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ECROM NÉI E
.1 1

ELECTROMACNÉTISME
1

Collection de
Sciences
physiques
dirigée par
Maurice Ravaille
Conforme aux programmes des classes de mathématiques supérieures et spéciales
CHIMIE GENERALE, R. Didier
EXERCICES DE CHIMIE GÉNÉRALE, R. Didier
CHIMIE DESCRIPTIVE organique • minérale, SUP et MM', R. Didier
CHIMIE DESCRIPTIVE organique - minérale, SUP et PP', P . Grécias
EXERCICES ET PROBLÈMES DE CHIMIE ORGANIQUE, R. Didier, P. Grécias
CIRCUITS ÉLECTRIQUES ET ÉLECTRONIQUES 1, R. Beauvillain, H. Gié, J.P. Sarmant
CIRCUIT ÉLECTRIQUES ET ÉLECTRONIQUES 2, R. Beauvillain et coll.
ÉLECTROMAGNÉTISME 1 et 2, H. Gié, J.P. Sarmant
MÉCANIQUE 1 et 2, H. Gié, J.P. Sarmant
EXERCICES ET PROBLÈMES DE MÉCANIQUE, J.P. Sarmant
PHYSIQUE ONDULATOIRE, R. Suardet
THERMODYNAMIQUE, PHYSIQUE DE LA MATIÈRE, R. Suardet

COLLECTION DE SCIENCES PHYSIQUES
dirigée par Maurice RAVAILLE
CLASSES PREPARA TOI RE S
AUX GRANDES ECOLES SCIENTIFIQUES
PREMIER CYCLE UNIVERSITAIRE
I. U. T.
ELECTROMAGNÉTISME
1
par
Hubert GIÉ
Inspecteur Général de l'Education Nationale
et
Jean-Pierre SARMANT
Professeur au Lycée Louis-le-Grand
TECHNIQUE & DOCUMENTATION - LAVOISIER
11, rue Lavoisier, 75008 PARIS

© Technique et Documentation (Lavoisier), 1985
11, rue Lavoisier - F 75384 Paris Cedex 08
Troisième tirage revu, 1991
ISBN 2-85206-163-5 Collection
ISBN 2-85206-741-2 Electromagnétisme, vol. 1
ISSN 0767-273X
Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages
publiées dans le présent ouvrage, faite sans l'autorisation de l'éditeur ou du Centre Français du Copyright
(6 bis, rue Gabriel Laumain, 75010 Paris), est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées,
d'une part, les reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation
collective, et, d'autre part, les analyses et courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou
d'information de l'œuvre dans laquelle elles sont incorporées (Loi du 11 mars 1957 - art. 40 et 41 et Code Pénal art. 425).

AVERTISSEMENT
Cet ouvrage a été renouvelé en conformité avec la lettre et l'esprit des
programmes de 1984. Dans le cadre de ces nouveaux programmes, il fait notamment
apparaître, quand cela est possible, l'analogie entre certaines questions d'Electro-
magnétisme et des questions de Mécanique des fluides. Il nous a paru souhaitable
d'adopter une démarche progressive qui se traduit dans la division du livre en
deux volumes :
ELECTROMAGNÉTISME 1, traitant des régimes permanents (Electrostatique
et Magnétostatique), permet au lecteur de se familiariser avec les méthodes
nécessaires à l'étude de l'Electromagnétisme. Il expose ensuite à partir des
équations de Maxwell les lois générales de l'Electromagnétisme.
Dans ELECTROMAGNÉTISME 2, ces lois générales sont appliquées à l'étude
des questions prévues par le programme : ondes électromagnétiques, induction,
propriétés des circuits en régime lentement variable, milieux diélectriques et
magnétiques (programme PP' seulement). Le volume se termine par deux
appendices culturels consacrés à des questions (la formulation relativiste de
l'Electromagnétisme et l'analyse de Fourier) qui sont en dehors du programme.
A la fin de chaque chapitre, on trouvera des énoncés d'exercices et de
problèmes suivis de réponses littérales et numériques. Outre de nombreux énoncés
originaux, ces deux volumes présentent les principaux problèmes d'Électroma-
gnétisme proposés récemment aux concours d'entrée dans les Grandes Ecoles
scientifiques. Un index alphabétique et un index par école permettent de
retrouver rapidement tel ou tel problème.
Les dépassements de programme occupent dans ce livre une place très réduite.
Nous avons toutefois cru bon d'introduire la solution dite des «potentiels
retardés ». Nous avons en effet pensé que le contenu physique particulièrement simple
de cette solution méritait d'être exposé, même si l'on était pas en état d'en
donner une démonstration rigoureuse. De plus, les potentiels retardés permettent
seuls d'exposer avec précision l'importante approximation dite des régimes
quasi-permanents (ou des états quasi-stationnaires) qui est à la base de toute
l'électrocinétique usuelle.
D'une manière générale, nous avons veillé à distinguer soigneusement par la
typographie deux types de développements : les parties rédigées en caractères
ordinaires constituent le «noyau» du programme, les parties rédigées en petits
caractères et signalées par un astérisque correspondent à des remarques ou à des
compléments jugés intéressants ou utiles par les auteurs, elles ne contiennent
cependant pas de connaissances exigibles de la part des étudiants.

VI
Mentionnons également que, comme dans nos autres ouvrages de cette
collection, nous avons utilisé à plusieurs reprises l'outil informatique pour
obtenir des documents d'intérêt pédagogique. A l'occasion, nous avons indiqué
les programmes (en langage PASCAL) qui ont permis de réaliser ces derniers.
Les auteurs.

TABLE DES MATIERES
VOLUME 1
Avertissement V
Programme XII
Chapitre 0 : Notions mathématiques relatives aux champs
0.1. Divers opérateurs 1
0.2. Variation d'un champ pour un déplacement élémentaire 3
0.3. Formulaire relatif aux opérateurs 4
0.4. Transformation d'une intégrale le long d'un contour en une
intégrale de surface 5
0.5. Transformation d'une intégrale de surface en intégrale de volume 6
0.6. Utilisation des formules de transformation d'intégrales 8
0.7. Aspect intrinsèque des opérateurs 8
*0.8. Coordonnées orthogonales 9
*0.9. Expression des opérateurs dans les diverses coordonnées
orthogonales 10
Exercices 14
PREMIÈRE PARTIE
INTRODUCTION A L'ÉLECTROMAGNÉTISME
Chapitre 1 : Distributions de charges et de courants
1.1. La charge électrique 17
1.2. Densité volumique de charge 17
1.3. Courant électrique 17
1.4. Divers courants électriques 18
1.5. Intensité électrique 18
1.6. Densité de courant 19
1.7. Equation de conversation de la charge 20
1.8. L'intensité en régime permanent 21
1.9. Diverses schématisations d'une distribution 23
1.10. Changement de référentiel 25

VIII
Chapitre 2 : L'interaction électromagnétique
2.1. Origines de l'électromagnétisme 26
2.2. Le champ électromagnétique 28
2.3. Unités, ordres de grandeur 29
2.4. Cas particulier du régime permanent 30
2.5. Transformation du champ électromagnétique dans un changement
de référentiel 30
2.6. Densité de force électromagnétique 31
2.7. Puissance cédée à la matière par le champ électTomagnétique .... 32
*2.8. Effet Hall 33
2.9. Force de Laplace 34
DEUXIÈME PARTIE
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 3 : Forme locale des lois de l'électrostatique
3.1. Equation de Maxwell-Faraday de l'électrostatique 41
3.2. Equation de Maxwell-Gauss 42
33. Equation de Poisson de l'électrostatique 42
3.4. Résolution des équations de l'électrostatique 43
Exercice résolu A : Diode à vide. Formule de Child-Langmuir 44
Exercice résolu B : Champs de révolution. Optique électronique 45
Exercices 46
Chapitre 4 : Conducteurs en équilibre électrostatique
4.1. Equilibre électrostatique 52
4.2. Propriétés générales des conducteurs en équilibre électrostatique 52
4.3. Champ au voisinage de la surface d'un conducteur 54
4.4. Cavités des conducteurs en équilibre électrostatique 57
4.5. Influence électrostatique 59
4.6. Equilibre d'un système de conducteurs 60
4.7. Capacité propre d'un conducteur 62
Exercices 63
Chapitre 5 : Condensateurs
5.1. Condensation de l'électricité 67
5.2. Condensateur 68
5.3. Condensateurs plans 70
5.4. Rôle du diélectrique. Réalisation d'un condensateur 71
5.5. Groupements de condensateurs 72
5.6. Calculs de capacités 73
5.7. Forces s'exerçant entre les armatures 75
Exercice résolu : Condensateur diédrique 76
5.8. Energie d'un condensateur 77
*5.9. Relation entre résistance et capacité 79
Exercices 80

IX
TROISIÈME PARTIE
MAGNÉTOSTATIQUE
Chapitre 6 : Postulats de la magnétostatique
6.1. Objet de la magnétostatique 92
6.2. Etude expérimentale du champ d'un fil rectiligne 92
6.3. Définition de l'ampère, valeur de /jl 0 93
6.4. Propriétés du champ magnétostatique d'un fil rectiligne 93
6.5. Postulat relatif au flux de B 95
6.6. Postulat relatif à la circulation de B 95
6.7. Analogie magnétostatique-hydrodynamique 97
6.8. Contenu physique des équations de Maxwell des régimes permanents 97
*6.9. Utilisation d'un micro-ordinateur pour le tracé de lignes de champ 99
Chapitre 7 : Potentiel-vecteur
7.1. Introduction de A 101
7.2. Expression du flux magnétique en fonction de A 101
7.3. Indétermination de A 102
*7.4. Potentiel-vecteur d'un champ uniforme 102
7.5. Equation de Poisson de la magnétostatique 104
Exercice 104
Chapitre 8 : Résolution des équations de la magnétostatique
8.1. Expression générale du potentiel-vecteur magnétostatique 105
8.2. Expression générale du champ magnétostatique 106
*8.3. Analyse de la relation de Biot et Savart 107
8.4. Méthodes de calcul d'un champ magnétostatique 108
8.5. Considérations de symétrie 108
*8.6. Nappe de courant plane 110
8.7. Discontinuité de B à la traversée d'une nappe de courant 111
8.8. Tableau récapitulatif relatif aux champs permanents 112
Chapitre 9 : Calcul de quelques champs magnétostatiques
9.1. Fil rectiligne illimité 113
*9.2. Fil rectiligne de section non négligeable 114
9.3. Spire circulaire 115
9.4. Bobine torique 116
9.5. Solénoïdes 117
9.6. Circuit polygonal 120
Exercice résolu : Principe de l'expérience de Rowland 121
Exercices 122
Chapitre 10 : Dipôle magnétique
10.1. Moment magnétique 133
10.2. Dipôle magnétique actif 135
10.3. Dipôle magnétique passif 137
10.4. Tableau récapitulatif : dipôle électrique et dipôle magnétique .... 140
Exercices 141

X
QUATRIÈME PARTIE
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
Chapitre 11 : Equations de Maxwell
11.1. Les postulats de Pélectromagnétisme 151
11.2. Les équations de Maxwell 152
11.3. Contenu physique de l'équation du flux magnétique 152
11.4. Contenu physique de l'équation de Maxwell-Faraday 153
11.5. Contenu physique de l'équation de Maxwell-Gauss 154
11.6. Contenu physique de l'équation de Maxwell-Ampère 156
*11.7. Origine du terme ;D 157
11.8. Propagation du champ électromagnétique 157
Exercice résolu A : Onde sphérique 160
11.9. Dans quels référentiels les équations de Maxwell sont-elles valables ? 162
*11.10. Théorème de superposition 162
Exercice résolu B : Un exemple de «champ électrique courantique» ... 163
Exercices 164
Chapitre 12 : Indications sur l'électromagnétisme
des milieux matériels
12.1. Charges libres et charges liées 166
12.2. Principe de l'étude d'un milieu matériel 166
12.3. Excitations, permittivité, perméabilité , 166
12.4. Cas des métaux 167
Chapitre 13 : Résolution des équations de Maxwell
13.1. Introduction des potentiels 169
*13.2. Indétermination des potentiels 170
*13.3. Equations de Poisson 171
*13.4. La solution des potentiels retardés 172
13.5. Approximation des régimes quasi-permanents (ARQP) 173
13.6. Tableau récapitulatif : le champ électromagnétique 175
13.7. Retour sur les régimes permanents 176
Exercices 176
Chapitre 14 : Energie électromagnétique
14.1. Energie du champ électromagnétique 179
14.2. Equation de conservation de l'énergie 179
14.3. Identification du couple (II, w) 181
14.4. Cas des champs permanents 182
14.5. Retour sur le cas de l'électrostatique 186
14.6. Tableau récapitulatif 189
Exercices 190
Notations et unités 199
Constantes physiques 200
Index des problèmes
Index alphabétique

SOMMAIRE
VOLUME 2
CINQUIEME PARTIE
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Chapitre 15
Chapitre 16
Chapitre 17
Ondes planes électromagnétiques dans le vide
Conditions de passage du champ électromagnétique
Réflexion sur un plan conducteur parfait.
Ondes stationnaires.
SIXIEME PARTIE
RÉGIMES LENTEMENT VARIABLES
COMPLÉMENTS D'ÉLECTROCINÉTIQUE
Chapitre 18
Chapitre 19
Chapitre 20
Travail des forces de Laplace
Induction électromagnétique
Induction mutuelle. Autoinduction.
Energie magnétique
SEPTIÈME PARTIE
ELECTROMAGNÉTISME DES MILIEUX MATÉRIELS
(Programme PP' exclusivement)
Chapitre 21
Chapitre 22
Chapitre 23
Chapitre 24
Chapitre 25
Chapitre 26
Chapitre 27
Chapitre 28
Chapitre 29
Appendice A
Appendice B
: Etude microscopique de la polarisation
: Etude macroscopique de la polarisation
: Susceptibilité électrique
: Polarisation en régime variable
: Sources microscopiques de l'aimantation
: Etude macroscopique de l'aimantation
: Diamagnétisme
: Paramagnétisme
: Ferromagnétisme
Formulation relativiste de l'électromagnétisme
Notions sur l'analyse de Fourier

PROGRAMMES
ÉLECTROMAGNETISME
(MM',T',PP')
PROGRAMME
Une épreuve portant uniquement sur
les phénomènes de rayonnement est
exclue.
Electrostatique
Equilibre électrostatique d'un
conducteur dans le vide : théorème de
Coulomb.
Condensateurs.
Energie d'un condensateur.
Magnétostatique dans le vide
Champ magnétique défini par son
action sur des courants. Force de Lorentz,
force de Laplace. Action d'un champ
magnétique uniforme sur un circuit
filiforme indéformable, moment
magnétique, énergie potentielle
d'interaction, couple.
Les courants comme sources du
champ magnétique. Champ créé par une
distribution stationnaire de courants.
Loi de Biot et Savart. Conservation du
flux de B.
Potentiel vecteur A. Expression du
potentiel-vecteur créé par une
distribution stationnaire de courants.Théorème
d'Ampère.
Equations locales du champ
magnétostatique.
Dipôle magnétique : signification
physique - Champ créé, actions subies.
Induction
Champ électromoteur d'induction ;
f.e.m. d'induction pour un circuit ou
une portion de circuit filiformes.
Induction mutuelle de deux circuits ;
induction propre.
Energie magnétique.
Expression de la loi de Faraday sous
forme locale.
COMMENTAIRES
On introduira à propos du
condensateur plan la densité volumique d'énergie
(e0/2)E2.
Le potentiel scalaire magnétique est
hors programme.
On considérera le cas du
déplacement d'un circuit dans un champ
magnétique stationnaire et le cas d'un
circuit fixe dans un champ magnétique
variable.
On se limitera au cas de deux circuits
filiformes.

XIII
Equations de Maxwell
Equations de Maxwell.
Energie électromagnétique, puissance
échangée entre un champ
électromagnétique et des porteurs de charges
libres. Vecteur de Poynting, densité
d'énergie électromagnétique.
Propagation
Equation de propagation des champs
électrique et magnétique dans le vide.
Transversalité des champs.
Caractère vectoriel des ondes
électromagnétiques, états de polarisation.
Comportement, sous incidence
normale, d'une onde électromagnétique
au voisinage d'un conducteur. Limite
du conducteur parfait.
Rayonnement
Champ électromagnétique rayonné à
grande distance par un dipôle
électrique. Puissance rayonnée.
Approximation locale par une onde
plane.
Le formalisme quadridimensionnel et
les transformations relativistes des
champs sont hors programme.
Les potentiels retardés sont hors
programme.
On indiquera l'action d'une lame
quart d'onde et d'une lame demi-onde
sur un état de polarisation rectiligne.
On supposera les lames « idéales », c'est-
à-dire sans absorption. Toute étude de
leur structure, de leur fonctionnement
et de leur réalisation pratique est hors
programme.
On énoncera sans démonstration la
formule donnant le champ
électromagnétique rayonné à grande distance,
dont la connaissance ne pourra être
exigée ni aux épreuves écrites ni aux
épreuves orales.
La théorie générale du rayonnement
est hors programme.
Toute étude des antennes est hors
programme.
MILIEUX
(PP')
Milieux diélectriques
Notions sur les processus
microscopiques de polarisation : polarisation
électronique, atomique et ionique,
polarisation d'orientation.
Toute étude thermodynamique des
propriétés des milieux diélectriques est
hors programme.
Les aspects dynamiques seront
abordés et illustrés à l'aide du modèle de la
«charge élastiquement liée» pour la
polarisation électronique et du modèle
de Debye avec l'introduction d'un
temps de relaxation pour la
polarisation d'orientation.

XIV
Champ électrique macroscopique.
Vecteur polarisation macroscopique.
Distribution macroscopique de charges
équivalentes ; densité de courant
équivalente dans le cas d'une polarisation
variable dans le temps.
Approximation linéaire ;
susceptibilité.
Vecteur D
Relation de passage entre deux
milieux.
Propagation d'une onde
électromagnétique dans un milieu diélectrique,
linéaire, homogène, isotrope et non
magnétique ; dispersion ; absorption ;
indice complexe ; vitesse de phase ;
vitesse de groupe (*).
Milieux magnétiques
Sources microscopiques du champ
magnétique. Moment magnétique et
moment cinétique. Précession de
Larmor.
Champ magnétique macroscopique B.
Vecteur aimantation macroscopique.
Courants macroscopiques équivalents.
Vecteur H.
Aimantation induite ; susceptibilité
magnétique ; perméabilité.
Diamagnétisme. Paramagnétisme.
Ferromagnétisme. Etude
macroscopique. Aimantation spontanée.
Hystérésis. Importance pratique du
ferromagnétisme.
On introduira le champ
macroscopique comme une moyenne spatiale du
champ microscopique sans toutefois
soulever les difficultés méthodologiques
que pose cette moyenne. On
introduira la notion de champ local et l'on
admettra l'expression de Lorentz pour
les milieux denses isotropes.
On se limitera au cas des milieux
isotropes.
Aucune dénomination n'est imposée
pour le vecteur D.
Toute étude thermodynamique des
propriétés des milieux magnétiques est
hors programme.
Toute étude quantique est hors
programme.
On introduira le champ magnétique
macroscopique comme une moyenne
spatiale du champ microscopique.
Aucune dénomination n'est imposée
pour le vecteur H.
On interprétera le diamagnétisme à
partir de la précession de Larmor. Pour
le paramagnétisme, on traitera le
modèle de Langevin ou un modèle à deux
niveaux.
L'étude des circuits magnétiques est
hors programme.
(*) Cet alinéa est traité dans PHYSIQUE
ONDULATOIRE.

CHAPITRE 0
NOTIONS MATHÉMATIQUES RELATIVES AUX CHAMPS
La lecture de ce chapitre est un préalable indispensable aussi bien à l'étude
de la mécanique des milieux continus (voir MÉCANIQUE 2) qu'à celle de
l'électromagnétisme.
L'exposé ci-dessous ne prétend pas remplacer les cours de mathématiques
relatifs aux mêmes questions. Il vise seulement à introduire les formulations et les
notations utilisées par les physiciens dans ce domaine. Le lecteur devra tout
d'abord se remettre en mémoire les notions introduites en première année (*) :
circulation et flux d'un champ vectoriel, gradient d'un champ scalaire. Nous
aurons cette année essentiellement à introduire des opérateurs qui, appliqués
à un champ, transforment celui-ci en un autre champ. Pour nous, l'intérêt de
ces êtres mathématiques provient de ce que, dans de nombreux domaines de la
physique, les lois fondamentales s'expriment sous forme de relations locales,
c'est-à-dire d'expression reliant les valeurs prises en chaque point du domaine
de définition par des champs différents. Nous connaissons déjà un exemple
d'une loi de ce genre : quand on dit que le champ électrostatique E dérive d'un
potentiel V, ceci signifie qu'en chaque point de l'espace le champ vectoriel
E (r) et le champ scalaire V(r) sont liés par la relation : E = — V V.
Rappelons enfin que les parties composées en petits caractères concernent
les développements non exigibles aux concours qui peuvent être passés en
première lecture.
0.1. Divers opérateurs (**).
• Gradient
Soit U(V, t) un champ scalaire, r = x ux + y uy + z uz désignant le vecteur-
position (de coordonnées x, y, z dans un repère cartésien orthonormal) du
point où la grandeur scalaire U est mesurée à l'instant t. Nous avons déjà
rencontré en première année le gradient, opérateur qui associe au champ
scalaire U le champ vectoriel de coordonnées ( , , ). En intro-
\ dx dy dz I
duisant l'opérateur vectoriel symbolique appelé nabla :
V - *x r— + uy —— + uz —
dx * dy dz
(*) Voir, dans la même collection, MÉCANIQUE 1, § 5.10 et 5.11.
(**) Dans ce paragraphe, nous admettrons le caractère vectoriel ou scalaire des
opérations introduites. Nous reviendrons sur ce sujet aux § 0.7 et 0.8.

NOTIONS MATHÉMATIQUES RELATIVES AUX CHAMPS
nous constatons que le gradient peut s'écrire :
grad U = V U
au
dx
au
au
«V + ~ UV + — Un
dy
dz
lire '.gradientde U
Nous retiendrons dans la suite les notations utilisant le nabla en raison de la
commodité qu'elles introduisent pour la mémorisation des relations utiles en
électromagnétisme. Toutefois, le lecteur devra s'exercer à énoncer à haute voix
les expressions contenant des nablas de manière à bien identifier les opérateurs
utilisés.
Exemple ;
Calculer le gradient du champ scalaire U = r2. En explicitant r2 — x2 + y2 +z2,
on a immédiatement : V (r2) = 2 r.
• divergence.
Soit a (r, t) = ax ux + ay uy + az uz un champ vectoriel, la divergence de ce
champ est le champ scalaire :
div a — V . a = — V —*- +
dx dy dz
lire : divergence de a
Exemple :
Calculer la divergence du vecteur-position r. En explicitant les coordonnées {x, y, z)
de r, on a immédiatement V. r = 3.
• rotationnel.
L'opérateur rotationnel transforme un champ vectoriel a (r, t) en un autre
champ vectoriel :
lire : rotationnel de a
Exemple :
Calculer le rotationnel de r :
On a immédiatement : V A r
d
dx
d
d
dz
A
y =
o
0=0.
o

NOTIONS MATHÉMATIQUES RELATIVES AUX CHAMPS
3
• laplacien.
Le carré scalaire de l'opérateur vectoriel nabla est un opérateur scalaire,
a2 a2 a2
appelé laplacien soit en coordonnées cartésiennes : + -— H
dx2 dy2 dz2
Cet opérateur peut être appliqué à un champ scalaire ou à un champ vectoriel :
— Le laplacien d'un champ scalaire U (r, t) est un autre champ scalaire :
AU = v2u = ii£+iiiL+a2u
dxÀ
dy:
dz:
lire : laplacien de U
Exemple :
Calculer le laplacien du champ U = r2. En explicitant r2 — x2 +y2 + z2, on a
immédiatement V2 r2 — 6.
- Le laplacien d'un champ vectoriel a (r, t) est un autre champ vectoriel :
Aa= V2 a = V2 axux + V2 ay uy + V2 az uz
lire : laplacien de a
• Opérateur a scalaire nabla (ou a scalaire gradient).
Le produit scalaire d'un champ vectoriel a quelconque et de l'opérateur
nabla est un opérateur scalaire :
a a a
(tf.V) = ax 7- + ay -7- + az
3jc
dy
dz
Ce nouvel opérateur s'applique aussi bien à un champ scalaire : (a.\) U
qu'à un champ vectoriel : (a . V) b :
Exemple :
Calculer (a . V) r. La première coordonnée du champ cherché est :
(a.\)x = (ax )x = ax. On en déduit : (#.V)r = a.
dx
0.2. Variation d'un champ pour un déplacement élémentaire.
La variation dU d'un champ scalaire U (r, t) au cours d'un déplacement
élémentaire :
d/ = dx ux + dj> uy + dz uz
de durée dt est donnée par :
JTÎ au , , au , , au A , au .
dU = dx + —— dy + —~ dz + —— dt
dx dy dz dt
On voit apparaître dans cette expression les coordonnées du gradient de U
dU = d/. (V U) +
au
dt
dt
(0.1)

4
NOTIONS MATHÉMATIQUES RELATIVES AUX CHAMPS
On peut noter que la première partie de cette expression peut se réécrire, en utilisant
l'opérateur d/ scalaire nabla : d/ . ( V U) = (d/ . V ) U. L'intérêt de cette remarque est de
fournir une expression de la variation élémentaire d'un champ vectoriel a (r, t). On a en
effet, pour le champ scalaire ax :
da^
dax = (d/ . V ) ax + -— dt.
dt
En regroupant les diverses composantes, on en déduit :
da
da= (d/. V)a+ — dt
dt
(0.2)
On retiendra que le premier terme de (0.2) traduit le caractère non-uniforme du champ
a et le second son caractère non-permanent. L'intérêt de cette expression apparaît
notamment en mécanique des milieux continus, elle conduit au concept de dérivée particulaire
(v. MÉCANIQUE 2, § 2.3).
0.3. Formulaire relatif aux opérateurs.
On établit en mathématiques une série de formules que le lecteur pourra
vérifier par identification :
V.(VU)-V2 U (F0
la divergence du gradient est égale au laplacien
VÀ(VU) = 0 (F2)
le rotationnel d'un gradient est nul
V.(VAa) = 0 (F3)
la divergence d'un rotationnel est nulle
\A(\Aa)=V(\.a)-V2 a (F4)
V(UV) = V(VU) + U(VV) (F5)
V . (Va) = a . (VU) + U( V . a) (F6)
\A(Ua) = (\U)Aa+U(\Aa) (F7)
V . (a A b) = b . (VA a) - a . (VA b) (F8)
j \A(aAb) = (\.b)a-(\.a)b+(b.\)a-(a.\)b (F9)
\ \ (a . b) = a A(\ Ab) + b AÇV Aa) + (a .\) b + (b .V) a (F10)
Les formules ci-dessus seront utilisées fréquemment dans la suite de ce livre,
elles seront alors désignées par leur numéro d'ordre.
Remarque :
L'intérêt mnémotechnique de la «notation nabla» apparaît dès l'examen du premier
groupe de foimules, lesquelles évoquent respectivement le carré scalaire (Fj), le produit
vectoriel de deux vecteurs colinéaires (F2)3 un produit mixte dont deux vecteurs sont
colinéaires (F3) et le double produit vectoriel (F4). Dans le second groupe de formules,
l'opérateur nabla s'applique à deux champs différents ; l'examen de F5 évoque la formule
(uv)'= vu'+ u v' et suggère la manière dont agit le nabla en tant qu'opérateur de dérivation.
A titre purement mnémotechnique, et en déconseillant au lecteur de tenter d'«inventer»
ainsi de nouvelles formules d'analyse vectorielle, indiquons de manière empirique le
«mode d'emploi» du nabla en prenant commme exemple la formule F9 : On admet que le
nabla s'applique successivement à chaque champ en symbolisant par V a ^es dérivations
portant sur le seul champ a :
VA(aAb)=\aA(aAb)+VbA(aAb)

NOTIONS MATHÉMATIQUES RELATIVES AUX CHAMPS
5
\a A (a A b) ne contient plus que des dérivations relatives à un seul champ et l'on
admettra que l'on peut, sous cette condition, utiliser le calcul vectoriel habituel :
Va A {a A b) = (b . \a) a-(\a-a)b
En calculant de même \b A (a A b) et en supprimant les indices a et b devenus
superflus, on «retrouve» F9.
On peut «retrouver» ainsi F5, F6, F7 et F s- L'obtention de Fjo est moins immédiate.
L'obtention de F10 est moins immédiate.
EXERCICE RÉSOLU
Champ des vitesses d'un solide.
Montrer que le champ des vitesses d'un solide a une divergence nulle et un rotationnel
égal au double du vecteur-rotation instantané cj de celui-ci.
Solution
Soit v= z?M la vitesse dans un référentiel R d'un point M quelconque du solide S. En
choisissant comme origine des coordonnées un point O de S, la relation fondamentale de la
cinématique du solide (MÉCANIQUE 1, p. 13) s'écrit, avec r= OM :
v= v0+ cj A r
Prenant la divergence de cette expression, il vient, compte tenu de la formule F g :
V-v = V.(o) Ar) = r.(VAcj) — cj. (VAr)
Le premier terme est nul, cj étant, à t donné, indépendant des coordonnées ; le second
terme est également nul car \? Ar= 0. On a donc bien V . v= 0.
Pour calculer le rotationnel de v, on utilise F9. Les dérivées de cj étant nulles, il ne
reste que deux termes :
V Ai?= V A(cj Ar) = (V-r)w--(w.V)r
Compte tenu de V • r= 3 et (cj • V) r = cj, on a :
V Av= 3 cj— o>= 2cj.
Comme nous le verrons (MÉCANIQUE 2, § 2.4), cette propriété conduit à définir en
chaque point d'un milieu continu le vecteur-tourbillon SI comme la moitié du rotationnel
du champ des vitesses.
0.4. Transformation d'une intégrale le long d'un contour en une
intégrale de surface.
• Formule de Stokes
Soient C un contour (courbe fermée orientée) et S une surface qui s'appuie
sur C. On établit pour tout champ vectoriel a (r, t) dont les dérivées partielles
sont bornées :
(0.3)
La circulation du champ a le long de Cest égale au flux à travers S du
rotationnel de a.
Le signe des faces de S est relié à l'orientation de C par une convention précisée
sur la figure 0.1 : un tire-bouchon dont le manche tourne dans le sens positif de
C perce S en allant de sa face négative vers sa face positive ( v. fig. p. 6).

6
NOTIONS MATHÉMATIQUES RELATIVES AUX CHAMPS
ÉÉl>
Fig. 0.1
• Formule de Kelvin
U étant un champ scalaire à dérivées bornées, soit à calculer l'intégrale vectorielle :
(b U d/ le long d'un contour C.
Soit A un champ uniforme quelconque ; S étant une surface qui s'appuie sur C :
(j) UA . dl = || ( V A UA) . dS (formule de Stokes)
En utilisant la formule F 7 et le fait que A est uniforme :
t UA -d/= (VU A A) . dS =
(VUAdS) .A
En faisant sortir A de la première intégrale et de la dernière et compte tenu du fait que
l'égalité obtenue est vérifiée pour tout champ A uniforme, on a :
(0.4)
0.5. Transformation d'une intégrale de surface
en intégrale de volume.
• Formule d'Ostrogradski (ou de la divergence).
Soit a (r, t) un champ vectoriel à dérivées partielles bornées et S une surface
fermée limitant un volume V. On établit :
(0.5)
Le flux du champ a à travers S est égal à l'intégrale étendue à Vde la
divergence de a.
Rappelons que l'on convient d'attribuer le signe + à la face extérieure d'une
surface fermée, ce qui revient à compter positivement un flux sortant.
• Formule du gradient.
U étant un champ scalaire à dérivées bornées, soit à calculer l'intégrale vectorielle :
UdS

NOTIONS MATHÉMATIQUES RELATIVES AUX CHAMPS
7
sur une surface fermée S qui limite le volume V. Soit A un champ uniforme quelconque :
UA . dS = [([ V • (UA) dr = A . (jfjfvu dr
(On a utilisé successivement la formule de la divergence et la formule F5.)
En faisant sortir A de la première intégrale et compte tenu de ce que l'égalité obtenue
est vérifiée pour tout champ A :
(0.6)
Application de la formule du gradient : Vecteur-surface d'un contour.
♦ +
111
c y
Fig. 0.2
Soit C un contour, S une surface quelconque s'appuyant sur C (fig. 0.2.a). On appelle
vecteur-surface de C le vecteur :
S =
dS
(0.7)
Montrons que S ne dépend que de C. Si et S2 étant deux surfaces qui s'appuient sur
C (fig. 0.2.b), soient :
L'intégrale de dS sur la surface fermée (Sx + S2) vaut S2 - Sx (la face + de Si est la
face interne de Sx + S2 et devient donc affectée du signe -). Appliquons la formule du
gradient, V étant le volume limité par Si + S2, au champ scalaire uniforme U= 1 :
So — Si
1 dS
Si+S2
V (1) dr = 0
(0.8)
V
S ne dépend donc pas de la surface choisie pour le calculer. En particulier, si on choisit
un cône de sommet quelconque O et de directrice C, on obtient en sommant les vecteurs dS
de triangles élémentaires (fig. 0.2.a) l'expression utile :
(0.9)
• Formule du rotationnel.
a étant un champ vectoriel à dérivées bornées, soit à calculer l'intégrale vectorielle :
a A dS sur une surface fermée S qui limite le volume V.

8
NOTIONS MATHÉMATIQUES RELATIVES AUX CHAMPS
Si A est un champ uniforme quelconque :
jb (a A A) . dS =-A.ctb<ïAdS = V .(dAA)dr = A. (VAfl)dr
(On a utilisé successivement : une propriété du produit mixte, la formule de la
divergence et la formule F8). En raisonnant comme plus haut, on en tire :
<ft aAdS = - II!
JJ Q JJJ XJ
(VAtf)dr
(0.10)
0.6. Utilisation des formules de transformation d'intégrales.
Les formules vues dans les deux paragraphes précédents seront utilisées tout
au long de notre exposé de Pélectromagnétisme (*) ; elles sont aussi utiles en
mécanique des milieux continus. D'une manière générale, leur rôle en physique
est de relier la formulation intégrale d'une loi à la formulation locale de celle-ci:
Nous verrons ainsi qu'elles permettent de passer du théorème de Gauss de
l'électrostatique à l'équation locale dite de Maxwell-Gauss, etc. En mécanique
des fluides (v. MÉCANIQUE 2), elles permettent d'établir la relation
fondamentale de la statique des fluides, l'équation locale d'Euler (pour les fluides parfaits),
etc.
0.7. Aspect intrinsèque des opérateurs.
Les opérateurs gradient, divergence... ont été introduits au § 0.1 à partir de
leur expression dans un repère cartésien particulier. Nous allons examiner
diverses relations qui établissent le caractère intrinsèque (indépendant du
repère choisi) de ces opérateurs. Ces relations permettent de dégager la
«signification physique» des divers opérateurs, elles fournissent également le moyen
d'obtenir leur expression dans des systèmes de coordonnées non cartésiennes
(voir § 0.8).
• Gradient.
A un instant donné, l'expression (0.1) de la variation dU d'un champ scalaire
pour un déplacement d/ s'écrit :
dU - d/.(VU) (0.11)
Nous avons montré en première année comment cette expression permet de
dégager une définition intrinsèque du gradient : En un point M donné, le
gradient est porté par la normale à la surface de niveau (surface U = constante
passant par U), dirigé dans le sens croissant de U, son module est égal à celui
de la dérivée normale dUjdN.
• Divergence.
Appliquons la formule d'Ostrogradski d'un champ vectoriel a à un volume
élémentaire dr entourant un point M. Le flux sortant de ce volume est
(*) Essentiellement Stokes et Ostrogradski, seules exigibles dans le cadre du programme.
Les formules de Kelvin, du gradient et du rotationnel qui se déduisent facilement des deux
autres fournissent néanmoins souvent des démonstrations élégantes.

NOTIONS MATHÉMATIQUES RELATIVES AUX CHAMPS
9
d<I> = ( V • a)yi dr ; par passage à la limite, on en déduit une définition
intrinsèque possible de la divergence : i^
(V.*)=— (0.12)
En termes imagés, la divergence représente «le flux sortant localement par
unité de volume ».
• rotationnel.
Soit, autour d'un point M, un contour élémentaire C de vecteur de surface
dS, les orientations de C et de dS se déduisant par la règle habituelle (fig. 0.3).
dS J
Fig. 0.3
La circulation dC du champ a le long de C peut se calculer par la formule de
Stokes : dC — Và^)m • dS. On en déduit par passage à la limite :
(VAa).dS = dC (0.13)
Cette expression fournit une définition intrinsèque possible du rotationnel
car elle permet, en choisissant des contours d'orientations différentes, de
calculer les coordonnées du rotationnel dans n'importe quel repère. Notons
également que le sens du vecteur V A a change si l'on inverse la convention
d'orientation de l'espace qui lie C et dS, un tel comportement est dit pseudovectoriel (*).
L'expression (0.13) fournit enfin la signification intuitive du rotationnel : «la
projection du rotationnel sur un axe représente la circulation locale par unité
d'aire autour de cet axe ».
Remarque : le vocabulaire de l'analyse vectorielle : circulation, flux, divergence,
rotationnel... est issu de la mécanique des fluides, le lecteur qui souhaite mieux appréhender la
signification physique de ces notions se reportera à MÉCANIQUE 2.
0.8. Coordonnées orthogonales.
• Coordonnées cartésiennes (pour mémoire).
Les coordonnées sont : x, y, z. La base est : ux, uy, uz.
Le déplacement élémentaire est : d/= dxux+ dyUy+ dzuz.
• Coordonnées cylindriques
(figure 0.4)
Les coordonnées sont : r,d,z.
La base locale est : U,., u6, uz (uz = il? A Uq)
Le déplacement élémentaire
est : d/= drur+ r ddu^ + dzuz.
Fig. 0.4
Sx* Y
(*) Le caractère pseudovectoriel du rotationnel apparaît aussi sur son expression
cartésienne : le sens d'un produit vectoriel dépend d'une convention d'orientation de l'espace.

10
NOTIONS MATHÉMATIQUES RELATIVES AUX CHAMPS
Coordonnées sphériques (figure 0.5).
Fig. 0.5
Les coordonnées sont :r, 6, </>. La base locale est : ur, ##, #</> («^= ur A Uq).
Le déplacement élémentaire est : d/= drur + r àOuQ + r sin 0 dipu^.
• Notation générale.
On note les coordonnées : sx, s2, s3 et la base orthogonale locale : uïy u2, u3.
On pose :
d/= 2 VidsiUi (1= 1,2,3)
M/ est appelé « multiplicateur» de la coordonnée s/.
Ce qui précède peut se résumer dans un tableau :
Multiplicateurs
Coordonnées cartésiennes
*i = x, s2 = y, s3 = z
Coordonnées cylindriques
*1 = r, s2 = 6, s3 = z
Coordonnées sphériques
] Ml
1
1
1
M2
1
r
r
M3
1
1
r sin 0
* 0.9. Expression des opérateurs
dans les diverses coordonnées orthogonales.
• gradient.
Si l'on identifie la relation (0.11) de définition intrinsèque du gradient :
dU = d/ • (VU) = S nt dsi (VU),
avec l'expression de la différentielle d'une fonction de plusieurs variables
dU = 2 —- dsi
i ost
on en déduit l'expression de la coordonnée i du gradient :
(VU),- = —
au
M/ dst
(0.14)

NOTIONS MATHÉMATIQUES RELATIVES AUX CHAMPS
11
Exemple 1 :
En coordonnées cylindriques :
VU
au
dr
îau
au
r ad oz
(0.15)
Exemple 2 :
1 ,
Le gradient du champ — à symétrie sphérique est
Y
= Uy
dr
Uy
(0.16)
• divergence (*)
A partir d'un point M de coordonnées orthogonales s,-, construisons un « pavé
élémentaire» dont les 6 faces sont définies par les valeurs sx, si + dsi ... des coordonnées
(figure 0.6).
UiJ
Ui + dsx)
Fig. 0.6
Les arêtes de ce pavé ont des longueurs d//= m dsj, son volume est donc :
dT ^MlM2M3 d*l às2 d^3*
Le flux d<ï> sortant du pavé peut être écrit sous la forme d $ = d $x + d<p2 + ^$3, d<ï>i
étant le flux du champ a à travers les 2 faces définies respectivement par les coordonnées
$i et Si + dsi dont les aires sont, à des termes d'ordre ultérieur près, (d/2 dh)$1 et
(d/2 d/3)iSl + àsl- Si Ton tient compte de ce qu'un flux est compté positivement s'il est
sortant et négativement s'il est entrant, on en déduit :
à&i = (il 1 M2 M 3 às2 ds3)Sl + dsi - (ai M2 M 3 âs2 ds3)Sl = — (ûx /i2 M3) d*l d*2 d*3
Si nous prenons comme définition intrinsèque de la divergence l'expression :
V.a= d<î>/dr (0.12),
on a
1 3
\.a = 2 — (M2M3^i)
M1M2M3 osi
(0.17)
(trois termes semblables déduits par permutation circulaire)
(*) Les «démonstrations» qui suivent n'ont aucune prétention de rigueur. Le but
poursuivi est seulement de faciliter la mémorisation des expressions obtenues à l'aide d'une
représentation intuitive des opérateurs qui se révèle utile au physicien.

12
NOTIONS MATHÉMATIQUES RELATIVES AUX CHAMPS
Exemple :
En coordonnées cylindriques :
1 9 1 900 daz
V . a = - — (rty) + - — + —
r dr r dd dz
(0.18)
Remarque :
Il est bon de toujours vérifier l'homogénéité des formules obtenues en tenant compte
de ce que le nabla a les dimensions de l'inverse d'une longueur.
• rotationnel.
Soit M un point de coordonnées othogonales s,-, considérons un contour élémentaire C
tracé sur la surface s 3 = constante et dont les 4 côtés, définis par les valeurs sx et Si + ds\,
s2 et s2 + ds2 des coordonnées ont des longueurs d/t et d/2 (figure 0.7).
(s2 +ds2)
(sx + dsi)
Fig. 0.7
Le vecteur-surface de C est, à des termes d'ordre supérieur près :
dS = d/x d/2 u3 = l±i fa dsi ds2 u3.
La circulation dC du champs le long de C peut être mise sous la forme dC = dCi + dC2
en notant dCi la circulation le long des 2 côtés «parallèles à u^ » dont les coordonnées
sont respectivement s2 et s2 + ds2 ; en tenant compte de l'orientation de chacun de ces
côtés, on a :
j9_
9s2
De la même manière, on a :
dCx = (ai dli)s2 -(*i ^i)s2 + ds2 = ~ TT (P-iaOdsi ds2
dC2 = (a2 dl2)Sl + dsi - (a2 dI2)Sl = -gj- Wï *2) d*i d*2
Si l'on utilise maintenant la définition intrinsèque du rotationnel sous la forme (0.13),
on a :
(VAtf)3
dC_ _J_ f"_9_
Qh^i)- y~ (Mi
0^2
*i) ,
et des expressions semblables pour les coordonnées 1 et 2, on peut mémoriser l'ensemble à
l'aide du tableau :
VAa =
«1 «2 «3
M2M3 M3M1 Mij"2
9 9 _9_
9si 9s2 9^3
Mlûi M2*2 ^3*3
(0.19)

NOTIONS MATHÉMATIQUES RELATIVES AUX CHAMPS
13
Exemple :
En coordonnées cylindriques :
VAtf =
Vr dd
a7
Ur +
dar
97
daz
"âT-
i
ue + - \
r \
dr
(rae)
dar~\
(0.20)
• laplacien d'un champ scalaire.
Le laplacien d'un champ scalaire peut être défini de manière intrinsèque par la formule
Fi:
V. (VU) = V2U
En se reportant aux expressions déjà citées de la divergence et du gradient, on écrit
sans nouvel effort de mémoire :
(0.21)
(trois termes semblables déduits par permutation circulaire)
Exemple 1 :
Soit un champ U à symétrie cylindrique. U n'est, en coordonnées cylindriques,
fonction que de r. On a donc :
i a
V U =
au
dr L dr J
a2u i au
dr2 r dr
(0.22)
Exemple 2 :
Soit de même un champ U à symétrie sphérique. U n'étant, en coordonnées sphériques,
fonction que de r :
2 ^| T 2 au]
r2 dr L dr J
a2u 2 au_ i a2
dr2 r dr r dr2
(0.23)
Il est bon de retenir ce résultat sous sa dernière expression ; nous en aurons besoin par
la suite.
Remarque :
1 ,
Pour le champ — à symétrie sphérique,
r
i a:
VM-l-7sîlr.-
0 pour r =é 0
(0.24)
• laplacien d'un champ vectoriel.
Le laplacien d'un champ vectoriel peut être défini de manière intrinsèque par la
formule F4 :
V2a= V(V.a) - VA(VAtf)
Son expression peut donc être déduite de celles déjà données pour le gradient, la
divergence et le rotationnel.
Remarque :
Si l'on adopte une définition intrinsèque de la divergence et du rotationnel, les
expressions (0.12) et (0.13) suggèrent comment l'on peut, par association de domaines
élémentaires, démontrer les théorèmes d'Ostrogradski et de Stokes. Quant aux expressions
cartésiennes des opérateurs qui avaient été prises comme point de départ au § 0.1, elles
apparaissent comme des cas particuliers des formules (0.14), (0.17), (0.19) et (0.21) dans
lesquelles on fait Ml = M2 = M3 = 1.

14
NOTIONS MATHÉMATIQUES RELATIVES AUX CHAMPS
EXERCICES
0.1. Champ à circulation conservative.
Montrer que, pour un champ vectoriel de rotationnel nul, la circulation entre deux
points ne dépend pas du chemin suivi.
0.2. Champ à flux conservatif.
Montrer que, pour un champ vectoriel de divergence nulle, le flux à travers une section
d'un tube de champ est indépendant de la section considérée.
0.3. Champ dérivant d'un potentiel scalaire.
Montrer de deux façons qu'un champ e = \ <£> est à circulation conservative.
0.4. Champ dérivant d'un potentiel-vecteur.
Montrer qu'un champ b = V A a est à flux conservatif.
0.5. Formule de Green.
U et V étant deux champs scalaires, S étant une surface fermée qui limite le volume V,
établir la formule :
(UVV - VVU) . dS = il (UV2V - VV2U) dr
0.6. Volume du cône.
1) Soit le champ a= r. Calculer sa divergence, son rotationnel et son laplacien.
2) Soit une surface S fermée entourant l'origine, soit V le volume limité par S.
Montrer que l'on peut écrire : V = — • ctt r> dS. Interpréter géométriquement.
Réponses : 1) 3, 0 et 0.
0.7.
Soit le champ a=AAVU, A étant un champ uniforme, calculer sa divergence.
Réponse : 0.
0.8.
Soit le champ U = A • r, A étant un champ uniforme. Calculer le gradient et le
laplacien de U.
Réponses : A et 0.
0.9.
1) Soit le champ a= u= r/r, calculer sa divergence.
2) Calculer le flux de a à travers la sphère r=Ren utilisant la formule d'Ostrogradski.
Vérifier le résultat par un calcul direct.
Réponses:!) 2/r. 2) 47TR2.
0.10. Expression vectorielle du champ d'un dipole.
Le potentiel créé en un point de position r= ru par un dipole électrostatique de
moment électrique p situé à l'origine est donné par (MÉCANIQUE 1, § 11.7) :
1 u
V=T P ' —
47Te0 /*
En déduire que le champ électrostatique en ce point est :
E_ 1 V3(p.r)r -I
4neor3 L r2 J
Indication : développer le gradient du produit des fonctions (p. r) et 1/r3 en utilisant
la formule F5.

PREMIÈRE PARTIE :
INTRODUCTION A L'ÊLECTROMAGNÈTISME

CHAPITRE 1
DISTRIBUTIONS DE CHARGES ET DE COURANTS
1.1. La charge électrique.
On peut affecter à toute particule une grandeur scalaire q appelée charge qui
caractérise les actions électromagnétiques que la particule exerce et celles
qu'elle subit. Nous nous bornerons à rappeler brièvement les propriétés étudiées
en première année (*).
- Principe de conservation de la charge : la charge d'un système
électriquement isolé reste constante.
- Principe d'invariance de la charge : la charge d'un système a même valeur
dans tout référentiel.
- Quantification de la charge : la charge de tout système existant à l'état libre
peut s'écrire sous la forme Ze, Z étant un entier relatif et e = 1,6 .10 "l 9 C la
charge élémentaire.
1.2. Densité volumique de charge.
Rappelons seulement que la densité volumique de charge p— dq/dr,
exprimée dans le SI en coulomb par mètre cube (C.nr3), est une grandeur nivelée
qui fait abstraction des détails de la structure atomique de la matière (**).
1.3. Courant électrique.
On appelle courant électrique dans un référentiel donné tout mouvement
d'ensemble de particules chargées par rapport à ce référentiel. Pour préciser ce
que nous entendons par mouvement d'ensemble, nous allons introduire une
notion caractéristique du mouvement d'ensemble en un point d'une catégorie
de porteurs de charge. Considérons au voisinage d'un point M un volume déjà
petit à l'échelle macroscopique mais contenant encore un nombre N très grand
de porteurs de l'espèce considérée. En notant v\ la vitesse individuelle d'un
porteur, on appelle vitesse d'ensemble des porteurs en M la moyenne :
v = v (rj) = < vt > = — S vt
N i
où le symbole < > indique une moyenne spatiale effectuée à l'instant t dans le
voisinage du point M de position r.
(*) Voir le chapitre 6 de MÉCANIQUE 1.
(**) Voir MÉCANIQUE 1, § 6.18.

18
INTRODUCTION A L'ÉLECTROMAGNÉTISME
Considérons par exemple un fil métallique aux extrémités duquel on
n'applique aucune tension : les vitesses individuelles v\ des électrons ont des modules
de l'ordre de 106 m.s"1 mais le mouvement des électrons étant une agitation
totalement désordonnée, la vitesse d'ensemble v est nulle de telle sorte qu'un
ampèremètre ne mesure aucune intensité (*).
1.4. Divers courants électriques.
• faisceaux de particules.
Le déplacement par rapport au référentiel du laboratoire d'un faisceau de
particules chargées (électrons d'un oscillographe, protons d'un accélérateur de
particules...) est une forme particulière de courant électrique.
• courants de convection.
On peut déposer des charges électriques sur un objet initialement neutre et
mettre ensuite cet objet en mouvement par rapport au référentiel du
laboratoire. Un tel mouvement de charges constitue un courant de convection.
• courants de conduction.
On appelle ainsi un déplacement d'ensemble de charges libres à l'intérieur
d'un conducteur. Dans un métal, des électrons sont libres de se déplacer par
rapport au réseau cristallin ; dans une solution électrolytique, les cations et les
anions peuvent se déplacer par rapport aux molécules du solvant. Dans un cas
comme dans l'autre, on obtient un courant électrique en faisant régner un
champ électrique à l'intérieur du volume du conducteur. Ce processus, appelé
conduction électrique, a été étudié dans le cours d'électrocinétique de 1ère
année.
1.5. Intensité électrique.
Soit S une surface fixe dans le référentiel R choisi et s'appuyant sur un
contour C ; le signe des faces de S se déduisant de l'orientation de C par la règle
du tire-bouchon (fig. 1.1 .a). En notant dq la charge qui traverse S de la face —
vers la face + entre les instants t et t + dt, on appelle intensité électrique
traversant S à l'instant t la grandeur algébrique :
dq
(î.i)
L'indice S rappelle que l'intensité dépend a priori du choix de la surface S
s'appuyant sur le contour C. Nous verrons au § 1.8 que ce n'est qu'en régime
permanent que / ne dépend que de C.
Dans le SI, (1.1) relie le coulomb (C) à Y ampère (A) qui est l'une des unités
de base de ce système.
(*) En fait, en raison du caractère statistique de la grandeur v9 l'intensité n'est pas
strictement nulle, elle subit des fluctuations aléatoires de faible amplitude qui peuvent être
détectées à l'aide d'appareils très sensibles.

DISTRIBUTIONS DE CHARGES ET DE COURANTS
19
1.6. Densité de courant.
Cherchons à calculer l'intensité is (t) qui traverse S à un instant t. Calculons
tout d'abord la charge d2q qui traverse entre les instants tett + dtun élément de
S situé autour d'un point M de position r caractérisé par le vecteur dS (fig.
1.1.a). Supposons que l'on soit en présence de plusieurs espèces de porteurs,
dont les charges individuelles, les densités particulaires (nombre de particules
par unité de volume) et les vitesses d'ensemble par rapport à R sont
respectivement :
(Qi, ni(r, t)9vi(r, t)) ,(q2,n2(r, t),v2(r, t)) ...
On peut écrire : d2q = d2q1 + d2q2 + ... Tous les porteurs de type 1 qui
traversent dS à l'instant t se trouvaient à t — dt sur une surface déduite de dS
par la translation — vdt (fig. 1.1.b). On en déduit que les porteurs de ce type
qui traversent dS pendant la durée dt étaient contenus à t — dt dans un cylindre
de base dS et de génératrice vdt, la charge ainsi transférée étant :
d2<7i = Wi Qi dS • vx dt
On notera que cette expression est algébrique, le produit scalaire dS • vi
tenant compte du sens de parcours des charges. On compte ainsi algrébrique-
ment les transferts de charge dans le sens de traversée du vecteur dS (du côté
— au côté +).
En ajoutant les contributions des diverses espèces de porteurs et en sommant
sur toute la surface S, on a enfin :
ûq
2„ —
dzq
(nïqïv1 + n2q2v2 + ...) . dS dt
On en déduit que Yintensité is(t) = dq/dt qui traverse S peut s'exprimer
comme le flux d'un champ vectoriel; (r, t) appelé densité de courant :
(1.2)
avec
;* = «i<Zi vi +n2q2 v2 +
(1.3)
* v +
t +
QiïMà*
-rdt
c a)
Fig. 1.1. - Intensité, densité de courant.

20
INTRODUCTION A L'ÉLECTROMAGNÉTISME
De (1.2), on déduit que ; s'exprime dans le SI en ampère par mètre carré
(A.nT2).
Ordre de grandeur : les fils de jonction utilisés dans les montages électrocinétiques ont
des sections de Tordre 4u mm2 ce qui correspond à une densité de courant; s» 104 A.m"2
pour une intensité de l'ordre de l'ampère.
Par ailleurs3 la densité de charge p (r, t) s'obtient également en sommant les
contributions des diverses espèces de porteurs :
"i<?i +n2q2 +..
(1.4)
Dans le cas où les porteurs appartiennent tous à une même espèce de vitesse
d'ensemble v par rapport à R, la comparaison de (1.3) et de (1.4) donne :
/ = pv (1.5)
En revanche, on voit que, dans le cas général, on peut observer un courant
(j ^ 0) dans un milieu où la densité totale de charge est nulle (p = 0). Comme
nous le justifierons ultérieurement (*), c'est précisément ce qui se produit
dans un conducteur.
Exemple :
Soit un solide conducteur, le référentiel R de description des charges et des courants étant
lié au réseau cristallin de celui-ci. On est dans ce cas en présence de deux espèces distinctes :
les cations du réseau qui n'ont pas de vitesse d'ensemble dans R (vi = 0) et les porteurs
mobiles de vitesse d'ensemble v2 = v qui assurent le phénomène de conduction ; (1.3)
donne donc/= n2q2 v, soit encore, en notant pm = n2q2 la densité de charge mobile :
; = PmV.
Si l'on utilise cette relation, il importe de ne pas confondre pm avec la densité globale
de charge p= n^q^ + n2q2 qui est nulle.
1.7. Equation de conservation de la charge (**).
Imaginons une surface fermée quelconque (surface de contrôle) fixe dans le
référentiel R et soit V le volume délimité par S (volume de contrôle). La densité
de charge étant caractérisée par le champ scalaire p (r, t), la charge totale
contenue dans V à un instant t donné est :
q(t) = \\J pdr.
La densité de courant étant caractérisée par le champ vectoriel; (r, t),
l'intensité qui sort de S à l'instant t est donnée par :
h (0 =
(*)Voir § 11.5.
(**) Le lecteur qui a déjà étudié la mécanique des fluides notera l'identité de la démarche
suivie ici et de celle exposée dans les § 6.3 et 6.4 de MÉCANIQUE 2 (formule de Reynolds,
conservation de la masse).

