времени в опре-
деленной точке пространства.

§ 21. Турбулентные движения жидкости 247
не нужно. Для описания движения газа как совокупности под-
вижных молекул с большим успехом применяется макроско-
пическая точка зрения, во многих вопросах турбулентные те-
чения жидкости также целесообразно изучать только в среднем.
При исследовании турбулентных течений обычно вводят сред-
ние значения компонент скорости и, v, w, давления р, плот-
ности р, температуры Т и других характеристик движения (чер-
точки над буквами здесь и далее в этом параграфе обозначают
осреднение). Для определения средних характеристик движе-
ния можно ставить и решать математические задачи.
Таким образом, в случае турбулентных течений сложное дви-
жение континуума, моделирующего дискретную среду, вторич-
но осредняется и при этом возникают проблемы составления
полной системы уравнений для определения средних характе-
ристик движения и проблемы изыскания способов эксперимен-
тального измерения осредненных характеристик движения.
В теории турбулентности, в противоположность ранее рассмот-
ренным разделам гидромеханики, нет и, видимо, не может быть
единого подхода к исследованию всевозможных задач; для изу-
чения различных классов движений жидкости предложены раз-
личные теории турбулентности. В настоящее время разработаны
различающиеся между собой теории турбулентных течений в
трубах, в атмосфере, в спутной струе реактивного двигателя и
во многих других случаях.
_ г Практика построения моделей для изу-
Способы осреднения v *. г м „ 3
чения турбулентных движении показы-
вает, что способы введения средних характеристик движения,
вообще говоря, несущественны для составления полной систе-
мы уравнений теорий турбулентности, но они являются глав-
ной основой для разработки методов экспериментальных из-
мерений различных сре;щих величин, проведение которых необ-
ходимо для сравнения результатов предложенной теории
турбулентности с опытными данными.
Укажем некоторые возможные способы осреднения истин-
ных характеристик движения. Пусть А (х, у, z, t) — некото-
рая истинная характеристика турбулентного движения.
В любой фиксированной точке пространства можно провести ос-
реднение А по времени t. Тогда среднее значение А будет
равно
т
-1 [
L

248 Гл. VIII. Гидромеханика
где промежуток времени Т достаточно велик по отношению ко
времени отдельных пульсаций и мал по отношению ко времени
заметного изменения средних характеристик (осредненное дви-
жение может быть нестационарным).
С другой стороны, в определенный момент времени t осред-
нение А можно провести по объему, тогда
А = г— \ A d%,
v
причем объем V должен удовлетворять условиям, аналогичным
условиям на промежуток времени Т. Можно провести осредне-
ние по времени и по объему V одновременно.
Указанные выше осреднения по времени и по объему воз-
можно проводить с весом, когда среднее значение А определя-
ется, например, следующим образом:
= 4- \
где g (t) — некоторая заданная функция. В различных задачах
при выборе V и Т можно руководствоваться различными сооб-
ражениями, но в имеющихся приложениях результат осредне-
ния рассматривается как не зависящий от V ш Т.
В ряде случаев используются вероятностные способы ос-
реднения, и среднее значение А часто определяется как мате-
матическое ожидание А.
После введения среднего значения А. истинное значение А
представляется в виде
где А' — пульсация А; среднее значение пульсаций равно
нулю, А' = 0.
Потребуем, чтобы операции осреднения во
Свойства осреднения всех случаях обладали следующими свой-
ствами.
1) Среднее значение суммы равняется сумме средних зна-
чений
2) Среднее значение производной от истинной характерис-
тики турбулентного движения равняется производной от

§ 21. Турбулентные движения жидкости 249
среднего значения
ЬА _ дА
дх дх
3) Среднее значение произведения двух сомножителей, из
которых только один испытывает турбулентные пульсации, рав-
но произведению средних. В частности, А А' — 0. Среднее зна-
чение произведения двух пульсирующих величин не равняется
произведению средних
ИЗфАВ,
а равняется сумме произведения средних величин и среднего
значения произведений пульсаций этих величин
+ А'В'.
Заметим, что при определении средних значений с помощью
интегрирования по времени или по пространству перечисленные
здесь свойства осреднения выполняются лишь приближенно.
Пусть проведено осреднение скорости
Об использовании и = п-\- и'. Среднее значение и2 не рав-
различных способов няется квадрату среднего значения и:
осреднения _ _
и1 =-- и% + и'1.
Можно назвать средним значением и1 макроскопическую
величину м2, введенную, например, по формуле
Для истинных значений и2 в этом случае можно написать
и- — и'л -\~ и1' — и2 + н2",
причем
г^ = 0, но п^фО.
Если для следующего ряда встречающихся в механике жид-
кости величин р, и, v, w, p, T, U, E, dA и т. д. ввести средние
одинаковым способом, то характеристики движения таким об-
разом осредненного континуума не будут удовлетворять основ-
ным законам сохранения и уравнениям состояния, удовлетво-
ряющимся для истинных движений.
Действительно, если, например, при изучении турбулент-
ного движения совершенного газа мы осредним р подобно р
и Т, то
р = ^Rf = pRT + VT'R,
L_

2E0 Гл. VIII. Гидромеханика
и уравнение Клапейрона из-за наличия члена p'T'R не будет
выполняться для средних величин. Если же нам более удобно
сохранить уравнение Клапейрона, то для осреднения р можно
избрать другой способ, ввести р так, чтобы
Р =
и тогда р = р + р' = р + р", причем
В различных теориях турбулентности для определенного
набора основных величин, например р, р, put, осреднения вво-
дятся некоторым одинаковым способом, а способы осреднения
других величин вводятся по соглашению так, чтобы удовлетво-
рялись основные законы физики, как и при обычном определе-
нии этих величин для истинных движений.
Рассмотрим турбулентные движения не-
^маемой вязкой жидкости. Полная си-
стема уравнении движения в этом случае,
как известно, состоит из уравнения неразрывности и уравнений
импульса, которые в декартовой системе координат име-
ют вид
?-0. B1.1)
где Tj — компоненты тензора вязких напряжений. Для вяз-
кой жидкости Гц зависят от ец, для изотропной линейной
вязкой жидкости по закону Навье — Стокса
B1.3)
Для дальнейшего мы не будем фиксировать закон зависимо-
сти xih от еар, заметим только, что в общем случае xik могут за-
висеть от производных еар. Используя уравнение неразрыв-
ности B1.1) и условие dp/dt — 0, легко показать, что левую
часть уравнений Навье — Стокса можно написать в виде
t ^ дх" J dt ^ дхк • v • '
При теоретических исследованиях турбулентных движений

§ 21. Турбулентные движения жидкости 251
исходят из предпосылки о справедливости уравнений B1.1),
B1.2) для истинного неустановившегося пульсирующего движе-
ния. Однако ввиду крайней запутанности, извилистости и
сложности траекторий частиц жидкости при турбулентном дви-
жении получение решений этих уравнений для турбулентных
движений представляется собой громоздкую и сложную задачу.
Ставится задача о разыскании функциональных соотношений
между средними величинами.
Уравнения движения для средних величин получаются путем
осреднения уравнений движения B1.1), B1.2) для величин,
описывающих мгновенное состояние движения.
Осреднив уравнение неразрывности B1.1), на основании
свойств операции осреднения легко получим уравнение нераз-
рывности для осредненных величин
оно имеет тот же вид, что и для истинных скоростей B1.1).
Осредним уравнения импульса, левую часть которых пред-
варительно запишем в виде B1.4). Так как
B1.6)
(плотность р считается постоянной, одинаковой во всех точках),
то, очевидно, получим следующие уравнения:
= _ dp afrf-pp^'*) -jjr .„, 7
(i = l, 2, 3),
которые называются уравнениями Рейнолъдса.
Если связь %1 и еа$ (и, возможно, производных еар) линей-
ная и ц = const, то Tj выражаются через е^р, так же как %i
через еар. Поэтому уравнения Рейнольдса B1.7) отличаются
от уравнений импульса B1.2) для истинных движений только
за счет членов вида
Шесть различных величин
вошедших в уравнения Рейнольдса, называются турбулентными

252 Гл. VIII. Гидромеханика
напряжениями. Заметим, что истинные напряжения хц в газе
представляются такого же рода формулами через скорости моле-
кул. Вид зависимости турбулентных напряжений от средних
характеристик течения в различных классах задач может быть
различным. Эти зависимости требуется устанавливать или пос-
тулировать на основании специальных гипотез или опытных
данных.
Таким образом, ввиду нелинейности уравнений истинных
движений, после их осреднения мы получаем большее, чем чис-
ло уравнений, число неизвестных. Следовательно, для матема-
тического изучения осредненных турбулентных движений од-
них уравнений гидромеханики, достаточных для изучения
истинных движений, недостаточно. Поэтому полное теоретиче-
ское исследование осредненных турбулентных движений воз-
можно только на основании некоторых дополнительных за-
конов или гипотез, справедливость которых может быть в
конечном счете установлена только на опыте.
Содержание многих работ по исследованию турбулентных
движений сводится к изучению справедливости различных прос-
тых и естественных гипотез о зависимости турбулентных напря-
жений от средних скоростей и их градиентов, которые позво-
ляют поставить и решить теоретически основные частные задачи
о турбулентном движении.
В настоящее время не существует общей математической по-
становки задачи о произвольных осредненных турбулентных
движениях и вообще не выяснена возможность такой формули-
ровки задачи.
Иногда по аналогии с законом Навье — Стокса B1.3) по-
лагают, что
= Tiit —
где Мх = fi -f- M, M — коэффициент турбулентной вязкости,
который в противоположность коэффициенту молекулярной
вязкости \х зависит от переменных параметров движения жид-
кости.
Отметим, что закон Навье — Стокса в случае турбулентных
движений становится второстепенным, так как вместо гипотез о
зависимости т,-у от еа$ можно непосредственно выдвигать гипо-
тезы о зависимости т& от еар, и, таким образом, совсем не прив-
лекать к рассмотрению закон Навье — Стокса. Это можно оп-
равдать также тем, что законом Навье — Стокса, вообще гово-
ря, не отражаются такие свойства жидкости, которые могут
оказаться существенными в турбулентных потоках.

§ 22. Уравнения ламинарного пограничного слоя 253
§ 22. Уравнения ламинарного пограничного слоя
Учет свойства вязкости жидкостей и газов ведет к повышению
порядка дифференциальных уравнений движения и в связи с
этим появляются добавочные краевые условия на границах
объема движущейся среды. Типичными примерами таких усло-
вий являются условие полного прилипания жидкости или газа
к подвижным телам или неподвижным граничным стенкам и
условие непрерывности трех компонент вектора силы напряже-
ния на поверхностях контакта двух сред.
При рассмотрении задачи об обтекании тел идеальной жид-
костью условие обтекания сводится к равенству нормальных
составляющих скоростей жидкости и тела на поверхности тела.
На поверхности тела касательные составляющие скоростей тела
и жидкости различны, поэтому в рамках идеальной жидкости
вдоль поверхности тела возможно проскальзывание частиц жид-
кости относительно тела. Нетрудно видеть, что влияние вяз-
кости на поле скоростей проявляется существенным образом
за счет граничных условий, которые запрещают такое проскаль-
зывание.
Это обстоятельство хорошо иллюстрировать на примере
задачи о движении тела в несжимаемой жидкости. Легко видеть,
что подробно изученные раньше поля скоростей и давлений,
возникающие при решениях задач о потенциальном обтекании
тел несжимаемой жидкостью, являются также точными реше-
ниями уравнений Навье — Стокса. Это очевидно непосредствен-
но, так как для потенциальных движений несжимаемой жид-
кости верны равенства
Аф = 0 и grad Аф = Av = 0, B2.1)
следовательно, для потенциальных движений несжимаемой
жидкости \х Av = 0, т. е. для таких движений уравнения Навье —
Стокса точно совпадают с уравнениями Эйлера для движе-
ния идеальной жидкости.
Отсюда ясно, что при одинаковых движениях твердого тела
в жидкости отличие поля скоростей вязкой жидкости от соот-
ветствующего поля скоростей идеальной жидкости существенно
связано с условием прилипания, которое должно выполняться
в вязкой жидкости.
Опыт и качественные теоретические сооб-
ражения указывают, что в некоторых важ-
Понятие о пограничном слое ных случаях на движение ЖИдкости суще-
ственное влияние оказывает условие отсутствия проскальзы-
вания жидкости только непосредственно вблизи самой грани-
цы, в тонком слое, окутывающем поверхность обтекаемого тела.

254 Гл. VIII. Гидромеханика
В связи с этим возникла теория тонкого пограничного слоя
на границах вязкой жидкости — тонкого слоя, внутри которого
нельзя пренебрегать вязкостью. В этой теории принимается,
что имеется основной поток жидкости, которую можно рассмат-
ривать как идеальную, и имеется тонкий пограничный слой,
внутри которого жидкость рассматривается как вязкая; на гра-
нице пограничного слоя эти два течения непрерывно сопрягаются.
Существенно отметить сразу, что такое представление о струк-
туре поля скоростей вязкой жидкости приемлемо во многих
типичных классах задач, но в ряде случаев эта точка зрения не
отвечает действительности. Подробное знакомство с теорией
пограничного слоя позволяет более определенно разъяснить и
выделить задачи, в которых эта теория перестает успешно дей-
ствовать.
Представление о пограничном слое оказалось плодотворным
по двум главным причинам. Во-первых, появилась возможность
производить построение теории движения вязкой жидкости и
газа на основе известных решений уравнений для идеальной
жидкости и газа. Во-вторых, сложные уравнения Навье —
Стокса в тонком пограничном слое оказалось возможным за-
менить более простыми уравнениями теории пограничного слоя.
Уравнения и основные понятия теории
Уравнения ламинарного пограничного слоя были установлены в
пограничного слоя лппК тт п
1904 г. Л. Прандтлем.
В пограничном слое, так же как и при течении в трубе, ре-
жимы движения жидкостей или газов могут быть как ламинар-
ными, так и турбулентными. При разных режимах течения ос-
новные характеристики движения жидкости и законы, управ-
ляющие ламинарным или осредненным турбулентным движением
в пограничном слое, получаются резко отличающимися друг от
друга. Ниже мы рассмотрим теорию ламинарного пограничного
слоя.
Для получения уравнений теории пограничного слоя рас-
смотрим основную модельную задачу об обтекании несжимае-
мой вязкой жидкостью неподвижной тонкой пластинки, постав-
ленной по скорости набегающего поступательного потока перед
пластинкой (рис. 89).
Вывод уравнений движения в пограничном слое основан на
оценках — гипотезах о порядке различных членов в уравнениях
Навье — Стокса и пренебрежении малыми членами; сохраня-
ются только конечные члены.
Для плоскопараллельного движения^ плоскости ху имеем
следующие уравнения *) движения вязкой несжимаемой
*) Под членами этих уравнений указаны их оценки по величине б
(толщина пограничного^ слоя). Справедливость^етих оценок обсуждается
ниже.

§ 22. Уравнения ламинарного пограничного слоя
255
жидкости:
ди ,
¦5Г-Г'
1
dv ,
du
11
~а7
1-8
ду
» 1
81
аТ
1
1
р
1
р
+
аР
dv
'д~У
1
-L-V
1 v/
1 v \
Q
/ д'и
1
Г d"-v
\ дх1
8
-f
+
ff'-u
ду*
1
дЧ
ду~
1
Т
B2.2)
B2.3)
Пусть I — некоторый характерный размер, например дли-
на пластинки. Обозначим через б «толщину» пограничного слоя.
По основному допущению примем, что на расстоянии б по нор-
мали от обтекаемой поверхности (пластинки) имеется «граница»
U(t)
Рис. 89. Пограничный слой на обтекаемой
пластинке.
пограничного слоя, на которой скорости жидкости извне и из-
нутри пограничного слоя практически совпадают (практиче-
ская малость разности скоростей в процентном или в некото-
ром другом отношении определяется дополнительным условием).
Величина б или, точнее, отношение у принимается в качест-
ве основной малой величины. Воспользуемся преобразованием:
х=Ц, у=Ьц B2.4)
и предположим, что в пограничном слое переменные |, г\ и х
изменяются в конечных пределах, а интервал изменения пере-
менной у имеет порядок б. Дальше примем, что величины U (t),
и (z, t), их производные по времени и производные ди/дх,
д2и1дхг внутри пограничного слоя и на его границе с основным
потоком конечны.
Из равенств
ди _ 1 ди аги _ 1 дги
~ду~ ~ 7Г ~дг\ ' ду2 = "б^" drf '

256 Гл. VIII. Гидромеханика
так как и и г\ изменяются в конечных пределах, следует, что
il-1 — V. B2.5)
Далее, из уравнения неразрывности B2.3) имеем
s
до ди С ди , s d2v I dv s 32i> „
ду дх ' J to у ' dyi Ь ' дх ' с*^2
B2.6)
На основании этих оценок под каждым членом уравнений B2.2)
и B2.3) указан порядок его величины.
Первое из уравнений B2.2) показывает, что при конечных
I ж U должно быть конечным v/б2, в безразмерном виде долж-
но быть
б'2 v
-Т~-иГ или
У ИГ-
ди
dt
ду
= 0
ди {
дх '
ИЛИ
1
ди
ду
1 =
р(х,
1
р
t).
dp
дх
д'-и
ду'
Эти прикидочные оценки и послужили основой для упрощения
уравнений Навье — Стокса в пограничном слое. После сохра-
нения в B2.2) только конечных членов получаются следующие
уравнения пограничного слоя:
B2.8)
К этим уравнениям необходимо добавить уравнение неразрыв-
ности B2.3). Уравнения B2.8) остаются нелинейными. Поперек
пограничного слоя давление сохраняется постоянным и опреде-
ляется значением на границе слоя в основном потоке, рассчи-
тываемым из теории идеальной жидкости, следовательно, в
уравнении B2.8) член др/дх можно считать известным.
В отличие от уравнений Навье — Стокса система уравне-
ний B2.8) и B2.3) поддается решению в ряде важных случаев.
При приближенных расчетах эта система применяется не толь-
ко для исследования движения в пограничном слое на плоской
пластинке, но и для исследования движения в пограничном
слое на криволинейных профилях. В общем случае принимается,
что координата х представляет собой длину дуги вдоль профиля,
а координата у измеряется по нормали к профилю. Зависимость
U (x, t), задающая скорость на внешней границе пограничного
слоя, определяется из решения соответствующей задачи тео-
рии идеальной жидкости. Предложены уточнения уравнений
B2.8) для учета криволинейности обтекаемых профилей и для

§ 22. Уравнения ламинарного пограничного слоя
257
исследования пространственных задач. Более формальный мате-
матический вывод уравнений B2.8) с более определенной фор-
мулировкой соответствующих предположений можно дать сле-
дующим способом. В уравнениях B2.2) и B2.3) сделаем следую-
щее преобразование переменных:
х =
и = иощ,
t ?=
Uo
h, P = U20pu
B2.9)
где I и Uo — некоторые постоянные — характерные линейный
размер и скорость. Выполнив это преобразование, получим
1 д^и-
s—
дхх
+ vi "я— =
d'-ui
1 / dvi
~R [JIT
dv\
дуг
дхх
1
р
1 R
dpi
дух
г
дх\
1
.•
г „
0
дЧх
Ъх\
у\
1
1
1
R
ff»Vi
B2.10)
где R = — число Рейнольдса. Эти уравнения представляют
собой точные уравнения Навье — Стокса, записанные в соот-
ветствующих безразмерных переменных.
Предположим теперь, что при R ->¦ °° все величины с ин-
дексом 1 в B2.9) и B2.10) сохраняют конечные значения. После
перехода к пределу при R -> оо из B2.10) получим
~т
• -I-
дхх
дух
dvx
дух
р дхх
1 dpi
Р <?2/i
B2.11)
Эти уравнения после обратного преобразования с помощью
B2.9) переходят в уравнения B2.8) и B2.3). Таким образом,
уравнения пограничного слоя можно рассматривать в некотором
смысле как предельную форму уравнений Навье — Стокса,
когда число Рейнольдса R = Uol/v стремится к бесконечности.
В задачах об обтекании профилей необходимо решать си-
стему B2.11) со следующими граничными условиями: их = 0,
Vl = 0 при ух = 0 (условие прилипания на профиле) и
щ= U(x, t)IU0 при ух = оо (условие на внешней границе погра-
9 Л. И. Седов, том 2

258 Гл. VIII. Гидромеханика
ничного слоя), причем внутри пограничного слоя р% (х, t) не
зависит от ух и определяется из решения задачи о внешнем об-
текании.
Задача о внешнем обтекании профиля идеальной жидкостью
в первом приближении может быть решена без учета наличия
пограничного слоя, так как для толщины пограничного слоя
по B2.7) имеем
v 1 р. _
г==-уг~*-° при R">o°'
т. е. толщина пограничного слоя получается очень малой при
больших значениях числа Рейнольдса, характерных для мно-
гих практически важных задач.
§ 23. Пограничный слой при обтекании несжимаемой
жидкостью плоской пластинки. Задача Бля, иуса
Дадим теперь полное решение задачи об установившемся
пограничном слое на абсолютно гладкой тонкой неподвижной
пластинке — полуплоскости у = 0, х ~^> О (см. рис. 89), когда
скорость Uo набегающего потока постоянна и направлена по
оси х (по пластинке).
В этом случае уравнения B2.8) и B2.3) приобретают вид
ди ди дъи
и -я \- V -7г- = V -о-г
дх ' ду дуъ
ди , dv _.
~д! г ду — U'
B3.1)
так как движение установившееся, а внешний поток представ-
ляет собой поступательное движение с постоянным давле-
нием р0.
На пластинке имеем условие прилипания
при j = O,i>O»=d = O, B3.2)
на внешней границе пограничного слоя
при у = оо и = Uo. B3.3)
Так как в рассматриваемой задаче нет
Автомодельноеть решения г „^ "
"¦ характерного линейного размера, то си-
стема размерных и безразмерных определяющих параметров
имеет вид
U v, х, у и -?-, ?__ . B3.4)
Uo

§ 23. Пограничный слой при обтекании плоской пластинки
259
Поэтому искомые функции и (х, у) и v (х, у) можно пред-
ставить через безразмерные функции / и Ф вида
-I f vx у
B3.5)
Если теперь в уравнениях B3.1) и в граничных условиях B3.2)
и B3.3) совершить замену переменных:
х = 1хи у =
то получим
<23-6)
ди\
= 0
dxi ' dyi
и при хх > 0, z/j = 0 Mj = yj = О,
а при г/х = оо ?<! = 1.
B3.7)
Уравнения и граничные условия для функций щ (х%, z/j) и
vi (xi, Ул) не содержат параметра I, поэтому решение системы
B3.7) не должно зависеть от I. Из B3.5) получим
и , / Ух ?/, \
1 Х\
У1
XI
-ш / U fit
так как аргумент ух
B3.8)
содержит параметр Z, от
которого решение не зависит.
Из формул B3.8) вытекает, что уравнения с часаными про-
изводными B3.7) приводятся в данной задаче к обыкновен-
ным уравнениям с одной независимой переменной
=^. B3.9)
и0

260 Гл. VIII. Гидромеханика
Решение задачи Блязиуса В общем случае из уравнения неразрыв-
ности
dui ,
дух
= 0
следует, что для плоскопараллельных движений несжимаемой
жидкости существует (см. гл. VII, т. 1) функция тока tj> (хх, ух)
такая, что
_ Зг|э StJ?
1 ~ dyi l ~ дхг
Полагая
найдем
Таким образом, на основании уравнения неразрывности полу-
чим, что компоненты щ и vx выражаются через функцию ф (|)
в виде
«1 = Ф'(Е). )
B3.10)
Подставляя B3.10) в уравнение движения, после простых пре-
образований получим
2Ф"(Е) + Ф"(Б)ФЙ) = О. B3.11)
Для получения решения этого нелинейного обыкновенного
дифференциального уравнения третьего порядка необходимо
найти функцию ф (?) в интервале 0 < |-<оо, удовлетворяю-
щую уравнениям B3.11) и на концах интервала 0<1|<; оо
следующим граничным условиям, вытекающим из B3.7):
ф@) = ф'@) = 0 и ф'(ов) = 1. B3.12)
Для определения функции ф (S) требуетея решить краевую за-
дачу. Эту краевую задачу легко свести к задаче Коши с данными
на одном конце, если воспользоваться следующим общим свой-
ством решений уравнения B3.11).
Пусть ф0 (I) — некоторое решение уравнения B3.11); не-
посредственной проверкой легко убедиться, что функция
/.|) B3.13)

§ 23. Пограничный слой при обтекании плоской пластинки 261
также является решением уравнения B3.11) при любом по-
стоянном а.
Определим теперь функцию <р0 (?) как решение следующей
задачи Коши для уравнения B3.11):
1. B3.14)
С помощью уравнения B3.11) и данных Коши B3.14) функцию
ф0 (?) нетрудно рассчитать известными численными методами
для любых | ^> 0. По данным расчета можно определить предел
lim ф'(|) =k=j= 1, причем &3/г = тг-кг • B3.15)
Определим теперь в формуле B3.13) постоянную а таким
образом, чтобы удовлетворялось условие B3.12) при | —>оо .
Имеем
Отсюда следует, что
lim ф' (I) — &Ч> lim ф^ (т|) = аЗД.
Очевидно, что для получения искомого решения для функции
ф (|) с помощью формулы B3.13) достаточно положить а'1зк = 1
или на основании B3.15)
а = -^- = 0,332. B3.16)
Следовательно, полное решение представляется формулами
B3.10) и B3.13) при ф0 (|), определенной из численного реше-
ния задачи Коши B3.14).
_ Вычислим теперь касательную состав-
Сопротивление трения г
r r ляющую х напряжения вязкого трения на
поверхности пластинки. По закону Навье — Стокса имеем
T '¦'
= 0,332 у -^- . B3.17)
Напряжение трения зависит от координаты х и падает с ростом х.

262 Гл. VIII. Гидромеханика
Полное сопротивление одной стороны прямоугольного
участка пластинки ширины Ъ и длины по потоку L представит-
ся формулой
L
R = Ъ { xdx = 0,664b fp\iLUl .
о
Отсюда для коэффициента трения получим
i* = A^., B3.18)
где R - U0L/v.
Таким образом, в этом случае полное сопротивление про-
порционально скорости обтекания Uo в степени 3/2, а коэффи-
циент трения обратно пропорционален корню квадратному из
числа Рейнольдса.
Напомним, что сила сопротивления движению тел с постоян-
ной поступательной скоростью в вязкой жидкости при малых
числах Рейнольдса пропорциональна первой степени скорости, а
в идеальной жидкости, когда парадокс Даламбера не имеет ме-
ста, пропорциональна квадрату скорости.
Согласно B3.10) распределение продоль-
Толщина пограничного ной компоненты скорости в пограничном
слоя; толщина вытеснения сдое определяется формулой
и представляется кривой, вид которой изображен на рис. 89.
Если толщину пограничного слоя у = б определить, например,
из условия u/U0= 0,995, т. е.
Uo- и ж 0,005 Uo ~ 0,5% Uo,
то величину б можно вычислить из уравнения
0,995 = ф'/ i==-\ B3.19)
/ж!
Из расчета функции ср' (?) и из B3.19) следует, что
6 = 5,16 j/-^. B3.20)
При большой скорости Uo, малой вязкости (u./p) = v и умерен-
ных значениях координаты х толщина пограничного слоя б
получается весьма малой.

24. Некоторые эффекты движения вязкой жидкости
263
При а;>0и больших у "> 0 вдали от пластинки за счет
торможения жидкости в пограничном слое линии тока сме-
щаются на величину б* (рис. 90), определяемую формулой
t>'U0 =[(UQ- и) dy = U^ [1 - q/ (i)] dl У™- =
Отсюда
6* = 1,72]/ ~~~
Аналогичным образом толщину пограничного слоя б и толщи-
ну вытеснения б* можно определять при решении других
Рис. 90. К определению толщины пограничного слоя
6 и толщины вытеснения 6* (Н —» ос).
задач об обтекании профилей с заданным переменным распреде-
лением давлений на внешней границе пограничного слоя. В не-
которых случаях дальнейшие уточнения распределения давле-
ний по обтекаемому телу во внешнем обтекании тела идеальной
жидкостью можно получать для тел, утолщенных по нормалям
на величину толщины вытеснения б*.
§ 24. Некоторые важные эффекты движения
вязкой жидкости в пограничном слое
В плоских задачах при обтекании профилей давление по
обтекаемому профилю, равное давлению на внешней границе
пограничного слоя, переменно, и поэтому в уравнениях B2.8)
продольный градиент давления по профилю (производная др/дх)
отличен от нуля.
В точке минимума давления на профиле
Точка отрыва др/дх = 0, при уменьшении давления от
пограничного слоя передней критической точки до точки
минимума давления др/дх < 0, за точкой минимума давления
др/дх > 0.

264
Гл. VIII. Гидромеханика
На поверхности обтекаемого профиля на основании условий
прилипания и = v = 0 из уравнения B2.8) при установившемся
движении получается
i \ др
B4.1)
кроме этого, для напряжения поверхностной силы вязкого тре-
ния на поверхности обтекаемого профиля имеем
ду /у=о '
B4.2)
Важной характеристикой пограничного слоя является кри-
вая распределения продольных скоростей. На рис. 91 показаны
различные виды кривых распределения продольных скоростей
Рис. 91. В точно В имеем т = 0, в этой точке воз-
никает отрыв пог-раничного слоя. Точка D на
кривой профиля скоростей является точкой пе-
региба.
в пограничном слое при др/дх ф 0. В точке В касательная к
кривой и (у) вертикальна, поэтому в ней ди/ду = 0 и, сле-
довательно, х = 0. Слева от точки В имеем х ^> 0, справа
т<С 0. В точке В возникает отрыв пограничного слоя от по-
верхности профиля. За точкой В в пограничном слое получается
возвратное движение жидкости.
На кривой и (у) для сечения, проходящего через точку В,
обязательно имеется точка перегиба D, поэтому в точке В имеем
д2и/ду^ ^> 0 и по B4.1) др/дх ^> 0. Следовательно, точка отрыва
В должна лежать за точкой минимума давления, в которой
t ^> 0 и д2и/ду2 = 0. Если давление вдоль профиля монотонно
надает, то отрыв пограничного слоя не возникает. Отрыв по-
граничного слоя сопровождается резким увеличением толщины
пограничного слоя и может привести к существенной пере-
стройке основного внешнего течения жидкости, которое в этом
случае становится существенно зависящим от свойств вязкости
ЖИДКОСТИ.

§ 24. Некоторые эффекты движения вязкой жидкости 265
О переходе ламинарного Движение жидкости и газа в погранич-
""т^фбулентный1051 ном слое на повеРхности обтекаемых тел,
в как и движение жидкости в трубе, мо-
жет быть ламинарным и турбулентным.
При больших значениях числа Рейнольдса в передней части
обтекаемой поверхности тела развивается ламинарный погра-
ничный слой, который на некотором расстоянии от передне-
го края тела переходит в турбулентный пограничный слой.
Так же как и при движении жидкости в трубах, имеются харак-
терные признаки — характерные значения числа Рейнольдса,
при которых в пограничном слое ламинарное движение сме-
няется турбулентным. Явление перехода ламинарного погра-
ничного слоя в турбулентный имеет много общего с явлением
перехода ламинарных движений в трубах в турбулентные.
Область перехода или точка перехода характеризуется воз-
никновением в пограничном слое интенсивных пульсаций ско-
рости, давления, плотности (в сжимаемых средах) и т. п. Рас-
пределения скоростей по сечению в ламинарном и в турбулент-
ном пограничных слоях, вообще говоря, резко отличаются друг
от друга. Так же как и при турбулентных движениях в тру-
бах, в турбулентном пограничном слое происходит интенсив-
ное перемешивание макроскопических частиц жидкости в попе-
речном направлении, за счет этого в турбулентном пограничном
слое происходит выравнивание средних скоростей. Вместе с
этим прилипание на обтекаемых стенках приводит к появлению
более резких градиентов скоростей вблизи стенок, что вызывает
резкое увеличение поверхностных сил трения и соответственно
сопротивления трения.
При обтекании гладких поверхностей в турбулентном по-
граничном слое на обтекаемой поверхности возникает очень
тонкий ламинарный подслой, в котором скорости жидкости вооб-
ще невелики, пульсации скорости практически отсутствуют, но
имеются очень большие поперечные градиенты скорости, вызыва-
ющие большие значения напряжений силы трения х = \i (ди/ду).
Теоретическое исследование и расчет турбулентного погра-
ничного слоя, так же как и расчет турбулентных движений жид-
костей в трубах, основаны на эмпирических данных о законах
распределения средних скоростей и других характеристик и на
специальных интегральных соотношениях, устанавливаемых
с помощью различных законов сохранения.
При движении в жидкостях и газах хо-
0 роли сопротивления рошо обтекаемых тел таких, как самоле-
ты, корабли, подводные лодки и т. п.,
сопротивление, обусловленное вязким трением, составляет от
50 до 90% общего сопротивления. Поэтому теория и методы
расчета пограничных слоев, так же как и способы влияния на

266 Гл. VIII. Гидромеханика
свойства течений в пограничных слоях, имеют очень большое
практическое значение.
Сопротивление трения при турбулентном пограничном слое,
как уже указывалось в § 21, сильно зависит от шероховатости
обтекаемой поверхности, причем это сопротивление заметно
уменьшается с уменьшением шероховатости (при устранении
разного рода неровностей на обтекаемой поверхности: высту-
пающих заклепок, сварочных швов, волнистости поверхности и
т. п., т. е. в результате применения зеркально гладких обте-
каемых поверхностей).
Особенно большой выигрыш достигается при затягивании
ламинарного пограничного слоя, т. е. при устранении причин
возмущений, переводящих ламинарный пограничный слой в
турбулентный. С помощью осуществления различных специаль-
ных мер можно передвинуть точку перехода ламинарного погра-
ничного слоя в турбулентный ниже по потоку вдоль профиля и
таким путем существенно (иногда более чем в два раза) снизить
сопротивление трения.
Затягивание существования ламинарного слоя («ламинари-
зация») пограничного слоя достигается различными способами.
Вот примеры некоторых из них. Во-первых, применение спе-
циальных безотрывных форм обтекаемых поверхностей, обес-
печивающих плавное распределение давлений. Заметим, что
появление отрыва течения связано, вообще говоря, с немедлен-
ной турбулизацией пограничного слоя. Во-вторых, применение
зеркально гладких обтекаемых поверхностей; наличие замет-
ной шероховатости или различных выступов на обтекаемой по-
верхности вызывает преждевременную турбулизацию погра-
ничного слоя. В-третьих, неравномерности и различные воз-
мущения и, в частности, возмущения, вызванные различными
вибрациями в набегающем потоке, сильно способствуют прежде-
временной потере устойчивости в ламинарном слое и его перехо-
ду в турбулентный пограничный слой; затягивания ламинар-
ного слоя в некоторых случаях можно достигнуть с помощью
отсоса заторможенных масс жидкости из пограничного слоя.
Выше был рассмотрен вопрос об отрыве ламинарного погра-
ничного слоя. Возможен также отрыв турбулентного погра-
ничного слоя; это явление, как и в случае ламинарного слоя, как
правило, связано также с движением жидкости или газа против
возрастающего давления (возрастание давления по потоку
приводит к торможению потока).
Наличие пограничных слоев, ламинар-
0 пограничном слое в газе ных или турбулентных, является ха-
рактерной особенностью не только те-
чения несжимаемой жидкости, но и течения газа. В газовых
потоках поперек пограничного слоя происходят не только рез-

§ 2ti. Определение поля скоростей по вихрям п источникам 2A7
кие изменения скорости из-за прилипания на стенках, но и
резкие изменения температуры, плотности, а в некоторых слу-
чаях и химического состава среды.
При больших температурах торможения и больших стати-
ческих температурах в газовом потоке могут возникать различ-
ного рода физико-химические процессы, связанные с ионизацией,
химическими реакциями, оплавлением и испарением поверх-
ности обтекаемого тела, с диффузией и излучением. В этих слу-
чаях особенно важное значение имеют свойства теплообмена меж-
ду телом и обтекающим потоком газа или жидкости. Все эти
явления имеют большое значение в тонких пограничных слоях.
Проблемы теплообмена и нагревания тел, движущихся в газе с
большими скоростями, в значительной степени являются проб-
лемами теории пограничного слоя.
§ 25. Определение поля скоростей по ладанным
вихрям и источникам
Напомним определение понятий объемной плотности источ-
ников е (х1, х2, х3, t) и вихря о) (ж1, х2, х3, t) для поля скоростей
v = vl&i, определяемого с помощью своих компонент
vl (ж1, х2, х3, t), заданных в соответствующем базисе э,-, как
кусочно непрерывные дифференцируемые функции пространст-
венных координат хг и времени t в некоторой области 3) евкли-
дова пространства. Имеем
Vkyfc B5.1)
и
1 . 1
О) = -тг ГОЬ V = т=т
2 2 Ve
'те
д
дх1
Э2
д
дх"-
Э3
д
дх*
B5.2)
где g— \ gu |, gjj— компоненты метрического тензора. В де-
картовой системе координат g = 1 и э; = э'. В гл. II деталь-
но выяснен механический смысл инвариантных характеристик
ей©. Для несжимаемой жидкости в отсутствии источников
массы б=0, при © =Ф> 0 движение среды вихревое.
Если поле скоростей v известно, то с по-
06 определении е и ю мощью операций дифференцирования лег-
при данном векторном kq ^тять е и I Инвариантные ха-
рактеристики б и © можно ввести для
любого векторного поля, и вся последующая теория может от-
носиться к любому векторному полю, а не только к полю ско-
ростей.

268 Гл. VIII. Гидромеханика
Например, в случае стационарного электромагнитного по-
ля из уравнений Максвелла (см. гл. VI, т. 1) для вектора магнит-
ной напряженности Л имеем
rot H = ^j и div H = - 4л div 31, B5.3)
где j — вектор электрического тока, а скаляр— 4я div Ж
определяется вектором намагниченности М; если намагничен-
ность отсутствует или имеет место связь М = k1FT (кг = const),
то
div if =0. B5.4)
Для вектора электрической напряженности Е стационарного
электрического поля из уравнений Максвелла имеем
rot .?7 = 0 и div ? = 4л (ре — divP), <25.5)
где JP — вектор электрической поляризации, а ре — плот-
ность распределения зарядов. Если поляризация отсутствует
или если Р = к2Е (/с2 = const), то
A + 4л/с3) div Е = 4лрг. B5.6)
Задача определения Ниже рассмотрим обратную задачу
векторного поля og определении векторного поля по за-
по заданным 8 и <в t м у
данной дивергенции и ротации искомого
вектора. Многие теории в механике и физике вообще непо-
средственно связаны с предварительным заданием плотности
источников и распределения вихрей при постановке задачи
или эти характеристики поля определяются после разреше-
ния вспомогательных уравнений. В связи с этим возникает
важная проблема определения соответствующего векторного
поля через величины ей».
Дальше ради терминологических удобств будем говорить
о поле скоростей v, об объемных источниках е и о поле вихрей
to для движения сплошной среды. Развиваемая ниже теория
имеет кинематический характер и не связана непосредственно
со свойствами среды. Динамические и физические свойства
среды могут существенным образом проявиться при задании
функций е (х, у, z, t) и о (х, у, z, t) в зависимости от координат и,
особенно, от времени t. Все полученные ниже формулы и выво-
ды прилагаются в теориях различных векторных полей.
Прежде всего рассмотрим задачу об определении непрерыв-
ного поля скоростей v в безграничном пространстве, когда во
всем пространстве задано скалярное поле г и векторное поле
to. Время t в последующих выводах входит только как внеш-
ний параметр. По условию примем, что
е->0 и ш~>0 при i?x = Ух?, + у2 + z2 -> оо, B5.7)

§ 25. Определение поля скоростей по вихрям и источникам 269
т. е. е и (о исчезают при удалении в бесконечность (х, у, z —•
декартовы координаты точек пространства). Будем для вектора
v искать решение, исчезающее в бесконечности, т. е. удовлетво-
ряющее условию
•У-+0 при #!-> оо. B5.8)
Единственность решения Нетрудно доказать, что поставленная за-
оставленной задачи дача может иметь только единственное
решение. В самом деле, предположим, что
имеются два решения vx (х, у, z) и v2 (х, у, г). Покажем, что век-
тор v = v-l—v2 тождественно равен нулю, если v —> О при
R1 —> оо. Для векторного поля v имеем
divt! = 0 и rot-у =0. . B5.9)
Из второго равенства B5.9) следует, что вектор v потенциаль-
ный и, следовательно, существует потенциал ц> (х, у, z)
V— grad ф.
Из равенства div v = 0 следует
Дф = 0, причем (grad(p)oo = 0, B5.10)
т. е. функция ф (х, у, z) — регулярная гармоническая функ-
ция с градиентом, исчезающим в бесконечности. Рассмотрим
сферу радиуса Rx с центром в начале координат. Как показано
в § 12, максимальная скорость потенциального потока утах
должна достигаться на границе области, занятой потоком;
отсюда следует, что
для внутренности любой сферы достигается на ее поверхности, но
так как v —*¦ 0 при Иг —> оо, то отсюда следует, что всюду
т. е. имеет место тождеством = 0, что и доказывает единствен-
ность решения поставленной задачи.
На основания доказанной единственно-
Постановка задачи сти решения разделим основную задачу
об определении поля на две задачи. Первая задача — опреде-
^КсхочникГ^6" «ь потенциальное (безвихревое) век-
торное поле скоростей при гф 0ий = О;
вторая— определить поле скоростей вихревого движения не-
сжимаемой жидкости при 8 = 0ий^=0. Очевидно, что реше-

270 Гл. VIII. Гидромеханика
ние полной задачи можно представить в виде суммы решений
первой и второй задач.
Рассмотрим первую задачу. Имеем
v = grad Ф и АФ = е. B5.11)
Построение решения сводится к отысканию потенциала
Ф(х, у, z), удовлетворяющего уравнению Пуассона с заданной
правой частью, равной е (х, у, г).
Для получения решения необходимо принять некоторые
предположения о свойствах функции е (|, г\, ?,). Здесь и далее
через |, г), убудем обозначать координаты точек, в которых за-
дано распределение источников е, а через х, у, ъ— координа-
ты точек, в которых ищется потенциал Ф. Мы примем, что
е(|,т],?)— кусочно гладкая функция, причем, начиная с некото-
рого достаточно большого значения В. = Y^>iJr42 + ?2 = ^-о,
выполняется неравенство
где /с^>ОиО<"Я,<^1 — подходящие постоянные. В частнос-
ти, неравенство B5.12) выполняется, когда е отлично от нуля
только внутри некоторой конечной области пространства.
Так как s имеет смысл объемной плот-
0 сходимости интеграла, ности расхода источников, то естествен-
представляющего решение но искать потенциал Ф (х, у, z) в виде сум-
мы потенциалов источников, располо-
женных в точках I, ц, ?. Положим
E)rfgMC „-.ov
Покажем прежде всего, что в силу условия B5.12) интеграл
в B5.13), взятый по всему пространству, сходится и определя-
ет собой функцию Ф (х, у, z), стремящуюся к нулю при
Ri= Yx"" + У2 ~i- z" *-*• °°- Часть интеграла B5.13), в которой ин-
тегрирование производится по внутренности сферы некоторого
радиуса Ro с центром в начале координат,
определяет функцию х, у, z, исчезающую в бесконечности
как l[Rx.

§ 25. Определение поля скоростей по вихрям и источникам 271
В случае, когда е Ц=- 0 в бесконечной области, из неравен-
ства B5.12) следует, что
zdx
к
<гя sin e
х), B5.14)
так как в сферических координатах dx = R2dR sin 9 dQdtp, a
смысл величин Rx = Y<x% + J/2 + z2 иу ясен из рис. 92. Из B5.14)
Рис. 92. Схема для расчета величины
г= Я* - ?J + (У - ПГ + U - Й~2.
и из условия 0 < X < 1 очевидно, что объемный интеграл /
цри Rt ф 0 сходится.
Функцию / (/?,) с точностью до постоян-
^оТн^алГГскоросхи ной легко определить. Действительно,
в бесконечности имеем
12л я
-ъ~
. /A)
~ Ri '
os "г
B5.15)
Таким образом, при наличии неравенства B5.12) функция
f (Rx), а следовательно, и потенциал Ф (х, у, г), определенный
формулой B5.13), при i?! —> оо стремится к нулю как l/i?i.
Эти выводы сохраняют свою силу, если плотность е в неко-
торых точках или на некоторых отдельных] линиях и поверх-
ностях имеет разрывы или принимает интегрируемые бесконеч-
ные аначения.

272 Гл. VIII. Гидромеханика
Для guad Ф можно написать
Если в конечной части пространства и в начале координат е
конечно или интегрируемо, причем выполняется неравенство
B5.12), то интеграл в B5.16) сходится и скорость v исчезает
в бесконечности как l/R\a. Если заданные значения е не удов-
летворяют условиям интегрируемости или ограничению *)
B5.12), то интеграл для Ф в B5.13) может терять смысл, и по-
этому нельзя искать решение задачи в виде B5.13). В этом случае
решение рассдттриваемой задачи вообще может отсутствовать.
Теперь необходимо еще убедиться в том,
Потенциал B5.13) что функция Ф, определенная формулой
ТВТВ°РЯеТ уравненшо B5.13), имеет вторые частные произ-
водные и удовлетворяет уравнению
Пуассона B5.11). Для того чтобы это доказать, для просто-
ты 2) предположим, что е (%, г\, ?) непрерывна и имеет конеч-
ные первые производные de/3?, ds/dr\,dE/dt,.
Пусть М — рассматриваемая точка с координатами х, у, г;
обозначим через Т внутренность сферы S малого радиуса с
центром в точке М, а через 3)' область течения жидкости вне Т.
Функцию Ф, определенную по формуле B5.13), представим в
виде суммы
ф = ф' -[. ф",
где
Очевидно, что в точке М, внешней к области 3)', функция
Ф" (х, у, z) аналитична. В точке М при
так как точки ?, х\, ? принадлежат 3)', имеем А1/г == 0, поэтому
ДФ" = 0
х) В ньютонианской механике определение потенциала гравитацион-
ных сил по плотности распределения масс сводится к этой задаче
(стр. 272, т. 1). Если принять, что Вселенная бесконечна, а средняя
длотность масс постоянна, то B5.12) не будет выполняться.
2) При более тонком анализе это предположение можно ослабить.

§ 25. Определение поля скоростей по вихрям и источникам 273
и, следовательно,
ДФ = ДФ'.
Рассмотрим теперь частные производные от Ф' (х, у, z) в
точке М (х, у, z). Имеем
дФ'
~~даГ
д ( 1
Здесь принято во внимание, что
_д_ ?
дх г
В этой формуле первый интеграл в
области Т — Т' между двумя сферами
2 и 2' (рис. 93) можно преобразовать
по формуле Гаусса — Остроградского.
Получим
1 С"
— \
е.\
т__т,
-7—\—cosfn, Е)оз—т—\—
4я J г \ . ь/ 4л: j r
Рис. 93. Область Т — Г
(заштрихована).
cos (п,ь)аа.
vis/
В силу предположений о функции е (х, у, z) при стягивании 2'
к точке М получим, что
1 • lfs cos(n, ?) j Л
hm -г— \ v ^' da = 0.
Поэтому для производной дФ'1дх верна формула
ЭФ' _ life cos (n, I)
)
4л
5
1 fl
4rt J г
l дв ,
г 8S
Теперь можно составлять вторую производную и дифференци-
ровать функцию 1/г под знаком интеграла. Таким путем полу-
чим формулу
я
^ д 1 ,
д2Ф' 1 С
Ох 4Я J
if fe"r |
т

274 Гл. VIII. Гидромеханика
Учитывая аналогичные формулы для д2ф'/ду* и д2Ф'/дг2, по-
лучим
^ggd^ldt. B5.17)
т
Покажем, теперь, что правая часть B5.17) точно равна
г(х, у, z). Для этого применим первую формулу Грина в области
Т — Т' к двум функциям
(см. § 12). Получим
еД \ — )dx -f \ grade •
где нормаль п — внешняя к Т— Т'. Учитывая, что Д A/г) = О,
перейдем к пределу при стягивании сферы 2' к точке М. Будем
иметь
1
С д~7
lim \ e -д—cfa = lim
S'_»Af J "n S'-vM -
S' 2'
так как 5/Зге = —д/дг на сфере 2' и flfo = г2с?й, где й — телес-
ный угол. Отсюда следует, что
\grade • grad^.-n,); — йт = 4яе(М).
д—
Поэтому равенство B5.17) окончательно дает
ДФ= ДФ* = е (х, у, z).
Таким образом, полное решение первой задачи об определе-
нии поля скоростей в безграничном пространстве по задан-
ному распределению источников е E, г\, ?) при указанных огра-
ничениях, наложенных на функцию е (|, т), ?), представляется
формулой C5.16).

§ 25. Определение поля скоростей по вихрям и источникам 2%
Постановка задачи Дадим теперь решение второй задачи —
об определении поля og определении поля скоростей v по за-
скоростеи несжимаемой г - с
жидкости по заданному данному распределению вихрей <о в без-
распределению вихрей граничной массе жидкости. Имеем
divt» = 0 и rot v = 2ю. B5.18)
Вектор вихря в силу своего определения является соленои-
да льным вектором, т. е.
divo) = 0, так как divrot v = 0. B5.19')
Так же как и в предыдущей задаче, примем для простоты,
что в области вихревого потока вектор со является кусочно глад-
кой функцией точек пространства. На поверхностях S разрыва
вектора о> в соответствии с B5.19') примем, что нормальные со-
ставляющие со„ на S непрерывны. Далее примем, что при уда-
лении в бесконечность вектор <в обращается в нуль, при-
чем, начиная с некоторого достаточно большого радиуса
R = У|а + Ч12 + С2» выполняется неравенство
где /с^>ОиО<Я-<1 — подходящие постоянные.
т» » Условие несжимаемости div v = 0 бу-
Векторныи потенциал
дет выполнено, если положить
v = rot A, B5.19)
где А. — векторный потенциал, зависящий произвольно от
координат точек пространства. Очевидно, что поле скоростей
не изменится, если вместо вектора А взять вектор А ъ отли-
чающийся от А на вектор-градиент скалярной функции, т. е.
положить
Аг= А -\- grad i|),
где г|з — произвольная скалярная функция.
Таким образом, векторный потенциал в B5.19) для данного
поля не определяется однозначно. В связи с этим для вектора А
выставим дополнительное условие
div A = 0. B5.20)
Выполнимость этого условия можно всегда обеспечить выбором
скалярной функции if (x, у, z).
Для получения уравнений, определяющих
Определение векторного векторный потенциал А, подставив B5.19)
потенциала в ^щ^ получим
rot rot A = 2fi>. B5.21)
L

276 Гл. VIII. Гидромеханика
Преобразуем уравнение B5.21). В проекции на ось х имеем
LldAv дА*\!! (дА* dAz
)
JLldAv _ дА*\ !!_ (дА* — dAz \ — 9
ду \ дх ~ду~) ~fc \~дТ~ ~ЫГ) ~ *•
Отсюда
дАу дАг\ /ЭЫХ дЫх *АХ\_9
Пользуясь этим, перепишем уравнение B5.21) в виде
grad div A — А А = 2о>. B5.22)
На основании условия B5.20) из B5.22) для вектора А
получим векторное уравнение Пуассона
АА = - 2со, B5.23)
равносильное трем скалярным уравнениям Пуассона.
Пользуясь решением первой задачи, для вектора Л получим
следующее решение уравнения B5.23):
^kAdr. B5.24)
Из предыдущих рассуждений следует, что при
= jAa;2 4- г/2 + г2 —> оо имеем
Проверим теперь, что вектор А, определенный форму-
лой B5.24), удовлетворяет условию соленоидальности B5.20).
Имеем
оо
так как div^,,,,!; <о (^, ч\, ?,) = 0. Возьмем шар То, ограничен-
ный сферой 20 с центром в начале координат и радиусом Ro.
Согласно определению интеграла по всему пространству Т^
можно написать
div — dx= lim [ div — dt = lim [^-da. B5.25)
T E
В равенстве B5.25) при преобразовании объемного интеграла
в поверхностный по формуле Гаусса — Остроградского необ-

§ Й5. Определение поля скоростей по вихрям и источникам 277
ходило выделить в виде границ обе стороны поверхностей внут-
ренних разрывов вектора fi>, однако поверхностные интегралы
по различным сторонам поверхностей внутренних разрывов
со сократятся в силу сформулированного выше условия о не-
прерывности а>„ на поверхностях разрыва.
При достаточно больших Ro имеем | со | < (/с/Да+Л), по-
этому
Отсюда следует, что div А = 0, поэтому будет удовлетворенно
не только уравнение B5.23), но и уравнение B5.22), представ-
ляющее собой иную запись основных уравнений B5.21) или
B5.18).
Все выведенные формулы применимы к частному случаю,
когда вихри заполняют конечную часть пространства 3)*,
ограниченную поверхностью 2*. Вне 2* имеем <о = 0, условие
непрерывности а>„ на 2* приводит к равенству со„ = 0 на 2*,
поэтому поверхность 2* должна быть вихревой поверхностью.
На основании B5.24) и B5.19) можно написать
i С at 1 С 1
v (x, у, z) — rot -g— \ — dx = ^- \ grad — X(o dt =
где г — радиус-вектор, проведенный от переменной точки ин-
тегрирования с координатами |, ц, ?, к рассматриваемой точке
с координатами х, у, z.
„ . Полное решение задачи об определении
Решение общей задачи веКторного поля в безграничном прост-
ранстве по распределению источников е и вихрей со предста-
вится формулами вида
v = grad Ф + rot A = grad^— ~ ^ -^-dtj + rot (^
411
°° B5.27)
или
B5.28)

2?8 Гл. VIII. Гидромеханика
О решении рассматриваемой Если область 3, в которой заданы е и
задачи^в ограниченной о) и в которой требуется найти поле ско-
о ласти ростей v, имеет некоторую границу 2,
то на 2 необходимо дополнительно задать краевые условия.
Краевые условия на 2 могут быть разнообразными. Рассмот-
рим важный для гидродинамики частный случай, когда на Б
заданы нормальные составляющие vn вектора v. Для определен-
ности рассмотрим внешнюю задачу, когда область 3) содержит
бесконечно удаленную точку.
Решение такой задачи можно сконструировать, опираясь
на решение задачи об определении векторного поля по источ-
никам и вихрям в неограниченном пространстве, после продолже-
ния функций е и о), заданных в области 3), во все пространст-
во. Для удовлетворения граничных условий на 2 потребуется
найти в 25 добавочное безвихревое потенциальное поле скорос-
тей, для которого
е = 0, © = 0.
Продолжение е и <о, заданных в 3), в пространство вне 3)
можно осуществлять различными способами. Распределение е
вне 3) с учетом выполнения различных допущений, связанных
с построением поля скоростей по источникам, можно задать с
большим произволом и, в частности, принять, что е=0 вне
3). Во многих частных случаях при продолжении плотности е
во все пространство полезно использовать различные сооб-
ражения, связанные с симметрией области 3) и соответствую-
щих граничных условий (метод зеркальных изображений
и т. п.).
При продолжении вектора fi> на все пространство через по-
верхность 2 эта поверхность в общем случае может оказаться
поверхностью разрыва вектора со. Для использования формулы
B5.28) необходимо обеспечить непрерывность соп на 2.
Непрерывные распределения вектора ы в области 25',
ограниченной 2 и дополнительной к области 31, можно строить
следующим способом. Положим в 3)"
со — grad %.
Для определения функции % (х, у, z) при этом получим сле-
дующую задачу Неймана в области 3)". Так как
то Дх = 0. B5.29)
На 2 из условия непрерывности ш„ получим
= соп, B5.30)
дп

§ 26. Важные примеры вихревых полей 27д
где а>„ на 2 известно, так как о> в области 25 задано. Если <л
в области 25 задано так, что а>„ = 0 на 2, то на основании
B5.30) и B5.29) получим % = const, и, следовательно, таким
образом распределение вектора ю в 25 можно продолжить в
область 25', положив и =0в 25*.
При решении некоторых частных задач при продолжении в
25" распределения вектора о>, заданного в 25, могут оказаться
очень полезными соображения симметрии.
Обозначим через vx (x, у, z) вектор скорости, полученный по
формуле B5.28) после продолжения е и fi> во все пространство,
и положим
v = v± -\- v*,
где v — искомый вектор скорости, соответствующий заданному
в 25 распределению еим. Для определения векторного поля v*
получим следующую задачу Неймана. В области 25 имеем
div v* = 0, rot v* = 0,
поэтому
v* = grad ф и Аф = 0. B5.31)
На поверхности 2 — границе области 25 — имеем
Vr, =^ -^ == Vr, Vt,! ¦ I LtO ,О& I
" on
причем vn — vln — известная функция, так как по условию
vn на 2 задана. В бесконечности условия исчезания v и vx дают
(grad9)TO = 0. B5.33)
Таким образом, в общем случае описанным путем после про-
должения е и со в область вне 25 и после использования решения
B5.28) для окончательного решения краевой задачи в области,
имеющей границы, потребуется еще решить краевую задачу
для определения гармонической функции ф (х, у, г).
§ 26. Важные примеры вихревых полей
Рассмотрим некоторые приложения общей теории, развитой
в предыдущем параграфе.
Предположим, что в неограниченном объе-
акон ио — авара ме несжимаем0^ жидкости задана изоли-
рованная замкнутая бесконечно тонкая вихревая трубка
(рис. 94), которую в пределе можно рассматривать как замкну-
тую вихревую нить С. Такую нить можно также рассматривать
как стационарный замкнутый линейный ток inj/c, индуцирую-
щий соответствующее магнитное поле Н.

280 Гл. VIII. Гидромеханика
Для определения индуцированного магнитного поля Н
или соответственно индуцированного вихревой нитью поля
вектора скорости v на основании формулы B5.26) можно на-
писать
v = -h.\<^wLd^ Bбл)
где интеграл распространен на объем вихревой трубки. Вдоль
тонкой вихревой трубки имеем
1
где ds — элемент линии С, da — бесконечно малая площадь нор-
мального сечения вихревой трубки, а Г — циркуляция скорос-
ти по любому контуру X, охватывающему один раз вихревую
M(x,tj,z)
Рис- 94. Замкнутая тонкая вихревая трубка
в безграничном объеме жидкости.
трубку (см. рис. 94). Постоянное вдоль трубки значение
циркуляции Г является основной кинематической характе-
ристикой вихревой трубки. Переходя в B6.1) к пределу при
da —*- 0 и о) —> оо при условии конечной циркуляции
Г = 2и da, получим
Г Г dsxr Bб2)
Эта формула определяет распределение скоростей от вихревой
линии или распределение магнитной напряженности от соот-
ветствующего линейного тока.
Формулу B6.2) можно написать в виде
V (х, у, z) — \dv, где dv(x, у, z) — -т g—• B6.3)
Ь л
Элементарный вектор dv можно трактовать как бесконечно малую
скорость, индуцируемую элементом ds вихревой линии в рас-
рматриваемой точке (см. рис. 94).

§ 26. Важные примеры вихревых полей 281
Векторное равенство B6.2) или иная его запись в форме
B6.3) составляет закон Био— Савара. Элементарная скорость
dv, индуцируемая элементом вихревой линии ds, перпендику-
лярна к площадке, определяемой векторами ds и г, и равна
по величине
, , , Г Irfffsinotl zoo /\
где а — угол между ds шг (см. рис. 94).
Очевидно, что поле скоростей от изоли-
Потенциал скоростей, рованной вихревой нити во всем прост-
индуцируемых вихревой * * „ -. г
нитью ранстве вне точек этой нити безвихревое
и, следовательно, потенциальное. [Вы-
числим потенциал скоростей, индуцируемых изолированной
замкнутой вихревой нитью. Так как
то
~ = grad^, „.^(l//-),
и поэтому по формуле B6.2) имеем
B6.5)
контурному интегралу B6.5) фо]
Qdi\ + Rdt, =
Применим теперь к контурному интегралу B6.5) формулу
Стокса
i
где 2— поверхность, натянутая на контур С, а, р, у— нап-
равляющие косинусы положительной нормали к 2, направле-
ние которой определяется направлением интегрирования по
контуру С, связанному с направлением вектора вихря <о. По-
ложим Р = О, Q =-§г \—~) , R == — 0Г (—) ' Учитывая> чт0
A/v—= 0, получим
г г а а / 1
— -г~ \ ~5 "ЗТ"
4 ) d dZ \
~5 ЗТ
dnN dZ, \r

282 Гл. VIII. Гидромеханика
Так как
~Щ \~r~J = ~~ ~дх \Т) '
то можно написать
Г д С д I 1 \ ,
или окончательно
t,=gradq>, где q> = _-^LjjjL-L*. Bб.6)
Теорема Ампера Следовательно, потенциал поля скоростей,
индуцированных замкнутой вихревой
нитью в безграничной массе жидкости, можно рассматривать
как потенциал двойного слоя — потенциал распределения
диполей постоянной интенсивности по поверхности 2, натяну-
той на контур вихревой нити.
Это предложение в применении к магнитному полю показы-
вает, что магнитное поле, индуцированное замкнутым током,
можно рассматривать как магнитное поле от системы элемен-
тарных магнитов постоянной плотности, распределенных по
поверхности 2, натянутой на контур тока, т. е. магнитное поле
от магнитного листка.
Поверхностный интеграл в формуле B6.5) определяется
положением точки М и поверхности 2; этот интеграл является
геометрической характеристикой, он зависит только от коорди-
нат точки М и контура С, так как поверхность 2 может быть
любой поверхностью, натянутой на контур С.
_ Выясним детально геометрический смысл
Геометрическая интерпре- " ¦, /ос о\ п
тация потенциала магнит- потенциала <р в формуле B6.6). Возьмем
ного листка элемент do поверхности 2 (рис. 95). Имеем
д 1 , 1 дг , cost «is dsi Jr^ ,Ol3 «ч
— 5 ^з = -2-д—cte= j— = -f — dQ, Bb.7)
anN r r2 dnN r2 r2 i \ /
где dax — проекция da на плоскость, перпендикулярную к
радиусу-вектору т, a dQ — телесный угол, под которым элемент
da виден из точки М. Величина dQ. > 0, если у < 90° (у —
угол между п и И), и dQ <0, когда у ^> 90°. На осно-
вании B6.7) получим

§ 26. Важные примеры вихревых полей
283
где' Q — полный телесный угол, под которым видна ориенти-
рованная поверхность 2 из рассматриваемой точки М (рис. 96).
Рис. 95. Геометрический смысл
элемента подынтегрального
выражения в формуле B6.6)
величины —д/дп A/r) da).
Рис. 96. Для точки М1 имеем Q1 ^> О,
для точки М3 имеем Й С 0
Для точки Мг имеем у <С 90°, поэтому Qx ^> 0, для точки
Мг т> 90°, и поэтому Q2< 0.
Согласно формуле Био — Савара поле скоростей непре-
рывно во всем пространстве, за исключением контура вихревой
нити С. Из формулы B6.6) следует, что в бесконечности по-
тенциал ф (х, у, z) исчезает как 1/i?2, где R — ]Лг2 + У% + Z'2,
а величина скорости исчезает в бесконечности как 1/i?3.
Потенциал ф, определенный формулой
На магнитном листке _ B6.6), является регулярной гармониче-
потенциал ц> и телесный ской функцией во всем пространстве, за
угол Q терпят разрыв WJ v
исключением поверхности 2i, ограничен-
ной контуром С. Циркуляция скорости v по контурам X,
охватывающим вихревую линию, одинакова и равна Г. Из
формулы
\ v ¦ dr = \
= ср, — q>! = Г,
где ф2 и фх — значения потенциала на разных сторонах поверх-
ности Б, следует, что поверхность 2 является поверхностью
разрыва потенциала ф (см. рис. 96). Таким образом, поверх-
ность 2 является поверхностью разрыва для потенциала ф
и для угла й, причем скачок этих величин на поверхности
2 постоянен. Имеем
ф2 — фх = Г = const и ДО = [Щ— 4я
B6.8)
в случае изолированной вихревой нити.

284
Гл. VIII. Гидромеханика
Скачок ф постоянен вдоль 2, и поэтому поле скоростей вдоль
2 непрерывно. В рассматриваемом примере в качестве поверх-
ности 2 можно взять любую поверхность, натянутую на кон-
тур нити С. При конечном
Г только контур нити С
является особой линией
поля скоростей, при приб-
лижении к точкам конту-
ра С интеграл B6.2) рас-
ходится, вектор скорости
v стремится при этом к
бесконечности. В прост-
ранстве, разрезанном по
поверхности 2, потенциал
ф — однозначная регуляр-
ная гармоническая функ-
ция. В двусвязном прост-
ранстве вне особого конту-
ра С потенциал ф являет-
ся неоднозначной перио-
регулярной гармонической функцией. При об-
контурам вида 5? потенциал получает прираще-
Рис. 97. Вихри, непрерывно распреде-
ленные по поверхности 2*, индуциру-
ют поле скоростей с разрывом касатель-
ной скорости вдоль 2 *.
дическои
ходе по
ние, равное циркуляции Г.
Из общей формулы B6.1) ясно, что поле
скоростей, индуцируемое системой ко-
нечного или бесконечного числа вихре-
вых нитей, и соответствующий потенциал можно определить
с помощью сумм вида
Потенциал системы
вихревых нитей
2я
dsxr
г3
при условии, что эти суммы сходятся.
Рассмотрим теперь конечную поверхность 2*, ограниченную
контуром С, на которой непрерывно распределено семейство
замкнутых вихревых нитей с непрерывно изменяющейся от нити
к нити интенсивностью (рис. 97). Обозначим через dTk интен-
сивность элементарной вихревой трубки Ch. Потенциал ско-
ростей от такого семейства вихревых нитей представится ин-
тегралом
-з da.
an г
B6.9)

§ 26. Важные примеры вихревых полей 285
В этом случае потенциал <р на каждой из сторон поверхнос-
ти S* конечен и непрерывен, но терпит разрыв при пересече-
нии 2* по нормали. В точках любой промежуточной вихревой
линии Ск будем иметь
Tk. B6.10)
Вихревая поверхность — Так как вдоль Cfc циркуляция Гк = const,
поверхность разрыва то При дифференцировании B6.10) вдоль
касательных скоростей г * w v "< у \ / «
С & получим
ds as -s ls '
т. е. касательные составляющие поля скоростей на вихревой
линии Cfe непрерывны. В направлении нормали пг к Сц, распо-
ложенной в плоскости, касательной к поверхности 2* (см. рис.
97), имеем
^^^ <26Л1)
т. е. касательная к 2* в направлении пх составляющая скорос-
ти терпит на Б* разрыв, который формулой B6.11) связан с
распределением циркуляции, взятой по замкнутым контурам
типа Жл (см. рис. 97), пересекающим поверхность 2*. В общем
случае, если дТ/дщ непрерывна на 2*, нормальные составляю-
щие скорости к 2* во внутренних точках 2* также непрерыв-
ны. Следовательно, вихревая поверхность 2* является в этом
случае поверхностью разрыва только касательных составляю-
щих скорости жидкости. В общем случае при подходе к точкам
контура С, ограничивающего 2*, скорость жидкости может
обратиться в бесконечность.
Если Г (N) задана как функция точек N на 2*, то линии
Г (N) = const на 2* соответствуют вихревым нитям. Вектор
разрыва касательной скорости на 2* определится формулой
grada» ф2 — grada.фх = v*2 — v'sl = grada-Г (N). B6.12)
Здесь через grads* Ф обозначен вектор, в который проектиру-
ется вектор grad ф на плоскость, касательную к 2*. Вектор раз-
рыва касательной скорости на 2* направлен по нормали к
вихревым линиям на 2*.
Из формулы B6.12) следует, что, если движение жидкости
везде вне 2* потенциально, то вектор разрыва касательной ско-
рости на поверхности 2* должен обладать потенциалом Г {N}

286 Гл. VIII. Гидромеханика
Шлепок по свободной Рассмотрим удар — шлепок по некото-
поверхности воды рОй ПЛОСкой площадке 2* на свободной
горизонтальной плоскости ху, ограни-
чивающей нижнее полупространство z <C 0, занятое покоящейся
несжимаемой жидкостью (рис. 98).
Для определения потенциала скоростей возмущенного дви-
жения в момент времени, следующий непосредственно после
удара, в нижнем полупространстве имеем задачу Дирихле.
Рис. 98.|По площадке 2* в момент t= 0 дей-
ствуют импульсивные давления (шлепок).
На плоскости ху вне 2 * импульс давления равен нулю и
поэтому
р( = _Рф = 0. B6.13)
На площадке 2* импульс давления известен, поэтому
A = -p<Pi(A0, B6.14)
где фх (N) — известная функция на 2*. Учитывая условие
отсутствия возмущений в бесконечности и продолжив аналити-
чески гармоническую функцию ф в верхнее полупространство с
помощью соотношения (см. § 12)
Ф (х, у, z) = — ф (х, у, —z), B6.15)
получим движение бесконечной массы жидкости с поверхностью
разрыва потенциала скоростей вдоль площадки 2*. Обозначая
через ф2 значение потенциала ф при подходе к 2* сверху, имеем
Ф2 = —cpi или по B6.10) и B6.15)
Ф2 — Фг = —2ф! = Г =f= 0.
Площадку 2* можно рассматривать как поверхность разры-
ва касательных компонент скорости дср/дх и ду/ду, нормальные
составляющие скорости dy/dz согласно B6.15) при z = 0 оди-
наковы.
Таким образом, потенциальное движение несжимаемой жид-
кости в нижнем полупространстве или продолженное движение
во всем пространстве можно рассматривать как индуцированное

§ 26. Важные Примеры вихревых полей 287
системой вихрей, распределенных по площадке 2*. Распределе-
ние этих вихрей связано с распределением импульса давле-
ний, который может быть задан непосредственно или опреде-
лен в результате решения задачи Неймана, если задача об уда-
ре (шлепке) на 2* ставится так, что на 2* известны нормальные
скорости dq/dz (см. § 12).
По заданным значениям потенциала ц>г на 2 * поле скоростей
возмущенного движения жидкости можно определить с помощью
формулы Био — Савара. Математическую задачу об отыска-
нии распределения циркуляции Г (N) — — 2<рх (N) можно фор-
мулировать, опираясь на формулу B6.9).
Рассмотренную выше задачу о шлепке
Глиссирование можно усложнить и рассмотреть не-
как последовательность J r r
шлепков прерывную последовательность шлепков,
перемещающихся с течением времени по
свободной границе жидкости. Таким путем можно строить реше-
ние задачи о взаимодействии воды с днищем глиссирующего
(скользящего с большой скоростью по поверхности воды)
катера.
При рассмотрении линеаризированной задачи о глиссиро-
вании, когда граничные условия формулируются на невозму-
Рис. 99. Схема вихревых линий при глиссировании по сво-
бодной поверхности воды или при движении крыла конечного
размаха в бесконечной массе жидкости.
щенном уровне горизонтальной плоскости и когда условие *)
Ф = 0 вне шлепков на плоскости ху сохраняется, движение
жидкости можно продолжить в верхнее полупространство. Пос-
ле этого получается движение во всем пространстве с поверх-
х) Если пренебречь весомостью и квадратом малой скорости абсолют-
ного движения жидкости у2, то условие о постоянстве атмосферного дав-
ления р0 на свободной поверхности на основании интеграла Коши —
Лагранжа
дает 9ф / dt = 0 или ф = const. В тех местах плоскости ху, через кото-
рые шлепки не проходили, имеем ф = 0.
1

288 Гл. VIII. Гидромеханика
ностью разрыва потенциала на плоскости ху. Эта поверхность
разрыва совпадает со следом передвигающихся по плоскости
ху шлепков и соответствует системе вихревых линий, общий вид
которых указан на рис. 99. Если движение продолжалось от
t = —оо, то след за поверхностью, глиссирующей с конечной
скоростью, простирается назад до бесконечности.
Аналогичная вихревая схема вводится
Вихревая система в теории также для схематизации действительного
крыла конечного, размаха движешш среды в случае движения в ней
крыла конечного размаха. Задачи определения возмущенного
движения жидкости в нижнем полупространстве при глисси-
ровании и возмущенного движения бесконечной массы жидкости,
вызванного движением соответственно выбранного крыла конеч-
ного размаха, в приближенной постановке одинаковы. При на-
личии у крыла подъемной силы, направленной вверх, главная
масса жидкости отбрасывается вниз. Направление движения
среды на рис. 99 показано стрелками.
Основная трудность решения задачи состоит в определении
вихревой системы на плоскости ху. Очевидно, что определение
этой вихревой системы сводится к установлению распределе-
ния циркуляции по контурам типа Хц, пересекающим поверх-
ность разрыва 2*.
Заштрихованная на рисунке область соответствует подвиж-
ной площади крыла или глиссирующего днища; на этой площа-
ди происходит силовое взаимодействие между крылом или дни-
щем и жидкостью, и вырабатываются разрывные значения щ и
ф2. В остальной части поверхности разрыва — в свободной
«вихревой пелене» — «удары» уже не происходят, и разрыв
Фх = — фг сохраняется постоянным. Таким образом, в рассма-
триваемой схеме мы имеем возмущенное движение идеальной не-
сжимаемой жидкости с поверхностью разрыва касательной скоро-
сти — вихревой пеленой, образующейся за движущимся крылом.
Согласно теореме Томсона в идеальной
Теорема Томсона и обра- несжимаемой первоначально покоившей-
зование вихревой пелены ся жидкости вихри не могут возникать,
но возникновение поверхности разрыва
касательной составляющей скорости, стекающей с задней
острой кромки поверхности крыла внутрь жидкости, впол-
не возможно и этот динамический эффект хорошо отвечает
действительности. Такую поверхность разрыва в жидкости мож-
но рассматривать как вихревую поверхность, и в этом смысле
без противоречия с теоремой Томсона можно говорить о появ-
лении вихревых движений в идеальной жидкости. Этот вопрос
был уже отчасти обсужден в § 7 гл. VI т. I.
Приводимое иногда объяснение появления вихревой пелены
за хорошо обтекаемым крылом за счет вязкости жидкости,

§ 26. Важные примеры вихревых полей 289
вообще говоря, неверно. В задаче о крыле влияние вязкости
проявляется в превращении вихревой поверхности разрыва
касательных скоростей в тонкий пограничный слой непрерыв-
ного изменения скорости. Этот слой тянется за крылом назад и
на далеких расстояниях от крыла сильно деформируется и раз-
мывается в общей массе жидкости. Однако эти эффекты не ока-
зывают существенного влияния на возмущенное движение жид-
кости вблизи крыла. Этим объясняется, что расчет движения
жидкости вблизи крыла в рамках теории идеальной жидкости
дает правильную картину распределения давлений. С помощью
найденного таким образом распределения давлений можно пра-
вильно вычислить подъемную силу крыла и правильно найти
долю индуктивного сопротивления, обусловленного распреде-
лением давления.
Подчеркнем, что в этой схеме в рамках теории идеальной
жидкости в установившемся движении в бесконечности сзади
крыла в плоскостях, параллельных плоскости yz, остается воз-
мущенное движение жидкости (нет выравнивания давлений и
скоростей), за счет нарастания энергии этого возмущенного дви-
жения получается индуктивное сопротивление в идеальной
жидкости. Полное сопротивление можно получить как сумму
индуктивного сопротивления и сопротивления трения, опре-
деленного с помощью теории пограничного слоя.
Таковы общие качественные основы схематизации общей
картины движения жидкости при постановке задачи о движении
крыла конечного размаха в несжимаемой идеальной жид-
кости. С помощью закона Био — Савара в линеаризированной
теории крыла и во многих других случаях задачу об опреде-
лении возмущенного движения жидкости можно сводить
к задаче об отыскании системы вихрей, индуцирующих
искомое поле скоростей.
Фактический расчет полного поля скорое-
Поле и потенциал скоростей теи по формуле Био — Савара B6.2) при-
прямолиыейной вихревой водит, вообще говоря, к громоздким фор-
нити мулам. Даже в том случае, когда вихре-
( вая нить С является просто окружностью,
" получающиеся в результате интегрирования формулы доволь-
но сложны. Все результаты сильно упрощаются в преде-
ле, когда радиус вихревой нити — окружности стремится к
бесконечности и окружность переходит в прямую линию.
Пусть вихревая нить совпадает с осью z системы декартовых
координат х, у, z (рис. 100). Рассчитаем поле скоростей с по-
мощью формулы
Т
10 Л. И. Седов, том 2

290
Гл. VIII. Гидромеханика
где U — единичный вектор, направленный вдоль оси z и совпа-
дающий с направлением вектора вихря в точках оси z.
Рассмотрим точку М (х, у)
в плоскости ху. Очевидно,
что вектор скорости М лежит
в плоскости ху и перпен-
дикулярен к радиусу-век-
тору р точки М в плоско-
сти ху.
~~п Для величины скорости
имеем
+СО
Г_ ? sinarfz
V — 4я" \ Р2 + 22 '
Рис. 100. К расчету поля скоростей,
индуцируемого прямолинейной вих-
ревой нитью, расположенной по оси z.
где а — угол между к и ра-
диусом-вектором г, направ-
ленным от оси z в точку М.
Этот интеграл легко вычислить. Имеем
— = -ctga,
dz — р
da
sin2 a
p* +
sin2 a
поэтому
v — -.— \ sin a da = =— .
4яр j 2лр
о
B6.16)
Отсюда следует, что в плоскости ху, а также в любой точке
вне оси z имеем
B6.17)
L_^_ — г х
х 2яо р ' " 2яр р '
Соответствующее поле скоростей плоскопараллельно, движение
жидкости симметрично относительно оси z и одинаково во всех
плоскостях, параллельных плоскости ху.
Из формул B6.17) следует, что
Г w Г
¦y = grac^, ф = — arctg-—(- const = у-6 + const, B6.18)
где 6 — полярный угол в плоскости ху. Потенциал скоростей
представляет собой неоднозначную гармоническую функцию.
В плоскости ху начало координат х = у = 0 является особой
точкой для потенциала ф B6.18) и для вектора скорости жид-
кости B6.17).
Обозначим через i|) (x, у) функцию тока — гармоническую
функцию, сопряженную с потенциалом ф. Уравнения Коши —

§ 26. Важные примеры вихревых полей 291
Римана
дг|) _ дф _ Гх Эг|) _ дф Г;;
и =
дают
,|5 = — X in p • ¦[- const. B6.19)
Соответствующая характеристическая функция течения имеет
вид
Г
w(z) = ф 4- гг|з = —:(lnp -f- i8) -|- const = p
Г Г
w(z) = ф 4- гг|з = g—:(lnp -f- i8) -|- const = p]nz + const.
B6.20)
Очевидно, что если прямолинейная вихревая нить полу-
чается как предел бесконечно тонкой вихревой трубки, для
которой вектор вихря ю направлен против оси z, то формула
B6.20) остается справедливой с учетом того, что циркуляция
Г в этом случае имеет отрицательное значение. Если прямоли-
нейная вихревая нить параллельна оси z, но не совпадает с
осью 2, то для характеристической функции w (z) в этом случае
имеет место формула
w— п—. In (z — z0) 4- const,
где z0 — x0 + iy0 — комплексная координата точки в плоскос-
ти ху, через которую проходит прямолинейная вихревая нить.
Для конечной или бесконечной системы
Поле и потенциал прямолинейных вихрей (вихревых шну-
прХ°олгаейнькеМЫ Ров)> параллельных оси z, проходящих в
вихревых линий плоскости ху через точки zok, будем иметь
^B-2o») + ^lnC»]t B6.21)
где Cr — постоянные, которые можно выбирать дополни-
тельно для обеспечивания сходимости бесконечной суммы
B6.21).
Поле скоростей можно вычислить, взяв производную
dw/dz = и —• iv, называемую функцией скорости. На основа-
нии B6.21) имеем
2?-=п- i»= V Г» B6.22)
Для определения скорости частицы в точке расположения
вихря s0, необходимо по определению воспользоваться суммой
10*

292 Гл. VIII. Гидромеханика
B6.22), в которой опущен один член, отвечающий точке zOs
Г. 1
2nl z - zps'
Поле и потенциал В частности, для периодической цепоч-
скоростей «дорожки» ки точечных вихрей с одинаковыми цир-
вихрей .,-. -J-,
куляциями 1 к = I, расположенных
в плоскости ху вдоль прямой с периодом / (I может быть ком-
плексным), имеем zoli = z0 + kl (— оо < к < + со). Ряд B6.22)
при объединении членов с z^ и 20(-к) легко суммируется и по-
лучается, что
g^ B6.23)
откуда
ю = Y~i In sin-у- (z — z0) + const. B6.24)
Формула B6.24) следует из B6.23) в результате простого
интегрирования, эту формулу можно вывести непосредственно
из B6.21) при подходящем определении Ск. При Ск = 1 ряд
для w в B6.21) расходится.
Пользуясь формулами вида B6.23), путем суммирования
можно строить поле скоростей от нескольких периодических
«дорожек» вихрей, расположенных вдоль одной и той же пря-
мой или вдоль различных прямых.
В предыдущих выводах рассматривалось поле скоростей,
индуцируемое заданной системой вихрей.
Если область, занятая движущейся жидкостью, имеет гра-
ницы, то при построении поля скоростей, индуцируемого вих-
рями, необходимо опереться на соображения, развитые в кон-
це предыдущего параграфа. Ло многих интересных случаях мож-
но удовлетворить граничным условиям на плоских участках
границы или на границе, составленной из частей окружности,
с помощью метода яеркальных изображений. Аналитическое
продолжение потоков сквозь границы может приводить к необ-
ходимости рассмотрения поля скоростей в многолистном рима-
повом пространстве,— это относится не только к плоским, но и к
пространственным задачам.
Рассмотрим плоскопараллельное движе-
Поле скоростей непре- ние, когда система точечных вихрей рас-
рывного распределения пределена непрерывно вдоль отрезка не-
прямолинейных вихрей которой кривой S в плоскости ху. Имеем
*? = J_С rfI>) _ J_ Г е ids dzo B6.25)
dz 2ili ) z — го (s) 2nl J z — го '
s s
где 0 — аргумент элемента dz0 кривой S.

