Н. Н. БОГОЛЮБОВ
А. А. ЛОГУНОВ
И. Т. ТОДОРОВ
ОСНОВЫ
АКСИОМАТИЧЕСКОГО
ПОДХОДА
В КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
^издательство «наука»
^главная редакция
"физико-математической литературы
>:МОСКВ A 1S69

530.1
Б 74
УДК Б30.14Б
®
Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля.
Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т.,«Наука»,
Главная редакция физико-математической литературы, 1969 г.
Монография посвящена систематическому изложению
различных направлений аксиоматического подхода.
Первая глава имеет вспомогательный характер: она
содержит необходимые для дальнейшего сведения нэ
функционального анализа н теории обобщенных функций.
Во второй главе рассматривается пространство векто-
ров состояния и формулируются те принципы релятнвяст-
ской квантовой теории, иоторые не требуют введения ло-
кальных величин: принцип инвариантности относительно
гру<и:ы Пуанкаре и условие спектральности.
В третьей главе излагается уайтмановская формулн-
ровиа теории локальных квантованных полей и даются
примеры свободных и обобщенных свободных полей.
Четвертая глава вилючает обзор теории рассеяния
Хаага — Рюеля, ее связь с теорией ЛСЦ, а также S-мат-
ричный подход БМП.
Пятая глава содержит некоторые примененяя развя-
того аппарата — теорему об общем виде инвариантных
аналитических функций, ГСР-теорему, теорему о связи
спина со статистикой и т. д.
В ионце неиоторых глав помещены дополнения. Вну-
три всех глав даются упражнения, ко?орые составляют
неразрывную часть текста.
Рис. 2, библ. 42Б назв.
Николай Николаевич Боголюбов
Анатолий Алексеевич Логунов
Иван Тодорович Тодорое
Основы аксиоматического подходе в кван
М., 1S69 г., 424 стр. с влл.
Редактор И. Г. Вирко
Техн. редактор И. Ш, Аксельрод
Корректор Л. С. Сомова
Сдано в набор 5/1V 1S69 г. Подписано к печати 21Д 1S69 г
Бумага бОХвО'/ц. Фиа. печ. л. 26,5. Условн. печ. л. 26,&
Уч.-иэд. л. 26,59 Тираж Б600 экз. Т-1Э286. Цена квнгн 1 р. 81 к.
Закаа № 116.
Издательство «Наука»
Главная редакция фиаиио-матемвтической литературы
Москвл, В-71 Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография N° S имени Евгении Соколовой
Глааполкгряфпрома Комитета по печати
при Гшктг Министров СССР. Измайловский проспект, 29,
Я-.Ч-И
U Ил .in аи

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 9
Место аисиоматнчесиого подхода в квантовой теории поля 9
План изложения 12
Что должен знать читатель? 13
Глава 1. Элементы тесряя обобщенных функций я функционального
анализа 15
Краткое содержание 15
§ 1. Некоторые сведения из функционального анализа 16
1.1. Линейные нормированные пространства A6). 1.2. Линейные
функционалы и сопряженные пространства B0). 1.3. Счетно-нор-
мированные пространства и пространства,сопряженные к ним B2).
1.4. Теорема о ядре. Ядерные операторы и ядерные простран-
ства B8). 1.5. Оснащенное гильбертово пространство C1). 1.6. Л н-
нейные операторы в оснащенном гильбертовом пространстве C2).
$ 2- Обобщенные функции и действия над ними 38
2.1. Определение обобщенных функций в терминах линейных
функционалов C8). 2.2. Определение обобщенных функций как
классов фундаментальных последовательностей D2). 2.3. Пре-
образование аргументов н дифференцирование обобщенных
функций D5). 2.4. Умножение обобщенной функции на гладкую
функцию. Проблема деления D9).
$ 3. Преобразование Фурье обобщенных функций н дифференциаль-
ные уравнения 54
3.1. Преобразование Фурье основных и обобщенных функ-
ций E4). 3.2. Свертка обобщенных функций E8). 3.3. Дифферен-
циальные уравнения с обобщенными функциями. Уравнения типа
свертки F0). 3.4. Фундаментальное решение волнового уравне-
ния F2). 3.5. Лоренц-ннварнантные обобщенные функции F6).
Дополнения 71
А. Преобразование Фурье запаздывающих функций 71
Б. Произведения обобщенных функций с совпадающими особеино-
стямя 77
Литературные указания 81
Глава 2. Общяе иринцияы релятивистской жваятовсй тесряя .... 83
Краткое содержание . , , . 83
§ 1. Пространство состояний 85
|.1. Оснащенное гильбертово пространство и обобщенные со-
стояния (85). 1.2. Квантовая механика с / степенями сво-
боды (89). 1.3. Прямые суммы гильбертовых пространств. Пра-
вила суперотбора (92).
!•

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
$ 2. Релятивистская инвариантность квантовой теории 97
2.1. Группа Лоренца и группа Пуанкаре (97). 2.2. Собственная
группа Лоренца и группа двухрядных матриц с определите-
лем 1 (99). 2.3. Требование релятивистской инвариантности A03).
§ 3. Неприводимые представления группы Пуанкаре и принцип
спектральности 106
3.1. Алгебра Ли группы Пуанкаре. Инвариантные опера-
торы A06). 3.2. Классификация неприводимых представлений
группы 93О- Принцип спектральности A11). 3.3. Описание пред-
ставлений, соответствующих частицам с положительной мас-
сой A12). 3.4. Пространственное и временное отражения. Пред-
ставления общей группы Пуанкаре A20).
§ 4. Четырехкомпонентные спиноры н уравнение Дирака 122
4.1. Спинорное представление группы SL B) н пространственное
отображение A23). 4.2. Алгебра у-матриц. Инвариантная запись
биспинорного представления A24). 4.3. Дискретные преобразо-
вания спиноров. Инвариантные билинейные формы A27). 4.4. Раз-
личные реализации у-матриц A30). 4.5. Уравнение Днрака A32).
4.6 Спинорное предетавление группы Пуанкаре A35).
f 5. Примеры: пространства скалярных н спинорных частиц .... 139
5.1 Определение оснащенного гильбертова пространства скаляр-
ных нейтральных частиц без связанных состояний A39). 5.2. Пред-
ставление группы Пуанкаре в пространстве &С. Разложение
пространства cVs в прямую сумму неприводимых инвариантных
пространств A44). 5.3. Пространство заряженных спииорных
частиц A48).
Дополнение А. Сводка определений н результатов теории групп
Лн и нх представлений 151
АЛ. Алгебраические и топологические свойства групп. Опреде-
ление групп Ли A51). А.2. Линейные представления групп A55).
А.З. Алгебра Ли A59). А.4. Основные теоремы Ли A64).
Литературные указания - 169
Глава 3. Локальнее квантованное поле и функции Уайтмана .... 171
Краткое содержание 171
% 1. Определение н свойства локального квантованного поля . . . 172
1.1. Понятие релятивистского операторного поля A72). 1.2. Прин-
цип локальности A7Б). 1.3. Требование полноты: цикличность
вакуума и неприводимость поля A77).
§ 2. Функции Уайтмана 182
2.1. Вакуумные средние от произведений операторов поля. Ре-
лятивистская инвариантность A82). 2.2. Следствия нз постулатов
спектральности, локальности и положительной определенности
метрики A86). 2.3. Условие единственности вакуума. Асимпто-
тическое разбиение на пучки A-91). 2.4. ^существование реля-
тивистского квантованного поля, заданного в точке A99).
§ 3. Восстановление теории по функционалу Уайтмана 302
3.1. Функционал Уайтмана и его свойства в теории скалярного
поля B02). 3.2. Восстановление оснащенного гильбертова про-
странства и оператогов поля по функционалу Уайтмана B07).
f 4. Примеры: свободные н обобщенные свободные поля 213
4.1. Свободное скалярное нейтральное поле с массой B13).
4.2. Заряженное скалярное пЪле B19). 4.3. Свободное спинорное
поле B21). 4.4. Вторично квантованное представление дискрет-
ных операций Р, Т к С B26). 4.5. Обобщенные свободные поЛЧ,
Представление Чедлена- Лемана B82),

ОГЛАВЛЕНИЕ 8
Дополнение А. Сводка инвариантных решений уравнения Клей-
на—Гордона и перестановочных фуниций свободных полей. . . 237
Литературные уиаэания 239
Глава 4. Асимптотические условии и теории столкновений. Аксиома-
тический теории ^-матрицы 241
Кратное содержание 241
f 1. Теория рассеяния Хаага — Рюеля 244
1.1. Вводные замечания B41). 1.2. Асимптотические условия Ха-
ага—Рюеля. Формулировка результатов B44). 1.3. Свойства
гладких решений уравнения Клейна — Гордона B49). 1.4. Дока-
зательство теорем 4.1.1 и 4.1.2 B53). 1.5. Требование асимпто-
тической полноты. Возможные обобщения B56).
§ 2. Асимптотнчесиие условия Лемана —Симанэика — Циммермана и
причинные функции Грина 257
2.1. Вводные замечания B57). 2.2. Асимптотические условия и
уравнения Янга— Фельдмана B60). 2.3. Редукционная фор-
мула B66).
§ 3. 5-матричнаи формулировка основных требований локальной
теории 271
3.1. Вводные замечания B71). 3.2. Асимптотические состояния и
матрица рассеяния — общие свойства B73). 3.3. Вариационные
производные S-оператора и принцип микропричинности B77).
3.4. Связь с теорией ЛСЦ B82). 3.5. О выборе класса обобщен-
ных функций, совместимом с лоиальными свойствами B88).
3.6. Запаздывающие и опережающие'радиационные операторы B93).
3.7. Четырехточечные функции Грина. Примитивные области
аналитичности B94). 3.8. Принцип спектральности и области сов-
падения четырехточечных функций Грина в импульсном про-
странстве B99). 3.9. Тождества Штейимана C02).
§ 4. Получение перенормированного ряда теории возмущений нз ос-
новных принципов 304
4.1. Вводные замечания C04). 4.2. Природа расходимостей в соб-
ственной энергии во втором порядке теории возмущений C08).
4.3. Регуляриэованная форма основного уравнения D.4.1) C11).
4.4. Итерационное решение ураннении D.4.42) в случае взаимо-
действия двух сиалярных полей C15).
Литературные указания 318
Глава 5. Следствия из релитивистской инвариантности квантовой
теории: TCP, спии и статистика, теорема Хаага 320
Краткое содержание 320
f 1. Лоренц-ковариантные функции, аналитические в трубчатой
области 322
1.1. Вводные замечания C22). 1.2. Нормальная форма комплекс-
ных преобразований Лоренца C22). 1.3. Теорема Баргмана —
Холла — Уайтмана C26). 1.4. Вещественные точки расширенной
трубчатой области C30). 1.5. Общий вид лоренц-инвариантных
функций, аналитичесиих в трубчатой области C32). 1.6. Общий
вид коварнантных амплитуд упругого рассеяния C37).
§ 2, ГСР-инвариантность локальной теории и классы эквивалент-
ности Борхерса 338
2.1. ГСР-преобразованне функций Уайтмана C38). 2.2. Аналитич-
ность 8 симметриэоранной трубчатой области и слабая

в ОГЛАВЛЕНИЕ
ная коммутативность C43). 2.3. 7'СР-теорема C48). 2.4. Классы
эквивалентности Борхерса C53). 2.5. Примеры применения. За-
дача описания совокупности всех полей с заданной S-матрн-
цей C56).
§ 3. Связь спнна со статистикой 358
3.1. Вводные замечания C58). 3.2. Невозможность аномальных
перестановочных соотношений в теории одного поля C62).
3.3. Спин н статистика в случае системы полей. Преобразование
Клейна C64). 3.4. Парастатистики C68).
§ 4. Перестановочные соотношения при равных временах. Некоторые
отрицательные результаты 375
4.1. Вводные замечания C75). 4.2. Теорема Хаага и ее обобще-
ния C75). 4.3. Неэквивалентные представления канонических
перестановочных соотношений. Возможное истолкование теоремы
Хаага C82). 4.4. О невозможности описать «нарушенную сим-
метрию» зависящим от времени унитарным оператором C86).
Дополнение. А. Формулировка квантовой теории поля в тер-
минах алгебр локальных наблюдаемых 387
А.1 Вводные замечания C87). А.2. Алгебры с инволюцией и их
реализации при помощи ограниченных операторов в гильберто-
вом пространстве C88). А.З. Алгебраическая формулировка кван-
товой механики C91). А.4. Формулировка квантовой теории поля
в терминах алгебр ограниченных операторов C94). А.5. Обзор
результатов C97).
Литературные указания 402
Литература 405
Предметный указатель 423

ПРЕДИСЛОВИЕ
В конце 1960 года нами была задумана монография об об-
щих принципах квантовой теории поля и их экспериментальных
Следствиях. В этой монографии должны были быть изложены
I первую очередь новые сдвиги в теории дисперсионных соотно-
шений, которые не были отражены в книге Боголюбова, Медве-
дева и Поливанова [1]. В качестве введения мы хотели вклю-
ЧИТЬ обзор по различным направлениям в аксиоматическом под-
КОДе, в котором нашли бы свое место не только формулировка
Воголюбова, Медведева и Поливанова (БМП), основанная на
•гпарате вариационных производных от S-матрицы и на усло-
Шк микропричинности, но также и полевая формулировка, свя-
дакная с именами Уайтмана, Хаага, Лемана, Симанзика, Цим-
4Мфмана и др. С течением времени задачи (а вместе с ними и
Овьем) этого введения все больше расширялись4), пока в конце
Концов из него не получился настоящий том.
Тем временем вышли в свет (и были переведены на русский
|6ык) две превосходные книги по общей теории квантованных
ней, написанные теоретиками, внесшими фундаментальный
над в полевое направление аксиоматического подхода [2, 3].
сравнению с ними настоящая монография содержит еще
«Матричную формулировку основных принципов теории и об-
суждение связи разных формулировок (гл. 4). Кроме того,
сь значительно больше внимания уделяется групповым ас-
гам теории: излагаются необходимые сведения вигнеровской
арии унитарных представлений группы Пуанкаре, подробно
датриваются дискретные преобразования полей, показана
зможность описать нарушенную симметрию зависящим от
ени унитарным оператором в теории поля с невырожден-
4М вакуумом.
Настоящий том имеет сугубо теоретический характер, что,
венно, сказывается и на стиле изложения. Нас, однако,
покидает надежда, что вслед за ним последует второй том,
ященный дисперсионным соотношениям, асимптотическим
]л •) Некоторый промежуточный этап работы нашел отражение в лекциях
рдорова A964).

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
равенствам между амплитудами и другим экспериментально
проверяемым следствиям общих принципов квантовой теории
поля (здесь же из такого рода приложений вошли лишь ТСР-
теорема и теорема о связи спина со статистикой).
Книга рассчитана на физиков-теоретиков и на математиков,
интересующихся принципиальными вопросами квантовой тео-
рии поля. Хотя мы приложили усилия к тому, чтобы сделать
изложение независимым от других источников, настоящую кни-
гу нельзя рекомендовать для первоначального ознакомления
с квантовой теорией. Кроме знакомства с обычным курсом
квантовой механики, полезно иметь хотя бы общие представле-
ния о квантовой теории поля (например, в рамках первых трех
глав монографии Боголюбова и Ширкова [4] или книги Хенли
и Тирринга [5]).
Вспомогательный математический материал, выходящий за
рамки программы первых двух лет обучения на физико-матема-
тических факультетах (сведения из функционального анализа,
теории обобщенных функций, теории представлений групп), из-
лагается, хотя и в схематичной форме, в тексте.
Авторы считают своим приятным долгом выразить искрен-
нюю благодарность В. С. Владимирову, М. Б. Менскому и
А. И. Оксаку за ряд ценных замечаний, которые авторы учли
при работе над рукописью, а также Л. Тодоровой за большую
помощь в оформлении рукописи книги.
Авторы
Декабрь 1968 г.

ВВЕДЕНИЕ
Место аксиоматического подхода
квантовой теории поля
Весьма распространено мнение, что аксиоматика является
§ем-то вроде лоска, который наводится на данную область нау-
Ы после ее фактического завершения. Это неправильно даже
(ю отношению к чистой математике. Если принять, что аксио-
•атика арифметики и евклидовой геометрии в наше время яви-
шсь завершением этих областей (хотя она в то же время дала
ищу для новой науки — математической логики, или метама-
Бматики), то в современных разделах математики, таких как
$ункциональный анализ, аксиоматика является основным мето-
, с нее эти разделы начинаются (хотя сама система аксиом
юдифицируется с развитием данной области). В теоретической
физике еще со времен Ньютона аксиоматический метод слу-
?ил не только для систематизации уже полученных результа-
нт, но и для получения новых.
Содержание аксиоматики постепенно менялось в сторону
(ольшей общности и абстрактности. Лагранжев метод, который
ерь считается частным примером, был создан в прошлом
еке на основе одного из наиболее общих физических принцн-
юв: принципа наименьшего действия. Аксиоматический подход
квантовой теории поля возник не только за счет непрерыв-
но и естественного стремления к обобщениям, но прежде
всего потому, что лагранжев подход и метод теории возмуще-
ний в релятивистской квантовой теории столкнулись с принци-
пиальными трудностями. Серьезный анализ этих трудностей
дозможен лишь на основе изучения формализма стандартной
квантовой теории поля, что выходит за рамки настоящей книги
/(см., например, [4] или [6]). Для читателей, знакомых с терми-
нологией цитированных монографий, укажем только, что совре-
менная теория, основанная на лагранжевом формализме, дает
Лишь рецепт построения перенормированного ряда теории воз-
Кущений, соответствующего формальным уравнениям для
Юаимодействующих полей. При других (непертурбационных)
Подходах к этим уравнениям нет даже однозначного рецепта

10 ВВЕДЕНИЕ
устранения возникающих расходимостей. Такая ситуация заве-
домо неудовлетворительна в случае сильных взаимодействий,
где параметр разложения — константа связи g — больше еди-
ницы.
Первая попытка выйти за рамки лагранжева подхода вос-
ходит к Гайзенбергу A943). Анализируя, что на самом деле из-
меряется в физике элементарных частиц, Гайзенберг приходит
к выводу о том, что основной наблюдаемой является матрица
рассеяния, и предлагает строить теорию прямо в терминах эле-
ментов S-матрицы, устраняя понятие поля, адиабатическую ги-
потезу выключения взаимодействия (лежащую в основе теории
возмущений) и т. п. Оказалось, однако, что подход Гайзенберга
слишком радикален. Полное изгнание локальных величин из
теории лишает нас возможности рассматривать развитие си-
стемы в пространстве и времени, учитывать принцип причин^
ности.
На практике столь общая постановка, включающая лишь
условия лоренц-инвариантности и унитарности, не дает возмож-
ности получить нетривиальные, динамические предсказания об
элементах S-матрицы. Поэтому дальнейшее развитие аксиома-
тического подхода в пятидесятых годах пошло по пути изуче-
ния локальных величин. При этом в начале выделились по
крайней мере три разных направления. В подходе Уайтмана
и др.*) основной величиной является гайзенбергово поле.
Асимптотические условия, которые вначале были сформулиро-
ваны Хаагом в виде независимой гипотезы, и матрица рассея-
ния возникают на более позднем этапе. В этом смысле подход
Уайтмана наиболее традиционен. Работы в этом направлении
отличаются, как правило, большой тщательностью математиче-
ских формулировок и доказательств. Ближе к первоначальной
программе Гайзенберга стоит подход Боголюбова, Медведева
и Поливанова [1], в котором основной величиной является S-one-
ратор, рассматриваемый как функционал от асимптотических
(свободных) полей, а локальные .токи и радиационные опера-
торы определяются как вариационные производные от 5-опера-
тора по классическим добавкам к асимптотическим полям. Этот
подход более непосредственно связан с наблюдаемыми величи-
нами, и не случайно именно на этом пути впервые были уста-
новлены дисперсионные соотношения [1]. С другой стороны,
установление соответствия с классической полевой трактовкой
требует дополнительного исследования. Промежуточное место
занимает подход Лемана, Симанзика и Циммермана (ЛСЦ).
На первый взгляд этот подход примыкает к формулировке Уайт-
*) См. литературные указания к каждой главе.

ВВЕДЕНИЕ П
МДНа, так как в формализме ЛСЦ с самого начала входит но-
МЯТие гайзенбергова поля. На самом же деле ЛСЦ оперирует
Не время с упорядоченными (Г-) произведениями гайзенберго-
ВЫХ полей*), которые не имеют точного определения (их фор-
мальное определение включает произведение обобщенной опе-
раторной функции на разрывную 6-функцию) и поэтому должны
Считаться основными величинами теории. Но эти величины, как
МЫ увидим, тесно связаны с радиационными операторами в под-
ЯОде БМП. В шестидесятые годы были в большой степени выяс-
МНЫ связи между этими исторически независимо возникшими
Исправлениями, хотя полного понимания их взаимоотношения
Шй/t ие достигнуто. Вместе с этим в последние годы возникло
¦ОВое аксиоматическое направление (связанное главным обра-
•ОМ с именами Хаага, Араки и Кастлера), основанное на рас-
смотрении алгебр ограниченных операторов, соответствующих
ЛОХальным наблюдаемым. О результатах этого направления
4Ще рано судить, и мы касаемся его лишь в дополнении к пя-
МЯ главе.
В широком фронте, по которому идет современная теория
•Ммеитарных частиц, аксиоматический подход в нашем пони-
Мании занимает сравнительно небольшое место (в особенности,
МлН судить по числу публикаций). Экспериментально прове-
ряемых результатов в аксиоматическом подходе не очень много:
•ТО ГСР-теорема, связь спина со статистикой, дисперсионные
Соотношения для ограниченного числа процессов, некоторые
]Иммптотические соотношения для амплитуд рассеяния. Однако
Недолговечность феноменологических результатов теорий, осно-
фМНЫХ на ряде специальных допущений, приводит к возра-
стающему интересу к тем немногим результатам, которые вы-
ЯОДЯТСЯ лишь из основных принципов квантовой теории; эти
ЯрКнципы — релятивистская инвариантность, существование пол-
¦ОЙ системы состояний с положительной энергией, микропричин-
Юсть.
Основная проблема, из-за которой возник аксиоматический
Аодход, — совместимы ли принципы релятивистской локальной
'" ютовой теории поля с существованием нетривиальной мат-
КЫ рассеяния — до сих пор не решена. Пока еще нет ни при-
ра, ни хотя бы доказательства существования нетривиальной
рии, удовлетворяющей всем аксиомам. По существу, един-
енный имеющийся пример — это теория свободных полей
которой S-матрица тождественно равна единице). Эта проб-
«а связана также с практическим вопросом о нахождении
*) Мы отсылаем читателя, незнакомого с элементами квантовой теории
.1 и с употребляемой здесь терминологией, к четвертой главе этой кнкгк
8), где дано систематическое изложение теории ЛСЦ.

16 ВВЕДЕНИЕ
самосогласованного непертурбационного метода приближенного
вычисления S-матричных элементов.
Настоящая монография посвящена систематическому изло-
жению различных направлений аксиоматического подхода и их
взаимосвязи.
План изложения
Первая глава имеет вспомогательный характер: она содер-
жит необходимые для дальнейшего сведения из функциональ-
ного анализа и теории обобщенных функций. Эта глава напи-
сана конспективно и, разумеется, не может заменить система-
тического изложения затрагиваемых вопросов: почти все
результаты приведены без доказательств, далеко не все опреде-
ления и утверждения сопровождаются наводящими соображе-
ниями.
Систематическое изложение начинается со второй главы.
В ней рассматривается пространство векторов состояний и фор-
мулируются те принципы релятивистской квантовой теории,
которые не требуют введения локальных величин: принцип ин-
вариантности относительно группы Пуанкаре (т. е. неоднород-
ной группы Лоренца) и условие спектральности (т. е. существо-
вание полной системы физических состояний с положительной
энергией). В дополнении к этой главе приведены основные све-
дения из теории групп Ли.
В третьей главе излагается уайтмановская формулировка
теории локальных квантованных полей. Почти одна треть этой
главы посвящена примерам свободных и обобщенных свобод-
ных полей.
Четвертая глава включает обзор теории рассеяния Хаага —
Рюеля, ее связь с теорией ЛСЦ, а также S-матричный подход
БМП.
Пятая глава содержит некоторые применения развитого ап-
парата, в том числе теорему об общем виде инвариантных ана-
литических функций, ГСР-теорему, теорему о связи спина со
статистикой, а также некоторые отрицательные результаты от-
носительно канонической формулировки квантовой теории поля
(в первую очередь теорему Хаага). Эту главу можно при жела-
нии читать сразу после первого параграфа четвертой главы.
Каждая глава начинается кратким содержанием и кон-
чается разделом литературных указаний. Список литературы
разделен на две части. В первой из них помещены учебники и
монографии: ссылки на этот список даются цифрами в квадрат-
ных скобках. Вторая часть этого списка содержит журнальные
статьи, препринты и лекции на семинарах и школах. Ссылки

ВВЕДЕНИЕ 13
на $ту часть списка даются фамилией первого автора (если
авторов больше, чем два) и годом, например, Гайзенберг A943).
Многочисленные упражнения, напечатанные мелким шриф-
том, составляют неразрывную часть текста. На них имеются
ссылки в дальнейшем, и независимо от того, будут проверяться
приведенные в упражнениях утверждения или нет, их необхо-
димо читать. Часть доказательств и некоторые замечания мате-
матического характера также напечатаны мелким шрифтом.
При первом чтении их можно опустить.
Формулы, теоремы, леммы и упражнения имеют тройную
нумерацию: первая цифра относится к главе, вторая — к пара-
Графу, а третья является порядковым номером.
По поводу часто встречаемых обозначений отметим, что все
координаты 4-векторов у нас вещественны, и метрический тен-
•ор в пространстве Минковского определяется равенствами
fl°° = --g** = 1, k = 1,2, 3 {gv* *= 0 при n=?v,n.v=0,1,2,3).
{Трехмерная (пространственная) часть 4-вектора р обозначает-
жирным шрифтом, так что р=(р°, р), Р2=(Р0J — Р2. Всюду
ринята система единиц, в которой с = й=1.
должен знать читатель?
Как упоминалось в предисловии, ознакомлению с дедуктив-
ым изложением общей теории квантованных полей по данной
йиге должно предшествовать хотя бы общее знакомство с исто-
ическим развитием и основными идеями стандартной формули-
овки квантовой электродинамики и теории элементарных ча-
шц. Первоначальная (до сих пор полностью не решенная) за-
ма, стоящая перед аксиоматическим подходом, заключалась
том, чтобы отобрать и четко сформулировать заслуживающие
верия свойства формального аппарата, связанного с лагран-
евым или гамильтоновым формализмом. Поэтому для крити-
бского восприятия данного изложения и для понимания ин-
ктивного происхождения основных постулатов теории необ-
>димо иметь представление об исходном материале, соста-
яяющем содержание «классической» квантовой теории поля.
Сравнительно компактное и в то же время достаточно пол-
изложение основных сведений по квантовой теории поля,
корые полезно знать, приступая к чтению настоящей книги,
Держится в первых 25 параграфах монографии [4] (с неболь-
ши исключениями мы придерживаемся тех же обозначений).
йн первоначального ознакомления с физическими основами
антовой теории поля можно рекомендовать уже упомянутую

14 ВВЕДЕНИЕ
книгу Хенли и Тирринга, в которой, в частности, рассматри-
вается ряд поучительных моделей. Основные характеристики,
Систематика и простое описание взаимодействий элементарных
частиц содержатся в монографии Нишиджимы [7] (для наших
целей достаточно иметь наиболее общие представления о ча-
стицах, содержащиеся, например, в первой главе книги Мар-
шака и Сударшана [8]). Любознательный читатель найдет эн-
циклопедическое изложение основ квантовой теории поля и
многочисленные ссылки на оригинальные работы в обширной
монографии Швебера [6]. Последовательное изложение теории
рассеяния, начиная с нерелятивистской квантовой механики и
коичая квантовой теорией поля, можно иайти в исчерпывающей
монографии Гольдбергера и Ватсона [9].

I Л А В А I
{ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Щ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
«, Обобщенными функциями называются линейные функ-
ционалы над пространством & быстро убывающих бес-
конечно гладких функций. Топология в пространстве
аРШи) определяется посредством счетной системы норм
ро(ы)= max supUaZJBu(x)|, 0 = 0, 1,2
|a|<a «ejj
где
Пространство основных функций & и сопряженное
к нему пространство обобщенных функций &* обладают
тем примечательным свойством, что при преобразова-
нии Фурье они непрерывно отображаются на себя (см.
дальше, лемма 1.3.1 и теорема 1.3.1). Наряду с про-
странством & вводится также пространство Sf(G) функ-
ций из &, обращающихся в нуль вне некоторой об-
ласти G.
Обобщенные функции можно дифференцировать
произвольное число раз (не выходя при этом за пре-
делы пространства <??*). Простейшие примеры диффе-
ренциальных уравнений, в которых неизвестная функ-
ция — обобщенная, рассмотрены в пп. 3.3 и 3.4 этой
главы.
Общий вид лоренц-инвариантной обобщенной функ-
ции в четырехмерном пространстве Rt, сосредоточенной
в точке х = 0, задается формулой f = Р(П)б(х), где
- д* д* д* д* п
? = = g о 5" » Р — Произвольный ПОЛиНОМ,
дх% Зх? д4 д4
Ь(х)—дельта-функция Дирака, определяемая форму-
лой A.2.2). В п. 3.5 этой главы дан общий вид всех ло-
ре нц-инвариантных обобщенных функций.

J6 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1
Обобщенная функция fT (х) (х е ?4) называется за-
паздывающей, если fr(x)**0 при к ,<: 0 (т.е. при х°<0
или jc24»jc°s — *2<0). Преобразование Фурье ]т(р) за-
паздывающей функции является предельным значением
аналитической функции fr(k), голоморфной в трубчатой
области Т* (Im fteV*, ]Re k s Ri). В дополнении А
сформулированы необходимые и достаточные условия
на функцию fr(k), чтобы функция fr(x) была запазды-
вающей (теорема 1.А.2).
В пространстве & общий вид билинейных функцио-
налов имеет форму, аналогичную форме билинейных
функций в конечномерном пространстве (теорема о
ядре). Дано общее определение некоторого класса про-
странств— ядерных пространств, е которых справедли-
ва аналогичная теорема. Оснащенным гильбертовым
пространством называется тройка пространств QaS^cz
с: ?3*, где Я — ядерное пространство, всюду плотно рас-
положенное в гильбертовом пространстве 36 (относи-
тельно сходимости, определяемой скалярным произве-
дением в &6, которое предполагается непрерывным отно-
сительно топологии в Я). В оснащенном гильбертовом
пространстве теория линейных самосопряженных опера-
торов приобретает простую и законченную форму. С при-
менением этого понятия в квантовой теории мы познако-
мимся в гл. 2.
§ I. Некоторые сведения из функционального анализа
1.1. Линейные нормированные пространства. К понятию ли-
нейного пространства мы приходим, рассматривая общие свой-
ства элементарных алгебраических операций — сложение и
умножение на число, с которыми мы встречаемся в обычной
векторной алгебре. Линейным пространством называется мно-
жество элементов любой природы, для которых определены
операции сложения и умножения на вещественное (или ком-
плексное) число с выполнением обычных для этих действий за-
конов. Элементами линейного пространства могут быть, напри-
мер, векторы в л-мерном евклидовом пространстве или множе-
ство непрерывных (или интегрируемых) функций, заданных на
некотором точечном множестве в конечномерном пространстве,
или функционалы, заданные-на некотором классе функций. Для
абстрактной теории линейных пространств конкретная природа
их элементов безразлична.
Приведем точные определения.

I I] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 17
Совокупность Я элементов и, v, w, ... называется линей-
ИЫМ пространством, если выполнены следующие условия:
1. В Q определено коммутативное и ассоциативное сложе-
ние. Это означает, что для каждых двух элементов и и v мно-
жества Я Однозначно определен третий элемент u + v, причем
la. u+v* v+u;
16. u+(v+w)~(u + v)+w;
Iв. При любых и и v существует элемент х, зависящий от и
В V, такой, что ы+х*=1> (этот элемент обозначается как v — и).
Условие 1в эквивалентно одновременному выполнению сле-
дующих двух условий:
1в. 1. Существует элемент ОеЯ такой, что для всех ыеЯ
1в. 2. Для каждого и е Я существует «обратный» элемент
(—и) такой, что и+ (—и) =0.
Упражнение 1.1.1. Доказать эквивалентность условия 1в совокупности
условий 1в. 1 и 1в. 2.
II. В пространстве Я определено умножение на числа
к, ц,.... причем
На. \-и=и\ Нб. Я(цы) = (л(х)и для любого ией.
III. Операции сложения и умножения на число связаны за-
конами дистрибутивности:
Ша. (Х+ц)и=ки + ци; Шб. K(u
Упражнение 1.1.2. Доказать, что из сформулированных аксиом следует:
!) <Ьв=0; 2) (—1) •«=¦(—ц).
Если в Я определено умножение лишь на вещественные
Числа, то пространство Я называется вещественным; если опре-
делено умножение на любые комплексные числа, то Я назы-
вается комплексным пространством. В дальнейшем в этой книге
мы будем иметь дело главным образом с комплексными линей-
ными пространствами.
Вещественная функция р{и), заданная в Я, называется нор-
ной, если выполнены следующие условия:
а) для любого числа К р{Ки)=\К\р{и) (положительная од-
нородность) ;
б) p(u+v) ¦< р(и) +p(v) (неравенство треугольника или
выпуклость нормы);
в) если р(и)=0, то ы=0 (обратное следует из а)).
Из условий а) и б) следует неотрицательность нормы:
0=р{и-~и) *?р(и)+р(-и)=2р(и).
Функции, удовлетворяющие лишь условиям а) и б) (но не удо-
влетворяющие в)), называются полунормами.
2 Н. Н. Боголюбов и яр.

18 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Если в Я задана норма р, то можно определить расстояние
между любыми двумя элементами uuceQ как p(u — v). Мы
будем говорить, что последовательность (щ, .... ип, ...) схо-
дится к и, если расстояние между ип и и стремится к нулю,
когда л-*оо, т.е. если lim р(ы„ —ы) = 0. Определенная таким
П->оо
образом сходимость иногда называется сходимостью по норме,
или сильной сходимостью. Линейное пространство Я, в кото-
ром сходимость задана посредством нормы р(и), называется
нормированным пространством. Норма элемента и обозначает-
ся иногда через ||ы||.
Последовательность {ип} элементов нормированного про-
странства Я называется фундаментальной, если для любого
е>0 можно указать номер N(e) такой, что при n>N(e) и
m>W(e) p(un — um)<e (т.е. если lim р(и„-ит) = 0).
min (m, п)-*оо
Иногда фундаментальная последовательность называется по-
следовательностью, сходящейся в себе, или последовательностью
Коши. Нетрудно видеть, что если последовательность {ип} схо-
дится к некоторому элементу и е Я, то она фундаментальна.
Обратное утверждение не всегда имеет место. Нормированное
пространство, в котором каждая фундаментальная последова-
тельность сходится к некоторому элементу того же простран-
ства, называется полным. Полное нормированное пространство
называется банаховым пространством. Справедлива теорема,
согласно которой любое нормированное пространство может
быть пополнено до банахова пространства (см. [10]).
Приведем несколько примеров линейных нормированных
пространств.
1) Пространство Гильберта. Пусть в комплексном линей-
ном пространстве ?№ определено скалярное произведение. Дру-
гими словами, пусть любым двум элементам и и иез%? поста-
влено в соответствие комплексное число {и, v), причем выпол-
няются условия:
а) если К\ и fa — комплексные числа, а и, щ, и2, v, vt, vt —
элементы &6, то
(И, Mi + XgOj) = Я, (И, Vt) + k3(U, V2),
где чертой обозначено комплексное сопряжение;
б) (и, у) = (уГ^);
в) (и, и) >• 0, причем если (и, и)=0, то ы=0.
В пространстве со скалярным произведением можно опреде-
лить норму «вектора» и равенством

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
«¦/Нетрудно убедиться, что определенная таким образом функ-
Ш удовлетворяет всем требованиям а) — в), входящим в оп-
Йдоение нормы. Полное пространство со скалярным произве-
дшем называется пространством Гильберта.
;: Примером пространства Гильберта является пространство
%ВХ комплексных функций f(x) одного вещественного перемен-
но X с интегрируемым квадратом модуля на интервале [а, Ь].
пространство обычно обозначается «S^fla, 6]). Скалярное
ведение в нем определяется по формуле
(f,
f(*)«(*)*¦:.
A.1.2)
^.-Тривиальным примером вещественного гильбертова про-
анства является вещественное n-мерное евклидово простран-
/?„. Скалярное произведение двух векторов X и у в этом
гранстве определяется обычной формулой
п
(*, У) = 2
Пространство Гильберта ^называется сепарабельным,ест
|нем существует счетная (полная) ортогональная и нормиро-
ная система векторов е,, ..., е„, ...; (е,е,)=б4}. Простран-
^([а, 6]) сепарабельно.
2) Другим примером линейного нормированного простран-
является пространство G ([а, 6]) непрерывных функций на
зке [а, Ь] с нормой
р{и)
<=» sup I и {х) |.
же [a, 6]
Упражнение 1.1.3. Показать, что а) сходимость по норме в пространстве
e, b]) совпадает с равномерной сходимостью; 6) пространство и {[а, Ь])
все
3) В качестве следующего примера рассмотрим простран-
во G (р, о; п) комплекснозначных функций п вещественных
емеиных х= (х\, .... хп), имеющих непрерывные частные
Ьизводные до порядка а включительно и убывающих на бес-
нечности вместе со своими производными не медленнее
р. Другими словами, для функций из G (р, о; п) все пронз-
цения вида
xaD*u(x), |a|<p, |р|<0 A.1.3)
ячены.

22 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
Лемма 1.1.1. Если Qi и Яг — нормированные пространства
с нормами р\ и pt, причем Я2с= fli и при usQj Pi(u)^-pt(u),
то для сопряженных пространств и их норм справедливы обрат-
ные включения и неравенства: П| <г П* и р\ (и) ^ р'2(и).
Упражнение 1.1.4. Доказать лемму 1.1.1.
Важную роль в теории сопряженных пространств играет
теорема о продолжении линейного функционала.
Теорема Хана — Банаха. Пусть U — нормированное
пространство с нормой р и Fo — линейный непрерывный функ-
ционал, заданный на произвольном подпространстве Uo с U.
Тогда существует линейный функционал Р(и), заданный во
всем пространстве, такой, что F(«)=fo(«) при ке%0 и
p*(F)=p*(F0).
Доказательство этой теоремы и различные ее применения
см. в [10], гл. IV, §§ 1 и 2.
Здесь укажем лишь на то, что из теоремы Хана — Банаха
следует существование нетривиального (т. е. неисчезающего
тождественно) линейного функционала в любом непустом нор-
мированном пространстве. Достаточно задать произвольное
(ненулевое) значение функционала F на некотором элементе
и е Q и по сформулированной теореме функционал F может
быть продолжен (как линейный и непрерывный функционал)
на все пространство Q.
1.3. Счетно-нормированные пространства и пространства,
сопряженные к ним. Определение 1. Нормы Р\(и) и pi(u),
заданные в одном и том же линейном пространстве Q, назы-
ваются согласованными, если любая последовательность
и\, ..., ип, ... (ип е П), фундаментальная по обеим нормам и
по одной из них сходящаяся к нулю, по второй норме также
сходится к нулю.
Упражнение 1.1.5. Пусть С'1' [в, 6] — пространство непрерывно дифферен-
цируемых функций на отрезке [а, Ь]. Показать, что в этом пространстве нормы
с, (и) =¦ max | и (ж) | и р2 («О "= max {I « (*) I + I в* (*) I} согласованы
между собой, в то время как нормы Pi (и) и р3 (и) = | и' (а) \ + max | и (х) |
не согласованы.
Определение 2. Пусть в линейном пространстве Q за-
дана возрастающая последовательность попарно согласованных
норм
Р\(и) <р2(«) <...<ра(и) <.... A.1.10)
Пространство Q называется счетно-нормированным (с нормами
{ра{и)}), если сходимость в нем определена следующим

I
I I] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 23
|©бразом. Последовательность [uv] e П сходится к элементу
вП, если litn pa{uv — и) = 0 при любом о.
Точнее, топология в счетно-нормирсваннсм пространстве Q задается при
нощи следующей системы окрестностей: окрестность любого элемента
Шп задается положительным числом в и натуральным числом а по фор-
VOt(u)^[v,po(v-u)<%). A.1.11)
''{Формула A.1.11) читается следующим образом: элемент о принадлежит
IjtepecTHoCTH Um(u), если ра(ч—u)<e.) Если в пространстве О задана сн-
"(етеыа окрестностей, то нетрудно определить, что такое фундаментальная или
рЮдящанся последовательность. Так, например, последовательность {щ}е.й
аивывается фундаментальной, если для любой окрестности нуля Vm{0)
'можно найтя номер N—N{o,e) такой, что при v>N я n>N uv — u,,e Vm@)
:1ш. более подробное изложение в [12], где дается общее определение топо-
Логии в линейном топологическом пространстве). Полное счетно-нормнрован-
гЦОе пространство называется иногда пространством Фреше.
Приведем несколько примеров счетно-нормированных про-
j>8hctb, играющих важную роль в теории обобщенных
.(функций.
й 1) Пространство ?&{G). Пусть G — конечная область (т.е.
(Ограниченное открытое связное множество) в я-мерном веще-
Шенном пространстве Rn. Обозначим, через 28(G) множество
конечно гладких функций в Rn (т. е. функций, имеющих не-
;§рерывные частные производные любого порядка), обращаю-
щихся в нуль вне области G. Определим в ?&(G) счетную си-
норм да по формуле
-Р00(«) = Slip |ы(
= max sup|?)a«(*)| A.1.12)
|al<o x
символ Dau(x) определен формулой A.1.3).
Частным случаем пространства ¦S'(G) является простран-
l|tBO 31 {а) бесконечно гладких функций одной вещественной
«ременной х, обращающихся в нуль вне интервала —а<
Щх<а*).
* Упражнение 1.1.6. Показать, что функция и(х), определяемая равен-
I exp —j^—=" ПРИ —а < х <а (о > 0),
«.M-j *•-* A-1.18)
[ 0 прн \х\>а,
пространству 3> (а).
*) Функции, исчезающие вне некоторой конечной области пространства,
ИЯЯЫПаются финитными функциями. Замыкание множества точек, на кото-
(№М непрерывная функция и(х)Ф0, называется носителем этой функции.

20 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЯ [ГЛ. I
Норма в пространстве С(р, о; я) определяется равенством
рро(н)= max sup |ЛЛ«(*)|. A.1.4)
ИКР *е«„
10 Ко
Пространства С(р, о; п) играют важную роль в теории обоб-
щенных функций.
1.2. Линейные функционалы и сопряженные пространства.
Числовая функция, определенная в линейном пространстве Q,
называется функционалом. Функционал F(u) называется линей-
ным, если для любых и, v е П и любых чисел аир
F(au + $v) = aF(u) + $F(v). A.1.5)
Норма является примером нелинейного функционала. Интеграл
в пространстве интегрируемых на некотором интервале функ-
ций есть линейный функционал. Функционал ^(и) непрерывен,
если из сходимости последовательности {«„}eQ к и е П сле-
дует сходимость последовательности F(un) к F(u). Ясно, что
такое определение непрерывности зависит от определения схо-
димости (или, как иногда говорят, от топологии) в простран-
стве П. В частности, если сходимость в пространстве О задана
посредством нормы р (и) (т. е. если Q — нормированное про-
странство), то линейный функционал F(u) непрерывен (или
ограничен) в П, если существует такое положительное число CF,
что для всех neQ имеет место неравенство
\F(u)\<?CFp(u). A.1.6)
Мы всегда будем иметь дело с непрерывными линейными функ-
ционалами и поэтому будем называть их для краткости просто
линейными функционалами. Совокупность всех линейных функ-
ционалов в нормированном пространстве П в свою очередь
является линейным пространством, которое называется про-
странством, сопряженным с О, и обозначается П*. В П* можно
также определить норму по формуле
p'(F)= sup |F (к) |. A.1.7)
Другими словами, p*(F) есть наименьшая из констант CF, для
которой справедливо неравенство A.1.6).
Пространство П*, сопряженное с нормированным простран-
ством й, со сходимостью, определенной нормой A.1.7), является
полным нормированным пространством, независимо от того,
полно или нет исходное пространство П.

\ \\ НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ?1
f В следующем пункте мы познакомимся с пространствами Q,
ЩЙЮЩими другое определение сходимости, и с их сопряжен-
ИЫМИ пространствами.
Рассмотрим несколько примеров сопряженных пространств.
1) Пространство^?*, сопряженное с пространством Гиль-
Й1рте ?№. Примером линейного функционала F(u) в гильберто-
|0М пространстве^?, очевидно, может служить скалярное про-
Мведение на любом фиксированном элементе ь:
F(u) = (v,u), v*=g№. A.1.8)
Можно показать, что функционалами типа A.1.8) исчерпы-
МЮТСя все линейные непрерывные функционалы (теорема Рис-
(•}. Таким образом, пространство Offi* изоморфно простран-
VtiySW. При этом норма функционала F равна норме соответ-
«Иующего ему элемента v (l.l.l): \\F\?** Y(v, v) (см., на-
пример, [10], гл. Ill, §3).
По аналогии с A.1.8) иногда будем записывать значение
функционала в виде скалярного произведения
в общем случае f не будет принадлежать к простран-
2) Пространство С* ([а, &]), сопряженное к пространству
0([а, Ь]), определенному в п. 1.1, состоит из функционалов
j№A8 интеграла Стильтьеса:
ь
F(m)=| u{x)d<f(x), A.1.9)
а
РДе <f{x)—функция с ограниченным изменением (см. [10],
М. II, § 6 и гл. VI, § 3) (теорема Рисса). Норма функционала
f равна полной вариации функции <j:
Функционал F называется положительным, если для любой
М§отрицательной функции и(х) s G ([а, Ь\) F(u) > 0. Ф. Риссу
Принадлежит также теорема о том, что любой положительный
функционал в С{[а, Ь]) представим в виде A.1.9) с монотонно
|Мубывающей функцией <р(л:). В дальнейшем мы будем пользо-
ваться также многомерным обобщением теоремы Рисса, когда
0f(x)=d[i, где ц — мера в многомерном пространстве (см.,
Ивпример, [11]).
\, Отметим следующее простое свойство сопряженных про-
странств.

24 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. f
2) Пространство а?" (или «5* (#„)) состоит из всех бесконеч-
но гладких функций в «-мерном вещественном пространстве
Rn, которые убывают вместе со всеми своими производными
при х —» оо быстрее любой степени от {х\ + х\ + ... + -х?)~
(другими словами, для этих функций все нормы A.1.4) прини-
мают конечные значения). Будем определять сходимость в &
посредством счетной системы норм
/U")*31/>«(«)•* max sup |jteDeK(JC)|, o»0,l,2,... A.1.14)
I о Ко *«Я.
10 Ко
Примером функции из & могут служить функции Эрмита —
Чебышева и вообще все функции вида
f х2 х*\
--5- ••• 11.
*„)ехр
где Р — произвольный полином.
Топология, задаваемая в #* посредством системы норм A.1.14), эквива-
лентна топологии, задаваемой более широкой совокупностью норм A.1.4);
другими словами,• если uv(x) ~> и(х) относительно одной из этих систем
норм, то то же самое имеет место и относительно другой системы. Про-
странство <S° полно относительно заданной таким образом топологии.
Пространство <f будет играть в дальнейшем основную роль.
3) Пространство <6"(G) определяется как совокупность тех
функций из ?Р, которые обращаются в нуль вне (вообще го-
воря, неограниченной) области G. Сходимость b^"(G) опреде-
ляется той же системой норм A.1.14).
Мы допускаем возможность G=/?n, так что пространство
ff является частным случаем пространства ff (G). Простран-
ство ?%{G) также является специальным случаем пространств
типа <?°(G) для ограниченных областей.
Рассмотренные примеры счетио-нормированиых пространств обладают
следующим примечательным свойством. Из любого множества, ограничен-
ного но норме Рои, можно выбрать последовательность, фундаментальную
по норме ра (см- [12], гл. 1, § 6, п. 2). В силу этого свойства пространства
® (О) и ** совершенны (см. [12], гл. I, § 6), т. е. любое ограниченное мно-
жество в этих пространствах компактно. Совершенные счетно-нормироваштые
пространства в некотором смысле более близки к конечномерным простран-
ствам, чем обычные (бесконечномерные) нормированные пространства. Это
видно нз теоремы Рисса, утверждающей, что если в некотором нормирован-
ном пространстве все ограниченные множества компактны, то это простран-
ство конечномерно (см. [10], гл. II, п. 2.9, теорема 2). Как мы уже убеди-
лись на примерах пространств &> (G) и <S" в случае счетно-нормированиых
пространств теорема Рисса несправедлива. Отсюда уже ясно, что введение
счетного числа норм существенно. В пространствах 0(G) и #* нельзя за-
дать топологию, эквивалентную исходной, при помощи одной-единствеиной
нормы ([121, гл. I, § 3).

% 11 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 25
Нетрудно нидеть, что пространство & является теоретико-
множественным пересечением пространств С(р, а; п), опреде-
ленных в п. 1.1. Удобно иногда представлять пространство &
в виде пересечения другой последовательности пространств.
Пусть SPa—пространство, полученное из & пополнением по
норме ра; другими словами, &а есть совокупность всех а раз
дифференцируемых функций и(х), для которых существует по-
следоиателыюсть функций {«„ (х)} е Этакая, чтоПтр„(ы —ы„) =
= 0. То)да в силу того, что для системы норм A.1.14) имеют
место неравенства (I.I.I0),
«?°0 =э «^ =э ... =э^°о=э ... A.1.15)
и & равно пересечению этих пространств
A-1.16)
П
Отметим, что пространства &а не совпадают с пространства-
ми ('(о, о;п). Так, например, функция и(л:)=1 принадлежит
пространству С @,0;я), но не принадлежит &q, так как все
функции из ?Р0 исчезают на бесконечности. Нетрудно видеть,
что псегда имеет место включение ?PaczC(o, с; п).
Аналогично можно определить пространства ^„(G) как по-
полнение пространства 3! (G) по норме qa. Вообще любое счет-
но нормированное пространство й может быть представлено
k;ik пересечение полных нормированных пространств Qa, являю-
шм.чп! пополнениями пространства Й относительно нормы р„.
Перейдем теперь к изучению линейных функционалов в счет-
но нормированных пространствах.
.Линейный функционал F(u) непрерывен в Я, если для лю-
бок1 и>0 можно указать такую окрестность нуля Ua6@)
(в )ГоA окрестности для элементов и ра(и)<Ь), в которой
|/'(") |<е.
Ми иидели (п. 1.2), что пространство, сопряженное с нор-
мнроиннным пространством, само является полным нормиро-
ванным пространством. Однако пространство Я*, сопряженное
со счгпю-нормированным пространством Q, имеет структуру,
отличную от структуры пространства Q. Строение пространства
Q* может быть описано в этом случае следующим образом.
l.vjiii функционал F(u) ограничен в окрестности нуля
ра (и) •. Л, то этот функционал непрерывен относительно нормы
ра (и), г. е. имеет место неравенство A.1.6):

26 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. I
Наименьшее о, при котором имеет место неравенство типа
A.1.17), называется порядком функционала F. Мы видим, что
любой функционал из Я* имеет конечный порядок. Совокуп-
ность всех линейных непрерывных функционалов, порядка, не
превосходящего о, т. е. функционалов, непрерывных по норме
пространства По, образует в П* подпространство QOj сопря-
женное к По и, следовательно, представляющее собой полное
нормированное пространство. В силу леммы 1.1.1 линейный
функционал порядка о принадлежит также пространствам
Qo-м, Qa+2 и т. д. Мы получаем цепь включений
0|с=П2<= ... <=Q\ A.1.18)
причем пространство П* является объединением полных нор-
мированных пространств Qy.
*U 0.1.19)
Определяя в Па норму по формуле A.1.7), для любого функ-
ционала ?6Й* порядка а мы получаем (снова используя
лемму 1.1.1) систему неравенств
Pa(F)>P^(F)> ... A.1.20)
Таким образом, если счетно-нормированное пространство Q
в некотором смысле уже нормированного (так как является
пересечением бесконечного числа нормированных пространств),
то пространство П*, наоборот, шире нормированного (имеет
более богатый запас элементов), так как является суммой бес-
конечного числа нормированных пространств.
Приведем несколько примеров.
1) Пространство ?&*(а), сопряженное к счетно-нормиро-
ванному пространству ЗИ (а) (стр. 23), состоит из функционалов
вида
а
F{u)= $ uW(x)d\i(x), A.1.21)
где а=0, 1, 2, ..., а ц(х) —функция с ограниченным измене-
нием (см. [12], гл. I, §4, п. 3).
2) Пространство &* состоит из всех функционалов вида
F («) = \ f {х) Dau (x) dnx, A.1.22)
где Da определяется формулой A.1.3), a f(x)—непрерывная
функция полиномиального роста (см. [12], гл. II, § 4, пп. 2 и 3),

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 27
\ ечетнонормированным пространствам тесно примыкают
ЯДОИМ свойствам пространства, являющиеся их объедине-
Рассмотрим возрастающую последовательность счетно-нор-
РОИНных пространств ЙA) с: fi<2) с= ... с= QW с ... с согла-
МКИыми топологиями: если (un)eQM (и = 1, 2, ...) и i<k,
Сходимость последовательности {«„} в П(г) (к элементу и)
ЦЮМентна сходимости этой последовательности в простран-
|МНЭ**' (к тому же самому пределу и).
определение 3. Пространство n=»Ufi(i) называется ин-
ПИВНЫМ пределом счетно-нормированных пространств й<*>,
|g сходимость в Q определяется следующим образом. После-
ЦТельность {«„} элементов Q сходится тогда и только тогда,
ВI существует индекс k такой, что {ып}еП('') при всех
, 2, ... и последовательность {«„} сходится в простран-
Щ качестве примера определим пространство 31 как мно-
Ittito финитных бесконечно дифференцируемых функций п пе-
ШИиых X" (хи ..., хп). Последовательность функций щ, ...
¦ И», ... называется сходящейся в 3>, если все функции щ
ВЦаются в нуль вне одной и той же конечной области G и
1 последовательность {и*} сходится в 31 (G) относительно
,КОЙ системы норм A.1.12).
&#Нражнение 1.1.7. Показать, что пространство S> является объединением
' '"Iсчетио-нормнрованиых пространств 0(С(), где 0( шар: |х|»
ГЛ. 2 мы познакомимся с другим важным примером про-
ва, являющегося объединением счетно-нормированных
ранств.
В Пространстве Q*, сопряженном к счетно-нормированному простран-
R 0, можно двумя разными способами ввести топологию и, соответствен-
[МОДИмость. Сильная топология в Q* определяется следующей системой
ИОСтей. Пусть А — произвольное ограниченное множество влемеитов и,
неравенствами
i Pa(u)<Aa. ... A.1.23)
окрестность нуля в C* задается ограниченным множеством И ей
ММОЖНтельиым числом е как совокупность всех /ей', для которых
sup |(/, к) |< в. A.1.24)
СЛйбпя топология в Q* определяется при помощи слабых окрестностей
М Слабая окрестность нуля задается произвольной конечной совокупностью
•) Пространство 9 не является счетно-нормированиым простраистэем.

28 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. !
и\ ит элементов пространства Q н положительным числом 8 как мно-
жество всех feii*, для которых
К/, «i)l<e 1(/, ит)\<г.
Важную роль играет следующая теорема, которая не имеет аналога
в теории нормированных пространств.
Теорема. В пространстве С", сопрзженном к совершенному простран-
ству С, сильная и слабая топологии совпадают и О* полно относительно
втой (единой) топологии.
Мы не будем приводить доказательство этой теоремы (см. [12], гл. 1,
§ 8, п. 6).
В пространствах ткпа &*(G), с которыми главным образом мы будем
кметь дело в дальнейшем, сходимость может быть определена следующими
двумя эквивалентными между собой способами:
П ffS'* б S» {f
1) fn~>f&<&'*, если для любого иe<S» {fn,u) ~> (/,и), нлн
2) fn—*f, если существует такое целое неотрицательное число а, что
все /„ <= <*V f е&'о и р° (/„ - /) -> 0.
Отметим, наконец, что объединение совершенных счетно-нормированных
пространств является совершенным пространством, и для него остается в
силе сформулированная выше теорема.
1.4. Теорема о ядре. Ядерные операторы и ядерные про-
странства. Сформулируем некоторое свойство пространств <?°,
которое существенно отличает их от гильбертова (и вообще от
нормированного) пространства и которое в некоторой мере обу-
словливает тот факт, что пространства & (G) являются «хоро-
шими», т. е. удобными для применений. К этому свойству мож-
но прийти двумя эквивалентными путями: изучая общий вид
билинейных (непрерывных) функционалов в & или рассматри-
вая линейные операторы, которые переводят пространство &
в сопряженное пространство &*.
Функционал В(ф, i)>) называется билинейным, если он ли-
неен относительно каждого из своих аргументов ф и i)>, когда
другой аргумент фиксирован. Если ф и ф являются в конечно-
мерном пространстве тензорами ранга k и т соответственно:
Ф =¦ (ч>, , 1 \, Ф = (tyi , i ), т0 каждый билинейный функ-
ционал В (ф, ф) может быть представлен в виде
В(ф,1)))= 2 bt i i i фг ...i^i i , A.1.25)
где Ь, . —тензор ранга k+tn в том же конечномерном про-
странстве. Эта простая и важная теорема не имеет аналога
в гильбертовом пространстве. Поясним это на примере про-
странства S>2(Rh) функций k переменных с интегрируемым
квадратом модуля. Диалогом формулы A.1,25) в этом случае

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 29
(при k^m) является представление
J • • • \ dx, ... dxhdyl ... dy/WiXi xk) X
K)i xk; y{ yk), A.1.26)
•де ядро K{xi xh; yt yh) имеет интегрируемый квад-
>ат модуля в пространстве Rn. На самом деле далеко не ка-
кдый билинейный функционал в J2*2 (Rk) X ¦З'ъ (Rk) может быть
Представлен в форме A.1.26). Например, простейший билиней-
ный непрерывный функционал
| | dx{ ... dxkff{xx xk)ty(xi xk)
»епредставим в виде A.1.26) (с ядром К, являющимся обыч-
юй функцией с интегрируемым квадратом).
Наоборот, в пространствах <?°(Gn) аналог формулы A.1.25)
|ает общий вид билинейного функционала. Говоря точнее,
справедлива следующая теорема:
Теорема о ядре. Пусть <р(х) =*<р(дс1 xh) принадле-
жит пространству <?"(GA), а ${у)-$(Уь -•-, ут) —простран-
у & (G'nd, где G* и От ~ области в k- и m-мерном простран-
e соответственно. Тогда любой билинейный функционал
<р, ф), непрерывный по каждому аргументу, может быть пред-
елен в виде
A.1.27)
в F — линейный функционал в пространстве функций k + m
еменных, заданных в произведении областей Gk X G'm {no
ределению (х, у)е Ga X O'm, если x&Qh, ye. G^), t. e.
<#* {Gk X G'n). Функционал F определяется однозначно по В.
Мы не будем приводить доказательства этой теоремы, отсы-
я читателя к имеющейся литературе (см., например, [13] или
варц A952)).
Формула A.1.27) дает также общий вид линейного непре-
вного оператора, отображающего <#*(G*) в & {O'ri). Матрич-
е элементы такого оператора имеют вид
№-*)»С,фМ*(!/)). A.1.28)
Класс линейных топологических пространств, в которых
еет место теорема о ядре, играет важную роль в анализе,
сие пространства называются ядерными. Мы приведем здесь
ное определение ядерного счетно-нормироваиного прострац-
а.

30 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЯ [ГЛ. 1
Пусть n = (]Qn — счетно-нормированное пространство, яв-
ляющееся пересечением убывающей последовательности пол-
ных нормированных пространств Qn. Пусть п>т и пусть Т„ —
оператор, вкладывающий пространство Qn в Qm (оператор Т%
сопоставляет каждому элементу <р из Qn тот же элемент <р,
но рассматриваемый как элемент пространства Q с другой
нормой).
Определение 4. Счетно-нормированное пространство Q
называется ядерным,-если для любого m найдется такое п>т,
что оператор Тт имеет вид
20ч, ф)Ф*. A.1.29)
где ф е= Qn, Fk е= U'n, % е= Qm, и ряд
Ъ/п(Рк)Рт(Ъ) (Ы.30)
сходится. (Операторы, обладающие таким свойством, тоже на-
зываются ядерными.)
Все конечномерные пространства будем считать по опреде-
лению ядерными (как уже отмечалось, любой билинейный
функционал в конечномерном пространстве представим в виде
A.1.25)).
Индуктивный предел ядерных пространств (см. определе-
ние 3) также является ядерным пространством.
Подробнее о свойствах ядерных пространств см. [13], Гротендик A9ББ)
н [14]. Отметим, что ядерные пространства совершенны (см. п. 1.3) и по-
этому сильная и слабая сходимости в ядерных пространствах и в простран-
ствах, сопряженных к ним, совпадают. Кроме того, ядерное пространство
сепарабельно (т. е. содержит всюду плотное счетное множество элементов).
Определение 5. Последовательность {а„} называется
быстро убывающей, если при любом т>0
Нт птап = ~~~
ап
Пространство всех быстро убывающих последовательностей,
в котором топология задается счетной системой норм
рт(а)= sup\ nman\, i» = 0, 1, 2, .... A.1.31)
будем обозначать 8.
Упражнение 1.1.8. Показать, что ' пространство s ядерно. (Указание:
выбрать в качестве функционалов К в разложении A.1.29) функционал
(F»,а) — ак и положить ф* - #» » @, .... О, 1, 0, .,.) (единица на ?-м

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
31
t). Показать, что рт(еА) = *т, Рп(^к)*"'/*"• н вывести отсюда, что ото-
енне Г™*3 ядерно.)
[Упражнение 1.1.9. Показать, что пространства <f (/?„), &{Gi) н S (см.
) ядерны (см., например, [13]).
1.6. Оснащенное гильбертово пространство. Мы уже видели
предыдущих пунктах, что счетно-нормированные простран-
типа S'iG) по своим свойствам ближе к конечномерным
странствам, и поэтому, по существу, проще, чем более при-
чное, освященное традицией, пространство Гильберта. В этом
кте мы увидим, что совместное рассмотрение пространства
и сопряженного к нему пространства & дает преимущество
эименительно к задачам анализа (а также к квантовой ме-
йке). В анализе (так же как и в квантовой механике) гиль-
dbo пространство $€ обычно возникает в результате попол-
яия (относительно нормы, определяемой скалярным произве-
ием) некоторого пространства Я «достаточно хороших»
Икций (например, гладких и убывающих на бесконечности).
сь мы хотим дать абстрактную формулировку этой знако-
по примерам ситуации в терминах внутренних свойств про-
внств Я и &6 (безотносительно к природе их элементов).
(юс о том, что значит «хорошее» пространство Я, должен
вться, вообще говоря, в зависимости от задачи, с которой
имеем дело. Для аксиоматического построения релятивист-
DR квантовой теории (см. гл. 2—4), где мы рассматриваем
изведения любого числа (неограниченных) операторных по-
целесообразно считать, что пространство Я ядерно.
1так, пусть в ядерном пространстве Я определено скаляр-
произведение (т. е. положительно определенная эрмитова
(>ма, см. п. 1.1) (и, f), непрерывное относительно сходимости
Можно показать, что пространство Я не будет полным
:ительно сходимости по норме
A.1.32)
е. найдется последовательность {«„} с= Я, для которой
lim ||и„-ит||=0
торая не стремится ни к какому элементу пространства Я.
Иако пространство Я всегда может быть пополнено относи-
Ьно новой сходимости, определяемой нормой A.1.32), до
ьбертова пространства ей?, определенного однозначно, с точ-
тью до изоморфизма. Как отмечалось выше (п. 1.2, при-
_г 1) пространство &6* всех линейных функционалов в^?изо-
Орфиоссамим пространством^?. С другой стороны, функциона-
из Ш* являются непрерывными линейными функционалами

32 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. ]
и в ядерном пространстве Qcli? (в силу непрерывности
скалярного произведения относительно топологии в Q). Про-
странство Я* всех линейных функционалов в Q шире, оно
включает в себя гильбертово пространство 36* — &6. Совокуп-
ность трех вложенных одно в другое пространств
Qcz^cQ* A.1.33)
с описанными выше свойствами назовем оснащенным гильбер-
товым пространством.
Часто, имея дело с гильбертовым пространством &6, забы-
вают о пространстве Я, пополнением которого получено &6,
а посему и об естественном расширении Я* пространства Ж.
Между тем именно одновременное рассмотрение тройки про-
странств A.1.33) дает естественную^ основу как для построе-
ния общей теории линейных операторов, так и для правильной
постановки некоторых задач квантовой теории поля.
1.6. Линейные операторы в оснащенном гильбертовом про-
странстве. Мы будем рассматривать здесь линейные опера-
торы А, определенные на некотором линейном многообразии
DA гильбертова пространства &6, действие которых не выво-
дит за пределы этого пространства:
и<=ПАа&е^Аи<=&е. A.1.34)
Оператор А называется ограниченным (в DA), если квадрат
нормы
\\Аи\\*~(Аи, Аи)
ограничен, когда «eDA и ||ы||-^ 1. Верхняя грань 1Ии||, когда
и пробегает пересечение DA с единичной сферой, называется
нормой оператора А и будет обозначаться \А \;
\А\= sup ||у4н||. A.1.35)
iii
В случае же, если верхняя грань в правой части A.1.35) равна
бесконечности, оператор А называется неограниченным.
Любой ограниченный оператор А с областью определения
DA с &6 может быть распространен на все гильбертово про-
странство е%?, оставаясь при этом линейным и ограниченным во
всем &вс той же нормой |у4| (см. [10], гл. IV, п. 1.1). Поэтому,
без существенного ограничения общности, можно считать, что
ограниченные операторы заданы всюду в &?, и пе говорить об
их области определения. Однако для неограниченных операто-
ров, которые сплошь и рядом встречаются в квантовой теории,
это уже не так. Для них указание области определения весьма
существенно.

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 33
Для пояснения этого введем еще понятие о графике опера-
Spa.
График Т(А) оператора А есть множество всех пар {и, Аи),
Не ие?>А, Аи^&в. Говорят, что оператор А замкнут, если
го график есть замкнутое множество в З&фЖ Замкнутый
рератор, определенный во всем пространстве &6, обязательно
Граничен (это утверждение составляет содержание теоремы
замкнутом графике). Поскольку мы будем иметь дело, как
Правило, с замкнутыми неограниченными операторами (или по
райней мере с операторами, допускающими замыкание), из
формулированной теоремы ясно, что они не могут быть опреде-
лены во всем пространстве &ё. Самое большее, на что мы мо-
|ем рассчитывать, это то, что область определения DA замкну-
ого неограниченного оператора А всюду плотна в &6. Будем
оворить, что оператор В является расширением оператора А
и писать Acz.B), если график Т(А) содержится в графике
'{В) (Г{А) сгГ(В)), т.е. если DAczDB и в области DA
Аи—Ви.
Одна из причин важности гильбертова пространства для
Иантовой теории заключается в том, что наличие скалярного
произведения позволяет ввести понятие эрмитова оператора, со-
ответствующего наблюдаемым величинам, так же как и поня-
тие унитарного оператора, при помощи которого описывается
Симметрия физической системы. Перейдем к определению этих
ПОНЯТИЙ.
Рассмотрим билинейную форму (и, Аи) (и е DA, v е 3&).
рели при некотором v из $€
1 1(к, у4м)|<С(к, Л)|1 и|| при всех ue=D{A), A.1.36)
{ре С(о, А) — положительное число, не зависящее от и, то со-
fSMCHO теореме Рисса об общем виде линейных непрерывных
функционалов в &6 (см. п. 1.2) существует такой элемент
%\ е е%, что
{v, Au) = (vu и). A.1.37)
Если область DA всюду плотна ъ&ё, то вектор vi однозначно
вПределяется по вектору v. На таких о определим (линейный)
Оператор А*, называемый эрмитово сопряженным к операто-
ру А, по формуле A*v—vi. Область определения оператора А*
СОстоит из всех векторов v e &ё, для которых выполнено
II.I.36).
.f Часто в физической литературе сопряженный оператор опре-
деляется равенством
(о. Ди)-(ДЧ.и), A.1.38)

34 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
которое является-следствием последних двух формул, <5ез> ука-
зания областей определения А и А*. Эта неточность допустима,
если А — ограниченный Оператор, поскольку, как уже указы-
валось, в этом случае можно считать, что DA=&€, и,,, кроме
того, нетрудно видеть, что условие A.1.36) выполняется при
всех пеёЯ? (с C(t>, j4)=.|NI \А\), так что сопряженный опера-
тор А* действительно существует и определен во всем &в.
В общем случае неограниченных операторов сопряженный
оператор не всегда существует. Необходимое и достаточное
условие существования у оператора А сопряженного оператора
состоит в том, чтобы А имел замыкание в 4%' (см. [15], гл. IV,
п. 4.6). Это означает, что если {«„} — сходящаяся последова-
тельность векторов из DA, to последовательность {Аип} либо
сходится, либо вообще не имеет точек сгущения в &€ (исклю-
чается возможность того, что две подпоследовательности после-
довательности [Аип] стремились к различным пределам в 3&).
В этом случае замыкание (т. е. наименьшее замкнутое расши-
рение) оператора А равно А**.
Оператор А называется симметричным (в физической ли-
тературе— эрмитовым), если Acz.A*, т. е. если
(Аи, и) = (и, Av) при и, оейл. A.1.39)
Если А—А* (т.е. если к условию A.1.39) добавить еще равен-
ство областей определения DA и ?)А«), то говорят, что оператор
является самосопряженным (по терминологии фон Неймана —
гипермаксимальным-симметричным).
Упражнение 1.1.10. Пусть Зв~=Л?г ([0,1]) есть множество функций с
интегрируемым ивадратом модуля на отрезие [0, 1]. Пусть О—множество всех
абсолютно непрерывных функций на этом отрезке (см. [10], гл. II, п. 6.3),
производные которых 'принадлежат &$, а сами фуииции удовлетворяют усло-
вию периодичности /@)=/A)* Пусть О0 — подмножество области D, состоя-
щее из тех функций множества ?>, исторые обращаются в нуль на границе
интервала: /E) =/A) =0. Показать, что оператор
,»__,_?
dx
с областью определения D является самосопряженным оператором, в то
время как оператор Ро, задаваемый той же формулой, ио с областью опре-
деления Do, лишь симметричен, но не самосопряжен. Найтн область опре-
деления О0 сопряженного оператора Pq- Убедиться непосредственно, что
оператор Р неограничен.
Оператор U, определенный во всем пространстве ^?ис об-
ластью значений, тоже совпадающей с &О, называется унитар-
ным, если он сохраняет скалярное произведение:
(Uf,U8)"(f.8)- 0-1.40)

f 1] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 35
Требование, чтобы область значений оператора U совпадала
с &6', существенно. Если его не накладывать, то оператор U
называется изометричным.
Упражнение 1.1.11. Показать, что норма любого изометричного опера
юра равна 1.
Изометричный оператор характеризуется равенством l)*U=
= 1. Из этого равенства, вообще говоря, не следует, что ?/?/*==>
= 1. Если оба равенства имеют место, то оператор U унитарен.
Справедлива теорема о спектральном разложении унитар-
ных и самосопряженных операторов (для симметричных опе-
раторов эта теорема не имеет места, см., например, [15], гл. VI).
В большинстве математических руководств спектральная тео-
рия операторов излагается на языке, непривычном для физи-
ков. Причина этого состоит в том, что самосопряженные опера-
торы (даже если они ограничены) имеют, вообще говоря, не
только дискретный, но и непрерывный спектр собственных зна-
чений, однако лишь собственные векторы дискретного спектра
принадлежат гильбертову пространству &6. Если, однако, поль-
зоваться оснащенным гильбертовым пространством, то можно
сформулировать теорию в терминах, более близких физикам,
Причисляя «собственные векторы непрерывного спектра» расши-
рению П* гильбертова пространства &6.
k Поясним сказанное на простейшем примере.
Рассмотрим оснащенное гильбертово пространство
^ДОсУ.ДОс^ДО, A.1.41)
*де R — вещественная ось —оо<х<оо, а пространства JS'i и <5"
Определены в пп. 1.1 и 1.3. Простейший самосопряженный диф-
ференциальный оператор Р =¦ — i —r- (квйнтовомеханический
оператор импульса), определенный для абсолютно непрерывных
функций •) из -^а, производная которых имеет интегрируемый
Квадрат модуля, не имеет ни одной собственной функции в .2%.
Щействнтельно, то, что в книгах по квантовой механике обычно
;Йазывается собственной функцией оператора Р (соответствую-
щей вещественному собственному значению р), а именно функ-
ля е**х, не принадлежит J^2(R), так как |ejp*|2«l неинтегри-
>уема на всей оси. Таким образом, теорема о существовании
полноте системы собственных векторов самосопряженного
•) Относительно определения и простейших свойств абсолютно непре-
«вных функций см., например, [10], гл. II, пп. 6.3 н 6.4. Грубо говоря,
гнкция f(x) называется абсолютно непрерывной, если она может быть
едставлена е виде неопределенного интеграла от локально суммируемой
функции.
8*

86 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЯ [ГЛ. I
оператора неприменима в своей наиболее естественной форме
даже к такому простому и часто встречающемуся оператору, как
оператор дифференцирования Р (эта теорема в своей простейшей
форме применима лишь к операторам с дискретным спектром
собственных значений). В то же время функции е1'"*, очевидно,
принадлежат пространству линейных функционалов S1* и обра-
зуют полную систему функционалов в этом пространстве. Дей-
ствительно, мы увидим в § 3, что любой функционал из ?f* (и,
тем более, любая функция из J2?2) разлагается в интеграл Фурье
по «собственным функциям» е1»* оператора Р. В JS's это разло-
жение сходится по норме. Таким образом, оператор дифферен-
цирования Р имеет полную систему собственных функций в
оснащенном гильбертовом пространстве A.1.41). Кроме того,
оператор Р непрерывен относительно топологии в & (хотя не
является непрерывным относительно скалярного произведения
в -^j) и отображает это пространство в себя. Все эти «хоро-
шие» свойства остаются справедливыми для широкого класса
дифференциальных и интегральных операторов в тройке про-
странств A.1.41).
Ситуация, проиллюстрированная на примере пространств
A.1.41), имеет место для произвольного оснащенного гильбер-
това пространства. Формулировке общей теоремы предпошлем
следующие определения.
Определение 6. Пусть А — оператор, переводящий ядер-
ное пространство Я в себя. Обобщенным собственным вектором
оператора А называется такой линейный функционал F из fi*,
что для всех элементов <р из Q имеет место равенство
F(A<p)=*kF(<p). A.1.42)
Определение 6, естественно, сохраняет свой смысл и тогда,
когда Я — произвольное линейное топологическое простран-
ство.
Определение 7. Оператор U, переводящий пространство
Q в себя, называется унитарным оператором в оснащенном
гильбертовом пространстве Q с&в с Q*. если при любом <р,
фей
(УФ, иц) = (LH<p, и-*у) - (Ф, Ю. A.1.43)
Достаточно потребовать выполнения равенства A.1.43)
в Q — в &€ оно получится тогда как следствие.
Оператор А, переводящий пространство Q в себя, называет-
ся самосопряженным оператором в оснащенном гильбертовом
пространстве A.1.33), если для любых двух элементов <р и ф из
области определения Da оператора А
1>) A.1.44)

f I] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 37
и если, кроме того, из равенства (<р, Лф) = (ф1, ф), справедли-
вого при фиксированных ф и ф| для всех ф из DA, следует, что
Ф е Da (и, стало быть, Лф=фО.
Любой самосопряженный оператор А в оснащенном гиль-
бертовом пространстве A.1.33) может быть продолжен на все
пространство Я* по формуле
(Л/, q>) -в (/, ЛФ). Фей, fefi*. A.1.45)
Справедлива следующая теорема о полноте системы обоб-
щенных собственных векторов унитарных и самосопряженных
операторов в оснащенном гильбертовом пространстве.
Теорема 1.1.1. Унитарный оператор в оснащенном гиль-
бертовом пространстве обладает полной системой обобщенных
собственных векторов, соответствующих собственным значе-
ниям К, модуль которых равен единице.
Самосопряженный оператор в оснащенном гильбертовом
пространстве обладает полной системой обобщенных собствен-
ных векторов, соответствующих вещественным собственным зна-
чениям.
Доказательство этой теоремы можно найти в [13], гл. I, § 4.
Предположение о том, что рассматриваемые операторы переводят про-
странство fi в себя, существенно для того, чтобы определение обобщенного
собственного вектора A.1.42) имело смысл. Возможно, однако, следующее,
более общее определение.
Определение 8. Функционал Fefi* называется обобщенным соб-
ственным вектором оператора А, соответствующим собственному значению X,
если равенство
/(ФD))Ф(Х)Г() A.1.461
справедливо для любого <р из Q и любой фуякция Ф от оператора А такой,
что Ф(/4)фей.
Используя это определение, Кац A960) доказал существование полной
сястемы обобщенных собственных векторов у любого самосопряженного опе-
ратора.
При определении функции от самосопряженного (или унитарного) опе-
ратора, так же как н при доказательстве теоремы 1.1.1, используется сле-
дующая классическая теорема о спектральном разложении самосопряженных
операторов в гильбертовом пространстве.
Теорема. Каждому самосопряженному оператору А соответствует
оператор спектрального разложения («разложения единицы») ?(Д) (А —
интервал на вещественной оси X) со следующими свойствами: 1) ?(Д) —
самосопряженный оператор проектирования {^спектральный проектор»), для
которого Е (А,) Е (Д2) = Е (А, П А2); 2) Нш Е (X) - 0, где Е (К) - Е (-оо, X);
Х-*—то
се ю
3) если A-U А» и Д»ПД* = 0 при 1Фк, то Е(Л) = 2 ? (*»): 4) если
f^DA, то
A)** [xdEWl A.I.47)

38 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ {ГЛ. I
Функция О (А) от самосопряженного оператора А определяется формулой
оо
Ф(А)= |ф(Л)й?(Л). A.1.48)
— оо
В случае унитарного оператора V вместо A.1.47) имеем
я
Vf= ^ead?(X)f. A.1.49)
—я
Возникает вопрос: если дано пространство Гильберта &6,
можно ли всегда его «оснастить», т. е. указать ядерное про-
странство Я, всюду плотно расположенное в &6 и такое, что
скалярное произведение в &} непрерывно относительно тополо-
гии в Я (другими словами, найти такое пространство Я, чтобы
тройка Я с: e%"cz Я* представляла собой оснащенное гильбер-
тово пространство)? Покажем, что ответ на этот вопрос утвер-
дителен в случае, когда гильбертово пространство Фв сепара-
бельно (причем пространство Я можно выбирать разными спо-
собами) . Пусть еь .... е„, ... — ортонормированный базис ъШ.
Тогда произвольный элемент / е &6 имеет вид
f-Jjo-e». A-1.50)
где ряд Sl^nP = (/./) сходится (и обратно, если ряд 2|0ЛР
п п
сходится, то (/, /) ееЯ?)- Пусть 8—пространство быстро убы-
вающих последовательностей (см. определение 5). Формула
A.1.50) задает изоморфизм ядерного пространства s со всюду
плотным множеством векторов в &}. Нетрудно показать, что
скалярное произведение в Я непрерывно относительно сходи-
мости, определяемой счетной системой норм A.1.31).
§ 2. Обобщенные функции и действия над ними
2.1. Определение обобщенных функций в терминах линей-
ных функционалов. Как в физике, так и в самой математике
давно чувствовалась ограниченность классического понятия
функции, характеризуемого заданием функциональных значе-
ний при всевозможных значениях аргументов. Важные понятия
классической физики, такие как плотность точечной массы или
заряда, не укладывались в этом обычном понятии функции.
В квантовой механике и в квантовой теории поля системати-
чески стали использоваться такие «сингулярные» или «несоб-
ственные» функции, как о(х) (дельта-функция Дирака), D(x)
и т.д., возникающие, б частности, в так называемых перестано*

{ 2] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 89
вочных соотношениях, которые играют основную роль в кван-
товой теории. В самой математике узость классического поня-
тия функции чувствовалась, например, в попытках определить
функцию Грина для уравнений гиперболического типа (в част-
ности, для волнового уравнения), при нормировке собственных
функций, соответствующих непрерывному спектру некоторого
оператора, и в ряде других вопросов.
Физики обосновывали применение таких, противоречивых
с точки зрения классического определения функции, понятий*
как дельта-функция, двумя способами. Во-первых, говорилось,
что сингулярные функции необходимо "умножать на «хорошие»
^функции и задавать правила интегрирования таких произведе-
ний; тогда полученные выражения имеют смысл. Во-вторых,
сингулярные функции представлялись в виде несобственных
пределов последовательностей обычных гладких функций. Оба
эти интуитивные обоснования применения сингулярных функ-
ций нашли в последнее двадцатилетие точное математическое
выражение и могут служить исходным пунктом строгой теории
обобщенных функций *).
Начнем с функционального определения обобщенной функ-
ции, являющегося математической формулировкой первого из
упомянутых выше подходов. Это определение уже подготовлено
^изложением в § 1. Точное определение, соответствующее вто-
рому подходу, мы дадим в п. 2.2.
Определение 9. Обобщенной функцией называется лю-
бой линейный непрерывный функционал над счетно-нормиро-
ванным пространством^0, определенным в п. 1.3, т.е. любой
.элемент пространства <?°*. Функции пространства & будем на-
зывать основными функциями.
Чтобы оправдать термин «обобщенная функция», покажем,
^что обычные интегрируемые функции являются частным слу-
|!*аем обобщенных функций. Действительно, каждая функция,
|рторая возрастает на бесконечности не быстрее некоторого
Йолинома и абсолютно интегрируема в любой конечной области
Пространства Rn, задает линейный непрерывный функционал F
[ пространстве & по формуле
F{u)= j'f{x)и(x)dx = {f, и), A.2.1)
\ •) Появление в физнчесясй литературе определений вроде «6-функцня
[равна нулю всюду, кроме точки ж=»0, а 6@)-"», причем так, что
\ib(x)dx=\* после выхода в свет монографии Шварца [17] является ана-
хронизмом, который может быть объяснен лишь силой привычки. Отметим,
|щто с такой примитивной точки зрения производную о-функции вообще
Нельзя понять.

40 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. 1
где черта сверху означает комплексное сопряжение*). Функ-
ция / с описанными выше свойствами называется локально ин-
тегрируемой функцией степенного (или умеренного) роста. Мы
будем отождествлять две локально интегрируемые функции,
если их значения отличаются лишь на множестве лебеговой
меры нуль (или, как говорят, если они совпадают почти всюду,
см. [10], гл. II). В силу такого соглашения соответствие f — F
взаимно однозначно, т.е. по значениям функционала F(u) в
пространстве & можно обратно восстановить функцию f(x)
(почти всюду). В дальнейшем мы будем отождествлять такого
рода «регулярные» функционалы F{u) с порождающей их
функцией f{x).
Однако далеко не каждый функционал из &* может быть
представлен в виде A.2.1) с обычной (локально интегрируе-
мой) функцией f{x) под знаком интеграла. Простейшим при-
мером функционала, непредставимого в виде A.2.1), является
дельта-функция:
(в, и) = и@). A.2.2)
Действительно, допустим, что для некоторой локально ин-
тегрируемой функции f(x) в Ri и любой основной функции
имеет место равенство
В частности, выбирая ц(ж)=цо(х) A.1.13), получим
Но при а—*0 интеграл слева стремится к нулю, что противоре-
чит написанному равенству.
Тем не менее мы будем пользоваться символической записью
A.2.1) для обобщенных функций и тогда, когда f(x) не являет-
ся обычной (локально интегрируемой) функцией.
Очевидно, понятие обобщенной функции зависит от выбора
исходного (линейного топологического) пространства основных
функций. Мы могли бы, например, положить в основу простран-
ство ¦SJ(G) вместо^". Шварц [17] определяет обобщенные функ-
*) Разумеется, мы могли бы взять за определение функционала F ин-
теграл от самой функции f(x) (вместо /(*)). Удобство выбранного нами
определения связано с тем, что скалярное произведение в правой части
A.2 1) в случае, когда f и и принадлежат одному н тому же пространству,
положительно определено.

I 2] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 41
цни как непрерывные функционалы на пространстве S& всех фи-
нитных бесконечных дифференцируемых функций (SB является
объединением пространств 3!(G), когда область G меняется,
см. пример 1 в п. 1.3). Мы сохраним термин «обобщенная функ-
ция» для функционалов из &*, в то время как функционалы из
Я* (в тех немногих случаях, когда нам придется иметь с ними
дело) будем называть распределениями *). Легко видеть, что
любая обобщенная функция является распределением, в то
время как обратное неверно, т. е. имеет место включение
&*сЗБ*. Примером распределения, которое не является обоб-
щенной функцией, в случае одной переменной может служить
обычная функция е*.
Определение обобщенных функций как линейных непрерыв-
ных функционалов над счетно-нормированным пространством
(или над объединением счетно-нормированных пространств)
специального вида позволяет определить непрерывную опера-
цию дифференцирования обобщенных функций (см. п. 2.2). Вы-
бор пространства of основных функций в настоящей книге свя-
зан прежде всего с тем, что пространства в? и в?* переходят
в себя при преобразовании Фурье (см. п. 3.1), что является
естественным отражением симметрии х- и р-пространств в кван-
товой механике.
В отличие от обычных функций, которые задаются в каждой
точке некоторого множества, обобщенные функции задаются
в целом — как значения функционала над пространством основ-
ных функций. Они не имеют, вообще говоря, определенных зна-
чений в отдельных точках. Однако все же можно говорить о не-
которых локальных свойствах обобщенных функций.
Будем говорить, что обобщенные функции fug совпадают
в области (или в открытом множестве) G, если для каждой ос-
новной функции и(х) с носителем в G имеет место равенство
(f> и) = (#> и)- В частности, будем говорить, что /*=0 в окрест-
ности точки х0, если для всех основных функций и(х), исчезаю-
щих вне этой окрестности, (/, и) *=0. Таким образом, по опреде-
лению, множество точек, на котором обобщенная функция f
обращается в нуль, открыто. Дополнение этого множества до
всего пространства Rn называется носителем обобщенной функ-
ции f. Будем употреблять как равнозначные выражения: «мно-
жество М есть носитель обобщенной функции }» или «/ сосре-
доточена на множестве М».
•) По аналогии с французским distribution — распределевие (термин
Шварца). Шварц называет обобщенные функции (из & *) умеренными рас-
пределениями-distributions temperees, а Гельфаид и Шилов [12, 18] назы-
вают m обобщенными функциями умеренного роста.

42 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. 1
При изучении локальных свойств обобщенных функций, так же как и в
других вопросах, важную роль играет понятие разложения единицы, соот-
ветствующее некоторому покрытию пространства открытыми ограниченными
множествами U\, t/j, ..., Uv> • ¦ ¦ Потребуем, чтобы каждая точка содер-
жалась лишь в конечном числе множеств из последовательности {Uv},~
такое покрытие называется локально конечным. Последовательность беско-
нечно дифференцируемых функций е%(х), ..., ev(x), ... называется разло-
жением единицы, соответствующим покрытию {UiH, если выполняются сле-
дующие условия:
1) 0<«v (*)<!:
2) supp ev <= Vv;
Разложение единицы существует для любого локально конечного по-
крытия пространства R*. Здесь мы лишь наметим способ его построения
(детальное изложение этого вопроса имеется в [18], гл. I, добавление 1).
Всегда можно найти открытые области Vv, которые тоже покрывают Rn
и такие, что Vv с l/v. Существует бесконечно дифференцируемая^ функция
), удовлетворяющая условиям 1) и 2) и равная единице иа V'v. Сумма
h (х) = 2 *v (¦*) содержит конечное число слагаемых, когда х пробегает
ксмпакт, поэтому оиа бесконечно дифференцируема; кроме того, h
Искомое разложение можно задать функциями
h{x) •
Мы встретимся с применением понятия разложения единицы в гл. 3,
п. 2.3, при доказательстве теоремы 3.2.3.
2.2. Определение обобщенных функций как классов фунда-
ментальных последовательностей. Перейдем теперь к другому
определению обобщенных функций, которое является матема-
тической формулировкой интуитивного взгляда на обобщенные
функции как на некоторого рода пределы последовательностей
непрерывных функций. Это определение не использует аппара-
та функционального анализа н с этой точки зрения более эле-
ментарно, чем определение, данное в п. 2.1.
Мы будем рассматривать пространство обобщенных функ-
ций как расширение множества непрерывных функций (в духе
канторова определения множества действительных чисел как
расширения множества рациональных чисел).
Последовательность непрерывных функций {fv(x)} в л-мер-
ном вещественном пространстве Rn назовем фундаментальной,
если существуют последовательность непрерывных функций
{Fv(x)} и совокупность целых неотрицательных чисел а,—
— {aj, ..., а„) такие, что функции Fv имеют непрерывные част-
ные производные порядка а, и выполняются следующие условия;

I SJ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 43
1) DaFv(x) = fv(x) при v = 1, 2, ..... где Da определено фор-
мулой A.1.3);
2) последовательность Fv(x) сходится к непрерывной функ-
ции F(x), причем сходимость равномерна на каждом ограни-
ченном множестве;
3) функции Fv(x) ограничены одним и тем же полиномом,
;*. е. существуют независимые от v постоянные Л>0 и k > 0 та-
,ЧКИе, что при всех v= 1, 2, ...
\Fv(x)\<A\l + (x* + ... + <)*). A.2.3)
Будем говорить, что фундаментальные последовательности
f*(x)) и {§ЛХ)) эквивалентны (и писать {/v}~{gv}), если сме-
анная последовательность
h(x), g\(x), {2(х), gi(x), ...
ундаментальна. Определенное таким образом соотношение эк-
явалентности разбивает множество фундаментальных последо-
гельностей на классы эквивалентности. Последовательности
Лх)) и iev(x)) принадлежат одному и тому же классу эквива-
ятности тогда и только тогда, когда {fv(x))~{gv(x)}. Для за-
1ния некоторого класса эквивалентности достаточно задать
ну какую-нибудь фундаментальную последовательность это-
класса. Классы эквивалентности фундаментальных последо-
(тельностей будем называть обобщенными функциями (в #п).
кдая непрерывная функция /(дс) может рассматриваться как
5щенная функция, если отождествить ее с классом эквива-
мтности, в который входит последовательность
/(*)./(*) /(*). •¦•
В множестве обобщенных функций естественно вводятся ли-
Иные операции — сложение и умножение на число.
Если фундаментальная последовательность {/J определяет
5щенную функцию f, а К — число, то, очевидно, последова-
льность {kfv\ тоже фундаментальна. Класс эквивалентности,
еделяемый этой последовательностью, мы будем называть
Ьизведением числа К на обобщенную функцию / и обозна-
гь If.
Упражнение 1.2.1. Показать, что если {fv) и {gv) — фундаментальные
едовательиости, то последовательность uv + gvlioiKe фундаментальна.
Класс, определяемый последовательностью {/„+?„}, зависит
йъ от классов fэ{fv} и g3{gv}. Мы будем называть этот
вес суммой обобщенных функций f и g и обозначать через

44 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Приведем пример эквивалентных фундаментальных после-
довательностей функций одного переменного.
Упражнение 1.2.2. Показать, что последовательности
УХ'
фундаментальны и эквивалентны друг другу.
На первый взгляд здесь и в п. 2.1 мы присвоили одно и то
же название — обобщенная функция — объектам совершенно
разной природы. Покажем, что на самом деле оба определения
эквивалентны, точнее, что рассматриваемое здесь множество
классов эквивалентности изоморфно пространству линейных
функционалов &*.
Пусть (М*)} — фундаментальная последовательность и
F(x)— соответствующая ей (согласно условию 2 определения
фундаментальной последовательности) непрерывная функция.
Поставим в соответствие классу эквивалентности, которому при-
надлежит последовательность fv, функционал (/, и) (иб^),
определенный по формуле
(f, и)*={-\Iа[1?{х)Оаи(х)(Гх, (|а|-а,+ ... +а„). A.2.5)
Упражнение 1.2.3. Показать, что определенный формулой A-2.5) функ-
ционал (/, и) зависит лишь от класса эквивалентности последовательностей,
ио ие зависит от специального выбора последовательности {/v}> совокупно-
сти целых чисел а или от примитивных функций {Fv)-
Упражнение 1.2.4. Показать, что последовательности A-2.4) определяют
обобщенную функцию 6(х) в Я|.
Упражнение 1.2.Б. Показать, что при определенном выше соответствии
алгебраические операции сохраняются (например, сумме классов эквива-
лентности соответствует сумма соответствующих функционалов).
Мы уже отмечали, что произвольный функционал из &* мо-
жет быть представлен в виде A.1.22) или, что то же самое,
в виде A.2.5). Чтобы завершить доказательство изоморфности
пространства &* с множеством обобщенных функций, опреде-
ленных как классы эквивалентности фундаментальных последо-
вательностей, нужно показать, что каждую непрерывную функ-
цию полиномиального роста можно аппроксимировать глад-
кими функциями полиномиального роста, причем так, что
выполняются условия 2) и 3) определения фундаментальной
последовательности. Для этой цели воспользуемся последова-
тельностью функций (см. A.2.4))

§ 2] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 48
Любую непрерывную функцию полиномиального роста мож-
но аппроксимировать последовательностью функций {Fv(x)}t
где
Fv(x)=JF(l)<pv(x-l)a%. A.2.7)
Мы предоставляем читателю доказательство следующих утвер-
ждений:
1) при каждом v Fv(x)e<jf, т. е. функции Fv(x) бесконеч-
но дифференцируемы;
2) Fv(x) -*F(x) при v—»oo, причем сходимость равномерна
относительно х на каждом ограниченном множестве в Rn;
3) существуют постоянные Л>0 и k^- 0, которые зависят от
F(x), но не зависят от v и такие, что имеет место неравенство
A.2.3).
В дальнейшем мы будем работать с функциональным опре-
делением обобщенных функций (п. 2.1), но будем использовать
также конструкцию A.2.7), позволяющую после дифференциро-
вания по х приближать (в смысле сходимости в ??*) любую
обобщенную функцию основными функциями (т. е. функциями
из <?").
2.3. Преобразование аргументов и дифференцирование обоб-
щенных функций. Мы уже отмечали в § 1, что функционалы
можно складывать между собой и умножать на числа, так что
совокупность обобщенных функций образует линейное простран-
ство. Покажем, что можно определить также преобразование
аргументов и дифференцирование обобщенных функций и что
эти функции можно дифференцировать произвольное число раз.
Пусть у = <р(х), или, подробнее,
— взаимно однозначное преобразование пространства Rn на
себя. Пусть, далее, функции ф(х) имеют непрерывные частные
производные всех порядков и
дф1 дф
дхх ' "' дхп
ФО. A.2.9)
<?*, ''' дхп
Преобразование, обратное к A.2.8), обозначим х—ух(у). То-
гда, если f(x)—обычная (локально интегрируемая) функция и

46 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ 1
и(х) е<2*. то
if (Ф^1 (?)). «Ш) = J ? (*)"(Ф (*))U (Ф) Idnx =
A-2.10)
В случае, когда f(x) является распределением, правая часть
A.2.10) берется в качестве определения распределения
/(ф~'(#))- В дальнейшем мы будем иметь дело только с такими
преобразованиями аргументов в распределениях, которые оста-
вляют инвариантным подпространство в?*, т. е. сопоставляют
обобщенной функции }(х) обобщенную функцию /(ф~'(#))-
В частности, выбирая в качестве преобразования qp сдвиг по
одной из переменных, например
ух = Xi - Ах,, уг = х3, .... уп = хп,
При помощи A.2.10) получаем (при &ХхФ0)
( f(Ki + AjCi, XS Kn)-f (*1, • ¦ .. Xn) . v\ _
*= _ (ftx) u^'~ Аж" *' *«) ~ "(*i *n) \ A2 11)
Пользуясь тем, что в силу непрерывности функционала f пра-
вая часть A.2.11) стремится при Axi-^О к пределу - (f, -^-),
мы по определению назовем этот предел частной производной
обобщенной функции f{x) по переменной х\. В общем случае,
таким образом, имеем
Формулу A.2.12) можно получить интегрированием по ча-
стям, если функция f(x) имеет непрерывные н полиномиально
ограниченные частные производные. Этот факт обычно прини-
мается в качестве интуитивного обоснования определения A.2.12).
Приведенные выше рассуждения (основанные на формуле
A.2.11)) показывают, что это определение совпадает с обычным
определением производной от функции.
Так как производная от обобщенной функции также являет-
ся обобщенной функцией (из &*), ясно, что обобщенные функ-
ции бесконечно дифференцируемы (т. е. имеют частные произ-
водные любого порядка). Отметим также, что операция диффе-

f 2J ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Й ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 47
ренцирования непрерывна в &". Другими словами, если при
любом и е &
lim (/„, и) = (/, и),
то для каждого ке^1 имеет место соотношение
Эти простые свойства операции дифференцирования в & и
¦ не имеют места в нормированных пространствах. Именно
яюэтому в основу теории обобщенных функций кладутся счетно-
%ормированные пространства.
} Заметим далее, что для обобщенных функций безразличен
|Aорядок дифференцирования:
d'f -
f
как такое равенство справедливо для основных функций.
f Напомним, что A.2.14), вообще говоря, не имеет места для
(Производных от обычных функций, когда эти производные раз-
,ОЫЕНЫ.
Рассмотрим несколько примеров обобщенных функций од-
ного переменного, являющихся производными от обычных ло-
кально интегрируемых функций.
?. 1) Производная от разрывной (локально интегрируемой)
(функции
1 при х>0,
0 при Х<0 <1Д-^
шавна 6(х). Действительно, в силу определения A.2.12) и фор-
мулы A.2.2)
то оо
|^=-j^dx = «(O) = (e, и). A-2.16)
О
2) Функционал —" совпадает с главным значением
смысле Коши от —; другими словами.
A.2.17)

48 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ (ГЛ. I
где IP — знак главного значения интеграла. Действительно, в
силу определения A.2.12)
lim Jt!?Ldx+\J^Ldx
Определенную таким образом обобщенную функцию —" *
будем обозначать как — (иногда ее обозначают как 3* —}.
Отметим, что обычная функция — не является локально инте-
грируемой (в окрестности точки х = 0) и поэтому она не тожде-
ственна обобщенной функции —. Эти две функции, однако,
совпадают при к ф 0.
Аналогично функцию -^ определим как производную от
обобщенной функции :
= r
В(х) + В(-^)-2В@)^ A21g)
о
Вообще, положим по определению
где производную нужно понимать в смысле определения диф-
ференцирования в ?f*.
3) Обычная локально интегрируемая функция In (x+iO)
определяется равенством
In (х + Ю) = lim In (x + iy) =
40
»= In | х | + / lim arg (x + iy) = In | x | + mG (- x), A.2.20)

§ 2] , ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАЛ НИМИ 49
где в(х) определена формулой A.2.15). Производную от обоб-
щенной функции A.2.20) будем обозначать '/0. В силу
A.2.16), A.2.19) и A.2.20)
Последовательным дифференцированием формулы A.2.21) по-
лучаем
Аналогично дифференцированием функции In (х — iO), комп-
лексно сопряженной к функции In (х+Ю), получаем
A.2.23)
Производные от дельта-функции в правых частях равенств
A.2.22) и A.2.23) определяются согласно A.2.12) формулой
\о ,и) = {—1) и (и). A.2.24)
2.4. Умножение обобщенной функции на гладкую функцию.
Проблема деления. Нами определялось множество обобщенных
функций как линейное пространство, и поэтому не случайно ап-
парат обобщенных функций весьма удобен для рассмотрения
линейных задач. Мы уже убедились в предыдущем пункте, что
обобщенные функции бесконечно дифференцируемы и их сме-
шанные производные не зависят от порядка дифференцирова-
ния (что, вообще говоря, не имеет места для обычных функ-
ций). В следующем параграфе мы увидим, что к обобщенным
функциям можно свободно применять преобразование Фурье.
Иначе обстоит дело с нелинейной операцией произведения обоб-
щенных функций.
Произведение не может быть определено естественным обра-
зом для любой пары обобщенных функций. Легко убедиться,
что нельзя определить умножение, которое было бы ассоциа-
тивным. Действительно,
A.2.25)
Тем не менее существует широкий класс функций, для ко-
торых можно естественным образом определить произведение
с обобщенными функциями из ??*. Этот класс определяется сле-
дующим образом.
4 Н- И. Боголюбов и др.