DISTRIBUTIONS DE CHARGES ET DE COURANTS
21
En raison du principe de conservation de la charge, l'intensité qui sort de S
est égale au taux de diminution de la charge contenue dans V :
h df
Soit encore, en effectuant une dérivation sous le signe somme justifiée par le
fait que S est fixe :
K
,>■—£&*<•>
La première intégrale peut être transformée par la formule d'Ostrogradski :
L'égalité ci-dessus étant vérifiée quel que soit V, on en déduit que les champs
j (r, t) et p (r, t) sont reliés par une équation locale appelée équation de
conservation de la charge ou équation de continuité :
J dt
(1.6)
Il faut noter que le raisonnement que nous avons utilisé pour aboutir à cette
équation n'a rien de particulier à Pélectromagnétisme ; il peut être transposé
pour toute grandeur extensive obéissant à un principe de conservation. On
rencontre des «équations de continuité» analogues à (1.6) : en dynamique des
fluides en exprimant la conservation de la masse (Voir MÉCANIQUE 2) ; dans
l'étude de la diffusion thermique en exprimant la conservation de l'énergie
(voir exercice 3.8) ; dans l'étude de la diffusion de matière en écrivant la
conservation d'un nombre de particules (voir exercice 3.7) ; nous rencontrerons
enfin ultérieurement une équation de conservation de l'énergie
électromagnétique (§ 14.2).
1.8. L'intensité en régime permanent.
En régime permanent (cas des courants continus), les grandeurs utilisées
sont toutes indépendantes du temps t et l'on déduit de l'équation de
conservation de la charge :
v.y = o (1.7)
La relation (1.7) caractérise ce que l'on appelle un champ à flux conservatif.
Nous allons montrer en effet que le flux d'un champ à divergence nulle garde la
même valeur sur toute section d'un tube de champ :
En utilisant la formule d'Ostrogradski, on voit d'abord que le flux d'un
champ à divergence nulle est nul à travers toute surface fermée :
É
;.dS = (V./) dr = 0, VS
(*) Noter que l'on doit écrire dp/dt et non d p / dt car p est une fonction de t et de
la positions(x,y,z).

22
INTRODUCTION A L'ÉLECTROMAGNÉTISME
Considérons maintenant la surface fermée constituée d'un tube de champ T
et de deux surfaces S1 et S2 s'appuyant sur deux contours de même
orientation tracés sur ce tube (*) :
j « dS +
dS +
; . dS = 0
La première intégrale est nulle, les vecteurs j et dS étant orthogonaux en
tout point de T ; la deuxième intégrale s'identifie au flux de j à travers S2,
soit iSl ; la troisième vaut — iSl car, en tant que partie d'une surface fermée, Sx
doit être orientée avec une face intérieure négative (fig. 1.2).
On a donc établi le caractère conservatif du flux; :
'*!
l*2
(1.8)
Fig. 1.2. - Champ à flux conservatif.
Notons que l'égalité (1.8) vaut en particulier pour deux surfaces Sx et S2
s'appuyant sur un même contour C : en régime permanent on peut définir
Vintensité qui traverse un contour C sans avoir à préciser la surface S choisie
pour calculer cette intensité.
On peut donc, en régime permanent, abandonner les indices S et utilisant
des majuscules pour les grandeurs indépendantes du temps, retenir (1.8) sous
la forme :
M
I,
(1.9)
On voit en particulier que l'intensité est la même en régime permanent tout
le long d'un circuit non bifurqué ; cette propriété a été admise pour l'étude de
l'électrocinétique dans les classes précédentes. Plus généralement, le caractère
conservatif du flux de; en régime permanent permet d'établir la loi des courants
dérivés ou loi des nœuds : Si l'on oriente positivement vers l'extérieur les
branches qui partent d'un nœud N d'un réseau (fig. 1.3) on a, en considérant le flux
(*) On appelle tube de champ l'ensemble des lignes de champ s'appuyant sur un
contour donné. Dans le cas présent, il s'agit d'un tube de courant. Noter que le choix de
l'orientation d'un contour tracé sur T permet de définir un sens positif pour l'intensité qui
circule le long de T : un tire-bouchon dont le manche tourne dans le sens de C progresse
dans le sens positif de T.

DISTRIBUTIONS DE CHARGES ET DE COURANTS
23
de j à travers une surface fermée ne contenant que le nœud N
Fig. 1.3
Les résultats de ce paragraphe s'étendent aux courants lentement variables
dans le cadre de l'approximation dite des régimes quasi-permanents (voir le
cours d'électrocinétique de première année). Dans ce cas, on peut négliger
— dp/dt dans l'équation (1.6) de sorte qu'à chaque instant : V •/ (0 = 0. On
peut ainsi définir à chaque instant t une intensité i (t) qui est la même en tout
point d'un circuit non bifurqué. La loi des nœuds reste également valable à
chaque instant.
1.9. Diverses schématisations d'une distribution.
• Représentation volumique.
Nous venons d'établir que, à condition de faire abstraction des variations
spatiales rapides qui interviennent quand on examine la matière à l'échelle
atomique, on peut rendre compte de la structure d'une distribution de charges
en mouvement à l'aide de deux champs : la densité de charges, champ scalaire
p (r, t) exprimé en Cm-3 qui caractérise la position des charges et la densité de
courant, champ vectoriel j (r, t) exprimé en A.m"2 qui caractérise leurs vitesses
d'ensemble.
• Schématisation superficielle.
Dans certains problèmes, on peut considérer que les charges qui
interviennent sont pratiquement confinées au voisinage d'une surface S à l'intérieur
d'une mince couche d'épaisseur a. C'est par exemple ce qui se produit pour les
charges que l'on apporte sur un métal : à l'équilibre électrostatique, celles-ci se
trouvent réparties au voisinage immédiat de la surface du conducteur (*).
Soit dq la charge totale contenue à l'intérieur d'un cylindre de base dS
située autour d'un point M de S et dont les génératrices sont parallèles à la
normale Mz à S en M (fig. 1.4).
Fig. 1.4. - Distribution
superficielle
Y
y
y
M *
(S)
0
a^j
dS
(*) Voir chapitre 4.

24
INTRODUCTION A L'ÉLECTROMAGNÉTISME
On a3 en intégrant sur des disques de volume dr = dS dz :
*#
dq = Pdr - dS p (z) dz
Définissant la densité superficielle de charge en M à un instant donné,
grandeur exprimée en Cm"2, par o = dg/dS, on a :
o =
a
p(z)dz (1.10)
0
De la même manière, on peut définir pour des courants confinés au
voisinage d'une surface une densité superficielle de courant, grandeur exprimée en
A.m"1 , par :
(î.n)
Notons bien que3 dans la réalité physique, la couche considérée a toujours
une épaisseur non nulle. Dans la représentation purement superficielle {a ->0)
des densités superficielles o et i non nulles correspondent à des densités volumi-
ques p et/ non bornées ce qui est bien entendu une schématisation de la réalité.
• Schématisations linéiques.
Nous avons déjà décrit en première année des distributions de charge
réparties sur des courbes et caractérisées par une densité linéique de charge
\ = dqjdl exprimée en Cm"1. La schématisation linéique joue un rôle
particulièrement important en ce qui concerne les courants en raison de l'intérêt
pratique des fils conducteurs dé faible section.
• équivalence/dr = I d/.
Considérons un tube de courant de faible section. Choisissons sur ce tube un
contour C dont le vecteur dS détermine l'orientation positive prise sur le tube
pour compter l'intensité I qui parcourt celui-ci. L'usage est de caractériser un
tronçon élémentaire de tube de courant par un vecteur d/ colinéaire au tronçon
dont l'orientation est celle du sens positif pris sur le tube (fig. 1.5).
d/
s
:m^M
Fig. 1.5. - Tube de courant élémentaire.
Soit dr = d/ . dS le volume de ce tronçon ; on verra que la quantité
dC = / dr3 appelée parfois élément de courant joue dans de nombreuses
expressions relatives aux champs magnétiques un rôle analogue à celui de l'élément de
charge dq — p dr pour les champs électriques. Or, les vecteurs/, d/et dS étant
colinéaires, on a :
dC - / (d/. dS) = (j . dS) d/ ,

DISTRIBUTIONS DE CHARGES ET DE COURANTS
25
soit :
dC = ; dr - I d/
(1.12)
• récapitulation.
Dans la suite de cet exposé3 nous raisonnerons le plus souvent sur des
distributions volumiques. Le cas échéant, le lecteur déduira les expressions relatives
à des distributions superficielles ou linéiques des expressions volumiques en
remplaçant les intégrales triples par des intégrales doubles ou simples et en
effectuant les substitutions :
dq = p d r = o dS = X d/
dC = ; d r = i dS = I d/
(*)
(1.13)
1.10. Changement de référentiel.
Supposons une distribution de charges et de courants décrite par les densités
p, j dans le référentiel galiléen R. Dans le référentiel R' en mouvement de
translation rectiligne et uniforme de vitesse V par rapport à R, cette même
distribution est décrite par le couple (p',/'). Les relations de transformation
faisant passer du couple (p,/) au couple (p',/') nécessitent un traitement relativiste.
Nous nous limitons ici à l'approximation classique. L'invariance dans un
changement de référentiel de la charge électrique et du volume implique que, avec
les notations du § 1.6 :
Pi = p\ = nt qt
d'où:
p=p' = Z mqt (1-14)
Egalement, dans R :
/= 2 Pi Vf avec Pi = «i?/
d'où dans R', compte tenu de la loi de composition classique des vitesses
vi = v'f + V:
j' = S p'iv'i = S Pi(vi~V)
i i
soit :
;-pV
(1.15)
qui exprime la formule de transformation de la densité de courant.
Les relations (1.14) et (1.15) constituent la loi de transformation du couple (p, j)
en cinématique classique. Dans l'appendice A (tome II) nous établirons les formules de
transformation relativistes lesquelles redonnent évidemment (1.14) et (1.15) aux faibles
vitesses (V/c < 1).
(.*) Malgré la notation I utilisée ici pour éviter la confusion avec i, bien noter que cette
équivalence reste valable en régime non permanent.

CHAPITRE 2
L'INTERACTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
Ce chapitre a pour but de présenter brièvement une vue d'ensemble de l'électromagné-
tisme. L'étude générale de l'électromagnétisme (régimes non permanents) ne sera
développée qu'à partir de la quatrième partie de ce livre, après que le lecteur ait eu l'occasion de se
familiariser avec les concepts nécessaires à la description du champ électromagnétique dans
les parties 2 (électrostatique) et 3 (magnétostatique).
2.1. Origines de Télectromagnétisme.
Historiquement, l'unité de nature entre les phénomènes électriques et
magnétiques qui justifie l'emploi du terme électromagnétisme n'a été perçue que
très progressivement.
Les phénomènes électrostatiques, entrevus dès l'antiquité, ont fait l'objet
tout au long du 18ème siècle d'une étude attentive qui parvint à dégager les
concepts essentiels (isolants et conducteurs, charges positives et négatives,
conservation de la charge, loi de force de Coulomb).
Les interactions entre aimants sont l'aspect le plus anciennement connu des
phénomènes magnétiques (le mot magnétisme vient du grec jucry^rjs, aimant).
A partir de 1800, l'utilisation de la pile inventée par l'italien Volta (1745-1827)
rendit possible l'étude des courants permanents. En Juillet 1820, le danois
Oersted (1777-1851) présenta une expérience mettant en évidence l'action de
ces courants sur un aimant (fïg. 2.1).
Fig. 2.1. - Expérience d'Oersted.
Dans les mois qui suivirent, les français Biot (1774-1862), Savart (1791-
1841), Laplace (1749-1827) et Ampère (1775-1836) poursuivirent une étude
systématique des phénomènes que nous appelons aujourd'hui magnétostatiques :
action d'un aimant sur un courant permanent, d'un courant sur un aimant,
action d'un courant sur un courant, action d'un aimant sur un aimant (fig. 2.2
et 2.3).
Ampère présenta à la suite de ces expériences une théorie unifiée des
phénomènes magnétostatiques : il supposait que l'interaction magnétostatique peut

L'INTERACTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
27
toujours être décrite comme l'action d'un courant permanent sur un autre
courant permanent, le comportement des aimants s'expliquant par la présence
en leur sein de courants microscopiques dont la distribution est liée à la
structure de la matière aimantée (*).
Fig. 2.2. - Action d'un aimant sur un courant.
Comme nous le verrons au chapitre 25, cette conception des «courants
ampériens» était déjà très proche des idées actuelles sur la théorie des milieux
magnétiques.
Fig. 2.3. - Action d'un courant sur un courant.
En 1831, l'anglais Faraday (1791-1867) découvrit le phénomène
d'induction électromagnétique. Un des aspects de ce phénomène établit un nouveau
lien entre les domaines de l'électricité et du magnétisme : un champ
magnétique variable dans le temps engendre un champ électrique variable pouvant
donner naissance à des courants induits {champ électromoteur d'induction).
En 1864, l'écossais Maxwell (1831-1879) montra que, pour donner une
description logiquement cohérente des phénomènes électriques et
magnétiques connus à cette date, il était nécessaire d'admettre l'existence d'un
phénomène en quelque sorte réciproque de l'induction : un champ électrique variable
dans le temps est une source de champ magnétique. Ce point de vue, exprimé
dans quatre équations locales appelées équations de Maxwell établit
définitivement l'unité des phénomènes électriques et magnétiques ; de plus il permet
immédiatement, comme nous le verrons au chapitre 11, d'identifier la lumière
avec une onde électromagnétique de célérité dans le vide c et relie par la
formule :
' ' (2-1)
e0 Mo c
2 _
1
(*) Une telle interprétation peut être suggérée par la comparaison d'expériences telles
que celles représentées sur les figures 2.2 et 2.3.

28
INTRODUCTION A L'ÉLECTRQMAGNÉTISME
les deux constantes e0 et [jl0 (permittivité et perméabilité du vide) qui étaient
apparues séparément dans les théories de l'électrostatique et de la magnétosta-
tique.
Les équations de Maxwell restent la base de la conception actuelle de l'élec-
tromagnétisme non quantique. Au début de ce siècle, la relativité est seulement
venue préciser comment les phénomènes électromagnétiques apparaissent
modifiés quand on les observe depuis des référentiels différents.
2.2. Le champ électromagnétique.
En première année, nous avons étudié Y électrostatique, c'est-à-dire la branche
de l'électromagnétisme qui décrit les interactions de particules chargées fixes dans
un référentiel donné. En d'autres termes, nous cherchions à étudier une
distribution D caractérisée dans un référentiel galiléen R par sa densité volumique de
charge p (r), champ scalaire permanent défini dans R. Nous avons vu que la
manière la plus féconde de décrire l'ensemble des faits observés est d'admettre
que la présence de D est la source d'une modification des propriétés de l'espace
appelée champ électrostatique qui peut être caractérisée par un champ vectoriel
permanent E (r). Le champ E est accessible à l'expérience par l'intermédiaire
de la loi de force F = q E qui détermine la force subie par une particule de
charge q. La théorie de l'électrostatique est complète si l'on sait calculer le
champ E (r) à partir de sa «source» p (r) ; c'est ce que permet de faire par
exemple la loi de Coulomb.
Le schéma conceptuel sur lequel est bâti la description actuelle de Yélectro-
magnétisme est analogue au précédent. L'électromagnétisme se propose
d'étudier les interactions de particules chargées en mouvement, c'est-à-dire une
distribution D de charges dont les positions et les vitesses dans un référentiel
galiléen R donné sont en général caractérisées par deux champs non
permanents : la densité de charge p (r, t) et la densité de courant; (r, t).
Nous admettrons comme résultant de l'expérience que l'action de D en un
point de position r et à un instant fpeut toujours être caractérisée par un champ
C (r, t) = (E, B) appelé champ électromagnétique. Le champ C (r, t) est un
ensemble de deux champs vectoriels E (r, t) et B (r, t) appelés respectivement
champ électrique et champ magnétique (*). Malgré ces dénominations qui sont
issues du développement historique séparé de l'électricité et du magnétisme, il
importe de réaliser d'emblée que le champ électromagnétique forme en général
un tout indissociable. En d'autres termes : la grandeur C peut être représentée
par un être mathématique particulier constitué d'une collection de 6 champs
scalaires tels que Ex (r, £)(**).
Le champ électromagnétique est accessible à l'expérience par l'intermédiaire
de la loi de force de Lorentz qui donne la force subie par une particule de
charge q et de vitesse v (r, t) par rapport à R :
F = q (E + v A B)
(2.2)
(*) Ou : champ d'induction magnétique.
(**) Dans l'appendice A de ÉLECTROMAGNÉTISME 2, il est montré que ces champs
Ex... s'identifient aux 6 éléments d'une matrice (4 X 4) antisymétrique qui se révèle être,
dans la description relativiste de l'électromagnétisme, l'objet mathématique adapté pour
caractériser le champ électromagnétique.

L'INTERACTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
29
La théorie de Pélectromagnétisme est complète si l'on sait calculer le champ
(E, B) à partir de sa source (p9j) ; c'est ce que nous permettront de faire les
équations de Maxwell (chapitre 11).
Notons que la relation (2.2) attribue au champ magnétique un caractère
pseudovectoriel (Voir § 0.6) : B étant défini à partir de la force et de la vitesse
par une relation contenant un produit vectoriel, son sens dépend, contrairement
à celui de E, d'une convention d'orientation de l'espace (*).
2.3. Unités, ordres de grandeur.
• champ électrique.
Pour des raisons qui ont été vues en première année (se rappeler par exemple
la relation E = — VV), le champ électrique s'exprime dans le SI en volt par
mètre (y.m'1).
A l'aide d'un condensateur à air dont l'épaisseur est de l'ordre du cm relié à
une machine électrostatique donnant une tension de l'ordre de 10 kV, on
obtient un champ de 106 V.m"1. Pour une tension supérieure, le champ
appliqué provoque l'ionisation de l'air : à 20 °C et sous une atmosphère ce champ
disruptif est de 3.106 V.m"1. Donnons également un ordre de grandeur du
champ électrique maximum supportable par la structure atomique de la
matière : on sait que l'atome d'hydrogène a un potentiel d'ionisation de Tordre de
10 V (13,6 V) et des dimensions de l'ordre de 10"10 m (rayon de Bohr :0,53 Â),
on en déduit qu'il est «brisé» par un champ électrique dont l'intensité dépasse
10/10"10 = 1011 V.m"1. De telles valeurs sont effectivement atteintes par le
champ électrique du rayonnement électromagnétique utilisé dans les
expériences de fusion thermonucléaire dites «par confinement inertiel» réalisées en
faisant converger les faisceaux de plusieurs lasers sur de petites billes remplies
d'un mélange deutérium-tritium.
• champ magnétique.
De même que pour le champ électrique, la loi de force de Lorentz permet de
relier l'unité de champ magnétique à celle de charge et aux unités mécaniques
de base. Dans le SI, cette unité a reçu le nom de tesla (T), du nom de l'ingénieur
croate Nikola Tesla (1857-1943) qui apporta d'importantes contributions au
développement de Pélectrotechnique.
Pour exprimer l'intensité du champ géomagnétique on utilise encore souvent
une ancienne unité, le gauss (G) : 1 G = 10"4 T. En France, les composantes
horizontale et verticale du champ magnétique terrestre sont respectivement
voisines de 0,2 G et 0,4 G. Le champ d'un aimant ordinaire atteint
couramment quelques centièmes de tesla. Avec de gros électroaimants, on réalise des
champs de l'ordre du tesla. Enfin, à l'aide de bobines supraconductrices, on
parvient à réaliser sur de faibles volumes des champs magnétiques permanents
de quelques teslas.
(*) Certains ouvrage^tiennent à préciser le caractère pseudovectoriel du champ
magnétique en notant celui-ci B.

30
INTRODUCTION A L'ÉLECTRQMAGNÉTISME
2.4. Cas particulier du régime permanent.
Comme nous le verrons au chapitre 11, les équations de Maxwell
introduisent un couplage entre les champs E et B mais ce couplage disparaît en régime
permanent. Il en résulte qu'il est possible dans ce cas, et dans ce cas
seulement, de séparer Pélectromagnétisme en deux branches distinctes : l'étude du
champ électrique permanent E (r) ayant pour source une distribution de charge
permanente p (r) et l'étude du champ magnétique permanent B (r) ayant pour
source une distribution permanente de courant ; (r). C'est précisément l'étude
des régimes dépendant du temps qui fit apparaître à Faraday et Maxwell
l'unité profonde de l'électromagnétisme alors que leurs prédécesseurs, se
limitant à des régimes permanents, avaient édifié deux disciplines distinctes :
Y électrostatique et la magnétostatique.
Remarque :
Les termes champ magnétique permanent et champ magnétostatique sont
synonymes. En revanche, le terme de champ électrostatique est plus restrictif
que celui de champ électrique permanent : l'électrostatique est l'étude d'une
distribution de charges fixes dans un référentiel donné. Par exemple, un faisceau
d'électrons animés d'une vitesse constante est la source d'un champ électrique
qui est permanent mais non électrostatique. Nous reviendrons sur cette
distinction au § 3.4.
2.5. Transformation du champ électromagnétique
dans un changement de référentiel.
Imaginons un faisceau de protons animés d'une vitesse v par rapport au
référentiel R du laboratoire et un «proton isolé» de charge q se déplaçant
dans R à la même vitesse que le faisceau (fig. 2.4.a). R' désigne le référentiel
lié au faisceau (fig. 2.4.b).
Q #
TE'
a/ R : référentiel du laboratoire. b/ R ' : référentiel du faisceau
Fig. 2.4. - Relativité du champ électromagnétique.
Un observateur lié à R voit le faisceau comme une distribution D
caractérisée par une densité de charge p (r) et par une densité de courant; (r), pour lui,
D est la source d'un champ électromagnétique permanent (E (r), B (r)) qui
exerce sur la charge q une force électromagnétique q (E + v A B). En revanche,
un observateur de R' considère D comme une distribution de charges fixes qui
est la source d'un champ électromagnétique (E', 0). Ce champ exerce sur la
charge q, fixe dans R', une force qEf qui apparaît à cet observateur comme
purement électrostatique (fig. 2.4.b). Cet exemple confirme l'unité profonde
du champ électromagnétique : le champ électromagnétique se transforme « en
bloc » dans un changement de référentiel ; le champ d'une distribution donnée

L'INTERACTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
31
peut apparaître comme permanent ou non, comme purement électrique ou
purement magnétique, suivant le référentiel que Ton choisit pour le décrire.
Les lois quantitatives de transformation du champ électromagnétique dans
un changement de référentiels : (E, B) -» (E', B') seront établies dans
l'appendice A (§ A.6) (tome 2). Ces lois de transformation impliquent nécessairement
le cadre de la théorie de la relativité restreinte. Toutefois la «relativité du
champ électromagnétique» existe aussi en théorie classique.
Soient en effet deux référentiels galiléens R et R' ; V désigne la vitesse de
Rf par rapport à R. Une particule de charge q, de vitesse v dans R, est
soumise dans le champ (E, B) à la force :
F = q (E + v A B)
dans R.
Dans R', la particule est soumise à la force F' = F (invariance des forces en
mécanique newtonienne) telle que :
F' = q (E' + v A B')
où on a utilisé l'invariance de la charge. La loi de composition des vitesses en
cinématique classique donne : v = v + V.
On en déduit :
E + ^AB-E' + (z;-V)ABf
Cette dernière relation doit être satisfaite quel que soit v9 ce qui implique
les formules de transformation :
B' = B a)
E' = E+VAB b) Vmô)
La relation 2.3 b) montre bien que le champ E dépend du référentiel
(relativité du champ électrique) même dans le cadre classique. Cette relation nous
permettra d'ailleurs d'interpréter le phénomène d'induction électromagnétique
dans le cas du mouvement d'un conducteur dans un champ magnétique (cf.
chapitre 19). Par contre, la relation B' = B qui affirmerait l'invariance du champ
magnétique dans un changement de référentiel est inacceptable ! Partant, par
exemple, de la situation évoquée sur la figure 2.4.b où règne le seul champ
électrostatique E' (B' = 0), on établirait ainsi que dans la situation indiquée sur
la figure 2.4.a B = 0. Cette conséquence absurde, en contradiction avec les
phénomènes les plus élémentaires de Pélectromagnétisme, montre bien Yinadé-
quation de la mécanique classique avec Pélectromagnétisme.
Remarque :
Dans la limite classique, la relation 2.3.b s'étend à un référentiel R' en
mouvement quelconque, V étant alors remplacé par la vitesse d'entraînement
ve au point considéré.
2.6. Densité de force électromagnétique.
Soit dF la force totale que le champ électromagnétique exerce à l'instant t
sur les particules contenues dans un volume élémentaire dr de position r. Ce
volume contient une charge ri\ qx dr provenant de porteurs de vitesse
d'ensemble vi, une charge n2 q2 dr provenant de porteurs de vitesse d'ensemble v2 ...
De l'expression (2.2) de la force de Lorentz, on déduit que la densité volumi-
que de force dF/dr =f(r, t) est donnée par :
f = n1q1(E + v1AB) + n2 q2 (E + v2 A B) + ...

32
INTRODUCTION A L'ÉLECTROMAGNÉTISME
On voit apparaître dans cette expression la densité de charge :
P=n1q1 +n2q2 + ... (1.4)
et la densité de courant :
j = nlqlv1 +n2q2v2 +...(1.3).
On en déduit l'expression générale de la densité volumique de force
électromagnétique (N.m"3) :
dF
-=/=pE+/AB
(2.4)
Exemple : striction magnétique.
Considérons une colonne cylindrique d'axe Oz contenant un fluide conducteur parcouru
par un courant de densité/= / uz (fîg. 2.5).
m
v
+ «r
Fig. 2.5. - Striction magnétique.
Comme nous le reverrons bientôt, une telle distribution de courant engendre un champ
magnétique orthoradial B = B (r) u$. La densité de force magnétique correspondante
/= / A B = — / B ur est radiale et dirigée vers l'axe du cylindre. La relation fondamentale
V P= / de la statique des fluides (voir MÉCANIQUE 2, ch. 4 et 5) permet d'en déduire que
la pression P croît de l'extérieur de la colonne à l'axe de celle-ci. Pour un fluide
compressible, ce mécanisme tend à resserrer la colonne, d'où le nom de striction donné à ce
phénomène qui intervient notamment dans la théorie des éclairs et dans l'étude de l'équilibre
des plasmas (*).
L'expression (2.4) est également à la base de l'étude de la dynamique des fluides
conducteurs soumis à un champ magnétique, science appelée magnétohydrodynamique
(v. pb. 15.1, 15.2 et 15.4).
2.7. Puissance cédée à la matière
par le champ électromagnétique.
L'expression (2.2) de la force de Lorentz permet de calculer, dans un réfé-
rentiel R donné, la puissance 9 cédée par la force F à la charge q à laquelle
elle s'applique. Le produit mixte (v A B) . v étant nul :
9= F . v = qE . v
(*) L'étude détaillée de ce phénomène pourra être abordée quand nous saurons calculer
des champs magnétiques, voir ex. 9.18.

L'INTERACTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
33
Nous retrouvons un fait déjà connu du lecteur : un champ magnétique ne
transfère pas d'énergie aux particules auxquelles il s'applique. Cherchons à
calculer la puissance d9 fournie par le champ électromagnétique (E, B) à un
volume dr contenant des charges n1q1dr ,n2q2dr ... provenant de porteurs
de vitesses d'ensemble vx, v2 ...
d3> = n1q1v1 * E dr + n2 q2 v2 • E dr + ...
En remarquant que s'introduit dans la formule ci-dessus la densité de courant
j = niQiVi + n2q2v2 +..., on obtient l'expression de la densité volumique de
puissance cédée par le champ électromagnétique à la matière (W.m"3) :
(2.5)
L'énergie fournie par le champ électromagnétique aux charges qu'il contient
peut se retrouver sous diverses formes ; deux cas ont une importance pratique
particulière :
— Dans un appareil à faisceau de particules, la puissance fournie par le
champ électrique accélérateur est convertie en énergie cinétique ;
— A l'intérieur d'un conducteur métallique, les charges libres sont «freinées
par le réseau» de telle sorte que leur vitesse d'ensemble atteint très rapidement
une valeur limite, leur énergie cinétique étant alors stationnaire. Dans ces
conditions, la puissance cédée aux porteurs par le champ électrique responsable du
courant est entièrement transférée au réseau, ce phénomène constitue Veffet
Joule.
* 2.8. Effet Hall (*).
Soit une plaquette conductrice de longueur L, de largeur a et d'épaisseur b. La
plaquette, traversée dans sa longueur par un courant continu d'intensité I, est placée dans
un champ magnétique uniforme B perpendiculaire à sa plus grande face (fig. 2.6).
Fig. 2.6. - Sonde à effet Hall.
(*) Découvert en 1880 par l'américain Edwin Herbert Hall (1855-1938).

34
INTRODUCTION A L'ÉLECTRQMAGNÉTISME
Mesurons à l'aide d'un voltmètre la tension U qui existe entre deux points des bords
de la plaquette tels que AC soit normal aux lignes de courant. En l'absence de champ
magnétique, U = 0. Quand on établit le champ magnétique, on observe que, après un
très bref régime transitoire, U prend une valeur constante Uh proportionnelle à I et à B.
Pour simplifier l'explication de ce phénomène, nous raisonnerons sur une «charge
macroscopique» q, prise positive pour fixer les idées, animée de la vitesse d'ensemble v
des porteurs responsables de la conduction dans la plaquette.
Avant l'application du champ magnétique, la charge q était soumise à la force qE0 de
la part du champ électrique parallèle à la longueur de la plaquette, qui est à l'origine
du courante Placée dans le champ B, elle est de plus soumise à la force magnétique :
Fm = Q ^ A B. Dans un régime transitoire, sa trajectoire s'infléchit vers le bord de la
plaquette situé à droite du sens du courant. Des charges positives s'accumulent sur ce
bord, un défaut de charges apparaît sur le bord opposé.
Cette accumulation de charges crée un champ électrique Ejj (champ de Hall). La
force : F^= q En exercée par ce champ tend à s'opposer à la force magnétique F^. Au
bout d'un certain temps, un régime permanent est obtenu quand le champ de Hall atteint
une valeur suffisante pour que : F^ + Fjj = 0. Les lignes de courant redeviennent alors
parallèles à E0.
Evaluons la circulation du champ de Hall le long de AC :
Uh= va-vc
E . d/ = (EH + E0) • d/
A J A
E0 étant perpendiculaire à AC, on a, en admettant que Ejj est constant le long de AC :
UH= a EH.
La relation Fj^+ Fjj = 0 qui exprime le régime permanent entraîne E^ = vB. En
notant n la densité particulaire des porteurs, la densité de courant est/ = nq v ; en
supposant celle-ci uniforme :/ = l/ab. On en déduit Ujj = a Ej^ = aBf/nq ; d'où l'expression
de la tension de Hall :
1 IB IB 1
UH = — — = Rh — avec Rh = —
nq b b n nq
Pour les métaux, l'effet est très faible, même en utilisant des plaquettes minces (b ~
0,1 mm). Avec des intensités de l'ordre de l'ampère et des champs de l'ordre du tesla, on a
1% de l'ordre du microvolt. Ces résultats correspondent à des constantes de Hall :
RH = l/nq « 10"6 • 10-4 = 10"10 m3^"1,
en bon accord avec notre modèle compte tenu de q ~ 10" C et n ~ 10 m" (*).
L'expression de Uh permet de comprendre que l'effet Hall soit beaucoup plus intense
dans des semi-conducteurs, milieux caractérisés par des densités de porteurs très
inférieures à celle des métaux. De telles plaquettes semi-conductrices constituent l'élément
essentiel d'appareils de mesure du champ magnétique appelés sondes de Hall.
Remarque :
Pour des métaux tels que Al, Cu ou Ag, on obtient R^ < 0, comme on s'y attend, les
porteurs étant des électrons. On obtient en revanche R^ > 0 pour Zn et Fe ! Ceci montre
les limites du modèle que nous avons utilisé : la théorie complète de l'effet Hall exige
l'emploi de la mécanique quantique.
2.9. Force de Laplace.
Considérons un tronçon de circuit filiforme caractérisé par un vecteur d/
dont le sens définit l'orientation positive choisie pour compter l'intensité / (t)
(*) Pour un métal de masse atomique A, de masse volumique /i et pour lequel on
compte environ 1 électron libre par atome :
M ^n A/91 avec 91 ^ 6 . 10 23
d'où l'évaluation de a.

L'INTERACTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
35
qui parcourt le fil. Le tronçon étant placé dans un champ magnétique B (r, t),
l'expression (2.3) de la densité de force électromagnétique montre que la force
dF qui s'exerce sur l'ensemble des porteurs contenus dans le volume dr du
tronçon est dF =/ A B dr . En exprimant l'équivalence/'dr = iàl (1.12), on en
déduit l'expression de la loi de Laplace (fig. 2.7) :
dF = /d/AB
(2.6)
Fig. 2.7. - Loi de Laplace.
Remarque 1 :
Dans le raisonnement développé cidessus, la force dF est appliquée aux porteurs
contenus dans le fil. Or, dans les applications pratiques de (2.6), on traite en fait la force de
Laplace comme si elle s'appliquait au fil lui-même, c'est-à-dire au réseau cristallin de
celui-ci. Examinons la justification de ce point de vue : les porteurs mobiles sont
nécessairement soumis, outre à la force dF exercée par le champ B extérieur, à une force dF
exercée par le réseau telle que :
dF + dF' ** 0 (*)
Mais, en raison du principe de l'action et de la réaction, les porteurs doivent exercer
sur le réseau une force opposée à celle qu'ils subissent de la part de celui-ci, c'est-à-dire
une force — dF' = dF : la force de Laplace est bien transmise au réseau. Reste à
comprendre le mécanisme physique qui assure cette transmission, c'est-à-dire l'origine de la force
dF'. Dans le cadre de validité du modèle que nous avons utilisé pour décrire l'effet Hall,
cette force n'est autre que celle que le champ de Hall exerce sur les porteurs mobiles.
Remarque 2 :
De même que l'équivalence / dr -*i dZ, l'expression (2.6) ne suppose pas
nécessairement que le tronçon caractérisé par d/ est fixe dans le référentiel considéré.
• Applications de la loi de Laplace.
La loi de Laplace permet de concevoir divers magnétomètres dans lesquels
un dispositif mécanique permet de déterminer B par la mesure de forces et de
moments (**).
(*) Nous écrivons ^ car, en toute rigueur, le second membre de cette équation qui
exprime le principe fondamental de la Dynamique est a dm, a étant l'accélération
d'ensemble des porteurs du tronçon et dm leur masse. On peut montrer toutefois que, même en
régime non permanent, de tels « effets d'inertie » des porteurs sont entièrement négligeables.
(**) On trouvera dans les collections des lycées un dispositif de ce type appelé balance
de Cotton.

36
INTRODUCTION A L'ÉLECTRQMAGNÉTISME
L'expression (2.6) donne surtout le principe de toute une catégorie de
moteurs électriques.
Exemple 1 :
A titre d'exercice, nous allons étudier un dispositif pédagogique réalisé en 1822 par
l'Anglais PeterBarlow (1776-1862). Cette roue de Barlow est en fait l'ancêtre de tous les
moteurs électriques (fig. 2.8).
Fig. 2.8. - Roue de Barlow motrice.
Nous assimilerons cette roue à un disque de centre O et de rayon a placé dans un
champ magnétique uniforme B parallèle à son axe. Un courant d'intensité I entre en O et
sort en A où la roue baigne dans du mercure. Bien que la distribution considérée ne soit
pas filiforme, nous allons voir qu'il est fructueux, pour calculer le moments par rapport
à O des forces de Laplace, de décomposer celle-ci «en filets de courant» allant de O en A
et transportant chacun une intensité dl. La contribution d'un élément de filet de position
OM = r caractérisé par un vecteur d/ = dr est :
d2cW= rAd2F = dl rA(drAB)
Si l'on développe le double produit vectoriel en tenant compte de r • B = 0, on a :
d2cM = - dl (r . dr) B = - B dl d {r2 11)
Par une sommation de O à A le long du filet, on a :
d9* = - — B dl
2
Sommant enfin sur l'ensemble des filets joignant O et A, on voit que l'expression du
moment est la même que si l'intensité I était entièrement confinée le long du rayon OA :
2
Au § 19.6, nous verrons que ce même système peut aussi être utilisé en tant que
générateur.
Exemple 2 : pompe électromagnétique.
Dans les réacteurs nucléaires surrégénérateurs, la chaleur produite est évacuée par une
circulation de sodium liquide (masse volumique ju ^ 103 kg.m"3). Pour faire circuler
ce liquide conducteur dans une direction uz, on peut placer sur les côtés d'un
tronçon de canalisation des électrodes entre lesquelles on fait circuler un courant de densité
/ = / ux. Si l'on applique sur la même région un champ magnétique B = B Wy, la densité
de force de Laplace :/= j A B tend à produire le mouvement souhaité (fig. 2.9).

L'INTERACTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
37
Fig. 2.9. - Pompe électromagnétique.
Si l'on souhaite par exemple équilibrer le champ de pesanteur g = - g uz d'intensité
^ 10 m.s"2 en disposant d'un champ magnétique de 0,1 T, la relation; A B^ + \Xg = 0
montre qu'il faut faire circuler un courant de densité/ = jU^/B = 10 A.m , soit
seulement 10 ampères par centimètre carré.

DEUXIÈME PARTIE :
ELECTROSTATIQUE

CHAPITRE 3
FORME LOCALE DES LOIS DE L'ELECTROSTATIQUE
En première année (*), en postulant seulement l'expression du champ d'une charge
ponctuelle (loi de Coulomb), nous avons établi un certain nombre de propriétés du champ
électrostatique (existence d'un potentiel, théorème de Gauss). Nous allons voir que les
opérateurs introduits au chapitre 0 permettent de donner une formulation locale de ces
propriétés. Les équations locales ainsi obtenues fournissent un moyen nouveau d'étude
des problèmes électrostatiques. De plus, nous verrons quand nous passerons à l'étude des
régimes non permanents que c'est à partir de la forme locale qu'il est le plus aisé de
formuler les lois générales de l'électromagnétisme.
Par ailleurs nous verrons (chap. 11), que les résultats de ce chapitre débordent du cadre
de l'électrostatique au sens strict (étude de distributions de charges fixes), ils s'étendent au
cas plus général des champs électriques permanents (ayant pour source une distribution de
densité p (r) indépendante du temps).
3.1. Equation de Maxwell-Faraday de l'électrostatique.
Nous savons que le champ électrostatique E (r) dérive d'un potentiel V (r),
ce qui se traduit en chaque point par la relation locale :
V V
(3.1)
Le rotationnel d'un gradient étant nul (formule F2), on en déduit que le
rotationnel du champ électrostatique est nul :
v A E = ° 1 (3-2) ou MFs
Comme nous le verrons ultérieurement, cette équation est la restriction au
cas des régimes permanents de l'une des équations de Maxwell, celle de Maxwell-
Faraday.
Remarque :
Nous avons établi directement en première année le fait que le champ
électrostatique est à circulation conservative. Ce résultat se retrouve aisément en
transformant à l'aide de la formule de Stokes l'expression de la circulation de E
le long d'un contour C quelconque :
( V A E) . dS = 0
's
(*) V. MÉCANIQUE 1. ch. 6.

42
ÉLECTROSTATIQUE
3.2. Equation de Maxwell-Gauss.
Le théorème de Gauss exprime que le flux électrostatique ^ sortant d'une
surface fermée S est égal au quotient par la permittivité du vide e0 de la charge
totale Q contenue dans le volume V intérieur à S ; soit, en exprimant Q à l'aide
de la densité volumique de charge p (r) :
p dr
tf = <&> E . dS - — = —
En transformant la première intégrale par la formule d'Ostrogradski
( V . E) dr = fi
'v
v
— dr
Cette égalité étant vraie pour tout volume V, on en déduit la relation locale
dite équation de Maxwell-Gauss :
V -E = —
(3.3)ouMG
Nous avons déduit ici MG du théorème de Gauss, lui-même conséquence de
la loi de Coulomb :
1 q u
E =
47re0
(3.4)
Nous verrons ultérieurement que, en régime non-permanent, l'expérience
indique que MG et le théorème de Gauss restent valables alors que le champ
électrique d'une charge ponctuelle n'est plus donné par (3.4) : Véquation de
Maxwell-Gauss se révèle plus générale que la loi de Coulomb.
3.3. Equation de Poisson de l'électrostatique.
Introduisons l'expression de E en fonction du potentiel V dans l'équation
de Maxwell Gauss :
V . (- V V) = —
La divergence du gradient étant égale au laplacien (formule F^, on en
déduit une relation locale appelée équation de Poisson (*) :
V2 V +^
e0
0
Dans le cas particulier d'une région vide de charges (p
Poisson (3.5) se réduit à Véquation de Laplace :
I V2 y =^[
(3.5)
0), l'équation de
(3.6)
(*) Denis Poisson, mathématicien et physicien français (1781-1840).

FORME LOCALE DES LOIS DE L'ÉLECTROSTATIQUE
43
3.4. Résolution des équations de l'électrostatique.
Soit D une distribution de charge caractérisée par une densité volumique
de charge p (S) connue. On peut se proposer de chercher le potentiel V (M)
créé par D en un point M quelconque (fîg. 3.1) de manière purement
mathématique en résolvant l'équation (3.5).
(D)
M
V(M)
E(M)
«point d'observation»
SM
ru
«point source»
Fig. 3.1 - Potentiel et champ d'une distribution
On sait que le potentiel électrostatique est défini à une constante près.
Supposons que nous astreignions la fonction V (M) à être nulle à l'infini
(«potentiel absolu»). On montre que, dans ces conditions, la solution de l'équation
de Poisson est unique pourvu que D soit d'extension finie, cette solution est
donnée par l'intégrale étendue indifféremment à D ou à tout l'espace:
(3.7) (*)
Nous pouvons en déduire l'expression générale du champ E (M). En notant
par l'indice M une dérivation relative aux coordonnées de M, en intervertissant
dérivation relative à M et intégration relative à S et en remarquant que p est
une fonction de S :
E(M)
47re0
dr=
1
47re0
Nous avons établi (0.16) que Vm ( — ) — ,ona donc :
(3.8)
L'expression ainsi déduite de l'équation de Poisson est bien en accord avec
la loi de Coulomb pour une charge ponctuelle.
(*) Le calcul, quoiqu'un peu long, est faisable avec les connaissances d'analyse
vectorielle de la classe de spéciales. Le résultat est en tout cas facile à admettre et à mémoriser
si on le compare avec l'expression vue en première année pour le potentiel d'une charge
ponctuelle : V= q/4îteor.

44
ÉLECTROSTATIQUE
Le lecteur peut se demander pourquoi nous présentons les calculs ci-dessus
si c'est seulement pour aboutir à des résultats déjà vus en première année pour
des charges ponctuelles ! Les motivations sont les suivantes :
1) Nous établissons que la résolution de l'équation de Poisson suivie de
l'utilisation de la relation dérivant le champ du potentiel est une variante
possible de la formulation des lois de l'électrostatique. Nous verrons que cette
démarche peut être étendue au cas du champ magnétostatique et même au cas
du champ électromagnétique le plus général ;
2) Nous verrons ultérieurement que, pour un champ électrique permanent
mais non nécessairement électrostatique, c'est-à-dire pour le champ E (r)
créé par une distribution de charges mobiles telle que p (r) est indépendant du
temps, les équations locales vues dans ce chapitre restent toutes valables, de
même que les solutions (3.7) et (3.8) alors que la loi de Coulomb individuelle
(3.4) cesse d'être valable ;
3) Si, dans un domaine quelconque de la physique, on rencontre une
équation formellement identique à l'équation de Poisson, on peut utiliser
directement la solution (3.8) pourvu que les conditions aux limites soient identiques.
A ce sujet, voir l'exercice 3.7.
EXERCICE RÉSOLU A
Diode à vide. Formule de Child-Langmuir.
Une diode est constituée de deux plaques métalliques planes parallèles C et A de même
aire S distantes de a. La cathode C, maintenue au potentiel 0, émet avec une vitesse
négligeable des électrons qui se dirigent vers l'anode A qui est portée au potentiel U
de quelques volts. On se place en régime permanent et l'intensité qui traverse la diode
est I. On admet que les lignes de courant sont perpendiculaires aux plaques. Soient V le
potentiel, p la densité volumique de charge des électrons et v leur vitesse à la distance jc
deC.
1) Exprimer v en fonction de V, de la charge e et de la masse m de l'électron.
2) Etablir une équation différentielle relative à la fonction V (jc).
3) Intégrer cette équation en admettant que le champ électrique est nul sur C. En
déduire l'expression de la caractéristique I (U) de la diode dans le domaine
d'approximation considéré.
• Solution.
1) L'énergie cinétique des électrons (quelques eV) reste faible devant leur énergie de
masse (me2 « 0,5 MeV), il est donc légitime d'utiliser la forme newtonienne du théorème
de l'énergie cinétique :
1 o
— mv = e V (1)
2
2) Orientons le système par un vecteur unitaire u dirigé de C vers A, p (x) < 0 étant la
densité volumique de charge correspondant à la présence des électrons en transit («charge
d'espace»), la densité de courant est donnée par l'expression (1.5) :
I
j= pv u= --u (2)

FORME LOCALE DES LOIS DE L'ÉLECTROSTATIQUE
45
en notant I la valeur arithmétique de l'intensité (le courant va de A vers C). Les expressions
(1) et (2) montrent que p est, en régime permanent pour I, indépendant du temps. Nous
avons-ici un exemple de régime permanent non électrostatique. Nous admettons en
conséquence que V (x) vérifie l'équation de Poisson, laquelle s'écrit simplement ici :
d2V/dx2 + p/e0 = 0
En éliminant p puis v à l'aide de (1) et (2) :
d2V
dxJ
kV'1/2 = 0 (3)
3) D'un point de vue mathématique, (3) est une équation différentielle «où x manque»
ce qui suggère de poser E = — dV/dx (E = E«= - VV représente du reste le champ
électrique). On obtient ainsi l'équation du premier ordre :
dE « h
E k V l/ = 0 (4)
dV
Compte tenu de E = 0 et V = 0 sur C, (4) s'intègre en E2/2 - 2k V1/2 = 0, d'où :
dx
Une nouvelle intégration entre x = 0 et x = a donne 2a Vk = (4U3/4)/3,d'oùl
expression demandée :
9 V m a2
Cette «loi en
u3/2
» (dite loi de Child-Langmuir) représente convenablement la portion
voisine de l'origine de la caractéristique d'une diode à vide à électrodes planes.
Remarque :
Cet exercice fournit un exemple de problème avec «conditions aux limites». Pour
résoudre complètement l'équation différentielle du second ordre de Poisson dans le
domaine 0 < x < a, il a fallu exprimer les conditions (valeurs de E ou de V) que la nature
physique du problème impose aux «limites» x = 0 et x = a.
On rencontre des problèmes de ce type dans de très nombreux domaines de la physique.
EXERCICE RÉSOLU B
Champs de révolution. Optique électronique
Soit, dans une région vide de charge, un champ électrique E= ErUf.+ Ezuz présentant
la symétrie de révolution autour de l'axe Oz. Montrer que, au voisinage de l'axe :
r 9E~
r - 2 dz

46
ÉLECTROSTATIQUE
• Solution.
Soit C un petit cylindre d'axe Oz et de rayon r limité par les plans de cote z et z + dz
(fig. 3.2).
^Z
M Ez (z+dz)
Fig. 3.2
C ne contenant pas de charges, le flux de E à travers C est nul (théorème de Gauss). En
considérant Er et Ez comme constants respectivement sur la surface latérale et sur les bases
deC:
2lîr&zEr + irr2Ez (z + dz) - 7ï7*2Ez(z) = 0
dEz
Ez (z + dz) - Ez (z) « dz
dz
Au second ordre près
d'où l'expression demandée.
Remarque :
Ce résultat est une conséquence de l'équation V . E = 0 (MG) valable dans une région
vide de charges. Nous verrons plus loin que le champ magnétique B vérifie toujours V. B = 0,
on a donc de même pour un champ magnétique de révolution :
r 9BZ
Br « - - —
2 dz
Ces relations sont à la base de l'étude de Voptique électronique (voir problème 9.19).
EXERCICES
3.1. Potentiel au centre d'un carré.
Un champ électrostatique régnant dans le vide peut être considéré comme localement
uniforme dans tout le voisinage d'un carré At A2 A3A4. Montrer que le potentiel au centre
de ce carré peut être calculé avec une excellente approximation par :
Vl + v2 + v3 + v4
V0 = - .
Réponse :
La formule est bonne au quatrième ordre près par rapport aux dimensions du carré
(écrire un développement de Taylor à l'ordre 2 de V (x,y) et utiliser l'équation de Laplace).
3.2. Valeur moyenne du potentiel électrostatique.
Démontrer que, dans une région vide de charge, la moyenne < V > du potentiel
électrostatique sur une sphère S est égale à la valeur Vo prise par la fonction V (r) au
centre de cette sphère.
Indication : on aura intérêt à établir la propriété par superposition en commençant par le
potentiel du champ créé par une charge ponctuelle.

FORME LOCALE DES LOIS DE L'ÉLECTROSTATIQUE
47
3.3. Potentiel de Yukawa.
On considère un point fixe O et un point variable M défini par OM = r. Une distribution
de charges électriques crée au point M un potentiel :
V (/) = e'r'a (potentiel de Yukawa)
47te0r
a) Déterminer le champ E (r). Comment varie ce champ au voisinage immédiat de O ?
Calculer le module du champ pour r= a = 1 Â; q = 1,6.10_19C.
b) Calculer le flux ^ du champ E à travers la surface d'une sphère de rayon R et de
centre O. Que devient ce flux si R -> 0 et si R -» <x> ?
c) On peut considérer que ce potentiel est créé par une charge ponctuelle q en O et une
charge diffuse répartie dans tout l'espace et de densité p {r). Calculer, par application
de l'équation de Poisson, la densité volumique de charge p (r).
d) Calculer le potentiel créé en O par cette distribution de charge. En déduire l'énergie
nécessaire pour séparer la charge ponctuelle en O de la charge diffuse qui l'entoure.
e) Le système précédent représente un modèle d'atome. Quelle est l'énergie
d'ionisation de cet atome ?
A.N. - *- 10"10 m ; q= 1,6.10"19C.
Réponses.
a) E (r) =
E(«) =
b) ^= —
e0
c) p(r)-
d) V(0) =
e) énergie
—(L
2q 1
47Te0 a2e
•--)
\ e
= 1,06.
K-)'-"*
__________ o
4na2r
Q
4lT€0a
d'ionisation
■r/a
d2
{
,-rla
1011 Vm-
R -*• 0 :
R -> oo •
= 14,4 eV.
■1
*
*
->
->
<7/e0
0
4neQa
3.4. Longueur de Debye d'un plasma (Polytechnique, extrait).
Dans un plasma en équilibre thermique formé d'ions et d'électrons de charges
respectives + q et - q les densités particulaires (nombre de particules par unité de volume) sont
données, au voisinage d'un ion positif, par les formules :
r*ions n0e
*el = no <? aVW (a - Cte)
V(r) désignant le potentiel créé par les charges en un point M situé à la distance r de Y
ion positif pris comme origine O. (Ces relations découlent de la loi statistique de Boltzmann. )
a) Déterminer la densité volumique de charge en M.
b) Ecrire l'équation de Poisson en M.
On suppose la fonction OiV(r) peu différente de zéro. Ecrire l'équation précédente en
effectuant sur le second membre de l'équation un développement limité au premier ordre.

48
ÉLECTROSTATIQUE
Interpréter le résultat. Montrer que dans cette approximation V(r) est de la forme :
C .
V(>) = — e~r'a (potentiel de Yukawa.J
r
a est la «longueur de Debye» du plasma. On supposera ïiq constant.
c) On a (X = q/kT, T désignant la température absolue du plasma et k = R/ °fl la
constante de Boltzmann. Calculer la longueur de Debye a du plasma.
Application numérique :
k = 1,38.If)"23 JK"1 molécule"1, q= 1,6.10"19 C, T = 107 K, 9? = 6.1023
(constante d'Avogadro). R est la constante des gaz parfaits. n0= 1020m~3 (plasma rencontré
en fusion thermonucléaire contrôlée).
d) Montrer, en comparant le potentiel V(r) au potentiel créé par l'ion positif situé enO
que les charges entourant l'ion ont un rôle «d'écran». Quel est le «potentiel d'écran»
créé par ces charges ?
ipot
a)
b)
c)
d)
ises :
P =
1
a =
iqh
- 2n0q sh OùV(r).
àr \ àr j
]J2n0q2
4ne0r) (e-rfa ~
_ 2n0q
= 1,54.:
-l).
sh aV(r)
10-5 m.
3.5. Champ et potentiel d'une grille chaigée.
Une grille de pas a est constituée d'une infinité de fils indéfinis, rectilignes, coplanaires,
et équidistants, portant tous la même charge linéique X= dq/dl, dont les équations sont
définies par : z= 0, x = pa (p entier relatif). On se propose de déterminer l'allure de la
carte dans un plan y = cte des lignes de champ et des équipotentielles.
1) Quelle est l'allure des équipotentielles et des lignes de champ au voisinage de
chaque fil ?
2) Même question loin de la grille (préciser) : donner pour cette région l'expression
limite E0 du champ.
3) Déterminer l'ensemble des points où E = 0.
4) A l'aide des renseignements précédents, tracer l'allure de la carte des lignes de champ
et des équipotentielles. Vérifier sur la figure 3.3, page 51 (tracée par ordinateur).
5) Quelles sont a priori les propriétés de la fonction V (x, y, z) (parités, périodes,
etc.) ? Dans la région z >0, on recherche V sous la forme d'une somme d'harmoniques
de Fourier :
oo
V= Fq + 2FW (z) cos (2nirx/a)
n = i
Montrer que les fonctions Fn sont de la forme Fn= An exp (— z/Sn), 8n étant une
«profondeur de pénétration» de l'harmonique n que l'on exprimera en fonction de a et
de n (on ne demande pas de calculer les coefficients An).
6) Donner l'expression de F0.
7) En quoi les résultats obtenus sont-ils en accord avec le caractère «rapidement
amorti» de l'ondulation des équipotentielles quand on s'éloigne de la grille ?
8) Etablir que, en un point de champ nul, un plan tangent à une surface équipoten-
tielle fait un angle de 77/4 avec le plan de la grille (vérifier cette propriété sur la fig. 3.3).

FORME LOCALE DES LOIS DE L'ÉLECTROSTATIQUE
49
Réponses :
2) Avec E0 = Â/26otf : E= Eo uz pour z > 0, — E0 uz pour z < 0.
5) 8n = a/2TCn ; 6) Fq = — E0 z.
3.6. Champ gravitationnel du système Terre-Lune. Limite de Roche.
La Lune L de masse m et la Terre T de masse [l2m (/X =81) sont assimilées à deux
astres à symétrie sphérique. On se propose de décrire le champ de ce système dans des
coordonnées ayant pour origine le point O où le champ du système est nul (point d'équi-
gravitë). Dans ce système, on vérifie qu'on a respectivement zl = a et zj = — [la.
1) A l'aide de considérations purement qualitatives, tracer l'allure des équipotentielles
et des lignes de champ du système. En admettant que l'une des équipotentielles, appelée
limite de Roche, possède un point double, montrer que ce point s'identifie nécessairement
àO.
2) En effectuant un développement limité du potentiel dans le voisinage de O, calculer
le demi-angle au sommet ce du cône d'axe Oz tangent en O à la limite de Roche.
3) Etudier le mouvement initial d'un point abandonné sans vitesse au voisinage de O.
4) Préciser la signification physique des deux domaines intérieurs à chacun des lobes
de la surface de Roche.
Réponse :
2) tg a= \fl , a= 54,7°.
3.7 Diffusion. Loi de Fick. Etude d'un réacteur nucléaire par analogie électrostatique
(extrait de Agrégation 1975).
Des neutrons sont produits dans certaines régions d'un réacteur nucléaire R. Cette
production est caractérisée par la fonction « source de neutrons» :
s (M, t) unité : neutron.m"3 .s"1
qui donne le nombre de neutrons produits par unité de volume et par unité de temps au
voisinage d'un point M à la date t. La répartition des neutrons dans R est caractérisée par
la fonction « densité neutronique » :
n (M, t) unité : neutron.m"3
Par analogie avec la densité de courant électrique, on définit la « densité de courant
neutronique» :
j (M, t) unité : neutron.m"2 .s"1
On admettra que la diffusion des neutrons obéit à la loi de Fick :
j=-DV«
la constante D (diffusivité) ayant même valeur en tout point de R.
1. En négligeant tout phénomène d'absorption des neutrons, établir une équation
locale vérifiée dans R par les fonctions n et s.
2. Les neutrons ne sont produits que dans une région de R, appelée «le cœur» C qui a
la forme d'un cylindre plat de rayon a et de hauteur h <^a, s est constant à l'intérieur de C,
nul à l'extérieur ; R fonctionne en régime permanent.
En admettant que R remplit tout l'espace et que n tend vers 0 loin de C :
a) Calculer n au centre de symétrie O de C.
b) Calculer n en un point de la surface cylindrique de C (situé à la distance a de O).

