SV?•
ФЭ\

С.А.ФРОЛОВ

СБОРНИК
344/14
ПО Н4ЧЕРТ4ТЕ/1Ы-ЮЙ
ГЕО/ИЕТРИИ
ББК 22.151.3я73

Ф91

УДК 515(075)

Рецензент: кафедра инженерной графики
Московского авиационного института им. С. Орджоникидзе

Фролов С. А.

Сборник задач по начертательной геометрии
Ф91 Учеб, пособие для студентов машиностроительных
и приборостроительных специальностей вузов. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение,
1986. — 176 с., ил.

30 к.

В новом издании сборника задач (1-е изд. 1980 г.) § 1. . .4 пе-
реработаны с учетом изменений в изложении основной теоретической
базы курса начертательной геометрии по учебнику С. А. Фролова
«Начертательная геометрия».

1702040000-154
ф-----------------

038(01)-86

154-86

ББК 22.151.3я73

515

Сергей Аркадьевич Фролов
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Редактор И. Г. Калашникова
Художественный редактор С. С. Водчиц
Обложка художника О. В. Камаева
Технические редакторы Н. М. Харитонова, Н. В. Тимофеенко
Корректор Л. Е. Сонюшкина

ИБ № 4969
Сдано в набор 17.07.§5 Подписано в печать 12.09.85.
Формат 84ХЮ8'/з2- Бумага ТИП № 2. Гарнитура литературная
Печать высокая. Усл. печ. л. 9,24. Усл. кр.-отт. 9,45. Уч.-изд. л. 9,52
Тираж 50.000 экз. Заказ 997. Цена 30 к.

Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Машиностроение»
107076, Москва, Стромынский пер., 4.

Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

129041 Москва, Б. Переяславская, 46

© Издательство «Машиностроение», 1980 г.

© Издательство «Машиностроение», 1986 г., с изменениями
ПРЕДИСЛОВИЕ

Задачник предназначен для студентов технических ву
зов, изучающих начертательную геометрию по учебнику
С. А. Фролова «Начертательная геометрия» (М.: Машино-
строение, 1983).

Для записи отношений между геометрическими фигура-
ми и различных логических высказываний применена си-
стема символов, используемых при изложении курса выс-
шей математики в вузах.

В настоящем сборнике все задачи распределены по раз-
делам, соответствующим тематике глав учебника и распо-
ложенным в той же последовательности, в какой изложены
теоретические вопросы в учебнике.

Отличительной особенностью настоящего задачника яв-
ляется также то, что обширный круг задач, который обыч-
но составляет содержание нескольких разделов, в данном
задачнике помещен всего лишь в двух главах: гл. III —
позиционные задачи и гл. IV— метрические задачи. Такое
объединение позволяет получить обобщенные алгоритмы и
на их основе дать рекомендации, пригодные для решения
широкого круга однотипных задач. Кроме того, впервые в
задачник включена глава, в которой помещены задачи на
определение рациональных машинных алгоритмов их ре-
шения.

В начале каждой главы даны основные сведения теоре-
тического характера. Особое внимание обращено на инвари-
антные свойства параллельного проецирования. На кон-
кретных примерах показано их применение для решения
типовых задач.

При решении задач необходимо графические условия
исходных данных увеличивать в 2 раза.

Все замечания и предложения по совершенствованию
задачника просим направлять по адресу: Москва, 107005,
2-я Бауманская ул., д. 5, МВТУ им. Баумана, кафедра
«Начертательная геометрия и графика».
ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛЫ

В задачнике, как и в учебнике, для которого он напи-
сан, используются обозначения и символы, принятые в
курсе математики в вузе и новом курсе геометрии в сред-
ней школе.

Обозначение геометрических фигур
и их проекций

1.	Геометрическая фигура обозначается буквой Ф.

2.	Точки обозначаются прописными буквами латинско-
го алфавита или арабскими цифрами:

А, В, С, D, ..., L, М, N, ...

1, 2, 3, 4, ..., 12, 13, 14 ...

3.	Линии, произвольно расположенные по отношению
к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами
латинского алфавита:

а, Ь, с, d, ..., I, tn, п, ...

Линии уровня обозначаются: h — горизонталь; f —
фронталь; w — профильная прямая.

Для прямых используются также следующие обозна-
чения: (АВ) — прямая, проходящая через точки А и В;
[ЛВ) — луч с началом в точке Л; [ЛВ] — отрезок прямой,
ограниченный точками Л и В.

4.	Поверхности обозначаются строчными буквами гре-
ческого алфавита:

а, р, у, 6, ... , ср, г), 0.

5.	Углы обозначаются:

</АВС — угол с вершиной в точке В или

Лу°...... ^Ф°.
Угловая величина (градусная мера) обозначается зна
ком который ставится над буквенным обозначением угла

АВС величина угла АВС\

<р° величина угла ср°.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

fa.

6.	Расстояние между фигурами пространства обознача-
ется двумя вертикальными отрезками—||. Например:

|ЛВ| — расстояние от точки А до точки В (длина от-
резка АВ)-,

|Да| — расстояние от точки А до поверхности а;

|а&| — расстояние между линиями а и Ь;

|оф | — расстояние между поверхностями аир.

7.	Плоскости проекций обозначаются л2, ла, где
□Tj — горизонтальная плоскость проекций; л2 — фронталь-
ная плоскость проекций; л3— профильная плоскость
проекций.

При замене плоскостей проекций новую плоскость обо-
значают той же буквой, что и плоскость, которую она за-
менила с добавлением подстрочного индекса л4, л5, лв и т. д.

8.	Оси проекций обозначаются буквами х, у, z.

9.	Проекции точек, линий, поверхностей, любой гео-
метрической фигуры обозначаются теми же буквами (или
цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса,
например:

' А’’, А", А"';	I", Г"\ р', р", р'"; Ф', Ф", Ф'".

Верхний индекс соответствует плоскости проекции, на
которой они получены. Индексом ' обозначаются горизон-
тальные, индексом " — фронтальные и индексом — про-
фильные проекции.

10.	Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются те-
ми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавле-
нием подстрочного индекса оа, подчеркивающего, что эти
линии лежат в плоскости проекции и принадлежат пло-
скости (поверхности) а.

Так: hoa — горизонтальный след плоскости (поверхно-
сти) а; /оа — фронтальный след плоскости (поверхности) а.
11.	Следы прямых (линий) обозначаются заглавными
буквами, с которых начинаются слова, определяющие на-
звание (в латинской транскрипции) плоскости проекции,
которую пересекает линия, с добавлением подстрочного
индекса, указывающего принадлежность к линии, напри-
мер: Ни — горизонтальный след прямой (линии) a; Fa —
фронтальный след прямой (линии) а.

12.	Последовательность точек, линий, поверхностей лю-
бой фигуры отмечается подстрочным индексом:

Лх, А-2, Лз, ..., Лп;

Gi ^2’ ^3’ •••> ^ni

Pl, Р2, Рз> Рп!

Фр Ф2, Ф3, ..., Фп и т. д.

Вспомогательные проекции точек, линий, поверхностей
любой фигуры, полученные в результате преобразования
для определения действительной величины геометрической
фигуры, обозначаются той же буквой (цифрой) с подстроч-
ным индексом 0:

Ад, 1д, Ро, Ф0 и T. Д.

Символы, обозначающие отношения
между геометрическими фигурами

1.	= — совпадают, равны, результат действия.

2.	— конгруентны.

3.	оо — подобны.

4	ц — параллельны.

5.	J_ — перпендикулярны.

6.	----скрещиваются.

7.	-> — параллельное проецирование.

8.	х — отрицание.

9.	£ — принадлежит, Л £ I — точка Л принадлежит
линии I.

10.	с — включает (является подмножеством), а ас у—
поверхность у включает в себя линию а (или множество
точек линии а является подмножеством точек поверх-
ности у).

11.	(J —объединение множеств, ABCD = [ЛВ] U
U [ВС] (J [С£>] — ломаная линия ABCD есть объединение
отрезков Л В, ВС и CD.
12.	Л — пересечение множеств, I — а Л Р — линия I
есть результат пересечения поверхностей аир.

Символы, обозначающие логические операции

13.	Д — конъюнкция предложений, соответствует сою-
зу «и>».

14.	=> — импликация — логическое следствие, означа-
ет: «если, ...то»; (а||с Д b]|c)=>a||b— если две прямые
параллельны третьей, то они параллельны между собой.

15.	<==> — эквивалентность.

16.	V — квантор общности, читается: «для всякого
(для любого)»; V (А АВС) (А + В + С = 180°) — для вся-
кого (для любого) треугольника АВС сумма величин уг-
лов при вершинах А, В, и С равна 180°.
ВВЕДЕНИЕ

§ 1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

Начертательная геометрия как учебная дисциплина зна-
комит студентов:

а)	с методом отображения пространственных фигур на
плоскость (построение проекций);

б)	с возможностью получить с помощью проекций обра-
тимый чертеж;

в)	со способами решения на этом чертеже различных
задач, позволяющих определять метрические характери-
стики геометрических фигур и позиционные отношения меж-
ду фигурами.

Любую геометрическую фигуру следует рассматривать
как множество всех принадлежащих ей точек, соответствен-
но, проекцией геометрической фигуры является множество
проекций этих точек, поэтому, чтобы упростить понимание
сущности проецирования, которое составит основу метода
построения проекций, покажем на примере получение про-
екций только одной точки.

Центральное проецирование

Пусть заданы (рис. 1) плоскость а и точка Sj (Sx (£ а).
Принимаем а за плоскость проекций, a Sj за центр, тогда,
при заданном аппарате проецирования, точке пространст-
ва А (Л (£ р Э Si и р||а) на плоскости а будет однознач-
но соответствовать точка Л“ (Д“ = [5]Л) Г) а) — цен-
тральная проекция точки А.

К сожалению, обратное утверждение не имеет смысла,
поэтому одна центральная проекция Л? точки А не дает
возможности судить о положении точки в пространстве.

Чтобы получить обратимый чертеж, позволяющий по
проекции судить о положении точки в пространстве, необ-
ходимо указать дополнительную проекцию А%, полученную
из другого центра S2. Зная, как определяются центральные
проекции одной точки, не составляет труда построить про-
екции любого числа точек.

На рис. 1 показаны также проекции В“ и В“ точки В.

Две центральные проекции Л“, Л“ (или В“, В“) одно-
значно определяют положение точки А (или В).

Параллельное проецирование

В качестве центров проекций Sx и S2 можно взять не-
собственные (бесконечно удаленные) точки Sloo и S2oo.
Полученные из этих центров проекции точек принято на-
зывать параллельными проекциями.

На рис. 2 показаны центральные проекции Л“, Л“ (В“,
В“), которые однозначно определяют точку пространства
А (В).

Ортогональное проецирование

В инженерной практике для отображения геометриче-
ских фигур на плоскости широко применяется метод пря-
моугольного (ортогонального) проецирования.

Ортогональная модель евклидова пространства строит-
ся следующим путем: в пространстве выделяются две вза-
имно перпендикулярные плоскости лх и л2.

Принимаем их за плоскости проекций (рис. 3). Точки
пространства прямоугольно проецируем на плоскость лъ
множество проекций точек {/('...} образуют поле горизон-
тальных проекций точек {/С...}. При прямоугольном про-
ецировании точек К на плоскость л2 получим множество
точек {К".,.}, образующих поле фронтальных проекций.

На рис. 3 показаны точки пространства А и В и их ор-
тогональные проекции А', А" и В', В". Здесь, как и в ра-
Рис. 2

нее рассмотренных случаях (см. рис. 1 и 2), одной точке
пространства соответствуют две точки — ее проекции.

Если положение плоскостей и л2 фиксировано, то
каждой точке пространства будет соответствовать упо-
рядоченная пара точек на полях проекций. '

Справедливым оказывается и обратное утверждение —
упорядоченной паре точек полей проекций соответствует
единственная точка пространства.

Отмеченное свойство является фундаментальным, со-
ставляющим основу построения проекционного чертежа.

Эпюр Монжа

Для получения плоской ортогональной модели евклидо-
ва пространства — эпюра Монжа, горизонтальную пло-
скость (см. рис. 3) совмещают с фронтальной плоскостью
путем ее поворота на 90° вокруг оси х в направлении, ука-
занном стрелкой.

Рис. 3
После завершения поворота
полуплоскость лх займет поло-
жение, указанное на рис. 4.
Вместе с полуплоскостью л>х пе-
реместятся и принадлежащие ей
горизонтальные проекции А' и
В' точек А и В.

При этом горизонтальная и
фронтальная проекции одной и
той же точки окажутся на од-
ной прямой (линия связи), пер-
пендикулярной к оси х.

Сопоставляя рис. 3 и 4,

легко заметить, что расстояние

от горизонтальной проекции точки А' до оси х равно уда-
лению самой точки от фронтальной плоскости проекций
(И'Лд.1 = |ЛЛ"|), а расстояние между фронтальной про-
екцией точки и осью х равно удалению точки от горизон-
тальной плоскости проекции (|Л"АЯ| = |АА'|).

В практике составления чертежей и решения некоторых

задач встречаются случаи, когда полезно иметь не две, а
три проекции фигуры на три взаимно перпендикулярные
плоскости. Рис. 5, а дает представление о пространствен-
ном макете. На рис. 5, а кроме плоскостей и л2 и при-
надлежащих им проекций А' и А" точки А показана также
профильная плоскость л3 с расположенной на ней профиль-
ной проекцией А'" точки А.

На рис. 5, б приведены плоскостная модель (эпюр Мон-
жа), в которую преобразуется пространственный макет при
совмещении плоскостей и л3 с плоскостью л2. На
рис. 5, а стрелки указывают направление вращения пло-
скостей и л2> а также отрицательные направления осей
х, у, z. Здесь же римскими цифрами помечены восемь ок-
тантов, на которые плоскости ль л2 и л3 делят евклидово
пространство.

§ 2. ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО
ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Известно, что при параллельном, в частности, ортого-
нальном проецировании геометрическая фигура Ф, произ-
вольно расположенная по отношению к плоскости проек-
ции а, проецируется на эту плоскость с искажением.

Действительно,; при проецировании трапеции ABCD
на плоскость а, не параллельную плоскости трапеции
(рис. 6), длины ее сторон, величины углов при вершинах,
площадь и другие метрические характеристики оригинала
на проекции ДаВ“С₽©“ не сохраняются.

Наряду с этим между фигурой-оригиналом и ее парал-
лельной проекцией на плоскость существует определенная
связь, заключающаяся в том, что некоторые свойства про-
ецируемой фигуры Ф сохраняются и на ее проекции Ф“.

Из рис. 6 видно, что точки А, В, С, D — вершины прое-
цируемой трапеции (фигура Ф) проецируются в точки Аа,
Ва, Са, Da — вершины трапеции-проекции (фигура Ф“);
отрезки [ДВ], [ВС], [СО], [£>Д] —- стороны проецируемой
трапеции проецируются в отрезки [Д“В“], [ВаСа], [С°©а],
[DME] — стороны трапеции-проекции. Параллельным сто-
ронам [ЛВ]||ЮС] проецируемой трапеции соответствуют
также параллельные стороны [Л“В“] ||[£>“С“] трапеции-
проекции.

Свойства геометрических фигур, которые не изменяются
в процессе проецирования, называют независимыми или
инвариантными относительно выбранного способа прое-
цирования.

Очевидно, прежде чем приступать к построению парал-
лельных проекций геометрических фигур и решению на них
задач, необходимо изучить и хорошо усвоить инвариантные
свойства параллельного проецирования.

Ниже приведены основные из них.

1.

А Аа

Параллельная проекция точки есть точка
2.

Для любой прямой а, не параллельной направлению про-
ецирования s, справедливо утверждение: параллельная про-
екция прямой а на плоскость а в направлении s есть прямая
(рис. 7).

3.		

М с N => 7Иас: Na .

Если множество М принадлежит (является подмноже-
ством) множеству N, то параллельная проекция множества
Ма принадлежит параллельной проекции множества Na
(рис. 8).

Применительно к геометрическим фигурам это инвари-
антное свойство может быть записано:

а)	А 6 т => Аа Q та .

* Обозначение Р“ читается: параллельная проекция (Р) на пло-
скость а (Р“) в направлении s(Ps).
Рис. 7

Рис. 8

Если точка А принадлежит линии т, то проекция
точки Аа принадлежит проекции линии та (рис. 9).

б)	me р=>т“с р®.

Если линия т принадлежит поверхности р, то проек-
ция линии та принадлежит проекции поверхности Р“
(рис. 10).

Из отмеченных свойств «а» и «б», как следствие, полу-
чаем

Л(ЕР=^ А £ т ср

или применительно к проекциям

А С Р=> Аа С тас ра.

Если точка А принадлежит поверхности р, то проек-
ция точки Аа принадлежит проекции линии та, принадле-
жащей проекции поверхности р“ (рис. 11).

В том случае, когда удовлетворяется условие принад-
лежности Aai£m“‘ с: р“> на другой плоскости проекции
ai (ai Т а)> справедливо следующее предложение:

ДСР (А* С та с Р“) Д (А«- С ра«).
Поставленный здесь знак эквивалентности между левой
и правой частями показывает, что справедливо и обратное
утверждение:

Если проекция точки Аа и Л“* принадлежит соответст-
вующим проекциям линий та и та>, которые, в свою оче-
редь, принадлежат одноименным проекциям поверхности
0“ и 0“", то точка А принадлежит поверхности 0 (рис. 12).

в)	(Ф с= 0) Д (0 _L а) => Ф“с ЛОа-

Если фигура Ф принадлежит поверхности 0, перпен-
дикулярной плоскости а, то ортогональная проекция этой
фигуры Фа принадлежит следу поверхности (рис. 13).

г)	(Ф с у) А (у || а) => ф“ Ф.

Если фигура Ф принадлежит плоскости у, параллель-
ной плоскости проекции а, то параллельная проекция этой

Рис. 12
Рис. 13

фигуры на плоскость а — Фа конгруентна самой фигуре
Ф (рис. 14).

4.	(К =а Г)Ь) => (№ = а“ П*“)•

Если точка /( есть результат пересечения прямых
а и Ь, то проекция этой точки определяется пересече-
нием проекций прямых а? и Ьа (рис. 15).

Из этого инвариантного свойства вытекают следствия:
а) (а || Ь) Д (а s) => аа || Ьа.

Если прямые а и b параллельны между собой и не пароле-
лельны направлению проецирования, то параллельны и их
проекции (рис. 16).

б) | ЛВ| [| |СВ| => -^L = ..

1	11 I CD ।	| с« |

Если отрезок АВ параллелен отрезку CD, то отношение
длин отрезков равно отношению длин их проекций.

в)С(=[ДВ]Л

’ | АС | _ т \

I св । —~J

Аа С“|

С“ В“|

т

п

Рис. 15

Рис. 14
in

Если точка С принадлежит отрезку АВ и делит [ЛВ]
в отношении т к п, то проекции точки С делят проекции
отрезка в таком же отношении.

Роль и значение инвариантных свойств, или сокращенно
инвариантов, трудно переоценить — они играют в начер-
тательной геометрии такую же фундаментальную роль,
какую аксиомы в других геометриях.

Не будет преувеличением утверждать, что инварианты
составляют теоретическую базу всех геометрических по-
строений, которые необходимо выполнить при построении
параллельных проекций геометрических фигур на плоско-
сти и решении задач на эпюре Монжа.

§ 3.	ТЕОРЕМА О ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
ПРЯМОГО УГЛА

При решении метрических задач одной из основных гео-
метрических операций является проведение на проекцион-
ном чертеже (эпюре Монжа) взаимно перпендикулярных
прямых, прямой и плоскости, плоскостей.

Графические построения, которые необходимо при этом
выполнять, базируются на использовании теоремы о част-
ном случае проецирования прямого угла

(ДВС = 90°) Л «ВЛ) 0 а) Л ([ВС)а) => Д“В^С“ = 90°.

Если </_АВС прямой и сторона ВА этого угла параллель-
на плоскости а, а сторона ВС не перпендикулярна к пло-
скости а, то проекция угла на плоскость а АаВаСа =
= 90°.

Ниже будет показано, как с помощью перечисленных
в § 2 инвариантных свойств и приведенной теоремы можно
графическим способом решать самые разнообразные зада-
чи.	ши—— ..........	~~

ВИВЛИОТЕКИ

< .»O3Hbfe

Ifto-k г < л  - те мм*

**«£»«*•
§ 4.	ОСНОВНЫЕ ФРАГМЕНТЫ ГРАФИЧЕСКОГО
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Графическими приемами, которые основаны на теории
начертательной геометрии, можно решать пространствен-
ные задачи, связанные с выяснением взаимного расположе-
ния и определением метрических характеристик геометри-
ческих фигур, имеющих одно, два или три измерения, по-
груженных в трехмерное пространство*. При этом реше-
ние пространственных задач осуществляется не на геомет-
рических фигурах, а на их проекционных отображениях
на плоскостях проекций, т. е. получение ответа на простран-
ственную задачу осуществляется путем решения плоской
задачи на полях плоскостей проекций.