§ 26. Важные примеры вихргпых полей 293
Для функции скорости dwldz получился интеграл тина Ко-
гаи. Согласно B6.25) функция dwldz регулярна во всей плос-
кости, разрезанной вдоль S. Криволинейный отрезок S (след
вихревой поверхности на плоскости ху) является линией разры-
ва касательных скоростей.
Если при плоскопараллельном движении вихри располо-
жены непрерывно по некоторой площади 2, то для функции
скорости и — iv можно написать
и — iv = тг-. \ -L-i— , Bо.2о)
2т ,) z — г0 ' v '
где у (M)da = dV — циркуляция элементарного прямоли-
нейного вихря, соответствующего бесконечно малой площадке
da. Согласно равенству dT = 2оо da получим, что у (М) = 2оо (М).
Если на площадке 2 величина ю постоянна, то для поля
скоростей получим формулу
2mjz
?_ т ff ^ ^_
21
Легко видеть, что интеграл в правой части B6.27) сходится
не только для точек z вне площади Б, но и для точек 2, лежащих
внутри 2, для которых при z — z0 подынтегральное выражение
обращается в бесконечность.
Если Б — площадь круга радиуса а с
Поле скоростей круглого центром в начале координат, то интег-
ретности°СТ°Я 3аВИХ" рал B6.27) легко вычислить. В полярных
координатах имеем
//, — iv ¦-=
Вдоль окружности Ж (рц) с постоянным радиусом р„ имеем
diH =¦- (dzo/izo), поэтому
} zo (z — го)
j
Если точка z = peia находится вне круга радиуса а, то
внутренний интеграл равен 2ni, поэтому во внешних к вихрю
точках имеем
и — iv — k-r = -о-- — = — о— ге-*8. Bо.29)
2itiz 2ni z 2яр v , • /

294
Гл. VIII. Гидромеханика
В области, внешней к цилиндрическому вихрю, поле скоростей
такое же, как от точечного вихря, расположенного в центре
цилиндрического вихря и имеющего ту же, что и цилиндриче-
ский вихрь, циркуляцию.
Для внутренних точек имеем, что при р0 < р внутренний
интеграл по ЗС (р0) по-прежнему равен 2ni, при р0 ^> р внутрен-
ний интеграл точно равен нулю, поэтому верхний предел а
во внешнем интеграле следует заменить на р. По формуле B6.28)
найдем
B6.30)
и — iv =
2niz
Следовательно, внутри цилиндрического вихря с плотно-
стью интенсивности у = 2а> распределение скоростей получа-
ется таким же, как при вращении жидкости как твердого
Рис. 101. Распределение скоростей от круглого вихря.
тела вокруг оси z с угловой скоростью оз. Направление х) скоро-
сти в обоих случаях определяется множителем —г'е~'°, указы-
вающим, что вектор скорости направлен перпендикулярно к
радиусу-вектору р, при Г>0 в сторону возрастания угла 6.
Для модуля скорости вне вихря имеем
i Г = 2сояа2, B6.31)
г; =
внутри вихря
B6.32)
Это распределение скоростей построено на рис. 101. На грани-
це вихря скорость непрерывна. Очевидно, что поле скоростей
на далеких расстояниях от точечного вихря можно трактовать
как поле скоростей от круглого вихря конечной интенсивности
малого радиуса, и наоборот.
х) Для определенности принимаем, что ш > 0.

§ 27. Динамическая теория цилиндрических вихрей 295
§ 27. Динамическая теория цилиндрических вихрен
В предыдущем параграфе были рассмотрены кинематиче-
ские вопросы связи поля скоростей и поля вихрей. Теперь
рассмотрим динамические свойства вихревых движений, свя-
занные с влиянием вихрей на поле давлений и с законами
движения и трансформации вихревого поля с течением вре-
мени в потоке жидкости.
Рассмотрим установившееся движение
Распределение давлений идеальной несжимаемой жидкости от
в случае круглого вихря круглого цилиндрического вихря, кине-
конечного радиуса матическое поле скоростей которого оп-
ределено в предыдущем параграфе. В
этом движении все частицы движутся по концентрическим ок-
ружностям с постоянной скоростью, зависящей от радиуса, и,
следовательно, имеют только центростремительное ускорение,
равное по величине v2lr. Уравнения Эйлера в проекции на нап-
равление радиуса дают
v2 dp
где р — плотность жидкости. Полагая давление в бесконечно-
сти равным р0, получим
г
[^dr. B7.1)
Отсюда следует, что давление уменьшается монотонно при дви
жении из бесконечности к центру вихря. (В B7.1) и следующих
формулах радиус-вектор в плоскости движения ху обозначаем
буквой г, а не р, как это было в предыдущем параграфе.)
В области, внешней к вихрю, т. е. при г ^> а, из B7.1) и
B6.31) при постоянной плотности р получим
Внутри вихря, т. е. при г < а, из B7.1), B6.31) и B6.32) по-
лучим
р = ро-ра*а*- + ^. B7.3)
Минимальное давление получается в центре вихря
Ро— рш2а2. B7.4)
На рис. 102 приведен график распределения давления по
радиусу. Соответствующие разрежения пропорциональны

296
Гл. VIII. Гидромеханика
квадрату со или квадрату суммарной циркуляции вихря Г = 2(ояа2
Случай, когда жидкость неоднородна и плотность зависит от
г, также легко описывается.
Для интенсивных вихрей характерно появление больших
разрежений вблизи центра вихря. Эффекты разрежения в цент-
ре вихрей часто наблюдаются при различных течениях жидкос-
ти. Появлением разрежений в вихревых движениях можно объ-
яснить, например, образование углублений воронкообразной
— —
Po
1
= = _.. : 1
M
/'
Po
/
7\
1
P'Pt,-
i
2гг
рш2гг
Рис. 102. Распределение давлений при движении жидкости
от круглого вихря конечного радиуса.
формы на свободной поверхности при вращательном движении
жидкости.
Характерным примером вихревых движений являются смер-
чи. Смерчи можно наблюдать на суше и на море. Под влиянием
разрежений в центре смерчей возникают течения, засасываю-
щие пыль, воду и другие различные предметы. Известны случаи,
когда проходящий смерч в узкой области срывал листья с деревь-
ев, засасывал воду вместе с мелкими рыбами и лягушками и даже
клады из древних монет, и затем все эти существа и предметы
падали обратно на землю в виде своеобразного дождя.
Вихри образуются за крылом, за водяными и воздушными
винтами. В этих и во многих других случаях также проявляют-
ся эффекты, связанные с сильным разрежением в области за-
вихренного потока.
В идеальной однородной несжимаемой жидкости при потен-
циальных массовых силах согласно теореме Томсона вихри не
могут распространяться по частицам. Вихри движутся вместе
с частицами, вихревые линии являются жидкими линиями.
Если в плоскопараллельном движении задана система то-
чечных вихрей, то для определения неустановившегося поля
скоростей достаточно знать движение каждого вихря. По тео-
реме Томсона циркуляция каждого вихря сохраняется постоян-
ной, Гк = const. В безграничной массе жидкости для онределе-

§ 27. Динамическая теория цилиндрических вихрей 297
ния закона движения вихрей, т. е. координат zok, будем иметь
следующую систему обыкновенных дифференциальных урав-
нений:
«Ч. *Уо, _**<>._ i , Г,
l 2 У*10
dt l dt ~ dt — 2ш 2j zos-zok • У*1'0'
где 2' означает суммирование по всем индексам, за исклю-
чением члена к = s.
„ „ Система уравнений B7.5) допускает за-
Интегралы уравнении Jr ч \т /от г\
движения системы мечательные интегралы. Умножая (^7.5)
точечных вихрей на Г8 и суммируя по s, получим
f
s к
так как в правой части все члены попарно сокращаются. Сле-
довательно,
2reiOs = const. B7.6)
Таким образом, если Vrg=jb0, то «центр тяжести» системы
s
точечных вихрей остается неподвижным.
Другой первый интеграл получим, если умножим B7.5)
на Г32Оз и просуммируем по s. Получим
s s fc
Отсюда следует, что
vr Zn,— ^ = _Lyy'r,r . B7.7)
s .4 t
Так как правая часть этого равенства чисто мнимая, то
s - /
Отсюда выводим, что
B7.8)

298 Гл. VIII. Гидромеханика
Кроме этого, из B7.7) следует, что
2 Г* У» -dT-x°s-dr) = -^ 2S' Г*Ге- B7.9)
Соотношение B7.8) можно рассматривать как уравнение пос-
тоянства «момента инерции» системы вихрей, а B7.9) — как
уравнение постоянства «момента количества» движения.
Уравнения B7.5) можно переписать в виде
¦'•Os
где
Если ввести функцию II с помощью равенства
?-% B7.10)
s К
то уравнения движения B7.10) системы вихрей можно записать в
форме
Непосредственной проверкой легко получить, что система
B7.11) допускает интеграл
Н = const, B7.12)
который можно истолковать как интеграл постоянства «энер-
гии» системы вихрей.
Рассмотрим простейшие примеры дви-
Примеры движения жения двух точечных вихрей.
вихрей Возьмем два вихря с циркуляциями
Тх ^> 0 и Г2 ^> 0. Легко видеть, что каждый из вихрей будет дви-
гаться по окружности с центром О, совпадающим с неподвиж-
ным «центром тяжести» этих вихрей (рис. 103).
Два вихря с противоположными по знаку, но равными по
модулю циркуляциями движутся поступательно вдоль прямой,
перпендикулярной к отрезку, соединяющему центры этих вих-
рей (рис. 104). Два вихря с противоположными по знаку и рав-
ными по величине циркуляциями, движущиеся поступательно,
можно остановить, если наложить на течение этих двух вихрей
поступательный поток со скоростью, противоположной ско-
рости движения вихрей.

г
§ 27. Динамическая теория цилиндрических вихрей
299
Задача об определении движения вихрей осложняется, если
область движения жидкости ограничена, например, твердыми
Рис. 103. Два вихря движутся по концентрическим
окружностям с центром в «центре тяжести» системы
вихрей.
Рис. 104. Вихри с противоположными по знаку и
равными по величине циркуляциями движутся
поступательно.
стенками или свободными поверхностями. В этом случае за счет
влияния границ справа в B7.5) появляются добавочные члены.
п Предыдущая теория движения вихрей
Присоединенные вихри r«^j—, г « - п
г развита для свободных вихрей. Скорость
движения свободных вихрей относительно жидкости равна
нулю.
При решении кинематических задач с помощью замены
крыльев или других обтекаемых жидкостью тел системами вих-
рей, обеспечивающих требуемые условия обтекания на поверх-
ности тел, мы приходим к рассмотрению несвободных вихревых
систем — вихрей, связанных с обтекаемым телом, названных
Н. Е. Жуковским присоединенными вихрями. В теории Н. Е.
Жуковского присоединенные вихри двигаются вместе с обте-
1

300 Гл. VIII. Гидромеханика
каемым телом заданным образом, их скорость не равна ско-
рости потока, мысленно построенного путем аналитического
продолжения внутрь тела возмущенного движения жидкости
вне тела.
Н. Е. Жуковский рассматривал установившиеся плоско-
параллельные обтекания цилиндрического крыла бесконечного
размаха поступательным набегающим потоком с постоянной
скоростью. При решении плоской задачи о потенциальном об-
текании несжимаемой жидкостью цилиндрического крыла мож-
но найти в двусвязной области потенциального потока решение
с циркуляцией, отличной от нуля по контуру, охватывающему
крыло. Соответствующий потенциал оказывается многознач-
ным. При непрерывном кинематическом продолжении
рассматриваемого обтекштия па всю плоскость в соответст-
вии с теоремой Стокса внутри крыла получается вихревое
точение.
Для установившегося потенциального обтекания цилин-
дрического крыла с циркуляцией, отличной от нуля, Н. Е. Жу-
ковский установил наличие подъемной силы, действующей
на профиль крыла (см. § 8). Для подъемной силы, дейст-
вующей на единицу ширины профиля в поперечном направ-
лении, Н. Е. Жуковский получил следующую формулу:
А = р^ооГ, B7.13)
где р — плотность жидкости, v^ — скорость набегающего
потока и Г — циркуляция по контуру, охватывающему про-
филь крыла. Сила А перпендикулярна к вектору v «, и получа-
ется поворотом вектора v &, на прямой угол против направления
циркуляции вокруг профиля крыла (см. § 8).
Эта формула позволила понять в рамках теории обтекания
крыльев идеальной жидкостью механическую природу подъем-
ной силы. Теорема Н. Е. Жуковского особенно существенна в
связи с тем, что при непрерывном установившемся обтекании
тел идеальной жидкостью с однозначным потенциалом скорости
имеет место парадокс Даламбера, согласно которому полная
сила, действующая со стороны жидкости на тело, равна ну-
лю. Открытие наличия подъемной силы, возникающей за счет
циркуляции, обусловливающей неоднозначность потенциала
скорости, имело большое принципиальное значение.
Теорему Н. Е. Жуковского B7.13) можно обобщить и
распространить на любые неустановившиеся движения то-
чечных присоединенных вихрей (прямолинейных вихрей
в плоскопараллельных потоках), движение которых задано.
С помощью уравнения количества движения, примененно-
го к бесконечно малому объему жидкости, вектор вихря ско-
1

§ 27. Динамическая теория цилиндрических вихргл 301
рости внутри которого отличен от нуля, выясняется, что, если
мы имеем дело не со свободным вихрем, т. е. если скорость U
этого объема не равна скорости частицы жидкости, принадле-
жащей вихревой линии, то на эту частицу должна действовать
концентрированная внешняя сила. Из уравнения количества
движения после перехода к пределу для концентрированной
силы, действующей на единицу длины вихревого шнура, полу-
чается следующая формула:
X + iY = - грдотнГ, B7.14)
где Г — циркуляция вокруг вихревого шнура, а комплексный
вектор
представляет собой вектор скорости вихревого шпура отно-
сительно жидкости, определяемый формулой
«огн = Я"-«. B7.15)
Если вихрь свободный, то д^тн = 0, и, следовательно,
X-^iY =-- 0; в этом случае нет внешней концентрированной силы,
действующей на завихренную жидкость. Если q0TB ф 0, то на
завихренную жидкость действует сила, определяемая форму-
лой B7.14).
Сила, действующая со стороны жидкости на внешние тела,
обусловливающие заданное движение вихревых шнуров,
равна *)
- (X + iY) = ipqmBV. B7.16)
Эта сила представляет собой обощение силы Н. Е. Жуков-
ского.
Множитель i в формулах B7.14) и B7.16) показывает, что
сила, вынуждающая двигаться вихрь по заданному закону, и ее
противодействие направлены перпендикулярно к вектору #отн-
(Аргументы комплексных векторов дотн и —(X + iY) отлича-
i— \
готся на л/2, так как i = е 2' )
В ряде случаев крылья можно заменять прямолинейными кон-
центрированными вихревыми шнурами, поэтому силы B7.14)
и B7.16) можно рассматривать как силы взаимодействия меж-
ду крылом, движущимся заданным образом, и жидкостью.
*) Подробности выводов о силах, связанных с присоединенными
вихрями, содержатся в работе Л. И. Седова «О силе, вынуждающей
вихрь двигаться предназначенным способом». См. ПММ, т. III, вып. 1,
1936, стр. 70—75.

302 Гц. VIII. Гидромеханика
§ 28. Движение системы непрерывно распределенных вихрей
в идеальной жидкости
Из динамического уравнения движения можно получить
уравнение для определения векторного поля вихрей ю = -=-rot v.
Рассмотрим уравнение движения идеальной среды (жидкости
или газа) в форме Громеки — Лемба:
•^--f rot r Xv = F - grad p —-|-grad гЛ B8.1)
Если внешние массовые силы имеют потенциал
F = grad % B8.2)
и процесс в среде баротропный, т. е. р = /(р), и, следовательно,
можно ввести функцию давления SP = \ так, что
— grad p = grad 0s, B8.3)
то на основании B8.2) и B8.3) уравнение B8.1) можно написать
в виде
~ + 2ю х v = grad (<U-&-2
Применив к этому векторному уравнению операцию ротации,
получим
~ + rot (ю X v) = 0. B8.4)
Заметим, что здесь дано повторение вывода уравнения G.4) (см.
гл. VI, т. 1), совпадающего с уравнением B8.4).
Уравнение Гельмгольца Преобразуем теперь уравнение B8.4) к
классическому уравнению 1ельмгольца.
Уравнение B8.4) в проекции на ось х имеет вид
9ш д д
да^ да да
или, так как -^ + -j1 +-^ = div ю = 0, вид
да да да да i gu dv . dw
ди ди ди
х дх у ду z dz

§ 28. Движение непрерывных вихрей в идеальной жидкости 303
Аналогично преобразуются проекции уравнения B8.4) на оси
у и z. Отсюда следует векторное уравнение:
-J- -Ь iodiw = (о-у) v, B8.5)
Л Й Р\
где у = -7г- г -f- -3- j -f- ¦%-- к. На основании уравнения нераз-
рывности
уравнению B8.5) можно придать вид
Уравнение B8.6) называется уравнением Гельмгольца. Это
уравнение можно положить в основу изучения распределения
вихрей в пространстве и во времени в движущейся идеальной
среде.
Из уравнения B8.6) легко вывести установленные раньше
с помощью теоремы Томсона, полученной из B8.4) (см.
т. 1, гл. VI, § 7) динамические свойства вихревых движе-
ний. Ввиду фундаментальной важности этих свойств выведем
их снова из уравнения B8.6).
Возьмем вихревую линию и рассмотрим
Вихревые линии - жидкие ее элемент ^ = е •_ где е - малая пос-
ЛИНИИ р
тоянная. Обозначим через А (х, у, z) и
В (х -f- dx, у -f- dy, z -f- dz) начало и конец элемента ds на вих-
ревой линии. Дифференциалы dx, dy и dz можно рассматривать
как проекции элемента ds на декартовы оси координат. Имеем
равенства
dx dy dz __ ds __ e
wx ~ ffl[y ~~ шг ~ со ~~ p
и
r, dv , dv , dv -, , 7 \
Из бесконечно малого четырехугольника J.5Z?'J.' (рис. 105)
следует, что жидкий элемент ds за время dt переходит в элемент
ds', причем
ds' = ds 4- vBdi — vAdt = e r+lvV "di ¦ B8.7)

304
Гл. VIII. Гидромеханика
С другой стороны, элемент вихревой линии ds перейдет в момент
t -f- dt в элемент ds" новой вихревой линии. Для ds" должна
быть верна формула
ds" = е — -f- d
(О
B8.8)
р ' ? У ¦
Формулы B8.7) и B8.8) имеют кинематическую природу и
верны не только для идеальной жидкости, когда верны уравне-
ния Гельмгольца B8.6), аи в об-
щем случае, например, для вязкой
жидкости и других сред.
В случае уравнения Гельмголь-
ца B8.6) из равенств B8.7) и B8.8)
вытекает, что
ds' = ds". B8.9)
Это соотношение показывает, что
вихревая линия движется так же,
как и жидкая линия, совпадающая
в данный момент времени t с вих-
ревой линией. Таким образом,
вихревые линии являются жидки-
ми линиями.
Ниже мы покажем, что в вязкой жидкости в правой части
уравнения B8.6) появляется дополнительный член, и поэтому
ds'=fc ds", и, следовательно, в вязкой жидкости вихревые линии
перемещаются относительно частиц жидкости.
Рассмотрим теперь в момент t бесконечно
тонкую вихревую трубку с площадью
сечения da. Эта вихревая трубка за время
dt переходит вместе с частицами жидкости
в вихревую трубку с сечением da'. Имеем равенства
Рис.105. Жидкий элемент вих-
ревой линии ds переходит за
время dt в элемент ds'.
Интенсивность
вихревых трубок
постоянна во времени
ds =
ds' =
(О
Р
со'
7-е
B8.10)
и закон сохранения массы
pdsda = p'ds'da'.
Из B8.10) и B8.11) получим
<в
03'
и ado = со'da\
B8.11)
B8.12)
р ds p'ds'
т. е. циркуляция вокруг движущейся вместе с жидкостью

§ 29. Диффузия вихрей в вязкой несжимаемой жидкости 305
вихревой трубки сохраняется постоянной во времени
Г = 2юД(т = const. B8.13)
Это утверждение выражает собой теорему Томсона, доказанную
раньше другим способом. Из доказанных предложений выте-
кают все следствия, установленные раньше, в ^ 7 гл. VI т. 1.
Подчеркнем, что все предыдущие выводы касались свобод-
ных вихрей.
Если справа в уравнении B8.1) имеются массовые силы, ро-
тация которых отлична от нуля (непрерывно распределенные
силы Н. Е. Жуковского), то и в идеальной среде возникает
движение вихрей относительно среды.
§ 29. Диффузия вихрей в вязкой несжимаемой жидкости
Рассмотрим теперь уравнение распространения вихрей в
вязкой несжимаемой жидкости.
В этом случае в правую часть уравнения
Уравнение диффузии B8.1) необходимо добавить член vAt;.
вихрей т т
Учитывая это и условие несжимаемости
div v = 0, из B8.5) для вязкой несжимаемой жидкости получим
§- = ((o.v)« + vAo), B9.1)
где v — по предположению постоянный кинематический коэф-
фициент вязкости.
Векторное уравнение B9.1) в проекции на ось z декартовой
системы координат имеет вид
tfw дш дш дш
ж = ш*^ + &»Ti + l°z "зг ¦+v Лго~-' B9-2)
аналогичные уравнения получаются в проекциях на оси х и у.
Для медленных движений с точностью до малых первого по-
рядка уравнение B9.2) можно написать в виде
5=vA<o2. B9.3)
Это уравнение B9.3) совпадает с уравнением диффузии или теп-
лопроводности в неподвижной среде (см. § 7, гл. V, т. 1).
Таким образом, проекции вектора вихря выравниваются в
общей массе жидкости по законам, аналогичным законам вы-
равнивания температуры в неравномерно нагретом теле. В
вязкой жидкости завихренность рассеивается по объему и по
частицам среды с общей тенденцией к равномерному распреде-
лению по всему объему.

306 Гл. VIII. Гидромеханика
Для плоскопараллельных движений вязкой жидкости при
w = 0 уравнение B9.2) приобретает вид
Диффузия прямолинейного Рассмотрим задачу о диффузии вихря,
вихря конечной интенсив- когда При * = 0 в жидкости имеется кон-
центрированный прямолинейный вихрь
с заданной конечной циркуляцией Г,
расположенный по оси z^ В последующие моменты времени при
t ^> 0 будет происходить диффузия вихря на всю плоскость.
Рассчитаем распределение вихрей для любых t ^> 0. Очевидно,
что искомое решение симметрично относительно оси z, поэтому
величина ог зависит только от полярного радиуса г в плоскос-
ти ху и от t, а скорость жидкости тоже зависит от г и t и направ-
лена по касательным к окружностям с центром в начале коор-
динат.
Так как db>z/dsv — 0, где sv — направление, взятое вдоль
линии тока, т. е.
daz v du>z ^
то благодаря указанным свойствам симметрии уравнение B9.4)
превращается в линейное уравнение теплопроводности, кото-
рое после перехода к полярным координатам записывается в
виде
Рассмотрим циркуляцию Г (г, t), взятую по окружности
радиуса г с центром в начале координат. По теореме Стокса
имеем
Г (г, t) =.-. 2 \ ^ со/ dr dQ = 4л $ га, (г, t) dr. B9.6)
0 0 0
В начальный момент времени при t = 0 для любого г, и в том
числе для сколь угодно малого г, имеем
Г (г, 0) = Г = const. B9.7)
Таково начальное условие задачи.
Из постановки задачи следует, что искомое решение имеет
вид
«г = «г {Г, t, V, Г).

§ 29. Диффузия вихрей в вязкой несжимаемой жидкости 307
Из линейности уравнения B9.5) и начального условия B9.7)
следует, что
(Dz = 17(r,v,0. B9.8)
Из постановки задачи, B9.8) и из П-теоремы следует, что без-
размерная комбинация
Г
может зависеть только от безразмерной переменной
т. е.
, = ~ У (?)• B9.9)
Подстановка формулы B9.9) в уравнение с частными производ-
ными B9.5) приводит к обыкновенному дифференциальному
уравнению:
после интегрирования которого получим
^¦ф _f- 4^ij/ = С.
Постоянная С равна нулю для искомого решения, в котором
¦ф @) и г]/ @) конечны.
Интегрируя уравнение
, d\b , п
~Ж ' ^ = >
найдем
Для <bz это дает
Постоянную А определим из начального условия B9.7). Имеем
г г*_ г>
Y{r,t) = in-A[re ш dr = 8яАТ (l — е 4v*). B9.40)
о
Отсюда на основании B9.7) при t — 0 для любого г ^> 0
имеем
Г = 8пАТ.

.'508 Гл. VIII. Гидромеханика
Следовательно,
А = 4- и со. = ^-е 4V(. B9.11)
Ья " S.tvi v
Эта формула дает искомое решение для а>,.
Определим теперь распределение скоростей v (r, t). Так как
Г (г, t) = 2nrv (r, t),
то на основании B9.10) найдем окончательную формулу:
?r B9.12)
При t = 0 получается закон распределения скоростей от пря-
молинейного концентрированного вихря, совпадающего с осью г.
В идеальной жидкости такое движение сохраняется для всех
t J> 0. В вязкой жидкости возникает диффузия вихря, обуслов-
ленная появлением второго члена в скобках формулы B9.12).
Формула B9.11) показывает, что величина вихря оз2 в каж-
дой точке плоскости ху с течением времени возрастает от нуля до
максимума, равного Г/Bяг2е),а затем убывает и снова стремит-
ся к нулю.
Уравнение B9.5) линейное и пригодно для рассмотрения лю-
бого симметричного относительно оси z движения и, в частности,
для начальной задачи с любой заданной функцией wz (r, 0).
Соответствующее решение линейной задачи можно построить
методом суперпозиции решения для точечного вихря.
J

ГЛАВА IX
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
§ 1. Вводные замечания
Рассмотрим теорию деформирования «твердых» тел. Как и
раньше, тело будем представлять себе как материальный конти-
нуум. Введем систему отсчета х1, относительно которой проис-
ходит движение различных точек континуума, и лагранжеву
систему координат ?», движущуюся вместе со средой (рис. 106).
Положение каждой точки континуума в любой момент времени
t известно, если известны функции
*' - х* (g\ l\ l\ t),
задающие закон движения среды.
Одной из важнейших характеристик деформированного
твердого тела является тензор деформаций. В гидродинамике
этот тензор почти не использует-
ся. Для жидкостей важна только
одна характеристика деформа-
ций — изменение объема. Для
«твердых» тел существенно также
и изменение формы, т. е. весь тен-
зор деформаций. Тензор дефор-
маций вводится путем сравнения
длины любого элемента тела с его
длиной в некотором идеальном со-
стоянии, которое называют «на-
чальным».
В частном случае начальное
состояние может быть просто по-
ложением данного конечного тела
в некоторый начальный момент
времени t0. Это всегда принимает- лагРанжева
ся в классической теории упруго-
сти. Однако существуют теории, в которых за «начальное»
состояние выбирается состояние, которое невозможно реально
Рис. 106. Система отсчета хг и
;4 система коорди-
нат.

310 Гл. IX. Теория упругости
осуществить в евклидовом пространстве г) (см. § 5, гл. II,
т. 1).
Если обозначить через §^ и #г;- — компоненты метрическо-
го тензора в лагранжевой системе координат соответственно в
«начальном» и актуальном состояниях, то, как известно, ком-
поненты тензора деформаций вводятся формулами
1 о
8ij = — (gij — gij) .
Начальные деформации Если начальное состояние реально осу-
ществимо, то можно ввести перемещениям»
от начального состояния к актуальному. Компоненты тензора
деформаций в этом случае выражаются через компоненты век-
тора w и удовлетворяют уравнениям совместности. Если же на-
чальное состояние не может быть осуществлено в реальном физи-
ческом пространстве, то е,;- не удовлетворяют уравнениям сов-
местности. В этом случае иногда вводят некоторое промежуточ-
ное характерное состояние (начальное состояние без кавычек)
с метрическим тензором °g ij так, что перемещения от состояния
00 к состоянияю " можно ввести. Тогда
\ -~- О 1 ~ ОО 1 OD О
^i/ — ~2~ (gij ' gij) = ~2~ (gij '~ Sij) г ~2~ {gij gij) •
ИЛИ
Ч) = 4- -f ¦ hi.
Компоненты еу могут быть выражены через перемещения,
а компоненты е*,- — нет. Компоненты тензора ё;;- определяют
собой «начальное» деформированное состояние.
В теории деформирования твердых тел
Геометрически часто рассматривают случай, когда де-
линеиные теории формации и относительные смещения ма-
лы. Если при этом лагранжева система координат выбрана так,
что в какой-нибудь момент времени (например, в начальный)
она совпадает с системой отсчета, то в дальнейшем она будет
мало отличаться от системы отсчета и, очевидно, компоненты
любого тензора или вектора в лагранжевой системе координат
и в системе отсчета будут отличаться на малую величину.
Если в теории учитываются лишь малые первого порядка, то
г) В ньютонианской механике реальное трехмерное физическое
пространство евклидово. Обычно в теории упругости принимается, что
начальное состояние сравнения определяется однозначно с точностью до
жесткого перемещения (перемещения среды как твердого тела). Можно
рассматривать модели сплошных сред, для которых начальное состояние
определяется с известным произволом.

§ 2. Модель упругого тела 311
компоненты малых тензоров и векторов, например тензора де-
формаций, в лагранжевой системе и в системе отсчета в этом
случае становятся неразличимыми (так как они отличаются на
малые высшего порядка). Поэтому во многих классических кур-
сах теории упругости, где изучаются только бесконечно малые
деформации, не вводят явно этих двух различных систем коор-
динат.
Для компонент тензоров еу и е^ в теории деформирования
тел с малыми деформациями можно использовать формулы
Такие теории называются геометрически линейными.
§ 2. Модель упругого тела
Процессы деформирования Главным признаком, по которому теория
упругих тел обратимы упругости выделяется из других теорий
деформируемых твердых тел (теории пла-
стичности, теории ползучести и т. д.), является то, что все про-
цессы деформирования упругих тол по определению обратимы.
Обычно, кроме того, принимается, что локально для всех малых
частиц упругого тела можно ввести температуру Т. Следова-
тельно, для физически бесконечно малых частиц упругого тела
всегда можно пользоваться соотношением х)
Tds = dql°\ B.1)
Параметры состояния Второй основной посылкой классической
упругого тела теории упругости является допущение,
что состояние малой частицы упругого
тела полностью определяется тензором деформаций, темпера-
турой Т (или энтропией s) и некоторыми физическими постоян-
ными или переменными параметрами %к (?», t) (к = 1, 2, ..., N),
характеризующими механические и физико-химические
свойства среды, которые в общем случае могут изменяться.
Например, некоторые из %н могут быть переменными фазовыми
плотностями. К параметрам %к при необходимости можно отне-
сти компоненты е^- тензора начальных деформаций. Свойства
симметрии кристаллов также можно задавать с помощью пара-
метров Хк? некоторые из которых могут быть компонентами
векторов или тензоров. В распространенных классических
х) Соотношение B.1) может выполняться и для некоторых необра-
тимых процессов. Дальнейшие выводы будут применимы также и при
учете таких процессов (например, процесса теплопроводности) в упру-
гом теле.

312 Гл. IX. Теория упругости
вариантах модели упругих тел принято, что в каждой частице
%к = const, т. е. d%k = 0.
Характерным свойством модели упругого тела является
также предположение о независимости метрики начального со-
стояния от времени, т. е. gi} = gi} (^, ?2, §3).
Таким образом, определяя обычную х) модель упругой
среды, для плотности внутренней энергии U или свободной
энергии F = U — Ts упругого тела можно написать
U = U (s, hh ^, Хк), F = F(T, gih ei;, Xfc). B.2)
Среди аргументов функций U и F нужно явно указывать ком-
поненты iijCfc1) метрического тензора (или ?ц{%1, i)=2si;-—g{j)
потому, что скалярные величины U и F на самом деле,
конечно, зависят лишь от инвариантов тензоров, компоненты
которых указаны в качестве аргументов, а не непосредственно
от самих компонент. При образовании инвариантов из компо-
нент eij и Хк необходимо, вообще говоря, пользоваться компо-
нентами метрического тензора gtj или ?ц.
Если U и F не зависят явно от лагранжевых координат
|{, то упругое тело называется однородным. Некоторые из
Xr могут просто совпадать с |* или быть заданными функциями
от |{, и тогда мы имеем неоднородное упругое тело.
Для напоминания выпишем уравнения
Основные исходные механики сплошной среды, которые
уравнения * „
J r составляют основу замкнутой системы урав-
нений теории упругости. Имеем:
а) формулу для определения плотности (уравнение нераз-
рывности в форме Лагранжа)
Р/F = Рс/! = / (?\ Sa, S3), B-3)
б) уравнения импульсов
B-4)
в) уравнение притока тепла, которое с учетом условия B.1)
может быть записано в следующих двух эквивалентных формах:
df/ = -^ dsij-i- Tds + dq** B.5)
или
dF = —dsij—s dT ~\- dq**. B.6)
x) В настоящее время вводятся более общие модели упругих сред,
в которых в аргументы U и F могут входить различных порядков произ-
водные по времени и по координатам от компонент тензора деформации.

§ 2. Модель упругого тела 313
Уравнения B.5) и B.6) написаны с учетом допущения,
что gij не зависят от времени t, т. е. etj = de^/di (см. т. 1,
стр. 97 и стр. 210—211).
Для выделения определенной модели упругого тела и полу-
чения замкнутой системы уравнений в конкретном случае
движения достаточно, как мы покажем дальше, задать внут-
реннюю энергию U (s, gij, zu, %k) (или свободную энергию
F (^' 8и> ®th ЭЫ)> компоненты внешних массовых сил F\
величину притока внешнего тепла dq^ (который входит только
в B.1)) и величину притока внешней энергии dq**.
Задание величин U или F, F1 и dq**,
О задании внешнего вообще говоря, связано с установлением
притока энергии do** „
модели, отделением рассматриваемой дан-
ной среды от внешних объектов (электромагнитного поля, внеш-
них компонент примесей, внешнего жесткого или подвижного
микроскопического каркаса или вообще некоторых внешних
распределенных по объему геометрических связей и т. п.).
В общем случае необходимо вводить dq** ф О даже при
отсутствии взаимодействия данной среды с какими-либо
другими внешними объектами. При учете усложненного поверх-
ностного или объемного взаимодействия выделенной малой
частицы среды с соседними частицами той же среды появляется
необходимость вводить dq** =j= 0. Однако при наличии сущест-
венных допущений, заключенных в равенствах B.1) и B.2) х),
х) В более сложных моделях упругих тел, в которых внутренняя
энергия зависит не только от компонент тензора деформаций, но и о.т про-
изводных этих компонент по пространственным координатам, т. е. когда
U = U (s, g^, ец, V fcBij) (здесь используется обозначение ец для ком-
1
О О О.О -О /-ч 1 ^, О
понент теноора деформаций $ = е^.-э*»', е{/ =е,-; = у (?;; — gi})), в урав-
нении B.5) слева будет присутствовать член
dU ,° °
который, если использовать существенное предположение о том, что ком-
поненты рг> = р1' не зависят от производных по времени dVifiij/dt, дол-
жен балансироваться с члено?|Г iV^'dVjfin, входящим справа в dq**. Для
удобства выкладок здесь рассматриваются градиенты в фиксированном
пространстве начальных состояний, что не является ограничением
общности; это позволяет для индивидуальных производных по времени
делать перестановки:
~dT Vk dt '
После Сравнения правой и левой частей в B.5) ввиду произвольности
приращений dVи&ц получим равенства

314 Гл. IX. Теория упругости
можно рассматривать модели упругих тел, для которых
dq** = 0. B.7)
Для классических простейших моделей упругих сред, по-
строенных без учета эффектов электрической поляризации и
намагничивания, равенство B.7) принимается всегда как ос-
новное без каких-либо специальных оговорок.
Опираясь на уравнение B.5) при условиях
Уравнения состояния B.7) и B.2), выведем теперь общие урав-
упругого тела \ / \ /> « г ч„ Jf
1 V1 нения состояния для упругой среды.
Уравнение B.5) перепишем в виде
dU ,- . dU , ди
d + d
ds.. as Чк i'
ea + T ds-
Если компоненты Лг?''^Лч* задать независимо, или считать, что Л^*=0,
то соотношения (А) представят собой дополнительные уравнения
сверх уже имеющейся замкнутой системы уравнений. Уравнения допол-
нительных связей (А) в этом случае существенно ограничат свободу изме-
нения определяющих параметров независимо от влияния внешних сил,
притоков тепла и краевых условий, что, вообще говоря, неприемлемо (нет
внутренних геометрических связей). Поэтому соотношения (А) должны
представлять собой тождества, определяющие Ai;A' ф 0.
Таким образом, для более сложных моделей упругих сред, в которых
внутренняя энергия зависит от градиентов компонент тензора деформаций,
приток энергии dq* * должен быть отличным от нуля и может определяться
свойствами внутренней энергии, заданной как функция своих аргументов.
Следовательно, при конструировании некоторых моделей сплошных сред
проблема определения dq** может разрешаться автоматически после за-
дания внутренней энергии.
В рассмотренном выше примере, если принять, что приток dq** опре-
делен поверхностными взаимодействиями на границе малой частицы, выз-
ванными неоднородностью деформаций, будем иметь
dq**?dx= [ рАтde. ^п kd5 ='iyK (pAiiKdei;) dx\
v a v
отсюда, так как р У g =poyg и Л4' =Лук (см. C.7) гл. IV, т. 1), по-
лучим
dq** = TVk (PA <H-> = ^y! ^-^ =
i „
po Ye tt*
dU
Эта формула определяет собой обратимый приток механической энергии
за счет неоднородности деформаций, когда внутренняя энергия зависит
от градиентов деформаций.

§ 2. Модель упругого тела 315
Соотношение B.8) и аналогичное соотношение, вытекающее
из B.6), выполняются для любых процессов в упругом теле.
Изменяя систему внешних сил, величину притока тепла, усло-
вия на границе и другие внешние условия, можно осуществить
бесконечное число различных процессов, в которых для данной
малой частицы в данный момент времени величины gti, Btj,
sj Xfc) Pl^i Т и Р — одни и те же, а приращения d?;j, ds (или dT)
и d%k различны. Если существует система независимых прира-
щений dztj, ds(dT), d%k, то при дополнительном условии, что
рч зависят только от gtj, в^, %к, s (или Т) и что dq** = О,
из B.8) или соответственно из B.6) получаются следующие
равенства J):
B.9)
dF \ /г% л г\\
=0, (*L) =0. B.11)
..iT
Соотношения B.9) — B.11) называются уравнениями со-
стояния упругого тела. Равенства B.9) связывают компоненты
напряжений с аргументами функций U или F. Равенства B.10)
служат для вычисления температуры Т (при использовании U)
или энтропии s (при использовании F). Соотношения B.11)
определяют законы изменения параметров %К; эти соотношения
аналогичны известным уравнениям Гульдберга — Вааге для
описания обратимых химических реакций. В дальнейшем мы
рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда Хк
постоянны, и не будем обращаться к уравнениям B.11).
Уравнения состояния B.9) для упругого тела представляют
собой соотношения, обобщающие закон Гуна на случай учета
нелинейных эффектов, влияния температуры и возмож-
ного присутствия переменных физических параметров %к
(фазовых плотностей и т. п.).
Уравнения состояния B.9) получены в
Уравнения состояния предположении, что величины de^, ds
несжимаемого упругого (или dT) и dyik линейно независимы.
материала Если между ними существует связь, то
формулы B.9) изменяются. Например, для несжимаемого ма-
териала имеется дополнительная связь
'_ g4d?l}~=0. B.12)
!) При выводе формул B.9) подразумевается, что (дЩдъц) =
= (dU/deji), т. е. компоненты симметричного тензора е,ц входят в функции
U и F симметрично.

316 Гл. IX. Теория упругости
В этом случае, если ввести множители Лагранжа q и q', то из
B.8) и B.12) или из B.6) и B.12) вместо B.9) получим равенства
рЧ = _ qgH -!- р — B.13)
или
р;/ = _^; + р4^.
Для определения множителей Лагранжа q и q' необходимо вос-
пользоваться уравнением связи B.12). Эти величины не следует
смешивать с давлением. В общем случае q =/= q', в конкретных
задачах нужно определить либо только q, либо только q'.
Соотношения B.9) — B.11) вместе с урав-
Замкнутая система нением неразрывности B.3), уравнениями
уравнении, описывающих /о /\
поведение упругого тела движения B.4) и совместности при
Eij = 0 (или дополнительными данными
о itf, которые зависят от условий изготовления данного образ-
ца материала и в соответствующих задачах должны задаваться
отдельно), а также вместе с уравнением, выражающим второе
начало термодинамики, которое в этом случае может быть
записано в виде
dq^ = -^rds или dq& = — Td (-щЛ , B.14)
образуют замкнутую систему уравнений для описания различ-
ных процессов в упругом теле. При этом должны быть заданы U
или F как функции соответствующих параметров и должны
быть известны F1 и dq(e\
Для изотермических процессов удобнее пользоваться соот-
ношениями, в которые входит свободная энергия F. В этом
случае температура Т известна и постоянна, а уравнения дви-
жения замыкаются без использования соотношений B.10) и
B.14). Второе соотношение B.10) служит при этом только для
вычисления энтропии (если это нужно), а B.14) — для
вычисления dq^e\ необходимого для того, чтобы обеспечить
изотермичность процесса. Для адиабатических процессов удоб-
нее пользоваться группой соотношений, в которые входит U.
Однако и та, и другая группы соотношений применимы
для любых обратимых процессов в упругих телах с лю-
бым притоком тепла dq^'\
Сделаем еще следующее замечание. В те-
О потенциале напряжении орди бесконочно мшшх деформаций урав-
нения состояния B.9) с точностью до малых высшего порядка
можно написать в виде
„у п dF _ d?°F - дф /2 1

§ 2. Модель упругого тела 317
где р0 — постоянная (начальная) плотность, а Ф = p0F —
свободная энергия единицы объема. Следовательно, в случае
если деформации малы, напряжения имеют потенциал, т. е.
представляются в виде производных от функции Ф по в;;-.
В точной постановке, при рассмотрении конечных деформаций,
потенциала для компонент тензора напряженийр^не существует.
Рассмотрим пример среды, которую мож-
Идеальная жидкость — но назвать нелинейным упругим телом и
пример нелинейно-упругого; которая была подробно изучена в гл.
VIII. Пусть свободная энергия зависит
только от температуры и плотности
F = F(T, р). B.16)
Зависимость B.16) является частным случаем зависимости
B.2). В самом деле, согласно B.3) имеем
p B.17)
р =pt
У е
где 'g = Det |&,|, g - Det||^||= Det|2ew + gi}\, p0 (I1, l\ Is) -
известная функция ?\ начальная плотность. Следовательно,
плотность р можно выразить через go и гц, и свободная энер-
гия рассматриваемой среды зависит от температуры и компо-
нент тензора деформаций, только эта зависимость частного
вида (компоненты тензора деформаций входят только через
плотность х) р).
Нетрудно вычислить производные -тг—. Непосредственно диф"
ференцируя B.17), найдем
-—Dot || г-
to dg DetO^II
или, иначе, пользуясь уравнением неразрывности в форме
Эйлера,
dp = — р div v dt = — pgw ei;- dt = —
J) Здесь в качестве начального состояния можно выбрать любое со-
стояние с заданным распределением начальной плотности. В этом случае
характеристики начального состояния могут пойти только через началь-
ную плотность. В начальном состоянии внутренние напряжения могут
вообще отличаться от нуля. Для «твердых» упругих тел часто можно при-
нимать, что рЧ = 0 в начальном состоянии.

318 Гл. IX. Теория упругости
снова получим ту же формулу;
Поэтому соотношения B.9) для рассматриваемой среды при-
нимают вид
или
Следовательно, тензор напряжений в такой среде — шаро-
вой. Обозначим величину р2 (dF/dp) через р, тогда
рч = - pgv ,
Р = р2-^~~ = Р(Р, Т). B.19)
Рассматриваемая среда есть идеальная жидкость или газ, р—дав-
ление. Мы видим, что теория движения идеальной жидкости
есть частный случай нелинейной теории упругости с конечны-
ми деформациями, правда, этот случай очень специальный.
Так как U и F являются скалярными
ианизотр'опные функциями, то они могут зависеть от ком-
упругие среды понент тензоров только через их инва-
рианты. Если все параметры %к — ска-
ляры, то тело называется изотропным. В изотропном теле сво-
бодная энергия F фактически зависит не от шести переменных
параметров е,-;-, а только от трех независимых инвариантов,
которые можно составить из компонент gi3 и Ец, например, от
4 4 4
ix = gi> e^.
iKin
= giKin e«eilt, B.20)
Если свободная энергия упругого тела, кроме Т и ео-, зави-
сит также и от %ъ причем среди Хч есть компоненты векторов
или тензоров, то тело анизотропно. В анизотропном теле сво-
бодная энергия зависит от гц не только через инварианты B.20),
но и через совместные инварианты тензора деформаций и дру-
гих тензорных аргументов функции F. Так, если свойства среды
зависят от некоторого вектора Ь (среда типа текстуры), то среди
аргументов F появляются инварианты вида Ь1ЪК

§ 2. Модель упругого тела 319
В заключение этого параграфа рассмотрим с общей точки
зрения модель линейного упругого тела, подчиняющегося за-
кону Гука, о которой уже шла речь в гл. IV т. 1.
Рассмотрим упругое тело, в котором
Свободная энергия компоненты тензора деформаций е^-, и
единицы объема упругого относительные смещения малы, а в ка-
тела в случае малых честве начального состояния, отвечаю-
относительных смещении о о , о л\ е
и малых изменений Щего метрике gtj (см. § 1), выбрано со-
температуры стояние, которое может быть реально
осуществлено, т. е. существуют переме-
щения из состояния, отвечающего метрике °gjj, в актуальное
деформированное состояние. Пусть лагранжева система коор-
динат ?* в начальном состоянии выбрана совпадающей с систе-
мой отсчета. Тогда координаты ж* точек среды в деформирован-
ном состоянии представляются в виде
причем А* и <9AVd?ft малы (относительные смещения малы).
В этом случае компоненты всех тензоров в лагранжевой систе-
ме координат и в системе отсчета различаются на малые выс-
шего порядка по сравнению с величинами самих компонент.
Имея это в виду, дальше будем опускать знак " над компо-
нентами тензоров.
Для малых деформаций удобно вместо F рассматривать
величину Ф = p0F — свободную энергию единицы объема, а
уравнения состояния писать в виде
Рассмотрим разложение функции Ф в ряд, считая, чтое^ <^ 1,
Т = То + А7\ АТ< Т
-t -j- (S (Т - Г0)а + (члены высшего порядка B.22)
'° малости).
Если начальное состояние выбрано так, что в этом состоянии
напряжения равны нулю, т. е. р*'= 0 при еи = 0 и Т = То, то
i

320 Гл. IX. Теория упругости
Кроме того,
[wjo = ~ PoS°'
где s0 — энтропия в начальном состоянии х).
Обозначим теперь постоянные C2Ф / деиде,ыH через
Aijltl, -4- ( ,. д*®„ ) —через Вч'и <д2Ф/дТ2H — через с. Оста^
вляя в B.22) только малые второго порядка, получим следую-
щее выражение свободной энергии единицы объема упругого
тела с малыми деформациями и с малыми изменениями тем-
пературы:
Ф = Ф« + -f Ai}!"*u4i -I- В1' Rij (Т - То) +
Чтобы задать конкретную модель термоупругого тела
с малыми ец и ДГ, надо задать численные значения констант
A^IU, Bv и с. Из определения А^х! видно, что эти величины
симметричны по i, j и по к, I, а также не меняются при замене
i, j на к, I. Поэтому число различных A^ki не может быть больше
двадцати одного. Величины В^ также симметричны по i,
j, максимальное число различных В^ равно шести. Следова-
тельно, в линейной термоэластике произвольное анизотропное
термоупругое тело характеризуется двадцатью восемью кон-
стантами А^ю, В*?, с.
В случае изотропного тела для получения более конкрет-
ного вида свободной энергии можно воспользоваться тем, что
функция Ф на самом деле может зависеть только от инвариан-
тов тензора деформаций. Поэтому для изотропного упругого
тела формулу B.23), вводя подходящие обозначения для коэф-
фициентов, можно представить в виде
Ф = -j-M'i -f ph — (ЗА, f 2ц)х11(Г — T0)—f(T). B.24)
Закон Гуна с учетом На основании B.21) получим обобщение
температурных напря- закона Гука> введенного ранее в гл. IV
т. 1, на случай, когда учитываются тем-
пературные напряжения и деформации, а именно:
Рц = Wigjj + 2|*ей - (ЗХ + 2ц) а (Т - То) gih B.25)
s = ~Ck-{-2a)aI1 +—f'(T). B.26)
ро Ро
Коэффициенты к и ц являются параметрами Ламе.
х) Значение s0 фиксирует аддитивную постоянную энтропии.

§ 3. Задачи об одноосном растяжении упругого бруса 321
Модуль Юнга Вместо параметров X и и на практике и
и коэффициент Пуассона в теории часто используют МОдуЛЬ Юн-
га Е и коэффициент Пуассона а, опре-
деляемые формулами
Выражающие закон Гука формулы B.25) легко разрешаются
относительно компонент тензора деформаций ег-;-:
е1;- = -L [A + б) Ai _ аз»^] + а (Г - Го)*«, B.28)
где З5 =р%у= р! — первый инвариант тензора напряжений.
Если напряжения равны нулю, р1' = О,
Коэффициент линейного т0 деформации могут быть отличны от
расширения нуля за счет изменения температуры.
В этом случае тензор деформаций получается шаровым и в де-
картовых координатах будем иметь
811 = аG'-Гр), 822 = «(Т-Т0), 833 = а(Г-Г0),
&ij = 0 при i ф ].
Следовательно, коэффициент а, входящий в выражения
закона Гука, представляет собой коэффициент линейного рас-
ширения рассматриваемого материала.
С помощью B.14) легко усмотреть, что коэффициент с,
входящий в выражение B.23) для свободной энергии линейного
термоупругого тела, связан с теплоемкостью при постоянных
деформациях.
§ 3. Задачи об одноосном растяжении упругого бруса
Рассмотрим малые деформации цилиндрического бруса, сде-
ланного из изотропного упругого материала, подчиняющего-
ся закону Гука, и растягиваемого (или сжимаемого) вдоль оси с
помощью заданной системы массовых или поверхностных сил.
_J>_
"К
-t—
X
Рис. 107. Простое растяжение бруса.
Начнем с задачи о равновесии бруса прямоугольного по-
перечного сечения, при условии, что по торцам бруса прило-
жены поверхностные силы (рис. 107).
11 Л. И. Седов, том 2

322 Гл. IX. Теория упругости
Основные предположения В постановку задачи включим следующие
н граничные условия предположения.
1) Массовые силы отсутствуют (в част-
ности, не учитывается сила веса).
2) Все частицы бруса имеют одну и ту же постоянную тем-
пературу То, соответствующую отсутствию «температурных»
напряжений при отсутствии деформаций в брусе.
3) Боковые грани бруса СиДи противоположные им грани
Сх и Dx свободны от нагрузок (на самом деле, если явление
происходит в атмосфере, то на боковые грани действует атмо-
сферное давление). Таким образом, принимаем, что на боковых
гранях
рп = 0. C.1)
Это означает, что (при расположении координатных осей,
указанном на рис. 107)
на гранях С и Сх р.п = рм = р23 = 0, |
а на гранях D и D1 р31 = р32 — pss = 0. \
4) Ца каждом из торцов (А и В) действуют внешние поверх-
ностные силы; равнодействующие этих сил на каждом из тор-
цов равны по величине, так как брус находится в равновесии.
Обозначим величину этих равнодействующих через F. Рассмот-
рим случай, когда поверхностные силы по торцам А и В рас-
пределены следующим образом:
на В рп = ри (В) г, рп = р13 = 0, )
на А рп= —Рп(А)г, рп = р13 = 0, I
причем
Ри (В) = Рп (Л) = 4" = Const)
где S — площадь поперечного сечения бруса.
В согласии со сказанным выше примем, что при F = 0
и Т = То получается состояние, соответствующее отсутствию
внутренних напряжений и деформаций в брусе. Если это со-
стояние принять за начальное, то получим е,ц = 0. Требуется
найти напряжения, деформации и перемещения, возникающие
в брусе под действием растягивающих сил (при F ]> 0) и сжи-
мающих сил (при F <[ 0).
Прежде чем дать решение этой задачи, сделаем замечание
общего характера по поводу определения перемещений. Оче-
видно, что в этой задаче, так же как в большом числе других
задач о равновесии упругих тел под действием различных сил,
перемещения могут быть определены только с точностью до

§ 3. Задачи об одноосном растяжении упругого бруса 323
перемещения всего тела как абсолютно твердого (с этим свя-
зано понятие об инвариантности законов механики в зависимо-
сти от места и направления в пространстве — однородность и
изотропность евклидова пространства). Необходимо ука-
зать дополнительные условия, которые позволят исключить
указанный произвол при определении перемещений, что и
будет сделано далее.
Уравнения импульса в рассматривае-
Решение уравнений рав- мом случае сводятся к трем уравнены-
°^^ДГГГЩее ям Равновесия, которым должны удов-
летворять шесть компонент тензора
напряжений внутри бруса:
V,-p« = 0. C.4)
Легко догадаться, что решение уравнений равновесия C.4),
удовлетворяющее граничным условиям C.2) и C.3) и описыва-
ющее распределение напряжений внутри бруса, имеет вид
Pll = -g-, Pl2 =fPl3 = Р22 = P-ZZ = РзЗ = О- C.5)
Заметим, что решение уравнений равновесия C.5) годится
и в случае аналогичной задачи о растяжении (или сжатии)
цилиндрического бруса произвольного поперечного сечения
распределенными по его торцам А и В силами C.3), когда его
боковая поверхность S^ok свободна от напряжений (рп — 0
на 5бок)- Для того чтобы в этом убедиться, достаточно пока-
зать, что решение C.5) удовлетворяет граничному условию на
боковой поверхности такого бруса. На Sqok по условию имеем
рп = р1соз(п, х) + р1cos (п, у)-±-р3cos (п, z), C.5')
но в силу выбора оси х на боковой поверхности цилиндриче-
ского бруса cos (n, х)=0 и поэтому решение*C.5) действительно
удовлетворяет граничному условию C.1) на любой цилиндри-
ческой поверхности ?бок-
л . Для определения по известным напряже-
Определение деформации нидм деформацийТвнутри бруса удобно
воспользоваться законом Гука в форме B.28); при Т = То
имеем
^ii = -4- 1A + a»iJ? — а^ёГ^-1,
где S5 — первый инвариант тензора напряжений. Подставив
в него значения компонент тензора напряжений Pij C.5),
11»

324 Гл. IX. Теория упругости
легко получим, что
F oF oF Л
— ~E~S ' ^аа — — Ё~Ч ' ^83 == ИГч ' ^12 == ^13 == ^" ==
C.6)
Об удовлетворении для определения компонент wlt т„, wa
уравнении совместности вектора перемещений нужно проинтегри-
ровать следующую систему шести диф-
ференциальных уравнений в частных производных:
dwi F dwi oF dws <sF ,„ „.
o dwi dwi n
Z812 = -^ j- -g- = U,
2e13 = -я- + -д- = 0,
IF
3 ..^ П
C.8)
Эти уравнения для перемещений написаны в предположении,
что деформации малы, они получаются после линеаризации
соответствующих уравнений для конечных деформаций.
Система дифференциальных уравнений C.7) и C.8) является
совместной, так как найденные выше значения деформаций
C.6) удовлетворяют уравнениям совместности. Действительно,
в рассматриваемом случае бесконечно малых деформаций урав-
нения совместности в декартовых координатах (см. стр. 91
т. 1) имеют вид
М»~дх«дх>- дх«дх»+дх1дх» djdx*- ' ( >
т. е. в них входят только вторые производные компонент тен-
зора деформаций. Так как найденные компоненты тензора де-
формаций C.6) имеют постоянные значения, то уравнения C.9)
автоматически удовлетворяются. Очевидно, что условия сов-
местности C.9) всегда удовлетворяются и в том случае, когда
компоненты тензора деформаций являются линейными функ-
циями декартовых координат.
Дифференциальные уравнения для опре-
Замечание об определении деления перемещений C.7), C.8) явля-
перемещений по известным ются линейными уравнениями. Ясно, что
деформациям в общем решение, соответствующее заданным зна-
чениям 8j7-, может быть определено из
них лишь с точностью до функций, удовлетворяющих уравне-
ниям:
dwi диъ dws n dm , dwi дин dwi fe . 5ei_n ,, 1m
0 + = +^+ °(ЗЛ0)

§ 3. Задачи об одноосном растяжении упругого бруса 325
Найдем общее решение уравнений C.10). Из первой группы
уравнений C.10) вытекает, что
«>i = Фх (У, z), w2 = ф2 (х, z), w3 = фз (х, у), C.11)
гДе Ф1> Фг> Фз — произвольные функции указанных аргументов.
Для определения этих функций из второй группы уравнений
C.10) получим
дф! (у, z) афа (ж, z)
аф!(у, z) , дщ(х, у) _м ^ 12
(х, z) афз (х, ?/)
dz ^ ду
Из C.11) и C.12) следует
где а, Р, Y — пока произвольные функции указанных аргу-
ментов. После интегрирования этих уравнений получаем
Ф1 = a (z) у + /i (z) = Р (У) г + ft (У),
Фг = -а (г) х + /, (г) = у (г) z + g2 (ж),
Фз = —Р («/) х +/з (у) = —? (ж) у + ?з (ж)'
где /;, gi — произвольные функции своих аргументов. Отсюда
непосредственно видно, что искомые функции фх, ф2, ф3 должны
иметь вид
Ф1 = к1*У + К* + кзУ + /с4, ]
ф2 = mxzx -{-m2z -)-т3х -\-т^Л C.13)
фз = кхУ + кх + hy + h, J
где kt, mi и lt — некоторые постоянные, которые в силу урав-
нений C.12) должны быть связаны между собой соотношениями
ktz -j- k3 -f- wijz + т3 = 0,
*tf + Л2 + hy + h = 0,
-j- /ra2 + /хж -f l3 = 0,
каждое из которых должно выполняться при любых z, у ш х
соответственно. Из этих соотношений вытекает, что
1) &! = —771!, /% = — lv ТПх = — Zl5
отсюда kt = ml = lx = 0;
где alt О;,, о3 — новые обозначения постоянных.

326 Гл. IX. Теория упругости
Таким образом, решения C.13) имеют вид
фх = a2z — а3у 4- К, )
ф2= — axz + а3х 4-/га4
фз = — агх + а\У + к-
Введя векторы
г = xi-\- yj+zk, a = аг1-\-a2j 4- а3к
и ср0 = kj, -\-rriij -\-lJt, видим, что C.14) можно записать
следующим образом:
w = ф = фхг + q>2j + фз*5 = <ро + а X г C.15)
Следовательно, решения wv w2, w3 уравнений C.10) имеют вид
C.14) или C.15) и содержат шесть произвольных постоянных.
Формула C.15) при бесконечно малых аъ а2, а3 определяет
перемещения тела как абсолютно твердого 1). Действительно,
выражение C.15) для вектора перемещения мы нашли как ре-
шение уравнений
i3U. C.10')
дз? ¦ дхг
При бесконечно малых относительных перемещениях, т. е.
при бесконечно малых значениях dwt/dxi, эти условия означа-
ют равенство нулю компонент тензора деформаций ег1.
В рассматриваемом случае бесконечно малых относитель-
ных смещений компоненты вектора а малый определяют собой
малый поворот тела, происходящий при перемещениях
w — фо +й X **. Вектор! малого поворота можно связать с
вектором вихря <а формулой а = <а Дг.
Чтобы исключить из рассмотрения возможное перемещение
тела как абсолютно твердого, можно при определении переме-
х) Очевидно, что, если аъ а2, а3 конечны, то при перемещениях C.15)
деформации отличны от нуля. Это связано с тем, что при конечных i3
компоненты тензора деформаций должны вычисляться "по формулам
dw. dWj dwa rdw
-^r+ -??-+ dxi -
Если w = »0 -)- a X г, то формулы (А) дают
1 1 1
ец = -g- (a| + <ф, 8гг = -g- (e| 4- a\), газ = -g" (a\ 4- a\),
1 11
Eij = — —n~~ Шпг, 8i8 = — —o~ 6103, Егз = — ~~ъ~

§ 3. Задачи об одноосном растяжении упругого бруса 327
щений дополнительно потребовать, например 1), чтобы некото-
рая точка упругого тела сохраняла свое положение в простран-
стве и компоненты векотора малого поворота главных осей
деформации в этой точке были равны нулю:
дю. дю-
1 L — О
дх1 дх1
Заметим, что выполнение этих условий не означает, что рас-
сматриваемая точка действительно закреплена в пространстве
с помощью сил. Если тело находится в равновесии, то, не меняя
системы внешних сил, можно считать закрепленной любую (но
в общем случае единственную) точку тела. При этом не интере-
сующая нас часть перемещений и поворота исключается из рас-
смотрения. Очевидно, что выражения для перемещений бу-
дут различными, если мы будем считать неподвижными
различные точки тела.
В задаче о растяжении бруса формулы
Определение перемещений для перемещений получаются как реше-
в^случае растяжения тя уДвнений C-7)| C.8) и могут быть
записаны в виде
Wi = -^x + (fu w2= — j^y+Щ, C.16)
гДе *Pi> фг> фз определяются согласно C.14). Если дополнитель-
но потребовать, чтобы в начале координат отсутствовали пере-
мещение и поворот главных осей деформации, т. е. чтобы при
х = О, у = О, z = О
и>х = 0, w2 — 0, w3 = 0
и
~ду~~д!~' ~K~~dI = U) ~дх~~ду ~^'
то выражения для перемещений принимают вид
F oF aF
Wy W
( -1
Анализ полученного Брус растягивается силами, приложен-
решения ными на его торцах А и В и направлен-
ными по оси х, но, как видно из C.17),
частицы бруса испытывают перемещения также и вдоль осей
У и z.
х) Вместо этих условий можно пользоваться и другими, важно, од-
нако, что соответствующие дополнительные условия всегда необходимы.

328
Гл. IX. Теория упругости
Величина компоненты смещения и>1 вдоль оси х пропорцио-
нальна х, максимальна в сечении В и не зависит от у и z. Ве-
личины компонент смещения w2 и w3 по осям у и z пропорцио-
нальны у и z и не зависят от х, z и х, у соответственно. Как
ясно из формул для компонент тензора деформаций C.6),
деформации вдоль оси х и осей у и z имеют разные знаки. Если
F 3> 0, то ец положительно, т. е. брус испытывает растяжение
вдоль оси х, а е22 и е33 отрицательны, т. е. брус испытывает сжа-
тие в направлении осей у и z. Отношение компонент тензора
деформаций
822
611
езз
ей
V////////)~
штн
равняется о — значению коэффициента Пуассона.
Если рассмотреть задачу о растяжении
Другие условия на торцах призматического бруса под действием по-
верхностных сил, которые распределены
на одном торце по закону C.3), в том случае, когда второй то-
рец А этого бруса некоторым способом заделан (рис. 108), то
приведенное решение будет описывать де-
формации и напряжения в таком брусе,
строго говоря, только в том случае,
если способ заделки торца А допускает
смещения в направлении осей у и z. Ес-
ли же торец А бруса заделан жестко, то
построенное решения не является точным
решением этой задачи. Однако в дальней-
шем мы введем так называемый принцип
Сен-Венана, согласно которому получен-
ное решение может быть использовано для
приближенного определения напряжений
и деформаций в задаче о брусе с жестко
заделанным торцом А в области, дос-
таточно удаленной от места заделки,
если площадь поперечного сечения
бруса мала по сравнению с его длиной вдоль оси х.
Рассмотрим теперь задачу о растяжении
цилиндрического бруса под действием
собственного веса. При этом сохраним
неизменными основные предположения,
при которых решалась первая задача о
растяжении бруса под действием поверхностных сил, распре-
деленных по его торцам, а именно предположим, что Т = То =
= const, Вц= 0, но F = gi и рп = 0 всюду на внешней
поверхности бруса, за исключением торца А, где брус за-
креплен.
Рис. 108. Растяжение
стержня в случае
жестко заделанного
торца А.
Постановка задачи
о растяжении бруса
под действием
собственного веса

§ 3. Задачи об одноосном растяжении упругого бруса
329
Напряжения рп на торце А определятся в результате реше-
ния задачи (рис. 109).
Воспользуемся системой координат, указанной на рис. 109.
Уравнения равновесия в этом случае будут иметь вид
ViPli + pF' = 0, C.18)
причем F2 = F3 = 0 и F1 = g.
Определение напряжений Для Реше™я уравнений равновесия при-
мем, что
„22 т,33 т,12 „13 т>23 П CQ 4Q\
р — р — р — р —¦ р — и, ^o.iyj
и будем искать р11, для определения которого получим простое
уравнение
Отсюда
где ф (у, z) — пока произ-
вольная функция у и z,
для определения которой
воспользуемся граничным
условием на нижнем тор-
це бруса В (см. рис. 109).
При х = 0 должны иметь
ри = 0 и, следовательно,
*—а, А
I I
I I
ф
= 0.
О)
-/?т?Го™р Рис. 109. К растяжению бруса под
жении (о.1У), (d.ZU) удов- действием собственного веса,
летворяет внутри бруса
всем уравнениям равновесия C.17), а на внешней поверхнос-
ти — условиям рп = 0 (на нижнем торце В и боковой
поверхности бруса). Действительно, на боковой поверхности
бруса 5бок имеем
рп = -pi cos (п, х) + i>2 cos (п, у) + Р3 cos (n, z),
но на 5б0к в силу выбора осей координат cos (n, х) = 0, и
поэтому на основании C.19) на S
На верхнем торце А (х = —I) из C.20) имеем
11 Т ^
C.21)
где S — площадь поперечного сечения, a G = pglS — полный
вес бруса.

