ПОСОБИЯ
L	дл я	1
Головой школл
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО РСФСР
МОСКВА—ЛЕНИН1 РАД
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ШКОЛ II СТУПЕНИ
УЧЕБНЫЕ КНИГИ ДЛЯ ВТОРОГО КОНЦЕНТРА
Гебель, В. —Сборник геометрических задач. Стр. 132.
Ц. 90 к.
Сборник содержит геометрические задачи на вычисление, по-
строение и доказательство по курсу как планиметрии, так и сте-
реометрии. Большая часть задач — чисто геометрические, но имеются
и практические. В общем сборник довольно полный— 1960 задач. 
Задачи все в общем нетрудные и рассчитаны на среднего учащегося, s
Книга может быть использована частично во всех группах школы g
II ступени, кроме 5-й.
Державин, С. — Прямолинейная тригонометрия.
Cip. 168. Ц. 1 р.
По характеру изложения книга, представляющая собой ориги-
нально построенный курс, может быть использована в старших груп-
пах школ II ступени, на рабфаках и в техникумах.
Может быть рекомендована вниманию учителей, нуждающиеся
в повышении квалификации.
Державин, С.—Элементарная алгебра. Ч. I. Стр.272.
Ц. 1 р. 50 к.
Систематический курс, подходящий для педфаков и учитель-
ства. Обладает большими достоинствами в отношении ясности, по-
следовательности и строгой научности изложения.
Книга особенно пригодна для учителей, нуждающихся в повы-
шении своей квалификации.
Киселев, А. —Элементарная геометрия. Допущ.
ГУС’ом. 5-е стереотипное издание. Стр. 346.
Ц. 1 р. 40 к., в пер. 1 р. 65 к.
Продажа во всех магазинах и отделениях Госиздата
УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ТРУДОВОЙ ШКОЛЫ
прямолинейная
тригонометрия
i	ИЗДАНИЕ 5-ОЕ
*	46-ля — 55-ля тыс.
Допущено Научно-Педагогической Секцией
I осу дарственного Ученого Совета
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1928 ЛЕНИНГРАД
QW
гас. НмЛи'
яаддгогичжскАЯ
®МГЛШТГЧА
»//
У. Я, Гиз № 294571Л.
Ленинградский Облаетлит М 1820 t
Тираж 10000.7>ч л.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
Предлагаемый курс тригонометрии разделяется на дье части, при
чем обе части самостоятельны и могут быть изучены отдельно.
Первая часть, как и во многих учебниках тригонометрии, посвя-
щена изучению тригонометрических функций острого угла и решению
треугольников. Но, в отличие от других учебников, в ней для углов
второй четверти введено только понятие о синусе и притом не обыч-
ным путем. Выводы первой части, может быть, кажутся нам более
сложными, чем те аналитические выводы, к которым мы привыкли;
но эти выводы имеют и преимущество: они носят более геометри-
ческий характер. Сведения, даваемые первой частью, удовлетворяют
всем требованиям, которые обыкновенно предъявляются курсом фи-
зики средней школы и совершенно достаточны для техника-практика.
Во второй части тригонометрические функции рассматриваются
в общем виде, при чем они определены как отношения радиуса и его
проекций на две взаимно-перпендикулярные оси. Такие определения,
с одной стороны, являются естественным обобщением определений,
данных в первой части. С другой стороны, они избавляют от не-
обходимости вводить особые (довольно искусственные) тригонометри-
ческие линии. Знаки функций, определенных таким образом, совер-
шенно естественно вытекают из соглашения относительно положи-
тельных и отрицательных направлений координатных осей и не
требуют никаких дополнительных условий. Эти определения дают
более естественное и более обоснованное приложение полученных
результатов к вопросам аналитической геометрии и механики. Для
строгого и обоснованного вывода теорем тригонометрии, при этом
изложении, пришлось дополнительно ввести некоторые основные по-
ложения теории векторов. Соответственно этому выводы формул
приведения, сложения и вычитания дуг изложены иначе, чем в боль-
шинстве учебников. Все доказательства справедливы для произволь-
ных дуг и не требуют поэтому никаких обобщений.
Если бы преподаватель желал воспользоваться теми определениями
и выводами, которые приняты мною, но не одобрял проведенного
здесь распределения курса, то он мог бы, пользуясь этим учебником,
придерживаться такого порядка: сначала пройти о решении прямо-
угольного треугольника по первой части, затем по второй части
о тригонометрических функциях и, наконец, теоремы о косоугольных
треугольниках. При таком порядке прохождения курса было бы
естественнее взять те выводы, относящиеся к косоугольным треуголь-
4
никам, которые даны (мелким шрифтом) во второй части: они Солее
согласуются с данными здесь определениями, чем обычные выводы
этих теорем.
Если бы преподаватель сомневался в удобопонятности для учаще-
гося вывода формулы cos (я-|-6) при помощи проектирования, то он
мог бы воспользоваться обычным способом вывода, приведенным
(мелким шрифтом) в § 67. Однако, этот вывод, как мне кажется,
несколько нарушил бы стройность и дух того изложения, которое
проведено в других доказательствах и выводах. Для сильных уче-
ников (или класса) сравнение этих двух методов было бы, может
быть, полезным для оценки плодотворности теоремы о проекции век-
тора.
В этом курсе нет объяснения того, как пользоваться логарифмо-
григонометрическими таблицами, во-первых, потому, что во всех
таблицах, принятых в наших школах, есть объяснения приемов поль-
зования ими, и поэтому едва ли есть необходимость помещать эти
объяснения еще и в учебник (тем более, что даже объяснения, по-
мещенные в таблицах, не читаются большинством учащихся); во-
вторых, таблицы, изданные различными авторами, устроены не вполне
одинаково, и поэтому приводить объяснения — значило бы связывать
"преподавателя выбором таблиц. Некоторые образцы вычислений (по
натуральным, по четырехзначным и пятизначным логарифмическим
таблицам) даны в этом учебнике.
Особым случаям решения треугольников и четырехугольников
отведено очень мало места, а введение вспомогательного угла совсем
опущено. Первому я придаю очень малое образовательное и прак-
тическое значение, а второе, по крайней мере в качестве метода при-
ведения к логарифмическому виду, считаю совершенно бесполезным.
В заключение позволю себе заметить, что при составлении на-
стоящего курса я больше всего пользовался учебником Lock and
Child «А new trigonometry» и лекциями Левитуса, читанными
им в 1911—1912 году и изданными на правах рукописи. Кроме
того, воспользовался также замечаниями и советами друзей и зна-
комых, которыми они делились со мною, в особенности Е. В. Ба-
банского, Г. М. Фихтенгольца и С. И. Шохор-Троцкого.
Приношу им свою искреннюю благодарность.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.
Со времени появления первого издания этого учебника Комис-
сариатом народного просвещения были выпущены 1) Примерные про-
граммы в 1918 году и 2) Программы, разработанные комиссиями по
составлению программ при Отделе единой трудовой школы в 1921 году.
Первые петербургские программы по тригонометрии составлены
вполне по плану этого учебника, вышедшего ранее этих программ.
В последней программе (составленной Г. М. Фихтенгольцем)
рекомендуется то расположение материала, которое в предисловии
5
к первому изданию предложено мною для прзподавателя, не сочув-
ствующего распределению курса, проведенному в этом учебнике.
В объяснительной записке последней программы сделан ряд указаний,
веско обоснованных, которые выполнены уже и в первом издании этого
учзбника. Только указание на желательность ознакомления уча-
щихся с триангуляцией, с определением расстояний и размеров не-
бесных тел, с измерениями на местности не осуществлено мною.
Но обусловлено это совсем не моим несочувствием этому взгляду,
а тем, что характер этих приложений, их объем и точность зависят
в значительной степени от того, насколько обстоятельно изучается
астрономия, какие приборы имеются в распоряжении школы, какие
измерения проделаны учащимися на первой ступени.
Во втором издании сделаны по сравнению с первым некоторые
изменения: 1) добавлены формулы Мольвейде; 2) немного изменены
выводы формул приведения и теоремы сложения; 3) приведено ре-
шение еще некоторых простых уравнений; 4) выведена зависимость
между круговыми функциями отрицательного и положительного аргу-
мента; 5) прибавлено замечание о малых углах.
В заключение считаю приятным долгом, кроме лиц, указанных
в первом издании, поблагодарить П. А. Компанийца и Д. С. Се-
ливанова за те соображения, которыми они поделились со мною
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ.
В этом издании сделаны по сравнению со вторым некоторые из-
менения.
Чтобы больше подчеркнуть тот смысл, который может иметь
в глазах ученика введение тригонометрических функций, при опре-
делении каждой функции даны маленькие задачи, решаемые при по-
мощи значений этой функции; таким образом определение каждой
функции ассоциируется с некоторой задачей. Затем, приведены не-
которые практические вопросы, решаемые при помощи прямоугольных
(§ 21 и § 23) и косоугольных (§ 33) треугольников. В § 22 введена
основная теорема о площадях проекций плоских фигур на плоскость.
В § 34 дано понятие о триангуляции. В практических приложениях я
старался дать примеры, которые были бы интересны сами по себе
или имели практическое и теоретическое значение.
В § 46 указана связь значений тригонометрических функций
с длиной линий на круге. Это имеет не только историческое зна-
чение, но очень удобно в некоторых задачах, например, при из-
учении гармонического колебательного движения.
Но самое существенное дополнение, внесенное в это издание.—
исторический очерк тригонометрии, в котором обращено наибольшее
внимание на историю возникновения тригонометрических функций,
вопрос, наиболее понятный учащемуся, и только мельком указано
на их применение в математическом анализе.
6
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ.
Это издание отличается от предыдущего очень незначительно.
Глава о проекциях дополнена теоремой о проекции замыкающей
(§ 42), что дало возможность несколько короче и проще изложить
теорему сложения (§ 66); введением § 42 трудность этой теоремы
разделена: теорема более подготовлена.
Геометрическое изображение тригонометрических функций посред-
ством линий в круге приведено более подробно (§ 46) и рассмотрено
для всех четвертей. При желании преподавателя этот параграф
может быть опущен.
В § 70 приведено в общей форме исследование формул для
sin у и cos у.
Таблица значений тригонометрических функций дана теперь
с тремя десятичными знаками (вместо двух).
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
О ФУНКЦИЯХ ОСТРОГО УГЛА И РЕШЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
Черт. 1.
ВВЕДЕНИЕ.
§ 1.	Всякий плоский замкнутый многоугольник может быть разбит
прямыми на треугольники; а всякий треугольник разбивается высотою
па два треугольника и может быть рассматриваем как сумма или
разность двух прямоугольных треугольников. Поэтому большая
часть вопросов, относящихся к многоугольникам, может быть сведена
к вопросам, относящимся к треугольникам или даже к прямоугольным
треугольникам.
Переходя к изучению треугольников, условимся углы и стороны
треугольников называть его элементами. Углы треугольника (см.
черт. 1) будем обозначать (заглавными) буквами А, В, С, а противо-
лежащие им стороны соответствен-
но (строчными) буквами а, Ь, с\
таким образом, стороны будут
всегда обозначены теми же (ма-
лыми) буквами, какими (но боль-
шими) обозначены противолежа-
щие им углы. В прямоугольном
треугольнике буквою С условимся
обозначать прямой угол, а буквою
с — гипотенузу.
§ 2.	Решить треугольник зна-
чит— по данным его элементам вы-
числить остальные. Так как тре-
угольник вполне определяется тре-
мя элементами (как это видно из
признаков равенства треугольни-
ков), то вообще достаточно трех элементов (в числе которых должен
быть по меньшей мере один отрезок) для определения остальных.
•Прямоугольный же треугольник определяется вполне, если (кроме
прямого угла) заданы два элемента (но, конечно, не два угла).
8
О СИНУСЕ ОСТРОГО УГЛА.
§ 3.	Если два прямоугольных треугольника имеют по равному
(острому) углу А, то они подобны (так как имеют по два равных
угла); следовательно, их стороны пропорциональны, а другие острые
Черт. 2.
углы равны между собой. Рассмотрим (черт. 2) ряд прямоугольных
треугольников
Д15|С],	.... АпВпСп
имеющих по равному острому углу
Д1== / Дг=- . • • .	Д««
Так как треугольники подобны, то
F = ? = F=...................................t1)
С1 С2 Q	Ln
Отношение J остается в этих треугольниках постоянным (без
изменения).
Если мы, оставив гипотенузу с без изменения, увеличим или
уменьшим острый угол Д, то катет а возрастет или убудет, и по-
этому отношение ~ (противолежащего углу Д катета к гипотенузе)
при изменении угла А также меняется. Каждому значению угла А
соответствует определенное значение отношения Другими сло-
вами, отношение — есть функция ’) угла Д. Эту функцию — отно-
а	.
шение -----называют синусом угла А.
’) Предполагается, что учащийся знаком с термином «функция», однако на-
помним ее определение.
Если переменная у связана с переменной х так, что каждому значению х
соответствуют определенные значения у, то х называют независимой перемен-
9
Итак, синус острого угла есть отношение противолежащего углу
катета к гипотенузе.
Для обозначения синуса угла А пишут sin А Согласно опреде-
лению,
л а
sin Д = -.
с
Применяя это определение к углу В, получаем
• D &
sm В — —
с
(так как против угла В лежит катет Ь).
§ 4.	Приближенные численные значения синусов острых углов
можно проще всего найти, построив на миллиметровой бумаге прямо-
угольные треугольники с гипотенузой длиною в 100 миллиметров;
измеряя затем лежащие против угла А катеты в миллиметрах и раз-
деляя полученные числа на 100 лш (на с), найдем приближенные-
значения синусов углов А. Эти измерения на миллиметровой бумаге
Черт. 3.
(черт. 3' ct = c.~ г, = 100 пли, /_А} = 30°-, /_Аг=Е>0°; ДД3 = 80э>
дают следующие результаты:
В,Ci = at = 50 лглг, В2С2 = а2 = 77 лглг, BSC3 = а3 = 98 лг.лл.
ной или аргументом, а переменную у —ее функцией. Например, если указана
зависимость
у — Зх*— 1,
то, давая х произротьные значения, получим ряд соответствующих значений у:
У есть функция х, Еще пример. Объем шара есть функция его радиуса: задавая
произвольные значения радиуса, получаем соответствующие значения объема
шара.
— 10 —
Черт. 4.
Поэтому,
sin 30° = 0,50; sin 50° = 0,77; sin 80° = 0,98
с точностью до 0,01.
Если желательно сохранить место, то можно расположить тре-
угольники так, чтобы катет, прилегающий к углу А, оставался одним
и тем же, а гипотенуза вращалась вокруг вершины А (черт. 4). Поль-
зуясь миллиметровой бумагой, мы мо-
жем обойтись и без прямых £|Cj, В2С2,
В3С3 . и даже без прямых ABt, АВ2,
АВ3 . . . Необходимо иметь только по-
ложение точек Bit В2, В3 ... и отсчи-
тывать по вертикальному направлению
в миллиметрах их расстояния от (гори-
зонтальной) прямой АС.
Высшая математика дает возмож-
ность вычислить синусы углов с какой
угодно точностью. В нижеприведенной
таблице даны приближенные значения
синуса с двумя знаками после запятой.
(См. табл, на стр. 11.)
§ 5. Как видно из приведенной та-
блицы, значения синуса заключаются ме-
жду нулем и единицей, т. е. синус остро-
го угла всегда выражается правильной дробью. Это можно было
предвидеть, так как, согласно определению, синус острого угла есть
отношение длины катета к длине гипотенузы, т. е. отношение мень-
шего числа к большему. С другой стороны, на основании определения
можно заключить, что синус, как отношение одного отрезка к дру-
гому, есть отвлеченное число.
Пользуясь приведенной таблицей, можно по данному значению
угла найти значение синуса, — и обратно. Например,
sin 56° = 0,83.
Обратно, при помощи этой таблицы можно по данному значению
синуса найти соответствующий ему угол. Положим, синус некото-
рого угла равен 0,29. Угол, соответствующий этому значению синуса,
оавен 17°.
§ 6. При помощи значений синуса можно решать некоторые практические
вопросы. Приведем несколько примеров этого.
Положим, угол, составленный направлением дороги с горизонтом, равен
А = 15° (черт. 4). Найти, насколько выше данного места находится точка, уда-
ленная от него на 70 м.
= sin А; fijCj = ABi sin А.
Подставляя данные значения, получаем:
 fiC=70-sin 15°= 70-0,26 = 18,2 м. 1)
») Следует заметить, что уклон в 15° — довольно значительный уклон. На-
пример, на шоссейных дорогах не допускается уклон более 4°, да и то только
для гористых местностей.
— 11 —
Таблица значений синусов острых углов.
	Угол.	Синус.	Угол.	Синус.	Угол	Синус.	Угол.	Синус.	
	1	0,02	24	0,41	47	0,73	70	0.94	
	2	0,03	25	0,42	48	0,74	71	0,95	
	3	0,05	26	6,44	49	0,75	72	0,95	
	4	0,07	27	0,45	50	0.77	73	0,96	
	5	0,09	28	0,47	51	0,78	74	0,96	
	6	0,10	29	0,48	52	0,79	75	0,97	
	7	0,12	30	0,60	53	0,80	76	0,97	
	8	0,14	31	0,52	54	0.81	77	0,97	
	9	0,16	32	0,53	[ 55 •	0,82	78	0,98	
	10	0,17	33	0,54	56	0,83	79	0,98	
	11	0,19	34	0,56	57	0,84	80	0,98	
	12	0,21	35	0,57	58	0,85	81	0,99	
	13	0,22	36	0,59	59	0,86	82	0,99	
	14	0,24	37	0,60	60	0,87	83	0,99	
	15	0,26	38	0,62	61	0,87	84	0,99	
	16	0,28	39	0,63	62	0,88	85	1.00	
	17	0,29	40	0,64	63	0,89	86	1,00	
	18	0,31	41	0,66	64	0,90	87	1,00	
	19	0,33	42	0,67	65	0,91	88	1,00	
	20	0,34	43	0,68	66	0,91	89	1,00	
	21	0,36	44	0,69	67	0,91			
	22	0,37	45	0,71	68	0,93			
	23	0,39	46	0,72	69	0,93			
Какую силу Р надо приложить вдоль наклонной плоскости к грузу в Q кг,
чтобы он был в равновесии на плоскости, наклон которой равен А?
Силу	(черт. 5) можно разложить на две силы BtD и BtCt, из
которых первая перпендикулярна к плоскости н производит только давление
на плоскость; силу P-B^Qi надо уравновесить силой BtF, равной ей и про-
ивоположно направленной, чтобы удер-
жать тело от скатывания по наклонной
плоскости. (Тренне не принимается во вни-
мание.) Угол BiAiCi—A-,
Р
q- - sin = sin А ;
следовательно, Р = Q sin А.
Тот же результат можно получить на
основании такого рассуждения: работа си-
лы для подъема груза с уровня АС до вы-
соты точки В не должна зависеть от пути.
Если поднимать груз Q вдоль BC~h, то
— 12 —
работа равна Qh; если же катить груз вдоль АВ = I, то работа равна Р7;
значит, Qh = Pl-, но
-j- = sinA; h = l sin А;
поэтому Q'sinA — Pl, т. e. P=QsinA.
Если Q = 12 Kt, A = 12°, to P~ 12 • sin 12° = 12 • 0,21 =2,52 Kt.
Если угол наклона равен только 6° го усилие, потребное, чтобы двигать
груз вдоль плоскости, должно равняться 0,1 его веса; для того чтобы понять,
Черт. 6.
Например. АВ = 4 м~, ВС = 0,73 М-, sin А =
А =11° (приблизительно).
сколь велико это усилие, стоит
только принять во внимание,
что трение на порядочной до-
1
роге составляет только	веса,
а на хорошем шоссе только
зд (цифры округлены).
Чтобы определить наклон
дороги, можно поступать таким
образом. В точке В (черт. 6)
ставим вертикально рейку с
делениями BD (около 2 м) и,
отмерив расстояние АВ (около
4 м), устанавливаем с помошью
ватерпаса горизонтальную
планку АС; отмеряем расстоя-
ВС
ние ЕС-, тогда = sin А.
73
г— = 0,18. По таблице находим
РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПРИ ПОМОЩИ ЗНАЧЕНИИ
СИНУСА.
§ 7.	Значения синуса позволяют решать прямоугольные треуголь-
ники. Покажем это на следующих трех примерах.
Положим, в прямоугольном треугольнике заданы гипотенуза и
острый угол:
с = 5,4 см; А = 25°.
Найти" остальные элементы. Из таблицы имеем:
sin А = sin 25° = 0,42,
а на основании определения синуса
sin А = sin 25п =
5,4
откуда
-Д- = 0,42 или д=5,4 см X 0,42 = 2,3 см
5,4
(если сохранить в произведении два знака). Зная стороны а и с, по
теореме Пифагора получим:
Z> =	= К 5,42 —2,32 = /23,87 = 4,9 см.
— 13 —
Но этот последний результат можно получить проще, если еще
раз воспользоваться таблицей. Действительно,
В = 90° —А = 65°; sin В = sin 65° = 0,91 1)=А,
'	5,4
откуда
д = 5.4 иХ 0,91 =4,9 см.
Другой пример. Пусть в прямоугольном треугольнике заданы
катет и противолежащий ему острый угол. Найти остальные элементы.
а —21 см, А = 40°.
Имеем
27
sin А = sin 40° = 0,64 = —,
с
следовательно,
27 см , „
с==-0>г = 42 см-
Далее,
b = V= V 422—272 = /1035 = 32 см,
или, проще:
sin В = sin 50° = 0,77 —
’	42
значит,
Ь = 42 слг X 0,77 = 32 см.
Третий пример. Пусть заданы два катета прямоугольного тре-
угольника, найти остальные элементы.
д = 0,45 лг, 6 — 057 м.
Имеем:
с =	= V 0^52 + 0?57^ = /0,5274 = 0,73 м
Далее получаем:
. а ‘ 0,45	,,
sin А = — =	= 0,62,
с 0,73	’ ’
отсюда по таблице находим:
А = 38°, В = 90° — А = 52°.
О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ ОСТРОГО УГЛА.
§ 8.	Рассматривая решение этих трех <,адач, легко убедиться, что
вычисления в первой задаче проще, чем в остальных. Действительно,
в первой задаче необходимо сделать только два перемножения при-
ближенных чисел; между тем, во второй задаче приходится уже
делить приближенные числа, а в третьей нельзя обойтись без извле-
чения квадратного корня из суммы квадратов двух приближенных
*) Число 0,91 взято из таблицы.
— 14 —
чисел. Для того чтобы во всех задачах этого рода сделать вычис-
ления по возможности более простыми, следует вычислить и поме-
стить в таблицу, подобную приведенной для синусов, не только отно-
шение катета к гипотенузе, но и все другие возможные отношения
сторон прямоугольного треугольника. Йз трех сторон д, Ь, с пря-
моугольного треугольника (см. черт. 7) можно составить шесть (число
размещений из трех по два) раз-
личных отношений:
д b а Ь_ с с
с' с’ ~Ь' а' а' ~Ь"
Каждое из этих отношений
зависит от величины острого
угла треугольника и не зависит
.от длины сторон треугольника,
т. е. остаетса постоянным для
всех подобных друг другу тре-
угольников. Каждое из этих от-
ношений определяется величи-
Черт. 7.	ною острого угла А, каждое из
них есть функция угла А.
Эти шесть отношений называются тригонометрическими функ-
циями угла. Каждая из этих функций носит особое название. При-
ближенные значения этих функций приведены в таблице на стр. 22.
Если по этой таблице надо найти значение тригонометрической
функции угла, не превосходящего 45°, то следует прочесть заглавие
столбца сверху, а число градусов слева; если же угот больше 45°,
то заглавие столбца надо читать снизу, а число градусов справа.
Например,
tg 62° = 1,881; cos 75° = 0,259.
§ 9.	Отношение (а: с) противолежащего (угла Д) катета к гипо-
тенузе называется синусом угла (Д), что записывается так:
- л о
sin Д = —,
с
Отношение (а: Ь) противолежащего (углу Д) катета к прилежа-
щему (к углу Д) катету называется тангенсом угла (Д), что за-
писывается так:
или tangД = y, или tanZ = y\
Чтобы найти приближенные значения тангенса, проще всего по-
ступить таким образом. Отложить (например, по горизонтальному
направлению) катет b = 100 мм (черт. 8) и, построив при вершине
Д заданные углы (30°, 45°, 68°), измерить другой катет. Получаем:
CBt = 58 мм, СВ2 = 100 мм, СВ3 = 248 мм. Поэтому tg 30° = 0,58;
tg 45° = 1,00; tg 68° = 2,48.
— 15 —
Имея таблицу значений тангенса, можно решать разнообразные практи-
ческие задачи.
На сколько выше должен быть фундамент с одной
с ДРУг°й, если ширина дома равна 8 м, а наклон ме-
ста 5°?
^=tgA; BC = AC-tgA; fiC = 8 • tg5°= 8-0,09 =
— 0,72 метра (1 аршин приблизительно.)
’С возвышенного места (черт. 9) башня видна под
углом DC А = 25°; этот угол разделяется горизонталь-
ной прямой на части в 19° и 6°. Расстояние от точки С
до башни равно 40 м. Найти высоту башни. BD —
BA = BCtgfr AD=fiC(tgc 4-tg ₽) =
= 40  (tg 19° + tg 6°) = 40 - (0,34 + 0,11) =40 • 0,45 = 18 m.
Под каким углом к горизонту видна гора, высота
которой Зкм, из точки, удаленной от нее на 30 км
(черт. 5).
Tc=tgZ: зб —011
По таблице видно, что угол А заключается между 5°
и 6°; его можно принять равным 5,5°.
стороны дома, чем
Черт. Я.
Отношение {b-.с} прилежащего (к углу А) катета к гипотенузе
называется косинусом угла (А), что записывается так-.
cos А — ~
(или csA = —).
с /
Чтобы получить прибли-
женные значения косинуса,,
следует сделать то же по-
строение, как и для синуса
(см. черт. 4), и отмерять от-
резки AC: ACj = 87 мм;
АСг = 64 мм\ АС^ = М лиг,
значит, cos 30° = 0,87; cos 50° = 0,64; cos 80° = 0,17.
Таблица значений косинуса дает возможность просто решить некоторые-
задачи.
Известно, что по склону горы на определенной площади нельзя посадить
с только деревьев, сколько их можно посадить на горизонтальной площади.
Так как они ие должны затемнять друг друга, то их можно посадить столько,
сколько можно посадить иа горизонтальной площади, находящейся под данной
площадью (проекции дайной плошади).
Если угол наклона горы 30°, а ширина поля по склону (по линии наиболь-
шего ската) 120 метров, то какова должна быть ширина горизонтального поля,
на котором умещается столько же культурных растений, сколько на данном.’
(См. черт. 7.)
АС
—,5- = cos А; АС = АВ cosA; АС = 120 cos 30° = 120-0,866 = 103,92 ~ 104 м.
Найти радиус пятидесятой земной параллели, принимая радиус земли рав-
ным оЗбО км (черт. 10).
А С = А В cos 'f. А С — 6360 cos 50° - 6360 • 0,643 = 4089,48 ~ 4090 км.
— 16 —
Отношение {b'.a\ прилежащею (к углу А) катета к противоле-
•жащелгу (углу А) катету называется котангенсом угла (А), что
записывается так:
Черт. 10.
мерить DB в миллиметрах, DBX = 214;
гласно определению,
ctgA=4
или cotg Z? = у,
или cot А = — ).
а )
Чтобы получить прибли-
женные значения котан-
генса, можно поступать та-
ким образом. Отложить
по вертикальному напра-
влению (черт. 11) AD =
100 лглг\ через точку D
провести DB _\_AD и по-
строить заданные углы в
25°, 40°, 70°. Остается из-
£>Вг = 119; £>£3 = 36. Со-
ctg25°=^=^=2',4> вд40“- =,Л9;
ctg 70° =	= 0,36.
При насыпании гравия в кучу он образует
конус (черт- 12), угол наклона
Черт. .11.
черт- 12.
'которого равен а = 33°. Найти ширину кучи, высота которой h — 28 вершк.
(Объем такой кучи равен */а куб.сажени.)
АС
-^-=ctga; АС — Л ctga; AD = 2h ctga; AD = 28-2-1,54 = 86,2 вершка.
Отношение (с : Ь) гипотенузы к прилежащему (к углу А) катету
называется секансолг угла 01), что записывается так:
— 17 —
, C
sec A — -r-
o
( »
или sc A = -j- I.
\	о /
Значения секанса можно получить как числа, обратные значе-
ниям косинуса:
sec А = 4- = 1 : — = 1: cos А;
О с
например,
sec 28° — cos28o =	=1Л 33.
Расстояние между двумя пунктами А и В по плану *) равно 120 м; каково
расстояние между ними по дороге, средний наклон которой к горизонту равен
32°? (Черт. 5.)
4H = secA; АВ = АС sec А; АД = 120-141,38~141 м.
АС
Отношение (с : а) гипотенузы к противолежащему углу (А) ка-
тету называется косекансом угла (А), что записывается так:
-sm st
л с
esc А = ~-
а
(. с	. с А
или cosec А = —, или cosc А = — I.
а	а /
Значения косеканса можно получить как числа, обратные зна-
чениям синуса; действительно,
. с	.. а 1
esc А = — = 1: — =
а с	sin А
например,
esc 40° =	= --1 - = 1,555.
sin 40°	0,643
Какое расстояние надо пройти по д >роге, наклонной к горизонту на 25°,
чтобы подняться на 10 метров? (Черт. 5.)