Приступая к решению задач графическим способом, сле-
дует иметь в виду, что несмотря на разнообразие условий
и широкий круг вопросов, ответы на которые должны быть
получены в результате решений, графический, точнее гео-
метрический, способ обладает высокой, степенью унифика-
ции процесса решения.

Действительно, графическое решение любой задачи сво-
дится к выполнению простейших геометрических построе-
ний. Так как эти построения осуществляются с помощью
только линейки и циркуля, то и графические операции, ко-
торые необходимо выполнять при решении задач, заключа-
ются в проведении прямых и дуг окружностей. При этом
проведение линий является промежуточным этапом на пу-
ти к решению задач.

Линии проводят лишь для того, чтобы найти точку их
пересечения как между собой, так и с линиями, входящи-
ми в исходные данные задачи или проведенными в процес-
се решения задачи.

В процессе графического решения задач используется
ограниченное число геометрических построений, в основном
они сводятся к проведению проекций взаимно параллель-
ных и взаимно перпендикулярных прямых, а также решению
задач по нахождению положения точки пересечения пря-
мой с плоскостью, определению расстояния между двумя
точками и действительной величины угла между двумя пря
мыми

* Способами многомерной начертательной геометрии можно
решать аналогичные задачи с геометрическими фигурами большей
мерности, расположенными как в трех, так и n-мерном пространстве.
Отмеченные геометрические построения и задачи яв-
ляются основными, часто встречающимися фрагментами,
из которых складывается решение большинства задач, осу-
ществляемое графическим способом. Естественно, умение
свободно выполнять перечисленные фрагменты является
необходимым условием для успешного решения задач.

Следует иметь в виду, что все геометрические построе-
ния, которые должны быть выполнены для реализации
этих фрагментов на эпюре Монжа, осуществляются с помо-
щью инвариантов параллельного проецирования (см. § 2),
теоремы о частном случае проецирования прямого угла
(§ 3) и сведений из школьного курса геометрии (стереомет-
рии).

Проследим на примерах характер и последовательность
геометрических построений, реализующих отмеченные фраг-
менты.

Рассмотрим следующие варианты взаимного расположе-
ния прямых и плоскостей:

1.	Прямые параллельны.

2.	Прямая и плоскость параллельны.

3.	Плоскости параллельны.

4.	Прямая и плоскость перпендикулярны.

5.	Плоскости перпендикулярны.

6.	Прямые перпендикулярны.

Следует иметь в виду, что для построения на эпюре Мон-
жа взаимно параллельных прямой и плоскости или плоско-
стей необходимо уметь проводить проекции прямой, парал-
лельной данной.

1.	Параллельность прямых

Построение прямой а, параллельной прямой Ь, основа-
но на следствии, вытекающем из четвертого инвариантно-
го свойства параллельного проецирования (см. с. 17,
рис. 16), и сводится к проведению а' |\Ь' и а\\Ь". На рис. 17
через точку А проведена прямая а, параллельная данной
прямой Ь.

2.	Параллельность прямой и плоскости

Построение проекций прямой, параллельной данной
плоскости (или решение обратной задачи — построение
проекций плоскости, параллельной данной прямой), так
же, как и построение проекций параллельных плоскостей,
базируется на определениях, вытекающих из теорем стерео-
метрии.

Теорема. Прямая параллельна плоскости, если в пло-
скости можно провести прямую, ей параллельную.

На рис. 18 показан пример построения прямой а, со-
держащей данную точку А и параллельной плоскости а.

Согласно приведенной теоремы прямая а параллельна
плоскости а в том случае, если в плоскости а возможно про-
вести прямую Ь, параллельную а. Поэтому построение сле-
дует начинать с проведения в плоскости а произвольной
прямой Ь, затем через точку А провести прямую а, парал-
лельную Ь.

Тогда а||а, так как а дэ Ь\\а.

Рис. 19 дает представление о построении плоскости
а, параллельной данной прямой а и содержащей прямую Ь.

Чтобы плоскость а заняла положение, параллельное
прямой а, необходимо, чтобы эта плоскость содержала пря-
мую с, параллельную данной прямой а.

Для построения проекции плоскости а достаточно че-
рез проекции произвольной точки В £ b провести проекции
прямой с, параллельные одноименным проекциям прямой а.

Плоскость а (с П Ь) || а, так как а дэ с||а.

3.	Параллельность плоскостей

Построение взаимно параллельных плоскостей базиру-
ется на следующей теореме:
Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся
прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой
плоскости.

Поэтому, чтобы заданные точки А и В (рис. 20) за-
ключить в параллельные плоскости -аир, достаточно че-
рез проекции точки А провести проекции произвольных
пересекающихся прямых а и Ь, а через проекции] точки
В — проекции прямых с и d, соответственно параллельных
прямым а и Ь.

4.	Перпендикулярность прямой
и плоскости

При построении взаимно перпендикулярных плоскостей
и прямых достаточно уметь строить плоскость, перпенди-
кулярную к прямой, знать теоремы о взаимной перпенди-
кулярности плоскостей и условие перпендикулярности двух
прямых.

Графические построения, которые необходимо выпол-
нить, чтобы построить на эпюре плоскость, перпендикуляр-
ную к данной прямой, определяются условиями приведен-
ной ниже теоремы:

прямая перпендикулярна плоскости, если она перпенди-
кулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой
плоскости.

Для выполнения на эпюре Монжа отмеченных условий
используется теорема о частном случае проецирования пря-
мого угла:

(ЛВС = 90°) Д (|ВЛ) || Л1) Л ([вС)\л^=>лбгС'==90°,
или

(АВС = 90°) Д ((ВЛ) || л2) Л ([	л2) => ААВАС" 90°.

На рис. 21 показано построение плоскости а, перпенди-
кулярной к данной прямой а.

Геометрические построения, которые необходимо выпол-
нить для решения этой задачи, сводятся к проведению че-
рез произвольную точку А горизонтали h J_ a (h' ± а',
h" || х) и фронтали f J_ а (f" J_ a", f || х)*.

Пересекающиеся прямые h и / определяют плоскость а.

Плоскость a _L а, так как a _L h cz а и а _1_ f cz а.

5.	Перпендикулярность плоскостей

Алгоритм решения задачи на построение проекций вза-
имно перпендикулярных плоскостей базируется на следую-
щей теореме:

* Горизонталь h и фронталь f взяты для того, чтобы иметь
возможность воспользоваться теоремой о частном случае проециро-
вания прямого угла.
Две плоскости перпендикулярны, если одна из них со-
держит прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

Рис. 22 дает представление о геометрических построе-
ниях, которые должны быть выполнены для задания на
эпюре плоскости (|3 } Л) J_ а.

Согласно теореме о перпендикулярности плоскостей
плоскость |3 перпендикулярна заданной плоскости а, если
она содержит прямую а _1_ а.

Поэтому графическое решение сводится к следующему:
через точку А проводим прямую а а. Для определения
направления проекций прямой а проводим произвольные
горизонталь (К) и фронталь (/) плоскости а. Зная горизон-
тальную проекцию горизонтали и фронтальную проекцию
фронтали, проводим через проекции точки А проекции
прямой так, чтобы a' j_ h' и а" _1_ f".

Любая плоскость из множества плоскостей, принадле-
жащих связке, определяемой прямой а, перпендикулярна
данной плоскости а, т. е. задача имеет множество решений.
Для выделения одной плоскости из этого множества доста-
точно через точку А £ а провести произвольную прямую
Ь. Пересекающиеся прямые а и b задают плоскость |3.

Плоскость р _L а, так как р гэ а _!_ а.

6.	Перпендикулярность прямых

При построении взаимно перпендикулярных прямых

необходимо руководствоваться
теоремы о перпендикулярно-
сти прямой к плоскости: Две
прямые перпендикулярны,если
одну из них можно заключить
в плоскость, перпендикуляр-
ную другой прямой.

Поэтому, чтобы провести
прямую Ь, перпендикулярную
к данной прямой а, следует
вначале построить плоскость
а, перпендикулярную к пря-
мой а, и провести в этой
плоскости произвольную пря-
мую. На рис. 23 построения
выполнены в следующей по-
ел едо в ател ь ности:

следствием, вытекающим из
1)	через произвольную точку А провели горизонталч
h и фронталь /, определяющие плоскость а. Чтобы эта пло-
скость была перпендикулярна прямой а, необходимо, чтобы
h’ _!_ а' и f" ± а" (на основании теоремы о частном случае
проецирования прямого угла);

2)	в плоскости а провели произвольную прямую b
(Ь ст а, так как Ь содержит две точки 1 и 2, принадлежащие
плоскости а). Прямая .Ь _1_ а, так как b с а | а.

Для проведения прямой с _L а и пересекающей пря-
мую а достаточно через произвольную точку В £ а провести
с||&. Проекции этой прямой необходимо провести через
точки В' и В" соответственно параллельно Ь' и b", с _L а,
так как c||b, а b _1_ а.

§ 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

Кроме геометрических построений, связанных с зада-
нием на эпюре Монжа параллельных и взаимно перпенди-

Рис. 24

кулярных прямых и плоско-
стей, часто при решении за-
дач приходится определять
точку пересечения (встречи)
прямой с плоскостью.

Геометрические построе-
ния, которые следует выпол-
нить для решения такой за-
дачи, базируются на след-

ствиях «а», «б» и «в», выте-
кающих из третьего инвари-
анта (см. § 2):

а)	А С т => Аа С та ;

б)	А € Р => Аа € та с= ₽«;

в)(Фс Р) Д (Р _L а) =>Фа с=Р“.

На рис. 24 показано гра-
фическое решение задачи по
определению точки встречи
прямой а с плоскостью р (61 |с).

Точка К = а Я р является
общей точкой, принадлежа-
щей как прямой а, так и плос-
кости 0. Для того чтобы точка Д’ (Е а, необходимо на основа-
нии следствия а) выполнить условие: К' £ а' и Д’" £ а''.

Принадлежность К £ 0 требует, чтобы К Е tn cz 0. Это
условие удовлетворяется в том случае, если на эпюре Мон-
жа К' С т' с 0' и К" € т".<= 0".

В качестве линии т принимаем прямую, по которой
горизонтально проецирующая плоскость у, в которую
мы заключаем прямую а, пересекает данную плоскость
0(mcy, т = у 0 ₽)•

Положение прямой т легко определяется, так как пло-
скость у занимает проецирующее положение В этом слу-
чае представляется возможность использовать свойство
проекций геометрических фигур, принадлежащих проеци-
рующей плоскости (следствие «в»).

Так как тс у, то т' с hoy.

Положение горизонтальной проекции прямой т опре-
деляет точки 1' и 2', в которых й07 = т' пересекает прямые
Ь' нс'. По точкам Г и 2' находим их фронтальные проекции
/" и 2", которые принадлежат фронтальной проекции т" —
линии пересечения плоскостей у и 0.

Точка К" = т" р( а” является фронтальной проекцией
искомой точки пересечения, по К" определяем К'.

§ 6.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ
ДВУМЯ ТОЧКАМИ

На заключительном этапе решения многих метрических
задач приходится определять расстояние между двумя точ-
ками.

Характер геометрических построений, которые необхо-
димо выполнить для решения этой задачи, легко выяснить
из чертежа на рис. 25.

Проведем в трапеции АВ В'А' через точку А' 1^4'2?!] ] |
||[ДВ]. Полученный △Л'В1В' прямоугольный. Гипотену-
за треугольника — [X'BJ равна длине отрезка АВ,
одним из катетов этого треугольника является горизон-
тальная проекция —	(А'В'1, другим — разность

расстояний удаления концов отрезка от горизонтальной
плоскости проекции — [BJ3'] = z{.} в — z(.j д.

Из приведенного чертежа видно, что для определения
действительной величины отрезка достаточно принять го-
ризонтальную проекцию отрезка за катет прямоугольного
треугольника, в качестве другого катета взять отрезок,
равный разности расстоянии, на которые концы отрезка уда- -
лены от горизонтальной плоскости проекции. Длина гипо-
тенузы полученного треугольника будет равна длине от-
резка.

Из рис. 25 видно, что длину отрезка АВ можно полу-
чить также с помощью фронтальной проекции отрезка. В'
этом случае за один катет прямоугольного треугольника
принимается [Д"В"1, за другой — разность расстояний от
концов отрезка до фронтальной плоскости проекций
IД1Д"1 ~ У{-} а — У<-) в-

§ 7.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ

Кроме расстояния между двумя точками очень важной
метрической характеристикой.геометрической фигуры яв-
ляется величина угла между двумя прямыми.

Для того чтобы <ф° между пересекающимися прямыми
проецировался на плоскость проекции без искажения, не-
обходимо плоскость угла <р° перевести в положение, парал-
лельное плоскости проекции. При таком преобразовании
появляется возможность воспользоваться следствием, вы-











текающим из третьего инварианта параллельного проеци-
рования:

(Ф ср) Д (Р || а) => Ф“ Ф.
Наиболее рациональный способ определения действи-
тельной величины угла между двумя прямыми достигает-
ся, если воспользоваться способом вращения вокруг линий
уровня.

В этом случае для получения ответа на поставленную
задачу достаточно осуществить поворот только одной точки.
Поясним сказанное на примере определения угла <р° между
прямыми а и b (рис. 26).

Переводим плоскость а (а Г) Ь) в положение а1, парал-
лельное фронтальной плоскости проекции л2. Для этого
поворачиваем эту плоскость вокруг ее фронтали f.

Плоскость а определяется точками 1, 2 и А. Точки /
(Г, /"), и 2 (2', 2") принадлежат оси вращения f (f, f"),
поэтому во время вращения они останутся на месте. Для
нахождения нового положения плоскости а! достаточно
повернуть только одну точку А. Чтобы осуществить пово-
рот этой точки, необходимо определить положение центра
О и найти величину радиуса вращения R.

Фронтальная проекция центра вращения находится в

точке пересечения перпендикуляра, опущенного из точки
А" на фронтальную проекцию фронтали f"	П /")

По фронтальной проекции О" определяем ее горизон-
тальную проекцию О'.

Величина радиуса вращения равна длине отрезка О А,

которая определяется с
помощью построения пря-
моугольного треугольника
А"О"А0 (см. § 6, рис. 25).

Зная величину радиуса
вращения |7?|, определяем
положение Д(. Для нахож-
дения А'{ из точки О", как
из центра, проводим дугу
радиуса R и отмечаем точку
пересечения этой други с
перпендикуляром, опущен-
ным из точки А” на По-
лученная точка сов-
местно с точками 1" и
2" определяет плоскость
«11 |л2.

Угол между прямыми
(4J, /") и (Д'(, 2")-ис-
комый
§ 8.	МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

При решении задач необходимо руководствоваться сле-
дующими рекомендациями:

1.	Вначале по данным проекциям геометрических фи-
гур, составляющим исходные данные задачи, представить
их форму и взаимное расположение в пространстве как по
отношению друг к другу, так и относительно плоскостей
проекций. -

2.	Затем наметить «пространственный» план решения
задачи и установить последовательность выполнения геоме-
трических операций, при помощи которых может быть по-
лучен ответ на поставленную задачу*.

3.	И лишь после этого приступить к геометрическим по-
строениям, используя теоремы и правила ортогонального
проецирования**.

При выполнении первых двух пунктов полезно устано-
вить также возможное число решений и выявить причины,
от которых они зависят.

Возможен и другой путь решения задачи, основанный на
использовании так называемой «эпюрной техники». Он со-
стоит в том, что, познакомившись с условиями задачи, ус-
танавливают, к какому типу она относится, после этого
приступают к геометрическим.построениям, определяемым
алгоритмом решения задач этого типа.

Предпочтение следует отдать первому — «пространст-
венному» пути решения, который не только позволяет пред-
ставить ответ на поставленную задачу, осуществить анализ
возможных вариантов решений, но и, что не менее важно,
способствует развитию пространственного мышления.

Пользоваться вторым путем можно лишь в тех случаях,
когда не представляется возможным четко определить фор-
му и расположение («игру») геометрических фигур в про-
странстве или если речь идет о решении простых — типовых
задач.

Следует иметь в виду, что графические способы решения
обладают чрезвычайно важным положительным свойством,
заключающимся в том, что, осуществляя геометрические
построения, на любом этапе решения можно контролировать
правильность их выполнения.

* На этой стадии решения следует обращаться к теоремам из
курса стереометрии.

** Реализация п. 3 осуществляется с помощью фрагментов,
изложенных в § 4.
Это особенно ценно, если учесть, что в задачниках по
начертательной геометрии, как правило, отсутствуют от-
веты.

В основе контроля лежат инвариантные свойства парал-
лельного проецирования и теоремы начертательной гео-
метрии (раздела ортогональное проецирование), планимет-
рии и стереометрии.

При графическом решении задачи точность ответа за-
висит не только от выбора правильного пути ее решения,
но и от точности выполнения геометрических построений.
Поэтому, решая задачу, необходимо пользоваться чертёж-
ными инструментами и аккуратно выполнять все геометри-
ческие построения.

Для облегчения «чтения» чертежа, получающегося в
процессе решения, целесообразно применять цветные каран-
даши. Эту же цель преследует обязательное обозначение всех
точек и линий. При этом обозначение следует делать в
процессе решения задачи сразу после проведения линии
или определения точки пересечения линий.

При пользовании задачником изучающий начертатель-
ную геометрию должен помнить, что прежде чем присту-
пить к решению задач, необходимо изучить материал, по-
мещенный в § 2, 3 и 4, повторить теоретическую часть
курса, помещенную в начале главы, и подробно разобрать
приведенные в задачнике примеры решения типовых задач
путем самостоятельного выполнения всех геометрических
построений.
Глава I

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

В инженерной практике для отображения геометриче-
ских фигур на плоскости используется метод проекций.
При этом широкое применение нашел способ прямоуголь-
ного (ортогонального) проецирования на плоскость.

С позиции теории множеств любая геометрическая фи-
гура рассматривается' как множество всех принадлежащих
ей точек.

Очевидно, ортогональной проекцией геометрической фи-
гуры является совокупность ортогональных проекций ее
точек.

§ 9. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ

Проекцией точки является точка (см. с. 13, инвари-
антное свойство 1).

ра

А-^ Аа.

Положение точки А в трехмерном пространстве опреде-
ляется тремя координатами А (х, у, г). При ортогональном
проецировании на две взаимно перпендикулярные плоско-
сти проекции (см. рис. 3 и 4) проекции точки определяются
координатами.

А' (х, у)

.4" (х, г)

(D

Приведенная запись показывает, что положение точки
в пространстве вполне определяется двумя ее проекциями.
Действительно, две проекции точки позволяют определить
все три координаты.

Из записи (I) следуют также важные для практическо-
го использования свойства, состоящие в том, что горизон-
тальная А' и фронтальная А" проекции точки имеют одно
и то же значение абсциссы х, т. е. на эпюре А' и А" при-
надлежат одному перпендикуляру к оси х. Если мы будем
проецировать точку на три взаимно перпендикулярные
плоскости проекции, то получим соответственно три ее
проекции А', А", А'", каждая из которых будет опреде-
ляться координатами:

А' (х, у)
А” (х, г)
А'" (у, г)

(И)

Запись (II) позволяет сделать вывод о том, что не толь-
ко горизонтальная и фронтальная проекции точки принад-
лежат одному перпендикуляру к оси х, но и фронтальная
и профильная проекции точки принадлежат одному перпен-
дикуляру к оси z, а горизонтальная и профильная проек-
ции — одному перпендикуляру к оси у (эти перпендику-
ляры следует рассматривать как проекции проецирующих
лучей на плоскости nlf л2, лз)-

Пользуясь пространственным макетом и зная его пре-
образования в эпюр, легко определить положение на эпю-
ре проекций точек, расположенных в различных октантах
пространства.

Так проекции точки А, принадлежащей первому октан-
ту, располагаются: горизонтальная А' — ниже оси х и ле-
вее оси у, фронтальная А" — выше оси х и левее оси г.
Профильная А'" — выше оси у и правее оси 2.

Проекции точки В, находящейся в восьмом октанте,
располагаются:

В' — ниже оси х и правее оси у,

В" — ниже оси х и правее оси г;

В'" — ниже оси х и правее оси г.

Пример 1. Построить проекции точки А, координаты
которой х — 15 мм, у = 5 мм, г = 25 мм (рис. 27).

Решение. Отмечаем на оси х точку Ах, удаленную
от начала координат на расстояние х = 15 мм.

Через Ах проводим прямую, перпендикулярную к оси
х, на которой откладываем отрезки АХА' и АХА", соответ-
ственно равные 5 и 25 мм. На рис. 27 показано также поло-
жение профильной проекции точки А"', найденное с по-
мощью Л' и Л".
Пример 2. Дана точка А (15, 10, 20), построить проек-
ции точки В, симметричной точке А относительно горизон-
тальной плоскости проекции (рис. 28).

