Text
                    ДИНАМИКА
ПОДЗЕМНЫХ

В. М. ШЕСТАКОВ ДИНАМИНА ПОДЗЕМНЫХ ВОД Издание второе, переработанное и дополненное Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по специальности «гидрогеология и инженерная геология» ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА <0 70
УДК 551.491.5 Рецензент: кафедра гидрогеологии .Московского геологоразведочного института им. Серго Орджоникидзе Шестаков В. М. Динамика подземных вод. М., Изд-во Моск, ун-та, 1979 г. с. 368. В учебнике изложены начала гидравлики жидкостей, физические и математические основы фильтрации и миграции подземных вод, методы гидродинамических расчетов при стационарной и нестационар- ной фильтрации, включая гидродинамическое обоснование опытно-филь- трационных работ, дренажей, и водозаборов подземных вод. По сравнению с предыдущим изданием в работе усилена теоретическая часть, рассматриваются методы моделирования для. решения гидро- геологических задач, на современном уровне дается теория скважин, введен раздел миграции подземных вод применительно к проблеме загрязнения подземных вод н решению ряда других вопросов. Рассчитан на студентов гидрогеологических и ииженерно-геологн- •ческих специальностей университетов и вузов. Он может быть поле- зен также специалистам, занимающимся вопросами динамики подзем- ных вод. „ 20806—116 Ш------------120—79 2604040300 077(02)—79 (б) Издательство Московского университета, 1979 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ Динамика подземных вод изучает количественные закономернос- ти движения подземных вод, разрабатывая теоретические основы и методы гидрогеологических расчетов, направленных на обосно- вание условий формирования подземных вод под влиянием естест- венных и искусственных факторов. Динамика подземных вод на- ходится на стыке ряда наук — по своим задачам и естественным основам она является отраслью гидрогеологии, а ее теоретические представления опираются на точные науки. Поскольку движение подземных вод происходит главным образом путем! фильтрации, т. е. гравитационного течения жидкости (воды) в дисперсной (по- ристой или трещинной) среде, то из точных наук наиболее обшир- но проникает в динамику подземных вод гидромеханика (гидрав- лика), рассматривающая закономерности фильтрации как меха- нического процесса. Вместе с тем следует подчеркнуть, что филь- трация подземных вод (геофильтрация) имеет ряд существенных особенностей, связанных с постановкой гидрогеологических задач, а также обусловленных спецификой горных пород как фильтрую- ющей среды. Для понимания путей развития динамики подземных вод важ- но иметь в виду, что ее основные гидромеханические положения были заложены исследованиями, проведенными рядом известных специалистов, работавших в области гидравлики и теоретической механики (А. Дарси, Ж. Дюпюи, Ж. Буссинеск, Н. Е. Жуковский, Ф. Форхгеймер). Для решения задач динамики подземных вод в этих исследованиях использовались дифференциальные уравнения водного потока. Такая постановка исследования имеет исключи- тельно важное значение, поскольку «лишь дифференциальное ис- числение дает естествознанию возможность изображать матема- тически не только состояния, но и процессы: движение» (К. Маркс, Ф. Энгельс. Соч. Т. 20, с! 587). Следует вместе с тем отметить, что этим исследованиям при высоком их гидромеханическом уровне было свойственно сравни- тельно слабое гидрогеологическое обоснование принятых расчет- 3
них схем и исходных предпосылок, в значительной степени свя- занное с почти полным отсутствием специальных натурных наб- людений. Это обстоятельство имеет существенное значение, пос- кольку и до сих пор недостаточность натурных данных и неполно- та их анализа нередко определяет слабые места в развитии ди- намики подземных вод. Большой вклад в развитие теории фильтрации, особенно в ее приложение к задачам гидротехнического строительства, внес Н. Н. Павловский, который впервые дал инженерную постановку гидромеханических построений фильтрации и заложил основы современных методов решения фильтрационных задач. В развитии гидрогеологических положений динамики подземных вод исклю- чительная роль принадлежит Г. Н. Каменскому, которого по пра- ву можно считать основоположником создания динамики подзем- ных вод как научной и учебной дисциплины. Ценность его работ определяется прежде всего стремлением к сочетанию глубокого анализа гидрогеологической обстановки с поисками наиболее простых и эффективных методов расчетов. Уместно вспомнить со- ображения Г. Н. Каменского о необходимости тесной связи дина- мики подземных вод с геологией водосодержащих пластов земной коры. «Отмеченная связь, — писал Г. Н. Каменский («Основы ди- намики подземных вод», 1939), — в настоящее время мало еще от- ражена в учении о движении подземных вод: это учение в значи- тельной степени представляет собой «гидравлику грунтовых вод», мало учитывающую природу геологических и гидрогеологических особенностей водоносных пластов. Тесное взаимное проникновение факторов геологических, гидрогеологических и гидродинамичес- ких в изучение явлений динамики подземных вод является еще за- дачей ближайшего будущего». Сейчас можно сказать, что такой подход стал насущной задачей настоящего времени, причем прог- ресс в развитии современной динамики подземных вод можно, по- видимому, в значительной степени связывать с раскрытием физи- ко-химической природы гидрогеологических процессов. Соответст- венно динамика подземных вод будет все более тесно проникать в другие разделы теоретической гидрогеологии, включающей в се- бя подземную гидрогеофизику и гидрогеохимию. Особое значение имеет развитие физико-химических представ- лений динамики подземных вод при решении задач формирования качественного состава подземных вод, когда возникает необходи- мость изучения процессов миграции подземных вод, включающих в себя тепломассоперенос компонентов подземных вод с учетом взаимодействия воды и породы. Потребность в исследованиях миграции подземных вод особенно важна при изучении и прогнозе условий их загрязнения; все чаще такие исследования проникают в решение вопросов формирования состава подземных вод на ре- гиональном уровне. Из-за резко возросших масштабов использования подземных вод и воздействия человека на природу возмущения подземных 4
вод, возникающие в результате деятельности человека, получают региональный характер. Это обстоятельство приводит, во-первых, к необходимости более подробного учета строения водоносных го- ризонтов и сложного комплекса природных факторов, предопреде- ляющих условия формирования подземных вод, а во-вторых, к* тре- бованию повышения точности расчетов. Поэтому непременным ус- ловием развития современной динамики подземных вод является широкое использование численных методов расчета, и прежде все- го методов математического моделирования, позволяющих вести геофйльтрационные расчеты с наиболее полным учетом природной обстановки и всех действующих факторов. В постановке исследований динамики подземных вод важно представлять себе не только ее прямую связь с природными усло- виями, но.и обратную связь с решаемой теоретической или прик- ладной задачей. Это обстоятельство побуждает широко демонст- рировать приложения получаемых расчетных зависимостей и спо- собов расчета к методике гидрогеологических исследований. Особое внимание следует уделять вопросам схематизации гидро- геологической обстановки, решаемых с учетом отмеченных прямых и-обратных связей. Настоящий учебник составлен на основе лекционного курса, читаемого автором с 1960 г. на геологическом факультете Москов- ского университета для студентов специальности «гидрогеоло- гия и инженерная геология». За это время курс претерпевал су- щественные изменения, связанные и с развитием самого предмета, и с поисками наилучших форм его преподавания. Такое развитие курса, несомненно, должно происходить и в дальнейшем. Изложение материала в учебнике дается сжато, поскольку предполагается, что подробный его разбор должен осуществлять- ся на лекциях и практических занятиях, которые учебником за- менять нецелесообразно, хотя при вдумчивом подходе к его изучению возможно и самостоятельное овладение предметом. Вместе с тем сос- тав учебника дает возможность более глубокого и обстоятельно- го ознакомления с излагаемыми в нем вопросами, для чего, в частности, служат довольно подробные ссылки на научную лите- ратуру, а также некоторые дополнительные материалы, выделя- емые в тексте петитом.
ПРЕДИСЛОВИЕ К О ВТ О Р О МУ ИЗДАНИЮ Во втором издании сохранена структура первого издания. Дополнено и развито главным образом изложение вопросов гидро- геологической и геофильтрационной схематизации, гидрогеомеха- нических положений динамики подземных вод. Для лучшей связи задач динамики подземных вод с исходными гидрогеологическими условиями вначале рассматриваются представления о потоках подземных вод (в этой части автору оказали содействие Р. М. Ни- китин и И. Ф. Фиделли). Введены также некоторые новые задачи, затрагивающие более широкий круг гидрогеологических процессов (например, палеогидродинамические построения, миграция загряз- нения и естественных индикаторов в грунтовых водах). Для более полного представления современного математического аппарата динамийи подземных вод приведено изложение основ использова- ния метода интегральных преобразований, получившего широкое применение в специальной литературе. Кроме того, в ряде разде- лов введены упражнения, проработка которых дает возможность некоторой самостоятельной проверки понимания используемого расчетного аппарата.
Раздел I ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЕОФИЛЬТРАЦИИ Глава 1 ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИКИ ПОДЗЕМНЫХ ВОД В исходных представлениях динамики подземных вод необходимо сочетать теоретические построения механики водоносных пород (гидрогеомеханики), объединяющей механику воды (гидромеха- нику) и горных пород (геомеханику), с геологическим понима- нием закономерностей формирования потоков подземных вод. § 1. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГИДРОГЕОМЕХАНИКИ Гидрогеомеханика изучает механические основы динамики под- земных вод; основной объект ее изучения — толща водоносных гор- ных пород, рассматриваемая как единая механическая система (горные породы вместе с движущейся в них водой). Гидромеха- нические процессы рассматриваются обычно с позиций механики сплошной среды, т. е. раздельно — зернистые или трещинные по- роды представляются как сплошное тело, в каждой точке кото- рого динамические и кинематические характеристики считаются статистически осредненными. Эта позиция имеет капитальный характер в механике дисперсных сред, и в реальных условиях она может оказаться несправедливой лишь применительно к круп- ноблочным скальным породам, где ее использование требует специального обоснования. 1.1. Передача силовых воздействий в воде и породе Гидромеханическое состояние водоносных толщ формируется главным образом под действием гравитационных сил, Которые в воде создают два типа силовых воздействий на горные породы: всестороннее гидростатическое обжатие и взвешивающее воздей- ствие. Всестороннее гидростатическое обжатие действует на каж- дую частицу или агрегат породы равномерно со всех сторон и вызывает сравнительно малые деформации породы, обусловлива- 7
емые незначительной сжимаемостью минеральных частиц. Поэто- му напряжения всестороннего обжатия, соответствующие давлению в воде р, получили название нейтральных. Влияние взвешивающего воздействия, определяемое архиме- довой силой взвешивания, приводит к уменьшению реального объ- емного веса породы, который в этом случае будет иметь выраже- ние [14, 37] Ye = (6n —Y)(l— «)« О-1.1) где 6ц — удельный вес материала скелета породы. Рассмотрим условия силового равновесия в водонасыщенном элементе породы (рис. 1), связывая вертикальное напряжение Рис. 1. Схема передачи давления в пласте на воду и на скелет породы: а — при точечных контактах; б — при плоских контактах д (давление) рп, передаваемое на горизонтальную площадку от действия веса вышележащей толщи породы, с напряжением (дав- лением) рек в скелете породы и нейтральным давлением воды р. Для упрощения задачи, не изменяющего ее смысловой постановки, будем считать, что в плане (в каждой горизонтальной плоскости) распределение напряжений одинаково, и, следовательно, эта сис- тема напряжений должна находиться в равновесии. Тогда мож- но записать: Рп Р Рек" ^1* 1.2) Строго говоря, такое равенство справедливо при точечных контак- тах между частицами породы (рис 1, а), поскольку при плоских контактах (рис. 1, б) вода непосредственно действует только на часть рассматриваемой площадки. Однако это компенсируется передачей давления воды на зерна породы, в результате чего дав- ление воды на любую площадку передается полностью [14]. Изменения в напряженном Состоянии пласта вызывают дефор- мацию воды и скелета породы, приводящую к изменению коли- чества воды в пласте за счет изменения плотности воды и объема порово-трещинного пространства. Учет таких деформаций при изучении фильтрационного потока приводит к представлениям об упругом режиме фильтрации; если же деформации пласта не учи- тываются, то режим фультрации называется жестким. Следует 8
отметить исключительно важное значение теории упругого режима фильтрации для изучения нестационарной геофильтрации в напор- ных пластах. Напряженное состояние пласта формируется под влиянием гидродинамических факторов, когда исходными являются изме- нения давления в воде (р), или геодинамических факторов, когда исходными являются изменения общего давления в породе (рп). Характерные гидродинамические факторы — изменения уровней водотоков и водоемов, взаимодействующих с подземными водами, инфильтрация атмосферных осадков, искусственный водоотбор или закачка в скважинах и т. п. Характерные геодинамические факторы — изменения атмосферного давления на поверхности зем- ли, землетрясения, изменения внешнего давления за счет инже- нерной деятельности человека (возведение сооружений, выемка котлованов и карьеров, прохождение поездов). Интересные проявления влияния геодинамических факторов на режим подземных вод возникают под реками, водохранили- щами и морями при колебании их уровней, оказывающие помимо гидродинамического еще и геодинамическое воздействие, посколь- ку при этом происходят изменения внешнего давления, вызыва- емые изменениями веса столба воды в водоеме. Подобный процесс может привести к возникновению режима «псевдосвязи» напор- ных горизонтов с поверхностными водоемами, так как колебания уровней воды в водоеме будут вызывать соответствующие коле- бания давления в напорных пластах даже при полном отсутствии гидравлической связи между подземными и поверхностными во- дами. Более подробно такие процессы рассмотрены в § 1 главы 4 раздела III. 1.2. Гравитационный потенциал и напор фильтрационного потока Рис. 2. Элемент водного по- тока Поскольку фильтрационный поток формируется главным образом под действием гравитационных сил, рассмотрим обоснование ве- личины гравитационного потенциала, определяющего собой удель- ную энергию гравитационных сил в водном потоке. Исходя из постулиро- ванного ранее представления фильт- рации с позицйй механики сплошной среды составим условия равновесия элементарного столбика жидкости длиной / и площадью со (рис. 2). На торцах этого столбика действуют си- лы давления Pi=piG) и Р2=р2($ (pi и р2 — давления в сечениях 1 и 2), направленные вдоль столбика; в объ- еме столбика действует его сила тя- 9
жести G=yG)l (у— объемный вес воды), направленная по верти- кали; этим силам противодействуют силы сопротивления 8, воз* никающие по поверхности столбика. Исходя из равенства проекций действующих сил на направле- ние этого столбика запишем уравнение равновесия Pi — P2;-Gsina = 0 (1.1.3) или, имея в виду, что Zsina=zi—z2, получим (Pi — р2)® +- Y(*i — 22)w = 6. (1.1.3а) Сгруппируем в левой части этого уравнения величины р и yz для каждого сечения, а в правой части уравнения заменим со на V/Z." (Pi И- Y*i) — (р2 + Y*2) = -у ' (1.1.36) Обозначив далее Ф = р^-У2> (I-1-4) приведем уравнение (1.1.36) к виду Ф1-- ф2=: (1.1.5) Величина 8/ представляет собой работу, затрачиваемую на прео- доление сил сопротивления в элементарном столбике объемом V, QI а величина —-----энергию, затрачиваемую на перемещение еди- ничного объема потока между сечениями 1 v , которая по опреде- лению должна равняться разнице значений гравитационного по- тенциала в этих сечениях. Из уравнения (1.1.5) следует, что величина ср как раз и представляет собой гравитационный потен- циал, поскольку разница его значений определяет собой удельные потери энергии водного потока. Разделив выражение (1.1.5) на I, получим = у, (1.1.5а) т. е. удельные силы сопротивления, действующие в водном потоке, определяются величиной градиента гравитационного потенци- ала I <р. Величина объемного веса воды меняется в зависимости от ее состава, температуры и давления. Максимальную величину умакс удельный вес имеет при темпе- ратуре 0 = 4°. Ниже приведены данные изменения относительного удельного веса у=у/уМакс от температуры 0°С для чистой воды при атмосферном давлении: 6 5 10 20 30 50 70 100 у 0,99999 0,99975 0,99826 0,99576 0,9882 0,97794 0,95865 10
В гидравлике водных потоков изменения у обычно не учиты- ваются и тогда вместо потенциала tp удобнее использовать гидро- статический напор H=*-~hp + z, h =JL (1.1.6) Y Y имеющий размерность длины. Гидростатический напор характе- ризует уровень потенциальной энергии в данной точке потока; в соответствии с выражением (1.1.6) его величина складывается из высоты давления (пьезометрической высоты) hp= ~, харак- Рис. 3. Геометрическая интерпретация составляющих напора при измерении пьезометрическими трубками: а — в закрытом сосуде; б — в открытом потоке (/ — пьезометр, 2 — трубка Пито) теризующей энергию давления в данной точке, и ординаты точки относительно плоскости сравнения z, характеризующей энергию положения в данной точке. В сосуде с покоящейся жидкостью (рис. 3, а) давление рас- пространяется по гидростатическому закону, поэтому здесь в каж- р дой точке имеем р==ро-]-у(^о—z) и согласно (1.1.6) Н = —°- + . Y -f п0, т. е. в каждой точке покоящейся жидкости гидростатический напор есть величина постоянная, равная уровню поверхности воды относительно плоскости сравнения. Поэтому если в открытом со- суде поток ввести в открытую трубку, отверстие которой совпало бы с направлением потока (рис. 3, б), то уровень в этой трубке, измеренный относительно данной точки, покажет высоту давления, а измеренный относительно плоскости сравнения — величину гид- 11
ростатического напора. Такие трубки, используемые для измере- ния давления или напора, называются пьезометрическими; в на- турных условиях функции пьезометрических трубок выполняют наблюдательные скважины. При этом напор определяется как свободный уровень воды в наблюдательной скважине, измеренный относительно заданной плоскости сравнения. Рис. 4. Типичные графики зависимости капиллярного давления от влаж- ности: а — вид кривых для однородных песчаных (/) и глинистых (2) пород; б — зависимость величины pF (при рк в миллибарах) от объемной влаж- ности для супесчано-суглинистых пород (/, 2 и 3 — на глубинах 0,2; 0,6 и 1,4 м от поверхности земли); в — гистерезис кривых при насыщении (/) и осушении (2) При неполном водонасыщении пород в зоне аэрации гидроста- тическое давление становится отрицательным (меньшим атмосфер- ного). Величина такого капиллярного давления зависит от влаж- ности породы, причем эта зависимость выражается кривой водо- задерживающей способности, являющейся важнейшей водно-фи- зической характеристикой породы. Форма это кривой определяется строением порового пространства (рис. 4, а); обычно она пред- ставляется в виде зависимости величины pF=lg(—рк/у) от влаж- ности w (рис. 4, б). Эта зависимость обладает гистерезисом, пос- кольку она меняется при различной направленности протекания процесса (рис. 4, в). § 2. ПОТОКИ ПОДЗЕМНЫХ ВОД Представления о потоках подземных вод рассматриваются для вы- явления и систематизации гидродинамических условий формиро- вания подземных вод, которые обусловливаются формами их пи- тания, распространения (транзита) и разгрузки. Такие представ- ления были обстоятельно разработаны Г. Н. Каменским, выделив- шим и описавшим типы потоков подземных -вод по условиям залегания водоносных толщ [24, 25]. В дальнейшем Н. Н. Ход- жибаев, рассматривая региональные условия формирования под- земных вод Узбекистана [51], предложил использовать понятие 12
потока подземных вод в качестве таксономической единицы гид- рогеологического районирования грунтовых вод. Развивая эти представления, определим поток подземных вод как пространст- венное выражение региональной структуры движения и баланса подземных вод. Основная цель построения потока подземных вод — возможно более наглядное представление о региональной динамике подземных вод, включая питание, разгрузку и направ- ление движения подземных вод, в определенной степени завершен- ном гидрогеологическом цикле. Потоки подземных вод приурочи- ваются к определенной территории со свойственными ей физико- географическими и геолого-структурными особенностями, причем потоки могут полностью занимать определенную гидрогеологи- ческую структуру, а могут иметь и вложенный характер, когда в пределах гидрогеологической структуры внутри одного потока располагается другой поток (см., например, потоки в реч- ных долинах). Рассмотрим основные представления о природных условиях формирования потоков подземных вод, имеющие принципиальный характер для понимания постановки задачи динамики подземных вод. Питание подземных вод целесообразно подразделить [25] на площадное (рассеянное) и местное (локальное). Площадное пи- тание происходит путем инфильтрации (атмосферных осадков, оросительной воды) через зону аэрации и путем перетекания через слабопроницаемые разделяющие слои. Местное питание осуществляется путем фильтрации из поверхностных водотоков (рек, каналов) или водоемов (водохранилищ, бассейнов, озер, мо- рей), а также перетеканием из соседних пластов по зонам текто нических нарушений. Разгрузка подземных вод чаще имеет локальный характер и осуществляется главным образом субаквальным путем в водото- ках, водоемах, открытых родниках, а также за счет испарения и транспирации воды растениями, путем площадного и локального перетекания в соседние горизонты и на поверхность земли (в за- болоченные участки и солончаки). В формировании подземных вод значительную роль играет искусственный водоотбор, создаю- щий специфические области разгрузки в карьерах месторождений полезных ископаемых, водозаборах л дренажах. Следует отметить, что представления об областях питания и разгрузки имеют относительный характер: при изменении гидро- динамической обстановки они могут изменять и размеры, и харак- тер, так что области питания могут переходить в области раз- грузки и наоборот. Приведем характеристику основных типов потоков подземных вод, представляющих наибольший интерес с точки зрения зако- номерностей их динамики. Водораздельные потоки, формируемые на междуречных прост- ранствах, являются одним из наиболее распространенных типов 13

Рис. 5. Схема междуречного потока, по А. Н. Мятиеву: 1—суглинок; 2 — супесь; 5 —песок глинистый; 4 — песок; 5 — гравий и галька; 6 — песчаник; 7 — направление подземного потока; 8 — перетекание через слабопроницаемые породы; 9 — инфильтрация; 10 — уровень грунтовых вод; 11 — пьезометрические уровни второго и третьего от поверхности водоносного горизонта; 12 — высота напора подземных вод; 13 — род- ник; 14 — река; 15 — атмосферные осадки потоков. Их питание осуществляется главным обра- зом путем инфильтрации атмосферных осадков, а раз- грузка происходит в речных долинах (субаквальным путем, родниками и в зонах выклинивания), а также в эрозионных врезах (родниками и скрытым выклини- ванием в делювиальном шлейфе). Такие потоки со- стоят обычно из одного или нескольких водоносных горизонтов (пластов), разделенных между собой относительно водоупорными пластами (рис. 5). Питание нижележащих напорных водоносных пластов осуществляется путем перетекания через раз- деляющие пласты, что было впервые показано А. Н. Мятиевым [40] на основании анализа соотно- шений уровней (напоров) подземных вод в различных водоносных пластах. Такой анализ показывает, что в центральной части водораздельного потока имеет ме- сто падение напоров сверху вниз с образованием ку- полов напорной поверхности в пределах каждого во- доносного пласта, а в зонах эрозионных врезов про- исходит «инверсия» изменения напоров с возрастани- ем их по глубине. Это положение свидетельствует о площадном питании потока на водоразделах и дрени- ровании его в речных долинах и эрозионных врезах, причем накопленный к настоящему времени факти- ческий материал показывает, что большинство эрози- онных врезов дренирует не только грунтовые воды, но и достаточно глубокие напорные горизонты зоны ин- тенсивного водообмена. Следует отметить, что на условия перетекания существенное влияние оказывает. неоднородность водоносных отложений. Многими материалами по- казано значительное увеличение проницаемости во- доносных и разделяющих пластов в речных долинах [58, 60], хотя представления о природе этого влияния пока остаются дискуссионными. На интенсивность перетекания влияет площадная литологическая не- однородность разделяющих пластов, особенно нали- чие в них так называемых гидрогеологических окон, обусловленных резкой фациальной сменой отложений разделяющих пластов. Потоки в речных долинах образуют грунтовые воды, режим которых обусловливается главным об- разом взаимодействием с поверхностными водами (рекой, ее рукавами и старицами, водохранилищами). Для долин равнинных рек (рис. 6, а) ха- рактерны питание за счет инфильтрации и разгрузка в реки, хотя при высоких уровнях воды (в паводок или при создании водохранилища) поток временно 15
может быть направлен из реки в сторону берега, так что при этом река теряет свою дренирующую роль и становится областью пи- тания. Водоносный горизонт речных долин слагается сравнительно однородными песчаными, песчано-гравийными аллювиальными отложениями, образующими обычно единый водоносный пласт; Рис. 6. Примеры гидрогеологических разрезов по речным долинам: а — р. Нямунас [19], б — р. Волга; 1—песок; 2 — гравий, галька; 3 — галька, валуны; 4 — суглинок; 5 — глина; 6 — мергель в кровле, трещино- ватый; 7 — направление подземного потока; 8—уровень подземных вод; 9 — река вместе с тем иногда в таких отложениях формируются сравнитель- но выдержанные глинистые слои, разделяющие поток на два, а иногда и три пласта (рис. 6, б). Для речных долин межгорных и предгорных в п а д и н характерны значительные уклоны потока по направле- нию долины и большие мощности аллювиальных песчано-гравий- ных отложений (100—300 м и более) при сравнительно одно- 16
родном разрезе (рис. 7). Вместе с тем таким долинам свойствен- ны существенные изменения проницаемости водовмещающих от- ложений и живого сечения потока вдоль долины (в связи с изменениями его ширины и мощности), обусловленные фациаль- ной изменчивостью аллювия, наличием структурных неремычек и сопутствующих им фациальных замещений и др. В связи с этим Рис. 7. Блок-схема потока в речной долине горной реки: 1—четвертич- ные аллювиальные отложения (а — валунно-галечные, б — песчано-гра- вийные, в — супесчано-суглинистые); 2 — дочетвертичные отложения с тектоническими разрывами в них; 3 — уровень и направление движения подземных вод; 4 и 5 — участки реки, дренирующие и питающие подзем- ные воды взаимодействие подземного потока с рекой вдоль долины меняет свой характер. В верхней части долины реку питают подземные воды; такое явление может наблюдаться и в средних ее частях ниже поперечных поднятий, играющих роль перемычек. Во фрон7 тальных частях последних и в нижНей части долины, где прони- цаемость аллювия уменьшается, подземные воды дренируются врезом реки, хотя в отдельных частях в связи с изменением стро- ения долины и извилистостью русла реки возникают локальные области фильтрации из реки. Значительное увеличение питания подземных вод происходит во время летних паводков. 17
Потоки предгорного типа формируются в конусах выноса и сухих дельтах пограничной полосы между горным сооружением и центральной частью межгорной или предгорной впадины. Для во- довмещающей толщи — рыхлых аллювиально-пролювиальных от- ложений четвертичного возраста мощностью до нескольких сотен Ю Со]» О» Рис. 8. Блок-схема предгорного потока: 1 — четвертичные аллювиально-пролювиальные отложения (а — валунно- галечные, б — песчано-гравийные, в — супесчано-суглинистые); 2 — дочет- вертичные породы (а — неогенового, б — палеозойского возраста); 3 — основное направление потока; 4 — вертикальный переток через слабопро- ницаемые пласты; 5 — зона инфильтрации; 6 — поток трещинных вод; 7 — линия пересечения поверхности подземных вод с плоскостями разрезов (а — безнапорный, б — напорный нижнего водоносного горизонта); 8 — уровень воды; 9 — родники; 10 — зона испарения с поверхности грунто- вых вод; 11— ледники, фирновые поля; 12— водотоки метров — характерна закономерная изменчивость проницаемости, связанная с литологической зональностью и ритмичностью стро- ения. Ритмичность обусловлена резкими изменениями климата четвертичного периода и проявляется в виде чередования в раз- 18
резе грубо- и тонкообломочных отложений. Литологическая зо- нальность выражается в закономерндм огрубении отложений в направлении от центра к периферии впадины. Верхние части конусов выноса, граничащие с предгорьями, являются областью питания потока. Здесь в основном за счет инфильтрации поверхностных вод формируется единый безнапорный водоносный горизонт в гравийно-галечниковой толще с уклоном в сторону центра впадины и глубиной от поверхности земли 50— 100 м и более (рис. 8). В направлении к центру впадины гравий- но-галечниковая толща замещается многократно чередующимися в разрезе супесчано-суглинистыми и песчаными (песчано-гравий- ными) слоями; соответственно дифференцируется и в целом умень- шается проницаемость толщи. Сравнительно выдержанным обыч- но оказывается первый от поверхности водоносный пласт (гори- зонт), представленный песчано-гравийными отложениями и пере- крытый с поверхности слоистой толщей супесчано-суглинистых отложений. В пластах повышенной проницаемости формируются напорные воды, пьезометрическая поверхность которых в направ- лении движения потока сначала приближается к поверхности земли, а затем располагается выше нее. К зонам избыточных на- поров приурочены области разгрузки потока, где наблюдаются восходящие вертикальные перетоки через слабопроницаемые слои, выклинивание подземных вод в эрозионную сеть и интенсивное испарение с поверхности грунтовых вод. В глубоких горизонтах артезианских бассейнов платформен- ного типа образуются самые крупные формы потоков напорных подземных вод, которые могут быть названы мегапотоками. Ме- гапотоки характеризуются значительными размерами и довольно четким выделением областей питания, транзита и стока. Основные области питания таких потоков приурочены к краевым зонам ар- тезианских бассейнов, где образуется сложная структура потока, обусловленная одновременным влиянием инфильтрации и актив- ного перетекания потока в вышележащие горизонты (рис. 9). Ме- гапотокам свойственны большие размеры области транзита, в пределах которой могут располагаться локальные внутренние зо- ны частичной разгрузки (рис. 10), приуроченные обычно к мест- ным понижениям рельефа поверхности (например, к солончаковым впадинам, озерам, руслам водотоков и т. п.) как к зонам текто- нических разрывов, а также к таликовым зонам на площадях развития многолетней мерзлоты. Кроме того, здесь возникают локальные зоны перетоков в соседние горизонты, приуроченные обычно к локальным сводовым поднятиям, флексурам, а также литологическим «окнам» в кровле и подошве водоносных пластов. В глубоких частях мегапотоков может заметно проявляться вли- яние геодинамических факторов, обусловливающих, например, геостатическое отжатие воды при уплотнении пород, переформи- рование потока под действием неотектонических движений и т. п. Полная разгрузка мегапотоков происходит обычно скрытым путем 19
в морях (субмаринный тип), озецах и крупных реках (субфлю- виальный тип). Специфической формой напорных потоков, характерных в особенности для горно-складчатых областей, являются мезопотоки локальных структур, которые могут быть приурочены к различ- ным типам структур: 1—небольшим по размерам и изометри- ческим по очертаниям наложенным структурам типа мульд Рис. 9. Схема формирования потока подземных вод в краевой зоне артезианского бассейна, по В. А. Всеволожскому [12]: 1 — водоносные горизонты; 2 — водоупорные разделяющие пласты; 3 — породы горного обрамления и фундамента; 4 — направления потока в водоносных горизонтах; 5 — вертикальные перетоки в разделяющих пластах (рис. 11, а), широко представленным на территории древних складчатых областей, а также древних щитов; 2 — некоторым ти- пам горных бассейнов, имеющим небольшие размеры и, как пра- вило, асимметричное строение при относительно слабой дисло- цированности водовмещающих пород (рис. 11, б); 3 — интенсив- ным разрывным тектоническим нарушениям (сбросам и т. д.)^ обусловившим формирование линейно-вытянутых зон повышенной проницаемости и проводимости. Для мезопотоков локальных структур характерна относительная гидродинамическая обособ- ленность и четкая выраженность областей питания, стока и раз- грузки. Область питания локальных потоков приурочена к выхо- 20
дам пород на поверхность в краевых наиболее, приподнятых час- тях структуры, а область разгрузки —к пониженным участкам рельефа или зонам тектонических нарушений. Кроме того, особые типы потоков подземных вод возникают в линзах пресных вод, контактирующих с солеными или солоно- ватыми водами [31]. Наиболее характерными по условиям пита- ния и разгрузки являются подтакырные (или подлиманные) и Рис. 10. Местные внутренние зоны разгрузки мегапотоков: 1 — водоносные горизонты; 2— водоупоры; 3 — нарушенные или ослаб- ленные зоны водоупорных пород; ^ — тектонические разрывы; 5 — основ- ное направление потока; 6 — зона перетока под солончаком; 7 —зона ин- фильтрации; 8 — свободная (а) и напорная (б) поверхности уровней под- земных вод; 9 — зона испарения в солончаке; 10 — родники приканальные (или приречные) линзы (рис. 12). Питание подта- кырных или подлиманных линз осуществляется за счет повышен- ной инфильтрации атмосферных осадков в бессточных такырах или лиманах, а разгрузка происходит путем последующего испа- рения и смешения с окружающими солеными водами, следова- тельно, режим такой линзы имеет резко нестационарный характер. Питание приканальных или приречных линз осуществляется за счет фильтрационных потерь из русел, а разгрузка происходит путем испарения в пониженных участках земной поверхности и смешения с солеными водами. Чаще всего такие линзы подсти- лаются относительно водоупорными глинистыми слоями, однако они могут быть «плавающими» на соленых водах. Размеры этих линз сравнительно невелики (порядка десятков и сотен метров), но их значимость может быть существенна, поскольку нередко они оказываются единственным источником для водоснабжения. 21
ЕО ЕИ]« EHIW И" QU'2 Рис. 11. Схема мезопотоков локальных структур: а—в мульдах, б — в горном бассейне асимметричного строения (/ — известняки; 2 — песчани- ки; 3 — глины; 4 — суглинки; 5—относительно водоупорные породы фун- дамента; 6 — направление подземного потока; 7 — зона перетекания через слабопроницаемые пласты; 8 — зона инфильтрации; 9 — уровень подземных вод: а — напорных, б — безнапорных; 10 — зона инфильтра- ции атмосферных осадков; 11— родники; 12 — зона испарения)
В предгорных районах пустынь значительные линзы пресных вод могут также образовываться путем подтока подземны^вод, с горного обрамления, известны крупные линзы такого типа, сформи- ровавшиеся ранее и имеющие сейчас реликтовый характер [3 ]• S Ш/ Рис. 12. Формирование потоков в линзах пресных вод: а — подтакырная или подлиманная линза, б — приканальная или приреч- ная линза (/, 2 и 3 — зоны пресных, солоноватых и соленых вод; 4 — свободная поверхность; 5 — относительно водоупорные слои; 6 — направ- ления питания линзы; 7 — зоны испарения; 8 — границы между зонами с различной минерализацией воды) К линзам относят подземные воды, образующиеся на мор- ских островах, где пресные подземные воды, имеющие атмосферное питание, окружаются солеными морскими водами [20]. Естественные условия формирования потоков подземных вод сейчас уже зачастую нарушаются искусственными факторами, вызванными хозяйственной деятельностью человека, из которых 23-
наибольшую значимость имеют водоотбор для водоснабжения, дренаж и водоотлив при горных работах, орошение и осушение земель, подпор грунтовых вод при сооружениях плотин и каналов. Глава 2 ОСНОВЫ ГИДРАВЛИКИ Рассматривая основы гидравлики применительно к задачам ди- намики подземных вод, ограничимся представлениями о законах сопротивления в водных потоках, связывающих кинематические и энергетические характеристики потока, и элементах трубной гидравлики. § 1. ЗАКОНЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ В ВОДНЫХ ПОТОКАХ При анализе физической природы сил сопротивления, возника- ющих в водном потоке, следует различать два режима течения — ламинарный и турбулентный, существование и основные законо- мерности которых были впервые экспериментально изучены О. Рейнольдсом в 1883 г. [46, 53]. Ламинарный (струйный) режим наблюдается при малых скоростях течения; для него характерно движение потока отдель- ными струйками, между которыми отсутствует гидравлическое перемешивание; если в ламинарный поток ввести окрашенную струйку, то она при перемещении будет хорошо видимой и четко очерченной (изменение окраски этой струйки будет связано толь- ко с влиянием поперечной диффузии). В фильтрационных потоках, характеризующихся очень низкими значениями скоростей течения, ламинарный режим течения имеет преимущественное распростра- нение, в связи с чем на него в дальнейшем будет обращаться особое внимание. Турбулентный (беспорядочный) режим наблюдается при срав- нительно больших скоростях течения; для него характерно ак- тивное проявление внутренней пульсации частиц потока, обуслов- ливающей активное Гидравлическое перемешивание между отдель- ными струйками; если в турбулентный поток ввести окрашенную струйку, то она почти сразу же потеряет свою форму и будет ин- тенсивно распределяться по сечению потока. Перейдем к обоснованию формы законов сопротивления при различных режимах водного потока, имея в виду, что этими за- конами связываются силы сопротивления со скоростями потока. Поскольку силы сопротивления являются поверхностными, то •они характеризуются касательным напряжением т, представля- ющим собой силу сопротивления, прилагаемую к единичной поверх- ности потока. 24
I Рис. 13. Схема взаимного пере- мещения слоев потока жидко- сти (к обоснованию закона вязкого трения) При ламинарном режиме сопротивление текущего потока пол- ностью определяется проявлениями сил вязкого трения между отдельными струйками потока. Основные закономерности вязкого трения были высказаны Ньютоном еще в 1686 г. в форме следу- ющих положений: силы внутреннего трения, проявляющиеся при перемещении слоев (струек) жидкости между собой, пропорцио- нальны относительной скорости этого перемещения и поверхности соприкос- новения слоев [53]. Поскольку относи- тельная скорость перемещения от- дельных слоев характеризуется гради- ру ентом скорости —- по нормали к на- правлению потока (рис. 13), то соглас- но закону Ньютона касательное на- пряжение вязкого трения будет про- порционально градиенту скорости dv dn Направление силы трения будем считать положительным, если оно противоположно направлению течения. Условимся далее относить силу трения к тому слою, из которого направлена нормаль п, т. е. градиент скорости будем определять по dn направлению внешней нормали к рассматриваемой поверхности. При этом условии закон Ньютона может быть представлен выра- жением _ dv Т = — Т1--------, dn (1.2.1) причем знак «минус» поставлен здесь потому, что если по внеш- „ dv . Л ней нормали к поверхности скорости возрастают и то сила трения направлена по течению (т. е. в этом случае т<0) и наоборот. Например, для заштрихованного слоя на эпюре скорос- тей (см. рис. 13) по нижней поверхности (аа) имеем “^-<0, dn а напряжение ха будет направлено против течения, поскольку нижний слой, имеющий меньшую скорость, будет тормозить движение’ рассматриваемого слоя, а по верхней поверхности (бб) dv k’-sp те же рассуждения приводят к тому, что здесь — >0 и тб < 0. dn Коэффициент пропорциональности т] называется коэффици- ентом вязкости; физически он представляет собой удельную силу трения при единичном градиенте скорости по нормали к направ- 25
лению потока. Размерность коэффициента вязкости получим из выражения (1.2.1), принимая во внимание, что [г] = ML T~2L~2 = MT'2L~\ dv L _________________rL~‘^ ~dn ~~ TL ~~ где M, L и T — размерности массы, Длины и времени, откуда [П] = —И— = —= ML~lT~~l. (1.2.2) dn. В качестве единицы измерения величины т] обычно принима- 1 1 I 1 ДИН-С ется пуаз, причем 1 пуаз = 1 г/см-с ~ 1 --------для воды при тем- см2 пературе 20° можно считать т] = 1 сантипуаз—0,01 пуаза. Поскольку гидродинамические свойства жидкости выража- ются коэффициентом вязкости т) и плотностью р, то критическую скорость уКр, определяющую границу ламинарного режима, для труб диаметром D целесообразно попытаться представить зави- симостью вида °кр “ (1.2.3) где С — постоянный коэффициент, a |i, £2 и £3— некоторые пока- затели степени, для определения которых воспользуемся методом размерностей, исходя из того, чтобы правая и левая части урав- нения (1.2.3) имели одинаковую размерность. Подставляя в (1.2.3) размерности всех величин и считая С безразмерным, по- лучим LT~l = (ML-^-tML-'T-^-L1*. (1.2.3а) Чтобы зависимость (1.2.3) имела смысл, необходимо добиться равенства показателей при величинах М, L и Т в правой и левой частях уравнения (1.2.3а), т. е. иметь ^i+b=0> — 3£i—Ь+Ь== = 1,42= 1, откуда находим —1, gi=l и |3——1, т. е. зави- симость (1.2.3) должна иметь вид гкр = С кР pD (1.2.4) Выражение (1.2.4) несколько упростится, если использовать по- нятие коэффициента кинематической вязкости v=-q/p, который имеет размерность [v] — [г]] : [p]=AfL-17’-1: ML~3=L2T~i, т. е. в системе СГС [v]=cm2/c. Значения v для воды в зависимости от температуры следующие: 6*С 0 5 10 15 20 30 40 50 100 см3 100v----- 1,79 1,52 1,31 1,14 1,01 0,805 0,659 0,566 0,3 с 26
Называя далее безразмерную величину -— числом Рей- нольдса Re, получим условие для границы ламинарного режима, выраженное через критическое число Рейнольдса /?екр = —при- vR чем для гладких труб /?еКр=2300. Для открытых русел Re ~------, V где R ~ гидравлический радиус, представляющий собой от- ношение площади поперечного сечения со к смоченному пери- метру потока Р; поскольку сои равно расходу потока Q, то в этом случае Re = согласно опытным данным [46, 53] можно- vP считать для русел ReKX>—300ч-1000. Заметим, что существует переходная область течения, где возможно существование обоих видов режима течения — ламинар- ного и турбулентного; для труб верхняя граница переходной об- ласти характеризуется верхним критическим значением числа Рейнольдса порядка 104. Турбулентный режим течения наиболее характерен для потоков в открытых руслах и крупных трубах. Своеобразные свойства проявляются у воды при ее течении в тонких пленках. Так, экспериментально показано [8, 41], что при движении воды в капиллярных трубах возникает вязкопластичес- кий режим течения, когда внутреннее сопротивление в потоке определяется не только вязким трением, но и сцеплением отдель- ных частиц воды между собой. В этом случае вместо закона Нью- тона (1.2.1) рекомендуется пользоваться законом Шведова: т = т0 — (1.2.5) . ап согласно которому сдвиговое напряжение т между отдельными слоями жидкости определяется двумя членами: начальным напря- жением сдвига То при пластической деформации и вязкостным напряжением —т]—°-. Уравнение (1.2.5) действует лишь при dn условии, что сдвиговое 'напряжение оказывается большим началь- ного напряжения сдвига, т. е. при|т|>то, в противном случае, т. е. при|т|<то, движение отсутствует. Ниже приведены опытные данные зависимости начального напряжения сдвига т0 от температуры 0, полученные Н. Ф. Бон- даренко [8] при изучении течения в капиллярах: 6*С 15 20 30 40 50 Ю0то—" 11,5 8,5 5 4 1,5 см2 Сопротивление турбулентного потока обусловливается пуль- сацией давления и турбулентным перемешиванием; по Л. Пранд- 27
лю [46, 53], турбулентные касательные напряжения в потоке тт определяются зависимостью dv тг — г]т Пт == “ Р/2 dn dv dn (1.2.6) где т)т — динамический коэффициент турбулентной вязкости или турбулентного обмена; I — длина пути смешения, которая оказы- вается пропорциональной расстоянию от данной точки до стенки потока. В соответствии с выражением (1.2.6) в турбулентном потоке зависимость сил сопротивления и потерь энергии (напора) от скорости течения имеет квадратичный характер. В общем случае, когда учитываются проявления как вязкос- ти, так и турбулентного перемешивания, выражение для суммар- ного касательного напряжения записывают в виде < = (1-2.7) dn т. е. считая действие каждого из этих процессов независимым. При характерных для турбулентного течения больших скоростях течения существенными могут быть изменения кинетической энер- гии потока, уровень которой определяется величиной скоростного напора hv=v2/2g. Таким образом, в общем случае суммарная энергия водного потока должна характеризоваться величиной гидродинамического напора Hd, причем Hd = Н + h = — + z (1.2.8) У 2g Постоянство величины Hd вдоль струйки тока идеальной жидко- сти носит название уравнения Бернулли [46, 53]. Наглядное представление о скоростном напоре можно полу- чить, введя в поток открытую с обоих концов изогнутую трубку (см. рис. 3, б) так, чтобы конец этой трубки в точке А совпадал с направлением скорости в этой точке. Поскольку движущиеся час- тицы, набегая на открытый конец трубки, будут производить до- полнительное давление, соответствующее величине скоростного напора, то уровень в такой трубке превысит высоту давления на величину скоростного напора. Такие трубки носят название тру- бок Пито, по имени предложившего их французского гидравлика [46]. Заметим, что в действительности трубка Пито измеряет ве- личину скоростного напора с некоторой погрешностью, которая должна оцениваться путем тарировки трубки. § 2. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ТЕЧЕНИЯ ВОДЫ В ТРУБАХ Основные закономерности гидравлики открытых потоков, устанав- ливающие связь между количеством движения (расходом) потока и потерями энергии, выражаемой гидродинамическим напором, 28
рассмотрим на примере стационарного равномерного течения во- ды в трубе постоянного сечения (радиусом гт). Ламинарный режим течения. Составим уравнение равновесия сил для расположенного внутри трубы столбика радиусом г и длиной I, считая течение вязким (ньютоновским), в котором реак- тивные касательные силы т определяются законом Ньютона (1.2.1) и прикладываются по боковым поверхностям, а движущие силы определяются перепадом гравитационного потенциала Д<р=уДЯ, прикладываемого по торцам этого столбика, причем в соответствии с (1.1.5а) при 0==2лг/т и «=№ можно записать А тт 2лг1х 21х у ДЯ = ------=----- № г или, заменяя т согласно (1.2.1) и имея в виду, что лучим т — — т] = 0,5уЯ, аг (1.2.9) (1.2.10) где vr — скорость течения на расстоянии г от центра трубы. Интегрируем уравнение (1.2.10): vr -----у!- г2 -Ь С. (1.2.10а) 4т] Постоянную интегрирования С найдем из условия, что на стенке трубы должно быть vr=Q (в противном случае здесь оказался бы бесконечно большой градиент скорости), откуда С = —- г2 и 4ц О, = А-2-11) 4т) а общий расход потока в трубе гт QT = f 2nrvrdr~ -^Y/ г*. (1.2.12) ,1 8ц Согласно уравнению (1.2.11) распределение скоростей лами- нарного потока в трубе имеет параболический характер (рис. 14, а), причем максимальная скорость омакс будет в середине трубы (при г=0) ^аке^—. (1.2.13) 4т) а средняя скорость по сечению трубы <2т V = —=-----L. лг2 8ц (1.2.13а) 29
Сопоставляя выражения (1.2.13) и (1.2.13а), можно видеть, что в данном случае имакс = 2и. 'Обратим внимание на то, что при ламинарном режиме тече- ния зависимость расхода и скоростей потока от градиента напора оказывается линейной. Вязкопластический режим течения. В этом случае касательные напряжения внутри трубы устанавливаются в соответствии с законом (1.2.5), и если началь- ное напряжение сдвига т0 меньше предельного значения касательного напря- жения Тт^0,5у/гт на стенке трубы, то в трубе образуется пластическое тело, внутри которого движение не происходит, так что эпюра скоростей в сечении Рис. 14. Эпюры скоростей (а) и касательных напряжений (б) водного потока в трубе трубы приобретает усеченный характер (рис. 14, б). Еесли же то>тт, то пласти- ческое тело заполняет всю трубу целиком и вязкое движение жидкости в нем прекра- щается. Границу возникновения вязкого течения можно характеризовать величиной начального градиента фильтрации /0, опре- деляемого из выражения (1.2.10) при т=тог 2т0 4 =-------. (1.2.14) угт Распределение скоростей вязкопластическо- го потока в трубе при I>h получим ин- тегрированием уравнения (1.2.5), задавая согласно (1.2.10) т=0,5у/г, так что dvr т]~—== — 0,5у/г4-т0 (1.2.15) аг „=_л'.„+^г+с, 4т]' т] (1.2.15а) причем из условия иг = 0 при г = гт находим постоянную интегрирования „ У1 2 Г° С —------rz— — гт, так что окончательно 4т) т) ”г = 4~ О’? — г») — —- ('т- ') (1.2.16) 4ц г] Расход в зоне вязкого течения потока получим интегрированием скоростей vr в пределах от стенки трубы до поверхности радиусом го границы между вязкой и пластической зонами, а расход в пластической зоне найдем исходя из того, что эта зона двигается со скоростью п®, определяемой по уравнению (1.2.16) при г=г0, где Го находится из (1.2.10) при т=т0. Таким образом, суммарный Гт расход вязкопластического потока будет Q= I 2лги,4глг^., а пбсле ГО подстановки выражений vr и v°r из (1.2.16) и Последующего интегрирования получим (4-ф]; с-2-'п 30
Важно иметь в виду, что пластическое сцепление носит релаксационный харак- тер, так что в пластической зоне должен возникать поток ползучести, однако порядок его скоростей будет заметно ниже, чем при вязком течении. Турбулентный режим течения. Теоретический анализ турбу- лентного потока в трубах основывается на использовании общей зависимости (1.2.6) для эффективных касательных напряжений, однако обоснование расчетных зависимостей здесь оказывается значительно более сложным, чем для ламинарного течения, пос- кольку на силы сопротивления турбулентного потока существенно влияет пристенная область течения, имеющая очень сложный ха- рактер. Поэтому существующие расчетные зависимости для тур- булентного потока имеют структуру, следующую из теоретических представлений, однако обязательно включают в себя эмпиричес- кие коэффициенты, получаемые экспериментально. Исходя из того, что уравнение (1.2.6) обусловливает квадра- тичный характер зависимости касательных напряжений от ско- рости потока, можно выражение для градиента напора I (турбу- лентного потока в трубах диаметром dT) представить формулой Дарси — Вейсбаха [46, 53]: где v—— средняя скорость потока по сечению трубы; X—коэффици- ент гидравлического трения, зависящий в общем случае от шеро- ховатости стенок русла и от числа Рейнольдса. Результаты эк- спериментальных исследований показывают [46, 53], что на гра- фике зависимости коэффициента сопротивления X от числа Рей- нольдса Не =—-явно выделяются три зоны: зона ламинарного V режима, где точки ложатся на прямую, которая является графиком зависимости Х = ~-, следующей из выражения (1.2.13а) для средней скорости ламинарного потока в трубе; зона переходного режима, где кривые имеют довольно сложный немо- нотонный характер; зона турбулентного режима, где закон соп- ротивления имеет квадратичный характер, соответствующий фор- муле Дарси — Вейсбаха, и коэффициент сопротивления не зави- сит от числа Рейнольдса. Для практического определения величины X существует ряд эмпирических формул, причем для стальных и чугунных водо- проводных труб рекомендуется пользоваться формулами Ф. А. Ше- велева [54]. Численный анализ этих формул показывает, что ве- личины X для стальных труб можно оценивать по следующим дан- ным, в которых первая цифра дана для новых труб, а вторая для старых: dT, СМ 10 15 20 25 X • IO'2 34-4,1 2,64-3,7 2,54-3,4 2,44-3,2 31
При турбулентном режиме существенную роль могут играть разного рода местные сопротивления, которые создают потери напора кН, определяемые по формуле Вейсбаха [46, 53]: АН = 6--, (1.2.19) где £ — коэффициент местного сопротивления, определяемый эк- спериментально. Например, для резкого поворота трубы на 90° получается £=1,1, а для водопроводного Крана при полном от- крытии £=4. Для труб, состоящих из участков различного диаметра и вклю- чающих в себя несколько местных сопротивлений, общие потери напора получатся суммированием потерь на отдельных участках и местных сопротивлениях. В соответствии с этим общий коэффи- циент сопротивления трубы постоянного сечения получится сум- мированием всех коэффициентов местного сопротивления с коэффи- циентом сопротивления £г линейного участка трубы, который для трубы длиной /т согласно (1.2.18) имеет выражение = Л— так что в этом случае ДЯ = ЬУ„ &уи = * <1.2.20) где — коэффициенты местных сопротивлений. Глава 3 ПРОНИЦАЕМОСТЬ И ЕМКОСТЬ ГОРНЫХ ПОРОД § 1. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ФИЛЬТРАЦИИ И ПРОНИЦАЕМОСТЬ ГОРНЫХ ПОРОД 1.1. Линейный закон фильтрации (закон Дарси) Основной закон фильтрации связывает расход фильтрационного потока с потерями напора, характеризующими затраты энергии потока. Для обоснования этого закона прежде всего заметим, что в фильтрационном потоке скорости довольно малы, так что мож- но пренебречь величиной скоростного напора п0 = .- и счи- 2g тать основным ламинарный режим течения. Это обстоятельство позволяет предположить в основной области фильтрации существо- вание линейной связи между расходом потока и падением (гради- ентом) напора. 32
Такая связь впервые была обнаружена Дарси [68] в опытах по фильтрации в песчаной колонке постоянного сечения и выра- жается следующей формулой закона Дарси: Q = W, (1.3.1) где Q — расход фильтрационного потока с поперечным сечением со при градиенте напора I, представляющем собой отношение по- тери напора А// к длине пути фильтрации I; k — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации. Та- ким образом, согласно закону Дарси расход фильтрационного по- тока пропорционален площади поперечного сечения потока и гра- диенту напора по направлению движения. Удобной кинематической характеристикой фильтрационного потока является введенное Дюпюи [69] понятие скорости фильтра- ции v, представляющее собой отношение расхода потока к пло- щади его поперечного сечения: v = Д. (1.3.2) 6) Величина v имеет размерность скорости, однако по существу является мерой расхода фильтрационного потока и не соответст- вует действительной скорости фильтрации, поскольку при ее оп- ределении в расчет принимается вся площадь поперечного сечения, а не площадь порового пространства, через которую только и осуществляется движение воды. Такое отвлечение от реальной структуры потока в поровой среде является основой для приме- нения к фильтрации представлений механики сплошной среды, позволяющей, отталкиваясь от статистически неупорядоченного потока в поровом пространстве, перейти к осредненному рассмот- рению потока во всем непрерывном пространстве. Введя скорость фильтрации, закон Дарси можно представить в следующем виде: v = kl, (1.3.3) т. е. согласно закону Дарси скорость фильтрации пропорциональ- на градиенту напора. Из выражения (1.3.3) следует, что коэффициент фильтрации имеет размерность скорости (при гидрогеологических расчетах обычно [&]=м/сут) и может определяться как скорость фильтра- ции при единичном градиенте напора. Коэффициент фильтрации зависит от’геометрии порового пространства и от гидродинами- ческих свойств фильтрующейся жидкости (плотности и вязкости). При изучении фильтрации жидкостей переменного состава (в частности, при учете изменения плотности и вязкости воды в связи с изменениями минерализации или температуры) более удобна другая форма закона Дарси, непосредственно учитываю- щая влияние гидродинамических свойств жидкости. Для учета плотности жидкости следует градиент напора / заменить гради- 2 В. М. Шестаков зз
ентом гравитационного потенциала 7Ф, определяемого согласно (1.1.5), а учет вязкости можно произвести, исходя из обратно про- порциональной зависимости расхода ламинарного потока от коэф- фициента динамической вязкости ц, следующей из закона вязкого трения (1.2.1) и из выражения (1.2.12) для расхода ламинарного потока в трубе. Таким образом, выражение закона Дарси, учиты- вающее гидродинамические свойства жидкости, должно иметь вид 0 = 4/ф,/Ф = ^- = ^-=-Т/, (1-3.4) где k — коэффициент проницаемости, являющийся более точной фильтрационной характеристикой поровой среды, чем коэффици- ент фильтрации, поскольку величина k не должна зависеть от гид- родинамических свойств фильтрующей жидкости. Следует иметь в виду, что это утверждение справедливо только в тех случаях, когда геометрия поровой среды не изменяется при физико-хими- ческом взаимодействии жидкости и горной породы. Найдем связь между коэффициентом фильтрации и коэффи- циентом проницаемости, сопоставив выражения (1.3.3) и (1.3.4), откуда следует, что k=k^ = =k-^, k = k-~. (1.3.5) 1] T) v g Найдем размерность коэффициента проницаемости: I J 1 J [g] т LT'2 * * * * * т. е. он имеет размерность площади и в физической системе еди- ниц [&] = см2. Более употребительна смешанная система единиц, когда при- нимается v в см/с, /ф в атм/см, т] в сантипуазах и коэффициент проницаемости выражается в особых единицах, называемых дарси; единица такой проницаемости (1 дарси) представляет собой про- ницаемость такой среды, в которой при перепаде гравитационного потенциала 1 атм на длине 1 см и коэффициенте вязкости, рав- ном 1 сантипуазу, получается скорость фильтрации 1 см/с. Со- поставляя коэффициент проницаемости в смешанной и физической системах, можно показать, что 1 дарси=10-8 см2. Для воды, имеющей v=0,01 см2/с при 6=20°, из выражения (1.3.5) полу- чим значение коэффициента фильтрации, соответствующее про- ницаемости 1 дарси =10~8 см2: k = 10-8. = 9,8 • Ю-4 см/с 0,85 м./сут, Т. е. для воды коэффициент проницаемости, выражаемый в дарси, Примерно равен коэффициенту фильтрации, выражаемому в м/сут. 34
Тонкослоистые и трещиноватые породы могут быть анизотроп- ными по проницаемости, — тогда коэффициент фильтрации (про- ницаемости) должен рассматриваться зависящим от направления движения. 1.2. Геометрические и физико-химические факторы проницаемости Для выявления связи проницаемости с геометрией пористой среды рассмотрим простейшую ее модель в виде пучка капиллярных трубок одинакового радиуса гт и площадью поперечного сечения сот = лг~. При поперечном сечении потока <о, расходе Q и порис- тости породы п количество таких капиллярных трубок будет С&Г а расход каждой капиллярной трубки QcoT (1.3.6) Сопоставляя выражения (1.3.6) и (1.2.12), находим а связывая выражение (1.3.7) с законом Дарси (1.3.3), найдем формулу для коэффициента фильтрации применительно к приня- той схеме строения пористой среды у/гг? 8т] (1.3.8) Для приближения к действительному характеру порового прост- ранства введем в эту формулу коэффициент извилистости х, т. е. будем считать куу-т 8т] (1.3.9) откуда следует выражение для расчетного радиуса капилляра или, заменяя коэффициент фильтрации на коэффициент проница- емости, согласно (1.3.5) получим (1.3.11) 2* 35
Для реальных пород И. Козени [52, 55] предложил заменить в выражении (1.3.11) радиус поровой трубки гт на удельную по- верхность S скелета породы (в единичном объеме). Поскольку для принятой модели S=2n/rT, то формула (1.3.11) примет вид 4 = -^-. (1.3.12) Для песчаных пород величину S можно найти по данным грану- лометрического состава, полагая, что все зерна песка имеют шаро- вую форму. Тогда поверхность частиц i-той фракции S( = Тде 8Z —число частиц i-той фракции со средним диаметром зерен df, определяя 8* как отношение содержания частиц i-той фрак- ции в единице объема породы, к объему частицы, получим S = _L = у (1.3. J3) ds d3 ла di ' где Agi—удельное содержание i-той фракции (в долях единицы от общего содержания); г — количество фракций; d3— эффектив- ный диаметр зерен песка. Существует еще ряд предложений по определению коэффици- ента фильтрации песков по их гранулометрическому составу, ли- бо основанных на развитии модели Козени, либо сугубо эмпири- ческого характера. Наиболее широко представлены зависимости, имеющие форму k = (1.3.14) где N — фактор пористости. Впервые такую формулу предложил А. Хазен [55], считавший d3~di0, а И. И. Зауербрей [23] на базе лабораторных данных пришел к выводу, что правильнее прини- мать d3—d\y. На основании большого экспериментального мате- риала, включая и данные опытных откачек, В. Байер и К- Швай-. гер [64] предлагают при d3—dl0 определять пористость и и фак- тор пористости N в зависимости от коэффициента неоднородности deoldio для флювиогляциальных песков. Эти данные аппроксими- руются выражением Л = + (1.3.14а) “10 параметры которого следующие: п 0,32 0,34 0,36 0,38 0,4 1 No,~— 78 85 90 98 НО см-с 1 Ni, 14 27 47 69 91 см-с 36