АВ
-g^- = cscA; АВ=:ВС esc А; АД —l0csc25°_10-2,37= 23,7 м.
§ 10. Применяя эти определения к углу В (черт 7), можно написать:
 о Ь
с
(отношение противолежащего катета к гипотенузе);
cos В = —
с
’) На планах и картах наносятся расстояния, отнесенные к горизонтальной
Г<адСд0|^И‘Д)|ДаПР0ТИВН0М СЛУЧае> ХОЛМИСТУЮ местность нельзя было бы уме-
&ная тригонометрия.
г
— 18 —
(
(отношение прилежащего катета к гипотенузе);
tang В = ~
(отношение противолежащего катета к прилежащему);
ctgB = |
(отношение прилежащего катета к противолежащему);
sec5 = —
а
(отношение гипотенузы к прилежащему катету);
esc В =
о
(отношение гипотенузы к противолежащему катету).
Сравнивая эти выражения функций угла В с функциями угла А
(см. предыдущий параграф), заключаем, что
sin В = cos А = —; cos В — sin А = —; tg В — ctg А = —;
с	с	а
ctg В = tg А = ; secB = cscA = -^; esc 5 = sec Л = у...(1)
Эти формулы показывают, что тригонометрические функции
острого угла прямоугольного треугольника просто выражаются через
тригонометрические функции другого его острого угла. Но острые
углы А и В прямоугольного треугольника связаны между собою за-
висимостью
Л-[-5 = 90°.
I
Вообще углы, сумма которых равна 90°, называются взаимно-
дополнительными-, таковы, например, углы в 67° и 23°, в 38°42'51"
и 51°17'9”
Острые углы прямоугольного треугольника — углы взаимно-допол-
нительные, так как
А 4-5 = 90°.
Отсюда
Л = 90° — В, или 5=90° — А.
Если в вышеприведенных соотношениях (1) заменить угол 5
равной ему разностью 90° — А, то они перепишутся следующим
образом:
sin(90° — Л) = совЛ; cos(90° — Л) = 51пЛ; tg(90° — ,4) = ctg4.
ctg (90° — Л) = tg А; sec (90° — Л) = esc А; esc (90° — Л) = sec Л.. .(2)
Функцию, название которой отличается от названия данной при-
бавлением или отниманием частицы «ко», будем называть кофунк-
цией; например, котангенс есть кофункция тангенса. Этот термин
позволяет все соотношения (2) выразить такой простой фразой:
— 19 —
функция данною угла равна кофункции дополнительного угла.
Например, ctg 67° = tg23°, sin 38°42'5Г' = cos51°17'9".
Этой зависимостью пользуются в таблицах, помещая слева и
справа числа rf-цусов, дополняющие друг друга до 90°, а сверху
и снизу названия функции и кофункции.
Для решения прямоугольных треугольников при помощи этих
шести функций необходимо иметь в своем распоряжении таблицу
значений их для всевозможных острых углов. Если ограничиться
только углами, выраженными целым числом градусов, то достаточно
знать элементы 89-ти прямоугольных треугольников с острыми угла-
ми, начиная с 1° до 89°. Но, принимая во внимание соотношения
(1) или (2) и замечая, что один из углов Д или В, наверное, не
превосходит 45° (так как их сумма равна 90°), заключаем, что до-
статочно составить таблицу значений тригонометрических функций
от 1° до 45° включительно.
Обращаясь, например, к прямоугольному треугольнику с острым
углом в 37° и гипотенузой в 100 мм, находим измерением, что ка-
теты равны 60 и 80 млг, откуда получаем:
sin 37° = cos 53° = 0,60; cos 37° — sin 53°=0,80;
tg 37° = ctg 53° = 0,75; ctg 37° = tg 53° = 1,33;
sec 37° = esc 53° = 1,25; esc 37° = sec 53° = 1,67.
В прямоугольном треугольнике с гипотенузой, равной 100 лгм, и
острым углом в 27° посредством измерения находим, что катеты
равны 45 и 89 лгм, откуда получаем:
sin 27° = cos 63° = 0,54; cos 27° = sin 63° = 0,89;
tg27° = ctg63° = 0,51: ctg27° = tg 63° = 1,97;
sec 27° = esc 63° =. 1,12; esc 27° = sec 63° = 2,22.
Если задан угол, то можно построить треугольник и, смерив его
стороны, найти приближенные значения тригонометрических функций
даннаго угла, вычислив отношения соответствующих сторон. Напро-
тив того, по данному значению одной из функций легко построить
угол.
Например, задано
3
sin х = у.
Построим треугольник с катетом равным 3 единицам длины и ги-
потенузой, -5 единицам длины. Тогда угол, лежащий против катета,
равного 3 единицам длины, и есть искомый; остается измерить его
с помощью транспортира.
1ооЛИ	то построим треугольник с катетами 85 лглг
и 100 лгм, или 1,7 см и 2,0 см. Угол, лежащий против меньшего
катета, и есть искомый. Заметим, что построение угла по данному
ангенсу точнее, чем по транспортиру.
Аналогично этим примерам не представит затруднения найти
— 20 —
Таблица значений тригонометрических функций
I
0	sin	cos	tg	ctg	sec	CSC	-
1	0,017	1,000	0.017	57,290	1,000	57,229	89
2	0,035	' 0,999	0,035	28.636	1,001	28,654	88
3	0,052	0,999	0,052	19,081	1,001	19,107	87
4	0,070	0,998	0,070	14,301	1.002	14,336	86
5	0,087	0,996	0,087	11,430	1,004	11,474	85
6	0,105	0,995	0,105	9,5’4	1,006	9,567	84
7	0,122	0,993	0,123	8,144	1,008	8,206	83
8	0,139	0,990	0,141	7,115	1,010	7,185	82
9	0,156	0,988	0,158	6,314	1.012	6,392	81
10	0,174	0,985	0,176	5,671	1,u15	5,759	80
11	0,191	0,982	0,194	5,145	1,019	5,241	79
12	0.201	0.978	0.213	4.7 05	1,022	4.810	78
13	0,225	0,974	0,231	4,331	1,026	4,445	77
14	0 242	0,970	0,249	4,011	1,031	4,134	76
15	0,259	0,966	0,268	3,732	1,035	3,864	75
16	0,276	0,961	0,287	3,487	1,040	3,628	74
17	0,292	0,956	0,306	3,271	1,046	3,420	73
18	0.309	0.951	0,325	3.078	1,051	3,236	72
19	0,326	0,946	0,344	2,904	1,058	3,072	71
20	0,о42	0,940	0,364	2,747	1,064	2.924	70
21	0,358	0.934	0.384	2,605	1,071	2,790	69
22	0,375	0,927	0,404	2,475	1,079	2,669	68
23	0,391	0,921	0,424	2,356	1 086	2,.->59	67
24	0,407	0,914	0,445	2,24o	1,095	2,459	66
25	0,423	0,906	0,466	2,145	1,103	2,366	65
26	0 438	0,899	0,488	2,050	1 113	2,281	64
27	0,454	0,891	0,510	1,963	1,122	2,203	63
28	0,469	0,883	0,532	1.881	1,133	2,130	62
29	0,485	0,875	0,554	1,804	1,143	2.063	61
30	0,500	0,866	0,577	1,732	1,155	2,000	60
31	0,515	0,857	0,601	1,664	1,167	1,942	59
32	0,530	0.848	0,625	1,600	1,179	1,887	58
33	0,545	0,839	0.649	1,5л0	1,’92	1,836	57
34	0,559	0,829	0,675	1 483	1,206	1,788	56
35	0,574	0,819	0,700	1,428	1,221	1,743	55
36	0,588	0,809	0.727	1,376	1,236	1,701	54
37	0,602	0,799	0,754	1,327	1,252	1,662	53
38	0,616	0,788	0,781	1,280	1,269	1.624	52
39	0,629	0,777	0,810	1,235	1,287	1,j>89	51
40	0,643	0,766	0,839	1,192	1,305	1,556	50'
41	0,656	0,755	0,869	1,150	1,325	1,524	49
42	0,669	0.743	0,900	1,111	1,346	1,494	48
43	0,682	0,731	0,933	1,072	1,367	1,466	47
44	0,695	0,719	0,966	1,036	1,390	1,440	4b
45	0,707	0,707	1,000	1,000	1,414	1,414	45
—	COS	sin	ctg	tg	CSC	sec	О
— 21 —
построением угол по каждой из тригонометрических функций, строя
треугольник по двум заданным катетам или по гипотенузе и катету.
Если по приведенной таблице надо найти значение тригонометри-
ческой функции угла, не превосходящего 45°, то следует прочесть
заглавие столбца сверху, а число градусов слева; если же угол пре-
восходит 45°, то заглавие столбца надо читать снизу, а число граду-
сов справа, например,
tg 62е = 1,88.
Это число 1,88 помещено на пересечении столбца, озаглавленного
сверху «ctg» и строки, в которой слева написано 28°, значит
ctg 28° = 1,88,
tg 62° = ctg 28°,
как и должно быть, так как 62° + 28° = 90.
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА.
§ 11. Раньше чем решать прямоугольные треугольники при помощи
этой таблицы, заметим некоторые зависимости между элементами
прямоугольного треугольника.
По определению синуса имеем:
sin/t = — и sinB = —,
с	с
что можно представить в таком виде:
а —с sin4 и 6 = с sin 5.
Оба эти равенства можно формулировать так: катет равен ги-
потенузе, умноженной на синус противолежащею катету угла.
Таким же образом по определению косинуса:
cos4= — и cos В — — ,
с	с*
следовательно,
f> = ccos4 и а = с cos В,
что формулируется так: катет равен гипотенузе, умноженной на
косинус прилежащею (к катету) угла.
По определению тангенса:
tg4 = £, tgS=4,
следовательно,
c = f>tg4 и b~atgB,
т- е. катет равен другому катету, улгноженному на тангенс проти-
волежащего :к первому катету) угла.
— 22 —
По определению котангенса:
ctgA = y, ctg5 = y,
значит,
6 = octgA, c=7>ctgB,
т. е. катет равен другому катету, умноженному на котангенс при-
лежащего (к первому катету) угла.
Подобные же соотношения легко получить при помощи опреде-
лений секанса и косеканса, а именно:
c = dsecA и c = asecB
c = ocscA и c = bcscB,
т. е. гипотенуза равна катету, умноженному на секянс прилежащего
к нему угла, или гипотенуза равна катету, умноженному на косе-
канс противолежащего ему угла.
РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ И РАВНОБЕДРЕННЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
И ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.
§ 12. Прямоугольный треугольник вполне определен, если заданы
два его элемента (из которых, по крайней мере, один не должен
быть углом). Заданными элементами могут быть: 1) гипотенуза
и острый угол, 2) катет и острый угол, 3) катет и гипотенуза и
4) оба катета. Соответственно этому различают четыре основных слу-
чая решения прямоугольного треугольника. Они называются основными
в отличие от особенных, когда задаются какие-нибудь другие эле-
менты,
I. Заданы гипотенуза и острый угол.
А = 35°, с — 47 см.
Имеем
а=с sin А — 47-0,57 = 27 см, Ь — с cos А — 47 -0,82 = 38,5 см. *)
В = 90° —А = 55°.
Н. Заданы катет и острый угол.
а = 8,1 см, А = 58°.
Имеем
Ь=a ctg А = 8,1 -0,625 = 5,0625 = 5,1 см\ с = a esc А = 8,1 -1,179 =
= 9,5499 = 9,5 см.
111. Заданы гипотенуза и один из катетов.
а = 3,7 см, с = 6,2 см.
’) Значения 0 57 и 0,82 взяты из таблицы
— 23 —
Из соотношения
о== с sin А
имеем
sin А = — =	— 0,60,
С o,Z
отсюда по таблице находим
А = 37°,
и далее:
Ь — с cos А = 6,2-0,80 = 5,0 см.
IV. Заданы оба катета.
а — 5,7 см, b = 12,2 см.
Имеем
o = fetg4; tg4 = -^ = ^ = 0,47,
отсюда
4 = 25° и c = ocsc 4 = 5,7-2,37 = 13,5 см.
§ 13. В этих задачах данные были приведены с небольшой точ-
ностью, и ответы получены с незначительной точностью. В тех
случаях, когда требуется ббльшая точность, пришлось бы прибегнуть
к более сложным вычислениям и воспользоваться более подробной
таблицей значений тригонометрических функций, чем приведенная
выше. Для уппощения вычислений пользуются, как известно, лога-
рифмами. Но пользоваться только обыкновенными логарифмами при
вычислениях с тригонометрическими функциями не очень удобно,
так как пришлось бы находить сначала по таблице тригонометри-
ческих функций значение функции и затем еще в логарифмических
таблицах логарифм найденного в первой таблице числа. Обычно
употребляются не такие таблицы, как приведенные на стр. 22
(таблицы так называемых «натуральных» тригонометрических функ-
ций), а таблицы логарифмов тригонометрических функций. В этих
таблицах против каждого угла записан логарифм того значения,
которое функция имеет для данного угла.
В четырехзначных таблицах находим, например,
log sin 35°46'= 9,7668, log ctg 35°46' = 0,1425.
Пятизначные таблицы дают
log sin 30°52'43' = 9,71030; log ctg 30°52'43" = 0,22331.
По заданному логарифму функции находим угол, например (по
четырехзначным таблицам),
log tgx = 9,4563; х = 15°57';
по пятизначным таблицам
log cos у = 9,65437; у = 63°10'4б'.
Приведем два примера логарифмических вычислений для решения
— 24 —
прямоугольного треугольника. В первом примере вычисления сделаны
по четырехзначным, а во втором по пятизначным таблицам.
Первый пример. Положим, заданы угол А и гипотенуза с.
Пусть
4 = 35°, с = 47 см.
Вычисляем по формулам
c = csin Д;
log с =1,6721
log sin А = 9,7588
log а = 1,4307
а = 26,9б см.
b = c cos А.
logc= 1,6721
log cos 4 = 9,9131
log *^1,5855
* = 38,50 см.
Второй пример. Положим, заданы катет а и гипотенуза с.
Пусть
а — 3,7 см\ с = 6,2 см.
Вычисления произведем по формулам
• л и •
sin 4 = у; * * = ccos4.
log о = 0,56820
log с = 0,79239
log sin 4 = 9,77581
Д = 36°38'2Г
log с = 0,79239
log cos 4 = 9,90440
log * = 0,69679
* = 4,9750 cm.
В этих двух примерах данные те же, как и в первом и третьем
примерах предыдущего параграфа. *)
§ 14. При помощи формул, относя-
щихся к прямоугольному треугольнику,, в
очень многих случаях могут быть решаемы
равнобедренные и правильные многоуголь-
ники.
Положим, в равнобедренном треуголь-
нике АВС (черт. 13) заданы стороны а=с
и сторона *. Разбивая треугольник на два
прямоугольных треугольника, имеем из
прямоугольного треугольника ABD:
b	л
у = с cos А,
Черт. 13.	отсюда
cos4= ^;С=Д; В = 180° —24.
г) Конечно, следовало бы обращаться к четырехзначным или пятизначным
логарифмическим таблицам только в том случае, если данные приведены с боль-
шей точностью, а не с двумя цифрами, как здесь. Но здесь данные взяты те
же самые для того, чтобы, сравнивая результаты, можно было судить о погреш-
ности, происходящей от приближенного вычисления по натуральным таблицам.
— 25 —
Численный пример. Дано
д=сх=15,26; *=10,72.
Четырехзначные таблицы дают
Д = С = 69°26'; Л=4Г8'.
Пятизначные таблицы дают
А = С = 69°26'1Г; Я = 41°7'38".
Положим, в правильном пятиугольнике ABCDE (черт. 14) задан
радиус описанного круга OA = R. Требуется найти периметр. Из
треугольника AOF имеем:
AF=Rs\nAOF, но £АО/Г=^ = 36°;
значит
А/7sin 36°; AB = 2AF-
АВ 4-fiC-)-....-|-£A = 10^/7=10/?sin36°.
Черт. 14.	Черт. 15.
Если /? = 4,235 см, то периметр равен 24,89 см. (Пятизначные
таблицы дают 24,893 см.)
Положим, задано число сторон правильного многоугольника п и
сторона его а (черт. 15).
Найти площадь (АВ и ВС две последовательные стороны этого
многоугольника). Пусть О центр описанного круга.
£AOD = ^-°=^-°; АО = |.
Из треугольника AOD имеем-
OD = -^ctgl^. Пл. AOB^AD-OD = ~d&—.
in	4 п
— 26 —
Так как весь многоугольник разбивается на п треугольников,
равных АОВ. то площадь многоугольника равна
п& . 180°
Если о=7,234 см, п = 7, то площадь равна 190,1 см2. (Пяти-
значные таблицы дают 190,17.)
ИЗМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОСТРОГО УГЛА.
§ 15. Замечательно, что тригонометрические функции острых
углов, введенные как отношения сторон прямоугольною треугольника,
дают возможность решать не только прямоугольные треугольники,
но даже остроугольные и тупоугольные. Займемся поэтому изучением
изменений и некоторых свойств этих функций.
Определения, приведенные на стр. 16 и 17,
годятся для всякого острого угла, но сами по себе
неприменимы для прямого угла и угла в нуль гра-
дусов, так как в прямоугольном треугольнике
острый угол может быть как угодно близким к
прямому углу или к углу в нуль градусов, но не
может сделаться равным 0° или 90°.
Введем понятие о тригонометрических функ-
циях прямого угла при помощи следующего опре-
деления. Значениями функций угла в 90° назовем
пределы значения их для острого угла при неогра-
ниченном приближении его к 90°; если же такого
предела не существует, то будем говорить, что
соответствующая тригонометрическая функция не
имеет никакого определенного значения для у1ла
в 90°. Будем в треугольнике АВС (черт. 16) увели-
Черт. 16. чивать угол А, оставляя гипотенузу без изменения.
Ясно, что при этом катет b может быть сделан
сколь угодно малым, т. е.
пред. (£>) = 0.
Так как с остается без изменения и а2 = с2 — Ь2, то
пред, а2 —с2— пред. Ь2 = с2, т. е. пред. (а) = с.
Поэтому
sin 90° = пред, (sin A)a=w = пред.-^ = ^^ = у = 1.
cos 90° = пред, (cos А)А=90° = пред. ~	=	у	=	0;
ctg 90° = пред, (ctg А)л=90° = пред. —	=	~	=	°.
CSC 90° = пред. (cscA)a=90”= пред. ^ = ^^ = -^- = 1,
— 27 —
Отношения у и у (как отношения конечных чисел к бесконечно-
малым) по мере увеличения угла возрастают и делаются сколь
угодно большими, поэтому они не имеют определенного предела.
Согласно приведенному условию говорят, что тангенс и секанс
(выражаемые отношениями ~ и не имеют для прямого угла ника-
кого определенного значения, а жел?я выразить, что их численные
значения по мере приближения угла к прямому неограниченно воз-
растают, пишут такие условные равенства:
tg90°—со; sec90° = coi)
и говорят, что тангенс и секанс прямого угла равны бесконечности.
Подобным же образом значениями тригонометрических функций
угла в 0° называют пределы значений их при неограниченном умень-
шении угла; если же такого предела не существует, то функция не
имеет определенного значения для угла в нуль градусов. Уменьшая
в треугольнике АВС неограниченно угол А и оставляя гипотенузу
без изменения, легко убедиться в том, что
пред. о = 0; пред, b = с.
Поэтому
sin 0° = пред, (sin Д)А - & = пред у = 6
cos 0° = пред, (cos Д)А = 0° = пред. А = 1.
tgO° = npefl. (tg Д)А = о» = пред. у = 0
sec 0° = пред, (sec А)а = о» = пред, у = 1 -
Котангенс и косеканс, как отношения у и у > неограниченно воз-
растают по мере уменьшения угла А и для 0° не имеют никакого
значения, что записывают условно в таком виде:
ctg 0° = со ; cscO° = co.
Сравнивая значения функций 0° с значениями функций угла в
90°, замечаем, что для этих углов, так же как и для всяких двух
дополнительных углов, справедливо положение: каждая функция
данного угла равна кофункции дополнительного угла 2), например:
sin 0° = cos 90°; ctg 90° = tg 0°.
§ 16. Рассмотрим, как изменяются тригонометрические функции
при возрастании угла от 0° до 90°. Вообразим себе треугольник,
острый угол которого растет, а гипотенуза остается без изменения;
’) оо знак бесконечности.	*
3) Отдельная проверка этого соотношения для углов 0° и 90° необходима,
так как тригонометрические функции этих углов введены при помощи особого
определения.
— 28 —
тогда катет а также возрастает, а катет Ь убывает. Поэтому отно-
шения
а_ с_
с ’ Ьг b
(в первой дроби возрастает числитель при постоянном знаменателе;
во второй дроби числитель возрастает, а знаменатель убывает; в
третьей дроби знаменатель убывает при постоянном числителе) воз-
растают, т. е. синус, тангенс и секанс (функции, названия которых
не имеют частицы «ко») возрастают при возрастании угла. При
этом, как легко видеть, всегда
о . c т
с b b ’
е. sin А < tg А < sec А.
Напротив того, отношения
b_	6 с
с ' а ’ а ’
т. е. косинус, котангенс,
от 0° до 90°, при чем
косеканск убывают при возрастании угла
— < — < —
с а а ’
е. cos А < ctg А < esc А.
Все эти заключения легко подтвердить значениями, взятыми из
таблицы. Заметим, что синус и косинус острого угла, как отноше-
ния катета к гипотенузе, всегда меньше единицы; напротив того,
секанс и косеканс острого угла, как отношения гипотенузы к ка-
тету, всегда больше единицы. Легко заметить, что для угла в 45°
тангенс и котангенс равны единице. Действительно, если угол А = 45°*
то и В — 45°, прямоугольный треугольник равнобедренный, а — Ь, и
поэтому
tg 45° = tg Дл=45» = = 1; ctg 45° = 1.
А так как тангенс возрастает, то тангенсы острых углов, мень-
ших 45°, всегда меньше единицы, а тангенсы углов, превосходящих
45°, — больше единицы. Обратное имеет место для котангенса.
§ 17. Чтобы получить пред-
Черт. 17.
ставление о том, как именно
изменяются тригонометрические
функции, воспользуемся графи-
ческим изображением их. На
миллиметровой (или другой)
клетчатой бумаге (черт. 17, 18,
19) проведем координатные оси,
т. е. две взаимно - перпендику-
лярные прямые: горизонтальную
ОХ и вертикальную ОУ. Отло-
жим на оси ОХ в каком-ни-
будь масштабе отрезки, соответ-
— 29 —
ствующие углам от 0° до 90°. В точках делений отложим по верти-
кальному направлению отрезки, дающие значения функций в каком-
нибудь масштабе. Если отрезки расположить достаточно часто, то
получается почти плавная пиния. Эта линия и есть график рассма-
триваемой функции. На чертежах 17, 18, 19 изображены графики
тригонометрических функций. На чертеже 17 даны графики синуса
(сплошной линией) и косинуса (пунктирной линией); на чертеже 18
графики тангенса (сплошной) и котангенса (пунктирной линией) и
на чептеже 19 графики секанса (сплошной) и косеканса (пунктирной
Черт 18.
Черт. 19.
линией). Графики тангенса, котангенса, секанса и косеканса не
умещаются целиком на чертеже (да и не могут уместиться), так как
значения этих функций для углов, близких к 0° или к 90°, стано-
вятся больше всякого наперед заданного числа.
График синуса не только показывает, что синус все время воз-
растает по мере увеличения угла, но что возрастание это все время
замедляется и для углов, превосходящих 80°, становится очень
медленным. Убывание косинуса, напротив того, все ускоряется и
делается наиболее быстрым для углов, близких к 90°. Тангенс воз-
растает сначала почти так же, как и синус, но потом возрастание
его делается все более и более быстрым и для углов, больших 60°,
становится чрезвычайно быстрым (по сравнению с первоначальным).
Нетрудно на графике проследить возрастание или убывание дру.их
функций.
Графики тригонометрических функций позволяют не только найти
— 30 —
значение тригонометрической функции для каждого угла, но и
обратно — по значению тригонометрической функции найти значе-
ние угла. Положим, что требуется найти tg 55°; отмеряя на чер-
теже 18 против деления, соответствующего 55°, вертикальный отрезок
вверх до графика тангенса, находим tg 55° = 1,43, а в трехзначных
натуральных таблицах находим 1,428.
Найдем еще угол, косинус которого равен 0,у. Отложив на чер-
теже 17 по оси ОУ отрезок 0,9, проведем через конец этого отрезка
прямую, параллельную ОХ, до пересечения с графиком косинуса и
найдем на оси ОХ число градусов, соответствующее данному коси-
нусу, а именно 25°; таблицы дают также 25°. Легко видеть, что
таблица дает все то, что дает график, и обратно — все, что дает
график, можно получить и из таблицы. Но преимущество графика
в том, что на нем изменения функции более наглядны — они прямо
усматриваются из рассмотрения графика; зато таблицы дают боль-
шую точность. Поэтому общие свойства функции легче видеть на
графиках, но численные значения лучше брать из таблиц.
Например, из чертежа 17 легко заключить, что значение синуса
делается равным значению косинуса для угла в 45° и равно прибли-
зительно 0,7. (Таблицы дают 0,707.)
При помощи чертежа 18 нетрудно решить, например, такой
вопрос: найти угсл, для которого значение тангенса вдвое более
значения котангенса. Из чертежа легко усмотреть, что это может
иметь место только для угла, большего 45°. Измерив значения тан-
генса и котангенса для угла в 60°, замечаем, что тангенс приблизи-
тельно в три раза больше котангенса; очевидно, что искомый угол
лежит между 45° и 60°. Дальнейшие пробы суживают границы иско-
мого угла и показывают, что искомый угол равен приблизительно 53°.
По таблицам заключаем, что искомый угол лежит между 54° и 55°
и притом ближе к 55°. (Можно было бы с самого начала опреде-
лить искомый угол по графику на-глаз и затем уже по таблицам
найти границы.)
Все подобного рода вопросы легко решаются с помощью графи-
ков. Для решения вопросов, связанных с сравнением значений си-
нуса (и косинуса) со значениями тангенса (и котангенса) или секанса
(и косеканса), следует графики их поместить на одном чертеже.
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ ОСТРОГО УГЛА.
§ 18.	По данному значению функции можно, пользуясь табли-
цами (или графиками), найти соответствующее значение острого
угла, а по найденному углу можно уже определить значения других
тригонометрических функций. Таким образом значение одной из
тригонометрических функций определяет значения всех остальных.
Покажем, что по данному значению одной из функций можно найти
значения остальных непосредственно вычислением, не находя даже
угла, функция которого задана. Для этого выведем некоторые зави-
симости между значениями тригонометрических функций одного угла.
— 31 —
По определениям тригонометрических функций имеем:
£ = sinA, — = cosA, £ = tgA, — = ctgA, £ = secA, — = csc4.
с	с	' b ' a	b	a
Теорема Пифагора дает: д2-|-д2 = с. Разделяя обе части этого
равенства последовательно на с2, на & и на а2, получаем:
®!+(4)’=’.............о,- (Я+'=(1)’...................<">
(4)!+1=(Я........................(ПО
Кроме того, напишем очевидные тождества:
£.£ = 1. .(IV);	-.-£=1. . (V);	£-4^1. . . (vi)
с а	с b	' '	b a	v 1
“ =	............(VII);	- =	.............(УШ).
b с с	• 	асе	*•	’
Эти восемь равенств переписываются при помощи записанных
выще определений таким образом:
sin2 А cos2 А = 1 1).............(1)
tg2 А -|-1 = sec2 А.............(2)
ctg2 А -|-1 = esc2 А..............(3)
sin A -esc А = 1................(4)
cos А • sec А = 1...............(5)
tgA-ctgA = l....................(6)
............•........(7)
cos А	' 7
ctgA=C0S4.......................(8)
sin А	' '
Таким образом мы получили восемь соотношений, связывающих
шесть тригонометрических функций и справедливых для какого-угодно
острого угла. Легко проверить, что они справедливы также для
углов в 0° и 90°, для чего надо только подставить численные зна-
чения тригонометрических функций этих углов в приведенные восемь
равенств.
§ 19.	Нетрудно обнаружить, что из восьми приведенных равенств
пять не зависят одно от другого, в то время как остальные три
могут быть выведены из них. Действительно, возьмем пять равенств
из приведенных восьми, например, равенства (1), (2), (3), (4), (5).
Разделив обе части равенства (1) на cos2 А, получаем:
sin2 А  .__	1
cos2 А ’ cos’А’
') Вместо (sin A)2, (cosA)2, (tg А)2 и т. ц. пишут: sin2A, cos2A, tg2A и т. д
— 32 —
но на основании равенства (5)
поэтому	—= sec А, cos А sin2 А . .	.. . —2-J-+1 — sec2 А. cos2 А 1
Сравнивая это равенство с равенством (2), заключаем, что
. „ л /sinA\2	sin Л
tg2 А = ----г , т. е. tg А =---т,
\cosA/’ e cos А’
(так как все тригонометрические функции положительны), а это и
есть равенство (7). Таким же образом, разделяя (1) на sin2 А,
получаем:
cos2 А . .J_	1
sin2 А • sin2 А ’
что на основании равенства (5) дает
/cosA\2 .	.