330
Гл. IX. Теория упругости
Определение деформаций С помощью закона Гука B.28) при
и перемещений Т = То па основании C.19), C.20) легко
находим компоненты тензора деформаций
_Ра _ pgx
11 ~ ~Е Ж ¦¦
C.22)
Е
Е
-22— ЕЕ
i ^12 = ^33 = ^13 = ^i
которые, очевидно, удовлетворяют уравнениям совместности
C.9).
Для определения перемещений wx, w2, ws имеем следующую
совместную систему дифференциальных уравнений в частных
производных:
dwi
~dx~ =
dwi
р|ж
Е ¦
gpgx
Е '
i dw\ , dw3 dw2 | dws ^
3z *~ dx dz du
C.23)
Интегрируя первую группу этих уравнений, получаем
*>1 = -Р-Ш + Ъ (*/'z).
w, =
Е
(х, У).
C.24)
Подставив C.24) во вторую группу уравнений, будем иметь сле-
дующие уравнения для определения функций грх, -ф2, i|K:
Е
0,
3ij53 ^_ aifi q
9ib2 , дгЬз п
т —a— = v.
Если ввести переобозначение
C.25)
«Pi (^. z) =
Фз = 'Фа.
C.26)
то система уравнений C.25) для г^, i|J, г|53 сведется к решенной
выше системе уравнений C.12) для ф/, ф2, Фз- Следовательно,
решение системы уравнений C.23) можно непосредственно

§ 3. Задачи об одноосйом растяжении упругого бруса 331
выписать с помощью C.24), C.26) и C.14). Оно имеет вид
= - ш[а;2
w2 — ??$pt — ulz -j- а3х
spgxz .
C.27)
Условия для однозначного Для исключения перемещения бруса как
определения перемещений абсолютно твердого примем, что при
х = —I, у = 0, z = 0, т. е. в центре верх-
него торца, выполняются следующие условия:
w = О,
dws dwi « dwi dws r\ diV2 dw\ «
¦^"""аГ^0' "й7~"^~~и' 9J~1^~U-
Тогда
aj^ = a2 = a3 = гпц = 1^ = 0, k^ = -^g ij.
Формулы C.27) для перемещений принимают вид
C.28)
Точки оси бруса (у = z = 0) перемеща-
Анализ полученного ются вертикально (w2 = w3 — 0); во всех
решения других точках, кроме точек сечения
х = 0, горизонтальные перемещения отличны от нуля. Рас-
смотрим внутри или на поверхности бруса частицы, рас-
полагавшиеся до деформации на прямой, параллельной оси
х (у=у0, z = z0). После деформации эти частицы будут лежать
на линии у == у0 -+- wit z — z0 -\-w3 или
т. е. они вновь образуют прямую линию. Прямая C.29) и ось
бруса, очевидно, пересекаются в точке
координаты которой не зависят от z0 и у0. Следовательно,
если в брусе взять любой цилиндр с осью Ох, то после дефор-
мации он перейдет в конус с вершиной на оси х в точке C.30).

332 Гл. IX. Теория упругости
Плоские поперечные сечения бруса после деформации пере-
стают быть плоскими.
Действительно, плоское сечение х = х0 после деформации
будет иметь уравнение х = х0 -\-wx или
т. е. превращается в поверхность параболоида вращения. На
рис. 109, б показано сечение бруса плоскостью хОу после де-
формации.
Наибольшее напряжение рп получается в верхнем сечении
бруса. Оно но зависит от площади поперечного сечения и да-
ется формулой
(Pll)max = Pgl- C.31)
Если для данного материала известно максимальное напря-
жение, которое он может выдержать при растяжении, то по фор-
муле C.31) можно оценить наибольшую длину троса или стерж-
ня из этого материала, при котором он не разорвется под дей-
ствием собственного веса. Такие оценки необходимы, напри-
мер, при расчете труб, которые опускаются в нефтяные скважины
(в настоящее время имеются скважины глубиной 5—6 км и
больше).
В точках верхнего торца бруса А имеются как вертикальные,
так и горизонтальные перемещения.
Решение, строго говоря, справедливо только в том случае,
когда полученные смещения допускаются способом заделки
бруса. Однако по принципу Сен-Венана (см. ниже, § 5) прибли-
женно это решение может быть использовано, например, в слу-
чае жесткой заделки, если поперечное сечение бруса не слиш-
ком велико по сравнению с его длиной и, следовательно, влия-
ние способа крепления верхнего сечения бруса мало сказы-
вается на деформациях в основной его части.
§ 4. Деформации и напряжения, возникающие
в круглой трубе из упругого материала под действием
внутреннего и внешнего давлений (задача Ламе)
Рассмотрим круглую цилиндрическую трубу из упругого
материала, подчиняющегося закону Гука. Требуется найти
напряжения и деформации в стенках трубы при условии, что
она находится под действием внутреннего ра и внешнего рь
давлений при постоянной температуре Т = То, соответствую-
щей отсутствию «температурных» напряжений при отсутствии
деформаций, которую назовем «равновесной».

§ 4. Задача Ламе
333
Концы трубы закреплены так, что перемещения вдоль ее
оси отсутствуют, а перемещения в поперечном направлении
ничем не стеснены (рис. 110).
Рис. НО. Труба под действием внутрен-
него и внешнего давлений.
Пусть известно, что, когда ра — рь = 0, деформации и на-
пряжения в стенках трубы отсутствуют. Примем это состояние
за начальное, тогда sy = 0 и существуют перемещения w
от начального состояния к рассматриваемому деформирован-
ному, возникающему при ра и рь не равных нулю.
„ „ Напишем полную систему уравнений и
Система уравнении г
'г необходимые граничные условия рассмат-
риваемой задачи. Система уравнений состоит из а) уравнений
равновесия (без учета массовых сил)
V = 0,
б) закона Гука
в) выражений деформаций через перемещения (относитель-
ные смещения предполагаются малыми)
Граничные условия
Граничные условия на внешней и внут-
ренней боковых поверхностях трубы
записываются в виде (см. рис. 110)
Рп = — Рап при г = а,
рп = — Рьп при г = Ь,
где "через а и Ъ обозначены внутренний и внешний радиусы

334
Гл. IX. Теория упругости
поперечного сечения трубы до деформации, а через п — внеш-
няя нормаль к соответствующим боковым поверхностям. Обра-
тим внимание.что мы требуем выполнения граничных условий
на границах, которые имела труба до деформации. При этом
мы снова пользуемся тем, чтЪ относительные перемещения час-
тиц трубы малы.
Для трубы конечной длины X необходимо написать также
граничные условия на торцах z = 0 и z = X. Соответствую-
щие граничные условия имеют вид
wn = 0, рпт = 0 при z = 0, z — X,
где п— нормаль к торцовым поверхностям, а т—¦ вектор,
лежащий в плоскости торцов г). Условие рпт — О связано с
предположением, что крепления концов трубы не препятствуют
перемещению частиц в направлении, перпендикулярном к оси.
Ввиду очевидной симметрии задачи для
си™аР^оорд1ат ее Рвения удобно пользоваться цилин-
дрической системой координат х1 = г,
х2 = 9, х3 = z (см. рис. 110).
Напомним (стр. 180 т. 1), что в цилиндрической системе
координат
ds* = gijdx'dx^ = dr2 + г2 dQ2 + dz2,
следовательно, матрицы ||g^|| и |gyfl метрического тензора имеют
вид
1
0
0
0
г2
0
0
0
1
1
0
0
0
1
г2
0
0
0
1
Длины соответствующих базисных векторов таковы:
Для символов Кристоффеля Т)к в цилиндрической системе
координат имеем Г^ = — г, Г^ = Г^ = —, остальные Т]к
равны нулю.
*) Вместо граничного условия для перемещений wn = 0 на торцах
можно рассмотреть другие условия, например, условие отсутствия напря-
жений Раз = 0 и т. п.

§ 4. Задача Ламе
335
Перемещения, деформации Очевидно, что в рассматриваемом случае
и напряжения при цилин- можно искать решение задачи, считая,
прической симметрии *\. mi >
r r что все искомые функции зависят только
от координаты г, и для вектора перемещения w полагать
Щ = w (г)> Щ = ">з = 0 D.1)
Тогда для компонент тензора деформаций получим следу-
ющие выражения:
dw
IF '
<JW\ pa
°22 — " 2*^2 — ла ~^ "^cc^ 22 —
^33 =
= — — м;а133 = 0,
1 (dwi , dwi o pa \ n
1 ._ _ . 1
81s = — (Viu;3 -+ V8M7i) = —
dwi o pa \ A
aT - 2м;аГ13] = 0,
1 (diva . dwi г. pa \ л
D.2)
1 (diva

Первый инвариант тензора деформаций выражается через
w (г) следующим образом:
Получим теперь выражения для компонент тензора напря-
жений, пользуясь законом Гука.
Имеем
, п dw
D.3)
dr г
за « / dw
Определение перемещений Поэтому из трех уравнений равновесия
два удовлетворяются тождественно, а
уравнение в проекции на ось х1 = г

336 Гл. IX. Теория упругости
приводится к следующему одному уравнению для перемещения
xv (г), которое могло бы быть получено и непосредственно из
уравнений равновесия в перемещениях Ламе (см. стр. 176 т. 1)
при условии D.1):
Из D.1) и D.3) видно, что граничные условия на торцах ци-
линдра удовлетворяются при любом w (г). Условия на боковых
поверхностях дают
D.5)
Интегрируя D.4), получим
отсюда
dw , w I dwr .
= -3- = COnst,
dr ' г г dr '
w = At + ~ . D.6)
Константы А и В определяются с помощью условий D.5):
2(к -}- \\) А — 2]iB —5- = — ра, 2 (jh -f- |a) A -
откуда
l ^
(б2 — о2) 2[х *
Формулы D.2), D.3), D.6) и D.7) позволяют найти дефор-
мации и напряжения в любой точке стенки трубы.
Проведем исследование напряженного со-
Распределеиие напряжений стояния стенок трубы. Наилучшее пред-
в стенках трубы ставление о действительной величине на-
пряжений дают так называемые «физи-
ческие компоненты» тензора напряжений, т. е. компоненты
в единичном базисе (см. стр. 179 т. 1).
Легко видеть, что в рассматриваемом случае физические ком-
11 22 ЗД
поненты /)фИЗ, Рфиз» Рфиз совпадают с главными компонентами
тензора напряжений. Так как векторы базиса эг и э3 имеют
единичную длину, то р^аз = р11, р|3из = р33. Длина базисного

§ 4. Задача Ламе
337
вектора э3 равна г, поэтому контравариантная компонента рп
меньше физической компоненты pfB3 в г2 раз, т. е.
Рфиз = т^р22. Вводя обозначения рФи3 = prr, р|ив = Рее,
—b2_az\l r2 62 —a2 \ r2 J '
= г2;?23
a'pa - I
A, -f j
D.8)
/Sr
Ргг'
г-аг
' b2-v
Отсюда видно, что при положительных ра и рь величина
ргг всегда отрицательна, т. е. частицы трубы испытывают
вдоль оси г сжатие. Знаки рвв и pzz зависят от соотношения меж-
ду рашрь. Рассмотрим сна-
чала случай, когда рь = 0.
Распределение напряже-
ний по толщине стенки " """ L Г>4да
трубы представлено для мЧЬ>
этого случая на рис. 111.
Наиболее опасными на-
пряжениями являются в
данном случае растягиваю-
щие (положительные) нап-
ряжения рве, так как они
могут вызвать появление
трещин и разрушение тру-
бы. Растягивающие нап-
ряжения pzz ВСЮДУ МеНЬ-
ше, чем рве-
Максимальные по вели-
чине напряжения (при
ра ~> 0) возникают на
внутренней поверхности
трубы. Поэтому при повы-
шении внутреннего давле-
ния на внутренней поверхности трубы прежде всего могут про-
изойти пластические деформации или возникнуть трещины.
Рассмотрим, насколько улучшаются ус-
Влияние толщины стенок ловия работы стенок трубы при увели-
на распределение напря- чении толщины стенок (выгодно ли уве-
в иих личивать толщину стенок трубы?). За-
фиксируем величину а и исследуем изменение наиболее важ-
ной величины рвв(г = а) в зависимости] от внешнего радиуса
Ъ, считая по-прежнему, что рь = 6.
"Ргг
Рис. 111. Распределение напряжений в
стенках трубы, находящейся под дей-
ствием внутреннего давления при от-
сутствии внешнего давления (сплошная
линия) и с внешним давлением (пунк-
тирная линия)

338
Гл. IX. Теория упругости
Имеем
(г = а) = ра
• — 1
Изменение рва (г = а) при увеличении Ъ показано на рис. 112.
Ра
Влияние внешнего
давления
Рис. 112. Величина pee (г = а) в зависимости от внешнего
радиуса трубы.
Следовательно, при увеличении толщины стенки довольно
быстро наступает такое положение, что дальнейшее сильное
увеличение Ъ приводит к малозаметному уменьшению раз-
рывающего напряжения рвэ(г=а). Поэтому большое уве-
личение толщины стенок не дает существенного увеличения
прочности трубы.
Формулы D.8) показывают, что pw и ргг
уменьшаются, если отлично от нуля внеш-
нее давление рь. При этом распределение
напряжений в стенке трубы становится более равномерным
(см. рис. 111). Это приводит к мысли об использовании состав-
ных труб с внутренними напряжениями для того, чтобы сущест-
венно улучшить условия работы внутреннего слоя, не увели-
чивая общей толщины стенки составной трубы.
Предположим, что имеются две трубы,
О решении задачи Ламе причем наружный диаметр первой (мень-
для составной трубы г„ч * и е
г' шеи) трубы ох несколько больше, чем
внутренний диаметр а2 второй (большей) трубы. Если каким-
либо способом (например, с помощью предварительного нагре-
вания второй трубы) надеть вторую трубу на первую, то при
«равновесной» температуре Т = То и отсутствии внутреннего
и внешнего давлений получится система с внутренними нап-
ряжениями.
Рассмотрим задачу о нахождении напряжений и деформа-
ций в такой составной трубе под действием внутреннего и внеш-
него давлений. Прежде всего заметим, что полученные выше
формулы не дают решения этой задачи. Действительно, из D.8),

§ 4. Задача Ламе 339
в частности, видно, что p,r=Pe9=pZz== О ПРИ Ра — Рь — 0.
Однако это заведомо не так в рассматриваемом случае.
Решение D.8) не годится здесь потому, что при его получе-
нии использовалось предположение о существовании непрерыв-
ных однозначных перемещений от начального ненапряженного
состояния к деформированному. В данном случае можно полу-
чить действительно ненапряженное состояние во всех частя-х
системы, если вытащить одну трубу из другой и убрать все внеш-
ние нагрузки. Мысленно разгрузку можно произвести без вы-
таскивания трубы, однако при этом нарушится однозначность
перемещений, поэтому непрерывных однозначных перемещений
к ненапряженному начальному состоянию в этом случае не
существует.
Запишем полные напряжения рполн в виде суммы началь-
ных напряжений рг03 и дополнительных напряжений ру, воз-
никающих от действия внешних сил: Р^олн = Р% + рг'.
Если в материале происходят только малые деформации
и он подчиняется закону Гука, то дополнительные напряжения
р1' связаны с дополнительными деформациями &tj такими же
соотношениями, которые имеются для полных напряжений, и
деформаций. В этом случае в силу линейности задачи можно
определять рч по внешним нагрузкам так, как если бы на-
чальных напряжений и деформаций не было. Внутренние на-
чальные напряжения (а следовательно, и полные напряжения)
можно определить, только если известна технология изготов-
ления данной детали.
Если рассматриваемая задача нелинейна (относительные
смещения не малы или напряжения связаны с деформациями
нелинейными соотношениями и т. д.), то дополнительные (от
внешних сил) напряжения и деформации нельзя определить,
если начальные напряжения и деформации неизвестны.
Как определить начальные напряжения
Определение начальных^ в рассматриваемой составной трубе?
напряжении в составной Рассмотрим отдельно каждую из двух
труб, используемых в этой конструкции.
Очевидно, что действие их друг на друга можно заменить дей-
ствием некоторого давления Зь. Тогда можно использовать
для каждой трубы в отдельности полученное выше решение,
в котором для внутренней трубы (с а = аъ Ъ = Ьх) надо поло-
жить ра = 0, рь — Зь, а для внешней трубы (с а = а2, Ъ = Ь2)
ра = дь, рь = 0. В частности, получится, что в стенках внут-
ренней трубы

340
Гл. IX. Теория упругости
в стенках наружной трубы
Для определения величины З3 следует приравнять внешний
радиус первой трубы и внутренний радиус второй трубы после
деформации. Имеем Ъх -f- wx (Ъг) = а% -f- u>2 (а2), причем если
трубы сделаны из одинакового материала, то
1 1~'~г 2(
Для SP получим формулу
дь
V>
Если Ьх^> а2, то 5s — некоторая положительная величина.
Таким образом, распределение «начальных» напряжений,
возникающих в составной трубе при отсутствии внешних сил,
определено. Если составная
труба находится под дейст-
вием внутреннего и внешнего
давлений, то напряжения в
ее стенках представляются
суммой начальных напряже-
ний и напряжений,возника-
ющих от действия внешних
сил, которые в данном случае
определяются так же, как
если бы начальных напря-
жений и деформаций не было.
Распределение полных на-
пряжений в этом случае по-
казано на рис. 113.
Следовательно, при ис-
пользовании составных труб
вместо сплошных в работу до-
полнительно вводятся внеш-
ние слои, а внутренние слои
I III
Prr
Рис. 113. Распределение напряжений
в сплошной (сплошная линия) и со-
ставной (пунктирная линия) трубе,
находящейся под действием внутрен-
него и внешнего давлений (с — гра-
ница составляющих труб).
разгружаются, распределе-
ние напряжений становится более равномерным, прочность
конструкции возрастает.

§ 5. Постановка задач теории упругости
341
Типичные статические
задачи теории упругости
В технике и, в частности, при изготовлении артиллерийских
стволов широко используются конструкции с предварительны-
ми напряжениями, подобранными так, чтобы уменьшить нерав-
номерность распределения напряжений при работе под внеш-
ними нагрузками.
§ 5. Постановка задач теории упругости. Уравнение
Клапейрона. Теорема единственности решения задач
теории упругости. Принцип Сен-Венана
В §§J3 и 4 дано решение двух простейших частных задач тео-
рии упругости. Теперь обратимся к общей теории, касающейся
широкого круга задач теории упругости.
Многие важные задачи теории упругости
являются статическими, т. е. задачами,
в которых требуется найти распределе-
ние перемещений и напряжений внутри упругого тела, нахо-
дящегося в равновесии под действием заданной системы внеш-
них сил или при других заданных внешних условиях. Очевидно,
что главный вектор и главный момент системы внешних сил,
приложенных к упругому телу, в этом
случае равны нулю.
В теории упругости рассматривают-
ся и динамические задачи, например
задачи о колебаниях упругих тел.
Рассмотрим следующие три типич-
ные статические задачи теории упру-
гости, которые отличаются друг от
друга видом граничных условий.
I. На всей поверхности тела заданы
поверхностные силы, требуется найти
напряжения внутри тела [и перемеще-
ния всех его точек, в том числе и пе-
ремещения точек границы.
II. На всей поверхности тела заданы
перемещения, требуется найти переме-
щения внутри тела и напряжения внутри и на границе тела.
III. На части границы тела известны перемещения, а на ос-
тальной части границы действуют заданные внешние силы (или из-
вестно, что некоторая часть поверхности свободна от нагрузок).
Встречаются, конечно, и другие виды граничных условий.
Например, можно поставить следующую задачу: найти напря-
женное и деформированное состояния бруса, если на его верх-
нем торце действуют заданные внешние силы, боковая поверх-
ность свободна от нагрузок, а нижний торец упирается в иде-
ально гладкую жесткую поверхность (рис. 114). В этом случае
Рис. 114. Сжатие бруса,
помещенного на идеально
гладкую жесткую пло-
скость.

342 Гл. IX. Теория упругости
на нижнем торце частично известны перемещения (wn = 0)
и частично — силы, так как рпх = 0 в силу отсутствия трения.
Указанные задачи рассмотрены ниже при следующем до-
полнительном предположении, которое входит в их постановку.
Принимается, что при определении компонент тензора дефор-
маций начальное состояние сравнения является действительно
осуществимым состоянием, по отношению к которому можно
ввести перемещения. Если выбор начального состояния дик-
туется какими-либо физическими условиями (например, усло-
вием, что начальное состояние должно быть ненапряженным),
то это допущение можно трактовать как характеристику тех-
нологии изготовления изучаемых образцов и тел.
Отметим, что в задачах о равновесии и
В линейной теории движении упругих тел (за исключением
упругости область, задачи вида II, когда заранее задаются
в которой математически rt м » м ^ м
формулируется задача, перемещения границы) поверхность де-
фиксирована формируемого тела, на которой задаются
граничные условия, заранее неизвестна
и должна быть найдена в процессе решения задачи. Однако
в линейной теории упругости предполагается, что деформиро-
ванная поверхность тела мало отличается от его начальной
недеформированной поверхности. В этом случае, пренебрегая
малыми второго порядка, можно считать, что граничные усло-
вия должны выполняться на недеформированной, а следова-
тельно, известной поверхности (см. гл. VII т. 1). Именно так
мы поступали при решении задач о простом растяжении бруса
и о деформации трубы под действием заданных внутреннего и
внешнего давлений.
При решении задач теории упругости можно использовать
различные эквивалентные системы уравнений, которые рас-
сматриваются подробно ниже. Отметим, однако, сразу, что эти
различные системы представляют собой записанные в разных
формах уравнения импульсов, закон Гука и уравнения совмест-
ности (к этим уравнениям, в случае необходимости, добавляются
уравнение неразрывности и уравнение притока тепла).
Во многих задачах, особенно если на
О постановке задач границе тела заданы перемещения, удоб-
в перемещениях. но в качеСтве основных уравнений брать
Уравнения Ламе с учетом Jr r
тетературных напряжений уравнения теории упругости в переме-
щениях — уравнения Ламе (см. гл. IV
т. 1). Уравнения Ламе получаются, как известно, из общих
уравнений количества движения с использованием закона
Гука и формул A.1), выражающих компоненты тензора дефор-
маций через перемещения (при условии, что относительные
смещения малы, а е^, входящие в закон Гука, могут быть выра-
жены через перемещения).

§ 5. Постановка задач теории упругости 343
В рассматриваемой здесь линейной теории уравнения Ламе
для однородного изотропного тела с учетом температурных
напряжений на основании формул B.25) можно написать
в виде
Ро —gp- = Pn^ + (^ + V) grad div w + \xkw — (ЗА. + 2\n) a grad T.
E.1)
Если объемные силы и температура как функции координат
известны и на границе заданы перемещения, то из уравнений
E.1) с известными начальными данными можно найти переме-
щения внутренних точек тела и таким образом решить задачу
теории упругости в перемещениях. Напряжения после этого
вычисляются с помощью закона Гука. Уравнения совмест-
ности деформаций при такой постановке задачи удовлетворя-
ются автоматически, так как формулы, выражающие деформа-
ции через перемещения, представляют собой, как известно,
общее решение уравнений совместности.
Другой распространенный путь решения
О постановке задач в задач о равновесии упругих тел — реше-
напряжениях ние задач в напряжениях. При этом ис-
пользуются уравнения равновесия в напряжениях
PoFl + V#y = 0. E.2)
Эти три уравнения содержат вообще шесть неизвестных ком-
понент тензора напряжений и составляют незамкнутую систе-
му. В некоторых случаях, например из симметрии задачи, мож-
но заранее заключить, что в уравнения E.2) входят только три
неизвестные компоненты напряжений, а остальные известны
или равны нулю. Тогда система E.2) может рассматриваться
отдельно, независимо от закона Гука. Если на границе известны
рп, то в этом случае можно найти напряжения, пользуясь
только уравнениями E.2). Такие задачи называются стати-
чески определимыми.
В общем случае система E.2) не замкнута.
Уравнения^ q помощью закона Гука из уравнений
ельтрами — ичелла совместности деформаций можно полу-
чить дополнительные уравнения, которым должны удовлетво-
рять компоненты тензора напряжений. Эти уравнения называв
ются уравнениями Бельтрами — Мичелла. Они могут быть
выведены следующим образом.
Из уравнений совместности деформаций
+ ViV,ew - V,V,ew - VtVpu = 0

344 Гл. IX. Теория упругости
с помощью свертывания тензора R^i можно получить
- Я?* = Aei} + УЗД (е) - VjVfce'V - VfcV^ = 0, (a)
K* = 0, F)
где А — оператор Лапласа. Заменяя в соотношениях (a)
с помощью закона Гука
- -Y&gi) + а (Т - Го) gM
и используя уравнения равновесия E.2) и равенство (б), по-
лучим (если Е, а, а, Т9 постоянны) уравнения Бельтрами —
Мичелла
div pgw + iPoi + ^
^ = 0- E-3)
Аналогичные уравнения для движущегося упругого тела
получаются, если заменить p0F в E.3) через р0 (F—a) (к мас-
совым силам добавляются силы инерции, а — ускорение
точек среды относительно инерциальной системы координат).
Если объемные силы постоянны (как, например, сила тя-
жести) и температура тоже постоянна, то уравнения Бельтра-
ми — Мичелла принимают следующий простой вид:
причем в декартовых координатах З5 = рп +Ргг +Рзз-
Свойства компонент Складывая три уравнения E.4), соот-
тензора напряжений ветствующие i = /, получим
в случае постоянных да __ q E 5)
объемных сил и темпера- " \ • /
туры С использованием этого равенства
легко вывести из E.4), что
&Ари = 0. E.6)
Таким образом, каждая из компонент тензора напряжений
в случае постоянной температуры и постоянных объемных
сил является бигармонической функцией, а первый инвариант
тензора напряжений — гармонической функцией.
В рассмотренных в § 3 задачах о растяжении бруса компо-
ненты тензора напряжений были постоянными или линейными
функциями координат, поэтому уравнения Вельтрами автома-

§ 5. Постановка задач теории упругости 345
тически удовлетворялись. В общем случае, если отлична от
нуля только компонента р1г тензора напряжений, то из урав-
нений E.4) легко получить, что рп может быть только линей-
ной функцией координат
рп = ах1 -f- Ьхг -f- ex3 -f- d,
где а, Ь, с, d — константы.
Суперпозиция решений В раМКаХ линейной те°Рии упругости,
очевидно, справедлив принцип суперпо-
зиции решений. Пусть имеются два решения: W(i), р%ц\) и
Щи.), Рши), описывающих напряженно-деформированное состо-
яние одного и того же тела при действии на него внешних мас-
совых сил F(i) и F(ii) при следующих условиях на границе тела
2 =21+22:
= Wi на Sa,
Щ\)= $1 на 2ь w(H) = w2 на 2j,
соответственно. Тогда
W =
дают решение задачи о перемещениях и напряжениях в этом
теле под действием массовых сил F(i) -j- -F'(ii) при заданных
поверхностных силах рп = #"+#" на части 2Х границы
и при заданных перемещениях w = w^ -j- ^2 на части 22
границы.
Так, например, с помощью решений рассмотренных выше
двух задач о растяжении бруса под действием равномерно рас-
пределенных по его торцам сил и о растяжении бруса под дей-
ствием его веса можно сконструировать решение задачи о рас-
тяжении тяжелого бруса силами, равномерно распределенными
по его торцам.
При решении многих задач теории упру-
О единственности решения Г0Сти, так же как в задачеГо растяжении
задач tcodhh упштости « *
r ' rj тяжелого бруса, значения неизвестных
величин частично подбираются из каких-либо интуитивных
или опытных соображений, а частично определяются из основ-
ных уравнений. В связи с этим может возникать естественное
чувство неудовлетворенности, так как требуется исключить
возможность существования других решений. Это чувство
можно устранить, доказав единственность решения задач теории
упругости. Отметим заранее, что решение статических задач
теории упругости единственно только в случае малых от-
носительных перемещений.

346
Гл. IX. Теория упругости
Действительно, рассмотрим, например, задачу.о равновесии
тонкого заделанного на одном конце прямоугольного стержня
под действием силы, приложенной на другом
его конце (рис. 115). В этом случае при до-
статочно большой силе F возможно неедин-
ственное решение задачи. Стержень может
остаться прямолинейным или изогнуться,
например, так, как показано на рис. 115.
Перемещения частиц стержня из положе-
ния а в положение Ъ (и, в частности, отно-
сительные повороты) будут конечными. Не-
единственность решения задачи в этом слу-
чае связана с неустойчивостью рассматри-
ваемой упругой системы, проявляющейся
при достаточно большой величине приложен-
ной силы. Оказывается, что возможно нес-
колько положений равновесия, но не все
они устойчивы.
С целью доказательства единственности
решения статических задач линейной тео-
Рис.~115. Два воз-
можных положе-
ния стержня под
действием сосредо-
точенной силы.
Уравнение Клапейрона
рии упругости установим теорему Клапейрона. Возьмем урав-
нения равновесия для простоты в декартовой системе координат
E.7)
Умножим уравнения равновесия на соответствующие компо-
ненты некоторого вектора w, который можно рассматривать
как конечный или малый вектор действительного или возмож-
ного перемещения точек среды х):
дх>
= 0.
E.7')
В случае симметричного тензора напряжений (рУ = pi%) по-
следний член этого уравнения можно преобразовывать следую-
щим образом:
где
J) Последующие выводы связаны с допущениями, что компоненты
вектора w (u?j) и тензора напряжений p*J — непрерывные дифференцируе-
мые функции координат в объеме пространства, занятого телом.

§ 5. Постановка задач теории упругости 347
«у можно рассматривать как компоненты тензора деформа-
ций, соответствующие малым перемещениям w.
Проинтегрировав E.7') по всему объему V, воспользовав-
шись теоремой Гаусса — Остроградского и тем, что
рьщщс1з = (рп)г w^da,
получим
<\Po(F-w)dx+ \(pn-w)de = \p\,dx. E.8)
v a v
Это равенство, когда го—мысленное бесконечно малое смещение,
можно рассматривать как уравнение принципа возможных пере-
мещений в теории упругости, эквивалентное системе уравне-
ний E.7).
Пусть теперь w представляет собой вектор перемещений,
которые испытывают точки тела под действием данных поверх-
ностных и массовых внешних сил. Для малых деформаций
можно ввести (см. § 2) свободную энергию единицы объема
Ф = p0F так, что
Р ~ **, •
Тогда равенство E.8) примет вид
jj (pn¦ w) da = \ ви ^ dx. E.9)
V В V "
Это равенство представляет собой теорему Клапейрона. Оно
верно и в том случае, когда рассматриваемая среда не подчиг-
няется закону Гука. Однако, если тело подчиняется закону Гука,
то в случае изотермических процессов Ф можно считать одно-
родной квадратичной*формой егу- (с точностью до аддитивной
константы), т. е.
шгп + const.
В случае изотропного тела, отбрасывая несущественную по-
стоянную, имеем (см. B.24))
По теореме об однородных функциях получим
еи^- = 2Ф. E.10)
Если ввести ]$ =*}(!)dx— полную свободную энергию тела

348 Гл. IX. Теория упругости
в целом, то равенство Клапейрона E.9) можно записать в виде
n-w)d3 = 2j&, E.11)
Это равенство представляет собой теорему Клапейрона для
среды, подчиняющейся закону Гука.
Если коэффициенты Ламе К я \i положительны (что подтвер-
ждается опытными данными), то свободная энергия Ф в случае
изотермических процессов в изотропной среде, подчиняющейся
закону Гука, является дефинитной (положительно определен-
ной) квадратичной формой. Положительная дефинитность ква-
дратичной формы Ф имеет место и в случае неизотропных тел.
Единственность решения Докажем теперь единственность решения
указанных выше статических задач тео-
рии упругости типа I, II и III в случае Т = То и в предполо-
жениях, при которых справедливо равенство Клапейрона
E.11) (среда подчиняется закону Гука, а относительные переме-
щения однозначны, непрерывны и малы).
Доказательство проведем от противного. Допустим, что
поставленная задача имеет два различных решения:
Щ1), 8уA), РуA) И W{U), Вщщ, РЩ11).
Рассмотрим разности
w = w(i) — г*>(п), еу = sm) — ei;(n), pi} = pm) — Рщщ. E.12)
Если первое и второе решения, согласно сделанному допущению
о существовании двух решений задачи, соответствуют одина-
ковым граничным условиям и массовым силам, то введенные
разности являются решением, соответствующим заданным ну-
левым граничным значениям поверхностных сил и перемещений
и отсутствию массовых сил. Поэтому, применив к решению
E.12) равенство Клапейрона E.11), получим
3=0- E.13)
Отсюда в силу дефинитности Ф сразу следует, что е,-7- = О,
а из закона Гука, что и рц = 0. Так как etJ = 0, то перемеще-
ния w могут представлять собой только перемещения упругого
тела как абсолютно твердого. Если при формулировке задачи
используются одни и те же предположения, исключающие та-
кие перемещения, то и w = 0. Таким образом, гищ = г#(Ц),
в«Я1) = 8«<п>» Р щ!) = Рщщ, и единственность решения задач
типа I, II и III доказана.
Заметим, что для того, чтобы проведенное доказатель-
ство оставалось справедливым, достаточно, чтобы граничные

§ 5. Постановка задач теории упругости
349
условия на всей поверхности тела 2 для разности двух решений
удовлетворяли условию:
(pn-w)da = О,
которое может выполняться не только в задачах типа I, II и III.
Сформулируем теперь очень важный прин-
Принцип Сен-Венана цип Сен-Венана, который заключается
в следующем.
Если в некоторой области внутри или на поверхности тела,
малой по сравнению с основными размерами тела, на него дей-
ствует система массовых или поверхностных сил и тело нахо-
дится в равновесии, то в областях, удаленных от места прило-
жения этих сил, деформированное и напряженное состояния
определяются в основном только главным вектором и главным
моментом этих сил и приб-
лиженно не зависят от деталь-
ного характера распределе-
ния сил. Влияние деталей
распределения сил практиче-
ски сказывается только в
непосредственной окрестно-
б
а)
Рис. 116. Силы а) и б) производят
одинаковое действие на стержень
вдали от торца А.
сти области их приложения.
Принцип Сен-Венана вы-
текает из следующего общего
свойства решений задач тео-
рии упругости. Если в какой-
либо малой по сравнению с
размерами всего тела части А
приложена статически уравновешенная система [сил, то она
вызывает в нем напряжения, очень быстро убывающие по мере
удаления от А. Допустим, что мы зажимаем тисками проволо-
ку, причем концы тисков сжимают проволоку так, что действу-
ющая на нее система сил уравновешена. Тогда очевидно, что,
как бы ни были велики эти силы (они даже могут перерезать
проволоку), они почти не вызовут напряжений в основной мас-
се проволоки вне области, непосредственно примыкающей к
месту защемления.
Принцип Сен-Венана подтверждается множеством опытных
данных и подкреплен многими численными расчетами на част-
ных примерах.
Из принципа Сен-Венана, в частности, вытекает, что напря-
женное и деформированное состояния в длинном упругом брусе,
растягивающемся под действием собственного веса, в области,
достаточно удаленной от заделанного торца, не зависят от

350 Гл. IX. Теория упругости
способа его заделки или что напряженное и деформированное
состояния в длинном стержне в основном не изменятся, если
в задаче о растяжении бруса внешними поверхностными силами
распределение сил (а) (рис. 116) заменить имеющим ту же рав-
нодействующую F распределением сил (б).
Принцип Сен-Венана позволяет получать приближенные
решения различных задач теории упругости с помощью реше-
ний аналогичных задач для частных распределений действую-
щих сил.
§ 6. Задача об изгибе балки
Рассмотрим упругую цилиндрическую балку произвольного
поперечного сечения (рис. 117). Предположим, что на боковой
¦J
Рис. 117. Цилиндрическая балка под действием
крутящего Мх п изгибающего М% моментов
(М2= №vj+Mzk).
поверхности Б балки рп = 0, на торце 22 рп ф 0, причем
т. е. на торце Б 2 балки действуют пары сил с общим моментом М.
Балка по условию находится в равновесии, поэтому^на торце 1,1
pnd3 = 0 и ^ (г X р") ds = — М,
Si
т. е. на Бх также должны действовать пары сил, общий момент
которых равен по величине и противоположен по знаку момен-
ту пар, действующих на 22. В общем случае момент М мо-
жет иметь произвольное направление.
Выберем правую декартову систему ко-
Крутяший и изгибающий ординат х, у, z так, чтобы ось х была на-
моменты; чистый изгиб п?авлена п?оси балки и проходила через
центры тяжести поперечных сечений, а оси у и z направим по
главным осям инерции поперечного сечения (рис. 117),
Разложим момент М, действующий на торце 2а, на три
составляющие М = М si + Myj + MJe. Очевидно, под

§ 6. Задача об изгибе балки 351
действием Мх балка будет закручиваться, а под действием мо-
ментов Му и Mz — изгибаться. Поэтому Мх называется крутя-
щим, а моменты Му и Mz изгибающими моментами.
В силу линейности задач теории упругости решение задачи
об определении напряженного и деформированного состояний
балки под действием произвольно направленного момента М
можно получить как сумму решений трех задач: задачи о кру-
чении под действием момента М х и двух задач об изгибе балки
под действием моментов Му и Mz. Ясно, что последние две за-
дачи об изгибе балки, по существу, совершенно аналогичны.
Рассмотрим подробно задачу об изгибе балки под действием
заданного момента Мг = М, когда М х = Му = 0. При этом,
как обычно, будем считать момент М положительным, если
поворот, возникающий под действием М, виден с конца
оси z совершающимся против часовой стрелки.
Деформированное и напряженное состояния находящейся
в равновесии балки, возникающие под действием только изги-
бающего момента Ш, когда главный вектор сил, приложенных
к каждому из торцов балки, равен нулю, называются чистым
изгибом.
В следующем параграфе будет приведено решение задачи о
кручении балки. Как в задаче об изгибе, так и в задаче о кру-
чении для простоты примем, что температура различных точек
балки одинакова и постоянна во времени (Т = То) и что мас-
совые силы отсутствуют. Кроме этого, примем, что тензор де-
формаций определяется перемещениями, которые можно счи-
тать малыми.
Легко видеть, что, если на торце 22
Распределение напряжений принять следующее частное распределе-
на торце 2 ние внепших поверхностных сил
2>п = Рп*, Ри=—Щ, F.1)
то, учитывая условия выбора системы координат, получим, что
главный вектор этой системы напряжений будет равен нулю,
а главный момент будет иметь составляющую только по оси z.
Действительно, ) Рп dz = — а* \ У d3 = °. так как ось х
проходит через центр тяжести поперечного сечения,
так как рп параллельно оси х, а
Му = J (ГХpn)yd3 = a J yzdu = 0,
L

352
Гл. IX. Теория упругости
так как оси у и z совпадают с главными осями инерции попереч-
ного сечения и, наконец, имеем
M = М2 == \ (rXpnJda = к
S2 2.
= к/,
F.2)
где / — момент инерции поперечного сечения балки Б от-
носительно оси z. Из F.2) для коэффициента а вытекает
формула
м
Примем еще, что на торце Бх действуют поверхностные силы,
распределенные по закону
(Pnhi = _ (рп)а># F.3)
На рис. 118 изображено распределение напряжений
%>\ — —аг/inps, = ауг на торцах 2Х и 2а. Непосредственно
очевидно, что такое распределение внешних сил вызовет изгиб
Рис. 118. Распределение напряжений рп на тор-
цах 2Х н 22.
балки. Ниже получим точное решение задачи об изгибе
балки моментом Ж" только для случая, когда поверхностные силы
на торцах Бх и Б2 распределены по законам F.1) и F.3). Прак-
тическое применение этого решения не ограничивается такого
рода случаями. Из принципа Сен-Венана следует, что получен-
ное решение будет справедливо в части балки, достаточно уда-
ленной от ее торцов, и в том случае, когда на 22 (и 2Х) задано
любое другое распределение напряжений рп, приводящееся к
заданному моменту М (и —М).

§ 6. Задача об изгибе балки
353
Напряжения внутри балки Для получения решения положим, что
во всех точках внутри и на поверхности
балки для компонент тензора напряжений верны равенства
м
Ри = j- У, Рп = Ргз = Ргч. = Ргз = Рзз = 0. F.4)
Очевидно, что уравнения равновесия
при этом удовлетворяются и будут удовлетворены также все
граничные условия.
Действительно, из приведенного выше рассуждения непо-
средственно видно, что решение F.4) удовлетворяет граничным
условиям на 22 и Бх. На боковой поверхности балки в силу вы-
бора осей координат имеем cos (n, х) = 0, поэтому
рп = рх cos (п, х) + Pi cos (п, у) + р3 соз (п., z) = 0.
С помощью закона Гука B.28) по извест-
ным компонентам тензора напряжений
F.4) легко найдем значения компонент
тензора деформаций:
dw-i <sMy
Компоненты тензора
деформаций и вектора
перемещений
дин
~дх~
дюз
My
~ ~Ш
сМу
е12 = егз = е1з —
F.5)
Отсюда видно, что при чистом изгибе элемент балки, совпада-
ющий с осью х, не испытывает ни удлинения, ни сжатия. Эле-
менты, параллельные оси х, при у ^> 0 сжимаются, а при у <^ 0
растягиваются.
Непосредственно можно проверить, что решение диффе-
ренциальных уравнений F.5) для перемещений wx, w2, ws имеет
вид
... __ Мух
=-#7 1*4-б foa-
eMyz
F.6)
При этом для устранения перемещений балки как абсолютно
твердой принято, что перемещение и элементарный поворот
главных осей деформации в центре тяжести торца 2Х (т. е.
в начале координат) равны нулю.
12 Л. И. Седов, том 2

354
Гл. IX. Теория упругости
Уравнение изогнутой оси Любая точка (х — х0, у = у0, z = z0)
балки и ее кривизна балки после деформации переходит в
точку с координатами (х, у, z), вычисляемыми по формулам:
F.7)
X = Хп -J- WX — Х0 -jjrj- ,
м
Z = Zo + W3 — Zo
аЛ/.i/ozo
Для точек оси балки (у0 = z0 = 0) получаем
?% = м?з = 0,
Отсюда ясно, что уравнение изогнутой оси балки имеет вид
F.8)
_ м_ 2
У — 2EJX '
т. е. изогнутая ось представляет собой параболу (рис. 119).
Рис. 119. Балка до и после деформации.
Рассмотрим кривизну 1/R изогнутой оси балки
1 _ dQ
R ~~ ds '
F.9)
где R — радиус кривизны, 9 — угол касательной к кривой,
например, с осью х, a ds — элемент дуги кривой. Если кри-
визна мала, то MR m d?y/dx2, поэтому F.8) дает
1
~7Г
М
EJ *
F.10)

§ 6. Задача об изгибе балки
355
Деформация плоских Возьмем некоторое плоское сечение балки
поперечных сечений х = Xq_ Посде деформации ПЛОскость
х = х0 перейдет в поверхность х = Xq-j-Wj^ или по F.7) в по-
верхность
I
I. МуХ
F.11)
Это уравнение определяет плоскость. Следовательно, плоское
поперечное сечение остается плоским после деформации.
Покажем теперь, что при
деформации чистого изгиба пло-
ские поперечные сечения балки,
перпендикулярные до деформа-
ции к оси х, в результате дефор-
мации переходят в плоские се-
чения, перпендикулярные к
изогнутой оси балки. Действи-
тельно, тангенс угла наклона
плоскости F.11) к оси х равен
EJ
Рис. 120. Балки прямоугольного
и двутаврового поперечного се-
чений.
а угловой коэффициент изогнутой оси балки F.8) равен
dy M
хо,
т. е.
tg P tg a = —
Жесткость балки на изгиб Из F.10) видно, что кривизна балки пря-
мо пропорциональна величине изгибаю-
щего момента М и обратно пропорциональна величине EJ,
которая называется жесткостью балки на изгиб. Жесткость
балки EJ, очевидно, зависит через Е от материала, из ко-
торого сделана балка, и через / от формы ее поперечного
сечения.
Рассмотрим, например, две балки из одинакового материала,
причем Поперечное сечение одной из них представляет собой
прямоугольник площади S, а поперечное сечение второй имеет
вид, изображенный на рис. 120 (такая балка называется дву-
тавровой), и имеет ту же площадь S. Очевидно, что момент
инерции /, а следовательно, и жесткость EJ двутавровой балки
будет больше. Поэтому балки, работающие на изгиб (например,
железнодорожные рельсы), обычно имеют двутавровые попе-
речные сечения,
12*

356
Гл. IX. Теория упругости
§ 7. Кручение цилиндрических стержней
Рассмотрим задачу о кручении цилиндрического стержня-
балки. Кручение возникает в том случае, когда момент, дей-
ствующий в концевом сечении балки, не лежит в плоскости по-
перечного сечения. В условиях кручения работает множество
частей различных машин, в частности, валы гидротурбин х) и
всевозможных (автомобильных, самолетных, пароходных и
других) двигателей. Инженеров обычно интересует, какой мак-
симальный момент может воспринять данный вал, каково мак-
симальное значение напряжений, каков угол закручивания
при заданном моменте и т. п.
Поставим задачу об определении напря-
женно-деформированного состояния ци-
линдрического стержня при кручении в рамках теории малых
деформаций. Рассмотрим абсолютное или относительное рав-
новесие вала, причем влияние перемен-
z ной температуры и массовых сил учи-
тывать не будем (в силу линейности
задач теории упругости влияние этих
факторов при необходимости можно
учесть отдельно). Рассмотрим уравне-
ния равновесия
« = 0. G.1)
Постановка задачи
Рис. 121. Обозначения и
выбор осей координат в
задаче о кручении ци-
линдрического стержня.
Система G.1) при условии Т — Тп по-
лучится замкнутой, если к ней добавить
закон Гука и уравнения совместности
деформаций или уравнения Бельтра-
ми — Мичелла.
Выберем декартову систему коорди-
нат, как показано на рис. 121.
Примем, что на боковой поверх-
ности стержня рп = 0. Это условие
можно написать в виде
рг cos (п, х) -{- Рг cos (**» У) + Pa cos (и> z) = 0
или, так как ось z выбрана параллельно образующей цилин-
дрической поверхности 2 (cos (n, z) = 0), в виде
ри cos (п, х) + р21 cos (п, у) = 0, |
р12 cos (и, х) + рю cos (п, у) = 0, I G.2)
pVi cos (n, x) -j- раз cos (и, у) = 0. J
*) Стальные круглые валы современных сверхмощных гидротурбин
имеют диаметр около двух метров.

§ 7. Кручение цилиндрических стержней 357
Пусть на торцах Б2 и Б2 заданы поверхностные силы. Будем
считать, что поверхностные силы на каждом из торцов 2Х и
22 приводятся к паре с моментом, параллельным оси z, a
именно:
\pndz=0, § (rxpn)da= M = М/с,
рп ds = 0, ^ (г X рп) из = — М = —
Ei Si
Если мы получим решение, соответствующее какому-нибудь
распределению напряжений по торцам Ёх и 22, удовлетворя-
ющему условиям G.3), то по принципу Сен-Венана это решение
будет приближенно описывать напряженно-деформированное
состояние в стержне при любом другом распределении сил
по торцам, если только эти силы приводятся к паре
с тем же моментом.
„ Решение поставленной выше задачи было
Предположения о пере- 7^ „
мещениях; формулы Дано Уже около ста лет назаД Сен-Вена-
для е и pii7 ном. При этом он применил полуобратный
li метод, которым мы здесь воспользуемся.
Будем искать перемещения wx, w2, w3 в виде
Wl = —azy, w2 = azx, wz = af (x, y), G.4)
где a — постоянная, а / (x, у) — функция, которую надо найти
в процессе решения задачи.
Нетрудно понять, что если в балке происходят перемеще-
ния вида G.4), то первоначально плоские сечения, перпенди-
кулярные к оси z, поворачиваются около этой оси на угол az,
и, кроме того, искривляются, так что плоскости z = z0 пере-
ходят в поверхности z — z0 -\~af(x, у). Таким образом, угол
поворота каждого поперечного сечения пропорционален рас-
стоянию этого сечения от начала координат, а а представляет
собой угол закручивания на единицу длины балки.
Вычислим компоненты тензора деформаций, соответству-
ющие перемещениям G.4). Имеем
еп = 0, е22 = 0, е33 = 0, е12 = 0, G.5)
a / . а/ \ a / . dj
/
e3i = Ехз = Т\-у+ -te
Если материал стержня подчиняется закону Гуна, то для
напряжений получаются формулы
р13 =
-^J , р23 = afi [x+ -щ) •

358 Гл. IX. Теория упругости
Постановка задачи для Внося выражения G.6) для компонент
?T?Z* ФУ**4™ КРУ тензора напряжений в уравнения рав-
новесия G.1) и граничные условия G.2)
G.3), получим уравнения и граничные
условия, которым должны удовлетворять функция / (х, у) и
величина угла закручивания а.
Из трех уравнений равновесия два (в проекциях на оси
х is. у) удовлетворяются автоматически, а третье приводится
к виду
-^- + ^=0 G7)
Граничные условия G.2) на боковой поверхности дают
«И- {— У + |f) cos (п. х) -Ь «И- (х + ¦^~) cos (n, у) = 0
или
-~ = ycos(n, x) — xcos(n, у) на 2. G.8)
Заметим, что ни в уравнение G.7), ни в граничное условие
G.8) не входит переменная z. Поэтому для того, чтобы найти
решение, достаточно определить функцию / (х, у) внутри
плоской области, совпадающей с поперечным сечением балки,
ограниченным контуром С. Условие G.8) можно переписать
следующим образом;
df_
дп
, ч , ч dy , dx d
= ycos(n, x) — xcos(n, у) = У-тт+х-т- =
ds ¦ ds ds
где s — дуга контура С. Действительно, для проекций dx,
dy элемента ds контура С, если положительное направление
обхода контура установлено так, что область, заключенная
внутри С, остается при обходе слева, имеем
dx == ds cos (s, x) = — ds cos (n, y), 1 ,.
dy = ds cos (s, y) = ds cos (n, x). J
Сформулированная задача для определения функции / (х, у)
есть внутренняя задача Неймана. Правая часть в условии
G.9) — известная функция координат, так как уравнение по-
верхности стержня известно. Из G.9) видно, что условие ре-
гулярности решения внутренней задачи Неймана
j^ds=O
дп
всегда удовлетворяется.

§ 1. Кручеййе цилиндрических стержней 359
Отметим, что функция / определяется чисто геометрически
и одинакова для всех стержней, сделанных из разных изотроп-
ных материалов, но имеющих одно и то же поперечное сечение.
Функцию / часто называют функцией кручения.
Удовлетворение граничным Обратимся теперь к условиям на торцах.
условиям на торцах На 2а имеем рп = р3 = p^ + PszJ- Ус-
ловия G.3) можно записать в виде
G-И)
Psi ds = 0, ) psi da = 0,
— ур31) ds = М.
Покажем, что первые два из этих условий выполняются, если f
является решением поставленной выше задачи Неймана. Дей-
ствительно, на основании G.6), G.7), G.8) в результате про-
стых преобразований получаем
J p31 da = a|i J ^ — yj de =
С Г д I df \ . д ! „ df \-] ,
= au, \ \ — l-J-x— ух) -1-- -тг- [х2- -\- ~ х )\d3 =
r J I дх \ дх а I • ду \ ' ду IJ
= a\i ^х (~- — yj cos (n, x) -f x (^jL -f xj cos (n, y)] ds = 0.
с
Аналогично показывается, что \ p32di = 0. Формулы G.6)
определяют распределение внешних напряжений на торцах
закручиваемого цилиндра в построенном решении частной
задачи о кручении.
Так как напряжения, вычисляемые по формулам G.6),
не зависят от z и, в частности, одинаковы в сечениях Б2 и 21?
то векторы напряжений рп на торцах Е2 и 2Х отличаются только
знаками.
Поэтому ясно, что если граничные условия на Б2 удов-
летворены, то граничные условия на 2] также удовлетворены.
Третье из равенств G.11) согласно G.6)
Связь между углом закру- имеет вид
чивания и крутящим момен- С Г f dfч I df I
том.Жесткостьприкручении оф, \ # Iя: -f- -~\ — у [~ y\\ds = M.
Это соотношение можно рассматривать как уравнение, связы-
вающее угол закручивания а с величиной крутящего

560 Гл. IX. Теория упругости
момента М:
М
.XIL_ И.
G.12)
Угол закручивания пропорционален моменту М и обратно
пропорционален модулю сдвига |х. Величину, стоящую в зна-
менателе G.12), называют жесткостью при кручении.
Таким образом, решение рассматриваемой задачи о кручении
цилиндрического стержня сводится к решению задачи Неймана
для функции / (х, у).
Для некоторых простых областей реше-
Кручение стержня круглого ние этой задачи известно. Дадим, на-
шшеречного сечения пример, решение задачи о кручении стер-
жня круглого поперечного сечения. Если
ось z совпадает с осью цилиндра, то уравнение контура С запи-
сывается в виде я2 -\~ уг = R2, а граничное условие G.9) при-
нимает вид
дп
= 0. G.13)
Решением внутренней задачи Неймана с граничным условием
G.13) является
/ (х, у) = с = const.
Смещение w3 = а/ вдоль оси z в этом случае одинаково для всех
точек стержня. Если, как обычно, какая-нибудь точка стержня
считается неподвижной, то постоянную с нужно положить рав-
ной нулю. Тогда формулы, определяющие перемещения точек
круглого вала при кручении, могут быть записаны в виде
u>i = — azy, w2 =¦ azx, w3 = 0. G.14)
Отсюда, в частности, видно, что при кручении круглых
валов плоские поперечные сечения остаются плоскими. Каждое
сечение поворачивается относительно оси как твердый диск,
но различные сечения поворачиваются на разные углы, пропор-
циональные координате z, когда сечение z = 0 закреплено.
Отличные от нуля компоненты тензоров деформаций и на-
пряжений в этом случае равны
= Bis = — -f- у, рп = Pis = ~ py
\ G.15)
уж, Рза = Ргз =

§ 7. Кручение цилиндрических стержней
361
При кручении касательные Видно, что в любом поперечном сечении
п№е^™Ятечен™Д°М стержня действуют только касательные
максимальны на границе напряжения, причем для модуля вектора
напряжения в поперечном сечении круг-
лого стержня имеем | -с f = Y p\s + р\% = И1* Yx* ~Ь У2- Следова-
тельно, максимальные касательные напряжения
Tmax = [xai? G.16)
получаются на внешней границе стержня. Это свойство распре-
деления напряжений выполняется при кручении цилиндриче-
ских стержней произвольного (а не только круглого) попереч-
ного сечения. Для доказательства этого прежде всего заметим,
что в общем случае, если только для перемещений имеют место
формулы G.4), величина результирующего касательного напря-
жения в поперечном сечении при любом направлении осей х
и у представляется в виде
= «"¦/
?
)'
»)
GЛ7)
Ось х всегда можно выбрать так,чтобы она совпадала с направле-
нием вектора касательного напряжения в произвольной внутрен-
ней точке N поперечного сечения.Тогда в этой точке N величина
касательного напряжения будет равна [ т [ = цх (^ у)\ . В
df
других точках
дх
представляет собой только вели-
чину р13 проекции касательного напряжения на ось х. Функция
щ (-J-— у\ является гармонической и не может (см. § 12 гл. VIII)
достигать ни максимального, ни минимального значения внутри
области своего определения и, в частности, в точке N. В окрест-
ности N всегда найдется точка /V1; в которой эта функция будет
иметь большее,чем в точке N, значение и \р13 |/v, будет больше |^|л-.
Учет Р 23 для определения 11 |лг, только усилит это неравенство,
и всегда в окрестности любой внутренней точки N найдется
такая точка Nx, для которой | t |n, ^> 111 jv- Высказанное выше
утверждение доказано.
Для крутящего момента при кручении
вала круглого поперечного сечения на
основании G.12) получим
Связь угла закрутки
и максимальных
касательных напряжений
с крутящим моментом
для стержня круглого
поперечного сечения
М = a\i—rj—
G.18)
и, следовательно,
a =
гм

362 Гл. IX. Теория упругости
Таким образом, угол закрутки прямо пропорционален вели-
чине крутящего момента М и обратно пропорционален четвер-
той степени радиуса поперечного сечения. Величина максималь-
ного касательного напряжения при заданном значении М
равна
т - Ш G 19)
Если величина допустимых касательных напряжений в стержне
известна и задано значение крутящего момента М, то отсюда
можно определить величину минимального допустимого зна-
чения диаметра вала.
Поставленная выше задача Неймана для определения функ-
ции кручения / (х, у), а следовательно, и задача об определении
напряженно-деформированного состояния цилиндрического
стержня при кручении решены также для стержней эллипти-
ческого, прямоугольного и многих других поперечных сечений.
Заметим, что каждое известное решение
Замечание о кручении задачи о кручении любого цилиндриче-
^ ского вала сплошного поперечного сече-
ния дает также решение задачи о кручении такого полого ци-
линдрического вала, внешняя граница поперечного сечения
которого совпадает с границей сплошного вала и внутренняя
полость которого свободна от напряжений и вырезана так, что
возникающие в поперечном сечении сплошного вала касатель-
ные напряжения -с в каждой точке границы полости в плоско-
сти ху направлены по касательной к ней.
Действительно, решение для сплошного вала удовлетворяет
уравнениям равновесия, граничному условию на внешней
границе полого вала и, очевидно, легко может быть подобрано
так, чтобы условия на торцах полого вала удовлетво-
рялись.
Остается только показать, что условие
рп = О
на внутренней границе полого вала при этом также будет
выполнено. Легко видеть, что в силу G.6) и выбора оси z на
внутренней стороне полого вала будем иметь
Рпх = Рпу = О,
Pnz = Pl3 COS (И, х) -f />23 COS (П, у).
Отсюда, если полость выбрана так, как указано выше,
получаем
Pnz = 0.

§ 1. Кручение цилиндрических стержней 363
Кручение вала Таким образом, приведенное выше реше-
круглого поперечного ние задачи для стержня круглого попе-
сечения с концентрически r r
расположенной речного сечения пригодно для случая
круговой полостью кручения стержней, поперечное сечение
которых имеет вид кольца, ограничен-
ного двумя концентрическими окружностями, так как по
G.15) в этом случае имеем
* = Pis* + P23J = № (— yi -f xj),
x . , у .
и т-г = 0, т. е. t направлено по касательной к любой окруж-
ности г = Уж2 ~Ь У1 — const <J R.
Жесткость при кручении полого вала внешнего радиуса R
и внутреннего радиуса В.г по G.12), так как в этом случае /=0,
будет, очевидно, равна
R
5
О Й1
и, следовательно, максимальное касательное напряжение по
G.12) и G.16) будет связано с крутящим моментом М формулой
2MR
Иногда без значительной потери прочности конструкцию
можно сильно облегчить, если сплошной вал, работающий на
кручение, заменить полым валом. В подтверждение этого при-
ведем простой конкретный расчет.
Рассмотрим сплошной и полый валы одинакового внешнего
диаметра 2R, находящиеся под действием одинаковых крутя-
щих моментов М. В результате замены сплошного вала на
полый площадь поперечного сечения вала уменьшится на nR^.
Если радиус кх внутренней полости равен R/2, то это изме-
нение площади составит 25% от площади сплошного вала
я R2. Разность максимальных касательных напряжений в по-
лом и сплошном валах, отнесенная к величине максимального
касательного напряжения в сплошном валу, согласно G.19)
и G.20) будет равна
Ri/R
l-ORi/i?L '
что в случае Rx — R/2 приближенно равняется шести процентам.
Ясно, что если такой потерей прочности можно пожертвовать,
то вес вала можно значительно уменьшить.

364 Гл. tX. Теория ynpytocfit
Изложим теперь предложенный Сен-Венаном способ реше-
ния задач о кручении цилиндрических стержней.
Для этого заметим, что вместо гармо-
Метод Сен-Венана нической функции кручения / (х, у) мож-
решения частных задач но искать сопряженную ей гармониче-
о кручении цилиндрических „ 1, , * ^ у , , .
стержней СКУК> функцию 1|з (х, у). Функции / (х, у)
и 1|з (х, у), как известно, будут связаны
условиями Коши — Римана
df_ _ д^ df _ дт|>
дх ду ' ду дх
Граничное условие на контуре С для функции кручения /
можно переформулировать для функции ty. Из G.8) на основа-
нии условий Коши — Римана получим
О = cos (п, х) (|^ - у) - cos (п, у) (Ц- - xj =
= [cos (п, х)-^- cos (п, у) —] [i|> - ^4
Отсюда следует, что во всех точках контура С должно выпол-
няться следующее граничное условие для функции i|5 (x, у):
i|> = ~ (х* + у2) f const. G.21)
Таким образом, для определения функции кручения / мы имели
внутреннюю задачу Неймана, для определения сопряженной
с ней функции i\) получилась задача Дирихле.
Возьмем аналитическую функцию w (z) комплексного пере-
менного z = х -\~ iy, для которой действительную и мнимую
части этой функции можно принять за / и "ф соответственно.
Тогда, если уравнение
Imagw(z) = ~\} у—|- const
выражает какую-либо замкнутую кривую, то ее можно при-
нять за контур поперечного сечения стержня;
Reel w(z) = / (х, у)
при этом определит перемещение точек стержня в направлении
оси z(w3 = а/). Напряжения определятся по формуле G.6).
Можно поступить и наоборот, т. е. принять действительную
часть w (z) за функцию —1|з, а мнимую — за /.

§ 1. Кручение цилиндрических cfepjKHefi 365
Кручение стержня В частности, если взять аналитическую
п^чногГсечения функцию комплексного переменного
w = Azl= A{x± iyf = А(х*- - 2)+2iA
где А — действительная постоянная
и положить
/ = 2Аху, ф = - А (х> - у*),
то уравнение
будет представлять собой уравнение эллипса с полуосями
С , С
а = —т==г, Ъ =
Y — A
Выражая из последних двух соотношений А через а и Ь,
получим, что функция
У = Ъ ¦* + ?(* у)
дает решение задачи о кручении цилиндрического стерж-
ня, поперечное сечение которого представляет собой эл-
липс с полуосями а и Ъ.
. „ Как указывалось выше, при кручении два
функция напряжении r r
при кручении уравнения равновесия в проекции на оси
хну удовлетворяются автоматически,
а третье сводится к уравнению
дрп
дх ' ду
На основании этого уравнения можно сделать вывод, что вы-
ражение р13 dy — p23 dx представляет собой полный дифферен-
циал некоторой функции а\ъ& (х, у) (постоянный коэффициент
перед f (x, у) введен для удобства последующих выкладок и
рассуждений). Следовательно, компоненты тензора напряже-
ний р13 и р23 связаны с функцией f (x, у) следующими равен-
ствами:
JUqi ^^ ОС Up ^—^ * j^4 5t ^^— ¦ ' ОС IX 'ifc™" # I I t &?л I
Функция f (x, у) называется функцией напряжений. Оче-
видно, что в общем случае функцию § (х, у) можно всегда вве-

366 Гл. IX. Теория упругости
сти, если из всех компонент тензора напряжений отличны
от нуля только р13 и р23, причем р13 и р23 не зависят от z.
Если напряжения представлены через функцию напряже-
ний, то уравнения равновесия автоматически удовлетворяются.
Однако § (х, у) не может быть произвольной функцией, так как
компоненты тензора напряжений, кроме уравнений равновесия,
должны удовлетворять уравнениям Бельтрами — Мичелла.
В рассматриваемом случае уравнения Бельтрами — Мичелла
превращаются в уравнение для функции § (х, у).
Мы получим уравнение для §• (х, у), пользуясь непосредст-
венно равенствами G.6) и G.22). Предварительно установим
связь между введенными для решения задач о кручении функ-
циями /, а|э и §. Для этого вспомним, что напряжения (см.
G.6) и G.22)) связаны с этими функциями следующими соотно-
шениями:
= w[-y+-?) = *p[-y+¦?¦} = *?-*
р23 = of.ii [ х -4- ~-) = «.а {х ~ = — оси, ——
л 23)
Отсюда ясно, что в случае кручения цилиндрических стержней
имеем
<F=1f _?!+?. G.24)
Функция оE является гармонической, поэтому функция напря-
жений jF должна удовлетворять уравнению Пуассона
Af = -2. G.25)
Граничное условие G.21) при этом дает § = const на С. Так
как функция f вообще определяется с точностью до ад-
дитивной постоянной, то в случае стержня односвязного попе-
речного сечения можно принять, что
Г = 0 на С. G.26)
Таким образом, с помощью функции напряжений задача о кру-
чении цилиндрического стержня односвязного поперечного се-
чения сводится к отысканию решения уравнения Пуассона G.25),
удовлетворяющего на контуре С граничному условию G.26).
Заметим, что в приведенном выше выводе уравнения G.25)
для функции ^выполнение уравнений Бельтрами — Мичелла
обеспечивается, так как в этом выводе мы пользовались форму-
лами G.6), которые были получены с помощью закона Гука и
представлений eti через Wi.
В случае кручения стержня круглого поперечного сечения
из G.24) G.25) и G.26) непосредственно вытекает, что функция

§ 7. Кручение цилиндрических стержней 367
напряжений имеет вид
Установим теперь связь между функцией напряжений и кру-
тящим моментом. Из G.12) и G.23) имеем
A[^fc)z- G-28'}
Отсюда, так как
дх ' ду у дх ' ду '
с помощью формулы Гаусса — Остроградского получаем
М- = — яц \ f [хcos (и, х) -f у cos (и, y)]ds + 2х|х ^ f из.
с s2
Для стержня односвязного поперечного сечения в силу условия
G.26) будем иметь
М = 2а[х ^ f di. G.28)
В случае стержня многосвязного поперечного сечения
функция напряжений JF" будет принимать различные постоян-
ные значения на различных замкнутых кривых, ограничива-
ющих поперечное сечение. На одной из этих кривых, например
на внешнем контуре С, можно положить <? равной нулю. Для
получения единственного решения в постановку задачи при
этом можно ввести условия, которые являются следствиями
однозначности смещения w$= а/ как функции координат. Имен-
но, интеграл от дифференциала функции кручения / по любому
замкнутому контуру С, должен быть равен нулю. Поэтому,
в частности, для внутренних конутров С*, ограничивающих
поперечное сечение, по G.23) будем иметь
ск с,..
или по G.10)
I -^- cos (п, х) + -^- cos (п, у)
с
ds =
= — ф [х cos (n, x) -f- г/cos (n, у)] ds.

368 Гл. IX. Теория упругости
Отсюда, воспользовавшись формулой Гаусса — Остроград-
ского, получим
" "§- ds = - 2Sk, G.29)
где Sk — площадь, заключенная внутри контура Си, а д§1дп —
производная по направлению внешней нормали к контуру Сц
в плоскости поперечного сечения стержня.
Ясно, что функция напряжений G.27), которую в полярных
координатах можно записать в виде
удовлетворяет условию G.29), если мы примем за контур Сх
окружность некоторого радиуса R1<^ R с центром в начале
координат, и, следовательно, является функцией напряжений
в случае кручения цилиндрической трубы внешнего радиуса
R. Заметим, что решение уравнения Пуассона G.25) в этом слу-
чае может содержать член вида A In r (A — const), который
исключается для искомого решения с помощью условия G.29).
,, - Функции /, * i f легко вычислить
Мембранная аналогия J M •" У
г только для небольшого числа простейших
областей, в то время как в технике используются работающие
на кручение стержни весьма сложного поперечного сечения.
Некоторые интересные данные о кручении стержней можно
получить, пользуясь различными аналогиями, возможность
проведения которых связана с тем, что математические задачи,
поставленные для определения функций /, о|э и $F, встречаются
и во многих других разделах математической физики.
В частности, можно установить аналогию между задачей
определения функции f и задачей определения прогибов мем-
браны с постоянным натяжением, возникающих под действием
равномерно распределенной по ее поверхности нагрузки. Вы-
ведем уравнение для прогиба такой мембраны.
Мембраной называется упругое тело, имеющее вид тонкой
пленки, не сопротивляющееся изгибу, но сопротивляющееся
растяжению. Пусть однородная мембрана постоянной очень
малой толщины h защемлена по плоскому контуру С, имеющему
форму контура поперечного сечения стержня, кручение кото-
рого исследуется, причем в области защемления на мембрану
действует повсюду одинаковое постоянное по толщине мембраны
натяжение Т. При отсутствии других внешних воздействий
напряженное состояние мембраны будет везде одинаковым, на
каждой площадке, перпендикулярной к поверхности мембраны,
действует нормальное растягивающее напряжение Т. Если

§ 7. Кручение цилиндрических стержней
369
принять среднюю плоскость мембраны за плоскость хОу де-
картовой системы координат, то матрицу компонент тензора
напряжений при отсутствии внешних нагрузок на поверхности
мембраны z = ^rh!2 можно записать в виде
Г О О
1Ы1 =
ого
0 0 0
Рассмотрим теперь равновесие такой мембраны под действием
равномерно распределенной по ее поверхности z = —h/2 по-
перечной нагрузки q (параллельной оси z), когда поверхность
z = h/2 мембраны свободна от нагрузки.
Предположим, что натяжение Т столь велико, что прогиб
w мембраны (w=ws(x, у, z =0)) можно считать малым. Даль-
ше примем, что изменением компонент рг1 = р22 = Т и
р12 = 0 тензора напряжений в результате приложения на-
грузки q можно пренебречь. Компоненты р13, р23 и р33 будут
малыми порядка w, их следует учитывать.
Единичные векторы нормали к внешней поверхности мем-
браны с точностью до малых первого порядка на разных сто-
ронах мембраны направлены противоположно, а их направля-
ющие косинусы равны
cos (n, x) = + -^- я$ +
dw
cos (it, y) = +
cos(n, z) = =P1,
G.30)
где верхние знаки соответствуют нормали к деформированной
поверхности мембраны z = —h/2, а нижние — нормали к де-
формированной поверхности z — h/2.
Граничные условия для компонент вектора напряжений рп,
действующих на элементе внешней поверхности мембраны с нор-
малью п, с точностью до членов первого порядка малости дают
Pi =
a;)
j-placos(n, у)
\ m dw
z) = Т-^ -р
ъ = Pl2 C0S (»*, X) + рш COS (П, у) +
dw
+ p23cos (n, z) = Т -^- — р23 = 0
= Pis cos (n, a;) + piScos (n, у) +
\
Раз cos
¦ р3» = 3 при z = — -у
Рзз = 0 при z = -g-.
G.31)

370 Гл. IX. Теория упругости
Напишем уравнения равновесия в напряжениях. Имеем
дри др2з . дрзз п.
oz ' дц ¦ dz
Из первых двух уравнений следует,что компоненты напряжения
Pi3 и Рчя не зависят от z. В связи с малостью производных
dwjdx,dwjdy и h на основании G.31) можно написать
Pr, = Td?Pia = T^ G.32)
Проинтегрировав третье уравнение равновесия вдоль оси z
по толщине мембраны от —ft/2 до -\-hl2 с учетом G.32) и G.31),
получим г)
-Л/2
Следовательно, уравнение для прогиба мембраны w имеет вид
дх* Л~ d,f — Th • {LOO)
Из условия закрепления мембраны на контуре С следует
w = 0 на С. G.34)
Сравнив уравнения G.25) для функции напряжений в задаче
о кручении цилиндрического стержня и G.33) для прогиба
мембраны постоянного натяжения и граничные условия G.26)
и G.34) на контуре С, видим, что решение задачи о кручении
цилиндрического стержня сводится к определению формы про-
гиба мембраны постоянного натяжения, когда
2 = ТА • <75)
При этом, так как задача об определении § G.25), G.26) не
содержит размерной постоянной, фиксируется единица из-
мерения h.
Совпадение уравнений G.33) и G.25) можно обеспечить вы-
бором q и произведения Th или выбором единицы измерения
длины.
х) Очевидно, что в рамках рассматриваемой приближенной теории
величина pS3 распределена по толщине мембраны по линейному закону,
и ее зависимость от х и у определяется через функцию q (x, у), причем
соотношения G.32) и'G.33) установлены бед использования закона Гука,

§ 1. Кручение цилиндрических стержней 371
Мыльная пленка, благодаря наличию поверхностного натя-
жения, представляет собой мембрану с постоянным натяжением.
Если к одной из ее сторон приложить малое постоянное давле-
ние и не допускать смещений точек ее границы, то прогиб будет
удовлетворять условиям, которые налагаются на функцию
напряжений §г.
Определяя из опыта прогибы пленки, получим эксперимен-
тальные значения функции напряжений f.
Линии, на которых прогиб мембраны одинаков ((dw/ds)=0),
в задаче о кручении соответствуют линиям, в каждой
точке которых полные напряжения, лежащие в плоскостях
поперечных сечений стержня, направлены по касательной
к ним.
В самом деле, по G.22) и G.10) для таких линий имеем
0 _ ^!?. _ i?l — ??_^!L j д9Г dx —
ds ds dy ds Эх ds
= p13cos(n, ж)-f р2зcos (n, y) = x-n,
где n — нормаль к линии ((dw!ds) = 0) постоянного прогиба
мембраны в плоскости ху.
Вместе с тем
91
и, следовательно, величина касательных напряжений пропор-
циональна | grad §¦ | или | grad w \ и поэтому больше там, где
линии равного уровня w = const расположены гуще. Таким
образом, построив «топографическую» картину линий равного
уровня постоянного прогиба мембраны, можно получить на-
глядную картину распределения касательных напряжений
в поперечном сечении стержня.
Объем, заключенный между прогнувшейся мембраной и
плоскостью контура, будучи умножен на 2а и., дает величину
скручивающего момента М (см. G.28)).
Как увидим в последующем, аналогия с прогибом мембраны
постоянного натяжения полезна не только в случае кручения
упругого стержня, но и тогда, когда под действием скручиваю-
щего момента материал стержня в некоторых частях попе-
речного сечения переходит в пластическое состояние.
Обратим внимание на то, что мембранная аналогия справед-
лива только при малых прогибах мембраны, и поэтому провести
измерения с большой точностью довольно трудно. Трудности
связаны также с тем, что прогиб, вызванный весом мембраны,
обычно сравним с прогибом, возникающим в результате при-
ложения к мембране небольшого давления.