50 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ . 1ГЛ. 1
Будем говорить, что функция у(х) является мультиплика-
тором в пространстве основных функций of, если из того, что
и(х)е.&>, следует, что и q(x)u(x) &.&. Пространство всех
мультипликаторов будем обозначать через вм- Легко видеть,
что для того, чтобы функция <р(х) была мультипликатором, не-
обходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно дифферен-
цируемой и вместе со своими производными возрастала на бес-
конечности не быстрее полинома.
Если ф(л:)—мультипликатор, то произведение <р(х) на
обобщенную функцию f e^* определяется по формуле
(Ф (х) /, и (х)) = (f, f (х) и(х)). A.2.26)
По определению будем считать произведение коммутативным:
4>f=fo-
Упражнение 1.2.6. Показать, что при определении A.2.26) имеют место
формулы A.2.25). Проверить, что определенное таким образом произведение
является ассоциативным и билинейным.
В некоторых случаях можно определить и произведение двух
обобщенных функций. Теория таких «сингулярных» произведе-
ний менее естественна и более сложна, чем рассмотренный выше
случай умножения обобщенной функции на мультипликатор.
Мы рассмотрим в дополнении Б к этой главе несколько приме-
ров сингулярных произведений, которые встречаются в кванто-
вой теории поля.
Перейдем теперь к рассмотрению обратной задачи — задачи
деления, т. е. к изучению уравнения
Ф (*)/=«. A.2-27)
где ge^"' и <р(х) евм- заданные функции, а / — неизвест-
ная обобщенная функция. В случае, когда функция ф(л:)=?ьО при
всех х и не стремится слишком быстро к нулю при х—*<х> (так
что функция —7-с тоже является мультипликатором), уравне-
ние A.2.27) решается элементарно. Задача существенно услож-
няется, если функция <р(х) где-то обращается в нуль. Мы огра-
ничимся рассмотрением случая одного независимого перемен-
ного и предположим, что функция ф(*), входящая в A.2.27),
имеет лишь дискретное множество нулей конечного порядка.
.При этих предположениях проблема деления в пространстве
??*(R\) сводится, по существу, к решению простейшего уравне-
ния вида A.2.27), а именно
а/=?. A.2.28)

181
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
61
. В силу определения A.2.26) уравнение A.2.28) может быть
Записано в виде
\ (Я. и<*))-(*/. u(x)) = [f, хи(х)),
и[х)—произвольная основная функция. Таким образом,
бб ф f
^ [)р
"если обобщенная функция
1.2.28), существует и
f, удовлетворяющая уравнению
U|(x)e^, A.2.29)
(f. »)-(*, Hi). A.2.30)
1так, функционал f однозначно определен на подпространстве
^пространства ?Р) функций v[x), для которых и@)=0. Для
иного определения функционала f достаточно определить его
вйствие на какую-нибудь функцию Uo(jk) из if, такую, что
@) = 1 (в качестве цо(х) можно выбрать, например, функцию
'). Произвольная функция и(х) е if может быть представле-
в виде ¦
и (*>=ы@) и0 (*) + »(*). A.2.31)
ричем f@)=0, так что функция v[x) имеет вид A.2.29). При-
вняя функционал f к обеим частям равенства A.2.31) и учи-
лвая A.2.30), получим
[f, u[x)) = u@){f, «о(*)) + («[. Щ(х)). A.2.32)
рассуждения были проведены до сих пор в предположе-
ии. что существует решение уравнения A.2.28). Нетрудно убе-
гься непосредственно, что при любом выборе постоянной С
|инейный функционал
(f, u) = Cu@) + (g, u{[x)) A.2.33)
прерывен в if и действительно удовлетворяет уравнению
1.2.28). Рассуждения, приведшие к формуле A.2.32), показы-
вют, что функционал A.2.33) является общим решением урав-
1ия A.2.28) (любые два частных решения этого уравнения
Гличаются лишь значением постоянной С). Общее решение од-
родного уравнения
xfo = O A.2.34)
неет вид
(f0, и) = Си@), т.е. /о-С*(дс). A.2.35)
После того как мы убедились, что уравнение A.2.28) имеет
пение, нетрудно показать, что и более общее уравнение
«1=8.
A.2.36)

52 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1
где g e ef*y а / — любое натуральное число, всегда имеет реше-
ние относительно f в &*. Произвол в этом решении опреде-
ляется общим решением однородного уравнения
х?о=О. A.2.37)
Упражнение 1.2.7. Доказать, что общее решение уравнения A.2.37)
имеет вид
V-0
где Су—произвольные постоянные. (Указание: воспользоваться формулой
0 при к > V,
j^ при
и провести индукцию по I.)
Формулу A.2.39) можно получить из правила Лейбница для
дифференцирования произведения двух функций
Она является частным случаем более общей формулы
() A.2.40)
Результат упражнения 1.2.7 допускает следующее важное
обобщение.
Теорема 1.2.1. Пусть обобщенная функция f(x) сосредо-
точена в начале координат (г. е. f(x)=O при х Ф0). Тогда }(х)
является конечной линейной комбинацией t-функции и ее про-
изводных 6<v>(jk). Это утверждение справедливо и для обобщен-
ных функций нескольких переменных, так же как и для рас-
пределений из 3>*(Rn).
Доказательство этой теоремы основано на упражнении 1.2.7
и на том, что любая обобщенная функция имеет конечный по-
рядок (см. [12], гл. II, п. 4.5).
Аналогичным образом в ?f* можно делить на функцию
(х — а)', где а — вещественное число, и вообще на произволь-
ный полином.
Упражнение 1.2.8. Пусть а> а, — вещественные корни полинома Р (х)
(кроме ннх Р(х) может иметь, вообще говоря, и комплексные корни), а

i 2] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ S3
It — кратность кория af. Показать, что общее решение однородного урав-
нения
имеет вид
Полученные результаты обобщаются и на более широкий
класс бесконечно гладких функции, имеющих на вещественной
оси лишь нули конечной кратности. Например, общее решение
уравнения
sin»/=0
имеет вид
оо
/- S СпЬ{х-пп),
где коэффициенты Сп могут возрастать при [п|-»оо не бы-
стрее некоторой степени \ п\, т. е. существуют положительные
постоянные А и % (не зависящие от п) такие, что
\Сп\<А-(\+\п\)К
В остальном постоянные Сп произвольны.
Однако не каждое уравнение типа A.2.27) имеет решение
в &* (даже если предположить, что мультипликатор ф(х) об-
ращается в нуль лишь в одной точке). Так, например, можно
показать, что уравнение
не имеет решения в классе обобщенных функций &*, так как
функция ехр( г) имеет нуль бесконечной кратности в точ-
ке х—0 (существенно особой точке этой функции).
Результаты, полученные в задаче о делении в ?P*(Ri), мо-
гут применяться также к некоторым специальным задачам о
делении обобщенных функций нескольких переменных (хотя об-
щая задача деления функционалов из Sf*(Rn) на произволь-
ный полином от п переменных гораздо сложнее).
В качестве примера определим в вещественном пространстве
Rt векторов р=(р°, р\, ра, рз) скалярное произведение по фор-
муле
pq = рУ - piffi - ргяг - раРа = Р V - PQ-
Общее решение уравнения
(р2-т2)/ = 1 A.2.42)

S4 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1
имеет вид
где /i и /2 — произвольные обобщенные функции из 4f* (R3),
а обобщенные функции 6(± р°)/,,j6(р2 — щ2) и ,^ ^ опреде-
ляются следующим образом:
'-т\ и(р)) =
, A.2.446)
A.2.45)
где ш => ш (р) = Ym2 + р2, г? — знак главного значения инте-
грала в смысле Коши.
В дальнейшем мы часто будем встречаться с обобщенными
функциями A.2.44) и A.2.45).
§ 3. Преобразование Фурье обобщенных функций
и дифференциальные уравнения
3.1. Преобразование Фурье основных и обобщенных функций.
Пусть в пространстве Rn задано, вообще говоря, индефинитное,
скалярное произведение по формуле
... + х,у, - хмуш - ... ~ хпуп. A.3.1)
Мы будем строить преобразование Фурье относительно этой
билинейной формы *).
Лемма I.3.I. Преобразование Фурье основной функции
й(х) <=&
и (р) = FU (х) » -^щ \ й (х) е'» dnx, A.3.2)
*) Задавая скалярное произведение в Rn в форме A.3.1), мы имеем в
виду применение к исевдсевклицевым векторам или к совокупностям псев-
доевклидовых векторов. Например, пусть Rn — восьми мерное пространство,
состоящее из пар векторов пространства Минковского: % = (|0, |,, |s, |3),
Ч=('По. 4ii4ii4i) ¦ Обозначая *i=!o. х3=щ х3=%х, ..., *„=пэ, мы У6е"
ждаемся, что в таком пространстве R» целесообразио ввести метрику A.3-1)
/2

I 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 55
где рх задано формулой A.3.1), тоже является основной функ-
цией (и(р) So/0). Точнее, операция A.3.2) задает взаимно од-
нозначное и непрерывное отображение пространства & на себя.
Действительно, функция и(р) бесконечно дифференцируема
в силу абсолютной сходимости интегралов
р/2 | (/*')" й (х) eipxd"
Duu (р) = Bпр/2 | (/*')" й (х) eipxd"x, A.3.3)
*«
где выражения Da и (ix')a определены формулой A.1.3), а
х? = {хи .... х,, —хм, .... — х„). A.3.4)
Так как функция Aх')ап(х) принадлежит пространству ?f и,
следовательно, бесконечно дифференцируема с абсолютно ин-
тегрируемыми и исчезающими на бесконечности производными,
то нетрудно убедиться, интегрируя по частям в A.3.3), что
функции Dau(p) убывают при р-*оо быстрее любой отрица-
тельной степени р. Итак, u(p)^Sf, т.е. при преобразовании
,Фурье пространство if переходит в себя.
Если йх(х) ->0 при v-> °о в топологии пространства <?", то то же самое
справедливо и для фурье-образсв uv(/>)- Таким образом, преобразование
Фурье является непрерывной операцией в <Р.
Преобразование, обратное к A.3.2), задается формулой
й(х) = F и(р) = ^j- J и (р) е-ч*йЛр. A.3.5)
Оно обладает такими же свойствами, как и F. Поэтому преоб-
разование Фурье осуществляет изоморфизм & на ?Р.
Определим преобразование Фурье для обобщенной функции
f(x) как линейный функционал f(p) над пространством обра-
зов Фурье основных функций й{х) по формуле
(f(p), и(р))-(/¦(«), Цх)), A.3.6)
где и(р) связано с й(х) формулой A-3.2). Формулу A.3.6)
можно рассматривать также как определение обратного преоб-
разования Фурье: если задана обобщенная функция f(p), то ее
прообраз Фурье f (x) определяется равенством A.3.6).
В силу леммы 1.3.1 преобразование Фурье }(р) обобщен-
ной функции f(x) (f(x)^Sa*) тоже является обобщенной
функцией того же пространства ?Р*. Обратно, каждая обобщен-
ная функция f(p) <=?P* имеет прообраз Фурье f(x) <=?f*. Та-
ким образом, справедлива следующая теорема, соответствующая
лемме 1.3.1,

56 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. 1
Теорема 1.3.1. Преобразование Фурье обобщенных функ-
ций, определенное формулой A.3.6), является изоморфизмом
пространства ?f* на себя.
Напомним, что изоморфизмом линейного топологического
пространства ?lt на такое же пространство fij называется вза-
имно однозначное, взаимно непрерывное отображение fii на fij,
сохраняющее линейные операции.
Отметим, что лемма 1.3.1 и теорема 1.3.1 не справедливы
для пространства финитных функций 3) и пространства распре-
делений ?Я*. Именно, чтобы обеспечить симметрию между *- и
р-пространствами, выражаемую этими леммой и теоремой, было
целесообразно определить обобщенные функции как функцио-
налы над пространством &. Этот выбор отражает требование
симметрии координатного и импульсного представлений, играю-
щей важную роль в квантовой теории. В гл. 4, п. 3.5 мы выявим
также связь такого выбора с условием микропричинности.
В случае, когда обобщенная функция f(x) совпадает с обыч-
ной функцией, имеющей преобразование Фурье f(p) в класси-
ческом смысле (формула A.3.2)), обобщенная функция /(р),
определяемая равенством A.3.6), совпадает с этим преобразо-
ванием Фурье. В таком случае формула A.3.6) выражает из-
вестное равенство Парсеваля:
J W) й (х) dnx = J Щ и (р) dnp. A.3.7)
Приведем несколько примеров преобразований Фурье обоб-
щенных функций *):
-/ J>° \ 1 f (L3-9)
F[ —-—к- ==,—'—-¦ el^-x)IJdnp = 6(x-a).
Первую формулу A.3.9) легко можно получить, исходя из оп-
ределения A.3.6):
(F6, и (р)) = й @) = -^^ J и (р) d"p.
Jfn
*) Таблица часто встречаемых преобразований Фурье обобщенных функ-
ций приведена в [18]. гл. II, § 2, п. Б-

f 3) ПРПОЬРАЗОВАПИЕ ФУРЬЁ 67
Вторая формула A.3.9) получается из первой как обратное
преобразование Фурье, если а=0; при произвольном а она по-
лучается отсюда при помощи трансляции.
Пусть р и х — 4-векторы. Тогда
)] A.3.10)
где
К, [г) i н[° (to) -f G, (to) + W, (to)) A.3.11)
(Уь iVi. Wi!>» Ki — соответственно функции Бесселя, Неймана,
Ганкеля и Кельвина).
Наметим вывод формулы A.3.10). При помощи тождества
1 _ г Г ~l «a da
f_pf_to- 4 J е а»
и известных формул для гауссовых квадратур можно представить обобщен-
ную функцию Йс(дг) в виде предела (относительно сходимости в *"):
где Я задано A.3.П)» а
оо
f4 W - J ехр | - [ i ~ + (ц + Л) а 11 da. A.3.13)
о
Функционал / (X) = lim f« (X) задается разными выражениями на ин-
тервалах Х<0, Х>0 и в окрестности точки Х=0. В первых двух случаях
взятие интеграла A.3.13) непосредственно приводит к формуле A.3.10) (см.
[19], 3.324 и 8421.2). Чтобы получить первое слагаемое в A.3.10) (дельта-
функцию), рассмотрим интеграл
а
lim
о
-в 0
После замены переменных {$=аа устремим а к нулю. В результате получим
а оо
lim lim ¦ * •» i#vi «»sv — * ¦ o
P
im Г f4

58 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1
а
С другой стороны, интегралы lim I Xvfn(K)dh при v=l, 2, ... стре-
нг+0 J
мятся к нулю при а->0. Следовательно, в окрестности нуля }(Х) ведет
себя как яб(Л). Таким образом, формула A.3.10) доказана*).
Отметим еще, что для преобразования Фурье обобщенных
функции сохраняется формула A.3.3), справедливая для пре-
образования Фурье основных функций:
), A.3.14)
F[Dau] = (— ijffFu, A.3.15)
где х' и р' определяются формулой A.3.4). Эти формулы по-
лезны тем, что сводят решение дифференциальных уравнений
(с постоянными коэффициентами), содержащих обобщенные
функции, к проблеме деления, рассмотренной в п. 2.4.
3.2. Свертка обобщенных функций. В классическом анализе
часто используется операция свертки двух функций f(p) )
определяемая равенством
В анализе обобщенных функций эта операция играет еще бо-
лее важную роль.
Так же как и операция умножения, свертка определяется не
для любых пар обобщенных функций. Легко определить свертку
обобщенной функции /на основную функцию и[р), пользуясь
вторым равенством A.3.16):
, u(p-q)) = \Ня)и(р-я)<1пя. A-3.17)
Первое равенство A.3.17) является определением свертки как
действия функционала f(q) на основную функцию и(р—д),
рассматриваемую как функция от q при фиксированном р. Не-
трудно убедиться, что свертка A.3.17) является бесконечно
дифференцируемой и полиномиально ограниченной (вместе со
своими производными) функцией от р. Другими словами, если
f е^° *, а ие^.то f *и(р) е 0М, т. е. свертка A.3.17) являет-
ся мультипликатором. Однако функция f * и, вообще говоря, не
принадлежит пространству основных функций ?Р. Например,
*) Функция Ьс(х) играет важную роль в квантовой теории поля. Ее
называют причинной функцией Грина или функцией распространения сво-
бодного скалярного поля массы m (см. [4], гл. 3),

( 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 59
если f(q) является полиномом, то свертка A.3.17) также являет-
ся полиномом и, следовательно, возрастает, а не убывает при
р —»<х>.
Будем говорить, что обобщенная функция f(p) является
свертывателем в if, если для любого и(р) е?Р свертка f *u
также принадлежит ??. Пространство свертывателей будем обо-
значать через ве.
Если f является свертывателем, то можно определить сверт-
ку f с произвольной обобщенной функцией ge*** по формуле
(f*M, u) = Q(p)g(q), u[p+q))^
f(-q)*u(q)). A.3.18)
Приведем пример свертывателя. Обобщенная функция
Dab(x) при любом а=(аь ..., ап) является свертывателем.
В более общем случае: если обобщенная функция f имеет огра-
ниченный носитель, то она является свертывателем.
Основные функции из & являются свертывателями. Справед-
лива следующая теорема (см. Гординг и Лион A959), теорема
7.2.3, или [12], гл. III, § 3, п. 7):
Теорема 1.3.2. Для того чтобы обобщенная функция ф (р)
была свертывателем, необходимо и достаточно, чтобы ее образ
Фурье ф (х) был мультипликатором. При этом для любого
Ф * g(p) = [2n)nl2F (ф (*) g [x)). A.3.19)
Пространство свертывателей 0с состоит из быстроубываю-
щих обобщенных функций. Другими словами, справедливо сле-
дующее утверждение.
Лемма 1.3.2. Для того чтобы обобщенная функция f была
свертывателем, необходимо и достаточно, чтобы при любом на-
туральном N можно было представить f в виде конечной суммы
производных от непрерывных функций FhN(p), каждая из кото-
рых удовлетворяет неравенству
Эта лемма, доказательство которой мы здесь приводить не бу-
|дем (см. [17], т. II, гл. 7, § 5, теорема 9), понадобится нам
'fe гл. 4.
ь Существуют и другие достаточные условия на пару обобщен-
ных функций f и g, чтобы для них была определена свертка *).
) Общее определение свертки, включающее всевозможные известные
аи, приведено в книге В. С. Владимирова «Уравнения математической
»ики», «Неуке», 1967, стр. !!6,

60 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Мы сформулируем еще один критерий такого рода, имеющий
полезные приложения. Особенно просто формулируется этот
критерий в случае функции одной переменной.
Если носители обобщенных функций f(p) иg(p) (eSf*(R\))
ограничены с одной и той же стороны (например, если f (р) =0
при р<р\, g(p)=0 при р<р%), то функционал A.3.18) суще-
ствует и определяет свертку f * g(p).
Для функций нескольких переменных мы сформулируем со-
ответствующий критерий лишь в одном частном случае, с ко-
торым будем встречаться в дальнейшем.
Пусть Rt — пространство Минковского. Назовем обобщенную
функцию fr(x) е<5"*(#4) запаздывающей, если ее носитель со-
средоточен в будущем световом конусе V*, т. е. если fT(x) =0
при х ^ 0. Аналогично обобщенную функцию fa(x) будем назы-
вать опережающей, если ее носитель сосредоточен в прошед-
шем световом конусе V~.
Теорема 1.3.3. Если fT(x) и gr(x) —запаздывающие функ-
ции, то существует свертка fr(x) *gr(x), определенная форму-
лой A.3.18), которая тоже является запаздывающей (обобщен-
ной) функцией.
Аналогичное утверждение справедливо для опережающих
функций.
Эта теорема является следствием теоремы 1.А.1, доказанной
в дополнении А к настоящей главе и относящейся к преобразо-
ванию Фурье запаздывающих функций. Мы предоставляем чи-
тателю возможность непосредственно убедиться в ее справед-
ливости.
Отметим, наконец, формулу дифференцирования свертки,
следующую непосредственно из определения A.3.18):
g) = Df*g = f*Dg. A.3.20)
3.3. Дифференциальные уравнения с обобщенными функ-
циями. Уравнения типа свертки. В этом пункте мы рассмотрим
некоторые примеры линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами, т. е. уравнений вида
Р (- ID) f = 2 аа (- l)ia]Daf (p) = g (p), A.3.21)
а
где Р ¦— произвольный полином, операторы Da определены фор-
мулой A.1.3), аа — комплексные числа, g(p) —заданная обоб-
щенная функция, f{p) —неизвестная обобщенная функция (мно-
житель —i поставлен для удобства). Уравнение A.3.21) может
рассматриваться- как частный случай уравнения типа свертки
A.3.22)

|Sj ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 61
где q>(p)—заданный свертыватель, a g(p) и f(p)—соответ-
ственно, заданная и искомая обобщенные функции. Действи-
тельно, полагая
1| A.3.23)
мы убеждаемся, что в этом случае уравнение A.3.22) перехо-
дит б A.3.21).
Согласно теореме 1.3.2 уравнение A.3.22) эквивалентно
уравнению для преобразований Фурье
#(*) Г (*) = ?(*)• A.3-24)
Таким образом, для того чтобы найти общее решение урав-
нения A.3.22) и, в частности, дифференциального уравнения
A.3.21), необходимо и достаточно решить соответствующую
проблему деления A.3.24) с неизвестной функцией f (х).
Рассмотрим случай одного независимого переменного. Для
этого случая мы изложили в п. 2.4 решение проблемы деления
на полином, и поэтому нетрудно найти общее решение уравне-
ния A.3.21). Действительно, исходя из A.3.24) и A.3.23) (или
пользуясь непосредственно A.3.14)), мы видим, что в терми-
нах преобразований Фурье уравнение A.3.21) принимает вид
Р(*)Г (*)-$(*), A.3-25)
где Р — полином, входящий в левую часть A.3.21). В п. 2.4 мы
убедились, что уравнение A.3.25) всегда имеет решение, при-
чем общее решение этого уравнения равно некоторому частно-
му решению плюс функция вида A.2.41).
Упражнение 1.3.1. Показать, что едииствеииая обобщенная функция f(p),
производная которой равна нулю, есть постоянная f—C. (Указание: вос-
пользоваться тем, что общее решение уравнения A.2.34) имеет вид A.2.35).)
Отметим, что в пространстве обобщенных функций ?Р* число
независимых решений однородного уравиения
=° A-3-26)
не только не увеличивается (по сравнению с числом решений
этого же уравнения в классе гладких функций), но, вообще го-
воря, сужается. Действительно, если, например, полином Р{х)
не имеет вещественных корней, то единственное решение урав-
нения A.3.26) есть f=0, в то время как в классе всех беско-
нечно дифференцируемых функций уравнение A.3.26) имеет
N решений, где N — степень полинома Р(х). Этот факт обусло-
влен тем, что экспоненциально возрастающие обычные функ-
ции не являются обобщенными функциями из &*. Если мы

62 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
хотим иметь дело со всеми решениями любого линейного диф-
ференциального уравнения с постоянными коэффициентами,
мы должны искать их в пространстве распределений 2В*.
Пример дифференциального уравнения в частных производ-
ных мы рассмотрим в следующем пункте.
3.4. Фундаментальное решение волнового уравнения. В этом
пункте мы будем изучать обобщенные решения волнового урав-
нения в п +1-мерном пространстве Rn+i:
^) <13-27)
Введем следующие обозначения:
2„ = р. p'-pI-p2;
A.3.28)
г2-
1/jk2 4- 4- х2 = г х2 = х2 —
гА1~ ••• ' *п — ' > л — *о
(векторы р и х будем называть пространственной частью соот-
ветственно векторов р и х).
Для того чтобы решить уравнение A.3.27) при произволь-
ных начальных условиях, достаточно найти фундаментальное
решение этого уравнения, которое мы определим как обобщен-
ную функцию б(р), удовлетворяющую следующим условиям:
, |?|
Чтобы эти условия имели смысл, необходимо установить спра-
ведливость следующей леммы.
Лемма 1.3.3. Если обобщенная функция D(p) e<?"*(/?n+i)
удовлетворяет волновому уравнению A.3.27), то ее можно рас-
сматривать как обобщенную функцию по переменной р (из
&1* {Rn)), зависящую от р0 как от параметра.
Упражнение 1.3.2. Доказать лемму 1.3.3. (Указание: пусть функции
<pv(P). v=l, 2 заданы равенством A.2.6). Показать, что тогда функции
Dv (р) - J D (р0, q) <pv (p - q) dnq A^-30)
*п
бесконечно гладки, если D{p) удовлетвориет A5.27), и что Hm Dv(p)**D(p)
v>oo
как относительно сходимости в *"(Лп+|), так и относительно ско-
димости в &*(Rn) при фиксированном ро)
Упражнение 1.3.3. Пусть обобщенная функция f(p) удовлетворяет урав-
нению A-3.27) в начальным условиям
;?-
./@. Л-/•</»).
A-3.31)

S 31 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЁ 63
где /o(P)t h W)^&*(Rn)- Показать, что при этих предположениях /(р)
имеет вид
/ (р) = D (р„, р). fj (р) +1?- . f0 (P) -
= J В (Ро. Р- ff)./i (?) dnq + ^ J В(Ро> p-q)fo(q)dnq. A^.32)
Перейдем теперь к отысканию фундаментального решения
D(p) (мы убедимся, что условия A.3.29) определяют одну и
только одну обобщенную функцию).
Следуя методу, использованному в п. 3.3 для нахождения
решения обыкновенных дифференциальных уравнений, перей-
дем к преобразованию Фурье D(x) функции D(p). При этом
равенства A.3.29) приобретают вид
x*D (х) = (*о + г) (х0 -r)D (х0, х) = 0, A.3.33)
+ О0
J D(x0, x)dxo=O, A.3.34a)
i J хоб (xo, x) dx0 = ~r •
A.3.346)
Bn) 2
Согласно результатам п. 2.4 (в частности, формула A.2.43) при
/п=0) общее решение уравнения A.3.33) имеет вид
6 (х) = Dl(*)b(x0-r) + D2(x)b(x0 + r),
Условие A.3.34а) дает
а из второго условия A.3.346) получаем
ir(Dl(x)-D2(x))
Bп)
Итак,
п-1
"Г
A.3.35)
Bп)
где е(ж0) —знаковая функция. Отсюда для искомой функции
D(p) получаем

64 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Явный вид функции D(p) зависит от размерности простран-
ства л.
Упражнение 1.3.4. Показать, что
~2 е (Ро) 6 (Р1) при я-1,
l при „,2, <1ЛЯ7>
Для вычисления интеграла A.3.36) при л^З удобно ввести
сферические координаты (ось Х\ выбираем по направлению век-
тора р):
Дг„-1 = г sin ф, sin ч>2 ... sin <р„_2 cos ф„_„
дгп = г sin ф1 sin фа ... sin ф„_2 sin ф„_(.
Элемент объема в сферических координатах имеет вид
йхх ... йхп — rn~xsin"~2q3, sin"фа ... sinfrt_2drdf, ... йф„_1,
а углы ф|,..., ф„_1 изменяются в пределах
0-^ф1^я 0-<ф„_2-<п, 0-^ фп_] ¦< 2п.
Учитывая, что площадь поверхности единичной сферы в v-мер-
ном пространстве равна
V
4 A.3.38)
получим
'in р„г п~\ j, I
г 'dr
J - --
С другой стороны (см., например, [32], ч. II, гл. V, п. ИЗ, фор-
мула A98)),
и, следовательно,
/1-2
D {р) - idp* I (iJ sin Ml?(prj dr- A -3-39)

I 3] ПРЁОБРАЗО6АНИЕ ФУРЬЕ 65
Формула A.3.39) приводит к выражениям разного типа в зави-
симости от четности или нечетности числа л.
Упражнение 1.3.5. Показать, что при нечетком п (я ¦» 2v + 3,
v-0, 1.2....)
D{p)- -^- е (ро) «(v) (P8). A.3.40)
Упражнение 1.3.6. Показать, что при четном я (я — 2v + 2, v — 0, 1,2,...)
(Указание: воспользоваться формулами
, 1
справедливыми при любом целом неотрицательном v.)
Обобщенные функции типа A.3.40) и A.3.41) определяются
следующим образом. Пусть fi (К) — обобщенная функция из
&*(R\), сосредоточенная на полупрямой К > 0 (т.е. f (Я) =-0
при К<.0). Тогда f(p) —&(po)fi(p2) является функционалом в
пространстве <$" (Rt), определяемым формулой
(/ (Р), и (р)) = {f, (Л), а (fc) к, (Л)), A.3.42)
где
оо It 2л
J" J[«(^ch|,
0 0 0
- н( - V^ch |, е V^sh |)j Sh2 |sin 8 d|d8 dqi, A.3.43)
e = (sin 8cosqi, sin 8sinqp, cos 6),
a(K)—любая бесконечно гладкая функция, причем а(Я.) = 1 при
Я.^0, а(К) — 0 при Х^—1. В качестве а(К) можно выбрать,
например,
О при Х^— 1,
{ех
«Р-г ,
при — 1 < Л < О,
1 при
Упражнение 1.3.7. Показать, что функция a(A.)«i(X.) €=<?"(?,) и что функ-
ционал A.3.42) не зависит от выбора функции ~а(л). При доказательстве
второго утверждения использовать, что j, {k) =0 при %<0.
g Ы. Ы. Боголюбев в др.

66 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. i
3.5. Лоренц-инвариантные обобщенные функции. Лоренц-ин-
вариантные обобщенные функции играют важную роль в реля-
тивистской квантовой теории. Здесь мы рассмотрим инвариант-
ные функции одного 4-вектора р= (р°, р1, рг, рэ). Общий случай
функций от п таких векторов при некоторых дополнительных
предположениях (кроме лоренц-инвариантности), отражающих
аксиомы квантовой.теории поля, будет рассмотрен в гл. 5.
Пусть Л — произвольное собственное преобразование Ло-
ренца (т. е. AeiJ). Обобщенную функцию f(p) будем назы-
вать лоренц-инвариантной, если
f(Ap)-f(p), A.3.44)
где f(Ap) определена формулой A.2.10), которая в рассматри-
ваемом случае имеет вид
(Г(Ар), u(p)) = Q(p), н(Л-'р)). A.3.45)
так как определитель матрицы Л равен 1.
Пусть рх — скалярное произведение в 4-мерном простран-
стве Минковского. Нетрудно установить справедливость сле-
дующего утверждения.
Лемма 1.3.4. Обобщенная функция
инвариантна относительно собственных преобразований Лорен-
ца в Rt(p) тогда и только тогда, когда ее прообраз Фурье f(x)
инвариантен относительно этих же преобразований в R*(x).
Упражнение 1.3.8. Доказать лемму 1.3.4.
С помощью леммы 1.3.4 легко найти общий вид инвариант-
ной обобщенной функции, сосредоточенной в точке р=0. Для
этого необходимо воспользоваться многомерным обобщением
теоремы 1.2.1, согласно которому произвольная обобщенная
функция, сосредоточенная в точке р=0, может быть записана
в виде линейной комбинации й-функции и ее производных
2 Cofla6(p), A.3.46)
C<|a K
где щ — целое неотрицательное число, зависящее от f.
Упражнение 1.3.9. Показать, что, пользуясь формулой A.3.46) и леммой
1.3.4, любую лореиц-иивариантиую обобщенную функцию, сосредоточенную
в точке р—0, можно представить в виде
Р(П)Ь{р). A.3.47)
где Р — произвольный полином, а ? — оператор, определенный формулой
A.3.27) при п - 3.

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 67
Перейдем теперь к рассмотрению обобщенных функций об-
щего вида, инвариантных относительно преобразований из ор-
тохронной группы Лоренца. Пусть f(р) — инвариантная обоб-
щенная функция и пусть
Р)).
A.3.48)
Ясно, что тогда для произвольного преобразования Лоренца Л
будем иметь
f(A)Mp), fi(Ap)=.e(A)/,(p), A.3.49)
где е(Л) = + 1, если Л не обращает напраеление бремени, и
е(Л)= — 1, если Л обращает направление времени (т.е. коор-
динаты р°).
Инвариантные функции, преобразующиеся при обращении
времени как flt будем называть четными функциями. Их сово-
купность обозначим через J&*. Функции типа f2 будем называть
нечетными и обозначать их совокупность через &~. Таким об-
разом, множество инвариантных функций разбито на два клас-
са J&* и -?"" такие, что: 1) каждый из них состоит из собствен-
ных функций оператора обращения времени; 2) любая лоренц-
инвариантная функция может быть разложена (однозначно) на
сумму двух функций, принадлежащих этим классам (в нашем
случае f=f\+fa)- Будем рассматривать классы *2* и J3T в от-
дельности.
Интуитивно кажется очевидным, что любая функция из J?*
зависит лишь от скалярного квадрата вектора р
f(p) = fi(p2)- A.3.50)
Однако, как мы видели раньше, в таком виде нельзя предста-
вить лоренц-инвариантные обобщенные функции, сосредоточен-
ные в точке р=0.
Заметим, однако, что функционал (о, и) можно представить
в виде предела (в <$"*) функционалов типа A.3.50): действи-
тельно,
и @) = (й, и) = — lim -4 Г sin vp2u {p) d% A.3.51)
v>~ * i
На самом деле любая обобщенная функция из J8"* может,
грубо говоря, быть представлена в виде суперпозиции функций
вида A.3.47) и A.3.50).

68 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Точная формулировка этого утверждения менее элементарна. Трудность
связана с поведением функционала f(p) в окрестиостн светового конуса р2=0.
Здесь мы лишь сформулнруем соответствующие результаты, отсылая за дока-
вательством к лекциям Гординга и Лиона A959) *) н к статьям Метье A954.
1955).
Пусть &6—пространство всех комплексных функций одной вещественной
переменной т вида
Й(т)=.й,(т)+Й8(тIпр|, A.3.52)
где й, (т) е <?% й, (т) е & и А» @) =¦ 0. Определим операторы Lg по формуле
а а
LJi = 2 (|Ь A) li - J] A<v>@) -? (a = I, 2, .. .)• A-3.53)
Y-l V-l
Определим, далее! в &С счетную систему норм
а
I Pa (A) I - Л» (* (т) - <р„ (т) М In -j^) + 2 I *f (°) |. («A")
v-0
где pa (u) задано формулой A.1.14), а <р0 (т) — фиксированная функция из ^,
равная единице в некоторой окрестности точки т = 0 н нулю вие отрезка
I — -д-f -д")- Таким образом, мы превращаем ^? в счетно-нормнрованное
пространство. (Топология, порождаемая в 36 системой норм A.3.54), не sa-
внснт от частного вида функции фо(т).)
Любой лннейный непрерывный функцнонал ъ&6 имеет внд
(F, А) - (f, h - <poLrtA ln-pL) + 2 Cvft?v> @), A^.55)
v-l
где / — лннейный непрерывный функционал в <$"„.
Любой основной функции и (р) нз & (Я4) можно поставить в соответ-
ствие некоторую функцию нз 8S по формуле
h (т) в (Ми) (т) = f и (р) 6 (т - р») d*p. A.3.56)
ft
Приведем некоторое, не вполне стрегое рассуждение, показывающее, что
функции A.3.56) могут быть представлены в виде A-3.52). Действительно,
вводя в интеграле A.3.56) сферические координаты р — ре и проводя инте-
грирование по р" н по углам (т. е. по компонентам единичного вектора е).
*) У Гордннга н Лиона описан общий внд инвариантных распределений
нз 0 *(/?«), однако все рассуждении без труда переносятся И Da случай об-
общенных функций на &*(Ri),

|S] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 69
получим
A.3.56а)
гт + р2
е (_t) v=t
где б — ступенчатая функция A.2.15), а
<Р (<а2. Р2) - y J («(®> Р«) + « (— и. Р«)) «Я2,
— бесконечно гладкая, быстро убывающая функция своих аргументов. Не-
дифференцируемость по т в Л(т) может возникнуть лишь благодаря особен-
ности иа нижнем пределе интегрирования по р, поскольку при больших р
-функция <р быстро убывает. При помощи аамеиы переменных
или
можно при t>0 преобразовать окрестность нижнего предела интеграла
A.3.56а):
Vx
При А достаточно близком к Y* можно заменить функцию <р ее значе-
нием на верхнем пределе <р(т, 0). Мы предоставляем читателю убедиться, что
в остающемся после этого элементарном интеграле единственный иедиффе-
реииируемый по т член пропорционален т In т. Вообще, общий член с осо-
бенностью при т=0 в иитеграле от парциальной суммы ряда Тейлора функ-
ции <р вокруг точки « = п имеет вид Стпт, где л — натуральное число
(>1)
>)
Теперь класс четных обобщенных инвариантных функций ^?* может
быть описай следующим образом. Каждой обобщенной функции 1&J2**
можно взаимно-однозначно поставить в соответствие функционал F в &в
вида A.3.55) так, чтобы имела место формула
(f(p),u(p)) = {F, Ми), A.3.57)
где (Ми) (т) определено формулой A.3.S6).
Итак, четные инвариантные обобщеиные функции имеют вид
Ир)-М* {fix)),
, где М* — оператор, сопряженный к М:
(F[x),{Mu)(x)) = ((M'F)(p),u(p)).
Упражнение 1.3.10 (см. Горже A966)). Показать, что
(здесь /» — функционал над^?, определенный в A.3.53)),

70 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. 1
Любая нечетная инвариантная функция из _2*~ может быть представ-
лена, грубо говоря, в виде
fip)-t(pe)ft<P2), A.3.58)
где fi(T)-=O при т<0, е(р°) —знаковая функция.
Более точная формулировка этого утверждения проводится в терминах,
аналогичных использованным выше для класса J27*. Вместо A.3.56) нужно
Использовать соотношение
Mju (т) - J и (р) е (р°) * (т - р2) dlp, A.3.69)
отображающее множество <?" (V) иа<0" (/?*), Здесь V — внутренность светового
конуса ps>0, R* — положительная полуось, *"(G) определено в п. 1.3 (см.
Гордииг и Лион A959)).
Результаты упрощаются для неотрицательных инвариантных
обобщенных функций, с которыми мы будем иметь дело в даль-
нейшем (см., например, гл. 3, п. 4.5, доказательство теоремы
Челлена — Лемана).
Будем говорить, что обобщенная функция f неотрицательна,
если при любом выборе неотрицательной основной функции
(f, и)>0. A.3.60)
Согласно теореме Рисса (см. п. 1.2, пример 2)) любая неотри-
цательная обобщенная функция fe^"* связана с некоторой
неотрицательной мерой ц(р) полиномиального роста многомер-
ным интегралом Стильтьеса
{f, «)= J «(p)dn(p). A.3.61)
Меры представляют собой весьма частный случай обобщен-
ных функций. Если dn(p)=f(p) d*p, то f(p) может содержать
особенность типа б-функции, но не может быть производной от
б-функций (и вообще не может содержать особенностей типа
D6(p), где D — дифференциальный оператор ненулевого по-
рядка с постоянными коэффициентами). Это позволяет полу-
чить для инвариантных мер представление, более близкое к ин-
туитивному.
Общий вид четной инвариантной неотрицательной меры из
3?* таков:
d*p, A.3.62)
где р(т)—монотонно 'неубывающая функция полиномиально-
го роста на вещественной оси, а с > 0. Общий вид -нечетной

ДОПОЛНЕНИЯ 71
инвариантной меры vaff* есть
где с(т) — функция с ограниченным изменением на любом ко-
нечном интервале [О, Л], причем вариация V$o(%) полиномиаль-
но ограничена по А.
Упражнение 1.3.11. Доказать соотношения A.3.62) и A.3.63), пользуясь
общим представлением A.3.56) —A.3.59).
Ряд примеров инвариантных обобщенных функций, часто
встречающихся в физических приложениях, приведен в допол-
нении к гл. 3.
ДОПОЛНЕНИЯ
К ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ
В п. 3.2 мы определили понятия запаздывающей и опережаю-
щей обобщенной функции. Здесь мы установим некоторые свой-
ства этих функций и их Фурье-образов, которые понадобятся
нам в дальнейшем. Для определенности мы будем говорить
о запаздывающих функциях. Соответствующие результаты для
Ьпережающих функций получаются заменой х—>—х.
Если f (х) — запаздывающая обобщенная функция, т. е. если
f(*) = 0 при х^.0, A.А 1)
•""¦' для нее можно определить произведение с функцией
1ри q е V* (т.е. при q°>0, q2>0), несмотря на то, что экспо-
йента не является мультипликатором в ё?. Действительно, пусть
ра(*)—бесконечно гладкая функция, равная нулю при х° +
fa<lx|, равная единице при х° +-|-> | лс | (а>0) и не превос-
ходящая единицу при остальных р (мы предоставляем чита-
гелю построить пример функции с такими свойствами). Тогда
функция фо(*)е~9* является мультипликатором, и произведение
r"*f (x) может быть определено формулой
(e-«*f (х), й (х)) = {f, е-«*ча (х) й (х)) •). A .А.2)
•) Произведение г~«х/ можно определить ие только для запаздывающих
фикций, но вообще для всех обобщенных функций, для которых суще-
гвует предел от правой части AJV.2) при а-*оо и при любом выборе
(ункций фа (х) с отмеченными выше свойствами. Например, функцию
Г *\ рассматриваемую как обобщенную функцию, очевидно, тоже можно
Ииожать на e~qx. Множество веек обобщенных функций /, для которых
Г«ХГе <Р* при q e V+, будем обозначать через *"v+.

72 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. I
Упражнение I.A.I. Показать, пользуясь формулой AА.1), что это опре-
деление не зависит от выбора функции <ра (•*').
Следующая теорема характеризует все функции из Sf\* и,
в частности, дает необходимые условия для того, чтобы обоб-
щенная функция f(x) была запаздывающей.
Теорема I.A.I. Для того чтобы обобщенная функция f(x)
принадлежала классу ?Ру+, необходимо и достаточно, чтобы пре-
образование Фурье f(p, q) функции e~4*f(x) обладало следую-
щими свойствами:
•) f(P> ?)=/(Р+'?) — f(k) — аналитическая функция*) от
k в трубчатой области T*=R4 + iV* (k=p + iq еГ* означает, что
р — любое, a q e V*);
2) f(p+iq) как функция р принадлежит множеству мульти-
пликаторов вм, если q e V*, причем остается ограниченной в
этом множестве, когда q пробегает произвольное компактное
множество в V*.
Доказательство, а) Условие необходимо: если f(x)e
> ТО
f(p, q) = F(e-«*l(х))^щ^$е1 <>>*"»*f {x)d*x A.A.3)
удовлетворяет перечисленным в теореме свойствам.
Определим систему компактных в V* множеств V+(b, A),
где 0<й<Л, следующим образом:
^еУ^й, А), если \q\ + t<q°<A, (I.A.4)
где |0|=* Vq2\ + я\ + чЬ Доказательство необходимости условия
теоремы основывается на следующих двух леммах.
Лемма 1.А.1. Функция }(р, q) (I A.3) является обычной,
бесконечно дифференцируемой функцией по р и q при q e V*.
При любых Ь и А @<&<А) f(p, q) огра*ччена по р вместе со
своими производными (по р) равномерно относительно q, если
q<=V*(b,A).
Лемма 1.А.2. Функция f(p, q) (I.A.3) является аналитиче-
ской функцией от k=p+iq при всех k e T*.
Д ои а з ат ел ьство леммы 1.А. I.
1) Всегда можно найти конечное натуральное число л, зависящее от А.
и векторы q,, ... qn, принадлежащие конусу V* (но, вообще говоря, т-
принадлежащие его подмножеству V*E,А)), таким образом, что любое
qeiV*{6,A) может быть представлено в виде
п
ev>0, 2 °v"*'¦ A.A.5)
*) Аналитическая функции j(k) называется преобразованием Лапласа
обобщенной функции Цх).

ДОПОЛНЕНИЯ 73
Действительно, так как б>0, то вокруг двумерной сферы q°=A+l>,
\д\ = А — б можно описать многогранник, лежащий в той же гиперплоскости
9"=«Л+6 и не выходящий за пределы сферы| q\—А. Радиусы-векторы вер-
шин этого многогранника вместе с вектором (б, 0, 0, 0) образуют искомый
базис ?1 9».
2) Пусть векторы Q\, ft, ..., Qn выбраны согласно условию 1). Тогда
при q*sV*{&, А) фуикция
принадлежит пространству основных функций *".
Действительно, функция фо(х) бесконечно гладка. Покажем, что она
экспоненциально убывает при Ы -»-оо, где
||ж|| ив V х+Х*. A.А.7)
Пусть х произвольно и натуральный индекс m выбран таким образом
(m-=m(*)), чтобы
qmx -= min {qvx).
¦v-i n
Тогда в силу A.А.Б)
Л
О < Фо (ж) < е'1" 4- qmx - jj e"v (e™~e«)л.
С другой стороны, согласно A.А.8) и в силу положительности av
2
v=l
где Т1>0 и ие зависит от х (или т). (Допуская противное, мы пришли бы
к заключению, что существует ненулевой вектор х, ортогональный ко всем
векторам qv — qm, что невозможно, так как любой вектор четырехмерного
пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векто-
ров flv—9m.) Следовательно,
0 < ф0 (ж)< е-*». A.А.10)
Аналогичные оценки справедливы и для производных от функции фо(ж).
Итак, доказано, что Фо(*) е*".
3) Так как J (х) — запаздывающая функция и q ve= V*. то согласно A.А.2)
определены произведения е v f (e<S"). С другой стороны,
e-'xf (х) - <р0 (х) 2 e~9v'f (х).
и фурье-образ Этой функции равен свертке фурье-образов двух сомножи-
телей:
/ (Р. «)-/(*)¦=!' (•"«? (*)) - F ( 2 e'"^f (х))
\v=i /
причем
2 в^/(дс) ]е<Р\ а
/
)) . ф0 (р), A.А.1
/

74 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I
Отсюда следует, что функция / [р, д) бесконечно дифференцируема no р при
б ф V* и ог
у фу [р д) фрру р р
любом фиксированном д из V* и ограничена вместе со всеми своими про-
одными. Так как функции Фи(*. ?) пробегают ограниченное множество
, когда g&.V*[6,A), то функция }(р, д) и ее производные по р равно-
Л AА1)
фр д р р
изводными. Так как функции Фи(*. ?) пробегают ограниченное множество
в <f, когда g&.V*[6,A), то функция }(р, д) и ее производные по
мерно ограничены на каждом компакте. Лемма A.А.1) доказана.
Доказательство леммы 1.А.2 мы предоставляем читателю.
(Указание: показать, что функция f{p, q) дифференцируема не
только по р, но и по q, и проверить, что ее производные удо-
влетворяют уравнениям Коши — Римана.) Этим заканчивается
доказательство необходимости условия теоремы I.A.I.
б) Условие достаточно: если функция f(k)=f(p+iq) анали-
тична и равномерно ограничена относительно р вместе со свои-
ми производными (когда q пробегает произвольное компактное
множество в V*), то f (x) e ?P*V*.
Действительно, пусть
и пусть g(t)) (x) = eQXfiq) (x). Легко проверить, что giq) {x) не зави-
сит от q (т. е.—j&— = Oj и, значит, giv) {x) = f (x). Следова-
тельно,
f(,)(*)-e-^f(*)-
Теорема I.A.I доказана.
Упражнение 1 А.2. Показать, что свертка ?(*)•?(*) принадлежит про-
странству <f +, если оба сомножителя f к g принадлежат этому пространству,
причем имеет место равенство
F {е-** ¦ (J . §)} - F (e-'*J (x)) F (e"«*f (*)). A.A.13)
Указание: воспользоваться легко проверяемым равенством
Для дальнейшего нам необходимо найти признак, по кото-
рому можно выделять запаздывающие обобщенные функции
среди всех функций пространства ё?ч+. Такой критерий дает
следующая теорема.
Теорема 1 .А.2 Пусть f (х) е ?Ру+ и f(k) — ее преобразование
Лапласа. Для того чтобы suppf (x)c V*, необходимо и доста-
*) Утверждение, содержащееся в упражнении 1.А.2. может быть сформу-
лировано еще следующим образом. Пространство <?* + является алгеброй от-
носительно свертки. (Алгеброй называется линейное пространство, в котором
определено еще одно действие —«произведение» или «свертка».)

ДОПОЛНЕНИЯ 7Б
точно существование постоянных А, п, г таких, что
Доказательство, а) Необходимость. Пусть supp f cz V*-
Тогда функции f(x) и nN(x)~Q(xe)Q(x!t)(x2f'2 (N = 3, 4, ...)
принадлежат сверточной алгебре запаздывающих функций
(см. п. 3.2), ^следовательно, существует J N (х) = J (х) * hN (x)
с носителем в V*.
Покажем, что при достаточно большом N fN (x) — непрерыв-
ная, полиномиально ограниченная функция. Действительно, из
результатов п. 1.3 следует, что f (х) представим а в виде f(*)=
2 •D"|J«. гДе Ha —меры степенного роста. Возьмем беско-
нечно дифференцируемую функцию на прямой K(t) такую, что
Я,(/) = 0 при t<- 1 и Л@ = 1 при t>- 1/2. Тогда Л_(*°)Л.(де-
мультипликатор в &", равный единице в окрестности V*, поэтому
f (л:) = Л. (лг°) Л, (л:2) 2 If [la- Последнее равенство позволяет так
In |<a
переопределить меры степенного роста [ia, что их носители
будут принадлежать *) У<з> = {х: | х К х° + 3):
Свойства носителей hN и |i^ обеспечивают существование
свертки й^*^; поскольку hN(x) N — 3 раза непрерывно диф-
ференцируема и Цд —мера, свертка записывается в виде инте-
грала
(V К) (*) = f M*-f)rfKM
причем интегрирование производится по ограниченному мно-
жеству, когда х пробегает компакт. Отсюда следует, что fiN*li'a
N—3 раза непрерывно дифференцируема и ее производные
полиномиально ограничены. В таком случае при N^
|a|<a |a|<o
непрерывна.
Итак, fn{x)—непрерывная, полиномиально ограниченная
функция с носителем в V*. В таком случае для преобразования
*) Как показал В. С. Владимиров, можно усилить этот результат и вы-
брать меры ца с носителем в V* (см. [24], стр. 35),

76 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ.
Лапласа fN(p+iq) функции fN{x) имеем оценку:
I h (р + iq) I=-щ? 11т» W ^х-9К^х\ <
\
J erf
Обратимся теперь к преобразованию Лапласа для f (л:). По-
скольку (П)^ Rf/(x) = —b(x)(aN— некоторая постоянная), то
и, значит,
Из A.А.16) следует теперь оценка A.А.15).
б) Достаточность. Пусть выполнено неравенство A.А.15).
Возьмем натуральное JV> ""jj ; определим функцию fN(k) =
~*—_.,.лг / (fe)» голоморфную в Г*. Поскольку f(fe) удовле-
творяет условиям теоремы l.A.l, fN(k) также удовлетворяет
им; следовательно, существует fN(x)e?Р\*, для которой fN(k)
есть преобразование Лапласа:
Заметим, что если а — фиксированный вектор в V* и
1}, то
в таком случае
Следовательно, когда q пробегает луч Qa, fN(p + Iq) как
функция р пробегает ограниченное множество в пространстве
суммируемых функций. В таком случае ее преобразование
Фурье — непрерывная функция, ограниченная равномерно по /:
следовательно,

ДОПОЛНЕНИЯ 77
Из последнего неравенства видно, что supp fN с: V*. Дей-
ствительно, если хф V*, то существует asV* такое, что #а<0;
поскольку / > 1 произвольно, -ю fN (#) =0.
Рассмотрим теперь обобщенную функцию g ¦= ajv(Q)Nfjv.
Очевидно, ее носитель также принадлежит V*. Преобразование
Лапласа для g равно g(k) = a_y(—k3)Nfn(&) =*f(k).Следователь-
но, g = f. Теорема доказана.
Б. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
С СОВПАДАЮЩИМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
Как отмечалось (п. 2.4), в пространстве обобщенных функ-
ций нельзя определить однозначно билинейное ассоциативное
произведение. Трудность возникает, когда оба сомножителя
имеют сингулярность в одной и той же точке. Здесь мы рас-
смотрим некоторые классы обобщенных функций, внутри ка-
ждого из которых произведение может быть определено одно-
значно даже тогда, когда их особенности совпадают. Далее, мы
рассмотрим пример умножения обобщенных функций, результат
которого не определен однозначно на всем пространстве основ-
ных функций ЗР, а лишь на некотором подпространстве «5е(о).
Оба случая иллюстрируются на примерах квантовой теории
поля.
Из сформулированной в п. 3.2 теоремы 1.3.3 вытекает, что
в подпространстве FSfra фурье-образов запаздывающих обоб-
щенных функций можно определить произведение любых двух
элементов, принадлежащее тому же подпространству. Иначе
говоря, FaPret является топологической алгеброй.
В качестве примера рассмотрим произведение двух отрица-
тельно-частотных функций Паули—Иордана D^(x) (сводку
сингулярных функций в квантовой теории поля см. в дополне-
нии к гл. 3). Согласно (З.А.4) обе эти функции обладают осо-
бенностями на световом конусе х3=0. Из их выражений в л>про-
странстве совершенно не очевидно, что их можно перемножить.
Тем не менее произведение их может быть определено как пре-
образование Фурье от свертки
= J
- q)d*q

78 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. f
(интегрирование, приводящее к последней формуле, проведено
детально в гл. 4, формула D.4.20)). Заметим, что функция
A.Б.1) является обычной непрерывной и ограниченной на бес-
конечности функцией. В этом примере ясно выступает причи-
на существования свертки: интеграл A.Б.1) на самом деле
выражает объем некоторой конечной части гиперболоида ф=
= УМ2 + Q2 («фазовый объем»), так как ступенчатые в-функ-
ции в этом интеграле ограничивают область интегрирования по
q° с двух сторон.
Примером второго рода, когда произведение обобщенных
функций не определено однозначно, может служить умножение
причинных функций (см. дополнение к гл. 3) при совпадающих
аргументах. Чтобы проиллюстрировать яснее подход к этому
случаю, рассмотрим сначала простой одномерный пример про-
изведения разрывной функции в(/) на функцию Дирака 6(t).
Очевидно, это произведение хорошо определено на подпростран-
стве в^<о) пространства основных функций if? состоящем из всех
основных функций v(t), обращающихся в нуль в начале коор-
динат. Для всех таких функций
0 И0) = 0). A.Б.2)
Чтобы убедиться в этом, достаточно аппроксимировать 6(t) по-
следовательностью непрерывных функций bn(t). Тогда
Hm f &{tNn{t) v{t)dt = 0 при i>@) = 0 независимо от частного
вида последовательности {6„}. Мы определим, далее, 9(/N(/)
как произвольное продолжение функционала A.Б.2) на все
пространство &. Рассуждения, проведенные в п. 2.4 при ана-
лизе проблемы деления, показывают, что общий вид этого про-
долженного функционала есть
&(tN{t) =
где С — произвольная постоянная. Итак, произведение опреде-
лено с точностью до одной произвольной константы. Отметим,
что свертка преобразований Фурье функций 8 и 6 согласно
A.3.8) и A.3.9) расходится
Тем не менее к результату A.Б.З) можно прийти, изучая сверт-
ку 6*8. Для этого заметим, что функции v(t) из подпростран-
ства ^(щ, для которых справедливо равенство A.Б.2), могут
быть записаны в виде

ДОПОЛНЕНИЯ 79
где u(t)—произвольная функция из ?Р. Фурье образ функ-
ции v равен
Свертка (б* 5) (со), таким образом, определена как функцио-
нал над пространством ^"<р> функций »(ы) вида A.Б.5) и равна
нулю на этом пространстве. Из определения производной обоб-
щенной функции следует
так что
6*8= С.
Мы пришли к результату, эквивалентному A.Б.З). Чтобы сде-
лать это более аккуратно, оставаясь все время в ы-представле-
нии, необходимо сначала «регуляризовать» функцию ?(/) (т.е.
заменить ее ^-последовательностью непрерывных функций),
чтобы не иметь дела с бессмысленными выражениями типа
A.Б.4), а затем показать, что производные от полученной по-
следовательности сверток стремятся к нулю.
Этот пример подсказывает общий рецепт построения произ-
ведения двух обобщенных функций f(x) и g(x). Обе функции
аппроксимируются (в смысле сходимости в &*) последователь-
ностями непрерывных функций fn(x) и gn(x). Далее, рассма-
тривается подпространство af^cd? тех основных функций v(x),
для которых предел
lim {L(x)gn{x)v{x)dx A.Б.6)
существует и не зависит от специального выбора последователь-
ностей {fn) и {gn}- На этом подпространстве произведение
f(x)g(x) равно, по определению, пределу A.Б.6). Полученный
линейный функционал продолжается произвольным образом до
линейного непрерывного функционала на всем пространстве &.
Семейство полученных таким образом функционалов опреде-
ляет произведение обобщенных функций fg.
Итак, произведение двух обобщенных функций не всегда
является обобщенной функцией, а есть (вообще говоря, беско-
нечное) семейство обобщенных функций. Это определение ста-
новится обозримым и содержательным для таких пар обобщен-
ных функций fug, Для которых семейство fg описывается при
помощи небольшого конечного числа числовых параметров (как
в рассмотренном выше примере произведения A.Б.З)). Именно

80 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
так обстоит дело с перемножением причинных функций*). Не
останавливаясь здесь на общей теории таких произведений (см.
по этому поводу Боголюбов и Парасюк A957)), мы рассмо-
трим частный случай произведения
соответствующего диаграмме собственной энергии спинорной
частицы (нуклона) массы М, взаимодействующей с псевдоска-
лярным (или скалярным) мезоном массы т (см. [4J, § 33 или
[6], гл. 15, § 8). Здесь Dcm[x) дается формулами (З.А.9), а че-
тырехрядная матрица Sm связана с D"m формулой (З.А.6).
Так как оба сомножителя в искомом произведении A.Б.7)
являются лоренц-инвариантными обобщенными функциями, мы
постулируем, что семейство, определяющее произведение, тоже
состоит из лоренц-инвариантных функций. Это требование не-
сколько сужает произвол, имеющийся при определении произ-
ведения.
Так же как и в рассмотренном выше одномерном примере
A.Б.З), свертка фурье-образов функций Dc и Sc расходится
при больших импульсах q. Мы покажем, что и в этом случае
ее можно определить на некотором подпространстве простран-
ства dfiRt). Согласно общему рецепту сначала регуляризуем
функции D° и Sc. В теории возмущений принято пользоваться
регуляризацией Паули — Вилларса, которая сохраняет лоренц-
инвариантность:
Reg К(*)] = /„(*, т)~
A.Б.8)
Reg [S'M (*)] - g, (ж, М) = (/v4 + Af) fn (x, M),
где Мп-»°о при rt-»oo, так что fn(x, m) n^oe>Dcm(x) относи-
тельно топологии в о?" (у11 в последней формуле — матрицы
Дирака).
Упражнение 1.Б.1. Показать, что последовательность сверток
(Гп • ёп) (Р)
сходится на подпространстве <f(C) пространства & (Rt) функций
v(p) f" u(p)
f
dp» dp
1
•) Читателю, незнакомому с элементами квантовой теории поля, следует
вернуться к приведенному ниже примеру после изучения гл. 2 и 3.

ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ 81
Результат этого упражнения позволяет определить всевоз-
d'F
можные вторые частные производные —j?—— искомой свертки
Ьр* dp
как пределы последовательностей производных ¦—-—- (fn • g„)
op dp
относительно сходимости в с#" *.
Ясно, что сама инвариантная тензорная функция F(p) опре-
деляется по своим вторым частным производным с точностью
до аддитивного слагаемого
где Ci и С8 — произвольные постоянные. При вычислении двух-
точечной функции Грина по теории возмущений эти постоянные
определяются из условий
F(p)\ =-^-1 =0 A.Б.11)
р'-М' др» [^цр
(ср. гл. 4, п. 4.2).
Описанная процедура определения свертки A.Б.9) (и тем
самым произведения A.Б.7)) может быть заменена следующим
более компактным рецептом, не требующим использования ре-
гуляризованных выражений A.Б.8). Пишем формальное (рас-
ходящееся) выражение
<2я)< J lm1-(p-q)a-i0]{Mi-q1-i
<2я)
и дифференцируем дважды (по р* и pv) под знаком интеграла.
Полученный таким образом интеграл сходится и равен, по
определению, —-—-. Отсюда, пользуясь условием инвариант-
Ър* др
ности, получаем двухпараметрическое семейство сверток F, со-
держащих неопределенное аддитивное слагаемое A.Б.10).
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
§ 1. Для более полного ознакомления с линейными нормированными
пространствами и пространствами, сопряженными к ним, мы рекомендуем
читателю монографию [10]. Теория счетно-нормнрованных пространств изло-
жена, например, в [12], [13]. Относительно классической теории операторов в
гильбертовом пространстве см. [15] и [20]; наиболее полно эти вопросы изло-
жены в энциклопедической монографин [11].
Теорема о ядре для пространств 3> и ** доказана Шварцем A952).
Шварц A953/54) ввел также понятие ядерного отображения. Общее опреде-
ление ядерных пространств дано Гротеидиком A95о) (см. также монографию
6 Н. Н. Боголюбов и др.

82 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
Пича [14]). Доступное изложение этих вопросов имеется в книге [13].
Понятие оснащенного гильбертова пространства, по существу, введено Гель-
фандом и Костюченко A9Б5) (см. также [13]). Теорема о существовании
полной системы обобщенных собственных векторов естествеиио формули-
руется в терминах пары гильбертовых пространств вместо осиащеииого гиль-
бертова пространства (см. Кац A960) и монографию Березанского [21]).
§ 2. Обобщенные функции как линейные функционалы над гладкими
(финитными) функциями впервые ввел Соболев A936). Шварц A94Б) (см.
также [17]), развивая идеи Соболева и привлекая общую теорию лииейиых
топологических пространств, создал современную теорию распределений и
обобщенных функции как функционалов над пространствами Q) н &. Эквива-
лентное определение обобщенных функций из &* как функционалов иад не-
которым классом С (р, q; m) использовано Боголюбовым (см., например, [1],
дополнение А). Различные определения обобщенных функций как классов
фундаментальных последовательностей давались Микусинским [22] и Та-
гамлицким A954—1956). Баргмаи A967) находит интересный изоморфизм
между пространством обобщенных функций <Р* и некоторым пространством
целых аналитических функций. Замечание о невозможности определить про-
изведение двух произвольных обобщенных функций принадлежит Шварцу
A9Е4). Относительно умножения причинных функций в квантовой теории
поля см. Боголюбов и Парасюк A9Б7). Проблема деления в случае функ-
ций одной переменной решена Шварцем [17], а для функций нескольких
переменных — Мальгранжем A9БЗ), Эренпрейсом A954) и Хермандером
A9Б8). Систематическое современное изложение теории обобщенных функ-
ций и ее приложений находится в многотомной монография Гельфанда и др.
[18, 12, 13, 23].
§ 3. Теория преобразования Фурье для основных и обобщенных функ-
ций (из <f и &*) и его приложений развита во втором томе монографии
Шварца [17]. Общий вид лоренц-инвариантиых обобщенных функций иайдеи
в работах Метье A9Б4) и A9ББ) (см. также Метье A9Б7), Гординг и Лион
A959); у Горже A966) приведены таблицы инвариантных обобщенных функ-
ций и их преобразований Фурье).
Дополнение А. Теорема 1.А.1 принадлежит Шварцу A952) и Лиону
A952—1963) (см. также монографию [24]), доказательство теоремы 1.А.2 ос-
новано на идеях Броса и др. A967).
Дополнение Б. Теория многократных произведений причинных функций
в квантовой теории поля разработана Боголюбовым и Парасюком A9Б7)
(см. также Хепп A966)).

ГЛАВА 2
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Различные формулировки основных постулатов кванто-
вой теории поля содержат некоторую общую часть, по
существу, одинаковую во всех подходах. Речь идет о
свойствах амплитуд состояний, которые могут быть сфор-
мулированы до введения понятия поля и S-матрицы.
Пространство векторов состояний определяется (§1)
как оснащенное гильбертово пространство с положи-
тельно определенной метрикой. Таким образом, теории
с индефинитной метрикой (в том числе и квантовая
электродинамика) с самого начала не рассматриваются.
В оснащенном гильбертовом пространстве Q се%"с: Я*
наряду с обычными нормируемыми состояниями из ей?
входят обобщенные (ненормируемые) состояния из Q*.
Для таких состояний можно определить лишь отноше-
ния средних значений физических величин (п. 1.1).
Гильбертово пространство векторов состояний может
быть оснащено различными способами, в зависимости
от того, какую совокупность операторов мы собираемся
рассматривать в нем. Рассмотрены конкретные примеры
реализации оснащенного гильбертова пространства в
квантовой механике с конечным числом степеней свобо-
ды (п. 1.2) ив релятивистской квантовой теории (п. 3.2
и §5).
Требование релятивистской инвариантности озна-
чает, что в пространстве О€ реализуется «.представление
с точностью до фазового множителя* группы Пуанкаре,
которое сохраняет модули скалярных произведений.
Анализ Вигнера и Баргмана, схематично изложенный
в § 3, показывает, что в 3€ реализуется однозначное
представление универсальной накрывающей % группы
Пуанкаре. Операторы представления антиунитарны,
если преобразование Пуанкаре содержит отражение вре-
мени (п. 3.3), и унитарны в противном случае. Универ-
сальная накрывающая 5)? о собственной группы Пуанка-

84 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. S
ре совпадает с множеством пар двухрядных матриц
(а, А), где а — эрмитова матрица 2X2, а А —комплекс-
ная уникодулярная матрица (г. е. detA = 1; множество
таких матриц обозначается через SLB)). Закон компо-
зиции в 9*о определяется равенством B.2.19):
(а,, А)(й2> А^ = (ах + А^^, А^).
Связь группы 5(?о с группой Пуанкаре обнаруживается
следующим образом. Каждому 4-вектору х= (х°, х) по-
ставим в соответствие эрмитову двухрядную матрицу х
3 xl~lx2\
* *°-л:3 У
Тогда преобразование матриц
индуцирует собственное преобразование Пуанкаре век-
тора х (явная связь между преобразованием Лоренца Л
и матрицы А дана формулой B.2.15); см. также упраж-
нение 2.2.1).
Группа Пуанкаре десятипараметрична. Ее эрмитовы
инфинитезимальные операторы («генераторы») отожде-
ствляются с 4-импульсом системы Pi1 и с тензором мо-
мента количества движения Mw. С помощью псевдо-
вектора Паули — Любанского — Баргмана
дается ковариантное определение спина B.3.18). Алгеб-
ра Ли группы Пуанкаре имеет два полиномиальных ин-
варианта (оператора Казимира):
В зависимости от значений первого инварианта, который
задает квадрат массы, существуют четыре типа унитар-
ных (бесконечномерных) представлений группы ^0.
Вакуум преобразуется по единичному (тривиальному)
представлению группы Пуанкаре. Постулат спектраль-
ности (п. 3.2) утверждает, что все остальные физические
представления группы. Spo, которые реализуются в &6,
относятся к классу Р2>0, Р°>0.
Детально рассмотрены спинорные представления
групп SLB) и ^ (§4). Попутно излагаются необходи-
мые сведения об алгебре у-матриц и уравнении Дирака.

{ 1] ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ 85
§ 1. Пространство состояний
1.1. Оснащенное гильбертово пространство и обобщенные
состояния. Как в нерелятивистской квантовой механике, так и
в релятивистской квантовой теории состояние физической си-
стемы описывается единичным вектором W в некотором сепа-
рабельном гильбертовом пространстве *) &6. Векторы, отличаю-
щиеся на постоянный («фазовый») множитель, описывают одно
и то же состояние. Совокупность всех единичных векторов в е%?,
коллинеарных с заданным вектором Y, будем называть еди-
ничный (или нормированным) лучом в ?№ и будем обозна-
чать W.
Отметим, что состояния, которые математически отожде-
ствляются с единичными лучами, нельзя складывать: так назы-
ваемый «принцип суперпозиции» имеет место лишь для век-
торов в &€.
Каждой измеряемой физической величине (наблюдаемой) а
ставится в соответствие самосопряженный оператор А, причем,
если наблюдаемой а соответствует оператор А, то наблюдаемой
f(a) соответствует оператор f (A).
Пусть А — самосопряженный оператор в Фв, соответствую-
щий физической величине а, и пусть единичный вектор W вхо-
дит в область определения ЬА оператора А (так что Л?ей?).
Один из основных принципов квантовой теории гласит, что
среднее значение а наблюдаемой а для физической системы,
находящейся в состоянии W, дается формулой
а=Л={ЧГ, AW), B.1.1)
где ?е? (очевидно, величина В. не зависит от выбора пред-
ставителя W единичного луча W).
Условие, заключающееся в том, что среднее значение
B.1.1) определено лишь для таких операторов А, для которых
Ч? е DA, необходимо, так как в квантовой механике мы имеем
дело, вообще говоря, с неограниченными операторами. Возмо-
жен другой подход (см., например, Яух и Пирон A963)) —ра-
ботать лишь с самосопряженными проекционными операторами
П, т. е. с ограниченными самосопряженными операторами в &в,
удовлетворяющими тождеству П2=П и, следовательно, имею-
щими только два собственных значения 0 и 1 (такие операторы
•) Отметим, что поскольку метрика в гильбертовом пространстве пред-
полагается положительно определенной, то этим принципом уже отвергаются
как обычная формулировка квантовой электродинамики, так и нелиней-
ная теория Гайзенберга (см. например, сборник статей НКТП). В этой
книге мы не будем рассматривать более общие схемы пространств с инде-
финитной метрикой (см. по этому поводу Уайтман и Гордннг A964)).

86 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. S
соответствуют физическим задачам, ответ на которые может
быть только «да» или «нет»). В этом случае формула B.1.1)
имеет смысл для всех W из е№ и ее можно истолковать также
как вероятность утвердительного ответа на вопрос, соответ-
ствующий оператору ортогонального *) проектирования П.
Если оператор А имеет дискретный спектр собственных зна-
чений аи а.2, а3, .... ап, ..., то вероятность того, что при изме-
рении величины а в физической системе в состоянии W полу-
чится значение ап, равна
Wv (а„) = || UnW |р = (П„W, unW), B.1.2)
где Пп — оператор ортогонального проектирования **) на под-
пространство Шп, в котором оператор А имеет собственное зна-
чение а„:
А = 2 акПк.
к
Упражнение 2.1.1. Показать, что для операторов с дискретным спектром
собственных значений условия B.1.1) н B.1.2) эквивалентны (напомним, что
Условия B.1.1) н B.1.2) являются частным случаем следующего общего
требования, справедливого для любого самосопряженного оператора А со
спектральной функцией ЕА(х) (см. 1.1.47)). Вероятность нахождения физи-
ческой величины о в интервале Д—[a,, «J дли системы в состоииии V равна
ИМйеДН^, ЕА{ЦЧ). B.1.3)
Сформулированные выше основные принципы хорошо из-
вестны из любого курса квантовой механики. Но почти во всех
книгах по кнантовой механике эти «золотые правила» вслед за
их формулировкой тут же нарушаются, как только заходит речь
о плоских волнах или вообще о «собственных функциях» ка-
кого-либо оператора с непрерывным спектром. Дело в том, что
в обычной постановке ряда квантовомеханических задач (напри-
мер, задачи рассеяния) мы имеем дело с «состояниями», кото-
рые не описываются вектором в гильбертовом пространстве^?.
Для «векторов», соответствующих таким несобственным состоя-
ниям, вообще говоря, не определено скалярное произведение и
они не могут быть нормированы на единицу. Естественный вы-
ход из этого затруднения, при котором сохраняется в (разум-
ной мере) формализм, принятый в физических работах по кван-
•) Оператор П' называется оператором ортогонального проектирования,
если для любых Ф и V из «Я? (nV.jl— П)Ф) =- 0. Легко видеть, что необхо-
димое и достаточное условие для того, чтобы оператор П. удовлетворяющий
условию П'=П, был операторам ортогонального проектировании, состоит
в самосопряженности этого оператора.
••) Это значит, что если Ч'„ едая, то Пк^п = bhn4in.

t I] ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИИ 87
товой механике, дает введение понятия оснащенного гильбер-
това пространства (см. гл. 1, п. 1.5).
Как отмечалось в гл. 1, данное гильбертово пространство^?
может быть оснащено разными способами, в зависимости от
того, какое ядерное пространство Q мы выделили в простран-
стве &6. Можно воспользоваться этой свободой и потребовать,
чтобы пространство Q оставалось инвариантным под действием
данной системы операторов. Как правило, в квантовой теории
мы имеем дело не со всеми возможными операторами в данном
гильбертовом пространстве, а лишь с некоторым «полным» на-
бором операторов и с их возможными произведениями и сум-
мами в конечном числе (в математической терминологии — с
некоторой алгеброй операторов). Мы будем требовать (когда
это возможно), чтобы все операторы А данного набора были
определены в пространстве ?2 и чтобы из Фей следовало, что
и ЛФеЯ. Построение такого пространства Q в квантовой тео-
рии поля дано в § 5 этой главы. Ниже (п. 2.2) рассматривается
пример такого пространства в случае квантовой механики с ко-
нечным числом степеней свободы.
Итак, пусть дано оснащенное гильбертово пространство
A.1.33)
Qc^cQ'. B.1.4)
Будем говорить, что векторы пространства Q описывают регу-
лярные состояния, а векторы пространства Q* — обобщенные
состояния (векторы пространства &В будем по-прежнему на-
зывать просто состояниями).
Возникает вопрос: каков физический смысл обобщенных со-
стояний, поскольку ясно, что для них мы не имеем права поль-
зоваться формулами B.1.1)—B.1.3)? Чтобы придать физиче-
ский смысл обобщенным состояниям, нам придется, во-первых,
сузить класс наблюдаемых величин, а во-вторых, рассматривать
не абсолютное значение вероятностей результатов различных
измерений, а только их отношения.
Самосопряженный оператор А в оснащенном гильбертовом
пространстве B.1.4) (см. гл. 1, определение 7) будем называть
допустимой наблюдаемой в обобщенном состоянии Ф, если А
переводит Ф в регулярное состояние, т. е. если *) АО) е Я. (За-
метим, что оператор умножения на единицу не является допу-
стимым по эюму определению, если Фф&ё.) Пусть А к В —
•) Если Q — счетно-нормироЕаиное пространство С = |J 0„ и Ф е Qn,
п-0
то достаточно потребовать, чтобы АФеЯп, тогда формула B.1.5) тоже бу-
дет иметь смысл.

88 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
допустимые наблюдаемые в обобщенном состоянии Ф. Тогда
основной постулат квантовой теории, выражаемый формулой
B.1.1), может быть обобщен следующим образом. Отношение
средних значений физических величин а и Ь, которым соответ-
ствуют операторы А к В, равно
Скалярное произведение в правой части B.1.5) следует пони-
мать как значение функционала Ф на регулярном элементе ЛФ
(соответственно ВФ).
Формула B.1.5), очевидно, является следствием B.1.1) в
частном случае, когда Ф — обычное состояние (Ф е Ж и В = 1).
При этом, если не предполагать, что вектор Ф нормирован, фор-
мулу B.1.1) нужно записать в виде, аналогичном B.1.5):
Формулу B.1.6) можно интерпретировать так же, как и B.1.5),
т. е. как отношение средних значений оператора А и единичного
оператора (при Фей1 единичный оператор допустим).
Аналогично можно обобщить формулу B.1.2), если рассма-
триваемые операторы проектирования допустимы.
С физической точки зрения формулу B.1.5) целесообразно
применять в случае, когда операторы А к В коммутируют ме-
жду собой, поскольку только тогда соответствующие физиче-
ские величины о и ft доступны одновременному измерению.
Мы видели, что и в случае обычных состояний W е^й не
все самосопряженные операторы в формуле B.1.1) допустимы.
Однако все ограниченные операторы, в частности все проек-
ционные операторы (в том числе и единичный оператор), в этом
случае были допустимыми. Для обобщенных состояний класс
допустимых наблюдаемых еще больше сужается, однако и здесь,
как мы убедимся в дальнейшем на примере, существуют опе-
раторы, которые допустимы для всех обобщенных состояний
из О*.
Вообще говоря, мы никаким образом не нормируем обобщен-
ные состояния Ф. Два вектора Ф\ и Фг (из Q*), которые отли-
чаются друг от друга на не равный нулю комплексный множи-
тель, описывают одно и то же физическое состояние (отноше-
ние B.1.5) не изменяется, если Ф заменить на Я,Ф, А,^0). Одна-
ко иногда удобно (хотя и не обязательно) ввести некоторую
нормировку для дайной системы обобщенных состояний. Пояс-
ним это на примере.

S I] ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИИ 89
Часто обобщенные состояния в квантовой теории возникают
как обобщенные собственные векторы самосопряженного опе-
ратора с непрерывным спектром. Пусть А—такой оператор и
пусть /„ е Я*— обобщенные собственные функции операто-
ра А, соответствующие собственным значениям а. Тогда обыч-
но для обобщенных состояний fa пользуются нормировкой
{fa" fa) -в (О-С). B.1.7)
Это символическое равенство имеет следующий точный смысл.
Согласно теореме 1.1.1 любой регулярный вектор Фей может
быть разложен по обобщенным собственным векторам опера-
тора А:
ф=» J<D(a)/odct.
Равенство B.1.7) означает, что значение функционала /а, на
векторе Ф задается формулой
Итак, первый постулат квантовой теории, описывающий
связь между математическими объектами и наблюдаемыми, мо-
жет быть сформулирован следующим образом.
I. Состояния физической системы описываются нормирован-
ными лучами в оснащенном гильбертовом пространстве &Ё с по-
ложительно определенной метрикой. Каждой измеряемой физи-
ческой величине а ставится в соответствие самосопряженный
оператор А таким образом, что если величине а соответствует
оператор А, то величине f(a) соответствует оператор f(A). Ве-
роятность получения при измерении значения физической ве-
личины а в интервале Д для системы в состоянии Ч? дается
формулой B.1.3) и не зависит от выбора представителя W еЧГ.
Обобщенным состоянием называется луч в пространстве
Я* Z2 ?№. Если самосопряженные операторы А и Ао таковы, что
векторы AW и А<№ входят в область определения линейного
функционала Ч* s Я*, то величина
м
м
[ А \
\Ао)
по определению, равна отношению средних значений физиче-
ских величин, соответствующих операторам А и Ао, когда си-
стема находится в обобщенном состоянии W.
1.2. Квантовая механика с / степенями свободы. Рассмотрим
в качестве примера пространство векторов состояний в клас-
сической квантовой механике с / степенями свободы.

SO ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
Как известно, система с / степенями свободы характеризуется
в квантовой механике обобщенными координатами q\, ..., qt
и сопряженными импульсами р\ р/, удовлетворяющими
перестановочным соотношениям
[<7ц. Pvl = <7nPv ~ PWn = *'cnv; [?ц> Чх] - [р»> Pv] = 0, B.1.8)
H, v-=l /.
Пространство векторов состояний, в котором величины q и р
реализуются в виде самосопряженных операторов, может быть
построено следующим образом.
Введем вместо операторов q и р так называемые операторы
рождения и уничтожения а* и а:
a ^+/P) a' ^ip^ Bl 9)
удовлетворяющие перестановочным соотношениям
[ам, ах\ = [ап, <] = 0, [ац, а^Ъ^ ц, v=l f. B.1.10)
Определим ортонормированный базис в искомом простран-
стве след>юшим образом:
где v= (vi Vy) — система неотрицательных чисел, а Фо, по
определению, — единственный (с точностью до фазового мно-
жителя) нормированный вектор, удовлетворяющий уравнениям
ахф0 = 0, v=l,...,/- B-1.12)
Из определения следует, что
1 ' f I 0 при v, = 0.
Из требования (Фо, Фо) = 1 и из перестановочных соотношений
B.1.10) следует, что векторы Ф„ действительно образуют орто-
нормированную систему
B.1.14)
Гильбертово пространство $6 состоит из всех векторов вида
Sv. V-(V, Vf),
•V

§ 11 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИИ
00
II
где cv— комплексные числа, для которых
Базис B.1.11) обычно называется базисом Фока, а само про-
странство @6 в этом случае — пространством Фока. Простран-
ство Q можно определить как максимальное ядерное подпро-
странство пространства ??в, для которого любой полином от
операторов р и q (или а и а*) является непрерывным операто-
ром относительно ядерной топологии в Q. Это означает, в част-
ности, что
Р^ОйсО, B.1.15)
где Р(а , а*) — произвольный полином. Поэтому все нормы
(Ф, АГФ), h = \ + Za]a[t г = 0, 1 B.1.16)
ограничены в Q. С другой стороны, нетрудно видеть, что если
задать в Q топологию при помощи счетной системы норм
B.1.16), то любой полином Р(йц, а*) окажется непрерывным
оператором в Q. Поэтому пространство Q, состоящее из всех
векторов из &в, для которых нормы B.1.16) конечны, и есть
искомое максимальное ядерное подпространство пространства
Sf€z требуемыми свойствами.
Упражнение 2.1.2. а) Показать, что вектор Ф — 2cv®v принадлежит Q
тогда и только тогда, когда все суммы вида
)|сЦг2- 2 (vi+ ... +Vf+lLcvla. '-0,1,2
ограничены. (Указание: показать, что Ц с |? = || Ф |f.)
б) Пространство ($°f /-кратных последовательностей с, в котором схо-
димость определиется счетной системой норм 1И|„ назовем пространством
быстроубывающих f-кратных последовательностей. Показать, что при /=«1
зто определение эквивалентно определению Б (гл. 1, п. 1.4). Показать, что
пространство <?*/ (а значит, и изоморфное ему пространство Я) ндерио.
в) Показать, что сопряженное пространство <$"f (изоморфное простран-
ству обобщенных состояний Q*) состоит из всех последовательностей
* умеренного роста», т. е. нз всех f-кратиых последовательностей, длн кото-
V I cv |а
рых ряд 2_Л—Т +—jTJp"сяоднтся ПРИ иекотором неотрицательном г.
V
Оснащенное гильбертово пространство QaStfcQ* может
быть реализовано вполне эквивалентным образом и в виде про-
странства функций Ф(^). Для этой цели достаточно поставить

92 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
в соответствие элементам базиса <DV нормированные функции
Эрмита
B.1.18)
V 2"я1 Г п
где
— полиномы Эрмита. При этой реализации скалярное произве-
дение задается формулой
(Ф, W)
Операторы р, а и а* имеют вид
dqv ' * VI
Можно показать*), что пространство Q совпадает при этом
с пространством ^(Rf), а пространство Q* — с пространством
?f*(Rf). Отметим, что пространство й автоматически получи-
лось симметричным относительно преобразований Фурье в силу
симметрии канонических переменных р и q (напомним, что при
преобразовании Фурье функции hn(x) переходят в inhn(p)).
Разложение нормированных согласно B.1.7) собственных функ-
ций оператора импульса имеет вид
q). B.1.20)
1.3. Прямые суммы гильбертовых пространств. Правила су-
перотбора. Было бы слишком жестким требованием считать,
что любой вектор пространства SW описывает физически реали-
зуемое состояние и любой самосопряженный оператор соответ-
ствует некоторой наблюдаемой. В природе реализуются, напри-
мер, состояния частицы (системы) лишь с определенным элек-
трическим зарядом или барионным числом. Сумма векторов
состояний протона и нейтрона не соответствует реализуемому
на опыте состоянию (т. е. нельзя реализовать одночастичное
состояние, которое с некоторой вероятностью W было бы про-
•) См. по атому поводу Крисгенсен и др. A96Б). Мы рекомендуем ма-
тематически настроенному читателю самому восстановить это несложное до-
казательство- •

f 1] ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЯ 93
тоном, а с вероятностью 1 — W — нейтроном). Это — опытный
факт. Нереализуемость других состояний можно предсказать
теоретически. Это относится к суперпозиции состояний с целым
и полуцелым спином*) аФ + ЬЦг (при а, ЬфО). При повороте
системы координат на угол 2л вокруг оси г, при котором физи-
ческая система переходит сама в себя, этот вектор переходит
в неколлинеарный с ним вектор аФ — ЬЧГ, принадлежащий дру-
гому лучу. Более того, есть основания думать, что множество
физически реализуемых векторов состояния незамкнуто. Дей-
ствительно, энергия в квантовой теории всегда задается неогра-
ниченным оператором Н (хотя бы потому, что энергия свобод-
ной частицы не ограничена сверху). Мы будем всегда считать,
что Н определен на всюду плотной в гильбертовом простран-
стве &В области DH. Естественно считать, что физически реали-
зуются состояния с конечной энергией, т. е. векторы из DH. Пре-
делы последовательностей таких векторов, выходящие из этой
области и соответствующие бесконечной энергии, нереализуемы.
Мы будем предполагать, что замкнутая линейная оболочка
«^(•F) множества ненулевых физических векторов F совпа-
дает со всем гильбертовым пространством Ш. Будем счи-
тать, по определению, что оператор ортогонального проектиро-
вания TSV на физически реализуемый вектор W соответствует
наблюдаемой.
Мы покажем, что пространство &в может быть разложено
в прямую сумму ортогональных подпространств &€а
B.1.21)
со следующими свойствами. Каждое подпространство выявляется
замкнутой линейной оболочкой подмножества Fa«= e?8aV\F мно-
жества физически реализуемых векторов, причем (jFa = F.
а
Нельзя разбить е%?а на прямую сумму непустых ортогональных
подпространств &b'a и &ва таким образом, чтобы физические
векторы, содержащиеся в М'а и в &?а, исчерпывали Fa, т. е.
чтобы (Ffl $&a)U(FПе%"а)= Fa. Из сказанного следует, что если
вектор *Р имеет отличные от нуля проекции по крайней мере
в двух разных подпространствах &6а, то он нереализуем фи-
зически. Оператор, имеющий отличные от нуля матричные
*) Понятие спняа возникает естественным образом при классификации
неприводимых представлений группы Пуанкаре (см. § 3 этой главы). Здесь
для нас существенно лишь то, что при вращении на угол 2я вокруг некото-
рой осн спинор V, соответствующий полуцелому спигу, меняет знак, в тен-
8ор Ф с целым спииом остается неизменным.

94 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ (ГЛ. 2
элементы между векторами различных подпространств S@a, не
соответствует наблюдаемой. Мы покажем также, что разложе-
ние B.1.21) определяется (взаимно однозначно) совокупностью
операторов, коммутирующих со всеми наблюдаемыми; о таких
операторах говорят, что они задают правила суперотбора. Под-
пространства <&?а с перечисленными свойствами называются
когерентными подпространствами. Мы будем говорить также,
что множество физических векторов Fo, которое непредставимо
в виде теоретико-множественной суммы двух непустых взаимно
ортогональных подмножеств, является когерентным.
Сформулированные утверждения вытекают из следующих
двух лемм.
Лемма 2.1.1. Для когерентности множества ненулевых
векторов Мс&е необходимо и достаточно, чтобы любой огра-
ниченный оператор в замкнутой линейной оболочке J? (М), ком-
мутирующий со всеми ортогональными проекторами 11^,=
= |4f)Df| на векторы W(^\4!)) e M, был кратным единич-
ному оператору eJ2*(M).
Пользуясь терминологией, которая будет введена в допол-
нении А к гл. 5, эту лемму можно сформулировать также сле-
дующим образом: Множество М когерентно тогда и только то-
гда, когда алгебра фон Неймана, порождаемая проекторами
П^СРеМ), неприводима eJ2"(M).
Доказательство, а) Условие достаточно: пусть условие
леммы выполнено. Допустим тем не менее, что множество М
некогерентно, т. е. существуют непустые взаимно ортогональ-
ные подмножества Mj и Мг такие, что М\ U М2—М. Тогда проек-
тор П| на подпространство J?(M{), очевидно, коммутирует со
всеми проекторами П^, и не кратен единичному оператору в
(так как 1—П| проектирует на непустое множество
. Полученное противоречие доказывает достаточность
условия леммы.
б) Условие необходимо: пусть оператор С коммутирует со
всеми проекторами П^, на векторы У из когерентного множе-
ства М. Покажем, что тогда оператор С кратен единичному
оператору в Л?(М).
Поскольку С коммутирует с Uv, a nv проектирует на одно-
мерное подпространство, определяемое вектором У, то *Р долж-
но являться собственным вектором оператора С (так же как и
эрмитово сопряженного оператора С*): CPisXCIOW и C*4f=
=Я.(ЧГ)Ч'. На самом деле К не зависит от W. Допустим против-
ное. Тогда можно разбить М на два непустых непересекающих-
ся множества Мх и М% таких, что к(^) =Я» при Ч? е М, и

$ I] ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ 95
) Ф К\ при YeMj (М, U М2=М). Покажем, что множества
i и М2 ортогональны друг другу — в противоречии с предпо-
ложенной когерентностью множества М. Действительно, если
V, <= Мь а W2 €Е М2> то
= 0.
Итак, Л,(ЧО равно константе Я. и С=Я.1 в^(М). Лемма 2.1.1
доказана.
Лемма 2.1.2. Пусть М— непустое множество ненулевых
векторов гильбертова пространства Фв. Тогда его замкнутая
линейная оболочка^ (М) разбивается на прямую сумму орто-
гональных подпространств
таким образом, что каждое из множеств Ма—М r\J3"a коге-
рентно.
Доказательство. Введем в множестве М отношение
эквивалентности: W ~ ф, если существует когерентное подмно-
жество Мо множества М такое, что W, феМ». Рефлексив-
ность (V ~ *Р) и симметричность (V ~ ф #ф ф ~ *F) введенного
отношения очевидны (отметим, что согласно данному опре-
делению любое множество, состоящее из одного вектора,
когерентно). Докажем транзитивность отношения ~. Пусть
ф ~ W и V ~ X. Тогда существуют когерентные подмно-
жества Mi и М2 такие, что Ф, WeMi и f, ХеМ2. Пока-
жем, что теоретико-множественная сумма M0 = M,UM2 является
когерентным множеством. Действительно, предположим, что Мо
разбивается на два непересекающихся ортогональных подмно-
жества Мо и м". Пусть W е М'о. Множество Mj является
объединением непересекающихся взаимно ортогональных под-
множеств MiOM'o и MiDM*. Так как первое из них не пусто
(Sf), то когерентность Mi влечет за собой MiDMo = Q
символ пустого множества). Аналогично проверяется, что
'Q. Отсюда следует, что само множество М" пусто:
Мо' = Мо nMo = Mo'n(MiUM2) = Q. Итак, Мо не допускает раз-
биения на непустые ортогональные подмножества. Значит, оно
когерентно. Так как Ф и X принадлежат Мд, то в силу нашего
определения они эквивалентны. Транзитивность отношения ~
доказана.
Разобьем теперь множество М на классы эквивалентных
элементов Ма. Множества Ма когерентны и взаимно ортого-

Об ОБЩИ!; ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
нальны (действительно, из определения когерентного множе-
ства видно, что если ФДеМи (Ф | W) ф 0, то Ф ~~ W, так как
множество, состоящее из двух неортогональных элементов Ф и
W, когерентно). Отсюда следует, что
Лемма 2.1.2 доказана.
Если применить эту лемму к множеству физических векто-
ров F, то в силу предположения, что •S'(F) = ^e, из иее сле-
дует справедливость разложения B.1.21), в котором &8Л — ^(FJ,
a Fa—когерентные взаимно ортогональные множества физи-
ческих векторов, теоретико-множественная сумма которых
равна F. Если пространство &в сепарабельно (что соответствует
общепринятой формулировке квантовой теории поля, см. § 5
этой главы), то сумма B.1.21) не более чем счетна. Обычно
считается, что каждое когерентное множество физических век-
торов Fa является линейным многообразием. Это позволяет
сформулировать принцип суперпозиции в квантовой теории. Для
вывода B.1.21) такое предположение не понадобилось.
Напомним, что согласно определению прямой суммы ка-
ждый вектор Ч? ^&6 однозначно разлагается на проекции
Wa <= 3&а> причем если
Ф=2Ф„ и Ч'-З^а,
а а
ТО
Оператор ортогонального проектирования на пространство Ф€а
обозначим через Па; по определению ПаЧг=ЧAа.
Самосопряженный оператор А с плотной областью опреде-
ления DA в Ш называется наблюдаемой, если DA П F плотно
в множестве физических векторов F и если А оставляет инва-
риантным любое из когерентных подпространств &6а. В част-
ности, согласно этому определению любой проектор П^, на фи-
зически реализуемый вектор W является наблюдаемой. Любая
наблюдаемая А может быть представлена в клеточной форме
Л-ЦЦАП» B.1.22)
а
где Аа — самосопряженный оператор в Ф6Л.
Согласно лемме 2.1.1 множество наблюдаемых в любом ко-
герентном подпространстве Ш6а неприводимо, т. е. любой огра-
ниченный оператор в $@а, коммутирующий со всеми наблюдае-
мыми Аа, кратен единичному оператору. Отсюда следует, что

§ 2) РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 97
любой оператор С в ?%, коммутирующий со всеми наблюдае-
мыми, является суперпозицией проекторов на когерентные под-
пространства:
С=2саЦ„ B.1.23)
а
где са — комплексные числа. В частности, если числа са веще-
ственны, оператор С является наблюдаемой. О наблюдаемых
вида B.1.23) говорят, что они задают правила суперотбора:
каждое физически реализуемое состояние является собственным
состоянием оператора С. Из представления B.1.23) и из ком-
мутативности проекторов Па на взаимно ортогональные под-
пространства следует коммутативность всех операторов B.1.23)
между собой или, как говорят, «коммутативность правил супер-
отбора». Заметим, что мы доказали эту коммутативность, не
делая предположения о существовании полной системы ком-
мутирующих наблюдаемых.
Коммутативность правил суперотбора была получена в пред-
положении, что проекторы на физические состояния являются
наблюдаемыми. Это предположение является естественным, по-
скольку (как мы постулировали в п. 1.1) все физические со-
стояния соответствуют нормированным лучам в гильбертовом
пространстве, а величина (Ф, ПФФ) э | (Ф, W) \2 имеет смысл
вероятности перехода из состояния Ф в состояние Ч*1.
§ 2. Релятивистская инвариантность квантовой теории
2.1. Группа Лоренца и группа Пуанкаре. Общая группа Ло-
ренца определяется как совокупность всех вещественных ли-
иейных преобразований в пространстве четырехмерных векто-
ров, которые оставляют инвариантной билинейную форму
xy-jfltf-xy-g^sr^jPy^ B.2.1)
где метрический тензор G={gnv} задается следующим образом:
goo-—gii- —?»=¦—ваз=-1. gnv = 0 при n=?fcv B.2.2)
(по дважды встречающимся греческим индексам здесь и в даль-
нейшем подразумевается суммирование от 0 до 3). Любое пре-
образование Лоренца Ael задается четырехрядной матрицей
Л^ с вещественными элементами по формуле
B.2.3)
Условие инвариантности формы B.2.1) эквивалентно условию
&Х B.2.4)
7 Н. Н БоголюСои и др.

§8 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 1ГЛ. 2
или, в матричной форме,
т. е. A~' = GArG, B.2.5)
где Лт — матрица, транспонированная к Л: (Л7)^ = Л* Если
взять определитель обеих сторон равенства B.2.5), получим, что
(<IetAJ~l, т.е. detA=±l. B.2.6)
Примером преобразования Лоренца с del А= 1 может слу-
жить тождественное преобразование: Л = 1 (единица группы),
а также отражение четырех осей Л = —1. Примером несобствен-
ного преобразования является пространственное отражение
Л=С Равенство B.2.4) при pi=v=0 дает
Л?-2*0-1, B.2.7)
следовательно, существуют две возможные области изменения
параметра Ло:
Если Л?^1, то говорят, что преобразование Л ортохронно
(т.е. не содержит обращения времени); мы будем называть та-,
кое преобразование просто преобразованием Лоренца. При
лХ<С — 1 преобразование Л неортохроино (содержит обраще-
ние времени).
Таким образом, группа Лоренца состоит из четырех связ-
ных компонент, которые обозначаются соответственно I * (если
det Л = 1 и ЛЯ>1); ll(detA=l и aS<-1); Li(detA = —1 и
Л8> 1); L*(detA = —1 и Ag<-l).
Единица группы принадлежит компоненте ij. Нетрудно про-
верить, что ij есть подгруппа группы L. Эту подгруппу, с кото-
рой чаще всего будем имегь дело, назовем собственной груп-,
пой Лоренца. Подгруппы общей группы Лоренца образуют
также следующие совокупности преобразований: Li = L^\]L\
L* = L\ULt и LiljLt. Отметим, что, хотя для последней из
&тих групп до снх пор не придумано свое обозначение, суще-
ствует широкий круг физических явлений, инвариантных именно
относительно преобразований этой группы, содержащей соб-
ственные преобразования Лоренца и обращение времени*).
•) Если справедлива ГСР-теорема (см гл. 5), то распад /С"-»2я (Кри-
стеясен я др. A965)) противоречит ян вариантности относительно обращения
времеяя.

I 2] РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 99
Особенно важную роль в релятивистской квантовой теории
играет неоднородная группа Лоренца, состоящая из всех пре-
образований вида
л^Л^ + а", B.2.8)
где AiJ — общее преобразование Лоренца, a av — вещественный
четырехмерный вектор трансляции. Следуя Вигнеру и Уайт-
ману, мы будем называть ее общей группой Пуанкаре и обозна-
чать через ф. Группа Пуанкаре, так же как и группа Лоренца,
состоит из четырех компонент, соответственно $J, $_, $t и tyt-
Подгруппу $pj, для которой A.elJ, будем называть собст-
венной группой Пуанкаре.
2.2. Собственная группа Лоренца и группа двухрядных мат-
риц с определителем 1. Собственная группа Лоренца L.t локаль-
но изоморфна группе SLB) *) комплексных двухрядных матриц
с определителем, равным единице. Точнее, мы покажем, что лю-
бой матрице А из SjL B) соответствует однозначно определен-
ное преобразование Лоренца Л(Л) такое, что
= A(Ai)A{A2), B.2.9)
причем A{Ai) =А(А2) тогда и только тогда, когда А1=±А2.
Иначе говоря, соответствие А*-+±А является двузначным пред-
ставлением собственной группы Лоренца, называемым спинор-
ным представлением. Оно играет фундаментальную роль в тео-
рии представлений группы Лоренца и будет существенно ис-
пользоваться в дальнейшем.
Каждому четырехмерному вектору х поставим в соответ-
ствие эрмитову матрицу х по формуле
/ х° + х3 х1- ix2\
х = х«а„ - х\ + х'а, + х2а2 + х*о3 = [х1 + ^ хох3). B-2.10)
где а0 —единичная матрица, а а1 — матрицы Паули:
1 0\ /0 1\ /0 —П /1 0
j UJ H j U
Легко видеть, что
detx = x2 = x°2-A2. B.2.12)
•) Смысл обозначений таков: LB) означает линейная группа матриц
второго порядка; S означает, что это — специальная группа, т е. что ма-
трицы унимодулярны (имеют определитель 1). В математической литературе
используется обозначение SLB,С), явно указывающее, что мы имеем дело
с комплексными матрицами (С — поле комплексных чисел).

100 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
Обратно, любой двухрядной эрмитовой матрице х соответствует
4-вектор х с компонентами
|^), B.2.13)
где Tr А — след (сумма диагональных элементов) матрицы А.
Преобразование
х? = АхА\ B.2.14)
где А — любая двухрядная матрица с определителем 1 (т. е.
А е SL B)), переводит эрмитову матрицу х в эрмитову матри-
цу xf, причем в силу B.2.12) длины векторов х и х' совпадают.
Каждому преобразованию матриц B.2.14) соответствует одно-
значно определенное собственное преобразование Лоренца Л=
=А(А); элементы матрицы А{А) определяются по формуле
A|}--g*TrKAvr)- B.2.15)
Формула B.2.15) дает нам искомое отображение группы
SLB) на группу it.
Упражнение 2.2.1. а) Доказать B.2.15), используя B.2.13).
6) Показать, что любая унимодулярная матрица А может быть запи-
сана в виде
з
А- 2 ev<rv-e.
v-»0
где а — единичный вектор в комплексном пространстве Мииковского:
Показать также, что если Д—о, то А(А) задается равенствами
А^ - oV + aV + «e/wa*a' = л? B.2.16)
Л( =- ааб'к + 2 lm «Ve/K + 2 Re a'a\
где латинские индексы j, k, ... пробегают значения 1,2,3; е,»г — полностью
антисимметричный единичный тензор (гт—\).
(Указание: воспользоваться B-2.15) и формулами для следов произведе-
ний матриц Паули:
— Trffuffv-fljw, »iv—0. 1, 2, 3; -j-Tr<SfSk<3l = /e^;
t Tf Or/or*°rl<rm = 6lk6tm + 6lJlk ~ 6lfikm <#¦ *. 4 « - 1. ». 3).)
в) Найти обратную формулу, выражающую двухрядные матрицы ±/4
через четырехрядную матрицу Л (Уайтман A9606)).
г) Проверить справедливость соотношения B.2.9),

I Si РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 101
д) Показать, что матрица А, определенная формулой B.2.15), принад-
лежит группе L*. Проверить, что Ajj =— Tr AA* > 0 и что det Л= 1.
Упражнение 2.2.2. г) Показать, что при рассматриваемом отображении
SL{2) на /.* унитарным двухрядным матрицам V (VV* — 1) соответствуют
трехмерные евклидовы вращения, а положительно (отрицательно) опре-
деленным эрмитовым матрицам // — частное преобразование Лоренца («ги-
перболический поворот») вида
B 2 17)
у - х — {хп) п + [(хп) ch a -I- *° sh а] «,
где п — трехмерный единичный вектор. В частности, диагональной матрице
/Л* 0 \
\ 0 е-*'3)
соответствует гиперболическое вращение в плоскости (х°, хг):
у° = х" ch a -I- хъ sh а,
у3 = *° sh а -I- *a ch a.
б) Показать, что любое собственное преобразование Лоренца может
быть представлено как последовательное применение частного преобразова-
ния Лоренца вида B.2.17) и трехмерного евклидова вращения.
(Указание: воспользоваться тем, что любая матрица А из SJLB) может
быть представлена в виде A=VH, где Н = У А* А — положительно определен-
ная матрица, а V — A (j4M)~ — унитарная матрица.)
Будем говорить, что группа & является универсальной на-
крывающей связной группы G, если G — минимальная односвяз-
ная группа, гомоморфная *) G (см. [25], где доказывается в
частности, что универсальная накрывающая данной группы опре-
делена этим условием однозначно). Можно показать, что груп-
па SLB) односвязна и является универсальной накрывающей
собственной группы Лоренца L+. Все представления любой
односвязной группы однозначны.
В следующих пунктах мы будем изучать представления
группы ф, состоящей из неоднородных преобразований двух-
рядных эрмитовых матриц х, у, оставляющих инвариантным
определитель их разности:
det (х- у) = (x-yf.
*) Напомним определение этих терминов. Группа И гомоморфна груп-
пе С, если существует однозначное (хотя и не обязательно обратимое) соот-
ветствие H~>G (отображение И иа всю группу С), сохраняющее групповые
операции: f(h,hi)—f{h,)f(hi). Множество G называется односвязным, если
любой замкнутый путь в G можно стянуть непрерывной деформацией в точ-
ку, все время оставаясь в G.

102 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
Собственная спинорная группа $t — fyo (максимальная связ-
ная подгруппа группы ф) состоит из всевозможных пар {а, А),
где А—унимодулярная матрица (/4eSLB)), а а —двухряд-
ная эрмитова матрица. Элемент (а, А) группы Що действует на
эрмитову матрицу х по формуле
а. B.2.18)
Отсюда нетрудно вывести закон группового умножения в ф0:
(а„ Ах) (а2, А2) = (а, + ЛхаъЛ\, .4 Д). B.2.19)
Заметим, что если записать элемент (а, А) группы $о в виде
четырехрядной матрицы
(А аА-Л
(а, А)=\ ~ . .
\0 А'~1 1
B.2.20)
то групповое умножение B.2.19) переходит в обычное матрич-
ное умножение.
Соответствие
является внешним автоморфизмом*) группы SLB) на себя,
соответствующим пространственному отражению. Точнее, имеет
место равенство
l
где G — матрица метрического тензора B.2.2). Мы предоста-
вляем читателю убедиться в этом, пользуясь B.2.16) и тем, что
если А =а, то
Мы предоставляем читателю также доказать, что если 4-век-
торы х а а связаны с эрмитовыми матрицами х и а согласно
B.2.10), то преобразование B.2.18) эквивалентно собственному
преобразованию Пуанкаре х' = Ах + а.
Таким образом, группа ^о. которая, так же как и SLB),
односвязна, является универсальной накрывающей собственной
группы Пуанкаре $t-
•) Автоморфизмом группы G называется отображение этой группы на
себя, при котором сохраняется групповая операция. Автоморфизм называется
внутренним, если он имеет вид g -> goggQ', где go s С. Если же элемент #„
с такими свойствами не существует, автоморфизм называется внешним.

% 2] Релятивистская инвариантность квантойой теории юз
В дальнейшем (гл. 5) мы будем иметь дело с группой J?t
комплексных преобразований Лоренца с определителем +1, ко-
торые оставляют инвариантной билинейную форму B.2.1), т.е.
с группой комплексных четырехрядных матриц Л с detA=l,
удовлетворяющих соотношению B.2.5). Рассмотренное двузнач-
ное представление группы L* обобщается следующим образом
на комплексную группу =2%.
Любому комплексному 4-вектору г ставится в соответствие
двухрядная матрица г по формуле B.2.10). Преобразование
B.2.14) заменяется преобразованием более общего вида
г'=АгВт, B.2.21)
где Вт — матрица, транспонированная к В,
Каждому преобразованию B.2.21) соответствует комплексное
преобразование Лоренца Л (А, В) е=2% по формуле
AU = у Тг (o^/4ovBr). B.2.15а)
В частном случае, когда В = А, B.2.15а) переходит в B.2.15).
2.3. Требование релятивистской инвариантности. Важную
роль в квантовой теории играют два представления: предста-
вление Шредингера, в котором каждому моменту времени соот-
ветствует свое состояние системы (вектор состояния в этом
представлении описывает результаты всевозможных опытов в
данный момент), и представление Гайзенберга, в котором вся
зависимость от времени перенесена на операторы, а векторы
состояния не зависят от времени и описывают результаты все-
возможных опытов во всей истории рассматриваемой системы.
Чтобы явно учитывать релятивистскую ковариантность тео-
рии, удобно пользоваться представлением Гайзенберга. В даль-
нейшем мы будем работать именно в этом представлении.
Как мы видели в п. 1.1, любое состояние системы описы-
вается единичным лучом ЧГ в гильбертовом пространстве ЗШ
(в случае представления Шредингера мы должны были бы ха-
рактеризовать состояние совокупностью лучей — один луч для
каждого момента времени).
Инвариантность теории относительно собственных преобра-
зований Пуанкаре означает неизменность средних значений
B.1.1) (или вероятностей B.1.3)) при таких преобразованиях. Из
требования инвариантности следует, что при любом преобразо-
вании {а. Л) e^J единичные лучи V могут изменяться лишь так,
чтобы абсолютные значения их скалярных произведений

104 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 4
оставались неизменными:
I (<»<«. A), f{a,Aj)bl(O, V) \. B.2.22)
Модуль скалярного произведения двух единичных лучей Фи?
определяется как модуль скалярного произведения двух векто-
ров: ФеФ и 4х еЧ1"; нетрудно проверить, что это определение
не зависит от выбора «представителей» ф и ? лучей Ф и ЧГ.
Чтобы перейти от преобразования лучей к преобразованию
векторов Ч?, мы воспользуемся следующей теоремой (теорема
Вигнера).
Теорема 2.2.1. Пусть Ш и Ш' — два пространства Гиль-
берта и пусть Т—отображение нормированных лучей SB на
множество нормированных лучей &6', которое удовлетворяет
условию
|(ГФ, ГЧГ) | - | (Ф. V) |.
Тогда существует оператор Т из §6 на SW, определенный с точ-
ностью до фазового множителя, который порождает Т и кото-
рый 1) аддитивен: T{4fi + W2) =• ГУ, + ГЧЪ; 2) либо унитарен,
т. е. (ГФ, ГУ) = (Ф.Т), либо антиунитарен:
(ГФ, ТУ) = (ФЙГ) - (V, Ф) B.2.23)
(см. [26], дополнение к гл. 20 и Баргман A964); здесь мы не
будем воспроизводить доказательство этой теоремы).
Отметим, что всякое преобразование единичных лучей в &6
на себя с выполнением условия B.2.22) однозначно определяет
преобразование наблюдаемых /4->/4' из условия
где ФиФ' — произвольные векторы из единичных лучей Ф и Ф'
соответственно. Это приводит к следующему закону преобразо-
вания наблюдаемых:
А -+А'
где Т — оператор, даваемый теоремой 2.2.1.
Предполагая непрерывность функции |(Ф, V {а, aj ) | в окрест-
ности единицы группы (а = 0, Л = 1), нетрудно заключить, что
для собственной группы Пуанкаре оператор Т= U(a,A) обяза-
тельно унитарен.
Итак, мы видим, что физическое требование релятивистской
инвариантности вероятностей приводит к тому, что в простран-
стве состояний осуществляется так называемое проективное
представление группы % Любому собственному преобразова-
нию Пуанкаре {о, Л} ставится в соответствие нормированный
луч унитарных операторов U{a, Л) (два унитарных оператора

I I] РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 105
U И V принадлежат данному лучу U тогда и только тогда,
когда они отличаются на комплексный множитель, равный по
модулю единице), причем суперпозиции преобразований соот-
ветствует произведение операторных лучей:
U(au A,)tf (о* Л2) = U(щ + Л,а2, Л,Л2), B.2.24)
а единице группы (е = @,1)) соответствует единичный опера-
торный луч, т. е. совокупность комплексных чисеЯрравных по
модулю единице.
Один из основных результатов анализа Вигиера A939) и
Баргмана A954) состоит в том, что любое проективное пред-
ставление собственной группы Пуанкаре порождается обычным
однозначным унитарным представлением *) группы $о, опреде-
ленной в предыдущем пункте. Другими словами, справедлива
следующая теорема.
Теорема 2.2.2. Из каждого луча U (а, Л) можно выбрать
по одному представителю U(a, A) el/ (а, Л) так, что имеют
место соотношения:
U@, 1) = 1, U (а„ At) U(а2, A2) = U(at + Ар2А\, АХА2), B.2.25)
где а определяется формулой B.2.10) (ср. B.2.19)).
За доказательством этого утверждения мы отсылаем чита-
теля к оригинальным статьям Вигиера A939) и Баргмана
A954), а также к краткому обзору Ньютона в [27]. Здесь мы
дадим лишь более развернутую формулировку теоремы Вигне-
ра и Баргмана.
Если в каждом из лучей U(a,A) выбрать представитель
1){а, Л), то мы получим в силу B.2.24) представление (с точ-
ностью до множителя) собственной группы Пуанкаре $t:
1/(а„ ЛОЩа* Л2) = <о(а,Л,; а2Ла) U (а, + Л,а2, Л,Л2), B.2.26)
где |ю| = 1, т.е. (если для краткости обозначить {а, Л}=?)
<о fei, gi) = exp {i| (g,, ea)}. B.2.27)
Вещественная функция %(g\, gi) в силу B.2.26) и ассоциатив-
ности умножения удовлетворяет равенствам
gs)-
Утверждение теоремы 2.2.2 сводится к тому, что можно сделать
такой сдвиг фаз у всех операторов U:
*) Основные понятия теории представлений даны в дополнении и на-
стоящей главе-

106 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ГГЛ. 2
чтобы новые операторы U(a, А) зависели непрерывно от пара-
метров группы, а преобразованный множитель ы (ах, А\; а% Лз) =
= ±1. (Именно потому, что нельзя ограничиться лишь одним
знаком у и,' проективное представление сводится к представле-
ниям группы Ч?о, а не группы %\.)
Теорема Баргмана и Вигнера показывает значение понятия
универсальной накрывающей группы для исследования требо-
вания инвариантности квантовой теории. Заметим, однако, что
в нерелятивистской квантовой механике, где вместо группы
Пуанкаре мы имеем дело с группой Галилея, проективные пред-
ставления группы Галилея не сводятся к однозначным предста-
влениям ее накрывающей группы (см. Баргман A954) и Леви-
Леблон A963)).
В результате мы приходим к следующей окончательной фор-
мулировке принципа релятивистской инвариантности квантовой
теории, второго постулата нашей схемы.
И. При собственном преобразовании Пуанкаре ЧЦ>1 векторы
состояния преобразуются по непрерывному унитарному пред-
ставлению группы ^?о-
Кроме того, мы будем предполагать, что рассматриваемое
представление U(a, А) группы ^о приводится правилами су-
перотбора. Другими словами, любое когерентное подпростран-
ство©??,- гильбертова пространства &€ оставляется операторами
U{a, А) инвариантным.
Поведение векторов состояния при преобразованиях отра-
жения пространства и времени будет рассмотрено в п. 3.4.
§ 3. Неприводимые представления группы Пуанкаре
и принцип спектральности
3.1. Алгебра Ли группы Пуанкаре. Инвариантные операто-
ры. Изучение всевозможных унитарных представлений группы
Ч?о сводится к классификации ее неприводимых представлений,
так как любое унитарное представление этой группы может
быть разложено в прямую сумму (или интеграл) неприводимых
представлений.
Этот результат нетривиален, так как группа Пуанкаре не является
компактной (оиа лишь локально компактна). Относительно современного со-
стояния теории разложения произвольного унитарного представления ло-
кально компактной группы см. обзор Наймарка A964).
Каждый элемент группы ^о характеризуется десятью веще-
ственными параметрами (четыре трансляции и шесть углов вра-
щения) и, следовательно, десятью независимыми инфинитези-
Мальными операторами. Генераторы трансляции будем обозна-

I s] НЁпРиеодимьге предст деления группы Пуанкаре ю7
чать через —iP°, +iPl, +iP2, +iP3, а генераторы вращения че-
рез iM*v=— iM*», где Р» и Mv» (ц, v=0, 1, 2, 3) — эрмитовы
операторы, удовлетворяющие следующим перестановочным со-
отношениям:
= о, [м\ р1 = t &" V -
{ '
Тем же самым перестановочным соотношениям удовлетво-
ряют генераторы собственной группы Пуанкаре Щ$, поскольку
группы $t и $о локально изоморфны. Соотношения B.3.1)
справедливы и для нижних индексов.
Рассмотрим два примера реализации алгебры Ли групны
Пуанкаре. Первый из них соответствует конечномерному, вто-
рой — бесконечномерному представлению группы.
В качестве первого примера возьмем четырехмерное пред-
ставление B.2.20) группы ^о-
Частному преобразованию Лоренца B.2.17) соответствует
положительно определенная матрица
Н (а, и) = о0 ch | + (<ти) sh у = е2 " B.3.2)
(ср. с упражнением 2.2.2). Если, в частности, взять в качестве п
последовательно три координатных орта et (/'=1, 2, 3), мы по-
лучим двухмерное спинорное представление генераторов спе-
циальных лоренцевых вращений Mqj = Nj-.
Нетрудно видеть, что вращению на угол G вокруг оси п со-
ответствует унитарная матрица
U (и, G) = о0 cos -| - i(<ти) sin j = е~' т ". B.3.3)
Генераторы этого преобразования -^ e/4tM*' =Mt имеют вид
Упражнение 2.3.1. Пользуясь вышеприведенными формулами, показать,
410 генераторы четырехрядного представления B.2.20) группы $Р0 имеют вид
И) 1 /«Г/ 0 \ № 1 /<Т; О1
^-'лМо ~i)= Ч о о'

108 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
В качестве второго примера рассмотрим представление груп-
пы Пуанкаре, реализованное как группа преобразований аргу-
ментов в пространстве гладких функций от х е R4.
Заметим сначала, что если группа G действует как группа
преобразований в пространстве X точек х, то всегда можно оп-
ределить линейное представление группы G в пространстве
функций в X формулой
Проверим, что при этом выполняется условие
TgJgi = Tglgt.
Действительно
(V1
Нетрудно убедиться, что в случае, если группа G некоммута-
тивна, то закон (Sgf)(x)=f(gx), в противоположность рассмо-
тренному выше закону Tgf, не определяет представления груп-
пы G.
Вернемся к группе Пуанкаре, рассматриваемой как группа
преобразований четырехмерного пространства. Для нее пред-
ставление Tg имеет вид
Нетрудно видеть, что генераторы этого представления имеют
вид
Мы предоставляем читателю показать, пользуясь перестано-
вочным соотношением
что операторы P"=gi*vP? и Л!"* B.3.5) удовлетворяют переста-
новочным соотношениям B.3.1).
Отметим еще раз, что, в то время как перестановочные со-
отношения B.3.1) не зависят от выбора представления, явные
выражения для генераторов естественно зависят от этого вы-
бора; именно поэтому мы обозначаем выбор представления

|S) НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ 109
(сверху в скобках) в символах для инфинитезималышх опера-
торов.
Следуя аналогии с нерелятивистской квантовой механикой
и имея в виду классическую теорему Нетер (см., например, [4],
гл. 1), мы, по определению, будем считать, что Р= {Р°, Р\ Р2, Р3)
является оператором полного 4-импульса физической системы,
а {M**v} — оператор четырехмерного момента количества дви-
жения.
Введем четырехмерный псевдовектор *)
«p-tW^""- B.3.6)
где ецро\—полностью антисимметричный тензор (ецРох,= 1, если
цроЯ. образуют четную перестановку чисел 0, 1,2, 3; е„Рох=—1,
если цроЯ, образуют нечетную перестановку этих чисел; eRPox=0,
если хотя бы два из индексов совпадают). При помощи векто-
ров М и N псевдовектор w записывается в виде
хио = РМ=*Р'М', W = P°M-PXN"). B.3.7)
Важное свойство операторов w^. состоит в том, что они
коммутируют с оператором 4-импульса:
К, PJ-0. B.3.8)
Перестановочные соотношения операторов Юц, между собой и
с операторами Л1ц? определяются формулами:
B.3.9)
*) При отражении трех пространственных координат пространственная
часть w псевдовектора w остается неизменной, a w0 меняет знак. Вектор w
иногда называется вектором Паулн—Любанского—Баргмана, по имени авто-
ров, которые* ввели его в рассмотрение.
**) Операторы wn не входят в алгебру Ли группы Пуанкаре. Действи-
тельно, по определению, алгебра Ли является линейной оболочкой генерато-
ров (с вещественными коэффициентами). Произведением в алгебре Ли назы-
вается не обычное произведение операторов, а их коммутатор. Для этого
антисимметричного произведения не выполняется ассоциативный закон. Од-
нако наряду с алгеброй Ли данной группы всегда целесообразно рассматри-
вать бесконечномерную ассоциативную алгебру, состоящую из всевозможных
полиномов от генераторов. Произведением в этой алгебре является обычное
ассоциативное произведение операторов. Два полинома считаются равными.
*сли они могут быть приведены друг к другу при помощи заданных пере-
становочных соотношений в алгебре Ли. Определенная таким образом ассо-
циативная алгебра называется универсальной обертывающей алгеброй дан-
ной алгебры Ли. Операторы wn, так же как и полиномиальные инварианты
группы Пуанкаре, которые будут определены ниже, принадлежат оберты-.
П алгебре.