Практическое применение таких зависимостей ограничено, поскольку на проницаемость горных пород сильно влияют трудно учитываемые особенности их природного строения и состава. Характеристики связи проницаемости скальных пород с гео- метрией трещиноватости могут быть получены исходя из гидрав- лики течения в отдельной трещине, лишь при весьма упрощенных представлениях о структуре трещиноватости. Для ламинарного течения в трещине исходной является формула Буссинеска, сог- ласно которой средняя скорость течения vT в плоской щели тол- щиной бт при градиенте напора / будет £Г §2 (1.3.15) т 12 v Рассматривая ламинарное течение в равномерной системе одина- ковых трещин, Е. С. Ромм [49] получил следующее выражение для коэффициента проницаемости трещиноватой среды: k = Апт %, (1.3.16) где пт — трещиноватость; А—числовой коэффициент, зависящий от взаимной ориентации трещин, причем Д = 1 и Д = 0,5 соответст- венно для одинаково и хаотично ориентированных систем трещин. Для системы трещин различных размеров, фиксируемых по шли- фам, Е. С. Ромм предлагает выражение 2 k = B-^~--------, (1.3.17) i=l где 5i — площадь шлифа; Ц — длина следов на шлифе; N — ко- личество опробуемых шлифов; В — коэффициент, зависящий от системы трещиноватости, причем для системы горизонтальных трещин В = 3,42-106, а для хаотической трещиноватости В=1,71Х ХЮ6; при этом величина k получается в дарси. Приведенные Е. С. Роммом определения k по формуле (1.3.17) и лабораторным опробованиям кернов дали сопоставимые результаты, однако есть данные, свидетельствующие о значительных погрешностях таких расчетов. По-видимому, подобные определения могут быть реальными только для сравнительно однородных микротрещино- ватых пород, в которых расстояния между трещинами значительно меньше размеров образца. Для макротрещиноватых пластов такие построения имеют смысл только при каком-то ином подходе к схе- матизации трещинной среды. Как следует из приведенного выше вывода, коэффициент проницаемости не зависит -от гидродинамических свойств филь- трующей жидкости и, следовательно, должен быть одинаковым 37
для разных жидкостей, если только в процессе фильтрации не происходит переформирования порового пространства или не воз- никают дополнительные силовые поля. Это положение было до- казано рядом экспериментов по фильтрации через кварцевый пе- сок и стеклянные фильтры [2, 29, 35]. Вместе с тем для пород, включающих глинистые минералы, которые вступают с водой в физико-химическое взаимодействие, проницаемость может уже су- щественно зависеть от состава фильтрующей жидкости. Так, по экспериментальным данным М. Маскета [35], проницаемость песчаников для пресной воды оказывается ниже, чем для соленой, причем в чистых песчаниках это расхождение сравнительно не- велико, а в глинистых песчаниках оно достигает двух порядков. Опыты по фильтрации растворов NaCl и СаСЬ через средне- и мелкозернистые пески, содержащие монтмориллонитовую или гид- рослюдистую глину, показали [30], что проницаемость зависит не только от содержания, но и от состава глинистых частиц, причем эффект влияния монтмориллонитовой глины оказывается замет- но большим, что обосновывается большей обменной емкостью та- ких глин, активно развивающих свои гидратно-ионные диффузные соли. Во всех случаях наименьшей получается проницаемость для дистиллированной воды: с увеличением концентрации раствора проницаемость меняется сначала довольно резко, а затем практи- чески стабилизируется. Экспериментами установлено также, что проницаемость для кислых растворов больше, чем для основных. Таким образом, физико-химические процессы формирования проницаемости оказываются весьма существенными, й их иссле- дования заслуживают значительного развития. 1.3. Нарушения закона Дарси Закон Дарси имеет очень широкую область применения и по праву считается основным законом фильтрации [9, 47]. Вместе с тем существуют условия, при которых закон Дарси нарушается, при- чем имеют место верхняя и нижняя границы его применения. Верхняя граница применения закона Дарси возникает в по- родах высокой проницаемости при больших скоростях фильтра- ции. Природа ее связана с существенным проявлением инерцион- ных и пульсационных сил, которые в соответствии с зависимостью (1.2.6) оказываются пропорциональными квадрату скорости филь- трации. Таким образом, за верхней границей применимости закона Дарси в потоке наряду с действием сил вязкого трения, которые в соответствии с законом Ньютона должны быть пропорциональны скорости течения, заметно влияют инерционно-пульсационные си- лы, имеющие квадратичную зависимость от скорости течения. Исходя из принципа независимости действия различных по при- роде сил можно предполагать, что при больших скоростях тече- ния достоверна двучленная зависимость вида I — av-^bv2, (1.3.18) 38
впервые предложенная для этой цели Ж. Дюпюи [10], а в даль- нейшем досконально обоснованная рядом теоретических и экспе- риментальных исследований [9, 36, 55]. Полагая в этой зависи- мости a=\/k, где параметр k можно рассматривать как истин- ный коэффициент фильтрации, строго соответствующий линейному режиму течения, удобнее представить ее в форме 7 (1 +ctD)’ (1.3.19J где а — параметр нелинейности, для оценки которого в сравнитель- но однородных зернистых породах можно пользоваться нием [38] выраже- k vg 0,09 п2 1 — п а = (1.3.19 а) Двучленная зависимость универсальна, 'поскольку ватывает предельные условия; наступление ламинарного при малых скоростях фильтрации, когда член bv2 становится пренебре- жимо малым по сравнению с av, и турбулентного режима при весьма больших скоростях фильтрации, когда можно пренебречь линейным членом по сравнению с квадратич- ным (рис. 15). В этом смысле дву- членная зависимость гораздо лучше используемой иногда степенной за- висимости вида / = avn, она ох- режима Рис. 15. Графики основного -зако- на фильтрации: 1—линейный закон Дарси; 2 — двучленный закон; 3 -г- вязкопла- стическое течение 1<п<2, (1.3.20) применяться лишь пределах. Посколь- которая может в ограниченных ку также не имеется фактических доказательств преимуществ степен- ной зависимости по отношению к двучленной, то ее использование нельзя считать оправданным. Очевидно, что влияние нели- нейности основного закона фильт- рации следует учитывать, если ве- личина av соизмерима с едини- цей. Следовательно, при допустимой погрешности в расчетах 8 кри- тическая скорость фильтрации иКр, определяющая верхнюю гра- ницу применимости закона Дарси, получится из условия 8 аокр « 8, 1>кр = ~- (1.3.21) 39
Соответственно, при аи^>1 основной закон фильтрации приобре- тает квадратичный характер, постулированный для высокопрони- цаемых пород [28] и соответствующий турбулентному режиму течения. Практически его можно считать справедливым при ско- рости рт, определяемой из условия 1 1 ----=е, или ит — ——. dvT-ае (1.3.22) Ниже приведены данные расчетов величин икр и ит, а также соответствующих им значений градиентов напора /кр и /т для ти- повых проницаемостей пород при п=0,35, ао=О,3 и допустимой погрешности е=0,1. Порода Ср'еднезернистый песок Крупнозернистый песок Гравий k, см/с 0,03—0,04 0,1 0,2—0,5 а, с/см 0,15—0,2 0,3 0,5—0,7 vKP, см/с 0,5—0,6 0,3 0,15—0,2 *7 1 кр 10—20 3,0 0,3—1,0 Ут, см/с 50—70 30 15—20 /т 750—2000 300 30—100 Эти данные свидетельствуют о том, что нарушения линейного закона фильтрации могут иметь место лишь в высокопроницаемых породах в зоне резкой интенсификации фильтрационного потока, т. е. в .условиях, встречающихся в гидрогеологической практике довольно редко; наступление же турбулентного режима для на- турных условий вообще нереально. Поэтому необходимость исполь- зования двучленного закона фильтрации возникает сравнительно редко и в каждом случае требует специального обоснования. Гораздо больший принципиальный и практический интерес представляет анализ аномалий основного закона фильтрации, воз- никающих при малых скоростях фильтрации, характерных для слабопроницаемых пород.' Природу этих аномалий связывают с влиянием сил молекулярного взаимодействия частиц воды и по- роды, причем последнее время их объяснение основывается на представлениях о вязкопластическом характере течения воды в ультратонких поровых каналах [1, 8, 41]. Для анализа закономерностей вязкопластического режима фильтрации снова рассмотрим простейшую модель пористой среды, составляя ее из одинаковых капиллярных трубок радиуса гт. Ис- пользуя для расхода капиллярной трубки QT формулу (1.2.17) и связывая величину QT со скоростью фильтрации v выражением (1.3.6), можно показать, что в этом случае при />/0 основной за- кон фильтрации описывается уравнением v — k 11 - (1.3.23) 40
график которого представлен на рис. 15, причем величина началь- ного градиента 7о связывается с расчетным радиусом капилляр- ной трубки формулой (1.2.14). При больших градиентах, когда этот график имеет линейную асимптоту \ / (1.3.24) Расчетные значения начального напряжения сдвига при опытах по фильтрации в образцах грунтов, по данным Н. Ф. Бон- даренко [8], имеют порядок to = 1O-3 дин/см2, что значительно меньше величин, полученных по опытам в стеклянных капиллярах. Возможно, что такое несоответствие связано с влиянием неравно- мерности размеров пор, значимость которого показал В. А. Барон [5] - Ниже приведены значения начального градиента для типо? вых характеристик, подсчитанных согласно (1.2.14) при значении то=2-1О-3 дин-см~2=2-10-3 г «см-1 «с-2, принимая в системе СГС y—pg=l г/см3-980 см/с2=980 г-см~2-с~2 и определяя расчетный радиус капиллярной трубки гт по формуле (1.3.11) при коэффи- циенте извилистости х=0,5 и характерном для воды значении т=0,013 см2/с. Порода Средне- и крупнозер- нистый песок Мелкозернис- тый песок Глинистый песок Суглинок Глина k, см/с 0,05—0,1 0,01 IO'* 10-е 10-8—10-* п 0,35 0,25 0,2 0,1 0,1 гт, см 0,007 0,003 5-10’4 5-Ю-5 5-IO’8 7о 3-10"* 7-10-4 4-Ю’3 0,04 0,4—1,2 Приведенные расчетные данные свидетельствую, о реально значимых величинах начальных градиентов, . получающихся из анализа вязкопластического течения, так что в природных усло- виях его проявления, по-видимому, нередки и требуют тщательного анализа. Важно иметь в виду, что вязкопластическое течение име- ет релаксационный характер, так что в пластической области (при 7<7о) фильтрация должна иметь место, однако эффектив- ная проницаемость породы будет уже значительно меньшей, что доказывается некоторыми экспериментальными данными. Заметим, что природа фильтрационных аномалий при ультрамалых скорос- тях фильтрации еще встречает различные толкования, причем име- ются и негативные данные о реальном проявлении начального градиента фильтрации [45]. Анализируя области нарушения закона Дарси, можно сделать вывод о том, что они имеют относительно локальный характер по сравнению с областью применимости этого закона. Поэтому 41
при дальнейших обоснованиях закономерностей динамики под- земных вод за основу будет приниматься, как правило, закон Дар- си, а случаи его нарушения будут специально оговариваться. § 2. ЕМКОСТНЫЕ СВОЙСТВА ГОРНЫХ ПОРОД Емкостные свойства горных пород отражают их способность к водоотдаче или водонасыщению в процессе нестационарной филь- трации— либо при изменении степени заполнения пор и трещин водой, либо в результате изменения порового объема водоносных горных пород и плотности воды при упругих или упругопласти- ческих деформациях сжатия-растяжения; соответственно в пер- вом случае имеется в виду свободная (гравитационная) емкость, а во втором— упругая емкость горных пород. Рассмотрим емкост- йые. свойства отдельно для безнапорных пластов, где емкость имеет преимущественно гравитационный характер, и для напор- ных пластов, где она имеет исключительно упругий характер. 2.1. Гравитационная емкость горных пород В безнапорных пластах при нестационарном режиме происходят колебания свободной поверхности потока, приводящие к осуше- нию или насыщению пласта (соответственно при снижении и при повышении уровней). Для характеристики этого процесса исполь- зуется величина коэффициента гравитационной емкости пласта ц, представляющего собой изменение количества воды в породе при гравитационном осушении или насыщении, отнесенное к объему породы. При опускании свободной поверхности ц соответствует коэффициенту водоотдачи цв, а при повышении свободной поверх- ности — коэффициенту недостатка насыщения рп. Балансовая структура цв и цн представляется следующими формулами: На = п0 — w3B wcr, Рн = «о — ^зв — ®о» (1.3.25) где и0—активная • пористость породы; wCT — влажность стыковой воды (в узлах пор); аУю — влажность грунта в исходном состоянии (до насыщения); w3B— относительное объемное содержание за- щемленного воздуха и иммобилизованной воды. Следует отметить существенную роль стыковой воды и защемленных объемов (воды й воздуха) в формировании гравитационной емкости геофильтра- ционного потока, из-за которых величина ц обычно оказывается значительно меньшей активной пористости породы. Величина цв существенным образом зависит от физико-ме- ханического состава и литологического строения горных пород. Исследование такой зависимости проводилось только для песча- ных пород. Так, Н. Н. Биндеман [7] по данным лабораторных опытов получил для различных песков следующие средние значе- ния |iB; тонкозернистые — 0,19, мелкозернистые — 0,22, разнозер- нистые — 0,24. 42
П. А. Бенинский [6] предлагает эмпирическую формулу н„= О.ш'/Г, (1.3.26) где k принимается в м/сут; согласно опытным данным [6, 17], этой формулой можно пользоваться при |1в>0Д5. Вместе с тем, по Б. Кожерскому [72], зависимость цв от k не всегда выражает- ся достаточно четко. Опытные данные значений цв в различных разностях песчанистых пород приведены в работе [67]. Значительно скуднее представлены материалы для оценки значений ц в глинистых породах; на основании отдельных данных натурных определений можно рекомендовать ориентировочно принимать для пылеватых и глинистых песков ц=0,05—0,15, а для супесчано-суглинистых пород ц=0,01—0,1. Формирование гравитационной емкости — довольно сложный динамический процесс, поскольку при нестационарной фильтрации происходит переформирование капиллярной зоны, связанное с не- обходимостью передачи воды из верхней ее, части на свободную поверхность гравитационной зоны. При понижении уровня капил- лярная зона в начальный период постепенно растягивается и толь- ко при достаточно длительном равномерном снйжении уровня в капиллярной зоне наступает динамическое равновесие, когда эпюра влажности по высоте не меняется, а лишь опускается параллельно самой себе со скоростью опускания свободной поверхности. Этот процесс приводит к тому, что в начальный период нестационарно- го режима водоотдача имеет замедленный характер, так что коэф- фициент водоотдачи в этот период постепенно увеличивается, дос- тигая предельного значения при стабилизации формы эпюры влаж- ности в капиллярной зоне (рис. 16, а). Поскольку величина ц должна характеризовать . изменение объема гравитационной зоны потока, то в связи с отмеченным влиянием капиллярной зоны правильнее определять, величину ц как изменение емкости гравитационной зоны АК0 в единичном элементе безнапорного пласта (т е. в элементе единичной пло- щади в плане), отнесенное к изменению уровня свободной по- верхности потока А//: н=4^-- и-3-27) Л п Количественные закономерности динамики водоотдачи экспе- риментально изучены пока довольно слабо и главным образом для песчаных грунтов [39, 43]. Н. Боултон 166] предложил гипо- тетическую схему динамики водоотдачи, идентичную схеме, в ко- торой реальная капиллярная зона заменяется эффективной «ка- пиллярной каймой» высотой /iK, в пределах которой принимается полное водонасыщение, а проницаемость соответствует некото- рому коэффициенту фильтрации kK. Экспериментальное изучение дренирования высоких песчаных колонн показало [39], что модель 43
капиллярной каймы удовлетворительно описывает динамику во- доотдачи, причем величина kK оказывается значительно меньшей коэффициента фильтрации водонасыщенной породы и существенно меняющейся в зависимости от скорости опускания уровня свобод- ной поверхности. Рис. 16. Графики для представления динамики гравитационной емкости: а — динамика влажности в капиллярной зоне при водоотдаче (/ и 2— ис- ходное и Текущее положения уровня свободной поверхности; 3 и 4 — на- чальная и текущая эпюры распределения влажности; 5 — стационарная эпю- ра влажности при положении уровня 2); б — экспериментальные данные по динамике водоотдачи в мелкозернистом песке при различных скоростях сни- жения свободной поверхности (1 — цСи=0,2 см/мин, 2 — Vcn=0,33 см/мин, 3— цСп=0,67 см/мин) 2.2. Упругая емкость горных пород Как отмечалось выше, изменения емкости напорных пластов обусловливаются их деформациями, возникающими при измене- ниях напряженного состояния пласта. При изучении баланса подземных вод особую значимость представляет упругая емкость пластов, вызываемая гидродинамическими факторами. Для обос- нования параметров упругой емкости рассмотрим деформации элемента водоносного пласта объемом V под действием изменений давления в воде р и давления в скелете породы рск. Весовое количество воды в этом элементе будет W = у nV, а его изменения 44
&W ~ A(ynV). Вводя в это выражение вместо пористости коэффи- циент пористости е и учитывая соотношение n = e/(l 4-в), обра- тим внимание на то, что величина V/(\ 4- е) представляет собой объем скелета породы' в рассматриваемом элементе пласта. По- скольку скелет породы значительно прочнее самой породы, то при деформациях пласта объем скелета породы можно считать неизменным. Тогда можно записать Д№ = Д(упУ) = Д (уе — Х-Л =—V- у 1 8 / 1 -j— 8 (1.3.28) Д (уе) = —— (8 Ду + Y Де)- 1 4-е Изменение плотности воды описывается законом Гука вида = ₽8 Ар, (1.3.29) где рв — коэффициент объемного сжатия воды, который представ- ляет собой относительное изменение объема воды при изменении давления на 1 атм, причем для пресной воды 0В^4,75 • 10-5 1/атм, а для минерализованной воды с минерализацией М г/л прини- мается [34] 0ВГ= (4,75-10"5 —7,15-10-8) — —. (1.3.29а) у атм В сравнительно небольших пределах изменения давлений можно считать/ что коэффициент пористости породы, слагающей пласт, изменяется пропорционально изменению давления ДрСк, в скелете породы [14,37]: Де = —а„Лрск, (1.3.30) где av — коэффициент уплотнения породы, величина которого из- меняется в широких пределах в зависимости от вида породы и глубины ее залегания; его характерные значения имеют порядок av = 10~3 — 10~2 кг/см2 [37]. Для осадочных пород, залегающих на большой глубине, можно принимать [21] av = (1 5) * 10-4 см2/кГс.- Подставляя в формулу (1.3.28) выражения для Ду из (1.3.29), для Де—-из (1.3.30) и связывая рСк с р согласно (1.1.2), получим + —flaApn), (1.3.31) 14-8 где Дрп — изменение внешней нагрузки на пласт. Рассматривая далее условия, когда упругий режим фильтрации Определяется 45
трлько гидродинамическими факторами и, следовательно, Арп = О, получим дг = —УУ— (е₽в + а„) Др. (1.3.32) 14-е В качестве удельной характеристики упругой емкости породы, проявляющейся при действии гидродинамических факторов, следуя В. Н. Щелкачеву [62], введем коэффициент упругой емкости породы т]*, представляющий собой отношение изменения объема воды к объему породы при единичном изменении напора, т. е. в принятых ранее обозначениях = (1.3.33) уД HV При малой изменчивости плотности воды можно принять 1 * Ар и тогда, выражая АИ7 Согласно (1.3.33), ррлучим =—L(epB + ao). (1.3.34) 1 +е Обобщение данных компрессионных и опытно-фильтрацион- ных опробований показывает [37], что при небольших глубинах (порядка 10—50 м) для песчаных пород можно ориентировочно принимать т)* =-= 0,007/г, где z — средняя тлубйна пласта от по- верхности земли, а для глинистых пород ц* = (4 — 7) • 10~4 1/м. На глубинах порядка 50—200 м ориентировочные значения т]* доставляют [4, 27, 37, 74] : (0,54-2) • 10-4 1/м — для песков, (1-4-4) • 10-4 1/м — для глинистых и алевритовых пород, (0,3-г 1,0) • 10-4 1/м — для песчаников и алевролитов, (3 4-5) X X Ю-4 1/м — для мела, (14-4) • 10-4 1/м — для известняков и мергелей. Упругая емкость, так же как и гравитационная, обладает динамичностью, обусловленной неоднородностью пород и пласта. В качестве простейшей модели, описывающей влияние этого фак- тора, используется схема среды с двойной емкостью или трещин- но-порового строения. В этой схеме (рис. 17, а) порода представ- ляется состоящей из слабопроницаемых (пористых) блоков, кото- рые равномерно прорезаются системой проницаемых каналов (трещин); при этом блоки сосредоточивают в себе основную емкость породы, а каналы обусловливают ее проницаемость [32, 38]. В схеме с двойной емкостью строение породы считается ква- зиоднородным, поскольку емкость блоков, а также проницаемость и емкость каналов принимаются в пределах пласта одинаковыми. 1 Доказательство этого положения представляется сделать в качестве упраж- нения. 46
Такая же схема формирования емкости может использоваться и для учета слоистого строения пласта (рис. 17,6). В качестве удельной характеристики упругой емкости всего пласта целесообразно использовать коэффициент упругой емкости пласта ц*, который представляет собой отношение изменения b Рис. 17. Типы среды с двойной емкостью: а—трещинно-поровая среда; б — слоистый пласт (сплошными и пунктир- ными стрелками показаны направления потока в каналах и блоках) объема воды в единичном элементе пласта к изменению напора (при действии гидродинамических факторов): |Л = ~. (1.3.35) причем для водоносного пласта мощностью пг имеем ц- = т,Г = _1&-(е₽в + а„), (1.3.36) 14-е а для многослойного пласта, состоящего из п : слоев с коэффици- ентами упругоемкости Лг в пределах слоя мощностью т», соот- ветственно И* = £ т), (1.3.36а) I—1 Из сопоставления выражений (1.3.35) и (1.3.27) следует, что по балансовому смыслу' величина у,* аналогична коэффициенту гравитационной емкости пласта у для безнапорного пласта. 47
Глава 4 ИСХОДНАЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕОФИЛЬТРАЦИОННОГО ПОТОКА Исходная гидродинамическая модель геофильтрационного потока представляет собой его описание с позиций математической физи- ки и включает уравнение движения (основной закон фильтрации), уравнение неразрывности (баланса) потока, уравнения состояния, связывающие напряжения и деформации пласта, а также условия однозначности, состоящие из начальных и граничных условий процесса. Приведем общий вид таких уравнений в дифференци- альной форме применительно к декартовой системе координат. § 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГЕОФИЛЬТРАЦИИ Уравнение движения для фильтрационного потока представляет собой математическую запись основного закона фильтрации. Для потока постоянной плотности1 примем уравнение движения в обобщенной форме закона Дарси (1.3.3), выражая градиенты на- пора через его производные по соответствующим направлениям. В потоке постоянной, плотности компоненты скоростей фильтрации vx, vy и vz —по направлениям координат х, у и z — в анизотроп- ном пласте имеют выражение . дн . дн , дн п л 1Ч Рис. 18. Бесконечно Малый элемент пространственного по- тока Для вывода уравнения где kx, kv и kz — коэффициенты фильтрации по направлениям соот- ветствующих координат2. Знак «минус» в этих выражениях постав- лен потому, что скорости фильтра- ции считаются положительными, если они направлены в положитель- ном направлении осей координат, при этом скорости фильтрации и градиенты напора всегда - имеют разный знак. Заметим, что диффе- ренциальная форма основного за- кона фильтрации впервые была представлена Ж. Дюпюи [70]. неразрывности, описывающего мате- риальный баланс потока, рассматриваются составляющие такого баланса в бесконечно малом элементе пространства (рис. 18) за 1 Особенности построения гидродинамической модели потока переменной плот- ности будут рассматриваться далее (см. § 3 главы 1 раздела II). 2 Строго говоря, выражения (1.4.1) справедливы лишь при условии совпадения главных бсей анизотропии с осями координат; в противном случае проницае- мость должна рассматриваться в форме тензора [9, 55]. 48
бесконечно малое время dt. Материальный расход потока, посту- пающего в рассматриваемый элемент по направлению %, будет равен yvxdydz, при выходе из элемента материальная скорость yvx получает приращение —— (у vx) dx, так что материальный рас- дх • ход потока, выходящего из элемента по оси х, будет уиА. -р + —— (vfjdx] dydz. Таким образом, разница между расходами дх J входящего в элемент и выходящего из него потока по оси х будет——d^~-dxdydz', аналогичные изменения материальных дх расходов по осям у и z будут ---dxdydz и------------д1УР.2^dxdydz. dy---------------------dz Изменения материального количества воды IF, содержащегося в бесконечно малом элементе, по аналогии с (1.3.32) можно предста- вить выражением dw = . <Mg) dt (1,4,2) 14-8 dt Исходя из того, что суммарное изменение материального количе- ства воды при прохождении потока через рассматриваемый эле-, мент по различным направлениям должно компенсироваться изменением количества воды, содержащейся в этом элементе, после сокращения бесконечно малых придем к уравнению нераз- рывности фильтрационного потока: _ д (Y ______ д (Y vu) д (У __________L д №> (1.4.? * дх ду dz 1 + е dt При рассмотрении упругого режима фильтрации должны быть также записаны уравнения состояния, связывающие деформации пласта с изменениями его напряженного состояния (давлений в породе и воде). Характерными формами уравнений состояния для воды и породы являются выражения (1.3.33) и (1.3.34), исполь- зуя которые запишем выражение для члена уравнения неразрыв- ностй, учитывающего деформации пласта: 2*(V?L = e^V_+Y *_ = е¥₽|>-&.(1.4.4) dt dt dt 1Гв dt u dt 7 При формировании упругого режима фильтрации под действием гидродинамических факторов dpCK — —dp и 1 а д(уе) = ♦ _др_ 1 + е dt dt ’ (1.4.5) где п* — коэффициент упругоем кости, выражаемый согласно уравнению (1.3.38). 49
Дифференциальные уравнения фильтрации описывают распре- деление напора (давления) в фильтрационном потоке. Для их вывода в уравнении неразрывности компоненты скоростей филь- трационного потока выражаются из закона фильтрации, а дефор- мации пласта (воды и породы) связываются с давлениями через уравнения состояния. Рассмотрим наиболее распространенные условия формирова- ния геофильтрационного потока под действием гидродинамических факторов, считая справедливыми закон Дарси и уравнения состоя- ния в форме (1.3.33) и (1.3.34), а также пренебрегая пространст- венной изменчивостью плотности воды. В такой постановке для компонентов скоростей фильтрации принимаются выражения (1.4.1) и для описания деформации пласта справедливо выраже- ние (1.4.5), в котором можно считать dpjdt^y дНjdt. Подставляя эти выражения в уравнение неразрывности (1.4.3), получим диф- ференциальное уравнение, описывающее распределение напоров в фильтрационном потоке: , дН д /, дН \ . d /, дН \ , д /, дН \ dt дх \ дх J ду \ у ду / dz \ dz / (1.4.6) Приведем характерные частные случаи этого уравнения: для однородного анизотропного пласта * дН , д*Н , , d2H , , d2H п _ т)----= kY-------+ ku--------h k,-----, (1-4.7) dt * dx2 ' y dy2 г dz2 ' v ' для однородного изотропного пласта _L . = v я, a = ---------------(1.4.8) a dt Y(e₽b + ^u) где a — коэффициент пьезопроводности (по В. Н. Щелкачеву); а V Представляет собой оператор Лапласа, который в данном случае имеет вид г д2 , д2 . а2 7 = -----И ----Н ——". dx2 dy2 dz2 (1.4.9) Уравнение (1.4.8) относится к классу параболических уравнений типа уравнения Фурье или теплопроводности [50]. Уравнение (1.4.7) переходит в уравнение (1.4.8) путем линейного преобра- зования координат х0—ахх, yo=avy и z^=dzz. Тогда d2H 2 &Н d2H 9 d2H dH 2 д*Н — а и * — ' — а, л , (1.4.10) dx2 а«0 dy2 у дУо dz dz2 ог0 50
и уравнение (1.4.7) принимает вид дН , , д2Н л* ——— = kx at-------~ ' dt * , 9 д2Н + кУау~ТГ+/1га2 (1.4.10а) Нетрудно видеть, что, задавая д2н д4 ‘ (1.4.11) где k — любое выбранное значение коэффициента фильтрации, приводим урав- нение (1.4.7) к виду (1.4.8), где вместо действительных координат х, у, г бу- дут преобразованные, координаты х0, -уй, г0. Таким образом, однородно-анизо- тропный пласт преобразуется в изотропный путем изменения масштаба коор- динат согласно выражению (1.4.11). При жестком режиме фильтрации уравнение однородного.изо- тропного потока принимает вид уравнения Лапласа у4Я = б, (1.4.12) т. е. в этом случае напор оказывается гармонической функцией. Таким образом, аналитические решения задач геофильтрации в общем случае сводятся к решению дифференциальных уравне- ний типа теплопроводности (при упругом режиме фильтрации) или Лапласа (при жестком ре- жиме фильтрации). Для наглйднбго графического представления элементов потока на плоскости используется гидро- динамическая сетка, состоящая из системы линий равного напора и линий тока, причем линии тока показывают направление потока в каждой точке. Для характерис- тики линий тока вводится функ- ция тока ф, которая имеет посто- янное значение вдоль каждой линии тока, а ее разница на двух линиях тока п и п—1 равна расходу потока Qn, n-i, проте- кающего МеЖДу ЭТИМИ ЛИНИЯМИ, Т.' е. Дфп = фп—фп-1=Рп, п-1- Выразим расход Qn,n-i плоского потока единичной мощности в пределах такой ленты тока (рис. 19) через компоненты скорости фильтрации их и vy: Поскольку Qn,n-i =vK\y — v9kx. Дф = —Дх -4- —Д у, Т дх ду (1.4.13) (1.4.14) 51
(1.4.16) то, сопоставляя (1.4.13) и (1.4.14), получим выражения компонен- тов скоростей через функцию тока: = = <L4-15> Из сопоставления с выражениями vx и vy в дифференциальной форме закона Дарси (1.4.1) следует, что в однородном изотропном плоском потоке должно выполняться соотношение дН dip дН dip дх ду ду дх Соотношения (1.4.16) представляют собой условия Даламбера — Зейлера (Коши — Римана), и их выполнение свидетельствует об ортогональности линий тока и линий равного напора в изотропной среде [9, 50]. Дифференцируя первое из этих соотношений по у, а второе по х и вычитая их затем друг из друга, можно видеть, что функция ф (так же, как и напор) является гармонической. § 2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГЕОФИЛЬТРАиИОННОГО ПОТОКА При решении уравнений математической физики граничными ус- ловиями задаются на границах потока значения искомой функции или ее производной, а также их комбинации. Поскольку в гео- фильтрационных расчетах искомой функцией обычно является напор, то граничные условия при этом представляются в форме задания напора (условие первого рода), градиента напора или расхода потока (условие второго рода) или их линейной комбина- ции (условие третьего рода). Основные внешние границы фильтрационных потоков — кон- туры водоемов (водохранилищ, рек, каналов и т. п.) и непрони- цаемые границы, проходящие по контурам водоупорных слоев; в безнапорных потоках верхней границей является их свободная поверхность. Внутренние границы возникают при наличии зон с различной проницаемостью (проводимостью) или внутренних ис- точников — стоков (скважин, дрен и т. п.). Контур водоема или водотока, При задании граничного усло- вия на контуре водоема (водотока) обычно можно считать, что давление воды в водоеме распределяется по гидростатическому закону, как в неподвижном бассейне. Тогда по контуру водоема (рис. 20) напор будет иметь постоянную величину Н°, склады- вающуюся согласно (1.1.6) из глубины водоема h° и ординаты его контура z°: Н° = hn ±2° = const. (1.4.17) Следовательно, контур водоема представляет собой линию равно- го напора (граница первого рода), причем согласно принципу ортогональности гидродинамической сетки линии токов будут на- правлены по нормали к контуру водоема. 52
Нередко русло водоема или водотока экранируется тонким слоем слабопроницаемых отложений. В этом случае граница во- доема переносится на контур экранирующего слоя, где нри филь- трации из водоема могут возникнуть два принципиально различных условия в зависимости от давления рг на этом граничном контуре: Рис. 20. Контуры водной границы фильтрационного потока: 1 — свободная поверхность; 2 — экранирующий слой при рг>0 фильтрационный поток сохраняет сплошность, а при отрыве уровня фильтрационного потока от экранирующего слоя, когда фильтрационный поток теряет сплошность и под экрани- рующим слоем образуется зона инфильтрации с неполным насы- щением, рг=0. Заметим, что здесь может возникнуть необходи- мость учета влияния капиллярных-сил, когда окажется рг<0. Из-за малой толщины экранирующего слоя можно считать, что фильтрационный поток в нем направлен по нормали к его конту- ру, так что скорость фильтрации по граничному контуру tfr будет (1.4.18) где Яг— напор по граничному контуру; ko — коэффициент филь- трации экранирующего слоя. При рг=0 имеем Нг~zr и на гра- ничном контуре задается скорость фильтрации vr = k0----------- т0 53
vr = kQ~—2r-, (1.4.18a) m0 t. e. водоем становится. источником питания, формирующим гра- ничное условие второго рода, когда скорость (расход) фильтра- ции из водоема не зависит от напоров фильтрационного потока; такой режим фильтрационного потока называется свободным. При рг>0 имеем Нг>2? и ркорость фильтрации по гранично- му контуру vr согласно (1.4.18) оказывается линейно-зависящей от граничного напора Нг, что соответствует граничному условию третьего рода;/такой режим фильтрационного потока называется подпертым. Разумеется, что режим фильтрационного потока, на- правленного в водоем, всегда является подпертым. Непроницаемые границы. Непроницаемые границы задаются по контурам практически водоупорных пород. Вдоль такой гра- ницы проходит линия тока, а градиент напора по нормали к ней равен нулю; таким образом, на непроницаемой границе задается частный случай граничного условия второго рода.' Следует отме- тить, что при наличии слабой проницаемости водоупорных пород задание непроницаемой границы имеет условный характер. Свободная поверхность потока. Верхней границей гравита- ционной зоны безнапорного потока является его свободная по- верхность, на которой Давление равно атмосферному, обычно при- нимаемому за нулевое. Соответственно на своОодной поверхности напор равен ее ординате относительно плоскости сравнения, т. е. здесь выполняет- ся условие H=z. (1.4.19) Над свободной поверхностью находится капиллярная зона с пере- менной влажностью, причем между капиллярной и гравитационной зонами осуществляется свободный водообмен, так что свободная поверхность является условной границей потока. Инфильтрационное питание, поступающее на свободную по- верхность, характеризуется величиной интенсивности инфильтра- ции w, которая представляет собой расход инфильтрационного (площадного) питания, поступающий на единицу площади гори- зонтального сечения потока. При близком расположении грунтовых вод к поверхности земли величина w существенно зависит от глубины до грунтовых вод 2ГВ, что особенно свойственно испарению [26, 33]. Характер зависимости w(zrB) исследован еще недостаточно полно, однако можно утверждать, что в общем виде эта зависимость существен- но нелинейна (рис. 21), а в зоне интенсивного изменения w ее можно приближенно аппроксимировать линейной функцией, кото- рая для условий испарения имеет вид w = — w0(l — z), z — (1.4.20) гкр 54
где zKp — условная критическая глубина грунтовых вод, a Wo — интенсивность испарения на поверхности земли. Поскольку ггв=2°—Н, где — отметка поверхности земли относительно Рис. 21. Типовой график зависимо- сти интенсивности испарения w от глубины zrs: 1 — график натурных данных; 2 и 3 — аппроксимирующие прямые в верхней и нижней частях графика плоскости сравнения, то зависи- мость (1.4.20) можно записать в виде Я — z° — zKt3 w = w0 ------т—— • (1-4.20а) 4кр В более общем случае зависи- мость w(zrB) можно аппроксими- ровать ломаной линией, состоя- щей из нескольких прямолиней- ных участков, как это показано на рис. 21, причем для каждого из таких участков будет исполь- зоваться зависимость вида (1.4.20) с заменой входящих в нее параметров w0 и 2кр. Сущест- вуют также предложения по ап- проксимации зависимости w(z) нелинейными функциями; в част- ности, С. Ф. Аверьяновым [27] пре- дложена степенная зависимость Рис. 22. Перемещение свободной поверхности при нестационарной фильтрации: а — схема к выводу кинематиче- ского условия на свободной по- верхности (1 и 2 — положения на два момента времени с бесконеч- но малым интервалом времени); б — деформации капиллярной .зо- ны (1 и 2 — положения границы между гравитационной и капил- лярными зонами; 3 и -4 — поло- жения поверхности капиллярной зоны на два момента времени с интервалом Д/) w = - w0 (1 - - г)п при характерных значениях п= 1,54-3. (1.4.21) Рассмотрим кинематические условия на свободной поверхности без учета влияния капиллярной зоны. Для этого составим уравнение баланса воды на свободной поверхности в пределах элемента трубки тока площадью Де> 55
и длиной cfSen (рис. 22), на которую перемещается свободная поверхность за бесконечно малое время dt. Объем воды в этом элементе должен балансиро- ваться с поступлением воды в него из потока и за счет инфильтрационного пи- тания, т. е. балансовое уравнение здесь будет цДсо dScs—v^Aaidt+w^xydt, где v°=kl° и 1° — скорость фильтрации и градиент напора вдоль линии тока на свободной поверхности, a A(i)xy—горизонтальное сечение площадки Дсо. Зная,’ что Д<й=Atoxycosciz, где az — угол между направлением скорости и0 и вертикалью, представим это уравнение в виде dSm w =W0+-------------(1.4.22) dt cos а2 При небольшой кривизне свободной поверхности dH° п d Scn cos а2 — — -dt, 7° cos а2 = I,, с 2 dt z где Тю- лений; в (1.4.23) градиент напора на свободной поверхности в вертикальном направ- этом случае условие (1.4.22) принимает более простую форму: д#° = Л /о , w dt ц 2 ц капиллярной зоны приближенно может учитываться заданием водона- (1.4.24) Влияние сыщенной «капиллярной каймы» мощностью hK с расчетным значением коэф- фициента фильтрации Лк- Для полного учета влияния капиллярной зоны требуется совместное рас- смотрение потоков в гравитационной и" капиллярной зонах (см. § 2 главы 4 раздела III). При решении задач стационарной фильтрации такой прием тре- бует переноса верхней границы безнапорного потока на поверх- ность капиллярной каймы, где задается граничное условие А = _/1к, H = z — hK, причем при отсутствии инфильтрации эта поверхность является также линией тока. Примеры такого рода решений приведены в работах [3, 10, 48]. Для полного учета влияния капиллярной зоны требуется сов- местное рассмотрение потоков в гравитационной и капиллярной зонах (см. § 2 главы 4 раздела III). Участок высачивания. Участок высачивания образуется на вы- ходе безнапорного фильтрационного потока на поверхность (рис. 23). Его существование можно доказать от противного, пред- положив возможность подхода свободной поверхности непосредст- венно в точку уреза поверхностных вод; тогда свободная поверх- ность, являющаяся линией тока, должна подойти по нормали ж поверхности откоса, что невозможно, поскольку она пои этом по- лучила бы обратный уклон от направления потока. Вдоль участка высачивания давление равно атмосферному (нулевому), так что здесь сохраняется условие (1.4.17), где вели- чина 2° представляет собой ординату поверхности откоса. 56
Рассмотрим условия выхода потока на откос без учета влия- ния капиллярной зоны. Определим градиент напора в точке вы- сачивания (точка В на рис. 23, б), где он определяется уклоном свободной поверхности при подходе потока к этой точке. Если на Рис. 23. Сетка движения вблизи участка цысачивания: а — сухой откос на непроницаемом основании; б — свободная поверх- ность вблизи точки высачивания; в — подтопленный откос свободной поверхности выполняется условие (1.4.19), то градиент напора вдоль свободной поверхности (по направлению S) будет I, = — = sin ₽, (1.4.25) В JC 1 1 где р — угол наклона свободной поверхности в точке высачива- ния (рис. 23, б). В то же время и на участке высачивания давле- ние р=ра==0, т. е. градиент напора здесь будет /в = = sin а, (1.4.25а) где а — угол наклона откоса к горизонту. Из того, что градиенты в точке высачивания, определяемые выражениями (1.4.25) и (1.4.25а), должны быть одинаковы, следует условие а=р, т. е. свободная поверхность к точке высачивания подходит по касатель- 57
ной к откосу. Нетрудно также показать, что в подошве сухого откоса (при отсутствии уровня воды перед ним), располагаемого на горизонтальном непроницаемом основании (точка А на рис. 23, а), градиент напора /A=tg а. Для подтопленного откоса (рис. 23, в) распределение выходных градиен- тов вдоль участка высачивания выражается зависимостью (hn \п hn -2-) sin а, и = 0,25 —, (I.4.26i Z / А + ha где z — ордината расчетной точки; h0 — глубина воды перед откосом. Заме- тим, что в этом случае точка А имеет гидродинамическую особенность, посколь- ку при z=0 градиенты напора стремятся к бесконечности. Однако из формулы (1.4.26) следует, что зона повышенных градиентов сравнительно локальна; на- пример, уже при z=0,05/iв получается /^2sina. Более подробно условия фор- мирования выходных градиентов вдоль откоса и по его основанию рассмотре- ны в работе [57]. Учет капиллярных сил несколько осложняет картину высачи- вания потока. В этом случае в пределах капиллярной зоны поверх- ность откоса будет непроницаемой границей. Кроме тбго, как указывал Н. М. Герсеванов [14], за счет сил поверхностного на- тяжения может быть непрони- цаемой и зона участка высачи- вания в пределах высоты hB; од- нако это условие, по-видимому, неустойчиво, поскольку при за- мачивании этой зоны мениски будут порваны и вода сможет выходить на откос. На границах двух сред с раз- личными коэффициентами филь- трации А и kz (рис. 24) проис- ходит перелом линци тока и воз- никает специфическое грацичное условие. Для его обоснования Рис. 24. Граница раздела сред с разной проницаемостью найдем соотношение углов cq и сс2 между направлением скорос- тей Vi и v2 (линий тока) и нормалью к границе сред п. Из ус- .ловия равенства проекций скорости фильтрации на нормаль .имеем гл cos a2 Ui cos a. =- u2 cos a2 или -— =----------------- 1 v2 cos ax (1.4.27) Запишем выражения для проекций скоростей фильтрации на ка- •сательную I к границе сред по закону Дарси, учитывая равенство градиентов напора dH/dl в каждой среде UjSina^—k} t'2sina2 =—А 777-, (1.4.28) dl dl 58
откуда следует соотношение dH _ О! slnct! _ v2 sin а2 ,т 2g\ dl ~ kr ~ ~ k2 ' \ ‘ ) Имея в виду соотношение скоростей Vi/v2, определяемое вы- ражением (1.4,26), получим из (1.4.28) следующее условие пере- лома тока на границе сред: = А-, (1.4.30) tgCfe k2 которое обычно называется «правилом тангенсов». Глава 5 ГЕОФИЛЬТРАЦИОННАЯ СХЕМАТИЗАЦИЯ И ПОСТАНОВКА ГЕОФИЛЬТРАЦИОННЫХ РАСЧЕТОВ Геофильтрационная схематизация предусматривает представление закономерностей формирования подземных вод в гидродинамиче- ской (фильтрационной) постановке с полной математической формулировкой рассматриваемой задачи. При геофильтрационной схематизации принимается характер протекания процесса во вре- мени, включая деформируемость компонентов потока (упругий или жесткий режим течения), устанавливаются пространственная структура, граничные условия и внутреннее строение потока, опре- деляемое распределением геофильтрационных параметров. Следует подчеркнуть исключительную значимость обоснованного решения вопросов фильтрационной схематизации, нередко предопределяю- щего правильность фильтрационных расчетов. § 1. СТРУКТУРА И РЕЖИМ ГЕОФИЛЬТРАЦИОННОГО ПОТОКА Структура потока отражает характер его деформации в прост- ранстве; для выражения структуры потока используется гидроди- намическая сетка, состоящая из системы линий равного напора и линий тока (см. § 1 главы 4). Самой общей является пространственная форма потока, в ко- тором гидродинамическая сетка деформируется по всем трем про- странственным координатам. Анализ пространственных потоков чрезвычайно сложен, однако условия, требующие пространствен- ного представления структуры потока, встречаются в гидрогеоло- гической практике сравнительно редко (например, область III на рис. 25, а, зона обходной фильтрации высоких плотин, распола- гаемых в узких долинах). 59
Основными структурными типами /потоков, широко используе- мыми в гидрогеологических расчетах, являются плоские потоки в вертикальном сечении (профильные) и в плане (плановые), для которых характерна деформация гидродинамической сетки в какой-либо одной плоскости. В профильных потоках деформации линий тока происходят преимущественно в вертикальной плоскости, а в плане поток Рис. 25. Пространственная структура потока: а — направления потока вблизи во- дотока в плане и разрезе; б — эле- менты гидродинамической сетки (1 — линии тока, 2 — линии равного на- пора) имеет плоскопараллельный ха- рактер, т. е. линии тока в плане практически параллельны друг другу. Типичным примером про- фильных потоков могут служить условия фильтрации в основании плотин среднего напора, распо- лагаемых на широких реках, в зонах разгрузки потока в бере- гах рек, водохранилищ и кана- лов (область II на рис. 25,а). В плановых потоках . дефор- мации линий тока происходят в основном в плане, а в вертикаль- ном' сечении поток принимается плоскопараллельным. Такие ус- ловия характерны для потоков большой протяженности, длина которых значительно превыша- ет их мощность, что позволяет пренебрегать изменением напо- ров по глубине потока (область I на рис. 25, а). Предпосылка о по- стоянстве напоров по вертикали была впервые предложена Ж. Дюпюи [69] и обычно носит его имя; из определения плано- вого потока следует, что в каж- дом его вертикальном сечении выполняется предпосылка Дю- пюи. Полоса плоского потока, за- ключенная между двумя сосед- ними линиями тока, носит назва- ние ленты тока, а участки ленты тока, заключенные между со- седними линиями равного напо- ра, будем называть отсеками ленты тока. Обычно линии равного напора строятся с постоянным шагом изменения напора (такую сетку назовем равномерной); в этом случае расходы в отсеках ленты тока обычно можно определить по формуле Дарси, прини- 60
мая в. качестве площади поперечного сечения и длины потока их средние значения в пределах каждого отсека. В профильном потоке его ширина принимается обычно равной 1 м, тогда площадь поперечного сечения ленты тока будет числен- но равна ее ширине; при равномерной сетке, построенной с интер- валом напора &Н=Нг—Н^=Нг+1—Hi (рис. 25, б), выражения для расходов Qi и Qi+i в отсеках ленты тока номеров I и t’+l ПРИ (iH = Ni и toi+i=Ni+l будут Q, = ktN, Ql+I = k,+i Ni+l -±Н-, (1.5.1) ‘i 4+1 а при неизменном расходе ленты тока (Qi*=Qi+i) имеем иля = _^±1_ . Jti+L. (1.5.2) Ц li+1 h kt Ni ’ причем в однородном потоке, где ki+i=ki, из выражения (1.5.2) следует условие конформности отсеков ленты тока при равномер- ной сетке т. е. отношение длины отсека ленты тока к его ширине в этом случае оказывается постоянным. В плановом потоке удобно вместо скорости фильтрации ис- пользовать понятие удельного расхода потока q, который пред- ставляет собой расход планового потока шириной 1 м, таким образом, площадь поперечного сечения для удельного расхода численно равна мощности пласта. При однородном строении пласта по вертикали для записи выражения удельного расхода можно непосредственно воспользоваться формулой Дарси, полагая в ней Q=q и (л=т, т. е. q = ktnl — TI, (1.5.4) где Т — проводимость потока, представляющая собой удельный расход потока при единичном градиенте; в однородном по верти- кали потоке T=ktn. Для планового потока, состоящего из слоев различной проницаемости (рис. 26, а), по формуле (1.5.4) можно определить удельные расходы qif q2,... в слоях с коэффициентами фильтрации ki, k2,... и мощностями mi, m2,..., а общий расход в пласте получится суммированием значений расходов отдельных слоев, причем, поскольку в плановом потоке градиенты напора во всех слоях будут одинаковыми, то ^=71+^2+••• = (^i^i+ +k2mt+ откуда видно, что в этом случае Т — + k2m2 + ...» (1.5.5) т. е. проводимость слоистого пласта складывается из проводи- мостей отдельных его слоев. 61
Если теперь ввести понятие о среднем (средневзвешенном по мощности) значении коэффициента фильтрации &Ср таком, что T—kc^m, то его величина определится по формуле Ь — -Ь +-••• + knmn (1.5.5а) Рассмотрим условие конформности отсеков ленты тока в пла- новом потоке, где расходы в пределах отсеков i и t’-f-l согласно . Рис. 26. Схема потока в слоистых пластах: а — горизонтально-слоистый поток; б — перетекание в слоистых системах (1.5.6) (1.5.4) .будут Qi=qiNi и Qi+i=qi+iNi+l(Ni и N.i+l — по-прежнему средние значения ширины отсеков), причем удельные расходы определяются согласно (1.5.4), так что Qi = T,N,Q,+1 = Ti+IM+1 ч 4+1 Если же расход потока по его длине не изменяется (площадное питание отсутствует), т. е. то при A#=const получим условие TjNt = h h+i а при постоянной проводимости условие, (1.5.6) совпадает с усло- вием (1.5.3). Наиболее простой структурной формой потока является ли- нейный (одномерный) потоков котором все линии тока парал- лельны друг другу; обычно направление потока совмещается с направлением оси х. На структуру потока подземных вод существенно влияет гео- фильтрационная среда, описание которой дается в форме прост- 62
ранственного распределения параметров геофильтр ационных свойств, из которых основную роль играет проницаемость водонос- ных пород, тесно связанная с литологическими и структурными особенностями водоносной толщи. Плановая неоднородность гео- фильтрационной среды может иметь непрерывный характер, что встречается, например, при изменении проницаемости в связи с изменением механического состава по направлению сноса аллю- виальных отложений. Вместе с тем характерно кусочно-однород- ное (кусочно-неоднородное) плановое распределение проницаемос- ти или проводимости, при котором вся область потока составляет- ся из отдельных зон; каждая из зон считается однородной, а изме- нение параметров происходит скачкообразно на границах этих зон, обусловленных резким различием условий их образования или переформирования [25]. Для осадочных отложений характерна вертикальная слоис- тость, причем для схематизации строения слоистой геофильтра- ционной среды по вертикали особую значимость имеет выделение хорошо проницаемых водоносных сдоев, определяющих водообиль- ность водоносной толщи, и слабопроницаемых (обычно глинистых или мергелистых) слоев, обусловливающих гидравлическое разде- ление потока по вертикали на отдельные водоносные пласты. В таких слоистых системах проявляется специфическая структура потока, которую можно эффективно представлять, используя предпосылки перетекания, введенные в методику гидрогеологиче- ских исследований Г. Н. Каменским [24], Н. К. Гиринским [16], Ч. Джейкобом [71] и А. Н. Мятиевым [40]. Согласно предпосыл- кам перетекания при существенной разнице в проницаемости водо- носных 11 разделяющих слоев (k^>kp) движение в разделяющих слоях рассматривается только .в. вертикальном направлении, а в' водоносных слоях считается справедливой предпосылка Люпюи о горизонтальном характере фильтрации (рис. 26, б). В обосновании первой из предпосылок перетекания (о верти-, кальном характере фильтрации в разделяющих слоях) можно исходить из того, что при &р<С& проводимость слоистой системы практически полностью определяется водоносными слоями, так что в пределах разделяющих слоев движением в горизонтальном направлении можно пренебрегать. Поскольку погрешность первой предпосылки оценивается соотношением проводимостей kpmp и Т разделяющего и водоносного слоев, то при допустимой погреш- ности 5% эту предпосылку можно принимать при &р/Пр<0,05 Т (при одинаковых мощностях слоев это соответствует условию &р<0,05 k, приведенному Н. К. Гиринским [16]). Если пренебречь упругим режимом в разделяющих слоях, то скорость перетекания ср В пределах слоя мощностью тр с коэф- фициентом фильтрации kp в соответствии с законом Дарси будет Ор = kf (1.5.7) р /Пр 63
Заметим, что разделяющие слои нередко имеют слоистый харак- тер. Потери напора в каждом слое мощностью trtz с коэффициен- том фильтрации будут ДЯ12 = —tnz, а суммарные потери напора Д Нг» 2 ДМ = 2 т1г= ud2 . (1.5.7а) hz kz Сопоставляя это выражение с выражением (1.5.7), получим фор- мулу для расчетного значения коэффициента фильтрации по вер- тикали z z г ; / I П Н ’ * * * kz kz впервые приведенную Г. Н. Каменским [24]. Для обоснования условий возможного использования предпо- сылки Дюпюи в водоносных слоях следует исходить из того, что в слоистых системах можно пренебрегать учетом влияния верти- кальной фильтрации в Каждом водоносном слое, если потери напора по вертикали ДЯ^ в этом слое будут значительно меньше потерь напора ДЯг на перетекание через примыкающий к нему разделяющий слой. Рассматривая наиболее тяжелый в этом смысле случай вертикального направления потока, имеем для скорости вертикальной фильтрации в водоносном слое выражение , АЯ? о2=к--------» сопоставляя которое с уравнением (1.5.7) и счи- т тая, что погрешность предпосылки Дюпюи в водоносном слое можно оценить соотношением напоров \I^ZI\HZ, при допустимой погрешности 8 получим условие А Я» kp т 8 —------ = -- . -- А Я2 k тр Более обстоятельные критерии применимости предпосылок пере- текания могут быть получены из сопоставительного анализа типо- вых задач, решаемых в точной постановке и на основе предпосы- лок перетекания [18, 65]. Поскольку в.постановке теорий.перетекания поток деформи- руется по вертикали лишь в разделяющих слоях, а в водоносных слоях он имеет плановый характер, то по структуре фильтрацион- ный поток в слоистых системах может квалифицироваться как планово-пространственный. Режим потока характеризуется изменениями элементов потока во времени; в общем случае режим потока является нестационар- 64
ним (неустановившимся), поскольку элементы потока так или иначе меняются во времени, однако нередко эти изменения бывают несущественными, и тогда режим потока может считаться стацио- нарным (установившимся). Выделяется также квазистационарный режим потока, при котором изменения уровней потока во всех точках происходят с одинаковой интенсивностью, так что расходы потока остаются неизменными. При типизации гидрогеологических условий по характеру верхней границы потоки делятся на безнапорные (со свободной Рис. 27. Типы потоков по напорности: а — напорный; б — безнапорный; в — субнапорный поверхностью) и напорные (с напорной поверхностью), причем на свободной поверхности безнапорного потока давление равно атмо- сферному, а на кровле напорного потока давление превышает атмосферное (рис. 27). Более четко и достоверно деление на напорные и безнапорные пласты обосновывается по физической сущности емкостных свойств пласта, которые в напорных пластах отражают влияние упругой емкости пород и характеризуются коэффициентом упру- гой емкости пласта р,*, тогда как в безнапорных пластах опреде- ляющей является гравитационная емкость, характеризующаяся величиной коэффициента гравитационной емкости ц. Соответствен- но различие между напорным и безнапорным потоком довольно четко выражается в порядке величин коэффициента емкости пласта, поскольку в безнапорном потоке коэффициент гравита- ционной емкости имеет величину порядка 0,01—0,1, а в напорном потоке коэффициент упругой емкости имеет величину порядка Ю-з—10-5. С этой точки зрения представляет интерес, например, обосно- вание напорности распространенной схемы водоносного пласта двухслойного строения (рис. 27, в), когда проницаемость покров- ных отложений существенно меньше проницаемости основного водоносного пласта. Хотя по качественным признакам такой 3 В. М. Шестаков 65
поток может быть признан напорным, однако гидродинамический анализ позволяет утверждать [58], что в этом случае поток в ос- новном водоносном пласте достаточно хорошо связан со свобод- ной поверхностью в покровном слое и при длительных нестацио- нарных процессах его емкость имеет гравитационный характер, т. е. при изучении региональной фильтрации такой поток обычно должен рассматриваться как безнапорный. Имея в виду эти осо- бенности, такой поток можно выделить в отдельный тип, называя его субнапорным. Особый интерес субнапорные потоки представ- ляют при решении задач мелиоративной гидрогеологии [25, 51], когда взаимосвязь подземных вод с земной поверхностью стано- вится задачей первостепенной важности. § 2. ПОСТАНОВКА ГЕОФИЛЬТРАЦИОННЫХ РАСЧЕТОВ Рассмотрим вопросы постановки основных типов геофильтрацион- ных расчетов, различающихся по целенаправленности решаемых задач. Наиболее широко распространены прогнозные расчеты — ре- шение прямых задач фильтрации, — в задачу которых входит прогноз режима и баланса подземных вод, главным образом при воздействии инженерных мероприятий. При прогнозных расчетах выделяют региональные и локаль- ные задачи. В региональных задачах рассматривается вся область возмущения потока подземных вод с отражением факторов, опре- деляющих условия его формирования; такой поток обычно имеет довольно сложное строение, так что региональные задачи, как правило, решаются методами математического моделирования. В локальных задачах обособленно рассматриваются отдельные участки потока — для подробного анализа влияния инженерных мероприятий; при этом общие условия формирования потока могут, приниматься по данным регионального моделирования. При прогнозных расчетах обоснование геофильтрационнОй схематиза- ции целесообразно проводить по следующим этапам: а) устанавливается тип режима потока во времени (нестацио- нарный, стационарный, квазистационарный); б) обосновывается пространственная структура потока, при- чем очень важен поиск возможного уменьшения «мерности» струк- туры, поскольку она в значительной степени определяет сложность и трудоемкость расчетов (в частности, решение наиболее общих пространственных задач нередко встречает непреодолимые слож- ности) ; в) устанавливаются внешние и внутренние границы потока (водоемы и водотоки, локальные зоны разгрузки, дрены, непро- ницаемые границы и т. п.), их геометрические контуры, род гра- ничного условия и его параметры, а также изменение уровней и расходов на границах; ‘ . 66
г) задается .распределение геофильтрационных , параметров, строения и питания потока; распределение параметров строения характеризует фильтрационную неоднородность водоносных плас- тов в разрезе и плане, — при ее обосновании производится каче- ственное выделение кусочно-однородных слоев, и зон потока (на основе геолого-литологического анализа) и задание геофильтра- ционных параметров (на основе данных опытно-фильтрационных работ); в распределение параметров питания включаются участки задания интенсивности инфильтраций (испарения), данные водо- отбора из скважин, родникового стока и т. п. При нестационарном режиме, кроме того, неооходимо задать исходное (начальное) распределение уровней подземных вод. В обосновании геофильтрационной схемы важная роль отво- дится эпигнозным расчетам, направленным на идентификацию природных условий и геофильтрационной (расчетной) схемы. Вы- деляют задачи идентификации математической модели, парамет- ров процесса и граничных условий, которые в общей теории моде- лирования называют соответственно индуктивными, инверсными и обратными [11]. Однако применительно к решению геофиль- трационных задач такое разделение обычно оказывается довольно условным и потому в дальнейшем все задачи идентификации будут называться обратными. По своему характеру все методы идентификации являются кибернетическими методами «черного ящика», в которых по тех- ническим и экономическим причинам можно охватить только огра- ниченное количество входных или выходных данных. Поэтому для получения достоверных результатов э.пигнозных расчетов тре- буется специально обосновать задание сети наблюдательных скважин и выбор режима наблюдений [38]. Особый тип обратных задач — получение геофильтрационных параметров обработкой данных опытных опробований (см. главу 5 раздела IV). Чаще всего обратные задачи решаются путем перебора различных -ва- риантов решения прямых задач (при различном задании искомых параметров), так что основные положения геофильтрационной схематизации здесь остаются такими же, как и при прогнозных расчетах. Следует подчеркнуть, что при сколько-нибудь значи- тельном числе искомых значений параметров их поиск путем «проб и ошибок» становится чрезвычайно трудным, в связи с чем особое значение приобретает здесь стратегия поиска [32, 38]. В процессе гидрогеологических изысканий весьма эффектив- но проведение разведочных расчетов, осуществляемое обычно с использованием моделирования. Цель таких расчетов — выявле- ние значимости различных гидрогеологических факторов и пара- метров для обоснования рациональной целенаправленности изысканий. При этом на модели проводится факторно-диапазон- ная оценка (по терминологии И. К. Гавич [13]), включающая в себя анализ влияния на процессы геофильтрации различных фак- торов (главным образом границ . Потока) и геофильтрационных 3* 67