Решение. Точка В, симметричная точке А относи-
тельно плоскости Пд, должна иметь координаты х = 15,
у — 10, z = —20, по этим координатам строим проекции
В', В" и В"'.

ВОПРОСЫ

1.	Значением каких координат определяются горизон-
тальная, фронтальная и профильная проекции точки?

2.	Где по отношению к осям х, у, z располагаются про-
екции точек, находящихся в первом, втором....седьмом,

восьмом октантах?

3.	Где находится горизонтальная проекция точки, при-
надлежащей фронтальной плоскости проекции?

4.	Где находится фронтальная проекция точки, принад-
лежащей горизонтальной плоскости проекции?

5.	В чем отличительная особенность эпюра точки,
принадлежащей биссекторной плоскости: а) II и IV ок-
тантов; б) I и III октантов?

6.	Какие знаки имеет абсцисса точки, расположенной
в первом, третьем, пятом, седьмом октанте?
7.	Какие октанты имеют отрицательное значение оси у?

8.	В каком октанте все координаты точки имеют отри-
цательные значения?

9.	Укажите октанты, в которых две координаты имеют
отрицательное значение?

10.	Какая прямая на эпюре Монжа называется посто-
янной прямой?

11.	Как определить положение координатных осей, ес-
ли известны три проекции точки?

ЗАДАЧИ

1.	Построить горизонталь-
ную и фронтальную проекции
точек по заданным коорди-
натам (табл. 1).

2.	Дана точка А (х = 20,
у = 15, z = 10). Построить
эпюр точки В, симметричной
А относительно горизонталь-
ной плоскости проекции.

3.	Дана точка А (х = 25,

Таблица 1

Точка	Координата		
	X	У	Z
А	20	25	10
В	.5	—15	—20
С	—10	20	15
D	25	10	—25
Е	10	—25	25

у = —15, z = 15). Построить
эпюр точки В, симметрич-
ной А относительно фронтальной плоскости проекции.

4.	Дана точка А (х = 10, у — —20, z = —25). Постро-
ить эпюр точки В, симметричной А относительно оси х.

5.	Дана точка А и фронтальная проекция точки В. В
каком октанте пространства находится точка В, если рас-
стояние между А' и В' равно 30 мм (рис. 29)?

У

Рис. 29

2 Зак. 997

Рис. 30

33
о

Л’о

1ч.

т = 1,5

Пч.
т=1

JU V.
т~2

Рис. 31

Д'°

Рис. 32

Рис. 33

6.	Где расположены точки, проекции которых заданы
на рис. 30?

7.	Построить эпюр точки А, расположенной в указан-
ной четверти, если дана одна из ее проекций и отношение

расстояний от этой точки до плоскостей проекций
(рис. 31...33).

г

У

т

§ 10. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ЛИНИИ

Линия представляет собой непрерывное однопарамётри-
ческое множество точек.

Для построения ортогональной проекции линии необ-
ходимо определить проекции множества точек, составляю-
щих линию.

На практике строят проекции дискретного ряда точек,
принадлежащих линии, одноименные проекции которых
соединяют плавными линиями.

Проекция прямой на плоскость есть прямая, поэтому
для ее построения достаточно определить проекции только
двух нетождественных точек, принадлежащих этой прямой,
и через полученные проекции точек провести прямую.

Пример 3. Построить проекцию прямой а, проходящей
через точку А и параллельной горизонтальной плоскости
проекции (рис. 34).

Решение. На основании, теоремы о параллельности
прямой и плоскости прямая а параллельна плоскости Лц
если она принадлежит плоскости аПл^ Плоскость а —
фронтально проецирующая, при этом foa|| оси х, так как
а _1_ л2, а аса, то а" с. foa (на основании следствие,
вытекающего из тоетьего инварианта).

При построении проекций кривой необходимо знать те
свойства кривой, которые сохраняются при ортогональном
проецировании. К таким свойствам относятся:
1.	Касательные к кривой проецируются в касательные
к ее проекциям.

2.	Несобственным точкам кривой соответствуют несоб-
ственные точки ее проекций.

При проецировании плоских кривых, в дополнение
к отмеченным, будут справедливы следующие свойства:

3.	Порядок проекций алгебраической кривой равен
порядку самой кривой.

4.	Число точек самопересечения проекций кривой рав-
но числу точек самопересечения самой кривой*. Рис. 35
дает представление о проекции пространственной кривой I.

ВОПРОСЫ

1.	Дайте определение пространственной и плоской
кривой.

2.	Что называется порядком алгебраической кривой?

3.	Какие кривые называются монотонными?

4.	Какие прямые называют прямыми общего положе-
ния? В чем отличительные особенности эпюра, на котором
отображена прямая общего положения от эпюра прямых
частного положения?	;

5.	Дайте определение горизонтали, фронтали и укажи-
те -характерные особенности расположения проекций этих
прямых на эпюре Монжа.1

Случай;.1 при котором- кйсател-ьпай проеЦирубТсй в , точку
(свойство .11), -а-плоская кривая в. прямую /(свойства,-. 3. и 4); не
учитывается.	. 1 ;< is. ;. ... , р-..	-
оси

ЗАДАЧ И

8.	Построить проекции отрезка
АВ прямой, если прямая:

а)	общего положения;

б)	параллельна горизонталь-
ной плоскости проекции;

в)	параллельна фронтальной
плоскости проекции;

г)	перпендикулярна горизон-
тальной плоскости проекции;

д)	перпендикулярна фронталь-
ной плоскости проекции;

х.

9.	Построить проекции отрезка АВ, если он:

а)	находится в первой четверти пространства, располо-
жен параллельно плоскости лг и концом А упирается
в плоскость л2;

б)	расположен в третьей четверти, параллелен плоскости
л2 и концом В упирается в плоскость лт;

в)	принадлежит горизонтальной плоскости проекции;

г)	принадлежит биссекторной плоскости второй и чет-
вертой четверти и концом А упирается в ось х.

10.	Прочитать эпюр отрезка АВ (заполнить пропущен-
ное):

а)	[ДВ] находится в (?) четверти пространства, парал-
лелен (?) плоскости проекции, концом А упирается в (?)
плоскость проекции (рис. 36);

б)	[ДВ] находится в (?) четверти пространства, кон-
цом А упирается в (?) плоскость проекции (рис. 37);

в)	[ДВ] находится в (?) четверти пространства, перпен-
дикулярен (?) плоскости проекции, концом А упирается
в (?) плоскость проекции (рис. 38).

Рис. 37

0"

Рис. 38
§ 11. ПРОЕЦИРОВАНИЕ
ПОВЕРХНОСТИ

Раньше было отмечено,
что для получения проек-
ций линии достаточно по-
строить проекции дискрет-
ного множества принадле-
жащих ей точек и соеди-
нить их в определенной
последовательности плав-
ной линией.

Переходя к рассмотре-
нию ортогональных проек-
ций поверхностей, мы об-
наруживаем, что многие
поверхности не могут быть

Рис. 39

заданы совокупностью проекций принадлежащих им точек.
Чтобы задать поверхность на эпюре Монжа, обычно

указывают проекции не всего множества точек или линий,

принадлежащих поверхности, а только некоторых из них,
либо входящих в состав геометрической части определите-
ля поверхности, либо задающих ее каркас. Рис. 39 и 40
показывают задание поверхностей ортогональными проек-
циями фигур, входящих в геометрическую часть определи-
теля поверхности (для наглядности на рис. 39 указаны так-
же некоторые прямолинейные образующие). На рис. 41

Рис. 40

Рис. 41
поверхность а задана проекциями линий, составляющих
каркас поверхности.

Пример 4. Поверхность гиперболического параболоида а
задана прямыми d± — d2 и плоскостью параллелизма л2.
Указать проекции прямолинейных образующих поверх-
ности а (см. рис. 39).

Решение. Так как прямолинейная образующая g,
которая скользит по направляющим d^ и d2, все время
остается параллельной фронтальной плоскости проекции,
то образующие g являются фронталями, поэтому для
построения частной образующей g< необходимо выполнить
следующее:

1)	провести горизонтальную проекцию прямой g!||x;

2)	отметить точки Г и 2', в которых g\ пересекает на-
правляющие d{ и d2;

3)	по точкам Г и 2' найти 1" и 2", которые определяют
фронтальную проекцию g". Аналогично провести g'2, gi, ...
.... gn и найти их фронтальные проекции.

Пример 5. Задать на эпюре Монжа произвольную
поверхность вращения (см. рис. 40).

Решение. Определитель поверхности вращения
имеет вид

ф (g; 0 Ig,• = К. (g)L
геометрическая часть определителя содержит линию g —
образующую и прямую i—ось вращения. Поэтому для за-
дания поверхности вращения достаточно указать проекции
линии g и прямой I.

Чтобы получить удобную для решения задачи проек-
цию поверхности вращения, ось вращения — прямую i
следует взять перпендикулярной к плоскости проекций4.
На рис. 40 i 1 Яр .

В тех случаях, когда закон образования поверхности
достаточно сложный и изменяется при переходе от одного
участка поверхности к другому, целесообразно задавать по-
верхность ее каркасом — двумя семействами (множества-
ми) линий, принадлежащих поверхности.

В частности, одно из множеств линий может состоять из
плоских кривых, принадлежащих пучку параллельных пло-
скостей, а второе множество может включать в себя линии,
каждая йз которых пересекает все линии первого множест-
ва. и не, пересекает нй одной линии второго множества. На
рис. 41. показаны ортогональные проекции поверхности,
заданной каркасом, состоящим и двух семейств (мно-
жеств) линий {gi. ga> > gn) и {filt d2, .... dn).
ВОПРОСЫ

1.	Какие способы задания поверхностей вы знаете?

2.	Что такое определитель поверхности?

3.	Что называется каркасом поверхности?

4.	В чем состоит различие определителей поверхностей:
винтовых, вращения, параллельного переноса?

5.	Чем отличается трубчатая поверхность от цикличе-
ской?

6.	В чем состоит отличие между поверхностями откры-
того и закрытого геликоида?

7.	Что называется меридианом и параллелью поверх-
ности вращения?

8.	Что такое направляющая плоскость и какую роль
она играет при образовании поверхности кинематическим
способом?

9.	Дайте классификацию линейчатых поверхностей, на-
пишите определители для всех групп этих поверхностей.

10.	В чем отличие поверхности цилиндроида от по-
верхности коноида?

11.	Какое смысловое значение вкладывается в алгорит-
мическую часть определителя поверхности с ребром возвра-
та Ф (g, d, S) :	= Sj 6 d]?

12.	Напишите структурную формулу определителя
циклической и трубчатой поверхностей.

13.	В чем состоит отличие поверностей открытого и
закрытого тора?

14.	Что такое порядок алгебраической поверхности и как
можно его определить геометрическим способом?

15.	Перечислите поверхности вращения второго по-
рядка.

16.	Какой порядок имеет поверхность тора?

17.	Дайте определение шага винтовой поверхности.

18.	Какие поверхности называются поверхностями Ка-
талана?	'	।

ЗАДАЧ И

’,.	11. Назовите поверхности, заданные на рис. 42 ... 46,
и напишите определители этих поверхностей.

12. Постройте проекции прямолинейной образующей
поверхности коноида, заданного на рис. 47.

, , 13. Назовите поверхности, образованные вращением
окружности вокруг оси,, принадлежащей плоскости Окруж-
ности, и постройте их ортогональные проекции. 1 ,	,
i*. построите поверхность правого прямого закрытого
геликоида, если известны: шаг цилиндрической винтовой
линии Р = 60 мм и ее радиус R = 20 мм.

15.	Постройте проекции очерковых образующих по-
верхности кругового конуса, ось. которого i параллельна
оси х, вершина удалена от плоскости л3 на расстояние 40 мм,
а радиус окружности — профильного следа конической по-
верхности равен 15 мм (рис. 48).

16.	Поверхность вращения задана осью i и прямолиней-
ной образующей g (рис. 49). Постройте проекции главного
меридиана поверхности. Определите название этой поверх-
ности.

17.	Постройте проекции прямого кругового цилиндра,
если его радиус R = 20 мм, высота ft = 50 мм, а окруж-
ность основания принадлежит профильно проецирующей
плоскости а, равнонаклоненной к плоскостям лх и л2, ось
цилиндра совпадает с прямой т (рис. 50).

18.	Постройте проекции нескольких образующих косой
плоскости, если известно положение ее направляющих
и d2 и плоскости параллелизма а (рис. 51).

19.	Постройте проекции трубчатой поверхности, обра-
зованной движением сферы а, центр сферы перемещается
по гелиссе d (рис. 52).

20.	Постройте проекции прямолинейных образующих
наклонного геликоида, если угол наклона образующих
к плоскости «J равен <р° (рис. 53).

Рис. 44

Рис. 42	Рис. 43
/	i"  . в"	J  *—y-	  A  1 9*	; i*	J  A' |	в'	j  4/	/  Рис. 45  Z  P 	  		A  i<	  У  Рис. 48	к  Л 				-  /  N	У  ri’ Рис. 46  л	^Д-  Сч	h<ix  \	Рис. 47  i"	/  yy x					  0 i'  Рис, 49
z

................................................................. -
Глава II

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
ПРОЕКЦИЙ

Трудоемкость графического решения задачи часто за-
висит не от ее сложности, а от того, какое положение по от-
ношению к плоскостям проекций занимают геометрические
фигуры, входящие в исходные данные.

Действительно, форма и размеры проекций А'В'С и
А"В"С" не позволяют судить о метрических характеристиках
треугольника АВС (рис. 54, а). Для определения длин его
сторон, углов при вершинах и других метрических харак-
теристик необходимо выполнить вспомогательные геоме-
трические построения. Между тем, если бы плоскость тре-
угольника была параллельна какой-либо плоскости проек-
ции, например л2, то фронтальная проекция А"В"С”
(рис. 54, б) могла бы дать ответ на поставленные вопросы
без каких-либо вспомогательных геометрических построе-
ний.

Не только метрические, но и одни и те же позиционные
задачи могут или быть решены очень просто, или требовать
для своего решения большого числа вспомогательных
построений.
Например, чтобы определить точки пересечения прямой
а с поверхностью сферы а (рис. 55, а), достаточно из точ-
ки О" провести фронтальную проекцию, окружности I",
по которой горизонтально проецирующая плоскость у
(у гэ а) пересекает поверхность сферы I = у Q а. Фрон-
тальные проекции искомых точек Ли В определяются
пересечением окружности Г с прямой а".

В то же время решение этой задачи усложняется, если
прямая занимает произвольное положение (рис. 55, б).

В процессе решения многих задач приходится опреде-
лять положение точки пересечения прямой с плоскостью.

Решение этой задачи может быть элементарно простым,
если плоскость или прямая являются проецирующими
(рис. 56, а, б), и может требовать дополнительных геоме-
трических построений, если плоскость и прямая занимают
общее (произвольное) положение относительно плоскостей
проекций (рис. 56, в).
Приведенные примеры показывают, что проекции гео-
метрических фигур могут быть удобными и обеспечивать
простое решение задачи, и неудобными, требующими для
решения той же задачи дополнительных, подчас громозд-
ких, геометрических построений.

Следует иметь в виду, что вид проекций (удобный или
неудобный для решения задачи) при ортогональном прое-
цировании зависит от взаимного расположения проецируе-
мой геометрической фигуры и плоскости проекции.

Для плоских геометрических фигур и прямых наиболее
выгодным положением относительно плоскости проекции'
является параллельность Или перпендикулярность плоско-
стей фигуры или прямой плоскости проекции. Длй геометри-
ческих фигур, ограниченных поверхностями вращений
удобные проекции получаются в случае перпендикулярно-
сти оси вращения какой-либо плоскости проекции.

Начертательная геометрия располагает большим числом
способов преобразования ортогональных проекций, неудоб-
ных для решения задач, в новые проекции, обеспечивающие
более простые решения.

Наибольшее распространение нашли способы, основу
которых составляет изменение взаимного расположения
проецируемой фигуры и плоскостей проекций благодаря
переводу фигуры в частное положение.

Такое преобразование может быть осуществлено двумя
путями:

1.	Переходом от заданной системы плоскостей проекции
к новой, по отношению к которой данная геометрическая
фигура, не меняющая при этом своего положения в про-
странстве, займет частное положение.

2.	Перемещением в пространстве заданной геометриче-
ской фигуры в частное положение, плоскости проекции при
этом преобразовании остаются неизменными.

Первый путь лежит в основе способа замены плоскостей
проекции, второй — составляет теоретическую базу способа
параллельного перемещения.

Рассмотрим в отдельности каждый из этих способов.

§12. СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИИ

Получение новых более удобных проекций достигается'
путем перехода от заданных плоскостей проекции к новым.

Положение новых плоскостей проекции следует выби-
рать так, чтобы по отношению к, ним проецируемая фигура
заняла частное положение.

Необходимо помнить, что переход от заданной системы
гс» '	и ri.	»

х — к новой х2 — можно осуществить по одной из следую-
щих схем:

т v . v	щ ,

1 а , Л 	' <’ Aj ——	Л2	1

Л3	Л3

• и. х	... ” . .,

 - i	:	' '«! 1 " я*  '	 - \

1-1',-'	'	• . ;	С> J ) i - \ ' • '.

Из схем 1,и II видно, что. одновременно допускается за-
менять только одну плоскость. Это обеспечивает неизмен-
4(5
ность одной из проекций, кото-
рая выполняет функции связую-
щего звена между новой и ис-
ходной проекциями.

Примеры 6 . 9 иллюстри-
руют применение способа заме-
ны плоскостей проекций для
перевода геометрических фигур
из общего положения в частное.

Пример 6. [Л В] перевести
в положение, параллельное
фронтальной плоскости проек-
ции (рис. 57).

Решение. Горизонталь-
ная проекция отрезка пря-
мой, параллельная фронталь-
ной плоскости проекции, па-

раллельна оси х, поэтому новую ось следует провести
параллельно горизонтальной проекции отрезка А'В'. Так
как в новой системе плоскостей проекций л3 JL и для

получения проекции на плоскость л3 используется орто-
гональное проецирование, то линии связи, соединяющие
точки старой горизонтальной и новой фронтальной проек-
ции, перпендикулярны к новой оси

При замене плоскости л2 новой плоскостью л3 пло-
скость Л1 осталась без изменения, не менял своего положе-

ния и 1ЛВ], т. е. аппликаты концов отрезка в старой х —
ni
и новой Xj системах плоскостей проекций одинаковы. По-
этому удаление концов отрезка Ai и В]' от новой оси xt
равно расстоянию между точками А", В" и старой осью х.

Для построения новой фронтальной проекции A'{Bi
из точек А' и В' опускаем перпендикуляры на ось Xj —
(Л'ЛЖ1) и (B'BXl); от точек Ах, и ВХ1 откладываем на этих
перпендикулярах отрезки (Л Х,АЦ и [ВЖ1В'(], соответствен-
но равные расстояниям, на которые точки Л" и В" удале-
ны от оси х.

Указанные отрезки следует откладывать от оси хг в
ту сторону, при которой MjBJ в новой системе плоскостей
проекций оставался бы в первой четверти пространства.

Пример 7. (CD] перевести в горизонтально проецирую-
щее положение (рис. 58).
22.	Построить проекции точек А, В и С в новой системе
плоскостей проекций (рис. 62 ... 64).

23.	Заменить фронтальную плоскость так, чтобы точка
А была удалена от новой плоскости л3 на расстояние 25 мм
(рис. 65).

24.	Заменить плоскость проекции так, чтобы /\АВС
спроецировался на новую плоскость в отрезок прямой
(рис. 66).

25.	Заменой плоскостей проекции перевести [ЛВ] в
горизонтально проецирующее положение (рис. 67 ... 69).

26.	Построить следы плоскости а в новой системе пло-
скостей проекций (рис. 70, 71).

27.	Заменить плоскость проекции и построить новый
след плоскости а так, чтобы в новой системе плоскость а
заняла горизонталь проектирующее положение (рис. 72,
73).

28.	Заменить плоскость проекции и построить новый
след плоскости р так, чтобы в новой системе плоскость Р
заняла фронтально проецирующее положение (рис. 74, 75).

29.	Заменить плоскости проекции так, чтобы в новой си-
стеме плоскостей проекции плоскость, заданная парал-
лельными прямыми тип, заняла горизонтально проеци-
рующее положение (рис. 76, 77).

30.	Заменить плоскость проекции так, чтобы в новой
системе плоскостей проекций плоскость, заданная прямыми
k и /. заняла фронтально проецирующее положение (рис. 78,
79).

31.	Заменить плоскость проекции и определить новые
фронтальные следы плоскостей аир, если эти плоско-
сти перпендикулярны к новой фронтальной плоскости
(рис. 80).

32.	Определить заменой плоскостей проекции положе-
ние центра тяжести треугольника АВС (рис. 81).

33.	Заменой плоскостей проекций определить центр
окружности, вписанной в ДЛВС (рис. 82).