ПО * ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНЮВОП ТЕОРИИ [ГЛ. 9
Соотношения B.3.8) и B.3.9) являются следствием лишь
перестановочных соотношений B.3.1) и не зависят от выбора
представления*).
Упражнение 2.3.2, Пользуясь B.3.7) и B.3.8), показать, что
wP-gVL4wv,Pv-=0. B.3.10)
Существуют два (и только два) независимых полиномиаль-
ных инвариантных оператора, коммутирующих со всеми опера-
торами представления:
pt~p&-pi*-p&-p#t B.3.11)
и
B.3.12)
Кроме того, при Р2 ^ 0 можно ввести еще дискретную ин-
вариантную характеристику — знак энергии:
е = е(Р°) B.3.13)
(если при Р2<0 положить, по определению, е=0, то можно при
всех Р написать е=6(Р2)е(Р°); функции от самосопряженных
операторов определяются, как обычно, сначала в представле-
нии, в котором эти операторы диагональны, а затем и в любом
другом представлении).
Часто удобно рассматривать комплексное расширение ал-
гебры Ли однородной группы Лоренца. В нем вместо векторов
М и N можно ввести коммутирующие между собой векторы
J±(M + iN) K(M
которые удовлетворяют перестановочным соотношениям
Векторы J и К преобразуются по сопряженным друг другу
трехмерным неприводимым представлениям собственной груп-
пы Лоренца. Чтобы выразить в терминах J и К 4-вектор w,
введем матрицы, соответствующие трех- и четырехмерным век-
торам
(i /*o*]?, ki=(i к'о,)*.
*) Из B.3.8) и B.3.9) видно, что пространство всевозможных линейных
комбинаций компонент Юц. вектора инвариантно относительно группы Пу>
анкаре.

I Э) НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ '* Ц1
Тогда матрица
соответствует четырехмерному вектору w B.3.6). Эта форма
записи удобна для некоторых многомерных обобщений группы
Пуанкаре (см. Кадышевский и Тодоров A966)).
Упражнение 2.32. Пользуясь перестановочными соотношениями, прове-
рить инвариантность операторов Р2 и ft7. Доказать инвариантность 8.
3.2. Классификация неприводимых представлений группы ty0.
Принцип спектральности. В силу сказанного в предыдущем
Пункте операторы Р2, W и е кратны единичному оператору в
пространстве, в котором реализуется любое неприводимое
представление группы Пуанкаре, и их значения в этом про-
странстве могут служить для нумерации неприводимых пред-
ставлений.
В зависимости от значений инвариантов Р9 и е представле-
ния группы ^о могут быть разделены на следующие классы:
1. Р2=т2>0.
1а. е=1 (т.е. Р°>0). Соответствующие представления опи-
сывают трансформационные свойства реальных частиц с мас-
сой покоя т.
16. е= — 1 (т.е. Р°<0). Эти представления комплексно со-
пряжены с представлениями класса 1а.
2. Р2 = 0, Р ф 0.
2а. е=1 (Р°>0). Соответствующие представления относятся
к частицам с нулевой массой покоя (нейтрино и фотон).
26. е=—1 (Р°<0). Представления этого класса комплексно
сопряжены с представлениями класса 2а.
3. Р2 = —т2<0 (т.е. вектор Р пространственно подобен).
Согласно основным принципам релятивистской механики
частицы с таким импульсом не могут реально существовать.
Однако представления класса 3 могут играть роль при описа-
нии трансформационных свойств взаимодействующих полей.
4. Р=0 (т.е. p°=pl=p2=p3=0). Все состояния с таким р
трансляционно инвариантны. Все унитарные представления
этого класса, кроме единичного (U(a, A) = \), бесконечномер-
ны. Единичное представление соответствует состоянию, инва-
риантному относительно всех преобразований Пуанкаре. Будем
считать, что это состояние соответствует пустому пространству,
или вакууму.
Постулат спектральности, третий постулат нашей схемы,
к формулировке которого мы переходим, исключает некоторые
из перечисленных возможностей при описании трансформацион-
ных свойств векторов состояний. Мы дадим две неэквивалентные

112 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
формулировки этого постулата. Первая, менее ограничительная,
формулировка должна быть справедливой в любой физиче-
ской теории; вторая — более жесткая — относится к теории
сильно взаимодействующих частиц (я- и /(-мезонов и барио-
нов), называемых адронами.
III.а. Спектр оператора энергии — импульса Рц принадле-
жит замкнутому будущему световому конусу V*.
Другими словами, представление группы фо. которое осу-
ществляется в пространстве векторов состояний &6, разлагается
на неприводимые представления, входящие лишь в классы 1а.
2а и 4, определенные выше. Среди представлений класса 4 мы
будем рассматривать лишь тривиальное (единичное) предста-
вление, которое соответствует вакууму.
• Эта слабая форма постулата спектральности будет доста-
точной для получения основных результатов гл. 5 (теорема Хол-
ла— Уайтмана и TCP-теорема). Однако при доказательстве
свойства разбиения по пучкам (см. гл. 3, п. 2.3) и вообще при
изложении теории рассеяния (гл. 4) нам понадобятся следую-
щие дополнения к постулату 111а, относящиеся к теории сильно
взаимодействующих частиц.
II 1.6. Точка р=0 является дискретным невырожденным соб-
ственным значением оператора Р, т. е. существует единственное
состояние Ч*о в пространстве^, для которого РЧГО=О. Это со-
стояние инвариантно также относительно преобразований Ло-
ренца (из группы SLB)); вообще U(a, A)Wq=x?q при всех
{а, Л}е=$с.
Такое состояние Vo называется вакуумом. Вектор вакуума
мы будем обозначать также символом |0).
Ш.в. Существуют конечное число дискретных положительных
собственных значений оператора масс УР2 @</П|</п2...), со-
ответствующих состояниям с одной стабильной частицей, и не-
прерывный спектр этого оператора при Ур2^2ш1.
Непрерывный спектр оператора У~Р*, вообще говоря, являет-
ся кратным. В области n-частичных состояний при п >¦ 3 его
кратность бесконечна.
Часто постулат спектральности кратко формулируется сле-
дующим образом: в Ш существует полная система физических
состояний с положительной энергией.
3.3. Описание представлений, соответствующих частицам с
положительной массой. В силу постулата спектральности мы
можем ограничиться рассмотрением представлений только клас-
са 1а. Перейдем к схематичному описанию неприводимых пред-
ставлений этого класса.

I S] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ ИЗ
Определим сначала пространство, в котором действуют
операторы представлений. Для этой цели выберем среди эрми-
товых функций от генераторов группы полный набор коммути-
рующих операторов*). В этот набор всегда входят операторы
Казимира Р3=т2 и W группы Пуанкаре, которые коммутируют
со всеми операторами представления. Наряду с ними удобно
выбрать операторы импульса Р» (jx=O, 1, 2, 3) и третью проек-
цию спина
ih^S) B-3.14)
Нетрудно видеть, имея в виду B.3.8), что операторы Р^ и
S% коммутируют между собой. Они будут также коммутировать,
если вместо S3 мы возьмем любую линейную комбинацию ком-
понент вектора w. Поэтому специальный выбор B.3.14) при
определении спина нуждается в пояснении.
В системе покоя R, в которой Рц**0, Р%—т, w% = Q, век-
тор спина равен
± B.3.15)
Мы постулируем, что в произвольной системе вектор S являет-
ся линейной комбинацией компонент вектора w с коэффициен-
тами, зависящими лишь от 4-импульса Р. При этом потребуем,
чтобы S был трехмерным вектором, т. е. чтобы
[M|f S*] = ie|WS, B.3.16)
и чтобы имели место обычные перестановочные соотношения
для оператора спина:
[S,, S4] = «ey4,S,. B.3.17)
Покажем, что единственная аксиально векторная линейная
комбинация операторов w^, удовлетворяющая условиям B.3.16)
и B.3.17) и переходящая в системе покоя в вектор B.3.15),
имеет вид
*) Говорят, что система коммутирующих эрмитовых операторов обра-
зует полный набор (о математической терминологои — максимальную абе-
леву совокупность), если их одновременные собственные значения опреде-
ляют однозначно (с точностью до множителя) их общий собственный вектор
(другими словами, если их совместный спектр простой). Наши требования
менее жесткие, а именно: любой полином от генераторов представления,
коммутирующий со всеми операторами полного набора П, является функ-
цией этих операторов. Однако в пространстве векторов состояний могут дей-
ствовать другие операторы (например, операторы электрического заряда или
барионного числа), которые хотя и коммутируют с операторами системы П,
тем не менее не являются функциями этих операторов.
g Н. Н. Боголюбов и др,

114 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 3
(это значит, в частности, что существует третья компонента
B.3.14)).
Действительно, условие, что S является псевдовектором
(это условие учитывает B.3.16)), дает
S,"-^(w,-bw0P,), B.3.19)
где а и Ъ являются функциями импульса Р, инвариантными от-
носительно группы трехмерных евклидовых вращений и, следо-
вательно, зависящими лишь от Р° и т (так как Р2<=Р°* — т2).
Здесь учтено, что Р и w0 меняют знак при пространственном
отражении, а значит, их произведение остается неизменным.
С другой стороны, таким же свойством обладал бы член типа
(WP)P, однако в силу B.3.10) он равен w0P°P и, следователь-
но, не Дает ничего нового. Чтобы определить коэффициенты а
и Ъ, подставим выражение B.3.19) в B.3.17). Сравнение левой
и правой частей дает два уравнения для а и 6:
т2)}-т, аA-ЬР0)*=тЬ.
Эта система имеет два решения: а=1, 6 =——~рс и а = — 1>
6=-р5~—. Второе из них отбрасывается условием B.3.15).
Таким образом, равенство B.3.18) доказано.
Заметим, что комбинация B.3.18) есть не что иное, как про-
странственные компоненты вектора w, предварительно транс-
формированного в систему покоя.
где Лр — частное преобразование Лоренца, переводящее ось
времени по вектору р:
Лр'р = (/п, 0, 0, 0).
Явный вид матрицы Лр таков:
B.3.20)
В силу B.3.17) эрмитовы операторы Ss являются генерато-
рами алгебры Ли группы вращения трехмерного евклидова про-
странства Ot (или, что то же самое, алгебры Ли группы SUB)
двухрядных унитарных матриц с определителем 1). Ее назы-
вают малой группой группы Пуанкаре, соответствующей дач-

(S] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ US
ному неприводимому представлению*) группы ^. Неприводи-
мые представления группы 5^B) хорошо изучены (см., напри-
мер, [26]). Все они конечномерны и могут быть пронумерованы
значением полного спина:
Sa = /(/+l), i = 0, 1/2, ...
Упражнение 2.3.4. Показать, что инвариант W B.3.12) равен произведе-
нию S* и т2:
Ц?5« - B.3.21)
Число / есть по определению полный момент количества
движения системы (или спин частицы, если «система» состоит
из одной частицы).
Мы реализуем неприводимое представление [т, /, +] груп-
пы $о класса 1а в оснащенном гильбертовом пространстве
S@m)+ функций от собственных значений р» и ? операторов Р*
и 6V Переменная ? принимает 2/+1 значений:
I- /, -/+1 /-1. /. B.3.22)
4-вектор р* пробегает «верхний гиперболоид» \*т\
р° = ]/т2 + р2. B.3.23)
Скалярное произведение в &8т^ определяется равенством
(Ф, ?)= ? $<НрП)У(Р, 0-т?. B.3.24)
Упражнение 2.3.5. Показать, что выражение р° dsp задает инвариант-
ную меру на V^, т. е. если q и р связаны преобразованием Лоренца (<?2 —
-pJ-mJ, е (О ~ е (р°) - 1), то
Ч" '
*) На самом деле малая группа может быть определена во всех пере-
численных выше четырех классах представлений, и ее тип зависит лишь от
класса неприводимых представлений. Определение малой группы следующее:
пусть Г —спектр оператора Р одного из представлений 1—4 группы Пуан-
каре; малой группой точки реГ называется подгруппа Вр преобразований
собственной группы Лоренца, оставляющих вектор р инвариантным. Для лю-
бых двух точек из Г малые группы изоморфны, и этот факт существен для
характеристики типа малых групп Так, для класса 1, как мы убедились, —
это группа евклидовых вращений трехмерного пространства, для класса 2 —
это группа движений евклидовой плоскости (включая трансляции), для клас-
са 3 — группа псевдоевклидовых вращений трехмерного пространства
(с сигнатурой Н ) и (см. упражнение 2.3.7) для класса 4 — это вся груп-
па Лоренца.
6*

116 . общие Принципы Релятивистской квантовой Теории \гл. 2
Пространство Semi+ можно «оснастить» обычным образом.
В качестве плотного в 3&mj+ ядерного пространства удобно вы-
брать счетно-нормированное пространство Qmj-+, состоящее из
всех функций Ф(р, ?), которые при фиксированном ? принадле-
жат <?"(Vm), т.е. бесконечно дифференцируемы и быстро убы-
вают на гиперболоиде Vm.
Операторы Р» (так же как и S3) определены на Пт/* как
умножение на р^ и оставляют при таком определении это про-
странство инвариантным: если OeQ^,, то и Р^ейф или,
в символической записи,
P4lmltczQmh. (S?lmh czQmh). B.3.25)
Напротив, действие операторов импульса не определено для
любого вектора самого пространства S@m)+, так как из квадра-
тичной интегрируемости функции Ф(р, ?) на Vm, вообще говоря,
не следует квадратичная интегрируемость функции Р"Ф(р, ?).
Собственные же функции оператора импульса, как и в нереля-
тивистской квантовой механике, являются обобщенными состоя-
ниями, принадлежащими сопряженному пространству Qm/».
В частном случае скалярных частиц (/=0) ядерное про-
странство Q и сопряженное к нему пространство будут подроб-
но рассмотрены в п. 5.1.
Унитарные операторы U(a, А) представления группы $0. в
отличие от инфинитезимальных операторов Р» и М^, опреде-
лены во всем гильбертовом пространстве Шт)+. Особенно про-
стой вид имеет представление подгруппы трансляций
(U(a, 1)Ч0(р, е) = е-<рачг(р1 ?). B.3.26)
Чтобы построить представление U@, А) однородной группы,
поступим следующим образом. Выделим на гиперболоиде
B.3.23) импульс в системе покоя
Ри= (т, 0) B.3.27)
(выбор именно этого вектора обусловлен лишь соображениями
удобства). Представление малой группы SUB)R, оставляющей
инвариантным этот вектор, зададим в точке р~Ри равенством
{U(V)V)(pR, ?)= 2 D&(V)V(Pr, n). B.3.28)
ч—I
Здесь V е SUB), т. е. У—двухрядная унитарная матрица,
которая может быть записана в виде
/ о, t»2\
(let V as I о, Р +1 v2 P = 1, B.3.29)

I 31 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ Ц7
$i() — матричные элементы неприводимого представления
группы SUB), соответствующего спину /:
-VM)- B-3-30)
где Р(п'Ь)(х) — полиномы Якоби:
(см., например, [26], а также Иоос A962)). Заметим, что если
элементы Уар матрицы B.3.29) занумерованы индексами ее, р,
принимающими значения 1 и 2, то D$i(F) = Fvi-c.t/.-4- Любая
унимодулярная матрица /4eSLB) однозначно разлагается на
произведение унитарной и положительно определенной матриц:
A = VAHA, VА = aVА~х/С Х , ЯЛ = ]Л4М B.3.31)
(согласно упражнению 2.2.2 УА соответствует преобразованию
вращения, а НА — чистому преобразованию Лоренца). Пред-
ставление преобразования B.2.31) в точке р=Ря имеет вид
(G@, Д)Ч0(Ря. 0- i ВЙ^^^Сл-Чн^рв, т)), B.3.32)
где Л(ЯА) — преобразование Лоренца, соответствующее, со-
гласно B.2.15), матрице НА, VA — унитарная матрица, опреде-
ляемая из B.3.31). Мы видим, что в точке ри частное преобра-
зование Лоренца действует лишь на аргумент р функции Ч*1
(заметим, что Л (Л"|)рл=Л(Яд')рЛ). На спиновый индекс I
действует нетривиальным образом только трехмерное враще-
ние, оставляющее инвариантным вектор pR.
Используя B.3.32) и тот факт, что произведению матриц А
соответствует произведение операторов U, можно найти дей-
ствие 17@, Л) на ?в любой точке р. Для этого поступим сле-
дующим образом. Пусть Ар — частное преобразование Лоренца,
переводящее вектор рк B.3.27) в заданный вектор р на гипер-
болоиде Vm'-
I , . B.3.33)
= *>+?- { рх А

118 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ГГЛ. 2
Этому преобразованию соответствует однозначно и положитель-
но определенная матрица Нр из SIB)
m + g I fp° + m+p3 p'-ip9 \
" V 2m (p° + m) У2т(р° + т) \ P1 + ip2 po+m-p3}'
B.3.34)
такая, что
HppRHp-p. B.3.35)
Чтобы убедиться, что матрица B.3.34) действительно удовле-
творяет B.3.35), достаточно заметить, что при р2—т2
и, следовательно,
Любая матрица А е SL B) может быть представлена в виде
А = ЯРВ, B.3.36)
где Яр = ? и detB=l. В силу B.3.31), B.3.32) и B.3.36) имеем
A7@, А)Ч)(р. ?) =
= il d^(h;1aVa^atL'(a-1(a)p,ii) B.3.37)
Ч—J
(матрица Лр1 дается формулой B.3.20)).
Упражнение 2.3.6. а) Показать, что матрица Нр B.3.34) является «по-
Е
ложительным* корнем матрицы —:
т
peV*. B.3.38)
б) Пусть увимодулярвая матрица А— а, где о0^ — os«"l (см. упражне-
ние 2.2.1). Показать, что
А'1 = в =. в" = аа0 - аа. B.3.39)
в) Убедиться непосредственно, что матрица
V{A,p)~ Н;1 A Va-1H2pA-1 = V71 A Va~1PA*-1, B.3.40)
входящая в аргумент представления D''> B3.37), унитарна.

I 3] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ Цд
г) Показать, что в рассматриваемом представлении операторы S» B.3.18)
являются генераторами W\V(A,p)) (см. B.3.3)):
Sk •= — I
ц) Показать, что инфинитезимальные операторы представления [т, /', 4-]
действуют на функпии V(p, ?) по формулам
„ + 5, B.3.41)
где в силу B.3.23)
Показать, что подстановка B.3.18) в B.3.41) превращает последние два ра-
венства в тождества.
Полученные результаты могут быть резюмированы следую-
щим образом.
Операторы U(a, А) неприводимого унитарного представле-
ния [т, /, +] группы 9?о действуют в гильбертовом пространстве
S@mj+ по формуле
(V(a, A)W)(P, &)-«-"» 2^Dft(V(A р)) ^(Л-1 (Л) р,т]), B.3.42)
где ?)<л — матрица неприводимого представления (/) группы
SU B) B.3.30), а унитарная унимодулярная матрица У (Л, р)
определена равенством B.3.40).
Представления, соответствующие целым значениям /, яв-
ляются однозначными представлениями собственной группы
Пуанкаре ?pt, в то время как представления с полуцелыми /
суть двузначные представления этой группы. И те и другие
являются обычными однозначными представлениями спинорной
группы ^о- В дальнейшем (п. 4.3) мы познакомимся с другой
формой представления группы Що в частном случае дираков-
ских спиноров (/= Va) -
Упражнение 2.3.7. а) Показать, что в случае 2а при р*°>= A,0,0,1) ма-
лая группа Ьр{<п группы $0 состоит из матриц вида
JB
2
где в имеет смысл угла вращения вокруг оси р*. Показать, что группа Ьрщ
гомоморфна группе движений (трансляций и вращений) евклидовой плоскости

120 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
(см., например, Уайтмаи A9606) или Вигиер A9626)) которая порождается
генераторами Ми — JVj Afs, + JVi, M3.
б) Показать, что в случае 3 при р<°> — @,0,0, т) малая группа Lpm
гомоморфна группе Лоренца в трехмерном пространстве (с сигнатурой
Н ), порождаемой генераторами Ni, Л/8 н Мъ.
Полное гильбертово пространство &€ векторов состоянии
является прямой суммой (и интегралом) неприводимых инва-
риантных подпространств ^?mj+» каждое из которых взято с не-
которой конечной или бесконечной кратностью v=v(m2, /).Если
принять жесткую формулировку постулата спектральности (од-
новременное выполнение требований I и II), то
, B.3.43)
т\ /-0.I;!....
где Уо — вектор вакуума, {с, ЧРо} — одномерное пространство
векторов, коллинеарных с вакуумом, р(т2)—монотонно не-
убывающая функция. Более конкретная реализация простран-
ства векторов состояний в некотором частном случае будет
дана в § 5.
Как уже говорилось, когерентные подпространства простран-
ства выявляются суммами либо только по целым, либо только
по полуцелым значениям /. Случай когерентных пространств
тоже может быть охвачен формулой B.3.43), если допустить
нулевую кратность для некоторых подпространств.
3.4. Пространственное и временное отражения. Представле-
ния общей группы Пуанкаре. Наряду с непрерывными преобра-
зованиями группы $Ро важную роль в квантовой теории играют
дискретные преобразования пространственного и временного
отражений *):
1,х = (х°, — *', -*\ -*3). /,* = (-*°, х\ х\ х3),
= (—}fl, —x\ —х1, —ха). B.3.44)
Операторы / действуют на матрицу х B.2.10) по формулам
lsx = ejce'1 s х = х°а0 — ха,
Г - -1 , B.3.45)
й fX — — ВлВ , *j/* — *»
*) Часто в литературе вместо I, (индекс s происходит от английского
слова space — пространство) и It используются обозначения Р н Т. Здесь
мы приняли обозначения B.3.44), поскольку символом Р у нас обозначен
оператор энергии — импульса.

S 3] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ПУАНКАРЕ 12!
где черта означает комплексное сопряжение, а
/ 0 1 \
e-to«-(_i о/- B-3-46)
Мы, как и раньше, ищем всевозможные проективные пред-
ставления общей группы Пуанкаре, т. е. такое соответствие ме-
жду элементами g общей группы $ и унитарными или анти-
унитарными операторами U, при котором
V Ы U (&) = «(*i. gtW&gJ. B.3.47)
Теорема 2.3.1. В релятивистской квантовой теории, в ко-
торой имеет место принцип спектральности, оператор U(Ia)
унитарен, а оператор U(It) антиунитарен.
Доказательство. Согласно теореме 2.2.1 каждый из
операторов U(IX) (A,=s, t, st) либо унитарен, либо антиунита-
рен. Если оператор U(l\) унитарен, то фазы у операторов U(g)
могут быть подобраны так, что
а если U (It) антиунитарен, то
±l. B.3.48)
Действительно, если в первом случае при некотором выборе
фаз U3{IK) =eiia, то оператор Ux(lb)=e-iaU(ll) будет обладать
нужным свойством. Если же оператор С(/х) антиунитарен, то
фазовый сдвиг не меняет квадрата оператора, так как
Однако в этом случае справедливо утверждение: если lP=eia
(а вещественно, U антиунитарен), то U3=±\ (т.е. а=0, п).
Упражнение 2.3.6. Доказать это утверждение. (Указание: любой антн-
унитарный оператор V может быть представлен в виде U"VK, где V —
унитарный оператор, К^— оператор комплексного сопряжения; отсюда мож-
но получить, что IP" VV, где черта означает комплексное сопряжение. Поль-
зуясь тем, что оператор IP кратен единичному_оператору^ a Jan же имея
в виду тождество VTV—l, показать, что e-*a^VV^VTVVV^-VV—e1*, т. е.
Упражнение 2.3.9. Пользуясь формулой B.3.48), справедливой как для
унитарных, так и для антиуиитарных операторов, показать, что
U (/х) U (а, 1) ?Г' (/х) » v Aка, 1). B.3.49)
(При ныноде B.3.49) используется тот факт, что единственное одномерное
yiiHiKiiixir представление группы Пуанкаре — единичное представление
(Vfh (I9606).)

122 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ГГЛ 2
Если считать B.3.49) доказанным и принять во внимание,
что
U (а, 1) = е-Ч">, B.3.50)
где Р — инфинитезимальный оператор энергии — импульса, то
нетрудно вывести соотношения
U (/,) Р»и-' (/,) = 1ХР», если U (/,) унитарен; 1
t/(/0 Я11^"'(/»,) = — hP*, если U{1K) антиунитарен. |
С другой стороны, в силу постулата спектральности, знак
энергии всегда положителен, поэтому первая возможность
B.3.51) должна осуществляться при ly.= h, а вторая — при /^=
•=/, или /„(. Теорема 2.3.1 доказана.
Фаза оператора U(gli), где ge$, еще свободна, и мы вы-
бираем ее так, чтобы выполнялось равенство
Ute)U(lj)-U(gIJi gef, *=.«, I. si. B.3.52)
За счет выбора фаз у U(!t) и U(l,t) можно добиться того,
чтобы
U(la)U(l,)=U(lal). B.3.53)
Кроме того, поскольку оператор U(la) унитарен, можно, как
мы уже отмечали, добиться выполнения равенства
и%{1.) = \. B.3.54)
Упражнение 2.3.10. Пользуясь B.3.БЗ) и B.3.Б4), показать, что
«в (Л. Л)-ИЛ. h)^(lst, t*t)>
a C.i. //) = «»(//. h).
« (/* 1st) = 1. B-3.55)
Проективные представления группы отражений характери-
зуются значениями С2(/4) и C2(/j8). Существуют четыре ком-
бинации этих значений, которые определяют тип представления:
A,1), A.-1). (-1,1), (-1.-1).
§ 4. Четырехкомпонентные спиноры и уравнение Дирака
В этом параграфе мы рассмотрим в качестве примера низ-
шее нетривиальное (неунитарное) представление группы SLB)
и связанное с ним унитарное представление группы ^. Они бу-
дут встречаться неоднократно в дальнейшем.

i 4] ЧЕТЫРЕХКОМПОНЕНТНЫЕ СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 123
4.1. Спинорное представление группы SLB) и пространст-
венное отражение. Низшее нетривиальное («базисное») пред-
ставление группы SLB) двумерно. Величины, преобразующие-
ся по этому представлению, называются спинорами. Имеется
два неэквивалентных двухрядных представления группы SLB)
и, соответственно, два типа спиноров, которые мы будем обо-
значать Iй и /и. Если спинор с верхним непунктирным индек-
сом преобразуется при помощи матрицы А: %* = Лр|в, то спи-
нор с нижним пунктирным индексом будет преобразоваться по-
средством матрицы А*'1: у& = (Л*)^. Будем считать, далее,
что верхние пунктирные индексы преобразуются комплексно со-
пряженной матрицей Л, а нижние непунктирные индексы —
«дуальной» матрицей А=АТ~1. Из этого следует, что «спин-
тензор» х B.2.10), трансформирующийся по закону B.2.14),
является тензором типа ха*.
Упражнение 2.4.1. Показать, что
А-*вАв~\ B.4.1)
где e=*i<Js — двухрядная матрица B.3.46), так что представления А и А (А
и А*'1) эквивалентны. Таким образом, антисимметричный тензор в может
служить для поднятия и опускании спинориых индексов. (Указание: восполь-
зоваться равенством B.3.39).)
Очевидно, что если спинор | преобразуется под действием
матрицы А, то комплексно сопряженный спинор будет преобра-
зовываться по комплексно сопряженному представлению А, и,
следовательно, по принятому соглашению, его компоненты будут
нумероваться пунктирным индексом: |*.
Определим теперь спинорное представление пространствен-
ного отражения /8.
Согласно B.3.45), при отражении трех пространственных
осей спин-тензор х"? переходит в тензор
Поэтому естественно считать, что при пространственном отра-
жении спинор с верхним непунктирным индексом переходит в
спинор с нижним пунктирным индексом и обратно. Чтобы запи-
сать трансформацию с таким свойством в виде линейного пре-
образования, необходимо удвоить размерность спинорного пред-
ставления и ввести в рассмотрение четырехкомпонентный дира-
коиский спинор (или «биспинор»)
»\
B.4.2)

124 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
При собственных преобразованиях группы SLB) спинор и пре-
образуется по приводимому представлению
Операцию пространственного отражения определим по формуле
где т)„ — фазовый множитель, подчиненный условию т^ = 1 (так
как двукратное отражение можно рассматривать либо как то-
ждественное преобразование, либо как вращение на угол 2п,
то ig= ± 1). Обычно выбирается т)* = — 1 (см. упражнение 2.4.7,
а также [6]).
4.2. Алгебра у-матриц. Инвариантная запись биспинорного
представления. Специальная форма биспинора B.4.2) и соответ-
ствующая ему форма биспинорного представления B.4.3)
имеют место лишь при определенном выборе базиса в четырех-
мерном спинорном пространстве. Для того чтобы записать за-
кон преобразования биспинора в произвольном базисе, удобно
воспользоваться формализмом, связанным с у'матРиЦ2ми Ди-
рака.
Напомним основные определения.
Каждому 4-вектору р в пространстве Минковского поставим
в соответствие некоторый линейный оператор р в четырехмер-
ном комплексном пространстве дираковских спиноров таким
образом, чтобы имели место соотношения
где 1 — единичная матрица 4X4, а — число.
Пусть е№ — ортонормированный базис в четырехмерном
псевдоевклидовом пространстве:
enev = gnv. Ц, v = 0, 1, 2, 3.
Каждый 4-вектор х может быть записан в виде линейной ком-
бинации базисных векторов
р - р%.
В силу линейности соответствия р—*р оператор р может быть
представлен в виде
p

I 4| ЧЕТЫРЕХКОМПОНЕНТНЫЕ СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 125
где Yu — некоторые стандартные матрицы 4X4, которые в силу
B.4.5) удовлетворяют перестановочным соотношениям *)
{У», Yv) = VnVv + YvYn = ig^, ц, v = 0, I, 2, 3 B.4.6)
(fifnv — метрический тензор в пространстве Минковского). На-
ряду с матрицами у^ мы будем часто пользоваться матрицами
с верхними индексами
V = g*vYv.
которые удовлетворяют тому же соотношению антикоммутации
B.4.6). Имеют место равенства
Р = Р»У» = Р»У» = ё^Р»Ух- B.4.7)
Из B.4.6) следует, что все матрицы у" (следовательно, и их
произведения) унитарны. Всюду в дальнейшем мы будем пред-
полагать дополнительно, что матрица у0 эрмитова, а матрицы
у* (/=1, 2, 3) антиэрмитовы:
Отметим, что, в то время как антикоммутационные соотно-
шения B.4.6) сохраняются при всех преобразованиях подобия
(из LD, С)), свойства антиэрмитовости уматриц сохраняются
лишь при унитарных преобразованиях подобия y»-*Vy»V*
V l).
Важную роль в теории у-матриц играет лемма Паули.
Лемма Паули. Если Уц и у'^-две системы матриц 4X4,
удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям B.4.6),
то они связаны преобразованием подобия
еде S — несингулярная четырехрядная матрица, определяемая
матрицами Уц « У'ц однозначно с точностью до множителя.
Элементарное доказательство этой леммы изложено в об-
зоре Гуда A955), а также в [6]. Мы его приводить не будем.
Всевозможные произведения у-матриц (включая единичную
матрицу) порождают алгебру с 16 линейно независимыми эле-
ментами. Среди них особую роль играет произведение всех че-
тырех уматриц:
y' — Ys-yVyV- BA8)
Матрица у5 антиэрмитова и антиком мутирует с матрицами у»:
[уЕ, у»Ь~О 01 = 0,1,2,3), (yef 1. B.4.9)
*) Иногда используется другое определение, при котором матрицы уц
эрмитовы, а антикоммутатор задается равенством {Y|i>Yv}=26|iv (CM-> напри-
мер, [28] и [29]). Мы придерживаемся обозначений, принятых в моногра-
фиях [4] и [6].

126 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ |ГЛ. 2
Упражнение 2.4.2. Пользуясь перестановочными соотношениями B.4.6)
н существованием матрицы \*, удовлетворяющей B.4.2), показать, что след
произведения любого нечетного числа матриц уи равен нулю, в то время как
Tr y'V* "" 4g|iv, ц, v = 0, 1, 2, 3.
Для того чтобы действие оператора р не зависело от выбора
базиса в спинорном пространстве*), необходимо, чтобы он вел
себя при преобразованиях V этого базиса как смешанный тен-
зор р" (а, р = 1, 2, 3, 4). Отсюда получаем следующую связь
между биспинорным представлением V(A) группы SLB) и че-
тырехвекторным (лоренцевым) представлением Л (А) этой
группы:
V (А) р Vх (А) = Л (А)р = ?|1Л (А)»р\
Поскольку это равенство имеет место для произвольного р, то
V(A)\vV'l(A) = \)lA(A)l, B.4.10)
или
V (A) \vV~l (А) = Л (/O^Y*. B.4.10а)
Упражнение 2.4.3. а) Показать, пользуясь лишь B.4.6), что матрицы
s1" ¦= -г- ( y'V" ~" yV) B-4.11)
удовлетворяют перестановочным соотношениям B.3.3) для операторов мо-
мента М1.
б) Убедиться, что величины «цг являются инфинитезнмальными опера-
торами биспинорного представления V(A) группы Лоренца **). (Указание:
ввести в группе Лоренца бесконечно малые параметры ioJJ по формуле
A!J = O!J-1- (bJJ. Показать, пользуясь B.4.10) н тождеством
U*", YV1 =«(g"V ~ ekv Y"), B.4.12)
что при этом V (А) — 1 + -^ s^B^v.)
Операторы от и Я, являющиеся спинорным представлением операторов
М и N B.3.4), имеют внд
w = -jY5Y°V, « = -^Y°V. B.4.13)
Упражнение 2.4.4. Пусть А=а—o0a04-njOj, где о — комплексный единич-
ный вектор (см. упражнение 2.2.1). Показать, что в произвольном базисе
*) В терминологии Рашевского A955) и A958) такие операторы назы-
ваются спнн-аффинорами.
••) Оператор s^v называется собственным, или спиновым, моментом со-
ответствующей частицы со спнном '/а-

Sn»wu
ЧЕТЫРЕХКОМПОНЕНТМЫЁ СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЕ ДИРАкА 127
биспинорного представления группы SLB) задается формулой
B.4.14)
ГД9 й задается равенством B.4.7). (Указание: пользуясь параметризацией
(S.3 2), B.3.3) матрицы А=о, показать, что генераторы представления
B.4.14) совпадают с матрицами sPv B.4.11).)
Частный вид B.4.3) спинорного представления V(A) соот-
ветствует следующему выбору у-матриц:
Л7 *—'(о-J- !2Л15)
В этом базисе матрица р B.4.7) приобретает вид
4.3. Дискретные преобразования спиноров. Инвариантные
билинейные формы. В этом пункте мы рассмотрим спинорное
представление операций /а и /( и введем операцию зарядового
сопряжения спиноров.
В терминах уматриц операция пространственного отраже-
ния задается линейным оператором У(/8) в спинорном про-
странстве
Который обладает свойством
I ^; B.4.17)
Т), — некоторый множитель (|т]я|= 1, так как повторное приме-
нение операции отражения может приводить лишь к умножению
на фазовый множитель).
Прежде чем перейти к операции отражения времени, вве-
дем в спинорном пространстве оператор С, при помощи кото-
рого можно задать антисимметричную инвариантную билиней-
ную форму
vCu-a — uCv-xPC^u*. B.4.I8)
Существование оператора С следует из того, что представления
V(A) и VT~ (А) эквивалентны. В этом проще всего убедиться,
пользуясь реализацией V(A) B.4.3) и равенством B.4,1).
Обычно матрица С определяется равенством
Су"С"'=.—уг" B.4.19)

128 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
и нормировочным условием
С2 = —1 или СТ= — С = С~1. B.4.20)
В силу леммы Паули оператор С, удовлетворяющий B.4.19),
существует, поскольку матрицы —уг" удовлетворяют тем же
антикоммутационным соотношениям B.4.6), что и у». Нормиро-
вочным условием B.4.20) С определяется с точностью до знака.
Антисимметрия матрицы С является на самом деле следствием
B.4.19).
Упражнение 2.4.Б. Показать, что если оператор С удовлетворяет усло-
вию B.4.19), то он гадает преобразование эквивалентности между представ-
лениями V(A) и V*-'(i«):
VT~1(A)-CV(A)C-1.
(Указание: показать, что из B.4.19) и B.4.11) вытекает
и воспользоваться тем, что если s1 — генераторы представления V(A), то
— sT —генераторы представления VT (A).)
Из этого упражнения вытекает инвариантность формы
B.4.18) относительно собственных преобразований из SLB).
При пространственном отражении форма B.4.18) умножается
на —T)s и остается инвариантной лишь в том случае, если фазо-
вый множитель T)s=±i.
Теперь мы в состоянии определить оператор V(lt) физиче-
ского обращения времени. Для соответствия с теоремой 2.3.1
и вторым равенством B.3.51) потребуем, чтобы он был анти-
линейным, не менял энергии и изменял знак трехмерного им-
пульса. Отсюда, пользуясь B.4.17), получаем
V(It)pV(lt)~l-P*-PT. B.4.21)
Пользуясь B.4.19) и B.4.9), нетрудно проверить, что этим свой-
ством обладает антиунитарный оператор
V (lt) и = ixtfCu, B.4.22)
где tij-l.
Наряду с физическим отражением времени можно ввести
геометрическое отражение нулевой оси. Спинорным представле-
нием этой операции является унитарный оператор V=r\\°\s.
Мы не будем пользоваться этим понятием.
Определим теперь дираково сопряжение формулой
«=у°й. B,4,23)

I 4] ЧЕТЫРЕХКОМПОНЕНТНЫЕ СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 129
Упражнение 2.4.6. Показать, что: а) квадратичная форма пи инвари-
антна относительно любых собственных и несобственных преобразований Ло-
ренца; б) величина пу5" инвариантна относительно собственных преобразова-
ний группы SLB) и меняет знак при пространственном н временном отраже-
ниях; в) иу**и преобразуется как 4-вектор, пространственные компоненты ко-
торого при отражениях меняют знак; г) й\6\^и преобразуется как аксиаль-
ный 4-вектор, у которого при пространственном отражении лишь нулевая
компонента меняет знак, а при отражении времени меняют знак три про-
странственные компоненты. (Указание: воспользоваться равенствами B.4.11),
B.4.16), B.4.22) и тождествами
Отметим, что если вместо постоянного спинора и рассматри-
вать классическое спинорное поле ijj(x)> то при любом преобра-
зовании Лоренца А=А(А) преобразуется соответствующим об-
разом и аргумент ijj:
lU(A)q](x) = V(A)q{A-l(A)x). B.4.24)
Мы увидим дальше, что можно так определить скалярное произ-
ведение в пространстве 1|э(х), чтобы бесконечномерное предста-
вление B.4.24) было унитарным.
Введем еще понятие зарядового сопряжения, определяемого
формулой
ис=Сй. B.4.25)
Смысл этого термина выяснится в дальнейшем, когда мы будем
рассматривать пространство спинорных состояний (п. 5.3) и
операторные спинорные поля (гл. 3, п. 4.3). Сейчас заметим
только, что при помощи зарядово сопряженного спинора ис
преобразование отражения времени B.4.22) может быть запи-
сано в виде
V (/,) и = iT)(YV"c. B.4.26)
Упражнение 2.4.7. а) Показать, что при собственных преобразованиях
Лоренца спинор ис преобразуется по тому же самому представлению, что
и и.
б) Показать, что при пространственном отражении
V(A*)«C=-fuY°«C. B.4.27)
тик 'по закон преобразования B.4.20) остается прежним, только если
г1«-~ 'I*- т' е- если г)« чисто мнимо.
н) 11<жаэать, что при отражении времени
V (/,) ис - ri,Y5YV«C - «ifYV«. B.458)
'Пи м тип шит по форме с B.4.22) или B.4.26) лишь в том случае, если фазо-
iiufi MiiitiMiMvnii i|< веществен (t)t=±l)- (Далее мы будем придерживаться
iiMiMiiiii mix i<it.•i/iineiui)i относительно фазовых множителей.)
Ц II. II. Ьш плшГиш и др.

130 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
4.4. Различные реализации у~м&триц. Результаты двух пре-
дыдущих пунктов не зависят от явного вида уматриц. Однако
иногда удобно пользоваться их конкретными реализациями. При
этом, в зависимости от задачи, могут оказаться полезными раз-
личные представления.
Здесь мы рассмотрим два типа реализации у-матриц.
К первому типу отнесем такие реализации, при которых мат-
рицы у0. Y1- Y3 вещественны, а у2 чисто мнима. Отсюда и из по-
ведения у-матриц при эрмитовом сопряжении вытекает следую-
щее простое соотношение между транспонированными матри-
цами:
(I) Vr*-(—1)V, |t-0, 1, 2, 3. B.4.29)
Цифра (I) слева напоминает, что соотношение B.4.29) не яв-
ляется общим свойством уматРич> а справедливо лишь для
реализаций типа (I). В этом случае определяющее равенство
B.4.19) для оператора С приобретает вид
(I) C/CT'^-lf V B.4.19а)
Матрица С, удовлетворяющая B.4.19а) и нормировочному
условию B.4.20), имеет вид
(I) С - *УУ • B.4.30)
Нетрудно видеть, что она вещественна, антисимметрична и ком-
мутирует с у\
К реализациям типа (I) принадлежит базис B.4.15), в ко-
тором биспинорное представление группы SLB) записывается
в квазидиагональном виде B.4.3) (квазидиагональность V(A)
имеет место в любом базисе, в котором матрица у6 Диаго-
нальна).
Другой пример базиса типа (I) дает реализация Паули, в
которой матрица у0 диагональна (соответствующие уматрицы
мы будем снабжать индексом Р):
0
U
Эта реализация удобна, например, когда необходимо разде-
лить решения уравнения Дирака с положительной и отрица-
тельной энергией (см. п. 4.5). Нетрудно видеть, что базисы
B.4.15) и B.4.31) связаны между собой симметричным ортого-
нальным преобразованием у? = Sy^S, где
6"Уг U -(

§ 4] ЧЕТЫРЕХКОМПОНЕНТНЫЕ СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 131
Полезно отметить, что как в базисе B.4.15), так и в базисе
B.4.31) генераторы т,- B.4.13) подгруппы SUB) имеют тот же
вид, что и Mj в первой формуле B.3.4).
Ко второму типу отнесем реализации, в которых все мат-
рицы уц чисто мнимы. Это так называемый базис Майорана.
Достоинство базиса этого типа в том, что в нем генераторы s^v
B.4.11) биспинорного представления группы SLB) тоже чисто
Мнимы и, следовательно, матричные элементы представления
V(>1), так же как и матрица у5» вещественны. Мы воспользуемся
такой реализацией при обсуждении вопроса о связи спина со
статистикой (гл. 5, § 3). В базисе Майорана матрица \° анти-
симметрична, а матрицы у> симметричны:
(II) Yr(l = - &*Р = ~ V*. B-4.32)
что вместе с B.4.19) дает
(II) Сх»С~1 = ^ V = У**. B.4.196)
Матрица С, удовлетворяющая этому условию и условию нор-
мировки B.4.20), имеет вид
(II) С - iv°. B.4.33)
В этом базисе зарядовое сопряжение в силу B.4.25) сводится
к комплексному сопряжению.
Приведем пример базиса Майорана (мы будем снабжать
у-матрицы в этом базисе индексом М):
( ]
/0 сЛ
Нетрудно видеть, что в согласии с леммой Паули базисы
Y? и У*м связаны преобразованием подобия Y^=SYpS", где
Л' —симметричная унитарная матрица

132 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
В то время как перестановочные соотношения B.4.6) вместе
с условием (анти-) эрмитовости у*" = g^v1* инвариантны отно-
сительно всех унитарных преобразований подобия (Set/D)),
каждый из классов (I) и (II) инвариантен лишь относительно
преобразований подобия из вещественной ортогональной груп-
пы (Se=OD)).
4.5. Уравнение Дирака. Простейшим инвариантным уравне-
нием для четырехкомпонентного спинора является уравнение
Дирака
или, в импульсном пространстве,
(р — т)и(р) = 0. B.4.36)
Упражнение 2.4.8. а) Показать, что уравнение Дирака инвариантно отно-
сительно проиЗввЛьного преобразования Пуанкаре (включая отражения),
если считать, что трансляции не действуют на спинорные индексы, т. е. что
6) Показать, что если спинор и(р) удовлетворяет B.4.36), то дираково
сопряженный спинор й(р) удовлетворяет уравнению
2 (р) (р - т) М/ - т) й (р) = 0, B.4.37)
в то время как аарядово сопряженный спинор ис удовлетворяет уравнению
(р + т)ис = 0. B.4.38)
(Указание: воспользоваться равенством
Y°/)Y° = /)•). B.4.39)
Уравнение B.4.36) рассматривается обычно как уравнение
на собственные значения энергии р°. Возможные значения р°
определяются из условия
det (р - т)=(р2 - т2J = 0.
Это уравнение имеет два двойных корня:
р°=±<а, где <а = <йр= Ут2 + р2. B.4.40)
Для снятия вырождения потребуем, чтобы решение и(р) урав-
нения Дирака было собственной функцией оператора третьей
проекции спина Sa, который коммутирует с р.
Оператор спина S определим из его выражения в системе
покоя при помощи преобразования Лоренца:
S?s= Sp~a = т' = -|- vW- B.4.41)
Теперь необходимо найти биспинорное представление V ча-
стного преобразования Лоренца, переводящее импульс покоя-

Щ ЧЕТЫРЕХКОМПОНЕНТНЫЕ СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЕ. ДИРАКА 133
ЩСЙся частицы (т, 0) в произвольный импульс (со, р), где
Упражнение 2.4.9. Показать, что искомое представление задается эрми-
товой матрицей
V = &y\ B.4.42)
где единичный вещественный 4-вектор а имеет компоненты
д., *>"+/" . ,/, ^ B.4.43)
^2т(/)° + т) V2m(p° + )
(Указание: воспользоваться B.4.14) и тем, что в силу определения V
p-*mVy°V-l-mVV\0 B.4.44)
и что
&SV = ((fl°)s + «s)V°-2eoeV B.4.45)
(ср. с упражнением 2.3.6).)
Пользуясь B.4.42), находим следующее выражение для опе-
ратора спина:
S' = VSoV'1 = usiA = (а0' + в2) m' - 2а° (в X я)' - 2а' (в/в) =
^"тог) f2-4-46*
Здесь матрицы т> и nft задаются формулами B.4.13), а щ>"
связаны с т и я формулой B.3.7). Заметим, что, как и следо-
вало ожидать, правая часть последнего равенства B.4.46)
совпадает с выражением для оператора спина малой группы
B.3.18).
Аналогично для решений с отрицательной энергией пред-
ставление V частного преобразования Лоренца, переводящее
импульс (—т, 0) в (—со, р), задается антиэрмитовой матрицей
V = My°v". B.4.47)
где единичный чисто мнимый 4-вектор а вновь задается ком-
понентами B.4.43) с р°=—со. Сохраняет свой вид и выраже-
ние'для оператора спина B.4.46) ср°=—со.
Упражнение 2.4.10. Показать, что каждая из матриц S> коммутнру-
»1 I1 /I.
спинор и является собственным вектором третьей
||||<|('|<1Ц1>1 спина S3
V (Я) = ?«(/>)• B-4.48)

134 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
При заданных р°=±ш и ?= + '/2 система B.4.36), B.4.48) имеет,
с точностью до постоянного множителя, единственное решение.
Мы будем нормировать решения этой системы условием
йи^~, B.4.49)
или, для произведения и с дираково сопряженным спинором й,
пи = е(р°) = -^-. B.4.50)
Четыре независимых' решения системы B.4.36), B.4.48) обо-
значим wi*)(p)t где г=1, 2; знак ( + ) соответствует решению
с положительной энергией р°=ш, знак (—) —решению с р°=
=—ш; ?='/2 при г=1 и —Уя при г=2. Так как спиноры w&>
являются собственными векторами двух эрмитовых матриц —
а именно, матрицы
Я = ту°+ру°У B.4.51)
и матрицы Sa B.4.46) —с разными парами собственных значе-
ний, то они ортогональны между собой:
п'(±)(р)и*<*>(р)= — 6,s,
\v> w m rs, B.4.52)
й' (+> (р) и» <-> (р) = п' <-> (р) к* <+> (р) = 0.
Соотношения ортонормированности имеют место также при
суммировании по верхним индексам (по проекции спина и по
знаку энергии):
2
2 К(+) (р) *р(+) (р)+«4м (р) 4м (rt) = -^ е«в-
'¦=1 B.4.53)
S {^(+)(Р) й^+>(р)- «?<->(- р)ej«->(- p)} = ецр.
В дальнейшем мы будем пользоваться также формулой сум-
мирования
2
г—I
г„(->(-Р) ^<-"(- Р)] = (-?¦) • B.4.54)
Вывод формул B.4.53), B.4.54) мы предоставляем читателю
(см. DJ).

ЧЕТЫРЕХКОМПОНЕНТНЫЕ СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЕ ДИРАКА J35
.^.Приведем явный вид четырех решений уравнения Дирака
^Йредставлеиии B.4.31), в котором у0 диагональна:
У") if ft. /.. i .Г* I ML m n J '
B.4.55)
V 2m (<в + m) Va + m e.
Здесь
Упражнение 2.4.11. а) Выписать явный вид спиноров и'^Цр) в пред-
ставлениях, в которых у-матрицы имеют вид B.4.15) и B.4.34).
б) Показать, что независимо от выбора представления:
Си1 <+> (р) = - и2<-> (- р), Си2 <+> (р) = и1 <"> (- р),
Си1 <") (р) = u2<+> (- р), Сй2(-> (р) - - и1 <+> (- р).
4.6. Спинорное представление группы Пуанкаре. Спи норное
представление U(а, Л) группы Пуанкаре, в отличие от рассмо-
тренного в п. I спинорного представления группы Лоренца, уни-
тарно и бесконечномерно. Тем не менее между этими двумя
представлениями имеется тесная связь. Формально отличие спи-
норного представления группы ф от соответствующего конечно-
мерного представления группы SLB) состоит в том, что спи-
норы, на которые действует представление U(a, А), являют-
ся функциями непрерывного векторного аргумента р и этот
аргумент тоже преобразуется наряду со спинорным ин-
дексом.
Мы уже давали (п. 3.2) описание всех неприводимых пред-
ставлений типа [т, /, +] группы Що, связывая его с соответ-
стнующими преобразованиями группы трехмерных вращений.
Здесь мы дадим другую реализацию этого представления (в ча-
стном случае, когда / = -2~). связанную с биспинорным пред-
стянлепием V{A) группы SLB), в которой преобразования
индекса не зависят от векторного аргумента р. Эти две реа-
лизации соответствуют различным выборам базиса в про-
гтриистее о??т\п> в котором действуют операторы U(a, A).
1) дплмц'ншем связь между двумя базисами будет выписана
шиш.
I'jn-cMuTpiiM пространство ?№т\п* состоящее из всех четы-
poxisoMiioiioiiTiibix спинорных функ ий Чг «= 4го(р), заданных на

136 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
гиперболоиде Vm, для которых сходится инвариантный инте-
грал
Упражнение 2.4.12. Показать, что B.4.56) определяет скалярное произ-
ведение, т. е. что если спииорная функция У не равна тождественно нулю,
то fP,Ч')>0. (Указание: показать, что при ре V^, матрица у°/> положи-
тельно определена.)
Спинорное представление группы 5р0 действует в $@т щ по
закону
[U (а. А) Ч] (р) = e-">aV (А) V(Л (А) Р), B.4.57)
где V(A) — четырехрядная матрица B.4.3) биспинорного пред-
ставления группы
Упражнение 2.4.13. Показать, что преобразование B.4.57) сохраняет ска-
лярное произведение B.4.56):
(U (а. А) Ф, U (а, А) V) = (Ф, Т), B.4.58)
так что представление B.4.57) унитарно. (Указание: воспользоваться равен-
ством B.4.15) и соотношением
*° Y°V(/l)> B.4.59)
см. также упражнение 2.4.5.)
Генераторы представления B.4.57) имеют вид
Р"_^, M»* = L»" + f"; *•"--{-[/. vi. B-4.60)
где L"v — орбитальный момент количества Движения, опреде-
ляемый равенствами:
dpi P в*)' L ~ P dpi
Существенно отметить коммутативность орбитальной (L1") и
спиновой (s^) частей момента количества движения, которая
отличает данную реализацию представления от вигнеровской
реализации B.3.41) и делает полезной первую при описании
локальных полей (см. гл. 3, § 4).
Представление B.4.57) приводимо в &6т щ. Чтобы убе-
диться в этом, покажем, что оператор р коммутирует со всеми
операторами представления, т. е. что
Wl (a, A) PU (а, А) = Р. B.4.61)

{ 4) ЧЕТЫРЕХКОМПОНЕНТНЫЕ СПИНОРЫ И УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 137
Для проверки B.4.61) достаточно применить левую и правую
части к произвольному вектору W е Жт щ и воспользоваться
равенствами B.4.57) и B.4.15), а также тем, что в силу B.2.19)
U~l(a, А) = и(- А~1аА*~\ /Г1).
Заметим, что, несмотря на то, что матрица р не эрмитова,
оператор умножения на р вЖтц2 эрмитов относительно ска-
лярного произведения B.4.56), т.е.
П B.4.62)
Упражнение 2.4.14. Доказать утверждение B.4.62), пользуясь тем, что ма-
трица эрмитова относительно эрмитовой формы <и, о> = йо.
Оператор Р имеет два бесконечно вырожденных собствен-
ных значения в &6т т- + т и — т. Соответственно простран-
ство Жтцг распадается на два ортогональных подпростран-
ства ЖтЦ2 и &в~тХП, каждое из которых является собственным
подпространством оператора Р и инвариантно относительно
преобразований B.4.57). Операторы проектирования П* на
&&т\п имеют вид
П*=^Д B.4.63)
Упражнение. 2.4.15. а) Проверить что операторы B.4.63) действительно
являются операторами ортогонального проектирования в 8вт щ, т. е. что
= 0. б) Показать, что РП*ЧГ= ± ,
Пространства &в%. Ц2 являются уже неприводимыми под-
пространствами: в каждом из них представление B.4.57) не-
приводимо. Пространство Жт i/2 есть не что иное, как сово-
купность решений уравнения Дирака. В дальнейшем (п. 5.3 и
гл. 3, п. 4.3) мы увидим, как с пространством Жт i/г можно
сличать античастицы. Заметим, что в пространствах Жт т
скалириое произведение B.4.56) принимает вид
(Ф, W) = ± | ф? -^ (ф, W s Ж% >д). B.4.64)
Мпмстнм, что в одном неприводимом подпространстве
Группы %,, например в Ж\п\ц, как бы смешиваются два не-
ll|iiliMiniiMMX подпространства группы SLB): 4-спинор Чг(*>, удо-
H.'iofn<i|>HK>iiuin уравнению Дирака, включает в себя двухком-
пппюры обоих гипов —с непунктирным и пунктирным

138 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
индексами. В 36'тт можно задать независимый базис из двух-
компонентных функций от р, пользуясь положительно частот-
ными решениями игМ(р) уравнения Дирака (п. 4.5). Базис
, ?) связан со спинорным базисом ^'"(р) равенством
AW , B.4.65)
4 (
а=1
(Здесь мы воспользовались свойствами ортонормированности
B.4.56) и B.4.52) спиноров и.) Функции Ч?(р, ?) задают базис,
которым мы пользовались в п. 3.3 для описания любого пред-
ставления [т, I, +] группы $)?о-
Посмотрим теперь, как действуют дискретные операции от-
ражения /я и ft и зарядового сопряжения 1С в пространстве
3@т 1/2. Оказывается, что это пространство инвариантно не
только относительно собственных преобразований $р0. но также
относительно преобразований пространственного и временного
отражений.
Действительно, пространственному отражению соответствует
унитарный оператор V(/8), который согласно B.4.16) действует
следующим образом:
(U (I,) V) {ffi, р) = n,Y0W (p°, - р). B.4.66)
Нетрудно проверить, что если W{p°, p) удовлетворяет уравне-
нию Дирака B.4.36), то и преобразованный спинор B.4.66)
удовлетворяет этому уравнению, так что U(la) переводит ка-
ждое из пространств &в% ц2 в себя. Напомним, что в случае
спинорного представления однородной группы SLB) нам при-
ходилось уДваийать число измерений пространства, чтобы
включить пространственное отражение. Для унитарного пред-
ставления [т, 1/2, +] группы ?Ро неприводимое пространство
спиноров &t?m la одно и то же для собственной группы и для
группы, включающей пространственное отражение.
Отражению времени /« в силу B.4.22) соответствует анти-
унитарный оператор
(I) W (lt) Ч) (р°, р) = ЧЛУ*(Р°. - Р). B.4.67)
Пользуясь B.4.37), нетрудно видеть, что если W(p°, p) удовле-
творяет уравнению Дирака, то и преобразованный спинор
B.4.67) удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, в ка-
ждом из пространств ?%% ift реализуется одно и то же непри-
водимое представление общей группы %, включающей как про-
странственное, так и временное отражения.

§ 61 ПРИМЕРЫ 139
В противоположность операциям U(ls) и U(lt) антиунитар-
ная операция зарядового сопряжения ?/(/<?) B.4.25) переводит
пространство Швт ца в <з№~т \ц и обратно. Действительно, если
спинор Ч(р)^3%т 1/2, т.е. удовлетворяет уравнению Дирака
B.4.36), то в силу упражнения 2.4.8 зарядово сопряженный спи-
нор 4го (р) удовлетворяет уравнению B.4.38), т.е. принадлежит
пространству S&m щ. Таким образом, если мы хотим, чтобы
в пространстве спинорных векторов состояния реализовалось
представление не только общей группы Пуанкаре, но и опера-
ции зарядового сопряжения, то мы должны рассматривать все
пространство <з№т щ, а не только какое-нибудь одно из неприво-
димых относительно $Р подпространств <&&* ца (по поводу фи-
зической интерпретации операции U(lc) см. далее, п. 5.3).
§ 5. Примеры: пространства скалярных и спинорных частиц
5.1. Определение оснащенного гильбертова пространства
скалярных нейтральных частиц без связанных состояний. Рас-
смотрим простейший пример теории бесспиновых нейтральных
мезонов с массой т, которые не образуют связанных состояний.
Векторы состояния в такой теории могут быть представлены
в виде последовательности функций *)
^(Pi, P2) *Pn(pi Pn),:..}, B.5.1)
^„(pi, ..., pn) определена на произведении гиперболоидов Vm:
' m m m Л * * "
=»{(p/)|p2 = pf-j^=m2, p°>0,/=I,2 л]. B.5.2)
Вектор
описывает вакуум; вектор
^„ = {0 0,>n(Pi Рп), 0 0, ...}
«писыняет состояние с п частицами. Если считать мезоны то-
ждестнеппыми между собой, то как частицы с целочисленным
СПИНОМ они должны подчиняться статистике Бозе — Эйнштей-
Nli И (следовательно, функции Wn(pi, ••-, рп) должны быть
•J Тмине представление для векторов состояний в нерелятивистском слу-
III ЙИдеип Фомим A932). Часто последовательность B.5.1) записывается
I 1ИД1 ушлПцй и шмыиается столбцом Фока.

140 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
симметричными относительно любой перестановки аргументов:
^niPlr •••• Pi Pi Рп)**
= ^п (?„,, • • • . Pni> •¦; Рп, Рпп\ B-5.4)
Требование, заключающееся в том, чтобы тождественные скалярные ча-
стицы подчинялись статистике Бозе (это требование ставится и в нереляти-
вистской теории), не является независимым от остальных постулатов реля-
тивистской квантовой теории. Мы рассмотрим вопрос о связи спина со ста-
тистикой в гл. 4.
Скалярное произведение в пространстве ?№ векторов У за-
дается формулой
ПI
и=1 v v
'т "т
XW(p, Pn)®(Pi, • •• = Рп). B.5.5)
где рЧ — Ут2 + р]. Таким образом, пространство &6 является
прямой суммой ортогональных гильбертовых пространств &вп
я-частичных состояний (п = 0, 1,...).
Можно естественным образом оснастить пространство &в по
аналогии с тем, как было построено оснащенное гильбертово
пространство в случае квантовой механики с конечным числом
степеней свободы {п. 1.2).
Определим сначала ядерное пространство регулярных одночастичных
состояний Qi как максимальное ядерное подпространство пространства <й?ь
в котором непрерывны операторы импульса и координаты частиц и любые
полиномы от этих операторов.
Релятивистский оператор координаты имеет вид
Этот оператор определяется из канонических перестановочных соотношений
B.1.8) и из условия эрмитовости.
Упражнение 2.5.1. Показать, что операторы q> и р' (/=1, 2, 3) действи-
тельно удовлетворяют каноническим перестановочным соотношениям B.1.8)
и что операторы q> B.5.6) в отличие от операторов i ¦—— эрмитовы относи-
др>
тельно скалярного произведения ъ&ва
(Фь Т.) = J Ф, (Р) V, (р) &¦. B.5.7)

« 63 ПРИМЕРЫ |4I
Определим канонический базис в Фё\ при помощи системы взаимно со-
пряженных операторов *)
Ь, = у=- (р> - ««О, b*ryf G>' + 'Л / - 1. 2, 3, B.5.8)
по аналогии с п. 1.2. Пусть Фо — нормированный вектор, удовлетворяющий
равенствам
М>о = 0, k= 1,2,3. B.5.9)
В рассматриваемом импульсном представлении (в котором операторы р* яв-
ляются операторами умножения на независимую переменную)
^Л B.5..0)
Ортонормированные базисные векторы в^?, определим формулой
VLtVf о- ^,1 B.5.П)
Упражнение 2.5.2. Найти выражения для базисных векторов <J>V в им-
пульсном пространстве (см. п. 1.2).
Определим, как и в п. 1.2. ядерное пространство Qi в качестве совокуп-
ности векторов Ф, для которых конечны все нормы ||Ф||Г, где
||Ф||*=(Ф, /ЛИ), I--0, 1, 2...., B.5.12)
* B.5.13)
Как отмечалось в п. 1.2, ограниченность норм эквивалентна быстрому убы-
ванию 3-индексной последовательности коэффициентов cv разложения век-
тора по базису B.5.11). Счетно-нормированное пространство Qi (с нормами
B.5.12)) совпадает с пространством «^(У^,) бесконечно гладких, быстро убы-
каюших функций на гиперболоиде, или, что то же самое, с пространством
** №) функций Ф(р)=Ф(рьР2,рэ), определенным в гл. I, п. 1.3.
Имея пространство Q,, можно определить пространство Qn как сим-
мвтризованное тензорное произведение пространств Q,:
fiB=-3ymQf". B.5. И)
В'т означает следующее. Пространство Qn состоит из всех бесконечно глад-
ких бистро убывающих функций п векторных аргументов pi, .... рп, за-
д и иных иа произведении гиперболоидов: V* X ...XVJ,, и симметричных
ПТ11ШМТ0ЛЫ1О любой перестановки аргументов р. Топология в Qn задается
|||ш помощи счетной растущей системы норм
II ф„ t" (Ф»' (*»+ * • * + А») Ф«)' »- °> '- 2, ..., B.5.15)
*) 11р 1'лодуст смешивать операторы 6* и Ь B.5.8), действующие в про-
¦ фиш то илиочястичных состояний 4?"i, с «вторично квантованными» опера-
iii|i«Mii рождении и уничтожения а*(р) и а(р), которые меняют число ча-
|| ни п.

J42 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЁЛЯТИВИСТСКОП КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. S
где, как и в B.5.13),
hx=l + b'KbK, Ьк= Paylg* , х-1,..„ га. B.5.16)
Название «тензорное произведение» (в данном случае «тензорная сте-
пень») связано с возможностью алгебраического построения пространства Qn.
Рассмотрим множество „S" всевозможных конечных линейных комбинаций
вида
фп = 2Т ° 2
где Фу , Ч^ е Qj. Определим в _$? скалярное произведение формулой
(ф«. *„) = 2 2
а нормы ||ФП||Л —формулой B.5.15). Тогда пространство Qf" определяется
как пополнение _5? относительно сходимости, определяемой счетной системой
норм B.5.15), в то время как &efn есть пополнение J2? относительно гиль-
бертовой нормы ЦФп112 = 1|Фп11о = (Фч. Фп)- Пространства йв и &?„ состоят
из симметричных элементов пространств Q®" и &&fn соответственно. Опе-
ратор симметризации может быть определен в JS* п0 формуле
/-I я
где внутреннее суммирование ведется по всем п\ перестановкам я чисел
1, .... п. Далее оператор симметризации продолжается по непрерывности
в J»f".
Минимальное идерное пространство Q, содержащее все пространства Яя,
определяется как точное объединение счетио-иормированных пространств (см.
определение 3, гл. 1, п. 1.3): Q состоит из всевозможных обрывающихся
последов ательностей
Ф=(Фо, ®i Фп, 0 О, ...).
где число п зависит от Ф, Ф,- е Qj, a Qo — комплексная плоскость. Последо-
вательность векторов Ф<я> сходится в Q, если существует число N, не зави-
сящее от га, такое, чтоФ^^О при k> N и Ф^"'->Фу относительно сходи-
мости в Qj.
Наряду с пространством Q можно рассматривать и более широкие про-
странства регулярных состоииий, соответствующие, естественно, более узким
пространствам обобщенных состояний. Определим максимальное (с опреде-
ленной точки зрении) идерное подпространство пространства^. Оно, как
мы увидим, является некоторым обобщением пространства & основных функ-
ций на случай бесконечного числа измерений, и мы будем обозначать его
через f».

i В] ПРИМЕРЫ 143
Назовем оператор К, действующий в Я, вторичным квантованием непре-
рывного оператора к, определенного в Qt, если
fj „, Рп),
где
*» = 0, *">- к, *«"> = *,+ ..
a fej —это оператор к, действующий на /"-й аргумент функции 4%,.
При алгебраическом определении пространства Й„ fej определяется
равенством
l
Упражнение 2.6.3. Показать, что вторичным квантованием единичного
оператора в Qt является оператор числи частиц N, определяемый равен-
ством
NV = 2 я*, B.5.17)
и-0
При определении пространства Я, мы потребовали, чтобы все полиномы
от операторов р н q (или, что то же самое, от операторов b v. Ъ*) остав-
ляли Qi инвариантным *) и были непрерывными в Q\. Аналогично определим
<Чо как максимальное ядерное подпространство пространства <&&, инвариант-
ное относительно вторичных квантований всевозможных полиномов от опе-
раторов 6 н Ь*.
Пространство *"„ может быть определено как счетно-нормированное про-
странство при помощи системы норм И^Ц,, задаваемых равенствами
|V||0-fP|-/(ТГП т'г~(Р. HrV), r=I,2 B.5.18)
где Н — вторичное квантование оператора h B.5.13).
Если определить в «Э4? ортонормированный базис
гле Ф|? определяются формулой B.5.11), а Фпч являются нормированными
снмметрнзованными произведениями <D]V. то
2<А2B S^^v^v B^-20)
П. V B,V\ /-I (-1
Поэтому ограниченность норм B.5.18) означает, что Cnv образуют быстро
yfluiwKiiuyio бескоиечнократную последовательность.
Среди обобщенных состояний важную роль играют состоя-
нии с определенными импульсами у всех частиц**). Этими
¦) Кюшмним, что пространство Q называется инвариантным относи-
TtAMMi oiii'|iMTti|iB /I, если А& с Q.
**) .'-fin «чи'тияпия входят в пространство!^, а следовательно, и в про-
ИЦ1МНГ1И11 U*. mi они ненормируемы н поэтому не принадлежат простран-

H4 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
состояниями мы будем пользоваться в дальнейшем. Для них
принято обозначение
I Pi Р„> - Ь-.Р°П- S б (9> - А,) •¦•«(«-- AJ. B-5.21)
F (О
где сумма распространена по всем п\ перестановкам {i} =
= (ii in) чисел 1, ..., п, a p*j= |/ m2 + pj. «Скалярное про-
изведение» двух векторов типа B.5.21) равно
<р; . •. р; 1 р, ... р„> - бгп 2 б (р, - р;,) - -. е (р„ - я.). B.5.22)
Упражнение 2.5.4. Показать, что обобщенная функция
инвариантна относительно одновременного ортохрониого преобразования Ло-
ренца всех аргументов р( н р^. (Указание: воспользоваться равенством
A.2.10) и тем, что р? - р,* = та, р? > 0, pf > 0.)
5.2. Представление группы Пуанкаре в пространстве Ш.
Разложение пространства &вг в прямую сумму неприводимых
инвариантных пространств. Определим закон преобразования
вектора состояния W при собственном преобразовании Пуан-
каре [а, А) формулой
U (a, A) 4f = К, в"".-*, (А^р,), ...
.... е-'^-^^Лл-'р, А->рД ...}. B.5.23)
Представление B.5.23), очевидно, приводимо, так как, на-
пример, инвариантный оператор Р- не является постоянным
(кратным единичному оператору) в &в. Наметим способ разло-
жения пространства &? на неразложимые инвариантные под-
пространства и соответствующего разложения представления
B.5.23) на неприводимые представления.
Заметим сначала, что вакуумное подпространство&№о и под-
пространство одночастичных состояний @€\ являются неприво-
димыми инвариантными подпространствами относительно пред-
ставления группы Пуанкаре. В $&а реализуется тривиальное
представление U(a, А) еэ 1, а в &6\ — неприводимое предста-
вление с массой т, положительной энергией и спином 0:
^,=^т0+. B.5.24)
Подпространство двучастичных состояний е%?з уже приводи-
мо—оно не соответствует определенным значениям инвариан-

I 51 ПРИМЕРЫ 145
тов Р2 и W (или j). Любой вектор изё^г может быть разложен
по обобщенным состояниям с определенной массой j/f"* и мо-
ментом количества движения /.
Чтобы получить такое разложение, введем новые перемен-
ные р и q по формулам
Р = Р,+р2. q- .Д^Ц B-5.25)
у р'— 4т2
И ПОЛОЖИМ
9). B.5.26)
Упражнение 2.5.5. Показать, что условие p? = Pg эквивалентно условию
р<7=0 B.5.27)
Упражнение 2.5.6. Убедиться, что симметрия функции V{Pi, Pi) относи-
тельно Pi и р2 эквивалентна четности функции 4?(p,q) относительно q.
Мы ищем разложение функции Ч?(р, 9) п0 собственным
функциям 6(р2— ца) оператора умножения на р2 и по сфери-
ческим функциям относительно пространственноподобного еди-
ничного вектора q. Для этой цели мы перейдем сначала к си-
стеме центра масс, т.е. к системе, в которой ось времени на-
правлена вдоль вектора р. Обозначим координаты вектора q
в этой системе через (а, е):
B.5.28)
Упражнение 2.5.7. а) Проверить, что формулы B.5.28) задают преобра-
Лоренца от вектора q к вектору (а, е), так что
q* = qo2 - qi = а1 - еК
б) I ("K.-i.tan., что при этом преобразовании вектор р переходит в век-
lii|i (|i,0). Пользуясь B.5.25), заключить отсюда, что
<т=0, е*=1. B.Б.29)
Далее, мы разлагаем функцию
? (И. V\ е) - V (р, q) = V [р; &¦, е + (-f ~ 1) -2f p) B.5.30)
Rt Ulfl|iiiin,iM функциям Yii (e):
/•(ц, р;е)=2 2 F/C(|i, р)Г/С(е). B.5.31)
/0 ? /

146 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ (ГЛ. 3
Если параметризовать вектор е по формуле
е = (sin G cos qp, sin G sin qp, cos 6),
то можно записать Y ц(е) в обычной форме:
Y,t {е) =з YK F, qp) = Pj (cos 6) е'Е\ -/<?</,
где Р/ {х) — присоединенные функции Лежандра. Функции Y}\
ортогональны на единичной сфере, но не нормированы на еди-
ницу:
я 2п
J dG sin G J dqp Y,v (G, qp) F/t (G, qp) -
Упражнение 2.5.8. Пользуясь четностью функции ^(р, fl) относительно <j,
показать, что при нечетных / (/=21+1) fjg(n> P) = 0.
Итак, искомое разложение имеет вид
ос
4*2 (Рь р.) = Y (р, 9) = J
где
^м. я (Р. е) = б (Р2
а/ B Б 34)
g2i (и, р; е) = 2 G2j. с (и. Р) Кя. с (е),
a f;j может быть выражено обратно через Чг(р, ^) формулой
р)=утш'^ J d(p IsinedeF(li> p;
о о
Функции 4V, я принадлежат неприводимому подпростран-
ству S^n обобщенных функций, заданных как функционалы
на произведении четырехмерного пространства с единичной
сферой. Однако они ненормируемы и поэтому не принад-
лежат гильбертову пространству s5!?Uj+. Скалярное произведение
двух функции из 3@2 выражается следующим образом через

I g] примеры 147
функции B.5.34):
J J Ф2(Р1.
B-5-36)
Полученный результат можно сформулировать еще сле-
дующим образом. Гильбертово пространство §18% разлагается
К8 прямую сумму прямых интегралов гильбертовых про-
странств е5$?ц,2/, которые состоят из векторных функций
'О ) {/7(ц, Р)}, -2/<?<2/
- ?
= © J dn^^u- B.5.37)
Скалярное произведение в пространстве &в^ 2/ задается фор-
мулой
И. Р), G2,(ji, p))* =
!^!^^^ ,2.5.38)
Скалярное произведение ъЗ&2 выражается через скалярные
произведения в 3&и, и формулой
7
|фУца4/иа(^(Ц Р) G(H Р))
| Р), G2J(H, Р)Jг,
2-0 2т
B.5.39)
глр функции F2/,j и G2i,E связаны с функциями Ф2 и W2 фор-
мулами B.5.33) —B.5.35).
10*

148 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ (ГЛ. 2
Разложение пространства Ш'ъ двух тождественных скаляр-
ных частиц на неприводимые инвариантные подпространства
является частным случаем разложения прямого произведения
двух неприводимых представлений на сумму неприводимых
представлений группы %.. Представление группы Пуанкаре
в подпространствее5?У 21 уже неприводимо. Оно было детально
изучено в п. 3.2. Мы не будем приводить здесь формулы раз-
ложения прямого произведения двух произвольных неприводи-
мых представлений [ти /J и [m2, yj на неприводимые предста-
вления, поскольку они выводятся совершенно аналогично рас-
смотренному частному случаю. Мы отсылаем интересующихся
читателей к статьям Ю. М. Широкова A958), Уайтмана и Ба-
рута A959) и Уайтмана A9606).
Аналогичным образом разлагается на неприводимые инва-
риантные пространства и пространство36п при п ^- 3. При этом
инвариант Ра принимает значения р2> (пт)а. Основное отли-
чие этого случая от рассмотренного состоит в том, что каждое
из неприводимых пространств &Рщ входит в разложении про-
странствами в прямой интеграл (и сумму) с бесконечной крат-
ностью: функции, аналогичные функциям f/i B.5.35), зависят
еще от одного или нескольких векторных аргументов. Выбор
этих функций содержит при п > 3 произвол, связанный с зави-
симостью результата сложения моментов от порядка слагае-
мых. По поводу этих вопросов, рассмотрение которых нам не
понадобится, мы снова отсылаем к имеющейся литературе
(Уайтман A9606), М. И. Широков A961), Вик A962)).
5.3. Пространство заряженных спинорных частиц. По анало-
гии с теорией скалярных частиц, изложенной в п. 5.1, гильбер-
тово пространство §6 частиц со спином '/г без связанных со-
стояний будет строиться в виде прямой суммы гильбертовых
пространств:
&е = ее A/2) = $ей © &вх 0/2) ©... © $юя A/2) ©..., B.5.40)
где е^о — одномерное подпространство вакуума, а е%?„ —под-
пространство м-частичных состояний. В случае скалярного
поля 4№п при м>1 определялось как симметризованная л-я
степень от &ех. Здесь мы определим 3@п как антисим метризо-
ванную п-ю степень пространства $?^A/2). Пространство же
одночастичных состояний i%\ мы отождествим с пространст-
вом &Smiii, рассмотренном в п. 4.3, в котором скалярный квад-
рат вектора задается формулой B.4.56). Остановимся коротко
на физической интерпретации пространства Штщ.
Мы видели (п. 4.6), что пространство <г№т\п распадается
на два ортогональных между собой подпространства $втщ.

I I] примеры 149
инвариантных относительно общей группы Пуанкаре:
, если
если рУ(р)=-тЧ?{р).
Мы будем считать, по определению, что векторы, принадлежа-
щие пространству &в*т щ, описывают состояния частиц с по-
ложительным зарядом, в то время как векторы из i№~m 1/2 от-
носятся к частице с отрицательным зарядом. (Для настоящего
рассмотрения совершенно безразлично, какой природы этот за-
ряд. Речь может идти об электрическом заряде, если рассма-
триваются одноэлектронные и однопозитронные состояния, или
О барионном числе— в случае нейтрона и антинейтрона.) В силу
Правила суперотбора по заряду (п. 1.3) физически реализуе-
мых состояний с ненулевыми проекциями одновременно и в
Л?т1/2 и в @€~т i/2 не существует. Как отмечалось в конце п. 4.3,
аитиунитарный оператор B.4.25) отображает взаимно одно-
|иачно пространство ePffmtp на @?~mw и обратно, что оправды-
вает название «зарядовое сопряжение» для этого оператора.
Пространство Ф6тщ может быть оснащено по общей схеме,
Изложенной в п. 3.2. Роль ядерного пространства, всюду плотно
расположенного в 96тщ, играет пространство ^(Vm) четы-
рехкомпонентных основных функций, определенных на гипер-
болоиде Vm. Все пространство &€A1%) можно затем оснастить
По схеме, описанной в п. 5.1. Ядерное пространство обрываю-
щихся последовательностей, которое всюду плотно в !№A1з),
будем обозначать через й('/г)-
Пространство в№п, как уже говорилось, определяется как
антисимметризованная степень пространства 96 \.
B.5.42)
Другими словами, элементами 9€п являются функции п пар
аргументов (р,, ау), pjsVL «; = 1, 2, 3, 4, антисимметричные
относительно перестановки любых двух пар:
р,а, р„а„) =
- • •, РА- Рпап)- B.5.43)
В <У/'„ можно выбрать базис, составленный из антисимметри-
произведений функций из et6\ типа
п\
1 B.5.44)

150 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. Я
В силу правила суперотбора по заряду пространство &вп рас-
падается на сумму п + 1 ортогональных когерентных подпро-
странств:
®еп = т(;п) в M""*" в ... в*??"® в &6(п\ B.5.45)
где 3&® \~~^ целое число) — подпространство л-частичных
состояний с суммарным зарядом k.
Пользуясь в &вт\]% базисом W<el(p, g) (e=±), мы можем
записать элементы ?16п в виде
^ЛРи ?i> еь ...; р„. Ьп, О еу = ± е, B.5.46)
где е — заряд частицы (—е — заряд античастицы), a Wa меняет
знак при перестановке любых двух троек pif ?it e{ и р/, 5/, е}.
При этом разложению ^2?„ B.5.45) соответствует следующее
разложение функции Ч^:
B.5.47)
где 6Аг — символ Кронекера.
Чтобы записать скалярное произведение в $№{\/2) в тер-
минах функций B.5.46), мы введем в &6т щ спинорный базис
v^ip), связанный с базисом решений уравнения Дирака ыг<е)(р)
(п. 4.2) формулой
р?» (р) = и^-*(е) (ер) = 2^С« ^'et ("в) (р) B.5.48)
(относительно последнего равенства см. упражнение 2.4.116).
Спиноры и|.е)(р) являются собственными функциями операто-
ров р (с рО-Ут' + р2) и S3:
j9if (p)-emi^>(p), S,if(p) = t«?>(p). B.5.49)
В силу того, что операторы р и 5з эрмитовы относительно
индефинитного скалярного произведения (и, D) = «afa, их соб-
ственные функции v^(p) ортогональны между собой при раз-
личных значениях е и ?. Если к тому же считать, что ыг№(р)
нормированы условием B.4.50), то можно написать
B.Б.Б0)
Определим теперь связь между Ч'(р) и ЧЧр, ?, е) формулой
Sf)t. в). B.5.Б1)

ДОПОЛНЕНИЕ 151
ИЯЮЩейся обобщением B.4.65). В силу B.5.50) обратная фор-
имеет вид
Ч> (р, t, е) = е$1е) (р) V (р) ^ в S 0g (p) *а (р). B.5.52)
а=1
Из B.5.51) и B.4.56) можно определить скалярное произ-
ение в е%'A/2) в терминах функций B.5.46):
-, у Г Г^- — : г
iti fit
ХФ,(р„ ly,ey;...;pn, ?„, е„)-^ •••-%• B.5.53)
п=1
Г
СВОДКА ОПРЕДЕЛЕНИИ И РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
АЛ. Алгебраические и топологические свойства групп. Оп-
'фвделение групп Ли. Исторически в первую очередь возникла
'JtopHH конечных групп (т. е. групп с конечным числом элемен-
йрв — типа группы перестановок—Галуа, Фробениус, Шур).
era теория является чисто алгебраической, в ней не участвуют
-ЯОНЯтия сходимости и непрерывности. Поэтому и общее опре-
*:Д*Ление абстрактной группы отражает лишь алгебраические
вюйства групп: множество G элементов g называется группой,
KAU в нем определена ассоциативная операция, сопоставляю-
щая каждой упорядоченной паре glt g% элементов G некоторый
Шлемент ga=f{gu Ы> и если относительно этой операции су-
ществует единица и обратный элемент.
Групповая операция, вообще говоря, некоммутативна. Обыч-
но она обозначается как произведение: f(gu gs)=gig2- Для
коммутативных (или абелевых) групп, для которых функция /
еимметрична, групповой закон иногда обозначается как сло-
жение: f(gu g2)=gi+g2, а единица группы называется нулем.
Подмножество Go группы G называется подгруппой, если Go
является группой относительно той же самой операции / (или,
кяк говорят математики, относительно сужения / на O0xG0).
Нсмкяя группа имеет две тривиальные (илн несобственные)
подгруппы: сама группа G и подгруппа, состоящая из одного
единичного элемента. Подгруппа N группы G называется ин-
яариантной подгруппой или нормальным делителем, если из
пен N и g?G следует, что gng~l e N (или, короче, если

152 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
gNg~l cz N). Группа называется простой, если она не содержит
нетривиальной ипварнаитной подгруппы. Группа называется
полу про стой, если она не содержит собственной инвариантной
абелевой подгруппы.
Приведем несколько примеров.
1) Ортогональная и евклидова группы. Пусть О (п)—груп-
па ортогональных преобразований в и-мерном пространстве.
Квадратная вещественная матрица п-то порядка V принадле-
жит О(п), если
VVT \, т. е. VibVu^bi, B.A.1)
(под k подразумевается суммирование от 1 до п.; i, j= 1„ ... ,п,
1 — и-мерная единичная матрица). Каждая матрица из О(п)
имеет детерминант, равный ±1, так как, если взять определи-
тель с обеих сторон B.А.1), получим
(detV)a=i. B.А.2)
Ортогональные матрицы V с определителем 4-1 образуют ин-
вариантную подгруппу группы О(п), которая обозначается че-
рез SO(n). Группа евклидовых движений я-мерного простран-
ства Еп = О(п)Тп определяется как множество пар (а, V), где
а — и-мерный вектор, УеО(я), а групповой закон опреде-
ляется равенством
(аи У,)(а2, У2) = (а, + У,а2, VyV2).
Группа вращений трехмерного пространства SOC) простая.
Группа вращений четырехмерного пространства SOD) ~
~SOC)XSOC) полупростая (но не простая). Любая соб-
ственная (т. е. не включающая отражений) ортогональная груп-
па SO(n) при п >• 5 простая. Группа евклидовых движений не
полупростая, так как подгруппа трансляций Тп является инва-
риантной абелевой подгруппой.
Множество С элементов группы G, коммутирующих со все-
ми элементами G, называется центром группы G. Нетрудно ви-
деть, что центр любой группы является ее инвариантной абеле-
вой подгруппой. Более того, центр стабилен относительно всех
автоморфизмов группы G (т. е. относительно всех взаимно од-
нозначных отображений группы G на себя, сохраняющих груп-
повой закон). Подгруппа, обладающая таким свойством, назы-
вается характеристической.
2) Группа унитарных унимодулярных матриц. Группа SU(n)
определяется как группа комплексных унитарных матриц п-го
порядка с определителем +1.

ДОПОЛНЕНИЕ 1БЗ
Упражнение 2.А.1. Показать, что центр группы SU(n) есть циклическая
группа Zn с элементами г* (ft=0, ..., «—1), где
Пусть N — нормальный делитель группы G. Определим
фактор-группу H<=GjN как множество классов эквивалентности
группы G. Два элемента gy и g2 принадлежат одному и тому
же классу h, если g\=g2n, где п е N. Легко видеть, что gy эк-
вивалентно gi (т.е. g[ Eft и g2e й; мы будем в таком случае
писать gy -~ цг2) тогда и только тогда, когда gy = rc'g2, /г' е W.
Действительно, если g^ = gji, то gy=(g2ng^l)g2=n'g2, так как
JV—инвариантная подгруппа.
Упражнение 2.А.2. Показать, что множество классов W образует группу,
если определить в нем произведение АЛ как класс, содержащий одно из
произведений gigi, где gi^hi, g2^ h2. Убедиться, что класс hfa не зависит
от выбора представителей gt и g2 классов hi и Ai.
Упражнение 2-А.З. Поиазать, что
SO C) = SV B)/Z2. B.A.3)
Мы имеем дело в основном с группой Пуанкаре, которая
является примером бесконечной группы, содержащей континуум
различных элементов. Для таких групп естественно рассматри-
вать алгебраическую групповую структуру в связи с геометри-
ческими (точнее, топологическими) свойствами множества G —
как локальными (близость двух элементов G), так и глобаль-
ными (связность группы).
Чтобы ввести понятие топологической группы, необходимо
напомнить сначала определение топологического пространства,
являющегося абстрактным множеством со сходимостью.
Множество (М называется топологическим пространством,
если в нем задана система подмножеств S, называемых откры-
тыми множествами, или окрестностями, такая, что: 1) пересече-
ние любых двух окрестностей является окрестностью; 2) сум-
ма произвольного множества окрестностей есть окрестность;
3) все пространство является окрестностью (o^fel). Имея
в виду дальнейшие применения этого понятия, мы добавим к
трем обязательным свойствам топологического пространства
еще аксиому отделимости: 4) любые две точки %<М имеют не-
пересекающиеся окрестности. (Топологические пространства с
выполненной аксиомой 4) называются хаусдорфовьши.)
Пользуясь понятием окрестности любой точки множе-
ства (М, мы можем определить обычным образом сходимость
элементов множества о/И и непрерывность функций, заданных
иа о41.

... °ЬЩИЁ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
Рр УПпа G является топологической группой, если множество
G яв/т ется топологиЧеским пространством и если функция двух
apryv*>eHT0B
неп_е.1)ывна на GxG (отсюда следуют как частные случаи не-
п рь/ВНОсть произведения в G и непрерывность операции
В г-* JET
J^ Я°логическая группа G называется компактной (в старой
лите ^тУРе — бикомпактной), если из любого покрытия множе-
ства @ окрестностями из S можно выделить' покрытие конеч-
ным *>1HCJ|OM окрестностей. В противном случае группа назы-
ваете*1^ некомпактной.
цаСто в литературе используется термин локально компакт-
ная г РУпГ1а- Группа G называется локально компактной, если
сАвУет окрестность любого ее элемента, замыкание кото-
пой K^MIIaKTHO. Все группы Ли, с которыми мы будем иметь
дело /°Кальн0 компактны.
g' зависимости от глобальных топологических свойств мно-
G группа G может быть связной (в частности, одно-
если любой замкнутый контур в G может быть непре-
Ф ) ( [25])
пывнеэ деФ°РмиРован в точку) и несвязной (см., например, [25]).
^ g качестве примера рассмотрим несвязную группу 0C).
Она с')СТОит из ДВУХ связных множеств — подгруппы S0C) и
множ^Ства °Ртогоиальных матриц с определителем —1. Группа
QQ,g\ Двусвязна, ее универсальная накрывающая группаSUB)
однос^ЯЗИа- Группа SUB) как топологическое пространство
изомо t^Ha единичной сфере S3 в четырехмерном пространстве.
гИТельн0» любая матрица VeSt7B) может быть запи-
С8Н8 В т. л , • i
V = и°о0 + w'Oj,
где i\J*' V') — точка иа вещественной единичной сфере:
з
К
*
SoC) как топологическое пространство может быть
Одред^еиа как та же сфера S3 с отождествленными диамет-
Da ьнс? пР°тивоположными точками.
Мь J ^УЯем иметь дело со специальным классом топологиче-
ских гР^Пй» для КОтОРых множество G является многообра-
зием ^ТО означает» что топологическое пространство G локаль-
„п ' ^морфно и-мерному евклидовому пространству. Иными
слобаь-1 Существует достаточно малая окрестность любого эле-

ДОПОЛНЕНИЕ 165
: мента gsG, которая может быть отображена взаимно одно-
значно и непрерывно во внутренние точки и-мерного евклидова
шара. Координаты точки внутри этого шара будем называть
локальными координатами группы. Топологическая группа, ко-
торая в то же время является многообразием, называется груп-
пой Ли (размерность евклидова пространства, входящая в оп-
ределение многообразия, должна быть конечной, так что беско-
нечно параметрические группы не являются группами Ли).
Итак, каждый элемент группы Ли в фиксированной окрест-
ности некоторого элемента go может быть отождествлен с упо-
рядоченным множеством п вещественных параметров ф=
= (ф1, ..., ф"). Групповое умножение ф6=т может быть запи-
сано в виде
т = Ф(ср1 ф";^ Вп). B.А.4)
Из существования обратного элемента следует, что при фикси-
рованном ф отображение 6—>т, задаваемое B.А.4), должно
быть обратимым. Из ассоциативности умножения следует, что
Ф (Ф (ф; G), т) = Ф (ф; Ф F, т)). B.А.Б)
Поскольку, по определению, G — топологическая группа, функ-
ции Ф должны быть непрерывными. Согласно теореме фон Ней-
мана, Понтрягина и Монтгомери, решающей пятую проблему
Гильберта, из существования непрерывных локальных коорди-
нат следует существование дифференцируемых и даже аналити-
ческих координат (т. е. параметров, относительно которых функ-
ции B.А.4) дифференцируемы или аналитичны; см. [25], гл. VII
и цитированную там литературу). Именно это свойство оправ-
дывает принятое выше определение группы Ли (в работах Ли
дифференцируемость функций Ф предполагается с самого на-
чала). Отметим, что любые две системы дифференцируемых
(аналитических) локальных координат связаны между собой
дифференцируемым (аналитичным) преобразованием.
А.2. Линейные представления групп. Множество Ах всех
взаимно однозначных и взаимно непрерывных отображений то-
пологического пространства X на себя образует группу, если
под произведением двух отображений понимать их последова-
тельное применение. Если каждому элементу группы G поста-
влен в соответствие оператор Tg^Ax с сохранением группо-
вого закона
Tgig,~TglTg,, Г.-l, B.А.6)
то говорят, что задано представление группы G. Представление
называется линейным, если X — линейное пространство и если
операторы ТЙ линейны.

156 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕ&РИИ [ГЛ. 9
Если X—я-мерное пространство, то будем говорить, что
Tg — и-мерное представление группы G. В любом фиксирован-
ном базисе в пространстве X линейное конечномерное предста-
вление задается системой неособых матриц Tg, образующих
группу относительно обычного матричного умножения. Если
X— гильбертово пространство с элементами Ф, W и если опе-
раторы Tg линейны и сохраняют скалярное произведение
(lyF.r/D)-^, ф). B.А.7)
то представление Tg называется унитарным.
Непрерывные группы исторически возникли именно как
группы преобразования в некотором пространстве. Выделение
понятия абстрактной группы и рассмотрение ее представления
позволяют объединить воедино различные гомоморфные (или
изоморфные) реализации одной и той же алгебраической струк-
туры.
Рассмотрим, например, группу двухрядных унитарных мат-
риц SU{2) с определителем 1. Она действует как группа пре-
образований, сохраняющих положительную эрмитову форму в
двухмерном комплексном пространстве. Собственная ортого-
нальная группа SOC) определяется как группа однородных
преобразований трехмерного вещественного пространства, со-
храняющих евклидову длину. Несмотря на, казалось бы, суще-
ственное различие этих определений, вторая из этих групп
трансформаций может рассматриваться как (однозначное) пред-
ставление абстрактной группы SUB) (см. п. 2.2).
Если G — топологическая группа, то представление ^пред-
полагается непрерывным. Непрерывность представления опре-
деляется в терминах слабой сходимости. Пусть X — линейное
топологическое пространство, в котором действуют операторы
представления Tg, и пусть X*— сопряженное пространство ли-
нейных непрерывных функционалов в X. Представление ТЙ
называется слабо непрерывным, если числовая функция (F,
TgW) непрерывна при любом выборе вектора Wei!1 и функ-
ционала F ^ X*. В частности, унитарное представление Ug
непрерывно, если при любом выборе векторов W и Ф в гиль-
бертовом пространстве^?, где действуют операторы Ug, скаляр-
ное произведение (Ф, Tg4F) непрерывно относительно g.
Два представления Т и V, действующих в пространствах X
и X', называются эквивалентными, если существует обратимый
оператор V из X в X' такой, что при любом geG
VTe=fgV или T'g = VTgV~\ B.A.8)

ДОПОЛНЕНИЕ 157
Заметим, что первое из этих равенств связывает операторы,
переводящие векторы из X в X', в то время как второе связы-
вает преобразованием подобия автоморфизмы пространства X'.
При классификации неэквивалентных представлений данной
группы G основную роль играет понятие неприводимого пред-
ставления. Перейдем к соответствующим определениям.
Мы будем рассматривать здесь лишь замкнутые подпро-
странства линейного топологического пространства X. Если
пространство X конечномерно, то любое линейное подпростран-
ство замкнуто. Если X бесконечномерно, то, как мы видели
в гл. 1, существуют всюду плотные в X линейные многообра-
зия, которые не совпадают с X и, следовательно, не замкнуты.
Подпространство Хо пространства X называется инвариаю-
ным относительно представления Tg, действующего в X, если
TgX0 с Хо при всех g^G. Подпространство, состоящее лишь
из нулевого элемента пространства X, и подпространство, со-
впадающее со всем пространством X, очевидно, всегда инва-
риантны. Их называют тривиальными инвариантными подпрост-
ранствами. Подпространство Х\ называется инвариантным
дополнением нетривиального инвариантного подпространства Хо,
если оно инвариантно и если X может быть представлено
в виде прямой суммы:
X = X0QXt.
Напомним, что линейное пространство X называется прямой
суммой подпространств Хо и Xt, если любой элемент jtei"
может быть представлен в виде упорядоченной пары ж=(х0, х{),
х0 е Хо, Х\ е Х{ так, что Кх + цу = {Кх0 + \iy0, hxt + iiyt).
Представление Tg, действующее в пространстве X, приво-
димо, если X содержит нетривиальное инвариантное подпро-
странство. В противном случае представление Ts называется
неприводимым. Представление называется вполне приводимым,
если оно приводимо и если всякое его нетривиальное инвари-
антное подпространство имеет инвариантное дополнение.
Приведем пример приводимого, но не вполне приводимого
представления.
Рассмотрим двухмерное представление
-{1 >)
B.A.9)
группы Ei евклидовых движений комплексной плоскости z *).
*¦) Ноли точки комплексной плоскости представлять двухрядными столб-
цами со вторым элементом 1, то

158 ОБШИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. S
Представление Тц действует в двухмерном комплексном про-
странстве С2 столбцов Bl). Оно приводимо, так как множество
векторов вида (jf) образует инвариантное подпространство Л'у.
Однако представление Тц не вполне приводимо, так как в Ся
нет второго инвариантного подпространства, которое явилось бы
ортогональным дополнением ЯГу (так, пространство векторов
1 ] неинвариантно относительно группы матриц вида B.А.9)).
Если конечномерное представление Tg вполне приводимо,
то оно может быть приведено не зависящим от g преобразо-
ванием подобия1 в форме блочной матрицы
Т
* 8
JM1.)
\ О I?L /'
Всякое приводимое конечномерное представление может быть
приведено к треугольной блочной форме:
J Ag\Cg\
r l оТв'е Г
B.A.10)
Если матрицы Cg не равны нулю, то представление Те не впол-
не приводимо.
Ясно, что изучение вполне приводимых представлений сво-
дится к изучению их неприводимых частей. Поэтому важно
иметь критерий полной приводимости.
Упражнение 2.А.4. Показать, что если унитарное представление Vt, дей-
ствующее в конечномерном пространстве 3$, приводимо, то оно вполне приво-
димо*). (Указание: проверить утверждение, что если в* — нетривиальное ин-
вариантное подпространство, то его ортогональное дополнение в*1 в <Э# —
тоже инвариантное подпространство и, следовательно, является инвариант-
ным дополнением пространства»*-)
Критерий неприводимости представления дает следующая
лемма.
Лемма Шура. I (конечномерный случай). Пусть Те и
Sg — два конечномерных неприводимых представления груп-
пы G. Если существует матрица V такая, что
VTg=SgV,
*) Аналогичное утверждение справедливо и для унитарно-антиунитарных
Представлений.

ДОПОЛНЕНИЕ 159
то либо V=0, либо матрица V неособая и представления S и Т
эквивалентны:
Sg=VTgV~l.
Если при этом Sg=Tg, так что V коммутирует со всеми опера-
торами представления, то матрица V кратна единичной матри-
це: V=kl (см., например, [30], лекция 3).
II (случай бесконечномерного представления в гильберто-
вом пространстве^?). Пусть представление Tg в &6 является
самосопряженным в том смысле, что для любого geG суще-
ствует некоторое g' e G, такое, что Tg = Tg (в случае унитар-
ного представления g'=g~l). Такое представление Tg приводи-
мо тогда и только тогда, когда любой ограниченный линейный
оператор V, коммутирующий со всеми операторами предста-
вления, кратен единичному оператору.
Пусть Tg и Sg—два самосопряженных неприводимых пред-
ставления в е%?, и е%?2 соответственно. Тогда, если V — замк-
нутый линейный оператор *) из e^i в е%?2 такой, что VTg—SgV,
то либо У=0, либо существует обратный оператор У и пред-
ставления Sg и Tg эквивалентны: Sg= VTgV~l **).
Для представлений компактных групп справедливо следую-
щее утверждение: всякое непрерывное линейное представление
компактной группы G ограниченными обратимыми оператора-
ми в гильбертовом пространстве эквивалентно унитарному
представлению.
Отметим, что сформулированные выше условия существенны:
можно построить бесконечномерные представления даже про-
стейших компактных групп SU{n), которые не эквивалентны
унитарному (см. Фишер и Рончка A966)).
А.З. Алгебра Ли. Пусть G — группа Ли, параметризованная
в окрестности единичного элемента е параметрами qp =
= (qp1,..., qpn) таким образом, что
g@ 0)=е. B.А.11)
Мы будем выбирать локальные координаты не произвольно,
а так, чтобы множество элементов G вида g@, ..., 0, (pa,
0, ..., 0) образовывало окрестность коммутативной однопара-
метрической подгруппы, причем параметр qp° в такой подгруппе
будет предполагаться аддитивным:
g@ <Р°, .... 0)g@, .... Г 0) =
=?@ ср° + 1Л .-., 0). B.А.12)
*) Относительно определения замкнутого оператора см. гл. 1, п. 1.6.
•*) Доказательство этого утверждения см. в [31], § 21.2,

160 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
Система аналитических координат с таким свойством всегда
существует (см. [25], § 42). Такие координаты будем называть
каноническими.
Операторы Tg произвольного представления группы G могут
рассматриваться как функции параметров <р в данной окрест-
ности единичного элемента:
^=7'(Ф1 <А B.А.13)
Если представление Tg непрерывно и конечномерно, то мож-
но показать, что матричные функции B.А.13) дифференцируе-
мы. В случае бесконечномерных представлений это, вообще го-
воря, не так. Но тогда существует плотное в пространстве X
множество векторов D, для которых векторная функция
Г(<р\ ..., ф")х дифференцируема (при ieD) *). Во всех слу-
чаях мы определим инфинитезимальные операторы (или гене-
раторы) представления Tg как производные от операторов
B.А.13) в нуле:
Согласно сказанному, в случае бесконечномерного представле-
ния операторы B.А.14) определены лишь в плотной области D.
Всякая однопараметрическая подгруппа g@, ..., <р«, ..., 0)
представляется экспонеитой
(без суммирования по а). Более того, каждому элементу g
группы G в достаточно малой окрестности единичного элемен-
та можно поставить в соответствие однопараметрическое се-
мейство степеней gk (К вещественное), для которого операторы
представления имеют вид экспоненты
Для л-параметрической группы Ли любой инфинитезимальный
оператор 1Й является линейной комбинацией базисных генера-
торов la (a=l, ..., п). Линейной замене параметров <ра соот-
ветствует линейное преобразование операторов 1а. Генераторы
могут быть определены формулой B.А.14) и при более общих
неканонических параметризациях. Хотя при этом отдельные
генераторы /а могут измениться, пространство генераторов,т. е.
«-мерное вещественное пространство, «натянутое» иа базисные
векторы 1а, останется неизменным. Отсюда следует, что в про-
•) См. [16], где это показано для случая группы Лоренца.

ДОПОЛНЕНИЕ
странстве генераторов можно ввести наряду с линейными опе-
рациями (сложение и умножение на число) еще операцию ком-
мутирования. Чтобы прийти к ней, рассмотрим коммутатор
двух операторов представления:
eWpV'aW. B.А.15)
С точностью до членов второго порядка по ф включительно
Я(«.Й - 1 + (/а, /Р] ф2 + О (ф3), B.А.16)
где (/а, /р]— коммутатор:
[/,/]=//-//. B.А.17)
Если положить фа=»А., становится ясным, что инфинитезималь-
ный оператор ["-j^ K<a. p) j^ Равен коммутатору [/„, /р]. Сле-
довательно, согласно сказанному,
l/а, /р] = С2в/? B.А.18)
(как обычно, под \ подразумевается суммирование от 1 до л).
Постоянные Са$ преобразуются как тензор третьего ранга при
линейных преобразованиях параметров группы ф. При задан-
ной параметризации группы они не зависят от выбора пред-
ставления Тв. В случае вещественных групп Ли (с которыми
мы только и имеем дело) коэффициенты С вещественны.
Итак, генераторы 1а любого представления Тй данной груп-
пы Ли О порождают некоторую неассоциативную алгебру, на-
зываемую алгеброй Ли представления Tg. Если обозначать эле-
менты этой алгебры через /, /, К, то произведение Ли характе-
ризуется следующими двумя свойствами:
а) антисимметрия
[А К1 = -1К,/1, B.А.19)
б) тождество Якоби
I [/. П. К] +1 У, К], I] +1 [К, /], /] = 0. B.А.20)
Легко проверить, что если скобка [/, /] есть коммутатор
B.А.17), то условия B.А.19) и B.А.20) удовлетворяются то-
ждественно. Обратно, если задана абстрактная алгебра Ли, в
которой неассоциативное произведение [,] удовлетворяет усло-
виям а) и б), то можно определить универсальную обертываю-
щую алгебру, порождаемую всевозможными формальными ас-
социативными произведениями («словами») IJK..., связанными
с произведением Ли [,] по формуле B.А.17). Каждое линейное
представление исходной алгебры Ли является в то же время
представлением универсальной обертывающей алгебры. Однако,
И Н. Н. Боголюбов а др.

162 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. S
в то время как равенства типа B.А.18), в которые входят лишь
операции алгебры Ли (т. е. коммутатор, сложение и умножение
на вещественное число), не зависят от выбора представления,
равенства между ассоциативными произведениями могут вы-
полняться в одном представлении и не иметь места в другом.
Можно ввести абстрактную алгебру Ли G, соответствующую
группе Ли G и характеризующуюся тензором структурных по-
стоянных Са$, и рассматривать алгебру Ли любого предста-
вления Т й как представление этой абстрактной алгебры.
Множество элементов / алгебры Ли G называется идеалом,
если [G, I]cl (т. е. если коммутатор любого элемента / с лю-
бым элементом G принадлежит /). Очевидно, каждый -идеал
является подавно подалгеброй алгебры Ли. Подалгебра / ал-
гебры G называется коммутативной или абелевой, если для
любых двух ее элементов / и А' [/, К]=0. Алгебра G называет-
ся полупростой, если она не содержит ненулевых абелевых
идеалов. Алгебра G называется простой, если она не содержит
никаких нетривиальных идеалов.
Упражнение 2.А.5. Показать, что если группа С полупростая, то ее
алгебра Ли С тоже является полупростой.
Иногда группу Ли G называют полупростой, если ее алгебра
Ли G полупростая, даже если сама группа содержит дискрет-
ную инвариантную абелеву подгруппу. Например, группа
SU(n) считается простой, хотя у нее есть нетривиальный центр,
а именно циклическая группа Zn из п элементов.
Всякая л-параметрическая группа Ли обладает л-мерным
представлением, в котором матричные элементы генераторов
алгебры Ли имеют вид
{U% = Ch- B.A.21)
Упражнение 2.А.6. Проверить, что матрицы B.А.21) удовлетворяют пере-
становочным соотношениям B.А.18). (Указание: воспользоваться тождеством
Якоб и B.А.20), из которого вытекает равенство
р О, B.А.22)
в антисимметрией коэффициентов С.)
Представление B.А.21) называется присоединенным пред-
ставлением алгебры Ли G.
Присоединенное представление группы SUB) трехмерно.
Его генераторы при параметризации B.3.3) выражаются через
единичный антисимметричный тензор третьего ранга

ДОПОЛНЕНИЕ 163
Каждой алгебре Ли соответствует симметричный метриче-
ский тензор gaa, определяемый равенством
*¦*---}¦ сс* - - 4- Тг/л- t2-А-2з>
где м.прпны 1а взяты в присоединенном представлении, а ТтА
о.чн.чч.чот, кик обычно, след матрицы А.
вещественный симметричный тензор gap может быть при-
пслси к диагональному виду при помощи подходящей линейной
трансформации. Более того, можно добиться, чтобы его диаго-
нальные элементы принимали не более трех значений:
{N, О, -N). B.A.24)
Согласно теореме Картана алгебра Ли G полупростая тогда и
только тогда, когда метрический тензор B.А.23) неособенный,
т. е. когда det g ф 0. Ясно, что в этом случае нужно исключить
собственное значение 0 из B.А.24). Для полупростых алгебр
существует матрица gaP, обратная к метрическому тензору, т. е.
такая, что
/°?ор = бр- B-А.25)
При помощи тензора ga& можно поднимать индексы, в частно-
сти, у вектора иифинитезимальных операторов /:
Iе-8*1,1.
И.-пканно «метрический тензор» применительно к тензору g
и нпнлрнаитиостыо квадратичной формы
С\ (О) = gap/a/S =¦/„/", B.А.26)
принадлежащей универсальной обертывающей алгебре. В тер-
минах алгебры Ли инвариантность C2(G) выражается равен-
ством
[С2(О), /] = 0 при любом /sO. B.A.27)
Полиномиальные инварианты алгебры Ли называются ее
операторами Казимира.
Структурные постоянные и метрический тензор позволяют
дать алгебраический критерий компактности группы (наряду
с приведенным выше алгебраическим критерием полупростоты).
Полупростая группа Ли компактна тогда и только тогда, когда
со метрический тензор положительно определен. Для компакт-
ности произвольной группы Ли необходимо, чтобы существо-
вали такие координаты в группе, для которых тензор струк-
турных постоянных был полностью антисимметричен (согласно
11*

164 ОВЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
B.А.19) тензор всегда антисимметричен относительно двух
нижних индексов; поэтому условие компактности можно сфор-
мулировать как условие антисимметрии второго и третьего
(верхнего) индексов).
Если представление Tg унитарно, то операторы 1а антнэрми-
товы, так что их собственные значения чисто мнимы. Так как
в квантовой, теории физическим величинам соответствуют эрми-
товы операторы, то в физической литературе принято вводить
эрмитов базис в алгебре Ли:
La = ila. B.A.28)
Подставляя B.А.28) в B.А.18), находим
[La, Ip] = iCopIv B.A.29)
Упражнение 2.А.7. Исходя из представления B.3.3а) генераторов группы
вращений, определить ее структурные постоянные. Показать, что метрический
тензор в этом случае есть -единичный теизор oag. Найти структурные по-
стоянные в метрический теизор для группы Лореица, исходя из параметриза-
ции B.3.2), B.3.3).
Упражнение 2.А.8. Пусть SL(n,C)—группа всех комплексных матриц
л-го порядка с определителем 1. Показать, что алгебра Ли этой матричной
группы состоит из всех матриц я-го порядка со следом, равным нулю. (Ука-
зание: пользуясь возможностью привести любую матрицу Н в треугольную
жордаиову форму (см., например, [32], ч. 2, Добавление), вывести предвари-
тельно равенство
Uetelt=.eTtH. B.А.ЗО)
А.4. Основные теоремы Ли. Значение алгебры Ли и ее пред-
ставлений связано с тем, что по алгебре Ли можно восстано-
вить группу, а представления группы Ли однозначно опреде-
ляются соответствующими представлениями алгебр. Эти утвер-
ждения составляют содержание трех теорем Ли, формулировку
которых мы приведем в этом пункте. Собственно говоря, Ли
изучал группы непрерывных (вообще говоря, нелинейных) пре-
образований координат в некотором конечномерном простран-
стве. Из его исследования вытекают непосредственно резуль-
таты, относящиеся к конечномерным представлениям групп.
В случае бесконечномерных представлений связь между пред-
ставлениями алгебры и представлениями группы сложнее:
существуют представления алгебры, которые не интегрируются
до представлений полной группы (примером могут служить
представления алгебры Ли группы трехмерных вращений, со-
ответствующих комплексным значениям полного момента /).
Мы не будем здесь вдаваться в эти тонкости и сформулируем
результаты для случая конечномерных представлений, начиная
с изучения связи между группой Ли и соответствующей ей ал-
гебры.