параметров (проницаемости и емкости пластов). Для этого на основании имеющейся информации о возможной изменчивости параметров задается реальный диапазон значений параметров и выявляется их влияние на прогнозируемый режим и баланс под- земных вод, а в зависимости от уровня влияния отдельных фак- торов и параметров устанавливаются направленность и объемы полевых работ. Заметим, что разведочные расчеты целесообразно проводить на всех этапах изысканий, начиная с обоснования первоначальной программы, когда возможный диапазон парамет- ров задается по литературным и архивным материалам. Г л а в а> 6 ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ Гносеологическое понятие «моделирование» в современной фило- софии трактуется весьма широко, как любая образная форма мышления [61]. Однако, по крайней мере для практических Целей, удобнее ограничить это понятие, используя его только примени- тельно к материальным моделям, которые обладают физическим или математическим подобием. Моделирование играет очень большую роль в фильтрационных исследованиях и расчетах, поскольку оно позволяет наиболее полно учесть сложность природной обстановки. Если начало мо- делирования связано в основном с исследованиями природы филь- трационных процессов и разработкой методики фильтрационных расчетов, то за последнее время резко повысился удельный вес моделирования в гидрогеологических расчетах для реальных объектов. Существующие методы моделирования фильтрации, как пра- вило, основаны на математическом подобии (аналогии) между фильтрацией и другими физическими процессами. Математическое подобие аналогичных,процессов достигается при условии, что опи- сывающие их математические зависимости тождественно переходят друг в друга простым умножением входящих в них величин на постоянные (масштабные) коэффициенты. Следует отметить, что значение математических аналогий выходит далеко за рамки их практического использования. Так, цитируя слова Л. Больцмана: «... теми же самыми уравнениями можно решать вопросы гидро- динамики и выражать теорию потенциала», В. И. Ленин разви- вает это положение в более общий философский вывод: «Единст- во природы обнаруживается в «поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений» (В. И. Ленин. Поли. собр. соч. Изд. 5-е. Т. 18, с. 306). Для решения фильтрационных задач в основном используют- ся гидравлическая и электрическая аналогии, реализуемые на сплошных или сеточных моделях. Известно использование и дру- 68
гих аналогий — тепловой, мембранной, магнитной, •— однако они не получили распространения из-за технических сложностей и в дальнейшем рассматриваться не будут. Обзоры применения мето- дов моделирования фильтрации приведены в работах [22, 32]. Рассмотрим основы моделирования фильтрации на сплошных гидравлических и электрических моделях, затронув только методи- ку построения сеточных моделей применительно к электрическим моделям. Более подробно вопросы методики моделирования будут развиваться далее применительно к различным типам потоков. § 1. СПЛОШНЫЕ ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Наиболее простая модель для изучения фильтрации — фильтра- ционный (грунтовый) лоток, представляющий собой емкость, за- полненную пористым материалом (песком) и снабженную устрой- ством для задания граничных условий и измерения напоров (дав- лений) в отдельных точках. На фильтрационном лотке, впервые использованном Ф. Форхгеймером [44], осуществляется физиче- ское моделирование (фильтрационный поток моделируется филь- трационным лотком), что дает возможность непосредственно изучать физику процессов фильтрации. Это особенно важно в тех случаях, когда неясна математическая теория процесса, например при фильтрации многофазных систем (газированной жидкости, при неполном насыщений пор водой в зоне аэрации, капиллярной зоне и т. п.), при фильтрации взаимодействующих (смешиваю- щихся и несмешивающихся) жидкостей, при проявлении суффо- зионных процессов и т. п. В условиях гравитационной фильтра- ции в зоне полного насыщения перспективно использование филь- трационных лотков для модели5рования безнапорных плоских и пространственных потоков. Обоснуем условия подобия для фильтрационных моделей нестационарных безнапорных потоков кусочно-однородного изотропного строения при жестком режиме фильтрации. В математически подооных процессах все уравнения и условия однознач- ности, входящие в их математические модели, должны тождественно перехо- дить друг в друга после введения масштабных коэффициентов, связывающих аналогичные величины. Для доказательства подобия натурного и модельного фильтрационных потоков прежде всего запишем Дифференциальное уравнение распределения напоров Ны внутри модельного потока, которое при жестком режиме фильтрации представится уравнением Лапласа вида (1.4.12) д2Ни . д2Нм , дЧ1и ---4- --------------м-=о, (1.6.1) дх„ дА дгм где хм, t/м, Zm — координаты модельного потока. Введем линейный масштаб а;, представляющий собой отношение размеров потока в натуре и на модели, т. е. Н=а1Н1Л, х=щхм, y=aiy№ и 2=a/zM. Нетрудно видеть,что подстановка в уравнение (1.4.12) натурных величин, выраженных с помощью масштаба az через модельные величины, тождественно переводит его в уравнение (1.6.1). Таким образом, осуществление модели, геометрически подобной натурному по- 69
току, 'автоматически определяет тождественность дифференциальных уравнений натурного и модельного потоков. Для нестационарного потока необходимо рассмотреть подобие кинемати- ческих условий на свободной поверхности, определяемых для натурного пото- ка уравнением (1.3.26). Для модельного‘потока, придавая его -параметрам ин- декс «м», получим это уравнение в виде Нм-^,-“~ = М° + _®м_ cosaz (1.6.2) причем в связи с геометрическим подобием натурного, и модельного потоков безразмерные величины /° и cosaz на модели должны быть такими же, как и. в натуре. Вводя масштабы времени at = t/tM, коэффициентов фильтрации ал — ^k/k-я, коэффициентов гравитационной емкости пласта ац,=|1/ц.м и интенсив- ности инфильтрации affl =со/сом, подставим в уравнение (1.6.2) Модельные вели- чины, выраженные через масштабные коэффициенты, что дает И.6.3) (1.6.3а) тождествен- (1.6.4) (1.4.29) пе- причем по- —£_ _ „ -----_ /о _1_---------- . agaz dt <ik %cosaz или dS . co a/ag dt % cosa2 Сопоставляя уравнения (1.6.3а) и (1.3.26), можно видеть, что они но переходят друг в друга, если положить JXfe _ а/г _ а/ а ц “ ’ а0 “ ' Соотношения (1.6.4) являются критериями подобия. Для неоднородных потоков должно удовлетворяться условие релома Линий тока на границах сред различной проницаемости, скольку сетки движения в натуре и на модели должны быть подобными, то соотношение тангенсов углов наклона линий тока должно быть одинаковым, откуда следует, что соотношение коэффициентов фильтрации на модели долж- но сохраняться таким же, как и в натуре. При использовании фильтрационных лотков следует обращать внимание на влияние капиллярной зоны. При масштабном модели- ровании высоты капиллярной зоны можно исходить из того, что высота обратно пропорциональна диаметру зерен грунта. Соответ- ственно масштаб зерен грунта d/d№ должен быть обратно пропор- ционален линейному масштабу а/. Более обстоятельно подобие микроструктур пористых сред рассмотрено В. Н. Николаев- ским [42]. При таком условии диаметр зерен и скорости фильтрации на модели должны быть значительно больше натурных и потому здесь обязательно требует проверки выполнение линейного закона фильтрации во всей области движения на лотке, для чего надо показать, что максимальная скорость фильтрации на модели не превышает критического значения цкр, подсчитанного для матег риала модели по формуле (1.3.21). Совместное удовлетворение всем сформированным выше условиям нередко оказывается за- труднённым [56]. Некоторого расширения возможностей задания 70
масштабных соотношений на фильтрационном лотке можно, по- видимому, достигнуть, если применить жидкости , со специально подобранными гидродинамическими свойствами [44]. Кроме того, моделирование на фильтрационных лотках, имеет ряд технических недостатков: громоздкость, трудоемкость изго- товления моделей, нерегулируемая фильтрационная неоднород- ность модели, которая может усиливаться влиянием защемленно-. го. воздуха, практическая невозможность осуществления моделей Рис. 28. Щелевая модель с заданной фильтрационной неоднородностью.. В связи с этим фильтрационный лоток следует применять в основном при реше- нии задач физического и методического характера, реже—-при изучении пространственных безнапорных фильтрационных потоков, если размеры потока в разных направлениях не слишком резко различаются между собой. . Принципиально близкой к фильтрационному лотку моделью является щелевой лоток. Простейшая конструкция его сострит из двух стенок (по крайней мере одна из них прозрачна), между которыми образуется тонкая щель, заполняемая модельной жид- костью (рис. 28). Впервые щелевой лоток был предложен Г. Хе- ле — Шоу, в связи с чем в зарубежных работах он обычно носит название «вязкожидкостной модели Хеле— Шоу». Для . решения фильтрационных задач щелевой доток впервые был применен Е. А. Замариным в 1928 г., а затем широко.использовался в науч- ных исследованиях [9, 20, 32]. Однако технические трудности 71
точного задания ширины щели, имеющей размер порядка 1—2 мм, и Возникновение ряда методических осложнений [56] значитель- но ограничивают область использования щелевого лотка. § 2. МЕТОД ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ (ЭГДА) Электрические модели основаны на электрогидродинамической аналогии (ЭГДА) между фильтрационным потоком и электриче- ским полем. Моделирование фильтрационных задач на сплошных моделях ЭГДА впервые было предложено Н. Н. Павловским [46] приме- нительно к изучению фильтрации под гидротехническими соору- жениями. Простота изготовления моделей ЭГДА, доступность и достаточная точность расчетов на моделях ЭГДА обусловили большое распространение этого метода для решения широкого круга фильтрационных задач [22, 32, 73]*. В общем случае для доказательства математического подо- бия двух различных полей необходимо показать тождественность их математических моделей, причем прежде всего сопоставляются основные законы движения, затем уравнения неразрывности и ус- ловия однозначности; в деформируемых потоках, кроме того, со- гласуются уравнения состояния или дифференциальные уравне- ния потока. Для выявления основных аналогов фильтрационного потока и электрического поля сопоставим основные законы движе- ния фильтрационного и электрического потоков, используя для расхода фильтрационного потока Q выражение закона Дарси, а для соответствующей силы тока /—выражение закона Ома: Q = k и - (а); I = с ®м -А (б), (1.6.5) * *м где с — удельная проводимость материала модели (величина, об- ратная удельному сопротивлению р); coM — площадь модели, соот- ветствующая площади фильтрационного потока со; /м— длина элемента модели, соответствующего длине элемента потока I. Идентичная запись этих законов очевидна; в них соответствуют размеры потока и модели, физические характеристики — коэф- фициент фильтрации к и удельная проводимость с, силовые харак- теристики А// и АП, характеристики интенсивности потоков фи/. Для доказательства подобия процессов необходимо обосно- вать возможность перехода от характеристик одного процесса к аналогичным характеристикам . другого введением постоянных масштабных соотношений между аналогичными величинами: масштаб расходов Oq = Q//— отношение расходов потока к силе тока на модели (условие кинематического подобия); масштаб про- ницаемости аА=&/с—отношение коэффициентов фильтрации к удельным проводимостям модели (условие подобия физических параметров); линейный масштаб модели ai — отношение размеров 72
потока в натуре и на модели (условие геометрического подобия); «я=ДЯ/ДU — масштаб напоров (условие динамического подобия). Для доказательства условий подобия заменим теперь в выра- жении (1.6.5) характеристики фильтрационного потока на анало- гичные Характеристики электрического поля через масштабные коэффициенты. Поскольку Q—uql, k == akc, I = a{lu, tt>==af(OM, ДЯ = aH AU, (1.6.6) то получим т 2 аЯ At/ /. <ЫЧ<*н „ ьи /т с ~ aQ/ — akc ai ®м ---. ----, или / = -------\ (1.6.7) С1/ tM O.Q lU Если теперь выбрать масштаб aq так, чтобы удовлетворялось соотношение а^ан . /Т С 04 -------— или aQ = aAazaH, (1.6.8) aQ то выражение (1.6.7) тождественно перейдет в закон Ома (1.6.56), что и доказывает подобие процессов, причем соотношение (1.6.8) представляет собой критерий подобия. Таким образом, при составлений модели ЭГДА необходимо построить ее геометрически подобной моделируемому фильтра- ционному потоку и задать удельные проводимости модели пропор- циональными коэффициентам фильтрации (или удельные сопро- тивления — обратно пропорциональными коэффициентам фильт- рации). При моделировании жесткого режима фильтрации, описывае- мого дифференциальным уравнением эллиптического типа (1.4.12), установленных таким образом условий подобия достаточно, по- скольку уравнения неразрывности фильтрационного потока и электрического поля, которые совместно с основными уравнениями движения дают уравнения потока, выполняются автоматически. Для обоснования масштаба напоров ац выберем максималь- ный и минимальный напоры ЯмаКс и Ямин, причем максимальной разнице напоров ДЯмаКс—#макс—ЯМин будет соответствовать мак- симальная разница потенциалов (напряжение) на модели ДЯМ. Тогда “« = И Д Я = Д//иако —’г- (1-6.9) At/M At/M Удобно ввести понятие относительного (приведенного) потенциала U = — t (1.6.10) At/M t/MaKC t/мин где Ямин и Ямакс — минимальное и максимальное значения потен- циалов на модели; очевидно, что О меняется в пределах от О 73
(при U=UMw) до 1 (при U— t/макс). Тогда из выражения (1.6.9) для А// получим зависимость для перехода от относительных по- тенциалов к напорам АЯ = Н - Ямин = АЯмакс U, Н = Я„чн + (Ямакс - Ямин) U (1.6.11) и .зависимость для перехода от напоров к относительным потен- циалам U = —?~Ямин—(1.6.12) //макс //мин На контурах электрической модели, соответствующих границам с заданными напорами, устанавливаются потенциалы, пересчитывае- мые'согласно (1.6.12). Моделирование расходов потока осуществ- ляется подачей силы тока, значения которой рассчитываются по масштабу расхода aQi определяемому по формуле (1.6.8). После этого замеряются потенциалы на модели внутри области движения и по формуле (1.6.11) определяются соответствующие им значения напоров потока. Широкое распространение в геофильтрационных расчетах по- лучили сеточные электроинтеграторы, в которых сплошное поле заменяется сеткой электрических сопротивлений, соединяемых между собой в узловых точках. Теоретической базой сеточных интеграторов является метод сеток (конечных разностей), соглас- но которому сплошной поток заменяется сеточной схемой, состоя- щей из отдельных блоков, емкость которых как бы сосредоточи- вается в узловых точках сеточной схемы. Такая дискретизация потока производится заданием (разбивкой) сетки узловых точек по определенной геометрической (топологической) системе. При построении сеточных сил и моделей' используются ортогональные и треугольные сетки (рис. 29), причем в геофильтрационных рас- четах наиболее распространены прямоугольные ортогональные сетки, построенные в декартовых координатах; применительно к такому типу сеток и будут в дальнейшем рассматриваться вопросы методики построения сеточных схем и моделей. Более подробно эти вопросы рассмотрены в работах [32, 73]. Построение сеточной схемы начинается с разбивки сети узло- вых точек, после чего проводятся границы блоков, задаваемые, как правило, посередине между узловыми точками. Связь узловых точек на сеточной схемё осуществляется через фильтрационные сопротивления Ф, представляющие собой отношение потерь напора АН к расходу потока Q между блоками: ф = _д^ (1.6,13) 74
Для участка потока длиной L и средней площадью поперечного сечения со, связывая Q и ЛЯ согласно закону Дарси (1.3.1), полу- чим следующее расчетное выражение: ф = .-£., (1.6.14) k со В плановом потоке шириной N в соответствии с выражением (1.5.24) расход Q = qN = TN так что фильтрационное со- противление планового потока определяется формулой Ф = (1-6.15) Таким образом, метод сеток позволяет заменить сплошное поле фильтрационного потока сеткой фильтрационных сопротивлений, соединяемых в узловых точках. Аналогичная сеточная электриче- ская модель составляется из сетки электрических сопротивлений, 75
соединяемых между собой так же, как и фильтрационные сопро- тивления, а величина электрических сопротивлений R задается пропорциональной соответствующим фильтрационным сопротив- лениям: Я = аяФ. (1.6.16) Масштаб электрических сопротивлений ал выбирается так, чтобы получаемые из выражения (1.6.16) значения R хорошо укладыва- лись в номиналы электрических сопротивлений, имеющихся в электроинтеграторе. Собрав рассчитанную сетку сопротивлений на интеграторе, следует далее вести моделирование таким же путем, как и на сплошной модели. В частности, когда на основных грани- цах потока задаются условия первого или третьего рода, то пред- варительно надо выбрать минимальный и максимальный напоры Нмпа и 7/макс, определить значения относительных потенциалов О на границах потока с заданными напорами Н по формуле (1.6.12). После набора и подключения модели на_интеграторе за- меряются значения относительных потенциалов U в узловых точ- ках, от которых переходят к соответствующим напорам в блоках по формуле (1.6.11).
Глава 1 ОСНОВЫ МЕТОДИКИ РАСЧЕТОВ ПЛАНОВОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ § 1. ПРИНЦИПЫ СОСТАВЛЕНИЯ РАСЧЕТНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ДЛЯ ПЛАНОВЫХ ПОТОКОВ В плановых потоках градиенты напора по глубине считаются не- изменными, а в качестве геофильтр анионного параметра, харак- теризующего проницаемость (водообильность) пласта, выступает проводимость Т (см. § 1 главы 3 раздела I). При построении рас- четных зависимостей для плановых потоков существен характер зависимости проводимости от напора. В напорных пластах измене- ния проводимости в зависимости от напора связаны только с из- менениями проницаемости при деформациях пласта. Однако обыч- но такие изменения не существенны, и потому в напорных пластах проводимость практически не зависит от напора. В безнапорных потоках проводимость более тесно связана с изменениями уров- ней воды, которые влекут за собой изменение глубины потока, а следовательно, и мощности водоносного пласта. Таким образом, в безнапорных пластах изменения проводимости оказываются за- висимыми от условий формирования фильтрационного потока, причем характер этой зависимости определяется строением потока по вертикали. Для практического решения плановых фильтрационных задач выделяются три основные схемы строения потока по вертикали: 1) постоянной проводимости (рис. 30, а), когда проводимость в любом сечении считается неизменной (независящей от изменений напора потока); эта схема по существу соответствует условиям напорных пластов, в связи с чем с некоторой условностью будем называть ее схемой «напорного пласта» (в общем случае слоисто- го строения пласта его проводимость определяется формулой 1.5.5); 2) однородного по вертикали безнапорного потока (рис. 30, б), проводимость которого линейно зависит от его глуби- ны (T=kh); эта схема была введена в дйнамику подземных вод Ж. Дюпюи [39], который в своих построениях считал, кроме того, водоупор горизонтальным; такую схему будем называть в даль- нейшем схемой Дюпюи; 3) горизонтально-слоистого безнапорного 77
Рис. 30. Схемы вертикального строения безнапорных потоков: а — двухслойный; б — однородный по вертикали; в—горизонтально- слоистый потока на горизонтальном водоупоре (рис. 30, в), в котором закон изменения проводимости с глубиной зависит от характера слоистости пласта; назовем эту схему схемой Гиринского, посколь- ку Н. К. Гиринским [6] были сформированы основные закономер- ности гидродинамики таких потоков. Естественно, что для обоснования принципов методики филь- трационных расчетов безнапорных потоков важно установление рациональной области примене- ния каждой из приведенных выше схем строения потока по вертика- ли и выбора основной расчетной схемы, для которой прежде всего следует обосновать расчетные зависимости. В отечественной ли- тературе по динамике подземных вод для безнапорного потока в качестве основной обычно приме- няется схема Дюпюи (поток од- нородного строенйя на горизон- тальном водоупоре) [1, 21, 25]. Вместе с тем еще Г. Н. Ка- менским [11, 12] была показана значимость влияния и необходи- мость учета неоднородности стро- ения водоносных пластов по вер- тикали. Развивая это положение, на основании анализа реальных гидрогеологических условий мож- но достаточно уверенно утверж- дать, что условия, когда водонос- ный пласт может считаться одно- родным, а водоупор горизонталь- при составлении методики расче- как исключительные. Гораздо предпосылку о постоянстве про- водимости водоносного пласта. Такая предпосылка почти без- упречно выполняется при двухслойном строении пласта, когда основной водоносный пласт покрывается слабопроницаемыми от-; ложениями, поскольку в этом случае колебания уровней грунто- вых вод в пределах слабопроницаемого покровного слоя практи- чески не влияют на величину проводимости пласта. Для аллю- виальных отложений это положение усиливается еще и тем, что йх проницаемость обычно увеличивается с глубиной, особенно если в основании водоносного пласта залегает песчано-гравелис- тый слой с заметно большей проницаемостью. Предпосылку q по- стоянной проводимости пласта целесообразно применять и для потока значительной мощности при пестром строении и криво; Линейном очертании водоупора/поскольку при этом достоверность ным, встречаются очень редко, а тов они могут рассматриваться более реальной следует считать 78
любой из расчетных схем оказывается неопределенной и решающее значение приобретает простота схемы напорного пласта (с по- стоянной проводимостью). Схема Дюпюи имеет весьма ограниченную область примене- ния — главным образом в однородных песчаных пластах при рез- ком изменении мощности потока. Схему Гиринского эффективно применять при четковыраженной слоистости пласта, например для л.окальных-потоков в аллювиальных отложениях и особенно для потоков в скальных массивах, проницаемость которых значи- тельно изменяется по глубине. Запишем выражения для удельного расхода планового потока в дифференциальной форме для любого направления I примени- тельно к различным схемам строения пластов. Для схемы напор- rdH л ного пласта I —--------и в соответствии с общим выражением dl (1.5.4) 4 =-Г 4"-. (II. 1.1) al Для схемы Дюпюи T=kh, а задавая плоскость сравнения на уровне водоупора, имеем H — h и / Л2 \ d-----) q = — kh— = — k-------'-i-L (П.Г.2) 4 dl dl ’ Для схемы Гиринского общее выражение для удельного потока' в направлении I ймеет вид [6, 20] 4 =-----(П.1.3) al Здесь G — функция Гиринского, которая для потока глубиной h, состоящего в данном сечении из п слоев,’определяется выраже- нием G = £ км (h—Zi) = ktm} (h — zj + i=l • -t- (h — z2) + ... + krpin (h — zS), (II. 1.4) где kit rrii и Zi — соответственно коэффициент фильтрации, мощ- ность и расстояние от середины слоя до водоупора для t-того слоя. Сопоставляя выражения (II.1.1), (П.1.2) и (II.1.3) для раз- личных схем потока, можно видеть, что они однотипны. Если взять за основу схему потока с постоянной (заданной) проводи- мостью, описываемую в общей форме уравнением (II.1.1), то для перехода к схеме Дюпюи следует произвести следующие замены: 79
T-+kt н-+~~, 2 ’ (И. 1.5) а для перехода к схеме Гиринского следует заменить Т->1, #->G. (И. 1.5а) Пользуясь этими заменами, всегда можно перейти от любых зависимостей, построенных для планового потока с постоянной (заданной) проводимостью, к зависимостям для схем Дюпюи и Гиринского, что позволяет существенно унифицировать расчетные зависимости. Поскольку схема напорного пласта (потока) наибо- лее проста и имеет к тому же наиболее значительную область Применения, то в дальнейшем она будет рассматриваться как ос- новная. При необходимости применения для безнапорного потока схем Дюпюи или Гиринского соответствующие расчетные зависи- мости получаются на основе приведенных выше общих правил перехода. § 2. ОДНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ стационарной плановой фильтрации Одномерные задачи плановой фильтрации рассматриваются в тех случаях, когда поток слабо деформируется в плане, так что изме- нение ширины ленты тока по направлению течения оказывается несущественным (например, если оно не превосходит возможных погрешностей в определении проводимости пласта). Такие условия возникают, например, на водоразделах между двумя параллель- ными долинами, вблизи рек, водохранилищ и каналов при прямо- линейном очертании их берегов и т. п. 2.1. Прямые задачи Простейший случай одномерного потока — поток с неизменным по длине расходом q и постоянной проводимостью (рис. 31, а), в котором / —и согласно (1.5.4) погонный расход q определяется по формуле - = (II. 1.6) а уравнение для напора Н в любом сечении х является уравне- нием прямой линии Н = Н0-----(И.1.7) - *-/ Для аналогичного однородного безнапорного потока (схема Дю- пюи) решение можно получить из выражения (II.1.6) с помощью 80
преобразования (II.1.5), заменяя Т на k, а напоры Но,HL и Н — соответственно на величины 0,5Ло, 0,5/i£ и 0,5 h2 (рис. 31, б). Тогда получим формулы и уравнения Дюпюи для линейного по- тока q~k (И. 1.8) 2L (И. 1.9) а Рис. 31. Одномерные установившиеся потоки: а — напорный (с постоянной проводимостью); б — однородный на гори- зонтальном водоупоре (схема Дюпюи); в — горизонтально-слоистый (схе- ма Гиринского); г — однородный на наклонном водоупоре; д — с кусоч- но-перёМенной проводимостью 2 — h2 « -------- L При отсутствии влияния капиллярной зоны формула (II.1.8) ока- зывается совершенно строгой, что гидромеханическим решением этой задачи показал И. А. Чарный [27]. 81
Для аналогичного горизонтально-слоистого потока (схема Ги- ринского) такие же зависимости получаются с помощью преобра- зования (II.1.5а) в виде 9 = Gq~Gl 4 (II. 1.10) G = G0 ——L-x, (IL 1.11) 4 причем Go, Gl и G—значения функции Гиринского на границах x=0, x=L и в любом сечений потока х, Имея связь между G и h, можно по полученному значению G найти соответствующую ему глубину потока и наоборот. Например, для трехслойного пласта (рис. 31, в) Go = k1tn1 (h0 — 0,5/TZi) + k2m2 (h0 — m1~ 0,Stn2) + + &3Щ3 (ho — tn2~ 0,5m3), 12 (hf — mJ2 Gl = k{tnx (hL -— 0,5/nJ + k2 —--— Упражнение 1. Найти выражения для функции Гиринского на границах одно- мерного напорно-безнапорного потока (схема на рис. 31, в при ki=k2=k, k3=Q и nii + fn2=fn). Go — km (h0 — 0,5т), GL~0,5kh^. (II. 1.13) Упражнение 2. Для тех же условий найти расстояние Lp от границы х=4 до сечения, разделяющего области напорного и безнапорного потоков. Ответ: т (2/i0 — т) — причем решение получается из уравнения (II.1.11) при значении G=Gp=0,5&/n2 и х=4—4Р. Формулу (II. 1.8) можно записать в виде q = k - — , (II. 1.15) из которой следует, что расход горизонтально-однородного без- напорного'потока определяется как произведение коэффициента фильтрации на среднюю мощность потока и на средний градиент напора. По этому же принципу Г. Н. Каменским [12] составлено выражение для расхода однородного безнапорного потока на наклонном водоупоре (рис. 31, г) q = k—-L-- Н°~И^. (П.1.16) 2 L 82
Для построения кривой депрессии запишем аналогичное вы- ражение для расхода потока между сечениями х=0 и x=L q — k . — ° ~-Н-. (IL 1.16a) Поскольку h=H—ix, то, проводя плоскость сравнения через водоупор в сечении х=0, запишем q = k А0--- . А “ А“А_ > (II. 1.166) откуда следует уравнение для построения кривой депрессии А==1/ ho — ix(hQ — 0,25ix) + 2—-х — 0,5tx. (II. 1.17^ Сопоставление уравнения (II.1.17) co строгим решением Н. Н. Павловского (см., например, [29]) показывает его хоро- шую точность практически во всех реальных гидрогеологических условиях. В тех случаях, когда параметры водоносных пластов меняют- ся по длине потока, обычно эффективным оказывается применение метода фрагментов, когда весь поток разделяется на ряд участков (фрагментов), в пределах которых параметры пласта неизменны, а затем решения для каждого фрагмента «сшиваются» на их границах из условия неразрывности напоров и расходов потока. Например, для потока с кусочно-переменной проводимостью, со- стоящего из п участков различной проводимости (рис. 31, д), можно составить выражения для удельного расхода q, используя в пределах каждого участка формулу (II. 1.6): , = 7,^-. = Т2АЬ............= (П.1.18) ^1 -^2 ^,*1 где А/Л, А/Тг, •••, АЯП — потери напора в пределах соответствую- щих участков длиной Li, L2,...,Ln и проводимостью А, Т2,..., Тп или ДЯ, = 9^, = = (ПЛ18а) 11 J. 2 * П Суммарная потеря напора \Н сложится из потерь напора на от- дельных участках, т. е. кН — q (Av+AL_p ... + АА (11.1.186) 4 \ Л Т2 Тп ) Отсюда расход потока с кусочно-переменной проводимостью , = —(П.1.19) М. Ь2 -! j.; Л'+ т2 + ‘ ‘ тп 83
После определения расхода можно согласно выражению (II.1.18а) определить потери напора на каждом участке и построить кривую депрессии, которая будет ломаной линией. Из выражения (II. 1.19) следует’, в частности, что поток с ку- сочно-переменной проводимостью может быть приведен к эквива- лентному однородному потоку, расчетная проводимость которого Т определится из соотношения + -Л, (II. 1.19а) Т 7\ Та Тп ' 7 2.2. Прямые задачи для инфильтрационных потоков Построение и использование расчетных зависимостей для линей- ных в плане инфильтрационных потоков обстоятельно рассмот- рены Г. Н. Каменским [11] применительно к строению безнапор- ного потока по схеме Дюпюи. Приведем такие построения для ли- нейных инфильтрационных потоков постоянной проводимости (схема «напорного пласта»). Выведем общее решение для такого потока, по длине которого задается инфильтрационное питание интенсивностью w, считая его направление совпадающим с осью х. Для этого выделим бесконечно малый элемент потока длиной dx и составим его баланс, имея в виду, что в него приходит расход q, выходит расход q+dqt а сверху поступает расход codx, т. е. по балансу расходов имеем q-\-(adx=q-{-dq, и уравнение неразрыв- ности потока будет = (II. 1.20) dx /тт , ,ч dH dH а выражая в нем q согласно (II.1.1) при —— = —получим dl dx уравнение для распределения напоров в одномерном инфильтра- ционном потоке d dx (II. 1.21) В частности, для потока с постоянной проводимостью Т~ const и уравнение (П.1.21) принимает вид (PH _ _ w_ dx2 ~ Т ' (II. 1.21а) При постоянной интенсивности инфильтрации уравнение (II.1.21 а) допускает почленное интегрирование. После первого интегрирова- ния получаем «Д. = _2LX + Clt (II. 1.22) dx Т 1 84
а после второго интегрирования получаем выражение для напора #=—5г+с*х+с»> (ПЕ23) где Ci и G — постоянные интегрирования, определяемые гранич- ными условиями задачи. Так, для задачи с заданными напорами Н~Н0 при х—0 и H~HL при x—L (рис. 32, а) получаем С, = С, = (II. 1.24) Рис. 32. Одномерные инфильтрационные потоки: а — с постоянной проводимостью; о — строение по схеме Дюпюи; в — кусочно-переменная инфильтрация; г — створ наблюдательных сква- жин для определения интенсивности инфильтрации и уравнение (II.1.23) принимает вид Н^Н„ + -±--—Х + —-(L-x). (II.1.25) Расход потока qx в любом сечении х будет dH Но — Н, qx = —Т— = Т--------------------------Л — w(0,5L— х). (П.1.26) ах 85
В частности, для расходов на границах qo при х=0 и Ql при X—L получим Нь — Н, wL HQ — Hr vjL q0^T— l qL~T~ L -+-- (II.1.27) Упражнение 1. Получить решение аналогичной задачи для безнапорного потока, построенного по схеме Дюпюи (рис. 32, б). По правилу перехода (II.Г.5) получаем hQ — hL 7 L \ qx=k—w(V-x , (II.1.28) h2 — h2 Il Г *—- Пл WX h? = h2 +---(II.1.29) Упражнение 2. Получить решение аналогичной задачи при постоянной про- водимости пласта, но при измененных граничных условиях: Н=Н0 при х=0 и dHldx=Q при x=L. Ответ: в уравнениях (II.1.22) и (II.1.23) =-и Ci=H0, откуда Т \ 2 (II. 1.30) При наличии кусочно-переменной инфильтрации по длине по- тока расчетные зависимости составляются с использованием ме- тода фрагментов. В качестве примера такой задачи рассмотрим поток постоянной проводимости с двумя участками различной интенсивности инфильтрации (рис. 32, в). Прежде всего разделим весь поток на два фрагмента с одина- ковой интенсивностью инфильтрации coi и (о2 и, используя уравне- ния (II.1.27) для .расходов на границах инфильтрационного пото- ка, запишем выражения расхода q' в раздельном сечении для каж- дого из фрагментов, для левого фрагмента q' запишется как рас- ход на правой границе при а для правого фрагмен- та q' запишется как расход q0 на левой границе при Но=Н'\ / т И9~гН' । W1^ -г н /тт 1 q -------- q = —-----------(II.1.31) L>i Л Z где Л и Г2— проводимости потока в соответствующих фрагмен- тах. Считая поток по длине однородным (Г1=7’2=7’) и прирав- нивая выражения для q\ составленные для разных фрагментов, после алгебраических преобразований получим формулу для опре- деления глубины потока Я'в раздельном сечении: я- = -Л- L / 7^0 П Wl^l + w2^2 \ ( _— . _1. _— . . 2, •— — — -— \ U /-2 Т ) (II. 1.32) после чего расходы потока и кривые депрессии могут быть най- дены для каждого фрагмента в отдельности. 86
2.3. Обратные задачи Приведенные выше расчетные зависимости могут быть использо- ваны и для определения гидрогеологических параметров по дан- ным решения обратных задач. При установившемся режиме фильтрации таким путем может быть дана оценка. фильтрационной неоднородности водоносных пластов, сопротивления ложа водоемов и получены характеристи- ки величины инфильтрационного питания, если имеются данные об уровнях в скважинах наблюдательных створов. Наиболее просто и удобно такого рода анализ можно провес- ти, если наблюдательный створ выстроен по направлению течения потока подземных вод (рис. 32, г). В этом случае при наличии линейного в плане фильтрационного потока и отсутствии инфильт- рации удельный расход фильтрационного потока между двумя на- блюдательными скважинами 1—2, находящимися на расстоянии Li-2 друг от друга, определится формулой q = Tt_2It_s, , (II. 1.33) где Ti-Z и /1-2 —средние значения проводимости и градиента по- тока в створе, а А/Л-г— разница уровней воды между этими сква- жинами. Аналогичным образом между скважинами 2—3 q = з^2—з» А—з = —у(II. 1.33а) L2-3 где Т2-з, /г-з и Д/Л-з — значения проводимости, градиецта и раз- ницы уровней между скважинами 2—3. Сопоставляя выражения (II.1.33) и (11.1.33а), найдем формулу для определения соотноше- ния проводимостей в зонах между скважинами 1—2 и 2—3 П—2 А>—3 ^2—3 Л—2 т. е. значения проводимости водоносного пласта в данном случае оказываются обратно пропорциональными градиентам фильтра- ционного потока. - При наличии инфильтрационного питания расход фильтра-, ционного потока изменяется по его длине, причем на линии сква- жины 2 расход потока q2, приходящего со стороны скважин 1 и 3, определится выражениями (II.1.31) как расход q' на границах фрагментов: <h~T 1—2^1-2----^~2~» ^2 = T2—3I2—3 4- —-2 -3'-• JI. 1.35) Л ~ (II. 1.34) 87
Приравнивая расходы q2 слева и справа в сечении скважины 2, найдем формулу для определения относительной величины интен- сивности инфильтрации Т,_2 ---' —- т _ т т '1—2 7 2—3 г . Г W 2—3 т 1—2Т 2—3 /ТТ 1 тгг----------’ Lcp=—• (П.1.36) Для расчетов по формуле (П.1.36) следует предварительно определить соотношение проводимостей Л-2/^2-3, например по формуле (II.1.34), если имеются данные на период отсутствия ин- фильтрации. В более общем случае плоского в плане потока ана- логичные расчеты можно провести по выделяемой вдоль наблю- дательного створа ленте тока [34]. Определив соотношение проводимостей пласта, можно найти соотношение средних коэффициентов фильтрации в зонах &i-2 и Л2-3, поскольку = (II. 1.37) k2—3 ^2—3 m\— 2 где Ш1-2=0,5 (/ii-hft2) и /П2-з=0,5 (/г2+М—средние мощности потока между соответствующими скважинами. § 3. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ПЛАНОВЫХ потоков ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТИ При наличии подземных вод повышенной минерализации возни- кает необходимость учета переменной плотности потока подзем- ных вод. Подход к гидродинамическим построениям для таких потоков существенно различается для случаев кусочного и непре- рывного изменения плотности. При кусочном (позонном) измене- нии плотности поток состоит из зон с различной плотностью, внутри которых она не меняется, такие условия характерны для линз пресных вод и при интрузии соленых морских вод в пресные подземные воды [4, 9]. Более общий случай непрерывного изме- нения плотности характерен для глубоких высокоминерализован- ных подземных вод и наибольший интерес представляет для неф- тяной гидрогеологии [8], хотя иногда (например, в приморских районах) такие условия встречаются в потоках грунтовых вод [4, 9, 40]. 3.1. Кусочное изменение плотности При построении потока переменной плотности уже нельзя непо- средственно пользоваться понятием напора как показателя уровня гравитационной энергии, а следует обращаться к величине грави- тационного потенциала ср, определяемого для каждой зоны соглас- 88
но (1.1.4), причем в зоне с водой,обладающей объемным весомую потенциал <jpi будет Ф^Р+Yi2- (II. 1.38) Для упрощения размерности гравитационного потенциала удобно ввести величину приведенного напора Я?, причем Я? = JBL. = -Р- + -YL 2, (II. 1.39) уО у0 уО где у0—произвольно выбираемая расчетная величина объемного веса воды. Внутри каждой зоны приведенные напоры описываются теми же дифференциальными уравнениями, как и в потоке по- стоянной плотности. На границе зон i и /-}-1 напоры Н® и будут = V+V =V + (И-1 -4«) где Zrp—ординаты границы раздела зон. Поскольку давление на границе раздела в каждой зоне должно быть одинаковым, то, вычитая напоры Н° и друг из друга, получим условие ^-W?+1=^--y+!-zrp, (П.1.41) согласно которому приведенные напоры, на границах раздела зон с различной плотностью терпят разрыв, различаясь между собой на величину, пропорциональную ординате границы раздела зон. Рассмотрим теперь в качестве примера решение стационар- ной задачи формирования инфильтрационной Линзы пресных вод на длинном острове, окруженном морской водой, причем в плане поток может считаться линейным (рис. 33). Такой поток состоит из двух зон: пресной воды с объемным весом упр и соленой (мор- ской) воды с объемным весом ус. Задавая упр=у°, получим, что' на границе раздела линзы условие (II.1.41) для напоров Н° и Г уО пс пресных и соленых вод примет вид Н°~ Яс = -^“^-z^. (II.1.42) уО Р Считая соленые (морские) воды неподвижными, зададим плос- кость сравнения на поверхности моря и, следовательно, Яс =~0. Имея в виду, что размеры такой линзы в плане бывают значи- тельно больше ее мощности, можно считать внутри линзы справед- ливой предпосылку Дюпюи о постоянстве напоров по вертикали и, следовательно, напор на границе раздела Н° в каждом сечении будет равен уровню свободной поверхности h относительно плос- кости сравнения (уровня моря). Поскольку Zrp~h—h°, где h° — 89
глубины линзы в данном сечении, то условие (II.1.42) представит- Рис._ 33. Контакты соленых и пресных вод: а—линза пресных вод на острове; б — разгрузка пресных вод в море (1 — свободная поверхность, 2— граница соленых и пресных вод) Поскольку обычно различие в объемных весах соленых и пресных вод сравнительно невелико, то величина Я0, определяемая соглас- но (II. 1.43), оказывается значительно больше ординаты свободной 90
поверхности h. Например, для морской воды характерно значение ус = 1,02 г/см3 и при y°== 1 г/см3 получим h°—50h. Запишем теперь выражение для удельного расхода потока q в любом сечении q — — kh°—~-. (П.1.44) dx Заменяя здесь h° на h согласно (II. 1.43) и учитывая, что q=wx, получим далее уравнение , h dh k dh?1 у»» < i лЛ\ \vx~- k—=.•-------=---------------, (IL 1.44a) Ду dx 2Ду dx которое допускает интегрирование после разделения переменных Л8 = — + с> HI. 1.446) где С — произвольная постоянная, которая может быть определе- на из условия, задаваемого на выходе потока в море. Пренебре- гая сопротивлением ложа моря, получим h = 0 при x=L, откуда С = —Y^2.... и уравнение (II.1.446) примет окончательный вид k = _^YW (р__х2) (П.1.45) k у k В частности, максимальная ордината при х=0 будет h„ = L т/—*-- (II. 1.46) т k Глубина линзы в любом селении определяется далее согласно (II.1.43). Упражнение. Найти решение задачи интрузии морских (соленых) вод в одномерном стационарном потоке конечной мощности и однородного строения (рис. 33, б), пренебрегая инфильтрационным питанием в пределах зоны интру- зии (OsCxsCi). В уравнении (II.1.44) следует положить q= —7е = const, после чего вме- сто СП.1.46) получим /i2 = 2—^-Дух. (II. 1.47) Поскольку в точке x=L глубина потока равна /ir+Zio, то и из (II.1.41) получим , Yc — Y° . hL — ~------~ — По и уО. 2kh2Q Яг л“ f Yc V Ду• —— \ Y / (II. 1.48) 91
Лапример, при ^ел=и,1 м, л0=ои м, ay=u,uz получим 2-50а L = —• 0,02 • 1,02а= 1,04 км. 0,1 Более подробное изложение методов фильтрационных расчетов взаимодействующих потоков соленых и пресных вод приведено, например, в работах [4, 40]. 3.2. Непрерывное изменение плотности При рассмотрении основ динамики потока переменной плотности следует иметь в виду, что действие компонентов потенциальной энергии принципиально различно: если давление действует равно- мерно во все стороны, то гравитационная составляющая направ- лена вертикально вниз. Поэтому градиенты энергии потока будут иметь различное выражение для горизонтальных составляющих 1<рХ> 1(ру и вертикальной составляющей /ф2> причем = = = —|-~Y. (П.1.49) дх ду dz и выражения для компонентов массовой скорости фильтрации будут yvx = ~k~, yv — yvz = — k + Y^.HI. 1.50) dx u dy \ dz / Подставляя эти выражения в уравнение неразрывности, можно по- лучить дифференциальное уравнение потока переменной плотности [13]. Выражения (II. 1.50) обобщаются для массовой скорости yvi в любом направлении /, составляющем угол а с горизонтальной плоскостью: yvt =—k I - -f у sin aV (II. 1.51) \ dl / Такое выражение и рекомендуется в нефтяной подземной гидрав- лике [27] для определения скоростей фильтрации в наклонных пластах. Дифференциальная форма приведенных зависимостей практи- чески исключает возможность наглядного представления плана течений фильтрационного потока путем построения гидродинами- ческой сетки. В связи с этим представляет интерес обоснование способа определения потенциала <р° фильтрационного потока пере- менной плотности, изолинии которого давали бы возможность по- строения линий тока и вычисления скоростей фильтрации по гра- диенту потенциала, т. е. для массовой скорости фильтрации в на- правления I должно быть справедливо выражение №< = (II.1.52) dl 92
Сопоставляя выражения (II.1,51) и (II.1.52), находим = ~~ -I Y sin а, (П-1 • 52а) ol al а после интегрирования, имея в виду, что dl-sina=dz, получим выражение для потенциала ф° = р+jYdz (II. 1.53) о или, приведя потенциал <р° к расчетному объемному весу воды Y°, получим выражение для приведенного напора Н° (выражаемого в метрах) "° = -5- = 'V('’ + Yz), (П.1.54) уо уи где у — осредненное значение объемного веса воды: y = -l-[ydz. (II. 1.55^ z J о Такого вида выражение для /приведенного напора иным путем было обосновано А. И. Силиным-Бекчуриным {22]. Принципиальная сложность использования выражения (II. 1.53) для потенциала (приведенного напора) потока перемен- ной плотности заключается в его неопределенности, связанной с неоднозначной зависимостью y(z), поскольку в общем случае Y зависит еще от координат х и у. В частности, как указывает А. И. Силин-Бекчурин, для однозначного определения Я0 необхо- димо проводить плоскость сравнения так, чтобы она проходила по изолинии объемного веса подземных вод. Кроме того, вычисление интеграла сил гравитации в выражении (II.1.55) в общем случае Y=Y(x, у, z) зависит от пути интегрирования. Таким образом, следует признать, что фильтрационный поток переменной плот- ности, вообще говоря, не имеет потенциала как величина, гра- диент которой определяет скорость фильтрации по любому на- правлению [4, 31], такой потенциал, выраженный в форме (II.1.53), имеется только при наличии однозначной зависимости у(*)- Анализируя фильтрационный поток в трубке тока переменного сечения, которая частично занята пресной водой, а частично соле- ной, можно показать [35], что для определения расхода потока понятие приведенного давления используется строго, если только при его расчетах проводить интегрирование сил гравитации по на- правлениям линий тока. 93
Для вычисления интеграла сил гравитации предлагается раз- бивать весь интервал интегрирования z на ряд интервалов Агг-, расположенных между отдельными скважинами; тогда - = Л"±У!_ . ±»_ . ... + £l-i_+У». Дг„, Az„ = -X (П.1.56) При отсутствии достаточных данных об изменении -у с глубиной А. И. Силин-Бекчурин [22] рекомендует считать у — 0,5 (у 4у°), (II. 1.57) где у0— объемный вес воды на плоскости сравнения; у — объем- ный вес воды в данной точке с ординатой z относительно плоскос- ти сравнения. Имеются рекомендации вычислять у, представляя у в форме степенной зависимости от z [8]. Поскольку направления линий тока заранее неизвестны, то строгое определение приведенных напоров (с учетом необходимос- ти вычисления интеграла сил гравитации вдоль линий тока) при- ходится вести подбором. При этом предварительно целесообразно построить поле (изолинии) напоров потока осредненной плотности Яо=-^4 2, (II. 1.58) уО где у0- -осредненный в пределах рассматриваемого потока объемный вес воды, который лучше всего задавать равным сред- нему значению в зонах, представляющих наибольший интерес для .анализа динамики подземного потока. Зная разницу напоров АН между двумя точками и имея значения объемного веса в потоке, можно определить разницу приведенных напоров между этими точками по формуле А Я ° = АН0 -+ Аг, (II. 1.59) где Az—разница ординат точек, между которыми определяется разница напоров; у —• среднее значение объемного веса между этими точками, определяемое по направлению соединяющей их прямой; при этом предполагается, что точки располагаются доста- точно близко друг к другу, чтобы считать линии тока между ними близкими к прямым. Рассчитывая по формуле (II.1.59) значения АН0 от каждой точки в различных направлениях, можно найти такое направление линии тока, которое будет совпадать с направ- лением максимального градиента приведенного напора. Идя таким' образом от точки к точке, можно последовательно построить ли- нии тока во всей исследуемой области. Порядок такого расчета подробно показан в [37]. Обстоятельный критический разбор различных способов рас- четов приведенных напоров дал А. Е. Гуревич [8], отметивший 94
также возможность значительных погрешностей расчетов Пласто- вых давлений в глубоких водоносных горизонтах, связанных с не- точностью определения плотности воды в скважине. Глава 2 ФИЛЬТРАЦИЯ ВБЛИЗИ ВОДОЕМОВ И ГИДРОСООРУЖЕНИЙ § 1. ФИЛЬТРАЦИЯ ВБЛИЗИ ВОДОЕМОВ И ВОДОТОКОВ Под водоемом (водотоком) и в прилегающих к нему областях потока возникают резкие деформации фильтрационного потока, обусловленные гидродинамическим несовершенством' водоема (водотока). Когда фильтрационный поток направлен из водоема, то под ним могут возникать условия свободной фильтрации, при которых фильтрационный расход не зависит от положения уровня грунто- вых вод под водоемом. Наиболее четко выражена свободная фильтрация, когда водоем экранирован слабопроницаемым слоем, а уровень грунтовых вод располагается ниже подошвы экрани- рующего слоя (рис. 34, а). В этом случае под экранирующим слоем образуется зона свободной инфильтрации с разрывом сплошности фильтрующегося потока из водоема. Можно считать фильтрацию свободной при однородном строении ложа водоема, но.глубоком залегании уровня грунтовых, вод под водотоком, когда положение уровня грунтовых вод практически не влияет на фильтрацию из водотока. Свободная фильтрация имеет место также в начальной фазе просачивания при наполнении водоема (водотока), до смыкания инфильтрующего потока с уровнем гпун- товых вод. Если считать фильтрацию , в слабопроницаемом прослое вер- тикальной, то при напоре в водоеме Но, а на подошве слабопрони- цаемого слоя — zn (поскольку при доступе воздуха к подошве дав- ление здесь равно атмосферному) градиент потока будет Н0 -___ ^0 + ^0 _ Z;0 - 1 /Ио то т0 а скорость фильтрации Р„ = йв('1 4-(П.2.1) 1 т0 / Таким образом, при свободной фильтрации под водоемом об- разуется зона инфильтрации с интенсивностью w=uo, определяе- мой согласно выражению (П.2.1). Суммарный расход потока Qo, фильтрующегося из водоема, при постоянной глубине воды в во- 95
доеме hb и площади водоема Fo будет Qo=vqFo, а при переменной величине До водоем разбивается на участки с относительно по- стоянной глубиной, расходы подсчитываются для каждого из участков, а затем суммируются. Рис. 34. Формирование фильтрационного потока вблизи водоема: а — свободный режим фильтрации (/— поверхность грунтовых вод, 2 — подошва экранирующего слоя); о — подпертый режим фильтрации Заметим, что такая структура потока в слабопроницаемом слое может быть значительно нарушена при неоднородном строе- нии этого слоя, причем наиболее существенное влияние на дефор- мации потока оказывает наличие относительно водоупорных про- слоев [36]. 96
Если уровень грунтовых вод поднимается выше подошвы слабопроницаемого слоя, то наступает подпертая фильтрация, когда устанавливается гидравлическая связь между грунтовым потоком и потоком из водоема, так что под водоемом образуется единый фильтрационный поток. Очевидно, что подпертая фильтра- ция всегда имеет место при направлении потока в водоем. Рассмотрим закономерности формирования .подпертого потока в ложе водоема, исходя из типовых .условий двухслойного строе- ния ложа, когда основной водоносный пласт проводимостью Т экранируется слабопроницаемым слоем мощностью т0 и с коэф- фициентом фильтрации ko (рис. 34, б). Для некоторого упрощения рассуждений рассмотрим наиболее характерный случай водоема значительной длины, когда поток в плане направлен нормально к урезу водоема. Для вывода уравнения перетекания, описывающего распре- деление напоров Н в основном водоносном пласте, выделим бес- конечно малый элемент потока длиной dx и составим его баланс, имея в виду, что удельный расход потока q на пути dx получает приращение dq, которое должно компенсироваться расходом dqn На перетекание из элемента через слабопроницаемый слой, т. е. балансовое уравнение здесь будет q==q-\-dq-\-dqn, или —dq=dqn. Поскольку при вертикальном перетекании через экранирующий слабопроницаемый слой по закону Дарси dqn*= k0 -Н dx, то /п0 получим уравнение ---= (II.2.2) dx m0 Выразим далее удельный расход q согласно общей формуле (1.5.4) 9s==„T^.j T^ktn, (II.2.2a) dx а подставляя это выражение в уравнение (П.2.2а), получим урав- нение для напора под экранированным водоемом Л2 н Г b ±Нг + Ь*(Н°-Н)=О-, Ь=Д/ (П.2.3) ах у Величина b носит название коэффициента перетекания и является важным обобщенным параметром слоистых систем; чаще употреб- ляется обратная величина этого коэффициента В=\!Ь, которая называется фактором перетекания [4, 9]. Уравнение (П.2.3) представляет собой обыкновенное диффе- ренциальное уравнение второго порядка. Введя в это уравнение вместо напора Н его превышение над уровнем водоема ДЯ— ~Н—Н°, приведем его к виду —_ ь^Н = 0. (И.2.3а) dx2 4 В- М. Шестаков 97
Рассмотрим решение этого уравнения прежде всего для водоема неограниченной ширины, когда на границе х=0 задается условие Н—Но и Д77=Д77ь=77о—77°, а на бесконечности Н=Н° и Д77=0.‘ Как известно [23], решение уравнения (II.2.3а) при этих ус- ловиях имеет вид Д77 = kHQe~bx, (И.2.4) откуда имеем выражение для напора Н = ТУ» + ЛИ = 77° + (77О —77°) е~Ьх. (П.2.4а) Найдем удельный расход qo потока во входном (выходном) сечении (при х— , подставляя выражение для напора (11.2.4а) в формулу. (11,2.26) и учитывая, что е~Ьх=1 при х=0: q0 = — Т-^- ' =ЬТ(Н0—Н°). (II.2.5) dx х-=о Аналогичную зависимость расхода потока на контуре водоема от потери напора в пределах ложа водоема можно получить, условно отодвигая контур водоема от берега на расстояние ДА, т. е. заменяя сопротивление ложа водоема эквивалентным сопро- тивлением участка планового потока длиной ДА. Действительно, удельный расход потока в пределах участка длиной ДА будет Но-Н° AL Чо = Т (И. 2.6) Сопоставляя выражения (II.2.6) и (II.2.5), можно видеть их принципиальную идентичность, причем они тождественно перехо- дят друг в друга, если положить ДА = -- = 1/ (II.2.7) ь г А Поскольку величина ДА зависит только от строения ложа водоема (его геометрии и фильтрационной неоднородности), то она может рассматриваться как обобщенный гидрогеологический параметр ложа водоема, характеризующий его фильтрационное сопротивление. При Двухслойном строении ложа водоема величина ДА может быть существенной, например при то=5О м, &о=О,О1 м/сут, Ш=20 м и k=20 м/сут получим ДА = = м’ Анализируя поток в однородном лбже водоема мощностью т, можно показать, что в этом случае [2] ДА = 0,44m. (И.2.8) Поскольку мощность водоносного пласта под водоемом изме- ряется обычно десятками метров, то такой же порядок будет 98
иметь в этом случае и величина ДА, т. е. при однородном строении ложа водоема сопротивление ложа водоема оказывается практи- чески несущественным. Из приведенных данных следует, что вели- чина AL в значительной степени зависит от строения (неоднород- ности) ложа водоема, которое чаще всего изучено довольно слабо. Поэтому наиболее достоверные значения ДА можно получить только на основе анализа данных режимных наблюдений вблизи водоема. Наиболее удобно и'достоверно определение величины ДЛ по данным режимных наблюдений за стационарным режимом по створу из двух скважин, заложенных в основной водоносный го- ризонт вблизи водоема перпендикулярно его урезу при условии, что поток направлен нормально к урезу водоема (рис. 34, б). Пренебрегая влиянием инфильтрационного питания в преде- лах створа, получим расход q на участке между скважинами 1—2 (П.2.9) Этот же расход между скважиной 1 и водоемом с учетом переме- щения уреза на величину Д£ будет q^T-1— (И.2.10) хг AL Исключая из выражений (II.2.9) и (II.2.10) величину q, найдем формулу для определения величины Д£: Д£=^£-^(ха-х1)-х1. (П.2.11) В реальных условиях определенные таким образом значения ДЛ для рёк и каналов обычно имеют порядок десятков и сотен мет- ров, однако могут достигать и первых километров [16, 19, 33]. Упражнение. Получить аналогичную. формулу при наличии инфильтраци- онного питания потока с одинаковой интенсивностью w по его длине. Выражения для расхода потока в сечении уреза водотока (х=0) получим, рассматривая поток между скважинами, с одной стороны, и урезом водотока — с другбй. Эти выражения приводятся к аналогичным выражениям для потока без инфильтрации заменой напоров в скважинах Hi и Н2 на расчетные значе- ния 'Hq и причем 2 2 л WXl л WX9 НЧ = Н1+—Н<!. = Н2+—^. (П.2.12) Таким образом, в данном случае для определения AL остается в силе форму- ла (II.2.11), в которой только величины Н\ и Н2 заменяются расчетными зна- чениями и /У®» определяемыми согласно (П.2.12). Можно доказать [30, 34], что для водотика ограниченной ширины (рис. 35, а), когда существенным оказывается взаимодей- ствие потоков на противоположных берегах, фильтрационное со- 4* 99
a Рис. 35. Схема соединений сопротивлений, учитывающих гидроди- намическое несовершенство водотока: а — строение ложа водотока; б — схема «треугольника»; в — схема «звезды»; г — упрощенная схема
•противление потока под водотоком выражается системой берего- вых сопротивлений Фн и сопротивления Ф®, обусловливающего проскок потока под водотоком, причем эта система соединяется по схеме «треугольник» (рис. 35, б). Для расходов потока, про- ходящего через эти сопротивления, справедливы выражения о-=<?'. = ~ (п.2.13) Подставляя эти выражения в уравнения баланса потока в сече- ниях уреза водотока, получим уравнения, связывающие расходы (Q' и Q") и средние напоры (Я' и Н") в сечениях урезов водо- тока v + , у = + (И. 2. и) *и Ф°„ ф» ф’ которые можно назвать внутренними граничными условиями третьего рода. Удобно выразить сопротивления Фн и ф£ через эквивалентные длины планового потока £н и причем из обще- го выражения (1.6.15) для фильтрационного сопротивления плано- вого потока следует, что для участка потока шириной Я т L° ф„= —ф» = — н TN TN Тогда уравнения (II.2.14) можно записать в виде _У = н' Н° т \ ’ = нп f-L- +-М_______________ т ’ J L° ’ (II. 2.15) (II.2.16) где q' и q" — удельные расходы в сечениях урезов водотока. Отметим интересные частные случаи проявления сопротивле- ний ложа водотока. Для водоема бесконечной длины или при симметричном ха- рактере потока вблизи водотока горизонтальные сопротивления не влияют на формирование потока, и в этих случаях сопро- тивление ложа водоема учитывается удлинением потока на вели- чину АА = ЛН. Для дрен, имеющих обычно небольшие размеры по сравнению с мощностью пластов, горизонтальные сопротивления Фн стано- вятся пренебрежимо малыми, так что учет несовершенства дрены осуществляется по упрощенной схеме с введением сопротивления фнд=х0,5Фн (рис. 35, г). Выражения для определения этих сопро- тивлений приведены в § 2 главы 1 раздела V. 101
Строго говоря, сопротивление ложа водотока зависит от положения сво- бодной поверхности фильтрационного потока, однако такая зависимость обычно не имеет практического значения, поскольку гидродинамическое несовершенст- во водотока определяется в основном фильтрационной неоднородностью его ложа, и, как показывает гидродинамический анализ [34}, на него слабо влияет положение кривой депрессии. Оценка сопротивлений существующих водоемов или водотоков; должна производитьсст по данным анализа режима уровней грун- товых вод в прйбрежной зоне. В общем случае, когда имеет места взаимодействие потоков на противоположных его берегах, опреде- ляются сопротивления Фн и Ф° (или их эквивалентные длины La и Лн), что можно осуществить при наличии вблизи водотока существенно несимметричного потока. Наиболее просто эта задача решается при направлении пото- ка нормали к берегам водотока, когда режимные створы состав- ляются из двух наблюдательных скважин на каждом берегу (рис. 36, а). Обработку таких данных удобнее всего проводить при стацио- нарном режиме, исходя из уравнений (II.2.16) и имея в виду, что* непосредственно по данным режимных наблюдений находятся зна- чения градиентов потока в берегах водотока l'=q'/Т и l"==q"IT (между каждой парой наблюдательных скважин), а также рас- четные напоры на урезах водотока Н' и Н", получаемые прямо- линейной экстраполяцией уровней потока до сечения соответст- вующего уреза, т. е. Н' Н" = Н2 + (Н2-Н2) (П.2.17) Д *1 Д х2 Подставляя эти величины в систему уравнений (II.2.16) и решая эту систему относительно Лн и Lh, после алгебраических преобра- зований получим расчетные формулы . 2Я° — Н'— Н" 7о__ Н" — Н' /' + /" Н«-Н' (И. 2.18) При постановке исследований взаимодействия подземных вод с водотоками необходимо учитывать: а) тесную (почти син- хронную) связь режима грунтовых вод в прибрежной зоне с ре- жимом водотока, причем в меженный период обычно имеет место стационарное (или квазистационарное) положение уровней грун- товых вод; б) возможность существенных деформаций геофиль- трационного потока вблизи водотока в разрезе (из-за гидродина- мического несовершенства ложа водотока) и в плане (из-за изви- листости русла водотока); в) четко выраженную балансовую связь подземных и поверхностных вод. Учитывая эти особенности, основной комплекс режимно-ба- лансовых наблюдений вблизи водотоков следует осуществлять в период стационарного режима, соответствующего более или 102
Рис. 36. Плановое расположение наблюдательных скважин для определения сопротивления ложа водоемов: а —линейные створы при наличии взаимодействия грунтовых вод между берегами водотока; б — по схеме «веера»; в — по схеме «креста»; г — по треугольной сетке; д — криволинейная и спрям- ленная ленты тока вблизи водотока
менее длительному стабильному положению уровней водотока. Для наиболее полного представления о структуре потока целесо- образно проводить гидродинамическую съемку, включающую бу- рение системы пьезометрических скважин с единовременным за- мером уровней грунтовых вод и гидрометрические работы для определения расходов дренирования и питания подземных вод водотоком. Йаиболее эффективна съемка уровней потока за пре- делами зоны вертикальной деформации, где. обшие градиенты на- пора соответствуют уклонам свободной поверхности и, следова- тельно, съемочные скважины могут буриться только до поверхнос- ти грунтовых вОд. Рациональные схемы расстановки пьезометров при гидродинамической съемке еще требуют обоснования. Пред- варительно можно рекомендовать схемы «креста», «веера» и тре- угольную сетку, приведенные на рис. 36, б, в, г, применяя «крест»- и «веер», если ориентировочно известно направление потока (соот- ветственно лучи пьезометров ориентируются именно в этом на- правлении), а треугольную сетку, — если направление потока заранее предугадать нельзя. Чтобы пьезометры не попадали в. зону вертикальной деформации потока, их не следует располагать, в непосредственной близости к водотоку. Необходимое удаление пьезометров от водотока зависит от строения потока по вертика- ли, причем в относительно однородном пласте оно примерно равно- его мощности (рис. 37, а, б), а при наличии слабопроницаемых (глинистых) слоев зона резкой деформации может быть значи- тельно большей (рис/37, в), и в этом случае постановка гидроди- намической съемки требует специального обоснования. • После проведения гидродинамической съемки, данные кото- рой должны проходить первичный анализ уже в процессе их полу- чения, строится гидродинамическая сетка потока в плане (гидро- изогипсы и линии тока) и выбирается -лента тока с тремя расчет- ными сечениями (см. рис. 36, д). Для расчетов удобно привести криволинейную ленту тока к эквивалентному -линейному потоку,, в котором расчетные расстояния Xoi и xi2 определяются из соотно- шений *01 “ 57 4°N ^01’ *12 “ ~N ^12’ (И* 2’19) Л1 + No Ni -f- После перехода к линейному потоку расчеты расходов потока и параметров сопротивления ложа водотока ведутся по приведен- ным выше зависимостям. При проведении на участкё гидродинамической съемки гидро- метрических работ появляется принципиальная возможность не- посредственно определить расход грунтовых вод по разнице рас- ходов бодотдка &Q в Двух замыкающих створах. Оценить прово- димость пласта можно, считая Т=--------, (II. 2.20) Wcp + ф 104
Рис. 37. Гидродинамические сетки фильтрации вблизи водотока (дрены) при различном строении потока: а — однородное; б — двухслойное при &2/&i = 100; в — со слабопроницаемым прослоем при &о/£ = ЗХ Х10-3 (сплошными линиями показаны эквипотенциалы, штрихпунктиром обозначена граница зоны рез- кой деформации потока) .