50
ÉLECTROSTATIQUE
Réponses :
i an
1. D V n + s = —.
dt
ahs ahs
2. a) n = 2. b) n =
2D 7TD
3.8. Loi de Fourier, Equation de la chaleur. Température à l'intérieur du sol (extrait de
Agrégation 1975).
Soit d (M, t) la température à la date t en un point M d'un domaine D. D est rempli
d'un milieu continu isotrope dont on note fl (M) et c (M) la masse volumique et la chaleur
massique en un point M. /X et c seront supposés indépendants de d. On admettra que la
conduction thermique obéit à la loi de Fourier :
<p= -kVd
La densité de courant thermique \p est un champ vectoriel dont le flux à travers une
surface fermée est égal à la puissance thermique qui sort de cette surface ; la conductivité
thermique, notée k, est supposée uniforme dans D.
1. En supposant qu'il n'y a pas d'énergie produite à l'intérieur de D et que le seul
phénomène énergétique y est la conduction thermique, montrer que d (M, t) vérifie
l'équation locale dite équation de la chaleur :
V20= h —
dt
On exprimera h en fonction de fl, c et k.
2. Application : Evolution de la température dans le sol au cours de l'année.
On assimile localement le sol terrestre à un demi-espace {x > 0) homogène de masse
volumique /X, de chaleur massique c et de conductivité thermique k. On note d {x, t) la
température dans le sol à la date t et à la profondeur x. On supposera que la température
à la surface du sol (x = 0) évolue au cours de l'année suivant la loi :
/ 27T
6 (0, t) = 6q + a cos Lût I a constant et T = — = un an
\ <o
On admettra que, à grande profondeur, la température du sol tend vers la moyenne
annuelle : 6 (oo, t) = d0.
a) On pose u = (d - d0) /a. Chercher une solution de l'équation de la chaleur sous la
forme :
u (x7 t) = Re [eP* + @f] (Re signifiant «partieréelle de»).
Exprimer les constantes complexes a et j3 en fonction de jd, c, k et co.
b) On pose :
C/dCO
Exprimer u (x, t) en fonction x/X et de t/T. Décrire brièvement la signification
physique de la solution obtenue.
c) En un lieu où X = 16 mètres (pour T= 1 an), la température de la surface du sol
passe vers le 1er janvier par un minimum égal à - 10 °C et vers le 1er juillet par un
maximum égal à + 30°C. Vers quelle date la température est-elle minimale à la profondeur
x = 2 mètres et quelle est cette valeur minimale ? Tirez-en quelques conséquences.
d) Pourquoi les variations de la température du sol qui correspondent à l'alternance
des nuits et des jours sont-elles pratiquement sans influence sur la température du sol à la
profondeur x = 2 mètres ?

FORME LOCALE DES LOIS DE L'ÉLECTROSTATIQUE
51
Réponses :
1. h = iic/k 2. a) |8 = ï'co ; a = - (1 + i) Vfldcco/2k.
c) 0,88°C vers le 15 février.
2. b) u = e cos 27r[ —
T X
3.9. Degré géothermique.
La terre est assimilée à une sphère homogène de rayon R = 6 400 km de conductivité
thermique k indépendante de la température d. On suppose que l'origine de la chaleur
interne du globe est une désintégration radioactive de certaines roches qui libère par unité
de volume une puissance : p = dP/dr répartie uniformément à l'intérieur du globe. On
observe que, au voisinage de la surface terrestre, la température s'accroît de 1 degré quand
on s'enfonce de 32 mètres :
a = -
àr
~d0
= 32II1.K"1
r=R
1) En prenant comme origine la température de surface, calculer la température à la
distance r du centre de la terre. On pourra considérer une sphère de rayon r et exprimer la
conservation de l'énergie.
2) Quelle serait d'après notre modèle (très simpliste) la température au centre de la
terre?
Réponses
d 0 =
Ra
2R/z
2) 105K.
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x %,,« v^x/
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i y\
Fig. 3.3. - Grille chargée (v. ex. 3.5, p. 48).
Les lignes de champ sont figurées en traits pleins fléchés et les équipotentieiles en pointillés,
hormis l'équipotentielle critique passant par les points de champ nul.

CHAPITRE 4
CONDUCTEURS EN EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE
Les propriétés établies dans ce chapitre sont valables quelle que soit la nature des
conducteurs considérés (métaux, électrolytes...). Toutefois, en raison de l'importance
pratique de ceux-ci, nos descriptions se rapporteront le plus souvent à des solides
métalliques.
4.1. Equilibre électrostatique.
On appelle conducteur un corps qui contient des charges libres, c'est-à-dire
des charges susceptibles de se mettre en mouvement sous l'action d'une force
appliquée, aussi petite soit-elle. Nous dirons d'un conducteur qu'il est en
équilibre s'il n'est le siège d'aucun mouvement d'ensemble de charges par
rapport au réseau. En d'autres termes, un conducteur est en équilibre si la
densité de courant ;, mesurée dans un référentiel lié au réseau, y est nulle en tout
point. Un déplacement d'ensemble des charges libres d'un conducteur peut
être provoqué par des causes variées : gradient de température (effets
thermoélectriques), gradient de concentration (générateurs électro-chimiques), champ
électromoteur d'induction, champs de forces divers (*)...
Excluant tous ces phénomènes, nous dirons d'un conducteur qu'il est en
équilibre électrostatique si la seule cause possible d'un mouvement d'ensemble
des charges libres y est l'application d'un champ électrostatique. Dans ces
conditions, on déduit immédiatement de la définition d'un conducteur que,
dans le référentiel du réseau : le champ électrostatique E est nul dans tout le
volume d'un conducteur en équilibre électrostatique.
Cette propriété apparaît de façon particulièrement immédiate dans le cas
d'un conducteur vérifiant la loi d'Ohm / = o E : la condition / = 0 entraîne
E-0.
4.2. Propriétés générales des conducteurs
en équilibre électrostatique.
Tout d'abord, l'équation de Maxwell-Gauss V • E = p/e0 montre que :
La densité volumique de charge p est nulle dans tout le volume d'un
conducteur en équilibre électrostatique (**).
(*) Pour les faibles effets liés à un champ de gravitation ou à un champ de forces
d'inertie, voir exercices 4.1 et 4.2.
(**) Les quantités E, p, V considérées dans ce paragraphe sont des grandeurs
macroscopiques (voir § 1.2), c'est-à-dire des moyennes spatiales.

CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE ÉLECTROSTATIQUE
53
L'intégration de la relation E = -VV=0 soit dV/dx = 0... montre que la
fonction V ne dépend ni de x, ni de y, ni de z :
Le potentiel électrostatique V est constant dans tout le volume d'un
conducteur en équilibre électrostatique.
En particulier, la surface du conducteur est une surface équipotentielle, or
nous avons vu en première année (MÉCANIQUE 1, § 6.6) que les lignes de
champ sont orthogonales aux surfaces équipotentielles :
Les lignes de champ sont normales à la surface d'un conducteur en équilibre
électrostatique.
Comme nous venons de l'établir, un éventuel excédent local de charges d'un
conducteur en équilibre électrostatique ne peut être que superficiel (p = 0).
Soit donc o la densité superficielle au voisinage d'un point M du conducteur (*),
n un vecteur unitaire normal au conducteur en M et dirigé vers l'extérieur de
celui-ci. Nous avons établi en première année (MÉCANIQUE 1 § 6.15) que le
champ électrostatique subit une discontinuité E — E' = o/e0 n à la traversée
d'une surface chargée. Comme on a E' = 0 à l'intérieur du conducteur, on en
déduit que le champ à la surface d'un conducteur en équilibre électrostatique
est donnée par :
(4.1)
Ce résultat est appelé théorème de Coulomb. Une conséquence immédiate
en est que le champ E part des régions chargées positivement des conducteurs
et aboutit sur des régions chargées négativement.
Les propriétés générales ci-dessus suffisent souvent à décrire qualitativement
la carte du champ correspondant à une situation donnée. Pour illustrer la
signification physique de ces propriétés, nous allons analyser une situation concrète :
Soit une sphère métallique S électriquement isolée. S étant initalement
neutre, on en approche un petit objet A chargé positivement (fig. 4.1).
X W A \ t 1 / /
* v ^ \ -rf^^c^^A *
^^^-^**\+ 1 -I JV^vy/ \\v\X.
s^ x+ \y ^sy // \ W ^x.
/ / / / w r 1 a \
Fig. 4.1. - Sphère neutre isolée influencée par une charge (solution exacte calculée par
ordinateur). En pointillés, la ligne neutre séparant les régions négative et positive.
(*) Une analyse détaillée indique en fait que la condition E = 0 n'est pas réalisée au
voisinage immédiat de la surface du conducteur. Il en résulte que la charge portée par le
conducteur n'est pas strictement superficielle mais répartie sur une épaisseur de quelques
couches atomiques. De la même manière, E n'est pas véritablement discontinu mais varie
de la valeur 0 à la valeur o/e0 n sur l'épaisseur de cette même couche (voir exercice 4.11).

54
ÉLECTROSTATIQUE
Dans un premier temps (régime transitoire), le champ créé par A déplace
les charges libres contenues dans la sphère et engendre des courants dans le
volume et à la surface de S. Qualitativement, il est évident que les électrons
sont attirés par A ; concurremment un excédent de charges positives tend à
apparaître à l'opposé de A. Les courants s'amortissent en raison de l'énergie
dissipée par effet Joule et l'on tend vers un état d'équilibre électrostatique.
Dans cet état, la répartition superficielle o obtenue est telle que le champ
qu'elle crée compense le champ créé par A de façon à réaliser E = 0 dans tout
le volume de S. Comme nous le verrons ultérieurement, la distribution o
réalisant cette condition pour une position donnée des conducteurs A et S est
unique. La description précédente permet également de comprendre
physiquement pour quelle raison E doit être, à l'équilibre, normal à S : tant que E
possède une composante tangentielle, celle-ci fait «glisser» les charges libres portées
par S, les courants correspondants ne s'arrêtent que quand E est devenu
strictement normal à S. Notons enfin qu'une «carte de champ» telle que celle de la
figure 4.1 peut fournir des renseignements sur les potentiels des conducteurs :
nous savons que V décroît le long d'une ligne de champ, on en déduit que le
potentiel de A est supérieur à celui de S. De plus, comme il existe des lignes de
champ allant de A et de S vers l'infini (potentiel 0), on en déduit que les
potentiels de A et de S sont tous deux positifs.
4.3. Champ au voisinage de la surface d'un conducteur.
• Analyse du théorème de Coulomb.
La relation E = o/e0 n peut à bon droit paraître étrange : le champ à la
surface d'un conducteur ne dépend que de la densité superficielle locale o et
pas de la répartition des autres charges de l'espace. De plus, cette relation peut
paraître au premier abord en contradiction avec l'expression Ex = o/2e0 n
obtenue en première année (MÉCANIQUE 1 § 6.14) pour le champ d'un plan
indéfini uniformément chargé.
Pour préciser la question, considérons à la surface du conducteur un élément
d'aire dS et un point M infiniment voisin de cet élément, c'est-à-dire tel que dS
soit vu de M sous l'angle solide 27T, soit comme un plan indéfini, de telle
sorte que le champ créé en M par les charges portées par dS vaut précisément
Ex = o/2e0 n. Nous en déduisons que le champ E2 créé en M par toutes les
charges extérieures à dS, c'est-à-dire portées par le reste de la surface du
conducteur ou par d'autres conducteurs (*), vaut E2 = E — Ex = o/2e0 n,
quelle que soit la répartition des charges qui sont la source de ce champ !
(fig. 4.2).
Pour contrôler ce résultat surprenant quoiqu'incontestable, examinons la
situation au point M' symétrique de M par rapport à la surface du conducteur.
Le champ créé par l'élément dS y est E'x = — o/2e0 n. De plus, du point de vue
des charges qui sont la source du champ E2, les points M et M' infiniment
voisins peuvent être confondus, de telle sorte que l'on a E'2 = E2 = v/2e0 n ;
le champ E' = E^ + E'2 est bien nul, comme il convient à l'intérieur d'un
conducteur en équilibre électrostatique.
(*) Bien noter que la démonstration ci-dessus, de même que toutes les propriétés
générales des conducteurs en équilibre électrostatique, ne suppose en rien que le conducteur
considéré soit seul dans l'espace.

CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE ÉLECTROSTATIQUE
55
dS = /ïdS
11
Eii i i E2
Fig. 4.2. - Champ à la surface d'un conducteur.
• Pression électrostatique.
L'élément dS porte une charge totale dq = o dS. Les forces extérieures qui
s'exercent sur cet élément sont précisément celles dues au champ E2, leur
résultante est donc : dF = E2 dq, soit encore, avec dS = n dS :
(4.2)
La comparaison de cette expression avec la force dF = — P dS qu'un fluide
exerce sur un élément de surface permet de considérer la quantité a2/2e0
comme l'homologue d'une pression, on l'appelle pression électrostatique.
Notons que cette pression est négative, c'est-à-dire qu'elle tend à «décoller»
les éléments de surface sur lesquels elle s'exerce. Ce fait peut être vérifié en
posant un mince disque de papier d'aluminium sur une sphère conductrice : le
disque est projeté en l'air quand on met la sphère sous tension (fig. 4.3).
Petit disque métallique
Machine électrostatique
7^
Support isolant
Fig. 4.3. - Pression électrostatique.
Afin d'évaluer les ordres de grandeur des forces de pression électrostatique,
remarquons que le théorème de Coulomb donne : a2/2e0 = e0 E2/2 (*). Dans
(*) Comme nous le verrons au chapitre 14, cette expression s'identifie à celle de la
densité volumique d'énergie électrostatique (J.mf3) au voisinage du conducteur.

56
ÉLECTROSTATIQUE
l'air, on ne peut pas dépasser Em = 3.106 V.m"1 sans que le conducteur se
décharge {champ disruptif), à cette valeur correspond une pression
électrostatique encore très modeste : (3.106)2/2.36.7r.l09 « 40 Pa. Cette expression
correspond, par exemple, à une force de 0,4 N sur une armature de condensateur
dont l'aire est 100 cm2. Comme on le voit sur cet exemple, les forces
électrostatiques entre conducteurs ne sont mesurables que pour des tensions élevées
(voir § 5.7).
Remarque :
Bien que les arguments développés dans ce paragraphe soient parfaitement corrects, le
lecteur peut légitimement avoir encore du mal à percevoir la signification physique du
facteur 1/2 qui figure dans la pression électrostatique. Nous lui conseillons dans ce cas
d'examiner l'exercice 4.11.
• Pouvoir des pointes.
On constate expérimentalement que le champ électrostatique à la surface
d'un conducteur (et donc la densité superficielle o correspondante) est plus
grand dans les parties convexes que dans les parties concaves, son intensité est
particulièrement grande dans les régions convexes de forte courbure, c'est-à-dire
au voisinage d'éventuelles «pointes». Ce champ peut même atteindre
localement des valeurs supérieures au champ disruptif de l'air, de telle sorte que l'air
environnant la pointe s'ionise. Le mouvement des ions ainsi engendré sous
l'action du champ électrostatique provoque un déplacement d'air appelé
«vent électrique » que l'on peut mettre en évidence expérimentalement (fig. 4.4).
Fig. 4.4. - Vent électrique.
Dans un appareil destiné à être porté à haute tension {machine
électrostatique par exemple), on cherche à éviter ce «pouvoir des pointes» qui tend à
décharger les conducteurs en donnant à ceux-ci des formes «arrondies» (sans
angles vifs).
On peut donner de ces phénomènes l'interprétation qualitative (*) suivante (fig. 4.5).
Dans une région de forte courbure (point A), la section S d'un tube de champ croît
rapidement à partir de la surface du conducteur, le flux ES étant constant le long du tube,
ceci signifie que le module E du champ décroît rapidement à partir de A. Or, loin du
conducteur, le champ de celui-ci, assimilable à celui d'une charge ponctuelle a même
valeur en des points situés à la même distance de celui-ci. En imaginant ainsi que l'on
«remonte les lignes de champ» à partir de points éloignés, on comprend pourquoi le
champ est plus intense en A qu'en B (**).
(*) Pour des considérations quantitatives, voir exercice 4.8.
(**) Dans le cas (représenté sur la figure) d'un ellipsoïde de révolution d'axes 2a et
26, on peut même établir la relation Ej^/E^ = a/b qui illustre bien les considérations
ci-dessus ( v. exercice 4.13).

CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE ÉLECTROSTATIQUE 57
Fig. 4.5. - Pouvoir des pointes (cas d'un ellipsoïde, V. exercices 4.10 et 4.13).
4.4. Cavités des conducteurs en équilibre électrostatique.
• Propriétés d'une cavité vide de charge.
Considérons un conducteur comprenant une cavité à l'intérieur de laquelle
n'a été introduit aucun objet chargé (fig. 4.6). Le potentiel Vest constant sur
la paroi de la cavité (égal à celui du conducteur), comme nous l'avons vu en
première année, V ne peut pas présenter d'extrémum dans une région vide de
charge, le potentiel est donc constant dans tout le volume de la cavité, il en
résulte que le champ E = — VV y est partout nul Le théorème de Coulomb
permet d'en déduire que la densité superficielle o est nulle en tout point de
la cavité.
Fig. 4.6. - Cavité d'un conducteur.
• Vérification de la loi de Coulomb.
A l'aide du dispositif représenté par la figure 4.7, on peut vérifier la dernière propriété
en constatant que les charges apportées à la surface d'une cavité d'un conducteur ne restent
pas sur celle-ci.
Le conducteur A ayant été préalablement chargé, on ajuste le couvercle, complétant
ainsi la sphère conductrice S. En penchant le support, on amène A au contact de S. On
vérifie ensuite en retirant le conducteur A qu'il ne porte plus de charges.

58
ÉLECTROSTATIQUE
Cette expérience réalisée pour la première fois en 1772 par Cavendish, sl été reprise et
améliorée de nombreuses fois. On peut en effet montrer que la propriété ainsi testée est
caractéristique d'une loi en 1/r2, de telle sorte qu'on peut ainsi vérifier indirectement la loi
Fig. 4.7. - Expérience de Cavendish.
de Coulomb. Les expériences de ce type les plus récentes indiquent que la loi de force de
l'électrostatique est en l/r2+€ avec € < 10~15 ! Cette vérification a encore deux autres
conséquences fondamentales :
- Comme nous l'avons vu en première année (MÉCANIQUE 1 § 6.7), vérifier laloideCou-
lomb revient à vérifier le fait que la masse du photon est nulle ;
- Comme on peut le montrer en relativité (*), cela revient aussi à vérifier que les ondes
électromagnétiques se propagent dans le vide avec une même célérité c, quelle que soit leur
fréquence. C'est la vérification extrêmement précise de cette propriété qui a autorisé, dans
la définition du mètre adoptée en 1983 (v. MÉCANIQUE 1 § 1.3), à fixer la valeur de c.
• Protection électrostatique.
Dans l'expérience dite de la cage de Faraday (fig. 4.8), un grillage métallique
est porté à une tension de plusieurs milliers de volts. La position des pendules
de sureau atteste que le champ électrostatique est intense à l'extérieur de la
cage et pratiquement nul à l'intérieur de celle-ci. On constate que, malgré la
présence d'ouvertures, la cage se comporte comme un conducteur clos et
Fig. 4.8. - Cage de Faraday.
(*) Voir MÉCANIQUE 1, chapitre 15.

CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE ÉLECTROSTATIQUE
59
protège son intérieur des influences électriques extérieures, jouant ainsi le
rôle de ce que l'on appelle un écran électrique. De manière analogue, les
occupants d'une voiture sont protégés de la foudre par la carcasse
métallique de celle-ci (*).
4.5. Influence électrostatique.
La répartition des charges portées par un conducteur en équilibre
électrostatique dépend des charges portées par les autres corps ainsi que de la position de
ces derniers. Ce phénomène est appelé influence électrostatique.
Nous avons en fait déjà décrit ce phénomène à propos de l'expérience
représentée sur la figure 4.1 : les charges portées par A influencent la sphère S et
imposent sur celle-ci une répartition superficielle déterminée. Notons que Yin-
fluence est réciproque : si A est un objet conducteur, les charges positives,
initialement équiréparties à la surface de A, ont tendance à s'accumuler en
regard de S une fois A mis au voisinage de S.
• Conducteur chargé par influence.
Dans l'expérience précédente, les charges développées par influence
disparaissent quand on éloigne à nouveau A de la sphère isolée S. On peut toutefois
charger S de manière durable en procédant de la manière suivante : dans la
situation de la figure 4.1, on relie S à la Terre par un fil conducteur ; les
charges positives, repoussées par le champ de A, s'écoulent dans le sol(**) et
l'on atteint la configuration représentée par la figure 4.9. Si on enlève le fil et
éloigne ensuite A, la sphère S reste chargée négativement, on dit qu'elle a été
chargée par influence.
Fig. 4.9. - Sphère au potentiel 0 chargée par influence (les lignes de champ correspondent
à une solution exacte calculée par ordinateur).
(*) On sort ici du domaine de l'électrostatique, mais nous verrons au chapitre 17 que la
notion d'écran électrique peut être étendue aux champs variables.
(**)Bien entendu, il s'agit en fait d'un courant d'électrons allant du sol vers S.

60
ÉLECTROSTATIQUE
• Théorème des éléments correspondants.
Soit T un tube de champ issu d'un conducteur A et aboutissant sur un
conducteur B. Les portions de surface de charges q& et q# découpées par ce
tube sur les conducteurs sont appelées éléments correspondants (fig. 4.10).
Fig. 4.10. - Eléments correspondants.
On peut former une surface fermée en complétant T à l'aide de deux
surfaces Sa et Sg, celles-ci étant situées à l'intérieur de conducteurs en équilibre
électrostatique, le champ est nul en tout point de Sa et de Sg ; comme il est
de plus parallèle aux parois de T, on en déduit que le flux à travers la surface
(Sa + Sb + T) est nul. Le théorème de Gauss permet d'en conclure que l'on a
QA + Qb = 0 : fes charges portées par deux éléments correspondants sont
opposées.
Ce théorème permet de déduire des renseignements intéressants de cartes
de champ connues. Par exemple, dans les situations des figures 4.1 et 4.9, on
peut déduire du fait qu'il reste des lignes de champ issues de A et n'aboutissant
pas sur S que la valeur absolue de la charge développée sur S par influence est,
dans chaque cas, inférieure à la charge portée par A.
• Influence totale.
On dit de deux conducteurs qu'ils sont en état d'influence totale si les lignes
de champ issues de l'un d'entre eux (A) aboutissent toutes sur l'autre (B). Cette
situation est notamment réalisée strictement si A est entièrement compris dans
une cavité d'un conducteur clos B. Du théorème des éléments correspondants,
il résulte immédiatement que les charges portées par les faces en regard de deux
conducteurs en état d'influence totale sont opposées.
4.6. Equilibre d'un système de conducteurs.
Les figures 4.1 et 4.9 représentent deux états d'équilibre électrostatique
particuliers du système constitué par les conducteurs A et S. En 4.1, les deux
conducteurs sont isolés, de telle sorte que leurs charges sont fixées. En 4.9, la
charge de A est toujours fixée mais c'est le potentiel de S qui est fixé (à la
valeur 0 prise conventionnellement pour le sol).
Pour généraliser, nous imaginons un état d'équilibre électrostatique
particulier d'un système constitué de n conducteurs notés A/ dont certains (A#)
sont isolés de telle sorte que leur charge Qt est déterminée et les autres (A/)
ont leurs potentiels V/ imposés par des sources de tension.

CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE ÉLECTROSTATIQUE
61
• Principe de la résolution du problème.
Cherchons, pour une situation d'équilibre donné, à déterminer
entièrement les propriétés du système : potentiel et champ dans tout l'espace extérieur
aux conducteurs, répartition des densités superficielles sur les conducteurs.
Nous savons que, dans le vide (p = 0), le champ scalaire V (r) vérifie l'équation
locale V2 V = 0 dite équation de Laplace (§3.3). D'un point de vue
mathématique, le problème se ramène à résoudre cette équation. En effet, connaissant
complètement la fonction V (x, yy z), on en déduit successivement le champ
(par des dérivations), la densité superficielle sur les conducteurs (par le théorème
de Coulomb o = e0E) et les charges Q/ de tous les conducteurs (par intégration
de la fonction o sur les conducteurs).
Malheureusement, il n'existe pas, en général, de solution analytiquement
simple de l'équation de Laplace ; seuls certains problèmes relatifs à des.
systèmes géométriquement simples peuvent être résolus analytiquement. Dans le
cas général, on doit se contenter de méthodes numériques d'approximations
successives. En revanche, on peut établir que, compte tenu des conditions aux
limites imposées (V déterminé à l'infini (0) et sur les A/, Q déterminé sur les
Afc), la solution de l'équation de Laplace est unique. Ce théorème d'unicité (*)
signifie physiquement que la distribution superficielle qui réalise un équilibre
électrostatique donné est déterminée de manière univoque. Nous avions du
reste admis implicitement cette propriété en dessinant les figures 4.1 et 4.9.
• Théorème de superposition.
Considérons deux états d'équilibre électrostatique d'un même système de
conducteurs A/. Ces deux états sont entièrement caractérisés par les fonctions
V'(r) et V"(r), lesquelles vérifient l'équation de Laplace ainsi que les conditions
aux limites imposées (respectivement Q# et V/ déterminés, Q£ et V/'déterminés).
En notant X' et X" deux réels quelconques, nous dirons de la fonction :
V = X' V1 + X" V"
qu'elle définit la superposition des états V' et V". L'équation de Laplace étant
linéaire au sens des équations différentielles, V est également une solution de
cette équation. De plus, les dérivations étant également des opérations linéaires,
le champ électrostatique dans l'état V est donné par E = X' E' + X" E". V' et
V" caractérisant deux états d'équilibre, E' et E" sont nuls dans le volume des
A/, E y est donc également nul, ce qui établit que l'état V est également un
état d'équilibre : la superposition de deux états d'équilibre est un état
d'équilibre.
Enfin, en remarquant que les opérations qui permettent de déduire du
champ E la distribution superficielle o puis les charges Q de chaque conducteur
sont également linéaires, on établit les relations :
a = XV + XV et Q = X'Q'+X"Q".
(*) Une méthode de démonstration de ce théorème est proposée dans l'exercice 4.9.

62
ÉLECTROSTATIQUE
4.7. Capacité propre d'un conducteur.
Considérons cette fois un conducteur A supposé seul dans l'espace. Dans un
premier état d'équilibre caractérisé par la fonction V\ (r) prise nulle à l'infini,
le potentiel et la charge de A sont Vx et Qx. L'état d'équilibre caractérisé
par la fonction V2(r) = XVi(r) est un état d'équilibre tel que V2 = À V\ et
Q2 — ^ Qi (théorème de superposition). De plus, en raison du théorème
d'unicité, c'est le seul qui corresponde à une situation déterminée (Q2 fixé par
exemple). On a donc Q2/V2 = Qi/V^ Nous venons d'établir que la charge
d'un conducteur seul dans l'espace est proportionnelle à son potentiel absolu V,
on peut donc poser :
' ' (43)
Q - CV
C étant un coefficient ne dépendant que de la forme du conducteur et de ses
dimensions. Ce coefficient, appelé capacité propre du conducteur s'exprime
dans le SI en farad (F) ; on montre facilement qu'il est nécessairement positif
(voir exercice 4.7).
La détermination de la capacité propre d'un conducteur de forme donnée
est en général un problème aussi ardu que la résolution de l'équation de Lapla-
ce, on ne connaît d'expressions analytiques de C que pour quelques cas simples
(ellipsoïdes par exemple)(V. exercice 4.10).
Pour une sphère S, le calcul est immédiat : S étant un volume équipotentiel,
le plus simple est de calculer V au centre, situé à la même distance R des
charges superficielles qui sont la seule source de V, on a donc V = Q/47re0R, d'où :
C - 47re0 R (4.4)
Cette expression permet d'estimer quelques ordres de grandeur : pour
R - 9 cm, on a C = 9 . 10"2/9 . 109 = 10"11 F, soit 10 picofarads (pF)
ou 0,01 nanofarads (nF). Si on charge S sous 10 kV, elle prend une charge
Q = 10"11. 104 - 10"7 C = 0,1 microcoulomb (pC). Une telle charge est
encore grande devant la charge élémentaire e = 1,6 . 10"19 C ; en revanche, on
voit que les charges mises enjeu en électrostatique sont très faibles devant celles
qui interviennent en électrocinétique (un courant d'intensité un ampère
transporte un coulomb par seconde). Au chapitre suivant nous verrons comment
augmenter les charges portées par les conducteurs en mettant vis-à-vis deux
surfaces conductrices (effet de «condensation» de l'électricité).
Remarque :
Une expression telle que (4.4) justifie que l'on exprime la permittivité du
vide e0 en farad par mètre :
e0 ~ r = 8,854. lO'^F.m"1
0 36tt.109

CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE ÉLECTROSTATIQUE
63
EXERCICES
4.1. Effets de gravité.
En tenant compte du poids des électrons, montrer qu'il existe une différence de
potentiel entre deux points d'altitude différentes d'un conducteur en équilibre.
A.N. : Calculer la différence de potentiel qui existe entre le sommet et la base de la Tour
Eiffel. Conclure.
A=300m, e= 1,6 . 10"19C, m= 9,1 . 10"31 kg.
Réponse : 16,7 nV.
4.2. Effets d'inertie : expérience de Nichols.
1) Un long cylindre conducteur plein initialement neutre de rayon a tourne à la vitesse
angulaire CO autour de son axe. Montrer qu'il apparaît une différence de potentiel U entre
l'axe du cylindre et sa périphérie.
A.N. : Calculer U avec a = 20 cm si le cylindre tourne à 20 000 tr/min.
2) Tracer E(>), E étant le champ électrostatique et r la distance à l'axe.
3) Calculer la densité de charge dans le volume du cylindre ainsi que la densité
superficielle sur sa surface.
m 2e0moû2 -eQmco2a
Réponses : 1) U = — CO2 a2. 3) p = ; O = .
le e e
4.3. Fuseau d'une sphère chargée.
Une sphère métallique S, de rayon a est portée au potentiel V.
1) Calculer la densité de charge portée par S.
2) Calculer la résultante F des forces qui s'exercent sur un fuseau délimité par un
dièdre d'angle 2 Où ayant un diamètre de S pour arête.
7re0V2
Réponse : F = sin a
4.4. Calotte d'une sphère.
Une sphère métallique creuse seule dans l'espace est portée au potentiel V.
Calculer la résultante des forces qui s'exercent sur une calotte dont le rayon est vu du
centre de la sphère sous l'angle a.
A.N. : V = 10 kV, a= 45°
7re0
Réponse : F = V2 sin2a ;6,94.10"4N.
4.5. Pression de Poincaré.
Calculer l'ordre de grandeur de la pression qui tend à faire éclater l'électron en
assimilant celui-ci à une sphère conductrice de rayon 10"15 m.
Réponse : ^ 1026 bar.
4.6. Disque posé sur une sphère.
Un mince disque conducteur de rayon r et de poids mg est posé au sommet d'une
sphère conductrice de rayon R > r.
1) La sphère, éloignée de tout corps chargé, est portée au potentiel V. Pour quelle
valeur V0 de V le disque se soulève-t-il ?
A.N. :r= 5 mm, R= 10 cm, m= 0,5 g.

64
ÉLECTROSTATIQUE
2) En admettant que, pour V > Vo le disque reste horizontal et que son centre soit à
la verticale du sommet de la sphère, à quelle distance x de la sphère reste-t-il en équilibre ?
Exprimer x en fonction de R, V et Vo-
3) Le disque lévitant à l'altitude x, on diminue lentement V, pour quelle valeur Vj de
V le disque repose-t-il à nouveau sur la sphère ? Interpréter les résultats obtenus.
Réponses :
1) V0 = -\/—. 2) x=R ( \fl— -il 3) V! = Vo/\/2.
r M Tte0 \ V0 /
4.7. Signe d'une capacité propre.
En raisonnant sur des lignes de champ, montrer que la densité superficielle de charge a
partout même signe sur un conducteur seul dans l'espace. En déduire que sa capacité
propre est nécessairement positive.
4.8. Pouvoir des pointes.
Deux plans orthogonaux Px et P2 se coupant sur la normale en un point M à la surface
S d'un conducteur coupent celui-ci suivant deux courbes de rayons de courbure Ri et
R2. On montre en mathématiques que la quantité C= (1/Ri + I/R2X appelée courbure
totale de la surface en M, est indépendante du couple de plans choisi (théorème de Meus-
nier). En développant l'idée suggérée dans le cours, établir que la dérivée normale du
champ électrostatique au voisinage d'un conducteur en équilibre électrostatique est
donnée par àE/dn = - C E. En quoi cette relation permet-elle d'interpréter le pouvoir des
pointes ?
4.9. Théorème d'unicité.
Soit un système de n conducteur (A/), l'ensemble étant entouré par un vaste conducteur
clos de potentiel 0 (la terré).
1) A l'aide d'une formule d'analyse vectorielle et de l'équation de Maxwell-Gauss,
transformer l'expression V • (VE).
2) En déduire que l'intégrale :
I = / / V E . dS ,
JJS
étendue à la surface S de l'ensemble des conducteurs, terre comprise, s'exprime
simplement en fonction de l'intégrale de E2 étendue à tout l'espace compris entre les
conducteurs.
3) Soit un état d'équilibre dans lequel on impose à certains conducteurs (Ajç) leurs
charges Q^ et aux autres (A/) leurs potentiels V/. On raisonne «par l'absurde» en
imaginant que cet état peut être réalisé à partir de deux fonctions V' et V" différentes.
Montrer que, dans l'état d'équilibre caractérisé par la fonction Vf - V", l'intégrale I est nulle
et en déduire que l'on a nécessairement V' = V", ce qui établit le théorème d'unicité.
4.10. Capacité propre d'un cylindre conducteur.
I. Soit un segment rectiligne AB de longueur /, de centre O, chargé uniformément.
Chercher les surfaces équipotentielles. Quel est le potentiel au point M de coordonnées
(x, y) ? On prendra l'axe Ox confondu avec AB.
II. On considère un cylindre C conducteur, de longueur /, de centre O et de rayon
a < /. Sa charge statique totale Q est répartie uniformément sur la surface latérale. On
négligera les charges portées par les sections droites terminales. On se propose d'étudier le
champ électrostatique et le potentiel en un point M le long de Or perpendiculaire à l'axe
de C (OM = r).

CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE ÉLECTROSTATIQUE
65
a) r </. Donner les expressions du champ E(r) et du potentiel V(r) en M à l'intérieur
et à l'extérieur de C.
b) Pour calculer les constantes figurant dans les expressions de V(>), évaluer directement
V(r) sur la surface de C. Dans ce but, assimiler C à l'ellipsoïde inscrit en son intérieur et
utiliser les résultats I. On tiendra compte de la forme très allongée de C.
c) On suppose maintenant r suffisamment grand pour que les distances de M à tous les
points d'un même tronçon de C délimité par deux sections droites infiniment voisines
soient sensiblement les mêmes. Evaluer directement V(r) dans ce cas.
d) On prend /= 1 m, <z = 0,05 m, Q= 25.10~9C. Tracer le graphe V(r) en utilisant le
résultat Il.b, puis le résultat U.c. Calculer, en particulier, V(a), V(//2), V(/) et V(2/).
Conclure sur la validité du résultat Il.b.
e) Donner une valeur approchée de la capacité du cylindre.
Réponses :
l
x + —
Q 2
I. V(*,j0 = In
47re0/
/
X
2
II. a, b) r<a E(r) = 0
Le champ E en M est dirigé
suivant la bisectrice de AMB.
Les équipotentielles sont des
ellipsoïdes de foyers A et B.
V(r)
27re0/
In
rya E(r) =
c) V(r) =
r\
v\
hr°2
a
A*-
e)C
27t€0l
Arg sh —
la
4.11. Théorème de Coulomb et pression électrostatique à partir d'un modèle volumique.
Soient M un point à la surface d'un conducteur, dS un élément d'aire autour de ce
point, Mz la normale en M au conducteur orientée vers l'extérieur de ce dernier. On
suppose que la densité volumique de charge p (z) décroît de la valeur p0 en M jusqu'à la valeur 0
à une profondeur a (z = - a) suivant une loi non précisée ; a est supposé faible devant les
rayons de courbure du conducteur.
1) Calculer la charge totale contenue dans un cylindre dC de base dS et de génératrices
parallèles à Mz. En déduire l'expression de la densité superficielle o en fonction d'une
intégrale relative h p (z).
2) En utilisant l'équation de Maxwell-Gauss et le fait que le champ E(z) est nul loin à
l'intérieur du conducteur, calculer E(0) et retrouver le théorème de Coulomb.
3) Calculer la résultante dF des forces électrostatiques qui s'exercent sur les charges
contenues dans dC. Retrouver l'expression de la pression électrostatique.
4) Que représente, dans le modèle adopté, la quantité o/2eo n ? Comparer avec le
modèle utilisé dans le cours.
Réponse : 4) La valeur moyenne du champ E(z) sur la couche d'épaisseur a.

66
ÉLECTROSTATIQUE
4.12. Deux sphères conductrices reliées.
Deux sphères conductrices Si et S2 de rayons Ri et R2 réunies par un fil conducteur
forment un conducteur unique. La distance des centres des sphères est très grande devant
leurs rayons. On négligera les charges portées par le fil.
1) Comparer les densités de charge portées par Sx et S2.
Quelle propriété générale vérifie-t-on ici ?
2) Calculer la capacité propre du conducteur formé par Si et S2.
Réponses :
1) 0J02 = R2/Ri- 2) C = 47re0(Ri + R2).
4.13. Pouvoir des pointes dans le cas d'un ellipsoïde
On considère le champ créé par la tige chargée décrite dans la partie I de l'exercice 4.10
Soit, l'équipotentielle de potentiel V, de demi-grand axe OA= a et de demi-petit axe
OA =b.
Etablir la relation E^/Ea' =a/b.
Indication : on pourra considérer les points A + d A et A + dA situés sur l'équipotentielle
voisine de potentiel V + dV.
Fig. 4.11. - Champ (traits pleins) et equipotentielles (pointillees) d'une tige chargée
(exercices 4.10 et 4.13). Les surfaces equipotentielles sont les ellipsoïdes ayant pour
foyers les extrémités A et B de la tige.

CHAPITRE 5
CONDENSATEURS
Dans le cours d'électrocinétique de première année, le condensateur était simplement
considéré comme un dipôle que la relation q = C u suffit à caractériser et dont on peut
analyser la fonction dans divers montages. Dans ce chapitre, nous serons en mesure de
justifier Vorigine physique de la relation caractéristique des condensateurs. De plus, nous
apprendrons à calculer la capacité de quelques condensateurs de formes et de dimensions
connues. Nous aborderons enfin les notions d'énergie d'un condensateur et d'énergie de
champ. Cette dernière notion sera généralisée dans le chapitre 14.
5.1. Condensation de l'électricité.
A l'aide d'une source de tension (batterie d'accumulateurs, machine
électrostatique), maintenons une tension constante U = Vx — V2 entre deux disques
métalliques parallèles (fig. 5.1).
V2 (-a)
lilillllllli
Vx I (o)
+
Fig. 5.1. - Condensateur plan.
En diminuant la distance e entre les disques, on constate que le champ
électrique se concentre dans la région située entre les disques et croît en intensité.
Au-dessous d'une certaine valeur de l'épaisseur du système, des étincelles dues
à l'ionisation de l'air peuvent même apparaître. Si le champ entre les disques
est très intense, on peut déduire du théorème de Coulomb que les surfaces en
regard de ceux-ci portent des densités superficielles importantes. Ce
phénomène, analysé en 1782 par Volta et baptisé par lui «condensation de
l'électricité» est tout à fait général : Vélectricité «se condense» sur les parties en

68
ÉLECTROSTATIQUE
regard de deux conducteurs sous tension que Von rapproche l'un de l'autre.
L'intérêt des dispositifs, appelés condensateurs, dans lesquels se produit ce
phénomène est évident : ils contiennent, pour une tension donnée, des charges
importantes dans un volume limité.
Nous allons analyser quantitativement le phénomène pour le système
représenté par la figure 5.1. L'expérience (par exemple le spectre électrique obtenu
avec des grains de semoule) indique que, pour e < R, les lignes de champ sont
parallèles dans toute la région située entre les disques. Admettant ce résultat,
nous cherchons un champ de la forme E = E (x, y, z)uz. Dans le vide (p = 0),
l'équation de Maxwell-Gauss V . E = 0 conduit à 9E/9z = 0. Les surfaces équi-
potentielles, orthogonales aux lignes de champ, sont des plans z = constante,
de telle sorte que la relation E = — V V se réduit à E = — dV/dz.
L'intégration de cette relation entre z = 0 et z = e montre que E ne dépend pas en
fait non plus de x et y ; le champ entre les armatures est uniforme et a pour
expression :
E = —uz (5.1)
e
Le théorème de Coulomb permet d'en déduire que les conducteurs 1 et 2
portent uniformément, face à la région considérée, des densités superficielles
opposées o et — o avec :
o = e0 E = e0 — (5.2)
e
Cette expression rend compte de la « condensation de l'électricité » quand e
diminue. Les décharges qui limitent le phénomène apparaissent quand E atteint
le champ disruptif de l'air Ejyf ^ 3 . 106 V. nr1. Si les disques sont reliés à une
machine électrostatique maintenant U = 10kV,ceci se produit pour :
e = (104/3. 106)m = 3,3 mm.
Remarque :
Pour établir les expressions (5.1) et (5.2), on peut également considérer que, dans la
région située entre les disques, les surfaces de ceux-ci sont vues comme des plans indéfinis,
de telle sorte que E est la somme des deux champs Ej = E2 = o/2e0uz créés par chaque
disque.
5.2. Condensateur.
Idéalisant la situation précédente, nous appellerons condensateur un système
de conducteurs 1 et 2 en état d'influence totale, c'est-à-dire tels que toute ligne
de champ issue de 1 aboutisse sur 2 (*). Les faces en regard Ax et A2 de ces
deux conducteurs sont appelées armatures. Le théorème des éléments
correspondants (§ 4.5) montre que les armatures portent des charges opposées
(fig. 5.2.a). On appellera conventionnellement charge du condensateur, la
charge Q de son armature Ax, la tension aux bornes du condensateur étant
définie par U = Vi — V2. Le choix des conventions définissant Q et U doit
être rappelé sur un schéma tel que celui de la figure 5.2.b.
(*) Cette condition ne serait strictement réalisée que si (2) pouvait entourer (1)
complètement, ce qui n'est jamais exactement réalisable, ne serait-ce qu'à cause des fils de
jonction avec la source. Il en résulte que les propriétés des condensateurs réels peuvent
différer très légèrement de l'entité théorique qui est étudiée dans ce chapitre.

CONDENSATEURS
69
Considérons un état d'équilibre électrostatique d'un condensateur défini par
la fonction V (r). Sous forme intégrée, la relation E = — V V, équivalente à
dV = -E.d/(0.1), s'écrit:
u = vx-v2 =
E.d/
(5.3)
Q
U
®
©
Fig. 5.2. - Schémas d'un condensateur.
Remarque :
La circulation du champ électrostatique étant conservative, on peut noter que cette
intégrale peut être calculée le long d'un chemin quelconque joignant k\ et A2 et pas
nécessairement le long d'une ligne de champ.
De même, compte tenu du théorème de Coulomb, la charge du condensateur
peut s'exprimer par l'intégrale :
(5.4)
Nous raisonnerons comme nous l'avons fait au § 4.7 pour introduire la
notion de capacité propre d'un conducteur seul : X étant un réel, XV(r) définit
de manière unique un état d'équilibre dans lequel le champ est XE. L'examen
des expressions (5.3) et (5.4) montre que dans cet état la tension et la charge
sont XU et XQ, ce qui établit que la charge d'un condensateur est
proportionnelle à la tension entre les armatures de celui-ci On pose :
CU
(5.5)
Le coefficient C caractéristique de la forme et des dimensions du
condensateur, est appelé capacité de celui-ci. Ayant mêmes dimensions que la capacité
propre d'un conducteur, la capacité d'un condensateur s'exprime en farads (F).
Un rapide examen de la figure 5.2.a montre que U et Q sont toujours de même
signe : la capacité d'un condensateur est positive.

70
ÉLECTROSTATIQUE
5.3. Condensateurs plans.
Un condensateur plan est un système de deux plaques métalliques identiques
ayant chacune une aire S et dont la distance e est faible devant les dimensions
latérales. Nous avons déjà étudié un tel système au début de ce chapitre ; de
o = e0 E = e0 U/e, on déduit Q = aS, d'où l'expression de la capacité C = Q/U :
C = e0 —
e
(5.6)
on vérifie en effet que les arguments développés au § 5.1 ne supposent rien sur
la forme des armatures. On peut même établir aisément que la validité de la
formule (5.6) s'étend à des condensateurs dont les armatures ne sont pas
planes, à la seule condition que la distance e soit faible devant les dimensions
des armatures et devant les rayons de courbure de celles-ci. Les condensateurs
usuels au papier correspondent bien à cette schématisation, dite des
condensateurs de faible épaisseur.
• Effets de bord.
Si e n'est pas très petit devant les dimensions des armatures, la mesure de C
(ou, quand cela est possible, son calcul) conduit à des résultats légèrement
supérieurs à ceux déduits de (5.6).
Exemple :
Pour un condensateur dont les armatures sont des disques de rayon R3 on montre que
l'on peut poser C= ae0S/e3 OL étant un facteur correctif dont l'évolution en fonction du
rapport R/e est précisée sur la figure 5.3.
1 i
i
1
~n
i
:-
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r*-* ■
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E^ et ?
li 11 ■
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iïirr
-R/
)o;
e
*■
Fig. 5.3. - Effets de bord.
L'origine des écarts à (5.6) est facile à comprendre : en écrivant Q = a S
= e0 S E, on suppose que o garde une même valeur sur toute la surface de
l'armature Ax, or cette hypothèse n'est certainement pas valable au voisinage
des bords des armatures puisque le champ n'est pas uniforme dans cette région.
En fait,\o\ est plus élevé près d'un bord (pouvoir des pointes), nous avons ainsi
sous-estimé |Q| et donc C.
Si l'on imagine que les dimensions des armatures deviennent très grandes
devant e, il est évident que l'influence relative des «effets de bord» tend vers
zéro. Pour un tel système idéalisé, appelé condensateur plan indéfini, la
formule (5.6) devient stricte.

CONDENSATEURS
71
Remarque :
Pour un condensateur plan indéfini, le calcul de la capacité peut être conduit de
manière entièrement rigoureuse. La géométrie du système imposant que le potentiel ne
dépende que de la coordonnée z, l'équation de Laplace V2 V= 0 se réduit à d2V/dz2= 0.
On en déduit dV/dZ = constante = - E, d'où tous les résultats du § 5.1.
• Ordres de grandeur.
Supposons que nous voulions réaliser à l'aide de disques de diamètre :
2R = 10 cm un condensateur «à air» de capacité aussi forte que possible
destiné à être utilisé sous une tension maximale de 1 kV. Sous cette tension, le
champ disruptif Em = 3 . 106 V • m"1 est atteint pour :
e = U/EM - 103/3 . 106 = 3,3 . 10"4 m.
Pour garder une marge de sécurité, prenons e = 0,5 mm ;la figure 5.3 montre
que, pour R/e = 100, le facteur correctif a peut être confondu avec 1, on a
doncC^7r(5 .10"2)2/0,5 .10"3 . 36tt . 109 =1,4 .10"10F, soit 140 picofa-
rads (pF) ou 0,14 nanofarad (nF). Une telle capacité reste faible devant celle des
condensateurs que nous avons utilisés en première année. Nous allons voir que,
pour améliorer les performances des condensateurs, il est nécessaire de
substituer un isolant appelé diélectrique à l'air qui sépare les armatures.
5.4. Rôle du diélectrique. Réalisation d'un condensateur.
• Rôle du diélectrique.
Dans les calculs qui précèdent, nous avons supposé que les seules charges
qui sont la source du champ sont les électrons libres portés par les armatures.
Si Ton introduit un matériau isolant entre les armatures, le calcul de la capacité
doit être modifié en raison de l'intervention du champ des charges liées aux
molécules de ce milieu. Comme nous serons en mesure de le justifier au
chapitre 22, pour de nombreux milieux homogènes et isotropes, appelés
diélectriques parfaits, l'intervention d'un diélectrique remplissant entièrement l'espace
entre les armatures est simplement de multiplier la capacité par un coefficient
er appelé permittivité relative (ou constante diélectrique) du matériau (*).
Toujours supérieur à 1, er peut atteindre des valeurs considérables (plus de
mille pour le titanate de baryum BaTi03). Le remplacement du vide par un
diélectrique n'a pas pour seul effet d'améliorer la capacité des condensateurs,
les diélectriques usuels ont en effet des champs disruptifs (ou rigidité
diélectrique) nettement supérieurs à celui de l'air ce qui améliore la tension maximale
d'utilisation.
• Réalisation d'un condensateur.
Les condensateurs sont parmi les «composants» les plus utilisés et les plus
variés. Sans entrer dans aucun détail, nous indiquerons seulement les qualités
que l'on attend d'un condensateur. Celles-ci sont fonction du rôle auquel il est
destiné, on recherche souvent :
(*) L'air peut être considéré comme un diélectrique parfait ;mais, comme er 11 1,006
dans les conditions ordinaires, il est légitime de confondre pratiquement les propriétés
électrostatiques de l'air avec celles du vide.

72
ÉLECTROSTATIQUE
— une capacité maximale pour un volume donné: on réalise couramment des
condensateurs de quelques micro farads (//F) dont le volume n'excède pas
quelques cm3 (*) ;
— une grande tension maximale d'utilisation.
La recherche d'une capacité élevée conduit à diminuer la distance entre les
armatures, ce qui, pour une tension donnée, augmente le champ à l'intérieur
du diélectrique et par là le risque de «claquage» du condensateur. Un
compromis doit être réalisé pour chaque usage particulier (voir exercices 5.1 et 5.7).
5.5. Groupements de condensateurs.
• Groupement en parallèle.
Relions à deux nœuds A et B les armatures respectives de condensateurs K;
de capacités Q et convenons d'appeler charge Q/ du condensateur K; la charge
portée par l'armature reliée à A (fïg. 5.4).
B
Fig. 5.4. - Condensateurs montés en parallèle.
Les condensateurs sont tous soumis à la même tension U = V^ — Vb ; ils
prennent chacun une charge Q; = Q U. Les armatures reliées à A forment un
conducteur unique de charge totale :
Q = S Q/ = U S Q,
le groupement est donc équivalent à un condensateur unique de capacité
i
(5.7)
L'intérêt de ce mode de groupement qui permet d'ajouter des capacités est
évident.
(*) On peut obtenir des capacités de quelques millifarads avec des condensateurs élec-
troly tiques. Ces derniers présentent toutefois l'inconvénient de ne pouvoir être utilisés que
dans un sens donné de polarisation.

CONDENSATEURS
73
• Groupement en série.
Considérons le groupement représenté sur la figure 5.5. Convenons d'appeler
charge Q; du condensateur K,- la charge de son armature de gauche (G).
Fig. 5.5. - Condensateurs montés en série.
Le système étant initialement non chargé, appliquons entre les nœuds A et
B la tension U = Va — Vb- Si l'armature G de Kx prend la charge Q, son
armature droite (D) acquiert en conséquence par influence la charge — Q. Le
système S constitué par l'armature D de Kx et par l'armature G de K2 est
électriquement isolé, sa charge totale devant rester nulle, on en conclut que l'armature
G de K2 porte la charge Q. De proche en proche, on établit ainsi que les
condensateurs en série ont tous la même charge Q. Exprimons que la tension U
est la somme des tensions Uz- aux bornes de chaque condensateur :
U = X U; =
Q
l M
Cette relation montre que le groupement est équivalent à un condensateur
unique de capacité C telle que :
(5.8)
1
c
1
= 2 —
/ Q 1
L'intérêt du groupement en série est de diminuer la tension supportée par
chaque condensateur. On peut profiter des avantages des deux types de
groupement en réalisant des groupements mixtes constitués de p séries de n
condensateurs mises elles-mêmes en parallèle, n et p étant ajustés en fonction des
besoins.
Remarque :
Il faut retenir que les règles d'association des condensateurs sont les mêmes
que celles des conductances G = 1/R.
5.6. Calculs de capacités.
Dans le cas le plus général, le calcul de la capacité d'un condensateur de
forme connue se ramène à la résolution de l'équation de Laplace. Hormis des
cas exceptionnels (condensateur plan indéfini par exemple), cette résolution
est très difficile. Il est toutefois possible de calculer la capacité de quelques
condensateurs de forme simple en utilisant la démarche ci-dessous.

74
ÉLECTROSTATIQUE
- La carte du champ électrostatique étant déduite de considérations de
symétrie, on cherche à préciser la nature de la fonction E (r) en utilisant le théorème
de Gauss (ou l'équation de Maxwell-Gauss). On en déduit ensuite U et Q à
l'aide des intégrales :
„./
2
E.d/
(5.3)
I.
Q = e0 / E.dS (5.4),
d'où la capacité cherchée C = Q/U. Nous allons étudier un cas classique qui
illustre bien cette démarche ( v. aussi les exercices 5.1 et 5.8).
• Condensateur cylindrique.
Les armatures sont deux cylindres de même axe Oz définis en coordonnées
cylindriques par 0 < z < h, r = Rj et r = R2 (fig. 5.6).
f m:'?- '^SÉHiilÈ*'1 .Vite &%:&!
$■■■ :. ::'-.t:'.::i ; ?:^-7?^li*& ?: X-. iXï :*TJ
tf.
ua
Ur
Fig. 5.6. - Condenstateur cylindrique.
Nous cherchons à calculer C pour h > Ri et R2, c'est-à-dire dans une situation
où il est légitime de négliger les effets de bord. En d'autres termes, nous
pouvons considérer les armatures comme des distributions cylindriques illimitées.
Nous avons établi en première année (MÉCANIQUE 1 § 6.17) que le champ de
telles distributions est purement radial : E = E (r) ur. Pour déterminer la nature
de la fonction E (r), il est naturel de choisir comme surface de Gauss un cylindre
de rayon r, ce qui donne :
E • 2irrh = —
e0
On en déduit la tension U en calculant la circulation le long d'une ligne de
chamP: ,2 - R J
Q j R2 dr
2ire0h JR r'
U
-r
E.d/ =

CONDENSATEURS
75
On en déduit la capacité Q/U du condensateur :
2tï e0 h
C =
ln(R2/Ri)
(5.9)
Remarque 1 :
La nature de la fonction E (/•) peut s'obtenir de manière équivalente en
exprimant en coordonnées cylindriques l'équation de Maxwell-Gauss. L'examen de
l'expression (0.18) montre que, la seule coordonnée de E étant Er = E :
V.E =1 f (rE) = ±
r dr e0
0,
d'où la variation en 1/r de E, puis U et Q par intégration. Dans des cas se prêtant
mal à l'analyse géométrique, une telle démonstration de type local peut se
révéler plus facile (voir exercice 5.8).
Remarque 2 :
Examinons le cas R2 ^ Ri. Posons R^RetR^R+e, avec e/R < 1, d'où :
In (R2/Ri) = In (1 + e/R) « e/R.
On en déduit C « e0.27T Rh/e, soit encore C « e0 S/e. On vérifie sur cette expression
que la capacité d'un condensateur de faible épaisseur a la même expression que celle d'un
condensateur plan.
5.7. Forces s'exerçant entre les armatures.
Du fait de la pression électrostatique a2 /2e0 les armatures sont soumises à
des forces électrostatiques réparties sur toute leur surface.
• Force entre les armatures d'un condensateur plan.
Les armatures, portant des charges de signes opposés, s'attirent.
Calculons la somme F des forces qui s'exercent sur l'armature 1 (fig. 5.7).
Dans l'approximation du condensateur plan, la distribution superficielle est
uniforme : o = e0 E = e0 U/z. On en déduit :
F =
a2 S
2e0
u7
e0S U:
u.
(5.10)
dynamomètre
ï^jm^mmmMmmmm Vi
-<m
««mm!) V,
t.
Fig. 5.7. - Electromètre à plateaux.

76
ÉLECTROSTATIQUE
On appelle électromètre un appareil qui permet de déterminer une
différence de potentiel en mesurant une somme ou un moment de forces
électrostatiques.
La figure 5.7 donne un exemple d'électromètre particulièrement simple :
Y électromètre à plateaux. L'expression (5.10) permet une évaluation
quantitative : pour S = 100 cm2 et U/z = E = 3.106 V.m'1 (champ maximum
réalisable dans l'air), on obtient F = 0,4 N ce qui correspond environ au poids d'une
masse de 40 grammes ! On peut en déduire que les électromètres ne sont bien
adaptés qu'à la mesure des tensions élevées (au-delà du kV). On notera également
que les électromètres sont des appareils absolus ; ceci signifie qu'ils permettent
de mesurer une grandeur électrique (tension) uniquement à partir de grandeurs
mécaniques (force ou moment) et géométriques (dimensions de l'appareil).
(Voir exercices 5.11, 5.12.)
EXERCICE RÉSOLU
Condensateur diédrique.
Soient Ax et A2 deux armatures rectangulaires dont les plans forment un dièdre
d'arête D. Ai et A2 se déduisent l'une de l'autre par une rotation d'axe D et d'angle OL. Les
armatures ont une longueur h parallèlement à D et sont comprises entre les cylindres de
révolution d'axe D dont les rayons sont respectivement a et b. On admet que Aj et A2
étant portées aux potentiels Vi etV2, les surfaces equipotentielles sont des plans passant
par D (fîg. 5.8), ce qui revient à négliger les effets de bord.
Fig. 5.8. - Condensateur diédrique.
1) Montrer que la norme du champ électrostatique est constante le long d'une ligne de
champ.
2) Calculer la capacité du condensateur formé par Ai et A2.
3) Calculer le moment par rapport à D des forces qui s'exercent sur une armature.
• Solution.
1) Les lignes de champ, orthogonales aux surfaces equipotentielles, sont des cercles
d'axe D.