ДОПОЛНЕНИЕ 165
В предыдущем пункте мы определили алгебру Ли G данной
группы G, исходя из произвольного линейного представления
этой группы и абстрагируя те свойства инфинитезимальных
оператороп, которые не зависят от выбора представления.
Здесь, по ходу дела, мы введем алгебру Ли, исходя непосред-
ственно и 1 группы О.
I lyrrii i» окрестности единичного элемента группы Ли О вве-
дена каноническая параметризация (см. B.А.11) и B.А.12)).
Функции Фа B.А.4), определяющие закон композиции в рас-
сматриваемой окрестности, помимо закона ассоциативности
умножения B.А.5) удовлетворяют условиям:
Ф(Ф; 0) = Ф@; Ф) = ф, B.А.31)
ф(о ф", .... 0; о еа о)=(о фа + е",..., о).
B.А.31а)
Из существования обратного элемента следует, что по крайней
мере в достаточно малой окрестности начала координат
B.A.32)
Первая теорема Ли обеспечивает возможность восстановить
функции Фа по функциям
Согласно первому равенству B.А.31) функции B.А.ЗЗ) удовле-
творяют «начальному условию»
4 @) =- бр. B.А.34)
Теорема 2.А.1 (первая теорема Ли). I. Функции Фа(<р;6)
удовлетворяют системе частных дифференциальных уравнений
первого порядка по 8 при фиксированном ф:
) ^ F) - «»(ф (Ф; 6)) B.А.35)
(как обычно, по повторному индексу р подразумевается сумми-
рование от 1 до п). II. Если при данных непрерывно дифферен-
цируемых функциях х?, удовлетворяющих B.А.34), система
B.Л.35) имеет решение, то оно определяется однозначно этой
системой и начальными условиями Фа(ф;0)==фа (см. B.A.31)).
Доказательство. I. Уравнения B.А.З) являются след-
CTiuii'M ассоциативного закона B.А.5). Действительно, если про-
дифференцировать B.А.5) по f и положить затем т^О, мы

166 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 1
получим, пользуясь B.А.ЗЗ), уравнения B.А.35). Из этого урав-
нения и начального условия B.А.34) в свою очередь вытекает
связь B.А.ЗЗ).
II. Система B.А.35) с начальным условием B.А.31) имеет
не более одного решения, по крайней мере в окрестности точки
6=0. Это следует из того, что при достаточно малых 6
det(t)«(e))>0, B.A.36)
так как функции и" непрерывны, а в силу B.А.34) det (и| @)) = 1.
Поэтому матрица {vg (8)) обратима. Обозначим обратную мат-
рицу через (и?F)):
HS(e)fgF) = 6g. B.A.37)
С ее помощью уравнение B.А.35) может быть переписано в виде
?Ф"Э$ 6) - v' (Ф (ф; в)) «g (в). B.А.38)
То, что уравнение B.А.38) вместе с начальным условием
B.А.31) имеет не более одного решения Ф, следует из теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. Чтобы убедиться
в этом, достаточно рассмотреть последовательно следующую
Цепочку дифференциальных уравнений (и начальных условий):
>; в1, о о)=^(ф(Ф; в1, о..... o)K(e' о),
Фа(Ф;0)=Фа;
4jJ.(q>; в1, в2, .... 0)= ^(Ф(ф; в1, 82 О))«5(8', в2, ..., 0),
ф"(ф; е1, е2, о,.... о)|в,,о = Фп(<р; в1, о о);
Начальное условие во втором уравнении определяется через
(единственное!) решение первого уравнения и т. д. Теорема
2.А. 1 доказана.
До сих пор мы предполагали, что система B.А.35) или
B.А.38) имеет решение, и доказывали его единственность при
определенных начальных условиях. Условие существования ре-
шения этой системы («условие интегрируемости») получается,
как обычно, из равенства вторых смешанных производных.
Теорема 2.А.2 (вторая теорема Ли). Для того чтобы си-
стема B.А.35) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы
функции йF) удовлетворяли наряду с начальным условием,

ДОПОЛНЕНИЕ 167
B.А.34), системе дифференциальных уравнений
ei)c C|iv — численные постоянные, антисимметричные относи-
/<• ii,mt нижних индексов.
Доки лател ьство. Воспользуемся обозначением т=»
ф); 0) B.А.4). Из равенства
3
aevaep
при помощи B.А.38) получим
Отсюда, замечая, что
ИПХОДИМ
•^?- о?(т) [н* @) «g (в) - ««(в)
Мгнян номис индексы п лсйой части равенства и пользуясь
тождостпом B.Л.37), можно перевести все функции от т в ле-
вую часть равенства, а все функции от 6 — в правую:
¦?г«*м-
lag F) ди%{В)
эер эе°
]^(е)«?(в). B.А.41)
Так как левая часть B.A.4I) не зависит от 6, а правая — не за-
нпсит от т, то обе онл должны равняться одной и той же кон-
пинте С^р, которая может быть определена из B.А.41), на-
пример, при т=0. Учитывая B.А.34), получаем

J68 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2 '
Приравнивая B.А.41) этим константам, мы получаем уравне-
ние B.А.39). Теорема 2.А.2 доказана.
Заметим, что в силу B.А.39) дифференциальные операторы
Ха=1>а(ф)-Л- B. А. 43)
удовлетворяют перестановочным соотношениям:
[Ха, Х$] = СЛрЛу. B.А.44)
Операторы Ха называются инфинитезимальными операторами
группы G, а постоянные Сар — ее структурными постоянными.
Последняя (третья) теорема Ли дает условия на структур-
ные постоянные, при которых система уравнений B.А.39) раз-
решима. Вместе с первыми двумя теоремами третья теорема
позволяет восстановить группу по ее структурным постоянным.
Теорема 2.А.З (третья теорема Ли). Для локальной раз-
решимости системы частных дифференциальных уравнений
B.А.39) необходимо и достаточно, чтобы структурные постоян-
ные удовлетворяли условию антисимметрии
Сар=-С#„ B.А.45)
и тождеству Якоби B.А.22). При этих условиях по структурным
постоянным можно построить группу.
Доказательство. Необходимость условий теоремы сле-
дует из B.А.44) и из тождества Якоби для коммутатора (см.
упражнение B.А.6)). Достаточность этих условий следует из из-
вестных результатов теории дифференциальных уравнений в
частных производных. Отсюда и из первых двух теорем Ли сле-
дует, что по структурным постоянным можно восстановить ло-
кальную группу Ли (т. е. окрестность единичного элемента груп-
пы). Построение группы Ли в целом менее элементарно (см,
125], §59).
Определяемый равенством B.А.42) тензор структурных по-
стоянных Сар совпадает с тензором, входящим в перестановоч-
ные соотношения B.А.18) генераторов произвольного предста-
вления группы G. Это позволяет доказать аналоги основных
теорем Ли для линейных представлений. Мы ограничимся здесь
их формулировкой.
1. Если два представления группы G действуют в одном и
том же пространстве и имеют один и тот же набор инфиннтезн-
мальных операторов, то они совпадают.
2. Инфинитезимальные операторы 1а любого представления
удовлетворяют перестановочным соотношениям B.А.18), где
Се$ ¦— числовой тензор, не зависящий от выбора представления.

ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ 169
3. Для того чтобы числовой тензор Сар был тензором струк-
турных постоянных некоторой группы, необходимо и достаточ-
но, чтобы он был антисимметричным и удовлетворял тождеству
Якоби B.А.22). Если конечномерные матрицы Аа (а=1,...,л)
удовлетворяют перестановочным соотношениям B.А.18), где
Сар—структурные постоянные группы G, то эти матрицы
являются инфинитезимальными операторами некоторого пред-
ставления группы G.
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
§ 1. Первое математически безупречное изложение принципов квантовой
механики в терминах гильбертова пространства дано в классической моногра-
фии фон Неймана [33]. Различным применениям теории оснащенных гильбер-
товых пространств в квантовой теории посвящены работы Бема (см. обзор-
ную лекцию Андерсена и др. A966) и ссылки иа более ранние работы, при-
веденные в ней), Гроссмана A965) — A967) и Кристенсена и др. A965).
Изложение в первом пункте следует лекциям Тодорова A964). Правила
суперотбора впервые рассматривались Виком и др. A952) (см. также Хаге-
дорн A959)). Мы воспроизводим в п. 1.3 результаты Харатяна A968) в фор-
ме, которую им придали Харатян и Оксак A968).
§ 2. Материал первых двух пунктов довольно элементарен и популярен
(см., например, [2] и [3], Уайтман A9606) и Иоос A962)). Формулировка
принципа релятивистской инвариантности (п. 3) восходит к Вигнеру A939)
(см. также [26]). Полное доказательство теоремы 2.2.1 дано Баргманом A964).
§ 3. Результаты этого параграфа получены Вигнером A939) (см. также
Вигнер A962)). Абстрактная формулировка метода индуцированных пред-
ставлений, которым фактически пользовался Вигнер, дана Маки A952). Сфор-
мулированные в тексте результаты теории представлений группы вращений
выводятся, например, в монографиях [26] и [34] (см. также превосходное изло-
жение Баргмана A962)). Обстоятельный обзор по унитарным представлениям
группы Пуанкаре дан в цитированной выше статье йооса A962); см. также
Ю. Широков A957—1959), A960а,б), лекции Уайтмана A9606), Уайтман и
Барут A959), обзор Ньютона в [27], Гийо и Пети A966), Муса и Стора A964)*
Относительно физических применений представлений класса III (с р2<0) см.,
шшример, йоос A964). Описание отражения времени аитиунитарным опера-
тором впервые дано Вигнером (см. [26]). Относительно нормальной формы
интнуиитарных операторов и их феноменологических свойств см. Вигиер
(IOOOii, б). Свойства спектрального разложения операторов представления
трансляций изучались Ульманом A961).
§ 4. Стандартное изложение теории Дирака имеется в любой книге по
релятивистской квантовой теории (см., например, [4] и [6]). Классическое
изложение теории спиноров в n-мерном пространстве содержится в книге Кар-
тяня [35] (см. также монографию Рашевского [36]). Изложение теории спи-
норов и алгебры у-матРии в стиле современной математики дано в дополне-
нии П к книге Кастлера [37]. Дискретные преобразования дираковых спиноров
|1Л('|'М[1т||[[паются во многих монографиях (см., например, [28] и [29]). Хорошее
1МЛОЖСШМ- "этих вопросов имеется также в серии работ Виноградской
(l!).ri7) (I!)!i9), где, однако, используется определение у-матриц, при котором
[y'1. y' К — ft|lv- Уравнение Дирака и четырехкомпонеитные спинорные функции
niic('Mi[i'|iiiii!i[iiTCii, с точки зрения представления группы Пуанкаре, в обзоре
Иоося A91>2). Урппнонпя для высших спинов рассматриваются в работах Гор-

170 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 2
динга A944), Баргмана и Внгнера A948), Гельфанда и Яглома A948) (см.
также [34] и [16], Хариш-Чандра A947), Вайнберг A964а,б), Парк и Джеле
A964) н книги Висконти [38] и Умедзавы [39]).
§ 5. Гильбертово пространство векторов состояния, рассмотренное в п. 1,
введено Фоком в тридцатых годах — см. [40]. Относительно разложения пря-
мого произведения неприводимых представлений группы Пуанкаре см. Чжоу
Гуан Чжао и М. Широков A958), М. Широков A961), Джакоб н Вик A959),
Вик A962), Ломонт A960), Муса и Стора A964) (и дополнительные ссылки,
содержащиеся в этой статье), Боис и др. A967).
Дополнение. Фундаментальным и доступным руководством по теории не-
прерывных групп является книга Понтрягина [25]. Содержательно и свежо на-
писаны лекции Желобенко [30]; очень удачен меньший по объему обзор Гюр-
сея A963), Доказательство трех теорем Ли см. в [41], а также в упомянутом
обзоре Гюрсея. Из общих руководств, специально адресованных физикам,
можно рекомендовать [42], [43] и [27]. Превосходные монографии [26], [34],
и [16] посвящены представлениям группы вращений и группы Лоренца. При-
менению унитарных групп к описанию симметрии элементарных частиц посвя-
щена книга [44] (элементарное изложение этих применений см. в лекциях
Боголюбова A966)). Относительно леммы Шура в бесконечномерном случае
см. [31].

ГЛАВА 3
ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ
И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Локальное квантованное поле <ра(х) определяется как
обобщенная функция с операторными значениями. Дру-
гими словами, любой основной функции f(x) eS^(R4)
ставится в соответствие неограниченный оператор <рх (/)
в пространстве векторов состояния е%?. Предполагается,
что все операторы фт(/) (когда индекс х и «.пробная
функция* f меняются) имеют общую плотную в &6 об-
ласть определения й. Далее постулируется релятивист-
ская ковариантность поля. Локальность поля означает,
что
Ы) Ы1=0 при (х — уу<0,
где знак «—» (коммутатор) соответствует полю с це-
лым спином, а знак «+» (антикоммутатор)—полю с
полуцелым спином. Полнота теории отождествляется с
цикличностью вакуума: постулируется, что полиномы от
операторов <px(f), действующие на вакуум, порождают
всюду плотное множество векторов в е№. Необходимость
определения квантованного поля как операторной обоб-
щенной функции видна из того, что даже в простейшем
примере свободного поля «оператор поля в точке* у(х)
не определен ни для одного вектора, пространства &в.
С другой стороны, понятие операторной обобщенной
функции q(f) достаточно естественно как с точки зре-
ния описания процесса измерения, так и потому, что, на-
пример, в случае свободного поля оператор <p(f), дей-
ствуя на вакуум, порождает нормированное одночастич-
ное состояние (волновой пакет).
•В § 2 вводится основной аппарат уайтмановского
аксиоматического подхода — функции Уайтмана. Функ-
ции Уайтмана wn — это обобщенные функции, равные
вакуумным средним от произведений операторных по-
лей в разных точках. Все постулаты квантовой теории
поля формулируются в терминах обобщенных функций.

172 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
В § 3 показано, что, обратно, если имеется функционал
Уайтмана (или, что то же, набор всевозможных функ-
ций wn, удовлетворяющий некоторым требованиям), то
по нему можно восстановить всю теорию: оснащенное
гильбертово пространство векторов состояний, предста-
вление группы Пуанкаре в нем и операторное поле
ф(/)—таким образом, чтобы наперед заданные функ-
ции wn равнялись средним по вакууму от произведения
полей ф.
В § 4 рассматриваются примеры свободных и обоб-
щенных свободных полей. В п. 4.3 на примере свобод-
ных полей рассмотрено вторично квантованное предста-
вление дискретных операций пространственного и вре-
менного отражений Р и Т и зарядового сопряжения С.
В п. 4.5 выведено интегральное представление Челле-
на —: Немана, которое, в частности, позволяет охаракте-
ризовать обобщенные свободные поля.
В дополнении дана сводка сингулярных функций
квантовой теории поля.
§ 1. Определение и свойства
локального квантованного поля
1.1. Понятие релятивистского операторного поля. Схема,
изложенная в предыдущей главе, слишком обща. В ней не кон-
кретизируется закон изменения физических величин во времени,
только указывается его групповой характер. В перечисленных
до сих пор постулатах не нашло еще отражения наше предста-
вление о причинной зависимости между физическими явления-
ми. Чтобы сформулировать дальнейшие требования, которые
в значительной мере сузят класс возможных теорий, мы введем
в рассмотрение локальные (в пространственно-временном
смысле) наблюдаемые. Основную роль в дальнейшем будет
играть понятие релятивистского квантованного поля, имеющего
хорошо известный классический аналог.
Мы определим квантованное поле как тензорную обобщен-
ную функцию с операторными значениями. Такое определение
больше соответствует реальной физической ситуации, чем более
привычное понятие поля, заданного в каждой точке простран-
ства — времени. Действительно, на опыте всегда измеряется
напряженность поля не в математической точке а;, а в некото-
рой конечной области пространства и в конечном промежутке
времени. Такому реальному измерению соответствует значение
поля как обобщенной операторнозначной функции для основной

I I] СВОЙСТВА ЛОКАЛЬНОГО КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ 173
функции с носителем в заданной пространственно-временной
области.
Поле является, вообще говоря, многокомпонентной, тензор-
ной величиной Ф>=»(ф1 фг), имеющей в релятивистской
теории определенные трансформационные свойства при преоб-
разованиях из собственной группы Лоренца L+ (ф может быть
скаляром, спинором, вектором и т.д.). Вместо того чтобы рас-
сматривать «тензор» ф как набор из г обобщенных функций, за-
данных в пространстве S^(Ri), удобно рассматривать ф как
функционал, заданный в пространстве «векторных» основных
функций /=(Ы*) М*)Ь гДе М*)е #*(#«)• Это простран-
ство будем обозначать через &t (/?4). Оба рассмотрения, естест-
венно, эквивалентны:
2
Перейдем к точному определению релятивистского кванто-
ванного поля.
Пусть A~*V(A)—конечномерное представление унимоду-
лярной группы SLB) размерности г и пусть /s^r(/?4)- Не-
ограниченный линейный оператор ф(/) в пространстве векторов
состояний 3@, определенный при всех/ е efr{Ri), называется
квантованным полем, если выполняются следующие условия
(аксиомы для поля):
IV. 1) Все операторы ф(/) и tp*(f) имеют общую (не зави-
Ъящую orf) область определения Q, являющуюся плотным в Зв
линейным многообразием, удовлетворяющим условиям
Ч'оей, <p(f)QczQ, Ф'(/)ОсЙ C.1.1)
при всех f e &t (Rt).
IV. 2) Оператор <p(f) линеен относительно /:
<Р («/+ Р?) = «ф (/) + pep (g).
Это свойство операторного поля позволяет нам пользоваться
символической записью
J х)U(х) d*x C.1.2)
в том же самом смысле, как в теории обобщенных функций
(хотя iiiMiKWi фДя) не соответствует никакому оператору в &в

174 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТЙАНА [ГЛ. 9
даже в примере свободных полей, который будет рассмотрен
в§4*)).
IV. 3) Оператор <p(f) удовлетворяет как функция f следую-
щему условию слабой непрерывности: если векторы Фи? при-
надлежат Q, то (Ф, q{fL?) является обобщенной функцией из
Отметим, что последнее, на первый взгляд чисто формальное, требова-
ние имеет нетривиальные физические следствия. Оио обеспечивает (вместе
с другими постулатами) полиномиальную ограниченность матричных элемен-
тов в импульсном пространстве и тем самым, по-видимому, исключает из
рассмотрения класс так называемых неперенормируемых теорий. Подробнее
мы обсудим этот вопрос в гл. 4, §§ 3—Б.
В релятивистской теории должно выполняться еще следую-
щее условие ковариантности поля.
V. Пусть U(а, А) —унитарное представление спинорной
группы Що, которое реализуется в пространстве ?Ю. Тогда опе-
раторы U(а, А) оставляют инвариантной общую область опре-
деления операторов поля Q
U(a, A)QcslQ, C.1.3)
и
ЧР(>(«. а)) = и (?• А) Ф(/) Vх (а, А), C.1.4)
где
b а) (*))," S V» (AT1) f, (A- (* - а)), C.1.5)
Л (А) задается формулой B.2.15), V(A)—рассматриваемое
r-мерное представление группы SLB).
Упражнение 3.1.1. Показать, что если поля <Pj(x), определнемые форму-
лой C.1.2), имеют смысл, то требование V эквивалентно следующему за-
кону преобразования этих полей при преобразованиях из ф0 **):
V {а, А) <р, {х) U~l {a, A)=Y V'1 {А)ц фу (Л* + а). C.1.6)
Поле называется скалярным, если оно однокомпонентно
(г<-1) и V(A) &з 1. Тензорное поле, преобразующееся по одно-
•) Ситуация, имеющая место в случае свободных полей, справедлива и
в общем случае (см. § 4).
**) Отметил, что мыслима более общая формулировка принципа ко-
вариантности поля, в которой не предполагаете^ конечномерность представле-
rV(A) (см., например, обзорную статью Стоянова и Тодорова A968)).
качестве примера можно привести так называемое билокальное поле
\bjx,\), зависящее от пары четырехмерных векторов х и g. В литературе
обсуждались также другие обобщения постулата релятивистской инвариант-
ности (см, Инграхам A962)),

I 13 СВОЙСТВА ЛОКАЛЬНОГО КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ 17S
щечному представлению группы it (например, скалярное или
Мкторное поле), называется нейтральным, если его составляю-
щие <рЛ/) эрмитовы при вещественных / (смысл такого назва-
ния выяснится ниже, в п. 4.2, где мы покажем, как можно свя-
зать понятие электрического заряда с комплексным (скаляр-
ным) полем; см. также [45]). Поле называется спинорным, если
Матрица V(A) в законе преобразования C.1.5) — C.1.6) задает
спинорное (двузначное) представление группы Лоренца (см.
определение в гл. 2, п. 4.1).
Спинорные поля (соответствующие двузначному представлению группы
Пуанкаре) ненаблюдаемы; они осуществляют переход между двумя различ-
ными когерентными подпространствами пространства векторов состояний Stf.
Действительно, как отмечалось в гл. 2, п. 1.3, однозначность или двузнач-
ность представлении U(a,A) задает в &в правила суперотбора. Всегда
U (a, -l) = et/(fl, 1), C.1.7)
где е=±1, причем е постоянно в данном когерентном подпространстве. Если
ф—спинорное поле, то ф(Да> _ij) = — Ф(/(а, i})- Если допустить, что опе-
ратор <р[/) не меняет значения е, то мы при любом выборе е (е2=1) получим
V(a, -1)ф(/IГ1(а, -1) = 1/(а, 1) <р(/) IT1 (a, 1),
что противоречит C.1.4) и условию, что поле <р спинорное. Следовательно,
поле <p(/j переводит когерентное подпространство с заданным е в другое
когерентвое подпространство с е'=— е, так что
U(a, -1)Ф(Л 1Г1(а, -1) = -1/(а, 1)ф(/IГ'(а. I).
Ненаблюдаемы и комплексные тензорные поля, которые осуществляют пере-
ход между когерентными подпространствами с разными зарядами.
1.2. Принцип локальности. Перейдем теперь к одному из
самых существенных требований релятивистской локальной тео-
рии поля — к постулату локальной коммутативности. Физиче-
ский смысл этого требования состоит в том, что измерения со-
ставляющих поля в двух пространственно-временных точках х
и у, разделенных пространственноподобным интервалом, неза-
висимы (ни одно из этих измерений не может повлиять на ре-
зультат другого). Это является отражением принципа реляти-
вистской микропричинности. Строго говоря, подобное интуитив-
ное обоснование требования локальной коммутативности имеет
смысл, лишь если идет речь о наблюдаемых полях (и их ком-
бинациях), т.е. об эрмитовых полях, преобразующихся по одно-
иплчпому представлению группы Лоренца. Формулировка сле-
дующего постулата для произвольных полей (в том числе для
комплексных и спинорных) представляет собой наиболее есте-
ственное обобщение этого частного случая.

176 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
VI. Пусть носители вектор-функций/ и g разделены про-
странственноподобным интервалом, т. е.
-gj(y)a{(x-y)*<0); i, j=l г. C.1.8)
Тогда операторы qp(/) н qp(g), будучи примененными к векто-
рам из Q, либо коммутируют, либо антикомму тир уют между
собой:
[ф(Д Ф(г)]т = [ф(Д фЧЙЬ-о C.1.9)
или, в символической форме,
[ф,М. Ф*С*)],-[ФД*), ф;(у)],-0 прн (*-^<0. C.1.10)
Мы увидим в дальнейшем (гл. 5, § 3), что прн выполнении
остальных требований знак «—» (коммутатор) соотвегствует
тензорному бозонному полю, преобразующемуся по однознач-
ному представлению группы Лоренца lX; знак « + » (антиком-
мутатор) соответствует спинорному фермионному полю, преоб-
разующемуся по двузначному представлению этой группы (тео-
рема о связи спина со статистикой). Здесь же мы будем следо-
вать этому правилу знаков, принимая его пока без доказа-
тельства.
Если предположить, что операторы ф(/) имеют при вещественных /
самосопряженные замыкания (зто имело бы смысл лишь для нейтральных
бозонных полей или для ермитовых комбинаций спинорных полей), то можно
было бы потребовать, чтобы нх спектральные функции в разложении A.1.40)
коммутировали. Такое требование было бы, вообще говоря, более сильным,
чем требование VI (см. Нельсон A959)).
Относительно связи математического условия строгой локальной комму-
тативности и наблюдаемой независимости полей иа сравнительно больших
пространственноподобных расстояниях см. теорему 5.2.3 (гл. 5, § 2.2) и за-
мечание после нее.
Попытки видоизменить (нли обобщить) излагаемую здесь схему кван-
товой теории поля часто начинаются с отрицания именно постулата локаль-
ной коммутативности. Основная причина такой тенденции состоит в
том, что этот постулат довольно сильно сужает класс допустимых теорий
н существенно усложняет математическую задачу описания этого класса.
Действительно, если бы мы хотели иайти все операторные обобщенные
функции, удовлетворяющие условию ковариантности C.1.4), то мы имели
бы дело с линейной задачей, являющейся обобщением некоторой полностью
решенной математической задачи (см. Гординг A944), И. М. Гельфанд и
А. Яглом A948), Макн A952), Брюа A956)). С другой стороны, до сих пор
нет примера теории, удовлетворяющей всем постулатам (включая требова-
ние локальности) и приводящей к нетривиальной матрице рассеяния. По-
строение такого нетривиального примера является центральной проблемой
аксиоматического подхода в релятивистской квантовой теории.

J I] СВОЙСТВА ЛОКАЛЬНОГО КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ 177
1.3. Требование полноты: цикличность вакуума и неприво-
димость поля. Далее мы потребуем, чтобы рассматриваемые на-
ми поля (одно или несколько) образовывали полную систему
операторов в пространстве векторов состояний. Этому требова-
нию можно придать различные математические формулировки.
Мы дадим формулировку, исходящую из интуитивного предста-
вления о том, что, действуя последовательно на вектор вакуума
операторами поля, можно получить полную систему линейно
независимых векторов в пространстве &6. Сначала введем не-
которые вспомогательные понятия.
Прежде всего, если операторы <p«(f) (I ^/<ro2="a} неэр-
митовы (при вещественном f), то мы для удобства обозначений
положим при любых комплексных а-мерных векторных функ-
циях f
ф-«(/') = фа'(Л C.1.11)
где (f*)j (х) = fj (х). Далее, для сокращения обозначений пару
Индексов (а, /) будем обозначать через т, так что
Лемма 3.1.1. Произведение операторов
где tv = (/v, av), l^j^^a,,, однозначно определяет оператор-
ную обобщенную функцию в ?Р(Н^
= J ФТ1 (*i) • • • Фт„ t*J f (x xn)d*x ...tfxn C.1.12)
так, что *)
Доказательство. Пусть Ф и *Р— произвольные векторы
из Q. Рассмотрим полилинейный функционал
Этот функционал линеен и непрерывен по каждому из своих
аргументов fj при фиксированных остальных.
*) Здсс|| и в дальнейшем совокупность пар индексов (ti, ..., т„) обо-
значается жирным Т.
12 П. Н. Богилюбоо н др.

178 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА 1ГЛ. 3
Из теоремы о ядре (гл. 1, п. 1.4) следует, что функцио-
нал взаимно однозначно определяется обобщенной функцией
F(f) <=<&>* (Rin), причем F (/,(*.), fj(««) L (*„)) = P. (f и
fa, ¦¦¦, fn)- Покажем теперь, что существует такой неограничен-
ный оператор фг (f), определенный в Q, что
F(/) = (®, qi,(f)^). C.1.14)
Для этого необходимо исследовать зависимость функционала
F(f) от векторов Фи1?. Мы наметим лишь основной ход рас-
суждений, оставляя читателю восстановление деталей доказа-
тельства.
1. Пусть fh—конечная линейная комбинация произведений
основных функций из <^(Ri):
iv,М ... fnvjxn). C.1.16)
Тогда оператор, удовлетворяющий C.1.14), существует и опре-
деляется формулой
<Р, (fh) = 2 <?АуфТ1 if iv) • • • Фт„ ifnvj-
При фиксированных fk и Ч'ей оператор C.1.14) определяет
антилинейную непрерывную функцию от Ф:
C.1-16)
2. Плотность линейных комбинаций C.1.15) в ^(R^) дает
возможность представить значение функционала C.1.14) на эле-
менте fe ^(Rin) в виде
РфезР (f; Ф, V) = lim (Ф, Ф, (fk) V), C.1.17)
'*¦*¦'
где fk стремится к f относительно сходимости в <iV(Rin). Убе-
димся теперь в непрерывности F(f; Ф, Ч*1), рассматриваемого
как антилинейный функционал над Фе.Ж. С этой целью перей-
дем в неравенстве C.1.14) к пределу fh *fo- Возможность пре-
дельного перехода обусловливается тем, что последовательность
сходится в силу постулата IV. 3 и теоремы о ядре.

I Ij СВОЙСТВА ЛОКАЛЬНОГО КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ 179
3. В силу теоремы Рисса (гл. 1, п. 1.2) любой антилиней-
ный и непрерывный по OeJS? функционал F(f; Ф, Ч?) может
быть представлен в виде
РФ. Ф. Ч') = @>, T,(f)),
где 4?i(f)^@%?. Очевидно, *Pi(f) является линейной функцией
вектора W:
Чг(/)
Лемма 3.1.1 доказана.
Рассмотрим совокупность 91 всех «сглаженных» полиномов
от полей qpj, т. е. всех выражений вида
•"¦'7(
(ЗЛЛ8)
где операторы ф, (f) определены в доказанной выше лемме.
Очевидно, линейные комбинации и произведения полиномов
из 21 снова являются элементами множества 91. Совокупность
с такими свойствами называется алгеброй. Все элементы ал-
гебры 21 являются, вообще говоря, неограниченными операто-
рами, определенными в Q.
Теперь мы можем сформулировать условие полноты теории.
VII. Совокупность векторов вида
C.1.19)
где Wq —вектор вакуума, а Р(<р; /)еЯ, всюду плотна в &6.
Это условие выражается еще словами, что вакуум является
циклическим, вектором относительно алгебры 21 операторов
поля.
Отметим, что В играет роль ядерного пространства в оснащенном гиль-
бертовом пространстве векторов состояний. Условие ядерности Q не будет
дополнительным ограничением на теорию, если мы определим fl = fli как
совокупность векторов вида C.1.19). Прн таком определении, очевидно, удо-
влетворяются условия C.1.1) и C.1.3). В силу постулата VII, fii является
всюду плотным линейным многообразием в &в. Определим в Qi сходимость
к нулю следующим образом. Последовательность векторов /Мф; /)^о, где
^\>(ф;/)е81>стРемится к нулю, если одновременно выполняются следующие
два условия:
I. Существует не зависящее от v положительное число N, такое, что
степень полиномов PV(<P; /) типа C.1.18) не превосходит N, так что
)-/o+s Д<^
12*

180 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
2. Последовательности функций (fv)f сходятся к нулю относительно
сходимости в <Р* (#4j)- Нетрудно показать, что пространство Qi яв-
ляется полным ядерным пространством относительно такой топологии. От-
метим, что определенное таким образом пространство Qi — наименьшее ядер-
ное пространство пространства ДО, удовлетворяющее перечисленным выше
условиям на Q.
Другая формулировка условия полноты системы операто-
ров поля <рх (/) связана с понятием неприводимости поля. Будем
говорить, что операторы поля <р(/) образуют неприводимую си-
стему, если из того, что ограниченный оператор В слабо ком-
мутирует со всеми <рх, т. е.
К (/) Ф, ВЧ) = (Ф, ВФт (f) 4f) C.1.20)
при всех т = {i, a), l<i<a, Ф, ?eQ, fе&(/?4), следует,
что В кратен единичному оператору. Полнота теории формули-
руется после этого как неприводимость системы полей <рх(/).
Справедлива следующая теорема (Рюель A962); Борхерс
A962)).
Теорема 3.1.1. Если имеют место постулатыХ—VII (вклю-
чая единственность вакуума), то система полей <рх (f) неприво-
дима.
Доказательство. Пусть, действительно, ограниченный
оператор В слабо коммутирует со всеми операторами (px(f).
Отсюда следует, что В слабо коммутирует и со всеми полино-
мами Р(ф; /) е91. Без ограничения общности можно предпо-
ложить, что ВЧ?а ф 0, так как если ВЧг0=0, то и ВР(ф;/)Чго=О
и, значит, В=0, так как в силу постулата VII совокупность
векторов вида C.1.19) всюду плотна в $8. Пусть
Для любого е>0 существует (в силу VII) такой полином
P(<p;f) вида C.1.18), что
||(В-Р(<р;/))ЧУ<е
и, следовательно, в силу неравенства Коши
-(Р(<р; f)xPo,B4fo)\<pe.
Пусть h(p) ебм — функция, равная единице в окрестности
спектра оператора энергии — импульса Р и равная нулю вне
некоторой окрестности этого спектра. Точнее, мы потребуем,
чтобы h(p)=ho(p)+hm(p); здесь fto@)=»l, ho(p)=O вне неко-
торой окрестности начала, не содержащей точек области р2*=
пг2>0 Xm — наименьшая масса в спектре оператора

I 1] СВОЙСТВА ЛОКАЛЬНОГО КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ 181
\Гр*-сы. постулат Ш.в), hm(p)= 1 при р°>]/|т2 + р2,
Лт(р) = О при
В силу постулата спектральности, благодаря которому
ft (р)*= 1 в окрестности спектра оператора импульса,
и~1 (е-!) w 11 е'р<о'"а) л w
и~1 <?! !>
Применяя этот оператор к вектору P(q>; Z)^ получим
где
й — фурье-образ функции Л(р). С другой стороны,
так как преобразование Фурье функции §х(х1 д:^, равное
ft(— р,, .... — Р/)й(— (р,+ ... +Р/)), обращается в нуль во
всех точках спектра оператора полного 4-импульса Р, за исклю-
чением точки Р = 0, соответствующей вакууму.
Пользуясь всем этим и условием перестановочности C.1.20),
получаем
Ре>|Р2-(Р(<р; g№ ВТо)|-|р"-(То. ВР'(Ф,
С другой стороны, lim (^о, Р (ф; ff) ^о) = а и, значит, аа = р2.
е»+0
Отсюда следует, что вакуум является собственным вектором
оператора В с собственным значением а. Используя еще раз
то, что оператор В перестановочен с полями, находим, что Вф*=»
*= аФ для любого вектора Ф вида C.1.19).
Отсюда в силу постулата VII следует, что В = «1 во всем$?.
Теорема 3.1.1 доказана.
Отметим, что из постулата о цикличности вакуума относи-
тельно системы полей <р(/) (вместе с остальными постулатами)
следует более сильное по форме утверждение.
Пусть О — любое открытое множество в R4. Обозначим че-
рез 51@) алгебру всех полиномов от <pT(/), где носитель функ-
ции f(x) содержится в О. Справедливо следующее утверждение
(Рее и Шлидер A961)).

182 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
Теорема 3.1.2. Если выполняются аксиомы I—VII, то ва-
куум является циклическим вектором не только относительно
всей алгебры Я, но и относительно алгебры 51@) для любого
открытого множества О.
Мы не будем приводить здесь доказательства этой теоремы.
Отметим, что такая теорема не справедлива относительно
второго понятия полноты: если О — открытое множество, не сов-
падающее со всем пространством, то алгебра 51@), .вообще го-
воря, приводима.
Это дало основание Хаагу сформулировать следующее дополнительное
требование, которое мы вслед за Хаагом и Шроером A962) назовем посту-
латом примитивной причинности (ПП).
Л^сгь O(=Oj(o)—полоса шириной 26 между двумя пространственно-
подобными плоскостями, которая в некоторой лоренцевой системе может
быть задана неравенствами
t — О < ДГо < / + ft.
Тогда алгебра 9l@jJ неприводима.
Постулат ПП означает, что знание полей во всем трехмерном простран-
стве и в сколь угодно малом интервале времени [t — 6, /+fi) позволяет вос-
становить всю теорию, так как совокупность полей <р(/), где носитель f при-
надлежит Oj(fi), уже неприводима. Это требование заведомо будет иметь
место, если мы имеем дело с каноническим лагранжевым формализмом. Тогда
гайзеиберговы операторы поля удовлетворяют уравнениям движения, и, сле-
довательно, задавай их (вместе с их производными в случае бозонных полей)
на любой пространственноподобной поверхности, мы можем восстановить
поля во всем пространстве'— времени. В stob смысле требование ПП отра-
жает общее условие причинности, сохраняющее свой смысл и в нереляти-
вистской теории (в отличие от постулата локальности VI). С другой сто-
роны, формулировка постулата ПП гораздо более гибка, чем канонический
лагранжев (или гамильтоиов) формализм, математическая самосогласован-
ность которого, как мы увидим в гл. 5 (теорема Хаага), вызывает сомнения.
Действительно, в отличие от канонического формализма мы ие требовали
даже существования значений поли в фиксированный момент времени — для
нас должны иметь смысл лишь значения фт(И при f(дс)е^(/?<).
Постулат ПП не зависит от требований I—VII. В stom можно убедиться
на примере обобщенных свободных полей (см. ниже, п. 4.5) с медленно убы-
вающей весовой функцией Q(m2) (Хааг и Шроер A962)). Однако stot по-
стулат не исключает всех обобщенных свободных полей; он справедлив в мо-
дели с быстро убывающей весовой функцией (Борхерс и др. A963)).
В связи с sthm Хааг и Свиека A965) рассматривают более жесткие тре-
бования, исключающие обобщенные свободные поля и обеспечивающие интер-
претацию квантовой теории поля в терминах частиц.
В дальнейшем мы не будем пользоваться постулатом ПП.
§ 2. Функции Уайтмаиа
2.1. Вакуумные средние от произведений операторов поля.
Релятивистская инвариантность. Пусть поля <ра(/), где
/е^га(^4). образуют полную систему полей в смысле посту-
лата VII. Мы по-прежнему будем считать, что если оператор

|S] ФУНКЦИИ УАИТМАНА {83
q(/) неэрмитов, то среди остальных полей находится эрми-
тово сопряженный к нему оператор qra, т. е. выполняется со-
глашение C.1.11). Всевозможные вакуумные федние, называе-
мые функциями Уайтмана
- •;::: JJ (*, о - (** <,' (*0 • • • *5 («J *«,)• <3-2-«
*/ = («/, I/),
всегда существуют (в силу постулата IV) как обобщенные
функции по каждому аргументу. Постулаты I—VII наклады-
вают определенные условия на функции w. Основной результат
Уайтмана A956) состоит в том, что если взять систему обоб-
щенных функций wx ... %п, удовлетворяющих всем этим усло-
виям, то существуют поля <pt/ такие, что функции w являются
вакуумными средними от произведений этих полей. Другими
словами, все содержание квантовой теории поля может быть
переведено на язык свойств функций C.2.1): зная эти функции,
можно восстановить гильбертово пространство векторов состоя-
ний, унитарное представление спинорной группы Пуанкаре в
нем и ковариантные операторные поля таким образом, чтобы
выполнялись все постулаты I—VII-
В этом параграфе мы выведем свойства функций Уайтмана,
вытекающие из постулатов I—VII. В § 3 мы покажем, как ре-
шается обратная задача — восстановление теории по заданным
функциям wt.
В силу теоремы Шварца о ядре (гл. 1, п. 1.4) полилинейный
функционал
»«,... «„ (f, fn)" Го. Фч U • • • то). f, е & Ш C.2.2)
взаимно однозначно определяется обобщенной функцией wx в
&(Rin), которая может быть представлена символично фор-
мулой
«>»..(/)= J • •• J «&„,(*, xn)f(xl *n)d**i ... d*xn, C.2.3)
причем значения функционала C.2.2) получаются в частном
случае, когда f(x,, .... хп) =M*i)M*a) . - .fn(*«). Другими
1-лпппми, вместо функционала C.2.2) от п функций одного 4-
мгнтирнип) аргумента, можно рассматривать функционал от од-
ной функции п аргументов.
МЛ ('||к1рмулировать в компактной форме условие реля-
i K(iiiii|»iaiiTHOCTH для функций Уайтмана, удобно

184 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
ввести пространство тензорных основных функций ??~ ~ (R4n)=
= <^'т(^4п)' состоящее из всех тензоров вида/={//}, где
C.2.4)
Здесь осу — размерность представления, по которому преобра-
зуется поле (p°v (f).
Функции C.2.3) могут быть представлены как обобщенные
функции в этом пространстве:
W
Отметим, что наше соглашение C.1.11) относительно нуме-
рации эрмитово сопряженных полей приводит к следующему
условию для обобщенных функций C.2.5):
а.
«ел. (з.2.б)
где
(A....J*, «Л = /|„...!,(*,,, •••• «О- C.2.7)
В пространстве тензорных основных функций &~ G?4п) реа-
лизуется представление группы Пуанкаре
где Л (А) задается B.2.15), а Va'(H) есть а;-мерное предста-
вление унимодулярной группы, соответствующее полю ф°'(/).
Представление V^i (А) комплексно сопряжено к представле-
нию УаЦА).
Условие релятивистской инвариантности в терминах функ-
ций Уайтмана имеет вид
где /{о А) задается C.2.8).
Упражнение 3.2.1. а) Получить C.2.91, используя инвариантность вакуума
(постулат III. б) и ковариантность поля (постулат V).

f SJ ФУНКЦИИ УАИТМАНА {g5
6) Показать, что формула C.2.9) может быть записана символически
для функций C.2.1) в виде
(ср. упражнение 3.1.1).
В частном случае теории одного скалярного эрмитова поля
<р(дг) формула C.2.10) приобретает вид
*i)...4>(*JY0)-
). C.2.11)
Если применить равенство C.2.10) для подгруппы трансля-
ций {а, 1} группы Пуанкаре, то получаем, что функции w' транс-
ляционно инвариантны:
w'(Xl + а, ..., хп + а) = w' (ж, хп). C.2.12)
Следовательно, они зависят лишь от я — 1 независимых раз-
ностей векторов х:
Si ¦¦ *I "~ *2i •••! \п-\ —хп-\~ %п\ C.2.13)
wi (хи ..., *J = F't &u .... !„_,). C.2.14)
В функциональной форме равенство C.2.14) может быть
записано в виде
w"(f)->F°(g), C.2.15)
где
C.2.16)
Упражнение 3.2.2. а) Пользуясь C.2.12) — C.2.14) и C.2.16), показать,
что действительно
J.... J »?(*,, ....
- J ••• J
6) Найти закон преобразования тензорных обобщенных функций f° при
однородных преобразованиях {О, Л) в функциональной и в символической
(координатной) форме.
Для дальнейшего будет полезной следующая теорема.

186 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
Теорема однозначности функций Уайтмана.
Если число спинорных полей под знаком вакуумного среднего
C.2.1) нечетно, то это среднее равно тождественно нулю*).
Доказательство. Если число спинорных полей, входя-
щих в вектор
нечетно, то для этого вектора
f/@, -1)Ф=-Ф.
С другой стороны, в силу инвариантности вакуума
1/@, -1) ?„ = ?„.
Таким образом, векторы Ф и % являются собственными век-
торами, соответствующими разным собственным значениям уни-
тарного оператора U@,—1). Следовательно, они ортогональны и
Теорема доказана.
2.2. Следствии из постулатов спектральности, локальности
и положительной определенности метрики. Перейдем к след-
ствиям из постулата спектральности. Они формулируются
проще всего в терминах фурье-образов обобщенных функций
Ft ss Ft, которые существуют как обобщенные функции из
&*(Rin) (гл. I, п. 3.1).
•Теорема 3.2.1. Слабая формулировка Ш.а постулата
спектральности накладывает следующее условие на носитель
фурье-обраэа F, обобщенной функции C.2.14):
Fnx (Pi Pn-x) =» Bn)L-2 J • • • J expj ' Ц Pill j X
XF,tt,. .... !„.,)d% ... d%n-i,
suppFn,(pi ... pn-{)cz{Plt=V* р„_,eV*}. C.2.17)
*) Пользуясь законом преобразования C.2.10), нетрудно заключить, что
функции Уайтмана однозначны только в том случае, если они исчезают при
нечетном числе спинорных полей. Действительно, согласно определению спи-
норного поля (см. п. 1.1) при преобразовании (а=0, А = — 1) группы ^30 оно
меняет знак:
V @, -ПфЛПЕГ^О, -1) = -<рт(Л,
в то время как тензорные поля не меняются прн этом преобразовании. Та-
ким образом, если под знаком вакуумного среднего входит нечетное число
спннорных полей, то оно равно самому себе со знаком <—*, что совместимо
с однозначностью функции Уайтмана, лишь если она исчезает в этом слу-
чае. Это оправдывает название теоремы.

|Ц ФУНКЦИИ УАЙТМАНА Jg7
Доказательство. В силу постулата III. а для любого
мктора Ч^ИШ, вектор
а, 1)^ = 0, если рфУ*. C.2.18)
В этом можно убедиться, раскладывая W по полной системе
физических состояний Wfp', ?), на которые оператор трансля-
ции U(—а, 1) = G~1(а, 1) действует по формуле
U~l (а, 1) ^ (р', I) = e-ip'a4f (рГ, I). C.2.19)
С Другой стороны, так как
= «M*i */, Хщ-а, ..., xn-a),
TO преобразование Фурье F, по переменной 1/ пропорционально
интегралу
J FB,(Ii, ..... I/-,, t, + a, lltl I^^/Va-
-C^o, Ф,,(*i) • • • Ф,,(x,)f eipiafahltl(хИ1-а)...
¦ ...Фь(*»-о)Т„)-(Т0, q»,,(*,)...
• • • Ф,, (х,) f elpl4*aU-x (a, 1) q^, (jki+i) ... q^, (jen) To).
Применяя условие C.2.18) к вектору
мы получаем требуемый результат.
Если потребовать более жестких условий спектральности
Ш.а—III.B, то мы получим уточнение условия C.2.17): функ-
ция Fm (pi, .... pn-i) не равна нулю, лишь если каждый иэ ее
аргументов принадлежит спектру оператора энергии — им-
пульса Р.
Отметим, что фурье-образ B5,(ku ..., kn) функции wnx свя-
зан с Fm (pi, ...,Pn) формулой
^^\ •••] е I wm(xx хп)
... d*xn = BпJ б (kt + ... + kn) К (р, рп_,), C.2.20)
где
..., pn-i = ki + ki+ ... + kn_x. C.2.21.)

188 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАИТМАНА [ГЛ. 3
Из C.2.20) и C.2.21) видно, что условию спектральности мож-
но придать следующую функциональную форму. Пусть преобра-
зование Фурье f(k\, .... kn) основной функции f(X\, ...» хп)
равно нулю в окрестности множества fei g F+, ..., k\ + ...
... +ftn_ie=P*, ki+ ... +kn = 0, тогда wn,(f) = 0.
Важное следствие постулата спектральности составляет со-
держание следующей теоремы.
Теорема 3.2.2. Обобщенная функция Fnx (li ln_i)
является предельным значением аналитической функции
Fnx{t,u .... ?n-i), голоморфной в произведении Гй-i трубчатых
областей T-*=Rt — iV* (т.е. при %}=Ь — Щ], 1,-s R4, тц е V*,
У=1 я-1).
Доказательство этой теоремы полностью аналогично дока-
зательству теоремы об аналитичности преобразования Лапласа
fAH) запаздывающей функции в будущей трубчатой области Т*
(см. дополнение к гл. 1). Замена будущей трубчатой области на
прошедшую G^) в теореме 3.2.2 связана с тем, что в этой тео-
реме мы имеем дело с обратным преобразованием Фурье, в то
время как в теореме 1.А.1 —с прямым.
Условие локальности приводит к симметрии или антисим-
метрии относительно перестановки соседних аргументов у функ-
ции wf, если они разделены пространствениоподобным интер-
валом:
Xh
/ •.. хп) C.2.22)
при (л:/ — Xjtif<0, где с= + 1, если поля <pt/ и <pt/+, коммути-
руют, и —1, если они антикоммутируют при пространственном
разделении аргументов.
В функциональной форме в силу C.1.9) условие локальной
коммутативности имеет вид
=»"• - о'«а' - а»(? Л«, /; Л).
*
'если носители векторных функций fj(x) и ffn(x) разделены
пространственноподобным интервалом.
Условие положительной определенности метрики в простран-
стве векторов состояний з%? приводит к системе неравенств для
функций Уайтмана, связывающих функции с различным числом

I 13 ФУНКЦИИ УАЙТМАНА Jgg
аргументов. Для любого полинома от полей типа C.1.18) имеем
О < II Р (ф; /) ^о II2 = (То, [Р (Ф; /)]* Р (Ф; /) Wo),
где в силу C.1.11) и C.1.18)
[р (ф; /)Г = /о + 2 2 ... 2 фГс;,-' (Л, - «,)•
Из последних двух формул получаем
C.2.23)
В частности, полагая fQ = f{i (xv x^= ... =/, , =0, из
C.2.13) получаем
S f J Fl-i а(х-У) ft W f/ (») <*4* rf4^ > °- C-2-24)
Необходимое и достаточное условие для выполнения C.2.24)
при любом выборе fye^*(/?4) состоит в положительной опре-
деленности матрицы F~a'a(p), составленной из фурье-образов
обобщенных функций FT?)"(Ю- Действительно, при переходе
к преобразованиям Фурье неравенство C.2.24) приобретает вид
p C.2.25)
*¦/ = !
Отсюда в силу произвольности функций f,(p) следует наше ут-
верждение *).
Одновременное использование условий лоренц-инвариантно-
сти и спектральности наряду с C.2.25) дает возможность полу-
чить простое интегральное представление для двухточечной
функции Уайтмана w2.
Рассмотрим для простоты случай скалярного эрмитова
ноля. В этом случае Рг(р) — неотрицательная лоренц-инвари-
антпая обобщенная функция, сосредоточенная в силу условия
•) Это утверждение составляет содержание теоремы Бохнера — Шварце
(см., например, [13]),

190 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАИТМАНА [ГЛ. 8
спектральности и теоремы 3.2.1 в будущем световом конусе.
Общий вид таких функций, согласно гл. 1, п. 3.5, таков:
оо
F2(p) = a6(p) + e(p°) J б (р2-*) do (Я.), C.2.26)
о
где a^O, a a (Я,) —монотонно неубывающая функция ие выше
степенного роста. (В общем случае тензорного поля необхо-
димо умножить C.2.26) на положительно определенную (при
peV+) матрицу Вц(р), полиномиально зависящую от компо-
нент импульса р (ср. гл. 5).)
Сильная форма постулата спектральности Ш.в (т. е. усло-
вие существования наименьшей положительной массы \i) при-
водит к тому, что нижний предел интегрирования в C.2.26)
положителен. Константа а выражается через среднее по ва-
кууму а>1 от поля ф(дг): a= Bn«-'iJ.
Представление C.2.26) называется представлением Челле-
на — Лемана для двухточечной функции Уайтмана (ср. далее
с формулой C.4.96)).
Итак, в случае двухточечной функции удается полностью
учесть условие положительной определенности C-.2.23). Другое
по простоте следствие из C.2.23) получается, если положить
fa = fit (xi) — fithh (*i> *'• хз)= • • • = 0. В частном случае, когда
имеется лишь одно скалярное эрмитово поле, получаем нера-
венство
- '"' C.2.27)
Описание класса обобщенных функций F4. удовлетворяющих
C.2.27), является до сих пор нерешенной математической зада-
чей (она была поставлена Уайтманом A956)).
Перечисленные до сих пор свойства функций Уайтмана,
являющиеся следствиями условий релятивистской инвариант-
ности, спектральности, локальности и положительной опреде-
ленности метрики, вместе с нормировочным условием
гиозз (ЧЬ; То)=1,
выделяют выпуклое множество в пространстве последователь-
ностей !
Действительно, легко проверить, что если W^ и У<?> — две
последовательности функций Уайтмана, удовлетворяющие всем
перечисленным условиям, а О^сс-^1, то последовательность

ФУНКЦИИ УАЙТМАНА 191
?+A—a)W&) тоже удовлетворяет этим требованиям. По-
мы говорим, что эти условия определяют линейные свой-
уайтмановых функций. Отметим, что из всех линейных
|ММОВИй лишь условие положительной определенности связы-
Ыет между собой функции w с различным числом аргументов.
2.3. Условие единствеииости вакуума. Асимптотическое раз-
биение иа пучки. Условие обращения в нуль функцийF"[pv ...
.... Pn_i). когда хотя бы один из аргументов р-} не принадлежит
спектру оператора энергии — импульса Р (теорема 3.2.1), не
исчерпывает содержания жесткой формулировки постулатов
спектральности III.a—III.в. В нем не отражено условие един-
ственности вакуума (т. е. невырожденности состояния с нулевой
•иергией). Оказывается, что это требование накладывает нели-
нейные ограничения на функции Уайтмана. В частности, из него
вытекает, что
Ит о>т.... т„ (*i xh Х
= оч1...ту(*1, •••» *у)«%+1... *„(*у*1 хп), C.2.28)
где а — произвольный пространственноподобный вектор, а пре-
дел понимается в смысле сходимости в пространстве обобщен-
ных функций &"* (i?4n) (т. е. нужно сначала проинтегрировать
обе части равенства C.2.28) с основной функцией f(xx *K)e
eSf(Rm) и лишь затем перейти к пределу р->оо).
Равенство C.2.28) имеет простой физический смысл: если
пучки частиц A, ..., /) и (/+1, .... л) раздвинуть на большое
расстояние друг от друга, то они не будут взаимодействовать
между собой. Поэтому оно носит название свойства разбиения
на пучки.
Условие C.2.28) является следствием более общего утвер-
ждения, к формулировке которого мы переходим.
Прежде всего введем полезное понятие усеченных вакуум-
ных средних wTm. Они определяются исключением вклада ва-
куумного промежуточного состояния в функцию Уайтмана. Для
усеченных функций следствия полного постулата спектраль-
ности формулируются проще.
Пусть р/, — совокупность всех разбиений отрезка натураль-
ного ряда 1, .... п на k непустых н непересекающихся подмно-
жеств /i /л.
Пусть, далее, в каждом подмножестве /у натуральные чис-
лп (//, i/p;) упорядочены по возрастанию (in<ij2<...)•
Кпждому разбиению (/j)sps соответствует перестановка п=>
UM) (С «)-*('п ... /iPi, 'si ... »20а iki 40J],

192 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАИТМАНА [ГЛ. 3
k
где (/д «уву) —//» 2Р/ = «- Усеченные вакуумные сред-
ние и>?, определяются рекуррентной формулой
п к
° («) П ш,(v
*=|{/,}-рА /-I "w
C.2.29)
где о(я) = + 1, если при перестановке п, соответствующей раз-
биению {/,-}, переставляются четное число раз спинорные (анти-
коммутирующие) поля, и а(я)=—1 в противном случае. Кроме
того, будем считать, по определению, что w* = w0 = 1. Аналогич-
но C.2.14) можно ввести функции Fnt(?i, ••-, %n-i) = °>n«(*ii •••
.... х„).
Рассмотрим для пояснения простейший пример: скалярное
нейтральное поле <р(л:) со средним значением по вакууму, рав-
ным нулю:
) ^о. Ф (*) ^о) = 0 • C.2.30)
(отметим, что в силу трансляционной инвариантности wl{x) =
— я»! @) = const, так что предположение C.2.30) всегда может
быть реализовано, если из поля <р вычесть некоторую постоян-
ную). В этом случае определение C.2.29) дает
а>1=Ч = 0, »,(*,, *J-oiJ(*lf x2), wa(xlt х2, ха) =
= wa(xv Ч> хз)> wI(xi> xv xv *4)="
^wt(xi, х2, х3, xt)-w2(xlt x2)w2(x3, «J —o>2(*u x3)w2(x2, xt)~
-w2(xx, x4)w2{x2, x3), ...
Заметим, что в лагранжевой теории возмущений усеченные
средние являются суммами связных диаграмм Фейнмана.
Упражнение 3.2.3. Показать, что преобразования Фурье FJt (р:, ..., pn_,)
функций FjT обращаются в нуль, еслн хотя бы один нз аргументов р/ не
принадлежит множеству п*т, ограниченному верхним гиперболоидом V^,:
Где т — наименьшая положительная масса, входящая в условие спектраль-
ности.
Понятие усеченного среднего может быть обобщено сле-
дующим образом. Согласно лемме 3.1.1 (формула C.1.12)j

1 «1 ФУНКЦИИ УАЙТМАНА 193
произведение
ФпД*) = Фт1(*1)---Ф*п(*ге) C-2.31)
Определено как обобщенная функция в <^(Rin) с операторными
течениями. Определим транслированный оператор q>nx(x + a)
формулой
Фп, (* + «) = U (а. 1) Фт (х) IT1 [a, 1). C.2.32)
Назовем оператор <pnt бозе- или ферми-оператором, если в произ-
¦едеиии C.2.31) содержится соответственно четное или нечет-
ное число спинорных (антикоммутирующих) полей. Для «пуч-
Ков полей» фь(лг,) можно определить вакуумные средние
и усеченные средние
которые определяются рекуррентно по обычным средним теми же
формулами, которыми функции wT определялись через w.
Здесь xtj — совокупность it 4-векторов (xljlt ..., Я/^).
Чтобы сформулировать основное свойство обобщенных усе-
ченных средних, введем функции
0, <>,,(*,, +а,)...
+ а») ^о)г и (\ xj d"^ ... du*xin, C.2.33)
где u&af(RAn), a aj=(O, Cj). В силу трансляционной инва-
риантности функция F"x (a) зависит лишь от п — 1 независимых
разностей векторов % Справедлива следующая теорема (Рюель
A962)).
Теорема 3.2.3. Функции F", (а), так же как и их производ-
ные по erf [при а0! = 0), рассматриваемые как функции от п—\
независимых разностей векторов а,, принадлежат пространству
whimhmx функций <5"(#3(n-i)). Другими словами, они бесконеч-
но дифференцируемы и убывают на бесконечности быстрее лю-
п— 1
бш1 отрицагсльной степени от 2 («/ ~~ e^iJ-
13 П. II. 1><||'|>лн>Пип и др.

194
ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
В частности, если имеются два пучка скалярных полей
Ч>1 (*у) = Ф (*i) • • • Ф (xt), q>n-i {Xn-i) = ф (xj+1) ... ф {хп),
то теорема 3.2.3 дает уточнение соотношения C.2.28):
lim р1 [ {(^о, Ф (*i) ... ф (х,) ф (х,и + ра) ... ф (хп + ра) *Р0) -
0
X
C.2.34)
ХЩхи...., хп
при всех /^0 и а2<0.
Заметим, что именно убывание функции Fn,(a) является не-
тривиальным пунктом в теореме 3.2.3. Бесконечная дифферен-
цируемость функций C.2.33) очевидна. Видно также, что про-
изводные от функций C.2.33) снова имеют такой же вид, по-
этому из убывания функций Fnt(a) при любом и следует и
убывание их производных.
Чтобы не загромождать идею доказательства теоремы 3.2.3 техническими
деталями, мы докажем здесь лишь ее частный случай C.2.34). Восстановле-
ние полного доказательства мы предоставляем читателю (см. оригинальную
работу Рюеля, а также лекции Уайтмаиа A962)).
Введем обозначение
, <f{xht) ...
где
) = r(S> Si. .... 6y-i.
i = xl-xjU, l = (g,
a-,)= Г (g. I), C.2.35)
1ц., ?„_,). C.2.36)
Переходя к преобразованиям Фурье, можно записать интеграл в левой части
C.2.34) в виде
Fu(a)
где
J ... J
J ... J f (p, p) «, (p, p) e pa dp dp, C.2.37)
«i A. I) = J « (x, xn) d<xn
C.2.38)
Tip,
|, |) rff d|,

ФУНКЦИИ УАЙТМАНА 195
3.2.4. Показать, что функция Fu(a) C.2.37) принадлежит
JIHCTBy мультипликаторов вм, т. е. что она бесконечно днфференци-
,_ _Н Полиномиально ограничена относительно а. (Указание: воспользо-
Ой'тсм, что 7' является производной от некоторой непрерывной полнно-
МЬНО ограниченной функции, в то время как о,€^t$"(#.,,„_,)), и сделать
1Ну переменных интегрирования |'=|—а в первом равенстве C.2.37).)
В силу постулата спектральности (см. упражнение 3.2.3) обобщенная
функция Т(р,р) равна нулю, если р не принадлежит Gj,. Поэтому, если
Н{р) — мультипликатор в <Р со свойствами
1 в некоторой окрестности С*,
\ m C.2.39)
О при рф-V
И
* ->
6 (Р< Р) = " \P)ui (р, р),
ТО
Fv (a) = Fи (а). C.2.40)
Рассмотрим, далее, функцию
«Р (*/«) • • • Ф (*в) Ч'о), C.2.41)
СД« | по-прежнему выражаютси через к формулами C.2.36), и функцию
)" 1 J
(S ~ а'
J {
lpa
Л р) й (р, р) elpadpdp, C.2.42)
->
ГДв «1 (I. ?) связано с «(*, л;п) равенством C.2.38).
Из условия спектральности следует, что
Т, (р, р) = 0, если
{t, v, если р°> —г/п2 + р2). Поэтому, если бесконечно днфференцнруеман
функция h (p) удовлетворяет C.2.39), то h(p)Ti{p, p) = 0, и, следовательно,
нолвгам вновь v=h(p)U\, получим
Fj(a)=0. C.2.43)
Hi C.2.40) и C.2.43) следует, что
fu (a) = Fv (a) = Fv (a) - Fxv (a). C.2.44)
T*M«]ih mn покажем, что разность, стоящая в правой части C.2.44), являетси
вМ1Ч|н| уПшшющей функцией от пространственноподобного вектора о=@, с)
|||ш лшГмм наборе основной функции v, т. е.
lim p' [F (pa) - Fl (pa)] = 0 C.2.45)

196 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. Я
при всех /^0, причем стремление к нулю в C.2.45) равномерно по вектору а
из трехмерного шара радиуса 1:
а*=-а2=1. C.2.46)
В силу C.2.44) нз C.2.45) следует C-2.34). Тем самым доказательство
теоремы 35.3 в рассматриваемом частном случае сводится к доказательству
соотношения C.2.45).
- Согласно п. 1.3 гл. 1 любая обобщенная функция из ^"(fon) может
быть представлена как частная производная (достаточно высокого порядка)
от некоторой непрерывной, полиномиально ограниченной функции g. Поэтому
мы можем написать
Т (I, I) - Г, A, I) - Dg AЛ), C-2.47)
где D — дифференциальный одночлен
о rei з
Таким образом,
Fv (рс) - Fl (pa) - J g (g - pa, t) D'v (|, |) d% d\, C.2.48)
где D* = (- 1)'B 'D. Пусть, далее, ev (g, 1) — разложение единицы в <S" {R4(n-i))
(см. гл. 1, п. 2.1) со следующими свойствами. Введем обозначение
Я (I. I) I2 = S Hff + 2 (Е?Я - II1 И2 + II t II2. C.2.49)
a=0 I Ф I
Будем предполагать, что е„ (?, |) = 0, если || A, l)||>v+l или Ц (|, I) Ц<
<v-l. Тогда
F„ (Р. в)" Гv (Рв) - S J «A - ро, f) ov (I- f) dl df, C5.50)
где _
^ *O(|, f). C.2.51)
п
Действительно, в силу локальной коммутативности, если каждый нз
векторов х1( ..., xj расположен пространственноподобно относительно век-
торов x/tl + pa, .... хп + рс, то Г(| + рс, |) = Ti (| + рс I). Это заведомо
будет так, если max (х. — х.— рс^2 < 0. Но
/
поэтому
(*, - *fc - рсJ < п И (|, |) F + 2р/^ || A, f) || - р».
Отсюда следует, что g(l, I,) в C.2.47) можно выбрать так, что
gd-pa, f)-0 при || (J, S) В < — (/f- I) p C252)
У п
(STo единственный пункт в доказательстве теоремы 3.2.3, где использует сн
локальная коммутатиеность полей Ф).

ФУНКЦИИ УАИТМАНА 197
Другой стороны, по построению ov A. 6)", если Л (|, ?) Ц > V+1.
у произведение gvv в интеграле C.2.50) может давать вклад лишь
^v+1, откуда и получается нижний предел для суммационного
v в C.2.50).
Так как Dv (|, %) е <Р (Rt (n-i>). то последовательность чисел
max | vv (I, I) | - bv
6.T
убывает быстрее любой степени 1/v. В то же время
Так что
I'. (paJ-Fj (pe)J<Cvvtl6
ll(t?)ll<v+i
< CYvtl*v [1 + 2 (v +
ГДв коистаита yv+( не превосходит объема сферы радиуса v+1 в 4 (п — 1)-
Мсрном пространстве (т.е. величины порядка (v+1L(ге~^). Здесь также
НСПОЛьзовано неравенство
Из свойств bv следует, что коэффициенты
убывают быстрее любой степени 1/v. Псзтсыу и правая часть в неравенстве
v>pA.-l
убывает быстрее любой степени 1/р. Равенство C.2.45). а тем самым и рас-
сматриваемый частный случай теоремы 3.2.3 доказаны *).
Теорема 3.2.3 содержит существенную информацию относи-
тельно функций Уаитмана и находит многочисленные применения.
*) При сделанном предположения о существовании наименьшей поло-
ЖИПЛЬНой массы т можно показать, что на самом деле усеченные средние
убывают экспоненциально при пространственном удалении аргументов, при-
¦Мш показатель экспоненты зависит от т. Это'соответствует тому, что в тео-
рМн, в которой рассматриваются только частицы с положительными мас-
сами, все силы — короткодействующие 1типа потенциала Юкавы !. В
случи», когда в теории имеются частицы с нулевой массой, стремление к ку-
» может происходить как 1/р2, что соответствует силе в законе Кулона (см.
Ванн и др. A962)). Заметим еще, что при доказательстве теоремы свой-
Дпкалмюй коммутативности использовалось несущественно (достаточно
I предположить лишь асимптотическое исчеэанне коммутатора). Это по-
¦10ЛЯ91 шшбщить теорему Рюеля и иа некоторые нелокальные теории (см„
например, ХоружнЙ A067)).

198 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
С одним из них мы познакомимся при изучении асимптотиче-
ских условий Хаага — Рюеля (гл. 4).
Здесь в качестве примера применения теоремы 3.2.3 мы
докажем следующее утверждение (оно является также след-
ствием теоремы однозначности фикций Уайтмана (п. 2.1), если
постулировать, что спинорные поля антикоммутируют при про-
странственноподобном разделении аргументов).
Если в произведении полей ф„, (х) C.2.31) содержится нечет-
ное число локальных антикоммутирующих (фермионных) полей,
то вакуумное среднее CFo, фтООФо) равно тождественно нулю.
Действительно, пусть и(х) —произвольная финитная основ-
ная функция из 3S(RAn). Тогда в силу C.2.34)
(o- Vn. () (
С другой стороны, при достаточно больших пространственно-
подобных а оператор U(a, 1)<р„т (u)U~1(a, 1) антикоммутирует
с оператором ф„, (и) (мы предоставляем читателю убедиться
в этом, пользуясь предположением, что в произведение ф„,
входит нечетное число антикоммутирующих полей и что функ-
ция и(х) финитна).
Поэтому при достаточно больших —а2
(Wo, <Pnx[u)U[a, !)«>„,Mtr1 (a,
Отсюда и из C.2.53) следует, что (Ч?о, фПт (и) Ч?о) = 0, что и
требовалось доказать.
Мы видели (теорема 3.1.1), что из жесткой формулировки
постулата спектральности, включающей предположение об един-
ственности вакуума, и из требования полноты теории VII выте-
кает неприводимость алгебры операторов поля. Отсюда же сле-
дует неразложимость последовательности функций Уайтмана
Г={1, о^*,), .... »<,...,„(*, *„)....}•
Если f=aP)+(l- a)W&, где UW> и W& удовлетворяют
всем линейным условиям, накладываемым на функции Уайт-
мана (п. 2.2), 0<а<1 и вакуум — единственное инвариантное
состояние, то

функции уайтмана 199
Несуществование релятивистского квантованного поля,
иного в точке. Как отмечалось выше, определение поля как
}щенной операторнозначной функции возникло не от про-
|вТОГО стремления к общности, а потому, что постулаты 1—VII
Исключают возможность, чтобы поле ф(л), не сводящееся
К оператору умножения на константу, само (без предваритель-
ного сглаживания по х) было оператором в гильбертовом про-
странстве и в область определения этого оператора входил бы
цвкуум. Мы дадим точные формулировки результатов.
11ервый такой результат был получен Уайтманом A964а).
Теорема Уайтмана. Пусть В(х) — поле неограничен-
ных операторов в гильбертовом пространстве Ш. Пусть в &в
реализуется унитарное представление U(a) группы четырех-
мерных трансляций, причем спектр генераторов Р» этого пред-
ставления лежит в будущем конусе, и существует единственное
Тринсляционно инвариантное состояние — вакуум Wo. Пусть,
более, поля В(х) и В*{х) локально коммутативны и трансля-
ционно ковариантны:
U(a)B(x)U-J(a)=B(x+a).
Тогда B{x)Wo=cxPo> где с — комплексная константа.
Если предположить дополнительно, что вакуум является
Циклическим вектором относительно поля В, то из сформули-
рованной теоремы следует, что В(х) зг с. Другими словами,
•Спи справедливы требования трансляционной инвариантности,
спектральности, локальности и полноты, то поле В{х) (в точ-
Ке) не может иметь смысла оператора в гильбертовом простран-
стве, отличного от числовой константы.
Мы приведем здесь доказательство утверждения, аналогич-
ного теореме Уайтмана, в котором вместо условия локальности
Используется ковариантность полей относительно группы Пуан-
кпро (Низимирски A966)).
Те» рем а 3.2.4. Пусть в гильбертовом пространстве фв
\нч1МЩ1ется непрерывное унитарное представление группы Пу-
цнкире ,U(a, Л), относительно которого существует единствен-
ный (v точностью до множителя) инвариантный вектор Ч?о (ва-
нуум). Пусть, далее, В(х) —комплексное скалярное поле
U (а, А) В (х) U'1 (а, А) = В {Ах + а\ C.2.54)
tHHift)t>/n'HH(>e в каждой точке как неограниченный оператор в
Jp, n i\f\AncTh определения которого входит вакуум. При этих
Hfii>t1munmvHunx
D \Х) * о — С * q, ^O.Z.OO/
t'lfi* < hOMHM'Ki'Hoe число.

200 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
Доказательство. Рассмотрим двухточечную функцию
Уайтмана
C.2.56)
Как мы видели в п. 3.1, функция F(x) инвариантна относи-
тельно однородных преобразований Лоренца. Из сделанных
выше предположений следует, что она, кроме того, непрерывна.
Действительно, F{x) может быть записана в виде
fWHBW\ B{0L0) = (U(x, 1)В@)^0, B@)W0), C.2.57)
а матричный элемент C.2.57) является непрерывной функцией
х в силу непрерывности представления U(a, А). Обратим вни-
мание, что именно в этом пункте существенно используется
условие, что само несглаженное поле В(х) является операто-
ром в Фв, так что В @) Ч'о е Фв.
С другой стороны, в силу положительности метрики в гиль-
бертовом пространстве, согласно C.2.25)
F(x)=$eip*d»(p), C.2.58)
где d\i(p)—неотрицательная инвариантная мера. Далее, из
ограниченности функции F в нуле, которая является следствием
ее непрерывности, следует, что мера ц всего пространства Мин-
ковского Rt конечна:
F @) = J ф (р) = ц («<) < оо. C.2.59)
Теперь мы найдем общий вид конечной инвариантной меры.
Лемма 3.2.1. Каждая конечная лоренц-инвариантная мера
имеет вид
C.2.60)
Доказательство леммы. Покажем, что мера ц сосре-
доточена в начале координат. Допустим противное. Пусть
0 ф Р@) е supp ц. Тогда, в силу положительности меры, для лю-
бого открытого множества О, содержащего р(о),
ц(О)>0. C.2.61)
Далее, поскольку р<о Ф 0, множество точек р, которые мож-
но получить из рад преобразованием Лоренца, образует неогра-
ниченную поверхность: р2= р^, [е(р°) — е(р°0))]6(р^0))=0. Если вы-
брать в качестве О э р@) ограниченное множество, не содержа-
щее начало координат, то тогда, очевидно, можно найти такую
последовательность преобразований Лоренца Л„, чтобы пере-
сечение любых двух множеств ЛПО и ЛтО при п Ф m было
пустым.

ФУНКЦИИ УАИТМАНА 201
аддитивности и инвариантности меры
И Ю > J 2 Л*О) = S ц (Л*О) = пц (О). C.2.62)
TlK как в силу C.2.61) правая часть C.2.62) неограниченно
Юэрастает, то при достаточно больших п мы придем к противо-
речию с конечностью меры C.2.59). Итак, доказано, что носи-
тель меры d[i(p) состоит из одной точки р—0.
Упражнение 3.2.5. Показать, что единственная неотрицательная обобщен-
МЯ функция, сосредоточенная в начале координат, есть аб(р), где ^0
Результат упражнения 3.2.5 позволяет завершить доказа-
тельство леммы 3.2.1 *).
Продолжим доказательство теоремы 3.2.4.
В силу C.2.58) и C.2.60)
F (х) = (В (х) ?0, В @) ?0) = F @) = а. C.2.63)
Положим
В@)?0 = Ф C.2.64)
И запишем U(x, 1)Ф в виде линейной комбинации ортогональ-
ных векторов с одинаковой нормой
U(x, 1)Ф = аФ + р<гЛ C.2.65)
где (Ф, Фх) = 0, (Ф, Ф) = (Ф\ Фх).
Тогда C.2.63) дает
(Ф, Ф) = (С/(*. 1)Ф, Ф) = а(ф, Ф). C.2.66)
С другой стороны, из унитарности оператора C/(je, 1) следует,
что |а|2 + |р|2=1. Отсюда и из C.2.66) находим, что а = 1,
Р»0, т. е. U(x, 1)Ф = Ф, или
В(х)Ч0 = В@)Ч0. C.2.67)
Упражнение 3.2.6. Пользуясь C.2.64) н C.2.67), показать, что вектор Ф
инвариантен относительно любого преобразования Пуанкаре
V (а, Л) Ф - Ф. C5.68)
Согласно предположению теоремы любой инвариантный век-
тор коллинеарен вакуумному вектору, так что
0 = В (х) ^0 = ^. C.2.69)
•) Лемму 3.2.1 нетрудно также получить из представлений A.3.62) —
A.3.63).

202 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
Итак, C.2.55) действительно имеет место. Теорема 3.2.4 до-
казана.
Очевидно, что если вакуум цикличен относительно поля В(х),
из доказанной теоремы следует, что В(х) — с и Ш одномерно.
§ 3. Восстановление теории по функционалу Уайтмана
3.1. Функционал Уайтмана и его свойства в теории скаляр-
ного поля. Теперь мы сформулируем результаты предыдущего
параграфа в несколько более абстрактных терминах. Это позво-
лит записать в компактном виде свойства функций Уайтмана
и даст возможность затем (в п. 3.2) провести простое и изящное
доказательство основной теоремы Уайтмана о построении гиль-
бертова пространства и операторов поля по заданным вакуум-
ным средним. При этом для простоты мы ограничимся случаем
одного скалярного нейтрального поля <р(х).
Пусть йо — линейное пространство обрывающихся последо-
вательностей основных функций
/=tfo, /i(*i). Ы*ь хг) fn(xu .... хп), ...}, C.3.1)
где fo — комплексное число, a f „ е af(Rin), причем с некото-
рого (зависящего от f) номера N(f) при n>N(f) все fn = 0.
Сложение и умножение на комплексное число в Йо определяют-
ся почленно:
^/ + № = Wo
Введем в Йо топологию следующим образом. Будем гово-
рить, что последовательность /<v> элементов Йо стремится к
нулю, если:
1) найдется положительное число N, не зависящее от v, та-
кое, что при п > N fw = 0 при всех v;
2) f?j4*i' •••• хт)~>^ относительно сходимости в простран-
стве ^(Rim) (при т=0 последовательность комплексных чисел
f?v) стремится к нулю в обычном смысле).
Упражнение 3.3.1. Пользуясь свойствами ядерных пространств, пере-
численных в гл. 1, п. 1.4, показать, что й0 является полным ядерным про-
странством.
Определим в Йо некоммутативное произведение по формуле
/ X g = { f0go, foffi (*i) + h (*i) &, • ¦ •
П Л
.... S ftUi xk)g»-*(**+i, • • •* *„)> • • • }• C.3.2)

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕОРИИ ПО ФУНКЦИОНАЛУ УАЙТМАНА 203
(Произведение C.3.2) действительно некоммутативно: уже в
Третьем члене при 0Ф fi(x) Ф gi(x) Ф 0, M*i)g,(*2) +
W>f\{xs)g\(x\).) Нетрудно проверить, что определенное таким
Образом произведение ассоциативно и дистрибутивно (по отно-
шению к сложению) и осуществляет непрерывное отображение
пространства пар ЙоХЙо на Йо относительно заданной сходи-
мости.
Единицей относительно произведения C.3.2) является по-
следовательность
/=A,0 0,...). C.3.3)
Действительно, легко видеть, что
/Х/=/Х/=/. C.3.4)
Определим, далее, для элементов Йо антилинейную опера-
цию сопряжения /->/* формулой
/+ = {/о, M*i). М«* *.) fn(xn *i). •••}• (З.З.Б)
Очевидно, (f+g)+=f++g+, (Я/) +=Я/+, (/*)+=/ (операция, об-
ладающая этими свойствами, называется инволюцией).
Упражнение 3.3.2. Показать, что
)+ = «-+Х/+. C.3.6)
Резюмируя, можно сказать, что Qo является ядерной алгеб-
рой с инволюцией и единицей.
В алгебре Йо можно определить преобразование Фурье по
формуле
Ff=f = {fo, M*i) f»(*i К), •••}, C.3.7)
где
C.3.8)
(Заметим, что преобразование Фурье основных функций C.3.8)
определяется с обратным знаком в экспоненте по сравнению с
преобразованием Фурье функций Уайтмана C.2.17).)
Так как при преобразовании Фурье пространство ?f(Rn)
отображается на себя, то из того, что /е Йо, следует, что
/•/е=Й0.

206 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. Э
Все «линейные» свойства функций Уайтмана могут быть ре-
зюмированы следующим образом.
Определение. Нормированный функционал Н7еЙ* на-
зывается функционалом Уайтмана, если он инвариантен и муль-
типликативно-положителен и если в правый идеал
C.3.18)
входят идеалы 0кр и 0i.c-
Упражнение 3.3.8. Убедиться, что есля № —функционал Уайтмана, то
функции Уайтмана и>„, порождаемые им согласно C.3.14), удовлетворяют
всем линейным условиям (п. 3.2), и обратно, если nun(/n) удовлетворяют
линейным условиям," то функционал V?(f) является функционалом Уайтмана.
На наш взгляд компактность и внутренняя простота форму-
лировки теории Уайтмана в терминах алгебры Оо и функцио-
нала W вполне оправдывают использование сравнительно аб-
страктной терминологии, с которой мы имели дело в этом пункте.
Условие единственности вакуума может быть сформулиро-
вано следующим образом в терминах функционала Уайтмана.
Теорема 3.3.1. Физической теории с единственным вакуу-
мом соответствует неразложимый функционал Уайтмана W.
Другими словами, если
C.3.19)
еде 0<а<1, а Н7A) и Wi2) — функционалы Уайтмана, то
Наоборот, теория с вырожденным вакуумом приводима, и
ее функционал Уайтмана разлагается на неразложимые функ-
ционалы Уайтмана. (Борхерс A962), Рее и Шлидер A962),
Морэн A963а, б).)
Мы не будем приводить здесь доказательство теоремы 3.3.1.
Доказательство последнего утверждения этой теоремы мы
изложим в следующем пункте, доказывая теорему 3.3.2.
Упражнение 3.3.9. Показать, что если мультипликативно-положительный
функционал № разложен по формуле C.3.19) на мультипликативно-положи-
тельные функционалы W<» и W<2>, то &w <= &WM Л &WW. где &w — правые
идеалы C.3.18).
В терминах функционала Уайтмана свойство разбиения ка
пучки C.2.34) (в теории с единственным вакуумом) может быть
записано в виде
limp'[H7(/Xg-{pa, l))-W(f)W{g)] = 0 C.3.20)
р->°о
при любом IP; 0 и а2<0.

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕОРИИ ПО ФУНКЦИОНАЛУ УАЙТМ4НА 207
Связь между C.3.20) и теоремой 3.3.1 частично иллюстри-
руется следующей задачей.
Упражнение 3.3.J0. Пусть функционал W разложен по формуле C.3.19)
К как W, так и К?*1' и WB), удовлетворяют условию разбиения на пучкн
C.3.20). Показать, что это возможно лишь при WW = WW = W.
3.2. Восстановление оснащенного гильбертова пространства
N операторов поля по функционалу Уайтмана. Докажем сле-
дующую теорему.
Теорема 3.3.2. Пусть в алгебре й0 задан функционал
Уайтмана W(f). Тогда существует (и определено однозначно
С точностью до унитарной эквивалентности) сепарабельное
оснащенное гильбертово пространство ПсЖсЙ*, унитарное
представление U(a, Л) группы Пуанкаре в нем, удовлетворяю-
щее условию спектральности Ш.а, и локальное операторное
поле <p(f), удовлетворяющее постулатам IV—VII, такое, что
W (/)-(?„, Р(<р;/т C.3.21)
еде Wo — нормированный инвариантный вектор (U(a, A)tyo=
"Vo), a Р(<р; f) задается формулой C.1.18), которая в случае
скалярного поля <р(/) принимает вид
W(/)
Р(Ф5 /) = fo + S Фу (fi(*i х,)). C.3.22)
Если к тому же функционал Уайтмана W неразложим, то
инвариантное состояние Уо {вакуум) единственно.
Доказательство. Мы определим пространство ef6 по
Следующей схеме. Сначала построим ядерное пространство Q
с заданным в нем непрерывным скалярным произведением
(Ф, W) и определим в нем действие операторов U(a, Л) и<р(/).
Гильбертово пространство &в будет определено затем как по-
полнение й по норме || W || = YC^i ^); унитарные операторы
U{а, Л), определенные первоначально в Й, продолжаются по
непрерывности во всем Ж.
Элементы пространства й мы определим как классы зкви-
еалентности *) в алгебре й0. Два элемента / и g мы будем
•) Понятие класса эквивалентности (употребляется также термин класс
смежности) встречается в математике часто. Так, вещественные числа опре-
деляются по Кантору как классы эквивалентности в множестве фундамен-
тальных последовательностей рациональных чисел; суммируемые по Лебегу
функции представляют собой классы «равных почти всюду» измеримых
функций. С применением понятия класса эквивалентности к определению
Обобщенных функций мы познакомились в гл. I, п. 2.2.

208 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
причислять к одному и тому же классу Чг = Чг(/1=»Чг[в-] тогда и
только тогда, когда
f0, C.3.23)
где 0—правый идеал C.3.18). В множестве классов эквива-
лентности Q можно естественным образом ввести операции сло-
жения и умножения на комплексное число, порождаемые соот-
ветствующими операциями в алгебре Йо:
*[/! + *и в *№*!• КЧГ™ s TIV1. C-3.24)
Упражнение 3.3.11. Показать, что классы эквивалентности 4'y^j и Фц/]
не зависят от выбора представителей /ну классов •Р^ и Ч^-.], что оправ-
дывает определение C.3.24).
Пространство Q классов эквивалентности называется фак-
тор-пространством пространства й0 по подпространству 0 и
обозначается
Q=Qo/0. C.3.25)
Согласно общей теореме пространство Q ядерно относительно топологии,
порождаемой топологией в fio. так как Qo ядерно, а 9 — замкнутое под-
пространство (см. Морэн A963а)).
Определим в Q скалярное произведение по формуле
C.3.26)
Пользуясь определением идеала 0 и неравенством Коши
C.3.12), нетрудно видеть, что если go^0 и /0 е 0, то
W ([g + g0) X (/+ + /о)) = W [g X Л,
так что скалярное произведение C.3.26) не зависит от специаль-
ного выбора представителей fug классов смежности Wj/j и.
W[g-]. Положительность скалярного произведения следует из
мультипликативной положительности функционала Уайтмана.
Линейность по второму аргументу и эрмитовость скалярного
произведения очевидны.
Представление группы Пуанкаре в Q определяется фор-
мулой
U (a, ALftfj = V[/{e.AjI. C.3.27)
Это определение не зависит от специального выбора / из
класса 4V], так как в силу инвариантности функционала Уайт-
мана идеал 0 C.3.18) тоже инвариантен: если f^0, то и
/(а> л] е 0. Легко видеть, что
[/(-АЛ, Л) U (a, A)=U(a, Л){/(-ЛЛ, Л) = 1

( г] ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕОРИИ ПО ФУНКЦИОНАЛУ УАИТМАИА 209
(т. е. для каждого U (а, А) существует обратный оператор
U~l(a, A)=U{—A~la, А~)) и что в силу инвариантности
(U(a, A)?w> U(a, A)VW) = (YW, Уш). C.3.28)
Следовательно, оператор U(a, А) унитарен и поэтому мо-
жет быть продолжен в гильбертовом пространстве Ж, являю-
щемся пополнением пространства Й по норме У("Р, Ч1").
Вакуум Wo определяется классом эквивалентности, в кото-
рый входит единица алгебры Йо:
(/=A, 0, .... 0, ...)). C.3.29)
Очевидно, вектор Wo инвариантен и (Ч^, Чг0)=1. Действие
операторных полиномов Р(<р;/) (и, в частности, если /=@, f(x),
0, ..., 0, ...)—действие оператора поля <p(f)) определим в Й
формулой
р(/)Т т (з.з.зо)
Из того, что 0 — правый идеал, непосредственно следует,
что действие оператора P(qp; /) на вектор W\g\ не зависит от
специального выбора представителя g класса W[g].
Отметим, однако, что это не относится к аргументу / опера-
тора P(qp;/): операторы поля являются функциями элементов
алгебры Йо, а не пространства классов й (если 0 был бы дву-
сторонним идеалом, класс Ч^хлне зависел бы от представи-
теля / класса )
Упражнение 3.3.12. Проверить, что при данном определении пространства
^представления группы Пуанкаре U(a,Л) и операторов поля <р(/) удовле-
творяются все постулаты I—VII (со слабым условием спектральности Ilia)
и что имеет место C.3.21).
Таким образом, мы решили вопрос о существовании про-
странства &в, в котором реализуется представление U(a, А) и
действуют операторы <p(f). Покажем теперь, что пространство
&в (с циклическим вакуумом) определяется функционалом
Уайтмана W однозначно, с точностью до унитарной эквивалент-
ности.
Действительно, пусть существуют два гильбертовых про-
странства &в\_ и 3&2, в которых реализуются представления
группы Пуанкаре U\(a, Л) и U2(a, А), имеются инвариантные
векторы Wio и Ч^о и действуют операторы поля qpi(f) и ф2</)
таким образом, что
№о, P(qpi; /L'io) = (lF2o, P(qp2; fL20) = W(f) C.3.31)
для любого / е Йо. Пусть Й1 и Й2 — пространства векторов вида
f(/) 'I'o (i = 1, 2). Определим оператор V, действующий из
14 Н. Н. Boio.iHjnao и др.

210 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. Э
Qi в Йг, следующим образом:
V^,o = W2o, VPfoi; /)W10 = P(qp2; f)W20. C.3.32)
В силу C.3.31) оператор V сохраняет скалярное произведе-
ние. Пользуясь тем, что пространство Ц{ плотно в &в\ (<=1,2),
нетрудно показать, что оператор V продолжается по непрерыв-
ности до унитарного оператора, отображающего взаимно одно-
значно &6\ на все Шъ\ при этом
<M/) = V«P,(/)V->, IMe. A) = VU1(a, A)V~K
Таким образом, теории, связанные с гильбертовыми про-
странствами ЗЮ\ и Шв-i и с соответствующими наборами опера-
торов, унитарно эквивалентны.
Для завершения доказательства теоремы 3.3.2 осталось до-
казать вторую часть теоремы 3.3.1, т.е. показать, что при вы-
полнении остальных условий из неразложимости функционала
Уайтмана следует единственность вакуума.
Доказательство этого утверждения проведем от противного.
Допустим, что функционал W неразложим и, тем не менее,
подпространство инвариантных векторов в е%? по крайней мере
двумерно.
Докажем сначала утверждение, обратное теореме 3.1.1.
Лемма 3.3.1. Если вакуум не единствен, то алгебра опе-
раторов поля Ш приводима. (Борхерс A962)).
Доказательство. Допустим противное. Для каждого инвариантного
состояния Ч*о (вакуума) можно найти антнунитарный оператор в такой, что
6^0 = «Го,
вф (*,) Ф (xs) Ч'„ = ф (- ж,) ф (- ха) Ч>0, C.3.33)
(в (аТ + РФ) = aW 4- рвФ).
(Оператор в называется TCP-оператором. Мы встретимся с ним в гл. Б, где
будет доказана ТСР-теорема.)
Если пространство инвариантных векторов имеет более одного измере-
ния, то в силу тождества 62 = 1 можно так выбрать ортонормнрованный ба-
зис инвариантных векторов, чтобы для всех имело место равенство 6Ч'@=
= Ч'(о. Выберем, далее, ненулевые комплексные числа а и р со свойствами
н определим
Чгав = аЧ'
Заметим, что если алгебра 81 неприводима, то любой вектор V, принад-
лежащий Q (общей области определения операторов P{<p,f)), цикличен. Дей-
ствительно, если совокупность Qi векторов ?(ф;/)Ч' (когда f меняется) не
всюду плотна в Я (и, значит, в <??), т. е. если замыкание fii — истинное

$ 3] ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕОРИИ ПО ФУНКЦИОНАЛУ УАЙТМАНА 211
подпространство «Й?, то оператор проектирования в Q|, П| будет коммутиро-
вать со всеми P((p;f), что противоречит неприводимости алгебры 21. Итак,
вектор Упр тоже является циклическим, и, следовательно, для него суще-
ствует свой антиунитарный оператор вар со свойствами C.3.33). В силу
нашего выбора чисел аир вектор
ееар4'ар = в (а^,,, + рЧ'2О) = ЙУ
неколлинеарен с вектором Ч^р. Следовательно, унитарный оператор 88ар
не кратен единичному. С другой стороны, нетрудно проверить, что
т. е. что 88ая коммутирует со всеми Р(ф; f). Таким образом мы пришли к
противоречию с предположением о неприводимости алгебры St. Лемма 3.3.1
доказана.
Итак, алгебра операторов поля 91 приводима. Нетрудно про-
верить, что совокупность всех ограниченных операторов, слабо
коммутирующих со всеми операторами из 91, тоже образует ал-
гебру. Мы будем обозначать эту алгебру через 91' и называть
коммутантом алгебры 91. Говоря, что 91' является алгеброй, мы
имеем в виду, что линейная комбинация и произведение опе-
раторов из 91' снова принадлежат 91'.
Упражнение 3.3.13. Показать, что еслиВеЭГ, т. е. если (в силу C.1.20))
дли любых Ф и V из Q
(Р (ф; /Г Ф, BW) = (Ф, ВР (ф; /) У), C.3.34)
юиВ'е Я'.
Из упражнения 3.3.13 следует, что если алгебра 91' нетри-
виальна (т. е. не состоит лишь из элементов, кратных единич-
ному оператору), то она содержит и нетривиальный самосопря-
женный оператор (В + В* или ЦВ* — В)). Нетрудно показать,
что существует и нетривиальный положительный оператор
В е 91', с нормой, не превышающей единицу; другими словами,
существует оператор В е 91' такой, что для любого Ч*1 s^?
0<(W, BW)<(W, W)*). C.3.35)
Лемма 3.3.2. Если Be 91', то В коммутирует и со всеми
операторами представления группы Пуанкаре U(a, Л).
Доказательство. Из ковариантности поля (и ковари-
антности вакуума) следует, что если В е 91', то и
l C.3.36)
•) Чтобы найти положительный операторJSeSl', достаточно, имея какой-
лнАо оиермгор fteSt', определить В как Ь*Ь\ умножая это произведение-опе-
|нпч1|1 ми. дотггочпо малое положительное число, мы удовлетворит условию
(ЗАМ).)
14*

212 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
Из формулы C.3.34), переходя к фурье-образам, находим
(%, В (q) f (Ь) ... f (kn) WQ) = (ф* (kn) ... Г (*,) Vflf В (?) Уо).
C.3.37)
В силу условия спектральности лева^ часть равенства
C.3.37) отлична от нуля лишь при q e V~ (q из замкнутого
прошедшего светового конуса), в то время как правая часть
этого равенства не равна нулю при qeV+, так как <р*(^) =
=<р(—k). В силу цикличности вакуума это возможно, лишь
если B(q) ~t>(q). (Здесь мы пользуемся тем, что в силу
C.3.30) ||В(#)|| = ||В|| не может расти вместе с у, поэтому B(q)
не может содержать производные от 6(§).) Итак, В(у) = В@) =
= В, т.е. В коммутирует со всеми операторами трансляции
U (у, 1). Следовательно, вектор BWq, так же как и Ч?а, инва-
риантен относительно трансляций и, значит, описывает состоя-
ние с нулевым 4-импульсом. Согласно нашим предположениям,
такое состояние инвариантно также относительно всех однород-
ных преобразований Лоренца *) (т. е. оно является новым ва-
куумом). Отсюда следует, что
t/@, A)BU~l@, А)Р(Ф; /)?о- V @, Л)ВР(Ф; /{a, A-i))^a =
= U @, Л) Р (Ф; /{а л-1}) В^о = Р (ф; /) В^о = ВР (Ф; /) ^0.
Следовательно, в силу цикличности вакуума \Fo оператор В
коммутирует и с 11@, Л). Лемма 3.3.2 доказана.
Итак, существует нетривиальный положительный оператор
В, удовлетворяющий C.3.35) и коммутирующий с операторами
Р(<р; /) и U(а, А). Нетрудно показать, что
<1. C.3.38)
Действительно, в силу C.3.35) 0^а<1. Если сс=О, то
Vo = O, а значит, и 64*0=0; отсюда и из коммутативности В
и Р(ф; /) следует, что В=0. Если же а=1, то ВЧГО=ЧГО, а так
как Ве51', то В=1. Но мы предположили, что оператор В не
кратен единичному оператору, что доказывает C.3.38). Такими
же свойствами обладает и оператор 1 — В.
Положим
A - a) W™ (/) = (^o, P (ф; /) A - В) Wo). ч~"—>
Упражнение 3.3.14. Пользуясь свойствами оператора В и леммой 3.3.2
показать, что W0> и №<2> являются неравными между собой функционалами
Уэйтмана.
*) Доказательство этого утверждения на основе свойств функционала
Уайтмана дано Борхерсом A962) (теорема 3).

I l! ПРИМЕРЫ: СВОБОДНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 213
Очевидно, исходный функционал Уайтмана
- а
Итак, мы пришли к противоречию с предположением о не-
разложимости функционала Уайтмана, что показывает несовме-
стимость этого предположения с существованием более одного
(линейно независимого) вакуума.
Теорема 3.3.1 доказана полностью*).
§ 4. Примеры: свободные и обобщенные свободные поля
Как уже отмечалось, до сих пор нет ни одного нетривиаль-
ного примера локальной теории взаимодействующих полей, ко-
торый удовлетворял бы всем аксиомам I—VII. Поэтому в этом
Параграфе мы ограничимся кратким рассмотрением лишь не-
скольких примеров невзаимодействующих полей. Эти примеры
показывают математическую непротиворечивость аксиом и дают
возможность судить об их независимости.
4.1. Свободное скалярное нейтральное поле с массой. Будем
говорить, что скалярное нейтральное (т.е. эрмитово) поле <р(/)
является свободным полем с массой т, если оно удовлетворяет
уравнению
W) O KD2 C.4.1)
для всех / s Sf(R4) и перестановочному соотношению
Ф (/) Ф (8) - Ф (8) Ф (I) = [ф (/). Ф Ш =
—j-j jf{x)D{x~y)g{y)d*xdty, C.4.2)
где D (х) — перестановочная функция Паули — Иордана:
D (х) = Dm (х) = -j^q- J е (р°) в (р2 - m2) e"*dV =
°е-'Р*1?. C.4.3)
m
*) Формулы C.3.39) дают нам пример функционала (аТ^<'>(/), напри-
мер), подчиненного данному мультипликативно-положительному функционалу
W(f) (это означает, что 0<aW<»(/x/+)<№(/X/+) при любом/ей,,). В слу-
чае нормированных циклических алгебр известно (см. [31], § 19, теорема 1),
что C.3.39) дает общий вид мультипликативно-положительного функционала,
подчиненною данному. Представляет интерес математическая задача об
обобщении этого утверждения на рассматриваемый случай (когда исходная
алгебра И не нормирована, но ядерна).

214 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
Уравнение C.4.1) есть не что иное, как уравнение Клейна —
Гордона для поля; в символичной форме оно имеет вид
Кф (х) = (? + /и2) ф (х) = 0. C.4.4)
Операторы ф(/), удовлетворяющие уравнению C.4.1) и пе-
рестановочным соотношениям C.4.2), действительно существуют
и определены в ядерном пространстве Q (и даже в максималь-
ном ядерном пространстве &"*,), содержащемся в гильбертовом
пространстве векторов состояний S6 и описанном в гл. 2, п. 5.1.
Действие оператора ф(/) на вектор
Ф = (Ф0, ..., Ф„(р„ ..,., р„), ...)е=Й
определяется формулой
1
п) .
C.4.5)
где преобразование Фурье f основной функции f(x) опреде-
ляется формулой C.3.8), а знак ~ч над аргументом pj озна-
чает, что этот аргумент должен быть опущен.
В частности, если Ф=ЧГО=A, 0, ..., 0, ...), то
«P(f)*o- V«@, f{- рО, 0, ...). C.4.6)
Обозначим через Df совокупность тех векторов Ф е 36, для
которых ф(/)Фе^&7. Очевидно, QsD, тогда и только тогда,
когда ряд ||ф(^Ф||2, определяемый согласно B.5.5) и C.4.5),
сходится.
Упражнение 3.4.1. а) Показать, что операторы ф(/), определенные фор-
мулой C.4.5), удовлетворяют уравнению C.4.1) и перестановочным соотно-
шениям C.4.2).
б) Показать, что если пробная функция f(x) вещественна, то оператор
ф(/) из D) в &в не только симметричен, но и самосопряжен.
Приведем некоторый интуитивный «вывод» формулы C.4.5),
при котором попутно вводятся играющие фундаментальную
роль операторы рождения и уничтожения частиц.
Фурье-образ ф(р) общего решения ф(х) уравнения C.4.4)
пропорционален в(р2 — /я2):
C.4.7)

§ 4] ПРИМЕРЫ: СВОБОДНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 215
Интегрированием по р° получаем *)
а'(р) е"] ш • C-4-8)
где
G(P) = Y=XK, p), о'(р)=-р=-*(-©,, -р), C.4.9)
Упражнение 3.4.2. Показать, что перестановочные соотношения C.4.2)
эквивалентны следующим перестановочным соотношениям для операторных
обобщенных функций:
[а (р), а (?)] = 0, [а (р), а' (?)] = 6 (р - д). C.4.10)
Указание: перестановочные соотношения C.4.10) могут быть получены
из C.4.2) по следующей схеме. Функция D(x) =D(<,x) C.4.3) является фун-
даментальным решением уравнения Клейна — Гордона:
KD(*)=0, D@, *) = 0, [J-D (/,*)] =б(ж).
L at U-a
Поэтому, полагая — = ф [t, x), для ф и ф (при равных временах)
получим из C.4.2) канонические перестановочные соотношения:
[ф (t. х), ф (/, у)] = [ф (t, X). ф (/, у)] = О,
1 C.4.11)
[Ф(/, *). «ре. з»)]-тв(*-з<).
Переходя в C.4.11) к фурье-образам, можно получить C.4.10) •*).
Если ввести сглаженные операторы
C.4.12J
*) Следуя традиции, мы вводим нековарнантные операторы рождения и
уничтожения а* н а, которые удовлетворяют простым перестановочным соотно-
шениям C.4.10). Коварнантные частотные операторы Фт(р)=х(± р) (р°=<*>р)
Удовлетворяют коварнантному перестановочному соотношению
[ф- (Р). Ф+ Ш =2озрб (р- 9). C.4.10а)
**) Тот факт, что из перестановочных соотношений прн равных временах
C.4.11) вытекают перестановочные соотношения C.4.10) и C.4.2), показы-
вает, что правила коммутации в различные моменты времени следуют из
перестановочных соотношений на плоскости лс°=/ и из уравнения движения
C.4.1).

216 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. а
то перестановочные соотношения C.4.10) примут вид
[о (и), о (о)]-0, [в (и), a(v)] = (й, о) - J и (р) о (/*)¦$?. C.4.13)
Нормировочный множитель -=¦ под знаком интеграла в
C.4.12) выбран таким образом, чтобы (и, v) в C.4.13) было
инвариантным скалярным произведением в пространстве функ-
ций на Vm- Операторы а(и) и а*(и) связаны с операторами
<р(/) соотношением
<f{f)=Vn(a'(f:)+a(h)), C.4.14)
где
Г± (Р) = f (± Р). Р° = *у C.4.15)
Операторы с* и с играют роль операторов рождения и унич-
тожения частиц (ср. гл. 2, п. 1.2). Они действуют на произ-
вольный вектор Фейпо формулам
п
(а*(и)Ф)„(Р1, -.., рп)"у^^иШ®п-ЛР1 Р/ Рп),
C.4.16)
(а(м)Ф)„(р! рп) =• Уп + 1 J м(р)Ф„и(р, р, pn)-^f.
C.4.17)
Нетрудно видеть, что
(а(н)а»Ф)п(Р1 рп)= |и(р)о
"^' Р» Pi Pni-^r. C.4.18)
(а*A))а(м)Ф)„(р, р„) =
и(р)ф»(р. р» р* pn)-^s
так что при этом определении удовлетворяются перестановоч-
ные соотношения C.4.13). Очевидно, операторы а* (и) C.4.16)
увеличивают число частиц (номер п каждого элемента столбца

I 4] ПРИМЕРЫ: СВОБОДНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 217
ф), а операторы а(и) уменьшают это число, что оправдывает
названия операторов рождения и уничтожения частиц. В ча-
стности, при Ф=Чго
а" («) % = @, и (р), 0, ...), а (и) % = 0. C.4.19)
Пользуясь формулами C.4.14) — C.4.17), мы приходим к C.4.5).
Отметим двоякую роль, которую играет функция и(р) в пер-
вом равенстве C.4.19): и в левой части — это основная функ-
ция, сглаживающая обобщенную операторную функцию а&Цр);
в правой части и(р) выступает как компонента вектора состоя-
ния — волновая функция одночастичного состояния.
Операторы в точке <р(*)» а(Р) и а*(Р) могут быть опреде-
лены как операторы из П в П* — они порождают обобщенные
состояния. Правила для их применения можно получить из
C.4.5) и C.4.16)—C.4.17), замечая, что
= J
Из C.4.6) и C.4.19) получаем одночастичные состояния с оп-
ределенной координатой и импульсом:
~Q), 0,...).
В дальнейшем мы часто будем иметь дело с обобщенными
многочастичиыми состояниями B.5.21), которые следующим об-
разом выражаются через операторы а*:
P,
^V'Ha(ftft) ЧРQj C-4.21)
И)
где сумма распространена по всем перестановкам {/} = (i\,.... in)
чисел A п).
Любое n-частичное состояние может быть представлено как
суперпозиция состояний C.4.21):
•14/',...., Р*) =

218 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
Оператор числа частиц B.5.17) выражается следующим об-
разом при помощи операторов рождения и уничтожения
N = J a(p)a(p)dsp. C.4.22)
Для доказательства C.4.22) заметим, что согласно C.4.18)
оператор «плотности числа частиц» а*\р)а(р) действует как
оператор из й в Q* по формуле
л
(а*(р)а(р)Ф)п{р1 р„)= 2 6(р— Р;)ФП(Р1» •••> Рп)-
Отсюда интегрированием по р мы убеждаемся, что опера-
тор C.4.22) действует по формуле B.5.17). Произведение опе-
раторов рождения и уничтожения, в котором все операторы
рождения стоят слева от операторов уничтожения, называется
нормальным.
Отметим, что, в противоположность нормальному произве-
дению а*(р)а(р), произведение а{р)а*(р) не определено ни
для одного вектора из &6. Это следует из того, что первый член
в правой части первого равенства C.4.18) стремится к 6@)Фт,=
= оо, когда и и v стремятся к ]fp°b(p — q).
После того как мы определили оператор плотности числа
частиц, нетрудно ввести и другие динамические переменные.
Например, оператор суммарного четырехмерного импульса
имеет вид
' а'(р)а{р)р*(Рр. C.4.23)
Упражнение 3.4.3. а) Показать, что функции Уайтмана в рассматривае-
мой теории свободного эрмитова поля имеют вид
«>2П+1 (*! *2пп) S °' W2 (XV Ъ) = F2 (Xl ~ Х2) = Т D«' (*1 ~ **)'
C.4.24)
Щп(х *п)= 2 П «'>(%¦ *Jv)'
где сумма распространена по всем разбиениям индексов 1 2я на п раз-
лкчных пар (/¦> Ji) (i%,in), где iv ¦< iv» a D?j'— отрицателыю-часготная
функция Паулн — Иордана
J
6 (± Р°) б (ps - m«) d<p =
±1*16(x')f —2^= [N, (m fl?) т fe (*-) /, (m
2
C.4.25)

I 4) ПРИМЕРЫ: СВОБОДНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 219
(Указание: ввести операторы рождения и уничтожения в х-пространстве
по формуле
'т
Где использованы обозначения а(р)=а<--Цр), а*(р)=а(+)(Р)- Пользуясь тем,
что «р<-)(лг)Ч'о=О, а (ф<+)(Аг))* = ф(-)(дг), показать, что
Н (> ) [М <) ] C.4.27)
И отсюда получить явное выражение для ша.)
б) Доказать равенство C.4.23) для win при помощи индукции по п,
имея в виду формулы
[<РН (*). <Р (У)] = [<Р (*). <Р(+) (у)] - [ф' (*). Ф(+' [у)] - у С(-> (* - у)
И рекуррентное соотношение
где (как и раньше) знак "~~ над аргументом Jtj означает, что этот аргумент
должен быть опущен.
Упражнение 3.4.4. Найти аналитические выражения для Fщ (?ь ...
.... Esn-i) при комплексных J из прошедшей трубчатой области Т- (см.
П. 22, теорема 3.2.2).
Упражнение 3.4.5. Показать, что для свободных полей при п>2 усечен-
ные средние ш? равны нулю.
Упражнение 3.4.6. а) Описать идеал 9 C.3.18) в рассматриваемом здесь
случае свободного поля.
б) Найти соответствие между фактор-пространством Q=Q0/?7 и про-
страпстпом Я обрывающихся последовательностей симметричных функций,
определенных на произведении гиперболоидов Vj/"' (см. гл. 2, п. 5.1) *).
4.2. Заряженное скалярное поле. Заряженное поле, в отли-
чие от нейтрального, описывается неэрмитовыми операторами
<р(х). Свободное комплексное скалярное поле <р определяется
как операторная обобщенная функция <p(f), удовлетворяющая
уравнению Клейна — Гордона C.4.1) (как и эрмитово поле) и
перестановочным соотношениям:
1ф(Л. ф(я)] = 1ф4Ш, ф'(*)] = о,
Гф' (/). Ф (В)] = [Ф (Л, Ф* (8)] = Т J fnx)D{x-y)g(g) d*x d%
C.4.29)
•) Отмстим, что идеал & C.3.18) содержит двусторонний идеал ffK
i1 Гш пинами функциями
Ип '-' <v> ("«»). « K.tj — оператор Клейна —Гордона по переменной х,.

220 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 8
Любое комплексное поле у(х) может, естественно, быть
разложено на вещественную и мнимую части:
х) = ф1 (*) + «р2 (х), W (х) = ф1 (х) - fa (x),
где поля ф1 и ф2 эрмитовы. Нетрудно видеть, что перестановоч-
ные соотношения C.4.29) будут выполняться автоматически,
если каждое из полей фа (сс=1, 2) удовлетворяет перестановоч-
ным соотношениям C.4.2) с одной и той же массой т, а
Таким образом, комплексное свободное поле сводится к ком-
бинации двух независимых эрмитовых полей. Однако разло-
жение на вещественную и мнимую части не имеет никакого фи-
зического 'смысла в единственно интересном случае, когда тео-
рия инвариантна относительно фазовых (градиентных) преоб-
разований
ф(х)->е'ЧМ, <p'(*)->e-'V(*)- C.4.30)
В терминах функций Уайтмаиа такая инвариантность означает,
что вакуумные средние, в которых число полей ф и ф* неоди-
наково, должны обращаться в нуль.
Только при наличии симметрии C.4.30) с полем ф можно
связать сохраняющийся электрический заряд.
Пространство одиочастичиых состояний Ш\ в этом случае
состоит из функций Ф(р, е), заданных на гиперболоиде V*m и
зависящих еще от дискретного индекса е — знака заряда, при-
нимающего два значения «+» и «—». По определению, функ-
ции с разными зарядами Ф(р, '+), Ч^р, —) ортогональны друг
другу. Сумма функций с разными знаками заряда не является
физически реализуемым состоянием (заряд задает правило от-
бора, см. гл. 1, п. 1.3), так что пространство Ш\ разбивается
на прямую сумму когерентных подпространств: з5&?1*=з5&?1+фз5&?1_
Пространство п-частичных состояний Фвн определяется обыч
ным образом (см. гл. 2, п. 5.1) как симметризоваиное тензорное
произведение п пространств Ш\. Оператор ф*, по определению,
увеличивает заряд системы, а ф — уменьшает его.
В частности,
(О, f(-pi)«..-1, 0, ...),
,+i, о,...).
Упражнение 3.4.7. э) Определить, в согласии с C.4.1) и C.4.29), действия
операторов <p(f) и <p*(f) на векторы состояния
Ф-(Фв, Ф,(р, с) ©„О»,, «,; plt «,;..