где AN— длина участка водотока между створами, а /ср и /Ср — средние уклоны грунтовых вод в берегах водотока по нормали к его урезу. При сложных формах потока грунтовых вод вблизи водотока величину A N (/Ср 4- Др) следует определять, разбивая водоток на несколько участков и суммируя значения этих величин^ найденные для каждого участка водотока. Такого рода расчеты могут применяться, разумеется, лишь при значительных локаль- ных притоках или оттоках подземных вод в пределах участка гидродинамической съемки, поскольку величина AQ должна существенно превышать возможные погрешности гидрометриче- ских определений расходов водотока. § 2. ФИЛЬТРАЦИЯ ПОД ГИДРОСООРУЖЕНИЯМИ Фильтрационный поток в основании гидросооружения обычно- имеет генеральное направление из водохранилища (верхнего- бьефа) в нижний бьеф сооружения (плотины, здания ГЭС и т. п.), так что чаще всего этот поток имеет профильный харак- тер. Исключение составляют условия фильтрации в узких горных долинах, где потоки в основании и бортовых примыканиях сущест- венно взаимодействуют друг с другом, образуя сложное прост- ранственное течение. Изучение фильтрации под сооружениями проводится для опре- деления фильтрационных потерь (расхода потока) из водохрани- лища, противодавления, передаваемого на тело плотины фильтра- ционным потоком и фильтрационной устойчивости основания сооружения. Кроме того, при наличии в основании среднераство- римых солей (в частности, гипса) специального анализа требует оценка процессов растворения солей и следующих за этим про- цессом изменения пород основания. Для управления фильтрационным потоком под сооружением проектируется его подземный контур (рис. 38), который помимо- тела сооружения (флют^ета) может включать в себя верховойГ экран, верховую и низовую противофильтрационные завесы, гори- зонтальный и вертикальный дренаж под флютбетом или в нижнем бьефе сооружения. Верховой экран делается чаще всего из суглинка, и его про- ницаемость задается исходя из фильтрационных свойств этого- грунта при заданном способе его укладки. Противофильтрационные завесы делаются в виде шпунтовой стенки, забиваемой с поверхности земли, или в виде цементацион- ной завесы, устраиваемой путем инъекции цементирующего мате- риала через скважины, причем в'качестве таких материалов обыч- но используются цементы, цементно-глиняные смеси, битумы, си- ликаты. Противофильтрационные завесы, как правило, не бывают полностью водонепроницаемыми. Проницаемость шпунтовых сте- нок обусловливается раскрытием их замков и может оцениваться 105
условным коэффициентом фильтрации &шп фрагмента шпунтовой стенки толщиной 1 м, значения которого практически оказывают- ся в 100—200 раз меньшими коэффициента фильтрации породы. Проницаемость цементационных завес, по данным ВНИИГа [24], оценивается коэффициентом фильтрации ks—0,01—0,1 м,/сут. Противофильтрационные завесы могут быть совершенными, если •они доводятся до водоупора, и несовершенными, если они не до- ходят до водоупора. Дренажи — очень сильное средство управления фильтрацион- ным потоком под сооружением, причем тип и местоположение Рис. 38. Подземный контур гидросооружения (плотины): 1 — тело плотины; 2 — экран; 3 — верховая завеса; 4 — низовая заве- са; 5 — дренаж в основании плотины; 6 — дренажная галерея; 7 — дренаж в нижнем бьефе; 8 — водобойная плита дренажа зависят от геологического строения, основания и задач, решаемых при дренировании потока. В частности, горизонтальный дренаж делается при сравнительно однородном строении основа- ния или при наличии непосредственно под сооружением хорошо проницаемого слоя, а при расположении сооружения на сравни- тельно слабопроницаемом слое, экранирующем расположенные глубже более проницаемые слои, рационален вариант вертикаль- ного дренажа. Аналитические методы расчетов фильтрации под сооружения- ми реально применяются при сравнительно простом строении осно- вания, когда оно может быть сведено к однородной или двухслой- ной схеме. Строгое гидромеханическое решение таких фильтра- ционных задач основывается обычно на применении метода кон- формных отображений, впервые примененном для этих целей Н. Н. Павловским [18], а затем развитым другими исследовате- лями [21]. Однако непосредственное применение метода конформ- ных отображений ограничивается сравнительно простыми случая- ми строения подземного контура, и потому для практических расчетов обычно используются различные приближенные методы, наиболее совершенный из .которых — метод фильтрационных со- противлений, предложенный С. Н. Нумеровым [2] и развитый 107
для практических целей Р. Р. Чугаевым [28, 29]. Этот метод, исходит из того, что поток, двигаясь в основании плотины от верх- него бьефа к нижнему, встречает ряд местных сопротивлений (на вход и выход потока, на преодоление шпунтойой. завесы и т. п')> причем участки этих сопротивлений располагаются на достаточно- большом расстоянии друг от друга (не менее, чем на половину мощности основания). Тогда можно считать, что местные сопро- тивления не влияют друг на друга и для каждой зоны местного- сопротивления их величины определяются независимо от строения всего подземного контура. Очевидно, что ограничение примени- мости этого метода относительно большими расстояниями между отдельными элементами подземного контура предопределяет воз- можность применения метода сопротивлений для сооружений^ длина которых по направлению потока, по. крайней мере, превос- ходит мощность водоносных слоев основания сооружения. Фильтрационный поток под сооружением будем считать про- фильным (постоянной шириной 1 м в плане). В соответствии с об- щим определением (1.6.13) фильтрационного сопротивления для каждого участка профильного потока номера i Ф^-^Ц (II. 2.21) Я где — потери напора на участке сопротивления Ф<, пропускаю- щем удельный расход q. При однородном строении основания с коэффициентом филь- трации k удобно пользоваться понятием безразмерного сопро- тивления ф, =ЛФ,= (И.2.21а) Я Для подземных контуров без внутреннего дренажа суммарная разница напоров в верхнем и нижнем бьефах АН составляется из: потерь на отдельных участках контура, т. е. выражение для удель- ного расхода потока под сооружением ЛЯ ЛАЯ q —-----— _ Фсум Фсум причем суммарные сопротивления подземного контура ФСуМ или Фсум складываются из сопротивлений Ф< или Фг отдельных зон локальных сопротивлений основания, а потери напора в каж- дой зоне будут пропорциональны соответствующим сопротив- лениям: Ф,- ДЯ,= АН. (II.2.23) фсум Выражения для безразмерных фильтрационных сопротивле- ний различных локальных зон потока, полученных путем гидрав- 108 (II. 2.22)
лического и гидромеханического анализов соответствующих фраг- ментов потока, приведены в работах С. Н. Нумерова [2] и Р. Р. Чугаева [28]. Нередко встречается случай двухслойного строения основания сооружения, когда сверху залегает слабопроницаемый слой, экранирующий расположенный под ним более проницаемый слой (рис. 39). В этом случае, впервые рассмот- ренном Г. Н. Каменским [11], сопротивления входного и выходного участков получаются из решения для экранированного водоема бесконечной ширины, причем согласно (II.2.6) при T=km имеем Фвх— Яо AL - AL ----; Фвх = , km--т (П.2.24) где величина AL определяется из (II.2.7). Расчетное значение Т в формуле (II.2.22) берется равным km, поскольку проводимостью верхнего слоя здесь можно пренебречь. При оценке фильтрационной прочности основания сооружения прежде всего производится проверка возможности появления фильтрационных деформаций на выходе потока в нижний бьеф. Для исключения таких фильтрационных деформаций необходимо, чтобы максимальный выходной градиент потока в нижнем бьефе не превышал допустимого градиента, величина которого устанав- ливается для различных пород в зависимости от характерного для них вида фильтрационных деформаций [24, 28, 32]. Кроме расчетов общей и местной устойчивости основания Р. Р. Чугаев [28] предлагает проверять его общую фильтрацион- ную прочность по величине среднего (контролирующего) градиен- та напора Ih==q!T, где Т — суммарная проводимость пластов в основании. Учитывая неоднородность строения основания, непол- ноту его изученности, а также возможные нарушения технологии строительства, Р. Р. Чугаев устанавливает допустимое значение контролирующего градиента /д0П путем анализа состояния по- [09
строенных сооружений (в том числе потерпевших аварию), при- чем для подземного контура с низовой завесой рекомендуются значения /д0П, приведенные ниже, а при отсутствии низовой за- весы эти значения уменьшаются на 20%: Класс сооружения Глииа Суглинок Среднезер- . иистый песок Мелкозер- нистый песок I И II III 0,5 0,6 0,25 0,3 0,2 0,24 0,15 0,18 Дальнейшее развитие такого подхода, несомненно, должно идти по пути более глубокого выявления возможных связей филь- трационных деформаций основания с особенностями его геологи- ческого строения. При наличии в основании сооружения растворимых пород (гипсы, ангидриты, кальциты) фильтрационными расчетами должно быть получено распределение скоростей фильтрации, ха- рактеризующих интенсивность конвективного переноса при выще- лачивании этих пород [17]. Глава 3 ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ § 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНОЛОГИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ При создании сплошной электрической модели в первую очередь обосновывается выбор ее материала. Модель области фильтра- ционного потока может быть изготовлена из различных токопрово- дящих материалов, к которым предъявляются следующие требо- вания: а) однородность; б) стабильность электрических свойств; в) отсутствие побочных процессов, искажающих электрическое поле; г) оптимальное удельное сопротивление (не слишком малое, чтобы можно было достаточно точно проводить измерение элект- рического поля, и не слишком большое, чтобы не создавать ощу- тимых потерь в подводящей сети). В настоящее время наиболее распространены модели из электропроводной бумаги и электроли- тов, причем бумажные модели, как правило, применяются только для моделирования плоских потоков, а электролитические модели чаще используются при создании пространственных моделей. Кроме бумаги и электролитов в качестве материала модели ис- пользуются и другие материалы, например агар-агар, электропро- водные краски, клей, смесь порошка графита с порошком мрамо- ра или песком, электропроводный картон, гипс. Вопросы техноло- гии изготовления сплошных электрических моделей изложены, на- пример, в работах [10, 14, 26]. НО
Определение приведенного потенциала на моделях ЭГДА, как правило, производится с помощью мостовой измерительной схе- мы, принцип построения которой показан на рис. 40. Для осуществления этой схемы параллельно с моделью присоеди- няется образцовый делитель (агометр), состоящий из магазинов сопротивлений или реостатов. Агометр имеет подвижной контакт, который через индикатор нуля и из- мерительную иглу подсоединяется к модели. Если игла устанавливается в та- кой точке модели, что индикатор показывает нулевое положение, то потенциа- лы — замеряемый на модели и имеющий место на подвижном контакте — бу- дут равны между собой. Зная Сопротивления и полное сопротивление делителя А?о, найдем значение замеряемого приведенного потенциала U ~ R Ro ‘ Простейшими индикаторами нуля в цепях постоянного тока являются различ- ные системы гальванометров, а в цепях переменного тока добавляется выпря- мительная система или используется осциллограф (10, 14}. Линии тока чаще всего стро- ятся графически после получения эквипотенциалей, причем в первом приближении построение линий то- ка производится «на глаз», исходя из условия ортогональности линий тока и эквипотенциалей, а затем их положение уточняется провер- кой условия конформности участ- ков каждой ленты тока — (1.5.5) или (1.5.6). Линии тока на модели ЭГДА могут быть построены и не- Рис. 40. Измерительная схема мо- дели ЭГДА на постоянном токе: / — модель; 2 — измерительная иг- ла; 3— гальванометр; 4 — рео- стат-агометр; 5 — подвижной кон- такт агометра посредственно путем решения так называемой обращенной задачи, когда в качестве функции выбира- ется функция тока [10, 14]. Одна- ко практически этим приемом поль- зуются редко, поскольку более простой графический способ обыч- но обеспечивает достаточную точность построения линий тока. В качестве сеточных электроинтегралов для решения гидрогеологических задач чаще всего применяются электроинтеграторы ЭИ-12 и МСМ-1 [14, 37], основную часть которых составляет двухкоординатная сетка сопротивлений. Питание этих интеграторов осуществляется переменным током, а измерения потенциалов производятся по компенсационной схеме, принцип устройства ко- торой описан выше применительно к сплошным моделям ЭГДА. Простота конструкции электроинтегратора резисторного типа (составленного из активных сопротивлений —- резисторов) позво- ляет сравнительно несложно изготавливать самодельные электро- интеграторы, особенно на базе электрических схем серийно вы- 111
пускаемых приборов ЭГДА (например, ЭГДА 9/60). Кроме того, известны примеры изготовления крупных резисторных интеграто- ров, рассчитанных на несколько тысяч узловых точек [141 § 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОФИЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 2.1. Сплошные модели Для обоснования условий построения сплошных электрических моделей профильных потоков сопоставим выражение для расхода Q профильного потока шириной В и толщиной 1 м с выражением для силы тока / на аналогичном участке модели шириной Вм с удельным сопротивлением модели рм Q = kB (а), / = — В. 4“"- (б), (II.3.1) Д/ Рм Д *м причем кН— потери напора на участке потока длиной AZ, соот- ветствующие разнице потенциала АСУ на участке модели дли- ной Д/м. Очевидно, что в этом случае аналогом коэффициента фильтра- ции k является обратная величина удельного сопротивления мо- дели —-—, т. е. Рм РМ = «А-^’ (П.3.2) Рм k где afe — масштаб коэффициента фильтрации. Вводя далее масштаб напоров линейный масштаб модели oq=Z//m=AWm и масштаб расхода по- тока <lq~Q!I, представим (П.3.1 а) в виде aQI = ak.-l^.aiNx^L. (П.3.3) Рм О/ Д‘м Сопоставляя выражения (П.3.3) и (П.3.16), установим, что для тождественного перехода одного в другое масштаб расхода профильного потока должен определяться формулой dQ = ak ан. (П.3.4) При моделировании непроницаемых противофильтрационных (шпунтовых или' цементационных) §авес на бумажных моделях 1 Заметим, что для бумажных моделей рм представляет собой сопротивление квадрата листа модели, а для электролитических моделей рм=р/5м, где р — удельное сопротивление электролита, а 6М — толщина слоя электролита на мо- дели. 112
профильного потбка делаются прорези, а на электролитических моделях устанавливаются непроницаемые перегородки (обычно из целлулоида). Более сложно моделируются завесы при необходимости учета их проницаемости, которая обычно характеризуется расчетным коэффициентом фильтрации завесы k3 (см. § 2 главы 2). В этом 2 1 Рис. 41. Задание проницаемых завес: а — на бумажной модели (/ — лист модели; 2 — лист длиной 63, мо- делирующий завесу; 3 — изолирующая прокладка; 4 — клеевые швы; 5 — прорези); б — на электролитической модели (1—шины; 2 — не- проницаемая стенка) случае на бумажной модели по линии завесы делается прорезь, края которой соединяются между собой листом бумаги удельного сопротивления р3 (рис. 41, а), длина которого /3 определяется при- веденной толщиной завесы 63, причем. !=—£--6°, 6° = -М3, (П.3.5) Рз *3 где k3 принимается согласно рекомендациям, приведенным в § 2 главы 2. На электролитической модели проницаемые • завесы можно моделировать непроницаемой стенкой, на которую наклеиваются пластины, соединяемые через сопротивления Д/?3 (рис. 41, б), определяемые по формуле = <пз.б) Оэ A/v3 где &N3 — длина завесы (по ее фронту), приходящаяся на дан- ное сопротивление; рэ — удельное сопротивление и 6Э — толщина слоя электролита в данном месте. Для моделирования слоев с разной проницаемостью в соот- ветствующие участки модели заливаются электролиты различной 113
концентрации, подбираемой из условия обратной пропорциональ* ности удельного сопротивления коэффициентам фильтрации соот- ветствующих слоев. 2.2. Сеточные модели При составлении сеточной фильтрационной схемы профильные потоки обычно разбиваются на* отдельные блоки вертикальными и горизонтальными сеч ёнйями, ^образуя прямоугольную сетку с размерами блоков Дх' и Д#' по осям х и у (рис. 42, а). Рис. 42. Построение плоских прямоугольных сеток: а — сеточная разбивка плоского потока на прямоугольные блоки (1 и 2 — узловые точки и границы блоков); б — узел электрической сетки Фильтрационные сопротивления Фх и Фу, связывающие блоки по осям х и у, в соответствии с общим выражением (1.6.13) опре- делятся здесь выражениями ф = _Дх_л ф = х kxky' ’ у ky Ax' (П.3.7) где Дх и Дг/ — расстояния между узловыми точками; kx и ky — коэффициенты фильтрации соответственно в направлениях х и у; естественно, что .при равномерной разбивке Дх=Дх' и ку—&у'. Сеточная электрическая модель такой системы будет состоять из ортогональных сопротивлений Rx и Ry (рис. 42, б), опреде- ляемых из условия Rx = ат? %У = ая Ф0’ (И-3-8> где aR — масштаб электрических сопротивлений, выбираемый таким образом, чтобы рассчитанные согласно (II.3.8) значения Rx и Ry хорошо укладывались в диапазон сопротивлений, устанав- ливаемых на интеграторе. 114
Особенно рационально использование сеточных интеграторов для моделирования четко выраженных слоистых систем, допускаю- щих применение предпосылки перетекания. Для этого слоистый поток (рис. 43, а) разбивается на блоки вертикальными сечения- ми, проводимыми на расстоянии Дх' друг от друга (величины Дх' обычно выбираются так, чтобы между границами потока распо- 5 Рис. 43. Построение сеточной модели взаимодействующих водоносных пластов для решения обратной задачи: а — строение водоносного комплекса; б — схема электрической модели лагалось не менее 5—10 блоков). Горизонтальные границы бло- ков проводятся по Подошве и кровле разделяющих слоев, посколь- ку принимается, что изменения напоров по вертикали происходят только в пределах разделяющих слоев. Системы фильтрационных сопротивлений для такого потока будут состоять из горизонтальных сопротивлений Фх в водо- носных слоях и вертикальных сопротивлений Фу в разделяющих слоях, при определении которых в формуле (II.3.7) следует поло- жить Ayf~m,kx—kt &у—тр, k7—kpt т. е. считать Ф = -А*. = -AL Ф„=—(П.3.9) * km Т “ 115
где Т — проводимость водоносного сдоя. Сеточная электрически} модель такой системы будет состоять из ортогональных сопротив лений Rx и Ry (рис. 43, б), определяемых формулой (II.3.8). Та ким образом, в основе электроинтегратора также заложен мето; электрогидродинамической аналогий, однако в качестве природно го аналога электрической сетки используется блочная (сеточная) схема фильтрационного потока. Весьма эффективно применение сеточных моделей для реше ния обратных задач в слоистых системах, когда по Данным стацио парного режима напора в различных водоносных слоях (горизон тах) определяются соответствующие им значения коэффициент©! фильтрации разделяющих слоев. С этой целью поток также разби вается на блоки вертикальными сечениями; разбивку рекомен дуется производить относительно равномерно, но так, чтобы на блюдательные скважины по возможности приурочивались к цент рам блоков (узловым точкам). Порядок решения такой задачи рассмотрим сначала для наиболее просто! схемы водоносного пласта, подстилаемого водоупором и перекрываемого раз деляющим слоем (слой 1 на рис. 43, а), над которым располагается водонос ный пласт 2, причем по данным наблюдательных скважин достаточно подроб но известны напоры в обоих водоносных пластах. Решением обратной задачи могут быть получены только соотношени} между коэффициентами фильтрации водоносных и разделяющих слоев, поэтому значения проводимости Т водоносного пласта должны быть предварительно за. даны по опытным опробованиям пласта Или, в крайнем случае, по литератур ным данным. Значения же коэффициентов фильтрации разделяющих слоев kj в первом приближении задаются на основании простейших балансовых расче тов или из общих соображений. При заданных таким образом значениях пара- метров и определенной разбивке потока на блоки определяются фильтрацион ные . сопротивления по формулам (II.3.9), после чего составляется схемг электрических сопротивлений, рассчитываемых при выбранном масштабе сопро тивлений согласно (П.3.8). Зная диапазон изменения напоров в моделируемой системе, задают зна- чения минимального и максимального напоров (Ямин и Ямакс), после чего пс общей формуле (1.6.12) определяют потенциалы U", задаваемые в узловых точ ках на концах вертикальных сопротивлений в соответствии' с напорами Н" е центральных соответствующих блоках верхнего водоносного пласта 2 верхний слой выступает, таким образом, в роли верхней границы потока. По той же формуле подсчитывают значения относительных потенциалов О', соответствующие наблюдаемым значениям напоров Н' в центрах блоков исследуемого водоносного :пласта. Так же находят значения потенциалов на. . левой и правой границах исследуемогс водоносного пласта, соответствующие напорам на этих границах. Задавад да- лее в электрической модели на концах сопротивлений R'y потенциалы U", г на боковых границах — граничные потенциалы, постепенно подбирают затем величины вертикальных сопротивлений R'v таким образом, чтобы значения от- носительных потенциалов U', полученные в узловых точках модели исследуе- мого пласта, достаточно близко совпадали с их значениями, подсчитанными пс наблюдаемым напорам Н'. Для системы, состоящей из нескольких водоносных пластов, решение такой задачи рекомендуется проводить последовательно (.снизу вверх) для каждого водоносного пласта. Первым рассмат- 116
ривается нижний .водоносный пласт по изложенной выше Схеме,, а затем моделируется следующий по высоте водоносный пласту для которого уже вертикальные сопротивления задаются не только- сверху, но и снизу, причем нижние сопротивления устанавливают- ся по значениям kv, подобранным в предыдущем* опыте, а верхние- подбираются; на концах нижних и верхних сопротивлений задают- ся значения потенциалов, подсчитанные по напорам, замеренным в соответствующих блоках верхнего и нижнего граничных пластов. При решении таких задач для' систем взаимодействующих пластов на водораздельных массивах следует учитывать законо- мерное увеличение проницаемости водоносных и разделяющих: пластов от водораздела к речным долинам [5, 34]. 2.3. Особенности моделирования безнапорных профильных потоков Специфика решения профильных задач безнапорной фильтрации сказывается прежде всего в необходимости задания свободной по- верхности фильтрационного потока. Если пренебречь влиянием капиллярных сил, то свободная поверхность совпадает с кривой депрессии, на которой выполняется условие (1.4.19), причем плос- кость сравнения напоров (г=0) обычно задается на отметке ми- нимального напора и тогда ЯМИн=0. Поскольку в стационарной' фильтрации кривая депрессии является, кроме того, линией тока,, то бумажная модель вдоль кривой депрессии обрезается; на электролитической модели по кривой депрессии устанавливается.’ либо гибкий изолятор (целлулоид), либо стенка из воска и пара- фина. Построение кривой депрессии осуществляется на электрических моделях: подбором. В первом приближении кривая депрессии задается произвольно; на бумажной модели рекомендуется задавать ее положение с завышением, а на’ жидкостной модели с парафиновой (восковой) границей — с занижением. Сняв с модели ЭГДА потенциалы вдоль свободной поверхности и определив по формуле (1.6.11) значения напоров Н, следует сравнить их с соответствую- щими величинами ординат свободной поверхности. Если оказывается, что z<H,. то кривую депрессии в этом месте нужно несколько поднять, а при z>H, на- оборот, отпустить. Поправив таким образом кривую депрессии, проводят моде- лирование во втором приближении и снова сопоставляют напоры на свободной7 поверхности Я с ее ординатами г. Обычно достаточно двух-трех приближений’ для того, чтобы достигнуть хорошего их совпадения. При наличии капиллярной каймы эффективной высоты Ак на свободной поверхности выполняется условие (1.4.24), а в осталь- ном порядок ее подбора остается тем же. При этом кривая деп- рессии, на которой давление равно атмосферному, находится как линия с H=z (рис. 44, а). При моделировании инфильтрации заданной интенсивности w необходимо- осуществить подачу соответствующей силы тока на линию свободной поверх- ности. На бумажных моделях ЭГДА это можно сделать подклеиванием к ли- нии свободной поверхности полос электропроводной бумаги длиной Zw ПТ
(рис. 44, б) и удельным сопротивлением pw, к свободному концу которых под- водится потенциал ,(JW. Сила тока 7W, проходящая через такую полоску шириной Ьж, будет = --- /с" - Ьм, (II. 3.10) Pw ‘W где Uсп — потенциал на свободной поверхности. Соответствующий ей инфиль- трационный расход Qw на аналогичном участке шириной в натуре Ь будет Qw=g>&. Поскольку Qyr—aqlw, то выражение (II.3.10) представится в виде или с учетом (II. жение для Zw: , р Д^макс — U = — • -Т......... : - (V» -ад. (П.3.11) w sPw а/ , Аймаке виду, что си = ря и ан = —составим выра- Д[/м 3.4), имея в Рис. 44. Моделирование профильного безнапорного потока: а — гидродинамическая сетка потока с капиллярной каймой вблизи канала с нулевой глубиной воды (/ — поверхность капиллярной зоны, 2 — свободная поверхность, 3 и 4 — дно и откосы водоема, 5 — линии равного напора, 6 — линия тока); б — дополнительные листы для за- дания инфильтрации Бумажное сопротивление длиной можно заменить любым сопротивлением Rw, величина которого согласно (II.3.11) должна быть Rw = “-Р (Z7w-Z7cn). (II.3.11а) W ь При моделировании испарения с использованием электрической схемы, имеющейся непосредственно на приборе ЭГДА, на шкале прибора должны быть размещены разность потенциалов Л действующая на модели, и раз- ность потенциалов A(/w, обеспечивающая подачу необходимой силы тока, так что величины A и AI/W будут одного порядка. Поэтому изменение потен- 118
циала на депрессионной кривой в процессе решения задачи ведет к заметному изменению в каждой точке свободной поверхности, что, в свою очередь^ влечет за собой искажение заданного природного испарения, так что по ходу решения задачи возникает необходимость корректировки разности потенциалов, на конце полос. Этого недостатка в технике моделирования можно избежать, если к прибору ЭГДА последовательно подключить дополнительный источник тока с напряжением, в несколько раз превышающим напряжение на приборе ЭГДА {14, 26]. Аналогичным образом можно моделировать инфильтрацию иа сеточных моделях, задавая на свободной поверхности инфильтрационные сопротивления R™, определяемые по формуле (II.3.11а) при 6=Ах (Ах — размер блока по- горизонтали). Для потока кусочно-переменной плотности характерно, кроме того, моделирование границы раздела между зонами с различной, плотностью воды, где в общем случае должно выполняться усло- вие разрыва напоров (II.1.41). Соответственно на электрической, модели по линиям таких границ раздела должен устанавливаться, аналогичный перепад потенциала, причем поиск положения таких, границ приходится производить постепенным подбором [14]. § 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАНОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 3.1. Критерии подобия Для обоснования основных положений методики моделирования стационарной плановой фильтрации сопоставим прежде всего вы- ражение для расхода Q в элементе планового потока шириной N~ и длиной А/, исходя из формулы (II. 1.1) для удельного расхода, с выражением для силы тока / в аналогичном элементе модели шириной и длиной Д/м: Q = TN (а), I = — N. (б). (II. 3.12) Рм Из сопоставления этих выражений видно, что при моделировании 1 планового потока удельная проводимость модели см =----------яв- Рм ляется аналогом Проводимости пласта Т (а не коэффициента фильтрации, как это было в случае пространственного или про- фильного потоков). Кроме того, остается в силе соответствие из- менений напоров Д/7 изменению электрических потенциалов Д1Т и необходимость геометрического подобия модели и фильтрацион- ного потока в плане. Исходя из этого введем масштабные коэф- фициенты, позволяющие перейти от характеристик фильтрацион- ного потока к характеристикам электрического поля: — = = ДЯ = ан &U, (И.3.13) Рм где ат — масштаб проводимостей; щ— линейный масштаб моде- ли; ан — масштаб напоров, определяемый согласно (1.6.9). 119
Подставим «фильтрационные характеристики, выраженные че- рез масштабы согласно (П.3.13), в выражение (П.3.12а), обозна- чая через ад — масштаб расходов: 1 АС/ / = аг — az (II. 3.14) Сопоставляя Выражения (IL3.14) и (П.3.126), можно видеть, что они тождественно переходят друг в друга при условии а<э = ar a#, (II. 3.15) которое является критерием подобия для планового потока. Таким образом, модель планового потока должна составлять- ся так, чтобы удельное сопротивление модели было обратно про- порциональным суммарной проводимости пласта в данном се- чении. Технически изменение проводимости пласта на моделях из электропроводной бумаги осуществляется параллельным склеива- нием листов бумаги одинаковой или различной проводимости. Суммарная проводимость системы из нескольких листов опреде- лится при этом как сумма проводимостей отдельных листов (с учетом клея). На электролитических моделях при сравнительно небольшом изменении проводимости этот фактор можно учесть, изменяя мощность слоя электролита, для чего дно модели делает- ся из пластилина, воска или других пластичных материалов. При моделировании планового потока на сеточном электро- интеграторе разбивка блоков в плане производится, как правило, прямоугольной сеткой с шагами Ах и Ду (см. рис. 42, а), а значе- ния сопротивлений Фх и Фу в направлениях х и у определяются по формулам (II. 3.16) (1.6.13). подобными потока не- положения жоторыё несложно получаются из общего выражения Электрические сопротивления задаются далее ^подсчитанным фильтрационным сопротивлениям. Задание проводимостей безнапорного планового сколько осложняется тем, что их величины зависят от уровней грунтовых вод. Поэтому в общем случае моделирование безнапорного планового потока должно осуществляться подбо: ром, причем в первом приближении значения проводимости пласта задаются при ориентировочных значениях уровней грунтовых вод; затем уровни грунтовых вод уточняются по данным моделирова- ния в первом приближении, после чего устанавливаются значения проводимости пласта во втором приближении и так далее до тех пор, пока модельные значения потенциалов не будут соответство- вать расчетным уровням грунтовых вод. 120
3.2. Моделирование площадного питания Одной из важных особенностей решения плановых задач фильтра- ции является потребность учета площадного питания — инфиль- трации или испарения заданной интенсивности w. На сеточном электроинтеграторе задание инфильтрации сво- дится к подаче в каждую узловую точку -силы тока 7W, соответ- Рис. 45. Задание инфильтрационного питания на электрических мо- делях: а —сеточная модель; б — сплошная модель из электропроводной бу- маги {1 — источник питания, 2 — делитель напряжения, 3— инфиль- трационные сопротивления, 4 — электроды, 5 — модель); в — элемент сплошной модели, относящийся к одному Электроду (1 — границы эле- мента, 2— границы внутренней зоны элемента, 3— электрод, 4 — ин- фильтрационное сопротивление) ствующей инфильтрационному расходу Qw=wF, где F — площадь блока фильтрационного потока, относящегося к данной узловой точке. Такую подачу тока можно осуществлять подключением в узловую точку инфильтрационного сопротивления (рис. 45, а)г по которому проходит ток /w, подбираемый из условия, что раз- ница потенциалов At/W на этом сопротивлении получается равной Al/w = l/w-l/ = l„R„~~Z- Rv (П-3.17) 121
Имея в виду выражение (II.3.15) для масштаба силы тока, пред- ставим (II.3.17) в более удобной форме: A(7W = —«-------------w-~— . (II. 3.18) «тД^макс Т АЯмакс рм где рм — удельное сопротивление модели, соответствующее про- водимости потока Т. Для решения прямых задач такое моделирование осуществ- ляется подбором, поскольку разница инфильтрационных потенциа- лов зависит от неизвестного заранее потенциала в узловой точке модели. Непосредственное задание инфильтрации на сплошной моде- ли ЭГДА сводится к подаче на модель тока площадной интенсив- ностью iw, пропорциональной интенсивности инфильтрации w. Поскольку сплошную площадную подачу тока на модель техниче- ски осуществить трудно, то обычно эта задача решается прибли- женно — по схеме, изображенной на рис. 45, б, когда ток подается только в отдельные узловые точки, разбиваемые по квадратной сетке; при этом в каждый узел подается сила тока 7w=(w^m, где FM — площадь участка модели, относящаяся к этому узлу. Имея в виду, что /w=wF/oq, где F=a2iFM, и выражая величи- ну oq согласно (II.3.15), получим формулу , wF w атая (II.3.19) Для регулировки силы тока источника можно использовать реостат с подключенным к нему миллиамперметром [10]. Неко- торый недостаток этой схемы заключается в необходимости введе- ния большого количества миллиамперметров. Более удобно ре- гулировку силы тока Zw проводить замерами падения потенциа- ла At/W на сопротивлении Fw, а величину разницы относительных потенциалов AL/W =— определять по формуле (II.3.18). Оба изложенных приема требуют пройзводить регулировку силы тока подбором, поскольку ее величина существенно зависит от неизвестного ранее потенциала на модели в данной точке. Для исключения подбора в данном случае также можно применить •схему отдельного питания источников с большим напряжением источника питания [10, 14]. Теоретический анализ показывает (14], что для учета погрешности, вноси- мой дискретным заданием питания в_ значения потенциала UM, замеренного на модели, следует ввести поправку Д17, так что расчетное значение потенциала будет U = U№ — &U, (II. 3.20) причем во внутренней зоне каждого элемента (при Гм<0,3ом) величина этой поправки определяется по формуле 122
Atz = AUwf(r), 'r=~-, (II,3.20a) Г" где Гм — расстояние от электрода до расчетной точки; =0,56ом— приве- денный радиус участка модели, относящегося к электроду (рис. 45, в). Опре- деление значения f(r) можно производить, пользуясь следующими данными: ; 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,55 f(r) 0,37 0,25 0,14 0,08 0,04 0 Во внешней зоне (при гм>0,ЗОм) максимальная погрешность за счет дис- кретности будет оцениваться величиной относительного потенциала — Рм — Ломакс = 0,05 -Z-- • AC/W. (II. 3.206) °w При трех-четырех электродах в ряду эта погрешность пр отношению к максимальному потенциалу на модели оказывается порядка 2%, т. е. в преде- лах возможных погрешностей, задания тока на модели, поэтому поправку на дискретность задания питания во внешних зонах можно не вводить. При моделировании линейно-переменного испарения на сплошной модели ЭГДА сопротивления должны определяться с учетом дополнительного соп- ротивления, возникающего из-за дискретного характера питания [14]. В тех случаях, когда моделируется наложение влияния искус- ственных факторов (водохранилищ, каналов, дренажей и т. п.) на существующий естественный поток, а' интенсивность инфильтра- ции w остается такой же, как и в естественных условиях, эффек- тивным приемом учета инфильтрации является ’ использование принципа сложения течений (суперпозиции), который обосновы- вается ниже, в § 1 главы 3, применительно к более общим усло- виям нестационарной фильтрации. На основании принципа супер- позиции решение инфильтрационной задачи можно представить в виде H = HW + АН, (II.3.21) где Нъ — решение инфильтрационной, задачи (для заданного рас- пределения w) при любых граничных условиях, а АН — решение плановой задачи без инфильтрации, но при граничных условиях,, определяемых их разностью для Н и Н^. Такой прием *, естествен- но, применим только в тех случаях, когда дифференциальные уравнения можно считать линейными, т. е. для потоков постоян- ной проводимости, однородного на горизонтальном водоупоре и горизонтально-слоистого. При прогнозе изменения уровней грунтовых вод в случае неизменного инфильтрационного питания в качестве Hw целесооб- разно принять напоры естественного потока Не. В такой поста- новке результирующий поток получается наложением на естест- 1 Идея такого приема для решения фильтрационных задач была высказана Н. К- Гиринским [7], а практически впервые он применен в работе [3]. 123
венный поток дополнительного, возникающего за счет влияния искусственных факторов; при этом дополнительный поток моде- лируется без учета инфильтрационного питания, которое автома- тически учитывается уровнями естественного потока. В частности, для потока постоянной проводимости в каждой точке напора ре- зультирующего потока Н находят как сумму напоров естествен- ного потока Не и дополнительного ДЯ, а напоры на границах дополнительного потока соответственно как разность напоров Н и Не на этих границах, причем формы границ принимаются таки- ми, какими они оказываются в условиях результирующего потока. Следует иметь в виду, что применение метода сложения течений не исключает необходимости учета фильтрационной неоднороднос- ти потока в плане [34]. Можно рекомендовать следующий порядок расчетов методом сложения течений: 1) строится фильтрационная схема результирующего потока: опреде- ляются внешние и внутренние границы потока, задается фильтрационная неод- нородность потока в разрезе и плане; 2) по контурам водоемов задаются на- поры результирующего и естественного потоков; 3) определяются граничные условия для дополнительного потока, причем форма границ дополнительного потока задается такой же, как для результирующего потока, а напоры на границах с заданным напором определяются как разность напоров результи- рующего и естественного потоков; 4) с заданными таким образом граничными условиями производится моделирование дополнительного потока, позволяющее определять величины ДЯ внутри области фильтрации; 5) суммируя величины и ДЯ, получают напоры результирующего потока в любой точке. Весьма эффективно можно применять моделирование для определения интенсивности инфильтрации по данным . режимных наблюдений путем решения обратных задач на плановых моделях. Следует иметь в виду, что на решение обратной инфильтрацион- ной задачи существенно влияет распределение проводимости плас- та Т в плане, которое должно задаваться по материалам опытно- фильтрационных работ с корректировкой по данным о литологии и механическом составе пород водоносного пласта. При построении такой модели целесообразно исключать гра- ницы, проходящие по рекам, каналам, озерам и прочим водоемам, поскольку на этих границах поток может быть существенно иска- жен за счет влияния сопротивления ложа таких водоемов. Поэто- му вдоль таких границ модель рекомендуется обрезать по линии, на которой по данным наблюдательных скважин может быть за- дано распределение уровня грунтовых вод. При решении обратной инфильтрационной задачи на сеточном интеграторе надо стремиться к тому, чтобы центры блоков совпа- дали (или были близки) с наблюдательными скважинами. При их несовпадении расчетные значения потенциалов в наблюдатель- ных точках (скважинах) приходится находить интерполяцией между их значениями в соседних блоках. После построения модели следует задаться максимальным и минимальным значениями напора //макс и //Мин так, чтобы все напоры потока располагались между этими значениями, и подсчи- 124
тать значения относительных потенциалов U в контрольных точ- ках, соответствующих месту расположения наблюдательных сква- жин с напором Н, по формуле (1.6.12). Далее задача сводится к тому, чтобы, варьируй значения потенциалов t/w, подаваемых на концы питающих сопротивлений, подобрать такую их комби- нацию, при которой расчетные значения потенциалов в контроль- ных точках совпадали с замеренными на модели. На сплошных моделях для точек, расположенных на расстоя- ниях, меньших 0,3 Ом от электрода, в модельные значения потен- циалов должна быть согласно (11.3.20) введена поправка Д£7, учитывающая дискретность задания питания на модели, поэтому расчетные значения потенциалов t/M на модели, соответствующие истинным значениям потенциалов £7, будут £7-]-А£7. Посколь- ку поправка Д£7 зависит от неизвестной заранее величины A£7W, то решение такой задачи ведется последовательным приближе- нием. После завершения подбора на модели снимаются значения AUw и величины интенсивности площадного питания w для каж- дого блока площадью F в соответствии с (II.3.19) подсчитываются но формуле* W w = RwF (II.3.22) При задании питания через сопротивления Rw на сеточной модели величина интенсивности инфильтрации после завершения моделирования подсчитывается по формуле (II.3.22) с заменой <хт на аф\ Для упорядочивания такого подбора можно исходить из пред- ставления общего вида решения инфильтрационной задачи в сле- дующей форме: п Н=Н, + Ы„ &Н„ = У w,/(> (П.3.23) 1 где Но — распределение напоров при заданных граничных усло- виях и отсутствии инфильтрации; AHW — изменения напоров за счет инфильтрации при нулевых граничных условиях; ft — безраз- мерная функция влияния от действия инфильтрации в каждом i-том блоке; Т — любая расчетная величина проводимости плас- та. При использовании этого выражения предварительно находят функции влияния в точках расположения наблюдательных сква- жин от каждого блока в отдельности. Для этого в каждый блок по очереди подается любая сила тока, величина которой регла- ментируется только тем, чтобы изменения потенциалов Д£7 в рас- четных точках были удобны для измерения. Поскольку Д£/м= “рмЛгДч, где рм — удельное сопротивление модели, соответст- 125
вующее расчетной проводимости Т, то, выражая /w,i через напря- жение д<£ на сопротивлении Rw,i в блоке, получим формулу Д[/ -Rw At/w Рм (II.3.24) Если задать число искомых значений Wf равным числу точек наблюдений, то, записывая в каждой точке наблюдений выраже- ния для Д/Ду, получим систему линейных уравнений, из которой находятся значения Wf. Если же число точек не соответствует числу блоков, то система либо недо-, либо переопределена и тре- буется привлечение методов оптимизации решения, использующих представление о функции качества, которая в оптимальном слу- чае должна иметь минимальное значение. Наиболее распростра- нена функция качества, представляющая собой сумму квадратов расхождений натурных и модельных напоров во всех точках на- блюдений [14, 15]. Использование методов оптимального поиска требует обычно применения ЭЦВМ. 3.3. Учет гидродинамического несовершенства водоемов и водотоков При свободной фильтрации, как показано в § 1 главы 2, по пло- щади водоема (водотока) задается инфильтрационное питание, моделирование которого не имеет заметной специфики. Поэтому в дальнейшем будут особо рассмотрены условия подпертой филь- трации у несовершенных границ. Теоретической основой решения таких задач является метод фильтрационных сопротивлений, также разобранный в § 1 главы 2. Сопротивление ложа крупного водоема учитывается сдвигом уреза водоема и соответственным удлинением потока на величину AL. На сплошных бумажных моделях это удлинение реализуется подклеиванием вдоль уреза водоема дополнительного листа бу- маги размером AL/az и удельным сопротивлением, соответствую- щим проводимости пласта у уреза водоема. Поскольку поток в этом листе должен идти только по нормали к урезу водоема, то по этому направлению в нем делаются прорези.' Если размеры та- кого листа оказываются слишком большими, то можно поставить бумагу большего сопротивления, пропорционально уменьшив раз- мер модели. В некоторых случаях (особенно при решении обрат- ных задач) целесообразно вместо сплошного дополнительного листа дискретно присоединить вдоль уреза водоема сопротивления AR (рис. 46, а), причем в общем случае, когда сопротивления Д7? комбинируются с листами бумаги длиной ALM и удельным сопро- тивлением рО, <п-3-25> AN ANM 126
Рис. 46. Построение электрических моделей вблизи контура водоема или водотока: а — подключение дополнительных сопротивлений на сплошной модели (1 — контур модели, 2— край дополнительного листа); б — разбивка сеточной модели вблизи контура водоема (заштрихованы граничные блоки с узловыми точками в их центре тяжести); в — задание сопро- тивлений ложа водотока по схеме «звезды» на сеточной модели; реа- лизация схемы «звезды» (г) и упрощенной схемы сопротивлений (д) водотока или дрены на бумажной модели (1—лист модели, 2— шина с потенциалом водотока, 3 — места склеивания листов бумаги, 4 — крепежный лист бумаги)
где AjVm — расстояние между сопротивлениями Д7?, A7V—ai&NM; Рм — удельное сопротивление модели у границы водоема. В случае отсутствия дополнительных листов (Д£м=0) граничные сопротив- ления подсоединяются через дискретные шины, при задании кото- рых должны выполняться определенные правила [14]. На сеточных моделях, построенных на основе прямоугольной сетки, граничные блоки в общем случае имеют неправильную фор- му (рис. 46, б). Узловые точки таких блоков задаются в их центре тяжести, а граничные сопротивления 7?Гр определяют, считая по- ток.направленным по нормали к граничному контуру, т. е. Я.Р = ак (П.3.26) '’Гр где Lrp—кратчайшее расстояние от центра граничного блока до контура границы; Nrv— ширина граничного контура в пределах блока. Результаты решения тестовых задач показывают, что обычно в граничных блоках имеют место повышенные погрешнос- ти моделирования, в связи с чем граничные блоки в модели надо считать «штрафными», т. е. замеры в них не должны использо- ваться в расчетах. Учет гидродинамического несовершенства внутренних водото- ков осуществляется на сеточных моделях по методу локальных сопротивлений (см. § 1 главы; 2), согласно которому под водото- ком задаются дополнительные сопротивления по схеме «треуголь- ник». На электрической модели обычно удобнее использовать схему «звезда» (рис. 46, в), которая состоит из сопротивлений 7?н = а^Фн и 7?н ~ а^Фн, причем Фн и Фн характеризуются экви- валентными длинами планового потока Ln и £н, связанными с т Г О эквивалентными длинами ьн и ьн соотношениями и = —, С = —(П.3.27) 21^ + 1° 2£„ + 1» На сплошных бумажных моделях эта схема реализуется под- клеиванием дополнительных листов (рис. 46, г), размеры кото- рых 6н, 6Н должны быть заданы пропорциональными эквивалент- ным длинам L„, LH, т. е. при удельном сопротивлении листов, равном удельному сопротивлению модели / н 6; =—-, (п.з.28) а/ а/ При малом размере канала или реки величина горизонтального сопротивления оказывается незначительной, в этом случае может быть использована упрощенная, схема с введением одного допол- нительного сопротивления Фвд—0,5 Фн (см. рис. 35, в), что на бу- мажной модели ЭГДА реализуется подклеиванием к модели вдоль 128
линии дрены листа бумаги той же проводимости, что и бумага модели (рис. 46, в), размером 6Ид = —Д,Д = о,5£„. (II.3.29) ai Если изменить удельные сопротивления листов, то размеры лис- тов изменятся в обратной пропорции. Подклеивание листов производится обычным электропроводным клеем, для устойчивости Рис. 47. Задание сопротивления ложа водотока на сеточной модели: а — разбивка модели и сетка у водотока на границе потока (1 — кон- тур водоема, 2 — узловые точки, 3 — границы блоков); б и в — под- ключение дополнительных сопротивлений ложа внутреннего водотока их можно клеить на плотной (неэлектропроводной) бумаге, а для исключения продольных токов следует делать поперечные про- рези. В сеточных моделях сопротивления ложа водотока реализуют- ся по схеме «звезда» подключением в узловую точку дополнитель- ного сопротивления R°, соответствующего фильтрационному сопро- тивлению Ф°, причем Ф° = (П.3.30) TN* ' б В. М. Шестаков 129
а также введением проекций фильтрационных сопротивлений Фв в сопротивления поля Фх и Фу, соединяющие блок водотока с со- седними блоками, так что здесь горизонтальные сопротивления Фх и Фу, соединяющие данный блок с соседними, должны опре- деляться по формулам / \ / , г" 1 / Дх' , ьн i Л 1 [ Ду , ьн . Фх = —-----------F ~— sin а„ ; Фи — — - 4- - - - sin а, х Т \ by NB х) Т \ Дх Ne 1 'У I ’ (П.3.31) где Дх', Д/ — расстояния от середины участка до. центра соседне- го блока; Дх, \у — ширина блока в соответствующем направле- а Рис. 48. Зоны внутренней разгрузки: а — родниковая разгрузка в эрозионной ложбине на поверхности конуса насоса (/ и 2 — дно и борта эрозионного вреза, 3 — пьезометрический уровень подземных вод, 4 — фациальная граница в водовмещающих отложениях, 4 — кровля водоупора); б—раз- грузка в солончаковую впадину (1 — пьезометрическая поверхность, 2 — поверхность земли, 3 — уровни грунтовых вод) нии; ах, ау — углы, составляемые каналом с линией, по которой задается сопротивление; — длина участка водоема в пределах данного блока (рис. 47). При расчетах сеток .сопротивлений на интеграторах учет гидродинамического несовершенства по упрощенной схеме в ус- ловиях плановой задачи производится путем добавления в узел блока, включающего дрену, дополнительного электрического со- противления 7?°=авФнд (рис. 47, в), причем величина Фнд опреде- ляется по формуле = (П-3.32) где — длина участка реки или канала в пределах данного блока (для линейных в плане потоков А^д—1 м). Рассмотрим теперь условия, задаваемые в зонах локальной разгрузки подземных вод, осуществляемой, например, в виде род- 130
ников (рис. 48, а) или путем испарения в солончаковых впадинах (рис. 48, б). В таких случаях, считая неизменным сопротивление рассматриваемой зоны разгрузки, получим, что расход разгру- жающегося потока фр будет линейно связан с напором Н под этой зоной внутренним условием третьего рода: Qp = (П.3.33) фр где Фр — фильтрационное сопротивление зоны внутренней раз- грузки потока; Яр — расчетный напор зоны разгрузки, который для родников принимается соответствующим отметке их выхода на поверхность земли (77р—?р), а для озер — отметке поверхнос- ти озера. Близкое условие задается при разгрузке потока в солон- чаковой впадине, где только условия разгрузки несколько ослож- няются, поскольку выход потока на поверхность земли происходит в два этапа: перетеканием до поверхности грунтовых вод с по- следующим испарением до поверхности земли. При расчетах изменений уровней Д77 исчезновению области разгрузки соответствует ее полная «инверсия», осуществляемая ✓чО путем задания в месте разгрузки питающего расхода фр, равно- го полному естественному расходу потока области внутренней разгрузки. Более подробно вопросы моделирования таких зон разгрузки рассмотрены в работе [14].