34.	Заменить плоскость проекции так, чтобы плоскость
общего положения, заданная точками А, В, С, заняла по-
ложение, параллельное горизонтальной плоскости проек-
ции (рис. 83).

35.	Определить вид и размеры пятиугольника ABCDE
(рис. 84)



в"
§ 13. СПОСОБ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

В способе параллельного перемещения, в отличие от
рассмотренного способа замены плоскостей проекций, пе-
ремещению подвергается геометрическая фигура, плоскости
проекции при этом остаются без изменения. Перевод фигу-
ры из общего положения в частное осуществляется путем
ее движения.

Закон движения состоит в том, что все точки фигуры пе-
ремещаются по траекториям, расположенным в параллель-
ных плоскостях (отсюда и произошло название способа).

В частности, траекториями перемещения точек могут
служить окружности, центры которых принадлежат одной
прямой — оси вращения. Этот частный случай называют
способом .вращения.

В свою очередь, в зависимости от расположения оси
вращения по отношению к плоскостям проекций различают:
а) вращение вокруг оси, параллельной плоскости про-
екций, — вращение вокруг главных линий (в частном слу-
чае, совмещение — вращение вокруг следа плоскости);

б) вращение вокруг оси, перпендикулярной, плоскости
проекций.

Каждому из отмеченных вариантов способа параллель
ного перемещения соответствуют определенные геометри.
ческие построения, характер и последовательность выпол-
нения которых иллюстрируются следующими примерами.

Параллельное перемещение

Пример 10. Точку А перевести в положение А! (15;
10) путем ее перемещения параллельно горизонтальной пло-
скости проекции (рис. 85).

Решение. Перемещение точки А может происходить
по произвольной плоской линии, принадлежащей плоско-
сти у, параллельной плоскости проекции. Поэтому гори-
зонтальную проекцию траектории перемещения можно не
показывать. Фронтальная проекция перемещение точки —
прямая, совпадающая со следом fOv. На основании сказан-
ного для определения, проекции нового положения, точки At
выполняем следующие построения:

отмечаем горизонтальную проекцию А{ точки Alt уда-
ленную от оси. у. на 15 мм, а от оси х на 10 мм.
Для нахождения фронтальной проекции точки из Ai
восставляем перпендикуляр к оси х и продолжаем его
до пересечения с горизонтальной прямой, проведенной че-
рез точку А".	,		.

Пример 11. [ЛВ] перевести в положение, параллельное
фронтальной плоскости проекции (рис. 86).

Решение. В свободном месте передней полы гори-
зонтальной плоскости проекции проводим [Л.;В{] = [Л'В']
и параллельный оси х. Для нахождения новой фронтальной
проекции отрезка Л1В1 поступаем как и в предыдущем при-
мере: из концов отрезка А1В1 восставляем перпендикуляры
и отмечаем точки их пересечения с соответствующими пря-
мыми, параллельными оси х, проведенными через точки Л"
и В".

Пример 12. [СП] перевести во фронтально-проецирую-
щее положение (рис. 87).

Решение. Перевод отрезка, произвльно располо-
женного в пространстве, в проецирующее положение может
быть осуществлен с помощью двух перемещений: в резуль-
тате первого перемещения отрезок должен занять положение,
параллельное плоскости проекции, вторым перемещением
его переводят в проецирующее положение. На рис. 87
[СО] вначале переведен в положение	путем пе-

ремещения его параллельно я2, затем перемещением па-
раллельно отрезок переведен в положение [С2О2] J_ л2.

Пример 13. Плоскость а, заданную следами,, перевести
в горизонтально проектирующее положение (рис. 88).

Решение. Фронтальный след горизонтально прое-
цирующей плоскости перпендикулярен оси х. Поэтому для
построения плоскости ах _1_ следует из произвольной
точки а £ х восставить перпендикуляр к этой оси /Оао
чтобы провести горизонтальный след hOai, воспользуемся
фронталью f плоскости а, которую, как и фронтальный след
плоскости, переведем в горизонтально проецирующее поло-
жение Д. Расстояние d между fOa и /" в исходном и в преоб-
разованном положениях равны между собой |/Ocj" | ==
= 1/оаЛ I-

Зная положение f\, находим fj; точки а1Х и опреде-
ляют положение горизонтального следа hOai.

Пример 14. Плоскость треугольника АВС перевести в
положение, параллельное фронтальной плоскости проекции
(рис. 89).

Решение. Перевод плоскости, произвольно распо-
ложенной в пространстве, в положение, параллельное пло-
скости проекции, осуществляют в два этапа: на первом —
плоскость переводят в положение, перпендикулярное к од-
ной из плоскостей проекции; на втором — ее переводят в
положение, параллельное другой плоскости.
На рис. 89 ДДВС вначале перемещением параллельно
плоскости л2 переведен в горизонтально проецирующее по-
ложение Д1В1С1, затем перемещением параллельно
переведен в положение А2В2С2Цп2.

ЗАДАЧИ

36.	[ДВ] перевести в положение, параллельное гори-
зонтальной плоскости проекции (рис. 90 ... 92).

37.	[ДВ] перевести в положение, параллельное фрон-
тальной плоскости проекции (рис. 93 ... 95).
Рис. 102	Рис. 103	Рис. 104

38.	1АВ] перевести в горизонтально проецирующее по-
ложение (см. рис. 90 ... 92).

39.	[Л В] перевести во фронтально проецирующее поло-
жение (см. рис. 93 ... 95).

40.	Плоскость а перевести в горизонтально проецирую-
щее положение (рис. 96 ... 98).

41.	Плоскость а перевести во фронтально проецирую-
щее положение (см. рис. 96 ... 98).

42.	Плоскость, заданную прямыми тип, перевести в
горизонтально проецирующее положение (рис. 99 ... 101).

43.	Плоскость, заданную прямыми тип, перевести во
фронтально проецирующее положение (см. рис. 99 ... 101).

44.	Плоскость треугольника АВС перевести в положе-
ние, параллельное горизонтальной (рис. 102) и фронталь-
ной (рис. 103) плоскостям проекций.
Рис. 105

Рис. 106

45.	Прямые (АВ) и (CD) перевести в новое положение,
при котором их фронтальные проекции окажутся параллель-
ными между собой (рис. 104).

46.	Плоскости а и (3 перевести во фронтально про-
ецирующее положение (см. рис. 80).

§ 14.	ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ
К ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИИ

Пример 15. [ДВ] перевести в положение, параллельное
горизонтальной плоскости проекции (рис. 105).

Решение. Перевод отрезка в положение, параллель-
ное плоскости jTj, может быть осуществлен путем вращения
его вокруг оси i J_ л2. Чтобы упростить графические по-
строения, ось вращения проведем через конец отрезка А.
В этом случае при вращении отрезка точка А останется на
месте, а конец отрезка В будет перемещаться по дуге ок-
ружности, принадлежащей плоскости у JL I. Так как
Т||лг, то на плоскость п2 дуга окружности спроецируется
без искажения в дугу B"B"i, а на плоскость в отрезок пря-
мой, параллельный оси х ([В'В[]).

Пример 16. [CD] перевести в положение, перпендику-
лярное к плоскости «1 (рис. 106).
Решение. На рис. 106 [CD1 вращением вокруг оси
й (й 3D и | nJ переведен в положение DCj, параллель-
ное плоскости л2, затем вращением вокруг оси i2 (г2 Э Сг
и t2 J_ л2) отрезок переведен в положение перпенди-
кулярное плоскости л,.

ЗАДАЧИ

47.	Повернуть точку А на угол 90° по направлению дви-
жения часовой стрелки:

а)	вокруг горизонтально проецирующей оси т (рис. 107);

б)	вокруг фронтально проецирующей оси п (рис. 108).

48.	[ЛВ] повернуть на угол 120° по направлению дви-
жения часовой стрелки:

а)	вокруг горизонтально проецирующей прямой т
(рис. 109);

б)	вокруг фронтально проецирующей прямой п (рис. 110).

49.	Последовательным вращением вокруг осей, перпен-
дикулярных к плоскостям проекций, повернуть [ЛВ1 в
положение, перпендикулярное к плоскости л3 (рис. 111).

50.	Повернуть плоскость, заданную треугольником
ЛВС, вокруг оси т на угол 45° (рис. 112).

51.	Повернуть точку Л вокруг оси т до совмещения с
плоскостью а (рис. 113).

52.	Вращением вокруг оси перевести плоскость а во
фронтально проецирующее положение (рис. 114).

53.	Вращением вокруг оси перевести плоскость Р в го-
ризонтально проецирующее положение (рис. 115).

Рис. 120

54.	Вращением вокруг оси перевести [ЛВ] в положение
параллельное плоскости rij (см. рис. 111).

55.	Вращением вокруг оси перевести [<7Е>1 в положение,
параллельное плоскости л2 (рис. 116).

56.	Плоскость, заданную пересекающимися прямыми
а и Ь, вращением вокруг оси перевести в проецирующее по-
ложение (рис. 117).

57.	Определить фронтальную проекцию точки Л, зная,
что при вращении вокруг заданной оси m точка окажется
на прямой а (рис. 118).

58.	Повернуть вокруг оси т точку Л до ее совмещения
с плоскостью а (рис. 119).

59.	[Л23] повернуть около горизонтально проецирующей
прямой так, чтобы горизонтальная и фронтальная проекции
отрезка АВ заняли положение, параллельное друг другу
(рис. 120).

60.	Последовательным вращением треугольника АВС
вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекции,
перевести его в положение, параллельное горизонтальной
плоскости проекции (см. рис. 102).

§ 15. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ
ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИИ (ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ
ГЛАВНЫХ ЛИНИЙ ПЛОСКОСТИ)

Пример ,17. [ЛВ] вращением вокруг горизонтали h пе-
ревести в положение, параллельное плоскости гц (рис. 121).

Решен и е. Точка А принадлежит оси вращения, по-
этому для перевода отрезка АВ в положение, параллельное
плоскости лх, достаточно повернуть вокруг оси h только
одну точку В (см. рис. 121). Чтобы найти положение точки
В1г в которое перейдет точка В после поворота вокруг го-
ризонтали, необходимо:

определить положение центра вращения О и

величину радиуса вращения R. Вращение точки В бу-
дет происходить по дуге окружности, плоскость которой
принадлежит плоскости у X h. Центр вращения определя-
ется точкой пересечения hOy f) h'. Величина радиуса вра-
щения равна гипотенузе треугольника В'О'В0, у которого
катет В'Вй равен разности расстояний концов отрезков
О"В" от оси х.

Из точки О' проводим дугу радиусом О'В0 и отмечаем
точку ее пересечения с hOy. [В;Л'1— горизонтальная, а
[В'1 А"] — фронтальная проекции отрезка, параллельного

«

Пример 18. Плоскость треугольника АВС перевести в
положение, параллельное горизонтальной плоскости проек-
ции (рис. 122).

Решение. Перевод плоскости а общего положения в
положение аЛ |nj можно осуществить путем вращения пло-
скости а вокруг ее горизонтали.. На рис. 122 показан пово-
рот плоскости а вокруг горизонтали h. Точки Ли/, при-
надлежащие оси п, при
вращении, останутся на
месте, поэтому для пово-
рота плоскости а в новое
положение достаточно по-
вернуть только одну точку,
не принадлежащую прямой
h. В качестве такой точки
на рис. 122 взята вершина
треугольника В. При вра-
щении точка В перемеща-
ется по дуге окружности,
принадлежащей плоскости
у J_ h. Центр окружности
О принадлежит оси h. Ве-
личина радиуса окружно-
сти равна расстоянию ме-
жду точками О и В. На
рис. 122 величина опреде-
лена длиной гипотенузы

треугольника О'В'Во, в котором катет В'Вй равен разности
удаления концов отрезка ОВ от плоскости Пр

Принимаем точку О’ за центр окружности I радиуса R.
Точка В{, в которой дуга окружности I пересекает след
hOv, является искомой. Новое положение вершины С1
определяется пересечением перпендикуляра, опущенного
из С' на h', с прямой В!Г.

Пример 19. Плоскость треугольника АВС перевести в
положение, параллельное л2 (рис. 123).

Решение. Решение этой задачи аналогично преды-
дущей. Отличие состоит лишь в том, что за ось вращения
следует-принять фронталь плоскости треугольника. Пока-
занные на рис. 123 построения выполняются в следующей
последовательности:

1.	Проводим фронталь f (ось вращения).

2.	Находим положение центра вращения. Для этого
через В" проводим /0? _1_ /" и находим О" = /Оу П f"

3.	Определяем величину радиуса вращения R для точ-
ки В.

4.	Отмечаем положение точки В\ (В\ — I

5.	Проводим прямую В"/" и на ней находим точку С{
(с-с; jl /").	.

6.	Точки B’i и С{ соединяем с точкой А" =s А"
ЗАДАЧИ

61.	Повернуть точку А вокруг горизонтали h до совме-
щения с горизонтальной плоскостью а (рис. 124).

62.	Повернуть точку В вокруг фронтали f до ее совме-
щения с фронтальной плоскостью р (рис. 125).

63.	Повернуть [АВ] вокруг фронтали / Э А до совме-
щения его с фронтальной плоскостью а (рис. 126).

64.	Плоскость, заданную параллельными прямыми а
и Ь, повернуть' вокруг ее горизонтали до положения, па-
раллельного плоскости лх (рис. 127).

65.	Плоскость, заданную пересекающимися прямыми
т и п, повернуть вокруг ее фронтали до положения, парал-
лельного плоскости л2 (рис. 128).

66.	Определить центр окружности, вписанной в ДАВС.
Задачу решить вращением вокруг горизонтали треугольни-
ка АВС (рис. 129).

§ 16. СОВМЕЩЕНИЕ (ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ СЛЕДА
ПЛОСКОСТИ)

При совмещении за ось вращения принимается след пло-
скости Плоскость вращают до совмещения с плоскостью
проекции, которой принадлежит след, взятый за ось вра-
щения. Так как ось вращения принадлежит плоскости про-
екции, то для нахождения совмещенного положения пло-
скости достаточно определить совмещенное положение все-
го лишь одной точки, принадлежащей плоскости и не ле-
жащей на оси вращения. В качестве такой точки целесо-
образно брать точку, принадлежащую другому следу пло-
скости .

Пример 20 показывает характер геометрических по-
строений, которые необходимо выполнить для совмещения
плоскости общего положения с плоскостью проекции.

Пример 20. Плоскость а совместить в плоскостью про-
екций (рис. 130).

Решение. На рис. 130, а плоскость а совмещена с
горизонтальной, а на рис. 130,6 — с фронтальной пло-
скостью проекции.

Для определения положения фронтального следа, сов-
мещенного с плоскостью лъ взята точка 1, принадлежащая
этому следу.

Точка 1 при вращении вокруг следа /iOa перемещается по
дуге окружности, принадлежащей плоскости у _L /гОа;
[аж7") с foa проецируется без искажения. Также без ис-
кажения будет проецироваться и [аж/3] cz fOat. Поэтому
принимаем точку ах за центр окружности I радиуса R =
= |ах/"| и отмечаем точку в которой I |~| hOv.

Точки ах и определяют положение фронтального сле-
да плоскости а в положении, совмещенном с плоскостью

На рис. 130, б плоскость а совмещена с плоскостью л2-
Положение совмещенного следа hOai, как и в предыдущем
случае, определено с помощью точки 1. Отличие состоит
лишь в том, что точка ] взята на горизонтальном следе пло-
скости а.

На рис. 130, а показано определение точки А £ а в сов-
мещенном положении Xj по известным ее ортогональным
проекциям Л' и Л". На рис. 130, б решена обратная зада-
ча — имея совмещенное положение точки С а, нашли
ее ортогональные проекции. В обоих случаях использова-
лись главные линии — фронталь f на рис. 139, а и горизон-
таль h на рис. 130, б.

ЗАДАЧИ

67. Совместить плоскость а с горизонтальной плоско-
стью проекции и найти совмещенное положение точки А £ а
(рис. 131 ... 135).
68.	Совместить плоскость а с фронтальной плоско-
стью проекции и найти совмещенное положение точки A Q а
(см. рис. 131 ... 135).

69.	Точку А £ а совместить с горизонтальной плоско-
стью проекции, не совмещая плоскость а (см. рис. 133,
134).

70.	Точку А £ а совместить с фронтальной плоскостью
проекции, не совмещая плоскость а (см. рис. 133, 134).

71.	Построить фронтальный след [Оа плоскости а, если
известно, что угол в пространстве между следами fOa и hOa
равен 45° (рис. 136).

72.	Построить горизонтальный след /iop плоскости р,
если известно, что угол в пространстве между следами /гОр
и /оР равен 60° (рис. 137).

73.	Построить проекции отрезка Л В сд а, если известно
совмещенное положение отрезка на плоскости (рис. 138).

74.	Построить проекции треугольника АВС ед а, если
известно его совмещенное положение с плоскостью л2
(рис. 139).

75.	Даны плоскость а и точки О£ а. Построить проек-
ции окружности, принадлежащей плоскости а, с центром
в точке О и радиусом R — 15 мм (рис. 140).

76.	Построить проекции окружности сс а, если из-
вестны положение следов плоскости и совмещенное с фрон-
тальной плоскостью проекции положение окружности ct
(рис. 141).

77.	Построить в плоскости общего положения окруж-
ность, касательную к ее следам (см. рис. 133, 134).

78.	Пересечь параллельные прямые а и b двумя па-
раллельными прямыми тип так, чтобы получился квадрат
(рис. 142).
A

Рис. 136

Рис. 137
Г л а в a III

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Позиционными называются задачи, решение которых
позволяет получить ответ о принадлежности элемента
(точки) или подмножества (линии) множеству (поверх-
ности.)

К позиционным относятся также задачи на определение
общих элементов, принадлежащих различным геометричес-
ким фигурам.

Первая группа задач может быть объединена под общим
названием задачи на принадлежность (инцидентность).
К ним, в частности, относятся задачи на определение:

а)	принадлежности точки линии (А £ I) =^= ?;

б)	принадлежности точки поверхности (А £ а) = ?;

в)	принадлежности линии поверхности (/са) = ?.

Прототипом каждой из отмеченных задач этой группы
являются соответственно задачи на построение:

а)	А £ 1\

б)	А С

в)	/ с а,

Ко второй группе относятся задачи на пересечение. Эта
группа содержит также три типа задач:

а)	пересечение линии с линией (т П п) — ?;

б)	пересечение поверхности с поверхностью (а П Р) =?;

в)	пересечение линии с поверхностью (т П а) = ?.

ЗАДАЧИ НА ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ

При решении задач этой группы используются следствия,
вытекающие из третьего инварианта параллельного прое-
цирования:

I.	А£1^(А'£Г) АИ"С/")

II.	А£ I cz А с: а
При этом, если выясняется вопрос о принадлежности
точки линии или решается задача типа «а» на построение,
то достаточно использовать только следствие I. Следует
иметь в виду, что если линия, в частном случае прямая, за-
нимает произвольное положение по отношению к плоско-
стям проекции, то решение может быть получено в системе
горизонтальной и фронтальной плоскостей проекции (см.
пример 21).

В случае, когда плоская кривая или прямая принадле-
жит плоскости, перпендикулярной к оси х, для решения сле-
дует пользоваться профильной плоскостью проекции (см.
пример 22).

§ 17.	ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ ЛИНИИ

Пример 21. На данной кривой / указать произвольную
точку А, принадлежащую этой кривой (рис. 143).

Решение. На основании следствия I, вытекающего

из третьего инварианта, /' и А" € Г. Известно также,
что А' и Л" принадлежат одной линии связи, перпендикуляр-
ной к оси х. Поэтому на какой-либо проекции линии I от-
мечаем произвольную точку А, обозначаем ее тем же индек-
сом, какой имеет проекция линии I. На рис. 143 точка А
взята на горизонтальной проекции линии I. Для определе-
ния А" через точку А' про-

водим прямую, перпендику-
лярную к оси х, и отмечаем
точку пересечения ее с фрон-
тальной проекцией линии /"
Пример 22. Указать горизонтальную проекцию точки С
по данной ее фронтальной проекции С", если известно, что
точка С£ [ЛВ] (рис. 144).

Решение. Как видно из чертежа; сразу указать по-
ложение точки С на А'В' не представляется возможным.
Для решения задачи воспользуемся профильной плоско-
стью проекции, на которой строим проекцию отрезка А'"В"',
и на ней отмечаем профильную проекцию С'". Зная С'",
находим С'. Необходимые геометрические построения яс-
ны из чертежа и не нуждаются в пояснении.

ЗАДАЧ И

79.	Определить, какая из данных точек А, В, С принад-
лежит прямой т (рис. 145, 146).

80.	Найти на прямой, заданной отрезком АВ, проекции
точки С С [ЛВ], если известна ее горизонтальная (рис. 147)
и фронтальная (рис. 148) проекции.

81.	Указать проекции точки А £ т, для которой z — Зу
(рис. 149).

82.	На прямой пг указать точку А, равноудаленную от
плоскостей nJ и л, (рис. 150).