I 4J ПРИМЕРЫ: СВОБОДНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 221
где в] =¦ ± 1, Р] е V*m, а Фп симметрична относительно перестановки аргу-
ментов (pj, (Sj).
6) Найти оператор электрического заряда.
Указание: ввести операторы рождения и уничтожения частиц положи-
тельного (а*'*\ о'*') н отрицательного (о*^~\ </"') заряда, которые связаны
с полем <р(х) формулой
ф w" I{fl<+) (p) e~lpx+а*н (р) е""} ш
Упражнение 3.4.8. Найти функции Уайтмана для заряженного поля. Об-
ратить внимание, что функции, в которые входит неодинаковое число полей
ф н ф', исчезают •).
4.3. Свободное спинорное поле. Свободное спинорное поле
с массой т является спи норной операторной обобщенной функ-
цией tp(jc) = {t|3ra(jc)}, удовлетворяющей уравнению Дирака
B.4.35) и следующим перестановочным соотношениям при рав-
ных временах:
-у) {6Лбг)
(здесь, как и в C.1.9), знак [,]+ означает антикоммутатор).
Этим перестановочным соотношениям можно придать реля-
тивистски ковариантную форму, аналогичную формуле C.4.2)
в случае скалярного поля.
Для этой цели запишем общее решение уравнения Дирака
в виде интеграла Фурье **) (ср. с C.4.3l))i
C.4.33)
*) Это свойство выражает закон сохранения электрического заряда и
является , следствием инвариантности теории свободного заряженного поля
онюентельно преобразований C.4.30). Оно должно сохраняться и в теории
м:ш11*||)действующего заряженного поля.
••) Следуя традиции, мы рассматриваем здесь лишь комплексное спинор-
Инг iiiuir. Можно ввести также истинно нейтральное спинорное поле, в кото-
ром й'1>—6<-> Оюле Майорана, св. Майорана A937)). В базисе Майорана
B.4.32) пол* Майорана эрмитово. Несмотря не это, оно ненаблюдаемо. по-
скольку пр»о6рму«тсв по двузначному представлению группы Пуанкаре.

222 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАИТМАНА [ГЛ. 3
где »1** (р) — четырехкомпонентные спиноры с определенной
проекцией спина ?=±-g-, удовлетворяющие уравнениям
(p=Pm)v^)(p) = 0 при ро=сй„. C.4.34)
Упражнение 3.4.9. Показать, пользуясь C.4.34), что функция ф C.4.33)
действительно удовлетворяет уравнению Дирака B.4.35).
Заметим, что спиноры v^(p) связаны со спинорами ur<*'(/j)f
с которыми мы имели дело в гл. 2, п. 4.2, по формуле B.5.48).
Они удовлетворяют условию ортонормироваиности B.5.50). Со-
отношения B.4.52) и правила суммирования по проекции спина
B.4.53) и B.4.54) для спиноров B.5.48) приобретают вид
>(-p) = 0; C.4.35)
Обратим внимание на связь представления C.4.33) с раз-
ложением B.5.5П (роль волновых функций Ч?(р, %,, е) играют
операторы ftje) (/?)).
Из одновременных перестановочных соотношений C.4.32)
вытекают следующие перестановочные соотношения для опе-
раторных обобщенных функций &?*' (Р) и Для «х эрмитово со-
пряженных функций:
[ft?* (A b
)
Чтобы получить C.4.37), найдем обратное (трехмерное) преоб-
разование Фурье к C.4.33) при (=0 и воспользуемся соотно-
шениями B.5.50); например, для Ь^ получаем
Ь? (р) = г>?° (р) -^з/2 J * @. *) еЧ>*й3Х. C.4.38)
Отсюда и из C.4.32) перестановочные соотношения C.4.37) вы-
текают непосредственно.
Правила коммутации C.4.37) позволяют, со своей сторо-
ны, получить ковариантные перестановочные соотношения для

! i] ПРИМЕРЫ: СВОБОДНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 223
операторных полей гр (л:) и -ф (х):
№•(*). 1* (?)]• = №«(*). Фэ (»)]* = о,
IfW, %Ш* = Is»(*-*)• C'4'39)
Где
S (ж) = (/уа„ + т) D (х) = -^ J -?f [«-'*« (/> + ш)+в"» 09 - т)] =
J d V (P°)«(P2 - m2) 09 - m) e"" C.4.40)
BлK
(при получении C.4.39) — C.4.40) мы воспользовались равен-
ством C.4.36)).
Покажем, что действительно существуют операторные функ-
ции, действующие в пространстве 3@A/з) (гл. 2, п. 5.3), кото-
рые удовлетворяют перестановочным соотношениям C.4.37) или
C.4.39).
Операторы ftj; (р) и их эрмитово сопряженные могут быть
определены как операторы из Q('/s) в fi*Gs) по аналогии с
операторами а<*>(р) скалярного заряженного поля, исходя из
того,*что оператор x[)*(jc) увеличивает, a ty(x) —уменьшает за-
ряд системы на единицу. Оператор Ь^ (р) будет интерпретиро-
ваться как оператор уничтожения частицы, а оператор Ь?<-> (р)—
как оператор рождения античастицы. Аналогично, оператор
6;^'(р) «рождает» частицу, а Ь^(р) «уничтожает» античастицу.
В соответствии с этой интерпретацией будем иметь
= о,
\ = \р, ?, -е),
где | р, ?, е) ^Q"ml/2— обобщенное одночастичное состояние с
импульсом р=(о-р, р) с третьей проекцией спина ? и зарядом
?=± (е — это заряд частицы: е = — 1 для электрона, е= + 1
для протона). Операторы
{| C.4.42)
и онера торы, им сопряженные в гильбертовом пространстве
k'&V/a). действуют следующим образом (ср. с формулами

221 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
C.4.16) и C.4.17)):
J f (р) Ф„+1 (pie; р&е,; ...; р?пеп) -^ ,
« C.4.43)
; ...; pfae,\ ...; pnt,nen)X
Упражнение 3.4.10. Показать, что операторы C.4.43) удовлетворяют пере-
становочным соотношениям
г1
(f) 6^° (й]+- (*, fl *tt,*^ ^ «jp*^ J g U» fiP) &.,
вытекающим из C.4.42) и C.4.37). (Указание: исходя из C.4.43), получить
аналоги формул C.4.18).)
Если f(p) e ?f(R3), то операторы C.4.43) переводят про-
странство Q('/2) в себя и непрерывны относительно топологии
ядерного пространства. Замечательно другое: в противополож-
ность бозевскому случаю операторы C.4.43) являются ограни-
ченными операторами, определенными во всем гильбертовом
пространстве фермионов s%?(I/2). Для доказательства этого
утверждения достаточно потребовать, чтобы сглаживающая
функция f(p) имела интегрируемый квадрат с весом сов во всем
трехмерном пространстве, т.е. чтобы (/, /)<оо, где (f, f) опре-
деляется формулой C.4.44) (не обязательно требовать диф-
ференцируемости или быстрого убывания этой функции, т. е. ее
принадлежности kS^(R3)).
Действительно, в силу C.4.44)
). C.4.45)

|'4j ПРИМЕРЫ: СВОБОДНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 225
I
^Следовательно, оба оператора bf(f) и (&?е) (/))* ограничены по
Норме, коль скоро f (р) е= J5?s(Vm). Отсюда следует ограничен-
ность по норме и оператора г[з (g) = i[3o (ga), так как
гр(g) - \ГШf Ji/2D+) (fd + bT' (fl))• C-4.46)
ГДе
/* (p) = of±) (p) ga (+ p), p° - со,. C.4.47)
Оператор плотности числа спинорньх частиц определяется
формулой
и
; • - •; Р»?ПО S в(р- P/Jfttt^,- C.4.48)
Отсюда находим следующие выражения для операторов числа
Частиц N, электрического заряда Q, третьей проекции спина S3
И 4-импульса фермионов Р*:
1/2
? \bT(p)b[e)(p)d3p, C.4.49)
1/2
J bc<e)(JD)b?e)(P)rf3iD, C.4.50)
f Thtftt C-4.S2)
e=.±
Иикуумные средние от произведений спинорных полей г|з и ф
|)t!iniiii нулю, если число полей г[) не совпадает с числом дира-
Koiui сопряженных полей гр. Отличные от нуля двухточечные
функции Улмтмана свободного спинорного поля имеют вид
t
. C.4.53)
¦'„Ф (v,. V,) = <01 ф (*,) гр (д:2) 10) = | S(m+) (д^ - xfr

226 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
где
C.4.54)
Частотные функции скалярного поля Dj^'(x) определены
формулой C.4.25). Высшие функции Уайтмана выражаются
в виде суммы произведений двухточечных функций по аналогии
с формулой C.4.24) для скалярного случая. Например,
(xv x*)wn(x» xs)wn(xv xs)w(x2> *<)> ,_ . „.
(О.4.55)
xv x^ = ww{xv X2)wn(x* x*) +
И Т. Д.
4.4. Вторично квантованное представление дискретных опе-
раций Р, Т и С. Рассмотрим поведение квантованного спинор-
ного поля при отражениях пространства и времени и при зарядо-
вом сопряжении. Отметим, что, хотя смысл этих преобразований
будет выясняться на примере свободного поля, полученные фор-
мулы будут справедливыми и в общем случае.
В'соответствии с анализом, проведенным в гл. 2, п. 4.1, и с
общим определением ковариантного операторного поля (п. I.I)
мы определим следующим образом операции /а (или Р), It
(или Т) и /с (или С) для спиноров. Пространственному отраже-
нию /«,, действующему на 4-вектор х по закону 1в(х°, х) =
= (х°, —х), поставим в соответствие унитарный оператор U(I,)
такой, что
U (Is) * (х) IT1 (Is) = гьуЧ AЛ
U (/,) ф (*) и~' (Is) =¦¦ тьу°Ф Vsx), (| п. | = I).
Отражению времени /< поставим в соответствие антиунитарный
оператор U(lt) такой, что
U {It) гр (х) и'1 (/,) = T)/Y5C-4 (Itx),
U (/,)ф (х) и~1 (/,)= - fj^(Itx) Y5C= -fj/YBC-4,Aч, 1= I).

|f|i ПРИМЕРЫ: СВОБОДНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 227
Зарядовое сопряжение спинора определим как унитарный
§ператор U Aс) такой, что
VUc№(x)U~ Сс) — т1сСф(х) =а tic^lf (х),
= г\с$с(х) C-4-58)
С|Пс1=1.
Отметим, что, несмотря на внешнее сходство формул
Ц8.4.56)—C.4.58) с формулами для дискретных преобразований
алновых функций (гл. 2, п. 4.3), «вторично квантованные» опе-
1ТОры U(h), U(It) и U(Ic) имеют иной смысл. Они являются
1раторами в пространстве Фока и не коммутируют с опера-
j)BMH рождения и уничтожения fc*W(p) и ftW(p), в то время
|К числовые множители (в том числе и спинорные компоненты
!'*»(/») коммутируют с унитарными операторами U{I,) и U(Ic),
при перестановке с антиунитарным оператором U(It) заме-
няются на комплексно сопряженные.
Из C.4.56)—C.4.58) находим трансформационные свойства
^ОМраторов уничтожения при дискретных преобразованиях:
(P)y-1(/e)=-rf(-p);
U (/4) Ь« (р) и'1 (I,) = W ^ Ь» (- р),
^ C.4.60)
(P)?/-'(/,)= -v(-D2 Е^(-р);
Чтобы вывести отсюда трансформационные свойства опера-
Торов рождения, заметим, что как для унитарного, так и для
¦нтиунитарного оператора U и для произвольного оператора Ь
(UbUyUb*^1
Упражнение 3.4.11. Пользуясь разложением Фурье C.4.33) операторного
ПОЛЯ ф(х). доказать эквивалентность формул C.4.59) — C.4.61) с форму-
лами C.4.56) - C.4.58).
Указание: установить предварительно следующие тождества для спино-
ром, удовлетворяющих уравнению Дирака:
V0»^' (- p) - ± 4*' W- C-4-62)
1
у'С'о^*' (- Р) — ± ' (-1J о^*' (Р),
1
С{ (р) ^ Of (Р)""("~1) °[; (P)t
16*

228 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАИТМАНА [ГЛ. 3
а затем воспользоваться антиунитарностью оператора V(Л) и унитарностью
операторов V(l,) и V(lc). При выводе формул C.4.62) — C.4.64) удобно
проверить их сначала в представлении B.4.31), в котором матрица y° диаго-
нальна. В этом представлении спиноры о имеют вид (ср. B.4.55))
ш 4- т ег \ ... I / <в 4- т
C.4.65)
нетрудно убедиться непосредственно, что формулы C.4.62) —
C.4.64) не зависят от выбора представления.
Сделаем несколько замечаний по поводу законов дискретных
преобразований. В то время как оператор зарядового сопряже-
ния спинора B.4.25) антиунитарен, «вторично квантованный»
оператор U(IC) C.4.58), C.4.61) унитарен. Унитарность опера-
тора U(IC), определенного из C.4.61), может быть получена
как следствие из требования инвариантности перестановочных
соотношений C.4.39) относительно зарядового сопряжения. При
проверке инвариантности перестановочных соотношений исполь-
зуется равенство
C-lS(x-y)C=-ST(y-x), C.4.66)
доказательство которого мы предоставляем читателю.
Наоборот, чтобы сохранить инвариантность перестановочных
соотношений относительно отражения времени, необходимо по-
требовать, чтобы оператор U (It), определенный из C.4.60), был
антиунитарным, что приводит к C.4.57). Мы уже познакомились
в гл. 2, п. 3.3 с иным, более общим обоснованием антиунитар-
ности оператора U{It) (исходя из требования положительности
энергии физических состояний). Из C.4.59) и C.4.60) мы видим,
что, в то время как пространственное отражение приводит лишь
к изменению знака трехмерного импульса частицы, при отраже-
нии времени меняется знак как у импульса р, так и у проекции
спина ?. Произведение всех трех операторов U(IS), U(IC), U(It)
(так называемый ТРС-оператор) приводит, со своей стороны,
к замене частицы на античастицу с тем же импульсом и проти-
воположным спином.
Из свойств преобразования спинорных полей легко найти
при дискретиых трансформациях поведение билинейных комби-
наций типа ipOty, которые имеют непосредственный физический
смысл. Например, оператор электрического тока задается в виде

I 4] ПРИМЕРЫ: СВОБОДНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 229
Нормального произведения
k(x) = - е: ф (х) У|11р М» C.4.67)
(Напомним, см. [4], что нормальное произведение спинорных по-
Аей определяется таким образом, что все операторы рождения
В произведении стоят слева от всех операторов уничтожения,
а необходимые перестановки выполняются так, как будто все
антикоммутаторы равны нулю.)
Упражнение 3.4.12. Показать, что
и Сс) U W v~l Сс) - - V <*>• (З-4-68)
V (//) /ц (*) 0 (//) - «Wn Ci*). C.4.69)
V Us) V (*) IT1 Им) - ffwJ» (/,*)• C-4.70)
До сих пор мы рассматривали Дискретные преобразования
несколько формально, задавая лишь законы преобразования
квантованных полей. Возникает вопрос: существуют ли действи-
тельно операторы U(IS), U(IC) и U(h)> удовлетворяющие соот-
ношениям C.4.56)—C.4.58), в какой мере они определяются
этими соотношениями И как они действуют на векторы со-
стояния?
Если удовлетворяется условие полноты VII (п. 1.3), то не-
трудно сконструировать операторы U, удовлетворяющие еще
добавочному условию инвариантности вакуума:
U (Is) Ч0=и (/,) % = U (/с) % - 4*0. C.4.71)
Действительно, в силу VII любой вектор в ??в может быть
аппроксимирован линейной комбинацией векторов вида
ф„ = \... j ^4xt)... **•(«„)/(«„..., *„) А ... d\nw0,
где A,j = ±I, У**(х) ^^С*). ilr'Mes ф(д;). Действие операторов
V па вектор Фп задается в силу C.4.71) формулой
- / • • • f П*1 хп) и^'Ы V1 ...
гдо 1'~f для U (Is) и U AС) и f' = f для U (It).
Операторы U, определенные таким образом на всюду плот-
ним множестве О, могут быть продолжены по непрерывности во
h«'»'M пространствез55? и являются унитарными (антиунитарными)
<ШГ11!!Т1фЛМ11.
I l|iiiitrJU4iiioe рассуждение показывает также, что при до-
условии Ч3.4.71) операторы V определяются

230 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАИТМАНА [ГЛ. S
однозначно законами преобразования полей. Возникает вопрос,
в какой мере требование C.4.71) независимо от остальных, или,
другими словами, какой произвол остается при определении
операторов U, если предполагать лишь, что имеет место
C.4.56) — C.4.58). Оказывается, что в этом случае каждый из
операторов определен с точностью до фазового множителя. Убе-
димся в этом на примере оператора U(I,).
Прежде всего, используя C.4.56) и C.1.6), находим
№ (х), U (/s) U (a, A) U'1 (О IT1 (fsa, 1,АГ,1)] = 0, C.4.72)
где
ljx=a^eueT\ Г.АГ,1 ¦¦ еАГ1 = A*~l (A.= + l, Ae=SLB)). C.4.73)
Отсюда в силу неприводимости поля (теорема 3.1.1) следует,
что
U (/g) U (a. A) U~l (/s) IT1 (i^a, 18А1?) = ©1, C.4.74)
где |<о|= I. Умножая справа C.4.74) на U{lsa, I?AI^U{IS) и
применяя обе стороны полученного равенства к вакууму, на-
ходим
U {U, IsAi:1) U (Is) Уо = ш"' U (Is) Wo. C.4.75)
Формула C.4.75) показывает, что вектор 11A^4*0 инвариантен
относительно собственной группы Пуанкаре. Однако согласно
принципу спектральности (гл. 2, п. 3.2) вакуум есть единствен-
ное инвариантное состояние. Поэтому
U(Is)W0 = el°W0. C.4.76)
Подставляя этот результат в C.4.75), мы убеждаемся, что
оо = 1, т. е., таким образом,
U (/.) U (a, A) IT1 (I.) = U Aл 1.АГЛ C.4.77)
Зная действие оператора U(Ie) на вакуум (формула
C.4.76)) и пользуясь C.4.56), находим, как и выше, действие
t/(/e) на все векторы Я, а затем по непрерывности продолжаем
его на все гильбертово пространство Ж.
Полученные результаты могут быть обобщены следующей
теоремой.
Теорема 3.4.1. Пусть в теории спинорного поля (с един*
стеенным циклическим вакуумом WQ) имеется унитарный опера-

ПРИМЕРЫ: СВОБОДНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 231
U(IS), удовлетворяющий C.4.56). Тогда оператор U(I,)
ределен с точностью до фазового множителя eia, причем его
йствие на вакуум определяется формулой C.4.76). Далее,
ни (а,А)<=%,а автоморфизм (а, Л)->(/,а, 1,А1~^) этой груп-
(ПЫ задан формулой C.4.73), то имеет место C.4.77). Если опе-
ратор U(Is) удовлетворяет добавочному условию C.4.71), то он
Определен однозначно.
,, В дальнейшем мы всегда будем предполагать выполненным
'^условие инвариантности вакуума C.4.71).
' Упражнение 3.4.13. а) Пользуясь C.4.59) — C.4.61) и C.4.71), показать,
'ЧТО если спинорное поле неприводимо, то
V* С с) - V* С) = F Gc) V ('s)Y = \V (',) V С.)Г - !• C.4.78)
б) Показать, что для того, чтобы V(lc) коммутировало с U{la), необхо-
димо к достаточно, чтобы т)а было чисто мнимым, так что
i?- - 1. C.4.79)
Прк этом наряду с условием
[V(tc), V (/,)] = О C.4Л0)
выполняется и равенство
С* (/*) - 1. C.4.81)
в) Показать, что для того, чтобы U(IC) коммутировало с V(It), необхо-
димо и достаточно, чтобы произведение т)сТ)» было вещественным, так что
1- <3-4-82)
Тогда к тождествам C.4.78) добавляется еще равенство
Если операторы U(IS), V(It) и U(IC) должны интерпретиро-
ваться как физические преобразования Р, Т и С, то их квад-
раты и квадраты любого их произведения должны быть крат-
ными единичному оператору в любом когерентном подпростран-
стве, поскольку двукратное применение любого из этих преобра-
зований эквивалентно тождественному преобразованию. Вообще
говоря, это требование приводит к новым правилам супер-
отбора (см. гл. 2, п. 1.3). Однако при выборе фазовых множи-
телей согласно C.4.79) и C.4.82) это не так. Действительно,
нетрудно видеть, что в этом случае
{U(rc)U(I,))*=U*(Is)
1 для состояний с целым
полным спином,
—1 для состояний с полу-
целым спином.
C.4.84)

232 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. 3
С другой стороны, всегда
и2 (/с) -1. W (Л) и (/,)]*={и (/,) и (С) ? =
1 для состояний
¦ lU(Ic)U(Is)U(It)f=Umt) =
с целым спином,
— 1 для состояний с по-
луцелым спином.
C.4.85)
В дальнейшем мы будем придерживаться именно этого со-
глашения при выборе фазовых множителей. Заметим, что даль-
нейшее уточнение этих множителей не является необходимым,
так как различным выборам фаз, удовлетворяющим C.4.79) и
C.4.82), соответствует одна и та же физическая теория.
Например, теория, в которой Tja=i, не отличается от теории
Tfe =—t. Это следует из того, что в данном случае существует
оператор R = U(a = О, А = —1), соответствующий вращению на
угол 2я вокруг третьей оси, кратный единичному оператору как
в подпространстве состояний с целым спином (где R = 1), так
и в подпространстве состояний с полуцелым спином (где
/? = —1) и такой, что ?/'(/„)= RU(I,,). (Оператор R принадлежит
центру группы ф, т. е. коммутирует со всеми операторами этой
группы.) Однако отношение коэффициентов tj, для двух разных
спинорных полей является наблюдаемой величиной и называется
относительной четностью спиноров. В силу C.4.56) и C.4.79)
относительная четность дираковых сопряженных спиноров W
и W равна всегда —1.
Более детальное рассмотрение этого вопроса находится в
монографии [2], §§ 3—5.
Заметим, что класс операторов U, определяемых соотноше-
ниями C.4.56) — C.4.58), не исчерпывает всех представлений
дискретных операций /„, It и /с в случае системы спинорных
полей. Так, для системы двух спинорных полей можно найти
неприводимое представление этих трех операций в пространстве,
в котором эти два спинора объединены в один восьмикомпо-
нентный спинор, что соответствует, в частности, изотопической
симметрии (см., например, Огиевецкий и Чжоу Гуан Чжао
A949), а также Ли и Вик A966)).
4.5. Обобщенные свободные поля. Представление Челлена—
Лемана. Две характерные черты свободного поля особенно
упрощают его изучение. Во-первых, коммутатор свободного бо-
зонного поля [<р(*), <р({/I есть число (т. е. он кратен единичному
оператору в пространстве Фока); во-вторых, он зависит лишь от
разности аргументов х и у. Спрашивается, нельзя ли построить
физически нетривиальную теорию, в которой сохранялось бы по

ПРИМЕРЫ: СВОБОДНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 233
|йней мере одно из этих свойств? Ответ на этот вопрос отри-
|телен. Оказывается, что если потребовать, чтобы коммутатор
кя (например, скалярного) был кратен единичному оператору,
предположения, что это поле удовлетворяет какому бы то
было уравнению, то можно показать, что оно, по сути дела,
пяется суперпозицией свободных полей. Это дает основание
Назвать такое поле обобщенным свободным полем (Гринберг
1A961)). Причина физической тривиальности обобщенного сво-
[Водного поля кроется в том, что его двойной коммутатор тожде-
ственно равен нулю. Тем не менее изучение обобщенных сво-
¦бодных полей представляет некоторый теоретический интерес
'ХОТЯ бы потому, что дает указание на то, чего нужно избегать
Яри поисках нетривиальной теории.
, Прежде всего, можно убедиться, что упомянутые выше два
Характерных свойства свободного поля эквивалентны между
Собой.
Упражнение 3.4.14. Показать, что коммутатор обобщенного свободного
ПОЛЯ (р(*), который, по определению, является числовой функцией С(х,у),
Мвисит лишь от разностк аргументов хну, если поле <j> трансляционно-
ИИВаркантно.
Обратное утверждение несколько менее тривиально.
Ъеорема 3.4.2. Если локальное поле <р (х) неприводимой
Ых),<р{у)]-В{х-у), C.4.86)
ТО оператор В(х) кратен единичному, т. е. <p(x)—обобщенное
свободное поле.
Доказательство. Пусть точка г пространственнопо-
добно расположена относительно х и у. Тогда в силу тождества
Якоби
И*), фШ + М*). foto). Ф(*)]] +
И*), ф(х)]] = О C.4.87)
и локальности поля <р находим
|ф(г), В{х-у)] = 0. C.4.88)
Покажем, что на самом деле равенство C.4.88) справедливо
при любом расположении точек х, у и г. Действительно, выбирая
иространственноподобный вектор а достаточно большим по аб-
голютной величине, можно добиться, чтобы векторы х+а — г и
ц \ а -г были пространственноподобными, какими бы ни были
фиксированные векторы х, у и г. В силу того, что В зависит
jiiiiiiii or разности х — у, равенство C.4.88) справедливо и в
»том случно. Остается воспользоваться неприводимостью поля<р
(см. и. Ы), чтобы заключить отсюда, что оператор В(х — у)

234 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАИТМАНА [ГЛ. 3
кратен единичному и, значит, <р (х) — обобщенное свободное
поле. Теорема доказана.
Итак, коммутатор скалярного обобщенного свободного поля
может быть записан в виде
foM. <Р 0/)] = у А (*-{/) C.4.89)
(множитель — 1 введен для удобства — ср. C.4.2)). Из C.4.89)
непосредственно следует, что обобщенная функция А(х) не-
четна: А(х) =—A(jc). Посмотрим, какие условия на эту функ-
цию накладывают требования лоренц-инвариантности и поло-
жительной определенности метрики в пространстве векторов со-
стояния.
Упражнение 3.4.15. Показать, что нз релятивистской инвариантности об-
общенного свободного поля следует его локальность. Указание: нз нечет-
ности и лоренц-инвариаитностн функции А вывести, что
Д(х —j/)=0 при (х— J/)s<0. C.4.90)
Совершенно аналогично из нечетности и инвариантности
фурье-образа Д(р) функции А(*) следует, что
Д(р)=0 при р2<0. C.4.91)
Условие C.4.91) следует еще и из требования спектральности,
которое, таким образом, тоже не является полностью независи-
мым требованием по отношению к обобщенному свободному
полю.
Функция А (* — у) просто связана со второй функцией Уайт-
мана w2(x, y)=F2(x— у):
f А {х - у) = (^о, [<р {х), <р {у)] Уо) = F2 {х - у) - F2 {у - х). C.4.92)
Согласно п. 2.2 (формула C.2.25)) из положительности метрики
в пространстве векторов состояния следует, что преобразование
Фурье F2(p) функции Рз[х) является неотрицательной обоб-
щенной функцией. Отсюда следует, что
A U) = -~ { е (р°) е-'Р* 4i (р), C.4.93)
где ц(р) —положительная (четная) инвариантная мера умерен-
ного роста, сосредоточенная внутри светового конуса. Согласно
гл. 1, п. 3.5
ф(р)= \ь{р2-к)йа{к)й*р, C.4.94)
А=0

I 4] ПРИМЕРЫ: СВОБОДНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 235
ГДе а{к)—монотонно неубывающая функция умеренного роста.
Подставляя C.4.94) в C.4.93), получим
оо
А (ж) = J DVT (ж) da (Ц, C.4.95)
где Dy^ [х) — перестановочная функция Паули — Иордана
C.4.3). Формула C.4.95) называется представлением Челлена —
Мемана для вакуумного среднего от коммутатора полей. Из вы-
вода ясно, что это представление справедливо в любой теории,
В которой выполняются требования релятивистской инвариант-
ности и положительной определенности метрики в пространстве
векторов состояний. Отличие рассматриваемого здесь случая об-
общенных свободных полей состоит в том, что для них, в силу
C.4.89), представление C.4.95) имеет место для самого комму-
татора, а не только для его среднего по вакууму.
Упражнение 3.4.16. Показать при тех же предположениях, при которых
было получено представленке Челлена—Лемана C.4.95), что справедливо
•нелогичное представление для функции Уайтмана ws:
оо
w2 (ж, у) - wj + 1 J В« (ж - у) dp (/n2).
о
C.4.96)
задается формулой C.4.25). (Указание: взять преобразование
Фурье От C.2.26).)
Пространство векторов состояний в теории скалярного обоб-
щенного свободного поля может быть реализовано по аналогии
С пространством Фока для нейтральных мезонов с фиксирован-
ной массой (гл. 2, п 5.1). Отличие происходит из-за того, что
В пространстве одночастичных состояний &в\ скалярное произ-
ведение задается не формулой B.5.7), а более общей формулой
(Ф|. *i) - J" ®i (р) ^i (р) dv (р) е (Р°) =
J Ф,(р)?1(р)_^' C.4.97)
ПооСще говоря, в инвариантную меру d\i{p) наряду с инте-
Грнлом C.4.94) необходимо включить еще слагаемое вида
b(l>}il*p (см.- C.2.26)). От этого члена можно во всяком случае

236 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА [ГЛ. Э
освободиться, если потребовать, чтобы вакуумное среднее от од-
ного свободного поля исчезало:
Wi = C^o, <р{х)Чо) = 0. C.4.98)
Имея пространство &6Ъ мы можем определить (гл. 2, п. 5.1)
пространство &6п л-частичных состоянии как симметризован-
ную л-ю степень пространства еЮ\. Действие обобщенного сво-
бодного поля <р(/) определяется тогда формулой (ср. C.4.5))
Упражнение 3.4.17. а) Показать, что поле C.4.99) удовлетворяет пере-
становочному соотношению C.4.89).
. б) Разложить, пользуясь C.4.94), обобщенное свободное поле C.4.99)
в интеграл по полям с определенной массой гК (Лихт A963), Уайтман
A9646)).
Из C.4.99) и C.4.94) видно, что фурье-образ <р(р) обобщен-
ного свободного поля <р исчезает при пространственнойодобных
импульсах. Оказывается, что это свойство характерно для обоб-
щенного свободного поля. А именно, справедлива следующая
теорема (Гринберг A962)):
Теорема 3.4.3. Пусть <р (х) — скалярное локальное поле,
относительно которого вакуум цикличен. Тогда, если фурье-
образ <р (р) поля равен нулю в некотором открытом множестве
прост ранет венноподобных р, то <р является обобщенным свобод-
ным полем. Аналогичный результат справедлив, если спектраль-
ная мера da(p), входящая в представление Челлена — Лемана,
равна нулю при р2, большем некоторого М2.
Для доказательства этой теоремы необходимо воспользовать-
ся представлением Иоста — Лемана — Дайсона (см. Иост и Ле-
ман A957) и Дайсон A9586)) или методами аналитического
расширения (см., например, [24]). Мы его приводить не будем.
Отметим в заключение, что к обобщенным свободным полям
сводятся и более общие, на первый взгляд, поля, коммутатор
которых выражается линейно по операторам поля («поля типа
Ли»):
/ [ 4)*г. C.4.100)
Мы не будем останавливаться на этих полях, отсылая чита-
теля к лекциям Уайтмана A9646) и к статье Робинсона A964).

ДОПОЛНЕНИЕ 237
ДОПОЛНЕНИЕ
А. СВОДКА ИНВАРИАНТНЫХ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ
КЛЕЙНА —ГОРДОНА И ПЕРЕСТАНОВОЧНЫХ ФУНКЦИИ
СВОБОДНЫХ ПОЛЕЙ
В дальнейшем мы неоднократно будем пользоваться сингу-
лярными перестановочными функциями свободных полей, с ко-
торыми мы имели дело в этой главе. Поэтому, для удобства
читателя, мы приведем здесь сводку этих функций вместе с ос-
новными их свойствами*).
1) Функции скалярного поля.
Перестановочная функция Паули — Иордана D (х) = Dm (х):
{n + m*)D(x) = 0, D@, х) = 0, ^-@, х) =
D М = 1йЬ J е (р0) б {р3 ~ m2>eipx dip =
, C.A.2)
T C.A.3)
Частотные функции Паули — Иордана Dl±){x) = D^'U) и чет-
кая инвариантная функция Dw(x):
- J- е (х°) б (ж2) + -^^- в (ж2) [JV, (щ VF) Т iв
± "L_ 6 (- ж2) /С, (т /3^); (з.А.4)
<0|<pW(P(f/)|0> = |D(-)U-f/); C.A.5)
(П+т2)о(±)(д;) = 0, D(+) (x) + DH (x) = D (x); C.A.6)
(x) -1 (DM (x) - DH (x)) = j±r { б (p2 - m2) в"" d4P. C- A.7)
*) Эта сводка заимствована нз ыонографни [4].

238 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА (ГЛ. 3
Причинная функция Грина Dc (ж) =- Dcm (ж):
(? + m2) Dc (х) = б (ж), (З.А.8)
-L б (ж*) - -^= 6 (ж2) [/, (т ]Л?) - iW, (m
1?—; 6 (~*2)Я, (т /^1?); (З.А.9)
i - ^). C.A.10)
Запаздывающая и опережающая функции Грина DKl и Dodi):
(? + т2) Dr" (х) = (? + т2) D""" {х) = б (х), (З.А. 11)
Dr"(*) = 0 при х°<0, О^М-О при х°>0, (З.А.12)
; C.A.I3)
U \Х) — D \Х) •= D \Х).
Здесь всюду /i — функции Бесселя
2 *' (З.А.15)
2) Функции спинорного поля.
Функции спинорного поля Sop (ж), гДе Z= ret, ado, ±, с,
получаются из соответствующих функций скалярного поля по
формуле
S& (ж) = {id + m)# Dz (ж). C. А. 16)
Функции S%$ являются соответственно решениями или функ-
циями Грина уравнения Дирака.

ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ 239
Связь с обозначениями Швингера и Шве-
!• см. [6].
Использованные обозначения Обозначения Швннгера
D(x) -А (х)
или
ГЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Содержание этой главы во многом перекрывается с превосходными моно-
' Ними [2] и [3], написанными творцами квантовополевого аксиоматического
„ЛД1.
f 1. Излагаемый здесь подход к понятию локального квантованного поля
Надлежит главным образом Уайтману. Основной публикацией по этому
Су является статья Уайтмана и Гординга A964), которая на самом
соответствует работе, начатой в 1952 г. и частично изложенной
^Статьях и лекциях Уайтмана и др. (см., в частности, Уайтман A957),
II [3]). Выявление физического смысла требования локальности восходит
"Щ Вору и Розенфельду A933) и A950). Обсуждение независимости аксиом
Mli У Хаага и Шроера A962). Теорема 3.1.1 о неприводимости системы полей
Шщ@ принадлежит Рюелю A962) и Борхерсу A962). Доказательство тео-
ММЫ 3.1.2 о полноте системы полей <рт(/), где supp/cO.cM. в оригинальной
МвОТе'Рее и Шлндера A961), а также в монографиях [2] и [3]. Вопрос
Ф Локализации в квантовой теории поля рассматривается во многих работах,
Ш которых мы упомянем статью Лихта A963). Не вдаваясь в обсуждение
'Многочисленных попыток выйти за рамкн локальной теории, мы отметим, что
^•которые из них связаны с более общей формулировкой постулата реляти-
MCTCKOfi инвариантности (см., например, Инграхам A962), Блохинцев и Ко-
JltpoB A964) и доклады в сборнике [Дубна 67]). Относительно понятия почти
Локального поля и его применения см. Стритер A964).
| 2. Формулировка квантовой теории поля в терминах вакуумных сред-
1НХ от произведений операторов поля дана Уайтманом A956). Аналогичная
формулировка имеется в работе Шмидта н Баумана A956), в которой, од-
Йако, игнорируется то, что сглаженные операторы поля не ограничены и что
Коатому следует говорить об их общей области определения П и о ее свой-
CTiax. Систематический обзор результатов до 1960 г. содержится в статье
Араки A961а). Роль условия единственности вакуума и его связь со свой-
Стюм разложения на пучки указаны в статье Хеппа и др. A961); см. также
Ворхерс A962) и Рее и Шлидер A962). Вопрос о существовании и роли
¦акуумного состояния обсуждается у Борхерса и др. A963) н A9656). Тео-
Мыа О разложении на пучки доказана в разных вариантах в работах Араки
11060а), Иоста и Хеппа A962), Рюеля A962) (которой мы следовали) и
Араки н др. A962), где имеется подробное обсуждение случая отсутствия
Массовой щели (т. е. наличия частиц нулевой массы). Доказательство не-
существования локального трансляционно инвариантного поля, заданного в
Точке, дано Уайтманом A964а). Доказанная в п. 2.4 теорема о несущество-
вании в теории с единственным вакуумом пуанкаре-инвариантного поля в
точке принадлежит Виэимирски A966).
§ 3. Теорема о восстановлении квантовой теории поля по вакуумным
>6дним от произведений полей доказана Уайтманом A956) и Шмидтом и
ауманом A956). Наше изложение следует более поздним работам Ульмана

240 ЛОКАЛЬНОЕ КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ И ФУНКЦИИ УАЙТМАНА 1ГЛ. 3
A962) и Борхерса A962) (относительно дальнейшего развития изложенных
вопросов см. Борхерс и др. A963) и Борхерс A965а, б). Некоторое матема-
тическое обобщение постановки Борхерса содержится в работах Морэна
A963а, б).
§ 4. Стандартное изложение теории свободных полей имеется в любом
учебнике квантовой теории поля (см., в частности, [4] и [6]). Математически
строгая формулировка зтой теории дана в монографии Фридрихса [46],
в статье Рашевского A958), в которой специально рассматривается случай
квантовой электродинамики, и в монографии Кастлера [37]. Компактное из-
ложение результатов этого параграфа с точки зрения лагранжева форма-
лизма содержится во второй главе монографии Иоста [3]. Теория полей
с высшими спинами затрагивается в монографиях [38] и [39]. Преобразование
спиноров при дискретных преобразованиях специально рассматривается в
книге [28]. Обще* рассмотрение мультипликативных симметрии в аксиомати-
ческой квантовой теории поля см. в статье Пруговечки A964). Подробное
изучение значения фаз в законах преобразования полей относительно инвер-
сий см. у Файнберга и Вайнберга A959). Математическое рассмотрение связн
зарядового сопряжения и других дискретных симметрии с градиентными пре-
образованиями, соответствующими сохранению барионного и лептонного за-
рядов (на основе теории расширения групп), см. у Мишеля A962). Обоб-
щенные свободные поля введены Гринбергом A961), см. также лекции Уайт-
мана A962). Спектральное представление функции Грина получено в общем
случае Камефучи и Умэдзава A951), Челленом A952) к Леманом A954) (см.
также Челлен A960) и A968) и Штейнман A9636)). Представление Чел-
леиа — Лемана находит ряд важных применений. В качестве примера ука-
жем на то, что суммирование некоторых диаграмм Фейнмана под знаком
спектрального представления позволяет избежать появления нефиэических
особенностей в функциях Грина (см. Боголюбов и др. A959)). Интегралы
по массе от свободных полей рассматривались Лихтом A963). Относительно
«полей типа Ли» см. Уайтман A9646) и Робинсон A964) и цитированную
там литературу. Условия на носитель ноля в р-пространстве, при которых
это поле является обобщенным свободным, впервые сформулированы Дел Ан-
тонио A961а). Теорема 3.4.3 доказана Гринбергом A962) и Робинсоном
A962). При ее доказательстве используется представление Иоста — Лемана —
Дайсона (Иост и Леман A957), Дайсон A958а и б)), полное доказательство
которого дано в монографии [24].

ГЛАВА 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ
И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ.
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ S-МАТРИЦЫ
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Первый параграф посвящен доказательству следующих
двух теорем Хаага — Рюеля.
Пусть qp(x) —скалярное гайзенбергово поле, для ко-
торого вторая функция Уайтмана допускает представле-
ние Челлена — Лемана вида
оо
(^о, <р М <р (у) ?„) = у D« {х - у) + j J D& {x - у) ф [К).
4т"
Определим, далее, оператор А{}, t) формулой
, /) = t J f(x)d0A(x)d3X^
где f{x)~гладкое решение уравнения Клейна — Гордона
(? + т2) f (х) = 0, а А (р) - Л (р2) ф (р). Здесь Л (Я.) - фи-
нитная основная функция, А(/п2)=1 и Л(р2) = 0 при
| р2—т2 |>т2. Тогда векторные функции времени
t)...A{fn.
стремятся к определенным, не зависящим от системы
out
отсчета пределам Ф'" (flt ..., fn) при t-> ± оо (теорема
4.1.1). Существуют свободные скалярные поля <р**(*)
. массы m, ex = in, out такие, что если
w?e f(.r) — отрицательно-частотное гладкое решение
П. II. Ьогилюбое и др.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
уравнения Клейна — Гордона с массой т, то
<fx(f)®ex(h /») =Фе*(/, h /») (теорема 4.1.2).
Постулируется (п. 1.5), что система асимптотических со-
стояний Ф'п (так же, как ф°и') полна.
Если оператор «р(/, /), где f — отрицательно-частот-
ное нормированное решение уравнения (O + m2)f(x)=0,
связан с гайзенберговым полем ф(х) формулой типа
D.1.11), то асимптотическое условие Лемана— Симан-
зика — Циммермана (ЛСЦ) имеет вид
( out \
lim (Ф, <p(f, tL) = {®, фм (f)W).
Если определить гайзенбергов ток j(x) равенством
/(*) = (?+m2)cp(*)f
то имеют место уравнения Янга — Фельдмана
Ф (х) = ф'« (х) + { DZ* (х - у) j (у) d*y = Фои' (х) +
Редукционная формула ЛСЦ для матричных элементов
оператора рассеяния S имеет вид
... fttn)=(gl...
= Г'Jg"^! xr, yu ..., yt)gx(xx) ...
• • • gr (xr) f i Ы • • • h (Уд d% ... d*yb
где причинная функция Грина Gc выражается через
Т-произведение гайзенберговых полей:
... ф(*„)}|0>,
В § 2 намечены основные этапы доказательства Хеп-
па этих утверждений для расходящихся пучков частиц
(т. е. для состояний, в которых волновые пакеты отдель-
ных частиц в пространстве скоростей не перекрываются).
В § 3 основные принципы локальной теории сформу-
лированы в виде требований на вариационные произ-
водные S-оператора, рассматриваемого как функционал
от асимптотических полей фои'.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ 243
Связь с теорией ЛСЦ выявляется (п. 3.4) на основе
отождествления гайэенбергова тока, соответствующего
полю ф(дг), с оператором
Условие микропричинности: '**'. =0 при у<х и
при (у — хJ < 0, где <р({/) ss ф°"'({/), приводит к опре-
деленным аналитическим свойствам функций Грина вне
массовой поверхности (п. 3.7). Для 32 четырехточечных
функций написаны условия совпадения в импульсном
пространстве, следующие из принципа спектральности,
и рассмотрены следствия из четырехчленных тождеств
Штейнмана.
Из условия микропричинности вытекает равенство
6'S
p(ff) "
^8'+ e^
-<л(*.
где Вху=в(х° — у°) —ступенчатая функция, а А(х,у) —
квазилокальный оператор, отличный от нуля лишь при
х=>у. В § 4 дается итерационное решение этого уравне-
ния в предположении, что
л-2ипл„. s-i +S
я—1 п—1
S.-JJ: Л,(*.
« что квазилокальные операторы Ап(х,у) при и>2
определяются из условия минимальной степени роста
матричных элементов в импульсном пространстве. Заме-
чается (п. 4.2), что при этом возникают расходимости,
связанные с умножением В-функции на обобщенную
функцию, сингулярную при х = у. Чтобы избежать этих
трудностей, исходное уравнение записывается в другой
форме, в которой функция Вху заменяется некоторым
оператором в*„ с проекционными свойствами. Итера-
ционное решение полученного модифицированного урав-
нения приводит к перенормированному ряду теории воз-
мущений, причем на каждом этапе вычисления встре-
чаются лишь определенные конечные выражения. Это
16»

244 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
иллюстрируется в п. 4.4 на примере теории с лагран-
жианом взаимодействия J&" = g J: tf(x)<p(x): d*x, где
ф и ф — скалярные поля с положительными массами, во
втором порядке теории возмущений.
§ I. Теория рассеяния Хаага — Рюеля
1.1. Вводные замечания. Как уже отмечалось во введении,
исторически аксиоматический подход в квантовой теории поля
возник в сороковых годах как направление, которое ставило
перед собой цель оперировать с самого начала с матрицей
рассеяния, дающей вероятности нахождения асимптотически
свободных частиц при t~*oo после их взаимодействия в конеч-
ных моментах времени. Между тем до сих пор понятие частицы
фигурировало у нас лишь при рассмотрении релятивистских
пространств Фока (гл. 2, § 5 — до введения понятия поля) и в
тривиальном примере теории свободных полей (гл. 3, § 4).
Спрашивается, как ввести понятие частицы в рамках аксиома-
тической теории гайзенберговых (взаимодействующих) полей?
Интуитивный ответ на этот вопрос состоит в том, что при
x°=t—»±oo гайзенбергово поле ф(я) должно действовать на
векторы состояния как свободное поле,— в частности, действуя
на вакуум, оно должно порождать одночастичное состояние с
определенной массой. Долгое время было неясно, какова долж-
на быть точная формулировка этого интуитивного представле-
ния и совместны ли асимптотические условия (при I —> ± оо)
с остальными постулатами Уайтмана и в какой мере они яв-
ляются независимыми требованиями. Исследование этих вопро-
сов, предпринятое в работах Хаага A957, 1958, 1959) (см. так-
же статью Бренига и Хаага A959)), нашло удовлетворительное
завершение в превосходной работе Рюеля A962).
В настоящем параграфе мы изложим некоторый упрощен-
ный вариант теории Хаага — Рюеля, данный Иостом [3] и Хеп-
пом A9636). Изменения в рассуждениях, которые необходимо
произвести в общем случае, лишь намечены в п. 5.
1.2. Асимптотические условия Хаага —Рюеля. Формулиров-
ка результатов. Рассмотрим для простоты случай одного ска-
лярного нейтрального поля ф(ж) и предположим, что простран-
ство векторов состояний Зв совпадает с пространством, описан-
ным в гл. 2, п. 5.1. На самом деле для нас будет существенным
лишь то, что оператор квадрата 4-импульса Р2 имеет изолиро-
ванное собственное значение р2=пг2 и что в подпространстве
одночастичных состояний Ш\ реализуется неприводимое пред-
ставление группы Пуанкаре со спином пуль.

I 1] ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ХААГА —РЮЕЛЯ 245
Потребуем, далее, чтобы поле ф имело отличные от нуля
матричные элементы между вакуумом и Ж\. Точнее, если III —
оператор ортогонального проектирования на &ви то мы потре-
буем выполнения нормировочного условия
РРо, Ф(х)Щф(у)%) = -1д?>(х-у), D.1.1)
где Dm\x)— отрицательно-частотная функция Паули — Иорда-
на C.4.25). По-другому это означает, что представление Чел-
лена—Лемана C.4.96) для двухточечной функции Уайтмана
поля ф(ж) имеет вид
оо
о
-У) +j J D&(x-y)dp(l) D.1.2)
4m1
(для нас существенно лишь то, что предел интегрирования в
D.1.2) больше т2). Определим «почти локальное поле» А(х)
как преобразование Фурье от поля
Л(р) = Л(р2)ф(р), D.1.3)
где h(X) —финитная бесконечно Дифференцируемая функция
со свойствами
A(m2)=l, А(р>)-гО при \р2-т2\>т' D.1.4)
(на самом деле важно только то, что А(р2)=»0 в области не-
прерывного спектра р2>-4т2). Поле А (х) удовлетворяет усло-
виям релятивистской инвариантности и спектральности; кроме
того, A(f)xY0^^i и
(%, А (х) А (у) Wo) =з 1 дН (Х _ у). D.1.5)
Покажем, что поле А (х) обладает гладкостью по перемен-
ной x°=t, если его усреднить по трем пространственным коор-
динатам (этим свойством обладают также свободные поля).
Другими словами, если и(х) e(&"(Rs), то
Аа М - J A (t, X) и (X) dsx D.1.6)
к,
— оператор, определенный в плотном множестве Q, в котором
заданы поля ф(/). Если Фей, то вектор АиA)ф тоже принад-
лежат множеству Q и бесконечно дифференцируем относитель-
но /.
'-)т<> утверждение следует из того, что
Аи @ = J / (*° -1. X) Ф (х) d*x, D.1.7)

246 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ (ГЛ. 4
где функция f(x) задаемся равенством
l D.1.8)
Действительно, если учесть условие u(p)h (p2) e ?P (Rt (p)), то
из D.1.8) заключаем, что при фиксированном i функция
f(x°~ t, x) e ?P (Rt (x)) и что она бесконечно дифференцируема
по L
Назовем решение уравнения Клейна — Гордона
(П+mVW-O D.1.9)
гладким, если оно удовлетворяет начальным условиям с беско-
нечно гладкими, быстро убывающими функциями от х, т. е.
если
/ (О, X) <= & (Я3) и / @,ж) *ш -§L (о, х) е &> (R3).
Нетрудно видеть, что из этого определения следует предста-
вление f(x) в виде
/ W - 1ГШ $*№ (р2 - «8) !«"***«* (Р) + *"*в- (РI #р>
Bя) ¦
D.1.10)
где g± (p) e ^" (/?з). Для этого достаточно заметить, что
2<в Г
если f(x) -
ператор
Г N Г
A(f> 0е"' f(*)flo^(*)«PJC3E/
J J
D.1.11)
определен на плотном множестве Q.
Основной результат Хаага — Рюеля составляет содержание
следующей теоремы.
Теорема 4.1.1. Пусть
„ t)A(fs,t)...A(fn, /)?e. D.1.12)
Из вышесказанного следует, что если f (x) — гладкое решение
уравнения Клейна — Гордона, то оператор
Тогда существуют пределы <D0Ut и <Din при *-*±оо относитель-
но сильной сходимости в &в:
lira ||Ф(/)-Ф'"|| = 0, lira ||Ф(*)-Ф0в/11 = 0. D.1.13)

i'ljj ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ХААГА-РЮЕЛЯ 247
iBfU пределы не зависят (в рамках собственной группы Лорен-
ЦО) от специального выбора системы координат, при котором
Определены операторы D.1.11).
Заметим, что произведение операторов А при одинаковых
временах в правой части D.1.12) имеет смысл, поскольку, как
шло показано выше, A(f, fjQcQ.
Обозначения in и out происходят от английских слов inco-
ming (входящий, падающий) и outgoing (выходящий). Символ
¦§Х будет обозначать in или out. Гильбертовы пространства, на-
Шнутые на векторы Ф'п или Фои/, будут обозначаться соответ-
ственно через e%?in и &6Out (точнее, &6ех является замыканием
.©зГНОСительно сходимости по норме пространства линейных ком-
!(бянаций векторов Фех, включая вакуум). Мы будем записывать
Вределы векторов D.1.12) при /—>±оо также в виде
'W"(fu ¦ ¦ ¦, fn), явно указывая на зависимость Ф от сглаживаю-
щих функций f 1, ..., fn. Линейные комбинации этих векторов
^Образуют ядерное пространство Q«c, в котором определены не-
КОТорые асимптотические поля (f*. При этом состояния Фе* мо-
Гут рассматриваться как состояния, порожденные из вакуума
Последовательным применением операторов полей <$"* (свобод-
ных полей с массой яг). Это обстоятельство находит выражение
В следующей теореме.
Теорема 4.1.2. Определим линейный оператор (pe*(f), за-
давая его действие на базисные векторы Oex(fi, ...,fn) фор-
мулой
4>"(fl<D"(fi, .... /Я) = Ф"(/, f fn). D.1.14)
Тогда операторы <pex(f) (ex = in, out) определяются эрмито-
выми свободными скалярными полями <fex(x) с массой m (см.
гл. 3, п. 4.1) формулой
J D.1.15)
еде f(x) — отрицательно-частотное решение уравнения Клейна —
Гордона (с массой пг), причем
U(a, A)<fex(x)U'l(a, A) = qjeje(Ax + а). D.1.16)
Доказательства теорем 4.1.1 и 4.1.2 основываются на одной
лемме относительно гладких решений уравнения Клейна — Гор-
дона, которая будет сформулирована и доказана в следующем
пункте, и на теореме 3.2.3 об асимптотическом разбиении на
Пучки. Мы изложим эти доказательства в п. 4. Здесь же мы
ограничимся некоторыми замечаниями и пояснениями к фор-
мулировкам обеих теорем,

248 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
1. Поскольку f(x) и <fx(x) удовлетворяют уравнению Клей-
на— Гордона D.1.9) (f(x) — по предположению, а для <$"*(х)
это будет доказано), то интеграл D.1.15) не зависит от t. Дей-
ствительно, в силу D.1.10) и C.4.8), <$ex(f) может быть приве-
дено к явно не зависящему от времени виду:
J [gA
==r <4Л-17>
(Мы напоминаем, что преобразования Фурье для основных
функций f(x) и для операторов поля ф*(х) определяются с про-
тивоположным знаком у экспоненты.) Заметим, что именно не-
зависимость <jf*(f) от t делает удобным сглаживание вида
D.1.11) при формулировке асимптотических условий.
2. Из определения А (х) следует, что векторная обобщен-
ная функция
Ф(*)=Л(ж)% D.1.18)
удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона.
Упражнение 4.1.1. Доказать это утверждение, пользуясь D.1.5). (Указа-
ние: показать, что при любом выборе основной функции «(*) &?*(/?«) скаляр-
ный квадрат вектора
<Х> = Г [(О + «•) и (*)] А (ж) Vo d*x
равен нулю.
3. Имея в виду вышеупомянутые теоремы, естественно на-
звать 0е*(fi, .... fn) вектором состояния п асимптотически сво-
бодных частиц.
Из второго замечания следует, что если f—гладкое реше-
ние уравнения Клейна — Гордона, то вектор
O(f. О-'" f f(x)d0A(x)d3xW0 D.1.19)
на самом деле не зависит от времени:
-^?-^- = 0. D.1.20)
ич
Это свойство выражает стабильность одночаств?ных со-
стояний.

г
| 1] ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ХААГА — РЮЕЛЯ 249
1.3. Свойства гладких решений уравнения Клейна—Гор-
дона. Рассмотрим для простоты отрицательно-частотное глад-
кое решение уравнения Клейна — Гордона*) (которому соот-
Шетствует первый член в правой части D.1.10))
D.1.21)
<ор = \Лп2 + р2.
Как и выше, g(p) e&?(R3). Все результаты настоящего пункта
справедливы на самом деле для любого гладкого решения, т. е.
для любой суммы гладких положительно- и отрицательно-ча-
стотных решений. (Заметим, что любое положительно-частотное
решение уравнения Клейна — Гордона комплексно сопряжено
некоторому отрицательно-частотному решению.)
Функция в квадратных скобках в интеграле D.1.21) анали-
тична по /, а рассматриваемая как функция от р, она (так же,
как и ее производные по /) принадлежит пространству основ-
ных функций <ь?(Яз). Отсюда следует, что ее преобразование
Фурье f(x)=f(t, x) бесконечно дифференцируемо и вместе со
. своими производными по / принадлежит, как функция от х,
пространству a?(Rs). В дальнейшем нас будет интересовать по-
ведение функции f(t,x) при больших |/|. Целью настоящего
пункта является доказательство следующей леммы.
Лемма 4.1.1. Пусть f(t, x) —гладкое решение уравнения
Клейна — Гордона. Тогда существует постоянная В, зависящая
от f, такая, что
|/|3/2sup|f(f, *) К В. D.1.22)
JP
J|f(/, X)\d*x<B(l+]tH, D.1.23)
VTsup\x\\f(t, X)\<B. D.1.24)
X
Доказательство. Докажем сначала утверждение лем-
мы для специального положительно-частотного решения урав-
нения D.1.9):
D.1.25)
*) Заметим, что в литературе нет единства в том, какие функции назы-
вать положительно- и какие — отрицательно-частотными. В монографии Моста
[3] функция D.1.21) называется положительио-частотиым решением уравне-
ния Клейна — Гордона. Мы придерживаемся терминологии, принятой в [4].

250 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ 1ГЛ. 4
В силу тождества
оо
2A +рО)~3= f aV^P^da
о
интеграл D.1.25) может быть преобразован к виду
оо
if Г
BяK/2 J J i r
о
оо
= — I BяK/2 J D(m (t - ia, X) e"V da {x = (t, X)).
о
Подставляя для отрицательно-частотной функции Паули —
Иордана выражение (З.А.4), находим
, DЛ.26)
Теперь, пользуясь асимптотическими оценками для функции
Макдональда (см., например, [49], т. 2, 7.4.1)
lim zKi(z)= I,
находим
С другой стороны,
(z) = j^-f + О (-^у) (при
°°).
fiW К ^
и, следовательно,
где
D-1.28)
D.1.29)
Действительно, неравенство D.1.28) эквивалентно неравен-
ству
которое выполняется тождественно.

11] ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ХААГА — РЮЕЛЯ 251
Подставляя в полученные неравенства
v =¦ 2at, и - X2 - Р + а2,
При г = т%, находим
/"— +Va
| Ди (t - m, ж) | < Л, J—i^i 4*VmT11 / ГЭД. D.1.30)
Поскольку т]>0, то при | /1 > 1 функция \у -Дг- + j/aj т]3/ае~тт1
( /^0
Мажорируется Л2A + \/а); подставляя D.1.30) в D.1.26), полу-
чаем
оо
: \F(x)\<B\tV3'2J e~a(l + V^)da= Bi\tf3/2. D.1.31)
i. °
Оценим, далее, интеграл
- f |Dw(f-«a, jc)|d8.*+ J |i)H(/-/a,
Второй интеграл не превосходит произведения максимума
Подынтегральной функции на объем интегрирования, т. е.
В силу D.1.30)
r><2P
При оценке Л мы воспользуемся экспоненциальным убыва-
нием подынтегральной функции. Это дает
Таким образом,
Интегрируя это неравенство по а от 0 до оо с весом а2е~а, мы
получаем, что
[/w D.1.32)
Таким образом, неравенства D.1.22) и D.1.23) доказаны
SJH функции F. При помощи приведенных оценок легко доказы-
ается для этой специальной функции и неравенство D.1.24).

252 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ (ГЛ. 4
Чтобы перейти теперь к общему случаю, заметим, что
произвольное гладкое отрицательно-частотное решение типа
D.1.21) уравнения Клейна — Гордона может быть записано
в виде
^ $ 8 (Р) &Р =
$, *-»*«)*?. D.1.33)
где
М$) = ^{Ц^(Р)е'*^ре^(Я3). D.1.34)
Неравенства D.1.22)—D.1.24) для f(t, х) легко получаются
теперь из соответствующих оценок для F(t, х). При этом лишь
константы в правых частях этих неравенств умножаются на ко-
нечную положительную величину
Лемма 4.1.1 доказана.
Упражнение 4.1.2. Показать, что если четырехмерный вектор и нростран-
ственноподобен нли изотропен, то функция f(An) D.1.21), рассматриваемая
как функция вещественного параметра А, принадлежит пространству & (Ri).
В частности,
\kkf(kn)\<Ck(f,n) при п2<0, fe=>0. 1,2 D.155)
или, иначе, при гэ-|
Несколько замечаний. 1. Неравенство D.1.35) на самом деле
справедливо и для времениподобных п, если только прямая
% (—оо < % < оо) не пересекает носитель функции В(р°)Х
(p2 — m2)g(p) (Хепп A965а)).
2. Функция fA(x)—f(A'Ix), где Л — произвольное преобра-
зование Лоренца, удовлетворяет вместе с f(x) всем условиям
леммы 4.1.1, и,'следовательно, для нее тоже имеют место оцен-
ки D.1.22)—D.1.24). Более того, если преобразования Л про-
бегают любую компактную окрестность единичного элемента
группы Лоренца, то упомянутые оценки выполняются равно-
мерно в этой окрестности (с константами В, не зависящими
от Л) (Стритер A967)).
3. Так как производные от гладкого решения уравнения
Клейна — Гордона снова являются гладкими решениями этого
уравнения, то лемма 4.1.1 остается справедливой и для них.

f I] ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ХААГА —РЮЕЛЯ 253
1.4. Доказательство теорем 4.1.1 и 4.1.2. Доказатель-
ство теоремы 4.1.1 (первая часть). Чтобы доказать силь-
ную сходимость последовательности векторов D.1.12) при
/—»±оо, достаточно установить, что норма от производной —-=^-
интегрируема на бесконечной оси. Действительно, если это так,
то при h < h
{|^|->0 D.1.36)
При tl-> + oo ИЛИ /j->— oo.
Докажем D.1.36). Для этого разложим I—^-1 в сумму
23
произведений усеченных вакуумных средних (см. гл. 3, п. 2.3).
Каждый множитель в любом члене этого разложения имеет вид
...A' (хк) Vof d*xx ... d?xk, D.1.37)
где функции fA являются гладкими решениями уравнения Клей-
на.— Гордона, а штрихи у /,- и А означают возможное диффе-
ренцирование по времени. Поскольку вакуумное среднее от
поля А равно нулю, то можно считать, что k *?> 2. Если для всех
множителей в данном члене k—2, то такой член равен нулю в
силу свойства стабильности одночастичных состояний D.1.20).
Таким образом, остается рассмотреть поведение функции /*(<)
при k >¦ 3.
Согласно теореме 3.2.3, если и(х\ хь) s^(^3a), to
F(alt ..-., aft) =
= ju(x1-al хк-ак)(ЧГ0, A'(t, *i) .-..
• ¦ • A'(t, дс»)^,/d»*, ... d*xk D.1.38)
является основной функцией из <^(/?з(*-1)) относительно разно-
стей аргументов ai — й2, .... a*-i — о*. Таким образом, усечен-
ное вакуумное среднее
Г (J, 1*-,) = (*„, A' {t. *,)... /Г [t, xk) %)г, I « х, - xhl,
D.1.39)
является свертывателем в af(R3(k-i)) (см. гл. 1, п. 3.2), и, сле-
довательно, в силу леммы 1.3.2 оно является конечной суммой

254 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
производных непрерывных функций, не превосходящих по аб-
солютной величине
Отсюда следует, что
D.1.40)
где двойные штрихи означают возможные дифференцирования
по пространственно-временным аргументам. Применяя, далее,
Неравенства D.1.22) и D.1.23), находим
_ 2. (Ь-я
|/*@1<е|<1 ' • D.1.41)
Поскольку в разложение f-jj-fl no /ft входит по крайней мере
либо одно /» с ?>4, либо пара h с k >• 3, то из D,1.41) сле-
дует, что
|^1|<В|/ГТ. D.,.42)
Отсюда следует D.1.36). Тем самым первая часть теоремы
4.1.1 доказана.
Доказательство теоремы 4.1.1 (вторая часть). Те-
перь покажем, что пределы Фс* не зависят от специальной ло-
ренцевой системы, в которой определены векторы D.1.12).
Пусть As L+. Действие Л на оператор A(f, t) D.1.11) опре-
деляется формулой
A(f, t)^AA(f, t) = t J f(A-lx)d0A(fiTlx)d3x. D.1.43)
Нашей целью будет показать, что если Ф(<) определяется
формулой D.1.12), а
Фл (t) - Аа (f,. t)...AA (fn, t) Wo, D.1.44)
TO
Hm 1!Фл@-Ф@!1 = 0- D.1.45)
Для доказательства мы снова разложим квадрат нормы
11Фл@-Ф@Н2 D.1.46)
по усеченным вакуумным средним. Поскольку все встречаю-
щиеся выражения гладко зависят от Л, достаточно доказать ин-
вариантность асимптотических пределов относительно инфини-

I I] ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ХААГА - РЮЕЛЯ 255
тезимальных преобразований Лоренца. Инвариантность отно-
сительно трехмерных вращений тривиальна. Поэтому мы огра-
ничимся рассмотрением действия на А (/, t) инфинитезималь-
ного преобразования Лоренца
Ле=1-е(*Ч-*°3/)- D.1.47)
Это равносильно рассмотрению вместо квадрата разности
D.1.46) нормы производной
|^^| D.1.46а)
(использована та же параметризация группы Лоренца, что и
в гл. 2, п. 3.1).
Упражнение 4.1.3. Показать, что в первом порядке по 8
йА (f, t) - ie | x'f (x) (? + ma) A (x) &X. D.1.48)
(Указание: воспользоваться тем, что функция }(х) удовлетворяет урав-
нению Клейна — Гордона.)
В силу того, что вектор D.1.18) удовлетворяет уравнению
Клейна — Гордона (см. упражнение 4.1.1), из D.1.48) вытекает,
что
dA(f,t) уо = о D149)
Следовательно, при разложении D.1.46) по усеченным ва-
куумным средним //,(*) D.1.37) снова можно ограничиться слу-
чаем k > 3. Все такие члены убывают при больших \t\ по край-
ней мере как \t\~'h. Можно показать, пользуясь замечанием 2
к лемме 4.1.1, что стремление к нулю производной D.1.46а) рав-
номерно относительно параметров группы, если они меняются
в ограниченной области (Стритер A967)). Отсюда следует ра-
венство D.1.45). Тем самым теорема 4.1.1 доказана.
Доказательство теоремы 4.1.2. Разложим скаляр-
ное произведение
(A(fu t)...A(fn, tL>0, A(glt t) ... A(gk, t)W0) D.1.50)
по усеченным вакуумным средним. Согласно оценкам, исполь-
зованным выше, при |/|—»°о исчезают все члены, кроме тех,
которые являются произведениями только квадратичных по А
усеченных средних. С другой стороны, согласно D.1.5), эти
оставшиеся члены совпадают со скалярными произведениями в
теории свободного скалярного нейтрального поля. Отсюда сле-
дует, что оператор <ff*(f), определяемый равенством D.1.14),

256 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ [ГЛ. 4
действительно допускает представление D.1.15). Трансформа-
ционные свойства D.1.16) поля <рех(/) при преобразовании
Пуанкаре следуют из доказательства второй части теоремы 4.1.1.
Теорема 4.1.2 доказана.
1.5. Требование асимптотической полноты. Возможные обоб-
щения. В предыдущем рассмотрении мы использовали, кроме
общих постулатов, еще несколько специальных предположений,
от которых можно освободиться. Речь идет о связанных между
собой предположениях о том, что поле ф(х) скалярно и эрми-
тово, что пространство Фока Ш имеет структуру пространства
свободных скалярных нейтральных частиц и, наконец, что имеет
место формула D.1.1) (т.е. что поле <р(*) непосредственно
связано с одночастичными состояниями).
В общем случае, рассмотренном Рюелем A962), сделано
предположение, что в разложении пространства Ш в прямой
интеграл Стильтьеса по неприводимым представлениям группы
Пуанкаре входит подпространство S№ms, соответствующее ди-
скретному представлению с массой т и спином s. Далее, тре-
буется существование полинома Р(q>v; /) типа C.1.18), для ко-
торого Р(<р„; /)foes^m,. Существование такого полинома сле-
дует из требования цикличности вакуума (постулат VII, гл. 3,
п. 1.3), если т2 является изолированным собственным значе-
нием оператора Р2. Если же гиперболоид одночастичных со-
стояний лежит в непрерывном спектре Р\ то существование
полинома P((p,.i f) может быть обеспечено правилами отбора
(например, однонуклонное состояние находится в непрерывном
спектре, соответствующем двухмезонным (и вообще многоме-
зонным) состояниям, но оно выделяется тем, что у него барион-
ное число 6=1). Имея полиномы Р, мы определим почти ло-
кальное поле А формулой
A(x)=U(x, l)P(<pv, /)IT'U, 1). D.1.51)
После этого асимптотические состояния строятся, как и выше
(пп. 2—4), при помощи операторов D.1.51). Такая конструкция
соответствует так называемым составным моделям. Например,
скалярная (или псевдоскалярная) частица может быть поро-
ждена как связанное состояние системы двух спинорных полей.
Чтобы обеспечить полноправную интерпретацию теорем в
терминах частиц, мы должны добавить к сформулированным
в гл. 3 постулатам 1—VII еще следующее требование асимпто-
тической полноты.
VIII. Гильбертово пространство р5$?,„ (асимптотических со-
стояний при t-»—оо) совпадает со всем пространством векто-
ров состояний Зв.

УСЛОВИЯ ЛЕМАНА-СИМАНЗИКА-ЦИММЕРМАНА 257
Из этого постулата и из ГСР-теоремы, которая будет дока-
,МН8 в следующей главе (гл. 5, § 2), следует, что и Sf6ov.t совпа-
дет с 30, так что
; mln~$e=3eoui. D.1.52)
'Кроме того, операторы yin(x) и <рои'(х), которые действуют,
"Мким образом, в одном и том же пространстве Гильберта, уни-
Т1рно эквивалентны. Существует унитарный оператор S, одно-
значно определяемый условиями
q)o"'(x) = S"VnWS D.1.53)
* SV0~V0. D.1.54)
Оператор S называется оператором рассеяния. Он дает вероят-
1 Нести перехода между входящими (in-) и выходящими (out-)
Состояниями. Ковариантность асимптотических полей D.1.16)
вместе с требованием полноты VIII и с условием стабильности
Вакуума D.1.54) приводит к инвариантности оператора S от-
носительно преобразований Пуанкаре:
U(a, A)SU~l(a, A)=S. D.1.55)
Требование VIII является независимым от остальных посту-
латов, сформулированных в гл. 3. В этом можно убедиться на
Примере обобщенного свободного поля (гл. 3, п. 4.5).
Упражнение 4.1.4. Показать, что если
'[ф (*). Ф (У)] =| Dk <*- У) Р (А.) Л, D.1.56)
а
ГД6 р(Х)—непрерывная неотрицательная функция, убывающая на бесконеч-
ности, то пространства ДО«* совпадают с вакуумным вектором.
Вопрос о том, какие дополнительные условия локального
характера необходимо наложить, чтобы имел место постулат
VIII (другими словами, чтобы имела место возможность пол-
ной интерпретации теории поля в терминах частиц), обсуждает-
ся в работе Хаага и Свиека A965).
I 2. Асимптотические условия
Лемаиа — Симаизика — Циммермана
и причинные функции Грина
2.1. Вводные замечания. Еще на заре развития аксиома-
тического подхода к квантовой теории поля Леман, Симаи-
эик п Циммерман A955) (ЛСЦ) сформулировали асимптоти-
ческое условие в терминах слабой сходимости в гильбертовом
1*7 11 it а „ х.

268 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И. ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
пространстве векторов состояний для операторов
<p(f, t)=*i J f(x)daq>{x)<Px, D.2.1)
где f(x) — отрицательно-частотное решение уравнения Клей-
на — Гордона, нормированное условием
J/(x)aof(x)d»*-I. D.2.2)
*•-<
(Мы вновь ограничиваемся для простоты случаем одного ска-
лярного поля массы т.) Другими словами, постулируется, что
lim (Ф, cp(f, QY)-U.q?'(f. т)*). D.2.3)
причем, как уже отмечалось, фвх(/, т) s= (pex(f) на самом деле
не зависит от т, так как ф"*(л:) удовлетворяет уравнению для
свободных полей
(? + т")ф"(ж) = 0, D.2.4)
еж = in, оы/.
Если положить
= /(*). D.2.5)
где, по определению, j(x) —гайэенбергов ток*), то формально
связь между гайзенберговым полем ф(ж) и асимптотическими
полями фе*(ж) дается уравнениями
Ф (ж) = ф (*) + J Dret (ж - gr) / (у) tfy ш
- <Р0В/ (ж) + J D^ (ж - у) j (у) d*y. D.2.6)
где Dnt и Dadv — запаздывающая и опережающая функции
Грина, определенные в дополнении к гл. 3.
Вычитая уравнения, мы находим связь между асимптотиче-
скими полями
Ф<"" (ж) - ф'" (ж) + J D (ж - у) j (у) d*y, D.2.7)
где D(x) —перестановочная функция Паули — Иордана C.4.3),
Уравнения D.2.6) — D.2.7) называются уравнениями Янга —
•) Это название ведет свое происхождение от электродинамики, где век-
торный потенциал А^ удовлетворяет уравнению QAli(x)'=fjl{x), /д(х)—со-
храняющийся электромагнитный ток.

I 1] УСЛОВИЯ ЛЕМАНА - СИМАНЗИКА - ЦИММЕРМАНА 259
Фельдмана (естественно, их можно рассматривать как замкну-
тыеуравнения для поля <р(л;) только в том случае, если ток/(х)
вадан независимо, например в виде полинома от полей <р).
Далее, Леман — Симанзик — Циммерман нашли замечатель-
ную редукционную формулу, подсказанную теорией возмущений
и позволяющую выразить матричные элементы оператора рас-
сеяния S через вакуумные средние упорядоченных Г-произведе-
ний гайзенберговых полей. Для векторов из Йех
редукционная формула ЛСЦ имеет вид
<*?¦ • • • e°rui|/, • ¦ • /»'"> = <«, • • • e°rui\s\U ¦ ¦ • nut) =
" '"'*' [ ••• \ G° (*" • • '• Х" У *^?l (*l) • ¦ • gr(xr)fl Ш . • •
... П (ft) d*xt ... d\ d*yt ... a*yu D.2.8)
Где Gc — так называемая причинная функция Грина,
Gc(x *») = *»,... К,ЯФ\Тivixi) ... Ф(де«Я|О>. D.2.9)
а Г-произведение *) операторов при несовпадающих аргумен-
тах определяется формулой
{1у
Xv^g.-.v^iJ D.2.10)
(Сумма распространяется по всем перестановкам м, ..., in чи-
сел 1,.... л).
Спрашивается, можно ли доказать эту редукционную фор-
мулу в рамках теории Уайтмана? Трудность возникает еще при
попытке придать точный смысл формулам D.2.6) — D.2.10).
Например, в правой части D.2.10) содержатся произведения
операторной обобщенной функции на разрывную 0-функцию,
которые, вообще говоря, не определены (с такого рода произ-
псдениями связаны «ультрафиолетовые расходимости» в теории
возмущений, см. п. 4.2). Мы изложим здесь частичное решение
этого вопроса, принадлежащее Хеппу A965а, б).
Мы покажем, что на некотором плотном множестве векто-
рон пространства е%?ех справедливы асимптотическое условие
ЛСЦ и уравнения Янга — Фельдмана. Упомянутое множество
•( Другими словами, упорядоченное по времени,, или хронологическое,
Ирин Шеншин' операторных полей (см., например, [4], § 18.4). Заметим, что
I) силу шн'тулита о локальной коммутативности произведения D.2.10) не за-
-ИНОИ ыОора системы отсчета.
17*

260 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 1
векторов "описывает состояния с расходящимися пучками ча-
стиц, или, другими словами, состояния, в которых волновые па-
кеты отдельных частиц в пространстве скоростей не перекры-
ваются. Доказательство основано на том, что такие состояния
могут быть точнее аппроксимированы состояниями, порожден-
ными из вакуума полиномами полей, соответствующих одно-
частичным возбуждениям. Асимптотическое условие в ж-про-
странстве, которое представляет собой свойство сходимости на
бесконечности регуляризованных функций Грииа по отношению
переменной, сопряженной с р° — \^т3 + р2, обеспечивает регу-
лярность этих функций в р-пространстве в окрестности массо-
вой поверхности р° = Ут* + р2. Следовательно, переход на
массовую поверхность законен, по крайней мере для импульс-
ных конфигураций, описывающих расходящиеся пучки частиц.
Это дает возможность обосновать редукционную формулу ЛСЦ
для амплитуды рассеяния.
2.2. Асимптотические условия и уравнения Янга — Фельд-
мана. Для простоты мы вновь будем рассматривать случай
одного скалярного нейтрального поля ф (jc) массы т, удовле-
творяющего требованиям п. 1.2, в частности представлению1
Челлена — Лемана D.1.2). Введем снова сглаженный оператор
типа D.I.I I), который может быть записан в виде
А ({, t) = уУ J f (р) ф (р) е1 <-*>' й*р, D.2.11)
где f (p) является основной функцией (fs^), исчезающей вне
некоторой окрестности гиперболоида р°=<о (можно считать
(ср. с D.1.4)), что носитель функции f (p) содержится в области
+ 4ma], D.2.12)
и тем самым обеспечивается исчезание f (p) в области непрерыв-
ного спектра в уравнении Челлена — Лемана).
Упражнение 4.2.1. Показать, что формула D.2.11) является частным слу-
чаем D.1.11), в котором gt(p)—0, a
I (р) - - (<о + р°) h (ps) g. (p). D.2.13)
Как уже отмечалось (см. п. 1.2) А({, t) является неограни-
ченным оператором в &6, в область определения которого входит
плотное ядерное пространство Q. Кроме того, в силу постулата
спектральности при /е<^(бт)
A{f, 0Ю> —0. D.2.14)
В то время как в силу D.1.5) и D.1.20)
A*{f, t)\O)-\h, D.2.15)

Цз] УСЛОВИЯ ЛЕМАНА - СИМАНЗИКА - ЦИММЕРМАНА 261
|де
D.2.16)
В силу теоремы Хаага — Рюеля пределы
существуют в сильной топологии вЖ и задают базис в про-
странстве асимптотических состояний $?«*.
Теперь мы исследуем скорость стремления к пределу в
D.2.17) в предположении, что носители fj попарно не пересе-
каются в пространстве скоростей, т. е. если при pjesuppfj
-^Pi^-~Pl при 'W D.2.18)
Будем называть множество функций {f у} (f} e ?Р (/?3)) непере-
крывающимся, если для всех pjSsuppfy имеет место D.2.18).
Мы покажем, что вследствие короткодействия сил в локаль-
ной квантовой теории поля, в которой наименьшая масса m по-
ложительна, неперекрывающиеся асимптотические состояния
|/,, ..., f**) могут быть быстро аппроксимированы почти ло-
кализуемыми состояниями
Й(/„ 010). D.2.19)
Точнее, справедлива следующая теорема.
Теорема 4.2.1. Для множества неперекрывающихся функ-
ций {fi, .... fnj, где fj^G?(Gm), имеют место неравенства
A+|/|Г". D.2.20)
tde CN < ©о при всех N*).
Мы приведем здесь лишь идею доказательства теоремы 4.2.1,
вставляя детали читателю.
Разлагаем квадрат левой части D.2.20) в сумму произведе-
ний усеченных вакуумных средних. Так как в силу D.2.14) и
D.2.15)
h 010)-¦?*(//. *)№>-0,
*) lUniiMiiiiM, что при N=3/2 неравенство типа D.2.20) было доказано
Леи 11|К>лпил1)жеиия о неперекрывании (см, D.1.42)).

262
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ [ГЛ. 4
то все одноточечные функции и все произведения, содержащие
одни только двухточечные функции в этом разложении, равны
нулю. Поэтому доказательство теоремы 4.2.1 сводится к провер-
ке неравенства
<CN<oo D.2.21)
при любом Л/>0 и &>3 (CN не зависит от t); штрих у по-
лей А означает возможное дифференцирование по t. При дока-
зательстве D.2.21) используется теорема 3.2.3 и условие непере-
крывания волновых пакетов ft в пространстве скоростей. В силу
условия U>3 по крайней мере одно из неравенств />2 или
k — />2 имеет место. Оба случая рассматриваются идентично.
Мы остановимся лишь на первом из них (/>2). Пользуясь
трансляционной инвариантностью, можно записать левую часть
D.2.21) в виде
П
1=2
где
X (Ра Рк)
D.2.22)
\L=j+ 1
D.2.23)
(через Г[ обозначена функция, комплексно сопряженная к f\
к 42-11/2 / к
Sp, +S®v- S «V D.2.24)
v-2
[
В подынтегральные выражения в D.2.22) и D.2.23) может вхо-
дить еше множитель <о{ — р?, соответствующий дифференцирова-
нию по /. При получении D.2.22) мы воспользовались эрмито-
востью поля ф(^), из которой следует, что ф*(р)=ф(—р). Со-
гласно D.2.23) у является основной функцией: %^&(R^h^x)).
Интегрирование ТО ^i проводитсч 8 явном виде, поскольку

% 13 УСЛОВИЯ ЛЕМАНА — СИМАНЗИКА — ЦИММЕРМАНА 263
усеченная функция Уайтмана wT(pu .... Ph) пропорциональна
Четырехмерной б-функции 6(pi + ... +Ph), что приводит к вы-
ражению D.2.24) для й. Далее, поскольку 1, и Ь не перекры-
ваются, то в точках где %Ф0,
|Е» т2 + [Ур.| >]pi + (u-lp2 = (U2lp2-(u7lPl:;fe0. D.2.25)
Из D.2.25) следует, что можно найти такое разбиение еди-
ницы {ctj, /=1, 2, 3, т.е. такие три бесконечно гладкие огра-
ничейные функции ct4(p) [с суммой У]0^ —11. что ^~т ^ О
При p2esuPPX(p2 Рй)а/(Рг)- Тогда замена переменных
Q«->pi регулярна в области, где хЩ^О; следовательно,
vX (А. • • •. Pk) а/ (А) е'С (" Ы' е ^ («i (О))
при i = 1,2,3. Отсюда следует D.2.21) и тем самым теорема 4.2.1.
Разумеется, доказательство теоремы 4.2.1 остается в силе
при замене произведения f\{P\)---fn{pn) одной функцией
f(p\ Pn)e^((Gm)n), если только при (pi р„)е=
esupp/ имеет место условие неперекрывания D.2.18) *).
Обозначим через Q<jx множество неперекрывающихся векто-
ров <D«*(f ), где f(pi, ..., pB)e<^((Gm)n), a f — симметризован-
иая функция
Это множество всюду плотно в гильбертовом простран-
стве &6ех, так как множество функций типа D.2.26) с непрекры-
вающимися скоростями всюду плотно в пространстве всех
*) Из теоремы 4.2.1 следует, что при неперекрывающихся скоростях пре-
дел Хиига —- Рюеля D.2.17) достигается быстрее любой степени \tYy, неза-
ммшмп от числа измерений пространственной части пространства Минков-
VHiiH) (i'p. с доказательством леммы 4.1.1, которое не переносится непосред-
t'lhelllM) нк случай одномерного пространства). В частности, б мире с одним
и л и у ми пространственными измерениями тоже можно развивать разумную
TV()|Hiin ("шлимппеиий. Это замечание имее| значение при изучении двухмер-
ны* моделей квантовой теории поля (см., например, Тнррннг A958)).

264 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
симметричных функций f{p\ р„) с квадратом нормы
П Р») Р < ~. D.2.27)
где
в*(р) = е(ро)в(р2-т2). D.2.28)
В О" определены все сглаженные полиномы от операторов
поля (исходной областью определения для которых служило
ядерное пространство Q), а вместе с тем и асимптотические
операторы a*°*(f) типа D.1.15) (а(*)ех означает либо аех либо а***).
Теперь мы в состоянии вывести асимптотические усло-
вия ЛСЦ.
Теорема 4.2.2. Пусть Фе*е0о* и f(e^(Gm); тогда
lim |П Лп (f и t) Ф" - off Qt) Ф" I - 0, D.2.29)
где, как и выше, звездочка в скобках означает возможное эрми-
тово сопряжение.
Если ФехеQS*F Vме«?„, а Ь^&(Gm)s fte^(i?4(p))8
го
ех, Д ое* Ш П е- (f,) Фм). D.2.30)
Доказательство. Аппроксимируем вектор
векторами типа
]5^M(f|. 0Ф(/, О-
Пользуясь теоремой 4.2.1 и тем, что произведение IM<*>(fo /)
есть операторная обобщенная функция умеренного роста, на-
ходим
П \ D.2.31)

ID УСЛОВИЯ ЛЕМАНА - СИМАНЗИКА — ЦИММЕРМАНА 265
РДе L фиксировано, а йк < °° для любого К. Отсюда следует,
что, например,
П
II « 1
s Пи<->(^, 0-^Ф(/, в)<СлA+|<|)-*. D.2.32)
II /=i I
Соотношения D.2.29) и D.2.30) следуют отсюда и из D.1.14).
В заключение покажем, что формально написанные в п. 1
уравнения Янга — Фельдмана D.2.6) тоже могут быть осмыс-
лены как равенства в пространстве fio*.
Любая основная функция f(p)e&"[Ri) может быть предста-
влена в виде суммы трех слагаемых
Обладающих свойствами (f,(p)
suPpf,c:{|p2-m2\<m\ p>0},
suppf2c:{|p2-ma|<ma, p°<0}, D.2.33)
{4}
При V1" е fij" бесконечно гладкая вектор-функция
удовлетворяет в силу D.1.42) условию
в интервале —оо < s-<0. Следовательно, интеграл
о
(s) ds
равномерно сходится при 0^е^е0 (ео>0) и в силу тео-
ремы 4.2.1
о о
(qf (h) Vin - <p*'n {f,) Vln) = f Ft (s)ds - llm f e-F, (s) ds =
- llm f ds« f
«= - lim f,

266 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ [ГЛ. 4
Здесь мы воспользовались тем, что р° + со>т>О при-
/(р)="('и2~ Р*)ф{р) D.2.35)
и, кроме того, что при е > О
"™ (Л^П^-Т--!) =0- D-2.36)
Аналогично
D.2.37)
Так как массовая поверхность не пересекается с носителем
функции f3, то <р/я(/3)Ч"п = 0 и
„• (/3) V - - р^- J d«p J^S" ^ D-2-38^
Таким образом, мы получаем, что при 'Р** s й" имеет
место равенство векторных обобщенных функций
<р (х) W°* = <po«<4fo^ + j diy Dado (x _ ^) ;- (j,) фо"< D.2.39)
(при получении D.2.39) из D.2.34) — D.2.38) мы воспользова-
лись эрмитовостью поля <р(х)).
Это и есть точный смысл уравнений Янга — Фельдмана.
2.3. Редукционная формула. Перейдем теперь к редукцион-
ной формуле, обсуждавшейся во введении (п. 2.1). Мы обой-
дем нетривиальный вопрос о существовании функции Грина в
уайтмановской формулировке*), пользуясь сглаженными6-функ-
циями. Будет показано, что амплитуды рассеяния на массовой
поверхности не зависят от сглаживания.
Пусть х — неотрицательная финитная основная функция из
Rn-i), удовлетворяющая условиям симметрии
Х(«1, — «v • • •• Ч,-, ~ S'J - 3C(si — S2, ..., sn-i — sn) D.2.40)
для любой перестановки (i'i, ..., tn) чисел 1, .... ли нормиро-
ванная условием
J ... { dh ... dtn_lX (*, /„_,) - 1. D.2.41)
*) См. по этому поводу Штейнман A963а).

|S} УСЛОВИЯ ЛЕМАНА - СИМАНЗИКА - ЦИММЕРМАНА 2*57
Определим сглаженное произведение 6-функций формулой
Х\*1 ~ Х2> " •> *п-1 ~~ п) ""
... G(xn_,-xn-sn_, + sn). D.2.42)
Заметим, что Gx является бесконечно гладкой функцией со
Значениями между 0 и 1, которая переходит в обычное произве-
дение 6-функций, если
-s2) ... 6(srt_, - sn). D.2.43)
Сглаженное (Г-) (ср. D.2.10)), запаздывающее (ft-) и опере-
жающее (А-) произведения полей определяются формулами:
' 4 2
\ 2"* *"• я!
•¦*{%} <4-2-44)
ЧР(*,я)]. D.2.45а)
.... 4P(*iJ], D.2.456)
где суммирование ведется по всем перестановкам {i, in)
(соответственно {i2 «'„}) чисел 1, 2, .... п (соответственно
2, 3, ..., п). В терминах атих операторов сглаженные функции
Грина — причинная (G?, ср. D.2.9)), запаздывающая (О™') и опе-
рожающая [Gx / — определяются переходом к вакуумным сред-
ним и применением по каждой переменной оператора Клейна —
Гордона.
Упражнение 4.2.2. Пусть Тх {xi xn)— сглаженное Г-произведснис
D.2.44), а Тх{х2, ..., хП) определяется формулой типа D.2.44), в которой
поло ф (xi) отсутствует, симметризация проводится лишь по переменным
I, хп, а 6 (х° — х\ — s, + s2) в D.2.42) заменено единицей. Показать, что
«¦ян 4-поктор Г направлен в будущий световой конус и его длина доста-
TIX11II) IIIM1UKIJ, ТО
fr^)(! прн "
прн Xi

268 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ [ГЛ. 4
Упражнение 4.23. Показать, пользуясь предыдущим упражнением, что
при Ф°в/ е QJ"*, ?ln e Qj" справедливо тождество
я', Тх{-р2 - р„) а*М (р.)
lim \{р\-т^{<^\ Гх(-Р1 -Р„)^")]. D.2.47)
где матричные элементы рассматриваются как обобщенные функции из
*"{Gm X Ht („_,)) (область Gm задается D.2.12)) (Хепп A965а)).
упражнение 4.2.4. Пусть
/ (*) -
где f (p) e ^(Rj). Показать, что если Ф", Y" ex QJJ*, то справедливы редук-
ционные формулы:
а0"* (/) Гх (ж2 ж.) - Гх (*2 Хп) а'» (/)) Тг") =
- - i J d4*,/ (ж,) (Фоп/, К{Гг (ж, жя) ?'"), D.2.49)
х(*0; *. *«-.). а''" (Л] 5"я)=-
- j d*Xnf {хп) (Ф'п, KnRx (х,; ж, жя) 5""), D.2.50)
п) (Фои/, ^ПЛХ («о; *. хп) 4°»*). D.2.S1)
Основной результат настоящего пункта может быть сфор-
мулирован следующим образом.
Теорема 4.2.3. Если РхФр\ при 1ф\, то справедливо сле-
дующее соотношение между амплитудой перехода п — k частиц
в k частиц и вакуумным средним от сглаженного Т-произведе-
ния 'п полей: •
Экстраполированная вне массовой поверхности, зависящая от %
функция
п
\ ... jndHfiffWtf-m^X
Х<0|Гх(р,, ..., pk, -Рш, ..... -р„)|0) D.2.БЗ)

I 2] УСЛОВИЯ ЛЁМАНА - СИМАНЗИКА - ЦИММЕРМАНА 269
является бесконечно гладкой в окрестности массовой поверх-
ности (р° =*©,). если носители основных функций /; не пере-
крываются в пространстве скоростей (т. е. если в области ин-
тегрирования в D.2.53) ©7'р, Ф co-'pj при I Ф /).
Если определено вакуумное среднее от обычного несгла-
женного Т-произведения D.2.10), для которого
l xn)\0)-@\<?(Xli) ... <p(x,J|O> D.2.54)
при
х° >хЧ > ... >х° ,
*1 '» я
то формула D.2.52) остается в силе и при замене Т% на Т (т. е.
% на 6 —см. D.2.43)).
Эта теорема является следствием результатов, сформулиро-
ванных в упражнениях 4.2.3 и 4.2.4, и следующей леммы.
Лемма 4.2.1. Обобщенная функция
Д
D.2.55)
Является бесконечно дифференцируемой функцией относительно
переменных р°м — ottl, ..., р° — ©, в окрестности начала коор-
динат, если ее проинтегрировать по Pi,...,pn с основной
функцией fe<^°(/?3n), обращающейся в нуль при совпадении
некоторой пары переменных ©7*РГ
Здесь мы приведем лишь схему доказательства леммы 4.2.1.
Детали могут быть найдены в оригинальной работе Хеппа
A965а).
Пусть {f,} с: <#"(Gm) — неперекрывающаяся совокупность ос-
новных функций и пусть
<*'
J Ь (Р) е1^"» V» d*p, D.2.56)
-gffl{X, t),
Тогда утверждается, что интеграл
D.2.57)
L

270 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЯ [ГЛ. •!
является основной функцией из ?P(Ri-h) по переменным
tk+u ¦ ¦ ¦, h- Поскольку все производные по t} от бесконечно диф-
ференцируемых функций D.2.57) вновь имеют вид D.2.57), то
достаточно показать, что при любом выборе положительных
чисел Nh+i, .... Ni
sup
I / (tM U) &\+l ... ti11 < oo. D.2.58)
Чтобы доказать D.2.58), необходимо воспользоваться рассуждениями,
при помощи которых доказывается замечание 1 к лемме 4.1.1.
Пусть Cqffj,/) есть множество точек x=t<o~lp, для которого по край-
ней мере одно {р\ р) содержится в г]-окрестности supp fj (r]>0 фиксиро-
вано). Тогда справедливы оценки:
м лг
'\fl(x,t)]<CMN[l+(x«-tn 2 (\+x*+t*) 2
при
X & C4 (f,, t); D.2.59)
If, (x, t)\<CM[\+ [x0 - О2]" 2 [1 + *"+ <2Г 4
при
положительные числа Cmn и См могут зависеть от rj (ио не от х и f).
Мы вндим, что /,(*.') вместе со всеми своими производными при фик-
сированном t быстро убывает с расстоянием от своего «существенного носи-
теля»
Для неперекрывающихся fk+i h все S^tfj, l±rj) попарно простран-
ственно разделены для достаточно малых г]. Отсюда следует, что расстояние
между носителями S4(ft, (\ + r\3)t) растет пропорционально первой степени t
при |*13-|<1]. Это позволяет представить Г^-произведение в D.2.57) в виде
суммы интегралов обычных произведений полей ф(дг,) и доказать D.2.58)
при помощи теоремы 4.2.2.
Физически интересны реакции, в которых две частицы пере-
ходят в п частиц. В этом случае амплитуда рассеяния может
быть получена переходом на массовую поверхность в опережаю-
щих обобщенных функциях при неперекрывающихся скоростях.
Возможность такого перехода обусловлена следующей теоремой.
Теорема 4.2.4. Если ю^'Р, Ф соу'р, при 1Ф}, го справед-
ливо тождество
П(Р|я-т*)<0|Лх(-р1; -ря, Р,,..., Р
I0}|.
D.2.60)

I a] s-матричная формулировка 271
':. Экстраполированное вне массовой поверхности выражение
х(-р1; -р2, р3 Рп)\0)
бесконечно дифференцируемо по р^ — со, в окрестности нуля
(после интегрирования по р\, .,., р„ с неперекрывающейся ос-
новной функцией).
При доказательстве этой теоремы используется то же самое
рассуждение, которое привело нас к лемме 4.2.1. Спектральные
условия для реакции 2 -> п — 2 исключают те члены разложения
\0|iTx(—р\\ —р2, Pa Рп)|0) по вакуумным средним от
обычных произведений, для которых не было доказано асимпто-
тическое условие ЛСЦ (речь идет о членах со структурой
-Д*(fj, ОР(<р)|О), где Р—полином от сглаженных полей; неиз-
вестно, сходятся ли эти члены при t—*±oo). Заметим, что по-
добные спектральные условия не имеют места в общем случае
реакции k~*n. Поэтому пока нельзя сказать ничего относитель-
но структуры особенностей у вакуумных средних
<0|Ях(±р, ±Р„)|0> и у <0|/х(±р, ±р„)|0>
в окрестности массовой поверхности P/=«oj.
Отметим в заключение, что мы не исчерпали результатов,
полученных в настоящее время в теории рассеяния Хаага —
Рюеля. Упомянем в этой связи доказательство Хеппа диспер-
сионных соотношений для амплитуды упругого рассеяния мезона
на мезоне в схеме Уайтмана*), а также исследование Хеппом
A965 г) одночастичных особенностей S-матрицы в этом подходе.
§ 3. S-матричная формулировка основных требований
локальной теории
3.1. Вводные замечания. В двух последних параграфах мы
видели, что в рамках уайтмановского подхода в квантовой тео-
рии поля можно ввести асимптотические состояния из произ-
вольного числа невзаимодействующих частиц и что при выпол-
нении требования VIII асимптотической полноты состояния при
/—*—оо (m-состояния) могут быть получены из состояний при
t~* + оо (оы/-состояния) под действием унитарного оператора S
(см. D.1.53) и D.1.54)). Более того, было показано, что матрич-
ные элементы оператора S, или, что то же самое, амплитуды
*) Общий вывод дисперсионных соотношений на основе формализма ра-
диационных операторов дан в [1]. Мы предполагаем вернуться к этому во-
просу, ио втором томе.

272 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ {ГЛ. 4
перехода между in- и ом/-состояниями, могут быть получены
предельным переходом на массовую поверхность от сглаженных
причинных функций Грина (по крайней мере если скорости
асимптотических частиц не перекрываются). На самом деле
речь, конечно, не идет о практическом вычислении элементов
S-матрицы, поскольку сами сглаженные функции Грина, так же
как и функции Уайтмана, через которые они выражаются, неиз-
вестны. Из постулатов I—VII мы были в состоянии вывести
(в гл. 3) лишь некоторые общие свойства вакуумных средних
от произведений полей; из этих свойств необходимо извлечь
информацию о поведении элементов S-матрицы. Нетрудно сфор-
мулировать основные свойства причинных функций Грина, если
они определяются при помощи обычных (не сглаженных!) Г-про-
изведений типа D.2.10). Но, исходя из требований I—VIII, мы
сталкиваемся с трудным вопросом о существовании этих функ-
ций. С другой стороны, сглаженные функции Грина, которые
всегда существуют в уайтмановском подходе, не обладают столь
простыми свойствами и, пользуясь ими, значительно труднее по-
лучить необходимую информацию об элементах матрицы рассея-
ния (хотя, как показали результаты Хеппа, частично изложен-
ные в предыдущем параграфе, это не является невозможным).
Здесь мы встанем на другую точку зрения, соответствующую
историческому развитию этого вопроса. Мы исследуем свойства
причинных, запаздывающих и опережающих функций Грина в
предположении, что они существуют, не заботясь на данном
этапе о строгом обосновании этого предположения в рамках
уайтмановского подхода.
Как уже отмечалось в начале предыдущего параграфа, по
этому пути пошли Леман, СиМанзик и Циммерман A955) и
A957). Независимо, примерно в это же время, Боголюбов и его
сотрудники (см. Боголюбов A955), [4], [1]) развили, по сути
дела, эквивалентный метод непосредственного исследования
свойств элементов S-матрицы, экстраполированных вне массовой
поверхности, без обращения к понятию гайзенбергова поля
(в полном соответствии с первоначальной программой Гайзен-
берга A943)). В основе метода Боголюбова, Медведева и По-
ливанова (БМП) лежат аппарат вариационных производных
S-матрицы по асимптотически свободным полям и условие ми-
кропричинности, которое просто формулируется в терминах этих
вариационных производных. Понятие гайзенбергова поля фак-
тически заменяется всюду оператором тока, определяемым через
первую вариационную производную S-оператора. В последнее
время точка зрения, согласно которой токи играют основную
роль в теории, получила дальнейшую поддержку и развитие в
так называемой алгебре токов.

§31
S-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА
273
В этом параграфе мы изложим основы метода БМП, указы-
вая прн этом на его связь с формализмом ЛСЦ.
В п. 7 мы сформулируем общую задачу об аналитических
свойствах функций Грина, связанных с амплитудой рассеяния.
Этн свойства следуют из принципа микропричннности н из спек-
тральных условий.
3.2. Асимптотические состояния и матрица рассеяния — об-
щие свойства. Будем рассматривать в качестве базиса в про-
странстве векторов состояний асимптотические состояния одного
типа: для определенности будем работать с ои*-состояннями и с
соответствующими ои*-полямн (т. е. с асимптотическими векто-
рами и операторами прн /~*+оо). Поскольку о«*-поля будут
единственными полями, с которыми мй будем иметь дело в этом
параграфе, то в дальнейшем для упрощения записи мы всюду
будем опускать индекс out.
Рассмотрим общий случай системы фермионов с асимптоти-
ческими полями фл(#) и бозонов с полями фр(ж) (индексы % и р
обозначают сорт частицы; для частицы со спином 1/2 поле ф*.
имеет еще спинорный индекс а, принимающий четыре значения).
Поля ф и ф обладают всеми свойствами свободных полей.
В частности, когда бозоны имеют спин 0, а фермион — спин 1/2,
поля ф и ф связаны с операторами рождения и уничтожения
с*(р) и b^ (/?) формулами типа C.4.8) н C.4.33), причем
имеют место перестановочные соотношения:
1
„-ipx
фр(*I
Jpx
D.3.1)
D.3.2)
18 Н. Н. Боголюбов

274 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
Предположим теперь, что оператор рассеяния S является
функционалом от полей ipv фх, и <рр, который может быть запи-
сан в.виде ряда по нормальным произведениям:
*.* . p
J ... Jsv..xfti ^...^P,...,
Xk'
: d*x ... d*x
m
D.3.3)
где Sv^Sxf ...р„ — числовые (вообще говоря, обобщенные) функ-
ции, а /о —общее обозначение для спинорных полей фх и i]^,
и для бозонных полей <рр.
Напомним, что нормальное произведение операторов сво-
бодных полей ¦$, 1]з и ф определяется как произведение, в кото-
ром все операторы рождения Ь*^} и а* стоят слева от всех опе-
раторов уничтожения Ьц? и ар. Из определения следует, что
под знаком нормального произведения бозонные поля коммути-
руют между собой и с фермионными полями, а фермионные
поля антикоммутируют между собой. Поэтому, без ограничения
общности, можно считать, что числовые функции S\i...Pn сим-
метричны относительно аргументов #jpj и антисимметричны по
% уAt И Х/ Лм •
Теперь мы хотим сформулировать все требования локальной
теории в терминах оператора S и асимптотических обобщенных
векторов состояний
.. pFaF; g,p, ... дпрп) -
где а, = {^, Ь, «A «j-± (ср. с C.4.21) и C.4.41)).
Перечислим сначала общие свойства S-матрицы, для форму-
лировки которых не требуется выход за массовую поверхность.
1) В оснащенном гильбертовом пространстве QcJ^cQ*
асимптотических состояний реализуется унитарное представле-
ние U(g) некоторой группы С, включающей в качестве подгруп-
пы собственную спинорную группу Пуанкаре ?Cо и группу гра-

S-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА 275
гнтных преобразований первого рода для фермионных полей:
ЪМ-«¦*•**(*). a «const. D.3.5)
Действие группы Пуанкаре на векторы состояния описано
гл. 2, п. 5.2. Мы напомним лишь действие оператора трансля-
аи на обобщенные состояния D.3.4)
, ... pFaF; gl9l ... gnpa) =
= exp {i B Pi + 5! 4kj a } | a«*i • • • QnPn), D.3.6)
j массы фермионов, mh — массы бозонов. В соответствии
^представлением о пространственно разделенных, невзаимодей-
вующих асимптотических частицах, энергия и импульс v+n-
астичного состояния складываются из 4-импульсов отдельных
истиц.
Согласно D.1.16) поля %а{х) при трансляции преобразуются
формуле
ya(x + a)=U(a)Xa(x)U-l(a). D.3.6а)
t При градиентных преобразованиях D.3.5) векторы состояния
Умножаются на фазовый множитель, зависящий от разности
'Числа фермионов и числа антифермионов:
F
U (e'-Olp.a, ... qnpn) = e'^l^'l Aa, ... 0„р„>. D.3.7)
В теории сильных взаимодействий принято считать, что груп-
па G содержит еще дискретные преобразования Р, С и Т и
Группу изотопического спина*).
Будем предполагать, что оператор S инвариантен относи-
тельно всех преобразований U(g):
U(g)SU~l(g) = S D.3.8)
(при gG^o D.3.8) совпадает с соотношением D.1.55), выве-
денным в подходе Уайтмана).
Отметим, что инвариантность относительно градиентных пре-
образований D.3.5), D.3.7) уже заложена в записи D.3.3), где
число полей tyv в каждом слагаемом равно числу полей фх.
*) Группа изотопического спина — это группа S(JB), действующая на
индексы X и р, которые указывают вид частицы (см., например, [8] или Бого-
AttiCoii A966)). В этом томе мы не будем рассматривать изотопическую сим-
метрии).

276 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЙ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
В случае, когда рассматриваются только адронные *) поля, эта
инвариантность выражает закон сохранения барионного числа.
Для лептонных полей она отражает закон сохранения лептон-
ного заряда. В общем случае условие D.3.8), включающее
градиентную и лоренцевскую инвариантность, приводит к тому,
что S-матричные элементы преобразуются по однозначному
представлению собственной группы Пуанкаре ?$?•
2) В записи D.3.6) представления преобразований транс-
ляции уже содержится постулат спектральности. Вместе с тре-
бованием полноты системы асимптотических состояний, которое
кладется в основу всего S-матричного подхода (см. постулат
VIII, п. 1.5), условие спектральности может быть сформулиро-
вано в форме, тождественной с условием III (гл. 2, п. 3.2).
Сильная форма постулата спектральности, относящаяся к тео-
рии адронов, может быть сформулирована следующим образом:
существует единственное нормируемое G-инвариантное состоя-
ние— вакуум |0), и совокупность обобщенных физических со-
стояний типа D.3.4) (с положительными массами и энергиями),
которая вместе с вакуумом образует полную систему в Q* (и,
следовательно, в ?%?). Эта практическая формулировка посту-
лата спектральности часто используется при разложении мат-
ричного элемента произведения двух операторов Л и В по пол-
ной системе промежуточных состояний, которое несколько сим-
волично записывается в виде
5;| D.3.9)
где k — суммарный трехмерный импульс промежуточного со-
стояния, а и — совокупность всех остальных (дискретных и не-
прерывных) квантовых чисел, которые вместе с k полностью
характеризуют промежуточное состояние.
3) Вакуум и овночастичные состояния являются стабиль-
ными:
S|0) = |0>, S|1>-|1>, D.3.10)
где Ю—произвольное состояние одной физической частицы
(ср. со свойством D.1.20) в теории Хаага — Рюеля).
4) Вероятность перехода между нормируемыми состояниями
|Ф) и |Ч0 дается выражением |(<D|S|4'')|2. Для того чтобы
суммарная вероятность перехода из состояния \Ч?) в любое
*) Адронами называются сильно взаимодействующие частицы: барионы
(т. е. нуклоны и гипероны) и л- и /(-мезоны. В эту схему нельзя, строго
говоря, включить адронные резонансы (например, векторные мезоны), по-
скольку они сильно нестабильны и не имеют соответствующих асимптотиче-
ских полей.