+1 =csc2A,
\sin А/ 1
сравнивая этот результат с равенством (3), получаем:
. , . /cosA\2	д cos А
ctg2A= ——у) , т. е. ctgА =
\sin A)	sin А
а это и есть равенство (8). Перемножив полученные уже равенства
(7) и (8), получаем равенство (6).
Подобным же образом (но еще проще) можно было бы, напри-
мер, из равенств (1), (4), (5), (6), (7) вывести остальные. Но нельзя,
например, из равенств (4), (5), (6), (7), (8) получить остальные, так
как равенство (6) есть следствие равенства (7) и (8). Необходимо
взять, по крайней мере, одно из равенств (1), (2), (3), т. е. теорему
Пифагора в скрытом виде.
Итак, независимых равенств не больше пяти.
Нетрудно показать, что среди приведенных восьми равенств не
только не больше пяти независимых, но что число независимых
равенств и не меньше пяти. Действительно, для определения пяти
неизвестных необходимо иметь не менее пяти независимых уравне-
ний. Поэтому стоит только показать, что из этих восьми уравне-
ний могут быть определены пять неизвестных, как этим самым
будет обнаружено, что число независимых уравнений не меньше
пяти.
Положим, значение одной из функций, например, тангенса неко-
торого угла, задано. Выразим остальные функции через тангенс.
Из (2) имеем
sec А — j/tg2 А 4-1£);
*) Перед знаком корня оставлен только знак -(-»так как тригонометрические
функции положительны.
— 33 —
из (3)	. "	1	1 cos А =	т- — -	-	’ seo4 j/tg’A |-1 ’
ИЗ (7)	t£ А sin А = cos А • tg А = r	= • У tg2 Л -J-l ’
из (4)	!	Ktg2A+1 esc A = -= —7—x	; sin A	tg A
наконец, из (6)	^“tgA •
Этим показано, что из приведенных восьми соотношений можно
выбрать пять независимых. С другой стороны, этим на частном
примере решена задача, поставленная выше, а именно: по данному
значению сдной из функций (без помощи таблиц тригонометриче-
ских функций) найти значения остальных функций того же угла.
Решим ту же задачу еще для одного примера: выразим все функции
через синус. Из (1) получаем
cos A = j/i^sin2A;
ИЗ (7)	. . 	sin А	 sin А cos А |/1—sin2A*
из (8)	. . cosA J/1—sin2A CtgA — 	7- - 		г—j	 sin A	sinA
из (4)	esc A = ? .; sin A
и, наконец,	из (5) sec A — —Цг = , 1 cos A j/i— sin2 A
Полученными выражениями мы сейчас воспользуемся для вычи-
сления значений тригонометрических функций некоторых углов.
§ 20.	Уже выше (см. стр. 28) было замечено, что tg45° =
= ctg45° = l. Подставляя эти значения в (только-что выведенные)
формулы, выражающие другие функции через тангенс, получаем:
sec 45°--)/2; csc45° = l<2; sin 45° =
cos A 45°
1
1^2
z2
2~*
Итак,
sin 45° = cos 45° = ^Д. tg 45° — ctg 45°= 1
ПрямолиаеЙВ1-я тригоноыетря!,
3
— 34 —
Найдем еще значения тригонометрических функций 30°. Прове-
дем для этого в равностороннем треугольнике АВС (черт. 20) высоту
AD. (АВ = ВС = СА = а, А = В =
— С— 60°.) Тогда
Z5AZ) = y = 30°
Черт. 20.
Из прямоугольного треугольника
BAD (по определению синуса;
sin 30° = = 4-’ «=-
АВ 2	2 '
Отсюда по формулам (выведенным
в предыдущем параграфе), выражаю-
щим остальные функции через синус,
имеем:

1 _ у з
з ;
ctg 30-=1^4=^:
sec 30° = 1	=	= esc 30° = 1 :1 = 2.
2 Уз 3	2
Итак,
sin 30° = 1; cos30° = i^-; tg30° = ^-; ctg30° = /3;
Применяя формулы, связывающие функции дополнительных углов
(60° = 90° — 30°), получаем:
sin 60° = iy-; COS 60° = у; tg 60° = /3? Ctg 60° =	;
sec 60° = 2; esc 60е =
ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.
§ 21.	Две точки А и В находятся (черт. 21) на одной горизонтальной пря-
мой АВС с основанием башни, высота которой Л = 30 м. Точки А и В видны
из вершины башни под углами понижения *) а = 31° и |3 = 52= Найти рас-
стояние АВ-
АС = Л ctga; £C = ^ctgp; АВ = I ' tga — ctgP).
АЯ = 30-(1,664 — 0,781) = 26,49- 26,5 м.
Эта задача может, например, служить для определения ширины реки
*) Углом понижения называется угол, образованный горизонтальной прямой
с лучом зрения, направленным наклонно вниз.
— 35 —
Если *В известно,, а CD неизвестно, то легко найти CD, т. е. решить
вопрос с 5 определении высоты предмета, к основанию которого нельзя подойти.
Пусть АВ = d, тогда
Черт 21.
Черт. 22.
Найти широту места, для которого в полдень, в день весеннего равно-
денствия, тень гномона (вертикального шеста) высотою h = 2 имеет
длину 7 = 2,5 м.
В день весеннего равноденствия направление на солнце AS параллельно
экваториальному радиусу (черт. 10, иа стр. 1 и составляет с вертикальной
прямой AZ угол ср, а с горизонтом АН угол (90э — ср).
На основании условий задачи заключаем, что (черт. 22)
I	2.5
-г — ctg (90° — <р) = tg ¥ tg ср =	— 1,25; отсюда <р = 51°20'
Л
Черт 23.
Найти высоту солнца, если стена высотою в Л = 4 л отбрасывает тень
шириною в 6 = 6,7 м. В момент наблюдения солнце находится как-раз на
юге (черт. 23); стена имеет направление, делящее уго i между направлениями
на северо-восток и на восток пополам. На чертеже ширина тени АВ — Ь.
♦
— 36 —
В точке С стена отбрасывает тень ВС. Направление стены составляет
с направлением на восток (О) угол в 22,5е; угол АВС = 90° — 22,5° = 67,5°;
AB = b — BC sin67°30'. Нп на основании предыдущей задачи легко видеть,
что длина тени BC = l — h ctg а, где а — высота солнца над горизонтом. Подста-
вляя это выражение в поедкдущее равенство, получаем b—h ctg a-sin 67°30';
отсюда
Л sin 67°30'
Черт. 24.
= ±sin™ ; а = 28О53,
О,/
Свернем прямоугольник A,ADE
(черт. 24), диагональ которого A,DU
в круговой цилиндр	при
этом диагональ прямоугольника рас-
положится на поверхности цилиндра
и займет положение A,FA. Эта ли-
ния A,FA неплоская (не лежит в одной
плоскости); линия эта называется
винтовой; если она получена от свер-
тывания одного прямоугольника, то
она один раэ обвивается вокруг ци-
линдра: начало и конец ее расположены на одной образующей ДА,. Но если
взять ряд таких прямоугольников, то винтовая линия будет несколько раз
обвиваться вокруг цилиндра. Отрезок AAt называется «ходом» винта или
«высотой шага»; угол а — угол подъема винта.
Пусть высота шага Л = 26 мм, а диаметр сечения d— 23 мм. Найти
угол подъема.
tga = ^f = tga = -^; отсюда а = 19°47'.
А,Е ted’ ь л-23
О ПРОЕКЦИЯХ НА плоскость.
§ 22. Проекцией данной точки А (черт. 25) на плоскость Р на-
зывают основание Aj перпендикуляра, опущенного из точки А на
Черт. 25.
— 37 —
Черт. 26.
плоскость. Если проектируемая точка D лежит на плоскости, то
проекция точки совпадает с ней самой. Проекцией отрезка на
плоскость называют отрезок на плоскости, лежащий между проек-
циями концов отрезка. Например, BtCi есть проекция ВС, a DEt
есть проекция DE. Проекцией многоугольника будем называть мно-
гоугольник, образованный проекциями сторон данного многоугольника.
Площадь проекции треугольника на плоскость равна площади
салгою треугольника, умноженной на косинус угла, образованного
плоскостью проекций с плоскостью треугольника.
Докажем эту теорему сначала для того случая, когда одна сто-
рона (АВ) треугольника, (черт. 26) лежит на плоскости. Точка
Ci—проекция точки С. Таким образом АВСХ— проекция треуголь-
ника АВС. Площадь тре-
угольника АВС равна
— •АВ-DC, а площадь
треугольника ABCi равна
±-ABDCt, но DCi =
DC cos а (угол а образо-
ван плоскостью тре-
угольника АВС с плос-
костью Р), отсюда пло-
щадь/fiCi =2 -AB-DC-
• cos а = площадь АВС-
• cos а, что и высказы-
вается теоремой.
Очевидно, что эта теорема остается справедливой и для того
случая, когда одна сторона треугольника не совпадает, но парал-
лельна плоскости.
Чтобы доказать эту теорему для остальных случаев, следует
через одну из вершин провести прямую, параллельную плоскости,
и приложить теорему к каждому из образовавшихся треугольников.
Пусть S, Si и S2 — площади всего треугольника
и каждого из образовавшихся, s, Si s2 — пло-
щади их проекций; тогда Sjx^SjCOsa, s2 — S2
cos a, поэтому Si s2 = (Si zt S2) cos a, t. e.
s — S cos a.
Нетрудно распространить эту теорему на
случай любого многоугольника (разбивая на тре-
угольники) и на какую угодно плоскую фигуру
(методом пределов).
§ 23. Положим, из потока параллельных лучей
(или силовых линий) мы выделяем пучок, поперечное
сечение которого (черт. 27) равно s кв. ед. Если плос-
кость, на которую падают лучи, перпендикулярна к на-
правлению лучей, то этот пучок осветит площадку s;
если же повернуть плоскость на угол а, то тот же
Черт 27.	пучок упадет на пло цадку Но sz^SjCosa. Чем
— 38 -
больше площадь, которую освещает пучок лучей, тем яркость освещения
меньше: во сколько раз пегвая больше, во столько раз вторая меньше. Поэтому
отношен ie яркостей освещения А и Л] этих двух площадок равно.
A:Aj=— : 1 = 5,:5 — 1 :c®sa, т. е. А^А cosa, или Aj = Asin₽.
S Sj
Значит, яркость освещения пропорциональна синусу угла, образованного на-
правлением лучей с плоскостью.
Найти отношение нагревания лучами солнца поверхности земли в полдень
в день весеннего равноденствия для места, широта которого ^ = 60°, к нагре-
ванию экватора.
Из черте. <а 10 на стр. 16 видно, что лучи солнца на экваторе падают
отвесно, а под широтою <р составляют с поверхностью земли угол 90° —
Поэтому нагревание на широте <? равно А, = А cos<p = -^-A.
(А — означает нагревание на экваторе.)
ФОРМУЛЫ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬ-
НИКОВ.
§ 24. Рассмотрим сначала остроугольный треугольник АВС
(черт. 28). Опишем около него окружность. Обозначим радиус опи-
Черт. 28.
шин (или по аналогии), можно
санного круга буквой R. Проведем из
вершины С диаметр CD и соединим
противоположный конец его с точ-
кой В. Треугольник CDB — прямо-
угольный (угол В — вписанный, опи-
рающийся на диаметр). Из треуголь-
ника BCD имеем: ВС = DC sin BDC,
но £_BDC= ДА (каквписанные углы,
опирающиеся на одну и ту же дугу),
поэтому
а = 2)? sin А, или 2R— -^ r.
sin А
(Так как угол А не равен 0°, то
sin А не равен нулю, и поэтому можно
делить на sin А.) Поступая таким же
образом относительно других вер-
получить:
Отсюда выводим
2/? = -^ и 2R = ~
sin В	sin
а   Ь   с
sm A	sin В	sin С ‘
То же самое соотношение справедливо и для прямоугольных
треугольников. Действительно, пусть угол С прямой, тогда sinC=l.
Кроме того, с sin А и d = csinB, или
а	с	J b	с	с b с	(1)
sin А	1 sin В	1	’ ‘ ' sin A	$in В	sin С ‘
— 39 —
(заменив единицу через sin С). И в данном случае также 2/? = -^-^,
J	sin С
или 2R — с, или R ~ у. Действительно, описав окружность (черт. 29)
из середины D гипотенузы радиусом, равным половине ее, заклю-
чаем, что окружность должна пройти через вершину С. (Если бы
Черт. 30.
Черт. 29.
точка С оказалась вне круга, угол С был бы меньше прямого; если
бы точка С была внутри круга, угол С был бы больше прямого.)
Рассмотрим еще треугольник АВС (черт. 30) с тупым углом А.
Опишем опять окружность и проведем через точку С диаметр CD.
Обозначив угол BDC буквой Дп имеем из прямоугольного тре-
угольника BCD-.
o = 2^sin4i.......................(2)
Углы А и Аг измеряются соответственно половинами дуг BDC
и ВАС. Эти две дуги дают в сумме окружность и содержат поэтому
360°, а сумма их половин равна 180°. Значит,
Д 4^ = 180°; Д1 = 180° —Д.
[Такие два угла (каковы А и АД сумма которых равна 180\
будем называть пополнительными.] Получаем из равенства (2)
2/? = V-
sin Д1
Кроме того, проведя диаметры из других вершин, будем, как и
для остроугольного треугольника, иметь:
sin В sm С
Итак,
а   b
sinAt	sir В
с	______а________b _______ с z э \
sfnC’ ИЛИ sin (180° —Д) “
— 40 —
Значит, равенство (1) видоизменяется в данном случае только
тем, что вместо тупого угла следует взять пополнительный к нему
острый угол. Чтобы не было и этого различия и чтобы можно
было всегда пользоваться формулой (1) независимо от назначения
угла Д, введем условное равенство
sin (180° — Д) = б>пД.................(4)
т. е. будем считать синусом тупого угла синус пополнительного
ему (острого) угла. (Далее мы увидим, что и другие соображения
приведут нас к тому же равенству.) Такое определение мы имеем
право ввести, так как до сих пор синус тупого угла совсем не был
определен. Пользуясь равенством (3), из равенства (2) заключаем,
что для всяких треугольников справедливо соотношение
а   Ь   с
sin A	sin В	sin С ’
Эта теорема носит название теоремы синусов и может
быть формулирована так: стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов. В геометрии установлено, что
в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Теорема же синусов устанавливает, сверх этого, что одна сторона
треугольника относится к другой, как синусы углов, им противо-
лежащих.
§ 25. Замечательна формула, связывающая стороны треугольника с коси-
нусом одного из углов.
Для случая, когда сторона а (черт. 311 лежит против острого угла А,
по известной теореме геометрии: о2 — д2-|-с2— 2b-AD, но AD^ccosA,
Черт. 31.
Черт. 32.
Последняя формула справедлива и для того случая, когда угол А прямой.
Действительно, cos 90° = 0, и последняя формула принимает вид о2 = Ь3 -|- с3,
что, конечно^ справедливо, согласно теореме Пифагора.
Наконец, если угол А тупой (черт. 31), то д» = о24-с®-}-2й-Д£), но AD =
— с cos (J80°-^ А), поэтому
!	•	a1 = d« + c2 + 2dccos(180o — А) ..........(2)
— 41 —
Стремясь к общности формул и замечая, что косинус тупого угла еще не
определен, дадим такое определение: косинусом тупою угла называется ко-
синус пополнительною острого угла, взятый со знаком минус. Тогда
cos (180° — А) = — cos А
н формула (2) принимает также вид
сР= b2 + с3 — 2dc cos А,
т. е. квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других
сторон дез удвоенною произведения их, умноженного на к синус угла между
ними. (Мы дали именно такое определение косинуса тупого угла, так как
при всяком другом определении квадрат стороны треугольника, лежащей против
тупого угла, выражался бы иной формулой, чем квадрат стороны, лежащей против
острог' угла.) Эта теорема называется иногда теоремой косинусов.
§ 26. Перейдем теперь к выводу так называемой теоремы
тангенсов.
Пусть в треугольнике АВС (черт.
33) сторона а > Ь, тогда Д > В
(против большей стороны лежит
больший угол). Отложим на пря-
мой ВС от точки С в обе стороны
отрезки CD и СЕ, равные Ь; тогда
получим равнобедренные треуголь-
ники ACD и АСЕ. Отрезки DB и
ЕВ соответственно равны (а—&)
и (а Ь) Проведем еще через
точку D вспомогательную прямую
DF, параллельную АЕ. Угол EAD—
прямой; действительно, если из
центра С описать окружность ра-
диусом CD, то она пройдет через
вписанный, опирающийся на диаметр;
/_ ADF— EAD = 90°; £ CDA - 180°
2	2
= Д — Z_CAD = A— / CAD—A —	____
2	2
(буквами А, В и С обозначены, конечно, углы треугольника АВС).
Из прямоугольного треугольника ADF имеем
tg^-Д^ DF
Черт. 33.
точки Е, A, D, и угол EAD—
£_DAF=
А —В
2 ~ Da'
Из прямоугольного же треугольника ADE имеем
t Д+£_ ЕА
S 2 DA'
Разделяя почленно первое равенство на второе, получаем:
, Д — В
tg 2 _ DF
ЕА'
2
— 42 —
Наконец, из подобия треугольников DFB и ЕАВ заключаем, что
	OF _ DB _ а — Ь ЕА ЕВ а-Ь-Ь"
Итак,	&	2 _а-Ь а+ь'
т. е. отношение тангенса полуразности двух углов треугольника
к тангенсу их полусулглгы равно отношению разности противоле-
жащих сторон к их сулгме.
Из треугольника АВЕ, по теореме синусов:
BE sin BAE
АВ sin AEB'
Выразив эти два угла через углы А. В, С треугольника и сделав соответ-
ствующие упрощения, получим
Подобным же образом из треугольника ADB
BD____sin DAB
АВ ~ sin ADB'
что после упрощения дает
sin
А—В
2
С
cos 2
(2)
а — Ь
с
Черт. 34.
Формулы (1) и (2) носят название формул Мольвейде.
§ 27. Выведем еще третью и последнюю формулу, необходимую
для решения косоугольных треугольников, а именно выражение тан-
генса половины угла треуголь-
ника в зависимости от сто-
рон.
Впишем в треугольник
АВС (черт. 34) окружность.
Точки D, Е и F—точки ка-
сания; пусть точка О — центр
вписанного кр^га (точка пе-
ресечения биссектрис). Обо-
значим радиус вписанного
круга буквой г, а периметр
треугольника 2р (тогда 2р =
= о-|^д-|-с).
Разбивая треугольник АВС
— 43 —
на треугольники АОВ, ВОС и СОА, заключаем, что площадь тре-
угольника АВС равна сумме площадей треугольников ВОС, СОА и
АОВ, площади которых выражаются соответственно так:
ar Ьг сг
2 ’ 2 ’ 2 •
(Высота каждого из этих треугольников равна г, а основаниями
служат стороны а, Ь, с). Складывая эти выражения, получаем:
плот. ЛВС=5 +4+"=г.г+|±Г=^. . . .(1)
С другой стороны, для площади треугольника в курсе геометрии
выводится выражение
V Р {р — а) (р — Ь)(р — с).............(2)
Приведем вывод этой формулы,
высоту AD. (Если треугольник АВС
прямоугольный или тупоугольный,
то буквой А назовем вершину пря-
мого или тупого угла).
Площадь треугольника А ВС
равна
AD-a
2 ‘
Чтобы получить выражение (2),
остается выразить высоту AD через
стороны. Из прямоугольного тре-
угольника ABD имеем
ДД2 = С2 _ BD2,..............(3)
В треугольнике АВС (черт. 35) опустим
Черт. 35.
а из треугольника АВС получаем
отсюда
d3 = g2 + c2- 2a-BD\
2а
подставляя в равенство (3), получаем
Разложение на множители дает
, а2 + ^-*2\Л. о® + с®-*2\	2gc4-g3 + c3-d2
+	—2fl	j \с 2с	.
2ас — & — с? — Ь2 _ £р-\-2ас + с2 — Ь2 Ь2 — (а2 — 2ас + с2) _
2а ~ 2а	2а
__(a-j-с)2 — 63 6- — (g — с)2_(g-L-c+d) (ы + с — У» (d-|-g— с) (Ь — а-^с)
2а	2а ~	4а2
__(а + b -|- с) (— a -j- b -|" с) (а — b -|- с) (а + b — с}
~~	4а2
— 44 —
Значит,
J__(Д 4~ Н~ с) (—Д~Ь^4~с) (д —	(Д4~^ — с)
—	2а
Площадь же треугольника равна
AD• у = у}^(a + d4-c) (-о + й + о (tT^b + с) (а + Ь-с).__
Наконец, заменяя a-j-t>-j-c через 2р, имеем:
— а + b — — 2g + 2р = 2 (р — а);
а. - b+ с= 2(р — Ь)
а+Ь — с = 2(р—с).
Поэтому площадь треугольника равна
у/16 р (p-g) (р — Ь) (р -^с) = У р (р-а) (р-b) (р- с).
Сравнивая приведенные два выражения (1) и (2) для площади
треугольника, получаем:
гр = У~Р (Р-—°) (Р — Ь) (р — с),
откуда
г_ Ур(р-а) (р — Ь) (р — с) _
Р
— ~|Ар —g) (Р j|Tp c)
Из треугольника АОЕ (черт. 34) имеем:
r=AEtgA..........................(5)
Отрезок АЕ очень просто выражается через стороны треуголь-
ника. Действительно, заметим, что AF — AF, BF—BD, CD = CE
(как касательные, проведенные из одной точки).
Обозначим отрезок АЕ буквой х, BF—буквой у, СО — буквой z,
тогда
2х -J-- 2у 2г — 2р, и ти х+> + г=р...........(6)
но и из чертежа явствует, что
>Ч-г = д.........................(7)
Вычитая из (6) равенство (7), получаем
АЕ ^=х = р— а,
значит,
r = (p — g)tg|...................(8)
Сравнивая (8) с (4), имеем:
(р_tg4 = j/(P^g) (P-^JPzzl),
— 45 —
или	_______________
t А _ 1 i /(р - g) (р — b) (р - с)	Q
s 2 ~ р — а г	р	..........' }
При замене буквы А на В придется также заменить а на Ь,
в результате чего получаем
t В _	1	-./"(Р —g) (P — b) (р-с)
s 2 p-b т	р
и подобным же образом
. С _ 1	Q) (Р~(Р — с) *)
6 2’“ р — с V	р
ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
§ 28. Применим теперь выведенные формулы к решению треуголь-
ников в основных случаях. Различают четыре основных случая,
а именно, заданы: 1) два угла и сторона, 2) две стороны и угол,
лежащий между ними, 3) две стороны и угол, лежащий против одной
из них, и 4) три стороны.
Первый случай. Решить треугольник по заданной стороне и двум
углам. Заданы а, В и С, найти А, Ь, с.
Имеем
Д = 180° —(5 + 0;^-^ = ^^,
4	1	' sin В sin А
откуда
.	a sin В
U--	;	j
sin А
и таким же образом
___gsinC
ч.	sin А
Задача решена.
Пример: а — 15,67 см, А — 30°42’, 5 = 75°57'.
Получаем:
С = 180° — (А 4 В) — 73°2Г
&_osinB_ 2978;	С = ^^5= 29,41.
sin А ’ *	sin А ’
*) Если требуется найти все углы треугольника, то вычисления удобнее
вести по формуле (9), чем по формуле
/4_ Л(р — Ь) (р—с)
2 г ~ р (р —а)
так как для вычисления углов надо только найти
logl/ (Р —g) (Р~Ь) (Р-с)
и затем вычитать соответственно log (р — с), log(p — b), log О —с).
— 46 —
logo = 1,1951
log sin B= 9,9868
— log sin A — 0,9220
logo = 1,1951
log sin C— 9,9814
— log sin A = 0,2920
log 6 = 1,4739
& = 29,78
log c = 1,4685
c — 29,41
Вычисления по пятизначным таблицам дают:
С = 73°21' b = 29,775 с = 29,406.
§ 29 Второй случай. Решить треугольник по заданным двум
сторонам и углу, лежащему между ними. Заданы a, b, С; найти
А, В, с. По теореме тангенсов-
a + b гсА+В
44	2
если а > Ь.
Если же а < Ь, то
Ь — а
1> + а
tg
tg
В —А
2 I
Д + А j
2
имеем:
te
а~bteA + B
a + b 6 2
Все величины, входящие во вторую часть равенства, известны
(так как ^-—-^ = 90°— Это равенство может быть переписано
еще таким образом:
, А-В_ а — Ь С
tg 2 ~ a-j-b Ctg 2
(так как углы —+ Д и у дополнительные). Значит, угол В- может
быть найден по таблицам. Введем обозначения
А + Д_
2 —
т\
А-В
2
л.
Складывая и вычитая эти равенства, получаем:
А = т + п’, В — т—п.
Затем, сторона с находится по теореме синусов:
с а	~	a sin С
sin С sin A	sin А
Пример. 0 = 56,23 см, Ь = 40,28 см, С = 65°24. Формулы
. А— В а — Ь . С asinC
tg^^=o^ctg2- и с=даг
— 47 —
дают
Д = 71°45'; Я=42°51'; с = 53,83 см.
а—Ь=15,95 см; а + & = 96,51 слг.у = 32°42'
log (а —й) —1,2028
д. log (а -f- Ъ) = 8,0155
log ctg у = 0,1925
।	* А —В
log tg
2 _9,4108
Т ~ = 57°18’=/77
^- = 14°27' =п
Д = 71°45' = 777 -|-л
/? = 42°5Г = 777— п
log/7 = 1,7499
log sin С = 9,9587
д. log sin Д = 0,0и24
log с = 1,7110
с = 51,41 см.
таблицы дают: Д = 71°44'10"; В= 42°5Г50"; с =
Пятизначные
= 51,41 см.
Сторону с немного проще получить по формуле Мольвейде (см. стр. 42),
а именно
(о —f) cos у
s,n~2-
или
(о ]-d) sin у-
А-В
cos-y=
В нашем примере
log (а - Ь) = 1,2028
log cos у- = 9,9251
А— В
д. log sin—g— = 0,6029
'	log с = 1,7308
с = 53,80
Вычисление третьей стороны
вычисление по теореме синусов:	.	...	. ,	_____
log (а — Ь) или log (а + й)] уже найден и, во-вторых, приходится пользоваться
С А—В
функциями углов -у и —=—, а таблицы уже были открыты в соответствующих
. С .	. А - В
местах; стоит только сразу, тогда же выписать log cos -у, log sin—=— или
.	. С , А—В
log sin -у, log cos—2—
Если не требуется большой точности или данные приведены с небольшим
числом цифр, то удобно воспользоваться формулой, приведенной в § 25.
При заданных a, b, С, вычисляем с по формуле с® = д® b! — 2ab cos С
log (о + b) = 1,9845
log sin -у = 9,7326
А_______р
д. log cos -—2— — 0,0140
logc= 1,7311 •
с = 53,84
по одной из формул Мольвейде проще, чем
во-первых, здесь один логарифм [а именно
— 48 —
а’Ч-с* — й4
а затем из д’ = а’ + г® — 2ас cos В находим cos 5 =—~~2асг —
— (А + В). Более точные вычисления по этим формулам неудобны, так как
эти формулы нелогарифмические.
Пример. fl = 4,7; д=5,4; С = 49°50'.
г3 = о2 4-д’— 2od cos С = 22,094-29,16 - 50,76-0,645 = 18,51,
отсюда
.^п D +	22,094-18,51 -29,16	____
0= 4,30; cos В =	----= - >-	------- = 0,283,
и 5 = 73°34’; А=56°36'.
Вычисления по пятизначным таблицам дают
5 = 73°34'9"; А=56°35'51"; с = 4,3021.
Очень удобно применять этот способ решения, пользуясь таблицами ква-
дратов и корней квадратных или логарифмической линейкой.
§ 30. Третий случай. Решить треугольник по заданным двум
сторонам и углу, лежащему против одной из них. Заданы а, Ь, А.
найти В, С, с. По теореме синусов получаем
sin5 = *si—.
а
Заметим, что здесь требуется найти угол В по данному значе-
нию его синуса (вторая часть последнего равенства содержит только
известные величины), а синус не должен превышать единицы. По-
этому, если вторая часть последнего равенства больше единицы, то
задача невозможна: предложенные данные не определяют никакого
треугольника. Кроме того (если требование	удовлетво-
рено), здесь возникает затруднение другого рода: дело в том, что,
кроме острого угла В, удовлетворяющего уравнению sin 5= -si”-A, су-
ществует еще тупой угол, дополнительный к углу В, синус которого
равен тому же числу, что и синус В. Который из этих углов при-
надлежит решаемому треугольнику? Исследуем этот вопрос, рас-
смотрев все возможные случаи.
I. Пусть а > Ь. Угол А может быть либо больше, либо меньше
прямого. Так как д<о и sinA<l, то dsin А < а, т. е. sin5 =
= ° s^nA < 1 и, значит, задача имеет решение. Угол В в этом случае
меньше угла А (так как b < о), и потому угол В, наверное, острый ;
значение его найдем из таблиц и обозначим буквой Вг. Угол В2~
= 180° — 51 удовлетворяет уравнению sin В — —А, но не удовлу
творяет условию 5<А. Значит, для искомого угла найдется зна-
чение и притом только одно (найденное в таблицах).
И. Пусть о<д, А < 90°. Так как д>д, sinA<1, то, очевидно,
может случиться, что
dsinA>o; dsinA = a; dsinA<a.