83.	На прямой т указать точку А, удаленную от плос-
кости на расстояние 20 мм, и точку В, расстояние до кото-
рой от фронтальной плоскости равно 15 мм (рис. 151).

Рис. 145

в" >

Рис. 146

с'i

в'ъ

Рис. 147
84.	Указать проекции точки С £ [ЛВ]
координат: ~ т (рис. 152, 153).

с соотношением

§ 18.	ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ ПОВЕРХНОСТИ

При составлении алгоритма решения задач типа «б» и
«в» первой группы (см. стр. 71) следует базироваться на
следствие, вытекающее из третьего инварианта:

Л € ₽ <н. (Л'€/'с= ₽') Д (Л" €/" с р")
Рис. 154

т. е. для того чтобы на чертеже поверхности указать проек-
ции принадлежащей ей точки, необходимо вначале построить
проекции какой-либо линии, принадлежащей поверхности,
а затем на этой линии выделить точку.

В качестве линии, как правило, выбирается образующая
поверхности. Если поверхность может быть получена обра-
зующей различной формы, то предпочтение следует отдавать
наиболее простым и удобным для построения линиям: ок-
ружностям для поверхностей вращения; прямым — для
линейных поверхностей, в частности, для плоскости целе-
сообразно использовать линии уровня.

Пример 23. Построить горизонтальную проекцию точки
А, принадлежащей поверхности вращения а, если известна
ее фронтальная проекция А" (рис. 154).

Решение. 1. Через заданную фронтальную проек-
цию точки проводим фронтальную проекцию окружности
принадлежащей поверхности а.

2.	Строим горизонтальную проекцию V этой окружности.

3.	На V отмечаем А'.

Окружность I следует рассматривать как сечение по-
верхности а плоскостью у, перпендикулярной к оси враще-
ния i (Г cz /0?).
Длина отрезка 0'7" укажет величину радиуса окружно-
сти Г. На Г отмечаем Д'. Линия A'A" J_ х.

Пример 24. На конической поверхности а (рис. 155)
указать точку А £ а, удаленную от фронтальной плоскости
проекции на расстояние 20 мм.

Решение. Проводим плоскость у| |л2 и удаленную от
л2 на заданное расстояние 20 мм. На конической поверхнос-
ти а отмечаем произвольную прямолинейную образующую
g (ё'> ё'')- Точка пересечения h07 П g’ укажет горизонталь-
ную проекцию А' искомой точки А, по А' находим А". Сле-
дует иметь в виду, что данная задача имеет бесчисленное
множество решений — любая точка отрезка 2'3’ может
быть принята за горизонтальную проекцию точки, удовлет-
воряющей условию поставленной задачи.

ЗАДАЧИ

85.	Даны точка А и плоскость а. Выяснить, принадле
жит ли точка А этой плоскости? (рис. 156... 162).

86.	Определить недостающие проекции точек, принадле-
жащих плоскости а (рис. 163... 167).

87.	По данной фронтальной проекции А"В"С” треуголь-
ника АВС с а построить его горизонтальную проекцию
(рис. 168, 169).

88.	По данной горизонтальной проекции А'В'С тре-
угольника АВС ст а построить его фронтальную проекцию
(рис. 170...172).

89.	По данной горизонтальной проекции А'В'С тре-
угольника ABC ст а построить его фронтальную проекцию,
не пользуясь профильной плоскостью проекции (рис. 173).

90.	В плоскости а указать точку А, удаленную от плос-
кости jij на расстояние 20 мм (рис. 174, 175).
Рис. 168

Рис. 169
91.	Через точку А провести произвольную горизон-
тально проецирующую плоскость (рис. 176).

92.	Через точку А провести плоскость, параллельную
оси х (см. рис. 176).

93.	Построить горизонтальную проекцию точки А, при-
надлежащей поверхности вращения, заданной проекциями
оси i и образующей g (рис 177, 178).
94.	Построить горизонтальную проекцию точки А и
фронтальную проекцию точки В, принадлежащих косой
плоскости, заданной направляющими dx и d2 и плоскостью
параллелизма а (рис. 179).

95.	Построить горизонтальную проекцию точки А и
фронтальную проекцию точки В, принадлежащих кони-
ческой поверхности а (рис. 180, 181).

96.	Построить горизонтальную проекцию точки А, при-
надлежащей цилиндрической поверхности а (рис. 182).
Рис. 186

Рис. 187

97.	На поверхности коноида, заданного кривой dlt пря-
мой d2 и плоскостью параллелизма а, указать произволь-
ную точку, удаленную от горизонтальной плоскости про-
екции л, на 25 мм (рис. 183).

98.	На поверхности сферы а указать точку А, удален-
ную от плоскостей и л2 на расстояние z = 300 мм и у =
= 20 мм (рис. 184).

99.	Построить фронтальную проекцию точки А, принад-
лежащей поверхности с ребром возврата, если известна ее
горизонтальная проекция (рис. 185).
100.	Построить недостающие (горизонтальную А' и
фронтальную В") проекции точек А и В, принадлежащих
поверхности закрытого наклонного геликоида (рис. 186).

101.	Построить проекции точки Л, принадлежащей по-
верхности прямого закрытого коноида, если известно, что
эта точка удалена от оси поверхности на расстояние 10 мм и
от плоскости л2 на расстояние 20 мм (рис. 187).

§ 19. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ

Построение линии, принадлежащей поверхности, прин-
ципиально не отличается от построений, которые необходи-
мо выполнить для определения проекций точки, принадле-
жащей поверхности (см. примеры 23, 24). Различие состоит
лишь в том, что определяются проекции не одной, а п то-
чек, принадлежащих линии.

Пример 25. Построить фронтальную проекцию кривой
I, принадлежащей поверхности однополостного гипербо-
лоида а, заданного направляющими dt и d2 и плоскостью па-
раллелизма р, если известна горизонтальная проекция кри-
вой I' (рис. 188).

Решение. Поверхность а представляет множество
точек, а линия I, принадлежащая поверхности а, является
подмножеством этого множества, поэтому для соблюдения
условия I сс а необходимо, чтобы каждый элемент (точка)
подмножества I принадлежал множеству а. Для обеспече-
ния этого условия необходимо, чтобы любая точка At £ I
принадлежала линии gt с а. Решение сводится к следую-
щему:

1.	На горизонтальной проекции поверхности проводим
горизонтальные проекции семейства прямолинейных обра-
зующих gj, g2, g3, gj, gs параллельно hoP.

2.	Находим фронтальные проекции этих образующих
g'i, g2, g'i g'i gs-

3.	Отмечаем точки Г, 2', 3', 4', 5', в которых горизон-
тальная проекция кривой Г пересекает горизонтальные про-
екции образующих gj, g2, g3, bi gi

4.	Находим фронтальные проекции точек 1", 2", 3", 4",
5" на соответствующих фронтальных проекциях образую-
щих g'j, gjj, g3, g'i g'i соединив их плавной кривой, получим
искомую фронтальную проекцию I" кривой I с а.

ЗАДАЧИ

102.	Построить горизонтальную проекцию прямой аса
(рис. 189).

103.	Через точку А, принадлежащую плоскости сс, про-
вести горизонталь этой плоскости (рис. 190).

104.	Определить фронтальную проекцию прямой b с а,
если известна горизонтальная проекция Ь’ (рис. 191).

105.	Построить горизонтальную проекцию кривой I,
принадлежащей поверхности вращения, заданной образую-
щей g и осью i, если известна ее фронтальная проекция I"
(рис. 192).
106.	Построить фронтальную проекцию кривой I, при-
надлежащей поверхности цилиндроида, если известна гори-
зонтальная проекция кривой (рис. 193).

ЗАДАЧИ НА ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

Решение этой группы задач, как й в предыдущем случае,
осуществляется с помощью алгоритмов, при составлении ко1-
торЫх используется известное положение

(Л g I с. а) 4=> A cz а

а также инвариант 4:

(К=аА&)=>(К'=а'ПИ-

Если точка Л есть результат пересечения линии а и Ь,
то К' есть проекция точки /С, являющейся точкой пересече-
ния проекций линий а' и Ь'.

Рассмотрим примеры составления алгоритмов решения
задач на пересечение геометрических фигур.	'

§ 20.	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЛИНИЙ

Пример 26. Показать на эпюре две произвольные пере-
секающиеся кривые тип (рис. 194).
Решение. Пусть К. = т fin, тогда /С £ пг иК£п.
Из условия принадлежности К £ т К,' С т' и К" G tn",
так как К € п, то Л' G п' и К." € п" • Для того чтобы т П п, не-
обходимо, чтобы К' и К" принадлежали одному перпенди-
куляру к оси х. На рис. 194 показаны пересекающиеся кри-
вые тип.

Пример 27. Данную кривую I пересечь горизонталью h,
проходящей через точку А (рис. 195).

Решение. Через А" проводим фронтальную проек-
цию горизонтали Д" 11 оси х. Отмечаем точку К." = h" ("] I".
Находим К' Q I'• Точки К.' и А' определяют горизонталь-
ную проекцию горизонтали h.

ЗАДАЧИ

107.	Пересечь прямую, заданную отрезком АВ, прямой
т, Проходящей через точку С и параллельную плоскости
(рис. 196, 197).

108.	Через точку С провести прямую, пересекающую
[ЛВ] и ось х (рис. 198).

109.	Провести через точку А прямую, параллельную го-
ризонтальной плоскости проекции и пересекающую прямую
т (рис. 199).

НО. Прямые, заданные отрезками АВ и CD, пересечь
прямой, параллельной горизонтальной плоскости проекции
(рис. 200).

111.	Прямые, заданные отрезками АВ и CD, пересечь
прямой т, проходящей через точку Е (рис. 201).

112.	Пересечь прямые tn, п, I произвольной прямой а
(рис. 202).
Рис. 198

Рис. 201

§ 21.	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Для составления алгоритма решения задач по определе-
нию линии пересечения двух поверхностей следует пользо-
ваться приведенными ниже рекомендациями:

1.	Вводим вспомогательную секущую поверхность у,
пересекающую каждую из заданных поверхностей а и Р по
наиболее простым и удобным для построения линиям т и k.

2.	Определяем эти линии пересечения m = а П у и
k = Р П У-
3.	Находим точку (или N точек) пересечения получен-
ных линий Li — т П k.

Выполняя отмеченные операции п раз, будем находить
п (или п-N) точек, соединив одноименные проекции этих
точек плавными кривыми, получим проекции искомой ли-
нии пересечения.

В символике принятых обозначений алгоритм определе-
ния линии пересечения двух поверхностей можно записать:

/-{LiU L2IU3--.UjU},
где Е;=(аПу)П(РПу)-

При составлении алгоритма мы не вкладывали никаких
конкретных понятий о виде, расположении и способе зада-
ния поверхностей аир. Поэтому приведенный алгоритм
является обобщенным, пригодным для решения задач по оп-
ределению линии пересечения любых поверхностей. Пере-
секающиеся поверхности аир могут быть нелинейчатыми
и линейчатыми (в частном случае плоскими), занимать об-
щее и частное положение; допускаются различные вариан-
ты задания поверхности (каркасом, очертанием, проекция-
ми геометрических фигур, входящих в определитель).

Если одна из пересекающихся поверхностей, например а,
плоскость, то принято говорить не о пересечении поверхнос-
тей а и р, а о сечении поверхности р плоскостью а. Получен-
ная при этом плоская линия I называется линией сечения.
Если линия I замкнутая, то ограниченная ею фигура назы-
вается сечением <

Пример 28 иллюстрирует решение задачи на построение
сечения поверхности прямого кругового конуса.

Что касается вспомогательной секущей поверхности у,
то она также может иметь различный вид и расположение.

При выборе формы и положения поверхности у следует
стремиться к тому, чтобы линии ее пересечения с данными
поверхностями аир можно было легко определить.

В частности, для линейчатых поверхностей в качестве
вспомогательной секущей поверхности у следует брать плос-
кость, которая рассекала бы данные поверхности а и р по
прямолинейным образующим (см. примеры 29 и 30).

Вспомогательную секущую поверхность у целесообразно
задавать в проецирующем положении, так как в этом слу-
чае одна из проекций вспомогательных линий пересечения
Рис. 203

т и k задается непосредственно на чертеже— она совпадает
со следом поверхности.

Для определения ее второй проекции достаточно ре-
шить задачу на нахождение второй проекции линии, при-
надлежащей поверхности, если известна одна ее проекция
(см. пример 25).

Пример 28. Определить линию сечения поверхности
прямого кругового конуса 0 плоскостью а (рис. 203).

Решение. Построение линии сечения следует начи-
нать с определения характерных (или опорных) точек.
К таким точкам будут относится: низшая А и- высшая В,
крайняя левая С и правая D точки. В рассматриваемом при-
мере фронтальные проекции точек С" и D" являются также
граничными точками- видимости фронтальной проекции кри-
вой линии сечения Г. Точки А и В принадлежат линии
наибольшего ската (/, 2) плоскости а. Прямая 1, 2 про-
ходит через ось конической поверхности. Известно, что го-
ризонтальная проекция линии наибольшего ската плоско-
сти перпендикулярна горизонтальному следу этой плоско-
сти. Поэтому (Г, 2') должна быть перпендикулярна hOa.
Чтобы (У, 2) пересекала ось конической поверхности, не-
обходимо соблюдать условие (/', 2') Для определения
фронтальной проекции (/", 2") заключаем прямую 1,2 в го-
ризонтально проецирующую плоскость

Положение прямой 2" укажет фронтальную проек-
цию линии пересечения плоскостей и а.

Плоскость 71 пересекает коническую поверхность по пря-
молинейным образующим S3 и S4, пересечение фронтальных
проекций которых с фронтальной проекцией линии на-
ибольшего ската укажет положение Л" и В" (А" = S"3" Q
П 1"2", В" = S"4" П 1"2"), по А" и В" находим А' и В'.

Для нахождения точек С и D пересекаем поверхность р
и плоскость а плоскостью у2, проходящей через ось кони-
ческой поверхности и параллельной плоскости л2. Плоскость
у2 пересекает р по прямым S5 и S6, а плоскость а по фрон-
тали f. Пересечение фронтальных проекций этих прямых
укажет положение С" и D".

Для определения промежуточных точек линии сечения
проводим в интервале между точками Л" и В" горизонталь-
ные плоскости, которые пересекают поверхность р по окруж-
ностям т, а плоскость а по горизонталям h. Пересечения
горизонтальных проекций этих линий укажут горизонталь-
ные проекции точек линии сечения. На рис. 203 показано на-
хождение точек Е и F с помощью плоскости у3. Остальные
промежуточные точки находят аналогично точкам Е и F.

Пример 29. Построить линию пересечения двух эллип-
тических конических поверхностей а и Р (рис. 204).

Решение. Плоскость, проходящая через вершину
конической поверхности, пересекает поверхность по двум
прямым образующим. Поэтому через вершины конических
поверхностей проводим прямую a	которую прини-

маем за ось пучка вспомогательных секущих плоскостей
у. Любая плоскость, принадлежащая этому пучку, пересека-
ет конические поверхности а и р по их прямолинейным об-
разующим. Для построения проекции этих образующих не-
обходимо:

а)	определить горизонтальный след Н' прямой
Рис. 204

б)	через точку Н’ провести горизонтальный след плоско-
сти у и определить точки, в которых он пересекает горизон-
тальные проекции окружностей основания конических по-
верхностей;

в)	полученные точки соединить с соответствующими го-
ризонтальными проекциями вершин конических поверхнос-
тей;

г)	точки пересечения проекций образующих поверхнос-
тей а с одноименными проекциями образующих поверхнос-
ти 0 укажут проекции точек, принадлежащих линии пере-
сечения поверхностей. На рис. 204 указаны две из них:
Е и F.

Пример 30. Построить линию пересечения двух цилинд-
рических поверхностей а и 0 (рис. 205).
8" Г If У У

Рис. 205

Решение. Так как поверхность а горизонтально про-
ецирующая* то горизонтальная проекция линии пересече-
ния Г будет принадлежать горизонтальному следу этой по-
верхности. Поэтому решение сводится к нахождению только
фронтальной проекции линии пересечения, которая, как
видно из чертежа, имеет два участка: и /2.

Построение линий 1'{ и Z2, как и в примере 28 (см. рис.
203), следует начинать с определения характерных точек:
высших Л1 и А2 и низших Вг и В2 (в нашем случае они явля-
ются также границами видимой части линии пересечения),
ближних Cj и С2 и дальних DL и D2. Эти точки можно най-
ти с помощью плоскостей у1( у2, у3.' Плоскость уг позволяет
определить точки Л1( Л2 и Blt В2, их положение определяет-
ся пересечением образующих 1 и 2 поверхности а с образую-
щими 3 и 4 поверхности р. Плоскость у2 пересекает поверх-
ность а по образующим 5 и 6, а поверхность р по образую-
щей 7 (5‘ П 7' = Cj, 6' П 7' — С'). С помощью плоскости у3
определяется положение точек и D2.

Для нахождения промежуточных точек К и L на рис. 205
проведена плоскость у;, также параллельная л2. Эта плос-
кость пересекает поверхность а по прямым И и 12, а поверх-
ность Р по прямым 13 и 14. Пересечения фронтальных проек-
ций этих прямых указывают положение точек L'{, К\ и £г,
К.2, принадлежащих линиям /'( и 22-

Пример 31. Определить линию пересечения двух плос-
костей аир. Плоскость а задана двумя параллельными пря-
мыми а и Ь, а плоскость р — пересекающимися прямыми
с и d (рис. 206).

Решение. Две плоскости пересекаются по прямой
линии. Для ее построения достаточно найти положение двух,
принадлежащих ей точек L, и Ь2.

Для их определения воспользуемся вспомогательными
фронтально проецирующими прлоскостями и у2. Плос-
кость 71 пересекает плоскость а по прямой mr (1, 2), а пло-
скость р по- прямой (3, 4). Пересечение с пг указывает
положение точки Lx. Для определения точки Ь2 пересекаем
данные плоскости плоскостью у2. Плоскость у2 проводим
параллельно Это позволит для определения горизон-
тальных проекций прямых т2 и п2 указывать только по
одной точке (5' для т2 и 6' для п2), так как в силу
параллельности уг и у2 будут тг || т2 и || п2. Пересече-
ние т2 с п2 укажет положение Ь2, а по ней находим L'j.
Соединив одноименные проекции точек и Ь2 прямой, по-
лучим проекции искомой линии пересечения I.

Если плоскости заданы следами, то в качестве вспомога-
тельных секущих поверхностей целесообразно принимать
плоскости проекций. В этом случае следы hOa, йор и fOa,
плоскостей аир будут выполнять функции тех вспомога-
тельных линий тип, которые необходимо строить для опре-
деления точек и L2, принадлежащих линии пересечения.
Пример 32 показывает, насколько упрощается при этом ре-
шени е задачи.

Пример 32. Определить линию пересечения двух плос-
костей аир, заданных следами (рис. 207).

Решение. Находим точки и L2, в которых пере-
секаются одноименные следы плоскостей аир. Горизонталь-
ная проекция точки L[ определяется пересечением hOa с
Рис. 206

hop- Так как точка принадлежит горизонтальной плоско-
сти проекции, ее фронтальная проекция будет принадлежать
оси х. Пересечение фронтальных следов fOa с foR укажет по-
ложение фронтальной проекции точки Ь2. По Ь2 определи-,
ем L2 (L'2£ оси х). Точки Lj и L2 определяют горизонталь-
ную Г, a Li и L2 — фронтальную Г проекции искомой ли-
нии пересечения I.

Для определения линии пересечения поверхностей вра-
щения с пересекающимися или скрещивающимися осями,
но имеющими общую плоскость симметрии, в качестве се-
кущих поверхностей следует использовать сферические по-
верхности. В первом слу-
чае (оси пересекаются) при-
меняют семейство концен-
трических сфер, во втором
(оси скрещиваются) — се-
мейство эксцентрических
сфер.

Примеры 33 и 34 по-
казывают последователь-
ность и характер геомет-
рических построений, ко-
торые необходимо выпол-
нить для определения ли-
нии пересечения поверх-
ностей с помощью вспомогательных сферических по-
верхностей.

Пример 33. Определить линию пересечения двух поверх-
ностей вращения аире пересекающимися осями (рис. 208).

Решение. Точку пересечения фронтальных проек-
ций осей поверхностей вращения О" принимаем за центр
концентрических окружностей, являющихся проекциями
вспомогательных сферических поверхностей. Сферическая
поверхность, имеющая центр в точке О пересекает каждую
из заданных поверхностей вращения по окружности.

Для определения интервала, в пределах которого сле-
дует брать значения радиусов сферических поверхностей,
а также для определения характерных точек, принадлежа-
щих линии пересечения, проводим сферу касательную к
одной поверхности и пересекающую вторую. Радиус этой
сферической поверхности укажет минимальное значение
радиуса сферической поверхности у. Полученные с помощью
этой секущей сферы точки А и Аг являются крайними левы-

Рис. 208
ми точками линии пересечения. Положение этих точек оп-
ределяется пересечением окружностей 1", 2" и 3", 4", по ко-
торым сфера уг пересекает поверхности а и р. Расстояние от
точки О" до наиболее удаленной точки В—точки пересече-
ния очерковых линий поверхностей а и Р — укажет величи-
ну максимального радиуса вспомогательной сферы у2.