ГЦ S-МАТричНаЯ формулировка 277
Н>уг6е состояние равнялась 1, необходимо потребовать, чтобы
(Итератор был унитарным:
I „ SS* = S*S = 1. D.3.11)
8.3. Вариационные производные S-оператора и принцип
никропричинности. Определим вариационную производную по
|олю Фр(-к) от функционального ряда D.3.3) формулой
( ¦ ft, л
X (х„ ..., xk; x\, ..., x'k) yv ..., у, = х, ..., уп) X
к п
П
Вариационные производные по спинорным полям опреде-
ляются формулами:
ip)
fe, n
-^S'I ••• J V-vi-*.-^
X (x, ... xA; x[ x\ = x x'k; yv ..., yn)X
' к к n
x: П П П^ {*№>№%№ d\ ••• d4' ••• *»*
'- fti y=I r
D.3.13)
k,n
(x, xt = x xk; x\ ... x'k\ {/,... yn)X
ft ft n
D.3.14)
(дуги МИД дифференциалом в формулах D.3.12) — D 3.14) озна-
"tMiftT iff** qt<VT nuittfhunoirlTug л ¦rirtlfim nni ^tuTl ^

278 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЙ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
Здесь мы предполагаем, что под знаком нормального произ-
ведения в D.3.12)—D.3.14), так же как и в D.3.2), сначала
стоят все поля фь, а затем идут поля i^, (в противном случае
пришлось бы, возможно, изменить знак соответствующего
члена).
Эти определения вариационных производных соответствуют
тому, что бозонные поля получают «классические* приращения,
коммутирующие со всеми полями, в то время как фермионные
поля получают приращения, строго антикоммутирующие под
знаком нормального произведения с фермионными полями. Кро-
ме того, мы условились приращения полей т|>х, выводить справа
в нормальном произведении, а приращения <р* писать слева
(иногда говорят, что D.3.13) определяет правую производную
по tjjju a D.3.14) —левую производную по ф*; см. [4], § 47.1).
При данном определении вариационные производные по бозон-
ным полям перестановочны, а левые (правые) производные по
спинорным полям антиперестановочны:
(х) top,,, {у) 6<рр, (у) 6<рр (х) '
' (у) Нк' (У) Чь М '
6'S D.3.15)
Вариационные производные возникают естественно при рас-
смотрении матричных элементов
i (PO (OIO>. D.3-16)
Коммутаторы операторов рождения и уничтожения с S-one-
ратором, которые получаются при перенесении операторов рож-
дения налево, а операторов уничтожения направо, имеют вид
D.3.17)

IЦ 5-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА 279
. <4-зл8>
s] - /==?=" J
Упражнение 4.3.1. Вывести D.3.17) н D.3.18), пользуясь разложением
(•оператора D.3.3) и перестановочными соотношениями D.3.1), D.3.2). (При
|ЫЕОде формул D.3.18) необходимо воспользоваться тем, что общее число
«пииориых полей в каждом члене разложения D.3.3) четно. Отметим, что
ft D.3,18) коммутаторы операторов о(*> с S выражаются через антикоммута-
Пры этих операторов с полями V.)
Теперь мы-подошли к весьма существенному вопросу прин-
ципиального характера.
Хотя мы определили вариационные производные от S-мат-
рицы и вывели формально соотношения D.3.17) и D.3.18), как
будто бы без экстраполяции вне массовой поверхности (более
ТОГО, мы использовали, что qpp и ty\ удовлетворяют каноническим
перестановочным соотношениям для свободных полей с фикси-
рованной массой), однако при ближайшем рассмотрении не-
трудно убедиться, что само понятие вариационной производной
С необходимостью требует выхода за массовую поверхность.
Дело в том, что, зная интегралы D.4.3) от полей <рр
и фх, удовлетворяющих «свободным уравнениям» (или, други-
ми словами, зная S-матричные элементы между всевозмож-
ными физическими асимптотическими состояниями), мы не
можем однозначно восстановить коэффициентные функции
Sy ...Р (*i» •¦•• УпУ ПРИ помощи которых определяются вариа-
ционные производные. Действительно, если (Пвя+т2)фРч(у„)=0,
то при добавлении к S\t... Рп функции вида (ОУп + ш%) X
X К(х, ... уп), • где К убывает достаточно быстро, когда уп
стремится к бесконечности, интеграл, входящий в D.3.3), не
изменится (поскольку интегрированием по частям клейниан
можно перебросить на поле <ppj.
Итак, чтобы определить вариационные производные
D.3.12)—D.3,14), нам необходимо экстраполировать матрицу

280 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ 1ГЛ 4
рассеяния вне массовой поверхности. Ясно, что подобная экстра-
поляция в высшей степени неоднозначна. Произвол можно не-
сколько сузить, если потребовать, чтобы экстраполированный
S-оператор по-прежнему удовлетворял условиям инвариантности
и унитарности и чтобы вакуум и физические (неэкстраполиро-
ванные!) одночастичные состояния оставались стабильными под
его действием. В частности, дифференцируя условие унитарно-
сти D.3.11), будем иметь
- D'319)
Дальнейшее значительное сужение произвола в продолжении
S-матрицы за массовую поверхность мы получим при наложении
перечисленных ниже локальных свойств S-матрицы, которые на
самом деле содержат и дополнительную информацию относи-
тельно матричных элементов на массовой поверхности.
1) Прежде всего мы потребуем, чтобы перестановочные со-
отношения D.3.17) и D.3.18), которые были выведены с исполь-
зованием канонических перестановочных соотношений для сво-
бодных полей, имели место и для экстраполированной S-мат-
рицы, коеда больше не предполагается, что поля <рр и ^,
входящие в разложение D.3.3), удовлетворяют свободным урав-
нениям.
Это позволит нам свести произвольный S-матричный элемент
D.3.16) к вакуумному среднему от радиационного оператора
типа
ХА>- ъы™**<&*• D-3'20)
где Хап как и в D.3.3), одно из полей ip^, il\, или фр. Возмож-
ность умножения вариационной производной на S* под знаком
вакуумного среднего обусловлена стабильностью вакуума
D.3.10).Удобство использования радиационных операторов типа
D.3.20) станет ясным в дальнейшем.
Упражнение 4.3.2. Показать, что коэффициентные функции Sv в D.3.3)
выражаются через радиационные операторы D.3.20) по формуле
Радиационные операторы по определению симметричны от-
носительно перестановки «бозонных аргументов» ^-pj и анти-
симметричны относительно перестановки «фермионных аргу-
ментов» xt\ (или хЭД) между собой. В дальнейшем мы будем

S-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА 281
'УПОТреблять термин «радиационные операторы» также для обо-
|Н1чения выражений более общего вида, являющихся произве-
даиями вариационных производных от S и S*. например вы-
О ww I \
2) Естественно считать, что радиационные операторы явля-
ются обобщенными операторными функциями. В частности, мы
Потребуем, чтобы вакуумные средние от операторов D.3.20)
принадлежали пространству Sp*{Rln), т. е. были обобщенными
функциями умеренного роста.
В п. 5 данного параграфа мы обсудим физические след-
6ТВИЯ из этого, на первый взгляд, чисто формального требова-
ПИЯ и рассмотрим возможные обобщения условия 2) и их связь
'¦ й условием микропричинности.
3) Условие микропричинности. Определим операторы бо-
ЮИного и фермионного токов через радиационные операторы
Первого порядка равенствами:
Происхождение зтого названия можно найти в лагранжевой форме кваи-
ТОВсй электродинамики. Лагранжиан взаимодействия в этом случае пишется
9 виде
где
/»(дг) - - « f (х) /* С»): - - а%*х) . D.353)
Положив, как обычно, S — 14 expli Г J2?[x)d*x\ >, нетрудно убедиться,
что в первом порядке теории возмущений (по константе связи е) радиацион-
ный оператор
совпадает с влектромагиитным током D.3.23).
Нетрудно . видеть, пользуясь следствием D.3.19) условия
унитарности, что если бозонное поле фр(х) эрмитово, то ток jp
тоже эрмитов.
Пусть Н(х) — какой-нибудь из токов D.3.22), а %(у),
как и выше, —одно из полей $к, tyx. или фр. Тогда условие

282 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОЬИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ (ГЛ. 4
микропричинности записывается в виде
0 при у^х. D.3.24)
(Напомним, что у ~<? х означает, что точка у предшествует или
пространственноподобна точке х: либо (х — уJ^-0 и х° > у0,
либо (х — у)*<0.)
Это условие является обобщением лагранжевой формули-
ровки квантовой теории поля: в обычной теории с локальным
лагранжианом оно выполняется автоматически.
Упражнение 4.3.3. Пусть.?(х) —локальная функция от асимптотических
полей %а(х) (т. е. зависит только от поведения этих полей в точке *), при-
чем сохраняет свой смысл и в случае, если Ъх{х) ие удовлетворяют свобод-
ным уравнениям. Пусть, далее, S-оператор определяется хронологической
вкспонентой
S-Пежр О» (*)«*•*]]. D.3.25)
(Мы допускаем, что J3"{x) и S имеют смысл.) Показать, что тогда условие
причинности D.3-24) выполняется автоматически. Другими словами, в этом
случае справедливо тождество
\
= 0 при у^х. D.3.26)
Тот факт, что выражение S-оператора в виде Г-экспоненты
от локального лагранжиана действительно отражает наше ин-
туитивное представление о причинности, подробно обсуждается
в монографии [4], и мы не будем здесь останавливаться на нем.
Вместо этого мы приведем формулы, дающие соответствие с
формулировкой ЛСЦ, которые поясняют наши требования
с другой точки зрения.
3.4. Связь с теорией ЛСЦ. Искомое соответствие получается,
если, отождествить токи D.3.22) с токами типа D.2.5), В ча-
стности, для бозонных полей и токов имеем
/р <*> - г'тДт S' = ( ° + «2)«Рр (*) D.3.27)
(во избежание недоразумения, здесь мы восстановили индекс
out у асимптотического поля, а для обозначения гайзенбергова
поля <рр воспользовались полужирным шрифтом).
Мы покажем, что, по крайней мере формально (игнорируя
нетривиальные вопросы существования произведения разрыв-
ной 0-функции на операторные обобщенные функции и т.п.),
из требований, наложенных на S-матрицу и ее вариационные
производные, вытекают локальные свойства гайзенберговых по-
лей фр, которые связаны с токами /р уравнениями Янга —
Фельдмана D,2.6), и обратно, постулаты ЛСЦ (включая урав-

I I] S-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА 283
Нвния D.2.6)) вместе с D.3.27) приводят к таким следствиям
ДЛЯ матричных элементов токов на массовой поверхности, ко-
торые обусловливают возможность микропричинной экстрапо-
ляции S-матрицы. Для простоты мы будем проводить рассу-
ЖДеиия лишь для случая системы бозонных полей.
Начнем с. установления некоторых тождеств между радиа-
ционными операторами второго порядка в подходе БМП, из
Которых, в частности, будет следовать локальная коммутатив-
ность токов D.3.22).
Дифференцируя по <РОЫ=Ф°"'(#) равенство
И пользуясь D.3.11) и D.3.19), получаем
ЦР(*) w о, , ¦ ю
\ "^ 6ф0 (у) =
= 1 *.ш*ьм s'+ ij"{х) /о {у)' D'3-28а)
аналогично
Шкх)- D-3-28б)
Вычитая D.3.286) из D.3.28а) и пользуясь перестановоч-
ностью вариационных производных по бозонным полям, нахо-
дим
Отсюда и из условия причинности следует, что операторы
токов коммутируют для пространственноподобных интервалов.
Далее, если применить условие причинности D.3.26) непосред-
ственно к D.3.28) при х ф у, находим связь второй вариацион-
ной производной с Г-произведением токов
Отсюда следует, что при всех х и у
" Я2(*р, уа) = - Г (jp (x) ja(у)) - гЛр0 (х, у), D.3.30)
j-де А^ ~ квазилокальный оператор:
х) = 0 при хфу. D.3.31)

284 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
Упражнение 4.3.4. Показать, что если поля <рр эрмитовы, то и квази-
локальный оператор Лро эрмитов. (Указание: взять вариационную производ-
НУЮ "ж—7~Г от D-3.19) и сравнить полученное тождество с D.330) и с эрми-
тово сопряженным равенством.)
Если расписать Г-произведение согласно D.2.10):
Т (/р (х) j0 (у)) = 6Ж1//Р (х) j0 (у) + Byxj0 (у) jp (х), D.3.32)
где Qxy^B(xo — y°), то подстановка D.3.30) в D.3.28) даст
^§ = iQy* l/p М. /« Ш + Лр0 (х, у). D.3.33)
Теперь мы переходим к установлению эквивалентности ло-
кальных свойств в формулировках ЛСЦ и БМП (заметим, что
общие свойства инвариантности, унитарности и пр. фактически
тождественны в обеих формулировках).
Пусть справедливы постулаты БМП. Мы уже показали, что
из условия микропричинности следует локальная коммутатив-
ность токов. Теперь, пользуясь определением поля <рр из урав-
нения Янга — Фельдмана D.2.6)
f (х) + j D% {x - у) /р (у) <?у D.3.34)
Vp\X) тр V"/ • J *-"m ч"* 311р\
и локальными постулатами БМП, мы покажем, что
[<РР (*). /а Ш = 0 при (х - yf < 0. D.3.35)
Прежде всего заметим, что из разложения S-матрицы по
асимптотическим полям D.3.3) и из перестановочных соотно-
шений для свободных полей ф°и'(х) C.4.2) вытекает равенство
К1"(х), /0(у)] =-lJDm(j(x-xr) ^iffij #хГ. D.3.36)
Пользуясь D.3.33), D.3.36) и равенством
Dm (х)« Drm {х) — Damv (х), D.3.37)
получаем
{/4е; (* -
- / J Dmp (x - х') A,» (xf, у) Фх\ D.3.38)
p
В силу свойств запаздывающих и опережающих функций член
с Dnt в правой части D.3.38) отличен от нуля лишь при х > у,
в то время как член с Dadv не исчезает только при у < х. Сле-

S МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА 285
1ТСЛЫЮ, два первых члена в D.3.38) обращаются в нуль
Пространственноподобных х — у. Последний член в правой
тоже исчезает в силу свойства квазилокальности D.3.31),
как перестановочная функция Паули — Иордана Dm(x — у)
ашается в нуль для пространственноподобных аргументов.
Ким образом, свойство локальной коммутативности D.3.35)
установлено.
Аналогично, при помощи несколько более длинных выкла-
10К, доказывается, что
[%(*), Ф.Ы1-0 при (х-у?<0. D.3.39)
Итак, локальные свойства в теории ЛСЦ являются след-
ствием постулатов ВМП и определения гайзенбергова поля
{4.3.34).
*¦¦' Пусть теперь дано условие локальной коммутативности
'Ц4.3.39), ток }р определен как клейниан от поля фр (см. D.3.27)),
-§ асимптотическое условие задано в виде уравнения Янга —
'Фельдмана " D.3.34). Предположим, далее, что ток /р выра-
Жввтся через вариационную производную от S-матрицы D.3.22),
фде унитарная S-матрица задана в виде функционального ряда
Типа D.3.3) от асимптотических полей <р°"', так что коммутатор.
ettf-поля с током опять дается равенством D.3.36). Покажем,
VTO при этих предположениях можно так распорядиться свобо-
дой при экстраполяции S-матрицы вне массовой поверхности,
Чтобы выполнялось условие микропричинности D.3.24).
Для этого сначала вновь представим вариационную про-
'квводную 'е в виде D.3.33), рассматривая на этот раз
(xpiv)
poiv)
ре( у) как произвольный оператор, свойства которого под-
лежат определению. Нашей целью будет показать, что из ло-
кальной коммутативности поля с током D.3.35), являющейся
следствием D.3.39) и D.3.27), следует квазилокальность опера-
тора ЛРо(т. е. условие D.3.31)) на массовой поверхности. Ясно,
что тогда оператор Лр0 может быть продолжен как квазило-
кальный оператор и вне массовой поверхности, что вместе с
D.3.33) обеспечит выполнение условия микропричинности.
В силу равенства D.3.38), которое имеет место в общем
случае, условие D.3.35) может быть записано в виде
J ?>„р(*-*')ЛрЛ*', у)#хГ-0 при х~у. D.3.40)
Как уже отмечалось выше, условие D.3.40) удовлетворяет-
ся, если Лрв—квазилокальный оператор. Нам необходимо уста-
новить менее тривиальную связь в обратную сторону! из

286 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ 1ГЛ. 4
формулы D.3.40) вывести некоторые свойства типа квазилокаль-
ности оператора Лро. Прежде всего, мы воспользуемся усло-
вием трансляционной инвариантности теории, из которой сле-
дует, что
Лр0 (х, у) = е'РУА^ (х - у, 0) er*v, D.3.41)
где Р — оператор энергии импульса-
Матричный элемент от D.3.41) между двумя произвольными
состояниями с импульсами р1 и р может быть записан в виде
(рЧЛрЛ*. у)\р) = е1*-*Ук{х-у), D.3.42)
где
<р'|Лро(*. 0)| р> D.3.43)
(естественно, что К, кроме как от х, зависит еще от р, р', р и о;
поскольку сейчас эта зависимость не будет интересовать нас,
мы не будем загромождать обозначения этими аргументами).
Взяв матричный элемент между состояниями \р'\ и \р) от
равенства D.3.40) и учитывая D.3.42), D.3.43), получаем
0 при х~у.
В силу C.4.3) фурье-образ функции f (x) сосредоточен на гипер-
болоиде k2 = m2:
fW = -±rje№)b№-m')l (k) elkxd*k, D.3.44)
где
^ f
Дальнейшее рассуждение основано на следующей лемме.
Лемма 4.3.1. Пусть обобщенная функция f(x) из S^*(R4),
допускающая представление D.3.44), исчезает при простран-
ственноподобных х. Тогда функция l.(k), определенная из
D.3.44) на гиперболоиде k2=m2, является полиномом от k на
этом гиперболоиде.
Доказательство. Если провести интегрирование по k°,
можно записать D.3.44) в виде трехмерного преобразования
Фурье*)
•) Заметим, что поскольку обобщенная функция feS'*(Rt) удовлетворяет
уравнению Клейна — Гордона, то ее можно рассматривать как обобщенную
функцию от х, причем Г f (х) и (х) d?X при и {X) е ff {R9) является обычной
дифференцируемой функцией от х°.

I 1] S-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА 287
Отсюда, при помощи обратного преобразования Фурье, на-
ходим
1
где
j , , D.3.45)
Из обращения в нуль f(x) при пространственноподобных
аргументах следует, что функции ДО,*) и f(O,x) сосредоточены
в начале координат. Следовательно, в силу теоремы 1.2.1 (гл. 1,
п. 2.4) они являются конечными линейными комбинациями 6(х)
и ее производных. Отсюда и из D.3.45) следует утверждение
леммы 4.3.1.
Из этой леммы следует, что если бозонный импульс, соот-
ветствующий индексу р, лежит на массовой оболочке, то опе-
ратор Лр0 (*, у) может считаться квазилокальным, поскольку
при ka = ml
J е1кх <р'|Лро(*, у)\р) d*x -
а преобразование Фурье полинома есть линейная комбинация
б-функции и ее производных.
В частности, в коммутаторе
при подстановке вариационной производной тока D.3.33),
с учетом условия симметрии Л^, можно считать этот опера-
тор квазилокальным.
Таким образом, поведение операторной обобщенной функ-
ции Лро на массовой поверхности позволяет определить ее всюду
в виде квазилокального оператора и тем самым обеспечить
выполнение условия микропричинности.
Подчеркнем, что наличием квазилокальных членов типа Л^
исльчя пренебречь в S-матричном аксиоматическом подходе.
liri них нельзя получить соответствия с теорией возмущений
и обычном лагранжевом формализме (см., например, Медведев
и IIojiiiiwiiiob (I96I)).
Otmoiiim, наконец, что гайзенбергово поле ср(*) может быть
"иырлжопо и терминах S-операюра и асимптотических полей не

288 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЙ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
только при помощи уравнения Янга — Фельдмана, но также и
формулой
() T(oai()S)\ D.3.46)
где Tw — так называемое Г-произведение Вика, которое опре-
деляется следующим образом. Оператор S предполагается раз-
ложенным по нормальным произведениям оы^-полей, после чего
произведение Tw(q>°ul(x)S) определяется в соответствии с тео-
ремой Вика о разложении Г-произведения по нормальным про-
изведениям (см., например, [4], гл. III). Напомним, что 7V-npo-
изведение для свободного скалярного поля совпадает с обыч-
ным хронологическим произведением и в простейшем случае
двух сомножителей дается формулой
где Dc — причинная функция Грина (З.А.9). В общем случае,
однако, Гцг-произведение не совпадает с обычным хронологи-
ческим произведением (называемым иногда ^-произведением
Дайсона). Причина в том, что операция Tw перестановочна
с дифференцированием по аргументам полей, в то время как
для операции Т это не так (см. более детальное обсуждение
этого вопроса у Медведева и Поливанова A964)). Равенство
D.3.46) можег быть формально получено, если мы игнорируем
различие между Т- и ^-произведениями и воспользуемся
формализмом половинной S-матрицы (см., например, [6],
гл. 17, §4).
3.5. О выборе класса обобщенных функций, совместимом с
локальными свойствами. Всюду до сих пор мы считали, что
встречающиеся в теории сингулярные функции (например,
функции Уайтмана. вакуумные средние от радиационных опе-
раторов и т. д.) являются обобщенными функциями умеренного
роста, т. е. принадлежат пространству &*. Мы исходили при
этом из того, что в &* содержится достаточно большой запас
функций (в частности 6-функция и все ее производные, все
обычные полиномиально ограниченные функции и т.д.). Факт
отсутствия в этом классе функций с экспоненциальным ростом
на бесконечности находится в соответствии с тем, что в класси-
ческой квантовой механике быстро возрастающие решения
уравнения Шредингера считаются физически недопустимыми.
Однако необходимо отдавать себе отчет в том, что предпо-
ложение о классе обобщенных функций является независимой
гипотезой, которая имеет нетривиальные физические следствия.
Важным следствием этой гипотезы является полиномиаль-
ная ограниченность S-матричных элементов в импульсном про-
странстве.

S-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА 289
|.И>вестно, что в теории возмущений с неперенормируемым
ранжианом S-матричные элементы в любом порядке теории
/щений ведут себя при больших р как полином, степень
рого неограниченно возрастает вместе с порядком прибли-
КИЯ. Имеются также соображения, что в теории векторного
с массой при некотором выборе калибровки функция Гри-
не ограничена полиномом. Если рассматривать это обстоя-
цьство как указание на то, что полные S-матричные элементы
неперенормируемой теории возрастают при больших импуль-
IX быстрее любого полинома, то это будет означать, что не-
ренормируемые теории исключаются выбором класса обоб-
функций (ъ е. требованием 2 п. 3).
Мы покажем, однако, что рост обобщенной функции в р-про-
Гранстве не может быть произвольным, если мы хотим сохра-
ЦИТЬ локальные свойства в х~пространстве, в частности, принцип
«кропричинности.
Чтобы не загромождать суть дела лишними выкладками, мы
удем говорить в дальнейшем о функциях одного переменного
(<). Функция f(t) обобщенная, т.е. является линейным функ-
ционалом над некоторым, пока неопределенным пространством
О основных функций и @- Пространство Q должно иметь до-
статочно богатый запас основных функций с тем, чтобы можно
было говорить о локальных свойствах функции f, в частности,
ЦТобы имело смысл, например, утверждение, что f(t)=O при
t < 0 (такого рода утверждение входит в формулировку прин-
ципа микропричинности). В том, что это не всегда так и что
возможность говорить о локальных свойствах функции f(t)
Связана с допустимым ростом ее фурье-образа f(co), можно
убедиться на следующем примере.
Пусть пространство йа функций /(со) содержит наряду с
Обобщенными функциями из if* все обычные функции, которые
¦едут себя не бесконечности как eba, где \Ь\ < а (а > 0 фикси-
ропяпо). Пространство Q*a может рассматриваться как про-
странство линейных функционалов над счетно-нормированным
пространством О бесконечно дифференцируемых функций ы(ы)
С нормами:
dku (со)
рп(и) = тах sup
G>
О, 1, 2, ... D.3.47)
I Нетрудно убедиться, что D с Qo с: ff.
\\\\ ограниченности норм D.3.47) следует, что преобразо-
впипи Фур lie u(t) функций из йо аналитичны в полосе
-a <Im t<a D.3.48)

290 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
и убывают на бесконечности внутри этой полосы быстрее любой
отрицательной степени |/|. Обозначим это пространство фурье-
образов через Qa- В Qa нельзя определить обычным образом
локальные свойства обобщенных функций, поскольку в нем не
содержатся финитные функции. Более того, для обобщенных
функций fefia вообще не имеет смысла говорить, что на дан-
ном интервале они совпадают с некоторой обычной функцией
<t(t), в частности, теряет смысл утверждение типа /=0 при
/<0.
Дело в том, что для линейных функционалов над йо нет
естественного определения носителя, так как в Qa нет ненуле-
вых финитных основных функций.
В качестве примера рассмотрим ряд
п-0
при
0<Ь<а.
Этот ряд сходится в пространстве Q*a, так как ряд
D-3-50)
п=0
является рядом Тейлора для аналитической функции u(t) вну-
три ее области аналитичности (Ь<а).
Далее, несмотря на то, что каждый член ряда D.3.49) со-
средоточен в нуле (и, в частности, исчезает вдоль отрицатель-
ной полуоси /), носителем его суммы согласно D.3.50) может
считаться точка — b (равно как и точки любого замкнутого кон-
тура Сь, окружающего точку —Ь и лежащего внутри полосы
D.3.48), поскольку в силу формулы Коши и (— Ъ) ¦= -g-r ^rj dz).
с/
С другой стороны, как уже отмечалось в гл. 1, ряд D.3.49)
(или D.3.50)) расходится относительно сходимости в if* в со-
ответствии с тем, что обобщенные функции из ?Р* обладают
определенными локальными свойствами.
Спрашивается, каков наиболее широкий класс обобщенных
функций, в котором все еще можно говорить о локальных свой-
ствах?

S-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА 291
В терминах преобразований Фурье ответ на этот вопрос мо-'
(•Т быть сформулирован, грубо говоря, следующим образом:
урье-образы f (со) «локализуемых» функций /(/) должны воз-
•Стать медленнее любой экспоненты. Заметим, что именно
уществование плотного множества финитных функций среди
ВНОвных функций в х-пространстве обеспечивает возможность
обычного определения локальных свойств обобщенных функ-
ций. Мы уже убедились на рассмотренном выше примере про-
Йгранств йа, что если f (со) может возрастать экспоненциально,
;f0 нельзя определить однозначно локальные свойства /(/). Ниже
КЫ коротко изложим результаты Джафе A967), которые пока-
¦Ывают, что упомянутый выше более слабый рост уже допускает
формулировку локальных свойств.
Начнем с определения класса основных функций в импульсном про-
втраистве.
Рассмотрим семейство счетно-иормированных пространств & (g) беско-
ЩЧНо гладких функций в R, (р) с нормами
Nn(g; «)= sup {g(«lpl!)(l + |p|s)"|D*«(p)|}, D.3.51)
В* — дифференциальный одночлен порядка k:
\pI1 — квадрат евклидовой нормы: I p|! —(p°J + p2, a g(z)— целая функция
'в неотрицательными производными на неотрицательной »ещест'--нной полу-
•еи:
g (г) = ^ cvzv, cv > 0. D.3.52)
v-0
Различным выборам функции g (г) соответствуют разные счетно-нормирован-
МЫС пространства рассматриваемого семейства.
Этот класс пространств достаточно широк в том смысле, что он охва-
тывает основные функции различной степени убывания при \р\ -> °о (а стало
выть, и различного поведения обобщенных функций при больших \р\). Так,
ИСн #(z) = l пространство^ (g) переходит в пространство основных функций
#(J?4). определенное в гл. 1, § 2. Если g(z)—целая функция порядка 1/2,
т. е. если gflpl2) ведет себя при больших |р|2 как е6'р'(Ь>0), го все функ-
ции из S'(g) убывают на бесконечности быстрее любой экспоненты e~ni 'p'
И, следовательно, среди обобщенных функций из <*"*(?) находятся все ли-
ИСЙные экспоненты. Джафе A967) нашел необходимое и достаточное усло-
вие иа функцию g[z) типа D.3.52), при котором в пространстве <$" (g) пре-
образований Фурье основных функций из <f (g) содержались финитные функ-
ции координат. Оказывается, что для этого необходимо и достаточно, чтобы

292 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И_ ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ.4
" сходился интеграл *)
с»
- Jn^flda)<oo D3БЗ)
Из того, что топология в <?" (g) определяется системой норм D.3.51),
следует, что обобщенные функции f(p) из <?"* (g) могут возрастать не быст-
рее, чем g(n\p\u)\p\2n с некоторым фиксированным п. Другими словами, если
при достаточно больших |р| обобщенная функция { совпадает с обычной
непрерывной функцией f(p), то найдутся такие п и с^>0, что
1Мр)К^(п|р|!)A+|р1Т. D.3.54)
В качестве иллюстрации рассмотрим три пространства <?"(#), характеризуе-
мых функциями g(W), ведущими иа бесконечности сответетвенно, как ехр ш,
w w
ехр и ехр -г-, е>0; только третье из этих пространств при-
1п ш 1п а)Aп 1па))
годно для формулировки локальных свойств, так как только в этом случае
удовлетворяется условие D.3.53).
В заключение отметим, что постановка задачи у Джафе не
является наиболее общей. Можно попытаться определить ло-
кальные свойства обобщенных функций (в частности, опреде-
лить понятие носителя обобщенной функции), и не имея в своем
распоряжении финитных основных функций (например, в духе
работы Мартино A963)). Возникает гипотеза, что при такой
общей постановке можно прийти к классу обобщенных функ-
ций, удовлетворяющих более слабым ограничениям, чем
D.3.53) —D.3.54), а именно, к функциям, возрастающим на
бесконечности не быстрее любой линейной экспоненты:
Для любого е>0
(ср. Мейман A964) и Хоружий A967)).
В этом пункте мы рассматривали вопрос: как можно ослабить ограниче-
ния на допустимый класс обобщенных функций, если принимать во внимание
лишь требование локальности теории? Как было отмечено, такое расшире-
ние класса обобщенных функций, по-видимому, необходимо, если мы хотим
включить в нашу схему непереиормируемые теории. С другой стороны, иам
кажется, что требование быстрого убывания основных функций во времени-
подобных направлениях слишком жестко. Оно не удовлетворяется, например,
гладкими решениями уравнения Клейиа — Гордона и затрудняет доказатель-
ство существования граничных значений S-матричиых элементов иа массо-
вой поверхности. Вообще выбор «оптимального» класса основных и обобщен-
ных функций даже в случае перенормируемых теорий ие может считаться
окончательным: си, по всей вероятности, будет уточняться при дальнейшем
развитии теории.
*) Доказательство просто следует из классической теоремы о квазиаиа-
литическнх функциях (см.. например, [47], гл. I).

S-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА 293
f§.6. Запаздывающие и опережающие радиационные опера-
При рассмотрении локальных свойств матрицы рассеяния
|диационных операторов в п. 3 мы рассматривали оператор S
| функцию от оиЛполей. Вследствие этого в условии причин-
ГИ D.3.26) будущий световой, кокус играет выделенную
Если бы вместо сш/-полей мы пользовались бы ш-полями
Вределили бы ток /р равенством
\условие причинности D.3.24) приобрело бы вид
равенство между х и у заменено на обратное). Между тем
изучении матричных элементов рассеяния существенно, что
могут рассматриваться одновременно как предельные зна-
ия преобразования Фурье запаздывающей функции Грина
Средоточенной в будущем конусе по переменной х — у) и
режающей функции Грина (сосредоточенной в прошедшем
усе, см. определения в гл. 1, п. 3.2).
\ы покажем, что для параллельного рассмотрения свойств
эдывания и опережения нет надобности одновременно вво-
._, <п- и ои^-поля.
Для этой цели необходимо ввести наряду с вариационным
рференцированием —= ^ дц< еще вторую операцию типа
реренцирования
(•ЛССЬ и в дальнейшем будем опускать индекс «ои*» у поля).
В абстрактной алгебре 51 с элементами а, Ь, ... дифферен-
ДОванием называется любая линейная операция D, удовле-
ряюшая правилу дифференцирования произведения
D(ab) = Da • b + a • Db. D.3.57)
^•трудно проверить, что не только вариационное дифференци-
г—-, но и операция Dq> D.3.56) удовлетворяют усло-
1ИЮ DЛ.К7). Это оправдывает название «дифференцирование»
ДЛИ ошфииии Dq>p.
Ml и ииграция позволяет естественным образом ввести опе-
фуикцпи. На самом деле она равнозначна диф-
по /n-полям. Действительно, ток }в(х)

294 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ [ГЛ. 4
выражается с помощью дифференцирования формулой, тожде-
ственной D.3.55):
Для доказательства достаточно подставить D.3.56) (при
A=S) в D.3.58) и воспользоваться условием унитарности
D.3.11).
Далее, вторичное применение операции D дает
D-3-59)
Второе равенство D.3.59) справедливо в силу тождества
D.3.29). Из D.3.59) видно, что при замене-т-—> D<p знак не-
равенства между аргументами в условии причинности обра-
щается.
Последовательно применяя дифференцирование D.3.56) и
пользуясь условием унитарности, находим
Ч м *<*,) А - D^ (X}) (D%ift, A) = S fl^%fM S\ D.3.60)
Отсюда и из коммутативности операции вариационного диффе-
ренцирования -т— и t? следует коммутативность операций
D<p . Это позволяет записать условие микропричннности в сле-
дующей общей форме:
при выполнении хотя бы одного из неравенств х} ,<; х, /=
= 1 «; и
при выполнении хотя бы одного из неравенств Xj ^ х, /=
»1, .... л.
3.7. Четырехточечные функции Грина. Примитивные обла-
сти аналитичности. Перейдем к важнейшему примеру четырех-
точечной функции Грина, ограничиваясь, для простоты, бозон-
ным случаем:
BлLСс(р„ р2, ps,
i J ... J @1 Ht (x,Pi, *2p2, x3p3, x4p4) 10) X
4
X el (p.*.+p^.+p^.+p««J JJ d*xt, D.3.63)
JJ

S-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА 295
i — радиационный оператор четвертого порядка, опреде-
1емый формулой D.3.20) при я=4.
Упражнение 4.3.5. Показать, что в силу условия трансляционной инва-
¦нтности (см. D.3.6) — D.3.6а)) правая часть D.3.63) тоже содержит че-
рехмериую 6-фуикцию t{pi+ps+P3+Pt)-
Функция Gc, определяемая равенством D.3.63), называется
Нтырехточечной причинной функцией Грина.
Обратим внимание, что в D.3.63) импульсы pit вообще го-
•рря, не лежат на массовой поверхности. Причинная функция
Грина связана с амплитудами рассеяния шести процессов. Пер-
•Ые три из этих амплитуд имеют вид
. Я2Р21 гI - РзРз' ~Р<Р4>. Р\ = т), р% р%>0, р%,
D.3.64а)
РзРз I ТI ~ Р2Р2. ~ Р&)' Р?. Р°э > °- Р% fi < °; D-3.646)
Р4>* Iт I ~ Р2Р2. ~ PA)' Pi' P\ > 0. p% P°3 < 0, D.3.64b)
¦ три остальные амплитуды получаются из D.3.64) заменой
Местами начального и конечного состояний. В этих формулах
r = i(S-l). D.3.65)
Например, амплитуда D.3.64а) выражается следующим об-
разом через Gc:
i. P2P21Т | - рзр,„ - р.,р4) =
Не иыписаниые явно амплитуды обратных процессов фактически совпа-
ЫМТ с рассматриваемыми амплитудами в силу 7'СР-инвариантности (см. гл. 5;
НИПОМИим, iito поля фр эрмитовы, так что мы имеем дело с амплитудами
нейтральных бозонов).
Исхиди из амплитуд D.3.64) и из амплитуд обратных про-
и, можно ввести 32 разные запаздывающие, опережающие
И I'MiMiiiiiiiiue функции Грина, каждая из которых совпадает
Г W » некоторой области. Выявление этих связей полезно с той
Tu'ikii i|ii*iiiiH, что преобразования Фурье запаздывающих и опе-
IH'HuiiDiiiiiH функций имеют простые аналитические свойства (см.
дшпимн'мнг к гл. I, теорема 1.А.1). Причинная функция Грина
О* "Лудгг » итоге определена как единая аналитическая

266 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ (ГЛ. 4
функция от комплексных импульсов kit удовлетворяющих закону
сохранения
k k k k О, D.3.67)
а амплитуды реальных процессов рассеяния будут высту-
пать как различные предельные значения этой аналитической
функции.
Итак, мы переходим к определению полной системы запа-
здывающих и опережающих функций Грина для четырехточеч-
ной функции.
Пусть /', k, I, п — произвольная перестановка чисел 1, 2, 3,4.
Введем сокращенные обозначения
Существуют четыре «чисто запаздывающие» функции Rn и че-
тыре опережающие функции Ап, определяемые равенствами
Rn = Rn (*n> X,,Xk, Xi) = @ | bflhbjn I 0>,
An = An (*„; xh xh, x,) = @ | D,D*DrfJ 0), ^6-ЬУ)
n= 1, 2, 3, 4.
В силу коммутативности операций fij между собой и Dh между
собой функции Rn и Ап не зависят от перестановки /, k, l. Да-
лее, определим запаздывающие и опережающие функции сме-
шанного типа:
Rni (*/, Ч, xh хп) = @1 DfabJ. 10> -
1 {[к, r>Aii] + [tkin, в*Ы + [в|/«. e»/,D I о); D.3.70)
xk, xb xn) = <0 Ib,DhDijn\ 0) =
= @ 11 {[б,/*, fij,] + [/», e^,]} + fiyfiftfin/, I 0> =
-<0|i{[ft,/,, fin/ft] + [/„ fi^jD + bflfiJJ0), D.3.71)
n, /-1, 2, 3, 4 («^/).
Из определения видно, что функции Rni и Ani не зависят от
порядка аргументов k и /, так что мы имеем 24 различные функ-
ции с двумя индексами.
Из общего условия микропричинности D.3.61), D.3.62) сле-
дует, что функции Rj обращаются в нуль, если хотя бы один
из аргументов хк, xt или хп не находится в будущем конусе

it S-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА 297
Вершиной в Xj, Aj исчезает, если хотя бы один из векторов xh,
h xn не находится в прошедшем конусе с вершиной в Xj. Дру-
!Ми словами, носители этих обобщенных функций содержатся
Конусах Vf:
,x\x>-x,eV..x,-x,&V~x.-x,esV+ {^J2a)
¦ Упражнение 4.3.6. Показать, что: в) Rnj исчезает, если либо хотя бы
щл из точек х* или х< не расположена в будущем коиусе с вершиной в х„,
ибо обе эти точки лежат вие будущего коиуса с вершиной в точке *j\
| АП) равно нулю, если либо хд #3 х„ или XjJSXn, либо xj^x» и Xj^x;.
фугими словами.
^ supp AnJ с: Vnys L) Vnjt,
ynM={4^-^s^*n-^s^.^-^en}- D-3.73)
" Из Зтих свойств носителей функций R к А вытекают, в силу
цоремы 1.А.1, определенные аналитические свойства их пре-
образований Фурье GR и GA, определяемых формулой типа
Й363)
= J ... J Z (*) e' (*а+»л+*а+*л) Д d^,, D.3.74)
Z=R, A; x = (xj, xk, xh хл), k = (kh kk, kt, kn).
Функция GR«(kh kh, kh kn) аналитична в «будущей» труб-
illTOfi области
Г+ («) = {k = р + iq е вЯГ | qa e vw a = /, А;, /}, D.3.75)
— двенадцатимерное комплексное пространство векторов
k k4), удовлетворяющих закону сохранения D.3.67);
пункция же GAn аналитична в противоположной («прошед-
ией») трубчатой области Т~(п).
Покажем, что функция GRnl аналитична по крайней мере
лрубчатой области
Г1 (я/) = {*s^|?/er, qk + q, б V,, qi+q,^ V\}. D.3.76)

298 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
Для доказательства заметим, что в e^f
С*»/(*,, kh, kd-
- f ... f Rnj(xh xh, xh 0) el (ki*i+Wkt*t) A, <fxk d'xt. D.3.77)
Функция D.3.77) заведомо аиалитична в области, где
lm(kjx}+khxh + kixi) ^qjXj + qbXh + qiX^ 0 D.3.78)
при всех (jtj, xh, xi) e supp Rnj(Xj, xh, xlt 0), за исключением
начала координат.
Чтобы убедиться, что D.3.78) действительно имеет место в
области T*(nj) D.3.76), достаточно заметить в силу D.3.726) и
D.3.73), что в этой области справедливы неравенства
qkxh + qtxt^{qh + q!)x, + qtxt, если *А-*,е=У+,
qixl + qkxk + qtxt > (q, + qt) xt + qhxkt если xt - x, «= У+.
Аналогично устанавливается аналитичность QAf4 в противо-
положной трубчатой области
= {к г Ж | д, s V+f 9/ + <?* г V_, <?, + q, e У_}. D.3.80)
Заметим, что описанные здесь примитивные области ана-
литичности Т±(п) и Г±(п/) различных функций Грина являются
конусами. Другими словами, если k= (ku k2, ks, k4) e Г± и
К — положительное число, то и %к е Г*.
Поэтому, чтобы представить себе наглядно различные об-
ласти аналитичности, достаточно изобразить их пересечения с
некоторой фиксированной сферой с центром в начале коорди-
нат. Далее, области Г± цилиндричны по отношению к веще-
ственной части импульсов. Это видно из того, что в определе-
ние Г± D.3.75), D.3.76) и D.3.80) входят условия лишь на
lmka = qa, в то время как вещественные части импульсов
Refeo=pa остаются произвольными. Таким образом, важно пред-
ставление о трубчатых областях Г* в пространстве мнимых ча-
стей векторов k. Мы изобразим для наглядности различные об-
ласти аналитичности в трехмерном пространстве Q<°> нулевых
компонент векторов q:
Согласно сказанному, достаточно рассмотреть пересечение еди-
ничной сферы
4
>1 D.3.82)

S-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА
299
I гиперплоскостью Q(°>. Проекции областей Т± на полученную
|феру изображены на рисунке.
а) Полушарие у?*О
й) Полушарие jf
Мы видим, что вся сфера покрывается различными областя-
ми аналитичности (и их границами). Этих областей ровно 32 —
По 16 на каждом полушарии. Это обстоятельство является ука-
Яанием на то, что выбранная нами система функций Грина
D.3.69) —D.3.71) полна.
3.8. Принцип спектральности и области совпадения четырех-
ТОчечных функций Грина в импульсном пространстве. В этом
Пункте мы выведем как следствие из постулата спектральности
(см. условие 2) п. 3.2) условие совпадения функций Gz(p) в
различных областях вещественного пространства импульсов.
Предварительно мы укажем условия обращения в нуль мат-
ричных элементов токов.
Будем предполагать, что вакуумные средние от токов исче-
Яйют:
0. D.3.83)
Если ток j (или, что то же, связанное с ним поле ф) несет
Квантовые числа, отличные от квантовых чисел вакуума (на-
пример, если / является псевдоскаляром, как я-мезон, или но-
сителем ненулевой странности, как /С-мезон), то условие
D.3.83) выполняется автоматически*). (Во всяком случае,
В силу трансляционной инвариантности матричный элемент
•) Все известные элементарные частицы обладают такими квантовыми
числами. Лишь для некоторых короткоживущих резоиансов все квантовые
числи совпадают с вакуумными. Но резонаисам все равно нельзя приписы-
ИГГЬ асимптотических полей ф, а следовательно, и локальных токов /, опре-
деляемых равенством типа D.3.22).

300 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
@|/(х) |0) = @|/@) |0) равен константе и выполнения D.3.83)
можно добиться вычитанием этой константы из тока /).
Докажем следующую лемму.
Лемма 4.3.2. Матричный элемент тока между вакуумом и
стабильным одночастичным состоянием равен нулю.
Доказательство. Пусть, действительно, |ka) — стабиль-
ное одночастичное состояние, в то время как Ор(р) —оператор
уничтожения, связанный с полем <рр(х). В силу условия ста-
бильности D.3.10) и равенства D.3.17)
Hjr J <° I/p(*) Ika) е'рх d*x = b(p-k){0\/р@)| ka).
Отсюда интегрированием по р получаем
<0 I /p @) I *«> = °. если S|Jfea) = |Jfea>, D.3.84)
что и требовалось доказать.
Следствие. Из условия спектральности и из доказанной
леммы следует, что для любого оператора А и для произволь-
ных состояний \i) и |/) справедливы равенства
0\jf,(x)A\t)elpXd4x = 0 при р2<М2р, D.3.85)
где Мр — порог низшего многочастичного состояния, в которое
может перейти бозон р. Чтобы доказать это утверждение, до-
статочно вставить между током /р и оператором А полную си-
стему промежуточных состояний и принять во внимание D.3.83)
и D.3.84). Для псевдоскалярных мезонов, с которыми мы имеем
дело в природе, М9 — порог трехбозонного состояния (если
учесть, что нуклон-антинуклоиное состояние имеет более высо-
кую массу).
Заметим, что вне массовой поверхности условие стабиль-
ности неприменимо. Если допустить противное, положив
@ \ap(p)S = @ \ар(р) при р2фпг*,
мы пришли бы к заключению, что равенство D.3.84) справед-
ливо для любого (а не только одночастичного) состояния \ka),
что означало бы |'р(*) |0)=0. Отсюда в силу локальности тока
и теоремы Федербуша — Джонсона (см. гл. 5) мы получили бы
jp(x) = 0, что верно лишь в тривиальной теории свободных по-
лей. По той же причине не исчезает тождественно и запазды-

If S-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА 301
|вющая двухточечная функция Грина
\ G#(*)=J@|3^|0>e'**A, D.3.86)
рйторая возникает как продолжение матричного элемента
1D.3.84) вне массовой оболочки.
Упражнение 4.3.7. Пользуясь равенством D.3.33) и учитывая D.3.31), по-
К»зать, что из представления Челлена — Лемана для вакуумного среднего от
Вричнннсгс коммутатора C.4.95) можно получить представление Челлеиа—Ле-
|Шна для запаздывающей функции Грина в предположении, что J Ar'
j м'
f-г?
«J.
|Де Pi и Ps¦—полиномы*). (Указание: воспользоваться теоремой, заключаю-
щейся в том, что фурье-образ произведения есть свертка фурье-образов сс-
аЙожителей, и применить ее к произведению 8(дс°) на вакуумное среднее от
1ВМмутатора [/р@),/а (*)]> приняв во внимание C.4.94).)
Перейдем теперь к определению областей совпадения функ-
ций Gz. Покажем, что имеют место следующие равенства (р ве-
щественно):
G^»(p)-CM'(p), I при pi<Maf D.3.89)
G п) (р) = G *'(р) при {р] + pi) = {рп + p/J <CM]i, D.3.90)
)ГДе М] и Mj/ — положительные числа, равные пороговым мас-
?ам низших многочастичных состояний, в которые может перей-
ТИ частица / или пара I соответственно; {/, п, k, Q — переста-
новка чисел 1, 2, 3, 4.
Равенства D.3.89) устанавливаются одинаковым образом.
Докажем для примера второе из них.
В силу D.3.69), D.3.70) и D.3.74)
- J ... f <0 | (в, - D,) <Wn @)| 0) е1 СЛ+"»»»+р»«1) d*Xj d*Xh dixl =
- i / ... f <01 [Wn @), /, (*,)] 10) e1 СЛ+^+Vi) <?Xi d*Xh d\t.
D.3.91)
ТОЛЬКО
*) В случае скалярных полей (и токов) полиномы Pi (ft) и Ps{k) зависят
кс от k\ В силу леммы 4.3.1

302 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
Последнее равенство D.3.91) является следствием тождества
6РЛ-D9A = i[A, /p(*Д D.3.92)
частный случай которого есть D.3.59).
Применяя к D.3.91) следствие D.3.85) леммы 4.3.2, мы по-
лучаем второе равенство D.3.89).
Чтобы доказать D.3.90), рассмотрим разность
-'!¦¦¦
D.3.93)
и покажем, что она обращается в нуль при [р. + р^<М\.
Для этого разложим вакуумное среднее от коммутатора по
полной системе промежуточных состояний и заметим, что чле-
ны, в которых промежуточное состояние есть вакуум, взаимно
уничтожаются. Далее, в силу условия спектральности, 0
и при ( fMl
Bя)«b(pl+Pl-q)j{0\ ^j-1 q)el>*d*x = 0, D.3.94)
где Mji — порог наинизшего состояния (после вакуума) с теми
же квантовыми числами, что и двухбозонное состояние jL
3.9. Тождества Штейнмана. Не все 24 функции Rni и Ам
D.3.70), D.3.71) независимы. Между ними имеют место шесть
тождеств, найденных Штейнманом A960).
Действительно, каждой неупорядоченной паре jn соответ-
ствует тождество, справедливое при всех вещественных х,
= Akl + Alk, D.3.95)
где и, /, k, I — перестановка чисел 1,.2, 3, 4.
Упражнение 4.3.8. Проверить справедливость D.3.95). Указание: восполь-
зоваться последним равенством D.3.71) для Ам и предпоследним из этой
цепочки равенств для Аи, и получить
- @11 Шу, 6А6г/„] + [м, 6*6гу]} + 6*6, (bjin + bnjj) 10). D.3.96)
Таким образом, 24 функции Rni и Aki группируются в шесть
четверок, называемых квартетами Штейнмана, для каждого из
которых имеет место тождество D,3.95).

t.
S-МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА 303
Отметим, что в один квартет объединяются функции, соот-
|МСТвующие четырем соседним областям на рисунке (стр. 299),
Причем каждый такой квартет областей ограничен отрезками
фу — О, «72 = 0, <^ = 0 и <7j = 0, а внутренние линии, разделяющие
КВартет (и/) на четыре области, задаются уравнениями <tJ+^=»
-0-# + tf и «J + tf-O-rt + tf.
Можно удовлетворить тождествам Штейнмана, вводя 24
Обобщенные функции fkin, каждая из которых сосредоточена
В своем конусе Vhin D.3.73):
{х\хк-xne=V„ xk~x,^Vtj Xt-Xn<=V+).
D.3.97)
Равенства D.3.95) будут удовлетворяться автоматически, если
D.3.98 а)
D.3.986)
Покажем, что обобщенные функции ]Ып с носителем D.3.97),
удовлетворяющие D.3.98), действительно существуют (хотя не
определяются однозначно этими условиями).
Для этого определим при k < /
/*|»-е„А|. D.3.99)
Где
Поскольку Аи—обобщенная функция, а функция вм разрывна,
То произведение D.3.99) определено, вообще говоря, неодно-
значно. Для нас важно, что существует хотя бы одно произве-
дение типа D.3.99), для которого имеет место D.3.986). Это
последнее условие обеспечивается тем, что в силу D.3.726) и
D.3.73)
(вь. + в„)Дн-Л*«. D.3.101)
Положим, далее,
D.3.102)
Упражнение 4.3.9. Пользуясь тождеством D.3.95), показать, что в силу
D.3.99) и D.3.102)
A f + f D.3.103)
Остается показать, что функция futn (при k < /) сосредото-
чена В Тшп-
Из определения D.3.102) и из D.3.72) ясно, что при k<l
с=Й,*яи^,в. D.3.104)

304 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ [ГЛ. 4
Покажем, что на самом деле
flkn = 0 в CVlkn, D.3.105)
где CV — дополнение множества V до всего двенадцатимерно-
го пространства разностей Xj — xh.
Для этой цели воспользуемся тождеством
CVlkn = С {Vlkn U Vkln) U С (Vlkn U Vkll U Vlkl). D.3.106)
Упражнение 4.3.10. Установить справедливость D.3.106). (Указание: при-
нять во внимание, что С(А U В) =СА П СВ.)
В силу D.3.104) fihn исчезает в первом из двух множеств в
правой части D.3.106). Чтобы установить D.3.105), остается до-
казать, что
flkn = 0 в C(Vlkn[}VlklUVkll). D.3.107)
Заметим сначала, что в этой области A,k = Rjn — ^- Действитель-
но, согласно D.3.72)
С (Vlkn U Vlkl U Vк11) = С (supp Rln) U С (supp Alk). D.3.108)
Отсюда и из тождества Штейнмана D.3.95) вытекает, что
в области D.3.108) Ahi=Rnj- С другой стороны,
Akl = fkln в CVkll^C(VlknUVlki[}Vkll).
Но тогда из D.3.102) следует D.3.107). Таким образом, равен-
ство D.3.105) установлено.
§ 4. Получение перенормированного ряда теории возмущений
из основных принципов
4.1. Вводные замечания. Каждое из равенств D.3.29),
D.3.30) и D:3.33) может рассматриваться как уравнение для
оператора рассеяния^ Задавая квазилокальные операторы Лро,
а через них и первый член разложения S-оператора по степеням
некоторого параметра g, мы можем получить из этих уравне-
ний весь ряд теории возмущений. Некоторая неоднозначность,
которая возникает при этом, снимается, если задать некие «ми-
нимальные» степени роста S-матричных элементов в импульс-
ном пространстве.
Изложим здесь основную идею такого построения. В каче-
стве исходного уравнения возьмем D.3.30). Умножая обе сто-
роны D.3.30) справа на S и пользуясь D.3.32), получаем
- <4-4л)

I 4J • ПОЛУЧЕНИЕ ПЕРЕНОРМИРОВЛННОГО РЯДА 305
ГДе
Вхк = В (*» - #»), gA (рх, ay) = - V (х, у) S.
Если теперь искать S в виде ряда по степеням g (считая,
что при g = 0 S(g\= 1)
g)Sn, D.4.2)
n=l
то D.4.1) приводит к системе рекуррентных соотношений для
коэффициентов Sn. Первое из них имеет вид
. ,.,' . . = Л (рх, су). D.4.3)
6фр (л;) вф0 ty) \r > У' \ I
Оно подсказывает, что квазилокальный оператор Л следует рас-
сматривать как вторую вариационную производную от некото-
рого локального «лагранжиана»
". Р/
(среди полей срр могут входить, в частности, производные дан-
ного поля ф).
В силу D.3.1)
Отсюда следует, что оператор
^к D-4-6)
квазилокалеи и, кроме того, система уравнений D.4.3) удовле-
творяет условию интегрируемости (Л(рх, ау)= А(ау, рх)).
Общее решение D.4.3) имеет вид
S, - J J Л (рх, ау): Фр (х) Фо (у): d*x d*y + J] f Ср (х) Фр (х) Л + А,
р
где /1 — константа, а Ср — числовые функции (мы предпола-
гаем, что поля фр(х) образуют полную систему операторов в том
смысле, что любой оператор, встречающийся в нашем рассмо-
трении, является рядом по нормальным произведениям от этих
полой). Потребуем, чтобы при всех g имели место равенства
<O|S|O>=1, <l|S|0> = 0, D.4.7)
где A| произвольное одночастичное состояние. Заметим, что
iiл M;i<Tiiiinii поверхности при g, равном его физическому значе-
нию. (А А 7) является следствием условия стабильности D.3.10).
'Д) II II liuiojiuiAon и др.

306 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
Из D.4.7) следует, что при и ^ 1
<0|SJ0) = <l|Sn|0> = 0. D.4.8)
Отсюда при п= 1 получаем, что А = Ср(х) =0 и
Si=L. ' D.4.9)
Сравнивая теперь коэффициенты перед g2 в D.4.1) и вновь
учитывая D.4.8), получаем
г, i |„ dL dL , n dL dL
О2 =
'у аФр (*)
X : ФР (х) фа (у): d*x d*y. D.4.10)
Ясно, что этот процесс итераций может быть продолжен; при
этом каждое Sn определяется посредством интегралов от S/,
при k -^ п — 1.
Упражнение 4.4.1. Показать, что «хронологическая экспонента»
S=T(el*L) D.4.II)
формально удовлетворяет системе уравнений в вариационных производных
D.4.1) и дополнительным условиям D.4.7), если квазилокальный оператор А
имеет вид D.4.6), a L — локальный лагранжиан типа D.4.4). Убедиться, что
оператор D.4.11) является тем единственным решением этих уравнений,
к которому мы приходим при описанной выше итерационной процедуре.
Таким образом, мы видим, что обычная теория возмущений
включается, по крайней мере формально, в S-матричный аксио-
матический подход. Более того, ряд теории возмущений по-
лучается из уравнений D.4.1), D.4.6) и из дополнительного
условия D.4.7) практически однозначно. Однако при таком пря-
молинейном подходе естественно возникают и все известные
трудности теорий возмущений: уже во втором порядке по g ва-
куумное среднее от второй вариационной производной S-onepa-
тора D.4.1), строго говоря, не определено (его преобразование
Фурье расходится). Корень трудности кроется в самом уравне-
нии D.4.1): как мы неоднократно отмечали, произведение В-
функции на обобщенную операторную функцию (в данном слу-
чае на -?—r-r-S* . i ))' во°бЩе говоря, не определено.
Возникает вопрос, можно ли придать уравнению D.4.1) чет-
кий математический смысл, чтобы по крайней мере в конечных
порядках теории возмущений не возникало бессмысленных вы-
ражений? Ответ на этот вопрос утвердительный, в чем можно
убедиться разными способами. Здесь мы изложим способ, пред-
ложенный Пю и др. (Пю A963, 1965, 1966), Рорлих A964),
Рорлих и Вилнер A966), Чень A967)). Идея состоит в замене

I 4J ПОЛУЧЕНИЕ ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО РЯДА 307
В уравнении D.4.1) 8-функции неким интегральным проекцион-
ным оператором, действие которого на перестановочные функ-
ции, возникающие в теории возмущений, определено однознач-
но. Таким образом удается получить перенормированный ряд
теории возмущений, работая на каждом шагу с конечными вы-
ражениями. Вопрос о сходимости этого ряда здесь, как и в
Обычном лагранжевом подходе, остается открытым*).
Мы будем вести рассмотрение на примере юкавского взаи-
модействия двух скалярных полей ty(x) и 4>(х)- Лагранжиан
Взаимодействия такой теории имеет вид
gL = g J : ^(х)ф(х): d*x. D.4.12)
При этом мы ограничимся детальным рассмотрением лишь вто-
рого порядка теории возмущений.
Отметим, что в следующих главах мы вновь будем исхо-
дить лишь из общих принципов квантовой теории поля и не
будем пользоваться рядом теории возмущений. Рассмотрение
Этого ряда здесь преследует лишь цель установить соответствие
между аксиоматическим подходом к S-матрице и обычным ла-
гранжевым формализмом. Кроме того, такое рассмотрение дает
нам более ощутимое представление о реальном содержании из-
лагаемой схемы. Например, уже на этом интуитивном уровне,
при помощи приведенного выше формального вывода формулы
D.4.11), мы убедились в действительной необходимости введе-
ния с самого начала квазилокальных операторов типа
А{рх, су): если Л=0, то мы получили бы S = ]. Заметим, что
В этом отношении уравнение D.4.1), D.4.6) не является наибо-
лее общим. Вместо gA(px, ay) можно ввести ряд
оо
^ gnK(px, ау). D.4.13)
Другими словами, новые квазилокальные операторы могут
Iiiimmjihti.ch не только в первом порядке теории возмущений, но
и it itiiii'iiiHx порядках. Возникающие при этом неоднозначности
мпгут Пить устранены введением подходящих граничных усло-
инЛ для функций Грина в импульсном пространстве. Такое обоб-
liiriiiic кня.чнлокального члена в уравнении D.4.1) нам понадо-
бится и п. 4.4.
•) II моцглих с формфактором имеются примеры как сходящегося ряда
iriipiiii HoiMviiK'initi с конечным радиусом сходимости — Франк A962), так
и |>Л1 чи/ш оси |>или — Джафе A965) (см. также Райе A962), где есть
4<н.'|и» пи r»mrr |tiiiiiiiio работы по поводу сходимости (или расходимости)
|)IIПН НМ1|1|||| IHilMyiUiMlllfl).
ВО*

308 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
4.2. Природа расходимостей в собственной энергии во вто-
ром порядке теории возмущений. Здесь мы рассмотрим двухто-
чечную причинную функцию Грина Gc для полей ч|э, соответ-
ствующую лагранжиану D.4.12), во втором порядке теории
возмущений:
BяL /С» (р) 6 (р + q) = J J @1 6ф(^;(у) I 0) в' *«¦««>
D.4.14)
исходя из представления D.4.10) с обычными В-функциями.
Мы покажем, что расходимости в интеграле D.4.10) действи-
тельно обусловлены тем, что разрывные В-функции умножаются
на обобщенные функции, и найдем обычным путем регуляризо-
ванное выражение для G^(p). В следующих пунктах мы пока-
жем, что тот же самый окончательный результат может быть
получен при подходящей замене В-функций в уравнении D.4.1)
интегральными операторами, причем после такой замены не бу-
дет возникать расходимостей ни на каком этапе вычислений.
Из D.4.1), D.4.9) и D.4.12) следует, что
:. D.4.15)
Мы предполагаем, что поля г[> и ф коммутируют между собой и
обладают свойствами свободных скалярных полей с.массой М
и т соответственно:
(? +М2Ж*) = (° +т2)Ф(х) = 0. D.4.16)
Пользуясь этим, нетрудно преобразовать D.4.14) к виду
СB)(Р) =
- - i J [Q{x')DlM){x)D^(x) + e{- *>?>(- x)DV(- x)\el"xJx,
D.4.17)
где функции Г>Н определены формулой (З.А.4). При вычисле-
нии интеграла D.4.17) воспользуемся тем, что преобразование
Фурье произведения есть свертка преобразований Фурье сомно-
жителей.
Определим сначала образ Фурье произведения Dm {x)Dm)[x).
Покажем, что, несмотря на то, что каждый из сомножителей
сингулярен при х2 = 0, это произведение и его преобразование
Фурье существуют как обобщенные функции из 4г*. Это являет-
ся отражением общего факта, что всегда существует свертка

ПОЛУЧЕНИЕ ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО РЯДА 809
Двух обобщенных функций с носителем в одном и том же ко-
нусе.
В силу (З.А.4) имеем
Рмт (к) =¦ - J Dti (x) Dg (x) eih*c?x =
D.4.18)
Упражнение 4.4.2. Показать, что функции FMn {k) D.4.18) равна нулю
Вне области k" ^V(M + mI+ k1 , так что
FMm (*) = 6 (*°) 6 {k1 - (М + тI) FMm (k). D.4.19)
(Указание: воспользоваться тем, что 4-вектор k в формуле D.4.18) есть
сумма векторов — р и — q, лежащих на гиперболоидах V^j и V,? соответ-
ственно).
Чтобы вычислить FMm(k) D.4.18), снимем интегрирование
По р за счёт четырехмерной б-функции &(p + q + k) и, выбирая
ось д° вдоль времениподобного вектора k, введем новые пере-
менные q2, <o и и:
где л2= 1. После интегрирования по ^ и по углам, опреде-
ляющим трехмерный единичный вектор и, получим
-(M-mJ]. D.4.20)
Принимая во внимание, что
для функции Грина D.4.17) получим
- j tlli Jd4fc f^^FfcW(«!(I"'-'I) + «-i(?'1-J"). D.4.21)

810 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ [ГЛ. 4
Заметим далее, что в силу D.4.20)
Рмт №)-[!+" (*°И в (Л2 - (М + mf) F (Л2), D.4.22)
где
р {г) = ^_ ш D 4 23)
Чтобы проинтегрировать D.4.21), воспользуемся следующей
леммой.
Лемма 4.4.1. Если Fi{ks) = 0 при k2<0, to
- kx) dE #k*x =
00
iFs(p2) + i* J ?$¦ ^ D-4.24)
ЯР—знак главного значения интеграла.
Доказательство. Разложим косинус по формуле
2 cos (?*о - kx) = е' <?*°-*х> + е-' <Б«°-**>
и, разбивая левую часть D.4.24) на два интеграла, сделаем
во втором из них замену k-> — k, ?-> — Е. Воспользовавшись
тем, что
2 U-<
и полагая *2 = Я., мы без труда приходим к D.4.24).
Применяя эту лемму к формуле D.4.21), мы получаем
равенство
(М+тJ
где F(z) дается выражением D.4.23).
Как и следовало ожидать, полученный интеграл (точнее, его
вещественная часть) расходится логарифмически на бесконеч-
ности. Поскольку преобразование Фурье FMm{k) произведения
ГХ->-функций является, согласно D.4.20), обычной (непрерыв-
ной, ограниченной) функцией, то ясно, что трудность возникает
именно при умножении произведения Dm\x)D^}(x) на В(х°).

I 4] ПОЛУЧЕНИЕ ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО РЯДА ЗЦ
В стандартной теории возмущений расходимость в интегра-
ле D.4.25) устраняется вычитанием из подынтегральной функ-
ции ее значения в точке р2 = М2, так как функция GB>(p) соот-
ветствует диаграмме собственной энергии*), внешним линиям
которой сопоставлена частица с массой М.
М
Регуляризованное выражение для функции Грина равно
0B) r(p) — J (x.^dt-pi-o)- <4-4-26>
{M+mf
4.3. Регуляризованная форма основного уравнения D.4.1).
В предыдущем пункте мы убедились, что расходимости в итера-
ционном решении уравнения D.4.1) возникают из-за линейных
членов типа
Сейчас мы покажем, что уравнение D.4.1) останется в силе,
если члены типа D.4.27) заменить на
где Drel и JDadl) — запаздывающая и опережающая функции Гри-
на (З.А.13). В следующем пункте мы увидим, что такая замена
дает возможность получить регуляризованное выражение для
функции Грина, работая на каждом шагу с конечными вели-
чинами.
Почием с перечисления основных свойств оператора ВрХ,аи.
*) I l|miiiiJia Фейнмаиа в обычной теории возмущений изложены, напри-
Mi'ii. и |4J i) n [6]. Регуляризованное выражение для диаграммы, изображен-
" Him на pncyiiKt (со скалярными линиями), дается в фейнмановсксм а-пред-
ci келен ни монографии [50].

312 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ 1ГЛ. 4
Упражнение 4.4.3. Показать, что имеет место тождество
%х. ay WxyF (х, у) ) = врх, аи (F (х. у) ), D.4.29)
нли, что то же самое,
&рх, „у (%XF (х, У)) = 0. D.4.29а)
(Указание: воспользоваться тем, что в силу (З.А.13) носители обобщен-
ных функций D и Dadv находятся в будущем и прошедшем конусе соот-
ветственно:
где d(Jl) =6(l)-9 (к) ~=r /.(m/JO-O при Я. < 0.)
2 \ Л
2, \ Л
Упражнение 4.4.4. Показать, что вр*, ау имеет свойство проекционного
оператора
в1х,оу=вех.оу D.4.31)
и что
%х.ау&ау,рх=0, D.4.32)
если применять его к не слишком сингулярной обобщенной функции F{x, у)
(достаточно потребовать, чтобы при х=у г(х,у) имела особенность не выше
первой производной от Ь(х — у)). Указание: воспользоваться тем, что в силу
(З.А.11)
(? + «*) <р° (*) = (? + ml) D* (х) = 6 W
и что при умножении G на ло'кально интегрируемую функцию справедливы
равенства:
Допустим теперь, что равенство D.4.1) имеет смысл, и при-
меним к обеим его частям проекционный оператор *)
П = врж,в, + вов1рж. D.4.34)
В результате, пользуясь равенствами D.4.29), получим
п ШхуЬу) " *ПА^ ^ + е- «{щхГS'т?й)+
(АС АС \
~6^Ж5*"ВДОГ D-4'35)
Для дальнейшего нам понадобится следующая лемма.
Лемма 4.4.2. Любая обобщенная функция вида
D.4.36)
•) Можно показать, что даже применительно к тем обобщенным функ-
циям F{x,y), для которых равенства D.4.31) и D.4.32) не имеют места, ра-
венство П2 = П справедливо (см. Пю A963) и Чень A967)).

I*) ПОЛУЧЕНИЕ ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО РЯДА 313
еде fnni(x, у) —произвольные функции без особенностей при
ffi^y0, удовлетворяет уравнениям
®ох. auF (*. У) = вад. pxF (х. у) = UF (*, у) = 0. D.4.37)
Доказательство. Чтобы убедиться, что функция D.4.36)
действительно удовлетворяет уравнению D.4.37), подставим
D.4.36) и D.4.30) в D.4.28) и интегрированием по частям пере-
бросим дифференцирование по |° и т)° на функции DrPl и Dad*.
Получаемые при этом члены, содержащие не более одного диф-
ференцирования по 6-функциям, входящим в D.4.30), исчезают
в силу D.4.33). Наиболее сингулярные плены, как нетрудно ви-
деть, содержат множители типа вху -дт Dadv{x° — у°, х'т), кото-
рые тоже обращаются в нуль в силу тождеств
G (*°) -^ Dad" (х) = -^{в {х°) Dadv (х)} - 6 (х°) Dadv (х), D 4 3g)
8 {х") Dad° (х) = 0, 6 {Xе) Dadv (х) = 6 {х°) 6 {х2) = 0,
так как 6 (- л2) = 6 (л2) = 2я V** 6 (х) = 0.
Мы предоставляем читателю убедиться, что при П|+П2 = 4
в левой части D.4.37) возникают неопределенные выражения
типа вхУЬ(х° — у°) (мы уже убедились, что с произведениями
такого типа связано появление расходимостей в теории возму-
щений).
В доказанной лемме проявляется регуляризованный харак-
тер операторов 0. В то время как функцию вХу нельзя умно-
жить на обобщенную функцию, имеющую 6-функционную син-
гулярность при х° = у°, оператор в может быть применен уже
к 6{х°— у0) и к ее производным не выше третьего порядка. Сле-
дует, однако, отметить, что переход от вхи к оператору &рх,ау
нельзя рассматривать как некую универсальную регуляриза-
цию 8-функций хотя бы иотому, что свертки, входящие в инте-
гралы типа D.4.28), не всегда существуют. Эта «регуляриза-
ция» приспособлена лишь к рассматриваемой задаче, и для нее
она действительно удобна и эффективна, в чем мы убедимся
в следующем пункте (не случайно оператор @рх,ау зависит от
масс trip и та).
Из леммы 4.4.2 следует, что если квазилокальный оператор
Л не содержит производных от 6(х° — у0) выше третьей, то член
ПЛ в уравнении D.4.35) исчезает. В рассмотренной выше мо-
дели с лагранжианом D.4.12) оператор
Лп(х, у)=<р(х)Ь(х-у), D.4.39)

314 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ 1ГЛ. 4
очевидно, удовлетворяет этому условию, так что
ПА^(х,у)=0. D.4.40)
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь такие квазило-
кальные операторы, для которых имеет место D.4.40). Чтобы
разрешить уравнение D.4.35) относительно второй вариацион-
ной производной от S-оператора, мы заметим, что в силу
D.4.31) и D.4.32)
n®pjr, аи = %х. ау> П0а». рх ~ ®ау, рх- D.4.41)
Это дает
( '
где Л' {х, у) — произвольное решение однородного уравнения
ПЛ'(*, у) = 0. D.4.43)
Для этого решения будем предполагать, что оно содержит
лишь члены более высокого порядка по g (начиная с g2). Этот
член будет определяться из условия обеспечения минимальной
степени роста S-матричных элементов в импульсном простран-
стве. Свобода в выборе Л' определяется квазилокальным по
временам членом типа D.4.36) (см. Пю A963)). Требование
релятивистской инвариантности теории в каждом порядке по
степеням g позволяет определить коэффициенты разложения
д'(п) с точностью до оператора, квазилокального по всем коор-
динатам (а не только по времени).
Уравнение D.4.42) будет исходным пунктом для нахожде-
ния регуляризованного ряда теории возмущений для S-матрицы.
Оно было получено формально из уравнения D.4.1). Однако,
по-видимому, лишь уравнение D.4.42) имеет четкий смысл, в то
время как уравнение D.4.1) приводит, по крайней мере в тео-
рии возмущения, к бессмысленным расходящимся интегралам.
Мы могли бы непосредственно прийти к D.4.42), исходя из ус-
ловия причинности D.3.26), аналогично тому как в п. 3.4 мы
пришли к уравнению D.3.30). Мы выбрали здесь менее после-
довательный с логической точки зрения «исторический» способ
изложения, поскольку он позволил нам показать, почему при-
ходится переходить к сравнительно более громоздкому уравне-
нию D.4.42), вместо того чтобы работать с «простым и есте-
ственным» уравнением D.4.1).
Заметим, что из вышеизложенного, в частности из условия
D.4.40), видно, что замена G—»6 приводит к хорошим резуль-
татам, лишь если квазилокальный оператор не имеет слишком

I fl ПОЛУЧЕНИЕ ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО РЯДА 315
высокой сингулярности при х=у. Однако это ограничение не
имеет принципиального характера. Можно регуляризовать тео-
рию с произвольной наперед заданной сингулярностью у А(х, у).
Для этого достаточно ввести вместо в оператор
, {/)) =
(П, + ml)" Вхв J D% (* -1,) D% (|, - У ...
a п„) d4l, ... d\n d\ ... А„ D.4.44)
с достаточно большим индексом п (см. Чень A967)). Заметим,
что при п—\ мы получаем оператор в как частный случай.
Для рассмотрения модели взаимодействия скалярных полей
без производных (и вообще при изучении так называемых пе-
ренормируемых теорий (см. [4])) переход к п> 1 не понадо-
бится.
4.4. Итерационное решение уравнения D.4.42) в случае
взаимодействия двух скалярных полей. Рассмотрим снова, на
этот раз исходя из уравнения D.4.42), причинную функцию Гри-
на Gc iJj-поля во втором порядке теории возмущений (см.
D.4.14)). Мы покажем, что если потребовать возрастания
G® (р) при р2 —» оо не быстрее In p2, то при этом получится ре-
гуляризованное выражение D.4.26), D.4.23), причем на всех
этапах вычисления мы будем иметь дело с вполне определен-
ными конечными выражениями.
Сравнение коэффициентов при g2 в D.4.42) в случае, когда
Л дается формулой D.4.39), a A'=g2A2(J*:, у) +g3A^+ .... при-
водит к замене в D.4.15) 8*„ на &mx,mv, где индекс М у опера-
тора в указывает, что нужно брать операторы Клейна — Гор-
дона с массой М, соответствующей полю i|> в формуле D.4.28).
После этого подстановка D.4.42) в D.4.14) дает
X {exyDM° (x -1) Ojf {y - r,) Off (I - rj) DV (I
+ В„0м" (У - ч) Dm'{x -1) Off (л -6) Dff (ч -1)) А <?Ч ** Л.
D.4.45)
где
Л?(х, у)- <01Л2(х, у)\0) = К(хN {х - у), D.4.46)
а К — линейный дифференциальный оператор по х.

316 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ (ГЛ. 4
Пользуясь D.4.18) и D.4.22), для первого интеграла по |
и т] получаем
f(«—»)—— J* ... /<°(*-|)Ом'({/-т])Х
X Dtf (I - Ti) d? (g -12) d*gЛ] -
I
/У > D-4-47)
где F(z) дается выражением D.4.23).
Далее, пользуясь леммой 4.4.1 и формулой D.4.25), находим
х
- D-4-48)
где
Подставляя это выражение в D.4.45), получим
p + g) =
=- (М2 - р2J ^ (р2) 6 (р + <?) + -^ J ^ (Jt) е' **в) х Л. D.4.50)
Первый член в правой части D.4.50) возрастает при р2—»оо
как р2. Чтобы компенсировать это возрастание, мы должны вы-
брать ,
К = - С {М, т) {М2 + ? ,), D.4.51)
где
± | f W D.4.52)
(M+m)'
Второй член в D.4.50) примет тогда вид

I fl ПОЛУЧЕНИЕ ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО РЯДА 317
Окончательно для G(z> получим
во
я J
я J
4 4 5
что действительно совпадает с регулярИзованным выражением
D.4.26).
Приведенный расчет показывает, что операторная в-функ-
ция, определяемая формулой D.4.28), дает слишком быструю
сходимость интегралов теории возмущений в рассматриваемой
теории с квазилокальным членом первого порядка по g
D.4.39). Вследствие этого мы для функции Грина получили ли-
нейный рост по р2, который пришлось компенсировать квази-
локальным членом второго порядка nog типа (П+М2N(х— у).
Спрашивается, можно ли ввести более экономную регуляриза-
цию 8-функции с тем, чтобы в разобранном примере не возни-
кало необходимости во втором квазилокальном члене? Ответ на
этот вопрос утвердительный. Определим в рассматриваемом ча-
стном случае вместо D.4.28) оператор 0%, формулой
j^^^. D.4.54)
На первый взгляд такое определение несимметрично отно-
сительно аргументов х и у. На самом деле для того класса
функций, с которым мы имеем дело, это не так.
Упражнение 4.4.5. Пусть преобразование Фурье F{k) функции F(x) исче-
зает иа гиперболоиде кг=АР (если F(k) является обычной гладкой функцией
в окрестности этого гиперболоида, то достаточно потребовать, чтобы она
имела нуль первого порядка на нем). Показать, что тогда
(а,+м2) езд j <- (* - и f F -
- (а„+м2) вху | jjjf {у - п) f (* - ч) а*п D-4.56)
(Указание: перейти к преобразованиям Фурье функций, стоящих под
знаком интеграла, и воспользоваться правилом дифференцирования произве-
дения.)

318 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ И ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ 1ГЛ. 4
Упражнение 4.4.6. Показать, что итерационное решение уравнения
) = igt>(x' у) + в*( S* ) + в
D.4.Б6)
приводит во втором порядке теории возмущений к перенормированной функ-
ции Грина (.4.4.53).
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
§ 1. Основные результаты зтого параграфа получены в фундаментальной
работе Рюеля A962), в которой были доказаны некоторые предположения
Хаага A957), A958), A959) и получили строгую математическую основу его
идеи (см. также обзорную статью Бренига и Хаага A959)). Воспроизведен-
ное в тексте упрощенное изложение для случая одного скалярного поля, не-
посредственно связанного с асимптотическим полем, принадлежит Иосту [3]
и Хеппу A9636). Доказательство леммы 4.1.1 (п. 1.3) принадлежит Иосту
A966). Первоначальное доказательство Рюеля второй части теоремы 4.4.1
(о независимости асимптотических состояний от системы отсчета) было до-
полнено Стритером A967).
§ 2. Как отмечалось во введении, подход Лемана, Симанзика и Циммер-
мана A955) и A957) возник сначала как независимое направление наряду
с подходами Уайтмана и Боголюбова. Родственные идеи развиваются в ра-
ботах Нишиджимы A957), A958), A960). Играющие важную роль в этом
подходе формулы D.2.6) впервые были написаны Янгом и Фельдманом
A950) и Челленом A950), которые получили их интегрированием гайзен-
берговых уравнений движения. Вакуумные средние от 7-произведений гай-
зенберговых полей изучались Циммерманом A954). Связь 7-произведений и
запаздывающих функций с функциями Уайтмана обсуждается у Штейнмана
A960) и A963а,б). Связь асимптотического условия и редукционной фор-
мулы ЛСЦ с формулировкой Уайтмана была изучена Хеппом A965а, б, в),
результаты которого конспективно изложены во втором и третьем пунктах
зтого параграфа. Хеппом A964а) было доказано также свойство разбиения
на пучки S-матрицы при пространствеиноподобных разделениях аргументов.
Мы не касались вопроса о связанных состояниях в рассматриваемой схеме.
Этому вопросу посвящены работы Нишиджимы A958), Баумана A958) и
Циммермана A958). Циммерман показал, что любое связанное состояние
со спином нуль может быть описано скалярным локальным полем. Другой
вопрос, незатронутый в нашем изложении, касается связи между перестано-
вочными соотношениями гайзенберговых полей и перестановок соответствую-
щих асимптотических полей. В работах Циммермана A958), Кашлуна A959),
A960) и Редмонда и Урецкого A960) показано, что если гайзенбергово поле
ф(*) удовлетворяет каноническим одновременным перестановочным соотно-
шениям (с о (ж — у)) в правой части), то поля <р'*(х) удовлетворяют пере-
становочным соотношениям для свободного поля.
§ 3. S-матричный подход к релятивистской» квантовой теории, предложен-
ный Гайзенбергом A943), был в некотором смысле предшественником или
даже родоначальником аксиоматического подхода. Этот подход позволил,
однако, получить определенные соотношения между S-матричиыми элемен-
тами лишь после введения в теорию вариационных производных по класси-
ческим полям (Боголюбов A952) и обзор Боголюбова A958)), в терминах
которых удалось сформулировать условие микропричинности (Боголюбов
A955), Боголюбов и Ширков A955) и [4]; до этого условие причинности об-
суждалось в работах Штюкельберга и Ривье A950) и Штюкельберга A951),
но не получило там окончательной формулировки; см. также [48]). Совмест-

ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ 319
нов использование свойств причинности и спектральности позволило доказать
дисперсионные соотношения для упругого пион-нуклонного рассеяния (Бого-
любов A956), [1]). Дальнейшее развитие дисперсионный подход получил в
работах Медведева и Поливанова A961), A96-1), A967а, б), Медведева
A961), Медведева и др. A967а—д). Его связь с теорией ЛСЦ обсуждалась
Файнбергом A961), Сухановым A965), A966) и Медведевым и др. A967а,
в,д); в последних работах рассматривается таиже незатронутый в тексте
вопрос о допустимом числе производных в квазилокальных операторах, при
которых постулаты БМП эквивалентны постулатам ЛСЦ (о числе допусти-
мых производных в теории ЛСЦ см. также Пю A963)). Вопрос о том, в ка-
кой мере можно восстановить теорию, зная матричные элементы тока, об-
суждается в теории свободных полей Лангерхолком и Шроером A967) (см.
также Араки и др. A961)). Относительно выбора класса обобщенных функ-
ций, совместного с условием микропричинности, см. Мейман A964), Логунов
и др. A964) и A966), Джафе A967), Хоружий A967), Ефимов A968). Ана-
лиз в работе Хоружего основан на понятии носителя аналитического функ-
ционала, введенного Гельфандом и Шиловым A953) и Мартино A963) (см.
также Кимелсен A966)). Операция D<p, которой мы пользуемся в пп. 3.6 и
3.7, вводится там впервые. Аналитические свойства четырехточечной функции
Грина, определиемой 32 предельными значениями запаздывающих и опере-
жающих функций, изучались в "формулировке ЛСЦ Бросом и др. A964) (см.
также лекции Броса A965)). Относительно методов теории аналитических
функций нескольких комплексных переменных, которые используются при
этом анализе, см. [24] и Уайтмаи A960в). Четырехчленные тождества между
запаздывающими и опережающими функциями Грина были обнаружены
Штейнманом A960). Компактная формулировка для этих тождеств в случае
«точечной функции Грина дана Рюелем A961).
§ 4. Регуляризованная форма основных уравнений, выражающих условия
причинности и унитарности, принадлежит Пю A963), A965), A966), Рор-
лиху A964) и Рорлиху и Вилнеру A966) (см. также работы Ченя и др.
A966) и A967), Рорлиха и Рея A966) и Рея A967), где stot формализм
развивается дальше). Другие подходы, приводящие к уравнениям для
функций Грина без расходнмостей, позволяющим, в частности, воспроизве-
сти перенормированный ряд теории возмущении, имеются в работах Нишид-
жимы A960), Мураскииа и Нишиджимы A961), Симанзика A960), A963),
A966), Фрида A962), Файиберга A964). Ни в одной из упомянутых работ
не исследовалась, однако, сходимость этого ряда. Более того, в работе Джа-
фе A965) рассматривается нерелятивистская модель с обрезанным лагран-
жианом взаимодействия Лчр* (с конечным числом степеней свободы). В этой
модели существование решения при положительной константе связи К сле-
дует из общей теории эллиптических уравнений; в то же время ряд теории
возмущений расходится (см. также Джафе и Пауерс A967), где рассматри-
вается переход к бесконечному объему в этой модели). Как отмечалось во
введении, вопрос о существовании нетривиального решения «аксиоматиче-
ских уравнений» до сих пор остается открытым. Поэтому много внимания
уделяется построению моделей, в которых выполняетси лишь часть общих
принципов квантовой теории поля: нерелятивистских и двумерных моделей,
теорий с обрезанием (см. наряду с упомянутой выше работой Джафе еще
Нельсои A963) и A964), а также лекции и обзоры Уайтмаиа A9646) и
A967) и доклад Хеппа A967)).

ГЛАВА 5
СЛЕДСТВИЯ ИЗ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ
КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ: TCP, СПИН И СТАТИСТИКА,
ТЕОРЕМА ХААГА
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Мы уже убедились в гл. 1, что общий вид лоренц-инва-
риантных обобщенных функций достаточно сложен. Од-
нако функции Уайтмана, наряду с условием лоренц-ин-
вариантности, обладают свойством аналитичности в
прошедшей трубчатой области Т~п (в силу условия спек-
тральности). Аналогично преобразования Фурье запа-
здывающих функций Грина, рассматриваемых в гл. 4,
аполитичны в будущей трубчатой области Т„. Для функ-
ций, аналитических в трубчатой области, справедлива
теорема Баргмана — Холла — Уайтмана (п. 1.3), со-
гласно которой из инвариантности таких функций отно-
сительно собственных вещественных преобразований Ло-
ренца следует их инвариантность также относительно
собственной комплексной группы Лоренца. Эта теорема
позволяет, в частности, показать, что лоренц-инварант-
ные функции, голоморфные в трубчатой области, анали-
тичны на самом деле в более широкой области, а имен-
но в так называемой расширенной трубчатой области
J"n. Вещественные точки ^п
II = х\ ~ Х2> • • • > tn-I = хп-\ ~ хп
определяются условием B ^/1/) < 0 пРи любом выборе
неотрицательных чисел hi, не равных одновременно
нулю (п. 1.4).
Если функция, аналитическая в трубчатой области,
инвариантна относительно полной группы Лоренца,.
включающей пространственные отражения, то внутри
области голоморфности она является функцией лишь
скалярных произведений своих аргументов (п. 1.5).
Отражение всех четырех осей является элементом
собственной комплексной группы Лоренца. Это позво-
ляет доказать (п. 2.3), что из теоремы Баргмана — Хол-
ла — Уайтмана и из условия слабой локальной коммута-
тивности (п. 2.2) вытекает TCP-инвариантность теории,
для которой постулирована лишь инвариантность отно-
сительно собственной группы Пуанкаре и условие спек-

Краткое содержание 321
тральности. Антиунитарный TCP-оператор находит при-
менение при изучении классов эквивалентности локаль-
ных полей (классов Борхерса, п. 2.4). Значение понятия
класса Борхерса обусловлено тем, что двум полям од-
ного и того же класса соответствует одна и та же матри-
ца рассеяния (п. 2.5).
Те же методы (в первую очередь теорема Баргма-
на — Холла — Уайтмана) позволяют установить связь
спина со статистикой (§ 3). Пусть дано, что поле либо
локально коммутирует, либо локально антикоммутирует
с собой. Тогда оно должно локально коммутировать,
если преобразуется по конечномерному представлению
группы Лоренца, соответствующему целому спину, и ло-
кально антикоммутировать с собой, если оно соответ-
ствует конечномерному представлению с полуцелым спи-
ном (п. 3.2). Если в системе полей между различными
полями имеются аномальные перестановочные соотно-
шения (локальная коммутативность между разными
фермионными полями или локальная антикоммутатив-
ность между разными бозонными полями или между бо-
зонным и фермионным полем), то функции Уайтмана
такой теории обладают некоторой дополнительной сим-
метрией. Теория с такой симметрией приводится преоб-
разованием Клейна (п. 3.3) к теории с нормальными пе-
рестановочными соотношениями между всеми полями.
(Преобразование Клейна является неунитарным преоб-
разованием, сохраняющим функции Уайтмана.) В п. 3.4
даны понятие о парастатистике и схема доказательства
теоремы о связи спина с парастатистикой.
Теоремы об аналитических лоренц-инвариантных
функциях применяются также при анализе обычной га-
мильтоновой формулировки квантовой теории поля.
С их помощью доказывается теорема Хаага о том, что
если поле <p(f, x) связано зависящим от времени уни-
тарным преобразованием со свободным полем, то оно
само является свободным (п. 4.2). Теорема Хаага пока-
зывает, что если гамильтонова формулировка квантовой
теории поля вообще имеет смысл, то необходимо поль-
зоваться неэквивалентными «.странными-» представле-
ниями канонических перестановочных соотношений в
разные моменты времени (п. 4.3).
Такими же методами, что и теорема Хаага, доказы-
вается невозможность описать «нарушенную симмет-
рию-» (например, пространственное отражение) завися-
щим от времени унитарным оператором (п, 4,4).
Н. Н. Боголюбов к др.

522 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА |ГЛ. I
§ 1. Лоренц-ковариантные функции,
аналитические в трубчатой области
1.1. Вводные замечания. Мы видели (теорема 3.2.2), что
в силу условия спектральности обобщенные функции Уайтмана
w, (xi, ..., хп) являются предельными значениями обычных
функций от разностей |*=лс& — х*+ь аналитических в прошед-
шей трубчатой области rn-i(lm?* e У"). Аналогично в силу ус-
ловия микропричинности фурье-образы запаздывающих я-ча-
стичных функций Грина аналитичны в будущей трубчатой
области ГЛ-1 (гл. 4, п. 3.7). С другой стороны, и те и другие функ-
ции ковариантны, т. е. преобразуются по некоторому конечно-
мерному представлению группы Лоренца (в частности, в
теории скалярных полей они инвариантны). Оказывается, что
сочетание свойств аналитичности и ковариантности дает возмож-
ность получить дополнительную информацию относительно
обоих свойств. Так, из аналитичности в Тп и ковариантности
относительно собственной группы Лоренца L* следует кова-
риантность относительно комплексных преобразований Лорен-
ца из-24 и аналитичность в более широкой области 3"п (рас-
ширенная трубчатая область, полученная из Г« применением
всевозможных преобразований из-2%). Эта теорема, принадле-
жащая Баргману, Холлу и Уайтману, лежит в основе вывода
TCP-теоремы и теоремы о связи спина со статистикой, с кото-
рыми мы познакомимся в § 2. Доказательство теоремы Барг-
мана — Холла — Уайтмана будет приведено в п. 1.3. Предва-
рительно, в п. 1.2 мы познакомимся с некоторыми свойствами
комплексной группы Лоренца.
В п. 1.4 дается описание вещественных точек расширенной
трубчатой области (точек Поста).
В п. 1.5 дана схема доказательства теоремы Холла и Уайт-
мана о том, что любая функция, инвариантная относительно
ортохронных преобразований Лоренца и аналитическая в труб-
чатой области Т„, зависит лишь от скалярных произведений
своих векторных аргументов.
1.2. Нормальная форма комплексных преобразований Ло-
ренца. Группа J& комплексных преобразований Лоренца опре-
деляется как совокупность линейных однородных преобразова-
ний в комплексном четырехмерном пространстве С«, сохраняю-
щих билинейную форму
zw - zV - гV = gMVzV E.1.1)
(по повторному индексу / здесь и в дальнейшем в этом пункте
подразумевается суммирование от 1 до 3).

I 1J ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИИ 323
Другими словами,.?9—это группа четырехрядных матриц Л
с комплексными элементами, удовлетворяющими условию псев-
деортогональности B.2.5)
ArGA = G, * E.1.2)
где G — метрический тензор в пространстве Минковского.
Заметим, что комплексная группа Лоренца изоморфна
комплексной ортогональной группе 0D, С). Действительно,
если ввести новые координаты г'0 = г6, & =iz' (поскольку
& — комплексные числа, то новые координаты равноправны
старым), то знак «—» в E.1.1) заменится на знак « + » и, со-
ответственно, метрический тензор G=(gm) в пространстве Мин-
ковского заменится на единичный тензор бщ,. Мы, однако, бу-
дем пользоваться базисом, в котором справедливы равенства
E.1.1) и E.1.2), поскольку в таком базисе переход к веществен-
ному пространству Минковского и, соответственно, к веществен-
ной группе Лоренца выглядит более естественно.
Если взять определитель от обеих частей равенства E.1.2),
то получим (как и при вещественных преобразованиях Лорен-
ца) при Ае^1
(detAJ=l. E.1.3)
Таким образом, комплексная группа Лоренца распадается
на две компоненты: -2%(detA=- 1) и =2'-(detA= — 1). В отли-
чие от вещественного случая компонента JS*t уже является связ-
ной подгруппой группы Л?. Дело в том, что изменение знака
всех четырех координат может быть достигнуто непрерывным
вращением в комплексном пространстве Ct. Действительно,
матрица
cosa О О isina1
. О cosa sin a 0 ,
Л(«)= „ _„.-„„ _ п E.1.4)
0
0
i sin a
cosa
— sin«
0
sin a
cosa
0
0
0
cosa
принадлежит группе JS"t и непрерывно зависит от параметра а,
причем
А@)=*1, А(я)=-1. E.1.5)
Мы уже отмечали (гл. 2, п. 2.2), что группа J2"* гомоморфна
комплексной спинорноЙ группе Лоренца SLB) ® SLB), эле-
ментами которой являются пары комплексных двухрядных
унимодулярных матриц (А, В) (det А¦»det В — 1). Элементы
21*

824 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. S
матрицы Ле^( выражаются посредством Л и В формулой
B.2.15а)
H4i4°»B4. E.1.6)
В дальнейшем нам понадобится регулярная параметризация
окрестности единичного элемента группы SLB) ® SLB) (соот-
ветственно •?%) со следующими свойствами:
1) Когда Л пробегает окрестность единичного элемента
группы-2%, параметры а\ осе пробегают некоторую окрест-
ность начала координат, шестимерного комплексного простран-
ства.
2) Подмножеству вещественных собственных преобразова-
ний Лоренца (Л е 1%) соответствуют вещественные параметры
«|, . . . , ОСв-
3) Матричные элементы любого конечномерного предста-
вления комплексной группы Лоренца (в частности, Av) являют-
ся аналитическими функциями параметров а\ ав.
В качестве примера регулярной параметризации группы
SLB) <gSLB) можно взять параметризацию Кели (см. [26]):
_1 _¦ - (БЛ'7)
в= ° \ '——,
где Sj = (—I) Oj, a а; и Pj — комплексные параметры, подчи-
ненные условию
2j(|a/P + |p/-p)<2 E.1.8)
(мы для удобства положили cca+i= Pi, /=1, 2, 3).
Упражнение 5.1.1. Показать, что при всех а и Р, при которых матрицы,
стоящие в знаменателях E.1.7), неособые (в частности, когда аир подчи-
нены условию F.1.8)), справедливо равенство
det A ~ det В - 1. F.1.9)
(Указание: воспользоваться равенством А=а, где a=aViJll, a

I I] ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИИ 325
(здесь, как и выше, по повторному индексу / подразумевается суммирова-
ние от 1 до 3).)
Упражнение 5.1.2. Показать, что преобразованию двухрядных матриц
где Л и В заданы формулой E.1.7), а г=гу'а^, соответствует собственное
комплексное преобразование Лоренца
(Б.1.11)
Здесь 1—четырехрядная единичная матрица, а
V - «J (VvO + \До) + е0/^Р/ (Б112>
(матрица R может быть представлена в виде R = GR, где R— антисимме-
тричная матрица RT=—R, a G — метрический тензор в пространстве Мии-
ковского). (Указание: непосредственно проверить, что когда
det A + /?) ^ I — ая + ря + («Р)я =И=0 (Б.1.13)
(это заведомо имеет место при достаточно малых |«| и|Р|), преобразова-
ние F.1.11) принадлежит комплексной группе Лоренца .§*+. Убедиться да-
ЗЛ аЛ on
лее, что все производные -=— и -35-в точке а «= р = 0 совпадают с производ-
cct= op.
ными от матрицы /5.1.6).)
Чтобы исследовать специфические свойства комплексных
преобразований Лоренца, удобно рассматривать два таких пре-
образования как несущественно различные, если они связаны
вещественным преобразованием из ?.1. Точнее, будем говорить,
что комплексные преобразования Лоренца Ai и Кг эквивалент-
ны, если существуют два вещественных собственных преобра-
вования Лоренца L} и L2 таких, что
{LuU^L% E.1.14)
Соответственно пары (Аи Вг) е SLB) ® SLB) (i=l, 2)
будут считаться эквивалентными, если
A^CAtD, B^CBiD, E.1.15)
где С, D eSLB). Действительно, если имеет место E.1.15), то
i = CAiDzDBlc*. " E.1.16)
Теоремаб.1.1. Любое преобразование (А, В) е SL B) ® SL B)
эквивалентно одной из следующих двух нормальных форм:
е0- 0
Но 1/'

326 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. 3
где а —любое комплексное число, или
В = о0. E.1.18)
Доказательство. Выбирая в E.1.15) D^B^C*, мы
получим (В = в, = с0)
А = Л, = С/яЙ'С.
Но согласно известной теореме из линейной алгебры (см., на-
пример, добавление ко второй части [32]) любая двухрядная
матрица с определителем 1 м'ожет быть приведена преобразо-
ванием подобия к одной из двух канонических форм Жордана
E.1.17) или E.1.18).
Упражнение 5.1.3. Найти четырехрядные матрицы, соответствующие нор-
мальным формам E.1.17) и E.1.18).
1.3. Теорема Баргмана — Холла — Уайтмана. Мы переходим
к основному результату настоящего параграфа*).
Теорема 5.1.2. Пусть тензорная функция fa n комплекс-
ных ^-векторов z\ zn преобразуется при преобразовании
аргументов по некоторому конечномерному представлению V'(Л)
собственной группы Лоренца L.\
h (Аг Лг„) = 2 V (А)а^ (г„ .... гп) E.1.19)
и аполитична в будущей трубчатой области
К!=[г1='х1 + {Уг У,^^*, х,е=Я4, /=1 п).
Тогда функция fa допускает однозначное аналитическое про-
должение в расширенную трубчатую область
^„= U лг«. EЛ-2°)
которое преобразуется по формуле E.1.19) при любом комп-
лексном преобразовании Лоренца с определителем 1 (т. е. при
любом А е Jg't).
Прежде чем доказать теорему, сделаем несколько заме-
чаний.
1) Требование, чтобы тензор fa преобразовывался по одно-
значному представлению собственной группы Лоренца L+, а не
по произвольному представлению спинорной группы SLB), не
*) Теорема 5.1.2 впервые опубликована в работе Холла и Уайтмана
A957).

|П ЛОРЕНЦ КОВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИИ 327
рвляется на самом деле ограничением общности. Действитель-'
(I к \
2 ' ~2~)
[>уппы SLB) (где / и k — целые неотрицательные числа) за-
ается в пространстве тензоров
| 1 ••• j 1- а (а<> р/ = 1, 2),
^симметричных относительно пунктирных и непунктирных индек-
|©эв в отдельности, формулой (см. гл. 2, п. 4.1)
[,Если число j+k четное, то мы имеем дело с тензорным пред-
ставлением спинорной группы, которое является однозначным
: представлением группы L+, поскольку в таком случае, как вид-
D из E.1.21), V(—A)= V(A). Условие ковариантности функции
1-"»;>1 —й*/~ ~\ относительно rDvnnu SLB) имеет вил
B:„ ..., zn) относительно группы SLB) имеет вид
;• IV (И)/Г«-в'$'-•*(г„ .... г»)-Г1 "¦'*№ (И) г„ .... А(А)гп),
' E.1.22)
где V(A) определяется формулой E.1.21), а Л(А) — равен-
ством B.2.15). Теперь, так как Л(—1) = 1, a V(— 1) = (—ф+\
то E.1.22) при А=—1 дает
(-l)'**pi-•*(« , г„) = Л-е*(г, гп). E.1.23)
Следовательно, если j+k нечетное, f = 0 (так как по предпо-
ложению f — однозначная функция своих аргументов). Таким
образом, достаточно рассмотреть представления, в разложении
которых на неприводимые входят лишь четные j+k, т.е. одно-
значные представления группы Z.J.
2) Теорема 5.1.2 остается справедливой, если заменить бу-
дущую трубчатую область Т*п на прошедшую Т~п = {z, = х} + iy{,
jjSV). Расширенная трубчатая область 3"п E.1.20) может
быть представлена также в виде
З'п- U АТ'п- <5Л-24)
Правые части E.1.20) и E.1.24) совпадают, поскольку, как
отмечалось в п. 1.2, группа -^ содержит отражение всех четы-
рех осей, которое переводит Т*п в Т~п и обратно.
3) Если предположить, что функции /а(г) преобразуются по
некоторому представлению ортохронной группы Лоренца L*

328 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА ГГЛ. 5
(включающей пространственное отражение), то можно дока-
зать, что они ковариантны также относительно всей комплекс-
ной группы J?.
Доказательство теоремы 5.1.2. Фиксируем точку г
внутри данной условием теоремы области аналитичности Т%. и
рассмотрим зависимость функции fa(kz) = fa(Azt, .... Azn) =
= Fa(A), удовлетворяющей E.1.19), от регулярных параметров
7,1, ..., Кв преобразования Л, принадлежащего окрестности еди-
ничного элемента группы .2% (см. E.1.7) и E.1.11)). Как ле-
вая, так и правая части равенства E.1.19) имеют смысл и яв-
ляются аналитическими функциями параметров Л в достаточно
малой комплексной окрестности начала координат. При веще-
ственных К эти функции совпадают, следовательно, они совпа-
дают во всей комплексной окрестности (это следует из того, что
коэффициенты степенного ряда голоморфной функции могут
быть получены дифференцированием вдоль вещественных осей).
Далее, правая часть E.1.19) имеет смысл и тогда, когда Az =
= (Azi, .... Azn) ф Тп, определяя, таким образом, аналитическое
продолжение функций fa в точках расширенной трубчатой об-
ласти <7V Чтобы закончить доказательство теоремы, необхо-
димо показать, во-первых, что полученное аналитическое про-
должение однозначно и, во-вторых, что из найденных выше ло-
кальных свойств (в окрестности единичного элемента группы
J?*) следуют аналитичность функций Fa(K) и справедливость
E.1.19) при произвольном Ле^.
Покажем сначала, что для доказательства однозначности
аналитического продолжения функции fa(z) в расширенной
трубчатой области достаточно показать, что если точка z е г?
и комплексное преобразование Лоренца Ле^ таковы, что и
Az принадлежат первоначальной области определения Тп, то
равенство E.1.19) все еще имеет место (это равенство постули-
руется условием теоремы лишь для вещественных Ле !.?).
Действительно, допустим, что для некоторого ze/, суще-
ствуют два комплексных преобразования Лоренца Л] и Л2 (из
.2%), переводящих соответственно точки zw и zB) из Тп в z и
таких, что
ff E.1.25)
Но fa(AiZU)) A=1, 2) определяется правой частью E.1.19)
fa (Лгг(г)) ш. 2 V (ЛгЦ fр (zu)), 1=1,2.
Применяя к обеим частям неравенства E.1.25)

f I) ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИИ 329
И пользуясь тем, что г&) = fi^lAtzm, находим, что неравенство
¦Противоречит сделанному допущению (так как zA) и Л~'Л,г t) = г „
Принадлежат Т$.
Итак, нам достаточно доказать, что формула E.1.19) спра-
ведлива для тех комплексных преобразований Лоренца, кото-
рые не выводят z из Т%-
Чтобы установить это, заметим сначала, что при любом Л
множество Тп Л АТп выпукло (следовательно, и связно), так как
является пересечением двух выпуклых множеств. Поэтому до-
статочно доказать E.1.19) в окрестности какой-нибудь одной
точки г. Далее, если E.1.19) имеет место для некоторого преоб-
разования Ло, то оно имеет место и в достаточно малой окрест-
ности Ло- Для этого достаточно ввести локальные координаты
в окрестности Ло посредством Ai = A0A(a, р), где Л(а, Р) дается
равенствами E.1.11) —E.1.12), и повторить рассуждения, при-
веденные выше для окрестности единичного элемента =2%.. Что-
бы завершить доказательство теоремы, остается показать, что
любое комплексное преобразование Л, для которого при каком-
либо z из Т*п Aze Т*п, можно связать непрерывной кривой Л=
— A(t) с единичным преобразованием таким образом, чтобы
) ()
Действительно, в таком случае можно связать Л с единицей
группы конечной системой окрестностей, для каждой из кото-
рых применимы вышеприведенные рассуждения. Наличие такой
связывающей кривой и пространстве преобразований составляет
содержание следующей леммы.
Лемма 5.1.1. Множество В преобразований Лоренца А из
.2%, для которых пересечение АТ*п П Tl не пусто, связно.
Доказательство. Из инвариантности Т*п относительно
собственных преобразований Лоренца (из Lj) следует, что если
As В, а L\, L2eLt, то и L\hLt^ В. Таким образом, В яв-
ляется множеством классов эквивалентности элементов .5%. от-
носительно lX. Поэтому достаточно показать, что лемма 5.1.1
справедлива для нормальных форм, определяемых теоремой
5.1.1. Случай знака «—» в формуле E.1.18) надо сразу отбро-
сить, так как преобразование
о -
1

330 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. G
выводит из Т* все векторы, принадлежавшие будущей трубча-
той области. Напротив, преобразование E.1.18) со знаком «+»
принадлежит множеству В, поскольку оно оставляет в Г?, на-
пример, точку
z,- ... -zn = (i, 0, 0, 0). E.1.26)
Это преобразование можно, с другой стороны, связать непре-
рывно с единичным преобразованием при помощи кривой в В
1 Л /1 0\
J. В@~@ ,J. 0<t<l. E.1.27)
Действительно, нетрудно видеть, что при преобразованиях
E.1.27) точка E.1.26) не выходит из Т*п.
Упражнение 5.1.4. Показать, что преобразование (Л(а), 1) типа E.1.17)
принадлежит множеству В, если 11тес|<я. (Указание: проверить, что при
фиксированном a = oei + ias, |а2|<я вектор Z\ = (l, 0, 0, sino2 — 6 (| а21—
/2)t) бй бй б Т* б
фр i s, |2|< р \ (, , , 2 (| 21
—ji/2)ctgas) остается в будущей трубчатой области Т* при преобразовании
г'=А(а)г, в то время как при сс2=±я любой вектор из 1'+ выводится из
этой области таким преобразованием.)
Из утверждения, содержащегося в упражнении 5.1.4, сле-
дует, что если (А (а), 1)еВ, той (A(ta), l)sB при (X t < 1.
Тем самым лемма 5.1.1, а с ней и теорема 5.1.2 доказаны.
Теоремы типа 5.1.2 доказаны теперь для гораздо более об-
щих областей аналитичности (см. Минковски и др. A964)).
1.4. Вещественные точки расширенной трубчатой области.
Из определения трубчатых областей Г* очевидно, что они не
содержат ни одной вещественной точки. Поэтому особенно ин-
тересно, что расширенная трубчатая область 3"п при всех я со-
держит вещественные точки. В частности, отсюда следует, что
функции Уайтмана w, которые определялись первоначально
как обобщенные функции, суть не только предельные значения
голоморфных функций (аналитических в прошедшей трубчатой
области), но сами являются аналитическими функциями в не-
которой вещественной области изменения пространственно-вре-
менных аргументов.
Разъясним это сначала в специальном случае, когда n—\t
Поскольку, по определению, любое комплексное преобразова-
ние Лоренца сохраняет скалярный квадрат 4-вектора г, то воз-
можные значения z2, когда zs^i, совпадают с возможными
значениями г2, когда ге Г*.
Упражнение 5.1.5. Показать, что если ге Г* иг2 вещественно, те га<0.
(Указание: обратить внимание на то, что если вещественные векторы хну
ортогональны между собой и вектор у времениподобеи, то вектор х про-
странственноподобен.)

1 I] ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИИ 331
Из этого упражнения следует, что если расширенная труб-
чатая область 3"\ содержит вещественные точки, то они могут
быть лишь пространственноподобными. С другой стороны, не-
трудно видеть, что любой вещественный пространственноподоб-
ный вектор | принадлежит расширенной трубчатой области JV
Действительно, за счет выбора вещественной системы от-
"счета любой пространственноподобный вектор | может быть
приведен к виду |= @, 0, 0, с), где с > 0. Но этот вектор свя-
зан с вектором ?=(ш, 0, 0, 0) из будущей трубчатой области
комплексным преобразованием Лоренца из JSr* |=Л?, где
E.1.28)
В общем случае произвольного п Иост A957) дал следую-
щую характеристику вещественных точек расширенной трубча-
той области.
Теорема 5.1.3. Для того чтобы вещественная точка
(?ь •••> in) принадлежала расширенной трубчатой области rfn,
необходимо и достаточно, чтобы при любом выборе неотрица-
тельных чисел %it не равных одновременно нулю, вектор
р = *,!,+ ... +К1п E.1.29)
был пространственноподобным *).
Доказательство, а) Условие необходимо. Пусть
(|i, ..-, |п) е^„. По определению 3"а существует точка буду-
щей трубчатой области (zi, .... г„) е fj такая, что |,=Л.г,-
(;'=1 и), где Ле-2%. Тогда при любом выборе неотрица-
тельных чисел %}, не равных одновременно нулю, комплексный
вектор
и
з? = х2 - у2 + 2ixy = р2,
т.е. ху=0. Отсюда и из упражнения 5.1.5 следует, что р2 < 0,
т.е. что вектор E.1.29) пространственноподобен.
•) Множество векторов вида F.1.29) при фиксированных |,, .... |„ и
при всех hj^O, ЕЯ.,>0 образует выпуклый конус в четырехмерном простран-
стве, натянутый на векторы |i ?*. Мы будем обозначать этот конус
через К(|)«К(|, \п).