372 Гл. IX. Теория упругойтй
Аналогия с течением Помимо изложенной мембранной анало-
вязкои жидкости гии для решения задач о кручении [ци-
линдрических стержней можно указать
еще гидродинамические аналогии с течениями вязкой и идеаль-
ной жидкости.
Рассмотрим установившееся ламинарное течение вязкой
несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе, поперечное
сечение которой совпадает с поперечным сечением стержня.
Как известно (см. § 20 гл. VIII), если направить ось z вдоль
оси трубы и обозначить через w скорость установившегося те-
чения жидкости в трубе под действием постоянного заданного
перепада давлений dpldz, то из уравнений Навье — Стокса
получается следующее уравнение для определения скорости:
. dhu d2w I dp ,п оеч
Aw = -д-j- -f -д-j- = — -f- ; G.36)
Ox1 ' ay' [i dz ' v
здесь jx — коэффициент вязкости жидкости. На стенках непод-
вижной трубы (контуре С) имеем условие прилипания
ы; = 0. G.37)
Сравнивая G.25) и G.36) и граничные условия G.26) и
G.37), видим, что математические задачи об определении функ-
ции напряжений при кручении цилиндрического стержня и
скорости течения ламинарного установившегося движения
вязкой несжимаемой жидкости в бесконечно длинной трубе,
поперечное сечение которой одинаково с поперечным сечени-
ем стержня, под действием постоянного перепада давлений
dpldz совпадают, когда
1^ = -2. G.38)
и dz y '
Возьмем цилиндрический сосуд, совпа-
Аналогия с потенциальным дающий по форме со стержнем, кручение
течением идеальной которого изучается. Пусть внутри этого
несжимаемой жидкости г
сосуда находится идеальная несжимае-
мая жидкость. Рассмотрим абсолютное плоскопараллельное
потенциальное движение жидкости в плоскости ху поперечно-
го сечения цилиндрического сосуда относительно неподвиж-
ной системы координат хОу при вращении сосуда с угловой
скоростью ю вокруг оси z. Для потенциала ф (х, у) имеем
уравнение Лапласа
Аф = 0
и граничное условие на контуре
vn= -^ == (»X r)n = ~aycos(n, x) 4- war cos (и, г/),
J

§ 1. Кручение цилиндрических стержней
которое совпадает с граничным условием G.8) для функции
кручения /, если положить
га = -1. G.39)
Таким образом, задача определения функции кручения сов-
падает с задачей определения потенциала скоростей абсолют-
ного плоскопараллельного движения идеальной несжимаемой
жидкости в цилиндрической трубе (стержне), вращающейся во-
круг оси z с постоянной угловой скоростью, равной х) (—1).
о „ Приведем один из примеров использо-
Зависимость перемещений ^ м „ м ^ т_ ^
от положения точки вания этой аналогии. Ш вида формул
закрепления в плоскости G.4) для перемещений ясно, что они
поперечного сечения определяются так, что элементы стержня,
стержня расположенные на оси z, не получают
смещений в плоскости ху. Таким образом, положение начала
координат в плоскости поперечного сечения стержня «закреп-
лено». Перемещения точек закручиваемого стержня будут
различными для различных положений начала координат
в плоскости поперечного сечения стержня, совпадающего по
условию с точкой закрепления.
Изложенная выше гидродинамическая аналогия позволяет
легко представить себе перемещения в случае произвольного
положения начала координат О', если известны перемещения
для некоторого одного положения начала координат О.
Как известно, вращение вокруг некоторой оси z2 с угловой
скоростью ю в каждый данный момент времени эквивалентно
вращению вокруг другой оси zu параллельной первой, с той
же угловой скоростью со и мгновенному поступательному дви-
жению со скоростью, равной скорости точек оси zx при враще-
нии вокруг оси z2.
Обозначим через ф потенциал скоростей движения жидко-
сти, возникающего при вращении вокруг оси zl5 проходящей
через начало координат О, а через ф' потенциал скоростей, воз-
никающих в результате вращения сосуда относительно другой,
параллельной первой, оси z2, проходящей в плоскости хОу
через некоторую точку О' с координатами х и у'.
Компоненты скорости мгновенного поступательного дви-
жения (скорости точек оси zx при вращении относительно
оси z2) при ю = —1 определены формулами
Ux= [<»Х(-г)\х=-у', Uv
Так как поступательным движениям вдоль осей х и у со
') Условиям G.38), G.39) можно удовлетворить выбором единиц из-
мерения.

374 Гл. 1Х. Теория упругости
скоростями —у' и х соответствуют потенциалы
ф1 — —у'х и ф2 = х'у,
то, очевидно, потенциалы ф' и ф связаны равенством
ф' = ф + х'у — у'х.
Компоненты смещений при кручении вокруг оси z2 при этом
должны определяться формулами
w1 = — а (у — у') z, ш2 = а (х — х) z, w3 = аф'.
Очевидно, что напряжения, а следовательно, и крутящий мо-
мент при этом не изменятся.
Для стержня круглого поперечного сечения, если начало ко-
ординат О совпадает с центром круга, ф = 0 и частицы не
испытывают смещений вдоль оси z. Если выбрать другое поло-
жение начала координат, т. е. закрепить в стержне другую ось,
то смещения вдоль оси z во всех точках, кроме точек новой
оси z, станут отличными от нуля и равными
w.j = а {х'у — у'х).
Отсюда видно, что в этом случае поперечные сечения также
остаются плоскими, но угол между осью z и поперечными се-
чениями после смещений перестает быть прямым1).
Изложенную выше аналогию задач о кру-
Аналогия с вихревым чении и потенциальном абсолютном те-
течением идеальной чении жидкости можно легко видоизме-
несжимаемои жидкости
нить и получить аналогию между зада-
чами о кручении цилиндрических стержней и о вихревом отно-
сительном движении жидкости. Для этого на движение сосуда
и жидкости в сосуде достаточно наложить вращательное движе-
ние вокруг оси z с угловой скоростью ю = 1. В результате
этого сосуд станет неподвижным, а жидкость будет иметь во
всех точках постоянную завихренность сог = 1. Жидкость не-
сжимаемая, течение плоскопараллельное, уравнение неразрыв-
ности имеет вид
ЛИ. 4- — - О
дх h ду v-
Отсюда следует, что можно ввести функцию тока i|) такую,
что
u=|*f 1; = -^. G.40)
ду ' дх ч
J) Очевидно, что упругие смещения при изменении положения в стерж-
не оси z отличаются только на малый поворот стержня как твердого от-
носительно оси, не цараллельной оси z, в случае стержня круглого по-
перечного сечения относительно оси, параллельной плоскости хОу.

§ 7. Кручение цилиндрических стержней 375
Жидкость движется так, что вектор вихря <л = a>zk постоянен
в каждой точке, поэтому для определения функции тока г|)
получается следующее уравнение:
дх ду Y
или
Лф - -2, G.41)
которое совпадает с уравнением G.25) для функции напряже-
ний f.
Граничное условие непроницаемости на стенках неподвиж-
ной трубы будет иметь вид
/ ч , / ч Эф di/ , d\b dx d\b
vn = ucoS(n, х) + vcos(n y)^^+ ^ J
т. е.
ф == const на С
или в случае односвязного сечения
ф = 0 на С. G.42)
Это граничное условие совпадает с граничным условием G.26)
для функции напряжений ,f.
Таким образом, функцию тока ф можно отождествить с §,
а р13 и р23 с компонентами скорости относительного плоскопа-
раллельного движения идеальной несжимаемой жидкости с
постоянной завихренностью ш, = 1 в цилиндрическом сосуде-
стержне.
Момент количества движения слоя жидкости единичной
толщины относительно оси z при этом будет равен
/17' = р ^ (г Xv)z ds = р ^ (их — иу)с1з =
и будет совпадать со значением крутящего момента G.28'),
если принять, что плотность жидкости р равна <х(А, а со2 = 1.
т. Все приведенные математические анало-
Качественные выводы л а
о кручении стержней, гии любопытны сами по себе и позволяют
сделанные на основе перенести решения соответствующих за-
гидродинамических дач на случай кручения цилиндрических
аналогий стержней и наоборот г). Гидродинамиче-
ские аналогии дают возможность сделать ряд приближенных
качественных выводов о распределении касательных напряже~
ний при кручении.
х) Существует множество других примеров подобного рода аналогиц
для различных задач физики и механики.

376
Гл. IX. Теория упругости
Например, из теории потенциальных плоскопараллельных
течений идеальной несжимаемой жидкости г) известно, что точ-
ки излома линий тока являются критическими точками, при
обтекании входящих в область течения углов в угловых точ-
ках возникают, вообще говоря, бесконечно большие скорости,
М
М' В N'
а-) б) в)
Рис. 122. К применению гидродинамических аналогий.
а при обтекании выходящих из области течения углов в уг-
ловых точках скорости равны нулю 2). Таким образом, в ок-
рестности угловой точки А выточки, изображенной на рис.
122,а, при любом малом крутящем моменте возникают бес-
конечно большие касательные напряжения. Следовательно,
с точки зрения прочности стержня целесообразно делать выточ-
ки закругленного профиля, типа В. В угловых точках типа С
(рис. 122,а) при кручении стержня напряжения равны нулю.
Пусть в поперечном сечении работающего на кручение
стержня имеется отверстие — след круглой цилиндрической
полости, диаметр которого мал по сравнению с характерным
линейным размером поперечного сечения стержня. При обте-
кании такой полости скорости в некоторых точках А и В будут
равны нулю, а в точках С и D — больше скорости натекающего
потока. Следовательно, в окрестности точек С и D будут на-
блюдаться касательные напряжения больше тех, которые воз-
никают в месте полости при ее отсутствии.
Приведем еще один пример использования гидродинами-
ческой аналогии. Рассмотрим циркуляционное течение идеаль-
ной несжимаемой жидкости в цилиндрическом сосуде, попереч-
ное сечение которого имеет вид вытянутого прямоугольника
(см. рис. 122, с). Очевидно, что в точках М, N, М', N' скорости
жидкости равны нулю, а вблизи середин длинных сторон ли-
нии тока будут расположены наиболее густо, т. е. скорости
в окрестностях точек А я В будут наибольшими. Отсюда сле-
!) См., например, Л. И. С е д о в, Плоские задачи гидродинамики и
аэродинамики, изд. 1950 и 1966 гг.
2) Эти свойства верны как для потенциальных движений жидкости,
так и для вихревцх.

§ S. Методы Сопротивлений Материалов 377
дует, что при кручении такого стержня максимальные касатель-
ные напряжения будут в точках А и В.
Таким образом, с помощью гидродинамических аналогий
весьма просто можно сделать важные заключения о некоторых
особенностях распределения касательных напряжений при
кручении.
§ 8. Методы сопротивления материалов
в задачах об изгибе балок
Задачи теории упругости с малыми деформациями линейны.
Несмотря на это, во многих случаях теоретическое решение
этих задач затруднительно. В инженерной практике с успехом
применяются приближенные методы расчета, создание и разра-
ботка которых составляет предмет «сопротивления материалов».
Сопротивление материалов находится в
Общая характеристика таком же отношении к теории упругости,
методов «сопротивления как гидравлика к теоретической гидро-
материалов» мг ., * 1
г механике. Методы сопротивления мате-
риалов и гидравлики основаны на некоторых предположениях,
которые в свою очередь основаны на использовании сведений,
полученных в опытах или при изучении известных точных ре-
шений задач теории упругости и гидромеханики. Проиллюстри-
руем эти методы на примере решения задач об изгибе балок.
Такие задачи часто встречаются в инженерной практике; бал-
ка — наиболее распространенный элемент многих конструкций.
Мосты, плотины, корабли, небоскребы и т. д. также часто можно
рассматривать как балки, нагруженные различными система-
ми сил.
Рассмотрим системы сил, которые вызывают изгиб балки,
и подсчитаем суммарные силы и моменты, действующие в каж-
дом поперечном сечении балки.
В § 6 подробно изучена задача о «чистом
«Чистый изгиб», изгиб изгибе» балки, т. е. изгибе, который про-
шшеречнои силой изводится двумя равными и противопо-
ложно направленными моментами М и (—Ж), действующими
на торцах балки. В этом случае напряжения, действующие
в каждом поперечном сечении балки, приводятся к паре с мо-
ментом М.
Более распространенным является случай, когда изгиб
производится действующими перпендикулярно к оси балки
силами 1).
J) Дальше для простоты будем рассматривать изгиб простейших
типов балок, имеющих плоскость симметрии, проходящую через продоль-
ную ось, силами, действующими в плоскости симметрии. Наиболее рас-
пространенные балки круглого, прямоугольного, двутаврового и других
поперечных сечений обладают такой симметрией.

378
Гл. IX. Теория упругости
Пусть, например, имеется балка, один конец которой жестко
b , .
у
Рис. 123. Консоль.
Рис. 124. К вычислению главного
вектора и главного момента сил,
действующих в сечении аЬ.
заделан, а на втором действует сила Р. Такая балка называет-
ся консолью (рис. 123).
Подсчитаем главный вектор и главный
Изгибающий момент момент сил, действующих в некотором
и перерезывающая сила t «r
г поперечном сечении ао такой балки, на
площадке с нормалью, совпадающей с осью х, направление
которой указано на рис. 123. Для этого мысленно разрежем
балку по этому сечению (см. рис. 124) и отбросим левую часть
балки, заменив ее действие на оставшуюся часть действием со-
ответствующей системы сил. В результате такой операции
правая часть балки, по условию находившаяся в равновесии,
должна остаться в равновесии. Следовательно, сумма всех сил
и сумма всех моментов, действующих на эту часть балки, дол-
жны быть равны нулю.
Отсюда легко получить, что величина главного вектора сил,
действующих в сечении a2b2 равна (—Р), а главного момента
(—Р (I — х)) (боковая поверхность балки по условию свободна
от нагрузок). Пользуясь известным свойством напряжений
рп — — р-п, заключаем, что напряжения в сечении а^Ь^ сво-
дятся к силе Р и моменту М = Р (I — х).
Момент М называется изгибающим моментом, а сила Р —
перерезывающей силой. Таким образом, в рассматриваемой
задаче об изгибе консоли силой Р система напряжений в любом
поперечном сечении статически эквивалентна перерезывающей
силе Р и изгибающему моменту М = (I — х) Р. При этом,
в противоположность случаю чистого изгиба, оказывается
отличной от нуля не только величина ри, но также и р12, т. е.
касательные напряжения в поперечном сечении.
В общем случае может быть несколько сил, приложенных
в разных точках балки и действующих в разных плоскостях.
Тогда полная система сил, действующих в любом поперечном

§ 8. Методы сопротивления материалов
379
сечении, будет сводиться к растягивающей силе, пере-
резывающей силе, изгибающему моменту и крутящему
b
моменту. В этом пара-
графе рассмотрим толь-
ко такой случай, когда
силы действуют в одной
плоскости (которую назо-
вем плоскостью ху) и при-
водятся к перерезывающей
силе и изгибающему мо-
менту (рис. 125). Если ве-
личины всех действующих
на балку сил Рг и моментов
Рпс. 125. Система сил и моментов, из-
гибающая балку.
Mi известны, то для подсчета перерезывающей силы и изгиба-
ющего момента, действующих в некотором сечении аЪ, очевид-
но следующее правило.
1) Главный вектор всех сил напряжений, действующих
в сечении аЪ (на площадке с нормалью х, т. е. на левую часть
балки), равен сумме всех внешних сил, приложенных справа
от этого сечения.
2) Суммарный момент сил напряжений относительно оси,
параллельной оси z и расположенной в данном сечении ab,
действующих в сечении аЪ на левую часть балки, равен сумме
моментов всех сил и всех пар, приложенных справа от этого
сечения.
Часто приходится рассматривать нагруз-
Погонная нагрузка Ку^ непрерывно распределенную вдоль
балки, например, давление воды на стенку плотины, вес самой
балки, давление ветра или поезда на мост (при приближенном
рассмотрении) и т. д. В этом слу-
чае полезно понятие «погонной на-
грузки» q (x), которое вводится
следующим образом;
~~х ,. AF
Рпс. 126. Непрерывно распре-
деленная нагрузка.
где A.F — полная сила, действую-
щая на элемент балки Ах (рис. 126).
В этом случае перерезывающая
сила Р, действующая в некото-
ром сечении с координатой х, очевидно, дается формулой
(8.1)
где I — координата правого конца балки.

380
Гл. IX. Теория упругости
Если на балку действует только распределенная нагрузка
интенсивности q (x), то изгибающий момент в сечении с коорди-
натой х равен
т. е.
(8.2)
Эпюры перерезывающих Методы сопротивления материалов дают
моментов аЮЩИХ возможность по известным суммарным
характеристикам — перерезывающей силе
и изгибающему моменту — определить
распределение растягивающих и сжимающих напряжений рп
и форму изогнутой оси балки. Поэтому важно знать величины
Распределение
Внешних сил
и моментов
вдоль балки
Г А В^~ у.
'Да в
Л 1
4 \р
'А
'Аа в
( Непрерывно
распределенная
нагруэна
q= const )
Эпюра
перерезывающей
силы
1II111II1II111 \Р
А В
\ 1 ШТГТТТгт-г^.
А В
Эпюра
изгибающего
момента
III II ШИП!"
А В
тмттттг^.
А В
А В
Рис. 127. Примеры эпюр перерезывающих сил и изгибающих
моментов.
Р и М в каждом сечении балки. Графические изображения рас-
пределения этих величин вдоль балки, когда по оси абсцисс
откладывается координата сечения, а по оси ординат — вв-

§ 8. Методы сопротивления материалов
381
личина Р или величина М, называются соответственно эпю-
рами перерезывающих сил и изгибающих моментов. Примеры
таких графиков приведены на рис. 127.
Следует отметить, что в число сил и моментов, действующих
на балку, необходимо включать силы и моменты сил реакций,
возникающие в сечениях, по которым балка закреплена. Силы
и моменты реакций заранее неизвестны, и во многих случаях
для их определения необходимо полностью решить задачу со-
противления материалов или теории упругости. Дальше мы
рассмотрим решения таких задач. Но прежде покажем, как в
сопротивлении материалов вычисляются напряжения рп и оп-
ределяется форма изогнутой оси балки, если в каждом сечении
известны перерезывающая сила Р и изгибающий момент М.
Сделаем следующие предположения, ко-
Основные предположения; торые выполняются точно при чистом
удлинение продольного шгибе (см § 6)_
1. Существует нейтральная ось та-
кая, что каждый элемент балки, лежащий на этой оси, только
изгибается, но не удлиняется и не укорачивается.
2. Плоские сечения, перпендикулярные к нейтральной оси
балки в начальном недеформированном состоянии, после
волокна
щвд
х
У Валка до деформации
Злемент^
изогнутой
балки
Изогнутая балка
'*)
Рис. 128. К вычислению удлинения продольных волокон
при изгибе балки.
изгиба остаются плоскими и перпендикулярными к изогнутой
нейтральной оси.
В действительности при наличии перерезывающей силы пер-
воначально (до приложения нагрузок) плоские перпендикуляр-

382 Гл. IX. Теория упругости
ные к оси балки сечения после деформации балки под действием
нагрузок оказываются искривленными. Для длинных и тон-
ких балок этим искривлением плоских сечений можно пре-
небречь. Точный анализ показывает, что даже для толстых
балок при вычислении р1± во многих приложениях можно пре-
небрегать эффектом искривления плоских сечений.
Предположения 1 и 2 дают возможность вывести закон
распределения нормальных напряжений в любом поперечном
сечении балки. В самом деле, подсчитаем удлинение при изги-
бе балки продольного волокна, расположенного на расстоянии
| у | от оси ж, совпадающей с нейтральной осью балки (рис. 128).
Рассмотрим элемент этого продольного волокна, располо-
женный между двумя плоскостями a1b1 и аф2 и имеющий до
деформации длину s, а после деформации — длину s -+- As.
Обозначим через R радиус кривизны изогнутой оси балки. Из
рисунка 128, б, где рассматриваемый элемент волокна и эле-
мент нейтральной оси изображены в более крупном масштабе,
легко увидеть, что
е" = ^ = -7Г = -1 <*«>). '(8.3)
Формулы для напряжений Поэтому, используя закон Гука для про-
и изгибающего момента стого растяжения, для распределения рХ1
получим формулу
Pii = ?su = -if. (8.4)
Если растягивающая балку сила отсутствует, то \ рц dz = О,
s
где 2 — поперечное сечение балки, или, по (8.4),
т. е. нейтральная ось должна проходить через центры тяжести
поперечных сечений.
Зная напряжения, действующие в рассматриваемом сече-
нии, можно вычислить изгибающий момент М:
\^^ (8.5)
a s
Здесь через J обозначен момент инерции сечения относительно
оси z. Если изгибающий момент в каждом сечении известен, то
с помощью (8.4) и (8.5) можно найти величину рп и составить

§ 8. Методы сопротивления материалов 383
уравнение изогнутой оси балки:
_ уМ 1 _ м Q
An-- — , -R--EJ-- (»-°)
Дифференциальное Если прогиб балки мал, то величину 1/R
осГбалки изогнутоЙ можно заменить на d2y/dx\ тогда диф-
ференциальное уравнение изогнутой оси
балки запишется в виде
Величина ри и прогиб балки зависят явно лишь от изгибаю-
щего момента. Непосредственно от величины перерезывающей
силы зависят касательные напряжения в поперечном сечении,
которые, как правило, при изгибе бывают менее существенны-
ми, чем нормальные напряжепия. Способы вычисления каса-
тельных напряжений мы здесь рассматривать не будем.
Отметим, что формулы (8.6), (8.7) получились по виду похо-
жими на соответствующие формулы для случая чистого изгиба.
Однако величина М теперь сама зависит от х. Поэтому изогну-
тая ось в общем случае не представляет собой параболу.
Дадим теперь примеры конкретных рас-
Изгиб ^балки, концы четов. Рассмотрим балку, нагруженную
которой укреплены в некоторой точке С силой Р и лежащую
с помощью шарнирно- r . J
неподвижной и шар- на ДВУХ опорах, одна из которых (в точ-
нирно-подвижной опор ке А) шарнирно-неподвижная, другая
(в точке В) шарнирно-подвижная
(рис. 129). Обе опоры позволяют балке свободно вращаться вокруг
точек закрепления. Кроме того, опора в точке В поставлена на
катки, что позволяет концу
балки перемещаться в гори- ^ \р
зонта льном направлении. Не- гт* а -I ^ ;
редко опоры мостов устраи-
ваются именно таким образом.
Если пренебречь трением кат-
ков о землю, то можно ска-
зать, что в точке В не возни- Рис- 129' Балка на двух 0П0Рах-
кает горизонтальной состав-
ляющей силы реакции. Из условия равновесия сразу получает-
ся, что и в точке А сила реакции вертикальна. Кроме того,
имеем
Rt + Я2 = Р, аР= Шх. (8.8)
Последнее равенство представляет собой условие равенства
нулю момента всех действующих на балку сил относительно
точки А.

384
Гл. IX. Теория упругости
Для изгибающего момента в сечении с координатой х имеем
М = — Ях (I — х) при х > а, (8.9)
М = —Дх (I — х) + Р (а — х) при х
а.
Эпюра изгибающих моментов имеет вид, показанный на
рис. 130. Наибольший изгибающий момент Afmax получается
в сечении, расположенном непосредственно под грузом Р,
Мтах = — Ri (I — п) — ¦ -, . (8.10)
В этом сечении будут максимальные растягивающие и сжима-
ющие напряжения рп. Для симметричной балки толщиной 2h
., с помощью (8.6) получаем
Л— - .В . _ h
Pll max I == I ¦'"max | jT •
Величина максимального из-
„ .„„ „ a гибающего момента зависит,
Рис. 130. Эпюра изгибающих мо- /о лп\
ментов при изгибе балки одной си- как ВИДНО из (8-10)- от «' т- е-
лой Р, приложенной в точке С. от положения груза. Если
груз Р перемещается вдоль
балки, то величина Жтах будет наибольшей при I = 2а, т. е.
когда груз находится посредине балки.
Отметим, что мы нашли все силы и определили напряжения
Ри (п0 формулам (8.8), (8.9), (8.6)), не пользуясь сведениями о ма-
териале, из которого сделана балка, только из условий статики.
Рассматриваемая задача представляет собой пример статически
определимой задачи.
Найдем теперь уравнение изогнутой оси балки. Пользуясь
соотношением (8.7), легко получим:
при х <^ a
EJ
=B1(x-l)-P(x-~a),
т. е.
при х „
т. е.
EJy = -I1 (х - If -^г(х-
(8.11)
EJy
Ri
{х — If + с3х -f с4.
(8.12)
В этих формулах через с1? с2, с3, с4 обозначены константы ин-
тегрирования. Для их определения используем условие отсут-

§ 8. Методы сопротивления материалов 3S5
ствия смещений в точках А и В; кроме того, предположим, что
в точке, где находится груз, смещения, получающиеся из фор-
мул (8.11) и (8.12), одинаковы и имеют одинаковые первые про-
изводные. Таким образом, имеем
У @) = 0,
у № = о,
у' (а + 0) = у» (а - 0).
Из этих условий получается, что
Сц
С\ — Сз, ^2 — ^*> ''l — Т~ >
д, р„з Ра (8.13)
с-2 — 6 * 6 — 6 С- а ).
Формулы (8.11) — (8.13) определяют величину прогиба 'алки
в любом ее сечении. Прогиб балки обратно пропорционален
EJ — жесткости на изгиб.
Наибольший интерес для инженера представляют величины
углов 9а и 9в поворота оси балки у опор А и В, координата х*,
где прогиб максимален (\у\ =
= Ытах), И величина | Ушах \- \Р
Интересно, что сечение, где . { ?¦ ^
прогиб максимален, оказыва- ^? —---___ _^ ._-—'2^3 ^
ется расположенным не не- \У\тах
посредственно под грузом. Рис 131. к определению места мак-
Оно всегда близко к середи- спмального прогиба,
не балки. В самом деле, если
груз находится посредине
балки, то х* = 1/2. Пусть теперь а < 1/2. Тогда, очевидно, для
определения х* надо пользоваться формулой (8.12), верной при
х >- а (рис. 131).
Из условия (dy/dx)x^x*= 0 получаем
х =i-у _т_.
Это число близко к 1/2. Даже при а ->- 0
Если груз расположен точно посредине балки, то х* = 1/2 и
_ РР
У max — 48В/
13 Л. И. Седов, том 2

386
Гл. IX. Теория упругости
Изгиб ^балки, один конец Рассмотрим теперь задачу о равновесии
которой закреплен жестко, балки с другим устройством левой опоры
а другой — с помощью шар- / лоп\ «
нирно-подвижной опоры (Рис- 132)> а именно, допустим, что левый
конец балки (сечение А) жестко закреп-
лен. Тогда в сечении А не известны ни сила
реакции, ни точка ее приложения, поэтому в этом сечении при-
ходится вводить не только силу реакции^, но и момент реак-
ции 9R. Отсутствие горизонтальных составляющих реакций
в точках А и В по-прежнему обеспечивается устройством опо-
ры в точке В. Уравнения статики дают
4-
= Р,
—m = 0.
(8.14)
Этих условий недостаточно для определения неизвестных
R.J., /?3 и ЗК. Следовательно, мы имеем дело со статически не-
определимой задачей. Необходимое дополнительное условие
для определения i?1, i?2 и ?9? заключается в условии отсутствия
i
я,
2
'Ж
_ Q ^
р
\*'
Рис. 132. Изгиб балки, один ко-
нец которой закреплен жестко,
а другой — с помощью шарнирно-
подвижной опоры.
Рис. 133. Эпюра изгибающих момен-
тов и форма изогнутой оси балки,
изгибаемой силой, приложенной в
точке С.
поворота оси балки в точке А (жесткое закрепление исключает
поворот). Это условие имеет вид
0Д - 0 или (^)д = 0.
Величина прогиба балки у (х) зависит от свойств материала, и
поэтому Rlt R2, $ft нельзя определить независимо от свойств
материала балки.
Для величин изгибающих моментов имеем
М ='— Rx (I — х) при х ^> а,
М = — R%{1 — x) -f- P (а — х) при х < а.

I 8. Методы сопротивления материалов 337
Следовательно, уравнение изогнутой оси балки по-прежнему
определяется формулами (8.11) — (8.13).
Условие 0д = О имеет вид
или (с использованием (8.13))
Далее из условий (8.14) определяются R2 и
Нетрудно проверить, что наибольший изгибающий момент, а
следовательно, и наибольшие нормальные напряжения получа-
ются в заделанном сечении ги 'когда груз расположен так, что
Эпюра изгибающих моментов и форма изогнутой оси бал-
ки приведены на рис. 133.
Задача о равновесии балки Усмотрим еще один пример типичной
на трех опорах статически неопределимой задачи — за-
зачу о балке на трех опорах (рис. 134),
когда в точке х = 1Х -\- а на балку действует сила Р. Урав-
нения статики в этом случае дают
Условия (8.15) представляют собой два уравнения для опреде-
ления трех неизвестных Rt, R2, R3.
Дифференциальные уравнения для определения формы изог-
нутой оси балки в рассматриваемом случае имеют вид
EJ ^ = - R,(l - х) + Р (h + a - х), h<x<h + a,
EJ^L = -R1(l~x) + P(l1 + а]- х) - R2 (I, - х), х < I
(8.16)
При интегрировании уравнений (8.16) появляются шесть
дополнительных констант. Для определения этих шести конс-
тант и одной неизвестной реакции, например R%, имеем
13*

388
Гл. IX. Теория упругости
следующие семь условий:
j/@) = 0, у A^ = 0,
(i ) v(i)
После использования условий (8.17) и (8.15) становятся
полностью известными величины всех реакций, форма изогнутой
Рнс. 134. Равновесие балки на трех опорах.
оси балки и величина нормальных напряжений в каждом
поперечном сечении.
Аналогично может быть решена задача о равновесии нераз-
резной балки на п опорах под действием произвольной системы
сил, приводящих к изгибу.
§ 9. Вариационные методы в теории упругости
Вариационными методами называются методы точного и
приближенного решения задач, основанные на использовании
экстремальных свойств некоторых функционалов. Здесь мы рас-
смотрим так называемый метод Ритца, а также близкий к нему,
хотя и не основанный непосредственно на использовании вари-
ационного принципа, метод Бубнова.
Введем прежде всего вариационный прин-
Вывод основного вариаци- цип дЛЯ упругих тел, находящихся в рав-
онного уравнения новесии. Рассмотрим уравнение притока
тепла для некоторого действительного процесса, проходя-
щего через данное состояние покоя:
dF =
(9.1)
Это уравнение выполняется для любого действительного процес-
са в упругом теле. Однако оно имеет более общую природу. Имен-
но, как мы это уже делали в § 2, можно рассматривать набор
различных равновесных процессов, проходящих в пространстве

§ 9. Вариационные методы в теории упругости 389
состояний через данную точку и играющих роль «возможных
перемещений» для данного упругого тела. В то же время эти
«возможные» процессы могут быть действительными при опреде-
ленном выборе внешних сил, внешнего притока тепла и других
внешних факторов, которые не входят в уравнение (9.1). Поэто-
му, если обозначить набор дополнительных, мысленно опреде-
ленных возможных бесконечно малых смещений (т. е. дополни-
тельных смещений, допускаемых геометрическими связями) че-
рез 6i#j, соответствующие им дополнительные деформации через
__i
13 ~ 2
дзр
а возможное приращение свободной энергии и температуры через
&F и б У, то будем иметь
^ = ри 6ву - psdT. (9.2)
Вычислим изменение полной свободной энергии тела б \ pF dt,
v
где V — объем данного тела, учитывая, что для индивидуальных
элементов объема V верно равенство б (р dx) = 0. Имеем
б \ pF dt = § PS/? dx = I PiJ8ea dx-[ ^ЬТ dt-
V V V V
Дальше примем, что вариации перемещений bw^(xx, х2, ж3) —
непрерывные дифференцируемые функции координат; пользуясь
этим и свойством симметрии р31 = р4, преобразуем первый из
интегралов правой части
1 ( 98w. d&w. \ . d&w.
v ^
-\9-f- 6Wi dr. (9.3)
v v
При выполнении преобразования (9.3) принято обозначение
Для действительного напряженно-деформированного состояния
при условии, что упругое тело находится в равновесии (покое),
можно написать
л „У
,nii — пп V — о Pi

390 Гл. IX. Теория упругости
поэтому
V
т. е. интеграл
равен работе действующих на тело внешних массовых сил F и
поверхностных р%а.п напряжений. Следовательно,
&[ pF dx = ^ (р?ран • Ш) ds + \ р (F-6w) dx — ^ psbT dx. (9.4)
р ^
V S V V
Мы получили уравнение (9.4), пользуясь соотношением (9.2),
определением индивидуального объема, дифференциальными
уравнениями равновесия и граничными условиями, определяю-
щими напряжения на границе.
Обратно, из (9.4) и (9.2) на основании произвольности воз-
можных перемещений bw, с помощью преобразования (9.3) и ус-
ловия б (р dr) = 0, можно получить дифференциальные уравне-
ния равновесия и граничные условия для напряжений. В этом
смысле можно говорить, что уравнение (9.4) эквивалентно сис-
теме уравнений равновесия и граничным условиям. Если имеются
граничные условия в перемещениях, то они должны быть учте-
ны дополнительно :).
Предыдущие выводы и уравнение (9.4) справедливы как
в рамках теории малых деформаций при наличии закона Гу-
ка, так и в рамках общей теории упругости с конечными де-
формациями и перемещениями из начального состояния.
Рассмотрим отдельно случай, когда внешних массовых
сил нет,
F = 0. (9.5)
Дальше в этом параграфе в качестве возможных процессов
рассмотрим только изотермические:
ЬТ «= 0. (9.6)
В качестве возможных перемещений bw достаточно рассмат-
ривать только такие, для которых на границе тела выпол-
няется равенство
Это условие ограничивает возможные перемещения только точек
J) В частности, это проявится в выборе апроксимиру ющих функций
в методах Ритца и Бубнова.

§ 9. Вариационные методы в теории упругости 391
поверхности рассматриваемого упругого тела, оставляя пере-
мещения внутренних точек произвольными. Если ^>"ран =/= 0, то
условие (9.7) требует, чтобы bw были либо перпендикулярный
направлению действующих на границе внешних сил, либо просто
равны нулю1). Если же 2>?ран = 0, то условие (9.7) не накладыва-
ет никаких ограничений на возможные перемещения на границе.
Из равенства (9.4) при условии, что массовых сил нет, а воз-
можные перемещения удовлетворяют условиям (9.6) и (9,7'),
получаем
§Fdr = 0. (9.8)
Вариационный принцип Следовательно, при равновесии в отсут-
ствие массовых сил действительные пере-
мещения w доставляют экстремум полной свободной энергии
упругого тела по сравнению со всеми другими перемещениями
iv -\-6ги, удовлетворяющими условиям (9.6) и (9.7'). Отметим
и подчеркнем, что свободная энергия отдельных частей тела
даже при выполнении этих специальных условий на S не до-
стигает в равновесии экстремума.
Нетрудно показать, что если упругое тело подчиняется зако-
ну Гука, причем F можно считать положительно определенной
квадратичной формой от гц для всех изотермических процессов
с Т = Т0 ¦= const, то условие (9.8) превращается в условие
минимума полной свободной энергии в состоянии равнове-
сия. В самом деле, пусть
Вычислим F (e,tj -f- 6e,j). Имеем
F (e« + 6ги) = F
T W^ 6^6e*' = F
Поэтому в силу (9.8) получаем
\ pF (Ei;- + бЕу) dx = [pF (ei;) dx + \ 9F (*е„.) dx.
V V
x) Для дальнейшего существенно только равенство
$р(*.а«ол + J(pri?H-aw)d3 =0, (9.7')
V
которое может выполняться для перемещений б to более общего вида, в
частности, для любых перемещений тела как твердого, так как внешние
силы удовлетворяют условию равновесия.

392 Гл. IX. Теория упругости
Так как F — положительно определенная квадратичная форма,
то из последнего равенства следует, что
J PF
т. е. свободная энергия в истинном состоянии меньше, чем в
других, возможных, состояниях.
Таким образом, при некоторых определенных условиях ре-
шение задачи о равновесии упругого тела может быть сведено
к решению вариационной задачи о нахождении функций, даю-
щих экстремум некоторому функционалу (для изотермических
процессов — полной свободной энергии).
Метод Ритца решения задач о равновесии
етод итца упругого тела основан на использовании
вариационного принципа (9.8) или, в более общей формулиров-
ке, непосредственно уравнения (9.4). Этот метод состоит в сле-
дующем. Ищем решение для перемещений в виде конечной или
бесконечной суммы
N
tv= Юо-г-2 «.«^ (9-9)
где w0, wts) — наперед заданные функции координат, (напри-
мер, полиномы), as — неизвестные пока константы. Функции
w0, w^ не обязаны сами по себе удовлетворять уравнениям
равновесия или быть связанными с граничными условиями для
напряжений. Однако они должны быть выбраны так, чтобы гра-
ничные условия для перемещений удовлетворялись, если тако-
вые имеются. Можно, например, выбрать функции iv0, w^ так,
чтобы на поверхности тела
«'о = ««гран , «-'(s) = 0.
Если перемещения заданы формулой (9.9), то можно вычислить
соответствующие им компоненты тензора деформаций, кото-
рые будут линейными функциями <zs, и величину свободной
энергии F, которая при наличии закона Гука оказывается
квадратичной функцией постоянных as (и известной функцией
координат х, у, z).
Рассмотрим перемещения bw, имеющие вид
т. е. получающиеся из (9.9) с помощью варьирования констант
as. Если для изотермического процесса перемещения (9.10)

§ 9. Вариационные методы в теории упругости 393
удовлетворяют условиям (9.7) или (9.7'), то для таких переме-
щений должно выполняться равенство
b\pFdx = O или 6 =0,
v
где Зв — полная свободная энергия упругого тела, причем
очевидно, что функция Зв уже не зависит от координат и явля-
ется полиномом второй степени относительно as с известными
коэффициентами. Поэтому условия экстремума для ЗВ
-^=0, s= 1, 2, ..., Л', (9.11)
да ' ' ' v '
s
представляют собой систему линейных уравнений, которые
позволяют найти as. Таким образом определяются функции го
такие, что они дают экстремум функционалу /_п по сравнению
с другими функциями w-\- bw, где bw имеют вид (9.10).
Если бы вариации бм1 были совершенно произвольными
(удовлетворяющими нужным условиям на границе), то полу-
ченное решение было бы точным, так как вариационный прин-
цип полностью эквивалентен системе уравнений равновесия
и граничным условиям для напряжений. В данном случае усло-
вие экстремума выполняется лишь по отношению к некоторым
' bw, поэтому полученное решение является приближенным.
' Однако если система функций га^ — полная система, т. е. если
любую функцию из данного класса, в частности, бм.' (х, у, z),
можно приближенно с любой степенью точности представить
в виде линейной комбинации этой системы функций, то, взяв
I достаточное число членов в (9.9), можно получить решение,
вообще говоря, весьма близкое к точному.
После разрешения системы уравнений (9.11) при любых
N вопрос о получении таким путем в пределе при N —>¦ °о точ-
1 ного решения связан не только с полнотой системы функций
1 w<-s\ но и со сходимостью ряда (9.9).
i В качестве примера использования метода
Решение задачи Ритца рассмотрим решение задачи о кру-
I о кручении цилиндричес- чении цилиндрического стержня эллип-
I кого стержня эллиптичес- тичеСкого поперечного сечения (рис. 135)
1 кого поперечного сечения ^ \г /
методом Ритца крутящими моментами, приложенными на
I торцах. Примем, как и прежде (см. § 7),
что массовые силы отсутствуют, Т = То, а для перемещений
верны формулы:
шг = — azy, w2 = azx, w3 = a/ (x, y).
Тогда, какова бы ни была функция / (х, у), из всех компонент
', тензора деформаций и тензора напряжений отличны от нуля

394
Гл. IX. Теория упругости
только компоненты
831
= е13 = у (— у -?
1L
дх
df
G2 3-
При этом считается, что материал стержня изотропен и подчи-
няется закону Гука. Для свободной энергии, приходящейся на
единицу объема, в этом случае получаем
\21
X)
Поэтому полная свободная энергия представляется в виде
<»•"'»
где 2 — площадь сечения стержня.
Рассмотрим малые перемещения bw следующего вида:
bw1 = 0, bw2 = О,
bw3 = аб/ (х, у).
Эти перемещения удовлетво-
ряют условию (9.7), так как
на боковой поверхности по
условию
а на торцах
Рис. 135. Обозначения к задаче о (вектора™ =р3лежит вплос-
кручении стержня эллиптического б отлич-
поперечного сечения. у'
ную от нуля составляющую
только вдоль оси z). Поэтому при всех таких смещениях
должно выполняться равенство
= О,
Легко показать, что если вариация б/ может быть произволь-
ной, то из (9.12) для / следуют уравнение А/ = 0 внутри 2
(уравнение Эйлера в вариационном исчислении) и граничное

§ 9. Вариационные методы в теории упругости 395
условие
df 1 d , 9 „.
Ж = Т-5Г <*'+**>
на границе 2, т. е. получается рассмотренная в § 7 постановка
задачи для определения функции кручения. Найдем функцию
/ (х, у) методом Ритца, для этого возьмем / в виде
/ = Аху, (9.13)
где А — некоторая постоянная, т. е. положим, что
w0 = 0, wA) = ху
(так как в рассматриваемой задаче перемещения на границе
не задаются, то функции w0, w^ могут быть выбраны произволь-
но). Для полной свободной энергии стержня будем иметь
[(A - IK z/2 + (А + \ухЦ do =
^ лаЪ
так как 2 — площадь эллипса
Из вариационного принципа 6=2? = 0 получаем уравнение
—- = 0, т. е. (А — \)Ъ 2 + {A J- 1) а1 = О,
отсюда
Следовательно,
Любопытно, что полученное решение является точным решени-
ем задачи о кручении эллиптического цилиндра (см. § 7). В силу
удачного выбора функций w^ всего один член ряда (9.9) дает
точное решение.
Аналогичным путем (m>(s) — полиномы) получены прибли-
женные решения задач о кручении стержней прямоугольного
и треугольного поперечных сечений, а также других задач.
Опишем теперь кратко метод Бубнова 1).
Метод Бубнова Этот метод не связан непосредственно
с задачей разыскания экстремума какого-либо функционала
J) В литературе этот метод называется также методом Бубнова —
Галеркина.

396 Гл. IX. Теория упругости
вида (9.8) и может быть приложен к задачам с необратимыми
явлениями 1).
Пусть требуется найти решение некоторых дифференциаль-
ных уравнений, например, уравнений теории движения вязкой
жидкости или уравнений движения упругого тела при опреде-
ленных граничных условиях. Уравнения движения в переме-
щениях можно записать в виде
L(w) = 0, (9.14)
где L — некоторый оператор. Например, для изотермического
равновесия изотропного упругого тела, подчиняющегося зако-
ну Гука, имеем линейные уравнения Ламе и
L (w) = (к + [I] grad div w -\- \iAw -]r pF = 0.
Как и в методе Ритца, ищем решение в виде суммы
IV
w = 2 asw(s), (9.15)
s=l
где w<-s) — некоторая система известных функций, обладающая
свойством полноты. Далее предполагаем, что выбором функций
w^ удалось заранее удовлетворить граничным условиям.
Подставим в уравнения (9.14) формулу (9.15), умножим ре-
зультат на каждую из функций w^ и проинтегрируем по всему
объему V рассматриваемого упругого тела. Получим следующую
систему уравнений:
= 0 (s = l,...,N). (9.16)
Так как L (w) — теперь известная функция координат и (при
наличии закона Гука) линейная функция а$, то равенства
(9.16) представляют собой систему алгебраических уравнений
для определения as и, может быть, некоторых параметров из
условия разрешимости системы (9.16). Определим теперь as
так, чтобы система (9.16) удовлетворялась.
Возникает вопрос: в каком смысле полученные по (9.15)
и (9.16) функции w представляют приближенное решение зада-
чи? Ясно, что если w(s) — полная система функций, то при до-
статочно большом числе функций w^ из равенств (9.16) с любой
наперед заданной степенью точности следует, что
L (и»)=» 0,
х) При наличии необратимых эффектов, вообще говоря, отсутствует
голономный вариационный принцип вида (9.8).

§ 10. Упругие волны в изотропной среде 397
и, следовательно, таким способом можно получить решение,
близкое к точному.
Для получения таким путем точных решений при N —*¦ °°
математические вопросы о сходимости ряда (9.15) и законности
его подстановки в (9.14), а также разрешимости бесконечной
системы уравнений (9.16) имеют существенное значение.
Метод Бубнова может быть применен и в динамических
задачах теории упругости. При этом, если интегрирование про-
изводится по пространственному объему V, то уравнения (9.16)
представляют собой систему обыкновенных дифференциальных
уравнений с одной независимой переменной — временем t.
Применение приближенного метода, по существу совпадаю-
щего с методом Бубнова, при интегрировании только по части
независимых переменных в области, занятой средой, снижает
число независимых аргументов. Такой прием приводит к су-
щественным упрощениям математических задач. Подобные упро-
щения часто используются на практике в теории стержней,
пластинок, оболочек, в гидравлике и т. п.
Замена дифференциальных уравнений интегральными соот-
ношениями, такими как глобальные уравнения количества
движения, момента количества движения и энергии, для при-
ближенно заданных законов распределения характеристик дви-
жения и состояния является, по существу, частным приемом
метода Бубнова.
§ 10. Упругие волны в изотропной среде
Рассмотрим теперь распространение малых возмущений
в упругих телах. Уравнерия Ламе в случае малых относитель-
ных перемещений, не сопровождающихся изменением темпера-
туры (Т = То), имеют вид
р ?^ = (Я, +• ц) grad div w + \i\w + pF. A0.1)
Процесс распространения При наличии движения температура в уп-
упругих волн можно ругом теле, вообще говоря, не остается
считать адиабатическим ^J „' ^ ^
постоянной, а меняется как с течением
времени, так и от точки к точке объема,
занятого упругим телом, поэтому система уравнений теории
упругости в общем случае движения сильно усложняется.
Однако передача тепла внутри тела путем теплопроводности
является медленным процессом, и поэтому быстрый процесс
распространения малых возмущений в упругих телах, так же
как и в газах, можно обычно считать адиабатическим. Как и
в случае движения совершенного газа, предположение об адиа-
батичности движения упругой среды позволяет получить

398 Гл. IX. Теория упругости
простое соотношение между температурой и деформациями.
После добавления этого соотношения к уравнениям импульса
в перемещениях получается полная система уравнений.
Система уравнений Для любой частипы cPe№ адиабати-
линейной теории ческие процессы протекают без обме-
упругости в случае на теплом с внешней средой (dq^ = 0),
адиабатических процессов все процессы в теории упругости счита-
ются обратимыми (Tds = <&?^), и по-
этому в рамках теории упругости адиабатические процессы
являются изэнтропическими, s = const. Для энтропии упру-
гого тела (см. § 2) имеем
Предполагая изменения температуры Т — То малыми по срав-
нению с Т„, выражение для свободной энергии F изотропного
упругого тела в случае малых деформаций можно взять в виде
(см. B.24))
F = А Ц (еу) + Jl /2 (Bi.) _ I (ЗХ + 2ц) а (Т - То) Л (Eii) -
-so(T- То) -~{Т- Тоу -f Fo, A0.3)
где s0, X, [л, си Fo — некоторые постоянные, а члены порядка
(Г — T0)s и выше не учитываются.
Подставив A0.3) в A0.2), получим
s = ?Л±2у. а /х (8i.} + So + J_ (Г _ Го). (ю.4)
Отсюда в случае изэнтропических (в теории упругости адиаба-
тических) процессов, полагая s = s0 = const, будем иметь сле-
дующую связь между Т и eag:
Т - То = - W+miEL I, Ы, (Ю.5)
которая аналогична соотношению
P
Ро
для адиабатических процессов в совершенном газе.
Коэффициент с в формуле A0.3) можно истолковать как
теплоемкость при постоянных деформациях. Действительно,
в теории упругости имеем
Т ds = dqM

§ 10. Упругие волны в изотропной среде 399
и, следовательно, с помощью A0.4) получаем
Закон Гуна согласно B.25) и A0.5) в случае адиабатических
процессов можно переписать в виде
+ 2ixei;-, A0.6)
где введено обозначение
Ясно, что уравнения Ламе в случае адиабатических процессов
имеют тот же вид A0.1), что и в случае изотермических процес-
сов, если под Хъ них понимать Хад. В дальнейшем ради простоты
письма вместо ^ад будем писать просто К и пользоваться обыч-
ными уравнениями Ламе A0.1), помня, что они годятся не толь-
ко для описания изотермических процессов, но и адиабатиче-
ских процессов в упругих телах, если в них % равно Хац.
Продольные и поперечные Рассмотрим теперь распространение пло-
плоекие волны скои упругой волны в неограниченной изо-
тропной среде, т. е. волны, в которой пере-
мещение w зависит только от одной из декартовых коорди-
нат, например, х, и времени t. Ради простоты предположим, что
массовые силы J^ отсутствуют. В этом случае для компонент
вектора перемещения w из A0.1) получим следующие урав-
нения:
**• а\
2 $1% ' Qx& 2
а2 а2
L, (Ю.9)
где
A0.10)
A0.11)
Уравнения A0.8) и A0.9) представляют собой обычные волно-
вые уравнения, величины ах и а2 являются скоростями распро-
странения возмущений (см. § 17 гл. VIII). Видно, что скорости

400 Гл. IX. Теория упругости
распространения возмущений компоненты перемещения wx
и компонент w2 и w3 различны. Следовательно, плоская упругая
волна представляет собой две независимо распространяющиеся
волны. В одной из них смещение (wj) совпадает с направлением
распространения самой волны. Такая волна называется про-
дольной и распространяется со скоростью аг. В другой смещение
(w' = i%/ -\-шгЩ лежит в плоскости, ортогональной к направ-
лению ее распространения. Такая волна называется попереч-
ной и распространяется со скоростью а2. Таким образом, в уп-
ругой среде существуют две скорости звука. В том случае, когда
коэффициент Ламе \х равен нулю, а2 = 0, т. е. поперечные волны
не могут распространяться в упругой среде, в которой отсут-
ствуют касательные напряжения. Для воздуха аг = 330 м/сек,
а3 = 0, для железа ах = 7000 м/сек, а2 — 3200 м/сек. Иногда
полезно рассматривать отношение двух скоростей звука
Я 2
где а — соответствующий коэффициент Пуассона. Отметим,что
aja% не зависит от плотности р и соответствующего модуля
Юнга Е упругой среды.
В поперечной волне не происходит изменения объема частиц
среды, так как в ней wx = 0, a w2 и w3 не зависят от у и z и,
следовательно, div w = 0. Но в поперечной волне, как легко
проверить, rotw=jb 0, и поэтому поперечная волна сопровож-
дается «вращением» частиц среды. Напротив, продольные волны
сопровождаются изменением объема частиц среды (div w =
= dwjdx=j^ 0) и не сопровождается их «вращением» (rot w = 0).
Разделение упругой волны на две неза-
Проетранственные волны висимо распространяющиеся части мож-
сдвига и расширения н0 провести и в случае произвольной (не-
плоской) волны, распространяющейся в безграничном простран-
стве. Для этого сначала заметим, что вектор массовых сил, как
и всякий другой вектор, можно представить в виде суммы
двух векторов (см. §25 гл. VIII), один из которых является по-
тенциальным, а другой — соленоидальным:
F = grad Ф + rot Ч>, A0.13)
причем, не нарушая общности, можно принять, что
Допустим, далее, что мы ищем непрерывные дифференцируемые
решения уравнений Ламе A0.1) во всем пространстве в виде
w = grad ф + rot t|), A0.14)

§ 10. Упругие волны в изотропной среде 401
где ф — скалярный, а о|з — векторный (div if = 0) потенциалы
перемещения w. Подставив A0.13) и A0.14) в уравнение
A0.1) (при (р = const), получим
grad [(А, + 2ц) ДФ + рФ - р -|J] +
[nA*j) + P4'-pi^] = 0. A0.15)
Взяв от обеих частей этого равенства операцию дивергенции,
будем иметь
т. е. функция (% -)- 2|а) Дф -)- рФ — р^- является непрерывной
гармонической во всем пространстве и, следовательно, может
быть либо постоянной величиной, либо некоторой функцией вре-
мени / (t). He нарушая общности, функцию / (t) можно считать
равной нулю, если вместо потенциала ф ввести потенциал
I i p 1 v ' '
0
Таким образом, для определения потенциала ф получается урав-
нение
Аналогично, если от обеих частей соотношения A0.15) взять
операцию ротации, то получим
но по известной формуле векторного анализа (см. § 25 гл. VIII)
rot rot А = grad div A — АА.
Отсюда, если вектор А соленоидальный, то
rot rot A = — АА.
Следовательно, в рассматриваемом случае непрерывный вектор
р,До|э + рЧ* — р-^я является гармоническим вектором во
всем пространстве, поэтому в безграничном пространстве полу-
чим, что векторный потенциал if перемещений удовлетворяет
уравнению

402 Гл. IX. Теория упругости
Непосредственно очевидно, что формула A0.14) представляет
собой решение уравнения Ламе A0.1), если ц> ио|з являются про-
извольными решениями уравнений A0.16) и A0.17).
Уравнение A0.16) является обычным неоднородным волно-
вым уравнением и, следовательно, часть ivt перемещения w,
соответствующая скалярному потенциалу ср, переносится в про-
странстве со скоростью а%. Волна, распространяющаяся со ско-
ростью^, сопровождается изменением объема среды и является
безвихревой волной сжатия или расширения.
Уравнение A0.17) также является неоднородным волновым
уравнением и показывает, что часть w2 перемещениям, соответ-
ствующая векторному потенциалу 1|з, перемещается в простран-
стве с другой скоростью а2. Эта волна является вихревой и не
сопровождается изменением объема частиц, она называется
волной сдвига. Волны сдвига и расширения наблюдаются при
землетрясениях, и по разности зарегистрированных значений
моментов прихода возмущений от этих волн в пункт наблюде-
ния At можно с большой степенью точности судить о расстоянии
L до эпицентра землетрясения, так как
Волновые уравнения Применим изложенные выше общие сооб-
в случае плоской раженпя к частному случаю плоской зада-
чи в плоскости ху, когда составляющая
массовых сил Fz и составляющая переме-
щения w3 равны нулю и все движение не зависит от координа-
ты z. V
В случае плоской задачи общие формулы A0.13) и A0.14)
в компонентах на декартовы оси координат можно записать
в более простом виде через две скалярные функции от х и у.
Для внешних массовых сил F имеем
Fx=™ + ™, Fv=°*-™ A0.18)
х дх ду •> ду дх ч '
и соответственно для перемещений w
Легко видеть, что для заданных векторных полей F и w функции
Ф, W и ф, 1|з легко определяются из решения уравнений Пуас-
сона, которые получаются из A0.18) или A0.19) после соответ-
ствующего дифференцирования и исключения одной из иско-
мых функций.
Аналогично уравнениям A0.16) и A0.17) уравнение Ла-
ме A0.1) в случае плоской задачи приводит к двум вообще

§ 10. Упругие волны в изотропной среде 403
неоднородным скалярным волновым уравнениям для <р и г|э:
Эх* + ду* аг dfi
a-
Таким образом, задача о распространении упругих волн
в изотропной среде в безграничном трехмерном пространстве
и в случае плоской задачи сводится к интегрированию двух
обособленных волновых уравнений. Отсюда видно, что в одно-
родной, изотропной, упругой среде, заполняющей безгранич-
ное пространство, любое малое возмущение может быть пред-
ставлено с помощью наложения волн расширения и волн сдвига.
Если среда неоднородна или занимает ограниченную часть
пространства, то могут возникать другие типы волн, например
волны, распространяющиеся в окрестности границы среды.
Такого рода волны будут рассмотрены ниже.
Граничные условия Решения задач о распространении упру-
на свободной гих колебании в ограниченном простран-
от напряжений стве также можно строить с помощью ре-
поверхности шения краевых задач для волновых урав-
полупространства нений (Ю. 16) и A0.17) или A0.20) и A0.21).
Однако вопрос о разделении упругих волн на волны сдвига
и расширения в ограниченной упругой среде осложняется тре-
бованиями учета граничных условий. Граничные условия могут
связывать различные части упругой волны и наличие границ
может порождать взаимодействие и расщепление волн.
Наиболее простыми типами граничных условий являются
такие, когда на границе упругого тела перемещения w или на-
пряжения рп равны нулю (случай неподвижно закрепленной или
свободной поверхности упругого тела соответственно).
Если поставить плоскую задачу об определении упругих
волн в ограниченном пространстве как задачу интегрирования
волновых уравнений A0.20) и A0.21), то необходимо записать
граничные условия через потенциалы ф и г|).
Общая задача о распространении упругих волн в ограничен-
ном пространстве довольно сложна. Рассмотрим постановку
частной плоской задачи (в плоскости ху) о распространении
упругих волн в упругой среде, занимающей все полубеско-
нечное пространство у ^> 0, когда на границе у = 0 напря-
жения обращаются в нуль. Граничные условия на свободной
L

404 Гл. IX. Теорий упру гоми
поверхности полупространства (рп = 0 при у — 0) имеют вид
Pi = - РИ = 0' Р? = - ^22 = °. *$ = - Р™ = 0- (Ю-22)
Если использовать закон Гука, выражения еи- через w в случае
бесконечно малых деформаций и формулы A0.19), выражающие
компоненты w через потенциалы ср и 1|з, то можно легко устано-
вить, что третье условие удовлетворяется автоматически, а два
первых приводятся к виду
92ф ^* 1 - 0
п) In 1
*' дх1 Эхду ]у=о
Кроме краевых условий A0.23), для получения конкретных
решений уравнений A0.20) и A0.21) необходимо воспользовать-
ся еще дополнительными условиями о поведении решения
при у—>¦ °° ии-+ °° и, вообще говоря, начальными усло-
виями. Можно также изучать установившиеся стоячие или
прогрессивные волны и т. п.
Существование поверх- Покажем, что среди решений поставлен-
ностных волн Рэлея нои задачи имеются решения, которые
представляют собой поверхностные волны.
Для этого рассмотрим плоскопараллельное движение при
отсутствии внешних сил, соответствующее распространению
вдоль положительной оси х прогрессивной синусоидальной
волны с частотой со, волновым числом к и амплитудой, за-
висящей от у, т. е. предположим, что
и будем искать такие решения волновых уравнений A0.20) и
A0.21) (при Ф и W равных нулю), которые убывают с ростом
расстояния от свободной поверхности, т. е. при у -у- оо. Под-
ставив A0.24) в A0.20) и A0.21), получим следующие уравне-
ния для определения функций / (у) и g (у):
A0.25)
A0.26)
dy2
где
, СО т, СО
1 ai ' 2 а2
В соответствии с условием при у —>- оо следует потребовать,
чтобы
t'~^o} A°-27)
ГЬ Па. > U.

§ 10. Упругие волны в изотропной среде 405
так как в противном случае / и g будут периодическими функ-
циями от у и условие при у ->- оо не удовлетворится, не полу-
чится поверхностной волны.
Из условия A0.27), вытекает, что скорость
поверхностной бегущей волны должна быть меньше скорости
распространения объемных поперечных волн а2 < а%.
Если ввести обозначения
к2 - к\ = г2, Л2 - к\ = s2, A0.28)
то общие решения уравнений A0.25) можно записать в виде
/ = Ае-Г" + А^», g — Вег™ + В^1,
где А, В, Ах и Вх — постоянные. Очевидно, что А% и В% необ-
ходимо положить равными нулю, так как иначе возмущения
в упругой среде при у —*- оо будут возрастать. Для ф и 1|з полу-
чаются следующие выражения:
Ф = AeW!x-«>t)-n^ ^ = Вег(-}!Х-Ы)-8У. A0.29)
Рассмотрим теперь граничные условия A0.23) при у = 0.
В случае решения A0.29) они сводятся к двум однородным урав-
нениям для А и В:
а\г2А - (at ~ 2а!)Ли2 + 2a\Biks = 0,
— lAikr +(s2 +/<?)B = 0.
Подставив сюда выражения для г и s из формул A0.28), получим
А ( 2к"- - ^- кп{] -f 2LBk Yk1 - kl = 0,
— 2Aik Vk1 - k\ + В {2k1 — k\) = 0.
A0.30)
Условие совместности этих уравнений, т. е. обращение детерми-
нанта этой системы в нуль, дает уравнение
\ ___________
l) B/с2 - kl) = № /(А? - к\) Y(k2 - ft?),
(
которое с учетом обозначений A0.26) и -^- = с = -^- приводится
к виду

406 Гл. IX. Теория упругости
Равенство A0.31), т. е. условие существования поверхност-
ных волн, является уравнением для определения скорости
с = 1/0 распространения таких волн. Это уравнение называется
уравнением Рэлея, который установил существование поверх-
ностных волн в упругих телах.
Покажем, что при заданных ах и а2 уравнение Рэлея A0.31)
имеет единственный действительный положительный корень,
удовлетворяющий условию с << а2, т. е. покажем, что вблизи
свободной поверхности полупространства, занятого любой
изотропной упругой средой, характеризующейся постоянными
"К и ц, могут распространяться поверхностные волны рассмат-
риваемого типа и что скорость распространения этих волн
единственным образом определяется значениями параметров
Ламе к и ц.
i Существование корня уравнения A0.31) непосредственно
вытекает из того, что левая часть A0.31) положительна при
9 = 1/а2 и отрицательна при 9 ->¦ оо, так как разложение ее
в степенной ряд в окрестности бесконечно удаленной точки,
начинается с члена
28» D-4
Единственность этого корня следует из отрицательности произ-
водной левой части уравнения Рэлея в промежутке 1/а2 < 9< <х>.
Действительно, эта производная равна
49з
49 А
1 / е2 - 4
80

§ 10. Упругие волны в изотропной среде 407
--г|/ е2- —
/1 /- 1
Первое слагаемое этой суммы отрицательно, так как
а второе,— так как среднее арифметическое величин 82 — A/ai)
и 02 — A/ва) всегда больше их среднего геометрического, т. е.
Скорость распространения Приведем теперь данные, из которых еле-
поверхностных волн дует, что скорость с распространения по-
верхностных волн близка к скорости а2
распространения объемных поперечных волн. Возведя урав-
нение Рэлея A0.31) в квадрат и выполнив необходимые про-
стые преобразования, получим
1606 (А L\ +894(- —) — -?®L_j_ -1 = 0. A0.32)
Если ввести отношение | =-?- = -^- = -д^- , то уравнению
A0.32) можно придать вид
|0 _ 86* + 8|2 /з —2-4-^i — 16(^1— Ц] ---= 0. A0.33)
\ ai / \ ei /
Отсюда видно, что отношение | зависит только от отношения
а2/яц которое постоянно для каждой данной упругой среды.
Так как по A0.12)
i 2A —о) '
то | зависит только от соответствующего коэффициента Пуассона
среды. Изотермический коэффициент о для всех известных
материалов меняется в пределах от 0 до 1/2, отношение aj^

408
Гл. IX. Теория упругости
при этом меняется в пределах от 1/^2 до 0, а ?, являющееся
корнем уравнения A0.33),— в пределах от 0,874 до 0,955.
На рис. 136 приведен график1) зависимости | от о.
¦* 4
1,0
0,95
0,90
0,25
0,5 6
Рис. 136. Зависимость отношения скорости распространения волн Рэлея
к скорости поперечных объемных волн от коэффициента Пуассона.
Очевидно, что скорости распространения упругих волн at,
а2 и с не зависят от длины волны или от частоты колебаний,
поэтому в упругой среде отсутствует дисперсия волн.
Вычислим теперь компоненты вектора пе-
ремещенийге, соответствующие потенциа-
лам A0. 1у) поверхностной волны. По
A0.19) и A0.29) имеем
Формулы для перемещений
в волнах Рэлея
Т
ду
ду
дх
=.. (Aike-™ —
— _ (Are-riJ -f Bike-S'<),
Отношение постоянных А и В согласно A0.30) выражается че-
рез | следующим образом:
Л
~в =
2» /1 - V
= — ib.
A0.34)
и постоянно для данного материала. Пользуясь A0.34), для
компонент перемещений в поверхностной волне получим сле-
дующие выражения:
w1 = В (Ьке-гУ — sersu) еИ.кх-ш)
w2 = Bi (ere-™ — ke-w) е^х~^\ (ги.йЭ)
где г и s выражаются через к, ах, а2 и и,а fc при заданной ча-
стоте со для данной среды единственным образом определяется
]) Здесь принято, что aagsss.

г
§ 10. Упругие волны в изотропной среде 409
значением скорости с распространения поверхностной волны
или величиной |.
Решение задачи о распространении в направлении положи-
тельной оси х поверхностных вблизи свободной границы полу-
пространства волн с произвольной частотой со и амплитудой
В полностью построено. Аналогичное решение существует для
волн, распространяющихся в отрицательном направлении оси х.
Посмотрим, на каком расстоянии от гра-
0 законах убывания ницы полупространства у = 0 заметно
возмущений в волнах сказываются смещения, вызванные по-
Рэлея ^ ' тт
верхностными волнами. Для этого, оче-
видно, достаточно рассмотреть, как убывают с ростом | у | мно-
жители e~su и е~''и. Если, как обычно, назвать глубиной про-
никновения уг глубину, на которой амплитуда волны падает
в 1/е раз, то уг = A/г) для части перемещений, связанной
с расширением частиц среды, и j/x = A/s) для части перемеще-
ний, связанной со сдвигом частиц. Имеем
— -L— 1 _
^1 рас ~~ г ~ ",/., ,„г —
у № — Л*
к 1/ 1 —
г
2 '
a*
где К — длина волны расширения, и
_1__ 1 _ 1 _ 1 _ _ %
I / 2
V °2
где X — длина волны сдвига, которая согласно граничным усло-
виям равна длине волны расширения. В случае ст= 1/2 получим
_ X ¦ ^ I /10
У г рас ~~ 2я ' ••i одв = 2я '
Отсюда ясно, что глубина проникновения составляет только
часть длины волны X и различна для различных частей поверх-
ностной волны.
Смещения, соответствующие двумерным поверхностным вол-
нам, составляют основную часть наблюдаемых при землетря-
сениях смещений слоев Земли, так как при удалении от эпи-
центра землетрясения объемные волны, распространяясь вну-
три Земли, значительно ослабевают. Поверхностные волны при
землетрясениях приходят в место наблюдения несколько по-
зднее поперечных пространственных волн, первыми приходят
продольные пространственные волны.

ГЛАВА X
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
§ 1. Некоторые эффекты, возникающие при деформировании
твердых тел и не описывающиеся в рамках модели
упругого тела
Классические модели линейной теории упругости изотроп-
ных или анизотропных кристаллических или других сред опи-
сывают далеко не все явления, происходящие при деформиро-
вании твердых тел.
Результаты и методы теории упругости не всегда достаточны
для оценки прочности конструкций и для разрешения многих
важных практических вопросов. На практике часто требуется
уметь учитывать механические и тепловые свойства твердых
тел, связанные с нелинейной упругостью, электродинамически-
ми эффектами и с термодинамической необратимостью процес-
сов деформирования, требуется рассматривать пластичность,
ползучесть и релаксацию, усталость и т. д. Для учета и описа-
ния подобных явлений необходимо вводить другие теоретические
модели сплошных сред.
Проблема построения новых усложненных моделей дефор-
мируемых тел до сих пор является предметом эксперименталь-
ных и теоретических исследований.
Остановимся очень кратко на описании некоторых наиболее
характерных неупругих эффектов, которые наблюдаются при
деформировании твердых тел.
На рис. 137 приведена диаграмма одно-
Типичная диаграмма осного растяжения — сжатия цилиндри-
растяжения — сжатия ческого образца из мягкого железа под
металлов „ ^
действием внешних сил, приложенных на
его торцах. Аналогичными особенностями обладают диаграммы
растяжения—сжатия образцов, изготовленных из других
металлов. По оси абсцисс на рис. 137 отложена компонента еп
относительного удлинения вдоль оси цилиндра, которую вы-
бираем за ось х, по оси ординат — компонента рп нормаль-
ного напряжения на площадках, перпендикулярных к оси
цилиндра.

§ 1. Эффекты при деформировании твердых тел
411
Рп
Начальный участок диаграммы А гОА близок к прямой линии
Pii = tfen A.1)
и характеризуется обратимыми деформациями, т. е. как при
нагрузке (увеличении растягивающего усилия — увеличении
Рп), так и при разгрузке (уменьшении растягивающего усилия—
уменьшении рп)* точка, изображающая на диаграмме со-
стояние образца, двигается по одной и той же прямой АгОА.
Удлинения при этом обыч-
но весьма малы (для мяг-
кого железа меньше
0,3%). Границы интервала
применимости линейной
формулы A.1) называют-
ся пределами пропорцио-
нальности, соответствую-
щие напряжения рХ1 (А) и
Pu{Ai) —напряжениями
на пределе пропорцио- рис. 137. Типичная диаграмма одно-
нальности. Таким образом, осного растяжения — сжатия для ме-
при напряжениях рп, таллов (мягкое железо).
меньшихрг1 (А) я больших
Рп (^i)i Ha диаграмме имеется участокАгА, соответствующий
закону Гука, или линейной теории упругости.
За точкой А, т. е. при дальнейшем увеличении внешнего
растягивающего усилия, осуществляется участок АВ нелиней-
ной обратимой зависимости р1Х от еп. Деформации на этом
участке диаграммы также обычно весьма малы (меньше 1%).
Изображающая состояние образца точка на участке АВ (и со-
ответственно на AXBX) как при нагрузке, так и при разгрузке
двигается по одной и той же кривой АВ и AxBlm Следовательно,
при рп (А)<С Рп < Рп {В) образец ведет себя тоже как упру-
гое тело, но с динамически нелинейной зависимостью напряже-
ний от деформаций. Понятие динамической нелинейности в дан-
ном случае относится к геометрически малым деформациям,
для которых можно еще пользоваться приближенными линей-
ными формулами для компонент тензора деформаций при их
вычислении через компоненты вектора перемещений.
При дальнейшем увеличении внешнего растягивающего
усилия, когда рг1 становится большим, чем р1г (В), проявляют-
ся необратимые эффекты пластичности. После перехода через
точку В, например в точку С, при последующей разгрузке
изображающая точка будет уже двигаться не по кривой СВАО,
а по другой кривой СЕ. Обычно линия СЕ близка к пряадой,
наклон которой, вообще говоря, приблизительно совпадает
с наклоном прямой ОА. После разгрузки до точки Е при новой

412 Гл. X. Теория пластичности
нагрузке изображающая точка будет практически двигаться
по той же кривой ЕС, а после достижения точки С при дальней-
шей нагрузке — вдоль основной кривой OAD. Если, находясь
за точкой В, внешнюю нагрузку полностью снять и получить
состояние, отвечающее р1х = 0, то в этом состоянии удлинение
еп оказывается отличным от нуля, возникают так называемые
остаточные деформации е^. Деформацию, например, в точке Е
можно рассматривать как состоящую из двух частей — оста-
точной 8ц и упругой ееп
причем часто можно принять, что
е __ рп(е)
Если наклон прямой ЕС совпадает с наклоном первоначального
участка диаграммы ОА, то Е = Ех.
Появление остаточных деформаций после достижения внеш-
ней нагрузкой определенного предела характеризует собой по
определению основное свойство пластичности. При появлении
остаточных пластических деформаций характерно различие ме-
жду функциями рп = / (еп) при нагрузке и разгрузке. Следует
отметить, что появление пластических деформаций в опытах
можно обнаружить после проведения разгрузки. Точка В опре-
деляет начало проявления свойств пластичности, значение на-
пряжения Рц (В) называется пределом упругости пли преде-
лом текучести.
Заметим, что после перехода материала в пластическую
область, например в точку С, при разгрузках и последующих
нагрузках таких, что 0<р11<р11 (С), материал ведет себя
как упругое тело (нагрузка и разгрузка идут по одной и той же
кривой CN). Поэтому можно говорить, что точка С также играет
роль предела упругости для материала, полученного из исход-
ного с помощью пластического деформирования. Для многих
материалов рп (С) ^> р1х (В) по крайней мере для некоторых
участков диаграммы. Такие участки называются участками
упрочнения материала, а повышение предела упругости в ре-
зультате пластического деформирования называется упрочнени-
ем материала или наклепом. Материал упрочняется, если
Рп (С) ^> Рп {В)- Для некоторых материалов на диаграмме
растяжения—сжатия существует горизонтальный участок,
называемый площадкой текучести. При деформировании, соот-
ветствующем этому участку, упрочнения не происходит.
При увеличении внешней нагрузки до рг1 (G) материал разру-

§ 1. Эффекты при деформировании твердых тел
413
шается. Растягивающее напряжение рп (G) называется преде-
лом прочности на растяжение.
Эффект Баушингера Пределы пропорциональности и упруго-
сти, пластические деформации и упрочне-
ние имеют место как при растяжении, так и при сжатии. При
малых упругих деформациях диаграммы растяжения и сжатия,
вообще говоря, симметричны рп (еи) = — рп (—еХ1), однако
имеются среды, например горные породы, для которых указан-
ная симметрия отсутствует.
Предел упругости на диаграмме сжатия при первоначальном
нагружений на рис. 137 соответствует точке Вх. После растя-
жения до точки С с последующей разгрузкой и сжатием предел
упругости материала на сжатие на участке упругих деформа-
ций CENB2 может соответствовать В2. Величины предельных
значенийри в точках Вг и В2 будут, вообще говоря, различными.
Эффект изменения предела упругости на сжатие после пред-
варительного растяжения за предел упругости называется
эффектом Баушингера.
Деформирование за предел упругости приводит к измене-
нию характерных точек участков диаграммы материала, соот-
ветствующих напряжениям другого знака.
Количественные особенности кривой
Рп = / (еи) Для растяжения или сжатия
сильно зависят от физической природы
материала. Однако отмеченные характер-
ные качественные особенности свойств
пластичности типичны для многих материалов. Эти особенно-
сти имеют место также и при других видах нагружений и дефор-
маций, например при деформации чистого сдвига.
Зависимость проявления
свойств пластичности
от свойств материала
и вида деформации
Рис. 138. Типичные диаграммы «напряжение — де-
формация» для металлов: а) при чистом сдвиге, б) при
всестороннем растяжении или сжатии.
В частности, при кручении круглых цилиндрических труб,
когда каждый элемент трубы работает в условиях чистого сдви-
\

414 Гл. X. Теория пластичности
га, зависимость между касательным напряжением и компонен-
той тензора деформаций, характеризующей угол сдвига, изоб-
ражается диаграммой, имеющей такие же качественные осо-
бенности, как и диаграмма на рис. 137 (рис. 138).
Для некоторых материалов, например глины, при деформа-
ции всестороннего сжатия между сжимающим давлением р
и коэффициентом объемного сжатия 0 = ¦— div w также полу-
чается аналогичная зависимость. Однако следует заметить, что
металлы при всестороннем сжатии ведут себя как упругие тела
вплоть до очень больших давлений (порядка 100 000 атм и
больше).
Поэтому при гидростатическом сжатии законы теории упру-
гости практически выполняются для неограниченно больших
давлений, и можно принять, что при всестороннем сжатии
пластические деформации не возникают. Таким образом, свой-
ства пластичности зависят как от свойств материала, так и от
вида напряженного состояния.
Построение теории пластичности связано
Основные задачи, возни- с разрешением трех основных задач: обоб-
кающие при построении щением на случай произвольных напря-
теории пластичности J „ r r
женных состоянии понятия предела упру-
гости, введением в общем случае понятий
нагрузки и разгрузки и установлением законов, определяющих
нарастание остаточных (пластических) деформаций, т. е. уста-
новлением соотношений, позволяющих определять остаточные
деформации при любых допустимых законах изменения внут-
ренних напряжений.
Таким образом, необходимо дать обобщение на случай про-
извольного деформирования понятий, возникающих в связи
с изучением типичной диаграммы для одноосного растяжения
(или чистого сдвига — кручения или всестороннего сжатия
и т. п.), представленной на рис. 137.
„ Отметим два основных типа моделей пла-
Идеальные упруго-пласти-
ческий и жестко-пласти- стических сред.
ческий материалы, линей- 1. Модели идеальных упруго-пластичес-
но-упрочняющийся мате- ких или жестко-пластических сред, в кото-
Риал рых не учитываются упрочнение и эффект
Баушингера. Эти модели получаются в ре-
зультате обобщения на случай произвольного деформирования
предложенных Прандтлем идеализированных диаграмм для
простых частных случаев деформирования, например,
диаграммы для одноосного растяжения, изображенной на
рис. 139.
На этом рисунке приведена диаграмма одноосного растяже-
ния—сжатия для идеально упруго-пластической среды; при нап-
ряжении растяжения, меньшем некоторого постоянного предель-

§ 1. Эффекты при деформировании твердых тел
415
ного значения—р0, и напряжении сжатия, большем р0, мате-
риал ведет себя как упругое тело; часто можно принять, что
Ро = Ро-
В диаграмме, приведенной на рис. 140, упругие деформации
вообще не учитываются (что можно оправдать малостью упру-
гих деформаций по сравнению с возможными пластическими).
Рщ
С) В,
7 Г~Т
ф
4 ? ?"
Ро
Ро
4_
в
Ра
С
4
Рис. 139. Диаграмма сжа-
тия — растяжения для иде-
ально-пластического мате-
риала.
Рис. 140. Диаграмма сжа-
тия — растяжения ; для
жестко-пластического мате-
риала.
Рц ¦
При напряжениях, абсолютная величина которых меньше неко-
торого постоянного значения р0 (р0 = р0), деформации прини-
маются равными нулю. Это диаграмма растяжения — сжатия
образца из жестко-пласти-
ческого материала. В обоих
случаях после увеличения
напряжения до р0 возможно
течение материала с неогра-
ниченно возрастающей де-
формацией при постоянном
напряжении. Такие модели
могут удовлетворительно опи-
сывать поведение материалов,
для которых на диаграмме
Ри(8и) имеется площадка
текучести.
2. К другому типу можно
Рис. 141. Диаграмма сжатия — рас-
тяжения для линейно-упрочняюще-
гося материала.
отнести модели пластических
тел, в которых учитывается упрочнение, т. е. изменение пре-
дела упругости при пластическом деформировании. На рис. 141
приведена диаграмма одноосного растяжения — сжатия для
линейно-упрочняющегося материала.