CONDENSATEURS
77
Soit un tube de champ élémentaire de section dS. Le flux qui sort de la portion de ce
tube comprise entre les plans équipotentiels V et V' est (théorème de Gauss) :
On a donc : E = E .
E dS + e' dS = — Qi = 0
e0
La démonstration que nous venons de donner est générale :
Si les tubes élémentaires d'un champ électrostatique ont une section constante dans
une région vide de charges, la norme de E est constante le long d'une ligne de champ.
Remarque :
On peut aussi établir E = E de manière locale. La seule coordonnée cylindrique du
champ est E# = E. A l'aide de l'expression (0.18) de la divergence en coordonnées
cylindriques et de l'équation de Maxwell-Gauss, on a :
v.E-i^ro-o.
E est donc bien constant le long d'une ligne de champ.
2) Calculons la circulation de E le long d'une ligne de champ de rayon r :
rA2 rA2 rOL
U= Vi
E.d/= I Erâd = rE\ d03
JAi JAi J0
on a donc : E = U/roc.
La densité de charge sur Aj est, à la distance r de D : O = e0E = 6qU/a*Où (théorème
de Coulomb). Une bande rectangulaire parallèle à D de largeur àr porte la charge :
ûq = Ohàr.
La charge de k\ est donc :
e0m rb àr
Q= / adS
Aj J a
e0h
La capacité cherchée est : C= Q/U= In (b/a).
a
3) La force qui s'exerce sur une bande rectangulaire élémentaire a pour norme
a2
dF = . h àr (pression électrostatique).
2e0
Le moment par rapport à D de cette force a pour module : dM = r dF. On a donc
la2 I r 2a2
J a
5.8. Energie d'un condensateur.
a) Condensateur plan. Considérons un condensateur plan dont les armatures
1 et 2 sont isolées (charges Q et — Q). Supposons qu'un opérateur déplace
Farmature 1 parallèlement à uz. Cet opérateur fournit ainsi (au sens algébrique)
au condensateur un travail car il doit exercer sur l'armature 1 une force (opposée
2
à la force électrostatique) S uz (avec les notations du § 5.7) soit :
2e0
o2 Q2
Fop = $uz = ~ ^— **z (Q = <rS)
ze0 z60 o

78
ÉLECTROSTATIQUE
l'opération étant ainsi conduite de façon quasi-statique de sorte que le
condensateur est à chaque instant en équilibre électrostatique.
Dans ces conditions, pour un déplacement dz de l'armature 1, le travail de
l'opérateur est, Q restant constant :
soit :
SWoP = :rV <** <SWop > 0 si dz > 0)
ze0 o
swop = dwE
Q2 1 Q2
aVCC : We = "2^8 z + Cte = K + CtC
On interprète ce bilan en terme de variation de Y énergie électrostatique We
du condensateur. Un tel point de vue est imposé par la conservation de
l'énergie. Le condensateur étant isolé (pas de générateur relié aux armatures) le travail
5 Wop ne peut que provoquer une variation égale de l'énergie du système. Cette
énergie We est liée à l'existence des charges sur les armatures de sorte que l'on
convient de prendre We = 0 pour Q = 0, d'où les expressions de We :
We = 1ït=tcu2 (511)
On retrouve ici les expressions utilisées en électrocinétique. Il est intéressant
de faire apparaître dans (5.11) le champ électrostatique de norme E = a/e0
entre les armatures, soit E = Q/e0 S de sorte que :
WE = |e0E2Sz (5.12)
Sz est le volume compris entre les armatures. La relation (5.12) fait ainsi
apparaître une densité volumique d'énergie :
1 *2
Nous verrons au chapitre 14 la richesse de cette notion, la cohérence de
l'ensemble de l'électromagnétisme imposant d'admettre que l'énergie est localisée
dans le champ lui-même.
Dans le cas présent cela revient à admettre que l'expression :
(5.13)
représente bien de l'énergie volumique localisée dans l'espace où règne le
champ E. Notons bien le caractère non évident de ce résultat : une intuition
élémentaire peut par exemple conduire à penser que l'énergie est localisée au
voisinage des charges qui sont la source du champ !
Ordre de grandeur : pour le champ disruptif de l'air Em = 3 . 106 V. m"1,
on obtient :
w = (3.106)2/2x 36 ttIO9 * 40 J. m"3
Cet ordre de grandeur est bien modeste : on peut emmagasiner sous forme
électrostatique l'énergie nécessaire au fonctionnement d'un flash électronique,
mais il est difficile d'envisager de stocker l'énergie produite aux heures creuses
par les centrales nucléaires dans des batteries de condensateurs !

CONDENSATEURS
79
b) Généralisation
Ai
Dans le cas général, l'énergie d'un
condensateur pourra être définie comme
l'énergie contenue dans le champ qui
règne entre ses armatures, soit :
WE =
e0
E2dr
Fig. 5.9.
l'intégrale étant étendue au volume V délimité par les armatures Ai et A2 et par le tube de
champ T s'appuyant sur celles-ci (fig. 5.9).
On peut transformer l'expression de Wg en utilisant la formule F$ et l'équation de
Maxwell-Gauss pour une région vide de charges :
V-(VE) = V(V.E) +(VV).E= — E2
A l'aide de la formule d'Ostrogradski, on en déduit :
e0
WE= -■
VE.dS
Comme E . dS = 0 en chaque point de T, seules interviennent les contributions des
armatures. En utilisant le théorème de Coulomb et en prenant garde au fait que, du point
de vue de la surface fermée (T+ Ai + A2), dS est orienté vers l'intérieur de Ai :
e0
VE.dS = Vi
e0 E . dS =
adS = — Vj Q
~ Ai -"Ai -VAi
En exprimant l'intégrale analogue relative à A2, on en déduit, avec U= Vi — V2 :
WT
1
1
1
-QU =-CU2 =
2 2 2 C
(5.14)
expression qui généralise (5.11).
* 5.9. Relation entre résistance et capacité.
Nous allons montrer l'analogie du calcul de la capacité C d'un condensateur avec celui
de la résistance R d'un tronçon de conducteur ohmique délimité par deux surfaces Ai et
A2 maintenues aux potentiels constants Vi et V2. Supposons que Ai et A2 soient
géométriquement identiques aux armatures d'un condensateur dont nous connaissons la capacité
(fig. 5,10).
capacité C
résistance R
Fig. 5.10.

80
ÉLECTROSTATIQUE
La relation (1.7) de conservation de la charge en régime permanent, V./ = 0 entraîne
V . E = 0 pour un conducteur ohmique homogène (j = aE) (*). On peut en déduire à l'aide
de la relation de Maxwell-Gauss que p est nul à l'intérieur du conducteur. Il en résulte que
le potentiel V vérifie l'équation de Laplace V 2 V= 0 à l'intérieur du conducteur de la
même manière que dans l'espace vide séparant les armatures du condensateur ; si les
conditions aux limites (Vi sur Aj et V2 sur A2) sont les mêmes, le potentiel et le champ
sont identiques dans les deux situations.
D'après les définitions de U et de I respectivement :
U= J E . d/
1
et 1= \\ ;.dS = O \\ E.dS
Ai Ai
d'où : R = —
U f? E-d/
I a//AiE.dS
D'autre part, en utilisant (5.3) et (5.4), on a :
J
U j2 E.d/
Q__ ep //Al E . dS
On en déduit :
RC = —
o
(5.15)
Cette relation permet éventuellement de déduire une valeur de résistance d'une
capacité connue et inversement. Ainsi par exemple, la résistance d'une cuve à electrolyse dont les
électrodes sont cylindriques se déduit immédiatement de l'expression (5.9) de la capacité
d'un condensateur cylindrique... Dans le cas où le condensateur considéré rempli d'un
diélectrique de permittivité relative €r, il faut bien entendu substituer €= €0 6r à e0
dans (5.15).
Remarque :
Considérons un condensateur chargé de capacité C dont le diélectrique est imparfait,
c'est-à-dire présente une conductivité non nulle. On peut alors considérer qu'il se
décharge à travers une résistance R donnée précisément par (5.15) ; or nous avons vu en première
année que la décharge d'un condensateur se fait avec une constante de temps 6 = RC,
d'où ici 6 = e/a. Nous verrons plus loin (§ 11.5) que cette expression de 6 représente
une propriété très générale d'un conducteur : le temps de relaxation de celui-ci, c'est-à-
dire une durée caractéristique de son retour à une situation d'équilibre.
EXERCICES
5.1. Condensateur sphérique.
Deux sphères conductrices concentriques ont pour rayon Rx et R2 (R2 > Ri). On
établit entre les deux sphères la différence de potentiel U= Vi - V2.
1) Quel est le champ électrostatique à la distance r du centre des sphères ?
2) Quelle est la capacité du condensateur ?
(*) O désigne ici la conductivité électrique.

CONDENSATEURS
81
3) Le champ maximum que peut supporter le gaz situé entre les sphères étant E^,
quelle valeur convient-il de donner à Rj, R2 étant fixé, si l'on veut obtenir la plus grande
différence de potentiel que l'on puisse atteindre avec l'appareil ?
Réponses :
Ri R2 1 Ri R?
1) E = U ~ - .—-. 2) C = 47re0 —?- .
R2-Ri r2 R2-Ri
3) Rj - R2/2. UM = R2EM/4.
5.2. Sphère à l'intérieur d'un condensateur.
Soit un condensateur plan d'épaisseur e. L'armature Ai est au potentiel U, l'armature
A2 au potentiel 0. Une sphère conductrice de rayon R est placée à l'intérieur du
condensateur, son centre se trouvant à la distance a de A2. On admettra que la charge portée par
la sphère ne perturbe pas sensiblement la répartition de la charge sur les armatures.
Calculer la charge portée par la sphère si on la relie à At par un fil conducteur.
Réponse :
Q= 47re0Ru( 1 - -).
5.3. Cylindres coaxiaux.
Soit un condensateur cylindrique de rayons K\ et R2, de hauteur h. Les armatures de
ce condensateur, reliées par un fil conducteur, forment, un conducteur A. Soit B un mince
cylindre conducteur de rayon R et de même axe que les cylindres de rayons Rj et R2.
(Ri <R<R2).
1) En négligeant les effets de bord, calculer la capacité du condensateur formé par les
conducteurs A et B (il existe au moins deux méthodes).
2) Ri et R2 étant fixés, montrer que la capacité de ce condensateur passe par un
minimum pour une valeur de R que Ton déterminera.
Réponses : r
In —
Ri /
1) C = 27ï60h 2) R = VRiR2.
R R2
in — In —
R2 R
5.4. Cavité évidée dans une armature.
Soit un condensateur plan d'épaisseur e. L'armature Ai est portée au potentiel U,
l'armature A2 au potentiel 0. On évide dans Ai une cavité parallélépipédique dont la
profondeur a est faible devant les dimensions latérales. Cette cavité est presque
complètement obturée par une mince plaque conductrice P parallèle aux armatures.
Calculer le potentiel V de la plaque P.
Réponse : V = U (1 - a je).
5.5. Plaque métallique entre les armatures.
On introduit à l'intérieur d'un condensateur plan d'épaisseur e une plaque conductrice
plane d'épaisseur a parallèlement aux armatures.
1) La plaque étant isolée et initialement neutre, décrire les phénomènes obtenus quand
on applique la différence de potentiel U aux bornes du condensateur.
2) Quelle est la capacité du condensateur après introduction de la plaque ?
Réponses : C = e0S/(e - a).

82
ÉLECTROSTATIQUE
5.6. Charges de la paroi externe d'un condensateur.
Un condensateur est constitué par un conducteur 1 de charge Q entièrement entouré
par un conducteur clos 2 portant la charge Q2 = Q' - Q. Que représente Q'? Etablir que
Q' est nul dans un état d'équilibre tel que V2 = 0.
5.7. Capacité volumique d'un condensateur.
Un condensateur plan est caractérisé par la rigidité diélectrique E^ de son isolant, par
la permittivité relative er de celui-ci et par sa tension maximale d'utilisation Um- Quelle
valeur maximale peut-on donner à la capacité volumique c = C/V de celui-ci ?
A.N. : Evaluer c en F.cm"3 pour €r= 1 000, EM = 100 kV.cm-1, U= 1 kV.
Réponse : c = e0 er E^ /Uj^ « 1 MF.cm-3.
5.8. Condensateur conique.
On définit les armatures d'un condensateur par leurs coordonnées spheriques (cf. fig.
0.5): A2 est le plan 6 = 7T/2, At est le cône 6 = a. Les deux armatures sont limitées
extérieurement par r= R ; on suppose que leur contact électrique au voisinage de l'origine est
évité par une pastille isolante dont on négligera la dimension (noter le caractère irréaliste
de ce problème). On néglige les effets de bord, ce qui revient à admettre que les surfaces
équipotentielles sont des cônes 6 = constante. Pour calculer la capacité de ce
condensateur, on aura intérêt à exprimer l'équation de Maxwell-Gauss en coordonnées spheriques
(à moins que l'on soit capable de considérations géométriques équivalentes).
Réponse : C = 27re0R/ln (cotga/2).
5.9. Cylindres conducteurs parallèles.
x
1) Soit Oxyz un repère orthonormé. Vérifier que la fonction : V = A — + B
x2 + y2
satisfait l'équation de Laplace : V V = 0.
2) Soient Ci et C2 deux cylindres conducteurs ayant respectivement pour équations :
x2 + y2 - 2Rijc= 0 et x2 + y2 - 2R2x= 0. C2 est maintenu au potentiel 0 et on
porte Ci au potentiel U (un isolant sépare les cylindres).
Quelle est la valeur du potentiel V en un point M de coordonnées x et y ?
3) Calculer le champ E en M ainsi que la norme E de ce champ.
4) Dessiner les traces des surfaces équipotentielles ainsi que les lignes de champ sur une
même figure. Quelle est la nature de ces courbes ?
5) Calculer Ox et 02 densités de charge aux points : y= 0, x= 2RX ety= 0,x= 2R2.
Retrouver 02IO\ en utilisant le théorème des éléments correspondants.
Réponses :
UR! T 2R2jc 1
2) V = — „ „ - 1
R2-R! Ljc2+3;2 J
2URXR2 , , 2
3) E = i-J 5) o2/ol = (Ri/R2)2
(R2-R1)(x2 + y2)
5.10. Accélérateur électrostatique de Van de Graff. (Extrait d'un problème d'agrégation).
1 ) Deux sphères conductrices concentriques S et S', de rayon R et R' (avec R < R ),
sont portées respectivement aux potentiels V et zéro. L'intervalle qui les sépare est rempli
d'air à la pression atmosphérique. Exprimer, en fonction de V, R et R', la valeur maxi-

CONDENSATEURS
83
maie E^ du champ électrique qui règne dans l'espace compris entre les deux sphères
conductrices. A quel potentiel maximal Vm peut-on porter la sphère intérieure S, si l'on
se donne EM et R', R pouvant être choisi à volonté ? (voir exercice 5.1).
Application numérique :
EM= 3.106 V.m'^R^lm.
2) Un accélérateur de Van de Graff (fig. 5.11) est constitué schématiquement par une
électrode «haute tension» A ayant la forme d'un cylindre surmonté d'une demi-sphère
de même rayon. Cette électrode, convenablement isolée du sol par une colonne isolante
qui le supporte, est entourée d'une enceinte B au potentiel zéro. L'utilisation de certains
gaz sous pression, dans l'intervalle compris entre l'électrode «haute tension» A et
l'enceinte B permet de réaliser une tension V de l'ordre de 3 millions de volts, qui
communique à des particules de charge e une énergie de 3 MeV (1 MeV= 106 électron-volts).
Des charges sont apportées sur l'électrode A par une courroie isolante, le courant ainsi
débité est de 1 milliampère.
Evaluer l'effort qu'il faut exercer sur la courroie pour l'entraîner, sachant que sa
vitesse linéaire est de 20 mètres par seconde.
poulie 2
courroie
pouliel
Fig. 5.11.
3 ) On produit, dans un récipient F, préalablement vidé de tout gaz, des ions H+
(protons), qui sont ensuite accélérés par le champ électrique créé entre l'électrode A et le
sol (potentiel zéro). Les ions se déplacent dans le tube D ; calculer leur vitesse en fin
d'accélération. On donne :
e= 1,6.10"19C
■21
/ / A
/ /
m (masse des ions) = 1,7.10" kg
////
V / / A V // A
/ / /B
Fig. 5.12.

84
ÉLECTROSTATIQUE
4) Deux électrodes planes, isolées et fixes Ei et E2 (fig. 5.12), de mêmes
dimensions, d'aire S et que, pour simplifier, l'on supposera rectangulaires, sont juxtaposées à
l'orifice d'une cavité prismatique pratiquée dans l'enceinte B (toujours au potentiel zéro),
dont elles obturent l'entrée. Elles sont à la distance d de l'électrode «haute tension» A
(maintenue au potentiel V) et la cavité à la profondeur a.
Evaluer approximativement :
a) Le potentiel d'équilibre u des électrodes Ex et E2 si l'on suppose leur charge totale
nulle.
b) La charge q prise par chacune d'elles si leur potentiel est nul.
Application numérique : Calculer u et q lorsque :
V=3.106 volts;
S= 10cm2 ;
d = 20 cm ;
2 cm.
5 ) On relie maintenant les électrodes Ex et E2 à l'enceinte B (toujours au potentiel
zéro), par l'intermédiaire de grandes résistances : Ri pour Ex et R2 pour E2 (Ri = R2).
On dispose ensuite, à une très faible distance de ces électrodes et parallèlement à elles,
une électrode plane Em de mêmes dimensions (fig. 5.13), puis l'électrode Em étant
constamment maintenue au potentiel zéro de l'enceinte, on lui imprime, dans son plan, un
mouvement de translation rectiligne alternatif, de fréquence /, entre deux positions
extrêmes pour lesquelles elle se place exactement en regard des électrodes Ex et E2. Montrer,
que, dans ces conditions, les résistances Ri >i R2 sont parcourues par un courant
alternatif de fréquence /. En admettant que ce courant est sinusoïdal, établir la relation qui lie
son intensité efficace I à la fréquence /, au potentiel V, à la distance d et à la surface S.
S s s s
s / / S s sms
m mu il
E2
il ifTI
ninm
Em
^ / s- /
Fig. 5.13.
Application numérique : La mesure de I permet la détermination de V. Calculer V dans
le cas particulier suivant : intensité efficace 1= 58,7 microampères, /= 100, S= 10 cm2 ,
d= 20 cm.
1) VMsiR=R'/2. VM=7,5.105V. 2)F=150N.
3) v= 2,371.107.m.s"1 (2,376 par un calcul non relativiste).
4) 2,73.10b V. q= 0,133 juC.
Tt S/V
5) I = —j= e0 . V= 6MV.
V2
5.11. Principe d'un électromètre à plateaux.
On rappelle l'intensité de la pesanteur £=9,8 m.s~2 et le champ disruptif de l'air
EM=3.106 V.m_1.
Les armatures d'un condensateur plan sont constituées par deux disques horizontaux
de rayon R = 10 cm et de masse m= 255 g. Les deux armatures sont séparées par une lame
d'air d'épaisseur z « R ; on néglige les effets de bord. L'armature inférieure est fixe,
l'armature supérieure est suspendue par un dispositif élastique équivalant à un ressort de
raideur k. Ce dispositif s'allonge de 4 mm quand on lui suspend l'armature supérieure,
l'appareil n'étant pas sous tension ; z prend alors la valeur Z0= 6 mm. On note Z la valeur
prise par z après que l'équilibre se soit établi après application d'une tension U à l'appareil.

CONDENSATEURS
85
1) Exprimer U en fonction de Z, Z0, k et R.
2) On mesure Z = 5 mm, quelle-est la valeur de U ? Calculer le champ électrique
correspondant. A l'aide des résultats précédents, discuter de l'emploi de l'appareil en tant que
voltmètre.
On peut songer à régler l'appareil de façon à augmenter sa sensibilité par diminution
des valeurs de Z. Quelle-est la raison qui peut s'opposer à cette amélioration ?
3) Tracer la courbe d'étalonnage U (Z) de l'appareil. En déduire la tension maximale
Um que peut mesurer l'appareil. Calculer numériquement U^ et le champ correspondant,
commentaires. Pour U <Um> discuter la nature des positions d'équilibre de l'appareil.
Réponses :
l)k(Z0-Z) = 7Te0
U2R2
2Z2
2) U= 10,6 kV ; E= 2,12.106 V.nT1.
3) Um= 12 kV; Em= 3.106 V.m"1. Pour U <Um, on trouve deux positions d'équilibre,
celle qui est stable correspond à Z > 2 Z0/3= 4 mm.
5.12. Electromètre-balance.
Un électromètre-balance comporte un fléau AiOA2 coudé en O dont l'axe de rotation
horizontal est en O. OA2 fait un angle a avec le prolongement de OAi- Les plateaux sont
suspendus en Ai et A2 respectivement ;on posera OAi = l\, OA2 = h (fig- 5.14). Le plateau
suspendu en A2 porte des masses marquées, la masse totale du plateau et de celles-ci étant
désignée par M2. Le plateau suspendu en Ai, de masse Mi et de surface S, constitue l'une
des armatures d'un condensateur plan d'épaisseur variable ; ce condensateur est muni d'un
anneau de garde non représenté sur la figure. On désignera par 6 l'angle de OAi, avec le
plan horizontal. Lorsque 0=0, l'épaisseur du condensateur est e (on assimilera au vide, du
point de vue électrique, l'espace compris entre les armatures). Dans tout le problème, on
négligera les masses des bras du fléau.
\+
7
€y
4w*
Fig. 5.14.
1° - Le condensateur (formé par le plateau suspendu en Ai et l'armature fixe en
regard) n'étant pas chargé, écrire l'expression N (6) du moment résultant par rapport à
l'axe de rotation des forces appliquées au système mobile AiOA2.
Écrire la condition d'équilibre pour 6 = 0 et vérifier la stabilité de l'équilibre autour de
cette position.
2° — Si à partir de l'équilibre pour 0=0 avec le condensateur non chargé, on ajoute une
masse m0 sur le plateau suspendu en A2, on obtient un nouvel équilibre pour une position
60 du fléau. Écrire l'expression qui relie 60 à m0, M2 et OL
Par l'utilisation d'une méthode optique, on peut déceler une rotation du fléau de 2.10 4
radian. Quelle est la plus petite surcharge 5m ajoutée à M2, décelable ?
A.N. M2=100g
tga = 0,5

86
ÉLECTROSTATIQUE
3° — Le condensateur est chargé et maintenu sous la tension V. Écrire la nouvelle
expression du moment résultant par rapport à l'axe de rotation des forces appliquées au
fléau pour une position définie par l'angle 6.
Calculer la masse m à ajouter à M2 pour rétablir l'équilibre dans la position d= 0. On
fera le calcul numérique de m pour V= 2 000 volts et /x = /2. Le plateau mobile est un
disque de rayon R=6 cm ;e = 5 mm ;g= 10 ms"2.
4° - Montrer que l'équilibre ainsi obtenu pour 0=0 peut être stable à condition que V
soit inférieur à une valeur maximale Vjvi que l'on calculera numériquement pour/i=/2= 12,5
cm.
Peut-on augmenter la valeur Vm au delà de laquelle l'équilibre est instable ?
La sensibilité de l'appareil est-elle affectée par cette recherche de la stabilité ? (On
pourra se contenter ici de donner une réponse de principe sans formulation quantitative.)
Réponses :
1) Mi/i = M2/2 cosa
m0
2) tgatg0o =
m0 + M2
„ t h e0SV2
3) m =-
l2 2ge2 cosa
dm=-M2 tgadfl (5m=10'2g)
m= 0,89(5) g.
4) VM^
M2/2ge3 sin a
e0S/i ( h —tga
VM=2 130V.
5.13. Principe d'une machine électrostatique.
On considère un condensateur variable constitué d'une armature ayant la forme de
demi-cercles parallèles, de même axe et pratiquement de même rayon R. L'armature Pi est
mobile à l'intérieur de P2 fixe, qui affecte la forme d'un demi cylindre aplati (fig. 5.15). La
position de Px est repérée par l'angle a des diamètres de base. Quand ce= 0°, Pi est
complètement encagé dans P2. Quand û: = 180°. Pi est complètement sorti.
. axe de
rotation P,
Fig. 5.15.
1. - Pi et P2 étant respectivement maintenu aux potentiels constants Vi et V2,
évaluer :
a) La variation k= dC/da de la capacité C (Où) de l'appareil ;
b) La variation T= dW^/dade l'énergie électrostatique du condensateur.
A.N. R=15cm; e= 1,0 mm ; Vx = 0 ; V2= - 100 volts.
2. - Lorsque a= 0, Px et P2 sont mis aux potentiels Vi et V2 puis isolés. On fait
tourner Px d'un angle Ol Calculer la variation d'énergie correspondante.
A.N. R=15cm ; e= 1,0 mm ; Vx = 0 ; V2 = - 100 volts ; a-=150o

CONDENSATEURS
87
3. - On fait accomplir au plateau P1? un tour complet, mais dans les conditions
suivantes (e = 1,0 mm) :
a= 0, ?i et P2 sont aux potentiels Vi = 0 et V2= - 100 volts, puis isolés ;
0 <a< 150° : Px et P2 sont isolés ;
150° <a<180° : Px et P2 sont connectés à un récepteur Z uniquement résistant ;
180° <a<360° : Px et P2 sont de nouveau connectés à Vi et à V2.
a) Indiquer, qualitativement, l'évolution de l'énergie du système. On supposera que la
constante de temps du circuit de décharge est très petite devant la période de rotation.
b) Quelle est, par cycle, l'énergie que peut recevoir Z ? Sous quel potentiel maximal,
cette énergie est-elle fournie ?
c) Px est entraîné par un moteur tournant à 50 tours par seconde. Évaluer la durée 7
au bout de laquelle l'énergie reçue par Z serait de 1 microwatt-heure.
d) Pour augmenter l'énergie disponible par tour, on a intérêt à augmenter la
différence de potentiel Vi - V2. En admettant que l'air (à la pression atmosphérique) supporte
un champ maximal EM de 3 000 kilovolts/mètre, sous quelle tension maximale Vi — V2
peut-on alimenter l'appareil ?
e) On admet que EM est sensiblement proportionnel à la pression de l'air (loi de
Paschen). L'air étant comprimé à 3 atmosphères, calculer la valeur minimale Tm de la
durée r définie en c).
Réponses :
€n R2
1° a) k= + —— = + 10"10 F .rad"1
2e
(signe - pour 0 <a<180° ; signe* pour 180 <a<360°).
b)r=-k(V1 -V2)2
7ie0 R2 „ a
2° AWE = (Vx-V2)2 soit AWE= 7,81.10 6J avec a= 150°,
4e n-a
3° a) L'énergie croît (voir 2°), s'annulle (décharge quasi instantanée dans Z) puis
croît jusqu'à la valeur initiale.
7re0R2 0 ce
b) énergie reçue : AWF= (Vx - V2)2 = 7,81.10 6 J
4e iï-a
|Vi - V2|
sous la d.d.p. maximale |v'i - V2|= =5 |VX - V2|= 500 volts.
7T/a-l
c) 7= 9,22 s. d) VM= 600 volts, e) rm= 28 ms.
5.14. Bilan énergétique d'une transformation réversible et d'une transformation
irréversible.
Un circuit comprend en série une source de tension de f.e.m. E, un condensateur plan
dont les armatures 2 (reliée au pôle positif de la source) et 1 (reliée au pôle négatif) sont
distantes de z, un résistor de résistance R. On décrit ci-dessous deux transformations au
cours desquelles z varie de Z\ à z2. Pour chaque transformation, on demande d'effectuer le
bilan énergétique complet. On vérifiera chaque bilan en comparant la variation AWjt ^e
l'énergie électrostatique du condensateur à la somme W0p+ Wq — Wj où W0p est le
travail de l'opérateur, Wq l'énergie délivrée par le générateur qui fait transiter les charges et
Wj l'énergie dissipée par effet Joule dans les fils conducteurs. On exprimera W0p, Wq et
Wj en fonction de E, Ci et C2 (valeurs initiale et finale de la capacité).
1) Transformation réversible. On déplace 2 très lentement de sorte que 2 est à chaque
instant au potentiel E, 1 au potentiel 0.

88
ÉLECTROSTATIQUE
2) Transformation irréversible. On déplace 2 assez brusquement pour que l'on puisse
supposer que la charge du condensateur reste égale à Qx = CxE pendant ce déplacement.
Lorsque z = z2, le condensateur reprend son état d'équilibre Q2= C2 E ce qui nécessite un
transit irréversible de charge à travers le circuit.
Réponses :
E2
2
D Wop=(C!-C2)—,WG = E2(C2-C1),WJ = 0.
E2 Ci „ „ (Ci - C2)'1
2) ™op = - ~L(C1-C2),WG = E2(C2-C1),Wj=E2V
2 C2 ~ 2C2
5.15. Images électriques. Ligne bifilaire
1) On considère (situation (1)) deux fils indéfinis Fi (x =a, y = 0) et F2 (x = - a,
y = 0), parallèles à la direction uz, qui portent respectivement les densités linéiques de
charge \\ =\çX\<i = — \. Exprimer le potentiel V (je, y) en un point M quelconque en
fonction de X et des distances /-j et a*2 de M à Fj et à F2. En déduire que les équipo-
tielles sont des cercles. On précisera le rayon p et l'abcisse xo du centre d'un cercle de
potentiel V. Faire une figure.
2) On considère (situation 2)) deux conducteurs cylindriques Ax et A2 de même rayon
R, d'axes parallèles et distants de 2d et portés aux potentiels Vi = U/2 et V2 = - Û/2.
Montrer que, pour des valeurs de X et de a que Ton exprimera en fonction de d, R et U, la
fonction V calculée dans la situation (1) fournit une solution convenable pour le potentiel
dans la situation (2) pour ce qui est de l'espace extérieur à Aj et à A2. Faire une figure.
En utilisant le théorème de Gauss, déduire de ce qui précède la capacité linéique T = dC/dz
du condensateur constitué par Ax et A2. Examiner la limite d/R^5>l(cas fréquent pour
une ligne bifilaire).
Réponses :
1) V = (X/2 tx eo) In fo/fi) ; avec u = 2 n eo V/\ : Xo =a/th u, p =a/ \sh u\.
2) X = ix €0 V/Aigch (d/R) \a = (d2 - R2) X/2 ; r = n e0/Arg ch (d/R) ^n e0/in(2d/R).

TROISIÈME PARTIE
MAGNETOSTATIQUE
Dans les chapitres qui suivent, nous étudions les propriétés du champ
magnétique permanent ou champ magnétostatique. Comme nous le verrons
ultérieurement, le champ d'application de la magnétostatique s'étend en fait
nettement au delà du cadre strict des régimes permanents : le champ
magnétique créé par des courants qui varient assez lentement dans le temps (*) est
calculable à partir des lois de la magnétostatique.
(*) Les conditions de validité de cette approximation, dite des régimes
quasi-permanents (ARQP) seront précisées au § 13.5.

CHAPITRE 6
POSTULATS DE LA MAGNÉTOSTATIQUE
Dans ce chapitre, nous verrons comment l'étude expérimentale de quelques situations
simples peut suggérer deux lois relatives respectivement au flux et à la circulation du
champ magnéto statique. Prenant ces deux lois comme postulats de la magnéto statique,
nous verrons dans les chapitres suivants qu'elles fournissent le moyen de calculer
complètement le champ d'une distribution de courants quelconque. La concordance entre les
résultats de ces calculs et les données expérimentales vérifie a posteriori la validité des
postulats adoptés.
6.1. Objet de la magnéto statique.
On appelle magnétostatique la branche de rélectromagnétisme qui étudie
les champs magnétiques créés par des courants permanents- Le problème
le plus général que nous ayons à résoudre est donc le suivant : déterminer le
champ magnétostatique B (r) dont la source est une distribution connue / (r)
de courants permanents. Rappelons que, en régime permanent, la
conservation de la charge impose la relation (1.7) :
V-; = 0
qui exprime le caractère conservatif de l'intensité (flux de;).
Nous décrirons principalement le champ créé par des courants circulant
dans des conducteurs. Les résultats de notre étude s'étendent toutefois au
champ magnétique créé par des faisceaux de particules ou par des courants de
convection (§ 1.4). Pour ce qui est du champ créé par la matière aimantée,
il nous suffira de savoir pour l'instant que, d'un point de vue fondamental, il
ne diffère pas des précédents. Toutefois, la source de ce champ est constitué
de courants microscopiques liés à la matière dont la distribution ne peut pas
être en général connue de manière détaillée de telle sorte que la
«magnétostatique des milieux matériels constitue en pratique un domaine à part dont
l'étude ne figure qu'au programme des classes PPr (chapitres 25 à 29).
6.2. Etude expérimentale du champ d'un fil rectiligne.
La situation a priori la plus simple est celle du champ magnétique au
voisinage d'un long tronçon rectiligne d'un fil de faible section parcouru par un
courant d'intensité I. C'est cette situation, correspondant sensiblement à
l'expérience d'Oersted, (voir § 2.1) qui fut étudiée en premier par Ampère.
Avec les moyens actuels, on peut étudier complètement un tel champ à l'aide
d'une sonde de Hall ; pour ce qui est de la carte du champ, on la visualise
directement en réalisant un spectre magnétique à l'aide de limaille de fer
dont les grains, tels des petits aimants, s'orientent dans la direction du champ.

92
MAGNÉTOSTATIQUE
Rappelons les résultats obtenus en classe terminale :
is si usas =?,: ariKSitîs
progresse le long du fil dans le sens du courant (fig. 6.1) ,
Fig. 6.1.-Filrectiligne.
_ Mo I
(6.1)
' ,„ rhamo créé par le fil est purement magnétique,
Nous supposons m *ue * *^ wtariS de charge est nulle à l'intérieur
ceci est bien légitime, car la dens te ™™qU nents* En revanche, si l'on
SSt^: traître tout facteur numérique des expresses jugées les
plus fondamentales, à savoir les équations de Maxwell.

POSTULATS DE LA MAGNÉTOSTATIQUE
93
que le fil précédent, il serait la source d'un champ magnétique donné par (6.1) mais aussi
celle d'un champ électrique (voir exercices 9.11 et 9.17).
6.3. Définition de l'ampère, valeur de ju0.
Avec le mètre, le kilogramme, la seconde, le kelvin, la candela et la mole,
Fampère est Tune des 7 unités de base du SI.
• l'ampère est l'intensité d'un courant continu qui, maintenu dans deux
conducteurs rectilignes, parallèles, de longueur infinie, de section circulaire
négligeable et placés à un mètre l'un de Vautre dans le vide produit entre eux
une force égale à 2.KT1 newton par mètre de longueur.
Considérons deux fils indéfinis parallèles Fx et F2 distants de r et parcourus
par des courants comptés positivement dans le même sens.
f &j#^JF^&&&r&JFj&j&j&jFJ&J&J&rj$rJOMœ. fi^^^œ^^^^x^^^^
■
A
♦ii
Fi
1 «^:^gwjc«tfO^}«0O«wxw^œ^^
Fig. 6.2. - Définition de l'ampère.
Fi crée au niveau de F2 un champ de module Bx = ju0 ïi/2nr. Ce champ
exerce sur un tronçon AC de longueur a une force de Laplace qui est attractive
si les courants sont de même sens. Le module de cette force est :
F = IaB^H^Ia- (6.2)
27T r
En introduisant dans cette formule les conditions qui définissent l'ampère
(Ii = I2 = 1 A, r = 1 m, F/a = 2.10"7 N.mf * ), on voit que la valeur exacte de
Ho découle de la définition de l'ampère : fi0 = 47T.10"7 SI. Pour des raisons
qui nous apparaîtront ultérieurement, ii0 s'exprime dans le SI en henry par
mètre :
Mo=4 7r.lO"7Hjn"1 (6.3)
6.4. Propriétés du champ magnétostatique d'un fil rectiligne.
Nous avons vu en électrostatique que les propriétés fondamentales du
champ E peuvent s'exprimer à l'aide des notions de flux et de circulation,
il est donc naturel que nous examinions le flux et la circulation du champ
magnétostatique dans quelques cas simples tels que celui d'un fil rectiligne.
• Flux de B.
Soient F un fil rectiligne indéfini parcouru par un courant d'intensité
I et dT un tube élémentaire du champ créé par F (fig. 6.3).

94
MAGNÉTOSTATIQUE
F 0
Fig. 6.3. - Le flux de B est conservât if.
dT a une section constante, B a même norme en tout point d'une ligne
de champ, ce tube transporte donc un flux constant. Soit S une surface fermée
quelconque, dT découpe sur S un nombre pair d'éléments de surface : dSl3
dS2,dS3,dS4 ...
Le flux qui sort de S à travers dSx, dS2, dS3, dS4 ... est la somme d'un
nombre pair de termes de même module et de signes alternés, il est donc nul.
Pour calculer le flux total qui sort de S, on peut décomposer S en éléments
semblables aux précédents, on a donc :
*
B • dS = 0, VS.
Notons tout de suite que cette propriété distingue le champ magnétostati-
que du champ électrostatique. Comme l'indique le théorème de Gauss, ce n'est
que dans une région vide de charges que le flux du champ électrostatique
sortant d'une surface fermée est nul.
• Circulation de B.
Calculons la circulation du champ magnétostatique le long d'un contour
quelconque C enlaçant le fil représenté sur la figure 6.1 et orienté de manière
telle qu'un tire-bouchon dont le manche tourne dans le sens positif de C
progresse le long du fil dans le sens positif choisi pour compter l'intensité
(fig. 6.1). Le calcul est immédiat, compte tenu de la formule (6.1) et de
l'expression en coordonnées cylindriques du déplacement élémentaire d/ :
B.d/
Mo I
, Z7T r
(dr ur + rdd uQ + dz uz) =
Mol (*)
Ce résultat fait apparaître une différence essentielle avec le cas du champ
électrostatique :1a circulation de B n'est pas conservative.
Nous admettrons que l'étude expérimentale d'autres champs magnétiques
simples (solénoïdes, spires...) conduit en ce qui concerne le flux et la
circulation du champ magnétostatique à des résultats identiques à ceux que nous
venons d'obtenir pour le fil rectiligne, de telle sorte qu'il est raisonnable
d'adopter ces résultats comme postulats de la magnétostatique.
(*) Si le contour C enlace p fois le fil dans le sens positif, on obtient p /Iq I. La
circulation obtenue est nulle si C n'enlace pas le fil. Noter également que I = 0 ne signifie
pas nécessairement que C n'est traversé par aucun courant : plusieurs courants peuvent
se compenser et conduire à 1= 0.

POSTULATS DE LA MAGNÉTOSTATIQUE
95
6.5. Postulat relatif au flux de B.
Nous admettons que le flux du champ magnétostatique à travers une surface
fermée S quelconque est nul :
,VS
(6.4)
Notons tout de suite que l'étude ultérieure de l'électromagnétisme nous
apprendra que (6.4) caractérise tout champ magnétique et pas seulement un
champ magnétostatique : le champ B est à flux conservatif Une telle locution
est bien justifiée car, en raisonnant comme au § L8 à propos de l'intensité en
régime permanent, on déduit de (6.4) que le flux magnétique se conserve le
long d'un tube de champ. De même, on peut définir le flux magnétique à
travers un contour Q sans avoir à préciser la surface S utilisée pour calculer ce
flux(V. §7.2).
Précisément en raison de son caractère conservatif, le flux magnétique
joue un rôle important ; noté <ï>, il s'exprime dans le SI en weber (Wb) (*).
• Forme locale du postulat.
L'expression (6.4) peut être transformée en intégrale de volume de la
divergence de B à l'aide de la formule d'Ostrogradski. L'intégrale devant être
nulle pour un volume quelconque, on en déduit une relation locale appelée
équation de conservation du flux magnétique :
V.B = 0
(6.5) ou (M$)
Cette équation, d'ailleurs valable en régime variable aussi bien qu'en régime
permanent, est l'une des équations de Maxwell, d'où la notation M<£>
(équation de Maxwell relative au flux magnétique) que nous utiliserons parla suite.
Remarque :
Rappelons qu'une relation analogue à (6.5) caractérise tout champ à flux
conservatif, c'est ainsi par exemple que la conservation en régime permanent de
l'intensité (flux de la densité de courant) s'exprime par l'équation locale :
V . ; = 0
(1.7)
6.6. Postulat relatif à la circulation de B.
Nous admettons que, I désignant l'intensité qui traverse un contour C, la
circulation du champ magnétostatique le long de C est donnée par une relation
appelée traditionnellement théorème d'Ampère de la magnétostatique (**) :
(6.6)
(*) Wilhelm Eduaid Weber, physicien allemand (1804-1891).
(**) Cette relation est ici un postulat. La dénomination théorème provient d'un autre
mode d'exposé de la magnétostatique dans lequel (6.6) est déduit d'une autre base : la
formule de Biot et Savait que nous verrons au § 8.2.

96
MAGNÉTOSTATIQUE
Il faut bien noter que l'intensité I qui figure dans (6.6) a un signe défini
sans ambiguité par le fait qu'elle est le flux à travers une surface S s'appuyant
sur C de la densité de courant ; :
(6.7)
Exemple :
Calculons la circulation de B le long du contour représenté sur la figure 6.4.
13
??:•:•:
:::::rv;^.-->r:::::::-: -:X
dl C
Fig. 6.4. - Théorème d'Ampère.
L'orientation de S étant déduite de celle de C par la règle du tire-bouchon,
une intensité est comptée positivement si elle sort par la face + de S. On a
donc :
<j> B.d/ = Mo JT /-dS = /io(Ii -Ï3+l3-l2)=lMIi -I2)
On constate que seuls les circuits (1) et (2) qui sont enlacés par C
contribuent à la circulation.
On peut se demander si, de la même manière que pour celui relatif au flux,
le postulat relatif à la circulation reste valable en régime variable. L'examen de
(6.6) montre qu'il n'en est rien : ce n'est qu'en régime permanent que l'on
peut définir sans ambiguité l'intensité qui traverse un contour C ; en régime
variable, la valeur de I dépendrait de la surface S qui est choisie pour la
calculer, de telle sorte qu'une relation telle que (6.6) ne pourrait plus garder une
signification univoque. Nous verrons ultérieurement que le théorème d'Ampère
s'étend aux régimes variables, mais en ajoutant un terme supplémentaire dans
le second membre de ( 6.6).
• Forme locale du postulat.
En transformant (6.6) à l'aide de la formule de Stokes et en exprimant I
à l'aide de (6.7), on obtient :
jj ( V AB).dS=Mo jj ;.dS

POSTULATS DE LA MAGNÉTOSTATIQUE
97
Cette égalité devant être réalisée pour une surface S quelconque, on en
déduit une relation locale appelée équation de Maxwell-Ampère de la magné-
tostatique :
VAB-Mo/ (6.8)ouMAs
On sait que la divergence d'un rotationnel est nulle (formule F3) ; en
prenant la divergence de (MA,), on en déduit que la divergence de la densité de
courant est nulle, ce qui est bien exact en régime permanent mais pas en régime
variable en raison de l'équation de conservation de la charge (1.6) :
j dt
Cette remarque confirme ce que nous avions déjà noté à propos de la forme
intégrale du même postulat : de la même manière que le théorème d'Ampère,
l'équation de Maxwell-Ampère doit être «retouchée» en régime variable.
6.7. Analogie magnétostatique-hydrodynamique.
Comme on l'établit en mécanique des milieux continus (v. MÉCANIQUE 2,
§ 2.4), au sein d'un fluide le champ v (r) des vitesses et le champ £2 (r) des
tourbillons sont liés par la relation :
VAz; - 20, (6.9)
Si le fluide est de plus incompressible, on a :
\.v = 0 (6.10)
On note que la liaison v (O) exprimée par (6.9) et (6.10) est formellement
identique à la liaison B (/') traduite par les équations de Maxwell de la magné-
tostatique (MA$ et M<ï>). Cette remarque permet de résoudre certains
problèmes par simple substitution ; par exemple, le champ v (r) appelé vortex est le
correspondant exact du champ B (r) d'un fil rectiligne illimité.
Historiquement, cette analogie a guidé les fondateurs de Félectromagnétisme (première
moitié du 19ème siècle : Ampère, Faraday, Maxwell...). Ces derniers avaient reçu un
enseignement d'hydrodynamique (science développée à partir du milieu du 18ème siècle). Dans
le langage imagé de l'époque, ils qualifiaient le champ B(r)de tourbillonnaire : il
«tourbillonne» autour de sa «source» (les courants électriques caractérisés par le champ/(r)).
6.8. Contenu physique des équations de Maxwell des régimes
permanents.
Récapitulons les résultats obtenus :
• Equation de conservation du flux magnétique :
V.B = 0 (M$),
le flux de B est conservatif.
• Equation de Maxwell-Ampère de la magnétostatique :
VAB=/Zo/ (MA,),

98
MAGNÉTOSTATIQUE
la circulation du champ magnéto statique n 'est pas conservative en présence de
courants.
Rappelons également que le champ électrique E en régime permanent
satisfait aux mêmes équations locales que le champ électrostatique (Ce point sera
repris au chapitre 11) :
• Equation de Maxwell-Faraday :
V A E = 0 (MF,),
la circulation du champ électrique permanent est conservative ;
m Equation de Maxwell-Gauss :
V . E - — (MG)
le flux du champ E n'est pas conservatif en présence de charges.
Les résultats ci-dessus ne font en fait que traduire des propriétés
fondamentales qui sautent aux yeux à l'examen de n'importe quelle carte d'un champ
permanent. Comparez les tracés de lignes de champ électrique (ch. 6 de
MÉCANIQUE 1) avec les champs magnétiques représentés sur les figures 6.5 et 6.6.
• Les lignes de E sont issues de charges positives et aboutissent sur des charges
négatives (MG), ce ne sont pas des courbes fermées (MF,).
Fig. 6.5 - Champ magnétique de deux spires de même rayon R, de même axe, distantes
de R et parcourues dans le même sens par la même intensité (tracé par ordinateur). Ce
dispositif, appelé bobines de Helmholtz tst étudié dans l'exercice 9.2. Son intérêt est de
produire un champ quasi-uniforme dans la région du centre de symétrie du système. On
constate sur la figure que les lignes de champ sont en effet assimilables à des droites
parallèles dans une région assez vaste. On note en revanche la structure tourmentée du
champ à l'extérieur de la bobine (existence notamment de lignes de champ singulières
passant par un point double où B = 0).

POSTULATS DE LA MAGNÉTOSTATIQUE
99
• Les lignes de B ne divergent pas à partir de points sources qui joueraient à
cet égard un rôle de charge magnétique analogue à celui des charges électriques
pour le champ E (M<I>), ce sont des courbes fermées qui tournent autour des
courants qui sont la source du champ (MA^).
Remarque :
On peut noter à ce propos la signification étymologique des termes divergence et
rotationnel : le champ E diverge à partir de sa source p, (V -E = p/e0) le champ B
tourbillonne autour de sa source / (V À B = jUq /).
Fig. 6.6. - Champ d'une bobine constituée de 4 spires coaxiales équidistantes parcourues
dans le même sens par la même intensité (tracé par ordinateur). Près d'une spire, on
observe une ligne entourant celle-ci ; plus à l'écart une ligne enlace 2 spires ; plus
loin encore, elle enlace les 4 spires. A l'intérieur du système, la carte du champ se
rapproche de la structure classique de celui du solénoïde (V. fig. 9.4). Sur cette figure
comme sur la précédente, on note qu'un tire-bouchon dont le manche tourne dans le
sens du champ magnétique a sa pointe qui progresse dans le sens du courant.
* 6.9. Utilisation d'un micro-ordinateur
pour le tracé de lignes de champ.
Ce bref complément est destiné à indiquer au lecteur comment ont été tracées les cartes
de champ ci-dessus ainsi que, plus généralement, celles qui illustrent nos ouvrages parus
dans cette collection.
Soient X et Y les variables associées aux coordonnées (x, y) d'un point de la feuille de
papier et soit a un champ vectoriel dont nous savons expliciter les coordonnées ax (x, y)
et ay (x, y), coordonnées que nous représenterons dans un programme par les variables U
etV.
En chaque point d'une ligne de champ, le vecteur déplacement élémentaire d/ (dx, ày)
et le champ a (ax, ay) sont colinéaires, d'où l'équation différentielle des lignes de champ :
dx ây

100
MAGNÉTOSTATIQUE
En partant d'un point dont les coordonnées (X0, Y0) sont choisies par l'utilisateur, il
est facile de concevoir un programme qui intègre (6.11) numériquement : après avoir
choisi un pas de calcul H, chaque itération incrémentera X de H.U et Y de H.V (méthode
d'Eulef). En PASCAL par exemple, ce principe conduit au programme très simple ci-dessous :
program euler ;
var
X, Y, X0, Y0, U, V, H : real ;
arrêt : boolean ;
procédure entrées ;
begin
writeln ('coordonnées du point de départ' :') ;
write ('X0 :') readln (X0) ;
write ('YO :') ; readln (YO) ;
write ('pas de calcul H :' ; readln (H) ;
end ;
procédure lecture-champ ;
begin
(^expressions explicites U (X, Y) et V (X, Y) du champ étudié *)
end ;
procédure incrémentation ;
begin
X : = X + H * U ;
Y: = Y + H* V;
end ;
procédure stop-éventuel ;
begin
(* instructions qui donnent la valeur true au booléen arrêt sous certaines conditions :
dépassement du bord de la feuille, passage par un point de champ nul ou non défini... *)
end ;
procédure trace ;
begin
(* ici ordre un graphique qui envoie le curseur au point X, Y *)
end ;
(* programme principal *)
begin
entrées ; X : = X0 ; Y : = YO ; arrêt : = false ;
repeat
lecture-champ ; incrémentation ; stop-éventuel ; trace ; until arrêt ;
end.
La méthode d'Euler décrite ci-dessus présente l'avantage d'être fondée sur un principe
tout à fait élémentaire. En revanche, elle est peu performante (nécessité d'utiliser des pas
faibles, et donc des temps de calcul importants, pour obtenir des tracés fiables. Dans des
logiciels plus élaborés, on lui substitue des méthodes numériques fondées sur des
développements limités plus poussés : méthodes d'Adams-Bashforth, de Runge-Kutta...

CHAPITRE 7
POTENTIEL-VECTEUR
Dans ce chapitre, nous introduisons un champ vectoriel A ( r), appelé potentiel-vecteur,
qui joue vis-à-vis du champ magnétostatique B if) un rôle analogue à celui du champ
scalaire V (r) vis-à-vis du champ électrostatique E (r). Toutefois, A n'a pas comme V une
signification énergétique immédiate, il en résulte que l'interprétation physique de A est
moins évidente. L'intérêt du potentiel-vecteur apparaîtra dès le chapitre suivant, quand
nous verrons qu'il constitue un intermédiaire pour le calcul du champ magnétostatique
d'une distribution de courants connue. De plus, nous verrons ultérieurement que la notion
de potentiel-vecteur est essentielle pour l'étude des champs électriques non permanents.
7.1. Introduction de A.
Nous savons que divergence d'un rotationnel est nulle (formule F3) :
b = V Aa =» V .b = 0
Réciproquement, on démontre en mathématiques que si un champ B est à
divergence nulle, on peut trouver au moins un champ A dont il est le
rotationnel. Le champ magnétostatique vérifiant l'équation de conservation du flux
magnétique V . B = 0 (M<ï>), on en déduit qu'il existe au moins un champ
vectoriel A (r) tel que :
B = V AA
(7.1)
Tout champ vérifiant (7.1) est appelé potentiel-vecteur du champ B. Notons
que (7.1) montre que A s'exprime dans le SI en tesla-mètre, (T .m). H est peu
usuel de calculer des valeurs numériques de A, mais il est intéressant
de pouvoir contrôler l'homogénéité des formules où figure A.
7.2. Expression du flux magnétique en fonction de A.
La relation (7.1) permet de transformer l'expression du flux magnétique à
travers une surface S s'appuyant sur un contour C :
$ = (T B.dS = if ( VAA).dS
En transformant la dernière intégrale à l'aide de la formule de Stokes, on
voit que le flux magnétique à travers une surface qui s'appuye sur un contour
est égal à la circulation du potentiel-vecteur le long de ce contour :
(7.2)

102
MAGNÉTOSTATIQUE
Le caractère conservatif du flux magnétique apparaît de manière
particulièrement manifeste sur (7.2) : $ ne dépend que de C et pas du choix de la
surface S.
7.3. Inde termina tion de A.
Il est immédiat que (7.1) ne définit pas de manière univoque un potentiel
d'un champ B (r) donné. Supposons que nous connaissions déjà un potentiel,
c'est-à-dire un champ A& tel que :
B = V AAo
Le rotationnel d'un gradient étant nul (formule F2), on voit tout de suite
qu'on engendre un nouveau potentiel A en ajoutant à Aq le gradient d'un
champ scalaire <£ (r) quelconque :
A - Ao + V</> (7.3)
=» VAA = VAAo + 0 = B
Cette indétermination du potentiel-vecteur n'a rien de fâcheux, bien au
contraire ! On peut en effet profiter de la liberté autorisée dans le choix de A
pour chercher à imposer au potentiel-vecteur une condition supplémentaire,
dite condition de jauge qui est choisie en fonction de la simplification qu'elle
apporte dans les calculs ultérieurs. En magnétostatique, il se révèle fructueux
de choisir la jauge :
V . A = 0
(7.4)
Il reste à montrer qu'il est toujours possible de trouver un potentiel-vecteur
vérifiant cette condition. Le problème est le suivant : nous disposons déjà d'un
potentiel A0 ne vérifiant pas (7.4) et nous désirons trouver un autre potentiel
A tel que V • A = 0. La relation (7.3), dite précisément de transformation de
jauge, nous permet d'engendrer à volonté de nouveaux potentiels. Si on
introduit la condition recherchée :
0= V . A = V.A0+V.(V</>)= V2cp+ V.A0
on voit compte tenu de la formule Fj que l'on est ramené à calculer <p(r) à
partir du champ scalaire connu V • A0 en résolvant une équation
mathématiquement identique à l'équation de Poisson dont nous avons indiqué au § 3.4
comment elle peut être résolue.
Remarque :
Il ne faudrait pas croire que la condition de jauge suffit à assurer l'unicité
de A. Ce n'est pas en général le cas et, comme nous l'avons expliqué, cette
unicité n'est pas le but recherché. Pour illustrer ces considérations, nous allons
traiter un exemple important :
* 7.4. Potentiel-vecteur d'un champ uniforme.
Il est souvent fructueux d'utiliser comme expression du potentiel-vecteur d'un champ
magnéto statique uniforme :
A=-BAr
2
(7.4)

POTENTIEL-VECTEUR
103
Vérifions que A est bien un potentiel-vecteur de B en prenant par exemple des
coordonnées cartésiennes telles que B = B uz :
V A A
dx
A
-By/2
Bx/2
0
= B
B
2
V . A
-3W2
Bx/2
0
De plus, ce potentiel vérifie bien la condition de jauge :
_3_
dx
_9_
_a_
dz
Remarque :
Avec un peu d'habitude de l'analyse vectorielle, ces mêmes calculs peuvent être conduits
directement en utilisant les formules F9 et F g dans lesquelles les dérivations relatives à
un champ uniforme disparaissent :
V A (B A r) = ( V . r) B - (B. V ) r = 3B - B = 2B
V . (B Ar) = -B.(VAr) = 0
On peut noter que, formellement, ce calcul est le même que celui qui montre que le
champ des vitesses d'un solide de vecteur-rotation cj a une divergence nulle et un
rotationnel 2w (v. § 0.3).
L'expression (7.4) montre que, une origine O étant choisie, les lignes de A sont des
cercles qui tournent autour du champ B dans un sens correspondant à la règle du tire-
bouchon. En utilisant des coordonnées cylindriques (fig. 7.1), on a en effet :
1 /-B
A = - B uz A (rur+ z uz) = — Uq
2 2
(7.5)
Fig. 7.1. - Potentiel-vecteur d'un champ uniforme.