Раздел III МЕТОДИКА РАСЧЕТОВ И МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ При гидрогеологических расчетах процессы нестационарной филь- трации представляют интерес, как правило, при изучении потоков больших размеров в плане. Поэтому рассмотрение основных поло- жений методики расчетов нестационарной фильтрации будем производить прежде всего применительно к плановым потокам, особо выделяя только процессы влагопереноса в зоне аэраций, где движение потока идет в основном по вертикали. Глава 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛАНОВОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ § 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛАНОВОГО БЕЗНАПОРНОГО ПОТОКА Для вывода уравнения планово-плоского потока рассмотрим баланс бесконечно малого элемента потока основанием dxdy и высотой, равной мощности пласта (рис. 49). В этот элемент за время dt попадают расход qxdy по оси х и расход qydx по оси у, которые, выходя из элемента, получают приращения соответствен- но ~x dxdy и ~-y dydx. Кроме того, в элемент поступает ин- дх ду фильтрационный расход wdxdy (w — интенсивность инфильтра- ции; см. § 1 главы 5 раздела I); разница поступающих и выходя- щих расходов идет на приращение объема воды в блоке, интен- сивность которого определяется величиной р~—dxdy. Следова- 132
тельно, балансовое уравнение для рассматриваемого элемента будет qxdy 4- q^ix + wdxdy = qxdy + —x- dxdy + qjlx + dxdy 4- Ц dxdy. (III. 1.1) dy dt Рис. 49. Бесконечно малый элемент безнапорного плано- вого потока: 1 — водоупор; 2 — положения свободной поверхности После сокращений получим уравнение неразрывности планового потока в форме „2". =__________ dt dx ду (III. 1.2) Для планово-плоского потока справедлива предпосылка Дю- пюи о постоянстве горизонтальных' градиентов напора 1Х и 1У в каждом вертикальном сечении, причем можно считать, что дн j ==_дН_ дх' у ду (III.1.3) где Н — напоры на свободной поверхности, равные согласно (1.4.19) ее ординатам относительно плоскости сравнения напоров. 133
Следовательно, согласно (1.5.4) можно записать -выражения для компонентов удельных расходов qx и qy: qx = TI, = -T^-, qy = TIy = -T-^. (Ш.1.4) Cz Л Cz'и Подставляя (Ш.1.4) в (III.1.2), получим общее уравнение плано- вого потока 1 и ~Н-\ -д -(т + w. (III. 1.5) dt дх \ дх / ду \ ду / Уравнение (III. 1.5) является нелинейным, поскольку в общем случае проводимость Т меняется не только в пространстве (в пло- скости ху), но и в зависимости от изменений напора Н. Наиболее эффективным практическим путем решения задач плановой не- установившейся фильтрации оказывается линеаризация уравне- ния (III. 1.5), методика которого зависит от расчетной схемы строения пласта по вертикали. Для условий постоянной проводимости Т=Т(х, у) и сравни- тельно однородного в плане потока допустимо осреднение значе- ний проводимости пласта Т как в пространстве, так и во времени. Тогда величина Т выносится за знак производных, и уравнение (III. 1.5) может быть представлено в виде a dt dx2 ду2 Т' ц причем величина а, определяющая скорость изменения уровня потока во времени, может быть названа коэффициентом уровне- проводности. Для схемы Дюпюи (однородный по вертикали поток на гори- зонтальном водоупоре) T=kh, а, задавая плоскость сравнения на уровне поверхности водоупора, получим H=h, так что уравне- ние (III.1.5) в этом случае принимает вид д /, < dh \ . д /,. dh \ . /ттт i -7^ ц — ~-----kh -— J----------\kh —+ w. (III. 1.7) dt dx \ dx / dy \ dy/ / h2 \ Поскольку hdh ~ d I — j, то уравнение (III.1.7) можно также за- писать в виде , Л h2 х , h2 х , Л / д — \ / d — \ v/i д I 1 2 I д I * 2 I j /ттт 1 = v +,w‘ (III. 1.7а) dt дх \ дх J ду \ ду / Уравнение (III. 1.7), по предложению Ж. Буссинеска (52], можно линеари- зировать, осреднив глубину потока h под знаком пространственной производ- 1 Для однородного по вертикали потока такое уравнение впервые было полу- чено Ж- Буссинеском [52]. ' 134
ной. Для однородного в плане потока (k = const) линеаризированное таким приемом уравнение (III.1.7) примет вид 1 dh d2h d2h w khcn a dt dx2 dy2 khCp p, (III. 1.8) где hCp — осредненная глубина потока. Несколько более эффективна линеаризация уравнения (III. 1.7) по способу Багрова — Веригина (38, 49], когда используется форма уравнения (Ш.1.7а), dh 1 в котором делается преобразование <р=0,5й2, приведем уравнение (III.1.7а) к виду dh2 . Введя далее функцию р, дф д2ф д2(р w kh dt dx2 dy2 k ' (HI .1.9) Для линеаризации уравнения (III.1.9) осредняем величину h в левой части этого уравнения: 1 д(р д2ф д2ф w khcn + “5 з +V- а = ~ • Ш.I.Ю) a dt dx2 dy2 k p, где.йер — осредненная глубина потока, рекомендации по определению которой приведены в работах [34, 46, 49}. Можно также показать, что для горизонтально-слоистого пласта (схема Гиринского) дифференциальное уравнение прини- мает вид 1 ас d2G . d2G , Т /ТТТ . . a dt dx2 dу2 71 р ' Если в этом уравнении осреднить параметры Т и ц, то оно тоже примет линеаризованную форму. Сопоставляя линеаризованные дифференциальные уравнения (III.1.6), (III.1.10) и (III.1.11), можно видеть их формальную однотипность, причем они переходят друг в друга по правилам замены (II. 1.5), обоснованным ранее для условий стационарного режима. Поэтому для условий нестационарной фильтрации снова целесообразно рассматривать методику построения расчетных за- висимостей применительно к схеме пласта с постоянной проводи- мостью. Использование же схем Дюпюи и Гиринского можно ре- комендовать лишь для таких условий, когда изменения мощности пласта вызывают существенные изменения его ' проводимости, причем оказывается допустимым задание горизонтального водо- упора. При этом расчетные зависимости могут быть получены не- посредственно исходя из зависимостей, составляемых для основной расчетной схемы с использованием общих правил перехода. Заметные изменения в характере развития нестационарного режима фильтрации может вызвать слоистое строение безнапор- ных пластов и особенно наличие слабопроницаемых покровных отложений, в которых располагается свободная поверхность пото- ка. В этом случае распространение потока в плане происходит в 135
основном по нижнему хорошо проницаемому слою, а верхний слой играет экранирующую роль, обусловливая заметное прояв- ление перетекания между основным слоем и уровнем свободной поверхности (рис. 50). В таких условиях структуру потока можно принимать, используя предпосылки перетекания, т. е. считая в Рис. 50. Элементы потока в двухслойном пласте: а и б — однородное и слоистое строение покровных отло- жений нижнем слое справедливой предпосылку Дюпюи, а в верхнем слое принимая вертикальное направление течения. Дадим в такой постановке вывод дифференциального, уравнения для напоров Н и уровней свободной поверхности Н°. Уравнение неразрывности потока в нижнем слое получим аналогично выводу уравнения (III. 1.2), положив только ц=0 (т. е. пренебрегая упругими запа- сами пласта в нижнем слое) и заменяя w на скорость перетека- ния ип: + = (III. 1.12) дх ду Выражение для скорости вертикального перетекания получим из (1.5.7) при \HZ=H°—Н, mz—tnn и kz=kn: vn = kn-^--H-, (Ш.1.13) /Пп 136
где kn—расчетный коэффициент фильтрации покровного слоя, определяемый с учетом неоднородности строения согласно общему выражению (1.5.8). Выражая далее qx и qy согласно (III.1.4), по- лучим уравнение д дН ч . д дН \ н~но /ITt . ... V Г Т' =^п---------• (П1.1.14) дх \ дх / ду \ ду / тп Кроме того, следует составить уравнение баланса вертикального элемента потока в покровном слое. Исходя из того, что за время dt к свободной поверхности подходит поток (w—vn)dt, приводя- щий к приращению объема воды в единичном элементе покров- аяо .. ного слоя на величину ц--------dt, получим уравнение dt и .=sw__t,n=sw + ^n__-------------. (III. 1.15) Ot ГПЯ Уравнения (III. 1.14) и (III. 1.15), строго говоря, являются нели- нейными, поскольку величины тп и kn (при слоистом строении покровного слоя) зависят от положения уровня свободной поверх- ности. Однако обычно эти величины можно осреднять и тем самым линеаризировать уравнения (III.1.14) и (III.1.15). Упражнение. Определить расчетное значение коэффициента фильтрации ku покровных отложений, состоящих из двух слоев (см. рис. 50). Ответ: используя метод фрагментов, получаем *п=—, (III.1.16) тп , тп ! I п ь ь кп кп Для характерного случая, когда нижний слой покровных отложений зна- чительно менее проницаем, т. е. при kn<^kn в выражении (III.1.16) можно // ’// г г пренебрегать членом и считать knimn — knlmn вне зависимости от положения уровня грунтовых вод: § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛАНОВОГО НАПОРНОГО ПОТОКА (УПРУГИЙ РЕЖИМ ФИЛЬТРАЦИИ) Нестационарная фильтрация в напорных пластах связана в основ- ном с проявлением их упругих свойств, общие закономерности которых рассмотрены в § 2 главы 3 и § 1 главы 4 раздела I. При- ведем вывод дифференциального уравнения упругого режима фильтрации для планового потока с учетом изменения внешнего давления на кровлю пласта (рк), возникающего под влиянием гидродинамических факторов. 137
Выделим бескойечно малый элемент пласта площадью dx dy й высотой на полную мощность пласта (рис. 51). Количество воды в этом элементе потока dW~ JF0 dx dy, где Wo=y пт — количест- во воды, содержащееся в элементе потока единичной площади в плане. Поскольку в единичном элементе пласта величина —-- - 1 е представляет собой объем скелета грунта, который считается не- изменным, то эту величину можно вынести за знак дифференци- рования и тогда Жо dt Свяжем далее изменение объемного веса жидкости у и коэф- фициента пористости 8 с изменениями давления в жидкости р и в скелете породы рск. Используя для воды закон Гука (1.3.29), а для породы закон компрессии (1.3.30) и подставляя эти выраже- ния в (III.1.17), получим dt 1 + е \ dt dt / (III. 1.18) Согласно (1.1.2) имеем дрек _ дрп _____ dp /jjj । jg. dt dt dt ’’ Рис. 51. Бесконечно малый эле- мент планового напорного потока а выражая изменения давления dp через изменения напора у dH, получим Рс* = _дРп_ _ _дН_ (JJJ L20) dt dt 1 dt ’ ' Подставляя Эти выражения в (III.1.18), поЛучим / Q dH , dH • Y eyPB---- + vav— - —а, \ dt [dt dW0 _ __m ~dt ~~ T-f- * dH ymaa =w — 0 dt / -Pn-, (III. 1.21) dt где p* — коэффициент упругой емкости пласта, выражаемый фор- мулой (1.3.36). Записывая уравнение материального баланса воды в беско- нечно малом элементе пласта, после сокращений получим уравне- ние неразрывности 1 dlFp __ dqx__dqy (III 1 22) у dt dx dy ’ 138
где qx и q9—компоненты расхода фильтрационного потока, опре- деляемые по формулам Дюпюи (III.1.4). Подставляя их выраже- ния (Ш.1.4) в это уравнение и учитывая (III.1.21), получим ц* = А. (т ~Н- Л -I- (Т ~~ ф —yvn, (III. 1.23) dt дх \ дх / ду \ ду / 1 + е 1 dpn где £>п = — “ — скорость изменения внешнего давления на у dt кровлю пласта, выраженного в единицах водного столба. Дифференциальное уравнение (III.1.23) в общем случае яв- ляется нелинейным, поскольку входящие в него'параметры зависят от давлений в породе [3, 16, 38], причем эта зависимость может быть даже неоднозначной [2, 3, 38]. Однако для практических расчетов оно обычно линеаризуется путем осреднения параметров и для однородного пласта представляется в виде дН / д2Н , д*Н \ , /ттт . о.. ----= а [------------- + a„t>n, (III. 1.24) dt \ дх* 1 ду* ) р п ’ аналогичном линеаризованному уравнению (III.1.6) для планово- го безнапорного потока. Параметр а, названный В. Н. Щелкаче- вым коэффициентом пьезопроводности [ЙО], и параметр передачи давления ар имеют выражение а = — - == ~ ° + в*-, a = —а°- —. (III. 1.25) ц* у (av 4- е₽в) р av -f- ерв Сопоставляя уравнения (III.1.23) и (III.1.5), нетрудно увидеть их аналогичность, причем уравнение упругого режима (III. 1.23) переходит в уравнение для безнапорного потока (III. 1.5), если заменить ц* на ц и арр,*£>п на w. Это обстоятельство дает возмож- ность унифицировать решения для безнапорного и напорного пла- новых потоков. В заключение отметим, что деформации породы в процессе упругого режима фильтрации при снижении напора в пласте при- водят к уменьшению мощности пласта, которое должно повлечь за собой такую же по величине осадку поверхности земли. Вели- чину этой осадки можно оценить из условия постоянства объема скелета породы, представляемого в виде m~m0 (III. 1.26) 1 4-е0 где т0 и 8о — исходные значения мощности пласта и коэффициен- та пористости. Тогда изменение мощности пласта будет кт = — —'Де. (III. 1.26а) 1 + е0 Из закона компрессии (1.3.30) Дб= —а®Дрск, а при отсутствии изменения давления на кровлю пласта ДрСк=—Др=—укН, так 139
что выражение (in.i.zoa) можно представить в виде Дт = Л2^.ДЯ, (III. 1.27) т. е. осадка поверхности земли, равная изменению мощности плас- та Ат, оказывается пропорциональной изменению напора А/7, мощности пласта и коэффициенту сжимаемости породы. При слоистом строении водоносных отложений величина осадки опре- деляется суммированием Значений Ат, определяемых по формуле (III.1.27) для каждого слоя в’отдельности. В настоящее время имеется довольно много данных наблюде- ний за осадкой поверхности Земли, зафиксированной в связи с водоотбором подземных вод. Большие осадки поверхности земли в связи с водоотбором подземных вод наблюдались, например, в г. Токио (3,3 м за 50 лет и 1,5—2 м за последние 30 лет), в доли- не Сан-Хоакин, штат Калифорния, США (до 2—3 м за 50 лет), в г. Мехико (до 5—7 м с 1880 г.), а также в ряде других зон ак- тивного водоотбора подземных вод [10, 55]. § 3. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПЛАНОВЫХ ПОТОКОВ Для плановых потоков краевые (начальные и граничные) усло- вия, обусловливающие однозначность решения, имеют ряд Особен- ностей, требующих специального рассмотрения. Начальное распределение напоров обозначим через Но(х, у)\ при неизменной во времени или слабо изменяющейся величине инфильтрации учет начального распределения напоров удобно производить по принципу суперпозиции (сложения течений), пред- ставляя решение уравнения нестационарной фильтраций в виде Н=-.Н0^ кН, (III. 1.28) где кН=кН(х, у, /)—изменения напора относительно началь- ного. Начальное’распределение напоров, образовавшихся в резуль- тате всей предыдущей истории формирования подземных вод, опи- сывается теми же дифференциальными уравнениями. В частности, для потока грунтовых вод используем для распределения напоров' уравнение (III. 1.5). Тогда для исходных напоров будем иметь дН0 = а / d2H0 _а2Я0 \ wQ dt \ дх2 ду2 / ц (III. 1.29) где Wo — интенсивность инфильтрации, соответствующая началь- ному распределению напоров. Вычитая из уравнения (III.1.5) уравнение (III.1.29), получим dkH / d2kH . д2АЯ \ . Aw А /ттт . —^7~=а “Г4-+-Т7ГМ-—-» Aw = w—w0, (III. 1.30) dt \ dx2 dy2 / ц 140
т. е. изменение напора ДН описывается уравнением теплопровод- ности при интенсивности'инфильтрации, равной разности значё- ний на текущий и начальный моменты времени. При неизменном инфильтрационном питании (w=w0) уравнение (III. 1.30) примет вид дДЯ = а 4- д^н \ dt \ дх2 ду2 )’ (III.1.31) т. е. в этом случае изменения напоров относительно начальных не зависят от инфильтрационного питания, причем начальное условие для величины ДН будет нулевым, т. е. ДН (х, у, 0) —0. Рис. 52. Графики изменения уровней во времени: 1 — периодические колебания естественного режима; 2 — продолжение графика естественного режима — график начальных уровней Яо; 3 — график подпора Дл; 4 — результирующий напор п—Н0+&Н В общем случае величины Но, от которых отсчитываются рас- четные изменения уровней ДН, могут быть переменными во време- ни, однако они, разумеется, должны быть известны в течение всего расчетного периода времени. С этой точки зрения наилучшими являются такие условия, когда исходные уровни Но задаются при стационарном режиме' Достаточно определенными представляют- ся исходные условия, когда уровни Но периодически изменяются в течение каждого года, причем такие периодические изменения могут быть продолжены на расчетный период времени (рис. 52). Если же в начале расчетного периода времени имеет место существенно нестационарный режим, обусловливаемый влиянием внешних факторов, то величина Но должна быть предварительно спрогнозирована путем решения дифференциального уравнения (III. 1.29) для условий, предшествующих расчетному периоду вре- мени. Рассмотрим теперь форму основных граничных условий для плановых потоков. По контуру водоемов, у которых практически отсутствует сопротивление ложа (такие случаи характерны, на- пример, для рек, протекающих в чистых песчано-гравелистых от- 141
ложениях; рис. 53, а), и по контуру границ между отдельными фрагментами потока задается граничное условие первого рода (заданные величины расчетной функции — напора): (III. 1.32) где индексом «г» обозначена пора к граничному контуру. а принадлежность точек задания на- 5 Рис. 53. Граничные условия на контурах планового потока: а — контур водоема с заданным напором (граница первого рода); б — контур с. заданным расходом (граница второго рода); в — контур не- совершенного водоема (граница третьего рода); г — внутренний кон- тур несовершенного водоема (внутреннее условие третьего рода) Для функции изменения напора ДН условие (III. 1.32) прин- ципиально сохранит свой вид: ДНГ = ДН° (0 = - Hj, (III. 1.32а) т. е. величина изменения уровня воды на границе ДН° отсчиты- вается от естественных (начальных) уровней Но на этой границе. 142
По контурам, где нарушается сплошность потока (например, по контуру причленения террас; рис. 53, б), неизменным во вре- мени может считаться расход потока, т. е. задается условие вто- рого рода — заданные величины производной от расчетной функ- ции по нормали п к контуру: MJ -__?<£)_ дп )г Т (III. 1.33) Для часто встречающегося случая непроницаемого контура ^(г>—0 и условие (III.1.33) принимает вид (—} =^=0. (111.1.33а) \ дп ) г При задании в, качестве расчетной величины Д7/ общее гра- ничное условие (III. 1.33) по своему виду превращается в частное условие (Ш.1.33а), поскольку при неизменном во времени / дН\ \ / дН0 \ расходе qr имеем ------ = (——- и \ дп /г \ дп /г =0, (III. 1.336) дп / г \ дп ) г \ дп / г т. е. контур с граничным условием второго рода при этом как бы превращается в непроницаемую границу. В более общем случае на контуре водоемов, ограничивающих поток, задается условие третьего рода (линейная зависимость между напором и производной от напора по нормали к контуру), которое в соответствии с зависимостью (П.2.6) может быть пред- ставлено в следующем виде: = __ ( J”L\ = _яг-я° # (Ш. 1.34) Т \ дп./г AL ' При расчетах изменения напора ДН граничное условие (III. 1.34) соответственно принимает вид дьн \ дп / г _ДЯГ — ДЯо __ Д£ (III. 1.34а) а при неизменном уровне в водоеме (ДН°=0) получим условие = (III. 1.346) \ дп ) г Д£ v ’ Кроме внешних границ могут существовать внутренние контуры питания и стока. При' наличии внутренних водоемов (небольших рек, каналов, озер и т. п.) задаваемые на их контурах условия прежде всего определяются установлением под ними свободного или подпертого режима фильтрации. 143
При свободной фильтрации из водоема по площади его рас- пространения задается зона инфильтрации (площадного питания), интенсивность которого определяется скоростью фильтрации из водоема согласно (П.2.1). Для рек небольшой ширины площадное задание инфильтрации из реки сводится к заданию удельного рас- хода потока, инфильтрующегося на единицу длины реки. При подпертой фильтрации вблизи протяженных внутренних водоемов (например, рек, каналов) на контурах их урезов уста- навливаются внутренние условия третьего рода, реализующие ли- нейную связь расходов и напоров на контурах водоема, опреде- ляемую согласно (II.2.14) или (II.2.16). В частном случае для реки или канала небольшой ширины, когда сопротивлением Фи можно пренебречь и система сопротивлений ложа водоема сводит- ся к сопротивлению Фнд (см. рис. 36, в), получим упрощенное вн)'рённее граничное условие третьего рода, в котором разрыв расходов qr и qr по нормали к контуру реки линейно связан с напором в реке Н°, т. е. q'r-qr = Т^Н", (Ш.1.35) Ч1Д где Нг — напор, который устанавливается в водоносном пласте под рекой. В процессе измененйя уровня под водоемом может произойти смена режимов: при опускании уровней подпертый режим может смениться на свободный и наоборот, что приведет к смене рода граничных условий, поскольку внутреннее условие второго рода (заданный расход инфильтрации из водоема) сменится на внут- реннее условие третьего рода (III.1.35). Это обстоятельство долж- но учитываться и при модификации граничных условий для функ- ции изменения уровня ЛЯ. Так, если в начальный момент существовал подпертый режим, до при переходе его на свободный под водоемом должен задавать- ся расчетный инфильтрационный расход AQr, определяемый как разность инфильтрационного расхода Qr и начального расхода из водоема Qr (положительного при фильтрации из водоема и от- рицательного при направлении начальной фильтрации в водоем). Таким же путем должно учитываться исключение внутренних зон разгрузки (родники, солончаковые впадины и озера), как это по- казано в § 3 главы 3 раздела II. Глава 2 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПЛАНОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ Аналитические методы расчетов нестационарных плановых пото- ков, как правило, основываются на решениях линеаризованного дифференциального уравнения (III. 1.29), относящегося к уравне- 144
ниям математической .физики параболического типа (уравнение Фурье или теплопроводности). Рассмотрим методику составления и использования аналитических решений нестационарных задач плановой фильтрации для одномерных (линейных в плане) пото- ков, с направлением которых будем совмещать координатную ось х. Тогда дифференциальное уравнение (III. 1.30) примет вид д АН __а д2 кН । Aw dt dx2 Ц а при неизменной инфильтрации д кН д2 кН — а dt--------------dx2 (III.2.1) (111.2.1а) Графичные условия для линейных в плане потоков устанавли- ваются применительно к двум основным схемам: открытого и полуоткрытого потоков (рис. 54, а, б), причем в открытых.потоках на границах задаются изменения напоров, но в полуоткрытых по- Рис. 54. Схема границ линейных в плане нестационарных потоков: а — открытый; б — полуоткрытый; в — полуограниченный; г — симме- тричный (1, 2, 3 — начальная, текущая и предельная кривые депрес- сии) токах на одной границе задается изменение напора, а другая счи- тается непроницаемой. Кроме того, существенна схема полуогра- ниченного потока (рис. 54, в), когда изменения напора задаются на одной границе, а другая считается отнесенной в бесконечность. Такая схема может рассматриваться при условии, что влияние изменения уровня на одной из границ практически не распростра- няется до другой (противоположной) границы. 145
§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ Аналитические методы решения дифференциальных уравнений вида (III.2.1) и (III.2.1а) широко представлены в трудах по мате- матической физике, особенно для задач теплового поля [28]; ис- пользование и развитие этих методов применительно к задачам нестационарной фильтрации прежде всего связаны с работами С. Ф. Аверьянова, Н. Н. Веригина, П. Я. Полубариновой-Кочиной,. И. А. Чарного [3, 7, 21, 34, 36, 38], Ч. Джекоба, М. Хантуша [14, 56]. В настоящее время разработан широкий арсенал таких решений, из которых ниже приводятся наиболее употребительные для геофильтрационных расчетов. Они могут быть использованы для однородных потоков при любых граничных условиях (при неизменности их рода). В качестве фундаментальных рассмотрим решения уравнения (Ш.2.1а) при нулевых начальных условиях и изменении напора на одной границе (х=0) либо мгновенном — на величину ДЯ0> либо по линейному закону — с постоянной скоростью v [7, 28, 34]. При мгновенном изменении уровня на границе х=0 краевые условия для ДЯ(х, t) формируются следующим образом: ДЯ (х, 0) = 0, ДЯ (0, 0 = ДЯ°. (III.2.2) Общий вид решения этой задачи будет ДЯ = ДЯ<>Г(х, 0, (III.2.3) где функция F(x, t) зависит от типа потока, условий на противо- положной границе и неоднородности потока по его длине. Для однородного полуограниченного потока F(x,O=erfcX=l— Ф(Х), Х = —(III.2.4) 2 у at Значения функции erfcX и интеграла вероятности Ф(Л) = 1—erfcX определяются по таблице, приведенной в приложении. Для ограниченного открытого потока (при неизменном уров- не на границе x—L) получим F (х, 0 = Л (х, г); х = т = (Ш.2-.5) где Л (х, Т) = А У ~L^n4sin (III.2.6) л п л=1 причем значения функции Fi(x, т) определяются по таблице, при- веденной в приложении. Для открытого потока при изменении уровня воды на обеих границах величина ДЯ определится как сумма изменений уровня, подсчитанных от дей- ствия изменения уровней на каждой границе в отдельности. Например, если на 146-
границах х=0 и x=L.происходят мгновенные изменения уровня на величину ЛЯ° и АД' в моменты 7=0 и /=f соответственно, то, взяв за основу решения (III.2.5), получим уравнение для определения суммарного изменения уров- ня ДЯ: (III.2.7) ая = дя«.р1(х, т)-ь дя,.р1(1 ~х, т—tz), -t = дН Если положить Но=const и ДЯ°=ДЯ, то в силу симметрии ~ $х~ х = 0,5 L, поэтому полученное таким образом решение соответствует луоткрытого потока длиной 0.5L. Например, при мгновенном изменении уров- ней на границе х=0 решение для этой схемы примет вид = 0 при схеме по- ДЯ = ДЯоГа(х, т), (III. 2.8) причем F^x, —“J’ (1П.2.9) При линейном изменении уровня на границе х=0 граничные условия для АН будут АН (х, 0) = 0, АН (0, 0 = vt. (III.2.10) Общий вид решения для этого случая АН = vtF0(x, t), (III.2.И) где безразмерная функция Fv(x, t) также определяется в зави- симости от типа потока. Для полуогр а ничейного потока Fv( х, /)=7?(Х); для ограниченного откры- того потока (при неизменном уровне__на границе x=L) Fv(x, f)=Rt(x, т), причем значения функций 7?(Х) и Ri(x, т) определяются по таблицам, приве- денным в приложении; для ограниченного полуоткрытого потока (граница x=L непроницаема) решение при линейном * изменении уровня на границе х=0 может быть получено по такой же методике, что и для разобранного выше случая мгновенного изменения уровня на границе, т. е. в таких условиях Fv 0 — R2 (х> т) — ( 2 ’ 4 ) + 1 — 2 ’ 4^" (IH’2'1 la) Для учета гидродинамического несовершенства водоема зна- чительной ширины на границе его уреза должно задаваться гра- ничное условие третьего рода (III. 1.34). Решение такой задачи в случае мгновенного изменения уровня на границе х=0 на величи- ну АН0 и при нулевом начальном условии [28] имеет вид (111.2.4) при F (х, 0 = F (X, 0) = erfc X — exp (02 4- 2X0) erfc (X + 0)) (III.2.12) к = _ А , 0 = /“L. 2/аГ 147
В частности, в сечении уреза водоема (на границе х=0) измене- ние уровня АНо будет АЯ0 = А№ Fo (0), Fo (0) = F (0, 0) - 1 — е* • erfc 0. (III.2.13) График функции F(X, 0) поиведен в работах [28, 34]. Приближенно сопротивление ложа водоема можно учитывать, удлиняя поток на величину ALt, зависящую при нестационарном режиме от времени; такое решение рассматриваемой задачи в соответствии с (Ш.2.2) будет иметь вид / % ~Н A L/ \ \Н = Atf°erfc -----— —~ , (III .2.14> \ 2 у at / причем величину ALt рационально подбирать из условия совпадения значений АЯ0 (при Хг=0), определяемых согласно (III.2.13) и (III.2.14). Полученная таким образом зависимость представлена следующими данными: 0 л Г AL/ = —- AL 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0,23 0,37 0,48 0,62 0,71 0,8 0,88 0,92 0,95 0,985 Как видно, при 0>2,5, т. е. при 5%) можно считать AL/=AL. AL<0,4 at, практически (с точностью до Рис. 55. Ступенчатый (а) и ломаный (б) графики изменения граничных уровней Применение метода сложения течений позволяет распростра- нить приведенные выше фундаментальные решения на более об- щие случаи ступенчатого или ломаного закона изменения уровня 1 на границе х=0 (рис. 55). При ступенчатом графике решение для начальной ступени (при имеет вид (III.2.3) при А//0 = А//р. Для первой до- 1 Впервые аналогичная методика (при другой форме линеаризации уравнения нестационарной фильтрации) применена Н. Н. Веригиным [6]. 148
полнительной ступени (при ti^t^tz) решение получается сложе- нием решений от двух ступеней изменения уровня на границе — начальной A Hq, действующей с момента времени t=0, и допол- нительной АЯ?, действующей со сдвигом во времени на величи- ну ti, т. е. в этом случае кН = АЯ°0 F (х, 0 + АЯ° F (х, t — tj. Соответственно для любой n-й ступени (при tn^.t^.tn+i) = — (III. 2.15) Рис. 56. Примеры графиков изменения уровней на границах потока При ломаном законе изменения уровня решение для началь- ной ветви имеет вид (Ш.2.11) при d=d0. Для ветви после перво- го излома (при решение получается сложением реше- ний от двух ветвей — начальной, со скоростью изменения уровня г»о и первой дополнительной, со скоростью изменения уровня Di=d0 с момента времени t—ti. Суммарное изменение уровня для этой ветки будет kH=vtFv(x, /)4-(di—Do) (t—ti)Fv(x, /—/i). Соот- ветственно для ветки, следующей после n-го излома (при tn<.t<Z </п+1), решение представится в виде Mi=votFv (х, О -Ь £ (Pi — fi-i) (/ ~ h) Fu (*» t “ ti). (III.2.16) i =i Упражнение. Составить решение уравнения нестационарной фильтрации (Ш.2.1) для полуогра ничейного потока, у которого на границе х=0 задаются изменения уровня по графикам, представленным на рис. 56. График на рис. 56, а при 1>Ц: кН = AZ7° erfc % + V1tR (%) — vx (t — R (Xj); _ _ x _ ________x_______ V1 /i ’ ^Vat ’ 1 2 /a (t — ti) 149
График на рис. 56, б при ДН = AH® erfc X — 01 (f — /?'(М; ДН® х х 01 “ h — ii ’ Kz= 2V"aT ’ 2V‘a(t^i^' ‘ То же при /><а: . ДН = ДН§ erfc % — 01 (t — 4) R (Хг) + 01 (t — /а) R (Ъ) + ДН® erfcX2, 2 у"a (t — t2) При расчетах многолетнего режима с учетом внутрисезонных циклических колебаний уровня ha границе (при сезонных коле- баниях уровня воды в водохранилище, периодической работе кана- лов и т. п.) существенного упрощения можно достигнуть исходя из того, что внутрисезонные колебания уровня относительно сред- него имеют практическое значение только в последний расчётный год. В связи с этим циклический график изменения уровня на границе разделяется на_две части (рис. 57) — первая представ- ляется постоянным уровнем, соответствующим среднегодовому изменению уровня АЯ?Р, а вторая представляет собой дополни- тельный график разницы между действительным графиком уровня и его средним значением. Расчет по среднему уровню производит- ся на весь расчетный период времени, а расчет по дополнитель- ному графику может производиться только в течение последнего года перед расчетным моментом времени. В качестве примера такого расчета рассмотрим решение для подпора грунтовых вод массива, на границе которого (х=0) за- дан периодический закон изменения уровня воды по графику рис. 57, а. Соответствующий дополнительный график изменений уровней А Я?, полученный из графика рис. 57, а при времени А-Иг, равном одному году, приведен на рис. 57, б. В этом случае подпор грунтовых вод, определяемый среднемноголетним измене- нием уровня на границе АЯ?Р, рассчитывается по формуле (III.2.3) при АЯ° = АЯ?Р, а дополнительные изменения уровня АЯ/, определяемые сезонными колебаниями уровня АЯ° за по- следний расчетный год, рассчитываются по уравнению (III.2.15) для ступенчатого изменения уровня на границе при двух ступе- нях АЯ? и АЯ?, действующих соответственно в течение времени /14-^2 и h, так что в уравнении (III.2.15) надо заменить АЯ? и АЯ на — АЯ? и АЯ? -? АЯ?, а t на +12, после чего получим выра- жение АЯГ — — AHq F (х, -f- fa) + (АЯ? АЯ?) F (х, Покажем теперь методику построения аналитических зависи- мостей для расходов фильтрационного потока на его границах, величину которых необходимо, например, знать для определения 150
фильтрационных потерь в бортах водохранилищ и каналов. Для этого воспользуемся общими выражениями (ПЛ.4) для удельного расхода планового потока, причем, используя принцип сложения течений для учета начального потока, т. е. исходя из выражения (III. 1.28) для результирующего напора запишем выражение для Рис. 57. Периодическое изменение граничного условия: а — исходный график; б — дополнительные изменения уровня за послед- ний цикл удельного расхода линейного в плане потока, направленного па оси х, в виде ' п т дН т дН0 т дЬН , Q = Qx = — Т—д - = — Т - —— = q0 — Aq; дх дх дх qQ==~T ~Н° -, Aq = —T-^H, (III.2.17> дх дх qQ— удельный расход начального потока, a Aq— изменение удель- ного расхода в процессе нестационарной фильтрации. Величину Sq можно найти в различных условиях, подставляя в (III.2.17) 151
«соответствующие выражения для ДЯ. Например, при задании мгновенного изменения уровня на границе х=0 (условие первого рода), когда велйчина ДЯ определяется уравнением (III.2.3), по- лучим Aq = — Т = __ 7 дя° — (х ’ , (III.2.17а) дх дх причем для полуограниченного потока, где функция F(x, t) выра- жается согласно (III.2.4) dF(x, t) _ д erfc А, ' д erfc А, дк __. дх дх дк дх о 1 е~№ =------------------ ---- -------. , (III.2.176) У л 2 )/ГаГ У л at а, положив в (III.2.176) х = 0 (при этом е~= 1) и подставив полученное выражение производной в (Ш.2.17а), получим форму- лу для удельного расхода Aq° дополнительного потока на границе = (Ш.2.18) у л at Аналогичным путем можно получить выражение для расхода Aq° на границе х=0 ограниченного потока, где при т<0,2 влия- ние противоположной границы не проявляется и величина AqQ определяется выражением (III.2.18), а при т>0,2 можно с точ- ностью до 1—2% пренебрегать всеми членами рядов, входящих в функции Г0(х, т) и Fi(x, т), кроме первого, так что в этом слу- чае для открытого потока при неизменном уровне на границе x—L Aq°(t) = -ТЬН°_ (1 +2e-^), (III.2.18а) а для полуоткрытого потока Aq°(t) = 2—^Н°~е * . (III.2.186) При мгновенном изменении уровня в экранированном водоеме (граница третьего рода) расход потока на границе х=0 будет q = T — ~H\ (Ш.2.19) AL где Но — уровень потока на границе х=0 (за экраном), Измене- ния которого определяются согласно (III.2.13). При ступенчатом изменении уровня на границе х=0 выражения для рас- хода потока на границе можно непосредственно .получить, используя принцип сложения течений, согласно которому для n-й ступени изменения уровня 152
д9° (0 = У] д 9? (t - А), (III .2.20> i=O где величины kq^(t— ti) находятся по приведенным выше выражениям с за- меной Д//° на величину соответствующей ступени ДЯ°. при равном времени начала i-той ступени. Например, при задании, ступенчатого изменения уровня на границе полуограниченного потока, когда величины Д q® (t — trf должны оп- ределяться из (Ш.2.18), получим V лн< Щ>=Т У , (III.2.21) 4 Y ла (t — ti) i=i При двухслойном строении безнапорного водоносного пласта (см. рис. 50) может существенно нарушаться плановый характер потока за счет влияния перетекания в покровном слое. В этом случае выражения для изменений уровней свободной поверхности Д/г в верхнем слое и напоров ДЯ в нижнем слое могут быть полу- чены из решения системы дифференциальных уравнений (III. 1.14— III. 1.15) при заданных начальных и граничных условиях для изме- нения напоров. В частности, фундаментальная задача по опреде- лению изменений напоров ДЯ в полуограниченном пласте при мгновенном изменении напора в граничном сечении х=0 на ве- личину ДЯ°, т. е. при краевых условиях ДЯ(х, 0)=0 и ДЯ(0, /)=ДЯ°=сопз1 и неизменной инфильтрации имеет решение (Ш.2.3), в котором F(x, /) = Ен(Х,0) % =------а =0=--—П^ , (III.2.22) 2 V at ц цтп причем значения фундаментальной функции ГН(Х, 0) для двух- слойного пласта приведены в приложении. При больших 0 вели- чина Fnfh, 0) приближается к значениям erfcX, т. е. влияние пере- текания в покровном слое здесь уже перестает сказываться. Мак- симальное расхождение бе между функциями Fn(%, 0) и erfcX при больших 0 можно считать равным б9 = (III.2.23) 0 _ knt Если задаться допустимой погрешностью расчета бе = бДОп, то из выражения (III.2.23) получим формулу для времени to, на- чиная с которого можно вести расчет без учета сопротивления покровного слоя, т. е. как для планового потока: г0 = Л3Е”п. (III .2.24) бдоп В частности, при задании допустимой погрешности бдоп=0,05 усло- вие (III.2.24) примет вид /0 = 6-^-. (III.2.24а) кп 153
Аналогичный анализ других типовых задач для фильтрации в двухслойном пласте показывает, что условие (III.2.24) остается справедливым практически при любых монотонных изменениях уровней на границах. Таким образом, если время монотонного изменения уровней оказывается большим величины /о, определяе- мой согласно (III.2.24), то сопротивлением покровного слоя при расчетах нестационарного режима грунтовых вод можно прене- брегать и считать поток плановым. § 2. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ Для решения линеаризованных уравнений нестационарной филь- трации при сложных граничных условиях эффективно использо- вание интегрального преобразования исходной функции (напора или его изменения) по Лапласу — Карсону, когда в качестве опе- раторного изображения оригинала, описываемого функцией f(t), .вводится функция F(p) = р j f (ty-er-^dt, (III.2.25) О где р — некоторый параметр преобразования; иногда вместо р используется параметр tv~\lp, имеющий размерность времени. Согласно правилам преобразований по Лапласу — Карсону, в дифференциальных уравнениях пространственные производные для такого изображения сохраняют то же выражение, как и для оригинала, а временная производная df/dt заменяется на величи- ну p(F—fo), где fo=f(O) —начальное значение оригинала. Анало- гичным образом должны преобразовываться и граничные условия. При численных решениях необходимо осуществлять переход От функции оригинала f(t) к изображениям F(p) и обратно. Для неразрывных функций, описываемых кривыми сравнительно прос- той формы (особенно монотонно меняющихся), вычисление изо- бражения по Лапласу — Карсону может быть найдено с помощью механической квадратуры по формуле [13, 22] = t Akfk, (III.2.26) где fk=f(M—значения функции оригинала в моменты времени tk, задаваемого при определенных значениях безразмерного вре- мени по следующим данным: k 0 1 2 3 4 5 6 & — tkltp 0 0,335 1,13 2,4 4,17 6,49 9,43 Ak 0,091 0,403 0,332 0,138 0,0316 0,004 2,6-10-* 154
При расчетах по формуле (III.2.26) прежде всего выбирается величина tp=\!p и с помощью табличных значений находятся значения tk = tk'tp, по которым получают значения исходной функ- ции Затем из вышеприведенных данных берутся коэф- фициенты Ak и производится расчет значения изображения F согласно (III.2.26). При сложном характере изменения функции оригинала можно использовать зависимости, основанные на аппроксимации функции оригинала ступенчатым или ломаным графиком. При аппроксима,- ции функции f(t) ступенчатым графиком (см. рис. 55, а) интеграл (III.2.25) рассчитывается по формуле ^(Р) == Л, ч (Ш.2.27) Z=1 где п — число дополнительных ступеней после начальной. При аппроксимации функции f(t) ломаной линией (см. рис. 55, б) ин- теграл (III.2.25) рассчитывается по формуле п F(p) = — [ц0 + V (ot — , (III.2.27а) где п — число дополнительных ветвей ломаной линии. В этих вы- ражениях число членов п ограничивается значением, при котором последующие члены ряда становятся пренебрежимо малыми. . Погрешности расчетов -изображений &FP зависят от времени /макс, в пре- делах которого задаются значения f(t). Для оптимального выбора параметра преобразования следует, исходя из условия ограничения погрешностей вычис- лений в пределах 2—3%, задавать значения tp, соблюдая условие /р“7“/макс* (III. 2.28) о Если первые наблюдения — до момента /мин — по каким-либо причинам недо- стоверны, то следует принимать, кроме того, /Р>2/Мин- Во многих случаях верхний предел tp удается увеличить на основе асимптотических оценок функ- ции /(/) при />/макс и последующего вычисления AFP. В частности, если при проведении опыта достигнут стационарный режим фильтрации, ограничение на tp по /макс может не накладываться, поскольку поведение функции /(/) опре- делено до /—>оо и значение интеграла (Ш.2.27) может быть вычислено для любого tp. Отыскание функций оригинала f(t) на основании численных значений ее операторных изображений Fp(p) по Лапласу — Кар- сону, заданных при нескольких значениях р, можно произвести на основе численных методов обращения интегральных преобразова- ний. При относительно постоянных во времени граничных условиях рекомендуется [13] находить значения оригинала из выражения /(/,) =£ Д,^), (Ш.2.29) 155
Таблица Ш.1 для которого значения Взбе- рутся из табл. III. 1 при = " И Pk==Ph./p макс- При расчетах по выражению (II 1.2.29) предварительно выбирается ~ значение рМак_с = 1Лр _и находятся значения Fp (ph), при рь — 1, ’/г, ’Л, ’/в, после чего по табл. III.1 опреце- _ ляются величины Вк и рассчитыва- ется во-Избежание погрешнос- тей интерполяции лучше задавать th, так, чтобы получились значения -tk, приведенные в табл. III.1. Ис- пользуя принцип суперпозиции, мож- но решение, полученное для посто- янных условий на границах, распро- - странить и для любого закона их изменения на основе ступенчатой аппроксимации граничного условия. Кроме того, для перехода от изображения к оригиналу для монотонных, неускоряю- щихся процессов рекомендует- ся [30] формула - /(0=0,э[ -F(P1)+~-x О (III.2.30) где Pi = 0,346 p2 = 3pi, . Рз = 5 рг, в этом случае для на- хождения оригинала на ка- кой-то один момент временив необходимо иметь значения изображений при трех фикси- рованных параметрах преоб- разования Fp. В качестве примера ис- пользования интегрального преобразования Лапласа — Карсона рассмотрим решение одномерной задачи нестацио- нарной фильтрации, описывае- мой дифференциальным урав- нением (III.2.1а), в полуогра- ниченном потоке, на границе
которого задается условие третьего рода (III.1.34), а начальное распределение напоров стационарно. Обозначая через Нр изобра- жение изменения уровня АЯ, преобразуем дифференциальное уравнение (Ш.2.1а) к виду _J2?£L. = 2/E.. (III.2.31) дхъ atp Общее решение этого уравнения Яр = С1еХр +С2ехр(-/=У (Ш.2.32) р \ V atp / \ У atp / В полуограниченном потоке С2=0, a Ci находится из граничного условия (III.1.34) при х=0, которое для изображений принимает вид t (III.2.33) дх AL где Яр — изображение изменений уровня в граничном водоеме. Подставляя в условие (III.2.33) Нр и дНр{дх при х==0 из (III.2.32), найдем Ci и представим выражение (III.2.33) в виде Я„ = — ехр (-----(Ш.2.34) . AL \ у atp } + V^Tp .. Упражнение. Найти решение в изображениях по Лапласу — Карсону за- дачи изменения напора в одномерном однородном ограниченном потоке с за- данием на границах х=0 и x—L изменений уровней №(t) и Hr(t) при исход- ном стационарном режиме. Для ограниченного потока уравнение (III.2.33) целесообразно сначала преобразовать к виду = +C?chXx, Хх==-~~-, (III.2.35) где новые произвольные постоянные С® — С2—Ci, С^ = С2 + С2. Задавая далее условия Нр = Н®р при х — 0 и Нр = Нр при х = L (где Н®р и Нр — изображения уровней А//0 и А//'), найдем Cj и Н'—Н°о ch к _ ’L f . (in.2.35a) sn A--------------------у &*p Для неоднородных областей решение в изображениях полу- чается путем разделения потока на однородные фрагменты. § 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОФИ ЛЬТРАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ ПО ДАННЫМ РЕЖИМНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ Данные нестационарного режима несут важную информацию о фильтрационном строении водоносных пластов и происходящих в них процессах, поэтому большой интерес представляет оценка 157
возможности их применения для определения геофильтрационных -параметров путем решения обратных задач геофильтрации. . Использование аналитических решений для определения гидрогеологических параметров, как правило, производится путем анализа реакции уровней в наблюдательных скважинах на какие- либо внешние изменения, осуществляемые на одной из границ водоносного пласта, причем обратные задачи решаются обычно подбором — путем перебора решений прямых задач. Чаще всего для этой цели используются аналитические решения дифферен- циальных уравнений для изменений напора. При наличии большо- го объема информации, особенно при завершении нестационарных процессов (при стабилизации подпора под влиянием водохрани- лищ или каналов, полном цикле колебаний уровня при прохожде- нии паводка и т. п.), хорошие результаты дает применение реше- ний в интегральных преобразованиях по Лапласу—Карсону^ 3.1. Определение коэффициента уровнепроводности Основной параметр нестационарной фильтрации — коэффициент уровнепроводности а, для определения которого целесообразно прежде всего воспользоваться данными режимных наблюдений в периоды проявления нестационарного режима (например, при паводке, наполнении или опорожнении водохранилищ и каналов и т. п.) при обязательном условии, чтобы в расчетный -период времени инфильтрационное питание существенно не изменялось. Удобнее для расчетов использовать такие участки потока в зоне влияния водоема (в котором происходят изменения уровня во времени), где поток может считаться линейным в плане. В этом случае наблюдательный створ располагается вдоль потока и дол- жен включать в себя по крайней мере две наблюдательные сква- жины, устанавливаемые в'основной водоносный пласт (рис. 58, а). Для определения коэффициента уровнепроводности скважина, расположенная ближе к водоему, рассматривается как граничная, а дальняя скважина — как наблюдательная (индикаторная), при- чем противоположная граница потока обычно значительно удале- на от наблюдательного створа, так что поток может считаться полуограниченным. Тогда, аппроксимируя график изменения уровня ДЯ° в граничной скважине ломаной линией (рис. 58, б), изменения уровня в наблюдательной скважине можно описывать уравнением (III.2.18) при Fv(x, t)=RCk), т. е. п &Н = (X) 1- V (о, - о,_,) (/-/() R (Х<) X, =-— " 2/а((-М (III.2 36) где х— расстояние между скважинами. 158
Выбирая далее такой период времени, когда четко фикси- руются изменения уровня в наблюдательной скважине, можно подобрать такое значение а, при котором значения Д/7, вычислен- ные по уравнению (III.2.36), и замеренные в наблюдательной а Рис. 58. Определение коэффициента уровнепроводности по данным ре- жимных наблюдений: а — наблюдательный створ (/—2 — кривые депрессии при стационар- ном режиме и на расчетный момент времени); б — графики изменения уровней в наблюдательных скважинах (/ и 2 — действительная кри- вая и аппроксимирующая ломаная линия уровней в скв. 1; 3 — график изменёния уровня в скв. 2; 4 — график изменения уровня в водоеме) скважине величины \Н" достаточно хорошо согласуются между собой. Расчет заметно упрбщается, если в расчетный период вре- мени скорость изменения уровня в граничном пьезометре можно считать постоянной. Тогда можно воспользоваться уравнением (Ш.2.11), представив его в виде = (Ш.2.37) 159
где АН и АН0 — изменения уровня в наблюдательном и граничном пьезометрах за период времени t. По известным значениям АН—АН' и АН°=АН" определим из уравнения (IIL2.37) величи- ну 7? (А), далее по таблице приложения найдем значение X и рас- считаем величину а по формуле: а = —2-. (III.2.37а) 4Х2/ Если проводить расчеты- в интегральных изображениях изме- нений уровней в скважинах, то согласно уравнению (IIL2.34), за- писанному при Д£ = 0, соотношение изображений уровней в гра- ничной и наблюдательной скважинах (Н°р и Нр) будет -A^expf-;^- . (III.2.38) Нр ' V atp ) Логарифмируем это уравнение: Я0 х 2,31g—р- =— (IIL2.39) Нр Обработку данных по этому уравнению _удобно проводить, строя график зависимости \g(Hp/Hp) от tp при разных tp, на котором данные должны ложиться на прямую линшо, приходя- щую в начало координат и имеющую уклон 0,435/1/а. Особенно эффективен такой способ расчета при наличии нескольких наблю- дательных скважин, поскольку при этом данные по всем наблю- дательным скважинам должны совпадать, причем это условие яв- ляется важным диагностическим признаком правильности вы- бранной расчетной схемы процесса. 3.2. Оценка сопротивления ложа водоема По данным нестационарного режима можно также определять ве- личину AL, характеризующую сопротивление ложа водоема, ис- пользуя данные об изменении уровня воды АН' в ближайшей к во- доему наблюдательной скважине при изменениях уровня в водое- ме АН0. В этом случае теоретическое значение АН=АН' можно определить по уравнению, описывающему изменение уровня вблизи несовершенной границы (границы третьего рода) в полу- ограниченном потоке, заменяя действительный график изменения уровня в водоеме ступенчатым, причем скважина, располагаемая вблизи водоема, рассматривается как наблюдательная, а теорети- ческие изменения уровней АН' в ней определятся общим выраже- нием (III.2.15) при F(x, t), выражаемом согласно (III.2.12), т. е. 160
ДЯ' == У ДЯ? F (X, 0J, ki = = -JLa. 2/.а(М) AL i^O (111.2-40) причем в этом случае величина х0 представляет собой расстояние от водоема до ближайшей скважины; значения функции F(%, 0) находят по выражению (Ш.2.12). Определив предварительно изло- женным выше путем величину а, можно найти из уравнения (IIL2.40) подбором величину Д£. При одноступенчатом (мгновенном) изменении уровня на границе из уравнения (Ш.2.40) остается только один член, поэто- му значения функции F(X, 0) могут быть определены по формуле = F&, б), (III.2.41) после чего по предварительно построенному графику функции F(X, 0) при известном 1 находится значение 0, а.затем рассчиты- вается Д£, поскольку Д£ = 0 (III.2.42) При обработке таких данных по интегральным преобразова- ниям изменений уровней Нр и Нр (в водоеме и ближайшей скважине) исходным является уравнение (Ш.2.34), из которого следует формула для определения величины Д£: __г ио . ^L^Vatp -~р-ехр(—-^•) — 1 L # р \ V atp / (IIL2.43) причем для проверки стабильности величины AL расчет по этой, формуле может производиться при различных значениях tp. 3.3. Определение параметров в покровных отложениях Эффективным путем определения параметров в покровных отло- жениях при двухслойном строении водоносного пласта (см. рис. 50) является использование данных нестационарного режима уровней в ярусных скважинах-дублерах, располагаемых в нижнем и верхнем слоях, с расчетами по уравнению (III. 1.15). Прежде всего, выбирая такой расчетный период времени, когда происходят заметные изменения : напора, а инфильтрация практически отсутствует (например, при колебаниях уровней в водохранилище или канале), т. ё. при w=0, можно представить уравнение (IIL1.15) в следующей форме: kn vh dh . Н — Н° р, гп ’ h dt ’ п тп 6 В. М. Шестаков (III.2.44) 161
где Vh — скорость изменения уровня свободной поверхности; гп — средн] ‘ градиент напора в пределах покровного слоя. Располагая скважину в верхнем слое невдалеке от свободной поверхности и выбирая для расчетов период сравнительно ста- бильной интенсивности изменения уровней, величину Vh можно считать равной скорости изменения уровня в верхней наблюда- тельной скважине, а градиент напора tn определять по разнице уровней АЯП между наблюдательными скважинами, т. е. поини- мая В дальнейшем, зная величину &п/ц, можно опре- тп делять величину w/p, преобразуя уравнение (III.1.15) к виду W Н vh~ Hs-l, (III.2.45) При неоднородном строении покровных отложений можно, кроме того, по данным наблюдений за уровнями в этажных сква- жинах, располагаемых на границах слоев, найти соотношение коэффициентов фильтрации отдельных слоев, исходя из того, что эти соотношения должны быть обратно пропорциональны гради- ентам напора в отдельных слоях. Например, при двухслойном строении покровного слоя (см. рис. 50, б) будем иметь соотно- шение < _ ‘п .' _ — 7» 1п ~ 7 1п — „ ‘п % тп (III.2.46) Разумеется, что такие расчеты будут правомерными только при условии, что различия в уровнях между этажными пьезометрами существенно превышают возможные погрешности измерения уровней. Расчеты коэффициента уровнепроводности и характеристики сопротивления ложа водоема'при двухслойном строении пласта могут проводиться по изложенной выше методике, если время периодов монотонного изменения уровней превышает величину /о, определяемую согласно (III.2.24); в противном случае эти расче- ты следует вести с использованием зависимостей, учитывающих двухслойный характер строения водоносного пласта [20, 49]. Для расчетов коэффициента уровнепроводности при двухслойном строении пласта целесообразно использовать решения в интеграль- ных изображениях по Лапласу — Карсону. Для изменения уров- ней АЯ, отсчитываемых от начального стационарного положения, система дифференциальных уравнений (III.1.14) и (III.1.15) в одномерном потоке с постоянной проводимостью принимает вид Т 2AL =s ДЯ — АЯ«), р —ЛЯ- = А. (АЯ — АЯ0). mn ’ dt та (III.2.47) 162