— 49
Рассмотрим отдельно каждый из этих случаев:
1)	sin А > с, или —5-дП^ > 1, значит, нет такого угла, синус ко-
торого равнялся бы Задача невозможна.
2)	sin А = а, тогда = 1; значит, угол 5—прямой. Поэтому
b— гипотенуза этого треугольника, и можно решать треугольник п<?
формулам с—b cos А и С = 90° — А.
3)	Z>sinA<a, тогда 6sin — <Г 1. Из таблиц найдем В,—значение
а
угла 5; но угол В2 = 180° — Bi также удовлетворяет как условию
. _	b sin А	_	, г,
sin5= -—, так и условию В^>А. Поэтому в данном случае
имеем два решения: два различные треугольника — один с острым
углом Bi, другой с тупым углом В2— удовлетворяют условиям задачи.
Решение треугольника заканчивается по формулам
1)	с1 = °|^(угол (^90°).
2) С2 = 180° — А — В2, С2 = ^р^(угол С2 < 90°, так как
В2 > 90°)
Нет надобности останавливаться на 3-м случае: а — Ь, так как
в этом случае сразу заключаем, что В = А, и заканчиваем решение
треугольника (разбив его на два прямоугольных треугольника) по
формулам С=180° — А; с — 2b cos А.
Подтвердим геометрическим построением правильность приведенного
анализа.
Заданы стороны а, Ь и угол А.
I случай. а^>Ь.
Строим угол А (черт. 36) и на одной стороне его откладываем АС—Л; на
конца С этого отрезка
радиусом, равным а, опи-
сываем дугу до пересе-
чения с другой сторо-
ной угла А и ее продол-
жением в точках В, и
В.>. (Точки В, и В.>, на-
верное, лежа- по разные
стороны от точки А:
большие наклонные СВ,
и СВ2 имеют большие
проекции DB, и DB,,
чем более короткая сто-
рона СА, имеющая про-
екцию DA.) Получаем два
треугольника АВ,С и
АВ2С. Но легко заме-
тить, что только первый
Удовлетворяет заданным *
условиям: во втором нет	Черт. 36.
заданного угла А. Заме-
тим еще, что длина перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ,
(из Л A CD) равна CD —6 sin А.
Лрямолиневиая трргожсмотрел.
4
— 50 —
Черт. 37.
11 случай 6 > а.
Этот случай разбивается на следующие.
1)	Ь > а и b sin А > а.
Делаем то же построение, что и в предыдущем случае (черт. 37). Отре-
зок а меньше перпендику-
ляра, опущенного из точки С
на прямую АВ (а < b sin А),
и поэтому дуга, описанная
радиусом, равным а, не пе-
ресекает стороны А В. Зна-
чит, в этом случае никако-
го треугольника не полу
чается.
2)	b > а и b sin А = 0-
В^полняя то же по-
строение (черт. 38) заме-
чаем, что дуга, описанная
из точки С, касается в этом
случае стороны АВ, так как
CD = b sin А = а.
3)	6 > а и b sin А < а.
В данном случае дуга, описанная радиусом а (черт. 39), пересекает пря-
мую АВ (так как а > b sin А = CD) в двух точках St и S2, лежащих по одну
сторону от точки А (так как меньшая наклонная а имеет меньшую проекцию,
чем большая наклонная Ь). Оба треугольника АВгС и АВ2С удовлетворяют
условиям: действительно, оба треугольника имеют заданный угол А, заданные
стороны а и Ь. Задача
имеет в данном случае
два решения, как было
найдено и аналитическим
путем. Заметим еще, что
углы Bi и В2 пополни-
тельны, так как В2
= DB2C = 180°, а угол
DB2C = Bi, ибо тре-
угольник В^С — равно-
бедренный.
Итак, все положения,
полученные выше анали-
тическим путем, под-
тверждены теперь при
помощи построения.
Примеры.
I.
0 = 45,23; 6 = 32,68;
А = 72°34'.
. п 6 sin А
sin В —-----;
а ’
fi=43°35';
С=180°—(А4-£) =
= 63°51'.
с- J'sinC  4255
sin А
Черт. 39.
— 51 —
log b = 1,5142
log sin A = 9,9796
Д. log a = 8,3446
log sin В =9,8384
£=43G35'
log a = 1,6554
log sin C — 9,9531
Д. log sir. A = 0,0204
log c —1,6289.
Хотя угол (180° — 43°35') = 136°25' имеет тот же синус, как и
43°35', но здесь можно взять только 43°35', так как угол В должен
быть меньше угла А.
Пятизначные таблицы дают: 2? = 43°34'39";
С = 63°51'21"; с =42,557.
II.
1)	0 = 3,175; 6 = 5,698; А = 63°33'.
Логарифм синуса В равен 0,2133; значит, синус угла В полу-
чился бы больше единицы, что невозможно. Решения нет.
2)	о = 63,53; 6 = 80,15; А = 52°26'.
Получаем log sin В = 0,0000, т. е. синус угла В равен единице;
поэтому угол В равен 90°. Треугольник прямоугольный, гипотенуза
его 6. С = 90° — А = 37°34', значит,
с = 6 cos А
и для с получаем значение 48,87.
Пятизначные таблицы дают:
Я = 90°, С = 37°34', с =48,866.
3)	о=7,843; 6 = 9,567; А = 48°ЗГ.
Получаем log sin В~ 9,9609; отсюда 2?1=66°3' или В2 = 180° —
— 66°3'= 113°57. Оба значения, как Ви так и Вг пригодны, так
кас оба удовлетворяют условиями
. ft__b Sin А ,,.	,
sin В =-----и В>А.
а
Таким образом, получаем два треугольника, один с углом Bt.
другой с углом В2. В первом треугольнике Q = 180° — А — B{ —
= 65°26' и сторона ct — 9,522. Во втором треугольнике С2 = 180с -
— А — Z?2= 17°32' и сторона с2 = 3,154.
Вычисления по пятизначным таблицам дают:
C1 = 65G26'30"; с, =9,5220 и С2=17СЗГЗО", с, = 3,1525.
§ 31. Четвертый случай. Решить треугольник по заданным трем
сторонам. Заданы а, 6, с. Найти А, В, С. Применим формулы для
тангенсов половин углов треугольника.
W A _	1 <Р — а) (р~— 6) (р — с)
16 2 ~ р — а V	р
— 52 —
Все величины во второй части известны(р— а~*А; поэтому
найдется определенное значение для половины угла А. Таким же
образом найдем значения других углов треугольника.
Для возможности задачи необходимо и достаточно, чтобы ка-
ждая из разностей (д —а), (р— Ь), (р— с) была положительная. Усло-
вие это необходимо: если бы, например, (д— а) было отрицатель-
ным, то отношение
г
р-а
было бы также отрицательным, т. е. тангенс острого угла (половина
угла треугольника — угол острый) был бы отрицательным, что невоз-
можно. Оно достаточно, так как при соблюдении его тангенсы по-
ловин всех углов треугольника вещественны и положительны. Условие
(д — а) > 0 дает
Q “I- Ь -1 С п b -|- с — с п • ।	.
—-Цу-------а > 0, или —— >0, т. е. b -]- с > а.
L	&
Значит, условие д — а>0 выражает, что сумма двух сторон
а и b должна быть больше третьей. (Условия д — Z>>0 и д — с>0
равносильны таким: а-\-с~> b и а-\- Ь> с.)
Пример. с=14,27 см, Ь~ 20,41 см, с = 21,68 см.
2д=а-|-д-|-с = 56,36; д=28,18; д — 0=13,91; д — £> = 7,77;
д — с = 6,50.
log (д — а) = 1,1433
log (p — b) = 0,8904
log (7?— с) = 0,8129
д. ^д= 8,5501
~13967
1,3967:2 = 0,6983.
0,6983	0,6983	0,6983
д. log (д— 7) = 8,8567 д. log (д — Ь) = 9,1096 д. logfa — с) = 9,1871
log tg А = 9,5550 log tg ^- = 9,8079	logtg А = 9)8854
A=19°45'	A = 32°43’	A = 37°32'
A = 39°30'	В = 65°26'	C = 75°4'.
Вычисления по пятизначным таблицам дают
A = 39°29'26", В= 65°26'58", С = 75°3'38".
Если численные значения сторон приведены с небольшой точностью, то
удобно воспользоваться формулой, выведенной в § 26 (теоремой косинусов).
Из равенства cfl = bi-\-c'1 -26 с cos А, имеем:
С	.	& + с3 — а*
cos А =-----------,
2Ьс ’
откуда находим угол А и таким же образом углы В и С.
— 53 —
Примеры: а = 3,4; b = 4,3; с = 5,1.
£>> + <? —да 18,40 4-26.01—11,56
cos А =	=------^-43 й= 0,751; А =41°20'
cos В =	= .056 + ^^8,49 =
2 ас	34,68
cosC = ^±^-^= 11-56 + Х~2^= 0,138; С = 82°4’
2 а b	29,24
Вычисления по таблицам дают
А = 41°19Т4'', Д = 56°37'16", С = 82с3'32".
В особенности удобно пользоваться этими формулами, если иметь таблицу
квадратов чисел и таблицу натуральных тригонометрических функций.
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА И ДЛЯ РАДИУСОВ КРУГОВ
ВПИСАННОГО И ОПИСАННОГО.
§ 32. В курсах геометрии даются следующие выражения для пло-
щади треугольника:
ah„	г —
s~ 2.............0) s = Vp(p — a) (p — b) (р — с) ... (2)
где Лп — высота, опущенная на сторону а, р — полупериметр тре-
угольника. Из треугольника ADC (черт. 40) имеем ha — b sin С.
Черт. 40.
Если С<90’, то ha = bs\nC.
Если С = 90°, то ha = b\ sinC=l, т. е. Aa = AsinC.
Если С > 90°, то ha~b sin (180° — С) — b sin С.
Подставляя в выражение (1) для площади, получаем
absin С
s = ~...........................(3)
Наконец, выражая сторону b в функции других элементов, имеем
по теореме синусов b —	• Подставляя это выражение в ра-
венство (3), получаем
o’ sin В sin С
S= 2sinA ~.........................(4)
— 54 —
При выводе теоремы синусов, как промежуточный результат,
было получено выражение радиуса описанного круга.
Р =	= -ь	‘
4	2 sin A 2sinfi 2 sin С
Умножая числитель и
обратив внимание на то,
треугольника, получаем:
знаменатель
что 2af>sinC
последней дроби на ab и
есть учетверенная площадь
4s ’
выражение, в которое все стороны входят одинаково.
При выводе формулы для тангенса половины угла треугольника
мы имели для радиуса вписанного круга

(Р — а) (Р — Ь)(р — с)_
г	р .
р (р-а) (р- b) (р-с)_ s
Р
Р2
ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.
§ 33. Найти высоту горы или башни, к основанию которой нельзя по-
дойти.
Пусть А вершина горы (черт. 41); О — основание перпендикуляра, опущен-
ного из точки А на плоскость Р; В — точка горизонтальной плоскости Р. Тре-
буется найти высоту точки А над плоскостью Р. Для этого измеряют расстоя-
ние d точки В от некоторой точки С, которая лежит на плоскости Р или вне
ее. Поместившись в пункты В и С, наблюдатель измеряет углы АСВ=ч,
АВС = $, АВС —а. Угол АВО есть угол, составленный прямой АВ с горизон-
тальной плоскостью. Из треугольника АВС имеем
АВ sin т	• ллп  i , х	лп rfsiny
-j- = • >, п 1 ио sin CAB - sin (а 4- y), отсюда АВ — . -—1—
d sin CAB'	' н sin (а-И)
а из треугольника ОАВ получаем
ОА — АВ sin р, т. е. ОА —
I
£? sin ₽ sin 7
Sin (а +7У
С вершины башни из-
мерены углы а и ₽, образо-
ванные направлениями на
точки А и В (черт. 42) с
вертикальным иаправле-
нием. При основании О из-
мерен угол АОВ= 7. Точки
А и В лежат в одной гори-
зонтальной плоскости с
основанием башни О.
Высота башни равна
Л = 12 м. Найти расстоя-
ние АВ.
i = 80°15’; Р* = 75°7'; 7 =
65°34'.
AO = Atga; fiO = Atgfl;
AB‘ = (h tga)2+(A tg 3)2-
2K‘ tg j tg 3 cos 7,
Черт. 41.
— 55 —
отсюда
АВ = Л У tg2 а + tg2? — 2 tg a 1g р COS т =• 65,6 ~66м.
Со скалы, находящейся на берегу озера, направление на облако С (черт. 43)
составляет с горизонтом угол о, а
направление на отражение С’ облака в
озере угол р. Зная высоту скалы Л,
найти высоту облака.
74
Им
Черт. 42.
Черт. 43.
Обозначим неизвестную высоту CD буквой х. Расстояние CD = С D (так
как предмет и изображение находятся на одинаковом расстоянии от плоского
зеркала).
1-е решение. Из треугольника САЕ и САЕ получаем
СЕ = х — Л = АЕ tg а; С'Е =х -|- h~ АЕ tg р.
Деля одно равенство на другое, получаем
X — Л _ tg а
x~+h — tg3 ’
отсюда
2-е решение. Из точки С падает луч СВ и, отразившись в точке В от
поверхности воды, идет по направлению В А. Из треугольника С АВ
СВ _ sin (д -)- р)
АВ sin (р — а) ’
так как / СВА =180°-2Р; Z САВ =«-(-₽; значит £АСВ = 'р -а.
Из подобия треугольников CDB и AFB имеем
х _ СВ _ sin (g Р)
Л ~ В А ~ sin (р — а)'
поэтому
у _ ь sin № + а)
* Щп(З-а)’
— 56 —
Первое решение несомненно проще. Из сравнения выражений х заклю-
чаем, что
tg ? + tg ° __ sin (Р 4- °)
tg ₽ — tg a sin (р — а) 
Следует заметить, что для логарифмических вычислений вторая d ормула
удобнее первой. Действительно, вычисляя по первой формуле, надо по log tg а
и log tg р найти tg а и tg р, и далее, найдя их сумму и разность, снова для
вычисления частного найти log (tg 3 -f-tga) и log (tg P — tg а). Вторая формула
требует только нахождения log sin (Р + “) и log sin (р — а.) Такие формулы, как
вторая, называются в отличие от формулы такого вида, как первая, логариф-
мическими. Важно уметь преобразовывать нелогарифмические формулы в лога-
рифмические.
Этой задачей мы займемся во второй части (см. § 71).
ТРИАНГУЛЯЦИЯ.
§ 34. Чтобы снять план местности, обыкновенно поступают так. Выбирают
на местности достаточное число точек (не слишком удаленных друг от друга)
и соединяют их (мысленно) прямыми. Таким образом местность разбивается
на треугольники, получается сеть треугольников. Точки следует выбрать так,
чтобы из каждой точки (вершины треугольника) были видны о^е другие вер-
шины, и чтобы из каждой точки, лежащей внутри треугольника, были видны
все вершины треугольника.
Затем надо определить все элементы полученной сети треугольников, а
Черт. 44.
для этого надо уметь выполнять две операции: во-первых, измерять расстояние
между двумя пунктами и, во-вторых, измерять угол, составленный двумя пря-
мыми (черт. 44) АВ и АС, при чем обе точки В и С видны из точки А. Первая
операция производится (обычно) посредством мерной цепи.
Она требует вообще большой затраты времени и воз-
можна только при выполнении ряда условий: например,
того, чтобы измеряемое расстояние лежало иа ровной
местности и было везде доступным. Но даже при соблюде-
нии этих условий (вообще довольно редких) точное изме-
рение расстояния — очень трудная задача. Измерение
углов можно произвести значительно точнее и требует
оно гораздо меньше времени. Поэтому обычно непосред-
ственно измеряют только один отрезок, называемый бази-
сом; но измеряют его, по возможности, точно. Затем,
переходя последовательно в каждую из вершин треугольников, измеряют углы
между направлениями на другие вершины треугольников. После этого все
отрезки находят посредством вычисления, т. е. решения треугольников, углы
которых измерены. Здесь встретятся две основные задачи.
1. Найти отрезок, один конец которого совпадает с концом базиса (найти
расстояние от Заданной точки до неприступной точки.)
2. Найти длину отрезка, концы
которого не совпадают с концами
базиса (найти расстояние между
двумя неприступными точками.) Ре-
шим эти задачи.
Найти расстояние от непри-
ступной точки до другой доступ-
ной.
Точка А (черт. 44) доступна,
точка В — недоступна (например,
лежит на островке реки, куда пере-
бираться неудобно или невозможно).
Измеряем базис АС = & и углы А
и С.
Черт. 4S
— 57 —
Получаем
. n b sin C
AB=
sin (A + C
Найти расстояние между двумя недоступными точками В и D. Измеряем
базис АС = b (черт. 45) и углы: / ВАС — a, DAC = 8; Z DCA = 7; Z ВСА=ь.
Из треугольников ВСА и DCA
находим
FIC~ ftsina . nr— *sin₽_
Sin(a + o)’	Sin(₽4-T)'
Когда ВС и DC найдены, остается вычислить BD из треугольника BCD,
в котором известны две стороны и угол, лежащий между ними.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ.
УЧЕНИЕ О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.
ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ УГЛА И ДУГИ.
§ 35.	В первой части этой книги при изучении тригонометриче-
ских функций были введены некоторые ограничения. Сначала мы
рассматривали функции только острых углов, несколько позже были
введены понятия о тригонометрических функциях углов в 0° и 90°.
Затем было еще введено понятие о синусе тупого угла посредством
формулы sin (180° — А) = sin А. Возникает вопрос, нельзя ли вообще
понятия о функциях острых углов распространить на углы, превы-
шающие прямой? Если бы это оказалось возможным, то и графики
функций, например график синуса, не обрывался бы, как он обры-
вается на черт. 17 в точке, соответствующей углу в 90°, и мог бы
быть продолжен далее.
В этой, второй, части мы будем изучать тригонометрические
функции всяких углов. Но для этого необходимо ввести некоторые
предварительные понятия.
§ 36.	Обобщим раньше всего понятие угла и дуги. Если вра-
щать отрезок ОА (черт. 46) вокруг точки О в сторону (указанную
на чертеже стрелкою), обратную
направлению движения часовой
стрелки, то точка А займет после-
довательно положения В, С, D, Е.
Описав окружность, точка А вер-
нется в свое первоначальное по-
ложение, во второй раэ опчшет
окружность и т. д. Соответствен-
но этому мы будем рассматривать
не только дуги, меньшие окружно-
сти, но также дуги, большие чем
окружность, дуги, равные несколь-
ким окружностям, и даже дуги
сколь угодно большие. Все эти
дуги будем считать положитель-
ными. Напротив того, дуги, опи-
санные точкой А при вращении
Черт. 46.
— 59 -
ее в противоположную сторону, т. е. по часовой стрелке, будем счи
тать отрицательными. Но окружность разделяют на 360 градусов:
значит, теперь введены дуги, ббльшие 360°, а также дуги, измеряемые
отрицательным числом градусов.
При переходе точки А в положение В и С, ОА принимает поло-
жения ОВ и ОС, которые образуют с первоначальным направлением
углы АОВ и АОС. В геометрии обыкновенно рассматривают углы
в пределах от 0° до 180°; теперь же мы условимся говорить, что
и дальнейшие положения, которые занимает радиус, образуют с пер-
воначальным углы AOD, AOF (отмеченные на чертеже) и т. д. Таким
образом понятие угла обобщено, и мы можем рассматривать углы,
даже превосходящие 360°, а также углы отрицательные, образован-
ные вращением радиуса в сторону движения часовой стрелки.
Первоначальное положение радиуса есть положение ОД: мы
будем называть радиус ОД неподвижным, или начальным; радиус же,
образующий другую сторону угла, будем называть подвижным, или
конечным. Например, радиус ОС есть конечный радиус угла ДОС.
Если подвижный радиус совпадает с неподвижным, не совершив ни
одного обращения ни в ту, ни в другую сторону, т. е. когда нет
никакого угла, то говорят, что подвижный и неподвижный радиусы
образуют друг с другом угол, равный нулю. (Так же, как о двух
совпадающих точках говорят, что расстояние между ними равно
нулю.) Отсюда легко видеть, что всякий угол измеряется тем же
положительным или отрицательным числом (или нулем), как и соот-
ветствующая ему дуга.
§ 37.	При повороте радиуса на 360° он снова принимает свое
прежнее положение; поэтому, например, все углы, начальный радиус
которых ОД, а конечный OD, отличаются друг от друга на целое
число полных оборотов радиуса OD. т. е. на 360° k, где k— какое-
либо целое (положительное или отрицательное или равное нулю)
число. Обозначив один из этих углов буквою и, мы можем значение
каждого из этих углов рассматривать как алгебраическую сумму
1-360°^; здесь k равно нулю или целому, положительному или
отрицательному числу, указывающему, сколько оборотов по напра-
влению движения часовой стрелки или по обратному направлению
было сделано, чтобы перейти от угла и к углу —|—360°#; обо всех
этих углах мы будем говорить, что они имеют одинаковый геоме-
трический вид. Все это можно дословно повторить и относительно
дуг, т. е. во всем этом параграфе заменить слово «угол» словом
«дуга».
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ О ВЕКТОРАХ И ПРОЕКЦИЯХ.
§ 38.	Подобно тому как углы и дуги мы считаем положительными
и отрицательными, отрезки на прямой, как известно, также при-
нято считать в одну сторону положительными, в другую — отрица-
тельными. Прямую, на которой откладываются положительные и
отрицательные отрезки, называют осью. Чаще всего рассматри-
вают горизонтальную и вертикальную оси. На горизонтальной оси
— 60 —
Черт. 47.
принято считать отрезки в правую сторону положительными, влево—
отрицательными; на вертикальной же оси положительными считают
обыкновенно отрезки, направленные вверх, а отрицательными —
направленные вниз. О ряде параллельных прямых говорят, что они
имеют одинаковое направление *)> чт0 они определяют собой неко-
торое направление. Конечно, и одной прямой достаточно для опре-
деления направления. Если в отрезке различают: 1) направление
прямой, на которой он отложен,
2) смысл его (положительный или
отрицательный) и 3) длину его, то
этот отрезок называется вектором.
Например, отрезок АВ (черт. 47)
имеет определенное направление,
определенный смысл (от А к В) и
определенную длину; обозначим
этот вектор символом АВ. Векторы
АВ, CD, EF, имеющие одинаковое
направление (отложены на парал-
лельных осях), одинаковый смысл
и одинаковую длину, будем назы-
вать геометрически равными: АВ —
=~CD = EF.
Векторы BA, DC и FE имеют то же направление, что и век-
торы АВ, CD, ЕЕ, но противоположный смысл. Числовое значение
длины вектора, взятое со знаком плюс или минус (в зависимости
от смысла вектора), называют алгебраической величиной вектора.
Если первые три вектора (АВ, CD, EF) положительны, то последние
три (BA, DC, ЕЕ) отрицательны.
Поэтому
АВ~ — В А.
или
ДВ4-ВД = 0;
можно, конечно, также писать
AB-\-FE = Q.
§ 39.	Докажем следующую теорему * 2) (Шаля); если три точки
А, В, С лежат на одной оси, то, как бы ни были_расположгны
точки А, В, С одна относительно другой, АВ-|- ВССД = 0.
Положим, точки А и В расположены так, что, перемещаясь по
]) Кроме термина «направление» (Richtung, direction) далее введен термин
«смысл» (Sinn, sens). Иногда термина «смысл» не вводят, и тогда придают
слову «направление» то значение, которое здесь придано слову «смысл». Вве-
дение обоих терминов дает большую определенность понятий.
2) Эта теорема принадлежит Мёбиусу, хотя ее называют обыкновенно
Т?опемой Шаля-
— 61 —
оси в положительном смысле, мы встречаем точку А раньше точки
В. Тогда могут представиться три случая, изображенные на чер-
теже 48: 1) точка С находится за точкой В, 2) точка С — между
точками А и В и 3) точка С лежит на оси раньше точки А.
В первом случае:
Д2?4-5С = ДС или AB-j-BC =
— СА, т. е. АВ-]-ВС-|-СА = О.
Во втором случае:
АВ= АС -]-СВ, или АВ ——ВС
— СА, т. е. АВ-|-ВС-|-СД =0.
В последнем случае:
СА-[-АВ = СВ, или АВ 4-СА =
— ВС, т. е. АВ4-ВС-]-СА =0.
Итак, теорема доказана для тех	Черт. 48.
случаев, когда точка А лежит (в по-
ложительном смысле) раньше точки В. Если же точка В лежит
раньше точки А, то очевидно, что свойства точки А будут принад-
лежать точке В и обратно. Поэтому для этого случая можно в до-
казанном равенстве вместо В написать А и обратно.
Получаем
ВД + 4С4- Св = 0,
изменяя знаки
— ВА — АС — СВ = 0, или АВ В(. + СА = 0.
А это и есть то равенство, справедливость которого следовало
доказать. Итак, теорема доказана для всех случаев
Из этой теоремы следует, что во всяком случае
АВ = дс 4- СВ-
Действительно, равенство
АВ 4- ВС 4- СА = 0
можно переписать в виде
АВ —— ВС—СА, шт АВ = АС-]-СВ.
§ 40.	Приведем основные понятия теории проекций.
Проекцией точки А на данную ось CD (черт. 49) называют осно-
вание В перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную
прямую. Если проектируемая точка лежит на оси, на которую
проектируют, то проекция точки совпадает с ней самой, так, точка F
есть проекция точки F на ось CD. Проекцией вектора на ось на-
- 62 —
зывают вектор на данной оси между проекциями начала и конца
данного вектора. Например, проекцией вектора АВ служит вектор
ab, которому мы приписы-
Чсрт. 49.
ваем знак плюс; cd— проек-
ции вектора CD — приписы-
ваем знак минус. Векторы
Ьа и de служат проекциями
векторов ВА и DC.
§ 41.	Докажем, что про-
екции геометрически равных
векторов на ту же ось (или
на параллельные оси) геоме-
трически равны между со-
бою.
Пусть (черт. 50) векторы
АВ и CD равны между со-
бою, т. е. имеют одинаковое
направление, одинаковый
смысл и одинаковую длину. Требуется доказать, что проекции их
ab и cd на ось ху равны между собою. Для доказательства прове-
дем через начала А и С обоих векторов оси, параллельные оси ху
Черт. 50.
и отметим на них проекции АЕ и СЕ векторов АВ и CD. Прямо-
угольные треугольники АВЕ и CDF равны (£_А = £_С, AB=CD),
значит, AE—CF (смысл их одинаков). Но ab — AE, cd= СР (из пря-
моугольников АЕЬа и CFdc)\ значит, ab и cd, т. е. проекции геоме-
трически равных векторов на ту же ось геометрически равны между
собою. Из чертежа, относящегося к этому доказательству, легко за-
ключить, что проекции вектора на параллельные оси равны между
собою (например, на оси АЕ и ху).
На основании этого свойства можно при проектировании один
вектор заменять другим, геометрически равным первому.
— 63
Черт. 52.
§ 42.	Пусть даны какие-нибудь три точки А, В, С. Тогда век-
тор АС называется замыкающим векторов АВ и ВС (черт. 51),
которые называются составляю-
щими. Пусть проекции этих точек
на ось будут Ви Сх. Очевидно
AiBit BiCj, ЛС! — проекции век-
торов АВ, ВС, АС. А так как
A\Bi —I-BtCt -|-Gj/lI = 0, или AjBi
= АС), то сумма проекций
составляющих векторов равна
проекции замыкающею вектора.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕ-
СКИХ ФУНКЦИЙ В ОБЩЕМ ВИДЕ.
§ 43.	Обобщим теперь понятие
о тригонометрических функциях.
Допустим для определенности, что одна из сторон выбранного нами
угла расположена горизонтально и направлена вправо. Продолжим
эту сторону, приняв ее за ось и проведем через вершину угла
другую ось, перпендикулярную к первой. Получим оси хх и уу. На
первой оси примем за положительное — направление вправо, а на
вертикальной — направление вверх.
Этими осями вся плоскость разделяется на четыре части хОу,
уОх1, х'Оу', у'Ох, которые называют четвертями (или квадранта-
ми) : хОу — первая
четверть, уОх' —
вторая четверть,
х Оу’ — третья че-
тверть, у'Ох — че-
твертая четверть.
Точку О пересечения
осей назовем нача-
лом Подвижный ра-
диус, образующий
различные углы с
Ох, будем называть
радиусом - вектором
и обозначать бук-
вой 7?. При этом бу-
' дем принимать за
начало радиуса век-
тора точку О, а ра-
диус - вектор будем
считать всегда поло-
жительным, т. е. бу-
дем приписывать R. знак плюс, как бы радиус-вектор ни был распо-
ложен.
I
— 64 —
Радиусы-векторы О А. ОВ, ОС и OD образуют с Ох углы, лежа-
щие соответственно в первой, второй, третьей и четвертой четверти.
Оа', Ob', Ос' и Od' — их проекции на ось Ох (горизонтальные
проекции); Od1, Ob", Ос", Od" — их проекции на ось Оу (верти-
кальные проекции). Так как точка О-—начало радиуса-вектора и ле-
жит на обеих осях, то О служит также началом всех проекций
радиуса-вектора на ту и на другую ось. Поэтому каждая из проекций
положительна или отрицательна, смотря по тому, лежит ли ее конец
правее или левее, или же выше или ниже точки О. Проекции Оа',
Od, Оа", ОЬ"— положительны, остальные отрицательны. Условимся
обозначать проекцию на ось Ох оуквой х, а на ось Оу буквой у.