104
MAGNÉTOSTATIQUE
On vérifie que la circulation de A le long d'un cercle d'axe Oz est bien égale,
conformément à (7.2), au flux magnétique à travers ce cercle :
A . 2iïr = —. (2irr) = nr2B
2
En fait, nous conseillons de mémoriser (7.4) à l'aide de cette propriété et de la figure 7.1.
Notons que l'indétermination du potentiel-vecteur d'un champ uniforme ne porte pas
seulement sur le choix de l'origine O, d'autres expressions que (7.4) peuvent également
convenir. Le lecteur constatera par exemple que les champs A = xBUy et A = — yBux
font l'affaire, en vérifiant V*A=0 et VAA=B.
7.5. Equation de Poisson de la magnétostatique.
Pour obtenir l'équation de Poisson de l'électrostatique :
V2V + — = 0, (3.5)
nous avions introduit le potentiel V dans l'équation de Maxwell-Gauss. De
manière analogue, introduisons le potentiel A dans l'équation de Maxwell-
Ampère (6.8) :
VA(VAA) = Mo/'
soit, compte tenu de la formule F4 :
V(V.A) - V2A = Mo;
On voit sur cette dernière expression l'avantage qu'il y a à adopter la
condition V . A = 0 ; avec ce choix de jauge, le potentiel-vecteur vérifie une relation
locale analogue à (3.5) qui est appelée équation de Poisson de la
magnétostatique :
I V2 A + Mo; = 0
EXERCICE
7.1. Quantité de mouvement généralisée
1) On considère le mouvement d'une particule (masse m charge q) dans un champ
magnétique uniforme permanent B auquel on superpose un champ électrique E permanent
dérivant d'un potentiel à symétrie sphérique de centre O.
a) Soit A le potentiel-vecteur associé à B. A quoi est homogène la grandeur qA ?
b) On prend A = — BÀr où r = OM est le vecteur position de la particule. Vérifier
que la composante sur B du vecteur r A (p + q A) où p est la quantité de mouvement
de la particule est une constante du mouvement.
Exprimer cette propriété en utilisant des coordonnées cylindropolaires (Oz II B).
Examiner le cas où E = 0.
2) Montrer que la propriété établie en 1. b) est encore vérifiée pour un champ
magnétostatique B (r) possédant la symétrie de révolution autour de Oz. (voir aussi l'exercice
10.10). On montrera que A ne possède dans ce cas qu'une seule composante.
(7.6)

CHAPITRE 8
RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE LA MAGNÉTOSTATIQUE
Dans ce chapitre, on se propose de résoudre le problème le plus général de la magnéto-
statique, c'est-à-dire de déterminer le potentiel-vecteur A (M) et le champ magnéto statique
B (M) d'une distribution de courants de densité/ (S) connue (fig. 8.1).
(D)
M
A (M)
B(M)
«point d'observation»
(éventuellement contenu
dans D)
SM^rtf
«point source»
Fig. 8.1. - Potentiel et champ d'une distribution de courants.
8.1. Expression générale du potentiel-vecteur magnétostatique.
De l'équation de Poisson de la magnétostatique (7.6), on peut déduire
que les coordonnées cartésiennes des champs A et j vérifient respectivement
trois équations telles que :
V2 Ax+Vofx = 0 (8.1)
Chacune de ces équations est mathématiquement identique à l'équation de
Poisson de l'électrostatique. Par simple substitution, on déduit des résultats
du § 3.4 que, si D est d'extension finie, chaque équation (8.1) a comme
solution nulle à l'infini :
A* =
Mo
4tt JJJ
Jx dr
En regroupant trois équations semblables, on en déduit l'expression
générale du potentiel-vecteur d'une distribution de courants permanents d'extension
finie :
(8.2)
l'intégrale étant étendue indifféremment à D ou à tout l'espace.

106
MAGNÉTOSTATIQUE
Remarque :
Cette expression ne vaut que pour une distribution d'extension finie, ce qui
est bien le cas d'une distribution réelle. En revanche, le potentiel engendré par
certaines distributions idéalisées (fil ou solénoïde indéfini...) ne peut pas être
calculé par (8.2). Dans des cas semblables, on est contraint de calculer B
directement à partir des équations de Maxwell M<ï>et MA5 et d'en déduire A.
* Calcul de la divergence du potentiel-vecteur précédent.
Pour que le champ magnétique déduit de (8.2) par B = V A A corresponde bien à la
distribution D, il faut que l'expression (8.2) vérifie bien la condition de jauge V» A = 0.
Ceci n'est pas évident a priori mais nous allons montrer qu'il en va bien ainsi.
Pour bien préciser le calcul qui suit nous noterons par les indices M et S
respectivement les dérivations qui sont relatives aux coordonnées du point d'observation M et à
celles du point source S (fig. 8.1). En intervertissant les dérivations qui portent sur M
et une intégration relative à S :
VM.A = —
Mo
47T J,
'M
âr
L' J
En appliquant la formule F6 et en tenant compte de ce que/ est une fonction de S :
'M
;
'M
- Vs. -
Pour écrire la dernière égalité, on a utilisé à nouveau F6 et tenu compte de ce que, en
régime permanent Vg./ = 0. On peut maintenant utiliser la formule d'Ostrogradski :
VM.A
^o
47T
y.ds
2°<> étant par exemple une sphère centrée sur D et dont le rayon tend vers l'infini. Si
D est d'extension finie,/ est partout nul sur Zjoo et l'on a bien :
VA = 0
8.2. Expression générale du champ magnéto statique.
Prenons le rotationnel en M de l'expression (8.2). En intervertissant
l'intégration relative au point source S et la dérivation relative au point
d'observation M :
B(M) = VM A
Mo fff/'(S)dr
L47T
VM A
m
dr
En utilisant la formule F7
y (s)
VM A
L r
= -[ vMA/(S)] + vJr-) a y (S)
Le premier terme est nul (dérivation en M d'une fonction de S). Nous
connaissons par ailleurs l'expression du gradient de la fonction \\r (0.16),
en notant u un vecteur unitaire dirigé de S vers M :
Vm(-) =
U
~r2

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE LA MAGNÉTOSTATIQUE
107
En définitive, abandonnant les indices S et M devenus superflus, nous avons
obtenu l'expression générale du champ magnétostatique d'une distribution de
courants permanents d'extension finie connue sous le nom de loi de Biot et
Savart :
(8.3)
Comme nous l'avons vu au § 1.9, les expressions similaires pour une
distribution superficielle {nappe de courant) et pour une distribution linéique
{circuit filiforme) se déduisent de (8.3) par simple substitution de /dS ou Id/ à
ydr. C'est en fait l'expression relative à un circuit filiforme C qui fut déduite en
1820 par Laplace des observations expérimentales de Biot et de Savart (*) :
B =
Ho ÇÇ
4rr IL
c
J
A
»
~2
dr
(8.4)
* 8.3. Analyse de la relation de Biot et Savart.
La relation (8.3) a pour homologue l'expression (3.8) du champ créé par une
distribution de charges p (r) :
u
47T6r
Nous savons que, pour une distribution de charges fixes, (3.8) ne représente rien
d'autre que la forme intégrale de la loi de Coulomb :
1
47T6r
U
On peut se demander si, de la même manière, la relation de Biot et Savart ne
représente pas plus qu'une simple formule qui ne donne un résultat correct qu'après intégration
sur toute la distribution considérée. On peut chercher à faire apparaître une signification
locale de (8.3) en exprimant la densité de courant en fonction de la densité particulaire
n des porteurs et de leur vitesse v, soit : j = nq v. On voit alors que l'on retrouverait bien
(8.3) si le champ créé par une particule de vitesse v était donné par :
B
0l
47T
U
qv a —.
(8.5)
Dans l'appendice A (§ A.8) (v. fin de ÉLECTROMAGNÊTISME 2) relatif à la
formulation relativiste de l'électromagnétisme, nous établissons effectivement une expression
identique à (8.5), mais uniquement pour le champ créé par une charge dont le mouvement est
non relativiste (v < c) et non accéléré (c'est-à-dire rectiligne et uniforme). En revanche,
la loi de Biot et Savart (8.3) ne suppose rien sur les vitesses et les accélérations
individuelles des charges qui créent le champ, elle reste valable pourvu que la densité de courant
qui traduit macroscopiquement le mouvement des charges soit indépendante du temps.
Il faut enfin noter une différence essentielle entre les deux expressions : le champ
donné par la loi de Biot et Savart (8.3) est un champ permanent alors que (8.5) décrit
un champ dont la valeur en M varie au cours du temps, la position S de la charge source
changeant au cours du mouvement de celle-ci.
(*) Pierre Simon Laplace (1749-1827) ; Jean Baptiste Biot (1774-1862) ; Félix Savart
(1791-1841).

108
MAGNÉTOSTATIQUE
8.4. Méthodes de calcul d'un champ magnétostatique.
• Calcul direct :
On utilise la relation de Biot-et Savart sous la forme (8.3) ou (8.4) suivant
la nature de la distribution. Ceci conduit en principe à trois intégrations
scalaires, des considérations de symétrie pouvant éventuellement réduire ce nombre.
• Calcul à partir du potentiel :
On calcule A par (8.2) et on déduit tout de suite B = V A A. Cette
méthode qui comporte en général trois intégrations scalaires suivies de six dérivations
est rarement préférable pour l'étude de cas élémentaires. Notons de plus qu'elle
est inadaptée si l'on ne cherche que le champ en un point déterminé puisqu'elle
demande d'avoir calculé le potentiel dans toute une région avant de pouvoir
effectuer les dérivations qui conduisent au champ.
• Utilisation du théorème d'Ampère :
Quand la distribution étudiée présente des symétries suffisantes, il est
parfois possible de connaître a priori la carte du champ. Le théorème d'Ampère,
appliqué à un contour judicieusement choisi, peut alors conduire à une
solution élégante. Cette méthode, analogue à l'utilisation du théorème de Gauss en
électrostatique, se révèle toujours être la plus simple quand il est possible de la
mettre en œuvre ( v. le chapitre suivant).
8.5. Considérations de symétrie.
Considérons un fil indéfini uniformément chargé. On dira couramment que
la symétrie de cette distribution impose au champ E dont elle est la source
d'être radial (fig. 8.2.a). Mais si nous examinons le courant rectiligne indéfini
de la figure 8.2.b, on dira alors que son champ magnétique B est orthoradial,
toujours «par raison de symétrie» ! Cet exemple montre qu'il convient d'être
précis en ce qui concerne les arguments de symétrie.
Généralisons la démarche que nous avions abordée en mécanique en
première année (MÉCANIQUE 1, § 6.13). Imaginons que l'on transforme une
distribution D par une isométrie T :
• Dans le cas d'une distribution de charges p et du champ E dont elle est la
source, nous admettons que l'invariance de D dans T entraîne celle du champ.
Plus précisément la carte du champ est invariante dans T, soit de manière
symbolique :
T(p) = p =>T(E) = E (8.6)
Pour rappeler l'intérêt de ce genre de considération, revenons au cas de la
figure a. La distribution considérée étant invariante dans la symétrie Sp par
rapport au plan P, on peut en déduire que le champ au point M l'est aussi ;
un vecteur invariant dans une symétrie par rapport à un plan appartenant
nécessairement à ce plan, on en déduit que E (M) est contenu dans P.
Considérant de même la symétrie par rapport au plan Q, on établit que E (M) appartient
aussi à ce plan. Nous avons ainsi établi son caractère radial.
• Dans le cas d'une distribution de courants j et du champ B dont elle est la
source, nous admettons que la règle est la même que pour un champ électrique
si l'isométrie considérée est positive. En revanche, nous admettons que, s/ une

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE LA MAGNÉTOSTATIQUE
109
distribution de courants est invariante dans une isométrie négative, le champ
magnétique qu'elle engendre est chargé en son opposé par cette isométrie. De
manière symbolique :
T+(0=; * T+(B) ^B
T_(0 =î =* T.(B) = -B
(8.7)
Appliquons ceci à la situation de la figure b. La distribution de courants
considérée étant invariante dans la symétrie Sp par rapport au plan P
(isométrie négative), on en déduit que Sp change B (M) en son opposé. Or un vecteur
ne peut être changé en son opposé par une symétrie par rapport à un plan que
s'il est normal à ce plan, nous avons ainsi établi le caractère orthoradial de B (*).
Fig. 8.2.
Il reste à comprendre l'origine de la différence entre les «règles de symétrie»
(8.6) et (8.7). Le comportement particulier du champ magnétique dans les
isométries négatives résulte de son caractère pseudovectoriel (§ 2.2) :1a
définition de B fait intervenir un produit vectoriel dont le sens dépend d'une
convention d'orientation de l'espace.
Remarque 1 :
En revanche, le potentiel-vecteur se comporte dans les symétries comme un vrai vecteur
comme l'indique par exemple une expression telle que (8.2) qui relie A à / qui est par
nature un vrai vecteur.
Remarque 2 :
Le champ dans les situations a et b se calcule en utilisant respectivement le théorème
de Gauss appliqué au flux de E sortant d'un cylindre d'axe Oz et le théorème d'Ampère
relatif à la circulation de B le long d'un cercle d'axe Oz. On peut toutefois noter que l'on
retrouve les propriétés de symétrie des deux champs si on songe à exprimer pour chaque
(*) Attention à éviter une erreur de raisonnement : en raison de l'existence d'un courant
le long du fil, la distribution n 'est pas invariante dans Sq.

110
MAGNÉTOSTATIQUE
champ Vautre propriété fondamentale :
- Pour la figure a, une éventuelle composante orthoradiale engendrerait une circulation
non nulle le long d'un cercle d'axe Oz, ce qui est en contradiction avec le caractère conser-
vatif de la circulation de E.
- Pour la figure b, une éventuelle composante radiale engendrerait un flux non nul à
travers un cylindre d'axe Oz, ce qui serait en contradiction avec le caractère conservatif du
flux de B.
8.6. Nappe de courant plane.
L'étude de cette distribution illustre très bien l'intérêt des considérations de symétrie
La nappe est définie par la densité superficielle de courant (A.m"1) i
répartie sur tout le plan z = 0 (fig. 8.3).
/ Uy uniformément
B' = -B
Fig. 8.3. - Nappe de courant plane.
M étant un point quelconque, la distribution est invariante dans la symétrie par rapport
au plan (M, uy, uz). B (M) devant être changé en son opposé par cette symétrie (isométrie
négative), on en déduit qu'il est normal à ce plan. De plus, en raison de son caractère
illimité, la distribution est invariante dans toute translation de direction ux ou Uy ; le champ
en un point est donc indépendant des coordonnées x et y. On cherche donc a priori un
champ de la forme :
B = B (z) ux
De plus, la nappe étant invariante dans une symétrie par rapport à son propre plan, on
en déduit B (—z) = — B (z). La carte du champ étant maintenant entièrement connue, il est
facile de voir qu'il est fructueux de choisir comme «contour d'Ampère» un rectangle C
de côtés 2z et h dont l'orientation est choisie de façon à ce que l'intensité qui le traverse
soit comptée positivement : I = hi. La circulation du champ le long de côtés parallèles
à uz est nulle, il reste :
hB(z) -hB(-z) = 2 h B (z) = fl0 h i

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE LA MAGNETOSTATIQUE
111
En définitive, on voit que le champ est uniforme dans chaque demi-espace limité par la
nappe ; pour z > 0, on a B = /i0 / ux/2. Adoptant des notations plus intrinsèques (fig. 8.4),
on en retient le résultat sous la forme (*) :
(8.8)
On voit que la nappe plane de courant est en quelque sorte l'homologue du plan chargé
dont le champ est :
I G) « C0 (•) (•) (♦) 0) (•) (•) 0) (•) (♦) 0) I
0/ T
1 t
+ + + + + + + + + + + + + +
a
Fig. 8.4. - Nappe plane et plan chargé.
8.7. Discontinuité de B à la traversée d'une nappe de courant.
En première année (MÉCANIQUE 1, § 6.15), nous avons établi que le champ
électrostatique subit à la traversée d'une surface chargée une discontinuité :
E-
f
-E =
a
e0
n
L'analogie qui vient d'être notée entre nappe plane et plan chargé nous suggère la
démarche à suivre pour calculer la discontinuité du champ magnetostatique à la traversée
d'une nappe de courant quelconque. Considérons un élément dS de la nappe et deux
points M et Mf symétriques par rapport à dS et suffisamment voisins pour que dS soit vu
de chacun sous un angle solide 27T, c'est-à-dire comme une nappe plane (fig. 8.5). Dans
les champs B et B' en M et M', on distingue la contribution (1) due à dS et celle (2) due à
tous les autres courants (portés ou non par la nappe). Les champs de type (1) étant
calculables par (8.8) :
Mo'
Bj = A n
B'i
Mo'
A n
Fig. 8.5. - Discontinuité de B.
dS
B
De plus, pour les champs du type 2, les points M et M' peuvent être confondus :
B2. On en déduit la relation cherchée :
B - B' = fi0 i a n
(8.9)
(*) Le sens du champ obtenu se vérifie une fois de plus par une «règle du tire-bouchon » :
un tire-bouchon progresse le long des lignes de courant quand son manche tourne dans le
sens du champ.

112
MAGNÉTOSTATIQUE
8.8. Tableau récapitulatif relatif aux champs permanents.
Nous allons récapituler les connaissances acquises jusqu'ici en mettant en
parallèle les propriétés homologues pour un champ électrique permanent E (r)
de source p (r) et pour un champ magnétique permanent B (r) de source ; (r).
Propriété intrinsèque du champ.
E . d/ = 0 <tt> B . dS = 0
Circulation conservative
VAE = 0
Maxwell-Faraday (MF^)
Lien entre le champ et sa source.
Flux conservatif
V . B = 0
Conservation du flux (M$)
#
E . dS = —
e0
Gauss
V.E
eo
Maxwell-Gauss (MG)
p B . d/ = Mo I
Ampère
V A B = Mo /'
Maxwell-Ampère (MAS)
Champ d'une distribution d'extension finie
47re0
p dr
4tt
B= Mil/drA4
Biot et Savart
E = - V V
V2V + —
e0
Définition du potentiel.
B = V AA
Equation de Poisson.
0 V2A + Mo/ = 0 (*)
Potentiel d'une distribution d'extension finie.
V
p àr
47re0
A =
Mo
47T
j dr
(*) Compte tenu du choix de la jauge V . A = 0.

CHAPITRE 9
CALCUL DE QUELQUES CHAMPS MAGNÉTOSTATIQUES
Ce chapitre traite un certain nombre de calculs relatifs à des distributions classiques.
L'essentiel n'est pas d'obtenir un catalogue de résultats mais d'illustrer la diversité des
méthodes qui permettent de calculer le champ et le potentiel-vecteur d'une distribution
de courants connue. Notons enfin que l'identité des résultats obtenus avec les données
de l'expérience constitue le principal test de la validité des postulats de la magnétostatique.
9.1. Fil rectiligne illimité.
Nous avons justifié au § 8.5 le caractère orthoradial du champ de cette
distribution. En appliquant le théorème d'Ampère à la circulation le long d'une
ligne de champ de rayon r, on retrouve l'expression (6.1) que nous avions prise
comme point de départ de notre étude de la magnétostatique :
B = — -ifc
2tï r
Pour calculer un potentiel-vecteur de ce champ, nous n'avons pas le droit d'utiliser
l'expression équivalente à (8.2) pour des courants filiformes :
Mol
47T
d/
A = (p — (9.1)
r
car la distribution considérée n'est pas d'extension finie. Admettons toutefois que la
forme de (9.1) nous suggère de chercher un potentiel sous la forme :
A= A (r) uz
Tout potentiel de ce type vérifie la condition de jauge. La formule F6 donne en effet :
dA
V.A= V.(A«z) = Mz.VA=ttz. — wr=0
àr
La formule F7 donne par ailleurs :
dA dA
B= V AA= V A(Awz)=(V A) A«z= — ur Awz = uQ
àr àr
dA jlto I
A (r) vérifie donc l'équation différentielle : — = .
àr 27Tr
L'intégration conduit à :
Atol r
A= In—, (9.2)
27T r0
r0 étant une constante d'intégration arbitraire. On peut noter l'analogie de ce résultat avec
le potentiel V d'un fil chargé obtenu en première année (MÉCANIQUE 1 § 6.17).

114
MAGNÉTOSTATIQUE
* 9.2. Fil rectiligne de section non négligeable.
Considérons un fil métallique conducteur de rayon a parcouru par un courant
d'intensité I comptée positivement dans le sens de l'axe Oz du fil. En régime permanent, le
courant se distribue uniformément dans le fil avec une densité j = / uZ9j= 1/lTa2 (fïg. 9.1).
WWV\
\
I • '*
B
M
Fig. 9.1. - Champ d'un fil cylindrique.
Le caractère orthoradial du champ s'établit par les mêmes arguments de symétrie
que ceux relatifs à l'exemple précédent. A l'aide du théorème d'Ampère, on obtient
immédiatement :
Mo/
A l'intérieur du fil (r <û) : B/= rUQ.
A l'extérieur du fil (r >û) : Be = Uq.
2 r
(9.3)
Pour calculer le potentiel-vecteur, le plus simple est de reprendre la méthode de
l'exemple précédent. Nous laissons au lecteur le soin de faire le caldul de cette façon ; à titre
d'exercice nous utiliserons une autre méthode.
Si on cherche un potentiel de la forme : A = A (r) uz, comme j = juz, l'équation de
Poisson V A + jUq / = 0 se réduit à l'équation scalaire :
V A+[IqJ = 0 qui est formellement identique à
7 P
v2 v+~ = o
Co
Il suffit donc de calculer le potentiel électrostatique d'un cylindre uniformément
chargé puis de substituer /Iq/ à p/e0 et A à V (*).
Calculons d'abord le champ électrostatique E= E (r) ur en appliquant successivement le
théorème de Gauss à un cylindre de hauteur h intérieur au fil puis extérieur :
1
E/.27rr/z= — pjir2h
Co
En exprimant E = - V V :
ôr 2en
1
Ee.27rrh=—p.7Ta2h
Co
dVe p a2
àr 2e0 r
(*) Cette méthode vaut pour toute distribution cylindrique quelle que soit la forme de
sa section.

CALCUL DE QUELQUES CHAMPS MAGNÉTOSTATIQUES
115
En prenant par exemple V= 0 pour r= a, ces expressions s'intègrent en :
9 pa2 a
V/=— (a2-r2) Ve=— In —
460 2€0 r
d'où, en transposant, le potentiel-vecteur cherché :
A/ = —(a2-r2)uz Ae=— a2 In -uz (9.4)
9.3. Spire circulaire.
Soit une spire circulaire de centre 0, de rayon R et d'axe Oz parcourue
par un courant dont l'intensité I est comptée positivement dans le sens associé
à celui de Oz par la règle du tire-bouchon. Pour I > 0, le côté de la spire
correspondant à z > 0 est appelé face Nord de la spire ; le changement du signe de I
inverse les positions des faces S et N. Retenons la règle : un tire-bouchon dont
le manche tourne dans le sens de Vintensité progresse de la face Sud vers la face
Nord.
Le champ magnétique en un point quelconque peut se calculer en intégrant
la formule de Biot et Savart. Ce calcul ne conduit pas à des fonctions simples.
En revanche, une intégration numérique associée au programme de tracé de
lignes de champ décrit au § 6.9 donne la carte de champ représentée sur la
figure 9.2 :
Fig. 9.2. - Champ magnétique d'une spire circulaire
(tracé par ordinateur)

116
MAGNÉTOSTATIQUE
aisément vérifïable en réalisant un spectre magnétique. Observons ici encore
l'allure caractéristique d'un champ magnétostatique : les lignes de champ sont
des courbes fermées qui «tourbillonnent» autour des courants qui sont leur
source dans un sens donné par la règle du tire-bouchon. Notons enfin le sens
général de B : à l'intérieur de la spire, le champ est dirigé de la face Sud vers
la face Nord.
En un point de l'axe de la spire, le calcul du champ est en revanche
immédiat. A un élément de la spire caractérisé par le vecteur d/, la formule de Biot
et Savart associe une contribution au champ magnétique :
dB = — Id/ a-x
47r r
En repérant le point M où Ton calcule le champ par l'angle a sous lequel
on voit de M le rayon de la spire, on voit que ce vecteur fait l'angle tt/2 — a
avec Oz. Le champ résultant étant porté par Oz, on est conduit à sommer les
projections de dB sur cet axe («composantes utiles»), soit :
B
dB sin a
Mo I
47T
sin a d/
En définitive, compte tenu de r = R/sin a et du fait que la somme des
quantités d/ est égale à la longueur de la circonférence 27rR de la spire :
(9.5)
9.4. Bobine torique.
Une première schématisation d'une bobine torique réelle consiste à
considérer un système de N spires planes de forme quelconque toutes déductibles les
unes des autres par des rotations d'angle 27r/N autour d'un axe Oz de leur
plan. On suppose que les spires sont toutes parcourues par la même intensité
I comptée positivement dans un sens lié à celui du vecteur unitaire orthoradial
uQ par la règle du tire-bouchon (fig. 9.3).
Fig. 9.3. - Bobine torique.

CALCUL DE QUELQUES CHAMPS MAGNÉTOSTATIQUES
117
L'étude expérimentale de ce système indique que son champ ne prend une
structure simple que pour des valeurs de N élevées. Nous étudierons donc la
limite N -> °° , c'est-à-dire en fait une nappe torique de courants.
Cherchons d'abord les propriétés de symétrie du champ B en un point M.
La distribution considérée étant invariante dans une symétrie par rapport
au plan (Oz, M) nous en concluons que B est normal à ce plan. La distribution
étant de plus invariante dans toute rotation d'angle 6, B ne dépend pas de 6.
Le champ cherché est donc a priori de la forme
B = B (r, z) ue
Cette expression montrant que les lignes de champ sont des cercles d'axe Oz,
on termine le calcul en exprimant à l'aide du théorème d'Ampère la circulation
le long d'une ligne de champ.
En notant que l'intensité enlacée par cette ligne est NI ou 0 suivant que M
est intérieur ou extérieur au tore, on obtient le résultat :
R -MoNIf, R -0
2n r
(9.6)
9.5. Solénoïdes.
On appelle solénoïde (du grec ocoXrjv, tuyau) une bobine constituée par
un enroulement régulier de fîl métallique sur un cylindre. Nous considérerons
ici le cas d'un solénoïde circulaire assimilable à un système de N spires de
rayon R également réparties le long d'un cylindre d'axe Oz et de longueur /.
L'intensité I du courant qui traverse les spires est comptée positivement le
sens de rotation associé à Oz par la règle du tire-bouchon. Ici encore, nous
supposons que le nombre de spires par unité de longueur n = N// est grand, de
telle sorte que le système étudié est en fait une nappe solénoïdale de courants
caractérisée par une densité superficielle (A.m'1 ) :
i = iuQ avec i = ni — NI//
Le calcul du champ en un point quelconque est un problème compliqué,
la figure 9.4 indique la carte du champ tracée par ordinateur.
Remarques :
• L'allure des lignes de champ à l'extérieur du solénoïde évoque le spectre
magnétique d'un barreau aimanté. Ceci n'est pas le fruit du hasard, nous
établirons au § 26.2 que le champ magnétique extérieur à un barreau cylindrique
uniformément aimanté dans la direction de son axe est identique à celui d'un
solénoïde circulaire. Les dénominations face Nord et face Sud sont du reste
issues de cette analogie.
• L'orientation du champ est donnée par la même règle que pour une
spire unique : le champ sort du solénoïde par la face Nord.
• Pour un un solénoïde assez long tel que celui qui est représenté sur la
figure 9.4.a, on constate que les lignes du champ intérieures (tracées par ordinateur
selon la méthode du § 6.9), sont assimilables à des droites parallèles. Comme
nous l'établirons plus loin (solénoïde illimité), ceci correspond au fait que le
champ magnétique est pratiquement uniforme à l'intérieur d'un long solénoïde.
Notons qu'il existe un autre moyen de créer un champ magnétique quasi-

118
MAGNÉTOSTATIQUE
uniforme dans une région de l'espace : il s'agit des bobines de Helmholtz (voir
la figure 6.5 ainsi que l'exercice 9.2).
• Si l'on considère un tube de champ sortant du solénoïde, on constate
que la section de celui-ci croit rapidement vers l'extérieur. Comme le tube
transporte un flux magnétique constant, ceci signifie que le champ décroît
très rapidement à l'extérieur d'un long solénoïde.
H
U
UeÇ)YTTTrty uz
.O0OOOOO0000000Q0O0.
éh\
i
i 1 ~
! /"""^ -8 -
\/ -6-
>/ \ -2-
B (z)/B0 |
l\
i
i
b)
zx = -112
z2 = 112
Fig. 9.4. - Solénoïde circulaire. On confrontera la carte de champ ci-dessus avec celle d'une
bobine constituée de spires peu serrées (fig. 6.6). Cette comparaison fait apparaître la
transition vers le modèle du solénoïde (spires «très serrées», i.e. nappe de courant
cylindrique). La figure 9.4.b représente la variation du module de B le long de l'axe du
solénoïde.
• Calcul du champ sur Taxe.
Le résultat se déduit de l'expression (9.5) du champ sur l'axe d'une spire circulaire.
Une «tranche de solénoïde» d'épaisseur dh située à la distance h = R cotg Oi du point
M où l'on calcule le champ contient an = n \dh\ spires et crée un champ :
/A) n /A) i
dB = d/z| I sin3 a = sin ada
2R 2
(da > 0)
L'intégration entre les valeurs de a correspondant aux angles sous lesquels on voit de
M les rayons des faces 1 et 2 conduit à :
B = (cos OLi - cos o^i) uz
(9.7)

CALCUL DE QUELQUES CHAMPS MAGNÉTOSTATIQUES
119
On déduit aisément de cette expression l'allure des variations de B en fonction de z
indiquée sur la figure 9.4.b (voir exercice 9.16). Notons que, pour un point situé assez
loin à l'intérieur d'un long solénoïde :
#! ^0 et c*2 SS7T, d'où B ^B0 = AIq /. De même, sur la face 2 par exemple, on a, si R <l:
Œi ^0 et Oz = 7T/2, d'où B ^B0/2.
• Solénoïde illimité.
Cette distribution idéalisée est en quelque sorte l'homologue magnétostatique
du condensateur plan illimité (fig. 9.5) Ce système étant invariant dans toute
:O00GP©G^)0OG000:
in
B
/®
B' -0
Fig. 9.5. - Solénoïde illimité.
symétrie par rapport à un plan normal à Oz, il en résulte que les lignes de
champ sont parallèles à Oz. De la conservation du flux le long d'un tube,
on déduit que le champ est constant le long d'une ligne de champ. On peut
alors appliquer le théorème d'Ampère à un contour rectangulaire :
Bi h — B2 h = 0, ou /x0 ih
suivant que les côtés 1 et 2 sont situés d'un même côté de la nappe de courant
ou de part et d'autre de celle-ci. De la première relation, on déduit que le
champ est uniforme à l'intérieur du solénoïde comme à l'extérieur de celui-ci.
Le champ extérieur étant nul (*), on déduit de la seconde relation que le
champ magnétostatique est uniforme à l'intérieur d'un solénoïde illimité :
B/ = Mo*** , Be = 0 (**) (9.8)
Notons que (9.8) est bien en accord avec l'expression (8.9) de la discontinuité du
champ magnétique à la traversée d'une nappe de courant :
B,- — Be = [Iq i A n (voir figure)
On peut enfin remarquer que les considérations qui précédent ne font pas intervenir
la forme de la section du solénoïde : (9.8) vaut aussi bien pour un solénoïde de section
rectangulaire, triangulaire...
(*) On peut le montrer par exemple en poussant à la limite le raisonnement développé
plus haut à propos des tubes de champ de la figure 9.4, ou encore considérer le système
comme la limite d'une bobine torique de très grand rayon.
(**) On peut aussi déduire B/ de la relation (9.7) donnant le champ sur l'axe (û^ = 0,
a2 = 7T), d'oùBe = 0.

120
MAGNÉTOSTATIQUE
Potentiel-vecteur d'un solénoïde circulaire illimité.
Pour la région intérieure, l'expression (7.5) du potentiel-vecteur d'un champ uniforme
convient ; avec Bn = Mo z :
rB0
UQ
(9.9)
A l'extérieur du solénoïde (r > R), on peut chercher de même un potentiel-vecteur
sous la forme A^ = A (r) uq. En exprimant que la circulation de A le long d'un cercle
d'axe Oz est égale au flux de B à travers ce cercle :
d'où :
Ae.27ff- = B0 .7TR2
R2B0
Ae = ——ue
2r
(9.10)
On notera qu'un potentiel-vecteur non nul peut exister dans une région où le champ
magnétique est nuL
9.6. Circuit polygonal.
Pour calculer le champ créé en un point M par un circuit polygonal, on est amené
à ajouter les contributions attribuées par la formule de Biot et Savart à des tronçons
rectiligne Ai A2 (fig. 9.6).
H Ax d/ A2
Fig. 9.6. - Champ d'un tronçon rectiligne.
Notons d'abord que les contributions des divers éléments d/ du fil ont même
direction :
^ ^>TJ# u Vol Mcosa
dB = — Idl A— = n,
471" r2 47j" r2
n étant le vecteur unitaire normal au plan MAi A2 et de sens déduit de celui du tronçon
par la règle du tire-bouchon. Choisissons a comme variable d'intégration. En exprimant
r = /z/cos a et en différentiant / = HS = h tg Où : d/ = h dû/cos2a, on obtient à la suite
d'une intégration entre les valeurs de a correspondant aux extrémités Ai et A2 :
B
Mol
47T/Z
(sin û^ - sin (fy ) n
(9.11)
On retrouve l'expression relative au fil illimité en faisant 0ix = - ïï/2, û^ = n/2.

CALCUL DE QUELQUES CHAMPS M AGNÉTOSTATIQUES
121
EXERCICE RÉSOLU
Principe de l'expérience de Rowland
Un disque D porte la densité surfacique de charge uniforme O. D est mis en rotation à
la vitesse angulaire constante 00 autour de son axe. Calculer le champ magnétique créé en
un point P de l'axe par ce courant de convection. Le rayon R de D est vu de P sous l'angle
OL On supposera que la répartition des charges n'est pas modifiée par la rotation de D
(fig. 9.7).
h
Fig. 9.7. - Principe de l'expérience de Rowland.
• Solution :
Un observateur immobile voit passer la charge ûq = O.lw àr portée par une couronne
élémentaire de rayon r en un temps : T = 27T/ca La couronne est équivalente à une spire
parcourue par le courant : dl = d^/T = ooordr. Cette spire crée en P un champ :
dB = sin3 d, d étant l'angle sous lequel on voit de P le rayon r de la spire (9.5).
2r
Choisissons d comme variable d'intégration et posons OP = a.
aàd
r= atgd, d'où:
àr =
cos
10
On a donc : B = — , avec J =
en posant u = cos d.
a
sin
30dd
0
cos
20
cos Oc
(u2 - l)du
r n
U
COS ûî
+
1
r il
_ u \
r 1 1 COS OC
1
Compte tenu de : a = R cotg a, on a, tous calculs faits :
a a
B = IX0oRoû sin2 — tg —
2 2
Une expérience semblable fut réalisée en 1876 par le physicien américain H.A.
Rowland (*) pour démontrer l'identité des propriétés magnétiques des courants de convection
et des courants de conduction.
(*) Avec un choix de valeurs numériques, on se convaincra de la petitesse du champ
magnétique ainsi produit (10~~8 à 10"10 T) et de la difficulté à le mettre
expérimentalement en évidence.

122
MAGNÉTOSTATIQUE
EXERCICES
9.1.
Calculer le champ créé au point A par les circuits représentés sur les figures 9.8
(1,2,3,4,5).
jU0I/ y/S \ Mol/ M 0 fol «
Réponses : Bx = ^— ( 1 + — , B2 = — 1 + — , B3 = —- tg - .
2ïïa \ 2 2na \ 4 I ' Ma 2
Hoir 7T
B4 = 1 + -
2-ïïa \ 2
2ira
B5=--.
4 a
Af__ §__q
i-ri
0
©
®
Fig. 9.8.
0>6
OJ4
Q2
0.4
0,6
9.2. Bobines de Helmholtz.
1) Une spire circulaire de centre O et de rayon
a est parcourue par le courant I. Soit B le champ
en un point M de Taxe de la spire et B0 le champ
en O. Exprimer y = B/B0 en fonction de x = OM/a.
Tracer la courbe y (x) et placer ses points
d'inflexion.
2) Deux spires de centres O et O', identiques
à la précédente et parcourues dans le même sens
par un courant de même intensité I sont disposées
sur le même axe. Montrer sans calcul que si l'on
donne à 00 ' la valeur a le champ B varie
particulièrement peu le long de Taxe au voisinage du
milieu C de 00'. Calculer Bc.
3) OO' ayant la valeur a, exprimer y = B/Bq en fonction de x = CM./a, B étant la
valeur du champ magnétique en un point M de l'axe commun des deux spires. Tracer
la courbe y (jc).
4) Effectuer un développement limité de y au voisinage de x = 0. Dans quel domaine
le champ est-il constant au millième près le long de l'axe ? Conclure.
5) Comment vérifier ce résultat à l'aide de la figure 6.5 ?
16 V5
Réponses : 2) Bc = B0 , 3) Voir figures 6.5 et 9.9.
A) y = 1~ (144/125) x4. Sur 34% de la longueur 00'.
Fig. 9.9.
5) Songer à utiliser la conservation du flux magnétique.

CALCUL DE QUELQUES CHAMPS MAGNÉTOSTATIQUES
123
9.3. Bobines de « Holtzhelm ».
Imaginez que, dans le système des bobines de Helmholtz étudié dans l'exercice
précédent, on inverse le sens du courant dans l'une des spires.
1) Ce nouveau système, appelé par un jeu de mots bobines de «Holtzhelm» (Helmholtz
à l'envers !) est utilisé dans certains laboratoires pour produire le long de son axe et au
voisinage de son centre un champ magnétique dont le gradient est constant et bien
déterminé. Justifiez cette propriété.
2) A l'aide d'arguments qualitatifs, tentez de tracer l'allure de la carte du champ des
bobines de Holtzhelm.
Réponse : voir fig. 9.10, page 126. Pour le champ à grande distance de ce système V.
exercice 10.4
9.4. Modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène.
L'électron décrit autour du proton un cercle dont le rayon est dans l'état fondamental :
a = 0,53 Â. Calculer le champ magnétique créé au niveau du proton par le mouvement
de l'électron. On donne la charge et la masse de l'électron :
e = 1,6 . 10'19 C et m = 9,1 . 10"31 kg.
"(S):
3 C2e4
Réponse : B2 = ( — ; B = 12,5 T.
ma5
9.5. Cylindre en rotation.
Un long cylindre de révolution conducteur creux de rayon a portant une charge
superficielle uniforme est mis en rotation à la vitesse angulaire co atour de son axe. Calculer
le champ magnétique en tout point de l'espace. On exprimera B en fonction du champ
électrostatique E à la surface du cylindre.
aOJ
Réponse : B = —E à l'intérieur du cylindre, 0 à l'extérieur.
c2
9.6. Solénoïde épais.
Une bobine est constituée par N spires très serrées ayant toutes le même axe D.
Les spires sont contenues à l'intérieur d'un cylindre d'axe D, de rayon intérieur Ri-
de rayon extérieur R2 et de hauteur 2 a. Calculer le champ au centre de la bobine
parcourue par un courant d'intensité I.
Mo NI R2 + VR22 + <*7
Réponse : B = In
2(R2-R!) R1 + VRi2 + 02
9.7. Nappe de courant hélicoïdale.
Un cylindre indéfini C d'axe Oz et de rayon a est parcouru par un courant dont, en
tout point de C, la densité superficielle a même norme / et fait avec les génératrices de C
un même angle Ol = (uZy t).
1) Préciser la nature : Des lignes de courant sur C, des lignes de champ à l'intérieur de
C, des lignes de champ à l'extérieur de C.
2) Calculer B dans tout l'espace. Vérifier que la discontinuité de B à la traversée de C
est conforme à l'expression générale trouvée au § 8.7.
3) Calculer A dans tout l'espace.

124
MAGNÉTOSTATIQUE
Réponses :
a
2) r<a B = fo isin(Xuz ; r>a B = fo i cos a-u$.
r
3) rO A = sinOcrue; r>a ; A = sina— u$ + [Iq ia cosa In — wz.
2 2 r r
9.8. Bande parcourue par un courant.
Une longue bande de tôle située dans le plan xOy, délimitée par les droites j> = a et
y = - a, est parcourue par un courant de densité superficielle i = iux. Calculer le champ
B en un point de l'axe Oz.
Réponse :
Mo* *
B = Arc tg - uv
7T z y
9.9. Courants de convection.
Soient E et V le champ et le potentiel engendrés dans un référentiel (R) par une
distribution D de charges fixes dans (R) réparties dans un cylindre quelconque de génératrices
parallèles à Os avec une densité indépendante de z. D, mise en mouvement par rapport
à R à la vitesse v = vuz (v<^c) engendre dans (R) un champ B de potentiel-vecteur A.
1) Exprimer A en fonction de v et V et B en fonction de v et de E.
2) Étudier par la même méthode le champ engendré par deux nappes planes parallèles
parcourues par des courants de directions opposées. Utiliser le théorème d'Ampère pour
contrôler le résultat obtenu.
3) Étudier la carte du champ engendré par deux fils rectilignes indéfinis parallèles
parcourus par des courants d'intensités opposées.
Réponses :
v v
1)A= — V, B= — AE. 2) B = /Iq i A» entre les nappes, nul à l'extérieur.
c2 c2
3) Les lignes de B forment des faisceaux de cercles dont les traces des fils sont les
points limites.
9.10. Demi-cylindre parcouru par un courant.
On partage en deux par un plan méridien un fil cylindrique indéfini de rayon a. Un
des demi-cylindres obtenus étant parcouru par un courant d'intensité I dont on
supposera la densité uniforme, calculer le champ magnétique sur l'axe du demi-cylindre.
2/ioI
Réponse : B =
7T2 a
9.11. Évolution spontanée d'un faisceau de particules.
Un faisceau de protons tous animés de la vitesse v pas nécessairement faible devant
c transporte un courant dont on suppose la densité uniformément répartie dans un
cylindre de révolution. Le seul champ électromagnétique étant le champ propre du
faisceau, calculer le rapport des forces électrique et magnétique appliquées à un proton.

CALCUL DE QUELQUES CHAMPS MAGNÉTOSTATIQUES
125
Décrire qualitativement révolution du faisceau sous l'action de son champ propre.
Réponse :
V2
Fb
Fe
9.12. Cylindre chargé en rotation.
Un cylindre de révolution indéfini C d'axe Oz et de rayon a est chargé avec la densité
volumique uniforme p. C étant mis en rotation autour de Os à la vitesse angulaire co,
déterminer le champ magnéto statique dans tout l'espace.
Réponse :
MoPto
B = (a2 — r2^. uz à l'intérieur de C et est nul à l'extérieur.
9.13. Spire hélicoïdale.
On considère un fil hélicoïdal d'axe Oz, parcouru par un courant d'intensité I.
L'hélice est définie par les équations paramétriques : x = R cos t, y = R sin t, z = ktt
avec t0 < * <C t\. On posera : n = , On considère le champ magnétostatique B créé
2nk
par la spire en un point M de l'axe Oz, tel que Z = OM.
1 - On pose Z - kt = R cotg <£>. Calculer la composante Bz suivant Oz de B en
fonction de </?o et (/?!. Que représentent ipo et </?i ? Quelle remarque peut-on faire au sujet de
cette relation ?
A.N. -R= k = 2cm ; t0 = 0 ; tx = 10 ; I = 1 ampère ; Z = 10 cm.
2 - On pose Z — kt = -Rx/ettf= R/k. On suppose en outre, la spire indéfinie dans
les deux sens de l'axe Oz. Montrer que les composantes Bx et By de B se mettent sous la
forme :
B* = Mo ni F (a) sin Z/k et By = - fo nlF (a) cos Z/k
On donnera en fonction de a et u (en la laissant sous forme intégrale) l'expression de F (a).
Soit A' le point de l'hélice de même cote Z que M. Montrer que B est perpendiculaire à
MAf et fait un angle a constant avec Oz. Calculer la tangente de cet angle a et le module de
B. Quel est le lieu de l'extrémité de B quand M se déplace sur Oz. Étudier le champ dans
les cas limites suivants : k -> 0 et k ~> °°. Interpréter. Pour un rayon R = 2 cm, on fait
varier a entre 0 et l'infini. Tracer le graphe B (a). On donne le tableau suivant :
a 0
a Vl + F2 (fl) 1
0,1
1,015
0,2
1,044
0,5
1,171
1
1,431
1,5
1,747
2
2,132
3
3,031
4
4,007
5
5,001
10
10,000
Réponses.
1) Bz = (cos </?o - cos <£i) \n
est le nombre de spires par unité de lon-
2 ' " ' " x 27ïk
gueur). Rapprocher l'expression de Bz de celle donnant le champ créé par un solénoïde sur
son axe.
BZ^9,8.10"6T

126
MAGNÉTOSTATIQUE
2) F (a)
(cos au + au sin au) dw
^0 (1 + ^2)3/2
|B| = Mo wI\A + F2(a) , tg a = \A + F2 (*)
• k ->0 solénoïde infini (nappe continue de courant) a = 0, |B| = //q/iI.
jU0I
• k-+oo |b| = , B i Oz (Bz = 0) (cas du fil rectiligne infini).
27TR
9.14. Action et Réaction. Formule de Neumann.
Soient en Mi et M2 deux éléments dix et &h des circuits Cx et C2 parcourus par les
intensités Ii et I2. On pose MiM2 = r.
1) En admettant que la formule de Biot et Savart donne effectivement le champ
créé par un élément de courant, calculer la force d2F12 qued/j exerce sur d/2. Comparer
d2F12 à la force d2F2i que d/2 exerce sur d/j.
2) Montrer que la résultante des forces exercées par Ci sur C2 peut s'écrire :
F12 = — Iil2(P S (d/i.d/2)^3
47r "Cl"c2
3) Comparer F12 et F2i et conclure.
Fig. 9.10. - Bobines de Holtzhelm (V. exercice 9.3 page 123).

CALCUL DE QUELQUES CHAMPS MAGNÉTOSTATIQUES
127
9.15. Fils parallèles.
Deux fils illimités cylindriques Fi et F2 de rayons Ri et R2 sont parallèles, leurs
axes Oi et 02 étant distants de a (a > Rj + R2). Fx et F2 sont respectivement
parcourus par les courants Ij et I2. On supposera la densité de courant uniforme dans chaque
fil. Calculer la résultante des forces qui s'exercent sur un tronçon de longueur / d'un des
fils.
Mo /
Réponse : R = — Iil2 —, comme si les intensités parcouraient les axes des fils.
2ïï a
9.16. Champ le long de l'axe d'un solénoïde circulaire.
On considère le solénoïde représenté sur la figure 9.4.a (/ = 7R). Calculer en fonction
de B0 = Mo i :
1) Le champ au milieu du solénoïde.
2) Le champ au centre d'une face.
3) Le champ le long de l'axe à une distance d'une face égale à la longueur du
solénoïde.
4) Montrer que, loin du solénoïde, le champ le long de l'axe décroit comme 1/z3.
Réponses :
1) 0,962 B0. 2) 0,495 B0. 3) 0,004 B0. (V. lafig. 9.4.b).
9.17. Autofocalisation d'un pinceau de particules électrisées.
On considère un pinceau d'électrons de forme cylindrique, de section droite circulaire,
de rayon R. Les électrons sont homocinétiques, de vitesse v positive (sur Taxe Ox du
cylindre). Ces électrons transportent ainsi un courant d'intensité I <0. On injecte dans le
pinceau des ions positifs de charge + e, de vitesse v' uniforme et parallèle à Ox. La vitesse
constante v1 peut être positive ou négative et par suite il en est de même pour l'intensité I'
du courant transporté par ces ions.
1 - Calculer le champ électrique E et le champ magnétique B en un point M du
pinceau à la distance r de l'axe Ox.
2 - Calculer la force totale (électrique et magnétique) s'exerçant sur un électron situé
à la distance R de Ox. Calculer de même la force totale s'exerçant sur un ion positif
situé lui aussi à la distance R de Ox.
3 - Comment doivent être dirigées ces deux forces pour que le pinceau ne diverge pas
(autofocalisation) ? Exprimer sous forme d'une double inégalité cette condition d'auto-
focalisation.
4 - On considère le cas où \v'\ est très petit devant la vitesse de la lumière dans le
vide c et où v « c ; simplifier alors la double inégalité précédemment obtenue. Le signe de
v' et de I' est-il imposé ?
A.N. - a) Les ions positifs injectés, de masse m' = 1,6.10 26 kg, ont une énergie cinétique
K7 = 2 000 eV ; calculer la valeur absolue de la vitesse v'.
b) Les électrons ont une énergie cinétique K = 20 MeV ; le courant qu'ils transportent
vaut en valeur absolue I = 107 A ; calculer la plus petite valeur absolue du courant I'
transporté par les ions positifs et satisfaisant à la condition d'autofocalisation.
c) Calculer la valeur du champ magnétique créé par le pinceau à la distance R = 1 cm
de l'axe. Ces résultats vous suggèrent-ils une éventuelle application ?
Réponses :
1 /I l'\ 1
1)E = -+— , B = (I + I')pourr>R.
27T€0r\ v v' / 2UE0c2r

128
MAGNÉTOSTATIQUE
Pour r < R, multiplier les résultats précédents par /*2/R2.
2)/e= ■ ,
27re0R L\ v v'
i i'\ a + i')v
; //
27re0R L V v v'
i v\ a +1') *'
a + v)v i r a +1')^' i / »2\ r i
3) —<- + -< — 4)— 1-- ]<-<-
C2 V V C2 V \ C2 I V V
On a toujours lf/vf >0, le signe de If n'est pas imposé.
a) \v'\ = 2.105m.s~1.
b)l = 6,206.10"4 v^c et-^1,5.103 |lf| <4,14 A.
c2 v*
c) B = 200 T.
9.18. Équilibre d'une colonne de plasma : striction.
On considère un cylindre de longueur infinie, de rayon R, d'axe Ox, constitué par un
gaz complètement ionisé ou plasma. Cette colonne de plasma est entourée par le vide ; elle
est supposée dans un état stationnaire. On admet que sa température est uniforme, qu'en
chaque point le nombre des électrons (charge - e) par unité de volume est égal au nombre
des ions (charge + e) par unité de volume. On désigne par n (r) le nombre total des
particules par unité de volume en un point situé à la distance r de l'axe, et on admet que n
ne dépend que de r. La colonne de plasma transporte parallèlement à Ox un courant
d'intensité totale I ; on admettra, pour simplifier, que ce courant est uniformément
réparti dans toute la section, c'est-à-dire que la densité de courant/ a la même valeur en
tous les points du cylindre.
Le plasma étant à une température uniforme T, la pression cinétique au sein du
plasma, en un point situé à la distance r de l'axe, a pour expression :
p = n (r) k T
k désignant la constante de Boltzmann (k = R/9Î ; R, constante moléculaire des gaz
parfaits ; 9£, nombre d'Avogadro).
1 - Écrire l'équation différentielle exprimant l'équilibre d'une couronne cylindrique
du plasma, de rayon r et d'épaisseur infiniment petite âr, sous l'action de la pression
cinétique et du champ magnétique B (r). Pourquoi n'y a-t-il pas lieu de faire intervenir le
champ électrique ? Écrire l'équation différentielle en ne faisant intervenir que p, r, f et
des constantes universelles.
2 - Intégrer cette équation. Quelle doit être la pression aux confins de la colonne de
plasma, pour r = R ? Exprimer :
- la pression cinétique p (r) en fonction de r, R et/ ;
- la densité particulaire n (r) en fonction de r, R,/ et T.
3 - On désigne par N le nombre total des particules par unité de longueur de la
colonne de plasma. Trouver la relation entre I (courant total transporté), N et T.
Application numérique : On donne R = 10 cm, N = 1021 particules par mètre et
I = 8.106 A. On demande de calculer :
- la température d'équilibre du plasma
- la pression cinétique p0 et la densité particulaire n0 sur l'axe de la colonne
- l'énergie cinétique moyenne de translation, exprimée en keV, d'un ion, due à son
agitation thermique.
4 - Dans un autre modèle, on suppose toujours le plasma dans le vide et contenu dans
un cylindre d'axe Ox et de rayon R, mais le courant transporté par ce plasma est confiné
dans une mince couronne cylindrique d'axe Ox, de rayon intérieur R - 6 et de rayon
extérieur R. Le courant total I ainsi transporté par la couronne est uniformément réparti
dans cette couronne et dirigé suivant Ox. Le plasma contenu à l'intérieur du cylindre de

CALCUL DE QUELQUES CHAMPS MAGNÉTOSTATIQUES
129
rayon R - 6 est en équilibre thermique à la température T ; sa densité particuiaire totale
est uniforme et égale à n, et la densité de courant est nulle en tout point. On supposera
toujours la colonne dans un état stationnaire.
a) Déterminer le champ magnétique B en un point M de la couronne situé à la distance
r de l'axe Ox. On supposera le rapport 6/R très petit devant l'unité et on exprimera le
module de B en fonction de la variable x = r — R + 6, et de la densité de courant/ dans la
couronne.
b) Calculer la force électromagnétique s'exerçant par unité d'aire latérale sur la
couronne de plasma traversée par le courant I.
c) En exprimant la condition d'équilibre de cette couronne, déterminer en fonction de
/, 6 et T, la densité particuiaire n du plasma contenu dans le cylindre de rayon R - £
d) On désigne par N le nombre total de particules contenues dans l'unité de longueur
de la colonne de plasma. Trouver la relation entre N, T et le courant total I transporté par
la couronne de plasma.
Réponses :
dp /i0/2
1) — + r = 0.
Ar 2
Mo/2 Mo/2
2) p = ^— (R2-r2) et n = ^— (R2 - r2).
4 4fcT
3) 87TNA;T = Mol2- T=2,32.108K. p0=2.108Pa. n0 = 6,4.1022 m"3.
3
Ec = -À;T ^ 3.104eV.
2
1 1
4) a)B^IJi0fx. Z?)F = ~/i0/262 c)«Â:T= F = - ju0/262. rf)47TNA:T = Mol2-
2 2
9.19. Optique électronique. (Ulm, 1974).
On se propose d'étudier les trajectoires des électrons dans un élément de microscope
électronique constitué par une lentille magnétique. On examine ensuite l'effet
perturbateur de la charge électrique d'espace sur la trajectoire des électrons.
I
On considère un solénoïde épais de longueur finie ayant la forme d'un tore à section
carrée, de centre O, de côté a (fig. 9.11) et placé dans un milieu non magnétique.
Soit R le rayon du cercle passant par le centre du carré section droite du tore.
I
o
B,
Eoo
Fig. 9.11.

130
MAGNÉTOSTATIQUE
1) Montrer que le champ magnétostatique B créé par cette bobine torique sur son axe
Oz est le même que celui créé par une spire circulaire unique de même axe et de rayon R,
, 2
a
parcourue par le même courant total, à des termes en I — ) près qu'on ne demande pas
de calculer. V R
2) Montrer que la composante Br de B normale à l'axe Oz de la bobine au voisinage de
celui-ci peut s'écrire :
(1) Br(r,2)
r dBz
2 dz
3) On préfère représenter de façon approximative le champ sur l'axe Oz de la spire
équivalente définie à la question 1) par une formule de la forme :
B0
(2) Bz(0,z)= ——j
\R'
où B0 représente la valeur du champ Bz (0, 0) à l'origine O. Comment doit-on choisir R'
pour que la formule (2) donne une valeur correcte du champ pour le point sur l'axe Oz
d'abscisse z = R ?
II
4) Une source d'électrons est placée à l'origine O de l'axe Oz. Un électron, de masse
m et de charge électrique - ey passe par le point O avec une vitesse initiale V0 faisant
un angle oc avec l'axe Oz. On suppose d'abord qu'un champ magnétostatique uniforme
B0, parallèle à l'axe Oz, règne dans l'espace.
a) Calculer l'abscisse du premier point A où l'électron considéré vient recouper l'axe
Oz.
b) Le module de la vitesse initiale V0 étant supposé constant montrer que si l'angle a
est faible la position du point A est indépendante de l'angle a, à des termes du deuxième
ordre près par rapport à a.
Le point A est ainsi l'image électronique du point O.
c) La source d'électrons a maintenant la forme d'une fente de longueur /. Quelle est
l'image électronique de cette source ?
5) Le champ uniforme B0 est remplacé par un champ magnétostatique B, de
révolution d'axe Oz produit par une bobine de centre O et d'axe Oz ; sa composante Bz (0, z)
est donnée par la formule (2).
On place au point P d'abscisse p une source d'électrons. On admettra que, dans une
région voisine de l'axe où on étudie le mouvement des électrons, la composante axiale
Bz (r, z) du champ est égale à Bz (0, z) et que la composante radiale est donnée par la
formule (1) de la deuxième question avec une approximation suffisante.
a) Écrire les équations dynamiques définissant le mouvement d'un électron, en
coordonnées cylindriques d'axe Oz. On désignera respectivement par r et 6 la distance à l'axe
Oz et l'angle polaire.
dd e
b) Montrer qu'on a la relation : — = — Bz (0, z) où t désigne le temps.
dt 2m
On admettra que, par hypothèse, la vitesse initiale V0 de l'électron issu du point P
d'abscisse p de l'axe Oz est située dans le plan 6=0.
c) Montrer que la fonction r (z) définissant les trajectoires obéit à l'équation
différentielle, linéaire, du deuxième ordre :
d2 r e*
(3) — + - r Bz2 = 0
dz2 4m2V02
En déduire que si un électron est issu du point P situé sur l'axe Oz, avec une vitesse Vq
et vient recouper l'axe en un autre point P', tous les électrons, ayant la même vitesse en
module V0, issus de ce point P, viendront recouper l'axe au même point P', qui est ainsi
l'image de l'objet ponctuel P.