Преобразуем эту систему уравнений, вводя вместо величий Н й Н° их интегральные изображения Нр и Н°р, что при нулевых на- чальных условиях для ДЯ и Д//° дает Т~Нр = — Нр), (Ш.2.48) дх2 тп р *р тп р Выражая из второго уравнения (III.2.48) Н°р, имеем Н°р '=---&-----, (III.2.49) а подставляя это выражение в первое из уравнений (Ш.2.48), получим уравнение для изображения изменения напора в нижнем пласте: —f в2 — Т-~п-, а~ —. ПП.2.50) дх2 В2 -J- atp kn р. Решение этого уравнения для полуограниченного потока, у кото- рого на границе х=0 задано значение НР~Н°Р, имеет вид Н = ехр (--------4 (Ш.2.51) р Р r V VВ2 +atp ) ’ Применим это уравнение для обработки данных нестационарного режима уровней в наблюдательном створе, расположенном по на- правлению одномерного в плане потока, когда граница за- дается в крайнем (граничном) пьезометре, со стороны которого распространяется возмущение потока. Тогда величина Но пред- ставляет собой изображение изменений напора в граничном пьезо- метре, а величины Нр соответствуют изображениям изменений напоров в наблюдательных скважинах, отстоящих на расстояниях х от граничной. Обобщенную обработку таких данных целесооб- разно проводить, нанося опытные данные, подсчитанные для раз- личных значений tp, на единый график в координатах X = х/1п—₽- • НР и tp. На таком графике все опытные точки должны лечь на одну прямую, отсекающую на оси X (при /р = 0) отрезок В2 и имеющую уклон к оси tp, численно равный а. Прямолинейность такого графика является диагностическим признаком правильности .рас- сматриваемой расчетной схемы. Глава 3 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ Численные решения задач нестационарной фильтраций в своей теоретической основе имеют обычно метод конечных разностей (метод сеток), который может реализоваться и в ручном счете, 6* 463
однако в значительно большей мере он используется как теорети- ческая основа методов вычислительной техники, и прежде всего для обоснования сеточных интеграторов. § 1. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛАНОВОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО БЕЗНАПОРНОГО ПОТОКА Конечно-разностные уравнения планового нестационарного безна- порного потока выведем применительно к наиболее распростра- ненной прямоугольной сетке, ориентированной по осям х и у, при- чем границы блоков проводятся посередине между узловыми точ- ками (рис. 59, а). Рассмотрим баланс потока в блоке номера i, j, учитывая кроме расхода потоков, проходящих через границы блока, еще расход площадного питания (инфильтрации и испаре- ния) Qw=wAXj-A//j, а также расход внутренних источников пита- ния или стока (скважин, дрен, каналов и т. п.) QliC. Балансовое уравнение составим, считая, что суммарное поступление воды в блок за время Д/ компенсируется изменением объема воды в блоке ДУб: (Qi-i + Qf+i + Q/-i + Q/+1 + Qw 4- Q„c) — Alz6> (III.3.1) где Qi-i, Qi+i, Qj_i, Qj+i — расходы потоков, поступающих в рас- четный блок из соседних блоков соответствующего номера. Свяжем далее балансовые элементы с напорами потока. Для этого прежде всего введем понятие емкости блока С, представ- ляющей собой изменение объема воды в блоке, отнесенное к из- менению уровня воды в узловой точке блока АНб, т. е. С=-^-, (Ш.3.2) причем для прямоугольной сетки С = рЛх^У/, Лх,- 0,5(Axt-i Ч- Дх(+1), Лу, — 0,5(Д#/_1 + Дг//+1). (III.3.3) Далее, согласно (1.6.13) запишем выражения для расходов на границах блока 4i—l =-----_----— Ч/—1 = —----------- Ф/-1 ФЙ-1 (III.3.4) где Фг-i, Фг+ь Фа-1» Фж “ фильтрационные сопротивления между блоками соответствующего номера и расчетным блоком, причем из общих выражений (II.3.16) имеем 164
Ф/-1 = Ф1+1 — i+г^У j Ф/—1 = ф/+, = Л&!.. Tz_iAxt- T z+1Axt- (III.3.5) T i-i^y j где Ti-t, Ti+i, Tj-i, Tj+i — средние значения проводимости пласта между расчетной, узловой точкой и соседними узлами соответст- вующего номера. Аналогичный вид будут иметь конечно-разностные уравнения планового напорного потока, для получения которых в выражении емкости блока (III.3.3) заменяется р на р* и расход площадного питания на расход площадного перетекания. В выражениях (III.3.4) значения напоров могут приниматься на начало или конец расчетного интервала А/; такие разностные схемы назы- ваются соответственно явной и неявной-, кроме того, используют- ся различные варианты явно-неявных разностных схем, из кото- рых наиболее употребительна симметричная схема, когда напоры принимаются средними между значениями на начало и конец интервала [26, 40]. Рассмотрим некоторые преобразования этой системы для слу- чая одномерного (линейного) в плане потока, совпадающего с на- правлением оси х (рис. 59, б). Выражения для удельных расходов и между расчет- ными блоками номера i и соседними блоками i—1 и i‘+l здесь будут <?<-! = -^4=-—’ «'+' “ —(III.3.б) причем выражения для фильтрационных сопротивлений получатся из общей формулы (III.3.2) при 7«, равном расстоянию между центрами соответствующих блоков и ширине Вг=1 м. т. е. Ф,_, = Ф1Ч1 = (Ш.3.7) 1 i-1 .11+1 где Ti-i и Ti-i-i—средние значения проводимости потока между блоками i—1 ’и i, i+1. Соответственно балансовое уравнение (III.3.3) примет вид + <?2)А/ = С;А#, ДН( = Я(-/7?, (Ш.3.8) причем емкость блока Сг- и удельный инфильтрационный расход q® будут Ct = pAxf, q® = wAxt-. (III..3.9) Непосредственные расчеты по конечно-разностным уравне- ниям с использованием ручного счета применяются для балансо- вых расчетов [20, 25, 34] и решения обратных задач, т. е. для 165
a Рис. 59. Схемы к обоснованию конечно-разностных уравнений нестационарного планового потока: а — прямоугольная сетка плоского потока в декартовых координатах (заштрихован блок, относящийся к расчетной узловой точке i, ])•, б — сеточная разбивка одномерного потока (1 и 2 — уровни на нача- ло и конец расчетного интервала вр!емени АО; в — наблюдательный створ для определения w в од- номерном потоке; г — расположение наблюдательных скважин в плане по «кресту» при постоянном щаге по координатам
определения гидродинамических параметров по данным режимных наблюдений, как. это впервые было предложено Г. Н. Каменским [17]. Рассмотрим методику такого расчета на примере линейного в плане потока, вдоль которого располагается створ на трех на- блюдательных скважинах (рис. 59, б), так что в этом случае мож- но использовать балансовое уравнение (III.3.8). Совмещая узло- вые точки с наблюдательными скважинами, считаем, что уровень в средней скважине соответствует расчетному уровню в блоке шириной Ахг —0,5 (АХг-14-ЛХг+1), и величины A/Л определяются по изменениям уровня в средней скважине. Заметим, что для луч- шего выполнения этого условия среднюю наблюдательную сква- жину целесообразно располагать посередине между крайними. Выражения для расходов потока Qi-t и Qi+i запишем в виде Qi—1 ~ Т,-di—ь Qi+\—T'i+di+i, (III.3.10) где Л-i и Дц —средние значения проводимостей, а 7г—i и I-i+i— расчетные значения градиентов напора между скважинами номе- ра i—1, i и i, При решении обратной задачи целесообразно использовать симметричную разностную схему, задавая градиенты напора и Л+i средними между их значениями на начало и конец расчетного интервала А/ (они положительны; если направ- лены в сторону средней скважины, и отрицательны в противном случае). Для уменьшения'случайных ошибок Н. Н. Биндеман [7] предложил задавать достаточно большой интервал А/, но для на- хождения среднего значения разбивать этот интервал на несколько более мелких и определять расчетную величину по средневзве- шенному по времени. Подставляя в балансовое уравнение (III.3.8) выражения (III.3.9) и (III.3.10) для входящих в него компонентов, получим (Л-Jt-i 4- Л+Ji+i 4" wAx£ 4- <?W) А/ =|хАл\-АЯ£. (III.3.11) Из уравнения (III.3.11) при w=0 и — О можно определить коэффициент уровнепроводности ам = —(-1- =---------, (III.3.12) \ 7 i-i 1 причем соотношение проводимости Тi+dTг_1 находится из анализа данных стационарного режима (см. § 2 главы 1 раздела II). При известных параметрах Т и ц из (III.3.11) находится ин- тенсивность инфильтрации w = (III.3.13) \t кХ( 7 Трудности использования этого выражения обусловливаются на- личием в его правой части коэффициента емкости и проводимос- 167
тей в различных участках потока. Особенно неприятно влияние проводимости, поскольку ее изменения могут не только заметно изменять величину w, но и приводить к изменению ее знака. По- этому расчет величины w по данным стационарного режима мож- но проводить только при изменении расхода потока в пределах наблюдательного участка, значительно превышающем возможные изменения проводимости пласта (например, по данным наблюде- ний на орошаемой территории). Предварительно следует попытать- ся определить соотношение проводимостей на отдельных участках потока по данным о соотношении градиентов напора в такие пе- риоды стационарного режима, когда инфильтрация практически отсутствует. Более ясно проходит интерпретация по уравнению (III.3.13) данных нестационарного режима уровней, если опреде- ДЯ гг р —При этом только могут возникать ляющим является член погрешности в связи с изменением величины ц, обусловленным влиянием капиллярной зоны и неоднородностью строения зоны аэрации. Во многих работах [20, 25, 34] такие конечно-разностные уравнения представляются для условий неизменной по длине по- тока проводимости, т. е. при Ti-i=Ti+l (или при неизменном коэффициенте фильтрации для схемы Дюпюи). Однако в реаль- ных условиях изменения проводимости бывают существенными, и пренебрежение ими может привести к резким ошибкам и даже к абсурдным результатам в определении параметров (например, может получиться отрицательный коэффициент уровнепцоводности [49]). Упражнение. Получить выражения для определения параметров ц и w в плановом потоке при наличии «креста» наблюдательных скважин (см. рис. 59, г), исходя из уравнения (Ш.3.5): а) при отсутствии инфильтрации 11 = Т/Г I Т2(Я2-Я) + Т4(Я4-Я) 1. Ду2 J’ (III. 3.14) б) при наличии инфильтрации и известном значении ц ДЯ t^h-hj + tah-hj } Т2(Я-Я2) + Т4(Я-Я4) w = |X~ +------------д%2 -------+------------^2 -------, (III. 3.14а) где Я — уровень воды (напор) в центральной скважине; Я, — уровни воды (напоры) в периферийных скважинах; ДЯ - т изменение уровня в центральной скважине за расчетный интервал времени Д/; :— среднее значение проводи- мости пласта между i-той периферийной и центральной скважинами (»=1, 2, 3, 4). Наиболее широко конечно-разностные уравнения используют- ся в качестве теоретической основы для моделирования на вычис- 168
лительных машинах (сеточных интеграторах и электронных циф- ровых машинах). Построение рациональных конечно-разностных схем (обоснование пространственной разбивки потока и (представ- ление процесса во времени) применительно к особенностям вы- числительных машин выделяется в этап вычислительной схемати- зации, правильное решение которого в значительной степени опре- деляет эффективность моделирования. Специфические проблемы вычислительной схематизации воз- никают при решении обратных задач геофильтрации, когда на пе- риод режимных наблюдений осуществляется решение ряда прямых задач пр эпигнозу режима подземных вод с различными парамет- рами и в качестве расчетных принимаются такие их значения, ко- торые позволяют получить наилучшее приближение натурных и модельных данных. Методика такого моделирования требует вни- мательного сочетания формально-математических построений с геологическими закономерностями [26, 31]. § 2. ТЕОРИЯ И УСТРОЙСТВО ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ИНТЕГРАТОРА Наиболее наглядно моделирование нестационарной фильтрации выполняется на гидравлическом интеграторе, современная конст- рукция которого разработана В. С. Лукьяновым [27]. Гидроин- теграторы марки ИГЛ состоят из сетки гидравлических сопротив- лений, к которым в узловых точках подсоединяются гидравличе- ские емкости (сосуды). Гидравлические сопротивления, понимаемые как отношение потерь напора Д/z на трубке к протекающему через нее расходу дм, образуются трубками сопротивлени устройство которых по- казано на рис. 60, а. Регулировка conpoi пилений трубки достигает- ся изменением длины кольцевого канала между корпусом и плун- жером трубки (толщина этого канала 0,18 мм). Малый размер канала трубки предопределяет в нем установление ламинарного режима течения, при котором потери напора A/z пропорциональны расходу <7М, так что сопротивление трубки не зависит от расхода и является параметром трубки. Обычные трубки сопротивлений изготавливаются с номиналом сопротивления 7?г до 1 мин/см2, а трубки повышенных сопротивлений — с /?г до 10 мин/см2, причем нижним пределом сопротивления можно считать величину порядка 5—10% от номинала. Сопротивления соединяются в узловых точках, где помещают- ся сосуды емкостей из нержавеющей стали с площадью горизон- тального сечения <в=5, 10 и 20 см2 (рис. 60, б). Для изменения площади сечения сосудов используются также металлические или плексигласовые вкладыши поперечным сечением 0,5 и 2 см2. Кроме того, в состав емкостей входят пьезометры — стеклянные трубки сечением 0,5 см2, расположенные на передней и задней стенках 169
Рис. 60. Основные элементы гидроинтегратора: а — трубка сопротивлений (1 — корпус, 2 — плунжер, 3 — кольцевой канал, 4 — шток, 5 — установочный механизм, 6 — шкала трубки, 7 — сальник, 8 — колпак); б — сосуды емко- стей (1 — металлические сосуды, 2 и 3 — передний й задний пьезометры, 4 — резиновые трубки, 5 — зажимы)
секции. Таким образом, наибольшая площадь сосудов может быть задана 36 см1 2, наименьшая — 0,5 см2 (один передний пьезометр) *. Цепочки сопротивлений и емкостей объединяются в секции по 10 узловых точек в каждой. На задней секции размещаются труб- ки сопротивлений для задания внутреннего питания с расходом При заданной величине q* величина сопротивления трубок, внутреннего питания устанавливается при разности напоров. Ahw по формуле R„ = (Ш.3.15) 0" Для задания граничных условий служит специальная уста- новка с подвижными водосливами, которая дает возможность представить на модели любой закон изменения уровней в трех различных вариантах. Таким образом, в общем случае одна уста- новка ’граничных условий позволяет задать их в трех точках мо- дели. Для вывода основных закономерностей моделирования на гидроинтеграторе рассмотрим уравнение баланса в узловой точке i (рис. 61), причем для упрощения техники вывода рассмотрим одномерную цепочку сопротивлений и емкостей. Если qf_t и — расходы на гидроинтеграторе между расчетным блоком i и со- седними узловыми точками i—1 и i+1, a Ahi — подъем уровня в сосуде емкости номера i и площадью за время Д/м, то (Cl Си +' О А/м = (III.3.16) причем «г+, = (Ш.3.17) Л1-1 Ki+1 где Ri-i и — гидравлические сопротивления между соответст- вующими узлами. Сопоставим уравнения (III.3.16) и (Ш.3.17) с аналогичными конечно-разностными уравнениями одномерного нестационарного потока (III.3.8) и (III.3.6), и для их связи введем следующие мас- штабные соотношения: АН = aHAh, q — а^м, q* — t a^M< C = acco, Ф = (IIL3.18) где ан — масштаб напоров — отношение разницы напоров в бло- ках фильтрационного потока к разнице уровней в соответствую- 1 Границы емкостей могут быть сравнительно несложным образом расширены: снижение нижней границы достигается уменьшением поперечного сечения пьезометра; повышение же верхней границы достигается подключением специ- альной приставки к секции интегратора с сосудами большого поперечного се- чения. 171
щих узловых точках на. гидроинтеграторе; aq — масштаб расхо- дов — отношение расходов фильтрационного потока к расходам на интеграторе; ас — масштаб емкостей — отношение емкостей блока С к площади сечения соответствующего сосуда ю; at — масштаб времени— отношение времени в натуре й на интеграторе; Оф — масштаб фильтрационных сопротивлений — отношение филь- трационных Ф и гидравлических /?г сопротивлений. Поскольку Рис. 61. Схема узла гидроинтегратора типа ИГЛ: 1 — основные трубки сопротивлений; 2 — сосуды емкостей; 3—ин- фильтрационные трубки; 4 — питающий водослив характеристики фильтрационного потока измеряются. обычно в метрах и сутках, а на гидроинтеграторе принято все замерять в; сантиметрах и минутах, то приведенные масштабы имеют следую- щие размерности: МГ1 м3 - [aj =- см 4 сут мин см3 ’ [ас] = м2 см2 ’ [а,] = -с>т-, [«И = мин м2 мин ап.з.19) Выражая в формуле (III.3.6) расходы, напоры и фильтрацион- ные сопротивления чере^ масштабные соотношения, согласно- (III.3.18) получим (IIL3.20) 172
Ставя условие тождественности выражений (Ш.3.17) и (III.3.20), найдем первое масштабное соотношение а = ЛП.3.21) 4 Оф Аналогичным образом введем масштабные соотношения в балан- совое уравнение (III.3.8): (С-i С+1 + О , (III.3.22) причем из условия тождественности уравнений (II 1.3.16) и (III.3.22) найдем второе масштабное соотношение aqat — асая. (III.3.23) Подставляя сюда aq из (Ш.3.21), получим формулу для оп- ределения масштаба времени а _асаф-^. (Ш.3.24) мин Для расчетов гидромодели после разбивки потока на блоки, определения фильтрационных сопротивлений между центрами блоков и емкостей блоков выбираются масштабы емкостей ас и сопротивлений аф из условия, чтобы максимальное и минималь- ное значения о и Rr хорошо укладывались в диапазон возмож- ного их задания на интеграторе. После этого по формуле (Ш.3.24) определяется масштаб времени, и если его значение оказывается удовлетворительным (обычно целесообразно доби- ваться, чтобы расчет на модели продолжался несколько десятков минут), то расчет гидромодели можно считать законченным, в противном случае масштабы сопротивлений и емкости вновь под- бираются таким образом, чтобы добиться приемлемого значения масштаба времени. § 3. ТЕОРИЯ И УСТРОЙСТВО ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИНТЕГРАТОРОВ Основную часть сеточных электроинтеграторов составляет двух- координатная сетка электрических сопротивлений, соединяемых в узловых точках; кроме того, в узловые точки могут подсоеди- няться дополнительные активные сопротивления и электрические емкости — конденсаторы. Для решения задач нестационарной фильтрации используют- ся два принципиально различных типа моделирующих электриче- ских сеток: сетка RC, состоящая из активных сопротивлений и емкостей, и сетка RR, состоящая только из активных сопротив- лений. 173
3.1. Электроинтегратор на основе 7?С-сетки Электроинтегратор такого типа можно рассматривать как электри- ческий вариант описанного выше гидроинтегратора. Он состоит из сетки электрических сопротивлений, соединенных в узловых точ- ках, куда также подсоединяются электрические емкости (рис. 62, а). Кроме того, в состав такого электроинтегратора входят блок питания, цредставляющий собой генератор сигналов Рис. 62. Схема узла электроинтеграторов: а и б — двухмерные сетки RC и RR-, в — одномерная сетка Либманна заданной формы, и измерительное устройство с электронно- лучевой трубкой, фиксирующей изменение электрического потен- циала в любой узловой точке модели [18, 26]. Баланс тока в узловой точке такого интегратора будет + 4 = О, (Ш.3.25) 1=1 причем сила тока /с, образующаяся при разрядке конденсатора, пропорциональна скорости изменения потенциала на выходе из конденсатора: (Ш.3.26) at 174
где См — емкость конденсатора на модели, а сила тока в активных сопротивлениях Ri определится по закону Ома: г _ Vi~u 1 Ri Тогда уравнение (III.3.25) примет вид V Ui~U = С — 21 Ri м dt i=\ (III.3.27) (III. 3.28) Сопоставим уравнение (III.3.28) с уравнением (III.3.5), в котором для непрерывно протекающего процесса заменяется Д///Д£ на dHIdt, считая отсутствующими внутренние источники питания- стока (при w=0 и QHc=0). Вводя масштабные коэффициенты АН Ф С t /ТТТ Q ал = аф = —, ас = —-, at = — (III.3.29) At7 R Сц 1м в одно из этих уравнений, можно видеть, что они тождественно переходят друг в друга, если масштаб времени определить фор- мулой at = афас- (Ш.3.30) Если, кроме того, задаются независимо действующие источники питания, расход которых определяется суммой величин Qw й Qac, то в узловые точки интегратора должна подаваться сила тока /w (рис. 62, в), пропорциональная суммарному расходу инфильтра- ции и внутренних источников-стоков: Л. = -9-w-+9»C-, (Ш.3.31) aQ где ар — масштаб расходов, определяемый сопоставлением выра- жения (III.3.4) для расхода фильтрационного потока с выраже- нием (II.3.27) для силы тока; нетрудно видеть, что из условия их тождественности следует соотношение aQ = —. (1П.3.32) аф Порядок составления моделирующей сетки RC в своей основе аналогичен рассмотренному выше порядку составления гидромо- дели: после разбивки потока на блоки, определения фильтрацион- ных сопротивлений между блоками й емкостей блоков выбираются масштабы сопротивлений аФ и емкостей ас из условия, чтобы по- лученные при этом значения электрических сопротивлений и ем- костей ₽=v-. см = 4- (Ш.З.ЗЗ) аф ас 175
оптимально укладывались в пределы их номинальных величин на интеграторе, причем величины определяются в омах, а См — в фарадах (Ф) или микрофарадах (мкФ = 10~6 Ф). Поскольку ОмХФ—с, то при задании емкости в фарадах получаемый по формуле (III.3.30) масштаб времени а« будет иметь размерность [а,] =- [аф] [ас] = |С|- = " “ 1 Я][С„] м>-ОмФ с Соответственно при задании емкости в микрофарадах масштаб времени, определяемый по формуле (III.3.30), пблучится в сутках за микросекунду. Выбор величины масштаба времени должен обеспечить воз- можность решения нестационарной фильтрационной задачи в за- данном диапазоне времени так, чтобы время решения задачи укла- дывалось в пределы возможной длительности процесса на модели »и , определяемой конструктивными особенностями используе- мого интегратора. Следует учесть также, что генератор сигналов, задающий граничные условия, формирует импульсы с некоторым искажением в начальном его участке длительностью /м. В связи с этим масштаб времени должен задаваться таким, чтобы иссле- дуемое время процесса существенно выходило за пределы времени В частности, при использовании наиболее простого типа электроинтегратора нестационарных процессов ЭИНП-3/66 [26, 43] длительность модельного процесса может устанавливаться в диа- пазоне 1, 2, 10, 50 и 500 мс. Фронт нарастания прямоугольного импульса, задаваемого генератором сигналов прибора, измеряет- ся величиной Zm порядка 300 мкс, что сужает возможность ис- пользования диапазона в 1 и 2 мс. Для построения сеточной /?С-модели при использовании электроинтегратора ЭИНП-3/66 величины емкостей См желатель- но ограничить диапазоном номинальных величин 1 • 10_8—Ы0~5Ф (0,001—10 мкФ), поскольку малые емкости в модели могут ока- заться соизмеримыми с паразитными емкостями монтажных сое- динений, а большие емкости обладают большими размерами и существенной утечкой заряда (саморазрядом). Величины сопро- тивлений R для возможности выбора удобной длительности про- цесса на модели целесообразно устанавливать в диапазоне значе- ний 103—106 Ом. Емкостные электрические модели могут быть сплошными — из специальной конденсаторной бумаги [43] или комбинированны- ми — из обычной электропроводной бумаги с распределенными емкостями [26]. 3.2. Электроинтеграторы на основе /?/?-сетки Для решения задач неустановившейся фильтрации на сеточном интеграторе, составленном только из активных сопротивлений 176
(типа ЭИ-12 или МСМ-1), можно воспользоваться схемой сетки Либманна (7?1?-сетка), принцип которой заключается в моделиро- вании правой части балансового уравнения (III.3.5) с помощью дополнительно подсоединяемых в каждую узловую точку «времен- ных» сопротивлений Rt (рис. 62, б, в). Обоснования этой схемы дадим для одномерного (линейного в плане) потока, когда балансовое уравнение принимает форму (III.3.8). Подставляя в это уравнение выражения для расходов (III.3.6), представим его в виде —'+ = (Ш.3.34) &1+1 А* где Я°£ —уровень в расчетном блоке на предыдущий момент вре- мени, разнящийся от расчетного на интервал времени At, или + —_£///— дЛ (III.3.35) Ф^-1 Ф;+1 ДМ С / Вместе с тем баланс тока в узловой точке с «временным» со- противлением (рис. 62, в).запишется в виде Zt-_i—ил'и = _£l'~ , (П1.3.36) Ri-i Ri+i Rt Сопоставляя уравнения (III.3.35) и (III.3.36), можно видеть их качественное сходство. Для полной их аналогии следует задать потенциалы в узловых точках пропорциональными соответствую- щим значениям напоров, а потенциалы £7° на концах временных сопротивлений — пропорциональными величине Я? 4- ~~ &t — = 4- — At. Кроме того, сопротивления основного поля уста- навливаются процорциональпыми соответствующим фильтрацион- ным сопротивлениям, а временные сопротивления — пропорцио- нальными величине At/C: R = аяФ, R, = ая (Ш.3.37) О где ал — масштаб электрических сопротивлений. Подставляя такие связи в одно из уравнений (Ш.3.35) или (III.3.36), можно видеть, что эти уравнения будут тождественно переходить друг в друга. При расчетах неустановившейся фильтрации по схеме Либман- на после составления соответствующей сетки следует разбить рас- четный период времени на несколько промежутков At, затем по- следовательно для каждого промежутка времени задать на кон- цах «временных» сопротивлений значения потенциалов на преды- 177
дущий момент времени, а на границах — значения потенциалов на расчетный момент рремени; при этом в узлах получатся значения потениигисв на расчетный момент времени (через интервал вре- мени А/). Кроме того, при моделировании инфильтрации задан- ной интенсивности w здесь следует к потенциалам (Л, . задавае- мым на концах временных сопротивлений, добавлять потенциал пропорциональный величине АЯ^ = — А/. Н Величину шага по времени Ы при расчетах по схеме Либ- манна следует устанавливать исходя из того, что при монотонном изменении потенциалов на границах весь расчетный период вре- мени можно разбивать на три шага А£, а при колебаниях гранич- ных потенциалов можно гарантировать хорошую точность расче- тов, если в пределах каждого участка монотонного изменения граничных уровней укладывается два шага по времени. В ряде случаев, в частности при изучении фильтрации вблизи водохранилищ, задаются периодические (внутригодовые) измене- ния уровня воды в водоеме. Задание такой периодичности в тече- ние'многих лет резко осложняет технику расчетов и моделирова- ния. Такую задачу можно существенно упростить, если разделить заданный периодический график на две части — одну, соответст- вующую среднегодовым уровням, и другую, дополнительную, со- ставленную из внутригодовых изменений уровня относительно среднегодового, причем, как показывает анализ, вторую часть, при дополнительных (внутригодовых) изменениях уровня, можно задавать только в течение последних одного-двух лет. В такой постановке моделирование проводится в два этапа: на первом этапе задаются многолетние изменения уровней без учета внутригодовых колебаний .и расчет ведется . при большом масштабе времени или шаге А/ (при этом А/ измеряется обычно годами), на втором — моделируются сезонные изменения относи- тельно заданных на первом этапе многолетних уравнений, причем в этом случае достаточно моделировать только последний период одного-двух лет, задавая значительно меньшие масштабы времени или А/ (при этом А/ обычно измеряется месяцами). Окончатель- ное решение находится сложением изменений уровней (напоров), Получаемых на обоих этапах моделирования. Аналогичную мето- дику можно применять и при моделировании периодически дей- ствующей инфильтрации, задавая при моделировании многолет- него режима среднегодовые . значения инфильтрационного пита- ния, а учет неравномерности питания проводить только на послед- ний год, задавая в качестве расчетных величин интенсивности питания разницу текущего и среднегодового значения в течение последнего года. * Заметим, что последнее время наряду с интеграторами для расчетов нестационарной фильтрации начинают все шире исполь- зовать ЭЦВМ [26, 48] и гибридные модели, сочетающие электро- интеграторы и управляющие ими ЭЦВМ [26]. 17В
Глава 4 ФОРМИРОВАНИЕ УПРУГОГО РЕЖИМА ПОД ДЕЙСТВИЕМ геодинамических факторов § 1. ПРОЯВЛЕНИЯ УПРУГОГО РЕЖИМА ПРИ ДЕЙСТВИИ СОВРЕМЕННЫХ ГЕОДИНАМИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ Геодинамические факторы проявляются в изменении внешней на- грузки на водоносные, пласты, причем в дифференциальных урав- нениях упругого режима (III. 1.24) эти факторы выражаются сво- бодным членом аР vn, который занимает в нем такое, же место, как интенсивность инфильтрационного питания в уравнении нестацио- нарного безнапорного потока. Формально ' величину w*=r=ap|i*Un можно рассматривать как интенсивность «упругой инфильтрации» и использовать для учета этого фактора те же зависимости, что и для безнапорного потока с за- данным инфильтрационным пи- танием. К наиболее интересным про- явлениям геодинамических фак- торов относится возникновение режима «псевдосвязи» напорных подземных воде поверхностными водотоками, обусловливаемого изменением нагрузки на пласт за счет изменения столба воды в водотоке. Действительно, если под водотоком находится напор- ный пласт, полностью изолирован- ный от водотока, то при изменени- ях уровня воды в водотоке будет соответственно изменяться давле- ние, передаваемое на пласт. Пре небрегая боковым рассеиванием Рис. 63. Графики изменения уровней подземных вод при резком измене- нии уровня водоема: / — уровень в водоеме; 2 и 3 — уровни подземных вод под водоемом при наличии гидравлической связи и псевдосвязи изменения давления, получим, что в этом случае величина равна скорости изменения уровня воды в водотоке. Отсюда сле- дует, что колебания уров’ней воды в напорных пластах под водо- токами или водоемами (водохранилищами, морями) могут проис- ходить при отсутствии гидравлической связи между ними. Поэтому наличие видимой связи между изменениями уровней поверхност- ных и подземных вод еще не служит признаком их гидравлической взаимосвязи. Диагностическим признаком, режима «псевдосвязи» является характер изменения уровней подземных вод при моно- тонном изменении уровня водотока. Если, например, уровень водотока монотонно изменяется от одного положения до другого (рис. 63), то йри наличии гидравлической связи'уровни подземных вод будут также изменяться монотонно, а при режиме псевдо- 179
связи уровни подземных вод будут следовать за уровнем водотока только во время его изменения, а после его стабилизации уровни подземных вод будут возвращаться к своему исходному положе- нию. Однако такая диагностика может производиться только при монотонных изменениях уровней водотока, достигающих стабили- зированного положения; при колебаниях уровня (например, при паводках, приливах и отливах на море) качественных различий в режиме уровней при наличии или отсутствии гидравлической взаимосвязи поверхностных и подземных вод не имеется. Пока еще проявления режима псевдосвязи в натурных условиях изучены очень слабо; отдельные примеры такого процесса наблюдались при приливах и отливах морей [14]. Одно из наиболее изученных проявлений геодинамических факторов упругого режима представляет зафиксированное многи- ми наблюдениями наличие четкой синхронной связи между коле- баниями уровней подземных вод и атмосферного давления [11, 14]. Такая связь обосновывается передачей атмосферного давле- ния на кровлю пласта, причем если предположить, что такая передача происходит без существенных потерь, то = = <Ш-4Л> Рассматривая влияние атмосферного давления, можно обычно считать изменения давления слабо зависящими от расстояния и в уравнении (III. 1.24) пренебрегать пространственными производ- ными, что дает — anva или — a khai (III.4.2) где &ha = ----изменение высоты атмосферного давления. Та- ким образом, изменение напоров оказывается пропорциональным изменению давления, причем коэффициент пропорциональности зависит от соотношения характеристик сжимаемости грунта и воды. Это обстоятельство дает принципиальную возможность оценить коэффициент уплотнения грунта aVt зная изменения атмосферного давления Дра и соответствующие изменения напора ДЯ, по формуле О.-- ------. (III.4.3) ДЯ ~ если известен коэффициент объемного сжатия воды рв. При- менение такой методики расчета возможно только при условии, что сжимаемость воды и породы имеет один порядок, поскольку, если оказывается av > ерв, то —1 и точность расчетов по ДЯ формуле (Ш.4.3) будет небольшой. 180
Интересно отметить, что в открытых скважинах, где уровень воды находится ниже устья скважины, изменения уровней имеют обратную связь с изменениями давления, т. е. повышениям дав- ления соответствуют понижения уровня воды в скважине и наобо- рот (рис. 64). Для обоснования этого обстоятельства следует иметь в виду, что изменение напора ЛЯ на уровне воды в откры- rW I -1020 JDOQ' -980 & -70.4^ -10,2 I -ЩОЪ 1 Атм. -960 । часы 12 2 Числа 11 2 7О: 72 ч'12^2^~12~24 h 2Ь к~2 13 74 И. 77 Л? 15 7F Рис. 64. Колеба гия уровня воды в открытой скважине гдовского во- доносного гориз >нта (глубина 150 м) при изменении атмосферного давления, по данным П. М. Гасс [И]: 1 и 2 — кривые изменения уровня и давления той наблюдательной скважине складывается из изменений высоты давления Д/г = —!—а и ординаты уровня Ди, т. е. Y ЛЯ - д/1а Н- Az, (III.4.4) и заменяя согласно (Ш.4.2) ДЯ на аРД/га, получим формулу для определения барометрических изменений уровня в открытой на- блюдательной скважине: Az = (ар —- 1) A/ia, (IIL4.5) причем, поскольку ар<1, то согласно. (III.1.37) изменения уров- ней будут пропорциональны изменению высоты атмосферного давления, но с другим знаком. Заметное влияние геодинамических факторов наблюдается также при землетрясениях [51], вскрытиях котлованов или карье- ров [41, 49], прохождении поездов [14, 54]. Следует иметь в виду, что существующие теоретические пред- ставления о механизме передачи давлений в слабопроницаемых разделяющих слоях имёют довольно умозрительный характер и требуют дальнейшего анализа на базе специальных натурных исследований. В частности, положение о непосредственной пере- даче внешнего давления через разделяющие слои справедливо только для жестких водонепроницаемых слоев, передающих к то- 181
ему же изменения внешнего давления без каких-либо потерь за счет перехода в другие формы энергии. Степень выполнения этого положения в каждом конкретном случае требует доказа- тельства (например, с использованием данных о влиянии измене- ний атмосферного давления). § 2. ПАЛЕОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ КОНСОЛИДАЦИИ ГЛИНИСТЫХ РАЗДЕЛЯЮЩИХ ПЛАСТОВ Палеогидродинамические расчеты проводят в комплексе палео- гидрогеологических исследований по реконструкции геологической истории подземных вод для понимания принципиальных законо- мерностей их формирования. Наиболее характерное направление палеогидродинамической реконструкции — анализ влияния эли- Рис. 65. Схемы к расчетам палеогидродинамической реконструкции: а — структура потока в артезианском бассейне при элизионйом водообмене; б — схема консолидации глинистого пласта (1— глинистый пласт, закончив- ший цикл осадконакопления; 1а— глинистый пласт в процессе осадконакоп- ления; 2 — водоносные пласты; стрелками показано направление потока при элизионном водообмене) знойного водообмена, обусловленного отжатием седиментогенных вод, главным образом из глинистых отложений, на различных Этапах геологической истории (рис. 65, а). Таким образом, палео- тидродинамическая реконструкция должна базироваться на расче- тах упругого режима фильтрации, формирующегося под действием геодинамических факторов, обусловленных осадконакоплением и Тектоническими процессами, а также гидродинамических факто- ров, обусловленных палеогеологическими и палеогеографическими условиями. Вопросы методики палеогидродинамических рекон- струкций аналитическими методами и с использованием модели- рования обстоятельно рассмотрены в работах [8, 9, 12]. Представление о постановке и результатах таких расчетов дает решение задачи нестационарной фильтрационной консолида- ции глинистого осадка при изменении нагрузки на него в процес- се седиментации. Закономерности консолидации такого глинистого осадка в начальный период его накопления (пласт 1а на рис. (55, а) 182
изучались в работе [8]. Рассмотрим такой процесс для условий,, когда накопление пласта глинистого осадка завершается и насту* пает новый цикл осадконакопления с отложением над этим плас- том следующей системы водоносных и разделяющих пластов- (пласт 1 на рис. 65, а), так что рассматриваемый пласт глинистых отложений становится разделяющим между двумя водоносными пластами (рис. 65). В таких случаях будем решать задачу филь- трационной консолидации глинистого пласта, исходя из того, что в процессе осадконакопления давление на пласт рп увеличивает- ся со скоростью dpn/dt=ynv0, где уп — объемный вес отлагающих- ся над глинистым пластом пород, a Vo — скорость осадконакопле- ния. При схематизации примем, что фильтрационный поток имеет вертикальное направление и подчиняется закону Дарси, а уплот- нение породы описываем законом компрессии (1.3.30), пренебре- гая влиянием реологических свойств пород. Задавая гидродинамические условия, примем, что в начальный период времени напор в пределах глинистого пласта был постоян- ным, т. е. Н (z, 0) =/7о—const; в дальнейшем напоры в водонос- ных горизонтах (подстилающем и покрывающем глинистый пласт) росли с постоянной скоростью t>o, т. е. Нп = Нп = Но + vot^ При задании последнего условия предполагается синхронный рост напоров с увеличением глубины артезианского бассейна, что логично, если пренебречь влиянием потерь напора на продольную (латеральную) фильтрацию в водоносных горизонтах. Поскольку условия на верхней и нижней границах глинистого пласта одина- ковы, то поток в нем будет иметь симметричный характер и, сле- довательно, в дальнейшем можно рассматривать каждую полови- ну пласта изолированно от другой. Имея в виду оценочный характер этой задачи, рассмотрим ее- в упрощенной постановке, осредняя напоры в пределах каждой половины глинистого пласта. При этом ее емкость сосредоточи- вается на расстоянии 0,25 т от границы пласта, где задается осредненный напор Н*. Тогда, выделяя единичный элемент поло- вины пласта, запишем для него уравнения баланса, пренебрегая изменением плотности воды: где Уо=О,5 пт — объем воды в единичном элементе пласта: v* — средняя скорость фильтрации в пласте, причем = (III.4.7) 0,25m Как и при выводе общего уравнения упругого режима (см. § 1 главы 4 раздела I), заменяем п на------й считаем постоянным 1 4-е объем скелета породы m 14-е’’ что дает 183
dV0 = 0,5 d (tun) = j- de- (Ш.4.8) В качестве уравнения состояния используем закон компрессии (1.4.4). Учитывая также, что dpCK—dpa—dp, a dpa—yaVodt и dp— —ydH*, приведем (Ш.4.8) к виду • dV« aAydH-y^t). (Ш.4.8а) 2 (1 +8) Подставляя выражение (Ш.4.8а) в (Ш.4.6) и учитывая (III.4.7), получим ГПйу / f///* \ л , /Уг, /ТТТ А П\ “57ГТ;Г' Yn - Y -г- = «---------—-°- (Ш.4.9) 2(1 £) \ d? / ИЛИ -Yn_ о,---= 2?_ (//• _ н„ - o0f); а = (Ш.4.9а) у dt m2 ydv Уравнение (III.4.9а) является существенно нелинейным, поскольку параметры, входящие в коэффициент пьезопроводности а, в процес- се уплотнения изменяются. Для получения оценочного решения пренебрежем изменениями параметров и тогда, вводя замену ДЯ* « Н' — Но — vot — (— 1 —2-Ц \ у ) 8а ’ приведем уравнение (Ш.4.9а) к виду d&H* 8а dt nfl (III.4.96) (Ш.4.9в) Это уравнение легко интегрируется, а произвольная интегрирова- ния находится из начального условия Я‘ = ~РП-— 14^»- при f = 0. \ у / 8а Тогда после алгебраических преобразований получим = 1) [!-ехр (-(Ш.4.10) а средний градиент напора Г = . i\ Г1 — ехр 4.(111.4.11) m 2а \ у /[ \ /и2 /J При длительном времени протекания процесса, когда />'/п2/За, в (III.4.11) можно пренебречь величиной экспоненты и тогда /* = рп. _ 1 \ (III .4.12) 2а \ у / 7 184
Проведем теперь в условиях такой задачи оценку влияния; отжатия воды из глинистого пласта, формирующегося при дейст- вии гидродинамических факторов на перетекание между водонос- ными горизонтами. При такой оценке можно исходить из того, что если величина 7П оказывается больше вертикального градиента напора 7Z, возникающего под действием гидродинамических фак- торов между водоносными горизонтами, то поток из нижнего гори- зонта не сможет поступать через разделяющий пласт и нижний горизонт окажется, таким образом, гидродинамически закрытым. Такой тип течения, когда преобладающую роль играет геодинами- ческое отжатие воды из глинистых пластов, называется элизион- ным; в противном случае (при In<Jz) формируется инфильтра- ционный тип течения, для которого характерно преобладающее действие современных гидродинамических .факторов [12, 19]. На- пример, при характерных значениях /п=100 м, т)*=10~5 1/м и; уц=2у условие (Ш.4.12) принимает вид 7П= 1Q“3 W&, откуда вид- но, что значительные градиенты 7П (порядка 0,01—0,1) возникают,, если коэффициент фильтрации примерно на один-два порядка меньше скорости осадконакопления. Таким образом, при реальных значениях 10_4—10- 5 м/год формирование элизионного режи- ма можно ожидать при коэффициентах фильтрации рлинистых пластов порядка 10~7 м/сут и менее. Разумеется, такой анализ составляет только часть построе- ний гидродинамической реконструкции, ’ при которых необходимо- учитывать влияние латеральной фильтрации в водоносных гори- зонтах, тектоническую историю рассматриваемой .структуры, а также температурные деформации пластов и другие факторы [12]. Вместе с тем рассмотренная задача достаточно характерна для построений палеогидродинамической реконструкции, которые, таким образом, сводятся к решению задач упругого режима гео- фильтрационного потока, формирующегося под действием геоди- намических и гидродинамических факторов, обусловливаемых палеогеологическими и палеогеографическими условиями терри- тории. Глава 5 ВЛАГОПЕРЕНОС В ЗОНЕ АЭРАЦИИ § 1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЛАГОПЕРЕНОСА Специфическим признаком зоны аэрации является неполное водо- насыщение, тесно связанное с проявлением капиллярных сил. Экспериментальными исследованиями [33, 39, 42, 47] доказа- но, что при гравитационном влагопереносе в зоне неполного насы- щения скорость фильтрации определяется законом Дарси, в кото- 185
ром коэффициент фильтрации (влагопереноса) k существенно за- висит от относительной влажности w=w/wq, где w и ^ — текущее ч предельное влагосодержанйе свободной (несвязанной) воды в норах породы (рис. 66). Из теоретических соображений и анализа экспериментальных данных [1, 47] следует, что зависимость k от W имеет степенной хяпяктрп вида k « k^, (Ш.5.1) тде -- коэффициент фильтрации при полном насыщении, когда дли показателя степени рекомендуется принимать значения 5 остывающее оооление у, оар Рис. 66. Типичные кривые зависимости проницаемости от влажности и всасывающего давления [5]: а — график зависимости относительной водопроницаемости kw и воздухо- проницаемости k от водонасыщенности; б — график зависимости коэффи- циента влагопереноса от всасывающего давления ф л=3-г4 [1, 35, 41]. Кроме того, в определенном диапазоне изме- нения влажности можно пользоваться экспоненциальной зависи- мостью коэффициента фильтрации от влажности вида k — k$e~°- (^0—о»), (III.5.2) где величина является параметром, который при малых влаж- ностях может иметь значение, отличное от коэффициента филь- трации насыщенной породы; по литературным данным можно при- нимать с/^20—70 [57]. 186
Методика лабораторных определений коэффициента фильтра- ции при неполном насыщении приведена, например, в работах. [39, 47, 53, 57]. Таким образом, компоненты скорости фильтрации в дифферен- циальной форме определятся выражениями , дН , дН , дН /ТТТ с v — — k ——> vu —= — k —:—, vz — — k-------, (III.5.3) dx dy dz или имея в виду, что Н = hp+z, 1 dhp , dflP i dhP t. /ТТТ r a v =—k—я—, u0 — — k~~^ —, vz = — k~------------k. (Ш.5.4^ ' dx ’ » dy ’ я dz В теории влагопереноса обычно вместо высоты давления hp используется величина давления всасывания (suction) ф==—hp. Величина ф в зоне неполного насыщения определенным образом^ зависит от влажности щ; на основании лабораторных и полевых, опытов [35, 47, 57] рекомендуется линейная, экспоненциальная или степенная зависимости вида ф = а— bw (a), ty = ae~bw (б) ф = (в), (Ш.5.5) где а и b — параметры среды. Для зависимости коэффициента фильтрации (влагопереноса) k от давления всасывания ф В. Гарднер [53] рекомендует выра- жение k = (Ш.5.6) 1 + оф"» ' причем для песков т=2, а для тяжелых суглинков /п=4; в опре- деленном диапазоне влажностей можно использовать и степенную зависимость k от ф (см. рис. 66). Имея в виду, что для влагопереноса в любом направлении t dhp dhp dw dhp t/ф —я?-- = —jr— • —я?-, и обозначая -г- ----т— = ф , приведем вы- dt dw dl dw dw ? ражения (III.5.4) к виду = = = k, (Ш.5.7) dx dy dz где величина Dw—ktf имеет смысл коэффициента влагопровод- ности; в теории влагопереноса эта величина обычно называется капиллярной диффузивностью, или диффузивностью почвенной влаги [39, 47, 57]; для аналитического ее описания рекомендуется экспоненциальная зависимость вида Dw (Ш.5.8) где Di, р и иР— параметры, определяемые для данной породы опытным путем. По литературным данным можно считать (0,5ч-1)а, где а — параметр в зависимости (Ш.5.2). 187
Следует иметь в виду, что при нестационарном режиме может существенно проявляться гистерезис влагопереноса, когда величи- ны ф' и Dw зависят от направления процесса. Этот гистерезис объясняется различием в геометрии внутрипоровых менисков при повышении и понижении влажности, причем в случае иссушения эти величины всегда больше (до двух-трех раз), чем при насы- щении. Интересно, что, судя по экспериментальным данным, зависи- мость ф от w для данной породы оказывается довольно едино- образной [39, 42, 47], поэтому зависимость ф' от w можно считать для данной литологической разности практически независимой от проницаемости. Следовательно, при неоднородном строении зоны аэрации в определенных диапазонах можно считать, что коэффи- циент влагопереноса Dw меняется пропорционально коэффициенту фильтрации кф. При небольших темпах влагопереноса и резких перепадах температуры может заметно проявиться термодиффузия, которая реально рассматривается обычно только при агрофизических ис- следованиях влажностного режима в почве и припочвенных слоях [39, 47]. § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОДИКА РАСЧЕТОВ ВЛАГОПЕРЕНОСА Выведем дифференциальное уравнение нестационарного вертикаль- ного влагопереноса, наиболее характерного для зоны аэрации, рассматривая баланс влаги в бесконечно малом элементе высотой dz и единичной площадью горизонтального сечения. В этот эле- мент снизу входит поток с расходом, равным скорости фильтра- ции vZi которая на выходе из элемента получает бесконечно малое dv, -v приращение — -oz. Разница между расходом потока на входе и dz выходе из элемента Идет на увеличение его влагосодержания, так что баланс потока за время dt здесь запишется равенством vzdt — (v, ™ dt = —dtdz, \ dz / dt из которого после сокращений получаем уравнение неразрыв- ности = (III.5.9) dz dt Рассматривая движение только под действием гравитационных и капиллярных сил, представим vz выражением (Ш.5.4), после чего получим искомое дифференциальное уравнение вертикально- го влагопереноса Э /р dw \ . dk __ dw dz \ w dz / dz dt ' (Ш.5.10) 188
В некоторых частных случаях удается получить аналитические решения задач влагопереноса, подметив упрощающие особенности процесса. Например, экспериментальными данными и теоретиче- ским анализом показано [37, 39, 47], что в случае задания на поверхности зоны аэрации дождевания с постоянной интенсив- ностью w и при однородном строении этой зоны образуется четко выраженная область просачивания глубиной I, в пределах кото- рой влажность практически оказывается постоянной (рис. 67, а). Таким образом, движение здесь происходит. за счет свободного стекания при напорном градиенте, равном единице, а влажность на фронте просачивания изменяется скачкообразно от начального значения we до значения w в зоне просачивания (рис. 67, б). Тогда балансовое уравнение, получаемое при рассмотрении бес- конечно малого продвижения фронта просачивания dl за время dt получим в виде (w — we) dl ~ kdl или dl k vt —-------=-------------- . dt w — we (III.5.11) (III.5.12) Имея в виду, что w=k, и используя выражение (Ш.5.1) для k, получим w = A=JS4(—-Г (Ш.5.13) . \ Wo / или . 7—-VM. (Ш.5.14) \ кф / после чего выражение (Ш.5.12) приобретает вид v = -------*--------. (III.5.15) / “W \11п ЙУо - —We \ / Если начальная влажность сравнительно невелика, то, полагая в (Ш.5.15) г<Уе==О, получим более простое выражение для скорос- ти инфильтрационного просачивания - W1 п -Аф п • w0 v (III.5.16) Принимая, в частности, п=3, придем к решению, впервые полу- ченному Н. Н. Биндеманом: vt = —-- Vw2fy>. Wo (III.5.17) 189
a 6 б влажность грунта.,весУ„ Рис. 67. Просачивание инфильтрующейся воды: а — кривые изменения весовой влажности при инфильтрации в супесчаном: грунте {5]; б — схема вертикального просачивания (1 и 1а — положения границы зоны просачивания на расчетный период времени); в — расчетная эпюра влажности (пунктиром показано перемещение эпюры за время dt)-, г — изменение скорости просачивания в монолите при затоплении сверху (15] (1 — начальное снижение скорости, 2 — временное повышение, скорости в связи с растворением и выделением воздуха, 3 — дальнейшее снижение скорости, обусловленное увеличением глубины просачивания и образованием, экранирующего слоя на Поверхности земли)
Эти зависимости могут .быть использованы для решения обратных задач при обработке экспериментальных (лабораторных или натурных) данных по известным значениям скорости просачивания vt. Так, зная величины w и k$, можно получить значения показателя степени просачивания п. Расчетную фор- мулу для решения этой задачи получим, логарифмируя выражение (III.5.16) и решая его далее относительно п, После чего она примет вил lg (w4) « =-—(Ш.5.18) lg— -- Vl Если же значение п известно или им можно задаться по литературным данным, то при известном k$ таким путем можно найти интенсивность ин- фильтрации w, а при известном w — определить коэффициент фильтрации лолностью насыщенной породы. Расчетные зависимости в этом случае полу- чаются аналогичным путем и имеют вид п / 1 \ lg w = ------— lg wovi 4- — 1g &ф (a) n — 1 \ n I w lg = n lg ----------— lg w. (6) Ф W0Vl (III.5.19) Решая обратные задачи влагопереноса, можно определить и основные параметры уравнения влагопереноса. Так, наиболее просто из данных натурных наблюдений может быть получена зависимость всасывающего давления (ф и ф') от влажности, если известно распределение влажности в капиллярной зоне при ста- ционарном режиме и отсутствии инфильтрации. В этом случае г’2=0, поэтому • согласно (III.5.4) имеем — — 1, т. е. —h = dz р — ф=2-}-С, причем постоянную С найдем из условия ф = 0 на поверхности гравитационной зоны. Следовательно, ф = г°, (III.5.20) где 2° — ордината данной точки относительно уровня грунтовых вод (гравитационной зоны). С другой стороны, по натурным за- мерам получим w(2°), что дает возможность построить зависимос- ти ф от пу, а затем графическим путем найти зависимость ф' от w. Экспериментальные данные показывают [47], что определенная таким образом зависимость ф(до) может успешно использоваться и при расчетах нестационарного влагопереноса. Для решения задач влагопереноса используются аналитиче- ские методы [35, 47], имеющие, однако, сравнительно узкую область применения из-за существенной нелинейности исходного дифференциального уравнения; в общем случае задачи влаго- переноса могут решаться численными методами с использованием вычислительной техники [23, 24, 26]. При интенсивном протекании процессов влагопереноса сущест- венно проявляется неупорядоченная неоднородность строения зоны аэрации, которая Обусловливается литолого-фациальной изменчи- 191
востью пород, наличием ходов землероев и остатков растений. Для учета этого фактора при математическом описании влагопереноса используется модель блоковой гетерогенной среды, аналогичной среде с двойной емкостью (см. рис. 17, а). Эта модель применялась для изучения процессов инфильтрации и водо- отдачи [32, 35, 45], причем в последнем случае показано, что водоотдача пород блочного строения весьма затруднена и в реаль- ное время проведения опытных откачек происходит только частич- ное осушение блоков. Влияние гетерогенности пород зоны аэрации на процессы инфильтрации подтверждается, в частности, натурны- ми данными о просачивании дождевой влаги (см., например, [39]), свидетельствующими о довольно резкой площадной нерав- номерности инфильтрации. При интенсивной инфильтрации заметную роль может играть движение воздуха при его вытеснении водой из пор, и защемле- ние воздуха, связанное с отмеченной выше неравномерностью про- сачивания воды. Пример влияния защемления воздуха на харак- тер просачивания показан на рис. 67, г, где после начального уменьшения скорости инфильтрации происходит ее увеличение, которое объясняется вытеснением и растворением защемленного воздуха. Таким же образом объясняется, по-видимОму, и наблю- даемое иногда временное увеличение скорости инфильтрации из шурфов [4].