Для определения промежуточных точек линии пересе-
чения поверхностей проводим сферы радиусами R в интер-
вале

^mln	< ^тах-

На рис. 208 показано построение точекD" uD'[ с помощью
сферы у3. Отрезок 8"9" является проекцией окружно-
сти, по которой у3 Q а. Отрезок 10" 11" представляет фрон-
тальную проекцию окружности, по. которой у3 Г| р. Пере-
сечение отрезков 8"9" П 10" 11" = D" = D’{. Зная положение
фронтальных проекций точек A" A’i, В", С", D", D'[, находим
их горизонтальные проекции из условия принадлежности
этих точек поверхности а.

Соединив одноименные проекции точек плавными кривы-
ми Г и Г, получим проекции искомой линии пересечения I.

Пример 34. Определить линию пересечения двух по-
верхностей вращения конической а и кольцевой р, имею-
щих общую плоскость симметрии, параллельную ла
(рис. 209).

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся
в качестве вспомогательных секущих поверхностей б се-
мейством эксцентрических сфер. Для определения величи-
ны радиуса сфер и положения их центра воспользуемся сле-
дующим построением:

а)	пересечем поверхность кольца плоскостью уь прохо-
дящей через ось кольцевой поверхности. Эта плоскость пере-
сечет поверхность Р по окружности, которая проецируется
на л2 в отрезок прямой (/"2");

б)	из середины отрезка (Г2") — точки восставляем
перпендикуляр к плоскости окружности (/, 2) и отмечаем
точку О’! его пересечения с осью конической поверхности ia;

в)	из точки О'{ проводим сферу бг радиусом, равным от-
резку О"1". Эта сфера пересечет кольцевую поверхность по
окружности 1, 2, а коническую поверхность по окружности
5, 4-,

г)	отмечаем точку. А" = [1"2"\ Г1 13"4"}; полученная
точка A g I, где / = а П ₽ Аналогично с помощью плоско-
Рис. 209

стей у2, у8 и сферических поверхностей 62 и 63 определяем
точки В" и С". Точка D" находится пересечением очерковых
образующих поверхностей аир.

ЗАДАЧ И

ИЗ. Определить линию пересечения двух плоскостей
аир, заданных следами (рис. 210...220).

114.	Определить линию пересечения плоскостей а (т А
А п) и р (е || /) (рис. 221).

115.	Определить линию пересечения плоскостей а (т А
А п) и р (е А /) (рис. 222).

116.	Определить линию пересечения плоскостей а (Ат)
и р (Вп) (рис. 223).

117.	Построить линию пересечения треугольника
АВС с треугольником DEF (рис. 224).

118.	Определить линию пересечения плоскости а (Ат)
и р (п А е) (рис. 225).

119.	Определить линию пересечения плоскостей
а (тЦп) и Р (Ае) (рис. 226).

Рис. 223

Рис. 226
120.	Определить линию пересечения плоскостей аир
(т А л) (рис. 227, 228).

121.	Определить линию пересечения плоскостей аир
(т ||л) (рис. 229, 230).

122.	Определить линию пересечения плоскости а с
плоскостью р, если известны фронтальный след /оР и фрон-
тальная проекция точки L, принадлежащая линии пересе-
чения (рис. 231).

123.	Построить проекции сечения поверхности призмы
плоскостью а (рис. 232...236).

124.	Пересечь прямоугольный параллелепипед плос-
костью а так, чтобы в сечении получился квадрат. Постро-
ить фронтальный след fOa и фронтальную проекцию сече-
ния (рис. 237).

125.	Построить сечение параллелепипеда плоскостью
треугольника АВС, выделить видимые части параллелепи-
педа и треугольника (рис. 238).

126.	Построить проекции сечения поверхности пирами-
ды плоскостью а (рис. 239...243).

127.	Построить проекции сечения цилиндрической по-
верхности Р плоскостью а (рис. 244...246).

128.	Провести через точку А плоскость а, пересекающую
цилиндрическую поверхность р по образующим, и постро-
ить проекции этих образующих (рис. 247).

129.	Провести через прямую т плоскость а, пересека-
ющую цилиндрическую поверхность Р по образующим, и
построить проекции этих образующих (рис. 248).

130.	Построить проекции сечения конической поверхно-
сти Р плоскостью а (рис. 249...255).

131.	Построить проекции сечения поверхности Р (с реб-
ром возврата) плоскостью а (рис. 256, 257).

132.	Построить фронтальную проекцию линии сечения
косой плоскости, заданной направляющими dlf d2 и плоско-
стью параллелизма у, плоскостью а (рис. 258).

133.	Построить проекции линии сечения косой плоско-
сти, заданной направляющими db d2 и плоскостью парал-
лелизма у, плоскостью а (рис. 259).

134.	Построить проекции линии сечения поверхности
цилиндроида, заданного направляющими dlt dz и плоскостью
параллелизма у, плоскостью а (рис. 260).

135.	Построить горизонтальную проекцию сечения по-
верхности наклонного геликоида, заданного направляющей
d, осью i и направляющим конусом у, плоскостью а
(рис. 261).
Рис. 229

Рис. 233
Рис. 237
Рис. 242

Рис. 243

Рис. 244

Рис. 245

Рис. 246

Рис. 247

Рис. 248

Рис. 249


Рис. 266

136.	Построить проекции линии сечения поверхности
сферы плоскосью а (рис. 262...265).

137.	Построить проекции линии сечения произвольной
поверхности вращения 0 плоскостью а (рис. 266...270).

138.	Построить проекции линии пересечения многогран-
ников:

а)	четырехугольной и треугольной призм (рис. 271,
272);

б)	треугольной призмы и четырехугольной пирамиды
(рис. 273, 274);

в)	треугольной и четырехугольной пирамид (рис. 275,
276).

Рис. 267	Рис. 268	Рис. 269
139.	Построить проекции линий пересечения двух ци-
линдрических поверхностей аир (рис. 277, 278).

140.	Построить проекции линии пересечения двух кони-
ческих поверхностей аир (рис. 279, 280).
Рис. 274

141.	Построить проекции линий пересечения цилиндри-
ческой а и конической р поверхностей (рис. 281, 282).

142.	Построить проекции линии пересечения поверхно-
сти однополостного гиперболоида вращения р с эллипти
ческим цилиндром а (рис. 283).

143.	Построить проекции линии пересечения конической
поверхности а с поверхностью глобоида р (рис. 284).

144.	Построить проекции линии пересечения коничес-
кой поверхности а с поверхностью вращения р (рис. 285).
4'

145.	Построить проекции линии пересечения двух по-
верхностей вращения а и £ (рис. 286...288).

146.	Построить проекции линии пересечения поверхно-
сти прямого геликоида с поверхностью сферы (рис. 289)
и конической поверхностью (рис. 290).

147.	Построить проекции линии пересечения цилиндри
ческой поверхности с конической поверхностью (рис. 291).

148.	Построить проекции линии пересечения поверхно-
сти тора с цилиндрической поверхностью (рис. 292) и кони-
ческой поверхностью (рис. 293).

Рис. 289

Рис. 290
Рис. 291	Рис. 292	Рис. 293

§ 22.	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

Для определения точки (точек) пересечения линии т с
поверхностью а необходимо:

1.	Заключить данную линию в поверхность р.

2.	Определить линию пересечения поверхностей р и а
(/ = Р П а).

3.	Отметить точку (точки) пересечения полученной ли-
нии I с заданной т:

I П /п = {/С...}.

В качестве поверхности р следует брать цилиндрическую
проецирующую поверхность. Это обеспечивает простоту
заключения линии в поверхность (выполнение п. 1 решения)
и упрощает определение одной из проекций линии пересече-
ния поверхностей (п. 2 решения).

На следующем этапе решение сводится к определению
второй проекции линии, принадлежащей поверхности, если
известна хотя бы одна проекция этой линии (см. пример
25, с. 81).

Примеры 35...37 показывают ход решения различных
задач по определению точки встречи линии с поверхностью.

Пример 35. Определить точки встречи пространственной
кривой т с нелинейчатой поверхностью а, заданной карка-
сом (рис. 294).

Решение. I. Заключаем кривую т во фронтально
проецирующую цилиндрическую поверхность р.
• 2. Определяем линию пересечения поверхностей
0 П а = I. Фронтальная проекция линии Г совпадает с
фронтальным следом поверхности 0. Горизонтальная проек-
ция I' определяется с помощью точек Г, 2", 3", в которых
/оВ пересекает фронтальные проекции линий а{, a'i, аз, ...

bz, Ьз, bl, ... По точкам Г, 2", 3", ... находим их го-
ризонтальные проекции. Соединив точки Г, 2', 3', .... плав-
ной кривой, получим горизонтальную проекцию линии
пересечения Г.

3. Отмечаем точки М' и N', в которых пересекаются го-
ризонтальные проекции линий т' и I'. По М' и N' опреде-
ляем их фронтальные проекции М" и N”.

Пример 36. Определить точки встречи плоской кривой
т с поверхностью вращения а (рис. 295).

Решение. Кривую /и заключаем во фронтально про-
ецирующую плоскость 0. Определяем линию пересечения
плоскости 0 с поверхностью а — кривую /. Фронтальная
проекция Г совпадает с фронтальным следоу плоскости 0.
Для нахождения горизонтальной проекции линии I опреде-
ляем горизонтальные проекции точек А', В', С',..., принад-
лежащих кривой I, по их фронтальным проекциям А",
В", С"......

Решение выполнено так же, как это было сделано в при-
мере 23 (с. 75) для нахождения горизонтальной проекции
точки А.

Горизонтальные проекции искомых точек М' и N' опре-
деляются пересечением линий т’ и Г. По М' и ЛГ определя-
ем М" и N".

Пример 37. Определить точки встречи прямой т с ко-
нической поверхностью а (рис. 296).

Решение. В предыдущих примерах линию т мы
заключали в проецирующие поверхности. В данном случае
прямую а следует заключить в плоскость, причем плоскость
Р следует брать не проецирующей, а общего положения, в
частности, проходящей через вершину S конической поверх-
ности. В этом случае плоскость р пересечет коническую по-
верхность а по прямолинейным образующим. Для нахожде-
ния этих образующих зададим плоскость 0 прямой а и пере-
секающей ее горизонтальной прямой h, проходящей через
вершину конической поверхности.

Перейдем от задания плоскости 0 пересекающимися пря-
мыми а и h к ее следам. Определяем горизонтальный след
плоскости. Для этого находим горизонтальный след пря-
мой а — Н'а и через Н’а проводим прямую ]| h'. Отмечаем
точки Г и 2', в которых эта прямая пересекает горизонталь-
ный след конической поверхности а. Плоскость 0 пересечет
поверхность а по прямым (1S) и (2 S). Точки М' и N', в ко-
торых пересекаются одноименные проекции прямой а'
с проекциями прямых (Г5') и (2'5'), являются горизонталь-
ными проекциями искомых точек встречи прямой а с кони-
ческой поверхностью а.

ЗАДАЧИ

149.	Определить точки пересечения (встречи) прямой I
с поверхностью а:

а)	цилиндрической (рис. 297...299);
б)	конической (рис. 300...302);

в)	сферы (рис. 303, .304);

г)	однополостного гиперболоида (рис. 305);

д)	тора (рис. 306);

е)	произвольной поверхности вращения (рис. 307).

150.	Определить точки пересечения кривой т с поверх-
ностью:

а)	цилиндрической (рис. 308);

б)	конической (рис. 309);

в)	сферы (рис. 310);

г)	однополостного гиперболоида вращения (рис. 311);

д)	наклонного геликоида (рис. 312).

Рис. 297

Рис. 298

Рис. 299


Г л а в a IV

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Метрическими называются задачи, решение которых
связано с нахождением характеристик геометрических фи-
гур, определяемых измерением линейных или угловых величин.

Все многообразие метрических задач, в конечном счете,
сводится к решению одной из двух задач:

1)	определению расстояния между двумя точками;

2)	нахождению угла между двумя прямыми.

Кроме этого, иногда приходится решать обратную зада-
чу: построить отрезок прямой или угол между двумя прямы-
ми по заданным линейной и угловой величинам.

Следует иметь в виду, что выделение метрических задач в
самостоятельную группу является условным. При решении
метрических задач, как правило, приходится выяснять во-
просы о взаимной принадлежности (или пересечении) гео-
метрических фигур, т. е. решать позиционные задачи.

Например, чтобы определить расстояние между точкой А
и плоскостью а — метрическая задача, необходимо предва-
рительно найти точку д пересечения с плоскостью а перпен-
дикуляра а, опущенного из точки А на эту плоскость.
К = а. П а> где а^А и а _1_ а — задача позиционная.

Несмотря на то, что чисто метрические задачи встреча-
ются очень редко, целесообразно выделить их в самостоя-
тельную группу, включив в нее и те задачи, в которых на
промежуточных этапах решения приходится выяснять по-
зиционные отношения между геометрическими фигурами

§ 23.	ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ
ПРЯМОЙ и плоскости

При решении задач на определение расстояний часто в
процессе решения бывает необходимо восставлять (или опу-
скать) из данной точки перпендикуляр к плоскости или про-
водить через данную точку плоскость, перпендикулярную
к заданной прямой.
В основе геометрических построении по проведению на
эпюре взаимно перпендикулярных прямой и плоскости ле-
жит теорема о частном случае прецирований прямого угла:

(АВС = 90°) Д ([ВЛ) || лх) Д ([ ВС)Ц_ лх) => А'В’С'^ 90°.

Пример 38. Построить перпендикуляр к плоскости а,
заданной параллельными прямыми тип (рис. 313).

Решение. Известно, что прямая, перпендикулярная
к плоскости, перпендикулярна двум пересекающимся пря-
мым, принадлежащим этой плоскости. Для определения на-
правления проекций перпендикуляра Г и Г воспользуемся
теоремой о частном случае проецирования прямого угла.

Проводим через точку А (А', А") горизонталь h (h’t h"),
принадлежащую плоскости а, на основании приведенной
теоремы проекция угла между V и h’ равна 90°. Для опреде-
ления направления фронтальной проекции перпендикуляра
через точку А (Л', А") проводим фронталь f (f, f") плоско-
сти а. Так как f параллельна фронтальной плоскости проек-
ции, то прямой угол между Г и /" проецируется на л2 без
искажения, поэтому проводим I" J_ f".

Пример 39. Построить плоскость 0, перпендикулярную
к данной прямой а и проходящую через точку В (рис. 314).

Решение. Для решения задачи через точку В про-
водим горизонталь h и фронталь f. Эти две пересекающие-

Рис. 313

Рис. 314
ся прямые определяют плоскость; чтобы она была перпен-
дикулярна прямой а; необходимо, чтобы прямые h и f со-
ставляли с прямой а угол 90°. Для этого на основании от-
меченной выше теоремы проводим h' _1_ а и f" A. d'. Фрон-
тальная проекция /Г и горизонтальная проекция /' проводят-
ся параллельно оси х.

На заключительном этапе решения метрических задач ис-
пользуется известный инвариант параллельного проециро-
вания:

(Ф с Р) Д (р || лх) => Ф' Ф.

Если фигура Ф принадлежит плоскости ,р и плоскость
Р параллельна плоскости проекции л1( то проекция этой
фигуры на плоскость лх конгруентна самой фигуре, т. е. в
этом случае полностью сохраняются все метрические харак-
теристики геометрической фигуры. Поэтому, чтобы по про-
екции можно было судить о действительных размерах мет-
рических характеристик фигуры, ее следует перевести в
положение, параллельное какой-либо плоскости проекции.

Из сказанного следует, что для определения расстояния
между точкой и прямой, точкой и плоскостью, между парал-
лельными прямыми или плоскостями целесообразно данные
прямые или плоскости переводить в проецирующее положе-
ние, что обеспечит параллельность измеряемого отрезка
плоскости проекции.

ЗАДАЧИ

151.	Из точки А опустить перпендикуляр на плоскость,
заданную:

а)	двумя пересекающимися прямыми (рис. 315);

б)	двумя параллельными прямыми (рис. 316, 317);

в)	следами (рис. 318... 320);

г)	прямой и точкой (рис. 321).

152.	Построить плоскость, перпендикулярную к задан-
ной прямой (рис. 322...325).

153.	Из точки А опустить перпендикуляр на прямую т
(рис. 326...328).

154.	Построить точку, симметричную данной точке А,
относительно плоскости а (рис. 329).

155.	Через прямую т провести плоскость 0, перпендику-
лярную к данной плоскости а (рис. 330, 331).
156.	Найти горизонтальную проекцию точки М, равно-
удаленной от концов отрезка АВ (рис. 332).

157.	Построить плоскость аЭА перпендикулярную
к заданной плоскости (3 (рис. 333).

Рис. 317

Рис. 320

Рис. 321	Рис. 322	Рис. 323	Рис. 324
Рис. 328	Рис. 329	Рис. 330

§ 24.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ
МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ

Пример 40. Определить длину отрезка АВ (рис. 334)

Решение. На основании отмеченного в предыдущем
параграфе инварианта отрезок спроецируется на плос-
скость проекции без искажения в том случае, когда он будет
параллелен этой плоскости. Поэтому для получения ответа
на поставленный вопрос необходимо перевести [Д£?1 из про-
извольного положения,, которое он занимает по отношению к
плоскостям проекций, в частное — параллельное . какой-
либо из плоскостей л, или п2. ,

Это можно осуществить либо способом замены плоскос-
тей проекций (рис. 334, а, .6), либо параллельным перемеще-
нием (рис. 334, в), в частности, вращением (рис. 334, г). Из
приведенных на рис. 334, а...г вариантов решения задачи
на определение длины отрезка прямой предпочтение следу-
ет отдать вариантам биг — построению прмоугольного тре-
угольника или переводу отрезка в новое положение путем
вращения его вокруг оси, перпендикулярной к плоскости
проекции.
ЗАД А Ч И

158.	Определить расстояние между точками Л и В (рис.
335...337).

159.	Построить горизонтальную проекцию отрезка АВ,
если известна его длина, равная 35 мм (рис. 338).

160.	Построить фронтальную проекцию отрезка CD, ес-
ли его длина равна 30 мм (рис. 339).

§ 25. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ТОЧКОЙ
И ПРЯМОЙ

Расстояние от точки до прямой определяется длиной от-
резка перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.-

Пример 41. Определить расстояние между точкой А и
прямой I (рис. 340).

Решение. Для построения перпендикуляра, опущен-
ного из точки А на прямую I, необходимо:

а)	через точку А провести плоскость а, перпендикуляр-
ную к прямой /;

б)	определить точку встречи прямой I с плоскостью а
(К = I Л а-)- Прямая АК перпендикулярна I, а длина от-
резка А К является ответом на поставленную задачу. Необ-
ходимые для решения задачи геометрические построения вы-
полнены на рис. 340, а в следующей последовательности:
задаем плоскость a _l_ I, для этого через точку А" проводим
фронтальные проекции фронтали /" _1_ Г и горизонтали
h"\|х, а через точку А' их горизонтальные проекции: пря-
муюА'и прямую f ||х. Для нахождения точки встречи
прямой I с плоскостью а заключаем прямую I в горизонталь-
но проецирующую плоскость Р; определяем точки Г и 2’,
в которых hOp пересекает h' и зная точки Г, 2', находим
Г,. 2". Отмечаем К"— точку пересечения фронтальных про-
екций прямых (/, 2) и/;по К" определяем К.'. Неискажен-
ная величина отрезка А К. определяется вращением его во-
круг оси i 1 л2 и проходящей через точку А.

Решение поставленной задачи может быть получено так-
же путем преобразования прямой I в проецирующую пря-
мую. На рис. 340, б, в показаны различные варианты реше-
ния задачи по переводу прямой I, произвольно расположен-
ной в пространстве, в горизонтально проецирующее положе-
ние, при этом на рис. 340, б этот перевод осуществлен
с помощью способа замены плоскостей проекций, а на
рис. 340, в — путем плоскопараллельного перемещения.

ЗАДАЧИ

161.	Определить расстояние между точкой А и прямой т
(рис. 341....345).

162.	Определить фронтальную проекцию точки А, если
ее расстояние от прямой т равно 25 мм (рис. 346, 347).
§ 26.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ

Расстояние между параллельными прямыми 'определяет-
ся длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки,
взятой на одной прямой, на другую прямую. Поэтому реше-
ние этой задачи аналогично решениям, рассмотренным в
предыдущем примере.

Пример 42. Определить расстояние между параллель-
ными прямыми тип (рис. 348).
Решение. На рис. 348, а прямые переведены в гори-
зонтально проецирующее положение способом замены плос-
костей проекций; чертеж на рис. 348, в иллюстрирует пере-
вод прямых в проецирующее положение с помощью плоско-
параллельного перемещения.