416
Гл. X. Теория пластичности
Отсутствие однозначной
связи между напряже-
ниями и деформациями
при пластических
деформациях
Отметим, что пластические деформации не
определяются однозначно значением на-
пряжений (см., например, рис. 142). Од-
ному и тому же значению напряжения,
например р^, может соответствовать бес-
численное множество значений en , eu и т. д.
Если при нагружении образца был момент, когда внешняя
нагрузка превысила предел упругости, то значение деформации,
, т
Рис. 142. При пластических деформациях нет
однозначной связи между напряжениями и де-
формациями.
Пример определения
остаточной деформации
в идеально-пластическом
материале, пример
системы с внутренними
напряжениями
соответствующее данному значению напряжения, зави-
сит от того, как было достигнуто это значение напряжения.
Иногда величину пластических деформа-
ций можно однозначно определить с по-
мощью простых соображений. Рассмотрим,
например, конструкцию, состоящую из
трех стержней одинакового диаметра d,
концы которых скреплены симметрично
с помощью абсолютно жесткой пластины АВ (рис. 143, а).
Для простоты исключим влияние сил веса.
Пусть крайние стержни 1 и 2 — стальные, а средний стер-
жень 3, расположенный симметрично относительно стальных
стержней,— алюминиевый. По условию примем, что до при-
ложения внешней нагрузки все три стержня находились в ес-
тественном ненапряженном состоянии (еп = 0). Если пластину,
как указано на рис. 143, равномерно нагрузить, то из симметрии
ясно, что длины всех стержней после деформации будут одина-
ковыми.
Предел упругости р^ и модуль Юнга ЕСТ для стали, как
известно, больше предела упругости pli и модуля Юнга Eazl
для алюминия, соответственно. Для простоты пренебрежем
эффектами упрочнения и будем рассматривать сталь и алюми-
ний как идеально-пластические среды (см. рис. 143, б).

§ 1. Эффекты при деформировании твердых тел
417
Пусть суммарная нагрузка Р на пластину АВ задана и тре-
буется определить нагрузки, приходящиеся на каждый стер-
жень, и общее удлинение стержней.
Предположим, что каждый из стержней деформирован одно-
родно. Допустим еще, что нагрузка Р выбрана так, что относи-
тельное удлинение еп меньше, чем (рай.1Еап) = ?п, и больше,
чем (р11/Ест) = еш т. е. что алюминиевый стержень работает
У///////////////////////,
п
'//////////777///////.
У//////7/ЛI-
ТТЛ
k
Столь (t, Z)
Алюминии C)
Л
sfl sn e/f
a)
Рис. 143. К "определению [пластических деформаций в
стальных стержнях 1 и 2
еще в упругой области, а стальные — уже в пластической об-
ласти (см. рис. 143, б).
Ясно, что нагрузка, приходящаяся на каждый из стальных
•* СТ 79 Г/ ч
стержней, равна рцпа*/4, следовательно, на алюминиевый
стержень действует сила Р— B/?пЯ^2/4).
Одинаковую полную деформацию е1г алюминиевого стержня
и стальных стержней можно вычислить по закону Гука для алю-
миниевого стержня
nd?
Пластическая часть деформации стальных стержней может
быть далее определена из условия
?р _ е е6 = е
11
Интересно отметить, что если теперь полностью разгрузить
пластину АВ, то напряжения и деформации во всех трех стер-
жнях, очевидно, не исчезнут. В стальных стержнях возникнут
напряжения сжатия, а алюминиевый стержень окажется упруго-
растянутым. После разгрузки такая конструкция представляет
14 Л. И. Седов, том 2

418
Гл. X. Теория пластичности
собой пример системы, на которую не действуют внешние силы,
но внутри которой имеются внутренние напряжения. Уничто-
жить эти внутренние напряжения при сохранении целостности
конструкции нельзя. Из этого примера ясно, каким образом
для различных деталей машин или каких-либо сооружений тех-
нология изготовления (неравномерное нагревание и охлажде-
ние при закалке, ковка и т. п.) может стать причиной возник-
новения внутренних напряжений при отсутствии внешних
нагрузок.
Рассмотрим теперь еще другие эффекты, встречающиеся при
деформировании «твердых» тел и не описывающиеся ни в рамках
теории упругости, ни в рамках теории пластичности.
„ Пусть имеется некоторый стержень
Ползучесть , л 11\ -
1 (рис. 144), верхний конец которого закреп-
лен, а к нижнему приложена постоянная сила З3. Если стер-
жень на долгое время оставить в таком состоянии, то, как пока-
зывает опыт, относительное удлинение еи стержня будет расти
/ У////////,
Рис. 144. Ползучесть материалов.
с течением времени t. Если в некоторый момент времени на-
грузку SP снять, то возникшие таким образом деформации не
пропадут. Это явление, которое наблюдается при любой, да-
же малой, величине силы 3^, называется ползучестью.
Ползучесть наиболее сильно проявляется при повышенных
температурах, но свойство ползучести материала следует учи-
тывать также при расчетах конструкций, которые должны ра-
ботать достаточно долго, и при нормальных температурах.
Обычно в тех материалах, в которых проявляется свойство
ползучести, наблюдается и другое явление, называемое релак-
сацией напряжений.
Если растянутый стержень, в попереч-
Релаксация напряжений ных сеяниях которого действуют напря-
жения р°х, закрепить на обоих его концах (i. e. зафиксиро-
вать деформацию еи) (рис. 145), то, как показывает опыт, с
течением времени напряжения в стержне будут падать, для

I 1. Эффекты при деформировании твердых тел
419
одних материалов — до некоторого конечного значения рп,
для других материалов— до нуля.
Явления ползучести и релаксации тесно связаны между со-
бой. При релаксации имевшаяся первоначально упругая дефор-
мация за счет ползучести частично или полностью превращается
Рн
0@)
"и
Рис. 145. Релаксация напряжений.
в пластическую, для поддержания (сохранения) которой не тре-
буется прикладывать силу, это и вызывает уменьшение рп.
Теория ползучести является в настоящее время развиваю-
щейся областью механики сплошной среды.
Опишем еще одно свойство материалов
Усталость материалов называемое усталостью. Опыт показыва-
ет, что, например, металлический образец под действием пери-
одически изменяющейся нагрузки, приложенной на его сво-
бодном конце, может разрушаться после достаточно большого,
но все же конечного числа колебаний, даже если максимальные
напряжения не превосходят предела упругости материала. Для
разрушения образцов из металла обычно требуются миллионы
циклов колебаний.
Вообще многократно повторяющиеся и быстро сменяющие
друг друга по определенному циклу нагрузки и разгрузки обыч-
но приводят к понижению предела прочности конструкций,
т. е. к тому, что конструкции разрушаются при гораздо меньших
напряжениях, чем в статических условиях. Этот эффект назы-
вается усталостью материала.
Проблемы усталости на практике имеют очень большое зна-
чение, так как многие детали машин, обшивки самолетов и
судов и т. д. подвержены постоянным вибрациям. Самолеты,
предназначенные для полетов на больших высотах, всегда ис-
пытываются на циклические нагрузки в связи с тем, что их
оболочка подвергается то расширению под действием внешнего
разрежения на большой высоте, то сжатию] вблизи земли.
Испытания на усталость обычно проводятся путем погружения
и*

Р |
420 Гл. X. Теория пластичности
самолета в воду, в которой по заданному закону меняется дав-
ление. По результатам такого рода экспериментов оценивает-
ся предельное число J допустимых вылетов для данного
самолета.
Усталостные разрушения обычно обусловлены возникнове-
нием и развитием микротрещин внутри или на поверхности
материала. На развитие трещин на поверхности или с поверх-
ности внутрь конструкции существенное влияние может ока-
зывать внешняя среда. Например, прочность на разрыв стек-
лянных пластинок в воздухе и в воде различна.
Сопротивление материа-
лов усталостному разруше-
нию характеризуют кривой
усталости, которую можно
построить, если испытать се-
рию одинаковых образцов,
подвергающихся периодиче-
«_ скомунагружениюв одинако-
N вых внешних условиях, но с
различной амплитудой нап-
Рис. 146. Типичная кривая уста- ряжений. По оси абсцисс от-
лости. кладывается максимальное
количество циклов N, ко-
торое выдерживает образец до разрушения, а по оси орди-
нат — максимальное значение напряжения р, осуществляемое
в этих циклах. Типичная кривая усталости приведена на
рис. 146.
По кривой усталости можно определить максимальное на-
пряжение, которое может выдержать образец для каждого за-
данного числа циклов, называемого базой испытания. Макси-
мальное напряжение, при котором образец выдерживает за-
данную базу испытания, называют пределом усталости или
пределом выносливости. При напряжениях, не превосходящих
р°, образец не разрушается при практически бесконечном числе
циклов.
Следует подчеркнуть, что для одного и того же материала
сопротивление усталости зависит от типа напряженного состоя-
ния (растяжение, кручение, изгиб и т. д.) и от характера изме-
нения напряжений во времени, т. е. от вида цикла и частоты ко-
лебаний. Кроме того, сопротивление усталости зависит от тем-
пературы (особенно для полимерных материалов), от свойств
внешней среды, в частности влажности воздуха, а также от
размеров образца и наличия в нем различных концентраторов
напряжений, например надрезов.
Удовлетворительная теория усталости в настоящее время
еще не создана.

§ 2. Остаточные деформации. Поверхность нагружения 421
§ 2. Остаточные деформации. Поверхность нагружения
Наряду с начальным и деформированным состояниями среды,
которые в действительности могут отвечать, вообще говоря,
некоторым моментам времени t0 и t, рассмотрим мысленно третье
состояние — то, которое получается из данного деформирован-
ного, отвечающего моменту времени t, если снять все внутрен-
ние напряжения.
Отмеченные три состояния можно рассматривать как непре-
рывные многообразия, в которых индивидуальные точки опре-
делены одними и теми же лагранжевыми координатами J;1, |2, ?3.
Обозначим векторы базисов лагранжевой системы координат
I1, |2, ?3 в этих трех состояниях среды через
а. С?1 ?2 S3 f \ _ дг« 2 (%1 ?2 63 f\ _ дг
и a, (I1, |2, I3, 0> a компоненты метрических тензоров — через
8ц — э1'Э]1 8а—э'э] и ёа = эг'э) соответственно. (В ньюто-
нианской механике rod1,|2,|8,0 и** (I1,!2,13, 0—радиусы-векторы
подвижных точек среды.) Квадрат длины материального отрезка,
определяемого бесконечно малым вектором с компонентами
dl1,^!2, d\3, в начальном («недеформированном») состоянии равен
dsl = gijd^d^, в конечном (деформированном) состоянии
ds2 = gijd&dij, а в промежуточном, соответствующем полной
разгрузке,
На рис. 147 показаны состояния, обозначаемые индексами
«о», «-» и «*» для случая одноосного растяжения образца.
Для произвольного состояния конечным
Тензоры пластических, образом деформированной упруго-пласти-
упругих неполных ческой среды можно определить понятия
деформации упругих и пластических деформаций и
ввести следующие три пары тензоров деформаций:
1) тензоры пластических деформаций ёр = е%эгэ^ и
($р = е %°э1& с компонентами
^ B.1)
2) тензоры упругих деформаций Ще = еуэ'э'' и Ёе
с компонентами
B.2)

422 Гл. X. Теория пластичности
3) тензоры полных деформаций S = еуз'э3 и Щ = еуэ'э*
с компонентами
«и = -g- teii — iii). B.3)
Таким образом, при изучении действительного процесса де-
формирования для каждого момента времени наряду с полными
деформациями можно рассматривать пластические, т. е. те,
которые остались бы в частице, если бы ее из данного состояния
полностью разгрузить, и упругие деформации, т. е. те, которые
снимаются при такой разгрузке и возникают вновь при пов-
торном нагружении — при переходе от «разгруженного» со-
стояния к актуальному напряженно-деформированному состо-
янию.
Отметим сразу, что путем снятия всех внешних сил не всегда
можно реализовать «разгруженное» состояние в теле конечных
размеров. Действительно, при снятии всех внешних нагрузок
в теле могут все же остаться внутренние напряжения. В част-
ности, такая ситуация получается в примере, рассмотренном
в § 2 этой главы. Если в таких случаях все же ввести мысленно
для каждого малого элемента тела разгруженное состояние так,
чтобы сплошность всего тела не нарушилась, то точки объема
тела образуют некоторую область У* в неевклидовом простран-
стве, поэтому метрика g%, вообще говоря, будет неевклидовой.
*
Компоненты метрического тензора gy или тензора пласти-
ческих деформаций 2 еЦ = (gy — gy) можно рассматривать
как физические характеристики состояния пластических тел.
Помимо метрики, можно вводить еще другие геометрические
характеристики разгруженного многообразия в области V*
#
и наряду с gij рассматривать эти другие инвариантные харак-
теристики как параметры состояния.
Из формул B.1), B.2) и B.3) видно, что при таком определе-
нии тензоров пластических, упругих и полных деформаций для
ковариантных компонент этих тензоров в лагранжевой системе
координат верно равенство
в,} = el, + е?-, B.4)
т. е. полные деформации равны сумме упругих и пластических.
Отметим, что для конечных деформаций это свойство адди-
тивности не выполняется для компонент с другим строением ин-
дексов в лагранжевой системе координат, а также для компо-
нент с любым строением индексов (в том числе и чисто кова-
риантных) в системе отсчета. Это связано с тем, что B.4) свя-
зывает компоненты тензоров в разных базисах, хотя и в одной

г
§ 2. Остаточные деформации. Поверхность нагружения 423
и той же лагранжевой системе координат *). В случае бесконеч-
но малых относительных перемещений с точностью до малых
высшего порядка можно считать, что равенство B.4) выполня-
ется для компонент с любым строением индексов и в любой
системе координат.
Простейшее определение свойства пластичности состоит
в том, что пластические деформации в отличие от вязких появ-
ляются только в том случае, когда напряжения превосходят
некоторый предел (предел упругости2)). При достаточно малых
напряжениях материал ведет себя как упругий (или как жест-
кий, если упругими деформациями пренебрегают).
, В связи с указанным основным свойством
Поверхность нагружения пластической среды в пространстве на-
, или поверхность текучести пряжений, т. е. в девятимерном простран-
стве, точки которого задаются значениями
компонент тензора напряжений pli, можно отметить область
3)р такую, что если для данного процесса точка р^ лежит строго
! внутри области 33Р, то частица ведет себя как упругое тело.
I В противном случае в частице могут возникать пластические
j (остаточные) деформации. Граница 2Р области 3)р представляет
собой совокупность пределов упругости для всевозможных
1 напряженных состояний. Компоненты тензора напряжения pij,
! взятые в декартовой пространственной системе координат х,
у, z, можно рассматривать как декартовы координаты точек
в области 3)р. В девятимерном евклидовом пространстве 3) р^
| в общем случае область 3)р девятимерна, так как упругие на-
1 пряжения могут быть в известной степени произвольными, а
2Р восьмимерна.
Область 3)р симметрична, если />*' = pji, поэтому в этом
случае можно рассматривать только шестимерную область 3)р
с пятимерной границей 2Р в шестимерном пространстве с коор-
динатами рп, р22, р33, р12, р13, р23. Граница области 3)р поверх-
ность — 2Р называется поверхностью нагружения или поверх-
ностью текучести. Обычно при рассмотрении упрочняющихся
материалов используется название «поверхность нагружения»,
а при рассмотрении идеально-пластических материалов —
название «поверхность текучести».
*) См. Л. И. С е д о в, Введение в механику сплошной среды, Физ-
матгиз, 1962, стр. 248.
2) Это определение понятия пластичности и предела упругости можно
усложнять; например, можно принимать, что пределы упругости зависят
не только от значения самих напряжений, но и от их градиентов, от тем-
пературы и других различных параметров.
3) Преобразования пространственной системы координат х, у, z
индуцируют соответствующие частные преобразования координат рЬ
в девятимерном или в шестимерном пространствах напряжений.

424
Гл. X. Теория пластичности
среды и среды с упро-
чнением
Теперь можно дать общее определение идеально-пластических
и упрочняющихся материалов.
При одноосном растяжении предел упру-
Идеально-пластические гости (предел текучести) — предельное
значение растягивающего напряжения —
для идеально-пластического материала
представляет собой постоянную, которая не зависит от величи-
ны пластической деформации, но может зависеть от температу-
ры Т и, возможно, еще некоторых других параметров физико-
химической природы \хг, не связанных непосредственно с дефор-
мациями (обычный вариант теории). В то же время для упроч-
j яяющегося материала пре-
дел упругости при одно-
осном растяжении изменя-
ется при пластическом
деформировании даже при
достоянных Т и Hj.
В соответствии с этим в
общем случае назовем уп-
руго-пластическую или
жестко-пластическую сре-
ду идеально-пластической,
если для всех процессов
деформирования, происхо-
дящих без изменения тем-
пературы и физико-хими-
ческих свойств среды, по-
верхность Ир в пространстве pli представляет собой фикси-
рованную поверхность, и упрочняющейся, если 2Р меняется
при изменении величины пластических деформаций.
При пластическом деформировании (деформировании с из-
менением величины пластических деформаций) с непрерывным
переходом от упругих состояний к пластическим напряжения рг;
всегда изображаются точкой на поверхности 2 р, т. е. в каждый
момент времени совпадают с одним из пределов упругости
(см. для примера диаграмму одноосного растяжения, рис. 147).
При изотермическом пластическом деформировании идеаль-
но-пластического тела (и при постоянных \хг) точка pv лежит
на фиксированной поверхности 2Р или перемещается вдоль нее.
При изотермическом пластическом деформировании тела с уп-
рочнением (при постоянных |i,) изображающая состояние
частицы точка в пространстве напряжений pij увлекает за
собой поверхность 2Р, которая перемещается в пространстве
напряжений вслед за напряжениями, соответствующими
процессу, в котором возникают пластические деформации
(рис. 148, б).
Рис. 147. Начальное ("), деформиро-
ванное (~) и разгруженное (-х-) со-
стояния в случае одноосного растя-
жения.

§ 2. Остаточные деформации. Поверхность нагружения
425
Уравнение поверхности текучести 2 р для идеально-пласти-
ческого материала можно записать в виде
/(р«, gi}, T, ц{) = 0. B.5)
Функция / называется функцией текучести или функцией
нагружения.
Если среда изотропна, то переменные или постоянные физи-
ко-химические параметры |а4— скаляры.В этом случае функ-
ция / зависит от тензора напряжений только через его инвариан-
ты (при р*3 = p}i независимых может быть только три инва-
рианта). Отсюда легко получить соответствующие условия
симметрии, которые должны быть присущи области 3) р и по-
верхности текучести 2Р для изотропных идеально-пластических
материалов.
?,(t*dt)
Рис. 148. Пластическое деформирование идеаль-
нопластического (а) и упрочняющегося (б) ма-
териалов.
Из определения упрочняющихся материалов следует, что
форма и расположение поверхности нагружения 2Р в простран-
стве напряжений должны зависеть не только от р-\ Т, \ii, но
и от некоторых других параметров, обусловленных величиной
пластических деформаций. В число таких параметров могут
входить непосредственно компоненты тензора пластических
деформаций еу. Кроме еу или вместо них в качестве параметров,
определяющих упрочнение, можно взять параметры
Хъ %ъуч Хп> которые могут быть связанно остаточными деформа-
циями еу различными, в частности неголономными, соотноше-
ниями. Следовательно, уравнение поверхности нагружения для
упрочняющихся материалов можно записать в виде
B.6)
L

426 Гл. X. Теория пластичности
В дальнейшем будем всегда считать, чю знак функции /
выбран так, что внутри 3)Р, т. е. в области, где материал ведет
себя как упругое тело, имеем
/ < 0. B.7)
Определение процессов Дадим теперь определение процессов пла-
пластического нагружения стического нагружения и разгрузки. При
и разгрузки одноосном растяжении разгрузка — это
уменьшение величины рХ1. При произволь-
ном деформировании разгрузка определяется как процесс,
при котором точка р*з в пространстве напряжений перемещается
с поверхности Sp внутрь области 3)р. Очевидно, что при этом
некоторые из компонент pli могут возрастать.
Аналитически разгрузку из состояния на поверхности 2Р
можно определить как процесс, в котором для идеально-
пластического материала
V = Ж dT + $Г dPi} + %
а для материала с упрочнением
ЧЙ^ |-^<0. B.9)
При разгрузке, по определению,
defj = 0, dts = 0. B.10)
Пластическое нагружение определяется как процесс, в
котором
/ = 0, df = O, B.11)
причем для идеально-пластического материала
*>-*21+ $
а для упрочняющегося материала
L
дрг:>
1L dis. B.13)
sV.
Для упрочняющихся материалов вводят также понятия
активного пагружения как процесса, в котором

§ 2. Остаточные деформации. Поверхность нагружония 42?
и нейтрального нагружения, в котором
/ = 0. d/ = 0, d'/ = 0, т.
К ' '
При нейтральном нагружении сГ= const, Ц{ = const точка
pli движется в пространстве рч по неподвижной поверхности
2Р, при этом в упрочняющемся материале не происходит из-
менения пластических деформаций.
Сделаем еще несколько замечаний о воз-
Возможные виды можных видах поверхности нагружения.
поверхности нагружения ^ rt * , у*
г Поверхность нагружения (или поверх-
ность текучести) может, очевидно, содержать бесконечно уда-
ленную точку, если существует такой путь нагружения, в ко-
тором при неограниченном увеличении напряжений пластиче-
ские деформации не возникают. В частности, многие материалы
при всестороннем сжатии ведут себя как упругие тела вплоть
до очень больших давлений (при схематизации — до бесконеч-
ных давлений). Поверхности 2Р для таких материалов пред-
ставляют собой цилиндры.
Как было уже указано, вместо девятимерного пространства
напряжений при р4 = р^г достаточно рассматривать только
шестимерное пространство напряжений. Очевидно, что для изо-
тропных материалов существенные особенности области 2р
можно описать в трехмерном пространстве главных компонент
тензора напряжений. Для изотропных тел компоненты pij
входят в функции B.5) и B.6) только через главные напряжения
Ръ Рг, Pa-
Отметим, что для идеально-пластического материала при
пластическом деформировании с Г= const, \ii = const напря-
жения не могут быть произвольными, они всегда лежат на фик-
сированной поверхности в пространстве напряжений, поэтому
для пластических тел, так же как и для жидкости, равновесие
оказывается возможным только при специальной системе внеш-
них сил.
Существуют модели сред, в которых область допустимых
значений напряжений еще более ограничена. В частности, в иде-
альных жидкостях напряжения ру всегда лежат в пространстве
напряжений на прямой, так как величины р^ определяются
значением одного параметра р — давления.
Можно строить модели пластических сред, в которых прояв-
ление пластичности связано с дополнительными ограничениями,
накладываемыми на тензор напряжений. В этом случае непре-
рывный переход из упругой области в пластическую может со-
ответствовать только некоторым множествам точек поверх-

428 Гл. X. Теория пластичности
ности 2j,. Граница, отделяющая упругую зону от зоны, где уже
появились в теле пластические деформации, как правило, яв-
ляется при этом поверхностью сильного разрыва, в частности,
для напряжений.
Рассмотрим, например, переход льда в воду (таяние льда)
как переход материала от упругого состояния к пластическому.
Действительно, при заданной температуре лед, который в из-
вестных пределах хорошо описывается уравнениями теории
упругости, переходит в воду, если напряжения достигают не-
которых значений. Воду можно рассматривать как пластиче-
ское состояние льда (в воде могут появляться остаточные де-
формации *)). Напряжения в воде (пластическом состоянии ма-
териала) сводятся к давлению, напряженное состояние льда
может быть более сложным. Поэтому на границе лед — вода
в общем случае напряжения терпят разрыв. Так, например,
будет в случае растяжения бруска тающего льда. Непрерыв-
ный (без разрыва напряжений) переход от упругого состояния
к пластическому в рассматриваемой модели соответствует
только одной точке поверхности 2Р. Эта точка определяется
величиной давления, при котором тает лед (при заданной тем-
пературе).
В конкретных моделях пластических тел функция нагруже-
ния / должна быть заданной функцией своих аргументов.
Кроме того, должны быть заданы законы упругости, опреде-
ляющие деформирование в упругой области и при разгрузке;
и законы, определяющие приращения de^j и dla при пластиче-
ском нагружении, а также термодинамические функции среды.
§ 3. Основные определяющие соотношения
в теории пластических тел
Различные модели пластических тел отличаются друг от
друга тем, что в них принимаются различные основные законы
для определения efj и %s и по-разному задается функция на-
гружения /. В этом параграфе мы сформулируем так называе-
мый ассоциированный закон, который представляет собой за-
кон, принятый в ряде употребляемых на практике моделей
пластических тел для определения Щ.
Этот закон, вместе с законом, определяющим упругие де-
формации е\ -I и термодинамическими соотношениями, служит
для замыкания системы уравнений в теории пластических тел.
г) Воду можно рассматривать также как упругое тело, в котором на-
пряжения сводятся к давлению, связанному однозначным соотношением
с плотностью и температурой. Однако в воде могут появляться несущест-
венные с точки зрения механики жидкости остаточные деформации, и в
этом смысле можно приписывать воде наличие пластических свойств.

§ 3. Основные соотношения в теории пластических тел 429
Законы для определения Прежде всего покажем, что при разно-
Xs и efj B общем случае образных способах нагружения пластиче-
конных Z^anZbix ские^ деформации е?- и параметры Xs в ка-
соотношений типа C.1) ждыи момент времени не могут опреде-
ляться однозначно значениями компонент
тензора напряжений в тот же момент времени. Другими
словами, покажем, что основные законы пластичности, оп-
ределяющие еР. и х8 в случае различных путей нагружения,
не могут иметь вид конечных однозначных соотношений:
»5 = в? (Pij, Т, ць . . ., (»„,), х, = X, (Pi}, Г, Hi, . . ., И»), C.1)
где рУ и Г — компоненты напряжений и температура в рассма-
триваемый момент времени, a ]is — физические постоянные.
Первые из соотношений C.1) принимаются для определения еу
в так называемых деформационных теориях пластичности.
Для идеально-пластического тела недопустимость соотно-
шений C.1) следует из того факта, что многообразие напряже-
ний pV, соответствующих процессам пластического нагружения,
и пространство остаточных пластических деформаций имеют,
вообще говоря, разные размерности. Наибольшее возможное
при Т = const и рУ = /?Ji число измерений многообразия точек
поверхности текучести 2Р, которой принадлежат все точки
изотермических процессов пластического нагружения, равно
пяти, а соответствующей области пространства еу — шести.
Недопустимость взаимнооднозначных соотношений вида C.1)
в теории идеальной пластичности, как следствие различных
размерностей пространств допустимых значений компонент
ei;- и pV, может иметь место и в том случае, когда на компоненты
тензора е?/ накладываются дополнительные геометрические ог-
раничения, снижающие размерность пространства.
Например, если принять, что материал пластически несжи-
маем, то при малых деформациях компоненты тензора еу обра-
зуют девиатор и размерность соответствующего пространства
допустимых значений для компонент еу равна пяти. Однако
в этом случае обычно принимается, что в условия пластичности
входит только девиатор напряжений pV. Если же допустить,
что в C.1) компоненты девиатора s'fj могут зависеть только от
компонент девиатора напряжений р'1', то и в этом случае ис-
ключаются взаимнооднозначные соотношения вида C.1), так как
размерности пространств допустимых значений компонент «'у
и р'У равны соответственно пяти и четырем.
Из диаграммы одноосного растяжения — сжатия идеаль-
но-пластического тела видно, что даже в простейшем случае

430 Гл. X. Теория пластичности
одноосного монотонного (без промежуточных разгрузок) нагру-
жения в пластической области одному и тому же значению напря-
жения р11 могут соответствовать разные значения величины
пластической деформации Ец (рис. 139).
В общем случае при различных путях нагружения при под-
ходе в пределе к двум различным точкам М и N на поверхности
текучести 2Р (см. рис. 149) из некоторого состояния D в упру-
гой области для модели идеально-
пластическоготеламы встретимся со
следующими эффектами. При на-
гружении по путям DM или DN,
принадлежащим упругой области,
компоненты тензоров пластических
деформаций e.f. остаются неизмен-
ными и, в частности, они могут
равняться нулю или отличаться от
Рис. 149. Различные пути на- нуля, если в предыдущей истории
гружения. деформирования в рассматривае-
мой частице уже образовались ос-
таточные деформации. Таким образом, в точках М и N при
разных напряжениях величины еу могут быть одинаковыми.
С другой стороны, для модели идеально-пластического тела на
участке пути MN, расположенном на поверхности текучести, мо-
гут образоваться изменения величин efj, поэтому в точке N
в результате двух процессов DN и DMN в частице могут воз-
никнуть одинаковая система напряжений, отвечающая точке N,
и различные значения величин efj-
Из этих рассуждений следует, что для модели идеально-пла-
стического тела при различных путях нагружения соотношения
вида C.1), вообще говоря, невозможны.
Для упруго-пластических тел с упрочнением при одноос-
ном растяжении без промежуточных разгрузок существует
однозначная зависимость между напряжением р11 и величиной
пластической деформации е?г Поэтому можно было бы пред-
положить, что и в общем случае при любых нагружениях без раз-
грузок в моделях упрочняющих тел могут выполняться соотноше-
ния C.1). Однако нетрудно показать, что такое предположение
приводит к, вообще говоря, неприемлемым ограничениям 1).
J) Иногда высказывается утверждение, что при любых изотермиче-
ских процессах нагружения без промежуточных разгрузок для модели
пластического тела с упрочнением можно рассматривать связи между пол-
ными деформациями и напряжениями как связи, аналогичные связям не-
линейной теории упругости. Ниже показывается, что в общем случае это
утверждение неверно! Для частных путей нагружения для малой частицы
такая трактовка допустима. Подчеркнем, однако, что для заданного част-

§ 3. Основные соотношения в теории пластических тел 431
В самом деле, если допустить, что в процессах нагружения
равенства C.1) справедливы, то каждое из соотношений вида
и
е?. = е?. (рг\ Г, ць . . ., цм) = Сц = const
Х8 = Х8 (ру, Т, [*!, . . ., цт) = С, = const .
C.2)
будет связывать между собой р1' и Т, т. е. определять (при
Т = const) поверхность 2 в пространстве р1', которая будет
содержать точки поверхностей нагружения 2Р, так как по оп-
ределению модели пластического тела с упрочнением на поверх-
ности нагружения величины еу и %„ постоянны.
Рассмотрим сначала случай, когда при фиксированной тем-
пературе поверхность нагружения 2Р представляет собой пя-
тимерную поверхность в шестимерном пространстве значений
pij. Тогда поверхности, определяемые уравнениями C.2), будут
совпадать с поверхностью нагружения.
Ясно, что при нагружениях в случае постоянной темпера-
туры без разгрузок, если для некоторых двух состояний оста-
точные деформации еу1 и eff различны, при наличии связей C.1)
получится, что соответствующие поверхности нагружения 2Р1
и 2р2 различны и не могут иметь общих точек, так как иначе
одним и тем же значениям /?у и Т могли бы соответствовать
различные остаточные деформации еу1 и еу2, что противоречило
бы однозначности формул C.1).
Таким образом, если зафиксировать, например, е^ = СХ1,
то соотношение гп (pi;, Т, и.х, ..., ]im) = Сп определит одно-
значно поверхность нагружения 2Р и этим самым определятся
все компоненты е^ = Сц и %s = Cs, которые также постоянны
на 2Р. Поэтому все постоянные Ctj и Cs можно рассматривать
как универсальные функции (независимые от р1' и Т) одной из
них, например от Сп = ец, т. е.
и Х. = Х.(е?). C.3)
Соотношения C.3) показывают, что предположения C.1)
приводят к неприемлемому выводу о том, что при нагружении
ного пути нагружения все характеристики состояния малой частицы и тела
в целом можно рассматривать как функции только одной из них. Послед-
ний вывод совершенно очевиден и справедлив при подходящем выборе
одного определяющего параметра вообще для любых моделей неупругих
тел. Вместе с этим необходимо отметить, что в глобальной задаче при опре-
деленном законе нагружения конечного тела внешними силами пути на-
гружения для отдельных малых частиц тела различны и заранее неиз-
рестны.

432 Гл. X. Теория пластичности
по различным путям в переменных рУ и Т возможен только
один вполне определенный путь C.3) пластического деформи-
рования в переменных еу.
Если материал пластически несжимаем, то при малых де-
формациях тензор пластических деформаций efj является девиа-
тором. Легко видеть, что предыдущие общие выводы распро-
страняются и на этот случай, когда по предположению в соот-
ношениях C.1) в аргументах функций фигурируют только ком-
поненты девиатора напряжений р^, а совокупность пределов
упругости образует четырехмерную поверхность в пятимерном
пространстве девиатора тензора напряжений.
В общем случае, если размерность области возможных
значений пределов упругости для компонент тензора напря-
жений рЧ при переходе из упругой области в пластическую
меньше шести, из предположения о существовании взаимно
однозначной связи C.1) следует, что размерность возможных
значений для е§ также меньше шести, и- пластические деформа-
ции могут иметь только некоторый специальный вид, незави-
симый от системы внешних воздействий.
Следовательно, предположения C.1) и предположения о до-
пустимости произвольных пластических деформаций
находятся в противоречии.
Таким образом, показано, что в случае пластических тел
с упрочнением для произвольных путей нагружения даже без
разгрузок конечные однозначные соотношения вида C.1) не-
возможны. С этим связано характерное основное свойство за-
конов теории пластичности, которое состоит в том, что эти за-
коны имеют вид дифференциальных неинтег-
рируемых (неголономных) соотношений.
Очевидно, что для тел с упрочнением для
О деформационных каждого вполне определенного фиксиро-
теориях пластичности ванного закона нагружения можно на-
писать конечные соотношения вида C.1), причем эти соотноше-
ния будут зависеть от выбранного пути нагружения. Вместе
с этим нередко получается так, что для некоторых различных,
вообще говоря, близких путей нагружения можно применять
одно и то же соотношение вида C.1). В связи с этим на прак-
тике иногда можно пользоваться так называемыми деформа-
ционными теориями пластичности, основанными на соотноше-
ниях вида C.1). Нужно, однако, твердо помнить, что эти соот-
ношения верны только для одного или нескольких определен-
ных процессов нагружения рассматриваемой частицы среды и
не определяют ее поведение в других случаях пластического
деформирования, т. е. фиксируют не свойства среды, а лишь
свойства некоторых частных процессов в ней.

§ 3. Основные соотношения в теории пластических тел 433
Пропорциональное • Например, на практике для моделей пла-
нагружение стических тел с гупрочнением можно рас-
сматривать пропорциональное нагружение, когда
Ру = хр«, Т = Т0, C.4)
о* — некоторый постоянный тензор, ах — переменный ска-
лярный параметр. В некоторых приложениях употребляют
приближенные деформационные теории для процессов с про-
порциональным нагружением.
Связи между напряжениями и деформациями для различ-
ных пропорциональных путей нагружения вообще различны и
зависят от параметрического тензора ptf. При геометрически
малых деформациях в линейно-упругом по Гуку конечном
фиксированном теле пропорциональное изменение внешних
нагрузок ведет к пропорциональному изменению компонент
напряжений и компонент тензора деформаций во всех точках
тела. При конечных деформациях пропорциональное изме-
нение компонент тензора деформаций во всех точках тела
в общем случае геометрически невозможно *).
В случае произвольного пластического деформирования
конечных тел в рамках теории малых деформаций при про-
порциональном изменении внешних нагрузок пропорцио-
нальные пути нагружения для всех его малых частиц, вообще
говоря, невозможны.
Сформулируем теперь некоторое термо-
Принцип минимума динамическое неравенство, которое в ра-
работы истинных напря- ботах многих современных авторов при-
жешш на приращениях r r r
пластических деформаций нимается в качестве дополнительного тер-
модинамического принципа и служит
основой для построения моделей пластических тел.
Введем в рассмотрение элементарную работу напряжений на
соответствующих приращениях упругих деформаций
dA.= -*?.dBU C.5)
и их элементарную работу dAp на приращениях пластических
деформаций, отвечающих некоторому изотермическому процес-
су нагружения, проходящему через данную точку р1' на по-
верхности нагружения 2Р,
х) См. Л. И. Седов, О понятии простого нагружения и о возмож-
ных путях деформации, ПММ, т. 23, вып. 2, 1959.

434 Гл. X. Теория пластичности
Элементарная работа внутренних поверхностных сил представ-
ляется в виде суммы dA] и dAp:
dA{i) = dAe + dAp.
Вычислим еще элементарную работу внутренних напряжений
р*а&, отвечающих любой точке упругой области 3)р, на рассма-
триваемых приращениях пластических деформаций de?p
l^. C.7)
dp ds^.
Постулат, выражающийся неравенством,
dAp - dAp = р рр *& > 0, C.8)
носит название принципа минимума работы истинных
напряжений на пластических деформациях. Согласно
этому принципу (постулату) работа, совершаемая дей-
ствительными напряжениями на заданных приращениях пла-
стических деформаций, всегда меньше работы, которую совер-
шали бы любые другие напряжения из упругой области на тех
же приращениях пластических деформаций.
Если компоненты тензоров de%$ и dp*a& = ра& — р*аР
трактовать как компоненты векторов в девятимерном евклидо-
вом пространстве компонент тензора напряжений pij, то по-
стулат C.8) можно истолковать как условие, что скалярное
произведение этих векторов не отрицательно, т. е.
dj^P?feSp>0. C.9)
Из C.9) вытекает, что если в некоторой точке раР на 2Р
провести плоскость, ортогональную вектору <fe?g, то вся по-
верхность может быть расположена только по одну сторону от
этой плоскости.
Отсюда ясно, что поверхность нагружения 2Р со стороны
упругой области 3)р, содержащей точку p*i;, выпуклая.
, „ Далее, если в точке г?аР поверхность на-
Ассоциированныы закон гл ; г г
в случае гладких гружения имеет определенную касатель-
поверхностей нагружения ную плоскость, то эта плоскость должна
быть ортогональна вектору ds%.$. Другими
словами, в тех точках поверхности 2Р, в которых имеется
единственная нормаль, векторы de?p и grad / должны быть
коллинеарны, и для определения приращений пластических
деформаций в процессе пластическогр нагружения получаются

§ 3. Основные соотношения в теории пластических тел 435
следующие дифференциальные соотношения:
где dX — некоторая бесконечно малая положительная скаляр-
ная величина, так как по условию C.9) вектор dey направлен
в сторону внешней нормали 2Р.
Итак, для идеально-пластического материала согласно C.8)
можно принять, что
при/ =
О при / == 0, df < 0 и при / < 0.
C.10)
В случае пластического тела с упрочнением на поверхности
нагружения / = 0 пластические деформации постоянны, и
поэтому dX = 0 при d'f = 0, следовательно, должно быть спра-
ведливо равенство
dX = h d'f,
где h ^> 0 — функция переменных параметров, определяющих
физико-механическое состояние частицы. Соотношения C.10)
в случае пластического тела с упрочнением принимают вид
^==0, d'f>0,
/ = 0 и при
Соотношения C.10) и C.11) являются дополнительными соот-
ношениями для определения приращений пластических деформа
ций. Они вытекают из допущения C.8) и предположения о глад"
кости поверхности 2Р и называются ассоциированным законом-
Ассоциированный закон в теории идеально-пластических тел
в общем виде впервые был предложен и применен Мизесом.
Следует заметить, что допущение C.8) выдвигается в каче-
стве теоретически недоказанного постулата. Поэтому вместо
соотношения C.8) в качестве основного постулата можно при-
нимать сам ассоциированный закон C.10) или C.11). Справед-
ливость ассоциированного закона в требуемых пределах долж-
на подтверждаться опытными данными путем сопоставления
следствий из ассоциированного закона и данных измерений в
опытах.
Возможно построение других теорий пластичности, в кото-
рых вместо ассоциированного закона можно использовать дру-
гие основные законы для определения остаточных деформаций.

436 Гл. X. Теория пластичности
Что касается приращений параметров d%t, то для них в слу-
чае пластического тела с упрочнением можно написать формулы:
«. = л.и; при _,
dts = 0 при d f < 0, J
гак как d%s обращаются в нуль вместе с d'f, As — функции пара-
метров, определяющих состояние частицы.
Задание функций f,hviA, входит в опре-
Функции /, h и As деление конкретной модели пластического
при построении моделей тела с упрочнением. Их следует выбирать
пластических тел так, чтобы свойства предлагаемой модели
задаются - г , х
отражали наблюдаемые в опытах эффекты.
[В предложенных к настоящему времени и используемых
для расчетов конкретных моделях пластических сред с упроч-
нением параметры %, либо вовсе отсутствуют, либо имеется толь-
ко один параметр %, от которого зависит функция нагружения /
и функция h в ассоциированном законе.
Приведем некоторые примеры выражений для d%. Тейлор,
Куинни A931 г.) и Шмидт A932 г.) принимали, что
d% =
Одквист A933 г.) применял следующий параметр упрочнения:
г, j
Указанные авторы рассматривали только изотермические про-
цессы и принимали, что уравнение поверхности нагружения
имеет вид
Предположения Треска и Мизеса о виде функции нагру-
жения / мы подробно рассмотрим в следующем параграфе.
Значения пластических деформаций ец- и параметров %?
для каждого данного пути нагружения, когда производные
df/dpaP известны, определяются посредством интегрирования
соотношений C.11) и C.12) и зависят от пути интегрирования,
т. е. от процесса нагружения.
Существуют модели пластических тел, в
Поверхности нагружения которых поверхности нагружения имеют
с угловыми точками у z. y ^J
острые ребра, угловые или конические
точки. На возможность и даже необходимость использования
такого рода моделей указывают некоторые опытные данные.
Одна такая модель рассмотрена в § 4.

§ 3. Основные соотношения в теории пластических тел 437
В регулярных точках поверхности нагружения с единствен-
ной нормалью согласно ассоциированному закону направление
приращения остаточных деформаций определено единственным
образом. В угловых точках поверхности нагружения в согла-
сии с принципом C.8) или C.9) направление вектора йг% может
меняться внутри некоторого угла (рис. 150, б).
а) Гладят поверхность
погружения
del] II л
б) Поверхность наерижения
а у еловой точкой
den -Внутри угла ABC
Рис. 150. Возможные положения вектора ds^.
Обобщение ассоциированного закона на случай поверхно-
сти нагружения с угловой точкой предложено Койтером 1)
в 1953 г. В настоящее время эта теория является основой для
всех работ, посвященных исследованию пластичности с поверх-
ностями нагружения, имеющими угловые точки. Основные по-
ложения теории Койтера согласуются с принципом минимума
работы истинных напряжений на пластических деформациях,
выраженным неравенством C.9). Рассмотрим особые точки 2Р
как точки пересечения некоторого количества регулярных по-
верхностей с уравнениями вида
/*(PW,e5, Г,Х., W) = 0. C.13)
Число этих поверхностей может быть любым. Иногда поверх-
ность нагружения можно рассматривать как огибающую мно-
жества C.13), содержащего бесконечное количество поверх-
ностей fh. Функции /ft определены так, что смещениям в упругую
область соответствуют неравенства:
/, = 0 и d'ft = ^dT + -2±drfi<Q C.14)
или /ft <C 0.
х) См. W. Т. К о i t е г, Stress-strain relations, uniqueness and varia-
tional theorems for elastic-plastic materials with a singular field surface,
Quart. Appl. Math., v. XI, № 3, 1953, p. 350-354.

438
Гл. X. Теория пластичности
Процессу пластического нагружения в случае идеально-
пластического тела, когда функции fk не зависят от аргументов
и %а, соответствуют условия
/ш = 0, dfu, — d'fu = 0;
/v = 0, dfv = d'fv \ 0 или /v
C.15)
где индексы со и v различны и в совокупности исчерпывают все
значения индексов к.
Процессу активного пластического нагружения в случае
пластического тела с упрочнением соответствуют условия
= 0,
d'fa[>0;
или /v < 0.
C.16)
Если со принимает несколько значений из совокупности ин-
дексов к, то во время бесконечно малого элемента пути нагру-
жения компоненты тензора напряжений продолжают соответ-
ствовать особым точкам поверхности нагружения. Если со = /,
где / — единственный фиксированный индекс, то во время
бесконечно малого пути нагружения происходит переход из
особой точки в регулярную точку поверхности 2Р. Если ин-
дексы @ принимают все значения из совокупности индексов к,
то такой процесс нагружения называется полным.
Обобщение ассоциированного закона
C.10) на случай наличия угловых точек
Б
Ассоциированный закон
в случае поверхностей
нагружения с угловыми
точками
на поверхности Бр дается равенствами:
= 2^ш —^~ ПРИ нагружении, т. е. при уело-
дРг
= 0
виях C.15) или C.16),
при /к = 0, d/K<0 и при /й<0
для всех к,
C.17)
где йХи,— положительные величины.
Для пластического тела с упрочнением для множителей
d%w согласно C.16) и C.17) можно написать
dXa =
C.18)
где кш — положительные функции определяющих параметров
частицы. Функции ha аналогичны функции h, фигурирующей

§ 3. Основные соотношения в теории пластических тел 43Ф
в формуле C.11). Задание функций кш входит в определение мо-
дели пластического тела *).
В случае бесконечной системы функций C.13) сумма в C.17)
может быть заменена интегралом, в котором области интегри-
рования определены условиями C.15) или C.16).
Дополнительные условия для определения параметров х«
в теориях пластичности с упрочнением в тех случаях, когда 2р
имеет угловые точки, могут иметь вид
su) Л /и
или
C.19)
где Л%<л или 33"р — известные функции определяющих параме-
тров, задание которых, как и задание функций fh и ka, входит
в определение модели пластического тела с упрочнением.
Для пластических материалов с упрочнением первые фор-
мулы C.17) с учетом C.18) можно записать в виде
При заданной системе индексов ©, определяемой приращениями
компонент тензора напряжений рУ и температуры, формулы
C.20) дают линейную связь между cfey и dpi} и dТ. В простран-
стве напряжений вблизи особой точки 2^ можно, очевидно,
указать различные области изменения dpb и dT, в каждой из
которых система индексов со различна. Поэтому линейные
связи C.20) в этих различных областях различны. Следователь-
но, соотношения C.20), по существу, являются нелинейными.
Исследование такого рода нелинейных эффектов в угловых
точках 1ip проведено Сандерсом2). Ходж исследовал случаи,
когда поверхности 2рЬ определенные уравнениями Д = 0,
являются плоскостями. В этом случае можно найти конечную
г) Очевидно, что для геометрически-(физически) определенной поверх-
ности нагружения в пространстве напряжений условие /ш = 0 можно
вводить с известным произволом. Если положить /„ =У^/Ш и учесть, что
/ш = 0 при пластическом деформировании, то придем к формулам C.20),
в которых /ш надо заменить через /^ и положить Аш = 1. Аналогичное
замечание, в частности, применимо к формуле C.11).
2) Т. L. Sanders, Plastic stress-strain relations based on linear
loading functions, Proc. of second U.S. National Congress of Appl. Mech.,
1954, p. 455—460.

440 Гл. X. Теория пластичности
связь между напряжениями и остаточными деформациями,
одинаковую для некоторых классов путей нагружения.
В общем случае зависимость функций Лш и /ш от параметров,
определяющих путь нагружения, может быть весьма сложной,
и поверхность 2Р может сильно изменяться при пластическом
деформировании. Однако в случае активного процесса нагруже-
ния, отвечающего изолированной угловой точке (без промежу-
точных разгрузок), важны только локальные свойства поверх-
ности нагружения в этой особой точке, поэтому можно раз-
вивать теорию пластического деформирования с упрочнением
с помощью формул C.20), в которых функции /ш являются
линейными функциями ргК
Несмотря на эффекты нелинейности и весьма сложную
ситуацию при путях нагружения общего вида, в теориях плас-
тических тел с угловой точкой на 2Р возникают значительные
упрощения для некоторого множества путей нагружения,
полностью принадлежащих области полного нагружения. В ча-
стности, Будянским J), было показано, что для некоторой сово-
купности путей полного нагружения можно рассматривать ко-
нечные соотношения между напряжениями и деформациями.
Рассмотренные выше общие идеи построения моделей пла-
стических тел были развиты в основном в последние полтора де-
сятилетия. Экспериментальные исследования введенных функ-
ций пока немногочисленны.
Рассмотрим теперь термодинамические со-
Уравнение притока отношения в теории пластичности. Эти
тепла и второй закон соотношения необходимы для замыкания
термодинамики „
г системы механических уравнении в слу-
чае, когда важны эффекты изменения температуры в процессах
деформирования тела. Поэтому модель пластического тела
нельзя считать полностью построенной, если не определены
термодинамические функции и не написаны термодинамиче-
ские уравнения.
Уравнение притока тепла и уравнение второго закона тер-
модинамики с учетом необратимости процесса пластического
деформирования можно записать в виде (см. §§ 2, 5, 6 гл. Vt. 1)
— р*'еЬи - d (sT) f dq(e)
T ds = dq(e)'-+ dq',
или [ C-22)
ds -- des -f- djS, d{s ^ 0.
dF = — р*'еЬи - d (sT) f dq(e) + dq\ C.21)
[) В. В u d i a n s k y, A reassessment of deformation theory of pla-
sticity, Trans. ASME, Series E, Journ. of Appl. Mech., v. 26, № 1—2,
!959, p. 259—264.

г
§ 3. Основные соотношения в теории пластических Тел 441
Напомним, что здесь F — удельная свободная энергия,
s — удельная энтропия, dq^ — задаваемый отдельно
внешний приток тепла, dq' — некомпенсированное тепло,
dq** — соответствующий приток энергии к единице массы
(см. § 2 и § 7 гл. V т. 1).
Дальнейшее конструирование модели пла-
Основные допущения стического тела всегда связано с рядом
и вытекающие из них " « тт
термодинамическиеформулы Дополнительных допущении. Ниже в ка-
честве основных допущений примем сле-
дующие:
F = F (gih 4, eg, T), г15 = г%
dqw= - — div qdt.
dq' = ~'
C.23)
где q — вектор потока тепла, xij — компоненты некоторого
тензора, который характеризует диссипацию энергии.
На основании C.23) уравнения C.21) и C.22) можно пере-
писать в виде
dF
dF
, div q ,. . xi] , r,
pds = =Л dt + -r-dz%.
C.24)
C.25)
Равенство C.24) выполняется как в упругой, так и в плас-
тической области. В соответствии с рассмотренным выше опре-
делением моделей пластических тел от всякого пластического
состояния можно провести упругий процесс разгрузки, поэтому
напряжения в частице в пластическом состоянии, примыкаю-
щем к упругому процессу разгрузки, можно определить с по-
мощью уравнения состояния теории упругости. Пользуясь
этим, с помощью рассмотрения упругих процессов разгрузки,
когда <fey = 0, получим, что из равенства C.24) следуют со-
отношения B.9) и B.10) гл. IX для упругой модели. В связи
с этим примем, что в упругой области и в пластической области
имеют место соотношения
dF
и s —
dF
C.26)

442 fn. X. Теория пластичности
Для процесса пластического деформирования равенство
{3.24) на оснований C.26) приобретает вид
0. C.27)
В этом равенстве, вообще говоря, нельзя считать dey не-
зависимыми. В самом деле, если, например, принимается ассо-
циированный закон, то шесть приращений <tey выражаются
через одно из них.
Несмотря на это, для наших целей всегда можно считать вы-
полненными равенства
^ = РИ-Р^7-. C.28)
Действительно, положим
т« = р« - р — -|- xl
Тогда из C.27) следует, что всегда
x?de.% = О,
т. е. добавки т!3 не влияют на величину диссипации dq'. Поэто-
му компоненты тензора т*'\ введенные специально и только для
определения dq', можно вычислять по формулам C.28).
Формулы C.28) показывают, что если свободная энергия F
зависит от пластических деформаций, то
В этом случае пластическое деформирование может привести
к изменению величины свободной энергии материала за счет
изменения его структуры, что в известной степени аналогично
изменению свободной энергии при химических реакциях.
Можно рассматривать среды, для которых свободная энер-
гия не зависит от еу,
F=FD,T)\
и C.29)
J
Такие среды можно назвать средами без «памяти» о пластиче-
ских деформациях; все термодинамические функции (F, s, U, W)
и законы упругости (в частности, например, модуль Юнга)

§ 3. Основные соотношения в теории пластических тел 443
в них не зависят от величины накопленных пластических де-
формаций. Однако можно вводить модели пластических тел
с «памятью», когда F = F (еу, Т, е%, %,). В этом случае на
основании C.28) существенно неравенство т*' =j= ргК
Рассмотрим теперь подробнее уравнение
ДЛЯ произв0дства второго закона термодинамики. По опре-
делению примем, что
Величина о* = вг + о*2 определяет собой скорость производства
энтропии за счет внутренних необратимых процессов, связан-
ных с наличием градиента температуры,
и с пластическим деформированием,
Если воспользоваться законом Фурье для вектора q —
то величина <st определяется в виде квадратичной формы от
дТ/дх1:
.. дт эт
а-, = v.%'—: =-.
1 дх1 Эх'
В этом случае закон Фурье (связь компонент вектора потока
тепла с компонентами вектора градиента температуры) может
быть записан в виде
C.34)
Г2 2 ( дТ
д
В случав теплопроводности формулы C.33) вместе с C.34)
представляют собой просто иную формулировку принципа
Онзагера (см. т. 1, стр. 264—265).
При рассмотрении произвольных необра^-
Обобщение принципа тимых процессов иногда можно обобщить
Онзагера на нелинейные равенств^ C.34) и принимать, что если
скорость диссипации о представляется
в виде суммы произведений «сил» Х{ и «потоков» х1
о = Ххх\

Гл. X. Теория пластичности
причем «силы» Xt являются некоторыми нелинейными функ-
циями от определяющих параметров и «потоков» х*, то эти
функции могут быть представлены в виде
*i = *-0- C.35)
В общем случае о не является квадратичной формой xi,
причем величины о и и могут зависеть не только от переменных
х1, но и от некоторых других определяющих параметров %s.
В общем случае из предыдущих формул следует, что между с
и х имеется связь:
Х1х* = к-Щ:х1 = а. C.36)
Соотношение C.36) определяет х, если а задано. Если зада-
но х, то равенство C.36) можно рассматривать как уравнение
с частными производными первого порядка для функции
Если х = const или х = / (%s), то из уравнения C.36) с уче-
том формулы Эйлера для однородных функций непосредствен-
но следует, что величина а является однородной функцией пе-
ременных х1 порядка 1/и.
Предположение C.35) можно обосновать принципами,
которые по своей природе аналогичны принципу C,8), положен-
ному в основу вывода ассоциированного закона *).
Ниже мы применим формулы C.35) для установления
связи между x*J и efy
Рассмотрим величину 02 в случае, когда
Вычисление s2 с помощью ИМеет место ассоциированный закон C.10)
ассоциированного закона или C.Ц). Для простоты ограничимся
случаем гладких поверхностей нагружения. Дальше под pv
и efj можно подразумевать обычные компоненты соответствую-
щих тензоров или только компоненты их девиаторов.
Нетрудно видеть, что ассоциированный закон, выражающий
собой условие совпадения направления вектора efj с направ-
лением нормали к поверхности нагружения / = 0 в соответ-
ствующем многомерном пространстве, может быть записан
х) Разъяснение постулируемого равенства C.35) с помощью других
эквивалентных постулатов, которым можно придать геометрическое тол-
кование или которые можно рассматривать как своего рода физические
условия, накладываемые на силы Xj для обеспечения экстремума а в дей-
ствительных процессах, и подробное описание этих постулатов можно найти
в книге Г. Циглера «Экстремальные принципы термодинамики необратимых
процессов и механика сплошной среды», пер. с англ., Изд-во «Мир», 1966.

§ 3. Основные соотношения в теории пластических тел 445
в виде следующего равенства в единичных векторах:
df
еРц -~ др%3 - C.37)
У дртп дртп
Для коэффициента dkldt пропорциональности между
и df/dpv можно написать формулу
lit 01
, / 01 df
дрУ У дртп дртп
Соотношений C.37) недостаточно, чтобы определить е^
в функции р{', еу, Т и %s (они определяют в пространстве
рулишь направление вектора еу). Однако ими можно пользоваться
для вычисления р'' через еу, еу, Т, %s, если учитывать, что ком-
поненты рУ должны еще дополнительно удовлетворять условию
так как мы рассматриваем процесс пластического нагружения.
Поэтому с помощью ассоциированного закона и уравнения
поверхности нагружения можно, вообще говоря, вычислить х)
а2=~те= j-^M
как функцию от еу, е§> ^> ^s-
Например, если функция нагружения оп-
Функция диссипации ределена формулой
для модели пластической \
среды по Мизесу») / = JL. p*Pii _ С2 (е?-, Г, х.)
и т" = рУ, то с помощью ассоциированного закона и ус-
ловия /= 0 получим
C.38)
J) Если е?- — девиаторные компоненты, то написанная формула для
а2 сохраняет силу при условии, что пластические деформации происходят
без изменения объема.
а) Модель пластического тела с такой функцией нагружения рас-
смотрена в § 4.

446 Гл. X. Теория пластичности
Пластическое деформиро- Существенным обстоятельством в разви-
вание как равновесный тых теориях пластичности является то,
необратимый процесс что ^ получается однородной функцией
первого порядка относительно скоростей
пластических деформаций в системе переменных еу, еу, Т, %s.
Поэтому приращение энтропии за счет необратимости процес-
са пластического деформирования й^плаотоказывается не зави-
сящим от скорости деформирования.
Вообще при построении моделей пластических тел во многих
случаях в качестве основной посылки принимается, что в про-
цессе пластического деформирования приращения энтропии,
внутренней энергии, напряжений связаны только с прираще-
ниями пластических деформаций и не зависят от скоростей,
с которыми осуществляются эти приращения. В связи с этим
подчеркнем специально, что процесс пластического деформи-
рования можно рассматривать как необратимый процесс,
происходящий сколь угодно медленно, и, следовательно, как
необратимый процесс, составленный из последовательности
равновесных состояний х).
Существование функций ПУСТЬ 0* ~ заДанная Функция от е% ъ%,
нагружения и ассоцииро- Ги х8, причем сг2 — тчеу/^ . Предполо-
ванного закона жим, что 0 — однородная функция пер-
вой степени от efj
4^Г = Ъ C.39)
и имеют место равенства
Покажем, что из этих предположений следует существо-
вание к независимых функций нагружения /ш (т4', &%, Т, %s),
ш = 1, 2, ..., к~^> 1, таких, что при процессе пластического де-
формирования выполняются равенства
/„ = 0, со = 1,2, ..., к, C.41)
и, кроме этого, имеет место ассоциированный закон для компо-
нент тензора скоростей пластических деформаций efj, представ-
ляющийся формулами вида
4 - S *- -Й-. <3-42>
х) В некоторых книгах можно прочесть утверждение, что процессы,
происходящие бесконечно медленно, обратимы. Очевидно, что в общем
случае такое утверждение неверно.

§ 3. Основные соотношения в теории пластических тел 447
где Хш — некоторые множители, которые связаны с неодно-
значностью вида функций /ш и должны быть дополнительно
определены с учетом условия сг2 ^ О и равенств C.41). Формулы
C.42) аналогичны и фактически совпадают с формулами C.20)
(при %'i = рУ).
Доказательство утверждений, содержащихся в соотноше-
ниях C.41) и C.42), проведем в более удобных и общих обозна-
чениях. Пусть a (xt, %s) — некоторая однородная функция пер-
вой степени от системы переменных х1, х1, ..., хп и, кроме этого,
может зависеть произвольным образом от некоторых параметров
%s, которые в нижеследующих математических рассуждениях
рассматриваются как постоянные. В реальных процессах эти
параметры могут изменяться. К числу таких параметров можно
отнести температуру, параметры упрочнения и другие физиче-
ские величины.
В связи с функцией а определим компоненты Xt обобщенных
сил по формулам
(* = 1,2, ...,«),
C.43)
где частные производные da/dxt взяты при постоянных %s,
которые дальше не будем указывать в числе аргументов.
Легко убедиться, что, если о (х1) — однородная функция
первой степени, то п функций
Хг(х\х\...,хп), i = 1,2,..., п,
не являются независимыми функциями. В самом деле, пока-
жем, что якобиан
дх]
дхг дх1
обращается в нуль.
В силу однородности функции о (ж1, х2, ..., хп) имеем систему
соотношений
дх1 dxj
(/ = 1,2,..., п),
C.44)
которая удовлетворяется при любых значениях переменных х*.
Эти соотношения для каждой системы значений xi можно рас-
сматривать как линейные уравнения относительно zi с коэф-
фициентами д2о1дхгдх1, определенными этими значениями х1..
Поэтому детерминант, составленный из этих коэффициентов
для всевозможных значений х1, не всех одновременно равных
нулю, обязательно обращается в нуль.

448 Гл. X. Теория пластичности
Пусть для некоторой га-мерной области 3) значений хг ранг
матрицы *)
дх1дз? II
равен п — к, где п^> к ^ 1. В этом случае среди п функций
Xt (х]) в области 3) имеется ровно п — к независимых функций,
и, следовательно, в этом случае имеется к независимых соотно-
шений вида
U(X1,Xi,...,Xn) = Q, со = 1,2 ,Л>1. C.45)
Наличие равенств C.45) является доказательством первой
части высказанного утверждения, выраженной равенствами
C.41).
Наряду с соотношением C.44) рассмотрим систему линей-
l
)
ных уравнений для переменных zl:
дхгдх1
C.46)
Очевидно, что общее решение однородной системы C.46) можно
представить в виде
к
-г X1 1 „mi /Ч Л1\
Z = ^j AmZ , yo.tl)
где A,fe — некоторые произвольные множители, a z11, z2\ ..., zKt—
система к линейно независимых решений C.46), каждое из ко-
торых можно рассматривать как функцию переменных х\
Легко проверить, что решения zwi можно определить фор-
мулами
ZM<(^)= L X),^.,XJX,...,x)) ^ ю = 1 2 К
C.48)
так как при дифференцировании тождественно выполняющихся
в переменных х{ соотношений /т = 0 получим равенства
I^^^L^O (/-1,2,...»).
Oj*-f OZJ uA-\ OX UX
Отсюда следует, что формулы C.48) дают решения системы
C.46).
а) Множество допустимых значений хг может распадаться на несколь-
ко областей, для которых целое число к > 1 различно.

§ 3. Основные соотношения в теории пластических тел 449
Из независимости функций /а(Х,) следует, что система функ-
ций C.48) образует полную систему к линейно независимых
решений уравнений C.46).
Сравнивая C.44) и C.46), видим, что для решений C.46),
равных хг, верны общие формулы:
(* = 1,2 и). C.49)
ы=1
Этим доказаны х) равенства C.42).
Докажем теперь обратное предложение: из C.43) и C.49)
следует, что функция о (ж1, ж2,..., хп) с точностью до аддитив-
ной постоянной по х% ¦— однородная функция первой степени
от ж1, ж2, ..., хп. Положим
тогда
ах*
На основании C.49), C.48), C.47), C.43)и C.46) получим
dx 3dX
что приводит к равенствам
Отсюда следует, что
а = ф + const C.50)
Равенство C.51) показывает, что функция Ф (х1, х2, ..., хп) —
однородная функция первой степени от аргументов х1, х2, ..., хп.
Постоянная в равенстве C.50) равна нулю, если, кроме со-
отношений C.43) и C.49), имеет место дополнительное равен-
ство б = xlXi. В общем случае постоянная в C.50) может от-
*) Возможность перехода от C.43) к C.49) при к = 1 в некоторых
конкретных случаях была указана в заметке Д. Д. Ивлева (ДАН СССР,
т. 176, № 5, 1967). Усовершенствование нашего первоначального общего
доказательства при к = 1 на случай к > 1 цано Я. А. Каменяржем.
15 Л. И. Седов, том 2

450 Гл. X. Теория пластичности
личаться от нуля и иметь вид угУ%, где у1 и Yj — некоторые до-
полнительные к xi и Хг переменные.
Предыдущие выводы получены при условии, что среди пе-
ременных х1 имеются отличные от нуля (т. е. в случае модели
пластического тела действительно осуществляется процесс
пластического деформирования).
Соотношения C.45) показывают, что в точечном гс-мерном
пространстве с координатами Х^ при некоторых данных зна-
чениях параметров %, допустимы только те точки Xi, кото-
рые принадлежат поверхностям с уравнениями /ш (Х$ = 0,
со = 1,2, ...,&]> 0. В частности, для точек Xit для которых
/„ (Хг) = 0, а /и (Хг) ф 0 для всех со ф\, верны более простые
формулы:
X —
Введем в рассмотрение всевозможные точки с конечными ко-
ординатами X?, не лежащие на каких-либо поверхностях
fa (Х{) = 0, соответствующих данной однородной функции
первой степени
в(х*) = х% C.52)
при некоторых данных значениях %s- Очевидно, что точки Х4*
не могут реализоваться в действительном процессе при xl =j= 0,
но они могут реализоваться, когда все х1 = 0, т. е. б = 0, и,
следовательно, имеет место обратимость.
Точки поверхностей /м (Хг) = 0 в пространстве Zt можно
рассматривать как границы обратимых процессов. Напомним,
что неравенство о =j= 0 указывает на необратимость процесса.
Таким образом, необратимые процессы соответствуют гранич-
ным точкам, удовлетворяющим равенствам
fa (Xu Xs) = 0.
Из C.49) и C.52) следует условие
o = 2%aXi-^->0, C.53)
которое должно выполняться во всех точках Xif удовлетворяю-
щих C.45), в частности, для каждой отдельной поверхности
При определенном выборе функций fj(X{) условие C.53)
фиксирует знаки соответствующих функций X}. Множители
Ям можно положить равными единице при соответствующем
определенном выборе функций /ш (см. сноску на стр. 439).
Принцип C.9) и условие б2 ^> 0 (когда функция б2 (е%) ~
однородная функция первой степени) аналогичны по своей

§ 4. Примеры моделей пластических тел 451
природе и приводят к похожим выводам (знаки hm и Я,м),
однако они не являются полностью эквивалентными.
Итак, применительно к теории пластичности полученные
выводы можно представить в следующем виде. Из термодинами-
ческих равенств
v
двг р
eij = G2
в общем случае следует существование по крайней мере одной
связи
t /ТУ pV. т ч \ О (Ч cici'»
1 \l i nj i ' i As/ — и< \О.оО)
причем
C.56)
Соотношение C.56) вместе с условием C.55) совпадает с
ассоциированным законом, только если в выражении для т1'
производная dF/defj равна нулю или не зависит от еу при
р = р0 = const, так как в этом случае
д ! 8F
Кроме этого, в общем случае дополнительные соотношения
(постулат) C.40) и ассоциированный закон (постулат) C.10)
не эквивалентны, если функция б2 не является однородной функ-
цией первой степени от переменных еР..
§ 4. Примеры моделей пластических тел
В качестве одного из примеров моделей пластических сред
рассмотрим следующую модель идеально-пластического тела.
Примем, что частица среды ведет себя как
Условие пластичности упругое тело, если касательное напря-
Треска жение рт на любой площадке меньше
некоторой известной величины к, и как пластическое тело, если
касательное напряжение хотя бы на одной площадке в рассма-
риваемой точке равняется^. Постоянная А вообще различна для
15»

452 Гл. X. Теория пластичности
моделей различных конкретных материалов и может зависеть
от температуры.
Таким образом, постулируется, что свойства пластичности
наблюдаются в тех точках тела, в которых
Условие D.1) носит название условия пластичности Треска.
В пространстве напряжений уравнение поверхности те-
кучести в этом случае имеет вид
/ = ф(/)-& = 0, D.2)
где ф (ру) представляет собой выражение максимального ка-
сательного напряжения pTmax B данной точке среды через ком-
поненты тензора напряжений р1К
Найдем вид функции ф (рУ) и ориента-
Площадки максимальных цИЮ площадок, на которых в данной точке
касательных напряжений теда достигаются максимальные каса-
тельные напряжения. Обозначим через р1, р%, р3 главные ком-
поненты тензора напряжений. Рассмотрим сначала общий слу-
чай, когда р1, р2, р'3 различны между собой, а нумерация глав-
ных компонент тензора напряжений установлена так, что
Р1 > Р2 > Р3- D-3)
Составим выражение для квадрата касательного напряже-
ния рт, действующего в рассматриваемой точке на произволь-
ной площадке с нормалью п (п±, щ,, п3)
р2 = р2 _ р2 D.4)
Направив оси координат х1, х2, х9 вдоль главных направле-
ний тензора напряжений в данной точке, можем, очевидно
(см. C.20) гл. III), написать, что
р«=р*\« и pln = (pinf)\ D.5)
Сформулируем теперь задачу определения ориентации пло-
щадок, на котор(ых в данной точке достигается рттах, как
задачу отыскания таких направляющих косинусов нормали
к площадке, для которых выражение
р* = р*"и« - (р«в»)» D.6)
при условии, что
Ф(п')=п1+тй+ /4-1 = 0, D.7)

§ 4. Примеры моделей пластических тел 453
достигает максимального значения. Поставленная задача яв-
ляется обычной задачей об определении условного экстремума
функции D.6). Для решения этой задачи составим уравнения
Эйлера
„ = О, D.8)
где % — множитель Лагранжа. Уравнения D.8) в раскрытом
виде записываются следующим образом:
р1 пх — 2 (pbif) /Iй1 -f- %nx = О,
р^п2 — 2 (ргп?) р'2п2 + Кщ = О,
ъ^П'л — 2 (р'и?) р3пч 4- Хи, = 0.
D.9)
Очевидно, что эта система уравнений при соблюдении усло-
вия D.7) имеет решения:
пх = Щ = 0, ге3 = 1, ^ = (р3J,
Эти решения следует отбросить, так как они соответствуют
главным площадкам, на которых касательные напряжения отсут-
ствуют, т. е. р\ достигает минимума.
Покажем теперь, что система уравнений D.9), D.7) не имеет
решения, в которых все три направляющие косинуса nt отлич-
ны от нуля. Уравнения D.9) в этом случае можно записать
в виде
pi2 - 2 №Щ)р + % = 0 (/ = 1, 2, 3). D.10)
Исключив из уравнений D.10), соответствующих / = 1,2,
параметр X с помощью уравнения D.10), соответствующего
/ = 3, получим уравнения
(p«B«)(pi-p»)=s0 |
которые в силу сделанного допущения D.3) эквивалентны сле-
дующим равенствам:
p»+p»-2(p«n») = 0. j К - '
Отсюда получаем
1'¦ <)

454 Гл. X. Теория пластичности
что противоречит неравенству D.3). Поэтому необходимо ис-
кать такие решения системы уравнений D.9), D.7), в которых
один из направляююих косинусов п{ равен нулю, а два других
отличны от нуля.
Пусть щ = 0, а щ=Ф=0 и п3ф0. Тогда первое из урав-
нений D.9) удовлетворяется тождественно, а два других сво-
дятся к уравнениям D.10), соответствующим / = 2, 3. Пос-
ле исключения X из этих уравнений и сокращения на р2 — р9
получим
р2 + р* - 2 0>Ч2 + pW) = 0. D.13)
Из условия D.7) в этом случае имеем
п3* = 1 - n,«, D.14)
а щ должен определяться из уравнения
(р2 - Р9) A -2п2) = 0. D.15)
Следовательно, искомое решение имеет вид
"i = 0, + щ = п3 = -у=-.
Аналогично получаются решения
= п3 = -у|-, щ = 0,
= п2 = ~y , п3 = 0.
Каждое из этих решений определяет две площадки, проходя-
щие через одну из главных осей тензора напряжений и накло-
ненные к двум другим осям под углами 45° и 135°.
Подставляя D.16) в D.6), получим искомые экстремальные
значения касательных напряжений
р =^ n =+Zl=-_ p | D 17)
Экстремальные касательные напряжения равны полуразностям
главных напряжений, действующих на двух площадках, пере-
секающихся вдоль той из главных осей тензора напряжений,
через которую проходит рассматриваемая площадка - экстре-
мального значения рт. При условии D.3) наибольшим по ве-
личине будет напряжение
Если, например,
Р1 = Р* > Ps,

§ 4. Примеры моделей пластических тел 455
то поверхность тензора напряжений будет поверхноетью вра-
щения вокруг оси z. Все площадки, проходящие через ось z,
будут главными. Площадок, на которых
р .+ *-'*
г-е — 2 ^т max'
будет бесконечно много. Все они будут касаться круглого ко-
нуса с вершиной в рассматриваемой точке, осью, совпадающей
с осью z, и углом раствора 90°.
Мы установили вид функциональной за-
Поверхность текучести, висимости р-гтах = ф (р'), т. е. уста-
ТГУ^УСЛ°ВИЮ новили, как выражаются максимальные
касательные напряжения, возникающие на
некоторых определенных площадках, проходящих через
данную точку, через главные компоненты тензора напряжений
в этой точке. Теперь можно построить поверхность текучести
/ = cp(/)-/c=O, D.19)
соответствующую условию текучести Треска, в трехмерном про-
странстве главных напряжений р1, р2, р3.
Заметим, что главные компоненты р* симметричного тен-
зора напряжений известным образом выражаются через
инварианты тензора напряжений. Поэтому, если потре-
буется, можно составить уравнение поверхности текучести,
соответствующей условию пластичности Треска, и в шести-
мерном пространстве ргК Оно будет иметь достаточно сложный
вид.
При всевозможных напряженных состояниях пластические
свойства частицы согласно условию Треска могут проявиться
только в том случае, когда выполнено хотя бы одно из сле-
дующих шести равенств:
рз = 2к, р2 — р3 = — 2к,
р1 = 2/с, p* — pi=— 2к.
D.20)
Следовательно, граница упругой области Фр в пространстве
главных напряжений р1, р2, р3 образована шестью плоскос-
тями D.20). Эти плоскости, как видно из D.20), попарно па-
раллельны одной из координатных осей р1, р2, р3 и состав-
ляют углы в 45° с двумя другими осями. Линии пересечения
плоскостей D.20) параллельны прямой р1 = р9 = р3. По-
этому поверхность нагружения, соответствующая условию те-
кучести Треска, представляет собой в пространстве главных

456
Гл. X. Теория пластичности
напряжений шеститраннуго призму, грани и ребра которой па-
раллельны прямой р1 = р2 — ps (рис. 151).
Расстояния от начала координат р1 = р2 = р3 — 0 до
каждой из плоскостей D.20) равны
= = /2 к,
УI
где через ^ (^) = 0 обозначены уравнения D.20) этих плос-
костей.
Если вычислить координаты точек пересечения ребер приз-
мы с плоскостью р1 -f-j52 -f- jos = 0, ортогональной прямой
Рис. 151. Призма и шестиугольник Треска.
линии р1 = р2 = р3, то окажется, что расстояния всех этих
точек до начала координат р1 — р2 = р3 — 0 одинаковы и равны
2 V2
-——~ к. Таким образом, в шестиугольник, представляющий
собой сечение призмы плоскостью р1 -{- р2 -{-рэ = 0, можно
вписать окружность с центром в начале координат и описать
вокруг него окружность с центром в той же точке. Поэтому
сечение призмы плоскостью, ортогональной прямой/?1 — р2 = р3,
представляет собой правильный шестиугольник, который назы-
вается шестиугольником Треска.
Упругая область представляет собой внутренность шес-
тигранной призмы. При всестороннем сжатии или растяже-
нии, когда напряженные состояния таковы, что р1 = р2 = р9,
среда ведет себя как упругое тело вплоть до бесконечно
больших значений компонент рК. Поверхность нагружения
имеет, ребра (в плоскости р1 + Р2 + ря == 0 граница упругой
области имеет угловые точки). Для идеально-пластического
материала при постоянной температуре к = const ^> 0, приз-
ма Треска не меняется; для упрочняющегося материала, к из-

§ 4. Примеры моделей пластических тел 457
меняется при деформировании в зависимости от некоторых па-
раметров %s, призма Треска может изменяться.
Рассмотрим теперь вместо условия пла-
Функция нагружения стичности Треска функцию нагружения, '
Мизеса предложенную Мизесом,
/ (Р{) = (Р1 - Р2J + (р2 - Р3J + (Р9 - Р1J - 8V, D.21)
причем для идеально-пластических материалов кх — некоторое
постоянное для данного материала размерное число или функ-
ция температуры.
Уравнение поверхности нагружения в главных осях тензора
напряжений в этом случае будет иметь вид
/ = (Р1 - Р2J + (Р* ~ Р3J + (Р3 ~ Р1J ~ 8*Y= 0. D.22)
Для модели пластического тела по Мизесу вместо условия пла-
стичности Треска можно принять, что пластические свойства
частицы могут проявиться только тогда, когда выполнено
условие D.22). Условие пластичности D.22) называется усло-
вием пластичности Мизеса 1).
Легко показать, что условие пластично-
Физическая интерпретация сти Мизеса эквивалентно условию, что
условия пластичности пластические свойства частицы прояв-
Мизеса
ляются тогда, когда касательное напря-
жение Рт:(щ=ч'У1Г) на так называемой октаэдрической площад-
ке, проходящей через данную точку и равнонаклоненной
ко всем трем главным осям р1, р2, р3, достигает некоторой пре-
дельной величины, а именно:
На самом деле, направляющие косинусы нормали п к такой пло-
з
щадке равны между собой, так как 2 п\ = 1> то ni = пч =
= ге3 =~^ts; поэтому из формулы D.6) непосредственно следует
J) Это условие пластичности впервые было сформулировано Макс-
веллом в письме к Томсону, см С. П. Т и м о ш е н к о, История науки
о сопротивлении материалов, с краткими сведениями из истории теории
упругости и теории сооружений, Гостехиздат, 1957.