CALCUL DE QUELQUES CHAMPS MAGNÉTO STATIQUES
131
6) On fait maintenant l'approximation des lentilles minces, c'est-à-dire qu'on suppose
que l'épaisseur de la région où règne le champ est faible devant la distance entre la bobine
d'une part, et l'objet P ou l'image P' d'autre part. La bobine a comme seul effet de dévier
les trajectoires électroniques, la distance à l'axe des électrons restant pratiquement
constante dans la région d'épaisseur faible où règne le champ magnétique. Montrer qu'on a la
relation :
1 11
où /' est la distance focale image que l'on calculera.
Une lentille magnétique divergente peut-elle exister ?
Application numérique : Calculer la distance focale /' et l'angle d dont a tourné le plan
méridien contenant un électron avec les données suivantes :
La vitesse initiale Vo, correspond à une accélération des électrons initialement au
repos, dans une différence de potentiel U (on montre qu'on a intérêt à choisir une vitesse
initiale élevée pour augmenter le pouvoir séparateur).
Le champ Bz (0, z) sur l'axe de la bobine est bien représenté par la formule (2) avec :
U = 105 V.
B0 = 0.05 T.
R'= 5.10~3m.
Charge de l'électron : - e = - 1,6.10'19 C.
Masse de l'électron : m = 9,1.10"31 kg.
7) Lorsque la région où règne le champ n'a plus une épaisseur négligeable, il n'est plus
possible de faire l'approximation précédente des lentilles minces magnétiques. On doit
donc résoudre l'équation (3).
a) Montrer que la solution générale de l'équation (3) peut s'écrire :
sin OJ ko + îl/)
r = R'A -
sin (/?
où on a posé :
z
= COtg iD
R'
et où A et î// sont des constantes d'intégration.
Calculer la valeur de la constante co.
b) On suppose que le point P est assez loin de la lentille magnétique pour qu'on puisse
considérer que l'électron qui arrive sur celle-ci aborde la région où règne le champ avec
une vitesse V0 parallèle à l'axe Oz.
Montrer que l'électron précédent peut couper l'axe Oz en plusieurs points dont on
discutera le nombre et la position en fonction des valeurs du champ B 0 et de la vitesse
initiale Vq des électrons, qui sont les deux paramètres qu'on peut modifier.
III
L'une des approximations effectuées précédemment a consisté à étudier le mouvement
d'un électron isolé. En fait la source d'électrons émet des électrons à vitesse de module
constant Vq constituant un faisceau électronique transportant une intensité électrique I.
Il en résulte qu'il existe une densité volumique de charge électrique dans l'espace, dont
l'effet est de créer un champ électrique supplémentaire qui agit sur les électrons.
Dans la suite on supposera qu'il n'existe aucun champ magnétique imposé dans la
région de l'espace étudié et on négligera toutes les forces magnétiques agissant sur les
électrons.
8) On admettra que ceux-ci sont très peu déviés sous l'effet de la charge électrique
spatiale qu'ils constituent, c'est-à-dire que les forces électrostatiques entraînent une
déformation du faisceau négligeable pour le calcul du champ électrique. Le faisceau
électronique dont la forme est ainsi déterminée pai la structure de la source est supposé

132
MAGNÉTOSTATIQUE
diverger depuis un orifice de rayon R0. La densité volumique de charge est supposée
constante dans toute section droite du faisceau. Le rayon R du faisceau varie linéairement
en fonction de z, de la valeur R0 à la valeur Ri obtenue à la distance / comptée sur
l'axe Oz du faisceau.
a) En admettant que l'ouverture du faisceau est faible, on peut assimiler localement
celui-ci à un faisceau cylindrique de rayon R, et les trajectoires des électrons à des droites
parallèles à l'axe Oz, pour le calcul de la composante du champ électrique normale à Vaxe
Oz.
Calculer la composante transversale Er du champ électrique auquel est soumis un
électron situé à la distance r et à l'abscisse z.
b) Soit £ (t) le faible déplacement transversal supplémentaire d'un électron situé au
bord externe du faisceau, dû à la présence du champ électrique précédent. Écrire
l'équation différentielle vérifiée par la fonction £ (t) dans le cadre des hypothèses précédentes.
Calculer l'écart £m obtenu lorsque l'électron est arrivé à l'abscisse /.
Application numérique : I = 10"5 A , / = 1 m.
Tension accélératrice U donnant la vitesse initiale aux électrons : Ui = 10 5 V.
— = 10"3 ; R0 = 10_4m ; = 9.109 SI
/ 47re0
Réponses :
2TTmv0
3)R'=0,739R 4)zA= cos a
qB
« i 2jmv0 1
6) v0 = 1,64.10 m.s ! En posant d = , avec y = ,
«B0 VI - »o2/c2
2G?2 ttR'
/' = = 25,4 cm A0 = = 0,531 rad
7TR' d
/R,\2
7) Gj2 = 1 + I _

CHAPITRE 10
DIPÔLE MAGNÉTIQUE
Nous commencerons par montrer que, pour décrire les actions subies par une
distribution de courants permanents placée dans un champ B uniforme, on est amené à introduire
une grandeur appelée moment magnétique de la distribution. Nous verrons ensuite que
cette grandeur joue un rôle essentiel dans l'étude de l'entité magnétique homologue du
dipôle électrique : le dipôle magnétique. L'intérêt de cette notion provient essentiellement
du fait que les sources microscopiques du champ magnétique créé par la matière aimantée
sont assimilables à des dipôles magnétiques (chapitre 25).
10.1. Moment magnétique.
Considérons une distribution j (r) de courants permanents dont nous
supposons qu'elle peut être décomposée en tubes de courant élémentaires. Pour
étudier le système des forces qu'exerce un champ magnétique uniforme sur une
telle «boucle de courant» C transportant une intensité I, nous pouvons utiliser
le formalisme linéique déjà employé au sujet des circuits filiformes (*), la force
subie par un élément caractérisée parle vecteur d/ = dr est dF = Idr A B.
Compte tenu du caractère uniforme de B, la résultante des forces exercées sur C est :
R =
A B
L'intégrale, égale à la variation prise sur un tour de la fonction r, est nulle ;
R est donc nul : le système des forces exercées par un champ magnétique
uniforme sur une distribution de courants permanents est un couple.
Le moment de ce couple peut être calculé en un point quelconque, l'origine
par exemple :
r = (D rA(IdrAB) = If (r.B)dr-ICp (r.dr)B
Jc Jc Jc
En sortant B de la seconde intégrale, on voit apparaître la variation sur un
tour de la fonction r2/2, laquelle est égale à 0. On peut transformer la
première intégrale en une intégrale étendue à une surface S s'appuyant sur C à
l'aide de la formule de Kelvin (§ 0.4) :
r = -1 11 v o. b) a ds
(*) Une autre méthode de calcul, énergétique, sera proposée au § 18.5.

134
MAGNÉTOSTATIQUE
On voit facilement que le gradient de la fonction r• B = xBx +yBy + z Bz
est égal à B. Sortant alors B de l'intégrale, on voit s'introduire l'expression (0.7)
qui définit le vecteur-surface du contour C :
r = isab
soit encore
r = wa b
(10.1)
en introduisant la grandeur appelée moment magnétique du circuit C :
9# = IS
(10.2)
Notons qu'il résulte de cette définition que le moment magnétique s'exprime
dans le SI en A.m2. De plus, elle montre que le sens de °ÏÏi et celui de I sont
liés par la règle du tire-bouchon, d'où il découle que °ffl est orienté de la face
Sud vers la face Nord (fîg. 10.1).
♦ N
S
•»
i
Fig. 10.1. - Moment magnétique.
En superposant des boucles de courant, on voit que la validité de (10.1)
s'étend au cas d'une distribution volumique de courants. En utilisant
l'expression (0.9) du vecteur-surface et en effectuant la substitution I dr-+j dr, on voit
que le moment magnétique d'une distribution de courants permanents est
donné par :
(10.3)
Bien que le vecteur-position r figure dans cette expression, la décomposition
en boucles de courants montre que9fi£ est indépendant du choix de l'origine.
Remarque :
On peut noter l'analogie de (10.3) avec l'expression du moment cinétique en O d'une
distribution de masse caractérisée par la masse volumique fl(r) et la vitesse v (r) :
-f
r Afiv dr
(10.4)
Imaginons que l'on mette en rotation un objet à l'intérieur duquel la masse m et la
charge q sont distribuées de la même manière : p (r)//i (r) = q/m. Au mouvement des

DIPÔLE MAGNÉTIQUE
135
charges correspond une densité de courant / = pv. La comparaison de (10.3) et de (10.4)
montre que l'objet acquiert un moment magnétique proportionnel à son moment
cinétique :
9^ = 7(7 (10.5)
Le coefficient de proportionnalité, appelé rapport gyromagnétique, auquel conduit ce
modèle classique est donné par :
7 = ^T~ (10.6)
2m
L'existence d'un lien entre le moment magnétique des atomes et des particules et leur
moment cinétique est confirmé par l'expérience (chap. 25). Toutefois, les résultats des
mesures de y ne sont pas en général en accord avec (10.6). On obtient par exemple :
7 — - e/m pour l'électron au lieu de - ejlm ; ceci signifie simplement que l'image
classique de l'électron comme une boule chargée en rotation (*) est quantitativement inadéquate.
10.2. Dipôle magnétique actif.
On appelle dipôle magnétique actif toute distribution de courants
permanents de moment magnétique non nul dont les dimensions sont petites vis-à-vis
de la distance à laquelle on étudie le champ qu 'elle crée.
Cette définition évoque bien entendu celle d'un dipôle électrique, on notera toutefois
que toute distribution de courants permanents «vue de loin» est assimilable à un dipôle
alors que dans le cas électrique analogue, seule une distribution de charge nulle et de
moment électrique non nul est assimilable à un dipôle. Ceci peut se comprendre, car on peut
déduire de la relation V./ = 0 que l'homologue de la charge totale :
Q= \\\pàr , soit: C = m/dr
est nul pour toute distribution d'extension finie de courants permanents (voir exercice 10.6).
Ce fait devient évident si on admet qu'une telle distribution peut être décomposée en
boucles de courant pour lesquelles :
=iid/= ié(
d/= 0
En fait, nous avons déjà mentionné l'origine de cette différence entre des situations
électrique et magnétique analogues : il n'existe pas de «monopôles magnétiques» qui
seraient les homologues des charges électriques.
• Champ créé par un dipôle magnétique (**).
Nous commencerons par décomposer la distribution considérée en boucles de
courants et par calculer le potentiel-vecteur A (M) créé en un point éloigné M
par une boucle de courant C dont on note P un point quelconque (fig. 10.2).
L'expression (8.2) pour une distribution linéique s'écrit :
4tt Jf
d/
CPM
(*) C'est cette image qui est à l'origine du mot spin (de l'anglais tourner).
(**) Le calcul général développé ci-dessous est assez ardu. L'essentiel est de mémoriser le
résultat très simple auquel il conduit.

136
MAGNÉTOSTATIQUE
U,
M\
w
H
A (M)
B(M)
Fig. 10.2. - Champ d'un dipôle magnétique.
Transformons l'intégrale le long de C en une intégrale sur une surface S
s'appuyant sur C en utilisant la formule de Kelvin (0.4) :
AL
PM
- VE
PM /
A dS
0 étant une origine quelconque au voisinage de C, posons OM = ru. Dans
l'approximation du dipôle actif, r est grand devant les dimensions de C et l'on a :
vp(-L
n PM
u
(*)
On a alors
AL
PM
u
A
dS = S A
u
A
Mo
4tt
Lïïl A
u
—
r£J
On voit que le potentiel-vecteur de la boucle est entièrement caractérisé par le
moment magnétique 97£ = IS de celle-ci :
(10.7)
Par superposition de boucles de courant, la validité de cette expression
s'étend à un dipôle magnétique constitué de courants volumiques.
Remarque : Multipôles magnétiques.
Il ne faudrait pas conclure de l'expression (10.7) que le potentiel et le champ d'une
distribution de courants de moment magnétique nul sont strictement nuls. En fait, nous
n'avons calculé ci-dessus que le premier terme d'un développement suivant les puissances
de 1/r dont les termes ultérieurs sont dits multipolaires (voir exercice 10.4).
( * ) Ne pas oublier que le gradient est ici relatif aux coordonnées de P, d'où le signe.

DIPÔLE MAGNÉTIQUE
137
Pour calculer B = V A A, le plus direct est de travailler dans le système de
coordonnées adaptées à la symétrie du problème : les coordonnées sphériques
r,d,tp. De(10.7), on tire :
Mo cVl sin 0
Ar = 0, Ae = 0, A^
Atî r2
Avec Mi = 1, j"2 = r, fx3 = rsind, (0.19) s'écrit ici
B
r2 sin0
3
dr
0
r sin
a
30
0
6
r
_3_
r sin d A
d'où:
B, =
HocM 3 /sin20
47rr2sin0 30
soit :
(*?)■
B,
Moc^ 3 /sin20
47rrsin0 3r
Br
Mo
47r
29ftcos0
r3
Bô
Mo
4tt
CM
sin0
r3
(10.8)
, K = o
(10.9)
On constate que l'expression du champ B d'un dipôle magnétique de
moment 9/£ se déduit de l'expression du champ E d'un dipôle électrique (voir
MÉCANIQUE 1, § 11.7) de moment p par substitution de 9» à p, B à E et
ju0 à l/e0. Il suffit donc simplement de transposer les résultats déjà obtenus
à propos du champ d'un dipôle électrique (voir tableau récapitulatif à la fin de
ce chapitre). La carte du champ d'un dipôle (électrique ou magnétique) est
rappelée sur la figure 10.3.
On vérifie que cette carte correspond bien à l'allure «vue de loin» du champ
magnétique de diverses distributions (spire, solénoïde...). En examinant la
figure 10.4, on constate que, près des sources, la différence entre un champ
électrostatique et un champ magnétostatique est fondamentale : les lignes de E
divergent à partir des charges positives et convergent vers les charges négatives, les
lignes de B tourbillonnent autour des courants. En revanche, loin des sources,
les deux cartes de champ représentées sur la figure 10.4 tendent vers l'allure
caractéristique d'un dipôle (fig. 10.3).
10.3. Dipôle magnétique passif.
On appelle dipôle magnétique passif toute distribution de courants
permanents de moment magnétique non nul placée dans un champ magnétostatique
extérieur qui est quasi-uniforme sur l'étendue de la distribution.
Pour étudier les actions mécaniques que le champ extérieur B exerce sur le
dipôle, on peut considérer en première approximation B comme strictement
uniforme, les résultats obtenus au § 10.1 montrent que, à cet ordre d'approxi-

GO
00
Fig. 10.3. - Champ d'un dipôle (électrique ou magnétique).
>
O
c/>
H
>
H
O
c
m

DIPÔLE MAGNÉTIQUE
139
Fig. 10.4 .a - E d'un doublet
Fig. 10.4.b - B d'une spire circulaire.
Fig. 10.4.
mation, le système des forces exercées sur le dipôle est un couple dont le
moment est donné par (10.1) :
1 ' (10.10)
^AB
Comme dans le cas du dipôle électrique, ce couple tend à aligner le dipôle
magnétique, supposé rigide, de telle sorte que cllîl soit parallèle à B et de
même sens (voir MÉCANIQUE 1, § 11.7).
Si le champ B n'est plus uniforme, l'effet principal du champ reste un
système de forces pratiquement assimilable à un couple de la forme (10.10) qui
tend à aligner le moment magnétique du dipôle rigide avec le champ B.
A Tordre d'approximation ultérieur (effet secondaire), la non-uniformité
du champ se traduit par l'existence d'une résultante non nulle R des forces
s'exerçant sur le dipôle. Le calcul direct de R à partir d'un développement
limité du champ B (à l'ordre 1) est assez compliqué. Au § 18.5 nous
présenterons une méthode de calcul de R plus simple à partir de considérations
énergétiques.
Nous nous bornerons ici à donner le résultat, soit en coordonnées
cartésiennes :
^ 9B 8B
Rx = 9% . , R = W . —, Rz
9tf .
3B
~a7
qu'on peut aussi écrire :
R = V (TO • B)
(10.11)
(10.12)
expression dans laquelle le moment magnétique 9# doit être considéré comme
un vecteur constant.
Remarque :
Les mêmes relations s'appliquent au dipôle électrique 9^ étant remplacé
par le moment électrique P du dipôle et B par le champ électrique E agissant
sur le dipôle (voir § 18.5).

140
MAGNÉTOSTATIQUE
10.4. Tableau récapitulatif : dipôle électrique et dipôle magnétique.
Si Ton mémorise le tableau ci-dessous, il convient de prendre garde au fait
que la même notation E et B désigne le champ créé par le dipôle ou le champ
extérieur dans lequel il est placé suivant que la formule considérée concerne les
actions exercées (dipôle actif) ou les actions subies (dipôle passif).
Moment.
P
r p dr
9fc
2 JJJ
r A; dr
Potentiel créé.
u
47T60
P-T
V =
1 p cos 6
47T60
Mo u
4tt r2
__ Mo c^sin0
Champ créé.
1 2p cos d
Aire0
1 p sin 6
Ane0
(*)E =
1
Ane0r3
3(p.r)
_ 1 r - Jil
P\ ~ Anr3
D M°
Air
oe - —
An
3{cK.r)
29ftcos0
73
CM sin 8
- -cm.\
Couple subi.
T = pAE r =9#AB
Somme des forces subies.
R* =P
dE
IU=<* »
dx " 9*
R = V (p.E) R = V (Qfc.B)
(en dérivant à moment constant)
Energie potentielle d'un dipôle rigide dans un champ extérieur.
U = -/>.E U = - 9». B (**)
(*) Pour la démonstration de cette expression, v. l'exercice 0.10.
(**) Voir chapitre 18.

DIPOLE MAGNÉTIQUE
141
EXERCICES
10.1. Enroulement sur une sphère.
Soit S une sphère de centre O et de rayon R, soit D un de ses diamètres. On enroule
sur toute la surface de S des spires jointives d'axe D dont le diamètre a est petit devant R.
L'enroulement obtenu est parcouru par un courant d'intensité I. Calculer la longueur de
l'enroulement, son moment magnétique et le champ magnétique en O.
R2 7T2 R3 7T I
Réponses : L = 47T — . CM = -r- I - B = — u0 —.
a 2 a 4 u a
10.2. Disque en rotation.
Un disque de centre O et de rayon a, portant la charge Q uniformément répartie sur
sa surface tourne à la vitesse angulaire O) autour de son axe. Calculer le champ magnétique
en un point du plan du disque situé à la distance /*>ûdeO.
Mo a2
Réponse : B = Q Cû.
167T r3
10.3. Extrait de Ulm A, 1977.
Un point M de l'espace est repéré par ses coordonnées sphériques r, d et <p.
Au point O, origine des coordonnées, est placé un dipôle magnétique cïïl orienté selon
Oz, de module^.
1.1. Donner les composantes du champ magnétique créé par le dipôle magnétique °ltl
au point M de coordonnées r, 6, <p. Donner les équations des lignes de force du champ
magnétique créé par le dipôle magnétique °ÏÏL.
1.2. Une ligne de force £ coupe le plan xQy au point M0 de coordonnées r0, — , </?o-
En appelant s l'abscisse curviligne le long de £ comptée à partir de M0, montrer que, pour
s petit, le module du champ magnétique le long de £ s'écrit :
BW=B (M0) [ 1 + -,- 1
Calculer b en fonction de Tq.
Réponse : b = r0 .
10.4. Quadrupôle magnétique.
Deux spires de rayon a et de même axe Oz ont leurs centres repérés par z = ± h/2 et
sont parcourues par des intensités I opposées. Calculer le champ magnétique sur l'axe du
système pour z > a et h. Comparer la décroissance de ce champ avec celle du champ d'un
dipôle magnétique.
3 Mo I a2 h
Réponse : B = -r- uz. Pour la carte du champ, v. ex. 9.3 et fig. 9.10.
2 z4

142
MAGNÉTOSTATIQUE
10.5. Dipôle dans un champ inhomogène.
1) Dessiner une petite spire circulaire parcourue par un courant placée à l'extérieur
d'un solénoïde circulaire, coaxiale à Taxe Oz de celui-ci, l'axe de la spire étant confondu
avec Oz. Par une analyse purement qualitative, montrer que la somme R des forces subies
par la spire est dirigée suivant Oz. Quel est le sens de cette force si l'intensité dans la spire
est dans le sens positif associé à Oz ?
2) En utilisant le résultat de l'exercice résolu qui termine le chapitre 3, exprimer R en
fonction du moment magnétique de la spire et de la dérivée 9B/9z du champ créé le long
de l'axe par le solénoïde.
9B
Réponse : R=CM — uz.
9z
10.6, Caractère non monopolaire des distributions de courants permanents.
Développer l'expression :
V . (xj)
En déduire que :
JJJ;dr=C
est nul pour toute distribution de courants permanents d'extension finie.
10.7. Champ géomagnétique.
On donne les caractéristiques actuelles du champ magnétique terrestre mesuré à Paris
(latitude X = 49°) : composante horizontale Bh = 2,05.10'5T, inclinaison du vecteur B sur
le plan horizontal 1=64° vers le bas.
1) On essaie de rendre compte de ces caractéristiques en supposant que le champ
géomagnétique est celui d'un dipôle situé au centre de la Terre et dont on suppose d'abord
qu'il est dirigé le long de l'axe des pôles géographiques. Faire une figure et en déduire le
sens du dipôle considéré. Montrer que le modèle adopté permet de prédire une valeur Ii
de I. Comparer au résultat expérimental.
2) On essaie d'améliorer le modèle précédent en tenant compte du fait que le dipôle
considéré est en fait un peu incliné le long de l'axe des pôles géographiques : le pôle Nord
magnétique est situé à la latitude A= 78,5° et à la longitude /i= 105 °W en prenant le
méridien de Paris pour origine. Quelle nouvelle valeur I2 de I obtient-on ?
3) Evaluer l'ordre de grandeur du moment magnétique du dipôle terrestre.
Réponses :
1) tgli = 2tgX, Ii = 66,5°
2) tgl2 = 2tgX avec sin X = sinAsinX+ cos/icos Acos X,
X'=44,9°, I2=63,3°
3)9ft= 7,5.1022 A.m2.
10.8. Dérive de particules dans le plan équatorial géomagnétique.
Méthode des perturbations. (Extrait de Mines, 1976 M).
I. Le champ magnétique terrestre peut être décrit avec une bonne approximation en
assimilant la terre à un dipôle magnétique de moment magnétique cïïi, produisant un champ
magnétique B.

DIPÔLE MAGNÉTIQUE
143
Fig. 10.5.
1) Démontrer que les composantes Bp, B#, Bz dans les axes cylindriques OXYZ sont
de la forme :
B,
Mo 397£pz
Bz = —
47T (p2 + Z2)5/2 '
Bd= 0.
47T (fi2 + Z2)5/2
En déduire les composantes Br, B#, B^ dans les axes polaires P Xl5 Yl5 Zj.
2) Trouver les lignes de champ en utilisant les axes polaires. Indiquer sur un schéma
l'allure de ces lignes, en précisant quelques points.
3) On s'intéresse au champ magnétique au voisinage d'un point 12 situé sur l'équateur
magnétique de la Terre à une distance D du centre de celle-ci. Trouver les composantes de
X Y Z
B au premier ordre en -—, — , — dans les axes O x y z. (On notera X, Y, Z les composantes
de Î2P dans ces axes et on désignera par B^ le champ qui règne en 12).
IL Le but de cette partie est de montrer l'existence de courants annulaires autour de la
Terre. On utilise les notations et les résultats de 1.3.
On considère une particule chargée non relativiste, de charge q, de masse m, localisée à
l'instant t = 0 dans l'équateur magnétique au point 12, animée à cet instant d'une vitesse #o
portée par Ojc.
On notera COg = qBçi/m (pulsation) et a = v0/gû# (rayon de giration).
On admettra que ultérieurement, cette particule reste dans l'équateur magnétique
(z=0).
1) Ecrire les équations différentielles (I) du mouvement de cette particule, dans les
axes O x y z, en utilisant la description du champ magnétique du L3.

144
MAGNÉTOSTATIQUE
2) Quel serait le mouvement de la particule, si on négligeait les termes en 1/D dans (I) ?
Dans cette hypothèse, les coordonnées de la particule seront Xq(0 et Y0(0-
3) On décrit approximativement le mouvement de la particule en posant :
X(t) ^X0(t) + ~ %(t)
Y(f) « Y0(f) + ~ 17(0
où on suppose a/D < 1. (méthode des perturbations).
Déterminer les fonctions £ (t) et 7? (t) en faisant les approximations nécessaires.
4) Montrer que la particule chargée va dériver autour de la Terre avec une vitesse
angulaire Cûj± Que l'on calculera en fonction de C0g, a et D (existence de courants
annulaires).
5) Application numérique :
a) Une mesure par satellite, effectuée à D= 36 000 km fournit un champ magnétique
Bçi= 1,74 X 10"7 tesla. Evaluer le moment magnétique °ÏÏi du dipôle magnétique
équivalent.
b) Un électron placé initialement en D = 36 000 km se déplace dans l'équateur magnétique
avec une quantité de mouveemnt de 0,5 MeV/c. Evaluer COg. Vérifier que a/D < 1. Au
bout de combien de temps aura-t-il fait le tour de la terre ?
(Bien que l'électron soit relativiste, on admettra que la relation trouvée en II.4) reste
valable. On prendra ma c2 = 0,511 MeV ; c : célérité de la lumière).
Réponses :
I. 2) r = k cos2 X ; 3) Ba = Mo^MttD3 ; Bx « B^ . -^ ;
By « 0 ; Bz « - Bn(l - — ) .
II. 2) X0 = a sin OJt. Y0 = a (1 - cos Oût).
. . 3aOû2 oi. t
3) En posant u = % + iri : u - icju = (1 - e'luJL) ; la dérive cherchée pro-
2
vient de la présence dans u du terme 3 iaœt/2.
4) coA = 3a2coB/2T>2.
5) 0)9/1= 8,12.1022A.m2. 5) b) 2,19.104rad.s"1. a/D = 2,66.1g"4. Ta = 45 min.
10.9. Ceintures de Van Allen. Intégrale de Stôrmer.
On assimile le champ magnétique terrestre à celui d'un dipôle de moment magnétique
9# placé au centre O du globe (l'axe Oz de ce dipôle n'étant pas confondu habituellement
avec l'axe des pôles géographiques). On décrit ce champ en un point M au moyen des trois
vecteurs unitaires er (dirigé vers le zénith), e\ (perpendiculaire au précédent dans le plan
méridien Oz, M et pointant vers le nord), e^ (perpendiculaire aux précédents et pointant
vers l'est). Les variables polaires sont r (distance OM), X (latitude géomagnétique), <p
(longitude géomagnétique). On fera une figure en plaçant convenablement le vecteur °ÏÏisur Oz.
1) Calculer les composantes du champ sur les axes précédents ainsi que son module en
fonction de X. A quelle latitude le champ est-il perpendiculaire à Oz ? Trouver l'équation
des lignes de champ. On désigne par LR0 la distance à O du point où une ligne de champ
coupe le plan équatoriel (R0 : rayon terrestre). Tracer les lignes de champ pour L = 2,
L= 4. Déterminer la latitude des points où les lignes de champ rencontrent la surface
terrestre.
Application numérique :
Calculer cïïl sachant qu'aux pôles géomagnétiques |B | = 0,62 gauss ; R0 = 6370 km.

DIPÔLE MAGNÉTIQUE
145
2) Une particule de charge q > 0 et de masse m se déplace dans le champ
géomagnétique. Montrer que la composante sur e^ de son accélération vaut :
a^= —IrsinXXip + r cos Xip + 2fificosX.
En déduire l'équation du mouvement sur cet axe. Vérifier que la quantité :
(cos2 X) rrnprz
V 47T r I
reste constante au cours du mouvement. On désigne par a l'angle que fait le vecteur
vitesse v de la particule avec e^, et on pose : R = r (47îmv/lJioc)?l q)1/2. En déduire l'égalité :
cos2 X
R cos û: cos À = K
R
K désignant une constante (intégrale de S former).
3) a) On suppose K= 0. Etudier les régions interdites aux particules dans un plan
méridien et dans le plan equatorial. En particulier, montrer que dans le plan equatorial, les
particules ne peuvent pénétrer à l'intérieur d'une circonférence de centre O et de rayon :
V 47WIV
Application numérique :
Les particules sont des protons (m= 1,67.10"27 kg) de vitesse 5.104 km.s"^Comment
la mécanique relativiste modifie-t-elle les résultats précédents ?
b) Reprendre l'étude précédente pour K < - 2.
c) Tirer quelques conséquences des résultats obtenus, concernant des phénomènes
connus (particules électrisées piégées ; ceintures de Van Allen).
Réponses :
2tJL0cïllsmX
1)Br~~ ^~ (a_«^\ ■»,_"o£* r
B\
0 = — +X |B| = V4 sin2 X + cos2 X
jU0cWcosX \ 2 / 4irr3
47Tr3 1
sin X = —-= , soit X % 35 °.
V3
Lignes de champ : r = k cos2 X ; cos X = 1/Vl" ; cYll = 8,1 1022 A.m2.
3) a) Dans un plan méridien : les points interdits sont tels que : R < cos X (tracer le
graphe R = cos X en polaires).
m
Pour des particules relativistes, il suffit de remplacer m par —, . {v2 reste cons-
tant puisque la particule le déplace dans un champ magnétique).
r= 1,25.105 km
b) K < - 2 on trouve, dans un plan méridien, une région permise incluse dans une
région interdite. Les particules dans cette région sont «piégées».
10.10. Miroir magnétique.
On considère un champ magnétique B stationnaire dans le vide présentant la symétrie
de révolution autour d'un axe Oz. On désigne par Bz (r, z) la composante sur Oz de B en
un point de coordonnées cylindriques r, z, d et par Br (r, z), la composante radiale de B
au même point.

146
MAGNÉTOSTATIQUE
1) Montrer qu'au 2 ordre près en r : Bz(r, z) = Bz(0, z) et qu'au 3 ordre près en
r dBz
r:Br(r,z) = (0,z).
2 dz
Appliquer ce résultat au calcul de Br(r, z) au voisinage de l'axe d'une spire circulaire de
rayon R parcourue par le courant i.
2) Des particules de charge q et de masse m se meuvent dans le champ B. Montrer
que la quantité r2d+(q/2m)r2Bz se conserve au cours du mouvement. En déduire que si
une particule suit avant son entrée dans le champ (B = 0), une trajectoire rectiligne dans un
plan méridien, elle suivra nécessairement après sa sortie du champ une trajectoire rectiligne
située également dans un plan méridien.
3) La particule a un mouvement dans le champ, au voisinage de Oz, tel qu'on peut
• • •
négliger la vitesse radiale r devant rd et la quantité "devant rO2. On pose CM =qr26/2.
Que représente cette grandeur ? Montrer que dans cette approximation CM est une
constante du mouvement. En déduire que la trajectoire reste circonscrite à un tube de champ
unique. En déduire à quelles conditions vérifiées par le champ, l'approximation paraît
possible.
4) Soit une région voisine de Oz où Bz passe de la valeur Bi à la valeur B2 > Bi dans
le sens des z positifs, l'approximation précédente restant valable. Les particules sont
émises du point de Oz où B = Bi avec une vitesse v0. Le vecteur v0 a un module donné, mais
fait avec Oz un angle aigu variable a, toutes les directions étant également probables (iso-
tropie). Calculer en fonction de B0 et Bi, la fraction des particules arrivant dans la région
où Bz = B2 qui seront réfléchies dans cette région (miroir magnétique). Connaissez-vous
des conséquences ou des applications possibles de ces résultats ?
Réponses :
\ / Bl
4) Fraction des particules «réfléchies» : \/l .
B
2
10.11. Résonance magnétique.
On assimile un proton (charge e= 1,60.10"19 C ; m= 1,66.10"27 kg) à une sphère
chargée de rayon R et de centre O, tournant autour de l'un de ses diamètres à la vitesse
angulaire constante 00 par rapport à un repère galiléen (S). On suppose une densité volu-
r2
mique de charge p (r) = p0 — (r : distance d'un point au centre O). La masse est répar-
R2
tie uniformément.
1) Calculer p0 en fonction de R et de 6, ainsi que le moment magnétique 9ff et le
e
moment cinétique CWs^de la sphère. Montrer que °ÏÏL = k — Cfo(s)- Quelle est la valeur
v ' 2m
de À: ? On adoptera désormais la valeur k = 5,6.
2) La particule est placée dans un champ magnétique uniforme B0, elle est ainsi
soumise au couple C =9KAB. Etudier l'évolution de <*o(s) en fonction du temps dans (S).
Donner la vitesse angulaire Lû0 du mouvement de l'extrémité A du vecteur OA= 0O(s)-
On pourra utiliser un repère tournant convenable.
3) Au champ B0, on superpose un champ magnétique Bx lB0 tournant autour de B0
à la vitesse angulaire U>i dans le repère (S). A l'instant zéro, 0O(S) est parallèle à Bx.
Etudier l'évolution de OA = 0O(S) dans Ie repère (S). On utilisera le repère (Si) tournant à la
vitesse angulaire Oui par rapport à (S). Montrer que OA décrit un cône autour d'un axe
que l'on précisera. Calculer le demi-angle Ol au sommet de ce cône et la composante 00z
de Cf0(s) sur B0. Montrer que 00z oscille entre zéro et une valeur A. Etudier les variations
de A en fonction de 001. Pour quelle valeur C0lm de 601? A est-il maximal ? Calculer
COim pour B0 = 0,3T et B! < B0. Comment réaliser expérimentalement le champ tournant
B1 ; sait-on réaliser expérimentalement des fréquences ?
27T

DIPÔLE MAGNÉTIQUE
147
Réponses :
47T . 2 5e 25
1) C7H = — p0coR5 a0=—mR2co p0 = d'où A; = — .
21 5 47TR3 21
-fa?
2) CO0 = B0 avec : OA = IcWs^ I constant, OA tournant à la vitesse angulai-
2m v '
re iOo autour de B0.
3) Dans le repère (S ), OA, de module constant engendre un cône de révolution à la
ke
vitesse angulaire, dans ce repère : COo - l*>\ Bi.
2m
l«i - fa>ol
tg a = —kê (aaigU')"
2m
A = OA sm 20i maximal pour OL = — soit : la?! - O?01 = — Bx
4 2m
soit si Bx < B0 : CJx ^ COq = 8,1.107 rad.s"1.
10.12. Sphère chargée en rotation.
Une sphère S d'épaisseur négligeable, de centre O et de rayon a est mise en rotation à la
vitesse angulaire Cù autour de l'un de ses diamètres, elle porte une charge q uniformément
répartie sur sa surface.
1) Calculer le moment magnétique 9ff de cette distribution de courants.
2) Calculer le champ magnétique BQ en O.
3) Exprimer sous forme d'une intégrale étendue à S le potentiel-vecteur A en un point
de l'espace M quelconque. A l'aide de la formule du gradient, transformer cette intégrale
en une intégrale de volume. Reconnaître dans cette nouvelle intégrale une expression que
l'on aurait à calculer dans une situation électrostatique simple. En déduire deux expressions
A/ et Ae différentes suivant que M est à l'intérieur ou à l'extérieur de S. A l'aide du cours,
reconnaître dans A/ le potentiel-vecteur d'un champ uniforme et dans Ae celui d'un dipôle
magnétique. Conclure en ce qui concerne le champ de S.
Réponses: Qa2 [X0 qio
1) «K = — CO. 2) B0 = .
3 6tt a
3) B/ = Bo. A l'extérieur, le champ Be est partout identique à celui d'un dipôle de
moment *W , même en des points très proches de S !
10.13. Modèle de l'objet céleste Geminga.
Un modèle proposé en 1984 assimile l'objet céleste appelé Geminga a un système de
deux étoiles à neutrons E i et E 2 qui orbitent autour de leur centre de gravité commun
en restant à une distance constante E iE2 = a- Les deux étoiles sont chacunes assimilables
à un dipôle magnétique, les moments magnétiques 9Ki et9#2 correspondants étant
orthogonaux à EjE2 et dirigés dans des sens opposés ; on pose :cffli = 0tcïiï.,cïfc2 = — cWî(^> 1).
1) Écrire l'expression du champ magnétique B en un point quelconque M (on posera
E1M=/,i,E2M=/'2). Déterminer les points P et P' deE!E2 où Best nul.
2) Montrer que le champ du système peut être divisé en plusieurs régions dont Tune
correspond à des lignes de champ confinées entre les deux étoiles. Tracer l'allure de la
carte du champ relative au modèle proposé.
Réponses :
1) r2/ri = (a)l/3 ; 2) V. figure 10.6 page 148.

148 MAGNÉTOSTATIQUE
Fig. 10.6. - Champ magnétique d'une étoile à neutrons double.
(v. exercice 10.13 p. 147).
Le paramètre (X vaut 8.

QUATRIÈME PARTIE
LOIS GENERALES DE L'ELECTROMAGNETISME

CHAPITRE 11
EQUATIONS DE MAXWELL
Dans un souci de clarté, nous commencerons par postuler d'emblée les équations de
Maxwell dans la forme définitive sous laquelle elles furent publiées en 1864 (§ 11.2).
Toutefois, nous examinerons aussitôt leur contenu physique (§11.3àll.8)ce qui nous
permettra de comprendre comment une réflexion sur l'ensemble des résultats
expérimentaux connus au milieu du dix-neuvième siècle a pu conduire Maxwell à proposer un système
d'équations qui reste, plus d'un siècle plus tard, à la base de toute la théorie
électromagnétique.
11.1. Les postulats de Télectromagnétisme.
L'objet fondamental de l'électromagnétisme est de décrire les interactions
qui s'exercent à l'intérieur d'un système de particules chargées. Rappelons
brièvement la structure logique de la théorie électromagnétique, déjà décrite
au chapitre 2.
Dans un référentiel galiléen R (*), la force F (r, t) qui s'exerce sur une par-
cule de charge q dont la vitesse par rapport à R est v (r, t) est donnée par la loi
de force de Lorentz :
I F - q (E + v A B) I
Cette expression définit dans R un être physique E (r, t), B (r, t) appelé
champ électromagnétique. Le problème général de l'électromagnétisme est
résolu si l'on sait calculer ce champ à partir de la distribution de charges et de
courants qui le crée, caractérisée dans R par les champs p (r, t) (densité de
charge) et y (r, t) (densité de courant). Nous donnons ci-dessous un système de
4 relations locales appelées équations de Maxwell qui, comme nous le
montrerons ultérieurement, permet de calculer le champ (E, B) à partir de sa source
(p,;), ce qui complète la théorie électromagnétique. En résumé, on peut
considérer l'ensemble (loi de force de Lorentz + équations de Maxwell) comme le
système des postulats de Vélectromagnétisme.
Il est possible d'imaginer a priori des démarches différentes de celle dont nous venons
de donner le principe. On pourrait en particulier concevoir une théorie qui décrirait tous
les phénomènes électromagnétiques à partir d'une «grande formule», prolongeant en
quelque sorte celle de Coulomb, qui donnerait à chaque instant la valeur de la force qui
s'exerce entre deux particules chargées de position et de mouvement connus. En fait, une
théorie de ce type serait en désaccord avec les conceptions issues de la théorie de la
relativité qui exclut la possibilité d'interactions instantanées. Nous verrons au contraire au
§ 11.8 que le caractère local des équations de Maxwell rend compte de la célérité finie
avec laquelle se propage l'interaction électromagnétique : une perturbation locale de l'état
d'une distribution de charges fait sentir ses effets de proche en proche par l'intermédiaire
(*) Le problème du choix de référentiel est traité au § 11.9.

152 LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
de modifications du champ électromagnétique, un peu comme l'agitation d'un bouchon
bougeant sur l'eau se transmet à d'autres bouchons par l'intermédiaire des vaguelettes que
son mouvement engendre.
De plus, le développement de la théorie électromagnétique montre que le champ
électromagnétique ne doit pas être considéré comme un simple intermédiaire de calcul mais
plutôt comme un véritable objet physique. Comme nous l'avons déjà suggéré au chapitre 5
à propos des condensateurs, nous verrons que le champ électromagnétique contient et
transporte de Y énergie. Nous verrons également (v. ch. 17, exercice résolu B) qu'il contient
et transporte de la quantité de mouvement.
11.2. Les équations de Maxwell.
1 Equation du flux magnétique
[ Equation de Maxwell-Faraday
( Equation de Maxwell-Gauss
( Equation de Maxwell-Ampère
V .B
VAE
V.E
VAB
= 0
3B
dt
P
= Mo 1 / + e0
3E~
âT.
(M$)
(MF)
(MG)
(MA)
On peut distinguer dans les équations ci-dessus un premier couple (M<ï> et
MF) qui exprime des propriétés intrinsèques du champ électromagnétique alors
que le second couple (MG et MA) exprime le lien entre le champ (E, B) et sa
source (p, /). Montrons tout de suite que ce second couple des équations de
Maxwell «contient» l'équation de conservation de la charge :
Prenant la divergence de MA, on obtient, compte tenu de la formule F3 :
V . ( V A B) = 0 = Mo V . ; + e0 V .
Intervertissant les opérateurs V et d/dt, on retrouve compte tenu de MG
l'équation de conservation de la charge (1.6) :
V.; =
dp
dt
Nous pourrions en conclure qu'il est mutile d'ajouter la conservation de la
charge à la liste de nos postulats. Nous verrons en fait au § 11.7 que la forme
MA a précisément été choisie par Maxwell de façon à ce que le système
d'équations adopté puisse rendre compte du principe de la conservation de la charge,
principe dont la généralité dépasse largement celle des équations de Maxwell.
11.3. Contenu physique de l'équation du flux magnétique.
Nous avons en fait déjà rencontré l'équation M<ï> dans le cadre restreint de
la magnétostatique (§ 6.5).
Soit S une surface fermée quelconque limitant un volume V, l'expression du
flux magnétique sortant de S à l'instant t peut se transformer à l'aide de la
dE
ht

ÉQUATIONS DE MAXWELL
153
formule d'Ostrogradski
$ =
B. dS
( V • B) dr = 0
On en déduit que Véquation M<ï> exprime le caractère conservatif du flux
magnétique :
(M3>) V . B = 0
il
B • dS = 0 , V S
(11.1)
Rappelons que, comme nous l'avons indiqué au § 6.5, M<& exprime d'une
part que le flux magnétique se conserve à un instant donné le long d'un tube de
champ et d'autre part qu'il est possible de définir le flux <ï> (t) à chaque instant
à travers un contour sans préciser la surface utilisée pour calculer celui-ci.
D'un point de vue concret, M<ï> traduit l'allure caractéristique des cartes de
champ magnétique que l'on peut observer. En particulier, les lignes de B ne
peuvent pas, comme le font les lignes de E, diverger à partir de «points sources»
qui seraient les homologues magnétiques des charges électriques ; le flux de B à
travers une surface fermée entourant un tel point serait en effet non nul
(fig.n.i).
E oui
B non !
Fig. 11.1.
En termes lapidaires, on retiendra que M& exprime qu'on ne connaît pas
de charges magnétiques (*). Ce fait est à l'origine de la dissymétrie entre les
rôles de E et de B qui apparaît à l'examen des équations de Maxwell : M<ï> et
MG ont une structure mathématique analogue mais M<I> ne contient pas de
« terme de source ».
11.4. Contenu physique de Féquation de Maxwell-Faraday.
Nous avons déjà rencontré cette équation en électrostatique (§ 3.1) sous la
forme restreinte :
VAE - 0 (MF,)
(*) Si, comme le précisent certains théoriciens, on découvrait un jour des particules
porteuses de charges magnétiques (monopôles magnétiques), il suffirait d'introduire dans
les équations de Maxwell des termes de source supplémentaires (voir exercice 11.3). La
présence de charges magnétiques resterait toutefois une curiosité et leur absence, la règle.

154
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
qui exprime que la circulation de E est conservative en régime permanent. Dans
le cas général, la signification physique de MF apparaît en examinant la
circulation à l'instant t de E le long d'un contour C fixe. S étant une surface
quelconque s'appuyant sur C, la formule de Stokes donne :
d/ - ( VAE).dS -
On reconnaît dans la dernière expression la dérivée par rapport au temps du
flux magnétique qui traverse C (*). Nous avons donc montré que Yéquation de
Maxwell-Faraday exprime la relation connue sous le nom de théorème de
Faraday :
9B r d$
(MF) VAE <=* d)E.d/ = (11.2)
dt J dt
Cette relation exprime qu'un champ magnétique dépendant du temps donne
naissance à un champ électrique à circulation non conservative. Au chapitre 19,
nous verrons que la circulation de E le long d'un contour est égale à la force
électromotrice e induite dans ce contour. Dans ces conditions, on voit que
(11.2) est en accord avec la loi expérimentale e = — d<£> /dt découverte en 1831
par Faraday. En définitive : Yéquation de Maxwell-Faraday rend compte du
phénomène d'induction électromagnétique (**).
Remarque :
Comme nous l'avions déjà souligné aux chapitres 3 et 6, la relation :
VAE - 0
s'applique au champ électrique en régime permanent (dB/dt — 0 dans ce cas).
11.5. Contenu physique de l'équation de Maxwell-Gauss.
Rappelons que, dans le cadre de l'électrostatique (§ 3.2), nous avions établi
MG à partir du théorème de Gauss considéré lui-même comme une conséquence
de l'expression en 1/r2 du champ électrostatique d'une charge (loi de Coulomb).
Postulant cette fois MG, nous pouvons calculer le flux électrique sortant à
l'instant t d'une surface fermée S limitant un volume V à l'aide de la formule
d'Ostrogradski :
£E-
* = 4P E . dS =
(*) Le flux magnétique étant conservatif, il est inutile de préciser la surface S choisie
pour calculer $.
(**) Plus précisément, de l'un des deux aspects de ce phénomène (voir chap. 19).

ÉQUATIONS DE MAXWELL
155
En notant Q la charge totale contenue à l'instant t à l'intérieur de S, nous
en concluons que MG exprime la validité générale du théorème de Gauss :
(11.3)
Notons bien que cette extension du domaine de validité du théorème de
Gauss au cas des régimes non permanents n'a rien d'évident (*). Pour tester la
validité de ce nouveau postulat, montrons tout de suite qu'il permet de rendre
compte d'un fait expérimental que nous avons déjà mentionné plusieurs fois
(§ 5.9 et 6.2) : l'absence de charges volumiques à l'intérieur d'un conducteur
parcouru par des courants.
• Relaxation d'un conducteur. (**)
Pour examiner l'évolution de la densité de charge p à l'intérieur d'un conducteur
parcouru par des courants, le plus simple est de partir de l'équation de conservation de la
charge :
v . / =
J dt
Si le conducteur est ohmique de conductivité o et homogène :
V.; = V .((JE) = o( V.E) + E.(Va)= G( V.E)
En utilisant MG, on voit que p (r, t) vérifie l'équation différentielle :
ap
o
dt e0
dont la solution est de la forme
p= 0
■t/e
P= Poe
en introduisant une durée appelée temps de relaxation du conducteur
O
(11.4)
(11.5)
L'expression (11.4) exprime qu'un éventuel excédent local de charges disparaît de
l'intérieur d'un conducteur en un temps de quelques d. L'origine physique de ce phénomène
est simple : si, dans un milieu initialement globalement neutre, on accumule des charges
positives en certains points et des charges négatives en d'autres points, des forces
électriques de rappel s'exercent entre les régions de charge opposée, si le milieu est suffisamment
conducteur, ce déséquilibre tend rapidement à disparaître.
Compte tenu de 60 = 1/(36 7T. 109), on voit que ce phénomène de relaxation (retour à
un état d'équilibre) est très rapide, même dans des conducteurs\très médiocres (a « S.m ).
Pour les métaux, (a^ 107 à 108 S.m"1), on obtient d « 10"19s ; l'expression (11.4) est
dans ce cas irréaliste puisque la loi d'Ohm cesse d'être valable pour des champs qui varient
de manière sensible pendant des durées inférieures à f « 10"14s, durée qui correspond
à \ = c T « 10"6m (proche infrarouge). Nous retiendrons le résultat pratique : à
l'intérieur d'un conducteur métallique homogène, la densité volumique de charge peut être
considérée comme nulle dans tout le domaine des fréquences hertziennes (c'est-à-dire
depuis le régime permanent jusqu'à l'infrarouge en passant par les fréquences industrielles
et radioélectriques).
(*) D'autant plus que la loi de Coulomb ne s'étend pas au cas de charges en mouvement
(voir § 3.2 ainsi que l'appendice A relatif à la formation relativiste de l'électromagnétisme).
(**) Sur la loi d'Ohm V. CIRCUITS ÉLECTRIQUES ET ÉLECTRONIQUES 1.

156
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
11.6. Contenu physique de l'équation de Maxwell-Ampère.
Nous avons déjà rencontré une forme restreinte de cette équation dans le
cadre de la magnétostatique (§ 6.6) :
VAB = Mo/ (MA,) (11.6)
Comme nous l'avons alors mentionné, MA, exprime que la circulation de B
est donnée en régime permanent par le théorème d'Ampère de la magnétostati-
que, ce théorème exprimant lui-même le lien entre le champ B et sa source : le
champ magnétostatique tourbillonne autour des courants qui l'engendrent.
En régime non permanent, calculons la circulation à l'instant t de B le long
d'un contour C en utilisant la formule de Stokes et la forme générale de
l'équation (MA) ; S étant une surface quelconque s'appuyant sur C :
(j) B . d/ = |T ( V AB) . dS = Mo [ ([ ; • dS + JJ e0 — • dS I
En notant is l'intensité qui traverse S (*) à l'instant t et en introduisant la
notation :
I 7\V I
(11.7)
on voit que Yéquation de Maxwell-Ampère exprime la forme générale du
théorème d'Ampère :
(MA) VAB = MoD*+/D] 4>B.d/=jLt0[is+ /D-dS]
(11.8)
En examinant la forme générale du théorème d'Ampère, on voit que le flux
du terme ;d intervient de la même manière que l'intensité is (Aux de la densité
de courant /). L'usage est de conserver à/D le nom qui lui a été attribué par
Maxwell : «densité de courant de déplacement». Il ne faudrait pas toutefois
que cette expression un peu malheureuse induise en erreur :/D ne représente ni
un courant, ni un déplacement de quoi que ce soit ! Le sens physique de la
présence du terme jD dans MA est en fait le suivant :
Un champ électrique dépendant du temps est, au même titre qu'un courant,
une source de champ magnétique.
On notera que l'influence du terme jD = e0 dE/dt dans l'équation de
Maxwell-Ampère est à cet égard analogue à celle du terme — dB/dt dans
l'équation de Maxwell-Faraday (**).
A la différence de ce qui se produit en régime permanent, la présence de ces
deux termes réalise un couplage entre les champs E et B qui interdit de dissocier
les deux composantes du champ électromagnétique (E, B). Nous allons de plus
(*) Noter que, comme nous sommes en régime non permanent, l'intensité n'est plus
conservative, de telle sorte que / dépend du choix de S.
(**) Noter toutefois que cette analogie est limitée. Notamment, nous verrons que dans
la limite des champs lentement variables, le terme e0 dE/dt disparaît à la différence du
terme -dB/dt.

ÉQUATIONS DE MAXWELL
157
voir bientôt (§ 11.8) que ce couplage est à l'origine de la conséquence la plus
saisissante des équations de Maxwell : la possibilité d'une propagation du champ
électromagnétique. Avant d'aborder cette question, nous allons donner un bref
et schématique aperçu des raisons qui ont conduit Maxwell à postuler la forme
précise des équations qui portent son nom.
* 11.7. Origine du terme /D
A la différence des autres termes des équations de Maxwell, la présence de/j) n'est pas
directement issue de l'expérience et il est nécessaire de donner un aperçu historique
schématique.
Avant 1864, date à laquelle Maxwell publia les équations (M<Ê>, MF, MG, MA), les lois
de l'électromagnétisme telles qu'elles avaient été dégagées de l'expérience pouvaient se
résumer dans le système (M<Ê>, MF, MG, MA5) qui ne diffère du système complet des
équations de Maxwell que par l'absence de/j).
Ce système (que nous reverrons au § 13.5 sous le nom d'« Approximation des régimes
quasipermanents») rend compta convenablement des faits expérimentaux tant que l'on est
limité à des distributionslentementvariables,cequi était le cas avec les moyens de l'époque.
On pouvait par contre critiquer la cohérence logique de ce système :
En prenant la divergence de MA^, on obtient compte tenu de la formule F3 : V .j= 0
ce qui n'est vrai qu'en régime permanent. Maxwell chercha à introduire dans MA5 un
terme supplémentaire en posant :
VAB = Mo [/ + /d] (MA)
de façon à assurer la cohérence du nouveau système avec le principe de conservation de la
charge exprimé par l'équation : ^
dp
En prenant la divergence de MA et compte tenu de MG, on voit que jd doit vérifier :
9E"
dt
0,
équation dont Maxwell choisit la solution particulière la plus simple :jn = €o (dE/dt).
Ce choix s'est trouvé ultérieurement, comme nous allons le voir au paragraphe suivant,
justifié par des conséquences vérifiables expérimentalement (*).
11.8. Propagation du champ électromagnétique.
Nous nous bornerons ici à montrer comment la structure des équations de
Maxwell permet de prévoir l'existence de ce phénomène, renvoyant son étude
détaillée au chapitre 15 qui traite des ondes électromagnétiques.
• Compréhension intuitive du phénomène.
La propagation est une conséquence du couplage déjà mentionné entre des
champs E et B non permanents : imaginons que soit créée dans une petite
région de l'espace une perturbation du champ électrique (variation de E dans le
temps). Le terme e0 (dE/dt) crée dans le voisinage de cette région un champ B
variable (équation MA). Le terme correspondant crée dans son propre voisinage
(*) Il ne faudrait pas que le caractère simpliste de cet exposé historique fasse sous-
estimer le mérite de Maxwell. Ce dernier ne disposait pas de l'élégant formalisme de
l'analyse vectorielle. De plus, en homme du 19e siècle, il croyait nécessaire d'étayer sa théorie
par un modèle mécaniste compliqué, ce qui paraît aujourd'hui inutile.

158
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
un nouveau champ électrique (équation MF). Ce champ électrique variable
engendre à son tour un champ magnétique...
On conçoit ainsi comment une perturbation du champ électromagnétique
peut se propager de proche en proche.
• Equations de propagation des champs E et B.
Pour préciser quantitativement la question, il est naturel de chercher à
obtenir à partir du système des équations de Maxwell deux équations «découplées»
ne contenant plus respectivement que E et que B. Pour obtenir l'équation
relative à E, le plus simple est d'exprimer le rotationnel de MF, à l'aide de la
formule F4 :
/ 9B\ a
VA(VAE)=V(V.E)~ V2E= VA = (VAB)
\ dt / dt
En introduisant dans les deux membres les expressions fournies par MG et
MA, on en déduit la première équation cherchée :
92E 1 dj
V2E - e0/i0 — = ~ Vp + no -/- (11.9)
dt2 €0 dt
De manière symétrique, en prenant le rotationnel de MA, on a :
VA(VAB)- V (V.B) - V2 B =Mo V A; + Mo^o VA —)
\dt /
En tenant compte de M<I> et de MF, on en déduit :
a2B
V2B - e0Mo —" = ~ Mo VA; (11.10)
dt2
Notons au passage que Ton voit bien sur (11.9) et (11.10) que le découplage
complet existant en régime permanent entre un champ E de source p et un
champ B de source; n'est plus réalisé en régime variable.
En un point où p = 0,; = 0, les champs E et B satisfont à la même équation
de propagation :
a2E
V2E - e0jUo — = 0 (11.9')
ot*
92B
V2B - eoMo — = ° (1110)
otl
Avant de pouvoir montrer en quoi les équations (11.9f) et ( 11.10') rendent
bien compte d'un phénomène de propagation, il.nous faut traiter un
complément mathématique (V. aussi PHYSIQUE ONDULATOIRE).
• Equation de d'Alembert (*) à une dimension.
Soit s (x, t) une grandeur fonction de l'abscisse x et du temps t qui vérifie, v étant
une constante, l'équation différentielle :
dx2 v2 dt2
(Dx) ou (11.11)
(*) Jean Le Rond d'Alembert, mathématicien et philosophe français (1717-1783).