Ответ на поставленную задачу может быть получен так-
же преобразованием плоскости а, которой принадлежат пря-
мые т и п, в положение, параллельное какой-либо плоскости
проекции. Такое преобразование проще всего выполнить
вращением плоскости а вокруг горизонтали или фронтали.
На рис. 348, б показаны геометрические построения, кото-
рые необходимо выполнить, чтобы повернуть плоскость а в
положение, параллельное горизонтальной плоскости проек-
ции. Поворот плоскости осуществлен вращением точки
А £ а вокруг горизонтали hca. Точки А{ и Г определяют
новую горизонтальную проекцию т{ прямой т. Проекция
п\ прямой п проводится через точку 2' параллельно т\
Расстояние между т\ и п{ является искомым.

ЗАДАЧИ

163.	Определить расстояние между параллельными пря-
мыми тип (рис. 349, 350).

164.	Построить фронтальную проекцию прямой т, па-
раллельной п, зная, что расстояние между ними равно 20 мм
(рис. 351).

165.	Построить проекции прямой I, параллельной двум
заданным прямым т и п и уделенной от т на расстояние
25 мм и от п на расстояние 15 мм (рис. 352).

166.	Построить проекции прямой I, параллельной пря-
мой т и удаленной от нее на 25 мм и от точки А на расстоя-
ние 20 мм (рис. 353).

§ 27. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ТОЧКОЙ
И ПЛОСКОСТЬЮ

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной
отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Пример 43. Определить расстояние между точкой М и
плоскостью а, заданной треугольником АВС (рис. 354).

Решение задачи сводится к следующему:
1)	опускаем из точки М перпендикуляр I на плоскость
а;

2)	находим К точку встречи перпендикуляра I с Плос-
костью а;

3)	определяем величину отрезка МК.

На рис. 354 показаны геометрические построения, реа-
лизующие этот алгоритм. Вначале через произвольную точ-
ку проводим горизонталь и фронталь плоскости а (на
рис. 354 в качестве такой точки взята вершина А треуголь-
ника). Проеции h' и /" определяют направление Г и Г про-
екций перпендикуляра. Для нахождения точки встречи пер-
пендикуляра I с плоскостью cs заключаем его в горизонталь-
но проецирующую плоскость ₽, которая пересекает пло-
скость а по прямой (3,4). Пересечение фронтальных проек-
ций прямых (<?", 4") и Г определяет точку К”, по Д’" нахо-
дим Д'. Длина отрезка МК найдена путем вращения его во-
круг оси i (i J_ и i 3 К) до положения, параллельного
плоскости Лр [Л4;Д'] = |Л4а|.

Рис. 349
Решение этой задачи можно упростить, если плоскость
преобразовать в проецирующую. На рис. 354, б показано
преобразование плоскости а во фронтально проецирующую
плоскость с помощью замены плоскости ла на л3.

ЗАДАЧ И

167.	Определить расстояние от точки А до плоскости а
(рис. 355...358).

168.	Определить горизонтальную проекцию точки А,
удаленной от плоскости а на 30 мм (рис. 359).

169.	Построить фронтальный след плоскости а, если рас-
стояние от точки А до этой плоскости равно 25 мм (рис. 360),

§ 28. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ

Расстояние между двумя плоскостями определяется дли-
ной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки одной
плоскости на другую плоскость. Поэтому решение задачи на
определение расстояния между параллельными плоскостя-
ми а и р сводится к следующему:

1)	из произвольной точки Л £ а опускаем перпендику-
ляр / на плоскость Р;

2)	находим точку встречи перпендикуляра I с плоско-
стью р (/ П р = /();

3)	определяем длину отрезка АК.

Пример 44. Определить расстояние между параллель-
ными плоскостями аир (рис. 361).

Решение. На рис. 361, а приведено решение задачи,
выполненное по указанному алгоритму. Проекции перпен-
дикуляра I (I', I") проведены перпендикулярно одноимен-
ным следам плоскости. Если плоскость задана не следами,
то для определения направления проекций Г и Г предвари-
тельно необходимо найти горизонтальную проекцию гори-
зонтали и фронтальную проекцию фронтами плоскости а
(или р).

Можно получить и более простое решение рассматривае-
мой задачи. Для этого достаточно определить длину отрезка
перпендикуляра, заключенного между плоскостями, путем
преобразования плоскостей в проецирующее положение.

На рис. 361, бив показано преобразование плоскостей
а и р во фронтально проецирующее положение.

На рис. 361, б преобразование осуществлено с помощью
замены плоскости проекции, на рис. 361, в использован спо-
соб плоскопараллельного перемещения.

Рис. 361
ЗАДАЧ И

170.	Определить расстояние между плоскостями аир
(рис. 362... 364).

171.	Провести плоскость а, параллельную заданной
плоскости Р и удаленную от нее на расстояние 25 мм
(рис. 365).

172.	Провести две взаимно параллельные плоскости а
й Р, параллельные оси х так, чтобы расстояние между плос-
костями а и р было равно расстоянию между плоскостью а и
осью X.

§ 29. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ
СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

Определение расстояния между скрещивающимися пря-
мыми сводится к решению задачи на нахождение расстояния
между параллельными плоскостями, в которые могут быть
заключены заданные скрещивающиеся прямые.
Решение может быть получено также путем заключения
одной из скрещивающихся прямых в плоскость, параллель-
ную другой прямой. В этом случае искомая величина будет
определяться расстоянием от произвольной точки второй
прямой до плоскости.

Пример 45. Определить расстояние между скрещиваю-
щимися прямыми (АВ) и (CD) (рис. 366).

Решение. 1. Заключаем одну из скрещивающихся
прямых (АВ) в плоскость а, параллельную другой прямой
(CD) (« ~ плоскость параллелизма).

2. Определяем расстояние между прямой (CD) и плос-
костью а. На рис. 366, а (АВ) заключена в плоскость а; для
этого через произвольную точку М £ (АВ) проведена (£F)||
||(CD). Для определения расстояния между прямой CD и
плоскостью а из произвольной точки W g (CD) опущен пер-
пендикуляр I на плоскость а (Г J_ й'; Г _!_ /")• Найдена точ-
ка встречи перпендикуляра I с плоскостью a (Z f| сс = К).
Определена длина отрезка NK. На рис. 366, б показано ре-
шение этой задачи с помощью замены плоскостей проекций.
Заменой плоскостей новыми — отрезок АВ переведен
в горизонтально проецирующее положение. Искомая вели-
чина определяется расстоянием от точки А '^В^ до прямой
СгОг-

ЗАДАЧИ

173.	Определить расстояние между скрещивающимися
прямыми АВ и CD (рис. 367...369).

Рис. 368

Рис. 367

174.	Определить расстояние между прямой т и осью х
(рис. 370).

§ 30. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ

Решение задач на определение угла между двумя прямы-
ми, прямой и плоскостью (или линией и поверхностью),
двумя плоскостями (поверхностями), в конечном счете, сер-
дится к нахождению угла между двумя пересекающимися
прямыми.

Решение этой задачи может быть осуществлено различ-
ными способами. Из всех способов предпочтение следует от-
дать вращению вокруг главных линий, дающему наиболее
простое и экономичное решение.

Пример 46. Определить угол между пересекающимися
прямыми тип (рис. 371).

Рис. 371

Решение. Вращением вокруг горизонтали h перево-
дим плоскость, определяемую прямыми т и п, в положение,
параллельное горизонтальной плоскости проекции.

Точки 1 и 2, взятые на прямых тип, принадлежат оси
вращения h, поэтому они не изменят своего положения при
вращении вокруг этой оси.. Для нахождения нового поло-
жения и п\ прямых тип достаточно повернуть лишь
одну точку К- Геометрические построения, которые необхо-
димо выполнить для определения нового положения точки
ATI, подробно рассмотрены в примере 18 (см. рис. 122).

ЗАДАЧИ

175.	Определить угол между пересекающимися прямыми
АВ и CD (рис. 372...375).
176. Определить угол между, прямой АВ и осью х

§ 31. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ПРЯМОЙ
И ПЛОСКОСТЬЮ

Угол между прямой и плоскостью измеряется углом ф°,
образованным прямой и ее ортогональной проекцией на эту
плоскость (рис. 377).

В целях сокращения геометрических построений и упро-
щения решения задачи обычно определяют угол 0°, допол-
няющий до 90° искомый угол <р°. Ход решения задачи сво-
дится к следующему:

1.	Из произвольной точки М С т опускаем перпендику-
ляр I на плоскость а.
2.	Определяем угол 9° между прямыми т и I.

3.	Вычисляем величину угла <р°. ср° = 90° —'в°.

Пример 47. Определить угол между прямой т и плоско-
стью а, заданной параллельными прямыми а и b (рис. 378).

Решение. На рис. 378 приведены графические по-
строения, реализующие отмеченный выше ход решения.

Для определения на-
правлений проекций пер-
пендикуляра I построены
горизонталь h и фронталь f
плоскости а. Величина угла
0° найдена вращением его fyn~
вокруг горизонтали ht.

Рис. 377	Рис. 378

ЗАДАЧИ

177.	Определить угол между прямой tn и плоскостью а
(рис. 379... 381).

178.	Определить угол между прямой т и плоскостью л.
(рис. 382).

179.	В плоскости а через точку А провести прямую так,
чтобы она составляла с плоскостью л2 угол в 30° (рис. 383).

180.	Построить горизонтальную проекцию прямой
т ЭЛ, наклоненной к плоскости а под углом 45° (рис. 384).

181.	Определить угол между прямой т и плоскостью тре-
угольника АВС (рис. 385).

182.	Определить угол между плоскостью а и осью х
(рис. 386).
§ 32. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Мерой угла, образованного двумя плоскостями, служит
линейный угол, полученный при сечении данных плоскостей
третьей плоскостью, перпендикулярной к двум заданным
плоскостям.
На рис. 387 показано, что для построения линейного уг-
ла, являющегося мерой двугранного угла между плоскостя-
ми а и р, необходимо пересечь плоскости аир третьей плос-
костью у, перпендикулярной к ребру (АВ), и найти прямые
а и Ь, по которым плоскость у пересекает плоскости а и р.
Но, как видно из чертежа, решение задачи может быть упро-
щено, если определять не

Рис. 388

Рис. 387

Действительно, для построения угла 9° достаточно из
произвольной точки М опустить перпендикуляры /х и /2 на
плоскости аир.

Пример 48. Определить угол между плоскостями аир
(рис. 388).

Решение. 1. Из произвольной точки М опускаем
перпендикуляры lt на плоскость а и /2 на плоскость р.

2.	Вращением вокруг горизонтали h определяем величи-
ну угла 9° между прямыми /х и Z2.

3.	Находим величину угла ср0, равную разности между
180° и углом 9°. На рис. 388 X <р° построен как дополни-
тельный до 180° к углу 9°.
ЗАДАЧИ

183.	Определить угол между плоскостями а и а
и л2 (рис. 389 и 390).

184.	Определить угол между плоскостями а и |3 (рис.

391 и 392).

185.	Построить фронтальный след плоскости а, зная, что
она образует с плоскостью лх угол 45° (рис. 393).

186.	Через точку А (15, 25) провести плоскость а, со-
ставляющую с плоскостью лх угол 45°.
§ 33. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ
ПРЯМЫМИ

Мерой угла между скрещивающимися прямыми служит
угол между пересекающимися прямыми, параллельными дан-

ным скрещивающимся. Поэ-
тому решение задачи по оп-
ределению угла между скре-
щивающимися прямыми
сводится к проведению пря-
мой, пересекающей одну
из скрещивающихся пря-
мых и параллельной вто-
рой скрещивающейся пря-
мой, с последующим нахож-
дением угла между пересе-
кающимися прямыми.

Пример 49. Определить
угол между а — Ь (рис.
394).

Решение. 1. Через
произвольную точку М £ Ь
проводим прямую т ||а.

2. Определяем величину
вращением вокруг фронтали

Рис. 394

угла <р° между прямыми bum

ЗАДАЧИ

187. Определить угол между скрещивающимися прямыми
а и Ь (рис. 395 и 396).

Рис. 396

Рис. 395
Рис. 398

188.	Построить горизонтальную проекцию прямой CD,
если угол между прямыми АВ и CD равен 45° (рис. 397).

189.	Определить угол между ребрами пирамиды CD и
8Л (рис. 398).
Глава V

РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТЕЙ

Под разверткой поверхности подразумевается преобразо-
вание, в результате выполнения которого все точки поверх-
ности совмещаются с плоскостью.

При развертке устанавливается взаимно-однозначное со-
ответствие между точками поверхности и плоскости.

Развертываться могут только линейчатые поверхности,
смежные прямолинейные образующие которых пересекают-
ся. При этом точка пересечения может быть как собственная,
так и несобственная.

К группе линейчатых поверхностей с пересекающимися
смежными образующими относятся торсы и их частные виды,
конические и цилиндрические поверхности.

Остальные линейчатые и все нелинейчатые поверхности
относятся к неразвертываемым поверхностям. Они не могут
без разрывов и склеивания быть совмещены с плоскостью.

Для построения приближенной развертки таких поверх-
ностей необходимо аппроксимировать (заменить) их развер-
тывающимися поверхностями и строить развертку послед-
них.

Чтобы получить приближенную развертку, с достаточной
степенью точности воспроизводящую развертку неразвер-
тываемой поверхности, обычно торсом (или плоскостью) за-
меняют не всю поверхность сразу, а предварительно раз-
бивают ее на участки (отсеки), каждый из которых аппрокси-
мируется отсеком торсовой поверхности или участком плос-
кости. Чем меньше размеры отсеков, тем больше приближе-
ние аппроксимирующей поверхности к исходной, а следова-
тельно, достигается более высокая степень совпадения при-
ближенной развертки с теоретической.

§ 34. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК

Для построения разверток поверхностей используется
один из трех способов:
I.	Способ нормального сечения.

2.	Способ раскатки. .

3.	Способ триангуляции (треугольников).

Примеры 50, 51, 52 иллюстрируют идею и характер гео-
метрических построений для каждого из отмеченных спосо-
бов.

1.	Способ нормального сечения

Пример 50, Построить развертку наклонной трехгранной
призмы (рис. ЗУ9).

Рис. 399

Решение. Пересекаем призму ABCDEF плоскостью
у, перпендикулярной к боковым ребрам призмы. Строим
сечение заданной призмы этой плоскостью — Д 123. Опре-
деляем длину сторон треугольника 123. В произвольном
месте чертежа проводим горизонтальную прямую а. От про-
извольной точки /0> взятой на этой прямой, откладываем
отрезки 17020], [20301> 13O/OL конгруентные сторонам
треугольника 123. Через точки /0, 20, 30, 10 проводим пря-
мые, перпендикулярные к прямой а, и откладываем на них
от точек 10> 20, Зй> 10 отрезки, конгруентные соответствую-
щим длинам отрезков боковых ребер ([1Д], [ID], [2В1,
[2Е], [ЗС1, [ЗЛ), затем полученные точки А0В0С0А0 и
DqEoFqDo соединим прямыми*. Плоская фигура Д0^оСо^о
D0F0EqE>0 представляет собой развертку боковой поверх-
ности призмы.

* На рис. 399 ребра AD, BE и CF параллельны плоскости л2,
поэтому на эту плоскость они проецируются без искажения. Если
ребра призмы занимают произвольное положение, то прежде чем
приступить к построению развертки, следует определить их длину.
Чтобы получить пол-
ную развертку призмы,
необходимо к развертке ее
боковой поверхности при-
строить неискаженный вид
основания призмы ЕА0В0С0
и \D0E0F0.

2.	Способ раскатки

Этот способ целесооб-
разно использовать для
построения развертки по-
верхности призмы в том
случае, когда основание
призмы параллельно какой-
либо одной плоскости про-
екции, а ее ребра парал-
лельны другой плоскости

проекции.

Пример 51. Построить развертку боковой поверхности
наклонной трехгранной призмы ABCDEF (рис. 400).

Решение. Примем за плоскость развертки плоскость
Р, проходящую через ребро AD, параллельную фронталь-
ной плоскости проекции. Совместим грань ADEB с плоско-
стью [J. Для этого мысленно разрежем поверхность призмы
по ребру AD, а затем осуществим поворот грани ADEB во-
круг ребра AD (A"Da).

Для нахождения совмещенного с плоскостью Р положе-
ния ребра В0Е0 из точки В" проводим луч, перпендикуляр-
ный к A"D”, и засекаем на нем дугой радиуса )А'В' |, про-
веденной из центра А", точку Во. Через Во проводим пря-
мую В0Е0, параллельную А“Ь".

Принимаем совмещенное положение ребра В0Е0 за новую
ось и вращаем вокруг нее грань BEFC до совмещения с
плоскостью р. Для этого из точки С" проводим луч, перпен-
дикулярный к совмещенному ребру В0Е0, а из точки Во —
дугу окружности радиусом, равным |В'С'|. Пересечение
дуги с лучом определит положение точки Со. Через Со про-
водим C0F0. параллельно В0Е0. Аналогично находим поло-
жение ребра A0D0. Соединив 'точки Л"В0С0А0 и О"£0^о00
прямыми, получим фигуру A"B0C0A0D0F0E0D" — разверт-
ку боковой поверхности призмы.

Для получения полной развертки призмы достаточно к
каким-либо из звеньев ломаных линий А"В0С0А0 hD“E0F0D0
пристроить соответственно треугольники А0В0С0 и DoEqFq,
конгруентные треугольникам А’В'С и D'E'F'.

3.	Способ триангуляции (треуголь-
ников)

Пример 52. Построить развертку боковой поверхности
пирамиды SABC (рис. 401).

Решение. Развертка боковой поверхности пирамиды
представляет собой плоскую фигуру, состоящую из тре-
угольников — граней пирамиды. Поэтому построение сво
дится к определению длин ребер пирамиды и построению
по трем сторонам треугольников — граней пирамиды. На
рис. 401 определение длин ребер пирамиды выполнено с по-
Рис. 406

мощью вращения их вокруг оси i (i Э S и i _L nv). Путем вра-
щения ребра пирамиды совмещаются с плоскостью р (Р||ла
И Р ГЭ 0-

После того как будут определены длины ребер [S"A 2],
(S"B21, [S"C2], приступают к построению развертки. Для
этого из произвольной точки So проводят прямую а и откла-
дывают на ней от точки S0[S040I = (S"A2J. Из Ао проводят
дугу радиусом гх = |Л'В'|, а из точки So дугу радиусом
/?! = |S"B2|. Пересечение дуг укажет положение вершины
Во треугольника S0A0B0 (ASoAoBo ASAB — грани пира-
миды). Аналогично находятся точки Со и А 0. Соединив точки
A0B0C0 A0S0, получим развертку боковой поверхности пи-
рамиды SABC. При построении разверток цилиндрической
поверхности пользуются способами нормального сечения
или раскатки (см. примеры 50, 51). Задача на построение раз-
вертки конической поверхности и поверхности с ребром
возврата решается с помощью способа треугольников (см.
пример 52).

ЗАДАЧИ

190.	Построить сечение призмы плоскостью а и дать раз-
вертку боковой поверхности призмы (рис. 402...404).
191.	Построить сечение пирамиды плоскостью а и дать
развертку боковой поверхноти верхней части пирамиды
(рис. 405, 406).

192.	Построить сечение цилиндра плоскостью а и раз-
вертку боковой поверхности верхней части цилиндрической
поверхности (рис. 407).

193.	Построить развертки" цилиндрических поверхнос-
тей а, р, у (рис. 408).,

. 194. Построить сечение конической поверхности плоско-
стью а и развертку верхней части конической поверхности
(рис. 409).

195. Построить развертки цилиндрических и конических
поверхностей, изображенных на рис. 410.
Г л а в а VI

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОГО МАШИННОГО
АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Решение одной и той же задачи может быть осуществлено
различными графическими способами, каждому из которых
соответствует свой алгоритм.

Простейший пример алгоритма — математическая фор-
мула, указывающая на последовательность выполнения
простых операций для решения более сложных задач. При
графическом способе процесс решения нельзя записать в ви-
де формулы, но его можно выразить с помощью схемы, ука-
зывающей на последовательность выполнения различных
элементарных графических операций.

§ 35. СПОСОБ ЗАПИСИ АЛГОРИТМА, СОСТАВЛЕННОГО
НА БАЗЕ ГРАФИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Для записи элементарных графических операций, на ко-
торые может быть расчленено решение задачи, используют
прописные буквы латинского алфавита.

Содержание таких операций и принятые для них обозна-
чения приведены в табл. 2.

Таблица 2

Содержание элементарной графической операции	Обозначение
Провести прямую через две данные точки	А
Провести прямую через данную точку в заданном	В
направлении  Провести вертикальную прямую через заданную точ-	С
ку  Провести горизонтальную прямую через заданную	D
точку  Найти точку пересечения двух линий	Е
Провести дугу заданного радиуса из заданной точки	F
Рис. 411

Кроме этих графических операций отметим одну арифме-
тическую — определить расстояние между двумя точками,
обозначим ее L.