458 Гл. X. Теория пластичности
Отсюда ясно, что условие D.23) будет выполняться, если
принято условие пластичности Мизеса D.22), и наоборот.
Запишем условие пластичности Мизеса
Запись условия Мизеса через главные компоненты девиатора S
через произвольные тензора напряжений. Как известно, деви-
ХГГ ТеНЗ°Ра атором тензора напряжений называется
тензор, компоненты которого Sli опре-
деляются по формулам Sv = рч — 1/39bgi}, где $> — первый
инвариант тензора напряжений.
Все три главные компоненты р1 тензора напряжений отли-
чаются от соответствующих компонент S1 его девиатора на одно
и то же постоянное число 1[S2F>. Поэтому условие пластичности
Мизеса записывается через главные компоненты девиатора тен-
зора напряжений так же, как и через главные компоненты
Р1, Р2, Ps:
(Sl - SY + (S2 - S3J + (S9 - S1J - 8^ = 0. D.24)
Если в этом равенстве раскрыть скобки и сложить его с тож-
дественно равным нулю квадратом первого инварианта девиа-
тора тензора напряжений, то оно примет вид
или
/g(S) = -§-*?• D.25)
где I\ (S) = 5Х2 + ^з2 + #23 = SvStj — второй инвариант де-
виатора напряжений.
Поэтому условие пластичности Мизеса может быть записано
следующим образом через произвольные (не главные) компо-
ненты тензора напряжений:
__|-A;a = 0, D.26)
где SP = p1 -f- p2 + P3 = P^Sn — первый инвариант тензора
напряжений.
С геометрической точки зрения поверх-
Геометрическое построение ность нагружения D.22) в пространстве
поверхности текучести главных напряжений представляет собой
Мизеса поверхность круглого цилиндра с обра-
зующими, параллельными прямой р1 — рг = р3.
f В силу того, что первый инвариант девиатора равен нулю,
вектор с компонентами Sl, 5!, S9 в пространстве главных
напряжений р1, р2, р* всегда должен лежать в плоскости

§ 4. Примеры моделей пластических тел 459
Р1 + Р2 + Р9 = 0, которая представляет собой плоскость, орто-
гональную прямой р1 = р2 = ря. По уравнению D.25) модуль
Рис. 152. Цилиндрическая поверхность нагружения Мизеса
и разложение вектора напряжений ОР на девиаторную OS
и шаровую SP составляющие.
этого вектора постоянен, поэтому нормальное сечение цилин-
дрической поверхности нагружения Мизеса представляет собой
круг радиуса 2j//3 kx (рис. 152).
_,. Константы к и кл в условиях пластич-
06 определении постоян- m Л/г
ных величин в условиях ности Треска и Мизеса можно определять
пластичности Треска и с помощью эксперимента. Пусть, напри-
Мизеса с помощью мер, мы провели эксперимент на простое
эксперимента растяжение, так что р2 и р3 равны нулю,
а р1 ф 0, и определили значение р1 — р1*, при котором насту-
пает пластичность. Через точку р1*, О, О можно провести ци-
линдр Мизеса или призму Треска, в зависимости от того, какое
условие пластичности мы хотим принять для рассматриваемого
материала. Для констант к ж кх будем соответственно иметь
р1* = 2к по D.20) или р1* = 2&х по D.22). Взаимное распо-
ложение круга Мизеса и шестиугольника Треска, построен-
ных для данного материала с помощью эксперимента на про-
стое растяжение, показано на рис. 153, а. Теоретические значения
пределов текучести при других напряженных состояниях,
получаемые с помощью условия Мизеса, будут отличаться от
вычисленных из условия Треска.
Чтобы из двух обсуждаемых условий текучести выбрать
более подходящее для данного материала, нужно провести до-
полнительный эксперимент, в котором осуществлялось бы не
простое растяжение или сжатие, а какой-либо другой тип на-
пряженного состояния.
Ясно, что можно было бы с самого начала определять пре-
дел текучести в опыте с некоторым произвольно выбранным

460
Гл. X. Теория пластичности
путем нагружения, найти соответствующую точку поверхности
текучести в пространстве напряжений и провести через нее
поверхность Мизеса или поверхность Треска. Так, если бы мы
произвели эксперимент на чистый сдвиг (который осущест-
вляется, например, при кручении тонкостенных цилиндриче-
ских труб), то, принимая или условие Мизеса, или условие
Р1
Точка А -состояние
простого растяжения
а)
Точна А - состояние
чистого сдвига
Рис. 153. Взаимное расположение круга Мизеса и
шестиугольника Треска, построенных с помощью опытов
(а) на простое растяжение, kx= k, и (б) чистый сдвиг
*1 = -
2
к.
Треска, получили бы соответственно окружность или шести-
угольник, показанные на рис. 153, б. Для к или кг в этом случае
имели бы к = т* или кх = т*|/3/2, где т* — предел текучести
данного материала при чистом сдвиге.
„ В качестве примера рассмотрим полную
урГвн™шй равновесия систему уравнений для определения на-
идеально-пластического пряженного и деформированного состоя-
тела с условием ний, возникающих при изотермическом
текучести Мизеса равновесии идеально-пластического тела,
удовлетворяющего условию пластичности Мизеса.
Во-первых, в эту систему уравнений входят три уравнения
равновесия
= 0
D.27)
и шесть соотношений между полными, упругими и пластичес-
кими деформациями
jj = 4- + e!j-
D.28)

§ 4. Примеры моделей пластических тел 461
В упругой области при отсутствии разгрузок из пласти-
ческих состояний в предыдущей истории имеем
е§ = 0 D.29)
и уравнения равновесия вместе, например, с законом Гука и
соотношениями, выражающими компоненты тензора деформаций
через компоненты вектора перемещений, представляют собой
полную систему уравнений для определения р^ и щ.
В пластической области
h(S) = -^-kl dI,(S) = O D.30)
efj в общем случае не равны нулю, для замыкания си-
стемы уравнений можно воспользоваться ассоциированным за-
коном
defj = Ш [рц - -g-^j) , D.31)
который представляет собой систему дифференциальных урав-
нений, и условием пластичности.
Для определения рч и еу в общем случае получается си-
стема связанных между собой дифференциальных уравнений.
Однако встречаются важные простые случаи, когда задачу об
определении напряженного состояния идеально-пластического
тела можно решить независимо от задачи об определении оста-
точных пластических деформаций.
Например, допустим, что мы имеем зада-
Плоские напряженное а
и деформированное ЧУ об определении плоского напряжен-
состояния как примеры ного состояния находящегося в равно-
статически определимых весии пластического тела. Тогда, соглас-
пластических задач но определению плоского напряженного
состояния, оси декартовой системы координат х, у, z всегда
можно выбрать так, чтобы р33 = р23 = р13 = 0 (р3 = 0),
&рп, р22 и р12 были бы вообще отличными от нуля и зависели бы
только г) от х и у.
Уравнения равновесия в этом случае сводятся к следующим
двум уравнениям:
J?1 ^L J?1^ = -F, D.32)
ду ' ч '
дх ду ' дх ду '
где X (х, у) и Y (х, у) — компоненты массовых сил. Если
к этим двум уравнениям добавить условие пластичности
См. стр. 481.

462 Гл. X. Теория пластичности
то система уравнений для определения трех отличных от нуля
компонент тензора напряжений р11, р12 и р22 в пластической об-
ласти становится замкнутой. Отсюда следует, что если допол-
нительные краевые условия заданы в напряжениях, то в случае
плоского напряженного состояния можно определить значения
p*i независимо от решения задачи об определении дефор-
маций.
Другим примером использования условия пластичности
для замыкания системы уравнений в напряжениях может слу-
жить случай плоского деформированного состояния пласти-
ческого тела, находящегося в равновесии под действием за-
данной на его поверхности системы напряжений рп. В этом
случае по определению плоского деформированного состояния
оси координат х, у, z можно выбрать так, чтобы 833 = е^ =
= е[3 = 0, а бн , е^ и ей были бы вообще отличными от нуля
и зависели только от х и у.
Заметим, что случаи плоского напряженного и плоского
деформированного состояний вообще не совпадают друг с
другом.
Так, например, в случае плоского напряженного состояния
из ассоциированного закона в форме D.31) вытекает, что
Ж& = *& = 0, но ЗЖ& = - 2dX (jP- + рм), т. е. dev33 ф О
в общем случае. Наоборот, для плоского деформированного
состояния de%3 = 0 и
P8» = -|-(P11 + P2a)> D.33)
т. е. в общем случае pss ф 0. Из D.31) вытекает, что в случае
плоского деформированного состояния могут быть отличными
от нуля четыре компоненты тензора напряжений р11, р22, р12 и
р55, каждая из которых может быть функцией только х и у.
Условие равновесия вдоль оси z удовлетворяется тождественно
при отсутствии составляющих внешних массовых сил вдоль
оси z. Для определения четырех компонент тензора напряже-
ний имеем четыре уравнения: два уравнения равновесия D.32),
условие пластичности /(/>", кг, ..., ks) = 0 и связь D.33)
между компонентами тензора напряжений.
§ 5. Задача о кручении цилиндрического стержня
из упруго-пластического материала без упрочнения
Рассмотрим задачу о кручении цилиндрического стержня
произвольного поперечного сечения из упруго-идеально-пласти-
ческого материала. Выберем оси координат х, у и z так, как по-
казано на рис. 154.

§ 5. Кручение упруго-пластического стержня
463
Примем для простоты, что отсутствуют внешние массовые
силы и что боковая поверхность S стержня свободна от нагру-
зок, т. е.
рп = 0 на S. E.1)
На торцах I^hSj стержня рп = + pz =j= 0, но р33 = 0, т. е. на
торцах стержня распределены касательные напряжения р13 и
р23, под действием которых стержень на-
ходится в равновесии. Распределение
внешних поверхностных сил на 21 j, и 212
определим согласно построенному реше-
нию, а сейчас отметим, что система по-
верхностных сил на22сводится к моменту
Ж, а на 2j — к моменту —М.
Если значение крутящего момента М
достаточно велико, то в некоторых частях
стержня или во всем стержне могут воз-
никнуть пластические деформации. Усло-
вие пластичности, которому удовлетворя-
ет материал стержня, рассмотрим ниже.
Требуется определить напряженное со-
стояние стержня и возникающие в нем
перемещения. Дальнейшие предположе-
ния позволят нам отделить задачу об оп-
ределении распределения напряжений от
задачи об определении перемещений.
Рассмотрим решение этой задачи, ана-
Предположения о ком- логичное решению уже изученной выше
понентах тензора задачи о кручении стержня из упругого
напряжении материала (см. § 7, гл IX). Примем, что
всюду внутри и на поверхности стержня
Рп = Pi2 = Р22 = Рзз = 0 E.2)
и только р13 и р23 отличны от нуля и подлежат определению.
При отсутствии внешних массовых сил из уравнений равно-
весия в проекциях на оси х и у вытекает, что компоненты р13 и
р23 не должны зависеть от z, а уравнение в проекции на ось
z принимает вид
дргз (x, у) држ (х, у)
-—I.— -_
Рис. 154. Обозначе-
ния и выбор осей ко-
ординат в задаче о
кручении цилиндри-
ческого стержня из
упруго-пластического
материала.
= 0.
E.3)
Функция напряжений
Это уравнение удовлетворится тожде-
ственно, если ввести функцию напряже-
ний <F (x, у), через которую компоненты р13 и р23 представляют-
ся по формулам

464 Гл. X. Теория пластичности
Легко видеть, что граничное условие E.1) на боковой по-
верхности S стержня в проекциях на оси х ж у в силу равенств
E.2) и выбора осей координат выполнится тождественно, а в
проекции на ось z сведется к условию
р13 cos (n, x)+p23 cos (п, у) = -j- cos (п, х) — -^ cos (п, у) =
= -gp-cos(e, у) -|- -^-cos (в, х) = -^- = 0 или f = const E.5')
на контуре С поперечного сечения стержня1). Граничные усло-
вия на торцах стержня рассмотрим ниже.
Если стержень имеет односвязное поперечное сечение, то,
так как функция § (х, у) определена с точностью до аддитивной
постоянной, условие E.5') можно написать в виде
f(x,y) = 0 на С. E.5)
Если сечение стержня ограничено несколькими замкнутыми
граничными контурами, то на одном из них можно принять, что
,f = 0, а на других <f = Ch, где Ck — некоторые постоянные,
которые нужно определять в процессе решения задачи. Ниже
ради простоты рассмотрим задачу о кручении стержня одно-
связного поперечного сечения.
Рассмотрим теперь условия пластичности, которым может
удовлетворять материал стержня.
В силу сделанного предположения E.2)
Условие пластичности сумма р132 + /?232 является квадратом ве-
личины полного касательного напряжения на поперечных се-
чениях стержня — площадках с нормалью, параллельной оси z.
По условию идеальной пластичности примем, что материал
стержня находится в упругом состоянии, если
.F13 "Т" -Г23 ^~ л0 >
и в пластическом состоянии, когда
Pis2 +/>2з2 = ^о2, E-6)
где к0— заданная величина, постоянная для данного материала.
Покажем, что условие пластичности E.6)
Условия пластичности для рассматриваемой частной задачи сов-
Треска и Мизеса ^ падает по форме как с условием пластич-
для рассматриваемой ности Треска, так и с условием пластич-
задачи ности Мизеса.
Условие пластичности Треска записывается через главные
компоненты тензора напряжений рг ^> р2 ^> р3 следующим
х) Аналогичное условие получено в § 7 гл. IX.

§ 5. Кручение упруго-пластического стержня 465
образом:
Р^—^-Ь E.7)
где к — заданная постоянная, равная максимально допусти-
мому касательному напряжению.
Главные компоненты тензора напряжений являются корнями
векового уравнения
X О р13
О К Pi
E.8)
Аз Ргз ^
Отсюда, так как рх ^> р2 "> р3,
Pi=Yp\3-i Р^ Р2 = 0, Ps=-Ypb + pJ3. E.9)
Следовательно, в данной задаче условие Треска имеет вид
+~P? = * E-10)
и совпадает по форме с условием пластичности E.6).
Рассмотрим теперь условие пластичности Мизеса
Так как в нашей задаче 5s = 0, то это условие приобретает
вид
т. е. и в этом случае получилось условие вида E.6). Можно
рассмотреть данную задачу о кручении для стержней из раз-
личных материалов, для стержня из материала, моделирующего-
ся условием Треска, для стержня, моделирующегося условием
Мизеса, и для стержня из изотропного материала, моделирую-
щегося еще другим условием пластичности.
Очевидно, что для изотропного идеально-пластического тела
любое условие пластичности, имеющее в этом случае вид
/ (/„ /а, /3) = 0, E.12)
в этой задаче сведется к равенству 72 = р132 -f- p232 = const,
так как при кручении 1г = 13 = 0.
Таким образом, в задаче о кручении условие пластичности
Треска E.10), условие Мизеса E.11) и условие пластичности
общего вида E.12) для изотропного материала в выбранной для

466 Гл. X. Теория пластичности
решения системе координат имеют одинаковую форму:
= const.
Для материала, подчиняющегося условию пластичности
Треска,
const = к2 = р2
*т max'
а для материала, подчиняющегося условию пластичности
Мизеса,
const = -jr- к2 = -zr- р2
3 1 2 т окт.тах
В рассматриваемой задаче для одного и того же стержня всег-
да имеет место равенство
JL и1 = гJ /С. \ Ч\
2 "т окт.тах *г max* \v.i.u)
Для стержня, подчиняющегося условию пластичности Треска,
задается plmax, для другого стержня, подчиняющегося условию
пластичности Мизеса, задается р?Окт.тах- В рассматриваемой
частной задаче условия Мизеса и Треска для разных стержней
совпадают при наличии равенства E.13), равносильного ра-
венству к2 — ijsk\ между задаваемыми в разных моделях ха-
рактерными физическими постоянными.
Для решения задачи в случае, когда весь
Система уравнений материал стержня находится в пласти-
для решения задачи » /г- ,ч
в пластической области ческом состоянии, имеем формулы E.4),
условие пластичности E.6) и граничное
условие E.5). Эти условия позволяют определить компоненты
р13 и p2s в пластической области независимо от определения пла-
стических деформаций. Рассматриваемая задача, так же как и
задачи о плоском напряженном и плоском деформированном
состояниях (см. §4), представляет собой пример статически опре-
делимой пластической задачи.
При наличии равенства E.13) между постоянными в усло-
виях пластичности поверхности нагружения Треска и Мизеса
касаются в точке, отвечающей решению рассматриваемой за-
дачи (см. рис. 153, б), поэтому не только напряженное, но и де-
формированное состояние стержня при использовании ассо-
циированного закона будет одним и тем же, как в том случае,
когда материал скручиваемого стержня описывается условием
пластичности Треска, так и в том случае, когда материал стер-
жня подчиняется условию пластичности Мизеса.

§ 5. Кручение упруго-пластического стержня
467
Постановка задачи Для решения задачи об определении
об определении напряжен- напряженного состояния стержня, когда
ного состояния в пласти-
ческой области через материал стержня находится в пла-
функцию напряжений стическом состоянии, с помощью усло-
вия пластичности E.6) получим уравне-
ние для определения функции напряжения § (х, у). Это урав-
нение имеет вид
ду
= const
или
E.14)
Уравнение E.14) и граничное условие E.5) полностью опре-
деляют функцию напряжений для стержня с данным односвя-
зным поперечным сечением, когда материал всего стержня на-
ходится в пластическом состоянии.
В самом деле, для определения функции
напряжений в этом случае необходимо
найти такую поверхность
z = f(x, у),
опирающуюся на контур С, для которой
Поверхность равного
ската как решение
задачи об определении
ff' (х, у) в пластической
области
| grad f |2 =
= tg2 p = const,
где n — направление нормали к линиям равного уровня
z = const на плоскости ху, а р — угол между касательной
плоскостью к поверхности z = f (x, у) и плоскостью ху
(рис. 155).
А
f= const
Рис. 155. Линии равного уровня поверхности i=3"(x,y)
в проекции на плоскость ху и поверхность равного ската
Z = #¦(!, у).
Отсюда ясно, что искомая поверхность z = f (х, у) яв-
ляется поверхностью с постоянным углом ската [3 = const,
которую можно построить на контуре поперечного сечения С

468
Гл. X. Теория пластичности
на плоскости ху
Песчаная аналогия Для построения такой поверхности мож-
но воспользоваться песчаной аналогией.
Эта аналогия основана на том, что внешняя поверхность кучи
тяжелой сыпучей среды (песка) с сухим трением между части-
цами, насыпанной на горизонтальную площадку, ограничен-
ную контуром С, и находящейся в предельном равновесии,
представляет собой поверхность с постоянным углом ската,
равным углу трения.
Таким образом, функцию напряжений §¦ (х, у) можно
экспериментально определить с помощью опытов с сыпучими
средами. Решения, отвечающие различным значениям tg2|i
(коэффициентам трения), отличаются только масштабным мно-
жителем для координаты z = § (х, у). Значение постоянной
tg2p можно рассматривать как величину, определяющую мас-
штабы по оси z для поверхности z = $ (х, у).
Следует отметить, что в области пласти-
Свойства линий равного ческого состояния проекции линий рав-
уровня Ж (х, у) = const ного ур0ВНЯ f (х, у) = const на пло-
скость ху образуют в этой плоскости се-
мейство кривых, равноотстоящих друг от друга, так как произ-
водная от функции нагружения по нормали к кривой
f (х, у) = const в плоскости ху, согласно E.14), постоянна
во всех точках этой кривой (рис. 156).
Такого рода заключение можно
сделать для гладких контуров С, в
каждой точке которых вектор нор-
мали п определен однозначно. Если
же контур С имеет угловые точки —
входящие или выходящие углы, то
такой контур целесообразно рассмат-
ривать как предел соответствующих
гладких контуров С}. В пределе по-
верхности z== § (x, у) вблизи угло-
вых точек контура С может иметь
ребра, на которых касательные пло-
скости при подходе с разных сторон имеют разные направле-
ния, подобно пирамиде с основанием в виде прямолинейного
многоугольника.
Эти свойства решений хорошо иллюстрировать опытным
путем на задачах о равновесии песка. При этом необходимо
иметь в виду, что при решении задачи о кручении упруго-пла-
стического стержня в сечении стержня получаются, вообще го-
воря, упругая и пластическая области. Ниже будет показано,
что вблизи выступающих угловых точек контура С всегда по-
лучается упругая область.
J/7=const, т.к.
=const
Рис. 156. Вид проекций
линий равного уровня
z= Ж(х, у) = const на плос-
кость ху

§ 5. Кручение уггруго-пластггческого стержня
469
Определение компонент
тензора напряжений
И
Из формул E.4), верных как в пласти-
ческой, так и в упругой областях, сразу
следует, что в плоскости ху два вектора
grad f =
Постановка смешанной
упруго-пластической
задачи
взаимно перпендикулярны.
Отсюда ясно, что вектор р^, параллельный плоскости ху,
направлен по касательной к линиям равного уровня 4f (x, у) =
= const в плоскости ху. Кроме того, в пластической области
вектор рт имеет постоянную величину, равную ргтах. Оче-
видно, что направление вектора рх определяется направлением
внешнего закручивающего момента М. Таким образом, ком-
поненты р13 и p2S всегда можно определить в пластической обла-
сти, если известна поверхность z = f (x, у).
Рассмотрим теперь задачу об опре-
делении напряженного состояния стерж-
ня в том случае, когда величина скру-
чивающего момента М такова, что часть
материала стержня ведет себя, как упругое тело. Границу
упругой области в поперечном сечении стержня обозначим че-
рез X (рис. 157). Вид кривой X необходимо определить из ре-
шения задачи. В общем случае упру-
гая область может состоять из не-
скольких раздельных частей и содер-
жать некоторые участки граничного
контура С.
В пластической области для на-
пряжений будет справедливо изложен-
ное выше решение, которое
не зависит от вида упругого ядра,
если упругая область не включает в
себя точек контура С. Функция нап-
ряжений f (x, у) в пластической об-
ласти удовлетворяет уравнению E.14)
и граничному условию f = О на С.
Для расчета напряжений и перемещений внутри упругой
области воспользуемся результатами исследования задачи о
кручении упругого стержня, рассмотренной в § 7 гл. IX. Внут-
ри упругой области функция напряжений § (х, у), введенная
по формулам E.4), должна удовлетворять уравнению Пуас-
сона
Л2 6Г Л2 б?*
-я-т- + а 2 — — 2иц., E.15)
За;3 аи2 г' v '
Рис. 157. Поперечное сече-
ние скручиваемого стержня
с упругим ядром внутри
и линиями равного уровня
Ж = const.

470 Гл. X. Теория пластичности
где а — угол закрутки стержня, а \х — коэффициент Ламе
материала стержня (см. G.23) и G.25) гл. IX).
Из непрерывности распределения компонент напряжений
Pi3 и Ргз в стержне следует, что на границе X между упругой
и пластической областями должны выполняться равенства
дх - дх ' ду ~ ду ' ^'А">
где через |Ге и ,f p обозначены функции напряжений в упругой
и пластической областях соответственно. Из E.16) вытекает,
что на границе X должно выполняться равенство
fe = fPjr const,
или, так как постоянная для определения функции напряжений
в упругой области несущественна, на границе X значения
функций напряжений §е и $р можно считать совпадающими,
fe = fp на X. E.17)
Таким образом, определение напряженного состояния
в скручиваемом упруго-пластическом стержне для данного угла
закручивания упругого ядра а сводится к следующей матема-
тической задаче: требуется найти функцию § (х, у), которая
обращается в нуль на контуре С и непрерывна со своими пер-
выми производными всюду внутри С, причем | gradF | ^^о!
там, где | gradf \<Zk0, функция f (x, у) должна удовлетворять
уравнению Пуассона E.15).
Решение поставленной задачи действи-
Главный вектор сил, тельно соответствует кручению стержня
приложенных на торцах, под действием только внешнего момента
равен ну jj-^ так как гдавны^ вектор В сил, дей-
ствующих в поперечном сечении стержня 2, равен нулю. В са-
мом деле, имеем
*-td3 = \i (р13г -Ь p23j) di = \) (-оу г — -&т J) dz =
= \f [cos (га, у)г — cos (га, х) j] ds = 0
с
в силу граничного условия f =0 на контуре С.
Формула для величины Рассмотрим величину крутящего мо-
крутящего момента мента М. Согласно формулам E.4) имеем
М = V (хр-23 — У Pis) da — — ^ [x-fc- -'r У -j)
а а

§ 5. Кручение упруго-пластического стержня 471
Так как
д& , д& _ д&х д&у р^-
то
п, х) -\- у cos (n, у)] ds -f-
В случае односвязного поперечного сечения 2 по условию
W = 0 на контуре С, и получается окончательная формула,
аналогичная формуле G.28) гл. IX:
йв. E.18)
Эта формула показывает, что величину М можно истолковать
как двойной объем, ограниченный поверхностью z = $f (х, у),
опирающейся на плоскую площадку поперечного сечения стерж-
ня 2 в плоскости z = 0.
Поставленная смешанная упруго-пластическая задача об
определении напряженного состояния скручиваемого стерж-
ня — сложная математическая задача. Аналитическое решение
этой задачи получено только для стержней, имеющих неко-
торые простые формы поперечных сечений. В частности,
легко решается задача в случае стержня круглого поперечно-
го сечения (см. ниже стр. 479).
В общем случае задача допускает эк-
0 решении смешанной спериментальное решение с помощью пес-
ГанПембрГноТЮанало"гиИ ^но-мембранной аналогии. Действи-
тельно, в упругой области задача об
определении функции напряжений допускает аналогию с
задачей об определении прогиба мембраны с постоянным
натяжением Т, возникающего под действием равномерно
распределенной по ее поверхности нагрузки интенсивности
q, когда Т и q вообще подобраны так, что
и мембрана защемлена по контуру С, совпадающему с конту-
ром поперечного сечения стержня (см. § 7 гл. IX). В пласти-
ческой области рассматриваемая задача допускает песчаную
аналогию.
Поэтому для решения упруго-пластической задачи можно
провести следующий опыт, указанный А. Надаи (рис. 158).
На горизонтально положенный кусок картона, форма кото-
рого совпадает с поперечным сечением скручиваемого стержня,

472 Гл. X. Теория пластичности
насыпается сыпучая среда так, чтобы образовалась поверх-
ность с постоянным углом ската. Эту поверхность сыпучей
среды можно зафиксировать с помощью жесткой крыши из
какого-либо прозрачного материала. Основание этой крыши
затягивается мембраной, внешняя сторона которой подвер-
гается действию равномерно распределенного давления. При
некотором значении давления мебрана начнет касаться крыши,
а затем с ростом давления все боль-
шая и большая часть мембраны будет
прикасаться и фиксироваться на
крыше.
Свободная часть мембраны и часть
мембраны, прикасающаяся к крыше,
образуют поверхность, соответствую-
щую функции напряжений $f (x, у)
частично пластического стержня. Гра-
Рис- _ , 15^- Поверхность НИца между упругой и пластической
z = & (х, у) состоит из части - J J rj
жесткой крыши (схемати- областью в плоскости поперечного
чески АВж CD) и части мем- сечения ху стержня представится про-
браны В % С. Линия SB со- екцией на плоскость ху линии с?,
ответствует границе между лежащей на жесткой крыше и отде-
упругои и пластической - ~
областями. ляющеи часть мембраны, не прилега-
ющую к жесткой крыше.
Величина соответствующего крутящего момента, согласно
формуле E.18), с точностью до масштабного множителя рав-
няется удвоенному объему пространства между горизонталь-
ной плоскостью ху и экспериментально полученной поверх-
ностью функции напряжений § (х, у). Можно отметить два
характерных значения величины М крутящего момента, а
именно: предельное значение момента, когда мембрана
впервые касается крыши в некоторой точке, Мпред, соответ-
ствующее началу перехода материала в пластическое состоя-
ние, и критическое значение момента MKV, когда вся
мембрана приляжет к поверхности равного ската и материал
всего стержня окажется в пластическом состоянии.
С помощью песчано-мембранной аналогии, в частности,
можно усмотреть, что при любом конечном угле закрутки а
в окрестности выступающих углов (рис. 159) контура С всегда
будет оставаться часть упругой области. Действительно, при
конечном значении распределенной по поверхности мембраны
нагрузки q мембрана будет огибать выступающие ребра крыши.
Присутствие входящих углов (рис. 160) на контуре С при-
ведет, очевидно, к тому, что при сколь угодно малой нагрузке
q (угле а) мембрана примкнет к входящему ребру поверхности
z = 4f (x, у), ив окрестности такого угла мгновенно возникнет
пластическая область. Вблизи входящих углов в упругом ре-

§ 5. Кручение упруго-пластнческого стержня
473
шении возникают большие (бесконечные) напряжения. По-
явление пластической области обеспечивает ограниченность
Заштрихована
упругая область
Рис. 159. Поперечное сече-
ние стержня с выступаю-
щим углом.
Заишприхованз
упругая область
Рис. 160. Поперечное сече-
ние стержня с входящим
углом.
Определение перемещений
в упруго-пластическом
стержне
напряжений. При малых углах закрутки область пластических
состояний будет вообще очень малой.
Рассмотрим теперь вопрос о том, как най-
ти перемещения, возникающие при кру-
чении упруго-пластического стержня,
если напряженное состояние стержня оп-
ределено путем решения рассмотренной выше задачи. При
вычислении перемещений будем исходить из того, что перво-
начально свободный от напряжений и деформаций стержень
подвергается действию возрастающих внешних нагрузок, сво-
дящихся только к крутящему моменту, приложенному на его
торцах, причем каждое промежуточное состояние является по-
ложением равновесия, и соответствующие напряжения можно
рассчитать как результат соответствующей задачи о кручении
для данной промежуточной нагрузки. Примем, кроме этого,
еще, что возникающие в стержне полные — упругие и пласти-
ческие — деформации малы.
Рассмотрим некоторую произвольную точку А поперечного
сечения стержня. Если эта точка лежит в упругой области, то
компоненты тензора деформаций в точке А однозначно опре-
деляются напряжениями с помощью закона Гука
== В23 = S33 == е12 =
613 = JT Pl3 =
х, у)
1
2ц
= -9ТГ РЮ = - '
ду
д& (х, у)
дх
Ясно, что е13 и 823 в этом случае зависят только от х и у и не
зависят от z.

474 Гл. X. Теория пластичности
Компоненты вектора перемещений при этом определяются
формулами Сен-Венана
и?! = — xzy, w2 = xzx, wz= I (x, y), E.19)
где а — угол закрутки. В самом деле, легко показать, что
всегда, когда Ец = е22 = е33 = е12 = 0, а е13, е23 отличны от
нуля и зависят только от х и у, перемещения определяются
формулами Сен-Венана E.19). В этом случае перемещения дол-
жны быть решениями следующих уравнений:
eil=-^L = 0, ея = -^ = 0, е33 = -^- = 0, E.20)
дич
дх i ' \"-"Ч
"яТГ Ь E-23)
где е13 (я, г/) и е23 (х, у) — известные функции. Из E.20) непо-
средственно вытекает, что
и>1 = u>i (У> z), »2 = »2 (г, z), w3 = w3 (x, у).
Из E.21) при этом следует, что
—tr = ^=>*<*>• E-24>
где Д (z) — произвольная функция z, или
v>x =-fi(*)y + U (z), E.25)
Щ =/i (z)a: + /а (z),
где /2 и /3 — произвольные функции z.
Продифференцировав E.22) и E.23) с учетом E.25) по z, бу-
дем иметь
- кУ + п = 0, Ах + /; = 0. E.26)
Отсюда видно, что Д, /2 и /3 должны быть равны нулю, т. е.
Д = «z + С\, E.27)
где а и Сх — произвольные постоянные. После этого из урав-
нений E.26) непосредственно вытекает, что /2 и /3 также яв-
ляются линейными функциями z:
Л = C3z + Ct, h = С62 + С„ E.28)

§ 5. Кручение упруго-пластического стержня 475
где С3, С4, С6, С6 — произвольные постоянные. Для компо-
нент вектора перемещений получаются следующие формулы:
W\ = — «zi/ — Сгу -i- Csz -f C4,
w.2 = v.xz + da: + C5z + d,
и>з = / (г. У) — djf — da: -f- C7,
где из неизвестной пока функции/ (х, у) выделена специальная
часть, линейно зависящая от ? и у. Входящие в формулы E.29)
линейные относительно х, у и z члены являются общим реше-
нием однородных уравнений E.20) — E.23) и характеризуют
перемещение стержня как абсолютно твердого (см. §3гл. IX).
Таким образом, с точностью до перемещений стержня как
абсолютно твердого, перемещения в скручиваемом стержне
из упругого материала определяются формулами E.19).
Функция кручения / (х, у) определяется в упругой области
непосредственным интегрированием уравнений
д/ I Р1з df pis /г пп\
-^ — а.у-}-——, -%- = — v.x 4- -J-— . E.30)
Если точка А лежит в пластической области, то деформации
в этой точке складываются из упругих и пластических; для
компонент тензора деформаций имеем
Если упругие свойства среды не зависят от пластических де-
формаций, то упругие деформации в пластической области связа-
ны с напряжениями теми же формулами, что и упругие дефор-
мации в упругой области, причем
-^- = ^-. E.31)
*2з Р23
Пластические деформации в общем случае зависят от пути
нагружения. Если деформация стержня, в соответствии с ука-
занным выше, развилась под действием монотонно возрастав-
шего крутящего момента М, то
deft = de?2 = de$s = cte?2 = 0,
dsi3 = 2p13 dk, efe?3 = 2p23 dk.
Исключив параметр dk, получим следующую связь между при-
ращениями пластических деформаций и компонентами тензора
напряжений:

476 Гл. X. Теория пластичности
Так как в каждой точке поперечного сечения стержня, принад-
лежащей пластической области, р13 и р2з в процессе кручения
стержня остаются постоянными, а деформации считаются ма-
лыми, будем иметь
е?з ^~ е1з = const,
Р23
где р13 и р23 зависят только от х и у. Пластические деформации
ей и е^з одновременно были равны нулю в тот момент, когда
через рассматриваемую точку А проходила граница упругого
ядра, поэтому постоянная интегрирования равна нулю, т. е.
р Р13 р n /tr oc)\
Ь^З Б23 — "• {Э.О4)
Р23
Из E.31) и E.32) вытекает, что и для полных деформаций в этом
случае должно выполняться соотношение
= ——. E.ОО)
823 Р%3 '
Система уравнений для определения перемещений
\ / dw. dw-
" \ dx^ дхг
в данном случае частично совпадает с уравнениями E.20) —
E.21) для упругих перемещений
dwi Л d»'2 p. 9\W3 r.
-—- = eu = 0, -д— = е22 = 0, -7т— = е33 = 0,
dwi
dz
dlV2
+
. i
duK
дх
ди'з
а вместо E.22) и E.23), согласно E.33), имеем только одно урав-
нение
dwi du>3
~^"^ -^.. E.35)
^23 Ч '
Здесь правая часть известна и зависит только от х и у.
При наличии пластических деформаций компоненты вектора
полного перемещения w должны быть определены как решения
уравнений E.34), E.35) с учетом непрерывного нарастания
компонент тензора полных деформаций и условия совпадения
перемещений с упругими в момент возникновения в данной ча-
стице максимального касательного напряжения. После до-
стижения напряжения рттах == & упругие деформации и уп-

§ 5. Кручение упруго-пластического стержня 477
ругие перемещения фиксируются, при дальнейшем повышении
закручивающего момента в данной точке происходит нараста-
ние компонент тензора пластических деформаций, в соответ-
ствии с этим определяются компоненты вектора полных пере-
мещений.
Так же как и из уравнений E.20) и E.21), из уравнений
E.34), справедливых как в упругой, так и в пластической обла-
стях, следует, что
Щ = — li(z)u + к (z), Щ = /i(z)z + /3 (z), w3 = / (х, у).
Из решения задачи о напряжениях следует, что в каждом
сечении при любом z имеется упругое ядро, внутри которого
при закреплении точек оси z имеют место формулы
w1 = — сагу, го.г = a.zx.
Так как в общем случае как в пластической, так и в упругой
области функции/], (г), /2 (z), /3 (z) могут зависеть только от z,
то отсюда ясно, что при непрерывном (начиная от нуля на гра-
нице с упругой областью) нарастании пластических перемеще-
ний в пластической области, так же как и в упругой, верны
формулы
Определение функции / (х, у) можно произвести с помощью
уравнения E.35), которое как в упругой, так ив пластической
области с учетом формул для wt, w2 и w3 можно написать в виде
?-+<":). E-36)
В данной точке при упругом состоянии компоненты р13 и р23
изменяются пропорционально углу закрутки а, или внешнему
моменту М, после достижения пластического состояния зна-
чения р13 и р23 в фиксированной точке сохраняются неизмен-
ными.
Уравнение E.36) легко преобразовать так, чтобы в пласти-
ческой области оно допускало простое геометрическое истол-
кование.
Обозначим через у угол между вектором напряжения
Рт: = Рхз* + РгзЗ и осью х (Рис- 161); тогда
Pis = Рт cos Г, Ргъ = Рт sin r,
COS Y = COS (Рт:, X) = — COS (tl, у),
sin т = cos (рт, у) = cos (п., х)

478
Гл. X. Теория пластичности
и уравнение E.36) можно представить в виде
-д- cos (м, х) + -щ cos (п, у) = а [у cos (рт, у) + х cos
или
E.37)
где гт — проекция вектора г = xi -f- J/J на направление ^>т
в данной точке А. Напряжение рт направлено по касательной
Рис. 161. К истолкованию уравнения E.36).
к семейству линий $ = const, проекция гт постоянна для всех
точек А, лежащих в пластической области на одной общей
нормали г) п к семейству кривых § = const. Поэтому, ин-
тегрируя уравнение E.37) вдоль данной нормали п от точки
А 0, принадлежащей границе упругой области 56, до рассматри-
ваемой точки А, получим
/ = «741»+/*, E.38)
где /е — значение / (х, у) в точке А 0, известное из решения упру-
гой задачи, а тх известно, если известен контур С.
Таким образом, с помощью E.38) можно определить депла-
нацию поперечного сечения / (х, у) скручиваемого стержня
в пластической области, если депланация поперечного сечения
стержня в упругой области и граница упругой области опре-
делены. Ясно, что депланация поперечного сечения в пласти-
J) Заметим, что прямолинейное семейство нормалей является семей-
ством характеристик уравнения E.36), так как вдоль них
dу cos (от, у) р\з
dx cos (от, х) р2з
и производные dj/dx и df/dy слева и справа от п не могут быть однозначно оп-
ределены только с помощью уравнения E.37), из которого следует, что
приращение / известно только вдоль гь.

§ 5. Кручение упруго-пластического стержня 479
ческой области изменяется линейно вдоль любой нормали к кон-
туру С поперечного сечения. Если поперечное сечение скру-
чиваемого стержня имеет две оси симметрии и начало коор-
динат О выбрано в точке их пересечения и закреплено, то
в точках обеих осей симметрии
/Р = fe = 0.
В самом деле, для таких точек гт =0и/" = /е. Кроме того, если
вдоль осей симметрии направить оси координат х и у, то из
E.30) непосредственно вытекает, что изменение /е вдоль этих
направлений равно нулю (так как рх перпендикулярно к
осям симметрии).
С ростом крутящего момента М или угла закрутки а форма
границы упругого ядра 56, а следовательно, и значение величины
/ меняется сложным образом, поэтому в общем случае депла-
нация поперечного сечения в пластической области не пропор-
циональна углу закрутки а.
Для примера рассмотрим кручение стер-
Кручение стержня круглого жня КруГЛ0Г0 поперечного сечения ра-
поперечного сечения тт
* диуса а. При достаточно малых углах
закрутки а материал стержня будет вести себя как упругий и
касательные напряжения рт будут связаны с а равенством
G.14) § 7 гл. IX:
где г = Ух% + У2- Очевидно, что при значении а, равном
\ia '
касательные напряжения на внешней окружности С — границе
поперечного сечения стержня — достигнут предельного значе-
ния к, и при а ^ а* часть материала стержня перейдет в пла-
стическое состояние.
Вследствие осевой симметрии граница X упругой и пласти-
ческой областей представляет собой окружность, концентри-
ческую с С. Обозначим радиус этой окружности через р; оче-
видно, что при некотором заданном а ^> а* радиус упругого
ядра будет равен
Ясно, что радиус р может обратиться в нуль только при а —*¦ °°,
и поэтому при любом конечном угле закрутки а внутри стержня
будет существовать упругое ядро.

¦480 Гл. X. Теория пластичности
В пластической области р ^ г <^ а поверхность напряже-
ний z = f(x,у) будет частью боковой поверхности кругово-
го конуса, направляющей которого служит окружность С,
а тангенс угла наклона образующих к плоскости ху равен к.
Поэтому функция напряжений в пластической области будет
следующей:
В упругой области 0 ^ г «С р функция напряжений должна
быть решением уравнения Пуассона E.15), следовательно,
согласно G.24), G.21), G.13) § 7 гл. IX, должна иметь вид
fе (X, у) = — ~ (Х5С + COnst.
На границе X упругого ядра г = р функция напряжений непре-
рывна
SCV _ are
поэтому
Величина крутящего момента, соответствующая заданному
углу а, вычисляется по формуле E.18) и оказывается равной
Р а
rdr + J ^rdr) = -§- лЛ («3 - "Т Р8) • E-40)
о р.
Заметим, что при вычислении М использована формула E.39)
для радиуса упругого ядра. При р —> 0 крутящий момент стре-
мится к значению
2
Л/Кр = у яй3й;.
Предельное значение крутящего момента, соответствующее по-
явлению предельных значений касательных напряжений на
внешней боковой поверхности стержня, получается из формулы
E.40) при р = а
М
М = 4я (J frdr +
Легко видеть, что поперечное сечение стержня при его кру-
чении не искривляется. Решение рассмотренной задачи сильно
облегчается тем, что форма упругого ядра оказывается изве-
стной из соображений симметрии.

Глава xi
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ТЕОРИЮ ТРЕЩИН
§ 1. Плоские задачи теории упругости
Рассмотрим теперь плоские задачи теории упругости. В слу-
чае плоской задачи при соответствующем выборе декартовой
системы координат xOyz существенными аргументами для ис-
комых функций являются только координаты х и у. Харак-
теристики состояния и движения в плоской задаче вообще
не зависят от координаты z или зависят от нее известным
простым образом. Теория плоской задачи включает в себя
задачи плоского деформированного, плоского напряженного
и обобщенного плоского напряженного состояний, определе-
ния которых будут даны ниже.
Далее будем рассматривать только статические или квази-
статические задачи в линеаризированной постановке для ма-
лых деформаций. В решения квазистатических задач время
может входить только как параметр.
Ограничимся1) рассмотрением плоской задачи, когда по
определению имеют место одновременно две группы равенств:
первая для компонент тензора напряжений
Рп = Рп(х,У), Р22 = Рм(х,у), р12 = р12(х,у), 1 ,4 4
Рзз = Рзз {х, у), Pis = Ра = 0 /
и вторая для компонент тензора деформаций
еа = 8П (х, у), е22 =822 (х, у), е12 = е1а {х, у), \
?зз = Чз(х,У), ei3=e23 = 0. /
Данное определение плоской задачи в общем случае не свя-
зано с видом соотношений между напряжениями и деформа-
циями и не связано со свойствами среды. Однако возможность
реализации плоской задачи в тех или иных условиях тесно
связана со свойствами рассматриваемой модели сплошной
среды.
J) Использованное ниже довольно общее определение плоской задачи
можно еще расширить. См, например, Л я в, Математическая теория
упругости, ОНТИ, 1935, §§ 145, 301, 302, 303.
\6 Л. И. Седов, том 2

482 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
Рассмотрим теперь возможные упрощения, которые воз-
никают в основных уравнениях в случае плоской задачи.
Дальше ограничимся приложениями тео-
Компоненты перемещений Р™ к плоским задачам, в которых можно
в случае плоской задачи ввести перемещения из начального со-
стояния, применяемого для определения
компонент тензора деформаций. В этом случае можно поль-
зоваться уравнениями совместности. Шесть уравнений
совместности Сен-Венана В.цы = 0 (см. § 5 гл. II) в случае
плоской задачи A.2) сводятся к следующим четырем соотно-
шениям:
""ец . Э-622 Q д2е12
,,2 ' Л^.2 Я^Я,,
ду* г дх* дхду ' v ' '
= 0. A.4)
дх2 ду1 дхду
Остальные два уравнения Сен-Венана удовлетворяются тож-
дественно. Из A.4) следует, что е33 может быть только линей-
ной функцией х и у:
вм = -^ = Ах + By + С, A.5)
где А, В и С— постоянные. Отсюда для компоненты вектора
перемещений вдоль оси z будем иметь
w=(Ax+By+C)z+f(x,y), A.6)
где / (х, у) — произвольная функция. По определению пло-
ской задачи A.2) имеем
— * i^l. _l dw ) — о _А /ЛИ i дш ) — о
и поэтому компоненты или вектора перемещений должны пред-
ставляться в виде
и = — A -i- — f'x (х, у) z -f % (х, у),
г2 '
v = — В ~2 fv (ж, у) z -f- Щ (х, у),
где сох (х, у) и ю2 (х> У) — произвольные функции.
Далее, так как
ди . dv , . ди . dv n , .
д-?- = ец(х, у), jy- = e22(x,y), -щ + -fo = 2е12 {х, у),

§ 1. Плоские задачи теории упругости 483
для определения произвольной функции / (х, у) имеем равенства
811 (&, У) = ~^Г — /хх (Ж, У) Z,
е22 (ж, у) = -^- — /уу (ж, у) z,
) Uv (x, У) z.
Отсюда непосредственно вытекает, что
Jxx — fyy = Jxv = U,
т. е. произвольная функция / (х, у) в выражении A.6) для w
должна быть линейной функцией своих аргументов
/ (х, у)= ах+ Ьу + с,
где а, Ъ, с— постоянные. Легко убедиться, что определенная
таким образом функция / (х, у) соответствует пространствен-
ным перемещениям тела как абсолютно твердого, и поэтому при
изучении деформаций ее можно положить равной нулю.
Таким образом, компоненты перемещений в общем случае
плоской задачи независимо от связи между компонентами тен-
зоров напряжений и деформаций представляются формулами
вида
и = — А-^- + (йх(х, у),
w = {Ax -f- By + С) %.
Функции иI {х, у), со2 {х, у) могут быть истолкованы
как компоненты вектора перемещений в плоскости z = 0.
Они, очевидно, связаны с компонентами тензора деформаций
еп, е22 и е12 уравнениями:
3(Di 3@2 1 /9(oi 9@г \ /л о\
_ Закон Гуна в случае плоской задачи
Связь ю,ч и 8,ч в случае ,. .. .. ^. J "
„*J *J A.1), A.2) записывается в виде
плоской задачи для \ • /> v • / «
линейно-упругого тела. Pll = >J, (e) + 2(xeu,
Йчел™ БеЛЬТраМИ ~ Ргг = ^i (е) + 2це22, р33 = Ux () ^
р12=2(хе12, р13= р2з= els= e23 --= О
или, так как е33является линейной функцией х и у, в виде
Рзз = А- (вц + Чг) + (А. + 2|*) (Ас + By-^ С).

434 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
Запишем эти соотношения в виде, разрешенном относительно
компонент тензора деформаций:
1 — а2 /_ а ^
8 [Р Р)
A.10)
Ри) ,
е33= (Ах+Ву + С)= A/7?) [р33 — а (р„+ри)], A.11)
где
Рп =-= Ри — Ь (Ах + Ву + С), fi2 = р2г — X (Ах -\- By +' С),
ЗЯ,+2Ц) „ X XV ТТ
г- ' модульЮнгаи з= оттп:—\~ коэффициент Пуас-
сона.
Подставляя эти соотношения в условие совместности A.3),
получим
где
Р = Pll + Р22-
Это уравнение является условием совместности напряжений
в плоской задаче для линейно-упругого тела и в этом случае
может заменить собой уравнения Бельтрами—Мичелла.
Уравнения равновесия для плоской за-
дачи имеют вид
Условия на внешние
массовые и поверхностные дрп , дрю \ р _ а
силы в случае плоской дх ' ду ' х ~ '
задачИ ' Эр» др„ _ A.13)
дх + aj/ r-fy-v,
где проекции массовых сил на оси хъу должны быть функ-
циями только х и у. Третье уравнение равновесия в плоской
задаче будет удовлетворено только тогда, когда
т.е. массовые силы вдоль оси z в случае плоской задачи должны
отсутствовать.
Граничные условия в напряжениях в случае плоской за-
дачи имеют вид
ри cos (и, х) + Pia cos (n, у) = рп1,
р12 cos (п, х) + Pa cos (п, у) = рп2,
A.14)

§ 1. Плоские задачи теории упругости 485
Обычно (но не всегда) плоские задачи рассматриваются для
цилиндрических тел с образующими, параллельными оси z.
В этом случае на боковой поверхности тела cos (n, z) = О
и, следовательно, на этой поверхности должно иметь место ра-
венство
Р«3 = 0.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением плоских за-
дач о деформировании цилиндрических тел, в которых требуе-
мое условие на внешние заданные распределенные силы на ци-
линдрических боковых поверхностях всегда удовлетворяется.
Граничные условия в случае плоской задачи могут быть за-
даны также в перемещениях.
О постановке плоских Если имеется Цилиндрическое тело с об-
задач теории упругости разующими, параллельными оси z, на бо-
ковой поверхности которого заданы нап-
ряжения рп1, рп2 как функции только хну, а рпз — 0, то ком-
поненты тензора напряжений рп, р12, р22 внутри тела можно
определить как решение краевой задачи, поставленной в об-
ласти, ограниченной контуром С поперечного сечения тела, для
двух уравнений равновесия A.13) и одного уравнения сов-
местности A.12) с граничными условиями A.14) на контуре С.
Компоненты тензора деформаций вп, е22, е12 можно затем
определять с помощью закона Гука A.10). Компонента е12 оп-
ределится при этом однозначно, а еп и е22 — только с точностью
до произвольной аддитивной линейной функции от г и у. Эта
линейная функция х и у будет фиксирована, если задать р33 или
г33, согласно A.11).
После этого компоненты вектора перемещений w опреде-
лятся с помощью формул A.7); входящие в эти формулы
функции (ох (х, у) и ш2 (х, у) по известным еш е22 и е12 найдутся
при решении уравнений A.8) с точностью до плоскопараллель-
ных перемещений, определяющих движение тела как твердого
в плоскости ху.
Подчеркнем еще раз, что постоянные А, В, С в A.7) и A.9)
остаются неопределенными, если заданы только граничные ус-
ловия в напряжениях на боковой поверхности тела.
В случае плоского деформированного
состояния (плоской деформации) по оп-
ределению принимается, что
е
33
=0, А = В= С=0. A.15)
Соотношения закона Гука A.9) приобретают вид
Рп = Men + е22) + 2
р1г

486
Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
Компонента р33 определяется из соотношения
р33= к (ец+ е22) или Рзз= а (Ри + Ргг)- A-17)
В случае плоской деформации перемещения, согласно A.7),
A.15), имеют вид
и = а1 (х, у), v = ю2 (z, у), w = 0.
Плоская деформация реализуется при нагружении цилин-
дрического тела по внешней цилиндрической поверхности и по
его объему силами, статически
эквивалентными нулю, параллель-
ными плоскости ху и не завися-
щими от z, когда плоские торцо-
вые сечения 2Х и 22 цилиндра,
параллельные плоскости ху
(рис.162), закреплены так,что дли-
на цилиндра фиксирована (w = 0),
а 2] и 22 могут без трения
(р13=^23=0) перемещаться парал-
лельно плоскости ху. В этом слу-
чае при отсутствии начальных на-
пряжений можно удовлетворить
всем уравнениям и условиям, если
принять, что точки тела полу-
чают перемещения, параллельные
плоскости ху и не зависящие от z.
Если плоская деформация происходит без изменения объема
(сам материал сжимаем, к =1= оо), то еп + е22 = 0, поэтому для
таких деформаций имеем
Ри = 2(хеп, р22 = 2(хе22, /?12 = 2(хе12, р33 = 0.
В случае плоского напряженного со-
Плоское напряженное стояния по определению принимают1), что
Рзз = 0. .A.18)
Тогда из закона Гука получается
к
Рис. 162. Плоская деформация.
состояние
езз —
к + 2р
+ е22),
A.19)
а остальные соотношения закона Гука приобретают вид
Рп = К (еп + е22)
22 = ^ (8ц + е22) f 2[дг22, | A.20)
См. сноску да стр. 481.

§ 1. Плоские задачи теории упругости 487
где
Л - X + 2(х •
Заметим, что эти соотношения полностью совпадут с соотноше-
ниями A.16), выражающими соответствующие равенства для
случая плоской деформации, если в последних заменить Я,
на к*. Так как в плоской задаче е3з— линейная функция от х
и I/, то соотношение A.19) приводится к виду
А- (8ц + е22) +(%+ 2^) (Ах + By + С) = О
или, согласно A.8), к виду
( ) + Ву + С) = °" A1)
Это соотношение накладывает ограничения на характер изме-
нения а>1 и со2 при реализации в линейно-упругом теле плоского
напряженного состояния. Плоское напряженное состояние реа-
лизуется лишь в тех случаях, когда перемещения в плоскости
2=0 удовлетворяют соотношению A.21).
При плоском деформированном состоянии таких ограниче-
ний на перемещения w1 и ш2 нет. В самом деле, по любым за-
данным «!, со2 можно определить, согласно A.8), компоненты
еп, е12, е22, а далее, используя A.16), найти рш р22, р12. Най-
денные таким образом компоненты рц будут удовлетворять ус-
ловию совместности A.12). Из уравнений равновесия A.13) мож-
но затем найти соответствующие массовые силы Fx, Fy, а из
граничных условий A.14) определить соответствующие уси-
лия рп на боковой поверхности тела.
Из A.21) видно, что плоские деформированные состояния,
когда е33= 0 и, следовательно, А = В = С =0, будут и
плоскими напряженными состояниями, если деформации про-
исходят без изменения объема
8ц + е22 = -^- ± -Q^j- = О
(материал сжимаем и % конечно). В общем случае, очевидно,
плоское деформированное состояние не является плоским нап-
ряженным состоянием, так как в плоском деформированном со-
стоянии вообще РззЧ^ 0.
При плоском напряженном состоянии, согласно последней
формуле A.7), точки плоскостей z= const получают линейные
относительно х и у перемещения вдоль оси z. Следовательно,
система параллельных плоскостей z = const = а переходит
при плоском напряженном состоянии в систему наклоненных
к оси z плоскостей z= а + {Ах + By + C)a. (В рамках
линеаризированной теории в выражении малой величины

Гл. XI. Плоские задйчи и тебрия трещин
Az= z — а координаты точек среды х, у, z можно взять в началь-
ном состоянии, так как добавки, обусловленные перемещениями
и, v, скажутся только в малых второго порядка, которые сле-
дует отбросить в развиваемой линейной теории.)
На основании изложенного ясно, что реализовать на прак-
тике плоское напряженное состояние можно в достаточно искус-
ственных условиях, однако аналогичные соотношения имеют
место в случае обобщенного плоского напряженного состояния,
которое имеет большое практическое значение.
Рассмотрим тонкую плоскую пластину
Обобщенное плоское толщиной 2h (рис. 163). Обозначим че-
напряженное состояние рез d характерный продольный размер
пластины; по предположению h/d <§^ 1. Плоскость ху совместим
со срединной плоскостью пластины. Предположим,что пластина
нагружена внешними силами (в том числе и массовыми),
™ис. 163. К понятию обобщенного плоского напряженного состояния.
Растяжение и сжатие пластины силами, параллельными ее срединной
плоскости.
параллельными срединной плоскости и симметричными отно-
сительно плоскости ху. Далее предположим, что отсутствуют
внешние усилия на торцовых поверхностях, т. е.
Рзз(я. у, + h) =Р1з(я» У> ±h) = Ihs (x, ydzh)=0 A.22)
и, в частности,
dpsi(x,y,±h) _ дрзз (х, у, ± h) __ „
дх ду
Так как, кроме того, компонента Fz объемной силы, по пред-
положению, равна нулю, то из уравнения равновесия в проек-
ции на ось z получим
дрзз (ж, у, z)
dz
= 0.
Таким образом, на торцовых поверхностях пластины компо-
нента Рзз не только сама обращается в нуль, но обращаются
в нуль и ее производные. Поэтому для тонкой пластины ком-
понента р33 является малой и в качестве приближения дальше
положим Рзз = 0 всюду внутри пластины.

§ 1. Плоские задачи теории упругости 489
Два других уравнения равновесия
lL ^I2L E?2L 4- F - 0 дРп , дР™ , дР*> ._, р с\
дх ^ ду
осредним по толщине пластины. С учетом равенств A.22) и
л
-ft
ft
dz
te = -or Pis (x, V, z)
-h
= 0,
-ft
получим
где
-Л -ft
Так как р33 = 0, закон Гука имеет вид A.20). Переходя
в нем к средним значениям, получим
Рп = "Ь* (eli + 822) + 2jisn, I
Р4\ = Ь*(еп+«4) -Ь2[1вц, | A.25)
где
• ди* * ди* '' 1 / ди*
5а; ij d;i/ 4 2 \ ду ' ож
ft
2/i
-л
Л
-Л -ft
Компоненты рг;-*, и*, г?*, е^* зависят только от координат х, у.
Рассмотренное напряженное состояние, реализующееся в та-
ких пластинах, работающих без изгиба, определяют как обоб-
щенное плоское напряженное состояние г). В силу линейности
уравнений и граничных условий все соответствующие соотно-
шения для плоского напряженного состояния сохраняют свой
вид для осреднешшх компонент в случае обобщенного плоского
2) Подобное напряженное состояние пластины называют также без-
моментным.

490 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
напряженного состояния. В дальнейшем не будем писать сим-
волы осреднения, имея в виду, что все результаты теории
плоского напряженного состояния имеют место и для обоб-
щенного плоского напряженного состояния.
Л В неоднородных уравнениях равновесия
Функция напряжении Эри внешние массовые силы можно исклю-
чить, рассмотрев одно частное решение этих уравнений. По-
этому при решении плоских задач теории упругости будем ис-
ходить из системы однородных уравнений равновесия
дрп dpiz дрчг др\г ,. пп\
дх ду ' ду дх '
Эти уравнения показывают, что выражения
р12 dx — рп dy, р22 dx — р12 dy
являются полными дифференциалами некоторых функций
А (х, у) и В (х, у) соответственно. Таким образом, уравнения
равновесия A.27) приводят к существованию таких двух функ-
ций А (х, у) и В (х, у), что
_ _дА_ ___ дВ _ дА _ дВ
ду ' <2 дх дх ду
Аналогично на основании последнего равенства можно сделать
вывод о существовании такой функции U (х, у), которая под-
чиняется условиям
д_и_ _ в ди_ А
Следовательно, можно ввести такую функцию U (х, у), что
компоненты тензора напряжений рп, р22 и р1а в плоской за-
даче представятся через нее следующим образом:
dW d*U дЩ „„„,
Функция U {х, у) называется функцией напряжений Эри. Лю-
бая функция Эри U (х, у) определяет, согласно A.28), распре-
деление напряжений, удовлетворяющее уравнениям равновесия
A.27). Очевидно, что для данного распределения напря-
жений функция Эри определяется только с точностью до несу-
щественной произвольной аддитивной линейной функции от х
и у. Формулы A.28) являются следствием только универсаль-
ных уравнений равновесия, и поэтому они верны в случае
плоских задач A.2) в сплошных средах с произвольными свой-
ствами (упругой, пластической и др.).
Нетрудно видеть, что граничные условия в напряжениях
выражаются в виде условий на функцию Эри также независимо

§ 1. Плоские задачи теории упругости
491
от свойств материала. Если поперечное сечение тела ограни-
чено контуром С, вдоль которого отсчитывается дуга s
(рис. 164), то граничные условия в напряжениях на С можно,
очевидно, переписать в виде
Рт. = Рт (*) = Ри cos (п, х) + рп cos (n, у) = '
_ дЮ dy дЮ dx _ d I dU
ду2 ds дхду ds ds \ dy
) = Pli COS (n, X) -j- p.n COS (Ц, у) =
дЮ dy _ mj_ dx___ d__ I dU
dx~
РгЛ =
дхду ds
9a;2 ds
A.29)
Покажем теперь, что функция Эри является однозначной
функцией, если контур С ограничивает односвязную область
и если система внешних поверхност-
ных сил статически эквивалентна
нулю. Действително, если главный
вектор внешних поверхностных сил
равен нулю, то, очевидно,
\ P,ads = 0 и \ Pntds = 0,
СС \ /ХЧ
Рп
так как эти интегралы представляют
собой проекции на оси х и у глав-
ного вектора сил напряжений, дей-
ствующих на участок боковой по-
верхности единичной высоты. Отсюда
с помощью A.29) непосредственно
вытекает, что производные функ-
ции Эри dUldx и dUldy при обходе
контура сохраняют свои значения.
Используем также условие равенства нулю главного мо-
мента внешних поверхностных сил относительно оси %. Будем
иметь
Рис. 164. Выбор положи-
тельных направлений нор-
мали п к контуру С попе-
речного сечения цилиндри-
ческого тела и обхода С.
С
= \
С
d
—
ds
dU
дх
х I ds —
dU
ду
у
dU
ду
dy
дх
Отсюда, так как контур С замкнутый, a dUldy и dUldx одно-
значны, вытекает, что функция Эри U при обходе контура С
сохраняет свое значение.
Аналогичные результаты можно получить для случая
многосвязных областей, когда граница тела состоит из не-
скольких замкнутых контуров. Для многосвязных областей

492 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
очевидно, что при равновесии имеется однозначность функ-
ции U (х, у) при соответствующем обходе один раз всех конту-
ров и, вообще говоря, не обязательна однозначность при об-
ходе отдельных контуров.
Установим теперь уравнение, которому
Бигармоническое уравнение должна удовлетворять функция Эри для
и граничные условия упругих материалов, подчиняющихся за-
для функции ари кону Гука Подставляя выражения A.28)
для компонент тензора напряжений через функцию Эри в урав-
нение совместности A.12), получим
U
ИЛИ
= 0, где \U —
дх* ' ду* "' lHlV " cte2 T ду* •
Таким образом, функция Эри удовлетворяет уравнению
ДДЕ7 = 0. A.30)
Уравнение A.30) называется бигармоническим. Таким обра-
зом, проблема интегрирования в плоской задаче теории упру-
гости сводится к интегрированию бигармонического уравнения
A.30) при соответствующих граничных условиях и условиях
однозначности для функции Эри U (х, у).
Если на боковой поверхности заданы рп, то с помощью
A.29) легко получаются граничные условия, которым дол-
жна удовлетворять функция Эри U (х, у) на контуре С. Дей-
ствительно, из A.29) в результате интегрирования вдоль С
определяются производные функции Эри по координатам х и
у в любой точке С
dU I dU \ (' d I dU \ , С , v . .
-д -3— = \ -j- -5— Ids = — \ pntds = — Y (s),
0 v 0
5f/ I dU \ \ d / dU \ , \ , „ . .
-д "я- = \ T- "я— Ms = \ P»ids = -^ (s).
A.31)
где s — длина дуги С, отсчитываемая от некоторой произволь-
ной точки О, (dU/dxH и (d-UldyH — значения производных
в точке О, X (s) и Y (s) — компоненты главного вектора по-
верхностных сил, действующих на участок боковой поверх-
ности тела, опирающийся на дугу контура С от О до s и имеющий
единичный размер вдоль оси z. В дальнейшем будем называть
X (s) vl Y (s) компонентами сил, действующих на участке кон-
тура С от О до s.

§ 1. Плоские задачи теории упругости 493
Зная производные dU/dx и dU/dy в каждой точке С, можно
вычислить производные U по касательной и нормали к С:
dU_ _ dU_ dx_ . dU_ dy_ dU __ dU dx dU dy
ds dx ds * dy ds ' dn dx dn ~*~ dy dn '
и с помощью интегрирования можно определить значения са-
мой функции Эри в любой точке контура С:
тт I \ тт /л\ С I dU dx . dU du \ j I dU \ . . ,
U (s) — U @) = \ -д— -г-+ ~я-~г-) ds = -g— (Xs — XQ) +
v ' v ' j[ dx ds dy ds J \ dx Jov s ' '
о
У (s) &], A.32)
где ж0, i/o и ^s; J/s — значения координат ж, у, соответствующие
точке О и любой точке s на контуре С. Заметим, что,
как и следовало ожидать, усилия рп, приложенные на контуре
С, определяют значения функции Эри на С только с точностью
до несущественной для распределения напряжений аддитивной
линейной функции от х и у. Если контур С ограничивает одно-
связную область, то коэффициенты этой линейной функции на
единственном контуре С можно положить равными нулю. Если
область, для которой ставится плоская задача, многосвязна, то
эти коэффициенты можно считать равными нулю только на одном
из контуров Си, а для других контуров их следует определять
из условий однозначности перемещений х).
Таким образом, если на контуре С заданы векторы напря-
жений рп, то решение плоской задачи может быть сведено к на-
хождению бигармонической функции U (х, у) в области, огра-
ниченной С, по заданным на контуре С значениям самой этой
функции и ее производной по нормали к контуру С.
Дадим физическое истолкование функ-
Физическое истолкование ции Эри для этого преобразуем интеграл,
функции ри входящий в A.32), следующим образом:
8 S
\[X(s)dy~Y{s)dx\ = \[X(s)d(y-ys)-Y{s)d(x-xs)] =
о о
=¦¦ [X (s) (у -y.)-Y (s) (x - xs)\l -
S
- \ [{У - Us) dX (s) -{x- x.) dY (a)],
о
но dX (s) = Pnl ds, dY (s) = рпг ds, a X @) = Y @) = 0.
x) См. ниже, стр. 497.

494 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
Поэтому из A.32) получим
U{s)~U @) - Щ <* _ *0) _ (f-)o (у - Уй) =
с
= — ) [Рт (У — У$) — Рп2 (х — ха) ] ds,
т. е. значение функции Эри в произвольной точке s контура С
с точностью до аддитивной линейной функции от х и у пред-
ставляет собой главный момент внешних поверхностных сил,
приложенных к участку контура С между некоторой началь-
ной точкой О и рассматриваемой точкой s, вычисленный относи-
тельно этой последней точки.
Из постановки задачи об определении
Теорема Мориса Леви распределения напряжений при заданных
нагрузках на границе поперечного сечения тела, когда функция
Эри вполне определяется этими условиями (это имеет место,
например, в том случае, когда область, ограниченная контуром
С, односвязна), следует, что в рамках линейной теории упру-
гости распределение напряжений не зависит от свойств ма-
териала, т. е. от значений модуля Юнга и коэффициента
Пуассона.
Указанное важное свойство решений плоской задачи теории
упругости составляет содержание теоремы М. Леви. Поль-
зуясь этим, можно заменять изучение напряжений, например,
в металлических деталях изучением напряжений в моделях,
изготовленных из прозрачных изотропных материалов, опти-
чески чувствительных к возникающим в них деформациям.
На этом основаны экспериментальные оптические методы ис-
следования упругих тел. Очевидно, что соответствующие пе-
ремещения существенным образом зависят от характеристик
упругих свойств материала.
Остановимся теперь на представлении
Формула Гурса решения плоских задач теории упругости
с помощью функций комплексного переменного. Введем ком-
плексные переменные: z = х ~\- iy, z = x — iy. При переходе
от х, у к комплексным переменным гигбигармоническое урав-
нение A.30) преобразуется к виду
^| = О. A.33)
Следовательно, общее решение бигармонического уравне-
ния можно представить в виде
U (Z, Z) = 2фх (Z) + 2ф2 (Z) + Xi (Z) + Ь (Z). A.34)

§ 1. Плоские задачи теории упругости 495
Для класса вещественных функций V (х, у) необходимо по-
ложить
ложить
где ф! (z), Xi B) — функции, сопряженные с фй (z) и %х (z),
т. е. получающиеся из них путем замены z на z и всех входя-
щих в них постоянных комплексных коэффициентов на сопря-
женные с ними величины.
Опуская индекс 1, запишем вещественное решение бигар-
монического уравнения в форме Гурса
V (х, у) = zcf (z) + 2ф (z) + %(z)+% (z). A.35)
Проблема отыскания функции Эри и решение соответствую-
щей плоской задачи сводятся к определению двух функций
комплексного переменного ф (z) и % (z), регулярных в облас-
ти SD, занятой упругим телом, и удовлетворяющих опреде-
ленным граничным условиям.
Для получения формул, выражающих
Выражения компонент компоненты тензора напряжений через
тензора напряжений функции ф (z) И % (z), заметим, что
и вектора перемещении "г-г ". т \ / а \ /' »
через функции комплексно- dU dU dU dU I dU dU
то переменного -^- = ^- + -^-, -^- = I ^
и воспользуемся следующими распространенными в теории
упругости обозначениями:
Из A.35) с помощью A.28) непосредственно получим
1
= ¦?¦{- «Ф' (г) ~ гФ' (г) + 2 [Ф (г) + Ф (z)] -
f -/TV ,
= ^- {2Ф' (z) 4 гФ' (z) + 2 [Ф (z) + Ф (z)] + Y (z) + Т (z)},
i
2"
Л» = - Т {гФ' (z) - гф' (z) + Т B) - Т (z)}.
A.36)
Отсюда легко получить выражения для следующих комбинаций
Рп, Рчл и Pi2:
- Pu + 2ip18 = 2 [2Ф'(з)+ ?(*)] / V- '
Эти формулы потребуются в дальнейшем.