ÉQUATIONS DE MAXWELL
159
ce qui peut encore s'écrire :
/ 9 9 \ / 3 9 \
i v + i i v — _ — js = q
\ dx dt I \ dx dt /
a a
dx dt
Posons : p = t + x/v, q= t - xjv et considérons x et t comme des fonctions dtp et q
a dp a dq a i / a a
dx dx dq dx dq v \ dp dq
9 dp a dq a a a
dt dt dp dt dq dp dq
On a donc
a a
V +
dx dt
dx
d__
dt
a
2TP
d«
et (Di) peut s'écrire
d\
dpdq
0
ou encore :
_9_ / 9s\_
: dp \bq/
équation qui s'intègre successivement en : ds/dq = \p (q) puis, / (q) étant une
primitive de <p(qO,en :s = f(q) + g (p).
La solution générale de l'équation de d'Alembert (Di) est donc de la forme :
(11.12)
s(x,
0 =
/
/
('■
*\
t)
+
'1
f x\\
\ v /1
Interprétons la solution particulière :
*i (x, t) = /
En remarquant que :
K)
/( t-- ) = / (t+ At- ——-) si Ax=vA>
on constate que la grandeur se propage sans déformation avec la célérité v le long de Ojc
(fïg.11.2).
s,(x,t)=/(t-A)
A x- vAt
instant t instant t+ &t
Fig. 11.2.
f (t- x/v) représente ce qu'on appelle une onde progressive.

160
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTÏSME
En résumé :
La solution générale de l'équation de d'Alembert à une dimension peut s'interpréter
comme la superposition de deux ondes progressives de vitesses opposées.
• Equation de d'Alembert à trois dimensions (*).
Soit s (x, y, zy t) une grandeur scalaire, l'équation :
(D3) ou (11.13)
admet pour solutions particulières des fonctions du type :
•('-;)• •(-;)■ '(-;)
Ces fonctions ont respectivement, à un instant t donné, même valeur en tout point d'un
plan x = constante, y = cte et z = cte. Elles représentent des ondes planes progressives se
propageant avec la célérité v respectivement le long des axes Ox, Oy et Oz.
(D3) étant linéaire, toute superposition d'ondes planes progressives de célérité v est
solution de (D3). On verra dans l'exercice ci-dessous un autre type de solution particulière
de (D3).
EXERCICE RÉSOLU A
Onde sphérique
Un champ scalaire à symétrie sphérique vérifie l'équation (D3). Donner l'expression de
s (r, t) et interpréter le résultat obtenu.
Solution.
En explicitant le Laplacien en coordonnées sphériques (0.23), (D3) s'écrit :
1 d2 1 b2s
r dr2 v2 dt2
soit, en posant u = rs :
d2u 1 d2u
dr2 v2 dt
2 7\+2
s,frt)4J(t-X)
instant t
instant t+At
Fig. 11.3.
(*) Ou équation classique des ondes.

ÉQUATIONS DE MAXWELL
161
u vérifie l'équation (D^, la solution générale cherchée est donc
fr'0-7/('-7)*7f(' + 7)
(11.14)
Cette expression s'interprète comme la superposition d'une onde sphérique divergente
et d'une onde sphérique convergente. Sur la figure 11.3, on a représenté l'onde divergente
si (r, f) = - / \t
-7)
A la différence de l'onde plane, l'onde sphérique se propage en se déformant et en
s'atténuant.
Conclusion : les ondes électromagnétiques.
Maxwell remarqua que, compte tenu de (11.9) et (11.10), les six
coordonnées du champ électromagnétique (E, B) vérifient, dans la région de l'espace
située en dehors des sources (p = 0,y = 0), des équations qui s'identifient à D3
en posant v2 = l/e0 Mo- Ceci impliquait que le champ est susceptible de se
propager avec une célérité dont la valeur numérique v « 3 . 108 m . s-1 pouvait
être déduite d'expériences d'électrostatique et de magnétostatique déterminant
les valeurs de e0 et de Mo- Par ailleurs, l'analyse des phénomènes lumineux de
diffraction et d'interférences effectuée au début du 19e siècle par Young et
Fresnel avait mis en évidence le caractère ondulatoire de la lumière sans arriver
pour autant à préciser la nature du phénomène lumineux. Enfin, les mesures
réalisées par Fizeau en 1851 donnaient pour la célérité de la lumière dans le
vide une valeur c qui, aux incertitudes expérimentales près, s'identifiait à la
célérité v des ondes électromagnétiques dont l'existence apparaissait comme
une conséquence nécessaire d'une théorie cohérente de Pélectromagnétisme.
Maxwell tira les conclusions de cet ensemble de résultats en affirmant la
nature électromagnétique de la lumière, ce qui revient à identifier v à c, d'où la
célèbre relation :
' (11.15)
e0 Mo c1
1
Simultanément, la théorie laissait prévoir l'existence dans d'autres domaines
de fréquences d'ondes électromagnétiques fondamentalement identiques malgré
la variété de leurs propriétés pratiques. Les ondes électromagnétiques
engendrées par des moyens électriques furent obtenues par Hertz (*) en 1887, plus
de vingt ans après que leur existence ait été prévue par le génie de Maxwell !
Remarque :
En introduisant l'opérateur d'Alembertien
n'2 =
: V2 -
1
C1
a M
dt2\
f**\
(11.16)
Il nous suffira de retenir les équations du champ électromagnétique (1L91)
et (11.10') dans l'espace vide de charges et de courants sous la forme :
I D2E - 0; D2B - 0 I (H.17)
(*) Heinrich Rudolph Hertz, physicien allemand (1857-1894).
(**) Attention, certains ouvrages notent le d'Alembertien □.

162
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
11.9. Dans quels référentiels les équations de Maxwell
sont-elles valables ?
Au début de ce chapitre, nous avons dit que nous postulions les lois
fondamentales de Pélectromagnétisme (force de Lorentz + équations de Maxwell)
dans un référentiel galiléen R sans préciser lequel. Pour Maxwell et ses
contemporains, les conclusions à tirer des équations de propagation du champ
électromagnétique apparaissent claires : le référentiel R dans lequel les lois de
Pélectromagnétisme sont valables a un rôle privilégié, car c'est par rapport à lui et
donc, compte tenu des lois classiques de la cinématique, à lui seul, que lalumière
se propage avec la célérité c. Identifiant ce «référentiel absolu» ou «éther»
avec le référentiel de Copernic, il devenait naturel de chercher à mettre en
évidence le fait que la lumière doit avoir, dans un référentiel R' entraîné par
rapport à R par le mouvement orbital de la Terre une célérité c'^ c.
On sait (*) que les expériences réalisées à cette fin par Michelson à partir de
1881 ne donnèrent pas le résultat attendu. La solution de ces contradictions
fut apportée par le principe de relativité restreinte formulé par Einstein en
1905 : les lois de la physique ont même formulation dans tous les référentiels
galiléens ; en particulier, les équations de Maxwell sont valables dans un
référentiel galiléen R quelconque. On en déduit que les ondes électromagnétiques
se propagent avec la même célérité c par rapport à tout référentiel galiléen, ce
qui rend compte ipso facto du résultat des expériences de Michelson.
Remarque :
Compte tenu du mouvement de rotation diurne de la Terre, le référentiel terrestre n'est
pas strictement galiléen, on montre toutefois que l'influence de ce fait sur les expériences
d'électromagnétisme est tout à fait négligeable (**).
* 11.10. Théorème de superposition.
Soit (pl5 ji) une distribution de charges, en mouvement qui est la source du champ
(Ej, B i). Le système (p i, /1, Ex, Bx) est une solution des équations de Maxwell.
Soit de même (p2, J2) la source du champ (E2, B2). Le système (p^/V ^2> B2)
est une autre solution des équations de Maxwell. Les équations de Maxwell étant linéaires
admettent également pour solution le système :
(X1P1 + X2p2, XJi + X2</2, XxEi + X2E2, XxBx + X2B2)
Xi et X2 étant deux réels quelconques. En admettant l'unicité de la solution des équations
de Maxwell pour une distribution donnée (***), la distribution :
(XxPx + X2p2, \1j1 + X2J2)
engendre le champ (Xx Ex + X2E2, XjBx + X2B2).
Ce résultat, conséquence immédiate de la linéarité des équations de Maxwell, constitue
le théorème de superposition des champs.
(*) Voir MÉCANIQUE 1, § 15.9.
(**) Il n'en va pas de même pour les expériences de mécanique (déviation vers l'Est
de la chute libre...).
(***) La solution générale que nous donnerons au chap. 13 suppose que la source
(p, j) est d'extension finie et qu'elle est connue dans tout l'espace-temps. Ce type de
situation est rarement réalisé. On est le plus souvent amené à résoudre les équations
de Maxwell dans un domaine limité, l'unicité de la solution étant alors assurée par des
conditions aux limites (voir chap. 3, exercice résolu A).

ÉQUATIONS DE MAXWELL
163
Remarque :
A propos de la notion de superposition, il convient de noter que si l'on met en présence
deux sources initialement décrites par (Pi, /i) et (P2,]2)> il y a en général, du fait de leur
interaction, des modifications réciproques, de sorte que la source résultante n'est pas
(Pi + P2, h + J2>-
Cette remarque qui limite l'intérêt pratique du théorème de superposition vaut, en
particulier, pour les conducteurs en équilibre électrostatique qui, mis en présence,
s'influencent réciproquement.
EXERCICE RÉSOLU B
Un exemple de «champ électrique courantique» (*)
Les seuls champs électriques permanents E (r) que nous connaissions jusqu'ici sont
engendrés par des distributions permanentes de charge p (r). La structure de ces champs
(champs électrostatiques « chargiques») est bien connue ; ils divergent à partir des charges
qui sont leur source. Nous allons voir qu'il est possible d'engendrer à partir de courants
non-permanents des champs électriques («courantiques») qui, tout en étant permanents,
ont une structure profondément différente de celle des champs électrostatiques usuels
(«chargiques»).
1) Soit /i (r) une distribution de courants permanents qui est la source d'un champ
magnetostatique Bx (r) et considérons une distribution de courants D qui évolue au
cours du temps t suivant la loi / = ji t/r , T étant une constante de temps. On admet que
le champ magnétique engendré par D est de la forme B= Bx (r) t/r . Montrer que le
champ (E, B) peut satisfaire aux équations de Maxwell, E étant alors permanent.
2) En quoi la structure de ce champ E (r) diffère-t-elle profondément de celle d'un
champ électrostatique («chargique») ? Justifier le qualificatif de « tourbillonnaire»
appliqué à ce champ.
3) Montrer que le champ E (r) a même structure qu'un champ magnetostatique dont
la source serait une distribution de courants J que l'on exprimera en fonction de Bx et
de r .
4) Examiner la structure de E (r) dans les deux cas suivants de distribution D :
a) Long solénoïde circulaire.
b) Petite bobine torique dont le petit rayon est négligeable devant le grand rayon.
Solution.
1) et 2) L'équation M<& est bien satisfaite par le champ B proposé puisque Ton a :
V.B = t/r (V.Bj) = 0
L'équation de Maxwell-Ampère MA s'écrit :
V A B = //e (;+ e0 dE/dt)
soit : t/r (V A Bx) = ju0 (t/r jx + e0 dE/dt)
En exprimant que Bx et ji sont liés par l'équation de Maxwell-Ampère de la
magnetostatique MA$ (V A Bj = Mo/i), on en déduit dE/dt = 0, c'est-à-dire le* caractère
nécessairement permanent du champ E.
La source du champ ne comportant que des courants (p = 0), l'équation de Maxwell -
Gauss MG s'écrit :
V.E = 0
L'équation de Maxwell-Faraday peut enfin être satisfaite avec :
VAE= -dB/dt = -Bx/r
Les deux dernières équations montrent respectivement que le champ E (r) est à flux
conservatif et à circulation non conservative. Ces propriétés diffèrent entièrement de celles
(*) D'après A. Miller, Uspekhi Fizitcheskikh Nauk, 1-1984.

164
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
des champs électrostatiques conventionnels («chargiques») ; en revanche, elles
correspondent à celles d'un champ magnéto statique qui «tourbillonne» autour de sa source (les
courants qui l'engendrent).
3) Plus précisément, le système (MG, MF) vérifié ci-dessus par E est
mathématiquement identique au système qui permet de calculer un champ magnétostatique b à partir
de sa source J :
V.fc= 0
(conservation du flux)
Vâ6 = /XqJ
(Maxwell-Ampère)
à condition d'effectuer la substitution b ->E et de poser :
J= —Bi/fioT
4) a) Avec les notations des coordonnées cylindriques, Bj est uniforme et parallèle
à uz pour r < a, nul pour r > a ; J correspond donc à des courants répartis
uniformément à l'intérieur d'un cylindre d'axe Oz et de rayon a. E est donc dirigé suivant Uq
et varie en r pour r < a et en l/r pour r ><z (voir § 9.2).
b) Oz désignant l'axe de la bobine, Bx est dirigé selon Uq et confiné à l'intérieur de
la bobine (voir § 9.4). Le courant J correspondant équivaut à celui d'une spire circulaire.
Le champ d'une «petite» spire circulaire est celui d'un dipole magnétique dont le
moment est porté par uz. Le champ B d'un dipole magnétique ayant même structure que
celui d'un dipole électrique (voir § 10.2), le champ E produit est celui d'un dipole
électrique.
Pour conclure, mentionnons que ces «champs électriques courantiques» ne sont
pas une simple curiosité théorique ; ils peuvent être observés dans des systèmes engendrant
des impulsions de courant, tel est par exemple le cas dans les tokamaks destinés aux
recherches sur la fusion thermonucléaire.
EXERCICES
11.1. Ecoulement de charges à partir d'un point.
Un petit objet situé autour d'un point O émet des charges de façon isotrope.
1) Démontrer que le champ magnétique engendré par ce système est partout nul.
2) Q (0 étant la charge contenue à la date t à l'intérieur d'une sphère de centre O et
de rayon r, calculer E (r, t) etj (r, t).
3) Montrer que l'équation MA conduit à un résultat cohérent.
11.2. Condensateur alimenté en haute fréquence. (V. aussi pb. 20.8).
Un condensateur C est constitué par deux disques conducteurs de même rayon a=3 cm
et de même axe Os. On néglige les effets de bord en supposant que E est partout parallèle
à 02 à l'intérieur de C (fig. 11.4).
Ue

ÉQUATIONS DE MAXWELL
165
1) co étant la pulsation de la tension alternative appliquée aux bornes de C, on cherche
un champ électrique solution des équations de Maxwell à l'intérieur de C sous la forme :
E = E (r) cos œt uz
Etablir l'équation différentielle vérifiée par E (r). Chercher une solution de cette
équation sous forme de série entière (poser x = rco/c).
2) Représenter graphiquement E (r) à l'intérieur de C pour une fréquence de 1 GHz.
Que peut-on dire de E à l'intérieur de C pour des fréquences inférieures à 100 MHz (plus
haute fréquence reçue par un récepteur radio équipé pour la modulation de fréquence) ?
3) Pour une fréquence inférieure à 100 MHz, calculer B à l'intérieur de C en
admettant qu'il est de la forme : _ , ^
^ B = B (r, t) uQ
4) A l'aide d'un calculateur, représenter E (x) pour 0 Kx < 18.
Réponses :
d2E 1 dE co2
1) —— + + — E
0
2 (-l)P
x2P
1
drz r Ar cz " v \p = 0 x "' 22P(p\y
2) E est sensiblement uniforme à l'intérieur de C pour v < 100 MHz.
3) B = - (rœ/2c2) E0 sin tôt uQ.
4) Cf. la figure 11.5.
E/E0
.9
. 8
. 7
,6 ~)
.5 J
. 4 H
. 3
. i -1
x=rœ/c
!iiiiiiii|iiiiiiih{mi
1 2
|mLMn]iMMMii|miiini|nn/^m]inuMn|iiuniii|niHmi|Uiiiuii|iMu^
e
10 11/
13
u
16 17/18
Fig. 11.5.
Condensateur en haute fréquence
(la fonction E/E0 obtenue est une fonction de Bessel d'ordre zéro).
11.3. Monopôles magnétiques.
Que deviendraient les équations de Maxwell en présence d'une distribution de charges
électriques et de charges magnétiques en mouvement ? On notera pm etym des «densités
de charge et de courant magnétiques » et Ton admettra un « principe de conservation de la
charge magnétique».
9B / / . 9E\
Réponse :
V A E
V.B= MoP
Mo/m + ^
m
V A B = Mo
V.E-A
('
>e°ïï)
«0

CHAPITRE 12
INDICATIONS SUR L'ÉLECTROMAGNÉTISME
DES MILIEUX MATÉRIELS
L'étude complète de l'électromagnétisme des milieux matériels, de même que les
notions d'excitations, de permittivité et de perméabilité ne figurent qu'au programme
des classes PP'. Cette étude fait l'objet de la dernière partie de ce livre (chap. 21 à 29).
Nous ne donnons ci-dessous que quelques indications sommaires destinées aux étudiants
des classes MM'.
12.1. Charges libres et charges liées.
Il est en général possible de diviser les particules chargées d'une distribution en deux
catégories :
- Des particules telles que les protons des noyaux et les électrons des atomes sont
attachées à la structure du milieu matériel auquel eues appartiennent. L'amplitude de leurs
déplacements éventuels est très limitée (de l'ordre de 1 A). On appelle charges structurales
ou charges liées de telles particules.
— D'autres particules comme les électrons de conduction d'un métal ou les particules
indépendantes d'un faisceau peuvent effectuer des déplacements importants, on les appelle
charges libres. On rangera également parmi les «charges libres» les particules chargées que
l'on peut déposer à la surface d'un isolant. D'une manière générale, les charges libres sont
par opposition aux charges liées, des particules susceptibles de déplacements dans la matière
très supérieurs à l'ordre de grandeur des dimensions atomiques.
12.2. Principe de l'étude d'un milieu matériel.
Les équations de Maxwell sous la forme où nous les avons données au début de ce
chapitre sont valables sans aucune restriction à condition de faire intervenir comme sources
de champ toutes les particules, libres et liées :
(M<£) V.B = 0 ( (MG) V.E = — [PHbre + Piié]
9b r dEi
(MF) V A E = - — J (MA) V A B = Mo [/libre + /lié + ^0 ^ J
La connaissance de p\& et j\£ exige une analyse minutieuse de l'état microscopique
du milieu considéré. En particulier, j\fè se rattache à l'existence de moments magnétiques
au niveau microscopique (chap. 25).
12.3. Excitations, permittivité, perméabilité.
On montre (voir partie PP ) que l'étude d'un grand nombre de milieux (milieux diélec-
triques et milieux magnétiques) peut être facilitée en introduisant des champs vectoriels
auxiliaires D {excitation électrique) et H {excitation magnétique) dont la définition fait
intervenir respectivement Pué et j\fè. Ces densités disparaissent alors du second couple
des équations de Maxwell qui prend la nouvelle forme :
' (12.1)
(12.2)

INDICATIONS SUR L'ÉLECTROMAGNÉTISME DES MILIEUX MATÉRIELS 167
Le système formé par l'équation du flux magnétique M<Ê>, l'équation de Maxwell-
Faraday MF et les équations % § et °ÏÏl^l ci-dessus est parfois appelé <réquations de
Maxwell dans un milieu matériel». Il peut être résolu si on sait relier les champs
fondamentaux E et B aux champs auxiliaires D et H par des expressions caractéristiques du
milieu considéré. De telles relations constitutives peuvent être déduites de séries de mesures
ou, quand c'est possible, d'un modèle théorique relatif au comportement des charges liées
du milieu.
Pour de nombreux milieux (dits milieux linéaires et isotropes) ces relations constitutives
sont, pour les champs pas trop intenses, de simples proportionnalités :
(12.3)
(12.4)
Les scalaires positifs e et jU sont respectivement appelés permittivité et perméabilité
du milieu au point considéré. On remarque tout de suite qu'en l'absence de charges et de
courants liés (présence de charges et de courants libres dans le vide), les équations 9#£
et cMs^î s'identifient respectivement à l'équation de Maxwell-Gauss MG et à l'équation
de Maxwell-Ampère MA à condition de noter e0 la permittivité du vide et Mo &
perméabilité du vide (*). L'usage est de caractériser un milieu linéaire et isotrope par deux
grandeurs sans dimension €r et \lr définies par :
D =
H =
e
l
E
B
e= ere0
M= MrMo
(12.5)
(12.6)
La constante €r, appelée permittivité relative ou constante diélectrique & déjà été
rencontrée au cours de l'étude des condensateurs ; er est toujours supérieur ou égal à un,
il peut atteindre des valeurs importantes pour des milieux constitués de molécules polaires
(€r « 80 pour l'eau à la température ordinaire).
La constante \Xr est appelée perméabilité relative, pour la très grande majorité des mil-
lieux, l±r est très voisin de un (très légèrement supérieur à un pour les milieux dits para-
magnétiques et très légèrement inférieur à un pour les milieux diamagnétiques). En
revanche, pour certains milieux {ferromagnétiques et ferrimagnétiques), \Xr peut être très
supérieur à 1 (*"*).
Remarque :
Les équations dites «dans les milieux» *)%$ et Wsrt peuvent sembler plus simples que
les équation^ dites parfois «dans le vide» MG et MA. Malgré cette apparence (qui est liée
au système d'unités adopté et à des raisons historiques), il importe de retenir que le
système qui présente une importance théorique fondamentale est bien celui des équations de
Maxwell vues au chapitre précédent. Il faut considérer D et H comme de simples auxiliaires
de calcul dont Fintroduction permet de «camoufler les charges ou courants liés», masquant
ainsi une analyse microscopique approfondie du milieu considéré.
12.4. Cas des métaux.
Dans le cas des métaux, Piibre est *a densité volumique de charge des électrons de
conduction et p^é représente la densité volumique de charge des cations du réseau
cristallin. En régime permanent et dans tout le domaine des fréquences hertziennes, on a (voir
§ 11.5) : p= Piibre+ Plié ^ 0> de teUe sorte qu'il suffit d'écrire l'équation de Maxwell-
Gauss sous la forme :
V.E= 0
(*) Ces expressions, usuellement adoptées, ne doivent pas abuser ; il convient de
souligner que les équations MG et MA sont fondamentales et ne sont pas de simples cas
particuliers des équations 9ff Ç etWsrt (voir remarque en fin de paragraphe).
(**) Dans ce cas toutefois, la relation constitutive liant H à B n'est plus linéaire, on
définit encore [X et [Xr par (12.4) et (12.6) mais \lr est une fonction de H.

168
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
En ce qui concerne les densités de courant, j\^ve représente le mouvement d'ensemble
des électrons de conduction. De plus, dans certains métaux, dits ferromagnétiques (Fe,
Co, Ni), le comportement des spins des électrons est assimilable à un/iié dont
l'intervention dans le second membre de l'équation de Maxwell-Ampère est à l'origine de propriétés
magnétiques très marquées. En revanche, pour les métaux usuels (Cu, Al ...) dits «non
magnétiques», on 2lJx& ^0, de telle sorte que MA s'écrit simplement, avec / =/iifcre :
V A B = Mo
9E
dt
En conclusion, nous retiendrons qu'// n'y a pas lieu d'introduire les excitations D et H
pour écrire les équations de Maxwell dans un métal non magnétique (*).
(*) Ou encore, si on introduit D et H, ceci revient à faire 6r = flr= 1.

CHAPITRE 13
RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE MAXWELL
Les équations de Maxwell constituent un système différentiel du premier ordre qui,
dans le cas général, ne permet pas d'expliciter séparément les champs E et B en fonction
des densités p et/, comme le montrent les équations (11.9) et (11.10). Introduisant des
grandeurs V et A appelées potentiels en fonction desquels les champs E et B s'expriment
sous forme de dérivées premières, nous verrons que la liberté qui s'introduit dans le choix
des transformations de jauge permet d'aboutir à des équations différentielles du second
ordre {équations de Poisson) dans lesquelles les sources p et j se trouvent découplées (*),
d'où la possibilité d'arriver à une solution générale V (p), A (j) (solution des potentiels
retardés) dont on déduit le champ électromagnétique cherché par des dérivations.
Le lecteur aura remarqué que la démarche décrite ci-dessus n'est qu'une extension
de celle que nous avons adopté pour résoudre les équations de Maxwell de la magnéto-
statique (chap. 7 et 8).
Le lecteur notera que, hormis celles du premier paragraphe, les connaissances figurant
dans ce chapitre ne sont pas exigibles. En revanche, le résultat obtenu au § 13.5
(approximation des régimes quasipermanents) est essentiel, puisque c'est sur lui que se fonde
notamment toute l'étude de l'électrocinétique.
13.1. Introduction des potentiels.
Comme nous allons le voir, la possibilité d'introduire des potentiels découle
des propriétés mathématiques qui s'expriment dans le premier couple des
équations de Maxwell :
V. B - 0 (M3>) V A E (MF)
dt
Comme nous l'avons déjà montré en magnétostatique (§ 7.1), M <ï> permet
d'introduire un champ vectoriel A (r, t) appelé potentiel-vecteur tel que :
B - VA A.
Introduisant A dans MF, on aboutit à :
V A (E + dA/bt) = 0
Or, on établit en mathématiques que si un champ vectoriel est à rotationnel
nul, on peut trouver au moins un champ scalaire <ï> dont il est le gradient, soit
ici :
E + dA/dt = V $
Pour retrouver des expressions qui s'identifient en régime permanent avec
celles de l'électrostatique, on posera <ï> = — V, le champ scalaire V (r, t) est
(*) Mais il ne faut pas oublier que p et j restent liés par l'équation de conservation de
la charge V •/ = ~~ 9p/ 9*•

170
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
appelé dans le cas général des régimes non permanents potentiel scalaire. En
résumé, le champ (E, B) «dérive des potentiels» (V, A) par les relations :
(13.1),(13.2)
Comme nous le verrons au chapitre 19, le terme — 3 A/9? joue un rôle
essentiel dans l'interprétation des phénomènes d'induction électromagnétique, il est
appelé champ électromoteur de Neumann.
* 13.2. Indétermination des potentiels.
• Transformation de jauge.
Soit (E, B) un champ dont on connaît un couple (V0, A0) de potentiels. Nous voulons
savoir s'il existe d'autres couples de potentiels de ce champ, c'est-à-dire des couples
(V, A) autres que (V0, A0) qui vérifient (13.1) et (13.2).
A0 vérifiant (13.1), tout champ :
A = A0 + V \p
vérifie également (13.1) car le rotationnel d'un gradient est nul (formule F2).
Le couple cherché devant vérifier (13.2), on doit avoir :
dA
Ht
- V V
9A0
Soit
V V,
dont une solution possible est
En résumé
9(/5
dt
<$ (r, t) étant un champ scalaire quelconque, si (V0, A0) est un couple de potentiels du
champ (E, B), on peut obtenir d'autres couples (V, A) de potentiels de ce champ par les
relations connues sous le nom de transformation de jauge :
(13.3), (13.4)
Pour une situation physique donnée, c'est-à-dire pour un champ (E, B) déterminé, on
peut trouver une infinité de couples (V, A) de potentiels.
# Condition de jauge.
On peut profiter de l'indétermination précédente pour tenter d'imposer au couple
(V, A) choisi une condition supplémentaire. Pour des raisons qui apparaîtront au
paragraphe suivant, il est souvent fructueux de choisir la condition, dite jauge de Lorentz :
1 9V
V.A + — = 0
c2 dt
(13.5)

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE MAXWELL
171
Montrons que ce choix est possible. Soit (V, A) un couple déduit du couple (V0, A0)
par la transformation de jauge :
i 3v i av0 i a
V.A+— —= V.A0+— + V.(V<£) + -
c2 dt c2 dt c2 dt
1 (-Ol)
^2 2 1 9
ou encore en introduisant l'opérateur d'Alembertien □ = V
c2 dt2
1 3v
V.A + —■-—=V.A0+ „
c2 dt c2 dt
i av0 n2
(13.6)
Nous admettrons qu'un choix convenable du champ if permet de donner au premier
membre de cette équation la valeur nulle désirée.
* 13.3. Equations de Poisson.
Introduisons les expression (13.1) et (13.2) de E et B en fonction des potentiels dans le
second couple d'équations de Maxwell :
V.E = V. - VV
9A\ p_
dt I e0
(MG)
VAB = V A( VA A) = JU0
;+ e0
dt
3A\'
VV ,
dt/l
(MA)
Compte tenu de V. ( V V) = V 2V (formule Fj), V A ( V A A) = V ( V . A) - V 2A
(formule F4) et de la relation e0Moc2 = 1 '•
(V.A)=V2V+ —
dt e0
1 3V
V I V.A + —
c2 dt
2 1 92A
v A-C~a^+^'
En choisissant la jauge de Lorentz (13.5) (*) et en utilisant l'opérateur d'alembertien,
on obtient deux relations locales dites équations de Poisson :
P
□2V+ — = 0
□2A+ jUo/= 0
(13.7), (13.8)
Remarque 1 :
Ces équations ne sont pas une simple conséquence des équations de Maxwell, elles
«contiennent» aussi la jauge de Lorentz. Une autre jauge donnerait d'autres «équations
aux potentiels».
(*) On comprend ici l'intérêt de ce choix qui simplifie considérablement les expressions
obtenues en séparant les couples (V, p) et (A, j).

172
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
Remarque 2 :
Dans le cas particulier des régimes permanents, le d'Alembertien D2 se réduit au Lapla-
cien V 2 et on retrouve les équations de Poisson déjà introduites en Electrostatique et en
Magnéto statique :
V2V= (3.5) V2A=-Mo7 (7.6)
En outre, la condition de jauge de Lorentz se réduit effectivement dans le cas des
régimes permanents à :
V.A= 0 (7.4)
* 13.4. La solution des potentiels retardés.
• Solution des équations de Poisson dans le cas général.
Soient D une distribution d'extension finie de charges et de courants, p (t) et/ (t)
les densités de charge et de courant en un point S de D à l'instant t. En un point M
quelconque de l'espace (SM = r) les potentiels sont, à l'instant t ,V (M, t) et A (M, f) (fig. 13.1).
v (m,0
A (M.tj
Fig. 13.1.
On montre que la solution physiquement acceptable des équations de Poisson (13.7)
et (13.8) est la solution dite des potentiels retardés :
(13.9), (13.10)
• Interprétation physique des potentiels retardés.
La comparaison de ces expressions avec celles données à la fin du § 8.8 montre que le
calcul des potentiels en M à l'instant t s'effectue comme en régime permanent. La seule
différence est que ce ne sont pas les valeurs des densités de charge et de courant en S à
l'instant t qui interviennent mais les valeurs de ces densités à l'instant antérieur t —r/c.
En d'autres termes, un observateur placé en M est informé des modifications survenues
en S avec le retard At = r/c qui correspond au temps de propagation d'un signal
électromagnétique de S vers M.
Ce résultat est particulièrement satisfaisant pour l'esprit. De toute façon, des
expressions qui auraient fait dépendre les potentiels en M à l'instant t de l'état de S à cette
même date auraient permis une transmission instantanée d'informations de S vers M, en
contradiction avec les résultats de la théorie de la Relativité.
• Justification sommaire des potentiels retardés.
Soit, autour d'un point S, un élément de volume Ar de charge àq (t). Le potentiel
AV (r, t) créé par cet élément de source à l'instant t en des points extérieurs à Ar situés
à la distance r de S vérifie :
D (AV) = 0 (équation de Poisson dans le vide)

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE MAXWELL
173
Cette équation n'est autre que l'équation de d'Alembert dont nous avons étudié au
§ 11.8 (exercice résolu) la solution générale pour un champ scalaire à symétrie sphérique.
Une solution particulière de cette équation est une onde sphérique divergente à partir de S
de la forme :
1 / r
AV(r,o = -/U --
r \ c
Si Aq était indépendant de ty AV serait donné par l'expression de l'électrostatique :
AV(r)= àq/4ire0r.
On admettra donc que la solution cherchée est :
AV(r,0 =
4tt€0 r
d'où, par superposition, l'expression du potentiel scalaire retardé d'une distribution, puis,
par analogie, celle du potentiel-vecteur retardé.
Remarque 1 :
Les champs E et B que l'on peut déduire des expressions des potentiels retardés ne sont
solution des équations de Maxwell que si ces potentiels vérifient la jauge de Lorentz (13.5).
On peut montrer que c'est bien le cas, nous n'effectuerons pas ce calcul assez ardu.
Remarque 2 :
L'équation □ (AV) = 0 possède également des solutions du type « onde sphérique
convergente» :
1 / r
A v (r, o = - / ( f + —
r \ c
De telles solutions, mathématiquement acceptables, conduisent à des potentiels qui
dépendent des densités p (t+ r/c) et / (t+ r/c). On rejette habituellement ces «potentiels
avancés» au nom du principe de causalité : l'effet (variation des potentiels en M) ne saurait
être antérieur à la cause (variation des densités en S) (*). Notons que le choix delà solution
des potentiels retardés qui en résulte introduit une distinction entre passé et avenir qui
n'existe pas dans les équations de Maxwell.
13.5. Approximation des régimes quasi-permanents (ARQP).
Comme nous l'avons mentionné au § 13.7, les phénomènes
électromagnétiques connus avant Maxwell pouvaient être décrits à l'aide d'un système qui ne
diffère du tableau complet des équations de Maxwell que par l'absence dans
l'équation de Maxwell-Ampère du «courant de déplacement » /d = e0dE/dt.
Nous allons voir que ce système constitue en fait une approximation des lois
générales de l'électromagnétisme valable pour des distributions dont la
structure ne varie pas trop rapidement dans le temps. Cette approximation est
connue sous le nom d'approximation des régimes quasipermanents (ARQP) ou
des états quasistationnaires :
V . B = 0 (M$) V . E = — (MG)
ARQP:j afi 6° (13.11)
VAE = (MF) V AB = Mo/ (MA,)
dt
(*) Certaines théories ont néanmoins utilisé des combinaisons linéaires de potentiels
retardés et avancés pour tenter d'éliminer des contradictions que l'on rencontre en
appliquant les lois de Télectromagnétisme aux charges élémentaires.

174
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
Les champs sont toujours liés aux potentiels par :
B= VaA et E = - V V - 9A/3£
puisque les équations (M<ï>) et (MG) sont inchangées. On peut déjà deviner la
nature de cette approximation : le couplage entre E et B introduit par le terme
;d est à l'origine du phénomène de propagation (§ 11.8), en supprimant ce
terme, l'ARQP néglige les phénomènes de propagation (*). La notion de
potentiel retardé va nous permettre de préciser les limites de validité de cette
approximation. Examinons tout d'abord les conséquences immédiates du tableau des
équations de l'ARQP.
• En prenant la divergence de MA$, on obtient V . ; = 0, ce qui signifie
que Y intensité (flux de j) est conservative dans le cadre de l'ARQP. Cette
propriété essentielle de l'ARQP est à la base de toute l'électrocinétique (loi des
courants dérivés ou loi des nœuds). En particulier, comme en régime
permanent, on peut définir une même intensité / (t), à chaque instant t, en tous les
points d'un même circuit non bifurqué, alors que dans le cas général des
régimes variables l'intensité varie (à t donné) le long du circuit.
• On note que les équations M<ï> et MA^ de l'ARQP sont identiques aux
équations de la magnétostatique. Si on introduit un potentiel-vecteur A (t)
auquel on impose la même jauge qu'en magnétostatique, soit V . A = 0,
on obtient en procédant comme au § 7.5 la même équation de Poisson qu'en
magnétostatique. On en déduit alors comme au § 8.1 qu'une solution
convenable pour une distribution d'extension finie est :
Mo ÇÇÇj(t)dr
A(0 =^JJJ:^7- (13.12) (**)
Nous pouvons en conclure que, en ce qui concerne le champ magnétique,
l'ARQP revient à utiliser à l'instant t les résultats établis en magnétostatique.
• Introduisons de même E = — V V — dA/dt dans MG. Compte tenu de
V . A = 0, on obtient pour le potentiel scalaire V (t) de l'ARQP la même
équation de Poisson qu'en électrostatique, d'où pour une distribution
d'extension finie la solution :
^i/fr^ (i3.i3)
En comp arant ( 13.12) et ( 13.13) aux expressions ( 13.9) et ( 13.10), on voit
que l'ARQP revient notamment à négliger les retards àt = r/c qui figurent dans
les expressions des potentiels retardés. Cette condition permet de préciser le
domaine de validité de l'ARQP dans le cas d'une distribution dont les densités
varient dans le temps de façon périodique. On doit pouvoir négliger au point M
où l'on calcule le champ tous les retards At = SM/c devant la période T. En
introduisant la longueur d'onde X = cT d'une onde électromagnétique de
période T, la condition de validité de l'ARQP en M devient V S G D, SM < \ :
On est dans les conditions de validité de l'ARQP en un point dont les distances
à tous les points de la distribution sont petites devant la longueur d'onde. Pour
(*) Le lecteur peut du reste vérifier tout de suite que la suppression de /d remplace par
des laplaciens les d'alembertiens qui traduisent le caractère d'équations de propagation
de(11.17).
(**) Compte tenu du fait que V. j = 0 dans l'ARQP, on vérifie comme au § 8.1 que
cette solution satisfait bien à V . A = 0.

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE MAXWELL
175
une fréquence de un mégahertz on a encore X = 3. 108/106 = 300 m, ce qui
justifie parfaitement l'emploi de l'ARQP pour les circuits de dimension usuelle.
Remarque importante :
On notera que, contrairement à ce qui se produit pour le champ B, qui se
calcule dans l'ARQP comme en magnétostatique, l'expression du champ E de
l'ARQP diffère de celle du champ électrique permanent par la présence du
champ électromoteur de Neumann — 9A/9? (*). En d'autres termes : l'ARQP
néglige les phénomènes de propagation mais pas les phénomènes d'induction
électromagnétique.
13.6. Tableau récapitulatif : le champ électromagnétique.
Loi de force de Lorentz
dF
F=q(E + vAB) /= —=pE+/AB
dr
Equations de Maxwell
( V • B = 0 (M$) ( V . E = —
) 1^0
1 ] 'XI) ) I™" ^f "1
(VAE = -— (MF) [VAB = /io[y + e0—J
Conservation de la charge
1 dt
Potentiels
r)A
E = -V V-— B= VAA
dt
* Jauge de Lorentz
C2 dt
♦Equations de Poisson
□ 2V + — =0 D2A + ju0; = 0
eo
♦Solution des potentiels retardés
47re0 JJJ r 4tt JJJ r
(MG)
(MA)
(*) De manière équivalente, on note que les équations vérifiées par le champ E de
l'ARQP diffèrent de celles de l'électrostatique et des régimes permanents par la présence
du terme — dB/dt dans le second membre de l'équation de Maxwell-Faraday.

176
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
13.7. Retour sur les régimes permanents.
Comme nous l'avions déjà annoncé au chapitre 2, le couplage qui existe en
régime variable en raison des termes — dB/dt (MF) et e0 dE/dt (MA) disparaît
en régime permanent, ce qui justifie que nous ayons pu étudier de manière
séparée les propriétés du champ électrique permanent et du champ magnétique
permanent. Le lecteur vérifiera que les propriétés résumées dans le tableau du
§ 8.8 se déduisent de celles du tableau ci-dessus en supprimant les termes
dépendant du temps. On notera par ailleurs que la seule condition pour qu'un
champ E puisse être calculé par les lois des régimes permanents est que la
distribution qui le crée vérifie dpjdt = 0, dj/dt = 0. Cette condition définit un
domaine d'étude, celui du champ électrique permanent qui est plus étendu que
celui de Y électrostatique au sens strict qui est l'étude des distributions de
charges fixes dans le référentiel choisi (; = 0). La même distinction n'apparaît pas
en ce qui concerne B : les termes de champ magnétique permanent et de champ
magnétostatique sont synonymes.
EXERCICES
13.1. Champs engendrés par une plaque plane parcourue par un courant sinusoïdal.
Soit xOy un plan défini conducteur parcouru par un courant de densité superficielle
uniforme : i - i0 cos CJt ux.
1) En utilisant l'expression des potentiels retardés, calculer le potentiel-vecteur A (z, f)
à la date t en un point de cote z. Pour ce calcul, on prendra sinoo = 0 (!)
2) Calculer les champs E et B en M. Décrire la situation physique obtenue.
3) Tenter de justifier a posteriori le curieux calcul fait en 1.
Réponses :
[X0c / z\
1) A = i0 sin 00 ( t ] uy
2(x> \ c }
ix0c ( z
2) E = 10 cos co ( t J ux.
2 \ c
Mo
B = ï'o COS CO
2
(":)-'
13.2. Lévitation d'une plaque supraconductrice (Polytechnique, 1978).
Partie I
Certains métaux ou alliages, à température suffisamment basse, deviennent
supraconducteurs. C'est le cas par exemple du plomb. Nous admettrons qu'un tel corps est un
conducteur parfait (il ne peut porter aucune charge interne et le champ électrique interne
y est strictement nul) et que d'autre part la densité de courant j y est reliée au potentiel
vecteur A par la relation fondamentale :
2nq2
j = - ~ A, (1)
m
A étant choisi de façon que sa divergence soit nulle. Ici q et m sont respectivement la
charge et la masse de l'électron (q = 1,6 x 10"19C ; m = 9,11 x 1(T31 kg), n est le nombre
d'électrons de conduction par unité de volume (3 X 1028 électrons par mètre cube pour le
plomb).

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE MAXWELL
177
1) Calculer, dans le cas du plomb, la quantité :
1
V 2nq2 jUo /
(on rappelle que la valeur numérique de [X0 dans le système international est 4 7T.10"7).
Quelle est sa nature physique ou, si l'on préfère, sa dimension en fonction des unités
fondamentales de longueur, temps et masse ? Dans une expérience d'électrodynamique
courante de laboratoire, peut-elle être considérée comme très petite ou très grande ?
2) A l'intérieur d'un supraconducteur, on écrira des équations de Maxwell qui sont les
mêmes que dans le vide, le champ électrique étant supposé identiquement nul. Montrer
que le champ magnétique y vérifie une équation de la forme :
A B - X2 B = 0 (2)
( A étant l'opérateur laplacien, dont l'expression dans un repère cartésien est :
a2 a2 a2
— + — + —)
dx2 dy2 dz2
et l'on exprimera X en fonction de ô.
3) L'espace étant rapporté à un repère orthonormé direct Oxyz, soit un
supraconducteur dont la surface est le plan d'équation x = 0 et qui remplit la région x > 0. On suppose
que dans le vide extérieur règne un champ magnétique statique, dont les composantes Bx
et Bz à la frontière sont indépendantes de y et z. La composante By de ce champ est
supposée nulle à la frontière et, la question étant traitée à l'échelle microscopique, le champ
est pris continu à la frontière.
Quelle est l'expression des composantes du champ B à l'intérieur du supraconducteur
(on admettra qu'elles ne dépendent pas de y et z) ? Outre la composante By, l'une des
composantes Bx et Bz est nulle. Laquelle et pourquoi ? Quelle condition cela imposerait-il
pour le champ externe à la frontière ?
4) Déduire des équations de Maxwell la densité de courant à l'intérieur du
supraconducteur.
5) Montrer qu'il s'exerce une certaine force électromagnétique par unité de surface du
supraconducteur. Quelle est sa direction ? Quelle pression exerce-t-elle ?
Partie II
1) En s'appuyant sur ce qui précède, on justifiera les règles suivantes pour les
conditions macroscopiques qui régnent à l'intérieur et à la surface d'un supraconducteur :
a) Le champ magnétique interne y est nul.
b) L'une des composantes du champ magnétique externe (on précisera s'il s'agit de la
composante normale ou tangentielle) s'annule à la frontière.
c) Il y a un courant superficiel g (courant par unité de surface) que l'on écrira sous la
forme :
g=K(«AB,)+KB,
où n est le vecteur unitaire normal à la surface du supraconducteur et dirigé vers
l'extérieur, et Be le champ externe à la frontière.
d) La force par unité de surface est une force due à une pression p.
On précisera les valeurs de K, K et de p, et la raison essentielle de ces approximations.
2) On considère un supraconducteur en forme d'anneau plat (vu en coupe par la figure
13.2) et l'on appelle S le disque médian s'appuyant sur le bord interne de l'anneau. En
utilisant une équation de Maxwell, prouver que le flux magnétique <ï> au travers de S est une
constante indépendante du temps et donc du mouvement des dispositifs physiques
extérieurs à l'anneau, quels qu'ils soient.

178
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
3) Au-dessus de l'anneau, supposé horizontal, est placé un autre supraconducteur dont
la surface plane et horizontale est située à la distance h de l'anneau. On fait l'hypothèse
simplificatrice suivante : dans la zone située entre les deux supraconducteurs, à une
distance r de Taxe de l'anneau comprise entre le rayon interne a et le rayon externe b, le
champ B est radial et son intensité ne dépend que de r.
Calculer cette intensité B (r), en fonction de <ï>, h et r.
Calculer la force exercée par l'anneau sur le supraconducteur qui le surmonte. On ne
tiendra compte que de la force exercée à l'aplomb de l'anneau (c'est-à-dire dans la zone
située à une distance de l'axe comprise entre a et 6).
Dans quelles conditions les approximations faites vous paraissent-elles justifiées ?
•/////////////////////////////h/////////////////////////////
BW
W/III//I////,
tl
f
W///////////A
Fig. 13.2.
4) On prend <3> = 2.8.10"5 weber, - = e2 (e étant la base des logarithmes népériens)
a
et la masse m du supraconducteur supérieur égale à 0,1 kg. Calculer la valeur d'équilibre ho
de h, en supposant le supraconducteur supérieur en lévitation (c'est-à-dire qu'aucune autre
force que la pesanteur et la pression du champ ne s'exerce sur lui).
5) Si l'on perturbe faiblement cet équilibre, on observe que la distance h varie
périodiquement dans le temps. Expliquer cet effet. Calculer la fréquence des oscillations.
Réponses :
I. 1) ô = 2,17.10"8 m; 2) X = l/ô ; 3) B = B0e" »z ,
B0
,-x/S
u,
4);
Moô
ex'6u.
5) p= BS/2jUo-
II. 1) g = — (»ABe); 3) B (r) = <Ë> jlitr h ;
i / In (b/a) 1 \ / 2g
4) h0 = $\/ = 1,00 cm ; 5) v = —\/— = 7,05 Hz.
V47rjU0mg 27T V ^o

CHAPITRE 14
ENERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE
Nous avons indiqué (chap. 5) qu'on pouvait considérer l'énergie électrostatique Wg
d'un condensateur comme répartie dans l'espace entre les armatures sous forme d'énergie de
1
champ avec une densité volumique w = — 6 0 E . Nous allons généraliser ce résultat à
un champ électromagnétique (E, B) variable quelconque. Indiquons tout de suite le
résultat auquel nous parviendrons : l'énergie de champ est répartie dans l'espace avec une
1 2 l 2
densité volumique :n>=-e0E+ B .
2 2jU0
14.1. Energie du champ électromagnétique.
• Energie localisée dans le champ.
On sait que de l'énergie est emmagasinée dans un condensateur sous tension
ou dans une bobine parcourue par un courant. On peut supposer que cette
énergie est contenue dans le champ E qui règne entre les armatures du
condensateur ou dans le champ B qui règne à l'intérieur de la bobine. Plus
généralement, l'expérience suggère que de l'énergie se trouve localisée dans les régions
de l'espace où règne un champ électromagnétique.
Remarque :
La relativité entraîne qu'à une énergie dW correpond une masse dm= dW/c2. Ceci
fournit un argument en faveur du caractère localisé de l'énergie électromagnétique :
l'énergie électromagnétique ayant une masse, elle est une source de champ gravitationnel ;
il faut donc bien qu'elle soit répartie d'une manière déterminée pour que le champ
gravitationnel soit déterminé de manière univoque.
• Transport d'énergie par le champ.
L'énergie solaire nous parvient à travers le vide interplanétaire par
l'intermédiaire d'ondes électromagnétiques. Le transport d'énergie par un champ
électromagnétique est appelé rayonnement. C'est un phénomène très général et d'une
importance extrême. Par exemple, une particule électrisée en mouvement
accéléré rayonne de l'énergie électromagnétique (rayonnement d'accélération, voir
§ 15.10). Ainsi, le mouvement oscillatoire des électrons d'une antenne, est à
l'origine du rayonnement de l'antenne.
14.2. Equation de conservation de l'énergie.
Nous nous inspirerons de la démarche suivie pour déduire Y équation :
dp
v.y = - —
dt

180
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
qui exprime le principe de conservation de la charge. Cette méthode très
générale permet d'obtenir l'expression locale de toute loi de conservation (*).
Soit S une surface fermée quelconque (surface de contrôle) qui limite le
volume V où règne un champ électromagnétique (fig. 14.1).
Fig. 14.1.
Par analogie avec la densité de charge p nous définirons une densité volumi-
que d'énergie électromagnétique :
(14.1)
Le volume V contient ainsi l'énergie électromagnétique
W
w dr
Exprimons que la puissance fournie par une diminution de W se retrouve
sous forme de puissance cédée à la matière contenue dans V et sous forme de
puissance évacuée à travers S sous forme de rayonnement.
dW _
" ~~ y cédée à la matière "• Crayonnée
(principe de conservation de l'énergie)
(14.2)
j • E dr
En appliquant le résultat du § 2.7 :
y cédée à la matière =
Par analogie avec la densité de courant; qui est telle que
«s = Jy.ds
(*) V. MÉCANIQUE 2, ch. 6 pour la formulation des lois de conservation de la masse,
de la quantité de mouvement et du moment cinétique.

ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE
181
il est tentant de chercher à identifier une «densité de courant d'énergie» II
telle que :
(14.3) (*)
L'usage est d'appeler II vecteur de Poynting (**) ou vecteur radiant.
Nous pouvons maintenant écrire le principe de conservation de l'énergie
sous la forme :
d
dt JS
w dr =
dw
— dr
dt
j . E dr +
£"•
dS
Transformant la dernière intégrale par la formule de la divergence et
remarquant que l'égalité obtenue est réalisée pour un domaine d'intégration
quelconque, on obtient Y équation de conservation de l'énergie :
(14.4)
Remarque :
dp
La comparaison avec l'équation de conservation de la charge : = V • j
dt
montre que l'analogie entre les couples (/, p) et (II, w) n'est pas totale. La
présence du terme supplémentaire j . E provient de ce que l'énergie n'est pas
intégralement conservée sous forme électromagnétique mais peut être cédée à la
matière.
14.3. Identification du couple (II, w).
Multiplions scalairement l'équation de Maxwell-Ampère (MA) par E pour
faire apparaître; . E :
/ B \ 9E
E. VA- = ;.E + e0E. —
\ Mo / M
En utilisant successivement la formule F8 et l'équation de Maxwell-Faraday
(MF) : 3B
V.(EAB) = B.(VAE)-E.(VAB) = -B. E.(VAB)
dt
(*) Une formule de ce genre ne définit pas un champ vectoriel unique. Si Ilo est un
choix possible, n=IIo+ VAfl, a étant un champ vectoriel quelconque convient
également. En effet, en utilisant successivement les formules d'Ostrogradski et F3 :
( V Aa).dS
V . ( V A a) dr = 0
(**) Joseph Henry Poynting, physicien anglais (1852-1914).

182
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
En reportant E . ( V A B) dans la première expression
B dB
Mo dt
V. E A
B
Mo
3E
:/'. E + e0E . —
dt
soit encore
[
>2 1
f£i + B
2 2ju0 -I
r B i
. E A —
L Mo J
+ /.E
La comparaison de cette expression avec l'équation de conservation de
l'énergie ne permet pas de déterminer le couple (II, w) de manière unique.
Nous ferons le choix le plus simple :
(14.5)
Vecteur de Poynting
unité
Densité volumique d'énergie
électromagnétique
unité
w.
J.
11 =
m"2
w =
m"3
B
= E A —
Mo
e0E2 [ B2
2 2ju0
(14.6)
L'expression (14.6) de w généralise celle obtenue au chapitre 5 pour la
densité d'énergie électrostatique. Cette relation peut être démontrée
directement dans le cas des régimes indépendants du temps. Dans le cas général d'un
champ variable, on peut seulement dire que l'utilisation du couple (II, w)
conduit à des prévisions confirmées par l'expérience. On peut donc considérer
ce choix comme un postulat supplémentaire de l'Electromagnétisme.
Notons enfin, que le couplage des champs E et B, fait qu'en régime variable,
il n'est pas possible de considérer séparément les densités :
wE
2
et wB
1
2Mo
B2
Remarque :
Nous utiliserons surtout le vecteur de Poynting au chapitre 15 (Ondes planes
électromagnétiques). Cette notion s'applique néanmoins à tout champ électromagnétique, y
compris aux champs permanents: Nous conseillons au lecteur de s'en convaincre en cherchant
les exercices qui terminent le chapitre.
14.4. Cas des champs permanents.
Dans le cas particulier des régimes permanents les champs E et B, nous
l'avons vu (§ 2.4 et 13.7), sont découplés. On peut donc, dans ce cas particulier,
considérer séparément les densités we et wb -
a) Energie magnétostatique d'une distribution de courants permanents.
Soit D une distribution de courants permanents caractérisée par la densité
de courant / (M). D crée en M un champ magnétique B (M) et la densité d'éner-

ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE
183
gie magnétique en M est égale à
B2
wB
d'où l'énergie magnétique totale de D
2ju0
(14.7)
l'intégrale étant étendue à tout l'espace.
Cherchons à faire apparaître le potentiel-vecteur A dans (14.7) :
V.(AAB) = B.(VAA)-A.(VAB) = B2-A.(VAB).
(formule F8)
On a donc, en utilisant le théorème d'Ostrogradski :
WB
"A (VAB)
2Mo
- #
(AAB).dS
On peut considérer que la seconde intégrale est étendue à une sphère centrée
sur D et dont le rayon r tend vers l'infini.
Loin de D, le potentiel-vecteur et le champ créés par D sont, en général,
assimilables à ceux d'un dipôle magnétique (chap. 10). On en déduit que A et B
1 1
décroissent respectivement en et en d'où il résulte que l'intégrale
considérée tend vers zéro (*).
Compte tenu de l'équation de Maxwell-Ampère de la magnétostatique :
VAB = Mo/ (MA,)
on déduit l'expression de l'énergie magnétostatique :
(14.8)
l'intégrale pouvant être indifféremment étendue à tout l'espace ou à la seule
distribution D.
Il convient de bien remarquer que la relation (14.8) n'est plus applicable
dans le cas général des régimes variables. On peut cependant étendre cette
relation au cas de FARQP (j et A dépendant du temps), puisque dans cette
1 8E
approximation V A B = yiQj, le terme étant négligeable (§ 13.5). Mais
c2 dt
il n'est plus possible de considérer séparément les énergies We et Wb car les
champs E et B restent couplés par la relation de Maxwell-Faraday :
9B
VAE =
dt
(*) Si D est de moment magnétique nul (distribution multipolaire), la convergence de
l'intégrale n'en est que mieux assurée car A et B décroissent encore plus rapidement.

184
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
b) Energie magnétostatique d'un système de circuits filiformes.
Soit un système de n circuits filiformes Cjç dont l'énergie magnétostatique
est, A étant le potentiel-vecteur créé par tout le système :
», -i
i-
i
A dr = - 2
2 k
j. A dr
'cfc
Substituant pour chaque circuit Id/ à/' dr :
1
WB = - 2 Ijt (f A.dl
2 k Jct
soit
wB
1
2. k
OÙ $k
(14.9)
A . d/ est le flux magnétique à travers le circuit Qt (§ 7.2).
'Cfç
Cette relation reste évidemment valable dans l'ARQP.
c) Energie magnétostatique mutuelle.
L'énergie magnétostatique totale de deux distributions /' \ et /2 sources des champs Bj et
B2 peut s'écrire :
WB =
B'
2JU0
âT
(Bi + B2)'
2Mo
dr
B,
2jUo
dr +
/Y*/
B/ fff B!.B2
dr + III dr
2Mo
Mo
Les deux premières intégrales représentent les énergies magnétostatiques propres Wgi
et Wb2 des deux distributions ; la dernière est leur énergie magnétostatique rautae//eWBl2.
Transformons l'expression de Wg 12 :
V.(A2AB!)= B1.(VAA2)-A2.(VABi)= B^ B2 - A2. ( V ABt)
(formule F8)
On a donc en utilisant la formule d'Ostrogradski :
WB
12
(VABO 1
A2. dr + —
Mo Mo
(A2 AB^.dS
On peut montrer que la dernière intégrale, étendue à une sphère de rayon infini, est
nulle. Comme en outre :
VABi = //0/i (MA,)
on a :
WB
12
h • A2 dr
En reprenant un calcul identique, on établit de même
WB
12
J2 . Ai dr
On a donc aussi
WB
12
/! .A2dr+ /2-Aidr
(14.10)
(14.11)
(14.12)

ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE
185
Remarque :
(14.12) peut s'obtenir directement à partir de (14.8), en effet
soit :
w.-iJW.if,
(ji + h) -(Ai + A2)dr
WB =
y1.A1dr + -JJy2.A2dr + y
;1.A2dr+ y2.A!dr
Les deux premiers termes représentent Wbi et Wb2, le dernier est Wbi2 .
Les résultats précédents obtenus en b) et c) sont généralisables à l'ARQP.
Nous reprendrons plus en détail au chapitre 20, dans le cadre de l'ARQP, l'étude de
l'énergie magnétique mutuelle de deux circuits filiformes.
d) Energie du champ électrique.
En régime permanent, les équations auxquelles satisfait le champ électrique
E sont : V . E = p/e0 et VAE = 0 (identiques à celles de l'électrostatique).
L'énergie du champ électrique vaut :
WE =r/lAoE2dr
l'intégrale étant étendue à tout l'espace.
Comme pour l'énergie magnétostatique nous allons faire apparaître le
potentiel V et la densité volumique de charges p.
Compte tenu de la formule F6 et de la relation :
E =-VV:
V.(VE) = V(V.E) + (VV) . E - V(V-E) - E2
Cette identité conduit, en utilisant le théorème d'Ostrogradski, à :
WE =^Jjj6oV(V.E)dr -^eoVE.dS
On peut considérer que la seconde intégrale est étendue à une sphère S
centrée sur la distribution D et dont le rayon r tend vers l'infini.
Loin de D, le potentiel V et le champ E créés par la distritubion D sont
assimilables, en général, à ceux d'une charge ponctuelle, de sorte que V et E
décroissent respectivement en 1/r et en \jr2 de sorte que l'intégrale de
surface tend vers 0 (*).
Compte tenu de l'équation de Maxwell-Gauss :
on obtient l'expression :
analogue à (14.8).
V.
wE
E
=
= - 0
il'
MG)
Vdr
(14.13)
(*) Si D est de charge totale nulle (distribution dipolaire par exemple), la convergence
est encore mieux assurée.