Пример 53. Определить рациональный машинный ал-
горитм решения задачи по определению точки встречи пря-
мой с плоскостью (рис. 411, 412).

Решение. Пользуясь принятыми обозначениями, ал-
горитм, составленный на -основании логики графического
метода решения задачи по определению точки встречи пря-
мой а с плоскостью а (см. рис. 411), может быть записан в
следующей форме:

ЕС ЕЕ СЕ АЕ СЕ.	(1)*

(1) (2)(3) (4) (К") (К’)

Эта же задача может быть решена и другим способом, в
частности, переводом плоскости общего положения в проеци-
рующее, путем замены плоскости ла новой л3 (см. рис. 412).
В этом случае алгоритм может быть записан так:

CELBEFEEACELBEFECE LBEFEAEB ЕС Е (2)
(1) (2) (3)<4> (5) (6) (7) (8)	(9)(10) (JQ (К') (К*)

Выражения (1) и (2) представляют собой алгоритмы
решения задачи «вручную», записанные в символах элемен-
тарных графических операций.

* Цифры под буквами показывают, какая точка из обозначен-
ных на чертеже определяется в результате выполнения операции Е.
§ 36.	СОСТАВЛЕНИЕ СХЕМ СЧЕТА
МАШИННЫХ АЛГОРИТМОВ

Для получения машинных алгоритмов выражения (1)
и (2) следует составлять не в символах элементарных графи-
ческих операций, а в обозначениях машинных операторов,
приведенных в табл. 3.

В этом случае схема (1) примет вид

V Ш V V III V I V III V.	(1.1)

Выполнение двух операторов III, V можно заменить
одним VId. Окончательно алгоритм (1) запишется так:

V VIO V VI0 I V VI0.	(1.2)

Аналогично, после соответствующей замены в схеме (2) >
графических операций машинными операторами получим

Vla VII II V IXaV I VIO VII II V IX0 VIO VII II V IXa I

VIIVVIa	(2.1)

Сопоставляя между собой выражения (1.2) и (2.1), мож-
но сделать заключение, что предпочтение следует отдать ал-
горитму, записанному в виде схемы счета (1.2). Он значи-
тельно пррще алгоритма (2.1), его реализация на ЭЦВМ сво-
дится к трехкратному выполнению сочетания Из операторов
V и VI0. Такой иттерационный способ решения является на-
иболее целесообразным для вычислительной машины.

Количественная оценка, полученная подсчетом числа ко-
манд, которые должна выполнить машина, осуществляя ре- '
щение по каждому из рассмотренных вариантов, также го-
ворит в подьзу алгоритма, представленного в виде схемы сче-
та (1.2). :

Алгоритм (1.2) требует для своего решения выполнить 94
команды, алгоритм (2.1) — 338 команд.

Рассмотренный пример показывает, что для определения
рационального машинного алгоритма решения задач необхо-
димо:

1.	Установить характер и последовательность выполне-
ния элементарных графических операций, на которые может
быть расчленено решение каждого варианта задачи.

2.	Записать выявленную последовательность элементар-
ных графических операции с помощью символов, приведен-
ных в табл. 2.
3.	Составить схему счета машинных алгоритмов путем-за-'
мены элементарных графических операций соответствую-
щими машинными операторами, взятыми из табл. 3.

Таблица 3

Содержание операции	Обозна- чение	Число команд
Определить уравнение прямой, проходящей через две данные точки	I	10
Определить уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку	II	7
Определить уравнение прямой, перпендикуляр- ной к данной и проходящей через заданную точку	III	9
Определить уравнение горизонтальной прямой, проходящей через заданную точку	IV	5
Найти точку пересечения двух заданных пря- мых	V	п
На данной прямой найти точку с заданным значениемабсциссы	VIa	, 11
На данной прямой най^и точку с заданным значением ординаты	VI6	10
Найти расстояние между двумя заданными точками	VII	8
Разделить заданный отрезок в данном отноше- нии	VIII	5
На данной прямой найти точки, удаленные от данной точки на заданное расстояние	IXa	40
Определить уравнение прямой, проходящей через две точки, удаленные от двух данных точек на заданное расстояние	1Хб	П
Найти на заданной кривой две точки, бли- жайшие к данной прямой	X	23
НайТи На двух заданных кривых по паре та- ких точек, чтобы две точки; выделенные на одной кривой, являлись ближайшими к двум выделенным точкам другой кривой	X!	26
Найти на заданной кривой точки, расстояние которых от данной точки ближе всего к за- данному расстоянию	XII	25
Определить уравнение прямой по совокупно- сти ее точек	XIII	 57

4.	Подсчитать необходимое число команд, которое
должна выполнить машина, осуществляя решение по каждо-
му из рассмотренных вариантов. Суммарное число команд
определяется путем подсчета команд всех операторов, вхо-
дящих в схему счета (число команд для каждого оператора
указано в табл. 3).

Наиболее рациональным считается алгоритм, который
требует для своей реализации меньше команд.

ЗАДАЧИ

196.	Решить различными способами задачу по определе-
нию расстояния между точкой А и плоскостью а и устано-
вить рациональный машинный алгоритм решения (см.
рис. 355...357).

197.	Решить различными способами задачу по определе-
нию расстояния между параллельными прямыми а и b и ус-
тановить рациональный машинный алгоритм решения (см.
рис. 349... 350).

198.	Решить различными способами задачу по определе-
нию расстояния между скрещивающимися прямыми а и b
и. установить рациональный машинный алгоритм решения
(см. рис. 367...369).
Г л а в а VII

КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ

199.	Провести через точку А прямую, параллельную
плоскостям аир (рис. 413, 414).

200.	Найти в плоскости а (т\|п) точку Д', равноудален-
ную от точек АВС (рис. 415).

201.	Провести на плоскости а через точку Аса пря-
мую, параллельную плоскости р (рис. 416).

202.	Провести прямую т^А, параллельную плоскости
а (а||6) и пересекающую прямую с (рис, 417).

203.	Провести через точку А прямую т, пересекающую
заданные прямые an b (рис. 418).

204.	Пересечь заданные прямые (АВ) и (СО) прямой т,
параллельной прямой (EF) (рис. 419).

205.	Определить на плоскости а множество точек, рав-
ноудаленных от точек А и В (А £ а и В £ а) (рис. 420).

206.	Построить в плоскости а (а||Ь) множество точек,
равноудаленных от концов отрезка АВ (рис. 421).

207.	Построить проекции равнобедренного треугольника
АВС с основанием ВС на прямой т, исходя из условия, что
его высота AD, равная 30 мм, лежит на прямой п и углы
при основании равны 30° (рис. 422).

208.	Построить проекции прямоугольного треугольни-
ка АВС с катетом ВС на прямой т, исходя из условия, что
радиус окружности, описанной около треугольника, равен
0,5 АВ (рис. 423).

209.	Построить проекции прямоугольника АВС с боль-
шей стороной ВС на прямой ВМ, исходя из условия, что от-
ношение его сторон равно 2 (рис. 424).

210.	Построить проекции квадрата ABCD с диагональю
BD на прямой т (рис. 425).

211.	Построить проекции квадрата ABCD со стороной
ВС на прямой т, если известно положение вершины квадра-
та точки А (рис. 426).

212.	Построить проекции прямоугольной трапеции
ABCD с большим основанием ВС на прямой ВМ, исходя из
Рис. 415

Рис. 416
157
Рис. 42S

условия, что AD = АВ\ CD — 1,2 ДВ; угол при вершине
В равен 90° (рис. 427).

213.	Построить проекции прямоугольной трапеции
ABCD, если известно, что АВ — AD, ВС — 2АВ и ВС при-
надлежит прямой т (рис. 428).

214.	Провести плоскость р, касательную к поверхности
сферы а в точке А £ а (рис. 429).

215.	Провести плоскость р, касательную к цилиндричес-
кой поверхности а и проходящую через точку А а
(рис. 430).

216.	Провести плоскость р, касательную к конической
поверхности а и проходящую через точку А (£ а (рис. 431).

217.	Провести плоскость р, касательную к поверхности
сферы а. и параллельную заданной плоскости у (рис. 432).
218.	Построить проекции сфери-
ческой поверхности а, радиус кото-
рой R = 25 мм, касательной к плос-
кости р в точке А £ р (рис. 433).

219.	Построить проекции сфери-
ческой поверхности а, центр кото-
рой находится в точке О, касательной
к плоскости р (рис. 434).

220.	Провести плоскость р, каса-
тельную к конической поверхности а
и параллельную данной прямой т
(рис. 435).

221.	Пересечь прямые тип пря-
мой, составляющей с плоскостью
угол 30° и плоскостью л2 — 45°
(рис. 436).

222.	Даны две скрещивающиеся
прямые тип. Через точку A G т

провести плоскость а, составляю-

щую г прямой т угол 30° и параллельную /? (рис. 437).

223.	Провести через точку А плоскость а, перпендику-
лярную к плоскости, заданной прямой т и точкой Д', оди-
наково наклоненную к плоскостям проекций (рис. 438).

224.	Через точку /С провести плоскость а, перпендику-
лярную плоскости р и у (1ЛВ}С) (рис. 439).
225.	Провести прямую т, перпендикулярную к плоскос-
ти а и пересекающую прямые а и b (рис. 440).

226.	Провести через точку А прямые, составляющие с
плоскостью а угол ср ° = 45° и пересекающие прямую т
(рис. 441).

227.	Найти на плоскости а, заданной прямой т и точкой
М, точку К, равноудаленную от внешних точек АВС
(рис. 442).

228.	Найти на плоскости а множество точек, равно-
удаленных от пересекающихся прямых тип (рис. 443).

Рис. 434


229.	Провести через прямую т плоскость а, пересекаю-
щую поверхность' сферы 0 по кругу радиусом 10 мм (рис.
444).

230.	Построить проекции прямого кругового конуса, вы-
сота которого ft = 60 мм, ось совпадает с заданной прямой
т, если известны совмещенное с плоскостью лг положение
Ло точки А, принадлежащей окружности основания, и точка
ах — точка схода следов плоскости основания (рис. 445).

231.	Построить проекции пирамиды SABC, исходя из ус-
ловия, что проекция его вершины S на основание совпадает
с центром тяжести его площади, а боковое ребро SC накло-
нено к плоскости основания под углом <р° (рис. 446).

232.	Построить проекции поверхности прямого круго-
вого цилиндра с осью на прямой т, если прямая а — каса-
тельная к этому цилиндру (рис. 447).

233.	Построить недостающие проекции прямых а и Ь,
если прямые а, Ь, с и точка А лежат в одной плоскости
(рис. 448).

234.	Построить проекции центра окружности радиусом
15 мм, лежащей в плоскости а и касательной к ее сле-
дам (рис. 449).

235.	Построить проекции ромба ABCD, если диаго-
наль BD лежит на прямой т, точка /< — точка пересече-
ния диагоналей, точка А принадлежит плоскости Л] и
расстояние от нее до плоскости л2 равно 10 мм, [ЛС] —
= 2[В£>]. Решить без преобразования чертежа (рис. 450).

236:	Построить проекции сферы радиусом 20 мм
с центром на прямой т, касательной к плоскости, кото-
рая задана прямыми а и b (рис. 451).
237.	Через точку А провести плоскость а, составляю-
щую с прямой т угол 30° (рис. 452).

238.	Построить плоскость, касательную к поверхно-
сти сферы и проходящую через прямую АВ (рис. 453).

239.	Провести через точку К прямую, параллельную
горизонтально-проецнрующей плоскости а и плоскости,
заданной прямой АВ и точкой С (рис. 454).

240.	Найти на плоскости а множество точек, равно-
удаленных от точек А и В этой плоскости (рис. 455).

241.	Провести через точку М прямой АВ перпендику-
лярную к ней прямую МК, пересекающую прямую CD
(рис. 456)
242. Построить проекции шара радиусом 20 мм, каса-
тельного к плоскости, заданной прямой АВ и точкой D,
если дана горизонтальная проекция точки С — центра
шара (рис. 457).

243.	Построить проекции шара радиусом 20 мм, каса-
тельного к плоскости, заданной двумя параллельными
прямыми АВ и DE, если дана фронтальная проекция
точки С — центра шара (рис. 458).

244.	Провести через точку М плоскость, перпендику-
лярную к плоскостям а и р (рис. 459).

245.	Построить множество точек пространства, равно-
удаленных от пересекающихся прямых АВ и АС
(рис. 460).

246.	Найти на прямой АВ точку, равноудаленную от
плоскостей аир (рис. 461)

247.	Построить на плоскости а прямоугольный тре-
угольник АВС с вершиной В прямого угла на горизон-
тальном следе плоскости, если дана фронтальная проек-
ция стороны АС (рис.462).

248.	Построить на плоскости а множество точек, уда-
ленных от внешней точки А на 30 мм (рис. 463).

249.	Построить траекторию точки С, движущейся во-
круг прямой А В (рис. 464).

250.	Построить проекции куба с основанием ABCD,
со стороной ВС на прямой ВМ, если даны отрезок АВ и
горизонтальная проекция перпендикулярной к нему пря-
мой ВМ (рис. 465).

251.	Построить проекции прямой, правильной призмы
высотой 5 = 40 мм и с основанием АВС на плоскости а,
если дана фронтальная проекция А"В" ее основания
(рис. 466).

252.	Построить проекции куба с основанием АВС на
плоскости а, если дана сторона АВ его основания в сов-
мещенном положении на фронтальной плоскости проек-
ции яг (рис. 467).

253.	Построить проекции куба с основанием ABCD,
исходя из условия, что одна из его боковых сторон сов-
падает с прямой 1 (Г, 1") и дана фронтальная проек-
ция перпендикулярного к ней отрезка АС (рис. 468).

254.	Построить проекции прямого кругового конуса,
высота которого h = 40 мм, а ось расположена на задан-
ной прямой 1 (Г, 1"), если даны точка Ло окружности
его основания в совмещенном положении с горизонталь-
ной плоскостью проекции и точка Ха — точка схода
следов плоскости основания (рис. 469).
255. Построить проекции прямого кругового конуса,
высота которого й = 40 мм, а ось расположена на задан-
ной прямой ] (Г, 1"), если дана точка С — центр его
основания радиусом 15 мм (рис. 470).

Рис. 466

Рис. 467

256.	Провести через точку S прямую, принадлежащую
плоскости а и составляющую с горизонтальной плоско-
стью проекции П1 угол 60° (рис. 471).

257.	Провести через точку S прямую, параллельную
плоскости а и составляющую с прямой АВ угол 30°
(рис. 472).

258.	Найти на прямой АВ точки, удаленные от точки
С на расстояние 20 мм (рис. 473).

168	»
Рис. 473

Рис. 474

Рис. 475
Рис. 476

259.	Построить проекции шара радиусом 15 мм, каса-
тельного к данному шару, если центр искомого шара
лежит на прямой АВ (рис. 474).

260.	Построить следы плоскости 0, касательной к по-
верхности конуса и перпендикулярной к плоскости а
(рис. 475).

261.	Провести через прямую АВ плоскость, составля-
ющую с плоскостью проекции ni угол 60° (рис. 476).

262.	Построить прямоугольный треугольник CDK
с вершиной К прямого угла на прямой АВ (рис. 477).

263.	Провести через точку 5 плоскость 0, наклонен-
ную к плоскости проекции щ под углом 30° и перпенди-
кулярную к плоскости а (рис. 478).

264.	Провести через точку S плоскость а, наклонен-
ную к плоскости проекции т под углом 45° и параллель-
ную прямой АВ (рис. 479).
265.	Провести через прямую АВ плоскость а, удален-
ную от точки С на 15 мм (рис. 480).

266.	Построить проекции прямого кругового цилинд-
ра с осью на прямой CD, если прямая АВ — касательная
к этому цилиндру (рис. 481).

267.	Провести через точку М плоскость, параллель-
ную прямой АВ и удаленную от точки С на 15 мм
(рис. 482).

268.	Провести через прямую АВ плоскость а, удален-
ную от прямой CD на 15 мм (рис. 483).

269.	Отрезок АС — гипотенуза прямоугольного тре-
угольника АВС, вершина прямого угла находится на
прямой а. Построить проекции треугольника (рис. 484).

270.	Построить проекции правильной треугольной
призмы, два ребра которой совпадают с данными пря-

Рис. 482	Рис. 483
мыми т и п, а нижнее основание лежит в плоскости а, :
проходящей через точку А. Высота призмы й = 40 мм J
(рис. 485).	I

271.	Построить проекции конуса вращения с верши- |
ной в данной точке S. Прямая т — одна из образую- |
щих конуса. Окружность основания лежит в плоскости, |
заданной прямыми а и h (рис. 486).	1

272.	Построить проекции цилиндра вращения, осью |
которого является прямая I. Поверхность цилиндра ка- Я
сается прямой т; точка О — центр нижнего основания 1
цилиндра, а его высота /г = 40 мм (рис. 487).	я

273.	Поворотом вокруг оси ВС точку А совместить .1
с поверхностью конуса вращения (рис. 488).	т!
Рис. 488	Рис. 489

274.	Поворотом вокруг оси ВС точку А совместить
с косой плоскостью (рис. 489).

275.	Даны точки А, М, N и L. Построить параллело-
грамм ABCD, у которого вершина В лежит на плоско-
сти Л|, сторона CD лежит на прямой, равноудаленной от
точек L, М и N, вершина D равноудалена от плоскостей
nt и л2 (рис. 490).

276.	Поворотом вокруг фронтали f ввести точку А
в плоскость л2 (рис. 491).

«вит
277. На прямой АВ найти точки, отстоящие от оси х

278.	Построить фронтальную проекцию прямой CD,
параллельную прямой АВ, если расстояние между ними
равно 20 мм (рис. 493).

279.	Провести прямую MN, равноудаленную от пря-
мых АВ, CD, EF и параллельную прямой CD (рис. 494).

280.	Провести прямую, равноудаленную of четырех
заданных точек А, В, С и D (рис. 495).
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие............................................  3

Обозначения и'символы . ............................ .	4

Введение . ...........................................   8

§ 1.	Метод проекций . . . .......................... 8

§ 2.	Инвариантные свойства параллельного проеци-
рования ...................................... ....	12

§ 3.	Теорема о частном случае проецирования прямого
угла..............................................   17	'

§ 4.	Основные фрагменты графического решения задач 18

§ 5.	Определение точки пересечения прямой с плоско-
стью .............................................  24

§ 6.	Определение расстояния между двумя точками 25

§ 7.	Определение угла между двумя прямыми .... 26

§ 8.	Методические указания к решению задач ... 28

Глава	I. Проецирование геометрических фигур.........30

§	9.	Проецирование	точки.............30

§	10.	Проецирование	линии.............34

§	11.	Проецирование	поверхности.......37

Глава II. Способы преобразования ортогональных про-
екций ..........................................43

§	12.	Способ	замены плоскостей	проекции...46

§	13.	Способ	параллельного	перемещения....55

§ 14.	Вращение вокруг оси, перпендикулярной к пло-
скости	проекции.........................  60

§ 15.	Вращение вокруг оси, параллельной плоскости
проекции (вращение вокруг главных линий пло-
скости) ...................................    63

§ 16.	Совмещение (вращение вокруг следа плоскости) 66

Глава III. Позиционные задачи......................71

Задачи на принадлежность.........................71

§ 17.	Принадлежность точки линии................72

§ 18.	Принадлежность точки поверхности..........74

§ 19.	Принадлежность линии поверхности..........81

Задачи на пересечение............................83

§ 20.	Пересечение линий.................*	. . . . 83

§ 21.	Пересечение поверхностей...............  .	85

§ 22.	Пересечение линии с поверхностью . . . ... .110
Глава IV. Метрические задали..........................117

§ 23.	Построение взаимно перпендикулярных прямой
и'плоскости........................................117

§ 24.	Определение расстояния между двумя точками 121

§ 25.	Определение расстояния между точкой и прямой 123

§ 26.	Определение расстояния между параллельными
прямыми............................................126

§ 27.	Определение расстояния между точкой и плоскостью 127

§ 28.	Определение расстояния между параллельными
плоскостями.................. . ...................129

§ 29.	Определение расстояния между скрещивающимися
прямыми..........................................  132

§ 30.	Определение угла между двумя прямыми . . . 134

§ 31.	Определение угла между прямой и плоскостью . . . 136

§ 32.	Определение угла между плоскостями ..... 138

§ 33.	Определение угла между скрещивающимися пря-
мыми ..............................................141

Глава V. Развертка	поверхностей......................143

§ 34.	Способы построения	разверток................143

Глава VI. Определение рационального машинного алгорит-
ма решения задач................................  150

§ 35.	Способ записи алгоритма, составленного на базе
графического решения задач  ......................150

§ 36.	Составление схем счета машинных алгоритмов 152

Глава VII. Комбинированные задачи.....................155