496 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
Закон Гука для случая плоской деформации представим
в виде, разрешенном относительно компонент тензора дефор-
маций:
X + 2и, „ К + 2а
2(J,+ v) Р ~ Р^ 2^22 = Й
2flS12 = р12,
где р = /5n -J-.P22- Отсюда, вводя компоненты вектора пере-
мещений и функцию Эри, получим
ди __
г дх ~
дх ~ 2 (Л. + у,)
дуг '
A.38)
Так как р = At/, а А А [7 = 0, то р — гармоническая функ-
ция. Пусть q — сопряженная с ней гармоническая функция.
Легко видеть (см. A.37)), что
/ (z) = р + iq = 4ф' B),
где функпия ф (z) определена формулой Гурса A.35). Обозначая
Ф (z) = Р + i(?,
можно записать
, ЭР , дО . дР , dQ . „„
Поэтому два первых соотношения A.38) можно переписать
в виде
? ^L — дт 2(Х + 2ц.) дР
Р ~дх ~ дж^ ^ Цц 9ж '
я, + у
После интегрирования получим
dU , 2(%
dU
A.40)
где /х (г/) и /2 (а:) — произвольные функции. Подставляя A.40)
в последнее соотношение A.38) и принимая во внимание, что
дР_ dQ_ 0
ду ^ дх '

§ 1. Плоские задачи теории упругости 497
получим
U'(y) +/.'(*) =о.
Отсюда следует, что fx = уу +а, /2 = — ух + р\ где а, Р,
V — постоянные. Очевидно, что функции Д (г/) и /2 (ж) соответ-
ствуют перемещениям тела как абсолютно твердого и поэтому
в дальнейшем могут быть отброшены.
Составим из A.40) комплексную комбинацию
2u (и -f ti?) = \ —— ф(г)— -д h l -я— • A.41)
дх ,/ /
На основании формулы Гурса A.35) верно равенство
^+i^^2^fl- = ^z)+z^) + W). A-42)
Поэтому равенству A.41) можно придать форму
2\х(и'+ iv) = Лф(г) — 2ф' (z) — -ф (z), A.43)
где
В случае плоского напряженного состояния в выражении
для Л надо заменить X на X* (в этом случае Л = C — о>)/A +ст))
им,» через сог и со2. Формулы A.37) и A.43) были по-
лучены Г. В. Колосовым.
Как указывалось выше (см. стр. 493),
Условия для определения формулы, выражающие перемещения че-
постоянных интегрирования рез функцию Эри, в частности, необходи-
в граничных условиях мы в том СЛуЧае когда область, занятая
ДЛЯ ФУНКЦИИ «7РИ т-.
TJ упругим телом, многосвязна. В граничные
условия для U и dUldn на каждом из контуров С к, ограничи-
вающих поперечное сечение цилиндрического тела, входят три
произвольные постоянные, причем только на одном из контуров
Си, например внешнем по отношению ко всем другим контурам
Си, контуре С (рис. 165) они могут быть выбраны произвольно.
На остальных контурах их можно определять так, чтобы пе-
ремещения и я v A.40) были однозначными функциями х и у,
т. е. так, чтобы при обходе любого из внутренних контуров
С й функции
2 (У, + 2(х) dU 2 (Л, + 2JA) п ЭЦ
A.+JX дх ^ + у, ^ ду
¦ возвращались к своим первоначальным значениям.

498
Гл. IX. Плоские задачи и теория трещин
При обходе по некоторому контуру Ch в указанном на рис.
1Ь5 направлении производные dUldy и —dUldx (см A 31)) по-
лучают приращения, равные XKuYk~ суммам проекций внеш-
них сил, приложенных к границе этого
контура, на оси х и у соответственно.
Следовательно, функции
2ц)
Рис. 165. Многосвязная
область поперечного се-
чения цилиндрического
тела.
2 (X + ц)
(Р dy + q dx)
как dUidx и
(см. A.39)) при обходе контура С дол-
жны получать такие же приращения,
dU/dy, т. е. должны выполняться условия
2 (X + у,)
2 (А + ц)
(qdy —p dx) = rfe,
(pdy-\- qdx)= Xk.
A.44)
Кроме того, с помощью A.40) легко установить кинемати-
ческий смысл гармонической функции q, сопряженной с
р = рп _f_ p22, которая, очевидно, определяется формулой
х,у
Действительно, согласно A.40),
ду
имеем
1 fdv
Эй;
у. (Я. + ц)
ЭР
т. е. функция q с точностью до постоянного множителя пред-
ставляет собой малый угол поворота главных осей тензора де-
формаций элемента деформирующейся среды.
В случае однозначных перемещений должны выполняться
равенства
Равенства A.44) и A.44') представляют собой условия для
определения постоянных интегрирования в граничных уело-

§ 1. Плоские задачи теории упругости 499
виях для U и dUldn на внутренних контурах С к- Функция U
и ее производные при этом, в противоположность случаю одно-
связной области, занятой упругим телом, уже не являются,
вообще говоря, однозначными.
Если на границе поперечного сечения
Граничные условия тела задано распределение компонент
и классификация краевых рпЪ Рп^ то с помощью A.31) легко
задач для определения получить граничное условие для
функции комплексного ,яг;/3 , . . ,sTT/- . ' ; м
переменного (dUldx) + i {dU/dy) на этой границе.
Действительно, из A.31) на контуре Си
в этом случае имеем
~te + l -Jf = - Y («) + l% (s) + mk,
где s — длина дуги контура, отсчитываемая от некоторой точки
О, а X (s) и Y (s) — компоненты сил, действующих на уча-
стке Ск от О до s, ти — вообще комплексная постоянная,
которую можно считать равной нулю, если область, занятая
упругим телом, односвязна; постоянные ти для многосвязных
областей на всех контурах, кроме одного, на котором постоян-
ная может быть выбрана произвольно, определяются при ре-
шении задачи.
Отсюда с помощью A.42) получаем следующее граничное ус-
ловие на контуре С^ для функций ф (z) и % (z) комплексного пе-
ременного z:
Ф (z) + 2ф' (z) + г' (z) = - Y (s) + iX (s) -f mk. A.45)
В случае задания в плоскости ху на границе поперечного
сечения тела перемещений
и = щ (s), v = v0 (s)
краевые условия для функций комплексного переменного ф (z)
и х (z), согласно A.43), (так как 2ц = E/(l -f а)) примут вид
Е
Лср (z) - zip' (z) - г' (z) =-r^[Wo(s) + iUo(s)l. A.45')
Итак, решение основных плоских задач теории упругости
свелось к определению двух функций комплексного перемен-
ного ф (z) и х (z) ПРИ ДВУХ типах краевых условий A.45)
или A.45') х).
!) Заметим, что при заданном напряженном состоянии или заданных
перемещениях функции ср (z) и % (z), согласно A.36) и A.43), имеют неко-
торый произвол, который можно устранять в различных краевых задачах
разными путями, например с помощью фиксирования значений самих
функций или их мнимых частей в определенных точках.

500 Гл. XI. Плоские задачи и теория *реЩйн
Первая краевая задача имеет место, когда на границе тела
заданы напряжения и граничные условия для <р (z) и % (z)
определены в форме A.45). Вторая краевая задача имеет место
при граничном условии A.45') (на границе тела заданы пере-
мещения). Смешанная задача имеет место в том случае, когда
на некоторой части границы имеется граничное условие A.45),
а на остальной части границы — условие A.45').
Иногда для решения этих краевых задач
Переход к криволинейным теории функций комплексного перемен-
координатам, связанным ного, поставленных для некоторой из-
с конформным отображе- вестной области 3), ограниченной кон-
туром С в плоскости z = х -\- iy, удоб-
но пользоваться заменой переменных, связанной с конформным
отображением ? = / (z) области 3) на некоторую простую вспо-
могательную область Ж'в плоскости ? = ? -f- щ, и получать
решение в параметрической форме с помощью переменной ?.
Если область 3> ограничена одним замкнутым контуром С,
то в качестве области SD' можно выбирать внутренность или
внешность круга единичного радиуса и проводить решение кра-
евой задачи, сформулированной для новой переменной ?,, в по-
лярной системе координат, а для переменной z — в криволи-
нейной ортогональной системе координат, в координатные ли-
нии которой переходят координатные линии полярной системы
координат в плоскости ? при рассматриваемом конформном
отображении.
В связи с этим посмотрим, как преобразуются компоненты
тензора напряжений и вектора перемещений в плоскости z при
переходе от декартовой системы координат х я у к указанной
криволинейной системе координат; установим вид зависимости
компонент тензора напряжений и вектора перемещений в этой
криволинейной системе координат от вспомогательной ком-
плексной переменной ? и сформулируем граничные условия,
которым должны удовлетворять искомые функции комплекс-
ного переменного ф (z) и % (z) в плоскости ? на единичном круге,
соответствующем границе С в плоскости г.
Заметим, что применение конформных отображений
? = % -j~ ir\ = / (z), z= я (?) в плоской задаче теории упругости
отличается по своему смыслу и результатам от применения
конформных отображений в плоской задаче гидродинамики.
Это связано с тем, что, в противоположность гармоническим
функциям, бигармонические функции U (х, у) в результате
конформного преобразования, т. е. после замены х и у через
? и г|, в общем случае перестают удовлетворять бигармониче-
скому уравнению в переменных |, т]. Однако формула Гур-
са A.35) позволяет просто определять вид функций, в кото-
рые переходят бигармонические функции в плоскости z после

§ 1. Плоские задачи Теории упругости 501
конформного преобразования z = х (?):
где через ф (t) и % (Q вновь обозначены аналитические функции
Ф (z) и % (z), соответственно, после замены в них переменной z че-
рез ? согласно конформному отображению z = x(?). Очевид-
но, что функцию f/ (|, т]) нельзя рассматривать как соответст-
вующую функцию напряжений Эри для области 3)' в плоскости
?, в которую в результате конформного преобразования пере-
ходит область 3) в плоскости z.
Рассмотрим теперь подробно случай, когда конформное
соответствие области 3) в плоскости z и внешности или внутрен-
ности единичного круга 3)' в плоскости ? однозначно установ-
лено с помощью функции комплексного переменного
z = х (?), z = ж + й/, t = | -f и].
Начало координат О выберем в центре круга. Если ST> — одно-
связная конечная область, ограниченная замкнутым контуром
С в плоскости z, то удобнее производить конформное отображе-
ние на внутренность единичного круга в плоскости Z, и считать,
что некоторая внутренняя точка, выбранная за начало коорди-
нат z = 0, соответствует точке ? = 0. Кривые р (х, у) = const
в плоскости z, соответствующие окружностям р = const в пло-
скости ?,, будут замкнутыми линиями, окружающими точку
z = 0. Кривые Э (х, у) = const в плоскости z — образы лучей
Э = const в плоскости ? будут все выходить из точки z = 0
и кончаться на С. Контур С будет соответствовать окружности
Г (р = 1). Если 3) — бесконечная область, границей которой
является один замкнутый контур С, то отображение можно
производить на внешность единичного круга в плоскости ?,
считая, что точки z = °° и t, = оо соответствуют друг другу.
Линии р (х, у) — const будут охватывать контур С, а линии
Э (х, у) = const начинаться на С и уходить в бесконечность.
Через каждую точку А области 3) в плоскости z проходят
две ортогональные линии
р (х, у) = const и Э (х, у) = const;
примем их за координатные линии 0 (х, у) и р (х, у) соответ-
ственно. Направления вдоль координатных линий р (х, у) и
0 (х, у) будем отсчитывать в сторону роста 0 (х, у) и р (х, у)
соответственно (рис. 166). Введем в плоскости z векторы ба-
зиса эх = дг/др и э2 = dr/dQ. Очевидно, что направления еди-
ничных векторов г, j декартовой системы координат х и у сов-
падут с направлениями эх и э2 в некоторой точке A (z = к (?) =
= х (ре19)), если их повернуть на угол а, который составляет
вектор базиса эх с осью х в рассматриваемой точке А.

502
Гл. IX. Плоские задачи и теория трещин
Подсчитаем коэффициент eia, на который следует умножить
комплексное число, заданное в плоскости z, для того, чтобы
получить соответствующее комплексное число в комплексной
плоскости, определяемой векторами э1 и э2, рассматриваемыми
х
Рис. 166. Конформное отображение и криволинейная система
координат р (х, у) и 6 (х, у).
в данной точке А. Рассмотрим отрезок dz вдоль координатной
линии р (х, у) в плоскости z. Очевидно, что
dz
\dz\
*'(?)«*?
I *'(?)! КГ
Но отрезок dt,, который соответствует в плоскости Z, отрезку
dz, лежит вдоль луча 0 = const, поэтому
Отсюда для величины а имеем
Физические компоненты Обозначим через рр, ръ, рРв физические
тензора напряжений ^ компоненты тензора напряжений в ор-
в Тр^во^инХойТисТеме тогональной криволинейной системе ко-
координат ординат р, 0 в плоскости z.
На основании формул преобразования
компонент тензора при переходе от декартовой системы ко-
ординат х, у к декартовой системе координат, повернутой
в каждой точке А плоскости z относительно х, у на угол

§ 1. Плоские задачи теории упругости 503
а (х, у), получим
рр = рг1 cos3 а -[- р22 sin2 а -j- 2/з13 cos а sin а, \
Рв = Ра соз2 а -f- pu sin2 а— 2pi2 cos « sin а, | A.47)
Ррв = (^22 — Рп) sin а cos а + /?12 cos 2а. j
Отсюда непосредственно можно вычислить следующие ком-
бинации физических компонент тензора напряжений в рассмат-
риваемой криволинейной системе координат:
Ро + Ръ = Рп + Pa, J
Рв — Рр + 2?рр9 = e2Ja (р22 — рп + 2ipl2). J '
Обозначим через ир, щ физические компоненты вектора пе-
ремещений в криволинейной системе координат р (х, у), Э (х, у).
Очевидно, что формулы преобразования от и, г> к ир, щ имеют
вид
ир == и cos a + v sin а, щ = — и sin ос -j- v cos а.
Эти формулы удобно представить в виде
Up + ше = е-« (м + гу). A.49)
Получим выражения для комбинаций A.48) и A.49) физи-
ческих компонент тензора напряжений и вектора переме-
щений в системе координат р (х, у) и 0 (х, у) через комплексное
переменное ?. Для этого во всех функциях комплексного пе-
ременного z проведем замену переменной z = к (Q и сохраним
для краткости прежние обозначения для новых функций
Ф (z) = ф (и (?)) = ф (?), г|) (z) = а|) (:
Ф (z) = Ф (х (?)) = Ф (?), Т (г) = W (х (Q) = Т
При этом, очевидно, должно быть
С помощью A.48) и A.37) легко получим
РР + Р& = 2 [Ф(О + Ф(О1 = 4Re Ф(D,
L: Ш?)Ф(Л) + (?)
р2 х (О
Аналогично A.49) с помощью A.43) приведется к виду
A.51)

504 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
Граничные условия Граничное условие A.45) в плоскости z
для функций комплексного конуре С сводится к следующему
переменного в плоскости Ji M J т-, J
комплексного перемен- граничному условию на контуре Г—ок-
ного ? ружности р = 1 в плоскости ?:
где у — дуга вдоль Г, а функция Н (у) определяется в ре-
зультате перехода к криволинейным координатам и замены пе-
ременной z = x(t) в правой части A.45) и может считаться из-
вестной, если на контуре С заданы внешние поверхностные
силы.
Аналогично граничное условие A.45') в перемещениях на
контуре С сводится к следующему граничному условию на Г:
A.53)
где G(f) определяется в результате перехода к криволинейным
координатам и замены переменной z = % (?) в правой части
A.45') и может считаться известной.
Таким образом, поставленные выше основные краевые за-
дачи об определении аналитических функций cp(z) и %(z) све-
лись к задачам об определении функций ф(х(?)) = <р(?),
%(х(?)) = %(?) их(?) = z во вспомогательной плоскости ком-
плексного переменного ?.
§ 2. Концентрация напряжений
Из решения различных задач и из опытов известно, что на-
личие резких изменений формы поверхности тела может приво-
дить к значительным местным напряжениям, быстро затухаю-
щим по мере удаления от границы тела. Определение местных
напряжений вблизи резких изменений формы поверхности
тела или вблизи мест действия резко изменяющихся по ко-
ординатам внешних сил составляет содержание проблемы кон-
центрации напряжений.
Рассмотрим упругую неограниченную пло-
Всестороннее растяжение скую пластину, всесторонне растягивае-
плоскости с круговым МуЮ постоянными напряжениями рп на
вырезом - т, г "
бесконечности. Б этом случае в пластине
имеет место обобщенное плоское напряженное состояние с
равномерным распределением напряжений в плоскости ху,
совпадающей со срединной плоскостью пластины:
Рп = Ргг = Ро' Рп = 0. Рзз ~ 0

§ 2. Концентрация напряжений 505
или в цилиндрической системе координат р, Э, z
Рр = Ро = Ро, Ррв = 0, p2Z = 0.
Проведем окружность радиуса а с центром в начале координат
и удалим мысленно внутренность круга. Действие мысленно
отброшенной части заменим поверхностными силами, прило-
женными по контуру окружности:
Рр = Ре = Ро, Рр8 = 0 при р = а.
Предположим теперь, что внешние напряжения на контуре
окружности-выреза медленно (квазистатически) убывают до ну-
ля. В этом случае в пластине произойдет перераспределение нап-
ряжений. Определим распределение напряжений в неограни-
ченной равномерно растягиваемой напряжениями р0 = const
на бесконечности плоской пластине с круговым вырезом радиу-
са а, на границе которого отсутствуют внешние силы.
Бигармоническое уравнение для определения функции Эри
в полярных координатах имеет вид
+ +7? 7 "эру ~
Формулы A.28), выражающие компоненты тензора напряжений
через функцию Эри U в полярной системе координат, имеют вид
_ 1 dU 1 дЮ _ дги _ д (I dU\
Pl> — J дР + ^ ~W ' р<> ~ ~W' Р"9 ~ ~ ^Г 1,7 Г/ "
Очевидно, что напряженное состояние всесторонне растягивае-
мой пластины с круговым отверстием не зависит от угла Э. Об-
щий интеграл С/(р) бигармонического уравнения, которое в этом
случае сводится к уравнению
1 d r d г 1 d I dU \\\ _
J dp\p d?[ d \p d jJf-
,p dp \r dp
имеет вид
U = Л1пр + Вр2 In р + Ср% + D,
где А, В, С, D — произвольные постоянные. Пользуясь этой
формулой, получим
ф + W + 2С,
Ррэ = 0.

506
Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
Из граничных условий на контуре кругового отверстия и в
бесконечности
р = 0 при р = а и рр = р0 при р = оо
найдем, что
А = - роа\ В = 0, 2С = р0.
Поэтому решение рассматриваемой задачи в напряжениях пред-
ставится формулами
ч
л)
у
-
"Ро
(
\
а/
ч
/
L
Рв
\Ро
== 0, рг
0.
Рис. 167. Эпюры напряжении р , ра
6=
пластине с круговым вырезом р = а.
9 max
На рис. 167 построены эпю-
ры напряжений рр, р9 вдоль
луча Э = const.
Характерно, что компо-
нента напряжения р$ возра-
стает при подходе к грани-
це кругового выреза, причем
максимальное значение рд
достигается на границе вы-
резанной окружности
) = а.
Так как ррв = 0, компоненты рв, рр и pzz являются главными
компонентами тензора напряжений. При р = а рв ^> рр =
= Pzz = 0 и наибольшее касательное напряжение х в каждой
точке выреза определяется формулой (см. § 4 гл. X)
При а < р < оо рв > рр > pzz = 0, рв < 2р0 и
i'e — Pzz
т =
Наконец, в бесконечности рв = р? = р0, pzz = 0 и
Т= 2 =~2~' ,
Таким образом, максимальное касательное напряжение

§ 2. Концентрация напряжений 507
= Ро достигается в точках границы вырезанной окружности
на бесконечном числе площадок, касающихся кругового конуса
с вершиной в рассматриваемой точке контура выреза с углом
раствора 90° и осью Э.
Выше дано полное решение задачи в напряжениях для обоб-
щенного плоского напряженного состояния; в случае плоского
деформированного состояния решение в напряжениях для р9,
рв и ррв будет тем же самым, однако pzz будет отлично от нуля.
При этом на контуре выреза, так как для обычных материалов
0<а< A/2), будет верно неравенство рв ^> pzz ^> рр = 0
(см. A.17) ). Поэтому на границе выреза наибольшее касатель-
ное напряжение будет в этом случае равно
В бесконечности р9 = р? Ро= ^> Pzz и
po(i-2a)
2
Таким образом, максимальное касательное напряжениер^тах—Ро
достигается в этом случае также в точках границы выреза,
но на площадках, проходящих через ось z и наклоненных к ра-
диусу под углом + 45°.
Найденные выше решения двух задач теории упругости в на-
пряжениях хорошо подтверждаются экспериментально, пока
в пластине не возникают пластические деформации. Предполо-
жим, что пластические деформации возникают при достижении
максимальным касательным напряжением своего предельного
значения к — предела текучести при сдвиге, т. е. при
В данном случае ттах = Ро достигается на контуре окружности-
выреза. Следовательно, если р0 < к, то напряженное состояние
в теле всюду упругое. Пластические деформации появляются
впервые на контуре отверстия, когда растягивающие напряже-
ния р0 на бесконечности становятся равными к (р0 = к).
Нетрудно обобщить решение предыдущей
Одноосное растяжение задачи на случай плоского напряженного
плоскости с круговым состояния, возникающего при одноосном
. растяжении плоской неограниченной пла-
стины с, круговым вырезом р =sc! а. При одноосном вдоль оси у
растяжении в декартовых координатах имеем следующие усло-
вия в бесконечности:
Рп = 0' Ргг = f о. Рг% = Рзз = 0-

508 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
В полярных координатах р, 0 в плоскости х,у, z = peie эти ус-
ловия можно записать в виде
pzz — 0 при р = оо.
На границе выреза условие отсутствия внешних сил имеет вид
Рр = рРв — 0 при р = а.
Решение сформулированной задачи легко получить с по-
мощью подбора функций ф(г) и t|>(z) = %'(z) комплексного пере-
менного z = х -f iy, введенных в предыдущем параграфе при
решении бигармонического уравнения для функции Эри. По-
лагая z = Z, = pei9 и учитывая принятые выше обозначения
Ф(?) = ф'(г) = ф'(?), ty'(z) = г|з'(?) = ^?A), перепишем фор-
мулы A.50) в виде
B.1)
B.2)
Легко проверить непосредственно, что условия в бесконеч-
ности при ? = оо и на границе выреза при |?| = р = а будут
удовлетворены, если положить:
-«(f+ -^-)]- B.3)
Эти формулы легко установить, если предварительно задаться
для функций ф(?) и г|з(?) разложением в ряды Лорана около
бесконечно удаленной точки ? = оо. Коэффициенты этих раз-
ложений определяются из граничных условий при р = а
и из условий в бесконечности.
Из формул B.1) и B.3) на окружности выреза при р = а,
где рр = 0, сразу получим
pe = p0<l + 2cos26).
Величина рв достигает максимума в точках Э = @, я); в этих
точках
Pt> max = 3А>-
Из формул B.1), B.2) и B.3) легко найти компоненты напря-
жений рр, рв и рР9 во всех точках пластины. В частности, на
оси х при \х\ ^> а верны формулы

§ 2. Концентрация напряжений
509
. [2 +(!
На рис. 168 приведены эпюры напряжений р1г, р22 вдоль
оси х и любопытная диаграмма для изменения рв вдоль
границы кругового выреза.
р^
3Ро
\
Pall
ч
щ
i I
и
^-^
"Л
N
/
/
Ргг
4-
Рис. 168. Эпюры напряжений при одноосном
(вдоль оси у) растяжении плоскости с круговым
вырезом.
Всестороннее растяжение
плоскости с эллиптичес-
ким вырезом
Рассмотрим упругую плоскость с эллипти-
ческим отверстием, всесторонне растя-
гиваемую на бесконечности напряжения-
ми р0 = const. Обозначим полуоси эл-
липса через а и Ъ {а ^> Ъ) и выберем оси координат х и у так,
чтобы ось х была направлена по большой оси эллипса.
Конформное отображение внешности эллипса в плоскости
z на внешность единичного круга в плоскости t, определяется
преобразованием:
С = peie =
щ,
Следовательно, связь между декартовыми координатами х, у
и криволинейными координатами р, 0 в плоскости z определяется
L

Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
формулами
. т'\ а а + Ъ
+ Jcose y 4
Эти криволинейные координаты называются эллиптическими,
кривые р = const в плоскости z соответствуют эллипсам
,
а кривые 8 = const — гиперболам
COS2 0 Slrf 6
Контур вырезанного отверстия в плоскости z в криволинейной
системе координат р, 8 соответствует эллипсу р = 1. На грани-
це выреза, так как она по условию свободна от внешних сил,
имеем следующие граничные условия:
Легко проверить, что функции ср(?) и я|з(g) в данном случае
определяются формулами:
Ро (а
Согласно A.50) при этом будем иметь
_ 2тр2 cos 20
2гр . = -= 2-^- ГA + т%) (т +
Отсюда нетрудно найти напряжения как функции криволи-
нейных координат р, 6 или декартовых координат х, у. В част-
ности, на контуре эллиптического отверстия (р = 1) имеем
_ 2 A — тг)
Ре — Ро 1 _ 2m cos 26 + m2 '
Очевидно, что напряжение рв на контуре отверстия достигает
максимума в точках, соответствующих концам большой полу-

§ 2. Концентрация напряжений
511
оси эллипса (р = + 1; 0 = 0, зт; х = + а, у — 0), причем
(ре )max = 2р01-=~ = 2рп у . B.4)
Приведем также формулы для распределения напряжений
вдоль положительной оси х
Рр9 = Pl2 = 0.
На рис. 169 построены эпюры напряжений рп, р2% вдоль оси х
-
1
IV
h
>4V
1
.^—
—
и
о
Ь/.
—*•
\
\Рп
—
__
¦Ро
X
—
Рлс. 169. Эпюры напряжений при всестороннем
растяжении неограниченной пластины с эллип-
тическим вырезом ({а/Ъ) = 3, т = A/2)).
и изменение рв вдоль контура эллиптического выреза при
(а/Ь) = 3, т= A/2). Для заданного не слишком болыногор0 полу-
ченные распределения напряжений хорошо отвечают опыту для
всех (Ъ/а) ^> е, где е — некоторое положительное число.
При Ъ ->- 0, когда эллиптический вырез вырождается в прямо-
йй разрез в точках х = + а, у = 0, значение
обращается в бесконечность.
Рассмотрим упругую плоскость с эллип-
Одноосное растяжение тическим отверстием, растягиваемую па
плоскости с эллиптичес- бесконечности усилиями р0 под углом
ким вырезом 6о R оси х (рис_ 1?0) Нетрудно прове-
рить, что решение этой задачи получается с помощью функ-
ций ср(?)и "ф(?), которые определяются формулами:
линейный
р9 = (p)
ei29° - m
A + m2) (eii% — т)
ml,
Г« —1
L

512
Гл. XI. Плоские задачи и Теорий трещин
Как и раньше, с помощью общих формул A.50) можно
найти поле напряжений. На контуре эллипса при р = 1 будем
иметь
РР = Рр* =
_ 1 _ ТО2 _^ 2/п cos 29о — 2 cos 2 (9 + 6о)
— Ро 1 — 2m cos 20 + тг '"
Отсюда видно, что при т = 2, т. е. в случае прямолинейного
разреза, при любых 60 Ф 0 или л в точках р = 1 и 6 = 0
и 8 = л (т. е. на концах разреза) рв= <х>.
Рис. 170. Одноосное
растяжение неограни-
ченной пластины с эл-
липтическим вырезом.
—
i
Ро
-п
гО
1 |
i/
JT
и
У
m
\\
Ро
N
\
п
ч
...
Ргг
¦~-
X
Рис. 171. Эпюры напряжений при одноосном рас-
тяжении неограниченной пластины с эллипти-
ческим вырезом {{alb) = 3, т = A/2)).
Предположим, что растяжение происходит в направлении
оси у @о = + л/2), тогда
1 _ тг _ 2т + 2 соз 29
^9 ~ Ро 1_ 2m cos 29 + т? '
Напряжение рв достигает максимума на контуре отверстия *)
в точках р == 1, 6 = 0, я, х = ± а, у = 0, причем
B-5)
^вутакм Функций максимальные значения компонент напряжения до
стигаются нГгранице области; аналогичное положение встречается в гид-
р о динамике (см. стр. 162).

§ 2. Концентрация напряжений
513
вий в случае вытянутого
эллипса — щели
На рис. 171 построены эпюры напряжений рп, р22 вдоль
оси х и изменение рв вдоль границы эллиптического выреза
при {alb) = 3, т = A/2).
В рассмотренных задачах о растяжении
О концентрации напряже- плоскости с эллиптическим вырезом при
Ъ =/= 0 напряжения получаются везде
конечными и хорошо согласуются с опыт-
ными данными, если р0 не слишком велико, т. е. когда всю пла-
стину можно рассматривать как упругое тело.
Предположим, что р0 и а фиксированы, а Ъ убывает.
В этом случае, как видно из B.4) и B.5), (/?9)тах возрастает и при
Ь-v 0, (ре)тах^°°- Таким
образом, в полученном ре-
шении на концах прямоли-
нейной щели (в которую вы-
рождается эллипс при Ь ->• 0)
напряжение рв становится
сколь угодно большим при
любом конечном значении
растягивающих напряжений
р0 в бесконечности.
В реальном материале на-
пряжения не могут превосхо-
Рис. 172. Характер распределения
напряжения вблизи конца щели со-
гласно решению линейной теории
упругости.
дить вполне определенных пределов, поэтому подобный резуль-
тат линейной теории упругости нуждается в дополнительном об-
суждении. В местах очень больших напряжений, высокой кон-
центрации напряжений, линейная теория упругости, вообще го-
воря, неприложима. Для уточненного описания реальных явле-
ний в этих областях необходимо учитывать эффекты нелинейной
теории упругости, пластичности и ползучести материала. Кроме
этого, большое влияние на величину внутренней энергии и дру-
гих термодинамических функций и на механическое поведение
материалов в этих местах могут оказывать не только сами де-
формации, но и их градиенты, что не учитывается в обычной те-
ории, использующей для определения напряжений закон Гука.
Для некоторых материалов распределение напряжений вбли-
зи концов щели существенно связано с эффектами, описываемы-
ми в рамках нелинейной теории упругости 1). Используя урав-
нения геометрически и динамически нелинейной теории упру-
гости, можно получить конечные значения напряжений вблизи
конца щели. Даже в рамках линейной теории упругости с ис-
х) Вид деформированных контуров у края (пунктир) на рис. 172 и
на последующих рисунках соответствует экстраполяции упругих реше-
ний вплоть до края; в действительности форма разрыва у края связана с
усложненными реологическими свойствами материала, проявляющимися
в этой области.
И. Седов, том 2

514 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
пользованием закона Гука, если решать нелинеаризированную
задачу и удовлетворять граничным условиям на деформиро-
ванной поверхности (а не на разрезе, как в линеаризованной
задаче), напряжения получатся везде конечными, но, вообще
говоря, очень большими у края щели. Таким образом, неогра-
ниченное возрастание компонент напряжений при приближении
к краю щели связано не только с использованием линейного за-
кона Гука, но это есть результат приближенного способа реше-
ния задачи. Отметим также, что рассмотренный эффект обра-
щения напряжений в бесконечность на острых краях щели
также тесно связан с сильной идеализацией реального разрыва,
в конце которого радиус кривизны отличен от нуля.
В то же время, как показывают расчеты и данные опыта,
размер зоны, в которой проявляются указанные выше усложнен-
ные физические особенности реальных материалов, во мчогих
случаях, вообще говоря,весьма мал. Эксперименты показы зают,
что уже в достаточной близости от концов щели линейная тео-
рия упругости и указанные выше решения правильно описы-
вают распределение напряжений. Например, для стали у ост-
рых кромок характерный размер зоны, в которой действитель-
ные характеристики состояний существенно отличаются от тео-
ретически рассчитанных по линейной теории упругости, имеет
порядок полмиллиметра *).
Обращение компонент напряжений в бесконечность у кон-
ца щели не следует рассматривать как коренное противоречие
результатов линейной теории упругости в этой задаче опытам.
Наоборот, в рамках линейной теории упругости и сильно упро-
щенной схематизированной постановки задачи это обстоятель-
ство является хорошим отражением действительности. Исполь-
зование модели линейно упругого тела в этой задаче, так же
как и широко используемые идеализации во многих других слу-
чаях (абсолютно твердое тело, поверхности сильных разрывов,
явление удара и т. д.), связано с некоторыми эффектами, кото-
рые в той или иной степени противоречат опыту. Важно, одна-
ко, чтобы такие противоречия не имели существенного значе-
ния для распределения искомых величин в основной части
тела и для получения нужных выводов при решении поставлен-
ных задач 2).
Рассмотрим теперь подробно характер напряженного и де-
формированного состояния вблизи концов щели, когда на бере-
х) См. Г. Н е й б е р, Концентрация напряжений, ОГИЗ, 1947,
стр. 193.
2) Небесполезно подчеркнуть, что появление в расчетных данных
схематизированных задач теории упругости больших или даже бесконеч-
ных напряжений не обязательно приводит в действительности к общему
или местному разрушению материала. •

§ 2. Концентрация напряжений 515
гах щели действуют произвольные поверхностные силы с глав-
ным вектором и главным моментом, равными нулю.
Разделение общей стати- Решение статической задачи линейной тео-
ческой задачи о напря- рии упругости об определении напряжен-
женно-деформированном Ного и деформированного состояний в не-
Г0™ТеС°ЩеЛЬЮ КОТОР°„М теде со щелью под действием за-
данной системы внешних нагрузок, которую
мы назовем задачей %, можно искать как сумму решений двух
следующих статических задач: задачи 95 об определении
напряженного и деформированного состояний в сплошном теле
без щели под действием заданной системы внешних нарузок за
IV
Рис. 173. Виды симметричных нагрузок на элементах проти-
воположных берегов щели: I — нормальная симметричная
нагрузка, II — касательная антисимметричная нагрузка,
III — нормальная антисимметричная и IV — касательная
симметричная нагрузка.
вычетом внешних сил, действующих на бортах щели, и задачи
S об определении напряженного и деформированного состояний
в том же теле со щелью, когда только по берегам щели дейст-
вуют внешние поверхностные силы. Эти силы слагаются из
внешних нагрузок, действующих по берегам щели в исходной
задаче 91, и из сил, равных по величине и противоположных
по направлению силам напряжений, возникающих в местах
берегов щели в задаче 95.
Очевидно, что решение задачи 35 в точках, соответствую-
щих концам щели, не будет иметь особенностей, поэтому харак-
тер особенностей в распределении напряжений в исходной зада-
че % будет совпадать с особенностями распределения напря-
жений в задаче &.
Произвольную нагрузку, действующую на любом элементе
берега щели, можно представить как сумму четырех типов сим-
метричных нагрузок, изображенных на рис. 173, приложенных
в соответствующих точках противоположных берегов щели.
Таким образом, в случае прямолинейной щели \х\ ^ а, у = О
решение указанной выше задачи S (для произвольного стати-
чески эквивалентного нулю распределения внешних нагрузок
по берегам щели) можно представить как соответствующую
сумму решений некоторых частных задач © для таких частных
распределений нагрузок, в которых нормальные и касательные
17*

516
Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
поверхностные нагрузки в соответствующих точках противопо-
ложных берегов щели одинаковы по величине. При этом разбие-
нии будут отличаться друг от друга только четыре частные за-
Р/2
р/г
\р/г
///
пР/г
Р/41 V
Р/2
Рис. 174. Пример разбиения конкретной задачи (? на частные
виды задач (?.
дачи ©I, ©И, ©III, ©IV, в которых на соответствующих эле-
ментах противоположных берегов щели действуют нагрузки
только одного из четырех типов, указанных на рис. 173. Оче-
видно, что в случае полной статически уравновешенной систе-
мы сил на щели в каждой из этих четырех задач также получит-
ся статически уравновешенная система сил. Пример такого
разбиения для определенной задачи приведен на рис. 174.
Если в исходной задаче 31 щель была свободна от напряжений,
то для решения соответствующей общей задачи S достаточно
рассмотреть только два типа (I и II) частных задач &.
Для изучения особенности решения вблизи
Щель в бесконечной концов щели вместо тела-пластины конеч-
плоскости ных размеров со щелью рассмотрим бес-
конечную плоскость, ослабленную прямолинейной щелью
\х\ <^ а, у = 0, и предположим, что берега щели свободны от
внешних напряжений. Для выяснения поведения напряжений
в этом случае достаточно подробно рассмотреть только две за-
дачи &I и (?11, в постановку которых в этом случае будет вхо-
дить требование об отсутствии напряжений в бесконечности
(при z = оо ptj = 0).
Рассмотрим задачу ©I. Предположим,
Щель под действием что на берегах щели |ж| <! а, у = 0 дей-
ствует некоторая нормальная нагрузка,
симметрично распределенная относительно
оси х (рис. 175). Граничные условия на берегах щели в данном
случае имеют вид
*? = Р? = - 8 (*), Р&} = РЙ> = ° при | * | < а, у = 0, B.6)
где g(x) — известная конечная функция.
нормальной
нагрузки
симметричной

§ 2. Концентрация напряжений
517
Основываясь на том, что рп = 0 при \х\
искать решение в предположении, что
а, у = 0, будем
где Zi (z) — неизвестная функция. Тогда из A.36) получим
pu=ReZI- ylmZv I
^^ReZj + ylmZj, B.7)
р12 = — у Re Zr J
На основании общей формулы A.43) для плоской деформа-
ции в рассматриваемом случае получаются следующие простые
формулы для перемещений J):
= A - 2з) Re Z\ - у Im Zp
= 2(l-a)ImZj-yReZI,
где Z\ — функция, определенная условием Z\ = dZ\ldz. На
-a
Рис. 175. Симметрично распределенная по берегам щели нормаль-
ная нагрузка. Величины, относящиеся к верхнему борту, отмече-
ны индексом B), а к нижнему — индексом A).
основании B.7) граничное условие B.6) на берегах щели \х\ ^ а,
у — 0 принимает вид Re Z\ = — g (х) при | х \ <! а, у = 0.
Для получения решения рассматриваемой задачи достаточно
найти регулярную вне разреза, убывающую на бесконечности
функцию комплексного переменного Z\ (z), действительная
часть которой принимает при данном х одинаковые заданные
значения на берегах разреза \х\ <^ а, у = 0.
Если принять, что в бесконечности перемещения, определяе-
мые формулами B.8), равны нулю, то согласно B.8) функция
Z\ (z) должна иметь на бесконечности порядок по крайней мере
1/z2. Решение таким образом сформулированной задачи об оп-
ределении функции Zi (z) по заданной действительной части на
2) В случае обобщенного плоского напряженного состояния для пере-
мещений в срединной плоскости получаются такие же формулы, в которых
1—2а и 1—а следует заменить на A — а)/A + а) и 1/A + а) соответ-
ственно.

518
Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
разрезе дается формулой
Я Vz* —
g(i-) /а»-
B.9)
В силу единственности решения сформулированной задачи эта
формула определяет искомое решение задачи. С помощью B.9)
и B.7) легко вычислить искомые компоненты напряжений в лю-
бой точке плоскости z.
На основании формулы B.9) легко опреде-
лить поведение решения вблизи обоих
концов щели. Вблизи правого края щели
положим z _ а = геЮ) где г _ малая ве.
личина. Из B.9) следует, что при малых
г = \z — а\ верна асимптотическая формула:
Асимптотические выраже-
ния для компонент напря-
жений и перемещений вблизи
концов щели
Величина fa вообще отлична от нуля. Для частных случаев,
когда функция g{x) имеет специальный вид, постоянная к\ мо-
жет обращаться в нуль.
Из B.10) и B.7) найдем искомые асимптотические выраже-
ния для напряжений
cos 2
=- fa
cos -й-
2 d 3d
r-— sin -s- cos -^ .
Зд
B.11)
Соответствующие асимптотические выражения для переме-
щений в случае плоской деформации имеют вид
B.12)
х) Эффективное построение функции B.9) дано Л. И. Седовым в 1934 г.
см., например, «Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики», М.— Л.,
1950 г., стр. 51, формула A.9). Формула A.9) отличается от B.9) только
множителем >, так как здесь задана не мнимая, а действительная часть
искомой функции.

§ 2. Концентрация напряжений
519
Видно, что асимптотические выражения для компонент на-
пряжений и перемещений вблизи концов щели зависят только
от значения величины ki. Можно показать, что поведение ре-
шения у концов щели в конечных пластинах имеет тот же вид.
Для конечных пластин граничные условия и расположение щели в
случае действия на берегах щели симметричной нормальной на-
грузки определяют в асимптотических формулах у каждого
края щели соответствующий параметр кг — коэффициент
интенсивности напряжений1). Из линейности
задачи следует, что если нагрузки возрастают пропорциональ-
но некоторому параметру, то коэффициент интенсивности на-
пряжений возрастает пропорционально тому же параметру. В
общем случае для данной щели кх =j= 0 даже при сколь угодно
малых внешних нагрузках, наличие концентрации напряжений
при малых нагрузках хорошо отвечает действительности и,
вообще говоря, не связано с разрушением.
Рассмотрим теперь задачу ? И, когда по бе-
Щель под действием егам прямолинейной щели И < а, у = О
касательной антисиммет-
ричной нагрузки распределена антисимметричная каса-
тельная нагрузка (рис. 176). В этом слу-
чае граничные условия на берегах щели в задаче (? имеют вид
при | а; К а, у = 0. B.13)
Условия"B.13) будут частич-
но удовлетворены, если поло-
жить
-а
11 л, >
Эпюра h(x)
\т
Рис. 176. Распределение анти-
симметричной касательной на-
B.14) грузки по берегам прямолингй-
ной щели
где Zu (z) — искомая функция,
регулярная вне разреза и исчезающая в бесконечности. Из
A.36) получим
B.15)
Рп = — У Re Z'u,
ри = ReZn — y!raZ'n.
х) Физическое значение параметра к1 было подробно проанализиро-
вано Ирвином и положено в основу его теории трещин A957 г.).

520
Гл. XI. Плоские задачи я теория трещин
Для компонент вектора перемещений в случае плоской деформа-
ции будем иметь
B.16)
2\iv =•- — A — о) Re Z\x — у Im Zn,
где Zii = sr-
Согласно B.15) граничные условия B.13) на берегах щели при-
мут вид
Re Zn = — h (х) при | х j ^ а, у = 0.
Очевидно, что искомая функция Zn (z), имеющая порядок 1/z2
в бесконечности, определяется также формулой B.9), в кото-
рую вместо g(x) следует подставить h(x).
Асимптотические выраже- Асимптотическая формула для Zn (z) вбли-
ния для компонент напря- зи точки z = а имеет вид
жений и перемещений
вблизи концов щели Zn(z) = —-
—о)
гдеЛ„ =-7^
B.17)
С помощью B.17) и B.15) получим асимптотические формулы
для компонент тензора напряжений в этом случае
: -k- \ '? + COS -s- COS -=-
Li Li
*ц d . fl 3d
p.22 = Г7д= COS -y Sin -я- COS -p- ,
У2яг z z z
B.18)
Соответствующие асимптотические формулы для компонент
вектора перемещений в случае плоской деформации имеют вид
B19)
При некоторых частных распределениях внешних нагру-
зок, особых размерах тела для данных нагрузок или подходя-
щих размерах щели могут получиться решения, в которых к\

§ 2. Концентрация напряжений 521
или ки обращаются в нуль. Однако во многих случаях, отве-
чающих действительности, при описании состояний равновесия
тел у краев щели имеет место концентрация напряжений и по-
стоянные ki и ки отличны от нуля.
С помощью аналогичных приемов с использованием функций
комплексного переменного и формулы вида B.9) легко решить
задачи (? типа III и IV, при этом у краев щели возникают осо-
бенности в распределении напряже-
ний такого же вида, как и в зада- ,,1 л
Jtt ' Я
И 11.
Очевидно, что при наличии мас-
совых сил, подобных силе тяжести
или системе сил инерции, при реше-
нии соответствующей динамической
задачи теории упругости получится Рис. 177. Криволинейная
распределение напряжений, для ко- щель,
торого вблизи концов щели будут
иметь место асимптотические формулы с ki и ки вообще не рав-
ными нулю. В динамических задачах кг и кц зависят от пере-
менных во времени внешних заданных поверхностных и массо-
вых сил и от поля сил инерции. Учет тепловых эффектов в об-
щем случае не изменяет поведения напряжений вблизи концов
щели.
Мы рассмотрели случай прямолинейной щели. В общем
случае щели могут быть криволинейными (рис. 177). Можно по-
казать, что в случае плоской деформации для криволинейных
щелей асимптотические формулы для компонент тензора напря-
жений и вектора перемещений B.11), B.18), B.12), B.19)
сохраняют свой вид в локальной системе координат г, ¦&, указан-
ной на рис. 177, где угол ¦& отсчитывается от направления каса-
тельной к щели в ее конце.
Для примера рассмотрим решения некото-
Всестороннее растяжение простейших задач.
плоскости с прямолинеи- тт е
ной щелью Пусть плоскость, ослабленная прямо-
линейной щелью длины 2а, берега которой
свободны от внешних напряжений, испытывает всестороннее
растяжение напряжениями р0 = const на бесконечности. Реше-
ние этой задачи с помощью параметрической комплексной пере-
менной ? можно получить из решения рассмотренной выше зада-
чи о всестороннем растяжении плоскости, ослабленной эллип-
тическим отверстием, когда величина Ь меньшей полуоси эл-
липса-выреза стремится к нулю.
С помощью предыдущих формул решение можно также по-
лучить непосредственно в плоскости z. В самом деле, очевидно,
решение задачи S5 в этом случае имеет вид
Ри — Ргъ = Ро' Put = О-

522 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
Поэтому для получения искомого решения достаточно рассмот-
реть только задачу ©I, когда по берегам щели приложено по-
стоянное симметричное нормальное давление р0. Полагая в фор-
муле B.9) g(l) = р0 (р22 = — р0 при у = 0, \х\ < а), получим,
например, с помощью теоремы о вычетах
— Ро
Решение соответствующей задачи 95 в этом случае имеет вид
Zi(*) = Ро-
Следовательно, для поставленной выше задачи 91
ZI(z)=-rfL=l. B.20)
У г2 а2
Компоненты тензора напряжений определяются по формулам
B.7) и B.20). Коэффициент интенсивности напряжений в дан-
ном случае согласно B.10) определяется формулой
= _?= \
Vna J
Vna
—а —а
Вид формулы для ki непосредственно вытекает из теории раз-
мерностей. В самом деле, в постановке задачи об определении
напряжений для бесконечной плоскости фигурируют толь-
ко ^две размерные постоянные р0 и а (модуль Юнга соглас-
но теореме М. Леви, см. стр. 494, несуществен). Так как раз-
мерность постоянной ki совпадает с размерностью Ро)Га, то
ясно, что ki = сроУ а, где с —¦ безразмерная постоянная. Из
B.21) следует, что с = )Ал.
Рассмотрим теперь упругую плоскость с
Одноосное растяжение ^ прямолинейной щелью \х\ ^ а, у = 0,
плоскости с прямолиней- берега которой свободны от напряжений,
ной шелью *
в том случае, когда в бесконечности под
углом б0 к оси х действуют постоянные растягивающие напря-
жения р0 (рис. 178).
Решение этой задачи с помощью параметрической комплекс-
ной переменной ? можно получить из приведенного выше реше-
ния аналогичной задачи для плоскости с эллиптическим отвер-
стием при Ъ ->• 0 (иг -*¦ 1). Решение этой же задачи непосредст-
венно в плоскости z можно получить с помощью изложенного
выше метода.

§ 2. Концентрация напряжений
523
Вычислим коэффициенты интенсивности напряжений в этом
случае. Для этого заметим, что при решении соответствующей
задачи S5 получается, что на оси х действуют постоянные
-а
Рис. 178. Плоскость, ослабленная щелью | х \ ^ а,
у = 0, под действием растягивающих усилий р0
под углом 60 к оси х.
напряжения р12 = р0 cos 0О sin б0, р22 — р0 sin20o. Поэтому со
гласно B.10) и B.17), аналогично B.21), будем иметь
^i =- Po Yna sin2 во,
Плоскость со щелью
под действием расклини-
вающих сосредоточенных
сил, приложенных в сере-
дине ее берегов
0о, hi — PoYna sin90cos90. B.22)
Рассмотрим еще задачу, когда на упру-
гую плоскость со щелью \х\ ^ а, у = О
действуют только две сосредоточенные
силы величины Р, приложенные к се-
редине берегов щели так, как показано
на рис. 179. Полагая в B.9)
g{l) = Р6@),
где 6@) — дельта-функция, по определению дельта-функции
будем иметь
гт , ч Ра.
Лг\ ^ — (
B.23)
При этом из B.10) получим,
что
? B.24)
-а
У
Рис. 179. Щель под действием рас-
клинивающих сосредоточенных сил,
приложенных в середине ее берегов.
Если, кроме сосредоточен-
ных расклинивающих сил,
приложенных в серединах
сторон щели, упругая плоскость находится под действием все-
стороннего сжатия с напряжением р0 = const в бесконечности,

524
Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
то функция Zi будет равна разности ]функций Zi, определен-
ных формулами B.23) и B.20),
ад= Ра
B.25)
Коэффициент интенсивности напряжений согласно B.24) и
B.21) будет представляться формулой
B.26)
-7
у
Па
Д ве полуплоскости,
прижатые друг к другу
напряжением ра и разъе-
диняемые двумя сосредо-
точенными силами
Рассмотрим теперь плоскую задачу, в ко-
торой две упругие полуплоскости с аб-
солютно гладкими границами, сопри-
касающиеся вдоль оси х, прижимаются
друг к другу напряжением р0, ортого-
нальным оси х на бесконечности, и разъединяются двумя
сосредоточенными силами Р, приложенными к каждой из полу-
плоскостей в некоторой
I I I I I I I I I точке границы соприко-
т т т ¦ т t T T ho сновения (рис. 180). Тре-
буется определить длину
зазора 2а, образующегося
между полуплоскостями
при условии, что на грани-
це соприкосновения полу-
плоскостей полностью от-
сутствуют силы сцепления.
Коэффициент интенсив-
ности напряжений ki в
этом случае, очевидно, ра-
ttttftttt
Ро
Рис. 180. Две полуплоскости, прижн-
маемые друг к другу напряжением р0 вен разности коэффициен-
на бесконечности и разъединяемые со- оттрттрттярмых Ann
средоточенными силами Р. гов' 0ПРе^?яе]^* Ф Р
мулами B.24) и B.22) при
80 = л/2. Концентрация напряжений вблизи концов зазора,
если силы сцепления между полуплоскостями полностью
отсутствуют, возникнуть не может. Поэтому к\ = 0, и из
B.26) получается, что
а —
Роя
B.27)
Если бы на границе соприкосновения полуплоскостей име-
лись силы сцепления (например, за счет их склейки), то вблизи
концов зазора была бы возможной концентрация напряжений и

§ 2. Концентрация напряжений 525
Постановка задачи Представим себе упругую полуплоскость,
о давлении жесткого в КОТОрую вдавливается абсолютно жест-
3Т^1аПРУГуИ> кое тело - штамп. Допустим сначала,
что штамп контактируете полуплоскостью
по всей своей известной постоянной ширине 2а (рис. 181).
Сформулируем граничные условия. На свободной поверхно-
сти полуплоскости
J>22 = Pl2 = О-
На площадке контакта между полуплоскостью и штампом мо-
гут быть поставлены различные граничные условия. Рассмот-
рим некоторые из них. Наиболее простой случай имеет место
Рис. 181. Жесткий штамп постоянной ширины 2а,
вдавливаемый в упругую полуплоскость.
тогда, когда поверхность штампа является абсолютно глад-
кой. В этом случае вертикальные перемещения упругой сре-
ды определяются углублением штампа как целого и про-
филем штампа. Следовательно, на участке контакта между
штампом и полуплоскостью
v = V(x), ргЛ = О,
где через V(x) обозначены заданные вертикальные смещения
профиля штампа, через v — вертикальные перемещения частиц
упругой среды, а через рпт — касательные напряжения на пло-
щадках контакта упругой среды с поверхностью штампа.
В линейной теории упругости обычно рассматривают только
малые V (х) и пологие штампы, поэтому полагают рпт = р12(х, 0).
Граничные условие принимают вид
и
v = V(x), />i2 = 0 при | а; К а, у = 0 B.28)
Р22 = Ри = 0 при ] х | > а, у = 0.
Можно рассмотреть случай, когда поверхность произволь-
но нагруженного штампа жестко связана (спаяна) с частицами
упругой полуплоскости. Тогда граничные условия записываются

526
Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
следующим образом:
u = U(x), v =
при
где U(x) и V(x) — горизонтальное и вертикальное смещения то-
чек штампа.
Если в задаче о давлении штампа на упругую полуплоскость
на площадке контакта между штампом и упругой средой имеют-
,р ся силы трения, то граничные
условия принимают вид
при \х\
у = О,
Рис. 182. Жесткий штамп с за-
кругленными краями, вдавливае-
мый в упругую полуплоскость.
где / — коэффициент трения.
Если ширина участка контак-
та между поверхностью штампа
и упругой полуплоскостью за-
ранее неизвестна (например,
штамп имеет закругленные края (рис. 182)), то для определе-
ния границ поверхности контакта необходимы дополнительные
условия. Например, для гладкого штампа, на поверхности кон-
такта которого с упругим телом полностью отсутствуют силы
сцепления, принимается условие об отсутствии концентрации
напряжений вблизи концов участка контакта. Это позволяет
определить ширину участка контакта 21 так же, как ширину
зазора в задаче, приведенной на рис. 180. При наличии сил
сцепления между материалом штампа и телом упругого,
полупространства вблизи краев участка контакта возникнет
концентрация напряжений *).
Представим себе упругую плоскость с дву
мя бесконечными разрезами вдоль оси х
(рис. 183, а). Пусть плоскость находится
под действием растягивающих сил, при-
ложенных симметрично относительно оси х.
Из симметрии задачи следует, что на
отрезке оси х, \х\ ^ а,
v = 0, р12 = 0.
В связи с этим очевидно, что если мысленно отбросить верх~
нюю полуплоскость, то действие ее на нижнюю полуплоскость
можно заменить действием прямоугольного штампа с абсолют-
но гладкой границей, примыкающего к нижней полуплоскости
г) Если имеет место концентрация напряжений, то ширину участка
контакта необходимо определять с помощью дополнительных данных о свой--
ствах концентрации напряжений (см. ниже, § 3).
Аналогия между задачами
об упругой плоскости
с прямолинейными щелями
и давлении прямоуголь-
ных штампов на упругую
полуплоскость

§ 2. Концентрация напряжений
527
на участке оси ж |ж| ^ а. Штамп при этом находится под дейст-
вием силы Р, уравновешивающей силы, приложенные к нижней
полуплоскости, и производит растягивающее действие
\ /
-а а
х
-с а -х -а а ос
Рис. 183. К аналогии между задачами об упругой
плоскости с прямолинейными щелями, находя-
щейся под действием растягивающих сил, и дей-
ствии прямоугольного штампа на упругую на-
груженную полуплоскость.
(рис. 183, б). Можно у всех приложенных сил сменить знаки на
обратные и получить задачу о жестком прямоугольном штампе,
\ t
\
t \
6)
Рис. 184. К аналогии между задачами о растяжении
плоскости с внутренней щелью и давлении прямо-
угольных штампов на нижнюю нагруженную полу-
плоскость.
примыкающем к нижней нагруженной полуплоскости, под дей-
ствием силы — Р, прижимающей его к полуплоскости на учагт-
ке оси х | х | г?! а (рис. 183, в).
Аналогичное рассуждение можно провести и в случае рас-
тяжения силами, симметричными относительно оси х, плоско-

528
Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
сти, ослабленной одной или несколькими внутренними щелями,
расположенными вдоль оси х. Штампы при этом должны примы-
кать к нижней нагруженной полуплоскости на всех сплошных
участках оси х (рис. 184).
Таким образом, любое решение задачи о плоскости, ослаб-
ленной прямолинейной щелью или системой щелей, располо-
женных вдоль одной прямой, и находящейся под действием на-
грузки, симметричной относительно этой прямой, может быть
истолковано как решение задачи о гладком прямоугольном
штампе или системе штампов, примыкающих к нагруженной
упругой полуплоскости.
Из приведенного выше анализа задачи о щели следует, что
распределение напряжений под поверхностью гладких прямо-
угольных штампов вблизи их концов имеет особенность, описы-
ваемую формулами B.10).
Покажем, что функция
Задача о давлении
прямоугольного штампа
НА упругую полуплоскость
Я V а* — :
B-29)
дает решение задачи о давлении жесткого абсолютно гладкого
прямоугольного штампа ширины 1а на упругую полуплоскость,
когда штамп может перемещаться только поступательно в вер-
тикальном направлении параллельно оси у, под действием
силы — Р. В самом деле, вдоль
действительной оси х из B.29)
и B.7) имеем р12 = 0 при лю-
бом х, р22 = 0 при | х\ ^> а и
V
У
\
1
_
Ргъ —
к ]/> —
B.30)
-а
0
Рис. 185. Распределение напря-
жения р23 под гладким жестким
прямоугольным штампом.
при \х\ <! а.
Из B.29) и B.8) легко полу-
чим, что v = const при \х\ ^ а,
На рис. 185 построено распределение напряжения р22 под
штампом, на краях штампа p2i обращается в бесконечность.
Из симметрии распределения р22 под штампом относительно
•оси у ясно, что силы, действующие на штамп, проводятся к рав-
нодействующей, линия действия которой проходит через сере-
дину ширины штампа.
Величина этой силы равна Р:
Напряжения и перемещения в любой точке упругой полуплос-
кости можно вычислить по B.29), B.8) и B.9).

§ 2. Концентрация напряжений 529
Задача о давлении Рассмотрим теперь задачу о давлении на
на упругую полуплоскость упругую полуплоскость жесткого штампа
н^ТКши;™ГиПаслаПбОоСТОЯН" -аадашиА ширины 2а с абсолютно гладкой
искривленного профиля поверхностью, имеющей в плоскости ху
некоторый заданный слабо изогнутый про-
филь V(x) — const, когда штамп смещается только посту-
пательно по оси у.
Получим решение этой задачи с помощью подбора функции
Zi(z). Граничное условие р12 = 0 при у = 0 удовлетворится
автоматически, если воспользоваться формулой B.7) для />12.
В силу того, что перемещение V(x) под штампом согласно гра-
ничным условиям задачи задано, из B.8) будем иметь
\mZ\=J?-sV(x) при И 0
где V(x) — известная функция х. Продифференцировав это вы-
ражение по х, получим для определения функции Z\{z) следую-
щее условие: :*
Z) = Im^-Z;(z) = r^5V'(*) B-30')
при у — 0, \х\ ea.
Решение задачи о нахождении функции Z\(z) по условию
B.30') дается формулой B.9) (см. также сноску на стр. 518),
а именно:
Очевидно, что построенная таким путем функция Z\ (z)
удовлетворяет также граничному условию р22 = 0 при
\х\ ^> а, у = 0, так как соглагно B.7) и B.31) р22 = ReZi = О
при И^> а, !/=0. Таким образом функция Zi(z), определяемая
формулой B.31), удовлетворяет всем граничным условиям на гра-
нице упругой полуплоскости у = 0. Однако эта функция не
может быть непосредственно истолкована как решение рассмат-
риваемой задачи о штампе. Действительно, определяемое ею
распределение напряжений таково, что равнодействующая уси-
лий на бесконечности равна нулю, в то время как она должна
уравновешиваться отличной от нуля силой, действующей на
штамп.
Кроме того, из решения задачи о давлении штампа с искр яв-
ленным профилем при V'{x) = 0 должно получаться рассмотрен-
ное выше решение задачи о давлении прямоугольного штампа.
Поэтому для решения задачи о давлении на упругую полуплос-
кость штампа заданной ширины 2а, имеющего слабо изогнутый
х/з '8 Л. И. Седов, том Z

530 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
профиль V(x), возьмем функцию Zi (z) в виде
где С — пока неопределенная постоянная. Функция B.32),
очевидно, удовлетворяет всем граничным условиям задачи на
границе упругой полуплоскости у = 0. В окрестности беско-
нечно удаленной точки для функции Z\ (z), определяемой фор-
мулой B.32), имеем разложение
Полагая z = х + iy = peie, с помощью B.7) в окрестности бес-
конечно удаленной точки с точностью до малых высшего поряд-
ка для компонент тензора напряжений получим
^|-Sin 6A-1- COS 26),
Q
— sin 0A — соз 20),
Q
— sin 0 sin 20.
B.33)
С помощью этих формул легко подсчитать компоненты Fx и
Fy результирующей силы F и величину результирующего мо-
мента М, к которым сводится распределение напряжений в ок-
рестности бесконечно удаленной точки. Вычисляя интегралы
F* = [pnldl, Fv = ^pn2dl, M = $(pns* - pnly)dl
st. st %
по полуокружности X большого радиуса, получим
Fx = 0, М = 0, Fv = С.
Из условия равновесия полуплоскости и жесткого штампа сле-
дует, что С = Р, где Р — величина равнодействующей при-
ложенных к штампу сил.
Таким образом, с помощью функции
234)
V Я* A — в) /2* — «* _
можно удовлегворить всем уравнениям и граничным условиям

§ 2. Концентрация напряжений
531
задачи; эта функция дает полное решение задачи о давлении под
действием силы Р жесткого абсолютно гладкого штампа задан-
ной постоянной ширины 2а и профиля V(x) на упругую полу-
плоскость.
Заметим, что второе слагаемое в формуле B.34), соответст-
вующее решению задачи о давлении прямоугольного штампа,
играет основную «несущую» роль, а первое слагаемое соответ-
ствует возмущениям, вызванным искривлением профиля штампа.
Допустим, что штамп ширины 2а имеет
с профилеТПиде дуги™ ПР°ФИЛЬ в ВИДО ДУ™ окружности доста-
окружностн большого точно большого радиуса R, тогда
радиуса на упругую
полуплоскость
Следует различать два случая: первый, когда ширина 21
контакта штампа с границей полуплоскости-меньше всей шири-
ны штампа 2а (I < а) (рис. 186, а)- и второй,, когда штамп
Рис. 186. Давление на упругую полуплоскость жест-
кого штампа пологого профиля V (х) = х2/2Л; о) ши-
рина участка контакта меньше всей ширины штампа,
6) ширина участка контакта совпадает с шириной
штампа.
соприкасается с полуплоскостью по всей своей ширине I = a
(рис. 186 б).
В первом случае согласно B.34) решение имеет вид
Z,= -
_ Т Г J9.. _9. * V * /
пП A — а) У г2 -г- z- _
Вычислив первый интеграл с помощью теоремы о вычетах, бу-
дем иметь
С цомощью этой формулы и B.7) легко найти распределение
18*

532 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
напряжения рм под штампом
, Р B 37)
Ширину 21 участка контакта штампа с границей упругой
среды можно определить из условия отсутствия концентрации
напряжений в окрестности его концов
р23 = 0 при у = О, х = + I.
Из B.35) при этом получим
В этом случав эпюра напряжений имеет вид, приведенный
на рис. 186, а.
Второй случай, когда ширина участка контакта штампа с
упругой средой совпадает с шириной штампа, имеет место при
условии, что величина равнодействующей сил давления на
штамп удовлетворяет неравенству
2ЯA —s) *
В формулах B.35)—B.37) в этом случае следует положить
I = а. Вблизи краев штампа будет иметь место концентрация
напряжений (рис. 186, б).
§ 3. Теория трещин
Все твердые тела при соответствующих условиях разруша-
ются. При разрушении твердые тела распадаются на части.
Разрушение может иметь различный характер в зависимости от
механических свойств тела, его конфигурации, вида нагрузок,
скорости нагружения, температуры, вида и свойств окружаю-
щей среды1) и других факторов.
Разрушение может быть названо хрупким, квазихрупким,
вязким, упруго-пластическим и т. д. в зависимости от того,
какие из свойств материала играют определяющую роль при
данном процессе разрушения.
г) Например, разрушение стекла в воде происходит иначе, чем в воз-
духе. Разрушение в воздухе и пустоте может происходить по-разному.
Известно, например, что малые количества ртути на поверхности трещин
резко снижают сопротивляемость алюминия распространению трещин
И Т. Д-

§ 3. Теория трещин 533
Хрупкое и квазшфупкое Под хрупким разрушением понимается
разрушения такое разрушение, при котором образо-
вавшиеся после разрушения тела части можно сложить так,
чтобы составленное тело совпадало с исходным. Благодаря
отсутствию заметных остаточных деформаций, обусловливае-
мых свойствами пластичности или вязкости, разрушившиеся
хрупким образом предметы можно склеивать.
При хрупком разрушении в телах возникают и распрост-
раняются макроскопические трещины. Треснувшее или разби-
тое стекло может служить примером хрупко разрушившегося
тела.
Многие металлические конструкции при возникновении и
распространении в них макроскопических трещин разрушаются
квазихрупким образом.
При квазихрупком разрушении в приповерхностном слое
малой толщины на берегах трещин возникает пластическое
деформирование.
Предложенные теории хрупкого и квазихрупкого разруше-
ний основаны на результатах классической теории упругости с
малыми деформациями. В §§ 1 и 2 этой главы изложен матема-
тический аппарат, используемый в теории распространения
трещин при хрупком и квазихрупком разрушениях.
Ниже рассмотрены только случаи равновесия и распростра-
нения трещин от тонких щелей, имеющихся в начальном состоя-
нии тела, и не затрагивается вопрос о начальном возникнове-
нии трещин. Зарождение трещин тесно связано с дислокация-
ми1), имеющимися внутри тела.
При теоретическом анализе проблемы проч-
Общее энергетическое ности и распространения сильных разры-
уравнение вов перемещений в твердых деформируе-
мых телах можно опереться на универсальное уравнение тер-
модинамики, выражающее закон сохранения энергии для тела
конечных размеров. В общем случае это уравнение (см. §2 гл. V
т. 1) имеет вид
dE + dU = dA{e) + dQ(e) -t dQ*\ C.1)
где Е — кинетическая энергия тела, а С/ — полная внутрен-
няя энергия. Справа стоит общий приток энергии извне
за счет работы объемных и поверхностных макроскопических
сил dA(<i), общий внешний приток тепла dQ^r) и внешний мак-
роскопический приток энергии dQ** за счет особых микроско-
пических механизмов (химические воздействия на поверхности
тела, электромагнитные внешние излучения и т. п.). В рассмот-
1) Полевение понятия о поверхностных дислокациях дано ниже.

634 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
ренных до сих пор моделях упругих и пластических тел
принято, что dQ** = 0. Здесь мы вводим dQ** =f= 0 ради воз-
можности учета поверхностных эффектов взаимодействия 9
Ь)
Рис. 187. Развитие трещины. Пунктиром обозначены
границы тела в момент г2, сплошными линиями — в
момент Zj (t2 > tj).
внешней средой на первоначальных границах тела и на
образующихся вследствие разрывов при развитии трещин но-
вых границах тела (рис. 187).
На рис. 187, б схематически показаны гра-
Образование новых ницы трещины вблизи одного из краев
ГГгГТРИРа3 - № Различные момента времени t2 и к.
оа время t2 — tl вдоль внутреннего участка
сплошного тела Д2, который в момент t1 соответствовал
штрихпунктирному отрезку АВ на рис. 187, б, происходит
разрыв и образуются элементы новой границы ВВС.
Уравнение C.1) может быть применено ко всему телу в це-
лом или к любому конечному объему тела с развивающейся тре-
щиной для любого промежутка времени At = t2 — tx. В даль-
нейших рассуждениях считается, что положения точек тела, со-
ответствующие моментам tx и t2, близки.
В классической термоэластике (теории
Аддитивная постоянная упругости с учетом тепловых эффектов)
Л"ТРееГИИ полная внутренняя энергия тела представ-
ляется в виде
?/т = ^ С/ (в,,, s) р dx + U0 = U1 + U0, C.2)
где U(&ij, s) — некоторая определенная функция, зависящая от
удельной энтропии s и компонент тензора деформаций е{у,
Uo— аддитивная постоянная. В задачах «чистой» теории упру-
гости аддитивная постоянная Uo несущественна; в уравнении
C.1) принимается всегда, что dU9 = О,

§ 3. Теория трещин 535
При рассмотрении развивающихся трещин — процессов рас-
пространения в теле сильных разрывов перемещений с образо-
ванием новых границ тела, кроме внутренней упругой и тепло-
вой энергии, представляемой в равенстве C.2) для упругого
тела членом ?7,, необходимо учитывать и другие виды энергии,
связанные с поверхностными эффектами, проявляющимися
при нарушении целостности тела. Простейший способ учета
таких эффектов можно осуществить с помощью аддитивной по-
стоянной U0, которая сохраняется при изменении только энт-
ропии s и компонент тензора деформаций е^-,но может меняться
при образовании в теле разрывов и при взаимодействии тела с
внешней средой через приток энергии dQ**.
Рассмотрим сплошное тело с некоторым
Энергия Uo как энергия одинаковым состоянием всех его частиц,
сцепления для КОТОрОГО принято, что U = 0 и, сле-
довательно, Ux = 0. Представим себе теперь две части этого
сплошного тела I и II, разделенные мысленно некоторой по-
верхностью 2. По определению функции Ux в данном случае
имеем
их{\ + II) = ?^A) = иг(\\) = 0. C.3)
Это равенство сохраняется и при действительном разделе-
нии тела на части I и II, если при этом разделении состоя-
ние всех внутренних частиц (в частности, энтропия и величины
деформаций) не изменяется.
Для постоянных Uo в этом случае, очевидно, имеем
Uo{\ + II) < U0(l) + U0(U). C.4)
Это неравенство обусловлено тем, что для образования
двух тел I и II из одного I -f- II надо затратить работу для пре-
одоления действия обобщенных внутренних микроскопических
сил сцепления1) по поверхности раздела. Работа этих обобщен-
ных внутренних сил сцепления при разделении тела на части обя-
зательно отлична от нуля и отрицательна.
Энергия тела, представляьмая величиной Uo, характеризует
полную энергию сил сцепления. Эта энергия аналогична грави-
тационной энергии системы притягивающихся масс. Однако,
в отличие от гравитационной энергии притягивающихся масс,
энергия сцепления UQ для реальных тел, вообще говоря, слабо
х) Как известно, обобщенные силы определяются через выражение
элементарной энергии обмена, эти силы в общем случае не совпадают
с силами, определяемыми ньютонианскими уравнениями импульсов для
макроскопических взаимодействий. Микроскопические взаимодействия и
соответствующий микроскопический, а также и макроскопический энер-
гообмен могут иметь усложненную квантовую природу.

536 Гл. XI. Плоские 8адачи и теория трещин
зависит от глобальной геометрической формы тела. Это обус-
ловлено тем, что внутренние силы сцепления имеют электро-
магнитную природу и действуют между в среднем нейтральны-
ми атомами и молекулами, поэтому эти силы являются коротко-
действующими, т. е. они проявляются в заметном виде только
при очень малых расстояниях (порядка межатомных расстоя-
ний) между взаимодействующими частицами.
Но важно подчеркнуть, что именно эти
Прочность материалов силы сцепления и соответствующая им
и энергия Г70 энергия Uo обеспечивают прочность мате-
риалов (крепость соединения частей тела). Отсюда ясно, что
проблемы прочности и образования разрывов в твердых телах
должны рассматриваться и разрешаться с учетом «несущест-
венной» постоянной Uo. При образовании разрывов необходи-
мо учитывать изменение энергии Uo. В дальнейшем будем трак-
товать Uo как внутреннюю энергию сцепления, которая связана
с понятием поверхностной энергии, но все же не сводится про-
сто к этому понятию.
В теории упругости перемещения и вариации компонент
вектора перемещений 6Ъ{ обычно считаются непрерывными.
Непрерывность вариаций 8w{ связана с основным физическим
свойством действительных тел, стремящихся сохранить свою
целостность за счет внутренних взаимодействий соседних
частиц, и обеспечивается большими значениями приращений.
6f/0, которые должны преодолеваться при разрывах; при отсут-
ствии разрывов 8?/0 = О,
В некоторых случаях, например в сыпу-
В сыпучих телах чих средах (в частности, в сухом песке),
без сцепления энергия вообще говоря, нет сил сцепления, пре-
на разрыв равна нулю пятствующих образованию разрывов под
действием растягивающих усилий, поэтому в таких средах воз-
можно образование внутренних разрывов бея изменения внут-
ренней энергии вида Uo.
В металлах, дереве, пластмассах или телах, склеенных вдоль
некоторых поверхностей, при образовании внутренних разры-
вов типа трещин или при действительном разделении тела на
части происходит изменение энергии Uo. Поэтому при рассмот-
рении разрывных явлений необходимо учитывать в частицах,
содержащих разрывы, величину dU0.
Опыт и некоторые общие физические сооб-
Плотность тг энергии на ражения позволяют сделать допущение,
разрыв чх0
п
dtfo-Sr^Z,, C.5)
t=i
где d2j — приращения площадей поверхностей трещин в раз-

§ 3. Теория трещин 537
личных частях внутри тела, a Yi — соответствующие функ-
ции, определенные в местах образования площадок разрыва
d2i (поверхностная плотность энергии на разрыв). Для тел,
разрушающихся хрупким образом, во многих случаях можно
считать,что уесть просто плотность поверхностной энергии,
подобная плотности энергии поверхностного натяжения для
жидкостей. Иногда у нельзя отождествлять с плотностью повер-
хностной энергии твердого тела. Опыты показывают, что
плотность энергии на разрыв
во многих случаях значительно превышает плотность поверхно-
стной энергии1). В дальнейшем в необходимых случаях под у
можно понимать у»Ф-
Величина у может зависеть, вообще говоря, от характера
деформированного состояния в месте образования разрыва,
от температуры и других термодинамических характеристик со-
стояния частиц и от их изменения во времени, от влияния физи-
ко-химических свойств внешних сред (если сделать допущение,
что dQ** = 0), от наличия в теле дефектов, дислокаций и т. п.
В простейших случаях в качестве приближения можно принять,
что у = const, причем величина этой постоянной представляет
собой важнейшую физическую прочностную характеристику
материала. При изучении проблем прочности эксперименталь-
ное и, может быть, теоретическое исследование величины у
должно составлять главную задачу.
Таким образом, если принять для внутрен-
I Уравнение энергии ней энергии2) определение C.2), основ-
! в рамках модели упругого ное энергетическое уравнение в случае
! тела для описания r r
развития трещины развития внутренних разрывов при хруп-
ком разрушении тела можно написать в виде
dE + dU1-\-dUQ^=dA{e) + dQ{c) + dQ'\ C.6)
1 Включим теперь две стороны d2x и d22 участка разры-
ва dS, отвечающего на рис. 187, б штрихпунктирному от-
резку АВ, в общую границу тела, а поверхностные силы
от внутренних сил напряжения, действующие на разных
х) Например, за счет затраты дополнительной энергии на образование
пластических деформаций в окрестности трещин. В очень тонком слое
вблизи бортов трещин могут возникать остаточные деформации, несущие
поглощенную энергию.
2) В общем случае внутренняя энергия может зависеть от пластиче-
ских деформаций и других характеристик состояния среды.
'9 Л. И. Седов, том 2

533 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
сторонах участка площади разрыва d2, во внешние поверхност-
ные силы. После этого возникающие при развитии трещины
механические перемещения (деформирование) в хрупком теле
можно рассматривать в рамках обычной модели упругого тела,
в которой принимается, что dllo = dQ** = 0. Однако в урав-
нении энергии при этом необходимо учесть работу новых
резко меняющихся внешних сил на вновь образующейся по-
верхности, включаемой в границу тела *), т. е. на участках
d2j и d22.
Уравнение энергии для тела в целом в этом случае в рам-
ках модели упругого тела имеет вид
dE + dU1 = dAle) -\- dQ(e) + dA'at C.7)
В уравнении энергии Величина dA^ представляет собой неко-
для упругой среды „ г " ,_
при развитии разрывов торыи поток энергии в особых точках
необходимо учитывать (совпадающих с краями трещин), возни-
внешний макроскопический кающий за счет перемещения краев, в ко-
поток энергии dAJfJ, торых имеет место концентрация напря-
жений. Этот поток равен нулю для щелей с
фиксированной поверхностью разреза и отличается от нуля для
развивающихсятрещин (трещинуможно рассматривать как щель
с переменной площадью разрыва). Применение теории упругости
для описания развитиятрещин связано с появлением в уравнении
энергии C.7) для любых объемов тела, содержащих края трещин,
потоков энергии, обозначенных через dAai. Ниже будут даны
формулы, по которым можно вычислять dAJfi, если решение
упругой задачи известно.
Модель упругого тела для малых деформаций по Гуку и
развиваемые ниже математические приближенные постановки
задач неприемлемы для описания действительных явле-
ний непосредственно вблизи концов трещин в хрупких телах.
Тем не менее для упругих задач для тела в целом доста-
точно только установить правильно величину концентри-
рованного оттока энергии dAfe, который в рамках более
детальных моделей и в более точной математической трак-
товке может быть обусловлен различными физическими меха-
низмами.
х) Для развиваемой ниже теории трещин в хрупких телах, в соот-
ветствии с принципом Сен-Венана, для правильного определения решений
упругой задачи (на основании уравнений импульсов и уравнений совмест-
ности для поля состояний упругого тела в целом) нет необходимости вво-
дить действительные или искусственные «подходящие» внутренние силы
сцепления на «малых участках» уже реализованных бортов разрыва пере-
мещений (вне Й2) как внешние макроскопические поверхностные силы,
входящие в граничные условия.