186
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
Insistons sur le fait que (14.13) est inexacte en régime variable, y compris
dans le cas de VARQP puisqu'alors :
E = - VV V A E = ^ 0
bt V bt
14.5. Retour sur le cas de l'électrostatique.
a) Interprétation de l'énergie W^.
En électrostatique, l'énergie de champ se réduit à :
WE =- fffe0E2 dr
2
qu'on peut également mettre sous la forme (14.13) :
WE =-JjfpV dr (14.13)
intégrale étendue à tout l'espace ou à la seule distribution D.
Dans ce cas, la relation (14.13) a une interprétation physique simple. Nous
allons montrer que We s'identifie au travail qu'il faudrait fournir pour amener
les charges qui constituent la distribution D de façon quasi-statique depuis
l'infini (*) fusqu'à leurs positions actuelles.
La distribution, caractérisée par la densité p (r), est la source d'un champ
de potentiel V(r). Nous imaginons que l'on constitue D en amassant des
charges amenées de l'infini de façon quasi-statique. Supposons que l'on réalise ainsi
une suite quasi-continue d'états intermédiaires caractérisés par la densité Xp,
X étant un paramètre croissant de 0 à 1. Compte tenu de la linéarité de la
relation qui lie le potentiel aux charges, le potentiel dans l'«état X» est XV.
Considérons l'évolution faisant passer de l'état X à l'état X + dX, la charge
de chaque volume dr variant de d2q—pdr* dX. Pour amener cette charge
de l'infini jusqu'à sa position actuelle r à un moment où le potentiel en ce
point est XV, il faut fournir un travail contre les forces électrostatiques :
d2W = -d2fl(V00-XV) = d2q\V
soit :
d2W = XdXpVdr
En intégrant successivement sur toute l'étendue de D, puis sur les valeurs
successives de X, on a :
W
soit :
W
/ XdX | pVdr,
0 D
(*) C'est-à-dire en les prenant toutes à des distances mutuelles très grandes.

ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE
187
Exemple : Energie d'une sphère uniformément chargée.
Soit S une sphère de rayon R qui porte une charge Q uniformément répartie dans
son volume. Imaginons que l'on constitue S en amenant de façon quasi-statique depuis
l'infini des couches sphériques de charges dq. On réalise ainsi une suite continue d'états
d'équilibre ; dans chacun de ces états, on a une sphère s de rayon r et de charge q avec,
compte tenu du caractère uniforme de la densité de charge :
r3
*-— Q.
R3
Pour amener de l'infini de façon quasistatique la charge dq = 3r âr Q/R3, il faut
fournir un travail opposé à celui des forces électrostatiques, soit :
dW= -d<7(Vco—V) = dqV,
V étant le potentiel à la surface de s. Or, on sait que le champ extérieur à une sphère est
identique à celui d'une charge ponctuelle, on a donc V= q/4neor, d'où :
1 qdq 3Q2
dW = = g r4 dr,
47re0 r 47re0R
Par intégration entre les bornes 0 et R, on en déduit :
3 1 Q2
W = = WE (14.14)
5 47re0 R
Le sens physique du signe positif de cette expression est évident : les charges de S se
repoussent, il faut donc fournir du travail pour constituer S. Inversement, on pourrait
recueillir l'énergie Wg en laissant S se «disloquer».
Mais il faut noter que Wg est positif pour une distribution quelconque comportant des
charges positives et négatives. Ce résultat est moins évident à interpréter. C'est une
conséquence du fait que des charges de même signe se repoussent et que des charges de signes
contraires s'attirent (e0 > 0).
Remarque :
Par simple substitution de —G à l/47re0, on déduit de (14.14) l'expression de
l'énergie gravitationnelle d'un astre sphérique homogène de masse M :
3 M2
W= G — (14.15)
5 R
Cette expression a d'intéressantes conséquences astrophysiques et cosmologiques (voir
problèmes 14.9 et 14.11).
b) Energie mutuelle de deux distributions.
La démarche est analogue à celle effectuée au § 14.4.C. à propos de
l'énergie magnétostatique, les champs Ex et E2 remplaçant les champs Bx et B2.
On obtient aussi directement le résultat en utilisant (14.13), car :
WE =-Jj[(Pi+P3)(V1+V3)dr
puisque la distribution totale en chaque point est caractérisée par :
p=Pi+p2 et- V=V!+V2

188
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
On obtient ainsi :
WE = jfp,V,dr +ifp,V2dr 4(f „V2dr + IJm)
(relation également valable pour des champs permanents). ... . ^
Les deux premiers termes représentent les énergies propres, le dernier terme est
rénergie mutuelle Weu des deux distributions.
On montre aussi que les deux intégrales lu Pi V2 dr et lu p2 Vi dr
sont égales.
c) Energie électrostatique d'un système de charges ponctuelles.
Quel rapport y a-t-il entre l'énergie électrostatique We étudiée dans ce
chapitre et l'énergie potentielle XJp d'un système de charges ponctuelles que
nous avons étudié en première année ? Notons d'abord que Wg est toujours
positive, alors que Up peut être éventuellement négative comme le montre par
exemple l'expression relative à deux charges :
1 Qi Q2
up=7— <14-17>
47re0 r12
Pour élucider cette question, considérons deux charges ponctuelles comme
la limite de deux distributions continues Dx et D2 de charges totales q\ et
q2 • L'énergie mutuelle des deux distributions peut par exemple s'exprimer à
l'aide de (14.13):
^.»-7(fftV,dr + fp,v,dr)
- I (Vl f p, dr + V, |p2 dr
car le potentiel V2 créé par D2 peut dans la limite considérée être pris
constant dans le volume de Dx et réciproquement. On en déduit :
WEl2 =y(^iV2+^2V1
On note que We12 s'identifie à l'énergie potentielle d'interaction des deux
charges ponctuelles (MÉCANIQUE 1, § 11.5).
Les dimensions de Dt et de D2 tendent vers zéro et on a :
Vi « ?i /47re0 r12 et V2 « qil^^o rï2
de sorte que :
1 (J\ Qi
WEl2 = <7i V2 = q2 Vi = = Up
47re0 r12
L'énergie potentielle électrostatique Up d'un système de charges ponctuelles
peut être identifiée à l'énergie mutuelle Wei2 des distributions
correspondantes.

ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE
189
• Energie propre d'une charge ponctuelle.
La situation est moins satisfaisante si on cherche à calculer les énergies propres Wgj et
Wej des distributions Dj et D2 quand leurs dimensions tendent vers zéro. Sans avoir à
entreprendre le calcul, il suffit d'examiner l'expression (14.14) pour voir que Wgi et
We2 tendent vers l'infini ! On touche là à une difficulté fondamentale : le concept de
particule strictement ponctuelle est inacceptable du point de vue de l'énergie de champ.
14.6. Tableau récapitulatif.
WE
We
Régimes variables
E2 dr
E2 dr
w = wE +wB.
WB = — B2 dr
JJJ 2[Xq
ARQP
WB = fl
JJ
WB = fl
JJ
WB = 2
k
f— B2 dr
J 2ju0
— j • A dr
J /L
1 . (circuits
— ik^k filiformes)
Régimes permanents
B2 dr
/ • A dr
WB =
1
^~lk$k
k 2
Electrostatique
WEH||YE2dr=!JfipVdr
WB = 0

190
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
EXERCICES
14.1. Bilan énergétique d'un fil conducteur.
Un fil cylindrique indéfini conducteur F d'axe 02 et de rayon a placé dans un champ
électrostatique uniforme E = Euz est parcouru par un courant d'intensité I.
1) Calculer le vecteur de Poynting en un point situé à la distance r > a de Oz.
2) Calculer la puissance P reçue sous forme de rayonnement électromagnétique par un
tronçon de F de longueur h. Exprimer P en fonction de I et de la tension U aux bornes de
ce tronçon, commenter le résultat obtenu. Que devient la puissance P ?
14.2. Bilan énergétique de la charge d'un condensateur.
Deux disques conducteurs de rayon a de même axe O2 distants de h constituent les
armatures d'un condensateur K de capacité C. On néglige les effets de bord en admettant
que E est parallèle à 02 à l'intérieur de K.
1) La charge Q de K étant constante, exprimer en fonction de Q et de C l'énergie
électromagnétique localisée dans le champ de K.
2) On charge K, sa charge q (t) passant de la valeur 0 à la valeur Q. En admettant que
E reste uniforme et que les lignes du champ B engendré par la variation de E sont des
cercles d'axe O2 exprimer en fonction de q et de âq/dt le vecteur de Poynting à la date t à
la distance r < a de O2.
3) Calculer la puissance reçue par K à la date t sous forme de rayonnement
électromagnétique et retrouver l'expression de l'énergie emmagasinnée dans K en fin de charge.
1 Q2 r dq
Réponses: 1) W = - — 2) 11= - q - ur.
2 C 27r2€0aq ât
14.3. Energie, quantité de mouvement et moment cinétique du champ électromagnétique.
Rayon de l'électron.
/. Translation de l'électron.
Un système S de charges en mouvement de translation à la vitesse v par rapport à un
référentiel R engendre dans R des champs E et B.
1) Pour v < c, E et B étant donnés avec une bonne approximation par les lois de
Coulomb et de Biot et Savart, exprimer B en fonction de v et de E. Montrer que,
contrairement aux lois de Coulomb et de Biot et Savart, la relation précédente reste vraie pour
toute valeur de v.
2) S représente dans la suite une sphère de rayon a qui porte la charge q uniformément
répartie sur sa surface. S est en translation par rapport à R à la vitesse v <^ c. Calculer
l'énergie électrique Wg et l'énergie magnétique Wb de S.
3) En considérant que S est un modèle de l'électron, quelle valeur a\ de son rayon
obteint-on en identifiant We à l'énergie au repos me2 ?
Application numérique ; charge et masse de l'électron :
e= 1,6.10"19C m= 9,1.10'31kg
4) Avec le même modèle, on peut aussi imaginer que Wb s'identifie à l'énergie
cinétique — mv2. Quelle valeur a2 obtient-on ainsi pour le rayon de l'électron ?

ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE
191
5) On peut établir que de la quantité de mouvement est localisée dans un champ
électromagnétique avec une densité :
dp n
g - — = — (impulsion volumique du champ)
ÛT C2
Calculer la quantité de mouvement totalep du champ électromagnétique de S. Avec le
modèle précédent, déterminer la valeur a$ du rayon de l'électron que l'on obtient en
identifiant/? à la quantité de mouvement mv de l'électron.
6) Cherchez à interpréter l'incohérence des résultats obtenus en discutant la validité
des hypothèses qui ont été faites au cours de cet exercice.
Réponses :
E jLt0 e2 _ls Mo e2
1) B = v A— 3) ax = = 1,41.10 m 4) a2 = - 5) a3 = a2
c2 8tt m 6tt m
IL Rotation de l'électron.
Une sphère homogène d'épaisseur négligeable de centre O et de rayon a est en rotation
à la vitesse angulaire co autour de l'un de ses diamètres. S porte la charge q uniformément
répartie sur sa surface.
1) Calculer le champ magnétique B0 en O ainsi que le moment magnétique 9ff de S.
On admettra dans la suite de cet exercice que B = B0 en tout point intérieur à S et que B
est en tout point extérieur à S identique au champ d'un dipôle de moment Sff placé en O
(voir exercice 10.12).
2) Calculer l'énergie magnétique Wg de S. On prend S comme modèle de l'électron et
de son spin, la masse m de l'électron étant de plus supposée uniformément répartie sur la
surface de S. Quelle valeur a$ du rayon de l'électron obtient-on en identifiant Wb à
l'énergie cinétique de l'électron ?
3) Déterminer le vecteur de Poynting U du champ électromagnétique de S en tout
point de l'espace. En déduire le moment cinétique total Q0 du champ électromagnétique
de S. Quelle valeur a$ du rayon de l'électron obtient-on en identifiant 00 au moment
cinétique mécanique de l'électron ?
4) Commenter la divergence des résultats obtenus.
Réponses :
Mo 4 W2
1) B0 = - co ; 9fc = CO ; 2) a4 = a2\2. 3) as = a4
6tt a 3
14.4. Etude d'un câble coaxial en tant que ligne de transport d'énergie
(extrait de Agrégation 1975).
Un câble coaxial est constitué par deux cylindres indéfinis conducteurs Ci et C2
d'épaisseurs très faibles, de même axe Oz et de rayons respectifs Rx et R2 (R2 >Ri)
placés dans le vide. Ci est parcouru par un courant continu d'intensité I dirigé dans le
sens de Oz, C2 par le courant de retour de même intensité et de sens opposé. On néglige
toute chute de tension le long du câble et on note respectivement Vi et V2 les potentiels
de C! et C2. L'ensemble du système possède la symétrie cylindrique.
Calculer E et B en tout point M de l'espace en fonction de Rx, R2,1, Vj — V2 et de la
distance r de M à Oz. Calculer le flux du vecteur de Poynting n à travers un plan normal à
Oz et interpréter le résultat obtenu.

192
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
Réponses :
lnRî/R.! r 2ir
T--h-
Vi - V2 «r Mol „ .. „
2_!1;B = —— ; II.dS=I(V1-V2).
14-5. Rayonnement d'accélération.
Une particule électrisée de masse m de charge e de vitesse v, d'accélération dv/dt
relativement au référentiel galileen S rayonne sous forme d'un champ électromagnétique
une puissance 9> r donnée par :
2 / M Am\2
(S -(7^)
e2 \ dt / \ c dt I v
3>R = — — avec : p =
(formule de Max Abraham). On négligera dans la suite le freinage dû au rayonnement.
a) La particule est dans un champ électrique uniforme E et son mouvement est rectili-
gne. Soit 9^ la puissance fournie à la particule par le champ E. Montrer que :
2
»R
-(—y
JS \mc*J
9E 67re0 jS
AU. - Pour des électrons me2 « 0,5 MeV ; calculer p en fonction de E pour v ^ c.
Conclure.
b) La particule est dans un champ magnétique uniforme B et sa trajectoire est circulaire
de rayon R. Montrer que l'énergie wr rayonnée par tour sur la particule est :
e2 v3 1
w = __ (rayonnement «synchrotron»)
Lorsque v^c, montrer que :
1 e2
wr = — x4 (formule de Schwinger)
3e0 R
où x est le rapport K/mc2 de l'énergie cinétique K de la particule à son énergie de masse
me2.
A.N. - On prendra K= 4 GeV, R= 5 m et considérera des électrons (me2 ^0,5 MeV) et
des protons (me2 ^940 MeV).
c) Conclure quant à l'utilisation des accélérateurs pour accélérer des électrons et des
protons.
14.6. Pression magnétostatique.
Un cylindre indéfini C d'axe O2 et de rayon a est parcouru par un courant de densité
superficielle 1= îuq dont les lignes de courant sont des cercles d'axe Oz.
1) Calculez le champ magnétostatique B et le potentiel-vecteur A de C.
2) Montrez que C subit des forces qui tendent à le faire éclater. Calculez la pression p
exercée par ces forces. Evaluez p avec des ordres de grandeur qui vous paraîtront
vraisemblables pour un solénoïde et concluez.
3) Calculez l'énergie magnétique localisée dans un tronçon de C de longueur h :
a) En utilisant l'expression de B ;
b) En utilisant l'expression de A.

ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE
193
Réponses :
Mo
1) Pour r < a : B = [X0 iuz ; A = — îtuq
Pour r > a : B = 0 ; A = — i — uQ
2 r
Mo*'2
2) p = (cf. pression électrostatique).
1
3) WB = ~Mo^2^'2.
14.7. Le potentiel-vecteur d'un champ B donné est défini à un gradient près :
A = A0 + V(/?
Montrer que, néanmoins :
1) Le flux magnétique qui traverse un contour se calcule sans ambiguïté par
<ï> = (D A.d/
2) L'énergie magnétostatique d'une distribution de courants permanents se calcule
également sans ambiguïté par :
WB-ifMdr
Réponses :
2) Oui, pour une distribution d'extension finie.
14.8. Modèle quantique de l'atome H.
Conformément aux résultats de la mécanique quantique, on considère l'état
fondamental de l'atome d'hydrogène comme une distribution statique de charges à symétrie sphéri-
que constituée d'un proton ponctuel de charge e et d'un nuage électronique dont la densité
volumique de charge est de la forme p= p0 e~2r'a, a = 0,529.10"10 m étant le rayon de
Bohr.
1) Représenter la fonction dP/dr, dP étant la probabilité de trouver l'électron entre
les distances r et r+ àr du proton.
2) Calculer Pq.
3) Déterminer le champ et le potentiel en fonction de r.
4) Calculer l'énergie potentielle d'interaction U entre le proton et le nuage électronique.
5) Calculer l'énergie électrostatique propre du nuage électronique.
A.N. en eV.
Réponses :
1) Maximum pour r= a. 2) p0 = -e/ira3.
e r 2r
3)E=^- [l+il (! + :>] «*'/«
Ane^r* a a
V= —L-(i + L)e-ir/a
4ne0r a
4) U= -e2/47re0û.
5) W = - 5U/16 = 8,5 eV.

194
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
14.9. Modèle newtonien d'univers en expansion.
On assimile l'univers à une sphère S de masse M remplie d'un «fluide» homogène dont
les étoiles sont les «molécules». On note R et jU le rayon et la masse volumique de S à la
date t. S subit une expansion homothétique dont on peut caractériser la vitesse à la date t
. dR
par la valeur de R = —.
àt
1) Exprimer l'énergie cinétique K de S en fonction de M et de R.
2) Exprimer l'énergie gravitationnelle W de S en fonction de M, R et de la constante G
de l'attraction universelle.
3) Les données expérimentales relatives à l'état actuel de l'univers sont :
- Sa masse volumique moyenne (qu'il est difficile d'évaluer à mieux qu'une puissance de
dix près) JU - 10~28 kg.m"3.
- Le rapport de la vitesse de fuite d'une galaxie par rapport à la Terre (déduite de son
décalage Doppler vers le rouge) à sa distance à celle-ci : H= 2.10"18 s"1 (constante de
Hubble).
Si K et W interviennent seules dans le bilan énergétique de S (discuter cette hypothèse)
quelle condition doivent vérifier H et JU dans le cas d'une expansion indéfinie de l'Univers ?
Conclure à l'aide des valeurs numériques précédentes.
Réponses :
3 . ? 3 M2
1) K = — MR2 2) W = G —
10 5 R
3 H2
3) /i < . On ne peut pas conclure, compte tenu de l'importante incertitude sur JU.
oTTCj
Des modèles plus élaborés qui utilisent la relativité générale ne permettent pas non plus, à
l'heure où ce livre est écrit, de savoir si R croîtra indéfiniment où décroîtra après être
passé par un maximum.
14.10. Noyaux miroirs, évaluation des rayons nucléaires.
1. On représente le noyau O comme une sphère uniformément chargée de rayon R.
Calculer l'énergie électrostatique de cette sphère.
2. En ajoutant un proton à O, on obtient F. On suppose que le proton additionnel
se répartit lui aussi uniformément dans la sphère de rayon R. Calculer son énergie
d'interaction électrostatique avec les autres protons.
Si au lieu d'un proton, on ajoute à 160 un neutron, on obtient 170. Les noyaux 17F
et 170 sont dits des noyaux miroirs. Calculer, en fonction de R, la différence d'énergie
entre 17F et 170, en supposant que cette différence d'énergie provient entièrement des
forces électrostatiques et de la différence de masse neutron-proton, soit 1,294 MeV.
Discuter cette hypothèse.
3. Le noyau 17F se désintègre par radioactivité /?*" selon la réaction :
17F -> 17Q+ ^+ v
électron neutrino
positif
L'énergie cinétique maximale des positrons émis est 1,748 MeV. Calculer le paramètre Rq
de la formule R = R^A*/3 qui donne le rayon R du noyau en fonction du nombre de
masse A de ce noyau (énergie de masse de l'électron : 0,511 MeV). On rappelle que le
neutrino est supposé avoir une masse nulle.
4. Reprendre les calculs précédents en supposant que le 17ème nucléon est localisé à
la surface du noyau 160. Comment l'estimation de R0 est-elle modifiée ?

ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE
195
Réponses :
3 Z2e2
1) W= (Z=8)
207re0 R
3 Ze2
2) U= (Z=8)
107re0 R
24e2
E(F17)-E(017)= (mp-mw)c2 +
107re0R
13 82
= - 1,294 + —-— (E en MeV, R en fermi = 10"lsm)
R
1 3 82
3) 1,748+ 0,511 =- 1,294+ ——
R
R = 3,89fermis Rq = 1,51 fermi
1 Ze2
4) U = -> R = 3,24 fermi R0 = 1,26 fermi.
47T6n R
14.11. Niveau de Fermi. Conduction. Matière nucléaire. Naine blanche.
Limite de Chandrasekhar. Etoile à neutrons. Rayon de Schwarzschild. Trou noir.
On donne les masses en MeV/c2 de l'électron, du proton et du neutron :
me= 0,511 mp= 938,28 m„= 939,57;
la constante de Planck réduite : ïi = 1,055.10"34 J.s ;
le nombre d'Avogadro : NA = 6,022.1023 mol'1 ;
la charge élémentaire : e= 1,602.10"19C ;
la célérité de la lumière dans le vide c = 3.10 m.s"1;
On rappelle que les trois particules ci-dessus sont des fermions de spin 1/2, ce qui signifie
que, soumises au principe de Pauli, elles ne peuvent occuper à plus de deux à la fois une
même case quantique. On appelle espace des phases un espace à 6 dimensions dans lequel
peuvent être représentées les coordonnées x, y et z de la position et px, Py et pz de la
quantité de mouvement d'une particule. On admet que l'inégalité de Heisenberg et le principe
de Pauli entraînent que l'espace des phases est divisé en «cellules» d'hypervolume :
h 3 = (27TÎI)3, chaque cellule pouvant contenir au plus deux fermions de spin 1/2.
A. Niveau de Fermi.
1) On considère un système homogène et isotrope contenant n = N/V fermions de spin
1/2 par unité de volume. En supposant que ces particules occupent tous les niveaux
disponibles, du plus bas jusqu'à un niveau de plus haute énergie appelé niveau de Fermi, établir
que leurs quantités de mouvement sont inférieures à l'impulsion de Fermi :
pF = h (3ttV/3
2) Dans l'approximation non relativiste, en déduire l'énergie de Fermi Ep. Montrer
que dn = n (E) dE étant le nombre de fermions par unité de volume dont les énergies sont
comprises entre E et E + dE, la « densité énergétique_d'états » n (E) est proportionnelle à
\/E. En déduire l'expression de l'énergie moyenne E des fermions en fonction de Ep.
3) Reprendre les mêmes calculs (Ejr, n (E), E) dans l'approximation ultra-relativiste.
B. Electrons de conduction.
1) En supposant que chaque atome fournit un électron libre, calculer n pour le cuivre
de masse atomique A= 63,55 et de masse volumique jU= 8,92.103kg.m'3.

196
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
2) Connaissant la conductivité 0= 5,98.10 S.m'1 de Cu, calculer la vitesse
d'ensemble v des électrons pour un courant de 10 A établi dans un fil de 1 mm2 de section.
3) Calculer l'énergie de Fermi des électrons de conduction du cuivre ainsi que la vitesse
z?F qui correspond à cette énergie. Commentaires.
4) Expliquer qualitativement pourquoi, de tous les électrons de conduction, ce sont
ceux dont l'énergie est voisine (préciser) de Ejr qui sont responsables de la conduction
électrique.
5) Calculer la longueur d'onde de L. de Broglie des électrons de conduction, comparer
celle-ci à leur espacement moyen s et conclure.
C. Modèle de Fermi de la matière nucléaire.
On constate que le rayon des noyaux s'exprime en fonction du nombre de masse A
par la loi approchée :
r = r0A1/3 avec r0 = l,15.10-15m
1) En déduire la masse volumique, notée ultérieurementll2, de la «matière nucléaire».
2) Pour un nucléide tel que Z= N= A/2, évaluer l'énergie cinétique moyenne d'un
nucléon en utilisant le modèle de Fermi. Commentaires..
D. Intermède : énergie gravitationnelle.
Exprimer en fonction de la constante de la gravitation G= 6,67.10 ~n N.m2.kg'2,
de son rayon R et de sa masse M l'énergie gravitationnelle W d'un astre sphérique
homogène. Que signifie le signe de W ?
E. Naine blanche.
Dans le fonctionnement normal d'une étoile, la pression de radiation équilibre la
tendance à la contraction engendrée par les forces gravitationnelles. Lorsque s'arrêtent les
réactions nucléaires de fusion qui entretiennent le rayonnement, l'astre subit une
contraction qui, nous allons l'établir, peut multiplier sa densité par un facteur de l'ordre de 106.
A l'aide du modèle de Fermi :
1) Justifier que, pour une telle densité, l'énergie des électrons, sans être encore relati-
viste, est suffisamment élevée pour que ceux-ci, tous arrachés aux atomes, constituent un
«gaz de Fermi» dans lequel baignent les noyaux.
2) Un astre se trouvant dans l'état décrit ci-dessus (naine blanche) provient d'atomes
contenant autant de neutrons que de protons (commenter la validité de cette
approximation pour les éléments que vous supposez constituer les étoiles après épuisement des
réactions de fusion). Exprimer en fonction du rayon R et du nombre N de protons de
l'astre, supposé homogène, l'énergie totale E de celui-ci, somme de son énergie
gravitationnelle W et de l'énergie cinétique K de ses électrons.
3) En exprimant que, dans l'état d'équilibre de l'astre, E est minimal, calculer le
rayon R qui correspond à cet état. M0= 2.1030 kg désignant la masse du Soleil et Ri
une distance que l'on calculera littéralement et numériquement, exprimer R sous la
forme : R = Rj /(M/M0). Comparer Ri à un ordre de grandeur connu.
4) Calculer la masse volumique Mi d'une naine blanche de masse M0, l'énergie de
Fermi de ses électrons et commenter la cohérence du modèle utilisé.
5) A partir du modèle précédent, exprimer la masse volumique d'une naine blanche
de masse M en fonction de jUx et du rapport M/M0. Que peut-on en conclure en ce qui
concerne l'évolution des astres trop massifs ?
F. Limite de Chandrasekhar.
On peut déduire de la question précédente que, pour des densités sensiblement
supérieures à jUi, les électrons deviennent rapidement relativistes. On va donc tenter de rendre
compte de l'évolution d'un astre de masse supérieure à M0 par un modèle ultrarelativiste.

ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE
197
1) En utilisant la limite ultrarelativiste des résultats établis en A, calculer comme en
E.2. l'énergie totale de l'astre en fonction de son rayon.
2) Montrer que, si M est supérieure à une valeur critique Mc (masse de Chandrasekhar),
l'effondrement de l'astre est inévitable. Calculer numériquement Mc/M^.
G. Etoile à neutrons.
1) Les modèles précédents supposent tous que le nombre des électrons de l'astre reste
constant. A partir de quelle valeur minimale de leur énergie est-il envisageable que des
électrons fusionnent avec des protons pour donner des neutrons ?
2) On admet que le processus d'effondrement décrit en F peut conduire à la formation
d'un astre ne contenant que des neutrons. En admettant que la masse volumique de cet
astre s'identifie à celle de la matière nucléaire, calculer le rayon R2 d'une étoile à neutrons
de masse M2 = 2 M0.
3) L'étoile à neutrons de masse M2 est issue d'une étoile «normale» de rayon initial
R# = 7.108 .m et de période de rotation initiale T0 = 25 jours. En négligeant les pertes de
masse qui accompagnent en fait l'effondrement, calculer la période T2 de l'étoile à
neutrons de rayon R2.
4) A la surface de l'étoile (M2, R2), comparer la force d'inertie centrifuge à la force de
gravitation. Commentaire.
H. Trou noir.
1) Rappeler l'expression de la vitesse de libération z;2 à la surface d'un astre de masse M
et de rayon R. En assimilant la lumière à des particules newtoniennes de vitesse c, Laplace
conclut en 1798 qu'aucun rayonnement ne peut être émis vers l'extérieur par un astre de
masse M si le rayon de celui-ci devient inférieur à une limite Rs (appelée aujourd'hui rayon
de Schwarzschild) dont on précisera l'expression.
2) Vérifier que l'énergie gravitationnelle d'un astre de rayon Rs est comparable à son
énergie de masse.
3) Curieusement, la relativité générale confirme entièrement le modèle newtonien
d'un trou noir entrevu par Laplace. En outre, on montre que les effets spécifiques de la
relativité générale à la surface d'un astre sont de l'ordre de a= R^/R. Conclure en ce qui
concerne :
a) le Soleil de rayon R0 = 7.108 m.
b) l'étoile à neutrons (M2, R2).
4) En admettant qu'une étoile à neutrons garde toujours une masse volumique égale à
celle de la matière nucléaire (hypothèse grossière), au-delà de quelle valeur du rapport
M/M0 l'étoile à neutrons devient-elle un trou noir ?
Réponses :
A. 2) Ë= 3EF/5. 3) E= 3EF/4.
B. 1) «=8,45.1028nr3 ; 2) v= 0,74 mm .s"1 ;
3) EF= 7,03 eV ; vF= 1,57.106 m.s"1.
4) XF = 4,6 Â du même ordre que s=n'lfi = 2,3 Â , d'où la nécessité d'un calcul
quantique.
C. 1) M2=2,63.1017kg.m-3 ; 2) E=22MeV.
D. cf. exercice 14.9.
E. 3) R=R!(M/M0)'1/3 ,avec:
p (97T)2/3 h2 w .1/3 71^in6rn
Ri = — — -r- M0 ' = 7,15 .10 m.
4) Mi = 1,3.109 kg.m"3, EF= 195 keV.
5) M=Mi (M/M0)2.

198
LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME
G. 2) R2 = 15,6 km ; 3) T2 = (R2/R0)2T0 = 10"3 s ; 4) fe/fg= 0,5.
H. 1) v\ - 2MG/R ; Rs = 2MG/c2 ;
2)|W|= 3Mc2/10; 3.a) 4,2.1g"6 ; 3.b) 0,38. 4) M=8,35M0.
14.12. Courant de convection.
Soit Di une distribution de charges fixes dans un référentiel R réparties dans un
cylindre quelconque de génératrices parallèles à O2 avec une densité indépendante de z. Dj,
mise en mouvement à la vitesse v = vuz {v < c) engendre dans R une distribution D2 de
courants continus. Exprimer l'énergie magnétique de D2 en fonction de v et de l'énergie
électrique de Dj.
Réponse :
wB = — wE
c2

NOTATIONS ET UNITÉS
Grandeur Notation Unité SI Symbole
Position r mètre m
Date t .... seconde s
Vitesse . . . . . v m.s"1
Force F .... newton N
Energie W joule J
Densité d'énergie w J.m"3
Puissance P watt W
Vecteur de Poynting II W.nr2
Charge q . . . . coulomb . . . . C
Densité volumique de charge p Cm"3
Densité superficielle de charge o Cm"2
Intensité I .... ampère A
Densité de courant j A.m"2
Densité superficielle de courant î A.m"1
Moment électrique p Cm
Moment magnétique 9f£ A.m2
Champ électrique E V.nr1
Champ magnétique B tesla T
Flux magnétique $ weber Wb
Potentiel scalaire V
Potentiel-vecteur A
Capacité C
( propre L
Inductance
mutuelle M
Résistance R
Conductance G
Résistivité p
Conductivité o
Polarisation P
Aimantation M
Excitation électrique D Cm"2
Excitation magnétique H A.m"1
volt ...
farad . . .
henry . .
. . . . siemens . .
. .. V
... T.m
F
H
... a
... s
. . . O.m
S.nr1
Cm*2
A.nr1

CONSTANTES PHYSIQUES
Constante d'Avogadro N = 6,022 . 1023 mol"1
h
Constante de Ptanck -/r= — = 1,055 . 10"34 J.s
2n
Célérité de la lumière c = 2,998 . 108 m.s"1
Constante de la gravitation G = 6,672 . 10"n N.m2 .kg-2
Charge élémentaire e= 1,602 . 10"19 C
Constante de Boltzmann k = 1,381 . 10"23 J.K"1
Masse de l'électron me = 9,110 . 10"31 kg
Masse du proton mp = 1,673 . 10"27 kg
Masse du neutron mn = 1,675 . 10"27 kg
^ = 1 836 mec2 = 0,5110 MeV mpc2 = 938,3 MeV mnc2 = 939,6 MeV
me
Perméabilité du vide n0 =4n . 10"7 H.m-1 (par définition de l'ampère)
1 e0 = = 8,854 . 10"12 F.m"1
Permittivité du vide . . ! M°c
1 c2
= = 8,988 . 109 N.m2 .C"2
l 47T€0 107
Constante de Faraday 7 = Ne = 96 486 C
Constante des gaz parfaits R = Nk = 8,314 J.K"1 . mol-1
MULTIPLES ET SOUS-MULTIPLES
Multiple 103 106 109 1012 101S 1018
Symbole k M G T P E
Dénomination kilo méga giga téra peta exa
Sous-multiple 10"3 10"6 10"9 10"12 10"15 10"18
Symbole m /x n p f a
Dénomination milli micro nano pico femto atto

INDEX DES PROBLÈMES
Les chiffres en caractères romains renvoient aux pages du volume 1,
ceux en caractères italiques aux pages du volume 2.
Agrégation
5.10. Accélérateur électrostatique de Van
deGraaf : 22
29.4. Domaines de Weiss. Parois de
Bloch(1969): 239
29.1. Aimant permanent (1973) : 236
20.12. Câble coaxial. Equation des
télégraphistes (1974) : 140
3.8. Loi de Fourier. Equation de la
chaleur. Température à l'intérieur du sol
(1975): 50
3.7. Diffusion. Loi de Fick. Réacteur
nucléaire (1975) : 49
15.2. Ondes ionosphériques (1975) : 29
23.6. Modèle de Landau d'un
ferro-électrique. Hystérésis diélectrique (1978) :
177
29.5. Résonance d'ondes de spin (1979) :
240
Polytechnique
3.4. Longueur de Debye d'un plasma : 47
25.14. Circuits couplés par induction
(1976) : 142
13.2. Lévitation d'une plaque
supraconducteur (1978) : 176
15.1. Plasma. Taches et protubérances
solaires (1979) : 26
20.14. Ligne bifilaire. Impédance
itérative. Taux d'ondes stationnaires(1980) :
143
15.6. Largeurs de raies. Optique non
linéaire. Spectroscopie à deux
pilotons. (1982) : 39
Mines
10.8. Dérive de particules dans le champ
géomagnétique (1976) : 142
CAPES
9.18. Equilibre d'une colonne de
plasma. Striction : 128
E.N.S. Ulm
19.12. Roue de Barlow : 114
9.19. Optique électronique (1974): 129
22.9. Supraconductivité. Effet Meissner
(1974) : 65
15.5. Onde et molécule polaire. Effet
Raman. Section efficace (1978) : 35
23.7. Forces de Van der Waals (1978) :
177
E.N.S. St Cloud
24.2. Chaîne d'atomes. Dispersion et
absorption par NaCl : 189
E.N.S.E.T.
22.10. Machine électrostatique (1974) :
164
Centrale
22Al. Mouvement newtonien.
Relaxation d'un conducteur (1974) : 166
19.15. Induction et ondes magnétohy-
drodynamiques (1980) : 119
Problèmes originaux
3.5. Champ et potentiel d'une grille
chargée : 48
10.9. Ceintures de Van Allen : 144
14.3. Energie, quantité de mouvement
et moment cinétique du champ
électromagnétique. Rayon de l'électron :
190
14.11. Modèle deFermi.Conduction.Ma-
tière nucléaire. Naine blanche. Etoile
à neutrons. Trou noir : 195
15.3. Effet de peau: 31
15.4. Ondes magnétohydrodynamiques.
Ondes d'Alfvèn : 32
17.2. Pression de radiation. Effet Poyn-
ting-Robertson. Voile solaire : 57

202
INDEX DES PROBLEMES
17.3. Lévitation par faisceau laser : 58
17.6. Réflexion normale sur un miroir
métallique. Formule de Hagen-Ru-
bens: 62
17.8. Guide d'ondes à section
rectangulaire : 62
17.10. Réflexion vitreuse. Formules de
Fresnel. Loi de Brewster.
Parallélépipède de Fresnel. Réflexion totale
frustée : 67
17.11. Durée de vie d'un état excité.
Largeur naturelle des raies. Transitions
radiatives. Effet laser. Amplificateur
optique : 71
17.12. Modèle d'Einstein des chaleurs
massiques. Pression de radiation.
Cavité électromagnétique. Lois de
Stefan et de Planck du rayonnement
thermique. Rayonnement
cosmologique. Loi de Debye : 75
19.13. Galvanomètre à cadre mobile :
116
19.14. Haut-parleur électrodynamique :
118
19.16. Four à induction : 120
20.9. Adaptation d'impédance : 138
22.12. Ondes dans un diélectrique
isotrope et anisotrope : Formule de
Maxwell. Indice complexe.
Biréfringence. Milieux biaxes et uniaxes : 168

INDEX ALPHABÉTIQUE
Les chiffres en caractères romains renvoient aux pages du volume 1,
ceux en caractères italiques aux pages du volume 2.
Abraham (formule de Max) : 192
Absorption : 192
Accélérateur de Van de Graaf : 82
Acier dur : 230, 235
Adaptation d'impédance : 138
Aimant : 232, 236
- de Stern et Gerlach : 215
- permanent : 232
Aimantation : 205
- (courants d') : 205
rémanente : 231
- à saturation : 229
Alembert (équation de d') : 158
- (opérateur de d') : 161
Alfvèn (ondes d') : 32
Ampère (théorème d') : 95, 97, 207
- (unité) : 93
Ampériens (courants) : 194
Amplitude complexe : 17
Analyseur : 11
- à pénombre : 15
Anisotrope (milieu) : 168
Anisotropie diamagnétique : 220
- ferromagnétique : 239
Antenne : 21-
Approximation des régimes quasipermar
nents : 173
Armatures : 68
Atome (modèles d') : 123,152, 176
Autoinduction : 106
Auto focalisation d'un faisceau : 127
Axe lent : 13
- rapide : 13
Bande de fréquence : 255
Barnett (effet) : 196
Barkhausen (expérience de) : 235
Barlow (roue de) : 36,101, 114
Bêtatron : 114
Beth (expérience de) : 193
Biaxe (milieu) : 168
Bifilaire (ligne) : 136, 137
Biot et Savart (toi de) : 107, 251
Biréfringence : 12, 168
Bleu du ciel : 189
Bloch (parois de) : 234, 239
Bobine plate : 115
Bobine torique : 116
Bohr (magnéton de) : 198
-(modèlede) : 123,i9<5
Bohr - Van Leeuwen (théorème de)
197
Boltzmann (statistique de) : 154
Bord (effet de) : 70
Boson : 197
Bremsstrahlung : 26
Brewster (angle de) : 67
Brillouin (fonction de) : 225
Câble coaxial : 191,128, 140
Cadre mobile (galvanomètre à) : 116
Capacité d'un condensateur : 69
- propre : 62
Catastrophe de polarisation : 174, 176
Cavendish (expérience de) : 58
Cavités d'un conducteur : 57
Cavité résonante : 56, 74, 77
Ceintures de Van Allen : 144
Célérité de la lumière : 161
Chaîne d'atomes : 189
Chaleur (équation de la) : 50
Chaleurs massiques : 75
Champ électrique : 29
- dépolarisant : 162
- disruptif: 29,56
- électromagnétique : 28
- électromoteur : 170, 94
- électrostatique : 30
- géomagnétique : 29, 142
- gravitationnel : 49
- local: 170
- macroscopique : 170
- magnétique : 29
- magnétostatique : 30
Champs permanents : 30, 114
Champ rémanent : 221

204
INDEX ALPHABETIQUE
Champs de révolution : 45
Changement de référentiel : 30
Chandrasekhar (limite de) : 195
Charge électrique : 17
Charge (conservation de la) : 20
Charge (densité de) : 17, 20
Charge d'un condensateur : 68
Charge d'espace : 69
Charge par influence : 59
Charges libres et liées : 168
Charges de polarisation : 156
Charges superficielles des conducteurs :
53
Child-Langmuir (formule de) : 44
Circuits couplés : 125, 139, 142
Circuit polygonal : 120
Circulation conservative : 14, 41
Clausius-Mossoti (relation de) : 172
Coercitive (excitation) : 231
Compatibles (grandeurs) : 197
Condensateur : 67
Condensateurs (associations de). : 72
Condensateur (énergie d'un) : 77
- conique : 82
- cylindrique : 74
- diédrique : 76
- avec diélectrique : 71,149, 161
- de faible épaisseur : 70, 75
- en haute fréquence : 164
- plan : 70
- sphérique : 80, 82
Condensation de l'électricité : 67
Conditions aux limites : 45, 162
Conducteurs en équilibre : 52
Conservatif (flux) : 14, 153
Conservative (circulation) : 14
Conservation de la charge (équation de) :
20, 152
- de l'énergie (équation de) : 181
- de la masse (équation de) : 21
Constante diélectrique : 71
Constitutive (relation) : 167
Continuité (équation de) : 20
- (relations de) : 42
Convection (courant de) : 18
Cotton (balance de) : 35
Coulomb (unité) : 18
- (loi de) : 41
- (théorème de) : 53
Couplage (coefficient de) : 126
- par induction mutuelle : 126, 139
Courant d'aimantation : 205
- ampérien : 194
Courant de conduction : 18
Courant de convection : 18, 124
- de déplacement : 156
- électrique : 17
- de polarisation : 186
Covariance : 243
Curie (constante et loi de) : 224, 226
Curie-Weiss (loi de) : 228
Cycle d'hystérésis : 230
Cylindre conducteur : 44
Dalembertien : 161
Debye (loi en T3 de-) : 78
Debye (longueur de) : 47
Degré géothermique : 51
Densité de courant : 19
- - thermique : 50
- d'énergie : 180
- de force électromagnétique : 32
- superficielle de charge : 24
- superficielle de courant : 24
- volumique de charge : 17
Déplacement (courant de) : 156
- électrique : 159
Dépolarisant : 162
Diélectrique : 71, 149
- linéaire : 160
- parfait : 71
Diffusion de matière : 49
- thermique : 33
Diffusivité : 49, 33
Diode à vide : 44
Dipolaire électrique (rayonnement) :. 20
Dipôle magnétique : 133
- oscillant : 22
Dirac (fonction de) : 255
Discontinuités : 42
Dispersion : 18
- (relation de) : 19
Distribution de Maxwell : 200
Divergence : 2
- (formule de la) : 6
Domaines de Weiss : 234, 239
Doppler (effet) : 8, 60
Double réfraction : 12, 168
Dulong et Petit : 75
Durée de vie d'un niveau : 71
Echo ionosphérique : 61
Ecran électrique : 59
Effet de bord : 70
- de peau : 31
Einstein (relation d') : 196
- et de Haas (expérience de) : 196, 202
Electrodynamique quantique : 196
Electrodynamomètre : 88
Electromètre à plateaux : 84
- à quadrants : 85
Electromètre-balance : 85
Electromotrice (force) : 94
Electron élastiquement lié : 151, 207
- (rayon de 1'): 190, 71,166
Elément de courant : 24
Eléments correspondants : 60
Electrostatique : 30
Emission induite, spontanée : 71
Energie d'un condensateur : 77
- dissipée dans un diélectrique : 187
- dissipée par hystérésis : 231
- électromagnétique : 179
- électrostatique : 78, 186
- gravitationnelle : 194, 196
- magnéto statique : 182
- mutuelle : 184, 187

INDEX ALPHABETIQUE
205
Enlacé (circuit) : 96
Equigravité (point d') : 49
Equilibre électrostatique : 52
Equivalence Iâl-+jdT : 29
Ether : 162
Etoile à neutrons : 195
Euler (équation d') : 15
Evanescente (onde) : 67
Excitation coercitive : 231
- électrique : 159
- magnétique : 206
Expansion de l'Univers : 194, 75
Extension temporelle : 255
Extinction : 15
Farad (unité) : 62
Faraday (cage de) : 58
- (constante de) : 25
- (loide) : 153, 95
Fer doux : 230, 235
Fermi (modèle de) : 195
Ferroélectricité : 174, 176, 177
Ferrimagnétique : 235
Ferromagnétique : 227
Fibre optique : 257
Fick (loi de) : 32
Fil rectiligne : 113
Flux conservatif : 14, 93
- magnétique : 93, 101
- coupé : 96
- propre : 121
Fondamental : 252
Force électromotrice : 94
- électromagnétique : 28
- de Lorentz : 28
- de Laplace : 34
- de Van der Waals : 177
Four à induction : 120
Fourier (loi de) : 50
Fourier (série de) : 252
Fourier (transformée de) 253
Freinage par induction : 100
Fresnel (formules de) : 67
- (parallélépipède de) : 67
Galvanomètre à cadre mobile : 116
Gauss (unité) : 29
- (théorème de) : 42
Géomagnétisme : 29, 142
Goudsmit : 195
Gradient : 1
Gradient (formule du) : 6
Gravitation : 194, 196
Green (formule de) : 14
Grille chargée : 48
Groupe (vitesse de) : 19, 255
Guide d'ondes : 62
Gyromagnétique (rapport) : 135
Hagen-Rubens (formule de) : 62
Hall (constante de) : 34
- (effet) : 33
Harmonique : 252
Haut-parleur : 118
Helmholtz (bobines de) : 122
Henry (unité) : 122
Hydrodynamique : 97
Hydrogène (atome d') : 123
Hystérésis diélectrique : 175,177
- magnétique : 256
Impédance itérative : 143
Impulsion du champ : 191
Indice complexe : 168
- de réfraction : 19
Inductance propre : 121
- mutuelle : 123
Induction électrique : 159
- électromagnétique : 91
- magnétique : 28
- unipolaire : 104
Influence : 59
- totale : 60
Intégrale de Fourier : 253
Intensité électrique : 21
Invariance de la charge : 17
Inversion de population : 71
Ionosphère : 29, 61
Itérative (impédance) : 143
Jauge de Lorentz : 170
- de la magnéto statique : 102
- (transformation de) : 102, 170
Joule (effet) : 33
Kelvin (formule de) : 6
Lame de mi-onde : 14
- quart d'onde : 14
- à retard : 13
Landau (modèle de) : 177
Lande (facteur de) : 196
Langevin (fonction de) : 155, 225
Langevin-Debye (formule de) : 173
Laplace (équation de) : 42, 61
Laplacien : 3
Largeur de raie : 71, 39
Larmor (formule de) : 7
- (précession de) : 217
Laser : 58, 71
Lenz(loide) : 100
Lévitation : 58
Ligne bifilaire : 136, 137
- coaxiale : 191,128, 140
Lignes de champ (tracé de) : 99
Locale (équation) : 8
London (équation de) : 66
Longueur d'onde : 10
- de Debye : 47
Lorentz (cas de) : 91
- (champ local de) : 171
- (courbe de) : 71
- (force de) : 28
- (jauge de) : 170
- (transformation de) : 243, 247
Lumière (célérité de la) : 161

206
INDEX ALPHABETIQUE
Malus (loi de) : 12
Machine électrostatique : 86
Magnéto hydrodynamique : 32, 119
Magnéton de Bohr : 198
- nucléaire : 198
Magnéto statique : 89
Matière nucléaire : 195
Maxwell (équations de) : 151
- (distribution de) : 200
- (formule de) : 160
Maxwell-Ampère : 97
Maxwell-Faraday : 41
Maxwell-Gauss : 42
Meissner (effet) : 65
Métal parfait : 47
Miroir magnétique : 145
- métallique parfait : 48
- métallique réel : 62
- mobile : 60
Moment cinétique du champ
électromagnétique : 193
- des forces de Laplace : 88
- magnétique : 133, 136
Monopôle magnétique : 153, 165
Moteur électrique : 36
- linéaire : 112
Mouvement newtonien : 166
Multiplicateur d'une coordonnée : 10
Multipolaires (termes) : 150,159
Multipôles magnétiques : 136, 141
Nabla: 1
Naine blanche : 195
Nappe de courant hélicoïdale : 123
- de courant plane : 110
Neumann (cas de) : 91
- (champ de) : 95
- (formule de) : 126
Nichols (expérience de) : 63
Niveau de Fermi : 195
Nombre d'onde : 10
- quantique magnétique : 197
- quantique de moment cinétique : 197
Noyaux miroirs : 194
Oersted (expérience d') : 26
Onde ionosphérique : 29
- plane : 3
- progressive : 160, 3
- sphérique : 160
- de spin : 240
- stationnaire : 52, 143
Ondes (équations des) : 160
- électromagnétiques : 3
- magnétohydrodynamiques : 32, 119
Opérateur : 1
Optique électronique : 45, 129
Optique non-linéaire : 39
Optiquement actif : 16
Oscillateur harmonique : 75
Paquet d'ondes : 7
Paramagnétisme : 222
Parois de Bloch : 234, 239
Passage (conditions de) : 42
Peau (effet de) : 31, 50
Pellat (électrodynamomètre de) : 88
Perméabilité : 167
- du vide : 92
Permittivité
- du vide : 62
- complexe : 183
Pertes d'un diélectrique : 187
- par hystérésis : 231
Phase (vitesse de) : 10
Photon: 65
- (masse du) : 58
Piézoélectricité : 175
Planck (loi de) : 75
Plasma: 47,128,25,29, 32
Poincaré (pression de) : 63
Pointes (pouvoir des) : 56, 64
Poisson (équation de) : 42, 104, 171
Polarisabilité : 151
Polarisation d'un diélectrique : 150
- électronique : 151
- ionique : 153
- d'orientation : 153
- en régime variable : 181
- spontanée : 174
- d'une onde : 7
- circulaire : 8
- elliptique : 8
- rectiligne : 7
- rotatoire : 16
Polariseur : 12
Polaroid : 11
Pompe électromagnétique : 34
Postulats de l'électromagnétisme : 3
Potentiel scalaire : 14
- de Yukawa : 122
Potentiel vecteur : 14, 101, 169
Potentiels retardés : 172
Pouvoir des pointes : 56, 64
Pouvoir rotatoire : 16
Poynting (identité de) : 214
- (vecteur de): 181,182,214
Poynting-Robertson (effet) : 57
Pression électrostatique : 55,65
- magnéto statique : 192
- de radiation : 15, 57, 54
Propagation du champ : 157
Protubérances solaires : 26
Puissance cédée à la matière : 32
Quadrinabla : 243
Quadrupôle magnétique : 141
Quantification du moment cinétique :223
Quantité de mouvement
électromagnétique : 190
Quincke (tube de) : 211
Raie d'émission : 71
Raman (effet) : 35
Rationalisation : 142
Rayleigh (loi de) : 189

INDEX ALPHABETIQUE
207
Rayon de l'électron : 190
- du noyau : 123
Rayonnement d'accélération : 192,25
- cosmologique : 77
- de freinage : 26
- dipolaire électrique : 24
- multipolaire : 24
- synchroton : 192, 26
- thermique : 25
- zone de : 22
Réacteur nucléaire : 49
Réflexion d'une onde
électromagnétique : 48
Réflexion totale : 67
Réfraction des lignes de champ : 163,
Relation constitutive : 167
Relaxation (temps de) : 166
Rémanent (champ, aimantation) : 231
Représentation complexe : 16
Résonance magnétique : 146
Roche (limite de) : 49
Roget (spirale de) : 135
Rotationnel : 2
- (formule du) : 7
Rowland (expérience de) : 121
Saturation : 155, 225, 229
Schrôdinger (équation de) : 220
Schwarzschild (rayon de) : 195
Schwinger (formule de) : 192
Section efficace : 35
Sinus cardinal : 253
Soleil couchant : 189
Solénoïde: 117,123,127,756
- infini : 117
Spath : 12
Spectre de Fourier : 252
Spectre électrique : 68
- magnétique : 91
Spectroscopie à 2 photons : 39
Sphère aimantée : 205, 215
- polarisée : 158, 171
Spin: 195,240
Spirale de Roget : 135
Spire circulaire : 115
- hélicoïdale : 125
Stefan (loi de) : 75
Stern et Gerlach (expérience de) : 199,
200, 201, 215
Stokes (formule de) : 5
Stôrmer (intégrale de) : 145
Striction magnétique : 32
- d'un plasma : 128
Superposition (théorème de) : 61, 162
Supraconductivité : 65
Susceptibilité dynamique : 183
- électrique : 160
- magnétique : 209
Symétries : 108
Synchrotron : 192
Taches solaires : 26
Taux d'ondes stationnaires : 143
Télégraphistes (équation des) : 140
Télévision : 255
Température de Curie : 174, 227
- du sol terrestre : 51
Temps de relaxation : 80, 155, 166
Tenseur électromagnétique : 247
- de permittivité : 168
- de polarisabilité : 151
- de susceptibilité : 160
Tesla (unité) : 29
Thomson (modèle de) : 152, 176
Timbre : 253
Titanate de baryum : 11, 174, 176
Transducteur électromagnétique : 103
Transitions radiatives : 71
Travail des forces de Laplace : 83
Trou noir : 195
Tube de champ : 22
- de courant : 22
- deQuincke : 211
Tunnel (effet) : 70
Uhlenbeck : 195
Uniaxe (cristal) : 168
- (milieu) : 168
Unicité (théorème d') : 61, 64
Unipolaire : 104
Univers en expansion : 194, 75
Van Leeuwen-Bohr : 197
Van Allen (ceintures de) : 144
Van de Graaf (accélérateur de) : 82
Van der Waals (forces de) : 177
Vecteur d'onde : 9
- de Poynting : 214
Vecteur-surface : 7
Vent électrique : 56
Vitesse de groupe : 19
- de la lumière : 58, 161
- déphasé : 10
Voile solaire : 57
Volt par mètre : 29
Weber (unité) : 95
Weiss (domaines de) : 234, 239
Wiederoe (condition de) : 114
Wien(loide) : 75
Yukawa (potentiel de) : 47
Zeeman (effet) : 198
Zone de rayonnement : 22

LA COMPOSITION DE CET OUVRAGE A
ÉTÉ EFFECTUÉE PAR GRAPHI-DACTYL,
27400 LOUVIERS ; L'IMPRESSION ET LE
BROCHAGE PAR JOUVE, 18, RUE SAINT-
DENIS, 75001 PARIS, POUR LE COMPTE
DE TECHNIQUE ET DOCUMENTATION-
LAVOISIER. ACHEVÉ D'IMPRIMER LE
21 FÉVRIER 1991 - N° 14158 - DÉPÔT
LÉGAL FÉVRIER 1991.
IMPRIMÉ EN FRANCE

§ m
Entièrement conforme aux nouveaux
programmes.
Classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques
Premier cycle universitaire.
Cette collection de Sciences physiques I « orange » couvre
les nouveaux programmes des classes préparatoires aux Gran
des écoles scientifiques, définis par l'arrête du 18 mai 1984,
réaménagés en 1987 1988 et mis en application à la rentrée de
septembre 1987 pour les Mathématiques Supérieures et à celle
de septembre 1988 pour les Mathématiques Spéciales. Elle est
entièrement conforme a la lettre et à l'esprit de ces progra^rh
mes qui sent véritablement nouveaux, par rapport à ceux de
1981 pour lesquels il avait été procédé à un simple
aménagement de ceux de 1972.
Ces programmes donnent lieu au transfert de nombreux
chapitres de la classe de Mathématiques Supérieures à celle de
Mathématiques Spéciales ou vice versa. De plus des nouveau
tes apparaissent phénomènes de transport mécanique des
fluides, circuits électroniques, chimie minérale « indus
trielle ».. Enfin, tant en Physique qu'en Chimie, ces nouveaux
programmes tendent essentiellement à privilégier l'analyse des
phénomènes en évitant une présentation trop exclusivement
dogmatique
Les auteurs de cette collection ont donc procédé à une
rédaction originale de leurs ouvrages tenant compte des
caractéristiques des programmes, en n'oubliant pas, non plus, la
continuité qui s impose avec les programmes du Second Cycle des
lycées.
Maurice RAVAILLE
2-85206-741-2
782852M0674