Если хх и уу_— оси координат, то х и у — координаты той
точки, в которую проведен радиус-вектор.
Чтобы найти обе проекции какого-нибудь из радиусов-векторов
(ОД, ОВ, ОС, OD), достаточно рассматривать только один из тре-
угольников, полученных при проектировании. Действительно, напри-
мер, вектор ОЬ’ равен вектору Ь'В, поэтому нет надобности в тре-
угольнике ОВЬ”, а можно ограничиться рассмотрением треугольника
ОЬ'В-, здесь ОВ — радиус-вектор, ОЬ—его проекция на ось Ох,
ЬВ — его проекция на Оу.
§ 44.	Для острого угла хОА = ср, на основании определений,
данных в первой части, имеем:
sin <р =	а'А	ба" .	COS<p =	~6d .		а'А	_ 'Od7.
	О А ~ ~ба'	~ОА ’ Оа7		ОД" ’ ОА		Оа' ~ОА	от ’ ОА
ctg ® —		—— — _	sec <р =		CSC ® =		
	а'А	Оа"		Оа'		а'А	Od
Введя для радиуса-вектора и его проекций обозначения /?, х и у,
получаем:
sin ?	cos <р — tang <? = £;
х	R	R
ctg<p =—; sec<p = —; esc
Обобщая эти равенства, справедливые для углов первой четверти,
можно дать следующие определения для тригонометрических функций
любых углов.
Синусом угла называется отношение проекции радиуса-вектора
на {вертикальную) ось Оу к самому радиусу-вектору.
Косинусом угла называется отношение проекции радиуса-вектора
на {горизонтальную) ось Ох к самому радиусу-вектору.
Тангенсом угла называется отношение проекции радиуса-вектора
на (вертикальную) ось Оу к проекции его на (горизонтальную)
ось Ох.
Котангенсом угла называется отношение проекции радиуса-век-
тора на (горизонтальную) ось Ох к проекции его на (вертикальную)
ось Оу.
— 65 —
Секансом угла называется отношение радиуса-вектора к проек-
ции ею на (горизонтальную) ось Ох.
Косекансом угла называется отношение радиуса-вектора к
проекции его на (вертикальную) ось Оу.
Приведенные соотношения можно переписать в таком виде:
j = 4>sin<s; x = /?cos'p; j = х tang <р
x=jctg'f; К —xsec^p; К—у esc?.
Из этих соотношений чаще других встречается первое и второе.
Если х и у—координаты, то эти соотношения можно форму-
лировать так
Ордината точки равна произведению радиуса-вектора на синус
угла, образованного им с положительным направлением оси х-ов.
Абсцисса точки равна произведению радиуса-вектора на косинус
того же угла.
В виду того, что угол и соответствующая ему дуга измеряются
одним и тем же числом градусов, можно говорить не только о функ-
ции угла, но и о функции дуги.
§ 45.	Принимая во внимание, что К считается всегда положитель-
ным, выводим следующие заключения. Синус и косеканс имеют
тот же знак, как (вертикальная) проекция на ось Оу. Знак коси-
нуса и секанса совпадает со знаком (горизонтальной) проекции на
ось Ох. Наконец, тангенс и котангенс положительны или отрица-
тельны, смотря по тому, имеют ли обе проекции одинаковые или
различные знаки.
. Так как у имеет знак минус для углов (дуг) третьей и четвер-
той четверти, то синус и косеканс отрицательны в третьей и че-
твертой четверти; так как х имеет знак минус для углов (дуг) второй
и третьей четверти, то косинус и секанс отрицательны во второй
и третьей четверти. Наконец, тангенс и котангенс отрицательны
во второй и четвертой четверти: только в этих четверти^ проекции
имеют различные знаки. Эти результаты удобно записать в том
виде, как они поедставлены на чертеже 53.
Черт. 53.
Пряыоливей- ая тригонометрия
5
— 66 —
§ 46.	Чтобы изобразить значения тригонометрически функций угла <р,
сделаем построения, приведенные на чертежах 5», 55, 56 и 57. Будем обозна-
чать через CD, ОЕ, ОС, ED, А Т, BS, OF и OG не самые отрезки, а векторы,
Черт. 54.
Черт. 55.
т. е. будем приписывать им определенные знаки Тогда по отношению к этим
чертежам будут иметь место соотношения
sin<p-=
ОЕ
R
CD
R
ZTD OC
R~ R
COS 'f =
Черт. 56
Черт. 57.
— 67 —

CD AT
OC~ ft ‘
Последнее равенство следует из подобия треугольников OCD и OAD
и справедливо не только численно, но и по знаку: для углов первой и третьей
четверти CD и ОС имеют одинаковые знаки и АТ—положительно; для углов
второй и четвертой четверти CD и ОС имеют противоположные знаки и
АТ— отрицательно.
ctg ср =
ОС _ BS
CD~ R '
Это равенство следует из подобия треугольников OCD и OBS; оно, как
легко убедиться, справедливо не только численно, но и по знаку. (В первой и
третьей четверти BS положительно, во второй и четвертой — трицательно.)
Подобным же образом из подобия треугольников OCD и ODF и треуголь-
ников OCD и ODFz
sec -f —
OD — OF
OC~ R
CSC <p =
OD_OQ
CD~ R ’
Справедливость этих равенств по знаку также легко проверить.
Если принять радиус равным единице, то из приведенных равенств следует,
что отмеченные на чертежах векторы действительно дают значения припи-
санных при них функций угла<р.
Примечание. При выполнении этих построений надо тангенс всегда
откладывать на касательной, проведенной через начало дуги, а котангенс на
касательной, проведенной через конец дуги в 90°.
Эти чертежи выясняют происхождение названий тангенс (касательная) и
секанс (секущая); а синус является здесь полухордой. В прежнее время поня-
тия тригонометрических функций относили к этим линиям на круге, не прини-
мая даже радиуса равным единице.
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ ОДНОГО УГЛА.
§ 47.	Легко показать, что восемь соотношений, связывающих
тригонометрические функции одного угла, выведенные в первой части
для острого угла (см. § 18), остаются справедливыми для любого
угла. Так как R, х и у, т. е. радиус-вектор и обе проекции его,
образуют прямоугольный треугольник, каков бы ни был угол (как
это видно на чертежах 54, 55, 56 и 57 для угла второй и четвертой
четверти), то
х2 -j-y2 - Д’2
независимо от знаков хну, так как оба возвышены в квадрат.
А отсюда (как это подробно объяснено в § 18), деля последова-
тельно на R2, х2 и у2 и пользуясь определениями функций, получаем:
Из тождеств
sin2 <f -J- cos2 <f = 1.......................(1)
tg2 ср-}-1 =sec2?...........................  (2)
ctg2<p—]—1 =csc2'f............................(3)
2.^ — 1.	*. Л — i.	—1
Ry '	R' x ' x' у
— 08 —
имеем:
sin <p-csc<p = 1
cos s • sec <? = 1
tgc-ctg<p = 1
Наконец, тождества
и
x~ R ’ R
X X у
У~ R R
дают:
(4)
(5)
(6)
(8)
. sin<₽
tg а =---г
г COS<p
COStp
Ctg v> -
T sm<p
Из этих формул, как и в первой части, получим выражения всех
тригонометрических функций в зависимости от какой-нибудь одной,
с той, однако, разницей, что при извлечении корня теперь уже нет
_ основания откидывать знак минус, так как каждая из тригонометри-
ческих функций может принимать как положительные, так и отри-
цательные значения.
Поэтому, например, выражения всех функций через тангенс
следующие:
sec <s = zt -J- tg2<p; cos 7 — :
, tg <₽
sin a — zt —	-—;
I'l + tg2?
1
a- + tg2<?	,	1
esc g = ±	; ctg o = -—-.
r	tg ?	T tg ?
(Подобным же образом видоизменяются выражения тригонометри-
ческих функций через синус.) Соответственно этому задача: по дан-
ному значению функции найти значения других функций (задача,
имевшая в первой части одно решение) оказывается уже не вполне
определенной. Так, например, если задать
3
sin о = -у,
то получаем
5	4	5	3	'
esc = у; cos <р zt у; sec ® — zt у; tg <р = zt у; ctg <р = zt —
Причина этого, конечно, та, что по данному, например, значс н но
3
синуса у нельзя знать, лежит ли угол в первой или во второй
четверти; если <р в первой четверти (например, 0°<<р<90°), то
косинус, тангенс, котангенс и секанс положительны; если же у во
второй четверти (например, 90° < < 180°), то они отрицательна;
косеканс, однако, наверное положителен.
— 69 —
ИЗМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
§ 48	Так как начальный и конечный радиусы углов, имеющих
одинаковый геометрический вид, расположены одинаково, то очевидно,
что проекции радиуса-вектора для этих углов те же самые, а потому
значения тригонометрических функций этих углов равны между собой.
Отсюда формулы
sin (360° £ —= sin <р; cos (360° #-|-<р) — cos <р и т. д.
для всех тригонометрических функций (здесь k — произвольное целое
число, положительное, отрицательное или равное нулю).
Заменив в этих формулах	через — <р (это можно сделать, так
как произвольный угол), найдем
sin (360°#—<р) = sin (—<р); cos (360°# — ?) —cos (—?) и т. д
Давая # последовательные целые значения, получим ряд углов,
последовательно отличающихся друг от друга на 360°, для которых
значения тригонометрических функций остаются без изменения.
§ 49.	Обратим внимание на значения тригонометрических функций
углов в 90°, 180°, 270°, 360°. Так как для угла в 90° проекция на
ось Оу (вертикальная проекция) совпадает с радиусом-вектором и
притом положительна, а проекция на ось Ох (горизонтальная) равна
нулю, то sin 90° — ^ = 1, cos 90° =-^ = 0, ctg 90° = ® = 0, esc 90° =
~ /?
Для тангенса и секанса получаются выражения
tg 90° = sec 90°=
но так как деление на нуль не имеет смысла, то для тангенса и се-
канса в этом случае не получим никакого определенного значения.
Следует, однако, заметить, что для острых углов, достаточно близ-
ких к углу в 90°, тангенс и секанс делаются сколь угодно большими
(как частное от деления конечного числа, не превосходящего /?, на
бесконечно-малое), оставаясь положительными. Если же рассматри-
вать углы второй четверти, то для углов, достаточно близких к углу
в 90°, тангенс и секанс делаются по абсолютной величине сколь
угодно большими, сохраняя отрицательные значения. Этот результат
записывают иногда так:
tg 90° = ±оо, sec 90° = ^too.
Знак-,-, как получающийся при возрастании угла, поставлен
раньше знака минуса.
Для угла в 180° имеем:
sin 180° = = 0; cos 180° = =^= —1; tg 180°= ®=0;
sec 180° = -^ = — 1.
— 70 —
Для котангенса и косеканса не получается определенных значе-
ний, но значения этих функций для углов второй четверти, прибли-
жающихся к 180°, делаются по абсолютной величине сколь угодно
Черт. 58.
большими, при чем котангенс остается отрицательным, а косеканс
положительным; для углов третьей четверти, приближающихся к углу
в 180°, и котангенс и косеканс также возрастают неограниченно по
абсолютной величине, но котангенс сохраняет положительные зна-
чения, а косеканс — отрицательные. Поэтому пишут ctg 180° = qz со;
esc 180° = zt со.
Продолжая подобные же рассуждения для углов в 270° и 360°,
найдем:
sin 270° = — !; cos 270° = 0; tang 270° = ztco; ctg 280° = 0;
sec 270° = qzoo; esc 270° =— 1.
sin 360° = 0; cos 360°= 1; tang 360° = 0; ctg 360° = qzoo;
sec 360° = 1; esc 360° = zp oo.
А так как тригонометрические функции угла в 360° равны три-
гонометрическим функциям 0°, то
sin 0° = 0; cos 0° = 1; tg 0° = 0; ctg 0° = =роо; sec 0°=1;
esc 0° = оо.
При переходе угла через 90° от углов первой четверти к углам
второй четверти тангенс и секанс переходят от неограниченно-боль-
ших положительных к неограниченно-большим отрицательным зна-
чениям. Такой скачок функции (когда она переходит от одного зна-
чения к другому, не приобретая промежуточных значений) называют
71 —
разрывом функции. Тангенс и секанс претерпевают разрывы для
углов в 90° и 270°, а котангенс и косеканс для углов в 0° и 180°.
§ 50. Рассматривая углы, лежащие во второй четверти (черт. 59),
Черт. 59.
замечаем, что по мере увеличения угла,
при постоянном %, у убывает, а х, оста-
ваясь отрицательным, численно возра-
стает (т. е. убывает). Поэтому синус
(равный во второй четверти убывает,
косинус (равный -*), будучи отрицатель-
ным, численно возрастает, т. е. убывает.
Синусы дуг ADlt AD2, AD3 изображены
векторами CjDt, C>D->, C3D3, а косинусы
их векторами ОС\, ОС2, ОС3. Тангенс
(равныйво второй четверти отрица-
телен и численно убывает (частное Числен-
но убывающего ряда чисел на численно
возрастающий ряд чисел), т. е. возрастает.
Котангенс, как величина, обратная тангенсу (ctg ? — конечно, убы-
вает: он возрастает по абсолютной величине, оставаясь отрицательным.
Совершенно таким же образом получаем, что в третьей четверти
по мере возрастания угла (черт. 60) х возрастает, убывая по абсо-
лютной величине, а у убывает, возрастая по абсолютной величине.
Поэтому в третьей четверти синус убы-
вает (возрастает численно, оставаясь
отрицательным), косинус возрастает
(убывает численно, оставаясь отрица-
тельным), тангенс возрастает (положи-
телен), котангенс убывает.
В четвертой четверти (черт. 61) %
положителен и по мере возрастания угла
возрастает, у же отрицателен и убывает
по абсолютной величине, значит у воз-
растает. Поэтому синус в четвертой
четверти возрастает (численно убывает),
косинус возрастает (положителен), тан-
генс возрастает, убывая численно, и ко-
тангенс убывает, возрастая численно.
Изменений секанса и косеканса мы
Черт. 60.
рассматривать не будем. С одной стороны, эти функции употребля-
ются реже других, а с другой стороны, значения их обратны значе-
ниям косинуса и синуса, и поэтому секанс и косеканс убывают или
возрастают, смотря по тому, возрастают или убывают косинус и
синус.
Запишем полученные результаты в следующей таблице.
Как видно из этой таблицы, значения синуса и косинуса то воз-
растают, то убывают, колеблясь между границами — 1 и -J-l, т, е,
— 72 —
	Угол. Функция	0°	От 0° до 90°	90°	От 90° до 180°	180е	От 180° до 270°	270»	От 270° до 360°	360°	
	Sinus . .	0	впзр. -|-	+ 1	-|- убыв. -4	0	— убыв.		- 1		 В'ЗЗр. —	0	
	Cosinus .	4- 1	-j- убыв. +	0	— убыв. —	- 1	— возр. —	0	-|- возр. +	+ 1	
	Tangens .	0	-|- возр. -|-		— возр. —	0	—воз . —	+со	— возр.		0	
	Cotangens	ос	-f- убыв.	0	— убыв.		+оо	+ убыв	0	— убыв. —	+сс	
значения их по абсолютной величине не больше единицы. Напротив
того, тангенс и котангенс могут принимать всевозможные значения,
как положительные, так и отрицатель-
ные
Замечательно, что функция тангенс,
принимая через каждые 180° те же са-
мые значения, всегда возрастает. Это
возможно только при существовании
разрывов (которые тангенс претерпевает
при углах в 90°, 270° и т. д.). Действи-
тельно, если тангенс достиг некоторого
определенного значения (например, 4-1),
то для того, чтобы он снова приобрел
(прошел через) то же самое значение
(-J-1), все возрастая (ведь тангенс всегда
возрастает), необходимо, чтобы он рань-
ше вернулся к значениям, меньшим дан-
ного (4-1), не проходя через него
(-4-1 )> т- е- чтобы произошел разрыв функции. Функция котангенс
также приобретает через 180° те же значения и всегда убывает: она
претерпевает разрывы при углах в 0°, 180° и т. д.
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ.
§ 51.	Обобщим теперь справедливость формул, связывающих
тригонометрические функции взаимно-дополнительных углов. (Взаимно-
дополнительными называются углы, сумма которых равна 90°). Поло-
жим, что мы имеем некоторый угол (черт. 62), обозначенный на
чертеже хОД=<р (примеры: хОД1 = 12°, хОА2 = 124°, хОА3 — 204°),
дополнительный же угол хОВ — 90° — о (примеры: хОВ^ — 90°—12° =
= 78°, хОВ2 — 90° — 124° = — 34°, хОВ3 = 90° — 204° = —114°). Эти
углы можно выразить как углы 45° — а и 45°-|-а, т. е. один полу-
чается из угла в 45° прибавлением а, другой вычитанием а. Другими
словами, если проведем С'С, составляющую с х'х угол в-}-45°, то
OBi составляет с ОС угол, равный а, ОА составляет с ОС угол — а.
(Примеры: 12° = 45° — 33°, 78° =45°4-33°; — 34° =45° — 79°, 124° =
= 45°4-79; —114° = 45° —159°; 204° = 45°-f-159°), при чем OBi и
— 73 —
O4t расположены по разные стороны и симметричны относительно
ОС. Отсюда заключаем, что при повертывании чертежа вокруг оси
СС, OBi займет положение OAi
Черт. 62.
и обратно. При этом Оу займет
положение Ох и обратно, а Ох1
займет положение Оу' и обратно,
т. е. вертикальная (на ось Оу)
проекция одного радиуса-векто-
ра совпадает с горизонтальной
(на ось Ох) проекцией другого
радиуса вектора и обратно, со-
храняя тот же знак: другими
словами, при переходе от угла
90° — ср к углу ср надо у заме-
нить буквой х и обратно, не ме-
няя знака. Значит, синус одного
угла равен косинусу
другого угла, косинус одного
равен синусу другого и т. д.
sin (90° — ср) = cos ср; cos (90° — ср) = sin <р; tg (90° — <р) = ctg ср;
ctg (90° — cp) = tgcp.............................‘.(I)
Ясно, что вывод этих формул сделан для любого значения угла ср.
§ 52.	Кроме выведенных формул, связывающих функции углов,
сумма которых равна 90°, мы выведем еще формулы для сравнения
функций углов, сумма которых равна 180°. (Углы, сумма которых
равна 180°, называются взаимно-пополнительными.) Пусть дан (черт.
63) некоторый угол хОА=у (при
меры: xOAt = 23°, хОА2 = 66°,
хОД3 = 238°) и пополнительный к
нему угол хОВ — 180° — ср (при-
меры: xOBt = 180° — 23° = 157°,
хОВг = 180° — 66° = 114°, хОВ3 =
= 180° — 238° = — 58°). Эти два
угла можно выразить, как углы
90° — а и 90°-]-а (сумма их равна
180°), т. е. один получается из угла
в 90° прибавлением а, другой вычи-
танием а. Значит, Оу составляет
с ОВ угол равный а, а с О А угол — г.
(Примеры: 23° = 90с —67°, 157° =
90°	67°, 66° = 90° — 24°, 114° =
90°-|-24°; —58°= 90°—148°, 238°=
90° 4-148°.) Таким образом О А
и ОВ образуют с Оу равные углы
разных знаков, иными словами, — ОА и ОВ одинаково наклонены к у'у,
но лежат по разные стороны от уу. чертеж симметричен относительно
у'у, При повертывании чертежа вокруг у'у ОВ займет положение,
Черт 63
— 74 —
которое занимало ОА, у'у останется в том же положении, Ох и Ох
обменяются местами, т. е. вертикальные (на ось у'у) проекции обоих
радиусов-векторов совпадают, а горизонтальные (на ось х'х) проекции
отличаются знаком. Поэтому при переходе от угла 180°—ср к углу ср
надо у оставлять без перемены, а у х переменять знак. Поэтому
синус (и косеканс) не изменят своего значения (в их выражения не
входит горизонтальная проекция), а другие функции изменят знак.
Итак,
sin (180°—<р) = sin ‘); cos (180° — <р) =— cos» «);
tg(180° — ср) =--tg ср; ctg (180°— ») = — ctg ср	. . .(II)
§ 53.	Наконец, выведем еще связь между функциями углов, от-
личающихся друг от друга только знаком. Пусть задан (черт. 64)
некоторый угол хОА=у (при-
меры: л'ОД1 = 25°, хОА2~ 12ёа,
хОА3 — 205°) и угол — ср (при-
меры: xOBi = — 25°, хОВ2 =
— 128°, хОВ3 = — 205°), полу-
ченный вращением начального
радиуса-вектора в противопо-
ложную сторону. ОА и ОВ обра-
зуют с хх равные углы, но рас-
положенные по разные стороны
от х'х. Следовательно, чертеж
симметричен относительно х'х.
При повертывании чертежа во-
круг оси х'х, Оу и Оу примут
соответственно положения Оу'
и Оу, а Ох и Ох' останутся не-
подвижными, т. е. вертикальная
(на ось у'у) проекция одного
радиуса-вектора заменяется вер-
тикальной же проекцией другого
Черт. 64.
радиуса-вектора с обратным знаком, а горизонтальные (на ось х'х)
проекции обоих радиусов-векторов совпадают. Поэтому при переходе
от угла — <р к углу ср надо заменить у через — у, а х оставить без
изменения. При этом значение косинуса (и секанса) не изменится
(в их выражения входит только горизонтальная проекция), а осталь-
ные функции изменят только знак. Значит,
sin^(— ср) =i— sin'cp; cos (— ср) = COS ср; tg (— ср) = — tg ср;
ч.	ctg (— <р) =--Ctg ср...................(III
Эти формулы можно переписать, прибавляя к углу, написанному
в первой части 36G®, еще (см. § 48) в таком виде:
sin (360°—<?) =— sin ср; cos (360° — cp) = coscp; tg (360° — <p) =
 = — tg <p; ctg (360° — cp) = —ctgcp.............(IV)
*) Эти формулы были уже приведены в первой части, где они были при-
няты по другим соображениям (см. §§ 24 и 25).
— 75 —
§ 54. Подобным же образом выведем формулы, :в..зываюшие тригонометри-
ческие функции углов, разность которых равна 90°. Положим (черт. 65), имеем
некоторый угол хОА = ср (примеры: xOAi = 24°, лОАа = 144°, хОА3 =
255°) и угол -"ОВ = 90°4-ср (приме-
ры: хОВ,—114°, хОВа=234°, хОВ3=
= 345°). Если повернуть чертеж в
отрицательном смыс. е (т. е. по ча-
совой стрелке) на 90°, то ОВ займет
то положение, которое занимало ОА,
Оу и Оу' займут соответственно по-
ложения Ох и Ох', а Ох и Ох' пе-
рейдут соответственно в положения
Оу' и Оу. Следовательно, вертикаль-
ная (на ось Оу) проекция радиуса-
вектора ОВ совгадает с горизонталь-
ной проекцией ОА, а горизонтальная
проекция ОВ заменится вертикаль-
ной проекцией ОА, взятой с обрат-
ным знаком. Значит, при переходе
от угла 90° 4 ? к углу ср надо заме-
нить у через х, а х через — у По-
Черт. 65.
этому СИНУС
заменяется коси-
нусом
а косинус
синусом
с обратным знаком д) и т. д.
sin (90° 4- <р) = cos ср; cos (90° 4- <р) = — sin -р; tg (90°	ср) —- — ctg ср;
ctg (90е 4- ср) = - tg ср............................ (V)
§ Б5. Теперь сравним между собою функции углов, разность которых равна
180°. Положим, имеем (черт. 66) некоторый угол хОА=ср (примеры: xOAt =
= 29°, хОД2 = 154°, хОА3 — 255°) и угол хОВ = 180° 4-ср (примеры: xOBi =
= 209°, хОВ3 = 334°, хОВ3 = 435°). Чтобы радиус-вектор ОВ принял положение
ОД, надо повернуть черте : вокруг точки О в отрицательном сл.ысле (т. е. по
часовой стрелке) на 180°. Тогда Ох, Оу, Ох', Оу' займут соответственно по-
ложения Ох', ОУ, Ох и Оу, т. е. обе
проекции меняют только свой знак.
При переходе от угла 180° 4-? к
углу ср следует х и у заменить че-
рез — х и у. Поэтому синус и коси-
нус (в bi еражения которых проекции
входят только в числителе) переме-
няют знак, а тангенс и котангенс (в
которых и числитель и знаменатель
переменяют знак) остаются без пере-
мены.
Итак,
sin (180° 4~ ?) = — sin ср; cos
(180°4-ср) — —cosep; tg(180°4-cp) —
tg<?;ctg(180°4-<p):=ctgcp . .(VI)
Аналогичным образом могут быть
выведены формулы для перехода от
угла
270° — ср и 270° + <р к углу у.
§ 56. Пользуясь формулами
— 76 —
I, II, III и принимая во внимание, что они справедливы для любого
угла», легко получить формулы для углов 90° -I- <в, 180° -I- ®, 270° — ?
270° 4-?.
На основании формул I и III:
sin (90° 4- <р) = sin [90° — (— <p)J = cos (— ?) = cos ©	
Подобным же образом	(Via)
cos (90° 4-9) =— sin <р; tg (90°4-<?) =— ctg ctg (90° 4-9) = — tg<p.	
На основании формул II и III: sin (180° 4- <р) = sin [180° — (— ?)] = sin (—©) = — sin <р. Подобным же образом:	(VIb)
cos (180° 4~ <р) = — cos ®; tg (180° 4- ?) = tg ©; ctg (180° 4- ®) — ctg ®.	
На основании формул V и II:	
sin (270° — ©) = sin [90° 4- (180° = ©)] = — COS (1 80° — ©) = — COS ®.	
Подобным же образом:	(VII)
cos (270° — '?)=— sin ®; tg (270° — <р) = ctg ctg (270°—®) = tg у.	‘	
На основании формул V и VI:
sin (270° 4- о) = sin [90° -|- (180° + »)] =
— cos (180° -1- <р) = — cos ©.
Подобным же образом:
cos (270° 4-?) = sin <р; tg (270°4~?) =—ctg
ctg (270°4-®) = — tg®.
(VIII)
§ 57.	Формулы, выведенные в последних параграфах (они носят
название формул приведения), легко запомнить, заметив следующее.
Во-первых, наименование функции меняется, еслл в выражение угла
входит 90° или 270° (формулы: I, V, VII и VIII), если же выражение
угла содержит 180°, взятое целое число раз (один раз в формулах
II и VI, нуль раз в формулах III и два раза в формулах IV), то на-
именование остается без изменения. Во-вторых, чтобы решить вопрос
о знаке, стоит только мысленно допустить, что <р угол острый, тогда
нетрудно сообразить, в какой четверти находится данный угол и со-
ответственно этому поставить знак. Например, tg (180° — <р) = — tg о.
наименование сохранено, так как в выражение угла входит 180°
целое число раз, а знак изменен на обратный, так как при 0° < <?
< 90° угол 180°—<р лежит во второй четверти, а во второй четверти
тангенс отрицателен.
При помощи формул приведения легко заменить значение триго
— 77 —
неметрической функции любого угла тригонометрической функ-
цией острого угла, не превосходящего 45°. Действительно, во-пер-
вых, если имеем функцию отрицательного угла, то заменяем ее при
помощи формул (III) функцией положительного угла. Затем, если
положительный угол более 360°, то отбрасываем (на основании
формул ctd. 69) 360° такое целое число раз, чтобы остаток был
менее 360°. Далее, от угла четвертой четверти переводим к углу
первой четверти при помощи формул для 360° — р, от угла третьей
четверти при помощи формул 180° -1- р, от угла второй четверти по-
средством формул 180°—р (или 90°-]-р). Наконец, если полученный
угол первой четверти превосходит 45°, то остается воспользоваться
формулами для дополнительных углов.
Например, sin (— 650°) = — sin 650°=—sin 290° — sin 70° = cos 20°;
cos 965° = cos 245° = — cos 65°= — sin 25°.
§ 58.	Формулы
tg (180° -f- p) = tg p; ctg (180° p) = ctg p
очень важны: они показывают, что значения тангенса и котангенса
углов, отличающихся на 180°, равны между собою. Иными словами,
значения этих функций повторяются через каждые 180° в той же
последовательности. Легко видеть, что нет угла меньшего 180°, обла-
дающего тем же свойством. Действительно, если бы существовал
угол в < 180°, обладающий этим свойством, то можно было бы взять
такой острый угол а, чтобы угол (а-|~®) лежал во второй четверти,
но тогда тангенсы углов а и (с-|-0) были бы различных знаков,
т. е. не равны; следовательно, значения тангенса не повторялись бы
через 0 градусов. Итак, значения тангенса и котангенса повторяются
через каждые 180° в той же последовательности, при чем угол
в 180° — наименьший из углов, обладающих этим свойством. Вообще,
если 0 есть наименьший из углов, имеющих то свойство, что зна-
чения тригонометрической функции не изменяются от увеличения
угла на 0, то 0 называется периодом этой функции. Согласно этому
определению, угол в 180°, как доказано, есть период тангенса и ко-
тангенса.
Легко видеть, что период других тригонометрических функций
равен 360°. Действительно, с одной стороны, sin (360° —<р) = sin <р;
cos (360°-f-<p) = cos р; sec (360°-(-?) = seep; esc (360° 4~ р) = esc р;
а с другой стороны — нет угла, меньшего 360°, обладающего этим
свойством. Если бы такой угол существовал, то и знаки функций
(синус, косинус, секанс, косеканс) должны были бы повторяться
в той же последовательности через угол меньший 360°, а это не
имеет места, как видно из таблицы знаков, приведенной на стр. 65.