832 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА XAAIA [ГЛ. 5
б) Условие достаточно. Пусть дано, что р2 < 0 при всех
р е /((?). Поскольку единственная общая точка замыканий ко-
нусов К(%) и V± есть начало координат:
ajc>0
ajc<0
Pjc>0
р\к<0
для
ДЛЯ
для
ДЛЯ
же
лее
х е
IE
v\
к
v~,
V*
и
и
то существуют касательная плоскость ах — 0 к будущему
конусу V*, отделяющая V* от К и V", и плоскость р* = О,
касательная к V~ и отделяющая V~ от К и V*. Из определения
следует, что а2 = р2 = 0; выберем а0 > 0, р° < 0, тогда
E.1.30)
е= /(. E.1.31)
Поскольку изотропные векторы аир находятся в разных
половинах светового конуса и неколлинеарны, то сф<0. Не
ограничивая общности, введем нормировочное условие оф= —2.
Тогда за счет выбора системы координат можно добиться,
чтобы
a = (I, 0, 0, 1), р = (-1,0, 0, 1).
В этой системе, поскольку в силу E.1.30) и E.1.31) ар<0 и
Рр<0, при ре/((|) имеем |р°|<р3 и, следовательно, ||>||^|.
Тогда, полагая г^ — 1Щ, z|= — Щ, z] = z2 = 0, получаем г(е1*
н %/^AZj, где Л дается равенством E.1.28). Теорема 5.1.3
доказана.
Вещественные точки расширенной трубчатой области приня-
то называть точками Поста. Их совокупность будем обозначать
через /.
1.5. Общий вид лоренц-инвариаитиых функций, аналитиче-
ских в трубчатой области. Мы уже подчеркивали, что распрост-
раненное представление о том, что любая лоренц-инвариантная
функция зависит лишь от скалярных произведений своих век-
торных аргументов, неприменимо к произвольным обобщенным
инвариантным функциям, общий вид которых достаточно сло-
жен (см. гл. 1, п. 3.5). Тем более интересно, что аналитические
инвариантные функции действительно зависят лишь от скаляр-
ных произведений. В случае функций, аналитических в трубча-
той области, это утверждение составляет содержание следую-
щей нетривиальной теоремы Холла — Уайтмана A957).

f I) ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИИ 833
Теорема 5.1.4. Пусть функция f(zlt ..., zn) аполитична
в будущей трубчатой области Т* и инвариантна относительно
ортохронных преобразований Лоренца:
b ..., zn) при Ae=L+. E.1.32)
Тогда f является функцией лишь скалярных произведений
E.1.33)
аналитической на многообразии Мп, в котором изменяются ска-
лярные произведения, когда (zu .... zn) изменяются в Т*п.
Несколько замечаний перед доказательством теоремы.
1) Так же как» и в случае теоремы 5.1.2, теорема 5.1.4
остается справедливой, если заменить будущую трубчатую об-
ласть Тп на прошедшую. В частности, область Мп в простран-
стве скалярных произведений zjft остается той же самой:
Мп (К)=Мп (П) - мп (гг„). E. i .34)
2) Для справедливости теоремы существенно (по крайней
мере при л>-4), что предполагается инвариантность относи-
тельно ортохронной группы Лоренца, включающей пространст-
венные отражения. Действительно, если бы мы предположили
инвариантность только относительно собственной группы L.I, то
при п > 4 мы должны были бы учитывать псевдоскаляры вида
'.'.'.'. «1<«2<«3<«4. E.1.35)
*и ¦•¦ *и
которые являются полиномами от компонент векторов zit но не
могут быть выражены как функции скалярных произведений.
Однако если включить всевозможные определители E.1.35) в
совокупность инвариантов (вместе со скалярными произведе-
ниями), то можно доказать, что функция, аналитическая в Т„
и инвариантная относительно Li, является аналитической функ-
цией всевозможных инвариантов (см. Хепп A963а, б)).
3) При п ~?- 4 не все инварианты, о которых шла речь в пре-
дыдущем замечании, независимы. Действительно, поскольку
функция / зависит от 4я комплексных компонент векторов
Zj, ..., zn, а группа Лоренца «23.,. (относительно которой f ин-
вариантна в силу теоремы 5.1.2) имеет шесть комплексных па-
раметров, то размерность многообразия независимых инвари-
антных переменных должна быть, вообще говоря, 4« — 6 (это

334
TCP. СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА
[ГЛ. S
верно на самом деле при п > 3, т. е., грубо говоря, при наличии
трех и более векторов, так как за счет выбора системы коорди-
нат можно аннулировать шесть компонент векторов). С другой
стороны, имеется -^«—- одних только скалярных произведе-
ний из п векторов, что- превосходит число независимых компо-
нент уже при п >- 5. Нетрудно получить полную систему поли-
номиальных тождеств между скалярными произведениями,
пользуясь тем, что ранг матрицы скалярных произведений ?д
не превосходит 4. Это следует из того, что матрицы zf Ik k
с определителями
А,...!,*,...*,»
4,k
»"l
... z,
могут быть получены как произведения прямоугольных матриц
ранга, не превосходящего 4,
«2.
-5-1
E.1.37)
и, следовательно, к ним можно применить теорему об опреде-
лителе произведения прямоугольных матриц (см. [32], ч. 1, гл. 1,
§ 1.7). Итак, при л>4 все миноры ранга />4 матрицы (Zyhj
равны нулю. Не все полученные таким образом полиномиаль-
ные тождества между скалярными произведениями независимы,
но они образуют полную систему. Со своей стороны, псевдоска-
ляры E.1.35) связаны с определителями E.1.36) тождествами
вида
+ ^М
0-
E.1.38)
Число независимых инвариантов при л=1, 2, 3 равно, со-
ответственно, 1, 3, 6.
4) Теорема 5.1.4 допускает различные обобщения. Так, ре-
зультаты Хеппа A963а, б) дают возможность разложить лю-
бую тензорную лоренц-ковариаитную аналитическую функцию
на конечную линейную комбинацию тензорных полиномов с
коэффициентами, являющимися аналитическими функциями ин-
вариантов, построенных из аргументов исходной функции.

i I] ЛОРЕНЦ-КОВАРИАНТНЫЕ ФУНКЦИИ 835
Здесь мы перечислим лишь основные моменты доказатель-
ства теоремы 5.1.4, отсылая за деталями к превосходной ориги-
нальной работе Холла и Уайтмана A957).
Схема доказательства теоремы 5.1.4. В силу тео-
ремы 5.1.2 (см. замечание 3) после формулировки этой теоре-
мы) функция f(z), удовлетворяющая условиям теоремы 5.1.4,
допускает аналитическое продолжение в расширенной трубча-
той области J'n, причем условие инвариантности E.1.32) сохра-
няет свою силу при любых комплексных преобразованиях Ло-
ренца (Ле^|.
Пусть, далее, дана пара точек Z|, ..., zn и ?ь .... ?п в 4л-
мерном пространстве таких, что
Z,lt>k при /, **1 п. E.1.39)
Если матрица (zjh) имеет ранг 3 или 4, или если эта мат-
рица несингулярна (при n42J, то существует комплексное
преобразование Лоренца Л такое, что
Л*, = ?Л / = 1 п. E.1.40)
Если ранг этой матрицы равен 2 (или 1), когда л>2 (или
п> 1 соответственно), то связь между г и ?, вообще говоря,
сложнее:
/-1, .... л, E.1.41)
где otj — комплексные числа, а со — изотропный 4-вектор, орто-
гональный ко всем AZj- и &. Для точек (zik) e Мп, для которых
из E.1.39) следует E.1.40), очевидно, вытекает однозначность f
как функции скалярных произведений. Это же удается дока-
зать при помощи некоторого дополнительного исследования и
для тех исключительных точек, где приходится пользоваться
формулой E.1.41).
Итак, f является однозначной функцией на всем многооб-
разии Мп скалярных произведений векторов (г,, .... гл)еГ*,
которое может рассматриваться как алгебраическое многооб-
разие в пространстве всех комплексных симметричных матриц
порядка п. Оказывается, что это многообразие является откры-
тым подмножеством множества всех комплексных симметрич-
ных матриц, ранг которых меньше илн равен 4. Следовательно,
оно имеет комплексную размерность 1 при п = \, 3 при я = 2 и
4л — 6 при п~^Ъ (ср. с замечанием 3)).
Чтобы из непрерывности (и аналитичности) функции
/(Z|, ..., zn) в tfn сделать вывод о непрерывности (и анали-
тичности) функции
/(*,. -.., *„) E.1.42)

836 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГЛ [ГЛ. 5
на Мп, необходимо исследовать связь между окрестностями
векторов z~ (Z|, ..., zn) и окрестностями соответствующих мат-
риц (Zjft). Эта связь довольно проста в тех точках Мп, в кото-
рых ранг матрицы (zjft) равен 3 или 4. Однако в точках, где
этот ранг равен 2 или 1 (а п, соответственно, больше 2 или 1),
задача становится более трудной, так как в пространстве век-
торов г структура множества точек, которые отображаются в
одну заданную точку многообразия Мп, гораздо сложнее. Тем
не менее оказывается, что требуемая связь окрестностей суще-
ствует во всех точках.
При л -^ 4 аналитичность является обычным понятием, так
как тогда Мп есть открытое множество в комплексном евкли-
довом пространстве размерностью " -—-. Однако при л > 5
Мп является открытым множеством на 4л — 6-мерном много-
образии, и понятие аналитичности требует некоторого разъяс-
нения. Касательное пространство к многообразию Мп (при
л>-5) в точке Z, для которой ранг матрицы Z=(zjh) равен 4,
имеет размерность 4л — 6. Каждая, достаточно малая окрест-
ность точки Z в Мп может быть поставлена во взаимно одно-
значное и аналитическое соответствие с некоторой окрестностью
в касательном пространстве. Вблизи таких точек функция F
E.1.42) может рассматриваться как заданная в открытой об-
ласти 4л — 6-мерного евклидова пространства, и аналитичность
снова определяется хорошо известным способом. Трудность на-
чинается в особых точках многообразия Мп (л>5), где ранг
матрицы Z меньше 4. Для таких точек касательное векторное
пространство имеет размерность ——, и их окрестность не
является локально евклидовой.
В качестве примера многобразия с особой точкой можно привести лю-
бой двойной конус (например, световой конус). Никакая окрестность вер-
шины конуса не гомеоморфна евклидову шару. Нужно, однако, иметь в ви-
ду, что рассматриваемый здесь случай значительно сложнее, так как особые
точки в Мп возникают лишь при nj>5 и в простейшем случае п—В каса-
тельное пространство имеет вещественную размерность 5-6=30, а само мно-
гообразие особых точек имеет И вещественных измерений.
Понятие аналитичности может быть обобщено для таких
особых точек разными способами. В данном случае доказы-
вается аналитичность во всех точках многообразия Мп для
л -^ 4, аналитичность в неособых точках при л^5 и непрерыв-
ность и ограниченность в особых точках при п > 5. Именно в
этом смысле и нужно понимать слова «аналитична на М„» в
формулировке теоремы.
Для доказательства аналитичности па Мп сначала выводят-
ся дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет функ-

!| I) ЛОРЕНЦ КОВАРИАИТИЫЕ ФУНКЦИИ 337
ция f вследствие лоренц-инвариантности. Эти уравнения имеют
вид
¦' 'Далее показывается, что в окрестности каждой точки Мп,
В которой скалярные произведения образуют полную систему
решений уравнений E.1.43), F является аналитической функ-
цией скалярных произведений. Затем устанавливается, что в
'каждой точке, в которой ранг матрицы (Zjh) равен максимально
возможному, скалярные произведения действительно образуют
полную систему решений системы E.1.43). Наконец, при по-
*мощи известной*теоремы об устранимых особенностях (см., на-
пример, [51], гл. 8, § 9, теорема 5) доказывается, что функция F
аналитична и в тех точках многообразия Мп (при п -^4), в ко-
торых ранг матрицы {г}%) меньше п.
Упражнение 5.1.6. Показать, что при л=2 совокупность точек Иоста ото-
бражаетси е область
г, < 0, zs< 0, г8 < О,
EЛ-44)
пространства трех вещественных переменных
? ^ 2 E.1.46)
1.6. Общий вид ковариантных амплитуд упругого рассеяния.
Обобщение теоремы 5.1.4, о котором говорилось в замечании 4)
после ее формулировки, находит много практических примене-
ний к амплитудам рассеяния.
Теоремы 5.1.2 и 5.1.4 применимы к амплитудам двухчастич-
ного рассеяния, так как согласно анализу, проведенному в гл. 4,
п. 3.7, эти амплитуды связаны с запаздывающими функциями
Грина, преобразования Лапласа которых аналитичны в будущей
трубчатой области.
Рассмотрим в качестве первого примера инвариантную ам-
плитуду рассеяния бесспиновой частицы на частице со спином
Чз (например, амплитуду упругого рассеяния я+-мезона на про-
тоне). Матричный элемент, соответствующий процессу такого
типа, имеет вид
^()( dM E.I.46)
гле pi и pi — начальный и конечный импульсы фермиона (с
массой М), а Ц\ и q2—соответствующие импульсы бозона а
массой пи
/|, + ^ = р, + ^ Р?=р|=М2, tf-tf-fli», E.1.47)
/>iOt(Pi) = Afot(p,), h(P2)p2 = Mvt(Pi) E.1.48)
22 II- II IioituiinfioB n др.

338 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. S
(поскольку мы имеем дело с фиксированным упругим процес-
сом, мы опускаем знак заряда у спинора i>{).
Инвариантная амплитуда Т является, таким образом, четы-
рехрядной матрицей. Если предположить, что амплитуда инва-
риантна относительно преобразований из полной группы Ло-
ренца, включающей пространственные отражения (что имеет
место в теории сильных и электромагнитных взаимодействий),
то, принимая во внимание трансформационные свойства умат*
риц, мы приходим к следующему общему виду для Т:
T^Al + Bq, E.1.49)
где q = -n(qi + q^, a 1 — единичная четырехрядная матрица.
Здесь мы воспользовались тем, что на массовой поверхности,
в силу E.1.47) и E.1.48), матрицы р„ р2 и q\ — q2 = Pt — p\
кратны единичной матрице и что имеет место тождество B.4.5),
согласно которому q* = q2l.
Если бы мы потребовали инвариантности лишь относитель-
но собственных преобразований Лоренца, то к E.1.49) при*
шлось бы добавить еще два члена:
Cf + Difq. E.1.50)
Наличие в амплитуде одновременно членов E.1.49) и
E.1.50) соответствует несохранению четности. Если четность
сохраняется, но мы имеем дело с неупругим процессом, в кото-
ром относительная четность фермионов в начальном и конечном
состояниях отрицательна, то Т будет иметь вид E.1.50).
Из обобщенной теоремы Холла — Уайтмана следует, что
функции А и В в E.1.49) будут зависеть лишь от скалярных
произведений импульсов реакции. Принимая во внимание
E.1.47), можно написать
Т (Pi, q2; px, ?,) = A (S, /) + B(S, t) q, E.1.51)
где s и t — переменные Мандельстама (Мандельстам A958)):
* - (Pi + <7.J" (Р> + ftf. ' - (Р. - Р*? = (<7. - Я*У- E-1 -52)
Vпрояснение 5,1.7. Найти общий вид инвариантной амплитуды рассеяния
протона на протоне при предположении, что четность сохраняется.
§ 2. FCP-инвариантность локальной теории
и классы эквивалентности Борхерса
2.1. TCP-преобразование функций Уайтмана. Мы будем
придерживаться следующего плана изложения. Сначала мы
предположим, что теория допускает дискретные симметрии Т,
С В Р типа тех, которые мы детально рассмотрели в гл. 3, п. 44

^ 2] TCP-ИНВАРИАНТНОСТЬ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 339
для свободного спинорного поля. В этом случае мы определим
TCP-оператор в как антиунитарный оператор, равный произве-
дению представлений операций Т, С и Р в пространстве векто-
4>ов состояний:
! в =?/(/,) U (/с) ?/(/,). E.2.1)
м
•Зная действие операторов U и 0, мы можем найти условия
которые нужно наложить на функции Уайтмана для того, что-
i"t5bi теория была Т-, С-, Р- или в-инвариантна. Основной ре-
зультат этого параграфа состоит в том, что, хотя каждая из
симметрии Т, С и Р накладывает некие новые ограничения на
функции Уайтмана, сохранение их произведения в является
следствием основных требований локальной квантовой теории
поля и не накладывает никаких новых ограничений. Поэтому
можно представить себе теорию, в которой существует ТСР-
симметрия, но которая не инвариантна в отдельности относи-
тельно Г, С и Р. (Более того, имеются экспериментальные
основания считать, что такая ситуация имеет место в действи-
тельности, если учитывать все типы взаимодействий элементар-
ных частиц; см. по этому поводу, например, обзоры Ли A965)
и A966), Арбузова и Филиппова A966), Окуня A966) и моно-
графию [55], в которых можно найти ссылки на более ранние
оригинальные работы.) В этом случае рассуждения настоящего
пункта следует рассматривать в качестве наводящих соображе-
ний и полученный результат для действия оператора 0 надо
принять в качестве постулата.
Мы будем исходить из свойств преобразований полей со
спином 7г. поскольку в терминах сумм произведений этих по-
лей можно выразить операторы с произвольными трансформа-
ционными свойствами.
Пользуясь формулами E.2.1) и C.4.56), C.4.57), C.4.58),
находим
)YV (*L?V#( х\
6iP(*H = f)Y5Y4(-*). ( '
где
Рассмотрим теперь трансформационные свойства билиней-
ных комбинаций вида
Л (О, х) = ф(*)О<р(х) E.2.3)
при ГСР-преобразовании. Здесь <р и яр — строго антикоммути-
рующие спинорные поля, а четырехрядная матрица О может
22»

340 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. В
равняться одной из следующих комбинаций уматриц:
I, Y5. Yu. 'W5. ylv», Yv]- E.2.4)
Множители i в матрицах E.2.4) выбраны таким образом, чтобы
имело место тождество
=O, E.2.5)
т. е. чтобы матрица у°О была эрмитовой. Заметим, что сово-
купность матриц E.2.4), удовлетворяющих условию E.2.5), по-
рождает алгебру Ли группы UB, 2) преобразований, сохра-
няющих эрмитову форму фф. Мы намеренно взяли разные поля
<р(х) и -ф(дс) в E.2.3) с тем, чтобы иметь возможность рассма-
тривать трансформационные свойства произвольных комплекс-
ных (а не только эрмитовых) тензорных полей. Пользуясь
E.2.2), E.2.5) и антиунитарностью и антикоммутативностью
полей т]э и <р, получаем
вф (х) Оф (х) в = ф (- х) О'ф (- х), E.2.6)
где
О' ^^0 (Vs) = -^0^ = 6 (О) О,
eA) = e(Ys) = e(|[Y^, vv])=l. e(v*)-e(JvV)-- 1.
С другой стороны, пользуясь еще раз равенством E.2.5), на-
ходим
А*(О, *)-ф(*)Оф(*). E.2.8)
Сравнение E.2.6) и E.2.8) дает
6Л@, ж)в"' = е(О) Л'(О, - х), E.2.9)
где е(О) равно +1 для скаляра, псевдоскаляра и антисиммет-
ричного тензора и —1 — для вектора и аксиального вектора.
Рассмотрим в качестве примера V — А ток
Л*)-*(*)/(!+'V6H>М, E.2.Ю)
встречающийся в теории слабых взаимодействий (см., напри-
мер, [29] или Ли A965)). При пространственном отражении в
силу C.4.56)
U (JJ I»(x) l/-'"(/J = ф (/,*) g*V(I - 'V5)<Р (М). E.2.11)
Правая часть этого равенства вследствие изменения знака пе-
ред гу3 не выражается линейно через компоненты тока 1* (и их
эрмитово сопряженные величины). Наоборот, при ГСР-преоб-
разовании согласно E.2.9) имеем
6/д(х) в = - Г*(- х). . E.2.12)

§ 2) TCP-ИНВАРИАНТНОСТЬ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 341
Упражнение 5.2.1. Показать, что при Cf-преобразовании слабый ток
E.2.10) выражается через эрмитово сопряженный ток но формуле
V [СР) 1» (х°, х) IT1 {СР) - dv»rv. (Д _ ху F.2.13)
Закон преобразования E.2.9) легко обобщается на произ-
вольные тензоры (или псевдотензорные) поля:
0Лд1...Aя(*)е-1 = (-1)"л;;1...Дя(-*). E.2.14)
Добавление спинорного индекса приводит, согласно E.2.2),
к добавочному умножению на tjy5.
Развитый таким образом формализм относится к полям,
преобразующимся по вещественным представлениям группы Ло-
ренца, т. е. либо по неприводимым представлениям D(j,j),
либо по приводимым представлениям D(j\, j2) +D(j2, ji) при
\\Ф h {и те и другие являются неприводимыми спинорными
представлениями группы L+, включающей пространственные
отражения).
Чтобы записать единообразно закон преобразования произ-
вольного (спинорного или тензорного) поля, можно перейти
к двухкомпонеитному формализму в представлении, в котором
матрица у5 диагональна (см. B.4.15)) *). В этом представле-
нии, полагая
-Ю- ¦¦
1, 2, E.2.15)
можно привести равенство E.2.2) к виду
F216)
Полагая
|°, -°Л - К {х) = л". - "* (х) (о
E'2Л7)
мы находим ГСР-преобразование для смешанных тензоров с
одинаковым числом пунктирных и непунктирных индексов. Ком-
бинируя полученный результат с E.2.16), нетрудно найти закон
*) При этом, в принципе, можно выйти за рамки вещественных предста-
влений группы SL B), хотя в дальнейшем мы снова вернемся к этому важ-
нейшему с практической точки зрения случаю (см. § 3),

342 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. б
преобразования произвольного «спин-тензора»:
где
П если / +ft нечетное, у
\ 1, если j + k четное /
Из E.2.18) и E.2.19) следует, что если в является симмет-
рией теории, в частности, если вакуум инвариантен:
ЧГо. E.2.20)
то вакуумные средние от полей fc}0'^1*, ..., |(°«Н*п) удовлетво"
ряют (в силу антиунитарности в) соотношению
E.2.21)
где / — суммарное число иепуиктирных индексов, К — суммар-
ное число пунктирных индексов, F — суммарное число спинор-
ных (фермионных) полей.
Если предположить, что с совокупностью спинориых полей
связан некоторый закон сохранения заряда (например, закон
сохранения барионного или лептонного числа), то наряду с ка-
ждым спинорным полем в вакуумное среднее E.2.21) будет вхо-
дить и некоторое поле, преобразующееся по сопряженному
представлению, так что тогда будем иметь /=К и множитель,
содержащий г\ в E.2.21), исчезнет. В этом случае фазовый мно-
житель т) вообще несуществен, и мы будем его опускать.
Условие E.2.21) является не только необходимым, но и до-
статочным для существования ГСР-симметрии. Другими сло-
вами, справедлива следующая теорема.
Теорема 5.2.1. Пусть для функции Уаптмана полей
|(°г) (М (х) ((аг) и (?г) — совокупности индексов) справедливо ра-
венство
/'(- 1Уа>(а„КР„)...(«,)((),)(-*».•••. -*i). E.2.22)

i 2] ГСР-ИНВАРИАНТНОСТЬ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 343
где J — полное число непунктирных индексов, a F — число по-
лей с полуцелым спином, входящих в w. Тогда существует един-
ственный (с точностью до множителя, который может быть
фиксирован условием E.2.20)) антиунитарный оператор в в Ш6
такой, цто для любого поля
в?в'-в1».-»*(х)вг».в/]к?'.-в*(_ *), E.2.23)
где, как и в E.2.19), elk = (-l)'iFU'k\ F(j, k)"—{~^* . Опе-
ратор в связан с представлением U(a, А) группы % тождест-
вом*)
вU (а, Л) в'1 = U (- а, А). E.2.24)
Упражнение 5.2.2. Доказать теорему 5.2.1. (Указание: следовать рассу-
ждениям, которыми мы пользовались при доказательстве теоремы 3.4.1.)
2.2. Аналитичность в симметриэоваииой трубчатой области
и слабая локальная коммутативность. Теорема Баргмана—¦
Холла — Уайтмана, доказанная в п. 3.1, применима (как уже
отмечалось в п. 1.1) к функциям Уайтмана
Как было показано в гл. 3, п. 2.2, из условия спектральности
следует, что функции F, являются предельными значениями
функций F, аналитических в прошедшей трубчатой области Г^-i
(теорема 3.2.2). Из теоремы 5.1.2 следует, что эти функции до-
пускают аналитическое продолжение в расширенную трубча-
тую область J'n-i- Таким образом, обобщенные функции Уайт-
мана могут рассматриваться как предельные значения (в смы-
сле топологии в of*) аналитических функций п комплексных
переменных
®т,...ти(г„ ..., *„), E.2.26)
регулярных в области
0„ = {г, гп\{гх-г2, ..., zn_, -zn)e= J^,) E.2.27)
и ковариантиых относительно преобразований из собственной
комплексной группы Пуанкаре 1K+(С). Согласно теореме 5.1.3,
в область аналитичности функций w входят вещественные точ-
ки (Г\, ... ,гп), для которых
(Pi = rl-r2 Pn_, = г„_, - г„) е= /. E.2.28)
*) Напомним, что
/А E.2.25)

844 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. Б
Все вещественные точки аналитичности функций w (кото-
рые впредь мы будем называть r-точками) полностью простран-
ственноподобны:
Нетрудно видеть, что принцип локальной коммутативности
позволяет расширить область аналитичности Gn.
Действительно, пусть п — произвольная перестановка индек-
сов 1, ..., п (пA, ..., п) = (»i in))- Тогда для полностью
пространственно-подобных r-точек имеем
©t,...tn(r1( .... rn) = (-l)m©t/i...tin(r/i г1я), E.2.29)
где m — число перестановок антикоммутирующих полей,
необходимое для перехода от последовательности индексов
A,2,..., л) к последовательности (/!t ...,/„). Функция
(— 1)ш и!я, (zii ... ZiJ аналитична в области
лО„ {г, zB ] (zti - zi% zlni- zln) e= /„.,}, E.2.30)
вообще говоря, отличной от Gn. С другой стороны, в веществен-
ных точках аналитичности функции w, и (— \fwnt совпадают
в силу E.2.29). Отсюда следует, что функция w, допускает
аналитическое продолжение в симметризованной области
Gj = (JnGBs{z, г„ 1B,-22, ..., zn-\-zn)e=fk-\}, E.2.31)
я
где теоретико-множественная сумма U распространяется на все
перестановки индексов 1,..., п.
Особенно просто выражаются локальные свойства в терми-
нах аналитических функций Уайтмана для одного скалярного
эрмитова поля <р. В этом случае справедлива следующая тео-
рема.
Теорема 5.2.2. а) Функции Уайтмана wn(zx zn) ло-
кального поля ф аполитичны в области G% E.2.31) и симмет-
ричны относительно любой перестановки переменных zu ..., zn.
б) Обратно, из симметрии аналитических .функций Уайтмана wn
следует выполнение условия локальной коммутативности.
Доказательство. Справедливость а) следует из выше-
приведенных рассуждений. Докажем утверждение б).
Пусть функция
аналитична в Gn и симметрична (тогда она аналитична также
и в Си)- Нам нужно показать, что при вещественных значе-

§ 2] TCP-ИНВАРИАНТНОСТЬ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 345
ниях аргументов предельные значения wn аналитической функ-
ции а>п удовлетворяют условию
wn(xi xh, хш, .... xn) = wn{xi, ..., хш, xk xn)
i u^n E.2.32)
при (хк - хшJ < 0. \ '
Заметим сначала, что перестановка z*, и Zh+) эквивалентна
следующей замене в пространстве переменных ^з~гз — zj-h'
Таким образом, в области аналитичности JVi функции F
имеем
Это равенство остается в силе, если \i е Т~ при / Ф k, а век-
тор С*=1а веществен и пространственноподобен (|1<0)- Дей-
ствительно, все точки т"акого вида принадлежат расширенной
трубчатой области ^fn-\, поскольку для каждой такой точки су-
ществует преобразование Л е=2°+, переводящее ее в Гй-ь На са-
мом деле, выбирая систему отсчета так, чтобы |а= @, а > 0,0,0),
мы можем положить
cosqp fsinqp
/sinqp cosqp
Л==| 0 0
0 0
и при достаточно малом <р показать, что
Таким образом, мы получаем
= F (Ei t*-i + it, - ?«. E»+i + i* E*-i). E.2.33)
Но при Im & -> —0 левая и правая части равенства E.2.33)
стремятся, соответственно, к левой и правой частям E.2.32). Та-
ким образом, равенство E.2.32), а с ним и теорема 5.2.2 дока-
заны.
В качестве применения полученного результата докажем тео-
рему о глобальной природе свойства локальной коммутатив-
ности.
Теорема 5.2.3. Пусть скалярное поле <р(*) удовлетворяет
всем аксиомам, кроме постулата локальной коммутативности,

346 TCf. СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. б
вместо которого выполняется более слабое требование
[<p(jt), qp(#)]=O, когда х изменяется в некоторой (произвольно
малой) окрестности нуля, а у — в окрестности заданного про-
странственноподобного вектора а. Тогда для поля <р(х) спра-
ведливо свойство локальной коммутативности *).
Прежде чем доказывать теорему, сделаем одно замечание.
Мы уже говорили о том, что постулат локальной коммутативно-
сти является одним из самых ограничительных принципов кван-
товой теории поля. Могло бы возникнуть сомнение относительно
экспериментальной обоснованности этого постулата: мы не
имеем особых оснований считать, что измерение компоненты
эрмитова поля в некоторой точке не влияет на зиачение компо-
нент этого поля в другой точке, отстоящей от первой на про-
странственноподобный интервал порядка 10~16 см (или еще
меньше). Однако сформулированная теорема позволяет дока-
зать свойство локальной коммутативности, если сделать на пер-
вый взгляд более слабое допущение, что поля коммутируют
лишь при достаточно больших пространственных разделениях.
Из нее следует, что если в нелокальной теории справедливы
остальные требования релятивистской квантовой теории, то,
грубо говоря, коммутатор полей должен быть всюду отличным
от нуля. Поэтому неудивительно, что при попытках ввести «не-
локальность в малом» вводится одновременно некоторая анизо-
тропия вакуума или, что то же, нарушение принятой здесь жест-
кой формулировки условия релятивистской инвариаитности (см.
Инграхам A962), Блохинцев и Колеров A964) и доклады в
сборнике (Дубиа67)).
Доказательство теоремы 5.2.3. Рассмотрим веще-
ственную точку аналитичности (г', г1п), где rlk = (k — l)a
*) В работах В. С. Владимирова ([24]. стр. 337; см. также более раннюю
работу (I960)) и Д. Я. Петрииы A961) доказан такой результат:
Из трансляционной инвариантности, из неотрицательности оператора
энергии — импульса и из условия
И(Ж). В@)] = О ПРИ -t]<(X
следует обычная локальная коммутативность:
1А{х), В(^)]=0 при (х-у)*<0.
Этот результат наиболее сильный, так как он не предполагает ковариантно-
сти относительно группы Лсреица L\ и следует из теоремы о С-выпуклых
оболочках из теории функций многих комплексных переменных, доиазаиной
впервые В, С. Владимировым в упомянутых выше работах.

I 23 ГСР-ИНВАРИАНТНОСТЬ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 347
(I = 1, ..., n—1). Тогда, согласно предположению теоремы, в
некоторой окрестности этой точки выполняется равенство
Wn(Xi XU ХМ, ..., Xn) = Wn{xu .... Хщ, X, Хп).
Отсюда следует такое же равенство для всех комплексных то-
чек аналитичности функций w. Из-за произвольности / это при-
водит к полной симметрии функции wn, а в силу теоремы
5.2.2— к локальности поля <р. Теорема 5.2.3 доказана.
Мы видели, что полная симметрия функций Уайтмаиа выражает нетри-
виальным образом локальность, положенную в основу теории поля. Вместе
с тем, однако, оиа ставит новые, до сих пор нерешенные проблемы.
Чтобы сформулировать их, мы напомним следующий основной факт тео-
рии функций нескольких комплексных переменных (см. [24]). В отличие от
случая одного комплексного переменного не каждая область в многомерном
комплексном пространстве является естественной (максимальной) областью
аналитичности некоторой функции. Поэтому важную роль играет понятие
области голоморфности: это — область, являющаяся естественной областью
аналитичности хотя бы для одной функции. Если данная область G не есть
область голоморфности, то любая функция, аналитическая в G, аналитична
н в некоторой более широкой области. Оболочкой голоморфности H(G) об-
ласти G называется максимальная область, содержащая G, в которую про-
должается любая функция, голомофная в G. Если область G не совпадает
с H(G), то говорят, что С допускает аналитическое расширение. Полезный
критерий того, что данная область G является областью голоморфности, со-
держится в следующем утверждении: чтобы область G была областью голо-
морфности, необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки ее границы
dG можно было бы определить такую функцию /(г), голоморфную в G, ко-
торая имела бы особенность в данной точке границы (см. [24], гл. Ill, §16.7).
Оказывается, что как трубчатые области 7"*, так и расширенная труб-
чатая область $п являются областями голоморфности, в то время как сим-
метриэованная трубчатая область J"Jj при в>2 областью голоморфности не
является.
Упражнение 5.2.3. Показать, что прошедшая трубчатая область Т~ и рас-
ширенная трубчатаи область jx являются областями голоморфности. (Ука-
зание: для доказательства первой части утверждения проверить, что для лю-
бой наперед заданной точки z=x+iy границы дТ~ области Т-(у<>^0, ^=0)
функция
Ы?)
голоморфна в Г- и имеет полюс при ? = г, и воспользоваться сформулиро-
ванным выше критерием. Чтобы доказать, что и расширенная трубчатая об-
ласть 3fi является областью голоморфности, показать сначала, что J"] есть
совокупность тех векторов ?, для которых скалярный квадрат ?2 пробегает
всю комплексную плоскость, за исключением положительной вещественной
полуоси. Далее установить, что для каждой точки границы области J'i при
некотором неотрицательном а функция
а>0,
голоморфная в J'i, имеет особенность в этой точке.)

348 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА 1ГЛ. S
В случае п=\ симметриэсваиная трубчатая область ,7^ совпадает с рас-
ширенной трубчатой областью J*i. При п—2 это уже ие так. Оболочка голо-
морфности области J"| найдена в работе Челлена и Уайтмаиа A958). Слу-
чай п=2 рассмотрен таиже Челленом и Толлом A960), случаи в=3 и п=А —
в работах Маиохаран A962) и Мёллер A962). В общем случае оболочка го-
ломорфности симметрнэованной трубчатой области J"jj не найдена.
Упражнение 5.2.4. Показать, что единственная нетривиальная переста-
новка переменных Z\ zn, которая не приводит к действительному рас-
ширению области J'n-i {jj=Zj — ги'> /=1 п—'}¦ это перестановка
(г г„) -> (ги,..., г,). E.2.34)
Указание: воспользоваться тем, что расширенная трубчатая область
J*n_i симметрична относительно переменных Jj, инвариантна относительно
одновременного изменения знака у всех ?j н что при замене E.2.34) пере-
менные ? трансформируются по правилу
(Ei ?»-¦) -> (- Ся-i, •.., - Ei). E.2.35)
Будем говорить, что в теории одного скалярного поля <р(х)
выполняется условие слабой локальной коммутативности
(СЛК), если
wn(xl хп) ~wn{xn *.) E.2.36)
для всех точек Иоста. Мы видим, что требование СЛК приводит
лишь к симметрии E.2.34) (или E.2.35)) для аналитических
продолжений функций Уайтмана, не приводящей к расширению
их области аналитичности.
В случае системы полей с произвольным спином <pai, ..., <pa
условие СЛК приобретает вид: в точках Иоста
> E-2.37)
где F — всегда четное число полей с полуцелым спином.
Упражнение 5.2.5. Поиаэать, что условие E.2.37) является следствием
локальной антикоммутативности спинориых полей и лоиальиой иоммутатив-
ности тензорных полей, предположив, что тензорные и спииорные поля ло-
кально коммутируют друг с другом. (Обратное неверие: условие СЛК суще-
ственно слабее требования локальности.)
2.3. ГСР-теорема. Докажем следующую теорему.
Т еорем а 5.2.4. Если для полей Ф(О)(й(х) выполняются
условия релятивистской инвариантности и спектральности, то
требование слабой локальной коммутативности E.2.37) эквива-
лентно условию ТСР-инвариантности E.2.22).
Доказательство. Чтобы не загромождать простую идею
доказательства выписыванием многочисленных индексов, мы
приведем здесь рассуждения лишь для случая одного скаляр-
ного эрмитова поля. Общий случай системы спинорных и тен-
зорных полей не содержит принципиально новых моментов, и
мы предоставляем читателям самим рассмотреть его (см. [2]).

I 23 ГСР-ИНВАРИАНТНОСТЬ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 349
Пусть в точках Иоста выполнено условие СЛК E.2.36). По-
скольку функция Уайтмана Fn(^i, ..., ?n-i) аналитична в точ-
ках Иоста и множество / содержит п— 1-мерную вещественную
область, то равенство E.2.36) остается в силе во всей области
аналитичности этой функции. Пользуясь эквивалентностью
E.2.34) и E.2.35), получаем
Применяя к правой части последнего равенства теорему
5.1.2, согласно которой функция Fn инвариантна относительно
связной компоненты комплексной группы Лоренца =2%, содер-
жащей отражения всех четырех осей Ist?,= — ?, получаем
f-tti. .... ln-i) = f»tt»-i М- E.2.38)
С другой стороны, если (?, ln-i)eTl-v т0 и (Е»-р— • ?i)e
е Т~п-\- Поэтому, совершая в обеих частях E.2.38) предельный
переход Im?;-> — 0, получим условие ГСР-инвариантности
(ср. E.2.22))
ffi>n(*i. ..-, xn)°=wn{-xn, .... -*i) E.2.39)
для всех вещественных х\, .... xv.
Обратно, если имеет место равенство E.2.39), то аналитиче-
ским продолжением получается E.2.38). Отсюда, применяя тео-
рему 5.1.2, легко показать справедливость E.2.36) в точках
Иоста. Теорема 5.2.4 доказана.
Заметим, что при выводе E.2.37) (упражнение 5.2.5) мы пользовались
наличием нормальной связи между спином и коммутацией или аитикоммута-
цией полей при простраиствениоподобпом разделении аргументов. В следую-
щем параграфе мы увидим, что справедливость ГСЯ-теоремы на самом деле
не зависит от такого рода дополнительных предположений.
Поскольку слабая локальность является следствием обычной
локальности, то в локальной теории поля из инвариантности от-
носительно непрерывной группы Пуанкаре (и из спектрально-
сти) следует инвариантность относительно дискретного преобра-
зования TCP. С другой стороны, тот факт, что ГСР-теорема
была на самом деле доказана при более слабом предположении
о СЛК, весьма существен. Как уже отмечалось, условие локаль-
ности настолько сильно ограничивает класс возможных теорий,
что до сих пор нет примера теории, удовлетворяющей всем
аксиомам и приводящей к нетривиальной S-матрице. Если за-
менить условие локальной коммутативности (ЛК) условием
СЛК, то это уже не так. Иост A963) доказал, что любая
ГСР-ипвариантиая S-матрица может быть, по крайней мере
формально, интерполирована слабо локальными полями.

350 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. 5
Теперь перейдем к практически важному вопросу об огра-
ничениях на матрицу рассеяния, вытекающих из ГСР-теоремы,
в частности, к разъяснению понятия «ГСР-инварнантная ма-
трица рассеяния».
Рассмотрим сначала в качестве примера теорию заряжен-
ного скалярного поля <р(х). Согласно E.2.23), ГСР-оператор
действует на поле <р по формуле
вфМв-^ф'С-х). E.2.23а)
Очевидно, такому же закону преобразования должен подчи-
няться и гайзенбергов ток /(*) = (?—m2)<p(x). Отметим, что
токн в локальной теорнн удовлетворяют всем требованиям, на-
кладываемым на локальные поля, за возможным исключением
условия полноты (цикличности вакуума).
Упражнение 5.2.6. Пользуясь E.2.23а) и уравнениями Я ига — Фельдмана
D.2.6), показать, что
вф'" (ж) в - ф'0"' (- х), вф0"' (*) в =» ф'(и (- х). E.2.40)
Найти действие операторов^{!„), О(/() и О(/с) по отдельности. (Указание:
принять во внимание, что D"'{—x)=Dre'{—x)=Daiz(x).)
Из E.2.40) видно, что в не является ГСР-оператором для
полей <fx (кроме тривиального случая, когда <p'n=qpou'=<p). Од-
нако в силу ГСР-теоремы для свободных полей <pou* существует
свой антнунитарный оператор вом* такой, что
и
Применяя во,(( к E.2.40), получаем
Сравнивая это равенство с D.1.53), находим, что оператор рас-
сеяния равен
S-0-Чи*. E.2.41)
Унитарность S-оператора является прямым следствием анти-
унитарности операторов в и вои*-
Упражнение 5.2.7. Пользуясь E.2.40) и преобразованием Фурье свобод-
ного заряженного поля C.4.31) и учитывая аитиукитарность оператора в,

f 8] ГСР-ИИВАРИАНТНОСТЬ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
показать, что имеют место равенства
E.2.42а)
к аналогичные равенства с заменой in ч-> оы/ *).
Из равенств E.2.42) следует, что при ГСР-преобразовании
in-состояния частиц переходят в оы<-состояиия античастиц с тем
же импульсом и обратно.
В случае спинорных полей (и частиц) изменяет знак еще и
проекция спина. В этом можно убедиться, исходя из связи
E.2.24), E.2.25) между представлением спннориой группы
Пуанкаре U(a, А) и оператором 0. Действительно, из E.2.24)
следует, что если Sa является оператором третьей проекции
спина, то
\
так что
es3e~! - - S3. E.2.44)
(Для орбитальной части момента г X р свойство E.2.44) сле-
дует непосредственно из того, что при преобразовании l,t
(или TCP) r меняет знак, а р остается неизменным.)
В частности, для дираковых спиноров в соответствии с
E.2.2) и C.4.59) —C.4.61) получаем
~п±&!?№(р), E.2.45)
где ti=ti(?, е) — фазовый множитель (ri4=l). Равенство
E.2.45) может быть получено из E.2.2), если учесть, что для
спиноров v C.4.65) справедливо тождество
№%* (р) = ojg (p). E.2.46)
Переходя от полей <рвх к асимптотическим состояниям, легко
видеть, что из ГСР-симметрии вытекает следующее тождество
*) Равенство E.2.426) является на самой деле следствием равенства
E.2.42а) и тождества
(еле-у-ел'е-1, E.2.43)
справедливого для произвольного оператора А к для любого аитнунятарного
оператора в. Чтобы убедиться в stom, достаточно заметить, что для любых
векторов Ф иЧ*, входящих в область определения операторов Ав'1 н А'В'1,
справедлива следующая цепочка равенств:
©)-^^, i4e©)-(»*e4', е-'а^-Сел'е*, ф).

S52 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА XAAFA [ГЛ. 5
между элементами матрицы рассеяния:
...; р;. — CJ. —«;'»>. E.2.47)
где /3j, gj, в} — импульс, проекция спина и заряд /-й частицы,
at)' — фазовый множитель, равный произведению фазовых мно-
жителей г)E, е). В более привычных обозначениях, пользуясь
лишь оы?-состояниями и опуская индекс out, можно записать
E.2.47) в виде
—С,» —в,; ...; р„, -?„, -eJSIpJ, -?{. -<;...
••¦: Р*. -«. -е*>- E.2.47а)
Упражнение 5.2.8. а) Получить соотношения ГСР-инвариантности типа
E.2.47) в общем случае, исходя из E.2.23).
б) В случае скалярного заряженного поля получить E.2.47) при помощи
E.2.22) и редукционной формулы ЛСЦ D.2.8).
В частности, из ГСР-инвариантности теории следует строгое
равенство масс и времен жизни частиц и античастиц. Это ра-
венство проверено на опыте (с наибольшей точностью подтвер-
ждено равенство масс К0- и ^°-мезоиов) *).
В заключение мы рассмотрим простой пример, показываю-
щий, насколько требование слабой локальной коммутативности
действительно слабее требования локальной коммутативности.
Пусть ф(дг) —свободное эрмитово скалярное поле с мас-
сой т C.4.8), для которого, однако, операторы а(р) и (а*(р)
удовлетворяют вместо перестановочных соотношений C.4.10)
соотношениям антикоммутации:
Ир), а(?)]+ = 0, [а(р), аЧя)Ъ-Ъ(Р-Я). E.2.48)
Тогда поле <р(х) не локально: не только коммутатор, ио и ан-
тикоммутатор
[Я> М. Ф (УI - D<0 (* - У) = -^ J созр{рГУ) #Р E-2.49)
*) См. детальное обсуждение этнх вопросов в работе Ли и др. A957) и
в докладе Ли A965).

§ 21 ГСР-ИНВАРИАНТНОСТЬ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 353
отличны от нуля для пространственноподобных интервалов. Тем
не менее существует антиунитарный оператор в со свойствами
e*F0 = V0, вф(*)вг1-ф(_х), в2 = 1, E.2.50)
который оставляет инвариантными уравнение Клейна — Гор-
дона и перестановочные соотношения E.2.49) (в силу веще-
ственности и четности функции D<'>). Следовательно, согласно
теореме 5.2.4 вакуумные средние произведения полей удовлетво-
ряют условию слабой локальной коммутативности.
Упражнение 5.2.9. Проверить условие СЛК для двухточечной функции
Уайтмана скалярного поля, исходя непосредственно из представлений C.4.92):
(Т.. [Ф (х), фЫ] *„)-!&(*-|0. E.2.51)
(Напомним, что перестановочная функция Д(х)< будучи нечетной лоренц-ин-
вариантной функцией, исчезает при пространственноподобных аргументах.)
2.4. Классы эквивалентности Борхерса. Теорема 5.1.2. и ТСР-
теорема нашли интересное и неожиданное применение при из-
учении классов локальных между собой полей (Борхерс (I960)).
Теория Борхерса пролила свет на важный вопрос о том, какой
произвол имеется при определении «интерполирующих» гайзен-
берговых полей, соответствующих данной матрице рассеяния
(хотя полностью этот вопрос не решен; см. следующий пункт).
Первый замечательный факт, обнаруженный Борхерсом, —
это транзитивность свойств локальной коммутативности (ЛК) и
слабой локальной коммутативности (СЛК), которая позволяет
разбить совокупность неприводимых систем полей, действующих
в одном и том же пространстве Гильберта, на классы эквива-
лентности.
Для простоты при систематическом изложении результатов
Борхерса мы будем предполагать, что все поля, с которыми бу-
дем иметь дело, скалярны и эрмитовы.
Теорема 5.2.5. Пусть ф(х)—слабо локальное поле, для
которого вакуум является циклическим вектором, а -ф (л:) —дру-
гое поле, преобразующееся по тому же представлению U(a, Л)
группы ф* и имеющее ту же область определения Я, что
и <p(x).
Пусть, далее, равенство
= <%, Ф (*„) • • • Ф (*|«)¦ (*) Ф (х,) . -. Ф (*,) %) E.2.52)
выполняется в точках Поста
(*1 ~ Х2 Х1 ~ Хг Х~ Xj+l Хп-\ ~~ Хп) G In
23 Н. Н. DorojiiuOoj и .чр.

354 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААМ [ГЛ. 5
для всех j и п. Тогда у полей <р и ф имеется общий ТСР-опера-
тор, поэтому: а) поле i|j(x) слабо локально и б) поля <р(х) и
ty(x) взаимно слабо локальны*).
Доказательство. К левой части равенства E.2.52)
можно применить теорему Баргмана — Холла — Уайтмана 5.1.2.
Используя инвариантность аналитически продолженных функ-
ций Уайтмана относительно комплексной группы Лоренца, мы
заключаем, как и при доказательстве ГСР-теоремы (см. E.2.40)),
что из E.2.52) следует равенство
<р(*,)... <p(*,H(*)<р(*/+1) ... Ф (*
E-2.53)
для всех х, Jt,, ..., хп.
Пусть в — ГСР-оператор для поля <р и пусть
— регулярные состояния (/ft(x)e <^ (/?<)). Тогда в силу E.2.53)
(Ф, ф (х) V) = (BW, ф(- х) 0Ф). E.2.55)
С другой стороны, в силу антиунитарности 0 и эрмитовости ф
для любых Ф и ? из й имеем
(Ф, ¦* (х) W) = (V, Ц(х)Ф) = @^, вф (х)в-'вф). E.2.56)
Сравнивая E.2.55) и E.2.56), находим, что при применении опе-
раторов 1р к векторам'нз Q справедливо равенство
вф(л;H-1«>ф(-л;). E.2.57)
Итак, существует ГСР-оператор для поля ф (отсюда в силу
ГСЯ-теоремы следует заключение а) теоремы) и этот оператор
совпадает с ГСР-оператором для поля <р (откуда следует заклю-
чение б) теоремы). Теорема 5.2.5 доказана.
Следствие. Свойство взаимной слабой локальной комму-
тативности транзитивно в следующем смысле. Пусть поле ф —
слабо локальное поле с циклическим вакуумом, а для каждого
из полей ¦ф1 и фг удовлетворяется условие E.2.52) теоремы 5.2.5.
Тогда поле tyi взаимно слабо локально с фя- Действительно, в
силу доказанной теоремы поля ф, tyi и фг имеют общий ТСР-
оператор и, следовательно, в силу теоремы 5.2.4 они взаимно
слабо локальны.
*) Поля ф и 1|з называются взаимно слабо локальными, если вакуумное
среднее от произведения любого числа полей 1р и полей <р удовлетворяет
условию СЛК.

f Я ГСР-ИНВАРИАНТНОСТЬ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 355
Итак, для данного слабо локального поля <р(х), для которого
вакуум цикличен, можно образовать класс Борхерса взаимно
слабо локальных полей, включающий <р*). В один класс входят
все поля с одним и тем же TCP-оператором и одинаковой обла-
стью определения.
Теорема 5.2.6. Пусть поля <pi(*) и ф2(х) взаимно слабо
локальны и пусть, по крайней мере для одного из них, вакуум
цикличен. Пусть, далее, существуют и равны между собой асим-
птотические in-поля {при t—>— оо):
Ф5" (*) = <(*)¦ E.2.58)
Тогда совпадают и асимптотические out-поля:
<p°uf (*) = <$"'(*) E.2.59)
(так что S-матрица для поля <pi совпадает с S-матрицей для
поля <р2).
Доказательство. Поскольку в силу теоремы 5.2.5 поля
<pi и фг имеют общий ГСР-оператор, то утверждение теоремы
является непосредственным следствием равенства E.2.41).
Для взаимно локальных полей предположение о существо-
вании асимптотических m-полей является излишним. Оно яв-
ляется следствием теоремы Хаага — Рюеля (теорем 4.1.1 и
4.1.2).
Покажем, что для взаимно локальных полей сохраняется
условие транзитивности, которое было установлено как след-
ствие теоремы 5.2.5 для взаимно слабо локальных полей.
Теорема 5.2.7. Пусть поля ф) и фз имеют общую область
определения Я и соответствуют одному и тому же представле-
нию U(а, Л) группы $*. Пусть, далее, поле ф локально и ва-
куум для него является циклическим вектором, в то время как
поля -фi и -фг взаимно локальны с ф:
[ф (*), *i (У)] = 0 = [ф (*), ife (у)] при (х - yf < 0.
Тогда поля ф] и ife взаимно локальны:
0 при (x-yf<0.
Доказательство. Поля ф, -фi и tyj удовлетворяют всем
условиям, при которых было выведено следствие теоремы 5.2.5,
поэтому они взаимно слабо локальны. Отсюда и из локальности
*) Заметим, что класс Борхерса не является классом эквивалентности
в математическом смысле, поскольку не все элементы класса равноправны:
от поля <р(*) требуется условие полноты VII. в то время как от других по-
лей, слабо локальных относительно <р, это условие не требуется.
23*

356 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА 1ГЛ. 6
Ф следует, что в точках Иоста (*i — х2, ..., Xj — у, у — z,
Z — Xj+1, • • • i Xn—i — Xn) €= /n+1
• • • Ф (х,) 1]з, (у) т|з2 (z) ф (*,*,) ..
г) ф, (9) ф (ж,) . .. ф (ж,) Чу =
tI) ... ф (*„) Чо). E.2.60)
Упражнение 5.2.10. Вывести из E.2.60) равенство
(*„.Ф (*,)-.. Ф (*;)[*», A0. M1]?W-»W'J
яри любых *i жп и (у — гJ < 0.
(Указание; воспользоваться рассуждениями, с помощью которых мы до-
казали вторую часть теоремы 5.2.2.)
Из E.2.61) и из условия полноты для поля ф следует, что
]-0 при (y-zf<0.
Теорема 5.2.7 доказана.
Следствие. При предположениях теоремы, если i]j взаимно
локально с ф, то -ф само локально (положить i|Ji = i|32).
2.5. Примеры применения. Задача описания совокупности
всех полей с заданной S-матрицей. Примеры взаимно локаль-
ных полей дают поля (и токи), связанные линейным дифферен-
циальным оператором. В частности, если поле ф(х) локально,
то ток
E.2.62)
локально коммутирует с ним и, следовательно, сам является ло-
кальным полем того же класса Борхерса, что и поле ф.
Упражнение 5.2.11. Показать, что если локальному полю <р(ж) соответ-
ствует (при <-> — оо) асимптотическое поле ф'"(д;) массы т, то полю
* (ж) = Ф(ж) + /(*) = <р(*) + (?+ т*) ф(ж) E.2.63)
соответствует тоже асимптотическое поле при t->— оо и та же S-матрица.
Класс Борхерса свободного эрмитова скалярного поля опи-
сан Эпштейном A963). Чтобы сформулировать этот результат,
введем следующее определение.
Полиномом Вика от свободного поля ф(х) называется про-
извольная линейная комбинация нормальных произведений по-
лей ф(х) и их производных, взятых в одной и той же точке х.
Нормальное произведение производных от поля ф может быть
задано либо условием, чтобы операторы рождения стояли слева
от операторов уничтожения (ср. определение, данное после

« 2) ГСР-ИНВАРИАНТНОСТЬ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 357
формулы C.4.67)), либо формулами:
= lim {d\(x1)d\(x2)~
X*
- lim {D\ (*,) D\ (x2) D\ (x3) -(^0, Daq> (*,) D0<p (*2) ?„)D\(x3)-
x2) -
D\ (x2) D\ («a) ^o) B\ (*i)) E-2.64)
и т. д. (дифференциальный оператор DP определен формулой
A.1.3)).
При свертывании индексов нормальные произведения от про-
изводных скалярного поля могут вновь образовывать скалярные
поля, например:
^?^ E-2.65)
Упражнение 5.2.12. Показать, что если <р(х)—свободное поле массы т,
то для поля E5.65) справедливо условие асимптотической полноты, причем
il?ln{x) = il?°ul{x) = vix). E.2.66)
Указание: воспользоваться тем, что в силу известной леммы Римана из
теории интеграла Фурье (см. [56], т. III, гл. XIX, п. 717) для абсолютно
интегрируемых F(p, q)
lim f f t (p, q) exp {/7 ( Vm* + p> + Vm* + q* - Ym1 4- (p + «)*)} d'pd'q=0.
<->±oo J J
E.2.67)
Нетрудно видеть, что любой полином Вика от свободного
поля ф(х) локален относительно этого поля и, следовательно,
принадлежит тому же классу Борхерса. В частности, любому
такому полю соответствует тривиальная S-матрица.
Упражнение 5.2.13. Показать, что если /(*)=Я(ф(д:))—инвариантный
полином Вика от свободного скалярного поля ф(*), для которого ваукум яв-
ляется циклическим вектором, то уравнению
(?-Hn'H (*)»/(*). E.2.68)
или, в эквивалентной форме
ф (*) - i|5<n (*•) + J Dr" {x - у) j {у) Фу, E.2.69)
не может удовлетворять локальное поле (см. Араки и др. A961)). (Указа-
ние: пользуясь транзитивностью свойства взаимной локальной коммутатив-
ности, показать, что свободное поле %(х) и искомое решение 1|з(д:) принадле-
жат одному и тому же классу Борхерса. Отсюда вывести, что i|3*n(.xj и
24 Н. Н, Emm'vciuuGuu ц др.

ЗБ8 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГЛ ГГЛ. В
<pi71(je) = ф(*) совпадают с точностью до знака. Пользуясь E.2.69), прийти
к противоречию с локальностью 1|з(л:).)
Упомянутый выше результат Эпштейна заключается в том,
что полиномы Вика от свободного поля <р(*) исчерпывают класс
Борхерса для этого поля.
Заметим, что два свободных поля с разными массами, по
определению, не принадлежат одному и тому же классу Бор-
херса (так как ни для одного из полей не выполнено условие
цикличности вакуума). Точно так же обобщенные свободные
поля, рассмотренные в гл. 3, п. 4.5, выходят за рамки класса
Борхерса данного свободного поля.
Если ограничиться совокупностью локальных полей, преоб-
разующихся по одному и тому же представлению группы Пуан-
каре, то и тогда класс Борхерса не исчерпывает совокупности
всех полей с заданной S-матрицей. Действительно, если <р(я) —
нейтральное скалярное поле, а V — произвольное унитарное пре-
образование, коммутирующее с представлением U(a, Л) группы
Щ и с S-матрнцей, то поле
Ш = Уу(х)\>-\ E.2.70)
вообще говоря, не локально относительно <р, хотя и ему соот-
ветствует тот же S-оператор. Существует до сих пор недоказан-
ная (и неопровергнутая) гипотеза, что все теории с данным
представлением U группы Пуанкаре и с данной S-матрицей мо-
гут быть получены из теорий, соответствующих одному классу
Борхерса, преобразованием подобия типа E.2.70).
Проведенный анализ показывает, что данной S-матрице мо-
жет соответствовать довольно широкий класс интерполирующих
гайзенберговых полей. Поэтому, с точки зрения теории рассея-
ния, очевидно, более экономным и цельным является чисто
S-матричный подход, развитый в гл. 4, § 3. Другим, более
абстрактным подходом, инвариантным относительно выбора
поля внутри данного класса эквивалентности, является теория
Хаага — Араки локальных алгебр ограниченных операторов,
с которой мы вкратце познакомимся в дополнении к настоящей
главе.
§ 3. Связь спина со статистикой
3.1. Вводные замечания. Локальная коммутативность или
антикоммутативность полей определяет свойства симметрии век-
торов состояния и асимптотически свободных частиц. Локально
коммутирующим (бозе-) полям соответствуют состояния, сим-
метричные относительно перестановки частиц; антикоммутирую-
щим (ферми-) полям соответствуют антисимметричные векторы

I q связь спина со статистикой 359
состояния. Но тип симметрии вектора состояния (или волновой
функции) определяет, как известно из квантовой механики, тин
статистики, которой подчиняется данная физическая система.
Полностью симметричной волновой функции соответствует ста-
тистика Бозе — Эйнштейна, полностью антисимметричной функ-
ции — статистика Ферми — Дирака.
Поэтому, допуская некоторую общепринятую вольность
языка, мы будем отождествлять связь спина с локальной ком-
мутативностью (или антикоммутативностью) со связью спина
со статистикой.
В точности так же как наряду с полной симметрией и с пол-
ной антисимметрией существует ряд промежуточных типов сим-
метрии (соответствующих различным схемам Юнга — см. [43],
гл. 7), так и наряду со статистиками Бозе и Ферми теорети-
чески возможны промежуточные, так называемые парастати-
стики (см., например, Мессиа я Гринберг A964) и Гринберг и
Мессиа A965)). Понятию параполя и обсуждению 7"СР-тео-
ремы и теоремы о связи спина с парастатистикой для парало-
кальных полей посвящеи п. 3.4.
До этого в п. 3.2 и 3.3 мы будем исходить из предположе-
ния, что поля, с которыми мы имеем дело, либо бозонные (ком-
мутативны), либо фермиониые (антикоммутативны)*). Другими
словами, мы потребуем, чтобы постулат локальности формули-
ровался следующим образом для полей t|j/, с компонентами ty*:
«(*)#(») = ««*?(»)*!(*) при (x-yf<0, E.3.1)
где оы не зависит от а и § и равно либо +1, либо —I. Так же
как и раньше (гл. 3, п. 1.2), равенство E.3.1) необходимо по-
нимать следующим образом: после сглаживания с финитными
основными функциями, носители которых пространственно раз-
делены, оно должно удовлетворяться, если применить опера-
торы в левой и в правой частях его к векторам из общей обла-
сти определения всех полей Я.
Будем говорить, что система полей фй обладает нормальной
связью спина со статистикой, если тензорные поля, т. е. поля
с целым спином, преобразующиеся по однозначному представле-
нию группы l\, локально коммутируют между собой и со спи-
норными полями, в то время как спинорные поля, т. е. поля
с полуцелым спином, преобразующиеся по двузначному пред-
*) Заметим, что таким же образом формулировался постулат VI в гл. 3,
п. 1.2. Однако впоследствии мы часто пользовались дополнительной гипоте-
зой о нормальной связи спина со статистикой, которая здесь будет обосно-
вываться.
24»

360 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. 6
ставлению группы Лоренца, локально антикоммутируют. Тео-
рема о спине и статистике утверждает, что для одного поля
¦ф°(*). удовлетворяющего E.3.1), всегда реализуется нормаль-
ная связь спина со статистикой. Доказательству этой теоремы
посвящен п. 3.2. Что касается системы полей, то между разными
полями могут быть реализованы и аномальные перестановочные
соотношения.
Оказывается, однако, что любая теория с такими аномаль-
ными перестановками эквивалентна некоторой теории с нор-
мальной связью спина со статистикой, обладающей определен-
ной дополнительной симметрией (п. 3.3).
С несколько иной точки зрения можно проиллюстрировать
механизм возникновения связи между спином и статистикой на
примере свободных полей со спином 0 и 1/2.
Если нам дано, что операторы рождения и уничтожения ча-
стиц с определенным импульсом и проекцией спина либо ком-
мутируют, либо антикоммутируют:
[а (Р), a (Q)]e = 0, [а (р), a' (ff)]e = б (р - Q);
где е, е'= ±, а остальные обозначения те же, что в гл. 3, § 4, то
из условия, что сами поля <p(x) и i|jo(*) при этом должны либо
локально коммутировать, либо антикоммутировать:
Ы*). Ф(У)]8-№(х). Ф'Р(УI = О при (x-yf<0,
вытекает, что е= —, е'= +. Мы предоставляем читателю са-
мому убедиться в этом, пользуясь тем, что перестановочная
функция Паули — Иордана Dm(x) исчезает при х2 < 0, в то
время как четное инвариантное решение уравнения Клейна —
Гордона DQ>(x) C.A.9) не обладает этим свойством.
Для дальнейшего рассмотрения удобно (хотя и необязатель-
но) считать, что все поля ty* преобразуются по неприводимым
конечномерным вещественным представлениям спинорной груп-
пы Лоренца SLB). Как уже отмечалось в п. 2.1, любое веще-
ственное неприводимое представление группы SLB) имеет вид
либо D(j, /), либо
D (ji, h) + D (к, /,) при Я Ф j3, E.3.2)
где / — целые или полуцелые числа (см. гл. 2, п. 4.1). Матрицы
V(j(/4) каждого из этих представлений при подходящем выборе
базиса вещественны. Чтобы убедиться в этом, заметим, что ка-

« SI СВЯЗЬ СПИНА CO СТАТИСТИКОЙ 36J
ждое из представлений E.3.2) может быть получено при раз-
ложении прямого произведения биспинорных представлений
E.3.3)
Что касается самого представления E.3.3), то, как мы видели
в гл. 2, п. 4.4, в базисе Майорана, в котором матрицы у" чисто
мнимы, матрицы представления V(A) вещественны. Отметим,
что только в таком базисе имеет инвариантный смысл понятие
эрмитова сопряжения поля (в нем, согласно B.4.33) и C.4.58),
эрмитово сопряжение совпадает с зарядовым сопряжением).
Вместо E.3.1) можно было рассмотреть более общий класс «локальных
теорий», в котором
¦*WtPW-«3»e*i (*)¦![(*) при {x-yf<0. E.3.4)
Чтобы двукратное применение E.3.4) не накладывало дополнительных огра-
ничений на поля 1|з», естественно потребовать, чтобы при любых k и I MJy=l
или, подробнее,
&Як?4 <5-3-5>
Далее, чтобы соотношение E.3.4) было лореиц-ковариаитио, необходимо по-
требовать, чтобы матрица Мм коммутировала с матрицами представления
спинориой группы Vb(A)®Vi(A), по которому преобразуется левая часть
E.3.4):
Vk (A) ® Vi {A) Mki = MktVk (A) ® V, (А). E.3.6)
Очевидно, условия E.3.5) и E.3.6) удовлетворяются автоматически в част-
ном случае E.3.1), когда
Я?* №3.7)
Покажем, что если матрица Af*i диагональиа в базисе E.3.4) (с диа-
гональными элементами ±1), то оиа имеет вид E.3.7), т. е. кратна единич-
ной матрице.
Пусть Sftfyft = 6уб§- Очевидно, при сделанном предположении матрицы
определяют диагональные проекторы, коммутирующие со всеми матрицами
представления V*®Vj. Если ни одна из них не равна нулю, то представле-
ние Vk®Vi приведено: все матрицы этого представлении имеют блочный вид.
Следовательно, существует по крайней мере один матричный элемент («о Ро,
Уобо), который тождественно равен нулю:
Vk (Л)? Vi (/4)|; - 0 при всех А е SL B). E.3.8)
Поскольку, с другой стороны матричные элементы Vj(/4)| являются веще-
ственными аналитическими фуикциями иа группе SL B), то по крайней мере
одни из сомножителей в E.3.8) должен исчезать тождественно. Предполо-
жим, что VA(y4)^ei0. Пусть #?о — одномерное подпространство век-
торов, у которых лишь составляющая Yo ие исчезает. Тогда линейные

362 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. Б
комбинации векторов вида Vb(A)f, где j4gSLB), /sRftl образуют нетри-
виальное инвариантное подпространство векторов (с нулевой ао-компонеитой).
Итак, мы приходим к выводу, что представление V* приводимо над полем
вещественных чисел, что противоречит сделанному предположению.
3.2. Невозможность аномальных перестановочных соотноше-
ний в теории одного поля. Начнем с некоторого вспомогатель-
ного утверждения, которое неоднократно будет использоваться
в дальнейшем.
Лемма 5.3.1. Если
¦ф (л:) Ч^о = 0, E.3.9)
где г)) (л:) — локальное поле (или его составляющая, если поле
не скалярное), то гр (х) = 0.
Доказательство. Рассмотрим вакуумное среднее wn от
произвольного произведения полей, содержащее -ф (х) в качестве
сомножителя.
Во всех точках Иоста (х{ — х2, ..., xj — x, x
• • • I *П-1 ~ Хп) S /л
( *^i) ••• <р(*n)^o) =
в силу E.3.9). Поскольку точки Иоста являются вещественными
точками аналитичности функций Уайтмана, то отсюда следует,
что аналитическое продолжение всевозможных вакуумных сред-
них, содержащих г))(х) (а значит, и сами эти средние), исчезает
тождественно. Выбирая в качестве {qpj} полную систему полей,
заключаем, что действительно -ф(ж) = 0. Лемма доказана.
Прежде чем перейти к вопросу о связи спина со статисти-
кой, покажем, что перестановочные соотношения данного поля <р
с другим полем ip и с его эрмитово сопряженным т|э* связаны
между собой.
Теорема 5.3.1. Если ц>(х)Ф0, то из перестановочных соот-
ношений
) E.3.10)
при (x — yf<0 (o2=l) следует, что i|)(a:) = 0.
Доказательство. Для любых основных функций fug
справедливо соотношение
E.3.и)
Если носители функций / и g разделены пространственнопо-
добным интервалом, то из E.3.10) следует, что
E.3.12)

f 31 СВЯЗЬ СПИНА СО СТАТИСТИКОЙ 363
В силу теоремы о разложении на пучки (теорема 3.2.3), если
функции / Hg имеют компактные носители, a gx{х) = g(л: — Ал),
где а2 = - 1, Я, > О, то
- Игл (Ч'о,
= -||*(gL;olPN(/)%IP<O. E.3.13)
Из сравнения E.3.11) и E.3.13) следует, что на самом деле
предел E.3.13) исчезает. Отсюда в силу леммы 5.3.1 и предпо-
ложения о неравенстве у(х)фО, заключаем, что гр(а:) =0. Тео-
рема доказана.
В частности, из этой теоремы следует, что не существует не-
исчезающего поля ф(х), для которого
Ф (*) Ф (У) = оф (У) Ф (*). Ф (х) ф* {у) = - оф' (у) ф (х).
Другими словами, если локальное поле ф локально (анти-) ком-
мутативно, то оно локально (анти-) коммутативно и относи-
тельно ф*.
Заметим, что теорема 5.3.1 позволяет из локальности си-
стемы комплексных полей ty(x) и ^)*(а:) сделать заключение
о. локальности вещественной и мнимой частей поля г)). Кроме
того, в силу этой теоремы условие локальности E.3.1) инва-
риантно относительно группы фазовых преобразований C.4.30).
Перейдем теперь к основному результату настоящего пунк-
та— теореме о спине и статистике, запрещающей аномальные
перестановочные соотношения для одного поля.
Теорема 5.3.2. Пусть гр (х) — комплексное поле, преобра-
зующееся по произвольному неприводимому представлению
D D • t) гРУппы SL №¦ Тогда если
1b(*)*:foH-(-I)|t4M?.M при (x-yf<0, E.3.14)
то *,(*) = 0*).
Доказательство. Поскольку всюду мы будем иметь
дело с одной н той же компонентой а, то индекс а можно опу-
стить. Рассмотрим пару функций Уайтмана
Fi (*-у) = (^о, * М *' (У) ^о) E.3.15а)
•) Если поле ф (х) преобразуется по представлению ^(". "оЧ. то
¦%* (х) преобразуется по сопряженному представлению D y-^, -i-j, так что
совокупность полей ф н ф* преобразуется по иеществениому предстаиленню

864 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. Б
E.3.156)
Согласно E.3.14) при |2 < О
У* E.3.16)
Аналитическим продолжением равенство E.3.16) распро-
страняется на расширенную трубчатую область JV
Далее, из ковариантности аналитических функций Уайтмана
относительно комплексной группы Лоренца, включающей отра-
жение пространства и времени РТ (теорема 5.1.2), следует, что
Fii-Q-i-tf^FtiQ. E-3.17)
Знак в E.3.17) получается из условия теоремы, что функция Ft
преобразуется по аналитическому продолжению представления
D(k, })®D(j, k) группы Лоренца. Напомним, что в комплексной
спинорной группе Лоренца SLB)®SLB) преобразованию от-
ражения четырех осей соответствует согласно E.1.6) преобразо-
вание (А, В) — (—оо, оо).
Из E.3.16) и E.3.17) следует, что
Л @ + ^.@ = 0. E.3.18)
Выполняя в E.3.18) предельный переход 1т?->— 0 к веще-
ственным хну, находим
(%. * (*).!>* (-У) ^о) + (*„. *' (х) * {у) %) = 0. E.3.19)
Умножая обе стороны E.3.19) на основную функцию f(x)f(y)
и интегрируя, получим
II *• (f) ^o IP + II * (f) ^o IP - 0. E.3.20)
Отсюда в силу леммы 5.3.1 следует, что -ф(л:) =0. Теорема 5.3.2
доказана.
Согласно этой теореме локальное поле с целым спином (в
частности, скалярное поле) должно подчиняться статистике
Бозе (т. е. коммутировать при пространственноподобных интер-
валах), а поле с полуцелым спином должно подчиняться ста-
тистике Ферми (т. е. локально'антикоммутировать).
3.3. Спин и статистика в случае системы полей. Преобразо-
вание Клейна. Как уже отмечалось, в случае системы полей
возможна аномальная связь спина со статистикой. Однако при
этом, пользуясь правилами суперотбора и новыми правилами
симметрии для функций Уайтмана, вытекающими из аномаль-
ных перестановочных соотношений, можно ввести новые поля,
для которых связь спина со статистикой будет нормальной.

I г] связь спина со статистикой 366
Доказательство этого утверждения в общем случае несколь-
ко громоздко (главным образом из-за комбинаторных услож-
нений), поэтому мы ограничимся рассмотрением нескольких
примеров*).
1) В качестве первого примера аномальных перестановоч-
ных соотношений рассмотрим систему, состоящую из скалярного
поля ф и дираковского спинора г]), которые антикоммутируют
между собой на пространственноподобных интервалах:
Ы*), 4>(#)]+=0 при (х-Уу<0. E.3.21)
Пространство векторов состояний в этой теории (как и в любой
теории со спинорными частицами) может быть представлено в
виде прямой суммы
#? «? &е E.3.22)
где $@i — подпространство векторов с целым спином, а ?№г —
подпространство векторов с полуцелым спином. Как уже отме-
чалось в гл. 2, п. 1.3, разбиению E.3.22) соответствует правило
Суперотбора (в данном случае вытекающее из однозначности
физического состояния), так что нет физически реализуемого со-
стояния с ненулевыми проекциями в обоих подпространствах
Л?1 И S&2.
В соответствии с разбиением E.3.22) плотная область опре-
деления всех операторов поля Й тоже разбивается на сумму
Qi + fi2: (QiCT3%?i, fizcre%?2)- Определим новые операторы <р'
и iJj' равенствами
*{х)^{х) E 3 23)
где Wi e Qt, i = 1,2. Нетрудно убедиться, что все функции Уайт-
мана от полей ф и ф совпадают с функциями Уайтмана, в ко-
торых ф заменено на ф\ a i|>— на ¦ф'.
Упражнение 5.3.1. Показать, что поля <р' и ф' удовлетворяют нормаль-
ным перестановочным соотношениям, т. е. коммутируют между собой иа про-
странственноподобных интервалах.
Преобразование E.3.23) называется преобразованием Клей-
на (применительно к данному примеру). Его можно рассматри-
вать просто как некоторую замену переменных (полей), через
которые выражаются наблюдаемые. Обратим внимание, что
преобразование Клейна не является унитарным преобразова-
нием вида Jp'= VwV'1, поскольку оно не сохраняет перестановоч-
ных соотношении.
*) Детальное изложение общего случая содержится в монографиях [2]
и [3].

366 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. 5
Специфической особенностью рассмотренного примера яв-
ляется то обстоятельство, что в нем аномальные перестановоч-
ные соотношения не приводят к новому соотношению симметрии
(или правилу суперотбора). В следующих примерах это обстоя-
тельство отсутствует.
2) Пусть ц>[х)—эрмитово скалярное поле, a tyi(x) и
iM*)—спннорные эрмитовы поля (поля Майорана). Предпо-
ложим, что имеют место нормальные перестановочные соотно-
шения
foi(«).*«(»)!¦-О-[ф(ж). 1|)ЯЫ]_ при (x~yf<0 E.3.24)
и в то же время аномальное соотношение
Ых), ЧЧМ1-0 при (x~yf<0. E.3.25)
Покажем, что при этих предположениях некоторые вакуумные
средние обращаются в нуль. Для этой цели воспользуемся сле-
дующим вспомогательным утверждением (ср. с примером при-
менения теоремы 3.2.3 (гл. 3, п. 2.3)).
Лемма 5.3.2. Пусть M(xt Xj) и N(yu .... yh)—два
одночлена (т. е. произведения компонент полей), антикоммути-
рующих в множествах точек (х) и (у), которые разделены про-
ст ранственноподобными интервалами. Тогда либо (Ч^, М^о) = О,
либо (Vo, NV0) = 0.
Доказательство. Пусть а — достаточно большой по аб-
солютной величине пространственноподобный вектор. Тогда в
силу предположения леммы
a yk + a)M(Xl
Предел этого равенства при а2 -» — осв силу теоремы о раз-
ложении на пучки (теорема 3.2.3) имеет вид
, МVo)(%, NV0) + (Vo, N4f0)(VOi MV0) = 0. E.3.26)
Отсюда утверждение леммы 5.3.2 следует непосредственно.
Возвращаясь к нашему примеру, предположим, что для не-
которого целого п
(*о. <Р (*i) • • • <Р (xin+i)) Ф 0. E.3.27)
Положим
М = ф (а:,) ... ф (х2п+1).
Xifc(У/«**г) ---Ь(У)*и*%д- E.3.28)

f 3] СВЯЗЬ СПИНА СО СТАТИСТИКОЙ 367
В силу E.3.24) и E.3.25) одночлены М и N антиком мути-
руют при пространственноподобном разделении аргументов.
Следовательно, к ним можно применить лемму 5.3.2, которая в
силу предположения E.3.27) дает
№, tf/*i@i ^+2*+2*)%) = 0, I, ft, /- 1 =0, 1 п. E.3.29)
С другой стороны, в силу однозначности функций Уайтмана
(см. гл. 3, п. 2.1) вакуумные средние от нечетного числа спи-
норных полей i))i и ф2 (и произвольного числа скалярных по-
лей ф) тоже исчезают. Вместе с E.3.29) это приводит к тому,
что вся теория инвариантна относительно группы из четырех
преобразований вида
(ipi. ih)-*(oiipi. °2%), 0i, 02= +, -. E.3.30)
Эта симметрия приводит к закону сохранения, который на-
зывают четно-нечетным правилом (четности числа частиц ти-
па г))] и типа г)J сохраняются).
Гильбертово пространство %№ расщепляется на сумму четы-
рех ортогональных подпространств ?Ша&„ натянутых на векторы
E.3.31)
с определенной четностью ft и /:
$?¦«. при ft = 2ft,, / = 2/,; «й?+_ при & = 2ft,, / = 2/, -Ь 1;
«й?_+ прн ft = 2&i + l, / = 2/,; &е._ при A; = 2ft, + 1, / = 2/,+ l.
Ортогональность этих подпространств обеспечивается равен-
ством E.3.29) и однозначностью функций Уайтмана.
Определим теперь преобразование Цлейна для этого случая
как преобразование, оставляющее ipi и ip2 неизменными и за-
меняющее поле ф на ф', равное ф в ей?+а, и — ф в еЖ-0,.
Упражнение 5.3.2. Показать, что определенные таким образом поля <р',
¦ф, и its удовлетворяют нормальным перестановочным соотношениям.
Отметим, что из двух эквивалентных описаний теории, со-
ответствующей примеру 2), второе (с полями ф', ip,, ty2) кажется
более естественным, поскольку в случае первоначального на-
бора (ф, if,, г)J) эрмитовы операторы <p(x) и -ф,(^)ij52(г)+ij32(г)ipi(^)
не коммутируют даже на больших пространственно подобных
интервалах, п то время как для набора ф', гр,, гр2 они локально
коммутируют.

S68 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. 5
3) Может быть, простейшим является пример двух локально
антикоммутирующих эрмитовых скалярных полей <р(х) н ty(y),
для которых
(*„, 4>(*)*(»)Y0)^0. E.3.32)
Упражнение 5.3.3. Пользуясь леммой 5.3.2, показать, что все вакуумные
средине, содержащие нечетное число полей, исчезают, а преобразование
Клейна в этом случае имеет вид i[>'=il> и <р'=очр, где а— + \ для векторов,
полученных из вакуума действием четного числа сглаженных полей, с=—1
для векторов, полученных из вакуума действием нечетного числа полей.
Последний пример поучителен тем, что в нем преобразова-
ние Клейна переводит эрмитово поле в неэрмитово. Действи-
тельно, в силу эрмитовости поля
Но тогда из определения полей ф' и i)/ следует, что
= - (Ф (*) *"„. * (У) ^о) = - (Ф' М ^о. !>' (У) %). E-3.33)
т. е. поле qf неэрмитово.
В заключение отметим, что ГСР-инвариаитность теории
с аномальными перестановочными соотношениями между по-
лями следует из ГСР-инвариантности теории с нормальными
перестановочными соотношениями между преобразованными по-
лями фд, хотя закон TCP-преобразования для полей фй при этом
не совпадает с E.2.23), поскольку, как мы убедились в третьем
примере, при преобразовании Клейна свойство эрмитовости не
сохраняется.
3.4. Парастатистики. Как уже отмечалось в п. 3.1, гипотеза
о полной симметрии или полной антисимметрии вектора состоя-
ния системы одинаковых частиц является более сильным пред-
положением, чем гипотеза о физической тождественности ча-
стиц.
Теоретически возможны и другие типы симметрии и, соответ-
ственно, другие парастатистики. В квантовой теории свободных
полей, со своей стороны, возможны перестановочные соотноше-
ния третьего порядка относительно компонент поля, определяю-
щие параполя, вместо обычных канонических перестановочных
соотношений второго порядка для бозонных и фермионных по-
лей. Цель настоящего пункта—познакомить читателя в общих
чертах с теорией параполей, которая не так давно привлекла
внимание физиков в связи с гипотезой о кварках (см. Гринберг
A964), Говорков A966а,б)), н сформулировать условие пара-

I 3] СВЯЗЬ СПИНА СО СТАТИСТИКОЙ 369
локальности, которое обеспечивает справедливость ГСР-теоремы
и обобщение теоремы о связи спина со статистикой для
параполей.
Мы предпошлем изложению три замечания.
1) Связь между теорией параполей, с которой мы вкратце
познакомимся в разделе А, и обобщенной статистикой не столь
очевидна, как в случае статистики Бозе — Эйнштейна и Фер-
ми— Дирака (см. по этому поводу Галиндо и Индурен A963)
и Гринберг A965)).
2) Как показал анализ Гринберга и Мессиа A965), по-ви-
димому, ни одна из известных частиц не является парачастицей
(см., однако, обсуждение вывода правил отбора для параполей
в работе Фешбаха и Томляновича A967)).
3) Результаты, относящиеся к парастатистикам, не имеют
столь завершенного характера, как приведенное в предыдущих
пунктах рассмотрение связи спина со статистикой, основанное
на предположении, что единственными допустимыми статисти-
ками являются статистики Бозе и Ферми.
А. Свободные параполя и паракоммутационные соотношения
Грина. Здесь нам будет удобнее иметь дело с ортонормирован-
ным дискретным базисом в пространстве векторов состояния
Фока. Пусть, в частности, одночастичные состояния нумеруются
индексом v (v может быть совокупностью квантовых чисел, см.,
например, B.5.11)). Введем операторы рождения а* состояния
|v) из вакуума и сопряженные к ним операторы уничтоже-
ния av. Как в случае статистики Бозе, так и в случае статистики
Ферми можно ввести оператор числа частиц в состоянии v фор-
мулой
«v = «X - у (a>v - oava; + о), E.3.34)
где о= — 1 для бозе-частиц и о = 1 для ферми-частиц. Переста-
новки nv с операторами рождения и уничтожения не зависят от
типа статистики, т. е. от того, коммутируют или антикоммути-
руют между собой операторы а; в обоих случаях они имеют
вид
IV G*v] = 6nX' Iev "n] = 6nvGv E.3.35)
Естественно потребовать сохранения этих соотношений и в
теории свободных полей, соответствующей обобщенной стати-
стике (парабозе или параферми). При этом в случае необычной
статистики второе равенство E.3.34) больше не имеет места и
-в качестве nv целесообразно взять (анти-) симметризоватюе
выражение типа правой части E.3.34). Следуя Грину A953), мы

370 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. Б
постулируем более жесткую систему перестановочных соотно-
шений, из которой следует E.3.35) *)
\а\а„ - oa^al, av]_ = - 26^, E.3.36а)
[ака„-оа^а,,, ax]=Q, E.3.366)
где о имеет тот же смысл, что и в E.3.34).
Упражнение 5.3.4. Показать, что из E.3.36) вытекает соотношение
(Указание: воспользоваться тождеством Якоби
[ [А. В]е, С)_ + [ [С, А)е, В)_ + [ [В, С)е, Л]_-0. E.3.38)
где [A, B]e-AB + tBA, e-±.)
Из E.3.36) — E.3.38) вытекает еще одна серия перестановоч-
ных соотношений такого типа (так же как и соотношения, по-
лучаемые из них эрмитовым сопряжением).
•Ясно, что если определить число частиц в состоянии v равен-
ством
«v = \ К «v].o + Со - |(«Х - °«Х) + Са E.3.39)
(константа Са будет определяться условием nv|0)=0), то пере-
становочные соотношения E.3.35) получаются как частный слу-
чай из E.3.36).
Для каждого знака о существует счетное множество неэкви-
валентных полей, удовлетворяющих E.3.36) и нумеруемых на-
туральным числом р. При заданном р операторы av задаются
так называемым анзатцем Грина:
v™, E.3.40)
a-l
где при данном а поля б?" удовлетворяют перестановочным со-
отношениям
= вц„ [С Л = 0 E.3.41)
и перестановочным соотношениям противоположного типа
US*. bTL = W:\ ftf ].a = 0 (a ф p). E.3.42)
*) Как показал Бялыницки-Бируля AS63), соотношения E.3.36) полу-
чаются из обычного выражения для гамильтониана свободного поля через
оператор числа частиц: // = 2 <*>vnvi гДе *^v — среднее значение энергии в
V
состоянии |v), если потребовать инвариантности относительно унитарных пре-
образований соотношений E.3.35).

I 3] СВЯЗЬ СПИНА СО СТАТИСТИКОЙ 371
Чтобы выделить однозначное (с точностью до унитарной экви-
валентности) представление операторов av в пространстве Фока,
потребуем, чтобы все Ь{? уничтожали вектор вакуума:
^а)|0) = 0 при всех v и а. E.3.43)
Пространство Гильберта З?1^, в котором действуют опера-
торы bv , определяется обычным образом как замыкание мно-
жества векторов вида Р(Ь')\0), где Р — произвольный полином
от операторов рождения bv . В силу E.3.40), в пространстве ^а1
можно реализовать представление алгебры исходных операто-
ров ах и с*, в котором наряду с перестановочными соотноше-
ниями E.3.36) будут удовлетворяться условия
cv|0) = 0 E.3.44)
%<\0) = Р&^\0)- E.3.45)
Упражнение 5.3.5. Показать, что в представлении, в котором имеют ме-
сто E.3.44) и E.3.45), оператор числа частиц E.3.39) приобретает вид
nv = 7j- (a* av-aava'v + ap) E.3.46)
It. e. константа С„, определяемая условием nv|0)««0, равна -g-^Pl-
Нетрудно -видеть, что представление алгебры операторов
с* в пространстве ^"^ приводимо.
Это положение имеет место даже для конечномерного слу-
чая (т. е. когда индекс v пробегает конечное число значений) и
может быть проиллюстрировано на простом примере алгебры
Дэффина — Кеммера. В этом примере р = 2 и множество воз-
можных значений v тоже равно двум. Мы приведем матричную
реализацию алгебры Дэффина — Кеммера. Положим
OYrY^) ^l^Yf) a =1,2. E.3.47)
По определению
№ Y?]-0, p. v = 0. .... 3. E.3.48)
Упражнение 5.3.6. Показать, что матрицы
E.3.49)
и эрмитово сопряженные к ним матрицы aj удовлетворяют перестановочным
соотношениям для нараферми-полей (т. е. соотношениям E.3.36) с с=+).

372 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА 1ГЛ. в
Чтобы привести тройные перестановки к стандартным соот-
ношениям Дэффина — Кеммера (см., например, [39], гл. 5, § 2),
мы определим матрицы Рр, формулами
E.3.50)
Упражнение 5.3.7. Показать, что
Нетрудно проверить непосредственно (см. [39], гл. 5, § 2),
что представление E.3.49), E.3.52) перестановочных соотноше-
ний E.3.36) или E.3.51) приводимо. Это представление шестна-
дцатимерно. Действительно, чтобы удовлетворить E.3.48), не-
обходимо определить \Ю как кронекеровские произведения
1 0 Yu- E.3.53)
Оно разлагается на три неприводимых представления: одно
десятимерное, одно пятимерное и одно одномерное (тривиаль-
ное). Отметим, что, исключая тривиальное представление, лишь
десятимерное представление обладает единственным вакуумом,
удовлетворяющим условию
Этот факт имеет общий характер: в пространстве 9l№ содер-
жится одно и только одно нетривиальное подпространство Sb^,'
инвариантное относительно алгебры операторов а?, а*, в кото-
ром имеется единственный вектор вакуума, удовлетворяющий
E.3.44).
Упражнение 5.3.8. Показать, что ненормированный базис в пространстве
Л?® десятимерного представлении алгебры Дэффина—Кеммера может быть
задан (без введения операторов bja') формуламн:
10), а] 10 ), a]ah I 0), а*а\ 10) = - а^я* 10),
a'fy I 0) = - a^a-l10), of Oj" 10), j,t-l,2.
*) Если принять во внимание, что
го к E.3.51) можно прийти непосредственно нз B.4.6) н E.3.48).

5 3] СВЯЗЬ СПИНА СО СТАТИСТИКОЙ 373
(Указание: воспользоваться тем, что в случае парастатистикн с р=2 пере-
становочные соотношения E.3.36) могут быть заменены более простыми со-
отношениями:
E5.54)
Гринберг и Мессиа A965) показали, что все неприводимые
представления перестановочных соотношений E.3.36) в про-
странстве с единственным циклическим вакуумом, для которого
имеет место E.3.44), удовлетворяют также соотношению
E.3.45) с некоторым целым положительным р и определяются
с точностью до унитарной эквивалентности равенствами
E.3.44), E.3.45). Каждое такое представление включается в
приводимое представление в пространстве №(^, задаваемое ан-
затцем Грина E.3.40). В частности, при р = ] получаются обыч-
ные статистики Бозе и Ферми.
Б. TCP-теорема и -теорема с связи спина с парастатистикой
для паралокальных полей. Чтобы сформулировать свойство ло-
кальности параполей, мы воспользуемся следующим обобще-
нием анзатца Грина E.3.40). Мы (вслед за Дел'Антонио и др.
A962)) определим взаимодействующее паралокальибе поле
А (х) как сумму полей
^(), E.3.55)
где B(u) удовлетворяют условиям локальности аномального типа:
[Bia) (ж), Bw (у)]о = В(а> (х) Bia) (у) + oBia) (у) B(a> (ж) = 0
при (x-yf<0, E.3.56)
A - 6ор) [Bia) {х), Вф) (#)]_ = 0 E.3.57)
(ср. с E.3.41), E.3.42)). Из этого определения и из анализа си-
стемы полей с аномальными перестановочными соотношениями
(п. 3) непосредственно следует справедливость ГСР-теоремы
для параполей.
Заметим в связи с этим определением, что требованиями
E.3.55)—E.3.57) мы накладываем некоторое ограничение на
вспомогательные поля В<°) в расширенном пространстве &№,
а не в физическом пространстве векторов состояния S^a, в ко-
тором действует параполе А. Особенно сильным является огра-
ничение E.3.57), которое эквивалентно предположению об от-
сутствии взаимодействия между разными полями В<а>. Кроме
25 Н. Н Богилюбои и др.

S74 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА (ГЛ. в
того, напомним, что только для свободных полей доказано, что
анзатц Грина исчерпывает все представления паракоммута-
ционных соотношений*). Более того, введение в самом опреде-
лении параполя А системы полей ?Ка> фактически сводит пара-
поля к системе обычных (бозе- или ферми-) полей с опреде-
ленной внутренней симметрией (см. Говорков A966а, б)). Все
это обусловливает несколько предварительный характер дан-
ного рассмотрения ГСР-теоремы и теоремы о связи спина с па-
растатистикой для параполей.
Упражнение 5.3.9. Показать, что из E.3.55)—E.3.57) следуют локаль-
ные паракоммутационные сотношения для параполя А
[И (*), А (?)]_„, A (z)] =0, E.3.58)
если одновременно
(jr-z)!<0 и (у-г)*<0.
При исследовании функций Уайтмана для «компонентных
полей» В<аЦх) полезна следующая лемма.
Лемма о факторизации. Вакуумное среднее от произ-
ведений полей В<а>(ж) равно произведению вакуумных средних,
в каждое из которых входят поля В одного сорта а.
Мы не будем приводить доказательство этой леммы, а толь-
ко проиллюстрируем ее на частном случае парабозе-полей двух
сортов В<!> и В<2>.
Упражнение 5.3.10. Показать, что
A)A) A) B) (*4)ВB) (*5)ВB> Ы|0) =
10) @|ВB) (д:4)ВB) (jts)BB) (дге) |0) =0. E.3.59)
(Указание: воспользоваться формулой E.3.57) и условием спектральности
(см. Дел'Антонно и др. A962)).)
Заметим, что вакуумное среднее в левой части E.3.59) удо-
влетворяет условию типа слабой локальной коммутативности
с противоположным знаком. Но оно, согласно упражнению
5.3.10, обращается в нуль, что справедливо для всех вакуумных
средних, для которых не выполняется автоматически нормаль-
ное условие СЛК (с правильным знаком!). Это позволяет дока-
зать, что поле А (х) удовлетворяет условию СЛК и, значит, к
нему можно применить непосредственно ГСР-теорему 5.2.4.
Чтобы установить связь спина с парастатистикой, достаточ-
но заметить, что для того, чтобы поле А обладало определен-
ными трансформационными свойствами (т. е. определенным
спином), все поля В<а> должны обладать теми же трансформа-
ционными свойствами. Применяя к полям В<а> результаты п. 3.2,
*) Только в случае свободных параполей доказана и эквивалентность ло-
кальности и пар а локальности (см. Араки и др. A966)).

I 4] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ РАВНЫХ ВРЕМЕНАХ 375
мы заключаем, что если параполе А обладает целым спином,
то оно подчиняется парастатистике Бозе, если же оно обладает
полуцелым спином, то должно подчиняться парастатистике Фер-
ми (мы предполагаем, что возможен выбор лишь между этими
двумя парастатистиками с фиксированным р).
§ 4. Перестановочные соотношения при равных временах.
Некоторые отрицательные результаты
4.1. Вводные замечания. Аксиоматический подход к кван-
товой теории поля позволяет, как отмечалось во введении, взгля-
нуть с новой точки зрения на трудности канонической (гамиль-
тоновой) формулировки релятивистской квантовой теории.
В п. 4.2 мы покажем, что часто используемое в обычной фор-
мулировке квантовополевой теории возмущений так называе-
мое «представление взаимодействия», строго говоря, не суще-
ствует (теорема Хаага). В п. 4.3 будет обсуждаться смысл этой
теоремы и возможные применения, в первую очередь использо-
вание неэквивалентных представлений канонических перестано-
вочных соотношений.
Доказательство теоремы Хаага (так же как и результаты
двух предыдущих параграфов) существенно использует теоре-
му Баргмана — Холла — Уайтмана (теорему 5.1.2). Те же ме-
тоды используются и при доказательстве некоторого отрицатель-
ного результата относительно описания «неточной симметрии»
при помощи зависящего от времени унитарного оператора
(п. 4.4).
4.2. Теорема Хаага и ее обобщения. Наиболее существен-
ное предположение в гамильтоповой (или лагранжевой) форму-
лировке квантовой теории поля, которое делается в дополнение
к изложенным в предыдущих главах постулатам релятивистской
квантовой теории, состоит в том, что определенный смысл при-
писывается полям в фиксированный момент времени. В то вре-
мя как в гл. 3, §1 мы постулировали, что сглаженные по всем
четырем координатам поля cp(f) имеют смысл неограниченных
операторов в пространстве векторов состояний S&, в гамильто-
новом подходе мы должны потребовать, чтобы поля, сглажен-
ные лишь по трем пространственным координатам
Ф (/, t) - J Ф («, х) f (х) Фх U<=lSP (Да)), E.4.1)
и,
имели смысл операторов в ШВ. Более того, мы будем предпо-
лагать, что система полей <ра(/, /) в фиксированный момент
времени / иеприводима (в смысле определения, данного в гл. 3,
5*

376 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. 8
п. 1.3; см. C.1.20)). При этом мы включаем в систему наряду
с каждым полем <p(f, t) сопряженный к нему «импульс», обо-
значаемый обычно л(/, /) (в случае свободного скалярного
поля п(х) есть не что иное, как производная повремени поля*<р).
Мы не будем выписывать здесь стандартных канонических пе-
рестановочных соотношений при равных временах (см. п. 4.3),
поскольку при дальнейшем рассмотрении они не будет исполь-
зоваться.
В гамильтоновой схеме квантовой теории поля (см., напри-
мер, [45]) считается, что операторы <р и я в разные моменты
времени связаны унитарным преобразованием. В частности,
предполагается, что асимптотические свободные in- и out-поля
связаны с взаимодействующими гайзенберговыми полями тоже
унитарным преобразованием. Теорема Хаага показывает, что
если к этой привычной схеме добавить требование релятивист-
ской инвариантности, то она становится тривиальной: теория
оказывается эквивалентной теории свободных полей.
Теорема Хаага естественным образом распадается на две
части. В первой предполагается лишь инвариантность относи-
тельно трехмерных евклидовых движений. Эта часть относится
как к релятивистской, так и к нерелятивистской теории и не со-
держит никаких неожиданных результатов. Во второй части
существенно используется предположение релятивистской инва-
риантности и устанавливается основной результат, о котором
шла речь выше.
Теорема 5.4.1. Пусть Ф,а(/, /) и ф2а(/, /) (/е <^(Я3)) —
два неприводимых набора операторов поля в момент времени i,
определенных соответственно в гильбертовых пространствах S&i
и S&2- Предположим, далее, что в S&j (/=1, 2) реализуются
унитарные представления Uj(a,R) группы Еа евклидовых дви-
жений трехмерного пространства, при которых поля <pJa преоб-
разуются ковариантно:
U,(a,R) Фуа (t, X) U]1 (a, R) = Т (R~lfa <p,p (*, Rx + a), E.4.2)
где T(R-1) —матричное представление группы трехмерных вра-
щений*), j—l, 2. Пусть, наконец, существует унитарное преоб-
разование V, связывающее в момент времени t поля <pia и фга:
/, t)V-\ E.4.3)
*) Мы допускаем также двузначные представления группы SO C), т. е.
представления группы SU B) (см. гл. 2, § 2). Поэтому точнее было бы гово-
рить, что Vj(a, R) являются унитарными представлениями универсальной
накрывающей группы ts.

I 4 ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ РАВНЫХ ВРЕМЕНАХ 377
Тогда представления U\ и U2 группы евклидовых движений
эквивалентны:
U2(a, R) = VUAa, R)V~\ E.4.4)
Если предположить еще, что в каждом из пространств Ш'}
существует единственное инвариантное относительно евклидо-
вых движений (нормированное) состояние 4%:
U, (а, «)%, = ?„„ /=1,2, E.4.5)
то
E.4.6)
где с — комплексное число, равное по модулю 1.
Доказательству теоремы предпошлем одно замечание. Мо-
жет показаться, что требование единственности состояний Voj,
инвариантных относительно трехмерных движений, слишком
жестко, так как все состояния с нулевым трехмерным импуль-
сом (например, состояние покоящейся частицы) инвариантны
относительно Eg. Однако мы знаем, что состояние с 4-импуль-
сом р—(ш, О, 0, 0) (пг > 0) ненормируемо (оно является обоб-
щенным состоянием). Можно показать, что ненормируема и лю-
бая суперпозиция таких состояний с положительной массой.
Поэтому, например, в пространстве Фока, описанном в гл. 2,
§ 5, действительно существует единственное нормированное со-
стояние, инвариантное относительно трехмерных трансляций,—
это состояние вакуума.
Доказательство теоремы 5.4.1. В силу E.4.2) и
E.4.3) оператор
Щ1(а, R)V-lU2(a, R)V
коммутирует со всеми операторами фа1 (I, х). Следовательно,
вслелствие предположения о неприводимости системы полей
ф|а он кратен единичному оператору, т. е.
U2(a, R)=a(a, R)VUi(a, R)V~K
где w (с, R) — комплексное число. Нетрудно видеть, что <o(e, R)
задает одномерное (непрерывное) унитарное представление ев-
клидовой группы*),, следовательно, ю(с, R) за 1. Таким обра-
зом, равенство E.4.4) доказано.
Далее, если предположить, что существует инвариантное со-
стояние Woi
У, (a.
•) Унитарные представления группы ?3 описываются таким же образом,
как и представления группы Пуанкаре (гл. 2, § 3). Нетрудно показать, что
единственным одномерным представлением является единичное представление.

37* TCP, СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. в
то из E.4.4) следует, что
Ua(a, R)WOl = V4Ol.
Отсюда и из предположения о единственности инвариантного
состояния в S&2 следует E.4.6). Теорема доказана.
В нерелятивистской квантовой теории оператор V(t) прак-
тически всегда существует. Различные зависимости его от вре-
мени характеризуют разные физические теории. В релятивист-
ской теории такое положение уже не имеет места. Это следует
из второй (самой существенной) части теоремы Хаага. Мы до-
кажем ее в несколько обобщенной формулировке, принадлежа-
щей Уайтману и Холлу. При этом мы ограничимся для простоты
случаем скалярного нейтрального поля.
Теорема 5.4.2 (обобщенная теорема Хаага). Пусть даны
два скалярных нейтральных поля <р, и <р2, действующих, соот-
ветственно, в пространствах s76\ и в%?2, причем выполнены все
предположения теоремы 5.4.1. Пусть, кроме того, обе теории ин-
вариантны относительно собственной группы Пуанкаре Щ*:
U, (а, А) <ру (х) U-1 (а, А) = <р, (А* + а), E.4.7)
U, (а, А)ЧГо1 = ЧГф /=1,2. E.4.8)*)
Предположим, далее, что имеет место постулат спектральности
(т.е. что в S&j нет состояний с отрицательной энергией). При
этих предположениях первые четыре функции Уайтмана совпа-
дают в обеих теориях. Если, кроме того, qpi (x) — свободное поле
массы ш, то ф2(х) — тоже свободное поле [той же массы) и
обе теории полностью совпадают.
Доказательство. Из E.4.3) и E.4.6) следует, что все
функции Уайтмана в обеих рассматриваемых теориях совпа-
дают при равных временах:
E.4.9)
Покажем, далее, что при п << 4 точки с равными временными
компонентами и точки, полученные из них собственными (ве-
щественными) преобразованиями Лоренца, образуют веще-
ственную окрестность в области аналитичности функций Уайт-
мана Fa(li, ..., ?„_,)(«= 1,2; t,i = h + ii\j, ij=*j —*j+i)- Прн
n = 1 функция Уайтмана равна константе, и проблема тривиаль-
на. При п=2 необходимое и достаточное условие для того, что-
бы при помощи собственного преобразования Лоренца можно
*) Заметим, что мы не предполагаем ковариантности сопряженных им-
пульсов я,(дг).

I 4] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ РАВНЫХ ВРЕМЕНАХ 379
было сделать равной нулю нулевую компоненту 4-вектора li =
—Xi — х2, состоит в пространственноподобности этого вектора
1*<0. E.4.10)
Но, как мы знаем, векторы такого вида исчерпывают множество
точек Иоста Jt (вещественных точек аналитичности двухточеч-
ной функции). При п = 3 любые два пространственноподобных
вектора li и ?а могут быть перенесены на плоскость равных
времен |° = |° = 0 с помощью собственного преобразования Ло-
ренца, если двумерная плоскость, которая натягивается на них,
состоит только из пространственноподобных векторов (либо
если |i и |2 коллинеарны). Критерием того, что при любом вы-
боре вещественных чисел аир (не равных одновременно
нулю) вектор ali + Pl2 пространственноподобен, являются нера-
венства
которые выделяют открытую область в множестве точек Иоста
J2. Наконец, в случае п=4 любые три пространственноподобных
вектора ?ь 1а, |з могут быть переведены в плоскость равных вре-
мен 1° = |2 = 1з = 0 с помощью собственного преобразования
Лоренца, если линейное пространство, которое натягивается на
них, состоит только из пространственноподобных векторов. Кри-
терием этого является отрицательная определенность матрицы
скалярных произведений (|,-|j)
<0, E.4.12)
63
/??=/-1,2,3,
что снова выделяет открытое множество точек Иоста /3.
Упражнение 5.4.1. Показать, что при п!>5 множество точек, которые
можно привести преобразованием Лоренца на плоскость равных времен
|° = ... = |n_i = 0, уже не образует полной вещественной окрестности в
множестве точек Иоста /я-|. Убедиться, в частности, что при л=5 число
независимых скалярных произведений, образованных из векторов в Jt, равно
десяти, в то время как число независимых скалярных произведений нз векто-
ров в плоскости равных времен равно трем.
Из доказанного следует, что при п •< 4 аналитические про-
должения функций Уайтмана в двух рассматриваемых теориях
совпадают тождественно, а значит, совпадают и их предельные
значения при вещественных аргументах.

380 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. в
Чтобы завершить доказательство теоремы 5.4.2, остается до-
казать следующую лемму.
Лемма 5.4.1. Если <р(*)—эрмитово скалярное локальное
поле, для которого вакуум цикличен, и если двухточечная функ-
ция Уайтмана для <р совпадает с двухточечной функцией сво-
бодного поля:
№¦ fWf(y)^o).= 7^(^?). «»>0 E-4.13)
(см. C.4.24) и C.4.25)), то <р(дс)—свободное поле массы т.
Действительно, если лемма 5.4.1 справедлива, то ее можно
применить к полю фа из теоремы 5.4.2 (поле фа удовлетворяет
всем условиям леммы; в частности, оно локально потому, что
его коммутатор при равных временах совпадает с коммутато-
ром свободного поля ф1, и потому, что оно релятивистски кова-
риантно).
Доказательство леммы 5.4.1. Введем «ток»
/(*) = (?+m>(*).
Поскольку (О +/и2) ?>«(*) = О, то из E.4.13) следует
(%, i(x)j(y)%)-0. E.4.14)
Умножая E.4.14) на f(x)f(y) и интегрируя, получаем
II/0>*о И-0.
Отсюда и из леммы 5.3.1 (примененной к i|>(*) =/(*)) вытекает,
что Цх)=0. Итак, поле ф(дс) удовлетворяет «свободному» урав-
нению Клейна — Гордона:
0. E.4.15)
Остается доказать, что поле ф удовлетворяет и перестановоч-
ным соотношениям для свободных полей.
Пользуясь тем, что в силу E.4.15) фурье-образ <р(р) поля ф
сосредоточен на двухполостном гиперболоиде р2=т2 (так как
(р2 — /и2)ф(р)=0), мы можем разбить поле ф(*)> подобно сво-
бодному полю, на положительно- и отрицательно-частотные
части
V*
ym
Из постулата спектральности следует, что отрицательно-частот-
ная часть поля, связанная с отрицательной энергией, должна
уничтожать вектор вакуума:
0. E.4.17)

f 4] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ РАВНЫХ ВРЕМЕНАХ 381
Рассмотрим, далее, состояние
Ф<->(*)ф<*> (*)?„. E.4.18)
Любой импульс в этом состоянии представляет собой сумму век-
тора р+, принадлежащего будущему гиперболоиду с массой
m\p\ = mi, p°>0), и вектора р_, принадлежащего прошедшему
гиперболоиду с той же массой. Поэтому такой нмпульс либо
пространственноподрбен, либо равен нулю. Отсюда и из посту-
лата спектральности (запрещающего существование состояний
с пространственноподобными импульсами и утверждающего
единственность вакуума) вытекает, что вектор E.4.18) колли-
неарен с вектором вакуума Wo. С другой стороны, из E.4.17)
и E.4.13) следует, что
Таким образом,
" <PW (х) <p(t) {у) Wo = fФн (ж), Ф(+) {у)] % = | D" (х - у) Vo. E.4.20)
Отсюда и нз тривиального равенства
получаем
[Ф(*), Ф(у)} ^0 = -j-Dm(x~ у)Wo + [ф*(Х), ф*(у)] Чо, E.4.21)
где Dm (x) — перестановочная функция Паули — Иордана (см.
дополнение к гл. 3):
Dm (х) = О? (*) - Dfc» (- *) - От' М + D% (x).
Упражнение 5.4.2. Показать, пользуясь постулатами спектральности и
локальной коммутативности, что при любом выборе вектора V из области оп-
ределения поля <р имеет место равенство
(?, [<рИ (*), <р« (y)J То) = 0. E.4.22)
Указание: из E.4.21) следует, что функция в левой части E.4.22) исчезает в
области (Jr—уJ<0; из E.4.16) следует, что она допускает аналитическое
продолжение в трубчатую область
Очевидно, что E.4.22) эквивалентно равенству
ро = а E.4.23)
Упражнение 5.4.3. Пользуясь рассуждениями, с помощью которых была
доказана лемма 5.3.1, показать, что из E.4.23) вытекает операторное

382 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. S
равенство
[ф(«). <P(S)J-у?•„,(*-*), E.4.24)
т. е. поле ф удовлетворяет перестановочным соотношениям для свободного
поля.
Лемма 5.4.1, а вместе с ней и теорем>а 5.4.2 доказаны.
4.3. Неэквивалентные представления канонических переста-
новочных соотношений. Возможное истолкование теоремы
Хаага. Выводы из теоремы Хаага весьма удручающи. Она озна-
чает, что представление взаимодействия, которое кладется в
основу теории возмущений, на самом деле не существует. Здесь
следует иметь в виду, что утверждается отсутствие хорошо опре-
деленного оператора V в пространстве векторов состояний &в,
связывающего свободное поле со взаимодействующим полем
согласно E.4.3). Разумеется, что наличие формальных выраже-
ний, осуществляющих (опять-таки формально) связь E.4.3), ко-
торые при реальных расчетах приводят к бессмысленным рас-
ходящимся интегралам*), не может служить контрпримером к
теореме Хаага. Чтобы указать на возможный выход из этого
затруднения, мы проанализируем вкратце канонический лагран-
жев подход в квантовой теории поля.
Каноническая схема квантования исходит из классического
лагранжиана -S", который является функцией от полей <ра(х) и
их первых производных:
«Сопряженный импульс» к полю <ра в момент времени / опре-
деляется формулой
ла (t, х) = a^t x) . E.4.25)
д W
Например, для свободного скалярного поля с лагранжианом
имеем
*) С такой ситуацией мы встречаемся в теории возмущений в квантовой
теории поля (см., например, [4]). Следует, однако, отметить, что даже отсут-
ствие расходимостей в отдельных членах ряда теории возмущений еще не
обеспечило бы существования оператора V, для которого необходимо было бы
имегь сходимость всего ря,ва для «половинной» S-матрицы,

f 4] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ РАВНЫХ ВРЕМЕНАХ 383
для свободного спинорпого поля с лагранжианом
~ -от:
дхг
«импульс», сопряженный к полю i|), есть
Постулируется, что сопряженные поля <ра и яа (точнее, сгла-
женные поля <ра(/, t) типа E.4.1)) являются базисными эле-
ментами некоторой алгебры, определяемой (в случае бозе-
полей) каноническими перестановочными соотношениями:
fa, (/, х), фр (I, у)] = К (/, х), яр (I, у)] = О,
fa, (/, х), Лр (#, у)] = /б0рб (х - у). {5А-гЬ)
Таким образом, квантовая теория поля формулируется как
квантовая механика системы с бесконечным числом степеней
свободы (х к у выступают здесь как номер обобщенной коорди-
наты и обобщенного импульса). Удобно иметь дело также со
счетным базисом (вместо континуального). Для этой цели до-
статочно ввести полную ортонормированную систему функций
tiv(x) в трехмерном пространстве, например функций Эрмита
Qn(t)= f
и определить «координаты» и- «импульсы»
поля формулами
f t, x)hv(x)d3x,
. E.4.27)
PnU) = fna(i,x)hv{x)d3x,
где п — составной дискретный индекс: п= (a, v) = (a, vi, v2, va).
Упражнение 5.4.4. Пользуясь ортонормированностыо системы функций ftv,
показать, что перестановочные соотношения E.4.26) в терминах Qn и Рп
принимают вид
[0@ <1(Щ[РЮ РЩо
(напоминаем, что индекс п принимает счетное (бесконечное) множество зна-
чений).
Далее, мы реализуем абстрактную алгебру элементов Qn и
Рп, удовлетворяющих E.4.28), как некоторую алгебру неогра-
ниченных операторов в гильбертовом пространстве Ш (в про-
странстве векторов состояний). В случае системы с конечным
числом степеней свободы любые два неприводимых представле-
ния перестановочных соотношений E.4.28), реализованных са-
мосопряженными операторами в гильбертовом пространстве^,

384 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА {ГЛ. Е
унитарно эквивалентны (фон Нейман A931)) *). В частности,
всегда существует унитарный оператор V(l*, U), связывающий
операторы Р„ и Qn в разные моменты времени:
{n=l, ...,
Для систем с бесконечным числом степеней свободы это не так.
Более того, линейные канонические преобразования (т. е. пре-
образования переменных Рп и Qn, сохраняющие вид перестано-
вочных соотношений E.4.28)), вообще говоря, не соответствуют
преобразованию унитарной эквивалентности типа E.4.29).
В этом можно убедиться на примере простейшего линейного
преобразования
Qn^-^Qn, Рп = апРп, аи = А>0. E.4.30)
Упражнение 5.4.5. Показать, что в случае системы с конечным числом
степеней свободы n^N, штрихованные и нештрихованные переменные в
E.4.30) связаны унитарным преобразованием
Убедиться, что оператор V» существует лишь в том случае, если последова-
тельность вещественных чисел аи достаточно быстро стремится к нулю, в то
*) Точнее это утверждение может быть сформулировано следующим об-
разом. Заменим соотношения E.4.28) соотношениями между унитарными опе-
раторами
JV N
и(а) = еп'1 , о(а)=е"=1 , а = (а, а„).
Предположим, что операторы и и о непрерывны относительно вещественных
параметров а и удовлетворяют соотношениям
А
и (а) о (Р) = е п'1 о(Р)и(а)
E.4.28а)
(форма Вейля перестановочных соотношений).
В отличие от операторов Рп и Qn операторы и (а) и с (а) ограничены и,
значит, определены во всем гильбертовом пространстве. Тогда теорема фон
Неймана может быть сформулирована следующим образом: неприводимый
набор операторов и(а) и о(а), удовлетворяющих «перестановочным соотно-
шении!» E.4.28а), определен однозначно, с точностью до унитарной эквива-
лентности.