§ 3. Теория трещин 539
В случае «трещин» в упруго-пластических телах в конечной
окрестности краев разрыва могут проявляться свойства пла-
стичности и возникать пластические деформации. Пластиче-
ские области в зависимости от характера внешних нагрузок
могут иметь различный вид. Опыт показывает, что в некоторых
частных примерах эти пластические области представляют со-
бой тонкие слои различной конечной длины d, которые можно
рассматривать как продолжения просветов, образующихся
при разрыве перемещений внутри тела. Тонкие слои пластиче-
ского деформирования у краев трещин с точки зрения упругих
решений можно рассматривать как дополнительные разрывы
упругих перемещений на участках d, причем поверхностные на-
пряжения на этих участках определяются или задаются приб-
лиженно из рассмотрения пластических состояний в слое. Ниже
излагается теория трещин в хрупких телах, в которой d прини-
мается равной нулю. В том случае, когда конечность размера d,
зависящего от свойств пластичности, формы тела, положения
разрыва в теле и вида внешних нагрузок, существенна, эту тео-
рию и соответствующие критерии необходимо видоизменить.
Однако теория с d = 0 в ряде важных вопросов *) хорошо
отвечает опытами в тех случаях, когда вблизи концов разрыва
имеются некоторые малые области (d/l я^ О, / — длина разры-
ва), в которых проявляются пластические свойства материала.
Далее, в соответствии с определением ква-
Основное уравнение зихрупкого разрушения тел, предположим,
теории трещин чт0 в основном объеме тела величины dE,
dUu dA(e) и dQ(e\ соответствующие решению упругой задачи,
дают хорошее приближение к действительности, поэтому мож-
но принять, что эти величины в уравнениях для тела в услож-
ненной модели C.6) и в уравнениях для упругого тела C.7)име-
ют одинаковые значения. Тогда из C.6) и C.7) следует основное
соотношение теории трещин, которое является дополнительным
к уравнениям теории упругости:
dU<> = - dA& f dQ*\ C.8)
Возможность развития трещины связана с выполнимостью
соотношения C.8). Это уравнение^ при dQ** = О вместе с до-
*) Эта теория позволяет в телах различной формы рассчитать по за"
данным внешним нагрузкам поля деформаций и напряжений, когда в теле
содержатся исходные разрывы, которые могут распространяться в виде
трещин. Эти расчеты позволяют указать для выбранной системы нагрузок
их критическую величину, определяющую начало роста трещин. Кроме
этого, можно производить расчет процесса расширения трещин по задан-
ным внешним условиям и, в частности, решать вопросы об устойчивости
критических состояний. Иллюстрации некоторых приложений даны в ни-
жеследующих примерах.
19»

540 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
лущением C.5) было принято в 1922 г. Гриффитсом за основу
при построении теории равновесных трещин.
Если при мысленном увеличении поверхности разрыва на
62 получается, что
то трещина в действительности развиваться не может («внеш-
них» притоков энергии не хватает для создания дополнительной
поверхностной энергии 6[/0). В этом случае получается задача
теории упругости для тела со щелью, граница которой состоит
из одних и тех же индивидуальных точек. В любом возможном
процессе деформирования при этом
т0 = 6АШ = &Q" = о.
Щель может превращаться в развивающуюся трещину, как
только достигается равенство C.8).
Предыдущая общая постановка вопроса о развитии трещи-
ны и все высказанные выше соображения относятся к самому
общему случаю динамической задачи с наличием вообще про-
извольного внешнего притока тепла и притоков энергии dQ**.
Обычно рассматриваются только статические адиабатиче-
ские процессы при dQ** = 0.
Заметим, что из энергетического уравнения
C.6), примененного к возможному процес-
су распространения трещины, в статиче-
ких условиях (при 8Е = 0) для равновесной трещины при
специальных вариациях, для которых1) 6.4 ^ = 5(?'е) = 0,
§q** — о^ вытекает соотношение
8иг + 8U0 = 0 или 8U1 = - 6С/О.
Отсюда и из C.8) в этом случае можно также написать равен-
ства 2)
х) Здесь предполагается, что внешних массовых сил нет.
2) В теории, развитой Гриффитсом, •. на основании решения конкрет-
ных статических задач для данного тела с различной шириной щели при
отсутствии внешнего притока энергии вычислялось изменение внутренней
упругой энергии по Гуку для тела в целом (dU^d^dZ. С помощью дан-
ных о величине у, определенной равенством d.U0 = у (Й2Х + rfS2), из
уравнения (dUJdX) = — v определялись критические нагрузки и дефор-
мированное состояние, при котором щель могла распространиться и пре-
вратиться таким образом в трещину.
Подчеркнем, что равенство Гриффитса
верно также для «трещин» в упруго-пластических телах с конечными пла-

§ 3. Теория трещин 541
Следовательно, для вариаций указанного вида для стати-
чески равновесных трещин, если 5?/0^> 0 или, что то же самое,
&4Й < 0, имеем
6f/1< 0.
Легко понять, что, независимо от конкретной физической при-
роды обобщенных сил сцепления, их работа 8Ais при 62 ^> 0
всегда отрицательна, так как в обычных условиях всегда име-
ется противодействие разъединению тела на части. Отсюда сле-
дует, что при возможном развитии трещины в условиях, когда
ЬА& = 5<?« = 6<?** = 0,
при любых физически допустимых силах сцепления всегда
верно неравенство
Однако если щель фиксирована и если среди возможных
перемещений рассматриваются только такие, при которых
62 = 0, то
8U, = 0,
когда 8AW = 8Q& = bQ** = 0. В этом случае мы имеем рас-
смотренное и установленное ранее условие экстремума внутрен-
ней упругой энергии (упругого потенциала) (см. § 9, гл. IX).
Уравнение C.8) может быть использовано
Для решения задач для решения конкретных задач, если име-
о распространении в теле j »(<•) jtt i
разрывов необходимы ются сведения о dA'dh, dU0 (или уи
формулы для вычисления если используется допущение C.5))
потоков энергии dA$ и dQ**. Дальше будем считать, что
dU0= у(^2х + d22), причем у определена
из опыта с учетом взаимодействия данного тела с внешней сре-
дой, и поэтому положим, что dQ** = 0.
Обратимся теперь к установлению формулы, выражающей
отток энергии dA$s через характеристики состояний на краях
распространяющихся разрывов. Устанавливаемая ниже фор-
мула дает величину dA1-^ не только в случае расширения тре-
щины, но и в случае расширения разрывов типа поверхност-
ных дислокаций. Поэтому остановимся предварительно на разъ-
яснении понятия о дислокациях, распределенных непрерывно
вдоль некоторой изолированной поверхности 2.
стическими областями; в этом случае в величину ЬА^ включается эле-
ментарная работа внутренних сил напряжений на границах между пла-
стической и упругой областями.

542 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
Дислокации, распределен- Поверхность 2 в теле представляет собой
™овлГне1о"омй изолированную поверхность непрерывно
поверхности распределенных дислокаций, если в ок-
рестности поверхности 2 с обеих ее сторон
для точек тела существует непрерывный вектор перемещений
го из некоторого начального положения, причем касатель"
ная составляющая вектора w на поверхности 2 терпит разрыв1)-
Если на 2 терпит разрыв только (или и) нормальная состав-
ляющая вектора перемещений w, то поверхность разрыва 2
Рис. 188. Схемы изолированной трещины и изо-
лированной поверхностной дислокации. А — тре-
щина, перемещения на краях поверхности раз-
рыва 2 различны м-1! ф и;3 и wni ф u>n2, В —
поверхностная дислокация wni= wn2, м>т1 =^=м»т2.
можно рассматривать как образовавшуюся однажды щель, если
2 фиксировано, или как трещину, если поверхность 2 рас-
ширяется (рис. 188).
Таким образом, как в случае трещин, так и в случае дисло-
каций в теле имеют место разрывы перемещений, однако в слу-
чае появления дислокаций внутри тела возникают соответству-
ющие дефекты, но сохраняется его целостность. Поверхност-
ная дислокация напоминает вихревую поверхность в потен-
циальном потоке жидкости или поверхностные токи в потен-
циальном электромагнитном поле.
Если вектор разрыва перемещений вдоль
Линейные дислокации поверхности дислокаций как функция ко-
ординат на поверхности 2 подчиняется закону перемещений
твердого тела, то очевидно, что, несмотря на наличие разрыва
1) Здесь и далее подразумевается, что перемещения малы. Если про-
цесс деформирования непрерывен, а перемещения w конечны, то на 2
имеем условие
где (dwi)n и (dwz)n — нормальные составляющие приращений векторов
перемещения на разных сторонах поверхности 2.

§ 3, Теория трещин 543
перемещений на поверхности 2, компоненты тензора деформа-
ций могут быть непрерывными при переходе через 2. В этом
случае возникают особенности в распределении компонент тен-
зора деформаций только на контуре X, ограничивающем по-
верхность 2.
Аналогично, в гидродинамике вместо системы вихрей, за-
полняющих поверхность при переменном скачке потенциала
<fi — фг> появляется изолированная вихревая линия X, когда
скачок потенциала постоянен на 2, или в электродинамике
вместо системы поверхностных токов появляется линейный ток
вдоль линии X.
Таким образом, можно вводить и рассматривать изолирован-
ные линии X как характеристики соответствующих дефектов —
дислокаций г). Можно различать типы линейных дислокаций в
зависимости от вида скачка перемещений на поверхности 2,
ограниченной линией X.
Поверхность дислокаций 2 является по-
Условие для напряжений верхностью касательного разрыва пере-
на поверхности дислокации ~ т>
мещении. Б статических условиях и во
многих случаях в динамических условиях на поверхности ка-
сательного разрыва 2 должно выполняться равенство
Рт = — Рп*
ИЛИ
Рщ = Рп* или (Pnn)i = (/>„„)« и (pjx = (рпт)„ C.9)
где рп—вектор напряжения на площадке поверхности 2;
индексы 1 и 2 соответствуют разным сторонам 2; п± ящ — про-
тивоположно направленные нормали на поверхности 2; п и т —
одинаковые направления нормали и касательного вектора на
разных сторонах 2.
В общем случае компоненты векторов напряжений на дру-
гих площадках, например нормальных к 2, при переходе через
2 терпят разрыв.
На поверхности трещин, вообще говоря, имеет место нера-
венство
г) Кроме линейных дислокаций и дислокаций, распределенных по
поверхности, можно вводить и строить теорию дислокаций, распределен-
ных непрерывно по объему; при этом вводится «начальное состояние», но
исключается возможность введения перемещений из соответствующего
«начального состояния». Содержание существующих теорий дислокаций,
непрерывно распределенных по объему, выходит за рамки предлагаемой
книги.

544
Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
Формула для притока Вывод формулы для dAdi дадим в рамках
анергии dA^ при обра- геометрически линеаризированной по-
зовании разрывов становки задачи. Далее предположим,
(развивающихся трещин что тел0 уПруГ0; но не обязательно следу-
и дислокации) ет дакону Гука. Модель тела может описы-
ваться нелинейными связями между напряжениями и деформа-
циями. Будем учитывать возможные динамические эффекты,
связанные с ускоренным движе-
нием частиц среды. Учтем возмож-
ное наличие притоков тепла.
Рассмотрим два деформирован-
ных состояния, соответствующих
моментам времени t и t + At, дан-
ного тела, содержащего трещину
и (или) поверхностную дислокацию
(рис. 189). Случай присутствия
нескольких трещин или дислока-
ций легко учесть дополнительным
суммированием. В соответствии
с линеаризацией задачи гранич-
ные условия можно формулиро-
вать на поверхности Б + А 2
(рис. 189).
Обозначим через w{Wi} вектор
перемещения из некоторого на-
чального состояния в состояние
в момент t, а через w'{Wi) век-
тор перемещения из того же начального состояния в состоя-
ние, соответствующее моменту t + At. В местах вновь обра-
зующихся границ А2 векторы перемещения г# непрерывны, а
векторы перемещения го' терпят разрыв. Введем вектор пере-
мещения частиц среды за время At Aw = го' —¦ w с компонен-
тами Awi = w'i - - Wj. Для удельной внутренней энергии U по
определению модели имеем U = C/(ei;-, s) и U"=U'(z\], s"), где
Рис. 189. Схемы развития тре-
щины А и поверхностной дис-
локации В. Сплошные линии
соответствуют границам тела
в момент t, пунктирные — в
момент t + At. Поверхность
2 — граница объема тела V в
момент t, за время At часть
двусторонней поверхности раз-
рыва получает указанное при-
ращение Д2.
1
= у (VjWj 4-
1
и ey = у
j -f
a. s ж s — соответствующие удельные энтропии.
Согласно законам теории упругости компоненты тензора
напряжений внутри объема V тела в первом и втором состоя-
ниях определяются соответственно формулами
.« . д(Г ,ц / dU'
~-ii
дв'и
где р и р* — соответствующие плотности. В рамках линеари-

§ 3. Теория трещин 545
зированной теории в этих формулах можно принять, что р = р'.
На основании уравнений движения среды для моментов t и
t + At в точках объема V можно написать равенства
V; (р'У + Pi}) + § + F* = О, C.10)
где fi=Fi—pai, a> — компоненты вектора ускорения,
F1— компоненты внешних объемных сил. Умножая уравнения
C.10) на
1 . 1 , '
суммируя и интегрируя сумму по всему объему тела, с учетом
линеаризированной постановки задачи после очевидных преоб-
разований получим
1
S4-AS
где rij — компоненты нормали к 2 + Д2, внешней по отноше-
нию к объему, занятому телом.
Если внутренняя энергия представляет собой квадратич-
ную форму только от компонент тензора деформаций, то в рам-
ках линеаризированной теории можно написать
Ъ)=-2( и ~
Поэтому правая часть равенства C.11) приобретает вид
Рассмотрим теперь смысл правой части в равенстве C.11)
при Af—>¦ 0 в более общем случае, когда плотность внутренней
энергии U представляет собой некоторую функцию от энтро-
пии s и компонент е^.
В дальнейших вычислениях учтем, что цри At —> 0 величи-
на площадки возникающего разрыва ДБ имеет порядок At,
во внутренних фиксированных точках объема V разности
w\ — Wi и величины V}{w'i— Wj) представляют собой малые по-
рядка Л?, однако в точках поверхности разрыва Д2 разности
w'i— Wi имеют порядок самих перемещений^ или w^\ Примем,
что разности энтропии s — s в точках объема V и на границе
А2 имеют те же свойства, что и разности Wi— wim С точностью

546 Ги. XI. Плоские задачи и теория трещин
до малых второго порядка включительно можно написать
л , д*и а 1 л . (W , 1 347 А \ .
а 1 л . (W , 1 347
и, кроме этого, имеем
8) дЦ ЗЧТ
A
Отсюда следует, что
где
2
— уточненное значение в момент t + At для температуры.
Очевидно, что выражения в квадратных скобках в C.12)
и в интеграле справа в C.11) совпадают. Соотношение C.12)
представляет собой не что иное, как уточненный вариант запи-
си с учетом малых второго порядка дифференциального соот-
ношения
dU = ™d8i} + d?ds = ^dee + dgW, dqW = T ds. C.13)
Во внутренних точках объема V равенство C.12) переходит в
равенство C.13) при отбрасывании членов порядка (AiJ- При
приближении к поверхности образующегося разрыва А 2 и на
поверхности А2 порядки членов д11/де1} и A CC//3ei;) становят-
ся одинаковыми. В связи с этим при вычислении интеграла
C.11) воспользуемся равенством C.12).
Для упругого тела по определению имеем
Ux =
Положим, что
\
V
Г As p dx = \ dgW p dx = dQ
{e\
где dQ(-e'> полный внешний приток тепла. С учетом этих опреде-
лений на основании C.12) найдем формулу
i S Щ + щ

§ 3. Теория трещин 547
Пользуясь этим, получим, что уравнение C.11) приводится к
виду
dE + dUx = dA{e) + dQ{e) -p -|-
д"н
+ y ^ p'n-(w' — w)ds. C.14)
AS
Здесь еще учтено, что ввиду непрерывности вектора перемеще-
ний w и компонент ру на А2 верно равенство
да
Кроме этого, в C.14) использованы очевидные обозначения:
где ? — полная кинетическая энергия тела в объеме V; через
dA^ в C.14) обозначена сумма работ внешних массовых сил и
внешних поверхностных сил на полной до появления разрыва
на участке е?2 границе х) тела 2:
) =- J рп ¦ dw ds
а
Сравнение соотношений C.14) с C.7) приводит к искомой
формуле:
i J i ^ »'n.(w' - W) d3. C.15)
В частности, для трещины, если ее берега свободны от на-
пряжений, т. е. когда р'? = 0 на е?2, формула C.15) дает
$ Pn-w'2d3,w[i=f^w'v C.16)
где d^! и d22 — разные стороны дополнительного разрыва
dl,. Напомним, что нормали направлены на d'Z1 и d1,2 в про-
тивоположные стороны, внутрь трещины, во внешнюю по от-
ношению к объему V сторону.
В случае поверхностной дислокации на d2 имеем
p«i = — p»*t p'ni = — р'п\ Wl = гог
1) Здесь принято, что два борта поверхности дислокаций включены
в границу тела 2.

543 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
поэтому формула C.15) дает
dz «, (ЗЛ7)
Здесь индексом т отмечены касательные к е?2 составляющие
соответствующих векторов.
В рамках упругой модели тела с внутренней энергией Ul
приток энергии dAdh, необходимо рассматривать как внешний
приток энергии. В полной более сложной модели тела с учетом
видоизмененной и усложненной внутренней энергии (например,
U1 -f- Uo) приток энергии dAab должен черпаться за счет изме-
нения внутренней энергии. Например, в теории трещин в
хрупком теле за счет величины dU0 = y(d2x + d22). В теории
дислокаций — за счет зависимости внутренней энергии от ха-
рактеристик дефектов-дислокаций, причем в теории дислока-
ций часть работы поверхностных сил на разрыве 2, отличную
от нуля и включенную в dA("\ тоже необходимо рассматривать
и включать в изменение внутренней энергии, так как этот поток
происходит за счет работы на внешних, а внутренних сил, обус-
ловленных работой сил внутренних напряжений на разрыве
касательных перемещений, когда на поверхности разрыва 2
w' — w =j= О, причем dwx =f= dw2-
Появляющиеся в рамках модели теории упругости в урав-
нениях энергии для частей тела, содержащих края развиваю-
щихся разрывов, внешние концентрированные притоки энер-
гии dAdz по своему смыслу и природе аналогичны внешним кон-
центрированным силам, действующим в жидкости на присое-
диненные вихревые нити, . движущиеся по кинематически
заданным законам. Соответствующая обобщенная теорема
Н. Е. Жуковского для сил, действующих на присоединенные
вихри, разъяснена на стр. 300.
Вычислим теперь величину dAdx для
Формула Ирвина трещины в случае плоского деформирован-
ного состояния. Для вычисления dAd% воспользуемся асимпто-
тическими формулами B.11), B.12), B.18) и B.19), установ-
ленными при решении задачи об упругой плоскости со щелью,
и формулой C.16). В действительности при квазихрупком раз-
рушении законы линейной теории упругости в малой области
вблизи краев трещины не описывают реальное поведение ма-

§ 3. Теория трещин 549
териала (из-за проявления нелинейных эффектов, свойств пла-
стичности и т. д.). Все же указанный прием вычисления dA^%
для квазихрупких тел можно применять, если иметь в виду
следующие соображения.
Из уравнения C.7) следует, что величина dA%z, непосред-
ственно связанная с эффектами, проявляющимися лишь в ма-
лой области у краев трещины, балансируется с приращениями
остальных величин, входящих в это уравнение, для всего тела
в целом. В связи с этим для правильного определения dA^
достаточно, чтобы вычисление остальных величин в этом урав-
нении осуществлялось правильно в главной части тела. Ввиду
малости особой зоны вблизи краев трещины, в которой прояв-
ляются усложненные свойства тела, можно считать, что ее влия^
ние на основную часть тела таково, как если бы все тело, вклю-
чая малую область краев трещины, было упругим. В связи с
этим мы можем пользоваться для определения dAas законами
теории упругости, не беспокоясь о том, что они не описывают
реальные явления в малой области у краев трещины, и помня,
что при вычислении dA^x в рамках упругой модели удовлетво"
ряются все законы сохранения так же как и в усложненной мо~
дели, описывающей детали явления малой окрестности краев
трещины.
Хорошее соответствие действительности законов теории
упругости в основной части объема показывает, что расходы
энергии у края трещины в действительном явлении и расходы
энергии, рассчитанные по теории упругой модели, одинаковы.
Точность совпадения для хрупких и квазихрупких тел гаранти-
руется удовлетворительной применимостью теории упругости
для расчета полей напряжений и деформаций во всем объеме тела,
за исключением весьма малых областей вблизи краев трещин.
С помощью формулы C.16), используя для р22 и Pi2 формулы
B.11) и B.18) при д = 0, г = х, а для и и v формулы B.12)
и B.19) при § = я, г = 81 — х, для величины 8Al%, рассчитан-
ной на единицу ширины пластины, получим *)
v + р1ги) dx = - Ц=^ (к\ + *fi) 67. C.18)
= - \
Как видно, вывод формулы Ирвина C.18) связан с рядом
существенных допущений. Однако формула Ирвина, получен-
*) Если напряжения на бортах трещины отличны от нуля, то нужно
учесть также второй интеграл в формуле C.15). Однако если р'п ограни-
чено, то вычисление этого интеграла по асимптотическим формулам дает
малую величину высшего порядка (порядка (Ы)'^').

550 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
ная как следствие разъясненных выше допущений, принята ав-
торами, разрабатывающими механическую теорию трещин.
Эта теория во многих случаях хорошо соответствует опытам.
С помощью C.18) из основного уравнения
Условие, определяющее C.8) при условии, что 6С/О= у81, = у 281
развитие трещины и g?** = о, ввиду произвольности вариа-
ции 61 у каждого развивающегося края трещины получается
фундаментальное равенство, регулирующее решение упругой
задачи с учетом движения концов трещины,
Здесь ki и кц— величины, зависящие функциональным обра-
зом от распределения внешних нагрузок, от поля ускорений
(массовых сил инерции), размеров и формы трещин и законов
притока тепла. Равенства C.19), написанные для концов всех
трещин, могут служить добавочными условиями в упругой зада-
че для определения законов развития внутренних разрывов —
трещин.
Статическое решение задачи теории упругости с заданной
щелью можно найти при любых формах и размерах щели и при
любых внешних нагрузках. В каждом решении получаются свои
ki и кц. Если для данного конца щели к\ + Ап < [Ех/A — о2)],
то при к\ + An =f= 0 будет концентрация напряжений, но не
будет развития щели как трещины. Расчетные упругие поля,
в которых к\ + Ап ^> [Еу/A — а2)], неосуществимы.
Равенства C.19) являются в теории трещин основными соот-
ношениями, добавочными к уравнениям и условиям теории упру-
гости. Эти соотношения, тесно связанные с идеей Гриффитса,
были установлены и применены к решению многочисленных
задач о равновесии и распространении трещин Ирвином A957 г.)
и затем рядом других авторов. Полезно подчеркнуть, что для
каждой отдельной трещины будет, вообще говоря, не одно, а
два соотношения типа C.19). В частных случаях, например,
при наличии симметрии число существенных соотношений C.19)
сокращается. В общем случае соотношения C.19) определяют
не только длины трещин, но и их расположение в теле.
Из равенства C.19) видно, что условие об
Об отсутствии концентра- отсутствии концентрации напряжений у
ции напряжений концов щели или трещины, т. е. равенство
нулю коэффициентов интенсивности напряжений к\ и Аи, мо-
жет иметь место только в том случае, когда
у == 0 или dUg = 0.

§ 3. Теория трещин 551
Это может быть тогда, когда в направлении роста трещины
два тела просто прижаты друг к другу (не склеены) и не взаи-
модействуют между собой силами сцепления, противодейст-
вующими разъединению тела.
Выше была рассмотрена такого рода задача (см. стр. 524).
Очевидно, что в задачах о развитии тре-
Фвксированвые щели щин в реальных телах всегда имеется расход
и развивающиеся трещины энерГии, и поэтому всегда у =f= 0. Сл е-
довательно, в рамках линейной теории упругости у заострен-
ных концов щели и трещины всегда имеет место концентрация
напряжений.
Трещина отличается от простой щели (геометрически
они могут быть одинаковыми) только тем, что для трещи-
ны выполняется равенство C.19), а для щели вместо равенства
C.19) имеет место неравенство
АЗ + ЯкСг-Ь2*' C.20)
причем в этом случае концы щели фиксированы. Переход от не-
равенства C.20) к равенству C.19) определяет критические
условия для внешних нагрузок, действующих на тело.
Выше были установлены локальные усло-
Устойчивый и неустой- вия на концах трещины. Этих условий
чивый процесс развития достаточно для решения с помощью тео-
трещины r r „
v рии упругости глобальной задачи о не-
установившемся деформировании образца, внутри которого
имеются трещины.
Решение динамической задачи для тела в целом с исполь-
зованием условия C.19) в зависимости от формы тела и вида
нагрузок может соответствовать лавинообразному ускоренно-
му неустойчивому развитию трещины, приводящему к разру-
шению образца, или устойчивому процессу, в котором для по-
следовательного увеличения размеров трещины требуется при-
кладывать все большие нагрузки.
Небесполезно подчеркнуть, что проблема разрушения тел
представляет собой глобальную задачу, не связанную непос-
редственно с локальными условиями на концах трещин; од-
нако локальное предельное условие на конце трещины должно
выполняться как в случае устойчивого, так и в случае неустой-
чивого развития трещины, и "поэтому это условие может быть
использовано как необходимое условие при решении соответ-
ствующих задач.
В ряде случаев локальное условие C.19) является доста-
точным критерием неустойчивости, приводящей к разрушению
тела. Приведем некоторые примеры неустойчивого развития
трещин.

552 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
Плоскость спрямолиней- Рассмотрим бесконечную плоскость, ос-
ной трещиной, по берегам лабленную прямолинейной трещиной
которой распределены , , ^- п п а
постоянные нормальные W<s. У=°- Пусть по берегам трещины
напряжения распределены раздвигающие ее берега
нормальные напряжения
P22=—g(x), Pi2 = 0 при |жКа, 1/ = 0.
Коэффициент интенсивности напряжений кг определяется при
этом выражением B.10) и, согласно C.19), условие развития
трещины имеет вид
При g(%) = р0 = const коэффициент интенсивности напряже-
ний (см. B.21)) равен
h = Ро Vna
и предельное условие C.21) записывается в виде
где через р0 обозначена величина напряжения р0, при которой
происходит разрыв щели.]
Согласно C.22) критическое значение напряжения р0
убывает с ростом длины трещины 2а. Поэтому при фиксирован-
ном давлениир0распространение трещины будет носить неустой-
чивый характер.
Очевидно, что развитие трещины' будет иметь неустойчивый
характер и в том случае, когда берега трещины свободны от на-
пряжений, а плоскость испытывает всестороннее растяжение под
действием постоянного напряжения р0 на бесконечности. Коэф-
фициент интенсивности напряжений ki в этом случае также оп-
ределяется формулой B.21), а критическое значение pj растя-
гивающего напряжения р0 — формулой C.22).
В случае одноосного растяжения упругой
Одноосное растяжение плоскости с трещиной \х\ <Г а, у — 0 на-
плоскости с трещиной пряжениями р0 в бесконечности под
углом 0О к оси х (рис. 178), коэффициенты интенсивности на-
пряжений к\ и ки согласно B.22) имеют значения
^i = Ро Yna sin2 So, &и = Ро Vna sm 90 cos ^°
и условие предельного равновесия щели согласно C.19)

§ 3. Теория трещин 553
запишется в виде
Ро = ро = ШТо V па A - з2) • C-23)
Очевидно, что распространение трещины при 00^=0и по-
стоянном р0 также имеет неустойчивый характер. Критическое
значение pi растягивающего напряжения р0 зависит от 0О.
Наименьшее значение р0 для нарушения равновесия щели по-
требуется, очевидно, в том случае, когда плоскость растягива-
ется в направлении, перпендикулярном к щели (80 = я/2).
Формулы C.23) и C.22) при этом совпадают.
В случае растяжения плоскости по направлению щели
@О= 0) коэффициенты интенсивности напряжений кхшки обра-
щаются в нуль; как и следовало ожидать, такого рода напря-
жения не влияют на развитие трещины. Рассмотрим теперь
примеры устойчивого распространения трещин.
Предположим, что плоскость ослаблена
Плоскость с трещиной, трещиной \х\ ^ а, у = 0, причем на фик-
на фиксированном участке сированном участке берегов трещины |ж!^Ь,
берегов которой у = 0 (Ь < а) действуют постоянные
распределены постоянные а v ' м J
нормальные раздвигающие нормальные напряжения, раздвигающие
напряжения берега трещины (рис. 190).
Коэффициент интенсивности напряже-
ний ki согласно B.10) равен
5
—о
Уя
Условие развития трещины C.19) принимает вид
Легко усмотреть, что в этом случае pi с ростом длины трещины
Jo
WE а х
Рис. 190. Трещина | х | < а, у = Опод действием нормальных
разрывающих постоянных напряжений р0, распределенных на
отрезке | х | < Ь (Ь < а) у = 0, 6 = const.
а возрастает и, следовательно, процесс распространения тре-
щины при фиксированных р0 и Ь может остановиться.

554 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
Плоскость с трещиной Рассмотрим случай, когда к плоскости с
под действием расклшш- трещиной 1а;|< а, у = 0 только в середине
Гх^ТиГжеГмх берегов трещины приложены две рас-
в середине ее берегов клинивающие силы jP (рис. 179). В этом
случае коэффициент интенсивности на-
пряжений ki (см. B.24)) равен
Условие распространения трещины в этом случае имеет вид
C.24)
Видно, что критическое значение Р* сил Р с ростом длины
трещины возрастает, и процесс распространения трещины яв-
ляется устойчивым.
„ Представим себе упругую плоскость с
Развитие трещины ^ м „„ ^ J
в плоскости со щелью, прямолинейной щелью конечной длины
когда плоскость находится \х\ *С а, У = О- Пусть на эту плоскость
под действием постоянного действуют сжимающие, направленные
одноосного сжатия параллельно оси у напряжения рп на
на бесконечности и воз- * а г
растающих расклинивающих бесконечности и две сосредоточенные
сил, приложенных расклинивающие силы jP, приложенные
в серединах берегов щели в серединах берегов щели (рис. 191).
Рассмотрим развитие трещины в
этой плоскости, когда р0 фиксировано, а расклинивающие
силы Р квазистатически возрастают от нуля.
Выражение для коэффициента интенсивности напряжений
&i согласно B.22) и B.24), очевидно, будет иметь вид
^-Ро/Ш, C.25)
где 21 — длина трещины. Если I ^ а, то щель раскрыта не пол-
ностью и ki = 0, при этом величина силы Р должна удовлет-
ворять неравенству
О <; Р — роя1 <; Рх — ропа.
При изменении Р в пределах
РХ<Р< Р*,
где Р*— критическое значение/5, определяемое из предельного

§ 3. Теория трещин
555
условия C.19) с помощью C.25) при I = а,
трещина не развивается, и в окрестности концов первоначаль-
ной щели имеется концентрация напряжений.
ттт.
Ро
а)
6)
Рис. 191. Плоскость со щелью | х \ ^ а, у = 0 под дей-
ствием одноосного (в направлении оси у) сжатия напря-
жениями Ро на бесконечности и расклинивающих сил Р,
приложенных в серединах берегов щели, о) Величина
сил Р недостаточна для того, чтобы щель полностью
раскрылась; концентрация напряжений в окрестности
точек х = i I, у = 0 отсутствует, б) Щель полностью
раскрыта и вблизи ее концов имеется концентрация
напряжений.
При Р = Р* длина 2а первоначальной щели начинает уве-
личиваться, и при фиксированном значении
р = р2 > р*
будет происходить процесс развития трещины.
Длину трещины 21A ^> а) при этом, если у известно, можно
определить из равенства
Об экспериментальном
определении величины у
предположить, что
риала (Ирвин).
Как показано выше, физический параметр
у является плотностью энергии на
разрыв. В простейшем случае можно
величина у является константой мате-

556
Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
Величину у можно определять из различного рода экс-
периментов г): растяжение толстых надрезанных плит (рис.
192, а), круглых стержней с надрезами (рис. 192, б), над-
t
I
б)
в)
Рис. 192. Возможные эксперименты по определению
величины у.
резанных в центре плоских листов (рис. 192, в); изгиб надрезан-
ного стержня (рис. 192, г). В перечисленных экспериментах
достижение предельного равенства C.19) связано с даль-
нейшим неустойчивым распростране-
нием трещины.
Могут быть также использованы
эксперименты, в которых происходит
устойчивый рост трещин, например,
когда трещина находится под действи-
ем расклинивающих сил, приложен-
ных в середине ее берегов (рис. 193).
Теоретический анализ показывает, что
для пластины конечной ширины устой-
чивый рост трещины имеет место в этом
случае только тогда, когда длина тре-
Рис. 193. Расклиниваю- щины 2а не превосходит половины ши-
рины образца Bа < 1/2).
Следует отметить, что величина у,
определенная из экспериментов с устой-
чивым ростом трещины, оказывается не-
сколько меньше величины у, определенной из экспериментов с
неустойчивым ростом трещин. Это связано с динамическими
эффектами, с влиянием вязкости и других свойств материала,
проявляющихся при неустановившемся характере деформиро-
вания.
щие силы Р, приложен-
ные в середине берегов
трещины.
1) См., например, статью Ирвина, Киса и Смита, Proc. Amer. Soc.
Test. Mater, 1958/1959, vol. 58, p. 640—657.

§ 3. Теория трещин 557
О влиянии температуры Понижение температуры приводит к тому,
и толщины образца что материал становится более хрупким.
Поэтому для Крайнего Севера расчеты раз-
личных сооружений (газопроводов, мостов и других конструк-
ций) в условиях хрупкого разрушения приобретают особенно
важное значение. Эксперименты показывают, что величина у
для сталей повышается с ростом температуры.
Изменение толщины образца при других равных условиях
также сказывается на развитии трещин и на характере разру-
шения.
Внешняя среда, примыкающая к краям
О влиянии трещин, может оказывать существенное
поверхностно-активных влияние на развитие трещин. Например,
сред на развитие „ погружении стекла в воду эффектив-
трещины у vs «j ч ч
ная величина у для стекла снижается на
25%. Механизм этого явления можно представлять себе следу-
ющим образом. В уравнении C.8) величина dUQ является ха-
рактеристикой материала, и ее можно рассматривать незави-
симо от внешних условий. Влияние внешних условий можно учи-
тывать с помощью притоков физико-химической энергии dQ**,
Склеено __ I Склеено
-а
Рис. 194. Склеенный образец под действием рас-
клинивающих сил, приложенных в точках скле -
енной поверхности.
разность dU0 — dQ** можно рассматривать как dU0 с изменен-
ной величиной у.
Аналогичным образом можно описать следующий опыт.
Возьмем склеенный образец, в котором под действием внеш-
них разрывающих сил Р имеется концентрация напряжений
на краях щели \х\ <^ а, у — О (рис. 194). При фиксированных
малых внешних нагрузках Р, несмотря на концентрацию на-
пряжений, не произойдет разделения образца по склеенной
части. Если вблизи концов щели смочить склеенную поверх-
ность кислотой, разъедающей клей, то при неизменных внеш-
них нагрузках произойдет разрыв образца по склеенной по-
верхности.
Это можно истолковать как проявление влияния притока
химической энергии dQ** в равенстве C.9). За счет притока
этой энергии имеющаяся концентрация напряжений окажется

558 Гл. XI. Плоские задачи и теория трещин
достаточной для разрыва образца. Эти примеры указывают на
то, что в некоторых случаях для объяснения наблюдаемых эф-
фектов необходимо вводить и учитывать внешние макроскопи-
ческие притоки энергии dQ**.
_ Эксперименты показывают, что величина
Значение т и Т.д. для
1 'яф" 7 не является, строго говоря, константой
некоторых материалов ' -п
материала. Бее же эта величина и, соответ-
ственно, критическое значение к\ + k\i являются весьма по-
лезными характеристиками, которые могут быть использованы
в расчетах на разрушение.
Приведем для примера порядки величин у и у^ для некото-
рых материалов. Для силикатных стекол
7эф —-у — A -ь- 2I03 дин/см,
для поваренной соли
NaCl — 7эФ —• У ¦— 300 дин/см
(для сравнения заметим, что для воды у = 72 дин/см). Распро-
странение трещины в стальных образцах сопровождается мно-
гими дополнительными сложными явлениями, поэтому уэФ
для сталей значительно больше, чем величина плотности по-
верхностной энергии у. Именно, для сталей
у ~ 2-103 дин/см, а 7эф ~ A0е н- 107) дин/см.

ЛИТЕРАТУРА
Абрамович Г. Н., Прикладная газовая динамика, «Наука», Москва, 1969.
Арутюнян Н. X., Некоторые вопросы- теории ползучести, Гостехиздат,
Москва, 1952.
Angelitch Т. P., Tensorkalkiil nebst Anwendungen. Die Grundlehren der
mathematischen Wissenschaften, Bd. 141, Springer — Yerlag, 1968.
Batchelor G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge
University Press, 1967.
Бердичевский В. Л., Седов Л. И., Динамическая теория непрерыв-
но распределенных дислокаций, связь с теорией пластичности, ПММ, т. 31.
вып. 6, 1967.
Б и р к г о ф Г., Гидродинамика, перев. с англ. ИЛ, 1954, 1963.
Биркгоф Г., Сарантонелло Э., Струи, следы и каверны, перев.
с англ., «Мир», Москва, 1964.
В г i d i с k a M., Mechanika kontinua, Praha, 1959.
Галин Л. А., Контактные задачи теории упругости, Гостехиздат, Москва,
1953.
Гиб б с Дж., Термодинамические работы, Гостехиздат, Москва, 1950.
Green A. E., Zerna W., Theoretical elasticity, Oxford Univ. Press, 1954.
Гольденблатт И. И., Нелинейные проблемы теории упругости, «Наука»,
Москва, 1969.
Гроот С, М а з у р П., Неравновесная термодинамика, перев. с англ.,
«Мир», Москва, 1964.
ГуревичМ. И., Теория струй идеальной жидкости, Физматгиз, Москва,
1961.
Eringen А. С, Mechanics of Continua, John Wiley, 1967.
Ж е р м е н П., Механика сплошных сред, перев. с франц., «Мир», Москва, 1965.
Жуковский Н. Е., Собрание сочинений, тт. I—VII, Гостехиздат, Москва,
1948—1950.
Зоммерфельд А. А., Механика деформируемых сред, перев. с нем.,
ИЛ, Москва, 1954.
Зоммерфельд А. А., Термодинамика и статистическая физика, перев.
с нем., ИЛ, Москва, 1955.
И в л е в Д. Д., О теории трещин квазихрупкого разрушения, ПМТФ, № 6,
1967 (библиография).
Ильюшин А. А., Пластичность, Изд-во АН СССР, Москва, 1963.
I а с о b С. Introduction Mathematique a la Mechanique des Fluides,
Bucarest — Paris, 1959.
Качано! Л. М., Основы теории пластичности, изд. 2, «Наука», Москва,
1969.
Качанов Л. М., Теория ползучести, Физматгиз, Москва, 1960.
Карафоли Э., Аэродинамика крыла самолета, Изд-во АН СССР, Москва,
1956.
Кирхгоф Г., Механика, перев. с нем., Изд-во АН СССР, Москва, 1962.
Колосов Г. В., Применение комплексной переменной к теории упругости.
ОНТИ, Москва, 1935.

560 Литература
Коробейников В. П., Мельникова Н. С, Рязанов Е. В.,
Теория точечного взрыва, Физматгиз, Москва, 1961.
К о ч и н Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, Изд-
во АН СССР, Москва, 1951.
К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Р о з е Н. В., Теоретическая гидромеха-
ника, тт. I и II, Физматгиз, Москва, 1963.
Красильщикова Е. А., Крыло конечного размаха в [сжимаемом
потоке, Гоотехиздат, Москва — Ленинград, 1952.
Куликовский А. Г., Любимов Г. А., Магнитная гидродинамика,
Физматгиз, Москва, 1962.
Л а м б Г., Гидродинамика, перев. с англ., Гостехиздат, Москва, 1947.
Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теоретическая физика; Механика сплош-
ных сред, ГИТТЛ, 1954; Теория упругости, т. 7, «Наука», 1965; Электроди-
намика сплошных сред, т. 8, Физматгиз, 1959; Теория поля, т. 2, «Наука»,
1967.
Лейбензон Л. С, Курс теории упругости, Гостехиздат, Москва, 1947.
Лейбензон Л. С, Вариационные методы решения задач теории упругости,
Гостехиздат, Москва, 1943.
Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, изд. 3, «Наука», Москва,
1970.
Лоренц Г. А., Лекции по термодинамике, перев. с нем., Гостехиздат, Москва,
1941
Лурье А. И., Теория упругости, «Наука», Москва, 1970.
Л я в А., Математическая теория упругости, перев. с англ., ОНТИ, Москва
1935.
Михлин С. Г., Прямые методы в математической физике, Гостехиздат,
Москва, 1950.
MurnaghanF. D., Finite deformation of an elastic solid, John Wiley, Chap-
man, New York, 1951.
M у с х е л и ш в и л и Н. И., Некоторые основные задачи математической тео-
рии упругости, «Наука», Москва, 1966.
Н а д а и А., Пластичность, перев. с англ., ОНТИ, Москва, 1936.
Н а д а и А., Пластичность и разрушение твердых тел, перев. с англ., ИЛ,
Москва, 1954.
Новожилов В. В., Основы нелинейной теории упругости, Гостехиздат,
Москва, 1947.
Новожилов В. В., Теория упругости, Судпромгиз, Ленинград, 1958.
Паули В., Теория относительности, перев. с нем., Гостехиздат, Москва,
1947.
П р а г е р В., Введение в механику сплошных сред, перев. с нем., ИЛ, Москва,
1963.
П р а гер В., X о д ж Ф. Г., Теория идеально-пластических тел, перев. с англ.,
ИЛ, Москва, 1956.
Прандтль Л., Гидроаэромеханика, перев. с нем., ИЛ, Москва, 1949.
Прандтль Л., Т и т ь е н с Л., Гидро и аэромеханика, тт. I и II, перев.
с нем., ГТТИ, Москва, 1933.
Работнов Ю. Н., Ползучесть элементов конструкций, «Наука», Москва,
1966.
Р и м а н В., О распространении плоских волн конечной амплитуды, Сочинения,
перев. с нем., Гостехиздат, Москва 1948.
Roy M., Mecanique des millieux continus et deformables, тт. I, II, Gauthier —
Villars, Paris, 1950.
RoyM., Thermodynamique macroscopique, notions fondamentales, Paris,
Dunod, Paris, 1964.
Седов Л. И., Введение в механику сплошной среды, Физматгиз, Москва,
1962.

Литература 561
Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, изд. 5, «Наука»,
Москва, 1967.
Седов Л. И., О пондеромоторных силах взаимодействия электромагнитного
поля и ускоренно движущегося материального континуума с учетом конеч-
ности деформаций, ПММ, т. 29, вып. 1, 1965.
Седов Л. И., Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, изд. 2, Москва,
«Наука», 1965.
Sokolnikoffl. S., Tensoranalysis, Theory and application to geometry
and mechanics of continue, Wiley, New York, 1964.
Соловьев Б.И., Чумак Д. А, Корабельные движители, Воениздат,
Москва, 1948.
Степанов Г. Ю., Гидродинамика решеток турбомашин, Физматгиз, 1962.
Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, тт. I и II, перев. с англ.,
«Наука», 1965.
Тимошенко С. П., Теория упругости, перев. с англ., ОНТИ, 1934.
Тонелла М. А., Основы электромагнетизма и теории относительности, пе-
рев. с франц., ИЛ, Москва, 1962.
Федяевский К. К., Войткунский Я. И., Фадеев 10. И., Гидро-
механика, «Судостроение», Ленинград, 1968.
Ф е й н м а н Р., Лейтон Р., С э н д с М., Фейнмановские лекции по фи-
зике, вып. 1—7, перев. с англ., «Мир», Москва 1965, 1966.
ФеппльА., Феппль Л., Сила и деформация тт. I и II, перев. с нем.,
ГТТИ, Москва, 1933.
Филоненко-Бородич М. М., Теория упругости, Гостехиздат, 1947.
Ф р а и к л ь Ф. И., Карпович Е. А., Газодинамика тонких тел, ОГИЗ,
Москва — Ленинград, 1948.
X и л л Р., Математическая теория пластичности, перев. с нем., Гостехиздат,
Москва, 1956.
Чаплыгин С. А., Собрание сочинений, тт. I—III, Гостехиздат, Москва,
1948.
Черный Г. Г., Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью, Физмат-
пв, 1959.
Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, перев. с нем., «Наука», Москва,
1969.
Эйнштейн А., Собрание научных трудов, «Наука», Москва, 1965, 1966.
Э п ш т е й н П. С, Курс термодинамики, перев. с англ., Гостехиздат, Москва,
1948.

Предметный указатель
Аналогия задач о давлении жестких пря-
моугольных штампов на упругую полу-
плоскость и нагруженной упругой
плоскости о прямолинейными щелями
528
— — кручения пластического стержня и
равновесия сыпучей среды (аналогия
песчаная) 468, 471
— — — упругого стержня и вихревого
течения идеальной жидкости 374—
376
— — — — — — потенциального те-
чения идеальной жидкости 372, 373
— — — — — — течения вязкой жидко-
сти 372
— — — — — — прогиба мембраны
(аналогия мембраннаяK68—371, 471
— эадачи кручения упруго-пластического
стержня (аналогия песчано-мембран-
ная) 471—473
Атмосфера изотермическая 10
— однородная 10
— политропная 11
— стандартная 12
Балки 350, 355, 377—3S8
Вентилятор 103
Винт 35, 69,80, 103, 144—149
Вихри, диффузия в вязкой жидкости 305
—, плотность распределения 267
—, примеры движения 298
— присоединенные 299
•— свободные 299
¦— —, система (пелена) 288
—, система, интегралы движения 297
—, сохраняемость в идеальной жидкости
153, 296, 303—305
Вихрь круглый 293, 295
— прямолинейный 289
Водослив 27
Волна отраженная 213
— поперечная плоская 400
— прогрессивная 212, 404
— продольная плоская 400
— простая (волна Римана) 222, 224, 226
— сдвига вихревая пространственная 402
— сжатия 224
— — (расширения) безвихревая простран-
ственная 402
— ударная, искривленная,вихревое дви-
жение за ней 25
волны Римана центрированные (авто-
модельные) 227
— Ралея поверхностные 404, 408, 409
— упругие в изотропной среде 397
Гидростатика 5
Глиссирование 57, 287
Глубины проникания волн Рэлея 409
авление гидростатическое 7, 15, 29
— динамическое 15, 29
— жесткого штампа на упругую полу-
плоскость 525, 528, 529, 531
— импульсивное 154, 176, 286, 287
— полное (торможения) 28, 37
— торможения и расход топлива 127
—, связь с числом Маха (и коэффициен-
том скорости) 41, 42
Двигатель воздушно-реактивный 130
— — — прямоточный 137, 138
— ракетный 122, 130
— турбореактивный 141
Движение адиабатическое 21, 25, 36
— в идеальной несжимаемой жидкости
сферы 181
тела, кинематическая за-
дача 187, 189, 190
— — — — — —, динамическая задача
200
— газа дозвуковое 40
— — сверхзвуковое 40
— — с малыми возмущениями 210
— — с плоскими волнами 211
— — со сферическими волнами 213
— жидкости несжимаемой в трубке пере-
менного поперечного сечения 31
— — — вязкой в трубе 235
— ламинарное 243
— потенциальное 150, 157
Депланация 478
Дефинитность квадратичной формы сво-
бодной энергии 348
Деформации малые упругого тела, сов-
падение лагранжевых начальной и ак-
туальной систем координат 319
— начальные 310
•— остаточные 412
— пластические 422
— полные 422
•— упругие 422
Диаграмма всестороннего растяжения
(сжатия) 198
— одноосного растяжения-сжатия 411,
415
— чистого сдвига 414
Диполь точечный пространственный 158
Дислокации линейные 542
—, непрерывно распределенные по объ-
ему 543
—, — — — поверхности 542
Диффузор 94
— для сверхзвуковых скоростей 96
Дорожка вихрей 292

Предметный указатель
563
Единственность решения задач для гар-
монических функций, краевых внешних
173
— — — — — —, — внутренних 165
— — — статической теории упругости
348
— — задачи об определении поля скоро-
стей по вихрям и источникам 269
Жесткость балки на изгиб 355
— — при кручении 360
Жидкость идеальная — пример нелиней-
но-упругого тела 317
Задача Блязиуса 258
— Дирихле 155, 164
— краевая для гармонических функций
внешняя 165
— — — — ¦— внутренняя 165
— — — — — смешанная 164
— Ламе 332
— — для составной трубы 338
— Неймана 164, 188
— о движении газа за поршнем, выдви-
гаемым с постоянной скоростью из
трубы 228
— — — сферы в безграничном объеме
идеальной несжимаемой жидкости 181
— о разъединении двух гладких прижатых
друг к другу полуплоскостей под дей-
ствием внешних сил 524
— — — — склеенных полуплоскостей
под действием внешних сил 557
— об обтекании твердой сферы потоком
идеальной несжимаемой жидкости 183
— равновесия балки на трех опорах 387
— — — неразрезной на п опорах 388
— Стокса о движении шара в вязкой нес-
жимаемой жидкости 229
Задачи краевые в плоской задаче теории
упругости для функций комплексного
переменного 500
— статически неопределимые 386, 387
— — определимые 343, 384
— — — теории пластичности, примеры
461, 466
— теории упругости плоские, закон Гуна
483
— — — —, определение 481
— — — —, перемещения 482
— — — —, уравнения Бельтрами—Ми-
челла 483
— — — типичные статические 341
Зависимости напряжений от деформаций
динамически линейные и нелинейные
411
Закон Архимеда 13
— ассоциированный 428, 435, 446
—, — в случае поверхностей нагружения
с угловыми точками 438
— Био—Савара 281
— Гука с учетом температурных напря-
жений 320
— движения среды 309
— Паскаля 6
— сохранения энергии для конечного тела
о учетом возможности разрывов 533—
537
— теплопроводности Фурье, диссипатив-
ная функция 443
Законы определения пластических де-
формаций, основное свойство 429—432
Запирание эжектора 120
Изгиб балки поперечной силой 377
— — — — на шарнирно-подвижной и
шарнирно-неподвижной опорах 383
— — — — — — — опоре, когда второй
конец ее жестко закреплен 384
— — чистый 351
Изобары 7
Изостеры 7
Интеграл Бернулли 23, 26, 37, 66
— —, обобщение 66
— Коши—Лагранжа 150
— — — в подвижной системе координат
Интегралы движения системы вихрей 297
Источник (сток) точечный 214
— —, плотность распределения 267
Кавитация 32, 35, 163
Камера сгорания 98
— смешения 113
Количество движения бесконечной массы
идеальной жидкости при движении
в ней конечного тела 192
Компрессор 102
Конвекция атмосферы 17
Консоль 378
Конус Маха 219
Конфузор 93
Концентрация напряжений 504, 513, 528,
550, 551, 555
Коэффициент восстановления давления
в диффузоре 95, 100
•— вязкости турбулентной 252
•— давления 33
— интенсивности напряжений 519, 521—
523
— линейного расширения 321
— нагрузки винта 145, 147, 148
— неравномерности потока 94
— полезного действия двигателя идеаль-
ный 131, 147
— ¦ полетный 131, 144, 148
— — — — пропульсивный 135, 140, 144,
148
— — — — термический 135, 140, 143
— — — камеры смешения 117
— — — компрессора адиабатический 106
—• — — турбины адиабатический 112
— Пуассона 321
— расхода 97, 147
— скорости 40
— сопротивления трения 241, 262
— — —, способы его уменьшения 245
— тяги 94, 135
— эжекции 116
Коэффициенты присоединенных масс 194
— — — для тел вращения 196
— — — — ¦— с плоскостями симметрии
196
Кривизна изогнутой балки при изгибе
354
Кризис тепловой в камере сгорания 102
Кручение упругого стержня 356, 375
— — — круглого поперечного сечения
360
— — — — — — с концентрической по-
лостью 363
— — — полого 363
— — — эллиптического поперечного се-
чения 365, 395
— упруго-пластического стержня 462
— — — — круглого поперечного сече-
ния 479
Крыло конечного размаха, вихревая си-
стема 288

564
Предметный указатель
Линии равного уровня 468
Манометры 8
Масса жидкости бесконечная при движе-
нии в ней конечного твердого тела как ме-
ханическая система 201, 203
¦— шара присоединенная 187
Мембрана 368, 370
Метод Бубнова 395
— конформных отображений решения пло-
ских задач теории упругости 500—502
— — — — — ¦— — —, физические ком-
поненты вектора перемещений 503
• — •—, тензора нап-
ряжений 503
— Ритца 392, 393
— Сен-Венана полуобратный 357
•— — решения частных задач о кручении
стержней 364
Методы сопротивления материалов 377
— теории упругости вариационные 388
Модель линейно-упругого тела 319
Модели сред идеальных жестко-пластиче-
ских 414
¦— — — упруго-пластических 414
— — пластических с «памятью» 415
¦— ¦— — с упрочнением 415
Модуль Юнга 321
Момент гидродинамических сил, дей-
ствующих на тело 64, 200, 203, 205
— изгибающий 351, 378
— количества движения бесконечной мас-
сы идеальной жидкости при движении
в ней конечного тела 192
— крутящий 351, 470
— —, критическое значение 472
— —, предельное значение 472
Мультиполь 159
Нагревание тел в потоке газа 42
Нагружение активное 426
— нейтральное 427
— пропорциональное 433
Нагрузка 411
— погонная 379
Наклеп 412
Направления главные движения тела
в жидкости 195
Напряжения вблизи концов щели, асим-
птотические формулы 518, 520
— внутренние, пример конструкции 418
— касательные максимальные 361, 454,
506
— начальные в составной трубе 339
— турбулентные 251
Насадок Борда 60
Насадки Брикса-Корта 146
Насос 102
— водоструйный 31
— поршневый 9
Нить вихревая 279, 289
— —, потенциал индуцируемых скоро-
стей 281—284
Обратимость процессов теории упругости
311
Определение перемещений по деформациям
325
— поля скоростей по вихрям и источникам
267—278
Опрокидывание римановской волны сжа-
тия 224
Опыт Рейнольдса 242
Осреднение течений в каналах 88
— характеристик турбулентного движе-
ния 247
Ось балки нейтральная 381
Отображения конформные, их применение
в плоской задаче теории упругости 500
Отрыв пограничного слоя 264—267
Очко (сопло простое) 47
Парадокс Даламбера 73, 75, 133, 185, 206
— Дюбуа 71
— Жуковского 15
Параметры Ламе 320
— состояния упругого тела 311
— торможения 28, 37, 125, 127
— упрочнения 425, 436, 439
Перемещения вблизи концов щели, асим-
птотические формулы 518, 520
— в волнах Рэлея 408, 409
— — задаче о кручении упруго-пласти-
ческого стержня 473
Перепад давления в трубе 237
Переход ламинарного пограничного слоя
в турбулентный 265
— — режима течения в трубе в турбу-
лентный 243—245
Плоскость с вырезом круговым, растяже-
ние всестороннее 504
— — — —, — одноосное 507
— — — эллиптическим, растяжение
всестороннее 509
— — — —, — одноосное 511
•— с прямолинейной щелью под действием
расклинивающих сил 523
— — и одноосного сжа-
тия 555
— — — —, растяжение всестороннее 521
— — — —, — одноосное 522
— с трещиной под действием расклини-
вающих напряжений, распределенных
на ее берегах 552
— — — — — — —, — — постоянном
участке берегов 553
— — — — — — сосредоточенных сил
554
— — —, одноосное растяжение 552
Плотность торможения (см. Давление)
Площадка текучести 412
Площадки максимальных касательных
напряжений 452
Поверхность вихревая, разрыв касатель-
ных скоростей 285
— контрольная 54
— нагружения 423, 427, 434
гладкая 434
— — с угловыми точками 436
— равного ската 467
— разрыва возмущений слабого 220
— — касательных скоростей 285
— — перемещений 542, 543
— — плотности 6
— текучести 423
— — Мизеса 458
— — Треска 455
— характеристическая 220
Поле скоростей, определение по заданным
вихрям и источникам 267
Ползучесть 418
Помпащ 102
Постановка задач теории упругости в нап-
ряжениях 343
— — — — — перемещениях 342
Постоянная аддитивная для внутренней
анергии 534

Предметный указатель
565
Потенциал векторный 275
— вихревой нити прямолинейной 289
— двойного слоя 160
— запаздывающий 216
— магнитного листка, геометрическая ин-
терпретация 282
— напряжений 316
— объемного распределения источников
159
— простого слоя 160
— системы вихревых нитей 284, 291,
292
— скоростей, динамическая интерпрета-
ция 155
— — системы особенностей в полу-
пространстве, ограниченном плоской
стенкой 179
Потери в скачках уплотнения 78
— в сопле 127
— кинетической энергии газов при сме-
шении 118
Поток энергии в особых точках, совпадаю-
щих с краями трещин 538
Предел пропорциональности 411
— прочности 412
— текучести 412
— упругости 412
— усталости (выносливости) 420
Преобразование инверсии относительно
сферы 179
Приближение Стокса уравнений движе-
ния вязкой жидкости 229
Принцип вариационный для упругих тел
в равновесии 391
— минимума работы напряжений на пла-
стических деформациях 434
— Онзагера, обобщение на нелинейные
связи 443
— относительности Галилея—Ньютона 71,
209
— Сен-Венана 328, 332, 349
Приток, энергии dq ** в сложных моделях
упругих тел 313, 314
— — к выделенному контрольной по-
верхностью объему жидкости 64
— — к среде внешний, возможные трак-
товки 68
Пропеллер идеальный 144
Пространство напряжений 423
Процесс адиабатический 398
— баротропный 150
— изэнтропический 398
— нагружения полный 438
— небаротропный, пример вычисления
функции давления 21
— пластического деформирования, рав-
новесность, необратимость 446
— развития трещины неустойчивый 551
— — — устойчивый 551
Процессы деформирования упругих тел,
обратимость 311
Прочность материалов, связь с внутрен-
ней энергией сцепления 536
Пульсации характеристик турбулентного
течения 246, 248, 249
Работа гидродинамических сил, дей-
ствующих на подвижную решетку 87
— напряжений на приращениях деформа-
ций пластических 433
упругих 433 ^
Равенство Гриффитса в теории трещин
540
Равновесие в поле сил тяжести жидкостей
и газов 7
— — — — — однородной несжимаемой
жидкости 7
— — — .— .— совершенного газа 9
— жидкости относительное, примеры 18,
Разгрузка 411, 426
Развитие трещины в плоскости со щелью
под действием возрастающих раскли-
нивающих сил и одноосного сжатия
на бесконечности 554
Разложение потенциала течения несжи-
маемой жидкости в ряд по сферическим
функциям 168—172
Разрушение квазихрупкое 533
— хрупкое 533
Распространение возмущений малых в уп-
ругих телах 397
— — от источника, движущегося с по-
t стоянными дозвуковой и сверхзвуковой
скоростями 217—219
•— плоской упругой волны в изотропной
среде 399
— сигналов в дозвуковом потоке 217
— — — сверхзвуковом потоке 220
Растяжение бруса простое (одноосное)
321
— — в случае жестко заделанного торца
328
— — под действием собственного веса
328
Расход жидкости 44, 168
— — при движении в круглой трубе
240
— источника объемный 214
— критический сопла Лаваля 48
— топлива удельный весовой 129
Режим работы сопла нерасчетный 52,
124
— — — расчетный 50, 124
Релаксация напряжений 418
Решение бигармонического уравнения 494,
495
— волнового уравнения с волнами пло-
скими, общее 211
— — — — — сферическими, общее 213,
214
— уравнения Лапласа, фундаментальное
157
— — Пуассона 270
Решетка профилей 81
Свойства осреднения характеристик тур-
булентного движения 248
— симметрии гармонических функций 175,
177
Свойство пластичности 412, 413, 423
Связь между давлением и плотностью, при
которой волна Римана не опрокиды-
вается 226
— — — — — политропная 11
— — пластическими деформациями и нап-
ряжениями, отсутствие однозначности
416, 429
Сжимаемость, влияние на зависимость
давления и плотности от скорости 42
—, — — форму трубок тока 44
Сила Архимеда 13, 30, 76
—, вынуждающая несвободный вихрь
двигаться предназначенным образом
301
— гидродинамическая, действующая на
контрольную поверхность 64

566
Предметный указатель
Сила гидродинамическая, действующая на
поверхность тока 75
— —, — — решетку профилей 82
— —, — •— тело в идеальной жидкости
200, 202
— —, — — ¦— вращения в идеальной
жидкости 205
— —, — — — со стороны вязкой жидко-
сти (приближение Стокса) 229
—, действующая на поверхность со стороны
покоящейся жидкости 12
— перерезывающая 378
— подъемная гидродинамическая 13, 73,
85, 300
— растягивающая 379
— реакции жидкости, текущей в трубе 68
—» сопротивления при непрерывном обте-
кании тел 73
— — при обтекании тел газом со скачка-
ми уплотнения 79
— — — — — жидкостью со срывом
струй 76
— — трения 74
— тяги 79
— — ракетного двигателя 123
Силы гидродинамические, действующие
на тело в идеальной жидкости на глу-
бине 208
•— —, —• — — — — — при наличии
массовых сил 208
— —, — — — — — — при обтекании
ускоренным потоком 209
— сцепления внутренние микроскопиче-
ские 535
Система вихревых нитей 284, 291, 292
•— уравнений идеально пластического тела,
подчиняющегося условию пластичности
Мизеса, замкнутая 460, 461
— — упругого тела замкнутая 316
— — — — при адиабатических процес-
сах 398
Скачок уплотнения 79, 225
Скорость в реактивной струе 128, 136
— звука 39, 212, 220
— — максимальная 39
— — местная 39
—, играющая роль скорости звука 45
— истечения из сосуда газа 41
— несжимаемой жидкости 26
— критическая 39
— максимальная при установившемся
движении 38, 39
— потенциальных течений несжимаемой
жидкости, максимальность значений на
границе 162
— производства энтропии за счет необра-
тимости, связанной с градиентом тем-
пературы и пластическим деформиро-
ванием 443
— распространения малых возмущений в
газе 212
— — — — в упругих телах 400
— — поверхностных волн Рэлея 405, 407
— — постоянных значений плотности
223
Слой пограничный 253
— — ламинарный на пластинке 254, 258
— на искривленной поверхности 257,
258, 263, 264
при движении газа 266
турбулентный 265, 266
Соотношения интегральные для устано-
вившихся движений жидкости 53
— статической теории трещин 540
Сопло Лаваля 47, 93
— — с регулируемым горлом 52
Сопло Лаваля расчетное, максимальность
тяги 124
— простое (очко) 47
Сопротивление индуктивное 289
— сферы при движении в идеальной
жидкости с переменной скоростью 186
— — — — в вязкой жидкости 235
— трения 265
Состояние начальное 309, 342
— «начальное» 309
— плоское деформированное 485
— — — как пример статически опре-
делимой задачи пластичности 461
— —напряженное 486
— — — как пример статически опре-
делимой задачи пластичности 461
— — — обобщенное 488
Среда идеально-пластическая 424
— упрочняющаяся 424
Стабилизатор в камере сгорания 102
Степень сжатия в ВРД общая 136, 13 7
в компрессоре 104
Стратосфера 12
Суперпозиция решений в задаче о теле
со щелью 515
— — в линейной теории упругости 345
Существование поверхностных волн Рэлея
404
— функций нагружения и ассоциирован-
ного закона 446
Схема струйного обтекания с возвратной
струйкой 78
Текстура 318
Тело анизотропное 318
— изотропное 318
— упругое однородное 312
Температура торможения (см. Давление)
— — продуктов горения 125
Тензор деформаций 309
— диссипации энергии 441
— напряжений, свойства компонент при
постоянных объемных силах и темпера-
туре 344
Тензоры доформаций пластических 421
— — полных 422
— — упругих 421
Теорема Ампера 282
— Гельмгольца о сохранении вихревых
линий 304
— — — — — трубок 304
•— Жуковского о подъемной силе крыла
85, 300
— — — — — профиля в решетке 84
— Клапейрона 347, 348
— Лагранжа 153
— Мориса Леви 494
— о среднем гармонических функций 161
— Томсона 288, 296
Теории геометрически линейные упругих
тел 311
— пластичности деформационные 429, 432
— —, основные задачи при построении 414
Теория идеального пропеллера 144
— трещин 532
Теплоемкость при постоянных деформа-
циях 398
Теплосодержание 36
— полное 64 ''•¦'-«
и постоянная в интеграле Бернулли
36, 37
, сохранение при переходе через ска-
чок 24
Теплота реакции 125

Предметный указатель
567
Течение жидкости в трубке переменного
поперечного сечения 31
— материала 415
Течения идеальных жидкости и газа при
наличии баротропии, постановки задач
155
— сверхзвуковые и дозвуковые
Толщина вытеснения 263
— пограничного слоя 258, 262 40
Топлива, применяемые и перспективные
126
Точка отрыва пограничного слоя 264
— тела центральная 195
Тропосфера 12
Трубы аэродинамические 93, 103
— кавитационные 35
Трубка вихревая 279
— Пито—Прандтля 27
Трубки тока 44
Турбина 107
Тяга двигателя 123, 127
— удельная 126, 128
Угол дрейфа 206
— закручивания 358, 359
— Маха 220
Удар плавающего тела 175, 178
— по свободной поверхности воды 286
— струи о плоскую стенку 55
Упрочнение материала 412
Уравнение бигармоническое 344, 492
— вариационное для упругих тел в рав-
новесии 390
— волновое 157, 210
— — неоднородное 402
— второго закона термодинамики в теории
пластичности 440
— Гельмгольца 303
— диффузии вихрей 305
— для производства энтропии в теории
пластичности с учетом теплопровод-
ности 443
— изогнутой оси балки 354
— — — — дифференциальное 383
— импульсов (количества движения) при
установившемся движении жидкости
53
— Лапласа 155
— моментов (моментов количества дви-
жения) при установившемся движе-
нии жидкости 54
— поверхности нагружения для упрочняю-
щихся материалов 425
— — текучести для идеально-пластиче-
ских материалов 425
— —• — Мизеса 457
— — — Треска 452
— принципа возможных перемещений
в теории упругости 347
— притока тепла в теории пластичности
— прогиба мембраны постоянного натя-
жения 370
— Пуассона 160, 270, 366
— — векторное 276
— Рэлея для скорости поверхностных
волн 406
— сохранения массы при установившемся
движении жидкости 53
— теории трещин основное 539
— теплопроводности 305
— энергии (первый закон термодина-
мики) 54
— ¦— в случае развития внутренних раз-
рывов при хрупком разрушении 537
Уравнение энергии вдоль линии тока 67
— — для тела с трещиной в рамках мо-
дели упругого тела 538
Уравнения Бельтрами—Мичелла 343
— волновые в двумерной задаче теории
упругости 403
— движения в форме Громеки—Лемба 20
— Ламе с учетом температурных напряже-
ний 343
— ламинарного пограничного слоя (урав-
нения Прандтля) 256
— модели упругого тела основные 312
— равновесия жидкостей и газов 5
— — упругого тела в напряжениях 343
— Рейнольдса для турбулентного движе-
ния жидкости 251
— совместности деформаций 324, 343
— состояния упругого тела 314, 315
— — — материала несжимаемого 315,
316
Условие минимума свободной энергии
в состоянии равновесия 391
— на перемещения в плоском напряжен-
ном состоянии 487
— на плотность внешних сил в гидроста-
тике 6
— пластичности для изотропного идеаль-
но-пластического тела 465
— — Мизеса 457, 458
— — Треска 452
— прилипания 232, 253
— развития трещин 550
— теплового равновесия среды 11
Условия в бесконечности при движении
конечного тела в неограниченном объ-
еме идеальной несжимаемой жидкости
165, 201
— — — — — — — в трубе 69
•—, граничные в линейной теории упру-
гости, выполнения на недеформиро-
ванной поверхности 342
—, — на свободной поверхности упруго-
го полупространства 403, 404
—, — для функции Эри 492
—, — для функций комплексного пере-
менного в плоской задаче теории упру-
гости 499, 504
— для напряжений на поверхности дисло-
каций 543
— для исключения перемещений упругого
тела как твердого при определении пе-
ремещений по деформациям, возможные
327
— для определения постоянных интегри-
рования в граничных условиях для
функции Эри 499
— Коши—Римана 364
— критические для внешних нагрузок,
действующих на тело со щелью 551
— на внешние силы в плоской задаче
теории упругости 484
— на прямых скачках 66
Усталость материала 419, 420
Устойчивость ламинарного течения 245
— равновесия несжимаемой жидкости 16
— — плавающих тел 18
— —¦ политропной атмосферы 17
— — упругой системы 346
Формула барометрическая 10
— Гурса 494
— для количества движения жидкости при
движении в ней твердого тела, удобная
для вычисления коэффициентов присое-
диненных масс 197

568
Предметный указатель
Формула для притока энергии в случае
развивающейся поверхностной дисло-
кации 548
¦— — — — — — — трещины 547
— — — — при образовании разрывов
547
— Ирвина 549
— Сен-Венана—Венцеля 41
— Стокса 281
— Торичелли 27
— Эйлера для момента сил, действующих
на лопатки турбины 112
Формулы. Грина 164
— Колосова 497
— Сен-Венана 357, 474
Форсаж 143
Функция гармоническая 155, 161
— — как сумма потенциалов простого
и двойного слоя 166
— Грина 167
— — в задаче Дирихле для сферы 180
— — для полупространства, ограничен-
ного плоскостью 178
— давления 20
— —, пример вычисления для небаро-
тропного процесса 21
— диссипации, вычисление с помощью
ассоциированного закона 444
— — для модели пластической среды по
Мизесу 445
— кручения 359, 475
— нагружения 425
— напряжений 366, 463
Эри 490, 497
— текучести 425
Функции гармонические, условия сим-
метрии 173, 177
— нагружения 446
— сферические 172
Характеристики состояния пластических
тел физические 422
Харектеристики средние потока совершен-
ного газа 90
Циркуляция скорости 83
Число кавитации 34
— Маха 40
— Рейнольдса критическое 243
— Эйлера 146
Шлепок по свободной поверхности жидко-
сти 286, 287
Штамп жесткий, давление на упругую
полуплоскость 525
— — прямоугольный, давление на уп-
ругую полуплоскость 528
— — со слабоискривленным профилем
529, 531
Щель под действием касательной анти-
симметричной нагрузки 519
— — — нормальной симметричной на-
грузки 516
Эжектор 113
Энергия кинетическая несжимаемой
жидкости при потенциальном движении
164, 173, 192
— на разрыв 534
— — —, плотность 537, 555, 558
— свободная единицы объема упругого
тела 320, 347
— сил сцепления 535
— поверхностная, плотность 536, 537
Энтальпия (см. Теплосодержание)
Эпюры изгибающих моментов 381
Эффект Баушингера 413
— Допплера 218
Ядро упругое 469, 477