О РАДИАНЕ, КАК ЕДИНИЦЕ МЕРЫ УГЛОВ.
§ 59.	При изучении тригонометрических функций углы обычно
изменяют не в градусах, а в другой мере. Известно, что длина з ду> и
— 78 —
радиуса R, соответствующей центральному углу в ® градусов, выра-
жается так:
2~	360 s	.
S=36(P откуда ? = -2;г •	............(1)
_	360	.
Так как величина постоянная, то из выражения (1) для v
видно, что величина угла пропорциональна длине дуги и обратно-
пропорциональна радиусу. Значит, вообще величину угла можно вы-
разить таким образом:
? =	............• ... - (2)
Чтобы выразить величину угла в градусах, надо, как показывает
формула (1), выразив дугу s и радиус R в одинаковых единицах
длины, положить
Если бы радиус был выражен в сантиметрах, а длина дуги в де-
циметрах, то, желая выразить угол в градусах (и имея в виду, что
дробь число, в 10 раз меньшее, чем если бы числитель snR были
выражены в дециметрах), следовало бы положить
,	3600
Чтобы выразить величину угла в прямых углах, если радиус и
дуга выражены в одинаковых единицах, (так как прямых углов
в 90 раз менее, чем градусов) следует положить:
,__ 360 _ 2
* 2л-90 л’
Если принять за единицу угла — угол в 30°, то (так как число
углов в 30°, заключающихся в данном угле, в 30 раз менее числа граду-
сов) следует положить:
.  360   6
*	2л-30	л“‘
Как видно из этих примеров, значение числа называемого
коэффициентом пропорциональностей, зависит только от выбора
единицы угла, единицы длины дуги и единицы длины радиуса, но не
зависит от значения угла. Выбрав определенные единицы длины
радиуса, длины дуги и угла, найдем некоторое определенное значение
для коэффициента пропорциональности. Но и обратно, задавая опре-
деленное значение для k и взяв определенную единицу для радиуса
и дуги, можно вы1>рать такую единицу угла, чтобы равенство (2) было
удовлетворено. Соотношение (2) между углом, радиусом и дугой
приобретает наиболее простой вид, если положить £ = 1. Мы и вы-
бираем новую единицу угла так, чтобы £=1, тогда
? = £...........................&
— 79 —
Из этой формулы видно, что <р = 1, если з = /?, т. е. за единицу
угла принимают угол, длина душ которого равна радиусу. Эту еди-
ницу угла называют радианом.
Давая з различные значения, получим из формулы (3) углы, вы-
раженные в радианах, а из формулы (1) те же углы, выраженные
в градусах. На основании этого можем составить следующую таблицу:
Длина дуги. А? 2л/?	Угол в радианах. 1 2л	Угол в градусах |6°=57°17'45" (прибл.). 360°
л/?	К	180°
r-R	ТС	90°
2	2	
r-R 4	К	45
л/?	тс	30
6	6	
Так как при выражении угла в радианах длина соответствующей
дуги радиуса, равного единице, численно равна числу радианов, то
часто говорят о тригонометрической функции дуги. Например, если
говорят: синус дуги, равной то это все равно, что синус — ра-
дианов или синус 45 градусов.
Следует заметить себе то простое выражение длины дуги, которое
получается, если угол выражен в радианах. Формула (3) дает
з = У? v,
т. е. длина дуги равна радиусу, умноженному на угол (число ради-
анов соответствующего угла).
§ 60.	Если углы выражены в радианах, то формулы приведения
принимают несколько иной вид; так, формула углов или дуг, имею-
щих одинаковый геометрический вид с углом или дугой х, есть
2#тг -1- х, поэтому
sin (2^п-|-х) = sin х; cos (2£л-|-х) = cos x и т. д.
Таким же образом
sin — ©) = cos7; sin	= cos <р; sin (тг — <р) = sin <р;
sin (тг-|- ®) = — sin <р; sin (2тг — <р) — — sin <?.
Периодом для тангенса и котангенса служит число л, а для осталь-
ных тригонометрических функций 2тг.
ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
§ 61.	Построим графики изменений функций синус, косинус, тан-
генс й котангенс.
- 80 —
Начнем с синуса Примем некоторую длину за единицу длины и,
взяв две взаимно-перпендикулярные оси Ох и Оу (черт. 67), будем
Черт. 67.
откладывать значения углов, выраженных в радианах, по оси Ох,
а значения синуса — по вертикальному направлению (по оси Оу),
приняв тот же самый отрезок за единицу длины. Принимая во вни-
мание формулу приведения
sin (тг — sin-л,
или (что то же самое)
Sin +	= Sin (-!_<?)
и у — <а пополнительные), заключаем, что значения синусов
двух углов, одинаково отличающихся от у, равны между собою
(например, CD — синус 50° и — синус 130°). Значит, график
симметричен относительно прямой С^Д, проходящей через точку О1г
отстоящую от О на расстояние у единицы длины.
Построив график синуса для острых углов, т. е. дугу ОДЬ пово-
ротом вокруг оси симметрии O^j получим дугу AtO2. Вспоминая
затем формулу
sin (it -|- <р) = — sin <?,
заключаем, что для получения дальнейшей части графика надо повер-
нуть дугу ОД, О, вокруг оси Ох и сдвинуть эту часть направо на к:
поворотом вокруг оси Ох меняем знак функции, сдвигом направо
на л переходим от угла к углу тг—)—Таким образом получаем
ветвь ОгО4. Дуга ОО4 есть график синуса от 0 до 2п. Далее, в силу
периодичности, повторяются такие же дуги направо от точки О4 и
налево от точки О; поэтому остается только дугу ОО4 сдвигать
направо или налево на 2тг.
— 81 —
§ 62.	Чтобы построить график косинуса, обратим внимание на
равенство
sin (у 4" ?) ~ cos
Это равенство показывает, что график косинуса можно получить
из графика синуса смещением последнего на у налево, так как зна-
чение косинуса угла равно значению синуса угла, превосходящего
первый на График косинуса приведен на чертеже 67 пунктиром.
§ 63.	Построим теперь график изменений тангенса (черт. 68).
Сначала построим график тангенса для острых углов (от 0 до .
Затем, принимая во внимание равенство
tg(—?) = —tg<p,
можем получить график тангенса от —^-до 0; для этого повернем
чертеж вокруг оси х'х (этим поворотом меняем знак функции) и
потом еще раз вокруг оси у'у, чтобы перейти от углов к углам
— <р; таким образом из ветви OAj получаем ветвь ОЛ,. Итак, график
получен от—^-до-j-y. Теперь, пользуясь периодичностью тангенса
выраженной формулой
tg (^ + ?) = tg <р,
легко получигь остальные части графика, сдвигая полученную часть
на л единиц вправо или влево.
Прямолинейная три тонометр
б
Черт. 68.
— 82 —
§ 64.	Остается построить график котангенса. Выполним сначала
построение для острых углов ^от 0 до j. Затем воспользуемся фор-
мулой
ctg (it — <р) = — Ctgcp
или
Ctg(-J-H) = -ctg(y-<p),
которая выражает, что котангенсы углов, равноотстоящих от
равны между собою по абсолютной величине, но имеют различные
знаки, поэтому повернем чертеж вокруг оси х'х (этим поворотом
изменяем знак функции) и затем еще раз вокруг вертикальной оси
z'z, проходящей через точку Ои соответствующую углу (послед-
ним поворотом переходим от угловк углам уЧ-?). Таким
образом, при помощи дуги ОВХ получим дугу ОХВ2. Наконец, остается,
пользуясь периодичностью котангенса, выраженной формулой
ctg (тг —|— tp) = ctg <f>,
сдвигать полученный график на -л единиц вправо или влево. График
котангенса представлен на черт. 68 пунктиром.
ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ.
§ 65.	Для дальнейшего изучения тригонометрических функций до-
кажем предварительно теорему:
Проекция вектора на ось равна алгебраическому значению век-
тора, улгноженному на косинус угла, образованного положительными
слгыслами оси, на которой отложен вектор, и той оси, на кото-
рую проектируют.
Обозначим начало вектора буквой Р, конец буквой Q. Проекцию
вектора обозначим pq (Р — проекция точки Р, q — проекция точки Q).
Пусть а будет угол, соста-
вленный положительными
смыслами осей (одной, на ко-
торой отложен вектор другой
(Ох), на которую проекти-
руют.
При доказательстве разли-
чаем два случая.
7 случай. Смысл вектора
совпадает с смыслом оси, на
которой он отложен, т. е. век-
тор PQ положителен (черт.
69 а, Ь, с, d). Проведем из
точки р вектор pq', геометри-
Черп 69.1.
— 83 —
чески равный вектору PQ. Вектор рд' составляет с осью Ох такой же
угол а, как и PQ. По определению, косинус этого угла выразится так
рд
cos а — 15-,
pq'
откуда
pq = pg' cos а, или рд = PQ cos а,
что и требовалось доказать. Заметим, что 1) для случая, соответ-
ствующего чертежу 69а: 0 < а <-^, рд и cos а положительны; 2) для
случая чертежа 69b: * < а < рд и cos а отрицательны; 3) для
Черт. 69b.
случая 69с: те < а < pq и cos а отрицательны и 4) для случая
69d: у < а < л, рд и cos а положительны {PQ во всех этих случаях
положителен).
Черт. 69с.
1ерт. 691
— 84 —
2 случай. Смысл вектора PQ противоположен смыслу оси, на
которой он отложен, т. е. вектор /’^отрицателен (черт. 70, а, Ь,
с, d). Проведем из точки q вектор qp', равный по длине, но про
Черт. 70а.	Черт. 70b.
тивоположного знака с вектором PQ. Вектор qfp составляет с Ох
тот же угол, как и положительный смысл оси, на которой отложен
вектор PQ. Снова, на основании определения косинуса имеем
qp
cos а — ~ ,
qp'
откуда
qp = qp cos а = QP cos а, или — qp~ — QPcosa, t. e. pq — PQ cos a,
что и требовалось доказать. Заметим, что 1) для случая чертежа 70а:
Черт. 70с.	Черт 70J.
Р‘ —отрицателен, cos а положителен; 2) для случая 70b:
РР— положителен, cos а—отрицателен; 3) для случае
— 85 —
70c: ir<a<y, pq положителен, cos a—отрицателен; 4) для случая
70d: у < я < 2тг, pq — отрицателен, cos a — положителен. PQ во всех
этих случаях отрицателен.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ДУГ,
ДВОЙНОЙ И ПОЛОВИННОЙ ДУГИ.
§ 66. Последняя теорема позволяет вьвести (сразу в общем виде)
формулы, связывающие тригонометрические функции алгебраической
суммы углов с функциями слагаемых
углов.
Пусть радиус-вектор OD = R (см.
черт. 71) составляет с осью ОХ угол я.
ОС и OD координаты точки D. По-
этому
dC = /?cosa, CD —R sin a . . . (1)
Проектируем вектор OD и его
составляющие ОС и CD на cci ОХ,.
На основании теоремы § 42
пр. ОО —пр. ОС-|- пр. CD . . . (2)
Положительные смыслы осей OXt
и OD составляют угол (а—р), о-
этому пр. OD = R cos (я — р).
Положительные смыслы осей ОХх
Черт. 71.
и ОХ (на оси ОХ отложен вектор ОС) составляют угол р, поэтому
пр. ОС = ОС cos р.
Положительные смыслы осей ОХх и ОУ (на оси параллельной ОУ
отложен вектор CD) составляют угол (р — yj, поэтому пр. CD —
= CD cos (р — у) = СО cos = — р) = CD sin ₽.
Подставив эти выражения в равенство (2), получаем
R cos (a — р) = ОС cos р -|- CD sin р.
Заменяя ОС и OD их выражениями из (1), имеем
R cos (a — р) = R cos a cos р -|- R sin я sin р, или
cos (a — р) = cos a cos p -|- sin a sin p...........(3)
Принимая во внимание, что эта формула выведена для всяких углов,
заменим здесь р на —р. Получим cos [a — (— р)] — cos a cos (— р) -|-
sin a sin (— р), а так как cos (— р) — cos р, sin (— р) = — sin р, то
cos (яр) = cos я cos р— sin я sin р........................... (4)
— 86 —
- Заменим в формуле (3) а на —р а, тогда
C0S[-J + « —₽] = cos [у + (а —₽)]=cos (^4 ° cosp +
+ sin -|-а\ sin р.
На основании формул приведения, получаем
— sin (а — Р) = — sin а cos р cos а sin р, или
sin (а — р) = sin я cos р — cos а sin р...............(5)
Заменяя еще раз р на — р, получим
sin (а р) = sin а cos р -|- cos а sin р..........(6)
§ 67. Другой вывод формул для sin (а 4- Р) и cos (а + Р). Возьмем в первой
четверти два направления ОА и ОВ [черт. 72). Пусть ОА составляет с Ох
острый угол а, а ОБ составляет
с ОА острый угол р. Выберем на
ОВ какую-нибудь точку С: пусть
D — ее проекция а ось Ox ,i Е —
ее проекция на ОА, а проекция
точки Е на ось Ох есть точка F.
Наконец, опустим еще п( пенди-
куляр ЕН из точки Е на CD. За-
метим, что / ЕСН — / А Ох (как
острые углы, составленные взаим-
но параллельными сторонами). На
основании определения синуса:
, m CD	DH + HC
s,n(a + ₽) = dc=—OC~~
FE HC
OC+OC
Черт. 72.
О)
а так как
FE—OLsina (из£\OEF), a OE=
=OC cos ₽ (из &OEC),
TO
FE = ОС sin a cos p;
(2)
таким же образом НС = СЕ cos а (из £\НСЕ) и СЕ= ОС sin р (из ДОСЕ),
значит
НС = ОС cos a sin р........................(3)
Подставляя (2) и (3) в уравнение (1), получаем:
sin (а -|- р) = sin a cos р	cos о sin р...............
Таким же способом
, . m OD	OF—DF OF НЕ
COS(a4-P) —	ос —- ос ос-....................
(I)
(4)
но OF— ОЕ cos а, ОЕ = ОС cos р,
значит	OF = ОС cos a cos р..............(5)
НЕ= СЕ sin а, СЕ — ОС sin р,
— 87 —
значит
НЕ = ОС sin a sin р............................(о)
Подставляя (5) и (6) в уравнение (3), получаем:
COS (а 4~ Р) = COS а COS ₽ — Sin а sin Р............(II)
Формулы (I) и (II) выведены в предположении, что углы а, Р и (а-[-р) острые,
т. е.
—; 0<₽<^-; 0<а + Р< —
2	*	2	2
Обобщим теперь эти формулы на тот случай, когда
0<а< — ;0<р<—; но —<a4-P<'it.
Обозначим буквами а' и Р' углы дополнительные к а и р:
а' = -^- —а; Р'=	— Р; тогда а'4-Р'= it — (а 4-Р).
Очевидно, что
0<а'< 2L; 0<р'
—; 0<а' 4-р'
2
/	It	\
(так как (a + P)>y и (a-)~p)<it 1; поэтому к углам а' и р' можно приме-
нять формулы (I) и (11):
sin (а -|- Р) — Sin [тс — (o'	Р')] = sin (a' 4- Р') = sin a' COS Р' 4- cos a' sin P =
= sin
— COS a sin P 4- sin a COS P = sin я COS P -|- cos a sin P...(I)
COS (a 4- P) = cos [it — (a' 4~ ₽)] =: — COS (o' 4" P') = — COS a' COS P' 4~ sin a sin P —
=±±- cos
= — sin a sin P 4- cos a COS P = COS a cos p — sin a sin p
Формулы (I) и (II) доказаны для любых острых углов аир.
Покажем теперь, что, если формулы (I) и (II) справедливы для каких-нибудь
it
углов а' и Р , то они останутся справедливыми и для углов: а = — 4-а' и р =
= Р'. Действительно,
(II)
sin (а + Р) = sin
COS (а' 4- ₽') = COS a' COS ₽' — Sin a’ sin ₽' =
= cos
sin
sin P —
— COS
COS (a-]-P) —COS
/it \
cosp-|-sin — — а 1 sin p — sin a cos p 4-cos a sin p . . .(I)
— sin (a’ + P') — — sin o' COS P' — cos a' sin 0' —
— 88 —
sin p = cos a cos p — sin a sin p.............................(II)
Теперь формулы (I) и (II) доказаны для Любых положительных углов. Дей-
ствительно, любые положительные углы а и ₽ могут быть получены из острых
углов последовательным прибавлением к некоторым острым углам — достаточ-
ное целое число раз; после каждого прибавления получаются углы, для кото-
рых формулы справедливы, если они были справедливы для предшествующей
пары углов. (Пусть, например, требуется доказать справедливость формул для
углов 300° и 245°; замечая, что 300° = 30° 90°.3 и 245° =: 65° -}- 90°.2, рас-
суждаем так. Формулы справедливы для углов 30° и 65°, значит, они справед-
ливы для углов 120° и 65°; отсюда следует справедливость их для углов 210°
и 65° и далее для углов 300° и 65°; прибавляя затем к другому углу по 90°,
заключаем о справедливости формул для углов 300° и 155° и для углов 300°
и 245°.)
Чтобы распространить эти формулы на отрицательные углы, положим, что
а и р таковы, что от прибавления к первому углу £ (целое число) раз, а ко
второму I раз 2л получаются положительные углы а' и ₽'. Тогда а1 —a-j-^л,
р' = р 4- 2/л и углы а и а', р и Р', а -|- р и а' + Р’ имеют одинаковый геоме-
трический вид. Поэтому
sin (a-}-p)~Sin (а' +P')z=Sina' COS р'-|-COS a' sin Р' = sin a COS Р -J- COS a sin Р . . (I)
COs"(a-|-P)=zCOs(a'-|-P') —cOSa'cOSP' —Sina'sinp'=COSaCOSP — sinasinP . . (11)
§ 68. При помощи формул § 66 легко получить тангенс алгебраи-
ческой суммы двух углов через функции слагаемых углов:
tang (a + Р) =
sin a + Р)
COS (a 4- P)
sin a cos P + COS a sin p
COS a cos p — sin a sin p ’
tang (a — P) =
Sin (a — P)
COS (a — P)
sin a COS p — COS a sin p
COS a COS p -|- sin a sin p-
Выражение тангенса алгебраической суммы найдено; но обычно
выражают тангенс суммы через тангенсы слагаемых углов; для этого
разделим тогда	числители и знаменатели последних дробей на cos a cosр, sin a cos Р | cos a sin Р tg (a I Й)  cos ° cos P	cos a cos P 6 ' * °'	COS a cos P	sin a sin p
и	COS a cos p COS a COS P sin a cos p cos a sin P . ,  A) —— COS a cos P cos ° COS P '	COS a cos P 1 sin a sin P ’ COS a cos P • COS a COS p
или	^+3)=,^^	<5> 	(6)
Формулы	1, 2, 3. 4, 5, 6 носят название формул сложения.
— 89 —
§ 69. Полагая в формулах (1), (2) и (5) р = а, получаем:
cos 2а = cos2 а — sin2 а..................(7)
sin 2а = 2 sin а cos а....................(8)
= ..................................<9’
Заменяя в формуле (7) cos2 а через 1 — sin2 а или sin2 а через 1 —
— cos2 а, получим:
cos 2 а = 1 — 2 sin2 а...................(10)
cos2a = 2cos2a — 1........................(И)
Формулы этого параграфа носят название формул умножения (соб-
ственно удвоения).
§ 70. Из последних двух формул имеем:
2 sin2 a = 1 — cos 2 a, 2 cos2 a = 1 -|- cos 2 a,
или
, 1 /"1 — COS 2 a __	, 1 / 1 + COS 2 a
sina = ± у -----2----, cosa = ± у ——	.
Заменяя в этих формулах а на р получаем:
sin^ = =t}/r ^4°^........................................(12)
cos -J = zt -^1"+COST...................(1 3)
Рассмотрим геометрически, почему каждому значению cos а соответствует
два значения sinp и cos ~ . Так как cosa^ 1,to1-|-cos a^O и1— coSa^O.
Поэтому выведенные формулы дают для sin р и cos % вещественные значе-
ния. Пусть OP=cosa=: т~> о1). Заданному значению косинуса соответствуют
(см. черт. 73) в пределах 0 и 2 к две дуги
AM и AM' (обозначим их at и а2) или дуги,
отличные от этих двух на 2# п. Если 2^ к-|-
4- а, разделить на 2, взяв для # четное
значение (напр. £ = 0), то получится о Д/V,
или дуга, имеющая тот же геометрический
вид; напротив того, если # имеет нечетное
зн 1чение (напр. Д>= 1), то получится дуга
AN3 или дуга того же вида. Подобным обра-
зом деля дуги 2% тг аа пополам, получим
дуги, имеющие геометрический вид AN% и
ANt. Соответственно четырем точкам концов
а	. а	а
дуг р, численные значения sm у и cos р
не меняются, а знаки их могут быть раз-
личными. Возможные случаи указаны в таб-
лице.
1) Чертеж и таблица заимствованы из
учебника Пиотровского.
Черт. 73.
- 90
	а -g- соответствует конец дуги	sin *-	a cos 2	
	м		+	+	
	N-,		—	+	
	N3		—	—	
			+	—	
Итак, могут встретиться все четыре комбинации знаков. Значит, если
задан только cos а, то необходимо принять во внимание все четыое системы
значении для sin — и cos —. Конечно, если задан самый угол, то получается
а	а
только по одному значению для sin и cos —
Li	Li
Приведем примеры.
(1	а	1	q	"1/"” q
cos а =-к-, тогда sin ~ =	cos ~	±	. Действи-
Z	6	L	L	L
1	. о
тельно, в следующих примерах, при cos а =2", значения sin у и
cos у то положительны, то отрицательны: 1) а = 60°, cos 60° =
= у'. siny = sin30° = -)-y, coSy = cos30° —	.	2) a = 300\
cos300° = y; sir.y = sin 150° = -|_ I cos “ = cos 150° = —
3) a= 420°, cos420° = 2-; sin= sin 210° = —; cos |- =cos210°=
— — XX 4) a = 660°, cos660° = 4-; sin= sin 330° = —4-;
Z	Z	Li	Li
cos cos 330° = -|-
Чтобы получить tgy, можно было бы разделить последние два
выражения одно на другое, но удобнее сделать одно из следующих
преобразований:
tg-J
a
Sln-2
a
cos-2
„ . а	а
2 sin л- cos -5-
Z	Z
2 cos2 у
Sin a
:----- ИЛИ
1 4-cos a
2 sin2 у
a = S’lnT
tg 2	a	a a
COS у 2 Sin у COS у
1 — COS a
sin a
(В этих преобразованиях применены формулы 8, 10, 11.)
- 91 —
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММ И РАЗНОСТЕЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЯ
§ 71. Складывая и вычитая формулы (2) и (4) для синуса суммы
и разности и складывая и вычитая формулы (1) и (3) для косинуса
суммы и разности, получаем:
sin (а ₽) + sin (а — J3) = 2 sin а cos £
sin (а - - ji) — sin (а — ₽) = 2 cos a sin р
cos (а - - Р) -|- cos (а — Р) = 2 cos a cos р
cos (а - - р) — cos (а — Р) = — 2 sin а sin р.
Пусть а-|“Р = а. а— Р = ^5 тогда (складывая и вычитая) получаем:
2а=а-}-Ь; 2$ = а — Ь, или а = p =
Подставляя эти выражения в предыдущие равенства, получаем сле-
дующие формулы:
sin а -|- sin b — 2 sin а^- cos -а-^й .
sin а — sin b = 2 cos — sin с~& .
cosa-|-cosft = 2cos a + b cos a^b .
.	„ . a-\-b . a — b - . a + b . b — a
cos a — cos b — — 2 sin	sin —=— = 2 sin	sin .
Выражения во второй части последних формул логарифмические:
в них не входят суммы или разности тригонометрических функций,
а только их произведения. Этими формулами часто пользуются для
приведения некоторых выражений к логарифмическому виду. Если бы
потребовалось привести к логарифмическому виду сумму или разность
синуса и косинуса, то стоит только косинус заменить синусом до-
полнительного угла и применить только-что выведенные формулы
для суммы или разности синусов.
Приведем еще к логарифмическому виду сумму и разность тан-
генсов:
. , . .  sin a , sin b   sin a cos b + cos a sin b   sin (a + 6)
®	8 cos a cos b	cos a cos b	cos a cos b
(Если в первой части верхний знак, то и дальше верхний знак;
нижний знак сочетается с нижним.) Подобным же образом выво-
дятся формулы для суммы и разности котангенсов.
ФОРМУЛЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ТРЕУГОЛЬНИКАМ И ЧЕТЫРЕУГОЛЬНИКАМ.
§ 72.	Приложим выведенные формулы, относящиеся к тригонометрическим
функциям вообще, к выводу некоторых соотношений между элементами тре-
угольника.
Пусть в треугольнике АВС (черт. 74) одна сторона (например, ВС) перпен-
дикулярна к некоторой оси х'х. Обозначим проекции вершин А, В, С буквами
Ab Blt СР Точки Bi и Ci сливаются, так как сторона ВС перпендикулярна
— 92 —
к оси х'х. (На чертеже угол треугольника С обозначен одной сплошной ли*
имей, а угол В — пунктирной. Двумя сплошными линиями обозначен угол.
Черт. 74.
дополнительный к углу С. Двумя пунктирными линиями обозначены прямые
углы).
Рассматривая СА, АВ, ВС как векторы, замечаем, что СА составляет с х'х
угол °0°—С; АВ составляет с х'х угол 90° 4* В. На основании теоремы
о проекции вектора имеем:
СА = пр. СА = 6 cos (90° — С)
А1/з'1=пр. АВ = т cos (90° 4~ В),
но на основании теоремы Шаля: CjAj 4-AjBi = CjBi, т. е. b cos (90° — С) 4-
4- с cos (90° 4- В) = 0, или
b sin С — с sin В = 0, или b sin С — с sin В
и, наконец,
_ Л_____ с
sin В ~ sin С
Если бы ось была выбрана перпендикулярной к стороне b или с, то полу-
чили бы:
ас	а b
sin A sm С sin A sin В
Итак, имеем:
а b с
——д- - —н- =	— теорема синусов,
sin A	sin В	sin С	}
§ 73.	Расположим теперь ось х'х так, чтобы она была параллельна одной
стороне (например, ВС) треугольника АВС (черт. 75). Обозначим одг~й сплош-
ной линией угол С треугольника АВС, а пунктирной линией угол В. (Двумя
пунктирными линиями обозначен угол, составленный вектором АВ с положи-
тельным направлением оси х'х.) Пусть проекции точек А, В, С на ось х'х
будут точки Ai, Bi, Ci-	___ _______
Наосновании теоремы о проекции замыкающей имеем: пр. СВ = пр. СА 4-
4- пр. АВ,
пр. СВ = с.
пр. СА = b cos С
пр. АВ —с cos (360° — В) = с cos (— В) — с cos В
— 93 —
Значит
а — b cos С + с cos В..............................  .	(а
Если бы ось была взята параллельно стороне b или с, то получили бы
b =с cos A 4-acos С.............(₽)
С a cos В + b cos А ............. (7)
Черт. 75.
§ 74.	Наконец, выведем еще формулу для квадрата стороны треугольника
Умножив равенства (a), (fi) и (у) соответственно на а, — Ь, — с и сложив, по-
лучаем а2 — Ь2— с2=— 2 tacos А, т. е.
а2 = Ь2 + с2 — 2 be cos А.
Аналогичным образом получим:
Ь2 = с2 4- а2 — 2 са cos В
с2 = д24- Ь2 — 2 ab cos С.
(В первой части дан другой вывод этих формул, см. § 25у.
§ 75.	Покажем теперь, что из каждой из следующих трех систем
а __ b _ с
(1) sin А — sin В sin С
А 4- В -I- С = 180°
а — b cos С 4- с cos В
(2) b = с cos А -|- a cos С
с = a cos D 4- b cos А
а2 — Ъ2 4- с‘ — 2 ba cosA
(3) Ъ2 = с2 4- о3 — 2 са cos В
с2 — а2-\-Ь2 — 2ab cos С
могут быть выведены две другие, т. е. что, в числе написанных девяти ра-
венств не более трех независимых. (Вообще углы и стороны треугольника
связаны тремя независимыми соотношениями.)
Чтобы вывести вторую систему из первой, заметим, что А = 180° —
— (/?4"О, значит
sin А = sin (В 4- С) = sin В cos С 4- cos В sin С.
Обозначив отношение стороны к синусу противолежащего угла через —. по-
лучаем:
а = — sin A, b — — sin В, с = 4- sin С, или
*	£	R
sin А = ali, sin В = bl?, sin С --
Подставив эти выражения в формулу для sin А, имеем:
= Ы? cos С 4~ c# cos В, или a = b cos С 4- с cos В
(так как не равно нулю), т. е. первую формулу второй системы.
— 94 —
Чтобы из второй системы вывести первую, умножим обе части первого
равенства (второй системы) на а, второго на b и вычтем их почленно; тогда
получим:
cP — b2 = ac cos 6 — be cos А, или а2 — b2 = с (a cos В — b cos А).