Раздел IV ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ СКВАЖИН И МЕТОДИКИ ОБРАБОТКИ ОПЫТНО-ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ОПРОБОВАНИЙ Вертикальные скважины — основное средство для извлечения и нагнетания подземных вод; они состоят из глухой и водоприемной частей, причем водоприемная обычно оборудуется фильтром, пре- дохраняющим от выноса окружающей породы в скважину. Поэто- му в дальнейшем водоприемную часть скважины для краткости будем называть фильтром. По степени вскрытия водоносного го- ризонта вертикальные скважины подразделяются на совершенные и несовершенные — в зависимости от того, полностью или частич- но они вскрывают водоносный горизонт своей рабочей частью (фильтром). На условия работы скважины нередко существенно влияет сопротивление фильтра (прискважинной зоны), тесно свя- занное с условиями бурения, разглинизации и оборудования скважин. Построение расчетных зависимостей будет осуществляться для условий откачки как основной формы работы скважины. Глава 1 ОДИНОЧНЫЕ СКВАЖИНЫ В ИЗОЛИРОВАННОМ ПЛАСТЕ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ § 1. ОСНОВНАЯ РАДИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА (УРАВНЕНИЕ ДЮПЮИ) При откачке из совершенной скважины свободная или пьезомет- рическая поверхность вблизи скважины имеет воронкообразный характер (воронка депрессии). Рассмотрим закономерности фор- мирования такой воронки в изолированном однородном напорном горизонте постоянной мощности при отсутствии естественного по- тока, когда поток вблизи скважины имеет плоскорадиальный ха- 7 В. М. Шестаков 193
рактер (рис. 68, а, б). В таком потоке линии тока в плане будут радиальными, а линии равного напора будут проходить по ци- линдрическим поверхностям с центром на оси скважины (в плане они будут концентрическими окружностями). Выражение для рас- хода такого потока через поверхность радиусом г с шириной по- тока В = 2лг будет Q — qB, причем удельный расход q запишется а в Рис. 68. Формы воронок депрессии вблизи скважины: а и б — напорный поток (Т=const) в разрезе и плане; в — безнапорный поток по схеме Дюпюи; г — поток с учетом сопротивления прискважин- ной зоны (/—статический уровень, 2 — свободная или пьезометрическая поверхность, 3 — свободная поверхность безнапорного потока, рассчитан- ная по уравнению Дюпюи) согласно общей формуле (1.5.4), в которой градиент напора I = будет иметь тот же знак, что и расход откачки Q, при- dr нимаемый положительным, хотя он и направлен против положи- тельного направления оси г, т. е. <2 = 2лгТ—(IV.1.1) dr 194
Разделяя в уравнений (IV.1.1) переменные Ни г, приведем его к виду dH =—0— (IV. 1.1а) 2лТ г ’ Интегрируя это уравнение в пределах между опорным сече- нием r—ri, где H=Hi, и текущим сечением г с напором Н, по- лучим Н — Н^—^-Лп (IV.1.2) 2лТ Г1 В частности, совмещая опорное сечение со стенкой скважины, где Г1=гс и Н1=НС, получим Я —Яс = —^-ln —. (IV. 1.2а) 2пТ гс Эти уравнения впервые были получены французским гидрав- ликом Ж. Дюпюи [36] и обычно носят его имя. Более удобна запись этого уравнения в понижениях напора относительно статического уровня Но, который имел место до откачки. Посколь- ку в точках с напорами Н и Hi будут 5=Я0—Н и Si—Но—Hi, то уравнение (IV.1.2) можно записать в виде 5 — 5, = —In —, (IV. 1.3) а уравнение (IV. 1.2а) при Яс—Яо—Sc примет вид 5С — 5 = in _С. (IV.!.4) с 2лТ rc v 7 Из уравнения (IV. 1.4) следует, что существует условный ра- диус питания R, на котором 5=0 и 5С= —^-ln —. (IV. 1.5) с 2лТ rc v 7 Очевидно, что за пределами радиуса питания уравнение Дю- пюи теряет физический смысл, поскольку при откачке не может возникать отрицательных понижений уровня. Спецификой стационарного безнапорного потока является из- менение проводимости пласта в связи с изменением напоров, причем характер этого изменения существенно зависит от строе- ния пласта по вертикали. Для беанапорного потока на горизон- тальном водоупоре (рис. 68, в) уравнения планового радиального потока можно получить на основе предпосылки Дюпюи, исполь- зуя общие правила (II.1.14) перехода от зависимостей для напор- ного потока. Так, для однородного по вертикали безнапорного 7* 195
потока, заменяя Н на 0,5/г2, Нс на 0,5/гс и Т на k, приведем урав- нение (IV. 1.2а) к виду /г1 — hl = -5- In —- (IV. 1.6) nk rc ' ’ ИЛИ h = -\f hl 4 In — . (IV.1.6a) У Л& Г Q Аналогично для горизонтально-слоистого потока заменой на- пора на функцию Гиринского согласно (II.1.13) получим G —Gc = -Q-ln —(IV. 1.7) 2 пт г с где G и Gc — функции Гиринского в сечении г и на стенке сква- жины. Записывая расчетные зависимости для безнапорного потока относительно понижений напора, следует исходить из того, что в случае горизонтально-слоистого пласта понижению S в напорном пласте будет соответствовать изменение функций Гиринского, от- считываемых от значения Go, соответствующего начальной глу-. бине потока ho. Формально переход к функциям Гиринского мож- но осуществить заданием расчетного понижения уровня S, опре- деляемого по формуле 5= (IV. 1.8) причем расчетное значение проводимости Т целесообразно зада- вать соответствующим начальной проводимости пласта (при глу- бине потока ho). По формуле (IV.1.8), пользуясь общим выражением (II.1.12) для функции Гиринского, можно найти зависимость между расчет- ным понижением S и глубиной потока h (или истинным пониже- нием уровня S0). Например, для пласта однородного строения (схема Дюпюи) бо = 0,5ЛЯо> G=0,5£/i2 и Т = kh0, поэтому рас- четное понижение S = _ 10*0 — — 50 /1\ (IV. 1.9) 2Л0 2/i0 \ 2h0 )’ V ’ 7 а Для двухслойного пласта при снижении уровня ниже подошвы верхнего слоя и &в=0 (напорно-безнапорный поток) имеем Go=ktn(ho—0,5tn), G=0.5kh2 и T—km, поэтому расчетное пони- жение £ km(h •— 0,5 /п) — 0,5 kh2 ft ~ (IV 1 Ю) ~ km ~ 0 2m \ / 196
Естественно, что изменения проводимости в безнапорном по- токе должны учитываться лишь в том случае, если понижение уровня составляет заметную часть от исходной мощности пласта, а при двухслойном строении пласта и ks<^.k изменением проводи- мости обычно можно пренебрегать до тех пор, пока снижение уровня не достигает подошвы верхнего слоя. В безнапорном потоке вблизи от совершенной скважины (на расстоянии порядка глубины потока) происходит существенное отклонение линий равного напора от вертикального сечения, при- водящее к образованию участка высачивания ДЛС. Для выявле- ния параметров, от которых зависит величина участка высачива- ния, рассмотрим предельный случай притока к скважине из бес- конечности. В этом случае величинами, определяющими участок высачивания, являются приведенный расход Q = Qlk, уровень в скважине hc и радиус скважины гс, т. е. должна, иметь место связь ДАс = /(гс, Ас, Q). (IV. 1.11) По теории подобия число переменных в уравнении (IV. 1.11) мож- но уменьшить на одно, если привести переменные к безразмерному виду; можно, например, представить уравнение (IV. 1.11) в сле- дующей безразмерной форме: Aftc = -|^- = f(rc, hc)- rc и Q ___Гс Лс=--—c-. (IV. 1.1 la) Зависимости (IV. 1.11) и (IV. 1.11а) должны иметь место и для потока, ограниченного некоторым контуром питания, — надо только, чтобы этот контур был отодвинут от скважины на такое расстояние, когда он перестал бы заметно влиять на картину дви- жения вблизи скважины. Из многочисленных исследований извест- но, что контур питания перестает оказывать сколько-нибудь су- щественное влияние, если он располагается от скважины на рас- стоянии, большем мощности потока. Таким образом, если выпол- няется условие /?>АС-ЬДАС, где R— радиус контура питания, то зависимости (IV. 1.11) и (IV. 1.11а) должны сохраняться. Посколь- ку это условие, как правило, выполняется, • то приведенные фор- мы зависимости для ДЛС можно считать достаточно универсаль- ными. Теоретический анализ, подтверждаемый экспериментальными данными, показывает [22], что для однородного потока величина Д/гс может определяться по формуле Mc«y^0,731g-^Q--- 0,5^Q + &c — Лс. (IV. 1.12) 197
§ 2. УЧЕТ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИСКВАЖИННОЙ ЗОНЫ 2.1. Изменение проницаемости прискважинной зоны Рассмотрим радиальную задачу стационарного притока к совер- шенной скважине в напорном пласте (T=const) с учетом измене- ния сопротивления фильтра (прискважинной зоны), когда при- скважинная зона внешним радиусом гс' имеет коэффициент филь- трации kCt отличный от коэффициента фильтраций водоносного горизонта (рис. 68, в). Для решения этой задачи рассмотрим отдельно поток во внут- реннем фрагменте (прискважинной зоне), на границе которой устанавливается напор Нс. Поскольку прискважинная зона не нарушает радиального характера потока, то выражение для на- пора Нс получится из уравнения (IV. 1.2а) с заменой Н на Нс, Т — на 7' = k'm и г — на гс, т. е. (IV.1.13) 2л Т гс Во внешнем фрагменте уравнение радиального потока (IV. 1.2) можно записать, заменяя Нх на Нс и г3 на гс, т. е. Н— Н'с = —^-ln —. (IV. 1.14) 2яТ / ' ' 'с Складывая (IV. 1.13) и (IV. 1.14), исключим напор на границе фрагментов Нс и получим уравнение Я—= —?-(1п—In—Y (IV.1.15) 2 л Т I f q J Для учета сопротивления фильтра удобно ввести понятие рас- четного радиуса скважины Гс, который представляет собой ра- диус фиктивной совершенной скважины, эквивалентной по своему сопротивлению действительной скважине. Для фиктивной сква- жины уравнение распределения напоров получится из (IV. 1.2а) с заменой гР на г?, т. е. 7/-Т/с = —Q-ln —. (IV. 1.16) с 2лТ 'с Сопоставляя (IV. 1.16) и (IV.1.15), получим выражение для определения расчетного радиуса 1П Js. = jLln (IV. 1.17) ro kc ГС 198
или r°c = rc у °. (IV. 1:18) \ rc ) Из этих выражений видно, что величина расчетного радиуса определяется только размерами и относительной проницаемостью прискважинной зоны и не зависит от размеров формируемой во- ронки депрессии, так что она действительно может рассматривать- ся как параметр скважины. Дополнительные потери напора в прискважинной зоне ДЯс найдем вычитанием потерь напоров, определяемых уравнениями (IV.1.16) и (IV. 1.2): ДНС = -^Д/С; Д/с = -±_ In-^- = 0,3661g(IV.1.19) гс гс где величина Afc представляет собой безразмерное сопротивление фильтра (прискважинной зоны); в качестве показателя сопротив- ления фильтра используется также величина £2=2л;Д/:с. Очевидно, что г°с = гс е~2яЛ fc = гс . (IV. 1.20) Для прискважинной зоны толщиной гс—гс=дс с учетом выражения (IV. 1.18) получим 2лД/с = С2= — In (IV. 1.20а) kc rc . Сопротивление фильтра зависит от строения пласта, способа бурения и устройства скважины, причем его реальное значение меняется в очень широких пределах [1, 5, 17, 19]. 2.2. Проявления нелинейного режима течения Дополнительные сопротивления в прискважинной зоне могут воз- никать при нарушении линейного закона фильтрации, граница ко- торого определяется условием (1.3.21). Поскольку максимальное значение скорости фильтрации имаКс имеет место на скважине, соз- дающей площадь сечения потока 2лгст, то условие нарушения ли- нейного закона фильтрации примет вид И«аке=—------->0КР. (IV.1.21) 2л гс т р При выполнении этого условия в качестве основного закона фильтрации используется двучленная зависимость (1.3.15). Рас- 199
смотрим на ее основе уравнение воронки депрессий для стацио- нарного радиального потока в однородном напорном пласте, когда в сечении радиусом г скорость фильтрации v — -—-—Подстав- . 2л гт ляя это выражение для v в зависимость (1.3.15) и имея в виду, г dH что 1 —----, получим уравнение dr dH = Q _L _l JL f-JO2 1 dr 2лТ г 1 k \ 2л/п / г2 (IV. 1.22) которое позволяет разделить переменные и провести почленное интегрирование в пределах Нс w Н: от гс до г при изменениях напора от н С dH = —Q- J 2лТ "с dr , а / Q \2 Г dr --;--—I -----> г k \ 2лт / ' J г2 (IV. 1.22а) и после интегрирования получим уравнение воронки депрессии Н — Нс = -2-1п— + — (---Г (-------------------“I. (IV.1.23) 2л Т rc k \ 2л m / \ гс г / Приведенное впервые В. М. Насбергом [20] и Ч. Джейкобом [39]. Из уравнения (IV.1.23) следует, что при г^>гс нелинейность основного закона фильтрации уже не сказывается на форме кри- вой депрессии, так. что влияние нелинейности носит довольно локальный характер. При значительных дебитах или глубине скважин существен- ное влияние на ее сопротивление могут оказывать гидравлические потери внутри водоподъемных труб фильтра. Потери напора по длине водоподъемных труб АЯТ в соответствии с формулой Дар- си—Вейсбаха (1.2.18) будут AffT = q>TQ\ <рт = —~-т~, лМт5 (IV. 1.24) где /т и ^т —длина и внутренний диаметр водоподъемных труб. Если водоподъемные трубы состоят из нескольких участков раз- личного диаметра, то потери напора рассчитываются для каждого из этих участков и затем суммируются. Анализ влияния потерь напора в пределах фильтровой части скважины приведен в ра- боте [17]. 200
Глава 2 СОВЕРШЕННЫЕ СКВАЖИНЫ В НЕОГРАНИЧЕННОМ НАПОРНОМ ПЛАСТЕ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ § 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛАНОВО-РАДИАЛЬНОГО ПОТОКА В ИЗОЛИРОВАННОМ НАПОРНОМ ПЛАСТЕ Для вывода дифференциального уравнения планово-радиального потока в напорном водоносном пласте постоянной проводимости составим баланс цилиндрического элемента пласта бесконечно ма- лой толщиной dr (заштрихован на рис. 69) за бесконечно малый период времени dt. Пусть по внутренней цилиндрической по- верхности радиусом г в элемент поступает объемный расход Qr, который на выходе из элемента получает бесконечно малое при- ращение —; — dr, а через кров- дг лю и подошву поступает поток со скоростями фильтрации ик и vu. Тогда суммарное количество воды d V, поступающее в элемент за время dt, будет Рис. 69. Схема цилиндрического элемента радиального потока dV — dr + 2л г (vK + vn) dr dt. (IV.2.1) Это количество воды пойдет на изменение упругих запасов в эле- менте потока, которое при действии гидродинамических факторов в соответствии с общей зависимостью (II. 1.23) для упругой отда- чи в данном случае будет dV — 2лг р* — dr dt. (IV.2.2) dt Приравнивая выражения (IV.2.1) и (IV.2.2), после сокращения на drdt получим уравнение неразрывности =-----^- + 2яг(ок + о„). (IV.2.3) dt dt Для Qr можно использовать выражение (IV. 1.1), меняя только в нем знак расхода, т. е. Qr==—2л гТ—. (IV.2.4) dr 201
Подставляя в (IV.2.3) выражение (IV.2.4) для Qr, получим диф- ференциальное уравнение * дН1 И dt г dr I дН \ , V “аг) + t,« +°п (IV.2.5) или J_ дН ______ 1 д I дН \ vK + оп a dt г dr \ dr / Т (IV.2.6) При работе скважины в.потоке подземных вод меняющееся в про- странстве начальное распределение напоров будет искажать ра- диальный характер потока. Вместе с тем при неизменной величине площадного питания для учета естественного (исходного) потока можно, как это показано в § 3 главы 1 раздела III (см. III. 1.29— III. 1.30), воспользоваться принципом суперпозиции, который позволяет автоматически учесть наличие естественного потока подземных вод, если отсчитывать понижение уровня, создаваемого откачкой, от уровня естественного потока. В такой постановке понижения напора S будут описываться уравнениями радиального планового потока при нулевых начальных условиях. Типичными граничными условиями на стенке скважины яв- ляются условия постоянного (заданного) дебита или постоянного (заданного) во времени напора (понижения уровня), причем ус- ловие заданного дебита наиболее характерно для водообильных горизонтов, где дебит скважины лимитируется производитель- ностью насоса, , а условие заданного напора — для откачек из слабопроницаемых горизонтов и для самоизливающихся скважин. В качестве основного в дальнейшем будет рассматриваться наи- более распространенное условие заданного дебита скважины, когда по контуру скважины задается расход потока, соответст- вующий дебиту откачки Q. В радиальном потоке приток по кон- туру скважины равномерен и это условие имеет вид Q = 2пгсТ=—2лг.Т— . (IV.2.7) dr r=rc dr r rc Обычно размеры области влияния скважины значительно превы- шают ее радиус, и это дает основание в качестве удобной модели скважины использовать источник-сток, который представляет собой скважину исчезающе малого радиуса (т. е. в этом случае Гс->0). Условие заданного дебита допускает широкое применение принципа суперпозиции, ибо если на радиальный поток, возникаю- щий при откачке из скважины, наложить любой поток, то, хотя равномерность притока к скважине нарушится ввиду небольшого размера скважины, это нарушение будет одинаковым по всему контуру и суммарный приток к скважине изменится. 202
§ 2. РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПЛАНОВО-РАДИАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 2.1. Обоснование расчетных зависимостей Основная задача нестационарной планово-радиальной фильтра- ции решается для условий откачки из скважины с постоянным дебитом Q, проходящей начиная с момента времени t~0 в неогра- ниченном изолированном напорном пласте при отсутствии естест- венного потока. Решение поставленной задачи сводится к интегрированию дифференциального уравнения (IV.2.5) при начальном условии /7=/70=const и граничном условии (IV.2.7) на скважине. Удоб- нее решать такую задачу в понижениях напора S=Mj—Н> кото- рые также удовлетворяют уравнению (IV.2.6), но начальное условие здесь уже становится нулевым. Решение такой задачи, полученное впервые Ч. Тейсом [42], имеет вид S = —(IV.2.8) 4л Т 7 4at 7 причем функция скважины W(u) (well-function, по Ч. Тейсу) свя- зывается со специальной функцией Ei, называемой интегральным экспоненциалом, и может быть представлена следующим образом: и и2 = In —---0,577 4 м— , и 2-2! Таблица функции №(«) приведена в приложении. Уравнение (IV.2.8) является приближенным, поскольку оно не- точно удовлетворяет граничному условию на стенке скважины. Для анализа степени его приближенности найдем согласно (IV.2.4) выражение Qr для расхода потока, движущегося к сква- жине, в сечении радиуса г, меняя только знак расхода и подстав- ляя вместо S его выражение (IV.2.8): = -2лгТ-^ = —2лгТ- дг dW rQ ди 2 Qr = 2л rT дг 2 дг 2г 4at (IV.2.8a) тДг • № (м)] — 4л Т дг = (IV.2.9) и а при г = гс получим расход Qc на стенке скважины г2 Qc=Qe~\ ис = -±~. (IV.2.10) Д/уг 203
Таким образом, в решении (IV.2.8) приток в скважйне оказы- вается переменным, лишь асимптотически (при7->оо) достигаю- щим заданного дебита Q, поскольку именно в этом случае «с—О и Q=Qc- Строгим это решение оказывается только при гс—0, т. е. для источника-стока, представляющего собой матема- тическую модель скважины исчезающе малого радиуса. Однако приближенность этого решения в большинстве случаев оказывает- ся несущественной, поскольку величина Qc> определяемая форму- лой (IV.2.10), довольно быстро стремится к своему предельному значению Q. Так, согласно (IV.2.10) QC=Q с точностью до 1% Л2 уже начиная со значения аргумента пс = 0,01, когда/ = — 25——♦ а Задавая характерные значения гс=0,2 м и п=104 м2/сут, получим 25 • 0 04 _4 /о = —— = 10 сут = 10 с, т. е. стабилизация расчетного расхода скважины происходит за время несоизмеримо меньшее времени реальной работы скважин. Это обстоятельство дает осно- вание широко применять в гидродинамических исследованиях скважин теорию источников-стоков, позволяющую существенно упростить методику таких исследований. Из общего выражения (IV.2.8a) для функции W(u) следует, Что при малых значениях аргумента она имеет логарифмическое представление W (и) = In — — 0,577 = In » , (IV.2.11) и г2 причем абсолютная погрешность такого представления равна аргу- менту и. С точностью, до 1—5% оно применимо при условии и = — < 0,03 4- 0,09. (IV.2.12) 4at В этом случае уравнение (IV.2.8) принимает вид 5 = JL in = in , (IV.2.13) 4лТ г2 2лТ г а понижение в скважине Sc = — In 2’5 . /IV. 2.14) c 2лТ rc Сопоставляя (IV.2.14) с выражением (IV. 1.5) для понижения уровня в скважине при стационарном режиме, найдем, что в рас- сматриваемых условиях неограниченного изолированного потока условный радиус питания определяется формулой 7?=1,5]/а/, (IV.2.15) причем из (IV.2.15) следует, что в этом случае расчетный радиус Питания неограниченно увеличивается со временем. 204
Запишем выражение (IV.2.14) в виде «с = в4: 5= т-|п—5/г!/- (IV.2.16) Т 2л гс Расчеты величины £ при реальных значениях а и гс=0,1 м дают результаты, приведенные в табл. IV. 1. Как видно, для «чйс- тых» скважин (при отсутствии прискважинного сопротивления) значения £ меняются в сравнительно узких пределах, причем ориентировочно можно принимать для безнапорных пластов |=1, а для напорных .пластов £=1,5. Таблица IV. 1 Типичные расчетные значения £ Поток [ Безнапорный | Напорный Порода — песок мелкозернистый крупнозернистый тонкозернистый мелкозернистый а, м2/сут 500—2000 2000—5000 10* 106 t, сут 1 10 1 10 '1 10 100 1 10 100 В 0,9—1 1-1,2 0,9—1,1 1,1—1.3 1,2 1,3 1.5 1,3 1,5 1,7 $с_3 = _«_ЛпЬ5/«?,_ln 2лТ \ rc r ) 2.2. Закономерности формирования воронки депрессии Используя выражения (IV.2.13) и (IV.2.14), найдем разность по- нижений в скважине и в любой точке <2 . г — —— In—, 2лТ гс (IV.2.17) которая оказывается независящей от времени и совпадающей с выражением, определяемым уравнением Дюпюи (IV.1.3), полу- ченным. для стационарного режима. Таким образом, при выпол- нении условия (IV.2.12) режим изменения уровней становится квазистационарным, когда уровни во времени снижаются, но их распределение в каждый момент времени соответствует законо- мерностям стационарного режима. Дифференцируя уравнение (IV.2.13) во времени, получим = (IV/2.18) dt 4xTt . откуда следует, что скорость снижения уровня в этом случае не зависит от радиуса г и, следовательно, воронка депрессии в зоне 205
квазистационарного режима при откачке опускается параллельно самой себе, а график в координатах S и 1g/ становится прямоли- нейным (рис. 70, а). Таким образом, в неограниченном изолированном пласте уравнение Дюпюи для стационарного режима обосновывается в зоне квазистационарного режима, радиус которой RKB опреде- ляется условием (IV.2.12), из которого следует выражение Якв = (0,35 0,6) Vat. (IV.2.19) а Рис. 70. Характер формирова- ния воронки депрессии: а — типичный график измене- ния понижения во времени (I и II — зоны нестационарного и квазистационарного режи- мов); б — форма воронки де- прессии на два момента вре- мени при откачке с постоян- ным дебитом В прискважинной зоне квази- стационарный режим наступает обычно очень быстро, поэтому учет дополнительных сопротивлений при- скважинной зоны, возникающих в результате изменения ее проницае- мости и нарушения линейного режи- ма фильтрации, может проводиться по методике, рассмотренной для условий стационарного режима. На- пример, влияние сопротивления фильтра учитывается заменой в формуле (IV.2.16) величины гс рас- четным радиусом скважины Приведенные зависимости позво- ляют составить представление о ха- рактере развития воронки депрессии в пространстве (рис. 70,6). Радиус влияния воронки депрессии #вл, оп- ределяющий реальную область ее развития, находится из условия, что за его пределами понижения уровня будут меньше минимальной реально фиксируемой величины SMHH, т. е. должно быть Г («,) = 5„и, и, = (IV. 2.20) 4лТ 4at Используя приближенное выражение (IV.2.16), представим условие (IV.2.20) в виде S„„K=-"-l®- = -^IV(Uo). (IV.2.20a) Sc 4g Исходя из возможностей замера уровней, можно принять 5мин=1—5 см, а имея_в виду, что обычно Sc^10—15 м, найдем характерное значение 5мин=0,001. Согласно (IV.2.20a) при сред- нем значении 6=1,2 получим IV(wo) =0,015 и по таблице функ- 206
ции W (см. приложение) находим м0—2,9. Заметим, что получен- ное таким путем значение и0 сравнительно слабо зависит от за- данной величины 5Мин- Например, при 5МИН=0,005 получим Мо=1,7, а при £мин=0,0005—ц0=3,5, поэтому значение «о=2,9 вполне может быть принято как расчетное. В соответствий с вы- ражением для Uq запишем далее формулу для радиуса влияния RBn = = 3,4 Vat. (IV.2.21) Как видно, выражение для 7?вл по форме оказалось аналогич- ным выражению (IV.2.15) для радиуса питания 7?, причем вели- чина R оказывается примерно вдвое меньшей радиуса влияния. § 3. ВЛИЯНИЕ ПЕРЕТЕКАНИЯ НА РАБОТУ СКВАЖИН В СЛОИСТЫХ СИСТЕМАХ Слоистые системы представляют собой чередование водоносных пластов и разделяющих слоев; в гидродинамическом смысле они сводятся к планово-пространственным потокам, основанным на ис- пользовании предпосылки перетекания (см. § 1 главы 5 раздела I). В этом случае для каждого водоносного пласта распределе- ние напоров (понижений) описывается уравнением (IV.2.6), в ко7 тором скорости фильтрации ик и ип на кровле и подошве пласта определяются условиями перетекания в разделяющем слое. ; Наиболее Простой и широко используемой в практических рас- четах является схема «жесткого перетекания», когда пренебрегают упругим режимом в разделяющих пластах, так что скорости фильтраций в кровле и подошве водоносного пласта представ- ляются выражениями [р, = Ак Vn = kn (IV.2.22) /пк /Пп где Як и Яп — напоры в соседних водоносных пластах со стороны кровли и подошвы расчетного водоносного пласта. Подставляя эти выражения в уравнение. (IV.2.6), получим дифференциальное уравнение для напоров расчетного водоносного пласта — — 1-Й(Як-Я) + Й(Яп-Я), a dt г дг \ дг / (IV.2.23) где Ьк и Ьп — коэффициенты перетекания: = V ~£т b”=V(IV.2.23a) Для выявления закономерностей влияния перетекания на ре- жим снижения уровней при откачках в слоистых пластах рассмот- рим условия работы скважин с постоянным дебитом при неизмен- 207
ных и одинаковых уровнях в соседних горизонтах (Нк=Нп=^Н0), когда оно, будучи записанным относительно понижений уровней S—Hq—H, принимает вид = JL /Г_^Л (IV.2.24) a dt г дг \ дг ) Ь = 1/’й + Й=1/ •(-&-+А-, (IV.2.24a) г \ tnK тп / Т а граничные условия на скважине сохраняются в форме (1УД.7). В такой постановке решение рассмотрели Ч. Джейкоб и М. Хантуш [37]. Согласно этому решению понижение в любой наблюдательной скважине описывается уравнением S = г), и = r = br, (IV.2.25) 4лГ п ' 4at V ' Н?п(«,г)^ fexp^— х-----(IV.2.25a) и Функция Wn(u, г) подробно табулирована [12]; в сокращен- ном виде ее таблица приведена в приложении. Из анализа функции 1ГП( и, г) следует, что в пределе при £->оо __и м=0_ она имеет конкретное конечное выражение JFn(O, г)==2Ко(г), где Ко-—функция Бесселя второго рода от мни- мого аргумента. Следовательно, в этом случае существует пре- дельная стационарная воронка депрессии, описываемая уравне- нием $ = (7), Г = Ьг, (IV.2.26) 1 которое получили Н. К. Гиринский, А. Н. Мятиев, ,4. Джейкоб [11, 23, 39]; практически оно применимо при условии -аЬЧ > 2,5.- (IV.2.27) Типовой график изменения уровней, описываемого уравнением (IV.2.25), приведен на рис. 71, а. Для этого гр тка характерно наличие точки перегиба (с понижением Sn, равш _ половине ста- ционарного), после прохождения которой уровни асимптотически стремятся к своему предельному значению, определяемому урав- нением (IV.2.26). При малом значении г функция Ко (г) имеет логарифмическую асимптоту и_ при 0,1—0,34 с точностью 1—5% можно считать Ко(г) =— Inr-f-O.l 16, так что уравнение (IV.2.26) примет вид S = (ta 4- +'0,116^ =-2-ln —(IV.2.28) 2пТ \ г / 2лТ г 208
В частности, на скважине Sc = —Q- In В = Mb. (IV.2.28а) 2лТ гс Нетрудно убедиться, что разница понижений Sc—S в данном случае подчиняется уравнению Дюпюи (IV. 1.4), полученному для изолированного пласта. Следовательно, в зоне, где г< (0,1-? 4-0,34) В, перетекание не изменяет формы воронки депрессии и кания: а — типовой график при неизменном напоре в соседних слоях; б — схема откачки из двухпластовой системы; в — типовой график для откачки из двухпластовой системы (сплошная линия — в пласте 1, пунктир — в пласте 2) здесь применимы все зависимости, полученные для схемы изоли- рованного пласта. Принятое в этой схеме условие постоянства уровней в сосед- них (подпитывающих) горизонтах можно считать логически обос- нованным, если подпитывающие пласты более водообильны, чем опробуемый пласт. В противном случае это условие может носить лишь временный характер, поскольку при длительной откачке на- поры подпитывающих горизонтов могут существенно снизиться. Например, при взаимодействии двух водоносных пластов с прово- 209
димостями Ti и Т2 (рис. 71, б), в одном из которых ведется откач- ка, а другой является подпитывающим,. режим снижения уровней в откачиваемом пласте будет иметь три характерных периода (рис. 71, в): в первый период, следующий до заметного снижения уровней в подпитывающем пласте, понижения будут формировать- ся по зависимости (VI.2.25), затем пройдет переходный период сложного взаимодействия уровней в пластах, после чего начнется период совместной работы водоносных пластов,-когда снижение уровня будет происходить как в едином пласте суммарной прово- димости, т. е. будет определяться уравнением (IV.2.8) при и Рупр=р;пр+м^р+1>%р(1>^,. в;„р и и^-коэффи- циенты упругой отдачи водоносных пластов и разделяющего слоя). Интересно, что при одинаковых параметрах пластов (Т1=Т2 и Цупр = ц"пр) уравнением (IV.2.25) описывается разница пониже- ний уровней в откачиваемом и подпитывающем пластах (Si и S2), т. е. в выражении (IV.2.25) S заменяется на Si—S2 при b = 1/ —— Более подробно гидродинамика таких откачек т /ПоТ рассмотрена,, например, в работах [2, 17, 26, 40]. Рис. 72. График функции Специфический характер режи- ма снижения уровней возникает при существенном влиянии упругого режима фильтрации в разделяющих слоях. Например, при бесконечной мощности разделяющих слоев, име- ющих коэффициент фильтрации kQ и коэффициент пьезопроводности а'о (такая схема может, очевидно, при- меняться, если упругое возмущение не распространяется до границы разделяющего слоя), понижение уровней в откачиваемом пласте определяется уравнением [26]. 4.T7 г2 4at ₽^-7^1/~’ (IV.2.29) 4/ у йо Н(и, Р) = \---- erfc (—-—===- 1 dz Графики и выражение функции J г \ /г(г-«) / Я (и, 0) приведены на рис. 72; под- “ ровные таблицы этой функции име- ются в работах [2, 17, 26]. Анализ уравнения (IV.2.29) показывает, что в данном случае также формируются три качественно разных периода снижения уровней: в первом периоде фильт- рация из разделяющих слоев еще не оказывает влияния, так что понижение S практически определяется зависимостью (IV.2.8); второй период — переходный, а в третьем — формируется логарифмический закон снижения уровней во вре- мени: s = in 2лТ г2 (IV. 2.30) 210
т. е. как в изолированном пласте, но при удвоенной проводимости. Таким об- разом, предельный эффект влияния упругого подпитывания из разделяющих слоев соответствует удвоению проводимости водоносного пласта. § 4. НЕУПОРЯДОЧЕННЫЕ СИСТЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СКВАЖИН И УЧЕТ ПЕРЕМЕННОГО ДЕБИТА СКВАЖИН При построении расчетных зависимостей для системы взаимодей- ствующих скважин, работающих с заданным дебитом, исполь- зуется принцип суперпозиции (сложения течений), согласно кото- рому в потоках с неизменной проводимостью изменение (пониже- ние) уровней под действием откачки из системы скважин опреде- лится как сумма ' понижений, вызываемых действием каждой скважины в отдельности. Необходимость задания дебита скважин обусловливается тем, что, как показано в § 1 настоящей главы, для скважин малого радиуса это граничное условие не нарушится при наложении влияния взаимодействующих скважин. Ниже будет показано, что применение принципа суперпозиции для расчета си- стем скважин дает погрешность не более 1—2%, если расстояние между скважинами превышает (64-8) гс; для скважин это условие выполняется практически всегда, что дает основание прилагать к их расчету принцип суперпозиции без каких-либо ограничений. В соответствии с этим принципом понижение от действия системы взаимодействующих скважин определится как сумма понижений действия каждой из этих скважин в отдельности, т. е. если 51, 52, Sf — понижения уровней, определяемые при работе скважин номера 1, 2, ...» i, то суммарное понижение при работе всей системы будет 5 = 5j + 52 + ... + 5j. (IV.2.31) При откачках с постоянным дебитом в однородном неограни- ченном изолированном пласте, где понижение уровней под дей- ствием одной скважины определяется формулой (IV.2.8), общее понижение уровня при работе системы t-того числа скважин в соответствии с (IV.2.31) определится уравнением 5 = w (и,) + W («,) + ... + М, (IV.2.32) 4лГ 4л7 4.т7 г2 г2 г2. и, =-----!---, и2 = --~---, ... , Ui =----—-, (IV.2.32a) 4а (t—ii) 4a(t—t2) 4а (t — ti) где Г1, r2, ..., — расстояния от центральных скважин номера 1, 2, ..., i др расчетной точки (рис. 73, a); Qi, Q2, Qi — деби- ты скважин номера 1, 2,..., i; ti, — время начала откач- ки из скважин номера 1, 2,..., I. 211
При наступлении квазистационарного режима, имеющего мес- то, когда аргументы щ, й2, ..., щ удовлетворяют условию (IV.2.12), выражение (IV.2.32) принимает вид _____Qi__2,25о (/ — tj) 4лТ f2 — Iln 2,25а (t — tt) — 2 In rj 4- ... -A_ [In 2,25a (t — Л) — 2 In r(], (IV.2.33) 4лТ а, введя безразмерный дебит скважины %£ = -—, где Q = Q1-|- + Q2+ — +Qf — суммарный дебит скважин, получим 5 = Г1П 2’25й + 1П (Z “ *1) + • ’ • & 1П ~ ~ 4лГ — 2%/ln Г1 — ... — 2х£ In г£] = [In 2,25а + In (t ~ + ... ... 4 In (/ — — 2 In г?* — 2 In r?q. (IV.2.34) Введем далее расчетное время tQ и расчетный радиус г0 такие,, что In t0 « In (t- /0х* + • • • + In (t - t^i, (IV.2.35) In r0 ~ In rx* 4 ... 4- In rji, (IV.2.36) после чего выражение (IV.2.34) можно представить в виде 3 = —°—In—(IV.2.37) 4ЯТ г2 соответствующем по форме выражению (IV.2.13) для откачки из одиночной скважины [34]. Таким образом, в неограниченном по- токе при квазистационарном режиме можно пользоваться зависи- мостями, полученными для откачки из одиночной скважины, вво- дя только расчетные значения радиуса г0 и времени tQ, определяе- мые согласно (IV.2.36) и (IV.2.37). Такой расчетный прием приведения системы скважин к одиночной, введенный впервые Ф. ФорхгеймероМ [25], носит название способа «большого ко- лодца». Аналогичным путем можно составить решения и для взаимодействующих скважин в слоистых потоках. Например, при учете перетекания по уравнению (IV.2.25) выражение для понижения от действия системы скважин получится по форме таким _же, как уравнение (IV.2.32), только в нем следует заменять W(Ui) на Wa(Ui, г,). Расчеты взаимодействующих скважин в безнапорных потоках, распола- гаемых на горизонтальном водоупоре, могут проводиться с использованием 212
принципа суперпозиции по общей формуле (IV.2.31), однако при этом операции суперпозиции в общем случае должны производиться с расчетными понижения- ми уровней, определяемыми по зависимостям (IV. 1.8)— (IV. 1.10). Используя принцип суперпози- ции, можно построить решение для переменного во времени дебита скважин, если задать его ' измене’ ние по ступенчатому закону (рис. 73,6). Для первой ступени (при /</1) решение получится со- ответствующим режиму первона- чальной откачки при Q~Qo; для второй ступени решение получится наложением друг на друга двух откачек — одной, первоначальной, с дебитом Qo и другой с дополни- тельным дебитом второй ступени AQi, сдвинутой во времени на ве- личину Zf, для третьей ступени на понижение, получаемое для двух ступеней, наложится понижение от действия третьей ступени с допол- нительным деби+ом AQ2, сдвинутой во времени на величину /г- В част- ности, для откачки в изолированном неограниченном напорном пласте для первой ступени понижение оп- ределится уравнением (IV.2.8) при Q = Qo, а для второй ступени полу- чим Рис. 73. К расчетам взаимодей- ствующих и переменнодей-. ствующих скважин: а — расположение взаимодей- ствующих скважин; б — сту- пенчатый график изменения дебита скважин S=-^°-U7(m) U1~-—--------. (IV.2.38) 4лТ 4лТ 4 1Ъ 1 4а(/-/1) Соответственно для третьей ступени откачки S = W (и) + — Г (щ) + —W (и2), щ -. 4лТ V ' 4лТ V 17 4лТ • 2/ 2 4а(/-4) (IV.2.38а) Аналогично можно построить выражение для понижений уровня для любой последующей ступени откачки. Глава 3 УЧЕТ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЦ ПЛАСТА В ПЛАНЕ Влияние прямолинейных границ с условиями первого и второго родов (с постоянным напором и постоянным расходом) эффектив- но учитывается на основе метода зеркальных отображений [12, 22]. 213
§ 1. ПОЛУОГРАНИЧЕННЫЙ ПЛАСТ Полуограниченный пласт имеет в плане прямолинейную границу, на которой могут задаваться гоаничные условия первого, второго или третьего родов. 1.1. Прямолинейная граница с условием первого рода [заданных напор Н— const или нулевое понижение напора 5=0) Наличие такой границы учитывается заданием фиктивной нагне- тательной скважины, представляющей собой зеркальное отобра- жение действующей скважины (рис. 74). Для такой дуплетной системы скважин понижение уровня в любой точке на рас- стоянии г от скважины умень- шится на величину повышения уровня в этой точке А77' от действия фиктивной (зеркаль- но отображенной) скважины, которое определяется, как и понижение уровня при расчет- ном расстоянии г'. Для условий откачки с по- стоянным дебитом Q пониже- ние уровня от действия реаль- ной скважины определится уравнением (IV.2.8), а повы- шение уровня от действия фик- тивной скважины соответст- венно будет. Рис. 74. Скважина у прямолинейной границы первого рода: а — разрез через скважину по норма- ли к границе (/ и 2 — действитель- ная и отраженная скважины, 3 — на- чальная свободная поверхность); б — план течения (сплошные — линии равного понижения уровня, пунктир- ные—линии тока); в — полулогариф- мический график понижения уровня АЯ' =-S— IF(u'); u' = 4лТ 4at (IV.3.1) Следовательно, понижение от действия дуплетной системы ре- альной и фиктивной скважин будет S = W («) - w' («') = F («) - И7 («')]; (IV. 3.2) 4л7 4л7 4лГ 214
U = и' (IV.3.2a) 4at 4at Поскольку на Гранине г—г' и и—и', то S = 0, так что уравнение (IV.3.2) действительно удовлетворяет заданному граничному ус- ловию первого рода. Для определения понижения <SC на стенке скважины в выра- жениях аргументов и и и' следует положить г=гс и r'^ZL. При длительной откачке, когда аргументы и и и' удовлетво- ряют условию (IV.2.12), заменяя функции W(u} и W (и') их лога- рифмическими представлениями, получим S = S° = —[In —— In =_<L_in2L (IV.3.3) 4лТ f* (r')2 J 2лГ r а для скважины r=rc и r'—ZL получим формулу Sc = S2 = In —, (IV.3.4) c 2nT rc ' впервые доказанную Ф. Форхгеймером [25]. Сетка движения дуплетной системы источник-сток, описывае- мая уравнением (IV.3.3), имеет характер, изображенный на рис. 74, б. Здесь эквипотенциали (линии равного понижения уров- ня) представляются окружностями, центры которых рсположены на прямой, проходящей через источник и сток; можно показать, что радиус эквипотенциальной окружности rs с центром в точке на расстоянии ys от скважины определяется формулой г. = V^(2L + yl), (IV.3.5) а расстояние ys связывается с понижением уровня 5 на эквипотен- циальной окружности зависимостями S = —In или ys =------------------------~. (IV.3.6) 4лТ уа s / 4xTS\ ’ Линии тока тоже представляют собой окружности, не проходящие через источник-сток и имеющие центры на границе S — 0. Поскольку эквипотенциали являются здесь окружностями, то решение для дуплетной системы источника-стока будет справедливо и для скважины (ко- лодца) конечного радиуса гс, поскольку ее контур можно совместить с экви- потенциалью радиуса rs=fc. В этом случае только положение расчетного источ- ника-стока сдвигается относительно действительного центра скажины на ве- личину ys, определяемую согласно (IV.3.5) при rs—rc, причем можно показать, что при расстоянии L от центра скважины до реки' расчетное расстояние La=L—yg определяется по формуле = (IV.3.7) Н. к. Гиринским (11] была рассмотрена эта задача для стационарного потока в строгой постановке (методом конформных отображений) с учетом реального радиуса скважины (колодца) гс, причем были получены следующие величины 215
погрешностей 6Q в расчетах притока к скважине по строгому решению и с заменой скважины источником-стоком (последнее всегда дает заниженный ре- зультат) : L/rc 5 4 3 2 6Q 0 0,01 0,02 0,04 Из уравнения (IV.3.2) обосновывается следующий характер зависимости понижения уровня S от времени t (рис. 74, в): в на- чальный период еще не сказывается, влияние границы, затем на- ступает переходный период, который завершается асимптотической стабилизацией уровней, стремящихся к значениям S0, определяе- мым выражением (IV.3.3). Очевидно, что время наступления переходного периода можно установить из условия = 6S, (IV.3.8) («1) где 6S — допустимая относительная погрешность определения по- нижения уровня S. Численный анализ выражения (IV.3.8) пока- зывает, что его можно аппроксимировать выражением и. = 0,7 Л/ - — г (IV.3.9) 1 у 6S г' Из выражения (IV.3.9) следует формула для оценки времени tf наступления переходного режима, начиная с которого необходи- мо учитывать влияние границы /' =0,36-^,)2- ДД-. (IV. 3.10) а V г Минимальное значение этого времени (f = ^ин) получится для точек, располагаемых на границе, где r'=L и г==1, т. е. Ск= 0,36(IV.3.11) Время t° практической стабилизации откачки найдем при t—t° из выражения для допустимой относительной погрешности 2 In -4- - И/ (и) + W (и') 6S = .--Г----------- (IV.3.12) S° 2 In -4- r Поскольку при стабилизации уровней величины и сравнитель- но малы, причем u<Zu', то можно принять №(u) = ln и U7(w') = ln-^^4-H', (IV.3.13) 216
так что выражение (IV.3.12) примет вид и = JHL = 26S In 4- = 4.66S 1g i. 4at° г г Например, при г=0,33 и 65 = 0,02 получим и=4,6-0,02-0,477= = 0,044. 2 In t |5 2 Рис. 75. Скважины у прямолиней- ной непроницаемой границы: а — разрез через скважину по нормали к границе; б — план рас- положения скважины; в — полу- логарифмический график пониже- ния уровня (/ и 2 — действитель- ная и отраженная скважины, 3 — начальная свободная поверхность, 4—расчетная точка) УПереход- ! ный \период ; а1 Начальный период 1.2. Непроницаемая граница Такая граница представляет собой наиболее характерный вариант границы второго рода: она учитывается заданием фиктивной от- качивающей скважины той же интенсивности, что и действитель- ная, и расположенной симметрич- но относительно этой границы (рис. 75, а, б). Соответственно по- нижение уровня в этом случае по- лучится сложением понижений создаваемых действительной и фик- тивной скважинами, т. е. 5=Т’--[Г(«) + Г («')]; « = = — и' = -Й--. (IV.3.14) 4at , 4at Вследствие симметрии действи- тельной и фиктивной скважин гра- диент напора (понижения) по оси симметрии будет нулевым, что и соответствует условию, задаваемо- му на непроницаемой границе. Строгое доказательство этого поло- жения можно получить, дифферен- цируя выражение (IV.3.14) по х и имея в виду, что г2= (£—-х)2Ч-#2, а (И2=(£+х)2-Н/2. График S->ln/ в данном случае будет иметь вид, представленный на рис. 75, в: в начальный период, длительность которого определяет- ся здесь также по формуле (IV.3.10), следующей из условия (IV.3.8), на снижение уровня гра- ница . практически не влияет; за- тем начинается переходный период, в течение которого влияние границы ется, и, наконец, наступает период квазистационарного режима, когда можно принять логарифмические представления функции скважин, т. ё. считать \К0азиста~ [ционарный режим постепенно интенсифициру- 217
s = Г in- l^L + in = -Q.in (iv.3.15) 4лТ L r2 (r')2 J 2лТ rr Из этого выражения следует, что при квазистационарном ре- жиме снижение уровней происходит по той же зависимости, что и в неограниченном пласте, но как бы при удвоенном дебите сква- жины и расчетном расстоянии, равном J/rr'. Соответственно график (см. рис. 75, в) в этот период является прямолиней- ным, но уклон его будет в два раза больше, чем в таком же не- ограниченном пласте (tg a2=2tgai). 1.3. Граница экранированного водоема Под экранированным водоемом (рис. 76) возникает поток пере- текания, который описывается уравнением (IV.2.23) при НК=Н° Рис. 76. Скважина у экранированного водоема: а —разрез через скважину по нормали к границе водоема; б — план рас- положения скважины (/ — действительная скважина, 2 и 3— скважины зеркально отраженные относительно уреза водоема и его расчетного по- ложения АА, сдвинутого на Д£, 4 — начальная свободная поверхность) и Z>n=0. Анализ решения такой задачи показывает [6, 17, 31], что с высокой точностью здесь можно использовать расчетный прием сдвига уреза водоема на величину Д£ (см. § 1 главы 2 раз- 218
дела II), согласно которому при стационарном режиме фильтра- ции понижение уровня под влиянием откачки представляется вы- ражением S = in Z_, r" = x 4- 2AL)2 + у2, (IV.3.16) 2лТ r где r" — расстояние от расчетной точки до отражения скважины относительно сдвинутого уреза водоема. Этот прием с некоторой модификацией может быть использован и при наличии водотока конечной ширины [17, 31]. Приближенные выражения для нестационарного режима от- качки можно в этом случае получить, используя формальную ана- логию между выражениями (IV.3.16) и (IV.3.3), т. е. считая, что и при нестационарном режиме влияние полупроницаемой границы третьего рода может быть учтено введением фиктивного источни- ка, располагаемого от данной точки на расстоянии г", определяе- мом согласно (IV.3.16). В такой постановке нестационарное по- нижение уровня в плановом потоке определится уравнением S = F (и) — № (и*)]; и = —, и’ = (IV.3.17) 4лТ L v v 4at 4at ' ' Численное сопоставление уравнения (IV.3.17) со строгим ре- шением этой задачи показывает, что при AL< 0,2 уравне- ние (IV.3.17) дает вполне удовлетворительные результаты (мак- симальная погрешность 1—2%). § 2. УГЛОВОЙ И ПОЛОСОВОЙ ПЛАСТЫ Методику построения зависимостей для углового пласта рассмот- рим на примере пласта-квадранта с непоонипаемыми границами (цис. 77). В соответствии с приведенным выше обоснованием для учета влияния каждой из непроницаемых границ в отдельности следует ввести фиктивные скважины 1 и 2, располагаемые симметрично относительно этих границ. Однако фиктивные скважины будут нарушать граничное условие: 1 — на оси у, а 2 — на оси х. Для исправления положения следует ввести еще одну дополнительную скважину 3, располагаемую как симметрично скважине 1 относи- тельно оси у, так и симметрично скважине 2 относительно оси х. Построенная таким образом система скважин оказывается сим- метричной относительно каждой из границ углового пласта, и, следовательно, на них обеспечивается требуемое условие нулевого градиента напора. Понижение напора в любой точке определится здесь также сложением понижений от действия реальной и всех фиктивных скважин в отдельности: 219
s = -Л-F <“) + v +v <“*-)+w -___ 1) — —- и = —и = -~- 4at * 4at * 4at 4at (IV.3.18) (IV.3.19) Аналогичным путем, меняя только знаки фиктивных (отра- женных) скважин, получим решения для условий первого рода и смешанных условий на границах пласта-квадранта. Так, для пла- ста-квадранта с границами первого рода (рис. 77, б) Меняется Рис. 77. Скважина в пласте-квадранте: а — непроницаемые границы по осям х и у; б — границы с постоян- ным напором по осям хну; в—непроницаемая граница по оси у и постоянный напор по оси х (/, 2 и 3 — отраженные скважины) знак расхода у отраженных скважин 1 и 2 (они становятся источ- никами), а скважина 3 остается стоком, т. е. имеет положитель- ный знак расхода; Для пласта-квадранта с границами первого и второго родов (рис. 77, в) скважины 1 и 3 становятся источника- ми, т. е. меняют знак расхода, а скважина 2 остается стоком. Вы- ражения для понижений уровня в этих .случаях будут иметь вид, аналогичный выражению (IV.3.18), но с соответствующим изме- нением знаков отдельных членов. При наличии границ третьего рода отраженные скважины вводятся так же, как и для границ первого рода, однако вместо геометрических расстояний до i-тых отражений скважин относительно этих границ вводятся расчетные расстояния rt, определяемые с учетом сдвига границы на расстояние ЛА. Например, для пласта-квадранта, у которого на оси х задана граница третьего рода, а на оси у —. непроницаемая граница, система отраженных скважин 220
будет такой же, как и для схемы на рис. 77, в, но для учета влияния отра- женных скважин 1 и 3 вместо расстояний гх и гху должны вводиться расстоя- ния гх и гху, определяемые по общей формуле (IV.3.16) соответственно для реальной скважины и фиктивной скважины 2, так что выражение для пони- жения уровня здесь будет иметь вид S “ r (“5 + v (u«> ~ r Ux Aat ’ ^y 4at ’ Uxy 4at (IV. 3.20) (IV. 3.20a) Методику построения зависимостей для полосового пласта рассмотрим на примере пласта-полосы с непроницаемыми грани- цами (рис. 78). Для учета каждой из границ (I и II) введем фиктивные сква- жины 1 и 2, представляющие собой симметричные отражения ре- альной скважины относительно этих границ. Однако эти отражен- ные скважины изменят условия на противоположных границах: скважина 1 изменит условие на границе II, а скважина 2 — на границе I. Для исправления этого положения введем дополнитель- ные фиктивные скважины 3 и 4, представляющие собой отражения скважийы 2 относительно границы I й скважины 1 относительно границы II. Полученная таким образом система все же не будет Рис. 78. Пласт-полоса с непроницаемыми границами: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 — отраженные скважины симметричной относительно границ, поскольку скважина 4 нару- шает симметрию относительно границы I, а скважина 3 — отно- сительно границы II. Введя для исправления этого положения скважины 5 и 6, являющиеся отражениями скважин 4 и 3 соот- ветственно относительно границ I и II, увидим, что симметрии вновь достигнуть не удается, поскольку крайние скважины ос- таются неуравновешенными относительно противоположных гра- ниц пласта. Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо продолжать отражение фиктивных скважин до беско- нечности, располагая их от реальной скважины в сторону границы I с чередующимися интервалами 2Li, 2L2, а в сторону границы II с интервалами 2L2, 2Ц. Выражение для понижения уровня в лю- 221
бой точке определится сложением решений от действия реальной и всех фиктивных (отраженных) скважин, т. е. 3 = -Лг F («) + v («1) + w W + v (“.) + w(“J + •••]; 4эт7 (IV.3.21) 2 2 2 Г3 Г1 Г2 Г3 U — ? ц. — - , Цп — — •, Wg —- --------9 4а t 4а/ 4at 4at «4 Г2 (IV.3.21а) Аналогично можно построить решения и для полосового пла- ста с другими граничными условиями — в этом случае будут только меняться знаки отраженных источников в соответствии с общими правилами отражений для учета границ разного рода. Заметим, что учет влияния границ полосового пласта следует начинать с момента /', определяемого для каждой границы по формуле (IV.3.10) при r'=ri (для границы I) и г'=г2 (для границы II). Рассматривая далее началь- ные периоды нестационарного режима, можно ограничиться только учетом ближайших отраженных скважин, причем погрешность, за счет отбрасывания остальных членов можно в первом приближении оценивать величиной первых отбрасываемых членов. В качестве примера такой оценки приведем определение понижения в ближайшей точке границы при расположении скважины посередине полосового пласта (Li=L2=L). В этом случае r=ri = L, r2=r3*=2L, rt=r5=5L и S = (U1) + 2Г (из) + ... + 2W (Ui) +...], 4Л7 (IV. 3.22) L2 (3L)2 «1-- , и3^~ А , ... , Ui-=- 4at 4at (ib)2 4at (IV. 3.22а) Оставляя, например, первые два члена, получим О s= 2^т («1) + («з)Ь (IV.3.23) а относительная погрешность 6 оценивается формулой о W (и5) О — (IV.3.24) И7(«1) + 1Г(«з) Расчеты погрешности б по формуле (IV.3.24) показывают, что 6=1% при «1 = 0,11, 6=2% при «1=0,08, 6=3,5% при «1 = 0,06 и 6=5% при «1 = 0,05. Счи- тая допустимой погрешность 2—3%, получим «1^0,07, так что уравнение (IV.3.23) оказывается применимым при условии L = 2/«Ia?= 0,53/а/. (IV. 3.25) Для больших периодов времени более удобны зависимости, основанные на использовании специальных способов суммирования получающихся беско- нечных рядов при логарифмических представлениях входящих в них функций W(Ui) {4, 22}. 222
Глава 4 НЕСОВЕРШЕННЫЕ СКВАЖИНЫ § 1. РАСЧЕТНЫЕ МОДЕЛИ НЕСОВЕРШЕННЫХ СКВАЖИН И РЕШЕНИЕ ДЛЯ ПЛАСТА НЕОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ Пренебрегая гидравлическими потерями внутри скважины и де- формациями прискважинной зоны, возникающими при бурении и освоении скважины, на стенке рабочей части скважины (фильтра) при г=гс и —0,5/<;г<;-}-0,5Z (рис. 79, а) в строгой гидродинами- Рис. 79. Несовершенная скважина в неограниченном пла- сте: а — расположение скважины в системе цилиндрических координат; б — распределение вдоль скважины безразмер- ного понижения S=4nklS/Q при постоянном притоке по ее длине и безразмерного притока q=ql!Q при постоянном понижении на стенке скважины (1=50 гс) [15] ческой постановке должно задаваться условие постоянного напора (понижения напора), соответствующего уровню воды в скважине. При этом приток к скважине оказывается неравномерным по вы- соте, интенсифицируясь у концевых участков скважин (рис. 79,6). Решения фильтрационных задач в такой постановке оказываются весьма затруднительными, и имеются только некоторые их ре- зультаты, которые могут быть использованы в качестве тестовых примеров [17, 23]. Заметим, что условия притока к несовершенным скважинам еще более осложняются за счет влияния сопротивления фильтра, слоистости пласта, а иногда и влияния гидравлических потерь в скважине. В связи с этим допустимо, по крайней мере на первом 223
этапе исследования, использовать для несовершенных скважин более простые приближенные гидродинамические модели источни- ков-стоков. 4.1. Точечный и линейный стоки в однородном стационарном потоке В качестве простейшей модели скважины используется точеч- ный источник-сток, представляющий собой сферическую скважину бесконечно малого радиуса. В неограниченном однородном пространстве точечный источ- ник-сток создает сферический поток, в котором линии тока направ- лены по радиусам, а поверхности равного напора проходят по сфе- рам с центром в источнике-Стоке. Расход такого сферического потока будет равен расходу ис- точника-стока Q, а при площади поверхности сферы ы—Алг2 и градиенте напора согласно общей формуле Дарси (1.3.1) он dr будет иметь выражение Q=- 4лг2Л —- (IV.4.1) dr (при выборе знака градиента здесь также принимаем положи- тельным расход стока). Разделяя в формуле (IV.4.1) переменные, получим а после интегрирования Н =------Q------ С. 4лк г Из условия Н=Но при г->оо определим постоянную интегри- рования С—Но, тогда понижение напора в сферическом потоке определится уравнением 5 = (IV.4.2) 4nkr Из (IV.4.2) следует, что выражение для расхода сферической скважины радиусом г0 Q = 4л£г0$0, (IV.4.3) где So — понижение напора в скважине относительно ненарушен- ного напора Но, "Теоретически задаваемого в бесконечности. Интересно отметить, что в рассматриваемом неограниченном пространственном потоке получается вполне определенное выра- жение для расхода скважины, в то время как в рассмотренном 224
ранее (см. § 1 главы 1) плоском потоке решение стационарной задачи корректно только в ограниченной области, так как при г->оо в уравнении (IV.1.2) 7/->оо. Поскольку длина скважины обычно значительно превышает ее радиус, то в качестве приближенной модели скважины чаще используется линейный сток, представляющий собой цепочку то- чечных стоков,. расположенных по оси скважины с одинаковой линейной интенсивностью q—Qfl [8, 22, 23]. Чтобы получить ре- шение для линейного стока в неограниченном однородном пласте, выделим бесконечно малый элемент линейного стока с текущей ординатой 20, который будет представлять собой точечный сток с расходом qdzG. В соответствии с уравнением (IV.4.2) понижение dS от этого точечного стока будет dS .= , р = /F+ (z — z0)% (IV.4.4) 4л£р а общее понижение S от действия линейного стока получится ин- тегрированием выражения (IV.4.4) в пределах от z0——0,51 до zn=-4-0,5/, т. е. 0,5/ С--------------. (IV.4.5) 4nkl J /44-(г — ?,,)2 —0,5/ Подстановкой 2—20=g сводим полученный интеграл к таб- личному, приводя выражение (IV.4.5) к виду Q S(z, г, I)-, 5 = 2+0,5/ S(z, г, I) = f == Arsh —+ -,5Z- — Arsh ±"-?-’-5L, ' J /r2 + £2 r (IV.4.6) (IV.4.6a) где Arshx.— величина, обратная гиперболическому синусу, при- чем Arsh х = In (х -f |/х2 4- 1). При г°>1 с точностью до 5% линейный сток можно заменить эквивалентным точечным стоком и считать S — —, r° = (IV.4.7) г° Особого обоснования для линейного источника-стока требует построение расчетных зависимостей для понижения напора в сква- жине. Формально можно получить выражение для понижения на- пора на стенке скважины из (IV.4.6) при г—тс, однако при этом Sc оказывается переменным по высоте скважины, что является следствием принятого условия постоянства интенсивности притока к линейному источнику-стоку. Для задания расчетного напора на стенке скважины используются различные искусственные приемы. 8 В. М. Шестаков 225
В частности, по М. Маскету [16], расчетное понижение задается на рас- / 3 \ стоянии Z/8 от конца фильтра I при z = ± — I IJ В. Д. Бабушкиным и \ 8 ) В. М. Насбергом [23] было получено решение из условия равенства объемов внутри эквипотенциальной поверхности S=SC и объема скважины; В. Н. Ни- колаевским и Н. Н. Веригиным [23] было предложено отождествлять пониже- ние уровня в скважине со средним понижением на поверхности скважины, по- лучаемым интегрированием выражения (IV.4.6) для S при г=гс в пределах от --0,5/ <z< 0,5/. При всех способах задания расчетного понижения на скважи- не с учетом того, что при больших значениях аргумента можно счйтать Arsh х In 2х, для Sc получаётся выражение вида с 1п-1С (IV.4.8) 2nkl rc где а — числовой коэффициент, зависящий от способа задания расчетного понижения скважины. В частности, по М. Маскету и В. Д. Бабушкину и В. М. Насбергу, а=0,66, по Н. Н. Веригину и В. Н. Николаевскому, а=0,735; практически же можно считать а=0,7 [15, 17]. Сопоставляя выражения (IV.4.8) и (IV.4.3), можно сделать вывод, что реальную скважину длиной I и радиусом гс можно за- менить эквивалентным сферическим стоком радиусом Го, который определится формулой г0 =----1----=0,217-------1~- 0,7/ 0,7/ 2 In -- 1g---- гс ’ гс (IV.4.9) 1.2. Учет анизотропии пласта Рассмотрим особенности анизотропного профильно-радиального стационарного потока, характеризующегося различными значения- ми коэффициентов фильтрации kr и kz (в горизонтальном и верти- кальном направлениях). Выделяя в таком потоке бесконечно ма- лый кольцевой элемент радиусом г, шириной dr и толщиной dz, в который по радиальному направлению 2nrkr —— dz, а по вертикальному — расход дг входит расход 2лг&, dz, из 2 dz составляемого обычным образом уравнения неразрывности полу- чим следующее дифференциальное уравнение для понижения на- пора: *s- = o. . dz* (IV.4.10) ,1 а / as kr — — г— г дг \ дг Следуя обоснованным выше (см. § 1 главы 4 раздела I) ре- комендациям, преобразуем это уравнение, изменяя масштаб коор- 226