I 4] ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ РАВНЫХ ВРЕМЕНАХ 385
время как формулы E.4.30) определяют некоторое каноническое преобразова-
ние при любом выборе ап.
Среди бесконечного множества неэквивалентных предста-
влений канонических перестановочных соотношений в теории
свободных полей (гл. 3, § 4) выделяется фоковское представле-
ние (гл. 2, § Б) при помощи дополнительного требования, что
в этом представлении имеется единственное нормированное ин-
вариантное состояние Wo, которое уничтожается под действием
отрицательно-частотных операторов:
^pW0 = 0, E.4.32)
т.е. требованием существования вакуума. Фоковское предста-
вление определено однозначно (с точностью до унитарной эк-
вивалентности). Все остальные представления канонических пе-
рестановочных соотношений, в которых нет «состояния без ча-
стиц», называются «странными». Можно было бы предположить
(и неявно это часто предполагается), что и в теории взаимодей-
ствующих полей можно выделить представление Фока с неко-
торым «физическим» вакуумом, который необходимо сохраняет-
ся во времени. На самом деле теорема Хаага показывает, что
это не так, что в любой конечный момент времени мы должны
пользоваться «странными» представлениями перестановочных
соотношений (в которых, грубо говоря, в каждом состоянии
содержится бесконечное множество частиц). Более того, из этой
теоремы вытекает, что если канонические перестановочные со-
отношения в фиксированный момент времени вообще имеют
смысл, то разные (неэквивалентные) «странные» представле-
ния этих соотношений должны реализоваться в разные моменты
времени.
Несоответствие представления взаимодействия в стандартной теории (с
локальным гамильтонианом) и общих требований квантовой теории заклю-
чается также и в следующем. Оператор сдвига по времени Р° всегда дол-
жен обращать в нуль вектор вакуума. Однако, если представить Р° в виде
интеграла от локальной функции Гамильтона, соответствующей нетривиаль-
ному взаимодействию, то это будет не так, в связи с чем в стандартном
подходе и говорят о математическом (свободном) и физическом вакууме.
Но согласно теореме Хаага эти два вакуума не связаны унитарным преобра-
зованием эквивалентности (обстоятельство, которое, как и вышеприведен-
ные соображения, иллюстрируется на простых нерелятивистских моделях —
см., например, Уайтман A9646)).
Отметим, наконец, что наряду с необходимостью учета не-
эквивалентных представлении канонических перестановочных
соотношений надо иметь в виду возможность более сингуляр-
ного характера самих перестановочных соотношений. Уже для

386 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА (ГЛ.
свободного комплексного векторного поля V^(x), для которого
перестановочные соотношения имеют вид (см. [4], § 11.3)
[VM. V-Wl-K^ + i^JA-C*-* E.4.33)
ая, что «импу
вместо E.4.26) имеем
учитывая, что «импульс», сопряженный к V*(x), есть ,
E.4.34)
где Д — оператор Лапласа. Не исключена возможность, что
коммутатор взаимодействующих полей настолько сингулярен,
что его необходимо сглаживать по всем четырем координатам,
а нельзя рассматривать в фиксированный момент времени
лишь как обобщенную функцию трех пространственных коор-
динат.
4.4. О невозможности описать «нарушенную симметрию»
зависящим от времени унитарным оператором. В теории силь-
ных взаимодействий часто рассматриваются симметрии, кото-
рые нарушаются электромагнитными или слабыми взаимодей-
ствиями. Сюда относятся дискретные симметрии Р, С и Т, с ко-
торыми мы познакомились на примере свободных полей (гл. 3,
п. 4.4), а также изотопическая симметрия, рассмотрение которой
выходит за рамки настоящего тома. Фабри и др. A967) пока-
зали, что такую приближенную симметрию нельзя описывать
зависящим от времени унитарным оператором. Мы приведем
здесь точную формулировку и доказательство этого результата
в частном случае операции пространственного отражения /,.
Читатель увидит, что метод рассуждения тот же, что и при до-
казательстве теоремы Хаага.
Теорема 5.4.3. Пусть в каждый момент времени t суще-
ствует унитарный оператор Ut(l,) такой, что
И,С») U;l{l.)= v;(/;>V, -х) а ф-(х) E.4.35)
и
U,(I3) U (О, а; 1) U11 Aв) - 1/@, - а; 1), E.4.36)
где U(а. Л) —представление группы Пуанкаре в рассматривае-
мой теории. Тогда в теории с единственным трансляционно-ин-
вариантным вакуумом первые четыре функции Уайтмана инва-
риантны относительно пространственного отражения *).
•) Из этой теоремы следует, что если пространственная четность нару-
шается хотя бы для одной из первых четырех функций Уайтмана (другими
словами, для функции Грина, вершиной части или амплитуды двухчастич-
ного рассеяния), то она не может быть представлена в каждый момент вре-
мени унитарным оператором.

ДОПОЛНЕНИЕ 387
Доказательство. Из E.4.36) и из трансляционной ин-
вариантности вакуума вытекает, что состояние Uttf^Wo транс-
лиционно-инвариантно. Далее, в силу гипотезы о единствен-
ности трансляционно-инвариантного состояния
Ui(Is)xPo=C(t)WQ, |C @1-1. E.4.37)
Отсюда следует, что при равных временах аргументов все функ-
ции Уайтмана от полей <ра(л:) совпадают с функциями Уайтма-
на от пространственно отраженных полей qp°(je) E.4.35). Кроме
того, из E.4.35) и из закона преобразования полей при соб-
ственных преобразованиях Пуанкаре C.1.6) следует, что
Ua(a, Л)<р» U;1 (а, Л) = V^AT^Ax + a) E.4.38)
Us{a, Л)^о=%,
где
U. {a, A)=U {lsa, 1,АГЯЧ E.4.39)
Поэтому в равенстве одновременных функций Уайтмана можно
перейти к произвольной системе координат. Отсюда тождество
первых четырех функций Уайтмана следует так же, как и при
доказательстве теоремы 5.4.2. Тем самым теорема 5.4.3 дока-
зана.
ДОПОЛНЕНИЕ
А. ФОРМУЛИРОВКА КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
В ТЕРМИНАХ АЛГЕБР ЛОКАЛЬНЫХ НАБЛЮДАЕМЫХ
А.1. Вводные замечания. В настоящем дополнении мы сжато
изложим основные идеи алгебраического подхода в квантовой
теории поля, получившего развитие в течение последних лет
главным образом в работах Хаага и Араки.
Мы видели, что сглаженные операторы поля qp(f) ивляютси
неограниченными операторами в гильбертовом пространстве
векторов состояния &6. Их действие определено не дли любого
вектора из Ш, а лишь на некотором всюду плотном множестве;
поэтому нам пришлось ввести предположение о существовании
всюду плотной области определении Й, общей для всех опера-
торов <p(f) (когда пробнаи функции f меняется). Идея Хаага
состоит в замене понятия поля понятием локальной наблюдае-
мой, которой соответствует ограниченный оператор в &в. При
этом можно использовать хорошо развитую математическую
теорию нормированных алгебр (и колец).

388 TCP. СПИН It СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. б
Достоинством этого подхода является инвариантность ал-
гебраической формулировки квантовой теории относительно
выбора поля внутри данного класса Борхерса. Чтобы придать
этим словам точный смысл, необходимо установить соответствие
между теорией Хаага — Араки и теорией локальных полей.
Однако, как мы увидим, однозначную связь удается установить
лишь в случае, когда поле <р(/) допускает единственное само-
сопряженное расширение. Строго говоря, вопрос эквивалент-
ности двух формулировок релятивистской квантовой теории до
сих пор полностью не решен.
В п. А.2 мы приведем основные понятия теории нормирован-
ных алгебр с инволюцией, которые понадобятся в дальнейшем.
Детальное изложение этих вопросов читатель найдет в книгах
[31] (где используется несколько иная терминология) и [52].
Краткие обзоры по алгебрам фон Неймана и по алгебра'ад
типа С* можно найти в статье Генена и Мисра A963) и в до-
полнении к статье Хаага и Кастлера A964).
Пункт А.З посвящен формулировке квантовой механики в
терминах абстрактных алгебр С*. В п. А.4 приведены постула-
ты релятивистской локальной квантовой теории в терминах
алгебр фон Неймана ограниченных операторов в гильбертовом
пространстве векторов состояния. Последний, пятый, пункт по-
священ схематическому обзору результатов, полученных в но-
вом подходе.
А.2. Алгебры с инволюцией и их реализации при помощи
ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Сна-
чала напомним основные определения.
Алгеброй будем называть линейное пространство над полем
комплексных чисел (см. гл. 1, п. 1.1), в котором определена
билинейная операция произведения. Другими словами, множе-
ство 91 элементов А, В, ... называется алгеброй, если в нем
определены коммутативное и ассоциативное сложение и умно-
жение на комплексное число а так, что выполнены условия
I—III (гл. I, п. 1.1), и если вдобавок задано произведение лю-
бых двух элементов АВ, удовлетворяющее условиям:
(М, + М2) В = а, (Л,В) + а2 (Д2В),
А (р,В, + р2В2) = р, (АВд + р2 (АВ2). E>АЛ)
Здесь мы будем рассматривать ассоциативные алгебры, для ко-
торых предполагается еще, что
А(ВС) = (АВ)С. (Б.А.2)
Будем говорить, что 51 является алгеброй с инволюцией (или
алгеброй со звездочкой), если каждому элементу ЛеЯ поста-

ДОПОЛНЕНИЕ 389
влен в соответствие сопряженный элемент А* таким образом,
чтобы выполнялись условия
(аА)* = аА*, (А+В)*=*А* + В*, {АВ)*=В*А*, (Б.А.З)
(А*)*=А. (Б.А.4)
Алгебра со звездочкой 91 называется нормированной, если
в ней определена норма \А\, удовлетворяющая условиям 1а —
в гл. 1, п. 1.1 и условиям
\АВ\<\А\.\В\, \А*\ = \А\. (Б.А.Б)
Мы потребуем наряду с этим выполнения равенства
\А*А\ = \А\*. (Б.А.6)
Будем предполагать также, что в алгебре имеется единичный
элемент / такой, что 1А=А1=А (при всех Ле91); нетрудно
показать, что существует только один элемент, удовлетворяю-
щий этому условию, и что /• = /, |/| = 1.
Инволютивная нормированная алгебра 91 называется ал-
геброй типа С* (или просто С*-алгеброй), если она удовлетво-
ряет условию (Б.А.6) и полна относительно сходимости по нор-
ме*), т.е. если любая последовательность Коши {А,,} элемен-
тов 91, для которой
lim \An-Ak\ = 0,
n,*-*oo
определяет предельный элемент А е 91 такой, что
Mm \А„-А\ = 0.
Каждая С*-алгебра 91 является, в частности, пространством
Банаха (см. определение в гл. 1, п. 1.1). Следовательно, можно
рассматривать множество всех линейных непрерывных функцио-
налов в 91, которые, тоже образуют некоторое банахово про-
странство. Соответственно в 91 можно ввести слабую сходи-
мость, полагая, что Л„—*А, если F(An)—*F(A) для любого ли-
нейного непрерывного функционала F. Нормированная алгебра
со звездочкой, полная относительно определенной таким обра-
зом слабой сходимости, автоматически полна относительно схо-
димости по норме. Обратное утверждение неверно.
Типичным примером нормированной алгебры со звездочкой
является любая алгебра ограниченных операторов в некотором
гильбертовом пространстве я?в, в которой наряду с каждым
оператором Л содержится эрмитово сопряженный оператор А*.
•) Накмарк [31] называет алгебру типа С* банаховым (пли полным)
вполне регулярным симметрическим кольцом.

390 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. 5
В такой реализации инволюция в алгебре совпадает с эрмито-
вым сопряжением, а норма определяется равенством A.1.35).
Условия E.А.Б) и E.А.6) при этом удовлетворяются автома-
тически.
Априори можно ввести много неэквивалентных типов сходи-
мости в алгебре 8 всех ограниченных еператоров в я?в. Мы при-
ведем для примера три таких типа, каждый из которых влечет
за собой предыдущий.
а) Слабая сходимость: Ап—"А (читается: Ап слабо сходится
к А), если для любых Ф и W из S6
(Ф, ЛЛЧ-*(Ф, AW). E.A.7)
б) Сильная сходимость: Ап—*А (Ап сильно сходится к А),
если для любого У из Ш
+0. E.A.8)
в) Сходимость по норме (равномерная сходимость): А
(Ап равномерно сходится к А), если
\Ап — А\-~0. E.A.9)
Очевидно, из E.А.9) вытекает E.А.8), а яз E.А.8) следует
E.А.7). Наоборот, из полноты алгебры относительно E.А.7)
вытекает ее полнота относительно (Б.А.8), а отсюда следует
полнота относительно (Б.А.9).
Если алгебра ограниченных операторов полна относитель-
ности сходимости по норме (Б.А.9), то она является реализа-
цией алгебры С*. Если она полна относительно слабой сходи-
мости E.А.7), она называется алгеброй фон Неймана. Очевид-
но, класс алгебр С* шире класса алгебр фон Неймана.
В дальнейшем (при формулировке свойства локальной ком-
мутативности) иам понадобится понятие коммутанта. Пусть
91(—некоторая подалгебра алгебры 91. Коммутантом алгебры
91 j в 21 называется множество 91] тех элементов Я, которые
коммутируют со всеми элементами 91(. В силу ассоциативности
умножения коммутант является алгеброй. Если 91—алгебра с
сопряжением (т. е. с инволюцией) и 91, замкнута относительно
этого сопряжения, то в силу E.А.З) и коммутант 9l[ замкнут
относительно сопряжения (т.е. из Ле91{ следует, что иЛ'е
е91|). В случае конкретных алгебр ограниченных операторов
в гильбертовом пространстве &в в качестве объемлющей ал-
гебры, относительно которой определяется коммутант, берется
обычно алгебра 8 всех ограниченных операторов в $в. Алгеб-
ры фон Неймана характеризуются тем, что совпадают со своим
повторным коммутантом: 91" =91.

ДОПОЛНЕНИЕ 391
При изучении и классификации алгебр фон Неймана важную роль играет
понятие фактора, которое может рассматриваться как неточный аналог не-
приводимого представления. Алгебра 81 с= S3 называется фактором, если ее
центр 81 П Й' содержит лишь элементы, кратные единице, т. е. если 81 П 81' —
={а/}. Произвольная алгебра фон Неймана может быть представлена в виде
некоторой обобщенной суммы факторов.
Самосопряженные элементы алгебры фон Неймана (и функции от них)
определяются своими спектральными разложениями A.1.47} (соответственно
A.1.48)) в терминах системы проекционных операторов Е(Х). Классифика-
ция факторов основывается на существовании (и единственности с точностью
до множителя) некоторой характервстической аддитивной функции проеи-
торов, которая может рассматриваться как обобщение понятия размерности.
Точные результаты могут быть сформулированы в виде следующих двух тео-
рем (см. [31], § 36).
Теорема 5-A.I. Существует функция D(E), определенная на всех опе-
раторах проектирования Е, принадлежащих данному фактору F и обладаю-
щая следующими свойствами:
1) ?>(?)>0, причем ?>(?)=0 только при ?=0.
2) Если операторы Е, и ?s эквивалентны относительно фактора F, т. е.
если существует элемент S^F такой, что ?'2=S?|S~', то C(?i)=B(?s).
3) Если ?,?,=0, го ?>(?,+?а)=?>(?1)+?>(?,).
Функция D(E) определяется из условий 1)—3) {при заданном факторе
F) однозначно, с точностью до постоянного положительного множителя").
Теорема Б.А.2. Область значений относительной размерности может
быть сведена при подходящем выборе нормировки к одному из следующих
множеств:
A„) совокупность целых чисел k из интервала
A„) совокупность неотрицательных целых чисел, включая то;
(II]) интервал [0, 1];
(II») интервал [0, <»];
(III) числа Он».
В зависимости от того, какое из этих множеств пробегает функция
?>(?), говорят о факторах типа 1„, 1„, П,, II» и III. Есть примеры факто-
ров любого из этих классов. В алгебраической формулировке квантовой тео-
рии приходится иметь дело с наименее привычным (и наименее изученным)
классом факторов типа III.
А.З. Алгебраическая формулировка квантовой механики.
Пусть дана некоторая алгебра 91 типа С*. Будем говорить, что
линейный функционал F, определенный в Я, положителен, если
F(A*A)>0 при всех А е 91 E.A.10)
(в гл. 3, п. 3.1 мы называли функционалы такого рода над не-
которой специальной топологической алгеброй мультиплика-
тивно-положительными).
Перечислим некоторые простые свойства положительных
функционалов в С*-алгебрах с единицей (см. [31], § 10 и [52],
§24).
•) Функцию О(?) называют относительной размерностью.

392 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. S
1) Всякий положительный функционал принимает веще-
ственные значения на самосопряженных элементах алгебры.
2) Если F — положительный функционал, то
\F(A*B) \*<CF(A*A) -F(B*B). E.A.11)
3) Каждый положительный функционал непрерывен и его
норма равна F(/).
Положительный функционал F называется неразложимым,
если он не может быть представлен в виде суммы неколлинеар-
ных положительных функционалов, т. е. если из равенства
F(A) = Ft(A) +F2(A), где Fi и F2— положительные функцио-
налы, вытекает, что FX(A) =KF(A), 0-</,-< 1.
Теперь можно сформулировать основные принципы кванто-.
вой механики следующим образом.
Каждой физической системе ставится в соответствие неко-
торая С*-алгебра так, чтобы наблюдаемым соответствовали
самосопряженные элементы алгебры, а состояниям системы (во-
обще говоря, смешанным) соответствовали положительные
функционалы, нормированные условием F(/)=l. Состояние на-
зывается чистым, если соответствующий ему положительный
функционал неразложим. Значение функционала F(A) для са-
мосопряженных элементов алгебры отождествляется со сред-
ним значением физической величины А в состоянии F.
Если наша С*-алгебра реализована в терминах ограничен-
ных операторов в гильбертовом пространстве Ш, то данная
выше абстрактно-алгебраическая формулировка квантовой ме-
ханики сводится, по существу, к обычной формулировке, данной
в гл. 2, § 1. В частности, неразложимые нормированные поло-
жительные функционалы F(A) находятся во взаимно однознач-
ном соответствии с нормированными лучами Ф пространства^?,
так что
(<D, АФ). E.А.12)
Матрице плотности смешанного состояния соответствует по-
ложительный оператор В с конечным следом. Среднее значение
F(A) в этом случае задается равенством
F(A)=1t(BA). E.A.13)
Единственное отличие от формулировки, приведенной в гл. 2,
§ 1, состоит в том, что здесь мы рассматриваем в качестве на-
блюдаемых лишь ограниченные самосопряженные операторы
(так что, например, операторы координаты и импульса не вхо-
дят в класс наблюдаемых). С теоретической точки зрения это
отличие не является существенным, поскольку любой (в том
числе неограниченный) самосопряженный оператор характери-

ДОПОЛНЕНИЕ 393
зуется своим спектральным разложением по операторам проек-
тирования (которые ограничены).
Возникает, однако, следующий вопрос. Данная абстрактная
С*-алгебра может быть реализована разными унитарно-неэк-
вивалентными способами в терминах ограниченных операторов
в гильбертовом пространстве &в. Спрашивается: следует ли со-
поставлять физической системе абстрактную С*-алгебру—или
некоторую ее конкретную реализацию в терминах ограничен-
ных операторов? Ответ на этот вопрос должен быть получен
из физических соображений: если можно отличить эксперимен-
тально две неэквивалентные алгебры ограниченных операторов,
являющиеся точными представлениями *) одной и той же аб-
страктной С*-алгебры, то физические системы должны описы-
ваться конкретными алгебрами ограниченных операторов (за-
данными с точностью до унитарной эквивалентности). В про-
тивном случае физическим системам можно сопоставлять
абстрактные С*-алгебры, хотя, разумеется, не запрещается ис-
пользовать и их конкретные реализации (точно так же, как
унитарная эквивалентность координатного и импульсного пред-
ставлений в классической квантовой механике не запрещает ис-
пользование каждого из этих представлений).
Для решения поставленного вопроса мы пользуемся крите-
рием физической эквивалентности двух представлений R] и R2
алгебры 91 типа С*, данным Хаагом и Кастлером A964). Этот
критерий учитывает, что любой эксперимент состоит из конеч-
ного числа измерений и что каждое измерение содержит неко-
торую погрешность (в принципе сколь угодно малую, но не ну-
левую) .
Представления R] и R2 алгебры 91 в гильбертовых простран-
ствах ?№\ и &6% физически эквивалентны, если при любом вы-
боре конечного числа наблюдаемых Аи .... Ап из 91, положи-
тельного оператора с конечным следом В\ (в &в\) и числа
ь > 0 существует такой положительный оператор с конечным
следом В2 (в Mi), что
lTr(BiRiHft)) -Tr(B2R2(ds))| <е, /г=1 п. E.А.14)
Это понятие физической эквивалентности совпадает с мате-
матическим понятием слабой эквивалентности представлений
(Фел (I960)). Согласно результатам Фела представления Ri (91)
и R2(9l) слабо эквивалентны тогда и только тогда, когда ядра
этих представлений совпадают (т. е. когда одно и то же
*) Представление абстрактной алгебры 91 называется точным, если его
ядро (т. е. множество элементов, которые представлены нулем) состоит толь-
ко из нулевого элемента алгебры 9Г,
26 Н. Н. Боголюбов и др.

394 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА (ГЛ. S
множество в абстрактной алгебре 21 отображается на нулевой
оператор в ?Ш\ и в ?/&2). В частности, любые точные предста-
вления алгебры 91 типа С* слабо (физически) эквивалентны.
Это доказывает, что физические системы соответствуют
именно абстрактным С*-алгебрам (см. более детальное обсу-
ждение этого вопроса у Кастлера A963)).
А.4. Формулировка квантовой теории поля в терминах
алгебр ограниченных операторов. Основная идея Хаага при
алгебраической формулировке квантовой теории поля состоит
в том, что поскольку любое физическое измерение производится
в конечной области пространства — времени, то вся теория
должна формулироваться в терминах локальных наблюдаемых,
которые порождают некоторую алгебру. Несмотря на кажу-
щуюся естественность этой идеи, она настолько необычна с точ-
ки зрения общепринятого формализма квантовой теории поля,
что ее до сих пор не удается провести в чистом виде. Дело в
том, что операторы представления группы Пуанкаре, а также
их генераторы, например энергия и импульс (или их спектраль-
ные проекторы), не являются локальными наблюдаемыми. То
же самое относится к такому понятию, как суммарный элек-
трический заряд системы, и вообще ко всем наблюдаемым, чьи
собственные значения выделяют когерентные подпространства
в правилах суперотбора. Ниже мы будем придерживаться ком-
бинированного подхода, исходящего из конкретного представле-
ния С*-алгебры в гильбертовом пространстве и включающего,
помимо локальных наблюдаемых, также и глобальные величи-
ны, такие, как энергия — импульс, суперотборные операторы
и т. п. В частности, поэтому мы будем формулировать теорию
в терминах конкретных алгебр фон Неймана, состоящих из
ограниченных операторов, действующих в пространстве векто-
ров состояния, несмотря на то, что, как было выяснено в преды-
дущем пункте, физические системы находятся во взаимно одно-
значном соответствии с абстрактными С*-алгебрами.
Приступим к точной формулировке теории Хаага — Араки.
Прежде всего, мы оставляем неизменными первые три аксио-
мы релятивистской квантовой теории, которые были сформули-
рованы и подробно обсуждались в гл. 2. Другими словами, бу-
дем предполагать, что чистые состояния физической системы
описываются лучами в некотором сепарабельном гильбертовом
пространстве Ш и что в &в реализуется унитарное представле-
ние накрывающей группы Пуанкаре 5р0, которое приводится
правилами суперотбора и для которого имеет место принцип
спектральности.
Далее, понятие релятивистского квантованного поля заме-
няется понятием локальной алгебры.

ДОПОЛНЕНИЕ
395
Каждой ограниченной области О в пространстве — времени
ставится в соответствие алгебра фон Неймана R(O) таким об-
разом, что выполняются условия:
1) Если OiCzOa, то R(Oi)c:R(O2) (изотония).
2) Ковариантность относительно группы Пуанкаре:
U(a, A)R(O)U-l(a, А) = Я(А(А)О + а), E.А.15)
где АО+а — область, полученная поточечным преобразованием
Пуанкаре (а, Л) области О.
3) Локальная коммутативность: если области О\ и О2 рас-
положены пространственноподобно друг относительно друга
(т. е. если каждая точка О2 разделена пространственноподоб-
ным интервалом от любой точки О\), то RfC^) и R(O2) комму-
тируют между собой. Если обозначить через О' совокупность
всех точек, расположенных пространственноподобно относи-
тельно О, то постулат локальной коммутативности может быть
записан в виде
02<=0,=^R@,)cR'@2), E.A.16)
где R'(O2)— коммутант алгебры R(O2).
4) Если в теории имеются правила суперотбора, которым
соответствует разложение гильбертова пространства B.1.21),
то объединение алгебр
LJ E.A.17)
L
о
оставляет инвариантным каждое из когерентных подпро-
странств 36-у В каждом когерентном подпространстве алгебра
E.А.17) неприводима. Это означает, что коммутант алгебры
E.А.17) совпадает с алгеброй фон Неймана, порожденной
проекторами на когерентные пространства Шу
Алгебра E.А.17) не замкнута. Ее пополнение (замыкание)
относительно сходимости по норме будем обозначать через R.
Операторы алгебры R типа С* будем называть квазилокаль-
ными операторами*). Замыкание R относительно слабой схо-
димости приводит к алгебре фон Неймана Rw, которая уже со-
держит глобальные наблюдаемые. Если не настаивать на рас-
смотрении лишь алгебр локальных наблюдаемых, а допускать
произвольные (в том числе и глобальные) величины, то мож-
но поставить в соответствие алгебру фон Неймана любому
*) По терминологии Араки и Хаага A967) R содержит квазилокальные
операторы нулевого порядка. Операторы из теоретико-множественной суммы
E.А.17) называются локальными.
26*

396 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. Б
открытому множеству в пространстве — времени (не требуя его
ограниченности). Для этого заметим сначала, что любое откры-
тое множество О может быть представлено в виде теоретико-
множественной суммы бесконечного числа ограниченных обла-
стей Оа, и сделаем следующее добавочное предположение:
5) ПустьО = (j Oa = (j 6„ — два произвольных разложения
открытого множества О в сумму ограниченных областей. Тогда
потребуем, чтобы выполнялось равенство
VaR(Oa)-VpRFp), E.A.18)
где Va(R(Oa))—алгебра фон Неймана, порождаемая элемен-
тами всех R(Oa). Из этого предположения, в частности, сле-
дует, что если открытое множество О само ограничено, то ал-
гебра фон Неймана E.А.18) совпадаете R(O).
Предположение 5) позволяет нам определить алгебру фон
Неймана для произвольного открытого множества [)Оа, где
Оа — ограниченные области, формулой
R(U0o) = FaR@a). E.A.19)
Заметим, что в принятой нами формулировке глобальные
наблюдаемые в какой-то мере определяются через локальные.
Принцип примитивной причинности Хаага (см. гл. 3, п. 1.3)
также находит естественную формулировку в терминах алгебр
фон Неймана. Чтобы сформулировать его, введем понятие при-
чинной тени области О. Будем говорить, что точка к принадле-
жит причинной тени области О, если всякий времениподобный
или изотропный луч, исходящий из к и направленный в прош-
лое, пересекает область О. Условие причинности (по Хаагу)
формулируется тогда следующим образом:
6) Если область О2 находится в причинной тени области Оь
то R(O2) cR(O,).
Наряду с понятием причинной тени удобно ввести также
понятие об обратной (или отраженной по времени) причинной
тени, заменяя в приведенном выше определении лучи, напра-
вленные в прошлое, на лучи, направленные в будущее. Сумму
прямой и обратной причинных теней области О будем называть
причинной оболочкой области О и обозначать 0е. В случае, ко-
гда теория ГСР-инвариантна, из требования 6) следует, что
если О2 содержится в причинной оболочке О\, toR(O2)cR(Oi).
Комбинируя этот результат с требованием 1), находим, что ал-
гебра фон Неймана, соответствующая произвольной области О,
совпадает с алгеброй фон Неймана, соответствующей ее при-
чинной оболочке;
. E.A.20)

ДОПОЛНЕНИЕ 897
Единственный известный пример системы локальных алгебр
фон Неймана связан с теорией свободного скалярного нейтраль-
ного поля (см. Араки A9636) и A964а, б), Кадисон A963) и
Дел'Антонио A967)). Существенно, что при любом выборе веще-
ственной основной функции f(x) симметричный оператор сво-
бодного поля ф(/) имеет самосопряженное замыкание (т.е.
Ф*(f) =<p**(f); о таких операторах говорят, что они в суще-
ственном— самосопряженные; см., например, [20], гл. X, § 8).
Следовательно, оператор qj(f) (точнее, его замыкание) обладает
однозначно определенным спектральным разложением типа
A.1.47). Спектральные проекторы ?<кд(А), когда основная
функция f(x) пробегает пространство D(O) (см. гл. 1, п. 1.3),
порождают некоторую алгебру фон Неймана R(O). Получен-
ная система зависящих от О алгебр фон Неймана удовлетво-
ряет всем условиям 1)—6) и обладает наряду с ними следую-
щими замечательными свойствами 7), 8), справедливыми, од-
нако, для областей О специального вида: О есть причинная обо-
лочка ограниченного (относительно) открытого множества В
на некоторой пространственноподобной гиперплоскости, причем
(двумерная) граница области В кусочно-гладкая:
7) Если О' — внутренние точки множества О', определен-
ного в требовании 3), то
RF')
Это свойство может рассматриваться как более сильная форму-
лировка постулата локальной коммутативности.
8) Алгебра фон Неймана свободного поля для открытого
множества О является фактором:
R(O)n R(O')'={a/}. E.A.21)
Более того, это — фактор класса III по классификации
п. А.2 (Араки A9646)).
Относительная сложность описания свободных полей в тер-
минах локальных алгебр не должна нас обескураживать. Мы
должны учесть, что данная в цитированных работах Араки си-
стема алгебр фон Неймана соответствует не одному свободному
полю, а всему классу эквивалентности Борхерса свободного
поля.
Неясно, можно ли требовать выполнения условий 7) и 8) в
общем случае или эти свойства специфичны для свободного
поля? Имеется недоказанная гипотеза, что равенство E.А.21)
применительно к сужению на когерентные пространства являет-
ся в общем случае следствием остальных аксиом.
А.5. Обзор результатов. Мы перечислим без доказательств
(но с указанием источников) некоторые результаты, относящиеся

398 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА 1ГЛ. 5
к формулировке релятивистской квантовой теории в терминах
локальных алгебр фон Неймана и к ее связи с квантовой тео-
рией поля.
I. Условия совпадения и несовпадения алгебр R(O). Пусть
спектральное разложение унитарного оператора трансляции
U(a) = U(a, 1) имеет вид
\el"xdE{p). E.A.22)
В силу постулата спектральности dE(p) отлично от нуля лишь
в замыкании будущего конуса V*. Будем говорить, что вектор
Фег%? обладает компактной энергией, если векторная функ-
ция йЕ(р)Ф имеет компактный носитель в R*(p) (для этого до-
статочно, в силу условия спектральности, предположить, что
dE(jD)O=0 при достаточно больших р°). Для векторов с ком-
пактной энергией вектор-функция U(a, 1)Ф допускают аналити-
ческое продолжение по а во все четырехмерное комплексное
пространство С4. Будем говорить, что вектор Ф является тота-
лизатором для алгебры R в пространстве я№, если из (х, ВФ) =
=0 при всех БеБ следует, что %—0. Вектор Ф называется се-
паратором для алгебры R, если из BeR и ?5ф=0 вытекает
?5 = 0. Для того чтобы вектор Ф был сепаратором для R, необ-
ходимо и достаточно, чтобы он был тотализатором для комму-
танта R' (см. [52], стр. 6). Следующее вспомогательное утвер-
ждение, которое представляет и самостоятельный интерес, при-
надлежит Рее и Шлидеру A961) (см. также Уайтман A964а)).
Лемма 5.А. 1. Пусть Ф — вектор с компактной энергией,
принадлежащий когерентному пространству я/в-у Тогда он явля*
ется одновременно тотализатором, и сепаратором в S^j относи-
тельно каждой алгебры R(O).
Для дальнейшего нам понадобится понятие пространствен-
ноподобной оболочки (О) области О. Пусть пространственно-
временные точки к и у таковы, что к — у eV+; определим двой-
ной конус Сх>„ как открытое множество точек г, для которых
Тогда (О) определяется как объединение двойных конусов
Сх,у для пар х,уеО таких, что к — yeV* и отрезок ах+
+ A — а)у, 0<а<1, содержится в О. Борхерс A961) пока-
зал, что
R(OHR«O». E.A.23)
Существуют, однако, и такие пары областей, для которых мож-
но заранее утверждать, что соответствующие им алгебры R не
совпадают (см., например, Уайтман A964а)).

ДОПОЛНЕНИЕ 399
Теорема 5.A3. Если 0xcz0 и евклидово расстояние ме-
жду границами областей О, и О положительно, то R(Oi) яв-
ляется истинной частью алгебры Я(О).
Этот результат вместе с леммой 5.А.1 позволяет установить
(Кадисон A963), Генен и Мисра A963); см. также обзор Уайт-
мана A964а)), что алгебра R(O) не содержит фактора конеч-
ного типа (т.е. типа 1„ или II! классификации п. А.2). Отсюда,
в частности, следует, что ни одна из алгебр R(O) не может быть
коммутативной (абелевой).
II. Связь с квантовой теорией поля. Пусть задана теория
скалярного эрмитова поля, удовлетворяющего аксиомам гл. 3.
Для того чтобы такому полю можно было однозначно поставить
в соответствие систему алгебр фон Неймана, достаточно, чтобы
при любом выборе вещественной основной функции f(x) опера-
тор qp(f) был (как и в случае свободного поля) в существен-
ном самосопряженный, т. е. чтобы имело место равенство
Ф*(Л=Ф**(П при f (*)=/(*)• E.А.24)
Поэтому возникает вопрос о нахождении условий, при которых
это равенство имеет место. Впервые достаточное условие для
существования самосопряженного замыкания у полевых опера-
торов было сформулировано в работе Борхерса и Циммермана
A964). Это условие основывается на работе Нельсона A959) и
состоит в дополнительном требовании, чтобы вакуум был анали-
тическим вектором для всех операторов tp(f); другими словами,
требуется, чтобы при любом выборе финитной основной функ-
ции f(x) степенной ряд
1^
n=0
имел отличный от нуля радиус сходимости в комплексной пло-
скости г. Это равносильно требованию, чтобы
при любой /(x)e=D(R4), л-0, I, 2. ...
E.А.25)
Необходимое и достаточное условие самосопряженности в су-
щественном операторов tp(f) приведено в работах Гачка
A966а, б) и Березанского A966). Оно состоит в квазианали-
тичности вектора 4""q относительно поля qp(f) (по поводу квази-
аналитических векторов см. Нусбаум A965)). Это значит, что
последовательность
II Mf)]"% II=Р„

400 TCP. СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. S
удовлетворяет условию
оо
2- = ос E.А.26)
В силу формулы Стирлинга и расходимости гармонического
ряда условие E.А.26) заведомо выполняется, если удовлетво-
ряется условие аналитичности вектора Wo E.А.25). Но условие
E.А.26) может иметь место и в случае, когда E.А.25) нару-
шается, например при
р„ = (п 1п п)п.
Свободное скалярное поле qp удовлетворяет условию E.А.25),
но уже полином Вика :<р8(л:): от этого поля не удовлетворяет
даже более слабому условию E.А.26). Тем не менее «полю»
:<ра(х): можно соотнести систему алгебр фон Неймана, поль-
зуясь соответствием между неограниченными и ограниченными
операторами, изученным Стоуном A951 —1952). Однако пока
неясно, будут ли полученные таким образом алгебры фон Ней-
мана удовлетворять аксиомам, сформулированным в предыду-
щем разделе.
Чтобы подойти к обратной проблеме — к восстановлению ре-
лятивистского поля, исходя из данной системы алгебр фон Ней-
мана, мы введем вспомогательное понятие поля Хаага— Араки.
А именно, каждому оператору А е R(O), где О — ограниченное
множество, мы поставим в соответствие поле Хаага — Араки,
определенное формулой
A(x)'-U(x)AU-1(x), (A@)=A), E.A.27)
где U(x) —оператор трансляции E.А.22). Поле А(х) трансля-
ционно-ковариантно;
U(a)A(x)U-l(a)=A{x+a), E.A.28)
но оно нековариантно относительно преобразований из однород-
ной группы Лоренца и нелокально (мы уже убедились — гл. 3,
п. 2.4, — что не существует релятивистского квантованного поля,
определенного в каждой точке как оператор в гильбертовом
пространстве S@). Однако
1А(х),А(у)] = 0,
если области О + х и О + у расположены пространственно-
подобно относительно друг друга. Можно было бы подумать,
что мы придем к локальному оператору в пределе, когда диа-
метр области О стремится к нулю. Однако в соответствии
с результатами гл. 3, п. .4, в когерентном подпространстве,

ДОПОЛНЕНИЕ 401
содержащем вектор вакуума,
П'
Озх
R(O) = {«1} E.A.29)
(Уайтман A964а)), т. е. мы приходим в этом пределе к три-
виальному оператору умножения на константу.
Более перспективной кажется возможность исходить из сгла-
женных операторов
К (/) = f / (х) U (х) Апи-г (х) d*x, E.А.30)
где Ап е R(On), а О„ — последовательность областей, сжимаю-
щихся в точку. Однако в настоящее время неясно, можно ли вы-'
брать последовательность операторов Ап таким образом, чтобы
обобщенные операторные функции An(f) стремились к нетри-
виальному пределу с нужными свойствами.
III. Теория рассеяния в терминах локальных алгебр. Для
рассмотрения теории рассеяния Араки и Хаагу A967) пришлось
прежде всего несколько расширить совокупность локальных опе-
раторов, включая в нее операторы, осуществляющие переходы
между разными когерентными подпространствами. Введение та-
ких операторов удобно, если мы хотим рассмотреть рассеяние
фермионных или заряженных частиц. В частности, при таком
расширении часть операторов должна быть фермионного типа
(т. е. для них в требовании 3) предыдущего пункта коммутатив-
ность должна замениться антикоммутативностью). Это необхо-
димо для конструирования векторов состояния с определенной
конфигурацией падающих (или вылетающих) частиц. Таким пу-
тем удается получить достаточно удобную формулу для сечения
рассеяния в рассматриваемом подходе.
В то же время авторы показывают, что принципиально тео-
рию можно сформулировать в терминах одних только наблюдае-
мых (без использования операторов Ферми или операторов, из-
меняющих заряд). Однако такая формулировка была бы слиш-
ком громоздкой и практически неудовлетворительной.
Несколько иная формулировка теории рассеяния содержится
в работе Эпштейна A967), в которой автор показывает, что сде-
ланные им предположения (при формулировке теории столкно-
вений) достаточны, чтобы доказать ТСР-инвариантность S-ма-
трицы. Среди дополнительных предположений следует отметить
гипотезу о структуре одночастичных состояний, запрещающую
вырождение массы по спину.
Отметим, наконец, что из сделанных предположений 1)—6)
в п. А.4 в принципе нельзя вывести теорему о связи спина со

402 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА. ТЕОРЕМА ХААГА [ГЛ. «
статистикой. Причина состоит в том, что можно построить беско-
нечнокомпонентное свободное спинорное поле, которое преоб-
разуется по унитарному (бесконечномерному) представлению
группы Лоренца и квантуется коммутаторами (вместо антиком-
мутаторов) .
С таким полем можно связать систему алгебр локальных
наблюдаемых, удовлетворяющую всем требованиям предыду-
щего пункта (см. Стритер A967) и Стоянов и Тодоров A968),
где имеются ссылки на предыдущие публикации по этому во-
просу). Все дело в том, что в аксиомах для локальных алгебр
ограниченных операторов нигде не находит отражения требо-
вание о конечномерности представления V(j4), по которому
должно преобразовываться квантованное поле согласно посту-
лату V гл. 3 (см. C.1.6)).
ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
§ 1. Теорема об общем виде лоренц инвариантных голоморфных функ-
ций, аналитических в трубчатой области Т'п, доказана в работе Холла и
Уайтмана A957). В этой работе в качестве основной леммы впервые опуб-
ликовано доказательство Баргмана теоремы 5.1.2 для случая инвариантных
функций. Обобщение этой теоремы на произвольные ковариантные функции,
преобразующиеся по конечномерному представлению группы Лоренца, дано
Уайтманом A960а) и Иостом A961). Совокупность вещественных точек рас-
ширенной трубчатой области определена Иостом A957). Полное описание
расширенной трубчатой области содержится в обстоятельной работе Уайт-
мана A960а). Различные обобщения теоремы Холла — Уайтмана об общем
виде инвариантных обобщенных функций содержатся в работах- Хеппа
A963а), A9646). Некоторое обобщение теоремы E.1.2) содержится в ра-
боте Минковского и др. A964). Теорема (в некотором смысле обратная к
теореме 5.1.2) о том, что любая функция, аналитическая в трубчатой обла-
сти и в некоторой окрестности точек Иоста, в то же время аналитична в
расширенной трубчатой области и преобразуется по конечномерному пред-
ставлению группы Лоренца, доказана Боголюбовым и Владимировым A958)
для случая функций одного 4-вектора и обобщена на функции п аргументов
Бросом и др. A967).
§ 2. В стандартной лагранжевой квантовой теории поля ГСР-теорема
возникла в тесной связи с проблемой спина и статистики: Швингер A951),
Людерс A954), A957) и A961), Паули A955) (см. также историю вопроса
в статье Иоста A959) и в книге [2] (библиография к гл. 4)). Доказатель-
ство ГСР-теоремы в уайтмановском аксиоматическом подходе принадлежит
Иосту A957). Связь между ГСР-инвариантностью и слабой локальной ком-
мутативностью обсуждалась далее Дайсоном A958а). Доказательство тео-
ремы о глобальной природе локальной коммутативности, данное Иостом и
Штейнманом, опубликовано в статье Уайтмана A960а) (см. также Петрина
A961)). Недавно в этом направлении был получен более сильный резуль-
тат. Полмайер A967) доказал, что если матричные элементы от коммутатора
стремятся к нулю на пространственноподобной бесконечности быстрее, чем
в"*'1, то имеет место строгая локальность. Относительно возможной экс-
периментальной проверки ГСР-инвариантиости см. Ли и др. A957), М. Щи-

ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ 403
роков A962), Биленышй A966), Гурден A967), а также_книгу [55]. Любо-
пытный физический пример с пропагаторной матрицей К°К°. показывающий,
что следствия ГСР-инвариантности в stom случае являются на самом деле
следствиями лоренц-кнвариантности, рассмотрен Липшутцем A966). Классы
эквивалентности локальных полей введены Борхерсом A960) (см. также лек-
ции Уайтмана A962) и работы Акария A962) и Араки A963а)). Примеры
взаимно локальных полей с одной и той же 5-матрицей приведены у Ка-
мефучи и др. A961) (и в других цитированных там работах). Класс Бор-
херса свободного поля описан в работе Эпштейна A963) и Лагерхолка к
Шроера A965). Условия другого типа, при которых S-матрица тривиальна,
даны Бардакси и Сударшаиом A961), Гринбергом и Лихтом A963) и Ака-
рия A963). Они показывают, что не может быть нетривиальной 5-матрицы,
допускающей лишь конечное число неупругих процессов.
§ 3. Для свободных полей с произвольным спином теорема о связи спи-
на со статистикой была доказана Фирцем A939) и Паули A940). Доказа-
тельства, основанные на общих постулатах, приведены в работах Людерса и
Зумино A958), Бургоин A958) и Дел'Антонио A9616). Связь теоремы о
спине и статистике со свойством разбиения на пучки обсуждается у Фруа-
сара и Тейлора A967). Перестановочные соотношения между разными по-
лями обсуждались в рамках обычной теории Людерсом, Зумино A958), а
в рамках аксиоматического подхода Араки A9616). Преобразование Клейна,
использованное в этих работах, применялось Клейном A938) в другом кон-
тексте. Квантовая теория свободных параполей была развита Грином A953)
(еще раньше парабозе-осциллягоры рассматривались Вигнером A950)).
В дальнейшем парастатистики исследовались Волковым A959) и A960), Чер-
ииковым A962), Камефучи и др. A962), A963), Галин до и Индуреном
A963), Мессиа и Гринбергом A964), Гринбергом и Мессиа A965) (см. об-
зоры Гринберга A965) и Говоркова A966а), где имеются дополнительные
ссылки, а также недавнюю работу Фешбаха и Томляновича A967)). Аксио-
матический подход к парастатистнкам и связь спина с парастатистикой об-
суждались Дел'Антонио и др. A962). Эквивалентность локальности и пара-
локальиости для свободных параполей доказана Араки и др. A966). Гипо-
теза, что кварки могут подчиняться парастатистике, рассматривалась Грин-
бергом A964) и Говорковым A9666).
§ 4. Относительно канонической гамильтоновой формулировки кванто-
вой теории поля см. [45] и Араки A6606). Теорема Хаага A955) изложена
здесь в обобщенной формулировке Холла и Уайтмана A957). Доказатель-
ство леммы 5.4.1 дано Федербушем и Джонсоном (I960) и Иостом A961)
(другое рассмотрение имеется у Гринберга A959), см. также Гачок A961)).
Обзор по неэквивалентным представлениям каконических перестановочных
соотиошеиий дан Лопушаньским A965), где приведены ссылки на оригиналь-
ные публикации (см. также [53], [13], гл. 4, § 5, Вайдлих A963) и Астахов
к др. A967)). Линейное канокическое преобразование E.4.30), которое пере-
путывает операторы рождения и уничтожения, применялось Боголюбовым
в теории сверхпроводимости (см. [54]) и Хаагом A962)). Физическое истол-
кование теоремы Хаага обсуждается в лекциях Уайтмана A967), где имеются
также дополнительные ссылки, и в книге [2]. Теорема о невозможности опи-
сания «нарушенной симметрии» зависящим от времени унитарным операто-
ром доказана Фабри и др. A967).
Дополнение А. Формулировка квантовой теории поля в терминах ал-
гебр ограниченных операторов (алгебр фои Неймана), принадлежит Хаагу
A957), A958) и Араки A961/62) (см. также Хааг и Шроер A962) и обзор-
ную статью Уайтмана A964а)). Алгебра фон Неймана, соответствующая
свободному скалярному полю, была исследована Араки A9636), A964а, 6),
Кадисоном A963), Кастлером A965), Дел'Антонио A967). Формулировка ло-
кальной квантовой теории в терминах абстрактных алгебр С принадлежит

404 TCP, СПИН И СТАТИСТИКА, ТЕОРЕМА КААГА [ГЛ. Е
Хаагу и Кастлеру A964) (см. также Кастлер A963) и обзор Робинзона
A965а)). Алгебраическое условие положительности энергии в этом подходе
дано Доплихером A965). Относительно разложения инвариантных состоя-
ний в алгебраическом подходе по экстремальным инвариантным состояниям
см. Рюель A966). Условия существенной самосопряженности полевых опе-
раторов, при которых можно установить соответствие с локальными алгебра-
ми фон Неймана, приводились Борхерсом и Циммерманом A964), Гачком
A966а, б) и Березанским A966). Теория рассеяния в алгебраическом под-
ходе изучалась Аракн и Хаагом A967). TCP -теорема в локальной теории,
сформулированной в терминах алгебр фон Неймана, доказана Эпштейном
A967). Пример нарушения теоремы о связи спина со статистикой в алгебраи-
ческой формулировке, основанный на рассмотрении бесконечнокомпонентных
полей, дан Стрнтером A967). В этом примере масса бесконечно вырождена
по спину и нарушает условие компактности, предложенное Хаагом и Свиека
A965).
Относительно математической теории алгебр С* и алгебр фон Неймана
см. монографии [31] и [52].

ЛИТЕРАТУРА
I. Учебники и монографии
1. Н. Н. Боголюбов, Б. В. Медведев, М. К- Поливанов. Вопро-
сы теории дисперсионных соотношений, М., Физматгиз, 1958.
2. Р. Стрите р, А. Вайтман, РСТ, спин и статистика и все такое, М.,
«Наука», 1966.
3. R. J о s t, The general theory of quantized fields, Providence, Rhode Is-
land, American Math. Soc, 1965 (см. русский перевод: Р. И ост, «Основы
теории квантованных полей», М., Мир, 1967, где имеется дополнение
К. Хеппа).
4. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ш и р к о в, Введение в теорию квантован-
ных полей, М., Гостехиздат, 1957.
5. Э. X е н л и, В. Т и р р и н г. Элементарная квантован теория поля, М.,
ИЛ, 1963.
6. С. Ш в е б е р, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, М.,
ИЛ, 1963.
7. К- Ниш в джим а. Фундаментальные частицы, М., «Мир», 1965.
8. Р. Маршак, Э. С у д а р ш а н. Введение в физику элементарных частиц,
ИЛ, 1962.
9. М. Л. Гольдбергер, К- М- Ватсон, Теория столкновений, М.,
«Мир», 1967.
10. Л. В. Канторович, Г. П. Авилов, Функциональный анализ в нор-
мированных пространствах, М., Физматгиз, 1959.
II. Н. Данфорд, Дж. Шварц, Линейные операторы, Общая теория, М.,
ИЛ, 1962; Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбер-
товом пространстве, М., «Мир», 1966.
12. И. М. Г е л ь ф а н д, Г. Е. Шилов, Пространства основных и обобщен-
ных функций (Обобщенные функции, вып. 2), М., Физматгиз, 1958.
13. И. М. Гельфанд, Н. Я. Виленкин, Некоторые применения гармо-
нического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства (Обобщенные
функции, вып. 4), М., Физматгиз, 1961.
14. А. П и ч, Ядерные локально выпуклые пространства, М., «Мир», 1967.
15. Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман,. Теория линейных операторов в
гильбертовом пространстве, М., «Наука», 1966.
16. М. А. Н аи марк. Линейные представления группы Лоренца, М., Физ-
матгиз, 1958.
17. L. Schwartz, Theorie des distributions, v. I— II, Paris, Hermann, 1957,
1959.
18. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия
над ними (Обобщенные функции, вып. 1), М.. Физматгиз, 1958.
19. И. С. Градштейи, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов сумм, рядов
и произведений, М.. Физматгиз, 1962.
20. К- Морен, Методы гильбертова пространства, М., «Мир», 1965.
21. Ю. М. Б е р е з а н с к и й. Разложение по собственным функциям самосо-
пряженных операторов, Киев, «Наукова думка», 1965.

406 ЛИТЕРАТУРА
22. А. Минусинский и Р. Сикорскиб, Элементарная теории обоб-
щенных функций, 1 и II, М., ИЛ, 1959 и 1963.
23. И. М. Гельфаид, М. И. Граев и Н. Я- В и л е н к и н. Интегральная
геометрия и связанные с ией вопросы теории представлений (Обобщен-
ные функции, вып. 5), М., Физматгиз, 1962.
24. В. С. Владимиров, Методы теории функций многих комплексных пе-
ременных, М., «Наука», 1964.
25. Л. С. П о н т р я г и н. Непрерывные группы, М., Гостехиздат, 1954.
26. Е. В и г и е р. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической
теории атомных спектров, М., ИЛ, 1961.
27. Т. К a h a n, Theorie des groupes en physique classique et quantique, t. 1.
Structures mathematiques et fondaments quantiques, Paris, Dunod, 1960.
28. П. М s т ь ю с, Релятивистская квантовая теория взаимодействий элемен-
тарных частиц, М., ИЛ, 1959.
29. Л. Б. Окунь, Слабое взаимодействие элементарных частиц, М., Физмат-
гиз, 1963.
30. Д. П. Желобенко, Лекции по теории групп Ли, Дубиа, ОИЯИ, 1965.
31. М. А. Наймарк, Нормированные кольца, М., «Наука», 1968.
32. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III,'ч. 1 и 2, М.—Л.,
Гостехиздат, 1951.
33. И. фон Нейман, Математические основы квантовой механики, М.,
«Наука», 1964.
34. И. М. Г е л ь ф а н д, Р. А. М и н л о с, 3. Я. Шапиро, Представления
группы вращения и группы Лоренца, М., Физматгнз, 1958.
35. Э. К а р т а н. Теория спиноров, М., ИЛ, 1047.
36. П. К. Рашевский, Римаиова геометрия и тензорный анализ, М., «На-
ука», 1967.
37. ?>. К a s 11 е г, Introduction a l'electrodynamique quantique, Paris, Dunod,
1961.
38. A. Viscontl, Theorie quantique des champs (Tomes 1 et II), Paris,
Gauthier — Villars, 1960.
39. X. Умздзава, Квантовая теория поля, М., ИЛ, 1958.
40. В. А. Фок, Работы по квантовой теории поля, Л., Изд. ЛГУ, 1957.
41. Л. П. Эйэевхарт, Непрерывные группы преобразований, М., ИЛ,
1947.
42. Г. Я- Любарский, Теория групп и ее применение в физике, М., Гос-
техиздат, 1957.
43. М. Хамермеш, Теория групп и ее применение к физическим пробле-
мам, М., «Мир», 1966.
44. Нгуен ван Хьеу, Лекции по теории унитарной симметрии элемен-
тарных частиц, М., Атомиздат, 1967.
45. Г. Вентцель, Введение в квантовую теорию волновых полей, М.—Л.,
Гостехиздат, 1947.
46. К. Friedrichs, Mathematical aspects of quantum theory of fields, New
York, Interscience, 1953.
47. H. Винер, Р. Г13ЛИ, Преобразование Фурье в комплексной области,
М., «Наука», 1964.
48. J. Hilgevoord, Dispersion relations and causal description. An intro-
duction to dispersion relations in field theory, Amsterdam, North-Holland,
1960.
49. Г. Бейтмеи, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, М..
«Наука», 1966.
50. И. Т. То до ров, Аналитические свойства диаграмм Фейнмана в кван-
товой теории поля. София, Изд-во Болгарской Академии наук, 1966.
51. С. Б о х н е р и Т. Мартин, Функции многих комплексных переменных,
М., ИЛ, 1951.

ЛИТЕРАТУРА 407
52. J. D i x m i e r, Les C-Algebres et leurs representations, Paris, Gauthier—
Villars, 1964.
53. Ф. А. Б е р е з и н. Метод вторичного квантования, М., «Наука», 1965.
54. Н. Н. Боголюбов, В. В. Толмачев, Д. В. Ш и р к о в. Новый метод
в теории сверхпроводимости, М., Издво АН СССР, 1958.
55. Р. К. К a b i r, The CP puzzle. Strange decays of the neutral kaon, Lon-
don, New York, Academic Press, 1969.
56. Г. M. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчис-
ления, М., «Наука», 1966.
II. Статьи и лекции иа семинарах и школах
Используемые сокращения:
Анализ — Proceedings оГ a Conference on the Theory and Applications of Ana-
lysis in Function Space held at Endicott House in Dedham., Massachu-
setts, June 1963. Edited by W. T. Martin and I. Segal, Cambridge, Mas-
sachusetts, M. I. T. Press, 1964.
Болдер — Lectures in Theoretical Physics, Vol. VII-A Lorentz Group. Lectu-
res delivered at the Summer Institute for Theoretical Physics, University
of Colorado, Boulder, 1964, Edited by W. E. Brittin and A. O. Barut. Boul-
der, The University of Colorado Press, 1965.
Браидайс — Brandeis University Summer Institute in Theoretical Physics, 1965,
Vol. 1, Axiomatic field theory. New York — London — Paris, Gordon and
Breach, 1966.
Дубна 64 — Международная зимняя школа теоретической физики при Объ-
единенном институте ядерных исследований, тт. I—III, Дубна, ОИЯИ,
1964.
Дубна 67 — Труды международного совещания по нелокальной квантовой
теории поля, Дубна, ОИЯИ, 1968.
Стамбул — Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle
Physics, Lectures of the Istanbul Summer School of Theoretical Physics,
1962. Edited by F. Gursey, New York — London, Gordon and Breach,
1964,
Кайаниело — Lectures on Field Theory and Many — Body Problem. Edited by
E. R. Caianiello, New York—London, Academic Press, 1961.
Карпач — Axiomatic Approach to the Quantum Field Theorie and the Many —
Body Problem, 5-th Annual Winter School for Theoretical Physics in Kar-
pacz, February 18 — March 2, 1968. University of Wroclaw, Wroclaw, 1968.
Лезуш — Relations de dispersion et particules elementaires Ecole d'Ete de
Physique Theorique. Les Houches. Paris, Hermann, 1960.
Лилль — Les problemes mathematiques de la theorie quantique des champs,
Lille A957); Paris, Centre National de la Recherche Scientifique, 1959.
НКТП — Нелинейная квантовая теория поля. Сборник статей под редакцией
Д. Д. Иваненко, М., ИЛ, 1959.
Триест 62 — Theoretical Physics, Lectures at Trieste Seminar, 1962, Vienna,
IAEA, 1963.
Триест 65 —High Energy Physics and Elementary Particles, Lectures at
Trieste Seminar, 1965, Vienna, IAEA, 1965.
Ялта — Физика высоких энергий и теория элементарных частиц. Междуна-
родная школа по теоретической физике, Ялта, 1966, Киев, «Наукова
думка», 1967.
Акария A962) (Acharya R.), Some Borchers-type theorems in quan-
tum field theory, Nuovo Cim. 23, 580.
Акария A963) (Acharya R.), Some consequences of «minimal» analy-
ticity and unitarity in field theory, Nuovo Cim. 27, 1151.

408 ЛИТЕРАТУРА
А кс A965) (Aks S. О.), Proof that scattering implies production in quan-
tum field theory, J. Math. Phys. 6, 516.
Андерсен и др. A966) (Andersen С. М., А. В о h m and А. М. В о u n-
cristiani), Rigged Hilbert space and mathematical description of phy-
sical systems, Lectures delivered at the Summer Institute for Theoretical
Physics, University of Colorado, Boulder, 1966.
Араки A960a) (Araki H.), On asymptotic behaviour of vacuum expecta-
tion values at large space-like separation, Ann. Phys. 11. 260.
Араки A9606) (Araki H.), Hamiltonian formalism and canonical com-
mutation relations in quantum field theory, J. Math. Phys. 1, 492.
Араки A961a) (Araki H.), Wightman functions, retarded functions and
their analytic continuations, Suppl. Prog. Theor. Phys. 18, 83.
Араки A9616) (Araki H.), On the connection of spin and commutation
relations between different fields, J. Math. Phys. 2, 267.
Араки A961/62) (Araki H.), Einfflhrung in die axiomatische Quanten-
feldtheorie, I, 11, Lecture notes, ETH, Zurich.
Араки A963a) (Araki H.), A generalization of Borchers theorem, Helv.
Phys. Acta 36, 132.
Араки A9636) (Araki H.), A lattice of von Neumann-algebras associa-
ted with the quantum theory of a free Bose field, J. Math. Phys. 4,
1343.
Араки A964a) (Araki H.), Von Neumann algebras of local observables
for free scalar field, J. Math. Phys. Б, 1.
Араки A9646) (Araki H.), Type of von Neumann algebra associated
with free field, Prog. Theor. Phys. 32, 956.
Араки и др. A966) (Araki H., О. W. Greenberg and J. S. Toll),
Equivalence of locality and paralocality in free parafield theory, Phys.
Rev. 142, 1017.
Араки и Хааг A967) (Araki H. and R. Haag), Collision cross sec-
tions in terms of local observables, Commun. math. Phys. 4, 77.
Араки и др. A961) (Araki H., R. Haag and B. Schroer), The de-
termination of local or almost local field from given current, Nuovo Cim.
19, 90.
Араки и др. A962) (Araki H., К- Нерр and D. Ruelle), On the
asymptotic behaviour of Wightman [unctions in space-like directions, Helv.
Phys. Acta 36, 164.
Арбузов Б. А. и А. Т. Филиппов A966), О возможном механизме не-
сохранения СР [Ялта], 597—609.
Астахов А. В., О. И. Завьялов, А. Д. Суханов A967), Проблемы
неэквивалентных представлений канонических перестановочных соотно-
шений в квантовой теории поля. Препринт ИТФ-67-39, Киев.
Баргман A954) (Bargmann V.), On unitary ray representations of
continuous groups, Ann. of Math. 59, 1.
Баргман A962) (Bargmann V.), On the representations of the rota-
tion group, Rev. Mod. Phys. 34, 829.
Баргман A964) (Bargmann V.), Note on Wigner's theorem on sym-
metry operations, J. Math. Phys. 5, 862.
Баргман A967) (Bargmann V.), On a Hilbert space of analytic func-
tions and an associated integral transform, Part II. A family of related
function spaces. Application to distribution theory, Commun. Pure Appl.
Math. 20, 1.
Баргман и В иг не р A948) (Bargmann V. and E. P. Wigner),
Group theoretical discussion of relativistic equations, Proc. Nat. Acad. Sci.
(USA) 34, 211.
Бардакси и Сударшан A961) (В a r d a k с i К. and E. С. G S u d a r-
5 ha л). Local fields with terminating expansions,' Nuovo Cim. 21, 722.

ЛИТЕРАТУРА 409
Бардакси и Шроер A966) (Bardakci К- and В. Schroer), Lo-
cal approximation in renormalizable and nonrenormalizable theories, I
and II, J. Math. Phys. 7, 10 and 16.
Бауман A958) (Baumann K.), Retardierte Produkte und Bindungszu-
stande, Zs. f. Phys. 1S2, 448.
Березанский Ю. M. A966), О самосопряженности полевых операторов
и интегральных представлениях функционалов типа Уайтмана, УМЖ 18,
№ 3, 3.
Биленький С. A966), О возможном методе проверки СРТ-инвариантности
в р-р-рассеянии, Письма ЖЭТФ 3, 11&
Блохинцев Д. И. и Г. И. Колеров A964), A causality and dispersion
relations, Nuovo Cim. 34, 163.
Боголюбов H. H. A952). Уравнения в вариациях квантовой теории поля,
ДАН СССР, 82, 217.
Боголюбов Н. Н. A955), Условие причинности в квантовой теории поля
(Доклад па сессии Отделения физико-математических наук АН СССР
14, IV, 1954), Известия АН СССР, сер. физическая 19, 237.
Боголюбов Н. Н. A956), Доклад на международном конгрессе по тео-
ретической физике в Сиатле (сентябрь 1956, не опубликовано).
Боголюбов Н. Н. A958). Uber die Verwendung von Variationsableitungen
bei Problemen der statistischen Physik und der Quantentheorie der Fel-
der, Fortschr. Phys. 6, 426.
Боголюбов Н. H. A966), Теория симметрии элементарных частиц [Ялта],
5—112.
Боголюбов Н. Н. и В. С. Владимиров A958), Одна теорема об ана-
литическом продолжении обобщенных функций. Научные доклады выс-
шей школы, Ms 3, 26 (см. также Иг 2 A959) 179).
Боголюбов и др. A959) (Боголюбов Н. Н„ А. А. Логунов и
Д. В. Ширков), Метод дисперсионных соотношений и теория возмуще-
ний, ЖЭТФ 37, 805.
Боголюбов Н. Н. и О. А. Парасюк A957) (Bogoliubov N. N. und
О. A. Parasiuk), Ober die Multiplikation der Kausalfunktfonen in der
Quantentheorie der Felder, Acta Mathematica 97, 227.
Боголюбов Н. Н. и Д. В. Ширков A955), Вопросы квантовой теории
поля, УФН SS, 149.
Боне и др. A967) (Воусе J. F., R. Delbourgo, A. Salam and
J. Strathdee), Partial wave analysis (part I) Trieste, Preprint IC/67/9.
Бор и Розенфельд A933) (Bohr N. and L. Rosenfeld), Zur Frage
der Messbarkeit der electromagnetischen Feldgrossen, Dan. Mat. Fys.
Medd. 12, Kb 8.
Бор и Розенфельд A950) (Bohr N. and L. Rosenfeld); Field and
charge measurements in quantum electrodynamics, Phys. Rev. 78, 794.
Борхерс A960) (В ore hers H. J.), Ober die Mannigfaltigkeit der inter-
polierenden Felder zu einer kausalen S-Martrix, Nuovo Cim. IS, 784.
Борхерс A961) (Borchers H. J.). Uber die Vollstandigkeit Lorentz—in-
varianter Felder zu einer zeitartigen Rohre, Nuovo Cim. 19, 787.
Борхерс A962) (Borchers H. J.), On structure of the algebra of field
operators, Nuovo Cim. 24, 214.
Борхерс A965a) (Borchers H. J.), On the structure of the algebra of
field operators, Commun. math. Phys. 1, 49.
Борхерс A9656) (Borchers H. J.), On the vacuum state in quantum
field theory, Commun. math. Phys. 1, 57.
Борхерс A966) (Borchers H. J.), Energy and momentum as observab-
les in quantum field theory, Commun. math. Phys. 2, 49.
Борхерс и др. A963) (Borchers H. J., R. Haag and B. SchroerJ,
The vacuum state in quantum field theory, Nuovo Cim. 29, 148.
27 H. H. Боголюбов и др.

410 ЛИТЕРАТУРА
Борхерс и Циммерман A964) (Borchers-H. J. and W. Z i m-
mermann), On the self-adjointness o[ field operators, NuovoCim. 31, 1047.
Брениг иХааг A959) (Brenig W. and R. H aa g), AllgLmeineQuanten-
theorie der Stossprozesse, Fortschr. Phys. 7, 183.
Б рос A965) (Bros J.), Axiomatic field theory [Триест], 85—120.
Б рос и др. A964) (Bros J., H. Epstein and V. G laser), Some rigo-
rous analyticity properties of the four-point function in momentum space,
Nuovo Cim. 31, 1265.
Б рос и др. A967) (Bros J., H. Epstein and V. G laser), On the
connection between analyticity and Lorentz covariance of Wightman
functions, Commun. math. Phys. 6, 77.
Брюа A956) (Bruhat F.), Sur les representations induites des groupes
de Lie, Bull. Soc. Math, de France 89, 97.
Бургоин A958) (Burgoyne N.), On the connection of spin with sta-
tistics, Nuovo Cim. 8, 607.
Бялыницки-Бируля A963) (Bialynicki-Birula J.), Elementary
particles and generalized statistics, Nucl. Phys. 49, 605.
Вайдлих A963) (Weidlich W.), On the inequivalent representations of
canonical commutation relations in quantum field theory,NuovoCim.30,803.
Вайнберг A964a) (Wefnberg S.), Feynman rules for any spin, Phys.
Rev. 133B, 1318.
Вайнберг A9646) (Weinberg S.), Feynman rules for any spin, II.
Massless particles, Phys. Rev. 134E, 882.
Вигнер A939) (Wigner E. P.), On unitary representations of the in-
homogeneous Lorentz group, Ann. of Math. 40, 149.
Вигнер A950) (Wigner E. P.), Do the equations of motion determine
the quantum mechanical commutation relations? Phys. Rev. 77, 711.
Вигнер A956) (Wigner E. P.), Relativistic invariance in quantum mecha-
nics, Nuovo Cim. 3, 517.
Вигнер A960а) (Wigner E. P.), Normal form of antiunitary operators,
J. Math. Phys. 1, 409.
Вигнер A9606) (Wigner E. P.), Phenomenological distinction between
unitary and antiunitary symmetry operators, J. Math. Phys. 1, 414.
Вигнер A962a) (Wigner E. P.), Unitary representations of the inhomo-
geneous Lorentz group including reflections [Стамбул], 37—80.
Вигнер A9626) (Wigner E. P.), Invariant quantum mechanical equations
of motion [Триест 62], 59—82.
Визимирски A966) (Wizimirski Z.), On the existence of the field of
operators in the axiomatic quantum field theory, Bull, de l'Acad. Polon.
ScL, Serie des sciences math. astr. et phys. 14, 91.
Вик A962) (Wick G. C), Angular momentum states for three relativistic
particles, Ann. Phys. 18, 65.
Вик A966) (Wick G. C), Discrete symmetries problems [Ялта], 227—236.
Вик и др. A952) (Wick G. С, A. S. Wightman and E. P. Wigner),
The intrinsic parity of elementary particles, Phys. Rev. 88, 101.
Виноградски A957) (Winogradzki J.), Spineurs du second rang
a composantes invariantes et formalisme spinoriel incluant les parities.
J. Phys. Rad. 18, 3B7.
Виноградски A958) (Winogradzki J.), La representation spinori-
elle du groupe de Lorentz general, Cahiers de Physique 12, 261.
Вииоградски A959) (W i no gr a dzk i J.), Sur la conjugaison de charge
et deux transformations analogues, Comptes rendus, Paris 248, 1480.
Владимиров В. С. A960), О построении оболочек голоморфности для об-
ластей спепиального вида, ДАН СССР, 134, 251*.
Волков Д. В. A959), О квантовании полей с полуцелым спином, ЖЭТФ
36, 1560-

литература 411
Волков Д. В A960), S-матрица в обобщенном методе квантования,ЖЭТФ
38, 518.
Гайзенберг A943) (Hei sen berg W.), Die «Beobachtbaren Grossen»
in der Theorie der Eiementarteiichen, Zs. f. Phys. 120, 513.
Гвлиндо и Индурен A963) (Gal in do A. and F. J. Yndurain), On
parastatistics, Nuovo Cim. 30, 1040.
Гачок В. П. A961), Одно обобщение теоремы Хаага, УМЖ 13, 22.
Гачок В. П. A965), О проблеме моментов в квантовой теории поля, ДАН
СССР 16S, 506.
Гачок В. П. A966а) (Gachok V. P.), Quasi-analytic functionals and self-
adjointness of field operators, Nuovo Cim. 45, 158.
Гачок В. П. A9666) (Gachok V. P.), A description of all self-adjoint ex-
tensions of the field operators. Препринт ИТФ-66-5, Киев.
Гельфанд И. М. и А. Г. Костюченко A955), О разложении по соб-
ственным функциям дифференциальных и других операторов, ДАН СССР
103, 349.
Гельфанд И. М. и Г. Е. Шилов A953), Преобразования Фурье быстро
растущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши,
УМН 8, № 6, 3.
Гельфанд И. М. и А. М. Яглом A948), Общие релятивистскн-ин-
вариантиые уравнения и бесконечномерные представления группы Ло-
ренца, ЖЭТФ 18, 703.
Генен A%6а) (Guenin M.), On the interaction picture, Commun. math.
Phys. 3, 120.
Генен A9666) (Guenin M.), Lectures in Theoretical Physics, vol. IX-A.
Lectures delivered at the Summer Institute for Theoretical Physics, Uni-
versity of Colorado, Boulder, 1966. Edited by A. O. Barut, W. E. Brittin
and M. Guenin, Boulder, The University of Colorado Press.
Генен A968) (Guenin M.), Practical use of algebraic concepts in quan-
tum field theory [Карпач].
Генен и Мнсра A963) (Guenin M. and Misra В.), On the von Neu-
mann algebras generated by field operators, Nuovo Cim. 30, 1272.
Гнйо и Пети A966) (Guillot J. С. et J. L. Petit), Nouvelles formes
des representations unitaires irreductibles du groupe de Poincare 1, 11,
Helv. Phys. Acta 39, 281 et 308.
Глазер и др. A957) (G laser V., H. Lehmann and W. Zimmer-
man n), Field operators and retarded functions, Nuovo Cim. 6,
1122.
Говорков А. Б. A966а), Замечание о пара- и суперстатистнках [Ялта],
770—777.
Говорков А. Б. A9666), Note on the parastatistics, Preprint J1NR E2-3003,
Dubna.
Говорков А. Б. A967), О возможности параполевого представления вну-
тренних степеней свободы типа изоспина и странности. Препринт ОИЯИ
Р4-3602, Д>бна.
Гордннг A944) (G a r d i n g L.), On a class of linear transformations con-
nected with group representations, Medd. Lunds. Mat. Sem. 6.
Гординг и Лион A959) (Gar ding L. and Lions J. L.), Functional
Analysis, Suppl. Nuovo Cim. 14, 9.
Горже A966) (Gorge V.), Lorentz-invariant distributions, Syracuse Uni-
versity, Preprint SU-66-03.
Граверт н др. A959) (Grawert G., G. Lfiders and H. R с 11 n i k), The
TCP theorem and its applications, Fortschr. Phys. 7, 291 (см. русский
перевод в УФН 71 A960), 289).
Грии A953) (Green H. S.), A generalized method of field quantization,
Phys. Rev. 90, 270,
27'

412 литература
Гринберг A959) (Greenberg О. W.), Haag's theorem and closed ope-
rators, Phys. Rev. 115, 606.
Гринберг A961) (Greenberg O. W.), Generalized free fields and mo-
dels of local field theory, Ann. of Phys. 16, 158.
Гринберг A962) (Greenberg O. W.), Heisenberg fields which vanish
on domains of momentum space, J. Math. Phys. 3, 859.
Гринберг A964) (Greenberc O. W.), Coupling of internal and space-
time symmetries, Phys. Rev. 135B, 1447.
Гринберг A965) (Greenberg O. W.), Parafield theory. Report at the
Conference on Mathematical Physics held at Endicott House in Dedham,
Massachusetts.
Гринберг и Лихт A963) (Greenberg О. W. and A. L. Licht),
Quantum field-theory model whose truncated vacuum expectation values
vanish beyond some order, J. Math. Phys. 4, 613
Гринберг и Мессиа A965) (Greenberg О. W. and A. M. L. Mes-
siah), Selection rules parafields and the absence of paraparticles in na-
ture, Phys. Rev. 138B, 1155.
Гроссман A965) (Grossmann A.), Hilbert space of type S.. J. Math.
Phys. 6, 54.
Гроссман A966) (Grossmann A.), Elementary properties of nested Hil-
bert spaces, Commun. math. Phys. 21, 1.
Гроссман A967) (Grossman A.), Fields at a point, Commun. math.
Phys. 4, 203.
Гротенднк A955) (Gr о then dick A.), Produits tensoriels topologiques
et espaces nucleaires, Memoirs of the American math. Society, № 16.
Гуд A955) (Good R. H., Jr.), Properties of the Dirac matrices. Rev. Mod.
Phys. 27, 187.
Гурден A967) (Gourd in M.), TCP invariance, time-reversal invariance,
and K-meson decay, Lectures givtn at IIId Tokyo Summer Institute, Sep-
tember 1967, Preprint ORSAY.
Гюрсей A963), Гюршн Ф., Введение в теорию групп, В сб. «Теория
групп и элементарные частицы» под ред. Д. Д. Иваненко, М., «Мир»,
1967, 25—113.
(F. Gursey, «Relativity, Groups and Topology», N. 4—L., De Witt
1964).
Дай сон A958a) (Dyson F. J.), On the connection of weak local commuta-
tivity and regularity of Wight man functions, Phys. Rev. 110, 579.
Даисон A9586) (Dyson F. J.), Integral representations of causal com-
mutators, Phys. Rev. 110, 1460.
Дел' Антон ио A967) (Dell* Antonio G. F.), Support of a field in
p-space, J. Math. Phys. 2, 759.
Дел' Антонио A9616) (Dell' Antonio G. F.), On the connection
between spin and statistics, Ann. of Phys. 16, 153.
Дел' Антонио A967) (Dell' Antonio G. F.), Structure of the algeb-
ras of some free systems, Instituto di Fisica Teorica, Lniversita di Napoli,
Preprint.
Дел' Антонио и др. A962) (Dell* Antonio G. F., O. W. Greenberg
and E. C. G. Sudarshan), Parastatistics: axiomatic formulation con-
nection with spin and statistics and TCP theorem for a general field
theory, [Стамбул]. 403—407.
Джакоб и Вик A959) (Jacob M. and G. С. Wick), On the general
theory of collisions for particles with spin, Ann. Phys. 7, 404.
Джафе A965) (Jaffe A.), On the approximation of quantum field theo-
ries, J. Math. Phys. 6, 1172.
Джафе A967) (Jaffe A.), High energy behaviour in quantum field theory,
I. Strictly localizable fields Phys, Rev. 158, 1454,

ЛИТЕРАТУРА 413
Джафе и Пауерс A967) (J a f f e A. and R. Powers), Infinite volume
limit of а А.фн field theory, University of Pennsylvania, Preprint.
Доплихер A965) (Doplicher S.), An algebraic spectrum condition.
Commun. math. Phys. 1, 1.
Ефимов A968) (Efimov G. V.), On a class of relativistic invariant
distributions, Commun. math. Phys. 7, 138.
Ииграхам A962) (In graham R. L.), Relativistic invariance and the
tacit uniqueness postulate in quantum field theory, Nuovo Cim. 26, 328.
йосс A962) (Joos H.), Zur Darstellungstheorie der inhomogenen Lorentz-
gruppe als Grundlage quantenmechanischer Kinematik, Fortschr. Phys. 10,
65.
йосс A964) (Joos H.), Complex angular momentum and the representa-
tions of the Poincare group with space-like momentum [Болдер],
132—138.
Иордан иСударшан A962) (Jordan Th. F. and E. C. G. Sudar-
shan), Reduction of operator rings and the irreducibility axiom in quan-
tum field theory, J. Math. Phys. 3, 587.
И ост A957) (Jost R.), Eine Bemerkung zum CTP-Theorem, Helv. Phys.
Acta 30, 409.
Иост A959) (Jost R.), Принцип Паули и группа Лоренца, В сб. «Теоре-
тическая физика 20 века», М., ИЛ, 1962, 128—161.
Иост A960) (jost R.), Die Normalform einer komplexen Lorentztransfor-
mation, Helv. Phys. Acta 33, 773.
Иост A961) (Jost R.), Properties of Wightman [unctions [Кайаниело],
127—145.
Иост A963) (Jost R.), TCP-Invarianz der Slreumatrix und interpolierende
Felder, Helv. Phys. Acta 36, 77.
Иост A966) (Jost R.), tJber das zeitliche Verhaiten von glatten Losungen
der Klein-Gordon Gleichung, Helv. Phys. Acta 39, 21.
Иост и Леман A957) (Jost R. and H. Lehmann), Integral representa-
tion of causal commutators, Nuovo Cim. 5, 1598.
Иост и Xenn A962) (Jost R. and K. Hepp), Uber die Matrixelemente
des Translationsoperators, Helv. Phys. Acta 35, 34.
Кадисон A963) (Kadison R.), Types of von Neumann algebras in quan-
tum field theory, J. Math. Phys. 4, 1511.
Кадышевский В. Г. и Тодоров И. Т. A966), Группа симметрии
/SZ.F); представления и инварианты. Ядерная физика 3, 135.
Камефучи и Умэдзава A951) (Kamefuchi S. and H. Umezawa),
The vacuum in quantum electrodynamics. Prog. Theor. Phys. 6, 543.
Камефучи и Такахаши A962) (Kameluchi S. and Y. Та ka-
li a shi), A generalization of field quantization and statistics, Nucl. Phys.
36, 177.
Камефучи и Стратди A963) (Kamefuchi S. and J. Strathdee),
A generalization of field quantization and statistics A1), Interacting
fields, Nucl. Phys. 42, 166.
Камефучи и др. A961) (Kamefuchi S., L. O'R a i f e a r t a i gh, A. S a-
lam), Change of variables and equivalence theorems in quantum field
theories, NucH Phys. 28, 529.
Кастлер A963) (К as tier D.), A C*-algebra approach to field theory
[Анализ], 179—191.
Кастлер A965) (Kastler D), The C*-algebras of a free boson field,
I. Discussion of the basic facts, Commun. math. Phys. 1, 14.
Кац Г. И. A960), Обобщенные элементы гильбертова пространства, УМЖ
12, 13.
Кашлуи A959) (Kaschluhn F.), On the asymptotic and causality con-
ditions in quantum field theory, Nuovo Cim. 12, 541.

414 ЛИТЕРАТУРА
Каш лун A960) (Kaschluhn F.), On the asymptotic and causality con-
ditions in quantum Held theory, II. Nuovo Cim. 17, 609.
Кимелсеи A966) (Kimelsen С. О.), On unique supports of analytic
functionals, Ark. f. Mat. 6, 307.
Клейн A938) (Klein O.), Quelques remarques sur le traitement spproxims-
tif du probleme des electrons dans im reseau cristallin par la mecanique
quantique, J. Phys. Rad. 9, 1.
Кристенсен и др. A965) (К r i s t e n s e n P., L. M e i 1 b о and E. Т. Р о u 1-
sen), Tempered distributions in infinitely many dimensions, I. Canoni-
cal field operators, Commun. msth. Phys. 1, 175.
Лангерхолк и Шроер A965) (Langerholc J. and B. Schroer),
On the structure of the von Neumann algebras generated by local func-
tions of the free Bose field, Commun. math. Phys. 1, 215.
Лангерхолк и Шроер A967) (Langerholc J. and B. Schroer),
Can current operators determine a complete theory? Commun. math. Phys.
4, 123.
Ласнер и Ульман A967) (Lassner G. and A. Uhlmann), Faithful
representations of algebras of test functions, Preprint JINR E-2-3583,
Dubna.
Леви-Леблон A963) (Levy-Leblond J. M.), Galilei group and non-
relativistic quantum mechanics, J. Math. Phys. 4, 776.
Леман A954) (Lehmann H.), Properties of propagation functions and
renormalization constants of quantized fields, Nuovo Cim. II, 342.
Леман и др. A955) (Lehmann H., К. Symanzik and W. Zimmer-
mann), Zur Formulierung quantisierter Feldtheorien, Nuovo Cim. 1, 205.
Леман и др. A957) (Lehmann H., К- Symanzik and W. Zimmer-
msnn), The formulation of quantized field theories, 11, Nuovo Cim. 6,
319.
Ли A965) (Lee T. D.), Weak interactions and questions of С, Р, T-nonin-
variances. В сб.: Oxford International Conference on Elementary Particles,
September 1965, Proceedings. Rutherford High Energy Laboratory, 1966,
225.
Ли A966) (Lee T. D.), Time reversal symmetry, Physikertagung, 1966, Mun-
chen Dtsch. und Osterr. Phys. Ges. Plenarvortr., Teil 2, Stuttgart, 1967,
243—261.
Л и и др. A957) (Lee Т. D., R. Oehme and С N. Yang), Remarks on
possible nomnvsriance under time reverssl and chsrge conjugation. Phys.
Rev. 106, 340 (см. перевод в сб. «Новые свойства симметрии элементар-
ных частиц», ИЛ, 1957).
Ли и Вик A966) (Lee Т. D. and G. С. Wick), Space inversion, time
reversal and discrete simmetries in local field theories, Phys. Rev. 148,
1520.
Лион A952—1953) (Lions j. L.), Supports dans la transformation de
Laplace, J. Analyse Math. 2, 369. _
Л и n ш у т ц A966) (L i p s h u t z N. R.), Invariance principles and the K° — Kc
propagator matrix, Phys. Rev. 144, 1300.
Л и xt A963) (Licht A. L.), Strict localization, J. Math. Phys. 4, 1443.
Лихт и Тол A96П (Licht A. I. and J. S. Toll), Two-point function and
generalized free fields, Nuovo Cim. 21, 346.
Логунов А. А. и Нгуен ваи Хьеу A964), Общие принципы квантовой
теории поля и их экспериментальные следствия [Дубна 64], т. II, 38—65.
Логунов А. А., Нгуен ван Хьеу и И. Т. Тодоров A966), Асимпто-
тические соотношения между амплитудами рассеяния в локальной тео-
рии поля, УФН 88, 51.
Ломоит A960) (Lomont J. S.), Decomposition of direct products of rep-
resentations of the inhomogeneous Lorentz group, j. Math. Phys. 1, 237.

ЛИТЕРАТУРА 415
Лопушаньский A965) (Lopuszanski J. Т.). On the unitary inequi-
valent representations in the quantum field theory and the many body
problem, Acta Phys. Hung. 19, 29.
Л ю дер с A954) (Luders G.). On the equivalence of invariance under time
reversal and under particle-antiparticle conjugation For relativistic Field
theories, Dan. Mat. Fys. Medd. 28, 5.
Л ю дер с A957) (Luders G.), Proof of the TCP theorem, Ann. Phys.
2, 1.
Л ю дере A961) (Luders G.), TCP theorem and related problem [Кайапие
ло], 1—26.
Людерс и Зумино A958) (Luders G. and B. Zumino), Connection
between spin and statistics, Phys. Rev. 110, 1450.
Майорана A937) Ша jo ran a E.), Nuovo Cim. 14, 171.
Маки A952) (Ma скеу G. W.), Induced representations of locally compact
groups 1, Ann. of Math. 55, 101.
Мальгранж A953) (Malgrange В.), Equations aux derivees partielles
a coefficients constants, I. Solution elementaire, Comptes rendus, Paris
237, 1620.
Мандельстам A958) (Man dels tarn S.), Determination of pion-nuc-
leon scattering amplitude from dispersion relations and unitarity. General
theory, Phys. Rev. 112, 1344 (см. русский перевод в сб. «Новый метод в
теории сильных взаимодействий, Двойные дисперсионные соотношения»,
М., ИЛ, 1960).
Манохаран A962) (М а по ha r an А. С), The primitive domain of ho-
lomorphy for the 4 and 5 point Wiehtman functions, J. Math. Phys. 3, 853.
Мартино A963) (Martineau A.), Sur les fonctionnelles analyliques
et la transformation de Fourier—Borel, J. d'Analyse Math. II, 1.
Мартэн A966) (Martin A.), Inability of field theory to exploit the full
unitarity condition, Geneva, Preprint TH. 727.
Медведев Б. В. A961), О функциональном разложении матрицы рассея-
ния по нормальным произведениям асимптотических полей, ЖЭТФ 40,826.
Медведев Б. В. и М. К- Поливанов A961), Степени роста матричных
элементов в аксиоматическом методе, ЖЭТФ 41, ИЗО.
Медведев Б. В. и М. К. Поливанов A964), К аксиоматическому по-
строению матрицы рассеяния [Дубна 64], т. I, 77—139.
Медведев Б. В. и М. К. Поливанов A967а), О формулировке адиа-
батической гипотезы в аксиоматической теории поля, Препринт ИТФ-67-24,
Киев.
Медведев Б. В. и М. К. Поливанов A9676), Модель взаимодействия
с производными, допускающая точное решение, Преприпт ИТФ-67-25,
Киев.
Медведев Б. В., М. К. Поливанов и А. Д. Суханов A967а), Пере-
нормировка поля в аксиоматической квантовой теории, Преприпт
ИТФ-67-28, Киев.
Медведев Б. В., М. К- Поливанов и А. Д. Суханов A9676), Мо-
дель взаимодействия с производными. Проблема унитарности и нормаль-
ная форма решения, Препринт ИТФ-67-26, Киев.
Медведев Б. В., М. К. Поливанов и А. Д. Суханов A967в),
Проблемы динамического аппарата квантовой теории поля в аксиомати-
ческом методе, Препринт ИТФ-67-27, Киев.
Медведев Б. В., М. К- Поливанов и А. Д. Суханов A967г),
Спектральные представления и перенормировка поля, Препринт ИТФ-67-29,
Киев.
Медведев Б. В., М. К- Поливанов и А. Д. Суханов A967д), Усло-
вие причинности и соотношение между аксиоматиками Боголюбова и
Лемаиа — Шиманчика — Циммермана, Препринт ИТФ-67-38, Киев.

418 ЛИТЕРАТУРА
Симанэнк A966) (Symanzik К), Euclidean quantum field theory,
I. Equations for a scalar model, J. Math. Phys. 7, 510.
Соболев С. Л. A936), Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy
pour les equations lineaires hyperboliques normales, Матем. сб. Ms 1 D3),
39.
Стоун A951—1952) (Stone M. H.), On unbounded operators in Hilbert
space, J. Indian Math. Soc. 15, 155.
Стоянов Д. Ц. и И. Т. Тодоров A968) (Stoyanov D. Tz. and
I. T. To do г о v), Majorana representations of the Lorentz group and in-
finite-component fields, J. Math. Phys. 9, 2146.
С три тер A964) (S treat er R. F.), Almost local field theories of the
S-matrix, Phys. Rev. 136B, 1748.
Стритер A967) (Streater R. F.), Uniqueness of the Haag-Ruelle scat-
tering states, J. Math. Phys. 8, 1685.
Суханов А. Д. A965), Уравнение движения для «половинное» S-матрицы
и его следствия, ЖЭТФ 49, 1812.
Суханов А. Д. A966), «Квазилокальные* гайзенберговы операторы и про-
блема перенормируемости в квантовой теории поля, ЖЭТФ 51, 1195.
Тагамлицкий Я. A954—1956), Дополнение конусов и приложение к за-
даче обобщения функций, 1, II III. Гос. Соф. унив., физ.-мат. фак. 49,
кн. I A954—1955), ч. I, 24, ч. II, 41; 50 кн. I A955—1956), ч. 1, 135.
Тирринг A958) (Thirring W.), On interacting spinor fields in one di-
mension, Nuovo Cim. 9, 1007.
Тодоров И. A964), Аксиоматический подход в квантовой теории поля
[Дубна 64], 5—76 (см. также немецкий перевод в Fortschr. Phys. 13
A965) 649); см. еще Todorov I, On some recent achievements in the
axiomatic approach to quantum field theory, Acta Phys. Hung. 19 A965),
199.
Уайтман A956) (Wightman A. S.), Quantum field theory in terms of
vacuum expectation values, Phys. Rev. 101, 860.
Уайтман A957) (Wightman A. S.), Quelques problemes mathematiques
de la theorie quantique relativiste [Лнлль], 1—58.
Уайтман и Барут A959) (Wightman A. S.), Relativistic invariance
and quantum mechanics, Notes by A. Barut, Nuovo Cim. Suppl. 14,
81.
Уайтман A960а) (Wightman A. S.), Quantum field theory and ana-
lytic functions of several complex variables, J. Indian Math. Soc. 24,
625.
Уайтман A9606) (Wightman A. S.), L'invariance dans la mecanique
quantique relativiste [JTesyui], 159—226.
Уайтман A96Ов) (Wightman A. S.), Analytic [unctions of several
complex variables [Лезуш], 227—315.
Уайтман A962) (Wightman A. S.), Recent achievements of axiomatic
field theory, Lecture at Trieste Seminar., [Триест 62], 11—58.
Уайтман A964a) (Wightman A. S.), La theorie quantique locale et la
theorie quantique des champs, Ann. Inst. Henri Poincare, Ser. A 1, 403.
Уайтман A9646) (Wightman A. S.), Introduction to some aspects of
relativistic dynamics of quantum fields, Lectures at Cargese, Corsica (см.
русский перевод «Проблемы в релятивистской динамике квантованных
полей», М., «Наука», 1968).
Уайтмаи A967) (Wightman A. S.), Progress in the foundations of
quantum field theory, Proceedings of the International Theoretical Physics,
Conference on «Particles and Fields» (Rochester, 1967).
Уайтман н Гординг A964) (Wightman A. S. and L. Go r ding),
Fields as operator-valued distributions in relativistic quantum field theory,
Ark. f. Fys. 28, 129.

ЛИТЕРАТУРА 419
Ульман A961) (Uhlmann A.), Spectral integral for the representation of
the space-time translation group in relativistic quantum theory, Ann.
Phys. 13, 453.
Ульман A962) (Uhlmann A.), tjber die Definition der Quantenfelder
nach Wightman and Haas, Wiss. Zeits. Karl Marx-Univ. 11, 213.
Фабри и др. A967) (Farbi E., L. E. Picasso, F. Stroochi), Broken
symmetries in quantum field theory, Nuovo Cim. 48A, 376.
Фабнберг В. Я. A961), Об условиях причинности в квантовой теории
поля, ЖЭТФ 40, 1758.
Файнберг В. Я. A964), Уравнения квантовой теории поля в аксиомати-
ческом подходе [Дубна 64], т. I, 140—170.
Файнберг и Вайнберг A959) (Feinberg G. and S. Weinberg),
On the phase factors in inversion, Nuovo Cim. 14, 571.
Федербуш и Джонсон (I960) (Federbush P. G., K. A. Johnson),
The Uniqueness of the two-point function, Phys. Rev. 120, 1926.
Фел A960) (Fell J. M. G.), The dual spaces of C*-algebras, Trans. Amer.
Math. Soc. 94, 365.
Фешбах и Томлянович A967) (Feshbach H. and N. Tomljano-
vich), Selection rules for parafields, Mass. Inst. of Techrology, Cam-
bridge, Massachusetts.
Фирц A939) (Fierz M.), Ober die relativistische Theorie kraftfreier Teil-
chen mit beliebigen Spin, Helv. Phys. Acta 12, 13.
Фирц и Паули A939) (Fierz M. and W. Pauli), On relativistic wave
equations lor particles of arbitrary spin in an electromagnetic field, Proc.
Roy. Soc. A173, 211.
ФишериРоичка A966) (F ische r J. and R. R a cz k a), Infinite-dimen-
sional irreducible representations of Lie algebras of compact unitary gro-
ups, Trieste, preprint IC/66/101.
Фок A932) (Fock V.), Konfigurationsraum und zweite Quantelung, Zs. f.
Phys. 75, 622 (см. также русский перевод в сб. В. А. Фок, работы по
квантовой теории поля, Л, Изд. ЛГУ, 1957, 25—51).
фон Нейман A931) (von Neumann J.), Die Eindeutigkeit der Schrodin-
gerschen Operatoren, Math Ann. 104, 570.
Франк A962) (Frank W M.), Convergence of perturbation expansions
in cutoff meson theories, J. Math. Phys. 3, 936.
Фрид A962) (Fried H. M.), Axiomatic perturbation theory for retarded
functions, J. Math. Phys. 3, 1107.
Фруасар и Тейлор A967) (Froissart M. and J. R. Taylor), Clu-
ster decomposition and the spin and statistics, Phys. Rev. 153,
600.
Xaar A955) (H a a g R.), On quantum field theories, Dan. Mat. Fys. Medd.
29, Ms 12, 55.
X a a r A957) (H a a g R.), Discussion des «axiomes» et des propriftes asym-
ptotiques d'une theorie des champs locales avec patricules composees
[Лилль], 151—162 (см. русский перевод в сб. «Математика» 6:4 A962),
134).
Хааг A958) (Haag R.), Quantum field theories with composite particles
and asymptotic conditions, Phys. Rev. 112, 669.
Xaar A959) (Haag R.), The framework of quantum field theory, Nuovo
Cim Suppl. 14, 131.
Xaar A962) (Haag R.), The mathematical structure of the Bardeen —Co-
oper— Schrieffer model, Nuovo Cim. 2Б. 287.
Xaar A963) (Haag R.), Remarks on Ihe mathematical structure of quantum
field theory [Анализ], 192—196.
Xaar и Кастлер A964) (Haag R. and D. Kastler), An algebraic
approach to quantum field theory, J. Math. Phys. 5, 848.

420 ЛИТЕРАТУРА
Хааг и Свиека A965) (Н a a g R. and J. A. Swieca), When does a
quantum field theory describe particles? Commun. math. Phys. 1, 308.
Хааг и Шроер A962) (Haag R. and B. Schroer), Postulates of quan-
tum field theory, J. Math. Phys. 3, 248.
Хагедори A959) (Hagedorn R.), Note on symmetry operators in quan-
tum mechanics, Nuovo Cim. Suppl. 12, 73.
Харатян С. Г. A968), Коммутативность правил суперотбора и полный
набор наблюдаемых, ДАН СССР, 180, 564.
Харатян С. Г. и Оке а к А. И. A968) (Kharatian S. G. and A. I. О li-
sa к). On the hypothesis of commutative superselection rules, Preprint
J1NR, E2-3799, Dubna.
Хариш-Чандра A947) (Harish-Chandra), On relativistic wave
equations, Phys. Rev. 71, 793.
Xeun и др. A961) (Hepp K-, R. J о s t, D. Ruelle and O. Steinmann),
Necessary condition on Wightman functions, Helv. Phys. Acta 34, 542.
Xenri A963a) (Hepp K), Lorentz-kovariante analytische Funktionen, Helv.
Phys. Acta 36, 355.
Xenn A9636) (Hepp K.), On the asymptotic condition in a local relati-
vistic quantum field theory, Acta Phys. Austrica 17, 85.
Xenn A964a) (Hepp K-), Spatial cluster decomposition properties of the
S-matrix, Helv. Phys. Acta 37, 659.
Xenn A9646) (Hepp K-), Lorentz invariant analytic S-matrix amplitudes,
Helv. Phys. Acta 37, 55.
Xenn A965a) (Hepp K.), On the connection between the LSZ and Wight-
man quantum field theory, Cominun. math. Phys. 1, 95.
Xenn A9656) (Hepp K-), On the connection between Wightman and LSZ
quantum field theory [Брандайс], 135—246.
Xenn A965b) (Hepp K), One-particle singularities of the S-matrix in qu-
antum field theory, J. Math. Phys. 6, 1762.
Xenn A966) (Hepp K-), Proof of the Bogoliubov — Parasiuk theorem on
renormalization, Commun. Math. Phys. 2, 301.
Xenn A967) (Hepp K), Fundamental theoretical questions, Report at the
Heidelberg Conference on Elementary Particles.
Хермаидер A958) (Hormander L.), On the division of distributions
by polinomials, Arkiv mat. 3, 555 (см. русский перевод в сб. «Матема-
тика» 3:5 A959), 117).
Холл и Уайтман A957) (Hall D. and A. S. Wightman), A theorem
on invariant analytic functions with applications to relativistic quantum
field theory, Dan. Mat. Fys. Medd. 31, Ns 5.
Хоружий С. С. A967), К построению аксиоматической теории неперенор-
мируемых взаимодействий, 1. Неперенормируемые поля как аналитические
функционалы, Препринт Р2-3085, II. Существование матрицы рассеяния,
Препринт Р2-3086., Дубна.
Циммерман A954) (Zimmerman W.), Ober den Zusammenhang von
Bethe-Salpetergleichung und Tamm-Dancoffmethode, Nuovo Cim. Suppl.
11, 43.
Циммерман A958) (Zimmermann W.), On the bound state problem
in quantum field theory, Nuovo Cim. 10, 597.
Челлен A950) (Kallen G.), Formal integration of the equations of quan-
tum theory in the Heisenberg representation, Arkiv f. Phys. 2, 371.
Челлен A952) (Kallen G.), On the definitition of renormalization con-
stants in quantum electrodynamics, Helv. Phys. Acta 25, 417.
Челлен A960) (КЗ lien G.), Properties of the vacuum expectation values
of field operators [Лезуш], 387—454.
Челлен A968) (К й lien G.), Gradient terms in commutators of currents
and fields [Karpacz].

ЛИТЕРАТУРА 421
Челлеи и Толл A960) (К a lien G. and J. Toll), Integral representa-
tions for the vacuum expectation ol three scalar local fields, Helv. Phys.
Acta 33, 753.
Чел лен и Уайтман A958) (К alien G. and A. S. Wightman), The
analytic properties of the vacuum expectation value of я product of
three scalar local fields. Mat. fys. Skr. Kgl. Danske Wid. Selskab. 1,
№6.
Чеиь A967) (Chen T. W., F. Rohrlich and M. Wilner), Role
of causality in quantum field theory and the dynamical postulate, J. Math.
Phys. 7, 1365.
Чень A967) (Chen T. W.), Asymptotic quantum field theory, Ann. Phys.
42, 476.
Черников Н. A. A962) (Chernikov N. A.), The Fock representation
of the Duffin— Kemmer algebra, Acta Phys. Polon. 21, 51.
Чжоу Гуан Чжао и М. И. Широков A958), Релятивисткая теория
реакций с поляризованными частицами, ЖЭТФ 34, 1230.
Шварц A945) (Schwartz L.), Generalization de la motion de fonction,
de derivation, de transformation de Fourier et applications mathematiques
et physiques, Annales de 1'Universite de Grenoble 21, 57.
Шварц A952) (Schwartz L.), Theorie des noyaux, Proceedings of the
international congress of mathematicians 1, 220 (см. русский перевод
в сб. «Математика» 3: 3 A959), 69—79).
Шварц A953/54) (Schwartz L.), Produits tensoriels topologiques et
espaces nucleaires, Seminaire de 1'Institut Henri Poincare.
Шварц A9541 (Schwartz L.), Sur l'impossibilite de la multiplication
des distributions, Comptes Rendus, Paris, 239, 847.
Швиигер A951) (Schwinger J.), On the theory of quantized fields,
I, Phys. Rev. 82, 914 (см. русский перевод в сб. «Новейшее развитие
квантовой электродинамики», М., ИЛ, 1954, 115).
Широков М. И. A961), Релятивистская общая теория реакций типа
a+b->c+d+e.... ЖЭТФ 40, 1387.
Широков М. И. A962), Проверка PC и РСТ-инвариантностей в процес-
сах распада, УФН 78, 471.
Широков Ю. М. A957—1959), Теоретико-групповое рассмотрение основ
релятивистской квантовой механики, 1. Общие свойства неоднородной
группы Лоренца, ЖЭТФ 33 A957), 861; II. Классификация неприводи-
мых представлений неоднородной группы Лоренца, ЖЭТФ 33 A957),
1196; 111. Неприводимые представления классов Ро и О0 и не вполне
приводимые представления неоднородной группы Лоренца, ЖЭТФ 33
A957), 1208; IV. Пространственные отражения в квантовой теории,
ЖЭТФ 34 A958), 717; V. Неприводимые представления неоднородной
группы Лоренца, включающие отражения в пространстве и во времени,
ЖЭТФ 36 A959), 879.
Широков Ю. М. A960а) (Shlrokov Yu. M.), Space and time reflections
in relativistic theory, Nuclear Phys. IB, 1.
Широков Ю. M. A9606) (Shirokov Yu. M.), Types of symmetry of
elementary particles, Nuclear Phys. 15, 13.
Шмидт и Бауман М956) (Schmidt W. und К- В a n m a n n), Quanten-
theorie der Felder als Distributionstheorie, Nuovo Cim. 4, 860.
Штейнман A960) (Steinmann O.), tlber den Zusammenhane zwlschen
Wightmanfunktionen und retardierten Kommutatoren, I und II, fielv. Phys.
Acfa 33, 257 und 347.
Штейнман A963a) (Steinmann O.), Zur Definition der retardierten
und zeitgeordneten Produkte, Helv. Phys. Acta 36, 90.
Штейнман A9636) (Steinmann O.), Structure of the two point fun-
ctions, J. Math. Phys. 4, 583.

422 - ЛИТЕРАТУРА
Штюкельберг и Ривье A950) (S t ueckelbe r g Е. С. G. et D. R 1-
vier), Causaiite et structure de ia Matrice S, Helv. Phys. Acta 23, 215.
Штюкельберг A951) (S t ueck el ber g E. C. G.), Relativistic quantum
theory for Unite time intervals, Phys. Rev. 81, 130.
Штюкельберг и Петер ман A953) (S tu eckelber g E. С G. et
A. Petermann), La normalization des constantes dans la theorie des
quanta, Helv. Phys. Acta 26, 499.
Эп штейн A963) (Epstein H.), On the Borchers class of a free field,
Nuovo Cim. 27, 886.
Эпштейн A967) (Epstein H.), CTP invariance of the S-matrix in a the-
ory of local observables, J. Math. Phys. 8, 750.
Эренпрейс A954) (Ehrenpreis L.), Division by a polynomial of deri-
vation, Amer. J. Math. 76, 883.
Янг и Фельдман A950) (YangC. N. and D. F e 1 d m a n). The S-matrix
in the Heisenberg representation, Phys. Rev. 79, 972.
ЯухиПирон A963) (J auch J. M. and С Pir on), Can hidden variables
be excluded in quantum mechanics?, Helv. Phys. Acta 36, 827.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ*)
Аксиома отделимости 153
Алгебра Лэффниа — Кеммера 371
—, двусторонний идеал 205
—, коммутант 211, 390
—, левый идеал 205
—, иравый идеал 205
—, представление точное 393
— Лн 161 и далее
полупростая 162
простая 162
, абелева подалгебра 162
, идеал 162
, присоединенное представление 162
— с инволюцией 203, 388
— типа С*, см. С*-алгебра
— универсальная обертывающая 109, 161
— фон Неймава 390
Алгебры ассоциативные 388
Анаатц Грина 370
Баанс Майорана 131
— Фока S1
Квартеты Штейнмана 302
Класс Борхерса взаимно слабо локальных
полей 355
— эквивалентности 43, 207
Лемма Паулк 125
— Шура 158
Луч единичный 85
Множество когерентное 94
— односвяэное 101
— открытое 153
Мультипликатор 50
Наблюдаемая 96
— допустимая 87
Несохраневне четносн 33
Норма 17, 20 н далее
Нормы согласованные 22
Группа евклидовых движений 152
— Лн 155
— локально компактная 154
— Лоренца неоднородная 99
собственная 99
— несвязная 154
— односвяэная 154
— полупростая [52
— простая 152
— Пуанкаре малая 114
общая 99
собственная 99
— свяаная 154
— топологическая 154
компактная 154
некомпактная 154
—, автоморфизм 102
—, — внешний 102
*-~i — внутренний 102
—, гомоморфность 101
—, делнгель нормальный 151
.—, представление линейное 155
—, — непрерывное 155
—, — проективное 104
—, — унитарное 156
—, — эквивалентное 156
—, универсальная накрынающап 101
—, центр 152
Группы коммутативные 151
Инволюция 203
Область голоморфности 347
Оболочка голоморфности 347
Одночастотные состояния, стабильность 248
Окрестность нуля сильная 27
слабая 27
Оператор наометрнчный 35
— ннфниитеэнмальный 160, 168
— кваэнлокальный 283, 305
— неограниченный 32
— ограниченный 32
— ортогонального проектирования 86
— радиационный 280
— рассеяния 257
— самосопряженный 34, 36
— евмметрнчный, см. оператор эрмитов
— унитарный 34, 36
— физического обращения времени 128
— эрмитов 34
— эрмитово сопряженный 33
—, графня 33
—, норма 32
—, расширение 33
Операторы Казимира 163
— поля, непрнноднмая система 180
Подгруппа 151
— инвариантная, см. группа, делитель пор-
мальный
— тривиальная 151
— характеристическая 152
*) Этот указатель дополняет оглавление книги не повторяя его. В указатель вклю-
чены термины н понятия, непосредственно не отраженные в оглавлении

424
предметный указатель
Подпространство инвариантное 157
— — тривиальное 157
— когерентное 94
—, инвариантное Дополнение 157
Полином Вика 356
Полунорма 17
Поля взаимно слабо локальные 354
Пополнение по норме 25
Последовательность быстро убывающая 30
— фундаментальная 18, 42
Постулат примитивной причинности 182
Правила суперотбора 94 97
, коммутативность 37
Правило четио-иечетное 36
Представление вполне приводимое 157
— неприводимое IS7
— приводимое 157
— спииориос 99, 123
— Челлеиа — Ленаиа 190, 232, 235
Представления слабо эквивалентные 393
— физически экаиаалевтиые 393
Преобразование Лоренца ортохроиное 93
Произведение в алгебре Ля 109
— Ля 161
, антисимметрия 161
, тождество Якоби 161
— операторов нормальное 218
— пространств симметрязованяое тензорное
141
— спинориых полей нормальное 229
Пространство банахово 18
— быстроубыаающих f-кратных последова-
тельностей 91
— гильбертово 19 и далее
оснащенное 32, 35 и далее
— линейное 17 и далее
вещественное 17
комплексное 17
— кормироаакиое полное, см. пространство
банахово
— последовательностей «умеренного роста»
91
— свертыаателей 69
— сепарабельиое 19
— совершенное 24
— топологическое 153
— счетно нормированное 22 и далее
— топологическое 153
— Фока 91
— Фрсше 23
— хаусдорфово 153
— ядерное 29 н Далее
—. изоморфизм 56
Разложение единицы 43
Решение уравнения Клейна — Гордона
гладкое 246, 248
СвеБтыватсль 59
Свойство разбиения на пучки 191, 206
Связь спика со статистикой нормальная
359
Состояние чистое 392
Состояния обобщенные 87
— регулярные 87
Спкноры, относительная четность 232
Столбец Фока 139
Сходимость по норме 18
Сходимость сильная, см. сходимость по
норме
Теорема Вигиера 104
— о замкнутом графике 83
— Рисса 2Г, 70
— Хана — Ваиаха 22
Точки И оста 332 и далее
Усеченные средние вакуумные 191
• обобщенные 193
Условие слабой локальной коммутативно-
сти 348
Фактор-группа 153
Фактор-пространство 208
Функционал 20
— билккейиый 28
— линейный 20
— мульткпликативно-положнтельный 204
— непрерывный 20
— положительный 21, 391
неразложимый 392
— Уайтмана 206
— эрмктов 204
—I порядок 26
Функция Грина причинная 53, 238, 250
четырехточечная 295
— инвариантная нечетная 67
четная 67
— обобщенная 39 и далее
запаздывающая 60
лоренц-нивариаитная 66
неотрицательная 70
опережающая 60
, носитель 41
— осиовиав 39 и далее
— фииитиав 23
—, носитель 23
С*-алгебра 389