Подставляя здесь вместо с его выражение (a zosB-\-b cos А), получаем
a2 -b2 = a2 cosa В —b2 cos3 А, или а2 (1 — cos- 6> = В2 (1 — cos3 А), или
a3sin36 = ft2sin’A.
Извлечем квадрг ный корень и примем во внимание, что углы треугольника
не превосходят (можно считать не превосходящими) 180°, т. е. синусы их поло-
жительны. Тогда
a sin В — b sin А
или (деля на sin A sin 6, не равное нулю)
а b
sin А ~ sin 6
Таким же образом выведем:
а _ с
sin A sin С '
Полагая
а b с
——Г- — ——= = - -	= tn.
sm A sin В sm С
получаем:
а~т sin А, Ъ — т sin В, с = т sin С.
Чтобы получить теперь равенство A -J-Z? f-С — 180°, подставляем только-
что полученные выражения в уравнения второй системы, что дает:
т sin А = т sin В cos С + т cos В sin С,
или
sin А = sin В cos С + cos В sin С,
значит
sin A =sin (В 4- С),
откуда
А—В + С. . .(а’) или А = 180° — (В+ С). . .(₽')•
Из второго уравнения второй системы получили бы
6 = А4-С. . .(а") или 6 = 180° —(А 4-С) . . .(₽")
Принимая во внимание, что С не равно нулю, замечаем, что (а') и (а") не
могут быть удовлетворены одновременнс поэтому, наверное, будет удовле-
творено одно из (р), т. е. А-}-6 + С —180°. Итак, первая и вторая системы
равносильны: первая есть следствие второй, вторая есть следствие первой.
Покажем теперь, что две последние системы равносильны. Третья система
была уже выведена из второй, поэтому остается только получить вторую си-
стему из третьей. Для этого сложим первые два равенства третьей системы и
разделим обе части полученного равенства на 2с; получим третье уравнение
второй системы.
Итак доказано, что из девяти вышенаписанных равенств не более трех
независимых; но их и не менее трех, так как, например, из трех последних
можно по данным а, Ь, с найти cos A, cos 6, cos С.
Вообще можно заметить, что шесть элементов треугольника связаны тремя
независимыми соотношениями; остальные соотношения являются их след-
ствиями.
— 95 —
§ 76, Например, формулы, которыми мы пользовались в первой части для
решения треугольников, могут быть выведены как следствия вышеприведенных
Действительно, из равенства
а sin Л
b	sin В
заключаем, что
a — b sin A — sinZ? а -j-b sin А 4-sin/?
-----=---------------- И ------------------- .
b	sin В	b sin В
2
Деля последние две формулы почленно друг на друга, получаем:
. А—В А + В А—В
2 sin	— cos —-—	tg —-—
а — b _ sin A — sin В _	2	2	_	2
a 4- ft sin A + sin В A — В . A-\-В A + B'
2 cos —-— sin —tg
2
т. e. теорема тангенсов (см. § 26).
Точно так же из первого равенства третьей системы получаем:
cos А
-с2 — сР
~2Ьс
откуда
1 — cos А =
2Ьс — Ь2 — са-|-а3
2Ьс ~
. , л 2bc + b3 + ^-a3
и 1 + cos А =---'-----
2Ьс
деля последние равенства друг на друга и замечая, что в числители входят
разности квадратов, получаем:
1 - cos А _ a2 — (ft2 — 2ftc-|-c2) _д2 — (Ь -сУ _(а + Ь — с} (а — Ь+с)
1 + cos А — (Л2 4- 2bc +с2) — a2 [b -f- с)2 — а2 (a ft 4- с) (Л 4- с — д)
_ 2(р —ft) 2(р — с) __(р — Ь)(р —с)
2о2(р —д) — р(р—а)
но
*4
А
2  1 Г1 — cos А _
А ~ ’ 14- cos А —
COS-
рЛ (р - ft) <р — с)
Р(Р — а)
_ 1 1/ Q? -a) ip — b) (р — с)
"p-д'	р
(см. § 27).
§ 77. Покажем теперь, как выведенные формулы прилагаются г. решению
треугольников в некоторых особых случаях *).
Сначала обратимся к прямоугольному треугольнику.
Пусть в прямоугольном треугольнике заданы острый угол А и сумма
катета и гипотенузы = Имеем b = c cos А; Ь^-с — с (1 4- cos A I = $,
’) Придавая решению особых случаев треугольников второстепенное значе-
ние и думая, что указать действительно общие методы решения этих случаев
или очень трудно или невозможно, мы не делаем таких попыток (см., напри-
мер, учебник Ди-СеньиХ а приводим только в качестве примера решение тре-
уголпника в немногих особых случаях.
— Сб —
отсюда
______ S ____ S
— 1 4-cosA — ~	“д'
2 COS3 —
2
Зная с и острый угол А, легко найдем другие элементы.
Пусть заданы катет а и сумма гипотенузы и другого катета =
Выражая все элементы через гипотенузу и угол А, имеем
a = csinA; 6 = ccosA; с(1 4-cosA)=:j.
Разделяя выражение а на $, получим:
a sin А	А а
— —	-------т. или tg — = —.
s 1 + cos А	2	$
Отсюда найдем угол А, после чего уже легко найти и другие элементы.
§ 78. Особые случаи решения косоугольных треугольников.
Пусть в треугольнике заданы периметр 2р и углы А и В. Напишем про-
изводную пропорцию теоремы синусов:
a-f-b-f-c	а	2р sin А
-------------------=	, откуда а —-------
sin А -|- sin В sin С sin A----------------------------------sin A -J- sin В -J- sin С
ио
sinA -f-sinB -|-sm C = 2sin
A-f-B A+fi .
—-— cos—-----^2sm
2	2
C
— cos
2
C
2 ’
а так как
A-f-B , С nno . A+B С . C A l-B
__+^.-адо, T0 Sln___ = cos —, sin- = cos—
и поэтому
sin A 4- sin В sin C = 2 cos —
A —В
cos 2
A +B
cos---—
2
ABC
cos—cos—cos -
. A A	.A
4p sin — cos —	pstn —
значит a ----------—, или a =-----
ABC’	В C
4 cos — cos — cos—	cos —cos —
2	2	2	2	2
Пусть в треугольнике заданы угол А, сторона с, и сумма сторон а
Выразим а и b через с:

с sin А _с sin В
а ~ sin С ’ sin С ’
поэтому
c (sin A -f- sin B)
sin C
—
или
2с sin А 4- В А —В
-------------cos--------
2------------2
С	С
2 sin — cos —
2	2
А -В
CC0S-^~
cos —
= или
— 97 —
(	А	В , . A . B\
c\ cos — cos--H sin — sin - -1
\	2	2	2	2/
A~ В . A . В
cos — cos----sin — sin —
2	2	2	2
n	AB
Разделив числитель и знаменитель на cos —cos —, получаем:
*2	2
/ А В\
41+tg^tgy)
А В
1~tS2tg2
А
= s, отсюда tg —
<4
S — C
f-j-C
и, наконец,
L В s — c
tg2=TT?
А
ctgy.
Пусть в треугольнике заданы сторона а, радиус вписанного круга г и ра-
диус описанного круга /?- Имеем sin А
А	А
из г~(р — a) tg —, р — a = r ctgj
а
2R'
отсюда определяем А. Затем
найдем 2р b -\-с = 2(р — а).
Наконец.
п . в+с в-с
,	2 sin-----cos ----•
64- с _ sin В 4- sm С _	2	2
sin А	.А А
2 sm — cos —
2	2
В-С
cos 2
л ~
Sin —-
2
значит.
В— С 2(р — а) . А
cos------=---------- sm —
2
Отсюда найдем
В —С
и, зная
B-kC
2	Углы в и С.
§ 79. Выведем еще некоторые замечательные по простоте выражения, от-
носящиеся к четыреугольникам.
Площадь четыреугольника просто выражается через его диагонали и угол
между ними. Обозначим (черт. 76) диагонали и d3, д угол между ними о.
Пл. ABCD = пл. АОВ +пл. ВОС-f-пл.
COD + пл. DOA =
АО-ОВ . ВО ОС .
=--------sin а 4--------sin (180° — а) +
, OC OD .	,
4----— sin а +
OD ОА 5.^ (.|gQ0 — ау _ sjn а
,o.oe+oo+oc.-g£xgg
Прямолинейная тригонометрия.
Черт. 76.
7
2
а
— 98 —
BD .	ACBD . d.d^ma
= ~^S,n “(Л0 + °O =--~ - Sin a ~	.
Выразим углы и площадь четыреугольника, вписанного в круг в зависи-
мости от его сторон. Пусть четыреугольник ABCD (черт. 77) вписан в круг.
Проведем диагональ BD. Из треугольника ABD имеем:
BD2 = a2 + d2 — 2ad cos А,
а из треугольника BCD-.
BD2 = b2 + c? — 2bc cos С.
Приравнивая вторые части и принимая во внимание, что A -f- С = 180°
(cos С = — cos А), получаем:
а3 4-й3 — 2 ad cos А — b2с2-\-2bc cos А,
отсюда
• £
a2-\-d? — b2—с3	А 2	1/~1— cos А1)
;1е7°—ГГьйм  "°
cos 2
2ad + 2bc — a2 — d2 + b2 + c2	(b + с)2 — (а — d)2
1 — cos А - ——------------------------—  -----------------=
2 (ab 4* ас)	2 (ad be)
_(b-\-c-\- a- d) (b + c —a —d)
2 (ad4- be)
1	4- cos A
2ad 4- 2be-]-cP-j-d2 — b2 — e2
2	(ad 4- be)
_ (a-j-d 2 — (b — cj2_
2 (ad 4- be)
<a 4 d-j-b — e) (a + d—b + c)
2 (ad 4- be)
Поэтому
Черт. 77.
(a±b~l-e— d) <—a4-ft4~^4_^0
(d~^b~e-l-d) (a—&4-c4-rf)
Обозначив периметр через 2р, получим
. А _ -./-J^a) (p — d)
2 V (p — b)(p — c)'
_	.	„„г, aft sin А , be sin А
Площадь ABCD — пл. ABD 4- BCD =------------1-------=
_ (ad 4- be) sin A
2	’
-	Д
’) Сохраняем перед знаком корня только знак плюс, так как угол — на-
верное, острый.
— 99 —
но	~	_________________
sin А — + 1^1 — cos2A — cosA) (1 4~cos А) =
__~i/~ (о 4“ Ь -|- с -|- d) (и — b 4- с -|- d) (й 4- b — с 4~ d] (fl 4~^ 4~ с — d)
~~ '	2 (ad 4- be)
_	(P-b)(p- i )(p - d)
V	ad + bc
ab^bc
Умножив это выражение на ------, получим:
пл. ABCD = У(р — a) (p — b) ip — c) (p — d).
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.
§ 80.	Уравнения, в которых неизвестное входит под знаком три-
гонометрической функции, называются тригонометрическими. Эти
уравнения обладают некоторыми особенностями по сравнению с уравне-
ниями алгебраическими.
Начнем с рассмотрения простейших уравнений
sinx = fir, cosx — a, tangx = a, ctgx = o.
Отличительные особенности этих уравнений проще всего усмотреть,
если воспользоваться для решения их вычерченными графиками си-
нуса, косинуса, тангенса и котангенса.
§ 81.	Чтобы решить уравнение sinx = a, отложим на чертеже 67
(на котором вычерчен график синуса) от точки О по оси у'у (вверх,
если а положительно; вниз если а отрицательно) отрезок а и про-
ведем через полученную точку прямую, параллельную оси х'х. Если
| а | > 1 (знаком || обозначена абсолютная величина), то проведенная
прямая не будет пересекать графика синуса — и уравнение не имеет
решения; напротив того, если | г?| < 1, то проведенная прямая имеет
с графиком синуса бесчисленное множество общих точеч. Значения
дуг, соответствующих точками пересечения, дают решения заданного
уравнения, при чем в пределах каждых 2 т. найдется два значения
дуги, удовлетворяющие уравнению. (Если |zz| = l, то две точки пере-
сечения сливаются в одну, проведенная прямая касается графика
синуса и в пределах каждых 2 те находится только по одному зна-
чению дуги, удовлетворяющему уравнению.)
Решим теперь уравнение sinx = a при помощи таблиц.
I случай. Если 0<а<1, то по таблицам найдем дугу х, удо-
влетворяющую данному уравнению. (Найдя дугу х в градусах, мину-
тах и секундах, можно выразить ее в радианах посредством таблицы
длин дуг радиуса, равного единице, так как дуга, выраженная в
радианах, численно равна длине дуги радиуса, равного единице).
дуГа к — Xi также удовлетворяет данному уравнению. Все дуги,
Ч Перед радикалом сохранен только знак плюс, так как угол А меньше 180°,
н поэтому синус его положителен.
— 100 —
удовлетворяющие этому уравнению, даются формулами 2/>я4-х1 и
2#я4~я —хР
II случай. Если а число отрицательное, то раньше всего пере-
пишем заданное уравнение в виде sin (2 я— х) — — а и найдем сна-
чала, как указано в первом случае, два значения дуги 2я-—х. Затем,
найдя соответствующие два значения х и пользуясь периодичностью
функпий, получим общее выражение дуги х.
3
Пример: sin х = у = 0,600. По (трехзначным натуральным) табли-
цам находим Х! = 36О5Г, 180° — х1 = 143°9'. Значит, х° — 360°-k 4*
Ц-36°5Г и х2° = 360°-Л-[-143°9". Если выразить дугу в радиа-
нах, то Xi = 0,6432; я—Xj = 2,4984, поэтому хх = 2# я 0,6432;
х2 = 2# я 4-2,4984. (Пятизначные логарифмические таблицы дают
х1° = 360°-Л4-36°52'11", х2° = 360°-Л4-143О7О46‘' или Xj = 2^-|-
4- 0,643498; х2 = 2k я-|- 2,498095.)
Пример: sinx=—sin(360°—х) = |/у; 360° — х — 60е;
360° — х2 = 120°, т. е. xi = 300°; х2 = 240, значит, х1 = 360°-Л-|-
-|-300о; х2° = 360° -|-240о. Выражая в радианах, получаем 2я —
— xt = 1,047198; 2 я — х2 = 2,094395, т. е. xt = 5,235988; х2 =
= 4,188791; значит, Xj = 2# я-j-5,23598.8 и х2 = 2^ я 4-4,188791.
Совершенно подобным же образом решаются при помощи графи-
ков функций уравнения cos = a, tang = a, ctgx = a с тою, однако,
разницей для двух последних, что они имеют решения, каково бы
ни было значение а. Итак, мы замечаем, что тригонометрические
уравнения или совсем не имеют решения или имеют бесчисленное
множество решений.
Положим, уравнение 81‘пх = аимеет корень хР Вспоминая, что
sin (я — x) = sinx, заключаем, что оно имеет еще корень я — xt.
Но в силу периодичности 2^я4-Х] и 2k я4- я — xt также корни этого
уравнения. Замечая, что (2# я 4- х) — (х) = 2£я и что (2k я -|- я — х)-{-
4-(х) = (2«4-1)я, заключаем, что все дуги, синусы которых
равны между собою, имеют разность, равную четному
(2k) числу полуокружностей (целому числу окружностей),
или сумму, равную нечетному (2^-f-l) числу полу-
окружностей.
§ 82.	Пусть уравнение cosx = a имеет корень xt. На основании
формулы cos (2 я—x) = cosx заключаем, что 2 я — Xi также корень.
Затем, пользуясь периодичностью, находим, что общее выражение
корней этого уравнения 2^я4~х1 и 2#я-|-2я— xt = 2#^ — xt.
Значит, общий вид дуг, имеющих тот же косинус, есть 2$я±хп
т. е. все дуги, косинусы которых равны между собою,
имеют сумму или разность, равную целому числу
окружностей.
Если в уравнении cos х~а, 0 < а < 1, то найдем один корень
по таблицам. Пусть его значение хп тогда 2 я — xt также корень.
Общее выражение дуг, удовлетворяющих этому уравнению, 2^я=ЬхР
Если бы а было числом отрицательным, то перепишем заданное
уравнение в виде cos (я — х) =— а и решим его относительно я — х
— 101 —
V у
Пример. Пусть cosx=—g-; х|° = 45°. Второй корень, лежащий
в границах от 0° до 360°, есть х2° = 360°—45° = 315°. Значит,
х1° = 360°-^-|-45°; х2° = 360с-^-|-315о. Выразив углы в радианах,
получаем Xj = 0,785398 и х2 = 5,497788.
Пример. Пусть cosx =— 0,815, или cos (180° — х) = 0,815. По
(натуральным трехзначным) таблицам 180° — х1° = 35с24'; второе
значение для 180°—х есть 180° — х2° = 360°— 35°24'= 324°36', т. е.
х1° = 144°36' и х2°=—144°36'. Значит, х, = 360°.^4-144°36'; х2° =
= 360°-# —144°36‘. Выразив в радианах, получаем xt = 2£-п:—|—2,5237,
x2 = 2£n— 2,5237. (Пятизначные таблицы дают х° = 360°-^±
144°35'13", или х = 2^ 7г ±7 2,523518)
§ 83.	Если уравнение tgx = a имеет корень xt, то также
кирень и в силу периодичности общее выражение корней
и 2kit-]-h-J-a-; оба эти выражения обобщаются под видом
Замечая, что (#1-гг4~х)— (х) = ^тг, заключаем, что разность дуг,
имеющих тот ясе тангенс, равна целому числу полуокруясностей.
Для решения уравнения tgx=£, в случае а положительного, на-
ходим одно значение х непосредственно по таблицам, а остальные
решения пишем по формуле х = #тг-|-х1. При а отрицательном
перепишем сначала заданное уравнение в виде tg(rc— х) — — а и
находим значения для it — х.
Пример. Пусть tgx = 3,7321. Таблицы дают Xj = 75°; значит
х° = 180°. #-|-75о, или в радианах x — kx 4-1,308997.
Пример. Пусть еще tgx = —1,200, тогда tg(180° — х°) = 1,200.
По натуральным таблицам находим 180° — х1°=50°1Г, откуда х°=
= 129°49', значит х° = 180°. # + 129°49'. Выразив в радианах, полу-
чим тг — xt = 0,8759; xt = 2,2657 и х=#тг4-2,2657. Пятизначные
таблицы дают: х° = 180°. #4~129°48'21", или х = #тг 4-2,26554"
§ 84.	Уравнения, выражающие, что некоторая тригонометрическая функция
равна одноименной функции или кофункции, взятой со знаком плюс или ми-
нус от аргументов, зависящих от х, нет надобности приводить к виду уравне-
ний § 80. При помощи формул приведения можно достигнуть того, чтобы в
обеих частях были одноименные функции с одинаковыми знаками; затем можно
установить связь между аргументами обеих частей посредством зависимостей
между собою дуг, имеющих одинаковое значение тригонометрической функции
Поясним это на примерах.
Пример, пусть
sin (Зх 4- 45°) = sin 2х.
Вспоминая, что для равенства синусов надо, чтобы разность их аргумен-
тов равнялась целому числу окружностей или сумма их аргументов равнялась
нечетному числу полуокружностей, находим:
или
значит
илн
3x4-45° —2х = 360°
Зх + 45е 4-2х =180° (2& -|-1), .
х = 360°£ —45°
х = 72е ^4-27°.
— Ю2 —
Желая, например, узнать, какие углы в пределах одной окружности удо-
влетворяют этому уравнению, напишем:
0°<360°. 4 —45е <360*
и
0°< 72° 41 + 27° <360°,
получим
х.гзЗЬ0; xs = 27°; Х3 = 99°; х4 = 171°; х5 = 243°; х6 = 315°.
Пример.
cos(4x -60°) = — cos Xi
илн
cos (4х — 60°) = cos (180е — х),
значит,
4х - 60° -I-180° — х — 360° 4
или
4х — 60° — 180е (- х = 360°4i.
т. е.
х = 120-4--40°
или
х = 72°-4,4-48°.
В пределах первой окружности х имеет значения
80°, 200°, 320°, 48°, 120°, 192°, 264°, 336°.
Наконец,
tg (7x4-30°) = — ctg Зх
или
tg (7х + 30°) = tg (90° 4- Зх)
поэтому
7x4-30°- 90° —Зх = 180° 4; х=45°-44-15°.
§ 85.	Вопрос о решении рассмотренных в § 83 простейших ура-
внений связан с вопросом о построении угла по данному значению
его синуса, косинуса, тангенса или котангенса.
з
Примеры. Пусть задано sinx = -y. Вспоминая, что синус есть
отношение проекции радиуса вектора
отложим
на ось у'у к радиусу-вектору,
(черт. 78) на Оу отрезок,
равный 3 единицам, и затем через полу-
ченную точку А проведем прямую, па-
раллельную оси х'х до пересечения с
окружностью, описанной радиусом, рав-
ным 5 единицам длины. Точки пересе-
чения Bi и В2 соединим с центром О.
Углы BiOx = xi и52Ох=180° — хь и
все углы, имеющие с ними одинаковый
геометрический вид, удовлетворяют урав-
нению. На чертеже выполнено еще по-
строение для уравнения
Черт. 78.
□
Пусть задано cos х — — -.
4
sinx = — у.
Так как косинус есть отношение
проекции радиуса-вектора на ось х'х к радиусу-вектору, то отложим
юз —
(черт. 78) на оси х'х от точки О налево отрезок, равный 3 едини-
цам длины. Через полученную точку А проведем прямую, параллель-
ную оси у'у до пересечения с окруж-
ностью, описанной радиусом, равным 4 еди-
ницам длины. Точки пересечения и В2
соединим с центром О. Углы В1Ох = х1
и В2Ох = 360°—xt и все углы, имеющие
тот же геометрический вид, удовлетво-
ряют уравнению.
На чертеже выполнено еще построение
для уравнения
1
COSX=-T.
4
4
Пусть задано tgx = y. Тангенс есть
отношение проекции радиуса-вектора на
ось Оу к проекции его на ось Ох. Поэтому (черт. 80) отложим от
начала О по оси Ох2 направо 3 единицы длины, а от полученной
точки Д] вверх по вертикально-
му направлению 4 единицы дли-
ны до точки В2. Соединим В{
с О: угол ВхОх удовлетворяет
уравнению. Или, так как tgx=
____4
= —_у, ТО ОТЛОЖИМ от точки О
влево 3 единицы длины и от по-
лученной точки Д2 вниз 4 еди-
ницы длины до точки В2. Углы
BiOx и ВгОх удовлетворяют
уравнению.
На чертеже выполнено еще
(пунктиром) построение для
уравнения etgx=—у^или tgx=
§ 86.	Вообще для решения тригонометрического уравнения с
одним неизвестным следует сначала привести его к одному из при-
веденных простейших уравнений, а затем уже найти неизвестное
указанными способами. Для этого надо выразить все входящие в
уравнение функции при помощи одной из них и решить уравнение
относительно этой функции, что и приведет к уравнению уже ра-
зобранного вида.
Например: atg х bctg х-|-с — 0 проводится посредством под-
1
становки ctg.r = ^—к уравнению
ig х
Черт. 80.
a tgax с tg х -|- b
tgx
— 104 —
которое вообще (если а и с не равны нулю одновременно) равно-
сильно уравнению
a tg2x 4- с tgх -|- Ъ = 0.
Если в уравнение, кроме функций дуги х, входят еще функции
дуги у, то следует выразить все функции только через функции
дуги х или только дуги у.
Например, уравнение sin х — a cos у можно переписать в виде
2 sinycosy—acosy = 0,
или
cos у i 2 sin у — а) =0,
т. е.
„ х п  х а
cosy = 0 и siny = у.
(При решении уравнения относительно функции у надо иметь в
виду, что служит периодом для ~, а не для х, и потому периодом
для х служит 4к.)
§ 87. В некоторых случаях очень удобно воспользоваться выра-
жением функций угла х через tgy-: эти выражения замечательны
тем, что они рациональны. Действительно,
cosx = 2 cos24 —1 = —--------1 =----~-------1 =
2	1Х	111->Х
sec3 у	1 tg “2
1	J
sin у
sin х = 2 sin * cos 4- = 2------------ cos2 =
2	2	_ х 2
. X	г., X
Sln2 1	= 2tg^....................
cos у sec31	1 + tg3y
(2)
tgx = _sinx_ =
C0SX 1-tg3y
. . (3)
Применим эти выражения к решению уравнения csinx-)-
-J- b cos х = с.
— 105 —
Подставляя, получаем уравнение
£	'	£ 1	\	£ '	д
l + tg’l
это уравнение вообще равносильно уравнению
2ctgy 4~ ^(1 — tg2y) — с (1-|-tg2y) = О
или
(i> + c) tg2y- 2fltg^ + (c —Z>) = 0.
Для вещественности корней необходимо и достаточно, чтобы
а2^с2— Ь2, или а2-\-Ь2^с2. Если это условие не выполнено, то
уравнение не имеет решения.
Пример. Дано уравнение 3 sin х-|-5 cos 4. Преобразуя, по-
лучаем 9 tg2 у — 9 tg у —1=0. Отсюда
tg2
1 +/Т
3
Натуральные таблицы
дают у =180°£-j 38°50'
и у= 180°£-|- 172°10',
или х° = 360°#4-77°40'
и х°= 360°#4-344°20',
или х— 2£гс 4-1,3555 и
x=2kгс-|-6,0086. (Пяти-
значные таблицы дают
= 360° k 4- 77°38'58"
и x=360o^4-344°16'40",
или х = 2k гс 4-1,355239
и х — 2£гс 4-6,008781.)
Угол х можно найти
также ’>ри помощи построе-
ния. Если формулу с —
= a cosВ -|- b cos А (фор-
мула 7 § 73) применить к пря-
моугольному треугольнику
(С = 90°), то получается
с = a sin Д + b cos А. По-
этому решить уравнение
asinx-|-Dcosx=:c значит—
tg=0,805 и tg'J=—0,138.
Черт. й1.
найти по отношению к треугольнику с катетами аиЬ такое направление,
чтобы сумма проекции катетов равнялась с. В применении к уравнению
3sinx-|-5cosx = 4 построим треугольник (АВС) с катетами 3 и 5 (черт. 81)и
опишем около него окружность. Затем из А, как центра, опишем дугу радиусом,
равным 4 единицам дли-нь’. Соединим точки пересечения окружностей D
и Е с вершиной А и проектируем АС и ВС на прямые AD и АЕ. Проекции
— 106 —
на первую_прямую AF-\-FD = AD —4. Проекции на вторую прямую А'7-f-
4* GE= АЕ — 4. Искомые углы CAF — 77°40' н CAD — 344°20' отмечены
дужками.
КРУГОВЫЕ ФУНКЦИИ.
§ 88.	Вопрос о решении уравнений sin х = а, cosx = a и т. д.
связан с вопросом о круговых функциях — обратных тригонометри-
ческим.
Если переменная у есть функция независимой переменной х, и при-
том такая, что каждому значению х соответствует одно значение у,
то у называют однозначной функцией х. Функция у называется много-
значной, если каждому значению независимой переменной х соответ-
ствует несколько или даже бесчисленное множество определенных
значений у. Примерами однозначных функций могут служить
у = 5х— 2; у — ах3-, y = Iogx; y = sinx,
но если, например, х и у связаны зависимостью
у24-х2 = 1, то у = ±]Л1 —х2;
здесь каждому значению х (которое по абсолютному значению
меньше единицы) соответствуют два значения у; в данном случае у
многозначная (именно двузначная) функция х.
Если у есть функция х, то вообще можно и х рассматривать как
функцию переменной у. В таком случае одну из этих функций на-
зывают прямой, а другую — обратной. Взяв за прямые функции
у = 5х — 2; y = axa; y — logax,
получим следующие обратные им функции
§ 89.	Пусть прямая функция
y = sinx................................................(1)
Функцию х, обратную функции у (— sin х), обозначают через
Arc sin у (Аге сокращение слова «arcus» — дуга) и пишут
х~ Arc sin у.....................(2)
Равенства (1) и (2) равнозначащи: они указывают одну и ту же
зависимость между переменными у и х. Следовательно, под х =
= Arc sin у разумеют дугу (или угол), синус которой равен у. Так
как х есть дуга круга, то функцию х называют круговой.
Как мы видели при решении уравнения sinx = y, значениям у,
лежащим в границах —	соответствуют определенные зна-
чения х. Каждому значению х соответствует одно значение у, но
каждому значению у (лежащему в указанных границах) соответ-
ствует бесчисленное множество определенных значений х. Поэтому у
— 107 —
(= sin x) есть однозначная функция х, но х (= Arc sin у) многознач-
ная функция у. Обратные друг другу функции
у — Arc sinx
..............................(3)
y = sinx >).......................(4)
отличаются друг от друга тем, что значения у одной из них равны
соответствующим значениям х другой, — и обратно. Поэтому, если
одна из функций построена, то другая может быть получена заме-
ной х на у, — и обратно. Но этой замены мы достигнем, преобра
зуя чертеж так, чтобы ОХ заменилось
осью OY и обратно, т. е. повернем чер-
теж вокруг оси ОС, биссектрисы угла
XOY. Таким образом кривые чертежа
67 преобразуются в кривые чертежа 82.
(Сплошной линией представлен Arc sin х.)
Из всех значений у = Arc sm х, со-
ответствующих данному значению х (за-
ключенному в границах — 1 =g х sg Ч 1),
есть, наверное, одно — и только одно —
значение у, лежащее в границах —
Одно значение у наверное имеет, пото-
му что синус проходит между этими
пределами совокупность всех возмож-
ных значений; только одно, потому что
синус, возрастая все время между этими
границами, принимает каждое значение
только один раз. Это значение назы-
вают иногда главным и обозначают
у — arc sin х
(arc малой буквой в отличие от преж-
него обозначения Аге). На чертеже глав-	' Черт. 82
ное значение выделено толстой линией.