динаты 2, т. е. заменяя z на z0=x'z, где х = У kr)kz. Тогда урав- нение (IV.4.10) приводится к виду 1 д / dS \ , d2S --- ; ---- г------ -4------------- Г dr \ dr j дг2 (IV.4.10а) соответствующему уравнению фильтрации в изотропном пласте. В частности, для линейного стока решение уравнения (IV.4.10a) выражается согласно (IV.4.6) с заменой z на z0 и I на l0—nl: S = S, S = Arsh A±°_>5k _ Arsh . (iv.4.11) 4 л r r Остается выяснить, чему здесь должен соответствовать расчетный коэффициент фильтрации k. Для этого запишем выражение рас- хода источника-стока, имея в виду, что при г->0 и —0,5Z<z<:0,5Z в выражении (IV.4.11) можно полагать Arsh х -ss In rx и 0,25/?— 2л S^-ln-- °- °- Тогда 0,5/ Q = — 2nrkr Г —-I dz = —Q- 2лг^ • —, (IV.4.Па) J dr |r—>o 4nkl° r -0,5' откуда следует, что k— \fkrkz . 1.3. Решение для точечного стока при нестационарном режиме фильтрации В пласте неограниченной мощности нестационарная фильтрация обуслов- ливается только проявлениями упругого режима. Решение задачи нестационар- ной фильтрации при работе точечного стока с постоянной интенсивностью расхода в неограниченном однородном пласте сводится к интегрированию диф- ференциального уравнения упругого режима фильтрации для сферического потока [17, 22, 27]. Согласно этому решению понижение напора S на расстоя- нии г от стока в момент времени t от начала его работы выоажается урав- нением (IV.4.12) Естественно, что в пределе при t—>оо, когда £=0 и erfc£=l, выражение (IV.4.12) переходит в решение (IV.4.2) для стационарной задачи. Это решение может быть непосредственно использовано и для цилиндрической скважины при г°>/, а для расчетов понижения уровня в скважине задается расчетное значение радиуса эквивалентного сферического стока г0, определяемого по фор- муле (1V.4.9). § 2. СКВАЖИНЫ В ПОЛУОГРАНИЧЕННОМ И ОГРАНИЧЕННОМ ПО МОЩНОСТИ ПЛАСТАХ Наличие непроницаемой кровли над стоком (рис. 80, а) учиты- вается так же, как и для совершенных скважин, добавлением от- раженного стока, располагаемого симметрично действительному относительно границы. Поскольку понижение от действия отра- 8* 227
женного стока определится согласно (IV.4.2) с заменой г на гг, то понижение при работе стока у непроницаемой кровли определится как сумма понижений, создаваемых под влиянием действительно- го и отраженного стрков, т. е. по формуле S = - +>—; 4ляг° 2л£г (IV.4.13) поичем ГО = /Г2 + г> = 1<Г2 + (2с —z)\ (IV.4.13a) Непосредственно из решения для сферического потока полу- чается решение для притока к полусферическому колодцу, при- мыкающему к непроницаемой кровле (рис. 80, б), поскольку в Рис. 80. Источник-сток и несовершенная скважина в полуограниченном по мощности пласте: а — источник-сток у кровли пласта; б — по- лусферический колодец у кровли пласта; в — не- совершенная скважина у кровли пласта (1 — ис- точник-сток, 2 —. его зеркальное отражение) этом случае сферический характер потока не изменяется, только приток к полусфере будет вдвое меньшим, чем определяемый по формуле (IV.4.3) для сферы в неограниченном потоке, т. е. в дан- ном случае Q = 2jt^050. (IV.4.14) Для таких же условий, но в случае плоского дна колодца Ф. Форхгеймером [25] получена формула для расхода Q = 4^gS0. (IV.4.14a) Из сопоставления выражений (IV.4.14) и (IV.4.14а) .следует, что притоки к полусферическому и плоскому колодцам при одина- ковом их радиусе различаются в .1,57 раза, т. е. форма дна ко- лодца существенно влияет на величину его расходов. Аналогичным путем можно составить решение для скважины (линейного стока) длиной I, располагаемой у непроницаемой границы (см. рис. 80, а), если симметрично относительно границы ввести такую же отраженную сква- жину. Понижение от действия отраженной скважины получится из выражения 228
(IV.4.6), если заменить z на 2с0—z, так что суммарное понижение определится в этом случае формулой О - S=~ - - [S(2, Г, I) +S(2c0-z, г, /)]. (IV.4.15) 4Лк1 В случае примыкания к водоупору отраженная скважина смыкается с действительной; тогда, помещая начало координат в точке примыкания сква- жины к водоупору, получим выражение для понижения уровня в любой точке из (IV.4.6), заменяя I на 21 и Q на 2Q, т. е. Q - S = -£~b, S(z- г, (IV.4.16) __ z -1 2__I S(z, г, 21) = Arsh-----—Arsh——. (IV.4.16а) Понижение уровня в скважине при этом будет Так же можно получить решения и при расположении в кров- ле пласта прямолинейной границы первого рода (с заданным на- пором или нулевым понижением), только в этом случае отраже- ние имеет зеркальный характер, т. е. сток отражается источником. Естественно, что расчетные зависимости принципиально не. изменятся, если скважина (сток) располагается у подошвы пла- ста, в этом случае меняется только направление вертикальной оси координат. Анализируя полученные выражения, можно оценить характер влияния горизонтальных границ (кровли и подошвы) пласта. Из уравнения (IV.4.1) следует, что погрешность, вносимая исключе- нием влияния одной из границ пласта, выражается формулой «= 4. (IV.4.17) Для самой скважины величина г° в (IV.4.17) заменяется на эквивалентный радиус сферической скважины г0, определяемый по формуле (IV.4.9), а г'=2е0, так что в этом случае <lv-4-17a> 4с0 In —- - rc Имея в виду, что обычно гс—ОД м, 1=3—15 м, получим 1п 34-4,7 и 6^(0,05 — 0,08)--. (IV.4.176) Гс С0 Если принять допустимой погрешность 6—5%, то будет вид- но, что при с0>(1—1,6)/ влиянием границы пласта (кровли или подошвы) можно пренебречь. 229
Для точек, расположенных невдалеке от скважины, принимая г' 2с0, получим 6 = —. (IV.4.17B) 2со Считая допустимым £==5%, установим, что границей можно пре- небрегать, если она располагается на расстоянии, большем десяти расстояний от середины скважины до расчетной дочки. Из приведенных данных можно видеть, что влияние горизон- тальных границ пласта на понижения уровня в скважине сказы- вается только при довольно близком их расположении; вместе с тем это влияние оказывается более существенным в точках, уда- ленных от скважины. Для скважины, располагаемой в однородном пласте конечной мощности (рис. 81, а), решение получается путем ее бесконечного отражения относительно кровли и подошвы пласта так же, как это делалось ранее (см. § 1 главы 3) для совершенной скважины в полосовом пласте. Однако такое решение приводит к бесконеч- ному расходящемуся ряду, табулирование которого приведено, на- пример, в работах [16, 22, 27]. При размерах воронки депрессии, Существенно превышающих мощность водоносного пласта, зона резкой деформации, обусловленная гидродинамическим несовер- шенством скважины, имеет локальный характер, распространяясь на расстояние порядка полутора мощностей пласта. За предела- ми этой зоны поток приобретает плановый характер, и распреде- ление напоров здесь получается таким же, как и при откачке из совершенной скважины. Исходя из этих особенностей потока, це- лесообразно записать уравнение для понижения напора при от- качке из несовершенной скважины в пласте с ограниченной мощ- ностью в следующей форме [16, 23, 27]: S = “V [S(r,0 + «, (1V.4.18) ZJT1 где S(r, t) — безразмерная функция, определяющая понижение от действия аналогичной совершенной скважины; £ — добавочный член, обусловливающий влияние гидродинамического несовершен- ства скважины. По прошествии сравнительно небольшого време- ни, оцениваемого величиной [27] <-=-£• (IV.4.19) режим фильтрации в зоне резкой Деформации становится квази- стационарным, и величина £ практически не зависит от времени. Из решения М. Маскета [16] следует, что в однородном пла- сте для определения величины £ в точках, удаленных от скважи- ны, можно пользоваться выражением в виде ряда 230
оо с = 2 У Ко {— -V COS (—-Z-V cos (IV.4.20) \ tn / \ tn j \ tn J n=l который при достаточно больших r/m быстро сходится (например, при г >>0,66 т достаточно взять только два первых члена ряда). 8 ^77777777777777; Рис. 81. Несовершенные скважины в пласте ограниченной мощ- ности: а — схема линий тока вблизи несовершенной скважины (/ — скважина, 2— граница зоны резкой деформации); б — эквипо- тенциалы вблизи точечной скважины, располагаемой в кровле пласта [16]; в — скважина в двухслойном пласте В зоне квазистационарного режима S(r, f) = ln——, г (IV,4.21) 23]
где 7? — расчетный радиус питания, который, в частности, для изолированного напорного пласта имеет выражение (IV.2.15). Тогда уравнение (IV.4.18) можно представить в виде $ =- —in , г* = re^, (IV.4.22) 2лТ г* ' где г* представляет собой расчетное расстояние до эквивалентной совершенной скважины. Соответственно для понижения напора в несовершенной скважине получим выражение - In 4- (IV.4.23) гс rjifi г* — расчетный (приведенный) радиус эквивалентной совер- шенной скважины; £с — безразмерный показатель сопротивления несовершенной скважины. Вводя расчетный радиус скважины, можно далее связывать напоры (понижения) в пласте и скважи- не, считая последнюю совершенной. Этот прием применим и для расчетов систем взаимодействующих скважин, если расстояние между ними превыщает одну-две мощности пласта, поскольку в этом случае зоны резкой деформации вблизи каждой скважины формируются обособленно. Величина расчетного радиуса г* или показателя дополни- тельного сопротивления £с определяется степенью несовершенства скважины, расположением ее внутри пласта и существенно зави- сит от неоднородности пласта в разрезе. Приведем выражение для £с в характерном случае примыкания скважины к кровле (или подошве) пласта при различных схемах его строения в разрезе. Для скважины длиной I в однородном пласте мощностью m рекомендуется формула [29, 30]: 1 —7 / I \ - I ^с = Й = — Т— In-------+е , 1=—, (IV.4.24) I \ rc } ш 9 причем величина е определяется по следующим данным: ГО 0,05 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 е 0,39 0,22 0,08 —0,13 —0,32 —0,65 —1,1 При двухслойном строении пласта (рис. 81, б) и расположении скважины в кровле верхнего слоя по рекомендациям А. Я- Олейника [21J Сс = (1 + ₽) -Г~ й + — f ' й (">»)• (IV.4.24а) «в где £>с величина £0 для однородного пласта, определяемая по формуле (IV.4.24) при m=ms+mB; $g(znB) “ величина для верхнего слоя, также 232
определяемая по формуле (IV.4.24), но при т=тв\ 0—поправочный коэффи л циент, определяемый по табл. IV.2 при л = —---- . Таблица IV.2 СО X g 1 g 1 0 Значения Р при X, равном 1,0 0,2 0,4 0,6 0,7 0,8 <0,5 0 0,02 0,03 0,05 0,05 0,06 0,07 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 —0,02 —0,02 —0,03 —0,04 —0,04 —0,04 4 0 —0,04 —0,06 —0,08 —0,09 —0,1 —0,1 9 0 —0,07 —0,12 —0,16 —0,18 —0,19 —0,2 Глава 5 ОБРАБОТКА ДАННЫХ ОПЫТНО-ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ОПРОБОВАНИЙ Опытно-фильтрационные опробования проводятся для определе- ния геофильтрационных параметров пород и пластов. Основной способ опытно-фильтрационных опробований — опытные откачки, которые могут быть кустовыми или одиночными в зависимости от наличия или отсутствия наблюдательных скважин. Кроме того, опытно-фильтрационные опробования проводятся путем закачек (наливов или нагнетаний) в скважины (колодцы, шурфы). В дальнейшем будем рассматривать способы обработки опытно- фильтрационных опробований главным образом применительно к условиям опытных откачек. Вместе с тем с гидродинамической точки откачки и закачки в водонасыщенных пластах эквивалентны друг другу и по существу представляют собой один вид опробо- вания, меняющий только знак расхода и изменения напора. По- этому все зависимости, обоснованные для откачек, могут исполь- зоваться и для закачек, но с заменой понижения напора на его повышение. Практические методы обработки данных опытных откачек ос- нованы на использовании аналитических решений в различных их модификациях, соответствующих характеру и степени использова- ния информации, полученной при откачке. По характеру использованной информации об изменчивости фильтрационного процесса (понижений напоров) методика обра- ботки данных опробований основывается на анализе либо измен- чивости понижений во времени по одной наблюдательной скважи- не (временное прослеживание), либо изменчивости понижений в пространстве по группе наблюдательных скважин на один и тот же момент времени (пространственное прослеживание); в неко- 233
торых случаях представляется возможным обобщение информации сразу во времени и в пространстве (комбинированное прослежи- вание) . Способы обработки данных опробований различаются по фор- ме преобразования исходных расчетных зависимостей [17]; раз- личные варианты способов обработки будут показаны далее при- менительно к конкретным условиям проведения опробований. § 1. ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ ОТКАЧКА ИЗ СОВЕРШЕННЫХ СКВАЖИН В ИЗОЛИРОВАННОМ НАПОРНОМ ПЛАСТЕ В большинстве случаев современные методы обработки опытных откачек из совершенных скважин основываются прежде всего на теории нестационарного режима фильтрации, позволяющей ис- пользовать для определения гидрогеологических параметров дан- ные о снижении уровня в каждой наблюдательной скважине во времени. Поэтому разбор методов обработки.таких откачек нач- нем с анализа нестационарного режима первоначальной откачки, которая проводится с постоянным дебитом Q, причем понижения в наблюдательной скважине определяются в этом случае уравне- нием (IV.2.8). Для обработки данных понижения уровней во всем диапазоне откачки может быть использован способ эталонной кривой, пред- ложенной Ч. Тейсом [17, 39, 40]. Для обоснования этого способа прологарифмируем выражение (IV.2.8): lg S = 1g — + lg IV (ы), (IV.5.1) а также выражение для аргумента и lg -L = lg4a + lg-V- (IV.5.2) и Г2 Из формул (IV.5.1) и (IV.5.2) видно, что IgS и IgTT, а также 1g — и 1g— отличаются между собой на постоянные величины г2 и соответственно lg —— и lg 4а , откуда следует, что на те же \ АлТ ] величины оказываются сдвинутыми между собой по каждой из осей билогарифмические кривые зависимости IgS от lgи lg W от lg (рис. 82, а). Поэтому, составив эталонный график за- висимости lg W от lg “ (по таблице функции и график IgS от lg ~ (по материалам откачки), следует далее нало- жить эти графики друг на друга, добиваясь наилучшего совпаде- 234
ния путем передвижения их параллельно координатным осям. Снимая Далее с совмещенного графика любую точку с координа- тами IgS.H lg—, IglVnlg—, согласно (IV.5.1) и (IV.5.2) по- г2 и лучим lg-V = 'gS-lg''7. (IV.5.3) 4л 1 lg4a = lg —---Ig^. (IV.5.4) и гг lg 5 от lg ~ rz падать, так что Заметим, что при такой форме обработки графики зависимости должны для разных наблюдательных скважин сов- степень их совпадения в реальных условиях может Рис. 82. Графики для обработки данных снижения уровней пои откачке в изолированном напорном пласте: а — способ эталонной кривой; б — способ полулогарифмической прямой служить критерием для проверки правильности описания процесса откачки уравнением (IV.2.8) и, в частности, проверкой однородно- сти и изолированности водоносного пласта. Для удобства наложения график эталонной кривой строится на кальке; для его построения можно воспользоваться следующи- ми данными: lg-l_ —0(з —о,15 0 0,15 0,3 0,5 0,7 1 1,3 и lg W —1,31 —0,943 —0,66 —0,433 —0,254 —0,062 —0,086 0,26 0,393 При наступлении квазистационарного режима понижения уровня определяются уравнением (IV.2.13), которое можно пред- ставить в виде S = 0,183 (lg 2,25а + lg — V (IV.5.5) Т \ г2 / 235
откуда следует, что в координатах S, 1g — график понижения г2 уровня должен иметь прямолинейный характер. На основании такой зависимости Ч. Джейкоб предложил на- носить/Данные о снижении уровня в наблюдательных скважинах на график зависимости S от 1g t или S от 1g ~ (рис. 82, б). Г2 Прямая линия на таком графике отсекает на оси 1g —- величи- г2 ну 1g по которой согласно (IV.5.5) при S = 0 получим 2,25/0 ’ (IV.5.6) а по любым значениям понижений S' и S", соответствующим зна- чениям времени t' и t", щолучим формулу для определения прово- димости Т = 0,183 —Q- -lg —. S" — S’ f (IV.5.7) Соображения о способах обработки первоначальной откачки, основанных на использовании уравнения (IV.2.8), изложены, на- пример, в работах [3, 7, 17, 40]. Кроме того, в зоне квазистационарного режима можно поль- зоваться уравнением Дюпюи, что дает возможность определения проводимости по разнице понижений Si и.£з в двух наблюдатель- ных скважинах, расположенных на расстояниях гх и г2 от цент- ральной, положив в уравнении (IV.1.3) S=S2, r—r2 и разрешив его относительно проводимости Т =------Я----1п = 0,366— -Я-------ig 2k (IV.5.8) 2л (Si — S2) Г! Si— S2 Г! При расчетах по формулам (IV.5.6) — (IV.5.8) следует прове- рять правомерность использования зависимостей квазистационар- ного режима по условию (IV.2.12), причем, считая допустимой по- грешность 5%, получим условие и<;0,09, и время £кв практическо- го наступления квазистационарного режима будет определяться формулой <•2 г2 -г 3-. 4 0,09а а (IV.5.9) При расположении опытного куста скважин вблизи прямоли- нейной непроницаемой границы (например, сброса) обработка данных откачки проводится, так же, как в неограниченном Иласте, с введением некоторых корректив. В этом случае понижение на- 236
пора описывается уравнением (IV.3.14), которое для удобства ис- пользования запишем в виде S = _J9- W,(u), W(u)*=W(u) т№(иг2), r = —. (IV.5.10) 4лТ г Уравнение (IV.5.10) по форме идентично уравнению (IV.2.8), только безразмерная функция скважины TTi(w) имеет здесь не- сколько иной вид, завися от соотношения расстояний г и г' до центральной и зеркально отраженной скважин. Следовательно, в данном случае необходимо строить эталонную кривую зависимости lg Wi (и) от 1g 1/и для расчетной наблюдательной скважины (при конкретном значении г), а дальнейший расчет ведется так ^е. как и для откачки в неограниченном пласте. При наступлении логарифмической зависимости (1V.3.15) расчет ведется по способу Джекоба, но величину г2 следует заме- нять на гг', а проводимость пласта определяется по формуле (IV.5.7) как бы при удвоенном дебите скважины, т. е. Г = 0,366 —1g -г- (IV.5.11) О -- о *1 По такому же принципу можно скорректировать методику об- работки откачек и для других схем границ пласта в плане [17]. Особого рассмотрения требует обработка данных понижения напора в центральной скважине, на которые существенное влияние оказывает сопротивление прискважинной зоны. В этом случае приближенная оценка проводимости пласта при стабилизирован- ном режиме может производиться на основании соотношения (IV.2.16), из которого следует, что Т = (IV. 5.12) причем для откачек в напорных пластах £=1,5. Однако такой расчет дает сколько-нибудь достоверные результаты только при незначительном сопротивлении прискважинной зоны, так что его использование в каждом случае требует тщательного обоснования. Интересную возможность определения проводимости пласта дают расчеты по квазистационарному изменению уровня в цент- ральной скважине, который наступает обычно очень быстро, что следует из проверки условия (IV.5.9) при г=гс. Тогда для расче- тов проводимости можно использовать формулу (IV.5.7), в кото- рую не входит радиус скважины, так что она справедлива и при на- личии сопротивления прискважинной зоны. Это обстоятельство объясняется тем, что при постоянном дебите откачки перепад на- пора ЛЯС в прискважинной зоне остается неизменным и не влияет на разницу понижений S"—S', замеренных на два момента вре- мени, поскольку эта разница понижений в скважине оказывается такой же, как в пласте за пределами прискважинной зоны. Таким образом, использование формулы (IV.5.7) позволяет достоверно 237
определить проводимость пласта по данным о снижении уровня в центральной скважине. Вместе с тем из-за влияния сопротивле- ния прискважинной зоны расчеты коэффициента пьезопроводности по формуле (IV.5.6) оказываются недостоверными, и эту формулу можно использовать только для определения расчетного радиуса скважины г®, характеризующего ее сопротивление. Полагая в (IV.5.6) г — получим г? = 1,5 VaF, (IV.5.13) причем значение коэффициента пьезопроводности а при этом пред- полагается известным. Отметим, что такие расчеты правомерны при высокой точности задания постоянства дебита откачки во времени (колебания дебита должны быть заметно меньшими из- менениями величины lg t) и неизменном сопротивлении присква- жинной зоны; опытные данные показывают [17], что это условие выполняется далеко не всегда и в каждом конкретном случае требует специального обоснования. Данные об уровнях в центральной скважине целесообразно использовать для оценки сопротивления прискважинной зоны. Для такого расчета следует иметь одну наблюдательную скважи- ну в зоне развития квазйстационарного режима. Тогда для раз- ницы понижений в центральной 5С и наблюдательной 5 скважи- нах запишем уравнение (IV. 1.4), в котором заменяется гс на Sc — S = In-- = (— In ~ + А/с^, (IV.5.14) 2лТ го т \ 2л гс / где Afc — безразмерное сопротивление прискважинной зоны, оп- ределяемое выражением (IV.1.19). Из выражения (IV.5.14) сле- дует формула для определения величины А/с- Д/с = 0,3661g A (IV.5.14а) Q Гс При отсутствии данных по наблюдательной скважине ориен- тировочный расчет по формуле (IV.5.14a) можно провести, зада- вая r = /?= l,5|/otf и 5 = 0, причем в случае одиночной откач- ки величина а может быть принята по типовым значениям для данного пласта. При нарушении линейного режима фильтрации, устанавли- ваемого критерием (IV.1.21), обработка откачки ведется по урав- нению (IV. 1.23), которое после замены напоров на соответствую- щие понижения и при Гс’Сг представляется в виде ~C~S- = Л + BQ, (IV.5.15) где Q А = 0,366 — 1g А В = — “ , (IV.5.15a) Т гс 4л2/пгсТ ' 7 238
aS — понижение в наблюдательной скважине, находящейся на расстоянии г от центральной в зоне квазистационарного режима. 5 Согласно (IV.5.15) график зависимости —--—• от Q, по- Q строенный по опытным точкам при нескольких понижениях уровня в скважине, должен иметь прямолинейный характер (рис. 83). Проведенная по опытным откачкам такая прямая отсекает на оси Sc—S/Q отрезок А и имеет уклон B=tg|3 к оси Q. Для расчета прискважинного сопротивления по формуле (IV.5.14) следует при- нимать —— = А. Если же пренебречь сопротивлением прискважинной зоны, то по параметрам А и В определяются про- водимость пласта Т и параметр нелинейности а в двучленном за- коне фильтрации по формулам Т = -°^ lg —, а = 4л2 rcmTB. (IV.5.156) Л гс Q. Q Рис. 83. График зависимости 5 ___5 ——— от Q при двучлен- ном законе фильтрации На расчеты по наблюдательным скважинам нелинейность ре- жима фильтрации существенно не влияет. При заметном проявлении гидравлических потерь в водо- подъемных трубах во все расчеты (понижения) на забое скважины (в пределах ее рабочей части), ко- торые будут отличаться от уровней, измеряемых на устье скважины. Величина потерь в трубах’Д/Ут опре- деляется согласно (IV. 1.24) при ZT и JT, равных длине и диаметру водо- подъемных труб, а при переменном диаметре труб подсчитывается со- гласно (1.2.20). При заметных по- терях напора в пределах фильтра (рабочей части скважины) обра- ботку данных понижений по цент- ральной скважине можно вести по уравнению (IV.5.15), имея в виду, что в этом случае В=<рт [17]. Особенно важен учет нелинейности обработке данных самоизливающихся при расчетах проводимости пласта для откачки с постоянным битом по формуле (IV.5.7) учет нелинейности потерь напора обязателен, поскольку вводимые с этой целью поправки стоянном дебите скважины во времени не меняются. должны включаться напоры режима фильтрации при скважин в то время, как де- не- по- при § 2. ОТКАЧКИ В ИЗОЛИРОВАННОМ НАПОРНОМ ПЛАСТЕ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ ДЕБИТЕ. РЕЖИМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ УРОВНЯ Для анализа особенностей методики учета переменного дебита скважины рассмотрим случай резкой смены режимов откачки, 239
когда дебит скважины меняется по ступенчатому закону, так что на первоначальную откачку с дебитом Qo в момент времени t~ti накладывается изменение дебита AQi и понижение уровня опре- деляется уравнением (IV.2.37). Более сложный характер этого уравнения не дает возможности использовать в данном случае для обработки откачки способ эталонной кривой. В общем виде данные изменения уровня в наблюдательной скважине можно об- работать, составляя предварительно уравнение для соотношения понижений S'/S" на два момента времени S' W(u') + &QW(u[) Д(?1 , Г2 --— -----------------, AQ = - и —------------, S" №(«") +А (Uj) Qo 4af ^*2 ^*2 п — —, U\= - - , «1 — ---------- - 4at" 4a(t' — t1) 4а (Г — G) (IV.5.16) в котором исключается проводимость, так что соотношение ока- зывается зависящим только от параметра а. Решение уравнения (IV.5.16) приходится искать подбором, задаваясь различными зна- чениями а. При наступлении квазистационарного режима для каждой ступени откачки, критерием чего при допустимой точности расчета 5% является условие f —ft>3 —, (IV.5.17) а уравнение (IV.2.37) примет вид __ Qo 2,25а/ . A Q 2,25а (/ /1) ~ 4л Т г2 4л Т г2 ~ = Т%- [ 1 п—+ Qo In t + Д Qt In (t - yj; Q, = Q„ + Д Qb 4л T r‘ Q»=-~, Дё1=А^. (IV.5.18) Из выражения (IV.5.18) следует [34], что при соблюдении усло- вия (IV.5.17) должен получиться прямолинейный график зависи- мости снижения S от величины т=|—Qolg^—AQdg(^—h), по кото- рому могут быть определены параметры а и Г: при пересечении этой прямой оси т получим значение т—То, а на пересечении с осью S получим значение S—S°, по которому найдем lg-?’-2^=r„, (IV.5.19) г2 5,46 Su Как видно, обработка данных откачек переменным режимом заметно сложнее и менее удобна, чем при постоянном дебите. По- этому проводить откачки при переменном дебите следует только 240
в случаях нарушения .линейного режима фильтрации, необходи- мости учета гидравлических потерь в скважинах или при решении таких ^специальных задач, как изучение фильтрационных деформа- ций прискважинной зоны в процессе откачки. Важным этапом опытных работ является восстановление уров- ня после остановки откачки, когда дебит скважины мгновенно Рис. 84. Графики режима восстановления уровня после от- качки: а — изменение дебита; б — график восстановления уровня; в — полулогарифмический график (/ и 2 — при правильном и ошибочном задании статического уровня) уменьшается до нуля. При первоначальной откачке с постоянным дебитом график изменения дебита будет иметь одноступенчатый характер (рис. 84, а), а восстановление уровня будет соответство- вать второй ступени с нулевым дебитом. Следовательно, выраже- ние для понижения уровня S в процессе его восстановления мож- но получить из уравнения (IV.2.38) при Q0=Q, AQ1==Q и /i = /0, т. е. в данном случае 5-тV(“)~w<"«)! и = ~тГ’ <IV-5-20) 4л Т 4at 4а (t —10) Типовой график восстановления уровня приведен на рис. 84, б. Для определения параметров по уравнению (IV.5.20) удобно использовать либо начальный, либо конечный периоды восстанов- ления уровней. 241
В начальный период величина W(u) меняется гораздо меньше, чем величина W(u0), поэтому можно принимать (и) рав- ным значению понижения So на момент остановки откачки. Тогда уравнение (IV.5.20) представится в виде Sa-S = AH = -f~W(u<)), = , <==/-<„, (IV.5.21) 4л Т 4atB т. е. в этом случае выражение для повышения уровня А// с мо- мента остановки откачки оказывается идентичным выражению (IV.2.8) для понижения уровня S в процессе первоначальной от- качки. Поэтому в начальный период обработку данных восстанов- ления уровня можно вести по методике, разработанной выше для первоначальной откачки с постоянным дебитом, заменяя только S на А/7 и t на где tB — время, отсчитываемое от момента (уста- новки откачки. Поскольку строгое выражение повышения уровня А/7 соглас- но (IV.5.20) имеет вид А Н = So — S = - Q [Г (а0) — W (и) + W (и0)], и° = (IV.5.22) 4л Т 4at0 то оценку относительной погрешности б, вносимой при использо- вании упрощенного выражения (IV.5.21), можно представить в виде Г(а0) (IV.5.23) Конечный период восстановления уровней характеризуется логарифмическим законом изменения уровней, когда можно при- tvz / а 1 2,25а/ tn/1 \ 1 2,25а (/ — /0) нять IF (w) = in ——2---и IF (м0) = In — — ------, так что уравне- ние (IV.5.20) принимает вид с ____Q 4л Т । 2,25 а/ 2,25 a (t г2 Г2 = in —= 0,183 — 1g — -—. (IV.5. 4лТ t — t0 . Т t — t0 Из уравнения (IV.5.24) можно определить проводимость пласта, построив график зависимости S от 1g —i—, который должен / — /о иметь линейный характер (рис. 84, в), причем построенная таким образом прямая должна приходить в начало координат. Послед- нее условие может служить для проверки правильности выбора статического уровня, причем если прямая на этом графике не 242
идет в начало координат, то по расхождению AS0 (см. рис. 84, в) может быть скорректирована величина статического уровня Построив такой график, прямолинейность которого служит критерием его правильности, определяют далее проводимость сог- ласно (IV.5.20) по формуле Т = 0,183 1g - , (IV.5.25) S t /д беря в качестве расчетной любую из точек построенного графика. Время восстановления уровня .1%, начиная с которого можно считать наступление конечного периода откачки, в соответствии с условием (IV.2.12) при допустимой погрешности расчетов 5% и w0—0,09 определится по формуле й =-------'I----3 — 4-0,09 а а (IV.5.26) При расчетах по восстановлению уровней в центральной сква- жине условие (IV.5.26) выполняется обычно довольно быстро, так что в этом случае расчет, как правило, можно вести по зависимо- стям (IV.5.24)—(IV.5.26). Однако в начальный период характер восстановления уровня в центральной скважине может оказаться искаженным из-за влияния заполнения емкости скважины. Тео- ретический анализ показывает [17, 33], что при допустимой по- грешности 5% влияние заполнения скважин следует учитывать только при условии ^-<2°, (IV.5.27) где (о — площадь сечения водоподъемных труб. Если время восстановления уровня значительно превышает время первоначальной откачки t0, то, представляя логарифм сте- пенным рядом 1п_____-___= In ~Л_____________________L ( Jo_ \ 1 2 / — /о /в ta 2 \ tB / (IV.5.28) и считая допустимой погрешность 5%, при £в>> 10£0 можно отбро- сить все члены ряда, кроме первого, и привести выражение (IV.5.24) к виду 4л Т tB 4л TtB (IV.5.29) 1 Аномальный характер такого графика может быть следствием проявления ги- стерезиса закона сжимаемости, когда величина коэффициента сжимаемости (а вместе с ним и коэффициента пьезопроводности) оказывается различной при снижении напора (сжатие пласта) и восстановлении уровня (разуплотнение пласта). 243
где V— Qt0 — общий объем воды, отобранной из скважины в про- цессе откачки; согласно (IV.5.29) проводимость пласта опреде- ляется по формуле Т = — -К — 0,08——. (IV.5.30) 4л StB St3 Критерием правильности формулы (IV.5.30) может служить по- стоянство величины StB. § 3. ОСОБЕННОСТИ ОТКАЧЕК ИЗ СОВЕРШЕННЫХ СКВАЖИН В СЛОИСТЫХ И БЕЗНАПОРНЫХ ПЛАСТАХ 3.1. Откачки в слоистых пластах При. обработке откачек в слоистых пластах с учетом перетека- ния через кровлю и подошву опробуемого пласта следует иметь в виду, что в связи с недостаточной ясностью физических предпосы- лок фильтрации в раздельных слоях необходимо весьма тщательно и разносторонне проводить анализ данных режима снижения уров- ней при откачках, исходя прежде всего из внимательного качест- венного анализа проявления влияния различных гидрогеологиче-. ских факторов. В связи с этим ниже рассматриваются основные особенности режима откачек в таких условиях при различных постановках задачи. Наиболее проста схема откачки с постоянным дебитом в пла- сте, подпитываемом из соседних пластов при сохранении в них по- стоянного напора и при жестком режиме перетекания, когда пони- жение уровня в опробуемом пласте описывается уравнением (IV.2.25). Типовой график снижения уровня в таких условиях, по- строенный в полулогарифмических координатах, приведен на рис. 71. Для него характерно асимптотическое стремление пони- жения S к его стационарной величине SCT, определяемой уравне- нием (IV.2.26), и наличие точки перегиба, где понижение оказы- вается равным половине от стационарного (Sn—0,5SCT). Наличие точки перегиба'позволяет определить стабилизированное пониже- ние в случае, если оно не достигается при откачке. Зная величину SCT по нескольким наблюдательным скважинам, можно построить график зависимости IgS—lgSCT от Igr и совместить его парал- лельным перенесением осей с эталонным графиком зависимости lgKo(r) от Igr (рис. 85, а). Взяв далее на этих совмещенных гра- фиках любую точку, определим проводимость Т и параметр пере- текания В, поскольку lg vV = 1SS -'g^oW. lgB = lgr-Igr. (IV.5.31) 2л T Коэффициент пиезопроводности можно определить, исходя из того, что в точке перегиба 2ип=г, так что 244
a = _Z£L_> (IV.5.32) 2/n где tn — время, соответствующее точке перегиба на графике •W). При наличии нескольких наблюдательных скважин надежные результаты может дать способ эталонных кривых, причем в дан- ном случае эталонный график будет представлять собой семейство а Рис. 85. Интерпретация откачек в напорных пластах с пере- теканием: а и б — наложение эталонных кривых для понижений в пла- не при стабилизированном и нестационарном режиме; в — расположение этажных пьезометров в разделяющем пласте 6 кривых зависимости lgWn(u, г) от 1g — при различных значе- ниях г. Данные понижения напора во времени для наблюдатель- ных скважин наносятся на график зависимости IgS от 1g — построенный в масштабе эталонной кривой. Затем этот график параллельным перемещением осей совмещается с эталонным гра- фиком (рис. 85, б), причем выбор эталонных кривых должен про- изводиться таким образом, чтобы удовлетворялось условие 245
(IV.5.33) Г2 Г2 r3 Г3 где Ti, r2, r3, ... — параметры эталонных кривых, которые совме- щаются с кривыми для наблюдательных скважин, располагаемых на расстояниях гь г2, г3, ... от центральной. После совмещения графиков параметры находятся из соотно- шений lg —Q- = lgS-lglF1I(«, 7), lg4a = Ig —----lg-4-, (IV.5.34) 4л T и которые обосновываются так же, как это показано В § 1 для усло- вий откачки из изолированного пласта. Коэффициенты фильтрации разделяющих слоев kK и kn, зале- гающих в кровле и подошве пласта, можно далее оцепить, исходя из выражений (IV.2.24a) для коэффициента перетекания 1 - ъ ь Ь=-- = -Г_-, _2L _ Ть\ (IV. 5.35) в частности, при k& ~ kn получим kK = kn = — mK™n—Tb2. (IV.5.35a) mK + mn Для изучения фильтрационных свойств разделяющих слоев существенную информацию можно получить по данным наблюде- ний изменений напоров в самих разделяющих слоях, для чего ис- пользуются «точечные» этажные пьезометры или датчики давле- ния [17]. Интерпретация таких данных производится на основе анализа вертикального нестационарного потока, границы которого проводятся по подошве и кровле разделяющего слоя (или не- скольких слоев) или задаются на уровне заложения пьезометров. Обработку данных нестационарного, режима здесь целесообразно проводить в изображениях Яр изменений напора по Лапласу — Карсону, рассчитываемых для каждого пьезометра. Для одномер- ного потока можно воспользоваться уравнением (III.2.35), кото- рое в данном случае принимает вид Н — H°nchln — п - = -г--и sh(2;,,) + Hjch(z^); (IV.5.36) sn Ар mp р V atp где а — коэффициент пьезопроводности пород разделяющего слоя. Расчеты величины а по уравнению (IV.5.36) следует проводить подбором, причем можно рекомендовать для каждого пьезометра строить по уравнению (IV.5.36) эталонные кривые зависимости Нр от Ig(lAp) при значениях г, соответствующих положению этого 246
пьезометра в разделяющем слое, и затем накладывать их на кри- вые графика зависимости Нр от lg^p, совмещая эти графики по вертикальной оси и передвигая их по горизонтальной оси. По го- ризонтальному сдвигу графиков находится коэффициент пьезо- проводности из соотношения lg—-- = lg—,-------lg',- (IV.5.37) mp 4 Некоторые натурные данные [14] показывают, что определяемая таким образом величина а может уменьшаться во времени. Это свидетельствует о нарушении принятой расчетной модели упру- гого режима фильтрации, причем наиболее вероятными фактора- ми таких аномалий представляются гетерогенность пород и более сложная форма закона компрессии. (переменный коэффициент сжимаемости и влияние реологических свойств). 3.2. Откачки в безнапорных пластах Нестационарный режим формирования воронки депрессии при от- качке из совершенной скважины в безнапорном пласте ослож- няется главным образом влиянием вертикальных сопротивлений, которые при нестационарном режиме проявляются сильнее в свя- зи с проникновением вертикальных скоростей фильтрации, на- правленных от свободной поверхности внутрь пласта (рис. 86, а, б), и замедленным характером гравитационной водоотдачи, связан- ным с буферным действием капиллярной зоны (см. § 2 главы 3 раздела I). Влияние этих факторов наиболее рельефно проявляется при двухслойном строении пласта. В этом случае описание понижений напора S в основной части пласта дается дифференциальным уравнением планового радиального потока (IV.2.6), в котором поступление воды на кровлю пласта определяется перетеканием со свободной поверхности. При жестком режиме фильтрации в k покровном слое V ~—— (S — S0), где S0 — понижение уровня Г7?п свободной поверхности, а тП и kn~ мощность и коэффициент фильтрации покровного слоя. Считая подошву пласта непроницае- мой (уп=0), получим дифференциальное уравнение для пониже- ний напора в нижнем пласте: _L_ ,JL -------------n-(S~ S°). (IV.5.38) а dt г dr \ dr J тп Кроме того, при отсутствии влияния динамики водоотдачи ба- ланс потока в верхнем слое описывается уравнением (III.1.15), в котором напоры меняются на понижения и при w=0 получим ц == —п- (S° — S). (IV.5.38а) dt тп 247
Такая же система дифференциальных уравнений получается и при учете динамики водоотдачи по схеме «капиллярной каймы» или с использованием предпосылки Н. Боултона (см. § 2 главы 3 Рис. 86. Формирование потока при откачке в безнапорном пласте: а и б — сечение потока в однородном и двухслойном пласте (1 и 2 — ис- ходная и сниженная свободные поверхности потока, стрелками показаны направления линий тока); в — кривые снижения уровней в нижнем и верхнем пьезометрах (S и S0) раздела I). При этом величина та должна заменяться на приве- денную мощность тпк покровного слоя с капиллярной-зоной, при- чем тпк = тп + = тп + —Ч /гк а (IV.5.39) 248
где hK и kK — высота и коэффициент фильтрации капиллярной зо- ны; а — параметр динамики водоотдачи, по Н. Боултону. В пласте относительно однородного строения на некотором удалении от скважины также можно пользоваться системой урав- нений (IV.5.38 и IV.5.38a), принимая [17, 24] и заменяя kn на коэффициент фильтрации в вертикальном направлении k2 (в изотропном пласте kz—k). Такой прием с погрешностью до 10% применим при условии r>>0,3ho Vk!kz, причем величина S представляет собой понижение напора в средней части пласта (в однородном пласте он4 фиксируется на глубине 0,42 /г0). Решения уравнений (IV.5.38) для условий откачки с постоян- ным дебитом Q даны в ряде работ [17, 35, 40]. На основании этих решений.и натурных данных опытных откачек выделяются три основных периода снижений напоров (рис. 86, в): упругого (I), ложностационарного (II), гравитационного (III) режимов, кото- рые лучше всего диагностируются при наличии этажных пьезо- метров — нижнего, в основной части пласта, и верхнего на сво- бодной поверхности. (Заметим, что при относительно однородном строении пласта нижний пьезометр располагается посередине пласта, а при двухслойном строении заглубляется в нижний пласт, см. пьезометры П и П' на рис. 86, а, б.) В начале периода упру- гого режима водоотдача пласта имеет в значительной степени упругий характер, а затем постепенно интенсифицируется по- ступление воды со свободной поверхности за счет гравитационной водоотдачи. В этот период понижения напоров в каждом сечении существенно меняются по вертикали, причем уровни свободной поверхности почти не снижаются, а понижения уровней в средней части пласта (фиксируемые по нижнему пьезометру) развивают- ся наиболее интенсивно, и при откачке с постоянным дебитом они описываются уравнением (IV.2.25), в котором надо положить а = в - -L = р.* Ь г kn В период ложностационарного режима наступает состояние Кажущейся стабилизации напоров внутри потока (фиксируемое по нижнему пьезометру), которое объясняется временным равно- весием между увеличивающейся > гравитационной водоотдачей и оттоком в сформировавшейся воронке депрессии. На графике S, lg^ в этот период наблюдается точка перегиба, свидетельствую- щая о переходе к гравитационному режиму, причем в. точке пере- гиба понижение напора в пласте определяется уравнением (IV.2.26) при значении В, задаваемом согласно (IV.5.36). Вместе с тем для периода ложностационарного режима характерно ин- тенсивное снижение уровней свободной поверхности; это различие в режимах снижения уровней по этажным пьезометрам является основным 'диагностическим признаком ложностационарпого ре- жима в безнапорном потоке, отличающим ложную стабилизацию от действительной. 249
Наступление гравитационного режима, характеризующегося новой интенсификацией снижения уровней, выраженной на полу- логарифмическом или билогарифмическом графике временного прослеживания, связано со стабилизацией гравитационной водо- отдачи и уменьшением влияния вертикальных сопротивлений в связи с увеличением размеров воронки депрессии. Здесь характер снижения напоров постепенно выравнивается по вертикали и стремится к такому же, как и в напорном потоке, но с заменой коэффициента упругой емкости р* на коэффициент гравитацион- ной водоотдачи ц, т. е. в неограниченном пласте понижение уров- ней в этот период при откачке с постоянным дебитом описывается уравнением (IV.2.8) при ц=77ц. Более подробно закономерности этого периода рассмотрены в работах [17, 18]. Для определения проводимости пласта наиболее удобны дан- ные понижений периода ложностационарного режима, которые описываются уравнением (IV.2.26) и могут быть обработаны по способу эталонной кривой. Для этого график зависимости IgS и Igr параллельным перемещением осей совмещается с эталонной кривой зависимости lgKc(d от после чего проводимость и па- раметр перетекания рассчитываются по любой точке совмещенных графиков согласно (IV.5.36). Заметим, что при г>0,ЗВ для расче- тов проводимости по ..данным понижений ложностационарного пе- риода можно пользоваться уравнением Дюпюи (IV.5.8). Для определения коэффициентов гравитационной емкости по периоду ложностационарного режима целесообразно использовать данные понижений напоров в пласте S и уровней свободной по- верхности 5°, фиксируемых ярусными пьезометрами. Используя уравнение (IV.5.38a), получим выражение для определения коэф- фициента гравитационной емкости р. = - S<L ( (IV.5.40) где v? = AS°/AZ — скорость снижения уровня свободной поверх- ности, которая рассчитывается по графику S°(t). При этом вели- чину А/ рекомендуется принимать такой, чтобы за три-четыре ин- тервала At снижение уровней S0 составило бы примерно полови- ну от понижения в пласте S. Проводя расчет по формуле (IV.5.40) на различные периоды времени, можно получить пред- ставление об изменчивости величины ц во времени. При относительно однородном строении пласта этап упругого режима обычно проходит довольно быстро, этап ложностационар- ного режима выражен менее отчетливо и значительно больше про- является этап гравитационного режима. В этом случае для обра- ботки данных откачки эффективно использование решений, выра- женных в интегральных преобразованиях по Лапласу — Карсону. По общим правилам таких- преобразований (см. § 2 главы 3’ раз- дела I), обозначая через Sp и S° изображения понижений S и 250
S°, представим дифференциальные уравнения (IV.5.36) и (IV.5.36a) в виде Sp ___ 1 д / dSp \____kn atp г ' dr V дг ) тп р Р ’ Н —? =—"-(8P-S°). (IV.5.41) ip «п Исключая из этой системы уравнений величину Sp, получим уравнение 5 ---1--!-------b------Л = р \ atp В2 kntp/mn + р / -A . ir-dSpД В = l/—-- • (IV.5.41а} г дг \ дг ) У kn Решение этого уравнения для неограниченного радиального пото- ка имеет вид Qp / г \ /1 1 р \-’/2 SP~~2nfr Ко \~Bop Во=" \~~atp ~~В^ * “М^п+Й”/ (IV.5.42} где Qp — изображение дебита откачки. Для обработки данных опытной откачки по уравнению (IV.5.42) необходимо иметь кри- вые временного прослеживания по трем наблюдательным скважи- нам, располагаемым в средней части пласта. По этим кривым рас- считываются значения Sp и Qp при нескольких значениях а затем при каждом tp составляется билогарифмический график зависимости Sp/Qp от tp, который параллельным перемещением осей совмещается с билогарифмическим эталонным графиком функции Ко (г). Снимая с этих графиков координаты какой-либо одной точки, найдем значения параметров Далее, исключая данные этапа упругого режима, строим график зависимости Во от tp, который в этом случае должен быть прямо- линейным, поскольку при а->оо из (IV.5.42) получим = В2 (1 + • (IV.5.44) \ Н гпп 1 На этом графике BQ~B при tp—б, а по его уклону находится ве- личина kul^,mu или 77р. = ДВо/А/р. Для учета динамики водоотдачи в этих зависимостях следует заменить тп на тПк, определяя эту величину согласно (IV.5.39). 25]
Для отдельной оценки Динамики водоотдачи следует определять величину р,тп^п по соотношению (IV.5.40) < используя данные по снижению уровня в этажных пьезометрах, располагаемых в сред- ней части пласта'и на свободной поверхности. После этого из (IV.5.39) можно найти параметр динамики водоотдачи. В безнапорных пластах однородного строения при. значитель- ных понижениях уровня происходит заметное изменение проводи- мости пласта, что можно учесть, вводя расчетные значения пони- жения уровня, определяемые согласно (IV. 1.9). 3.3, Откачка вблизи водотока При расчетах откачки вблизи водотоков (рек, каналов) рассмат- ривается только случай подпертой фильтрации под водотоком (см. § 1 главы 2 раздела II), поскольку свободная фильтрация из во- дотока не влияет на характер снижения уровней в процессе откачки. Заметим, что при мощном водоотборе зона сво- бодной фильтрации может об- разоваться в процессе Откач- ки; такого положения ' допус- кать не следует, поскольку частичный переход подпертой фильтрации в свободную резко осложняет методику обработ- Этап I i Этап U ! ЭтапШ i ЭтаnW Рис. 87. Графики временного просле- живания при откачке из совершен- ной скважины вблизи водотока (S и 5° — понижения напора в средней части пласта и на свободной поверх- ности) ки данных опытных откачек, исключая возможность исполь- зования аналитических реше- ний. Типичная схема строения ложа реки — двухслойная (см. рис. 76,а): в этом случае под- пертый режим фильтрации сохраняется до тех пор, пока уровни воды в основном водоносном пласте. не понижаются ниже подо- швы экранирующего слоя. Если же сопротивление ложа водотока определяется главным образом заилением или кольматацией его русла, то свободный режим фильтрации возникает при снижении уровня воды под водотоком ниже его дна. ' Рассмотрим условия откачки из совершенных скважин при сравнительно прямолинейном контуре берега реки. В режиме из- менения уровней при откачке у реки выделяются следующие эта- пы (рис. 87): в начальный период, когда еще не проявляется влияние реки, формируются этапы упругого (I) и ложностацио- нарного (II) режимов, после чего начинается формирование этапа гравитационного режима (III); затем в связи с влиянием реки из- менения уровней начинают стабилизироваться, стремясь к своему стационарному положению (этап IV). Обработка данных неста- ционарного режима таких откачек ведется только для начального 252
периода откачки, когда еще не сказывается влияние реки, с ис- пользованием приведенных'выше способов обработки для откач- ки в безнапорном неограниченном потоке. Обработку данных откачки с учетом влияния водотока рекомендуется проводить на период стационарной фильтрации. Следует подчеркнуть, что при диагностике данных такой откачки необходимо убедиться, в до- стижении истинной стабилизации уровней (этап IV), не относя к ним данные этапа ложностационарного режима. Наиболее четко такая диагностика проводится путем сопоставления уровней в ярусных пьезометрах, располагаемых в основной части пласта и на свободной поверхности, поскольку для ложностационарного режима характерно интенсивное изменение уровней свободной по- верхности при почти стабильном положении напоров в пласте. Согласно методу, отражений влияние водотока учитывается введением зеркально отраженной скважины относительно берего- вого контура реки. Учет сопротивления ложа крупного водото- ка,— когда практически отсутствует взаимовлияние потоков грунтовых вод на противоположных берегах, — производится пу- тем формального сдвига уреза водотока на величину AL (см. § 1 главы 3), и стационарное понижение уровня грунтовых вод прй откачке с дебитом Q определяется из уравнения (IV.3.16). При обработке данных кустовой опытной откачки в общем случае здесь Должны определяться проводимость пласта Т и па- раметр АЛ. Для этого можно рекомендовать строить график зави- симости понижения S от величины \gr /г при различных значениях АЛ, на котором по опытным точкам проводятся прямые линии. В качестве расчетного принимается то значение АЛ, при котором такая прямая приходит в начало координат. Снимая с этой пря- мой любую точку, находим величину проводимости Т = 0,366-^- 1g -у-. (IV.5.45) Если же величина АЛ предварительно определена по данным ре- жимных наблюдений, то необходимость такого подбора отпадает, поскольку величины г" для каждого пьезометра здесь будут изве- стны. Несколько более сложны расчетные зависимости для откачки у водотока небольшой ширины, когда необходимо учитывать взаимосвязь потоков на различных берегах Гб. 17. 31]. § 4. ОПРОБОВАНИЕ НЕСОВЕРШЕННЫХ СКВАЖИН Обработка данных опробований, проводимых в несовершенных скважинах, значительно затрудняется из-за более сложной струк- туры потока, которая к тому же может существенно искажаться влиянием слоистости водоносных пластов. Не задаваясь целью подробного рассмотрения всех вариантов анализа данных таких 253
откачек, ограничимся рассмотрением наиоолее простых случаев расположения скважин в однородных пластах неограниченных и ограниченных по мощности. При выборе расчетной схемы следует учитывать расположение скважин относительно кровли и подошвы пласта, имея в виду, что влияние границ пласта (кровли или подошвы) оказывается несущественным при следующих условиях: для расчетов по цент- ральной скважине, когда она удалена от границы больше чем на 1,5 / (с точностью до 5%), а при расчетах по "наблюдательным скважинам, когда их расстояние до центральной не больше одной десятой расстояния от центральной скважины до границы. Если эти условия выполняются по отношению как к кровле, так и к подошве пласта, то можно использовать схему неограниченного по мощности пласта, а при выполнении этого условия только по отношению к одной из границ пласта (кровле или подошве) мож- но использовать схему полуограниченного по мощности пласта. Если же эти условия не выполняются, то рассматривается схема пласта конечной мощности. Пьезометры обычно , не следует располагать в непосредствен- ной близости от центральной скважины, где существенное (и вме- сте с тем довольно неопределенное) влияние оказывает неравно- мерность притока к фильтру центральной скважины. Целесообраз- но устанавливать пьезометры не ближе Z/3 от центральной, по- скольку в этом случае для расчетов могут использоваться более простые зависимости, основанные на применении модели точечно- го стока [15, 17]. Расчетное расстояние до такого точечного стока определяется по формуле г° = (IV.5.46) где Г) и г2 — расстояний до характерных точек на центральной скважине, задаваемых на расстояниях Z/6 от ее краев. В неограниченном по мощности однородном изотропном пла- сте для расположенных таким образом пьезометров в качестве исходного может использоваться уравнение (IV.5.14), в котором величина г заменяется на расчетное расстояние г°, определяемое согласно (IV.5.46). Обработка данных временного прослеживания по одному пьезометру может проводиться наложением эталонной кривой, которая строится в координатах lg (erfc £) и 1g 1/£2, на график опытных данных, построенный в координатах lg S и lg t. После совмещения этих кривых по любой паре совмещенных точек на графиках определяются величины lg — %-- = lgS-lg(erfc5), = I(IV-6-47) 4л kr° (r0)2 g2 по которым находятся коэффициенты фильтрации k и пьезопроводности а. При наличии двух и более пьезометров обработку можно производить ме- тодом комбинированного прослеживания, для чего опытные данные наносят на график в координатах lg(r0-S) и 1g//(г0)2, на котором данные по разным пьезо- метрам должны лечь на одну кривую, что является диагностическим призна- 254
ком правильности исходной зависимости. Совмещая этот график с тем же эта- лонным графиком, по любой паре точек рассчитываем величины О 1 t lg * - = lg (/<>S) — lg (erfc |), lg4a = Ig—- — 1g (IV. 5.48) 4л k (r0)2 При больших t, когда выполняется условие r° < 0,9 /at , (IV.5.49) можно считать eric 1—2/Vxg, и тогда уравнение (IV.4.12) Примет вид S = -—! — — -v-L -й , (IV. 5.50) 4л k \ г° у л at / соответствующий условиям квазистационарного режима. Для обработки данных снижения уровня по_ этому уравнению строят график опытных данных в ко- ординатах S и' \ l/t , который должен быть прямолинейным, причем эта пря- мая линия отсекает на оси S величину ф/4лг°, а на'оси 1//1 . величину У^ла/г0. Обработку комбинированного прослеживания по этому уравнению можно производить построением опытного графика в координатах r°S и f^l/t , на котором все опытные точки должны ложиться на одну прямую, отсекающую на осях r°S и r°/Kвеличины (?/4л k и /л а • После расчетов параметров пласта можно определить сопротивление скважины по данным понижения уровня в центральной скважине, получив сначала расчетное понижение уровня S? (без учета ее сопротивления) по формуле (IV.4.8). После этого, зная «скачок» уровня на скважине Д Sc = = Sc — S?, найдем расчетный радиус скважины г °, учитывающий прискважинное сопротивление, по формуле г® = гс ехр 2л kl ASC “ Q (IV.5.51) Для обоснования рационального расстояния от центральной скважины до пьезометров будем исходить из того, что предельное понижение в пьезометрах S должно быть не менее 0,1 Sc. Состав- ляя соотношение этих понижений при стабилизации уровней, мо- жем’ записать, что S/Sc = ro/r°, где г0 — приведенный радиус сква- жины, определяемый по формуле (IV.4.9). При реальных значе- ниях //гс—50—200 найдем, что при S^.0,1 Sc должно быть Таким образом, при откачках из несовершенных скважин в неог- раниченном пласте целесообразно располагать пьезометры (на- блюдательные скважины) на расстоянии от центральной не далее длины фильтра I (но не ближе 0,3 Г), При использовании расчетной схемы ограниченного по мощ- ности изолированного пласта обработку опытной откачки из несо- вершенной скважины наиболее удобно вести по данным квазиста- ционарного режима, когда понижения напора согласно уравнению (IV.4.22) имеют выражение S = —in—. (IV.5.52) 4лТ (г*)2 7 255
В этом случае можно производить Обработку данных, как при откачке из совершенной скважины, т. е. по способу логарифми- ческой прямой, — надо только заменить величину г на расчетное расстояние г*, при расчетах которого величина t, для сравнитель- но больших значений г определяется выражением (IV.4.20). В однородно-анизотропныХ—Пластах дополнительного определения требует параметр анизотропии K — Ykrlkz > для чего используются данные о соотно- шениях уровней в различным образом расположенных пьезометрах; способы таких расчетов приведены в работах [2, 17, 27]. Значительно более сложна обработка опытных опробований в неоднородных (слоистых) пластах; для не- которых сравнительно несложных схем слоистых, пластов рекомендации по способам обработки опытных опробований также приведены в работах [2, 17]. Для оценки проницаемости прискважинной зоны используют- ся данные экспресс-налива, при котором в скважину мгновенно заливается объем воды V, что приводит к повышению уровня на - Рис. 88. Схема экспресс-налива: а — схема несовершенной скважи- ны с цилиндрическим фильтром (1 — статический уровень, 2 — фильтр, 3 и 4 — уровни в. скважи- не сразу после залива (/=0) и в момент времени t после залива); б — график для обработки данных экспресс-налива величину Но, после чего замеряется ход восстановления уровней в сква- жине. Баланс воды в скважине, имею- щей радиус трубы гт, запишется из условия, что расход Q потока, вы- ходящего из скважины, компенси- руется снижением уровня в ней, причем за бесконечно малое время dt будем иметь — Qdt. (IV.5.53) При опробовании несовершенной скважины (рис. 88, а) процессы упругого режима фильтрации вбли- зи скважины проходят довольно быстро, и поток здесь можно счи- тать квазистационарным, так ‘что связь между расходом Q и избы- точном напором в скважине Н мо- жет быть принята в каждый мо- мент времени соответствующей условиям стационарной фильтрации. Задавая размер и поло- жение фильтра скважин так, чтобы влияние кровли и по- дошвы пласта не сказывалось. на расходе скважины (для этого достаточно задать с<1,5 Z), можно использовать выражение XIV.4.8), заменяя в нем Sc на Н, т, ё. 2 л: I 0,71 In------- Q ~k1SH, 1° = (IV.5.54) 256
Подставляя выражение (IV.5.54) для Q в балансовое уравне- которое ние (IV.5.53), получим уравнение — nr\dH=-klQHdt, позволяет разделить переменные dH kl° ----=-------— at Я и после интегрирования получить причем произвольная постоянная С определяется из условия Н=Но при t=0, т. е. С=1пЯ0, так что уравнение восстановления напора в скважине будет иметь вид In -°- = 0Z, 0 = Н kl° (IV.5.55) Из этого уравнения следует, что на графике зависимости 1g —- s н от t (рис. 88, б) данные изменения уровней после экспресс-налива должны ложиться на прямую линию, приходящую в начало коор- динат. Сняв с этой прямой любую точку, определим величины параметра 0 и коэффициента фильтрации: 0 = — In -°-, k = —^e = 7,2 —— lg—t. (IV.5.56) [t H /0 l°t H где величина Z° определяется согласно (IV.5.54). Аналогичный вид имеют зависимости для экспресс-налива в колодец, работающий плоским дном, диаметром dK, где следует только принимать 1°= =5</к- Поскольку приток к такому колодцу существенно зависит от формы его дна, то для достоверного применения такого опро- бования надо быть уверенным в отсутствии искажений поверхно- сти дна колодца. - Все приведенные зависимости могут применяться и для обра- ботки экспресс-откачек с подстановкой в расчетные формулы вме- сто повышений уровня Я их соответствующие понижения S. Опыт обработки данных экспресс-наливов показывает, что иногда нарушения прямолинейного характера расчетного графика существенно проявляются в самом начале процесса. В таких слу- чаях рекомендуется сдвинуть расчетное начало процесса (момент t—О), изменив соответственно величину Но. Таким образом, обычно удается добиться достаточно хорошей прямолинейности расчетного графика. Обработкой экспресс-опробований (откачки и налива) совер- шенных скважин можно определить проводимость пласта Т, вос- пользовавшись зависимостью (IV.5.30), в которой V представляет собой объем воды, отобранной из скважины при экспресс-откачке 257
или налитой в нее при экспресс-наливе, причем для обработки экспресс-налйва в формуле (IV.5.30) следует заменить понижение S на его повышение Н относительно статического. Анализ приведенных выше зависимостей для экспресс-опробо- ваний показывает, что применение этого вида работ рационально в сравнительно слабопроницаемых породах (ориентировочно, при k<Zl м/сут). Весьма эффективно использование данных экспресс-наливов для оценки Сопротивления открытых наблюдательных скважин, определяющего их инерционность при замерах уровней в процессе нестационарного режима фильтрации. В этом случае происходит водообмен между водоносным пластом в месте расположения на- блюдательной скважины и самой скважиной; расход этого водооб- мена Qhc определяется скоростью изменения количества воды в наблюдательной скважине vHC, т. е. при площади горизонтального сечения трубы скважины <вт = л;гт имеем QHC = пг? инс. В свя- зи с этим между скважиной и пластом возникает разница напоров АНнс, которую для несовершенной скважины с фильтром, заглуб- ленным под уровень свободной поверхности водоносного горизон- та, можно считать равной избыточному напору Н, определяемому согласно зависимости (IV.5.54) при Q==QHc, т. е. АН = -^нс- = нс й/о Л Г? Поскольку согласно (IV.5.56) —~~ то формулу (IV.5.57) можно представить в следующем расчетном виде: АЯНС = —. (IV.5.58) и Таким образом, для оценки инерционности открытой наблю- дательной скважины необходимо провести в ней экспресс-налив, определить по изложенной выше методике величину 0, характери- зующую сопро