Аналогичным образом определяют многозначные функции у —
— Arc cos х, у = Arc tg х, у = Arc ctg х, (у = Arc sec х, у — Arc css х).
Arc cos х — есть функция (дуга), косинус которой равен х и т. д.
Эти обозначения выражают те же зависимости, что и равенства
x = cosy, x = tgy, x = ctgy (x = secy, x = cscy).
Главным значением функции _y = Arctgx (обозначаемым нами
_y = arctgx) называют то значение, которое лежит между — у и
+ у- Такие границы можно выбрать, так как между ними всегда
*) В обеих строчках независимое переменное обозначено буквой х, а функ-
ция — буквой у.
— 108 —
найдется значение у, и притом только одно. Между этими грани-
цами для у функция x = tgy изменяется от — со до-j-со, все время
возрастая, и поэтому каждому значению х соответствует одно зна-
чение у в указанных границах, выделенное на чертеже (черт. 83)
толстой линией. (Между теми же значениями заключаются главные
значения функции у = Arc esc х.)
Но главное значение у = Arc cos х считают лежащим между 0 и к.
Здесь границ — у и -|- у принять нельзя, так как между этими гра-
ницами x = cosy, с одной стороны, принимает не все возможные для
косинуса значения, а только положительные (см. черт. 82), а, с дру-
гой стороны, те значения, которые х может принимать в этих гра-
ницах, оно принимает два раза: один раз для некоторой положи-
тельной дуги, а другой раз для численно равной ей отрицательной
дуги. Поэтому каждому из возможных для x = cosy положительных
значений соответствуют два значения у в пределах — и + у • На-
против того, для OsSy^it функция cosy принимает все возможные
для косинуса значения, и притом все время убывая, т. е. по одному
разу. Следовательно, удобно ограничить главные значения у ~ Arc cos х
пределами 0<y<^ir. Главные значения функции Arcctgх заключены
между теми же границами. (Главные значения функций Arc cosх и
Arc ctg х выделены на чертежах 82 и 83 толстыми пунктирными
линиями. Нетрудно видеть на графиках, что такой выбор наиболее
удобен.)
§ 90.	Функции у = arc sin х, у = arc tg х — функции возрастающие.
Для пояснения этого обратимся к чертежам 78 и 79, где сплошными толстыми
Черт. 83.
— 109 —
линиями изображены графически функции arcsinx и arctgx. Напротив того,
функции arc cos х и arcctgx—функции убывающие, как в этом нетрудно убе-
диться, рассматривая на чертежах 82 и 83 графики, проведенные толстым
пунктиром.
Функции arc sinx и arc cos х, aretgx и arc ctg х связаны между собою
висимостью
за-
arc sin x ф- arc cos x = —
(1)
(2)
arc tg х -ф- arc ctg х — — ........
^на черт. 82 и 83: AB-}-AC = OL^-OM—OK — ~j.
Действительно, пусть arcsinx=y, arccosxz=z, тогда X = siny, Х =
(ТС \
— — z ], при чем
2	'"	2	' " ’	' "	’
тс
или —	—	. Значит, у и—— две дуги, имеющие равные синусы
тс тс
и заключенные между—--фи — ; н0 для д^г’ лежа1Цих в этих границах, си-
те
ус приобретает каждое значение только один раз, поэтому у = ——А или
. я	ТС
y-j-z = —, т. е. arc sin хarc cos х = —, что и требовалось доказать.
Соотношение (2) доказывается совершенно таким же способом.
Найдем еще зависимость между arc sin к и arc sin (— х.) Если на чер-
теже 82 OD — х и О А — — х, то arc sinx = DE, arc sin (— x) — AB. Почти
очевидно, что DE + Д C = 0, так как DE на столько же больше нуля, на
сколько АВ меньше нуля. Чтобы это доказать, введем обозначения arcsinx=y,
arc sin ( — х) = z, или х = sin .у, — х = sin z — — sin у = sin (—у), где
тс	тс	тс	тс	тс
— и-----, т. е. — 5s— у 5s—— - Значит,—у их
2	2	2	2	2	J
тс тс
две дуги, имеющие равные синусы и заключенные между —— и -ф- — , поэтому
—у = z, или у + z — 0 и
arc sin х 4- arc sin (— х) = 0.............(3)
Определяя зависимость между arc cos х и arc cos {— х) заметим, что
arc cos х = DF, arc cos (—x) = AC, но так как DF~ ON на столько же
меньше ОК, на сколько АС —ОМ больше ОК то DF ф- АС = 2. ОК—к, или
arc cos х +arc cos (— х) = ~........................................(4)
Доказывается это подобно тому, как было доказано равенство (3)
Можно получить также соотношения
arc tg х -ф- arc tg (—х) = 0 .
- arc ctg х -ф- arc ctg ( — х) = тс
На чертеже 83: DE-\- АВ = 0 и /)/74-ДС = я.
Справедливость соотношения (2) доказывается совершенно таким
же способом.
2
(5)
(f>t
- по —
НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ
ФУНКЦИЯМИ И ДУГОЙ.
§ 91	При изучении функций (в высшей математике) как значе-
ния самой функции, так и значения независимой переменной всегда
выражают отвлеченными числами. Поэтому при изучении тригоно-
метрических функций, например x=sinу/,
или у = sin х, под у разумеют не неко-
торое число градусов или радианов, а
отвлеченное число, равное отношению
длины соответствующей дуги к радиусу.
(Конечно, это число равно числу радиа-
нов.) Принимая это во внимание, выве-
дем несколько важных в теории триго-
нометрических функций соотношений.
Пусть ВОА (черт. 84) некоторый
острый угол. Построим между сторонами
его каким-нибудь радиусом R дугу ВА
и через конец начального радиуса про-
ведем касательную до пересечения с дру-
гой стороной в точке С. Тогда площадь треугольника ОАС > пло-
щади сектора ОАВ > площади треугольника ОАВ, т. е.
В-АС В-^АВ ВВП
2 >	2	>	2 '
Разделив на R2 и умножив на 2, получаем
AC ^АВ BD
В > В > В ’
АВ
Отношение —(численно равное числу радианов дуги А2?) обозна-
чим буквой х. Тогда из треугольников ОАС и ODB имеем АС=
= A?tgx, BD = Rsmx. Подставляя эти выражения в последние не-
равенства, получаем
tgx>x> sinx.
Эти неравенства справедливы, если 0<х<^у.
§ 92.	Последние неравенства перепишем в виде
sin .
-----> х
COSX
sinx
или (деля на положительное число sinx)
1
COSX
значит, cos х < sinx < 1.
х
При неограниченном убывании х, предел cos х = 1; следовательно,
отношение-^? остается заключенным между единицей и переменной,
— Ill
предел которой равен единице; поэтому предел -- также не мо-
жет отличаться от единицы. Итак
/ Oil J Л 1
предел I----1	= 1.
\ X /х = 1
§ 93.	Применяя выведенные неравенства к дуге у, имеем
tg 2" > 2 '
Умножая обе части этого неравенства на положительное
число
2cos2-g-, получаем:
„ . х х .	, х
2 sm у cos у > х cos2 %,
или sinx>x^l—sin2-^-
Но так как sin^- < то, заменяя во второй части sin^ через
Z Z	Z
у, усилим неравенство; поэтому
1 — I или
х3
X — Sin X <
4
Это неравенство дает возможность вычислить синус для достаточно
малого угла с какой угодно точностью. Действительно, полагая
sinx = x..........................(1)
уЗ
сделаем ошибку, меньшую у. Возьмем, например, угол, равный 10'.
Переведя в радианы, имеем
360-6
iio=0’00290888-
Полагая sin 10'= 0,00290888, сделаем ошибку, меньшую чем
— 0,0033	О.СООООООЗ	0,00000001.
4	4	4
Когда вычислен sin 10', то можно найти значения остальных три-
гонометрических функций того же угла, а затем функции двойного
угла, т. е. 20', а затем 30' (как суммы 10' и 20' и т. д.). Таким
образом мы имеем (теоретическую) возможность вычислить зна-
чения тригонометрических функций любого угла. В действитель-
ности вычисления ведут по иным формулам, которые легче всего
получить методами дифференциального исчисления.
В равенстве (1) приближенно справедливом для малых1) углов,
*) «Малым» будем считать в данном вопросе (или задаче, или вычислении)
х3
угол, для которого -j- не превышает погрешности, допускаемой нами при
вычислении.
— 112 —
буквой х обозначен усол, выраженный в радианах. Обозначив
буквой у его измерение в градусах, будем иметь:
Подобным же образом получим:
siny = W-6C)^
S,nJ' = 1I&-60-60
Обращая внимание на то, что множители
1oU	1oU•0U
не зависят от значения угла, заключаем из этих равенств,
180-60-60	1	г >
что для малых углов синус пропорционален углу.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК.
Тригонометрия, подобно геометрии, имеет очень древнее про-
исхождение. Есть указания, что уже за 18 веков до нашей эры
вавилоняне предсказывали солнечное и лунное затмения, что, ко-
нечно, невозможно без знания тригонометрии. Но до нас не дошло
никаких источников, по которым можно было бы судить о том,
каковы были эти сведения.
Вавилонянам принадлежит деление круга на 360 частей. Вероятно,
они подметили, что хорда равна радиусу или дуги, составляющей
у часть окружности (60°). Естественно было разделить эту дугу
на 60 частей, так как таким образом получается дуга, на которую
солнце перемещается в сутки по небесной сфере, описывая за год
целую окружность. (У китайцев было даже деление окружности на
3651/* частей, так что каждая часть равнялась пути солнца за одни
сутки.) С этим связано было употребление шестидесятичных долей,
которое перешло от вавилонян к грекам и к другим культурным
народам. Шестидесятичные дроби сохранялись очень долго, еще
в XVII столетии в некоторых учебниках даются таблицы для пере-
хода от шестидесятичных долей к десятичным и обратно, а самые
дроби встречаются даже еще в XVIII столетии.
В Египте тригонометрические сведения применялись уже в глу-
бокой древности в архитектуре. Египетские архитекторы вычисляли,
как надо стесать камни, чтобы они образовали на ступенчатом
остове пирамиды гладкую поверхность; для этого надо было знать
отношение основания к гипотенузе, т. е. косинус угла. У архи-
текторов понятие косинуса стало даже ходовым; это видно из того,
что для него существовал особый термин. Очень вероятно, что у
них были и многие другие тригонометрические сведения, но они
тошли до нас только из греческих источников, и нет возможности
указать, что именно греки получили из Египта.
Истинными создателями тригонометрии были греки. Уже Фалес
(600 л. до нашей эры) обладал значительными сведениями; он знал,
например, что угол, вписанный в полукруг, прямой. Он прославился
предсказанием солнечного затмения, во время которого происходило
сражение мидян с лидийцами; по преданию, они не пожелали сра-
жаться в темноте и заключили мир. Аристпарх, работавший в Але-
ксандрии (288 — 277 гг. до нашей эры), умел определять относительные
При иояиирйввя тригонометрия	8
— 114 —
расстояния до солнца и луны. Для этого он измерял угол между
направлениями на солнце и луну в то время, когда освещена как-
раз половина обращенной к нам стороны луны. Пусть S — положе-
ние солнца, L — положение луны, Т — положение наблюдателя.
Чтобы половина повернутой к нам стороны луны была освещен-
ной, необходимо, чтобы лучи солнца падали на луну (L) перпен-
дикулярно прямой TL (черт. 85). Из треугольника TLS имеем ~ —
= cosa. Надо заметить что этот способ, теоретически правильный,
совершенно непригоден практически, так как, во-первых, он требует
очень точного измерения угла и, во-вторых, чрезвычайно трудно опреде-
лить момент, когда как раз половина луны представляется освещенной.
Черт. 85.
Черт. 86.
Гиппарх из Никеи, работавший за 1 >/г века до нашей эры, про-
славился как астроном и математик. Он считается основателем
научной астрономии. Ему принадлежит замечательный звездный
каталог, содержащий положения 1080 звезд с значительной точностью.
Для астрономических вычислений ему понадобились тригонометри-
ческие таблицы, и он вычислил таблицу хорд; его таблицы дают
для каждого а значения CD = 2r sin у (черт. 85). Но тригонометрию
он изучал только, поскольку она нужна была ему для астрономии;
поэтому его сведения относятся главным образом к сферической
тригонометрии, которая рассматривает треугольники, образованные
на поверхности шара дугами больших кругов. К сожалению, сочине-
ния Гиппарха не дошли до нас.
Менелай из Александрии (за 100 лет до нашей эры) доказал еще
некоторые теоремы сферической тригонометрии, одна из которых
носит название теоремы Менелая.
Птолемей, живший во II веке нашей эры и работавший в
Александрии, собрал их работы и присоединил к ним свои работы
в сочинении, тоже не дошедшем до нас в подлиннике, но сохра-
— 115 —
ненном в арабском переводе; это сочинение известно под названием
«Альмагест». Он умел при помощи теоремы, *) носящей его имя,
находить хорду суммы и разности двух дуг по хордам каждой дуги.
Возможно, что эта теорема была уже известна Гиппарху и неза-
служенно носит имя Птолемея. У Птолемея впервые встречаются
знаки ' и * для минут и секунд, откуда затем появился знак ° для
градусов. Названия минуты и секунды происходят от латинских
partes mlnutae primae и partes minutae secundae — первые меньшие
(конечно, шестидесятые) части и вторые меньшие части.
Греки считали, что всякая практическая деятельность есть удел
рабов. Свободным же гражданам подобает заниматься только от-
влеченным мышлением, не заботясь о практических приложениях.
Поэтому естественно, что вообще тригонометрия была у греков в не-
котором пренебрежении, и заслуги их в этой области несравненно
меньше, чем в геометрии. Такие математики, как Евклид, считали
ниже своего достоинства заниматься измерениями и вопросами, свя-
занными с ними, а ценили только умственные построения, безоши-
бочность и строгость своих рассуждений и доказательств. Евклид
во всей своей геометрии не вводит явно понятия числа, а, например,
при изучении площадей, говорит только об отношении площадей
прямоугольников, не давая выражения для самой площади. Поэтому
вопросы тригонометрии, вопросы метрики вообще были им чужды.
Те же, которые, как землемеры, должны были заниматься этими
вопросами, не обладали большею частью достаточным образованием,
чтобы создать что-либо новое, и пользовались старыми правилами,
часто неточными или совсем неверными. Исключением из них был
Герон, живший в первом веке до нашей эры. Он вывел формулы
для площади треугольника s = гр и s=V р (р — а) (р — Ь) (р — с).
Его (очень остроумный) вывод чисто геометрический, и существенно
отличается этим от вывгта, приведенного в § 27. Впрочем,
в сочинениях Герона трудно указать, что принадлежит ему самому
и что он взял от египтян. В отличие от других греков того вре-
мени он не пользуется шестидесятичными долями; а это доказывает,
что он многое взял прямо от египтян. В противном случае он,
наверное, прибег бы к шестидесятичным дробям.
В противоположность дедуктивному мышлению греков, индусские
ученые обладали практическими наклонностями и удивительной
вычислительной способностью. Наиболее замечательными предста-
вителями индусской науки были Архиабатта (род в 476 г. нашей
эры), Бралиупта (род. в 598 г. нашей эры) и Бхаскра (род. в 1114 г.).
Они заметили, что вместо хорды удобнее пользоваться синусом,
т. е. полухордой двойной дуги (хорда дуги 2а равна 2r sin а, т. е.
полухорда равна г sin а). Кроме синуса, они ввели еще две функции,
а именно косинус и синус верзус (_ 1 — cos а). Архиабатта построил
таблицу синусов через Зу°; он разделил единицу на 3438 частей,
соответственно тому, что дуга, заключающая 3438 минут, равна
1) Эта теорема излагается в учебниках геометрии.
— 116 —
радиусу (см. § 59). Углы же в 3-^-° были получены так: sin 30° =
= 1719', затем делением угла пополам получим значения синуса для
углов в 15°, 7-С °, 3-|-0. Вычисления велись по формуле sin -~ =
=	1 — cos^ таким образом было получено sin 3°45' = 225',
sin 7°15' = 449', sin 15° = 1719' Бхаскра вычислил даже значения
через 1°, получив sinl° = ^ и cosl° = |^. Но индусы не умели
еще решать косоугольных треугольников и разбивали их для этого
на прямоугольные.
С VI по X век был период, когда Европа, отойдя от высокой
умственной жизни Греции и Рима, погрузилась в глубокий мрак.
Всякая научная деятельность прекратилась, всякие знания преследо-
вались в силу религиозных предрассудков и учений. Математика
и астрология стали синонимами, а математиков приравнивали к зло-
умышленникам. В это самое время на исторической сцене появляются
арабы — народ, сыгравший в истории науки исключительную роль.
Появившись в VII веке и образовав громадное государство, этот,
кочевой до того времени, народ захватил господство над более
ультурными народами и весьма быстро заимствовал их цивилизацию
и знания. Этот народ достигает быстро расцвета на фоне упадка
Западной Европы, чтобы через 7 — 8 веков снова отцвесть и погру-
зиться в историческое небытие. Необычайная жажда знаний про-
явилась у арабов в ряде переводов как с греческого, так и с индус-
ского. Многие памятники греческой науки дошли до нас только в
арабских переводах. Можно сказать, что вообще арабы мало при-
бавили к тому, что получили; но в знаниях, имеющих практические
приложения, в арифметике, ал1ебре, тригонометрии, мы имеем много
проявлений их самостоятельного творчества.
Аль-Баттани (-f- 929, Дамаск) сознательно отдал предпочтение
синусам перед хордами; он ввел в рассмотрение котангенс и секанс,
неизвестные грекам, но он не пользуется еще этими функциями
для решения треугольников. Котангенс служит у него только для
определения высоты
Черт. 87
солнца по длине тени.
Пусть а (черт. 87) есть угол между на-
правлением на солнце и горизонтальным на-
правлением; СВ—высота шеста (гномона).
ДС
Тогда ZfS = ctga; если длина гномона СВ = 1,
Со
то ДС = ctg а, т. е. длина тени гномона в еди-
ницу длины равна котангенсу угла а. Длину
ДС, а поэтому и котангенс, называли umbra
гесга (прямая тень).
Абуль Вафа (940 — 998, Багдад) ввел еще
тангенс, называвшийся umbra versa (обратная
тень).
Положим теперь (черт. 88), ДС — верти-
кальная стена, ВС = 1 есть шест, располо-
— 117 -
женный горизонтально, тогда при высоте солнца, равной а, АС бу-
АС
дет длиной тени (umbra versa—обратная тень). Но = tg». или
при ВС = 1 получим AC — tga. Поэтому тангенс называли также
umbra versa.
Абуль Вафа не только ввел тангенс,
но составил таблицу тангенсов через
один градус и показал их применение
при решении треугольников.
Очень значительные успехи сделал
астроном Назир-Эддин- Тузи (1201 —
1274). Он занимался и развивал пло-
скую тригонометрию ради нее самой. Он
указал, как решать косоугольные тре-
угольники, пользуясь теоремой синусов.
Но он не знает еще теоремы косинусов
и иногда для решения треугольника раз-
бивает его на два прямоугольных. Из
других арабов более замечателен Джи-
бар-Ибн-Афлах Севилья); он сде-
лал большие упехи в сферической три-
Черт. 88.
тонометрии, но в противоположность восточным арабам не подвинул
вперед плоской тригонометрии и пользовался даже методом хорд
Птолемея, не вводя синусов. Итак, в плоской тригонометрии твор-
чество проявили исключительно восточные арабы. Они определенным
образом ввели в употребление и пользовались функциями синус,
косинус, тангенс и котангенс.
Не только применение синуса, но самое слово синус мы полу-
чили от арабов. У индусов были слова jtva или jyS (хорда) и
ardhajyS (полухорда). Арабы восприняли это, как dschiba. Но у
арабов записываются только согласные и потому они спутали это
слово с арабским словом dschaib, которое было правильно переведено
на латинский язык словом sinus; dschaib — sinus — лука, изгиб.
Слово косинус — значит синус дополнения — complement! sinus
(XV столетие), что стало сокращенно записываться cosinus, и нако-
нец (XVI столетие) слилось в слово косинус. Слово тангенс значит
касательная; котангенс — тангенс дополнения. Секанс — секущая;
косеканс — секанс дополнения.
Недавно еще заслуги, принадлежащие по праву Назир-Эддину,
сочинения которого найдены очень недавно, приписывались Решо-
люнтанусу (Иоганну Мюллеру 1436 —1476). Однако не подлежит
никакому сомнению, что Региомонтанус был в своих работах совер-
шенно самостоятелен: сочинения восточных арабов ему были не-
известны. В своей книге de triangulis omnimodis libri quinque (пять
книг о всевозможных треугольниках;, представляющей замечатель-
ное во всех отношениях сочинение, он развил тригонометрию, как
самостоятельную отрасль знания, и построил ее в общих чертах
так, как она стоит и теперь. Он вычислил таблицы синусов и тан-
генсов, разделив радиус на 600 000 равных частей (вместо 3438
— 118 —
у древних), а позднее и на 10000 000 частей. В своей книге он дал
решения плоских и сферических треугольников. Хотя заслуги его
во многом совпадают с заслугами Назир-Эддина, но они еще более
значительны и, кроме того, Региомонтанус вместе со своим учите-
лем Пурбахоли (Puerbach, 1423 — 1461) начинают период развития
науки, а Назир-Эддин, напротив того, заканчивает собой период
расцвета ее.
После Региомонтануса тригонометрией занимался Коперник
(1473 —1543). Он вычислил таблицу секансов. Наконец, Ретикус
fRhaeticus Георг Иоахим, 1514 —1576) вычислил наиболее подробные
таблицы, которые, однако, вследствие материальных затруднений
могли быть изданы только после его смерти. Он первый отвлек
тригонометрические функции от круга и поставил их в зависимость
от стороны прямоугольного треугольника. Питискус (Pitiscus 1561 —
1613) выпустил в свет труд, посвященный решению треугольников.
В заглавии этого труда впервые встречается слово тригонометрия
(измерение треугольников): Trigonometria sive de solutione triangu-
lorum tractatus brevis et perspicuus (тригонометрия, или краткий и
ясный трактат о решении треугольников). Выдающийся парижский
математик Виета (1540 — 1603) создал гониометрию, т. е. алгебра-
ические методы и преобразования в применении к тригонометриче-
ским функциям, но у него не было еще современных удобных и на-
глядных обозначений.
Очень большое значение при вычислениях вообще и вычислении
таблиц в частности имели в средние века формулы, в которых про-
изведения тригонометрических величин преобразовываются в суммы
и разности. Средневековый математик пользовался ими, как мы
пользуемся логарифмами, чтобы неудобное умножение и деление
заменить сложением и вычитанием. Уже арабы знали эти формулы,
но не оценивали их значения. Так, Ибн-Юнус (1000) знал формулу
cos a cos р =cos (а — р) -|- cos (а -|- р) ]; этот способ замены про-
изведения суммой или разностью называется простаферезис (irpoofhqotc—
сложение, acpiipeait; — вычитание).
Но в начале XVII века шотландец Непер (род. 1550), создавший
метод логарифмов, опубликовал в Эдинбурге (1614 г.) таблицы лога-
рифмов. Швейцарец Бюрги (род. 1552), открывший логарифмы неза-
висимо от Непера, обнародовал свои таблицы логарифмов в Праге
(1620 г.). Бриггс переработал Неперовы таблицы, приняв за основание
логарифмов число десять; благодаря такому выбору обращение с
таблицами стало очень простым; таблицы Бриггса вытеснили таблицы
Бюрги. Формулы, служащие для простаферезиса, стали после изо-
бретения логарифмов ненужными, пока не было обращено внимание
на то, что они очень полезны для обратного процесса — преобразо-
вания сумм и разностей в произведения (см. § 71).
Ту законченную и изящную форму, которую тригонометрия имеет
в настоящее время, придал ей великий Эйлер (Euler, 1707 —1783,
Берлин и С.-Петербург). Он в огромной мере способствовал развитию
высшего анализа, а тригонометрию изложил как отрасль анализа.
— 119 —
Принятые теперь сокращенные обозначения sin, cos и т. д., а также
обозначение сторон треугольника буквами а, Ь, с и углов А, В, С
принадлежат ему. Эйлер принял радиус круга равным единице, и
таким образом его значения тригонометрических функций выражают
отношения. Но современники не оценили этого, и у них продолжали
фигурировать линии при любом радиусе что встречается еще
в конце XV111 и даже в XIX столетии в целом ряде учебников.
Хотя тригонометрия получила вполне законченную форму, но
тригонометрические функции находят себе в современном матема-
тическом анализе всё новые и новые приложения.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
м	Стр.
Предисловия .................................................... 3
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ.
О функциях острого угла и решении треугольников.
Введение...........•............................................ 7
О синусе острого угла .......................................... 8
Решение прямоугольного треугольника при помощи значений синуса . .	12
О тригонометрических функциях острого угла................... 13
Основные соотношения между элементами прямоугольного треугольника 21
Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников и правильных
многоугольников...............................................22
Изменение тригонометрических функций острого угла . .............. 26
Основные соотношения между функциями острого угла................. 30
Практические приложения........................................... 34
О проекциях на плоскость.......................................... 36
Формулы, связывающие элементы косоугольных треугольников .	... 38
Основные случаи решения косоугольных треугольников.................45
Формулы для площади треугольника и для радиусов кругов вписанного
и описанного................................................. 53
Практические приложения........................................... 54
Триангуляция . ... ..............................................   56
ВТОРАЯ ЧАСТЬ.
Учение о тригонометрических функциях.
Обобщение понятия угла и дуги ........................... ......	58
Основные положения о векторах и проекциях....................... 59
Определение тригонометрических функций в общем виде............. 63
Основные соотношения между функциями одного угла........... 67
Изменение тригонометрических функций............................ 69
Формулы приведения...........................................  .	72
О радиане как единице меры углов................................ 77
Графики тригонометрических функций.............................. 79
Проекция вектора на ось ........................................ 82
Тригонометрические функции суммы и разности двух дуг, двойной и по-
ловинной дуги....................................... ...	85
Преобразование сумм и разностей	в	произведения................. 91
Формулы, относящиеся к треугольникам	и	четыреугольникам........	—
Тригонометрические уравнения .................................... 99
Круговые функции..................................................106
Некоторые соотношения между тригонометрическими функциями и дугой ПО
ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ.
Исторический очерк.............. ...............................113
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО РСФСР
МОСКВА - ЛЕНИНГРАД
Киселев. А.—Элементы алгебры и анализа. С при-
ложением четырехзначных таблиц квадратных
корней, логарифмов и антилогарифмов. Допущ.
ГУС’ом. 5-е исправленное и дополненное издание.
В 2-х частях.
Ч. 1-я. Элементы алгебры. Ц. 2 р.
Ч. 2-я. Элементы анализа. Ц. 1 р. 10 к.
Книга является капитальной переработкой основного курса
алгебры того же автора с дополнениями по началам аналитической
геометрии и анализа бесконечно-малых. Объем курса, в общем соот-
ветствующего по содержанию современным программным требова-
ниям, несколько широк по сравнению с тем, что может быт ь прой-
дено во 2-м концентре II ступени и девятилетке.
Книга обладает большими методическими достоинствами и без-
упречна в научном отношении. Знакомство с ней Г1собенно полезно
преподавателям, нуждающимся в повышении своей квалификации;
ее можно также рекомендовать в качестве пособия для педтехни-
кумов.
Киселев, А.— Задачи и упражнения к „Элементам
алгебры". Допущ. ГУС’ом. Стр. 113. Ц. 60 к.
Рыбкин, Н. — Сборник геометрических задач на
вычисление.
Часть I. Планиметрия. Стр. 129. Ц. 55 к.,
в пер. 67 к.
Часть II. Стереометрия. Стр. 104. Ц. 45 к.
Рыбкин, Н. — Учебник прямолинейной тригономе-
трии и собрание задач. Издание 8-е. Стр. 175.
Ц. 60 к.
Курс написан в дореволюционное время, а потому он и по
содержанию и расположению материала н по его объему не соответ-
ствует программам ГУС’а, хотя обладает несомненными достоинствами
как в смысле методической выдержанности, так и в отношении науч-
ности изложения.
Может быть использован и для самообразования, на рабфаках
и для повышения квалификации преподавателей.
Продажа во всех магазинах и отделениях Госиздата
60 коп.—у. Переплет 18 коп.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО РСФСР
МОСКВА - ЛЕНИНГРАД
СПУТНИК
ПРЕПОДАВАТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
Составили
В. А. КРОГИУС и Н. С. ПОПОВА
Стр. 147, 13 стр. „для заметок".	Ц. 65 к., в папке 75 к.
СОДЕРЖАНИЕ:
Школа первой ступени
Программа ГУС’а (в сокращенном изложении),
Математика и комплекс,
Общие замечания к курсу математики первой ступени,
Методические указания,
Библиографический указатепь,
Учебное оборудование,
Числовой материал.
Школа второй ступени
Программа ГУС’а (в сокращенном изложении),
Общие замечания к курсу математики второй ступени,
Методические указания,
Библиографический указатель,
Наглядные ^юсобия,	„
Научные Общества и учреждения,
Некоторые числовые данные.
Продажа во всех магазинах и отделениях Госиздата